VALORES PROPIOS (AUTOVALORES) Y

VECTORES PROPIOS (AUTOVECTORES)

Fernando di Sciascio (2017)

Los vectores propios o autovectores de una matriz A son todoslos vectores xi¹0, a los que la transformación A convierte encolineales o múltiplos de si mismo, esto es,

, 0i i i iAx x xl= ¹Las constantes li son losvalores propios o autovaloresde la matriz A.

Autovalores y Autovectores

Para encontrar los autovectores la anterior se escribe como:

( ) 0 , 0i i iI A x xl - = ¹

( ) 1 ( )0 0 0i

i ii

adj I Ax I A

I A

ll

l- -

= - = ¹-

Como los autovectores son distintos de cero, existe soluciónsi:

det( ) 0i iI A I Al l- = - =

Con esta ecuación se encuentran los autovalores li, y con laprimera ecuación se obtienen los autovectores.

i i i iAx x xl=

Autovalores y Autovectores

Ejemplo:

los autovalores son l=-2 y l=-4.

1 1 1 2 11 2

2 2 11

2 2

3 1 3 22

1 3 3 12

1x x x x xx x

x x x x x

é ù é ù é ù- - + = -ê ú ê ú ê ú= - = ê ú ê ú ê ú- - = -ê ú ê ú ê ú

é ùê ú= ê úê úëë û ë û ûû ë

x

3 1

1 3A

é ù-ê ú= ê ú-ê úë û

2 2

0 3 1 3 1det( )

0 1 3 1 3

( 3) 1 6 8 0

I Al l

ll l

l l l

é ù é ù é ù- + -ê ú ê ú ê ú- = - =ê ú ê ú ê ú- - +ê ú ê ú ê úë û ë û ë û

= + - = + + =

Reemplazando l=-2 en Ax=lx

1 1 1 2 11 2

2 2 1 2 22

3 1 3 44

3 4

1

3 11

x x x x xx x

x x x x x

é ù é ù é ù- - + = -ê ú ê ú ê ú= - = - ê ú ê ú ê ú- - = -ê

é ùê ú= ê ú-ú ê ú ê úë û ë û ë û ê úë û

x

Reemplazando l=-4 en Ax=lx

Con MatlabDevuelve la matriz diagonal D conlos autovalores y la matriz V cuyascolumnas son los autovectores.

1 12-1 12

Vé ùê ú= ê úê úë û

[V,D]=eig(A)

-4 0

0 -2D

é ùê ú= ê úê úë û

Devuelve un vector e con los autovalores.e=eig(A)

P=poly(e) Devuelve el polinomio característico P.

-4

-2e

é ùê ú= ê úê úë û

1 6 8P é ù= ê úë û

Polos, Autovalores y EstabilidadUn sistema continuo LTI homogéneo (u(t)=0) es marginalmenteestable si tiene uno o más polos distintos en el eje imaginario (j), ytodos los polos restantes tienen parte real negativa.

Vimos anteriormente que la función de transferencia G(s)de un modelo expresado en el espacio de estados es:

--

= = - + = +-

- + -=

-

1adj[ ]( )

( ) ( )( )

Cadj[ ]

sI AY sG s C sI A B D C B D

U s sI AsI AB sI A D

sI A

Polos y Autovalores

y que el denominador de la Función de transferencia|sI-A|=0 es el polinomio característico del sistema.

( ) det[ ] 0P s sI A sI A= - = - =

Polos, Autovalores y EstabilidadLuego, las raíces si = li del polinomio característicoson los autovalores de la matriz A, pero tambiénsabemos que las raíces del polinomio característicoson los polos de la función de transferencia.

Autovalores de Polos de ( )A G s=

Observaciones del Algebra Lineal· Una matriz A de nxn es definida negativa cuando paratodo vector x se verifica:

0Tx Ax <Si la desigualdad no es estricta ( ) la matriz A essemidefinida negativa.

Obviamente la definición no es operativa porque nopodemos probar con infinitos vectores si cumple ladesigualdad. Existen varias maneras de verificar si unamatriz es semidefinida negativa, la más útil para el cursoes la que está relacionada con los autovalores:

0Tx Ax £

Una matriz A es definida negativa si la partereal de sus autovalores son negativas.

· Todo lo anterior vale para matrices definidas ysemidefinidas positivas:

0 ó 0T Tx Ax x Ax> ³Una matriz A es definida positiva si la parte real de susautovalores son positivas.

0 Matriz definida positiva

0 Matriz semidefinida positiva

0 Matriz definida negativa

0 Matriz semidefinida negativa

A

A

A

A

> ³ < £

· Para que una matriz sea semidefinida (positiva o negativa)alguno de sus autovalores es nulo.

Símbolos de las matrices definidas

Observaciones del Algebra Lineal

Polos, Autovalores y Estabilidad

Autovalores de Polos de ( )A G s=

si la parte real de los autovalores

de A son negativa

Un sistema expresado en variables de estado es

ESTABLE

o s si

A es def

lo que es e

inida negat

q

i

uivale

va (A

nte

<0).

Vimos que:

· Si A£0 el sistema es marginalmente estable (uno o máspolos distintos en el eje jw).

TRANSFORMACIONES DE SEMEJANZA

Fernando di Sciascio (2017)

Base de un espacio lineal (o espacio vectorial)

1 2

11 2

2x x

xx x U x U

x

é ùê ú= + = ê úê úë û

1 2

11 2

2z z

zz z U z U

z

é ùê ú= + = ê úê úë û

Una Transformación de Similitud representa un cambio decoordenadas sin traslación (cambio de base del espaciovectorial).

Significado Geométrico de las Transformaciones de Semejanza

1 2

11 2

2x x

xx x U x U

x

é ùê ú= + = ê úê úë û

1 2

11 2

2z z

zz z U z U

z

é ùê ú= + = ê úê úë û

1 1 2

2 1 2

11 21

12 22

z x x

z x x

U t U t U

U t U t U

= +

= +

1 2 1 2 1 2

1 2

1 2 1 11 21 2 12 22

1 11 2 12 1 21 2 22

( ) ( )

( ) ( )z z x x x x

x x

x z z U z U z t U t U z t U t U

z t z t U z t z t U

= = + = + + +

= + + +

11 12 1

21 22 2

t t zx Tz

t t z

é ù é ùê ú ê ú= =ê ú ê úê ú ê úë û ë û

1z T x-=

1 2x xcon T U Ué ù= ê úë û

Significado Geométrico de las Transformaciones de Semejanza

Transformaciones de Semejanza

Como ya se ha señalado, la elección de variables deestado o realización para un sistema linealinvariante dado no es única. Concretamentepodemos tener un sistema con entrada u(t), saliday(t) y dos elecciones o realizaciones diferentespara el vector de estado: x(t) y z(t)În, con susmatrices asociadas {A,B,C,D} y {Az,Bz,Cz,Dz}respectivamente. Ambos modelos se dicensimilares o equivalentes y están relacionadosentre ellos por una transformación de semejanza osimilitud.

Propiedades Invariantes de las Transformaciones de Semejanza

Una propiedad importante de las transformaciones desemejanza es la invarianza:

● La ecuación característica (polinomio característico).

● Los valores característicos (autovalores).

● Los vectores característicos (autovectores).

● Las funciones de transferencia

Son Invariantes (no cambian, siguen siendo los mismos).

Teorema: Supongamos un sistema cuyo vector de estado esx(t)În con matrices {A,B,C,D}. Si queremos pasar a otrarealización o representación de estado equivalente con vectorde estado z(t)În con matrices {Az,Bz,Cz,Dz}. Entonces sedebe elegir una matriz de transformación T Înxn no singular(invertible) que define la relación entre los vectores deestado x(t) y z(t) :

1( ) ( ) , ( ) ( )x t Tz t z t T x t-= =

Entonces, el modelo de estado para la nueva realización quedadeterminado por las matrices:

1 1, , ,z z z zA T AT B T B C CT D D- -= = = =

Transformaciones de Semejanza

La transformación T es una transformación de semejanza.

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

x t Ax t Bu t

y t Cx t Du t

= += +

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Tz t ATz t Bu t

y t CTz t Du t

= += +

1 1( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )zz

z z

BA

C D

z t T AT z t T B u t

y t CT z t D u t

- -= +

= +

1( )( ) ( )

( )Y s

G s C sI A B DU s

-= = - +

1 1 1( )( ) ( )

( )Y s

G s CT sI T AT T B DU s

- - -= = - +

Función de transferencia paraLa primera realización

Función de transferencia para la segundarealización

VEREMOS QUE LAS DOS FUNCIONES DE TRANSFERENCIA SON IGUALES

Transformación de semejanza de las ecuaciones de estado

1 1 1( )( ) ( )

( )Y s

G s CT sI T AT T B DU s

- - -= = - +

1 1 1( )MN N M- - -=

11

1

1 1 1

( )

11 1

1

1 11 1

( ) ( )

( )

T sI T AT

I I

sIsTT

C sI A

G s CT sI T AT T B D

C T sI T AT T B D

C TsIT TT ATT B B DD

--

-

- - -

é ù-ê úë û-- -

-

-- - -

= - +

é ù= - +ê úë ûé ùê úê ú

= - + =ê úê úê úê ú

é ù- +ë û

ë û

Operamos sobre la segunda realización aplicando la propiedadde la inversa del producto de matrices

La función de transferencia es la misma.

Transformación de las ecuaciones de estado

11 1 1( ) ( )G s CT sI T AT T B D C sI A B D-- - - é ù= - + = - +ë û

Luego para un sistema LTI (lineal invariante en el tiempo)existe una función de transferencia e infinitas realizaciones omodelos de estado.

Transformación de las ecuaciones de estado

Recordemos que los autovalores de la matriz A en cadarealización coincide con los polos del sistema. Como la funciónde transferencia es única esto significa que:

LOS AUTOVALORES NO CAMBIAN EN LASDISTINTAS REALIZACIONES.

Transformación de las ecuaciones de estado

LOS AUTOVALORES NO CAMBIAN EN LASDISTINTAS REALIZACIONES.

Todas las realizaciones equivalentes son estables oinestables, no algunas si y otras no.

Este resultado es lógico. Todas las realizacionesequivalentes están relacionadas por una transformación desimilitud lo que representa un cambio de coordenadas.Desde el punto de vista de la física, un cambio decoordenadas se interpreta como un cambio en la posicióndel observador. El resultado de un experimento no puedevariar si se observa en reposo desde lugares distintos.

FORMAS CANÓNICAS DE LOSMODELOS EN EL

ESPACIO DE ESTADO

Fernando di Sciascio (2017)

Cadj[ ]( )( )( )

( ) ( )G

G

sI ABN sY sG s

U s D s sI A

-= = =

-

( )GD s sI A= -

Recordemos que los polos de G(s) son las raíces del polinomiodenominador.

Para un modelo en el espacio de estados los ceros son lasraíces de:

( ) 0cP s sI A= - =

El denominador de la Función de transferencia igualado a cero|sI-A| = 0 es el polinomio característico del sistema.

Transformaciones de Semejanza

Formas Canónicas de los Modelos de EstadoComo existen infinitas matrices de transformación nosingulares TÎnxn existen infinitas realizaciones del sistemaLTI. Algunas de las realizaciones tienen significado físico,otras por su estructura simple se las denomina formascanónicas, otras por su estructura particular tienen nombre.Todas son realizaciones mínimas.Las realizaciones con nombre más conocidas son:

· Formas Canónicas Companion· Forma Canónica Modal o de Jordan· Forma Canónica Diagonal (caso particular de la de Jordan)· Realizaciones balanceadas

Formas Canónicas Companion

En general, el cálculo del polinomio característico de unamatriz requiere la expansión de |sI-A| = 0. Sin embargo, paraciertas matrices el polinomio característico es evidente. Estasson las matrices en la forma canónica companion.

Las formas Canónicas Companion son:

· Formas Canónicas Controlables: Hay varias formascanónicas controlables, FCC1a (variables de fase), FCC1b,FCC2a, FCC2b.

· Forma Canónica Observable: Hay varias formas canónicasobservables, FCO1a, FCO1b (es la que devuelve el comandocanon(ss,’companion’) de Matlab), FCO2a, FCO2b.

· Representación en las Variables de Fase (FCC1a)Este tipo de realización la vimos en la clase anterior, es la máscomún. Las variables de estado se asignan de la siguientemanera:

1

2

1

1 1 0 01

( ) ( ) ( )( ) ( )

n n

nn n

n

d y t d y t dy ta a a y t b u t

dtdt xxdxt

-

- -+ + + + =

La salida es: 1( ) ( )x t y t=

La forma general de la representación en variables de fase es para una función de transferencia con ceros es:

Formas Canónicas Companion

Representación en Variables de Fase (FCC1a)

1 1

2 2

1 1

0 1 2 1

( ) 0 1 0 0 ( )

( ) 0 0 0 0 ( )

( ) 0 0 0 1 ( )

( ) ( )

( ) (

n n

n n n n

x t x t

x t x t

x t x t

x t a a a a x t

Ax t x

- -

- -

é ù é ù é ùê ú ê ú ê úê ú ê ú ê úê ú ê ú ê úê ú ê ú ê ú=ê ú ê ú ê úê ú ê ú ê úê ú ê ú ê úê ú ê ú ê ú- - - -ê ú ê ú ê úë û ë û ë û

1 0

2 0

1 0

0

0 0

0 ( )

0 ( )

( )

0 ( )

1 ( )

) ( )

,

n

n

x t

x t

u t

x t

x t

Bt x t x

-

é ù é ùê ú ê úê ú ê úê ú ê úê ú ê ú+ ê ú ê úê ú ê úê ú ê úê ú ê úê ú ê úë û ë û

=

1

2

0 1 2 1

1

( )

( )

( )

( )

( )

( )

n n

n

n

x t

x t

y t b b b b

x tCx t

x t

- -

-

é ùê úê úê úê úé ù= ê úê úë û ê úê úê úê úë û

22 1 0

3 22 1 0

( ) ( )s b s b

Y s Us a s a s a

bs

æ ö+ + ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç + + +è ø=

1 1

2 2

3 0 1 2 3

1

0 1 2 2

3

( ) 0 1 0 ( ) 0

( ) 0 0 1 ( ) 0 ( )

( ) ( ) 1

( )

( ) ( )

( )

x t x t

x t x t u t

x t a a a x t

x t

y t b b b x t

x t

ìé ù é ù é ù é ùïïê ú ê ú ê ú ê úïê ú ê ú ê ú ê úï = +ïê ú ê ú ê ú ê úïïê ú ê ú ê ú ê úï - - -ê ú ê ú ê ú ê úïïë û ë û ë û ë ûí é ùïï ê úïï ê úé ù=ï ê ú ê úï ë ûï ê úï ê úïïî ë û

Las ocho formas CompanionFCC1a, FCC1b, FCC2a, FCC2b, FCO1a, FCO1b, FCO2a, FCO2b

Surgen de la Descomposición Directa de las funciones de transferenciacuyos polinomios no estén factorizados (deben estar en el formato tf, noen el formato zpk).

3 23 2 1 03 2

2 1 0

( )b s b s b s b

G ss a s a s a

+ + +=

+ + +

Este tipo de realización es la que vimos anteriormente comovariables de fase. Se utiliza para el caso de una entrada (lonormal en este curso).

Forma Canónica Controlable 1a (FCC1a o variables de fase)

Forma Canónica Controlable 2 (FCC2a)

3 23 2 1 03 2

2 1 0

( )b s b s b s b

G ss a s a s a

+ + +=

+ + +

2 1 0

2 2

2 2 2 3 1 1 3 0 0 3 2 3

1

1 0 0 , 0

0 1 0 0

,

cc cc

cc cc

a a a

A B

C b a b b a b b a b D b

é ù é ù- - -ê ú ê úê ú ê ú= =ê ú ê úê ú ê úê ú ê úë û ë û

é ù é ù= - - - =ê ú ë ûë û

Forma Canónica Observable 1a (FCO1a)

3 23 2 1 03 2

2 1 0

( )b s b s b s b

G ss a s a s a

+ + +=

+ + +

Forma Canónica Observable 2a (FCO2a)

2 2 2 3

2 1 2 1 1 3

0 0 0 3

2 2 3

1 0

0 1 ,

0 0

1 0 0 ,

co co

co co

a b a b

A a B b a b

a b a b

C D b

é ù é ù- -ê ú ê úê ú ê ú= - = -ê ú ê úê ú ê ú- -ê ú ê úë û ë û

é ù é ù= =ê ú ë ûë û

Formas Canónicas Companion

Forma Canónica Modal o de JordanEste tipo de realización trata de diagonalizar la matriz A lomás posible (en bloques). Si se puede diagonalizar la matriz Atodas las variables de estado están desacopladas. Existentres casos:

a) Todos los autovalores son reales y distintos (este es elúnico caso en que la matriz A puede diagonalizarse).

b) Existen autovalores complejos conjugados.

c) Existen autovalores reales y múltiples (repetidos).

a) Todos los autovalores son reales y distintos· Forma Canónica Diagonal Este tipo de realización solo es

posible cuando todos losautovalores son reales ydistintos ya que de lo contrariono es posible diagonalizar unamatriz.

b) Autovalores complejos conjugados

1 2 3,4 1 1 5,6 2 2, , ,j jl l l s w l s w= =

c) Autovalores reales y múltiples (repetidos).

c) Autovalores reales y múltiples (repetidos).

Forma Canónica Modal o de Jordan con Matlab

1) El comando canon de Matlab con la opción modaldevuelve la forma canónica de Jordan.

G=zpk([],[-1+2i -1-2i -2 -2 -2 -3 -4],480);sys = canon(G,'modal')

-2 2 0 0 0 0 0

0 -2 2 0 0 0 0

0 0 -2 0 0 0 0

0 0 0 -1 2 0 0

0 0 0 -2 -1 0 0

0 0 0 0 0 -3 0

0 0 0 0 0 0 -4

A

é ùêêêêêê= êêêêêêêë

úúúúúúúúúúúúúû

14.21

-7.04

3.2

-1.307

0.2614

19.18

5.864

B

é ùê úê úê úê úê úê ú= ê úê úê úê úê úê úê úë û

3.75 0 0 -1.554 0.2825 -3.128 0.787C é ù= ë û

Ejemplo

Forma Canónica Modal o de Jordan con Matlab

2) El comando jordan del symbolic toolbox deMatlab devuelve la forma canónica de Jordan.Jordan puede computar numéricamente, pero se debecomputar en simbólico. Numéricamente es unalgoritmo terriblemente mal condicionado.

% jordan Jordan Canonical Form.% jordan(A) computes the Jordan Canonical/Normal Form of% the matrix A.% The matrix must be known exactly, so its elements must% be integers or ratios of small integers. Any errors in % the input matrix may completely change its JCF.

Formas Canónicas de los Modelos de Estado

· Realizaciones Balanceadas

Las veremos mas adelante.