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Valores Propios
Valores y Vectores Propios
Hermes Pantoja Carhuavilca
Facultad de Ingenierıa IndustrialUniversidad Nacional Mayor de San Marcos
Metodos Computacionales
Hermes Pantoja Carhuavilca 1 de 21
Valores Propios
CONTENIDO
Valores Propios
Hermes Pantoja Carhuavilca 2 de 21
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DEFINICIONES Y PROPIEDADES
I A matriz cuadrada n× nI v vector dimension nI λ escalar
Objetivo: Buscar escalares λ y vectores no nulos v tales que
Av = λv⇒{λ valor propio de Av vector propio asociado a λ
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Definicion
p(λ) = det(A− λI)
los valores propios de A son las raıces del polinomio caracterıstico
λ valor propio⇔ p(λ) = 0
Calculo de vectores propiosPara cada valor propio λ resolvemos
(A− λI)v = 0
que debe ser un sistema compatible indeterminado.
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DIAGONALIZACION
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Valores Propios
EJEMPLO
EjemploDada la matriz
A =
3 −1 0−1 2 −10 −1 3
Calcule:
1. Valores Propios2. Vectores Propios3. Diagonaliza la matriz A
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SOLUCION
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Valores Propios
EJEMPLO:
Consideremos la matriz
A =
−5 12 0−4 9 0−2 4 1
Determinar los valores propios de la matriz A.
Solucion:Hallando el polinomio caraterıstico asociado a la matriz A.Su polinomio caracterıstico esp(λ) = |A− λ.I| = (1− λ)(λ2 − 4λ+ 3)λ = 1 de multiplicidad 2λ = 3 de multiplicidad 1
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EJEMPLO:
Consideremos la matriz
A =
−5 12 0−4 9 0−2 4 1
Determinar los valores propios de la matriz A.Solucion:Hallando el polinomio caraterıstico asociado a la matriz A.Su polinomio caracterıstico esp(λ) = |A− λ.I| = (1− λ)(λ2 − 4λ+ 3)λ = 1 de multiplicidad 2λ = 3 de multiplicidad 1
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TEOREMA
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EJEMPLOPara la matriz 5 −2 0
−2 3 −10 −1 1
Localice todos sus valores propios:
Solucion:Los circulos Zi(i = 1, 2, 3), con radio ri
Z1 = {z ∈ C |z− 5| ≤ | − 2|+ |0|}Z2 = {z ∈ C |z− 3| ≤ | − 2|+ | − 1|}Z3 = {z ∈ C |z− 1| ≤ |0|+ |1|}
Por lo tanto los valores propios estan localizados en:
0 ≤ z ≤ 7
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EJEMPLOPara la matriz 5 −2 0
−2 3 −10 −1 1
Localice todos sus valores propios:Solucion:Los circulos Zi(i = 1, 2, 3), con radio ri
Z1 = {z ∈ C |z− 5| ≤ | − 2|+ |0|}Z2 = {z ∈ C |z− 3| ≤ | − 2|+ | − 1|}Z3 = {z ∈ C |z− 1| ≤ |0|+ |1|}
Por lo tanto los valores propios estan localizados en:
0 ≤ z ≤ 7
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CIRCULOS DE GERSGORIN
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METODO DE LA POTENCIA
Definicion (Valor Propio Dominante)Es el de mayor modulo. Si
|λ1| > |λ2| > |λ1| . . . > |λn|
entonces λ1 es el valor propio dominante.
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Definicion (Vector Normalizado)
v =
v1v2...
vn
vj es una componente dominante. Si |vj| = ||v||∞Si vdom es una componente dominante de v, entonces el vectornormalizado v es
v = 1vdom
.v
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METODO DE POTENCIA
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EJEMPLO:
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