Tema 7. Valores y vectores propios - uah.es · lineales y clausura lineal Independencia lineal...
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Tema 7.Valores yvectorespropios
7.1Determinante
Definicion
Propiedades
Calculo
7.2 Espacios ysubespaciosvectoriales
Combinacioneslineales yclausura lineal
Independencialineal
Bases ydimension
7.3 Valores yvectorespropios
Matricesdiagonalizables
Calculo de Ak
Tema 7: Valores y vectores propios
Determinantes
Espacios y subespacios vectoriales
Valores y vectores propios
Tema 7.Valores yvectorespropios
7.1Determinante
Definicion
Propiedades
Calculo
7.2 Espacios ysubespaciosvectoriales
Combinacioneslineales yclausura lineal
Independencialineal
Bases ydimension
7.3 Valores yvectorespropios
Matricesdiagonalizables
Calculo de Ak
Permutaciones
Definicion
Una permutacion p = {p1, p2, . . . , pn} de los numeros{1, 2, . . . , n} es una nueva ordenacion de los elementos{1, 2, . . . , n}, es decir, un cambio en el orden de dichosnumeros.
En particular {1, 2, . . . , n} es una permutacion de {1, 2, . . . , n}y se denomina permutacion identidad.
Teorema
El conjunto de todas las permutaciones de {1, 2, . . . , n} sedenota por Sn y tiene n! = 1 · 2 · 3 · · · n elementos.
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7.1Determinante
Definicion
Propiedades
Calculo
7.2 Espacios ysubespaciosvectoriales
Combinacioneslineales yclausura lineal
Independencialineal
Bases ydimension
7.3 Valores yvectorespropios
Matricesdiagonalizables
Calculo de Ak
Permutaciones
Definicion
Una permutacion p = {p1, p2, . . . , pn} de {1, 2, . . . , n} es par oimpar dependiendo de si el numero de intercambios entre doselementos que hay que hacer en p para transformarla en lapermutacion identidad {1, 2, . . . , n} es par o imparrespectivamente.
Definicion
Sea p una permutacion. Se define el signo de p como sigue:
sig(p) =
{+1, si p es par;−1, si p es impar.
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Definicion
Propiedades
Calculo
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7.3 Valores yvectorespropios
Matricesdiagonalizables
Calculo de Ak
Ejemplo. Permutaciones
S3 esta formado por los 6 elementos siguientes:
{1, 2, 3} permutacion identidad
{1, 3, 2} permutacion impar
{2, 1, 3} permutacion impar
{2, 3, 1} permutacion par
{3, 1, 2} permutacion par
{3, 2, 1} permutacion impar
sig({1, 2, 3}) = sig({2, 3, 1}) = sig({3, 1, 2}) = 1
sig({1, 3, 2}) = sig({2, 1, 3}) = sig({3, 2, 1}) = −1
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Definicion
Propiedades
Calculo
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Matricesdiagonalizables
Calculo de Ak
Permutaciones
Observacion
Al transformar una permutacion p de Sn en la permutacionidentidad {1, 2, . . . , n}, los intercambios (entre dos elementos)posibles no son unicos, pero sı la paridad del numero deintercambios.
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Propiedades
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Determinantes
Definicion
El determinante de una matriz A de orden n es el escalar(numero real en nuestro caso) definido por:
det(A) = |A| =∑p∈Sn
sig(p) a1p1a2p2 · · · anpn .
Ejemplo
Utilıcese la definicion de determinante para calcular eldeterminante de
A =
(a11 a12
a21 a22
).
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Regla de Sarrus
Ejemplo
Demuestrese la regla de Sarrus para el calculo de losdeterminantes de matrices de orden 3.
Regla de Sarrus:
det
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32
− a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32.
Ejemplo
Utilıcese la regla de Sarrus para calcular el determinante de
A =
1 2 32 1 33 1 2
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7.1Determinante
Definicion
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Calculo
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Propiedades de los determinantes
Sea A ∈Mn. Se verifican las siguientes propiedades:
det(A) = det(AT ).
OBS: Este resultado permite extender las propiedades quevamos a enunciar por filas a la correspondiente situacionpor columnas.
Si dos filas de A son iguales, entonces det(A) = 0.
Si una fila de A consta solo de ceros, entonces det(A) = 0.
Si A es triangular, entonces det(A) = a11a22 · · · ann.
det(AB) = det(A) det(B).
det(αA) = αn det(A), ∀α ∈ R.
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Determinantes y operaciones elementales
Con respecto a las operaciones elementales por filas secumplen las siguientes propiedades:
Tipo I: fi ↔ fj , i 6= j .El determinante de la matriz que resulta cambia de signo.
Tipo II: fi → fi + λfj , i 6= j .El determinante no cambia.
Tipo III: fi → βfi , β 6= 0. El determinante quedamultiplicado por β.
OBS: Como hemos dicho anteriormente, estas operacionespueden realizarse tambien por columnas.
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Menor complementario. Adjunto.
Definicion
Sea A = (aij) ∈Mn.
Dado un elemento Aij de A, se llama menor complementariode aij al determinante de la submatriz de orden n − 1 queresulta al suprimir en A la fila i y la columna j . Se denotara porαij .
El adjunto del elemento aij se define como
Aij = (−1)i+jαij .
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Desarrollo del determinante por los elementos deuna fila o columna
Teorema
Sea A = (aij) ∈Mn. Entonces
det(A) = ai1Ai1 + ai2Ai2 + · · ·+ ainAin, ∀i = 1, . . . , n,
desarrollo del determinante de A por los elementos de lai-esima fila.
det(A) = a1jA1j + a2jA2j + · · ·+ anjAnj , ∀j = 1, . . . , n,
desarrollo del determinante de A por los elementos de laj-esima columna.
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Ejemplo. Calculo de determinantes
Ejemplo
Calculese utilizando el teorema anterior el determinante de
A =
3 1 2 14 1 2 11 0 0 15 3 2 3
.
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Operaciones elementales y calculo de determinantes
Calculo del determinante de una matriz A ∈Mn
Paso 1: Transformamos A en una matriz escalonada Bempleando operaciones elementales tipo I y II.
Paso 2: Sea p el numero de operaciones elementales tipo Ique se han realizado, entonces
det(A) = (−1)p det(B) = (−1)pb11b22 · · · bnn.
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Calculo de Ak
Ejemplo. Calculo de determinantes
Ejemplo
Calculese utilizando el procedimiento anterior el determinantede
A =
1 2 1 −1 01 3 2 2 12 4 3 −1 10 1 2 3 11 2 1 3 1
.
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Definicion
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Invertibilidad
Teorema
A es invertible ⇐⇒ det(A) 6= 0.
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Definicion
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Calculo de Ak
Ejemplo introductorio. Vectores en el plano
R2 = {(x, y) vectores : x, y ∈ R}
Definicion
Sean −→v = (a, b) y −→w = (c , d) vectores del plano xy , y λ ∈ R.Se define el vector suma −→v +−→w como
−→v +−→w = (a + c , b + d).
Se define el vector λ−→v como
λ−→v = (λa, λb).
(R2,+, ·) es un espacio vectorial.
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Definicion de espacio vectorial
Definicion
Se llama espacio vectorial sobre (R,+, ·) a un conjunto Vdotado de una operacion interna (+, suma de vectores) y unaoperacion externa (·, producto de un escalar por un vector) condominio de operaciones R que verifica las 8 propiedadessiguientes:
1 u + v = v + u, ∀u, v ∈ V
2 u + (v + w) = (u + v) + w , ∀u, v ,w ∈ V
3 Existe elemento neutro−→0 ∈ V tal que
u +−→0 =
−→0 + u = u,∀u ∈ V
4 Para cada u ∈ V existe elemento opuesto −u ∈ V tal queu + (−u) =
−→0 .
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Definicion de espacio vectorial
5 λ(u + v) = λu + λv , ∀λ ∈ R, ∀u, v ,∈ V
6 (λ + µ)u = λu + µu, ∀λ, µ ∈ R, ∀u ∈ V
7 λ(µu) = (λµ)u, ∀λ, µ ∈ R, ∀u ∈ V
8 1u = u, ∀u ∈ V donde 1 es el elemento unidad de R.
Los elementos de V se denominan vectores.
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Calculo de Ak
El espacio vectorial Rn
Rn =
{−→x =
x1
x2...xn
: x1, x2, . . . , xn ∈ R
}
Sean −→x ,−→y ∈ Rn, λ ∈ R.
−→x +−→y =
x1 + y1
x2 + y2...
xn + yn
, λ−→x =
λx1
λx2...
λxn
.
(Rn,+, ·) es un espacio vectorial.
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El espacio vectorial Mm×n
(Mm×n,+, ·) es un espacio vectorial, donde Mm×n es elconjunto de las matrices m × n con elementos en R, + es lasuma de matrices y · es el producto de un numero real por unamatriz.
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Subespacios vectoriales
Definicion
Sea V un espacio vectorial y W un subconjunto no vacıo de V .Si W es un espacio vectorial con respecto a las operaciones enV , entonces W es un subespacio vectorial de V .
Ejemplo
Todo espacio vectorial tiene al menos dos subespacios:
El subespacio cero: {−→0 }.El propio espacio vectorial.
Ambos se denominan subespacios triviales del espaciovectorial.
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Caracterizacion de subespacio vectorial
Teorema
Sea (V ,+, ·) un espacio vectorial y W un subconjunto no vacıode V . Entonces W es un subespacio vectorial de V si y solo si
1 u + v ∈ W , ∀u, v ∈ W.
2 λu ∈ W , ∀u ∈ W , ∀λ ∈ R.
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Definicion
Propiedades
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Ejemplo. Subespacio vectorial
Ejemplo
W = {(x , y) ∈ R2 : y = mx , m ∈ R}
es un subespacio vectorial de R2.
W es el conjunto de puntos en R2 que se encuentran en unarecta que pasa por el origen.
Ejemplo
El conjunto de puntos en R2 que se encuentran en una rectaque no pasa por el origen no es un subespacio vectorial deR2.
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Combinaciones lineales
Definicion
Una familia o sistema de vectores de un espacio vectorial Ves cualquier subconjunto A de V , en el que puede haberelementos repetidos.
Definicion
Sea A = {v1, v2, . . . , vk} una familia finita de vectores de V .Un vector v ∈ V es una combinacion lineal de los vectores deA si
v = c1v1 + c2v2 + · · ·+ ckvk ,
para ciertos c1, c2, . . . , ck ∈ R.
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Clausura lineal
Notacion
Sea A = {v1, v2, . . . , vk} una familia de vectores de V . Elconjunto de todos los vectores que son combinacion lineal delos vectores de A se denota por
〈A〉 = 〈v1, v2, . . . , vk〉
Teorema
Sea A = {v1, v2, . . . , vk} una familia de vectores de V .〈A〉 = 〈v1, v2, . . . , vk〉 en un subespacio vectorial de V .
A 〈A〉 = 〈v1, v2, . . . , vk〉 se le denomina clausura lineal deA = {v1, v2, . . . , vk}.
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Ejemplo. Clausura lineal
Ejemplo
Sean los vectores de R3:
v1 =
301
y v2 =
0−12
.
Probar que W = 〈v1, v2〉 es un subespacio vectorial de R3.
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Independencia lineal
Definicion
Se dice que los vectores de la familia A = {v1, v2, . . . , vk} delespacio vectorial V son linealmente dependientes si existenconstantes c1, c2, . . . , ck ∈ R no todas iguales a 0 tales que:
c1v1 + c2v2 + · · ·+ ckvk =−→0 .
En caso contrario se dice que son linealmente independien-tes. Los vectores de la familia A = {v1, v2, . . . , vk} sonlinealmente independientes si la unica combinacion lineal suyaque da como resultado el vector
−→0 es aquella en la que
c1 = c2 = · · · = ck = 0.
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Interpretacion geometrica en R3
En R3, si consideramos que todos los vectores salen del origenla dependencia lineal es facil de visualizar:
Dos vectores son linealmente dependientes si estan en lamisma recta.
Tres vectores son linealmente dependientes si estan en elmismo plano.
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Procedimiento
El procedimiento para determinar si una familia de vectoresA = {v1, v2, . . . , vk} son, o no, linealmente independienteses:
Paso 1: Se plantea la ecuacionc1v1 + c2v2 + · · ·+ ckvk =
−→0 , que conduce a un sistema
homogeneo.
Paso 2: Si el sistema obtenido en el Paso 1 tieneunicamente la solucion trivial, entonces los vectores de Ason linealmente independientes.
En otro caso son linealmente dependientes.
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Ejemplos. Independencia lineal
Ejemplo
Estudiese si los vectores de R4
v1 =
−1100
y v2 =
−2011
son linealmente independientes.
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Sistema generador
Definicion
Se dice que una familia de vectores A = {v1, v2, . . . , vk} delespacio vectorial V es un un sistema generador de V , si cadavector v ∈ V es una combinacion lineal de los vectores de A.
Ejemplo
Estudiese si los vectores
v1 =
(11
), v2 =
(32
)y v3 =
(20
)son un sistema generador de R2.
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Definicion
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Base
Definicion
Los vectores del sistema A = {v1, v2, . . . , vk} del espaciovectorial V forman una base para V si:
A es sistema de generadores de V .
Los vectores de A son linealmente independientes.
Ejemplo
A =
{(10
),
(01
) }es una base de R2.
Es la base canonica de R2.
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Ejemplos. Base
Ejemplo
B =
{10...0
,
01...0
, . . . ,
00...1
}
es la base canonica de Rn.
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Definicion
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Numero de vectores de dos bases de un mismoespacio vectorial
Teorema
Si B = {v1, v2, . . . , vn} y A = {w1,w2, . . . ,wm} son dos basesdel espacio vectorial V , entonces m = n.
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Dimension
Definicion
La dimension de un espacio vectorial no nulo V es el numerode vectores que tiene una de sus bases.
Observacion
Como {−→0 } es linealmente dependiente, es natural decir que el
espacio vectorial {−→0 } tiene dimension cero.
Ejemplo
dim(Rn) = n.
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Introduccion
Sea A ∈Mn,
x ∈ Rn A−−−−→ Ax ∈ Rn.
En ocasiones: Ax = λx para cierto λ ∈ R.
λ valor propio de A.
x vector propio de A asociado a λ.
APLICACIONES: ecuaciones diferenciales, fısica, ingenierıa,biologıa...
OBJETIVO: Estudiar los valores y vectores propios de unamatriz A ∈Mn.
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Definicion
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Valores y vectores propios
Definicion
Sea A ∈Mn y x un vector no nulo de Rn tal que Ax = λxpara cierto λ ∈ R. Entonces decimos que λ es un valor propio(autovalor) real de A y que x es un vector propio (autovector)real de A asociado a λ.
Observacion
Nos referiremos a los valores y vectores propios realessimplemente como valores y vectores propios.
Observacion
∀A ∈Mn y ∀λ ∈ R se cumple A−→0 = λ
−→0 . Por esta razon el
vector nulo−→0 no se considera vector propio.
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7.1Determinante
Definicion
Propiedades
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Calculo de los valores propios
Teorema
Sea A ∈Mn y λ ∈ R. Las siguientes afirmaciones sonequivalentes:
1 λ es un valor propio de A.
2 det(A− λIn) = 0.
Definicion
Sea A ∈Mn.
El polinomio caracterıstico de A es det(A− λIn).
La La multiplicidad algebraica de un valor propio de Aes el numero de veces que aparece como raız del polinomiocaracterıstico.
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Definicion
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Matricesdiagonalizables
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Ejemplo. Calculo de valores propios
Ejemplo
Calculese el polinomio caracterıstico de
A =
1 2 −10 3 00 1 2
,
sus valores propios, ası como la multiplicidad algebraica decada uno de ellos.
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Definicion
Propiedades
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Valores propios de una matriz triangular
Lema
Si A ∈Mn es una matriz triangular, entonces los valorespropios de A son los elementos de su diagonal principal.
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Definicion
Propiedades
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Calculo de vectores propios. Subespacios propios
Definicion
Sea A ∈Mn y λ ∈ R.
El subespacio propio de A asociado a λ es el conjuntoVλ formado por todos los vectores x ∈ Rn tal que(A− λIn)x =
−→0 .
Vλ es un subespacio vectorial de Rn.
La multiplicidad geometrica de λ es la dimension de Vλ.
Tema 7.Valores yvectorespropios
7.1Determinante
Definicion
Propiedades
Calculo
7.2 Espacios ysubespaciosvectoriales
Combinacioneslineales yclausura lineal
Independencialineal
Bases ydimension
7.3 Valores yvectorespropios
Matricesdiagonalizables
Calculo de Ak
Ejemplo. Subespacios propios
Ejemplo
Calculense los subespacios propios asociados a cada uno de losvectores propios de la matriz A del ejemplo anterior.
Recordamos que
A =
1 2 −10 3 00 1 2
,
y que sus valores propios son λ1 = 1, λ2 = 2 y λ3 = 3.
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7.1Determinante
Definicion
Propiedades
Calculo
7.2 Espacios ysubespaciosvectoriales
Combinacioneslineales yclausura lineal
Independencialineal
Bases ydimension
7.3 Valores yvectorespropios
Matricesdiagonalizables
Calculo de Ak
Multiplicidad algebraica y multiplicidad geometrica
Teorema
Las siguientes afirmaciones son ciertas:
1 La multiplicidad geometrica de un valor propio es mayor oigual que 1.
2 La multiplicidad algebraica de un valor propio es siempremayor o igual que su multiplicidad geometrica.
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7.1Determinante
Definicion
Propiedades
Calculo
7.2 Espacios ysubespaciosvectoriales
Combinacioneslineales yclausura lineal
Independencialineal
Bases ydimension
7.3 Valores yvectorespropios
Matricesdiagonalizables
Calculo de Ak
Matrices diagonalizables
Notacion
A la matriz diagonal de orden n cuyos elementos de ladiagonal principal son λ1, λ2, . . . , λn la denotaremos por
diag(λ1, λ2, . . . , λn) =
λ1 0 . . . 00 λ2 . . . 0
. . .0 0 . . . λn
.
Observacion
Los valores propios de diag(λ1, λ2, . . . , λn) son λ1, λ2, . . . , λn.
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7.1Determinante
Definicion
Propiedades
Calculo
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Combinacioneslineales yclausura lineal
Independencialineal
Bases ydimension
7.3 Valores yvectorespropios
Matricesdiagonalizables
Calculo de Ak
Matrices diagonalizables
Definicion
Una matriz cuadrada A es diagonalizable si existen matricesD digonal y P invertible tales que:
A = PDP−1
Lema
Sea A ∈Mn diagonalizable, con
A = PDP−1,
D = diag(λ1, λ2, . . . , λn),
entonces los valores propios de A son λ1, λ2, . . . , λn.
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7.1Determinante
Definicion
Propiedades
Calculo
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Combinacioneslineales yclausura lineal
Independencialineal
Bases ydimension
7.3 Valores yvectorespropios
Matricesdiagonalizables
Calculo de Ak
Matrices diagonalizables
Teorema
Sea A ∈Mn. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
1 A es diagonalizable.
2 Existe una base de Rn formada por vectores propios de A.
3 Todos los valores propios de A son reales y para cada valorpropio coinciden su multiplicidad algebraica y geometrica.
Tema 7.Valores yvectorespropios
7.1Determinante
Definicion
Propiedades
Calculo
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Independencialineal
Bases ydimension
7.3 Valores yvectorespropios
Matricesdiagonalizables
Calculo de Ak
Ejemplo. Diagonalizacion de matrices
Ejemplo
Diagonalıcese la matriz
A =
2 0 0−6 2 63 0 −1
.
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7.1Determinante
Definicion
Propiedades
Calculo
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Combinacioneslineales yclausura lineal
Independencialineal
Bases ydimension
7.3 Valores yvectorespropios
Matricesdiagonalizables
Calculo de Ak
Calculo de Ak
Teorema
Sea A ∈Mn con valores propios λ1, λ2, . . . , λn, entonces losvalores propios de Ak son λk
1 , λk2 , . . . , λk
n .
Cada vector propio de A sigue siendo vector propio de Ak , y siP diagonaliza a A, entonces P tambien diagonaliza a Ak .
Dk = (P−1AP)(P−1AP) · · · (P−1AP) = P−1AkP.
Tema 7.Valores yvectorespropios
7.1Determinante
Definicion
Propiedades
Calculo
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Combinacioneslineales yclausura lineal
Independencialineal
Bases ydimension
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Matricesdiagonalizables
Calculo de Ak
El caso particular A−1
Observacion
Si A ∈Mn es invertible y tiene valores propios λ1, λ2, . . . , λn,entonces los valores propios de A−1 son
1
λ1,
1
λ2, . . . ,
1
λn.