Post on 11-Apr-2015
Transformaciones isométricas
Resumen de la clase anterior
Circunferencia
Teoremas de proporcionalidad
cuerdas secantes tangentesecante ytangente
cuadrilátero circunscritoigualdad
Aprendizajes esperados
• Aplicar traslación de puntos y figuras planas.
• Aplicar rotación de puntos y figuras planas, con respecto al origen.
• Aplicar simetría de puntos y figuras planas, con respecto a un eje y a un punto.
• Analizar la posibilidad de embaldosar con polígonos.
• Reconocer ejes de simetría en figuras geométricas.
Pregunta oficial PSU
43. En el sistema de ejes coordenados de la figura 11 se ha ubicado el punto P(a, b), ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre
verdadera(s)?
I) El simétrico de P con respecto al eje x es P'(a, – b). II) El simétrico de P con respecto al origen es P"(– a, – b). III) El simétrico de P con respecto a un punto en el primer cuadrante es otro punto
que está en el primer cuadrante. A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo I y III E) I, II y III
Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2011.
1. Transformaciones isométricas
2. Tipos de transformaciones isométricas
3. Teselación
1. Transformaciones Isométricas
1.1 Definición
La palabra isometría, significa igual medida, por lo tanto, en una transformación isométrica:
1) No se altera la forma ni el tamaño de la figura (figuras congruentes).
2) Solo cambia la posición (orientación o sentido de esta).
2. Tipos de Transformaciones Isométricas
2.1 Traslación
Es el movimiento que se realiza al deslizar una figura en línea recta, manteniendo su forma y tamaño.
Una traslación en el plano, corresponde a una aplicación T(a, b) que transforma un punto P(x,y), en otro P´(x + a, y + b).
P(x, y)T(a, b)
P´( x + a, y + b )
Ejemplo 1:
P(2, 1)T(3, – 5)
P´(2 + 3, 1 + –5)
P´(5, – 4)
2. Tipos de Transformaciones Isométricas
2.1 Traslación
P(2, 1)T(3, – 5)
P´(5, – 4)
– 1 1 2 3
3
1 2
4
y
x 4 5
– 3 – 2
– 4 – 5
P
P´
La aplicación T(a, b) se denomina VECTOR DE TRASLACIÓN
2. Tipos de Transformaciones Isométricas
2.1 Traslación
Ejemplo 2:
El triángulo PQR, de vértices P(1, 2), Q(3, 1) y R(4, 3) se traslada al
aplicar el vector traslación T(– 4, 2),
Luego, las coordenadas de sus nuevos vértices son: P´, Q´ y R´.
P(1, 2)
T(– 4,2)
P´(– 3, 4)
Q(3, 1) Q´(– 1, 3)
R(4, 3) R´(0, 5)
2. Tipos de Transformaciones Isométricas
2.1 Traslación
Gráficamente, el triángulo se traslada 4 unidades hacia la izquierda y 2 unidades hacia arriba.
1
2
3
4
2 3 4–1–2–3
1
5
P(1, 2) P´(–3, 4)
Q(3, 1) Q´(–1, 3)
R(4, 3) R´(0, 5)
2. Tipos de Transformaciones Isométricas
2.2 Rotación
<
Corresponde a un movimiento circular con respecto a un centro de rotación en un ángulo determinado.
La rotación es positiva si es en sentido antihorario (contrario a los punteros del reloj).
O
O: centro de rotación
2. Tipos de Transformaciones Isométricas
2.2 Rotación
90° 180° 270° 360°
A(x, y)
Punto
Ángulo
Si el punto A (x, y) gira con respecto al origen en 90°, 180°, 270° o en 360°; se transforma en otro punto, cuyas coordenadas se indican en la siguiente tabla:
(–y, x) (–x, –y) (y, –x) (x, y)
Ejemplo 1:
90° 180° 270° 360°
A(5, –8)
Punto
Ángulo
(8, 5) (–5, 8) (–8, –5) (5, –8)
Una rotación negativa (o en sentido horario) de 90º equivale a una rotación positiva(o antihoraria) 270º, y viceversa.
2. Tipos de Transformaciones Isométricas
2.2 Rotación
A
1
2
3
4
2 3 4–1–2–3
1
5
Ejemplo 2:
Si el punto A (2, 3) gira con respecto al origen en 90°, se transforma en el punto A´(– 3, 2).
A´
2. Tipos de Transformaciones Isométricas
2.3 Simetría o Reflexión
Tipos de simetrías:
Se puede considerar una simetría como aquel movimiento que aplicado a una figura geométrica, produce el efecto de un espejo (refleja la figura).
Simetría axial: reflexión respecto de un eje.
Eje de Simetría
2. Tipos de Transformaciones Isométricas
2.3 Simetría o Reflexión
1
2
3
4
2 3 4-1-2-3
1
5
A A’
eje de simetría: x = 1
M
AM = MA’
La simetría axial corresponde a una transformación geométrica que hace corresponder a cada punto A del plano, otro A’, tal que la recta que los une, es perpendicular a una recta fija llamada eje de simetría.
AA’ es perpendicular al eje de simetría
2. Tipos de Transformaciones Isométricas
2.3 Simetría o Reflexión
Simetría central:
O : centro de simetría
OA A´
AO = OA’
reflexión respecto de un punto.
2. Tipos de Transformaciones Isométricas
2.3 Simetría o Reflexión
La simetría central corresponde a una transformación isométrica de modo que el “simétrico” de un punto A, con respecto a un punto O, es A`, donde OA = OA` y A` pertenece a la recta AO.
Ejemplo:
O
1
2
3
4
2 3 4-1-2-3
1
5
A A´
B
B´
C
C´
OA = OA´
OC = OC´
OB = OB´
La simetría central equivale a una rotación de 180º con respecto a un punto.
3. Teselaciones
Una teselación es una regularidad o patrón de figuras que cubre completamente una superficie plana, de manera que no queden espacios y no se superpongan las figuras.
Ejemplos:
3. Teselaciones
Teselación del plano por polígonos regulares
Los tres polígonos regulares que cubren el plano son:
Triángulo equilátero
Cuadrado
Hexágono regular
Solo estas tres figuras teselan, en forma regular, el plano.
3. Teselaciones
Las teselaciones se crean usando transformaciones isométricas sobre una figura inicial.
Simetría
+ Traslación
43. En el sistema de ejes coordenados de la figura 11 se ha ubicado el punto P(a, b), ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?
I) El simétrico de P con respecto al eje x es P'(a, – b). II) El simétrico de P con respecto al origen es P"(– a, – b). III) El simétrico de P con respecto a un punto en el primer cuadrante es otro puntoque está en el primer cuadrante. A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo I y III E) I, II y III
Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2011.
Pregunta oficial PSU
ALTERNATIVA CORRECTA
C
Síntesis de la clase
Transformaciones isométricas
Teselación
Simetría
Traslación
Central
OA A´
Axial
Rotación
Composición
Prepara tu próxima clase
Gracias!!!!!
Equipo Editorial Matemática