Unidad IV : Geometría Unidad IV : Geometría Unidad IV : Geometría Unidad IV : Geometría

TRANSFORMACIONES TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS.ISOMÉTRICAS.

LOS EJE DE COORDENADA

Plano cartesiano

• El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen.

Localización de un punto en el plano cartesiano

• ubicación del punto (4,3)

A) B(-3,4)

B) C(1,1)

C) D(-2,-4)

TRANSFORMACIONES

En una transformación isométrica:

1) No se altera la forma ni el tamaño de la

figura.

2) Sólo cambia la posición (orientación o

sentido de ésta).

ISOMÉTRICAS

Unidad de aprendizaje: Transformaciones Isométricas

Traslaciones Rotaciones Reflexiones

Son traslaciones

Regulares y

semi-regulares.-

Se obtiene con

un vector (i,, j)

Se obtiene con

Un ángulo de giro

Se obtiene entorno

A un eje de

simetría y a un centro.

T. De ESCHERT. De ESCHERTransformaciones

Isométricas

Teselaciones

Tipos de transformaciones isométricas

Ejemplos de transformacionesisométricas en la naturaleza.-

Se puede considerar una simetría como

aquel movimiento que aplicado a una

figura geométrica, produce el efecto de un

espejo.

Axial (reflexión respecto de un eje)

Central (reflexión respecto de un punto)

O

Cada punto y su imagen o simétrico equidistan del eje de simetría.

El trazo que une un punto con su simétrico es perpendicular al eje de simetría.

A’

A

El centro de rotación es el punto medio del trazo que une un punto con su simétrico.

Una simetría central equivale a una rotación en torno al centro de simetría en un ángulo de 180º.

O

A’

A

En torno al eje XEl simétrico de P(a,b) es P’(a,-b)

En torno al eje YEl simétrico de

P(a,b) es P’(-a,b)

En torno al origenEl simétrico de

P(a,b) es P’(-a,-b)

P

P’

PP’

P

P’

Se puede considerar una traslación como el

movimiento que se hace al deslizar una

figura, en línea recta, manteniendo su

forma y tamaño.

Al deslizar la figura todos los puntos

describen líneas rectas paralelas entre

sí.

En una traslación se distinguen tres elementos:

Dirección (horizontal, vertical u oblicua).

Sentido (derecha, izquierda, arriba, abajo).

Magnitud del desplazamiento (distancia entre la posición inicial y final de cualquier punto)

En este caso se debe señalar las coordenadas del vector de traslación.

Estas son un par ordenado de números (x,y), donde x representa el desplazamiento horizontal e y representa el desplazamiento vertical.

En el par ordenado la primera componente

recibe el nombre de abscisa y la segunda

componente el nombre de ordenada.

A(4,6)

A’ (2,3)

Traslación de A(4,6)

a través del vector v(-2,-3)

Traslación de B(-5,2)

a través del vector v(4,4)B(-5,2)

B’(-1,6)

Traslación de C(-4,-2)

a través del vector v(7,1)

C(-4,-2)

C’(3,-1)

Signo positivo: desplazamiento hacia la derecha.

Signo negativo: desplazamiento hacia la izquierda.

Signo positivo: desplazamiento hacia arriba.

Signo negativo: desplazamiento hacia abajo.

Una rotación es el movimiento que se efectúa al girar una figura en torno a un punto.

Este movimiento mantiene la forma y el tamaño de la figura.

El punto de rotación (centro de rotación), punto en torno al cual se efectúa la rotación.

La magnitud de rotación, que corresponde al ángulo, éste está determinado por un punto cualquiera de la figura, el centro de rotación (vértice del ángulo) y el punto correspondiente de la figura obtenida después de la rotación.

El sentido de giro, positivo (antihorario), negativo (horario)

O

MM’

N’

N

.

Rotación en 90º en torno al origen:

A

x

yA

x

y

A’

A’x’

y’x’

y’

Entonces: x’ = -y y’ = x

Luego: A(x,y) => A’(-y,x)

Rotación en 180º en torno al origen:

A

x

y

A’

x’

y’

A

x

y

A’

x’

y’

Entonces: x’ = -x y’ = -y

Luego: A(x,y) => A’(-x,-y)

Importante

Toda transformación isométrica, mantiene la forma y tamaño de una figura geométrica, por lo tanto el perímetro y el área no sufren variación.

A

B

C

A’

B’

C’

A’’

B’’

C’’

A’’’

B’’’

C’’’

TRASLACIÓN DE FIGURAS

11 UNIDADES A LA DERECHA

5 UNIDADES ABAJO

8 UNIDADES A LA DERECHA Y 8 ABAJO

A’

B’

C’

A

B

C

A’’

C’’

90º

ROTACIÓN DE FIGURAS

A

B

C

A’

B’

C’

A’’

B’’

C’’

A’’’

B’’’

C’’’

REFLEXIÓN DE FIGURAS

CON EL EJE Y

CON EL EJE X

CON RESPECTO A LA RECTA m

m

A

B

C

A’

B’

C’

A’’

B’’C’’

HOMOTECIA DE FIGURAS

Teselaciones de Martin Cornelis ESCHER

• Hablar de Martin Cornelis Escher  el cual fue un hombre dedicado al arte y que tenía el deseo de romper las limitaciones que impone el plano, para poder mostrar que un plano es capaz de ilusiones ópticas de gran profundidad.

• En la mezquita de Córdoba están sus obras para hacer aparecer en ellas dibujos matemáticos y por ello tuvo muchas críticas y comprendió que su audiencia no podía ser convencional, por lo que  dijo: “A pesar de que no tengo ningun conocimiento ni enseñanza - de matemáticas -, habitualmente me parece que tengo más cosas en común con los matemáticos que con mis compañeros artistas”.  

•  Si observamos  detalladamente alguna de sus obras podemos descubrir su dominio de la geometría. 

• A Escher le maravillaba todo tipo de teselados, regulares o irregulares, y especialmente lo que él llamó “metamorfosis”, donde las figuras cambian e interactúan entre sí, y hasta a veces salen del plano.

Teselaciones de Escher• Realmente el trabajo, y

las imágenes son extraordinarios! Que operan en el venerable principio de la stereopticon, estas cartas tienen un objetivo para cada ojo, una imagen casi idéntica para cada lente, y un agujero en el medio para dar cabida a la nariz. Usted ajustar el enfoque de apretar el plegado de las tarjetas.

Teselaciones de Escher

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TESELACIONES DE ESCHER

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Teselaciones de Escher y Aplicaciones

• Transformador de Escher "se deriva de MC Escher del diseño de un pilar de hormigón pintada en el edificio de la Oficina de Gestión de los Recursos Hídricos en Haarlem, Países Bajos (1962). El diseño incorpora tres relacionados con el agua motivos (Simetría Nos 111, 112, 113) que flujo entre sí para crear una vertical de la metamorfosis "de vuelo de aves y peces" en "barco de vuelo y los peces" y, por último, en "barco y los peces". 

Otros ejemplos de Teselaciones de Escher