Post on 20-Jan-2016
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1. 理解直线的方向向量与平面的法向量 .
2. 能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、
平面与平面的垂直、平行关系 .
3. 能用向量方法证明有关直线和平面位置关 系的一些定理(包括三垂线定理) .
4. 能用向量方法解决直线与直线、直线与平 面、平面与平面的夹角的计算问题,了解 向量方法在研究立体几何问题中的应用 .
1. 直线的方向向量与平面的法向量
[ 思考探究 ]
所列方程组中有三个变量,但只有两个方程,如何
求法向量?
提示:给其中某一变量恰当赋值,求出该方程组的一组
非零解,即可作为法向量的坐标 .
2. 利用空间向量求空间角
(1) 如图①, AB、 CD 是二面角 α- l- β 的两个面内与棱 l 垂 直的直线,则二面角的大小 θ= 〈 〉 .
(2) 如图②③, n1、 n2 分别是二面角 α- l- β 的两个半平面
α、 β 的法向量,则二面角的大小 θ 满足 |cosθ| =
.
1. 若直线 l1, l2 的方向向量分别为 a= (2,4 ,- 4), b=
(- 6 , 9,6) ,则 ( )
A.l1∥ l2 B.l1⊥ l2
C.l1与 l2 相交但不垂直 D. 以上均不正确
解析:∵ a·b= 2×(- 6)+ 4×9+ 6×(- 4)= 0 ,
∴ a⊥b ,从而 l1⊥ l2.答案: B
2. 若平面 α 与平面 β 的法向量分别是 a= (4,0 ,- 2), b
= ( -
4,0,2) ,则平面 α与 β 的位置关系是 (
)
A. 平行 B. 垂直
C. 相交但不垂直 D. 无法判断
解析:由题意,有 a =- b ,∴ a与 b 共线,从而 α与 β
平行 .答案: A
3. 已知正四棱锥 S- ABCD 的侧棱长与底面边长都相等,
E
是 SB 的中点,则 AE、 SD 所成的角的余弦值为
( )
A. B.
C. D.
解析:令正四棱锥的棱长为 2 ,
则 A(1 ,- 1,0), D(- 1 ,- 1,0) ,
S(0,0 , ), E ,
,
= (- 1 ,- 1 ,- ) ,
∴ cos 〈 〉= =- .
∴ AE、 SD 所成的角的余弦值为 .
答案: C
4. 已知两平面的法向量分别为 m= (0,1,0), n=
(0,1,1) ,
则两平面所成的二面角的大小为 .解析: cos〈m, n 〉= = = ,即〈m, n 〉= 45° ,其补角为 135°.
∴ 两平面所成二面角为 45°或 180°- 45°= 135°.
答案: 45°或 135°
5. 正方体 ABCD- A1B1C1D1 中,直线 BC1 与平面 A1BD 所
成 角的余弦值为 .解析:如图,建立直角坐
标系,设正方体棱长为 1 ,
则 D(0,0,0), A1(1,0,1), B
(1,1,0), C1(0,1,1) ,
∴ = (1,0,1) , = (1,1,0) , = (- 1,0,1).
设 n= (x, y, z) 为平面 A1BD 的法向量
则 ∴
取 n= (1 ,- 1 ,- 1) ,
设直线 BC1 与平面 A1BD 所成角为 θ ,
则 sinθ= |cos〈 n , 〉 | = = = .
∴ cosθ = .答案:
1. 证线线平行与垂直 .
若直线 l1和 l2 的方向向量分别为 v1和 v2 ,则:
(1)l1∥ l2⇔ v1∥ v2.(2)l1⊥ l2⇔ v1⊥v2⇔ v1·v2= 0.
2. 证线面平行与垂直 若直线 l 的方向向量为 v ,平面 α 的法向量为 n ,则: (1)l∥ α⇔ v⊥n.(2)l⊥α⇔ v∥ n.
3. 证面面平行与垂直
若⇔平面 α和 β 的法向量分别为 n1, n2 ,则
(1)α∥ β⇔ n1∥ n2.(2)α⊥ β n1⊥n2.
如图所示,在四棱锥 P- ABCD
中, PC⊥ 平面 ABCD, PC= 2 ,在四边形 ABCD 中,∠ B =∠ C= 90°, AB= 4 ,CD= 1 ,点 M在 PB 上, PB= 4PM, PB
与平面 ABCD成 30° 的角 .
(1) 求证: CM∥ 平面 PAD ;(2) 求证:平面 PAB⊥ 平面 PAD.
[ 思路点拨 ]
[ 课堂笔记 ] 以 C 为坐标原点, CB为 x
轴, CD为 y 轴, CP为 z 轴建立如图所示
的空间直角坐标系 C- xyz.
∵ PC⊥ 平面 ABCD ,
∴∠PBC为 PB 与平面 ABCD 所成的角,
∴∠PBC= 30°.
∵ PC= 2 ,∴ BC= 2 , PB= 4.
∴ D(0,1,0), B(2 , 0,0), A(2 , 4,0) ,P(0,0,2),M( , 0 , ) ,∴ = (0 ,- 1,2) , = (2 , 3,0) , = ( , 0 , ) ,
(1)令 n= (x, y, z) 为平面 PAD 的一个法向量,则
令 y= 2 ,得 n= ( - , 2,1).
∵ n· =- × + 2×0+ 1× = 0 ,
∴ n ⊥ ,又 CM⊄ 平面 PAD ,
∴ CM∥ 平面 PAD.
(2)取 AP 的中点 E ,则 E( , 2,1) , = ( - , 2,1).
∵ PB= AB ,∴ BE⊥PA.
又∵ ·
= ( - , 2,1)·(2 , 3,0)= 0 ,
∴ ⊥ ,∴ BE⊥DA ,又 PA∩DA= A.
∴ BE⊥ 平面 PAD ,
又∵ BE⊂ 平面 PAB ,
∴ 平面 PAB⊥ 平面 PAD.
1. 若异面直线 l1和 l2 的方向向量分别为 v1和 v2 ,它们
所
成的角为 θ ,则 cosθ= |cos〈 v1, v2〉 |.
2. 利用空间向量方法求直线与平面所成的角,可以有
两种办法:
(1) 分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量,
转化为求两个方向向量的夹角 ( 或其补角 ) ;
(2) 通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与
平面的法向量所夹的锐角,取其余角就是斜线和平
面所成的角 .
3. 利用空间向量方法求二面角,也可以有两种办法:(1) 分别在二面角的两个面内找到一个与棱垂直且从垂 足出发的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是 二面角的平面角的大小;(2) 通过平面的法向量来求:设二面角的两个面的法向
量分别为 n1和 n2 ,则二面角的大小等于
〈 n1, n2〉 ( 或
π-〈 n1, n2〉 ).
[ 特别警示 ] 利用空间向量方法求二面角时,注意结合图形判断二面角是锐角还是钝角 .
(2009· 全国卷Ⅱ ) 如图,
直三棱柱 ABC- A1B1C1 中, AB⊥
AC, D、 E 分别为 AA1、 B1C 的中
点, DE⊥ 平面 BCC1.
(1) 证明: AB= AC ;
(2) 设二面角 A- BD- C为 60° ,求 B1C 与平面 BCD 所
成的角的大小 .
[ 思路点拨 ]
[ 课堂笔记 ] (1) 证明:以 A 为坐标
原点, AB为 x 轴, AC为 y 轴, AA1
为 z轴 . 建立如图所示的直角坐标
系 A- xyz.
设 B(1,0,0), C(0, b,0), D(0,0, c) ,则 B1(1,0,2c) ,
E( , , c).
于是 = ( , , 0) , = (- 1, b,0).
由 DE⊥ 平面 BCC1知 DE⊥BC , · = 0 ,
求得 b= 1 ,所以 AB= AC.
(2) 设平面 BCD 的法向量 = (x, y, z) ,
则 · = 0 , · = 0.
又 = (- 1,1,0) , = (- 1,0, c) ,故
令 x= 1 ,则 y= 1, z = , = (1,1 , ).
又平面 ABD 的法向量 = (0,1,0).
由二面角 A- BD- C为 60° 知, 〈 〉= 60° ,故 ·cos60° ,求得 c = .
于是 = (1,1 , ) , = (1 ,- 1 , ) ,
Cos 〈 〉= = ,
〈 〉= 60°.
所以 B1C 与平面 BCD 所成的角为 30°.
解:由本例 (2) 知, = (- 1,1 ,- ) ,
又 B(1,0,0), A1(0,0 , ),∴ = (-
1,0 , ).
∴ = 1 - × =- 1 ,又 | |= 2, | | = ,
∴ cos 〈 〉=
∴ 异面直线 B1C与 BA1 所成角的余弦值为 .
在本例 (2) 的条件下,能否求出异面直线 B1C与
BA1 所成角的余弦值 .
利用空间向量解决空间中线面位置关系的论证、空间中各种角的求解问题,以代数运算代替复杂的空间的想象,给解决立体几何问题带来了鲜活的方法 . 另外,空间向量还可以用来解决许多探索性问题,这类问题具有一定的思维深度,更能考查学生的能力,因此正逐渐成为高考命题的热点题型 .
[ 考题印证 ]
(2009· 福建高考 )(12分 )
如图,四边形 ABCD 是边长为1 的正方形, MD⊥ 平面 ABCD ,NB⊥ 平面 ABCD ,且 MD= NB
= 1, E为 BC 的中点 .
(1) 求异面直线 NE与 AM 所成角的余弦值; (2) 在线段 AN 上是否存在点 S ,使得 ES⊥ 平面AMN ?若存在,求线段 AS 的长;若不存在,请说明理由 .
【解】 (1) 如图,以 D 为坐标原点,建立空间直角坐标系 D- xyz.
依题意,易得 D(0,0,0), A(1,0,0) ,M(0,0,1), C(0,1,0), B(1,1,0) ,N(1,1,1), E( , 1,0).┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(2分 )
∴ = ( - , 0 ,- 1) , =(- 1,0,1).┄┄┄┄┄┄┄(3分 )
∴ cos 〈 〉= = =- ,
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ (5分 )
所以异面直线 NE与 AM 所成角的余弦值为 .(6分 )
(2)假设在线段 AN 上存在点 S ,使得 ES⊥ 平面 AMN.
∵ = (0,1,1) ,可设 = λ = (0, λ, λ) ,又 = ( ,- 1,0) ,∴ = = ( , λ- 1, λ).┄┄┄┄(8分 )
由 ES⊥ 平面 AMN ,得
即 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ (9分 )
故 λ = ,此时 = (0 , ), | | = .┄┄(10
分 )
经检验,当 AS = 时, ES⊥ 平面 AMN.┄┄┄┄(11分 )
故线段 AN 上存在点 S ,使得 ES⊥ 平面 AMN ,此时 AS =
.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(12分 )
[自主体验 ]
直三棱柱 A1B1C1- ABC 的三视图如图所示, D、 E
分别为棱 CC1和 B1C1 的中点 .
(1) 求二面角 B- A1D- A 的余弦值;
(2)在 AC 上是否存在一点 F ,使 EF⊥ 平面 A1BD ,
若存在确定其位置;若不存在,说明理由 .
解: (1) 如图建立空间直角坐标系 .
则 B(0,2,0), D(0,0,1) ,
A1(2,0,2) ,
∴ = (- 2,0 ,- 1) , = (- 2,2 ,- 2).
设平面 A1DB 的法向量为
n1= (1, x, y) ,
则
n1= (1 ,- 1 ,- 2).
而平面 ACC1A1 的法向量为 n2= (0,1,0) ,
∴ cos〈 n1, n2 〉= .
∴ 二面角 B- A1D- A 的余弦值为 .
(2)当 F为 AC 的中点时, EF⊥ 平面 A1BD ,
证明:设 F(x,0,0) ,
由 E(0,1,2) ,得 = (x ,- 1 ,- 2).
若 EF⊥ 平面 A1BD ,则 ∥ n1.
由 n1= (1 ,- 1 ,- 2)得 x= 1 ,∴ F为 AC 的中点 .
∴ 存在 F为 AC 的中点,使 EF⊥ 平面 A1BD.
1. 设平面 α 的法向量为 (1,2 ,- 2) ,平面 β 的法向量为( - 2 ,- 4, k) ,若 α∥ β,则 k = ( )
A.2 B.- 4
C.4 D.- 2
解析:∵ α∥ β,∴两平面的法向量平行,即有 = ∴ k= 4.
答案: C
2. 若直线 l 的方向向量与平面 α 的法向量的夹角等于 120° , 则直线 l 与平面 α 所成的角等于 ( )
A.120° B.60°
C.30° D. 以上均错解析:如图所示,可知直线 l 与平面所成的角等于 30°.
答案: C
3.若 A、 B 两点的坐标分别是 A(2cosθ, 2sinθ, 1) , B(3cosα, 3sinα, 1) ,则 | | 的取值范围是 ( )
A.[0,5] B.[1,5]
C.(1,5) D.[1,25]解析:∵ = (3cosα- 2cosθ, 3sinα- 2sinθ, 0) ,
∵- 1≤cos(θ- α)≤1 ,∴ | |∈ [1,5].答案: B
4.(2010·南京模拟 ) 若直线 l 的方向向量 e= (2,1,m) ,平
面 α 的
法向量 n= (1 , , 2) ,且 l⊥α ,则 m = .解析:∵ l⊥α ,∴ e∥ n ,∴ = , m= 4.
答案: 4
5. 如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD -
A1B1C1D1 中, M和 N 分别是 A1B1和 BB1
的中点,那么直线 AM与 CN 所成角的
余弦值为 .
解析:建立如图所示的坐标系,则 A(1,0,0),M(1 , , 1), C(0,1,0), N(1,1 , , )
则 = (0 , , 1) ,
= (1,0 , ).
∴ cos 〈 〉= =
= .
∴ 直线 AM与 CN 所成角的余弦值为 .答案:
6. 如图,已知点 P 在正方体
ABCD- A′B′C′D′的
对角线 BD′上,∠ PDA= 60°.
(1)求 DP与 CC′所成角的大小;
(2)求 DP 与平面 AA′D′D 所成角的大小 .
解:如图,以 D 为原点, DA 为单位长建立空间直角坐标系 D- xyz.
则 = (1,0,0) , = (0,0,1).
连接 BD, B′D .′
在平面 BB′D′D 中,延长DP交 B′D′于 H.
设 = (m,m,1)(m> 0) ,由已知 〈 〉= 60° ,由可得 2m = .
解得 m = ,所以 =( , 1).
(1) 因为 cos 〈 〉= = ,
所以 〈 〉= 45° ,
即 DP与 CC′所成的角为 45°.
(2) 平面 AA′D′D 的一个法向量是 = (0,1,0).
因为 cos 〈 〉= = ,
所以 〈 〉= 60° ,
可得 DP 与平面 AA′D′D 所成的角为 30°.