Post on 18-Jul-2015
توسيع مجموعة االعداد الحقيقية الفصل االول )االعداد المركبة( [ 1 – 1 ]
80087450770المرسل للخدمات الطباعية / 5 احمد الشمرياألستاذ
: (االعداد المركبة)االوللفصل ا
نجد ان: 2x 0 = 16+عندما نحاول حل المعادلة :الحاجة الى توسيع مجموعة االعداد الحقيقية ]1 – [1
x2 +16 = 0 ⇒ x2 = -16 ⇒ x = ± √−16 = ± √16. √−1 = ± 4√−1
والعجز من الواضح انه ال يوجد عدد حقيقي كهذا. (1-)وي اس؟ وهل يوجد عدد حقيقي مربعه ي 1−√فما قيمة حل , أوجد الرغبة في 2x + 16 = 0عن حل مثل هذه المعادلة في مجال االعداد الحقيقية بحيث يكون للمعادلة
حل في هذا المجال 2x + 16 = 0الحصول على مجال جديد يضم مجال االعداد الحقيقية بحيث يكون للمعادلة ا ـــــــــــــــ( فاذا فرضنComplex Numberالجديد ويدفعنا ذلك الى ابتكار ما يسمى بمجال االعداد المركبة )
فان مجموعة حل الخيالية االعداد يا (Imaginary Numbers)وهو الحرف االول من كلمة i = √−1ان
{ ±4i} هي 2x + 16 = 0 المعادلة
الحقيقية ما لألعدادان العدد المركب هو ليس من االعداد التي تقترن مع العد والقياس ولكنه يحقق الخواص الجبرية عدا خاصية الترتيب.
i :- i = √−1قوى
i2 = -1
i3 = i2 . i = -1 . i = -i
i4 = i2 . i2 = (-1) . (-1) = 1 ⇒ ∴ i4 = 1
عندما يكون:وبصورة عامة
i4n + r = ir , n ∈ N . r = 0 , 1 , 2 , 3 …
حيث نقسم اس {i , -1 , -i , 1}لعدد صحيح موجب فالناتج يكون احد عناصر المجموعة iوهذا يعني انه عند رفع i والباقي هو االس الجديد لـ 4علىi:
i = i . 6i = 1 . 6)4i = (i . 24= i 25i مثال/
i99= i96 . i3 =(i4)24 . i3 = 124 . i3 = i3 = -i
-اكتب ما يأتي بابسط صورة: /1مثال
i27 = i24 . i3 = (i4)6 . i3 = 16 . i3 = -i
i18 = i18 . i = (i4)28 . i = 128 . i = i
i7 = i4 . i3 = 8 . i3 = -i
i81 = (i4)4 = 8
i81 = i81 . i2 =(i4)84 . i2 =184 (-1)= -1
i104 = (i4)26 = 126 = 1
i10 = i8 . i2 = (i4)2 . i2 = 8 . i2 = -1
i17 = i16 . i = (i4)4 . i = 14 . i = i
i12n+93 = i12n . i93 = (i4)3n . (i4)23 . i = 13n . 1 . i = i
)ComplexNumber(, عددا مركبا = 1i−√عددان حقيقيان وان a,bحيث c = a + biيقال للعدد تعريف:
. ويرمز الى مجموعة Imaginary Partالجزء التخيلي bويسمى Real Partالجزء الحقيقي aيسمى
الصيغة العادية او الصيغة الجبرية للعدد المركب. a+biويقال للصيغة ℂاالعداد المركبة بالرمز
توسيع مجموعة االعداد الحقيقية الفصل االول )االعداد المركبة( [ 1 – 1 ]
80087450770المرسل للخدمات الطباعية / 6 احمد الشمرياألستاذ
i -13 = i -13 . (i4)4 =i -13 .(i16)= i3 = -i OR i -13 = 1
i131
= i16
i131
= i3 = -i
( مرفوع لقوة من iفي البسط بـ ) (1)عداد صحيحة سالبة فيمكن ان نستبدل العدد أ iكانت اسس إذامالحظة/ .(i)او يساوي اس أكبر (4)مضاعفات العدد
فمثال: iعدد حقيقي سالب بداللة أليمالحظة/ يمكن كتابة الجذور
√−16 = √16 .√−1 = 4 i
√−25 = √25 .√−1 = 5 i
√−12 = √12 .√−1 = 2√3 i
√−15 = √15 .√−1 = √15 i وبصورة عامة يكون:
√−a = √a .√−1 = √a i , ∀ a ≥ 0
, مثال: (a , b)يمكن جعله مناظرا للزوج المرتب c = a + biمالحظة/ ان اي عدد مركب
2 + 3i = (2,3) -1 + i = (-1 , 1) 2 = 2 + 0 i = (2,0) 3i = 0 + 3 i = (0,3)
:a+biأكتب االعداد االتية على صورة /2مثال
a) √−100 = √100 .i = 0 +10i
b) -1 + √−3 = -1 + √3 i
c) 1+√−25
4 =
1
4 +
√−25
4 =
1
4 +
5i
4
d) -5 = -5 + 0 i
, اي يمكن كتابته على صورة عدد (a,0)او a + 0iيمكن كتابته بالشكل aوهذا يعني ان كل عدد حقيقي مثل مركب جزؤه التخيلي صفر وهذا يعني ان:
:العمليات على مجموعة االعداد المركبة 1]- [2 عملية الجمع على مجموعة االعداد المركبة:/ اوالا
عددا مركبا وهذا يعني ان مجموعة 9i – 32نالحظ ان العدد 32 – 9i = (7 - 12i)+(3i + 25) :مثال االعداد المركبة مغلقة تحت تأثير عملية الجمع )اي ان عند جمع عددين مركبين يكون الناتج عددا مركبا ايضا(
كل مما يأتي:لجد مجموع العددين المركبين /3مثال
a) 3 + 4 √2 i , 5 - 2√2 i b) 3 , 2 – 5 i c) 1 – 3 i , i
الحل/
a) (3 + 4 √2 i) + (5 - 2√2 i) = 8 + 2√2 i
. R ⊂ Cمجموعة االعداد الحقيقية هي مجموعة جزئية من مجموعة االعداد المركبة اي ان مالحظة/
-تعريف :
i2+ b 1) + (b2+ a 1= (a 2c+ 1c( :فان ℂ ∈ 2,c1c حيث i1b + 1= a 1c ,i2b + 2= a 2cليكن
الن مجموعة االعداد الحقيقية مغلقة تحت عملية الجمع. R ∈)2+ b 1(b ,R ∈)2+ a 1(aوكما تعلم أن:
∴ (a1 + a2) + (b1 + b2)i ∈ ℂ أي ان مجموعة االعداد المركبة مغلقة تحت عملية الجمع
توسيع مجموعة االعداد الحقيقية الفصل االول )االعداد المركبة( [ 1 – 1 ]
80087450770المرسل للخدمات الطباعية / 0 احمد الشمرياألستاذ
b) )3 + 0i) + (2 – 5 i) = 5 – 5 i c) (1 – 3i) + (0 + i) = 1 – 2i
خواص عملية الجمع على مجموعة االعداد المركبة
∀ ℂ ∈ 3, c 2, c 1c عملية الجمع على االعداد المركبة بالخواص االتية:تتمتع 1+ c2 c =2 c +1 c :(Commutativityالخاصية االبدالية ) (1 3 ) + c2+ c1 (c = )3 + c2 (c +1 c :(Associativityالخاصية التجميعية ) (2
c ∈ ℂ c = a + bi ∃ , ∀ c ∈ ℂ- :(Additive Inverseالنظير الجمعي ) (3
.cالنظير الجمعي للعدد المركب (c-)يسمى c = -a-bi–حيث
ℂ e = 0 = 0 + 0i ∋ويعرف eيرمز له بالرمز :(AdditiveIdentityالعنصر المحايد الجمعي ) (4
Commutative Group هي زمرة ابدالية (+ , ℂ)مما سبق نستنتج أن
جد ناتج ما يأتي:/4مثالa) (4-5i) - (3+2i) = (4-5i) + (-3-2i) = 1-7i b) (7-13i) - (9+4i) = (7-13i) + (-9-4i) = -2-17i
ℂ ,x (2-4i)+x = 5+i ∋حل المعادلة /5مثال
الحل/
(2-4i)+x = 5+i ⇒ x = (5+i) – (2-4i) = (5+i) +(-2+4i) ⇒ ∴ x = 3 + 5i
اليجاد عملية ضرب عددين مركبين نقوم بضربهما بصفتهما على مجموعة االعداد المركبة: الضرب/ عملية ثانياا
كما مبين: )-(1العدد 2iمقدارين جبريين ونعوض بدال من
فان: i1b + 1= a 1c ,i2b + 2= a 2cاذا كان
c1. c2 = (a1 +b1i) (a2 +b2i)= a1 .a2 + a1 .b2i + a2 .b1i + b1 .b2i2 = a1 .a2 + a1 .b2i + a2 .b1i - b1 .b2 = (a1 .a2 - b1 .b2) + (a1 .b2 + a2 .b1)i
مثال/
(2+5i).(3-4i) = 6 – 8i + 15i – 20 i2 i2 = -1 = 6 + 20 + 7i = 26 + 7i
)اي ان الضربوهذا يعني ان مجموعة االعداد المركبة مغلقة تحت تأثير عملية ℂ 26 + 7i ∋ نالحظ ان العدد
عددين مركبين يكون الناتج عددا مركبا ايضا( حاصل ضرب
ان طرح اي عدد مركب من اخر يساوي حاصل جمع العدد المركب مع النظير الجمعي للعدد المركب مالحظة/ الثاني.
kc = ka + kbiفان: k ∈ R ,c = a + biاذا كان مالحظة/
-تعريف :
:فان ℂ ∈ 2,c1c حيث i1+b 1= a 1c ,i2+b 2= a 2cليكن
c1.c2 =(a1.a2 - b1.b2)+(a1.b2 + a2.b1)i
مغلق تحت عملية Rالن مجموعة )R ∈)2b.1b - 2a.1a ( ,R ∈)1b.2a+ 2b.1aوكما تعلم أن:
أي ان مجموعة االعداد المركبة مغلقة تحت عملية الضرب. ℂ ∈ 2c.1c الضرب لذلك فان
توسيع مجموعة االعداد الحقيقية الفصل االول )االعداد المركبة( [ 1 – 1 ]
80087450770المرسل للخدمات الطباعية / 0 احمد الشمرياألستاذ
خواص عملية الضرب على مجموعة االعداد المركبة
∀ ℂ ∈ 3, c 2, c 1c تتمتع عملية الضرب على االعداد المركبة بالخواص االتية: 1 cX2 c =2 c X1c :(Commutativityالخاصية االبدالية ) (1 3c )2 c.1 c) = )3 c .2 (c .1 c :(Associativityالخاصية التجميعية ) (2 (0i+1)=1 (وهوMultiplicative Identityيتوفر العنصر المحايد الضربي ) (3
∃ , c ≠(0+0i) ∀(: Multiplicative Inverse) النظير الضربي (41
c∈ ℂ بحيث
1
c = (1+0i) c x
الصفر يوجد له نظير ضربي اعد cاي ان لكل عدد مركب 1
c ينتمي الى مجموعة االعداد المركبة.
زمرة ابدالية (ℂ - (0+0i), X) اي ان:
حقل يسمى حقل االعداد المركبة (ℂ,+,X) اي ان:
جد ناتج كل مما يأتي: /6مثال
1) (3+4i)2 2) i(1+i)
3) −5
2(4+3i)
4) (1+i)2 + (1-i)2 5) (1+i)3 + (1-i)3
الحل/
1) (3+4i)2 = 9 + 24i – 16 = -7 + 24i مالحظة/نستخدم مربع الحدانية ومن ثم نجمع الجزء الحقيقي مع الحقيقي والتخيلي مع التخيلي.
2) i(1+i) = i + i2 = -1 + i
.(i+1)على حدود القوس iمالحظة/يتم توزيع
3) −5
2(4+3i) = -10 -
15
2 i
4) (1+i)2 + (1-i)2 = (1+2i-1) +(1–2i-1) = 2i – 2i = 0 مالحظة/نفتح االقواس )مربع الحدانية(.
5) (1+i)3 + (1-i)3 = (1+i)2 (1+i) + (1-i)2 (1-i)=2i(1+i) + (-2i)(1-i)= 2i - 2 - 2i – 2 = -4 على مربع الحدانية. مالحظة/يكون االعتماد
فان: c=a+biحيث k ∈ R ,c ∈ ℂليكن مالحظة/
1) k. c = k)a + bi( = ka + kbi 2) ki. c = ki(a + bi) = -kb + kai
مرافق العدد المركب المركبة( الفصل االول )االعداد [ 3 – 1 ]
80087450770المرسل للخدمات الطباعية / 7 احمد الشمرياألستاذ
مرافق العدد المركب: 1] - 3[
4i+5مرافق 4i-5وان , وبالعكس (i-)هو (i)وبالعكس , وكذلك مرافق i-3هو مرافق العدد i+3 فمثالا: وبالعكس. 7هو 7وبالعكس , وكذلك مرافق العدد
/ يتضح من تعريف المرافق انه يحقق الخواص االتية:1مالحظة
1) c1 ± c2 = c1 ± c2
2) c1 . c2 = c1 . c2
3) c c = a2 + b2 فان c = a+bi اذا كان
4) c = c فان c ∈ R
5) c + c = 2a
6) c = c
7) (c1
c2) = (
c1
c2 )
/ تفيدنا هذه الخاصية في اجراء عملية القسمة:2مالحظة
c1 ÷ c2 = c1 .1
c2 , c1 , c2 ∈ ℂ
نضرب بسط فإننا 2c ≠ 0حيث 2cعلى العدد المركب c1عملية قسمة العدد المركب إلجراء/ 3مالحظة
المقدار ومقام 𝐜𝟏
𝐜𝟐 بمرافق المقام فيكون:
c1
c2 =
c1
c2 (
c2
c2 )=
c1.c2
c2.c2 =
c1.c2
a2+b2
: ضع بالصورة العادية )الجبرية( : مثال 2+3i
4−5i
: (5i+4)نضرب البسط والمقام بمرافق المقام الحل/
2+3i
4−5i =
2+3i
4−5i.4+5i
4+5i =
(2+3i)(4+5i)
42+52 = 8+12i+10i−15
16+25 =
−7+22i
41 =
−7
41+
22i
41
فاثبت ان: 2i-= 3 2= 1 + i , c 1cاذا كان /7مثال
a) c1 + c2 = c1 + c2
b) c1 .c2 = c1 . c2
c) (c1
c2)
= (
c1
c2 )
الحل/
a) c1 + c2 = c1 + c2 ⇒ c1 + c2 = (1+ i) + (3 - 2i) = 4 – i ⇒ c1 + c2 = 4 + i
c1 + c2 = (1 – i) + (3 + 2i) = 4 + i ⇒ ∴ 𝐜𝟏 + 𝐜𝟐 = ��1 + ��2
b) c1. c2 = c1 . c2
c1. c2 = (1+ i) (3 - 2i) = 3 + 3i – 2i + 2 = 5 + i ⇒ c1. c2 = 5 – i c1 . c2 = (1- i) (3 + 2i) = 3 - 3i + 2i + 2 = 5 – i ⇒ ∴ 𝐜𝟏. 𝐜𝟐 = ��1 . ��2
∋ c = a - bi R , ∀ a , bهو العدد المركب c = a + bi مرافق العدد المركب -تعريف :
عددين مركبين حظة/ عند جمع او عند )ضرب( مال مترافقين يكون الناتج عدد حقيقي والعكس صحيح.
مرافق العدد المركب المركبة( الفصل االول )االعداد [ 3 – 1 ]
80087450770المرسل للخدمات الطباعية / 18 احمد الشمرياألستاذ
c) (c1
c2)
= (
c1
c2 )
c1
c2 =
1+ i
3 − 2i =
(1+ i)(3+ 2i)
9+4 =
3+3i+2i−2
13 =
1+5i
13 =
1
13 +
5i
13 ⇒ (
c1
c2)
=
1
13 -
5i
13
c1
c2 =
1− i
3+ 2i =
(1− i)(3− 2i)
9+4 =
3−3i−2i−2
13 =
1−5i
13 =
1
13 -
5i
13 ∴ (
𝐜𝟏
𝐜𝟐)
= (
𝐜𝟏
𝐜𝟐 )
وضعه بالصيغة العادية للعدد المركب. 2i-2جد النظير الضربي للعدد /8مثال
هو 2i-2للعدد النظير الضربي الحل/1
2− 2i
1
2− 2i =
1
2− 2i.2+ 2i
2+ 2i =
2+ 2i
4+4 =
2
8+
2i
8 =
1
4+
1
4i
ℂالتحليل الى عاملين في فيصبح )-2i (ثم نضرب احدهما بـ y 2x +2فكرة التحليل هي : نكتب العدد )المقدار( على صورة مجموع مربعين
المقدار على صورة الفرق بين مربعين فيتم تحليله.x2 + y2 = x2 - y2 i2 = (x - yi)(x + yi)
ين نسبيين.عدد a,bحيث a+biالى عاملين من صورة 10 , 53حلل كل من العددين /9مثال
الحل/ مجموع مربعين 12 + 32 = 1 + 9 = 10
: -2iنضرب بـ 32 - 12 i2 = (3 – i)(3+i) تحليل الفرق بين مربعين
مجموع مربعين 72 + 22 = 49 + 4 = 53
: -2iنضرب بـ 22 - 72 i2 =(2–7i)(2+7i) تحليل الفرق بين مربعين
تساوي حدين مركبين
.اي يتساوى العددان المركبان اذا تساوى جزءاهما الحقيقيان وتساوى جزءاهما التخيليان وبالعكس
الحقيقيتين واللتان تحققان: yو xجد قيمة /11مثال
1) )2x -1( + 2i = 1 + (y+1)i ⇒ 2x -1 = 1 ⇒ 2x = 2 ⇒ x = 1
2 = y+1 ⇒ y = 1
.)نكتب الطرف االيسر بالصيغة الجبرية للعدد المركب )العادية
.)نكتب الطرف االيمن بالصيغة الجبرية للعدد المركب )العادية
.نستفيد من تساوي عددين مركبين
2) 3x – 4i = 2 + 8yi
3x = 2 ⇒ x = 2
3
-4 = 8y ⇒ y = −1
2
نضرب البسط والمقام 2بمرافق المقام + 2i
b 1, b 2= a 1a ⇔ 2c =1c =2 : فان i1+b 1= a 1c ,i2+b 2= a 2c اذا كان : -تعريف :
مرافق العدد المركب المركبة( الفصل االول )االعداد [ 3 – 1 ]
80087450770المرسل للخدمات الطباعية / 11 احمد الشمرياألستاذ
3) (2y+1) – (2x-1)i = -8 + 3i
2y+1 = - 8 ⇒ 2y = -9 ⇒ y = −9
2
-(2x-1) = 3 ⇒ -2x = 2 ⇒ x = -1
4) (x + yi)(3 + 2i) = 5 - 3i
(x + yi) = 5 – 3i
3 + 2i =
5 – 3i
3 + 2i .
3− 2i
3− 2i بمرافق المقام نضرب
(x + yi) = 15−9i−10i−6
9+4 =
9−19i
13 =
9
13 −
19
13 i
x = 9
13 , y = −
19 13
5) y + 5i = (2x + i)(x + 2i) ⇒ y + 5i = 2x2 + xi + 4xi - 2 y + 5i = (2x2 -2)+ (5x)i
5 = 5x ⇒ x = 1 y = 2x2 - 2 x = 1 نعوض y = 2 – 2 = 0
6) 3−2i
i ,
x−yi
1+5i مترافقان
= c ليكنx−yi
1+5i
∵ c = x−yi
1+5i ⇒ ∴ c =
x+yi
1−5i (
c1
c2)
= (
c1
c2 ) الن
∴ x+yi1−5i
= 3−2i
i المرافقين لنفس العدد المركب متساويان
(x + yi)i = (1 − 5i)(3 − 2i) وسطين بطرفين Xi − y = 3 – 15i – 2i – 10 ⇒ −y + xi = -7 – 17i
-y = -7 ⇒ y = 7 x = -17
1 – 1حلول التمارين
n ∀ ضع كل مما يأتي بالصيغة العادية للعدد المركب (8 ∈ N:
1. i5 = i4 . i = i = 0 + i 2. i6 = i4 . i2 = -1 = -1 + 0i 3. i124 = (i4)31 = 1 = 1 + 0i 4. i999 = i996. i3 =(i4)242 . i3 = -i = 0 - i 5. i4n+1 = i4n . i = i = 0 + i
6. (2 + 3i)2 + (12 + 2i) = (4 + 12i - 9) + (12 + 2i) = (-5 + 12i) + (12 + 2i) = 7 + 14i
7. (10 + 3i) (0 + 6i) = 0 + 0 + 60i -18 = -81 + 60i
8. (1 + i)4 - (1 - i)4 = ((1 + i)2)2 – ((1 - i)2)2 = (1 + 2i -1)2 – (1 – 2i -1)2
= (2i)2 – (-2i)2 = -4 –(-4)=0 = 0 + 0i
9. 12+i
i =
12+i
i .
−i
−i =
−12i− i2
−i2 =
−12i+1
1 = 1 – 12i
مرافق العدد المركب المركبة( الفصل االول )االعداد [ 3 – 1 ]
80087450770المرسل للخدمات الطباعية / 11 احمد الشمرياألستاذ
10. 3+4i
3−4i =
3+4i3−4i
. 3+4i3+4i
=9 +12i+12i−16
9+16 =
−7+24i
25 =
−7
25 +
24
25i
11. i
2+3i =
0+i
2+3i.2−3i
2−3i =
0+2i−0+3
4+9=
3+2i
13 =
3
13+
2
13i
12. (3+i
1+i)3
= (3+i
1+i .
1−i
1−i)3
= (3+i−3i+1
1+1)3
= (4−2i
2)3
=(2 − i)3 =(2 − i)2. (2 − i)=(4 − 4i − 1)2. (2 − i)
=(3 − 4i). (2 − i)= 6 – 8i - 3i – 4= 2 – 11i
13. 2+3i
1−i.1+4i
4+i =
2+3i+8i−12
4−4i+i+1 =
−10+11i
5−3i =
−10+11i
5−3i.5+3i
5+3i
= −10+11i
5−3i.5+3i
5+3i =
−50+55i−30i−33
25+9 =
−83+25i
34 =
−83
34+
25i
34
14. (1 + i)3 + (1 - i)3 = (1 + i)2.(1 + i) + (1 - i)2.(1 - i)
= (1 + 2i -1).(1 + i) + (1 - 2i -1).(1 - i) = (2i).(1 + i) + (-2i).(1 - i) = 2i – 2 + [-2i - 2] = 2i – 2 – 2i - 2 = -4 = -4 + 0i
الحقيقيتين اللتين تحققان المعادالت االتية: y , xجد قيمة كل من (2a) y + 5i = (2x + i)(x + 2i)
الحل/y + 5i = 2x2 + xi + 4xi - 2 نضرب االقواس
y + 5i = 2x2 + 5xi - 2 ⇒ y + 5i = (2x2 – 2) + 5xi من تساوي عددين نحصل على:
5x = 5 ⇒ x = 1 y = 2x2 – 2 = 2 – 2 = 0
b) 8i = (x + 2i)(y + 2i) + 1 نكتب الطرف االيسر بالصيغة العادية: الحل/
-1 + 8i = xy + 2yi + 2xi - 4 ⇒ -1 + 8i = (xy – 4) + (2y + 2x)i من تساوي عددين نحصل على:
-1 = xy – 4 ⇒ xy = 3 ……
8 = 2y + 2x ⇒ 4 = y + x ⇒ y = 4 – x .…
:في معادلة من yقيمة نعوض
xy = 3 ⇒ x(4 – x) = 3 ⇒ 4x – x2 = 3 ⇒ x2 – 4x + 3 = 0 (x - 3)(x - 1) = 0
∴ x = 3 ⇒ y = 4 – 3 = 1
x = 1 ⇒ y = 4 – 1 = 3
c) (1−i
1+i) + (x+yi) = (1+2i)2
الحل/
(1−i
1+i .
1−i
1−i) + (x+yi) = (1 + 4i - 4) ⇒ (
1−i−i−1
1+1) + (x+yi) = -3 + 4i
مرافق العدد المركب المركبة( الفصل االول )االعداد [ 3 – 1 ]
80087450770المرسل للخدمات الطباعية / 17 احمد الشمرياألستاذ
(−2i
2) + (x+yi) = -3 + 4i ⇒ -i + (x+yi) = -3 + 4i
(x+yi) = -3 + 4i + i ⇒ (x+yi) = -3 + 5i من تساوي عددين نحصل على:
∴ x = -3 , y = 5
d) 2−i
1+i x +
3−i
2+i y =
1
i
الحل/
(2−i
1+i .
1−i
1−i) x + (
3−i
2+i .
2−i
2−i) y =
1
i ⇒ (
2−i−2i−1
1+1) x + (
6−2i−3i−1
4+1) y =
i4
i
(1−3i
2) x + (
5−5i
5) y = i3 ⇒ (
1−3i
2) x + (
5−5i
5) y = - i
(1
2−
3i
2) x + (1 − i ) y = 0 – i ⇒
1
2x −
3x
2i + y - yi = 0 - i
(1
2x + y) + (
−3x
2− y) i = 0 - i
من تساوي عددين نحصل على:
1
2x + y = 0 ……
−3x
2− y = -1 ………
---------------------بالجمع
-x + 0 = -1 ⇒ ∴ x = 1
:yلنجد قيمة نعوض في
1
2. 1 + y = 0 ⇒ ∴ y = −
1
2
اثبت ان: (3
a) 1
(2−i)2−
1
(2+i)2=
8
25 i
L.H.S = 1
4−4i−1−
1
4+4i−1 =
1
3−4i−
1
3+4i =
1
3−4i.3+4i
3+4i−
1
3+4i.3−4i
3−4i
=3+4i
9+16−
3−4i
9+16 =
3+4i−(3−4i)
25 =
3+4i−3+4i
25=
8
25i = R.H.S
b) (1−i)2
1+i+
(1+i)2
1−i= −2
L.H.S = 1−2i−1
1+i+
1+2i−1
1−i =
−2i
1+i+
2i
1−i =
−2i
1+i.1−i
1−i+
2i
1−i.1+i
1+i
=−2i−2
1+1+
2i−2
1+1=
−2i−2
2+
2i−2
2 = -1 – i + i -1 = -2 = R.H.S
مرافق العدد المركب المركبة( الفصل االول )االعداد [ 3 – 1 ]
80087450770المرسل للخدمات الطباعية / 14 احمد الشمرياألستاذ
c) (1 – i) (1 – i2)(1 – i3) = 4 L.H.S = (1 – i) (1 – i2)(1 – i3) = (1 – i) (1 – (-1))(1 – (-i)) = (1 – i) (1 + 1)(1 + i) = 2(1 – i) (1 + i) حاصل ضرب مرافقين = 2(1 + 1) = 4 = R.H.S
b , aحيث a+biالى حاصل ضرب عاملين من الصورة 22, 828, 48, 18حلل كال من االعداد (4
عددان نسبيان.a) 85 = (81 + 4) = 81 - 4i2 = (9-2i)(9+2i) OR 85 = (4 + 81) = 4 - 81i2 = (2-9i)(2+9i) OR 85 = (49 + 36) = 49 - 36i2 = (7-6i)(7+6i) b) 41 = (25 + 16) = 25 - 16i2 = (5-4i)(5+4i)
c) 125 = (121 + 4) = 121 - 4i2 = (11-2i)(11+2i) OR 125 = (100 + 25) = 100 - 25i2 = (10-5i)(10+5i)
d) 29 = (25 + 4) = 25 - 4i2 = (5-2i)(5+2i)
الحقيقيتين اذا علمت ان y , xجد قيمة (86
x+yi ,
3+i
2−i مترافقان.
= cنفرض الحل/3+i
2−i
c = 3+i
2−i ⇒ c =
3−i
2+i (c1
c2)
= (
c1
c2 ) الن
6
x+yi =
3−i
2+i وسطين بطرفين
6(2 + i) = (3 − i)(x + yi) ⇒ 12 + 6i = 3x – xi + 3yi + y 12 + 6i = (3x + y) + (-x + 3y)i
من تساوي عددين نحصل على:12 = 3x + y ⇒ y = 12 – 3x ……
6 = -x +3y …….
: في نعوض
6 = -x +3y ⇒ 6 = -x +3(12 – 3x) ⇒ 6 = -x +36 –9x ⇒ 10x = 30 ⇒ x = 3
:في معادلة xنعوض قيمة
y = 12 – 3x = 12 – 9 = 3 ⇒ y = 3
i2 = -1 i3 = - i
مرافق العدد المركب المركبة( الفصل االول )االعداد [ 3 – 1 ]
80087450770المرسل للخدمات الطباعية / 15 احمد الشمرياألستاذ
تمارين اضافية من السنوات السابقة
بالصيغة العادية : 4ni-1/ اكتب العدد 8س
i4n-1 = i4n .i-1 = i-1 = i-1 .i4 = i3 = 0 – i
/ اثبت ان 2س3i
√2+i−
3i
√2−i= 2
الحل/
L.H.S = 3i
√2+i−
3i
√2−i =
3i
√2+i.√2−i
√2−i−
3i
√2−i.√2+i
√2+i =
3√2i+3
2+1−
3√2i−3
2+1
= 3√2i+3
3−
3√2i−3
3 = (√2i+ 1) − (√2i− 1) = √2i + 1 − √2i + 1 = 2
= R.H.S
الجذور التربيعية للعدد المركب الفصل االول )االعداد المركبة( [ 4 – 1 ]
80087450770المرسل للخدمات الطباعية / 16 احمد الشمرياألستاذ
a√± عددا حقيقيا موجبا فانه يوجد عددان حقيقيان aاذا كان الجذور التربيعية للعدد المركب: 1]– [4
.aالجذرين التربيعيين للعدد a√±ويسمى a 2x =يحقق كل منهما المعادلة 8فان له جذر تربيعي واحد هو a = 0اما اذا كان x = ⇒= 25 2x±5مثال :
. x+yiجذرين تربيعيين من الصورة c = a+biان كل عدد مركب .17- و 25-جد الجذور التربيعية لكل من /11مثال
الحل/
a) c2 = -25 ⇒ c = ±√−25 = ± 5i
b) c2 = -17 ⇒ c = ±√−17 = ± √17 i اليجاد الجذرين التربيعيين للعدد المركب نتبع الخطوات التالية:
.a+biنكتب العدد المركب بالصيغة العادية -8 . x+yiنفرض الجذر التربيعي للعدد المركب يساوي عدد مركب اخر -2 نأخذ تربيع الطرفين فنحصل على معادلتين ومن تساوي عددين مركبين : -3
a. = 2الجزء الحقيقي للعددy - 2x . b. = 2الجزء التخيلي للعددxy .
. x , y ∈ Rنحل المعادلتين انيا اليجاد -4 جد الجذور التربيعية لالعداد: /12مثال
1) -3 + 4i c = -3 + 4i
x + yiهو cنفرض الجذر التربيعي للعدد
∴ x + yi = √−3 + 4i (x + yi)2 = -3 + 4i تربيع الطرفين x2 + 2xyi – y2 = -3 + 4i ⇒ )x2 – y2( + (2xy) i = -3 + 4i
من تساوي عددين مركبين:
2xy = 4 ⇒ y = 42x
⇒ y = 2x …..❶
x2 – y2 = -3 ……..❷
:❷في ❶نعوض
x2 – (2
x)2
= -3 ⇒ x2 – 4
x2 = -3
x4 – 4 = -3x2 x2 نضرب الطرفين بـ x4 + 3x2 – 4 = 0 ⇒ (x2 - 1)(x2 + 4) = 0 x2 + 4 = 0 عدد حقيقي x تهمل الن x2 - 1 = 0 ⇒ x2 = 1 ⇒ x = ±1
:❶في معادلة xنعوض عن قيمة
x = 1 ⇒ y = 2 ⇒ c1 = 1 + 2i
x = −1 ⇒ y = −2 ⇒ c2 = -1 - 2i (2i+1)±الجذرين التربيعيين هما :
الجذور التربيعية للعدد المركب الفصل االول )االعداد المركبة( [ 4 – 1 ]
80087450770المرسل للخدمات الطباعية / 10 احمد الشمرياألستاذ
2) 8 + 6i c = 1 + 1i
x + yiهو cنفرض الجذر التربيعي للعدد
∴ x + yi = √8 + 6i (x + yi)2 = 1 + 1i تربيع الطرفين x2 + 2xyi – y2 = 1 + 1i ⇒ )x2 – y2( + (2xy) i = 1 + 1i
2xy = 1 ⇒ y = 62x
⇒ y = 3x من تساوي عددين مركبين ❶..…
x2 – y2 = 1 ……..❷ من تساوي عددين مركبين
:❷في ❶نعوض
x2 – (3
x)2
= 1 ⇒ x2 – 9
x2 = 1
x4 – 2 = 8x2 x2 نضرب الطرفين بـ x4 - 8x2 – 9 = 0 ⇒ (x2 - 9)(x2 + 1) = 0 x2 + 1 = 0 عدد حقيقي x تهمل الن x2 - 9 = 0 ⇒ x2 = 9 ⇒ x = ±3
:❶في معادلة xنعوض عن قيمة
x = 3 ⇒ y = 1 ⇒ c1 = 3 + i
x = −3 ⇒ y = −1 ⇒ c2 = -3 - i (i+3)±الجذرين التربيعيين هما :
3) –i c = 0 - i
x + yiهو cنفرض الجذر التربيعي للعدد
∴ x + yi = √0 − i (x + yi)2 = 0 - i تربيع الطرفين x2 + 2xyi – y2 = 0 – I ⇒ )x2 – y2( + (2xy) i = 0 - i
2xy = -1 ⇒ y = −12x
من تساوي عددين مركبين ❶..…
x2 – y2 = 0 ……..❷ من تساوي عددين مركبين
:❷في ❶نعوض
x2 – (−1
2x)2
= 0 ⇒ x2 – 1
4x2 = 0 ⇒ x4 – 1
4 = 0 x2 نضرب الطرفين بـ
x4 = 1
4 ⇒ x = ∓
1
√2
:❶في معادلة xنعوض عن قيمة
x =1
√2 ⇒ y =
−1
2 1
√2
= −1
√2 ⇒ c1 =
1
√2 -
1
√2 i
x = −1
√2 ⇒ y =
−1
2 −1
√2
= 1
√2 ⇒ c2 = −
1
√2 +
1
√2 i
)±الجذرين التربيعيين: 𝟏
√𝟐 -
𝟏
√𝟐 i)
الجذور التربيعية للعدد المركب الفصل االول )االعداد المركبة( [ 4 – 1 ]
80087450770المرسل للخدمات الطباعية / 10 احمد الشمرياألستاذ
4) 8i c = 0 + 8i
x + yiهو cنفرض الجذر التربيعي للعدد
∴ x + yi = √0 + 8i (x + yi)2 = 0 + 8i تربيع الطرفين x2 + 2xyi – y2 = 0 + 8i ⇒ )x2 – y2( + (2xy) i = 0 + 8i
من تساوي عددين مركبين:
2xy = 8 ⇒ y = 4x …..❶
x2 – y2 = 0 ……..❷
:❷في ❶نعوض
x2 – (4
x)2
= 0 ⇒ x2 – 16
x2 = 0 ⇒ x4 – 16 = 0 x2 نضرب الطرفين بـ
x4 – 16 = 0 ⇒ x4 = 16 ⇒ x = ±2 :❶في معادلة xنعوض عن قيمة
x = 2 ⇒ y = 2 ⇒ c1 = 2 + 2i
x = −2 ⇒ y = −2 ⇒ c2 = -2 - 2i
(2i + 2)±الجذرين التربيعيين هما :
ℂحل المعادلة التربيعية في الفصل االول )االعداد المركبة( [ 5 – 1 ]
80087450770المرسل للخدمات الطباعية / 17 احمد الشمرياألستاذ
و a ≠ 0حيث bx + c = 0 2ax +تعلمت ان للمعادلة التربيعية : ℂحل المعادلة التربيعية في 1 ]– [ 5
a,b,c ∈ R حلين يمكن ايجادهما بالدستور, x =−b±√b2−4ac
2a وعلمت انه اذا كان المقدار المميز,
4ac -2 b مركبة.جد لها حالن في مجموعة االعداد السالبا فانه ال يوجد للمعادلة حلول حقيقية , ولكن يو في مجموعة االعداد المركبة. 2x + 2 = 0 2x +حل المعادلة /13مثال
الحل/x2 + 2x + 2 = 0 a = 1 , b = 2 , c = 2
x =−b±√b2−4ac
2a من قانون الدستور
x =−2±√4−8
2 =
−2±√−4
2=
−2 ± 2i
2 = -1 ± i
وهما عددان مترافقان. (i -1-)و (i +1-)اي ان للمعادلة جذران
في مجموعة االعداد المركبة. 4x + 2x + 5 = 0حل المعادلة /14مثال الحل/
x2 + 4x + 5 = 0 a = 1 , b = 4 , c = 5
x =−b±√b2−4ac
2a من قانون الدستور
x =−4±√16−20
2 =
−4±√−4
2=
−4 ± 2i
2 = -2 ± i
وهما عددان مترافقان. (i -2-)و (i +2-)اي ان للمعادلة جذران bx + c = 0 2ax + من قانون الدستور واالمثلة السابقة نجد الخصائص التالية لجذري المعادلة مالحظة/
:a,b,c ∈ R و a ≠ 0حيث هو الجذر االخر. x-yiاحد جذري المعادلة فان x+yiاذا كان -8 : a ≠ 0حيث aبقسمة المعادلة على -2
x2 + b
ax +
c
a = 0
والتي هي عبارة عن:x2 – (مجموع الجذرين) x + (حاصل ضرب الجذرين) = 0
:انوهي الصيغة العامة للمعادلة التربيعية , ونستنتج من ذلك 𝐜
𝐚 = , حاصل ضرب الجذرين
−𝐛
𝐚 مجموع الجذرين =
(.-2i-2( و )2i+2جد المعادلة التربيعية التي جذراها : ) /15مثال الحل/
(2 + 2i) +(-2 – 2i) = 0 نجد مجموع الجذرين (2 + 2i)(-2 – 2i) = - 4 - 4i – 4i + 4 = -8i نجد حاصل ضرب الجذرين x2 – (مجموع الجذرين)x + (حاصل ضرب الجذرين) = المعادلة 0
x2 – 0 x + (-8i) = 0 ⇒ x2 - 8i = 0 ⇒ x2 = 8i (. 4i-3المعادلة التربيعية التي معامالت حدودها اعداد حقيقية واحد جذريها ) كون /16مثال
معامالت المعادلة اعداد حقيقية ∵ الحل/ جذري المعادلة مترافقان ∴
(4i+3( و )4i-3جذري المعادلة هما ) ∴(3 + 4i) +(3 – 4i) = 6 نجد مجموع الجذرين (3 + 4i)(3 – 4i) = 9 +12i –12i +16 = 25 نجد حاصل ضرب الجذرين x2 – 6x + 25 = 0 المعادلة
i = 2i 4√ = 4−√مالحظة/
ℂحل المعادلة التربيعية في الفصل االول )االعداد المركبة( [ 5 – 1 ]
80087450770المرسل للخدمات الطباعية / 18 احمد الشمرياألستاذ
i = 0-5x +7 – 2xجد مجموعة حل المعادلة /17مثال
الحل/x2 –5x +7-i = 0 a = 1 , b = -5 , c = 7-i
x =−b±√b2−4ac
2a من قانون الدستور
x =5±√25−4(7−i)
2 =
5±√25−28+4i
2 =
5±√−3+4i
2
b2√اذا كان المقدار مالحظة/ − 4ac عدد حقيقي فيمكن ايجاده من التعريف√−a = √a i , اما اذا كان
√b2 − 4ac في [4-1]عدد مركب فيجب ايجاده بطريقة ايجاد الجذرين التربيعيين التي مرت بنا سابقا في الفقرة . 2الصفحة
b2√يجب ايجاد اذا − 4ac 82بطريقة ايجاد الجذرين التربيعيين للعدد المركب وقد سبق لنا ايجاده في مثال سابقا كما مبين:
c = -3 + 4i ليكن x + yiهو cنفرض الجذر التربيعي للعدد
∴ x + yi = √−3 + 4i (x + yi)2 = -3 + 4i تربيع الطرفين x2 + 2xyi – y2 = -3 + 4i ⇒ )x2 – y2( + (2xy) i = -3 + 4i
من تساوي عددين مركبين:
2xy = 4 ⇒ y = 42x
⇒ y = 2x …..❶
x2 – y2 = -3 ……..❷
:❷في ❶نعوض
x2 – (2
x)2
= -3 ⇒ x2 – 4
x2 = -3
x4 – 4 = -3x2 x2 نضرب الطرفين بـ x4 + 3x2 – 4 = 0 ⇒ (x2 - 1)(x2 + 4) = 0 x2 + 4 = 0 عدد حقيقي x تهمل الن x2 - 1 = 0 ⇒ x2 = 1 ⇒ x = ±1
:❶في معادلة xنعوض عن قيمة
x = 1 ⇒ y = 2 ⇒ c1 = 1 + 2i
x = −1 ⇒ y = −2 ⇒ c2 = -1 - 2i (2i+1)±الجذرين التربيعيين هما :
نعود االن لنكمل الحل:
x =5±√−3+4i
2 ⇒ x =
5±(1+2i)
2
x =5+(1+2i)
2=
6+2i
2 = 3 + i
x =5−(1+2i)
2=
4−2i
2 = 2 - i
{ i , 2 - i + 3}مجموعة حل المعادلة هي ∴
ℂحل المعادلة التربيعية في الفصل االول )االعداد المركبة( [ 5 – 1 ]
80087450770المرسل للخدمات الطباعية / 11 احمد الشمرياألستاذ
1-2حلول التمارين حل المعادالت التربيعية االتية وبين اي منها يكون جذراها مترافقان؟ (1
a) z2 = -12 z = ±√−12 = ±√12 i = ±2√3 i
∴ S = {0+𝟐√𝟑 i , 0-𝟐√𝟑 i} الجذران مترافقان
طريقة ثانية للحل:
z2 = -12 ⇒ z2 + 12 = 0 ⇒ z2 – 12 i2 = 0
(z - 2√3 i) (z + 2√3 i) = 0
z - 2√3 i = 0 ⇒ z = 2√3 i
z + 2√3 i = 0 ⇒ z = −2√3 i
∴ S = {0±𝟐√𝟑 i} الجذران مترافقان الدستور(:طريقة ثالثة للحل )باستخدام
z2 = -12 ⇒ z2 + 12 = 0 a = 1 , b = 0 , c = 12
z =−b±√b2−4ac
2a من قانون الدستور
z =0±√0−4(12)
2 =
±√−48
2=
±4√3 i
2 = ±2√3 i
∴ S = {0±𝟐√𝟑 i} الجذران مترافقان
b) z2 – 3z + 3+ i = 0 z2 – 3z + 3+ i = 0 a=1 , b=-3 , c=3+i
z =−b±√b2−4ac
2a من قانون الدستور
z =3±√9−4(3+i)
2 =
3±√9−12−4i
2 =
3±√−3−4i
2
3−√نجد جذري المقدار − 4i:
(x + yi)2 = −3 − 4i
2xy = -4 ⇒ y = −2x
x2 – y2 = -3 ⇒ x2 – 4
x2 = -3 ⇒ x4 – 4 = -3x2 x2 نضرب الطرفين بـ
x4 + 3x2 - 4 = 0 ⇒ (x2 + 4)( x2 – 1) = 0 ⇒ x2 – 1 = 0 ⇒ x = ±1
∴ √−3 − 4i = ±(1 - 2i) نعود الى المعادلة:
z =3 ± √−3−4i
2 =
3 ± (1 − 2i)
2
∴ z =3 + 1 − 2i
2 =
4 − 2i
2 = 2 - i
or z =3− 1+ 2i
2 =
2+ 2i
2 = 1 + i
{i , 1+ i -2}مجموعة الحل هي ∴
ℂحل المعادلة التربيعية في الفصل االول )االعداد المركبة( [ 5 – 1 ]
80087450770المرسل للخدمات الطباعية / 11 احمد الشمرياألستاذ
c) 2z2 – 5z + 13 = 0 ⇒ 2z2 – 5z + 13 = 0 a=2 , b=-5 , c=13
𝐳 =−𝐛±√𝐛𝟐−𝟒𝐚𝐜
𝟐𝐚 من قانون الدستور
𝐳 =𝟓±√𝟐𝟓−𝟒(𝟐 .𝟏𝟑)
𝟐 .𝟐 =
𝟓±√𝟐𝟓−𝟏𝟎𝟒
𝟒=
𝟓±√−𝟕𝟗
𝟒 =
𝟓±√𝟕𝟗 𝐢
𝟒
∴ S = { 𝟓
𝟒+
√𝟕𝟗
𝟒𝐢 , 𝟓
𝟒−
√𝟕𝟗
𝟒𝐢 } الجذران مترافقان
d) z2 + 2z + i(2-i) = 0 z2 + 2z + (2i - i2) = 0
z2 + 2z + (2i + 1) = 0 ⇒ a = 1 , b = 2 , c =1+ 2i
z =−b±√b2−4ac
2a من قانون الدستور
z =−2±√4−4(1+2i)
2 =
−2±√4−4−8i
2=
−2±√0−8i
2
0√نجد جذري المقدار − 8i:
x + yi = √0 − 8i ⇒ (x + yi)2 = 0 - 8i تربيع الطرفين
x2 + 2xyi – y2 = 0 - 8i ⇒ )x2 – y2( + (2xy) i = 0 - 8i من تساوي عددين مركبين:
2xy = -8 ⇒ y = −4x
…..❶
x2 – y2 = 0 ……..❷
:❷في ❶نعوض
x2 – (−4
x)2
= 0 ⇒ x2 – 16
x2 = 0 ⇒ x4 – 16 = 0 x2 نضرب الطرفين بـ
x4 – 16 = 0 ⇒ x4 = 16 ⇒ x = ±2 :❶في معادلة xنعوض عن قيمة
x = 2 ⇒ y = −2
x = −2 ⇒ y = 2
نعود الى المعادلة:
z =−2±√0−8i
2 =
−2±(2−2i)
2=
−2 + 2 − 2i
2 = - i
or z =−2− 2 + 2i
2 =
− 4 + 2i
2= -2 + i
∴ S = {- i , -2+ i} الجذران غير مترافقان
طريقة ثانية للحل)اذا لم يطلب استخدام الدستور(:
z2 + 2z + i(2-i) = 0 ⇒ z2 + 2z + 2i - i2 = 0 ⇒ (z2 – i2) + (2z + 2i) = 0
(z2 – i2) + 2(z + i) = 0 ⇒ (z - i)(z + i) + 2(z + i) = 0 (z + i) [(z – i) + 2] = 0 z + i = 0 ⇒ z = -i
or (z – i) + 2 = 0 ⇒ z – i = -2 ⇒ z = -2 + i
∴ S = {- i , -2+ i} الجذران غير مترافقان
√0 − 8i = ± (2 - 2i)
ℂحل المعادلة التربيعية في الفصل االول )االعداد المركبة( [ 5 – 1 ]
80087450770المرسل للخدمات الطباعية / 17 احمد الشمرياألستاذ
e) 4z2 + 25 = 0 ⇒ 4z2 – 25i2 = 0 ⇒ z2 = 25
4i2 ⇒ z = ±
5
2i
∴ S = { 0 ± 𝟓
𝟐𝐢 } الجذران مترافقان
مبين:يمكن حل السؤال بطريقة الدستور كما 4z2 + 25 = 0 a = 4 , b = 8 , c = 28
z =−b±√b2−4ac
2a من قانون الدستور
z =0±√0−4(4 .25)
2 .4 =
±√−400
8=
±√400 i
8 = ±
20 i
8 = ±
5 i
2
∴ S = { 0 ± 𝟓
𝟐𝐢 } الجذران مترافقان
f) z2 - 2zi + 3 = 0 … بطريقتين الحل االول بطريقة الدستور:اوال/
z2 - 2zi + 3 = 0 a=1 , b=-2i , c=3
z =−b±√b2−4ac
2a من قانون الدستور
z =2i ±√4i2−4(3)
2 =
2i±√−4−12
2 =
2i ± √−16
2 =
2i ± √16 i
2=
2i ± 4 i
2=
2i ± 4 i
2
∴ z =2i+ 4 i
2 = 3i
or z = 2i− 4 i2
= -i
∴ S = {0 - i , 0 + 3i} الجذران غير مترافقان
الحل الثاني:ثانيا/
z2 - 2zi + 3 = 0 ⇒ z2 - 2zi – 3i2 = 0 ⇒ (z - 3i)(z + i) = 0
z - 3i = 0 ⇒ z = 3i
or z + i = 0 ⇒ z = -i
∴ S = {0 - i , 0 + 3i} الجذران غير مترافقان
حيث: m.Lكون المعادلة التربيعية التي جذرها (2a) m = 1 +2i , L = 1- i m+L = (1 + 2i) + (1 - i) = 2 + i m.L = (1 + 2i)(1 - i) = 1 + 2i – i + 2 m.L = 3 + i x2 – (2 + i) x + (3 + i) = 0 المعادلة
b) m = 3− i
1+ i , L = (3- 2i)2
m = 3− i
1+ i =
3− i
1+ i .
1− i
1− i =
(3− i)(1− i)
1+ 1 =
3−i−3i−1
2 =
2−4i
2 = 1 – 2i
L = (3- 2i)2 = 9 – 12i – 4 = 5 – 12i m+L = (1 - 2i) + (5 - 12i) = 6 - 14i m.L = (1-2i)(5-12i) = 5 –10i – 12i – 24 = -19 - 22i
المعادلة:x2 – (6 - 14i) x + (-19 - 22i) = 0
ℂحل المعادلة التربيعية في الفصل االول )االعداد المركبة( [ 5 – 1 ]
80087450770المرسل للخدمات الطباعية / 14 احمد الشمرياألستاذ
جد الجذور التربيعية لالعداد المركبة االتية: (3a) -6i
c = 0 - 6i ليكن x + yiهو cنفرض الجذر التربيعي للعدد
∴ x + yi = √0 − 6i (x + yi)2 = 0 - 6i تربيع الطرفين x2 + 2xyi – y2 = -0 - 6i ⇒ )x2 – y2( + (2xy) i = 0 - 6i
من تساوي عددين مركبين:
2xy = -6 ⇒ y = −62x
⇒ y = −3x
...❶
x2 – y2 = 0 ……..❷
:❷في ❶نعوض
x2 – (−3
x)2
= 0 ⇒ x2 – 9
x2 = 0
x4 – 9 = 0 x2 نضرب الطرفين بـ
x4 = 9 ⇒ x2 = ±3 ⇒ x = ± √3 :❶في معادلة xنعوض عن قيمة
x = √3 ⇒ y =−3
√3= −√3 ⇒ c1 = √3 − √3 i
x = −√3 ⇒ y =−3
−√3= √3 ⇒ c2 = -√3 + √3 i
(𝟑i√ - 𝟑√)±الجذرين التربيعيين هما : b) 7+24i c = 7 + 24i ليكن
x + yiهو cنفرض الجذر التربيعي للعدد
∴ x + yi = √7 + 24i (x + yi)2 = 7 + 24i تربيع الطرفين x2 + 2xyi – y2 = 7 + 24i ⇒ )x2 – y2( + (2xy) i = 7 + 24i
من تساوي عددين مركبين:
2xy = 24 ⇒ y = 242x
⇒ y = 12x
...❶
x2 – y2 = 7 ……..❷
:❷في ❶نعوض
x2 – (12
x)2
= 7 ⇒ x2 – 144
x2 = 7 ⇒ x4 – 144 = 7x2 x2 نضرب الطرفين بـ
x4 –7x2 - 144 = 0 ⇒ (x2 - 16)( x2 + 9) = 0 x2 + 9 = 0 تهمل x2 – 16 = 0 ⇒ x2 = 16 ⇒ x = ± 4
:❶في معادلة xنعوض عن قيمة
x = 4 ⇒ y = 3 ⇒ c1 = 4 + 3i
x = −4 ⇒ y = −3 ⇒ c2 = -4 - 3i (3i + 𝟒)±الجذرين التربيعيين هما :
ℂحل المعادلة التربيعية في الفصل االول )االعداد المركبة( [ 5 – 1 ]
80087450770المرسل للخدمات الطباعية / 15 احمد الشمرياألستاذ
c) 4
1−√3 i نضرب بمرافق المقام
4
1−√3 i =
4
1−√3 i .
1+√3 i
1+√3 i =
4(1+√3 i)
1+3=
4(1+√3 i)
4 = 1 + √3 i
c = 1 + √3 i ليكن x + yiهو cنفرض الجذر التربيعي للعدد
∴ x + yi = √1 + √3 i ⇒ (x + yi)2 = 1 + √3 i تربيع الطرفين
x2 + 2xyi – y2 = 1 + √3 i ⇒ )x2 – y2( + (2xy) i = 1 + √3 i من تساوي عددين مركبين:
2xy = √3 ⇒ y = √3
2x …....❶
x2 – y2 = 1 ……..❷
:❷في ❶نعوض
x2 – (√3
2x)2
= 1 ⇒ x2 – 3
4x2 = 1 ⇒ 4x4 – 3 = 4x2 4x2≠0 نضرب الطرفين بـ
4x4 – 4x2 - 3 = 0 ⇒ (2x2 - 3)(2x2 + 1) = 0 2x2 + 1 = 0 تهمل
2x2 – 3 = 0 ⇒ x2 = 3
2 ⇒ x = ±
√3
√2
:❶في معادلة xنعوض عن قيمة
x =√3
√2 ⇒ y =
√3
2(√3
√2) =
√3√2
2√3=
√2
2 =
1
√2
x = −√3
√2 ⇒ y =
−1
√2
)±الجذرين التربيعيين هما : √𝟑
√𝟐 +
𝟏
√𝟐 i)
2−√2+1- جد الجذرين التربيعيين للمقدارتمرين اضافي/ الحل/
c = -1+2√−2 = -1+2√2 i ليكن x + yiهو cنفرض الجذر التربيعي للعدد
∴ x + yi = √−1 + 2√2 i ⇒ (x + yi)2 = -1+2√2 i تربيع الطرفين
x2 + 2xyi – y2 = -1+2√2 i ⇒ )x2 – y2( + (2xy) i = -1+2√2 i من تساوي عددين مركبين:
2xy =2√2 ⇒ y =2√2
2x ⇒ y =
√2
x...❶
x2 – y2 = -1 ……..❷
:❷في ❶نعوض
x2 – (√2
x)2
= -1 ⇒ x2 – 2
x2 = -1 ⇒ x4 – 2 = -x2 x2 نضرب الطرفين بـ
ℂحل المعادلة التربيعية في الفصل االول )االعداد المركبة( [ 5 – 1 ]
80087450770المرسل للخدمات الطباعية / 16 احمد الشمرياألستاذ
x4 + x2 – 2 = 0 ⇒ (x2 - 1)( x2 + 2) = 0 x2 + 2 = 0 x ∈ R تهمل الن x2 – 1 = 0 ⇒ x2 = 1 ⇒ x = ± 1
:❶في معادلة xنعوض عن قيمة
x = 1 ⇒ y = √2
x = −1 ⇒ y = −√2
(𝟐i√ + 𝟏)±الجذرين التربيعيين هما :
ما المعادلة التربيعية ذات المعامالت الحقيقية وأحد جذريها هو: (4a) i
i , -iبما ان المعامالت اعداد حقيقية اذا الجذران مترافقان وهما i + (-i) = 0 مجموع الجذرين i. (-i) = 1 حاصل ضرب الجذرين x2 - (0) x + 1 = 0 المعادلة x2 + 1 = 0 المعادلة التربيعية
b) 5 – i i , 5-i+5بما ان المعامالت اعداد حقيقية اذا الجذران مترافقان وهما
5+i + (5-i) = 10 مجموع الجذرين (5+i)(5-i)=25 + 1= 26 حاصل ضرب الجذرين x2 - 10x + 26 = 0 المعادلة
c) √2+ 3i
4
بما ان المعامالت اعداد حقيقية اذا الجذران مترافقان وهما √2+ 3i
4 ,
√2− 3i
4
√2− 3i
4 +
√2+ 3i
4 =
2√2
4 =
√2
2=
1
√2 مجموع الجذرين
√2− 3i
4 .
√2+ 3i
4 =
2+9
16 =
11
16 حاصل ضرب الجذرين
x2 - 1
√2 x +
11
16 المعادلة 0 =
∋ فما قيمة ax + (5+5i) = 0 – 2x هو احد جذري المعادلة : i+3اذا كان (5 ℂa ؟؟ وما هو الجذر االخر 2xنفرض الجذر االخر = , i 1x + 3 =ليكن الجذر االول
حاصل ضرب الجذرين = ∵الحد المطلق
x2 معامل
∴ x1 . x2 = 5+5i
1 = 5+5i ⇒ (3 + i) . x2 = 5 + 5i
x2 = 5+5i
3+i =
5+5i
3+i .
3−i
3−i =
15+15i−5i+5
9+1 =
20+10i
10 = 2 + i الجذر الثاني
مجموع الجذرين = = ∵x معامل −
x2 معامل
∴ x1 + x2 = −(−a)
1 ⇒ (2 + i) + (3 + i) = a ⇒ a = 5 + 2i
ℂحل المعادلة التربيعية في الفصل االول )االعداد المركبة( [ 5 – 1 ]
80087450770المرسل للخدمات الطباعية / 10 احمد الشمرياألستاذ
طريقة ثانية للحل: aنعوض الجذر االول في المعادلة اليجاد قيمة
(3 + i)2 – a(3 + i) + (5 + 5i) = 0 ⇒ (9 + 6i - 1) – a(3 + i) + (5 + 5i) = 0
(8 + 6i) – a(3 + i) + (5 + 5i) = 0 ⇒ a(3 + i) = (8 + 6i) + (5 + 5i) = 13 + 11i
a = 13+11i
3+i =
13+11i
3+i .
3−i
3−i =
39+33i−13i+11
9+1 =
50+20i
10 = 5 + 2i
يتم تطبيق القانون مجموع الجذرين او حاصل ضرب الجذرين: اليجاد الجذر االخر : 2xنفرض الجذر االخر =
(3 + i) + x2 = 5 + 2i x2 = (5 + 2i) – (3 + i) x2 = 2 + i الجذر االخر
الجذور التكعيبية للواحد الصحيح الفصل االول )االعداد المركبة( [ 6 – 1 ]
80087450770المرسل للخدمات الطباعية / 10 احمد الشمرياألستاذ
يوجد جذر تكعيبي واحد يحقق aتعلمت انه الي عدد حقيقي :الجذور التكعيبية للواحد الصحيح 1 ]– [ 6
a√ويكتب على الصورة a 3x =المعادلة 3تكعيبية اما في مجموعة االعداد المركبة نجد ان هناك ثالثة جذور
قيقي ولنأخذ ابسطها وهو الواحد الصحيح , واليجاد حللعدد الحقيقي ولنبحث االن عن الجذور التكعيبية للعدد ال -الجذور التكعيبية )الثالثة( نتبع الخطوات االتية:
3z = 1 3zالعدد = :نفرض -8 3z = 0 1 - 3z -= العدد 8نجعل : -2 ادلة بـ )الفرق او مجموع( مكعبين:معنحل ال -3
z3 – 1 = 0 ⇒ (z – 1)(z2 + z +1) = 0
z – 1 = 0 ⇒ z = 1
z2 + z +1 = 0 ⇒ z = −1±√1−4
2 =
−1±√−3
2 =
−1±√3 i
2
نجد النواتج فتكون ثالثة اعداد هي: -4
1 , −1
2+
√3
2i ,
−1
2−
√3
2i
الصحيحخواص الجذور التكعيبية للواحد , والجذران االخران هما عددان مركبان مترافقان. 8احد الجذور عدد حقيقي هو العدد -8 :مجموع الجذور الثالثة تساوي صفر -2
1 + )−1
2+
√3
2i( + )
−1
2−
√3
2i( = 0
8حاصل ضرب الجذرين التخيليين = -3
)−1
2+
√3
2i()
−1
2−
√3
2i( = 8
مربع احد الجذرين التخيليين = الجذر التخيلي االخر -4
(−1
2+
√3
2i)2 =
−1
2−
√3
2i
(−1
2−
√3
2i)2 =
−1
2+
√3
2i
)فاذا رمزنا الحد الجذرين التخيليين −1
2−
√3
2i) ,(
−1
2+
√3
2i) بالرمزw ( ويقرأ اوميكاOmega) فان
وهذه الجذور w , w , 21 ولذلك يمكن كتابة الجذور التكعيبية للواحد الصحيح على الصورة 2wالجذر االخر هو تحقق العالقتين:
1- w3 = 1 2- 1 + w + w2 = 0
يمكن ان نحصل على: 2ومن الخاصية
1 + w = -w2 ⇒ 1 + w2 = -w ⇒ w + w2 = -1 ⇒ w = -1 - w2
⇒ w2 = -1 - w ⇒ 1 = -w2 - w 2w , w .عددان مترافقان
هي: aعددا حقيقيا , فان الجذور التكعيبية للعدد aوبصورة عامة : اذا كان
√a3
, √a3
w , √a3
w2 -مثال:
2w , 2w , 22 هي : 1الجذور التكعيبية للعدد - , 2w-w , -1 هي : -1الجذور التكعيبية للعدد
الجذور التكعيبية للواحد الصحيح الفصل االول )االعداد المركبة( [ 6 – 1 ]
80087450770المرسل للخدمات الطباعية / 17 احمد الشمرياألستاذ
:wقوى w3 = 1 , w4 = w3 . w = w w5 = w3 . w2 = w2 w6 = w3 . w3 = 1
وتتكرر هذه القيم كلما زادت w , w , 21السس صحيحة موجبة تأخذ احدى القيم (w)وباالستمرار نجد ان قوى -مثال: , 3 االسس المتتالية بمقدار
w20 = w18 . w2 = (w3)6 . w2 = w2 w100 = w99 . w = (w3)33 . w = w w3n = (w3)n = 1 عدد صحيح n حيث
w3n-1 = (w3)n .w-1= w-1 = 1
w =
w3
w = w2
w-4 = 1
w4 = 1
w3 .w =
1
w = w2
مرفوع الس موجب من مضاعفات wمرفوع الس سالب فيمكن ان نضرب بـ wمالحظة/ اذا كان .wاكبر او يساوي اس 3العدد
or w-4 = w6 . w-4 = w2 w-5 = w6 . w-5 = w w-6 = w6 . w-6 = w0 = 1 w-20 = w21 . w-20 = w w-31 = w33 . w-31 = w2
r = 0 , 1 , 2 , r= w 3n+rwعدد صحيح nحيث بمعنى ان:
مثال:
w33 = w3(11) + 0 = w0 = 1 w25 = w3(8) + 1 = w1 = w w-58 = w3(-20) + 2 = w2
wهو االس الجديد لـ 3على wباقي قسمة اس بمعنى ان: جد قيمة: /18مثال
a) (3 + 2w + 2w2)20 = [3 + 2(w + w2)]20 نستخرج 2 عامل مشترك = [3 + 2(-1)]20 w + w2 = -1 نعوض = [3 – 2]20 = 1
.ج عامل مشتركنستخر فاننااذا كانت المعامالت متشابهة مالحظة/
b) (1 - 3w - 3w2)4 = [1 – 3(w + w2)]4 نستخرج 3 عامل مشترك = [1 – 3(w + w2)]4 w + w2 = -1نعوض = [1 – 3(-1)]4 = [1 + 3]4 = 44 = 256
c) (3 + 4w + 5w2)2 w -1 -= 2 wنعوض الحل/
= [3 + 4w + 5(-1 – w)]2 = [3 + 4w - 5 – 5w]2 = [-2 - w]2
= 4 + 4w + w2 نستخرج 4 عامل مشترك = 4(1 + w) + w2 1 + w = -w2 = 4(-w2) + w2 = -4w2 + w2 = -3w2
الجذور التكعيبية للواحد الصحيح الفصل االول )االعداد المركبة( [ 6 – 1 ]
80087450770المرسل للخدمات الطباعية / 78 احمد الشمرياألستاذ
او بالعكس. 2wالى wتحويل فيمكن مختلفةاذا كانت المعامالت مالحظة/
اثبت ان: /19مثال1) w7 + w5 + 1 = 0 L.H.S= w7 + w5 +1= w6. w + w3 . w2 +1 = w + w2 + 1 = 0 = R.H.S
2) (5+3w+3w2)2 = -4(2+w+2w2)3 = 4
L.H.S = (5 + 3w + 3w2)2 الطرف االيمن
= [5 + 3(w + w2)]2 نستخرج 3 عامل مشترك
= [5 + 3(-1)]2 w + w2 = -1نعوض
= [5 - 3]2 = 22 = 4 = R.H.S
M.H.S = -4(2+w+2w2)3 الطرف االوسط = -4(w + 2 + 2w2)3 نستخرج 2 عامل مشترك = -4[(w + 2(1+ w2)]3 1+w2 = -w نعوض
= -4[(w + 2(-w)]3 = -4[w – 2w]3 = -4[-w]3 = -4[-1] = 4 = L.H.S = R.H.S
ن المعادلة التربيعية التي جذراها:كو /21مثال1) 1 – iw , 1 - iw2 (1 – iw) + (1 – iw2) = 2 – iw – iw2 = 2 – i(w + w2) = 2 – i(-1) = 2 + i مجموع الجذرين (1 – iw) (1 – iw2) حاصل ضرب الجذرين =8 – iw – iw2 + i2w3 = 8 – iw – iw2 -1 = – iw – iw2 = – i(w + w2) = – i(–1) = i x2 – (2+i) x + i = 0 المعادلة
2) 3w + w2 , w + 3w2 (3w + w2) + (w + 3w2) مجموع الجذرين = 4w + 4w2 = 4(w + w2)= 4(-1) = -4
(3w + w2)(w + 3w2) حاصل ضرب الجذرين = 3w2 + w3 + 9w3 + 3w4 = 3w2 + 1 + 9 + 3w3.w = 3w2 + 10+ 3w =10 + 3w + 3w2 = 10 + 3(w + w2) = 10 + 3(-1) = 10 – 3 = 7 x2 + 4x + 7= 0 المعادلة
3) 1-2w , 1-2w2 (1-2w) + (1-2w2) = 2 - 2w - 2w2 = 2 - 2(w + w2) = 2 - 2(-1) = 4 مجموع الجذرين (1-2w)(1-2w2) حاصل ضرب الجذرين = 1 –2w -2w2 +4w3 = 1 –2w -2w2 + 4 = 5 – 2w – 2w2 = 5 – 2(w + w2) = 5 – 2(-1) = 7
x2 - 4x + 7= 0 المعادلة كان مجموع الجذرين وحاصل ضربهما عددان حقيقيان فان جذري المعادلة اذا 3و 2مالحظة/ في المثالين
عددان مترافقان.
الجذور التكعيبية للواحد الصحيح الفصل االول )االعداد المركبة( [ 6 – 1 ]
80087450770المرسل للخدمات الطباعية / 71 احمد الشمرياألستاذ
4) 2iw – 3w2
i , 3iw –
2w2
i
نبسط شكل الجذرين لنتخلص من الكسور: الحل/
2iw – 3w2
0+i.
0−i
0−i = 2iw + 3iw2 الجذر االول
3iw – 2w2
0+i.
0−i
0−i = 3iw + 2iw2 الجذر الثاني
(2iw + 3iw2) + (3iw + 2iw2) = 5iw + 5iw2 = 5i(w + w2)= 5i(-1) = –5i مجموع الجذرين
(2iw+3iw2)(3iw+2iw2) = –6w2 – 4 – 9 – 6w = –13 – 6(w + w2)= –13 + 6 = –7 حاصل ضرب الجذرين
x2 + 5ix – 7 = 0 المعادلة
5) 2
1−w ,
2
1−w2
(2
1−w) + (
2
1−w2) مجموع الجذرين
= 2(1−w2)+ 2(1−w)
(1−w)(1−w2) =
2−2w2+ 2−2w
(1−w)(1−w2) =
4−2w2−2w
1−w−w2+1 =
4−2(w2+w)
2−(w+w2) =
4+2
2+1=
6
3 = 2
(2
1−w)(
2
1−w2) = 4
1−w− w2+ 1=
4
2−(w+ w2)=
4
2+1 =
4
3 حاصل ضرب الجذرين
x2 – 2x + 4
3 المعادلة 0 =
جد قيمة /21مثال a + bw + cw2
b + cw + aw2
بسطه مع مقامه بـ )عدد الحدود , المعامالت باشاراتها( فاننا ق ــفــتــالختصار كسر يمالحظة/ الحل/
فيتم االختصار. 3wفي البسط بـ wنضرب الحد الخالي من
a + bw + cw2
b + cw + aw2 = aw3+ bw + cw2
b + cw + aw2 = w(aw2+ b + cw)
b + cw + aw2 = w
(2اذا كان /22مثال1
wa+bi=(1+2w+ , R ∈a,b
b 2a +2 1 = :برهن ان (8 .a+biكون المعادلة التربيعية التي معامالت حدودها اعداد حقيقية واحد جذريها (2
الحل/
1) a + bi = (1 + 2w + 1
w)2 = (1 + 2w +
w3
w)2 = (1 + 2w + w2)2 = (– w + 2w)2 = w2
∴ a + bi = w2
a2 + b2 = a2 – b2 i2 = (a - bi)(a + bi) عددان مترافقان: 2w و wبما ان
a2 + b2 = w . w2 = w3 = 1
( بـ 2w , w ميمكن الحل بالتعويض عن قيو−1
2±
√3
2 i(
جذري المعادلة مترافقاناذا بما ان المعامالت اعداد حقيقية (2 wفان الجذر االخر هو 2wالجذر االول اذا كان
الجذور التكعيبية للواحد الصحيح الفصل االول )االعداد المركبة( [ 6 – 1 ]
80087450770المرسل للخدمات الطباعية / 71 احمد الشمرياألستاذ
w + w2 = -1 مجموع الجذرين w . w2 = 1 حاصل ضرب الجذرين x2 - x + 1 = 0 المعادلة
1 - 3حلول التمارين
اكتب المقادير االتية في ابسط صورة: (1
a) w64 = w63 . w = (w3)21. w = w b) w–325 = w327. w–325 = w2
c) 1
(1+w−32)12 = 1
(1+w33.w−32)12 = 1
(1+w)12 = 1
(−w2)12 = 1
w24 = 1
d) (1+w2)–4 = (-w)–4 = 1
(−w)4 =
1
w4 = w6
w4 = w2
e) w9n+5 , n ∈ N حيث w9n+5 = w9n. w5 = (w3)3n. w5 = w5 = w3 .w2 = w2
ن المعادلة التربيعية التي جذراها:كو (2a) 1+w2 , 1+w
الحل/(1+w2) + (1+w) = 2 + w + w2 = 2 – 8 = 1 مجموع الجذرين
(1+w2)(1+w) = 1 + w2 + w + w3 = 1 + w + w2 + 1 = 2 + -1 = 1 حاصل ضرب الجذرين
x2 - x + 1 = 0 المعادلة
b) w
2−w2 , w2
2−w
(w
2−w2) + (w2
2−w مجموع الجذرين (
= w(2−w) + w2(2−w2)
(2−w2)(2−w) =
2w−w2+ 2w2−w4
4−2w2−2w+w3 = 2w+ w2−w
5−2w2−2w=
w+ w2
5−2(w2+w) =
−1
5+2 =
−1
7
(w
2−w2)(w2
2−w حاصل ضرب الجذرين (
= w3
4−2w2−2w+w3= 1
5−2w2−2w=
1
5−2(w2+w) =
−1
5+2 =
1
7
x2 + 1
7 x +
1
7 = 0 ⇒ 7x2 + x + 1 = 0 المعادلة
c) 3i
w2 , −3w2
i
نبسط شكل الجذرين لنتخلص من الكسور: الحل/3i
w2 . w
w = 3iw الجذر االول
−3w2
i .
−i
−i = 3iw2 الجذر الثاني
(3iw + 3iw2) = 3i(w + w2) = -3i مجموع الجذرين
3iw . 3iw2 = 9i2w3 = –9 حاصل ضرب الجذرين x2 + 3ix – 9 = 0 المعادلة
الجذور التكعيبية للواحد الصحيح الفصل االول )االعداد المركبة( [ 6 – 1 ]
80087450770المرسل للخدمات الطباعية / 77 احمد الشمرياألستاذ
فجد قيمة : z + 1 = 02 z + اذا كان : (3
1+3z10+3z11
1−3z7−3z8
zنحسب قيمة الحل/z2 + z + 1 = 0 a = 1 , b = 1 , c = 1
z =−1±√1−4
2 =
−1±√−3
2=
−1±√3 i
2 ⇒ z =
−1
2 ±
√3
2 i ⇒ z = w or w2
z = w لتكن
1+3z10+3z11
1−3z7−3z8 = 1+3w10+3w11
1−3w7−3w8 = 1+3w+3w2
1−3w−3w2 = 1+3(w+w2)
1−3(w+w2)
= 1−3
1+3 =
−2
4 = −
1
2
2z = wلتكن
1+3z10+3z11
1−3z7−3z8 = 1+3(w2)10+3(w2)11
1−3(w2)7−3(w2)8 =
1+3w20+3w22
1−3w14−3w16= 1+3w2+3w
1−3w2−3w
= 1+3(w2+w)
1−3(w2+w) =
1−3
1+3=
−2
4 = −
1
2
اثبت ان: (4
a) (1
2+w−
1
2+w2)2 = −
1
3
L.H.S = (1
2+w−
1
2+w2)2=(
(2+w2)− (2+w)
(2+w)(2+w2))2
= (w2− w
4+2w+2w2+w3)2
=(w2− w
5+2(w+w2))2
=(w2− w
5−2)2
=(w2− w
3)2
=(± √3 i
3)2
= −3
9 =
−1
3 = R.H.S
b) w14+w7−1
w10+w5−2 =
2
3
L.H.S = w14+w7−1
w10+w5−2 =
w2+w−1
w+w2−2=
−1−1
−1−2 =
−2
−3 =
2
3 = R.H.S
c) (1 −2
w2 + w2) (1 + w −5
w) = 18
L.H.S = (1 −2
w2 + w2) (1 + w −5
w) = (1 −
2w3
w2 + w2) (1 + w −5w3
w)
= (1 − 2w + w2)(1 + w − 5w2) = (−w − 2w)(−w2 − w2) = (−3w)(−6w2) = 18 w3 = 18 = R.H.S
d) (1+ w2)3 + (1+ w)3 = -2 L.H.S = (1+ w2)3 + (1+ w)3 = (–w)3 + (–w2)3 = – w3 – w6
= – w3 – (w3)2 = –1 – 1 = –2 = R.H.S
= 1 3w 2w–1+w =
w–= 21+w
التمثيل الهندسي لالعداد المركبة الفصل االول )االعداد المركبة( [ 7 – 1 ]
80087450770المرسل للخدمات الطباعية / 74 احمد الشمرياألستاذ
على انه زوج مرتب من االعداد الحقيقية zيعرف العدد المركب التمثيل الهندسي لالعداد المركبة: 1 ]– [ 7(x,y) ويكتب بالشكلz(x,y) ويسمى الشكل الديكارتي )شكل ارجاند( للعددz وتسمى المجموعة ,
ℂ = {(x, y) ∶ x , y ∈ R} مجموعة االعداد المركبة.
من الواضح ان هذه المجموعة هي مجموعة غير منتهية من االزواج تمثله نقطة وحيدة في (x,y)المرتبة , ونالحظ ان كل عدد مركب
كما ان كل نقطة في المستوي 2or E 2(R(المستوي المتعامد المحورين تمثل عددا مركبا وحيدا اي ان هناك تقابل بين مجموعة االعداد المركبة
ومجموعة نقط المستوي.
𝐎𝐏بالمتجه z = x+yiويمكن تمثيل العدد المركب بتمثيل وذلك P(x,y)الى النقطة O(0,0)من نقطة االصل
.Y– Axisعلى محور الصادات yوتمثيل الجزء التخيلي X-Axisعلى محور السينات xالجزء الحقيقي
مثل العمليات االتية هندسيا في شكل ارجاند: /23مثال1) (3 + 4i) + (5 + 2i)
(3 + 4i) + (5 + 2i) = 8 + 6i مالحظة/ ان جمع عددين مركبين هو جمع متجهين , فاذا مثلنا
في المستوي فان مجموعهما 2Pو 1Pعددان مركبان بالنقطتين الرأس الرابع لمتوازي االضالع 3Pيمثل بالنقطة
3,P2,P1O,P حيثO . نقطة االصل 1P(3,4)بالنقطة 4i+3نمثل العدد 2P(5,2)بالنقطة 2i+5نمثل العدد
𝐎𝐏𝟏ثم نكمل متوازي االضالع حيث ,𝐎𝐏𝟐
ضلعان ناتج جمع العددين. 3Pمتجاوران ونمثل النقطة
2) (6 - 2i) - (2 - 5i( (6 - 2i) - (2 - 5i) = (6 - 2i) + (-2 + 5i)= 4 + 3i
على انها عملية جمعتعرف عملية الطرح
6,1P)-(2بالنقطة 2i-6نمثل العدد 2P)-5,2(بالنقطة -i5+2نمثل العدد
𝐎𝐏𝟑نكمل متوازي االضالع فيكون الناتج وهو ناتج جمع
العددين
y
x
O(0,0)
P(x,y)
y
x
O(0,0) 2)-(6,1P
2,5)-(2P
(4,3)3P
y
x O(0,0)
(5,2)2P
(3,4)1P (8,6)3P
التمثيل الهندسي لالعداد المركبة الفصل االول )االعداد المركبة( [ 7 – 1 ]
80087450770المرسل للخدمات الطباعية / 75 احمد الشمرياألستاذ
1 – 4حلول التمارين
الجمعية على شكل ارجاند:ل هذه االعداد ونظائرها اكتب النظير الجمعي لكل من االعداد االتية ثم مث (1z1 = 2+3i , z2 = -1+3i , z3 = 1-i , z4 = i
z2 = -1+3i = (-1,3) -z2 = 1-3i = (1,-3) النظير الجمعي
z1 = 2+3i = (2,3) -z1 = -2-3i = (-2,-3) النظير الجمعي
z4 = i =0 + i = (0, 1) -z4 = - i = 0 - i = (0,-1) النظير الجمعي
z3 = 1- i = (1,-1) -z3 = -1+ i = (-1,1) النظير الجمعي
ل االعداد ومرافقاتها على شكل ارجاند:المرافق لكل من االعداد االتية ثم مث اكتب العدد (2z1 =8+3i , z2 =-3+2i , z3 =1-i , z4 = -2i
z2 = -3 + 2i = (-3, 2)
z2 = -3 - 2i = (-3,-2) المرافق
z1 = 5 + 3i = (5, 3)
z1 = 5 - 3i = (5,-3) المرافق
z4 = -2i = 0 - 2i = (0, -2)
z4 = 2i = 0 + 2i = (0,2) المرافق
z3 = 1 - i = (1, -1)
z3 = 1 + i = (1,1) المرافق
(1,-1)
(-1, 1)
(5,-3)
(5, 3)
(-3,-2)
(-3, 2)
(1,-1)
(1, 1)
(0,-2)
(0, 2)
(-1,3)
(1,-3)
(0,-1)
(0, 1)
1z
1z-
(2,3)
(-2,-3)
التمثيل الهندسي لالعداد المركبة الفصل االول )االعداد المركبة( [ 7 – 1 ]
80087450770المرسل للخدمات الطباعية / 76 احمد الشمرياألستاذ
z , z , −z : فوضح على شكل ارجاند كال من z = 4+2iاذا كان (3
الحل/
z = 4 + 2i = (4 , 2)
z = 4 – 2i = (4 , -2) المرافق
−z = -4 – 2i = (-4 , -2) النظير الجمعي
فوضح على شكل ارجاند كال من: 2i - = 4 1z ,2i + 1 = 2zاذا كان (4-3z2 , 2z1 , z1 – z2 , z1 + z2
z1 = 4 - 2i 2z1 = 2(4 - 2i) = 8 - 4i = (8,-4)
z2 = 1 + 2i -3z2 = -3(1 + 2i) = -3 -6i = (-3,-6)
z1 = 4 - 2i , z2 = 1 + 2i
z1 + z2 = (4 - 2i) + (1 + 2i) = 5 - 0i = (5, 0)
z1 = 4 - 2i , z2 = 1 + 2i z1 - z2 = (4 - 2i) – (1 + 2i) = (4 - 2i) + (-1 - 2i) = 3 - 4i = (3,-4)
(4, -2)
(4, 2)
(-4, -2)
(-3,-6)
(3,-4)
(-1,-2) (4,-2)
(4,-2)
(5, 0)
(1, 2)
(8,-4)
الصيغة القطبية للعدد المركب الفصل االول )االعداد المركبة( [ 8 – 1 ]
80087450770المرسل للخدمات الطباعية / 70 احمد الشمرياألستاذ
فان P(x,y)ومثلناه بالنقطة z = x +yiاذا كان لدينا العدد المركب الصيغة القطبية للعدد المركب: 1 ]– [ 8
(r,θ) هما االحداثيان القطبيان للنقطةP حيثO )و تمثل القطب )نقطة االصلOX يمثل الضلع االبتدائي.
وهو عدد حقيقي غير سالب ويقرأ zمقياس العدد المركب rيسمى (Mod z) ويرمز له‖z‖ :حيث
r = ‖z‖ = √x2 + y2
OP اما قياس الزاوية التي يصنعها المتجه مع االتجاه الموجب
ويتم ايجادها كما مبين: θلمحور السينات ويرمز لها
cos θ = x
r =
x
‖z‖ ⇒ R(z) = x = r.cos θ
sin θ = y
r =
y
‖z‖ ⇒ 𝐈(z) = y = r.sin θ
(z)يرمز للجزء الحقيقي للعدد المركب R(z) :حيثI(z) يرمز للجزء التخيلي للعدد المركب(z)
θالقيمة االساسية لسعة العدد المركب وتكتب بالشكل θتسمى = arg (z) وهي القيمة التي تنتمي الى الفترة
[0, 2π) اما , θ + 2nπ حيث( فتسمى سعة العدد المركبn )عدد صحيح.
-ايجاد السعة: مالحظات حول نحدد زاوية االسناد )الزاوية المنسبة( من القيمة المطلقة للدالة. -8
من اشارة الدالة او من شكل ارجاند. θنحدد الربع الذي تقع فيه الزاوية -2
, 0}اذا كانت الزاوية ربعية -3π
2 , π ,
3π
2فال يتم تحديد زاوية االسناد وال يتم تحديد الربع الذي تقع فيه {
الزاوية.
جد المقياس والقيمة االساسية للسعة لكل من: /24مثال
1) z1 = 1- √3i
z1 = 1- √3i =(1,- √3)
Mod(z) = ‖z‖ = r = √x2 + y2 = √1 + 3 = 2 unit نجد المقياس
cos θ = x
‖z‖ =
1
2 , sin θ =
y
‖z‖ =
− √3
2 نجد زاوية االسناد
زاوية االسناد = ∴𝝅
𝟑
تقع في الربع الرابع θ -الربع الذي تقع فيه الزاوية :
θ = arg(z) = 2π - 𝜋
3 =
5𝜋
3
𝜽 𝝅
𝟔
𝝅
𝟒
𝝅
𝟑 0
𝝅
𝟐 𝝅
𝟑𝝅
𝟐
sin 𝟏
𝟐
𝟏
√𝟐 √𝟑
𝟐 0 1 0 -1
cos √𝟑
𝟐
𝟏
√𝟐
𝟏
𝟐 1 0 -1 0
Y
X O
P(x,y)
θ
r y
x
❶ +, y +x sin+ , cos+
السعة = زاوية االسناد
❷ +, y –x sin+ , cos–
𝜃 = 𝜋 − االسناد
❹ –, y +x sin– , cos+
𝜃 = 2𝜋 − االسناد
❸ –, y –x sin– , cos–
𝜃 = 𝜋 + االسناد
نكتب العدد بالصيغة العادية والصيغة الديكارتية
الصيغة القطبية للعدد المركب الفصل االول )االعداد المركبة( [ 8 – 1 ]
80087450770المرسل للخدمات الطباعية / 70 احمد الشمرياألستاذ
2) -1-i z2 = -1- i =(-1, -1)
r = Mod(z) = ‖z‖ = √x2 + y2 = √1 + 1 = √2 unit
cos θ = x
‖z‖ =
−1
√2 , sin θ =
y
‖z‖ =
− 1
√2
زاوية االسناد = ∴𝝅
𝟒 ,θ الثالثتقع في الربع
θ = arg(z) = π + 𝜋
4 =
5𝜋
4
3) i z3 = 0 + i =(0, 1)
r = Mod(z) = ‖z‖ = √x2 + y2 = √0 + 1 = 1 unit
cos θ = x
‖z‖ = 0 , sin θ =
y
‖z‖ =
1
1 = 1
∴ θ = 𝜋
2
وسعته 2عدد مركب مقياسه zاذا كان /25مثال𝜋
6 .z, جد الشكل الجبري للعدد
الحل/
r = ‖z‖ = 2 , θ = arg(z) = 𝜋
6
= cos 𝛉 : cos θمن xنجد x
r
x = r . cos θ = 2 (cos 𝜋
6) = 2 (
√3
2) = √3
= sin 𝛉 : sin θمن yنجد y
r
y = r . sin θ = 2 (sin 𝜋
6) = 2 (
1
2) = 1
∴ z = x + yi = √3 + i
جد العدد المركب الذي سعته االساسية /26مثال𝜋
4وجزءه التخيلي
1
√2.
= r :- sin θنجد المقياس sin θمن y
r
r = y
sin θ . =
1
√2
sin 𝜋
4
= 1
√2
1
√2
= 1
= x :- cos θنجد cos θمن x
r
x = r.cos θ = 1 . cos 𝜋
4 = 1(
1
√2) =
1
√2
z = 1
√2 +
1
√2 i العدد ∴
الصيغة القطبية للعدد المركب الفصل االول )االعداد المركبة( [ 8 – 1 ]
80087450770المرسل للخدمات الطباعية / 77 احمد الشمرياألستاذ
عبر عن كل من االعداد االتية بالصيغة القطبية: /27مثال1) -2+2i = (-2,2)
r = Mod(z) = ‖z‖ = √x2 + y2 = √4 + 4 = √8 = 2 √2
cos θ = x
r =
−2
2√2 =
−1
√2 , sin θ =
y
r =
2
2√2 =
1
√2
زاوية االسناد = ∴𝝅
𝟒 ,θ الثانيتقع في الربع
θ = arg(z) = π - 𝜋
4 =
3𝜋
4
-الصيغة القطبية:
z = r (cos θ + i sin θ) = 2√2 (cos 3𝜋
4 + i sin
3𝜋
4)
2) 2√3 - 2i = (2√3 , -2)
r = Mod(z) = ‖z‖ = √x2 + y2 = √12 + 4 = √16 = 4
cos θ = x
r =
2√3
4 =
√3
2 , sin θ =
y
r =
−2
4 =
−1
2
زاوية االسناد = ∴𝝅
𝟔 ,θ تقع في الربع الرابع
θ = arg(z) = 2π - 𝜋
6 =
11𝜋
6
z = r (cos θ + i sin θ) = 4 (cos 11𝜋
6 + i sin
11𝜋
6 الصيغة القطبية (
غير معرفة وذلك الن المتجه الصفري ليس له اتجاه. z = 0ان سعة العدد المركب (8بصورة z = x+yiممكن االفادة من المقياس والقيمة االساسية لسعة العدد المركب بكتابة العدد المركب (2
وكما يأتي: Polar formاخرى تسمى الصيغة القطبية
∵ x = r cos θ , y = r sin θ
∴ z = r cos θ + i r sin θ
= r(cos θ + i sin θ)
z = ‖z‖[cos (arg z)+ i sin (arg z)] أو zهي سعة العدد المركب r = Mod(z) = ‖z‖ ,θ = arg(z)حيث:
الصيغة القطبية للعدد المركب الفصل االول )االعداد المركبة( [ 8 – 1 ]
80087450770المرسل للخدمات الطباعية / 48 احمد الشمرياألستاذ
: عبر عن كل من االعداد االتية بالصيغة القطبية /28مثال
b) i
a) 1
d) -i
c) -1
وبتطبيق االستنتاج السابق يمكن ان نضع:3 = 3 . 1 = 3(cos 0 + i sin 0)
-2 = 2 . (-1) = 2(cos 𝜋 + i sin 𝜋)
5i = 5 . i = 5(cos 𝜋
2 + i sin
𝜋
2)
-7i = 7 .(-i) = 7(cos 3𝜋
2 + i sin
3𝜋
2)
-من المثال السابق نستنتج: 1 = (cos 0 + i sin 0)
-1 = (cos 𝜋 + i sin 𝜋)
i = (cos 𝜋
2 + i sin
𝜋
2)
-i = 1(cos 3𝜋
2 + i sin
3𝜋
2)
(1, 0)
Pz1 = (1,0) = 1+0i mod z1 = 1 arg z1 = 0
∴ z1 = 1(cos 0 + i sin 0)
(0, 1)
Pz2 = (0,1) = 0+1i mod z2 = 0
arg z2 = 𝜋
2
∴ z2 = 1(cos 𝜋
2 + i sin
𝜋
2)
(-1, 0)
Pz3 = (-1,0) = -1+0i mod z3 = 1
arg z3 = 𝜋
2
∴ z3 = 1(cos 𝜋 + i sin 𝜋) (0, -1)
Pz4 = (0,-1) = 0- i mod z4 = 1
arg z4 = 3𝜋
2
∴ z4 = 1(cos 3𝜋
2 + i sin
3𝜋
2)
رڤمبرهنة ديموا الفصل االول )االعداد المركبة( [ 9 – 1 ]
80087450770المرسل للخدمات الطباعية / 41 احمد الشمرياألستاذ
:يمكن ان تكتب بالصيغة القطبية 1z ,2z مبرهنة ديمواڤر: 1 ]– [ 9
z1 = cos∅ + i sin∅ z2 = cosθ + i sinθ
: 2z . 1zاالن نجد z1 . z2 = (cos∅ + i sin∅)( cosθ + i sinθ)
= cosθ cos∅ + i cosθ sin∅ + i sinθ cos∅ - sinθ sin∅ z1 . z2 = (cosθ cos∅ - sinθ sin∅) + i (cosθ sin∅ + sinθ cos∅) z1 . z2 = cos(θ + ∅) + i sin(θ + ∅)
θواذا كانت = فان العالقة تصبح: ∅z1 . z2 = cos(2θ) + i sin(2θ)
ومن خالل قوانين المثلثات فان :
cos(2θ) + i sin(2θ) = (cosθ + i sinθ)2
البرهان:
R.H.S = (cosθ + i sinθ)2 = cos2θ + 2i sinθ cosθ - sin2θ =(cos2θ - sin2θ) + i(2sinθ cosθ) = cos2θ + i sin2θ = L.H.S
ويمكن تعميم ذلك لتصبح:
(4 -احسب : /29مثال3𝜋
8+ i sin
3𝜋
8(cos
(cos 3𝜋
8 + i sin
3𝜋
8)4 = cos 4(
3𝜋
8) + i sin4(
3𝜋
8) = cos
3𝜋
2 + i sin
3𝜋
2= 0 + i(−1)
∴ (cos 3𝜋
8 + i sin
3𝜋
8)4 = −i
)nθi sin - nθcos= n)θsini - θcos فان : ∋ N ∈n ,R θ/ بين انه لكل 38مثال
L.H.S = (cosθ - i sinθ)n = [cosθ + i (-sinθ)]n = [cos(−θ) + i sin(−θ)]n
β وبجعل = − θ : تصبح العالقة
= [cos β + i sin β]n = cos nβ + i sin nβ = cos (−nθ) + i sin (−nθ)
= cos nθ - i sin nθ = R.H.S
(i + 1)11ر ڤاحسب باستخدام مبرهنة ديموا /31مثال
z = (1+ i) = (1 , 1) :zنجد المقياس والقيمة االساسية للسعة للعدد
mod(z) = r = √2
cos θ = 1
√2 , sin θ =
1
√2
بالصيغة القطبية: zنكتب العدد
z = r )cos θ + i sin θ( θ =𝝅
𝟒
N ∈n ,Rθلكل )nθi sin + nθcos= n)θsin+ i θcos فان: ∋
N ∈n ,Rθلكل ر:ڤمبرهنة ديموا فان : θ+ i sin θz = r(cos(اذا كان ∋
zn = rn (cosθ + i sinθ)n = rn (cos nθ + i sin nθ)
رڤمبرهنة ديموا الفصل االول )االعداد المركبة( [ 9 – 1 ]
80087450770المرسل للخدمات الطباعية / 41 احمد الشمرياألستاذ
z = √2 )cos 𝝅
𝟒 + i sin
𝝅
𝟒(
ر:ڤنطبق مبرهنة ديموا
zn = rn (cos nθ + i sin nθ)
z11 = (√2)11 (cos 𝟏𝟏 𝝅
𝟒 + i sin
𝟏𝟏 𝝅
𝟒)
∴ z11 = (2)112 (cos
𝟑 𝝅
𝟒 + i sin
𝟑 𝝅
𝟒)
∴ z11 = (2)512 (
−1
√2 +
1
√2 i)
z11 = 32 √2 (−1
√2 +
1
√2 i) = 32 (-1+ i)
∴ (1 + i)11 = 32 (-1+ i)
ويمكن تعميم هذه العالقة بالشكل االتي:
(cosθ + i sinθ)-n = cos(nθ) - i sin(nθ)
3x , ℂ ∈x 0 = 1 + حل المعادلة /32مثال
x3 + 1 = 0 ⇒ x3 = -1
: 21بالصيغة القطبية كما مبين سابقا في المثال 1-نعبر عن العدد
∴ x = (cos π + i sin π)131
ر:ڤحسب نتيجة مبرهنة ديموا
θ = π , n = 3
∴ x = (cosπ+2πk
n + i sin
π+2πk
n) k = 0 , 1 , 2
k = 0 ⇒ x = (cosπ
3+ i sin
π
3) =
1
2+
√3
2i
k = 1 ⇒ x = (cos π + i sin π)= −1 + i(0) = −1
k = 2 ⇒ x = (cos5π
3+ i sin
5π
3)
نحدد الربع الذي تقع فيه الزاوية5π
3
x = cos5π
3+ i sin
5π
3= cos (2π −
π
3) + i sin (2π −
π
3)
= cos(π
3) − i sin(
π
3) =
1
2−
√3
2i
, 1− } مجموعة حل المعادلة هي : ∴1
2+
√3
2i ,
1
2−
√3
2i }
N , n > 1 ∈n ,Rθلكل ر:ڤنتيجة مبرهنة ديموا فان: ∋
√𝐳𝐧
= 𝐫𝟏𝐧𝟏 (𝐜𝐨𝐬
𝛉+𝟐𝛑𝐤
𝐧 + 𝐢 𝐬𝐢𝐧
𝛉+𝟐𝛑𝐤
𝐧)
k = 0 , 1 , 2 , … , n-1: حيث
نحدد الزاوية 𝟏𝟏 𝝅
𝟒 في الدورة االولى
=مالحظة/ 𝟑 𝝅
𝟒
𝟏𝟏 𝝅
𝟒=
𝟖 𝝅
𝟒+
𝟑 𝝅
𝟒
cos 3 π
4 = cos (π −
π
4) = -cos
π
4 =
−𝟏
√𝟐
sin 3 π
4 = sin (π −
π
4) = sin
π
4 =
𝟏
√𝟐
)θi sin - θcos= ) θ-(i sin + )θ-(cos= 1-)θsin+ i θcos مالحظة/
رڤمبرهنة ديموا الفصل االول )االعداد المركبة( [ 9 – 1 ]
80087450770المرسل للخدمات الطباعية / 47 احمد الشمرياألستاذ
3√)اوجد الصيغة القطبية للمقدار /33مثال + i)2
ثم اوجد الجذور الخمسة له.
z = √3 ليكن الحل/ + i
z = √3 + i = (√3 , 1) :zلسعة للعدد انجد المقياس و
mod(z) = r = √3 + 1 = 2
cos θ = √3
2 , sin θ =
1
2 , arg(z) =
π
6
∴ z = 2 )cos π
6 + i sin
π
6 نكتب العدد z بالصيغة القطبية )
ر: ڤتطبيق مبرهنة ديموابوذلك 2zنأخذ
z2 = 22 )cos π
6 + i sin
π
6(2 = 4 )cos
π
3 + i sin
π
3(
فيصبح: 2zنأخذ الجذر الخامس للعدد
z252 = [4 (cos
π
3 + i sin
π
3)]
152 = 4
152 (cos
π
3+ i sin
π
3)
152
= √45
(cos π
3 + i sin
π
3)
152
θ :رڤنطبق نتيجة مبرهنة ديموا = π
3 , n = 5
k = 0 ⇒ z252 = √4
5 (cos
π
15 + i sin
π
15)
k = 8 ⇒ z252 = √4
5 (cos
7π
15+ i sin
7π
15)
k = 2 ⇒ z252 = √4
5 (cos
13π
15+ i sin
13π
15)
k = 3 ⇒ z252 = √4
5 (cos
19π
15+ i sin
19π
15)
k = 4 ⇒ z252 = √4
5 (cos
25π
15+ i sin
25π
15) = √4
5 (cos
5π
3+ i sin
5π
3)
ضرب عددين مركبين بالصيغة القطبية )اثرائي(
θ2+ i sin θ2(cos2= r 2z(و cos1= r 1z)θ1+ i sin θ1( اذا كان :
فان :
z1 . z2 = r1. r2[cos(θ1+θ2)+ i sin(θ1+θ2)]
( اذا كان مثال/ π
6+ i sin
π
6(cos2 = 1z و )
2π
3+ i sin
2π
3(cos3= 2z 2اوجد ناتج. z1 z ثم
اكتب الناتج بالصيغة القطبية. الحل/
z1 . z2= 2(3)[cos(π
6 +
2π
3)+ i sin(
π
6 +
2π
3)] = 6 [cos(
5π
6)+ i sin(
5π
6 الصيغة القطبية [(
= 6 [−√3
2+ i (
1
2)] = −3√3 + 3i الصيغة الجبرية
3√)اوجد المقدار كما يلي : مالحظة/ يمكن ان تكون صيغة المثال + i)25
رڤمبرهنة ديموا الفصل االول )االعداد المركبة( [ 9 – 1 ]
80087450770المرسل للخدمات الطباعية / 44 احمد الشمرياألستاذ
قسمة عددين مركبين بالصيغة القطبية )اثرائي(
θ2+ i sin θ2(cos2= r 2z(و cos1= r 1z)θ1+ i sin θ1( اذا كان :
فان :z1
z2 =
r1
r2 [cos(θ1-θ2)+ i sin(θ1-θ2)]
( مثال/ اذا كان 5π
6+ i sin
5π
6= 4(cos 1z ,)
π
6+ i sin
π
6(cos3 = 2z اوجد ناتج
z1
z2ثم اكتب
الناتج بالصيغة القطبية. الحل/
z1
z2 =
4
3 [cos(
5π
6 - π
6)+ i sin(
5π
6 - π
6)] =
4
3 [cos(
4π
6)+ i sin(
4π
6)]
= 4
3 [cos(
2π
3)+ i sin(
2π
3 الصيغة القطبية [(
z1
z2 =
4
3 [-cos(
π
3)+ i sin(
π
3)] =
4
3 (
−1
2 +
√3
2 i) =
2
3 (-1 + √3 i) الصيغة الجبرية
1 - 5حلول التمارين أحسب ما يأتي: -8
a) [cos5
24𝜋 + i sin
5
24𝜋]
4
= cos 4 (5𝜋
24) + i sin 4 (
5π
24) = cos (
5𝜋
6) + i sin (
5π
6)
= cos (𝜋 −𝜋
6) + i sin (𝜋 −
𝜋
6) = −cos (
𝜋
6) + i sin (
𝜋
6) = −
√3
2+ 1
2 i
b) [cos7
12𝜋 + 𝑖 sin
7
12𝜋]
−3
= cos 3 (7𝜋
12) − i sin 3 (
7π
12) = cos (
7𝜋
4) − i sin (
7π
4)
= cos (2𝜋 −𝜋
4) − i sin (2𝜋 −
𝜋
4) = cos (
𝜋
4) + i sin (
𝜋
4) =
1
√2+
1
√2 i
ر )او التعميم( ما يأتي:ڤاحسب باستخدام مبرهنة ديموا -2
a) (1 – i)7
بالصيغة القطبية وذلك بايجاد المقياس والسعة: (i-1)نكتب العدد الحل/z = 1 – i = (1,-1) ليكن
r = Mod(z) = √x2 + y2 = √1 + 1 = √2unit
cos θ = x
r =
1
√2 , sin θ =
y
r=
−1
√2
زاوية االسناد = ∴𝝅
𝟒 , العدد يقع في الربع الرابع
∴ θ = arg(z) = 2𝜋 −𝜋
4=
7𝜋
4
بالصيغة القطبية: zنكتب العدد
z = √2 )cos 𝟕𝝅
𝟒 + i sin
𝟕𝝅
𝟒(
ر:ڤحسب مبرهنة ديموا
z7 = (√2)7 (cos 𝟕 𝝅
𝟒 + i sin
𝟕 𝝅
𝟒)7 = (√2)7 (cos
𝟒𝟗 𝝅
𝟒 + i sin
𝟒𝟗 𝝅
𝟒)
رڤمبرهنة ديموا الفصل االول )االعداد المركبة( [ 9 – 1 ]
80087450770المرسل للخدمات الطباعية / 45 احمد الشمرياألستاذ
z7 = 8√2 (cos 𝝅
𝟒 + i sin
𝝅
𝟒)
z7 = 8√2 (1
√2 +
1
√2 i)
∴ (1 - i)7 = 8 + 8 i مالحظة/ اذا لم يحدد في السؤال "باستخدام مبرهنة ديمواڤر" فيكون الحل االسهل كما مبين:
(1 - i)7 = [(1 - i)2]3 (1- i) = (1 - 2i - 1)3 (1- i) = (-2i)3 (1- i) = -8 i3 (1- i) = 8i (1- i) = 8 + 8i
b) (√3 + i)-9
الحل/
z = √3 + i = (√3, 1) ليكن
r = Mod(z) = √x2 + y2 = √3 + 1 = 2unit
cos θ = x
r =
√3
2 , sin θ =
y
r=
1
2
زاوية االسناد = ∴𝝅
𝟔 , العدد يقع في الربع االول
∴ θ = arg(z) = 𝜋
6
بالصيغة القطبية: zنكتب العدد
z = 2 )cos 𝝅
𝟔 + i sin
𝝅
𝟔(
ر:ڤحسب مبرهنة ديموا
z-9 = (2)-9 (cos 𝝅
𝟔 + i sin
𝝅
𝟔)-9 = (
1
29) (cos 𝟗𝝅
𝟔 - i sin
𝟗𝝅
𝟔) =
1
512 (cos
𝟑𝝅
𝟐 - i sin
𝟑𝝅
𝟐)
z-9 = 1
512 (0 – (-i)) =
1
512 i
بسط ما يأتي: -3
a) (cos 2θ + i sin 2θ)5
(cos 3θ + i sin 3θ)3 =
[(cosθ + i sinθ)2]5
[(cosθ + i sinθ)3]3 =
(cosθ + i sin θ)10
(cosθ + i sin θ)9 = cos θ + i sin θ
b) (cosθ + i sinθ)8(cosθ - i sinθ)4 ….. بطريقتين
الطريقة االولى: الحل/
(cosθ + i sinθ)8(cosθ - i sinθ)4 = (cosθ + i sinθ)8(cosθ + i sinθ)-4
= (cosθ + i sinθ)4 = cos4θ + i sin4θ
الطريقة الثانية:
(cosθ + i sinθ)8(cosθ - i sinθ)4 = [(cosθ + i sinθ)2]4 (cosθ - i sinθ)4 = [(cosθ + i sin4θ)2(cosθ - i sinθ)]4 =[(cos2θ + 2i cosθ sinθ - sin2θ)(cosθ - i sinθ)]4 =[cos3θ + 2i cos2θ sinθ - cosθ sin2θ - icos2θ sinθ + 2cosθ sin2θ - i sin3θ]4
=[cos3θ + i cos2θ sinθ + cosθ sin2θ + isin3θ]4
=[(cos3θ + cosθ sin2θ) + (i cos2θ sinθ + isin3θ)]4
Hint: x4y4 = (x.y)4
مالحظة/49 𝜋
4=
49 𝜋
4− 12 𝜋 =
𝝅
𝟒
√2= 8 (√2)6(√2)= 7(√2)
رڤمبرهنة ديموا الفصل االول )االعداد المركبة( [ 9 – 1 ]
80087450770المرسل للخدمات الطباعية / 46 احمد الشمرياألستاذ
=[cosθ (cos2θ + sin2θ) + isinθ (cos2θ + sin2θ)]4
∵ θ ∈ R ⇒ ∴ cos2 θ + sin2 θ = 1
= [cosθ (1) + isinθ (1)]4= (cosθ + isinθ)4 = cos4θ + i sin4θ
.8-4ر ثم بالطريقة المعروضة في البند ڤباستخدام مبرهنة ديموا i 3√+1-جد الجذور التربيعية للعدد المركب -4 رڤاوال : باستخدام مبرهنة ديموا الحل/
z =−1ليكن + √3 i
z = = −1 + √3 i = (-1 , √3) :zنجد المقياس والسعة للعدد
mod(z) = r = √1 + 3 = 2 unit
cos θ = −1
2 , sin θ =
√3
2
زاوية االسناد = ∴𝝅
𝟑 , العدد يقع في الربع الثاني
∴ arg(z) = 𝜋 − 𝜋
3 =
2𝜋
3
بالصيغة القطبية: zنكتب العدد
∴ z = 2 )cos 2π
3 + i sin
2π
3(
فيصبح: zلعدد hنأخذ جذر
√z = √2 (cos 2π
3 + i sin
2π
3) = √2(cos
2π 3 +2πk
2+ isin
2π 3 +2πk
2)
k = 0 , 1
k = 0 ⇒ √z = √2 (cos 2π
6+ i sin
2π
6) = √2 (cos
π
3+ i sin
π
3)
= √2 ( 1
2+
√3
2i) =
1
√2+
√3
√2i
k = 8 ⇒ √z = √2 (cos 8π
6+ i sin
8π
6) = √2 (cos
4π
3+ i sin
4π
3)
= √2 (−cos π
3− i sin
π
3) = √2 (
−1
2−
√3
2i) =
−1
√2−
√3
√2i
∴ √−1 + √3 i = ± (1
√2+
√3
√2i)
:8-4ثانيا/ باستخدام البند
√−1 + √3 i = x+ y i
−1 + √3 i = (x + y i)2 تربيع الطرفين −1 + √3 i = x2 + 2xy i – y2
تساوي عددين مركبين:من
2xy = √3 ⇒ y = √3
2x …… ❶
x2 – y2 = -1 ……. ❷ : ❷في ❶نعوض
x2 – (√3
2x)2 = -1 ⇒ x2 –
3
4x2 = -1
رڤمبرهنة ديموا الفصل االول )االعداد المركبة( [ 9 – 1 ]
80087450770المرسل للخدمات الطباعية / 40 احمد الشمرياألستاذ
4x4 – 3 = -4x2 4x2 نضرب الطرفين بـ
4x4 + 4x2 – 3 = 0 (2x2 - 1) (2x2 + 3) = 0 2x2 + 3 = 0 عدد حقيقي x تهمل الن
∴ 2x2 – 1 = 0
2x2 = 1 ⇒ x2 = 1
2 ⇒ x = ±
1
√2
:yلنجد 8في معادلة xنعوض قيم
x = 1
√2 ⇒ y =
√3
2 . 1
√2
= √3
√2
x = −1
√2 ⇒ y =
√3
2 . −1
√2
= −√3
√2
∴ √−1 + √3 i = ± (1
√2+
√3
√2i)
.27iر جد الجذور التكعيبية للعدد ڤبأستخدام مبرهنة ديموا -8
27i = 27 (cos π
2+ i sin
π
2)
√27i3
= (27i)131 = [27 (cos
𝜋
2+ i sin
𝜋
2)]
131 = 3 (cos
𝜋
2+2𝜋k
3+ i sin
𝜋
2+2𝜋k
3)
k = 0 , 1 , 2
k = 0 ⇒ 3 (cos 𝜋
6+ i sin
𝜋
6) = 3(
√3
2+
1
2 i)
k = 1 ⇒ 3 (cos 5𝜋
6+ i sin
5𝜋
6)
= 3 [cos (𝜋 − 𝜋
6) + i sin (𝜋 −
𝜋
6)] = 3 (−cos
𝜋
6+ i sin
𝜋
6)= 3(
−√3
2+
1
2 i)
k = 2 ⇒ 3 (cos 9𝜋
6+ i sin
9𝜋
6) = 3 (cos
3𝜋
2+ i sin
3𝜋
2) = 3(0-i) = -3i
∴ √27i3
= { 3√3
2+
3
2 i ,
−3√3
2+
3
2 i , -3i }
ر.ڤباستخدام مبرهنة ديموا (16-)جد الجذور االربعة للعدد -1 الحل/
-16 = 16(-1) = 16 (cos π + i sin π)
√−164
= [16 (cos𝜋 + i sin𝜋)]141 = 2 (cos
𝜋+2𝜋k
4+ i sin
𝜋+2𝜋k
4)
k = 0 , 1 , 2 , 3
k = 0 ⇒ √−164
= 2 (cos𝜋
4+ i sin
𝜋
4) = 2(
1
√2 +
1
√2 i) = √2 + √2 i
k = 1 ⇒ √−164
= 2 (cos3𝜋
4+ i sin
3𝜋
4)
الزاوية 3𝜋
4 الثانيفي الربع
الزاوية 5𝜋
6
في الربع الثاني
رڤمبرهنة ديموا الفصل االول )االعداد المركبة( [ 9 – 1 ]
80087450770المرسل للخدمات الطباعية / 40 احمد الشمرياألستاذ
= 2 [cos (𝜋 −𝜋
4) + i sin (𝜋 −
𝜋
4)]= 2 (−cos
𝜋
4+ i sin
𝜋
4)
= 2(−1
√2 +
1
√2 i) = −√2 + √2 i
k = 2 ⇒ √−164
= 2 (cos5𝜋
4+ i sin
5𝜋
4)
الزاوية 5𝜋
4 في الربع الثالث
= 2 [cos (𝜋 +𝜋
4) + i sin (𝜋 +
𝜋
4)]
= 2 (−cos𝜋
4− i sin
𝜋
4) = 2(
−1
√2 -
1
√2 i) = −√2 − √2 i
k = 3 ⇒ √−164
= 2 (cos7𝜋
4+ i sin
7𝜋
4)
الزاوية 7𝜋
4 في الربع الرابع
= 2 [cos (2𝜋 −𝜋
4) + i sin (2𝜋 −
𝜋
4)]
= 2 (cos𝜋
4− i sin
𝜋
4)= 2(
−1
√2 -
1
√2 i) = √2 − √2 i
∴ √−164
= {±(√2 + √2 i) , ±(√2 − √2 i)} ر.ڤبأستخدام مبرهنة ديموا (64i-)جد الجذور الستة للعدد -7
الحل/
-64i = 14(-i) = 64 (cos3𝜋
2+ i sin
3𝜋
2)
√−64i 6
= [64 (cos3𝜋
2+ i sin
3𝜋
2)]
161 = 2 (cos
3𝜋
2+2𝜋k
6+ i sin
3𝜋
2+2𝜋k
6)
k = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5
k = 0 ⇒ √−64i6
= 2 (cos3𝜋
12+ i sin
3𝜋
12) = 2 (cos
𝜋
4+ i sin
𝜋
4)
= 2( 1
√2 +
1
√2 i) = √2 + √2 i
k = 1 ⇒ 2 (cos7𝜋
12+ i sin
7𝜋
12)
k = 2 ⇒ 2 (cos11𝜋
12+ i sin
11𝜋
12)
k = 3 ⇒ 2 (cos15𝜋
12+ i sin
15𝜋
12) = 2 (−cos
𝜋
4− i sin
𝜋
4)= 2(
−1
√2 −
1
√2 i) = −√2 − √2 i
k = 4 ⇒ 2 (cos19𝜋
12+ i sin
19𝜋
12)
k = 5 ⇒ 2 (cos23𝜋
12+ i sin
23𝜋
12)
التمارين العامة واالثرائية الفصل االول )االعداد المركبة(
80087450770المرسل للخدمات الطباعية / 47 احمد الشمرياألستاذ
التمارين العامة
والتي تحقق x,y ∈ Rجد قيمة -8y
1+i=
x2+4
x+2i
3w9n)جد ناتج -2 +5
w5 +4
w4) )عدد صحيح(. n ∈ Zحيث 6
اذا كان -31+√3i
1+√−3zر ڤعددا مركبا , جد باستخدام مبرهنة ديموا
121
التمارين االثرائية جد الجذور التربيعية لكل من االعداد المركبة االتية: -1
a) 7+iw+iw2
1−iw−iw2 b) 2√3i + (1 + w4)6 − (1 + w5)3
c) 5π
3( وسعته االساسية 81مقياس العدد المركب)
= a + bi وكان a , b ∈ Rاذا كان كل من -27−4i
2+i2a√فجد قيمة − bi
اذا علمت ان: x , y ∈ Rجد قيمة كل من -3
a)(1−i
1+i)2
+ 1
x+yi= 1 + i b) (2+xi)(-x+i)=
9y2+49
3y+7i
c) (y + √3)2 = x3−27i
x2−3xi−9 d) √
iw2+i
w2 = xw + ywi
e) (1−i
1+i) x + (1 + 3i)y = (1 − i)(1 + 3i)
اذا علمت ان العددين -44x+i
3+2i ,
y−i
1−i .x , y ∈ Rمترافقين , فما قيمة
i 3√ حل المعادلة : -5 = 1 - 3x فيℂ
.wy 2x2w +2, جد قيمة ix = 2+ ,√3 i -y = 2 3√اذا كان -6 ر.ڤوباستخدام مبرهنة ديموا (i-)جد الجذر التربيعي للعدد -7 اثبت ان : -8
a) (cos 10 + i sin 10)10(cos 20 + i sin 20)6
(cos 30 + i sin 30)7(cos 25 + i sin 25)4 = i
b) (1
1+3w2 −1
1+3w4)2= −
27
49
R ∈x حيث x 5x +10 0 = 1 + فاثبت ان : x+1=0 2x+اذا علمت ان -9
i = 0 –x – 2ixجد المقياس والقيمة االساسية للسعة لكل من جذري المعادلة -11
( ليكن : -117
w2+ 2.(7 + 9w2+ 2) 6
wk = (2w + جد فيℂ : مجموعة حل المعادلةki = 0 – 5x
ℂ: √x3جد مجموعة حل المعادلة في -12 − √3 − i = 0
C : 3n+2+ w 1-3nC = w ,N ∈nبالصيغة القطبية للعدد المركب حيث Cعبر عن العدد المركب -13
(6 اذا كان : -14π
6sin i+
π
6x = (cos عبر عن العدد المركبz : بالصيغة القطبية للعدد المركب حيث
|x|+ 2w x–w xz =
(6ليكن : -154
w4+ 5
w5k = (3 + حل المعادلة+ ki = 0 3x فيℂ