رياضيات سادس العلمي الفصل الاول

جمهورية العراق وزارة التربية

املديرية العامة للمناهج

äÉ«°VÉjôdG

للصف السادس العلمي

المؤلفون

د. رحيــــم يــونس كـــــــــرو د. طـــارق شعبــــان رجب

محمد عبد الغفور الجواهري منعــم حســين التميـــمـي

يــوسـف شريــــف المعمـــار جعفر رضا هاشم الزبيـدي

امل�شرف العلمي على الطبع: د.طارق �شعبان رجب احلديثي

امل�شرف الفني على الطبـع : حممد �شعدي عزيز العبيـدي

رقم االيداع في دار الكتب والوثائق ببغداد 855 لسنة 2010

مقدمة لقد ظهرت في الكثير من دول العالم املتقدم مناهج حديثة في الرياضيات، وطرائق جديدة لتناولها كانت سببا في حركة ديناميكية فعالة أثرت في العملية التعليمية في املدارس واجلامعات، وأحدثت فيها تطويرا جذريا، وعليه أصبح من الضروري أن يلتحق العراق بهذا الركب وان يسارع في العمل لتطوير مناهج التعليم فهناك عالقة واملدنية، احلضارة دعائم إرساء في طليعيا دورا تلعب التي الرياضيات في وخاصة واساليبه وبني بصفة خاصة واالقتصادية والتكنولوجيه واملدنية، والزراعية الصناعية التنمية احتياجات بني طردية

مناهج الرياضيات في املؤسسات التعليمية مبختلف مستوياتها . وفي ضوء خطة تطوير املناهج الدراسية عامة ومناهج الرياضيات خاصة مت تأليف هذا الكتاب الذي هو آخر حلقة من سلسلة الرياضيات قبل اجلامعية، اذ تقع مادة هذا الكتاب في ستة فصول، تناول الفصل االول االعداد املركبة، والعمليات عليها وايجاد اجلذور وخواصها ، وحل معادالت من الدرجة الثانية في مجموعة

االعداد املركبة، واالحداثيات القطبية واخيرا مقياس العدد املركب وسعته وكتابته بداللتيهما. الناقص، الثاني فقد احتوى على القطوع املخروطية متضمنة القطوع املخروطية )املكافيء، اما الفصل

الزائد( واملعادلة القياسية لكل منها في حاالت مختلفة، واالختالف املركزي لكل قطع مخروطي . الزمنية واملعدالت لالشتقاق القابلة للدوال العليا املشتقات على الثالث الفصل واشتمل والتقريب املتوسطة القيمة ونظرية رول ونظرية احمللية والصغرى العظمى والقيم Related Rates باستخدامها، والتقعر والتحدب ورسم بيان بعض كثيرات احلدود واحلدوديات النسبية، واشتقاق الدوال

االسية واللوغارمتية. أما الفصل الرابع فقد احتوى على موضوع التكامل وتطبيقاته ، اذ مت التطرق الى التجزئة املنتظمة ومجموع

رميان لكن بصورة مبسطة وعن طريق االمثلة بهدف التوصل الى النظرية االساسية للتفاضل والتكامل. ثم التركيز على ايجاد تكامالت الدوال اجلبرية واللوغارمتية واالسية والدائرية وايجاد املساحة بني منحنيني وبني منحني ومحور السينات وحجوم املجسمات الدورانية واحتوى الفصل اخلامس على موضوع املعادالت

التفاضلية والذي اقتصر على املفاهيم اخلاصة باملعادالت التفاضلية )الرتبة، الدرجة، احلل(. ولم يركز عند حل املعادالت التفاضلية اال على فصل املتغيرات، واملعادالت املتجانسة.

الهندسة مادة من العلمي اخلامس الصف في الطالب درسه ملا تكملة تضمن فقد االخير الفصل اما املتعلقة واملبرهنات العمودي االسقاط ومفاهيم املتعامدة واملستويات الزوجية بالزاوية واملتعلقة املجسمة

بهذه املوضوعات كما اشتمل هذا الفصل على مساحات وحجوم بعض املجسمات . وقد روعي في هذا الكتاب وجود قدر كاف من التطبيقات احلياتية والفيزيائية واالمثلة واملسائل والتمرينات املنوعة ، وتوخينا جهد امكاننا ان تترابط موضوعات هذا الكتاب مع كتب الرياضيات للصفوف التي سبقته ومع ما يدرسه الطلبة في دراستهم الالحقة فضال عن مراعاة الفروق الفردية بني الطلبة، آملني ان نكون قد وفقنا في ذلك كله ، ومرحبني بكل نقد بناء من الطلبة واولياء امورهم او مدرسيهم او من ذوي االختصاص

واالهتمام إلثراء الكتاب وتطويره

واهلل ولي التوفيق

املؤلفون

4

Complex numbers áÑcôŸG OGóY’G áÑcôŸG OGóY’G

1

[1-1] احلاجة الى توسيع مجموعة االعداد احلقيقية.[2-1] العمليات على مجموعة االعداد املركبة.

[3-1] مرافق العدد املركب.[4-1] اجلذور التربيعية للعدد املركب..C [5-1] حل املعادلة التربيعية في

[6-1] اجلذور التكعيبية للواحد الصحيح.[7-1] التمثيل الهندسي لالعداد املركبة.

[8-1] الصورة القطبية للعدد املركب. [9-1] مبرهنة دميواڤر.

4

Complex Numbers áÑcôŸG OGóY’G

∫h’G π°üØdG

Chapter One

الرمز او العالقة الرياضية املصطلح

R(z) = x = r cos θ I (z) = y = r sin θ

arg (z) = θr = ||z|| = mod z

LHSRHS

R (z):z اجلزء احلقيقي للعدد I (z): z اجلزء التخيلي للعدد

z سعة العدد املركبz مقياس العدد املركب

الطرف االيسر الطرف االمين


5

[1-1] احلاجة الى توسيع مجموعة االعداد احلقيقية.

لقد درسنا في الصفوف السابقة حل املعادلة اخلطية )Linear Equation(، وعرفنا انه يوجد حل واحد في مجموعة االعداد احلقيقية الية معادلة خطية.

وعند دراستنا للمعادلة التربيعية تبني أنه لنوع معني منها حل في مجموعة االعداد احلقيقية، ونوع آخر ال يوجد لها حل في هذه املجموعة، مثل املعادالت :)x2 + 4x+ 5 =0( ، ) x2 + 1 = 0( وكما تعلمت التربيعية التي يكون مميزها )b2 - 4ac( عددا سالبا ال يوجد لها حل في مجموعة االعداد ان املعادالت

احلقيقية. ان ظهور مثل هذه املعادالت في العديد من التطبيقات الفيزياوية والهندسية ادى الى احلاجة الى توسيع مجموعة االعداد احلقيقية الى مجموعة اوسع منها هي مجموعة االعداد املركبة والتي سوف تكون موضوع

دراستنا في هذا الفصل. )-1( يساوي مربعه حقيقيا عددا الجند )x2=-1( أو )x2+1=0( املعادلة حل نريد عندما إننا 1− وهو غير حقيقي ونرمز له بالرمز )i( ويسمى العدد التخيلي لذلك نفترض وجود عدد يساوي

)Imaginary Number( وهو ليس من االعداد التي تقرن مع العد أو القياس. إن العدد )i( يحقق اخلواص اجلبرية لالعداد احلقيقية ما عدا خاصية الترتيب، ولهذا نستطيع حساب

قوى )i( كما في األمثلة اآلتية:

i2 = -1i3 = i2. i = -1.i = -ii4 = i2. i2 = )-1( )-1( = 1i27 = i26.i = )i2(13.i = )-1(13.i = -ii81 = i80.i= )i2(40.i = )-1(40.i = 1.i = ii-7 = )i(-8.i = )i2(-4.i = )-1(-4 . i = i i-15= i-16.i = )i2(-8.i = )-1(-8 . i = i


6

i4n+r = ir , n ∈I , r= 0, 1, 2, 3 حيث

وبصورة عامة يكون

{- i, i , -1 ,1 } لعدد صحيح موجب فالناجت يكون احد عناصر املجموعة )i( وهذا يعني انه عند رفع.)i( والباقي هو األس اجلديد الى )( على )4i( حيث نقسم أس

فمثال : i25 = i ألن ناجت قسمة 25 على 4 يساوي 6 والباقي 1. i99 = i3 = -i ألن ناجت قسمة 99 على 4 يساوي 24 والباقي 3 .

مثال- 1- اكتب ما يلي في ابسط صورة:

)a( i16 )b( i58 )c( i93 )d( i-13

احلل:

)a( i16 = i4 )4( + 0 = i0 = 1)b( i58 = i4 )14( + 2 = i2 = -1)c( i93 = i4)23(+1 = i1 = i

)d( i-13 = 1i13

=i16

i13 =i3 = -i

ميكننا كتابة اجلذور ألي عدد حقيقي سالب بداللة i, فمثال:مالحظـة

−16 = 16 . −1 = 4 i

−25 = 25 . −1 = 5 i

−12 = 12 . −1 = 2 3 i

−15 = 15 . −1 = 15 i

وبصورة عامة يكونif a ≥ 0 then −a = a . −1 = a ii , ∀ a≥0

عدد b حقيقي، عدد a حيث )a+bi( العدد نسمي ماذا التخيلي العدد على تعرفنا أن بعد واآلن 1− ؟ = i ،حقيقي

مالحظـةان اي عدد مركب c = a + bi ميكن جعله مناظرا للزوج

(a,b) املرتب الوحيد

اذ أن b,a عددان حقيقيان، وبالعكس فالعدد احلقيقي a ميكن كتابته بالشكل a+0i أو )a,0(. وان . i= 0+1i او i ⇔ )0,1 ( :حيث ان ) Unit Imaginary Number( i العدد

0( عدد تخيلي بحت ) pure Imaginary Number( ويقال , b( ⇔ bi يقال للعدد . )Pure Real Number( إنه عدد حقيقي بحت )a , 0( ⇔ a= a+0i للعدد

2- عدد مركب ، جزؤه احلقيقي 2- وجزؤه التخيلي 3 + 3i فالعددوالعدد 2- عدد مركب ، جزؤه احلقيقي 2- وجزؤه التخيلي 0 اما العدد 3i- فهي عدد مركب ، جزؤه احلقيقي 0 وجزؤه التخيلي 3-

i

i

i

i

مـــــركب عــــدد −1 = i حقيقيـان عـــددان a,b حيــث c = a+bi للعــــدد يقــــال

)Complex Number(، يسمى a جزؤه احلقيقي) Real Part ( ويسمى b جزؤه التخيلي a +bi للصيغة ويقال £ بالرمز املركبة الى مجموعة االعداد )Imaginary Part(. ويرمز

الصيغة العادية أو الصيغة اجلبرية للعدد املركب.

]1-1] ∞`jô```©J

i


7

وبصورة عامة يكونif a ≥ 0 then −a = a . −1 = a ii , ∀ a≥0

عدد b حقيقي، عدد a حيث )a+bi( العدد نسمي ماذا التخيلي العدد على تعرفنا أن بعد واآلن 1− ؟ = i ،حقيقي

مالحظـةان اي عدد مركب c = a + bi ميكن جعله مناظرا للزوج

(a,b) املرتب الوحيد

اذ أن b,a عددان حقيقيان، وبالعكس فالعدد احلقيقي a ميكن كتابته بالشكل a+0i أو )a,0(. وان . i= 0+1i او i ⇔ )0,1 ( :حيث ان ) Unit Imaginary Number( i العدد

0( عدد تخيلي بحت ) pure Imaginary Number( ويقال , b( ⇔ bi يقال للعدد . )Pure Real Number( إنه عدد حقيقي بحت )a , 0( ⇔ a= a+0i للعدد

2- عدد مركب ، جزؤه احلقيقي 2- وجزؤه التخيلي 3 + 3i فالعددوالعدد 2- عدد مركب ، جزؤه احلقيقي 2- وجزؤه التخيلي 0 اما العدد 3i- فهي عدد مركب ، جزؤه احلقيقي 0 وجزؤه التخيلي 3-

i

مـــــركب عــــدد −1 = i حقيقيـان عـــددان a,b حيــث c = a+bi للعــــدد يقــــال

)Complex Number(، يسمى a جزؤه احلقيقي) Real Part ( ويسمى b جزؤه التخيلي a +bi للصيغة ويقال £ بالرمز املركبة الى مجموعة االعداد )Imaginary Part(. ويرمز

الصيغة العادية أو الصيغة اجلبرية للعدد املركب.

]1-1] ∞`jô```©J

i


8

: a+bi مثال- 2- اكتب األعداد اآلتية على صورة

a)−5 b) −100 c)−1− −3 d)1+ −254

احلل:

a) − 5 = −5+ 0 i

b) −100 = 100 −1 =10 i = 0+10 i

c) −1 − −3 = −1− 3 −1 = −1− 3 i

d)1+ −254

=14+

25 −14

=14+

54i

مبا ان كل عدد حقيقي a ميكن كتابته بالشكل a+ 0i أو )a ,0( اي ميكن كتابته على صورة عدد مركب جزؤه التخيلي صفر فان هذا يبني أن :

¿É«∏«îàdG ÉªgGAõL ihÉ°ùJh ¿É«≤«≤◊G ÉªgGAõL ihÉ°ùJ GPG ¿ÉÑcôŸG ¿GOó©dG ihÉ°ùàj …G

.¢ùμ©dÉHh

c1 = a1 + b1i , c2 = a2 + b2i : اذا كان c1 = c2 ⇔ a1 = a2 , b1 = b2 : فإن

]1-2] ∞`jô```©J

i

i i

i

i

مالحظـةمجموعة االعداد احلقيقية هي مجموعة جزئية من مجموعة

. R ⊂ £ االعداد املركبة اي ان


9

مثال- 3 - جد قيمة كل من y , x اللتني حتققان املعادلة في كل مما يأتي .

a( 2x -1 +2i = 1+)y+1(i .

b( 3x+4i = 2 +8yi

c( )2y+1( - )2x-1(i = -8+ 3i

احلل:

a( ∵ 2x-1 +2i = 1+)y+1(i

∴ 2x -1 = 1 ⇒ 2x = 2

⇒ x =1

2 = y+1 ⇒ y = 2-1

∴ y=1

b( 3x+4i = 2 + 8yi

∴3x = 2 , 4 = 8y ⇒

x= 23 , y = 48 = 12

c( ∵ )2y+1( - )2x-1(i = -8 + 3i

∴ 2y+1 = - 8 , - )2x -1 ( = 3 ⇒

2y = -9 , -2x = 2 ⇒

y = −92

, x = -1


10

[2-1] العمليات على مجموعة االعداد املركبة.

: áÑcôŸG OGóY’G áYƒª› ⋲∏Y ™ª÷G á«∏ªY : k’hG

∋ c1, c2 فان £ ليكن c2 = a2 + b2i , c1 = a1 + b1i حيث c1 + c2 = )a1 + a2 ( + )b1 + b2 ( iوكما تعلم أن: Ra1 + a2( ∈ R ،)b1 +b2 ( ∈ ( الن مجموعة االعداد احلقيقية مغلقة

حتت عملية اجلمع . ∴ )a1 + a2 ( + )b1 + b2 ( i ∈ £

اي ان مجموعة االعداد املركبة مغلقة حتت عملية اجلمع.

]1-3] ∞`jô```©J

جد مجموع العددين املركبني في كل مما يأتي : مثال- 4-

a)3+4 2i, 5−2 2ib)3, 2−5ic)1− i, 3i

احلل :

a)(3+4 2i)+(5−2 2i)= (3+5)+(4 2 −2 2)i =8+2 2i

b)(3)+(2−5i)= (3+0i)+(2−5i)

= (3+2)+(0−5)i = 5−5ic)(1− i)+3i = (1− i)+(0+3i)

= (1+0)+(−1+3)i =1+2i

áÑcôŸG OGóY’G áYƒª› ≈∏Y ™ª÷G á«∏ªY ¢UGƒN

تتمتع عملية اجلمع على االعداد املركبة باخلواص اآلتية: ∀c1, c2, c3 ∈

£

فان:

)1( c1 + c2 = c2 + c1 )Commutativity( . اخلاصية االبدالية * )2( c1 + )c2 +c3( = )c1 + c2( +c3 )Associativity( .اخلاصية التجميعية *)3( ∀ c ∈

£ , c= a+bi ∃ - c∈£ )Additive Inverse( .النظير اجلمعي *c النظير اجلمعي للعدد املركب )-c( يسمى -c = -a-bi حيث

)4( e = 0 = 0 + 0i ∈

£ *العنصر احملايد اجلمعي. Additive Identity يرمز له بالرمز e ويعرف

)Commutative Group( هي زمرة ابدالية )

£مما سبق نستنتج أن )+ ,

مالحظـةان طرح أي عدد مركب من آخر يساوي حاصل جمع العدد

املركب االول مع النظير اجلمعي للعدد املركب الثاني.

مثال- 5- جد ناجت : )7-13i( - )9+4i(

احلل :

)7-13i( - )9+4i( =)7-13i( + )-9 -4i( =)7-9( + )-13 - 4(i = -2 - 17i

i i

ii i

i i ii

i i i

i ii i i i

i i


11

áÑcôŸG OGóY’G áYƒª› ≈∏Y ™ª÷G á«∏ªY ¢UGƒN

تتمتع عملية اجلمع على االعداد املركبة باخلواص اآلتية: ∀c1, c2, c3 ∈

£

فان:

)1( c1 + c2 = c2 + c1 )Commutativity( . اخلاصية االبدالية * )2( c1 + )c2 +c3( = )c1 + c2( +c3 )Associativity( .اخلاصية التجميعية *)3( ∀ c ∈

£ , c= a+bi ∃ - c∈£ )Additive Inverse( .النظير اجلمعي *c النظير اجلمعي للعدد املركب )-c( يسمى -c = -a-bi حيث

)4( e = 0 = 0 + 0i ∈

£ *العنصر احملايد اجلمعي. Additive Identity يرمز له بالرمز e ويعرف

)Commutative Group( هي زمرة ابدالية )

£مما سبق نستنتج أن )+ ,

مالحظـةان طرح أي عدد مركب من آخر يساوي حاصل جمع العدد

املركب االول مع النظير اجلمعي للعدد املركب الثاني.

مثال- 5- جد ناجت : )7-13i( - )9+4i(

احلل :

)7-13i( - )9+4i( =)7-13i( + )-9 -4i( =)7-9( + )-13 - 4(i = -2 - 17i


12

مثال- 6- حل املعادلة:

)2-4i( +x=-5+i x ∈

£

حيث

احلل :

)2-4i( +x= -5+i

)2-4i(+)-2+4i(+x = )-5+i(+)-2+4i(

باضافة النظير اجلمعي للعدد )4i-2( للطرفني

∴ x = )-5+i(+)-2+4i(

= )-5-2(+)1+4(i

x = -7+5i

: áÑcôŸG OGóY’G áYƒª› ⋲∏Y Üô°†dG á«∏ªY :kÉ«fÉK

اليجاد عملية ضرب عددين مركبني نقوم بضربهما بصفتهما مقدارين جبريني ونعوض بدال من i2 العدد

)1-( كما يأتي:

اذا كان c2 = a2 + b2i , c1 = a1 +b1i فان

c1. c2 = )a1+b1i( )a2 + b2i(

= a1a2 + + a1 b2i + a2 b1i + b1 b2i2

= a1 a2 + a1 b2i + a2 b1i - b1b2

= )a1a2 - b1b2 (+ )a1 b2 + a2b1(i

∋ c1,c2 فان :

£

ليكن c2 = a2 + b2i , c1 = a1 + b1i حيث c1 . c2 = )a1a2 - b1b2( + )a1b2 + a2b1(i وكما تعلم : a1a2 - b1b2( ∈ R( وان R ∋ )a1b2 + a2 b1( الن R مغلق حتت عملية الضرب c1 . c2 ∈ £ لذلك فان

أي ان مجموعة االعداد املركبة مغلقة حتت عملية الضرب.

]1-4] ∞`jô```©J

مثال- 7- جد ناجت كال مما يأتي :

a)(2−3i)(3−5i)

b)(3+4i)2

c)i(1+ i)

d)−

52

(4+3i)

e)(1+i)2 +(1−i)2

احلل :

a)(2− 3i)(3− 5i) = (6−15)+ (−10− 9)i =−9−19i

b)(3+4i)2 = 9+24i+16i2

= 9+24i −16 =−7+24i

(3+4i)2 = (3+4i)(3+4i) = (9 - 16) + (12+12) i = -7 +24i أو

c)i(1+ i)= i+ i2 =−1+ iمالحظـة

cاذا كان ، فان = a+bi , k ∈ Rkc = ka+ kbi


13

∋ c1,c2 فان :

£

ليكن c2 = a2 + b2i , c1 = a1 + b1i حيث c1 . c2 = )a1a2 - b1b2( + )a1b2 + a2b1(i وكما تعلم : a1a2 - b1b2( ∈ R( وان R ∋ )a1b2 + a2 b1( الن R مغلق حتت عملية الضرب c1 . c2 ∈ £ لذلك فان

أي ان مجموعة االعداد املركبة مغلقة حتت عملية الضرب.

]1-4] ∞`jô```©J

مثال- 7- جد ناجت كال مما يأتي :

a)(2−3i)(3−5i)

b)(3+4i)2

c)i(1+ i)

d)−

52

(4+3i)

e)(1+i)2 +(1−i)2

احلل :

a)(2− 3i)(3− 5i) = (6−15)+ (−10− 9)i =−9−19i

b)(3+4i)2 = 9+24i+16i2

= 9+24i −16 =−7+24i

(3+4i)2 = (3+4i)(3+4i) = (9 - 16) + (12+12) i = -7 +24i أو

c)i(1+ i)= i+ i2 =−1+ i

i i

i

i i

i

i i

i i ii

i i ii

i

i i i i i

i i i i i


14

d)−52

(4+3i)=−10−152i

e)(1+i)2 +(1−i)2 =(1+2i+i 2 )+(1−2i+i 2 )

= 2i + ( -2i) = 0

áÑcôŸG OGóY’G áYƒª› ≈∏Y Üô°†dG á«∏ªY ¢UGƒN

تتمتع عملية الضرب على االعداد املركبة باخلواص اآلتية: ∀c1, c2, c3 ∈ )1( c1 × c2 = c2 × c1 )Commutativity( . اخلاصية االبدالية *)2( c1 × )c2 ×c3( = )c1 × c2( ×c3 )Associativity( .اخلاصية التجميعية *)3( 1= )1+0i( وهو )Multiplicative Inverse( يتوفر العنصر احملايد الضربي *

)Multiplicative Inverse( النظير الضربي * )4(∀c≠)0+0i(,∃ 1

C∈C ,بحيث × 1

C=(1+0i)

اي ان لكل عدد مركب cعدا الصفر يوجد له نظير ضربي ينتمي الى مجموعة االعداد املركبة.اي ان: )×, )C-)0+0i( زمرة ابدالية اي ان: )× , + ,C( حقل يسمى حقل االعداد املركبة

Conjugate Number [3-1] مرافــــق العــدد املــركب

∀ a, b∈R ، c = a-bi هو العدد املركب c=a+bi مرافق العدد املركب ]1-5] ∞`jô```©J

فمثال: i+3 هو مرافق العدد i-3 وبالعكس، وكذلك مرافق )i( هو )i-( وبالعكس . وان 4i-5 مرافق 4i+5 وبالعكس، وكذلك مرافق العدد 7 هو 7 وبالعكس.

يتضح من تعريف املرافق أنه يحقق اخلواص اآلتية:مالحظـة

1( c1±c2 = c1 ±c2

2(

c1 g c2 = c1 g c2

3( c= c4( c . c = a2 +b2 اذا كان c = a + bi فان

5( c= c اذا كان R∋ فان 6(

احلل:

)1( c1+c2 = (1+ i)+ (3− 2i)

= (4− i)= 4+ i

c1+c2 = (1+ i)+ (3− 2i)

= (1− i)+(3+2i) = 4+ i

∴c1+c2 = c1+c2

)2( c1 g c2 = (1+ i)(3−2i)

= 3−2i+3i −2i 2 = 5+ i = 5− i

c1 . c2 = (1+ i) (3− 2i) = )1- i( ) 3+2i(

∴c1 g c2 = c1 g c2

i i

i i i i i i

i i

£

c c c

c1C


15

مثال- 8- اذا كان c1 = 1 + i , c2 = 3 - 2i فتحقق من :

)1( c1±c2 = c1±c2 )2(

c1 g c2 = c1 g c2

يتضح من تعريف املرافق أنه يحقق اخلواص اآلتية:مالحظـة

1( c1±c2 = c1 ±c2

2(

c1 g c2 = c1 g c2

3( c= c4( c . c = a2 +b2 اذا كان c = a + bi فان

5( c= c اذا كان R∋ فان 6(

احلل:

)1( c1+c2 = (1+ i)+ (3− 2i)

= (4− i)= 4+ i

c1+c2 = (1+ i)+ (3− 2i)

= (1− i)+(3+2i) = 4+ i

∴c1+c2 = c1+c2

)2( c1 g c2 = (1+ i)(3−2i)

= 3−2i+3i −2i 2 = 5+ i = 5− i

c1 . c2 = (1+ i) (3− 2i) = )1- i( ) 3+2i(

∴c1 g c2 = c1 g c2

c

i i

i

i i

i i i

i i

iiiii

i i

i

= (3+ 2)+ (2− 3)i =5− ii i

c1

c2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

c1

c2

اذا كان c2 = 1 + i , c1 = 3 - 2i فتحقق من :


16

مثال- 9- جد النظير الضربي للعدد c = 2 - 2i وضعه بالصيغة العادية للعدد املركب.

1c

احلل: النظير الضربي للعدد c هو 1c=

12− 2i

=

12− 2i

×2+ 2i2+ 2i

=2+ 2i4+ 4

=2+2i8

=

14+

14i

−3 بالصيغة العادية للعدد املركب. 2i5+ i

مثال- 10- ضع العدد

احلل:3− 2i5+ i

=3− 2i5+ i

×5 − i5 − i

=

(15− 2)+ (−3−10)i25+1

=13−13i

26

=12−12i

c1

c2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

c1

c2

مثال- 11- اذا كان c2 = 1 + i , c1 = 3 - 2i فتحقق من :

c1احلل : c2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

3− 2i1+ i

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

i

i i ii i

i

ii

i i ii i i

i i

i

ii

مالحظـةالجراء قسمة العدد املركب c1 على العدد املركب c2 حيث

c1 ومقامه مبرافق املقام c2

c2≠0 فاننا نضرب بسط املقدار فيكون:

c1c2

=c1c2

×c2c2

3− 2ii

=x+ yi1− 5i

xi + yi 2 = 3−15i − 2i +10i 2

xi − y = 7−17i∴ x = −17y = 7

. x, y∈ R −x مترافقان فجد قيمة كل من yi1+ 5i

=3− 2ii

اذا كان

xi − y = −7−17i∴ x = −17y = 7

,

xi − y = −7−17i∴ x = −17y = 7


17

=

3− 2i1+ i

×1− i1− i

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=

3− 3i − 2i + 2i 2

1+1

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=

1−5i2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

12−52i

=12+52i

c1 c2

c1c2

=3− 2i1+ i

=3+ 2i1− i

=3+2i1− i

×1+ i1+ i

=3+ 3i + 2i + 2i 2

1+1

=1+ 5i2

=12+52i

∴

c1

c2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

c1

c2

:a+bi مثال- 12- ضع كال مما يأتي بالصورة

a( 1+ i1− i

)b( 2 − i3+ 4i

)c( 1+ 2i−2+ i

i i i i ii i

i i i

i iii

i i i i ii i

ii

ii

ii

ii

مالحظـةالجراء قسمة العدد املركب c1 على العدد املركب c2 حيث

c1 ومقامه مبرافق املقام c2

c2≠0 فاننا نضرب بسط املقدار فيكون:

c1c2

=c1c2

×c2c2


18

احلل:

a( 1+ i1− i

=1+ i1− i

×1+ i1+ i

= 1+ 2i + i 2

1+1=

2i2= i = 0+ i

b( 2 − i3+ 4i

=2 − i3+ 4i

×3− 4i3− 4i

=6 −8i −3i + 4i 2

9+16 =

2 −11i25

=225

−1125

i

c( 1+ 2i−2+ i

=1+ 2i−2+ i

×−2 − i−2 − i

= −2 − i − 4i − 2i 2

4 +1 = −5i

5= −i = 0 − i

ميكن حتليل x2+y2 الى حاصل ضرب عددين مركبني كل مالحظـةمنهما من الصورة a+bi وذلك :

x2 +y2 = x2 - y2 i2 = )x-yi()x+yi(

b,a حيث a+bi مثال- 13- حلل كال من العددين 10 ، 53 الى حاصل ضرب عاملني من صورة

عددين نسبيني .

احلل:

او 1 + 9 = 10 ✾ 10 = 1+9

= 9-i2 = 1-9i2

= )3-i()3+i( = )1-3i()1+3i(

او 4 + 49 = 53 ✾ 53 = 4 + 49

= 49 - 4i2 = 4 - 49i2

= )7 - 2i ( )7 + 2i( = )2-7i()2+7i(

i i ii i i

i i ii i

i i i i i i i iiii

i i i i i i i i iiii


19

(1‐

1) øjQÉª

J

1. ضع كال مما يأتي بالصيغة العادية للعدد املركب:

i5 , i6 , i124 , i999 , i4n+1 ∀n∈ N , , )2+3i(2 + )12+2i(

)10 + 3i()0 + 6i( , )1+i(4 - )1-i(4 , 12+ ii

, , 3+ 4i3− 4i

,

i2+ 3i

,

,

3+ i1+ i⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

3

,

,

2+ 3i1− i

×1+ 4i4 + i

.

,

)1+i(3 + )1-i(3

2. جد قيمة كل من y , x احلقيقيتني اللتني حتققان املعادالت اآلتية:

a( y+ 5i = (2x+ i)(x+ 2i) b( 8i = (x+ 2i)(y+ 2i)+1

c( 1− i1+ i⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ (x+ yi) = (1+ 2i)2 d( 2 − i

1+ ix+

3− i2+ i

y =1i

3. اثبت ان :

a( 1

2 − i( )2 −1

2+ i( )2 =825

i b( 1− i( )2

1+ i+

1+ i( )2

1− i= −2

c( (1− i)(1− i 2 )(1− i 3 ) = 4

b, a حيث a+ bi 4. حلل كال من االعداد 85 ، 41 ، 125، 29 الى حاصل ضرب عاملني من الصورة

عددان نسبيان.

+3 مترافقان . i2− i

,6

x+ yi5- جد قيمة y , x احلقيقيتني اذا علمت ان

iii i

i ii

ii ii i

i i i i i i

ii

i i i ii i i

i i iii i

i

i i i


20

[4-1] اجلذور التربيعية للعدد املركب .منهما ± يحقق كل a يوجد عددان حقيقيان هما فانه a عددا حقيقيا موجبا اذا كان أنه تعلمت لقد

± اجلذرين التربيعيني للعدد a. أما اذا كان a = 0 فان له جذر واحد هو 0. a املعادلة x2 = a ويسمى واآلن سنتناول دراسة اجلذور التربيعية للعدد املركب .

.c = 8 + 6i مثال- 14- جد اجلذور التربيعية للعدد

x + yi هو c احلل: نفرض ان اجلذر التربيعي للعدد

∴(x+ yi)2 = 8+ 6i ⇒

x2 + 2xyi + i 2y2 = 8+ 6i ⇒

(x2 − y2 )+ 2xyi = 8+ 6i ⇒

من تعريف تساوي عددين مركبني x2 − y2 = 8.................(1)

2xy = 6 ⇒ y =3x

.......(2)

⎫

⎬⎪

⎭⎪ x2وبالتعويض من املعادلة )2( في املعادلة )1( ينتج : −

3x

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

= 8 ⇒

x2 −9x2 = 8 ⇒

x4 − 8x2 − 9 = 0 ⇒

(x2 − 9)(x2 +1) = 0 ⇒

x = ±3 or x2 = −1 ) x X ∈ R x2 ) تهمل الن = −1

y =3±3

وبالتعويض في املعادلة )2( عن قيمة x نحصل على :

∴ y = ±1 x 3 -3y 1 -1

∴c1 = 3 + i و c2 = -3 - i -3 -i , 3 + i هما c أي أن جذري العدد

i i

i i i

i i

بضرب الطرفني في x2 ينتج :

او


21

8i, -i ، -17 ، -25 : مثال- 15- جد اجلذور التربيعية لالعداد

احلل: a( c2 = −25 ⇒

c = ± −25 = ± 25i

= ±5i

b( c2 = −17 ⇒ c = ± −17

⇒ c = ± 17 i

c( -i هو اجلذر التربيعي للعدد )x+yi( نفرض ان ∴(x+ yi)2 = −i ⇒ x2 − y2 = 0.......(1) 2xy = −1

∴ y =−12x

.........(2) وبالتعويض من املعادلة )2( باملعادلة )1( ينتج:

x2 −

14x2

= 0⇒

بضرب الطرفني في 4x2 ينتج : 4x4 −1= 0 ⇒

(2x2 −1)(2x2 +1) = 0

x2 ) يهمل الن x ∈ R( اما = −12

x = ± 12

او

∴ y = −1

±2x 12

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

y = ±12 + y = ±

12

i

i

ii

±)2(

i

وبالتعويض في )2( عن قيمة x جند :


22

x 12

−12

y −12

12

±12−

12i

⎛

⎝⎜

⎞

⎠ ∴جذرا العدد i- هما ⎟

d( ∴ (x+ yi)2 = 8i ⇒ 8i هو اجلذر التربيعي للعدد x+yi نفرض ان x2 + 2xyi − y2 = 8i ⇒ x2 − y2 = 0........................(1)

2xy = 8 ⇒ y =4x

..............(2)

وبالتعويض من املعادلة )2( في املعادلة )1( ينتج :

x2 −16x2 = 0 ⇒

وبضرب الطرفني في x2 ينتج:

x4 −16 = 0⇒

(x2 − 4)(x2 + 4) = 0 ⇒

)x ∈ R يهمل الن ( x2 = -4 اما x2 = 4 ⇒ x = ±2 او

y =4±2

= ±2 وبالتعويض في املعادلة )2( عن قيمة x ينتج:

x 2 -2y 2 -2

± )2+2i( 8 هماi جذرا العدد∴

. ( [5-1] حل املعادلة التربيعية في (£

≠ a وان a, b, c ∈ R حلني تعلمت من املرحلة املتوسطة ان للمعادلة ax2 + bx + c = 0 حيث 0 ميكن ايجادهما بالدستور :

x =

−b± b2 − 4ac2a

سالبا فانه ال يوجد للمعادلة حلول حقيقية ولكن يوجد

V= b2 − 4ac وعرفت أنه اذا كان املقدار املميز لها حالن في مجموعة االعداد املركبة .

مثال- 16- حل املعادلة x2 + 4x + 5 = 0 في مجموعة االعداد املركبة.

احلل: حسب القانون )الدستور(:x =

−b± b2 − 4ac2a

=−4± 16 − (4)(1)(5)

2(1)

=−4 ± 16 − 20

2

=−4 ± −4

2

=−4 ± 2i

2 = −2± i

−2 − i , −2+ i اي ان للمعادلة جذرين هما

ax2 التي مالحظـة +bx+ c = 0 من الدستور نعلم ان جذري املعادلة التربيعية معامالتها حقيقية هما :

x2 =−b− b2 − 4ac

2a

x1 =−b+ b2 − 4ac

2ax1 . x2 =

ca

x1 وحاصل ضرب اجلذرين هو : + x2 =−ba

ومجموع اجلذرين هو :

i

i i

i i


23

. ( [5-1] حل املعادلة التربيعية في (£

≠ a وان a, b, c ∈ R حلني تعلمت من املرحلة املتوسطة ان للمعادلة ax2 + bx + c = 0 حيث 0 ميكن ايجادهما بالدستور :

x =

−b± b2 − 4ac2a

سالبا فانه ال يوجد للمعادلة حلول حقيقية ولكن يوجد

V= b2 − 4ac وعرفت أنه اذا كان املقدار املميز لها حالن في مجموعة االعداد املركبة .

مثال- 16- حل املعادلة x2 + 4x + 5 = 0 في مجموعة االعداد املركبة.

احلل: حسب القانون )الدستور(:x =

−b± b2 − 4ac2a

=−4± 16 − (4)(1)(5)

2(1)

=−4 ± 16 − 20

2

=−4 ± −4

2

=−4 ± 2i

2 = −2± i

−2 − i , −2+ i اي ان للمعادلة جذرين هما

ax2 التي مالحظـة +bx+ c = 0 من الدستور نعلم ان جذري املعادلة التربيعية معامالتها حقيقية هما :

x2 =−b− b2 − 4ac

2a

x1 =−b+ b2 − 4ac

2ax1 . x2 =

ca

x1 وحاصل ضرب اجلذرين هو : + x2 =−ba

ومجموع اجلذرين هو :

i i

i i


24

وميكن االفادة من هذه اخلواص كما يأتي :

اوال : اذا كان x + yi احد جذري املعادلة ax2+bx+c = 0 فان x - yi هو اجلذر اآلخر لها .

والتي هي عبارة عن:

x2 +bax+

ca= 0

x2 - )مجموع اجلذرين ( x + )0 = ) حاصل ضرب اجلذرين

. ± )2+2i( مثال- 17- جد املعادلة التربيعية التي جذراها

احلل: مجموع اجلذرين هو:

)2-2( + )2-2( i = 0

)2+2i()-2-2i( = -)2+2i(2 : حاصل ضرب اجلذرين هو = -)4 + 8i + 4i2( = -8i

∴املعادلة التربيعية هي : x2 − 8i = 0 ⇒ x2 = 8i

. 3-4i ن املعادلة التربيعية التي معامالتها حقيقية وأحد جذريها مثال- 18- كو

3-4i احلل : مبا أن معامالت املعادلة حقيقية وأحد جذريها

3+4i اجلذر االخر هو املرافق له وهو∴

مجموع اجلذرين = 6 وحاصل ضربهما = 25

∴املعادلة هي :x2 - 6x + 25 = 0

i i

ثانيا : بقسمة طرفي املعادلة ax2+bx+c = 0 على a ≠ 0 نحصل على

x2 −0x+ (−8i) = 0 ⇒


25

(1‐

2) øjQÉª

J

1. حل املعادالت التربيعية اآلتية وبني اي منها يكون جذراها مترافقني؟a( z2 = −12 b( z2 −2z+3+ i = 0c( 2z2 − 5z+13 = 0 d( z2 + 2z+ i(2 − i) = 0e( 4z2 + 25 = 0 f( z2 - 2z i + 3=0

2. كون املعادلة التربيعية التي جذراها m,L حيث: a( m= 1+ 2i L = 1− i b( m=

3− i1+ i

, L = (3− 2i)2

3. جد اجلذور التربيعية لالعداد املركبة االتية:

a( −8i b( 7+ 24i c( 41− 3 i

4. ما املعادلة التربيعية ذات املعامالت احلقيقية وأحد جذريها هو:

a( b( 5 − i c( 2 +3i4

x2 فما قيمة a؟ وما قيمة اجلذر االخر؟ − ax+ (5+ 5i) = 0 3 هو احد جذري املعادلة + i 5- اذا كان

i

i i

i i ii

i

i ii

i i i

3


26

[6-1] اجلذور التكعيبية للواحد الصحيح.

ليكن z3 =1 ومنها : z3 −1= 0⇒ (z−1)(z2 + z+1) = 0 ⇒

either z =1 or z2 + z+1= 0

z2 نستخدم الدستور : + z+1= 0 وحلل املعادلة

z =

−b± b2 − 4ac2a

=−1± 1− (4)(1)(1)

(2)(1)

=−1± −3

2

=−12±

32

i

اي ان اجلذور التكعيبية للواحد الصحيح املوجب هي :

1 , − 12+

32

i , − 12−

32

i

ان مربع أي من اجلذرين التخيليني يساوي اجلذر التخيلي االخر وهما مترافقان )حتقق من ذلك(

. ω2 ω فان اجلذر اآلخر هو فاذا رمزنا الحد اجلذرين التخيليني بالرمز

ولذلك ميكن كتابة اجلذور التكعيبية للواحد الصحيح على الصورة :

1, ω , ω2

i

i i

او أما


27

وهذه اجلذور حتقق اخلواص اآلتية:

1( 1 + ω + ω2 = 0

2( ω3 = 1

ومن اخلاصية االولى نحصل على االتي:

1( ω + ω2 = -1 )2( 1+ ω = - ω2 )3( 1+ ω2 = -ω

4( ω = - 1 - ω2 )5( ω2 = - 1 - ω )6( 1= -ω - ω2

7( ω−ω2 = ± 3 i

ومن اخلاصية الثانية ميكن التوصل الى النتائج االتية: ω4 =ω3. ω =1. ω =ω

ω−4 =1ω4 =

1ω

=ω3

ω=ω

1ω3 . ω

=1ω

=ω3

ω=ω2

ω5 =ω3. ω2 =1. ω2 =ω2

ω−5 =1ω5 =

1ω3. ω2 =

11. ω2 =

ω3

ω2 =ω

ω6 = (ω3 )2 = (1)2 =1

ω−6 =1ω6 =

11=1

ω( العداد صحيحة تأخذ احدى القيم : وباالستمرار على هذا النحو فان قوى )

1, ω , ω2

وتتكرر هذه القيم كلما زادت االسس على التوالي مبقدار )3( .

ω3n+r =ω r

r = 0, 1, 2 , عدد صحيح n حيث

بمعنى أن :


28

ω33 ، ω -58 ، ω مثال- 19- جد ناجت : 25

احلل :

ω25 =ω3(8)+1 =ω1 =ω

ω−58 = (ω−60 )(ω2 ) =1. ω2 =ω2

ω باقي قسمة أ س )ω( على )3( هو االس اجلديد الى بمعنى أن :

مثال- 20- اثبت ان :

a) ω7 +ω5 +1= 0

b) (5+ 3ω+ 3ω2 )2 = −4(2+ω+ 2ω2 )3 = 4

احلل :

a) ω7 +ω5 +1=ω6 . ω+ω3. ω2 +1ω+ω2 +1= 0

=

a) ω7 +ω5 +1=ω6 . ω+ω3. ω2 +1ω+ω2 +1= 0

b) (5+ 3ω+ 3ω2 )2 = 5+ 3(ω+ω2 )[ ]2

= [5− 3]2 = (2)2 = 4

كذلك

−4(2+ω+ 2ω2 )3−4(2+ω+2 ω2 )3

= −4[2(1+ω2 )+ω]3

= −4[−2ω+ω]3

= −4(−1) = 4∴(5+ 3ω+ 3ω2 )2 = −4(2+ω+ 2ω2 )3 = 4

)حسب اخلاصية االولى(

ω33 =ω3(11)+0 =ω0 =1

ω−58 =ω3(−20)+2 =1 . ω2 =ω2

= −4 [ −ω] 3


29

a( ن املعادلة التربيعية التي جذراها مثال- 21- كو

b( احلل :

مجموع اجلذرين

∴ املعادلة هي :

1− iω2 , 1−ωiωii

1− iω2( ) 1−ωi( )

=1− iω− iω2 + i 2ω3

=1− i(ω+ω2 )−1×1= i

iωi

i ii

i

i1− iω2( ) + 1−ωi( )

= 2− i(ω2 +ω)= 2+ i

ii

i ωi )

21−ω

, 21−ω2

حاصل ضرب اجلذي

x2-)2+i(x+i=0

a(

b(

21−ω

+2

1−ω2

مجموع اجلذرين حاصل ضرب اجلذي

21−ω

. 21−ω2

2−2ω+2−2ω2

1−ω2 −ω+ω3

4−2(ω+ω2 )2− (ω+ω2 )

=63= 2

41−ω2 −ω+ω3

43

x2-2x+ = 0 4∴ املعادلة هي : 3


30

(1‐

3) øjQÉª

J

1. احسب اجلذور التكعيبية في C لكل من

2. اكتب املقادير االتية في ابسط صورة:

a( ω64 b( ω−32 c( 1(1+ω−32 )12 d( (1+ω2 )−4 e( ω9n+5 , n ∈ N حيث

ن املعادلة التربيعية التي جذراها: 3. كو

a) 1+ω2 , 1+ω

b) ω

2−ω2 , ω2

2−ω

c) 3iω2 , −3ω2

i

1+ 3z10 + 3z11

1− 3z7 − 3z8 z2 فجد قيمة : + z+1= 0 4. اذا كان :

(5a. اثبت ان : 12+ω

−1

2+ω2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

= −13

b) ω14 +ω7 −1ω10 +ω5 − 2

=23

c) 1− 2ω2 +ω

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ 1+ω −

5ω

=18⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ d) (1+ω2)3 + (1+ω)3 = −2c) 1− 2

ω2 +ω2⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟ 1+ω −

5ω

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =18

d) 1+ω2( )3+ 1+ω( )3

= −2

i

a( 8i b(8


31

[7-1] التمثيل الهندسي لالعداد املركبة. Geometric Representation of Complex Numbers.مركب عــدد كـــل باقران فانه احملـــورين. املتعامــــد االقليـــدي املستــوي ميـثل )R2 )او E2 كان اذا الى R2 . وفي £ x,y ∈ R( بالنقطة )x,y( في E2 نحصل على تطبيق تقابل من x+yi )حيث والتي تقابل هندسيا £ هذا املستوي سنمثل هندسيا بعض العمليات اجلبرية البسيطة في اجلمع والطرح في

.)R2 او( E2 العمليات فيسوف نتناول في هذا البند والبنود الالحقة متثيل بعض العمليات على االعداد املركبة هندسيا والتي سنطلق على االشكال التي متثلها اشكال ارجاند نسبة الى العالم ) J. R . Argand, 1768 - 1822( وسمي املستوي باسم العالم االملاني الشهير غاوس، مبستوي غاوس ) C.F. Gauss 1777-1855( أو بشكل

)Complex Plane ( مبسط املستوي املركب اذ يسمى احملور السيني )x-axis( باحملـور احلقيقي حيث ميثل عليـــــه اجلــزء احلقيــقي للعــــدد املـــركب امــــا احملـــــــور الصـــادي

)y - axis( فيطلق عليــه اســم احملـــــــــور التخيلي والذي يـمثــل عليــه اجلزء التخيــلي

Im للعدد املركب. وبالتالي فان العدد املركب ag

inar

y ax

is

Real axis

y

x

P )x,y(

0

θ

الشكل )1-1(

z2 = x2 + y2 i , z1 = x1 + y1 i لو كانعــــــددان مركبـــــــان مـمثــــالن بالنـقطتيـن

)p2 )x2 , y2( , p1 )x1, y1 فــــان :z1 + z2 = (x1 +x2) + (y1 +y2)i

ويـمكــن تـمثيــــــل z1 + z2 بالنقطـــــــة p3 (x1 + x2 , y1 + y2 )

مستخدمني الـمعلومات الـمتعلقة باملتجهات. كما في الشكل )2 -1( :

y

x0

p2)z2(

p1)z1(

p3)z1+z2(

الشكل )1-2(

0p1

u vuu

+ 0p2

u vuu

= 0p3

u vuu ⇀⇀⇀ اي ان

x + yi ميثل هندسيا بالنقطة )x,y( الحظ الشكل )1-1(

ليخي

التور

احمل

احملور احلقيقي


32

جمع هو مركبني عددين جمع يكون وعليه

0pu vuu باملتجه متثيله ميكن x + yi املركب العدد ان

متجهني.

حول 0 نصف دورة ، وعليه

0p2

u vuu

اذا اعتبرنا p2 ميثل العدد املركب z2 - فإن p2 هي ناجتة من دوران

فإن :

z1 - z2 = z1 +)-z2 (

كما 0p1 p3 p2 االضالع متوازي يشابه 0p1 p4 p2 حيث p4 بالنقطة يقترن والذي

في الشكل )1-3(.

y

x0

p2)z2(

p1)z1(

p3)z1+z2(

p4)z1- z2(p2 )- z2(

0p4

u vuu

= p2 p1

u vuuu

= 0p1

u vuu

− 0p2

u vuu

أي أن

الشكل )1-3(

⇀

⇀

⇀ ⇀ ⇀ ⇀

مالحظـة

)1( ليكن k عدد حقيقي ال يساوي الصفر . z عدد مركب فان النقطة التي تمثل kz يمكن الحصول

.k عليها بواسطة االنسحاب )االزاحة( الذي مركزه 0 ومسافته الثابت

عقارب عكس دورة ربع دوران من عليها الحصول يمكن iz النقطة فان z مركب عدد لكل )2(

الساعة.


33

مثال- 22- مثل العمليات االتية هندسيا في شكل ارجاند:

a( )3+4i( + )5 + 2i( b( )6 - 2i( - )2 - 5i(

احلل:a( )3 + 4i( + )5 + 2i( = 8 + 6i z1 = 3 + 4i ⇒ p1)z1( = p1 )3, 4( z2 = 5 + 2i ⇒ p2)z2( = p2)5, 2( z1+z2=z3 = 8 + 6i ⇒ p3)z3( = p3 )8, 6(

0p1

u vuu

+ 0p2

u vuu

= 0p3

u vuu

الحظ : وهو مشابه الى جمع المتجهات.

0p1 p3 p2 ويكــــــــون

op3

u vuu

متوازي اضالع قـطره هـو

y

x0

p1)z1(

p2)z2(

p3)z3(

الشكل )1-4(

b( )6 - 2i( - )2 - 5i( = )6 - 2i( + )-2 + 5i( = 4 + 3i z1 = 6 - 2i ⇒ p1)z1( = p1) 6, -2( z2 = -2 + 5i ⇒ p2)z2( = p2)-2, 5( z3 = 4 + 3i ⇒ p3)z3( = p3 )4, 3(

y

x0

p1)z1( =

p2)z2(=p3)z3(=p2)-2, 5(p3)4, 3(

p1)6, -2(

الشكل )1-5(

⇀ ⇀ ⇀

⇀


34

(1‐

4) øjQÉª

J

شكل على الجمعية ونظائرها االعداد هذه مثل ثم اآلتية االعداد من لكل الجمعي النظير اكتب .1

ارجاند.

z1 = 2 + 3i , z2 = -1 + 3i , z3 = 1-i , z4 = i

2. اكتب العدد المرافق لكل من األعداد االتية ثم مثل االعداد ومرافقاتها على شكل ارجاند.

z1 = 5 + 3i , z2 = -3 +2i , z3 = 1 - i , z4 = -2i

ــ 3. اذا كان z = 4 + 2i فوضح على شكل ارجاند كال من :

z , z , -z

4. اذا كان z2 = 1+ 2i , z1 = 4 - 2i فوضح على شكل ارجاند كال من:

-3z2 , 2z1 , z1 - z2 , z1 + z2


35

[8-1] الصورة القطبية (Polar) للعدد املركب.

في البنود السابقة درسنا العدد المركب بصيغته الجبرية z=x +yi والديكارتية ) z = )x, y وفي هذا البند سندرس صيغة اخرى للعدد المركب تدعى بالصيغة القطبية . وتحويل احدهما الى االخرى .

فلو كان لدينا العدد المركب z = x + yi ومثلناه بالنقطة ) x,y( p كما في الشكل )6-1( فان: r) همــا االحـــداثيــان القطبيــان ,θ )y للنقطــــة p حيث 0 يـمثـــــل القطب

x

P)z(

0

θ

r

و ox يمثــل الضلــع االبتدائي، وهذا يعني أن :

θ =S xop

θ =S xopm r وان = op

opu vu

الى

oxuvu θ من ويكون قياس

بأتجـاه عكس عقـارب الساعـة اذا كـان القيـاس موجـبـا، ومـع اتجــاه عقـارب

الشكل )1-6(الساعة اذا كـــان القياس سالبا وعليــه

فأن : R)z( = x = r cos θ ....)1( I)z( = y = r sin θ ....)2(zيرمز للجزء التخيلي للعدد المركب I )z ( بينما z يرمز للجزء الحقيقي للعدد المركب R)z (حيث

)Modulus of Complex Number( z يسمى مقياس العدد المركب r

r = z = x2 + y2 r حيث = z = x2 + y2ويرمز له z او مقياس “mod z” وهو عدد حقيقي غير سالب ويقرأومن العالقتين )1( و )2( نحصل على:

cosθ =

xr=xz

sinθ =yr=yz

)Argument of Complex Number( فقياسها يسمى سعة العدد المركب θ اما θ = arg(z) واختصارا تكتب بالشكل

⇀

⇀

→

⇀

(x,y)

y

x


36

θ عددا غير منته من القيم التي تختلف كل منها مالحظـة ميكن ان تاخذ عن االخرى لعدد صحيح من الدورات.

θ حيث n عدد صحيح يكون ايضا سعة + 2nπ θ سعة عدد مركب فان كال من االعداد : فاذا كانت لنفس العدد المركب.

θ الدالة على سعة العدد المركب فيقال لها القيمة االساسية لسعة العدد ∈ [0,2π ) اما اذا كانت .)principle Value ( المركب

.z z فجد المقياس والقيمة االساسية لسعة = 1− 3i z = 1− 3i مثال- 23- اذا كان

احلل:

mod z = z = x2 + y2

= 1+ 3 = 2

cos θ =

xz=

12

sin θ =

yz=− 3

2 θ في الربع الرابع نستنتج ان ∴ arg )z( = 2π −

π3

= 5π3

. z فجد المقياس والقيمة االساسية لسعة z = -1 - i مثال- 24- اذا كان

احلل :

mod z = z = 1+1 = 2

cos θ =xz=−1

2

sin θ =yz=−1

2θ في الربع الثالث نستنتج ان

∴ arg )z( = π +π4

= 5π4

مالحظـة


37

z = (r cos θ + ir sin θ ) = r (cos θ + i sin θ )

z = z cos(arg z)+ i sin(arg z)( ) او

θ هي سعة العدد المركب = arg )z( ، r = mod z= z حيث

مثال- 25- عبر عن كل من االعداد اآلتية بالصورة القطبية :

a) − 2+ 2i b) 2 3 − 2i

احلل :

a) let z = −2+ 2i

mod z = z = 4 + 4 = 2 2

cos θ =−2

2 2= −

12

sin θ =2

2 2=

12

θ تقع في الربع الثاني

∴arg )z( = π −−π4

=3π4

.

∴ الصورة القطبية للعدد المركب z هي :

z = r (cos θ + i sin θ )

z

= 2 2(cos 3π

4+ i sin 3π

4

(

1) ان سعة العدد املركب z= 0 غير معرفة وذلك الن املتجه الصفري ليس له اجتاه.

2) ممكن االفادة من املقياس والقيمة االساسية لسعة العدد املركب بكتابة العدد املركب z=x+yi بصورة اخرى تسمى الصورة القطبية

(Polar) وكما يأتي :

مالحظـة

i ii

i i

i

i

i

Q x = r cosθ , y = r sinθ

Q x = r cosθ , y = r sinθ

Qx=rcosθ,y=rsinθ

z


38

b) let z = −2 3 − 2ib) let z = −2 3 − 2i b) let z = −2 3 − 2i

mod z = 12+ 4 = 16 = 4

cos θ =2 3

4= −

32

sinθ =

−24

=−12

θ تقع في الربع الرابع

∴arg )z( = 2π −π

6=

11π6

z = 4 4 = (cos 11π6

+ i sin 11π6

) ∴ الصورة القطبية للعدد المركب z هي :

i

i


39

الحظ االشكال اآلتية :

احلل :

الشكل )1-7(

)b( )0,1(

p)z2( = )0,1(= 0+imod z2 = 1

arg z2 = π2

∴z = 1 )cos +i sin (

y

x

π

2π

2

)1,0(

p)z1( = )1,0(= 1+0i

∴z = 1 )cos 0 +i sin 0(

)a(x

y

)-1,0( p)z3( =)-1,0(=-1+0i mod z3 = 1arg z3 = π

2

∴z = 1 )cos π +i sin π (

)c(x

y

)d(

)0,-1(p)z4( = )0,-1(=0-i mod z4 = 1

arg z4 = 3π2

∴z = 1 )cos 3π2

+i sin 3π2

(

y

x

مثال- 26- عبر عن كل من االعداد االتية بالصورة القطبية:

a( 1 b( i c( -1 d( -i

mod z1 = 1arg z1 = 0


40

من املثال السابق نستنتج االتي:1= (cos0+ i sin 0)−1= (cosπ + i sinπ )

i = (cos π2+ i sin π

2)

−i = (cos 3π2

+ i sin 3π2

)

3وبتطبيق االستنتاج السابق يمكن أن نضع : = 3×1= (cos0+ i sin 0)33 = 3×1= (cos0+ i sin 0)

−2 = 2× (−1) = 2(cosπ + i sinπ )

5i = 5× i = 5(cos π2+ i sin π

2)

−7i = 7× (−i) = 7(cos 3π2

+ i sin 3π2

)

De Moivre’s Theorem [9-1] مبرهنة دميواڤر.

z2 = cosφ + sinφ , z1 = cosθ + sinθ z2 , z1 يمكن ان تكتب بصورة:

z1 × z2=(cosθ + i sinθ )(cosφ + i sinφ) = cos(θ +φ)+ i sin(θ +φ)

(cosθ + i sinθ )2 = cos2θ + i sin2θ فان العالقة تصبح (φ =θ ) ولو كان

ويمكن برهنتها كما يأتي: = (cosθ + i sinθ )2 = (cos2θ + 2i sinθ cosθ − sin2θ )

= (cos2θ − sin 2θ )+ i(2sinθ cosθ )= (cos2θ + i sin 2θ =

= (cos2θ + sin2θ )+ i(2 sinθ cosθ )= cos 2θ + i sin 2θ =

-= (cos2θ + sin2θ )+ i(2 sinθ cosθ )= cos 2θ + i sin 2θ = = (cos2θ + sin2θ )+ i(2 sinθ cosθ )= cos 2θ + i sin 2θ = =RHS

وقد توصل العالم ديمواڤر )1754-1664( الى تعميم العالقة والتي سميت بمبرهنة ديمواڤر.

θ فإن ∈ R , n∈ N لكل

(cosθ + i sinθ )n = cosn θ + i sinn θ

’مبرهنة ديمواڤر

البرهان: )لالطالع فقط(سنتوصل الى برهان هذه المبرهنة بطريقة االستقراء الرياضي وكما يأتي :

1( لنعتبر n =1 فان العالقة تصبح: cosθ) وهي عبارة صحيحة . + i sinθ )1 = cos1 θ + i sin1 θ

. n= k 2( لنأخذ k≥ 1 ونفترض ان العالقة صحيحة لكل cosθ) صحيحة فرضا. + i sinθ )k = cos k θ + i sin k θ أي ان

n = k + 1 3( يجب ان نثبت ان العالقة صحيحة عندما∴(cosθ + i sinθ )k+1∴(cosθ + i sinθ )k = (cosθ + i sinθ )1(cosθ + i sinθ )k

= (cosθ + i sinθ )(cos kθ + i sin kθ )= cos(θ + kθ )+ i sin(θ + kθ ) = cos(k+1)θ + i sin(k+1)θ

n = k + 1 فهي كذلك صحيحة عندn=k , k≥1 أي n وعليه فاذا كانت العالقة صحيحة عند.n وبواسطة االستقراء الرياضي فان المبرهنة تعتبر صحيحة لجميع قيم

(cos 38π + i sin 3

8π )4 مثال- 27- احسب

احلل:

= (cos 3

8π + i sin 3

8π )4 =

cos 3π2

+ i sin 3π2

=

0+ i(−i) = −i

=

=

= (cos 38π + i sin 3

8π )4 =

cos 3π2

+ i sin 3π2

=

0+ i(−i) = −i

ii

i i

i i

i

i

ii i

i i i

i i

i

i ii

i

= cosθ cosφ + cosθ sinφ + sinθ cosφ + 2 sinθ sinφ= [cosθ cosφ − sinθ sinφ]+ [cosθ sinφ + sinθ sinφ]= cos(θ +φ)+ sin(θ +φ)

i i ii i

LHS

iiواالن سنجد z1 . z2 بالصيغة القطبية

cos2θ + i sin2θ


41

θ فإن ∈ R , n∈ N لكل

(cosθ + i sinθ )n = cosn θ + i sinn θ

’مبرهنة ديمواڤر

البرهان: )لالطالع فقط(سنتوصل الى برهان هذه المبرهنة بطريقة االستقراء الرياضي وكما يأتي :

1( لنعتبر n =1 فان العالقة تصبح: cosθ) وهي عبارة صحيحة . + i sinθ )1 = cos1 θ + i sin1 θ

. n= k 2( لنأخذ k≥ 1 ونفترض ان العالقة صحيحة لكل cosθ) صحيحة فرضا. + i sinθ )k = cos k θ + i sin k θ أي ان

n = k + 1 3( يجب ان نثبت ان العالقة صحيحة عندما∴(cosθ + i sinθ )k+1∴(cosθ + i sinθ )k = (cosθ + i sinθ )1(cosθ + i sinθ )k

= (cosθ + i sinθ )(cos kθ + i sin kθ )= cos(θ + kθ )+ i sin(θ + kθ ) = cos(k+1)θ + i sin(k+1)θ

n = k + 1 فهي كذلك صحيحة عندn=k , k≥1 أي n وعليه فاذا كانت العالقة صحيحة عند.n وبواسطة االستقراء الرياضي فان المبرهنة تعتبر صحيحة لجميع قيم

(cos 38π + i sin 3

8π )4 مثال- 27- احسب

احلل:

= (cos 3

8π + i sin 3

8π )4 =

cos 3π2

+ i sin 3π2

=

0+ i(−i) = −i

=

=

= (cos 38π + i sin 3

8π )4 =

cos 3π2

+ i sin 3π2

=

0+ i(−i) = −i

i i

i i

i i

i i iii

ii

i

i

i

i 1 i


42

θ فان: ∈ R , n∈ N مثال- 28- بين انه لكل

(cosθ − i sinθ )n = cos n θ − i sin n θ

احلل :

الطرف االيسر

φ تصبح العالقة = −θ وبجعل

= cosφ + i sinφ[ ]n

= cos n φ + i sinn φ

= cos(−n θ )+ i sin(−n θ )= cos n θ − i sin n θ الطرف االيمن )و . هـ . م(

لكل فان

θ ∈ R , n∈ N

zn = r n(cos n θ + i sin n θ )

نتيجة ملبرهنة دميواڤر:

مثال- 29- احسب

احلل:(1+ i)"let z =1+ i

Qmod z = 2, cosθ =12

, sinθ =12

∴arg z = π

4

Qmod z = 2 ang z =π4

∴z = 2(cos π4+ i sin π

4)

∴(1+ i)" = ( 2 )" (cos π4+ i sin π

4)"

= 2112 (cos11π

4+ i sin π

4)

= 2112 (cos 3π

4+ i sin 3π

4)

= 2112 (− 1

2+ i

12

)

= 25 (i −1) = 32(i −1)= 25 2(− 12+ i

12

)

= 25 (−1+ i) = 32(−1+ i)

مالحظـة

cosθ + i sinθ( )−1= cos(−θ )+ i sin(−θ )[ ] = (cosθ − i sinθ )

ويمكن تعميم هذه العالقة بالشكل االتي:

cosθ + i sinθ[ ]−n = cos n θ − i sin n θ

حيث مثال- 30- حل المعادلة

x ∈ £ x3 +1= 0

x3احلل: +1= 0⇒

x3 = −1

x3 = cosπ + i sinπ

∴ x = (cosπ + i sinπ )13

∴ x = cos π + 2nπ3

+ i sin π + 2nπ3

n= 0,1,2 حيث

i

i

ii

ii

ii

Q(cosθ − i sinθ )n = cosθ + (−i sinθ )[ ]n

= (cosθ − i sin(−θ )[ ]n

= cos(−θ )+ i sin(−θ )[ ]n

φ = −θ

cosφ + i sinφ[ ]n

cos nφ + i sin nφ =

cos(−nθ )+ i sin(−nθ ) =cos nθ − i sin nθ

+

i

i

i iLHS =

= RHS

(1+ )11i

Q


43

Qmod z = 2 ang z =π4

∴z = 2(cos π4+ i sin π

4)

∴(1+ i)" = ( 2 )" (cos π4+ i sin π

4)"

= 2112 (cos11π

4+ i sin π

4)

= 2112 (cos 3π

4+ i sin 3π

4)

= 2112 (− 1

2+ i

12

)

= 25 (i −1) = 32(i −1)= 25 2(− 12+ i

12

)

= 25 (−1+ i) = 32(−1+ i)

مالحظـة

cosθ + i sinθ( )−1= cos(−θ )+ i sin(−θ )[ ] = (cosθ − i sinθ )

ويمكن تعميم هذه العالقة بالشكل االتي:

cosθ + i sinθ[ ]−n = cos n θ − i sin n θ

حيث مثال- 30- حل المعادلة

x ∈ £ x3 +1= 0

x3احلل: +1= 0⇒

x3 = −1

x3 = cosπ + i sinπ

∴ x = (cosπ + i sinπ )13

∴ x = cos π + 2nπ3

+ i sin π + 2nπ3

n= 0,1,2 حيث

= 2112 (cos 11π

4+ i sin 11π

4)

i

i

i

i i

ii i

i i

i

i

i

i

i

i

i 1111 11

) )


44

x بوضع n= 0 يكون = cos π3+ i sin π

3

=12+

32

i

x = cosπ + i sinπ بوضع n= 1 يكون

= −1+ i(0)= −1

x

بوضع n= 2 يكون

x

x = cos 5π3

+ i sin 5π3

=12−

32

i

12+

32

i , −1 ,12−

32

i⎧⎨⎩

⎫⎬⎭ اذن مجموعة الحل للمعادلة هي :

مثال- 31- اوجد الصورة القطبية للمقدار :

z نضع z بالصورة القطبية: = 3 + i احلل: ليكن cosθ =

34

sinθ 12

∴θ =π6

arg(z) = π6

z = 3+1 = 2

∴z = 2 cos π6+ i sin π

6⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

z2 = 4 cos π3+ i sin π

3⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

∴(z2 )15 = 4

15 cos π

3+ i sin π

3⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

15

= 45 cos

π3+ 2nπ

5+ i sin

π3+ 2nπ

5

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

= ، cosθ 34

sinθ =12

cosθ 34

sinθ =12

cosθ 34

sinθ =12

cosθ =34

sinθ 12

∴θ =π6

arg(z) = π6

z = 3+1 = 2


6⎛⎝⎜

⎞⎠⎟


3⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

∴(z2 )15 = 4

15 cos π

3+ i sin π

3⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

15

= 45 cos

π3+ 2nπ

5+ i sin

π3+ 2nπ

5

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

i

i i

i

i

ii

i

i

( 3+ i)25i

cosθ 34

sinθ =12


45

⇒ z2 = 22 (cos π6+ i sin π

6)2

cosθ =34

sinθ 12

∴θ =π6

arg(z) = π6

z = 3+1 = 2


6⎛⎝⎜

⎞⎠⎟


3⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

∴(z2 )15 = 4

15 cos π

3+ i sin π

3⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

15

= 45 cos

π3+ 2nπ

5+ i sin

π3+ 2nπ

5

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

n= 0, 1, 2,3,4 حيث

وبوضع n=0 يكون


z25 = 45 cos π

15+ i sin π

15⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

z25 = 45 cos 7π

15+ i sin 7π

15⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

z25 = 45 cos13π

15+ i sin 13π

15⎡⎣⎢

⎤⎦⎥




z25 = 45 cos 19π

15+ i sin 19π

15⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

z25 = 45 cos 25π

15+ i sin 25π

15⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

= 45 cos 5π3

+ i sin 25π3

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

i i

i

i

i

i

i

i

i

i

i


46

(1‐

5) øjQÉª

J

(1a. احسب ما يأتي: cos 524

π + i sin 524

π⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

4

c) (1− i)7

b) cos 712

π + i sin 712

π⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

−3

d) ( 3+ i)9

2. بسط ما يأتي:

a) (cos 2θ + i sin 2θ )5

(cos 3θ + i sin 3θ (

a) (cos2θ + 2sin 2θ )5

(cos 3θ + i sin 3θ )3 b) (cosθ + i sinθ )8 (cosθ − i sinθ )4

5 - 5i .3. بأستخدام مبرهنة ديموافر جد الجذور التربيعية للعدد المركب

27i 4. بأستخدام مبرهنة ديموافر جد الجذور التكعيبية للعدد

5. جد الجذر الرابع للعدد )16-(.

. (−64i)

16 6. اوجد قيم

i

i

i

i

ii

i i

i

3

رياضيات سادس العلمي الفصل الاول

Documents

Transcript of رياضيات سادس العلمي الفصل الاول