رياضيات سادس علمي

2014 / 2015

ملزمة الرياضيات السادس العلمي

2014 / 2015

ا

ملزمة الرياضيات

السادس العلمي

توسيع مجموعة االعداد الحقيقية الفصل االول )االعداد المركبة( [ 1 – 1 ]

80087450770المرسل للخدمات الطباعية / 5 احمد الشمرياألستاذ

: (االعداد المركبة)االوللفصل ا

نجد ان: 2x 0 = 16+عندما نحاول حل المعادلة :الحاجة الى توسيع مجموعة االعداد الحقيقية ]1 – [1

x2 +16 = 0 ⇒ x2 = -16 ⇒ x = ± √−16 = ± √16. √−1 = ± 4√−1

والعجز من الواضح انه ال يوجد عدد حقيقي كهذا. (1-)وي اس؟ وهل يوجد عدد حقيقي مربعه ي 1−√فما قيمة حل , أوجد الرغبة في 2x + 16 = 0عن حل مثل هذه المعادلة في مجال االعداد الحقيقية بحيث يكون للمعادلة

حل في هذا المجال 2x + 16 = 0الحصول على مجال جديد يضم مجال االعداد الحقيقية بحيث يكون للمعادلة ا ـــــــــــــــ( فاذا فرضنComplex Numberالجديد ويدفعنا ذلك الى ابتكار ما يسمى بمجال االعداد المركبة )

فان مجموعة حل الخيالية االعداد يا (Imaginary Numbers)وهو الحرف االول من كلمة i = √−1ان

{ ±4i} هي 2x + 16 = 0 المعادلة

الحقيقية ما لألعدادان العدد المركب هو ليس من االعداد التي تقترن مع العد والقياس ولكنه يحقق الخواص الجبرية عدا خاصية الترتيب.

i :- i = √−1قوى

i2 = -1

i3 = i2 . i = -1 . i = -i

i4 = i2 . i2 = (-1) . (-1) = 1 ⇒ ∴ i4 = 1

عندما يكون:وبصورة عامة

i4n + r = ir , n ∈ N . r = 0 , 1 , 2 , 3 …

حيث نقسم اس {i , -1 , -i , 1}لعدد صحيح موجب فالناتج يكون احد عناصر المجموعة iوهذا يعني انه عند رفع i والباقي هو االس الجديد لـ 4علىi:

i = i . 6i = 1 . 6)4i = (i . 24= i 25i مثال/

i99= i96 . i3 =(i4)24 . i3 = 124 . i3 = i3 = -i

-اكتب ما يأتي بابسط صورة: /1مثال

i27 = i24 . i3 = (i4)6 . i3 = 16 . i3 = -i

i18 = i18 . i = (i4)28 . i = 128 . i = i

i7 = i4 . i3 = 8 . i3 = -i

i81 = (i4)4 = 8

i81 = i81 . i2 =(i4)84 . i2 =184 (-1)= -1

i104 = (i4)26 = 126 = 1

i10 = i8 . i2 = (i4)2 . i2 = 8 . i2 = -1

i17 = i16 . i = (i4)4 . i = 14 . i = i

i12n+93 = i12n . i93 = (i4)3n . (i4)23 . i = 13n . 1 . i = i

)ComplexNumber(, عددا مركبا = 1i−√عددان حقيقيان وان a,bحيث c = a + biيقال للعدد تعريف:

. ويرمز الى مجموعة Imaginary Partالجزء التخيلي bويسمى Real Partالجزء الحقيقي aيسمى

الصيغة العادية او الصيغة الجبرية للعدد المركب. a+biويقال للصيغة ℂاالعداد المركبة بالرمز



i -13 = i -13 . (i4)4 =i -13 .(i16)= i3 = -i OR i -13 = 1

i131

= i16

i131

= i3 = -i

( مرفوع لقوة من iفي البسط بـ ) (1)عداد صحيحة سالبة فيمكن ان نستبدل العدد أ iكانت اسس إذامالحظة/ .(i)او يساوي اس أكبر (4)مضاعفات العدد

فمثال: iعدد حقيقي سالب بداللة أليمالحظة/ يمكن كتابة الجذور

√−16 = √16 .√−1 = 4 i

√−25 = √25 .√−1 = 5 i

√−12 = √12 .√−1 = 2√3 i

√−15 = √15 .√−1 = √15 i وبصورة عامة يكون:

√−a = √a .√−1 = √a i , ∀ a ≥ 0

, مثال: (a , b)يمكن جعله مناظرا للزوج المرتب c = a + biمالحظة/ ان اي عدد مركب

2 + 3i = (2,3) -1 + i = (-1 , 1) 2 = 2 + 0 i = (2,0) 3i = 0 + 3 i = (0,3)

:a+biأكتب االعداد االتية على صورة /2مثال

a) √−100 = √100 .i = 0 +10i

b) -1 + √−3 = -1 + √3 i

c) 1+√−25

4 =

1

4 +

√−25

4 =

1

4 +

5i

4

d) -5 = -5 + 0 i

, اي يمكن كتابته على صورة عدد (a,0)او a + 0iيمكن كتابته بالشكل aوهذا يعني ان كل عدد حقيقي مثل مركب جزؤه التخيلي صفر وهذا يعني ان:

:العمليات على مجموعة االعداد المركبة 1]- [2 عملية الجمع على مجموعة االعداد المركبة:/ اوالا

عددا مركبا وهذا يعني ان مجموعة 9i – 32نالحظ ان العدد 32 – 9i = (7 - 12i)+(3i + 25) :مثال االعداد المركبة مغلقة تحت تأثير عملية الجمع )اي ان عند جمع عددين مركبين يكون الناتج عددا مركبا ايضا(

كل مما يأتي:لجد مجموع العددين المركبين /3مثال

a) 3 + 4 √2 i , 5 - 2√2 i b) 3 , 2 – 5 i c) 1 – 3 i , i

الحل/

a) (3 + 4 √2 i) + (5 - 2√2 i) = 8 + 2√2 i

. R ⊂ Cمجموعة االعداد الحقيقية هي مجموعة جزئية من مجموعة االعداد المركبة اي ان مالحظة/

-تعريف :

i2+ b 1) + (b2+ a 1= (a 2c+ 1c( :فان ℂ ∈ 2,c1c حيث i1b + 1= a 1c ,i2b + 2= a 2cليكن

الن مجموعة االعداد الحقيقية مغلقة تحت عملية الجمع. R ∈)2+ b 1(b ,R ∈)2+ a 1(aوكما تعلم أن:

∴ (a1 + a2) + (b1 + b2)i ∈ ℂ أي ان مجموعة االعداد المركبة مغلقة تحت عملية الجمع



b) )3 + 0i) + (2 – 5 i) = 5 – 5 i c) (1 – 3i) + (0 + i) = 1 – 2i

خواص عملية الجمع على مجموعة االعداد المركبة

∀ ℂ ∈ 3, c 2, c 1c عملية الجمع على االعداد المركبة بالخواص االتية:تتمتع 1+ c2 c =2 c +1 c :(Commutativityالخاصية االبدالية ) (1 3 ) + c2+ c1 (c = )3 + c2 (c +1 c :(Associativityالخاصية التجميعية ) (2

c ∈ ℂ c = a + bi ∃ , ∀ c ∈ ℂ- :(Additive Inverseالنظير الجمعي ) (3

.cالنظير الجمعي للعدد المركب (c-)يسمى c = -a-bi–حيث

ℂ e = 0 = 0 + 0i ∋ويعرف eيرمز له بالرمز :(AdditiveIdentityالعنصر المحايد الجمعي ) (4

Commutative Group هي زمرة ابدالية (+ , ℂ)مما سبق نستنتج أن

جد ناتج ما يأتي:/4مثالa) (4-5i) - (3+2i) = (4-5i) + (-3-2i) = 1-7i b) (7-13i) - (9+4i) = (7-13i) + (-9-4i) = -2-17i

ℂ ,x (2-4i)+x = 5+i ∋حل المعادلة /5مثال

الحل/

(2-4i)+x = 5+i ⇒ x = (5+i) – (2-4i) = (5+i) +(-2+4i) ⇒ ∴ x = 3 + 5i

اليجاد عملية ضرب عددين مركبين نقوم بضربهما بصفتهما على مجموعة االعداد المركبة: الضرب/ عملية ثانياا

كما مبين: )-(1العدد 2iمقدارين جبريين ونعوض بدال من

فان: i1b + 1= a 1c ,i2b + 2= a 2cاذا كان

c1. c2 = (a1 +b1i) (a2 +b2i)= a1 .a2 + a1 .b2i + a2 .b1i + b1 .b2i2 = a1 .a2 + a1 .b2i + a2 .b1i - b1 .b2 = (a1 .a2 - b1 .b2) + (a1 .b2 + a2 .b1)i

مثال/

(2+5i).(3-4i) = 6 – 8i + 15i – 20 i2 i2 = -1 = 6 + 20 + 7i = 26 + 7i

)اي ان الضربوهذا يعني ان مجموعة االعداد المركبة مغلقة تحت تأثير عملية ℂ 26 + 7i ∋ نالحظ ان العدد

عددين مركبين يكون الناتج عددا مركبا ايضا( حاصل ضرب

ان طرح اي عدد مركب من اخر يساوي حاصل جمع العدد المركب مع النظير الجمعي للعدد المركب مالحظة/ الثاني.

kc = ka + kbiفان: k ∈ R ,c = a + biاذا كان مالحظة/

-تعريف :

:فان ℂ ∈ 2,c1c حيث i1+b 1= a 1c ,i2+b 2= a 2cليكن

c1.c2 =(a1.a2 - b1.b2)+(a1.b2 + a2.b1)i

مغلق تحت عملية Rالن مجموعة )R ∈)2b.1b - 2a.1a ( ,R ∈)1b.2a+ 2b.1aوكما تعلم أن:

أي ان مجموعة االعداد المركبة مغلقة تحت عملية الضرب. ℂ ∈ 2c.1c الضرب لذلك فان



خواص عملية الضرب على مجموعة االعداد المركبة

∀ ℂ ∈ 3, c 2, c 1c تتمتع عملية الضرب على االعداد المركبة بالخواص االتية: 1 cX2 c =2 c X1c :(Commutativityالخاصية االبدالية ) (1 3c )2 c.1 c) = )3 c .2 (c .1 c :(Associativityالخاصية التجميعية ) (2 (0i+1)=1 (وهوMultiplicative Identityيتوفر العنصر المحايد الضربي ) (3

∃ , c ≠(0+0i) ∀(: Multiplicative Inverse) النظير الضربي (41

c∈ ℂ بحيث

1

c = (1+0i) c x

الصفر يوجد له نظير ضربي اعد cاي ان لكل عدد مركب 1

c ينتمي الى مجموعة االعداد المركبة.

زمرة ابدالية (ℂ - (0+0i), X) اي ان:

حقل يسمى حقل االعداد المركبة (ℂ,+,X) اي ان:

جد ناتج كل مما يأتي: /6مثال

1) (3+4i)2 2) i(1+i)

3) −5

2(4+3i)

4) (1+i)2 + (1-i)2 5) (1+i)3 + (1-i)3

الحل/

1) (3+4i)2 = 9 + 24i – 16 = -7 + 24i مالحظة/نستخدم مربع الحدانية ومن ثم نجمع الجزء الحقيقي مع الحقيقي والتخيلي مع التخيلي.

2) i(1+i) = i + i2 = -1 + i

.(i+1)على حدود القوس iمالحظة/يتم توزيع

3) −5

2(4+3i) = -10 -

15

2 i

4) (1+i)2 + (1-i)2 = (1+2i-1) +(1–2i-1) = 2i – 2i = 0 مالحظة/نفتح االقواس )مربع الحدانية(.

5) (1+i)3 + (1-i)3 = (1+i)2 (1+i) + (1-i)2 (1-i)=2i(1+i) + (-2i)(1-i)= 2i - 2 - 2i – 2 = -4 على مربع الحدانية. مالحظة/يكون االعتماد

فان: c=a+biحيث k ∈ R ,c ∈ ℂليكن مالحظة/

1) k. c = k)a + bi( = ka + kbi 2) ki. c = ki(a + bi) = -kb + kai

مرافق العدد المركب المركبة( الفصل االول )االعداد [ 3 – 1 ]


مرافق العدد المركب: 1] - 3[

4i+5مرافق 4i-5وان , وبالعكس (i-)هو (i)وبالعكس , وكذلك مرافق i-3هو مرافق العدد i+3 فمثالا: وبالعكس. 7هو 7وبالعكس , وكذلك مرافق العدد

/ يتضح من تعريف المرافق انه يحقق الخواص االتية:1مالحظة

1) c1 ± c2 = c1 ± c2

2) c1 . c2 = c1 . c2

3) c c = a2 + b2 فان c = a+bi اذا كان

4) c = c فان c ∈ R

5) c + c = 2a

6) c = c

7) (c1

c2) = (

c1

c2 )

/ تفيدنا هذه الخاصية في اجراء عملية القسمة:2مالحظة

c1 ÷ c2 = c1 .1

c2 , c1 , c2 ∈ ℂ

نضرب بسط فإننا 2c ≠ 0حيث 2cعلى العدد المركب c1عملية قسمة العدد المركب إلجراء/ 3مالحظة

المقدار ومقام 𝐜𝟏

𝐜𝟐 بمرافق المقام فيكون:

c1

c2 =

c1

c2 (

c2

c2 )=

c1.c2

c2.c2 =

c1.c2

a2+b2

: ضع بالصورة العادية )الجبرية( : مثال 2+3i

4−5i

: (5i+4)نضرب البسط والمقام بمرافق المقام الحل/

2+3i

4−5i =

2+3i

4−5i.4+5i

4+5i =

(2+3i)(4+5i)

42+52 = 8+12i+10i−15

16+25 =

−7+22i

41 =

−7

41+

22i

41

فاثبت ان: 2i-= 3 2= 1 + i , c 1cاذا كان /7مثال

a) c1 + c2 = c1 + c2

b) c1 .c2 = c1 . c2

c) (c1

c2)

= (

c1

c2 )

الحل/

a) c1 + c2 = c1 + c2 ⇒ c1 + c2 = (1+ i) + (3 - 2i) = 4 – i ⇒ c1 + c2 = 4 + i

c1 + c2 = (1 – i) + (3 + 2i) = 4 + i ⇒ ∴ 𝐜𝟏 + 𝐜𝟐 = ��1 + ��2

b) c1. c2 = c1 . c2

c1. c2 = (1+ i) (3 - 2i) = 3 + 3i – 2i + 2 = 5 + i ⇒ c1. c2 = 5 – i c1 . c2 = (1- i) (3 + 2i) = 3 - 3i + 2i + 2 = 5 – i ⇒ ∴ 𝐜𝟏. 𝐜𝟐 = ��1 . ��2

∋ c = a - bi R , ∀ a , bهو العدد المركب c = a + bi مرافق العدد المركب -تعريف :

عددين مركبين حظة/ عند جمع او عند )ضرب( مال مترافقين يكون الناتج عدد حقيقي والعكس صحيح.



c) (c1

c2)

= (

c1

c2 )

c1

c2 =

1+ i

3 − 2i =

(1+ i)(3+ 2i)

9+4 =

3+3i+2i−2

13 =

1+5i

13 =

1

13 +

5i

13 ⇒ (

c1

c2)

=

1

13 -

5i

13

c1

c2 =

1− i

3+ 2i =

(1− i)(3− 2i)

9+4 =

3−3i−2i−2

13 =

1−5i

13 =

1

13 -

5i

13 ∴ (

𝐜𝟏

𝐜𝟐)

= (

𝐜𝟏

𝐜𝟐 )

وضعه بالصيغة العادية للعدد المركب. 2i-2جد النظير الضربي للعدد /8مثال

هو 2i-2للعدد النظير الضربي الحل/1

2− 2i

1

2− 2i =

1

2− 2i.2+ 2i

2+ 2i =

2+ 2i

4+4 =

2

8+

2i

8 =

1

4+

1

4i

ℂالتحليل الى عاملين في فيصبح )-2i (ثم نضرب احدهما بـ y 2x +2فكرة التحليل هي : نكتب العدد )المقدار( على صورة مجموع مربعين

المقدار على صورة الفرق بين مربعين فيتم تحليله.x2 + y2 = x2 - y2 i2 = (x - yi)(x + yi)

ين نسبيين.عدد a,bحيث a+biالى عاملين من صورة 10 , 53حلل كل من العددين /9مثال

الحل/ مجموع مربعين 12 + 32 = 1 + 9 = 10

: -2iنضرب بـ 32 - 12 i2 = (3 – i)(3+i) تحليل الفرق بين مربعين

مجموع مربعين 72 + 22 = 49 + 4 = 53

: -2iنضرب بـ 22 - 72 i2 =(2–7i)(2+7i) تحليل الفرق بين مربعين

تساوي حدين مركبين

.اي يتساوى العددان المركبان اذا تساوى جزءاهما الحقيقيان وتساوى جزءاهما التخيليان وبالعكس

الحقيقيتين واللتان تحققان: yو xجد قيمة /11مثال

1) )2x -1( + 2i = 1 + (y+1)i ⇒ 2x -1 = 1 ⇒ 2x = 2 ⇒ x = 1

2 = y+1 ⇒ y = 1

.)نكتب الطرف االيسر بالصيغة الجبرية للعدد المركب )العادية

.)نكتب الطرف االيمن بالصيغة الجبرية للعدد المركب )العادية

.نستفيد من تساوي عددين مركبين

2) 3x – 4i = 2 + 8yi

3x = 2 ⇒ x = 2

3

-4 = 8y ⇒ y = −1

2

نضرب البسط والمقام 2بمرافق المقام + 2i

b 1, b 2= a 1a ⇔ 2c =1c =2 : فان i1+b 1= a 1c ,i2+b 2= a 2c اذا كان : -تعريف :



3) (2y+1) – (2x-1)i = -8 + 3i

2y+1 = - 8 ⇒ 2y = -9 ⇒ y = −9

2

-(2x-1) = 3 ⇒ -2x = 2 ⇒ x = -1

4) (x + yi)(3 + 2i) = 5 - 3i

(x + yi) = 5 – 3i

3 + 2i =

5 – 3i

3 + 2i .

3− 2i

3− 2i بمرافق المقام نضرب

(x + yi) = 15−9i−10i−6

9+4 =

9−19i

13 =

9

13 −

19

13 i

x = 9

13 , y = −

19 13

5) y + 5i = (2x + i)(x + 2i) ⇒ y + 5i = 2x2 + xi + 4xi - 2 y + 5i = (2x2 -2)+ (5x)i

5 = 5x ⇒ x = 1 y = 2x2 - 2 x = 1 نعوض y = 2 – 2 = 0

6) 3−2i

i ,

x−yi

1+5i مترافقان

= c ليكنx−yi

1+5i

∵ c = x−yi

1+5i ⇒ ∴ c =

x+yi

1−5i (

c1

c2)

= (

c1

c2 ) الن

∴ x+yi1−5i

= 3−2i

i المرافقين لنفس العدد المركب متساويان

(x + yi)i = (1 − 5i)(3 − 2i) وسطين بطرفين Xi − y = 3 – 15i – 2i – 10 ⇒ −y + xi = -7 – 17i

-y = -7 ⇒ y = 7 x = -17

1 – 1حلول التمارين

n ∀ ضع كل مما يأتي بالصيغة العادية للعدد المركب (8 ∈ N:

1. i5 = i4 . i = i = 0 + i 2. i6 = i4 . i2 = -1 = -1 + 0i 3. i124 = (i4)31 = 1 = 1 + 0i 4. i999 = i996. i3 =(i4)242 . i3 = -i = 0 - i 5. i4n+1 = i4n . i = i = 0 + i

6. (2 + 3i)2 + (12 + 2i) = (4 + 12i - 9) + (12 + 2i) = (-5 + 12i) + (12 + 2i) = 7 + 14i

7. (10 + 3i) (0 + 6i) = 0 + 0 + 60i -18 = -81 + 60i

8. (1 + i)4 - (1 - i)4 = ((1 + i)2)2 – ((1 - i)2)2 = (1 + 2i -1)2 – (1 – 2i -1)2

= (2i)2 – (-2i)2 = -4 –(-4)=0 = 0 + 0i

9. 12+i

i =

12+i

i .

−i

−i =

−12i− i2

−i2 =

−12i+1

1 = 1 – 12i



10. 3+4i

3−4i =

3+4i3−4i

. 3+4i3+4i

=9 +12i+12i−16

9+16 =

−7+24i

25 =

−7

25 +

24

25i

11. i

2+3i =

0+i

2+3i.2−3i

2−3i =

0+2i−0+3

4+9=

3+2i

13 =

3

13+

2

13i

12. (3+i

1+i)3

= (3+i

1+i .

1−i

1−i)3

= (3+i−3i+1

1+1)3

= (4−2i

2)3

=(2 − i)3 =(2 − i)2. (2 − i)=(4 − 4i − 1)2. (2 − i)

=(3 − 4i). (2 − i)= 6 – 8i - 3i – 4= 2 – 11i

13. 2+3i

1−i.1+4i

4+i =

2+3i+8i−12

4−4i+i+1 =

−10+11i

5−3i =

−10+11i

5−3i.5+3i

5+3i

= −10+11i

5−3i.5+3i

5+3i =

−50+55i−30i−33

25+9 =

−83+25i

34 =

−83

34+

25i

34

14. (1 + i)3 + (1 - i)3 = (1 + i)2.(1 + i) + (1 - i)2.(1 - i)

= (1 + 2i -1).(1 + i) + (1 - 2i -1).(1 - i) = (2i).(1 + i) + (-2i).(1 - i) = 2i – 2 + [-2i - 2] = 2i – 2 – 2i - 2 = -4 = -4 + 0i

الحقيقيتين اللتين تحققان المعادالت االتية: y , xجد قيمة كل من (2a) y + 5i = (2x + i)(x + 2i)

الحل/y + 5i = 2x2 + xi + 4xi - 2 نضرب االقواس

y + 5i = 2x2 + 5xi - 2 ⇒ y + 5i = (2x2 – 2) + 5xi من تساوي عددين نحصل على:

5x = 5 ⇒ x = 1 y = 2x2 – 2 = 2 – 2 = 0

b) 8i = (x + 2i)(y + 2i) + 1 نكتب الطرف االيسر بالصيغة العادية: الحل/

-1 + 8i = xy + 2yi + 2xi - 4 ⇒ -1 + 8i = (xy – 4) + (2y + 2x)i من تساوي عددين نحصل على:

-1 = xy – 4 ⇒ xy = 3 ……

8 = 2y + 2x ⇒ 4 = y + x ⇒ y = 4 – x .…

:في معادلة من yقيمة نعوض

xy = 3 ⇒ x(4 – x) = 3 ⇒ 4x – x2 = 3 ⇒ x2 – 4x + 3 = 0 (x - 3)(x - 1) = 0

∴ x = 3 ⇒ y = 4 – 3 = 1

x = 1 ⇒ y = 4 – 1 = 3

c) (1−i

1+i) + (x+yi) = (1+2i)2

الحل/

(1−i

1+i .

1−i

1−i) + (x+yi) = (1 + 4i - 4) ⇒ (

1−i−i−1

1+1) + (x+yi) = -3 + 4i



(−2i

2) + (x+yi) = -3 + 4i ⇒ -i + (x+yi) = -3 + 4i

(x+yi) = -3 + 4i + i ⇒ (x+yi) = -3 + 5i من تساوي عددين نحصل على:

∴ x = -3 , y = 5

d) 2−i

1+i x +

3−i

2+i y =

1

i

الحل/

(2−i

1+i .

1−i

1−i) x + (

3−i

2+i .

2−i

2−i) y =

1

i ⇒ (

2−i−2i−1

1+1) x + (

6−2i−3i−1

4+1) y =

i4

i

(1−3i

2) x + (

5−5i

5) y = i3 ⇒ (

1−3i

2) x + (

5−5i

5) y = - i

(1

2−

3i

2) x + (1 − i ) y = 0 – i ⇒

1

2x −

3x

2i + y - yi = 0 - i

(1

2x + y) + (

−3x

2− y) i = 0 - i

من تساوي عددين نحصل على:

1

2x + y = 0 ……

−3x

2− y = -1 ………

---------------------بالجمع

-x + 0 = -1 ⇒ ∴ x = 1

:yلنجد قيمة نعوض في

1

2. 1 + y = 0 ⇒ ∴ y = −

1

2

اثبت ان: (3

a) 1

(2−i)2−

1

(2+i)2=

8

25 i

L.H.S = 1

4−4i−1−

1

4+4i−1 =

1

3−4i−

1

3+4i =

1

3−4i.3+4i

3+4i−

1

3+4i.3−4i

3−4i

=3+4i

9+16−

3−4i

9+16 =

3+4i−(3−4i)

25 =

3+4i−3+4i

25=

8

25i = R.H.S

b) (1−i)2

1+i+

(1+i)2

1−i= −2

L.H.S = 1−2i−1

1+i+

1+2i−1

1−i =

−2i

1+i+

2i

1−i =

−2i

1+i.1−i

1−i+

2i

1−i.1+i

1+i

=−2i−2

1+1+

2i−2

1+1=

−2i−2

2+

2i−2

2 = -1 – i + i -1 = -2 = R.H.S



c) (1 – i) (1 – i2)(1 – i3) = 4 L.H.S = (1 – i) (1 – i2)(1 – i3) = (1 – i) (1 – (-1))(1 – (-i)) = (1 – i) (1 + 1)(1 + i) = 2(1 – i) (1 + i) حاصل ضرب مرافقين = 2(1 + 1) = 4 = R.H.S

b , aحيث a+biالى حاصل ضرب عاملين من الصورة 22, 828, 48, 18حلل كال من االعداد (4

عددان نسبيان.a) 85 = (81 + 4) = 81 - 4i2 = (9-2i)(9+2i) OR 85 = (4 + 81) = 4 - 81i2 = (2-9i)(2+9i) OR 85 = (49 + 36) = 49 - 36i2 = (7-6i)(7+6i) b) 41 = (25 + 16) = 25 - 16i2 = (5-4i)(5+4i)

c) 125 = (121 + 4) = 121 - 4i2 = (11-2i)(11+2i) OR 125 = (100 + 25) = 100 - 25i2 = (10-5i)(10+5i)

d) 29 = (25 + 4) = 25 - 4i2 = (5-2i)(5+2i)

الحقيقيتين اذا علمت ان y , xجد قيمة (86

x+yi ,

3+i

2−i مترافقان.

= cنفرض الحل/3+i

2−i

c = 3+i

2−i ⇒ c =

3−i

2+i (c1

c2)

= (

c1

c2 ) الن

6

x+yi =

3−i

2+i وسطين بطرفين

6(2 + i) = (3 − i)(x + yi) ⇒ 12 + 6i = 3x – xi + 3yi + y 12 + 6i = (3x + y) + (-x + 3y)i

من تساوي عددين نحصل على:12 = 3x + y ⇒ y = 12 – 3x ……

6 = -x +3y …….

: في نعوض

6 = -x +3y ⇒ 6 = -x +3(12 – 3x) ⇒ 6 = -x +36 –9x ⇒ 10x = 30 ⇒ x = 3

:في معادلة xنعوض قيمة

y = 12 – 3x = 12 – 9 = 3 ⇒ y = 3

i2 = -1 i3 = - i



تمارين اضافية من السنوات السابقة

بالصيغة العادية : 4ni-1/ اكتب العدد 8س

i4n-1 = i4n .i-1 = i-1 = i-1 .i4 = i3 = 0 – i

/ اثبت ان 2س3i

√2+i−

3i

√2−i= 2

الحل/

L.H.S = 3i

√2+i−

3i

√2−i =

3i

√2+i.√2−i

√2−i−

3i

√2−i.√2+i

√2+i =

3√2i+3

2+1−

3√2i−3

2+1

= 3√2i+3

3−

3√2i−3

3 = (√2i+ 1) − (√2i− 1) = √2i + 1 − √2i + 1 = 2

= R.H.S

الجذور التربيعية للعدد المركب الفصل االول )االعداد المركبة( [ 4 – 1 ]


a√± عددا حقيقيا موجبا فانه يوجد عددان حقيقيان aاذا كان الجذور التربيعية للعدد المركب: 1]– [4

.aالجذرين التربيعيين للعدد a√±ويسمى a 2x =يحقق كل منهما المعادلة 8فان له جذر تربيعي واحد هو a = 0اما اذا كان x = ⇒= 25 2x±5مثال :

. x+yiجذرين تربيعيين من الصورة c = a+biان كل عدد مركب .17- و 25-جد الجذور التربيعية لكل من /11مثال

الحل/

a) c2 = -25 ⇒ c = ±√−25 = ± 5i

b) c2 = -17 ⇒ c = ±√−17 = ± √17 i اليجاد الجذرين التربيعيين للعدد المركب نتبع الخطوات التالية:

.a+biنكتب العدد المركب بالصيغة العادية -8 . x+yiنفرض الجذر التربيعي للعدد المركب يساوي عدد مركب اخر -2 نأخذ تربيع الطرفين فنحصل على معادلتين ومن تساوي عددين مركبين : -3

a. = 2الجزء الحقيقي للعددy - 2x . b. = 2الجزء التخيلي للعددxy .

. x , y ∈ Rنحل المعادلتين انيا اليجاد -4 جد الجذور التربيعية لالعداد: /12مثال

1) -3 + 4i c = -3 + 4i

x + yiهو cنفرض الجذر التربيعي للعدد

∴ x + yi = √−3 + 4i (x + yi)2 = -3 + 4i تربيع الطرفين x2 + 2xyi – y2 = -3 + 4i ⇒ )x2 – y2( + (2xy) i = -3 + 4i

من تساوي عددين مركبين:

2xy = 4 ⇒ y = 42x

⇒ y = 2x …..❶

x2 – y2 = -3 ……..❷

:❷في ❶نعوض

x2 – (2

x)2

= -3 ⇒ x2 – 4

x2 = -3

x4 – 4 = -3x2 x2 نضرب الطرفين بـ x4 + 3x2 – 4 = 0 ⇒ (x2 - 1)(x2 + 4) = 0 x2 + 4 = 0 عدد حقيقي x تهمل الن x2 - 1 = 0 ⇒ x2 = 1 ⇒ x = ±1

:❶في معادلة xنعوض عن قيمة

x = 1 ⇒ y = 2 ⇒ c1 = 1 + 2i

x = −1 ⇒ y = −2 ⇒ c2 = -1 - 2i (2i+1)±الجذرين التربيعيين هما :



2) 8 + 6i c = 1 + 1i


∴ x + yi = √8 + 6i (x + yi)2 = 1 + 1i تربيع الطرفين x2 + 2xyi – y2 = 1 + 1i ⇒ )x2 – y2( + (2xy) i = 1 + 1i

2xy = 1 ⇒ y = 62x

⇒ y = 3x من تساوي عددين مركبين ❶..…

x2 – y2 = 1 ……..❷ من تساوي عددين مركبين


x2 – (3

x)2

= 1 ⇒ x2 – 9

x2 = 1

x4 – 2 = 8x2 x2 نضرب الطرفين بـ x4 - 8x2 – 9 = 0 ⇒ (x2 - 9)(x2 + 1) = 0 x2 + 1 = 0 عدد حقيقي x تهمل الن x2 - 9 = 0 ⇒ x2 = 9 ⇒ x = ±3


x = 3 ⇒ y = 1 ⇒ c1 = 3 + i

x = −3 ⇒ y = −1 ⇒ c2 = -3 - i (i+3)±الجذرين التربيعيين هما :

3) –i c = 0 - i


∴ x + yi = √0 − i (x + yi)2 = 0 - i تربيع الطرفين x2 + 2xyi – y2 = 0 – I ⇒ )x2 – y2( + (2xy) i = 0 - i

2xy = -1 ⇒ y = −12x

من تساوي عددين مركبين ❶..…

x2 – y2 = 0 ……..❷ من تساوي عددين مركبين


x2 – (−1

2x)2

= 0 ⇒ x2 – 1

4x2 = 0 ⇒ x4 – 1

4 = 0 x2 نضرب الطرفين بـ

x4 = 1

4 ⇒ x = ∓

1

√2


x =1

√2 ⇒ y =

−1

2 1

√2

= −1

√2 ⇒ c1 =

1

√2 -

1

√2 i

x = −1

√2 ⇒ y =

−1

2 −1

√2

= 1

√2 ⇒ c2 = −

1

√2 +

1

√2 i

)±الجذرين التربيعيين: 𝟏

√𝟐 -

𝟏

√𝟐 i)



4) 8i c = 0 + 8i




2xy = 8 ⇒ y = 4x …..❶

x2 – y2 = 0 ……..❷


x2 – (4

x)2

= 0 ⇒ x2 – 16

x2 = 0 ⇒ x4 – 16 = 0 x2 نضرب الطرفين بـ

x4 – 16 = 0 ⇒ x4 = 16 ⇒ x = ±2 :❶في معادلة xنعوض عن قيمة

x = 2 ⇒ y = 2 ⇒ c1 = 2 + 2i

x = −2 ⇒ y = −2 ⇒ c2 = -2 - 2i

(2i + 2)±الجذرين التربيعيين هما :

ℂحل المعادلة التربيعية في الفصل االول )االعداد المركبة( [ 5 – 1 ]


و a ≠ 0حيث bx + c = 0 2ax +تعلمت ان للمعادلة التربيعية : ℂحل المعادلة التربيعية في 1 ]– [ 5

a,b,c ∈ R حلين يمكن ايجادهما بالدستور, x =−b±√b2−4ac

2a وعلمت انه اذا كان المقدار المميز,

4ac -2 b مركبة.جد لها حالن في مجموعة االعداد السالبا فانه ال يوجد للمعادلة حلول حقيقية , ولكن يو في مجموعة االعداد المركبة. 2x + 2 = 0 2x +حل المعادلة /13مثال

الحل/x2 + 2x + 2 = 0 a = 1 , b = 2 , c = 2

x =−b±√b2−4ac

2a من قانون الدستور

x =−2±√4−8

2 =

−2±√−4

2=

−2 ± 2i

2 = -1 ± i

وهما عددان مترافقان. (i -1-)و (i +1-)اي ان للمعادلة جذران

في مجموعة االعداد المركبة. 4x + 2x + 5 = 0حل المعادلة /14مثال الحل/

x2 + 4x + 5 = 0 a = 1 , b = 4 , c = 5

x =−b±√b2−4ac


x =−4±√16−20

2 =

−4±√−4

2=

−4 ± 2i

2 = -2 ± i

وهما عددان مترافقان. (i -2-)و (i +2-)اي ان للمعادلة جذران bx + c = 0 2ax + من قانون الدستور واالمثلة السابقة نجد الخصائص التالية لجذري المعادلة مالحظة/

:a,b,c ∈ R و a ≠ 0حيث هو الجذر االخر. x-yiاحد جذري المعادلة فان x+yiاذا كان -8 : a ≠ 0حيث aبقسمة المعادلة على -2

x2 + b

ax +

c

a = 0

والتي هي عبارة عن:x2 – (مجموع الجذرين) x + (حاصل ضرب الجذرين) = 0

:انوهي الصيغة العامة للمعادلة التربيعية , ونستنتج من ذلك 𝐜

𝐚 = , حاصل ضرب الجذرين

−𝐛

𝐚 مجموع الجذرين =

(.-2i-2( و )2i+2جد المعادلة التربيعية التي جذراها : ) /15مثال الحل/

(2 + 2i) +(-2 – 2i) = 0 نجد مجموع الجذرين (2 + 2i)(-2 – 2i) = - 4 - 4i – 4i + 4 = -8i نجد حاصل ضرب الجذرين x2 – (مجموع الجذرين)x + (حاصل ضرب الجذرين) = المعادلة 0

x2 – 0 x + (-8i) = 0 ⇒ x2 - 8i = 0 ⇒ x2 = 8i (. 4i-3المعادلة التربيعية التي معامالت حدودها اعداد حقيقية واحد جذريها ) كون /16مثال

معامالت المعادلة اعداد حقيقية ∵ الحل/ جذري المعادلة مترافقان ∴

(4i+3( و )4i-3جذري المعادلة هما ) ∴(3 + 4i) +(3 – 4i) = 6 نجد مجموع الجذرين (3 + 4i)(3 – 4i) = 9 +12i –12i +16 = 25 نجد حاصل ضرب الجذرين x2 – 6x + 25 = 0 المعادلة

i = 2i 4√ = 4−√مالحظة/



i = 0-5x +7 – 2xجد مجموعة حل المعادلة /17مثال

الحل/x2 –5x +7-i = 0 a = 1 , b = -5 , c = 7-i

x =−b±√b2−4ac


x =5±√25−4(7−i)

2 =

5±√25−28+4i

2 =

5±√−3+4i

2

b2√اذا كان المقدار مالحظة/ − 4ac عدد حقيقي فيمكن ايجاده من التعريف√−a = √a i , اما اذا كان

√b2 − 4ac في [4-1]عدد مركب فيجب ايجاده بطريقة ايجاد الجذرين التربيعيين التي مرت بنا سابقا في الفقرة . 2الصفحة

b2√يجب ايجاد اذا − 4ac 82بطريقة ايجاد الجذرين التربيعيين للعدد المركب وقد سبق لنا ايجاده في مثال سابقا كما مبين:

c = -3 + 4i ليكن x + yiهو cنفرض الجذر التربيعي للعدد

∴ x + yi = √−3 + 4i (x + yi)2 = -3 + 4i تربيع الطرفين x2 + 2xyi – y2 = -3 + 4i ⇒ )x2 – y2( + (2xy) i = -3 + 4i


2xy = 4 ⇒ y = 42x

⇒ y = 2x …..❶

x2 – y2 = -3 ……..❷


x2 – (2

x)2

= -3 ⇒ x2 – 4

x2 = -3

x4 – 4 = -3x2 x2 نضرب الطرفين بـ x4 + 3x2 – 4 = 0 ⇒ (x2 - 1)(x2 + 4) = 0 x2 + 4 = 0 عدد حقيقي x تهمل الن x2 - 1 = 0 ⇒ x2 = 1 ⇒ x = ±1


x = 1 ⇒ y = 2 ⇒ c1 = 1 + 2i

x = −1 ⇒ y = −2 ⇒ c2 = -1 - 2i (2i+1)±الجذرين التربيعيين هما :

نعود االن لنكمل الحل:

x =5±√−3+4i

2 ⇒ x =

5±(1+2i)

2

x =5+(1+2i)

2=

6+2i

2 = 3 + i

x =5−(1+2i)

2=

4−2i

2 = 2 - i

{ i , 2 - i + 3}مجموعة حل المعادلة هي ∴



1-2حلول التمارين حل المعادالت التربيعية االتية وبين اي منها يكون جذراها مترافقان؟ (1

a) z2 = -12 z = ±√−12 = ±√12 i = ±2√3 i

∴ S = {0+𝟐√𝟑 i , 0-𝟐√𝟑 i} الجذران مترافقان

طريقة ثانية للحل:

z2 = -12 ⇒ z2 + 12 = 0 ⇒ z2 – 12 i2 = 0

(z - 2√3 i) (z + 2√3 i) = 0

z - 2√3 i = 0 ⇒ z = 2√3 i

z + 2√3 i = 0 ⇒ z = −2√3 i

∴ S = {0±𝟐√𝟑 i} الجذران مترافقان الدستور(:طريقة ثالثة للحل )باستخدام

z2 = -12 ⇒ z2 + 12 = 0 a = 1 , b = 0 , c = 12

z =−b±√b2−4ac


z =0±√0−4(12)

2 =

±√−48

2=

±4√3 i

2 = ±2√3 i

∴ S = {0±𝟐√𝟑 i} الجذران مترافقان

b) z2 – 3z + 3+ i = 0 z2 – 3z + 3+ i = 0 a=1 , b=-3 , c=3+i

z =−b±√b2−4ac


z =3±√9−4(3+i)

2 =

3±√9−12−4i

2 =

3±√−3−4i

2

3−√نجد جذري المقدار − 4i:

(x + yi)2 = −3 − 4i

2xy = -4 ⇒ y = −2x

x2 – y2 = -3 ⇒ x2 – 4

x2 = -3 ⇒ x4 – 4 = -3x2 x2 نضرب الطرفين بـ

x4 + 3x2 - 4 = 0 ⇒ (x2 + 4)( x2 – 1) = 0 ⇒ x2 – 1 = 0 ⇒ x = ±1

∴ √−3 − 4i = ±(1 - 2i) نعود الى المعادلة:

z =3 ± √−3−4i

2 =

3 ± (1 − 2i)

2

∴ z =3 + 1 − 2i

2 =

4 − 2i

2 = 2 - i

or z =3− 1+ 2i

2 =

2+ 2i

2 = 1 + i

{i , 1+ i -2}مجموعة الحل هي ∴



c) 2z2 – 5z + 13 = 0 ⇒ 2z2 – 5z + 13 = 0 a=2 , b=-5 , c=13

𝐳 =−𝐛±√𝐛𝟐−𝟒𝐚𝐜

𝟐𝐚 من قانون الدستور

𝐳 =𝟓±√𝟐𝟓−𝟒(𝟐 .𝟏𝟑)

𝟐 .𝟐 =

𝟓±√𝟐𝟓−𝟏𝟎𝟒

𝟒=

𝟓±√−𝟕𝟗

𝟒 =

𝟓±√𝟕𝟗 𝐢

𝟒

∴ S = { 𝟓

𝟒+

√𝟕𝟗

𝟒𝐢 , 𝟓

𝟒−

√𝟕𝟗

𝟒𝐢 } الجذران مترافقان

d) z2 + 2z + i(2-i) = 0 z2 + 2z + (2i - i2) = 0

z2 + 2z + (2i + 1) = 0 ⇒ a = 1 , b = 2 , c =1+ 2i

z =−b±√b2−4ac


z =−2±√4−4(1+2i)

2 =

−2±√4−4−8i

2=

−2±√0−8i

2

0√نجد جذري المقدار − 8i:

x + yi = √0 − 8i ⇒ (x + yi)2 = 0 - 8i تربيع الطرفين

x2 + 2xyi – y2 = 0 - 8i ⇒ )x2 – y2( + (2xy) i = 0 - 8i من تساوي عددين مركبين:

2xy = -8 ⇒ y = −4x

…..❶

x2 – y2 = 0 ……..❷


x2 – (−4

x)2

= 0 ⇒ x2 – 16

x2 = 0 ⇒ x4 – 16 = 0 x2 نضرب الطرفين بـ

x4 – 16 = 0 ⇒ x4 = 16 ⇒ x = ±2 :❶في معادلة xنعوض عن قيمة

x = 2 ⇒ y = −2

x = −2 ⇒ y = 2

نعود الى المعادلة:

z =−2±√0−8i

2 =

−2±(2−2i)

2=

−2 + 2 − 2i

2 = - i

or z =−2− 2 + 2i

2 =

− 4 + 2i

2= -2 + i

∴ S = {- i , -2+ i} الجذران غير مترافقان

طريقة ثانية للحل)اذا لم يطلب استخدام الدستور(:

z2 + 2z + i(2-i) = 0 ⇒ z2 + 2z + 2i - i2 = 0 ⇒ (z2 – i2) + (2z + 2i) = 0

(z2 – i2) + 2(z + i) = 0 ⇒ (z - i)(z + i) + 2(z + i) = 0 (z + i) [(z – i) + 2] = 0 z + i = 0 ⇒ z = -i

or (z – i) + 2 = 0 ⇒ z – i = -2 ⇒ z = -2 + i

∴ S = {- i , -2+ i} الجذران غير مترافقان

√0 − 8i = ± (2 - 2i)



e) 4z2 + 25 = 0 ⇒ 4z2 – 25i2 = 0 ⇒ z2 = 25

4i2 ⇒ z = ±

5

2i

∴ S = { 0 ± 𝟓

𝟐𝐢 } الجذران مترافقان

مبين:يمكن حل السؤال بطريقة الدستور كما 4z2 + 25 = 0 a = 4 , b = 8 , c = 28

z =−b±√b2−4ac


z =0±√0−4(4 .25)

2 .4 =

±√−400

8=

±√400 i

8 = ±

20 i

8 = ±

5 i

2

∴ S = { 0 ± 𝟓

𝟐𝐢 } الجذران مترافقان

f) z2 - 2zi + 3 = 0 … بطريقتين الحل االول بطريقة الدستور:اوال/

z2 - 2zi + 3 = 0 a=1 , b=-2i , c=3

z =−b±√b2−4ac


z =2i ±√4i2−4(3)

2 =

2i±√−4−12

2 =

2i ± √−16

2 =

2i ± √16 i

2=

2i ± 4 i

2=

2i ± 4 i

2

∴ z =2i+ 4 i

2 = 3i

or z = 2i− 4 i2

= -i

∴ S = {0 - i , 0 + 3i} الجذران غير مترافقان

الحل الثاني:ثانيا/

z2 - 2zi + 3 = 0 ⇒ z2 - 2zi – 3i2 = 0 ⇒ (z - 3i)(z + i) = 0

z - 3i = 0 ⇒ z = 3i

or z + i = 0 ⇒ z = -i

∴ S = {0 - i , 0 + 3i} الجذران غير مترافقان

حيث: m.Lكون المعادلة التربيعية التي جذرها (2a) m = 1 +2i , L = 1- i m+L = (1 + 2i) + (1 - i) = 2 + i m.L = (1 + 2i)(1 - i) = 1 + 2i – i + 2 m.L = 3 + i x2 – (2 + i) x + (3 + i) = 0 المعادلة

b) m = 3− i

1+ i , L = (3- 2i)2

m = 3− i

1+ i =

3− i

1+ i .

1− i

1− i =

(3− i)(1− i)

1+ 1 =

3−i−3i−1

2 =

2−4i

2 = 1 – 2i

L = (3- 2i)2 = 9 – 12i – 4 = 5 – 12i m+L = (1 - 2i) + (5 - 12i) = 6 - 14i m.L = (1-2i)(5-12i) = 5 –10i – 12i – 24 = -19 - 22i

المعادلة:x2 – (6 - 14i) x + (-19 - 22i) = 0



جد الجذور التربيعية لالعداد المركبة االتية: (3a) -6i

c = 0 - 6i ليكن x + yiهو cنفرض الجذر التربيعي للعدد

∴ x + yi = √0 − 6i (x + yi)2 = 0 - 6i تربيع الطرفين x2 + 2xyi – y2 = -0 - 6i ⇒ )x2 – y2( + (2xy) i = 0 - 6i


2xy = -6 ⇒ y = −62x

⇒ y = −3x

...❶

x2 – y2 = 0 ……..❷


x2 – (−3

x)2

= 0 ⇒ x2 – 9

x2 = 0

x4 – 9 = 0 x2 نضرب الطرفين بـ

x4 = 9 ⇒ x2 = ±3 ⇒ x = ± √3 :❶في معادلة xنعوض عن قيمة

x = √3 ⇒ y =−3

√3= −√3 ⇒ c1 = √3 − √3 i

x = −√3 ⇒ y =−3

−√3= √3 ⇒ c2 = -√3 + √3 i

(𝟑i√ - 𝟑√)±الجذرين التربيعيين هما : b) 7+24i c = 7 + 24i ليكن




2xy = 24 ⇒ y = 242x

⇒ y = 12x

...❶

x2 – y2 = 7 ……..❷


x2 – (12

x)2

= 7 ⇒ x2 – 144

x2 = 7 ⇒ x4 – 144 = 7x2 x2 نضرب الطرفين بـ

x4 –7x2 - 144 = 0 ⇒ (x2 - 16)( x2 + 9) = 0 x2 + 9 = 0 تهمل x2 – 16 = 0 ⇒ x2 = 16 ⇒ x = ± 4


x = 4 ⇒ y = 3 ⇒ c1 = 4 + 3i

x = −4 ⇒ y = −3 ⇒ c2 = -4 - 3i (3i + 𝟒)±الجذرين التربيعيين هما :



c) 4

1−√3 i نضرب بمرافق المقام

4

1−√3 i =

4

1−√3 i .

1+√3 i

1+√3 i =

4(1+√3 i)

1+3=

4(1+√3 i)

4 = 1 + √3 i

c = 1 + √3 i ليكن x + yiهو cنفرض الجذر التربيعي للعدد

∴ x + yi = √1 + √3 i ⇒ (x + yi)2 = 1 + √3 i تربيع الطرفين

x2 + 2xyi – y2 = 1 + √3 i ⇒ )x2 – y2( + (2xy) i = 1 + √3 i من تساوي عددين مركبين:

2xy = √3 ⇒ y = √3

2x …....❶

x2 – y2 = 1 ……..❷


x2 – (√3

2x)2

= 1 ⇒ x2 – 3

4x2 = 1 ⇒ 4x4 – 3 = 4x2 4x2≠0 نضرب الطرفين بـ

4x4 – 4x2 - 3 = 0 ⇒ (2x2 - 3)(2x2 + 1) = 0 2x2 + 1 = 0 تهمل

2x2 – 3 = 0 ⇒ x2 = 3

2 ⇒ x = ±

√3

√2


x =√3

√2 ⇒ y =

√3

2(√3

√2) =

√3√2

2√3=

√2

2 =

1

√2

x = −√3

√2 ⇒ y =

−1

√2

)±الجذرين التربيعيين هما : √𝟑

√𝟐 +

𝟏

√𝟐 i)

2−√2+1- جد الجذرين التربيعيين للمقدارتمرين اضافي/ الحل/

c = -1+2√−2 = -1+2√2 i ليكن x + yiهو cنفرض الجذر التربيعي للعدد

∴ x + yi = √−1 + 2√2 i ⇒ (x + yi)2 = -1+2√2 i تربيع الطرفين

x2 + 2xyi – y2 = -1+2√2 i ⇒ )x2 – y2( + (2xy) i = -1+2√2 i من تساوي عددين مركبين:

2xy =2√2 ⇒ y =2√2

2x ⇒ y =

√2

x...❶

x2 – y2 = -1 ……..❷


x2 – (√2

x)2

= -1 ⇒ x2 – 2

x2 = -1 ⇒ x4 – 2 = -x2 x2 نضرب الطرفين بـ



x4 + x2 – 2 = 0 ⇒ (x2 - 1)( x2 + 2) = 0 x2 + 2 = 0 x ∈ R تهمل الن x2 – 1 = 0 ⇒ x2 = 1 ⇒ x = ± 1


x = 1 ⇒ y = √2

x = −1 ⇒ y = −√2

(𝟐i√ + 𝟏)±الجذرين التربيعيين هما :

ما المعادلة التربيعية ذات المعامالت الحقيقية وأحد جذريها هو: (4a) i

i , -iبما ان المعامالت اعداد حقيقية اذا الجذران مترافقان وهما i + (-i) = 0 مجموع الجذرين i. (-i) = 1 حاصل ضرب الجذرين x2 - (0) x + 1 = 0 المعادلة x2 + 1 = 0 المعادلة التربيعية

b) 5 – i i , 5-i+5بما ان المعامالت اعداد حقيقية اذا الجذران مترافقان وهما

5+i + (5-i) = 10 مجموع الجذرين (5+i)(5-i)=25 + 1= 26 حاصل ضرب الجذرين x2 - 10x + 26 = 0 المعادلة

c) √2+ 3i

4

بما ان المعامالت اعداد حقيقية اذا الجذران مترافقان وهما √2+ 3i

4 ,

√2− 3i

4

√2− 3i

4 +

√2+ 3i

4 =

2√2

4 =

√2

2=

1

√2 مجموع الجذرين

√2− 3i

4 .

√2+ 3i

4 =

2+9

16 =

11

16 حاصل ضرب الجذرين

x2 - 1

√2 x +

11

16 المعادلة 0 =

∋ فما قيمة ax + (5+5i) = 0 – 2x هو احد جذري المعادلة : i+3اذا كان (5 ℂa ؟؟ وما هو الجذر االخر 2xنفرض الجذر االخر = , i 1x + 3 =ليكن الجذر االول

حاصل ضرب الجذرين = ∵الحد المطلق

x2 معامل

∴ x1 . x2 = 5+5i

1 = 5+5i ⇒ (3 + i) . x2 = 5 + 5i

x2 = 5+5i

3+i =

5+5i

3+i .

3−i

3−i =

15+15i−5i+5

9+1 =

20+10i

10 = 2 + i الجذر الثاني

مجموع الجذرين = = ∵x معامل −

x2 معامل

∴ x1 + x2 = −(−a)

1 ⇒ (2 + i) + (3 + i) = a ⇒ a = 5 + 2i



طريقة ثانية للحل: aنعوض الجذر االول في المعادلة اليجاد قيمة

(3 + i)2 – a(3 + i) + (5 + 5i) = 0 ⇒ (9 + 6i - 1) – a(3 + i) + (5 + 5i) = 0

(8 + 6i) – a(3 + i) + (5 + 5i) = 0 ⇒ a(3 + i) = (8 + 6i) + (5 + 5i) = 13 + 11i

a = 13+11i

3+i =

13+11i

3+i .

3−i

3−i =

39+33i−13i+11

9+1 =

50+20i

10 = 5 + 2i

يتم تطبيق القانون مجموع الجذرين او حاصل ضرب الجذرين: اليجاد الجذر االخر : 2xنفرض الجذر االخر =

(3 + i) + x2 = 5 + 2i x2 = (5 + 2i) – (3 + i) x2 = 2 + i الجذر االخر

الجذور التكعيبية للواحد الصحيح الفصل االول )االعداد المركبة( [ 6 – 1 ]


يوجد جذر تكعيبي واحد يحقق aتعلمت انه الي عدد حقيقي :الجذور التكعيبية للواحد الصحيح 1 ]– [ 6

a√ويكتب على الصورة a 3x =المعادلة 3تكعيبية اما في مجموعة االعداد المركبة نجد ان هناك ثالثة جذور

قيقي ولنأخذ ابسطها وهو الواحد الصحيح , واليجاد حللعدد الحقيقي ولنبحث االن عن الجذور التكعيبية للعدد ال -الجذور التكعيبية )الثالثة( نتبع الخطوات االتية:

3z = 1 3zالعدد = :نفرض -8 3z = 0 1 - 3z -= العدد 8نجعل : -2 ادلة بـ )الفرق او مجموع( مكعبين:معنحل ال -3

z3 – 1 = 0 ⇒ (z – 1)(z2 + z +1) = 0

z – 1 = 0 ⇒ z = 1

z2 + z +1 = 0 ⇒ z = −1±√1−4

2 =

−1±√−3

2 =

−1±√3 i

2

نجد النواتج فتكون ثالثة اعداد هي: -4

1 , −1

2+

√3

2i ,

−1

2−

√3

2i

الصحيحخواص الجذور التكعيبية للواحد , والجذران االخران هما عددان مركبان مترافقان. 8احد الجذور عدد حقيقي هو العدد -8 :مجموع الجذور الثالثة تساوي صفر -2

1 + )−1

2+

√3

2i( + )

−1

2−

√3

2i( = 0

8حاصل ضرب الجذرين التخيليين = -3

)−1

2+

√3

2i()

−1

2−

√3

2i( = 8

مربع احد الجذرين التخيليين = الجذر التخيلي االخر -4

(−1

2+

√3

2i)2 =

−1

2−

√3

2i

(−1

2−

√3

2i)2 =

−1

2+

√3

2i

)فاذا رمزنا الحد الجذرين التخيليين −1

2−

√3

2i) ,(

−1

2+

√3

2i) بالرمزw ( ويقرأ اوميكاOmega) فان

وهذه الجذور w , w , 21 ولذلك يمكن كتابة الجذور التكعيبية للواحد الصحيح على الصورة 2wالجذر االخر هو تحقق العالقتين:

1- w3 = 1 2- 1 + w + w2 = 0

يمكن ان نحصل على: 2ومن الخاصية

1 + w = -w2 ⇒ 1 + w2 = -w ⇒ w + w2 = -1 ⇒ w = -1 - w2

⇒ w2 = -1 - w ⇒ 1 = -w2 - w 2w , w .عددان مترافقان

هي: aعددا حقيقيا , فان الجذور التكعيبية للعدد aوبصورة عامة : اذا كان

√a3

, √a3

w , √a3

w2 -مثال:

2w , 2w , 22 هي : 1الجذور التكعيبية للعدد - , 2w-w , -1 هي : -1الجذور التكعيبية للعدد



:wقوى w3 = 1 , w4 = w3 . w = w w5 = w3 . w2 = w2 w6 = w3 . w3 = 1

وتتكرر هذه القيم كلما زادت w , w , 21السس صحيحة موجبة تأخذ احدى القيم (w)وباالستمرار نجد ان قوى -مثال: , 3 االسس المتتالية بمقدار

w20 = w18 . w2 = (w3)6 . w2 = w2 w100 = w99 . w = (w3)33 . w = w w3n = (w3)n = 1 عدد صحيح n حيث

w3n-1 = (w3)n .w-1= w-1 = 1

w =

w3

w = w2

w-4 = 1

w4 = 1

w3 .w =

1

w = w2

مرفوع الس موجب من مضاعفات wمرفوع الس سالب فيمكن ان نضرب بـ wمالحظة/ اذا كان .wاكبر او يساوي اس 3العدد

or w-4 = w6 . w-4 = w2 w-5 = w6 . w-5 = w w-6 = w6 . w-6 = w0 = 1 w-20 = w21 . w-20 = w w-31 = w33 . w-31 = w2

r = 0 , 1 , 2 , r= w 3n+rwعدد صحيح nحيث بمعنى ان:

مثال:

w33 = w3(11) + 0 = w0 = 1 w25 = w3(8) + 1 = w1 = w w-58 = w3(-20) + 2 = w2

wهو االس الجديد لـ 3على wباقي قسمة اس بمعنى ان: جد قيمة: /18مثال

a) (3 + 2w + 2w2)20 = [3 + 2(w + w2)]20 نستخرج 2 عامل مشترك = [3 + 2(-1)]20 w + w2 = -1 نعوض = [3 – 2]20 = 1

.ج عامل مشتركنستخر فاننااذا كانت المعامالت متشابهة مالحظة/

b) (1 - 3w - 3w2)4 = [1 – 3(w + w2)]4 نستخرج 3 عامل مشترك = [1 – 3(w + w2)]4 w + w2 = -1نعوض = [1 – 3(-1)]4 = [1 + 3]4 = 44 = 256

c) (3 + 4w + 5w2)2 w -1 -= 2 wنعوض الحل/

= [3 + 4w + 5(-1 – w)]2 = [3 + 4w - 5 – 5w]2 = [-2 - w]2

= 4 + 4w + w2 نستخرج 4 عامل مشترك = 4(1 + w) + w2 1 + w = -w2 = 4(-w2) + w2 = -4w2 + w2 = -3w2



او بالعكس. 2wالى wتحويل فيمكن مختلفةاذا كانت المعامالت مالحظة/

اثبت ان: /19مثال1) w7 + w5 + 1 = 0 L.H.S= w7 + w5 +1= w6. w + w3 . w2 +1 = w + w2 + 1 = 0 = R.H.S

2) (5+3w+3w2)2 = -4(2+w+2w2)3 = 4

L.H.S = (5 + 3w + 3w2)2 الطرف االيمن

= [5 + 3(w + w2)]2 نستخرج 3 عامل مشترك

= [5 + 3(-1)]2 w + w2 = -1نعوض

= [5 - 3]2 = 22 = 4 = R.H.S

M.H.S = -4(2+w+2w2)3 الطرف االوسط = -4(w + 2 + 2w2)3 نستخرج 2 عامل مشترك = -4[(w + 2(1+ w2)]3 1+w2 = -w نعوض

= -4[(w + 2(-w)]3 = -4[w – 2w]3 = -4[-w]3 = -4[-1] = 4 = L.H.S = R.H.S

ن المعادلة التربيعية التي جذراها:كو /21مثال1) 1 – iw , 1 - iw2 (1 – iw) + (1 – iw2) = 2 – iw – iw2 = 2 – i(w + w2) = 2 – i(-1) = 2 + i مجموع الجذرين (1 – iw) (1 – iw2) حاصل ضرب الجذرين =8 – iw – iw2 + i2w3 = 8 – iw – iw2 -1 = – iw – iw2 = – i(w + w2) = – i(–1) = i x2 – (2+i) x + i = 0 المعادلة

2) 3w + w2 , w + 3w2 (3w + w2) + (w + 3w2) مجموع الجذرين = 4w + 4w2 = 4(w + w2)= 4(-1) = -4

(3w + w2)(w + 3w2) حاصل ضرب الجذرين = 3w2 + w3 + 9w3 + 3w4 = 3w2 + 1 + 9 + 3w3.w = 3w2 + 10+ 3w =10 + 3w + 3w2 = 10 + 3(w + w2) = 10 + 3(-1) = 10 – 3 = 7 x2 + 4x + 7= 0 المعادلة

3) 1-2w , 1-2w2 (1-2w) + (1-2w2) = 2 - 2w - 2w2 = 2 - 2(w + w2) = 2 - 2(-1) = 4 مجموع الجذرين (1-2w)(1-2w2) حاصل ضرب الجذرين = 1 –2w -2w2 +4w3 = 1 –2w -2w2 + 4 = 5 – 2w – 2w2 = 5 – 2(w + w2) = 5 – 2(-1) = 7

x2 - 4x + 7= 0 المعادلة كان مجموع الجذرين وحاصل ضربهما عددان حقيقيان فان جذري المعادلة اذا 3و 2مالحظة/ في المثالين

عددان مترافقان.



4) 2iw – 3w2

i , 3iw –

2w2

i

نبسط شكل الجذرين لنتخلص من الكسور: الحل/

2iw – 3w2

0+i.

0−i

0−i = 2iw + 3iw2 الجذر االول

3iw – 2w2

0+i.

0−i

0−i = 3iw + 2iw2 الجذر الثاني

(2iw + 3iw2) + (3iw + 2iw2) = 5iw + 5iw2 = 5i(w + w2)= 5i(-1) = –5i مجموع الجذرين

(2iw+3iw2)(3iw+2iw2) = –6w2 – 4 – 9 – 6w = –13 – 6(w + w2)= –13 + 6 = –7 حاصل ضرب الجذرين

x2 + 5ix – 7 = 0 المعادلة

5) 2

1−w ,

2

1−w2

(2

1−w) + (

2

1−w2) مجموع الجذرين

= 2(1−w2)+ 2(1−w)

(1−w)(1−w2) =

2−2w2+ 2−2w

(1−w)(1−w2) =

4−2w2−2w

1−w−w2+1 =

4−2(w2+w)

2−(w+w2) =

4+2

2+1=

6

3 = 2

(2

1−w)(

2

1−w2) = 4

1−w− w2+ 1=

4

2−(w+ w2)=

4

2+1 =

4

3 حاصل ضرب الجذرين

x2 – 2x + 4

3 المعادلة 0 =

جد قيمة /21مثال a + bw + cw2

b + cw + aw2

بسطه مع مقامه بـ )عدد الحدود , المعامالت باشاراتها( فاننا ق ــفــتــالختصار كسر يمالحظة/ الحل/

فيتم االختصار. 3wفي البسط بـ wنضرب الحد الخالي من

a + bw + cw2

b + cw + aw2 = aw3+ bw + cw2

b + cw + aw2 = w(aw2+ b + cw)

b + cw + aw2 = w

(2اذا كان /22مثال1

wa+bi=(1+2w+ , R ∈a,b

b 2a +2 1 = :برهن ان (8 .a+biكون المعادلة التربيعية التي معامالت حدودها اعداد حقيقية واحد جذريها (2

الحل/

1) a + bi = (1 + 2w + 1

w)2 = (1 + 2w +

w3

w)2 = (1 + 2w + w2)2 = (– w + 2w)2 = w2

∴ a + bi = w2

a2 + b2 = a2 – b2 i2 = (a - bi)(a + bi) عددان مترافقان: 2w و wبما ان

a2 + b2 = w . w2 = w3 = 1

( بـ 2w , w ميمكن الحل بالتعويض عن قيو−1

2±

√3

2 i(

جذري المعادلة مترافقاناذا بما ان المعامالت اعداد حقيقية (2 wفان الجذر االخر هو 2wالجذر االول اذا كان



w + w2 = -1 مجموع الجذرين w . w2 = 1 حاصل ضرب الجذرين x2 - x + 1 = 0 المعادلة

1 - 3حلول التمارين

اكتب المقادير االتية في ابسط صورة: (1

a) w64 = w63 . w = (w3)21. w = w b) w–325 = w327. w–325 = w2

c) 1

(1+w−32)12 = 1

(1+w33.w−32)12 = 1

(1+w)12 = 1

(−w2)12 = 1

w24 = 1

d) (1+w2)–4 = (-w)–4 = 1

(−w)4 =

1

w4 = w6

w4 = w2

e) w9n+5 , n ∈ N حيث w9n+5 = w9n. w5 = (w3)3n. w5 = w5 = w3 .w2 = w2

ن المعادلة التربيعية التي جذراها:كو (2a) 1+w2 , 1+w

الحل/(1+w2) + (1+w) = 2 + w + w2 = 2 – 8 = 1 مجموع الجذرين

(1+w2)(1+w) = 1 + w2 + w + w3 = 1 + w + w2 + 1 = 2 + -1 = 1 حاصل ضرب الجذرين

x2 - x + 1 = 0 المعادلة

b) w

2−w2 , w2

2−w

(w

2−w2) + (w2

2−w مجموع الجذرين (

= w(2−w) + w2(2−w2)

(2−w2)(2−w) =

2w−w2+ 2w2−w4

4−2w2−2w+w3 = 2w+ w2−w

5−2w2−2w=

w+ w2

5−2(w2+w) =

−1

5+2 =

−1

7

(w

2−w2)(w2

2−w حاصل ضرب الجذرين (

= w3

4−2w2−2w+w3= 1

5−2w2−2w=

1

5−2(w2+w) =

−1

5+2 =

1

7

x2 + 1

7 x +

1

7 = 0 ⇒ 7x2 + x + 1 = 0 المعادلة

c) 3i

w2 , −3w2

i

نبسط شكل الجذرين لنتخلص من الكسور: الحل/3i

w2 . w

w = 3iw الجذر االول

−3w2

i .

−i

−i = 3iw2 الجذر الثاني

(3iw + 3iw2) = 3i(w + w2) = -3i مجموع الجذرين

3iw . 3iw2 = 9i2w3 = –9 حاصل ضرب الجذرين x2 + 3ix – 9 = 0 المعادلة



فجد قيمة : z + 1 = 02 z + اذا كان : (3

1+3z10+3z11

1−3z7−3z8

zنحسب قيمة الحل/z2 + z + 1 = 0 a = 1 , b = 1 , c = 1

z =−1±√1−4

2 =

−1±√−3

2=

−1±√3 i

2 ⇒ z =

−1

2 ±

√3

2 i ⇒ z = w or w2

z = w لتكن

1+3z10+3z11

1−3z7−3z8 = 1+3w10+3w11

1−3w7−3w8 = 1+3w+3w2

1−3w−3w2 = 1+3(w+w2)

1−3(w+w2)

= 1−3

1+3 =

−2

4 = −

1

2

2z = wلتكن

1+3z10+3z11

1−3z7−3z8 = 1+3(w2)10+3(w2)11

1−3(w2)7−3(w2)8 =

1+3w20+3w22

1−3w14−3w16= 1+3w2+3w

1−3w2−3w

= 1+3(w2+w)

1−3(w2+w) =

1−3

1+3=

−2

4 = −

1

2

اثبت ان: (4

a) (1

2+w−

1

2+w2)2 = −

1

3

L.H.S = (1

2+w−

1

2+w2)2=(

(2+w2)− (2+w)

(2+w)(2+w2))2

= (w2− w

4+2w+2w2+w3)2

=(w2− w

5+2(w+w2))2

=(w2− w

5−2)2

=(w2− w

3)2

=(± √3 i

3)2

= −3

9 =

−1

3 = R.H.S

b) w14+w7−1

w10+w5−2 =

2

3

L.H.S = w14+w7−1

w10+w5−2 =

w2+w−1

w+w2−2=

−1−1

−1−2 =

−2

−3 =

2

3 = R.H.S

c) (1 −2

w2 + w2) (1 + w −5

w) = 18

L.H.S = (1 −2

w2 + w2) (1 + w −5

w) = (1 −

2w3

w2 + w2) (1 + w −5w3

w)

= (1 − 2w + w2)(1 + w − 5w2) = (−w − 2w)(−w2 − w2) = (−3w)(−6w2) = 18 w3 = 18 = R.H.S

d) (1+ w2)3 + (1+ w)3 = -2 L.H.S = (1+ w2)3 + (1+ w)3 = (–w)3 + (–w2)3 = – w3 – w6

= – w3 – (w3)2 = –1 – 1 = –2 = R.H.S

= 1 3w 2w–1+w =

w–= 21+w

التمثيل الهندسي لالعداد المركبة الفصل االول )االعداد المركبة( [ 7 – 1 ]


على انه زوج مرتب من االعداد الحقيقية zيعرف العدد المركب التمثيل الهندسي لالعداد المركبة: 1 ]– [ 7(x,y) ويكتب بالشكلz(x,y) ويسمى الشكل الديكارتي )شكل ارجاند( للعددz وتسمى المجموعة ,

ℂ = {(x, y) ∶ x , y ∈ R} مجموعة االعداد المركبة.

من الواضح ان هذه المجموعة هي مجموعة غير منتهية من االزواج تمثله نقطة وحيدة في (x,y)المرتبة , ونالحظ ان كل عدد مركب

كما ان كل نقطة في المستوي 2or E 2(R(المستوي المتعامد المحورين تمثل عددا مركبا وحيدا اي ان هناك تقابل بين مجموعة االعداد المركبة

ومجموعة نقط المستوي.

𝐎𝐏بالمتجه z = x+yiويمكن تمثيل العدد المركب بتمثيل وذلك P(x,y)الى النقطة O(0,0)من نقطة االصل

.Y– Axisعلى محور الصادات yوتمثيل الجزء التخيلي X-Axisعلى محور السينات xالجزء الحقيقي

مثل العمليات االتية هندسيا في شكل ارجاند: /23مثال1) (3 + 4i) + (5 + 2i)

(3 + 4i) + (5 + 2i) = 8 + 6i مالحظة/ ان جمع عددين مركبين هو جمع متجهين , فاذا مثلنا

في المستوي فان مجموعهما 2Pو 1Pعددان مركبان بالنقطتين الرأس الرابع لمتوازي االضالع 3Pيمثل بالنقطة

3,P2,P1O,P حيثO . نقطة االصل 1P(3,4)بالنقطة 4i+3نمثل العدد 2P(5,2)بالنقطة 2i+5نمثل العدد

𝐎𝐏𝟏ثم نكمل متوازي االضالع حيث ,𝐎𝐏𝟐

ضلعان ناتج جمع العددين. 3Pمتجاوران ونمثل النقطة

2) (6 - 2i) - (2 - 5i( (6 - 2i) - (2 - 5i) = (6 - 2i) + (-2 + 5i)= 4 + 3i

على انها عملية جمعتعرف عملية الطرح

6,1P)-(2بالنقطة 2i-6نمثل العدد 2P)-5,2(بالنقطة -i5+2نمثل العدد

𝐎𝐏𝟑نكمل متوازي االضالع فيكون الناتج وهو ناتج جمع

العددين

y

x

O(0,0)

P(x,y)

y

x

O(0,0) 2)-(6,1P

2,5)-(2P

(4,3)3P

y

x O(0,0)

(5,2)2P

(3,4)1P (8,6)3P



1 – 4حلول التمارين

الجمعية على شكل ارجاند:ل هذه االعداد ونظائرها اكتب النظير الجمعي لكل من االعداد االتية ثم مث (1z1 = 2+3i , z2 = -1+3i , z3 = 1-i , z4 = i

z2 = -1+3i = (-1,3) -z2 = 1-3i = (1,-3) النظير الجمعي

z1 = 2+3i = (2,3) -z1 = -2-3i = (-2,-3) النظير الجمعي

z4 = i =0 + i = (0, 1) -z4 = - i = 0 - i = (0,-1) النظير الجمعي

z3 = 1- i = (1,-1) -z3 = -1+ i = (-1,1) النظير الجمعي

ل االعداد ومرافقاتها على شكل ارجاند:المرافق لكل من االعداد االتية ثم مث اكتب العدد (2z1 =8+3i , z2 =-3+2i , z3 =1-i , z4 = -2i

z2 = -3 + 2i = (-3, 2)

z2 = -3 - 2i = (-3,-2) المرافق

z1 = 5 + 3i = (5, 3)

z1 = 5 - 3i = (5,-3) المرافق

z4 = -2i = 0 - 2i = (0, -2)

z4 = 2i = 0 + 2i = (0,2) المرافق

z3 = 1 - i = (1, -1)

z3 = 1 + i = (1,1) المرافق

(1,-1)

(-1, 1)

(5,-3)

(5, 3)

(-3,-2)

(-3, 2)

(1,-1)

(1, 1)

(0,-2)

(0, 2)

(-1,3)

(1,-3)

(0,-1)

(0, 1)

1z

1z-

(2,3)

(-2,-3)



z , z , −z : فوضح على شكل ارجاند كال من z = 4+2iاذا كان (3

الحل/

z = 4 + 2i = (4 , 2)

z = 4 – 2i = (4 , -2) المرافق

−z = -4 – 2i = (-4 , -2) النظير الجمعي

فوضح على شكل ارجاند كال من: 2i - = 4 1z ,2i + 1 = 2zاذا كان (4-3z2 , 2z1 , z1 – z2 , z1 + z2

z1 = 4 - 2i 2z1 = 2(4 - 2i) = 8 - 4i = (8,-4)

z2 = 1 + 2i -3z2 = -3(1 + 2i) = -3 -6i = (-3,-6)

z1 = 4 - 2i , z2 = 1 + 2i

z1 + z2 = (4 - 2i) + (1 + 2i) = 5 - 0i = (5, 0)

z1 = 4 - 2i , z2 = 1 + 2i z1 - z2 = (4 - 2i) – (1 + 2i) = (4 - 2i) + (-1 - 2i) = 3 - 4i = (3,-4)

(4, -2)

(4, 2)

(-4, -2)

(-3,-6)

(3,-4)

(-1,-2) (4,-2)

(4,-2)

(5, 0)

(1, 2)

(8,-4)

الصيغة القطبية للعدد المركب الفصل االول )االعداد المركبة( [ 8 – 1 ]


فان P(x,y)ومثلناه بالنقطة z = x +yiاذا كان لدينا العدد المركب الصيغة القطبية للعدد المركب: 1 ]– [ 8

(r,θ) هما االحداثيان القطبيان للنقطةP حيثO )و تمثل القطب )نقطة االصلOX يمثل الضلع االبتدائي.

وهو عدد حقيقي غير سالب ويقرأ zمقياس العدد المركب rيسمى (Mod z) ويرمز له‖z‖ :حيث

r = ‖z‖ = √x2 + y2

OP اما قياس الزاوية التي يصنعها المتجه مع االتجاه الموجب

ويتم ايجادها كما مبين: θلمحور السينات ويرمز لها

cos θ = x

r =

x

‖z‖ ⇒ R(z) = x = r.cos θ

sin θ = y

r =

y

‖z‖ ⇒ 𝐈(z) = y = r.sin θ

(z)يرمز للجزء الحقيقي للعدد المركب R(z) :حيثI(z) يرمز للجزء التخيلي للعدد المركب(z)

θالقيمة االساسية لسعة العدد المركب وتكتب بالشكل θتسمى = arg (z) وهي القيمة التي تنتمي الى الفترة

[0, 2π) اما , θ + 2nπ حيث( فتسمى سعة العدد المركبn )عدد صحيح.

-ايجاد السعة: مالحظات حول نحدد زاوية االسناد )الزاوية المنسبة( من القيمة المطلقة للدالة. -8

من اشارة الدالة او من شكل ارجاند. θنحدد الربع الذي تقع فيه الزاوية -2

, 0}اذا كانت الزاوية ربعية -3π

2 , π ,

3π

2فال يتم تحديد زاوية االسناد وال يتم تحديد الربع الذي تقع فيه {

الزاوية.

جد المقياس والقيمة االساسية للسعة لكل من: /24مثال

1) z1 = 1- √3i

z1 = 1- √3i =(1,- √3)

Mod(z) = ‖z‖ = r = √x2 + y2 = √1 + 3 = 2 unit نجد المقياس

cos θ = x

‖z‖ =

1

2 , sin θ =

y

‖z‖ =

− √3

2 نجد زاوية االسناد

زاوية االسناد = ∴𝝅

𝟑

تقع في الربع الرابع θ -الربع الذي تقع فيه الزاوية :

θ = arg(z) = 2π - 𝜋

3 =

5𝜋

3

𝜽 𝝅

𝟔

𝝅

𝟒

𝝅

𝟑 0

𝝅

𝟐 𝝅

𝟑𝝅

𝟐

sin 𝟏

𝟐

𝟏

√𝟐 √𝟑

𝟐 0 1 0 -1

cos √𝟑

𝟐

𝟏

√𝟐

𝟏

𝟐 1 0 -1 0

Y

X O

P(x,y)

θ

r y

x

❶ +, y +x sin+ , cos+

السعة = زاوية االسناد

❷ +, y –x sin+ , cos–

𝜃 = 𝜋 − االسناد

❹ –, y +x sin– , cos+

𝜃 = 2𝜋 − االسناد

❸ –, y –x sin– , cos–

𝜃 = 𝜋 + االسناد

نكتب العدد بالصيغة العادية والصيغة الديكارتية



2) -1-i z2 = -1- i =(-1, -1)

r = Mod(z) = ‖z‖ = √x2 + y2 = √1 + 1 = √2 unit

cos θ = x

‖z‖ =

−1

√2 , sin θ =

y

‖z‖ =

− 1

√2


𝟒 ,θ الثالثتقع في الربع

θ = arg(z) = π + 𝜋

4 =

5𝜋

4

3) i z3 = 0 + i =(0, 1)

r = Mod(z) = ‖z‖ = √x2 + y2 = √0 + 1 = 1 unit

cos θ = x

‖z‖ = 0 , sin θ =

y

‖z‖ =

1

1 = 1

∴ θ = 𝜋

2

وسعته 2عدد مركب مقياسه zاذا كان /25مثال𝜋

6 .z, جد الشكل الجبري للعدد

الحل/

r = ‖z‖ = 2 , θ = arg(z) = 𝜋

6

= cos 𝛉 : cos θمن xنجد x

r

x = r . cos θ = 2 (cos 𝜋

6) = 2 (

√3

2) = √3

= sin 𝛉 : sin θمن yنجد y

r

y = r . sin θ = 2 (sin 𝜋

6) = 2 (

1

2) = 1

∴ z = x + yi = √3 + i

جد العدد المركب الذي سعته االساسية /26مثال𝜋

4وجزءه التخيلي

1

√2.

= r :- sin θنجد المقياس sin θمن y

r

r = y

sin θ . =

1

√2

sin 𝜋

4

= 1

√2

1

√2

= 1

= x :- cos θنجد cos θمن x

r

x = r.cos θ = 1 . cos 𝜋

4 = 1(

1

√2) =

1

√2

z = 1

√2 +

1

√2 i العدد ∴



عبر عن كل من االعداد االتية بالصيغة القطبية: /27مثال1) -2+2i = (-2,2)

r = Mod(z) = ‖z‖ = √x2 + y2 = √4 + 4 = √8 = 2 √2

cos θ = x

r =

−2

2√2 =

−1

√2 , sin θ =

y

r =

2

2√2 =

1

√2


𝟒 ,θ الثانيتقع في الربع

θ = arg(z) = π - 𝜋

4 =

3𝜋

4

-الصيغة القطبية:

z = r (cos θ + i sin θ) = 2√2 (cos 3𝜋

4 + i sin

3𝜋

4)

2) 2√3 - 2i = (2√3 , -2)

r = Mod(z) = ‖z‖ = √x2 + y2 = √12 + 4 = √16 = 4

cos θ = x

r =

2√3

4 =

√3

2 , sin θ =

y

r =

−2

4 =

−1

2


𝟔 ,θ تقع في الربع الرابع

θ = arg(z) = 2π - 𝜋

6 =

11𝜋

6

z = r (cos θ + i sin θ) = 4 (cos 11𝜋

6 + i sin

11𝜋

6 الصيغة القطبية (

غير معرفة وذلك الن المتجه الصفري ليس له اتجاه. z = 0ان سعة العدد المركب (8بصورة z = x+yiممكن االفادة من المقياس والقيمة االساسية لسعة العدد المركب بكتابة العدد المركب (2

وكما يأتي: Polar formاخرى تسمى الصيغة القطبية

∵ x = r cos θ , y = r sin θ

∴ z = r cos θ + i r sin θ

= r(cos θ + i sin θ)

z = ‖z‖[cos (arg z)+ i sin (arg z)] أو zهي سعة العدد المركب r = Mod(z) = ‖z‖ ,θ = arg(z)حيث:



: عبر عن كل من االعداد االتية بالصيغة القطبية /28مثال

b) i

a) 1

d) -i

c) -1

وبتطبيق االستنتاج السابق يمكن ان نضع:3 = 3 . 1 = 3(cos 0 + i sin 0)

-2 = 2 . (-1) = 2(cos 𝜋 + i sin 𝜋)

5i = 5 . i = 5(cos 𝜋

2 + i sin

𝜋

2)

-7i = 7 .(-i) = 7(cos 3𝜋

2 + i sin

3𝜋

2)

-من المثال السابق نستنتج: 1 = (cos 0 + i sin 0)

-1 = (cos 𝜋 + i sin 𝜋)

i = (cos 𝜋

2 + i sin

𝜋

2)

-i = 1(cos 3𝜋

2 + i sin

3𝜋

2)

(1, 0)

Pz1 = (1,0) = 1+0i mod z1 = 1 arg z1 = 0

∴ z1 = 1(cos 0 + i sin 0)

(0, 1)

Pz2 = (0,1) = 0+1i mod z2 = 0

arg z2 = 𝜋

2

∴ z2 = 1(cos 𝜋

2 + i sin

𝜋

2)

(-1, 0)

Pz3 = (-1,0) = -1+0i mod z3 = 1

arg z3 = 𝜋

2

∴ z3 = 1(cos 𝜋 + i sin 𝜋) (0, -1)

Pz4 = (0,-1) = 0- i mod z4 = 1

arg z4 = 3𝜋

2

∴ z4 = 1(cos 3𝜋

2 + i sin

3𝜋

2)

رڤمبرهنة ديموا الفصل االول )االعداد المركبة( [ 9 – 1 ]


:يمكن ان تكتب بالصيغة القطبية 1z ,2z مبرهنة ديمواڤر: 1 ]– [ 9

z1 = cos∅ + i sin∅ z2 = cosθ + i sinθ

: 2z . 1zاالن نجد z1 . z2 = (cos∅ + i sin∅)( cosθ + i sinθ)

= cosθ cos∅ + i cosθ sin∅ + i sinθ cos∅ - sinθ sin∅ z1 . z2 = (cosθ cos∅ - sinθ sin∅) + i (cosθ sin∅ + sinθ cos∅) z1 . z2 = cos(θ + ∅) + i sin(θ + ∅)

θواذا كانت = فان العالقة تصبح: ∅z1 . z2 = cos(2θ) + i sin(2θ)

ومن خالل قوانين المثلثات فان :

cos(2θ) + i sin(2θ) = (cosθ + i sinθ)2

البرهان:

R.H.S = (cosθ + i sinθ)2 = cos2θ + 2i sinθ cosθ - sin2θ =(cos2θ - sin2θ) + i(2sinθ cosθ) = cos2θ + i sin2θ = L.H.S

ويمكن تعميم ذلك لتصبح:

(4 -احسب : /29مثال3𝜋

8+ i sin

3𝜋

8(cos

(cos 3𝜋

8 + i sin

3𝜋

8)4 = cos 4(

3𝜋

8) + i sin4(

3𝜋

8) = cos

3𝜋

2 + i sin

3𝜋

2= 0 + i(−1)

∴ (cos 3𝜋

8 + i sin

3𝜋

8)4 = −i

)nθi sin - nθcos= n)θsini - θcos فان : ∋ N ∈n ,R θ/ بين انه لكل 38مثال

L.H.S = (cosθ - i sinθ)n = [cosθ + i (-sinθ)]n = [cos(−θ) + i sin(−θ)]n

β وبجعل = − θ : تصبح العالقة

= [cos β + i sin β]n = cos nβ + i sin nβ = cos (−nθ) + i sin (−nθ)

= cos nθ - i sin nθ = R.H.S

(i + 1)11ر ڤاحسب باستخدام مبرهنة ديموا /31مثال

z = (1+ i) = (1 , 1) :zنجد المقياس والقيمة االساسية للسعة للعدد

mod(z) = r = √2

cos θ = 1

√2 , sin θ =

1

√2

بالصيغة القطبية: zنكتب العدد

z = r )cos θ + i sin θ( θ =𝝅

𝟒

N ∈n ,Rθلكل )nθi sin + nθcos= n)θsin+ i θcos فان: ∋

N ∈n ,Rθلكل ر:ڤمبرهنة ديموا فان : θ+ i sin θz = r(cos(اذا كان ∋

zn = rn (cosθ + i sinθ)n = rn (cos nθ + i sin nθ)



z = √2 )cos 𝝅

𝟒 + i sin

𝝅

𝟒(

ر:ڤنطبق مبرهنة ديموا

zn = rn (cos nθ + i sin nθ)

z11 = (√2)11 (cos 𝟏𝟏 𝝅

𝟒 + i sin

𝟏𝟏 𝝅

𝟒)

∴ z11 = (2)112 (cos

𝟑 𝝅

𝟒 + i sin

𝟑 𝝅

𝟒)

∴ z11 = (2)512 (

−1

√2 +

1

√2 i)

z11 = 32 √2 (−1

√2 +

1

√2 i) = 32 (-1+ i)

∴ (1 + i)11 = 32 (-1+ i)

ويمكن تعميم هذه العالقة بالشكل االتي:

(cosθ + i sinθ)-n = cos(nθ) - i sin(nθ)

3x , ℂ ∈x 0 = 1 + حل المعادلة /32مثال

x3 + 1 = 0 ⇒ x3 = -1

: 21بالصيغة القطبية كما مبين سابقا في المثال 1-نعبر عن العدد

∴ x = (cos π + i sin π)131

ر:ڤحسب نتيجة مبرهنة ديموا

θ = π , n = 3

∴ x = (cosπ+2πk

n + i sin

π+2πk

n) k = 0 , 1 , 2

k = 0 ⇒ x = (cosπ

3+ i sin

π

3) =

1

2+

√3

2i

k = 1 ⇒ x = (cos π + i sin π)= −1 + i(0) = −1

k = 2 ⇒ x = (cos5π

3+ i sin

5π

3)

نحدد الربع الذي تقع فيه الزاوية5π

3

x = cos5π

3+ i sin

5π

3= cos (2π −

π

3) + i sin (2π −

π

3)

= cos(π

3) − i sin(

π

3) =

1

2−

√3

2i

, 1− } مجموعة حل المعادلة هي : ∴1

2+

√3

2i ,

1

2−

√3

2i }

N , n > 1 ∈n ,Rθلكل ر:ڤنتيجة مبرهنة ديموا فان: ∋

√𝐳𝐧

= 𝐫𝟏𝐧𝟏 (𝐜𝐨𝐬

𝛉+𝟐𝛑𝐤

𝐧 + 𝐢 𝐬𝐢𝐧

𝛉+𝟐𝛑𝐤

𝐧)

k = 0 , 1 , 2 , … , n-1: حيث

نحدد الزاوية 𝟏𝟏 𝝅

𝟒 في الدورة االولى

=مالحظة/ 𝟑 𝝅

𝟒

𝟏𝟏 𝝅

𝟒=

𝟖 𝝅

𝟒+

𝟑 𝝅

𝟒

cos 3 π

4 = cos (π −

π

4) = -cos

π

4 =

−𝟏

√𝟐

sin 3 π

4 = sin (π −

π

4) = sin

π

4 =

𝟏

√𝟐

)θi sin - θcos= ) θ-(i sin + )θ-(cos= 1-)θsin+ i θcos مالحظة/



3√)اوجد الصيغة القطبية للمقدار /33مثال + i)2

ثم اوجد الجذور الخمسة له.

z = √3 ليكن الحل/ + i

z = √3 + i = (√3 , 1) :zلسعة للعدد انجد المقياس و

mod(z) = r = √3 + 1 = 2

cos θ = √3

2 , sin θ =

1

2 , arg(z) =

π

6

∴ z = 2 )cos π

6 + i sin

π

6 نكتب العدد z بالصيغة القطبية )

ر: ڤتطبيق مبرهنة ديموابوذلك 2zنأخذ

z2 = 22 )cos π

6 + i sin

π

6(2 = 4 )cos

π

3 + i sin

π

3(

فيصبح: 2zنأخذ الجذر الخامس للعدد

z252 = [4 (cos

π

3 + i sin

π

3)]

152 = 4

152 (cos

π

3+ i sin

π

3)

152

= √45

(cos π

3 + i sin

π

3)

152

θ :رڤنطبق نتيجة مبرهنة ديموا = π

3 , n = 5

k = 0 ⇒ z252 = √4

5 (cos

π

15 + i sin

π

15)

k = 8 ⇒ z252 = √4

5 (cos

7π

15+ i sin

7π

15)

k = 2 ⇒ z252 = √4

5 (cos

13π

15+ i sin

13π

15)

k = 3 ⇒ z252 = √4

5 (cos

19π

15+ i sin

19π

15)

k = 4 ⇒ z252 = √4

5 (cos

25π

15+ i sin

25π

15) = √4

5 (cos

5π

3+ i sin

5π

3)

ضرب عددين مركبين بالصيغة القطبية )اثرائي(

θ2+ i sin θ2(cos2= r 2z(و cos1= r 1z)θ1+ i sin θ1( اذا كان :

فان :

z1 . z2 = r1. r2[cos(θ1+θ2)+ i sin(θ1+θ2)]

( اذا كان مثال/ π

6+ i sin

π

6(cos2 = 1z و )

2π

3+ i sin

2π

3(cos3= 2z 2اوجد ناتج. z1 z ثم

اكتب الناتج بالصيغة القطبية. الحل/

z1 . z2= 2(3)[cos(π

6 +

2π

3)+ i sin(

π

6 +

2π

3)] = 6 [cos(

5π

6)+ i sin(

5π

6 الصيغة القطبية [(

= 6 [−√3

2+ i (

1

2)] = −3√3 + 3i الصيغة الجبرية

3√)اوجد المقدار كما يلي : مالحظة/ يمكن ان تكون صيغة المثال + i)25



قسمة عددين مركبين بالصيغة القطبية )اثرائي(

θ2+ i sin θ2(cos2= r 2z(و cos1= r 1z)θ1+ i sin θ1( اذا كان :

فان :z1

z2 =

r1

r2 [cos(θ1-θ2)+ i sin(θ1-θ2)]

( مثال/ اذا كان 5π

6+ i sin

5π

6= 4(cos 1z ,)

π

6+ i sin

π

6(cos3 = 2z اوجد ناتج

z1

z2ثم اكتب

الناتج بالصيغة القطبية. الحل/

z1

z2 =

4

3 [cos(

5π

6 - π

6)+ i sin(

5π

6 - π

6)] =

4

3 [cos(

4π

6)+ i sin(

4π

6)]

= 4

3 [cos(

2π

3)+ i sin(

2π

3 الصيغة القطبية [(

z1

z2 =

4

3 [-cos(

π

3)+ i sin(

π

3)] =

4

3 (

−1

2 +

√3

2 i) =

2

3 (-1 + √3 i) الصيغة الجبرية

1 - 5حلول التمارين أحسب ما يأتي: -8

a) [cos5

24𝜋 + i sin

5

24𝜋]

4

= cos 4 (5𝜋

24) + i sin 4 (

5π

24) = cos (

5𝜋

6) + i sin (

5π

6)

= cos (𝜋 −𝜋

6) + i sin (𝜋 −

𝜋

6) = −cos (

𝜋

6) + i sin (

𝜋

6) = −

√3

2+ 1

2 i

b) [cos7

12𝜋 + 𝑖 sin

7

12𝜋]

−3

= cos 3 (7𝜋

12) − i sin 3 (

7π

12) = cos (

7𝜋

4) − i sin (

7π

4)

= cos (2𝜋 −𝜋

4) − i sin (2𝜋 −

𝜋

4) = cos (

𝜋

4) + i sin (

𝜋

4) =

1

√2+

1

√2 i

ر )او التعميم( ما يأتي:ڤاحسب باستخدام مبرهنة ديموا -2

a) (1 – i)7

بالصيغة القطبية وذلك بايجاد المقياس والسعة: (i-1)نكتب العدد الحل/z = 1 – i = (1,-1) ليكن

r = Mod(z) = √x2 + y2 = √1 + 1 = √2unit

cos θ = x

r =

1

√2 , sin θ =

y

r=

−1

√2


𝟒 , العدد يقع في الربع الرابع

∴ θ = arg(z) = 2𝜋 −𝜋

4=

7𝜋

4


z = √2 )cos 𝟕𝝅

𝟒 + i sin

𝟕𝝅

𝟒(

ر:ڤحسب مبرهنة ديموا

z7 = (√2)7 (cos 𝟕 𝝅

𝟒 + i sin

𝟕 𝝅

𝟒)7 = (√2)7 (cos

𝟒𝟗 𝝅

𝟒 + i sin

𝟒𝟗 𝝅

𝟒)



z7 = 8√2 (cos 𝝅

𝟒 + i sin

𝝅

𝟒)

z7 = 8√2 (1

√2 +

1

√2 i)

∴ (1 - i)7 = 8 + 8 i مالحظة/ اذا لم يحدد في السؤال "باستخدام مبرهنة ديمواڤر" فيكون الحل االسهل كما مبين:

(1 - i)7 = [(1 - i)2]3 (1- i) = (1 - 2i - 1)3 (1- i) = (-2i)3 (1- i) = -8 i3 (1- i) = 8i (1- i) = 8 + 8i

b) (√3 + i)-9

الحل/

z = √3 + i = (√3, 1) ليكن

r = Mod(z) = √x2 + y2 = √3 + 1 = 2unit

cos θ = x

r =

√3

2 , sin θ =

y

r=

1

2


𝟔 , العدد يقع في الربع االول

∴ θ = arg(z) = 𝜋

6


z = 2 )cos 𝝅

𝟔 + i sin

𝝅

𝟔(

ر:ڤحسب مبرهنة ديموا

z-9 = (2)-9 (cos 𝝅

𝟔 + i sin

𝝅

𝟔)-9 = (

1

29) (cos 𝟗𝝅

𝟔 - i sin

𝟗𝝅

𝟔) =

1

512 (cos

𝟑𝝅

𝟐 - i sin

𝟑𝝅

𝟐)

z-9 = 1

512 (0 – (-i)) =

1

512 i

بسط ما يأتي: -3

a) (cos 2θ + i sin 2θ)5

(cos 3θ + i sin 3θ)3 =

[(cosθ + i sinθ)2]5

[(cosθ + i sinθ)3]3 =

(cosθ + i sin θ)10

(cosθ + i sin θ)9 = cos θ + i sin θ

b) (cosθ + i sinθ)8(cosθ - i sinθ)4 ….. بطريقتين

الطريقة االولى: الحل/

(cosθ + i sinθ)8(cosθ - i sinθ)4 = (cosθ + i sinθ)8(cosθ + i sinθ)-4

= (cosθ + i sinθ)4 = cos4θ + i sin4θ

الطريقة الثانية:

(cosθ + i sinθ)8(cosθ - i sinθ)4 = [(cosθ + i sinθ)2]4 (cosθ - i sinθ)4 = [(cosθ + i sin4θ)2(cosθ - i sinθ)]4 =[(cos2θ + 2i cosθ sinθ - sin2θ)(cosθ - i sinθ)]4 =[cos3θ + 2i cos2θ sinθ - cosθ sin2θ - icos2θ sinθ + 2cosθ sin2θ - i sin3θ]4

=[cos3θ + i cos2θ sinθ + cosθ sin2θ + isin3θ]4

=[(cos3θ + cosθ sin2θ) + (i cos2θ sinθ + isin3θ)]4

Hint: x4y4 = (x.y)4

مالحظة/49 𝜋

4=

49 𝜋

4− 12 𝜋 =

𝝅

𝟒

√2= 8 (√2)6(√2)= 7(√2)



=[cosθ (cos2θ + sin2θ) + isinθ (cos2θ + sin2θ)]4

∵ θ ∈ R ⇒ ∴ cos2 θ + sin2 θ = 1

= [cosθ (1) + isinθ (1)]4= (cosθ + isinθ)4 = cos4θ + i sin4θ

.8-4ر ثم بالطريقة المعروضة في البند ڤباستخدام مبرهنة ديموا i 3√+1-جد الجذور التربيعية للعدد المركب -4 رڤاوال : باستخدام مبرهنة ديموا الحل/

z =−1ليكن + √3 i

z = = −1 + √3 i = (-1 , √3) :zنجد المقياس والسعة للعدد

mod(z) = r = √1 + 3 = 2 unit

cos θ = −1

2 , sin θ =

√3

2


𝟑 , العدد يقع في الربع الثاني

∴ arg(z) = 𝜋 − 𝜋

3 =

2𝜋

3


∴ z = 2 )cos 2π

3 + i sin

2π

3(

فيصبح: zلعدد hنأخذ جذر

√z = √2 (cos 2π

3 + i sin

2π

3) = √2(cos

2π 3 +2πk

2+ isin

2π 3 +2πk

2)

k = 0 , 1

k = 0 ⇒ √z = √2 (cos 2π

6+ i sin

2π

6) = √2 (cos

π

3+ i sin

π

3)

= √2 ( 1

2+

√3

2i) =

1

√2+

√3

√2i

k = 8 ⇒ √z = √2 (cos 8π

6+ i sin

8π

6) = √2 (cos

4π

3+ i sin

4π

3)

= √2 (−cos π

3− i sin

π

3) = √2 (

−1

2−

√3

2i) =

−1

√2−

√3

√2i

∴ √−1 + √3 i = ± (1

√2+

√3

√2i)

:8-4ثانيا/ باستخدام البند

√−1 + √3 i = x+ y i

−1 + √3 i = (x + y i)2 تربيع الطرفين −1 + √3 i = x2 + 2xy i – y2

تساوي عددين مركبين:من

2xy = √3 ⇒ y = √3

2x …… ❶

x2 – y2 = -1 ……. ❷ : ❷في ❶نعوض

x2 – (√3

2x)2 = -1 ⇒ x2 –

3

4x2 = -1



4x4 – 3 = -4x2 4x2 نضرب الطرفين بـ

4x4 + 4x2 – 3 = 0 (2x2 - 1) (2x2 + 3) = 0 2x2 + 3 = 0 عدد حقيقي x تهمل الن

∴ 2x2 – 1 = 0

2x2 = 1 ⇒ x2 = 1

2 ⇒ x = ±

1

√2

:yلنجد 8في معادلة xنعوض قيم

x = 1

√2 ⇒ y =

√3

2 . 1

√2

= √3

√2

x = −1

√2 ⇒ y =

√3

2 . −1

√2

= −√3

√2

∴ √−1 + √3 i = ± (1

√2+

√3

√2i)

.27iر جد الجذور التكعيبية للعدد ڤبأستخدام مبرهنة ديموا -8

27i = 27 (cos π

2+ i sin

π

2)

√27i3

= (27i)131 = [27 (cos

𝜋

2+ i sin

𝜋

2)]

131 = 3 (cos

𝜋

2+2𝜋k

3+ i sin

𝜋

2+2𝜋k

3)

k = 0 , 1 , 2

k = 0 ⇒ 3 (cos 𝜋

6+ i sin

𝜋

6) = 3(

√3

2+

1

2 i)

k = 1 ⇒ 3 (cos 5𝜋

6+ i sin

5𝜋

6)

= 3 [cos (𝜋 − 𝜋

6) + i sin (𝜋 −

𝜋

6)] = 3 (−cos

𝜋

6+ i sin

𝜋

6)= 3(

−√3

2+

1

2 i)

k = 2 ⇒ 3 (cos 9𝜋

6+ i sin

9𝜋

6) = 3 (cos

3𝜋

2+ i sin

3𝜋

2) = 3(0-i) = -3i

∴ √27i3

= { 3√3

2+

3

2 i ,

−3√3

2+

3

2 i , -3i }

ر.ڤباستخدام مبرهنة ديموا (16-)جد الجذور االربعة للعدد -1 الحل/

-16 = 16(-1) = 16 (cos π + i sin π)

√−164

= [16 (cos𝜋 + i sin𝜋)]141 = 2 (cos

𝜋+2𝜋k

4+ i sin

𝜋+2𝜋k

4)

k = 0 , 1 , 2 , 3

k = 0 ⇒ √−164

= 2 (cos𝜋

4+ i sin

𝜋

4) = 2(

1

√2 +

1

√2 i) = √2 + √2 i

k = 1 ⇒ √−164

= 2 (cos3𝜋

4+ i sin

3𝜋

4)

الزاوية 3𝜋

4 الثانيفي الربع


6

في الربع الثاني



= 2 [cos (𝜋 −𝜋

4) + i sin (𝜋 −

𝜋

4)]= 2 (−cos

𝜋

4+ i sin

𝜋

4)

= 2(−1

√2 +

1

√2 i) = −√2 + √2 i

k = 2 ⇒ √−164

= 2 (cos5𝜋

4+ i sin

5𝜋

4)


4 في الربع الثالث

= 2 [cos (𝜋 +𝜋

4) + i sin (𝜋 +

𝜋

4)]

= 2 (−cos𝜋

4− i sin

𝜋

4) = 2(

−1

√2 -

1

√2 i) = −√2 − √2 i

k = 3 ⇒ √−164

= 2 (cos7𝜋

4+ i sin

7𝜋

4)


4 في الربع الرابع

= 2 [cos (2𝜋 −𝜋

4) + i sin (2𝜋 −

𝜋

4)]

= 2 (cos𝜋

4− i sin

𝜋

4)= 2(

−1

√2 -

1

√2 i) = √2 − √2 i

∴ √−164

= {±(√2 + √2 i) , ±(√2 − √2 i)} ر.ڤبأستخدام مبرهنة ديموا (64i-)جد الجذور الستة للعدد -7

الحل/

-64i = 14(-i) = 64 (cos3𝜋

2+ i sin

3𝜋

2)

√−64i 6

= [64 (cos3𝜋

2+ i sin

3𝜋

2)]

161 = 2 (cos

3𝜋

2+2𝜋k

6+ i sin

3𝜋

2+2𝜋k

6)

k = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5

k = 0 ⇒ √−64i6

= 2 (cos3𝜋

12+ i sin

3𝜋

12) = 2 (cos

𝜋

4+ i sin

𝜋

4)

= 2( 1

√2 +

1

√2 i) = √2 + √2 i

k = 1 ⇒ 2 (cos7𝜋

12+ i sin

7𝜋

12)

k = 2 ⇒ 2 (cos11𝜋

12+ i sin

11𝜋

12)

k = 3 ⇒ 2 (cos15𝜋

12+ i sin

15𝜋

12) = 2 (−cos

𝜋

4− i sin

𝜋

4)= 2(

−1

√2 −

1

√2 i) = −√2 − √2 i

k = 4 ⇒ 2 (cos19𝜋

12+ i sin

19𝜋

12)

k = 5 ⇒ 2 (cos23𝜋

12+ i sin

23𝜋

12)

التمارين العامة واالثرائية الفصل االول )االعداد المركبة(


التمارين العامة

والتي تحقق x,y ∈ Rجد قيمة -8y

1+i=

x2+4

x+2i

3w9n)جد ناتج -2 +5

w5 +4

w4) )عدد صحيح(. n ∈ Zحيث 6

اذا كان -31+√3i

1+√−3zر ڤعددا مركبا , جد باستخدام مبرهنة ديموا

121

التمارين االثرائية جد الجذور التربيعية لكل من االعداد المركبة االتية: -1

a) 7+iw+iw2

1−iw−iw2 b) 2√3i + (1 + w4)6 − (1 + w5)3

c) 5π

3( وسعته االساسية 81مقياس العدد المركب)

= a + bi وكان a , b ∈ Rاذا كان كل من -27−4i

2+i2a√فجد قيمة − bi

اذا علمت ان: x , y ∈ Rجد قيمة كل من -3

a)(1−i

1+i)2

+ 1

x+yi= 1 + i b) (2+xi)(-x+i)=

9y2+49

3y+7i

c) (y + √3)2 = x3−27i

x2−3xi−9 d) √

iw2+i

w2 = xw + ywi

e) (1−i

1+i) x + (1 + 3i)y = (1 − i)(1 + 3i)

اذا علمت ان العددين -44x+i

3+2i ,

y−i

1−i .x , y ∈ Rمترافقين , فما قيمة

i 3√ حل المعادلة : -5 = 1 - 3x فيℂ

.wy 2x2w +2, جد قيمة ix = 2+ ,√3 i -y = 2 3√اذا كان -6 ر.ڤوباستخدام مبرهنة ديموا (i-)جد الجذر التربيعي للعدد -7 اثبت ان : -8

a) (cos 10 + i sin 10)10(cos 20 + i sin 20)6

(cos 30 + i sin 30)7(cos 25 + i sin 25)4 = i

b) (1

1+3w2 −1

1+3w4)2= −

27

49

R ∈x حيث x 5x +10 0 = 1 + فاثبت ان : x+1=0 2x+اذا علمت ان -9

i = 0 –x – 2ixجد المقياس والقيمة االساسية للسعة لكل من جذري المعادلة -11

( ليكن : -117

w2+ 2.(7 + 9w2+ 2) 6

wk = (2w + جد فيℂ : مجموعة حل المعادلةki = 0 – 5x

ℂ: √x3جد مجموعة حل المعادلة في -12 − √3 − i = 0

C : 3n+2+ w 1-3nC = w ,N ∈nبالصيغة القطبية للعدد المركب حيث Cعبر عن العدد المركب -13

(6 اذا كان : -14π

6sin i+

π

6x = (cos عبر عن العدد المركبz : بالصيغة القطبية للعدد المركب حيث

|x|+ 2w x–w xz =

(6ليكن : -154

w4+ 5

w5k = (3 + حل المعادلة+ ki = 0 3x فيℂ

رياضيات سادس علمي

Education

Transcript of رياضيات سادس علمي