رياضيات 2ث فلسطين ج1

U??O{U�d�«‰Ë_« ¡e?'«

Íu�U��« w�U��« n?BK�wŽUMB�«Ë wLKF�«

WO�UŽ bL×� Æ√ bLŠ qOKš wKŽ Æ√ åÎ UI�M�ò nÝu¹ rOŠd�« b³Ž s�Š ÆœqL'« nÝu¹ bL×� Æ√ `�U� bL×� Æœ r$ wLKŠ bL×� Æ√

W½UHŽ ËeŽ Æœ

ÊuH�R*«

5D�K� W�Ëœw�UF�« rOKF��«Ë WO�d��« …—«“Ë

5D�K� W�Ëœ w� w�UF�« rOKF²�«Ë WOÐd²�« …—«“Ë —d�

Â≤∞∞∑ Ø≤∞∞∂ wÝ«—b�« ÂUFK� UNÝ—«b� w� wLKF�« Íu½U¦�« w½U¦�« nBK� UO{U¹d�« »U²� f¹—bð

Z¼UM*« e?�d�

hL(«uÐ√ dLŽÆœ ∫ ÍuÐdð ·«dý≈

ÂUF�« ·«d?ýù«

hL(« uÐ√ rOF½ Æœ ∫Z¼UM*« W?M' fOz—

5ÝU¹ Õö� Æœ ∫Z¼UM*« e�d� ÂUŽ d¹b�

WOMH�« …dz«b�«

…dŽUOÝ bLŠ√ ∫Í—«œ≈ ·«d?ý≈

ÍËUL×� œuL×� ‰UL ∫r?OL?Bð

Õu³?×Ð Ê«bL?Š ∫WŽU³DK� VÝu;« œ«bŽù«

ÊUŠdÝ ÊU�ž ¡«dOÝ ¨d�UŽ œuL×� dLÝ ¨w�¹b�« Í“u� ÊUNLÝ√ ∫bOCMð

UO{d�« ÃUNM* wMÞu�« o¹dH�«

—UH�« “UMNý jO³{ ”UO�« Æœ åÎ UI�M�ò bF�� 5D� Æœ

dÐUł U½UO� WHOKš wKŽ Æœ bLŠ qOKš wKŽ

pA qz«Ë q³I� bL×� Ê«bLŠ bL×� Æœ

WOd��« w�Ë_« WFD�«

?¼ ±¥≤∑ØÂ≤∞∞∂

Z¼UM*« ed�Øw�UF�« rOKF²�«Ë WOÐd²�« …—«“u� WþuH×� l?³D�« ‚uIŠ lOLł

WM¹b*« ed� WNł s� 5LO�« vKŽ Ÿ—Uý ‰Ë√≠b¼UF*« Ÿ—Uý≠ÊuOB*« wŠ≠ Z¼UM*« ed�

5D�K� ≠ tK�« Â«— ≠ ∑±π »Æ ’

´π∑∞≠≤≠≤π∂π≥∑∑ fU� ´π∑∞≠≤≠≤π∂π≥μ∞ ÊuHKð

[email protected] ∫w½Ëd²J�ô« Ê«uMF�« ≠ www.pcdc.edu.ps ∫WO½Ëd²J�ô« W×HB�«

bONL�

VFA�« UŠuLÞ oOI×²� ªWOMOD�KH�« WO�uB)« wŽ«d¹ ÃUNM� l{Ë …—Ëd{ w�UF�« rOKF²�«Ë WOÐd²�« …—«“Ë √—

VFAK� WOMÞu�« …œUO��« ¡UM³� ÎUÒLN� ÎUÝUÝ√ bF¹ wMOD�K� ÃUNM� ¡UMÐ Ê≈ Æ»uFA�« 5Ð t½UJ� cšQ¹ v²Š wMOD�KH�«

w²�« W�«b²�*« W¹dA³�« œ—«uLK� WOLMð …«œ√Ë ¨w½U�½≈ oŠu¼Ë ¨WOÞ«dI1b�«Ë rOI�« aOÝd²� ÎUÝUÝ√Ë ¨wMOD�KH�«

Æ…—«“uK� WO�L)« WD)« ΔœU³� UN²�Ý—

…—«“u�« w�uð «c� ªlL²−*« ·«b¼√ oI×²ð UN�öš s� w²�« ¨rOKF²K� W�Ozd�« WKOÝu�« t½√ w� ÃUNM*« WOL¼√ sLJðË

¨V�UD�«Ë rKF*« bOÐ v�Ë_« …«œ_«Ë ¨rKF²K� jOÝu�« —bB*« t½_ ªÃUNM*« d�UMŽ bŠ√ ¨wÝ—b*« »U²J�UÐ W�Uš W¹UMŽ

jzUÝu�« s� U¼dOžË ¨ÍdÝ_« rKF²�«Ë ¨WOK;« W�UI¦�«Ë ¨»uÝU(«Ë ¨X½d²½ù« ∫rKF²�« qzUÝË s� ÁdOž v�≈ W�U{≈

Æ…bŽU�*«

XÓ

ł=u Ôð w²�«¨©±≤≠ ±® WOÝ—b*« V²J�« lOLł nO�Qð WKŠd� ÂU9SÐ w�UF�« rOKF²�«Ë WOÐd²�« …—«“Ë X�U� bI�

W¹«bÐ l�¨wMI²�«Ë ¨wMN*«Ë ¨WO½U�½ù« ÂuKF�«Ë¨ wLKF�« ∫tŽËd� lOL−Ð ©±≤® Íu½U¦�« w½U¦�« nB�« V²� oO³D²Ð

¨W�œUI�« Àö¦�« «uM��« w� WK�Uýd¹uDð WDš cOHMðvKŽ ÎUO�UŠ …—«“u�« qLFðË Æ©≤∞∞∑ Ø ≤∞∞∂®wÝ«—b�« ÂUF�«

W�œ√® WO�ULJ²Ý« WDA½√Ë¨©±≤≠ ± ·uHBK� V²J�« lOLł WFł«d�® W¹d¹uDð WDA½√∫w¼Ë¨ ôU−� WFÐ—√ wDGð

ÎUOI�√ YŠU³*« lOLł w� Àö¦�« qŠ«d*« Z¼UM* WOKOK%Ë WO1uIð UÝ«—œ® WOK³I²�� WDA½√Ë¨©WMOF*« qzUÝu�«Ë rKF*«

ÊU×²�« WO�¬ 5�%Ë ¨w½Ëd²J�ù« rOKF²�«Ë UJ³A�« ‰U−� w� WO²×²�« WOM³�« lOÝuð® W¹“«u� WDA½√Ë ¨©ÎU¹œuLŽË

Æ©W�UF�« W¹u½U¦�«

WOÝUÝ√ …eO�— ¨ÎUÐU²� ¥μ∞ »—UI¹ U¼œbŽË ¨dAŽ wMŁô« ·uHBK� e$√ w²�« rKF*« W�œ√Ë WOÝ—b*« V²J�« bFðË

«d³š dO�u²� ªwIDM�Ë qNÝ »uKÝQÐ X{d ÔŽ U�uKF�Ë ·—UF� s� tOKŽ qL²Að U0 ¨rKF²�«Ë rOKF²�« WOKLŽ w�

l� Â¡ö²ðË ¨.uI²�« VO�UÝ√Ë WDA½_«Ë qzUÝu�«Ë ¨f¹—b²�« oz«dDÐ qB²ð ¨W×{«Ë «dýR� sLC²ð ¨WŽuM²�

ÆÁöŽ√ …—u�c*« WO�L)« WD)« ΔœU³�

¨UN�¹—b²Ð Êu�uI¹ s¹c�« ULKF*«Ë 5LKF*«Ë 5¹uÐd²�« W�—UA0 ÎUÒ¹uMÝ U¼ƒ«dŁ≈Ë UN×OIMðË V²J�« WFł«d� r²ðË

w� «dOG²�« l� Â¡ö²ð w� ªd¹uD²�«Ë q¹bF²K� WKÐU� WO³¹d& UF³Þ WFÐ«d�« v�≈ v�Ë_« s� UF³D�« …—«“u�« ÈdðË

¨œuNł s� tO� ‰c³¹ U� —«bI0 œ«œeð wMOD�KH�« wÝ—b*« »U²J�« WLO� Ê≈ Æ…UO(« «—UN�Ë włu�uMJ²�«Ë wLKF�« ÂbI²�«

w� ÎUÒ¹d¼uł Î«dOOGð ÊuŁb×¹ s¹c�« ¨WOÝ—b*« V²J�« œ«bŽ≈ ‰U−� w� 5BB�²*« s� sJ2 œbŽ d³�√ W�—UA� s�Ë

w� Ã«dšù«Ë nO�Q²�« w�U−� w� Z¼UM*« e�d� UN�Ý— WO−NM0 ¨WFł«d*« s� WFÝ«u�« UOKLF�« ‰öš s� ¨rOKF²�«

ÆÁbOŠuð vKŽ qLF¹ Íc�« sÞu�« w�dÞ

¨WO�Ëb�« ULEM*«Ë U�ÝR*« v�≈ d¹bI²�«Ë dJA�« q¹e−Ð ÂbI²ð Ê√ ô≈ UNF�¹ô w�UF�« rOKF²�«Ë WOÐd²�« …—«“Ë Ê≈

ÆZ¼UM*« ŸËdA* w�U*« UNLŽb� ªUJO−KÐ W�uJŠ W�U�ÐË WI¹bB�«Ë WOÐdF�« ‰Ëb�«Ë

‰öš s� w�¹—U²�« wMÞu�« qLF�« «c¼ “U$≈ w� X�—Uý w²�« ¨WOMÞu�« W¹uÐd²�« «¡UHJ�UÐ d�H²� …—«“u�« Ê√ UL�

¨tF�u� V�Š yq� ¨…eOL*« r¼œuN−Ð rN²�—UA� vKŽ r¼dJAðË ¨WOÝ—b*« V²J�« œ«bŽSÐ ÂuIð w²�« ¨W¹uÐd²�« ÊU−K�«

¨qLF�« Uý—Ë w� 5�—UA*«Ë ¨s¹—d;«Ë ¨5H�R*«Ë ¨—«d�ù«Ë ¨Z¼UM*«e�d�Ë ¨W¹—«“u�« Z¼UM*« ÊU' qLAðË

ÆoO³D²�« ¡UMŁ√ Ê«bO*« s� WOÝ—b*« V²J�« ¡«dŁ≈ w� 5�—UA*«Ë ¨5FÐUD�«Ë ¨5Fł«d*«Ë ¨5�UÝd�«Ë ¨5LLB*«Ë

w�UF�« rOKF²�«Ë WOÐd²�« …—«“Ë

Z¼UM*« e?�d�

Â ≤∞∞∂ ‰uK¹√

W bI

ÆÆÆ bFÐË sOL�UF�« »— tK� bL×�«

UO{U¹d�« »U²� s� ‰Ë_« ¡e−�« ¡«eŽ_« UM²³KD�Ë ¨ ULKFL�«Ë sOLKFL�« UMzö�e� ÂbI½ Ê√ U½d�¹

ÃUNML�« WDš sL{ UO{U¹d�« Y×³L� W�bFL�« WC¹dF�« ◊uD�« oË ¨wLKF�« Íu½U¦�« w½U¦�« nBK�

Æ‰Ë_« wMOD�KH�«

Æq{UH²�« UIO³DðË ¨q{UH²�« »U�ŠË ¨‰UBðô«Ë U¹UNM�« ∫w¼ «bŠË ÀöŁ vKŽ »U²J�« qL²A¹

¨ U¹UNM�« U¹dE½Ë ¨WDI½ bMŽ Ê«d²�ô« W¹UN½ ÂuNH� UM�b� ©‰UBðô«Ë U¹UNM�«® v�Ë_« …bŠu�« w

WODÝu�« rOI�« W¹dE½Ë ¨‰UBðô« U¹dE½Ë ¨‰UBðô«Ë ¨W¹UN½ôUL�« w U¹UNM�«Ë ¨WMOFL�« dOž —uB�«Ë

Æu½«eKÐ W¹dE½Ë

‰UBðô« sOÐ W�öF�«Ë ¨v�Ë_« WI²AL�«Ë ¨dOG²�« jÝu²� UM�b� ©q{UH²�« »U�Š® WO½U¦�« …bŠu�« wË

‚UI²ýô«Ë ¨WK�K��« …bŽU�Ë ¨‚UI²ýô« vKŽ WOzU¹eOË WOÝbM¼ UIO³DðË ¨‚UI²ýô« bŽ«u�Ë ¨‚UI²ýô«Ë

ÆW¹dz«b�« U½«d²�ô« UI²A�Ë ¨wMLC�«

¨h�UM²�«Ë b¹«e²�«Ë ¨‰Ë— W¹dE½Ë WDÝu²L�« rOI�« W¹dE½ UM�b� ©q{UH²�« UIO³Dð® W¦�U¦�« …bŠu�« wË

·UDF½ô« jI½Ë dFI²�«Ë ¨WO½U¦�« WI²AL�«Ë v�Ë_« WI²AL�« —U³²š«Ë ¨WIKDL�«Ë WOK×L�« ÈuBI�« rOI�«Ë

ÆWD³ðdL�« WOM�e�« ôbFL�«Ë ¨ÈuBI�« rOI�« vKŽ WOKLŽ UIO³DðË ¨ UOM×ML�« rÝ—Ë

vKŽË ¨ «bŠu�«Ë U¹dEM�«Ë rO¼UHLK� wIDML�« q�K�²�« vKŽ UM dŠ bI ¨»uKÝ_« YOŠ s� U�√

WK¦�_«Ë WO×O{u²�« ÂuÝd�« p�– s� ÎôbÐ U½bL²Ž«Ë ¨ U¹dEM�« sO¼«dÐ vKŽ bz«“ eO�dð ÊËœ ¨WOLKF�« W�b�«

ÆsJ�√ UL¦OŠ ¨q×K� W�UŽ UO−Oð«d²Ý« l{Ë l� WŽuML�«

qC√ oOI×²� …œ«e²Ýô«Ë oLF²�«Ë WdFL�« vKŽ ’d×�« q� ÊuB¹dŠ W�UF�« W¹u½U¦�« W³KÞ Ê√ UM²ŽUMI�Ë

s¹—UL²�« s� WŽuL−LÐ …bŠË q� UMF³ð√ bI ¨WOF�U−�« rNðUÝ«—b� Î«bONLð W�UF�« W¹u½U¦�« ÊU×²�« w ZzU²M�«

w …œ—«u�« «—UNL�«Ë sO½«uI�«Ë ULOLF²�«Ë rO¼UHL�« wDGð w²�« WO�UIL�«Ë WOŽu{uL�« WŽuML�« WK¾Ý_«Ë

ÆÀö¦�« «bŠu�« œuMÐ s� bMÐ q� W¹UN½ w qzU�L�«Ë s¹—UL²�« v�≈ WU{ùUÐ ¨…bŠu�«

sOLKF�Ë ¨ UdA�Ë sOdA� ¨Ê«bOL�« w UMzö�“ s� ÂbI²½Ë ¨ÕU−½Ë oOuð q� W³KD�« UMzUMÐ_ vML²½

¨d¹bI²�«Ë Â«d²Šô« qJÐ ¨»U²J�« «c¼ «œu�� ¡«dŁ≈ w «u�—Uý s¹c�« UEU×L�« lOLł s� ¨ ULKF�Ë

¨t½U�√Ë ‚b qJÐ rNNOłuðË ¡«eŽ_« UM²³KÞ rOKF²Ð WKO³M�« rNðdO�� ‰UL�≈ w rNIu¹ Ê√ qłË eŽ v�uL�« sOKzUÝ

ÆW×IM� …b¹bł WF³Þ —«b ù cOHM²�« l{u� »U²J�« l{Ë bFÐ Z¼UML�« e�dL� WFł«d�« W¹cG²�« r¹bIðË

oO�u²�« w�Ë tK�«Ë

ÊuH�RL�«

U???¹u??²;«

q????{UH²�« »U????�Š

μ≤

d??OG²�« j??Ýu²� ±≠≤

μ∑

v�Ë_« WI²A*« ≤≠≤

∂∂

‚UI²ýô« bŽ«u ≥≠≤

∑μ

‚UI²ýô« WOKÐUË ‰UBðô« ¥≠≤

∏±

‚UI²ýô« vKŽ UIO³Dð μ≠≤

∏∏

©V d*« Ê«d²ô« WI²A�® WK�K��« …bŽU ∂≠≤

π≤

wMLC�« ‚UI²ýô« ∑≠≤

π∏

W¹dz«b�« U½«d²ô« UI²A� ∏≠≤

±∞≥ W�UŽ s¹—U9

W??O½U¦�« …b?Šu�«

q???{UH²�« U??IO³Dð

±∞∑

WDÝu²*« WLOI�« W¹dE½ ±≠≥

±±∂

WBUM²*«Ë …b¹«e²*« U½«d²ô« ≤≠≥

±≤≥

Èu??BI�« r???OI�« ≥≠≥

±≥μ

·UDF½ô« jI½Ë dFI²�« ¥≠≥

±¥≥

UOM×M*« rÝ— μ≠≥

±¥∂

ÈuBI�« rOI�« vKŽ WOKLŽ UIO³Dð ∂≠≥

±μ≤

WD³ðd*« WOM�e�« ôbF*« ∑≠≥

±∂∞

W�UŽ s¹—U9

W??¦�U¦�« …b?Šu�«

v???�Ë_« …b?Šu�«‰UBðô«Ë U¹UNM�«

≥

WDI½ bMŽ Ê«d²ô« W¹UN½ ±≠±

±±

U¹UNM�« U¹dE½ ≤≠±

±∏

dH

dH�

WM ÒO ÓFÔ*« dOž …—uB�«Ë U¹UNM�« ≥≠±

≤≤

WO¦K¦*« U½«d²ô«Ë U¹UNM�« ¥≠±

≤∑ ∞∓ ←

” U�bMŽ Ê«d²ô« W¹UN½ μ≠±

≥≥

‰UBðô« ∂≠±

¥≤

WODÝu�« rOI�« W¹dE½ ∑≠±

¥∑

W�UŽ s¹—U9

‰U??B??ðô«Ë U¹UNM�« ±

…b???????Šu???????�«

≤

©Limit of a Function at a Point® WDI½ bMŽ Ê«d²�ô« W¹UN½ ±≠±

’Uš —U³²Ž« Í√ ÊËœ ¨WDIM�« pKð ‰uŠ WŠu²H� …d²� w� Ê«d²�ô« „uKÝ WDI½ bMŽ Ê«d²�ô« W¹UN½ `{uð

5³²OÝUL� ¨q�UJ²�«Ë q{UH²�« rKŽ tO�≈ bM²¹ Íc�« ”UÝ_« U¹UNM�« d³²FðË ¨UNð«– WDIM�« bMŽ Ê«d²�ô« WLOI�

Æ»U²J�« «c¼ w� p�

WO¦K¦�Ë W¹d³ł U½«d²�ô U¹UNM�« »UŠË ¨t�bŽË U¼œułËË¨W¹UNM�« ÂuNH� …bŠu�« Ác¼ w� ”—bMÝË

ÆWOÝUÝ_« UNBzUBš iFÐ ·dF²½Ë WKB²*« U½«d²�ô« ”—bMÝ Î«dOš√Ë ¨WŽuM²�

©±® ‰U¦�

Æ ” ¨± ´ ”≤Ω ©”® ‚ Ê«d²�ô« sJO�

ø± s� ” »d²Ið U�bMŽ ©”®‚ rOI� Àb×¹ «–U�

∫…dþUM*« ©”®‚ rO�Ë ¨± œbF�« —«uł w� ” dOG²LK� ÎULO� 5³¹ w�U²�« ‰Ëb'«

”±,μ±,±±,∞±±,∞∞±←ÆÆÆ±ÆÆÆ→,πππ∞,ππ,π∞,μ

©”®‚¥≥,≤≥,∞≤≥,∞∞≤←ÆÆÆ≥ÆÆÆ→≤,ππ∏≤,π∏≤,∏≤

»d²Ið ” Ê√ Í√® tM� d³�√ rO� ‰öš s� ± œbF�« s� ” »d²Ið U�bMŽ t½√ ‰Ëb'« s� kŠö½

©”®‚ rO� ÊS� ±[∞∞± ¨ ±[∞± ¨ ±[± ¨ ±[μ rOI�« …c�²� ©5LO�« WNł s� ± s�

Æ≥ œbF�« s� »d²Ið VOðd²�« vKŽ ≥[∞∞≤ ¨ ≥[∞≤ ¨ ≥[≤ ¨ ¥ w¼Ë …dþUM*«

‰öš s� ± œbF�« s� ” »d²Ið U�bMŽ t½√ ÎUC¹√ kŠö½Ë

©—UO�« WNł s� ± s� »d²Ið ” Ê√ Í√® tM� dG�√ rO�

©”®‚ rO� ÊS� ∞,πππ¨∞,ππ¨∞,π¨∞,μ rOI�« …c�²�

VOðd²�« vKŽ ≤,ππ∏ ≤,π∏ ≤,∏ ≤ w¼Ë …dþUM*«

Æ©±≠±® qJA�« kŠô Æ≥ œbF�« s� »d²Ið

’

”

≥

±±≠

©±≠±® qJA�«

5LO�« WNł s� ± œbF�« s� UMÐd²�« ¡«uÝ ¨5²�U(« w� Ê–≈

…bŠ«Ë WLO� s� »d²Ið Ê«d²�ô« rO� ÊS� ¨—UO�« s� Ë√

Æ≥ w¼ jI�

≥

” rO� cšQÐ p�–Ë ¡UA½ Íc�« —bI�UÐ ≥ œbF�« s� »d²Ið ©”®‚ rO� qF$ Ê√ sJ1Ë ¨«c¼

dG�√ —«bI0 ≥ œbF�« s� W³¹d� ©”®‚ rO� qFł sJ1 Îö¦L� ¨ÎUO�U� ÎUÐd� ± œbF�« s� W³¹d�

p�–Ë ¨ ≥[∞∞∞± ¨ ≤[ππππ s¹œbF�« 5Ð lIð ©”®‚ rO� qF$ Í√ ª ∞,∞∞∞± s�

WF�«u�« ” rO� lOL' Í√ ª ∞,∞∞∞∞μ s� dG�√ —«bI0 ± œbF�« s� W³¹dI�« ” rO� lOL'

Æ±[∞∞∞∞μ ¨ ∞[ππππμ 5Ð

∫V²J½ “u�d�UÐË ¨ ≥ ÍËUð ± s� ” »d²Ið U�bMŽ ©”®‚ Ê«d²�ô« W¹UN½ Ê≈ ‰uI½ p�c�

Æ ≥ Ω ©”®‚

± ← ”

∫n¹dFð

¨wIOIŠ œbŽ ‰ YOŠ ¨‰ Ω ©”®‚

← ”

Ê≈ ‰UI¹ Æ ‰uŠ WŠu²H� …d²� vKŽ ÎU�dF� ÎU½«d²�« ©”®‚ sJO�

‰ s� W³¹d� ©”®‚ rO� qFł sJ1 YO×Ð ¨ œbF�« s� ” »«d²�UÐ ‰ œbF�« s� »d²Ið ©”®‚ rO� X½U� «–≈

ÆÎUO�U� ÎUÐd� s� W³¹dI�« ” rO� lOL−� ¨¡UA½ Íc�« »dI�«

WK¦�_« w� 5³� u¼ UL� ÂUŽ tłuÐ ÎU×O×� fO� «c¼ sJ�Ë ¨©±®‚ Ω ©”®‚

± ←

”

Ê√ oÐU�« ‰U¦*« w� kŠô

∫WO�U²�«

©≤® ‰U¦�

Æ©”®‚

≥ ← ”

błË√ Æ≥ ≠ ” ¨ π ≠

≤”

≥ ≠ ”

Ω ©”®‚ sJO�

∫…dþUM*« ©”®‚ rO�Ë ≥ s� W³¹dI�« ” rO� iFÐ 5³¹ w�U²�« ‰Ëb'«

”≥,μ≥,±≥,∞±≥,∞∞±←ÆÆÆ≥ÆÆÆ→≤[πππ≤[ππ≤,π≤,μ

©”®‚∂,μ∂,±∂,∞±∂,∞∞±←ÆÆÆ∂ÆÆÆ→μ,πππμ,ππμ,πμ,μ

Æ∂ œbF�« s� »d²Ið ©”®‚ ÊS� ≥ s� ” »d²Ið U�bMŽ t½√ ‰Ëb'« s� kŠö½

Æ∂ Ω ©”®‚

≥ ← ”

∫Ê√ Í√

©≥ ´ ”® ©≥ ≠ ”®

©≥ ≠ ”®

Ω ©”®‚ Ê√ kŠô

∫`³B²� ©”®‚ …bŽU� jO³ð sJ1 t½S� ≥ ≠ ” WLO� Ê≈ YOŠË

¥

≥ ≠ ” ¨≥ ´ ” Ω ©”®‚

©”®‚ Ê«d???²???�ô« vM×M� q??¦1 ©≤≠±® q??J??A??�«

rOI²*« j)« vM×M� fH½u¼Ë

Æ©∂¨≥® WDIM�« ·cŠ bFÐ ≥ ´ ” Ω ’

ržd�UÐ ∂ Ω ©”®‚

≥ ← ”

Ê√ ‰U¦*« «c¼ w� kŠö½

fO� t½√ Í√ ª≥ Ω ” bMŽ ·dF� dOž ©”®‚ Ê√ s�

bMŽ ÎU�dF� Ê«d²�ô« ÊuJ¹ Ê√ ÂUŽ tłuÐ …—ËdC�UÐ

Æ Ω ” bMŽ Ê«d²�ô« W¹UN½ Y×³� Ω ”

’

”

∂

≥

©≤≠±® qJA�«

©≥® ‰U¦�

≤ ≠”¨ ¥ ≠

≤”

≤ ≠ ”

≤ Ω ”¨ ≥

Ω ©”®‚ sJO�

Æ©”®‚

≤ ← ”

w� Y×Ð« rŁ ¨©”®‚ Ê«d²�ô« vM×M� rÝ—«

≤ ” ¨ ≤´”

≤ Ω ” ¨ ≥ Ω ©”®‚

©”®‚ Ê«d²�ô« vM×M� q¦1 ©≥≠±® qJA�«

¨≤ œbF�« s� ” »«d²�UÐ t½√ kŠö½ tM�Ë

Æ¥ œbF�« s� »d²Ið ©”®‚ rO� ÊS�

Æ¥ Ω ©”®‚

≤ ← ”

∴

≥ Ω ©≤®‚ Ê√ kŠô

fO� t???½√ Í√ ¨¥ Ω ©”®‚

≤ ← ”

ULMOÐ

W¹UN½ Êu??J??ð Ê√ ¨ÂU???Ž t??łu??Ð ¨ÎU???¹—Ëd???{

Æ© ®‚ ÍËUð Ω ” bMŽ Ê«d²�ô«

’

”

¥

≥

≤

©≥≠±® qJA�«

μ

©¥® ‰U¦�

± ” ¨ ≤”

± ” ¨ ±´” Ω ©”®‚ sJO�

Æ©”®‚

± ← ”

w� Y×Ð« rŁ ¨©”®‚ Ê«d²�ô« vM×M� rÝ—«

©”®‚ Ê«d²�ô« vM×M� ©¥≠±® qJA�« q¦1

¨5LO�« WNł s� ± s� ” »d²Ið U�bMŽ ∫ÎôË√

± s�d³�√ ÎULO� …c�²� ± s� ” »d²Ið U�bMŽ Í√

≤ œbF�« s� »d²Ið ± ´ ” Ω ©”®‚ rO� ÊS�

∫“u�d�UÐ p�– sŽ d³F½Ë

’

”

≤

±

±

©¥≠±® qJA�« ≤ Ω ©± ´

”®´

± ← ”

Ω ©”®‚´

± ← ”

Æ≤ ÍËUð 5LO�« WNł s�± œbF�« s� ” »d²Ið U�bMŽ ©”®‚ W¹UN½ ∫√dIðË

¨± s� dG�√ ÎULO� …c�²� ± s� ” »d²Ið U�bMŽ Í√ —UO�« WNł s� ± s� ” »d²Ið U�bMŽ ∫ÎUO½UŁ

∫“u�d�UÐ p�– sŽ d³F½Ë ± œbF�« s� »d²Ið ≤” Ω ©”®‚ rO� ÊS�

± Ω ≤”

≠± ←

”

Ω ©”®‚≠

± ← ”

Æ± ÍËUð —UO�« WNł s� ± s� ” »d²Ið U�bMŽ ©”®‚ W¹UN½ ∫√dIðË

UM½S� ¨± s� ” »d²Ið U�bMŽ tH½ œbF�« s� »d²Ið ô W�U(« Ác¼ w� ©”®‚ rO� Ê√ U0Ë

Æ…œułu� dOž ©”®‚

± ← ”

Ê≈ ‰uI½

∫n¹dFð

Æ¤ ?ł¨ › q¦� WŠu²H� …d²� w� ÎU�dF� Í√ 51 vKŽÎU�dF� ÎU½«d²�« ©”®‚ sJO�

V²JðË ¨©vMLO�« W¹UNM�« vLðË® ‰ ÍËUð 5LO�« WNł s� s� »d²Ið ” U�bMŽ ©”®‚ W¹UN½ Ê≈ ‰UI¹

·dFð q¦*UÐË Æ5LO�« WNł s� s� ” »«d²�UÐ ‰ s� »d²Ið ©”®‚ rO� X½U� «–≈ ¨‰ Ω ©”®‚´

←

”

Æ©”®‚≠

←

”

e�d�UÐ UN� e�d¹Ë ¨—UO�« WNł s� s� ” »d²Ið U�bMŽ ©”®‚ Ê«d²�ö� ÈdO�« W¹UNM�«

∂

∫W¹dE½

W¹UN½ ©”®‚ Ê«d²�ö� ÊU� «–≈ jI�Ë «–≈ ¨ s� ” »d²Ið U�bMŽ ‰ ÍËUð W¹UN½ ©”®‚ Ê«d²�ö� ÊuJð

∫“u�d�UÐ Æ‰ ÍËUð ULNM� q�Ë ¨5²¹ËU²� ÊU²¹UNM�« X½U�Ë ¨ Ω ” bMŽ Èd¹ W¹UN½Ë vM1

‰ Ω ©”®‚≠

←

”

Ω ©”®‚

´

←

”

⇔ ‰ Ω ©”®‚

←

”

©μ® ‰U¦�

∫WO�U²�« U¹UNM�« w� Y×Ð« Æ©”®‚ Ê«d²�ô« vM×M� ©μ≠±® qJA�« q¦1

©”®‚

≤≠ ← ”

?ł

©”®‚´

≤≠ ← ”

»

©”®‚≠

≤≠ ← ”

√

©”®‚

≤ ← ”

?¼

©”®‚

∞ ← ”

œ

∫Ê√ kŠö½ ©”®‚ Ê«d²�ô« vM×M� s�

’

”

≥

≤

±

≤≤≠

±≠

©μ≠±® qJA�«

≥ Ω ©”®‚≠

≤≠ ← ”

√

± Ω ©”®‚´

≤≠ ← ”

»

W¹UNM�« Ê_ …œułu� dOž ©”®‚

≤≠ ← ”

?ł

Æ—UO�« s� W¹UNM�« ÍËUð ô 5LO�« s�

∞ Ω ©”®‚

∞ ← ”

œ

≤ Ω ©”®‚

≤ ← ”

?¼

©∂® ‰U¦�

≤ > ” ≤´”

≤ Ω ” ≤

≤ < ” ¥

Ω ©”®‚ sJO�

Æ©”®‚

≤ ←

”

błË√ rÝd�« s�Ë ¨ÎUO½UOÐ ©”®‚ q¦�

∑

©”®‚ Ê«d²�ô« vM×M� ©∂≠±® qJA�« q¦1

∫kŠö½ tM�Ë

¥ Ω ¥´

≤ ← ”

Ω ©”®‚´

≤ ← ”

∫ÎôË√

¥Ω©≤´”®≠

≤ ← ”

Ω©”®‚≠

≤ ← ”

∫ÎUO½UŁ

¥ ÍËUð ULNM� Îö�Ë ÊU²¹ËU²� 5²¹UNM�« Ê√ U0

¥ Ω ©”®‚

≤ ← ”

∴

’

”

¥

≤

≤

©∂≠±® qJA�«

©∑® ‰U¦�

∞ ≠ ” ¨

¸”¸

” Ω ©”®‚ sJO�

Æ©”®‚

∞ ← ”

w� Y×Ð« rŁ ¨©”® ‚ vM×M� rÝ—«

∫wK¹ UL� ©”®‚ Ê«d²�ô« …bŽU� WÐU²� …œUŽ≈ sJ1

∞ < ”

”

”

∞ ” ”≠

”

Ω ©”®‚

∞ < ” ±

∞ > ” ±≠

Ω

Æ©”®‚ Ê«d²�ô« vM×M� ©∑≠±® qJA�« q¦1

’

”

≤

±

± ≤≤≠ ±≠

±≠

≤≠

©∑≠±® qJA�«

± Ω ± ´

∞ ← ”

Ω ©”®‚´

∞ ← ”

∫ÎôË√

±≠ Ω ±≠ ≠

∞ ← ”

Ω ©”®‚≠

∞ ← ”

∫ÎUO½UŁ


∞ ← ”

∴ ∞ Ω ” bMŽ ÈdO�« W¹UNM�« ÍËUð ô vMLO�« W¹UNM�« Ê√ U0Ë

∏

©∏® ‰U¦�

∫błË√ rŁ ¨©”®‚ vM×M� rÝ—« Æ[≤¨∞] …d²H�« vKŽ ÎU�dF� [”] ≠ ” Ω©”®‚ sJO�

©”®‚≠

≤ ← ”

∫ÎUO½UŁ ©”®‚

± ← ”

∫ÎôË√

∫w�U²�U� ©”®‚ Ê«d²�ô« …bŽU� WÐU²� …œUŽ≈ sJ1

± > ”

≥ ∞

¨ ∞ ≠

”

≤ > ” ≥ ± ¨ ± ≠ ”

≤ Ω ” ¨ ≤ ≠ ”

Ω ©”®‚

Ω

± > ” ≥ ∞ ¨ ”

≤ > ” ≥ ± ¨ ± ≠ ”

≤ Ω ” ¨ ∞

∫kŠö½ qJA�« s�Ë ¨[≤¨∞] …d²H�« vKŽ ©”®‚ Ê«d²�ô« vM×M� ©∏≠±® qJA�« q¦1

∞ Ω ©± ≠ ”®´

± ← ”

Ω ©”®‚´

± ← ”

√ ∫ÎôË√

± Ω ”

≠± ←

”

Ω ©”®‚≠

± ← ”

»

©”®‚≠

± ← ”

≠ ©”®‚´

± ← ”

Ê√ U0Ë


± ← ”

ÊS�

± Ω ©± ≠ ”®≠

≤ ← ”

Ω ©”®‚≠

≤ ← ”

∫ÎUO½UŁ

’

”

±

± ≤

©∏≠±® qJA�«

π

©±≠±® s¹—U9

Æ©”®‚ Ω ’ Ê«d²�ô« vM×M� q¦1 —ËU−*« qJA�« ±

∫s� q� œU−¹≈ w� rÝd�« vKŽ bL²Ž«

’

”

±

± ≤ ≥ ¥±≠

©”®‚≠

± ← ”

» ©”®‚´

± ← ”

√

©”®‚

≥ ← ”

œ ©”®‚

± ← ”

?ł

…œułu� dOž ©”®‚

←

”

U¼bMŽ ÊuJð w²�« rO� Ë ©”®‚

≤ ← ”

?¼

∞ ≥ ” ¨

≤”

≤ > ” > ∞ ¨ ”≤ ≠≥

≤ ” ¨ ≤

Ω©”®‚ sJO� ≤

∫WO�U²�« U¹UNM�« w� Y×Ð« rŁ ©”®‚ Ê«d²�ô« vM×M� rÝ—«

©”®‚´

≤ ← ”

œ

©”®‚

∞ ← ”

?ł

©”®‚´

∞ ← ”

»

©”®‚≠

∞ ← ”

√

©”®‚

± ← ”

“

©”®‚

≤ ← ”

Ë

©”®‚≠

≤ ← ”

?¼

Æ [≤¨∞] …d²H�« vKŽ ÎU�dF� [± ´ ”≤] Ω ©”®‚ Ê«d²�ô« sJO� ≥

∫rÝd�« s� błË√ rŁ ©”®‚ vM×M� rÝ—«

©”®‚ ±

≤ ←

”

?ł

©”®‚ ´ ±

≤ ←

”

»

©”®‚≠ ±

≤ ←

”

√

©”®‚

±[≤ ←

”

?¼

©”®‚

≠

≤ ← ”

œ

∫Ê≈ YO×Ð Ê«d²�« vM×M* ÎUO³¹dIð ÎöJý rÝ—« ¨WOðü« ôU(« s� W�UŠ q� w� ¥

≤ Ω ©±≠®?¼ ¨ …œułu� dOž ©”®?¼

±≠ ← ”

»

·dF� dOž ©±®‚ μ Ω ©”®‚

± ←

”

√

μ Ω ©≥®‰ ¥ Ω ©”®‰

≥ ←

”

œ

W�dF� dOž ©≤® Â ¨…œułu� dOž ©”®Â

≤ ←

”

?ł

±∞

©Limit Theorems® U¹UNM�« U¹dE½ ≤≠±

WK¹uÞ WOKLŽ ÊuJð Ê√ sJ1 ‰Ëbł s¹uJð vKŽ œUL²ŽôUÐ WDI½ bMŽ Ê«d²�ô« W¹UN½ »UŠ WOKLŽ Ê√ UM� 5³ð

dOÐ W¹UNM�« »UŠË ¨l{u�« «c¼ W'UF� w� bM³�« «c¼ w� UNÝ—bMÝ w²�« U¹UNM�« U¹dE½ U½bOHðË ªW�UýË

ÆU¼dOžË WO³M�« U½«d²�ô«Ë œËb(« «dO¦� q¦� U½«d²�ô« iFÐ w� W�U�ÐË ¨W�uNÝË

©±® ‰U¦�

Æ©”®‚

± ← ”

błË√ ¨ ∋ ”¨≥ Ω ©”®‚ sJO�

WOIOI(« ” rO� lOL' ≥ Ω ©”®‚ Ê√ U0

5LO�« WNł s� ± s� W³¹d� ÎULO� ” c�²ð U�bMŽ t½S�

Æ©π≠±® qJA�« dE½« ¨—UO�« Ë√

∫Ê√ Í√ ª≥ ÍËUð ©”®‚ ÊS�

Æ≥ Ω ©”®‚

± ← ”

’

”

≥

±

©π≠±® qJA�«

∫ÂUŽ tłuÐ

∫©±® W¹dE½

Æ?ł Ω ©”®‚

←

”

¨ wIOIŠ œbŽ Í_ t½S� ¨XÐUŁ ?ł YOŠ ¨ ?ł Ω ©”®‚ ÊU� «–≈

©≤® ‰U¦�

¨ ∋ ” ¨ ” Ω ©”®‚ ÊU� «–≈

Æ©”®‚

≤ ← ”

błË√

WOIOI(« ” rO� lOL' ” Ω ©”® ‚ Ê√ U0

—UO�« Ë√ 5LO�« WNł s� ≤ s� ” »d²Ið U�bMŽ t½S�

Æ©±∞≠±® qJA�« dE½« ¨ÎUC¹√ ≤ s� »d²Ið ©”®‚ ÊS�

≤ Ω ©”®‚

≤ ← ”

Ê√ Í√

’

”

≤

≤

©±∞≠±® qJA�«

±±

∫ÂUŽ tłuÐ

∫©≤® W¹dE½

Ω ©”®‚

←

”

¨ wIOIŠ œbŽ Í_ t½S� ∋ ” ¨ ” Ω ©”®‚ ÊU� «–≈

Ë√ ¨ÕdÞ Ë√ ¨lLł UOKLŽ ULNDÐdð 5½«d²�« s� ÊuJ� Ê«d²�ô W¹UNM�« »UŠ s� UMMJ9 WO�U²�« W¹dEM�«

ÆÊU¼dÐ ÊËœ UN�bI½Ë ªWL� Ë√ ¨»d{

©≥® W¹dE½

∫ÊS� ÎUOIOIŠ Î«œbŽ ?ł ÊU�Ë Â Ω ©”®?¼

←

”

¨‰ Ω ©”®‚

←

”

X½U� «–≈

©wIOIŠ œbŽ w� »dC�«® ‰ × ?ł Ω ©”®‚

←

”

?ł Ω ©”®‚ ?ł

←

”

±

©lL'« …bŽU�® Â ´ ‰ Ω ©”®?¼

←

”

´ ©”®‚

←

”

Ω ©©”®?¼ ´ ©”®‚®

← ”

≤

©ÕdD�« …bŽU�® Â ≠ ‰ Ω ©”®?¼

←

”

≠ ©”®‚

←

”

Ω ©©”®?¼ ≠ ©”®‚®

← ”

≥

©»dC�« …bŽU�® Â × ‰ Ω ©”®?¼

←

”

× ©”®‚

←

”

Ω ©©”®?¼ × ©”®‚®

← ”

¥

©WLI�« …bŽU�® ∞ ≠ Â ◊dAÐ ¨

‰

Â Ω

©”®‚

← ”

©”®?¼

← ”

Ω ©”®‚

©”®?¼

← ”

μ

©≥® ‰U¦�

∫błËQ� ¨ ∂ Ω ©”®?¼

≤ ← ”

¨ ¥ Ω ©”®‚

≤ ← ”

X½U� «–≈

©©”®‚ ≠ ”®

≤ ← ”

» ©©”®?¼≤ ´ ©”®‚®

≤ ← ”

√

©μ ´ ©”®≤‚®

≤ ←

”

œ ©©”®?¼ × ©”®‚

©”®?¼ ´ ”®

≤ ← ”

?ł

±≤

©”® ?¼≤

≤ ←

”

´ ©”®‚

≤ ← ”

Ω ©©”®?¼≤ ´ ©”®‚®

≤ ← ”

√

©”® ?¼

≤ ← ”

≤´ ©”®‚

≤ ← ”

Ω

∂ ≤ ´ ¥ Ω

±∂ Ω

©”®‚

≤ ← ”

≠ ”

≤ ← ”

Ω ©©”®‚ ≠ ”®

≤ ← ”

»

¥ ≠ ≤ Ω

≤≠ Ω

©©”® ?¼ × ©”®‚®

≤ ← ”

©©”®?¼ ´ ”®

≤ ← ”

Ω ©©”® ?¼ ©”®‚

©”®?¼ ´ ” ®

≤ ← ”

?ł

©”® ?¼

≤ ← ”

× ©”®‚

≤ ← ”

©”®?¼

≤ ← ”

´ ”

≤ ← ”

Ω

∂ × ¥

∂ ´ ≤

Ω

≥ Ω

μ

≤ ← ”

´©”®≤‚

≤ ← ”

Ω ©μ´©”®≤‚®

≤ ← ”

œ

μ

≤ ← ”

´ ©”®‚

≤ ← ”

©”®‚

≤ ← ”

Ω

μ ´ ©¥ ¥® Ω

≤±Ω

±≥

∫5½«d²�« s� d¦�√ qLA²� WIÐU�« ©≥® W¹dEM�« w� »dC�«Ë lL'« wðbŽU� rOLFð sJ1

©”®Ê‚

← ”

´ÆÆÆ´ ©”®≤‚

← ”

´ ©”®±‚

← ”

Ω©©”®Ê‚´ÆÆÆ´©”®

≤‚´©”®

±‚®

← ”

±

©”®Ê‚

← ”

×ÆÆÆ× ©”®≤‚

← ”

×©”®±‚

← ”

Ω©©”®Ê‚ ×ÆÆÆ×©”®

≤‚×©”®

±‚®

← ”

≤

∫ZzU²½

ÆVłu� `O×� œbŽ Ê YOŠ ¨

Ê

©©”®‚

← ”

® Ω

Ê

©©”®‚® ←

”

±

ÆVłu� `O×� œbŽ Ê YOŠ

Ê

Ω

Ê

”

←

”

≤

∫ ÊS� œËbŠ dO¦� ÎU½«d²�« ∞

´ ”±

´ ∞∞∞´ ±≠Ê

”±≠Ê

´ Ê

” Ê

Ω ©”®‚ ÊU� «–≈ ≥

Æ©?ł®‚ Ω ∞

´ ?ł ±

´ ∞∞∞´ ±≠Ê

?ł ±≠Ê

´ Ê

?ł Ê

Ω ©”®‚

?ł ←

”

Æ©?ł®‚ ÍËUð t�U−� w� ?ł Ω ” bMŽ ©”®‚ œËb(« dO¦� W¹UN½ Ê√ Í√

∫ÊS� ∞ ≠ ©”®?¼ ¨œËbŠ «dO¦� ©”® ?¼ ¨ ©”®‚ YOŠ ÎUO³½ ÎU½«d²�« ©”®‚

©”® ?¼ Ω ©”®Â ÊU� «–≈ ¥

∞ ≠ ©?ł® ?¼ ◊dAÐ ©?ł® Â Ω ©?ł®‚

©?ł® ?¼ Ω

©”®‚

©”® ?¼

?ł ←

”

Ω ©”®Â

?ł ←

”

Æ© ?ł®Â ÍËUð t�U−� w� ?ł Ω ” bMŽ ©”®Â w³M�« Ê«d²�ô« W¹UN½ Ê√ Í√

©¥® ‰U¦�

Æ©∂´”μ´≥”¥®

≤← ”

błË√

∫ÊuJ¹ dýU³*« i¹uF²�UÐ Ê–≈ ¨œËbŠ dO¦� Ê«d²�« u¼ ∂ ´ ”μ ´ ≥ ”¥ Ω ©”®‚ Ê«d²�ô«

¥∏ Ω ∂ ´ ©≤®μ ´ ≥©≤®¥ Ω ©∂´”μ´

≥ ”¥®

≤ ← ”

±¥

©μ® ‰U¦�

Æ

≤´”¥´ ≤”

≥´”≤

μ ← ”

błË√

¨μ Ω ” bMŽ Î«dH� ÍËU¹ ô t�UI� w³½ Ê«d²�« u¼

≤´”¥´ ≤”

≥´”≤

Ω ©”® ?¼ Ê«d²�ô«

∫ÊuJ¹ dýU³*« i¹uF²�UÐ Ê–≈

≤´©μ®¥ ´≤©μ®

≥´©μ®≤

Ω

≤´”¥´ ≤”

≥´”≤

μ ← ”

¥∑

±≥ Ω

©¥® W¹dE½

∫ÊS� ÎU³łu� ÎU×O×� Î«œbŽ Ê ÊU�Ë ¨‰ Ω ©”®‚

← ”

X½U� «–≈

ÆWOłË“ ©Ê® ÊuJð U�bMŽ ∞ ‰ ÊuJð Ê√ ◊dAÐ ¨

±

Ê

‰ Ω

±

Ê ©©”®‚

← ”

® Ω

±

Ê ©©”®‚®

← ”

‰

Ê

Ω ©”®‚

← ”

Ê

Ω ©”®‚

Ê

← ”

Ê√ Í√

©∂® ‰U¦�

∫7O�U²�« 5²¹UNM�« s� Îö� błË√

≤ ´ ”

≥

±∞≠ ← ”

» π ´ ≤”

¥ ← ”

√

μ Ω π´±∂ Ω ©π´≤”®

¥ ← ”

Ω π´≤”

¥ ← ”

√

≤≠ Ω ≤ ´ ±∞≠

≥

Ω ©≤´ ”®

±∞≠ ← ”

≥

Ω ≤´”

≥

±∞≠ ← ”

»

±μ

©≤≠±® s¹—U9

∫WO�U²�« U¹UNM�« s� Ìq� WLO� błËQ� ¨±≠ Ω ©”® „

≤ ← ”

¨ ≥ Ω ©”®?¼

≤ ← ”

¨μ Ω ©”®‚

≤ ← ”

X½U� «–≈ ±

©”® ‚ ”

©”®„ ´ ©”® ?¼

≤ ← ”

» ©©”® ?¼ ≥ ≠ ©”®‚≤®

≤ ← ”

√

©”®≤?¼≠©”®

≤‚

≤ ← ”

?ł

Æ©”® ?¼ Ê ≠ ©”®‚

Â

Ê ≠ Â

← ”

błË√ ¨Ê ≠ Â YOŠ Ê Ω ©”®?¼

← ”

¨Â Ω ©”®‚

← ”

X½U� «–≈ ≤

Æ rO�ØWLO� błËQ� ¨± Ω ©∑´ ”μ ´≤”®

← ”

Ê√ XLKŽ «–≈ ≥

∫wK¹ U2 q� WLO� błË√ ¥

≥©μ ≠ ”®

≤ ´ ¥

©μ ≠ ”≤®

≥ ← ”

?ł

±

≥ ©¥ ≠ ≤”≥®

≤ ← ”

» μ´≤”

≤ ← ”

√

©∑® ‰U¦�

Ê«d²�ô« vM×M� ©±±≠±® qJA�« q¦1

©”®‚

π∂

← ”

błË√ ” UŠ Ω ©”®‚

∫Ê√ kŠö½ qÐUI*« w½UO³�« rÝd�« s�

” UŠ

π∂

← ”

Ω ©”®‚

π∂

← ”

±

≤ Ω

’

”

±

±≠

π−≤

ππ− ∞ π∂

±

≤

©±±≠±® qJA�«

∫ÂUŽ tłuÐ

Æ ∋ qJ� ¨ Uł Ω ”Uł

←

”

±

Æ ∋ qJ� ¨ U²ł Ω ”U²ł

←

”

≤

±∂

∫ błË√ ¨

± ” ±´”≤

≥ ” ± ¨ μ ≠ ≤”

≥ < ” ±≥ ´”

Ω ©”®‚ ÊU� «–≈ μ

©”®‚

≥ ← ”

» ©”®‚

± ← ”

√

ø WLO� UL� …œułu� ©”®‚

± ← ”

X½U�Ë

± ” μ´≤”

± ” ”

Ω ©”®‚ ÊU� «–≈ ∂

≤ ” μ ≠≤”Â

≤ ” Ê ´ ”≤

Ω ©”®‚ ÊU� «–≈ ∑

Æ∑ Ω ©”®‚

≤ ← ”

Ê√ XLKŽ «–≈ Ê ¨Â s� Ìq� WLO� błË√

∫© błË Ê≈® WO�U²�« U¹UNM�« s� Ìq� WLO� błË√ ∏

›≥´”≤¤ ±

≤ ←

”

» ›”¤ ”

∞ ← ”

√

›”¤

”

≤ ← ”

œ

¸¥≠≤”¸

≤ ≠ ”

≤ ← ”

?ł

∞ ” ±

∞ ” ±≠

Ω ©”®?¼

∞ ” ±≠

∞ ” ±

Ω ©”®‚ sJO� π

…œułu� dOž ©”® ?¼

∞ ← ”

Ê√ 5Ð » …œułu� dOž ©”®‚

∞ ← ”

Ê√ 5Ð √

©”® ©?¼ ‚®

∞ ← ”

błË√ œ ©”® ©?¼ ‚® …bŽU� błË√ ?ł

©”® ©‚

?¼®

∞ ← ”

błË√ Ë ©”® ©‚

?¼® …bŽU� błË√ ?¼

ø©≥® W¹dE½ w� WLI�«Ë »dC�« wðbŽU� l� Ë ¨ œ 5ŽdH�« s� Ìq� w� W−O²M�« ÷—UF²ð q¼

©≤” ´ ©± ≠ ”≤®‚¥®

≥ ← ”

błËQ� ∑ Ω ©”®‚

μ ← ”

X½U� «–≈ ±∞

±∑

(Limits & Indeterminate Forms) dH�

dH� WM ÒÓO ÓF

Ô*« dOž …—uB�«Ë U¹UNM�« ≥≠±

d¹œUI� „UM¼ Ê√ dOž ÆÎ«dH� ÍËUð ÂUI*« W¹UN½ ÊuJð ô√ ◊d²Að U¹UNM�« w� WLI�« …bŽU� Ê√ ÎUIÐUÝ U½błË

¨ ∞

∞ Ω

j³�« W¹UN½

ÂUI*« W¹UN½ ÊuJð Í√ ¨ ” ?� WMOF� WLO� bMŽ Î«dH� ÍËUð UNO� ÂUI*«Ë j³�« s� q� W¹UN½ ÊuJð W¹d�

Ác¼ q¦� U¹UN½ »UŠ sJ1 sJ�Ë ¨…œb×� W¹œbŽ W−O²½ wDFð ô UN½_ WMOF� dOž …—u� vLð …—uB�« Ác¼Ë

…—uB�« “ËU−²ð ¨W¾�UJ� …—u� vKŽ ÍdJ�« Ê«d²�ô« l{u� W¹d³ł UOKLŽ ¡«dłSÐ ¨ÎU½UOŠ√ ¨W¹dJ�« U½«d²�ô«

∫WOðü« WK¦�_« s� `C²¹ UL� ¨WMOF*« dOž

©±® ‰U¦�

” ≠≥”

±≠ ” ≠≤ ”≤

± ← ”

błË√

∞ Ω ©± ≠ ” ≠≤”≤®

± ← ”

p�c�Ë ∞ Ω ©” ≠≥”®

± ←

”

Ê√ kŠö½

∫wK¹ UL� W¾�UJ� …—u� vKŽ ÍdJ�« Ê«d²�ô« WÐU²�Ë ÂUI*«Ë j³�« s� q� qOK% v�≈ Q−K½ p�c�

©±´”® ©±≠”®”

©±´”≤® ©±≠”®

± ← ”

Ω

” ≠≥”

±≠ ” ≠≤ ”≤

± ← ”

± ≠ ”

©±´”®”

©±´”≤®

± ← ”

Ω

≤

≥ Ω

©≤® ‰U¦�

Æ ≥≠ ¥´”

μ ≠ ” μ ←

”

błË√

∞ Ω ©μ≠”®

μ ←

”

p�c�Ë ∞ Ω ©≥≠ ¥ ´” ®

μ ← ”

Ê√ kŠö½

±∏

o�«d� w� ÂUI*«Ë j³�« s� q� »dCÐ p�–Ë ¨W¾�UJ� …—uBÐ Ê«d²�ô« WÐU²� v�≈ Q−K½ «c�

∫wK¹ UL� j³�«

¥´” ≥´

≥´

¥´”

¥´” ≥≠

μ ≠ ”

μ ←

”

Ω

¥´” ≥ ≠

μ ≠ ”

μ ←

”

π ≠ ©¥´”®

©≥´

¥´” ® ©μ≠”®

μ ← ”

Ω

©μ ≠ ”®

©≥´

¥´” ® ©μ≠”®

μ ← ”

Ω

μ ” ±

©≥´

¥´” ®

μ ← ”

Ω

±

∂

Ω

©≥® ‰U¦�

Æ

±

≤ ≠

±

≤´”

”

∞ ← ”

błË√

∞ Ω ”

∞ ← ”

p�c�Ë ∞ Ω © ±

≤ ≠

±

≤´” ®

∞ ← ”

∫Ê√ kŠô

∫wK¹ UL� —UB²šô«Ë U�UI*« bOŠu²Ð p�–Ë ¨W¾�UJ� …—uBÐ Ê«d²�ô« WÐU²� v�≈ Q−K½ «c�

”

©≤´” ®≠≤

©≤´”®≤

∞ ← ”

Ω

≠

”

±

≤´”

±

≤

∞ ← ”

© ±

”

×

” ≠

©≤´”®≤®

∞ ← ”

Ω

∞ ≠ ”

±≠

©≤´”®≤

∞ ← ”

Ω

±≠

¥

Ω

±π

©¥® ‰U¦�

Æ ≥

≠≥”

≠ ”

← ”

błË√

WÐU²� v�≈ Q−K½ «c�Ë ªWMOF� dOž …—u� Ác¼Ë ¨ ∞

∞ Ω W¹UNM�« Ê√ kŠö½ dýU³*« i¹uF²�UÐ

∫q�«uF�« v�≈ qOK×²�UÐ p�–Ë ¨W¾�UJ� Èdš√ …—uBÐ dJ�«

©≤

´ ” ´≤”® © ≠ ”®

© ≠ ”®

← ”

Ω ≥

≠≥”

≠ ”

← ”

≠ ” ©≤ ´ ” ´

≤”®

← ”

Ω

≤ ≥ Ω

∫rOLFð

ÆVłu� `O×� œbŽ Ê YOŠ

±≠Ê

Ê Ω Ê

≠Ê”

≠ ”

← ”

©μ® ‰U¦�

Æ ∂≤μ ≠

¥©≤ ´ ”®

≥ ≠ ”

≥ ← ”

błË√

≤ ≠ ’ Ω ” ÊuJð ≤ ´ ” Ω ’ Ê√ ÷dHÐ

μ ← ’ ÊS� ≥ ← ” U�bMŽË

Æ ¥μ ≠

¥’

μ ≠ ’

μ ← ’

Ω ∂≤μ ≠

¥©≤ ´ ”®

≥ ≠ ”

≥ ← ”

∴

≥μ × ¥ Ω

±≤μ × ¥ Ω

μ∞∞ Ω

≤∞

©≥≠±® s¹—U9

∫WO�U²�« U¹UNM�« s� Ìq� WLO� błË√ ±

∏≠”≤´

≤”

”≤≠ ≤”

≤ ← ”

»

± ´”

≤ ≠”≠ ≤”

± ← ”

√

¥ ≠ ”

≤≠

”

¥ ← ”

œ

±

∑ ≠

±

”´≤

μ ≠ ”

μ ← ”

?ł

≤≠ ” ≠≤”≤´

≥”

¥ ≠≤”

≤≠ ← ”

Ë

”

≥ ≠ ” ´π

∞ ← ”

?¼

∏ ´≥ Â

≤ ´ Â ≤≠ ← Â

Õ

” ´± ≠

”

” ≠±

∞ ← ”

“

∏± ≠

¥”

≥ ≠ ”

≥ ← ”

„

≥ ≠ ∂ ≠ ”

±μ ≠ ”±μ ←

”

◊

≤¥≥ ≠ μ©± ≠ ”®

¥ ≠ ”

¥ ← ”

Â

∏ ≠

∂”

¥ ≠ ¥”

≤ ← ”

‰

∫5²O�U²�« 5²�U(« s� q� w� ©≤®‚ ≠ ©?¼ ´≤®‚

??¼

∞ ← ?¼

błË√ ≤

” Ω ©”®‚ » ≤” Ω ©”®‚ √

≤ ≥ ” ¥ ≠

≤”

≤ ≠ ”

≤ < ” ± ´ ”

Ω ©”®‚ sJO� ≥

WLO� błËQ� ¨…œułu� ©”®‚

≤ ← ”

X½U�Ë

≤±

(Limits & Trigonometric Functions) WO¦K¦*« U½«d²�ô«Ë U¹UNM�« ¥≠±

ªÍdz«b�« d¹bI²�UÐ ” YOŠ ∞ ← ” U�bMŽ

”Uł

” Ω ©”®‚ Ê«d²�ô« W¹UN½ vKŽ bM³�« «c¼ w� UM²Ý«—œ bL²Fð

ÆUNðUI²A�Ë W¹dz«b�« U½«d²�ô« U¹UN½ w� ÎUIŠô UN²OL¼_ p�–Ë

Â«b�²ÝUÐ W¹UNM�« ÃU²M²Ý« UMMJ1 ôË ∞

∞ WMOF*« dOž …—uB�« vKŽ qB×½

”Uł

” Ê«d²�ô« w� dýU³*« i¹uF²�UÐ

ÆoÐU�« bM³�« w� W¹d³'« ‚dD�«

∞ Ω ” ‰uŠ ”Uł

” Ê«d²�ô« „uKÝ `{u¹ w�U²�« ‰Ëb'«

”±∞[±∞[∞±∞[∞∞±ÆÆÆ←∞ÆÆÆ→∞[∞∞±≠∞[∞±≠∞[±≠±≠

”Uł

”∞[∏¥±¥∑∞[ππ∏≥≥∞[ππππ∏∞[ππππππ∏≥ÆÆÆ←±ÆÆÆ→∞[ππππππ∏≥∞[ππππ∏∞[ππ∏≥≥∞[∏¥±¥∑

wH²JMÝ w²�« WO�U²�« W¹dEM�« «c¼ `{u¹Ë ∞ ← ” U�bMŽ ± s� »d²Ið

”Uł

” Ê√ ‰Ëb'« s� kŠö½

ÆÊU¼dÐ ÊËœ U¼d�cÐ

∫W¹dE½

Ídz«b�« d¹bI²�UÐ ” ¨ ± Ω

”Uł

”

∞ ← ”

©±® ‰U¦�

”≤Uł

”

∞ ← ”

błË√

”≤Uł

”≤

∞ ← ”

≤ Ω

”≤Uł

”≤

≤

∞ ← ”

Ω

”≤Uł

”

∞ ← ”

©∞ ← ” U�bMŽ ∞ ← ?¼ Ê√ kŠô®Æ”≤ Ω ?¼ YOŠ ¨

?¼Uł

?¼

∞ ← ?¼

≤ Ω

≤ Ω± ≤ Ω

”U²ł ”Uł≤

”

∞ ← ”

Ω

”≤Uł

”

∞ ← ”

∫dš¬ qŠ

”U²ł

∞ ← ”

”Uł

”

∞ ← ”

≤ Ω

≤ Ω ± ± ≤ Ω

≤≤

∫W−O²½

©Ídz«b�« d¹bI²�UÐ ”® ¨ ± Ω

” Uþ

”

∞ ←

”

∫ÊU¼d³�«

” Uł

”U²ł

±

”

∞ ←

”

Ω

” Uþ

”

∞ ←

”

±

”U²ł

∞ ←

”

” Uł

”

∞ ←

”

Ω

± Ω ± ± Ω

∫rOLFð

Ω ” Uł

”

∞ ← ”

±

Ω ” Uþ

”

∞ ← ”

≤

©≤® ‰U¦�

Æ

”≥Uł

”μUł

∞ ← ”

błË√

©” vKŽ ÂUI*«Ë j³�« s� Ìq� WLIÐ®

”≥Uł

”

”μUł

”

∞ ← ”

Ω

”≥Uł

”μUł

∞ ← ”

”≥Uł

” ∞ ← ”

”μUł

”

∞ ← ”

Ω

≥

μ Ω

≤≥

©≥® ‰U¦�

Æ±≠”U²ł

”

∞ ← ”

błË√

±≠©

”

≤ ≤Uł ≤≠±®

”

∞ ← ”

Ω

±≠”U²ł

”

∞ ← ”

”

≤ ≤Uł ≤≠

”

∞ ← ”

Ω

©

”

≤ Uł®

”

≤ Uł

”

∞ ← ”

≤≠ Ω

©

”

≤ Uł®

∞ ← ”

” ±

≤ Uł

”

∞ ← ”

≤≠ Ω

ÆdH� Ω dH� ±

≤ ≤≠ Ω

©± ´ ” U²ł® —«bI*UÐ ÂUI*«Ë j³�« s� Ìq� »dCÐ p�–Ë ¨Èdš√ WI¹dDÐ ‰U¦*« qŠ sJ1 ∫WEŠö�

©¥® ‰U¦�

Æ

”≥Uł ´ ”μUł

”≤Uł ´ ”∏Uł

∞ ← ”

błË√

©” vKŽ ÂUI*«Ë j³�« s� q� WLIÐ®

”≥Uł

” ´

”μUł

”

”≤Uł

”

´

”∏Uł

”

∞ ← ”

Ω

”≥Uł ´ ”μUł

”≤Uł ´ ”∏Uł

∞ ← ”

”≥Uł

” ∞ ←

” ´

”μUł

” ∞ ←

”

”≤Uł

”

∞ ← ”

´

”∏Uł

”

∞ ← ”

Ω

¥

μ

Ω ∏

±∞

Ω

≥ ´ μ

≤ ´ ∏

Ω

≤¥

©μ® ‰U¦�

Æ©”®‚

± ← ”

błË√ ¨

± ”

©±≠ ” √® Uł ”≤

± ≠ ”

± ” ± ´ ›”¤

Ω ©” ®‚ sJO�

∫w�U²�U� ± Ω” —«uł w� ©”®‚ …bŽU� WÐU²� …œUŽ≈ sJ1

± ”

©±≠ ” √® Uł ”≤

± ≠ ”

± ” ∞ ±

± Ω ” ≤

Ω ©”®‚

©±≠ ” √® Uł ”≤

± ≠ ”

´

± ← ”

Ω ©”®‚´

± ← ”

√

©±≠ ” √® Uł ”≤

©±´ ” √® ©±≠

” √®

´

± ← ”

Ω

±≠ ” √ Ω ?¼ YOŠ

?¼ Uł

?¼ ´∞ ← ?¼

”≤

±´ ” √ ´

± ← ”

Ω

± Ω ± ± Ω

± Ω ± ≠

± ← ”

Ω ©”®‚≠

± ← ”

»

± Ω ©”®‚

± ← ”

∴

©∂® ‰U¦�

Æ

” Uł

” ≠ ±

± ← ”

błË√

©WKLJ*« VOł Ω W¹Ë«“ Í√ VOł Ê_® ©” ≠ ®Uł

” ≠ ±

± ← ”

Ω ” Uł

” ≠ ±

± ← ”

©” ≠ ±® Uł

” ≠ ±

± ← ”

Ω

Æ” ≠ ± Ω ?¼ YOŠ

?¼ Uł

?¼

∞ ← ?¼

Ω

Ω

≤μ

©¥≠±® s¹—U9

∫WO�U²�« U¹UNM�« s� Îö� błË√ ±

” Uł

±´ ” √ ´

∞ ← ”

»

”≥Uł

”≤∞ ←

”

√

” ≥ Uþ

”μ ∞ ← ”

œ

”

” Uþ∞ ←

”

?ł

≤”

”≤U²ł ≠±

∞ ← ”

Ë

”μ Uþ

” ≤ Uþ∞ ←

”

?¼

”¥ U²ł ≠±

±≠ ”∏ U²ł∞ ←

”

Õ

≤”

”U²ł ≠±∞ ←

”

“

”Uł

”

”U²ł ≠± ∞ ← ”

Í

” Uł ´”≤

”∞ ←

”

◊

±∞´ ” μ

©≤´”® Uł ≤≠ ← ”

‰ ”μ U²� ”≤ Uþ

∞ ← ”

„

©±≠”® Uł

≥≠”´≤”≤ ± ←

”

Ê

≤”≤´ ” ±∞

”Uł∑ ∞ ← ”

Â

©”Uł® Uł

” ∞ ← ”

Ÿ

” Uł ” ´ ”≤ U²ł≠±

” ≤Uł

∞ ← ”

”

©”®‚

∞ ← ”

błË√

∞ < ” ¨

”∂ Uł

”≥ Uþ

∞ ≥ ” ¨ › ≥ ´ ” ¤

Ω ©”®‚ ÊU� «–≈ ≤

” Uł

” ´ ≤

≤≠ ← ”

błË√ ≥

≤∂

(Limits at Infinity) ∞∓ ← ” U�bMŽ Ê«d²�ô« W¹UN½ μ≠±

W¹UN½ bM³�« «c¼ w� ”—bMÝË ¨ 5F� wIOIŠ œbŽ s� ” »d²Ið U�bMŽ ©”®‚ Ê«d²�ô« W¹UN½ ÎUIÐUÝ UM�dFð

U�bMŽ p�c�Ë ¨©∞® W¹UN½ôU� s� ” »d²Ið U�bMŽ Í√ ¨œËbŠ öÐË W³łu� rOIÐ ” œ«œeð U�bMŽ ©”®‚ Ê«d²�ô«

Æ©∞≠® W¹UN½ôU� V�UÝ s� ” »d²Ið U�bMŽ Í√ ¨œËbŠ öÐË W³�UÝ rOIÐ ” h�UM²ð

ÆjI WO³�M�« U½«d²�ô« vKŽ bM³�« «c¼ w UM²Ý«—œ dB²I²ÝË

©±® ‰U¦�

∞ ≠ ” ¨ ±

” Ω ©”®‚ sJO�

ø ∞ s� ” »d²Ið U�bMŽ ©”®‚ rOI� Àb×¹ «–U� √

ø ∞≠ s� ” »d²Ið U�bMŽ ©”®‚ rOI� Àb×¹ «–U� »

W³łu� rOIÐ d¦�Q� d¦�√ ” rO� œ«“ ULK� t½√ ©±≤≠±® qJA�« s� kŠö½ √

¨dHB�« s� ©”®‚ rO� XÐd²�«

©”®‚ W¹UN½ Ê≈ ‰uI½ p�c�

ÍËUð W¹UN½ôU� s� ” »d²Ið U�bMŽ

∫“u�d�UÐË ªÎ«dH�

dH� Ω ±

”∞ ←

”

Ω ©”®‚

∞ ← ”

ULK� t½√ qJA�« s� kŠö½ p�c� »

W³�UÝ rOIÐ d¦�Q� d¦�√ ” rO� dG�

ªdHB�« s� ©”®‚ rO� XÐd²�«

dH� Ω ±

”∞≠ ←

”

∫Ê≈ ‰uI½ p�c�Ë

∞≠ ← ”

” → ∞

’

”

©±≤≠±® qJA�«

©≤® ‰U¦�

∫błË√ ¨ ≥” Ω ©”®‚ sJO�

©”®‚

∞≠ ← ”

» ©”®‚

∞ ← ”

√

≤∑

œ«œeð …dþUM*« ©”®‚ rO� ÊS� ¨W¹UN½ôU� s� ” »d²Ið U�bMŽ t½√ ©±≥≠±® qJA�« s� kŠö½ √

p�–Ë¨Á—uBð sJ1 Vłu� wIOIŠ œbŽ Í√ s� d³�√ ©”®‚ rO� qFł sJ1Ë ¨d¦�Q� d¦�√

U�bMŽ ©”®‚ Ê«d²�ô« W¹UN½ Ê≈ W�U(« Ác¼ w� ‰uI½Ë ÆWO�U� Wł—bÐ …dO³� ” rO� —UO²šUÐ

∫“u�d�UÐË ªW¹UN½ôU� ÍËUð W¹UN½ôU� s� ” »d²Ið

∞ Ω ≥”

∞ ← ”

Ω ©”®‚

∞ ← ”

©”®‚ Ê«d²�ô« W¹UN½ Ê√ v�≈ q�u²�« UMMJ1 q¦*UÐË »

w¼ W¹UN½ôU� V�UÝ s� »d²Ið ” U�bMŽ

∫“u�d�UÐË ªW¹UN½ôU� V�UÝ

∞≠ Ω ≥”

∞≠ ← ”

Ω ©”®‚

∞≠ ← ”

∞

∞≠ ← ”

” → ∞

∞−

’

”

©±≥≠±® qJA�«

©≥® ‰U¦�

∫œU−¹≈ w� w�U²�« ©±¥≠±® qJA�« Âb�²Ý«

©”®‰

∞∓ ← ”

» ©”®‚

∞∓ ← ”

√

’

”

≤” Ω ©”®‰

”

≥≥ Ω ©”®‚

’

©±¥≠±® qJA�«

∫Ê√ `C²¹ 5½«d²�ô« wOM×M� s�

≥ Ω ©”®‚

∞≠ ← ”

≥ Ω ©”®‚

∞ ← ”

√

∞ Ω ©”®‰

∞≠ ← ”

∞ Ω ©”®‰

∞ ← ”

»

≤∏

∫ÂUŽ tłuÐ

…bŽU�

XÐUŁ ?ł YOŠ ¨ ?ł Ω ?ł

∞≠ ← ”

¨ ?ł Ω ?ł

∞ ← ”

±

∫ÊS� ÎU³łu� ÎU×O×� Î«œbŽ Ê ÊU� «–≈ ≤

∞ Ω Ê”

∞ ← ”

©√®

WOłË“ Ê X½U� «–≈ ¨ ∞

W¹œd� Ê X½U� «–≈ ¨ ∞≠

Ω Ê”

∞≠ ← ”

©»®

∫WEŠö�

5½«d²�« WL� Ë√ »d{ Ë√ ‚d� Ë√ ŸuL−� W¹UNMÐ WIKF²*«Ë ±≤ W×H� w� WIÐU�« U¹UNM�« W¹dE½

∫WO�U²�« bŽ«uI�« …UŽ«d� l� ¨ ←” s� ÎôbÐ ∞∓ ←” lC½ U�bMŽ W×O×� vI³ð ¨ ←” U�bMŽ

XÐUŁ ?ł ¨ ∞≠ Ω ?ł ∓ ∞≠ ©»® XÐUŁ ?ł ¨ ∞ Ω ?ł ∓ ∞ ©√®

∞ < ?ł U�bMŽ ¨ ∞≠

∞ > ?ł U�bMŽ ¨ ∞

Ω ∞≠ × ?ł ©œ®

∞ < ?ł U�bMŽ ¨ ∞

∞ > ?ł U�bMŽ ¨ ∞≠

Ω ∞ × ?ł ©?ł®

∞ Ω ∞ + ∞ ©Ë® ∞ Ω ∞ × ∞ ©?¼®

©

dH�

dH� …—uB�« ÊQý p�– w� UN½Qý® WMOF� dOž —u� wN� WO�U²�« —uB�« U�√

∞∞ ©?ł® ∞ × ∞ ©»® ∞ ≠ ∞ ©√®

©¥® ‰U¦�

©μ ´ ±

”®

∞ ← ”

błË√

μ Ω μ ´ ∞ Ω μ

∞ ← ”

´ ±

”∞ ←

”

Ω ©μ ´ ±

”®

∞ ← ”

©μ® ‰U¦�

±

≥”∞≠ ←

”

błË√

±

”∞≠ ←

”

× ±

”∞≠ ←

”

× ±

”∞≠ ←

”

Ω ±

≥”∞≠ ←

”

dH� Ω dH� × dH� × dH� Ω

≤π

∫ÂUŽ tłuÐ

∫…bŽU�

XÐUŁ ¨ Vłu� `O×� œbŽ Ê YOŠ ¨ ∞ Ω Ê”

∞≠ ← ”

¨ ∞ Ω Ê”

∞ ← ”

q�UF� ” Èu� d³�√ Ã«dšSÐ p�– »UŠ UMMJ1Ë ¨∞∓ ←” U�bMŽ WO³½ U½«d²�« U¹UN½ wK¹ ULO� ”—bMÝ

∫WOðü« WK¦�_« s� `C²¹ UL� —UB²šô« rŁ ¨ÂUI*« w� „d²A� q�UF� ” Èu� d³�√ p�c�Ë j³�« w� „d²A�

©∂® ‰U¦�

∑ ≠

”μ ´

≤”≤

μ ≠ ≤”≥ ∞ ←

”

błË√

©∑

≤” ≠

μ

” ´ ≤®

≤”

©μ

≤” ≠ ≥®

≤” ∞ ←

”

Ω ∑ ≠

”μ ´

≤”≤

μ ≠ ≤”≥ ∞ ←

”

∑

≤” ≠

μ

” ´ ≤

μ

≤” ≠ ≥

∞ ← ”

Ω

∑

≤” ∞ ← ”

≠ μ

” ∞ ← ”

≤

∞ ← ”

μ

≤” ∞ ← ”

≠ ≥

∞ ← ”

Ω

≤

≥

Ω

∞ ≠ ∞ ´ ≤

∞ ≠ ≥

Ω

©∑® ‰U¦�

”∑ ´

≤”μ

μ ≠ ≥”≤ ∞ ≠ ←

”

błË√

©∑

” ´ μ®

≤”

©μ

≥” ≠ ≤®

≥” ∞ ≠ ←

”

Ω

”∑ ´

≤”μ

μ ≠ ≥”≤ ∞ ≠ ←

”

≥∞

∑

” ´ μ

μ

≥” ≠ ≤ ∞ ≠ ←

”

× ±

”∞ ≠ ←

”

Ω

μ

≤

× dH� Ω

dH� Ω

©∏® ‰U¦�

”∑ ´

≤” ≠

≥”μ

”≤ ≠ ∂ ∞ ← ”

błË√

©∑

≤” ´

±

” ≠ μ®

≥”

©≤ ≠ ∂

”® ” ∞ ←

”

Ω

”∑ ´

≤” ≠

≥”μ

”≤ ≠ ∂ ∞ ← ”

∑

≤” ´

±

” ≠ μ

©≤ ≠ ∂

”® ∞ ←

”

× ≤”

∞ ← ”

Ω

μ

≤≠

× ∞ Ω

∞≠ Ω

©π® ‰U¦�

©∑ ´ ”μ ≠ ≥”®

∞ ← ”

błË√

©∑

≥” ´

μ

≤” ≠ ±®

≥”

∞ ← ”

Ω ©∑ ´ ”μ ≠ ≥”®

∞ ← ”

©∑

≥” ´

μ

≤” ≠ ±®

∞ ← ”

× ≥”

∞ ← ”

Ω

± × ∞ Ω

∞ Ω

≥±

©μ≠±® s¹—U9

∫WO�U²�« U¹UNM�« s� Îö� błË√ ±

©± ≠ ”μ ≠ ≥”®

∞ ≠ ← ”

≤ ©± ´ ≤”μ ≠

≥”®

∞ ← ”

±

¥ ´ ”

≤

≤ ´ ”μ ∞ ← ”

¥ μ

Ÿ ´ ≥ ∞ ≠ ← Ÿ

≥

≥”μ

”μ ≠ ≤”≤ ∞ ≠ ←

”

∂ ≤ ≠

”

∂ ´ ”μ ≠ ≤” ∞ ≠ ←

”

μ

± ´ ≥”

¥

± ≠ ≥”μ ∞ ←

”

∏

≤”μ ≠ ≤

≤”≥ ≠ ” ∞ ≠ ← ”

∑

”

± ´ ” »

Ω ©”®‚ ÊU� «–≈ ≤

¥

∑

Ω ©”®‚

± ← ”

≤

≥

Ω ©”®‚

∞ ← ”

X½U�Ë

Æ» ¨ 5²ÐU¦�« błË√

≥≤

(Continuity) ‰UBðô« ∂≠±

bM³�« «c¼ w�Ë ¨WDIM�« pKð bMŽ Ê«d²�ô« WLOI� ’Uš —U³²Ž« Í√ ÊËœ WDI½ bMŽ Ê«d²�ô« W¹UN½ ÎUIÐUÝ UMÝ—œ

ÆÎUF� t²¹UN½Ë Ê«d²�ô« WLO� ”—bMÝ

∫WDI½ bMŽ Ê«d²�ô« ‰UBð«

vKŽ WDIM�« ‰uŠ ©”®¥‚ ¨©”®

≥‚ ¨©”®

≤‚ ¨©”®

±‚ U½«d²�ô« UOM×M� ©±μ≠±® qJA�« `{u¹

∫ Ω ” YOŠ vM×M*«

©”®≤‚

Ê

Â

”

’

©”®±‚

Ê

Â

”

’

©”®¥‚

Ê

Â

”

’

©”®≥‚

Ê

Â

”

’

©±μ≠±® qJA�«

WDIMK� 5ð—ËU−*« Ê ¨Â 5²DIM�« 5Ð l�«u�« vM×M*« ¡eł rÝ— sJ1 ¨©”®

±‚ Ê«d²�ô« W�UŠ w� ¨t½√ kŠö½

¨©”®≤‚ U½«d²�ô« W�UŠ w� p�– lOD²½ ô ULMOÐ ªW�—u�« sŽ rKI�« sÝ l�d� WłU(« ÊËœ Ω ” bMŽ

Æ©”®¥‚ ¨©”®

≥‚

©”®¥‚ ¨©”®

≥‚ ¨©”®

≤‚ U½«d²�ô« Ê√ 5Š w� ¨ Ω” bMŽ qB²� ÏÊ«d²�« ©”®

±‚ Ê«d²�ô« Ê≈ ‰uI½

Æ Ω ” bMŽ WKB²� dOž Ë√ WKBHM� U½«d²�«

≥≥

∫n¹dFð

© ®‚ Ω ©”®‚

←

”

X½U� «–≈ jI�Ë «–≈ t�U−� w� Ω” bMŽ ÎöB²� ©”®‚ Ê«d²�ô« ÊuJ¹

∫Ê√ wMF¹ «c¼Ë

∫ÎUF� WO�U²�« WŁö¦�« ◊ËdA�« XII% «–≈ jI�Ë «–≈ Ω ” bMŽ ÎöB²� ÊuJ¹ ©”®‚ Ê«d²�ô«

Ω ” bMŽ ·dF� ©”®‚ ±

…œułu� ©”®‚

←

”

≤

© ®‚ Ω ©”®‚

←

”

≥

¨oÐU�« ©±μ≠±® qJA�« w� ¨©”®¥‚ ¨©”®

≥‚ ¨©”®

≤‚ ¨©”®

±‚ U½«d²�ô« UOM×M� v�≈ Ÿułd�UÐË

∫ Ê√ kŠö½

Æ© ®±‚ Ω ©”®

±‚

← ”

Ê_ Ω ” bMŽ qB²� ©”®±‚ ±

Æ Ω ” bMŽ ·dF� dOž ©”®≤‚ Ê_ p�–Ë Ω ” bMŽ qB²� dOž ©”®

≤‚ ≤

Æ© ®≥‚ ©”®

≥‚

←

”

Ê_ p�–Ë Ω ” bMŽ qB²� dOž ©”®≥‚ ≥

Æ…œułu� dOž ©”®¥‚

←

”

Ê_ p�–Ë Ω ” bMŽ qB²� dOž ©”®¥‚ ¥

©±® ‰U¦�

± ” ¨ ≤”

± ” ¨ ±´”

Ω©”®‚ Ê«d²�ô« ‰UBð« w� Y×Ð«

± Ω ” bMŽ » ∞ Ω ” bMŽ √

∞ Ω ©∞®‚ √

dH� Ω ≤”

∞ ← ”

Ω ©”®‚

∞ ← ”

©∞®‚ Ω ©”®‚

∞ ← ”

Ê√ U0

≥¥

∞ Ω ” bMŽ qB²� ©”®‚ ∴

± Ω ©±®‚ »

≤ Ω ©±´”®´

± ← ”

Ω ©”®‚´

± ← ”

± Ω ≤”

≠± ←

”

Ω ©”®‚≠

± ← ”


± ← ”

⇐

± Ω” bMŽ qB²� dOž ©”®‚ Ê«d²�ô« Ê√ Í√

Æ©±∂≠±® qJA�« w� ©”®‚ Ê«d²�ô« vM×M� dE½«

’

”

≥

≤

±

± ≤ ±≠

©±∂≠±® qJA�«

©≤® ‰U¦�

≤ Ω ” bMŽ

≤ ” ¨ ¥≠

≤”

≤≠”

≤ Ω ” ¨ μ

Ω©”®‚ Ê«d²�ô« ‰UBð« w� Y×Ð«

¥≠≤”

≤≠”≤ ←

”

Ω ©”®‚

≤ ← ”

©≤≠”® ©≤´”®

≤≠”≤ ←

”

Ω

¥ Ω ©≤´”®

≤ ← ”

Ω

μ Ω ©≤®‚

©≤®‚ ©”®‚

≤ ← ”

Ê√ U0Ë

≤ Ω ” bMŽ ©qBHM�® qB²� dOž ©”®‚ ∴

©±∑≠±® qJA�« kŠô

μ

¥

≥

≤

±

± ≤ ≥ ¥

’

”

©±∑≠±® qJA�«

∫WEŠö�

U½bŽ√ «–≈ sJ�Ë Æ©≤®‚ ©”®‚

≤ ← ”

Ê_ ≤ Ω ” bMŽ qB²� dOž ©”®‚ Ê√ oÐU�« ‰U¦*« w� kŠö½

Æ≤ Ω ” bMŽ ÎöB²� `³B¹ ©”®‚ ÊS� ¥ Ω ©≤®‚ `³BO� ≤ Ω ” bMŽ Ê«d²�ô« n¹dFð

≥μ

©≥® ‰U¦�

± ” ¨ ?ł´ ”≤

± ” ¨ ≥´≤”

Ω ©”®‚ Ê«d²�ô« qF& w²�« ?ł WLO� błË√

Æ ± Ω ” bMŽ ÎöB²�

…œułu� ©”®‚

± ← ”

ÊuJð Ê√ V−¹ ¨± Ω ” bMŽ ÎöB²� ©”®‚ Ê«d²�ô« ÊuJ¹ v²Š

Æ©±®‚ ÍËUðË

©±®‚ Ω ©”®‚≠

± ← ”

Ω ©”®‚´

± ← ”

⇐

≤ Ω ?ł UNM�Ë ¨ ?ł ´ ≤ Ω ¥ ∴

‰UBðô« U¹dE½

‰UBð« WÝ«—œ w� U½bŽUð w²�« WO�U²�« U¹dEM�« v�≈ q�u²�« sJ1 WIÐU�« U¹UNM�« U¹dE½ vKŽ œUL²ŽôUÐ

ÆWKB²� Èdš√ U½«d²�« W�ôbÐ W�dF� U½«d²�«

∫©±® W¹dE½

∫ÊS� Ω ” bMŽ 5KB²� 5½«d²�« ©”®?¼ ¨©”®‚ ÊU� «–≈

Ω ” bMŽ qB²� ©”® ©?¼ ´ ‚® ±

Ω ” bMŽ qB²� ©”® ©?¼ ≠ ‚® ≤

Ω ” bMŽ qB²� ©”® ©?¼ Æ ‚® ≥

∋ „ YOŠ Ω ” bMŽ qB²� ©”® ?¼ Æ „ ¥

∞ ≠ © ® ?¼ YOŠ Ω ” bMŽ qB²� ©”® ©‚

?¼ ® μ

«–≈ ∞ < © ®‚ Ê√ ◊dAÐË ¨Vłu� `O×� œbŽ Ê YOŠ Ω ” bMŽ qB²� ©”®‚

Ê

∂

ÆWOłË“ Ê X½U�

©¥® ‰U¦�

≤ Ω ” bMŽ WO�U²�« U½«d²�ô« s� q� ‰UBð« w� Y×Ð« Æ≤ Ω ” bMŽ ÎöB²� ÎU½«d²�« ©”®‚ sJO�

± ≠ ≤” √ Ω ©”®?¼ ?ł

©”®‚

μ ´ ” Ω ©”®‰

» ©”®‚ ´ ≤” Ω ©”®Ÿ √

≥∂

©ø«–U*® ≤ Ω ” bMŽ qB²� ≤” Ê«d²�ô« √

bMŽ 5KB²� 5½«d²�« ŸuL−� t½_ ª≤ Ω ” bMŽ qB²� ©”®‚ ´ ≤” Ω ©”®Ÿ Ê«d²�ô« ∴

ÆUNH½ WDIM�«

©ø«–U*® ≤ Ω ” bMŽ qB²� μ ´ ” Ê«d²�ô« »

bMŽ 5KB²� 5½«d²�« WL� "U½ t½_ ª≤ Ω ” bMŽ qB²�

©”®‚

μ ´ ” Ω ©”®‰ Ê«d²�ô« ∴

∞ ≠ ≤ bMŽ ÂUI*« WLO�Ë ¨UNH½ WDIM�«

©ø«–U*® ≤ Ω ” bMŽ qB²� ± ≠ ≤”

Ê«d²�ô« ?ł

©∂ Ÿd� ©±® W¹dE½® ≤ Ω ” bMŽ qB²� ± ≠ ≤” √ Ω ©”®?¼ Ê«d²�ô« ∴

∫…d²� vKŽ Ê«d²�ô« ‰UBð«

∫n¹dFð

∫ÊuJ¹ ©”®‚ Ê«d²�ô« ÊS� ›»¨ ¤ WIKG*« …d²H�« vKŽ ÎU�dF� ÎU½«d²�« ©”®‚ ÊU� «–≈

Æ© ®‚ Ω ©”®‚´

← ”

X½U� «–≈ Ω ” bMŽ 5LO�« WNł s� ÎöB²� ±

Æ©»®‚ Ω ©”®‚≠

» ← ”

X½U� «–≈ » Ω ” bMŽ —UO�« WNł s� ÎöB²� ≤

∫©±∏≠±® qJA�« w� w�U²�« `O{u²�« kŠô

©”®≤‚

”

’

»

—UO�« WNł s� » Ω ” bMŽ qB²� ©”®≤‚

5LO�« WNł s� Ω ” bMŽ qBHM�Ë

©”®±‚

”

’

»

5LO�« WNł s� Ω ” bMŽ qB²� ©”®±‚

—UO�« WNł s� » Ω ” bMŽ qBHM�Ë

©±∏≠±® qJA�«

≥∑

∫n¹dFð

Æ…d²H�« w� WDI½ q� bMŽ ÎöB²� ÊU� «–≈ ¤»¨ › WŠu²H*« …d²H�« vKŽ ÎöB²� ©”®‚ Ê«d²�ô« ÊuJ¹ ±

…d²H�« w� WDI½ q� bMŽ ÎöB²� ÊU� «–≈ ›»¨ ¤ WIKG*« …d²H�« vKŽ ÎöB²� ©”®‚ Ê«d²�ô« ÊuJ¹ ≤

Æ—UO�« WNł s� » Ω ” bMŽË 5LO�« WNł s� Ω ” bMŽ ÎöB²� ÊU�Ë ¨¤»¨ › WŠu²H*«

∫wK¹ U2 q� W×� s� oI×²�« pMJ1 U½«d²�ô« U¹UN½Ë oÐU�« n¹dF²�« vKŽ œUL²ŽôUÐ

Æ vKŽ ÎöB²� ÊuJ¹ œËb(« dO¦� Ê«d²�ô« ±

ÆÂUI*« —UH�√ «bŽ vKŽ ÎöB²� ÊuJ¹ w³M�« Ê«d²�ô« ≤

Æ vKŽ ÊöB²� ÂUL²�« VOł Ê«d²�«Ë VO'« Ê«d²�« ≥

Æ vKŽ qB²� ¸”¸ Ω ©”®‚ WIKD*« WLOI�« Ê«d²�« ¥

©μ® ‰U¦�

∫WO�U²�« U½«d²�ô« ‰UBð« w� Y×Ð«

μ ´ ≤” Ω ©”®‚ √

±´≤”

¥≠≤”

Ω ©”® ?¼ »

¤ π∞¨∞ › …d²H�« vKŽ ” Uþ Ω ©”®‰ ?ł

Æ ∋ ” rO� lOLł bMŽ qB²� uN� œËbŠ dO¦� Ê«d²�« μ ´ ≤” Ω ©”®‚ √

≤≠Ω”¨≤ Ω” «bŽ ∋” rO� lOLł bMŽ qB²� uN� w³½ Ê«d²�«

±´≤”

¥≠≤”

Ω©”®?¼ »

5KB²� 5½«d²�« WL� Ã—Uš

”Uł

”U²ł Ω ” Uþ Ω ©”®‰ ?ł

©ÂUI*« dH�® π≤

Ω ” «bŽ U� ¤ π∞¨∞ › ∋” rO� lOLł bMŽ qB²� uN�

≥∏

©∂® ‰U¦�

± ≥ ” ≥ ∞ ≤ ´ ”

≤ ≥ ” > ± ≥

Ω ©”®‚ sJO�

Æ›≤¨∞¤ …d²H�« vKŽ ©”®‚ Ê«d²�ô« ‰UBð« w� Y×Ð«

ÆœËbŠ dO¦� t½_ ¤±¨∞› WŠu²H*« …d²H�« vKŽ qB²� ©”®‚ Ê«d²�ô« ∫ÎôË√

ÆœËbŠ dO¦� t½_ ¤≤¨±› WŠu²H*« …d²H�« vKŽ qB²� ©”®‚ Ê«d²�ô« ∫ÎUO½UŁ

∫Ê_ ± Ω ” bMŽ qB²� ©”®‚ Ê«d²�ô« ∫ÎU¦�UŁ

≥ Ω ©±®‚ Ω ©”®‚≠

± ← ”

Ω ©”®‚´

± ← ”

∫Ê_ ª5LO�« WNł s� ∞ Ω ” bMŽ qB²� ©”®‚ Ê«d²�ô« ∫ÎUFÐ«—

≤ Ω ©∞®‚ Ω ©≤´”®´

∞ ← ”

Ω ©”®‚´

∞ ← ”

∫Ê_ ª—UO�« WNł s� ≤ Ω ” bMŽ qB²� ©”®‚ Ê«d²�ô« ∫ÎU�Uš

≥ Ω ©≤®‚ Ω ©”®‚≠

≤ ← ”

›≤ ¨∞¤ vKŽ qB²� ©”®‚ ∴

©∑® ‰U¦�

≤≠ Ω ” ≤

± ≥ ” > ≤≠ ≤”

≤ ≥ ” > ± ” ≠≤

Ω ©”®‚ sJO�

‰UBð« w� Y×Ð« rŁ ©”®‚ vM×M� rÝ—«

Æ›≤¨≤≠¤ …d²H�« vKŽ ©”®‚

Æ©”®‚ Ê«d²�ô« vM×M� ©±π≠±® qJA�« q¦1

¤±¨≤≠› WŠu²H*« …d²H�« vKŽ qB²� ©”®‚ ∫ÎôË√

ÆœËbŠ dO¦� t½_

¤≤[±› WŠu²H*« …d²H�« vKŽ qB²� ©”®‚ ∫ÎUO½UŁ

ÆÎUC¹√ œËbŠ dO¦� t½_

”

¥

≥

≤

±

± ≤

’

≤≠ ±≠

©±π≠±® qJA�«

≥π

∫Ê_ ± Ω ” bMŽ qB²� ©”®‚ ∫ÎU¦�UŁ

± Ω ≤”

≠± ←

”

Ω ©”®‚≠

± ← ”

± Ω ©”≠≤®´

± ← ”

Ω ©”®‚´

± ← ”

± Ω ©±®‚ Ω ©”®‚

± ← ”

∴

∫Ê_ 5LO�« WNł s� ≤≠ Ω ” bMŽ qB²� dOž ©”®‚ ∫ÎUFÐ«—

≤ Ω ©≤≠®‚ ULMOÐ ¥ Ω ≤”

´≤≠ ←

”

Ω ©”®‚´

≤≠ ← ”

©≤≠®‚ ©”®‚´

≤≠ ← ”

Ê√ Í√

∫Ê_ —UO�« s� ≤ Ω ” bMŽ qB²� ©”®‚ ∫ÎU�Uš

∞ Ω ©≤®‚ ∞ Ω ©”≠≤®≠

≤ ← ”

Ω ©”®‚≠

≤ ← ”

©≤®‚ Ω ©”®‚≠

≤ ← ”

Ê√ Í√

›≤ ¨≤≠¤ vKŽ qB²� dOž ©”®‚ ∴

qB²�Ë ¨¤≤ ¨≤≠› ∋ ” rO� lOLł bMŽ qB²� t½_ ›≤ ¨≤≠› vKŽ qB²� ©”®‚ Ê√ kŠô

Æ—UO�« s� ≤ Ω ” bMŽ

©∂≠±® s¹—U9

Æ›≥ ¨±≠¤ vKŽ ©”®‚ Ê«d??²�ô« v??M×M� q??ÐUI*« qJ??A�« q???¦1 ±

∫V³�« d�– l� W¾ÞUš UN¹√Ë W³zU� WO�U²�« «—U³F�« Í√ 5Ð

”

±

± ≤ ≥

’

±≠∞

Æ —UO�« WNł s� ±≠ Ω ” bMŽ qB²� ©”®‚ √

± Ω ” bMŽ qB²� ©”®‚ »

∞ Ω ” bMŽ qB²� dOž ©”®‚ ?ł

≤ Ω ” bMŽ qB²� ©”®‚ œ

Æ›∞ ¨±≠¤ …d²H�« vKŽ qB²� ©”®‚ ?¼

Æ›± ¨∞ › …d²H�« vKŽ qB²� ©”®‚ Ë

Æ¤ ≥ ¨± › …d²H�« vKŽ qB²� ©”®‚ “

ÆU¼bMŽ ÎöB²� `³BO� ± Ω ” bMŽ ©”®‚ n¹dFð sJ1 Õ

ÆU¼bMŽ ÎöB²� `³BO� ∞ Ω ” bMŽ ©”®‚ n¹dFð …œUŽ« sJ1 ◊

¥∞

∫UNM� q� ¡«“≈ WMO³*« ” rO� bMŽ WO�U²�« U½«d²�ô« s� q� ‰UBð« w� Y×Ð« ≤

± Ω ” bMŽ ± ” ¨

±≠≤”

±≠”

± Ω ” ¨ ¥

Ω ©”®‚ √

± Ω ” bMŽ ± ” ¨

¸±≠”¸

±≠”

± Ω ” ¨ μ

Ω ©”®‰ »

∞ Ω ” bMŽ

∞ ≠ ”

” Uł

¸ ”¸

∞ Ω ” ±

Ω ©”®Â ?ł

Æ›≤ ¨∞¤ …d²H�« vKŽ ©”®‚ ‰UBð« w� Y×Ð«

± ” ∞¨ ” ≠≤

≤ ” ±¨ ±

≤ Ω ” ¨ μ

Ω ©”®‚ sJO� ≥

Æ vKŽ ÎöB²� ©”®‚ ÊuJO� » ¨ 5²ÐU¦�« błË√

±≠ ” ´ ≤”

± ” ±≠ ¥ ´”

± ”

”

»´”

Ω ©”®‚ ÊU� «–≈ ¥

± > ” ≥ ≤≠ ≤” ≠≥

≤ ≥ ” > ± ±´ ”

Ω ©”®‚ ÊU� «–≈ μ

Æ ›≤ ¨≤≠¤ …d²H�« vKŽ ©”®‚ Ê«d²�ô« ‰UBð« w� Y×Ð«

∫U¼bMŽ ÎöB²� WO�U²�« U½«d²�ô« s� q� ÊuJ¹ w²�« ” rO� błË√ ∂

” Uł ´ ¸± ≠ ” Ω ©”®‚ ?ł

μ´”

≥´” ≠≤”

Ω ©”®‚ » ”μ ´

±

≤≠”

Ω ©”®‚ √

” Uþ ” Ω ©”®‚ Ë

” ≤Uł ≠ ±

” U²ł

Ω ©”®‚ ?¼ ± ´ ”≤ Ω ©”®‚ œ

∞ Ω ” bMŽ ÎöB²�

∞ ≠ ”

” Uł

” ≤

∞ Ω ”

Ω ©”®‚ Ê«d²�ô« qF& w²�« WLO� błË√ ∑

¥±

(Intermediate Value Theorem) WODÝu�« rOI�« W¹dE½ ∑≠±

WO{U¹— hzUBš WIKG� …d²� vKŽ WKB²*« U½«d²�ö�

ÆbM³�« «c¼ w� UNCFÐ ·dF²½ ·uÝ WLN�

vKŽ qB²*« ©”®‚ Ê«d²�ô« vM×M� ©≤∞≠±® qJA�« q¦1

¨©»®‚ ¨© ®‚ 5Ð lIð ±‰ WLOI�« Æ› » ¨ ¤ W?IKG*« …d²H�«

Æ ±

‰ Ω ©?ł®‚ YOŠ » ¨ 5Ð lIð ?ł Ω ” œułË kŠö½Ë”

’

?ł

± ?ł ≤ ?ł

≥ ?ł »

©»®‚

≤

‰

±

‰

© ®‚

©≤∞≠±® qJA�«

t½√Ë ÎUC¹√ ©»®‚ © ®‚ 5Ð lIð ≤‰ Ê√ kŠö½ p�c�

5Ð UNFOLł lIðË ≥ ?ł¨

≤ ?ł¨

± ?ł w¼ ” ?� rO� ÀöŁ błu¹

≤‰ Ω ©

≥ ?ł®‚ Ω ©

≤ ?ł®‚ Ω ©

± ?ł®‚ YOŠ » ¨

» ¨ 5Ð lIð ” ?� q�_« vKŽ …bŠ«Ë WLO� błuð ©»®‚ ¨ © ®‚ 5Ð lIð ‰ WLO� Í_ t½S� ¨ÂUŽ tłuÐË

vKŽ …bŠ«Ë WDI½ bMŽ ©”®‚ Ê«d²�ô« vM×M� lDI¹ Ê√ bÐô ‰ Ω ’ rOI²*« Ê√ Í√ ª‰ Ω ©”®‚ Ê≈ YO×Ð

∫WO�U²�« W¹dEM�« v�≈ U½œuI¹ «c¼Ë¨¤ » ¨ › ∋ ?ł YOŠ ¨©©?ł®‚ ¨ ?ł® q�_«

∫WODÝu�« rOI�« W¹dE½

lI¹ ‰ q¦� œbŽ Í_ t½S� ©»®‚ ≠ © ®‚ ¨› » ¨ ¤ WIKG*« …d²H�« vKŽ ÎöB²� ©”®‚ Ê«d²�ô« ÊU� «–≈

Æ‰ Ω ©?ł®‚ Ê≈ YO×Ð¨¤ » ¨ › ∋ ?ł q¦� q�_« vKŽ bŠ«Ë œbŽ błu¹ ©»® ‚ ¨© ® ‚ 5Ð

©±® ‰U¦�

Æ ›≥¨±¤ …d²H�« vKŽ ÎU�dF� ”≥≠≥” Ω ©”®‚ Ê«d²�ô« sJO�

≤Ω ©?ł®‚ YO×Ð ¨¤≥¨±› ∋ ?ł œbŽ œułË X³Ł« √

Æ?ł WLO� błË√ »

œËbŠ dO¦� t½_ ›≥¨±¤ vKŽ qB²� Ê«d²�« ”≥ ≠≥” Ω ©”®‚ √

±∏ Ω ©≥®‚ ≤≠ Ω ©±®‚

¤≥¨±› ∋ ?ł błu¹ WODÝu�« rOI�« W¹dE½ VŠ t½S� ±∏¨≤≠ 5Ð lIð ≤ Ω ‰ Ê≈ YOŠË

Æ≤ Ω ©?ł®‚ Ê≈ YO×Ð

¥≤

≤ Ω ©?ł®‚ »

∞ Ω ≤ ≠ ?ł≥ ≠≥?ł ∴

∞ Ω ©± ´ ?ł≤´ ≤?ł® ©≤ ≠ ?ł®

∞ Ω ≤©± ´ ?ł® ©≤ ≠ ?ł®

±≠ ¨ ≤ Ω ?ł ∴

Æ¤≥¨±› …d²HK� wL²Mð ô ±≠ Ê_ ±≠ Ω ?ł i�dðË ≤ Ω ?ł ∴

©≤® ‰U¦�

≤ > ” ≥ ∞ ± ´≤”

≤ Ω ” ≤

¥ ≥ ” > ≤ ≤ ´”

Ω ©”®‚ sJO�

›¥¨∞¤ vKŽ WODÝu�« rOI�« W¹dE½ ◊Ëdý oI×¹ ô ©”®‚ Ê√ 5Ð √

øμ Ω ©?ł®‚ YO×Ð ¤¥¨∞› ∋ ?ł błuð q¼ »

ÆœËbŠ dO¦� t½_ ¤≤¨∞¤ vKŽ qB²� ©”®‚ √

ÆœËbŠ dO¦� t½_ ›¥¨≤› vKŽ qB²� ©”®‚

μ Ω ©± ´ ≤”®

≠ ≤ ←

”

Ω ©”®‚≠

≤ ← ”

¥ Ω ©≤ ´ ”®´

≤ ← ”

Ω ©”®‚´

≤ ← ”

”

∂

μ

¥

≥

≤

±

± ≤ ≥ ¥

’

©≤±≠±® qJA�«


≤ ← ”

∴

≤Ω ” bMŽ qB²� dOž ©”®‚ ∴

›¥¨∞¤ vKŽ qB²� dOž w�U²�UÐË

›¥¨∞¤ vKŽ WODÝu�« rOI�« W¹dE½ ◊Ëdý oI×¹ ô ©”®‚ ⇐

μ Ω ©?ł®‚ »

©±® ÆÆÆÆÆÆ ≤ > ?ł ≥ ∞ μ Ω ± ´ ≤?ł U�≈ ∴

©≤® ÆÆÆÆÆÆ ¥ ≥ ?ł > ≤ μ Ω ≤ ´ ?ł Ë√

≥ Ω ?ł w¼ WO½U¦�« W�œUF*« oI% w²�« ?ł WLO�Ë v�Ë_« W�œUF*« oI% ?ł ?� WLO� błuð ô

Æ©≤±≠±® qJA�« kŠô Æ≥ w¼ WÐuKD*« ?ł WLO� ∴

¥≥

©≥® ‰U¦�

∞ Ω ©?ł®‚ Ê≈ YO×Ð ¤≤ ¨ ± › ∋ ?ł błu¹ t½√ X³ŁQ� ± ≠ ” ≠ ≥” Ω ©”®‚ ÊU� «–≈

ÆœËbŠ dO¦� t½_ ›≤ ¨ ± ¤ vKŽ qB²� Ê«d²�« ©”®‚

μ Ω ©≤®‚ ¨±≠ Ω ©±®‚

μ¨±≠ 5Ð lIð dH� Ω ‰ WLOI�« Ê≈ YOŠË

WODÝu�« rOI�« W¹dE½ VŠ t½S�

ÆdH� Ω ©?ł®‚ Ê≈ YO×Ð ¤≤ ¨ ± › ∋ ?ł błu¹

Æ©≤≤≠±® qJA�« dE½«

’

”

± ≤±≠

©≤≤≠±® qJA�«

∫u½«eKÐ W¹dE½ rÝUÐ ·dFð WODÝu�« rOI�« W¹dE½ s� W�Uš W�UŠ `{u¹ oÐU�« ‰U¦*«

∫u½«eKÐ W¹dE½

¨…—Uýù« w� 5HK²�� ©»® ‚ ¨© ® ‚ ÊU�Ë ¨› » ¨ ¤ vKŽ ÎöB²� ÎU½«d²�« ©”®‚ ÊU� «–≈

Æ∞ Ω ©?ł®‚ Ê≈ YO×Ð ¨¤ » ¨ › ∋ ?ł błu¹ t½S�

©¥® ‰U¦�

∋ ” ¥ ≠ ” ´ ¥” Ω ©”®‚ sJO�

Æt�U−� w� Ê«d²�ö� q�_« vKŽ bŠ«Ë dH� œułË u½«eKÐ W¹dE½ Â«b�²ÝUÐ X³Ł«

Æu½«eKÐ W¹dE½ ◊Ëdý ©”®‚ Ê«d²�ô« UNO� oI×¹ ›≤ ¨ ±¤ sJ²�Ë U� …d²� »d$

∞ > ≤≠ Ω ¥ ≠ ± ´ ± Ω ©±®‚

∞ < ±¥ Ω ¥ ≠ ≤ ´ ±∂ Ω ©≤®‚

…—Uýù« w� ÊUHK²�� ©≤®‚ ¨ ©±®‚ ∴

ÆœËbŠ dO¦� t½_ ›≤ ¨ ±¤ …d²H�« vKŽ qB²� ©”®‚

Æ›≤ ¨ ±¤ …d²H�« vKŽ u½«eKÐ W¹dE½ ◊Ëdý oI×¹ ©”®‚ ∴

Æ¤≤ ¨ ±› …d²H�« w� ©”®‚ Ê«d²�ö� q�_« vKŽ bŠ«Ë dH� błu¹ ∴

Æt�U−� w� q�_« vKŽ bŠ«Ë dH� ©”®‚ Ê«d²�ö� ∴

¥¥

©μ® ‰U¦�

≤ ≥ ” ¨ ¥≠”≥´≤”

≤ < ” ¨ ≤”≥≠

≥”

Ω ©”®‚ sJO�

Æ›¥ ¨ ≥≠¤ …d²H�« vKŽ u½«eKÐ W¹dE½ ◊Ëdý oI% w� Y×Ð« √

øu½«eKÐ W¹dE½ l� W−O²M�« Ác¼ ÷—UF²ð q¼ ∞ Ω © ?ł®‚ YO×Ð ¤¥ ¨ ≥≠› ∋ ?ł bł »

¥≠ Ω ©≤”≥ ≠

≥”®´

≤ ← ”

Ω ©”®‚´

≤ ← ”

√

∂ Ω ©¥ ≠ ”≥ ´ ≤”®

≠ ≤ ←

”

Ω ©”®‚≠

≤ ← ”


≤ ← ”

∴

Æ›¥ ¨ ≥≠¤ …d²H�« vKŽ qB²� dOž uN� ≤ Ω ” bMŽ qB²� dOž ©”®‚ ∴

Æ›¥ ¨ ≥≠¤ …d²H�« vKŽ u½«eKÐ W¹dE½ ◊Ëdý oI×¹ ô ©”®‚ ∴

∞ Ω ©?ł®‚ »

©±® ÆÆÆÆÆ ≤ ≥ ?ł ≥ ≥≠ ∞ Ω ¥ ≠ ?ł≥ ´ ≤?ł U�≈ ∴

©≤® ÆÆÆÆÆ ¥ ≥ ?ł > ≤ ∞ Ω ≤?ł≥ ≠

≥?ł Ë√

¥≠ Ω ?ł i�d½Ë ± Ω ?ł ⇐ ∞Ω ©±≠ ?ł® ©¥´ ?ł® ⇐ ∞ Ω ¥ ≠ ?ł≥ ´ ≤

?ł

∞ Ω ?ł i�d½Ë ≥ ¨ ∞ Ω ?ł ⇐ ∞ Ω ≤?ł≥ ≠

≥?ł

∞ Ω ©?ł®‚ ÊöF& ≥ ¨ ± UL¼ ¤¥ ¨ ≥≠› …d²HK� ÊUOL²Mð ?ł ?� ÊU²LO� błuð ∴

sJ1 ô t½S� u½«eKÐ W¹dE½ ◊Ëdý oI×²ð r� «–≈ t½_ ªu½«eKÐ W¹dE½ l� W−O²M�« Ác¼ ÷—UF²ð ô

Æ ?ł œułË ÂbŽ Ë√ œułuÐ p�– s� Âe'«

nOBM²�« WI¹dÞ …UL�*«WI¹dD�« vKŽ œUL²ŽôUÐ U½«d²�ô« —UH�_ WO³¹dIð rO� œU−¹≈ w u½«eKÐ W¹dE½ Âb�²�ð

∫w�U²�« ‰U¦*« w W×{u*«

¥μ

©∂® ‰U¦�

≥ ¨ ≤ 5Ð ¥≠” ≠≤” Ω ©”®‚ Ê«d²�ö� q�_« vKŽ bŠ«Ë dH� błu¹ t½√ 5Ð

ÆnOBM²�« WI¹dÞ Â«b�²ÝUÐ t� W¦�UŁ WO³¹dIð WLO� błË√ rŁ

œËbŠ dO¦� t½_ ›≥ ¨ ≤ ¤ vKŽ qB²� Ê«d²�« ¥ ≠” ≠≤” Ω ©”®‚

…—Uýù« w� ÊU²HK²�� ≤ Ω ©≥®‚ ¨ ≤≠ Ω ©≤®‚

∞ Ω ©?ł®‚ YOŠ ¤ ≥ ¨ ≤ › ∋ ?ł błu¹ u½«eKÐ W¹dE½ VŠ ∴

≤[μ Ω ≤

≥ ´ ≤ Ω

±?ł wÐU(« jÝu�« —U²�½

±?ł v�Ë√ WO³¹dIð WLO� œU−¹ù

∫Ê«d²�ô« dHB� ≤ ?ł WO½UŁ W³¹dIð WLO� œU−¹ù

dH� > ∞[≤μ≠ Ω ¥ ≠ ≤[μ ≠≤ ©≤[μ® Ω ©≤[μ®‚ V×½

vKŽ u½«eKÐ W¹dE½ oO³Dð sJ1 «c� ª©≥®‚ …—U??ý≈ sŽ nK²�ð ©≤[μ®‚ …—U??ý≈ Ê√ kŠö½

Æ›≥¨≤[μ ¤ …d²H�«

≤[∑μ Ω ≤

≥ ´ ≤[μ Ω

≤ ?ł —U²�½Ë ¤≥¨≤[μ› ∋ Ê«d²�ô« dH� ∴

∫≥

?ł W¦�UŁ WO³¹dIð WLO� œU−¹ùË

∞ < ∞[∏±≤μ Ω ¥≠ ≤[∑μ≠ ≤©≤[∑μ® Ω ©≤[∑μ®‚ V×½

Æ …—Uýù« w� ©≤[μ®‚ sŽ nK²�ðË

›≤[∑μ ¨ ≤[μ¤ …d²H�« vKŽ u½«eKÐ W¹dE½ oI×²ð ∴

¤≤[∑μ ¨ ≤[μ› ∋ ≥ ?ł Ê«d²�ô« dH� ∴

≤[∂≤μ Ω ≤

≤[∑μ ´ ≤[μ Ω

≥ ?ł Y�U¦�« V¹dI²�« ÊuJ¹Ë

©∑≠±® s¹—U9

Æμ Ω ©?ł®‚ Ê≈ YO×Ð ¤ ≥¨± › ∋ ?ł błu¹ t½√ sOÐ ¨›≥¨±¤ …d²H�« vKŽ ÎU�dF� ±∞´”∏≠≥”Ω©”®‚ ÊU� «–≈ ±

ø∏ Ω ©?ł®‚ YO×Ð ¤ ≥¨≤ › ∋ ?ł błu¹ qN� ¨”≠≥”Ω ©”®‚ ÊU� «–≈ ≤

›≤¨±¤ WIKG*« …d²H�« vKŽ ·dF*« μ≠≥”Ω©”®‚ Ê«d²�ô« dHB� W¦�UŁ WO³¹dIð WLO� œU−¹ù u½«eKÐ W¹dE½ Âb�²Ý« ≥

Æ¤≤¨±› WŠu²H*« …d²H�« w� ≤ √ Ω œbFK� W¦�UŁ WO³¹dIð WLO� œU−¹ù u½«eKÐ W¹dE½ Âb�²Ý« ¥

Æ©›≤¨±¤ …d²H�« vKŽ ÎU�dF� ¨ ≤ ≠ ≤” Ω ©”®‚ Ê«d²�ô« Âb�²Ý« ∫œUý—«®

Æq�_« vKŽ Î«bŠ«Ë ÎöŠ ” Ω ” U²ł W�œUFLK� Ê√ 5Ð μ

Æ¤¥¨¥≠› …d²H�« w� WHK²�� —Ëcł WŁöŁ ∞ Ω ± ´ ”±μ ≠≥” W�œUFLK� Ê√ 5Ð ∂

ø ¤≤¨≤≠› …d²H�« w� ± ≠ ”¥ ≠ ≥” Ω ©”®‚ Ê«d²�ö�

ÏdH� błu¹ q¼ ∑

¥∂

W�UŽ s¹—U9

∫wK¹ ULO� W×O×B�« WÐUłù« e�— ‰uŠ …dz«œ l{ ±

Ω ”

≤ ≠ ¥´” √

∞ ← ”

±

¥ œ ¥

± ?ł ∞ » dH� √

Ω ”

” U²ł

π ← ”

≤

∞ œ

π±

?ł

π±≠

» π ≠ √

Ω ∑≠”≤

¸ ”¥¸

∞≠ ← ”

≥

∞≠ œ ∞ ?ł ≤≠ » ≤ √

Ω ” bMŽ qB²� ›∞[∑ ´ ”¤ Ω ©”®‚ Ê«d²�ô« ¥

∞[∑≠ œ ±[≥ ?ł ∞[≥ » dH� √

∫w¼ ÎULz«œ ÎöB²�

≤ ≥ ” ≤≠ ≤”

≤ < ” ”

Ω ©”®‚ Ê«d²�ô« qF& w²�« WLO� μ

±≠ œ ≤ ?ł ± » dH� √

Ω ”≠≤”

π≠≤”

≥ ← ”

∂

…œułu� dOž œ ≥≠ ?ł ≥ » dH� √

Ω ”≤

≤Uł

”≤Uł

∞ ← ”

∑

¥ œ ¥

± ?ł ≤ »

≤

± √

Ω ∏´”∂≠

≤”

”≤≠≤”

∞ ← ”

∏

dH� œ ± ?ł ±≠ » ≤≠ √

¥∑

Ω ≤´”

¸ ≤´”¸

´

≤≠ ← ”

π

∞ œ dH� ?ł ±≠ » ± √

Ω ±¥≠”μ´

≤”

∂´”μ≠≤”

≤ ← ”

±∞

π

± ≠ œ

π

± ?ł ±≠ » ± √

©”®‚ Ω ’ Ê«d²�ô« vM×M� q¦1 qÐUI*« qJA�« ♦

∫±≥ v�« ±± s� WK¾Ý_« sŽ WÐUłù« w� p�– vKŽ bL²Ž«

≥

≤

±

± ≤ ≥

’

±≠

”

Ω ©”®‚´

≤ ← ”

±±

≥ œ ≤ ?ł ± » dH� √

Ω ©”®‚≠

≤ ← ”

±≤

≥ œ ≤ ?ł ± » dH� √

Ω ©”®‚

≤ ← ”

±≥

…œułu� dOž œ ≥ ?ł ≤ » ± √

Ω ±≠

≥”

±´”μ

∞≠ ← ”

±¥

∞ œ dH� ?ł μ≠ » μ √

Ω ±´”¥

≤”≤≠∂

∞ ≠ ← ”

±μ

∞ ≠ œ ∞ ?ł ≤

± ≠ » dH� √

∫…d²H�« w� Î«dH� ©”®‚ Ê«d²�ö� Ê√ b�R*« sL� ≥≠”≤´≤”≠

μ” Ω ©”®‚ ÊU� «–≈ ±∂

¤±≠ ¨ ≤≠› œ ¤∞ ¨ ±≠› ?ł ¤≤ ¨ ±› » ¤± ¨ ∞› √

¥∏

Ω ©¸”¸

± ≠

”

±

®∞ ≠ ←

”

±∑

…œułu� dOž œ ∞ ≠ ?ł ∞ » dH� √

Ω ©≤”±∞∞ ≠

≥”≤®

∞≠ ← ”

±∏

…œułu� dOž œ ∞ ≠ ?ł ∞ » dH� √

Ω ”≤Uþ

”Uł

∞ ← ”

±π

…œułu� dOž œ ≤

± ≠ ?ł

≤

± » dH� √

Ω ©≥®‚ ÊS� ≤≤ Ω ©©”® ‚≤´∏®

≥ ← ”

X½U�Ë ¨ÎöB²� ©”®‚ ÊU� «–≈ ≤∞

dH� œ ± ?ł ∑ » ±¥ √

∫WO�U²�« U¹UNM�« s� Ìq� WLO� błË√ ≤

∑ ≠ ”

≤ ≠ ±´”

≥√

∑ ← ”

?ł

π ≠ ”

π

±

≠

”

±

π ← ”

»

¥´” √

± ≠ ”

± ← ”

√

”μ Uþ ”≥ Uł

”¥ Uł ”≤

∞ ← ”

Ë

”≤ U²� ”

∞ ← ”

?¼ ”≤

©” Uł® Uþ

∞ ← ”

œ

± ≠ ≥”

± ´ ≤”μ

∞ ← ”

◊ ± ≠ ”μ

≤”≤ ≠ ∂

∞≠ ← ”

Õ

μ ≠

≤”≤

≤”≤

∞ ← ”

“

∫błËQ� ¨ ∂ Ω ©”®?¼

≤ ← ”

¨¥ Ω ©”®‚

≤ ← ”

X½U� «–≈ ≥

©∏ ≠ ≤” ´ ©±´”®‚®

± ← ”

» ©”®?¼

≤” ´ ©”®‚

≤ ← ”

√

≥ ≥ ” ± ´ ”≤

μ > ” > ≥ » ´ ”

μ ≤ ” ≤ ´ ≤”

Ω ©”®‚ sJO� ¥

ÆWOIOI(« ” rO� qJ� ÎöB²� ©”®‚ Ê«d²�ô« qF& w²�« »¨ rO� błË√

¥π

±∞ Ω ©?ł®‚ Ê≈ YO×Ð ∋ ?ł błu¹ t½√ X³Ł√ Æ ”´≤”≠

≥” Ω ©”®‚ sJO� μ

” Ω ©”®?¼ ¨ ± ≠ ”μ Ω ©”®‚ sJO� ∂

©?ł®?¼ Ω ©?ł®‚ Ê≈ YO×Ð ¤± ¨ ∞› ∋ ?ł błu¹ t½√ X³Ł√

∞ ≠ ” ”≥

”≤ Uþ

∞ Ω ” ?ł

Ω ©”®‚ ÊU� «–≈ ∑

∞ Ω ” bMŽ ÎöB²� ©”®‚ Ê«d²�ô« qF& w²�« ?ł WLO� błË√

błË√ rŁ ª∑ Ω ©?ł®‚ Ê≈ YO×Ð ¤≤¨±› ∋ ?ł błu¹ t½√ X³ŁQ� ¨›≤¨±¤ ∋” ¨”´≥” Ω ©”®‚ ÊU� «–≈ ∏

Æ?ł œbFK� WO½UŁ WO³¹dIð WLO�

∞ Ω ” bMŽ ›”¤ ≤” Ω ©”®Â Ê«d²�ô« ‰UBð« w� Y×Ð« π

¨ ¥ Ω ©μ®‚ ¨ ±≠ Ω ©¥®‚ ¨ ≤ Ω ©≥®‚ ¨ ±≠ Ω ©∞®‚ ÊU�Ë ›μ¨∞¤ …d²H�« vKŽ ÎöB²� ©”®‚ ÊU� «–≈ ±∞

ø¤μ¨∞› …d²H�« w� U¼œułuÐ Âe'« pMJ1 w²�« ©”®‚ Ê«d²�ô« —UH�√ s� œbŽ q�√ u¼ UL�

t½√ X³ŁQ� ¨›±¨∞¤ ∋ ” ∀ ¨ ± > ©”®‚ > ∞ ÊU�Ë ›±¨∞¤ …d²H�« vKŽ ÎöB²� ÎU½«d²�« ©”®‚ ÊU� «–≈ ±±

Æ?ł Ω ©?ł®‚ Ê≈ YO×Ð ¤±¨∞› ∋ ?ł błu¹

Æ© ›±¨∞¤ …d²H�« vKŽ ” ≠ ©”®‚ Ω ©”®?¼ Ê«d²�ô« ·ÒdŽ ∫œUý—« ®

μ∞

μ±

q????{UH²�« »U????�Š ≤

…b???????Šu???????�«

±” ”

μ≤

∫bON9

p�–Ë ¨w½U*_« eM³¹ôË ¨ÍeOK$ô« sðuO½ 5*UF�« s� Ìq� b¹ vKŽ dAŽ lÐU��« ÊdI�« w� q{UH²�« rKŽ √bÐ

WO½U¦�«Ë ¨tOKŽ WDI½ bMŽ vM×M� Í_ ”UL*UÐ oKF²ðË WOÝbM¼ v�Ë_« ∫5²OÝUÝ√ 5²�Q�� qŠ ULN²�ËU×� bMŽ

v�≈ 5²�Q�*« qŠ UNOKŽ ÂuI¹ w²�« W�d²A*« …dJH�« œ√ b�Ë Æ„d×²� r�' WOE×K�« WŽd��UÐ oKF²ðË WOzU¹eO�

ÂuKF�« lOLł w� dB% œUJðô UIO³Dð UN� błË w²�« v�Ë_« WI²A*« u¼Ë ô√ ¨rŽ√Ë qLý√ w{U¹— ÂuNH�

ÂeK¹ WI²A*« ÂuNH� .bI²�Ë Æt� …eO2 WH� dOG²�« ÊuJ¹ ‰U−� q� w�Ë ¨W¹œUB²�ô«Ë ¨WOzU¹eOH�«Ë ¨WOÝbMN�«

ÆdOG²�« jÝu²� ÂuNH� vKŽ ÎôË√ ·dF²�«

(Average Rate of Change) d??OG²�« j??Ýu²� ±≠≤

ªlÐU²�« dOG²*« ©’® dšü« vL�¹Ë ¨qI²�*« dOG²*« ©”® UL¼bŠ√ vL�¹ ’ ¨” s¹dOG²� 5Ð W�öŽ Ê«d²�ô«

Æ’ dOG²LK� jI� …bŠ«Ë WLO� ” dOG²*« rO� s� WLO� qJ� 5F²ð YO×Ð

¨ ≤

” v�« ±

” s� ” tO� dOGðË ¨ÎU½«d²�« ©”®‚ Ω ’ ÊU� «–≈

Æ©≤

”®‚ Ω≤

’ v�« ©±

”®‚ Ω±

’ s� dOG²ð ’ WLO� ÊS�

©” U²�œ ∫√dIÔ¹Ë® ”Δ e�d�UÐ ≤” v�≈

±” s� ” w� dOG²K� e�d¹

±” ≠≤

” Ω ”Δ ∫Ê√ Í√

∫Ê√ Í√ ©’ U²�œ ∫√dIÔ¹Ë® ’Δ e�d�UÐ ’ w� dOG²K� e�d¹ t½S� q¦*UÐË

©±”®‚≠©≤

”®‚ Ω±

’ ≠≤

’ Ω ©”®‚ Δ Ω ’Δ

Æ©±≠≤® qJA�« kŠô

’

”

±”

≤”

©≤’ ¨

≤”

®

©±’ ¨

±”

®

”Δ

’Δ

©”®‚ Ω ’

©±≠≤® qJA�«

©±® ‰U¦�

∫” dOG²ð U�bMŽ ©”®‚ Ω ’ w� dOG²�« błËQ� ¨μ≠”≥´ ≤” Ω ©”®‚ Ω ’ ÊU� «–≈

¥Ω≤

” v�≈ ± Ω±

” s� √

μ≠Ω≤

” v�≈ ≥ Ω±

” s� »

≥≠ Ω ”Δ YO×Ð ≤

” v�≈ ≤ Ω±

” s� ?ł

©±®‚ ≠ ©¥®‚ Ω ’Δ √

μ≥

≤¥ Ω ©±≠® ≠≤≥ Ω

©≥®‚ ≠ ©μ≠®‚ Ω ’Δ »

∏≠ Ω ±≥≠μ Ω

”Δ ´ ±” Ω

≤” ?ł

±≠ Ω ≥≠ ´ ≤ Ω

©±”®‚ ≠ ©≤

”®‚ Ω ’Δ ⇐

©≤®‚≠©±≠®‚ Ω

±≤≠ Ωμ ≠∑≠ Ω

dOG²�« jÝu²� ∫n¹dFð

W³�M�UÐ Ê«d²�ô« dOGð jÝu²� ÊS� ¨”Δ ´±” Ω ≤

” v�≈ ±” s� ” dOGðË ¨ÎU½«d²�« ©”®‚ Ω ’ ÊU� «–≈

ÆÎ«dH� ÍËU�¹ ô ” w� dOG²�« Ê√ ◊dAÐ ¨” w� dOG²�« v�≈ ’ w� dOG²�« 5Ð W³�M�« t½QÐ ·dF¹ ” ?�

∞ ≠ ”Δ ¨

©±”®‚ ≠ ©”Δ´±

”®‚

”Δ

Ω ”Δ

’Δ Ω dOG²�« jÝu²� Ê√ Í√

jÝu²� ÊS� ©≤≠≤® qJA�« w� 5³*« Ê«d²�ô« u¼ ©”®‚ Ω ’ ÊU� «–S�

UNK¦1Ë ¨ ”Δ

’Δ W³�M�« u¼

≤” ¨±

” 5Ð ” ?� W³�M�UÐ ©”®‚ w� dOG²�«

∫5²DIM�« w� Ê«d²�ô« vM×M* lÞUI�« » rOI²�*« qO�

©©≤

”®‚ ¨≤”® » ¨©©±

”®‚¨±”®

Æ©≤≠≤® qJA�« dE½«

’

”

±”

≤”

»

”Δ

’Δ

?ł

?¼

?¼©©±

”®‚ ¨±

”®

©©≤”

®‚ ¨≤”

®

©≤≠≤® qJA�«

©≤® ‰U¦�

” ?� W³�M�UÐ ©”®‚ w� dOG²�« jÝu²� błËQ� ¨μ≠”´≤”Ω©”®‚ ÊU� «–≈

Æ¥ v�≈ ± s� ” dOG²ð U�bMŽ

©±®‚≠©¥®‚

±≠¥

Ω dOG²�« jÝu²�

∂ Ω ©≥≠®≠±μ

≥

Ω

μ¥

©≥® ‰U¦�

≤ ≥ ” ¥´”≥

≤ < ” ”≥´≤”

Ω ©”®‚ sJO�

∫WO�U²�« ôU(« w� ©”®‚ dOGð jÝu²� błË√ √

Æμ v�≈ ≤ s� ” dOG²ð U�bMŽ ±

±≠ v�≈ ≤ s� ” dOG²ð U�bMŽ ≤

?¼ ´ ≤ v�≈ ≤ s� ” dOG²ð U�bMŽ ≥

Æ≤ ¨± 5L�I�« w� pÐ«uł W×� s� b�Q²K� ©≥® r�� w� UNO�≈ XK�uð w²�« …bŽUI�« Âb�²Ý« »

≤ ≠ μ

©≤®‚ ≠ ©μ®‚ Ω dOG²�« jÝu²� ± √

±∞Ω ©¥´∂® ≠ ©±μ´≤μ®

≥

Ω

©≤®‚ ≠ ©±≠®‚

≤≠±≠

Ω dOG²�« jÝu²� ≤

≥ Ω ©¥´∂®≠©¥´≥≠®

≥≠ Ω

±∞ ≠ ©?¼´≤®‚

?¼ Ω

©≤®‚ ≠ ©?¼´≤®‚

≤≠?¼´≤ Ω dOG²�« jÝu²� ≥

∫5²�UŠ d³²F½

∫ ∞ < ?¼ U�bMŽ √

±∞≠ ?¼≥´∂´≤?¼ ´ ?¼¥´¥

?¼ Ω

±∞≠ ©?¼´≤®≥´≤©?¼´≤®

?¼ Ω dOG²�« jÝu²�

∞ ≠ ?¼ ?¼ ´∑ Ω ?¼

©?¼´∑®?¼ Ω

?¼

≤?¼´?¼∑

Ω

∫ ∞ > ?¼ U�bMŽ »

?¼

©±∞® ≠¥ ´ ©?¼´≤®≥ Ω dOG²�« jÝu²�

∞ ≠ ?¼ ≥ Ω ?¼

?¼≥ Ω

∞ < ?¼ ?¼ ´ ∑

∞ > ?¼ ≥

Ω ”Δ

’Δ dOG²�« jÝu²� ∴

μμ

±∞ Ω ≥ ´ ∑ Ω dOG²�« jÝu²� ÊuJ¹ p�c�Ë ª∞ < ≥Ω ?¼ ÊuJð μ v�≈ ≤ s� ” dOG²ð U�bMŽ »

Æ≥ Ω dOG²�« jÝu²� ÊuJ¹ p�c� ª ∞ > ≥≠ Ω ?¼ ÊuJð ±≠ v�≈ ≤ s� ” dOG²ð U�bMŽË

Æ≤ ¨± 5L�I�« w� 5²ÐUłù« l� ÊU²−O²M�« oÐUD²ð Ê–≈

©¥® ‰U¦�

©”®‚ Ω ’ Ê«d²�ô« vM×M� ©≥≠≤® qJA�« q¦1

∫©”®‚ w� dOG²�« jÝu²� bł

» Ω ” Ω ” 5Ð √

œ Ω ” ?ł Ω ” 5Ð »

’

”

»

?ł

Ÿ

œ

‰

º±μ∞

©≥≠≤® qJA�«

» Ω ” ¨ Ω ” 5Ð dOG²�« jÝu²� √

≥

±≠ Ω

Ú ±μ∞Uþ Ω Ÿ ‰ lÞUI�« qO� Ω

ÆdH� Ω UMO��« —u×� qO� Ω œ ?ł lÞUI�« qO� ÍËU�ð œ Ω ” ¨ ?ł Ω ” 5Ð dOG²�« jÝu²� »

©μ® ‰U¦�

vDF¹ j)« vKŽ t²ÐUŁ WDI½ sŽ —U²�_UÐ · ÁbFÐ Ê≈ YO×Ð rOI²�� jš vKŽ r�ł „d×²¹

w� s�eK� W³�M�UÐ · w� dOG²�« jÝu²� bł Æw½«u¦�UÐ Ê ¨Êμ´≤Ê Ω ©Ê®‚ Ω · …bŽUI�UÐ

Æ› ≥ ¨ ± ¤ WOM�e�« …d²H�«

ÊΔ·Δ

Ω Ê ?� W³�M�UÐ · w� dOG²�« jÝu²�

±≠≥

©±®‚ ≠ ©≥®‚ Ω

ÀØÂ π Ω ≤

±∏ Ω

≤

©μ´±®≠©±μ´π® Ω

Ær�−K� WDÝu²*« WŽd��« ÊΔ·Δ

dOG²�« jÝu²� vL�¹ ∫WEŠö�

μ∂

©±≠≤® s¹—U9

∫©”®‚ Ê«d²�ô« w� dOG²�« WLO� błËQ� μ´” ≠≤” Ω©”®‚ ÊU� «–≈ ±

Æ≥ v�≈ ± s� ” dOG²ð U�bMŽ √

Æ?¼´± v�≈ ± s� ” dOG²ð U�bMŽ »

Æ©√® ŸdH�« w� pÐ«uł W×� s� b�Q²K� ©»® ŸdH�« w� UNO�≈ XK�uð w²�« …bŽUI�« Âb�²Ý« ?ł

Æπ ≥ Ω ≤” ¨

≤

π Ω

±” 5Ð ©”®?¼ w� dOG²�« jÝu²� błËQ� ¨”U²ł ≥≠”Uł Ω ©”®?¼ ÊU� «–≈ ≤

±≠ ≥ ” μ´”≥

±≠ < ” ¥´”≥´≤”

Ω©”®‚ Ê«d²�ô« w� dOG²�« jÝu²� bł ≥

Æ≤ Ω ” ¨±≠ Ω ” 5Ð ©”®‚ w� dOG²�« jÝu²� œU−¹ù "UM�« Âb�²Ý« rŁ¨”Δ´±≠ Ω ” ¨±≠ Ω ” 5Ð

ø» WLO� UL� ¨ ≥

± ÎU¹ËU�� » Ω ” ¨≤ Ω ” 5Ð ±´”¥ Ω ©”®‚ w� dOG²�« jÝu²� ÊU� «–≈ ¥

dOG²�« jÝu²� błËQ� ¨μ ÎU¹ËU�� π Ω≤

” v�≈ ±Ω±

” s� ” dOG²ð U�bMŽ ©”®‚ w� dOG²�« jÝu²� ÊU� «–≈ μ

Æ≤ Ω ” ¨ ≤≠ Ω ” 5Ð ©μ´”≤®‚≤” Ω ©”®‰ Ê«d²�ô« w�

s�e�« Ê ¨—U²�_UÐ UNFDI¹ w²�« W�U�*« · YOŠ¨Ê≤´≥Ê Ω · W�öF�« o�Ë rOI²�� jš vKŽ r�ł „d×²¹ ∂

Æ› μ ¨ ≤ ¤ WOM�e�« …d²H�« w� r�'« «cN� WDÝu²*« WŽd��« bł Æw½«u¦�UÐ

±” s� ” dOG²ð U�bMŽ W�UŠ q� w� q¦L*« Ê«d²�ô« dOGð jÝu²� błË√ ¨WO�U²�« WO½UO³�« ‰UJýô« vKŽ œUL²ŽôUÐ ∑

Æ≤” v�≈

©”®‰

”

±

≤ Ω

±” ≤

±

≤ Ω

≤”

©”®‰ Ω ’

μ

¥

≥

≤

±

’

”

≤Ω±” ¥Ω

≤”

º≥∞

©”®?¼ Ω ’

≥

≤

±

’

”

±Ω±” ≥Ω≤

”

©”®‚ Ω ’

≥

≤

±

©?ł® ©»® ©√®

›≤”¨±

”¤ …d²H�« w� ©”®‰ Ê«d²�ô« w� dOG²�« jÝu²� Ê√ X³ŁU�¨©”®?¼ ´ ©”®‚ Ω ©”®‰ ÊU� «–≈ ∏

ÆUNð«– …d²H�« w� ©”®?¼ Ê«d²�ô« w� dOG²�« jÝu²� ´ ©”®‚ Ê«d²�ô« w� dOG²�« jÝu²� ÍËU�¹

μ∑

First Derivative v�Ë_« WI²A*« ≤≠≤

∫t½QÐ ¨”Δ´±

” v�≈ ±

” s� ” dOG²ð U�bMŽ ¨©”®‚ Ω ’ Ê«d²�ô« w� dOG²�« jÝu²� UM�]dŽ Ê√ o³Ý

∞ ≠ ”Δ ¨ ”Δ

©±”®‚ ≠ ©”Δ´±

”®‚ Ω

”Δ

’Δ

«c¼ ÊS� ¨dHB�« s� »d²Ið ”Δ UMKFłË ¨W²ÐUŁ ±” XOIÐ «–S� ”Δ ¨±

” vKŽ t²LO� n�u²ð —«bI� «c¼Ë

Æ±” Ω ” bMŽ Ê«d²�ö� v�Ë_« WI²A*« Ë√ Ê«d²�ô« dOGð ‰bF� vL�ð WMOF� W¹UN½ t� ÊuJð b� —«bI*«

∫n¹dFð

e�d�UÐ t� e�d½Ë ¨t�U−� w� ±” Ω ” bMŽ ©”®‚ Ê«d²�ö� v�Ë_« WI²A*« Ë√ Ê«d²�ô« dOGð ‰bF� ·dF¹

∫t½QÐ ¨©±”®Ó‚

ÆW¹UNM�« œułË ◊dAÐ ¨ ?¼

©±”®‚ ≠ ©?¼´±

”®‚

∞ ← ?¼

Ω ©±”®Ó‚

∫UC¹√ w�U²�« u×M�« vKŽ v�Ë_« WI²A*« Ë√ Ê«d²�ô« dOGð ‰bF� WÐU²� sJ1Ë

±” ≠ ”

©±”®‚ ≠ ©”®‚

±

” ← ”

Ω ©±”®Ó‚

»«d²�UÐ t½√ ©¥≠≤® qJA�« s� kŠö½ WOÝbMN�« WOŠUM�« s�Ë

dOG²�« ‰bF� v�≈ ©lÞUI�« qO�® dOG²�« jÝu²� ‰ËR¹ ±” s� ”

Æ±” bMŽ ©”UL*« qO�®

”

±” ”

lÞU�

’

”U2

©¥≠≤® qJA�«

μ∏

©±® ‰U¦�

Æ©μ®Ó‚ n¹dF²�« Â«b�²ÝUÐ błËQ� ≤≠”≥´≤”Ω©”®‚ ÊU� «–≈

?¼

©μ®‚ ≠ ©?¼´μ®‚

∞ ← ?¼

Ω ©μ® Ó‚

?¼

©≤≠±μ´≤μ®≠©≤≠©?¼´μ®≥´≤©?¼´μ®®

∞ ← ?¼

Ω

?¼

≥∏≠≤≠?¼≥´±μ´≤?¼´?¼±∞´≤μ

∞ ← ?¼

Ω

±≥ Ω ?¼

©?¼´±≥®?¼

∞ ← ?¼

Ω ?¼

≤?¼´?¼±≥

∞ ← ?¼

Ω

©≤® ‰U¦�

Æ©∂®Ó‚ n¹dF²�« Â«b�²ÝUÐ błËQ� ≥≠”≤ Ω ©”®‚ ÊU� «–≈

∂ ≠ ”

©∂®‚ ≠ ©”®‚

∂ ← ”

Ω ©∂® Ó‚

∂ ≠ ”

≥ ≠ ≥≠”≤

∂ ← ”

Ω

ÂUI*«Ë j�³�« s� Ìq� »dCÐ®

≥ ´ ≥≠”≤

≥ ´ ≥≠”≤ ×

∂ ≠ ”

≥ ≠ ≥≠”≤

∂ ← ”

Ω

©j�³�« o�«d� w�

©≥ ´ ≥≠”≤ ® ©∂≠”®

π≠ ≥ ≠ ”≤

∂ ← ”

Ω

©≥ ´ ≥≠”≤ ® ©∂≠”®

©∂ ≠ ”®≤

∂ ← ”

Ω

≥

± Ω

∂

≤ Ω

≥ ´ ≥≠”≤

≤

∂ ← ”

Ω

μπ

∫WEŠö�

bŠQÐ ÎUC¹√ UN� e�d¹ ¨© ® Ó‚ Í√ ¨ Ω ” bMŽ ©”®‚ Ê«d²�ö� v�Ë_« WI²A*« ÊS� ©”®‚ Ω ’ ÊU� «–≈

∫WO�U²�« “u�d�«

Ω ” bMŽ Ó’ ¨

” œ

’ œ

Ω ”

¸ ¨

Ω ”

¸©©”® ‚®

” œ

œ

©≥® ‰U¦�

Æ” œ

’ œ

¥ Ω ”

¸ n¹dF²�« Â«b�²ÝUÐ błËQ� ¨

±≠”≥

≥´”≤ Ω ©”®‚ Ω’ X½U� «–≈

¥ ≠ ”

©¥®‚ ≠ ©”®‚

¥ ← ”

Ω ” œ

’ œ

¥ Ω ”

¸

¥ ≠ ”

± ≠

± ≠ ”≥

≥ ´ ”≤

¥ ← ”

Ω

¥ ≠ ”

©± ≠ ”≥

±´”≥≠≥´”≤ ®

¥ ← ”

Ω

±±

± ≠ Ω

¥ ≠ ”

± ×

± ≠ ”≥

©¥ ≠ ”®≠

¥ ← ”

Ω

∫—U�O�« s�Ë 5LO�« s� WI²A*«

©”®‚ Ω ’ Ê«d²�ö� ©vMLO�« WI²A*«® 5LO�« s� WI²A*« ·=dF½ ¨—U�O�« s� W¹UNM�«Ë 5LO�« s� W¹UNM�« UM�

]dŽ ULK¦�

∫UN½QÐ ´© ® Ó‚ e�d�UÐ UN� e�d¹Ë ¨t�U−� w� WF�«u�« Ω ” bMŽ

≠ ”

© ®‚ ≠ ©”®‚

´ ←

”

Ω ´© ® Ó‚ W¾�UJ� …—uBÐ Ë√

?¼

© ®‚ ≠ ©?¼´ ®‚

´∞ ← ?¼

Ω ´© ® Ó‚

e�d�UÐ UN� e�d¹Ë ¨t�U−� w� Ω ” bMŽ ©”®‚ Ω ’ Ê«d²�ö� ©Èd�O�« WI²A*«® —U�O�« s� WI²A*« ·dFð q¦*UÐË

≠ ”

© ®‚ ≠ ©”®‚

≠ ←

”

Ω ≠© ® Ó‚ W¾�UJ� …—uBÐ Ë√

?¼

© ®‚ ≠ ©?¼´ ®‚

≠∞ ← ?¼

Ω ≠© ® Ó‚ ∫UN½QÐ

≠© ® Ó‚

Æ≠© ® Ó‚ Ω

´© ® Ó‚ X½U� «–≈ jI�Ë «–≈ Ω ” bMŽ ‚UI²ýö� ÎöÐU� ©”®‚ Ê«d²�ô« ÊuJ¹Ë

Æ» ¨ sO�dD�« bMŽ ‚UI²ýö� ÎöÐU� ÊuJ¹ ö� ›» ¨ ¤ WIKG*« …d²H�« vKŽ ·dF*« ©”®‚ Ê«d²�ô« U Ò�√

∂∞

©¥® ‰U¦�

± ≥ ” ”μ ´ ≤”

± < ” ≤ ´ ”¥

Ω ©”®‚ ÊU� «–≈

©±® Ó‚ » ©≤® Ó‚ √ ∫n¹dF²�« Â«b�²ÝUÐ błËQ�

¨≤ œbF�« —«uł w� ” rO� lOL' ≤ ´ ”¥ Ω ©”®‚ Ê√ U0 √

≤ ≠ ”

©≤®‚ ≠ ©”®‚

≤ ← ”

Ω ©≤® Ó‚ ∴

≤ ≠ ”

©≤ ´ ∏® ≠ ©≤ ´ ”¥®

≤ ← ”

Ω

≤ ≠ ”

∏ ≠ ”¥

≤ ← ”

Ω

¥

≤ ← ”

Ω

≤ ≠ ”

©≤ ≠ ”®¥

≤ ← ”

Ω

¥ Ω

± ≠ ”

©±®‚ ≠ ©”®‚

± ← ”

Ω ©±® Ó‚ »

± Ω ” —«uł w� dOG²ð ©”®‚ Ê«d²�ô« …bŽU� Ê√ U0

± Ω ” bMŽ Èd�O�«Ë vMLO�« WI²A*« »U�Š v�≈ Q−K½ UM½S�

± ≠ ”

∂ ≠ ”μ ´ ≤”

≠ ± ←

”

Ω ± ≠ ”

©±®‚ ≠ ©”®‚

≠ ± ←

”

Ω ≠©±® Ó‚ ∫ÎôË√

∑ Ω

± ≠ ”

©∂ ´ ”® ©± ≠ ”®

≠ ± ←

”

Ω

± ≠ ”

©±®‚ ≠ ©”®‚

´ ± ←

”

Ω ´©±® Ó‚ ∫ÎUO½UŁ

± ≠ ”

¥ ≠ ”¥

´ ± ←

”

Ω

± ≠ ”

©μ ´ ±® ≠ ©≤ ´ ”¥®

´ ± ←

”

Ω

¥ Ω

± ≠ ”

©± ≠ ”®¥

´ ± ←

”

Ω

Ê«d²�ô« Ê≈ W�U(« Ác¼ q¦� w� ‰uI½Æ …œułu� dOž ©±® Ó‚ Ê–≈ ´©±® Ó‚ ≠

≠©±® Ó‚ Ê√ U0Ë

Æ± Ω ” bMŽ ‚UI²ýö� qÐU� dOž ©”®‚

∂±

∫©v�Ë_« WI²A*« Ê«d²«® o²A*« Ê«d²ô«

Y×³MÝ wK¹ ULO�Ë Æt�U−� w� Ω ” …œb×� WDI½ bMŽ ©”®‚ Ê«d²�ô« WI²A� œU−¹« WOHO� WIÐU��« WK¦�_« w� UMÝ—œ

Æ©”®Ó‚ o²A*« Ê«d²�ô« vL�¹ dš¬ Ê«d²�« vKŽ qB×M� ¨t�U−� w� ” WDI½ q� bMŽ ©”®‚ Ê«d²�ô« WI²A� w�

∫n¹dFð

∫t½QÐ ©”®‚ Ê«d²�ö� ©”®Ó‚ o²A*« Ê«d²�ô« ·dF¹

?¼

©”®‚ ≠ ©?¼´”®‚

∞ ← ?¼

Ω ©”®Ó‚

ÆW¹UNM�« œułË ◊dAÐ ¨ ” ≠ Ÿ

©”®‚ ≠ ©Ÿ®‚

” ← Ÿ

Ω ©”®Ó‚ ∫Ë√

Æ©”®‚ ‰U−� s� WOzeł WŽuL−� ÎULz«œ ÊuJ¹ ©”®Ó‚ ‰U−� Ê√ n¹dF²�« s� kŠö¹

©μ® ‰U¦�

Æ©”®Ó‚ błËQ� ¨ μ ≠ ”≥ ´ ≤” Ω ©”®‚ ÊU� «–≈

” ≠ Ÿ

©”®‚ ≠ ©Ÿ®‚

” ← Ÿ

Ω ©”®Ó‚

” ≠ Ÿ

©μ ≠ ”≥ ´ ≤”® ≠ ©μ ≠ Ÿ ≥ ´

≤Ÿ®

” ← Ÿ

Ω

” ≠ Ÿ

©”≥ ≠ Ÿ ≥ ® ´ ©≤” ≠

≤Ÿ®

” ← Ÿ

Ω

” ≠ Ÿ

©” ≠ Ÿ ®≥ ´ ©” ´ Ÿ® ©” ≠ Ÿ®

” ← Ÿ

Ω

” ≠ Ÿ

©≥ ´ ” ´ Ÿ ® ©” ≠ Ÿ®

” ← Ÿ

Ω

©≥ ´ ” ´ Ÿ®

” ← Ÿ

Ω

≥ ´ ”≤ Ω ≥ ´ ” ´ ” Ω

≥ ´ ”≤ Ω ©”®Ó‚ Ê√ Í√

∂≤

©∂® ‰U¦�

Æt�U−� 5ŽË ©”®Ó‚ błËQ� ¨ ∞ ≤ ” ¨ ” √ Ω ©”®‚ ÊU� «–≈

” ≠ Ÿ

©”®‚ ≠ ©Ÿ®‚

” ← Ÿ

Ω ©”®Ó‚

” ≠ Ÿ

” √ ≠

Ÿ √

” ← Ÿ

Ω

” √ ´

Ÿ √

” √ ´

Ÿ √

× © ” ≠ Ÿ

” √ ≠

Ÿ √

® ” ← Ÿ

Ω

© ” √ ´

Ÿ √® ©” ≠ Ÿ ®

©” ≠ Ÿ ®

” ← Ÿ

Ω

” √ ≤

± Ω

” √ ´

Ÿ √

±

” ← Ÿ

Ω

” √ ≤

± Ω ©”®Ó‚ ∴

ÆW³łu*« WOIOI(« œ«bŽ_« lOLł u¼ ©”®Ó‚ ‰U−�

©∑® ‰U¦�

Æ©”®Ó‚ błË√

± > ” ≥ ±≠ ≤”

≥ ≥ ” ≥ ± ≤ ≠ ”≥

Ω ©”®‚ ÊU� «–≈

∫ ¤±¨±≠› WŠu²H*« …d²H�« vKŽ ‚UI²ýô« ∫ÎôË√

∫ÊuJ¹ ¨ ¤±¨±≠› ∋ ” ∀

” ≠ Ÿ

≤” ≠ ≤Ÿ

” ← Ÿ

Ω ” ≠ Ÿ

©”®‚ ≠ ©Ÿ®‚

” ← Ÿ

Ω ©”®Ó‚

”≤ Ω ©” ´ Ÿ ®

” ← Ÿ

Ω ” ≠ Ÿ

©” ´ Ÿ® ©” ≠ Ÿ®

” ← Ÿ

Ω

∂≥

∫ ¤ ≥¨± › WŠu²H*« …d²H�« vKŽ ‚UI²ýô« ∫ÎUO½UŁ

∫ÊuJ¹ ¨ ¤ ≥¨± › ∋ ” ∀

” ≠ Ÿ

©”®‚ ≠ ©Ÿ®‚

” ← Ÿ

Ω ©”®Ó‚

” ≠ Ÿ

”≥ ≠ Ÿ ≥

” ← Ÿ

Ω ” ≠ Ÿ

©≤≠”≥® ≠ ©≤ ≠ Ÿ ≥®

” ← Ÿ

Ω

≥ Ω

” ≠ Ÿ

©” ≠ Ÿ ®≥

” ← Ÿ

Ω

± Ω ” YOŠ Ê«d²�ô« n¹dFð dOGð WDI½ bMŽ ‚UI²ýô« ∫ÎU¦�UŁ

± ≠ ”

©±®‚ ≠ ©”®‚

´ ± ←

”

Ω ´

©±® Ó‚

± ≠ ”

©≤ ≠ ± × ≥® ≠ ©≤ ≠ ”≥®

´ ± ←

”

Ω

≥ Ω ≥ ´

± ← ”

Ω

± ≠ ”

≥ ≠ ”≥

´ ± ←

”

Ω

± ≠ ”

©±®‚ ≠ ©”®‚

≠ ± ←

”

Ω ≠

©±® Ó‚

± ≠ ”

©≤ ≠ ± × ≥® ≠ ≤”

≠ ± ←

”

Ω

≤ Ω ©± ´ ”® ´

± ← ”

Ω

± ≠ ”

± ≠ ≤”

´ ± ←

”

Ω

≠

©±® Ó‚ ≠ ´

©±® Ó‚ Ê√ U0Ë

Æ…œułu� dOž ©±® Ó‚ ∴

ÊU²O�dÞ ÊU²DI½ UL¼ ≥ Ω ” ¨ ±≠ Ω ” Ê_ ª…œułu� dOž ©≥®Ó‚ p�c�Ë ¨…œułu� dOž ©±≠®Ó‚ ∫ÎUFÐ«—

± > ” > ±≠ ”≤

≥ > ” > ± ≥

≥¨±¨±≠ Ω ” …œułu� dOž

Ω ©”®Ó‚ ∴

∂¥

©∏® ‰U¦�

?¼≥

©≥®‚ ≠ ©?¼μ´≥®‚

∞ ← ?¼

błËQ� ¨ ±≤ Ω ©≥® Ó‚ X½U� «–«

∞ ← Ë ÊS� ∞ ← ?¼ U�bMŽË ¨ μ

Ë Ω ?¼ ÊuJ²� Ë Ω ?¼ μ Ê√ ÷dH½

μ

Ë

× ≥

©≥®‚ ≠ ©Ë´≥®‚

∞ ← Ë

Ω ?¼≥

©≥®‚ ≠ ©?¼μ´≥®‚

∞ ← ?¼

∴

Ë

©≥®‚ ≠ ©Ë´≥®‚

∞ ← Ë

≥

μ Ω

≤∞ Ω ±≤ × ≥

μ Ω ©≥® Ó‚ ×

≥

μ Ω

©π® ‰U¦�

¥ ≠ ”

©±≤®‚ ≠ ©”≥®‚

¥ ← ”

błËQ� μ Ω ©±≤®Ó‚ ¨∑ Ω ©¥® Ó‚ Ê√ XLKŽ «–≈

±≤ ← Ÿ ÊS� ¥ ← ” U�bMŽË ¨ ≥

Ÿ

Ω ” ÊuJ²� Ÿ Ω ”≥ Ê√ ÷dH½

¥ ≠

≥

Ÿ

©±≤®‚ ≠ ©Ÿ®‚

±≤ ← Ÿ

Ω ¥ ≠ ”

©±≤®‚ ≠ ©”≥®‚

¥ ← ”

∴

±≤ ≠ Ÿ

©±≤®‚ ≠ ©Ÿ®‚

±≤ ← Ÿ

× ≥ Ω

©±≤® Ó‚ × ≥ Ω

±μ Ω μ × ≥ Ω

∂μ

©≤≠≤® s¹—U9

∫ W�öF�UÐ …UDF� ”Δ´≤ v�≈ ≤s� ” dOGð sŽ W&UM�« ’Δ X½U�Ë ©”®‚ Ω ’ X½U� «–≈ ±

Æ≤ Ω ” bMŽ

’œ

”œ błËQ�

≤©”Δ®≤ ´ ”Δ∂ Ω’Δ

∫UNM� q� ¡«“≈ …—u�c*« WDIM�« bMŽ © błË Ê≈® WOðü« U½«d²�ô« s� q� WI²A� bł ¨WI²A*« n¹dFð Â«b�²ÝUÐ ≤

± Ω ” ≤

” ´ ” Ω ©”®‚ » ≤ Ω ” ¨ ≥´”μ≠

≤” Ω ©”®‚ √

± Ω”

± ≥ ”¨ ”¥´≤”

± < ” ¨ ≥≠ ”∏

Ω ©”®‰ œ ¥ Ω ” ¨ ∏≠”≤¸Ω’ ?ł

ÆUN�U−� 5Ž rŁ ©”®Ó‚ n¹dF²�« Â«b�²ÝUÐ błËQ� ”≥´μ √ Ω ©”®‚ ÊU� «–≈ ≥

∫s� Ìq� WLO� błËQ� ≤¥ Ω ©≥® Ó‚ X½U� «–≈ ¥

Ë∂

©≥®‚ ≠ ©Ë≤ ´ ≥®‚

∞ ← Ë

√

Æ©j�³K� ©≥®‚ ÕdÞ«Ë n{√ ∫œUý—≈® Ë±≤

©Ë ≠ ≥ ®‚ ≠ ©Ëμ ´ ≥®‚

∞ ← Ë

»

Æ ∏ ≠ ”≤

©μ®‚ ≠ ©∑ ≠ ”≥®‚

¥ ← ”

błËQ� ≥ Ω ©μ® Ó‚ X½U� «–≈ μ

Æ©±≠® Ó ?¼ WI²A*« n¹dFð Â«b�²ÝUÐ błËQ� ¨ ©μ ´ ”≤®‚≥ Ω ©”®?¼ ÊU�Ë ¨∂ Ω ©≥® Ó‚ Ê√ XLKŽ «–≈ ∂

≥ > ” ”μ´≤”

≥ Ω ” ≤¥

≥ < ” ≥ ≠ ”π

Ω ©”®‚ ÊU� «–≈ ∑

Æ©”®Ó‚ œ ©≥® Ó‚ ?ł ©≥® Ó‚ » ≠©≥® Ó‚ √ ∫błËQ�

‰uD� W³�M�UÐ UN²ŠU�� dOGð ‰bF� V�Š« ÆUNKJAÐ WEH²×� vI³ð YO×Ð qJA�« WFÐd� W×OH� œbL²ð ∏

ÆrÝ ≤∞ lKC�« ‰uÞ ÊuJ¹ U�bMŽ UNFK{

∂∂

(Rules of Differentiation) ‚UI²ýô« bŽ«u ≥≠≤

WI²A*« Ác¼ vKŽ ‰uB(« qON�²�Ë ¨U� Ê«d²�ô v�Ë_« WI²A*« œU−¹« w� WI²A*« n¹dFð ÎUIÐUÝ Âb�²�½ UM�

∫WO�U²�« bŽ«uI�« Â«b�²Ý« UMMJ1

∫©±® …bŽU

∋”∀ ∞ Ω ©”®Ó‚ ÊS� ¨XÐUŁ ?ł YOŠ ¨ ?ł Ω ©”®‚ ÊU� «–≈

∫ÊU¼d³�«

?ł ≠ ?ł

?¼ ∞ ← ?¼

Ω

©”®‚≠©?¼´”®‚

?¼ ∞ ← ?¼

Ω ©”®Ó‚

∞ Ω ∞

∞ ← ?¼

Ω

∞

?¼ ∞ ← ?¼

Ω

©±® ‰U¦�

Æ©≥®Ó‚ ¨ ©”®Ó‚ błËQ� ±μ √ Ω ©”®‚ ÊU� «–≈

∋” rO� lOL' ∞ Ω ©”®Ó‚

∞ Ω ©≥® Ó‚ ∴

∫©≤® …bŽU

±≠Ê”Ê Ω ©”®Ó‚ ÊS� ™◊ ∋Ê ¨

Ê” Ω ©”®‚ ÊU� «–≈

∫ÊU¼d³�«

” ≠ Ÿ

©”®‚ ≠ ©Ÿ®‚

” ←

Ÿ

Ω ©”®Ó‚

” ≠ Ÿ

Ê” ≠ ÊŸ

” ←

Ÿ

Ω

©≤∞ W×H� rOLF²�« dE½«® ±≠Ê”Ê Ω

∂∑

©≤® ‰U¦�

Æ©≤≠®Ó‚ ¨ ©”®Ó‚ błËQ� ¨ μ” Ω ©”®‚ ÊU� «–≈

∋” rO� lOL' ¨ ¥”μ Ω ©”®Ó‚

∏∞ Ω ¥©≤≠® × μ Ω ©≤≠®Ó‚ ∴

∫©≥® …bŽU

∫ÊS� ∋ ?ł X½U�Ë ¨ ” bMŽ ‚UI²ýö� ÎöÐU� ÎU½«d²�« ©”®?¼ ¨ ©”®‚ s� q� ÊU� «–≈

Æ©”®Ó‚ × ?ł Ω ©”®Ó„ ÊuJ¹Ë¨ ” bMŽ ‚UI²ýö� qÐU� ©”®‚ × ?ł Ω ©”®„ ±

Æ©”® Ó ?¼ ´ ©”®Ó‚ Ω ©”®ÓŸ ÊuJ¹Ë ” bMŽ ‚UI²ýö� qÐU� ©”®?¼ ´ ©”®‚ Ω ©”®Ÿ ≤

Æ©”® Ó ?¼ ≠ ©”®Ó‚ Ω©”®Ó‰ ÊuJ¹Ë ” bMŽ ‚UI²ýö� qÐU� ©”®?¼ ≠ ©”®‚ Ω ©”®‰ ≥

∫ÊU¼d³�«

Ë

©”®„ ≠ ©Ë ´ ”®„

∞ ← Ë

Ω ©”®Ó„ ±

Ë

©”®‚ ?ł ≠ ©Ë ´ ”®‚ ?ł

∞ ← Ë

Ω

Æ©”®Ó‚ ?ł Ω Ë

©”®‚ ≠ ©Ë ´ ”®‚

∞ ← Ë

?ł Ω

Ë

©”®Ÿ ≠ ©Ë ´ ”®Ÿ

∞ ← Ë

Ω ©”®ÓŸ ≤

Ë

©©”®?¼ ´ ©”®‚® ≠ ©©Ë ´ ”®?¼ ´ ©Ë ´ ”®‚®

∞ ← Ë

Ω

Ë

©©”®?¼ ≠ ©Ë ´ ”®?¼® ´ ©©”®‚ ≠ ©Ë ´ ”®‚®

∞ ← Ë

Ω

Ë

©”®?¼ ≠ ©Ë ´ ”®?¼

∞ ← Ë

´ Ë

©”®‚ ≠ ©Ë ´ ”®‚

∞ ← Ë

Ω

Æ»uKD*« u¼Ë ©”® Ó ?¼ ´ ©”®Ó‚ Ω

ÆV�UDK� ÊU¼d³�« „d²¹ ≥

∂∏

©≥® ‰U¦�

Æ©≤®Ó‚ błËQ� ≤” ´

≥”μ Ω ©”®‚ ÊU� «–≈

”≤ ´ ≤”±μ Ω ”≤ ´

≤”≥ × μ Ω ©”®Ó‚

∂¥ Ω ≤ × ≤ ´ ≤©≤® × ±μ Ω ©≤® Ó‚ ∴

∫rOLFð

∫t½√ Í√ ‚UI²ýö� 5KÐU� 5½«d²�« s� d¦�√ qLA²� ©≥® …bŽU� rOLFð sJ1

¨ ” bMŽ ‚UI²ýö� WKÐU� U½«d²�« ©”®Ê ‚ ¨ÆÆÆ ¨©”®

≤‚ ¨ ©”®

±‚ X½U� «–≈

∫ÊS� ∋ Ê

?ł ¨ ÆÆÆ¨≤

?ł¨±

?ł X½U�Ë

Æ©”®ÊÓ‚

Ê ?ł ∓ÆÆÆ∓ ©”®

≤Ó‚

≤ ?ł ∓ ©”®

±Ó‚

± ?ł Ω

Ó

©©”®Ê ‚

Ê ?ł ∓ÆÆÆ∓ ©”®

≤‚

≤ ?ł ∓ ©”®

±‚ ±

?ł®

∫’Uš ÌtłuÐË

‚UI²ýö� qÐU� ©”®‚ ÊS� ¨œËbŠ dO¦� ÎU½«d²�« ∞

´ ”±

´ ÆÆÆ ´ ±≠Ê”

±≠Ê ´

Ê”Ê

Ω ©”®‚ ÊU� «–≈

±

´ ÆÆÆ ´ ≤≠Ê” ©±≠Ê® ×

±≠Ê ´

±≠Ê”Ê × Ê

Ω ©”®Ó‚ ÊuJ¹Ë ¨ ∋”∀

©¥® ‰U¦�

Æ©”® ?Ó ?¼ błËQ� ±± ´ ”μ ≠≤”¥ ´

≥”≥ ≠ ¥”≤ Ω ©”® ?¼ ÊU� «–≈

μ ≠ ”∏ ´ ≤”π ≠

≥”∏ Ω ©”® ?Ó ?¼

©μ® ‰U¦�

± Ω ©≤® ?Ó ?¼ ¨μ Ω ©≤®?¼ ¨©”®?¼≥´©”®‚ Ω ©”®‰ ÊU�Ë ¨”≥´≤” Ω ©”®‚ ÊU� «–≈

Æ©≤®Ó‰ błËQ�

©”® ?Ó ?¼≥ ´ ©”®Ó‚ Ω ©”®Ó‰

©”® ?Ó ?¼≥ ´ ©≥ ´ ”≤® Ω

©≤® ?Ó ?¼≥ ´ ©≥ ´ ≤ × ≤® Ω ©≤®Ó‰ ⇐

±∞ Ω ± × ≥ ´ ∑ Ω

∂π

∫©¥® …bŽU

∫sO½«d²« »d{ q�UŠ WI²A�

∫ÊS� ©”®?¼ × ©”®‚ Ω ©”®‰ ÊU�Ë ¨” bMŽ ‚UI²ýö� ÎöÐU� ÎU½«d²�« ©”®?¼ ¨©”®‚ s� yq� ÊU� «–≈

Æ©”®Ó‚ × ©”®?¼ ´ ©”® Ó ?¼ × ©”®‚ Ω ©”®Ó‰ ÊuJ¹Ë ¨” bMŽ ‚UI²ýö� qÐU� ©”®‰

∫ÊU¼d³�«

Ë

©”®‰ ≠ ©Ë ´ ”®‰

∞ ← Ë

Ω ©”®Ó‰

Ë

©”®?¼ × ©”®‚ ≠ ©Ë ´ ”®?¼ × ©Ë ´ ”®‚

∞ ← Ë

Ω

Ë

©”®?¼ ©”®‚ ≠ ©”®?¼ ©Ë ´ ”®‚ ´ ©”®?¼ ©Ë ´ ”®‚ ≠ ©Ë ´ ”®?¼ ©Ë ´ ”®‚

∞ ← Ë

Ω

©j�³�« w� ©”

®?¼ ©Ë

´ ”®‚ —«bI*« ÕdÞË W�U{UÐ®

Ë

©©”®‚ ≠ ©Ë ´ ”®‚® ©”®?¼ ´ ©©”®?¼ ≠ ©Ë ´ ”®?¼® ©Ë ´ ”®‚

∞ ← Ë

Ω

Ë

©”®‚ ≠ ©Ë ´ ”®‚

©”®?¼

∞ ← Ë

´ Ë

©”®?¼ ≠ ©Ë ´ ”®?¼

©Ë ´ ”®‚

∞ ← Ë

Ω

Æ»uKD*« u¼Ë ©”®Ó‚ × ©”®?¼ ´ ©”® Ó ?¼ × ©”®‚ Ω

‰Ë_« WI²A� × w½U¦�« ´ w½U¦�« WI²A� × ‰Ë_« Ω ‚UI²ýö� 5KÐU� 5½«d²�« »d{ q�UŠ WI²A� Ê√ Í√

©∂® ‰U¦�

Æ ” œ

’ œ

błËQ� ¨©¥´”≥®©±≠”μ´≤”® Ω ’ X½U� «–≈

©μ´”≤® ©¥´”≥® ´ ≥ × ©±≠”μ´≤”® Ω

” œ

’ œ

≤∞´”≤≥´ ≤”∂ ´ ≥≠”±μ´

≤”≥ Ω

±∑´”≥∏´≤”π Ω

∑∞

¥≠”±∑´≤”±π´

≥”≥Ω ’ ÊuJð dýU³*« »dC�UÐ t½√ kŠô

Æ5²−O²M�« oÐUDð kŠô ±∑´”≥∏´≤”π Ω

” œ

’ œ

UNM�Ë

©∑® ‰U¦�

Æ©±®Ó‚ błËQ� ©≥≠”´≤”≠

≥”≤®©±´”¥≠≤”≤´

≥”® Ω ©”®‚ ÊU� «–≈

©¥≠”¥´≤”≥®©≥≠”´

≤” ≠≥”≤®´©±´”≤≠

≤”∂®©±´”¥≠≤”≤´

≥”® Ω ©”®Ó‚

∫vKŽ qB×½ ± Ω ” i¹uF²ÐË

≥≠ Ω ≥ × ±≠ ´ μ × dH� Ω ©±® Ó‚

©∏® ‰U¦�

Æ¥ Ω ©≤®?¼ ¨μ Ω ©≤® Ó ?¼ ÊQÐ ÎULKŽ ©≤®Ó‚ błËQ� ¨©”®?¼×©±±≠”μ´≤”®Ω©”®‚ ÊU� «–≈

©μ´”≤® × ©”®?¼ ´ ©”® Ó ?¼×©±±≠”μ´≤”® Ω ©”®Ó‚

π × ©≤®?¼ ´ ©≤® Ó ?¼ × ≥ Ω ©≤® Ó‚ ⇐

∫Z²M¹ i¹uF²�UÐ

μ± Ω π ×¥ ´ μ × ≥ Ω ©≤® Ó‚

∫Ê«d²« »uKI� WI²A� ∫©μ® …bŽU

∫ÊS� ” bMŽ ‚UI²ýö� ÎöÐU� ©”®‚ ÊU�Ë ¨∞ ≠ ©”®‚ ¨

©”®‚

± Ω ©”®‰ ÊU� «–≈

≤©©”®‚®

©”

®Ó‚≠ Ω ©”® Ó‰ ÊuJ¹Ë ” bMŽ ‚UI²ýö� qÐU� ©”®‰

∫ÊU¼d³�«

?¼

©”®‰ ≠ ©?¼ ´ ”®‰

∞ ← ?¼

Ω ©”®Ó‰

© ©”®‚ © ?¼ ´ ”®‚

©?¼´”®‚ ≠ ©”®‚

® ?¼

±

∞ ← ?¼

Ω © ©”®‚

± ≠

© ?¼ ´ ”®‚

±

® ?¼

±

∞ ← ?¼

Ω

∑±

©©”®‚ © ?¼ ´ ”®‚

± ×

?¼

©©”®‚≠©?¼´”®‚®±≠

®∞ ← ?¼

Ω

©”®‚ © ?¼ ´ ”®‚

±

∞ ← ?¼

× ?¼

©©”®‚≠©?¼´”®‚®

∞ ← ?¼

±≠ Ω

≤©©”®‚®

©”

®Ó‚≠ Ω

≤©©”®‚®

± × ©”®Ó‚ × ±≠ Ω

∫sO½«d²« WL� ZðU½ WI²A� ∫©∂® …bŽU

∫ÊS� ∞ ≠ ©”®?¼ ¨” bMŽ ‚UI²ýö� ÎöÐU� ©”®?¼ ¨©”®‚ s� q� ÊU� «–≈

≤©©”®?¼®

©”® Ó ?¼ ©”®‚ ≠ ©”®Ó‚©”®?¼ Ω ©”®Ó‰ ÊuJ¹Ë ” bMŽ ‚UI²ýö� qÐU�

©”®?¼

©”

®‚ Ω©”®‰

∫ÊU¼d³�«

∞ ≠ ©”®?¼ ©”®?¼

± × ©”®‚ Ω

©”®?¼

©”

®‚ Ω ©”®‰

” bMŽ ‚UI²ýö� ÊöÐU� ©”®?¼

± ¨©”®‚ Ê√ U0Ë

∫ÊuJ¹Ë ” bMŽ ‚UI²ýö� qÐU� ©”®‰ Ê«d²�ô« u¼Ë »dC�« q�UŠ ∴

©”®?¼

± × ©”®Ó‚ ´

≤©©”®?¼®

©”

® Ó ?¼≠ × ©”®‚ Ω ©”®Ó‰

©”®?¼

©”®Ó‚ ´

≤©©”®?¼®

©”® Ó ?¼ ©”®‚≠ Ω

≤©©”®?¼®

©”® Ó ?¼ × ©”®‚ ≠ ©”®Ó‚ × ©”®?¼ Ω

≤©©”®?¼®

©”® ?¼ × ©”®Ó‚ ´ ©”® Ó ?¼ × ©”®‚≠ Ω

≤©ÂUIL�«®

ÂUIL�« WI²A� × j�³�« ≠ j�³�« WI²A� × ÂUIL�«

Ω ‚UI²ýö� 5KÐU� 5½«d²�« WL�� "U½ WI²A� Ê√ Í√

©π® ‰U¦�

Æ©”®Ó‚ błËQ� ¨ ≤

μ ≠ ” ¨

μ≠ ”≤

± ´ ”≥ Ω ©”®‚ ÊU� «–≈

≤

μ ≠ ” ¨

≤©μ ≠ ”≤®

±∑≠ Ω

≤©μ ≠ ”≤®

≤ × ©± ´ ”≥® ≠ ≥ × ©μ ≠ ”≤® Ω ©”®Ó‚

∑≤

©±∞® ‰U¦�

∫ÊQÐ ÎULKŽ ©≥® Ó ?¼ błËQ� μ

∂≠ ≠ ” ¨

∂ ´ ”μ

©”®‚ Ω ©”®?¼ ÊU� «–≈

∑

± Ω ©≥® Ó‚ ¨ ±μ Ω ©≥®‚

≤©∂ ´ ”μ®

μ × ©”®‚ ≠ ©”®Ó‚ × ©∂ ´ ”μ® Ω ©”® Ó ?¼

©±® ÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆ ≤©≤±®

μ × ©≥®‚ ≠ ©≥® Ó‚ ≤± Ω ©≥® Ó ?¼ ⇐

∫Ê√ Z²M¹ ©±® w� i¹uF²�UÐ

¥π

∏≠ Ω

¥¥±

∑≤≠ Ω

≤©≤±®

μ × ±μ ≠

∑

±

× ≤±

Ω ©≥® Ó ?¼

∫W−O²½

±≠Ê≠” Ê≠ Ω ” œ

’ œ ∫ÊS�

™◊ ∋ Ê ∫

Ê≠” Ω ’ X½U� «–≈

ÆW³�U��« W×O×B�« fÝ_« W�UŠ w� ÎUC¹√ o³DMð W³łu*« W×O×B�« fÝ_« W�UŠ w� ‚UI²ýô« …bŽU� Ê√ Í√

∫ÊU¼d³�«

™◊ ∋ Ê ¨

Ê”

± Ω

Ê≠” Ω ’

±≠Ê≠”Ê≠ Ω Ê≤≠±≠Ê”Ê≠ Ω

Ê≤”

±≠Ê”Ê≠ Ω

” œ

’ œ

©±±® ‰U¦�

Æ©≤®Ó‚ błËQ� ≥≠” Ω ©”®‚ ÊU� «–≈

¥”

≥≠ Ω

¥≠”≥≠ Ω ©”®Ó‚

±∂

≥≠ Ω

¥≤

≥≠ Ω ©≤® Ó‚ ⇐

∑≥

©±≤® ‰U¦�

Æ©”®Ó‚ błËQ� ∞ ≠ ” ¨ ≤”

¥ ´

”≤

μ Ω ©”®‚ ÊU� «–≈

∞ ≠ ” ≤≠”¥ ´

±≠” ≤

μ Ω ©”®‚

≥≠”≤≠ × ¥ ´

≤≠”±≠ × ≤

μ Ω ©”®Ó‚ ⇐

≥”

± × ∏ ≠

≤”

± ×

≤

μ≠ Ω

≥”

∏ ≠

≤”≤

μ≠ Ω

∫UOKF�« UI²A*«

Ê«d²�ö� o²A*« Ê«d²�ô« vL�¹ dš¬ ÎU½«d²�« q¦9 ©”®Ó‚ WI²A*« ÊS� ¨‚UI²ýö� ÎöÐU� ÎU½«d²�« ©”®‚ Ω ’ ÊU� «–≈

WI²A*« vL�ð © ” œ

’ œ ®

” œ

œ Í√ o²A*« Ê«d²�ö� v�Ë_« WI²A*«Ë Æ©”®‚ Ê«d²�ö� v�Ë_« WI²A*« Ë√ ©”®‚

e�d¹ q¦*UÐË Æ©”®Î‚ Ë√ ¨©lOÐdð ” ‰«œ ’ 5MŁ« ‰«œ √dIðË® ≤” œ

’≤œ

e�d�UÐ UN� e�d¹Ë ¨©”®‚ Ê«d²�ö� WO½U¦�«

Æ©”®©≥®

‚ Ë√ ≥” œ

’≥œ

Ë√ © ≤” œ

’≤œ

® ” œ

œ e�d�UÐ ©”®‚ Ê«d²�ö� W¦�U¦�« WI²ALK�

Ê” œ

’Êœ

Ë√ ©”® ©Ê®

‚ e�d�UÐ UN� e�d¹ w²�«Ë ¨©”®‚ Ω ’ Ê«d²�ö� WO½uM�« WI²A*« ·dF½ UM½S� ¨ÂUŽ tłuÐË

Æ © ±≠Ê” œ

’±≠Ê

œ ®

” œ

œ UN½QÐ

©±≥® ‰U¦�

Æ ≤ ´ ”μ ´ ≥”≤ ≠

¥” Ω ’ Ê«d²�ö� W¦�U¦�«Ë WO½U¦�«Ë v�Ë_« WI²A*« bł

μ ´ ≤”∂ ≠

≥”¥ Ω ” œ

’ œ

”±≤≠≤”±≤ Ω ©μ´

≤”∂≠≥”¥®

” œ

œ Ω

≤” œ

’≤œ

±≤ ≠ ”≤¥ Ω ©”±≤ ≠ ≤”±≤®

” œ

œ Ω

≥” œ

’≥œ

∑¥

©≥≠≤® s¹—U9

∫WO�U²�« U½«d²�ô« s� q� WI²A� bł ±

©¥´≤”® ©≤´”≥® Ω©”® ?ł » ≥≠ ”μ ´

≤”≤ ≠≥” Ω©”®‚ √

∑ ≠ Ê∂´

≥Ê

≥ ≠

¥Ê

μ

¥

Ω · œ ≥´”μ´≤”¥≠

≥” ≤

≥

Ω ’ ?ł

± ≠ ”≥

μ ´ ”≤ Ω ©”® ?¼ Ë ©∏´”≥≠

≤”®”≤ Ω ©”®‚ ?¼

± ≠ ”≤

≥ ≠ ”

©≤´”≥® Ω ©”®Â Õ

©μ´”≥® ©±´”≤® ©±´”® Ω ©”®‰ “

∫błËQ� ± Ω ©≥® Ó ?¼ ¨μ Ω ©≥® Ó‚ ¨ ≥ Ω ©≥® ?¼ ¨≤≠ Ω ©≥®‚ ÊU� «–≈ ≤

≥ Ω ”

¸ ©©”®‚ × ≤”® ” œ

œ » ©≥® Ó©©”®?¼≥´ ©”®‚≤® √

≥ Ω ”

¸ ©©”®?¼μ

©”®‚≥ ®

” œ

œ œ

≥ Ω ”

¸ ©©”®?¼

≤ ®

” œ

œ ?ł

Æ» ¨ 5²ÐU¦�« błËQ� ¨ ∑Ω ©±® Ó‚ Ω ©±®‚ ÊU�Ë ≤´” »´≤” Ω ©”®‚ ÊU� «–≈ ≥

∫WO�U²�« U½«d²�ô« s� qJ� WO½U¦�« WI²A*« bł ¥

∞ ≠ ” ¨ ”

± Ω ©”® ?¼ » ∑´

≤”≤´≥” ≠

¥”≤ Ω ©”®‚ √

Æ©±®ÓÂ błËQ� ©”®‚ ” Ω ©”®Â ÊU�Ë ¨ ≤ Ω ©±®‚ ¨ ≥ Ω ©±® Ó‚ ÊU� «–≈ μ

Æ©”®Ó‚ błQ�

± ≥ ” ”≤ ´ ≤”

± < ” ± ´ ”≤

Ω ©”®‚ ÊU� «–≈ ∂

∫błËQ� ©”® ?¼ × ©”® ‚ Ω ©”®‰ ÊU� «–≈ ∑

ÆÊUðœułu� ©”® ?¼ ¨ ©”® ‚ 5½«d²�ö� WO½U¦�«Ë v�Ë_« WI²A*« ÊQÐ ÎULKŽ ¨©”®Î‰

∑μ

(Continuity and Differentiability) ‚UI²ýô« WOKÐUË ‰UBðô« ¥≠≤

∫w�U²�« ‰U¦*« ”—bM� ø5�uNH*« 5Ð jÐdð W�öŽ s� qN� ¨…bŠ vKŽ q� ‚UI²ýô«Ë ‰UBðô« U�uNH� UMF� d�

©±® ‰U¦�

∫Ê«d²�ô« vM×M� q¦1 ©μ≠≤® qJA�«

± ≥ ” ≤”

± < ” ”

Ω ©”®‚

± ¨ ∞ Ω ” bMŽ ‚UI²ýö� Ê«d²�ô« WOKÐU� ”—œ«

”

± ≤ ≥

’

±≠

≥

≤

±

©μ≠≤® qJA�«

∞ Ω ” bMŽ √

≤” Ω ©”®‚ ¨ ∞ Ω ” —«uł w�

”≤ Ω ©”®Ó‚ ∴

∞ Ω ©∞® Ó‚ ∴

∫± Ω ” bMŽ »

∫Èd�O�«Ë vMLO�« 5²I²A*« WÝ«—œ ÂeKð W�U(« Ác¼ w�Ë ¨tH¹dFð ©”®‚ Ê«d²�ô« dOG¹ ± Ω ” bMŽ

?¼

©±®‚ ≠ ©?¼ ´ ±®‚

´ ∞ ← ?¼

Ω ´©±® Ó‚ ±

?¼

≤± ≠ ©?¼ ´ ±®

´ ∞ ← ?¼

Ω

± Ω ± ´

∞ ← ?¼

Ω ?¼

?¼

´ ∞ ← ?¼

Ω

?¼

©±®‚ ≠ ©?¼ ´ ±®‚

≠ ∞ ← ?¼

Ω ≠©±® Ó‚ ≤

?¼

≤± ≠

≤©?¼ ´ ±®

≠ ∞ ← ?¼

Ω

≤ Ω ©?¼ ´ ≤® ≠

∞ ← ?¼

Ω ?¼

≤?¼ ´ ?¼≤

≠ ∞ ← ?¼

Ω

≠©±® Ó‚ ≠

´©±® Ó‚ Ê√ U0Ë

± Ω ” bMŽ ‚UI²ýö� qÐU� dOž ©”®‚ ∴

∑∂

dOž tMJ�Ë ± Ω ” bMŽ qB²� t½√Ë ¨U¼bMŽ ‚UI²ýö� qÐU�Ë ∞ Ω ” bMŽ qB²� ©”®‚ Ê«d²�ô« Ê√ kŠô

ÆU¼bMŽ ‚UI²ýö� t²OKÐU� …—ËdC�UÐ wMF¹ ô WDI½ bMŽ Ê«d²�ô« ‰UBð« Ê√ Í√ ¨U¼bMŽ ‚UI²ýö� qÐU�

øWDIM�« pKð bMŽ ‰UBðô« sLC²ð WDI½ bMŽ ‚UI²ýô« WOKÐU� q¼ øfJF�« sŽ «–U� sJ�Ë

Æ‰ƒU�²�« «c¼ sŽ VO& WO�U²�« W¹dEM�«

∫W¹dE½

±” Ω ” bMŽ ÎöB²� ÊuJ¹ ©”®‚ Ê«d²�ô« ÊS� ±

” Ω ” bMŽ ‚UI²ýö� ÎöÐU� ÎU½«d²�« ©”®‚ Ê«d²�ô« ÊU� «–√

∫ÊU¼d³�«

±” Ω ” bMŽ ÎöB²� ©”®‚ Ê«d²�ô« ÊuJ¹

dH� Ω ©©±”®‚ ≠ ©”®‚®

±

” ← ”

Í√ ©±”®‚ Ω ©”®‚

±

” ← ”

ÊU� «–≈

©©±” ≠”® —«bI*« vKŽ WL�I�«Ë »dC�UÐ® ©±

” ≠”® ×

±” ≠ ”

©±”®‚≠©”®‚

Ω ©±”®‚ ≠ ©”®‚ —«bI*«

©±” ≠”® ×

±” ≠ ”

©±”®‚≠©”®‚

±

” ← ”

Ω ©©±”®‚ ≠ ©”®‚®

±

” ← ”

∴

©±” ≠”®

±

” ← ”

×

±” ≠ ”

©±”®‚≠©”®‚

±

” ← ”

Ω

dH� Ω dH� × ©±”®Ó‚ Ω

dH� Ω ©©±”®‚ ≠ ©”®‚®

±

” ← ”

∴

©≤® ‰U¦�

± ≥ ” μ ´ ≤”≤

± < ” ´ ”¥

Ω ©”®‚ ÊU� «–≈

Æ XÐU¦�« WLO� błËQ� Æ ± Ω ” bMŽ ‚UI²ýö� ÎöÐU�

± Ω ” bMŽ qB²� uN� ¨ ± Ω ” bMŽ ‚UI²ýö� qÐU� ©”®‚

©±®‚ Ω ©”®‚≠

± ← ”

Ω ©”®‚´

± ← ”

∴

∑ Ω ´ ¥

≥ Ω

∑∑

∫WEŠö�

∫…—U³F�« u¼Ë UN� wÐU−¹ô« f�UF*« T�UJð WIÐU��« W¹dEM�«

±” Ω ” bMŽ ‚UI²ýö� qÐU� dOž ©”®‚ ÊS� ±

” Ω ” bMŽ qB²� dOž ÎU½«d²�« ©”®‚ ÊU� «–≈

©≤® ‰U¦�

± ≥ ” ≤ ´ ≤”μ ´

≥”

± < ” ”≤ ´ ≤”

Ω ©”®‚ ÊU� «–≈

± Ω ” bMŽ ‚UI²ýö� ©”®‚ Ê«d²�ô« WOKÐU� w� Y×ÐU�

∫ ± Ω ” bMŽ ©”®‚ ‰UBð« w� ÎÎôË√ Y×³½

∏ Ω ≤ ´ μ ´ ± Ω ©±®‚

∏ Ω ©≤ ´ ≤” μ ´

≥”®≠

± ← ”

Ω ©”®‚ ≠

± ← ”

≥ Ω ©”≤ ´≤”®

´ ± ← ”

Ω ©”®‚´

± ← ”

± Ω ” bMŽ qBHM� ©”®‚ ∴

± Ω ” bMŽ ‚UI²ýö� qÐU� dOž ©”®‚ ÊS� w�U²�UÐË

©≥® ‰U¦�

≤ > ” μ≠”¥´ ≤”

≤ ≤ ” ±´”≥

Ω ©”®‚ ÊU� «–≈

≤ Ω ” bMŽ ‚UI²ýö� ©”®‚ Ê«d²�ô« WOKÐU� w� Y×ÐU�

∫Ê√ b−M� ≤Ω” bMŽ ©”®‚ ‰UBð« ÎôË√ ”—b½

∑ Ω ± ´ ≤ × ≥ Ω©≤®‚

∑ Ω ©± ´ ”≥®´

≤ ← ”

Ω ©”®‚´

≤ ← ”

∑ Ω ©μ≠”¥´≤”®

≠ ≤ ← ”

Ω ©”®‚≠

≤ ← ”

≤ Ω ” bMŽ qB²� ©”®‚ ∴

Â«b�²Ýô Q−K½ «cN�Ë ¨ô Â√ ‚UI²ýö� ÎöÐU� ©”®‚ ÊU� Ê≈ p�– vKŽ ¡UMÐ rJ(« UMMJ1 ô

∑∏

5²I²A*« »U�Š Vłu²�¹ U2 ≤ Ω ” bMŽ tH¹dFð dOG¹ Ê«d²�ô« Ê√ …UŽ«d� l� ¨n¹dF²�«

∫U¼bMŽ Èd�O�«Ë vMLO�«

©μ≠∏´¥®≠©±´”≥®

≤ ≠ ” ´ ≤ ← ”

Ω

©≤®‚≠©”®‚

≤ ≠ ” ´ ≤ ← ”

Ω ´©≤® Ó‚

≥ Ω ≥ ´

≤ ← ”

Ω

∂≠” ≥

≤ ≠ ” ´ ≤ ← ”

Ω

©μ≠∏´¥® ≠ ©μ≠”¥´≤”®

≤ ≠ ” ≠ ≤ ← ”

Ω

©≤®‚≠©”®‚

≤ ≠ ” ≠ ≤ ← ”

Ω ≠

©≤® Ó‚

∏ Ω

©∂´”®©≤≠”®

≤ ≠ ” ≠ ≤ ← ”

Ω

±≤≠”¥´≤”

≤ ≠ ” ≠ ≤ ← ”

Ω

Æ≤ Ω ” bMŽ ‚UI²ýö� qÐU� dOž ©”®‚ Ê√ Í√ ¨…œułu� dOž ©≤® Ó‚ ÊS� tOKŽË

©¥® ‰U¦�

Æ©”®Ó‚ o²A*« Ê«d²�ô« błËQ�

± > ” ≤”

± ≤ ” ±≠”≤

Ω ©”®‚ ÊU� «–≈

± > ” ”≤

± < ” ≤

Ω ©”®Ó‚

Æ± Ω ” bMŽ ©”® ‚ Ê«d²�ô« ‰UBð« w� Y×³½ ©±® Ó‚ œU−¹ôË

©p�– s� oI%® Æ± Ω ” bMŽ qB²� ©”® ‚ Ê«d²�ô«

± ≠ ”

©±®‚ ≠ ©”®‚

´ ± ← ”

Ω ´©±® Ó‚ √

± ≠ ”

≤≠”≤

´ ± ← ”

Ω ± ≠ ”

©±≠≤® ≠ ©±≠”≤®

´ ± ← ”

Ω

≤ Ω ± ≠ ”

©±≠”®≤

´ ± ← ”

Ω

± ≠ ”

©±®‚ ≠ ©”®‚

≠ ± ← ”

Ω ≠©±® Ó‚ »

≤ Ω ± ´ ”

≠ ± ← ”

Ω ± ≠ ”

± ≠ ≤”

≠ ± ← ”

Ω

∑π

± > ” ”≤

± < ” ≤

± Ω ” ≤

Ω ©”®Ó‚ ∫w�U²�UÐË ≤ Ω ©±® Ó‚ ⇐

©”

®Ó‚

≠ ± ← ”

Ω ≠

©±® Ó‚ ¨ ©”

®Ó‚

´ ± ← ”

Ω ´

©±®Ó‚ ∫Ê√ oÐU �« ‰U¦*« w� kŠö½

«–≈ tH¹dFð Ê«d²�ô« U¼bMŽ dOG¹ w²�« WDIM�« bMŽ WI²A*« œU−¹ù n¹dF²�« WI¹dÞ dOž Èdš√ WI¹dDÐ U½œËe¹ «c¼Ë

ÆÎöB²� ÊU�

©μ® ‰U¦�

Æ©”®Ó‚ błËQ�

≤ ≥ ” ∏´≤”≠

≥”

≤ < ” ”¥´≤”

Ω ©”®‚ ÊU� «–≈

≤ > ” ”≤≠≤”≥

≤ < ” ¥´”≤

Ω ©”®Ó‚

∫n¹dF²�« v�≈ ¡u−K�« ÊËœ ©≤® Ó‚ œU−¹ôË

≤ Ω ” bMŽ ©”®‚ ‰UBð« ”—b½ √

±≤ Ω ∏ ´ ¥ ≠ ∏ Ω ©≤®‚

±≤ Ω ©∏ ´ ≤” ≠

≥”®≠

≤ ← ”

Ω ©”®‚≠

≤ ← ”

±≤ Ω ©”¥´≤”®

´ ≤ ← ”

Ω ©”®‚´

≤ ← ”

Æ≤ Ω ” bMŽ qB²� ©”®‚ ∴

∏ Ω ©¥ ´ ”≤® ´

≤ ← ”

Ω ©”®Ó‚´

≤ ← ”

Ω ´©≤® Ó‚ »

∏ Ω ©”≤ ´ ≤”≤®

≠ ≤ ← ”

Ω ©”®Ó‚≠

≤ ← ”

Ω ≠©≤® Ó‚

∏ Ω ©≤® Ó‚ ∴

≤ > ” ”≤≠≤”≥

≤ < ” ¥´”≤

≤ Ω ” ∏

Ω ©”®Ó‚ ⇐

∏∞

©¥≠≤® s¹—U9

∫UNM� q� ¡«“≈ …—u�c*« jIM�« Ø WDIM�« bMŽ ‚UI²ýö� WO�U²�« U½«d²�ô« WOKÐU� w� Y×Ð√ ±

≤ Ω ”

≤ ≥ ”¨ μ´”≠ ≤”≥

≤ < ”¨ ”μ≠≤”´

≥”

Ω ©”®‚ √

± ¨ ∞ Ω ” ¸”¸ Ω ©”®‰ »

± ¨

≥

≤

Ω ” ›”¤ Ω ©”®?¼ ?ł

± ≥ ” » ´ ” ≠ ≤”

± < ” ¥

Ω ©”®‚ ÊU� «–≈ ≤

Æ» ¨ 5²ÐU¦�« błËQ� ± Ω ” bMŽ ‚UI²ýö� ÎöÐU�

∞ ≤ ” ±´ ≤”

∞ > ” ´ ”

Ω ©”®‚ ÊU� «–≈ ≥

ø ∞ Ω ” bMŽ ÎöB²� ©”®‚ Ê«d²�ô« qF& w²�« WLO� U�

ø ∞ Ω ” bMŽ ‚UI²ýö� ÎöÐU� ©”®‚ Ê«d²�ô« qF& ?� WLOI�« Ác¼ q¼Ë

Æ©”®Ó‚ błËQ� ≥ ¸”¸ Ω ©”®‚ ÊU� «–≈ ¥

Æ©”®Ó‚ błËQ�

±[μ > ” ≥ ± ›≥´”≤¤

≤ > ” ≥ ±[μ ¸≤≠”¸

Ω ©”®‚ ÊU� «–≈ μ

ÆULNM� Ìq� QDš `{u¹ ÎôU¦� jŽ√ ÆÊU²¾ÞUš ÊU²Oðü« ÊUð—U³F�« ∂

Æ∂ Ω ©≤® Ó‚ ÊS� ≥ Ω ©±® Ó‚ Ê≈ YO×Ð ÎU½«d²�« ©”®‚ ÊU� «–≈ √

qÐU� dOž ULNŽuL−� ÊS� Ω ” bMŽ ‚UI²ýö� qÐU� dOž ÎU½«d²�« ©”®?¼ ¨©”®‚ s� yq� ÊU� «–≈ »

Ω ” bMŽ ‚UI²ýö�

∏±

‚UI²ýô« vKŽ UIO³Dð μ≠≤

∫©ÍœuLF�«Ë ”UL*«® WOÝbM¼ UIO³Dð ©±®

¨WDIM�« pKð bMŽ Ê«d²�ô« vM×M* ÂuÝd*« ”UL*« qO� q¦9 t�U−� w� WDI½ bMŽ ©”®‚ Ê«d²�ö� v�Ë_« WI²A*« Ê√ UMF� d�

Æ”UL²�« WDI½ vL�ð w²�«Ë tOKŽ WF�«u�« ©© ®‚¨ ® WDIM�« bMŽ ©”®‚ vM×M* ÂuÝd*« ”UL*« qO� Ω © ® Ó‚ Ê√ Í√

∫n¹dFð

«cN� ÂuÝd*« ”UL*« qO� t½QÐ tOKŽ WDI½ bMŽ Ê«d²�« vM×M� qO� ·dF¹

ÆWDIM�« pKð bMŽ vM×M*«

∫n¹dFð

vKŽ ÍœuLF�« t½QÐ tOKŽ WDI½ bMŽ Ê«d²�« vM×M� vKŽ ÍœuLF�« ·dF¹

ÆWDIM�« pKð bMŽ vM×M*« ”U2

∫©∂≠≤® qJA�« kŠô

’

”

©”®‚ Ω ’

”U2

ÍœuLŽ

ÍœuLŽ

”U2

©∂≠≤® qJA�«

©±® ‰U¦�

ÆtOKŽ WF�«u�« ©≤ ¨ ±® WDIM�« bMŽ ¥ ´ ”≥ ≠ ≤” Ω ©”®‚ Ê«d²�ô« vM×M* ”U2 rÝ—

ÆtKO� W¹Ë«“ p�c�Ë ”UL*« «c¼ W�œUF� bł

≥ ≠”≤ Ω ©”®Ó‚

±≠ Ω ≥ ≠ ± ×≤Ω ©±® Ó‚ Ω”UL*« qO� ⇐

∫w¼ ”UL*« W�œUF�

©±” ≠ ”®Â Ω ±

’ ≠ ’

©± ≠ ”®±≠ Ω ≤ ≠ ’

± ´ ”≠ Ω ≤ ≠ ’

≥ ´ ”≠ Ω ’

?¼ Ω ”UL*« «c¼ qO� W¹Ë«“ Ê√ ÷dH½

±≠ Ω ?¼ Uþ ⇐

œ π

¥

≥ Ω

º±≥μ Ω ?¼ ⇐

∏≤

©≤® ‰U¦�

Æ ∑ ΩtKO� ÊUJ� tOKŽ WDI½ bMŽ ≤≠”´≤” Ω ©”®‚ vM×M* ”U2 rÝ—

Æ”UL²�« WDI½ wOŁ«bŠ≈ bł

± ´ ”≤ Ω ©”®Ó‚

± ´ ≤ Ω ”UL*« qO� ÊuJ¹ ¨©© ®‚ ¨ ® ”UL²�« WDI½ Ê√ ÷dHÐ

≥ Ω UNM�Ë ¨ ∑ Ω± ´ ≤

©±∞¨≥® Ω ©©≥®‚¨≥®w¼ ”UL²�« WDI½ ∴

©≥® ‰U¦�

ÆtOKŽ WF�«u�« ©±¨≤® WDIM�« bMŽ ≤ ≠ ”≥

”≤ Ω ©”®‚ Ê«d²�ô« vM×M� qO� bł

ÆWDIM�« Ác¼ bMŽ ©”®‚ vM×M� vKŽ ÍœuLF�« W�œUF� bł rŁ

≥ ”≤≠©≤®©≤≠”≥®

≤©≤≠”≥®

Ω ©”®Ó‚

±≠

¥ Ω

¥≠

±∂ Ω

≥ ¥≠≤ ©≤≠∂®

≤©≤≠∂®

Ω ©≤® Ó‚ ÍËU�¹ ©±¨≤® WDIM�« bMŽ vM×M*« ”U2 qO�

±≠

¥ Ω WDIM�« Ác¼ bMŽ Ê«d²�ô« vM×M� qO� ∴

¥ Ω Â UNM�Ë ¨±≠ Ω

±≠

¥ Â ÊuJ¹ ¨ Â Ω vM×M*« vKŽ ÍœuLF�« qO� Ê√ ÷dHÐË

©±” ≠ ”® Â Ω

±’ ≠ ’ ∫w¼ WDIM�« Ác¼ bMŽ vM×M*« vKŽ ÍœuLF�« W�œUF�

©≤≠”®¥ Ω ©±≠’®

∑ ≠ ”¥ Ω ’

©¥® ‰U¦�

∑≠”≠≤” Ω ©”®‚ Ê«d²�ô« vM×M* ÂuÝd*« ”UL*« W�œUF� bł

±± Ω ’≥ ´ ” rOI²�*« b�UF¹ Íc�«

±± Ω ’≥ ´ ” rOI²�*« qO� Ω ”UL*« vKŽ ÍœuLF�« qO�

” ±

≥ ≠

±±

≥ Ω ’ rOI²�*« qO� Ω

© ±

≥ ≠ Ω

’œ

”œ Ê√ kŠô®

±

≥ ≠ Ω

∏≥

≥ Ω ”UL*« qO� ⇐

± ≠ ”≤ Ω ©”®Ó‚

±≠ ≤ Ω ”UL*« qO� ÊuJ¹ ©© ®‚¨ ® ”UL²�« WDI½ Ê√ ÷dHÐË

≤ Ω UNM�Ë ¨ ≥ Ω±≠ ≤ ∴

©μ≠¨≤® Ω ©©≤®‚¨≤® w¼ ”UL²�« WDI½ ∴

©±” ≠ ”® Â Ω

±’ ≠ ’ ∫w¼ ”UL*« W�œUF�

©≤≠”®≥ Ω ©μ´’®

±± ≠ ”≥ Ω ’

©μ® ‰U¦�

¨≥ ≠ ” ´≤”≤ Ω ©”®‚ Ê«d²�ô« vM×M* ÎUÝU2 ´ ”μ Ω ’ rOI²�*« ÊU� «–≈

Æ XÐU¦�« WLO� błËQ�

± ´ ”¥ Ω ©”®Ó‚ μ Ω

’œ

”œ

Ω ”UL*« qO�

± ´ »¥ Ω ”UL*« qO� ÊuJ¹ ©©»®‚¨»® ”UL²�« WDI½ Ê√ ÷dHÐË

± Ω » UNM�Ë ¨ μ Ω±´ »¥

©∞¨±® Ω ©©±®‚¨±® w¼ ”UL²�« WDI½ ∴

μ≠ Ω UNM�Ë ¨ ´± μ ΩdH� ∫Ê√ Í√ t²�œUF� oI% wN� ”UL*« vKŽ lIð WDIM�« Ác¼ sJ�

∫©Ÿ—U�²�«Ë WŽd��«® WOzU¹eO� UIO³Dð ©≤®

Æ©∑≠≤® qJA�« w� 5³*« ‰ rOI²�*« j)« vKŽ W²ÐUŁ WDI½ Ë sJ²�Ë ©Ê®· ©ÊΔ´Ê®·

´‰

©∑≠≤® qJA�«

WŽd��« ÊS� Ê s�e�« bMŽ Ë WDIM�« sŽ r�'« WŠ«“≈ q¦9 · X½U� YO×Ð rOI²�*« «c¼ vKŽ r�ł „d% «–≈ √

ÊΔ

©Ê®· ≠ ©ÊΔ ´ Ê®· Ω

ÊΔ

·Δ w¼ ›ÊΔ ´ Ê ¨Ê¤ WOM�e�« …d²H�« w� r�'« «cN� WDÝu²*«

ÆŸ e�d�UÐ UN� e�d¹Ë Ê s�e�« bMŽ r�−K� WOE×K�« WŽd��« vL�²� Ê œ

· œ ÍËU�ðË

ÊΔ

·Δ

∞ ← ÊΔ

U�√

∏¥

ÊΔ

ŸΔ t½QÐ ›ÊΔ ´ Ê ¨Ê¤ WOM�e�« …d²H�« w� r�−K� jÝu²*« Ÿ—U�²�« ·dF¹ WKŁU2 WI¹dDÐË »

≤Ê œ

· ≤œ

Ω ©Ê œ

· œ ®

Ê œ

œ Ω

Ê œ

Ÿ œ Ω wE×K�« Ÿ—U�²�« ÊuJ¹Ë

©∂® ‰U¦�

r�'« WŠ«“≈ · YOŠ ¨≤Ê≤ ´

≥Ê Ω ©Ê®· W�öFK� ÎUF³ð rOI²�� jš vKŽ r�ł „d×²¹

∫błË√ Æw½«u¦�UÐ s�e�« Ê ¨W�d(« jš vKŽ Ë W²ÐUŁ WDI½ sŽ —U²�_UÐ

¥Ω Ê bMŽ WŽd��« » ≥ΩÊ¨±ΩÊ 5Ð WDÝu²*« WŽd��« √

≥ Ω Ê bMŽ Ÿ—U�²�« œ ›μ ¨ ≤¤ WOM�e�« …d²H�« w� jÝu²*« Ÿ—U�²�« ?ł

≤Ê≤ ´

≥Ê Ω ©Ê®·

ÀØÂ ≤± Ω ≤

≥ ≠ ¥μ Ω

± ≠ ≥

©±®· ≠ ©≥®· Ω

ÊΔ

·Δ Ω WDÝu²*« WŽd��« √

Ê¥ ´ ≤

Ê≥ Ω Ê œ

· œ Ω Ÿ »

ÀØÂ ∂¥ Ω ¥ × ¥ ´ ±∂ × ≥ ÍËU�ð ¥ Ω Ê U�bMŽ WOE×K�« WŽd��« ∴

≤ ≠ μ

©≤®Ÿ ≠ ©μ®Ÿ

Ω ÊΔ

ŸΔ Ω jÝu²*« Ÿ—U�²�« ?ł

≤ÀØÂ ≤μ Ω

≥

∑μ Ω

≤ ≠ μ

©≤×¥´¥×≥®≠©≤∞´ ≤μ×≥® Ω

¥ ´ Ê∂ Ω Ê œ

Ÿ œ Ω œ

≤ÀØÂ≤≤ Ω ¥ ´ ≥ × ∂ ÍËU�ð ≥ Ω Ê U�bMŽ ∴

©∑® ‰U¦�

vDF¹ —U²�_UÐ · tŽUHð—« ÊU�Ë ¨÷—_« `DÝ vKŽ ©Ë® WDI½ s� vKŽú� ÎUOÝ√— r�ł ·c�

Æw½«u¦�UÐ s�e�« Ê ¨ ≤

Êμ ≠ Ê≥∞ Ω· …bŽUI�UÐ

≤ Ω Ê bMŽ Ÿ—U�²�« bł » Ær�−K� ©∞Ÿ® WOz«b²Ðô« WŽd��« bł √

Æ◊u³N�« s�“ Ω œuFB�« s�“ Ê√ X³Ł√ œ Ær�'« tO�≈ qB¹ ŸUHð—« vB�√ bł ?ł

Æv�Ë_« lÐ—_« w½«u¦�« w� r�'« UNFD� w²�« WOKJ�« W�U�*« bł ?¼

∏μ

Ê œ

· œ Ω Ÿ √

Ê±∞ ≠ ≥∞ Ω Ÿ

∞ Ω Ê bMŽ WOE×K�« WŽd��« w¼ ©Ÿ® WOz«b²Ðô« WŽd��«

ÀØÂ ≥∞ Ω ∞ × ±∞ ≠ ≥∞ Ω ∞Ÿ

±∞≠ Ω Ê œ

Ÿ œ Ω »

¨≤ÀØÂ±∞≠ Ω ÊuJð ≤ Ω Ê bMŽË

ÆWO½UŁ qJ� ÀØÂ±∞ ‰bF0 ©t²ŽdÝ hIMð® QÞU³²¹ r�'« Ê√ Í√

∞ Ω Ÿ t²ŽdÝ ÊuJð U�bMŽ ŸUHð—« vB�√ v�≈ r�'« qB¹ ?ł

∞ Ω Ê±∞ ≠≥∞ U�bMŽ Í√

Ê«uŁ ≥ Ω Ê

ÆÎ«d²� ¥μ Ω ≤≥×μ ≠ ≥×≥∞ Ω· ŸUHð—« vB�√ ÊuJ¹Ë

Ê«uŁ ≥ Ω œuFB�« s�“ œ

Â“ö�« s�e�« u¼Ë wKJ�« W�d(« s�“ b$ ◊u³N�« s�“ œU−¹ôË

∞ Ω · ÊuJð czbMŽ ÆË WDIM�« v�≈ r�'« œuFO�

≤Êμ ≠ Ê≥∞ Ω dH�

©Ê≠∂® Êμ Ω dH�

Â¥μ

Âμ

Ë

´

©∏≠≤® qJA�«

ÆÊ«uŁ ∂ Ω W�d(« s�“ ∴ ÆÊ«uŁ ∂ Ω Ê Ë√ ∞ Ω Ê

Æ◊u³N�« s�“ Ω œuFB�« s�“ Ê√ wMF¹ U2 ÆÊ«uŁ ≥ Ω ≥≠∂ Ω ◊u³N�« s�“ ∴

ŸUHð—« vKŽ r�'« ÊuJ¹ ¨Ê«uŁ ¥ Ω Ê U�bMŽ ?¼

ÆÎ«d²� ¥∞ Ω±∂×μ − ¥×≥∞ Ω ·

ÎUDÐU¼ ÊuJ¹ Ê«uŁ ¥ bFÐ r�'« ÊS� ¨©Ê«uŁ ≥® œuFB�« s�“ s� d³�√ Ê«uŁ ¥ s�e�« Ê√ U0Ë

ÆÎ«d²� ¥∞ ŸUHð—« vKŽË

Âμ Ω ¥∞ ≠¥μ Ω r�'« UND³¼ w²�« W�U�*«

ÆÎ«d²� μ∞ Ω μ ´ ¥μ Ω r�'« UNFD� w²�« WOKJ�« W�U�*«

Æ©∏≠≤® qJA�« kŠô

∏∂

©∏® ‰U¦�

ÎUOÝ√— r�ł oKÞ√ ¨©π≠≤® qJA�« kŠô ¨Âμ∞ ÷—_« `DÝ sŽ lHðd¹ Ãd??Ð WL� s�

∫…bŽUI�UÐ vDFð WO½UŁ Ê bFÐ Ãd³�« WL� sŽ —U²�ôUÐ · t²Š«“≈ X½UJ� vKŽú�

∫bł Æ≤Êμ ≠ Ê±μ Ω·

ÆÀ ≤ Ω Ê bMŽ r�'« «c¼ WŽdÝ √

ÆÃd³�« WL� s� Â ±∞ ŸUHð—« vKŽ r�'« ÊuJO� Â“ö�« s�e�« »

Æ÷—_« `D�Ð r�'« ÂUDð—« WŽdÝ ?ł

Ê ±∞≠±μ Ω Ê œ

· œ Ω Ÿ √

ÀØÂ μ≠ = ≤ ±∞≠±μ Ω Ÿ ÊuJð ≤ Ω Ê U�bMŽË

ÆÀØÂ μ U¼—«bI� WŽd�Ð qHÝ√ v�≈ ÎUN−²� ÊuJ¹ r�'« Ê√ Í√ Âμ∞

´

Ë

©π≠≤® qJA�«

≤Êμ ≠ Ê±μ Ω · »

≤Êμ ≠ Ê±μ Ω ±∞

∞ Ω ±∞ ´ Ê±μ ≠≤Êμ

∞ Ω ≤ ´ Ê≥ ≠ ≤

Ê

À≤ ¨ À± Ω Ê ⇐ ∞ Ω ©≤≠Ê® ©±≠Ê®

…bŠ«Ë WO½UŁ bFÐ v�Ë_« ∫5ðd� Ãd³�« WL� s� Â±∞ ŸUHð—« vKŽ ÊuJ¹ r�'« Ê√ wMF¹ «c¼Ë

ÆjÐU¼ u¼Ë 5²O½UŁ bFÐ Èdš_«Ë ¨bŽU� u¼Ë

μ∞≠ Ω · ÊuJð ÷—_« `D�Ð r�'« ÂUDð—« bMŽ ?ł

≤Êμ ≠ Ê±μ Ω μ∞≠

∞ Ω μ∞ ´ Ê±μ ≠ ≤

Êμ

∞ Ω ±∞ ´ Ê≥ ≠ ≤

Ê

∞ Ω ©≤´Ê® ©μ≠Ê ®

≤≠ ¨ μ Ω Ê

÷—_« `D�Ð r�'« ÂUDð—ô Â“ö�« s�e�« ¨Ê«uŁ μ Ω Ê

ÀØÂ≥μ≠ Ω μ ±∞≠±μ Ω Ÿ ÊuJð U¼bMŽË

ÆqHÝ√ v�≈ ÀØ Â≥μ U¼—«bI� WŽd�Ð ÷—_« `D�Ð rDðd¹ r�'« Ê√ Í√

∏∑

©μ≠≤® s¹—U9

ÆtOKŽ WF�«u�« ©≥ ¨ ∞® WDIM�« bMŽ ≥ ´ ” ≠≤” Ω ©”®‚ Ê«d²�ô« vM×M* ÂuÝd*« ”UL*« qO� bł ±

U¼bMŽ ÂuÝd*« ”UL*« ÊuJ¹ w²�« μ´≤”≥≠

≥” Ω ©”®‚ Ê«d²�ô« vM×M� vKŽ WF�«u�« ◊UIM�«ØWDIM�« bł ≤

Æ UMO��« —u; ÎU¹“«u�

∑ Ω ’μ ≠ ” rOI²�*« vKŽ ÎU¹œuLŽ ÊUJ� μ ≠ ” ´ ≤” Ω ©”®‚ Ê«d²�ô« vM×M* ”U2 rÝ— ≥

Æ”UL*« W�œUF� bł

vKŽ ÍœuLF�« qO� W¹Ë«“ ÊuJð w²�« WDIM�« bMŽ ∑≠≤”´

≥” Ω ©”®‚ vM×M* ÂuÝd*« ”UL*« W�œUF� bł ¥

Æœ π ≥

¥

Ω U¼bMŽ vM×M*«

∑ ´ ”μ ≠≤”≤ Ω ©”®‚ vM×M* ÎUÝU2 ©»¨±®¨ ©±≠¨∞® 5²DIM�« 5Ð q�«u�« rOI²�*« ÊU� «–≈ μ

Æ» WLO� błË√

f1Ë ¨©≥ ¨ ±® WDIM�UÐ ?ł ´ ”» ´ ≤” Ω ’ Ê«d²�ô« vM×M� d1 YO×Ð ?ł ¨ » ¨ XÐ«u¦�« błË√ ∂

Æ©∞ ¨ ≤® WDIM�« bMŽ ∏ Ω ’ ´ ”¥ rOI²�*«

Ætł—Uš WF�«u�« ©∞ ¨ ±® WDIM�« s� ≤” Ω ©”®‚ Ê«d²�ô« vM×M* ÂuÝd*« ”UL*« W�œUF� błË√ ∑

øW�Q�LK� ÎöŠ r�

jš vKŽ „d×²¹ r�' w½«u¦�UÐ Ê s�e�«Ë —U²�ôUÐ · WŠ«“ô« 5Ð W�öF�« w¼ μ´≤Ê≥≠

≥Ê Ω · X½U� «–≈ ∏

Æ≥ Ω Ê bMŽ tŽ—U�ðË r�'« «c¼ WŽdÝ błËQ� ¨rOI²��

w½«u¦�UÐ Ê t²�dŠ s�“Ë t�c� WDI½ sŽ —U²�_UÐ · tŽUHð—« 5Ð W�öF�« X½UJ� vKŽú� ÎUOÝ√— r�ł ·c� π

Æ ≤

Êμ ≠ Êμ∞ Ω · ∫w¼

Ær�'« tO�≈ qB¹ ŸUHð—« vB�√ bł √

ÆÎ«d²� ∏∞ ŸUHð—« vKŽ ÊuJ¹ U�bMŽ r�'« «c¼ WŽdÝ bł »

Æv�Ë_« X��« w½«u¦�« w� WŽuDI*« W�U�*« bł ?ł

∏∏

(Chain Rule) ©V�d*« Ê«d²ô« WI²A�® WK�K��« …bŽU ∂≠≤

Ê«d²�ô« n¹dFð sJ1 t½S� ©”®‚ ‰U−� ⊇ ©”®?¼ Èb� ÊU� YO×Ð 5½«d²�« ©”® ?¼¨©”®‚ ÊU� «–≈ t½√ rKF½

øÊ«d²�ô« «c¼ WI²A� b$ nOJ� ¨©©”® ?¼®‚ Ω ©”®©?¼ μ ‚® V�d*«

©±® ‰U¦�

Æ©”® Ó©?¼ ° ‚® błËQ� ¨≥≠”≤ Ω ©”®?¼ ¨ ≤” Ω©”®‚ ÊU� «–≈

≤©≥≠”≤® Ω ©©”® ?¼®‚ Ω ©”® ©?¼ ° ‚®

π ´ ”±≤≠≤”¥ Ω

±≤≠”∏ Ω ©”® Ó©?¼ ° ‚® ∴

øtðbŽU� W�dF� v�≈ ¡u−K�« ÊËœ V�d*« Ê«d²�ô« WI²A� œU−¹≈ UMMJ1 q¼ sJ�Ë

∫‰ƒU�²�« «c¼ sŽ VO& WO�U²�« …bŽUI�«

∫WK�K��« …bŽU

Ê«d²�ô« ÊS� ¨©”®?¼ bMŽ ‚UI²ýö� ÎöÐU� ©”®‚ ÊU�Ë ¨” bMŽ ‚UI²ýö� ÎöÐU� ÎU½«d²�« ©”®?¼ ÊU� «–≈

Æ©”® Ó ?¼ × ©©”® ?¼® Ó‚ Ω ©”® Ó©?¼ ° ‚® ÊuJ¹Ë ¨” bMŽ ‚UI²ýö� ÎöÐU� ÊuJ¹ ©”® ©?¼ ° ‚® V�d*«

©≤® ‰U¦�

∫błËQ� ±´≤” Ω ©”® ?¼ ¨μ´”≤´

≥” Ω ©”® ‚ ÊU� «–≈

©±®Ó©‚ ° ?¼® » ©”®Ó©?¼ ° ‚® √

”≤ Ω ©”® Ó ?¼ ≤´≤” ≥ Ω ©”®Ó‚

©”® Ó ?¼ × ©©”® ?¼® Ó‚ Ω ©”®Ó©?¼ ° ‚® √

”≤ × ©±´≤”®Ó‚ Ω

©”≤® × ©≤´≤©±´

≤”® ≥® Ω

”±∞ ´ ≥”±≤ ´

μ”∂ Ω

©±® Ó‚ × ©©±®‚® Ó ?¼ Ω ©±®Ó©‚ ° ?¼® »

∏∞ Ω μ × ±∂ Ω ©±® Ó‚ × ©∏® Ó ?¼ Ω

∏π

∫WEŠö�

∫ÊS� w�U²�UÐË ©©”® ?¼®‚ Ω’ ÊS�¨©”®?¼ Ω Ÿ ¨ ©Ÿ®‚ Ω ’ ÊU� «–≈ t½√ kŠô

©”® Ó ?¼ Æ ©©”®?¼® Ó‚ Ω ©©”®©?¼ ° ‚®® ” œ

œ Ω

” œ

’ œ

©”® Ó ?¼ Æ ©Ÿ® Ó‚ Ω

” œ

Ÿ œ Æ

Ÿ œ

’ œ Ω

” œ

Ÿ œ Æ

Ÿ œ

’ œ Ω

” œ

’ œ Ê√ Í√

©≥® ‰U¦�

Æ ” œ

’ œ błËQ� ¨≥≠”≤´

≥” Ω Ÿ ¨ ±´Ÿ≥´≤Ÿ Ω ’ ÊU� «–≈

” œ

Ÿ œ ×

Ÿ œ

’ œ Ω

” œ

’ œ

©≤´≤”≥® ©≥´Ÿ ≤® Ω

©≤´≤”≥® © ≥´ ©≥≠”≤´

≥”®≤® Ω

©≤´≤”≥® ©≥≠”¥´

≥”≤® Ω

∂≠”∏ ´ ≤”π ≠

≥”±∂ ´ μ”∂ Ω

Æ5½«d²�« s� d¦�√ qLA²� WK�K��« …bŽU� rOLFð sJ1 ∫WEŠö�

©¥® ‰U¦�

∞ Ω ”

¸” œ

Ÿ œ błËQ� ¨”≥´

≤”´≥” Ω’ μ´’≠

≤’Ω‰ ≥´≤‰≤´

≥‰ Ω Ÿ X½U� «–≈

” œ

‰ œ ×

‰ œ

Ÿ œ Ω

” œ

Ÿ œ

” œ

’ œ ×

’ œ

‰ œ ×

‰ œ

Ÿ œ

Ω

©≥´”≤´≤”≥®©±≠’≤® ©‰¥´

≤‰≥® Ω

μ Ω ‰ ¨ ∞ Ω ’ ÊuJð ∞ Ω ” U�bMŽË

≤∏μ≠ Ω ≥ × ±≠ × ©≤∞´≤μ × ≥® Ω

∞ Ω ”

¸” œ

Ÿ œ ∴

π∞

©μ® ‰U¦�

∫Ê≈ YO×Ð vKŽ ‚UI²ýö� ÊöÐU� ÊU½«d²�« ©”®?¼ ¨ ©”®‚

©±® Ó ©?¼ ° ‚® błË√ ±∞Ω©±® ?¼ ¨≥ Ω ©±∞®Ó‚¨≤≠ Ω©±® Ó‚ ¨μ Ω ©±® Ó ?¼

©±® Ó ?¼ × ©©±® ?¼® Ó‚ Ω ©±®Ó©?¼ ° ‚®

±μ Ω μ × ≥ Ω μ × ©±∞® Ó‚ Ω

©∂® ‰U¦�

≥ Ω ©π® Ó‚ ÊQÐ ÎULKŽ ©≤®Ó‰ błËQ� ©±≠”≥´≤”®‚ Ω ©”®‰ ÊU� «–≈

±≠”≥´≤” Ω ©”®?¼ Ê√ ÷dHÐ

©©”® ?¼®‚ Ω ©”®‰ ÊuJ¹

©”® Ó?¼ × ©©”® ?¼® Ó‚ Ω ©”®Ó‰ ∴

©≥´”≤® × ©±≠”≥´≤”®Ó‚ Ω

≤±Ω ∑ × ≥ Ω ∑ × ©π® Ó‚ Ω ©≤®Ó‰ ∴

∫W−O²½

∫ÊS� ‚UI²ýö� ÎöÐU� ÎU½«d²�« ©”®‚ ÊU�Ë ¨`O×� œbŽ Ê ¨ Ê

©©”®‚® Ω ’ X½U� «–≈

©”®Ó‚ × ±≠Ê

©©”® ‚®Ê Ω ” œ

’ œ

∫ÊU¼d³�«

Ê Ÿ Ω ’ ÊuJO� ©”®‚ Ω Ÿ Ê√ ÷d�«

” œ

Ÿ œ ×

Ÿ œ

’ œ Ω

” œ

’ œ

©”®Ó‚ × ±≠Ê

©©”® ‚®Ê Ω ©”®Ó‚ × ±≠ Ê Ÿ Ê Ω

©∏® ‰U¦�

” œ

’ œ błËQ�

μ©±≠”≥® Ω ’ X½U� «–≈

¥©±≠”≥® ±μ Ω ≥ ×

¥©±≠”≥®μ Ω

” œ

’ œ

π±

©∂≠≤® s¹—U9

∫ błËQ� ”≤≠ ≥ Ω ©”®?¼ ≥” Ω ©”®‚ ÊU� «–≈ ±

©”®Ó©‚ ° ?¼® » ©”®Ó©?¼ ° ‚® √

Æ ” œ

’ œ błËQ� ±≠”≥´

≤”≤ Ω Ÿ ∂ ´ Ÿμ ≠ ≥Ÿ Ω ’ X½U� «–≈ ≤

±≠ Ω ©≤® Ó ?¼¨ ¥Ω ©≤® ?¼ ∫ÊQÐ ÎULKŽ ¨©≥®Ó‰ błËQ� ©≤´”≥≠≤”®?¼ × ” Ω ©”®‰ ÊU� «–≈ ≥

≤ Ω ©±® Ó‚ ¨ ≥ Ω ©±®‚ ÊQÐ ÎULKŽ ¨©±® ÓÂ błËQ� ©”®

≥‚ ≠ ©

≤”®‚ Ω ©”®Â ÊU� «–≈ ¥

∫błËQ� ¨ μ ´ ’≥ Ω ” ± ≠ ”∑ ´ ≤” Ω ‰ ¨ ‰ ≠

≤‰ Ω Â X½U� «–≈ μ

’œ

Â œ »

’œ

‰ œ √

Æ©≤®Ó‰ błËQ� μ©≥≠”≠

≤”® Ω ©”®‰ ÊU� «–≈ ∂

≤ Ω ”

¸” œ

’ œ błËQ� ©© ”

± ® ?¼®‚ Ω’ ÊU� «–≈ ∑

∂ Ω ©≤® Ó‚ ¨ ¥ Ω ©≥≠®Ó‚ ≤Ω ©≤

± ® Ó ?¼ ≥≠ Ω ©

≤

± ® ?¼ ÊQÐ ÎULKŽ

∫WO�U²�« ’«u)« t� Ê«d²�« ©”®‚ ∏

”∞±≤¥

©”®‚∞±≥∂

©”®Ó‚±±≤≥

©”®Î‚≤±±∞

≤ ¨ ± ¨ ∞ Ω ” bMŽ WO½U¦�«Ë v�Ë_« t²I²A�Ë „ Ê«d²�ô« WLO� błË√ ©≤”® ‚ ” Ω ©”®„ sJO�

∫t½√ s¼dÐ Æ‚UI²ýö� ÎöÐU� ÎU½«d²�« ©”®‚ sJO� π

ÆÎU¹œd� ÎU½«d²�« ÊuJ¹ ©”®Ó‚ ÊS� ÎUOłË“ ÎU½«d²�« ©”®‚ ÊU� «–≈ √

ÆÎUOłË“ ÎU½«d²�« ÊuJ¹ ©”®Ó‚ ÊS� ÎU¹œd� ÎU½«d²�« ©”®‚ ÊU� «–≈ »

ÎU¹œd� ©”®‚ Ê«d²�ô« ÊuJ¹Ë ¨©”®‚ Ω ©”≠®‚ ÊU� «–≈ ÎUOłË“ ©”®‚ Ê«d²�ô« ÊuJ¹ ∫œUý—≈®

©©”®‚≠ Ω ©”≠®‚ ÊU� «–≈

π≤

(Implicit Differentiation) wMLC�« ‚UI²ýô« ∑≠≤

w�Ë Æ” W�ôbÐ W×¹d� …—uBÐ …UDF� ’ YOŠ ©”®‚ Ω ’ tð—u� Ê«d²�ô v�Ë_« WI²A*« b$ nO� ÎUIÐUÝ UM�dFð

Ë√ ÎU½«d²�« ÎUOML{ ·=dFÔð ’ Ê≈ ‰UI¹ ¨ULNOK� Ë√ W�œUF*« w�dÞ bŠ√ w� ÎUF� Ê«dOG²*« UNO� dNE¹ w²�« Èdš_« ôU(«

∫w�U²�« ‰U¦*« w� UL� wMLC�« ‚UI²ýô« ÁUL�*« WI¹dD�UÐ U½«d²�ô« Ác¼ s� Í_ WI²A*« »U�Š sJ1Ë Æd¦�√

©±® ‰U¦�

” œ

’ œ błËQ� ≤μΩ

≤’´≤” X½U� «–≈

Æ≥ Ω ” U�bMŽ ” œ

’ œ błË√ ¨p�– s�Ë

∫wK¹ UL� ” ?� W³�M�UÐ W�öF�« w�dÞ o²A½

©≤μ® ” œ

œ Ω ©

≤’® ” œ

œ ´ ©

≤”® ” œ

œ

dH� Ω ” œ

’ œ × ©

≤’® ’ œ

œ ´ ”≤

dH� Ω ” œ

’ œ ’≤ ´ ”≤

’

”≠ Ω

’ ≤

”≤≠ Ω

” œ

’ œ ∴

≤” ≠ ≤μ √ Ω ±

’

’

”

≤” ≠ ≤μ √ ≠ Ω ≤

’

©¥≠ ¨ ≥®

©¥ ¨ ≥®

©±∞≠≤® qJA�«

¥∓ Ω ’ ÊuJð ≥ Ω ” U�bMŽ

¥

≥≠ Ω

©¥ ¨ ≥®

¸” œ

’ œ ∴

≤” ≠ ≤μ √ Ω ±

’ Ê«d²�ô« vM×M* ”UL*« qO� q¦9 w¼Ë

Æ©…dz«b�« s� ÍuKF�« nBM�«® ©±∞≠≤® qJA�« w� UL�

¥

≥ Ω

¥≠

≥≠ Ω

©¥≠¨ ≥®

¸” œ

’ œ

≤” ≠ ≤μ √ ≠ Ω

≤

’ Ê«d²�ô« vM×M* ”UL*« qO� q¦9 w¼Ë

Æ©…dz«b�« s� wKH��« nBM�«® ©±∞≠≤® qJA�« w� UL�

π≥

©≤® ‰U¦�

Æ Â œ

‰ œ błËQ� ∂ ´ ‰¥ Ω Âμ ´

≥Â ≤‰ X½U� «–≈

∫Ê√ Z²M¹ Â ?� W³�M�UÐ 5�dD�« ‚UI²ýUÐ

Â œ

‰ œ ¥ Ω μ ´

Â œ

‰ œ ‰≤ ≥Â ´

≤Â≥ ≤‰

≤Â ≤‰≥ ≠ μ≠ Ω

Â œ

‰ œ ¥≠

Â œ

‰ œ

≥Â ‰≤

≤Â ≤‰≥ ≠ μ≠ Ω ©¥ ≠

≥Â‰≤®

Â œ

‰ œ

¥ ≠

≥Â‰≤

≤Â ≤‰≥ ≠ μ≠

Ω Â œ

‰ œ ⇐

©≥® ‰U¦�

Æ ” œ

’ œ błËQ� ∑ ≠

≥’ ´

≤”≤ Ω

μ©’≥´”® X½U� «–≈

∫Ê√ Z²M¹ ” ?� W³�M�UÐ 5�dD�« ‚UI²ýUÐ

” œ

’ œ

≤’ ≥´”¥Ω ©” œ

’ œ ≥´±®

¥©’≥´”® μ

” œ

’ œ

≤’≥ ´ ”¥ Ω ” œ

’ œ

¥©’≥´”®±μ´

¥©’≥´”®μ

¥©’≥ ´ ”®μ ≠ ”¥ Ω ©

≤’≥ ≠ ¥©’≥ ´ ”®±μ®

” œ

’ œ

≤’≥≠

¥©’≥´”®±μ

¥©’≥´”®μ ≠”¥

Ω ” œ

’ œ ∴

©¥® ‰U¦�

©≥¨±≠® WDIM�« bMŽ ÂuÝd*« ≤∞Ω ’≤ ´”¥≠≤’´

≤” vM×MLK� ”UL*« W�œUF� bł

ÆtOKŽ WF�«u�«

∫Ê√ Z²M¹ ” dOG²LK� W³�M�UÐ W�öF�« w�dÞ ‚UI²ýUÐ

∞ Ω ” œ

’ œ ≤ ´ ¥≠

” œ

’ œ ’≤ ´ ”≤

∫ÊuJ¹ ©≥¨±≠® WDIM�« w� i¹uF²�UÐË

π¥

≥

¥

Ω

” œ

’ œ UNM� Ë ∞ Ω

” œ

’ œ ≤ ´ ¥ ≠

” œ

’ œ ∂ ´ ≤≠

≥

¥

ÍËU�¹ ©≥¨±≠® WDIM�« bMŽ vM×MLK� ÂuÝd*« ”UL*« qO� ∴

∫w¼ ”UL*« W�œUF� ∴

©±” ≠ ”®Â Ω ±

’ ≠ ’

©± ´ ”® ≥

¥

Ω ≥ ≠ ’

≥ ´ ”≥ Ω ±≤ ≠ ’¥

±μ

¥

´ ” ≥

¥

Ω ’

∫W¹d�J�« ÈuI�« WI²A� ∫W−O²½

±≠

Â

Ê”

Ê

Â

Ω ” œ

’ œ ∫ÊS� w³�½ œbŽ

Ê

Â

¨

Â

Ê” Ω ’ X½U� «–≈

∫ÊU¼d³�«

Â

Ê” Ω ’

Ê©

Â

Ê”® Ω

Ê’

Â” Ω

Ê’

∫” ?� W³�M�UÐ ‚UI²ýôUÐ

±≠Â

” Â Ω

” œ

’ œ

±≠Ê’Ê ⇐

±≠

Â

Ê”

Ê

Â

Ω

Â

Ê ´Â

≠±≠Â

” Ê

Â

Ω Â

Ê ≠

Â”

±≠Â”

× Ê

Â

Ω

± ≠ Ê©

Â

Ê”®

±≠Â”

× Ê

Â

Ω

±≠Ê’ Ê

±≠Â” Â

Ω

” œ

’ œ

©μ® ‰U¦�

Æ©∏®Ó‚ błËQ� ¨

≤

≥” Ω ©”®‚ ÊU� «–≈

±≠

≥”

≥

≤ Ω ©”®Ó‚

±≠≤

≥

≤ Ω

±≠

≥ ©≥≤®

≥

≤ Ω

±≠

≥ ©∏® ≥

≤ Ω ©∏® Ó‚

≥

± Ω

≤

±

≥

≤ Ω

πμ

©∂® ‰U¦�

Æ

± Ω ‰

¸‰ œ

Â œ błË√

±

¥ ‰∏ ´

μ

≥ ‰∂ ≠

¥

μ ‰ Ω Â sJ²�

≥≠

¥ ‰ ¥

± ∏ ´

≤

≥ ‰ ≥

μ ∂ ≠

±≠

μ ‰ μ

¥ Ω

‰ œ

Â œ

≥≠

¥ ‰≤ ´

≤

≥ ‰±∞ ≠

±≠

μ ‰ μ

¥ Ω

± ≤´± ±∞ ≠± μ

¥ Ω

‰ œ

Â œ ÊuJð ± Ω ‰ U�bMŽË

∑[≤≠ Ω

∫wðü« u×M�« vKŽ WIÐU��« W−O²M�« rOLFð sJL¹Ë

∫ÊS� ‚UI²ýö� qÐU� ©”®‚ ¨ w³�½ œbŽ Ê

Â

¨

Â

Ê ©©”®‚® Ω ’ X½U� «–≈

©”®Ó‚ ±≠

Â

Ê ©©”®‚® Ê

Â

Ω

” œ

’ œ

∫’Uš qJAÐË

©”®‚ √ ≤

©”®Ó‚ Ω

” œ

’ œ ∫ÊS� …œułu� ©”®Ó‚ ∞ < ©”®‚ ¨ ©”®‚ √ Ω ’ X½U� «–≈

©∑® ‰U¦�

Æ

≤ Ω ”

¸” œ

’ œ błËQ� ≤¥ ´

≥” √μ

Ω ’ X½U� «–≈

±

μ ©≤¥ ´ ≥”® Ω ’

©≤”≥®

¥≠

μ ©≤¥ ´ ≥”®

±

μ

Ω

” œ

’ œ

©±≤®

¥≠

μ ©≥≤® ±

μ

Ω

≤ Ω ”

¸” œ

’ œ

≥

≤∞ Ω

±≤ ±

±∂ μ Ω

π∂

©∏® ‰U¦�

Æ ” œ

’ œ błËQ� ∏´”´

≤” √ Ω ’ X½U� «–≈

∏´”´≤” √ ≤

©±´”≤® Ω

” œ

’ œ

©π® ‰U¦�

Æ ” œ

’ œ błËQ� μ ´

≤” Ω ’ ”≥ √ ÊU� «–≈

∫Ê√ Z²M¹ ” ?� W³�M�UÐ W�öF�« w�dÞ ‚UI²ýUÐ

”≤ Ω

’ ”≥ √ ≤

’ ≥´ ” œ

’ œ ”≥

’ ”≥ √ ”¥ Ω ’≥ ´ ” œ

’ œ ”≥

”≥

’≥ ≠ ’ ”≥ √ ”¥ Ω

” œ

’ œ

Æ” v�≈ W³�M�UÐ wMLC�« ‚UI²ýô« rŁ 5�dD�« lOÐd²Ð p�–Ë ¨Èdš√ WI¹dDÐ ‰U¦*« qŠ sJ1 ∫WEŠö�

π∑

©∑≠≤® s¹—U9

∫U¼¡«“≈ …—u�c*« WI²A*« bł ¨WO�U²�« U�öF�« s� q� w� ±

Ÿ œ

‰ œ ª ≥´

≤‰ Ω Ÿ μ ≠ ‰ Ÿ »

” œ

’ œ ª μ ≠”≥ Ω

≤’´’ ” √

” œ

’ œ ª ¥≠”≥´

¥≠

μ ”±∞´

≤

≥ ” ∂ Ω ’ œ ” œ

’ œ ª

≤’≠”≥ Ω μ©’≤´”® ?ł

©≤® Ó‚ ª ∑ ´ ” ≠≤” √ Ω ©”®‚ Ë

μ≠ Ω ”

¸” œ

‰ œ ª

±∏ ´ ”≤ ≥√

Ω ‰ ?¼

” œ

’ œ ª μ≠’≥´

≤” Ω ’´”≥ √ “

‰ ≥√

≤ Ω

” œ

‰ œ ≤” π ∫ Ê√ X³ŁQ�

≥©¥≠

≥”® √ Ω ‰ X½U� «–≈ ≤

· √ ≥ Ω Ÿ ∫W�öF�« o�Ë r�ł „d×²¹ ≥

ÆXÐUŁ Ÿ—U�²Ð dO�¹ r�'« «c¼ Ê√ X³Ł√ ¨VOðd²�« vKŽ WŠ«“ù«Ë WŽd��« UL¼ ·¨Ÿ

Æ ≥’

±≠ Ω

≤” œ

’ ≤œ

∫ Ê√ X³ŁQ� ± Ω≤’ ≠

≤” ÊU� «–≈ ¥

”UL*« W??�œU??F??� b???łË√ r??Ł ±π Ω≤’ ´’ ” ´

≤” ∫W�öF�« vM×M� vKŽ lIð ©≤¨≥® WDIM�« Ê√ =5Ð μ

ÆU¼bMŽ vM×M*« vKŽ ÍœuLF�«Ë

∂ Ω ’ U�bMŽ

Ÿ œ

” œ błËQ� ∏´

≤’ ≠’μ Ω Ÿ ¨ ±∏ Ω ’ ”≥´≤’ ÊU� «–≈ ∂

Æ©≤ ¨ ±® WDIM�« bMŽ ∂ Ω ’ ”´≤’ ∫W�öF�« vM×M* ÂuÝd*« ”UL*« W�œUF� bł ∑

∫5ðdz«b�« Ê√ q{UH²�« »U�Š Â«b�²ÝUÐ =5Ð ∏

∞ Ω ±∞≠’´”≤´≤’´

≤” ∞ Ω ≤μ´’∂≠”±≤ ≠≤’´

≤”

Æ©±¨≤® WDIM�« bMŽ ÊU²ÝUL²�

Æ©± ¨ ≤® WDIM�« bMŽ

’≤œ

≤”œ

błËQ� ” Ω ’´≥’ X½U� «–≈ π

ÆÎUOI�√ U¼bMŽ ”UL*« ÊuJ¹ w²�«Ë ¨∞ Ω ¥ ´ ’ ” ≠ ≤” vM×M*« vKŽ WF�«u�« ◊UIM�«ØWDIM�« błË√ ±∞

π∏

W¹dz«b�« U½«d²ô« UI²A� ∏≠≤

WOI�«u²�« W�d(« ∫q¦� W¹—Ëb�« WH� qL% w²�« d¼«uE�« s� dO¦J�« n�Ë w� W¹dz«b�« U½«d²�ô« Âb�²�ð

dO¦� rN� w� W�Uš WOL¼√ U½«d²�ô« Ác¼ UI²A� WÝ«—œ `M1 U2 U¼dOžË ¨WO�OÞUMG�ËdNJ�« ‰uI(«Ë ¨WDO�³�«

ÆWOFO³D�« d¼«uE�« s�

∫©±® W¹dE½

Æ” U²ł Ω ©”®Ó‚ ÊS� ¨Ídz«b�« d¹bI²�UÐ ” ¨”Uł Ω ©”®‚ ÊU� «–≈

∫ÊU¼d³�«

?¼

©”®‚ ≠ ©?¼ ´ ”®‚

∞ ← ?¼

Ω ©”®Ó‚

?¼

” Uł ≠ ©?¼ ´ ”®Uł

∞ ← ?¼

Ω

?¼

” Uł ≠ ?¼ Uł ” U²ł ´ ?¼ U²ł ”Uł

∞ ← ?¼

Ω

?¼

?¼ Uł ” U²ł

∞ ← ?¼

´ ©?¼

± ≠ ?¼ U²ł ® ” Uł

∞ ← ?¼

Ω

?¼

?¼ Uł

∞ ← ?¼

× ” U²ł ´ ?¼

± ≠ ?¼ U²ł

∞ ← ?¼

× ” Uł

∞ ← ?¼

Ω

©≤¥ W×H� ≥ ‰U¦� dE½« ¨ dH� Ω ?¼

± ≠ ?¼ U²ł

∞ ← ?¼

YOŠ® ¨ ± × ” U²ł ´ dH� × ” Uł Ω

” U²ł Ω

©±® ‰U¦�

Æ©π∂

®Ó‚ błËQ� ” Uł Ω ©”® ‚ ÊU� «–≈

” U²ł Ω ©”®Ó‚

≤

≥ √ Ω ©

π∂

®U²ł Ω ©π∂

®Ó‚

ππ

©≤® ‰U¦�

Æ©”® Ó ?¼ błËQ� ”Uł ≤” Ω ©”® ?¼ ÊU� «–≈

” Uł ”≤ ´” U²ł ≤” Ω ©”® Ó ?¼

©≥® ‰U¦�

Æ ’œ

” œ

błËQ� ©”≥≠μ® Uł Ω’ X½U� «–≈

©”≥≠μ® U²ł ≥≠ Ω ≥≠ ©”≥≠μ® U²ł Ω

’œ

” œ

©¥® ‰U¦�

Æ

π

Ω ”

¸” œ

Ÿ œ błË√ ©” Uł® Uł Ω Ÿ ÊU� «–≈

” U²ł ©©” Uł® U²ł® Ω

Ÿ œ

” œ

π U²ł ©©π Uł® U²ł® Ω

Ÿ œ

” œ ÊS� π Ω ” U�bMŽË

±≠ Ω±≠ ± Ω π U²ł ∞ U²ł Ω

∫©≤® W¹dE½

” Uł ≠ Ω ©”®Ó‚ ÊS� ¨ ” U²ł Ω ©”®‚ ÊU� «–≈

∫ÊU¼d³�«

©”≠ ≤

® Uł Ω ” U²ł Ω ©”® ‚

” Uł≠ Ω ±≠ ©”≠ ≤

® U²ł Ω ©”®Ó‚

©μ® ‰U¦�

©”® Ó?¼ błËQ� ©”≤≠±®

≥U²ł Ω©”®?¼ ÊU� «–≈

≥

©©”≤≠±® U²ł® Ω ©”®?¼

≤≠ ©©”≤≠±® Uł ≠® ≤

©©”≤≠±® U²ł®≥ Ω ©”® Ó ?¼

©”≤≠±® Uł ©”≤≠±®≤U²ł ∂ Ω

±∞∞

©∂® ‰U¦�

’ œ

” œ

błËQ� ” Ω ©’ ”®U²ł ÊU� «–≈

∫Ê√ Z²M¹ ” v�≈ W³�M�UÐ W�öF�« w�dÞ ‚UI²ýUÐ

± Ω ©’ ´ ’ œ

” œ

”® ©’ ”® Uł≠

©’ ”® Uł ’ ´ ± Ω ” œ

’ œ ©’ ”® Uł ”≠

©’ ”® Uł ”

©’ ”® Uł ’ ´ ± ≠ Ω

©’ ”® Uł ”≠

©’ ”® Uł ’ ´ ± Ω

” œ

’ œ

∫Èdš_« W¹dz«b�« U½«d²ô« UI²A� ∫©≥® W¹dE½

” ≤U� Ω

” œ

’ œ ÊS� ” Uþ Ω ’ X½U� «–≈ ±

”≤U²�≠ Ω

” œ

’ œ ÊS� ” U²þ Ω ’ X½U� «–≈ ≤

” Uþ ” U� Ω ” œ

’ œ ÊS� ” U� Ω ’ X½U� «–≈ ≥

” U²þ ” U²�≠ Ω ” œ

’ œ ÊS� ” U²� Ω ’ X½U� «–≈ ¥

∫ÊU¼d³�«

” Uł

” U²ł Ω ” Uþ Ω ’ ±

”≤U� Ω

±

”≤ U²ł

Ω

”≤Uł´”

≤U²ł

”≤U²ł

Ω

” Uł − ” Uł ≠ ” U²ł ” U²ł

”≤U²ł

Ω

’ œ

” œ

ÆWKŁU2 WI¹dDÐ ¥ ¨ ≥ ≤ bŽ«uI�« W×� vKŽ WM¼d³�« sJ1Ë

±∞±

©∑® ‰U¦�

Æ ’ œ

” œ

błË√ ”μ ≤U²� ≠” Uþ ≤ Ω ’ X½U� «–≈

≤©”μ U²�® ≠” Uþ ≤ Ω’

μ ©”μ U²þ ” μ U²�≠® ±©” μ U²�®≤ ≠”

≤U�≤ Ω

’ œ

” œ

” μ U²þ ” μ ≤U²� ±∞´”

≤U� ≤ Ω

©∏® ‰U¦�

w½«u¦�UÐ ©Ê® s�e�«Ë —U²�_UÐ · WŠ«“ù« 5Ð W�öF�« w¼ Ê≤ U²ł ´Ê ≥ Uł Ω · X½U� «–≈

Æπ∂

Ω Ê U�bMŽ r�'« «c¼ Ÿ—U�ðË WŽdÝ błËQ� ¨rOI²�� jš vKŽ „d×²¹ r�'

Ê ≤ Uł ≤≠ Ê ≥ U²ł ≥ Ω

· œ

Ê œ Ω Ÿ

π≥

Uł ≤ ≠ π≤

U²ł ≥ Ω Ÿ ÊS� π∂

Ω Ê U�bMŽË

ÀØÂ ≥ √ ≠ Ω

≥ √≤

≤ ≠ ∞ Ω Ÿ

Ê ≤ U²ł ¥ ≠ Ê ≥ Uł π≠ Ω

Ÿ œ

Ê œ Ω

π≥

U²ł ¥ ≠ π≤

Uł π≠ Ω ÊS� π∂

Ω Ê U�bMŽË

±

≤

¥≠ π≠ Ω

≤ÀØÂ ±±≠Ω

±∞≤

©∏≠≤® s¹—U9

∫ ’ œ

” œ

błË√ WO�U²�« U½«d²�ô« s� q� w� ±

”≤U²ł´”≤

Uł Ω’ » ” U²ł≤ ≠” Uł ≥ Ω ’ √

©”

≤

® U²ł ¥Ω’ œ ≤

” Uþ ≠ ≥

Ω’ ?ł

” ´ π √ U²� Ω’ Ë ”≤U� ≠”≤

Uþ Ω’ ?¼

©”≥ Uł® U� Ω’ ?Š ©” ≠μ®≥U²þ Ω’ “

Æ ’ œ

” œ

błËQ� ”≥ U²ł´μ Ω Â Â Uł´≥ Ω ’ X½U� «–≈ ≤

Æ ”≤ Uł ≤ Ω

’ œ

” œ Ê√ X³ŁQ� ¨ ”≤ Uł ” Uþ Ω ’ X½U� «–≈ ≥

Æ

’ œ

” œ

błËQ� ”≤ U²þ ≠ ” ≥ Ω ©’ ”® Uł ÊU� «–≈ ¥

”UL*« ÊuJ¹ w²�«Ë ¨› π≤ ¨ ∞¤ ∋ ” ¨ ”≤ U²ł ≠” Ω ©”® ‚ vM×M� vKŽ WF�«u�« ◊UIM�«ØWDIM�« bł μ

Æ UMO��« —u; ÎU¹“«u� UNM� Ìq� bMŽ vM×MLK� ÂuÝd*«

Æ ©±¨

≤® WDIM�« bMŽ ©’ ”® Uł Ω’ vM×M* ÂuÝd*« ”UL*« W�œUF� bł ∂

Æ©”® Î ?¼ błËQ� Æ” ≥ U� Ω ©”® ?¼ ÊU� «–≈ ∑

Æ©’≥´±® ©’´±®≤ Ω

’ ≤œ

≤” œ

∫Ê√ X³ŁQ� ” ≤Uþ Ω’ X½U� «–≈ ∏

Æ dH� Ω ’ ´ ’ œ

” œ

´

’ ≤œ

≤” œ

´ ’

≥œ

≥” œ

Ê√ X³ŁQ� ” U²ł≤ ´” Uł Ω’ X½U� «–≈ π

Ê√ X³Ł√ ¨XÐ«uŁ ?ł ¨ » ¨ YOŠ ¨ ©?ł ´ Ê »® U²ł Ω · W�öF�« o�Ë rOI²�� jš w� r�ł dO�¹ ±∞

Æw½«u¦�UÐ Ê s�e�« ¨—U²�_UÐ · WŠ«“ù« ÊQÐ ÎULKŽ ¨· ≤»≠ Ω r�'« Ÿ—U�ð

±∞≥

W�UŽ s¹—U9

∫wK¹ ULO� W×O×B�« WÐUłù« e�— ‰uŠ …dz«œ l{ ±

∫ÍËU�ð ©±®‚ ÊS� ∏ Ω ©≥®‚ X½U�Ë ¥ ÍËU�¹ ≥ Ω ” ¨ ± Ω ” 5Ð ©”®‚ Ê«d²�ô« dOGð jÝu²� ÊU� «–≈ ±

¥ œ dH� ?ł ≤ » ±∂ √

∫ÍËU�ð ©±≤®Ó‚ ÊS� ¨ ›μ´”

±

≥ ¤ Ω ©”®‚ ÊU� «–≈ ≤

¥ œ dH� ?ł …œułu� dOž »

±

≥ √

w� ©≤”®‚ Ê«d²�ô« dOGð jÝu²� ÊS� π ÍËU�¹ ›±∂ ¨ ±¤ …d²H�« w� ©”®‚ Ê«d²�ô« dOGð jÝu²� ÊU� «–≈ ≥

∫ÍËU�¹ ›¥ ¨ ±¤ …d²H�«

ÁœU−¹≈ sJ1 ô œ π ?ł ≥ » ¥μ √

∫ÍËU�ð

”≤ U²ł ≠ ©?¼≠”≤® U²ł

?¼

∞ ← ?¼

¥

”≤Uł≠ œ ”≤Uł ?ł ”≤Uł≤≠ » ”≤Uł≤ √

∫ÍËU�ð ©≤

® Ó ©?¼ ° ‚® ÊS� ”U²ł ≤Ω©”®?¼ ¨ ”Uł Ω ©”®‚ ÊU� «–≈ μ

≤≠ œ ≤ ?ł ±≠ » ± √

∫ÍËU�ð ©±

¥®Ó©?¼ ° ‚® ÊS� ” √ Ω ©”®?¼ ¨ ± ≠ ” ´

≤”≤ Ω ©”®‚ ÊU� «–≈ ∂

±≠

≤ œ ≥≠ ?ł

±

≤ » ≥ √

∫ÍËU�ð ≥≠

∂©?¼´±®≥

?¼ ≤

∞ ← ?¼

∑

≥ œ π ?ł ±∏ » …œułu� dOž √

∫ÍËU�ð © ®‚≠©?¼´ ®‚

?¼

∞ ← ?¼

ÊS� ”≤Uþ Ω ©”®‚ ÊU� «–≈ ∏

W�dF� dOž œ dH� ?ł ≤≠ » ≤ √

∫ÍËU�ð ”

≥Uł≠©?¼≤´”®

≥Uł

?¼ ≥

∞ ← ?¼

π

”≤U²ł œ ”≤Uł ” Uł ?ł ”

≤U²ł

≤

≥ »

”≤Uł≤ √

±∞¥

∫ÍËU�ð ©”® Ó‚ ÊS� ©≤”®?¼ Ω ©”®‚ ÊU� «–≈ ±∞

©≤”® Ó ?¼ ”≤ œ ©”® Ó ?¼ ”≤ ?ł ©”≤® Ó ?¼ »

©

≤”® Ó ?¼ √

ÊS� ± Ω ” bMŽ „d²A� ”U??2 ” » ´≤”≤Ω ©”®???¼ ¨ ±´

≤” Ω ©”®‚ 5½«d²�ô« wOM×M* ÊU� «–≈ ±±

∫ UL¼ VOðd²�« vKŽ » ¨ w²LO�

Æ5²ÐU¦�« œU−¹ù wHJð ô …UDF*« U�uKF*« œ ≥¨≤ ?ł ¥¨≥ » ≤¨≥ √

∫U�bMŽ ÎU¹œbŽ ÊU¹ËU�²¹ tŽ—U�ðË r�'« «c¼ WŽdÝ ÊS� ¨Ê∂≠≤ÊΩ· W�öF�« o�Ë rOI²�� jš vKŽ r�ł „d% «–≈ ±≤

W�d(« ¡bÐ bMŽ œ ¥ Ω Ê ?ł ≥ Ω Ê » ≤ Ω Ê √

∫ÍËU�ð ©±® Ó‚ ÊS�

± ” ”≥ ´ ≤” √

± ” ¨ ≥≠”μ

Ω©”®‚ ÊU� «–≈ ±≥

…œułu� dOž œ ± ?ł ∏ » μ √

∫ÍËU�ð WLO� ÊS� ´≤” Ω ’ T�UJ*« lDIK� ÎUÝU2 ” Ω ’ rOI²�*« ÊU� «–≈ ±¥

dH� œ

±

¥ ?ł ≤ »

±

≤ √

∫ÍËU�ð ©≥®Ó‚ ÊS� ∂ Ω’≥≠”≤ ∫w¼ ©∞¨≥® WDIM�« bMŽ ©”®‚ vM×M� vKŽ ÍœuLF�« W�œUF� X½U� «–≈ ±μ

≥≠

≤ œ

≤≠

≥ ?ł

≤

≥

»

≥

≤

√

∫ ULNM� q� ¡«“≈ WMO³*« WDIM�« bMŽ ‚UI²ýö� 5OO�U²�« 5½«d²�ô« WOKÐU� w� Y×Ð« ≤

∞ Ω ”

∞ ” ” ´±

∞ ” ” ≠±

Ω ©”®‚ √

≤ Ω ”

≤ ”

≤≠”

≤≠”

≤ Ω ” ±

Ω ©”®?¼ ÊU� «–« »

∫wK¹ U2 W�UŠ q� w� ’ œ

” œ błË√ ≥

∞ ”

± ´ ≤”

μ ´ ∑”

” Ω ’ »

±

π ´

≤” μ ´

∑” Ω ’ √

± ´ ≤” √ Uł Ω ’ œ ± Ω ’ ” √ ?ł

π≤

Ω ”

bMŽ ©”

Uł ´ ± ® ”

U²ł Ω ’ Ë ” ≤ U� ≠ ”

≤Uþ Ω

’ ?¼

±∞μ

©¥≠ ¨ ≥® WDIM�« bMŽ

’≤

œ

≤”œ

∫błËQ� ¨≤μ Ω ≤’

´ ≤”

ÊU� «–« ¥

Æ»¨ 5²ÐU¦�« błËQ� ≤ Ω ” bMŽ ‚UI²ýö� ÎöÐU�

≤ ”

±

±≠”

≤ ” » ´≤

”

Ω ©”

® ?¼ ÊU� «–« μ

ø WLO� UL� ≤± Ω

©?¼´±®Ó‚≠©±®Ó‚

?¼≤∞ ← ?¼

X½U�Ë ≥” ≠

¥”≤ Ω ©”®‚ ÊU� «–≈ ∂

Æ∞ © ® Ó ?¼¨

© ® Ó ?¼

© ® Ó‰

Ω© ®‚ Ê√ X³ŁQ� ¨ ∞ Ω© ® Ó‚¨ Ω” bMŽ ‚UI²ýö� ÎöÐU�

©”®‰

©”®?¼

Ω ©”®‚ ÊU� «–≈ ∑

Æ©±¨≤® bMŽ

’œ

”œ

błËQ� ©’≤®‚Ω≤” ÊU�Ë ∂ Ω ©≤® Ó‚ ¥ Ω ©≤®‚ X½U� «–≈ ∏

Æ”≤

U� ©’´±®≤ Ω

’≤

œ

≤”œ

Ê√ s¼d³� ”Uþ ” Ω ’ X½U� «–≈ π

∫błËQ� ∏ Ω ©±∑® Ó‰ ± Ω ©μ® Ó‰ ©±´≤”®‰ Ω ©”®‚ ÊU� «–≈ ±∞

©¥®‚ ≠ ©≤

”®‚

≤ ≠”≤ ←

”

»

©≤®‚≠©?¼´≤®‚

?¼ ∞ ← ?¼

√

±Ω” ∞Ω” bMŽ ©”® Ó ?¼ ©”® Ó‚¨ ©”®?¼ ¨ ©”®‚ rO� q¦1 w�U²�« ‰Ëb'« ±±

”©”®‚©”®?¼©”®Ó‚©”® Ó ?¼

∞≤±±≠∞

±∞≤≤≠±≠

∫wK¹ U2 q� w� WMO³*« ”

WLO� bMŽ©”®Ó‰ bł

∞ Ω ” ¨

©”®≤

‚

©”

®?¼

Ω ©”®‰ »

± Ω ” ¨ ©©”

®?¼≤≠±® ©”®‚ Ω ©”®‰ √

ÆÊ«b�UF²� UMO �« —u×� l� tFÞUIð w²DI½ bMŽ ∂´”μ≠≤” Ω ©”®‚ Ê«d²�ô« vM×M* 5ÝUL*« Ê√ X³Ł√ ±≤

Ê«d²�ô« vM×M� vKŽ ÍœuLF�« Ë ”UL*« Ë UMO �« —u×� 5Ð …—uB;« WO¦K¦*« WIDM*« WŠU � bł ±≥

ÆtOKŽ WF�«u�« ©μ¨¥® WDIM�« s�±≥´”

∂≠≤”

Ω ©”®‚

±∞∂

q???{UH²�« U??IO³Dð ≥

…b???????Šu???????�«

±∞∑

(Mean Value Theorem) WDÝu²*« WLOI�« W¹dE½ ±≠≥

ÂuKF�« s� U¼dOžË ¨W¹œUB²�ô«Ë ¨WOzU¹eOH�«Ë ¨WOÝbMN�« UIO³D²�« s� dO¦� w� WLN� U�«b�²Ý« WI²ALK�

Ác¼ w� UNM� b¹e*« ·dF²MÝË ¨WIÐU�« …bŠu�« w� UIO³D²�« pKð iFÐ UM�dFð Ê√ o³Ý b�Ë ªWO½U½ù« ·—UF*«Ë

¨WD³ðd*« WOM�e�« ôbF*« p�c�Ë ¨WO½UO³�« UN�uÝ—Ë ¨ÈuBI�« UNLO�Ë ¨UNB�UMðË ¨ U½«d²�ô« b¹«eð q¦� …bŠu�«

W¹dE½ w¼Ë ÂUŽ tłuÐ q�UJ²�«Ë q{UH²�« rKŽ w�Ë …bŠu�« Ác¼ w� WLN*« ZzU²M�« s� dO¦� UN� W¹dE½ ÎôË√ ”—bMÝË

ÆWDÝu²*« WLOI�«

t� v�Ë_« WI²A*« Í√ Ê«d²�ô« dOGð ‰bF�Ë U� …d²� vKŽ Ê«d²�ô« dOGð jÝu²� 5Ð W�öF�« W¹dEM�« Ác¼ ‰ËUM²ð

Æ…d²H�« pKð w� WDI½ bMŽ

∫WDÝu²L�« WLOI�« W¹dE½

bŠ«Ë wIOIŠ œbŽ błu¹ t½S� ¨¤ »¨ › vKŽ ‚UI²ýö� ÎöÐU�Ë ›»¨ ¤ vKŽ ÎöB²� ÎU½«d²�« ©”®‚ ÊU� «–≈

≠ »

© ®‚ ≠ ©»®‚ Ω©?ł® Ó‚ Ê≈ YO×Ð ¨¤ »¨ › ∋ ?ł q�_« vKŽ

Ê«d²�ö� v�Ë_« WI²A*« Ê≈ YO×Ð ¤»¨ › ∋ ?ł q�_« vKŽ bŠ«Ë wIOIŠ œbŽ œułË WDÝu²*« WLOI�« W¹dE½ b�Rð

Æ›»¨ ¤ w� Ê«d²�ô« dOGð jÝu²� ÍËUð ?ł bMŽ

qO� ÍËU¹ ?ł Ω ” U�bMŽ Ê«d²�ô« vM×M* ”UL*« qO� Ê√ Í√

¨ ©© ®‚¨ ® 5???²DIM�« bMŽ Ê«d²�ô« v????M×M* lÞUI�« rOI²????*«

ÆÊU¹“«u²� lÞUI�«Ë —u�c*« ”UL*« Ê√ wMF¹ «c¼Ë ©©»®‚ ¨»®

q???B²*« ©”®‚ Ê«d??²�ô« vM×M� —ËU??−*« ©±≠≥® qJý 5³¹

…d²H�« vKŽ ‚UI²ýö� qÐUI�«Ë › » ¨ ¤ W??IKG*« …d²H�« vKŽ

bMŽvM×MLK� ÊUÝU2 błu¹ qJA�« «c¼ w�Ë Æ¤ »¨ › WŠu²H*«

ÆlÞUI�« ÊU¹“«u¹ ≤ ?ł Ω ”¨

± ?ł Ω ”

’

”

±

?ł ≤

?ł »

lÞU�

©©»®‚ ¨»®

©© ®‚ ¨ ®

”U2

”U2

©±≠≥® qJA�«

±∞∏

©±® ‰U¦�

…d²H�« vKŽ WDÝu²*« WLOI�« W¹dE½ ◊Ëdý oI×¹ ≥≠”≤ ´ ≤” Ω©”®‚ Ê«d²�ô« Ê√ 5Ð

Æ W¹dEM�« U¼œb% w²�« ?ł rO�Ø WLO� bł rŁ ¨ › ≤¨≤≠¤

∫W¹d?EM�« ◊Ëdý w� Y×³�« ∫ÎôË√

ÆœËbŠ dO¦� t½_ › ≤¨≤≠¤ vKŽ qB²� ‚ √

Æ œËbŠ dO¦� t½_ ¤ ≤¨≤≠› vKŽ ‚UI²ýö� qÐU� ‚ »

›≤¨≤≠¤ …d²H�« vKŽ WDÝu²*« WLOI�« W¹dE½ ◊Ëdý oI×¹ ‚ ∴

∫?ł rO� Ø WLO� œU−¹≈ ∫ÎUO½UŁ

©≤≠®‚ ≠ ©≤®‚

©≤≠® ≠ ≤ Ω © ?ł ® Ó‚

≤ Ω ≥ ´ μ

¥ Ω

≤ ´ ”≤ Ω ©”®Ó‚ Ê≈ YOŠË

≤ Ω ≤ ´ ?ł≤ Ω ©?ł® Ó‚ ∴

¤≤¨≤≠› ∋ ∞ Ω ?ł UNM�Ë

Æ©≤≠≥® qJý w� rÝd�« dE½«

”

± ≥ μ

’

μ≠ ≥≠ ±≠

©μ ¨≤®

©≥≠ ¨ ≤≠®

lÞ

U�”

U2

μ

≥

±

≥≠

μ≠

©≤≠≥® qJA�«

©≤® ‰U¦�

± ≥ ” ≤≠≤”

± < ” ≥≠”≤

Ω ©”®‚ Ê«d²�ô« oI×¹ q¼

ø › ≥¨±≠ ¤ …d²H�« vKŽ WDÝu²*« WLOI�« W¹dE½ ◊Ëdý

ÆW¹dEM�« U¼œb% w²�« © błË Ê≈® ?ł rO�Ø WLO� 5Ž


∫›≥¨±≠ ¤ vKŽ ‰UBðô« √

Æ œËbŠ dO¦� t½_ ¤±¨±≠¤ vKŽ qB²� ‚ Ê«d²�ô«

±∞π

Æ œËbŠ dO¦� t½_ › ≥¨± › vKŽ qB²� ‚ Ê«d²�ô«

±≠ Ω ©≥≠”≤®´

± ← ”

Ω ©”®‚´

± ← ”

±≠ Ω ©≤≠≤”®

≠ ± ← ”

Ω ©”®‚≠

± ← ”

±≠ Ω ≤≠± Ω ©±®‚

± Ω ” bMŽ qB²� ‚ ∴

Æ ›≥¨±≠¤ vKŽ qB²� ‚ ∴

∫ ¤ ≥¨±≠ › vKŽ ‚UI²ýô« WOKÐU� »

± > ” ”≤

± < ” ≤

Ω ©”®Ó‚

≤Ω± ≤Ω ≠©±® Ó‚ ¨ ≤ Ω

´©±® Ó‚ ± Ω ” bMŽ qB²� ‚ Ê√ U0 Ë

…œułu� ©±® Ó‚ ∴

Æ ¤ ≥¨±≠› vKŽ ‚UI²ýö� qÐU� ‚ ∴

Æ ›≥¨±≠¤ vKŽ WDÝu²*« WLOI�« W¹dE½ ◊Ëdý oI×¹ ‚ ∴

∫?ł rO� Ø WLO� œU−¹≈ ∫ÎUO½UŁ

± Ω

©±≠® ≠ ≥

¥ Ω

©±≠®‚ ≠ ©≥®‚

©±≠® ≠ ≥ Ω ©?ł® Ó‚

± ≥ ” > ±≠ ”≤Ω ©”®Ó‚ Ê≈ YOŠË

± ≥ ?ł > ±≠ ± Ω ?ł≤ Ω ©?ł® Ó‚ ∴

±

≤

Ω ?ł ∴

± ≠ ≤ Ω ©”®Ó‚ ÊS� ¨ ± < ” U�bMŽË

± < ” U�bMŽ W¹dEM�« oI% ?ł błuð ô ∴

ÆW¹dEM�« UNMOFð w²�« ¤ ≥¨±≠› …d²H�« w� …bOŠu�« WLOI�« w¼ ±

≤

Ω ?ł ∴

±±∞

©≥® ‰U¦�

±≠ ≥ ” ≥ ≤≠ ≤´ ”

± ≥ ” > ±≠ ≤”

Ω ©”®‚ Ê«d²�ô« sJO�

ø›±¨≤≠¤ …d²H�« vKŽ WDÝu²*« WLOI�« W¹dE½ ◊Ëdý ©”®‚ oI×¹ q¼

ø

©≤≠®‚ ≠ ©±®‚

©≤≠® ≠ ± Ω ©?ł® Ó‚ YO×Ð ¤±¨≤≠› ∋ ?ł błuð q¼


∫ ›±¨≤≠¤ vKŽ ©”®‚ ‰UBð« √

Æ©ø «–U*® ›±¨≤≠¤ vKŽ qB²� ©”®‚

∫¤±¨≤≠› vKŽ ‚UI²ýö� ‚ WOKÐU� »

±≠ > ” > ≤≠ ±

± > ” > ±≠ ”≤

Ω ©”®Ó‚

± Ω ≠©±≠®Ó‚ ¨≤≠ Ω ±≠ × ≤ Ω

´©±≠®Ó‚ ±≠ Ω ” bMŽ qB²� ‚ Ê√ U0Ë

Æ…œułu� dOž©±≠®Ó‚ ∴

Æ›±¨≤≠¤ …d²H�« vKŽ WDÝu²*« WLOI�« W¹dE½ ◊Ëdý oI×¹ ô ©”®‚ ∴

Æ©W¹dEM�« ◊Ëdý oI% ÂbŽ wMF¹ W¹dEM�« wÞdý s� Í√ oI% ÂbŽ Ê√ kŠô®

∫?ł œułË ∫ÎUO½UŁ

U¼œb% w²�« ?ł œu??łË ÂbFÐ Âe??'« p�– s� sJ1 ô t½S� d�«u²ð r� W¹dEM�« ◊Ëd??ý Ê√ U0

∫Ê«d²�ô« WI²A* œuF½ p�– w� Y×³K�Ë ¨W¹dEM�«

±

≥

Ω ∞ ≠ ±

≥ Ω

©≤≠®‚ ≠ ©±®‚

©≤≠® ≠ ± Ω ©?ł® Ó‚

± > ” > ±≠ ¨ ”≤Ω©”®Ó‚ Ê≈ YOŠË

± > ?ł > ±≠ ¨ ?ł≤Ω©?ł® Ó‚ ∴

¤ ±¨ ±≠ › ∋ ±

∂

Ω ?ł ⇐ ±

≥

Ω ?ł≤ ∴

Æ¤ ±≠ ¨ ≤≠ › ∋ ?ł błuð ôË

ÆW¹dEM�« W−O²½ oI% w²�« ¤ ± ¨ ≤≠ › …d²H�« w� …bOŠu�« WLOI�« w¼ ±

∂

Ω ?ł ∴

±±±

w�½dH�« w{U¹d�« r�UF�« rÝUÐ ‰Ë— W¹dE½ …UL�*« W¹dEM�« wK¹ ULO dc½ WDÝu²*« WLOI�« W¹dE½ s� W�Uš W�U×

ÆÂ±∂π± ÂUŽ w W¹dEM�« WžUO� w qCH�« t� ÊU Íc�« ‰Ë— qOAO�

∫©Rolle's Theorem® ‰Ë— W¹dE½

t½S�¨©»®‚Ω© ®‚ ÊU� Ë ¨¤ »¨ ›vKŽ ‚UI²ýö� ÎöÐU�Ë ¨›»¨ ¤ vKŽ ÎöB²� ÎU½«d²�« ©”®‚ ÊU� «–≈

ÆdH� Ω ©?ł® Ó‚ Ê≈ YO×Ð ¤ »¨ › ∋ ?ł q�_« vKŽ bŠ«Ë wIOIŠ œbŽ błu¹

›»¨ ¤ vKŽ ÎöB²� ÎU½«d²�« ©”®‚ ÊU� «–≈ t½√ W¹dEM�« b�Rð

ÊU� Í√ ©»®‚ Ω © ® ‚ ÊU�Ë ¨¤ » › vKŽ ‚UI²ýö� ÎöÐU� Ë

©©»®‚ ¨»® ©© ® ‚ ® 5²DIM�« bMŽ Ê«d²�ô« vM×M* lÞUI�«

YO×Ð ¤»¨ › …d²H�« w� ?ł q�_« vKŽ WLO� błu¹ t½S� ¨ÎUOI�√

ÆÎUOI�√ ©©?ł®‚ ¨ ?ł® WDIM�« bMŽ Ê«d²�ô« vM×M* ”UL*« ÊuJ¹

Æ©≥≠≥® qJA�« dE½«

’

”

?ł »

wI�√ ”UL*«

©© ®‚¨ ® wI�√ lÞUI�«©©»®‚¨»®

©≥≠≥® qJA�«

©¥® ‰U¦�

Æ ›π≤¨∞¤ …d²H�« vKŽ ‰Ë— W¹dE½ ◊Ëdý oI×¹ ”U²ł´”Uł Ω ©”®‚ Ê«d²�ô« Ê√ 5Ð

ÆW¹dEM�« U¼œb% w²�« ?ł rO�Ø WLO� błË√ rŁ


ÆUNð«– …d²H�« vKŽ 5KB²� 5½«d²�« ŸuL−� t½_ ›π≤¨∞¤ vKŽ qB²� ‚ √

ÆUNð«– …d²H�« vKŽ ‚UI²ýö� 5KÐU� 5½«d²�« ŸuL−� t½_ ¤ π ≤¨∞› vKŽ ‚UI²ýö� qÐU� ‚ »

±Ω π≤U²ł´ π≤Uł Ω ©π ≤®‚ ±Ω∞U²ł´∞Uł Ω ©∞®‚ ?ł

©π≤®‚ Ω ©∞®‚ Ê√ Í√

Æ‰Ë— W¹dE½ ◊Ëdý oI×¹ ‚ ∴

dH� Ω ©?ł® Ó‚ ∫ÎUO½UŁ

¤π≤¨∞› ∋ ”¨”Uł≠”U²ł Ω ©”®Ó‚ Ê≈ YOŠË

π ≤ > ?ł > ∞ ¨ ∞ Ω ?łUł ≠ ?łU²ł Ω ©?ł® Ó‚ ∴

±±≤

?łU²ł Ω ?łUł ∴

± Ω ?łUþ ∴

¤π≤¨∞› ∋ π μ

¥ ¨

π¥

Ω ?ł ∴

©μ® ‰U¦�

rŁ ¨©¥≠≥® qJA�« w� 5K¦L*« 5½«d²�ô« s� q� w� ‰Ë— W¹dE½ ◊Ëdý oI×²ð ô «–U* 5Ð

ÆdH� Ω ©?ł® Ó‚ Ê≈ YO×Ð ¤ »¨ › ∋ ?ł błuð ULNM� Í√ w� 5Ž

’

”

»

©”®≤‚

»

’

”

»

√

©”®±‚

©¥≠≥® qJA�«

Ê_ ‰Ë— W¹dE½ ◊Ëd??ý oI×¹ ô ©”®±‚ Ê«d²�ô«

¤ »¨ › ∋ ?ł błuð p�– l�Ë ¨©»®‚ ≠ © ®‚

ÆdH� Ω ©?ł® Ó‚ Ê≈ YO×Ð

Æ©μ≠≥® qJA�« kŠô

’

”

?ł »

©”®±‚

©μ≠≥® qJA�«

dOž t½_ ‰Ë— W¹dE½ ◊Ëdý oI×¹ ô ©”®≤‚ Ê«d²�ô«

W¹Ë«e�« ”√— k??Šô® Æ¤ »¨ › vKŽ ‚UI²ýö� qÐU�

¤ »¨ › ∋ ?ł błuð ôË ¨©bOŠË ”U2 błu¹ ô YOŠ

ÆdH� Ω ©?ł®Ó‚ Ê≈ YO×Ð

Æ©∂≠≥® qJA�« kŠô

’

”

»

©”®≤‚

©∂≠≥® qJA�«

±±≥

©∂® ‰U¦�

∫W�œUFLK� Ê√ U³Łù u½«eKÐ W¹dE½ Âb�²Ý« √

Æ w� q�_« vKŽ Î«bŠ«Ë Î«—cł ∞ Ω± ´ ”±≥ ´ μ”∂

ÆbOŠË —c'« Ê√ U³Łù ‰Ë— W¹dE½ Âb�²Ý« »

Æ ∋ ” ¨ ± ´ ”±≥ ´ μ”∂ Ω ©”®‚ sJO� √

V�UÝ —«bI� ¨ ±∏≠ Ω ±´©±≠®±≥´ μ©±≠® ∂ Ω ©±≠® ‚

Vłu� —«bI� ¨ ± Ω ©∞®‚

Æ œËbŠ dO¦� t½_ ›∞¨±≠¤ vKŽ qB²� ©”®‚

Æu½«eKÐ W¹dE½ ◊Ëdý o³DMð ∴

∞ Ω ©?ł®‚ Ê≈ YO×Ð ¤∞¨ ±≠› ∋ ?ł błuð ∴

¤∞¨ ±≠› …d²H�« w� q�_« vKŽ bŠ«Ë —cł ∞ Ω±´”±≥´μ”∂ W�œUFLK� błu¹ t½√ Í√

≤ ?ł >

± ?ł Ê√Ë

≤ ?ł¨

± ?ł s¹—cł œułË ÷d²H½ bOŠË —c'« Ê√ U³Łù »

dH� Ω ©≤ ?ł®‚ Ω ©

± ?ł®‚ ∴

œËbŠ dO¦� t½_ ¤≤ ?ł¨

± ?ł› vKŽ ‚UI²ýö� qÐU�Ë ›

≤ ?ł¨

± ?ł¤ vKŽ qB²� ‚ Ê≈ YOŠË

Æ¤≤ ?ł¨

± ?ł› ∋ œ q�ô« vKŽ bŠ«Ë œbŽ œułË Z²M¹Ë ‰Ë— W¹dE½ ◊Ëdý o³DMð ∴

±≥ ´ ¥”≥∞ Ω ©”®Ó‚ sJ� ¨ ∞ Ω ©œ® Ó‚ Ê≈ YO×Ð

Ê_ WOIOI(« œ«bŽ_« WŽuL−� w� qŠ UN� fO� W�œUF*« Ác¼ sJ�Ë ¨ ∞ Ω ±≥ ´ ¥

œ ≥∞ ∴

ÆÎULz«œ Vłu� s1_« ·dD�«

Æ‰Ë— W¹dE½ l� i�UM²¹ «c¼Ë ¨ ∞ Ω ©œ® Ó‚ YO×Ð ¤≤ ?ł¨

± ?ł› ∋ œ błuð ô ∴

ÆbOŠË —c'« Ê√ Í√ ª`O×� dOž ≤

?ł¨± ?ł s¹—cł œułuÐ ÷dH�« ∴

©∑® ‰U¦�

¤»¨ › vKŽ ‚UI²ýö� 5KÐU�Ë ›»¨ ¤ vKŽ 5KB²� 5½«d²�« ©”®„ ¨©”®‚ ÊU� «–≈

q�_« vKŽ bŠ«Ë œbŽ œułË X³ŁQ�¨©»®„ Ω ©»®‚ ¨© ®„ Ω © ®‚ ÊU�Ë

Æ©?ł®Ó„ Ω ©?ł® Ó‚ Ê≈ YO×Ð¤»¨ › ∋ ?ł

±±¥

©”®?¼ Ê«d??²�ô« Êu?J¹ ¨›»¨ ¤ vKŽ ©”®„ ≠ ©”®‚ Ω ©”®???¼ Ê«d??²�ô« n¹d?F²Ð

‚UI²ýö� ÎöÐU� ©”®?¼ Ê«d²�ô« ÊuJ¹Ë ¨5KB²� 5½«d²�« ‚d� t½_ ›»¨ ¤ v?KŽ Îö??B²�

Æ‚UI²ýö� 5KÐU� 5½«d²�« ‚d� t½_ ¤»¨ › vKŽ

© ®„ Ω © ®‚ Ê_ ¨ dH� Ω © ®„≠© ®‚ Ω © ®?¼ p�c�

©»®„ Ω ©»®‚ Ê_ ¨ dH� Ω ©»®„≠©»®‚ Ω ©»®?¼ ÎUC¹√Ë

©»®?¼ Ω © ®?¼ ∴

›»¨ ¤ …d²H�« w� ©”®?¼ Ê«d²�ô« vKŽ ‰Ë— W¹dE½ ◊Ëdý o³DMð ∴

∞ Ω ©?ł® Ó ?¼ YO×Ð ¤»¨ › ∋ ?ł błuð ∴

∞ Ω ©?ł®Ó„ ≠ ©?ł® Ó‚ ∴

Æ©?ł®Ó„ Ω ©?ł® Ó‚ ∴

©±≠≥® s¹—U9

rO� ØWLO� 5Ž rŁ ¨ …UDF*« …d²H�« vKŽ WDÝu²*« WLOI�« W¹dE½ ◊Ëdý oI×¹ WOðü« U½«d²�ô« s� Îö� Ê√ 5Ð ±

∫ W�UŠ q� w� W¹dEM�« UNMOFð w²�« ?ł

›¥ ¨ ±¤ …d²H�« vKŽ ”¥≠ ” √ ≥ Ω ©”®‚ √

› π¨ ∞¤ …d²H�« vKŽ ”≤U²ł≠”Uł≤Ω ©”®‚ »

›≤ ¨ ±≠¤ …d²H�« vKŽ ∂≠”≠≤” Ω ©”®‚ ?ł

w²�« ?ł rO�ØWLO� 5Ž rŁ ¨ …UDF*« …d²H�« vKŽ ‰Ë— W¹dE½ ◊Ëdý oI×¹ WOðü« U½«d²�ô« s� Îö� Ê√ 5Ð ≤

∫ W�UŠ q� w� W¹dEM�« UNMOFð

›≤ ¨ ±

≤ ¤ …d²H�« vKŽ

±

” ´ ” Ω ©”®‚ √

›π ≥

≤

¨ π≤

¤ …d²H�« vKŽ ”U²ł Ω ©”®‚ »

›±¨±≠¤ …d²H�« vKŽ ±≠

≤”

≤≠”

Ω ©”®‚ ?ł

∞ Ω ” ≥

± > ” > ∞ ?ł´”≥´ ≤”≠

≤ ≥ ” ≥ ± » ´ ”

Ω ©”®‚ Ê«d²�ô« qF& w²�« ?ł¨»¨ XÐ«u¦�« bł ≥

±±μ

Æ›≤ ¨ ∞¤ …d²H�« vKŽ WDÝu²*« WLOI�« W¹dE½ ◊Ëdý oI×¹

≥≠ ±≠”≤ Ω©”®‚ sJO� ¥

ø›≤ ¨ ±≠¤ …d²H�« vKŽ ‚ Ê«d²�ô« UNII×¹ ‰Ë— W¹dE½ ◊Ëdý s� Í√ √

ø ∞ Ω ©?ł® Ó‚ YO×Ð ¤≤ ¨ ±≠› ∋ ?ł błuð q¼ »

± < ” ∂´”¥≠≤”

± ≥ ” ”¥≠∑

Ω ©”®‚ sJO� μ

ø›μ ¨±≠ ¤ …d²H�« w� ‚ Ê«d²�ô« UNII×¹ ‰Ë— W¹dE½ ◊Ëdý s� Í√ √

ø ∞ Ω ©?ł® Ó‚ Ê≈ YO×Ð ¤ μ ¨ ±≠ › ∋ ?ł błuð q¼ »

ø«–U* ø ‰Ë— W¹dE½ l� ©»®¨ © ® w� UÐUłù« ÷—UF²ð q¼ ?ł

ÆjI� Î«bŠ«Ë ÎUOIOIŠ Î«—cł ∞ Ω ∏ ≠ ”≥≥ ´ ≤”π ´

≥” ∫ W�œUFLK� Ê√ X³Ł√ ∂

Æ 5HK²�� 5OIOIŠ s¹—cł s� d¦�√ ∞ Ω±∞∞≠≤”∑´

¥”∂ W�œUFLK� ÊuJ¹ Ê√ sJ1 ô t½√ X³Ł√ ∑

vKŽ ÎU�dF� ≥” Ω ©”®‚ Ê«d²�ô« vKŽ WDÝu²*« WLOI�« W¹dE½ Âb�²ÝU� 5OIOIŠ s¹œbŽ »¨ ÊU� «–≈ ∏

≤?ł≥ Ω

≤» ´ » ´

≤ YO×Ð ¤ »¨ › ?ł q�_« vKŽ bŠ«Ë wIOIŠ œbŽ œułË U³Łù ›»¨ ¤

œbŽ œułË X³ŁQ� » > ?ł > YOŠ ©?ł®‚ Ω ©»®‚ Ω © ®‚ ÊU�Ë ¨œËbŠ dO¦� ÎU½«d²�« ©”®‚ ÊU� «–≈ π

Æ ∞Ω © œ ® Î‚ YO×Ð ¤ »¨ › ∋ œ q�_« vKŽ bŠ«Ë wIOIŠ

Æ©± ¨ ≥® ¨ © μ ¨ ≤® ¨ ©≥ ¨ ±® ◊UIM�UÐ ÁUM×M� d1 œËbŠ dO¦� Ê«d²�« ©”®‚ ±∞

∞ < ©±

?ł® ÓÓ‚ YO×Ð ¤ ≤ ¨ ± › …d²H�« ∋ ±

?ł q�_« vKŽ bŠ«Ë œbŽ œułË X³Ł√ √

∞ > ©≤

?ł® ÓÓ‚ YO×Ð ¤ ≥ ¨ ≤ › …d²H�« ∋ ≤

?ł q�_« vKŽ bŠ«Ë œbŽ œułË X³Ł√ »

∞ Ω ©?ł® ÓÓ‚ YO×Ð ¤ ≥ ¨ ± › …d²H�« ∋

?ł q�_« vKŽ bŠ«Ë œbŽ œułË X³Ł√ ?ł

±±∂

(Increasing and Decreasing Functions) WBUM²*«Ë …b¹«e²*« U½«d²ô« ≤≠≥

vM×M� „uKÝ n�u� ¨XÐUŁË ¨h�UM²�Ë ¨b¹«e²� ULK� Âb�²½ ·uÝ

¨5LO�« v�≈ —UO�« s� ÁUM×M� vKŽ WDI½ „d×²ð U�bMŽ t�U−� vKŽ ©”®‚ Ê«d²�ô«

…d²H�« vKŽ h�UM²� t½≈ ‰UI¹ ©∑≠≥® qJA�UÐ ÎUO½UOÐ q¦L*« ©”®‚ Ê«d²�ô« Îö¦L�

Æ¤∞¨≤¤ vKŽ XÐUŁË ›≤¨±¤ …d²H�« vKŽ b¹«e²�Ë ¨›±¨∞≠›”

± ≤

’

h�UM²�

b¹«e²�

XÐUŁ

©∑≠≥® qJA�«

Æ©”®‚ Ê«d²�ö� h�UM²�«Ë b¹«e²�« vMF� ÎUO{U¹— nB¹ w�U²�« n¹dF²�«

∫n¹dFð

∫· …d²H�« vKŽ ·dF*« ©”®‚ Ê«d²�ô« Ê≈ ‰UI¹

∫w�U²�« ◊dA�« oI% «–≈ · vKŽ b¹«e²� ±

©±”®‚ < ©≤

”®‚ ÊS� ±” < ≤

” ÊU� «–≈ ¨ · ∋ ≤”¨±

” lOL'

∫w�U²�« ◊dA�« oI% «–≈ · vKŽ h�UM²� ≤

©±”®‚ > ©≤

”®‚ ÊS� ±” < ≤

” ÊU� «–≈ ¨ · ∋ ≤”¨±

” lOL'

∫w�U²�« ◊dA�« oI% «–≈ · vKŽ XÐUŁ ≥

©±”®‚ Ω ©≤

”®‚ ¨ · ∋ ≤”¨±

” lOL'

©±® ‰U¦�

∫©π≠≥® ¨©∏≠≥® 5KJA�« w� ÎUO½UOÐ 5K¦L*« 5½«d²�ö� h�UM²�«Ë b¹«e²�« ôU−� œbŠ

”

’

©”®?¼

”

’

©”®‚

©π≠≥® qJA�« ©∏≠≥® qJA�«

±±∑

∫Ê√ kŠö½ ©”® ?¼ ¨ ©”®‚ 5½«d²�ô« s� qJ� w½UO³�« qO¦L²�« s�

Æ vKŽ b¹«e²� ©”®‚ Ê«d²�ô« √

Æ¤∞¨∞¤ …d²H�« vKŽ b¹«e²�Ë ›∞¨ ∞≠ › …d²H�« vKŽ h�UM²� ©”® ?¼ Ê«d²�ô« »

∫WBUM²*«Ë …b¹«e²*« U½«d²ö� v�Ë_« WI²A*« —U³²š«

Ê√Ë ¨›»¨ ¤ vKŽ Î«b¹«e²� ÎU½«d²�« ©±∞≠≥® qJA�« w� kŠö½

ÁU&ô« l� …œUŠ W¹Ë«“ lMB¹ ¤»¨ › ∋ WDI½ W¹√ bMŽ vM×MLK� ”UL*«

ÆÎU³łu� ÊuJ¹ ”UL*« qO� Ê√ Í√ ¨ UMO�« —u; Vłu*«

”

»

’

”U2

…œUŠ

©±∞≠≥® qJA�«

¨›» ¤ …d?²H�« vKŽ ÎU??B�UM²� ÎU½«d²�« ©±±≠≥® qJA�« w� k?Šö½Ë

l� WłdHM� W¹Ë«“ lMB¹ ¤»¨ › ∋ WDI½ W¹√ bMŽ vM×MLK� ”UL*« Ê√ Ë

ÆÎU³�UÝ ÊuJ¹ ”UL*« qO� Ê√ Í√ ¨ UMO�« —u; Vłu*« ÁU&ô«

”

»

’

”U2

WłdHM�

©±±≠≥® qJA�«

¨›» ¨ ¤ …d?²H�« vKŽ ÎU??²ÐUŁ ÎU½«d²�« ©±≤≠≥® qJA�« w� k?Šö½ ULMOÐ

Ê√ Í√ ¨ÎUOI�√ ÊuJ¹ ¤»¨ ›∋ WDI½ W¹√ bMŽ vM×MLK� ”UL*« Ê√Ë

Æ∞ Ω ©”®Ó‚

Ê«d²�ô« «c¼ WFO³Þ œb% Ê«d²�ö� v�Ë_« WI²A*« …—Uý≈ Ê√ wMF¹ «c¼Ë

∫WO�U²�« W¹dEM�« ÊuLC� u¼ «c¼Ë ¨ÎU²ÐUŁ Ë√ ÎUB�UM²� Ë√ Î«b¹«e²�

”

»

’

”U2

©±≤≠≥® qJA�«

∫W¹dE½

∫t½S� ¤»¨ › vKŽ ‚UI²ýö� ÎöÐU�Ë ›»¨ ¤ vKŽ ÎöB²� ÎU½«d²�« ©”®‚ ÊU� «–≈

Æ›»¨ ¤ vKŽ b¹«e²� Ê«d²�« ©”®‚ ÊS� ¤ »¨ › ∋ ” lOL' ∞ < ©”®Ó‚ X½U� «–≈ ±

Æ›»¨ ¤ vKŽ h�UM²� Ê«d²�« ©”®‚ ÊS� ¤ »¨ › ∋ ” lOL' ∞ > ©”®Ó‚ X½U� «–≈ ≤

Æ›»¨ ¤ vKŽ XÐUŁ Ê«d²�« ©”®‚ ÊS� ¤ »¨ › ∋ ” lOL' ∞ Ω ©”®Ó‚ X½U� «–≈ ≥

±±∏

©≤® ‰U¦�

∋ ” ≤ ´ ”≥ ≠ ≥” Ω ©”®‚ Ê«d²�ö� h�UM²�«Ë b¹«e²�« «d²� 5Ž

vKŽ ‚UI²ýö� qÐU�Ë qB²� uN� œËbŠ dO¦� Ê«d²�« ©”®‚

≥ ≠ ≤”≥ Ω ©”®Ó‚

∫©”®Ó‚ …—Uý≈ w� Y×³½

±≠¨±Ω” U�bMŽ ∞ Ω ≥ ≠ ≤”≥ Ω ©”®Ó‚

©”®Ó‚ …—Uý≈ 5³¹ ©±≥≠≥® qJA�«

±≠ > ” Ë√ ± < ” U�bMŽ W³łu� ©”®Ó‚ Ê√ U0

´´´©”®Ó‚ …—Uý≈

” ±≠ ±

≠≠≠

©”®‚ „uKÝ

´´´ dH� dH�

©±≥≠≥® qJA�«

¤∞¨±¤ …d²H�« vKŽ b¹«e²� ©”®‚ ∴

›±≠¨∞≠› …d²H�« vKŽ p�c�Ë

± > ” > ±≠ U�bMŽ W³�UÝ©”®Ó‚ Ê√ U0Ë

Æ›±¨±≠¤ …d²H�« vKŽ h�UM²� ©”®‚ ∴

©≥® ‰U¦�

Æt�U−� vKŽ

± ´ ≤”

” Ω ©”®‚ Ê«d²�ö� h�UM²�«Ë b¹«e²�« «d²� 5Ž

vKŽ qB²� uN� ÎULz«œ Vłu� t�UI� w³½ Ê«d²�« ©”®‚

≤©± ´

≤”®

©”≤®” ≠ ©± ´ ≤”®

Ω ©”®Ó‚

≤©± ´

≤”®

≤” ≠ ± Ω

©”®Ó‚ …—Uý≈ 5³¹ ©±¥≠≥® qJA�«

©”®Ó‚ …—Uý≈

” ±≠ ±

≠≠≠

©”®‚ „uKÝ

´´´≠≠≠dH�dH�

©±¥≠≥® qJA�« ¤ ±≠ ¨ ∞ ≠ › …d²H�« w� ∞ > ©”®Ó‚

¤ ∞ ¨ ± › …d²H�« vKŽ p�c�Ë

¤ ∞ ¨± ¤ …d²H�« vKŽ p�c�Ë ›±≠ ¨ ∞ ≠ › …d²H�« vKŽ h�UM²� ©”®‚ ∴

¤ ± ¨ ±≠ › …d²H�« w� ∞ < ©”®Ó‚

Æ›± ¨ ±≠¤ …d²H�« vKŽ b¹«e²� ©”®‚ ∴

±±π

©¥® ‰U¦�

Æ› π≤¨∞¤ …d²H�« vKŽ b¹«e²� ”Uł´” Ω ©”®‚ Ê«d²�ô« Ê√ 5Ð

Æ5KB²� 5½«d²�« ŸuL−� t½_ ›π≤¨∞¤ vKŽ qB²� ©”®‚

‚UI²ýö� 5KÐU� 5½«d²�« ŸuL−� t½_ ¤ π≤¨∞ › vKŽ ‚UI²ýö� qÐU� ©”®‚

”U²ł ´ ± Ω ©”®Ó‚

∫©”®Ó‚ …—Uý≈ w� Y×³½

∞ Ω ”U²ł ´ ± U�bMŽ ∞Ω ©”®Ó‚

π Ω ” U�bMŽ Í√ ±≠ Ω ”U²ł U�bMŽ

¤ π¨ ∞› ∋ ” qJ� ± > ”U²ł > ±≠ Ê√ U0

≤ > ”U²ł ´ ± > ∞ ∫`³Bð WM¹U³²*« œËb( ± W�U{SÐ t½S�

¤ π¨ ∞› w� ÎU³łu� ÊuJ¹ ©”®Ó‚ Ê√ Í√ ©”®Ó‚ …—Uý≈

” ∞ π≤

´´´

©”®‚ „uKÝ

´´´ dH�

πb¹«e²�

©±μ≠≥® qJA�«

©”®Ó‚ …—Uý≈ 5³¹ ©±μ≠≥® qJA�«

Æ›π¨∞¤ vKŽ b¹«e²� ©”®‚ ∴

¨ ¤π≤¨π › …d²H�« w� ÎU³łu� ÊuJ¹ ©”®Ó‚ q¦*UÐË

Æ›π≤¨π¤ vKŽ b¹«e²� ©”®‚ ∴

Æ›π≤¨∞¤ vKŽ b¹«e²� ©”®‚ ÊS� π Ω ” bMŽ qB²� ©”®‚ Ê≈ YOŠË

©μ® ‰U¦�

©”®Ó‚ vM×M� ©±∂≠≥® qJA�« q¦1

∫œËbŠ dO¦� ©”®‚ Ê«d²�ô

©”®‚ Ê«d²�ö� h�UM²�« Ë b¹«e²�« «d²� 5Ž √

∞ > ©”® Î‚ WM¹U³²*« qŠ WŽuL−� błË√ »

”

≤ ≥ ¥

±≠

©”®Ó‚

©±∂≠≥® qJA�«

ÆœËbŠ dO¦� t½_ vKŽ ‚UI²ýö� qÐU�Ë qB²� ©”®‚

©”®Ó‚ …—Uý≈

” ≤

©”®‚ „uKÝ

≠≠≠´´´ dH�

¥

´´´dH�

©±∑≠≥® qJA�«

vKŽ ©”®Ó‚ …—Uý≈ ©±∑≠≥® qJA�« 6³¹

∞ < ©”®Ó‚ Ê√ kŠö½ qJA�« s� √

±≤∞

¥ < ” Ë√ ≤ > ” U�bMŽ

¤∞¨¥¤ …d²H�« vKŽ p�c� Ë ›≤¨∞≠› …d²H�« vKŽ b¹«e²� ©”®‚ ∴

¥ > ” > ≤ U�bMŽ ∞ > ©”®Ó‚ Ê√ qJA�« s� kŠö½ p�c�

›¥¨≤¤ …d²H�« vKŽ h�UM²� ©”®‚ ∴ ©”®Î‚ …—Uý≈

”

≠≠≠

≥

´´´dH�

©±∏≠≥® qJA�«

vKŽ ©”®Î‚ …—Uý≈ ©±∏≠≥® qJA�« 6³¹ »

Æ…d²H�« Ác¼ w� h�UM²� Ó‚ Ê_ ≥ > ” U�bMŽ ∞ > ©”® Î‚

Æ¤≥¨∞≠› w¼ ∞ > ©”® Î‚ WM¹U³²*« qŠ WŽuL−� ∴

∫WEŠö�

∞ < ©”®Ó‚ X½U�Ë ¨ULNOK� Ë√ ›»¨ ¤ …d²H�« w�dÞ bŠ√ bMŽ ÎöB²� ©”®‚ Ê«d²�ô« sJ¹ r� «–≈

…d²H�« w� ∞ > ©”® Ó‚ X½U� «–≈ U�√ ª¤» › vKŽ Î«b¹«e²� ÊuJ¹ ©”®‚ ÊS� ¨¤ » › …d²H�« w� Îö¦�

Æ¤ » ¨ › w� ÎUB�UM²� ÊuJ¹ ©”®‚ ÒÊS� ¤ » ¨ ›

sJ1 t½S� ULNOK� Ë√ 5�dD�« bŠ√ vKŽ ©”®‚ Ê«d²�ö� h�UM²�« Ë√ b¹«e²�« ôU−� ‰UL²ýUÐ oKF²¹ ULO�Ë

Æ©±π≠≥® qJA�« kŠô ¨©”®‚ Ê«d²�ô« vM×M* w½UO³�« qO¦L²�«Ë n¹dF²K� …œuF�«

©”®≥‚

”

’

»

¤ » ¨ ¤ vKŽ h�UM²� ©”®≥‚

©”®≤‚

”

’

»

¤ » ¨ › vKŽ b¹«e²� ©”®≤‚

©”®±‚

”

’

»

› » ¨ ¤ vKŽ b¹«e²� ©”®±‚

©±π≠≥® qJA�«

±≤±

©∂® ‰U¦�

± > ” ≥ ±≠ ”¸≤ ≠ ≤”

± Ω ” dH�

Ω ©”®‚ ÊU� «–≈

Æt�U−� vKŽ ©”®‚ Ê«d²�ö� h�UM²�«Ë b¹«e²�« «d²� 5F�

∫wK¹ UL� Ê«d²�ô« n¹dFð bOF½

∞ > ” ≥ ±≠ ”≤ ´ ≤”

± > ” ≥ ∞ ”≤ ≠ ≤”

± Ω ” dH�

Ω ©”®‚

©ø«–U*® dH� Ω ” bMŽ qB²� ©”®‚ Ê«d²�ô«

∞ > ” > ±≠ ≤ ´ ”≤

± > ” > ∞ ≤ ≠ ”≤

Ω ©”®Ó‚

≤ Ω ≠©∞® Ó‚ ≤≠ Ω

´©∞® Ó‚

…œułu� dOž ©∞® Ó‚ ∴

∫©”®Ó‚ …—Uý≈

©”®Ó‚ …—Uý≈

” ±≠ ∞

≠≠≠

©”®‚ „uKÝ

±

´´´

©≤∞≠≥® qJA�« ©”®Ó‚ …—Uý≈ 5³¹ ©≤∞≠≥® qJA�«

¤ ∞ ¨ ±≠ › …d²H�« w� ∞ < ©”®Ó‚

› ∞ ¨ ±≠ ¤ …d²H�« w� b¹«e²� ©”®‚ ∴

¤ ± ¨ ∞ › …d²H�« w� ∞ > ©”®Ó‚

¤ ± ¨ ∞ ¤ …d²H�« w� h�UM²� ©”®‚ ∴

WO�dD�« WDIM�« bMŽ qB²� dOž ©”®‚ Ê√ kŠô

Ê«d²�ô« vM×M* w½UO³�« qO¦L²�« bL²F½ «c� ¨ ± Ω ” YOŠ

Ê√ kŠö½Ë ¨©≤±≠≥® qJA�« w� u¼ UL�

”

±

’

±≠

©≤±≠≥® qJA�«

Æ¤ ± ¨ ∞ ¤ h�UM²�« …d²� v�≈ ·UCð ô ± Ω ”

±≤≤

©≤≠≥® s¹—U9

∫ WOðü« U½«d²�ô« s� ÌqJ� h�UM²�« Ë b¹«e²�« «d²� 5Ž ±

∂´≤”≥≠

≥”Ω©”®‚ √

¥≠≤” Ω©”®‚ »

› π ¨∞¤ ∋ ” ¨ ”≤U²łΩ©”®‚ ?ł

Æ ∋ ” lOL' ©”®Ó„ < ©”®Ó‚ YO×Ð 5½«d²�« ©”®„ ¨ ©”®‚ ÊU� «–≈ ≤

Æ vKŽ b¹«e²� ©”®„ ≠ ©”®‚ Ê«d²�ô« Ê√ 5³�

Æ ∋ ” lOL' ©”®Ó„ Ω ©”®Ó‚ YO×Ð 5½«d²�« ©”®„ ¨ ©”®‚ ÊU� «–≈ ≥

ÆXÐUŁ ?ł YOŠ¨ ?ł ´ ©”®„ Ω ©”®‚ Ê√ 5³�

ÊU� «–≈ ¨ ›∂¨±¤ ∋ ” rO� lOL' ∞ ≠ ©”®?¼ YOŠ ›∂¨±¤ vKŽ ÊU�dF� œËbŠ «dO¦� ©”®?¼ ¨©”®‚ ¥

w� ÎUB�UM²� ©”®?¼ ÊU�Ë t�U−� w� Î«b¹«e²� ©”®‚ ÊU??�Ë¨‰Ë_« lÐd�« w� ÊUFI¹ ©”®?¼ ¨©”®‚ UOM×M�

Æ›∂¨±¤ w� b¹«e²� ©”® ©

‚

?¼® Ê√ X³ŁQ� ¨t�U−�

Æ ›π¥

¨∞¤ …d²H�« vKŽ b¹«e²� ”≠”Uþ Ω ©”®‚ Ê«d²�ô« Ê√ X³Ł√ μ

Æ ›π¥

¨∞¤ …d²H�« vKŽ ” ≤ ”Uþ Ê√ X³Ł√ p�– s�

∫Ê«d²�ö� h�UM²�«Ë b¹«e²�« ôU−� 5Ž ∂

∞ ≥ ” ≥ ±≠ ≤”

± ≥ ” ≥ ∞ ›”¤ ≠ ”

Ω ©”®‚

±≤≥

(Extreme Values) Èu??BI�« r???OI�« ≥≠≥

¨Ê«d²�ô« vM×M� vKŽ WF�«u�« ◊UIM�« Ê√ bM³�« «c¼ w� b−MÝË ÜNB�UMðË U½«d²�ô« b¹«eð oÐU�« bM³�« w� UMÝ—œ

WOÝUÝ√ ◊UI½ w¼ ¨b¹«e²� v�≈ h�UM²� s� fJF�UÐ Ë√ ¨h�UM²� v�≈ b¹«e²� s� t�uKÝ vM×M*« U¼bMŽ dOG¹ w²�«Ë

tłË vKŽ U¼bMŽ Ê«d²�ô« c�²¹ ◊UI½ UN½√ UL� ªtBzUBš ·dFðË ¨Ê«d²�ô« vM×M* ÂUF�« qJA�« rÝ— w� Î«dO¦� bŽUð

ÆÎUIŠô ÈdMÝ UL� WOKLF�« UIO³D²�« s� dO¦� w� W�Uš WOL¼√ «– wN� w�U²�UÐË ªÈdG� Ë√ vLEŽ ÎULO� ÂuLF�«

∫WIKD*«Ë WOK;« ÈuBI�« rOI�«

’

”

±

” ≤

” ≥

” »

©≤≤≠≥® qJA�«

WLO� Ê√ kŠö½ Æ›» ¤ …d²H�« vKŽ ·dF*« ©”®‚ Ê«d²�ô« vM×M� ÁöŽ√ w� ÂuÝd*« ©≤≤≠≥® qJA�« 5³¹

‰uI½ p�c� ÜNM� ÎUO�U� ÎUÐd� W³¹dI�«Ë ±” ?� …—ËU−*« ” rO� lOL' Ê«d²�ö� Èdš√ WLO� Í√ s� d³�√ ±

” bMŽ Ê«d²�ô«

WOK×� vLEŽ WLO� ©”®‚ Ê«d²�ö� ÊuJ¹ q¦*UÐ ª©±”®‚ w¼

±” bMŽ WOK×� vLEŽ WLO� ©”®‚ Ê«d²�ö� Ê≈

Ê«d²�ô« ‰U−� w� ” rO� lOL' Ê«d²�ô« WLO� s� d³�√ ©≥”®‚ WOK;« vLEF�« WLOI�« Ê√ U0Ë ¨≥

” Ω ” bMŽ

ÆÊ«d²�ö� WIKD� vLEŽ WLO� ÎUC¹√ vLð UN½S�

≤” ?� …—ËU−*« ” rO� lOL' Ê«d²�ö� Èdš√ WLO� Í√ s� dG�√ ≤

” bMŽ Ê«d²�ô« WLO� Ê√ ÎUC¹√ qJA�« 5³¹Ë

Æ©≤”®‚ w¼ ≤

” Ω ” bMŽ WOK×� ÈdG� WLO� ©”®‚ Ê«d²�ö� Ê≈ ‰uI½ p�c�Ë ÜNM� ÎUO�U� ÎUÐd� W³¹dI�«Ë

vKŽ ©»®‚ ¨ © ®‚ UL¼ » Ω ” ¨ Ω ” s� Ìq� bMŽ ÊU²OK×� ÊU¹dG� ÊU²LO� Ê«d²�ö� ÊuJ¹ q¦*UÐ

vLð UN½S� t�U−� w� ” rO� lOL' Ê«d²�ö� WLO� dG�√ w¼ © ®‚ WOK;« ÈdGB�« WLOI�« Ê≈ YOŠË ¨VOðd²�«

ÆÊ«d²�ö� WIKD� ÈdG� WLO�

±≤¥

∫n¹dFð

∫t½≈ ‰UI¹ Æ Ÿ ∋ ?ł sJ²�Ë ¨Ÿ ‰U−*« vKŽ ÎU�dF� ÎU½«d²�« ©”®‚ sJO�

Íu²% · WŠu²H� …d²� błË «–≈ ©?ł®‚ w¼ ?ł Ω ” bMŽ WOK×� vLEŽ WLO� ©”®‚ Ê«d²�ö� błu¹ ±

Æ©Ÿ ∩ ·® ∋ ” lOL' ©”®‚ ≤ ©?ł®‚ Ê≈ YO×Ð ¨ ?ł vKŽ

vKŽ Íu²% · WŠu²H� …d²� błË «–≈ ©?ł®‚ w¼ ?ł Ω ” bMŽ WOK×� ÈdG� WLO� Ê«d²�ö� błu¹ ≤

Æ©Ÿ ∩ ·® ∋ ” lOL' ©”®‚ ≥ ©?ł®‚ Ê≈ YO×Ð ¨ ?ł

ÆŸ ∋ ” lOL' ©”®‚ ≤ ©?ł®‚ X½U� «–≈ ©?ł®‚ w¼ ?ł Ω ” bMŽ WIKD� vLEŽ WLO� Ê«d²�ö� błu¹ ≥

ÆŸ ∋ ” lOL' ©”®‚ ≥ ©?ł®‚ X½U� «–≈ ©?ł®‚ w¼ ?ł Ω ” bMŽ WIKD� ÈdG� WLO� Ê«d²�ö� błu¹ ¥

Æt� ÈuB� ÎULO� Ê«d²�ö� WIKD� Ë√ X½U� WOK×� ÈdGB�« rOI�«Ë vLEF�« rOI�« s� q� vLð

Æ`O×� dOž fJF�« sJ�Ë ¨WOK×� ÈuB� WLO� w¼ WIKD� ÈuB� WLO� q� Ê√ kŠö*« s�Ë

©±® ‰U¦�

≤ > ” ≥ ±≠ ≤” Ω ©”®‚ sJO�

≤ ≥ ” ≥ ±≠ ± ≠ ”¸ Ω ©”®?¼

Ê≈® ULN� WIKD*«Ë WOK;« ÈuBI�« rOI�« œU−¹≈ w� 5½«d²�ô« s� Ì qJ� w½UO³�« qO¦L²�« Âb�²Ý«

Æ© błË Ê≈® ÈuBI�« WLOI�« jI½Ø WDI½ bMŽ v�Ë_« WI²A*« 5Ž rŁ Æ© błË

’

”

± ≤

©”®?¼

±≠

≤

±

’

”

≤

©”®‚

±≠

¥

©≤¥≠≥®qJA�« ©≤≥≠≥®qJA�«

±≤μ

©≤≥≠≥® qJA�« kŠô ∫©”®‚ Ê«d²�ô« ∫ÎôË√

± Ω ©±≠®‚ w¼Ë ¨ ±≠ Ω ” bMŽ WOK×� vLEŽ WLO� ©”®‚ Ê«d²�ö�

WLO� ©”®‚ Ê«d²�ö� błu¹ ôË ªWO�dÞ WDI½ q¦9 ±≠ Ω ” Ê_ …œułu� dOž ©±≠®Ó‚

ÆWIKD� vLEŽ

∞ Ω ©∞®‚ w¼Ë ¨ ∞ Ω ” bMŽ WIKD�Ë WOK×� ÈdG� WLO� ©”®‚ Ê«d²�ö�

Æ©p�– s� oI%® ∞ Ω ©∞® Ó‚

©≤¥≠≥® qJA�« kŠô ∫©”®?¼ Ê«d²�ô« ∫ÎUO½UŁ

¨≤ Ω ©±≠®???¼ UL¼ ≤ Ω ” ¨ ±≠ Ω ” bMŽ ÊU²OK×� ÊUOLEŽ ÊU²LO� ©”®???¼ Ê«d²�ö�

WLOI�«Ë ¨5²O�dÞ 5²DI½ Êö¦9 ULN½_ …œułu� dOž ULNM� Ìq� bMŽ WI²A*« ¨± Ω ©≤®?¼

ÆÎUC¹√ WIKD� vLEŽ WLO� w¼ ≤ Ω ©±≠®?¼ WOK;« vLEF�«

∞ Ω ©±®?¼ w¼Ë ¨ ± Ω ” bMŽ WIKD�Ë WOK×� ÈdG� WLO� ©”®?¼ Ê«d²�ö�

Æ©p�– s� oI%® Æ…œułu� dOž ©±® Ó ?¼ YOŠ

∫WOK;« ÈuBI�« rOI�« 5OFð w� v�Ë_« WI²A*« Â«b ²Ý«

«–U� sJ�Ë ¨Ê«d²�ö� WOK;« ÈuBI�« rOI�« jI½ b¹b% w� bŽU¹ t�U−� vKŽ Ê«d²�« Í_ w½UO³�« qO¦L²�« Ê≈

øWI²A*« sŽ

dOž ÊuJð Ë√ Î«dH� ÍËUð U¼bMŽ WI²A*« YOŠ WOKš«œ jI½ bMŽ błuð ÈuBI�« rOI�« Ê√ o³Ý U2 UMEŠô

ÆWłdŠ ÎUDI½ jIM�« Ác¼ ‰U¦�√ vLð Æ…œułu� dOž WI²A*« YOŠ Ê«d²�ô« n¹dFð …d²� w�dÞ bMŽ Ë√ ¨…œułu�

∫n¹dFð

©”®‚ Ê«d²�ö� WłdŠ WDI½ ¨©”®‚ ‰U−� v�≈ wL²Mð ?ł YOŠ ¨©©?ł®‚ ¨ ?Š® WDIM�« vLð

Æ…œułu� dOž ©?ł® Ó‚ Ë√ ¨ ∞ Ω ©?ł® Ó‚ X½U� «–≈

±≤∂

©≤® ‰U¦�

Æ ∋” ¨ ≤´”∏´≤”≥≠

≥” ±

≥

Ω ©”®‚ Ê«d²�ö� Włd(« jIM�« lOLł 5Ž

WI²A*« YOŠ jIM�« w¼ Włd(« jIM�« ÊS� vKŽ ·dF� œËbŠ dO¦� Ê«d²�« ©”®‚ Ê≈ YOŠ

ÆÎ«dH� Ω v�Ë_«

∏ ´ ”∂ ≠ ≤” Ω ©”®Ó‚

∞ Ω ∏ ´ ”∂≠≤” ⇐ ∞Ω ©”®Ó‚

¥ ¨ ≤ Ω ” ⇐

©

≥

≤≤ ¨ ¥® ¨ ©

≥

≤∂ ¨ ≤® Í√ ¨©©¥®‚ ¨ ¥® ¨ ©©≤®‚ ¨ ≤® ∫UL¼ ÊU²łd(« ÊU²DIM�«

©≥® ‰U¦�

≤ ≥ ” ≥ ≤≠ ≥” Ω ©”®‚ sJO�

Æ©”®‚ Ê«d²�ö� Włd(« jIM�« lOLł 5Ž √

√ rI�« w� UNðbłË w²�« Włd(« jIM�« s� WDI½ q� Ÿu½ 5Ž rÝd�« s�Ë ¨©”®‚ vM×M� rÝ—« »

Æp�– dOž Ë√ ÈuB� ÎULO� UN½u� YOŠ s�

≤”≥ Ω ©”®Ó‚

∞ Ω ” ⇐ ∞ Ω ≤”≥ ⇐ ∞ Ω ©”®Ó‚

≤ ¨ ≤≠ Ω ” bMŽ Í√ ‰U−*« w�dÞ bMŽ …œułu� dOž ©”®Ó‚

©©≤®‚¨≤®¨ ©©∞®‚¨∞® ¨ ©©≤≠®‚¨≤≠® ∫w¼ Włd(« jIM�«

∫t½√ kŠö½ ©≤μ≠≥® qJA�« s�

©∏≠¨≤≠® Ω ©©≤≠®‚¨≤≠® Włd(« WDIM�« bMŽ

ÆÎUC¹√ WIKD� w¼Ë WOK×� ÈdG� WLO� błu¹

©∏¨≤® Ω ©©≤®‚¨≤® Włd(« WDIM�« bMŽË

ÆÎUC¹√ WIKD� w¼Ë WOK×� vLEŽ WLO� błu¹

ÈuB� WLO� W¹√ Ê«d²�ö� błu¹ ô ULMOÐ

©∞ ¨ ∞® Ω ©©∞®‚ ¨ ∞® Włd(« WDIM�« bMŽ

”

’

≤ ≤≠

∏

∏≠

©≤μ≠≥® qJA�«

±≤∑

WOK;« ÈuBI�« rOI�« 5OF²� v�Ë_« WI²A*« —U³²š«

sJð r� sJ�Ë ªÊ«d²�ö� Włd(« jIM�« bMŽ ô≈ błuð ô WOK;« ÈuBI�« rOI�« Ê√ WIÐU�« WK¦�_« w� U½błË

ÈuB� WLO� WDI½ Ê«d²�ö� Włd(« WDIM�« ÊuJð Ê–≈ v²L� ª©≥® ‰U¦� lł«— ¨ÈuB� WLO� WDI½ WłdŠ WDI½ q�

Æ‰«R�« «c¼ sŽ WÐUłù« ‚dÞ ÈbŠ≈ u¼ wðü« —U³²šô« øt�

∫©v�Ë_« WI²AL�« —U³²š«® W¹dE½

W??Šu²H� …d²� b???łËË ¨ ?ł bMŽ qB²*« ©”®‚ Ê«d²�ö� WOKš«œ WłdŠ WDI½ ©©?ł®‚¨ ?ł® X½U� «–≈

∫YO×Ð ?ł ‰uŠ

ÆWOK×� vLEŽ WLO� ©?ł®‚ ÊS� ¨ ?ł < ” U�bMŽ ∞ > ©”®Ó‚ ¨ ?ł > ” U�bMŽ ∞ < ©”®Ó‚ ±

ÆWOK×� ÈdG� WLO� ©?ł®‚ ÊS� ¨ ?ł < ” U�bMŽ ∞ < ©”®Ó‚ ¨ ?ł > ” U�bMŽ ∞ > ©”®Ó‚ ≤

ÈuB� WLO� ©”®‚ Ê«d²�ö� błu¹ ô t½S� ?ł w³½Uł vKŽ v�Ë_« WI²A*« …—Uý≈ w� dOGð Àb×¹ r� «–≈ t½√ kŠô

Æ©≤∂≠≥® qJA�« dE½« Æ?ł bMŽ WOK×�

’

”

XO� ©∞¨∞® WDIM�«

WOK×� ÈuB� WLO�

∞ Ω ©∞® Ó‚

∞ < Ó‚

∞ < Ó‚

’

”

ÈdG�

WOK×�

∞ > Ó‚

∞ Ω Ó‚

∞ < Ó‚

?ł

’

”

WOK×� vLEŽ

∞ > Ó‚∞ < Ó‚

∞ Ω Ó‚

?ł

©?ł® ©»® ©√®

©≤∂≠≥® qJA�«

©¥® ‰U¦�

Ê«d²�ö� WOK;« ÈuBI�« rOI�« Ø WLOI�« 5F� ∋ ” ¨ μ≠”±≤≠≥” Ω ©”®‚ ÊU� «–≈

Æv�Ë_« WI²A*« —U³²š« ÎU�b�²� ©”®‚

∞ Ω±≤≠≤”≥ ⇐ ∞ Ω ©”®Ó‚ ∫Włd(« jIM�« ∫ÎôË√

≤≠ Ë√ ≤ Ω ” ⇐

±≤∏

©©≤≠®‚ ¨ ≤≠® ©©≤®‚ ¨ ≤® ∫UL¼ ÊU²łdŠ ÊU²DI½ UM¹b� ∴

©±± ¨ ≤≠® ¨ ©≤±≠ ¨ ≤® Í√

∫©”®Ó‚ …—Uý≈ ∫ÎUO½UŁ ´´´

©”®Ó‚ …—Uý≈

” ≤≠ ≤

≠≠≠´´´ dH� dH�

©”®‚ „uKÝ

©≤∑≠≥® qJA�«

©”®Ó‚ …—Uý≈ 5³¹ ©≤∑≠≥® qJA�«

∫v�Ë_« WI²A*« —U³²š« ∫ÎU¦�UŁ

œËbŠdO¦� t½_ ≤≠ Ω ” bMŽ qB²� ©”®‚ √

≤≠ Ω ” bFÐ W³�UÝ v�≈ ≤≠ Ω ” q³� W³łu� s� ©”®Ó‚ …—Uý≈ dOG²ð ≤≠ Ω ” —«uł w�Ë

ÆWOK×� vLEŽ WLO� ±± Ω ©≤≠®‚ ∴

œËbŠ dO¦� t½_ ≤ Ω ” bMŽ qB²� ©”®‚ »

≤ Ω ” bFÐ W³łu� v�≈ ≤ Ω ” q³� W³�UÝ s� ©”®Ó‚ …—Uý≈ dOG²ð ≤ Ω ” —«uł w�Ë

ÆWOK×� ÈdG� WLO� ≤±≠ Ω ©≤®‚ ∴

©μ® ‰U¦�

p�–Ë Ê«d²�ö� WOK;« ÈuBI�« rOI�«ØWLOI�« 5F� ∋” ¨ ¸±≠≤”¸ Ω ©”®‚ ÊU� «–≈

Æv�Ë_« WI²A*« —U³²š« Â«b�²ÝUÐ

∫Włd(« jIM�« ∫ÎôË√

±≠ ≥ ” ±≠≤”

± ≥ ” ≥ ±≠ ≤”≠±

± ≤ ” ±≠≤”

Ω ©”®‚

±≠ > ” ”≤

± > ” > ±≠ ”≤≠

± < ” ”≤

©ø«–U*® ±∓ Ω ” …œułu� dOž

Ω ©”®Ó‚ ⇐

± > ” > ±≠¨ ∞ Ω ”≤≠ ⇐ ∞Ω©”®Ó‚

∞ Ω ” ⇐

±≤π

±∓ Ω ” bMŽ …œułu� dOž ©”®Ó‚

±¨ ∞¨ ±≠ Ω ” YOŠ ◊UIM�« w¼ Włd(« jIM�« ∴

∫v�Ë_« WI²A*« …—Uý≈ ∫ÎUO½UŁ

©”®Ó‚ …—Uý≈

” ±≠ ∞

´´´≠≠≠

dOž

…œułu�dH�

±

´´´≠≠≠

dOž

…œułu�

©”®‚ „uKÝ

©≤∏≠≥® qJA�«

©”®Ó‚ …—Uý≈ 5³¹ ©≤∏≠≥® qJA�«

∫v�Ë_« WI²A*« —U³²š« ∫ÎU¦�UŁ

±≠ Ω ” YOŠ Włd(« WDIM�« √

±≠ Ω ” bMŽ qB²� ‚ Ê«d²�ô«

W³łu� v�≈ W³�UÝ s� ©”®Ó‚ …—Uý≈ dOGðË

ÆWOK×� ÈdG� WLO� ∞ Ω ©±≠®‚ ∴

dH� Ω ” YOŠ Włd(« WDIM�« »

∞ Ω ” bMŽ qB²� ‚ Ê«d²�ô«

W³�UÝ v�≈ W³łu� s� ©”®Ó‚ …—Uý≈ dOGðË

Æ WOK×� vLEŽ WLO� ± Ω ©∞®‚ ∴

± Ω ” bMŽ Włd(« WDIM�« ?ł

± Ω ” bMŽ qB²� ‚ Ê«d²�ô«

W³łu� v�≈ W³�UÝ s� ©”®Ó‚ …—Uý≈ dOGðË

ÆWOK×� ÈdG� WLO� ∞ Ω ©±®‚ ∴

∫WEŠö�

©”®‚ Ê«d²�ô« ÊU�Ë ©Îö¦� Èd¹® WO�dÞ WDI½ ©© ®‚ ¨ ® X½U� «–≈ ¨WO�dD�« Włd(« jIM�« W�UŠ w�

ÊS� ¨UNMO1 vKŽË s� W³¹dI�« ” rO� lOL' W³łu� ©”®Ó‚ …—Uý≈ X½U�Ë ¨U¼bMŽ 5LO�« s� ÎöB²�

dE½« ÆWOK×� vLEŽ WLO� © ®‚ ÊS� W³�UÝ ©”®Ó‚ X½U� «–≈ U�√ ªWOK×� ÈdG� WLO� ÊuJð © ®‚

Æ©» ¨ √ ∫≤π≠≥® qJA�«

Æ©œ ¨ ?ł ∫ ≤π≠≥® qJA�« dE½« ¨» vMLO�« WO�dD�« WDIM�« d³²�ð WKŁU2 WI¹dDÐË

Ê«d²�ô« vM×M* w½UO³�« rÝd�« Â«b�²Ý« UMMJ1 t½S� ¨WO�dÞ WłdŠ WDI½ bMŽ qB²� dOž ©”®‚ ÊU� «–≈ U�√

ÆÈuBI�« rOI�« w� Y×³K�

±≥∞

”

»

’

∞ > Ó‚

ÈdG�

WOK×�

”

»

’

∞ < Ó‚

vLEŽ

WOK×�

”

’

∞ > Ó‚

vLEŽ

WOK×�

”

’

∞ < Ó‚

ÈdG�

WOK×�

©œ® ©?ł® ©»® ©√®

©≤π≠≥® qJA�«

©∂® ‰U¦�

≤ > ” ≥ ±≠ ≤”

≤ Ω ” ≤

Ω ©”®‚ sJO�

Æt�U−� vKŽ ©”®‚ Ê«d²�ö� WOK;« ÈuBI�« rOI�«ØWLOI�« 5Ž

∫Włd(« jIM�« ∫ÎôË√

≤ > ” > ±≠ ”≤ Ω ©”®Ó‚

∞ Ω ” UNM�Ë ∞ Ω ”≤ U�bMŽ ∞ Ω ©”®Ó‚

≤ ¨ ±≠ Ω ” YOŠ 5²O�dD�« 5²DIM�« bMŽ …œułu� dOž ©”®Ó‚

©”®‚ vM×M� vKŽ WF�«u�« jIM�« w¼ Włd(« jIM�« ∴

≤ ¨ ∞ ¨ ±≠ Ω ” YOŠ

∫©”®Ó‚ …—Uý≈ ∫ÎUO½UŁ

©”®‚ „uKÝ

©”®Ó‚ …—Uý≈

” ±≠ ∞

≠≠≠

≤

´´´

©≥∞≠≥® qJA�«

©”®Ó‚ …—Uý≈ 5³¹ ©≥∞≠≥® qJA�«

∫v�Ë_« WI²A*« —U³²š« ∫ÎU¦�UŁ

±≠ Ω ” YOŠ Włd(« WDIM�« √

±≠ Ω ” YOŠ WO�dD�« WDIM�« bMŽ 5LO�« WNł s� qB²� ‚

±≠ Ω ” 51 vKŽ ∞ > ©”®Ó‚

ÆWOK×� vLEŽ WLO� WDI½ ©± ¨ ±≠® Ω ©©±≠®‚ ¨ ±≠® ∴

±≥±

∞ Ω ” YOŠ Włd(« WDIM�« »

W³łu� v�≈ W³�UÝ s� ©”®Ó‚ …—Uý≈ dOG²ðË ¨ ∞ Ω ” bMŽ qB²� ‚

ÆWOK×� ÈdG� WLO� WDI½ ©∞ ¨ ∞® Ω ©©∞®‚ ¨ ∞® ∴

≤ Ω ” YOŠ Włd(« WDIM�« ?ł

≤ Ω ” bMŽ qB²� dOž ‚

v�Ë_« WI²A*« Â«b�²ÝUÐ Âe'« sJ1 ô ∴

≤ Ω ” bMŽ ÈuB� WLO� œułuÐ

©”®‚ vM×M* w½UO³�« qO¦L²�« v�≈ Ÿułd�UÐË

∫Ê√ jŠö½ ¨©≥±≠≥® qJA�« w� u¼ UL�

©≤ ¨ ≤® Ω ©©≤®‚ ¨ ≤® Włd(« WDIM�«

ÆWOK×� ÈdG� WLO� WDI½ w¼

”

± ≤

’

¥

±

±≠

©≥±≠≥® qJA�«

WO�U²�« W¹dEM�«Ë U½«d²�ö� WIKD*« ÈuBI�« rOI�« WÝ«—œ w� W�Uš WOL¼√ ›»¨ ¤ WIKG� …d²� vKŽ ‰UBðö�

∫p�– `{uð

∫WIKDL�« ÈuBI�« rOI�« W¹dE½

WLO�Ë WIKD� vLEŽ WLO� c�²¹ ©”®‚ ÊS� ›»¨ ¤ WIKG*« …d²H�« vKŽ ÎöB²� ÎU½«d²�« ©”®‚ ÊU� «–≈

Æ›»¨ ¤ vKŽ WIKD� ÈdG�

Ê√ WIKD*« ÈuBI�« rOI�« 5OF²� wHJ¹ ¨WIKG� …d²� vKŽ ÎöB²� Ê«d²�ô« ÊuJ¹ U�bMŽ Í√ ¨W�U(« Ác¼ w�

ÊuJðË ¨WIKD*« vLEF�« WLOI�« w¼ U¼d³�√ ÊuJ²� ªU¼bMŽ Ê«d²�ô« rO� Ê—UI½ rŁ ¨ÎôË√ Włd(« jIM�« lOLł 5F½

ÆWIKD*« ÈdGB�« WLOI�« w¼ U¼dG�√

©∑® ‰U¦�

μ ≥ ” ≥ ∞ YOŠ π ´ ”∂ ≠ ≤” Ω ©”®‚ Ê«d²�ö� WIKD*« ÈuBI�« rOI�« 5Ž

›μ¨∞¤ WIKG*« …d²H�« vKŽ qB²� uN� œËbŠ dO¦� Ê«d²�« ©”®‚

Æ…d²H�« Ác¼ vKŽ WIKD� ÈdG� WLO�Ë WIKD� vLEŽ WLO� c�²¹ ©”®‚ ∴

∫Włd(« jIM�«

±≥≤

μ > ” > ∞ ∂≠ ”≤

μ ¨ ∞ Ω ” …œułu� dOž

Ω ©”®Ó‚

¤μ¨∞› ∋ ≥ Ω ” U�bMŽ Í√ ∞ Ω ∂≠”≤ U�bMŽ ∞ Ω ©”®Ó‚

©ÊU²O�dÞ ÊU²DI½® μ ¨ ∞ Ω ” bMŽ …œułu� dOž ©”®Ó‚

μ¨≥¨∞ Ω” U�bMŽ w¼ Włd(« jIM�« ∴

¥ Ω π ´ ≥∞ ≠ ≤μ Ω ©μ®‚ dH� Ω π ´ ±∏ ≠ π Ω ©≥®‚ π Ω ©∞®‚

∫Ê√ Z²M²½ Àö¦�« rOI�« W½—UI0Ë

Æ Ê«d²�ö� WIKD*« ÈdGB�« WLOI�« w¼ ¨ ∞ Ω ©≥®‚

ÆÊ«d²�ö� WIKD*« vLEF�« WLOI�« w¼ ¨ π Ω ©∞®‚

©∏® ‰U¦�

± > ” ≥ ∞ ”≤≠¥

≤ ≥ ” ≥ ± ±´”

Ω ©”®‚ ÊU� «–≈

© błË Ê≈®‚ Ê«d²�ö� WIKD*« ÈuBI�« rOI�« 5F�

©p�– s� oI%® ›≤¨∞¤ vKŽ qB²� ©”®‚

Æ›≤¨∞¤ vKŽ WIKD� ÈdG� WLO�Ë WIKD� vLEŽ WLO� c�²¹ ©”®‚

∫Włd(« jIM�«

± > ” > ∞ ≤≠

≤ > ” > ± ±

©ø«–U*® ≤¨±¨∞ Ω ” …œułu� dOž

Ω ©”®Ó‚

≤¨±¨∞ Ω ” YOŠ Włd(« jIM�« ∴

≥ Ω ©≤®‚ ≤ Ω ©±®‚ ¥ Ω ©∞®‚

∫Ê√ Z²M²½ Àö¦�« rOI�« W½—UI0Ë

ÆÊ«d²�ö� WIKD*« ÈdGB�« WLOI�« w¼ ≤ Ω ©±®‚

ÆÊ«d²�ö� WIKD*« vLEF�« WLOI�« w¼ ¥ Ω ©∞®‚

±≥≥

©≥≠≥® s¹—U9

ø© błË Ê≈® WLOI�« Ác¼ Ÿu½ U�Ë ø?ł Ω ” bMŽ WOK×� ÈuB� WLO� c�²¹ WOðü« ‰UJý_« s� q� w� U½«d²�ô« Í√ ±

’

”

?ł

’

”

?ł

’

”

?ł

©?ł® ©»® © √ ®

’

”

?ł

’

”

?ł

’

”

?ł

©Ë® ©?¼® ©œ®

∫WOðü« U½«d²�ô« s� qJ� Włd(« jIM�« lOLł 5Ž ≤

Æ›¥ ¨ ∞¤ …d²H�« w� ” √ Ω©”®„ ?ł Æ›”¤ Ω ©”®?¼ »

≥≠”≤

π≠≤”

Ω ©”®‚ √

∫WOðü« U½«d²�ô« s� qJ� © błË Ê≈® WOK;« ÈuBI�« rOI�«Ø WLOI�« 5OFð w� v�Ë_« WI²A*« —U³²š« Âb�²Ý« ≥

± > ” ”≤≠

¥ ≥ ” ≥ ± ≥≠”

¥ < ” ”≠μ

Ω ©”®‚ » ≤≠”≥´≥” Ω ©”®‚ √

›≥

≤

¨ ±

≤

≠¤ ∋ ” ≤´ ” ≤≠≤” Ω ©”®‚ ?ł

¤ π ≤¨ ∞ › ∋ ” ”≤Uł Ω ©”®‚ œ

Æ› π≤¨∞¤ …d²H�« vKŽ ”U²ł ´ ”Uł Ω ’ Ê«d²�ö� WIKD*«Ë WOK;« ÈuBI�« rOI�«ØWLOI�«błË√ ¥

±≥¥

∫©”®‚ Ê«d²�ö� ©”®Ó‚ v�Ë_« WI²A*« vM×M� —ËU−*« rÝd�« 5³¹ μ

Æ©”®‚ Ê«d²�ö� Włd(« jIM�« 5Ž √

Æ©”®‚ Ê«d²�ö� h�UM²�«Ë b¹«e²�« ôU−� 5Ž »

Æ©”®‚ Ê«d²�ö� WOK;« ÈuBI�« rOI�« 5Ž ?ł

”

± ≤ ≥

©”®Ó‚

©¥ ¨ ∞®¥

≥

≤

±

Ê«d²�ô« vM×M� oI×¹ YO×Ð œ¨?ł¨»¨ XÐ«u¦�« błË√ ∂

∫ÎUF� WO�U²�« ◊ËdA�« œ ´” ?ł´≤”»´

≥” Ω ©”®‚

¥ Ω ” bMŽ WłdŠ WDI½ t� » q�_« WDIMÐ d1 √

∞ Ω ∑ ´ ’ ≠ ”π ∫w¼ tOKŽ ©©±®‚¨±® WDIM�« bMŽ vM×MLK� ”UL*« W�œUF� ?ł

bMŽ WOK×� ÈdG� WLO�Ë ¨ Ω ” bMŽ WOK×� vLEŽ WLO� t�Ë ¨ vKŽ ·dF� œËbŠ dO¦� Ê«d²�« ©”®‚ ∑

¤»¨ › ∋ ?ł q�_« vKŽ bŠ«Ë œbŽ œułË X³Ł√ ¨©”®Ó‚ Ê«d²�ô« vKŽ ‰Ë— W¹dE½ oO³D²Ð Æ» Ω ”

Æ ∞ Ω ©?ł® Î‚ YO×Ð

∫WOðü« U½«d²�ô« s� qJ� © błË Ê≈® WIKD*« ÈuBI�« rOI�« 5Ž ∏

›¥¨±¤ ∋ ” ¨ ±∞´”∂´≤”

≤

μ ≠

≥

≥” Ω©”®‚ √

∏ ≥ ” ≥ ±≠ ¨ ” ≥√ Ω ©”®‚ »

± > ” ≥ ∞ ”

≥ ≥ ” ≥ ± ≤ ≠ ”¸

Ω ©”®‚ ?ł

±≥μ

(Concavity & Points of Inflection) ·UDF½ô« jI½Ë dFI²�« ¥≠≥

b¹«e²� Ê«d²�« ≥” Ω ©”®‚ Ê«d²�ô« Ê√ —ËU−*« ©≥≤≠≥® qJý `{u¹

ÁU&« sŽ nK²�¹ ∞ Ω ” q³� vM×M*« ”uIð ÁU&« Ê√ kŠö¹ sJ�Ë ª vKŽ

Æ∞ Ω ” bFÐ tÝuIð

X% lI¹ vM×M*« Ê√ kŠö½ ¨ ∞ > ” U�bMŽ Í√ v�Ë_« W�U(« w�

¨ ∞ < ” U�bMŽ Í√ ¨WO½U¦�« W�U(« w� U�√ ª¡e'« «c¼ w� tðUÝU2 lOLł

Æ¡e'« «c¼ w� tðUÝU2 lOLł ‚u� lI¹ v?M×M*« ÊS�

’

”

≥” Ω ’

©≥≤≠≥® qJA�«

∫n¹dFð

Ác¼ w� tðUÝU2 lOLł ‚u� ÎUF�«Ë ÊU� «–≈ t�U−� s� …d²� w� vKŽú� dFI� t½≈ ©”®‚ Ê«d²�« vM×M* ‰UI¹

Æ…d²H�« Ác¼ w� tðUÝU2 lOLł X% ÎUF�«Ë ÊU� «–≈ t�U−� s� …d²� w� qHÝú� dFI� t½≈Ë ¨…d²H�«

©≥≥≠≥® qJA�« w� UL� ¨ ≤” Ω ©”®‚ Ê«d²�ô« vM×M� Îö¦L�

qO� Ê√ W�U(« Ác¼ w� kŠö½ Æ t�U−� vKŽ vKŽú� dFI� vM×M�

ÊS� w�U²�UÐË ªb¹«e²� Ê«d²�« ©”®Ó‚ Ê√ Í√ ¨” œU¹œ“UÐ b¹«e²¹ ”UL*«

ÆW³łu� ©”® Î‚

’

”

∞ > ©”®Ó‚

∞ Ω ©∞®Ó‚

∞ < ©”®Ó‚

©≥≥≠≥® qJA�«

©≥¥≠≥® qJA�« w� UL� ≤”≠ Ω ©”®‚ vM×M� ÊS� ¨fJF�UÐË

h�UM²¹ ”UL*« qO� Ê√ W�U(« Ác¼ w� kŠö½ Æ vKŽ qHÝú� dFI�

©”®Î‚ ÊS� w�U²�UÐË ª vKŽ h�UM²� Ê«d²�« ©”®Ó‚ Ê√ Í√ ¨” œU¹œ“UÐ

ÆW³�UÝ

’

”

∞ < ©”®Ó‚

∞ Ω ©∞®Ó‚

∞ > ©”®Ó‚

©≥¥≠≥® qJA�«

±≥∂

©WO½U¦�« WI²AL�« Â«b ²ÝUÐ dFI²�« —U³²š«® ∫W¹dE½

∫t½S� ¤ »¨ › vKŽ 5²�dF� ©”®Î‚¨ ©”® Ó‚ X½U�Ë › »¨ ¤ vKŽ ÎöB²� ÎU½«d²�« ©”®‚ ÊU� «–≈

› »¨ ¤ …d²H�« w� vKŽú� Î«dFI� ÊuJ¹ ©”®‚ vM×M� ÊS� ¤ »¨ › ∋” lOL' ∞<©”®Î‚ X½U� «–≈ ±

› »¨ ¤ …d²H�« w� qHÝú� Î«dFI� ÊuJ¹ ©”®‚ vM×M� ÊS� ¤ »¨ › ∋” lOL' ∞>©”®Î‚ X½U� «–≈ ≤

©±® ‰U¦�

©”®‚ Ê«d²�ô« vM×M� UNO� ÊuJ¹ w²�« «d²H�« 5Ž Æμ≠”≤≠≤”∂´

≥” Ω ©”®‚ sJO�

ÆqHÝú� Î«dFI� UNO� ÊuJ¹ w²�« «d²H�«Ë ¨vKŽú� Î«dFI�

μ ≠ ”≤ ≠ ≤”∂ ´

≥” Ω ©”®‚

≤ ≠ ”±≤ ´ ≤”≥ Ω ©”®Ó‚

±≤ ´ ”∂ Ω ©”® Î‚

©”®Î‚ …—Uý≈

” ≤≠

≠≠≠ ´´´dH�

vM×M� ”uIð

©”®‚

©≥μ≠≥® qJA�«

©≥μ≠≥® qJA�UÐ 5³� u¼ UL� ©”® Î‚ …—Uý≈

≤≠ > ” U�bMŽ ∞ > ©”® Î‚

›≤≠¨∞≠› …d²H�« w� qHÝú� dFI� ©”®‚ vM×M� ∴

≤≠ < ” U�bMŽ ∞ < ©”® Î‚ Ê√ kŠö½ p�c�

¤∞¨≤≠¤ …d²H�« w� vKŽú� dFI� ©”®‚ vM×M� ∴

vL²� ÁdFIð ÁU&« U¼bMŽ vM×M*« dOG¹ w²�« ©±μ¨≤≠® WDIM�« Í√ ©©≤≠®‚¨≤≠® WDIM�« U�√

ÆÊ«d²�ô« vM×M* ·UDF½« WDI½

©·UDF½ô« WDI½® ∫n¹dFð

d]Ož «–≈ Ê«d²�ô« vM×M* ·UDF½« WDI½ ©©?ł®‚¨?ł® WDIM�« vLð ª ?ł Ω ” bMŽ ÎöB²� ÎU½«d²�« ©”®‚ sJO�

ÆfJF�UÐ Ë√ qHÝ√ v�≈ vKŽ√ s� ª ?ł WDIM�« bMŽ ÁdFIð ÁU&« ©”®‚ Ê«d²�ô« vM×M�

±≥∑

ÆWHK²�� U½«d²�ô ·UDF½ô« WDI½ `{u¹ ©≥∂≠≥® qJA�«

vKŽ_ dFI�

qHÝ_ dFI�·UDF½« WDI½

vKŽ_ dFI�qHÝ_ dFI�

·UDF½« WDI½

vKŽ_ dFI�

qHÝ_ dFI�

·UDF½« WDI½

©≥∂≠≥® qJA�«

∫WEŠö�

ÎUO�U� ÎUÞdý fO� «c¼ Ê√ ô≈ ª…œułu� dOž Ë√ Î«dH� Ω ©?ł® Î‚ ÊuJð ©©?ł®‚¨?ł®·UDF½ô« WDI½ bMŽ

WDIM�« sJ�Ë ∞ Ω ©∞® Î‚ ◊dA�« oI×¹ ¨‰U¦*« qO³Ý vKŽ ¨¥” Ω ©”®‚ Ê«d²�ôU� ¨·UDF½« WDI½ œułu�

Æ©p�– s� oI%® ¨ÎULz«œ vKŽú� dFI� t½_ ¥” Ω Ê«d²�ô« vM×M* ·UDF½« WDI½ XO� ©©∞®‚¨∞®

©≤® ‰U¦�

qHÝ_«Ë vKŽú� dFI²�« «d²�Ø …d²� błËQ� › π≤¨∞¤ ∋ ” ¨”Uł ≠ ” Ω ©”®‚ ÊU� «–≈

Æ© błË Ê≈® ·UDF½ô« jI½ØWDI½ 5ŽË ¨‚ vM×M*

› π≤¨∞¤ ∋ ” ¨ ”Uł ≠ ” Ω ©”®‚

”U²ł ≠ ± Ω ©”®Ó‚

”Uł Ω ©”® Î‚

©”®Î‚ …—Uý≈

” ∞

´´´

π≠≠≠dH�

π ≤

vM×M� ”uIð

©”®‚

©≥∑≠≥® qJA�«

©≥∑≠≥® qJA�« w� 5³� u¼ UL� ©”® Î‚ …—Uý≈

¤ π¨∞ › ∋ ” U�bMŽ ∞<©”® Î‚

› π¨∞ ¤ …d²H�« w� vKŽú� dFI� ‚ vM×M� ∴

¤ π≤¨π › ∋ ” U�bMŽ ∞ > ©”® Î‚

› π≤¨π ¤ …d²H�« w� qHÝú� dFI� ‚ vM×M� ∴

π Ω ” bMŽ qB²� ‚ Ê«d²�ô« Ê√ U0Ë

U¼—«uł w� ÁdFIð ÁU&« dOG¹Ë

Æ·UDF½« WDI½ ©π¨π® Ω ©©π®‚¨π® WDIM�« ∴

±≥∏

©≥® ‰U¦�

WDI½Ë ©”®‚ vM×M* qHÝ_«Ë vKŽú� dFI²�« ôU−� 5F� ¨¸π ≠ ≤”¸ Ω ©”®‚ ÊU� «–≈

Æ© błË Ê≈® ·UDF½ô«

¸π ≠ ≤”¸ Ω ©”®‚

≥≠ ≥ ” π ≠ ≤”

≥ > ” > ≥≠ π ´ ≤”≠

≥ ≤ ” π ≠ ≤”

Ω

≥≠ > ” ”≤

≥ > ” > ≥≠ ”≤≠

≥ < ” ”≤

≥ ∓ Ω ” …œułu� dOž

Ω ©”®Ó‚

≥≠ > ” ≤

≥ > ” > ≥≠ ≤≠

≥ < ” ≤

≥ ∓ Ω ” …œułu� dOž

Ω ©”® Î‚

©”®Î‚ …—Uý≈

”

´´´ ≠≠≠

≥≥≠

´´´

vM×M*« ”uIð

©≥∏≠≥® qJA�«

©≥∏≠≥® qJA�UÐ 5³� u¼ UL� ©”® Î‚ …—Uý≈

≥ > ” > ≥≠ U�bMŽ ∞ > ©”® Î‚

›≥¨≥≠¤ …d²H�« w� qHÝú� dFI� ©”®‚ vM×M� ∴

≥ < ” p�c�Ë ¨ ≥≠ > ” U�bMŽ ∞ < ©”®Î‚

Æ›≥≠¨∞≠› …d²H�« w� vKŽú� dFI� ©”®‚ vM×M� ∴

¤∞¨≥¤ …d²H�« w� p�c�Ë

¨·UDF½« WDI½ ©∞ ¨≥≠® Ω ©©≥≠®‚¨≥≠® WDIM�«

ÁU&« vM×M*« dOG¹Ë ¨≥≠ Ω ” bMŽ qB²� ©”®‚ Ê_

©∞¨≥® Ω ©©≥®‚¨≥® WDIM�« p�c�Ë ¨UN�uŠ ÁdFIð

Ætð«– V³K� WO½UŁ ·UDF½« WDI½

Æ©”®‚ vM×M� q¦1 Íc�« ©≥π≠≥® qJA�« dE½«

”

’

≥≠

π

≥

©≥π≠≥® qJA�«

±≥π

©¥® ‰U¦�

qB²*« Ê«d²�ö� ©”® Î‚ vM×M� ©¥∞≠≥® qJA�« q¦1

Æ›¥¨ ≥≠¤ …d²H�« vKŽ ©”®‚

Æ©”®‚ vM×M* qHÝú�Ë vKŽú� dFI²�« ôU−� 5Ž √

Æ© błË Ê≈®·UDF½ô« jI½Ø WDI½ 5Ž »

”

©”®Î‚ Ω ’

≥≠ ¥

©¥∞≠≥® qJA�«

©”® Î‚ …—Uý≈ `{u¹ ©¥±≠≥® qJA�«

¤∞¨ ≥≠› …d²H�« vKŽ ∞ < ©”® Î‚ √

›∞¨ ≥≠¤ …d²H�« vKŽ vKŽú� dFI� ©”®‚ vM×M� ∴

¤¥¨∞› …d²H�« vKŽ ∞ > ©”® Î‚ ©”®Î‚ …—Uý≈

” ≥≠

´´´

vM×M*« ”uIð

∞

≠≠≠≠≠

¥

∞

©¥±≠≥® qJA�«

›¥¨∞¤ …d²H�« vKŽ qHÝú� dFI� ©”®‚ vM×M� ∴

∞ Ω ” bMŽ qB²� ‚ Ê_ ·UDF½« WDI½ ©©∞®‚¨∞® WDIM�« »

ÆU¼bMŽ ÁdFIð ÁU&« vM×M*« dOG¹Ë

©μ® ‰U¦�

∫błËQ� ∞ ≠ ” ¨ ”

± ´ ” Ω ©”®‚ ÊU� «–≈

Æ‚ vM×M* qHÝú� Ë vKŽú� dFI²�« «d²� √

Æ błË Ê≈ ·UDF½ô« jI½Ø WDI½ »

≤ ≠” ≠ ± Ω ≤”

± ≠± Ω ©”®Ó‚

≥”

≤ Ω

≥ ≠”≤ Ω ©”® Î‚

©”®Î‚ …—Uý≈

”

≠≠≠

∞

´´´

vM×M*« ”uIð

©¥≤≠≥® qJA�«

©¥≤≠≥® qJA�« w� 5³� u¼ UL� ©”® Î‚ …—Uý≈

¤∞¨∞› …d²H�« vKŽ ∞ < ©”® Î‚

¤∞¨∞› …d²H�« vKŽ vKŽú� dFI� ‚ vM×M� ∴

¤∞¨∞≠› …d²H�« vKŽ U�bMŽ ∞ > ©”® Î‚

¤∞¨∞≠› …d²H�« vKŽ qHÝú� dFI� ©”®‚ vM×M� ∴

ÎU�dF� fO� t½_ ∞ Ω ” bMŽ qB²� dOž Ê«d²�ô« sJ�Ë ∞ Ω ” —«uł w� ÁdFIð dOG¹ vM×M*«

ÆÊ«d²�ô« vM×M* ·UDF½« WDI½ W¹√ Ê–≈ błuð ö� ªU¼bMŽ

±¥∞

(Second Derivative Test) ÈuBI�« rOI�« 5OFð w� WO½U¦�« WI²A*« —U³²š«

WO½U¦�« WI²A*« Â«b�²Ý« sJL*« s�Ë ª U½«d²�ö� ÈuBI�« rOI�« 5OF²� v�Ë_« WI²A*« ÎUIÐUÝ UM�b�²Ý« b� UM�

ÆÎ«dH� ÍËUð U¼bMŽ v�Ë_« WI²A*« YOŠ Włd(« WDIM�« bMŽ UNð«– W¹UGK�

∫W¹dE½

∫t½S� ∞ Ω ©?ł® Ó‚ ÊU�Ë ¨ ?ł Íu% WŠu²H� …d²� vKŽ ‚UI²ýö� ÎöÐU� ÎU½«d²�« ©”®‚ ÊU� «–≈

ÆWOK×� vLEŽ WLO� ©?ł®‚ ÊS� ∞ > ©?ł® Î‚ ÊU� «–≈ ±

ÆWOK×� ÈdG� WLO� ©?ł®‚ ÊS� ∞ < ©?ł® Î‚ ÊU� «–≈ ≤

¨ ∞ Ω ©?ł® Ó‚ YOŠ ©”®‚ Ê«d²�ô« vM×M� ©¥≥≠≥® qJA�« `{u¹

?ł —«uł w� UÝUL*« Ê√ Í√ ∞ > ©?ł® Î‚ ¨wI�√ ?ł bMŽ ”UL*« Ê√ Í√

ÆWOK×� vLEŽ WLO� ©?ł®‚ Ê√ wMF¹ U2 vM×M*« ‚u� lIð

’

”

∞ Ω ©?ł®Ó‚

?ł

©¥≥≠≥® qJA�«

ÆWO½U¦�« W�U(« `O{uð sJ1 q¦*UÐË

©∂® ‰U¦�

∫Ê«d²�ö� ÈuBI�« rOI�« 5OFð w� WO½U¦�« WI²A*« Âb�²Ý«

∋ ” ¥∏ ´ ”≤∑ ≠ ≥” Ω ©”®‚

¥∏ ´ ”≤∑ ≠ ≥” Ω ©”®‚

≤∑ ≠ ≤”≥ Ω ©”®Ó‚

”∂ Ω ©”® Î‚

∞ Ω ©”®Ó‚ YOŠ Włd(« jIM�«

∞ Ω ≤∑ ≠ ≤”≥

≥ ∓ Ω ” UNM�Ë

≥ Ω ” YOŠ Włd(« WDIMK� WO½U¦�« WI²A*« —U³²š« √

∞ < ±∏ Ω ≥ × ∂ Ω ©≥® Î‚

±¥±

WOK×� ÈdG� WLO� WDI½ ©∂≠ ¨ ≥® Ω ©©≥®‚ ¨ ≥® ∴

≥ ≠ Ω ” YOŠ Włd(« WDIMK� WO½U¦�« WI²A*« —U³²š« »

∞ < ±∏≠ Ω ≥≠ × ∂ Ω ©≥≠® Î‚

WOK×� vLEŽ WLO� WDI½ ©±∞≤ ¨ ≥≠® Ω ©©≥≠®‚ ¨ ≥≠® ∴

∫WEŠö�

Æv�Ë_« WI²A*« —U³²š« v�≈ œuF½ czbMŽË ªqAH¹ WO½U¦�« WI²A*« —U³²š« ÊS� ¨…œułu� dOž Ë√ ¨ ∞ Ω ©?ł® Î‚ X½U� «–≈

©∑® ‰U¦�

ÆÊ«d²�ö� WOK;« ÈuBI�« rOI�« błË√ ∋ ” ¥” Ω ©”®‚ sJO�

≥”¥ Ω ©”®Ó‚

∞ Ω ” ⇐ ∞ Ω ©”®Ó‚

∞ Ω ” bMŽ …bŠ«Ë WłdŠ WDI½ ©”®‚ Ê«d²�ö� ∴

≤”±≤ Ω ©”® Î‚

`{«u�« s�Ë ¨v�Ë_« WI²A*« —U³²šô œuF½ «c�Ë ¨qAH¹ WO½U¦�« WI²A*« —U³²š« ⇐ ∞ Ω ©∞® Î‚ ∴

∞ Ω ” —«uł w� ” rO� œU¹œ“UÐ W³łu� v�≈ W³�UÝ s� UNð—Uý≈ dOGð v�Ë_« WI²A*« Ê√

∞ Ω ©∞®‚ ÍËUðË ∞ Ω ” bMŽ WOK×� ÈdG� WLO� ©”®‚ Ê«d²�ö� ∴

©¥≠≥® s¹—U9

∫WOðü« U½«d²�ô« s� qJ� błË Ê≈ ·UDF½ô« jI½ØWDI½Ë qHÝú�Ë vKŽú� dFI²�« «d²�Ø…d²� 5Ž ±

”

± Ω ©”®‚ »

≤” ≤

± ≠

¥”

¥

± Ω ©”®‚ √

¤ ≤

π ¨

≤

π≠ › ∋” ¨ ≤≠”Uþ Ω ©”®‚ œ › π≤¨ ∞¤ ∋” ¨ ”U²ł ´ ”Uł Ω ©”®‚ ?ł

∫5Oðü« 5½«d²�ô« s� qJ� ÈuBI�« rOI�« 5OF²� WO½U¦�« WI²A*« —U³²š« Âb�²Ý« ≤

”

≤∑ ≠

≤” Ω ©”®‚ » ¥”≤ ≠

≤”∏ Ω ©”®‚ √

±¥≤

ø WLO� UL� ¨ ≤≠” ´

≤” Ω ©”®‚ Ê«d²�ö� ·UDF½« WDI½ ©©±®‚ ¨ ±® WDIM�« X½U� «–≈ ≥

∫5²Oðü« 5²�U(« s� q� w� »¨ 5²ÐU¦�« błËQ� μ ´ ”» ´ ≤” ´

≥” Ω©”®‚ ÊU� «–≈ ¥

Æ≥ Ω ” bMŽ WOK×� ÈdG� WLO�Ë ±≠ Ω ” bMŽ WOK×� vLEŽ WLO� ©”®‚ Ê«d²�ö� √

Æ± Ω ” bMŽ ·UDF½« WDI½Ë ¨ ¥ Ω ” bMŽ WOK×� ÈdG� WLO� ©”®‚ Ê«d²�ö� »

∫Ê√ XLKŽ «–≈ Æ©”®Î‚ vM×M� q¦1 —ËU−*« qJA�« μ

∫błËQ� ∂¨±≠ Ω ” bMŽ w¼ ©”®‚ Ê«d²�ö� Włd(« ◊UIM�«

©”®‚ Ê«d²�ö� qHÝú�Ë vKŽú� dFI²�« «d²� √

©”®‚ Ê«d²�ö� WOK;« ÈuBI�« rOI�« jI½ »

©”®‚ Ê«d²�ö� ·UDF½ô« jI½ØWDI½ ?ł

”

©”®Î‚

¥≤≠

Æº±≥μ ÍËU¹

± ≠ ≤”

”

Ω ©”®‚ Ê«d²�ö� ·UDF½ô« WDI½ bMŽ ”UL*« qO� W¹Ë«“ ”UO� Ê√ X³Ł√ ∂

Æ©”®‚ vM×M* ·UDF½ô« jI½ØWDI½ błËQ� π ´

≤”

”

Ω ©”®Ó‚ YO×Ð vKŽ ÎU�dF� ÎU½«d²�« ©”®‚ ÊU� «–≈ ∑

Ê«d²�ô« ÊU�Ë ¨…d²H�« Ác¼ w� Î«dH� WLOI�« c�²¹ ôË ¨›»¨ ¤ vKŽ Î«b¹«e²� œËbŠ dO¦� ©”®„ ÊU� «–≈ ∏

Ê«d²�ô«vM×M� Ê√ X³ŁQ� ¨”μ≠ ©”®„

∑ Ω ©”®Ó‚ Ê≈ YO×Ð ¤»¨ › …d²H�« vKŽ ‚UI²ýö� ÎöÐU� ©”®‚

Æ›»¨ ¤ w� qHÝö� dFI� ©”®‚

ÈdG� WLO�Ë ±” bMŽ WOK×� vLEŽ WLO� œ ´ ”?ł´

≤”» ´ ≥” Ω©”®‚ Ê«d²�ô« vM×M* ÊU� «–≈ π

Æ ≤

≤” ´ ±

”

bMŽ ·UDF½« WDI½ ©”®‚ Ê«d²�ö� Ê√ X³ŁQ� ≤

” bMŽ WOK×�

∫œU−¹≈ w� qJA�« vKŽ bL²Ž« Æ©”®Ó‚ vM×M� —ËU−*« qJA�« q¦1 ±∞

©”®‚ Ê«d²�ö� WłdŠ jI½ U¼bMŽ błu¹ w²�« ” rO� √

Æ©”®‚ Ê«d²�ö� h�UM²�«Ë b¹«e²�« ôU−� »

Æ©”®‚ Ê«d²�ö� ÈuBI�« rOI�« jI½ ?ł

Æ©”®‚ vM×M* qHÝú�Ë vKŽú� dFI²�« ôU−� œ

Æ©”®‚ Ê«d²�ö� ·UDF½ô« jI½Ø WDI½ ?¼

”

©”®Ó‚

≥≥≠

¥≠

±¥≥

(Curve Sketching) UOM×M*« rÝ— μ≠≥

ÂUF�« qJA�« rÝ— w� ULN�«b�²Ý« ©”® Î‚ WO½U¦�« WI²A*«Ë ©”®Ó‚ v�Ë_« WI²ALK� WLN*« UIO³D²�« 5Ð s�

Æ©”®‚ Ω ’ Ê«d²�ô« vM×M*

∫U� Ê«d²�« vM×M* ÂUF�« qJA�« rÝ— bMŽ WOðü« WOÝUÝ_« «uD)« ŸU³ð« UMMJ1¨ ÂUŽ tłuÐË

Æ©”®Î‚¨ ©”®Ó‚ b$ rŁ Ê«d²�ô« ‰U−� 5F½ √

Æ© błË Ê≈® ÈuBI�« rOI�« jI½Ë h�UM²�«Ë b¹«e²�« «d²� 5F½ »

Æ© błË Ê≈® ·UDF½ô« jI½Ë dFI²�« «d²� 5F½ ?ł

lÞUI²�« jI½Ë ¨©d�_« Âe� Ê≈® UN�uŠ W³ÝUM� Èdš√ ÎUDI½Ë ¨wð—UJ¹b�« Èu²*« w� WIÐU�« ◊UIM�« 5F½ œ

Æ©sJ�√ Ê≈®5OŁ«bŠù« s¹—u;« l�

ÆÊ«d²�ô« ‰U−� …UŽ«d� l� vM×M*« qLJ½Ë ¨bN2 j�Ð WIÐU�« ◊UIM�« 5Ð qB½ ?¼

©±® ‰U¦�

Æμ ´ ≥”¥ ≠

¥” Ω ©”®‚ Ê«d²�ô« vM×M* ÂUF�« qJA�« rÝ—«

t�U−� œËbŠ dO¦� Ê«d²�« ©”®‚

©≥≠”® ≤”¥ Ω

≤”±≤ ≠ ≥”¥ Ω ©”®Ó‚ √

©≤≠”®”±≤ Ω ”≤¥ ≠ ≤”±≤ Ω ©”® Î‚

∫ÈuBI�« rOI�«Ë h�UM²�«Ë b¹«e²�« »

∫Włd(« jIM�«

∞ Ω ©≥≠”®≤”¥ ⇐ ∞ Ω ©”®Ó‚

≥¨ ∞ Ω ” ⇐ ©”®‚ „uKÝ

©”®Ó‚ …—Uý≈

”≥

´´´≠≠≠

h�UM²�

dH�

b¹«e²�

∞

≠≠≠ dH�

h�UM²�

©¥¥≠≥® qJA�«

©¥¥≠≥® qJA�« w� 5³� u¼ UL� ©”®Ó‚ …—Uý≈

≥ < ” U�bMŽ ∞ < ©”®Ó‚

¤∞¨≥¤ vKŽ b¹«e²� ©”®‚ ∴

¤≥¨∞› ∋ ” U�bMŽ p�c�Ë ∞ > ” U�bMŽ ∞ > ©”®Ó‚

œËbŠ dO¦� t½_ ∞ Ω ” bMŽ qB²� ©”®‚ Ê≈ YOŠË

›≥¨∞≠› vKŽ h�UM²� ©”®‚ ∴

±¥¥

∞ Ω ” ‰uŠ UNð—Uý« dOGð ô ©”®Ó‚ Ê_ ÈuB� WLO� XO� ©∞®‚

WOK×� ÈdG� WLO� WDI½ wN� ©≤≤≠¨≥® Ω ©©≥®‚¨≥® U�√

≥ Ω ” bFÐ W³łu� v�≈ ≥ Ω ” q³� W³�UÝ s� UNð—Uý« dOGð ©”®Ó‚ Ê_

·UDF½ô« jI½Ë dFI²�« ?ł

≤¨ ∞ Ω ” ⇐ ∞ Ω ©”® Î‚

vM×M*« ”uIð dFI�

vKŽ_

dFI�

qHÝ_

dFI�

vKŽ_

©”®Î‚ …—Uý≈

”

´´´ ≠≠≠

≤∞

´´´

©¥μ≠≥® qJA�«

©¥μ≠≥® qJA�« w� 5³� u¼ UL� ©”® Î‚ …—Uý≈

≤ > ” > ∞ U�bMŽ ∞ > ©”® Î‚

›≤¨∞¤ vKŽ qHÝú� dFI� ‚ vM×M� ∴

∞ > ” U�bMŽ p�c�Ë ¨ ≤ < ” U�bMŽ ∞ < ©”® Î‚

›∞¨∞≠› p�c�Ë ¤∞¨≤¤ …d²H�« vKŽ vKŽú� dFI� ©”®‚ vM×M� ∴

©”®‚ ‰UBðô ·UDF½« U²DI½ UL¼ ©±±≠¨≤® Ω ©©≤®‚¨≤® ¨©μ¨∞® Ω ©©∞®‚¨∞® ÊU²DIM�« ∴

ÆULNM� Ìq� ‰uŠ dFI²�« ÁU&« dOGðË UL¼bMŽ

∫vM×M*« vKŽ Èdš√ ◊UI½ œ

∫s¹—u;« l� lÞUI²�« jI½

μ Ω ’ ÊuJð ∞ Ω ” U�bMŽ

∞ Ω μ ´ ≥”¥ ≠

¥” ÊuJ¹ ∞ Ω ’ U�bMŽ

©UN�d²M� W�œUF*« Ác¼ qŠ qN�« s� fO�Ë®

μ Ω ’ ÊuJð ¥ Ω ” U�bMŽ ∫Èdš√ jI½

±∞ Ω ’ ÊuJð ±≠ Ω ” U�bMŽË

wð—UJ¹b�« Èu²*« vKŽ WIÐU�« ◊UIM�« 5F½ ?¼

„uKÝ …UŽ«d� l� bN2 j�Ð UNMOÐ qB½Ë

Æ WHK²�*« «d²H�« vKŽ Ê«d²�ô«

Æ©¥∂≠≥® qJA�« kŠô

”

± ≤ ≥ ¥

’

©≤≤≠¨≥®

WIKD� ÈdG�

·UDF½« WDI½

·UDF½« WDI½

≤∞

±∂

±≤

∏

¥

¥≠

∏≠

±≤≠

±∂≠

≤∞≠

≤¥≠

±≠

©¥∂≠≥® qJA�«

±¥μ

©μ≠≥® s¹—U9

∫YO×ÐË ¨ ∞ Ω ” bMŽ qB²*« ©”®‚ Ω ’ Ê«d²�ö� ÎUO³¹dIð vM×M� rÝ—« ±

∞ < ” U�bMŽ ∞ < ©”®Ó‚ ¨ ∞ > ” U�bMŽ ∞ > ©”®Ó‚

∫YO×ÐË ¨ ∞ Ω ” bMŽ qB²*« ©”®‚ Ω ’ Ê«d²�ö� ÎUO³¹dIð vM×M� rÝ—« ≤

∞ < ” U�bMŽ ∞ < ©”® Î‚ ∞ > ” U�bMŽ ∞ > ©”® Î‚

∫jIM�UÐ d1 Íc�« ¨©”®‚ Ω ’ Ê«d²�ô« vM×M* ÂUF�« qJA�« rÝ—« ≥

©≤¨≤® ©±¨±® ©∞¨∞® ©±¨±≠® ©≤¨≤≠®

∫wK¹ UL� Ê«d²�ö� ©”® Î‚ WO½U¦�«Ë ©”®Ó‚ v�Ë_« WI²A*« …—Uý≈Ë

©”® Î‚ …—Uý≈

” ±≠

´´´≠≠≠

±

≠≠≠

©”®Ó‚ …—Uý≈

” ∞

´´´≠≠≠

≤≠

´´´

≤

≠≠≠

∫5Oðü« 5½«d²�ô« s� Ìq� vM×M� rÝ—« ¥

¥∏ ´ ”≥≤ ≠ ¥” Ω ©”®‚ »

≤”≥ ´ ≥” Ω ©”®‚ √

∫wK¹ U� oI×¹Ë ›≥¨≥≠¤ …d²H�« vKŽ ·dF� Ê«d²�« ©”®‚ μ

≥ > ” > ± ± ± > ” > ≤≠ ≤≠ ≤≠ > ” > ≥≠”

W³�UÝ dH� W³łu� dH� W³�UÝ ©”®Ó‚

≥ > ” >

≠

≠

≠ > ” > ≥≠

”

W³�UÝ dH� W³łu� ©”®Î‚

∫WOðü« WK¾Ý_« sŽ WÐUłû� U�uKF*« Ác¼ vKŽ bL²Ž«

øÈdG� WLO� U¼bMŽ ©”®‚ Ê«d²�ö� ÊuJ¹ w²�« ” WLO� U� √

ø©”®‚ Ê«d²�ö� h�UM²�« ôU−� U� »

ø·UDF½« WDI½ U¼bMŽ Ê«d²�ö� ÊuJ¹ w²�« ” WLO� U� ?ł

ÈdGB�«Ë vLEF�« rOI�« jI½ tOKŽ ÎUMO³� Ê«d²�ô« vM×M* ÎU³¹dIð ÎöJý rÝ—U� ± Ω ©≥≠®‚ ÊU� «–≈ œ

Æ·UDF½ô«Ë

±¥∂

ÈuBI�« rOI�« vKŽ WOKLŽ UIO³Dð ∂≠≥

dOGBð W�Q� ¨WOKLF�«Ë WOLKF�« ôU−*« s� U¼dOžË …—U−²�«Ë WŽUMB�«Ë WÝbMN�« w� WOÝUÝ_« qzU*« s�

Æ UOKLF�« pKð Ułd�� w� ÃU²½ô«Ë `Ðd�« rOEFðË ¨ UOKLF�« öšb� w� œ«u*«Ë WHKJ²�«Ë bN'«

ÁœbBÐ s×½ Íc�« Ê«d²�ö� ÈuBI�« rOI�« »UŠ w� tð«¡«dł≈Ë q{UH²�« —UJ�√ s� …œUH²Ýô« sJL*« s�Ë

∫WO�U²�« WK¦�_« s� `C²¹ UL� UIO³D²�« Ác¼ q¦� w�

©±® ‰U¦�

WI¹b×K� WÐuKD*« WŠU*« X½U� «–≈ ÆÃUOÐ UNDO×¹ qJA�« WKOD²� WI¹bŠ qLŽ Ÿ—«e� b¹d¹

Æ©©μ≥≠≥® qJA�« dE½«® d²� qJ� dO½U½œ ∂ o¹dD�« WNł s� ÃUO�« WHKJð X½U�Ë ¨≤Â ∏∞∞

q�√ nO�UJ²�« ÊöF−¹ s¹cK�« WI¹b(« ÍbFÐ b−� ¨d²� qJ� s¹—UM¹œ Èdš_« UN'« s�Ë

ønO�UJ²�« Ác¼ WLO� mK³ð r�Ë ¨sJ1 U�

©¥∑≠≥® qJA�« w� UL� ’¨” WI¹b(« ÍbFÐ ÷dH½

WOKJ�« nO�UJ²�« Ê√ ÷dH½Ë

≤Â ∏∞∞ Ω ’ ” WŠU*«

’≤ ´ ’≤ ´ ”≤ ´ ”∂ Ω

’¥ ´ ”∏ Ω o¹dD�«

”

’

©¥∑≠≥® qJA�«

”

∏∞∞ Ω ’ sJ�

”

∏∞∞ × ¥ ´ ”∏ Ω ∴

”

≥≤∞∞ ´ ”∏ Ω

∫Włd(« ◊UIM�« 5F½ nO�UJ²K� ÈdGB�« WLOI�« œU−¹ù

≤”

≥≤∞∞ ≠ ∏ Ω ©”® Ó

∞ Ω ≤”

≥≤∞∞ ≠ ∏ ⇐ ∞ Ω ©”® Ó

≥≤∞∞ Ω ≤”∏

¥∞∞ Ω ≤”

±¥∑

©ø«–U*® ≤∞≠ Ω ” qLN½ Æ ≤∞ ∓ Ω ” ∴

≥”

∂¥∞∞ Ω ©”® Î

∞ < ≥≤∞

∂¥∞∞ Ω ©≤∞® Î

ÆsJ1 U� dG�√ nO�UJ²�« ÊuJð ≤∞ Ω ” bMŽ ∴

Â¥∞ Ω ≤∞

∏∞∞ Ω

”

∏∞∞ Ω ’ ÊuJðË

Â¥∞ Ω ’ ¨ Â≤∞ Ω ” bMŽ ÈdG� WLO� cšQð nO�UJ²�« Ê√ Í√

ÆÎ«—UM¹œ ≥≤∞ Ω ©¥∞®¥ ´ ©≤∞®∏ czbMŽ nO�UJ²�« mK³ðË

∫wK¹ UL� WOKLF�« UIO³D²�UÐ WIKF²*« qzU*« qŠ w� UNM� …œUH²Ýö� oÐU�« ‰U¦*« w� U¼UMF³ð« w²�« «uD)« hO�Kð UMMJ1

ÆW³ÝUM� “u�dÐ UNð«dOG²� V²J½Ë ¨UNO� »uKD*«Ë UODF*« 5F½Ë ¨W�Q*« ”—b½ •

Æ©ÎU³ÝUM� p�– ÊU� «–≈® W�QLK� ÎUO×O{uð ÎöJý rÝd½ •

ÆbŠ«Ë dOG²0 Ê«d²�« WGO� w� ÈuBI�« t²LO� 5OFð œ«d¹ Íc�« dOG²*« sŽ d³F½ •

ÆWÐuKD*« ÈuBI�« WLOI�« oI×¹ UNM� ÎU¹√ d³²�½Ë Ê«d²�ö� Włd(« jIM�« 5F½ •

©≤® ‰U¦�

Æ©∞¨≤® WDIM�« v�≈ ± ≠ ” √ Ω ’ vM×M*« vKŽ WF�«Ë WDI½ »d�√ bł

Æ©¥∏≠≥® qJA�« w� UL� vM×M*« vKŽ U� WDI½ ©’¨”® ?¼ WDIM�« Ê√ ÷dH½

≤’ ´

≤©≤≠”® √ Ω · Ω ?¼ W�U*«

± ≠ ” √ Ω ’ sJ�

± ≠ ” Ω ≤’ ∴

∫Ê√ Z²M¹ ” W�ôbÐ ’ sŽ i¹uF²�UÐË

± ≠ ” ´ ≤©≤≠”® √ Ω

·

”

’

·

± ≠ ”

√ Ω ’

©’¨”® ?¼

±

©∞¨≤®

©¥∏≠≥® qJA�«

≥ ´ ” ≥ ≠ ≤” √ Ω ·

±¥∏

≥ ´ ” ≥ ≠ ≤” √ ≤

≥ ≠ ”

≤ Ω

” œ

· œ

≤

≥ Ω ” UNM�Ë ∞ Ω ≥ ≠ ”≤ ⇐ ∞ Ω

” œ

· œ ∫Włd(« ◊UIM�«

©WO�dÞ WDI½® ± Ω ” bMŽ …œułu� dOž ” œ

· œ

” œ

· œ

…—Uý≈

≤

≥

”

´´´≠≠≠

±

Ê«d²�ô« „uKÝ

©¥π≠≥® qJA�«

©¥π≠≥® qJA�« w� 5³� u¼ UL� ” œ

· œ WI²A*« …—Uý≈

Æ©WIKD� w¼Ë® WOK×� ÈdG� WLO� błuð ≤

≥ Ω ” bMŽ ∴

©

≤ √

± ¨

≤

≥ ® Ω ©©

≤

≥ ®‚ ¨

≤

≥ ® WDIM�« w¼ ©∞ ¨ ≤® WDIMK� vM×M*« vKŽ WDI½ »d�√ ∴

©≥® ‰U¦�

¨ÎUO�u¹ …d�cð ≥∞∞ lO³ð UN½S� —UM¹œ ≤∞∞ …d�c²�« dFÝ ÊuJ¹ 5Š t½√ Ê«dOÞ W�dý XEŠô

d�«cð ≥ WFO³*« d�«c²�« œbŽ œ«œe??¹ …d�c²�« dFÝ w� bŠ«Ë —UM¹œ Á—«bI� iOH�ð qJ� t½√Ë

øqšb�« p�– —«bI� U�Ë ¨sJ1 U� d³�√ W�dA�« qšœ qF−¹ Íc�« …d�c²�« dFÝ bł ÆÎUO�u¹

—UM¹œ ” …d�c²�« dFÝ w� iOH�²�« —«bI� Ê√ ÷dH½

Î«—UM¹œ ©” ≠ ≤∞∞® …d�c²�« dFÝ `³BO�

©”≥ ´ ≥∞∞® WFO³*« d�«c²�« œbŽ ÊuJ¹Ë

©”≥ ´ ≥∞∞® ©” ≠ ≤∞∞® Ω ’ qšb�«

”∂ ≠ ≥∞∞ Ω ±≠ × ©”≥´ ≥∞∞® ´ ≥ × ©” ≠ ≤∞∞® Ω Ó’

μ∞ Ω ” U�bMŽ ∞ Ω Ó’

∞ > ∂≠ Ω Î’

WIKD� w¼Ë vLEŽ WLO� błu¹ μ∞ Ω ” U�bMŽ ∴

mK³ðË W�dAK� qšœ d³�√ oI×¹ Íc�« u¼ Î«—UM¹œ ±μ∞ Ω μ∞ ≠ ≤∞∞ Ω …d�c²�« dFÝ Ê√ Í√

Æ—UM¹œ ∂∑μ∞∞ Ω ¥μ∞ × ±μ∞ qšb�« «c¼ WLO�

±¥π

©¥® ‰U¦�

Æ≥rÝ œ π ∏± UN²FÝË vKŽ√ s� WŠu²H� WLzU� W¹dz«œ W½«uDÝ« W¾O¼ w� w½bF� ¡UŽË lM� œ«d¹

Î«bŠ«Ë Î«—UM¹œË ¨W½«uDÝô« …bŽU� s� ≤rÝ œ qJ� dO½U½œ ≥ WKLF²*« œ«u*« WHKJð X½U� «–S�

ÆsJ1 U� q�√ nO�UJ²�« qF& w²�« W½«uDÝô« œUFÐ√ b−� w³½U'« UN×DÝ s� ≤rÝœ qJ�

Æ©μ∞≠≥® qJA�« w� UL� Ÿ UNŽUHð—«Ë o½ W½«uDÝô« …bŽU� dD� nB½ Ê√ ÷dH½

± × ©Ÿ o½ π ≤®´ ©≤o½ π®≥ Ω WOKJ�« nO�UJ²�«

Ÿ o½ π≤´≤o½ π ≥ Ω

π ∏± Ω Ÿ ≤o½ π Ω W½«uDÝô« WFÝ sJ�

Ÿ

o½

©μ∞≠≥® qJA�«

≤o½

∏± Ω Ÿ ∴

© ≤o½

∏± × o½≤ ´

≤o½≥® π Ω ÊuJð Ÿ sŽ i¹uF²�UÐ

©o½

±∂≤ ´

≤o½≥® π Ω

©≤o½

±∂≤ ≠o½∂® π Ω

o½ œ

œ

∞ Ω ≤o½

±∂≤ ≠o½∂ ⇐ ∞ Ω

o½ œ

œ

rÝœ ≥ Ω o½ ∴

≥o½

≤ × ±∂≤ ´ ∂ Ω

≤o½ œ

≤œ

∞ < ≤∑

≤ × ±∂≤ ´ ∂ Ω

≤o½ œ

≤œ

≥ Ω o½

¸

rÝ œ ≥ Ω o½ bMŽ ÈdG� WLO� nO�UJ²�« ÊuJð ∴

rÝœπ Ω Ÿ b$ i¹uF²�UÐ

±μ∞

©∂≠≥® s¹—U9

d³�√ t²ŠU� X½U� «–≈ YK¦*« Ÿö{√ ‰«uÞ√ błË√ Æ5�U�« ÍËU²� ÎU¦K¦� ÊuJO� rÝ ±≤ t�uÞ pKÝ wMŁ ±

ÆsJ1 U�

ÆrÝ≤∞ U¼dD� nB½ ‰uÞ …dz«œ qš«œ tLÝ— sJ1 qOD²� d³�√ WŠU� bł ≤

WIÐUD²� …dOG� UFÐd� WFÐ—√ lDIÐ p�–Ë ¨vKŽ√ s� Õu²H� öOD²� Í“«u²� W¾O¼ w� ‚ËbM� lM� œ«d¹ ≥

q� lK{ ‰uÞ U� ÆvKŽ√ v�≈ ·«u(« wMŁ rŁ ¨rÝœ±≤ UNFK{ ‰uÞ qJA�« WFÐd� WO½bF� W×OH� U¹«Ë“ s�

øsJ1 U� d³�√ ‚ËbMB�« WFÝ X½U� «–≈ UFÐd*« Ác¼ s�

vDF� j)« «c¼ vKŽ ©Ë® W²ÐUŁ WDI½ sŽ —U²�ôUÐ ©·® U¼bFÐ ÊuJ¹ YO×Ð rOI²� jš vKŽ W¹œU� WDI½ „d×²ð ¥

ÆsJ1 U� dG�√ WŽd�« tO� ÊuJð Íc�« s�e�« bł Æw½«u¦�UÐ s�e�« Ê ¨ Ê±≤ ´ ≤Êπ ≠

≥Ê≤ Ω · ∫W�öF�UÐ

WLOI²*« lDI�« dB�√ u¼ UMO�« —u×� vKŽ ©≥¨≤® WDIM�« s� ‰“UM�« œuLF�« Ê√ q{UH²�« Â«b�²ÝUÐ s¼dÐ μ

Æ UMO�« —u×�Ë ©≥ ¨ ≤® WDIM�« 5Ð qBð w²�«

Æ±∂ Ω ≤’ ≠

≤” vM×M*«Ë ©∂ ¨ ∞® WDIM�« 5Ð W�U� dB�√ błË√ ∂

Uł«—b�« œbŽ œ«“ «–≈Ë Î«—UM¹œ ≤∞ …bŠ«u�« Wł«—b�« w� t³J� ÊU� Wł«—œ ±∞∞ Uł«—bK� lMB� ŸUÐ «–≈ ∑

Wł«—œ q� sŽ —UM¹œ ∞[± —«bI0 qI¹ WFO³*« Uł«—b�« s� …bŠ«u�« Wł«—b�« w� VJ*« ÊS� ±∞∞ sŽ WFO³*«

ø`Ð— d³�√ lMBLK� wDFð w²�« Uł«—b�« œbŽ r� Æ…œU¹“

5OŁ«bŠù« s¹—u;« l� lMB¹Ë ©¥ ¨ ≥® WDIM�UÐ d1 Íc�« rOI²*« W�œUF� bł ∏

ÆsJ1U� dG�√ t²ŠU� ÎU¦K¦� ‰Ë_« lÐd�« w�

`L¹ …dz«b�« nB½ ÃUł“ ÊU� «–S� Æ…dz«œ nB½ ÁuKF¹ qOD²� W¾O¼ w� …c�U½ π

«–≈Ë ¨WFÐd� …bŠË qJ� ¡uC�« s� qOD²*« ÃUł“ tÐ `L¹ U� nB½ ‰ušbÐ

`Lð w²�« …c�UM�« œUFÐ√ b−� ¨Â∂ ÍËU¹ …c�UMK� wKJ�« jO;« Ê√ XLKŽ

Æ¡uC�« s� —b� d³�√ —Ëd0

±μ±

ÊU²MOH�« XIKD½« ÆUNM� r� ≤∞ bFÐ vKŽ » »uMł lIð YO×Ð d×³�« ÷d ÔŽ w� » ¨ ÊU²MOHÝ nIð ±∞

ÆÎUÐuMł ”Ør� μ WLE²M� WŽdÐ WO½U¦�« —UÝË ÎU�dý WŽUÝØr� ±∞ WLE²M� WŽdÐ v�Ë_« —UÝ YO×Ð

ø„«c½¬ bF³�« «c¼ ÊuJ¹ r�Ë ¨sJ1 U� dG�√ 5²MOH�« 5Ð bF³�« tO� ÊuJ¹ Íc�« s�e�« bł

÷dŽ ÊuJ¹ YO×ÐË WŽu³D*« …œU*« s� ≤rÝμ∞∞ vKŽ Íu²×¹ YO×Ð qJA�« qOD²� oBK� rOLBð œ«d¹ ±±

Ê«cK�« oBK*« «bFÐ U� Ær??Ýμ 5O³½U'« 5A�UN�« s� q�Ë ¨r??Ý±∞ wKH�«Ë ÍuKF�« 5A�UN�« s� q�

øsJ1 U� dG�√ t²ŠU� ÊöF−¹

5JKÐ ULN²O³¦ð œ«d¹ ÆÂ±∞ ULNMOÐ bF³�«Ë Â∂ ¨Â¥ UL¼ôuÞ Ê«œuLŽ ±≤

bðu�« «c¼ lI¹ s¹√ ÆqJA�« w� UL� ÷—_« Èu²� w� bðuÐ 5KB²�

øsJ1 U� dG�√ 5JK�« w�uÞ ŸuL−� ÊuJ¹ YO×Ð” ≠ ±∞

Â∂

”

Â¥

5HK²�� 5³½Uł vKŽË r�≥ ULNMOÐ bF³�« » 5²DI½ jH½ »u³½√ qB¹ ±≥

?ł Ë 5Ð ¡U*« X% »u³½_« s� ¡eł ÊU� «–S� ¨ r�± t{dŽ dN½ s�

¨» v�≈ ?ł s� ¨TÞUA�« vKŽ ÎU�uAJ� dšü« ¡e'«Ë ¨©qJA�« dE½«®

WHKJð ·UF{√ WŁöŁ ¡U??*« X% »u??³??½_« s� d²�uKOJ�« WHKJð X½U�Ë

qF−¹ Íc??�« ?ł l�u� b−� TÞUA�« vKŽ l�«u�« ¡e??'« w� d²�uKOJ�«

ÆsJ1 U� q�√ nO�UJ²�«

»?ł

r�±

r�≥

UMO�« —u×� vKŽ tðbŽU� o³DMð YO×Ð ‰Ë_« lÐd�« w� l�«u�«Ë Èd³J�« WŠU*« Í– qOD²*« œUFÐ√ bł ±¥

Æ ≤” ≠ ”∂ ´ μ≠ Ω ©”®‚ Ê«d²�ô« vM×M� vKŽ Ê«dšü« ÁUÝ√— lI¹Ë

±μ≤

(Related Rates) WD³ðd*« WOM�e�« ôbF*« ∑≠≥

”Ë—œ w� UM�dFð b�Ë ¨’ dOG²LK� wM�e�« ‰bF*« vLð Ê œ

’ œ WI²A*« ÊS� ©Ê® s�e�« w� ÎU½«d²�« ’ ÊU� «–≈

dB²Ið ôË ª Ê œ

Ÿ œ Ω Ÿ—U²�«Ë ¨

Ê œ

· œ Ω WŽd�U� ¨Ÿ—U²�«Ë WŽd�« q¦� WOM�e�« ôbF*« iFÐ WIÐUÝ

¨…—«d(UÐ ÂUł_« œb9 ∫q¦� ¨…dO¦� Èdš√ UIO³Dð vKŽ qL²Að qÐ ¨Ÿ—U²�«Ë WŽd�« vKŽ WOM�e�« ôbF*«

Æp�– dOžË ¨„öÝ_« w� ¡UÐdNJ�« o�bðË ¨UNM�Ë WOŽË_« v�≈ lz«u*« o�bðË

oO³Dð sJL*« s� ÊS� ¨W�œUF0 5D³ðd� ¨s�e�« vKŽ …bL²F*« «dOG²*« s� ©d¦�√ Ë√® Ê«dOG²� ÊU� «–≈Ë

s¹dOG²*« s¹cN� 5OM�e�« 5�bF*« 5Ð jÐd�« rŁ s�Ë ¨s�eK� W³M�UÐ W�œUF*« Ác¼ w�dÞ vKŽ wMLC�« ‚UI²ýô«

∫WO�U²�« WK¦�_« w� `C²¹ UL�

©±® ‰U¦�

∫W�œUF*UÐ ÊUD³ðd¹ YO×Ð ¨Ê s�e�« w� 5½«d²�« ’¨” Ê«dOG²*« ÊU� «–≈

Ê œ

’ œ b−� ª ≤ Ω ’ ± Ω ” bMŽ ≤ Ω

Ê œ

” œ ÊU�Ë ≤± Ω

≤’μ´

≤”

∫Ê v�≈ W³M�UÐ W�œUF*« w�dÞ o²A½

∞ Ω Ê œ

’ œ ’±∞ ´

Ê œ

” œ ”≤

∫ÊuJO� …UDF*« rOI�UÐ ÷uF½

∞[≤≠ Ω Ê œ

’ œ ⇐ ∞ Ω

Ê œ

’ œ ≤ × ±∞´≤ × ± × ≤

”—bð s¹cK�« s¹dOG²*« 5Ð jÐdð w²�« W�œUF*« s¹uJð d�_« ÂeK²¹ U� Î«dO¦� ¨WOKLF�« qzU*« w�Ë

∫qzU*« Ác¼ q¦� qŠ w� WOðü« «uD)« ŸU³ð« sJL*« s�Ë ª5D³ðd*« 5OM�e�« ULNO�bF� W�Q*«

ÆtOKŽ W³ÝUM*« UOL²�«Ë rOI�« l{Ë l� ©ÎU³ÝUM� p�– ÊU� Ê≈® ÎUODOD�ð ÎöJý rÝd½ •

ÆW¹e�d�« …—uB�UÐ W�Q*« «dOG²� lOLł V²J½ •

ÆW�Q*« «dOG²� jÐdð w²�« W�UF�« W�œUF*« V²J½ •

ÆWOM�e�« ôbF*« 5Ð jÐdð W�UŽ W�öŽ vKŽ ‰uB(« qł√ s� ¨s�eK� W³M�UÐ W�œUF*« w�dÞ o²A½ •

Æ»uKD*« wM�e�« ‰bF*« b$Ë ¨W�Q*« w� …UDF*« rOI�UÐ ÷uF½ •

±μ≥

©≤® ‰U¦�

∫bł ÆÀØrÝ≤ ‰bF0 t{dŽ b¹«e²¹Ë ¨ÀØrÝ≤ ‰bF0 qOD²� ‰uÞ h�UM²¹

ÆqOD²*« WŠU� dOG²� wM�e�« ‰bF*« √

ÆqOD²*« dD� ‰uÞ dOG²� wM�e�« ‰bF*« »

ÆrÝμ t{dŽË rÝ±≤ qOD²*« ‰uÞ ÊuJ¹ U�bMŽ p�–Ë

¨rÝ ’ t{dŽË ¨rÝ ” qOD²*« ‰uÞ Ê√ ÷dH½

Æ©μ±≠≥® qJA�« w� UL�

ÀØ rÝ ≤ Ω Ê œ

’ œ ¨ÀØrÝ≤≠ Ω

Ê œ

” œ ”

’‰

©μ±≠≥® qJA�«

Ê œ

‰ œ

» Ê œ

Â œ √ ∫s� q� œU−¹« ∫»uKD*«

Æt¹dD� bŠ√ ‰uÞ ‰ ¨qOD²*« WŠU� Â YOŠ

’ ” Ω Â √

Ê œ

” œ ’ ´

Ê œ

’ œ ” Ω

Ê œ

Â œ

∫ÊuJ¹ ¨ rÝ μ Ω ’ ¨ rÝ ≤ Ω ” U�bMŽË

ÀØ≤rÝ ±¥ Ω ≤≠ × μ´≤ × ±≤ Ω

Ê œ

Â œ

ÀØ≤rÝ ±¥ ‰bF0 czbMŽ b¹«e²ð WŠU*« Ê√ Í√

≤’ ´ ≤” Ω

≤‰ ∫ÊuJ¹ ”—užU¦O� W¹dE½ Â«b�²ÝUÐ »

Ê œ

’ œ ’≤ ´

Ê œ

” œ ”≤ Ω

Ê œ

‰ œ

‰≤

∫5�dDK� ≤ vKŽ WLI�UÐ

Ê œ

’ œ ’ ´

Ê œ

” œ ” Ω

Ê œ

‰ œ

‰

rÝ±≥ Ω ‰ ⇐ ≤©μ®´

≤©±≤® Ω

≤‰ ÊuJ¹ μ Ω ’ ¨±≤ Ω ” bMŽ

∫WIÐU�« W�œUF*« w� i¹uF²�UÐ

≤ × μ´ ≤≠ × ±≤ Ω Ê œ

‰ œ × ±≥

±¥≠ Ω Ê œ

‰ œ × ±≥

ÀØrÝ ±≥

±¥ ≠ Ω

Ê œ

‰ œ

ÀØrÝ ±≥

±¥ ‰bF0 czbMŽ h�UM²¹ dDI�« ‰uÞ Ê√ Í√

±μ¥

©≥® ‰U¦�

Êu�U³�« `DÝ WŠU� b¹«eð ‰bF� bł ÆWIO�b�« ØÎ«d²� ≤μ ‰bF0 “UG�« tO� aC¹ ÍËd� Êu�UÐ

ÆrÝμ∞ ÁdD� nB½ ‰uÞ ÊuJ¹ U�bMŽ

¨o½ ÁdD� nB½ ‰uÞË ¨Â t×DÝ WŠU�Ë ¨Õ Êu�U³�« r−Š Ê√ ÷dH½

ÆrÝμ∞ Ω o½ U�bMŽ Ê œ

Â œ »uKD*« ¨WIO�œ ØÎ«d²�≤μ Ω

Ê œ

Õ œ

≥o½ π

≥

¥ Ω Õ

Ê œ

o½ œ ×

≤o½≥ × π

≥

¥ Ω

Ê œ

Õ œ

Ê œ

o½ œ × μ∞ × μ∞ × π¥ Ω ≤μ∞∞∞

WIO�œ Ø rÝ

π ≤

μ Ω

Ê œ

o½ œ

≤o½ π ¥ Ω Â

Ê œ

o½ œ × o½ ≤ × π ¥ Ω

Ê œ

Â œ

WIO�œØ≤rÝ±∞∞∞Ω

π ≤

μ × μ∞ × ≤ × π ¥ Ω

©¥® ‰U¦�

ÎU�U9 »uM'« v�≈ r� ∏∞ bFÐ vKŽ lIð © ® WMOH�« X½U� Î«dNþ …dAŽ WO½U¦�« WŽU�« w�

¨»dG�« ÁU&« w� WŽUÝØr� ¥∞ WŽdÐ czcMŽ © ® WMOH�« X�d% «–S� Æ©»® WMOH�« s�

¨»uM'« ÁU&« w� WŽUÝØr� ≤∞ WŽdÐ ¨…bŠ«Ë WŽUÐ © ® „d% bFÐ ©»® WMOH�« X�d%Ë

ÆdNE�« bFÐ WO½U¦�« WŽU�« bMŽ 5²MOH�« 5Ð W�U*« dOGð ‰bF� b−�

WO½U¦�« WŽU�« ÂU9 w� U²½U� » ¨ 5²MOH�« Ê√ ÷dH½

ULN½√Ë ¨VOðd²�« vKŽ ?ł ¨ Ë 5²DIM�« bMŽ Î«dNþ …dAŽ

ÆVOðd²�« vKŽ ?¼ ¨ Â 5²DIM�« bMŽ U²½U� WŽUÝ Ê bFÐ

Æ©μ≤≠≥® qJA�« kŠô

ÆWŽUÝØr� ¥∞ Ω Ê œ

” œ Í√ WŽdÝ

» WMOH�«

Â ” Ë

WMOH�«

’

’≠

∏∞

?ł

?¼

·

»

©μ≤≠≥® qJA�«

ÆWŽUÝØr� ≤∞ Ω Ê œ

’ œ Í√ » WŽdÝ

±μμ

WE( W¹√ bMŽ 5²MOH�« 5Ð W�U*« q¦9 ·

∫»uKD*«

≤ Ω Ê bMŽ Ê œ

· œ

∫”—užU²O� W¹dE½ Â«b�²ÝUÐ

≤©’≠∏∞® ´

≤” Ω≤·

Ê œ

’ œ ≠ × ©’ ≠ ∏∞®≤ ´

Ê œ

” œ ”≤ Ω

Ê œ

· œ ·≤

©±®ÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÊ œ

’ œ ≠ × ©’ ≠ ∏∞® ´

Ê œ

” œ ” Ω

Ê œ

· œ ·

Ær� ≤∞ Ω ≤∞ × ± Ω ’ ¨ r� ∏∞ Ω ¥∞ × ≤ Ω ” ÊuJð ¨≤ Ω Ê bMŽ

≤©≤∞ ≠ ∏∞® ´

≤©∏∞® Ω

≤·

r�±∞∞ Ω ·

∫©±® W�œUF*« w� i¹uF²�UÐ

≤∞≠ × ©∂∞® ´ ¥∞ × ∏∞ Ω Ê œ

· œ × ±∞∞

ÆdNE�« bFÐ WO½U¦�« WŽU�« bMŽ 5²MOH�« 5Ð W�U*« dOGð ‰bF� WŽUÝØr� ≤∞ Ω ±∞∞

≤∞∞∞ Ω

Ê œ

· œ

©μ® ‰U¦�

sŽ Î«bF²³� Â±[∑μ t�uÞ h�ý „d??% ÆÂμ[≤μ tŽUHð—« œuLŽ WL� w� dOG� ÕU³B�

tÐ „d×²¹ Íc�« ‰bF*« p�c�Ë ¨tKþ ‰uÞ …œU??¹“ ‰bF� bł ÆÀØr??Ý±≤ ‰bF0 ÕU³B*«

ÆœuLF�« s� —U²�√ ¥ bFÐ vKŽ h�A�« «c¼ ÊuJ¹ U�bMŽ tKþ ”√—

Î«d²� ” Ω Ê WE( W¹√ bMŽ œuLF�« sŽ h�A�« bFÐ Ê√ ÷dH½

Æ©μ≥≠≥® qJA�« kŠôÆÎ«d²� ’ Ω czbMŽ tKþ ‰uÞ Ê√Ë

»

’

Â

μ[

≤μ

?¼

”

Ë

·

Â±

[∑

μ

?ł

W�d(« ÁU&«

©μ≥≠≥® qJA�«

ÀØrÝ ±≤ Ω Ê œ

” œ

∫ Ë » ¨ ?¼ ?ł » 5¦K¦*« tÐUAð s� √

μ[≤μ

’ ´ ” Ω

±[∑μ

’

’ ´ ” Ω ’≥

” Ω ’≤

Ê œ

” œ Ω

Ê œ

’ œ ≤

±μ∂

ÀØrÝ ∂ Ω ±≤ × ≤

± Ω

Ê œ

” œ ×

≤

± Ω

Ê œ

’ œ

ÀØrÝ∂ ‰bF0 b¹«e²¹ h�A�« qþ ‰uÞ Ê√ Í√

Ê œ

· œ Ω qE�« ”√— „d% ‰bF� »

’ ´ ” Ω ·

Ê œ

’ œ ´

Ê œ

” œ Ω

Ê œ

· œ

ÀØrÝ±∏ Ω ∂ ´ ±≤

©∂® ‰U¦�

v�≈ ◊Ëd�*« ”√— ÊU� «–S� ªWIO�œØ ≥

rÝ œ ≤¥≥ ‰bF0 rzU� Ídz«œ ◊Ëd�� w� ¡U*« VB¹

U�bMŽ ¡U*« ŸUHð—« WŽdÝ UL� ¨rÝ œ ±μ tðbŽU� dD� nB½Ë ¨ rÝœ ≥∞ tŽUHð—«Ë ¨qHÝ√

ørÝœ ±∏ tO� ¡U*« ŸUHð—« ÊuJ¹

`D�« dD� nB½Ë ¨Ÿ WE( W¹√ bMŽ ¡U??*« ŸUHð—« Ê√ ÷dH½

Æ©μ¥≠≥® qJA�« kŠô ÆÕ ¡U*« r−ŠË ¨” ¡ULK� ÍuKF�«?¼

œ

≥

∞ »

Ÿ

±μ

” ?ł

©μ¥≠≥® qJA�«

WIO�œØ ≥

rÝ œ ≤¥≥ Ω Ê œ

Õ œ

rÝ œ ±∏ Ω Ÿ bMŽ Ê œ

Ÿ œ

∫»uKD*«Ë

©±®ÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆ Ÿ ≤” π

≥

± Ω Õ

∫?¼ œ ¨?ł » 5¦K¦*« tÐUA½ ¨” dOG²*« s� hK�²K�

Ÿ ≤

± Ω ” ⇐

±μ

” Ω

≥∞

Ÿ

©±® w� ” sŽ i¹uF²�UÐ

Ÿ × ≤Ÿ

¥

± × π

≥

± Ω Õ

©≤®ÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆ≥Ÿ

±≤

π Ω Õ

∫Ê v�≈ W³M�UÐ ©≤® W�œUF*« w�dÞ o²A½

Ê œ

Ÿ œ

≤

Ÿ ¥

π Ω

Ê œ

Ÿ œ

× ≤Ÿ ≥ ×

±≤

π Ω

Ê œ

Õ œ

WIO�œØrÝ œ ≥

π Ω

Ê œ

Ÿ œ

UNM�Ë Ê œ

Ÿ œ

× ±∏ × ±∏ × ¥

π Ω ≤¥≥

±μ∑

©∑® ‰U¦�

jzU(« sŽ Î«bF²³� rK�« o�e½« «–S� ÆWOI�√ ÷—√Ë wÝ√— —«bł vKŽ eJðd¹ Â ±μ t�uÞ rKÝ

∫b−� WIO�œØ d²� ± ‰bF0

ÆjzU(« s� Âπ bFÐ vKŽ rK�« ÊuJ¹ U�bMŽ rK�« WL� ◊u³¼ ‰bF� √

Æ©μμ≠≥® qJA�« dE½« ÆczbMŽ ?¼ W¹Ë«e�« b¹«eð ‰bF� »

¨” Ω WE( W¹√ bMŽ —«b'« sŽ rK�« …bŽU� bFÐ Ê√ ÷dH½

ÆŸ Ω ÷—_« sŽ rK�« WL� ŸUHð—« Ê√Ë

?¼

”

Ÿ

‰ Â ±

μ

÷—√

rKÝ

—«b

ł

©μμ≠≥® qJA�«

WIO�œØd²� ± Ω Ê œ

” œ

Âπ Ω ” bMŽ Ê œ

Ÿ œ

∫œU−¹≈ »uKD*« √

∫”—užU¦O� W¹dE½ Â«b�²ÝUÐ

©±®ÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆ≤≤μ Ω≤Ÿ´

≤”

∞ Ω Ê œ

Ÿ œ

Ÿ ≤ ´ Ê œ

” œ

”≤

©≤®ÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆ∞ Ω∞ Ω Ê œ

Ÿ œ

Ÿ ´ Ê œ

” œ

”

©±® W�œUF*« w� i¹uF²�UÐ Ÿ b$ ¨ Âπ Ω” bMŽ

Â ±≤ Ω Ÿ UNM�Ë ≤≤μ Ω ≤

Ÿ ´ ∏±

©≤® W�œUF*« w� Ÿ ¨ Ê œ

” œ

¨” sŽ i¹uF²�UÐ

∞ Ω Ê œ

Ÿ œ

× ±≤ ´ ± × π

ÆWE×K�« pKð w� WIO�œØÂ ¥

≥ ‰bF0 j³Nð rK�« WL� Ê√ Í√ ¨WIO�œØÂ

¥

≥ ≠ Ω

Ê œ

Ÿ œ

±μ

” Ω ?¼ Uł ∫?¼ W¹Ë«e�« dOGð ‰bF� »

Êœ

” œ ×

±μ

± Ω

Êœ

?¼ œ × ?¼ U²ł

μ

¥ Ω

±μ

±≤ Ω

±μ

Ÿ

Ω ?¼ U²ł …UDF*« WE×K�« w�

± × ±μ

± Ω

Êœ

?¼ œ ×

μ

¥ ∴

ÆWIO�œØW¹dD� nB½ W¹Ë«“ ±≤

± Ω

Êœ

?¼ œ

ÆWE×K�« pKð bMŽ WIO�œØW¹dD� nB½ W¹Ë«“ ±≤

± ‰bF0 b¹«e²ð ?¼ W¹Ë«e�« Ê√ Í√

±μ∏

©∑≠≥® s¹—U9

∫wK¹ ULŽ Vł√ ¨©Ê® s�e�« w� U½«d²�« w¼ wðQ¹ ULO� «dOG²*« lOLł Ê√ ÷dHÐ ±

Æ Ê œ

’ œ b−� ± Ω ’ ¨± Ω ” bMŽ μ Ω

Ê œ

” œ ≤≠ Ω ”

≤’≥ ≠ ≥” ÊU� «–≈ √

Æ Ê œ

” œ b−� ≤∞∞≠ Ω ” bMŽ π∂ Ω

Ê œ

?¼ œ

≤∞∞

” Ω ?¼ UÞ ÊU� «–≈ »

W³�«d*« WD×� 5ÐË tMOÐ W�U*« dOG²� wM�e�« ‰bF*« mK³¹ r� ¨ÀØr�≤ WŽdÐ vKŽ√ v�≈ ÎUOÝ√— ŒË—U� oKÞ√ ≤

`DÝ sŽ «d²� uKO� ¥ tŽUHð—« mK³¹ U�bMŽ ŒË—UB�« ‚öÞ≈ WBM� s� «d²� uKO� ≥ bFÐ vKŽ WF�«u�«

ø÷—_«

Â WOKJ�« W�ËUI*« vDFð ©qJA�« dE½«® Í“«u²�« vKŽ ≤Â¨

±Â 5²�ËUI� q�Ë bMŽ ≥

ÀØÂË√ ∞[∞≤ 5�bF*UÐ Ê«œ«œeð ≤Â¨

±Â X½U� «–≈ Æ

≤ Â

± ´

± Â

± Ω

Â

± W�œUF*UÐ

¨ÎU�Ë√ ≤∞Ω±Â ÊuJð U�bMŽ Â dOGð ‰bF� UL� ¨VOðd²�« vKŽ ÀØÂË√∞[∞≥ Ë

øÎU�Ë√ μ∞Ω≤Â

≤ Â

± Â

v�Ë_« WŽdÝ X½U� «–S� ¨º±≤∞ UNÝUO� W¹Ë«“ ÊUFMB¹ 5I¹dÞ w� Â WDI½ sŽ 5ðbF²³� ÊU²MOHÝ „d×²ð ¥

ÊuJ¹ U�bMŽ 5²MOH�« 5Ð W�U*« dOGð ‰bF� UL� ¨WŽU�«Ø ÎöO� ≤± WO½U¦�« WŽdÝË ¨WŽU�«Ø ÎöO� ±¥

øw�«u²�« vKŽ ‰UO�√ ≥ ¨‰UO�√ μ ÊU¹ËU¹ Â sŽ UL¼«bFÐ

‰uÞ b¹«eð ‰bF� ÊU�Ë ¨rÝ±μ∞ ŸUHð—« vKŽ tJ1 Íc�« jO)« ·dÞ ÊU� YO×Ð WO�—Ë …dzUÞ qHÞ „d×¹ μ

¡UMŁ√ w� Î«œËbA� jO)« wIÐ «–≈ ÆÂ ≥±[μ ŸUHð—« vKŽ ÎUOI�√ „d×²ð WO�—u�« …dzUD�«Ë ÀØrÝ∂∞ jO)«

ÆÎ«d²� μ∞ jO)« ‰uÞ ÊuJ¹ U�bMŽ …dzUD�« WŽdÝ b−� ¨…dzUD�« W�dŠ

‰bF� ÊU� «–S� ¨VOðd²�« vKŽ ÀØ œ

≤

± ¨ÀØrÝ≤ ‰bF0 Ídz«œ ŸUDI� W¹e�d*« W¹Ë«e�«Ë dDI�« nB½ œ«œe¹ ∂

b−� ¨ œ

± ÍËUð czbMŽ W¹e�d*« t²¹Ë«“ X½U�Ë ¨ÀØ ≤

r??Ý±≤ u¼ WMOF� WE( w� ŸUDI�« WŠU� …œU??¹“

ÆczbMŽ ŸUDI�« WŠU�

±μπ

«–S� ¨Ÿ—UA�« w� WMOF� WDI½ s� d²�uKO� ¥

± ŸUHð—« vKŽ ÎUOÝ√— W²ÐUŁ nIð ¨ «—UO�« W³�«d* W¹œuLŽ …dzUÞ ∑

qN� ¨WŽUÝØr�μ∑ ‰bF0 UNMŽ …bŽU³²� ¨…dzUD�« s� d²� uKO� nB½ bFÐ vKŽ …—UOÝ …dzUD�« —«œ«— kŠô

øWŽUÝØ r�∂∞ w¼Ë UN� …œb;« WŽd�« …—UO�« “ËU&

U¼b�d¹ h�ý ‚u� ÎUOÝ√— WF�«u�« WDIM�UÐ d1 rOI²� jš w� W²ÐUŁ WŽdÐ Â≥∞∞∞ ŸUHð—« vKŽ …dzUÞ dODð ∏

W¹Ë«“ ∞[∞≤ ‰bF0 b¹«e²ð UN½√Ë º∂∞ …dzUD�« ŸUHð—« W¹Ë«“ Ê√ b�«d�« błË U� WE( bMŽË Æ÷—_« `DÝ s�

ø…dzUD�« WŽdÝ X½U� r� ÆÀØW¹dD� nB½

…bŽU� dD� nB½ ÊU� «–S� ÆWIO�œØ≥rÝ±∞∞ ‰bF0 w½«uDÝ√ ¡U½≈ v�≈ wÞËd�� lL� s� 6�« ‚u×� ‰eM¹ π

w� 6�« ŸUHð—« ‰bF� b−� ¨rÝ≤∞ tŽUHð—«Ë ¨rÝ±∞ Ω ◊Ëd�*« …bŽU� dD� nB½Ë ¨rÝ±μ Ω W½«uDÝô«

ø„«c½¬ lLI�« w� 6�« ÷UH�½« ‰bF� U�Ë ÆrÝ ±∞ lLI�« w� 6�« ŸUHð—« ÊuJ¹ U�bMŽ ¡U½ù«

ÆdDI�« nB½ l� ÎUOJŽ VÝUM²¹ ‰bF0 b¹«e²¹ UNDO×� ÊS� XÐUŁ ‰bF0 …dz«œ WŠU� b¹«eð «–≈ t½√ X³Ł√ ±∞

b−� ¨ÕU³B*« s� —U²�√ ≥ bFÐ vKŽË tH½ ŸUHð—ô« s� d−Š jIÝ «–S� ¨Â±≤ ÷—_« sŽ ÕU³B� lHðd¹ ±±

UNFDI¹ w²�« —U²�_UÐ W�U*« Ê√ XLKŽ «–≈ ¨t²�dŠ ¡bÐ s� …bŠ«Ë WO½UŁ bFÐ ÷—_« vKŽ d−(« qþ WŽdÝ

Æ≤Ê ¥[π Ω · …bŽUI�UÐ vDFð WO½UŁ Ê w� d−(«

±∂∞

W�UŽ s¹—U9

∫WOðü« WK¾Ý_« s� ÌqJ� W×O×B�« WÐUłù« d²š« ±

∫ÊS� ” ” Ω ©”®‚ ÊU� «–≈ ±

WOK×� vLEŽ WLO� ©∞®‚ » …œułu� dOž ©∞® Ó‚ √

·UDF½« WDI½ ©©∞®‚ ¨ ∞® œ WOK×� ÈdG� WLO� ©∞®‚ ?ł

Ê«d²�ô« vKŽ WDÝu²*« WLOI�« W¹dE½ oO³Dð s� UNOKŽ qB×½ w²�« ?Š WLO� ≤

∫w¼ [≤ ¨ ∞] …d²H�« w�

± ≥ ” ≥ ∞ ”≤

≤ ≥ ” > ± ¨ ± ´ ≤”

Ω ©”®‚

μ

¥ œ

≥

≤ ?ł

≤

≥ »

¥

μ √

] ≥ ¨ ∞[ …d²H�« vKŽ ‚UI²ýö� ÎöÐU�Ë [≥ ¨ ∞] …d²H�« vKŽ ÎU�dF� ÎU½«d²�« ©”®‚ ÊU� «–≈ ≥

∫ÍËU¹ ‚ Ê«d²�ö� Włd(« ◊UIM�« œbŽ ÊS� ≤ ≠ ”

± ´ ” Ω ©”®Ó‚ YO×Ð

μ œ ¥ ?ł ≥ » ≤ √

Æ©”®‚ Ê«d²�ö� ©”® Î‚ vM×M� —ËU−*« qJA�« q¦1 ¥

ø©”®‚ vM×M� ·UDF½« WDI½ UOŁ«bŠ≈ U�

©∞ ¨ ≥≠® » ©≤ ¨ ∞® √

©©≥≠®‚ ¨ ≥≠®® œ ©©∞®‚ ¨ ∞® ?ł

”

©”®Î‚

≤

±

≥≠ ≤≠ ±≠

Æ ]¥ ¨ ≤≠[ …d²H�« vKŽ ©”®Ó‚ vM×M� —ËU−*« qJA�« q¦1 ♦

[¥ ¨ ≤≠] vKŽ ·dF� ©”®‚ Ê√ XLKŽ «–≈

∫WO�U²�« ∑ ¨ ∂ ¨ μ WK¾Ý_« sŽ WÐUłù« w� p�– vKŽ bL²ŽU�

∫u¼ ©”®‚ Ê«d²�ô« b¹«eð ‰U−� μ

[± ¨ ±≠] » [± ¨ ≤≠] √

[¥ ¨ ±] œ [≥ ¨ ±≠] ?ł

”

©”®Ó‚

≤

±

≤≠ ±≠ ≥ ¥

©≤¨±®

∫WDIM�« bMŽ WOK×� ÈdG� WLO� ©”®‚ Ê«d²�ö� ÊuJ¹ 5�dD�« ¡UM¦²ÝUÐ ∂

©©±≠®‚ ¨ ±≠®® œ ©≤ ¨ ±® ?ł ©∞ ¨ ≥® » ©∞ ¨ ±≠® √

±∂±

∫w¼ ©”®‚ vM×M� ·UDF½« WDI½ ∑

©©±®‚ ¨ ±®® œ ©≤ ¨ ±® ?ł ©∞ ¨ ±≠® » ©∞ ¨ ≥® √

dOG²� wM�e�« ‰bF*« błË√ ¨ÀØrÝ≤ Ω

” œ

Ê œ Ê≈ YO×Ð

≥” Ω ©”®‚ Ê«d²�ô« vM×M� vKŽ WDI½ „d×²ð ∏

Æ± Ω ” U�bMŽ ©”®‚ Ê«d²�ö� ”UL*« qO�

≤¥ œ ±≤ ?ł ∂ » ≥ √

Æ]μ ¨ ±[ ∋ ” rO� lOL' ∞ < ©”®Ó‚ ¨[μ ¨ ±] vKŽ qB²� ©”®‚ Ê«d²�ô« π

∫ÎULz«œ W×O×� WO�U²�« «—U³F�« ÈbŠ≈

[μ ¨ ±] vKŽ h�UM²� ©”®‚ » μ Ω ” bMŽ vLEŽ WLO� ©”®‚ Ê«d²�ö� √

[μ ¨ ±] vKŽ h�UM²� ©”®‚ ” Ω ©”® ?¼ Ê«d²�ô« ?ł

Æ ]μ ¨ ±[ w� ·UDF½« WDI½ ‚ Ê«d²�ö� błu¹ ô œ

∫w¼ [ π≤

¨ ∞] …d²H�« w� ”U²ł ´ ”Uł Ω ©”®‚ Ê«d²�ô« vKŽ ‰Ë— W¹dE½ U¼œb% w²�« ?ł WLO� ±∞

π≥

œ π¥

?ł π∂

» ∞ √

∫5O�U²�« ±≤ ¨±± 5�«R�« sŽ WÐUłù« w� p�– vKŽ bL²ŽU� μ ≠ ” ´ ≤”

≥

≤

´ ≥” ≤

≥

Ω ©”®‚ ÊU� «–≈ ♦

∫…d²H�« w� h�UM²� ©”®‚ Ê«d²�ô« ±±

[ ±

≤ ≠ ¨ ±≠] » [± ¨

±

≤] √

Æ] ∞ ¨ ±

≤ ≠ [ p�c�Ë ] ±≠ ¨ ∞ ≠[ œ [ ≤

¥ ≠ ¨ ∞ ≠] ?ł

∫…d²H�« w� vKŽú� dFI� ©”®‚ Ê«d²�ô« vM×M� ±≤

] ∞ ¨ ± ≠ [ p�c�Ë ] ±≠ ¨ ∞ ≠[ » [±

≤ ≠ ¨ ±≠] √

] ∞ ¨ ≥

¥ ≠ ] œ ]

≥

¥ ≠ ¨ ∞ ≠[ ?ł

∫w¼ ‚ Ê«d²�ö� WIKD*« vLEF�« WLOI�« ÊS� [≤ ¨ ≤≠] ∋ ” μ ≠ ¸ ≤ ≠ ” ¸ Ω ©”®‚ ÊU� «–≈ ±≥

±≠ œ ± ?ł ≤≠ » ≤ √

ÈbŠ≈ ÊS� ¨[± ¨ ∞] vKŽ h�UM²� ©”®Ó‚ ¨ [∞ ¨ ±≠] vKŽ b¹«e²� ©”®Ó‚ YO×Ð ÎU½«d²�« ©”®‚ ÊU� «–≈ ±¥

∫ÎULz«œ W×O×� WO�U²�« «—U³F�«

[± ¨ ∞] …d²H�« vKŽ b¹«e²� ©”®‚ » [± ¨ ∞] …d²H�« vKŽ h�UM²� ©”®‚ √

©”®‚ vM×M* ·UDF½« WDI½ ©©∞®‚ ¨ ∞®® œ ©”®‚ Ê«d²�ö� WłdŠ WDI½ ∞ Ω ” bMŽ ?ł

±∂≤

w²�« ” rO� lOLł WŽuL−� UL� ¥©μ≠”®

≥©±≠”®

≤©≥ ≠”® Ω ©”®Ó‚ YO×Ð ÎU½«d²�« ©”®‚ ÊU� «–≈ ±μ

ø©”®‚ Ê«d²�ö� WOK×� ÈdG� WLO� UNM� q� bMŽ błu¹

± œ ≥ ¨ ± ?ł μ ¨ ≥ » μ √

∫ÊuJ¹ ©”® ©?¼ ° ‚® Ê«d²�ô« Æ vKŽ Ê«b¹«e²� œËbŠ «dO¦� ÊU½«d²�« ©”®?¼ ¨ ©”®‚ ±∂

vKŽ ÎUB�UM²� » vKŽ Î«b¹«e²� √

WIKD� vLEŽ WLO� t� œ ∞ Ω ” bMŽ WOK×� vLEŽ WLO� t� ?ł

[¥ ¨ ∞] …d²H�« vKŽ ·dF*« ©”®‚ Ê«d²�ô« vM×M� q¦1 —ËU−*« qJA�« ±∑

∫w¼ ©©≤®‚ ¨ ≤® WDIM�«

ÆWIKD� vLEŽ WLO� WDI½ » Æ©”®‚ vM×M* ·UDF½« WDI½ √

ÆWOK×� vLEŽ WLO� WDI½ œ ÆWIKD� ÈdG� WLO� WDI½ ?ł ”

©”®‚

± ≤ ≥ ¥

∫ÊS� ∋ ” ¨ ≤ ´ ”≥≤ ≠ ¥” Ω ©”®‚ ÊU� «–≈ ±∏

∞ Ω ” bMŽ ·UDF½« WDI½ ©”®‚ Ê«d²�ö� √

Æ©©≤®‚ ¨ ≤® WDIM�« bMŽ WOK×� vLEŽ WLO� ©”®‚ Ê«d²�ö� »

Æ©©≤®‚ ¨ ≤® WDIM�« bMŽ WOK×� ÈdG� WLO� ©”®‚ Ê«d²�ö� ?ł

ÆÎULz«œ qHÝú� dFI� ©”®‚ Ê«d²�ô« vM×M� œ

Æ‚ vM×M* ·UDF½« WDI½ ∞ Ω ?Š bMŽË ¨…œułu� Î‚ ¨ [± ¨ ±≠] …d²H�« vKŽ ·dF� Ê«d²�« ©”®‚ ±π

∫ÎULz«œ W×O×� WO�U²�« «—U³F�« ÈbŠ≈

[∞ ¨ ±≠] …d²H�« w� qHÝú� dFI� ©”®‚ vM×M� √

[± ¨ ∞] …d²H�« w� vKŽú� dFI� ©”®‚ vM×M� »

] ± ¨ ± ≠ [ …d²H�« w� WłdŠ WDI½ UN� ©”®Ó‚ ?ł

] ± ¨ ± ≠ [ Ω …d²H�« w� WłdŠ WDI½ UN� ©”® Î‚ œ

± ≥ ” ≥ ∞ ” ≠ ≤”

≥ ≥ ” > ± ± ≠ ”

Ω ©”®‚ ÊU� «–≈ ≤∞

∫w¼ [≥ ¨ ∞] …d²H�« w� ©”®‚ Ê«d²�ö� WłdŠ WDI½ UNM� q� bMŽ ÊuJ¹ w²�« ” rO� lOLł WŽuL−� ÊS�

≥ ¨±¨ ±

≤ ¨ ∞ œ ≥¨

±

≤ ¨ ∞ ?ł ≥ ¨ ∞ » ≥ ¨ ± ¨ ∞ √

±∂≥

∫wK¹ U� błËQ

± ≥ ”

¨ ≤”

≠ ”

≥

± < ”

¨ » ´ ”

´ ≤”

≤

Ω ©”

®‚ Ê√ XLKŽ «–≈ ≤

Æ vKŽ ‚UI²ýö� ÎöÐU� ©”

®‚ Ê«d²�ô« ÊöF−¹ s¹cK�« » ¨ 5²ÐU¦�« √

ÆÎ«b¹«e²� ©”

®‚ UNO ÊuJ¹ w²�« «d²H�« Ø …d²H�« »

Æ©”

®‚ vM×M* ·UDF½ô« jI½ Ø WDI½ ?ł

Æ vKŽ Î«bOŠË Î«dH� ∏ ≠

≥

”

≤

Uł ´ ”

Ω ©”

®‚ Ê«d²�ö� Ê√ X³Ł√ ≥

vKŽ ‰Ë— W¹dE½ ◊Ëdý Ê«d²�ô« oI×¹Ë q�_« WDIMÐ ÁUM×M� d1 WO½U¦�« Wł—b�« s� œËbŠ dO¦ Ê«d²�« ©”

®‚ ¥

Æ©”

®‚ Ê«d²�ô« …bŽU� błËQ ¥≠ ÍËU�ð …d²H�« Ác¼ w Ê«d²�ö� ÈdGB�« WLOI�« X½U «–≈ Æ[¥ ¨ ∞] …d²H�«

p�cË [ ±≠ ¨ ∞ ≠[ …d²H�« vKŽ Î«b¹«e²� ©”® Ó‚ ÊUË ∞ Ω ©∂® Ó‚ Ω ©≤® Ó‚ YO×Ð œËbŠ dO¦ Ê«d²�« ©”

®‚ μ

∫błË√ [¥ ¨ ±] vKŽ ÎUB�UM²� ©”® Ó‚ ÊUË ] ∞ ¨ ¥ [ …d²H�« vKŽ

Æ©”

®‚ Ê«d²�ö� WOK;« ÈuBI�« rOI�« jI½ √

Æ©”

®‚ Ê«d²�ö� h�UM²�«Ë b¹«e²�« ôU−� »

tLÝ— sJ1 qOD²�� d³√ WŠU�� U� ¨ rÝ∂ Ω » ‰uÞË 5�U��« ÍËU�²�Ë ?ł w W¹Ë«e�« rzU� YK¦� ?ł » ∂

øWLzUI�« wFK{ vKŽ Ê«dšü« ÊUÝ√d�« lI¹Ë ¨» dðu�« vKŽ tŽö{√ bŠ√ o³DM¹ YO×Ð YK¦*« qš«œ

ØWLO� 5Ž rŁ [± ¨ ±≠] …d²H�« vKŽ

≥ ´ ≤”

≤”

≠ ± √

Ω ©”

®‚ Ê«d²�ö� ‰Ë— W¹dE½ ◊Ëdý duð w Y×Ð« ∑

Æ© błË Ê≈® W¹dEM�« U¼œb% w²�« ?ł rO�

∫UNðôU−� vKŽ WO�U²�« U½«d²�ö� ÈuBI�« rOI�« błË√ ∏

∂ ´ ”μ ´ ≤

” Ω ©”

®‚ »

[ π ≤ ¨ ∞ ] …d²H�« vKŽ ”

Uł ≠ ”

Ω ©”

®‚ √

∫błËQ [≤

¨ ∞] ∋ ” ¨

”≤ U²ł ≠

”≤

U²ł ´ ≤ Ω ©”

®‚ ÊU «–≈ π

Æ·UDF½ô« jI½ ØWDI½ »

Æ©”

®‚ vM×MLK� qHÝú�Ë vKŽú� dFI²�« ôU−� √

ŸUHð—« W¹Ë«“ X½UË ¨Â≤∞ ÍËU�¹ Â≥∞ tŽUHð—« vM³� qþ ‰uÞ ÊU ¨U� WE( w ±∞

Æ„«c½¬ vM³*« qþ dOGð ‰bF� bł ÆWIO�œ ØWł—œ ∞[≤μ ‰bF0 b¹«e²ð ?¼ fLA�«

?¼

±∂¥

»U²J�« —«d�≈ w� sO�—UAL�« ¡ULÝ√

w½ôu'« qO³½ ≠

Ê«d³ł b�Uš ≠

ÂUMž uÐ√ b�Uš ≠

dOÞ uÐ√ Êu�O� ≠

»U¹– bL×� ≠

VNý_« ¡UMÝ ≠

W�«ež uÐ√ X�dO� ≠

…Ëö(« uÐ√ vM� ≠

WK¹bŽ 5�√ ≠

»dł_« …bO³Ž ≠

VNý_« ÃËbš ≠

w¼d²�« bFÝ√ ≠

Ê«d¼“ ”UM¹≈ ≠

…dŽ uÐ√ —UB²½« ≠

WMŠ«d��« bL×� ≠

w�u²� rO¼«dÐ≈ ≠

qL'« d¼uł ≠

…b�ULŠ dU½ ≠

œUÒ¹“ uÐ√ s1√ ≠

f½u¹ uÐ√ s�Š ≠

»uIF¹ vN½ ≠

tK�« “dŠ bLŠ√ ≠

ÊU½Ë WO½«— ≠

„ö� bz«— ≠

ÍdOC(« —U¼œ“« ≠

ŸU³FÐ ÂU�²Ð« ≠

r�UÝ rOJ(« b³Ž ≠

`�U ÂUE½ bL×� ≠

W�öÝ k�U(« b³Ž ≠

WK−ŠuÐ√ tK�« dB½ ≠

—bÐ WKONÝ ≠

Õö ÂöŠ√ ≠

s�O×� qOKš ≠

WŽ—«uH�« ‰œUŽ ≠

Ê«bLŠ wKŽ bL×� ≠

wDOD�« e¹U� ≠

VOD)« k�U(« b³Ž ≠

ÕU³ WAzUŽ ≠

ËdLŽ w½UNð ≠

p¹Ëb�« sÝuÝ ≠

WMOMÝ uÐ√ W�uš ≠

wdJ�« dHFł ≠

wðUÐdA�« ¡UM¼ ≠

»Ëd(« nÝu¹ ≠

»U¹– dCš ≠

…dłU$ bFÝ√ ≠

‘dÞ_« s¹d�½ ≠

bOL×� uÐ√ …—UÝ ≠

…d�ULŠ »u¹√ ≠

`KB� w½uł ≠

t²Ð«uŁ WMOLÝU¹ ≠

Õö œULŽ ≠

rÝU� œULŽ ≠

f¹uŽ …bz«— ≠

wŽd� ÊU½bŽ ≠

œu¹“ sLŠd�« b³Ž ≠

Ê«b¹“ ÷U¹— ≠

—u½ bL×�≠

…dLŽ uÐ√ ”UM¹« ≠

XÐUŁ ‰ULł ≠

uMŠ ÂU²š

qOKš jÝU³�« b³Ž ≠

wUŽ ÊU½bŽ ≠

WÝ—«b� wM�Š ≠

W½U³ý fO� ≠

…œË«uŽ bLŠ√ ≠

WO³Ž bL×� ≠

5�U¹ rÝUÐ ≠

oO�uð ‰œUŽ ≠

.dJ�« b³Ž dU½ ≠

ÊU�u q�√ ≠

WýË«—œ bL×� ≠

WO³Ž uÐ√ rO¼«dÐ≈ ≠

‰UŠ— d¼UÞ ≠

»UNý uÐ√ “ËeF� ≠

Õö*« ÂU�²Ð« ≠

U�dŽ ¡«b½ ≠

qOL œuL×� ≠

Â«eŽ sLŠd�« b³Ž ≠

tK�«b³Ž vN²M� ≠

UOKF�« bL×� ≠

`¹b� ÂU�Ð ≠

…uKŠ uÐ√ vKŽ ≠

1- Thomas Calculus, 10th Edition‚ Addison Wisely, 20002- Calculus with Analytic Geometry‚ Edwards & Penny‚ 4th Edition‚ Prentice hall 19943- Calculus, Howard Anton, 6th Edition‚ John Wiley, 19994- Calculus, One & Several Variables, S.L.Salas, Einar hille, 4th Edition‚ 1982, 5- http:// archives.math.utk.edu6- http:// www.mathrefrence.com

lł«dL�«

رياضيات 2ث فلسطين ج1

Education

Transcript of رياضيات 2ث فلسطين ج1