lgebra LinearAutovalores e Autovetores
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Autovalores e Autovetores
Dada uma transformao linear de um espao vetorial nele mesmo, T:VV, gostaramos de saber qu vetores seriam levados neles mesmos por essa transformao
Isto , dada T:VV, quais os vetores vV tais
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Isto , dada T:VV, quais os vetores vV tais que T(v) = v?
v chamado de vetor fixo Obviamente, a condio vlida para v igual ao
vetor nulo (pela definio de transf. linear), logo, vamos desconsider-lo
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Aplicao:
Soluo de equaes diferenciais
Equaes do tipo: a.x + bx + c = d, onde x=dx/dy
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Exemplo 1:
I:R2 R2
(x, y) (x, y)Transformao Identidade
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Neste caso, todo R2 fixo uma vez que I(x, y) = (x, y) para todo (x, y)R2
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Exemplo 2: rX:R2 R2 (x, y) (x, -y)Ou
Reflexo no Eixo-x
x 1 0 xrXw
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Podemos notar que todo vetor pertencente ao eixo x mantido fixo pela transformao rx. De fato:
xy
1 00 -1
xy
rX(w)
x0
1 00 -1
x0 = Ou seja rx(x, 0) = (x, 0)
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Exemplo 2:Ainda mais, esses vetores so nicos com essa
propriedade j que:
Reflexo no Eixo-x
xy
1 00 -1
xy =
Cont.
x + 0y = x0x y = y
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y0 -1 y= 0x y = y
x = xy = -y y = 0
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Exemplo 3:
N:R2 R2
(x, y) (0, 0)Transformada nula
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Nesse caso, o nico vetor fixo N(0, 0) = (0, 0)
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Considere o seguinte problema: dada uma transformao linear de um espao vetorial T:VV, estamos interessados em saber quais vetores so levados em um mltiplo de si mesmos; isto , procuramos um vetor vV e um escalar R tal que:
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escalar R tal que:T(v) = .v
Neste caso, T(v) ser um vetor de mesma direo que v
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Como v = 0 satisfaz a equao para todo , estamos interessados em v0
O escalar chamado de autovalor ou valor caracterstico de T
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caracterstico de T O vetor v chamado de autovetor ou vetor
caracterstico de T Chamaremos de Operador Linear
transformao T:VV
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Definio: Seja T:VV um operador linear. Se existirem vV, v0 e R tais que Tv = v, um autovalor de T e v um autovetor de T associado a
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associado a
Observe que pode ser zero enquanto v no pode ser o vetor nulo
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Exemplo 1:T:R2 R2v 2v
xy
2 0 xy = = 2
2x2y
xy
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Neste caso, 2 um autovalor e qualquer (x, y)(0, 0) um autovetor associado ao autovalor 2
y2 00 2 y
= = 22y y
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Exemplo 2: Reflexo no eixo x rx:R2 R2 (x, y) (x, -y)
xy
1 00 -1
xy
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Os vetores da forma so tais que:
y 0 -1 y0y
1 00 -1
0y = = -1
0-y
0y
Assim, todo vetor (0,y),y 0, autovetor derx com autovalor =-1
Autovalores e Autovetores
Exemplo 2: Reflexo no eixo xComo vimos antes, os vetores (x, 0) so fixos por
essa transformao rx (x, 0) = 1.(x, 0)
Ou seja, (x, 0) um autovetor associado ao autovalor = 1, com x 0
Cont.
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autovalor = 1, com x 0Assim, existem dois autovalores para essa
transformao com um autovetor associado a cada autovalor
Autovalores e Autovetores
Exemplo 3: Rotao de 90 em torno da origem rx:R2 R2 (x, y) (-y, x)
xy
0 -11 0
xy =
-yx
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Nenhum vetor diferente de zero levado por T num mltiplo de si mesmo
Logo, T no tem autovalores (consequentemente, tambm no tem autovetores)
y 1 0 y x
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Exemplo 4:Seja A =
Ento 2 20 1
xyA. = =
2x + 2yy
2 20 1xy
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e TA(x, y) = (2x + 2y, y)Para procurar os autovalores e autovetores de TA
resolvemos a equao TA(v) = vOu seja....
0 1 yA. = = yy
Autovalores e Autovetores
Exemplo 4:
i) Se y0, de (2) temos = 1 2x + 2y = x y = -x autovalor = 1 e autovetores do tipo (x, -x), x0
xy= . =
2x + 2yy
xy
Cont.
2x + 2y = xy = y
(1)
(2)
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autovalor = 1 e autovetores do tipo (x, -x), x0 ii) Se y = 0 x 0 (seno, o autovetor seria o vetor
nulo). De (1), 2x + 0 = x = 2. Logo, o outro autovalor 2 com autovetor associado (x, 0), x 0
Assim, para essa transformao T temos autovetores (x,-x), x0, associados ao autovalor 1 e os autovetores (x, 0), x 0, associados ao autovalor 2
Autovalores e Autovetores
Teorema: Dada uma transformao T:VV e um
autovetor v associado ao autovalor , qualquer
vetor w = v ( 0) tambm autovetor de T
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associado a
Definio: O subespao V
= {vV: T(v) = v} chamado de subespao associado ao autovalor
Polinmio Caracterstico
Exemplo: Seja4 2 0-1 1 00 1 2
A =
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Procuramos vetores vR3 e escalares R, tais que A.v = .v
Observe que, se I for a matriz identidade de ordem 3, ento a equao acima pode ser escrita na forma Av=(I)v, ou ainda (A I)v = 0
Explicitamente.....
Polinmio Caracterstico
Exemplo:
4 2 0-1 1 00 1 2
Cont.
0 00 00 0
xyz
=
000
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4- 2 0-1 1- 00 1 2-
xyz
=
000
Polinmio Caracterstico
Exemplo:Para soluo do sistema, se o determinante da matriz
dos coeficientes for diferente de zero, a soluo nica ser x = y = z = 0 que no nos interessa (vetor nulo)
Como estamos procurando autovetores v0, para satisfazer a condio acima precisamos ter:
Cont.
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satisfazer a condio acima precisamos ter:
= 0det4- 2 0-1 1- 00 1 2-
Polinmio Caracterstico
Exemplo: (4 ).(1 ).(2 ) + 2.(2 ) = 0 -3 + 72 - 16 + 12 = 0 ( 2)2( - 3) = 0Logo, = 2 e = 3 so solues do polinmio
Cont.
Polinmio Caracterstico
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caracterstico de A e, portanto, os autovalores da matriz A so 2 e 3
Conhecendo os autovalores, podemos buscar os autovetores resolvendo a equao Av = v para cada autovalor
Polinmio Caracterstico
Exemplo: = 2:
Cont.
4 2 0-1 1 00 1 2
xyz
= 2xyz
4x + 2y = 2x
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Logo, os autovetores so do tipo (0, 0, z) para o autovalor = 2. Ou seja, pertencem ao subespao [(0,0,1)]
4x + 2y = 2x-x + y = 2y x = yy + 2z = 2z y = 0 x = 0
Polinmio Caracterstico
Exemplo: = 3:
Cont.
4 2 0-1 1 00 1 2
xyz
= 3xyz
4x + 2y = 3x
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Logo, os autovetores so do tipo (-2y, y, y) para o autovalor = 2. Ou seja, pertencem ao subespao [(-2,1,1)]
4x + 2y = 3x-x + y = 3y x = -2yy + 2z = 3z y = z
Polinmio Caracterstico
De maneira geral, seja A uma matriz de ordem n, os autovalores de A so aqueles que satisfazem det(A I) = 0
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P() = det(A I) um polinmio de grau n e o polinmio caracterstico da matriz A
Autovalores e Autovetores
Exemplo 1: Seja:-3 4-1 2
A = det(A I) = det -3- 4-1 2-
(-3 )(2 ) + 4 = 2 + 2 = P()
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(-3 )(2 ) + 4 = 2 + 2 = P() P() = 0 2 + 2 = 0 ( - 1)( + 2) = 0 = 1 ou = -2
Autovalores e Autovetores
Exemplo 1: Autovetores: i) Para = 1
Cont.
-3 4-1 2
xy = 1.
xy
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-3x + 4y = x-x + 2y = y x = y
v = (x, x), x 0
Autovalores e Autovetores
Exemplo 1: Autovetores: ii) Para = -2
Cont.
-3 4-1 2
xy = -2.
xy
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-3x + 4y = -2x x = -4y-x + 2y = -2y x = -4y
v = (-4y, y), y 0
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Exemplo 2: (Questo 8) Encontre a transf. linear T:R2 R2, tal que T tenha autovalores -2 e 3 associados aos autovetores (3y, y) e (-2y, y) respectivamente.
Soluo:
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Soluo:De maneira geral, temos:
a bc d
xy
xy= . =
ax + bycx + dy
xy
ax + by = xcx + dy = y
x(a - ) + by = 0cx + y(d - ) = 0
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Exemplo 2: (Questo 8) i) = -2
x(a + 2) + by = 0cx + y(d + 2) = 0
Cont.
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Mas, para = -2, temos o autovetor (3y, y) ou seja x = 3y:
3y(a + 2) + by = 03cy + y(d + 2) = 0
3a + b = -63c + d = -2 (I)
Autovalores e Autovetores
Exemplo 2: (Questo 8) i) = 3
x(a - 3) + by = 0cx + y(d - 3) = 0
Cont.
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Mas, para = 3, temos o autovetor (-2y, y) ou seja x = -2y:
-2y(a - 3) + by = 0-2cy + y(d - 3) = 0
-2a + b = -6-2c + d = 3 (II)
De (I) e (II): a = 0, b = -6, c = -1, d = 1
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Exemplo 2: (Questo 8)Logo:
Cont.
a bc dT = =
0 -6-1 1
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Exemplo 3: (Questo 4) Ache os autovalores e autovetores da transformao T:R3 R3 tal que (x, y, z) (x + y, x y + 2z, 2x + y z).
Soluo:x + y
x y +2zx
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x y +2z2x + y - z
= yz
1 1 01 -1 22 1 -1
= xyz
xyz
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Exemplo 3: (Questo 4) Soluo:
Cont.
1- 1 01 -1- 22 1 -1-
det = 0
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2 1 -1-
(1 )(-1 )2 + 4 1.(-1 ) 2.(1 )= 0(1 )(-1 )2 + 4 + 1 + 2 + 2= 0(1 )(-1 )2 + 3 + 3 = 0(1 )(1 + )2 + 3(1 + ) = 0(1 + )[(1 )(1 + ) + 3] = 0
Autovalores e Autovetores
Exemplo 3: (Questo 4) Soluo:
Cont.
(1 + )[(1 )(1 + ) + 3] = 0(1 + )[1 2 + 3] = 0(1 + )(4 2) = 0
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(1 + )(4 2) = 0(1 + )(2 )(2 + ) = 0
Autovalores:1 = -1, 2 = 2, 3 = -2
Autovalores e Autovetores
Exemplo 3: (Questo 4) Soluo:
Cont.
Autovetores (de forma geral):
x + y = x
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x + y = xx y + 2z = y2x + y z = z
Autovalores e Autovetores
Exemplo 3: (Questo 4) Soluo:
Cont.
Autovetor associado a 1 = -1:
x + y = -1x y = -2x
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x + y = -1xx y + 2z = -1y2x + y z = -1z
y = -2xz = -x/2
Logo, o autovetor associado ao autovalor 1 :v1 (x, -2x, -x/2) [(1, -2, -1/2)]
Autovalores e Autovetores
Exemplo 3: (Questo 4) Soluo:
Cont.
Autovetor associado a 2 = 2:
x + y = 2x y = x
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x + y = 2xx y + 2z = 2y2x + y z = 2z
y = xz = xz = x
Logo, o autovetor associado ao autovalor 2 :v2 (x, x, x) [(1, 1, 1)]
Autovalores e Autovetores
Exemplo 3: (Questo 4) Soluo:
Cont.
Autovetor associado a 3 = -2:
x + y = -2x y = -3x
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x + y = -2xx y + 2z = -2y2x + y z = -2z
y = -3xz = xz = x
Logo, o autovetor associado ao autovalor 3 :v3 (x, -3x, x) [(1, -3, 1)]
Exerccios Sugeridos
2 3 4 7 a 18 22
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22
A Seguir...
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