第二章 行列式
第一节 二阶、三阶行列式
一、二阶行列式的引入
二、三阶行列式
三、小结、思考题
用消元法解二元线性方程组
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa 1
2
:1 22a ,2212221212211 abxaaxaa
:2 12a ,1222221212112 abxaaxaa
,得两式相减消去 2x
一、二阶行列式的引入
;212221121122211 baabxaaaa )(
,得类似地,消去 1x
,211211221122211 abbaxaaaa )(
时,当 021122211 aaaa 方程组的解为
,21122211
2122211 aaaa
baabx
)(3.21122211
2112112 aaaa
abbax
由方程组的四个系数确定 .
由四个数排成二行二列(横排称行、竖排
称列)的矩阵:
)4(2221
1211
aa
aa
定义定义
)5(
4
2221
1211
21122211
aa
aa
aaaa
行列式,并记作
)所确定的二阶为矩阵(称表达式
11a 12a
22a12a
主对角线
副对角线
对角线法则对角线法则
2211aa .2112aa
二阶行列式的计算
若记 ,2221
1211
aa
aaD
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa对于二元线性方程组
系数行列式
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
,2221
1211
aa
aaD
,222
1211 ab
abD
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
,2221
1211
aa
aaD
.221
1112 ba
baD
则二元线性方程组的解为
,
2221
1211
222
121
11
aa
aaab
ab
DD
x
注意 分母都为原方程组的系数行列式 .
.
2221
1211
221
111
22
aa
aaba
ba
DD
x
二、三阶行列式定义定义
333231
232221
131211
)6(
339
aaa
aaa
aaa
列的矩阵行个数排成设有
记记
,312213332112322311
322113312312332211 )7(
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
( 7 )式称为矩阵( 6 )所确定的三阶行列式三阶行列式 .
3231
2221
1211
aa
aa
aa
.312213332112322311 aaaaaaaaa
三阶行列式的计算
322113312312332211 aaaaaaaaa D
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D . 列标行标
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D
二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的 .
对角线等法则二阶与三阶行列式的计算
.211222112221
1211 aaaaaa
aa
,312213332112322311
322113312312332211
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
三、小结
思考题思考题
对应的称四阶方阵
44434241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
44434241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
表达式
使用类似对角线法则?多少个乘积项,能不能四阶行列式展开后共有为四阶行列式,请问:
思考题解答思考题解答
解
的对角线法则!个乘积项;不能用所谓共有 24!4
第二章 行列式
第二节 n 阶行列式
式一、余子式和代数余子
的展开法则二、行列式按行(列)
三、小节、思考题
n 阶行列式的定义
定义 阶方阵对任意n ,
21
22221
11211
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
用记号
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
相联系表示一个与矩阵 A
,的数或表达式 )det( AAA 或记为的行列式为常称
一、余子式与代数余子式1定义 阶行列式对 n
nnnjn
iniji
nj
aaa
aaa
aaa
1
1
1111
在 阶行列式中,把元素 所在的第 行和第 列划去后,留下来的 阶行列式叫做元素 的余子式,记作
n ija i j1n
ija.M ij
,ijji
ij MA 1记 叫做元素 的代数余子式.ija
例如对
,
44434241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
D
444241
343231
141211
23
aaa
aaa
aaa
M
2332
23 1 MA ,23M .23的代数余子式叫做元素 a
注意: 只与该元素所处位置一个元素的代数余子式多少无关!相关;而与该元素等于
亦即仍有代数余子式仍然不变!
,它的的值换成比如上例中,即便把 3323 aa
2323 MA
,312213332112322311
322113312312332211
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
3223332211 aaaaa 3321312312 aaaaa 3122322113 aaaaa
3231
222113
3331
232112
3332
232211 aa
aaa
aa
aaa
aa
aaa
行列式,有按照这个定义,对三阶
131312121111 MaMaMa
131312121111 AaAaAa 上式推广后即得
定理 1 n 阶行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即
n
kikikininiiii AaAaAaAa
12211
ni ,,2,1
二、行列式按行(列)展开法则
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
21
22221
11211
列展开:阶行列式也可以按第事实上, jn
nj ,,2,1
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
21
22221
11211
n
kkjkjnjnjjjjj AaAaAaAa
12211
05320
00140
00320
25271
02135
D例 2 计算行列式
解
05320
00140
00320
25271
02135
D
5320
0140
0320
2135
12 52
14
325)10(
.700)122(50
532
014
032
5)2(
5320
0140
0320
2135
12 52
例 3 计算上三角行列式
nn
n
n
a
aa
aaa
00
0 222
11211
解 =
nn
n
n
a
aa
aaa
a
00
0)1( 333
22322
1111
nn
n
n
a
aa
aaa
00
0 222
11211
nn
n
n
a
aa
aaa
aa
00
0)1( 444
33433
112211
nnaaa 2211
例 4 ?
8000
6500
1240
4321
D
44332211
8000
6500
1240
4321
aaaaD .1608541
同理可得下三角行列式
nnnnn aaaa
aa
a
321
2221
11
00
000
.2211 nnaaa
矩阵,有同理,对所有三类初等
ijij CR
)()( ii CR )()( kCkR jiij
1
1
1
1
1
k
1
1
1
1
1
1
1
01
1
1
10
1
1
1. 行列式按行(列)展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具 .
三、小结
n
kikikininiiii AaAaAaAaD
12211.2
ni ,,2,1
n
kkjkjnjnjjjjj AaAaAaAa
12211
的行、列!建议挑选含零最多在按行、按列展开时,.3
第二章 行列式
第三节 行列式的性质
一、行列式的性质
二、应用举例
三、小结、思考题
一、行列式的性质
性质性质 11 行列式与它的转置行列式相等即,
行列式 称为行列式 的转置行列式 . TA A
记
TA
nna
a
a
22
11
2
121
n
n
a
aa
nn aa
a
21
12
A
nna
a
a
22
11
n
n
a
aa
2
112
21
21
nn aa
a ,
.AAT
说明 行列式中行与列具有同等的地位 , 因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立 .
性质 3 如果行列式中某一行(列)元素是两组数的和,那么这个行列式就等于两个新行列式的和,而这两个行列式除这一行(列)外全与原行列式对应的行(列)相同,即
同样用数学归纳法可证:
性质 2 如果行列式中有两行(列)完全相同,则此行列式为零 .
ni ,,,,, 21
nii ,,,,, 21
ni ,,,,, 21
nnnininn
nii
nii
aaaaa
aaaaa
aaaaa
D
)(
)(
)(
21
2222221
1111211
则 D 等于下列两个行列式之和:
nnnin
ni
ni
nnnin
ni
ni
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
D
1
2221
1111
1
2221
1111
例如
n
ii
1
n
i
1
n
i
1
.(列)展开即可行边的行列式都按第事实上,只要对等号两 i
为记成分块矩阵形式,即
性质性质 44 (行列式的“初等变换”)若将初等行(列)变换用于 n 阶行列式:
(( 11 )) 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数 ,等于用数 乘此行列式 .
nnnn
inii
n
aaa
aaa
aaa
21
21
11211
nnnn
inii
n
aaa
aaa
aaa
21
21
11211
.行展开即得按第事实上,等号两端同时 i
( 2 ) 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数 k 然后加到另一列 ( 行 ) 对应的元素上去,行列式的值不变.
njnjnin
jji
nji
aaaa
aaaa
aaaa
1
22221
11111
njnjnjnin
jjji
njji
ji
aakaaa
aakaaa
aakaaa
kc
)(
)(
)(
)(
1
222221
111111
k例如
从等号右端看,利用性
质 3 、性质 4的( 1 )及性质 2 即得等号
左端。
(( 33 )) 互换行列式的两行(列) , 行列式变号 .证明证明 设行列式写成分块形式,则
njiA ,,,,,1
njji
c ji
,,,,,1
)1(
niji
cij
,,,,,1
)1(
nij
c ji
,,,,,1
)1(
Bnij ,,,,,1
,
571571
266853
.
8
2
5
8
2
5
3
6
1
5
6
7
5
6
7
3
6
1
266853
例如,有
推论推论 11 某一行(列)元素全为零的行列式等于零.
推论推论 22 对 n 阶行列式及数 k, 有 .AkkA n
nnnn
inii
inii
n
aaa
kakaka
aaa
aaa
21
21
21
11211
nnnn
inii
inii
n
aaa
aaa
aaa
aaa
k
21
21
21
11211
.0
推论推论 33 若有两行(列)元素对应成比例,则行列式等于零,即
计算行列式常用方法:利用运算 把行列式化为上三角形行列式,从而算得行列式的值.或者在此过程当中适当使用其它性质以简化计算。
)(krij
例 1 计算 4 阶行列式
3351
1102
4315
2113
D
72160
1120
6480
2131
3315
1120
4351
2131
3351
1102
4315
2113
D
解
8
20000
10800
1120
2131
151000
10800
1120
2131
72160
6480
1120
2131
408
20821
性质 5 行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即 ).(,02211 jiAaAaAa jninjiji
,
1
1
1
111
11
nnn
jnj
ini
n
jnjnjj
aa
aa
aa
aa
AaAa
证 行展开,有按第把行列式 jA
,
1
1
1
111
11
nnn
ini
ini
n
jninji
aa
aa
aa
aa
AaAa
可得换成把 ),,,1( nkaa ikjk
行第 j
行第 i
,时所以当 ji ).(,02211 jiAaAaAa jninjiji
同理 ).(,02211 jiAaAaAa njnijiji
相同
关于代数余子式的重要性质
;,0
,,
1 ki
kiAAa
n
jkjij 当
当
;,0
,,
1 kj
kjAAa
n
iikij 当
当
阶行列式已知例 52
44
57010
33555
68012
22444
12111
mB
.3424144544 AAAAA 及试求代数余子式之和
行展开,得按行列式的第解 4
)1(33555 4544434241 mAAAAA
,即得式作乘积之和,由性质行对应元素的代数余子行与第再用行列式的第
5
42
)2(022444 4544434241 AAAAA
两式,、联立 )2()1(
)1(33555 4544434241 mAAAAA
)2(022444 4544434241 AAAAA
x4
y2
024
35
yx
myx即
解得
.811
24544 myAA .4434241 xAAA
性质 6 设 U 是有如下分块形式的 ( n + p ) 阶矩阵:
BABD
OA
BO
CAU
pp
nn
pp
nn
推论 是同阶方阵,则有若 BA,
BAAB
矩阵乘积的行列式等于行列式的
乘积!
.
1
1
1
3
cba
bac
acb
求行列式例
解 将第二列加到第一列,由性质 4 、性质 2 可得
.0
11
11
11
)(
1
1
1
1
1
1
c
b
a
cba
ccba
bcba
acba
cba
bac
acb
二、应用举例
.4 的行列式等于零证明奇数阶反对称矩阵例
证明:
知,,再由性质知,,又由性质得
是奇数,则由阶反对称矩阵,是设
41
,
AAAA
AAnnATT
T
即得,)1( AA n
AA n)1(
是奇数,故必有而n
AA
即.0A
1 2 3 1 2
1 2 3 1 1 2 2 3
3 2 1 1 2
5 4 4
4m n
例 若 , , , , 都是 维列向量,且 阶行列
式 , , , , , , , ,则 阶行
列式 , , ,( )等于多少?
解 )(,,, 21123
21231123 ,,,,,,
23211321 ,,,,,,
32211321 ,,,,,,
nm
.3,2
6 331
AAO
BAT其中计算行列式例
.882
22
1-1T3
-1T
1
AAAA
AAAO
BAT
解:
)AA1( 11 AAI
.,1,7 1 IAAAAT 求行列式且已知例
.0
)(
)(
,1,1
IA
IAIAA
IAAAAAIA
AIAAAA
T
TT
TT
故
则
且知解:由
( 行列式中行与列具有同等的地位 , 行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立 ).
计算行列式常用方法: (1) 利用定义 ;(2) 利用性质把行列式化为上三角形行列式,从而算得行列式的值.
三、小结
行列式的 6 个性质
思考题 1
阶行列式计算4
111
111
111
111
22
22
22
22
dd
dd
cc
cc
bb
bb
aa
aa
D
1abcd已知
思考题 1 解答解
11
11
11
11
2
2
2
2
ddd
ccc
bbb
aaa
D
111
111
111
111
2
2
2
2
dd
d
cc
c
bb
b
aa
a
1 、 2 、 3 、 4 行分别提取公因子 a 、 b 、 c 、 d
( 1 )交换1 、 2两列;( 2 )交换3 、 4两列;( 3 )交换2 、 3两列。
ddd
ccc
bbb
aaa
abcd
111
111
111
111
2
2
2
2
ddd
ccc
bbb
aaa
111
111
111
111
1
2
2
2
2
3
.0
思考题 2阶行列式设n
n
n
Dn
001
0301
0021
321
求第一行各元素的代数余子式之和
11 12 1 21 22 22n nA A A A A nA 及
思考题解答解 由
知第一行各元素的代数余子式之和可以表示成
nAAA 11211
n
001
0301
0021
1111
n
n
Dn
001
0301
0021
321
nAAA 11211
n
001
0301
0021
1111
.1
1!2
n
j jn
)1
(
),,3,2(
1 ic
ni
i
n
jn
j
000
0300
0020
111112
21 22 22 0nA A nA
第二章 行列式
第四节 行列式的计算
常见方法一、行列式计算的几种
二、小 结、思考题
:行列式计算的方法
”换 的“、利用行列式 初等变1 “ ”降阶法。
、2
“ ”递推法。、3
“ ”归纳法。
、4
“ ”升阶法。
”的“利用行列式 加法性质 “ ”拆边法。、5
“ ”、 分块矩阵法。6
求解行列式例1
9333
3333
3323
3331
D
到其余各列得列元素乘将行列式的第解 1-3
9333
3333
3323
3331
D
6300
0300
0310
0302
“ ”降阶法 之例
6300
0300
0310
0302
行展开,有将此行列式按第三行该
6
1
2
)1(3 33
D
!666)1()2(3
例 2 计算 阶行列式n
abbb
babb
bbab
bbba
D
解法 1
abbbna
babbna
bbabna
bbbbna
1
1
1
1
D
将第 都加到第一列得n,,3,2
“ ”初等变换法 之例
abb
bab
bba
bbb
bna
1
1
1
1
)1(
ba
ba
ba
bbb
bna
1
)1( 0
0 .)()1( 1 nbabna
第 1 行的 (-1)倍分别加到其余各行!
例 2 计算 阶行列式n
abbb
babb
bbab
bbba
D
解法 1
baab
baab
baab
bbba
00
00
00
D
将第 得行加到行乘 n,,3,211
“ ”初等变换法 之例
列加到第一列第用 n,3,2
ba
ba
ba
bbbbna
000
000
000
)1(
D
.)()1( 1 nbabna
例 2 (续) 计算 阶行列式n
abbb
babb
bbab
bbba
D
“ ”升阶法 之例
解法 2 倍分行的新的第增加一行一列后,用 )1(1 可得别加到其余各行上去,
10
0
1
n
n
ab
ba
bb
D
ba
ba
bb
01
01
1
ba
ba
bbba
nb
ba
00
00
)1(
列上去,倍加到新的第时,用每一列的当 1)(
1ba
ba
1)(])1([ nbabna
.,上述答案也符合时当 ba
例 2 (续) 计算 阶行列式n
abbb
babb
bbab
bbba
D
“ ”递推法 之例
解法 2
abb
bab
bba
bbbba
abbb
babb
bbab
bbbb
Dn
0
0
0
11
1
)()(
)(
000
000
000
0
0
0
nn
n
n
Dbabab
Dba
ba
ba
ba
bbbb
abb
bab
bba
bbbba
abbb
babb
bbab
bbbb
D
11
21 2
3 22 3
22 1
( ) ( ) 1
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
nn n
nn n
nn n
n
D b a b a b D
D b a b a b D a b
D b a b a b D a b
D b a b a b D a b
))1(()(
)()1()(
)()1()(
1
11
11
1
bnaba
babnaba
babnDbaD
n
nn
nnn
+)
阶行列式计算下列例 n3 之例“ ”拆边法
72
5
72
572
57
nD
列拆成两组数的和,得将第解 1
72
5
72
572
57
nD
72
5
72
572
52
72
5
72
570
55
72
5
72
572
52
nD
72
5
72
570
55
列展开,得对后一行列式,按第加到下一行上去)倍行起,每一行的(对前一个行列式,从第
1;
11
20
52
20
520
52
nD
172
57
72
57
5
n
152 nn D
略)即可解得“ ”再用 递推法 (此处nnnnn
nD 55252522 1221
即21 107 nnn DDD
nnnnnn DDDDDD 2)5(2)5(25 12
2211
nnn DD 25 1
递推可得
nnnnnnD 55252522 1221
另解:
证 用数学归纳法
例 4 证明范德蒙德 (Vandermonde) 行列式
1
112
11
222
21
21
).(
111
jinji
nn
nn
n
n
n xx
xxx
xxx
xxx
D
)1(
之例“ ”归纳法
解 :
例 5 计算行列式
32
32
32
32
432
432
432
432
1
1
1
1
ddd
ccc
bbb
aaa
abcd
dddd
cccc
bbbb
aaaa
Dn
432
432
432
432
dddd
cccc
bbbb
aaaa
Dn
))()()()()((
1111
3333
2222
cdbdadbcacababcd
dcba
dcba
dcbaabcd
6 n例 计算下列 阶行列式 之例“ ”分块矩阵法
a
a
a
A
1
1
列,即得换到第列依次行,再将第行依次换到第将第解
2
2 nn
a
a
a
a
A
1
1
性质利用分块矩阵行列式的
BABO
OA
pp
kk
即得
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
1
11
1
22 )1( naa
另解: 1. 按第一行展开; 2. 初等变换。
思考题
求下列方程的根
0
781
241
221
1011
681
341
121
1111
3
2
3
2
x
x
x
x
x
x
思考题解答
0
781
241
221
1011
681
341
121
1111
3
2
3
2
x
x
x
x
x
x
性质,于是想到要用行列式的加法列元素不同,故而第注意到两个行列式只有 3
解
3
2
3
2
3
2
7681
2341
2121
10111
781
241
221
1011
681
341
121
1111
x
x
x
x
x
x
x
x
x
0
781
241
221
1011
681
341
121
1111
3
2
3
2
x
x
x
x
x
x
即化为
即
3
2
3
2
3
2
181
141
121
1111
781
241
221
1011
681
341
121
1111
x
x
x
x
x
x
x
x
x
范德蒙德行列式
0)1)(2)(1)(21)(11)(12( xxx
大下标减去小下标元素
于是,得到
121 xxx 或或
第二章 行列式
第五节 行列式的应用
公式一、伴随矩阵及逆矩阵
用二、克拉默法则及其应
四、小结、思考题
的方程组的重要定理于方程个数三、关于未知数个数等
定义 行列式 的各个元素的代数余子式 所构成的如下矩阵
AijA
称为矩阵 的伴随矩阵 .也记作 adjA.
A
一、伴随矩阵及逆矩阵计算公式
注意下标
Tij
nnnn
n
n
A
AAA
AAA
AAA
A ][
21
22212
12111
定理 1 .IAAAAA
证明 ,ijaA 设 则
nnnn
n
n
nnnn
n
n
AAA
AAA
AAA
aaa
aaa
aaa
AA
21
22212
12111
21
22221
11211
AA .IA
同理可得
n
kkjkiaAAA
1
.IA
nnnn
n
n
nnnn
n
n
AAA
AAA
AAA
aaa
aaa
aaa
AA
21
22212
12111
21
22221
11211
AAaAaAa nn 1112121111
AAaAaAa nnnnnnnn 2211
,
A
A
A
AO
O 故
时,也有事实上,当 0A1 n
AA
)4( 章后证明学完第
推论 时,有当阶矩阵对 0, AAn1 n
AA
证明 两边取行列式,得对 IAAA
nnAIAIAAAAA
.,命题得证等式最两端同除以 A
.证毕.IAAAAA 即
定理 2 矩阵 可逆的充要条件是 ,且
,11 AA
A
A 0A
证明 必要性,若 可逆,A .11 IAAA 使即有
,11 IAA故 且可顺便得到所以 .0A
.的伴随矩阵为矩阵其中 AA
11 AA
IAAAAA ,IAAA
AA
A
.1
AA
A
按逆矩阵的定义得
证毕。
,可得同理,由 IAAAAA
.)( 1
AA
A
.1 AAA
由时充分性,当 ,0A
,1 IBA显然 ,0A故
,1存在因而 A 于是
BIB BAA 1 111 AIAABA
证毕
.,, 1 ABIBAIABA 则或且为方阵若推论
证明
.
,0,,0
非奇异矩阵
称为时当称为奇异矩阵时当 AAAA
.为非奇异矩阵是可逆阵的充要条件是由此可得 AA
奇异矩阵与非奇异矩阵的定义
,
331
212
321
A .
1151
531
132
B
解331
212
321
A
010
430
321
.
,?,
矩阵求出其逆若可逆是否可逆下列矩阵 BA例 1
010
430
321
01
43 4 ,0 .A可逆所以
,333
2111 A ,4
31
2212 A ,5
31
1213 A
.A,A
,A,A,A,A
34
1103
3332
31232221
同理可求得
代数余子式的符号不能丢
可得由 ,
331
212
321
A
T
AAA
AAA
AAA
AA
AA
333231
232221
1312111 1
.
315
404
133
41
1151
531
132
B由于 ,0 .B不可逆故
.
)3(
)2()1(
A
A
列式除以原矩阵的行;到对角线元调换符号后得
将副对调主对角线元;即
.54
3222 的逆矩阵阶矩阵求例
A
可逆,且知由解 AA 022
511 A 412 A 321 A 222 A
所以
24
35
22
11
2221
12111
T
AA
AA
AA
AA
.解毕说明: 的阶矩阵的求逆,有所谓对2
,“ ”两调一除 法
试求阶方阵,且是设矩阵例 ,033 mAA
12 AAA
解
mA
mAAAA
131 22
即得
233 )2()2()2( mmAmAm
.解毕
,1
AA
A
,1 n
AA ,mA AkkA 3
2333132
1211311
)2(1
)2()2(
)2(22
mmm
mmAmm
AmmAmAAAAA
另
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
设线性方程组
,,,, 21 不全为零若常数项 nbbb 则称此方程组为非
齐次线性方程组 ; ,,,, 21 全为零若常数项 nbbb
此时称方程组为齐次线性方程组 .
非齐次与齐次线性方程组的概念
二、克拉默法则
定理 3 如果线性方程组
)1(
2211
22222121
11212111
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
的系数行列式不等于零,即
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
21
22221
11211
0
.,,,, 33
22
11 D
Dx
D
Dx
D
Dx
D
Dx n
n
其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式,即
jD D jn
nnj,nnj,nn
nj,j,
j
aabaa
aabaa
D
111
11111111
那么线性方程组 有解,并且解是唯一的,解可以表为
1
证明
njnnjnnnnn
jjnn
jjnn
AbAxaxaxa
AbAxaxaxa
AbAxaxaxa
2211
2222222121
1111212111
得个方程的依次乘方程组
列元素的代数余子式中第用
,1
,,, 21
n
AAAjD njjj
在把 个方程依次相加,得n
,1
111
11
n
kkjk
n
n
kkjknj
n
kkjkj
n
kkjk
Ab
xAaxAaxAa
由代数余子式的性质可知 ,
.,,2,1 njDDx jj
,Dx j的系数等于上式中
;0的系数均为而其余 jixi .jD又等式右端为
于是 2
当 时 , 方程组 有唯一的一个解0D 2
.,,,, 33
22
11 D
Dx
D
Dx
D
Dx
D
Dx n
n
由于方程组 与方程组 等价 , 2 1 故
.,,,, 33
22
11 D
Dx
D
Dx
D
Dx
D
Dx n
n
也是方程组的 解 . 1
逆否命题 如果线性方程组 无解或有两个不同的解,则它的系数行列式必为零 .
1
齐次线性方程组的相关定理
3
0
0
0
2211
2222121
1212111
nnnnn
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
推论 1 如果齐次线性方程组 的系数行列式 则齐次线性方程组 只有零解 .
,0D 3
3
三、重要定理
推论 2 如果齐次线性方程组
3 有非零解 , 则它的系数行列式必为零 .
零解而言,至少有一个对齐次线性方程组 0Ax
021 nxxx
的逆否命题为所以,推论 1
例 4 解线性方程组
.0
,132
,22
321
321
321
xxx
xxx
xxx
解解 由于方程组的系数行列式
111
312
121
D 5 ,0
同理可得
110
311
122
1
D ,5
101
312
121
2
D ,10
011
112
221
3
D ,5
故方程组的解为 :
,111
DD
x ,222
DD
x .133
DD
x
例 5 问 取何值时,齐次方程组
,01
,032
,0421
321
321
321
xxx
xxx
xxx
有非零解?
解
111
132
421
D
101
112
431
101
112
431
3121431 3
3121 23
齐次方程组有非零解,则 0D
所以 或 时齐次方程组有非零解 .2,0 或 3
))(2)(3(
2 2 2
1 1 1
A a b c
a b c
, ,a b c
1, 1, 1TTA x
例 6: 设矩正阵
且 互不相等 , 求
的解 .
.001
;0,0,1 33
22
11
),,解(
D
Dx
D
Dx
D
D
D
Dx
四、小结牢记公式.1 .IAAAAA 以及由此而得
,1 n
AA ,11 AA .)( 1
AA
A ,1
AA
A
阶矩阵会使用阶矩阵的逆矩阵时,要在求 22.2
特有的 ,“ ”两调一除 法
质:还有两个不太常用的性
,)(2
AAAn AkkA n 1)(
3. 用克拉默法则解方程组的两个条件
(1) 方程个数等于未知量个数 ;
(2) 系数行列式不等于零 .
4. 克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系数与常数项之间的关系 . 它主要适用于理论推导 .
.0,
001
A
xAA nn
则要有非零解
只有零解;时,:当结论
.0
002
A
bxAA nn
要有非唯一解;则
有唯一解;时,:当结论
思考题思考题 11
使求一个二次多项式 ,xf
.283,32,01 fff
思考题思考题 11 解答解答解 设所求的二次多项式为
,2 cbxaxxf
由题意得 ,01 cbaf
,3242 cbaf ,28393 cbaf
即
,0 cba
,324 cba
,2839 cba
故所求多项式为
.132 2 xxxf
又 ,020 D .20,60,40 321 DDD
得 ,21 DDa ,32 DDb 13 DDc
它是一个关于未知数 的线性方程组 ,cba ,,
由克拉默法则,
思考题 2
当线性方程组的系数行列式为零时 , 能否用克拉默法则解方程组 ? 为什么 ? 此时方程组的解为何 ?
思考题 2 解答
不能!此时非齐次方程组的解为无解或有无穷多解 .
齐次方程组的解为有无穷多解 .
第二章 行列式
行列式
补 充 例 子
.___32____,____,
___,,2,.1
11
AAAAA
AAA
T
T则且为三阶矩阵设例
.)2564332
,,,
,2,2/1,2(
13**1
1**
12
11
n
nTT
T
AAAAA
AAA
AAAAAAA
AAAAA
所以
因为
2
1/2 4 256
例 2 选择题 1 . 是 阶方阵,则下列运算中,正确的是( ) ( A ) ( B ) ( C ) ( D )
2 设 , 为 n 阶方阵,若 经过若干次初等变换变成矩阵 则成立的( ) ( A ) ( B )若 ,则必有 ( C ) ( D )若 ,则必有
A B、 n
A A- =- A B A B
kA k A
AA
B
A B 0A 0B
A B 0A 0B
D
B
3 设 3 阶方阵 ,则 ( ) ( A ) ( B )
( C ) ( D )
1 2 3, ,A a a a A
3 2 1, ,a a a 1 2 3, ,a a a
1 2 2 3 3 1, ,a a a a a a 1 1 2 1 2 3, ,a a a a a a
D
D
BAAB
4. 如果 5 阶行列式 D5 中每一行上的 5 个元素之和等于零,则 D5= ______________ 。0
2
2
1 1 1
5. 1
1
a a
b b
2 2
1 1 1
1 ( 1)( 1)( )
1
a b a b b a
a b
————————————————1 1 1
6. 1 0 2
1 1 1行列式 的所有代数余子式之和为
———————————
1 1 1
1 0 2 2
1 1 1