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PreliminaresMétodos de solución
SOLUCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALES
SOLUCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALES
PreliminaresMétodos de solución
Contenido
1 PreliminaresDefiniciones
2 Métodos de soluciónEl Método de Bisección de BolzanoEl Método de Newton-RaphsonEl Método de la SecanteEl Método de la Posición Falsa
SOLUCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALES
PreliminaresMétodos de solución
Definiciones
Contenido
1 PreliminaresDefiniciones
2 Métodos de soluciónEl Método de Bisección de BolzanoEl Método de Newton-RaphsonEl Método de la SecanteEl Método de la Posición Falsa
SOLUCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALES
PreliminaresMétodos de solución
Definiciones
Definiciones
DefiniciónSupongamos que f (x) está definida en un conjunto S denúmero reales y sea x0 ∈ S. Se dice que f es continua enx = x0 si
l«ımx→x0
f (x) = f (x0)
Se dice que f (x) es continua en S si es continua en cada puntox ∈ S. Denotaremos por C(s) el conjunto de todas lasfunciones f que son continuas en S. Cuando S sea unintervalo, digamos [a, b], entonces usaremos la notaciónC[a, b].
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Definiciones
Definiciones
DefiniciónRaíz de una ecuación, cero de una función. Supongamosque f (x) es una función continua. Cualquier número r tal quef (r) = 0 se llama raíz de la ecuación f (x) = 0; también se diceque r es un cero de la función f (x).
Teorema del valor intermedio o de Bolzano.Supongamos que f ∈ C [a, b] y que L es cualquier númeroentre f (a) y f (b). Entonces existe un número c en (a, b) tal quef (c) = L.
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Definiciones
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DefiniciónRaíz de una ecuación, cero de una función. Supongamosque f (x) es una función continua. Cualquier número r tal quef (r) = 0 se llama raíz de la ecuación f (x) = 0; también se diceque r es un cero de la función f (x).
Teorema del valor intermedio o de Bolzano.Supongamos que f ∈ C [a, b] y que L es cualquier númeroentre f (a) y f (b). Entonces existe un número c en (a, b) tal quef (c) = L.
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El Método de Bisección de BolzanoEl Método de Newton-RaphsonEl Método de la SecanteEl Método de la Posición Falsa
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1 PreliminaresDefiniciones
2 Métodos de soluciónEl Método de Bisección de BolzanoEl Método de Newton-RaphsonEl Método de la SecanteEl Método de la Posición Falsa
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El Método de Bisección de BolzanoEl Método de Newton-RaphsonEl Método de la SecanteEl Método de la Posición Falsa
El Método de Bisección de Bolzano
1. Empezar con un intervalo de partida [a, b] en el que f (a) yf (b) tengan distinto signo. Entonces, por el anterior Teorema, lagráfica y = f (x) cruzará el eje OX en un cero x = r que está endicho intervalo.
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El Método de Bisección de Bolzano
2. Tomar el punto medio del intervalo c = a+b2 .
Si f (a) yf (c) tienen signos opuestos, entonces hay un ceroen [a, c].
Si f (c) y f (b)tienen signos opuestos, entonces hay un ceroen [c, b].
Si f (c) = 0, entonces c es un cero.
3. Renombramos el nuevo intervalo más pequeño tambiéncomo [a, b] y repetimos el proceso hasta que el intervalo seatan pequeño como deseemos.
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El Método de Bisección de Bolzano
2. Tomar el punto medio del intervalo c = a+b2 .
Si f (a) yf (c) tienen signos opuestos, entonces hay un ceroen [a, c].
Si f (c) y f (b)tienen signos opuestos, entonces hay un ceroen [c, b].
Si f (c) = 0, entonces c es un cero.
3. Renombramos el nuevo intervalo más pequeño tambiéncomo [a, b] y repetimos el proceso hasta que el intervalo seatan pequeño como deseemos.
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El Método de Bisección de Bolzano
2. Tomar el punto medio del intervalo c = a+b2 .
Si f (a) yf (c) tienen signos opuestos, entonces hay un ceroen [a, c].
Si f (c) y f (b)tienen signos opuestos, entonces hay un ceroen [c, b].
Si f (c) = 0, entonces c es un cero.
3. Renombramos el nuevo intervalo más pequeño tambiéncomo [a, b] y repetimos el proceso hasta que el intervalo seatan pequeño como deseemos.
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El Método de Bisección de Bolzano
2. Tomar el punto medio del intervalo c = a+b2 .
Si f (a) yf (c) tienen signos opuestos, entonces hay un ceroen [a, c].
Si f (c) y f (b)tienen signos opuestos, entonces hay un ceroen [c, b].
Si f (c) = 0, entonces c es un cero.
3. Renombramos el nuevo intervalo más pequeño tambiéncomo [a, b] y repetimos el proceso hasta que el intervalo seatan pequeño como deseemos.
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El Método de Bisección de Bolzano
2. Tomar el punto medio del intervalo c = a+b2 .
Si f (a) yf (c) tienen signos opuestos, entonces hay un ceroen [a, c].
Si f (c) y f (b)tienen signos opuestos, entonces hay un ceroen [c, b].
Si f (c) = 0, entonces c es un cero.
3. Renombramos el nuevo intervalo más pequeño tambiéncomo [a, b] y repetimos el proceso hasta que el intervalo seatan pequeño como deseemos.
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El Método de Bisección de Bolzano
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El Método de Newton-Raphson
Supongamos que la aproximación inicial p0 está cerca de laraíz p. Definimos p1 como el punto de intersección del eje deabcisas con la recta tangente a la curva en el punto(p0, f (p0)) .p1 estará más cerca de p que p0.
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El Método de Newton-Raphson
Podemos encontrar la ecuación que relaciona p1con p0igualando dos fórmulas distintas para la pendiente m de larecta tangente. Por un lado,
m =0− f (p0)
p1 − p0
que es la pendiente de la recta que pasa por (p1, 0) y(p0, f (p0)); por otro lado,
m = f′(p0)
que es la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto(p0, f (p0)) .
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El Método de Newton-Raphson
Igualando y despejando p1obtenemos:
p1 = p0 −f (p0)
f ′ (p0)
Este proceso puede repetirse para obtener una sucesión {pk}que converge a p.
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El Método de Newton-Raphson
Teorema de Newton-Raphson.
Supongamos que la función f ∈ C2 [a, b]y que existe un númerop ∈ [a, b] tal que f (p) = 0. Si f
′(p) 6= 0, entonces existe δ > 0
tal que la sucesión {pk}∞k=0 definida por el proceso iterativo
pk = g (pk−1) = pk−1 −f (pk−1)
f ′ (pk−1)
para k = 1, 2, ..., converge a p cualquiera que sea laaproximación inicial p0 ∈ [p − δ, p + δ].
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1 PreliminaresDefiniciones
2 Métodos de soluciónEl Método de Bisección de BolzanoEl Método de Newton-RaphsonEl Método de la SecanteEl Método de la Posición Falsa
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El Método de Bisección de BolzanoEl Método de Newton-RaphsonEl Método de la SecanteEl Método de la Posición Falsa
El Método de la Secante
En el algoritmo de Newton-Raphson hay que evaluar dosfunciones en cada iteración, f (pk−1) y f
′(pk−1).
Hay muchas funciones dadas en forma no elemental(como integrales, o sumas de series, etc.) para las quesería deseable disponer de un método que necesiteevaluaciones únicamente de f (x)y no de f
′(x).
El método de la secante necesita sólo una evaluación def (x) por paso.
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El Método de la Secante
En el algoritmo de Newton-Raphson hay que evaluar dosfunciones en cada iteración, f (pk−1) y f
′(pk−1).
Hay muchas funciones dadas en forma no elemental(como integrales, o sumas de series, etc.) para las quesería deseable disponer de un método que necesiteevaluaciones únicamente de f (x)y no de f
′(x).
El método de la secante necesita sólo una evaluación def (x) por paso.
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El Método de la Secante
En el algoritmo de Newton-Raphson hay que evaluar dosfunciones en cada iteración, f (pk−1) y f
′(pk−1).
Hay muchas funciones dadas en forma no elemental(como integrales, o sumas de series, etc.) para las quesería deseable disponer de un método que necesiteevaluaciones únicamente de f (x)y no de f
′(x).
El método de la secante necesita sólo una evaluación def (x) por paso.
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El Método de la Secante
Partimos de dos puntos iniciales (p0, f (p0)) y (p1, f (p1))cercanos al punto (p, 0), y se define p2 como la abcisa delpunto de intersección de la recta que pasa por estos dospuntos con el eje OX. p2 estará más cerca de p que p0 y quep1.
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El Método de la Secante
La fórmula que relaciona p2, p1y p0 se halla escribiendo lapendiente de la recta en cuestión:
m = f (p1)−f (p0)p1−p0
y m = 0−f (p1)p2−p1
La primera es la pendiente de la recta secante que pasapor los dos puntos iniciales. La segunda es la pendientede la recta que pasa por (p1, f (p1)) y (p2, 0).
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El Método de la Secante
La fórmula que relaciona p2, p1y p0 se halla escribiendo lapendiente de la recta en cuestión:
m = f (p1)−f (p0)p1−p0
y m = 0−f (p1)p2−p1
La primera es la pendiente de la recta secante que pasapor los dos puntos iniciales. La segunda es la pendientede la recta que pasa por (p1, f (p1)) y (p2, 0).
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El Método de la Secante
Igualando los miembros derechos de las dos fórmulas ydespejando p2 = g (p1, p0) obtenemos
p2 = p1 −f (p1) (p1 − p0)
f (p1)− f (p0)
El término general de la sucesión generada por estemétodo viene dado por la fórmula de iteración de dospuntos:
pk+1 = g (pk , pk−1) = pk −f (pk ) (pk − pk−1)
f (pk )− f (pk−1)
para k = 1, 2, ....
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El Método de la Secante
Igualando los miembros derechos de las dos fórmulas ydespejando p2 = g (p1, p0) obtenemos
p2 = p1 −f (p1) (p1 − p0)
f (p1)− f (p0)
El término general de la sucesión generada por estemétodo viene dado por la fórmula de iteración de dospuntos:
pk+1 = g (pk , pk−1) = pk −f (pk ) (pk − pk−1)
f (pk )− f (pk−1)
para k = 1, 2, ....
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1 PreliminaresDefiniciones
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El Método de la Posición Falsa
Supongamos que f (a) y f (b) tienen distinto signo. En elmétodo de bisección se usa el punto medio del intervalo[a, b] para llevar a cabo el siguiente paso.
Suele conseguirse una mejor aproximación usando elpunto (c, 0)en el que la recta secante L que pasa por lospuntos (a, f (a)) y (b, f (b)) cruza el eje OX.
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El Método de la Posición Falsa
Supongamos que f (a) y f (b) tienen distinto signo. En elmétodo de bisección se usa el punto medio del intervalo[a, b] para llevar a cabo el siguiente paso.
Suele conseguirse una mejor aproximación usando elpunto (c, 0)en el que la recta secante L que pasa por lospuntos (a, f (a)) y (b, f (b)) cruza el eje OX.
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El Método de la Posición Falsa
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El Método de la Posición Falsa
Para hallar el punto c, igualamos dos fórmulas para lapendiente m de la recta L:
m =f (b)− f (a)
b − a
usando los puntos (a, f (a)) y (b, f (b))y
m =0− f (b)
c − b
usando los puntos (c, 0) y (b, f (b)) . Igualando y despejando c:
c = b − f (b) (b − a)
f (b)− f (a)
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El Método de la Posición Falsa
Las tres posibilidades son las mismas que con la bisección deBolzano:
1 Si f (a) y f (c) tienen signos opuestos, entonces hay uncero en [a, c].
2 Si f (c) y f (b) tienen signos opuestos, entonces hay uncero en [c, b].
3 Si f (c) = 0, entonces c es un cero.
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El Método de la Posición Falsa
Las tres posibilidades son las mismas que con la bisección deBolzano:
1 Si f (a) y f (c) tienen signos opuestos, entonces hay uncero en [a, c].
2 Si f (c) y f (b) tienen signos opuestos, entonces hay uncero en [c, b].
3 Si f (c) = 0, entonces c es un cero.
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El Método de Bisección de BolzanoEl Método de Newton-RaphsonEl Método de la SecanteEl Método de la Posición Falsa
El Método de la Posición Falsa
Las tres posibilidades son las mismas que con la bisección deBolzano:
1 Si f (a) y f (c) tienen signos opuestos, entonces hay uncero en [a, c].
2 Si f (c) y f (b) tienen signos opuestos, entonces hay uncero en [c, b].
3 Si f (c) = 0, entonces c es un cero.
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El Método de la Posición Falsa
La fórmula dada junto con el proceso de decisión descritose usa para construir una sucesión de intervalos {[an, bn]}cada uno de los cuales contiene un cero.
En cada paso la aproximación al cero obtenida es:
cn = bn −f (bn) (bn − an)
f (bn)− f (an)
y puede probarse que la sucesión {cn} converge a un ceror de la función.
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Apéndice
El Método de la Posición Falsa
La fórmula dada junto con el proceso de decisión descritose usa para construir una sucesión de intervalos {[an, bn]}cada uno de los cuales contiene un cero.
En cada paso la aproximación al cero obtenida es:
cn = bn −f (bn) (bn − an)
f (bn)− f (an)
y puede probarse que la sucesión {cn} converge a un ceror de la función.
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