Modul 9 Metnum
-
Upload
mikael-lumbanbatu -
Category
Documents
-
view
39 -
download
4
description
Transcript of Modul 9 Metnum
Modul 9 Metode Numerik 1
MODUL 9
SOLUSI PERSAMAAN LANJAR : METODE DEKOMPOSISI LU
Jika matriks A non singular maka a dapat difaktorkan (diuraikan atau didekomposisi
menjadi matriks segitiga bawah (lower) dan matriks segitiga atas U (upper) :
𝐴 = 𝐿𝑈
Dalam bentuk matriks, pemfaktoran ini ditulis sebagai
𝑎!! 𝑎!" 𝑎!" … 𝑎!!𝑎!" 𝑎!! 𝑎!" … 𝑎!!𝑎!" 𝑎!" 𝑎!! … 𝑎!!⋮ ⋮
𝑎!! 𝑎!! 𝑎!! … 𝑎!!
=
1 0 0 … 0𝑙!" 1 0 … 0𝑙!" 𝑙!" 1 … 0⋮ ⋮𝑙!! 𝑙!! 𝑙!! … 1
𝑢!! 𝑢!" 𝑢!" … 𝑢!!0 𝑢!! 𝑢!" … 𝑢!!0 0 𝑢!! … 𝑢!!⋮ ⋮
0 0 0 … 𝑢!!
Pada matriks segitiga bawah L, semua elemen diagonal adalah 1, sedangkan pada matriks U
tidak ada aturan khusus pada elemen diagonalnya.
Sebagai contoh, matriks 3 x 3 di bawah ini difaktorkan menjadi :
2 −1 −10 −4 26 −3 1
= 1 0 00 1 00 0 1
2 −1 −10 −4 20 0 4
2 Modul 9 Metode Numerik
Sekali A difaktorkan menjadi L dan U kedua matriks tersebut dapat digunakan untuk
menyelesaikan Ax=b. Metode penyelesaian Sistem Persamaan Linear dengan cara ini
dikenal dengan metode dekomposisi LU. Metode ini dinamakan juga metode metode
pemfaktoran segitiga (triangular factorization). Metode eliminasi Gauss merupakan suatu
dekomposisi LU dari matriks A.
Penyelesaian Ax = b dengan metode dekomposisi LU adalah sebagai berikut :
Tinjau sistem persamaan lanjar
𝐴𝑥 = 𝑏
Faktorkan A menjadi L dan U sedememikian rupa, sehingga
𝐴 = 𝐿𝑈
Jadi,
𝐴𝑥 = 𝑏
𝐿𝑈 𝑥 = 𝑏
Misalkan
𝑈𝑥 = 𝑦
maka
𝐿𝑦 = 𝑏
Untuk memperoleh y1,y2 ,y3 , …yn , digunakan teknik penyulihan maju (forward substitution)
:
𝐿𝑦 = 𝑏 →
1 0 0 … 0𝑙!" 1 0 … 0… … … … ⋮𝑙!! 𝑙!! 𝑙!! … 1
𝑦!𝑦!…𝑦!
=
𝑏!𝑏!…𝑏!
Modul 9 Metode Numerik 3
Dan untuk memperoleh solusi sistem persamaan linier , x1,x2 ,x3 , …xn , digunakan teknik
penyulihan mundur (backward substitution) :
𝑈𝑥 = 𝑦 →
𝑢11 𝑢12 𝑢13 … 𝑢1𝑛0 𝑢22 𝑢23 … 𝑢2𝑛⋮ ⋮0 0 0 … 𝑢𝑛𝑛
𝑦1𝑦2…𝑦𝑛
=𝑏1𝑏2…𝑏𝑛
Jadi, langkah – langkah menghitung solusi sistem persamaan linier dengan metode
dekomposisi LU dapat diringkas sebagai berikut :
1. Bentuklah matriks L dan U dari A
2. Pecahkan Ly = b , lalu hitung y dengan teknik penyulihan maju
3. Pecahkan Ux =y , lalu hitung x dengan teknik penyulihan mundur
Sama halnya dengan metode matriks balikan, metode dekomposisi LU akan efektif bila
digunakan untuk menyelesaikan sejumlah sistem persamaan linier dengan matriks A yang
sama tetapi dengan b berbeda-‐beda. Sekali A difaktorkan menjadi L dan U, keduanya dapat
digunakan untuk menghitung solusi sejumlah sistem persamaan linier tersebut. Metode
dekomposisi LU merupakan metode yang paling popular untuk memecahkan sistem
persamaan linier :
Terdapat dua metode untuk memfaktorkan A atas L dan U :
1. Metode LU Gauss
2. Metode reduksi Crout
Pada modul ini kita akan membahas pemfaktoran dengan metode LU Gauss saja.
4 Modul 9 Metode Numerik
Pemfaktoran dengan metode LU Gauss
Walaupun tidak ada hubungannya dengan dekomposisi LU, metode eliminasi Gauss dapat
digunakan untuk memfaktorkan A menjadi L dan U (karena itulah metode pemfaktoran ini
dinamakan metode LU Gauss).
Misalkan matriks A berukuran 4 x 4 difaktorkan atas L dan U,
𝐴 = 𝐿𝑈
𝑎!! 𝑎!" 𝑎!" 𝑎!"𝑎!" 𝑎!! 𝑎!" 𝑎!"𝑎!" 𝑎!" 𝑎!! 𝑎!"𝑎!" 𝑎!" 𝑎!" 𝑎!!
=
1 0 0 0𝑚!" 1 0 0𝑚!" 𝑚!" 1 0𝑚!" 𝑚!" 𝑚!" 1
𝑢!! 𝑢!" 𝑢!" 𝑢!!0 𝑢!! 𝑢!" 𝑢!"0 0 𝑢!! 𝑢!"0 0 0 𝑢!!
Disini digunakan simbol mij ketimbang lij , karena nilai lij berasal dari faktor pengali ( mij)
pada proses eliminasi Gauss. Langkah-‐langkah pembentukan L dan U dari matriks A adalah
sebagai berikut :
1. Nyatakan A sebagai A=IA
𝑎!! 𝑎!" 𝑎!" ⋯ 𝑎!!𝑎!" 𝑎!! 𝑎!" ⋯ 𝑎!!𝑎!" 𝑎!" 𝑎!! ⋯ 𝑎!!⋮𝑎!! 𝑎!! 𝑎!! ⋯ 𝑎!!
=
1 0 0 ⋯ 00 1 0 ⋯ 00 0 1 ⋯ 0⋮0 0 0 ⋯ 1
𝑎!! 𝑎!" 𝑎!" ⋯ 𝑎!!𝑎!" 𝑎!! 𝑎!" ⋯ 𝑎!!𝑎!" 𝑎!" 𝑎!! ⋯ 𝑎!!⋮𝑎!! 𝑎!! 𝑎!! ⋯ 𝑎!!
2. Eliminasikan matriks A di ruas kanan menjadi matriks segitiga atas U. Tempatkan
faktor pengali (mij) pada posisi lij di matriks I.
3. Setelah seluruh proses eliminasi Gauss selesai, matriks I menjadi matriks L, dan
matriks A di ruas kanan menjadi matriks U.
Modul 9 Metode Numerik 5
Perhatikan contoh pemfaktoran A dengan metode ini, masing-‐masing untuk kasus tanpa
pivoting dan dengan pivoting.
Contoh 1 : (tanpa pivoting)
Perhatikan matriks A berikut dengan metode LU Gauss :
𝐴 =4 3 −1−2 −4 51 2 6
Penyelesaian :
𝐴 =4 3 −1−2 −4 51 2 6
= 1 0 00 1 00 0 1
4 3 −1−2 −4 51 2 6
Eliminasikan matriks A di ruas kanan menjadi matriks segitiga atas U ,dan tempatkan
faktor pengali mij pada posisi Iij di mariks I.
4 3 −1−2 −4 51 2 6
𝑅! − 24 𝑅!
~𝑅! − 1
4 𝑅!
4 3 −1−2 −4 51 2 6
Tempatkan m21 = -‐2/4 = -‐0.5 dan m31 = ¼ = 0.25 ke dalam matriks L :
𝐿 = 1 0 0
−0.5 1 00 𝑚!" 1
Teruskan proses eliminasi Gauss pada matriks A,
4 3 −10 −2.5 4.50 1.25 6.25
𝑅! − 1.252.5 𝑅!
~4 3 −10 −2.5 4.50 0 8.5
= 𝑈
Tempatkan m32 = 1.25/-‐2.5 = -‐0.5 ke dalam matriks L :
6 Modul 9 Metode Numerik
𝐿 = 1 0 0
−0.5 1 00.25 −0.5 1
Jadi,
𝐴 =4 3 −1−2 −4 51 2 6
=1 0 0
−0.5 1 00.25 −0.5 1
4 3 −10 −2.5 4.50 0 8.5
Contoh 2 : (dengan pivoting)
Faktorkan matriks A berikut :
𝐴 =1 1 −12 2 1−1 1 1
𝑏 =151
lalu pecahkan sistem Ax = b
Penyelesaian :
Eliminasikan matriks A di ruas kanan menjadi matriks segitiga atas U, dan tempatkan
faktor pengali mij pada posisi lij di matriks I.
1 1 −12 2 1−1 1 1
𝑅! − 2 𝑅!
~𝑅! − 1
1 𝑅!
1 1 −10 0 30 2 0
Tempatkan m21 = 2 dan m31 = 1/1= 1 ke dalam matriks L :
Modul 9 Metode Numerik 7
𝐿 =1 0 02 1 0−1 𝑚!" 1
Teruskan proses eliminasi Gauss pada matriks A. Dalam hal ini ada pivoting karena calon
pivot bernilai 0, sehingga baris kedua dipertukarkan dengan baris ketiga :
1 1 −10 0 30 2 0
𝑅! ↔ 𝑅! 1 1 −10 2 30 0 0
Jangan lupa juga untuk mempertukarkan 𝑅! ↔ 𝑅! pada matriks L, kecuali elemen
diagonalnya
𝐿 =1 0 02 1 0−1 𝑚!" 1
𝑅! ↔ 𝑅! 1 0 0−1 1 02 𝑚!" 1
Kemudian , tukarkan juga 𝑅! ↔ 𝑅! pada vektor b ,
𝑏 =151𝑅! ↔ 𝑅!
115
Teruskan proses eliminasi Gauss pada matriks A :
𝑅! − 02 𝑅!
1 1 −10 2 00 0 3
= 𝑈
Tempatkan m32 = 0/2 = 0 ke dalam matriks L :
8 Modul 9 Metode Numerik
𝐿 =1 0 0−1 1 02 0 1
Jadi,
𝐴 =1 1 −1−1 1 12 2 1
=1 0 0−1 1 02 0 1
1 1 −10 2 00 0 3
Berturut-‐turut dihitung y dan x sebagai berikut :
𝐿𝑦 = 𝑏 → 1 0 0−1 1 02 0 1
𝑦!𝑦!𝑦!
=115
y1,y2 ,dan y3 , dihitung dengan teknik penyulihan maju :
𝑦! = 1
−𝑦! + 𝑦! = 1 → 𝑦! = 1+ 𝑦! = 1+ 1 = 2
2𝑦! + 0𝑦! + 𝑦! = 5 → 𝑦! = 5− 2𝑦! = 3
𝑈𝑥 = 𝑦 → 1 1 −10 2 00 0 3
𝑥!𝑥!𝑥!
=123
x1,x2 ,dan x3 , dihitung dengan teknik penyulihan mundur :
3𝑥! = 3 → 𝑥! = 1
2𝑥! + 0𝑥! = 2 → 𝑥! = 1
𝑥! + 𝑥! + 𝑥! = 1 → 𝑥! = 1
Jadi, solusi sistem persamaan lanjar di atas adalah x = (1, 1, 1)T.