Integrasi metnum
-
Upload
acix-jepopong -
Category
Documents
-
view
32 -
download
5
description
Transcript of Integrasi metnum
Metode Numerik
PENS-ITS 1
Integrasi Numerik
Politeknik Elektronika Negeri Surabaya
Metode Numerik
PENS-ITS 2
Topik
• Integral Reimann• Trapezoida• Simpson 1/3• Simpson 3/8• Kuadratur Gauss 2 titik• Kuadratur Gauss 3 titik
Metode Numerik
PENS-ITS 3
INTEGRASI NUMERIK
• Di dalam kalkulus, terdapat dua hal penting yaitu integral dan turunan(derivative)
• Pengintegralan numerik merupakan alat atau cara yang digunakan oleh ilmuwan untuk memperoleh jawaban hampiran (aproksimasi) dari pengintegralan yang tidak dapat diselesaikan secara analitik.
Metode Numerik
PENS-ITS 4
INTEGRASI NUMERIK• Fungsi yang dapat dihitung integralnya :
• Fungsi yang rumit misal :
dxex
x x5.02
0
23
sin5.01)1cos(2
∫ +++
Cxxxdxx
Cxdxx
Cbaadxbax
Cbaadxbax
Ca
edxe
Cnaxdxax
axax
nn
+−=
+=
++=+
++−=+
+=
++
=
∫
∫
∫∫
∫
∫+
||ln||ln
||ln1
)sin(1)cos(
)cos(1)sin(
1
1
Metode Numerik
PENS-ITS 5
INTEGRASI NUMERIK
• Perhitungan integral adalah perhitungan dasar yang digunakan dalam kalkulus, dalam banyak keperluan.
• digunakan untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh fungsi y = f(x) dan sumbu x.
• Penerapan integral : menghitung luas dan volume-volume benda putar
Metode Numerik
PENS-ITS 6
Dasar Pengintegralan NumerikØ Penjumlahan berbobot dari nilai fungsi
)(...)()(
)()(
1100
0
nn
i
n
ii
b
a
xfcxfcxfc
xfcdxxf
+++=
≈ ∑∫=
x0 x1 xnxn-1x
f(x)
Metode Numerik
PENS-ITS 70
2
4
6
8
10
12
3 5 7 9 11 13 15
• Melakukan penginteralan pada bagian-bagian kecil, seperti saat awal belajar integral – penjumlahan bagian-bagian.
• Metode Numerik hanya mencoba untuk lebih cepat dan lebih mendekati jawaban eksak.
Dasar Pengintegralan Numerik
Metode Numerik
PENS-ITS 8
Formula Newton-Cotes
- Berdasarkan pada
dxxfdxxfIb
a n
b
a ∫∫ ≅= )()(
Ø Nilai hampiran f(x) dengan polinomial
nn
1n1n10n xaxaxaaxf ++++= −
−L)(
Dasar Pengintegralan Numerik
Metode Numerik
PENS-ITS 9
Ø fn (x) bisa fungsi linearØ fn (x) bisa fungsi kuadrat
Metode Numerik
PENS-ITS 10
Ø fn (x) bisa juga fungsi kubik atau polinomial yang lebih tinggi
Metode Numerik
PENS-ITS 11
Ø Polinomial dapat didasarkan pada data
Metode Numerik
PENS-ITS 12
INTEGRASI NUMERIK
• Luas daerah yang diarsir L dapat dihitung dengan :
• L = ( )∫b
adxxf
Metode Numerik
PENS-ITS 13
Metode Integral Reimann
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
x*cos(3*x)*exp(-2*x)+0.35x*cos(3*x)*exp(-2*x)+0.35
Metode Numerik
PENS-ITS 14
Metode Integral Reimann
• Luasan yang dibatasi y = f(x) dan sumbu x • Luasan dibagi menjadi N bagian pada range x
= [a,b]• Kemudian dihitung Li : luas setiap persegi
panjang dimana )(. xifxiLi ∆=
Metode Numerik
PENS-ITS 15
Metode Integral Reimann
• Luas keseluruhan adalah jumlah Li dan dituliskan :
• Dimana • Didapat
( ) ( ) ( ) ( )
( ) i
n
ii
n
n
xxf
xxfxxfxxfxxfLLLLL
∆=
∆++∆+∆+∆=++++=
∑=0
3221100
210
.....
( ) ( )∑∫=
=n
ii
b
axfhdxxf
0
hxxxx n =∆==∆=∆=∆ ...210
Metode Numerik
PENS-ITS 16
Contoh
• Hitung luas yang dibatasi y = x2 dan sumbu x untuk range x = [0,1]
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
x**2
∫1
0
2 dxxL =
Metode Numerik
PENS-ITS 17
Contoh• Dengan mengambil h=0.1 maka diperoleh tabel :
• Secara kalkulus :
• Terdapat kesalahan e = 0,385-0,333• = 0,052
( )( )( ) 385,085,31.0
00.181.064.049.036.025.016.009.004.001.001.0
)(.10
0
==++++++++++=
= ∑=i
ixfhL
.....3333,0|31 1
03
1
0
2 === ∫ xdxxL
Metode Numerik
PENS-ITS 18
Algoritma Metode Integral Reimann
• Definisikan fungsi f(x)• Tentukan batas bawah dan batas ata integrasi• Tentukan jumlah pembagi area N• Hitung h=(b-a)/N• Hitung
∑=
=N
iixfhL
0)(.
Metode Numerik
PENS-ITS 19
Metode Integrasi Trapezoida• Aproksimasi garis lurus (linier)
[ ])()(
)()()()(
10
1100i
1
0ii
b
a
xfxf2h
xfcxfcxfcdxxf
+=
+=≈ ∑∫=
x0 x1x
f(x)
L(x)
Metode Numerik
PENS-ITS 20
Aturan Komposisi Trapesium
[ ] [ ] [ ]
[ ])()()()()(
)()()()()()(
)()()()(
n1ni10
n1n2110
x
x
x
x
x
x
b
a
xfxf2x2fxf2xf2h
xfxf2hxfxf
2hxfxf
2h
dxxfdxxfdxxfdxxf n
1n
2
1
1
0
++++++=
++++++=
+++=
−
−
∫∫∫∫−
LL
L
LL
x0 x1x
f(x)
x2h h x3h h x4
nabh −
=
Metode Numerik
PENS-ITS 21
Metode Integrasi Trapezoida( ) ( )( )
( ) iiii
iiii
xffL
atau
xxfxfL
∆+=
∆+=
+
+
.21
.21
1
1
∑−
==
1
0
η
iiLL
( ) ( )nn
n
iii fffffhffhL +++++=+= −
−
=+∑ 1210
1
01 2...22
221
++= ∑
−
=n
n
ii fffhL
1
10 2
2
Metode Numerik
PENS-ITS 22
Algoritma Metode Integrasi Trapezoida
• Definisikan y=f(x)• Tentukan batas bawah (a) dan batas atas
integrasi (b)• Tentukan jumlah pembagi n• Hitung h=(b-a)/n• Hitung
++= ∑
−
=n
n
ii fffhL
1
10 2
2
Metode Numerik
PENS-ITS 23
Aturan Simpson 1/3• Aproksimasi dengan fungsi parabola
[ ])()(4)(3
)()()()()(
210
221100
2
0
xfxfxfh
xfcxfcxfcxfcdxxf ii
i
b
a
++=
++=≈ ∑∫=
x0 x1x
f(x)
x2h h
L(x)
Metode Numerik
PENS-ITS 24
Aturan Komposisi Simpson
x0 x2x
f(x)
x4h h xn-2h xn
nabh −
=
…...
hx3x1 xn-1
Metode Numerik
PENS-ITS 25
Metode IntegrasiSimpson 1/3
• Dengan menggunakan aturan simpson, luas dari daerah yang dibatasi fungsi y=f(x) dan sumbu X dapat dihitung sebagai berikut:
• atau dapat dituliskan dengan:
• Disyaratkan jml pias (n) genap
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnnn ffhffhffhffhffhffhL ++++++++++++= −−− 11243322110 23
23
...23
23
23
23
+++= ∑∑ n
genapii
ganjilii ffffhL
0 24
3
N = 0 – n
L = L1 + L2 + L3 + . . . + Ln
Metode Numerik
PENS-ITS 26
Cara II (Buku Rinaldi Munir)
• Polinom interpolasi Newton-Gregory derajat 2 yang melalui ketiga titik tsb
02
20002
2002 !2)()(
!2)()()( f
hhxxf
hxfxf
hhxxxf
hxxfxp ∆
−++=∆
−+∆+=
Metode Numerik
PENS-ITS 27
Polinom Interpolasi Newton Gregory
Metode Numerik
PENS-ITS 28
Polinom Interpolasi Newton Gregory
Bentuk Umum
Metode Numerik
PENS-ITS 29
Cara II (Buku Rinaldi Munir hlm 285)• Integrasikan p2(x) pd selang [0,2h]
02
00
02
00
02
2
2
3
0
2
0
200
22
2
2
3
0
2
0
2
00
2200
2
02
2
0
322
3422
44
68
242
|462
!2)(
)(
fhfhxhfL
fhhfhxhfL
fh
hhhf
hhxhfL
fhx
hxf
hxxfL
dxfh
hxxfhxfL
xdxpdxxfL
hxx
h
hh
∆+∆+=
∆
−+∆+=
∆
−+∆+=
∆
−+∆+=
∆
−+∆+=
==
==
∫
∫∫
Metode Numerik
PENS-ITS 30
Cara II (Buku Rinaldi Munir hlm 286)
• Mengingat
• Maka selanjutnya
010 fff −=∆
)4(3
334
3
332
3222
)2(3
)(22
210
210
012010
012010
fffhL
fhfhfhL
fhfhfhhfhfxhfL
fffhffhxhfL
++=
++=
+−+−+=
+−+−+=
01201120102 2)()( ffffffffff +−=−−−=∆−∆=∆
Metode Numerik
PENS-ITS 31
Kaidah Simpson 1/3 (total)
Ltotal =
• Disyaratkan jumlah pias (n) harus genap
)24(3
)4(3
...)4(3
)4(3
)(...)()()(
2
6,4,2
1
5,3,10
12432210
2
0
4
2 2n
n
n
ii
n
ii
nnn
x
x
x
x
xnb
a
ffffh
fffhfffhfffh
dxxfdxxfdxxfdxxfx
+++≈
+++++++++≈
+++=
∑∑
∫ ∫ ∫∫
−
=
−
=
−−
−
Metode Numerik
PENS-ITS 32
Contoh
• Hitung integral ∫1
0
32 dxx
Ltotal
Ltotal = 0.1/3*( f(0) + 2*f(1) + 2*f(2) + …+ 2*f(9) + f(10))
= 0.1/3*(0+0.002+0.16+0.54+0.128+0.25+0.432
+0.686+1.024+1.458+2)
= 0.333333 * 6.68
= 2.22666444
Metode Numerik
PENS-ITS 33
Aturan Simpson 3/8Ø Aproksimasi dengan fungsi kubik
[ ])()()()(
)()()()()()(
3210
33221100i
3
0ii
b
a
xfxf3xf3xf8h3
xfcxfcxfcxfcxfcdxxf
+++=
+++=≈ ∑∫=
x0 x1x
f(x)
x2h h
L(x)
x3h
Metode Numerik
PENS-ITS 34
Metode Integrasi Simpson 3/ 8
• Dengan menggunakan aturan simpson, luas dari daerah yang dibatasi fungsi y=f(x) dan sumbu X dapat dihitung sebagai berikut:
• atau dapat dituliskan dengan:
( ) ( ) ( )nnnn ffffhhffffhffffhL +++++++++++++= −−− 12365433210 3383...
8333
8333
83
N = 0 – n
L = L1 + L2 + L3 + . . . + Ln
Metode Numerik
PENS-ITS 35
Latihan Soal
• Hitung Integral dengan menggunakan
– Integral Reimann– Integrasi Trapezoida– Integrasi Simpson 1/3 dan 3/8
dxex∫ +
1
0 11
Metode Numerik
PENS-ITS 36
Metode Integrasi Gauss
• Metode Newton-Cotes (Trapezoida, Simpson) à berdasarkan titik-titik data diskrit. Dengan batasan :– h sama– Luas dihitung dari a sampai b
• Mengakibatkan error yang dihasilkan cukup besar.
Metode Numerik
PENS-ITS 37
Metode Integrasi Gauss• Misal menghitung Luas dengan metode trapezoida dengan selang [-1,1]
• Persamaan ini dapat ditulis (disebut pers Kuadratur Gauss)
• Misal x1=-1, x2=1 dan c1=c2=h/2=1 à menjadi metode trapezoida• Karena x1, x2,,c1 dan c2 sembarang maka kita harus memilih nilai tersebut
sehingga error integrasinya minimum
( )
2)1(1
)1()1()1()1(2
)(1
1
=−−=
−+≈−+≈= ∫−
h
ffffhdxxfI
)()()( 2211
1
1
xfcxfcdxxfI +≈= ∫−
Metode Numerik
PENS-ITS 38
Metode Integrasi Gauss
• Bagaimana mencari x1, x2,,c1 dan c2 ? Karena ada 4 perubah yang tidak diketahui, maka harus ada 4 persamaan simultan yang mengandung x1, x2,,c1 dan c2.
• Dapat dilihat bahwa nilai integrasi numerik dengan metode trapesium akan tepat (error = 0) untuk fungsi tetap dan fungsi linier.
• Misalnya persamaan-persamaan di bawah ini dijadikan fungsi integral pada interval integrasi [-1, 1]
• f(x) = 1 ; f(x) = x ; f(x) = x2 ; f(x) = x3
Metode Numerik
PENS-ITS 39
Metode Integrasi Gauss
322
311
4411
41
1
33
222
211
3311
31
1
22
2211221
12
1
1
11
1
1
0)1(41)1(4
1|41)(
32)1(3
1)1(31|3
1)(
0)1(21)1(2
1|21)(
212)1(1|11)(
xcxcxdxxxxf
xcxcxdxxxxf
xcxcxdxxxxf
ccxdxxf
xx
xx
xx
xx
+==−−==→=
+==−−==→=
+==−−==→=
+==−−==→=
=−=
−
=−=
−
=−=
−
=−=
−
∫
∫
∫
∫
)()()( 2211
1
1
xfcxfcdxxfI +≈= ∫−
Metode Numerik
PENS-ITS 40
03
20
2
322
311
222
211
2211
21
=+
=+
=+=+
xcxc
xcxc
xcxccc
577350269.031
577350269.03
11
2
1
21
−=−
=
==
==
x
x
cc
)31()
31()(
1
1
−+== ∫
−
ffdxxfISehingga :
apabila dipecahkan menghasilkan
Sekarang sudah didapatkan 4 persamaan simultan sbb :
Metode Numerik
PENS-ITS 41
Metode Integrasi Gauss
• Persamaan dibawah ini dinamakan metode Gauss Legendre 2 titik
• Dengan kaidah ini, menghitung integral f(x) di dalam selang[-1, 1] cukup hanya dengan mengevaluasi nilai fungsi f di dan31=x
)31()
31()(
1
1
−+=∫
−
ffdxxf
31−=x
Metode Numerik
PENS-ITS 42
Transformasi
• Range [a,b] à [-1,1] • x à u • f(x) à f(u) • dx à du
∫=b
ai dxxfL )( ∫
−
=1
1i du)u(fL
Metode Numerik
PENS-ITS 43
Transformasi
duabdx
uababx
aaubuabx
aabuxabuax
uabax
)(21
2)(
2)(
22
2))(1(2))(1(22
21
−=
−+
+=
+−+−=
+−+=−+=−
+=
−−
a bx
-1 1u
Metode Numerik
PENS-ITS 44
Transformasi
duu2
)ab(2
)ba(f)ab(21du)u(f
1
1
1
1∫∫−−
−
++
−=
∫∫ ==−
b
a
1
1i dx)x(fdu)u(fL
du)ab(21
2)ab(u
2)ab(fdu)u(f −
+
+−
=
Metode Numerik
PENS-ITS 45
Analisa
• Dibandingkan dengan metode Newton-Cotes (Trapezoida, Simpson 1/3, 3/8) metode Gauss-Legendre 2 titik lebih sederhana dan efisien dalam operasi aritmatika, karena hanya membutuhkan dua buah evaluasi fungsi.
• Lebih teliti dibandingkan dengan metode Newton-Cotes.• Namun kaidah ini harus mentransformasi terlebih dahulu
menjadi
∫−
1
1
du)u(f
Metode Numerik
PENS-ITS 46
Algoritma
Integrasi Kuadratur Gaussdgn Pendekatan 2 titik
(1) Definisikan fungsi f(x)(2) Tentukan batas bawah (a) dan batas atas (b)(3) Hitung nilai konversi variabel :
(4) Tentukan fungsi f(u) dengan:
(5) Hitung:
( ) )(21
21 abuabx ++−=
( ))ab(u)ab(f)ab(21du)u(f 2
121 ++−−=
+
−=3
1f3
1fL
Metode Numerik
PENS-ITS 48
Metode Gauss Legendre 3 Titik
• Parameter x1, x2 , x3 ,c1 ,c2 dan c3 dapat dicari dengan membuat penalaran bahwa kuadratur Gauss bernilai tepat (error = 0) untuk 6 buah fungsi berikut :
• Dengan cara yang sama dengan 2 titik didapatkan
)()()()( 332211
1
1
xfcxfcxfcdxxfI ++≈= ∫−
543
2
)(;)(;)()(;)(;1)(
xxfxxfxxfxxfxxfxf===
===
95;
98;
95
321 === ccc
774596669.053
0774596669.053
3
2
1
==
=
−=−=
x
xx
Metode Numerik
PENS-ITS 49
Metode Gauss Legendre 3 Titik
( )
++
−=∫
− 53f
950f
98
53f
95du)u(f
1
1
Sehingga rumus luasannya menjadi :
Metode Numerik
PENS-ITS 50
Algoritma Metode Integrasi Gauss dengan Pendekatan 3 Titik
Metode Numerik
PENS-ITS 51
Metode Gauss n-Titik
Metode Numerik
PENS-ITS 52
Beberapa Penerapan Integrasi Numerik
• Menghitung Luas Daerah Berdasarkan Gambar
• Menghitung Luas dan Volume Benda Putar
Metode Numerik
PENS-ITS 53
Menghitung Luas Daerah Berdasarkan Gambar
• Untuk menghitung luas integral di peta di atas, yang perlu dilakukan adalah menandai atau membuat garis grid pada setiap step satuan h yang dinyatakan dalam satu kotak. Bila satu kotak mewakili 1 mm, dengan skala yang tertera maka berarti panjangnya adalah 100.000 mm atau 100 m.
• Pada gambar di atas, mulai sisi kiri dengan grid ke 0 dan sisi kanan grid ke n (dalam hal ini n=22). Tinggi pada setiap grid adalah sebagai berikut:
Skala 1:100000
0 105
6
3
15
9
Metode Numerik
PENS-ITS 54
Menghitung Luas Daerah Berdasarkan Gambar
• Dari tabel di atas, luas area dapat dihitung dengan menggunakan 3 macam metode:
• Dengan menggunakan metode integrasi Reimann
• Dengan menggunakan metode integrasi trapezoida
• Dengan menggunakan metode integrasi Simpson
5.7322
15
1160 =
++= ∑
=iiyyyhL
5.7316
0
== ∑=i
iyhL
74243 160 =
+++= ∑∑
== genapii
ganjilii yyyyhL
Metode Numerik
PENS-ITS 55
Menghitung Luas dan VolumeBenda Putar
• Luas benda putar:
• Volume benda putar:
∫=b
ap dxxfL )(2π
[ ]∫=b
ap dxxfV 2)(π
Metode Numerik
PENS-ITS 56
Contoh :
• Ruang benda putar dapat dibedakan menjadi 4 bagian – bagian I dan III merupakan bentuk silinder yang tidak perlu
dihitung dengan membagi-bagi kembali ruangnya, – bagian II dan IV perlu diperhitungkan kembali.
• Bagian I:
• Bagian II:
4 cm
6cm
7 cm
12 cm
7 cm
5 cm
I II III IV
satuan dalam cm
ππ 56)7)(4(2 ==IL ππ 196)7)(4( 2 ==IV
( ) ππ 288)12(122 ==IIL ( )( ) ππ 345612122 2 ==IIV
Metode Numerik
PENS-ITS 57
Contoh :
• Sedangkan untuk menghitung bagian II dan IV diperlukan pembagian area , misalkan dengan mengambil h=1 diperoleh:
• Pada bagian II dan IV: dan • Dengan menggunakan integrasi trapezoida dapat diperoleh:
ππ 10822
2)(4
150 =
++= ∑
=iiIVII yyyhLL
( ) ππ 5.118722
4
1
225
20 =
++== ∑
=iiIVII yyyhVV
IVII LL =IVII VV =
Metode Numerik
PENS-ITS 58
Contoh :• Luas permukaan dari botol adalah:
• Luas = 1758.4 cm2• Volume botol adalah:
• Volume = 18924.78 cm3
4.1758560
10828810856
==
+++=+++=
πππππ
IVIIIIII LLLLL
πππππ
60245.118734565.1187196
=+++=
+++= IVIIIIII VVVVV