Metnum ppt
-
Upload
skatershikam -
Category
Documents
-
view
577 -
download
6
Transcript of Metnum ppt
Turunan Numerik dengan Metode
Newton-Gregory Backward (NGB)
Oleh: Kelompok 5
Fahrul Hakim (103174092)
Ganang Wahyu H (103174213)
M. Sigit Widodo (103174216)
Alvita Wulansari (103174221)
Eviana Budiarti (103174232)
2010 E
A. Pendahuluan
Aplikasi matematika pada bidang-bidang fisika, biologi, kimia ataupun sosial
seringkali memerlukan perhitungan diferensial atau derivatif dari suatu fungsi.
Dua situasi mendasar apabila suatu proses memerlukan
turunan numerik:
1. Apabila fungsi f dinyatakan hanya dengan sekumpulan titik-
titik data (x0, f0 ), (x1, f1 ), (x3, f3 ), …, (xn, fn ) dan nilai-nilai
fungsi tersebut tidak diketahui.
2. Apabila fungsi f terlalu rumit dan diferensiasi secara analitik.
Oleh karena itu, kita dapat menggunakan metode numerik untuk
memperoleh penyelesaiannya.
B. Turunan Numerik Newton-Gregory Backward (NGB)
1. Dengan hampiran polinom interpolasi
2. Dengan bantuan deret Taylor
Sehingga
1,3
1,5
1,7
1,9
2,1
2,3
2,5
3,669
4,482
5,474
6,686
8,166
9,974
12,182
0,813
0,992
1,212
1,480
1,808
2,208
0,179
0,220
0,268
0,326
0,400
0,041
0,048
0,060
0,072
0,007
0,012
0,012
Derivatif yang LebihTinggi
diperoleh...
Sebelumnya...
Apabila s = 0, maka
Agar mudah, gunakan persamaan:
Dengan demikian:
Contoh soal...• Dengan menggunakan Tabel pada contoh 1, hitung nilai
pendekatan dari y’’ (2,1)
• Penyelesaian:
Penurunan Rumus Turunan dengan DeretTaylor
• Kurva Pendekatan Penghitungan Turunan Numerik Dengan
Pendekatan selisih mundur
f0
f-1
y = f(x)
x-1x0
h
h
ff
h
hxfxfxf 1000
0
)()()('
Pendekatan Turunan Pertama Selisih – Mundur
Uraikan f(xi-1) disekitar xi:
)('
''2
'
...''2
'
...''2
'
...)(''!2
)()('
!1
)()()(
1
1
2
1
2
1
2
111
hOh
fff
fh
h
fff
fh
ffhf i
fh
hfff
xfxx
xfxx
xfxf
iii
iii
i
iii
iiii
iii
iii
ii
• yang dalam hal ini galat berupa
O(h) = h/2 f’’(t), xi-1<t<xi
• Untuk nilai-nilai f di x0 dan x1 persamaan rumusnya:
)(' 10
0 hOh
fff dalam hal ini, O(h) = h/2 f’’(t), xi-1<t<xi
Pendekatan Turunan Kedua Selisih – Mundur
• Dengan cara yang sama seperti di atas, diperoleh
• Untuk nilai-nilai f di x-2, x0 dan x1 persamaanrumusnya:
)(
2''
2
12 hOh
ffff iii
i
)(
2''
2
0120 hO
h
ffff i
dalam hal ini, O(h) = h f’’(t), xi-2<t<xi
dalam hal ini, O(h) = hf’’(t), xi-2<t<xi
• Contoh:
1.Backward difference (dua titik)
Diketahui data sebagai berikut
x f(x) = e-x Sin (x)
0.4 0.261035
0.6 0.309882
0.8 0.322329
1 0.309560
1.2 0.280725
1.4 0.243009
1.6 0.201810
f’(1)= - 0.110794 (eksak)Hitung nilai pendekatan f’(1) dangalat dengan selisih h = 0.2 !
𝑹𝒖𝒎𝒖𝒔 ∶ 𝒇′ 𝒙 =𝒇 𝒙 − 𝒇(𝒙 − 𝒉)
𝒉
Penyelesaian:
𝑓′ 𝑥 ≈𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑥 − ℎ)
ℎ
𝑓′ 1 ≈𝑓 1 − 𝑓 1 − 0.2
0.2
≈0.309560 − 0.322329
0.2
≈ −0.063845
Error = Selisih nilai pertama dan kedua
=|−0.063845 − −0.110794 | = 0.046948797
2.Backward difference (tiga titik)
𝑹𝒖𝒎𝒖𝒔 ∶ 𝒇′ 𝒙 ≈𝟑 𝒇 𝒙 − 𝟒𝒇 𝒙 − 𝒉 + 𝒇 𝒙 − 𝟐𝒉
𝟐𝒉
Diketahui data sebagai berikut:
x f(x) = e-x Sin (x)
0.4 0.261035
0.6 0.309882
0.8 0.322329
1 0.309560
1.2 0.280725
1.4 0.243009
1.6 0.201810
𝑓′ 1 = −0.110794 (𝑒𝑘𝑠𝑎𝑘)
Hitung nilai pendekatan f’(1) dan galat dengan selisih h = 0.2 !
Penyelesaian:
𝑓′(𝑥) ≈3 × 0.309560 − 4𝑓 𝑥 − ℎ + 𝑓(𝑥 − 2ℎ)
2ℎ
𝑓′(1) ≈3 𝑓 𝑥 − 4 × 0.322329 + 0.309882
0.4
≈ −0.1268837
Error = Selisih nilai pertama dan kedua
=|−0.1268837 − −0.110794 | =0.0160897
3. Backward difference (turunan kedua)
0.4 0.261035
0.6 0.309882
0.8 0.322329
1 0.309560
1.2 0.280725
1.4 0.243009
1.6 0.201810
Hitung nilai pendekatanf”(1) dan galat denganselisih h = 0,2 !
Contoh soal pemilihan rumus NGB
Diberikan data dalam bentuk tabel berikut.
Ringkasan Rumus Turunandengan Metode Newton-
Gregory Mundur
Rumus untuk Data Tanpa Diketahui Fungsi
Rumus untuk Data dengan Diketahui Fungsi
Sekian, terima kasih . . .
. . . . . .