FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE

KATEDRA ZA STROJARSKU AUTOMATIKU

SEMINARSKI RAD IZ KOLEGIJA NEIZRAZITO I DIGITALNO

UPRAVLJANJE

Mehatronika i robotika

Zagreb, 2014.

MODEL PROCESA U PROSTORU STANJA

Sinteza regulatora započinje sa prebacivanjem modela sustava u prostor stanja.

𝑥1̇ = −3𝑥1 + 𝑢

𝑥2̇ = 𝑥1 − 2𝑥2 −𝑤

𝑥3̇ = 𝑥2 − 𝑥3

𝑦 = 3𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3

Prostor stanja definiran je jednadžbama:

�̇� = 𝑨𝒙 + 𝑩𝑢;

𝑦 = 𝑪𝒙 + 𝑫𝑢;

[𝑥1̇𝑥2̇𝑥3̇

] = [−3 0 01 −2 00 1 −1

] [

𝑥1𝑥2𝑥3] + [

1

0

0

] 𝑢

𝑦 = [3 2 1] [

𝑥1𝑥2𝑥3]

Iz čega slijedi:

𝐴 = [−3 0 01 −2 00 1 −1

]; 𝐵 = [100] ; 𝐶 = [3 2 1]; 𝐷 = [0]

Prijenosna funkcija modela glasi:

𝐺(𝑠) =3𝑠2 + 11𝑠 + 9

𝑠3 + 6𝑠2 + 11𝑠 + 6

Simulacija zadanog modela procesa u Simulink programskom paketu

Slika 1. Model procesa u Simulink-u

Odziv procesa na jediničnu step pobudu:

Slika 2. Odziv procesa na jediničnu step pobudu

Simulacija modela procesa u prostoru stanja

Prostor stanja u Matlab programskom paketu:

A = [-3 0 0; 1 -2 0; 0 1 -1];

B = [1; 0; 0];

C = [ 3 2 1];

D = [0];

sysk = ss (A,B,C,D)

Simulacija procesa:

Slika 3. Simulacija procesa u prostoru stanja

MODEL PROCESA U VREMENSKI DISKRETNOM PODRUČJU

U zadatku je navedeno da se sinteza regulatora mora provesti u vremenski diskretnom području.

Zbog toga, pomoću matrica F, G i H prebacujemo sustav iz kontinuiranog u vremenski diskretno

područje.

Vremenski diskretni model:

𝒙(𝑘 + 1) = 𝑭𝒙(𝑘) + 𝑮𝑢(𝑘);

𝑦(𝑘) = 𝑯𝒙(𝑘);

Računanje traženih matrica se izvršava u Matlabu koristeći funkciju c2d.m:

sysd= c2d(sysk, T, 'zoh')

F=sysd.a;

G=sysd.b;

H=sysd.c;

𝐹 = [0.9277 0 00.235 0.9512 00.0003 0.0241 0.9753

];

𝐺 = [0.0241 0.0003 0]𝑇;

𝐻 = [3 2 1];

Prijenosna funkcija modela glasi:

𝐺(𝑧) =0.07286𝑧2 − 0.1392𝑧 + 0.06648

𝑧3 − 2.854𝑧2 + 2.715𝑧 − 0.8607

Simulacija vremenski diskretnog sustava:

Slika 4. Simulacija vremenski diskretnog sustava

SINTEZA REGULATORA

Regulacijski sustav s PI regulatorom varijabli stanja može se prikazati sljedećim blokovskim dijagramom:

Slika 5. Blokovski dijagram regulacijskog SISO sustava sa PI regulatorom varijabli stanja

Sinteza regulatora stanja će se provesti primjenom Ackermannove formule uz izbor

karakterističnog polinoma prijenosne funkcije zatvorenog kruga prema kriteriju optimuma

dvostrukog odnosa.

Prošireni model procesa u prostoru stanja:

[𝑥(𝑘 + 1)

𝑢𝐼(𝑘 + 1)]

⏟ 𝑥𝐼(𝑘+1)

= [𝑭 0

−𝑯 1]

⏟ 𝑭𝐼

[𝑥(𝑘)

𝑢𝐼(𝑘)]

⏟ 𝑥𝐼(𝑘)

+ [𝑮0]

⏟𝑮𝐼

𝑢(𝑘) + [0

1] 𝑦𝑅(𝑘);

Upravljački signal:

𝑢(𝑘) = −𝑲𝒙(𝑘) + 𝐾𝐼𝑢𝐼(𝑘) = −[𝑲 − 𝐾𝐼] [𝒙(𝒌)

𝑢𝐼(𝑘)];

Ackermannova formula:

[𝑲 −𝐾𝐼] = [0 ⋯ 0 1][𝑮𝐼 𝑭𝐼𝑮𝐼 ⋯ 𝑭𝐼𝑛−1𝑮𝐼]

−1𝑃(𝑭𝐼);

Izračun pojačanja regulatora se vrši u Matlabu pomoću funkcije place.m.

Te je nadomjesna vremenska konstanta, njome se podešava željena dinamika zatvorenog regulacijskog kruga.

D2 = 0.5 ; D3 = 0.5 ; D4=0.5;

num = 1;

den = [D4*D3^2*D2^3*Te^4 D3*D2^2*Te^3 D2*Te^2 Te 1];

[numd,dend] = c2dm(num,den,T,'zoh');

P = roots(dend);

FI = [F zeros(length(F),1); -H 1];

GI = [G;0];

HI = [H 0];

K_ = place(FI, GI, P);

K = K_(1:3),

KI = -K_(4);

Simulacija zatvorenog regulacijskog kruga u Simulinku:

Slika 6. Struktura zatvorenog regulacijskog kruga

Slika 7. Struktura podsustava

Simulacija sustava s obzirom na jediničnu skokovitu promjenu referentne

vrijednosti

Slika 8. Odzivi sustava

Slika 9. Odziv izlaza y (povećani prikaz)

Na dijagramima su prikazani odzivi sustava na jediničnu step pobudu. Iz njih je vidljivo da se najbolji odziv postiže postavljanjem nadomjesne vremenske konstante Te = 1.3 s. Iako podešenja Te = 1.3 s i Te = 1.45 s imaju gotovo identično nadvišenje, Te = 1.3 s ima puno kraće vrijeme smirivanja (𝑡𝑠,5% ≈ 4 𝑠). Postavljanjem Te = 1.6 s odziv ima najmanje nadvišenje, ali ujedno i najduže vrijeme smirivanja (𝑡𝑠,5% ≈ 7 𝑠).

Simulacija sustava s obzirom na jediničnu skokovitu promjenu poremećajne

veličine

Slika 10. Odzivi sustava

Slika 11. Odziv izlaza y (povećani prikaz)

Slika 12. Odziv izlaza sustava (detaljni prikaz)

Na dijagramima su prikazani odzivi sustava na jediničnu step pobudu poremećajne veličine. Odziv Te = 1.3 s nema nadvišenje nad referentnom vrijednosti, te se vrlo brzo se stabilizira oko referentne vrijednosti (𝑡𝑠,5% ≈ 4.5 𝑠). Drugi graf na slici 12. prikazuje step pobudu poremećajne veličine. Kao što je vidljivo, poremećaj djeluje u 50-oj sekundi, te se Te = 1.3 s stabilizira nakon 7 sekundi. Najbolji odziv se postiže sa postavljenjem Te = 1.45 s. Vrijeme odziva 𝑡𝑟,100% ≈ 1 𝑠, vrijeme prvog maksimuma 𝑡𝑚𝑎𝑥 ≈ 1.5 𝑠, a smirivanje odziva se postiže u 5-oj sekundi (𝑡𝑠,5% ≈ 5 𝑠). Nakon pobude poremećajne veličine, sustav se također smiruje nakon 5 sekundi. Najlošiji odziv daje podešavanje Te = 1.6 s. Nadvišenje je najveće, te je odziv sustava najsporiji (𝑡𝑠,5% ≈ 9 𝑠). Također stabilizacija nakon pogreške se postiže tek za 14 sekundi.

Simulacija sustava s obzirom na šum mjerenja

Za simulaciju s obzirom na šum mjerenja potrebno je modelirati šum. Šum se modelira u Simulinku pomoću random number bloka u kojem se odabire iznos varijance.

Slika 13. Model sustava sa modeliranim šumom

Slika 14. Šum mjerenja

Slika 15. Odzivi sustava

Slika 16. Odziv izlaza y (povećani prikaz)

Na dijagramima su odzivi sustava s obzirom na šum mjerenja. Iz njih je vidljivo da šum mjerenja ne utječe previše na kvalitetu i brzinu odziva. Sustav se sa šumom mjerenja, kao i bez njega, vrlo brzo stabilizira. Najbolji odziv daje podešavanje Te = 1.45 s. Vrijeme odziva je 𝑡𝑟,100% ≈ 1 𝑠, vrijeme prvog maksimuma je 𝑡𝑚𝑎𝑥 ≈ 1.5 𝑠, a vrijeme smirivanja iznosi 𝑡𝑠,5% ≈ 5 𝑠.

ESTIMATOR VARIJABLI STANJA

Estimator varijabli stanja punog reda predstavlja egzaktnu kopiju objekta upravljanja proširenu

povratnom vezom po mjerenjima (izlazima).

Slika 17. Blokovski dijagram regulacijskog SISO sustava s PI regulatorom varijabli stanja i

estimatorom stanja punog reda

Da bi se koristio estimator stanja punog reda potrebno je poznavati sve parametre procesa (tj.

matrice F, G i H).

Dinamika estimatora stanja opisuje se sljedećim izrazima:

�̂�(𝑘 + 1) = 𝑭�̂�(𝑘) + 𝑮𝑢(𝑘) + 𝑲𝒆∆𝜀(𝑘)

∆𝜀(𝑘) = 𝑦(𝑘) − �̂�(𝑘)

𝑦(𝑘) = 𝑯𝒙(𝑘)

�̂�(𝑘 + 1) = (𝑭 − 𝑲𝒆𝑯)�̂�(𝑘) + 𝑮𝑢(𝐾) + 𝑲𝒆𝑯𝒙(𝑘)

Podešavanje estimatora varijabli stanja može se opet provesti provesti prema Ackermannovoj

formuli:

𝑲𝒆 = 𝑃(𝑭) [

𝑯𝑯𝑭⋮

𝑯𝑭𝑛−1

]

−1

[

00⋮1

]

Izraz za pojacanja estimatora:

𝑲𝒆 = [0 … 0 1][𝑯𝑻 𝑭𝑻𝑯𝑻 … (𝑭𝑻)−𝟏𝑯𝑻]−1𝑃(𝑭𝑻)

Izračun pojačanja estimatora se vrši u Matlabu pomoću funkcije place.m

nume = 1;

dene = [D3*D2^2*Tee^3 D2*Tee^2 Tee 1];

[numed,dened] = c2dm(nume,dene,T,'zoh');

Pe = roots(dened);

Ke = place(F', H', Pe);

Slika 18. Simulink model regulacijskog kruga sa estimatorom

Slika 19. Subsystem1

Slika 20. Odzivi sustava

Slika 21. Odziv izlaza sustava (povećani prikaz)

Na dijagramima su prikazani odzivi sustava sa estimatorom. Iz slike 21. je vidljivo da najbolji odziv daje podešavanje Te = 1.45 s. Nadvišenje je vrlo malo, te se odziv vrlo brzo stabilizira (𝑡𝑠,5% ≈ 3 𝑠). Odziv uz Te = 1.6 s je također dobar, ali ipak lošije od Te = 1.45 s, jer ima veće nadvišenje i duže vrijeme smirivanja (𝑡𝑠,5% ≈ 5 𝑠). Najgori odziv daje podešavanje Te = 1.3 s. Nadvišenje je najveće, te ima vrlo oscilatorno ponašanje što uzrokuje najdulje vrijeme smirivanja (𝑡𝑠,5% ≈ 6.5 𝑠).

Polinomski regulator

Slika 22. pokazuje regulacijski krug s polinomskim regulatorom.

Slika 22. Blokovski dijagram regulacijskog kruga s polinomskim regulatorom

Sinteza polinomskog regulatora se svodi na pronalaženje pronalaženje koeficijenata S(z), Q(z) i

P(z) na temelju prijenosne funkcije modela:

𝐺(𝑧) =𝐵(𝑧)

𝐴(𝑧)=0.07286𝑧2 − 0.1392𝑧 + 0.06648

𝑧3 − 2.854𝑧2 + 2.715𝑧 − 0.8607

Postupak sinteze polinomskog regulatora je sljedeći:

1. Prijenosna funkcija zatvorenog prijenosnog kruga 𝐺𝑐(𝑧) =𝑦(𝑧)

𝑦𝑅(𝑧) se izjednačuje

s modelskom prijenosnom funkcijom 𝐺𝑀(𝑧) =𝐵𝑀(𝑧)

𝐴𝑀(𝑧) koja je proširena tzv. observerskim

polinomom 𝐴0(𝑧), a da vrijedi sljedeće:

deg(𝐴𝑀) = deg(𝐵𝑀) + 1 = deg (𝐴0)

te se na kraju dobije:

𝐺𝑐(𝑧) =𝑦(𝑧)

𝑦𝑅(𝑧)=

𝐵(𝑧)𝑆(𝑧)

𝐴(𝑧)𝑃(𝑧) + 𝐵(𝑧)𝑄(𝑧)=𝐴0(𝑧)𝐵𝑀(𝑧)

𝐴0(𝑧)𝐴𝑀(𝑧)

Parametri 𝐴(𝑧) 𝑖 𝐵(𝑧) su poznati od prije, a 𝐴𝑀(𝑧) se se određuje prema optimumu dvostrukog

odnosa u s-području i prebacuje u z-područje, dok je observerski polinom 𝐴0(𝑧):

za dead-beat slučaj jednak 𝐴0(𝑧) = 𝑧𝑛

za kvazi dead-beat slučaj jednak 𝐴0(𝑧) = 𝑧𝑛−1(𝑧 − 𝑒−𝑇

𝑇0)

Za naš slučaj, vrijednosti iznose:

𝐴(𝑧) = 𝑧3 + 𝑎1𝑧2 + 𝑎2𝑧 + 𝑎3 = 𝑧

3 − 2.854𝑧2 + 2.715𝑧 − 0.8607

𝐵(𝑧) = 𝑏0𝑧2 + 𝑏1𝑧 + 𝑏2 = 0.07286𝑧

2 − 0.1392𝑧 + 0.06648

2. Izrazi za parametre:

𝑃(𝑧) = (𝑧 − 1)(𝑧2) + 𝑝1𝑧 + 𝑝2

𝑄(𝑧) = 𝑞0𝑧3 + 𝑞1𝑧

2 + 𝑞2𝑧 + 𝑞3

𝑆(𝑧) = 𝑠0𝑧3 + 𝑠1𝑧

2 + 𝑠2𝑧 + 𝑠3

se dobivaju iz izraza:

𝑆(𝑧) =𝐴𝑀(1)

𝐵𝑀(1)𝐴0(𝑧)

i Diophantove jednadžbe:

𝐴(𝑧)𝑃(𝑧) + 𝐵(𝑧)𝑄(𝑧) = 𝐴0(𝑧)𝐴𝑀(𝑧)

uz zadovoljene uvjete izvedivosti regulatora (i = broj integratora u regulatoru)

deg(𝐴0) ≥ 2deg(𝐴) − deg(𝐴𝑀) − 1 + 𝑖

deg(𝑃) ≥ deg(𝐴0) + deg(𝐴𝑀) − deg(𝐴) = deg(𝐴0)

deg(𝑄) < deg(𝐴) + 𝑖

Na temelju Diophantove jednadžbe dobije se sljedeći sustav algebarskih jednadžbi zapisan u matričnom obliku:

Dobiveni rezultati iznose:

Za dead-beat slučaj: 𝑆(𝑧) = 12.7919𝑧3

𝑃(𝑧) = 𝑧3 + 0.7526𝑧2 − 1.4463𝑧 − 0.3063

𝑄(𝑧) = 59.2495𝑧3 − 82.3117𝑧2 + 44.4757𝑧 − 8.6217

Za kvazi dead-beat slučaj:

𝑆(𝑧) = 12.7919𝑧3 − 7.7587𝑧2

𝑃(𝑧) = 𝑧3 + 0.4931𝑧2 − 1.2362 𝑧 − 0.2569

𝑄(𝑧) = 40.997𝑧3 − 65.3829𝑧2 + 36.6497 − 7.2311

Na slici 23. slici je prikazan model polinomskog regulatora.

Slika 23. Simulink model polinomskog regulatora