11

ProjectionProjectionPhép chiếuPhép chiếu

22

Plane ProjectionPlane Projection

• Để hiển thị các đối tượng 3D trong thiết bị hiển thị 2D.Để hiển thị các đối tượng 3D trong thiết bị hiển thị 2D.• Trong phép chiếu phẳng, mỗi điểm đối tượng – Trong phép chiếu phẳng, mỗi điểm đối tượng – object pointobject point

– được chiếu trên mặt phẳng ảnh – – được chiếu trên mặt phẳng ảnh – picture plane (view picture plane (view plane)plane), chúng ta được một điểm ảnh – , chúng ta được một điểm ảnh – picture pointpicture point..

u2

u1

r0

r object point

r’ picture point

Projection line

Pictureplane

u

33

MMặt phẳng chiếuặt phẳng chiếu

Mặt phẳng chiếu có gốc Mặt phẳng chiếu có gốc rr00 và 2 vectơ đơn vị và 2 vectơ đơn vị uu11 và và uu22

Với điểm r’ trên mặt phẳng chiếu, ta có vectơ Với điểm r’ trên mặt phẳng chiếu, ta có vectơ (r’ – r(r’ – r00)) được được

phân tích theo 2 vectơ đơn vị:phân tích theo 2 vectơ đơn vị:

r’ – rr’ – r00 = x’ u1 + y’ u2 = x’ u1 + y’ u2

Khi đó Khi đó (x’, y’)(x’, y’) là tọa độ của là tọa độ của r’r’ trên mặt phẳng chiếu. trên mặt phẳng chiếu.

u2

u1

r0

r’

x’u1

y’u2

44

Plane Parallel ProjectionPlane Parallel ProjectionPhép chiếu song songPhép chiếu song song

• Các đường thẳng chiếu song song với nhau.Các đường thẳng chiếu song song với nhau.

u2

u1

r0

r

r’

Projection lineu

u

55

Plane Parallel ProjectionPlane Parallel Projection(cont)(cont)

Mỗi điểm r được chiếu song song theo phương u vào mặt Mỗi điểm r được chiếu song song theo phương u vào mặt phẳng chiếu, ta được điểm ảnh r’:phẳng chiếu, ta được điểm ảnh r’:

! z’ : r’ = r – z’u! z’ : r’ = r – z’u

r’ là điểm ảnh nằm trên mặt phẳng chiếu:r’ là điểm ảnh nằm trên mặt phẳng chiếu:

! x’, y’ : r’ = r! x’, y’ : r’ = r00 + x’u + x’u11 + y’u + y’u22

Do đó:Do đó:

r – z’u = rr – z’u = r00 + x’u + x’u11 + y’u + y’u22 (1)(1)

u2

u1

r0

r r’z’u

x’u1

y’u2

66

Plane Parallel ProjectionPlane Parallel ProjectionXác định z’Xác định z’

Xác định z’ bằng cách nhân vô hướng 2 vế của (1) cho uXác định z’ bằng cách nhân vô hướng 2 vế của (1) cho u1 1 x ux u22::

(r – z’u) . (u(r – z’u) . (u1 1 x ux u22) = (r) = (r00 + x’u + x’u11 + y’u + y’u22) . (u) . (u1 1 x ux u22))

z’u . (uz’u . (u1 1 x ux u22) = (r – r) = (r – r00) . (u) . (u1 1 x ux u22))

u2

u1

r0

r r’z’u

x’u1

y’u2

21

210'uuu

uurrz

77

Vector Product – Vector Product – Tích hữu hướngTích hữu hướng

a x b là vectơ vuông góc với a x b là vectơ vuông góc với vectơ a và b:vectơ a và b:

Tính chất:Tính chất:

Mối liên giữa tích vô hướng và Mối liên giữa tích vô hướng và hữu hướng:hữu hướng:

sin

321

321

baba

bbb

aaa

kji

ba

jikikjkji

bababa

cabacba

baab

,,

cbabcacba

abccabbca

bacacbcba

88

Plane Parallel ProjectionPlane Parallel ProjectionXác định x’, y’Xác định x’, y’

Tương tự,Tương tự, x xác định x’, y’ bằng cách nhân vô hướng 2 vế của (1) lần ác định x’, y’ bằng cách nhân vô hướng 2 vế của (1) lần lượt cho ulượt cho u2 2 x u vàx u và uu11x ux u ::

(r – z’u) . (u(r – z’u) . (u2 2 x u) = (rx u) = (r00 + x’u + x’u11 + y’u + y’u22) . (u) . (u2 2 x u)x u)

(r – z’u) . (u(r – z’u) . (u1 1 x u) = (rx u) = (r00 + x’u + x’u11 + y’u + y’u22) . (u) . (u1 1 x u)x u)

vàvà

uuu

uurrx

21

20'

u2

u1

r0

r r’z’u

x’u1

y’u2

uuu

uurry

12

10'

99

Plane Parallel ProjectionPlane Parallel ProjectionPhép chiếu vuông gócPhép chiếu vuông góc

Trong hầu hết các trường hợp, mặt phẳng chiếu được chọn là Trong hầu hết các trường hợp, mặt phẳng chiếu được chọn là vuông góc với đường thẳng chiếu, vậy:vuông góc với đường thẳng chiếu, vậy:

u = uu = u1 1 x ux u22

Do đó,Do đó,

urruuu

uurrz

urruuu

uurry

urruuu

uurrx

021

210

2012

10

1021

20

'

'

'

1010

Plane Parallel ProjectionPlane Parallel ProjectionPhép chiếu vuông góc - Dạng ma trậnPhép chiếu vuông góc - Dạng ma trận

urrz

urry

urrx

0

20

10

'

'

'

ATRz

y

x

z

y

x

u

u

u

z

y

x

RT

T

T

11000

100

010

001

1000

0

0

0

1

'

'

'

'0

0

0

2

1

1111

Plane Perspective ProjectionPlane Perspective ProjectionPhép chiếu phối cảnhPhép chiếu phối cảnh

Các đường thẳng chiếu hội tụ về một điểm chung rCác đường thẳng chiếu hội tụ về một điểm chung rvv, gọi là , gọi là

điểm quan sát - điểm quan sát - eyepointeyepoint..

Vật thể càng xa thì càng nhỏ.Vật thể càng xa thì càng nhỏ.

u2

u1

r0

rr’rv

1212

Plane Perspective ProjectionPlane Perspective ProjectionXác định x’, y’, z’Xác định x’, y’, z’

Điểm ảnh r’ nằm trên mặt phẳng chiếu:Điểm ảnh r’ nằm trên mặt phẳng chiếu:

! x’, y’ : r’ = r! x’, y’ : r’ = r00 + x’ u + x’ u11 + y’ u + y’ u22

Điểm ảnh r’ thuộc đường thẳng chiếu nối đối tượng r và điểm Điểm ảnh r’ thuộc đường thẳng chiếu nối đối tượng r và điểm quan sát rquan sát rvv::

! z’ : r’ = z’ r + (1-z) r! z’ : r’ = z’ r + (1-z) rvv

Do đó,Do đó, rr00 + x’ u + x’ u11 + y’ u + y’ u22 = z’ r + (1-z) r = z’ r + (1-z) rvv

rr00 – r – rvv + x’ u + x’ u11 + y’ u + y’ u22 = z’ (r – r = z’ (r – rvv)) (2)(2)

u2

u1

r0

rr’

x’u1

y’u2

rv

1313

Plane Perspective ProjectionPlane Perspective ProjectionXác định x’, y’, z’Xác định x’, y’, z’

Xác định x’, y’, z’ bằng cách nhân vô hướng 2 vế của (2) lần lượt cho Xác định x’, y’, z’ bằng cách nhân vô hướng 2 vế của (2) lần lượt cho uu22 x (r-r x (r-rvv)), , uu11 x (r-r x (r-rvv)) và và uu11 x u x u22::

u2

u1

r0

rr’

x’u1

y’u2

rv

21

210

12

01

12

10

21

02

21

20

'

'

'

uurr

uurrz

uurr

rrurr

rruu

rrurry

uurr

rrurr

rruu

rrurrx

v

v

v

vv

v

vv

v

vv

v

vv

1414

Plane Perspective ProjectionPlane Perspective ProjectionTrường hợp đặc biệtTrường hợp đặc biệt

Khi đường nối điểm quan sát Khi đường nối điểm quan sát và gốc của mặt phẳng và gốc của mặt phẳng chiếu vuông góc với mặt chiếu vuông góc với mặt phẳng chiếu:phẳng chiếu:

rrvv = r = r00 + + dd u u với với u = uu = u11 x u x u22

u2

u1

r0

rr’

x’u1

y’u2

rv

durr

dz

durr

urrdy

durr

urrdx

0

0

20

0

10

'

'

'

du

1515

Plane Perspective ProjectionPlane Perspective ProjectionTrường hợp đặc biệt (cont)Trường hợp đặc biệt (cont)

Khi mặt phẳng chiếu là Oxy:Khi mặt phẳng chiếu là Oxy:

• rr00 = (0,0,0) = (0,0,0)

• uu11 = (1,0,0) = (1,0,0)

• uu22 = (0,1,0) = (0,1,0)

• u = (0,0,1)u = (0,0,1)

u2

u1

r0

rr’

x’u1

y’u2

rv du

zd

zd

durr

dz

zd

yd

durr

urrdy

zd

xd

durr

urrdx

0

0

20

0

10

'

'

'