PHÉP QUAY & PHÉP VỊ TỰ

HÌNH HỌC 11

GV: PHAN NHẬT NAM

PHÉP QUAY & PHÉP VỊ TỰ

A I(-1; 0)

O

D(1; 0)

1;C x y ;B x y

x

y


GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 2 www.toanhocdanang.com

PHÉP QUAY

A. Cơ sở lí thuyết :

1. Định nghĩa :Ký hiệu

IQ là phép quay tâm I với góc quay .

,

'! '

( , ')I

IM IMQ M M

góc LG IM IM

Ký hiệu : ')( MMQI

Phép quay hoàn toàn xác định khi biết tâm quay (điểm cố định ) và góc quay

(góc không đổi)

Chiều dương của phép quay trùng với chiều dương của đường tròn lương

giác.

Nhận xét :Cho phép quay

IQ

Nếu 2k thì phép quay

IQ là một phép đồng nhất

Nếu )12( k thì phép quay

IQ là một phép đối xứng tâm.

2. Biểu thức tọa độ :: Cho điểm O(0 ; 0) và góc . Khi đó ta có phép quay

IQ :

IQ : M(x ; y) M’(x’ ; y’)

Khi đó tọa độ của ảnh M’ được xác định theo công thức

cossin'

sincos'

yxy

yxx

3. Tính chất của phép quay :

Định lý : Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ (phép quay là phép

dời hình)

Hệ quả :

i. Phép quay biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và không thay đổi

thứ tự của chúng.

ii. Phép quay biến :

Đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.

Biến đa giác thành đa giác bằng đa giác đã cho.

Biến đường tròn thành đường tròn có bán kính bằng bán kính đường tròn đã

cho. {khi đó ta chỉ cần xác định ảnh của tâm đường tròn gốc}.

B. Các dạng toán thường gặp :

I. Bài toán 1 : Cho góc cố định và điểm A(x, y) tìm tọa độ của điểm A’ là ảnh của A qua

phép quay tâm O(gốc tọa độ) và góc quay

Cách giải :

Gọi : ),(1 OxtiaOA và ),'(2 OxtiaOA

Khi đó ta có : ( ; )A x y

'( ', ')A x y

x

y

O 1

2



y

x

x

y 11 cot,tan

1

1

1

1

sin

cos

sin.

cos.

yOA

xOA

OAy

OAx và

2

2

2

2

sin

''

cos

''

sin'.'

cos'.'

yOA

xOA

OAy

OAx

1

1

1

1

11

1112

sin

)sin('

cos

)cos('

sin)sin(

'

cos)cos(

'

'')(

yy

xx

xy

xx

OAOAAAQI

cossin'

sincos'

)cossin('

)sin(cos'

yxy

yxx

y

xyy

x

yxx

Vậy )cossin;sincos('')( yxyxAAAQI

Chú ý : với tâm quay là điểm tùy ý I(a, b) O Ta có thể đưa về bài toán trên bằng cách

thực hiện

phép dời trục : Oxy IXY công thức tọa độ của phep dời trục

byY

axX

II. Bài toán 2 :Cho điểm điểm I(a ; b) , góc và hình (H) có phương trình 0),( yxf tìm

phương trình ảnh (H’) của hình (H) qua phép quay

IQ :

Phương pháp :

Gọi M(x ; y) là điểm tùy ý trên đường (H): 0),( yxf .

Gọi M’(x’ ; y’) là ảnh của M qua phép quay tâm I góc quay . Sử dụng bài toán 1 để

tìm tọa độ M theo x’ , y’ và a, b ,

0)';'()( yxgHM

(H’) là ảnh của (H) qua phép quay

IQ (H’) là tập hợp tất cả các điểm M’

0);(':)'( yxfH

ĐB :

i. Nếu (H) là đường thẳng ta có thể thực hiện như sau.

Chọn hai điểm M(x0 ; y0) , N(x1 ; y1) cụ thể thuộc đường thẳng (H) .

Sử dụng bài toán 1 ta có tọa độ của )cossin;sincos(' 0000 yxyxM và

)cossin;sincos(' 1111 yxyxM là ảnh của M và N qua phép quay

IQ



Đường thẳng (d’) là đường thẳng đi qua 2 điểm M’ và N’

cos)(sin)(

)cossin(

sin)(cos)(

)sincos(:)'(

1101

00

0101

00

yyxx

yxy

yyxx

yxxd

')( AAQI

ii. Nếu (H) là đường tròn ta có thể thực hiện như sau.

Xác định tâm O(x0 ; y0) và bán kính R của đường tròn (H).

Sử dụng bài toán 1 ta có tâm )cossin;sincos(' 0000 yxyxO là ảnh của O

qua phép quay IQ .

Đường tròn (C’) {là ảnh của (C) qua phép phép quay

IQ } có tâm là

)cossin;sincos(' 0000 yxyxO và bán kính R

22

00

2

00 )cossin()sincos(:)'( RyxyyxxC

III. Chứng minh các tính chất hình học và tính các yếu tố trong một hình :

Phương pháp :

Từ giả thuyết chọn một điểm I cố định phù hợp để xây dựng tâm quay và tìm một góc

không đổi để làm làm góc quay.

Thực hiện phép quay

IQ vừa tìm ở trên.

Dùng tính chất của phép quay

IQ để chứng minh các yếu tố hình học hoặc xác định

các tính chất của hình.

IV. Tìm tập hợp tất cả các điểm M thỏa mãn một tính chất nào đó cho trước :(quỷ tích)

Từ giả thiết chọn điểm E di động sao cho

)(, constIMIE

IMIE

.

Xác định hình (H) là quỷ tích của E.

Khi đó tập hợp các điểm M là (H’) - ảnh của (H) qua phép quay

IQ .

V. Dựng hình :

(Dựng điểm M) Tìm một hình (H) cố định và điểm I cố định cho trước sao cho khi

thực hiện phép quay

IQ ta có được ảnh là hình (H’) giao với (C) cố định tại điểm M

cần dựng.

Thực hiện các phép quay

IQ để tìm các điểm còn lại từ đó ta có hình cần dựng .

VI. Chứng tỏ một phép biến hình f là phép quay

IQ .

Từ giả thuyết tìm điểm I cố định và góc không đổi .

Chứng tỏ với mọi điểm M qua phép biến hình f cho ra M’ thì ta đều có

',

'

IMIM

IMIM



C. Các ví dụ minh họa :

Ví dụ 1:Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(x; y). Tìm M’ là ảnh của M qua phép quay ( , )OQ

Áp dụng :

a. Tìm M’ là ảnh của M(2; 2) qua phép quay 0( ,45 )OQ

b. Tìm ảnh của đường tròn 2 2( ) : 1 4C x y qua phép quay 0( ,60 )O

Q

HD:Đặt : 2 2r OM x y , góc lượng giác ,Ox OM . Khi đó ta có: cos

sin

x r

y r

( , ) : '( '; ')OQ M M x y có

' ' cos( ) cos sin

( , ') ' sin( ) sin cos

OM OM r x r x y

Ox OM x r x y

Vậy điểm cần tìm là: '( cos sin ; sin cos )M x y x y

a. Ta có: 2 2r OM , Gọi ,Ox OM khi đó (2 2 cos ; 2 2 sin )M

0( ,45 ): '( '; ')

OQ M M x y có

0 0 0

0 0 0 0

' cos( 45 ) cos 45 sin 45 0'

( , ') 45 ' sin( 45 ) sin 45 cos 45 2 2

M M

M M

x r x yOM OM r

Ox OM x r x y

Vậy 0( ,45 )(2 ; 2) ' 0; 2 2

OQ M M

b. (C) có tâm I(1;0) và bán kính R = 2 .

Tương tự như trên ta có: 0( ,60 )'

OQ I I

0 0

'

0 0

'

1cos60 sin 60

1 32' ;

2 23sin 60 cos60

2

I I I

I I I

x x y

I

y x y

Gọi 0( ,60 )( ') ( )

OC Q C (C’) có tâm I’ bà bán kính R = 2

221 3

( ') : 42 2

C x y

Ví dụ 2:( Bài 34 - tr10 - BTHH11NC) Cho đường thẳng a và một điểm G không nằm trên a .

Với mỗi điểm A nằm trên a ta dựng tam giác đều ABC có tâm là G. Tìm quỹ tích hai điểm B

và C khi A chạy trên a?

Hướng Dẩn giải:

Vẽ hình . Từ hình vẽ và tính chất của tam giác đều ta thấy góc 0120AGC AGB .

Như vậy phép quay tâm G với góc quay 0120 biến A thành C và biến A thành B .

Nhưng A chạy trên d vì thế B và C chạy trên đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d



qua phép quay 0,120G

Q .

Ví dụ 3:( Bài toán 1-tr17-HH11NC) Cho hai tam giác đều OAB và OA’B’ . Gọi C và D

lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AA’ và BB’. Chứng minh OCD là tam giác đều ?


Xét phép quay tâm O với góc quay bằng góc lượng giác ( OA,OB)= 060 . Rõ ràng A biến

thành B và A’ biến thành B’

vì thế cho nên phép quay đã biến đoạn thẳng AA’ thành đoạn thẳng BB’ .

Từ đó suy ra phép quay đã biến C thành D , do đó OC=OD .

Vì góc quay bằng 060 cho nên tam giác cân OCD là tam giác đều .

Ví dụ 4: ( Bài 43-tr11-BTHH11NC) Về phía ngoài của tam giác ABC vẽ các hình vuông

BCMN và ACPQ có tâm là O và O’ .

a. Chứng minh rằng khi cố định hai điểm A,B và cho C thay đổi thì đường thẳng NQ

luôn đi qua một điểm cố định .

b. Gọi I là trung điểm của AB . Chứng minh rằng IOO’ là tam giác vuông cân


a. Vẽ hình theo giả thiết đã cho . Từ hình vẽ , giải cho học sinh bài toán phụ :

Cho hai điểm A,B cố dịnh , với mỗi điểm M và với hai phép quay tâm A , tâm B có cùng

góc quay thì phép hợp của hai phép quay là một phép đối xứng mà tâm đối xứng là đỉnh

góc vuông của tam giác vuông cân OAB (O là tâm đối xứng).

Như vậy : , ,

: :A B

Q C N Q C Q NQ

đi qua tâm đối xứng H được xác định bằng

cách dựng tam giác vuông cân HAB

b. Tương tự như trên : ': ; :O OQ C B Q C A AB đi qua tâm đối xứng I được xác định

bằng tam giác vuông cân OO’I ( với I là đỉnh của góc vuông ). Như vậy tam giác O’OI là

tam giác vuông cân

Bài tập áp dụng:



Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d: 2x – y + 1 = 0. Tìm ảnh của đường

thẳng d qua

phép quay tâm O và góc quay 900.

ĐS: ' : 2 1 0d x y

Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(3; 4). Hãy tìm tọa độ điểm A’ là ảnh của A

qua phép quay tâm O góc quay 900.

ĐS: A’(- 4 ; 3)

Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Tìm phép quay biến điểm A(-1; 5) thành điểm B(5; 1)

HD: Ta có: ( 1;5)OA

và (5;1)OB

0( ,90 )0

2626

, 90. 0O

OA OBOA OBB Q A

OA OBOAOB OA OB

Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(4; 1). Hãy tìm tọa độ điểm A’ là ảnh của A

qua phép quay tâm O góc quay - 900.

HD: Gọi A’(a, b) ta có: (4 ;1)OA

, ' ( ; )OA a b

Vì

0

2 2 2 2

0; 90

' ' 14 1'

, ' 90 4. ' 0 3 4 0O

OA OA OA OA aa bA Q A

OA OA bOAOA a b

hay 1

4

a

b

(1; 4)N hay ( 1; 4)N

Thử lại điều kiện 0, ' 90OA OA

ta thấy (1; 4)N thỏa mãn.

Bài 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn 2 2( ) : ( 3) ( 2) 4C x y . Tìm (C’) là ảnh

của (C) qua phép quay tâm O, góc quay 900.

HD: Gọi I’ là ảnh của I qua 0,90O

Q . Khi đó ta có

0,90'( 2;3)

OQ I I . Do đó

2 2( ') : ( 2) ( 3) 4C x y

Bài 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn 2 2( ) : ( 2) ( 2 3) 5C x y . Tìm (C’) là ảnh

của (C) qua phép quay tâm O, góc quay 600.

HD: Gọi I’ là ảnh của I qua 0,60O

Q . Khi đó ta có

0,60'( 2;2 3)

OQ I I .

Do đó 2 2( ') : ( 2) ( 2 3) 5C x y

Bài 7. Tìm ảnh của các điểm A(2; 3), B(-2 ; 3), C(0 ; 6), D(4 ; -3) qua phép đối xứng tâm O góc

quay sau:

a. 090 b) 090 c) 0180 d) 060

Bài 8. Tìm ảnh của đường thẳng sau qua phép quay tâm O góc quay 900 :

a. d: 2x – y = 0 b) x + y + 2 = 0 c) 2x + y – 4 = 0 d) y = 2

Bài 9. Tìm ảnh của các đường tròn sau qua phép quay tâm O góc quay -900.

a. 2 2( ) : ( 1) ( 1) 9C x y b. 2 2( ) : ( 2) 4C x y

c. 2 2( ) : 4 2 4 0C x y x y d. 2 2( ) : 2 4 11 0C x y x y

Bài 10. Cho tam giác đều ABC có tâm O . Tìm ảnh của tam giác ABC qua phép quay 0; 120O

Q

.



HD: 00 ,120

:, 120 O

OA OBQ A B

OA OB

. Tương tự ta cũng có: 0,120

:O

Q B C và 0,120

:O

Q C A

Bài 11. Cho hình vuông ABCD có tâm O. M là trung điểm của AB, N là trung điểm của OA.

Tìm ảnh của AMN qua phép quay 0,90O

Q .

HD: Gọi M’ , N’ lần lượt là trung điểm của AD và OD ta có:

00 ( ;90 ):

, 90 O

OA ODQ A D

OA OD

Tương tự 0( ;90 ): '

OQ M M và 0( ;90 )

: 'O

Q N N

Bài 12. Cho lục giác đều ABCDEF (ký hiệu các đỉnh theo chiều dương) Gọi O là tâm của

đường tròn ngoại tiếp của nó. I là trung điểm AB.

a. Tìm ảnh của tam giác AIF qua phép quay 0( ,120 )OQ

b. Tìm ảnh của tam giác AOF qua phép quay 0( ,60 )EQ

HD:a. 00 ( ,120 )

:, 120 O

OA OCQ A C

OA OC

tương tự : 0( ,120 ):

OQ B D , 0( ,120 )

:O

Q F B

0 0( ,120 ) ( ,120 )( ) :

O OCD Q AB Q I J (với J là trung điểm BD).

Do đó : 0( ,120 )OCJB Q AIF

b. ĐS: 0,60

:E

Q AOF CDO

Bài 13. Cho ba điểm A, B, C theo thứ tự trên thẳng hàng. Dựng hai tam giác đều ABE và BCF

cùng một phía .Gọi M, N lần lượt là trung điểm AF và CE. Chứng minh rằng BMN là một

tam giác đều.

HD: 00 , 60

:, 60 B

BA BEQ A E

BA BE

tương tự : 0, 60

:B

Q F C

0 0 0, 60 , 60

: :, 60B B

BM BNQ AF EC Q M N

BM BN

BMN là tam giác đều

Bài 14. Cho nữa đường tròn tâm O đường kính BC. Điểm A chạy trên nữa đường tròn đó. Dựng

ở phía ngoài của tam giác ABC một hình vuông ABEF. Tìm quỷ tích điểm E.

HD: Xét phép quay 0,60B

Q

Bài 15. Cho đường thẳng d và điểm O cố định không thuộc d, M là điểm di động trên d. Hãy xác

định quỷ tích của M sao cho OMN là một tam giác đều.

HD: Xét phép quay 0,60O

Q , 0, 60O

Q



Bài 16. Cho hai đường tròn (O,R) và (O’,R) cắt nhau tại A và B. Từ điểm I cố định kẻ các

tuyến IMN với (O), MB và NB cắt (O’) tại M’ và N’. Chứng minh rằng M’N’ luôn đi qua

điểm cố định.

HD: Đặt: , 'AO AO . ,

: 'A

Q I I

I’ cố định

mà ,

: ' 'A

Q MN M N

do đó M’N’ qua I’ cố định

Bài 17. Cho hai hình vuông ABCD và BEFG. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AG và CE.

Chứng minh rằng BMN là một tam giác vuông cân

HD: Xét phép quay 0,90B

Q

Bài 18. Cho tam giác ABC. Qua A dựng hai tam giác ABE và ACF vuông cân tại A. Gọi M là

trung điểm của BC và H là giao điểm của AM và EF. Chứng minh rằng AH là đường cao

của tam giác AEF.

HD: Gọi D là điểm đối xứng F qua A và K là trung điểm AE .

khi đó ta có: 0,90

:A

Q M K AM AK . Để ý AK là đường trung bình của DEF

Bài 19. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 2 và có các đỉnh vẽ theo chiều dương. Gọi I là

tâm của ABCD. Trên cạnh BC lấy BJ = 1. Xác định phép biến hình biến AI

thành BJ

HD: Gọi O là giao điểm của trung trực AB và cung lớn AB . 0,45

:O

Q AI BJ

Bài 20. Cho tam giác ABC. Dựng phía ngoài của tam giác các hình vuông BCIJ, ACMN,

ABEF. Gọi O, P, Q lần lượt là tâm đối xứng của chúng.

a. Gọi D là trung điểm của AB. Chứng minh rằng: DOP là tam giác vuông cân.

b. Chứng minh rằng AO PQ và AO = PQ

HD: a. 0,90

:C

Q MB AI

b. 0,90

:D

Q OA PQ

Bài 21. Cho tam giác ABC có các đỉnh kí hiệu theo chiều âm. Dựng phía ngoài tam giác đó các

hình vuông ABDE và BCKF. Gọi P là trung điểm AC, H là điểm đối xứng của D qua B, M

là trung điểm của đoạn FH. Chứng minh rằng DF BP và DF = 2 BP

HD: Xét phép quay 0,90

:B

Q BP BM . Để ý đến BM là đường trung bình của tam giác

HDF.

Bài 22. Cho tứ giác lồi ABCD. Phía ngoài dựng các tam giác đều ABM và CDP. Phía tring

dựng các tam giác đều BCN và ADK. Chứng minh MNPK là hình bình hành.

HD: 0,60

:B

Q MN AC và 0,60

:D

Q PK CA MN PK

Lý luận tương tự ta cũng có: MK = PN

Bài 23. Cho tam giác ABC. Dựng ở ngoài của tam giác các tam giác đều BCA1, ACB1, ABC1.

Chứng minh AA1, BB1, CC1 đồng quy và có độ dài bằng nhau.

HD:Gọi 1 1I AA CC . 0 1 1( ,60 ):

BQ AA C C 0 0

1 1 1( , ) 60 60AA CC AIC



Gọi 1E CC sao cho 060

IE IAEIA

EIA

đều.

khi đó ta có :

0 1 1, 60: , , , ,

AQ B I B C E C

. Mà 1E CC 1I BB .

Do đó AA1, BB1, CC1 đồng quy tại điểm I.

Bài 24. Chứng minh các đoạn nối tâm của các hình vuông dựng trên các cạnh của hình bình

hành về phía ngoài, hợp thành một hình vuông.

HD: Xét phép quay : 0

23 1, 90

:I

Q I I

; 0

43 1,90

:I

Q I I

Bài 25. Cho tam giác ABC. Qua A dựng hai tam giác ABE và ACF vuông cân tại A. Gọi I, M, J

lần lượt là trung điểm của EB, BC, CF. Chứng minh IMJ là tam giác vuông cân.

HD: Xét phép quay : 0,90

:A

Q EC BF .

Để ý MI và MJ lần lượt là các đường trung bình của EBC và FBC

Bài 26. Cho tam giác ABC . Dựng về phía ngoài của tam giác đó các hình vuông ABEF và

ACIK. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AM vuông góc với FK và AM = 1

2

FK.

HD: Gọi ( )AD D B . Sau đó xét phép quay 0( ,90 )AQ

Bài 27. Cho tam giác đều ABC có tâm O. Gọi D, E lần lượt là các điểm thuộc các cạnh AB, BC

sao cho AD AE AB . Chứng minh OD = OE và 0120DOE .

HD: Xét phép quay 0,120O

Q .

Bài 28. Cho hình vuông ABCD và điểm M trên cạnh AB. Đường thẳng qua C vuông góc với

CM, cắt AB và AD tại E và F. Gọi N là giao điểm của CM và AD. Chứng minh rằng :

a. CM + CN = EF.

b. 2 2 2

1 1 1

CM CN AB

HD: a. CBM CDF CM CF

CDN CBE CE CN

khi đó ta có phép quay

0,90:

CQ E N và

0,90:

CQ M F

b. Xét CNF ta có: 2 2 2

1 1 1

CN CF CD lại có CF = CM và CD = AB (đpcm)

Bài 29. Cho tam giác ABC. Dựng về phía ngoài tam giác các hình vuông ABDE và ACIJ sao

cho C, D nằm khác phía so với AB. Chứng minh rằng giao điểm của BI và CD nằm trên

đường cao AH của tam giác ABC.

HD: Gọi O là tâm của ACIJ và K thuộc tia đối của tia AH sao cho AK = BC.

Khi đó ta dễ dàng chứng minh được 00 ,90

:, 90 O

OK OBOAK OCB Q K B

OK OB

0,90

:O

Q KC BI CK BI . Lý luận tương tự ta cúng có : BK CD



Do đó AH, BI, CD đồng quy tại trực tâm của tam giác KBC.

------------------------------------------Hết--------------------------------------

PHÉP VỊ TỰ

A. Cơ sở lý thuyết :

1. Định nghĩa : Cho điểm I cố định và số thực k không đổi. Khi đó ta có:

: ! ' : ' .f M M IM k IM f

là phép vị tự tâm I tỷ số k.

M’ là ảnh của M qua phép vị tự tâm I tỷ số k.

Ký hiệu :k

IV : phép vị tự tâm I tỷ số k.

)(' MVM k

I hoặc k

IV : M M’

Phép vị tự hoàn toàn xác định nếu ta biết được một điểm I cố định (tâm vị tự) và một

số k không đổi (tỷ số vị tự).

Nếu k = 1 thì k

IV là phép đồng nhất.

Nếu k = - 1 thì k

IV là phép đối xứng tâm I.

Nếu 1k và )(MVM k

I thì MI

2. Biểu thức tọa độ : Cho phép vị tự k

IV tâm I(a ; b) và tỷ số 0k khi đó ta có :

: ; ’ ’ ; ’k

IV M x y M x y có tọa độ được xác định theo công thức

bkkyy

akkxx

)1('

)1('

3. Tính chất của phép vị tự :

Định lý : xét phép vị tự k

IV khi đó ta có :

k

IV : M M’

N N’ MNkNM .''

Hệ quả :

Phép vị tự biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và không thay đổi

thứ tự của chúng.

Phép vị tự k

IV :

Biến đa giác thành đa giác đồng dạng với đa giác đã cho theo tỷ số k .

Biến đường tròn thành đường tròn có bán kính là RkR ' {trong đó R là bán

kính đường tròn đã cho. {khi đó ta chỉ cần xác định ảnh của tâm}.



4. Tâm vị tự của hai đường tròn : Cho hai đường tròn : C(O,R) và C’(O’,R’)

Gọi OM và O’M’ lần lượt là 2 bán kính của (C), (C’) sao cho 2 vectơ '', MOOM cùng chiều

Nếu IMMOO '' thì I là tâm của phép vị tự R

R

IV

'

{I là tâm vị tự ngoài}

Nếu IMMOO '' 1 { )(1 MDM O } thì I là tâm của phép vị tự R

R

IV

'

{I là tâm vị tự trong}

Nếu 'OO : Khi đó R

R

OV

'

và R

R

OV'

Đều biến đường tròn (O,R) thành đường tròn (O’,R’)

B. Các dạng toán thường gặp :

I. Các bài toán tọa độ :

1. Xác định phương trình ảnh d’ của đường thẳng d qua phép vị tự tâm I(a;b) và tỷ số k :

Phương pháp 1:

Chọn điểm M(x0 ; y0) cụ thể thuộc đường thẳng (d) và vectơ pháp tuyến );( BAn

của đường thẳng d.

Dùng biểu thức tọa độ để tìm M’(x0’ ; y0’) là ảnh của M qua phép vị tự k

IV

Đường thẳng (d’) là đường thẳng đi qua M’ và có vectơ pháp tuyến );( BAn

0)'()'(:)'( 00 yyBxxAd

Phương pháp 2:

Chọn hai điểm M(x0 ; y0) , N(x1 ; y1) cụ thể thuộc đường thẳng (d) .

Dùng biểu thức tọa độ để tìm M’(x0’ ; y0’) và N’(x1’ ; y1’) là ảnh của M và N qua

phép vị tự k

IV

Đường thẳng (d’) là đường thẳng đi qua 2 điểm M’ và N’

''

'

''

':)'(

10

1

10

1

yy

yy

xx

xxd

2. Xác định phương trình ảnh (C’) của đường tròn (C) qua phép vị tự k

IV :

Xác định tâm O(x0 ; y0) và bán kính R của đường tròn (C).

Dùng biểu thức tọa độ để tìm tọa độ ảnh O’(x0’ ; y0’) của tâm O qua phép vị tự k

IV

Đường tròn (C’) là đường tròn có tâm O’ và bán kính Rk :

222

0

2

0 '':)'( RkyyxxC

3. Xác định phương trình ảnh (H’) của đường (H) qua phép vị tự k

IV :

Gọi M(x ; y) là điểm tùy ý trên đường (H): 0),( yxf .

Gọi M’(x’ ; y’) là ảnh của M qua phép vị tự k

IV :



)'

;'

('

'

bk

bya

k

axM

bk

byy

ak

axx

0)'

;'

()(

bk

bya

k

axfHM

(H’) là ảnh của (H) qua phép vị tự k

IV (H’) là tập hợp tất cả các điểm M’

0);(:)'(

bk

bya

k

axfH

II. Các bài toán hình học cổ điển :

1. Chứng minh các yếu tố hình học :

Từ giả thuyết xác định một điểm I cố định phù hợp để xây dựng tâm vị tự, số k không

đổi làm tỷ số vị tự.

Xác định một phép vị tự phù hợp theo tâm I và tỷ số k.

Dùng tính chất hoặc biểu thức tọa độ của phép vị tự để chứng minh các yếu tố trong

hình hoặc xác định các tính chất của hình.

2. Tìm tập hợp tất cả các điểm M thỏa mãn một tính chất nào đó cho trước :(quỷ tích)

Từ giả thiết chọn điểm E di động sao cho IEkIM . (I là điểm cố định và k là số

không đổi – Tức là có được ba điểm thẳng hàng và biết được tỷ số độ dài của chúng.

Trong đó có hai điểm thay đổi và một điểm cố định).

Xác định hình (H) là quỷ tích của E.

Khi đó tập hợp các điểm M là (H’) - ảnh của (H) qua phép vị tự tâm I tỷ số k.

3. Dựng hình :

(Dựng điểm M) Tìm một hình (H) cố định ,điểm I cố định và số k không đổi sao cho

khi thực hiện phép vị tự tâm I tỷ số k ta có được ảnh là hình (H’) giao với (C) cố định

tại điểm M cần dựng.

Thực hiện phép tịnh tiến theo vectơ v để tìm các điểm còn lại từ đó ta có hình cần

dựng .

C. Các ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho 2 đường tròn (C) : (x + 1)2 + (y – 1)

2 = 4 và (C’) : x

2 + y

2 – 4x – 2y – 4 = 0. Tìm tâm

vị tự và tỉ số vị tự

(C) có tâm H(-1; 1) và bán kính R = 2.

(C’) có tâm H’(-1; 1) và bán kính R’ = 3.

Gọi I là tâ vị tự của (C) và (C’) khi đó ta có:

3

,2

3: ' '

2I

V H H IH IH I

(tâm vị tự ngoài)



3,

2

3: ' '

2I

V H H IH IH I

(tâm vị tự trong)

Ví dụ 2: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B . Một cát tuyến di động MAN

cắt đường tròn (O) tại A, M và cắt (O’) tại A, N. Tìm tập hợp trung điểm I của MN.

Giải:

Gọi P là trung điểm OO’. Hạ OE và O’G , PH vuông góc với MN.

Ta có H nhìn đoạn AP cố định dưới một góc vuông

tập hợp các điểm của H là đường tròn (C) có đường kính AP

I là trung điểm MN 1

22

AI AM AN AE AG AH

,2

:A

V H I và ,2

: 'A

V C C

Do đó quỷ tích của điểm I là đường tròn ,2'

AC V C

D. Bài tập áp dụng:

Bài 1: Tìm ảnh của các điểm sau qua phép vị tự tâm I(-1; 3), tỷ số k = - 3 :

A(-1 ; 3) B(-3 ; 1) C(0; 5) D(3; 0) O(0; 0)

Bài 2: Cho phép vị tự tâm I tỷ số 1

2

k biến M thành M’. Tìm tọa độ điểm I trong các trường hợp:

a. M(4; 6) và M’(-3 ; 5).

b. M(-1; 4) và M’(-3 ; -6).

c. M(2; 3) và M’(6 ; 1).

Bài 3: Tìm ảnh của đường thẳng d qua phép vị tự tâm I(1; 2), tỷ số k = 3 trong các tường hợp sau.

a. d: x + 2y – 5 = 0

b. d: x – 2y + 3 = 0

c. y – 5 = 0

Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ cho hai đường thẳng d: x – 2 y + 1 = 0 và d’: x – 2y + 4 = 0 và

điểm I(2; 1). Tìm số thực k sao cho phép vị tự tâm I tỷ số K biến d thành d’.

Bài 5: Tìm ảnh của các đường sau qua phép vị tự tâm I(1; 2), tỷ số k = 3.

a. 2 2

( ) : ( 1) ( 5) 4C x y

. A

O’

A

N

M

E

G

I

B

P

H



b. 2 2

( ) : 19 4

x yE

c. 2 2

( ) : 116 1

x yH

d. 2( ) : 2P y x

Bài 6: Tìm phép vị tự biến đường tròn 2 2

( ) : 2 10 22 0C x y x y thành đường

tròn 2 2( ') : 4C x y

Bài 7: Cho tam giác ABC có trọng tâm G(2; 3). Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các

cạnh BC, AC, AB. Đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP có phương trình

là 2 2( ) : ( 1) ( 1) 4C x y . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

HD: theo tính chất trọng tâm ta có: , 22 :

GGM GA V M A

Từ đó ta có: , 2 , 2

: : ( ) ( ')G G

V MNP ABC V C C

Bài 8: Cho tam giác ABC có điểm A(5; 1) và nội tiếp đường tròn 2 2( ) : ( 2) ( 3) 25C x y .

Trọng tâm G nằm trên đường thẳng d: x + 3y + 4 = 0 và độ dài cạnh BC bằng 8.

Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

HD: Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó pitago ta có: 2

2 32

ABIM R

(với I là tâm (C))

M chạy trên đường tròn 2 2

1( ) : ( 2) ( 3) 9C x y .

13 3, ,2 2

: ( ')A A

V M G G C V C G

là giao điểm của (C’) và đường thẳng d

Bài 9: Cho tam giác ABC có trọng tâm G, trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp I .

Chứng minh ba điểm G, H, I thẳng hàng . Tỉnh tỷ số: GH

GI

HD: GọiA’, B’, C’lần lượt là trung điểm BC, AC, AB .

Khi đó dể thấy được I là trực tâm của tam giác A’B’C’.



1 1

; ;2 2

1: ' ' ' :

2G G

V ABC A B C V H I GI GH

Bài 10: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (C) . Biết BC cố định và A thay đổi. Tìm

quỷ tích trọng tâm G của tam giác ABC.

HD: Gọi I là trung điểm của BC. Xét phép vị tự 1

,3

I

V

.

Bài 11: Cho đường tròn (O) có đường kính AB cố định. Gọi C là điểm đối xứng của A qua B, PQ

là đường kính thay đổi của (O). Đường thẳng CQ cắt PA và PB lần lượt tại M và N. Tìm quỷ

tích của M và N khi PQ thay đổi.

HD: Xét các phép vị tự ,2

:C

V Q M và 1

,2

:C

V Q N

Bài 12: Cho đường tròn (O,R) đường kính AB. Một đường tròn (O’) tiếp xúc với (O,R) và

đoạn AB lần lượt tại C và D, đường thẳng CD cắt đường tròn (O) tại I chứng minh

rằng AI BI

HD: Xét phép vị tự ,

'

:R

CR

V D I

(Vì ,

'

: ( ') ( )R

CR

V O O

và C, I, D thẳng hàng )

Bài 13: Cho Cho tam giác ABC .Dựng hình vuông MNPQ nội tiếp trong tam giác ABC.

HD: Dựng hình vuông BCDE bên ngoài tam giác ABC.

Xét phép vị tự : ,A kV trong đó

AQk

AE với Q là giao điểm của AE và BC.

Bài 14: Cho đường tròn (O,R)và đường thẳng d không có điểm chung với đường tròn (O).

Từ một điểm M tùy ý trên d, kẻ hai tiếp tuyến MP và MQ với đường tròn (O).

a. Chứng minh PQ luôn đi qua một điểm cố định.

b. Tìm tập hợp trung điểm K của PQ, Tâm O’ của đường tròn ngoại tiếp tam giác MNQ và

trực tâm H của tam giác MPQ.

HD: a. KẻOI d , OI cắt PQ tại N. Xét phương trình đường tròn ngoại tiếp

MPOQI và đường tròn (O).xét phương tích 2.OI ON r N

cố định.

b. Tập hợp các điểm K là đường tròn (O1) đường kinh NO.

Tập hợp các điểm O’ là đường trung trực đoạn OI.



Tập hợp các điểm H là đường tròn (O2) = ( ,2)OV

Bài 15: Cho điểm A ở ngoài đường tròn (O,R) và đường kính MN quay xung quanh tâm O.

AM và AN cắt đường tròn (O) tại B và C.

a. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN luôn đi qua điểm cố định khác A.

b. Chứng minh BC luôn đi qua một điểm cố định.

c. Tìm tập hợp trung điểm I của BC và trọng tâm G của tam giác ABC.

HD: a. AO cắt (AMN) tại D. 2. .OAOD OM ON R D

cố định.

b. AO cắt BC tại E. 2 2.AE AD AO R E

cố định.

c. Tập hợp các điểm I là đường tròn (O1) đường kính EO.

Tập hợp các điểm G là đường tròn 2 12,3

A

O V O

Bài 16: Cho đường tròn (O,R), đường kính AB. Một đường thẳng d vuông góc với AB tại

một điểm C nằm ngoài đường tròn. Một điểm M chạy trên đường tròn (O). AM cắt đường

thẳng d tại D, CM cắt (O) tại N và BD cắt (O) tại E.

a. Chứng minh AM.AD không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.

b. Tứ giác CDNE là hình gì ?

c. Tìm tập hợp trọng tâm G của tam giác MAC.

HD: a. AM.AD = AB.AC không đổi.

b. NE // CD CDNE là hình thang.

c. Gọi I là trung điểm AC. Kẻ GK // MO. Tập hợp các điểm G là đường tròn

,3

RK

là ảnh của đường tròn (O,R) qua phép 1

,3

I

V

.

PHÉP QUAY & PHÉP VỊ TỰ

Education

Transcript of PHÉP QUAY & PHÉP VỊ TỰ