PLANIMETRIJA PLOKŠTUMOS VEKTORIAI - sviesa.lt skyrius reiškiniai.pdf · planimetrija lygtys,...

PLANIMETRIJA

LYGTYS NELYGYBĖS IR JŲ SISTEMOS

LOGARITMINĖ FUNKCIJA LOGARITMINĖS LYGTYS IR NELYGYBĖS

SKAIČIŲ SEKOS

TRIGONOMETRINĖS FUNKCIJOS

FUNKCIJOS

RODIKLINĖ FUNKCIJA RODIKLINĖS LYGTYS IR NELYGYBĖS

3 SKYRIUS

PLOKŠTUMOS VEKTORIAI

97

1 times 8 + 1 = 9

12 times 8 + 2 = 98

123 times 8 + 3 = 987

1234 times 8 + 4 = 9876

12345 times 8 + 5 = 98765

123456 times 8 + 6 = 987654

1234567 times 8 + 7 = 9876543

12345678 times 8 + 8 = 98765432

123456789 times 8 + 9 = 987654321

1 times 9 + 2 = 11

12 times 9 + 3 = 111

123 times 9 + 4 = 1111

1234 times 9 + 5 = 11111

12345 times 9 + 6 = 111111

123456 times 9 + 7 = 1111111

1234567 times 9 + 8 = 11111111

12345678 times 9 + 9 = 111111111

123456789 times 9 + 10 = 1111111111

9 times 9 + 7 = 88

98 times 9 + 6 = 888

987 times 9 + 5 = 8888

9876 times 9 + 4 = 88888

98765 times 9 + 3 = 888888

987654 times 9 + 2 = 8888888

9876543 times 9 + 1 = 88888888

98765432 times 9 + 0 = 888888888

1 times 1 = 1

11 times 11 = 121

111 times 111 = 12321

1111 times 1111 = 1234321

11111 times 11111 = 123454321

111111 times 111111 = 12345654321

1111111 times 1111111 = 1234567654321

11111111 times 11111111 = 123456787654321

111111111 times 111111111 = 12345678987654321

Ar žinai kad kai kurios

vabzdžių rūšys gyvena pirminių skaičių ritmu

Viena vabzdžių cikadų rū-šis beveik visą gyvenimą tūno po žeme Tačiau išmu-šus valandai X milijonai šių vabzdžių išlenda į paviršių čia dauginasi ir žūva Įdomu kad cikados taip elgiasi itin regulia-riai ndash kas 13 ir 17 metų Kodėl būtent kas tiek metų Todėl kad šitaip jos išvengia natūralių savo priešų kurių dauginimosi ciklai ly-gūs dvejiems trejiems arba šešeriems metams

Ar žinai kas sieja augalų lapus jūrų žvaigždes ir Pizos miestą

Pizoje XII a pabaigoje gyveno matemati-kas Fibonačis (Fibonacci tikr Leonardas Pizietis) kuris įėjo į istoriją kaip žmogus atradęs Fibonačio seką ir vadinamąjį aukso pjūvį arba dieviškąją proporciją Laikydamie-si šios proporcijos žmonės sukūrė daugybę kūrinių Vis dėlto daug anksčiau už Fibonačį dieviškąją proporciją bdquoatradoldquo pati gamta Dau-gelio augalų lapai jūrų žvaigždžių formos ir net žmogaus kūnas ndash puikiausi šios proporcijos pavyz-džiai Neaiškinsime kas yra ši stebuklinga proporci-ja ndash atsakymą lengvai rasi internete Būtinai pažiūrėk ir įvertink skaičių magijos grožį

Ar žinai kad šiuolaikinių šifrų visiškai nereikia slėpti

Žmonės visada turėjo paslapčių Bet senovėje šifro raktas buvo saugojamas po devyniais užraktais o šiandien savo raktą galima paskelbti viešai Raktas ndash dviejų nepaprastai di-delių pirminių skaičių sandauga pq Ją paskelbi viešai šio vie-šojo rakto duomenims užkoduoti užtenka Tačiau norint juos iškoduoti reikia privačiojo rakto t y reikia žinoti skaičius p ir q O išskaidyti skaičių pq daugikliais net galingiausios skaičiavimo mašinos gali tik per labai ilgą laiką ir kainuoja tai labai brangiai

Skaičių magija

98

❶ Duoti tokie skaičiai 11 14 135 187 675 1026 1890 2037 197 600 Išvardyk kurie iš jų yra a) lyginiai b) pirminiai c) skaičiaus 9 kartotiniai d) skaičiaus 3 kartotiniai e) skaičiaus 100 kartotiniai f) skaičiaus 1890 dalikliai

❷ a) Kiekvieną iš skaičių 8 32 128 1024 4096 025 00625 164 1

256 12048 parašyk laipsniu

kurio pagrindas 2 b) Kiekvieną iš skaičių 9 81 243 729 19 683 1

3 127 1

243 12187 parašyk laipsniu kurio pagrindas 3

❸ Apskaičiuok a) 9 36 1 0 049 4

25 00121 1 916

b) 83 273 13 03 000864

3 3 ndash 18 ndash1253 ndash00273

❹ Rask x a) an am ak = ax b) (an)m = ax c) a ak = ax d) ((an)m)k = ax

e) 1an = ax f) am ak

an = ax g) 1andashn = ax h) am

an ak = ax

❺ Apskaičiuok

a) 34 skaičiaus 561 b) 11

3 skaičiaus 5 38 c) 15 skaičiaus 348

❻ Rask skaičių kurio

a) 712 lygu 21 b) 025 lygu 04 c) 130 lygu 52

❼ Žmogus padėjo į banką N eurų Bankas moka p procentų sudėtinių metinių palūkanų Parašyk formulę pagal kurią apskaičiuotum kiek pinigų šio žmogus sąskaitoje bus po k metų

❽ Matematiniais ženklais užrašyk šiuos teiginius a) skaičius b yra ne didesnis už skaičių a b) skaičių a ir b sandauga yra mažesnė už skaičių a ir b skirtumą c) skaičių a ir b sumos kvadratas yra ne mažesnis už mažiausią pirminį skaičių d) skaičių a ir b kvadratų suma yra ne didesnė už bet kurį skaičiaus 5 kartotinį e) dviejų skaičių sumos kubas yra ne mažesnis už šių skaičių skirtumą ir ne didesnis už jų

dvigubą sumos kvadratą

Žemesnėse klasėse daugybę laiko praleidai skaičiuodamas Moki at-likti veiksmus su racionaliaisiais skaičiais ir kvadratinėmis šakni-mis pertvarkyti nesudėtingus reiškinius Šiame skyriuje pakartosi ir apibendrinsi žinias apie skaičius ir reiškinius susipažinsi su kai kuriomis naujomis sąvokomis išmoksi atlikti sudėtingesnius veiks-mus Tačiau pradėdamas mokytis šį skyrių turi žinoti

kas vadinama dalikliu ir kartotiniu kokie skaičiai vadinami pir-miniais lyginiais nelyginiais priešingaisiais ir atvirkštiniais

dalumo iš 2 3 5 9 10 ir 100 požymius laipsnių su sveikuoju rodikliu savybes kaip apskaičiuoti skaičiaus dalį ir procentus rasti visą skaičių kai žinoma jo dalis ar procentai

sudėtinių palūkanų formulę kaip matematiniais ženklais aprašyti žodžiais nusakytas situacijas

Pasitikrink ar žinaiPAKARTOK

99

❶ Suapvalink skaičius 734985 253824 5194786 iki a) dešimtųjų b) šimtų c) dešimčių d) šimtųjų e) tūkstantųjų f) vienetų

❷ Surašyk skaičius 33 303 33333 ndash33 ndash303 ndash33333 3 3 didėjimo tvarka

❸ Apskaičiuok šių skaičių didžiausiąjį bendrąjį daliklį ir mažiausiąjį bendrąjį kartotinį a) 52 ir 64 b) 81 ir 333 c) 23 3 52 ir 2 32 5

❹ Apskaičiuok a) |ndash2 ndash 53| ndash |ndash44| b) |ndash125| + |ndash5| ndash |4| c) ( 8 ndash 3)(3 + 2 2 ) d) 75 ndash 27 ndash 12

e) ndash22 + (ndash2)2 ndash (ndash2)3 f) 5 125 ( 3 27) g) (ndash52)0 ndash 042 ndash 25 h) 43 82 1212

❺ Suprastink reiškinį a) (x + 3)2 ndash (x2 + 9) b) (x ndash 5)2 ndash (x ndash 2 )(x + 2 ) c) (2x ndash 2)2 ndash (4x2 + 2)

d) (1x + x

y) xyy + x2 e) (y

x)2 ndash (x

y)ndash2 f) ( x

x + 2 + 2x ndash 2)(x2 ndash 4)

g) a2 + a2 + a2

a4 + a4 + a4 h) a2 a2 a2

a4 a4 a4 i) a2(a2)6

(a5)4 a0

❻ Išspręsk nelygybę a) x ndash 2 lt 5 b) 2 ndash x lt 5 c) 3(x + 5) ndash 5 8 d) x gt x ndash 1 e) x2 ndash 5x + 6 0 f) x2 ndash 2x + 1 0 g) x2 ndash 2x 0 h) x2 ndash 2x ndash 8 lt 0 i) (x ndash 2)(x + 4) gt 0 j) ndash2x2 + 5x ndash 3 gt 0 k) x2 + 25 0 l) ndashx2 gt 9

❼ Neseniai pasirodęs naujas telefono modelis kainavo 799 eurus Po pusmečio jo kaina krito 10 dar po pusmečio ndash 25 Kiek kainavo telefonas po metų

❽ Ką tik įsidarbinusio specialisto atlyginimas buvo 600 eurų Po pusmečio jis pakilo 20 dar po pusmečio ndash 25 Koks buvo specialisto atlyginimas po metų

❾ Jorūnė apskaičiavo kad 30 paros ji miega o 35 būna mokykloje Apie 40 likusio laiko ji žaidžia kompiuterinius žaidimus kitą laiką skiria buičiai ir televizoriui Kiek valandų per parą Jorūnė žaidžia kompiuterinius žaidimus

Pradėdamas mokytis šį skyrių turi mokėti apvalinti skaičius juos palyginti apskaičiuoti skaičių didžiausiąjį bendrąjį daliklį (DBD) ir ma-žiausiąjį bendrąjį kartotinį (MBK)

parinkti reikiamą veiksmų atlikimo tvarką ir atlikti veiksmus su skaičiais bei algebriniais reiškiniais

atlikti veiksmus su laipsniais ir kvadratinėmis šaknimis spręsti tiesines ir paprastas kvadratines nelygybes spręsti nesudėtingus procentų uždavinius

Pasitikrink ar moki

100

Skaičiai ir skaičiavimai

Žymimeempty ndash tuščioji aibėisin ndash priklausonotin ndash nepriklauso

Prisimink Kiekvieną racionalųjį skai-čių galima išreikšti baigtine arba periodine dešimtaine trupmena

Ir atvirkščiai ndash kiekviena baigtinė arba periodinė de-šimtainė trupmena išreiškia racionalųjį skaičių

Šiame skyrelyje susipažinsi su aibėmis ir jų veiksmais praplėsi ir api-bendrinsi žinias apie skaičius sužinosi apie laipsnius su racionaliuoju rodikliu ir n-tojo laipsnio šaknis

1 Aibės ir jų veiksmai

Pagrindinės sąvokos

Tam tikrų objektų rinkinys yra aacuteibė o tą rinkinį sudarantys objektai ndash aacuteibės elementildetai Aibės gali būti įvairios draugų aibė prekių aibė kom-piuterinių žaidimų aibė daugiakampių aibė ir t t

Matematikos kurse nagrinėsime skaičių aibes Jas žymėsime didžio-siomis raidėmis A B C ir t t Pavyzdžiui A = a b c čia a b c ndash aibės elementai

Rašoma a isin A Skaitoma a priklauso aibei ARašoma d notin A Skaitoma d nepriklauso aibei ASkaičių aibės gali būti

baigtinės jei turi baigtinį skaičių elementų begalinės jei elementų yra be galo daug lygiosios jeigu jas sudaro tie patys elementai tačiau skiriasi jų tvarka

Jei aibė neturi nė vieno elemento ji vadinama tuščiąja ir žymima empty

Prisiminkime jau žinomas skaičių aibes Natūraliųjų skaičių aacuteibė

N = 1 2 3 4 Sveikųjų skaičių aacuteibę Z sudaro natūralieji skaičiai jiems priešingi

skaičiai ir nulis Z = ndash4 ndash3 ndash2 ndash1 0 1 2 3 4

Racionaliųjų skaičių aacuteibę Q sudaro skaičiai kuriuos galima išreikš-ti paprastąja trupmena t y sveikojo skaičiaus ir natūraliojo skai-čiaus dalmeniu m

n

Q = mn | m isin Z n isin N

Iracionaliųjų skaičių aacuteibę I sudaro skaičiai išreiškiami begalinėmis neperiodinėmis dešimtainėmis trupmenomis

Iracionalieji skaičiai 3 π 17 010110111 Realiųjų skaičių aacuteibę R sudaro visi racionalieji ir iracionalieji skai-

čiai

Aibė sudaryta iš realiųjų skaičių x tenkinančių tam tikras sąlygas vadinama intervalugrave Sakykime a isin R b isin R a lt b Tada

aibė x reikšmių tenkinančių sąlygą a x b vadinama uždaruacuteoju intervalugrave [a b]

aibė x reikšmių tenkinančių sąlygas a lt x b arba a x lt b vadi-nama pugravesatviriu intervalugrave (a b] arba [a b)

SUSIPAŽINK

101

aibė x reikšmių tenkinančių sąlygą a lt x lt b vadinama atviruacuteoju intervalugrave (a b)

aibė x reikšmių tenkinančių sąlygą x a arba x b žymima [a +infin) arba (ndashinfin b]

Visa realiųjų skaičių aibė R žymima (ndashinfin +infin)

Jei nelygybėje yra ženklas gt arba lt nelygybė vadinama griežtąja Skaičius tiesėje žymimas tuščiaviduriu skrituliuku

Šios nelygybės sprendinius užrašant intervalu naudojami lenktiniai skliaustai ( )

Jei nelygybėje yra ženklas arba nelygybė vadinama negriežtąja Skaičius tiesėje žymimas pilnaviduriu skrituliuku

Šios nelygybės sprendinius užrašant intervalu naudojami laužtiniai skliaustai [ ]

Žymimelt arba gt arba ( ) [ ]

①Užrašykime dviženklių pirminių skaičių ne didesnių kaip 25 aibę

Ši aibė yra baigtinė Ją galime užrašyti išvardydami jos elementusP = 11 13 17 19 23

②Užrašykime visų lyginių natūraliųjų skaičių aibę

Aibė yra begalinė jos negalima užrašyti išvardijant elementus Šią aibę rašome taip L = 2n| n isin N Taip parodome taisyklę pagal kurią gali-ma rasti aibės elementus

③Užrašykime natūraliųjų skaičių kvadratų mažesnių už 1000 aibę

Ši aibė yra baigtinė Būtų galima išvardyti jos elementus bet tai užimtų daug laiko ir vietos Todėl galime rašyti taipL = n2| n isin N 1 n 31

Pavyzdžiai

❶ Užrašyk vienaženklių pirminių skaičių aibę

❷ Užrašyk nelyginių skaičių aibę

❸ Užrašyk natūraliųjų skaičių kubų aibę

❹ Užrašyk realiųjų skaičių tenkinančių sąlygą ndash8 lt x 1 aibę

Spręsk 1ndash2 uždavinius (p 106)

PamėginkPamėgink

Aibių veiksmai

Aibė A yra aibės B poacuteaibis jei visi aibės A elementai priklauso aibei B Rašoma A sub B skaitoma aibė A yra aibės B poaibis

Tuščioji aibė yra bet kurios aibės poaibisKiekviena aibė yra jos pačios poaibis

Diagrama kairėje iliustruoja realiųjų skaičių aibės sandarą Natūralių-jų sveikųjų racionaliųjų ir iracionaliųjų skaičių aibės yra šios aibės poaibiai Natūraliųjų skaičių aibė ndash sveikųjų skaičių aibės poaibis svei-kųjų skaičių aibė ndash racionaliųjų skaičių aibės poaibis

Poaibis A sub B

102

3 skyrius | Reiškiniai | Susipažink Skaičiai ir skaičiavimai

Duota aibė Q = 3 6 7 8 Parašykime visus galimus jos poaibius

empty 3 6 7 8 3 6 3 7 3 8 6 7 6 8 7 8 3 6 7 3 6 8 3 7 8 6 7 8 3 6 7 8

SprendimasŠios aibės poaibiai yra tuščioji aibė visos aibės susidedančios iš vieno elemento iš dviejų elementų iš trijų elementų ir iš keturių elementų Surašome šias aibes

Pavyzdys

Duota aibė P = 2 4 6 Parašyk visus galimus jos poaibius


PamėginkPamėgink

Aibių sąjungaA cup B

Aibių sankirtaA cap B

Aacuteibių A ir B sąjunga vadinama aibė A cup B sudaryta iš elementų pri-klausančių bent vienai iš aibių A B

Aacuteibių A ir B saacutenkirta vadinama aibė A cap B sudaryta iš elementų pri-klausančių abiem aibėms A B

①Duotos aibės A = 2 3 5 6 ir B = 2 4 8 Raskime jų sąjungą ir sankirtą

2 3 5 6 cup 2 4 8 == 2 3 4 5 6 8

2 3 5 6 cap 2 4 8 = 2

SprendimasImame visus aibės A elementus ir papildome gautą aibę skaičiais 4 ir 8 t y tais elementais kurių nėra aibėje A bet kurie yra aibėje B

Pastebime kad aibės turi vienintelį bendrą elementą ndash skaičių 2 Jis ir sudarys sankirtos aibęAtsakymas A cup B = 2 3 4 5 6 8 A cap B = 2

②Duotos aibės A = [ndash27 7) ir B = [4 13 9 ) Raskime jų sankirtą ir sąjungą

[ndash27 7) cap [4 13 9 ) = [4 13 7 )

[ndash27 7) cup [4 13 9 ) = [ndash27 9)

SprendimasPavaizduojame intervalus vieną ndash virš tiesės kitą ndash žemiau jos San-kirta ndash bendroji dalis t y ta dalis kurioje brūkšneliai yra ir virš tiesės ir žemiau jos

Aibių sąjungos intervalas ndash visa subrūkšniuota skaičių tiesės dalis

Atsakymas A cap B = [4 13 7 ) A cup B = [ndash27 9)

Pastaba Atkreipk dėmesį į intervalų galus

Pavyzdžiai

103

❶ Duotos aibės A = 1 3 5 7 9 B = 2 3 4 5 ir C = 2 4 Rask A cup C C cap B A cup B A cap B B cup C A cap C

❷ Rask aibių A = (ndash3 5] ir B = [ndash1 6] sankirtą ir sąjungą


PamėginkPamėgink

Aibių skirtumasA B

B A

Aacuteibių A ir B skirtumo A B aibę sudaro tie aibės A elementai kurie nepriklauso aibei B

Aibę B A sudaro tie aibės B elementai kurie nepriklauso aibei A

①Duotos aibės A = 2 3 4 5 6 ir B = 2 4 8 Raskime A B ir B A

2 3 4 5 6 2 4 8 = 3 5 6

2 4 8 2 3 4 5 6 = 8

SprendimasIeškodami aibių A ir B skirtumo iš aibės A pašaliname tuos elementus kurie yra aibėje B Pašalinus 2 ir 4 lieka trys elementai

Ieškodami aibių B ir A skirtumo iš aibės B pašaliname tuos elementus kurie yra aibėje A Pašalinus 2 ir 4 lieka vienintelis elementas 8Atsakymas A B = 3 5 6 B A = 8

②Duotos aibės A = [ndash27 7) ir B = [4 13 9 ) Raskime A B ir B A

A B = [ndash27 4 13 )

B A = [7 9)

SprendimasPavaizduojame intervalus Skirtumas A B yra ta intervalo A dalis kuri nesutampa su intervalu B Antrojo intervalo kairysis galas yra uždaras todėl skaičius 4 13 nepriklauso skirtumo intervalui

Skirtumas B A yra ta intervalo B dalis kuri nesutampa su intervalu A Skaičius 7 nepriklauso intervalui A taigi jis priklauso skirtumo in-tervalui

Atsakymas A B = [ndash27 4 13 ) B A = [7 9)

Pavyzdžiai

❶ Duotos aibės A = 1 3 4 5 6 7 B = 2 4 8 ir C = 3 5 8 Rask A B B A A C C A C B ir B C

❷ Duotos aibės A = (ndash3 5] B = [ndash1 6] ir C = (ndash2 4) Rask A B B A A C C A C B ir B C

Spręsk 9ndash12 uždavinius (p 106ndash107)

PamėginkPamėgink

104


Jei aibė A yra kurios nors aibės R poaibis tai aacuteibės A patildepildiniu iki aibės R vadinama aibė Aminus sudaryta iš tų aibės R elementų kurie nepriklauso aibei A

Aibės A ir Aminus neturi bendrų elementų be to A cup Aminus = R

Aibės papildinysminus

Racionaliųjų skaičių aibės papildinys iki realiųjų skaičių aibės yra iracionaliųjų skaičių aibė Šios aibės neturi bendrų elementų be to I cup Q = R Koks yra intervalo [ndash25 4 13 ) papildinys iki realiųjų skaičių aibės

SprendimasPavaizduojame duotą intervalą Matome kad jį iki realiųjų skaičių ai-bės papildo du intervalai Pirmojo intervalo dešinysis galas yra atviras antrojo kairysis galas ndash uždaras Papildinio aibė ndash šių intervalų sąjunga

Atsakymas (ndashinfin ndash25) cup [4 13 +infin )

Pavyzdys

Rask intervalų (ndash3 5) (ndash1 3] ir [0 5] papildinius iki realiųjų skaičių aibės

Pamėgink

2 Laipsniai ir šaknys Jau moki atlikti veiksmus su laipsniais kurių rodiklis ndash sveikasis skai-čius ištraukti kvadratinę ir kubinę šaknį Tačiau ir šaknų ir laipsnių gali būti ir kitokių Praplėsime tau žinomas sąvokas

n-tojo laipsnio šaknis

n-tojo (n isin N n gt 1) laacuteipsnio šaknimi iš skaičiaus a vadinamas toks realusis skaičius x kurio n-tasis laipsnis lygus a Jei n ndash lyginis tai x 0

Žymime an Skaičių n vadiname šakniẽs rodikliugrave a ndash pošakniniugrave reacuteiškiniu

arba poacutešakniuPagal šią apibrėžtį skaičius an yra lygties xn = a sprendinys Todėl

jei n ndash lyginis skaičius a gali įgyti tik neneigiamas reikšmes jei n ndash nelyginis skaičius a gali įgyti tiek teigiamas tiek neigiamas

reikšmes taip pat gali būti lygus nuliui

Taigi lyginio laipsnio šaknis a2n turi prasmę kai pošaknis yra nenei-giamas (a 0) Nelyginio laipsnio šaknis a2n + 1 turi prasmę su visomis pošaknio reikšmėmis (a isin R)

an = x kai xn = aJei n ndash lyginis tai x 0

Atkreipk dėmesįLyginio laipsnio šaknis a2n yra visada neneigiama t y a2n 0

105

Apskaičiuokime 325 ndash0000325 ir 16625

4

325 = 2

ndash0000325 = ndash02

16625

4 = 25

Sprendimas25 = 32 todėl 325 = 2

(ndash02)5 = ndash000032 todėl ndash0000325 = ndash02

(25)4

= 16625 todėl 16

6254 = 2

5

Pavyzdys

Apskaičiuok ndash00000643 ndash0031255 5 116

4

Spręsk 13 uždavinį (p 107)

PamėginkPamėgink

Laipsnis su racionaliuoju rodikliu

Skaičiaus a (a gt 0) laacuteipsniu su racionaliuacuteoju rodikliugrave mn (m isin Z n isin N

n gt 1) vadinamas skaičius amn = amn

Atkreipk dėmesį Laipsnio su racionaliuoju rodikliu pagrindas yra tei-giamasis skaičius

amn = amn čia a gt 0

①Laipsnius 215 3

37 5125 3ndash 13 užrašykime šaknimis

215 = 215 = 25

337 = 337

5125 = 554 = 554

3ndash 13 = 3ndash13 = 13

3

Sprendimas

Dešimtainę trupmeną paverčiame paprastąja tada užrašome šaknį

Šaknies rodiklis ndash natūralusis skaičius laipsnio rodiklis ndash sveikasis skaičius Pagal laipsnio su sveikuoju rodikliu savybę 3ndash1 = 1

3

②Šaknis 37 358 1a7

8 užrašykime laipsniais

37 = 317 = 317

358 = 358 = 30625

1a7

8 = andash78 = andash 78

Sprendimas

Paprastąją trupmeną galime paversti dešimtaine

Pagal laipsnio su sveikuoju rodikliu savybę 1a7 = andash7

Pavyzdžiai

❶ Laipsnius 237 3ndash 67 7175 8ndash 56 išreikšk šaknimis

❷ Šaknis 1757 17ndash25 ir 153

5 išreikšk laipsniais su racionaliuoju rodikliu


PamėginkPamėgink

106


❶ Jei galima išvardyk aibių elementus jei elementų yra be galo daug nurodyk pirmuosius penkis jei galima aibę užrašyk intervalua) A = n| n isin Z ndash4 n lt 5 b) B = x| x isin R x3 ndash x2 ndash 2x = 0 c) C = x| x isin N ndash4 lt x lt 5d) D = 3n + 5| n isin N e) E = x| x isin R x 2 f) D = x| x isin R x 5g) A = n| n isin Z ndash8 lt n 2 h) B = x| x isin R x2 ndash 2 = 0 i) C = x| x isin R x lt 5j) D = 5n ndash 3| n isin N k) D = x| x isin R x 5 l) D = x| x isin N ndash1 lt x 3

❷ Ar teiginys yra teisingas (jei klaidingas ištaisyk klaidas)a) ndash5 isin Z b) 273 isin I c) 12 isin Q d) 109 isin Ie) 21

2 isin Q f) π isin Q g) ndash27(56) isin I h) 0 1 3 5 7 isin Ni) ndash7 0 5 12 isin Q j) 0 1 3 5 7 isin I k) π isin R l) 109 isin Zm) 273 isin R n) ndash5 isin R o) 4 isin N p) ndash7 0 5 12 isin I

❸ Ar teiginys yra teisingasa) N sub Z b) Q sub Z c) Z sub Q d) Q sub R e) R sub I f) I sub Rg) N sub R h) I sub Q i) R sub Z j) R sub I k) Z sub R l) Z sub N

❹ Ar teiginys yra teisingasa) 0 yra natūralusis skaičius b) 1 yra sveikasis skaičiusc) kiekvienas sveikasis skaičius yra natūralusis d) kiekvienas racionalusis skaičius yra realusise) kiekvienas natūralusis skaičius yra sveikasis f) 0 yra realusis skaičiusg) 1 yra racionalusis skaičius h) kiekvienas sveikasis skaičius yra natūralusis

❺ Parašyk bent po tris kiekvienos aibės poaibiusa) A = 2 3 5 b) B = 2 5 4 6 8 c) C = (2 3) d) D = [ndash3 ndash2]e) A = 2 5 7 f) B = 3 4 5 7 g) C = (ndash6 ndash5] h) D = [4 9)

❻ Duotos skaičių aibės A = 4 5 6 7 B = 4 6 8 9 10 C = 2 6 7 10 14 18 ir D = 3 7 Raska) A cup B b) A cap B c) B cup C d) A cup D e) C cap Df) A cap C g) A cup C h) B cap C i) A cap D j) C cup D

❼ Duotos aibės A = [ndash5 6) B = [ndash2 1) C = [0 3) ir D = (2 7) Raska) A cup B b) A cap B c) B cup C d) A cup D e) C cap Df) A cap C g) A cup C h) B cap C i) A cap D j) C cup D

❽ Ar teiginys yra teisingasa) N cup Z = Q b) Z cap Q = Z c) I cap Q = R d) R cup I = Ie) I cup Q = R f) N cup Z = Z g) Z cup Q = Q h) R cap Q = Q

❾ Duotos skaičių aibės A = 4 5 6 7 B = 4 6 8 9 10 C = 2 6 7 10 14 18 ir D = 3 7 Raska) A B b) B A c) C D d) D C e) A C f) C A g) B D h) D B

❿ Duotos aibės A = [ndash5 6) B = [ndash2 1) C = [0 3) ir D = (2 7) Raska) A B b) B A c) C D d) D C e) A C f) C A g) B D h) D B

⓫ Duotos aibės A = 3 45 ndash17 227 π 17 ndash24(82) 643

ir B = 227 ndash5 ndash24(82) ndash17 4 17 273 Rask

a) A cap N b) (A cup B) cap Z c) (A B) cap I d) (A Z) cap Ne) B cap Z f) (A cap B) cap Z g) (B A) cap I h) (B N) cap Z

UŽDAVINIAI

107

⓬ Plokštumos taškų aibes K L M ir N nuspalvink skirtingomis spalvomis ir apskaičiuok kiekvienos nuspalvintos srities plotą

a) ABCD ndash kvadratas AB = 4X ndash kvadrato ribojamos srities taškų aibėY ndash apskritimo ribojamos srities taškų aibė

b) ABCD ndash lygiagretainis DEF ndash lygiakraštis trikampis BC = 8X ndash trikampio EFD ribojamos srities taškų aibėY ndash lygiagretainio ribojamos srities taškų aibė

K = Y cap XL = Y cup XM = Y XN = X Y

K = X cap YL = X YM = Y XN = X cup Y

c) ABC ndash lygiakraštis trikampis AB = 6 ED ndash tri-kampio ABC vidurinė linija CDEF ndash rombasX ndash trikampio ABC ribojamos srities taškų aibėY ndash rombo ribojamos srities taškų aibė

d) ABC ndash lygiakraštis trikampis AB = 9X ndash trikampio ABC ribojamos srities taškų aibėY ndash apskritimo ribojamos srities taškų aibė

K = X cup YL = X YM = Y XN = X cap Y


⓭ Apskaičiuok reiškinio reikšmę (jei reiškinys turi prasmę)

a) 00016256

4 b) 000864

3 c) 05 d) ndash 116

4

e) ndash49 f) ndash 183 g) ndash 1

325 h) 04

i) 116

4 j) ndash 11024

5 k) ndash15 l) 000014

m) 0002435 n) 81625

4 o) 011 p) 000164

⓮ Laipsnius su racionaliuoju rodikliu užrašyk šaknimis

a) 325 203 5ndash05 (1

3)ndash25 b) 2

17 307 6ndash02 (1

5)ndash15

⓯ Šaknis užrašyk laipsniais su racionaliuoju rodikliu

a) 225 122 473 1

33 b) 357 1

323 77 7

95

⓰ Apskaičiuok reiškinio reikšmę

a) 8 (ndash0125)5 025ndash 12 b) 027ndash

13 c) 16

625 000814 d) 00625ndash 34

e) 71932

5 (49)ndash05

f) 10ndash5 3 200 0005 g) ( 127)ndash

13 7293 h) (00016

00625)ndash 34 ( 15625

643 )ndash1

i) (1681)ndash

34 32

15 j) 8ndash

23 27

13 k) (00001

625 )ndash 34 10ndash3 l) 7348

4864 (27

9)ndash 12

m) 1024ndash 1

10 (18)

13 n) 56

1893 o) ( 81

625)ndash 14 0216

13 p) (1

2)ndash5 025

ndash 123

108


Veiksmai su laipsniais ir šaknimis kartais gali atrodyti labai sudėtingi ir painūs Todėl šiame skyrelyje prieš pradėdamas mokytis veiksmų su sudėtingesnėmis šaknimis ir laipsniais dar kartą pakartosi jau ži-nomus dalykus

kaip sudėti sudauginti pakelti laipsniu kvadratines šaknis kaip panaikinti trupmenos vardiklio iracionalumą kaip ištraukti kvadratinę šaknį iš skaičiaus kvadrato ir apskaičiuo-

ti skaičiaus modulį kaip atlikti veiksmus su laipsniais kurių rodiklis ndash sveikasis skai-

čiusPakartojęs šiuos veiksmus mokysies sudėtingesnių ndash veiksmų su

n-tojo laipsnio šaknimis ir laipsniais kurių rodiklis yra racionalusis skaičius

1 Veiksmai su kvadratinėmis šaknimis ir laipsniais kurių rodiklis ndash sveikasis skaičiusKvadratinių šaknų sudėtis atimtis ir daugyba

Sudėdami ir atimdami šaknis vienodiname jų pošakniusDaugindami šaknį iš šaknies pošaknius sudauginameŠaknį keliame kvadratu pagal formulę ( a )2 = a

Prisimink ( a )2 = a a b c d = (a c) b d

čia a b c d 0

①Atlikime veiksmus 2 18 + 2 12 ndash 3 8 + 75

2 18 + 2 12 ndash 3 8 + 75 =

= 2 9 ∙ 2 + 2 4 ∙ 3 ndash 3 4 ∙ 2 + + 25 ∙ 3 == 2 3 2 + 2 2 3 ndash 3 2 2 ++ 5 3 =

= 6 2 + 4 3 ndash 6 2 + 5 3 =

= 6 2 ndash 6 2 + 4 3 + 5 3 = = 9 3

SprendimasPošaknius išskaidome daugikliais

Pastebime kad iš kai kurių pošakniuose esančių daugiklių galima iš-traukti kvadratinę šaknį

Ištraukiame šaknis

Sudauginame prieš šaknis esančius daugiklius Matome kad yra dvi šaknys kurių pošaknis 2 ir dvi šaknys kurių pošaknis 3 Šias šaknis galėsime sudėti

Atsakymas 9 3

Pavyzdžiai

IŠMOK

109

②Atlikime veiksmus (3 2 ndash 3 )(2 5 ndash 1)

(3 2 ndash 3 )(2 5 ndash 1) =

= 3 2 2 5 ndash 3 2 1 ndash ndash 3 2 5 ndash 3 (ndash1) == 6 10 ndash 3 2 ndash 2 15 + 3

SprendimasPadauginame kiekvieną pirmojo dvinario narį iš kiekvieno antrojo dvi-nario nario

(3 2 ndash 3 )(2 5 ndash 1)

Skaičių esantį prieš šaknį dauginame iš skaičiaus esančio prieš šaknį pošaknio skaičių dauginame iš pošaknio skaičiaus3 2 2 5 ndash 3 2 1 ndash 3 2 5 + 3

Atsakymas 6 10 ndash 3 2 ndash 2 15 + 3

③Pakelkime kvadratu (3 5 ndash 2 3 )2

(3 5 ndash 2 3 )2 =

= (3 5 )2 ndash 2 ∙ 3 5 ∙ 2 3 + (2 3 )2 = a2 a b b2

= 9 5 ndash 2 3 2 5 ∙ 3 + 4 3 =

= 45 ndash 12 15 + 12 = 57 ndash 12 15

Sprendimas

Taikome formulę (a ndash b)2 = a2 ndash 2ab + b2

Pakeliame kvadratu Atidžiai pažiūrėk kaip atliekami veiksmai (3 5 )2 ndash 2 ∙ 3 5 ∙ 2 3 + (2 3 )2 32 ∙ ( 5 )2 = 9 ∙ 5 2 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 3 22 ∙ ( 3 )2 = 4 ∙ 3

Atsakymas 57 ndash 12 15

Atlik veiksmus

a) 44 + 2 99 + 3 45 ndash 20 b) (2 3 ndash 3 2 )( 2 + 3 )

c) 2592 ndash (6 + 3 2 )2 d) (5 2 ndash 3 ) 2 2 + ( 2 + 3 )2


PamėginkPamėgink

Šaknies traukimas iš skaičiaus kvadrato Skaičiaus modulis

Kai a gt 0 tai ( aa gt 0)2 = a

a gt 0 Pavyzdžiui 22 = 4 = 2 52 = 5

Kai a lt 0 ištraukę šaknį turime gauti teigiamąjį skaičių todėl

( alt 0 )2

gt 0

= | a |

gt 0lt 0lt 0

= ndasha

gt 0lt 0lt 0

Pavyzdžiui (ndash2)2 = 4 = 2 arba (ndash2)2 = |ndash2| = ndash(ndash2) = 2

Apibendriname ištraukę šaknį iš skaičiaus kvadrato visada gauname neneigiamą skaičių ndash kvadratu kelto skaičiaus modulį

Įsimink

a2 = |a| = a kai a 0ndasha kai a lt 0

Kvadratinė šaknis negali būti neigiama todėl kvadratinės šaknies traukimo rezultatas ndash neneigiamas skaičius

110

3 skyrius | Reiškiniai | Išmok Skaičiai ir skaičiavimai

Vardiklio iracionalumo naikinimas

Trupmenos vardiklio iracionalumas t y reiškiniai su šaknimis vardiklyje labai apsunkina skaičiavimą todėl iracionalumą stengiamasi panaikinti Trupmenos vardiklio iracionalumą įprasta naikinti ir užra-šant atsakymus Taip pateiktas atsakymas atrodo tvarkingiau

Iracionalumas naikinamas taip jei trupmenos vardiklyje yra vienanaris su šaknimi skaitiklis ir var-

diklis padauginami iš tos šakniesab

= a ∙ bb ∙ b

= a bb

čia b gt 0

jei trupmenos vardiklyje yra dvinaris a ndash b kurio bent vienas narys turi šaknį skaitiklis ir vardiklis padauginami iš dvinario a + b ir taikoma formulė (a + b)(a ndash b) = a2 ndash b2

ax ndash y

= a( x + y )( x ndash y ) ( x + y ) = a( x + y )

x ndash y čia x 0 y 0 x ne y

jei trupmenos vardiklyje yra dvinaris a + b kurio bent vienas narys turi šaknį skaitiklis ir vardiklis padauginami iš dvinario a ndash b ir taikoma formulė (a + b)(a ndash b) = a2 ndash b2

Apskaičiuokime (3 ndash 2)2 ndash (1 ndash 2)2

(3 ndash 2)2 ndash (1 ndash 2)2 =

= |3 ndash 2| ndash |1 ndash 2| =

= 3 ndash 2 + (1 ndash 2) = = 3 ndash 2 + 1 ndash 2 == 4 ndash 2 2

Sprendimas

Reiškinius gautus ištraukus šaknį užrašome su modulio ženklu

Reiškinys 3 ndash 2 yra teigiamas (3 gt 2 nes 9 gt 2) todėl modulio ženklas nereikalingas Reiškinys 1 ndash 2 yra neigiamas (1 lt 2) todėl modulio ženklą pakeičiame lenktiniais skliaustais ir prieš juos parašo-me minusą Suprastiname gautą reiškinį


Pavyzdys

Apskaičiuok

a) ( 2 ndash 3)2 + ( 2 + 5)2 b) |2 ndash 3 ndash 5|

c) | 3 ndash 2| + (2 3 ndash 6)2 d) 2 5 ndash 7 ndash 3 ndash 2 5


Pamėgink

①Panaikinkime trupmenos 23

vardiklio iracionalumą

23 = 2 3

3 3 = 2 3

3

Sprendimas

Trupmenos skaitiklį ir vardiklį padauginame iš 3 Vardiklyje 3 3 = 3

Atsakymas 2 33

Pavyzdžiai

ndash = ∙ ( + )

( ndash ) ∙ ( + )

= ∙ ∙

= ∙

111

②Panaikinkime trupmenos 21 ndash 3


21 ndash 3

= 2(1 + 3)(1 ndash 3)(1 + 3) =

= 2(1 + 3)12 ndash ( 3)2 = 2(1 + 3)

1 ndash 3 =

= 2(1 + 3)ndash2

= ndash1 ndash 3

Sprendimas

Prisiminkime formulę (a + b)(a ndash b) = a2 ndash b2Vardiklyje turime dvinarį a ndash b Kad kiekvienas jo narys būtų pakeltas kvadratu reikia tą dvinarį padauginti iš dvinario a + b

Vardiklyje pritaikome kvadratų skirtumo formulę

Atsakymas ndash1 ndash 3

Prisiminkandashn = 1

a n a ne 0

Veiksmai su laipsniais kurių rodiklis ndash sveikasis skaičius

Prisiminkime kaip veiksmai atliekami su laipsniais kurių rodiklis ndash sveikasis skaičius Čia a ne 0 b ne 0 m n isin Z

Taisyklė Pavyzdys

a0 = 1 20 = 1

andashn = 1a n 2ndash2 = 1

22 = 14 (2

3 )ndash1

= 32

am an = am + n 23 2ndash2 = 23 + (ndash2) = 21 = 2a man = am ndash n 2 10

2 ndash9 = 210 ndash (ndash 9) = 219

(an)m = amn (22)ndash4 = 2ndash8

(ab)n = an bn 6ndash5 = (2 3)ndash5 = 2ndash5 3ndash5

(ab )

n = a n

b n (23 )

ndash4 = 2 ndash4

3 ndash4 = 3 42 4 = 81

16 = 5 116

①Apskaičiuokime reiškinio (ndash02)ndash3 + (ndash05)ndash2 reikšmę

(ndash 210 )ndash3

+ (ndash 510 )ndash2

=

= (ndash 15 )ndash3

+ (ndash 12 )ndash2

=

= (ndash5)3 + (ndash2)2 = = ndash125 + 4 = ndash121

Sprendimas

Dešimtaines trupmenas paverčiame paprastosiomis

Suprastiname paprastąsias trupmenas

Keldami neigiamuoju laipsniu trupmeną pakeičiame atvirkštine (bdquoap-verčiameldquo) o laipsnių rodiklius ndash teigiamaisiais

Atsakymas ndash121

Pavyzdžiai

Panaikink trupmenos vardiklio iracionalumą

a) 112

b) 23 + 1

c) 3 ndash 2 52 3 + 5


Pamėgink

112


Įsimink

① ( an )n = a

② abn = an bn

③ ab

n = an

bn

④ akn = ank

⑤ ( an )k = akn

⑥ amknk = amn

⑦ amn = amn

Apskaičiuok

a) )(ndash05)ndash3 ndash (ndash02)ndash4 e) 02ndash300 ∙ 1125100 f) (3ndash999 + 3ndash999 + 3ndash999) ∙ 31000


Pamėgink

2 Veiksmų su n-tojo laipsnio šaknimis taisyklėsPertvarkydamas reiškinius su kvadratinėmis šaknimis taikei tam tikras taisykles Analogiškomis taisyklėmis remiamasi ir pertvarkant reiškinius su n-tojo laipsnio šaknimis Kai a 0 ir b 0 o m n ir k isin N n k gt 1 taikomos šios veiksmų taisyklės

Taisyklė Pavyzdys

( an )n = a ( 33 )3 = 3

Pagrindimas Pagal apibrėžimą an = x kai xn = ( an )n = a

abn = an bn 27 643 = 273 643 = 3 4 = 1245 85 = 325 = 2

Pagrindimas Abi lygybės puses kelsime n-tuoju laipsniu Pagal 1 savybę ( abn )n = ab Pagal laipsnio su natūraliuoju rodikliu savybę

( an ∙ bn )n = ( an )n ∙ ( bn )n = a ∙ b taikome 1 savybę Kairės ir dešinės lygybės pusių n-tieji laipsniai lygūs lygybė teisinga

ab

n = an

bn b ne 0 81625

4 = 814

6254 = 35

645

25 = 642

5 = 325 = 2

Šią savybę pamėgink pagrįsti pats

akn = ank 53 = 56

Pagrindimas Abi lygybės puses keliame laipsniu nk Pagal apibrėžimą ( ank )nk = a Kairiąją lygybės pusę keldami laipsniu taikome laipsnių savybes

( akn )nk = (( akn )n )k

= ( ak )k = a Kairės ir dešinės lygybės pusių nk-tieji laipsniai lygūs lygybė teisinga

( an )k = akn ( 33 )2 = ( )233 = 33

8154 = ( 814 )5 = 35 = 243


amknk = amn a1215 = a3 43 5 = a45


amn = amn

223 = 223

Tai laipsnio su racionaliuoju rodikliu apibrėžimas

113

Traukiant lyginio laipsnio šaknį iš reiškinio pakelto lyginiu laipsniu reikia atkreipti dėmesį į tai kad atlikus veiksmą visada gaunamas ne-neigiamas skaičius Todėl ištraukus lyginio laipsnio šaknį rezultatas užrašomas su modulio ženklu

Įsimink

a2k2k = |a| = a kai a 0ndasha kai a lt 0

Apskaičiuokime (1 ndash 3)24

(1 ndash 3)24 =

= (1 ndash 3)22 2 = |1 ndash 3| =

= ndash(1 ndash 3) = 3 ndash 1

Sprendimas

Pagal 6 taisyklę a24 = a22 2 = a Tačiau ši taisyklė galioja kai a 0 Kai a lt 0 turime rašyti modulio ženklą

Modulio ženklą pakeičiame lenktiniais skliaustais ir prieš juos parašo-me minusą nes 1 ndash 3 lt 0 Atskliautę gauname atsakymą

Atsakymas 3 ndash 1

Pavyzdys

①Palyginkime reiškinius 3 8 24 ir 7 193

3 8 24 = 3 82 middot 24 = 15366

7 193 = 73 middot 193 = 65176

15366 lt 65176

3 8 24 lt 7 193

SprendimasSkaičių 8 įkeliame po kvadratine šaknimi Įkeldami jį turime pakelti kvadratu Sudauginame pošaknio skaičius ir šaknų rodiklius

Skaičių 7 įkeliame po kubine šaknimi Įkeldami jį turime pakelti tre-čiuoju laipsniu Sudauginame pošaknio skaičius ir šaknų rodiklius

Sulyginus šaknų rodiklius didesnė bus ta šaknis kurios pošaknyje yra didesnis skaičius

Atsakymas 3 8 24 lt 7 193

Pavyzdys

Pritaikyk veiksmų su šaknimis taisykles ir apskaičiuok

a) ( 315 )15 b) 16 ∙ 000014 c) 64729

6

d) 234 e) ( 33 )2 f) 248

g) ( 33 )3 ndash ( 55 )5 h) 015 ∙ 000015 i) 7295

35

j) 23 + 23 k) ( 243 )4 l) 23 + 226

m) 75881

4 + ( 234 )4

n) 24 ∙ 84 + 6253

53 o) 23

( 43 )2

p) 253

235 r) ( 23 )12 s) 21530 + 248


Pamėgink

Apskaičiuok (2 ndash 5)66 + ( 5 ndash 2)44


Pamėgink

114


②Suprastinkime reiškinį 2 324 ndash 1624 + 12504

2 324 ndash 1624 + 12504 =

= 2 16 24 ndash 81 24 + 625 24 =

= 2 2 24 ndash 3 24 + 5 24 =

= 4 24 ndash 3 24 + 5 24 = 6 24

Sprendimas

Pošaknius išskaidome daugikliais

Ištraukiame šaknis iš skaičių 16 81 ir 625

Gauname vienodo laipsnio šaknis su lygiais pošakniais Jas galime sudėti

Atsakymas 6 24

3 Veiksmų su laipsniais kurių rodiklis racionalusis taisyklėsLaipsniams su racionaliuoju rodikliu galioja jau žinomos veiksmų su laipsniais kurių rodiklis sveikasis taisyklės Čia a b gt 0 m n isin Q

Taisyklė Pavyzdys

a0 = 1 1250 = 1

andashn = 1a n 12ndash

12 = (6

5)ndash 12 = (5

6) 12 = 5

6

am an = am + n 2 12 2

12 = 2

12 +

12 = 21 = 2

a ma n = am ndash n 3212

32 = 3212 ndash 1 = 3202 = 3215 = 325 = 2

(an)m = amn (202)5 = 21 = 2

(ab)n = an bn 216 13 = (8 27)

13 = 8

13 27

13= 2 3 = 6

(ab )

n = a n

b n ( 2566561)0125 = 2560125

65610125 = (28)0125

(38)0125 = 23

Visos šios taisyklės tinka ir tada kai laipsnio rodiklis ndash iracionalusis skaičius Pavyzdžiui pagal 5 taisyklę (a 3 ) 3 = a 3 3 = a3 Taigi api-bendrinant visas šias taisykles galima laikyti laipsnių su realiaisiais ro-dikliais veiksmų taisyklėmis

Įsimink

① a0 = 1

② andashn = 1a n

③ am an = am + n

④ a ma n = am ndash n

⑤ (an)m = amn

⑥ (ab)n = an bn

⑦ (ab )

n = a n

b n b ne 0

❶ Palygink

a) 4 2 33 ir 3 2 3 b) 4 3 33 ir 3 3 34

❷ Suprastink

a) 323 ndash 1083 b) 23 7684 + 484


Pamėgink

115

⓱ Apskaičiuok

a) 8 ∙ 32 b) 3 + 3 + 3 3 c) 18 + 50

d) 2 2 ∙ 3 ndash 6 e) ( 18 ndash 2) 2 f) (3 5 ndash 1)2

g) 5 3(7 3 ndash 5) h) ( 5 ndash 3)( 5 + 3) i) (3 5 ndash 2 3)(3 3 + 5)j) 14 ∙ 35 k) 2 2 ndash 2 + 2 2 l) 32 ndash 8

m) 3 + 6 2 n) 2( 8 ndash 2) o) (3 ndash 5 7)2

p) 7 5(3 2 ndash 3) r) ( 7 ndash 2)( 7 + 2) s) (2 2 ndash 5)(5 5 + 2)

⓲ Apskaičiuok

a) 2 3 ndash 2 2 ∙ 2 3 + 2 2 b) ( 3 + 2 ndash 3 ndash 2 )2

c) (4 6 + 39 + 2 26 + 6)(4 6 + 39 ndash 2 26 ndash 6) d) (2 3 ndash 2 + 2 6 ndash 1)(2 3 ndash 2 ndash 2 6 + 1)e) 3 5 + 3 ∙ 3 5 ndash 3 f) ( 4 ndash 2 3 ndash 2 3 + 4)2

g) 32 +2 + ∙ 32 +2 ndash ∙ 2 + 3 h) (3 + 2 2)2016 ∙ (3 ndash 2 2)2016

⓳ Įrodyk kad lygybė yra teisinga

a) 28 6 + 73 + 73 ndash 28 6 = 14 b) 61 + 24 5 ndash 61 ndash 24 5 = 8

⓴ Apskaičiuok

a) |ndash3| + 2 ∙ |ndash1| ndash (ndash1) b) |ndash3 ndash 5| ∙ |3 ndash 5| ndash |ndash2| c) |1 ndash 2| d) | 5 ndash 5| + |1 ndash 5|

e) |ndash 3| + |1 ndash 3| ∙ |ndash2| f) (2 ndash 7)2 g) (2 3 ndash 3 5)2 h) (1 ndash 5)2 ndash (2 ndash 5)2

i) |ndash4| ndash 2 ∙ |ndash2| + (ndash3) j) 2 ndash |ndash4 ndash 2| ∙ |ndash2| ndash |ndash6| k) |2 ndash 5| l) |3 7 ndash 6| ndash |2 ndash 4 7|

m) |2 ndash 5| + |ndash 5| ∙ |ndash1| n) (1 + 2)2 o) (3 2 ndash 2 3)2 p) (2 ndash 7)2 ndash (4 ndash 7)2

Apskaičiuok

a) |2 ndash 3 5| ndash |2 ndash 5 ndash 2 3| ndash |2 3 ndash 4| b) 14 ndash 6 5 ndash |12 ndash 2 5| ndash 5

c) |1 ndash 3| ndash |2 ndash 3 ndash 5| + | 5 ndash 2| d) 19 ndash 6 10 ndash |12 ndash 5 10| + 4 10 ndash 7


a) 25

b) 57 5

c) 35 ndash 2

d) 113 5 ndash 2 3

e) 37

f) 72 7

g) 27 ndash 5

h) 102 7 ndash 3 2

UŽDAVINIAI

Atlik veiksmus

a) (13)ndash 02 b) 1613 16ndash105 c) 515

505

d) (5 ndash 23)ndash

32 e) 3 ndash

14 27 ndash

14 f) 605

305

g) ( 149)ndash

12 ndash (1

8)ndash 13 h) 5ndash

23 5ndash

32 5ndash

156 i) 2

13(4

13 + 32

13)

j) (12ndash075

6ndash075 )ndash4 k) (3 204)25 l) (3 ndash 2)

12 (3 + 2)

12


Pamėgink

116


Apskaičiuok

a) 27 ndash 5

+ 47 + 5

b) ( 25 ndash 2

+ 45 + 2) ∙ 1

6 5 ndash 4

c) 36 ndash 3

+ 96 + 3

d) ( 27 ndash 2

+ 47 + 2) ∙ 3

6 7 ndash 4

Apskaičiuok

a) 1 + 2

21 ndash 2

2

+ (2 + 2)2

2 b) ( 43 + 5

ndash 32 + 7

+ 114 ndash 5) (9 ndash 7)

c) 21 ndash 4 5 21 + 4 5

ndash 1921 + 4 5

d) ( 127 ndash 1

ndash 85 ndash 1

+ 62 ndash 7) ∙ (2 5 + 4)ndash1

e) 1 + 3

3

1 ndash 33

+ (1 ndash 3)2

2 f) ( 25 ndash 3

+ 63 ndash 3

+ 12 ndash 5) ∙ (2 3 ndash 1)

g) 4 + 2 3 4 ndash 2 3

ndash 12 ndash 3

h) ( 45 ndash 1

ndash 35 ndash 2

+ 605 ndash 5) ∙ ( 5(1 + 2 5))ndash1

Apskaičiuok

a) (ndash223)ndash 2 b) 24ndash1 c) (ndash 3 7)0 + (ndash 3 7)ndash 2 d) ( 1 2)ndash 10 325

e) ndash033 ndash 34 f) 2ndash1 + 2ndash2 + 2ndash3

2ndash3 g) (ndash3ndash4)ndash2 (ndash3ndash1)8 h) ( 1 23)ndash 3 (24)2

i) (ndash06)ndash3 j) 15ndash1 k) (ndash05)ndash2 ndash ( 2 5)ndash 2 l) (ndash 3 5)ndash 2 + 0170

m) (ndash5ndash2)ndash3 (ndash5ndash1)6 n) (ndash 2 5)ndash2 ndash (ndash 4 3)ndash1 o) (ndash02)2 + 25 p) 3ndash2 + 3ndash3 + 3ndash4

3ndash4

Apskaičiuok

a) 02ndash2 + 05ndash5 b) (ndash(ndash05)ndash2)3 c) 403

53 26

d) (2(ndash2ndash3 25)3)ndash2 e) 1110 ndash (1259 ) 2 56 f) ((ndash14)ndash6)ndash5 ((ndash14)ndash2)ndash14 ndash ( 1

14) ndash2

g) (ndash01)ndash2 ndash (ndash02)2 h) ndash (ndash (ndash 23ndash1) ndash3 )ndash2

i) 36 210 57

605

j) (32(3ndash4 37)ndash2)3 k) (368 ) ndash2 1

26 ndash (ndash35)0 l) ((ndash23)ndash4)6 ((ndash23)3)ndash8 + (117 ) ndash2

Apskaičiuok šių reiškinių reikšmes taikydamas veiksmų su šaknimis taisykles

a) 8 ∙ 95 ∙ 4 ∙ 275 b) 2185 2145

2175 c) ( 23 )6 ndash ( 34 )2

d) 543 ndash 3 512 + 2 534 e) 33 ( 93 + 1) f) ( 24 ndash 1)( 84 + 2)g) (2 33 )3 + (2 33 )6 h) ( 2433 ndash 33 )2 i) 10 ndash 685 10 + 685

j) 9 ∙ 43 ∙ 3 ∙ 163 k) 3174 3244

3214 l) ( 34 )8 ndash ( 24 )2

m) 353 ndash 6 315 + 5 335 n) 24 ( 164 + 1) o) ( 33 ndash 2)( 93 + 1)p) (3 24 )4 + (3 23 )6 r) ( 84 ndash 24 )2 s) 11 + 576 11 ndash 576

Apskaičiuok

a) ( 2 ndash 3)44 + ( 2 ndash 3)66 b) (2 ndash 93 )66 + (2 ndash 93 )33 c) 1 ndash 25 + (1 ndash 2)210

d) ( 3 ndash 5)66 + ( 3 ndash 1)44 e) (1 ndash 23 )55 + (1 ndash 23 )44 f) (2 ndash 5)26 + 2 ndash 53

117

Įkelk daugiklį po šaknies ženklu

a) 3 2 b) 2 34 c) 04 100004 d) 13 544

e) 5 3 f) 3 23 g) 25 100004 h) 2 25

Palygink (be skaičiuotuvo)

a) 33 ir 23 b) 1610 ir 1 c) 6 ir 305 d) 93 ir 2 33 e) 135 ir 125 f) 1 ir 0610 g) 53 ir 35 h) 53 ir 3 235

Suprastink

a) 323 ndash 1083 b) 3 5124 + 2 324 c) 2 163 ndash 543 ndash 3 1283 d) 4 2434 + 484 e) 403 ndash 1353 f) 484 ndash 2434 ndash 7684

Apskaičiuok

a) ( 3 ndash 4)2 + 276 b) 125 + ( 5 ndash 3)2 ndash (4 5 ndash 20)33

c) 4 ndash 2 36 1 + 33 43 d) 3( 3 ndash 7 )2

10( 5 + 214 )( 5 ndash 214 )

e) (1 + 2)2 + 44 f) 3 ndash 2 26 2 + 23 326

g) (2 7 ndash 6)2 ndash ( 7 + 3)33 + 3 7 h) ( 5 ndash 3 )2

20( 154 + 2)( 154 ndash 2)

Apskaičiuok taikydamas veiksmų su laipsniais taisykles

a) 25013

213

b) (313)3

ndash (205)4 c) 3025 27025 ndash 213 4

13 d) 3

13 (32

3 + 1)e) (4025 ndash 405)4 f) (23

2 + 1)2

g) (314 + 3

12) (31

4 ndash 312) h) (51

6 + 514) (51

6 ndash 514)

i) 16214

125013 j) (41

4)8

ndash (405)3 k) 214 8

14 ndash 3

13 9

13 l) (23

4 + 1) 214

m) (805 ndash 3205)2 n) (314 + 1)2

o) (414 + 1) (41

4 ndash 1) p) (1 + 314) (31

4 ndash 1)

Išreikšk pirminio skaičiaus laipsniu

a) 8 435 b) 2 4 16 4

3

3 4 c) 777 493 d) 8

274 3

26 312 26

e) 23 484 2ndash33 f) 1253 5255 g) 53 553

023 h) 125 53 54 3 1

515

15

Apskaičiuok

a) 33 middot 15 3 ndash 15 3

15 3 + 1 + 15 3 b) ( 10) 2 ndash ( 5 ) 2

( 2 ) 2 ndash 1

c) (70)ndash2 ndash 3ndash2 72923 ndash 27 ndash

43 + 0008 ndash

13 d) (2 2 ndash 3 27) (23

2 + 9 3) + ( 1 4096) ndash

12( 4 3)ndash1

e) ((243 93 )14 ndash 3(3 34 )

13) 3 ndash

512 f) 3 + 63 9 ndash 6 26 ndash 33

g) 13 2 + 13 2 + 2

3 middot 13 2 ndash 13 2 h) ( 6 ) 2 + 2 2

( 3 ) 2 + ( 2 ) 2

i) ( 1 27) ndash 13 + 2 00016 ndash

14 + ( 1 81)ndash075 00640 j) 00001ndash

14 + ( 1

125) ndash 43 ndash 81075 1

9 ndash05

k) 84

74 4 ndash 24 4 + 24 l) ((31

2 + 1)2

ndash (4 + 312)33 )

12

ndash 2 cos 30deg

118


5 2 8 6 2 3 5

Tūks

tanč

ių sk

yriu

s

Šim

tų sk

yriu

s

Dešim

čių sk

yriu

s

Vien

etų

skyr

ius

Dešim

tųjų

skyr

ius

Šim

tųjų

skyr

ius

Tūks

tant

ųjų

skyr

ius

1 Pozicinis skaičiaus užrašymasKiekvieną natūralųjį skaičių n dešimtainėje skaičiavimo sistemoje gali-ma išreikšti skyrių suma

n = ak 10k + ak ndash 1 10k ndash 1 + + a2 102 + a1 10 + a0čia ak gali įgyti reikšmes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 o a0 a1 a2 ak ndash 1 ndash reikšmes 0 1 2 9 Pavyzdžiui skaičiaus 743 956 užrašas yra

743 956 = 7 105 + 4 104 + 3 103 + 9 102 + 5 10 + 6

Kai skaičiaus n skaitmenys nežinomi jie žymimi raidėmis ir skaičius n poziciniu būdu užrašomas taip

n = akak ndash 1a2a1a0

Dviženklis skaičius ab užrašomas taip ab = a 10 + b triženklis skai-čius abc ndash taip abc = a 100 + b 10 + c ir t t

Taip skaičiai išdėstomi skyrių suma sprendžiant uždavinius

①Triženklio skaičiaus vidurinis skaitmuo yra 4 Jeigu šį skaitmenį perkeltume į skaičiaus pradžią gautume skaičių 270 vienetų di-desnį už pradinį Koks yra pradinis skaičius

x4y = 4xy ndash 270 (1)

x4y = 100x + 40 + y

4xy = 400 + 10x + y

100x + 40 + y = 400 + 10x + y ndash 270

100x ndash 10x = 400 ndash 270 ndash 4090x = 90x = 1

SprendimasPradinis skaičius yra x4y Jeigu skaitmenį 4 perkelsime į skaičiaus pra-džią gausime skaičių 4xy Jis yra didesnis už pradinį todėl sulyginame abu skaičius iš didesniojo atimdami 270 Sudarome 1-ąją lygtį

Pirmąjį skaičių išreiškiame skyrių suma

Antrąjį skaičių išreiškiame skyrių suma

Įrašome gautas išraiškas į 1-ąją lygtį

Išsprendę lygtį matome kad y nebeliko o x = 1 Lygybė teisinga su bet kuria y reikšme tačiau y yra skaitmuo todėl gali įgyti reikšmes 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Uždavinio sąlygą atitiks bet koks triženklis skaičius kurio pirmasis skaitmuo 1 antrasis skaitmuo 4 o trečiasis ndash bet koksAtsakymas 140 141 143 144 145 146 147 148 149

Pavyzdžiai

Skaičių užrašyk skyrių suma

a) 287 b) 987 145 c) xyz d) abcde

Pamėgink

TAIKYK

119

②Raskime patį didžiausią ir mažiausią keturženklį skaičiaus 15 kartotinį kurio šimtų skaitmuo 2 o dešimčių skaitmuo 6

1 x260

x + 2 + 6 + 0 = x + 8

Jei x + 8 = 9 tai x = 1jei x + 8 = 12 tai x = 4jei x + 8 = 15 tai x = 7

1260 4260 7260

2 y265y + 2 + 6 + 5 = y + 13

Jei y + 13 = 15 tai y = 2jei y + 13 = 18 tai y = 5jei y + 13 = 21 tai y = 8

2265 5265 8265

SprendimasSkaičius dalijasi iš 15 jeigu jis dalijasi iš 5 ir iš 3 Kad skaičius dalytųsi iš 5 paskutinis jo skaitmuo turi būti 0 arba 5 Taigi ieškome skaičių x260 arba y265Kad skaičius dalytųsi iš 3 jo skaitmenų suma turi dalytis iš 3

Sudedame skaičiaus skaitmenis Gauta suma x + 8 turi dalytis iš 3 be to x gali būti tik vienaženklis natūralusis skaičius

Prilyginame sumą x + 8 skaičiaus 3 kartotiniams Mažiausias galimas kartotinis yra 9 nes kitaip gautume neigiamą x reikšmę Didžiausias ga-limas kartotinis yra 15 Jei imtume didesnius x būtų dviženklis skaičius

Randame tris galimus ieškomus skaičius

Sudedame skaičiaus skaitmenis Gauta suma y + 13 turi dalytis iš 3 be to y gali būti tik vienaženklis natūralusis skaičius

Parenkame tinkamas sumos reikšmes ndash skaičiaus 3 kartotinius

Gauname tris galimus sprendiniusIš gautų šešių skaičių mažiausias yra 1260 o didžiausias ndash 8265Atsakymas 1260 8265

❶ Triženklio skaičiaus paskutinis skaitmuo yra 1 Šio skaičiaus skaitmenis surašius atvirkščia tvarka gaunamas skaičius 495 vienetais mažesnis už pradinį Rask pradinį skaičių

❷ Kokius skaitmenis (nebūtinai vienodus) galima parašyti vietoj kad skaičius 252 dalytųsi iš 18 Surašyk visus taip gautus skai-čius


PamėginkPamėgink

2 Begalinių dešimtainių periodinių trupmenų vertimas paprastosiomisPaprastosios trupmenos skaitiklį padaliję iš vardiklio gauname dešim-tainę trupmeną Kartais ji yra baigtinė kartais ndash begalinė periodinė t y tokia kurios tam tikras skaitmuo ar skaitmenų grupė po kablelio pradeda kartotis Ši skaitmenų grupė vadinama dešimtainės trugravepme-nos periodugrave ir suskliaučiama Pavyzdžiui

1 6 = 016666 = 01(6)

1 7 = 0142857142857142 = 0(142857)

120

3 skyrius | Reiškiniai | Taikyk Skaičiai ir skaičiavimai

Turime begalinę periodinę dešimtainę trupmeną 32(56) Paverskime ją paprastąja

x = 025656 | 10 1 1

10x = 2565656 (1)

10x = 2565656 | 100 2 2

1000x = 2565656 (2)

1000x ndash 10x = 2565656 ndash 25656(1000 ndash 10)x = 256 ndash 2

x = 256 ndash 21000 ndash 10

x = 254990 = 127

495

32(56) = 3 256 ndash 2103 ndash 101 = 3 127

495 1 3

SprendimasSkaičiaus sveikoji dalis yra ta pati bet kuriame užraše jos neliesime Trupmeninę dalį pažymime x ir užrašome atitinkamą lygybę Abi jos puses dauginame iš 10 (prieš periodą yra tik vienas skaitmuo todėl dauginame iš 10 jei prieš periodą būtų du skaitmenys daugintume iš 100 ir t t)

Gautos periodinės trupmenos užraše kablelis yra pasistūmęs per vieną skaitmenį į dešinę

Gautą lygybę dauginame iš 100 (100 renkamės dėl to kad trupmenos periodą sudaro du skaitmenys)

Trupmenos užraše kablelis yra pasistūmęs per du skaitmenis į dešinę

Iš 2-osios lygybės atimame 1-ąją lygybę

Išreiškiame x

Apskaičiavę gauname reikiamą paprastąją trupmeną

Atsakymas 32(56) = 3 127495

Pavyzdys

021(8) = 218 ndash 21103 ndash 102 = 197

900 0(4) = 4 ndash 0101 ndash 100 = 4

9 2 3

0123(45) = 12345 ndash 123105 ndash 103 = 679

5500 0(56) = 56 ndash 0102 ndash 100 = 56

99 3 5

Šį algoritmą nesunku apibendrinti ir pagrįsti tokią taisyklę

Norint periodinę dešimtainę trupmeną paversti paprastąja reikia skaitiklyje parašyti skaičiaus sudaryto iš prieš periodą ir periode

esančių skaitmenų ir skaičiaus sudaryto iš prieš periodą esančių skaitmenų skirtumą

vardiklyje parašyti skaičių 10n ir 10m skirtumą čia n ndash skaitmenų prieš periodą ir periode skaičius m ndash skaitmenų prieš periodą skaičius

Taisyklę suprasi geriau jei paanalizuosi šiuos pavyzdžius

Begalinės dešimtainės trupmenos vertimo paprastąja algoritmas pagrįs-tas poziciniu skaičiaus užrašymu Pirmiausia panagrinėkime pavyzdį

Periodinę dešimtainę trupmeną paversk paprastąja atsakymą patik- rink skaičiuotuvu

a) 0(7) b) 05(7) c) 214(8) d) 03(12)


Pamėgink

Pavyzdžiai

121


x = 025656 | 10 1 1

10x = 2565656 (1)

10x = 2565656 | 100 2 2

1000x = 2565656 (2)


x = 256 ndash 21000 ndash 10

x = 254990 = 127

495

32(56) = 3 256 ndash 2103 ndash 101 = 3 127

495 1 3






Išreiškiame x


Atsakymas 32(56) = 3 127495

Pavyzdys

3 Standartinė skaičiaus išraiškaLabai didelius ir labai mažus skaičius patogu užrašyti standartine iš-raiška Taip skaičiai rašomi ir kitose mokslo srityse ndash fizikoje biologi-joje ir pan

Skaičiaus išraiška a 10m (čia 1 a lt 10 m isin Z) vadinama standaacuter-tine išraiška o laipsnio rodiklis m ndash skaičiaus eilegrave

Užrašykime skaičius 12 000 000 000 0000 006 1 standartine išraiška

1 2 000 000 000 = 12 ∙ 1010 10 vietų

0000006 1 = 61 ∙ 10ndash6 6 vietos

SprendimasKablelį perkeliame į kairę per 10 skaitmenų (vietų) kad prieš kablelį būtų tik vienas nelygus nuliui skaitmuo Todėl skaičius 10 standartinėje išraiškoje yra pakeltas dešimtuoju laipsniu

Kablelį perkeliame į dešinę per 6 skaitmenis kad prieš kablelį būtų tik vienas nelygus nuliui skaitmuo Todėl skaičius 10 standartinėje išraiš-koje yra pakeltas minus šeštuoju laipsniuAtsakymas 12 ∙ 1010 61 ∙ 10ndash6

Pavyzdys

Duoti skaičiai a = 24 1025 b = 12 1025 c = 5 1024 Apskaičiuok a + b a + c a b ir b c

a + b = 24 1025 + 12 1025 = = 36 1025

a + c = 24 1025 + 5 1024 = = 24 1025 + 05 1025 = 29 1025

a b = (24 1025) (12 1025) = = (24 12) (1025 1025) = 288 1050

b c = 12 1025

5 1024 = 024 101 = 24

SprendimasSkaičių a ir b eilė yra ta pati Galime tiesiog sudėti skaičius esančius prieš laipsnius 24 1025 + 12 1025 = (24 + 12) 1025 = 36 1025

Skaičių a ir c eilė skiriasi ją reikia suvienodinti Skaičių 5 1024 parašo-me taip 5 1024 = 05 1025 Čia pirmąjį daugiklį 10 kartų sumažinome todėl antrąjį 10 kartų padidinome

Dauginant ir dalijant skaičius nereikia vienodinti jų eilės Taikome laipsnių savybę ndash daugindami laipsnius jų rodiklius sudedame

Dalydami laipsnius iš skaitiklio laipsnio rodiklio atimame vardiklio laipsnio rodiklį Rezultatą būtinai pateikiame standartine išraiška Atsakymas 36 ∙ 1025 29 ∙ 1025 288 ∙ 1050 24

Pavyzdys

Greičiausias iš stuburinių gyvūnų yra gepardas Jis per valandą nu-bėga apie 112 000 m Vėžlys per sekundę nuropoja apie 002 m Šiuos skaičius užrašyk standartine išraiška

Pamėgink

Duoti skaičiai a = 82 10ndash12 b = 4 10ndash12 c = 41 10ndash13 Apskaičiuok a + b a + c a b ir c b ir atsakymą užrašyk standartine išraiška


Pamėgink

122


Kūno masės indeksas (KMI) apskaičiuojamas pagal formulęKMI = masė (kg)

(ūgis (m))2 Šis indeksas turi būti apskaičiuotas dešimtųjų

tikslumu ir kūno masė yra normali kai jos indeksas svyruoja nuo 185 iki 249Apskaičiuokime žmogaus kuris sveria 60 kg ir yra 168 cm ūgio kūno masės indeksą

KMI = 601682 asymp 60

282 asymp 2127 asymp 213SprendimasCentimetrus paverčiame metrais ir duotus skaičius įrašome į formulę Tarpinių skaičių paliekame po du skaitmenis po kablelio Galutinį atsa-kymą suapvaliname iki dešimtųjų Žmogaus kūno masės indeksas yra 213 todėl žmogaus kūno masė normali

Pavyzdys

∆x = |x ndash a|

δ = |x ndash a||a| 100

Realiojo skaičiaus x artinio a absoliučiąja patildeklaida vadinamas skai-čiaus x ir jo artinio a skirtumo modulis

Rašome ∆x = |x ndash a|

Realiojo skaičiaus x artinio a santykinegrave patildeklaida vadinamas abso-liučiosios paklaidos ir artinio modulio santykis Paprastai santykinė paklaida reiškiama procentais

δ = |x ndash a||a| arba δ = |x ndash a|

|a| 100

4 Apytikslis skaičiavimas paklaidosPraktikoje skaičiai labai dažnai yra apvalinami pagal tau žinomas skaičių apvalinimo taisykles ir vietoj tikslios skaičiaus reikšmės nau-dojamas jos artinỹs a ndash skaičius kuris yra apytiksliai lygus pradiniam skaičiui (x asymp a) Pavyzdžiui 3 = 17320508076

Skaičiaus 3 artiniai yra 17 173 1732

Jei artinio absoliučioji paklaida yra ne didesnė už skaičių h tai ar-tinys vadinamas artiniu tikslumugrave h Koks artinys pasirenkamas kon-krečiu atveju paprastai priklauso nuo reikiamo tikslumo Paklaida atsirandanti skaičiuojant turi būti mažesnė už reikalaujamą tikslumą

Uždavinio sąlygoje dažniausiai nurodoma kokiu tikslumu reikia pateikti atsakymą Tada tarpiniai rezultatai visada imami su bent vienu atsarginiu skaitmeniu Galutinis atsakymas suapvalinamas nurodytu tikslumu

Žinoma neapmokestinamojo pajamų dydžio (NPD) skaičiavimo for-mulė NPD = 200 ndash 034 (A ndash 350) čia A ndash atlyginimas eurais Apskaičiuok žmogaus kurio atlyginimas A yra 62575 euro neapmo-kestinamąjį pajamų dydį cento tikslumu


Pamėgink

123

Raidinį reiškinį užrašyk daugianariu

a) ab ndash ba b) abc ndash cba c) abcd ndash dcba d) 3abc ndash 2cba

Rask triženklį skaičių (jei jis yra ne vienas rask visus) atitinkantį tokias sąlygas

a) jo dešimčių skaitmuo lygus 1 o išbraukus šį skaitmenį gaunamas dviženklis skaičius 9 kartus mažesnis už pradinį

b) jo vidurinis skaitmuo yra 7 be to šis skaičius dalijasi iš 45c) jo paskutinis skaitmuo yra 7 o perkėlus šį skaitmenį į skaičiaus pradžią gau-

namas skaičius 486 vienetais didesnis už pradinįd) jo vidurinis skaitmuo yra 7 ir šis skaičius dalijasi iš 18




KMI = 601682 asymp 60


Pavyzdys

a) Skaičius 1 7 ir 3 7 išreikškime dešimtainėmis trupmenomis ir suapva-linkime iki šimtųjų

b) Raskime trupmenos 1 7 artinio absoliučiąją ir santykinę paklaidas santykinę paklaidą išreikškime procentais

a) 1 7 = 014 2 857 asymp 014

lt 5 artinys a = 014

3 7 = 042 8 571 asymp 043

gt 5

artinys a = 043

SprendimasSkaitiklį dalijame iš vardiklio t y kiekvieną paprastąją trupmeną pa-verčiame dešimtaineŠimtųjų skyriaus skaitmuo 4 nesikeis nes už jo yra skaitmuo 2 o 2 lt 5

Šimtųjų skyriaus skaitmuo 2 vienetu padidės nes už jo yra skaitmuo 8 o 8 gt 5

Pavyzdys

b) ∆x = |1 7 ndash 014| = |50 ndash 49

350 | =

= | 1350| = 1

350

∆x = 1350 lt 00028 lt 0003

δ = ∆x|a| =

1350

750

= 1350 50

7 = 149

δ = 149 100 asymp 2041 lt 21

Skaičiuodami absoliučiąją paklaidą iš tiksliosios reikšmės atimame apytikslę (artinį) Galime atimti ir atvirkščiai ndash rezultatas nepasikeis nes paklaida lygi skirtumo moduliuiPastaba Paklaidą galime paversti dešimtaine trupmena ir suapvalinti iki pirmojo nelygaus nuliui skaitmens po kablelio Tačiau paklaidas apvaliname tik didindami

Santykinė paklaida ndash absoliučiosios paklaidos ir artinio santykis

Santykinę paklaidą išreiškiame procentaisPrimename paklaidos apvalinamos tik didinant

UŽDAVINIAI

Skaičiuotuvu apskaičiuok skaičiaus 25 reikšmę suapvalink gautą skaičių iki tūkstantųjų apskaičiuok absoliučiąją ir santykinę paklai-das Santykinę paklaidą išreikšk procentais


Pamėgink

124


a) Rask didžiausią galimą skaičių 7ab5 kuris dalijasi iš 9 b) Rask mažiausią galimą skaičių 2ab5 jei yra žinoma kad jis dalijasi iš 15

Įrodyk kad

a) dviženklio skaičiaus ir skaičiaus užrašyto tais pačiais skaitmenimis tik atvirkš-čia tvarka skirtumas dalijasi iš 9

b) keturženklis skaičius užrašytas vienodais skaitmenimis dalijasi iš 101c) triženklis skaičius užrašytas vienodais skaitmenimis dalijasi iš 3 ir 37d) vienas po kito einančių dviejų nelyginių skaičių suma dalijasi iš 4

Pagrįsk teiginius

a) skaičius 102017 + 5 dalijasi be liekanos iš 3 ir 5b) skaičius 101002 ndash 1 be liekanos dalijasi iš 9c) skaičius m3 ndash m be liekanos dalijasi iš 6 čia m isin Nd) skaičius 10305 + 8 be liekanos dalijasi iš 2 ir 9e) skaičius 101960 ndash 4 be liekanos dalijasi iš 6f) skaičius 6712 ndash 1 be liekanos dalijasi iš 10

Raska) didžiausią skaičiaus 5 laipsnį iš kurio dalijasi sandauga 1 2 3 100b) didžiausią skaičiaus 3 laipsnį iš kurio dalijasi sandauga 30 31 32 100

Išspręsk uždavinius

a) Įrodyk kad suma trijų laipsnių kurių kiekvieno pagrindas yra 2 o rodikliai ndash trys iš eilės einantys natūralieji skaičiai dalijasi iš 7

b) Skaičiaus 18 730 skaitmenį 0 pakeisk tokiu skaitmeniu kad gautas skaičius da-lytųsi iš 6

c) Trupmenos vardiklis yra 3521 vienetu didesnis už skaitiklį Suprastinus tą trup- meną gauta 4

11 Kokia buvo nesuprastinta trupmena

d) Rask mažiausią penkiaženklį skaičiaus 9 kartotinį kurio pirmas skaitmuo yra 6 ir nė vienas iš tą skaičių sudarančių skaitmenų nesikartoja

e) Vienas skaičius didesnis už kitą 406 vienetais Jei didesnį skaičių padalytume iš mažesniojo tai dalmuo būtų 3 o liekana ndash 66 Rask šiuos skaičius

f) Rask du natūraliuosius skaičius kurių suma lygi 168 o bendrasis daliklis yra skaičius 24

g) Rask keturis vienas po kito einančius lyginius skaičius kurių suma lygi 2 288 740

h) Rask visus didesnius už 10 000 bet mažesnius už 15 000 skaičius kuriuos da-lijant tiek iš 393 tiek iš 655 gaunama liekana 210

i) Du dviženkliai skaičiai parašyti vienas po kito sudaro keturženklį skaičių kuris dalijasi iš tų dviženklių skaičių sandaugos Rask abu dviženklius skai-čius

j) Sudedant keturis neaiškiai parašytus skaičius pirmo skaičiaus šimtų skaitmuo 2 buvo pakeistas skaitmeniu 5 antro skaičiaus tūkstančių skaitmuo 3 ndash skaitmeniu 8 trečio skaičiaus vienetų skaitmuo 9 ndash skaitmeniu 2 o ketvirto skai-čiaus dešimčių skaitmuo 7 ndash skaitmeniu 4 Gauta suma 28 975 Kokia turėjo būti tikroji suma

125

k) Vienas iš garsiausių Lietuvotildes matematikų gimė praeitame šimtmetyje mirė 2011 metais Šis profesorius habilituotas mokslų daktaras Lietuvotildes mokslų akademijos narys Greifsvaldo Pratildehos Latildetvijos Zaacutelcburgo universitetų garbės daktaras Santarvės fondo laureatas Lietuvotildes matematikų draugijos preziden-tas ilgametis Vilniaus universiteto rektorius specializavosi tikimybių teorijos ir matematinės statistikos analizinės ir tikimybinės skaičių teorijos srityse Jo tyrimai žinomi visame pasaulyje monografijos išleistos JAV Profesoriaus gi-mimo metų skaičiui būdinga tokia savybė iš jo atėmę 630 gauname skaičių užrašytą atvirkščia tvarka Kuriais metais gimė šis garsus Lietuvotildes matemati-kas Sužinok jo vardą ir pavardę

Užrašyk paprastosiomis trupmenomisa) 0(31) b) 12(7) c) 02(38) d) 241(3)e) 04(9) f) 0(59) g) 0(428) h) 017(24)

Atlik veiksmusa) 0(2) + 0(7) b) 0(31) + 04(3) c) 0(315) + 07(321)

d) 0(32) 0(4) e) 0(493) 07(45) f) 0(285714) 01(3)04(6) 4(9)

g) 2(8) ndash 0(4) h) 1(27) ndash 03(4) i) 0(917) + 03(614)

j) 0(57) 0(6) k) 0(267) 03(12) l) 0(53) 02(9)332(4) + 1(21)

Palygink skaičius

a) 1 6 ir 3

5 b) ndash 7 12 ir ndash 5 9 c) 2 3 ir 7

12

d) 1 3 ir 03(43) e) 014(3) ir 1 7 f) ndash 5 12 ir ndash041(6)

g) ndash173(9) ir ndash174 h) 24(7) ir 248 i) 39(8) ir 38(9)j) 4

7 ir 057(14) k) ndash0(27) ir ndash 3 11 l) ndash11 2 ir ndash1(5)

Skaičių parašyk standartine išraiškaa) 5 200 000 b) 000254 c) 364 000 000 000 d) 000000026e) 000002 f) 37 000 000 000 g) 0000000001 h) 10 000 000 000

Atlik veiksmus ir rezultatą parašyk standartine išraiškaa) 00189 525 b) 3762 106 c) 1410 10ndash10

d) 0002096 1012

524 e) 08128 1024

254 10ndash14 f) 0027 1021 ndash 631 1017

g) 1890 00105 h) 00045 1017 i) 000007 10ndash16

j) 000010288016 1017 k) 5139645 10ndash13

7895 10ndash34 l) 760 1012 ndash 0003 1015

Skaičių išreikšk dešimtaine trupmena ir suapvalink nurodytu tikslumu h

a) 5 6 h = 01 b) 2

7 h = 000001 c) 3 h = 01 d) 6 h = 001

e) 4 13 h = 001 f) 3

11 h = 0001 g) 11 h = 000001 h) 8 h = 000001

Skaičių išreikšk dešimtaine trupmena suapvalink nurodytu tikslumu h apskai-čiuok absoliučiąją ir santykinę paklaidas santykinę paklaidą išreikšk procentais

a) 1 9 h = 01 b) 2 h = 001 c) 3

11 h = 001 d) 10 h = 0001

126

1 variantas

❶ Kam lygi intervalų [1 8] ir [5 17] sąjungaA [1 5] cup [8 17] B [5 8] C [1 17] D [8 17]

❷ Kuri aibė nurodo aibės L = x| x isin N x ndash2 elementusA A = [ndash2 +infin) B B = ndash2 ndash1 0 1 C C = 0 1 2 3 D D = 1 2 3

❸ Kuris skaičius yra reiškinio 76 ndash 75

6 reikšmė

A 7 6 B 1

6 C 75 D 74

❹ Rask aibių A = 2 4 7 9 12 ir B = 3 4 6 10 12 14 16 sankirtą A cap B

❺ Ar teiginys yra teisingas (jei neteisingas ištaisyk dešiniąją pusę)a) ndash57 isin Z b) 643 isin I c) ndash19 isin Q d) 20 isin Ze) 31

3 isin I f) π isin I g) ndash37(56) isin I h) 0 2 4 6 8 isin Z

❻ Apskaičiuok

a) (134)ndash 2 b) 7503

63 c) (33

4 9ndash 14)ndash4

d) ( 27 ndash 2 3 + 75) 3

e) 5( 3 ndash 7)2

5 ndash 21 f) ( 00001

81 ) ndash 34 10ndash4 g) ( 160

15

121502) ndash2

h) 23 ( 43 ndash 163 )

❼ Suprastink skaitinį reiškinį

a) 94 ndash 2 3 + 276 b) |3 ndash 3 2| ndash |4 ndash 2 2| ndash (5 2 ndash 6) c) (313 + 813 + 96 ) 32

3


Jei mokaisi bendrąjį kursą baigdamas šį skyrių turi suprasti skaičių aibės poaibio sąvokas mokėti rasti dviejų skaičių ai-bių sąjungą ir sankirtą

žinoti laipsnių su racionaliuoju rodikliu savybes ir jas taikyti spręsda-mas uždavinius

žinoti veiksmų su n-tojo laipsnio šaknimis savybes ir mokėti atlikti paprastus veiksmus su šaknimis

mokėti apskaičiuoti nesudėtingų reiškinių su moduliu reikšmes mokėti atlikti veiksmus su skaičiais užrašytais standartine išraiška mokėti atlikti įvairius veiksmus su tiksliais ir apytiksliais skaičiais su-apvalinti skaičių nurodytu tikslumu taikyti skaičiavimus spręsdamas matematinio ir praktinio turinio uždavinius

Jei mokaisi išplėstinį kursą dar turi žinoti realiųjų skaičių aibės sandarą mokėti rasti dviejų aibių skirtu-mą suprasti kas yra aibės papildinys

mokėti apskaičiuoti reiškinių su moduliu reikšmes mokėti paversti periodines dešimtaines trupmenas paprastosiomis įvertinti skaičiavimo rezultatų absoliučiąją ir santykinę paklaidas

gebėti pertvarkyti reiškinius su laipsniais kurių rodiklis realusis ir n-tojo laipsnio šaknimis

PASITIKRINK

127

❽ Sugalvotą natūralųjį skaičių padauginę iš minus keturių ir prie sandaugos pri-dėję 6 gauname daugiau už ndash16 bet mažiau už ndash12 Koks skaičius sugalvotas

❾ Mėnulis skrieja aplink Žemę o Žemė ndash aplink Saulę elipsės formos orbitomis todėl atstumai tarp šių dangaus kūnų kinta Mėnulio mažiausias atstumas iki Žemės yra 363 300 km o didžiausias ndash 405 500 km Atstumas tarp Žemės ir Saulės kinta nuo maždaug 1471 mln kilometrų iki 1521 mln kilometrųa) Parašyk visus šiuos skaičius standartine išraiškab) Kiek kartų (vieneto tikslumu) trumpiausias atstumas nuo Saulės iki Žemės yra

didesnis už ilgiausią atstumą nuo Žemės ir Mėnulioc) Kiek kilometrų (šimto tūkstančių kilometrų tikslumu) trumpiausias atstumas

nuo Žemės iki Saulės yra mažesnis už ilgiausią atstumą tarp šių dangaus kūnų

2 variantas

❶ Kuri aibė nurodo aibės P = x| x isin R ndash4 lt x 1 elementusA A = ndash3 ndash2 ndash1 0 1 B B = (ndash4 1] C C = 0 1 D D = 1

❷ Kuri lygybė teisinga

A 4ndash 34 = 4

43 B 4ndash

34 = 1

644 C 4ndash

34 = 1

43 D 4ndash 34 = 1

2563

❸ Kuris skaičius yra reiškinio 1415 + 1417

1417 reikšmė

A 1514 B 1 1

196 C 1415 D 1415

❹ Duotos aibės A = ndash3 45 0 1 3 1253 π 1(2) 11 ir

B = ndash13 45 ndash2 1 3 5 35 π 1(23) 121 Rask

a) A cap B b) B A c) A B d) A cap N e) (A cup B ) cap Z f) (A B ) cap I g) B cap Z h) (B N) cap Z

❺ Išvardyk visus aibės N = 2 4 7 poaibius

❻ Apskaičiuok

a) ( 181 625ndash1)ndash

14 b) 2 8

16 8

4

3

3 88 c)

8113 + 3

73

33 + 813 + 21873

d) 53 + 2a 43 + 2a

202a + 2 e) 31 ndash 2 5 9 5 f) 17 ndash 338 33 + 178

❼ Suprastink

a) ( 182 ndash 13

ndash 2011 ndash 1

+ 2413 ndash 1) ( 1

2 + 11 )ndash1 b) (3 ndash 7)

12(3 + 7)

12

c) 1 + 3 + 32 + 33 + 34 + + 315

1 + 3 + 32 + 33 + + 37 d) (6 ndash 4 2)2 ndash |2 ndash 2 2| + (6 2 ndash 3)55

e) (3 21 ndash 2 ndash 22 ndash 2 ) 2 + 1 f) 132(7) ndash 04(26)04(9)

❽ Skaičių 17 suapvalink tikslumu h = 001 ir apskaičiuok absoliučiąją bei santy-kinę paklaidas

❾ Triženklis skaičius baigiasi skaitmeniu 3 Jeigu šį skaitmenį perkeltume į skai-čiaus pradžią tai gautas skaičius būtų 216 vienetų mažesnis už pradinį Rask pradinį skaičių

❿ Per sekundę pro atvirą čiaupą išteka 2000 cm3 vandens Kiek litrų vandens iš-tekės pro šį čiaupą per parą Atsakymą parašyk standartine išraiška

⓫ Įrodyk kad reiškinys (1010 ndash 1)(1010 + 1) dalijasi iš 9 be liekanos

128

Algebriniai reiškiniai

Sprendžiant matematikos ekonomikos fizikos chemijos ir kitų da-lykų uždavinius dažniausiai reikia pirma sutvarkyti raidinį reiškinį paskui į jį įrašyti atitinkamas skaitines reikšmes Sakome kad įrašę vietoj raidžių (kintamųjų) atitinkamus skaičius apskaičiuojame reiš-kinio skaitinę reikšmę

1 Algebrinių reiškinių rūšysAlgebrinį reacuteiškinį sudaro skaičiai ir kintamieji (raidės) susieti sudė-ties atimties daugybos dalybos kėlimo laipsniu bei šaknies traukimo veiksmais ir skliaustais Algebrinių reiškinių pavyzdžiai

2x + 3 x2 ndash 3x + 2 ndash5x + 2 a + b a b c4 x + y

45y m2nndash3 ndash (2m ndash 03n)2 ndash 2nndash 23

Mokykloje nagrinėjame dviejų pagrindinių rūšių algebrinius reiš-kinius racionaliuacuteosius ir iracionaliuacuteosius Racionalieji reiškiniai gali būti sveikieji ir trupmeniniai Paaiškinsime plačiau

Sveikieji reiškiniai sudaryti tik iš skaičių kintamųjų skliaustų ir sudėties atimties daugybos kėlimo natūraliuoju laipsniu veiksmų Šiuose reiškiniuose nėra dalybos iš kintamojo kintamasis nekeliamas neigiamuoju arba trupmeniniu laipsniu iš jo netraukiamos šaknys Sveikųjų reiškinių pavyzdžiai

x2 ndash 3x + 2 x ndash 42 2

m4 + 3m3 + 23 (p ndash 4)(p ndash 12)

27 53

Sveikasis reiškinys užrašomas skaičių ir kintamųjų sandauga vadi-namas vienatildenariu pavyzdžiui 3a2x5

Kelių vienanarių suma arba skirtumas yra daugiatildenaris pavyzdžiui 3ax5 ndash 6a2xy4 ndash 6 2x pirmasis antrasis trečiasis

narys narys narys

trinaris

Trupmeniniai reiškiniai sudaryti iš skaičių kintamųjų skliaustų sudėties atimties daugybos kėlimo natūraliuoju laipsniu ir dalybos iš kintamojo veiksmų Šiuose reiškiniuose nėra kintamojo laipsnių su trup- meniniais rodikliais šaknų Trupmeninių reiškinių pavyzdžiai

abc2R y4 ndash 3y2 + 2

y2 + 2y ndash 6 m4 ndash 3m3 ndash 23m ndash 15 ndash m

m + 2

Iracionalieji reiškiniai skiriasi nuo racionaliųjų tuo kad juose yra šaknies iš kintamojo traukimo veiksmas arba kintamieji keliami laips-niais kurių rodikliai trupmeniniai Iracionaliųjų reiškinių pavyzdžiai

p(p ndash a)(p ndash b)(p ndash c) (a ndash b) 13 p ndash 2 p + 3

7 ndash p + 3


racionalieji

iracionalieji

sveikieji trupmeniniai

SUSIPAŽINK

129

2 Reiškinio apibrėžimo sritisAlgebrinio reacuteiškinio apibrėžimo sritimi vadinsime kintamojo reikš-mių su kuriomis šis reiškinys turi prasmę aibę

Sprendžiant realaus turinio uždavinius reiškinių apibrėžimo sritį dažniausiai diktuoja uždavinių sąlyga Pavyzdžiui sprendžiant geo-metrijos uždavinius tenka skaičiuoti ilgį plotį aukštį plotą tūrį Visi išvardyti dydžiai gali būti tik teigiami

Kai uždavinys nesusijęs su konkrečia realia situacija reiškinio api-brėžimo sritį nustatysime pagal tokias taisykles

1 taisyklėSveikojo reiškinio apibrėžimo sritis yra visa realiųjų skaičių aibė

2 taisyklėDalyba iš nulio negalima todėl trupmeninis reiškinys turi prasmę tik tada kai vardiklis nelygus nuliui Jei reiškinio išraiškoje yra trupmeninisreiškinys g(x)

f(x) tai ieškodami apibrėžimo srities sprendžiame nelygybęf(x) ne 0

3 taisyklėLyginio laipsnio šaknį realiųjų skaičių aibėje galime ištraukti tik iš ne-neigiamo skaičiaus todėl reiškinys esantis po lyginio laipsnio šakni-mi turi būti neneigiamas Jeigu reiškinio išraiškoje yra lyginio laipsnio šaknis f(x)2n sprendžiame nelygybę f(x) 0

4 taisyklėJei reiškinio vardiklyje yra lyginio laipsnio šaknis g(x)

f(x)2n sprendžiame nelygybę f(x) gt 0

5 taisyklėLaipsnio su racionaliuoju trupmeniniu rodikliu pagrindas pagal api-brėžtį yra tik teigiamasis skaičius

Pastaba Ateityje kai susipažinsi su sudėtingesniais reiškiniais taisyklių bus daugiau

Įsimink

Reiškinys Apibrėžimo sritis

① sveikasis x isin R

② ne 0

③ 2n 0

④ 2n gt 0

⑤mn gt 0

①Nustatykime reiškinio 1 3x2 ndash 03x + 2 apibrėžimo sritį

SprendimasReiškinys yra sveikasis todėl (pagal 1 taisyklę) apibrėžtas kai x isin RAtsakymas x isin R

Pavyzdžiai

Nustatyk kurie iš šių reiškinių yra sveikieji kurie ndash trupmeniniai ir kurie ndash iracionalieji

1) (2 ndash x2)(2 + x2)x ndash 5 2) 2

5x 2 ndash 37x + 4

3) 23 x 2 ndash 5x ndash 813 4) 7

c ndash 2

c + 1 + c + 2

33

5) 2x2 ndash 5x ndash 325 6) (3 + x)(12 + x)

(x ndash 5)x

7) y3

3 + 3y23 8) 3y2 + 2

y2 + 5y ndash 6


Pamėgink

130

3 skyrius | Reiškiniai | Susipažink Algebriniai reiškiniai

②Nustatykime reiškinio 12 + x x(x ndash 4) ndash 05x ndash 3 apibrėžimo sritį

x(x ndash 4) ne 0

x ne 0 arba x ndash 4 ne 0 x ne 4

SprendimasPagal 2 taisyklę trupmenos vardiklis negali būti lygus nuliui

Dviejų daugiklių sandauga nelygi nuliui kai abu daugikliai nelygūs nuliuiAtsakymas x isin (ndashinfin 0) cup (0 4) cup (4 +infin)Pastaba Atsakymą galima užrašyti ir kaip aibių skirtumą x isin R 0 4

①Nustatykime reiškinio 5 ndash 2xx + 1 apibrėžimo sritį

5 ndash 2x 0x + 1 ne 0

ndash2x ndash5 | (ndash2)x ne ndash1

x 25x ne ndash1

x isin (ndashinfin ndash1) cup (ndash1 25]

SprendimasPagal 3 taisyklę pošaknis turi būti neneigiamas o pagal 2 taisyklę trup-menos vardiklis nelygus nuliui Sudarome nelygybių sistemą

Kadangi pirmąją sistemos nelygybę dalijame iš neigiamojo skaičiaus nelygybės ženklą keičiame priešingu

Apibrėžimo sritis ndash nelygybių sistemos sprendiniai

Pažymime nelygybių sprendinius skaičių tiesėje Subrūkšniuojame rei-kiamą sritįAtsakymas (ndashinfin ndash1) cup (ndash1 25]

②Nustatykime reiškinio 3x + 498 ndash 2x24

+ 2 x + 3 apibrėžimo sritį

98 ndash 2x2 gt 0x + 3 ne 0

x ne ndash3

98 ndash 2x2 gt 0 | (ndash2)x2 ndash 49 lt 0

(x + 7)(x ndash 7) lt 0

SprendimasPagal 4 taisyklę pošaknis turi būti teigiamas o pagal 2 taisyklę trup-menos vardiklis negali būti lygus nuliui Sudarome nelygybių sistemą

Jos antrosios nelygybės sprendiniai ndash visi skaičiai išskyrus ndash3

Sprendžiame pirmąją sistemos nelygybę dalijame ją iš ndash2 ir pakeičiame nelygybės ženklą priešingu

Išskaidome kairiąją pusę daugikliais Nelygybė kvadratinė todėl spren-džiame ją remdamiesi kvadratinės funkcijos grafiko eskizu

Toje pačioje skaičių ašyje pažymime ir antrosios nelygybės sprendinius ndash tuščiaviduriu skrituliuku išskiriame tašką x = ndash3

Reiškinio apibrėžimo sritis ndash abiejų nelygybių bendrieji sprendiniai

Atsakymas D = (ndash7 ndash3) cup (ndash3 7)

Pavyzdžiai

Nustatyk reiškinio apibrėžimo sritį

a) 03x ndash 1 3 b) 2

7x3 + 1 9x2 + 0(4)x ndash 12

c) 2 + 4x x + 3 d) 2 + 4x

x2 ndash 25

Pamėgink

131

Nustatyk koks (sveikasis trupmeninis iracionalusis) yra reiškinys

a) x02 ndash 2 12 + x b) x ndash 2

3 c) 3 x ndash 36

x2 ndash 4 d) 12 ndash x

e) 5x ndash 212 f) x

12 ndash 2x g) x

13 ndash 1 h) 3x ndash 36

x2 ndash 1

Užrašyk reiškiniu nurodytą dydį

a) Aibė sudaryta iš šešių vienas po kito einančių lyginių skaičių Mažiausias tų skaičių yra x Užrašyk reiškiniu šios aibės elementų sumą

b) Miglei dabar x metų Po a metų Povilas bus dvigubai vyresnis nei Miglė buvo prieš b metų Užrašyk reiškiniu kiek dabar metų yra Povilui

c) Skaičius y yra tiesiogiai proporcingas skaičių a ir b skirtumo kvadratui Propor-cingumo koeficientas lygus k Užrašyk reiškiniu skaičiaus y reikšmę

d) Skaičius x yra atvirkščiai proporcingas skaičių a ir b kubų skirtumui Propor-cingumo koeficientas lygus k Užrašyk reiškiniu skaičiaus x reikšmę


a) 7x + 2 b) 5x2 ndash 39 c) 3x ndash 36

x2 ndash 4 d) 12 ndash 3x

e) x13 ndash 1 f) 1

3 ndash x g) 5x2 ndash 2x + 3

5 ndash 3 h) 5x2 ndash 40x

2x2 ndash 50

i) x2 ndash 5x + 6 j) 5x ndash 212 k) 1

12 ndash 2x l) 6x ndash 8

m) 2x + x25 n) x + 2

3 5 o) 2x + 1

x2 ndash 9 p) 12x + x + 4


a) 18 ndash 2x2 b) x2 ndash 100 3

x2 ndash 64 c) 6 ndash 2a

a + 3 d) 4x

22 ndash x3 + 16 ndash x2

e) (3x ndash 1)ndash134 f) 5x + 40 3

1 ndash x2 g) 4

x2 ndash 3x4 h) 3x2 ndash 5x ndash 2x ndash 12

i) 3 ndash 12x2 j) x2 ndash 44

1 ndash x5 k) 4 ndash a

2 ndash a l) 35k + 21 6

2k + 34

m) (07p2 ndash 14p)ndash17

1 ndash p2 n) 2x + 10

x2 + 163 o) x2 ndash x ndash 12

x + 5 p) 4 ndash 12x2 + 4 5x + 403

UŽDAVINIAI


a) 18 ndash 3xx2 ndash 36

b) x + 24

3 ndash x6

c) x5 ndash x + 23 ndash x4

d) x2 ndash 6x3 ndash 2xx ndash 4 + x5

x2 ndash 1


Pamėgink

132


Atliekant įvairius inžinerinius skaičiavimus analizuojant funkcijas sudarant ir sprendžiant lygtis dažnai gaunami sudėtingi algebriniai reiškiniai Norint suprastinti gautas išraiškas šie reiškiniai yra per-tvarkomi Jau esi susidūręs su nesudėtingais pertvarkiais Šiame sky-relyje išmoksi daugybę dalykų

pirmiausia pakartosi veiksmus su laipsniais ir šaknimis sudė-tį ir atimtį daugybą ir dalybą daugiklio iškėlimą prieš šaknies ženklą ir įkėlimą po n-tojo laipsnio šaknimi

išmoksi keturias naujas greitosios daugybos formules prisiminsi reiškinio skaidymo daugikliais būdus kėlimą prieš

skliaustus greitosios daugybos formulių taikymą kvadratinio trinario skaidymą grupavimo būdą

mokysies atlikti veiksmus su algebrinėmis trupmenomis pras-tinti sudėti ir atimti dauginti ir dalyti

prastinsi racionaliuosius ir iracionaliuosius reiškinius

1 Veiksmai su laipsniais ir šaknimisSudėtis atimtis daugyba

Algebrinių reiškinių su laipsniais ir šaknimis pertvarkiams galioja tos pačios laipsnių ir šaknų savybės kaip ir skaitinių reiškinių pertvar-kiams

①Suprastinkime reiškinį x 13 (x

23 + xndash

13)

x 13 (x

23 + xndash

13) = x

13 x

23 + x

13 xndash

13 =

= x 13 +

23 + x

13 ndash

13 = x

33 + x0 = x + 1

SprendimasAtskliaučiame

Daugindami laipsnį iš laipsnio laipsnių rodiklius sudedame

Atsakymas x + 1

② Suprastinkime reiškinį a4 ( a4 ndash 2) ndash ( a4 ndash 1)2

a4 ( a4 ndash 2) ndash ( a4 ndash 1)2 =

= a4 a4 ndash 2 a4 ndash (( a4 )2 ndashndash 2 a4 + 1) =

= a ndash 2 a4 ndash ( a ndash 2 a4 + 1) == a ndash 2 a4 ndash a + 2 a4 ndash 1 = ndash1

SprendimasPastebime kad reiškinio apibrėžimo sritis yra a 0

Atskliaučiame ir dvinarį pakeliame kvadratu pagal formulę

Sudauginame a4 a4 = ( a4 )2 = a24 = a (a 0)

Atskliaučiame ir sutraukiame panašiuosius nariusAtsakymas ndash1

Pavyzdžiai

IŠMOK

133

Daugiklio iškėlimas prieš šaknį

Jei pošaknio daugiklio laipsnis yra ne žemesnis negu šaknies daugi-klį galima iškelti prieš šaknies ženklą Tai padaryti labai paprasta jei šaknis yra nelyginio laipsnio arba aišku kad po šaknimi esantys kin-tamieji yra teigiami

Suprastinkime reiškinį a) x43 b) x94 c) x6y6 kai x gt 0

a) x43 = x3 x3 = x x3

b) x94 = x4 x4 x4 = x2 x4

x94 = x 94 = x2

14 = x2 x4

c) x6y6 = x6 y6 = x y6

SprendimasIšskaidome pošaknį x4 = x3 x Ištraukiame kubinę šaknį x33 = x

Reiškinio apibrėžimo sritis x gt 0 Išskaidome x9 = x4 x4 x Ištraukiame šaknį x4 x44 = x x = x2

Galima veiksmą atlikti ir pavertus šaknį laipsniu su trupmeniniu ro-dikliu

Ištraukiame šaknį x66 = xPastaba Sąlygoje nurodyta kad x gt 0 Jei šio nurodymo nebūtų x reikšmės galėtų būti ir neigiamos Tada lygybės x6y6 = x y6 kairiojoje pusėje esantis reiškinys būtų teigiamas o dešiniojoje ndash neigiamas t y lygybė būtų neteisinga

Pavyzdys

Išnagrinėkime sunkesnį atvejį ndash lyginio laipsnio šaknį t y reiškinį a2n2n (n isin N) Ši šaknis gali įgyti tik neneigiamas reikšmes todėl a2n2n = |a| Traukdami lyginio laipsnio šaknį iš skaičiaus pakelto lyginiu laipsniu turėtume rašyti modulio ženklą

Jei žinome kokias reikšmes (teigiamas lygias nuliui ar neigiamas) gali įgyti reiškinys a jį galime rašyti be modulio ženklo Jei nežinome teks atsižvelgti į abi galimybes

Įsiminka2n2n = |a|

|a| = a kai a 0ndasha kai a lt 0

①Suprastinkime reiškinį (x ndash 4)44 + (x ndash 2)33 kai x lt 4

(x ndash 4)44 + (x ndash 2)33 =

= |x ndash 4| + (x ndash 2) = = ndash(x ndash 4) + x ndash 2 = 2

SprendimasTraukdami ketvirtojo laipsnio šaknį iš reiškinio pakelto ketvirtuoju laipsniu pošaknį užrašysime su modulio ženklu Su kubine (nelyginio laipsnio) šaknimi to daryti nereikia

Kai x lt 4 reiškinys x ndash 4 įgyja neigiamas reikšmes todėl modulio ženklą pakeičiame lenktiniais skliaustais ir prieš juos parašome minusąAtskliaučiame ir gautą reiškinį suprastinameAtsakymas 2

Pavyzdžiai

Suprastink reiškinį

a) ( x 14 ndash 1 )( x

14 + 1 ) ndash x b) ( 8x3 ndash x3 ) x23


Pamėgink


a) x65 b) x83 c) x6y125 kai x gt 0 y gt 0


Pamėgink

134

3 skyrius | Reiškiniai | Išmok Algebriniai reiškiniai

②Suprastinkime reiškinį (x ndash 2)66

(x ndash 2)66 = |x ndash 2| = x ndash 2 kai x 2ndashx + 2 kai x lt 2

SprendimasŠio pavyzdžio sąlygoje nenurodyta kokias reikšmes gali įgyti pošakni-nis reiškinys todėl galimi du variantai Užrašome juos remdamiesi mo-dulio apibrėžtimiAtsakymas 2 ndash x kai x lt 2 x ndash 2 kai x 2

Daugiklio įkėlimas po n-tojo laipsnio šaknimi

Įkeliant daugiklį po n-tojo laipsnio šaknimi reikia pakelti jį n-tuoju laipsniu Jei nurodyta kad kintamųjų esančių prieš šaknį reikšmės yra teigiamos arba šaknys yra nelyginio laipsnio tai padaryti paprasta

Įsiminkx yn = xnyn kai x gt 0

①Įkelkime daugiklį po šaknies ženklua) x y3 b) a b4 (a gt 0)

a) x y3 = x3y3

b) a b4 = a4b4

SprendimasŠaknis yra kubinė todėl įkeldami daugiklį x pakeliame kubu

Šaknis yra ketvirtojo laipsnio taigi įkeldami daugiklį a pakeliame ketvirtuoju laipsniu

② Suprastinkime x5y26 middot xy3 kai x gt 0 ir y gt 0

x5y26 middot xy3 = x5y26 middot x2y26

x5y26 middot x2y26 = x7y 46 =

= x6 middot x middot y 46 = x x middot y 46

SprendimasSulyginame šaknų rodiklius t y po trečiojo laipsnio šaknimi esančius kintamuosius pakeliame kvadratu

Remdamiesi šaknų savybe daugiklius galime parašyti po viena šaknimi

Išskaidome x 7 = x 6 middot x Ištraukiame šaknį x 66 = x (x gt 0)Atsakymas x xy 46

Pavyzdžiai

Suprastink

a) (x ndash 1)33 ndash (x + 2)88 kai x lt ndash2b) |x ndash 2| + (x + 2)44 kai ndash2 lt x lt 2c) (x ndash 1)44 d) x33 + (x ndash 5)2 e) x2y + x3y3 kai x lt 0


Pamėgink


a) a3 a4 (a gt 0) b) ab2 a3 (a b gt 0)


Pamėgink

135

Jei sąlygoje nurodyta kad daugikliai prieš šaknį yra neigiami o šak-nis ndash lyginio laipsnio tai lygybė x y2n = x2ny2n negali būti teisinga mat reiškinys kairiojoje jos pusėje yra neigiamas o dešiniojoje ndash teigiamas Tokiu atveju minuso ženklas paliekamas prieš šaknį Taigi

x y2n = ndash x2n y2n

Įsimink

x y2n = x2ny2n kai x 0ndash x2ny2n kai x lt 0

Užrašykime x5y26 middot xy3 viena šaknimi kai x gt 0 o y lt 0

x5y26 middot xy3 = x5y26 middot x3 middot y3 =

= ndash x5y26 middot x26 middot y26 = ndash x5y 2x2y 26 =

= ndash x7y 46

SprendimasKai x gt 0 o y lt 0 reiškinys xy3 yra neigiamas todėl visas nurodytas reiškinys yra neigiamas taigi ir atsakymas ndash neigiamas reiškinys Iš-skaidome kubinę šaknį į dvi šaknis

x gt 0 todėl x3 = x26 Tačiau y lt 0 todėl y3 = ndash y26 Šaknys yra vie-nodo laipsnio pošaknius galime sudauginti

Daugindami laipsnius jų rodiklius sudedameAtsakymas ndash x7y 46

Pavyzdys

2 Greitosios daugybos formulėsGreitosios daugybos formulės labai padeda kai reikia suprastinti reiškinius ar išskaidyti juos daugikliais Jau moki pakelti dvinarį kvadratu kvadratų skirtumą išskaidyti daugikliais t y tau labai gerai žinomos 1ndash3 formulės Įrodykime formules skirtumo kubui ir kubų skirtumui apskaičiuoti

Skirtumo kubas(a ndash b)3 = (a ndash b)(a ndash b)(a ndash b) = (a ndash b)2(a ndash b) = = (a2 ndash 2ab + b2)(a ndash b) = a3 ndash a2b ndash 2a2b + 2ab2 + ab2 ndash b3 == a3 ndash 3a2b + 3ab2 ndash b3

Kubų skirtumas(a ndash b)(a2 + ab + b2) = a3 + a2b + ab2 ndash a2b ndash ab2 ndash b3 = a3 ndash b3

① (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

② (a ndash b)2 = a2 ndash 2ab + b2

③ a2 ndash b2 = (a ndash b)(a + b)

④ (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

⑤ (a ndash b)3 = a3 ndash 3a2b + 3ab2 ndash b3

⑥ a3 + b3 = (a + b)(a2 ndash ab + b2)

⑦ a3 ndash b3 = (a ndash b)(a2 + ab + b2)

Užrašyk xy3 middot x2y34 viena šaknimi kai

a) x gt 0 y gt 0 b) x lt 0 y gt 0


Pamėgink

Įrodyk 4 ir 6 formulesPamėgink

136


①Pakelkime reiškinį 2x + 3 kubu

(2x + 3)3 = a b

= (2x)3 + 3 middot (2x)2 middot 3 + 3 middot 2x middot 32 + 33 = a3 a2 b a b2 b3

= 8x3 + 9 middot 4x2 + 6x middot 9 + 27 = = 8x3 + 36x2 + 54x + 27

Sprendimas

Taikome 4 formulę Šiuo atveju a = 2x o b = 3

Atsakymas 8x3 + 36x2 + 54x + 27

② Pakelkime laipsniu ( 2 ndash 2 3)3

( 2 ndash 2 3 )3 = a b

= ( 2)3 ndash 3 middot ( 2)2 middot 2 3 + 3 middot 2 middot (2 3)2 ndash (2 3)3 = a3 a2 b a b2 b3

= 8 ndash 3 middot 2 middot 2 3 + 3 2 middot 4 middot 3 ndash 8 middot 27 == 2 2 ndash 12 3 + 36 2 ndash 24 3 = 38 2 ndash 36 3

Sprendimas

Taikome 5 formulę Šiuo atveju a = 2 o b = 2 3

Atsakymas 38 2 ndash 36 3

Pavyzdžiai

Užrašykime reiškinį 8x6 + 60x4y + 150x2y2 + 125y3 su-mos kubu

8x6 + 60x4y + 150x2y2 + 125y3 =

= (2x2)3 + 3 (2x2)2 (5y) + 3 (2x2) (5y)2 + (5y)3 = a3 a2 b a b2 b3

= (2x2 + 5y)3

SprendimasPastebime kad 8x6 = (2x2)3 125y3 = (5y)3

Pagal 4 formulę a = 2x2 b = 5y

Patikriname ar kiti dėmenys tinka pagal formulę3a2b = 3 (2x2)2 5y = 3 4 5 x4y = 60x4y3ab2 = 3 2x2 (5y)2 = 6 25 x2 y2 = 150x2y2Dėmenys tinka todėl pritaikome formulęAtsakymas (2x2 + 5y)3

Pavyzdys

Pakelk dvinarį kubu

a) (m ndash 5n)3 b) (2x + 2)3c) ( 3 + 2)3 d) (2 2 + 2)3

Pamėgink

Jei galima užrašyk reiškinį sumos ar skirtumo kubu

a) 27x3 ndash 54x2y + 36xy2 ndash 8y3b) 125x3 + 75x2 + 15x + 1

c) 3x2 + x3 ndash x 32 ndash 3x

52


Pamėgink

137

3 Skaidymas daugikliaisSkaidymas daugikliais nepaprastai svarbus prastinant trupmenas spren-džiant lygtis ir nelygybes Yra keturi pagrindiniai skaidymo daugikliais būdai

1) kėlimas prieš skliaustus2) greitosios daugybos formulių taikymas3) kvadratinio trinario skaidymas4) grupavimas

Kėlimas prieš skliaustus

Daugianario narių bendrąjį daugiklį visada galima iškelti prieš skliaustusab plusmn ac = a(b plusmn c)

Iškelkime daugiklį prieš skliaustusa) 3x5y ndash 2x2y2 + 3xy b) x ndash x x ndash x

a) 3x5y ndash 2x2y2 + 3xy =

= xy(3x4 ndash 2xy + 3)

b) x ndash x x ndash x =

= x xndash x x ndash x =

= x( x ndash x ndash 1)

SprendimasKiekvienas trinario narys turi daugiklius x ir y Žemiausias abiejų dau-giklių laipsnis yra pirmasis todėl prieš skliaustus iškeliame daugiklį xy

Kėlimas prieš skliaustus ndash dalybos veiksmas Todėl laipsnių rodiklius at-imame

Iškelsime x prieš skliaustus Kad būtų lengviau galime rašyti x = x x arba x = ( x)2

Taip užrašius nesunku pastebėti kad bendrasis daugiklis yra x

Iškeliame jį prieš skliaustus Kadangi paskutinis trinario narys yra x tai prieš skliaustus iškėlus x skliaustuose lieka x x = 1

Pavyzdys

Greitosios daugybos formulių taikymas

Dažniausiai daugikliais skaidomas kvadratų ir kubų skirtumas t y tai-komos greitosios daugybos 3 6 ir 7 formulės (žr p 135)

Išskaidykime daugikliais pagal kvadratų skirtumo formulęa) 9x2y 4 ndash 4a6 b) x ndash y (x gt 0 y gt 0)

a) 9x2y 4 ndash 4a6 = = (3xy2)2 ndash (2a3)2 = a2 b2

= (3xy2 ndash 2a3)(3xy2 + 2a3) a b a b

SprendimasKiekvieną dvinario narį parašome kaip kvadratą 9x2y 4 = (3xy2)2 4a6 = = (2a3)2

Išskaidome daugikliais pagal 3 formulę

Pavyzdys

Iškelk daugiklį prieš skliaustus

a) 2x5y2 + 6x7y ndash x2y3 b) x ndash x c) x ndash x13 + x2


Pamėgink

138


b) x ndash y = ( x)2 ndash ( y )2 = a2 b2

= ( x ndash y )( x + y ) a b a b

Kiekvieną dvinario narį parašome kaip kvadratą x = ( x)2 y = ( y )2


Išskaidykime daugikliais pagal kubų skirtumo formulęa) 8x6 ndash a3b9 b) x x ndash y y c) x ndash y

a) 8x6 ndash a3b9 = (2x2)3 (ab3)3

= (2x2)3 ndash (ab3)3 = a3 b3

= (2x2 ndash ab3)((2x2)2 + 2x2 ∙ ab3 + (ab3)2) = a b a2 a b b2

= (2x2 ndash ab3)(4x4 + 2x2ab3 + a2b6)

b) x x ndash y y = ( x)3 ndash ( y )3 = a3 b3

= ( x ndash y )(( x )2 + x y + ( y )2) = a b a2 a b b2

= ( x ndash y )(x + xy + y)

c) x ndash y = ( x3 )3 ndash ( y3 )3 = a3 b3

= ( x3 ndash y3 )(( x3 )2 + x3 y3 + ( y3 )2) = a b a2 a b b2

= ( x3 ndash y3 )( x23 + xy3 + y23 )

SprendimasPastebime kad kiekvieną skaičių ar laipsnį galima parašyti kaip kubą

Reiškinį parašome kaip kubų skirtumą Taikysime 7 formulę Išskaidome į du daugiklius pagal formulę

Jei galime atliekame veiksmus t y pakeliame kvadratu

Galime galvoti kad x x = x x x = ( x)3 y y = y y y = ( y )3

Išskaidome į du daugiklius pagal 7 formulę

Pakeliame kvadratu ( x)2 = x ( y )2 = y

Parašome kaip kubų skirtumą

Taikome 7 formulę

Pavyzdys

Kvadratinio trinario skaidymas

Kvadratinis trinaris daugikliais skaidomas pagal formulę ax2 + bx + c = a(x ndash x1)(x ndash x2)

čia x1 ir x2 ndash kvadratinio trinario šaknys t y lygties ax2 + + bx + c = 0 (D 0) sprendiniai

Prisiminkax2 + bx + c = a(x ndash x1)(x ndash x2)

Išskaidyk dvinarius 81x8y2 ndash 4 x ndash 1 ir x ndash 1 (čia x gt 0) pagal kvadratų skirtumo formulę


Pamėgink

Išskaidyk dvinarius x ndash 1 ir 1 ndash x3 pagal kubų skirtumo for-mulę


Pamėgink

139

Išskaidykime daugikliais trinarį 10x2 ndash x ndash 2

10x2 ndash x ndash 2 = 0D = 12 ndash 4 10 (ndash2) = 81

x1 = 1 ndash 81 20 = ndash 2 5 x2 = 1 + 81

20 = 1 2

10x2 ndash x ndash 2 = 10(x ndash 1 2)(x + 2

5) =

= 2 5(x ndash 1 2)(x + 2

5) =

= (2x ndash 1)(5x + 2)

SprendimasPirmiausia išsprendžiame kvadratinę lygtį 10x2 ndash x ndash 2 = 0

Jos sprendiniai ndash kvadratinio trinario šaknys

Išskaidome daugikliais pagal formulę

Gautą reiškinį galima pertvarkyti taip kad jame nebūtų trupmenų Prieš skliaustus esantį skaičių išskaidome daugikliais ir padauginame iš suskliaustų reiškinių Atsakymas (2x ndash 1)(5x + 2)

Pavyzdys

Grupavimo būdas

Skaidant daugikliais grupavimo būdu daugianario nariai grupuojami po du (sudėtingesniais atvejais ndash po 3 ir daugiau) iš kiekvienos grupės iškeliamas prieš skliaustus bendrasis daugiklis Skliaustuose lieka vie-nodi reiškiniai Jie vėl iškeliami prieš skliaustus

Grupavimo būdu išskaidykime reiškinį 1 ndash x ndash x + x x daugikliais

1 ndash x ndash x + x x = = (1 ndash x) ndash ( x ndash x x) =

= (1 ndash x) ndash x(1 ndash x) = = (1 ndash x)(1 ndash x)

SprendimasSugrupuojame narius po du

Suskliaučiame pasirinktus dvejetus Atkreipk dėmesį ndash jei prieš skliaus-tus rašomas minuso ženklas keičiasi ženklai skliaustuose

Iš antrojo suskliausto reiškinio iškeliame bendrąjį daugiklį Skliaustuo-se lieka vienodi reiškiniai taigi juos galime iškelti prieš skliaustus

Atsakymas (1 ndash x)(1 ndash x)

Pavyzdys

ax + ay + bx + by =ax + bx + ay + by =x(a + b) + y(a + b) =

= (x + y)(a + b)

4 Veiksmai su algebrinėmis trupmenomisAlgebrinių trupmenų prastinimas

Norint suprastinti trupmenas jų skaitiklius ir vardiklius reikia išskai-dyti daugikliais Remiantis trupmenos savybe skaitiklį ir vardiklį ga-lima padalyti iš to paties skaičiaus todėl vienodus daugiklius galima prastinti

Galima prastinti Negalima prastinti

++

Išskaidyk daugikliais trinarius 4x2 ndash x ndash 3 ir 6x2 + 7x ndash 3


Pamėgink

Išskaidyk daugikliais grupavimo būdu

a) x3 + 3x2 + x + 3 b) x x3 ndash x ndash x3 + 1


Pamėgink

140


Suprastinkime algebrinį reiškinį 4a2 ndash 4b2

6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2

6b ndash 6a = (2a)2 ndash (2b)2

3(2b ndash 2a) =

= (2a ndash 2b)(2a + 2b)3(2b ndash 2a) =

= (2a ndash 2b)(2a + 2b)ndash3(2a ndash 2b) =

= ndash2a + 2b3

SprendimasTrupmenos skaitiklį pakeičiame dviejų reiškinių kvadratų skirtumu o vardiklyje prieš skliaustus iškeliame 3

Išskaidome skaitiklio reiškinį pagal kvadratų skirtumo formulę

Vardiklyje prieš skliaustus iškeliame minuso ženklą suprastiname

Atsakymas ndash2a + 2b3

Pavyzdys

Algebrinių trupmenų sudėtis ir atimtis

Sudedant trupmenas arba iš vienos trupmenos atimant kitą reikia jų vardiklius išskaidyti daugikliais nustatyti bendrąjį vardiklį (jis yra visų skirtingų daugiklių esančių visuose vardikliuose sandauga)

rasti kiekvienos trupmenos papildomąjį daugiklį užrašyti reiškinį viena trupmena suprastinti gautos trupmenos skaitiklį ndash atskliausti sutraukti pana-šiuosius narius

ab + c

d = ad + bcbd

ab ndash c

d = ad ndash bcbd

Suprastink trupmeną

a) 4x2 ndash 12xy + y b) x ndash y

x + y


Pamėgink

Suprastink

a) ba2 ndash ab ndash a

b2 ndash ab b) a ndash 3a2 + ab ndash 3 + b

ab + b2 c) x5 ndash x + x + 5

2x ndash 10

Spręsk 77 uždavinį (p 144ndash145)

Pamėgink

Suprastinkime ndash 4p3p ndash 9 ndash p + 1

3 ndash p

ndash 4p3p ndash 9 ndash p + 1

3 ndash p =

= ndash 4p3(p ndash 3) + p + 1

p ndash 3 =

= ndash4p + 3(p + 1)3(p ndash 3) = ndash4p + 3p + 3

3(p ndash 3) =

= ndashp + 33(p ndash 3) = ndash p ndash 3

3(p ndash 3) = ndash 13

SprendimasPirmosios trupmenos vardiklį išskaidome daugikliais t y prieš skliaus-tus iškeliame 3

Iš antrosios trupmenos vardiklio prieš trupmeną iškeliame minuso ženklą Vardiklyje esančio dvinario nariai susikeičia vietomis

Bendrasis vardiklis yra 3(p ndash 3) Antrajai trupmenai reikia papildomojo daugiklio 3Užrašome reiškinį viena trupmena ir suprastiname skaitiklį

Iš skaitiklio iškeliame minusą prieš trupmenos ženklą Suprastiname gautą reiškinįAtsakymas ndash 13

Pavyzdys

3

141


6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys

Algebrinių trupmenų daugyba ir dalyba Veiksmų eilės tvarkaAlgebrinės trupmenos dauginamos taip

jų skaitikliai ir vardikliai išskaidomi daugikliais skaitiklis padauginamas iš skaitiklio vardiklis ndash iš vardiklio trupmenos suprastinamos

Dalijant vieną trupmeną iš kitos trupmena iš kurios dalijama keičiama atvirkštine (bdquoapverčiamaldquo) o dalybos veiksmas ndash daugybos veiksmu

Prastinant reiškinius veiksmai atliekami tokia eilės tvarka pirmiausia veiksmai skliaustuose po jų daugyba dalyba kėlimas laipsniu galiausiai sudėtis ir atimtis

ab middot c

d = a middot cb middot d

ab c

d = ab middot d

c = a middot db middot c

①Padalykime x 4 ndash y 4

x 2 ndash 2xy + y 2 x2 + y2

x ndash y

x 4 ndash y 4x 2 ndash 2xy + y 2

x2 + y2

x ndash y =

= x 4 ndash y 4x 2 ndash 2xy + y 2 middot

x ndash yx2 + y2 =

= (x 2 ndash y 2)(x 2 + y 2)(x ndash y )2 middot x ndash y

x2 + y2 =

= (x ndash y)(x + y)(x ndash y)(x ndash y )2 =

= x + y

Sprendimas

Trupmeną iš kurios dalijame keičiame atvirkštine (bdquoapverčiameldquo) o vietoj dalybos ženklo rašome daugybos ženkląSkaitiklius ir vardiklius išskaidome daugikliais Jei skaitiklyje ir var-diklyje yra vienodų daugiklių juos galime suprastintiReiškinį užrašome viena trupmena kvadratų skirtumą skaitiklyje išskaidome daugikliaisSkaitiklyje yra sandauga (x ndash y)(x ndash y) vardiklyje ndash dvinario kvadra-tas (x ndash y)2 Šie reiškiniai yra lygūs juos suprastinameAtsakymas x + y

Pavyzdžiai

Suprastink

a) 1x x + x

+ xx + 1

b) 6 xx ndash 3

ndash 3x + 3


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys

Suprastinkime x ndash yx + y

ndash x + yx ndash y

x ndash yx + y


=

= ( x ndash y )2 ndash ( x + y )2

( x + y )( x ndash y ) =

= x ndash 2 x y + y ndash (x + 2 x y + y)( x )2 ndash ( y )2 =

= x ndash 2 xy + y ndash x ndash 2 xy ndash y( x )2 ndash ( y )2 = ndash 4 xy

x ndash y

Sprendimas

Vardiklių negalime išskaidyti daugikliais bendrasis vardiklis ndash jų sandauga Pirmosios trupmenos papildomasis daugiklis yra antrosios trupmenos vardiklis ir atvirkščiaiSkaitiklių dvinarius pakeliame kvadratu Vardiklyje pritaikome kva-dratų skirtumo formulę

Suprastiname trupmenos skaitiklį Vardiklyje esančias šaknis pake-liame kvadratu

Atsakymas ndash 4 xyx ndash y

Pavyzdys

x ndash y x + y

142


UŽDAVINIAI

Laipsnį su racionaliuoju rodikliu išreikšk šaknimi (x gt 0)

a) x13 b) x 025 c) xndash 25 d) x125 e) x15 f) xndash09 g) x

37 h) x06 i) xndash 47 j) x12 k) x075 l) xndash07

Suprastink

a) x12 middot x

14 b) (x4

5)3

c) (x23 middot x

15)15

d) x13

xndash 23

e) (x23)

34

x ndash05 f) x n middot x 3n g) (xn2 middot x

n3)6n

h) (b2n bndash075n

bndash05n )ndash4n

i) y 13 middot y

23 j) (x2)

13 k) y

25

y ndash06 l) (y15 middot y

27)35

m) (y27)175

yndash 12 n) x n middot x

n2 o) (x

n4 middot x

n8)8

p) (xndash 56 n x3n

x 43 n )ndash6n

Ar teisinga lygybėa) an + bnn = a + b b) (a05 + b05)2 = a + b c) x + y = x + y d) x3 x3 = x

e) anm = anm f) an = a 1n g) 8 a5 ndash 2 a5 = 6 a5 h) an bnn = a b


a) ( 3x + 1 ndash 4

x ndash 2) middot x ndash 2x + 10 b) (x06 ndash 9) ( x09 ndash 27

x03 ndash 3 + 3x03)Spręsk 79ndash82 uždavinius (p 145)

Pamėgink

②Suprastinkime reiškinį ( 11 ndash 3x ndash 3 ndash 3x

1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)

1 11 ndash 3x ndash 3 ndash 3x

1 ndash 9x2 + 26x + 2 =

= 11 ndash 3x ndash 3 ndash 3x(1 ndash 3x)(1 + 3x) + 22(3x + 1) =

= 1 middot 2(1 + 3x) ndash 2(3 ndash 3x) + 2(1 ndash 3x)2(1 ndash 3x)(1 + 3x) =

= 2 + 6x ndash 6 + 6x + 2 ndash 6x2(1 ndash 3x)(1 + 3x) =

= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =

= ndash2(1 ndash 3x)2(1 ndash 3x)(1 + 3x) = ndash 1

1 + 3x

2 ndash 11 + 3x middot (1 + 3x) = ndash 1

1 + 3x middot 1 + 3x1 =

= ndash 1 middot (1 + 3x)(1 + 3x) middot 1 = ndash1

SprendimasPirmiausia atliekame veiksmus skliaustuose antrosios trupmenos vardiklį išskaidome daugikliais pagal kvadratų skirtumo formulę iš trečiosios trupmenos vardiklio iškeliame prieš skliaustus 2

Bendrasis vardiklis ndash sandauga 2(1 ndash 3x)(1 + 3x)Užrašome kiekvienos trupmenos papildomąjį daugiklį

Reiškinį užrašome viena trupmena

Atskliaučiame reiškinius skaitiklyje

Sutraukiame panašiuosius narius

Iš skaitiklio prieš skliaustus iškeliame ndash2 suprastiname trupmeną

Atliekame antrąjį veiksmą ndash daugybą Sveikąjį reiškinį užrašome kaip trupmeną kurios vardiklis yra 1 SuprastinameAtsakymas ndash1

2(1 + 3x) 1 ndash 3x2

143

Suprastink

a) a4nn b) 16x3 ndash 54x3 c) a4 + 16a4 ndash 81a4 d) 2b 16b23 ndash 128b53 e) a6 (1 ndash a6 ) f) (1 ndash x4 )2 g) x4 ( x4 + 1) ndash x h) ( a4 ndash 1)( a4 + 1)i) x 6nn j) 32x4 ndash 2 x4 k) 3 27a3 ndash 8a3 ndash a3 l) x4 (1 ndash x4 )m) ( x6 + 1)( x6 ndash 1) n) ( a4 ndash 2)2 o) 3 x53 + 8x x23 p) x6 ( x6 + 1) ndash x3

Suprastink kai a gt 0 b gt 0a) a48 b) bndash328 c) andash3035 d) a10b155 e) b39 f) andash624 g) bndash189 h) a7b1421

Suprastink kai a gt 0 b gt 0 c gt 0 x gt 0 y gt 0 z gt 0

a) 4 x 3 z 2y 6 4 y ndash2

x 7z ndash6 b) 3 x 4y 6zxy 3z ndash2 c) 3 b 2

a 3 b 5a 5

d) 5 a 5 c 2b 2 5 b ndash3

a 10c ndash8 e) 4 x 4y 7z 2x 2y ndash5z ndash2 f) 4 x 2

y 4 y 3x 6

Iškelk daugiklį prieš šaknies ženklą (x gt 0 y gt 0)a) x 54 b) x156 c) x5y33 d) x15y248 e) y 65 f) x 83 g) x7y125 h) x 9y124

Suprastinka) (x ndash 5)33 ndash (x + 1)88 kai x lt ndash1 b) (x + 5)44 c) |x ndash 3| + (x + 4)44 kai ndash4 lt x lt 3 d) (x + 5)33 + (x ndash 1)2 e) (x ndash 8)77 ndash (x + 4)44 kai x gt ndash4 f) (x ndash 8)88 g) (x + 1)44 + |x ndash 5| kai ndash1 lt x lt 5 h) (x + 4)2 ndash (x + 1)33

Nustatyk kokias reikšmes (teigiamas ar neigiamas) gali įgyti reiškinio kintamieji x ir y suprastink reiškinį

a) 12x3y 3x2y b) 16x2y3 3x2y3 c) 144x 5y 124

729xy24 d) ndash16x 3y 43

12y23

e) 63x 5y 3 28x2y f) 8x2y5 4x 3y 45 g) 250xy 74

18x17y24 h) 3x 6y 83

ndash81y23

Įkelk daugiklį po šaknies ženklu (x gt 0 y gt 0)

a) y y4 b) x2y xy4 c) x2y3 xy 23 d) x2y2 x 3y 43 e) x x3 f) xy xy23 g) x2y x 2y5 h) x2y y 25

Įkelk daugiklį po šaknies ženklu (x gt 0 y lt 0)

a) y y 24 b) xy xy3 c) x 2y y 26 d) x 2y 2 y 24 e) x x 34 f) x2y xy 23 g) xy xy 2 4 h) xy 2 y 46

Išreikšk laipsniu su racionaliuoju rodikliu (a gt 0 b gt 0 x gt 0 y gt 0)

a) a234 a b) (xy)34 xy 3x 53 c) b2a 3a 3a2b34

d) b5b3b e) x7 x 38 x 3 f) y ndash4y ndash4x 28 3 4x

Pakelk kubua) (4x ndash 3)3 b) (2x + 5)3 c) (x + x3 )3 d) ( x6 ndash 1)3e) (1 ndash 3 3)3 f) (2 ndash 33 )3 g) (2a ndash 1

3b)3 h) (2 2 ndash 3 3)3

i) (3x ndash 4)3 j) (5x + 2)3 k) ( x3 + 1)3 l) ( x6 + x3 )3

m) (2 ndash 3)3 n) ( 23 ndash 3)3 o) (a ndash 12b)3

p) (x 2 ndash 2)3

Užrašyk sumos ar skirtumo kubua) 27x3 + 27x2 + 9x + 1 b) x3 ndash 6x2y + 12xy2 ndash 8y3c) a ndash 6 a3 + 12 a3 ndash 8 d) x 2 ndash 3x x3 + 3 x 23 ndash 1e) 27x3 + 54x2 + 36x + 8 f) 27x3 ndash 108x2y + 144xy2 ndash 64y3g) 9 b 23 ndash b ndash 27 b3 + 27 h) x + 3 x 2y3 + 3 x y23 + y


1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









144


Iškelk bendrąjį daugiklį prieš skliaustusa) x2 + xy b) x2y 4 + xy2 c) x ndash x d) y x ndash x y

e) xy ndash1 ndash xndash1y f) x34y

14 ndash x

14y

34 g) n n + n h) x

34 ndash x

i) a3 + a2b j) a5b2 + a2b5 k) x3 ndash x l) m m + m

m) abndash3 ndash andash3b n) x23y

13 ndash x

13y

23 o) x x3 ndash x3 p) a b ndash b

Išskaidyk daugikliais pagal kvadratų skirtumo formulę (a b x y gt 0)

a) 25a2b4 ndash 1 b) 1 ndash x2 c) x14 ndash y

12 d) xn ndash yn

e) a2 ndash 9b 4 f) x 4 ndash 1 g) a2n ndash b2n h) x13 ndash y

Išskaidyk daugikliais pagal kubų skirtumo ar sumos formulę

a) x3 ndash y 6 b) 1 + y 6 c) x13 ndash 1 d) x x ndash x e) x 9 ndash y 3 f) y 9 ndash 1 g) 1 + y

32 h) y + x 34

Išskaidyk daugikliais kvadratinį trinarįa) ndash4x2 + x + 3 b) ndash8x2 + 10x + 3 c) 2x2 + 7x + 3 d) 2x2 + 13x + 15 e) ndash6x2 ndash x + 2 f) ndash2x2 ndash 7x + 4

Išskaidyk daugikliais grupavimo būdua) x3 + x2 + 3x + 3 b) 3x + x + x x + 3 c) x + 4 x + x x + 4 d) x2 ndash 4 x + 5x x ndash 20e) x3 + 2x2 ndash 5x ndash 10 f) 2 x ndash x + x x ndash 2 g) 5x ndash 4 x + x x ndash 20 h) x2 ndash 2 x ndash x x + 2

Jei galima suprastink trupmeną

a) x + 3x + 4 b) x 3

x 4 c) (x + 2) 3(x + 2) + x d) (x + 2) ndash (x + 3)

(x + 2) + (x + 3)

e) (x ndash 1)(x + 2)x ndash 1 f) (x + 2)2

x + 2 g) x + 1(x + 1)2 h) x 3 + 4

x 4 + 3

i) 6 xx 5 j) x + 1

x ndash 2 k) (x + 2)(x ndash 5)x ndash 5 l) a x + b

b x + a

m) (x ndash 1) x(x ndash 1) + 2x n) x ndash 3

(x ndash 3)2 o) (x ndash 4) ndash (x + 3)(x + 3) + (x ndash 4) p) (x ndash 5)2

x ndash 5


a) a ndash bb ndash a b) (a ndash b)2

(b ndash a)2 c) b2 ndash a2

a ndash b d) b2 + a2

a ndash b e) a ndash bab f) a ndash b

b + a g) (a ndash b)2

(b ndash a)3 h) (a ndash b)2

b ndash a

i) a + bb + a j) (a ndash b)4

(b ndash a)4 k) (ndasha ndash b)2

(b + a)2 l) (a ndash b)3

(b ndash a)2 m) abb ndash a n) b2 + a2

a2 ndash b2 o) (a ndash b)3

(b ndash a)3 p) a ndash b(b ndash a)2


a) ab ndash b2

2b b) x2 ndash y2

x2 + 2xy + y2 c) 2x2 + 5x ndash 32x ndash 1 d) a2 ndash ab + a ndash b

a2 ndash ab + 2a ndash 2b

e) xy ndash yv + xz ndash zvxy + yv + xz + zv f) x2 + 2x ndash 3

x3 + 27 g) 4x2 ndash 92x2 ndash x ndash 3 h) 8x3 ndash 125y3

2x ndash 5y

i) x ndash x2yx j) 4x2 + 4x + 1

4x2 ndash 1 k) p2 ndash 2p ndash 246 ndash p l) 2x2 ndash 2xy + x ndash y

x2 ndash xy + 2x ndash 2y

m) a2 + 3a ndash ab ndash 3b

a2 ndash ab + 5a ndash 5b n) x3 + 27x2 ndash 3x + 9 o) 9x2 ndash 1

3x2 + 7x + 2 p) (x4 ndash y4)(x4 ndash x2y2 + y4)x6 + y6


a) x x ndash x

b) x x ndash y y x ndash y

c) a ndash 1a + 1

d) x ndash 1x3 ndash 1

e) x x + xx

f) a a ndash 1a ndash 1

g) x 6 ndash y 6

x3 ndash y3 h) a ndash ba3 ndash b3

Atlik sudėties bei atimties veiksmus ir jei galima suprastink gautą trupmeną

a) xy + y

x b) 5x2 ndash 1 + 9

x2 + 2x + 1 c) 3x + 1 + x + 5

x2 ndash 1 ndash 3x ndash 1

d) 3x2 + 9x + 14 + 5

2x2 + 15x + 7 e) x ndash x2

x ndash 2 + 3x2 ndash 4 f) 2

x2 + 6x ndash 16 ndash 4x + 8 ndash 3

x ndash 2

g) 2x2

x4 ndash 16 ndash xx2 ndash 4 + 1

x + 2 h) 4x ndash 32x2 + x ndash 1 ndash 2x + 7

3x2 + x ndash 2 ndash 33x ndash 2 i) x2 ndash x

x3 + 2x + 2x2 + 4 + 1x2 + 2

145

j) 1x(x + 1) + 1

x + 1 k) 6x2 ndash 9 + 9

x2 ndash 6x + 9 l) 4x + 2 + x + 6


m) 6x2 + 11x + 24 + 4

3x2 + 13x + 12 n) x + 50xx2 ndash 25 ndash x2

x + 5 o) 1y ndash 6 ndash 2

y + 12 ndash 18y2 + 6y ndash 72

p) xx2 + 1 ndash x2 + 3x

x4 ndash 1 ndash 1x ndash 1 r) 9

x2 + 3x ndash 18 ndash 8x2 + 4x ndash 12 + 1

x ndash 2 s) x ndash x2 ndash 4x3 ndash 3x2 + x ndash 3 + 1

x ndash 3

Suprastink

a) x x ndash 2

ndash 2x + 2

b) 3

a 12 ndash 3 ndash 2a 12

a ndash 9 c) x 12

x05 + 1 ndash 1

x05 ndash 1 d) 2

x + 2 + x

x ndash 2 ndash 4 x

x ndash 4

e) 11 + x

ndash 11 ndash x

f) 1a4 ndash 1

+ 1a4 + 1

g) 3

x 12 + 3 ndash x05

x05 ndash 3 h) x

81 ndash x ndash 9

x + 9 + x

x ndash 9

Suprastink

a) 16x2y5

3x6 middot 9x8y 4 b) x + 2

x ndash 1 middot x ndash 1x + 1 c) x2 ndash 9

x + 2 x ndash 3x + 2 d) x ndash 1

x + 1 middot (x2 ndash 1)

e) x2 ndash 2xx + 5 x2 ndash 4

x2 + 5x f) x2 + 10x + 21x + 7 (x2 ndash 5x ndash 24) g) 27x3y5

4x12 middot 8x3y h) x

x ndash 3 middot x ndash 3x + 1

i) x2 ndash 25x x ndash 5

3x j) x + 3x2 + 6x x2 ndash 9

x + 6 k) (x2 ndash 4) x ndash 2x + 2 l) (x ndash 3) x2 + 3x ndash 18

x


a) y ndash 3y + 3 middot (y + y2

3 ndash y) b) (x ndash 5xx + 2) x ndash 3

x + 2 c) 4 + x4 ndash x middot ( 2x2

4 + x ndash x ) d) 2x ndash 3

3x + 4

e) 5 ndash 2

x ndash 3

4 ndash 1x ndash 3

f) 6 ndash 2x 6 + 2x (x ndash x2 + 6

x2 ndash 9 + 1) g) (x ndash x2

x + 1) middot x2 ndash 1x2 + 2x h) (x + x3 ndash 1

x ndash 1 ) middot x ndash 1x2 ndash 1

i) (x + 5x ndash 3 ndash x ) 1

x ndash 3 j) x2 ndash 49 ndash x2 x ndash 2

x + 3 ndash 23 ndash x k) ( x

x ndash 5 ndash 2x) 11 ndash 2xx ndash 5 l)

1 + 3x

1 ndash 6x

m) 3 + 2

x + 4

5 ndash 1x + 4

n) (x + yx ndash y ndash x ndash y

x + y) xyx2 ndash y2 o) (3x + 1

2x + 2 ndash 1) 6x ndash 6 x + 1 p) ( 1

x ndash 1 ndash x + 1x2 + x + 1) (1 + 1

x3 ndash 1)


a) x ndash1 + y ndash1

x b) yx ndash1 ndash y ndash1 c) x + y

x ndash1 + yndash1 d) x ndash y ndash2

y ndash x ndash2

e) x ndash1 ndash y ndash1

y f) x ndash1 + y ndash1

x + y g) x ndash1 + y ndash1

x ndash1 ndash y ndash1 h) x ndash2 ndash y ndash2

x ndash1 ndash y ndash1

Suprastink reiškinįa) a ndash b

a3 ndash b3 ndash a + b

a13 + b

13 b) ( a ndash 1) a ndash a

a ndash a c) 1 ndash x 1 ndash x05 middot ( x ndash 1

x + 1 + 1 ndash x )

d) ( xy ndash23 + ( 1xy )

16) xy 46 e) ( 1

x4 ndash y4 ndash 1x4 + y4 ) middot ( x ndash y ) f) ( x ndash 1

x13 ndash 1

+ x13) middot x

13 ndash 1

x23 ndash 1

g) y ndash x

x23 + (xy)13 + y

23 + x

23 ndash y23

x3 ndash y13

h) x13y

13 x

13 y ndash y

13 x

x6 ndash y6 i) ( 2y ndash z

ndash 2y + z ) middot ( 4z

y ndash z )ndash1

j) (x15 + x25

1 + x + 1) 1 ndash x3

1 ndash x15 k) c + dc3 + d3 ndash c ndash d

c3 ndash d3 l) a b b ndash a

ndash b a a + b

+ 3ab ndash b2

a ndash b

m) a + ba ndash b

ndash a + ab a + b

n) a + 1a a + a + a

1a2 ndash a

ndash a o) a ( a + b 2b a )ndash1

+ b ( a + b 2a b )ndash1

p) ( x15 ndash 1x05 ndash 1 + x05) x ndash 1

x05 ndash 1 r) ( 2 + x14

2 ndash x14 ndash 2 ndash x

14

2 + x14 ) middot 4 ndash x

x34 s) 1x3 + y3 ndash x3 + y3

x23 ndash (xy)

13 + y

23

t) x ndash y x4 ndash y4 ndash x + xy 4

x4 + y4 u) x23 ndash y23

x53 middot yndash1 ndash xy

ndash 13

middot ( x3 + y3 )ndash1 v) x ndash 1x + x + 1

x + 1x x ndash 1

+ 2 x

146


Algebriniais reiškiniais yra nusakoma daugybė gamtos ar žmonių veiklos procesų Mokydamasis fizikos chemijos ekonomikos kas-dien susiduri su formulėmis t y tam tikrų teiginių simboliniu užra-šymu algebriniais reiškiniais Formulėje paprastai būna ne vienas o keli dydžiai pažymėti raidėmis Dažnai tenka vieną nežinomą dydį reikšti kitu apskaičiuoti nežinomo dydžio reikšmę kai kiti dydžiai yra žinomi Šiame skyrelyje pritaikysi žinias apie reiškinius atlikda-mas veiksmus su formulėmis

Yra daugybė formulių o kartu ir būdų nežinomam dydžiui išreikšti Kai kuriuos iš jų tikrai žinai Čia pateiksime universalų būdą Kai ku-riais atvejais jis nėra pats geriausias Jei žinai geresnį tinkantį konkre-čiam uždaviniui jį ir taikyk Tačiau jei nežinai galbūt tau pravers šios taisyklės1 Lygybę pertvarkome taip kad joje neliktų dalybos veiksmo t y abi

jos puses padauginame iš bendrojo vardiklio (nelygaus nuliui)2 Jei yra skliaustų atskliaučiame3 Vienanarius kuriuose yra norimas išreikšti dydis perkeliame į kai-

riąją lygybės pusę kitus narius ndash į dešiniąją4 Jei kairiojoje lygybės pusėje yra tik vienas narys su nežinomu dydžiu

x abi puses padalijame iš koeficiento prie to dydžio Jei kairiojoje lygybės pusėje yra daugiau kaip vienas narys su nežinomu dydžiu iškeliame jį prieš skliaustus paskui lygtį padalijame iš suskliausto reiškinio

①Iš lygybės 2bx = x ndash 5a3a ndash 1 išreikškime a

2bx = x ndash 5a3a ndash 1 | (3a ndash 1)

2bx(3a ndash 1) = x ndash 5a 6abx ndash 2bx = x ndash 5a

6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas

1 Padauginame lygybę iš trupmenos vardiklio (a ne 1 3)

2 Atskliaučiame Pabraukiame vienanarius kuriuose yra a

3 Vienanarius su a raide perkeliame į kairiąją pusę kitus ndash į dešiniąją

4 Kairiojoje pusėje yra du vienanariai todėl prieš skliaustus iškeliame a

Padalijame lygybę iš suskliausto reiškinio 6bx + 5

Atsakymas a = x + 2bx6bx + 5

Pavyzdžiai

TAIKYK

147




6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai

②Iš tos pačios lygybės 2bx = x ndash 5a3a ndash 1 išreikškime x


2bx(3a ndash 1) = x ndash 5a 6abx ndash 2bx = x ndash 5a6abx ndash 2bx ndash x = ndash5a

x(6ab ndash 2b ndash 1) = ndash5a

x = ndash 5a6ab ndash 2b ndash 1 arba

x = 5a2b + 1 ndash 6ab

Sprendimas


2 Atskliaučiame Pabraukiame vienanarius kuriuose yra x

3 Vienanarius su x perkeliame į kairiąją pusę kitus ndash į dešiniąją

4 Iškeliame x prieš skliaustus

Padalijame lygybę iš suskliausto reiškinio Galime pagražinti atsakymą iš vardiklio iškeldami minuso ženkląAtsakymas x = 5a

2b + 1 ndash 6ab

❶ Iš nupjautinio kūgio šoninio paviršiaus formulės Sšon = π(R + r)l išreikšk R r l

❷ Iš formulės 4x ndash y2x + 1 = (3a + 2)y išreikšk a x y


PamėginkPamėgink

Kiek sunkiau išreikšti iš formulių nežinomuosius kurie pakelti laips-niu arba yra po šaknies ženklu

①Iš formulės h = v2 sin2 α2g išreikškime v čia v gt 0

h = v2 sin2 α2g | 2g

2gh = v2 sin2 αv2 = 2gh

sin2 α

|v| = 2ghsin2 α

v = 2ghsin2 α

SprendimasPadauginame lygybę iš trupmenos vardiklio

Išreiškiame v2

Iš abiejų lygybės pusių ištraukiame kvadratinę šaknį Remdamiesi ly-ginio laipsnio šaknies savybe turime rašyti modulio ženklą Jeigu pa-gal uždavinio prasmę ieškomas dydis gali būti tik teigiamas modulio ženklą praleidžiame

Atsakymas v = 2ghsin2 α

②Iš formulės T = 2π lg išreikškime g

lg = T

2π

lg = ( T

2π )2

lg = T2

4π2gl = 4π2

T2

g = 4π2 middot lT2

SprendimasIš lygybės išreiškiame kvadratinę šaknį su mums reikiama raide g

Pakeliame abi lygybės puses kvadratu

bdquoApverčiameldquo abiejose lygybės pusėse esančias trupmenas

Taikydami proporcijos taisyklę išreiškiame g

Atsakymas g = 4π2 middot lT2

Pavyzdžiai

148

3 skyrius | Reiškiniai | Taikyk Algebriniai reiškiniai

Iš formulės išreikšk nurodytus kintamuosius

a) F s iš formulės A = Fsb) h p iš formulės λ = h

p

c) R r E iš formulės I = ER + r

d) d f F iš formulės 1d + 1

f = 1F

e) m h a iš formulės E = mat3 + ha

f) v c a iš formulės f = a middot 1 ndash v

c

1 + vc

g) m h iš formulės Ep = mghh) U R iš formulės I = U

R

i) a b c R iš formulės S = abc4R

j) c m t1 t2 iš formulės Q = сm(t2 ndash t1)k) E P T iš formulės K = E middot x3

P + ET

l) n1 n2 R1 R2 iš formulės D = (n1n2

ndash 1)( 1R1

ndash 1R2)

Iš formulės išreikšk nurodytus kintamuosius (visi kintamieji žymi teigia-muosius dydžius)

a) R iš formulės S = 4πR2

b) x iš formulės 2a = 3 x 3

y

c) m iš formulės T = 2K + 3m3d) y iš formulės T = y + 24 ndash me) h1 h2 v1 v2 iš energijos tvermės dėsnio mgh1 + mv2

12 = mgh2 + mv2

22

f) m v iš formulės Ek = mv2

2

g) y iš formulės 3mx = 7xy3

h) x iš formulės T = 4yx3 ndash 6ai) y iš formulės T = 3m ndash 1

y + 24

j) R n1 n2 λ iš spinduliuojamos šviesos bangos ilgio formulės 1λ = R ( 1

n21 ndash 1

n22)

Kraujas tekantis arterijomis patiria pasipriešinimą R kurį galima apskai-

čiuoti remiantis formule r = 8klπR

4 čia r ndash arterijos spindulys k ndash kraujo klam-

pa l ndash arterijos ilgis Iš šios formulės išreikšk R

❶ Iš skritulio ploto formulės S = πR2 išreikšk R

❷ Iš Herono formulės S = p(p ndash a)(p ndash b)(p ndash c) išreikšk a


PamėginkPamėgink

UŽDAVINIAI

149

Metinis automobilio vertės kritimas apibūdinamas formule r = 1 ndash TC

n čia C ndash pradinė automobilio kaina n ndash automobilio amžius metais T ndash automo-bilio rinkos kaina Iš šios formulės išreikšk T

Asfaltuotų kelių ir gatvių dalis procentais JAV po 1940 metų kito pagal dėsnį p = 661t 056 čia t ndash metų praėjusių nuo 1940-ųjų skaičius Kiek procentų asfaltuotų kelių ir gatvių buvo 1941 metais Keliais procentais padidėjo as-faltuotų kelių ir gatvių skaičius praėjusio amžiaus aštuntajame dešimtmetyje (t y nuo 1970 iki 1979 metų) Išreikšk iš formulės t ir apskaičiuok kuriais metais asfaltuotų kelių ir gatvių skaičius pasiekė 70

Prognozuojamą Igravendijos gyventojų skaičiaus kitimą 2000ndash2050 metais gali-ma apibūdinti dėsniu P = 0924t 013 čia P ndash gyventojų skaičius milijardais t ndash metų praėjusių nuo 2000-ųjų skaičius Kiek gyventojų (milijono tikslu-mu) Igravendijoje buvo 2005 metais Keliais procentais remiantis šiomis progno-zėmis padidės Igravendijos gyventojų skaičius nuo 2040 metų iki 2050 metų Iš formulės išreikšk t ir apskaičiuok kelintais metais Igravendijos gyventojų skaičius viršys 15 milijardo

Bendrovės darbuotojų skaičius kinta pagal formulę N = 500 00207 t čia t ndash laikas metais nuo bendrovės įkūrimo N ndash darbuotojų skaičius Kiek dar-buotojų šioje bendrovėje dirbo iš pat pradžių Kiek darbuotojų joje dirbo praėjus 5 metams Keliais procentais pakito darbuotojų skaičius per 5 metus

Verslininkas nustatė kad jo pajamos pasibaigus reklamos kampanijai kito pagal dėsnį S = 2000 2ndash01x čia S ndash dienos pajamos eurais x ndash dienų pra-ėjusių po paskutinės reklamos kampanijos dienos skaičius Kokios buvo verslininko pajamos paskutinę reklamos kampanijos dieną Kiek procentų sumažėjo dienos pajamos praėjus dviem savaitėms po reklamos kampanijos

a) Nubraižytas kvadratas ir jame nuspalvintas tri-kampis (žr pav) Parašyk reiškinį nuspalvinto trikampio plotui apskaičiuoti

b) Parašyk reiškinį nuspalvinto trikampio plotui apskaičiuoti kai yra žinoma kad y = 2x

c) Ar gali nuspalvinto trikampio plotas būti lygus pusei kvadrato ploto Kodėl

a) Kilogramas pirmos rūšies riešutų kainuoja dvigubai daugiau nei kilogra-mas antros rūšies riešutų Sutaisytas abiejų rūšių riešutų mišinys pirmos rūšies riešutų pirkta už 10 eurų antros ndash už 8 eurus Pigesnių riešutų kilo-gramo kainą pažymėk x ir parašyk reiškinį mišinio kilogramo kainai apskai-čiuoti

b) 100 g ledų turi 25 karto daugiau kalorijų nei 100 g apelsinų sulčių Iš šių produktų pagamintame gėrime 9600 kalorijų yra iš ledų 5400 ndash iš apelsinų sulčių Kintamuoju x pažymėk kiek kalorijų turi 100 g apelsinų sulčių ir parašyk reiškinį pagal kurį būtų galima apskaičiuoti kiek kalorijų turi 100 g pagaminto gėrimo

150

1 variantas

❶ Telekomunikacijų bendrovė skaičiuoja a centų už pirmąją pokalbio minutę ir po b centų už kiekvieną kitą pokalbio minutę Klientas už ilgesnį nei vienos minu-tės pokalbį sumokėjo iš viso 215 Eur Kuris reiškinys nusako pokalbio trukmę minutėmis

A 215a + b B 215 + a ndash b

b C 215 ndash ab D 215 ndash a + b

b

❷ Kuri x reikšmė nepatenka į reiškinio x ndash 93

x2 apibrėžimo sritį

A x = 3 B x = 0 C x = ndash3 D x = 9

❸ Kūdikio iki pusės metų amžiaus rekomenduojama kūno masė apskaičiuojama pagal formulę S = V + 800x čia V ndash ką tik gimusio kūdikio masė (gramais) x ndash kūdikio amžius (mėnesiais) S ndash kūdikio masė (gramais) praėjus x mėnesių nuo gimimo Iš formulės išreikšk V ir x

❹ Jei s = 12gt2 (čia s gt 0 g gt 0 t gt 0) tai t =

❺ Prekės kaina sumažinta a procentų Reiškiniu užrašyk kiek kainuoja nupiginta prekė

❻ Nustatyk reiškinio apibrėžimo sritį

a) x ndash 32 7 + 4

b) 15x ndash x + 14 c) (3x ndash 1)

12 d) 3x ndash 27

x2 ndash 1

❼ Su kuriomis x reikšmėmis reiškinys neturi prasmės

a) x2 ndash 5x + 1 b) 2 ndash 4x 3

x ndash 65 c) 3x2 ndash 5x

2x d) 3 ndash 4x 3 ndash x

❽ Iškelk daugiklį prieš šaknies ženklą kai x gt 0 y gt 0

a) 32x 94 b) 81x7y 63 c) x 12y 345 d) x 17y 246


Jei mokaisi bendrąjį kursą baigdamas šį skyrių turi mokėti nustatyti paprasčiausio racionaliojo ir iracionaliojo reiškinio api-brėžimo sritį

apskaičiuoti reiškinio reikšmę remdamasis nurodyta formule pertvarkyti paprastus racionaliuosius reiškinius taikyti laipsnių ir šaknų savybes pertvarkydamas paprasčiausius reiškinius

Jei mokaisi išplėstinį kursą dar turi mokėti tapačiai pertvarkyti racionaliuosius bei iracionaliuosius reiški-nius taikydamas kubų sumos ir skirtumo bei skirtumo ir sumos kubo formules

pertvarkyti sudėtingesnius reiškinius su laipsniais ir šaknimis

PASITIKRINK

151

❾ Įkelk daugiklį po šaknies ženklu kai x gt 0 y gt 0

a) x x3 b) x2y xy c) x2y3 xy24 d) x2y10 y25

❿ Išreikšk laipsniu su racionaliuoju rodikliu (a gt 0 b gt 0)

a) a3 b) a middot a3 middot a4 c) b3b d) b middot b34 ( b3 middot bndash34 )

⓫ Jei galima suprastink trupmeną

a) (x ndash 2)(x + 5)x + 5 b) (y ndash 5) middot y

(y ndash 5) + y c) x ndash 6(x ndash 6)2 d) a middot 9 + 5

a middot 5 + 9

⓬ Kam lygi reiškinio |5 ndash x| ndash |x ndash 3| reikšmė kai x gt 7

⓭ Suprastink

a) x2 ndash 18x + 81x2 ndash 81 b) m4 ndash n4

m2 + n2 m2 ndash n2

4mn c) xx + 4 + 4

x ndash 4 ndash 32x2 ndash 16

2 variantas

❶ Jei b ndash 1b = 12 tai b2 + 1

b2 =

A 140 B 142 C 145 D 146

❷ Rask mažiausią reiškinio (a ndash 14)2 reikšmę kai a yra bet koks sveikasis skaičius

A 00625 B 0 C 0125 D 025

❸ Iš rutulio tūrio formulės V = 43πR3 išreikšk R iš rutulio nuopjovos tūrio formulės V = 2

3πR2h išreikšk h ir R čia R ndash rutulio spindulio ilgis h ndash nuopjovos aukštinės ilgis

❹ Nustatyk reiškinio apibrėžimo sritį

a) 4 ndash a 27 ndash a3 + 025 ndash a2 b) 5x ndashx

15x3

c) 04x ndash 10x2 + 145 d) ( 205

10 ndash 5a)ndash18

❺ Pakelk kubu

a) (2 + 2 )3 b) (2 3 + 3 )3 c) (x 2 ndash y3 2 )3

❻ Išskaidyk daugikliais

a) x2 ndash x3 b) x x ndash 3x + 3 x ndash 9 c) 27x3 ndash 125y6 d) a ndash b3

❼ Suprastink

a) x6n2n3 b) ( x4 + 1)( x4 ndash 1) c) 2 8m3 ndash 1

27m3 ndash 1125m3 d) x6 ( x6 + 1) ndash x3

❽ Kam lygi reiškinio (x + 4)55 ndash (x ndash 7)66 + (x + 3)2 reikšmė kai ndash3 lt x lt 7

❾ Suprastink

a) 64x6 + 216y6

4x2 + 6y2 b) 4a2 ndash 6ab + 2a ndash 3b

4a2 ndash 6ab + 6a ndash 9b c) 52 + x

ndash 52 ndash x

d) 3x2 ndash 7x + 49x2 ndash 16 e) (2x + y

2x ndash y ndash 2x ndash y2x + y) xy

8x3 + y3 f) m ( m ndash n 2n m )ndash1

ndash n ( n + m 2m n )ndash1

❿ Kam lygus reiškinys y2 ndash y2

4 kai y lt 0

152

3 skyrius | Reiškiniai

❶Apskaičiuok

a) ( 7 ndash 5 23 + 7 + 503 ) middot 9 b) (3 + 2 5 4

3 ndash 2 54 )14 middot 5 4 ndash 1

54 + 1

c) (6 8 5 + 16 + 5 + 1) middot 5 ndash 1 d) |40 |2 ndash 57 ndash |40 |2 + 57

e) 6 65 + 2 middot 3 2 ndash 3 f) 3 3 ndash 5 middot 8 + 2 156

❷Įrodyk teiginį

a) jei x23 + y

23 = a

23 tai x2 + x 4y 23 + y2 + x 2y 43 = a

b) jei x = 4(a ndash 1) ir 1 lt a lt 2 tai (a + x )ndash 12 + (a ndash x )ndash 12 = 22 ndash a

c) jei n ndash nelyginis skaičius tai 96n + 725 85n dalijasi iš 1991

❸Apskaičiuok ab + cd kai a2 + b2 = 1 c2 + d2 = 1 ac + bd = 0

❹Vienodos raidės žymi vienodus skaitmenis skirtingos raidės ndash skirtingus skaitmenis

a) Rask žodžio MEILA reikšmę jei yra teisinga lygybė PELĖ + KATĖ = MEILA be to PELĖ gt KATĖ P ndash K = 1

b) Rask žodžio ŠEŠUPĖ reikšmę jei yra teisinga lygybė UPĖ times UPĖ = ŠEŠUPĖ

❺Dešimtainiame natūraliojo skaičiaus užraše yra skaitmenys 1 3 7 ir 9 Įrodyk kad sukeičiant to skaičiaus skaitmenis vietomis galima gauti skaičių kuris da-lijasi iš 7

❻Rask mažiausią skaitmeniu 6 prasidedantį natūralųjį skaičių kuris sumažėtų 4 kartus jeigu jo skaitmuo 6 būtų nukeltas į galą

❼Skaičiuje 199219921992 skaitmenų grupė 1992 kartojasi n kartų Rask pirmą- sias penkias n reikšmes su kuriomis šis skaičius dalijasi iš savo skaitmenų sumos

❽ Apskaičiuok reiškinio a31 ndash 74a30 + 74a29 ndash + 74a17 ndash 74a16 + 73a15 + 15 reikšmę kai a = 73

❾Įrodyk kad 111 ndash 222 = 333 kai skaitmuo 1 pakartotas 2n kartų o skaitmenys 2 ir 3 ndash po n kartų

❿Su kuriomis sveikosiomis n reikšmėmis reiškinys n2 + 3n + 4 lygus sveikajam skaičiui

⓫ Vietoj raidžių parink tokius skaitmenis kad lygybės eilutėse ir stulpeliuose būtų teisingos

xyay ndash bcda = exdy

+ ndash

bf middot xy = gcg

= = =

eec + bcyy = bfbe

AR PRIIMSI IŠŠŪKĮ

153

I dalis Pasirink tavo nuomone teisingą atsakymą

❶Jeigu skaičius a sudaro 40 skaičiaus b tai kiek procentų skaičiaus a sudaro skaičius b

A 40 B 250 C 225 D 2500

❷Už kiekvieną parduotą automobilį verslininkas turi sumokėti p procentų mo-kesčių Jis pardavė du automobilius po 5200 eurų Kuris šių reiškinių rodo kiek eurų mokesčių sumokėjo verslininkas

A 2600p B 10400 + p100 C 104p D 5200

100 + 2p

❸Prieš a metų Vitai buvo b metų Kiek metų Vitai bus po c metų

A b + a + c B b + a ndash c C b ndash a + c D c ndash a ndash b

❹abc ndash triženklis skaičius Kuris iš nurodytų skaičių atitinka skaičių abc 102 + 105

A abc100 B 10abc00 C abc00000 D 1abc00

❺Kuri x reikšmė nepatenka į reiškinio 6 ndash x x ndash 2 apibrėžimo sritį

A x = ndash2 B x = 6 C x = ndash6 D x = 7

❻Kuri lygybė yra teisinga

A 545 = 1

54 B 545 = 5

54 C 545 = 31254 D 5

45 = 6255

❼Suprastink reiškinį p10 ndash p11

p ndash 1

A p10 B ndashp10 C p11 D 1p ndash 1

❽ Suprastinęs reiškinį 4 ndash xx2 ndash 16 gausi

A x ndash 12 B 1x ndash 4 C ndash 1

x + 4 D 1x + 4

❾Jei a2 + b3 yra natūralusis skaičius o a2 ndash b

3 nėra natūralusis skaičius tai

A a = 1 b = 5 B a = 2 b = 3 C a = 1 b = 4 D a = 3 b = 2

❿Kai a gt 0 ir b gt 0 tai reiškinys (3a)4b ndash (3a)2b yra tapačiai lygus reiškiniui

A (3a)2b B 3b(a4 ndash a2) C (3a)2b(9ab ndash 1) D (3a)2b((3a)2b ndash 1)

⓫ Įbrėžto į lygiakraštį trikampį apskritimo spindulys yra 4 cm ilgio Apskaičiuok trikampio kraštinės ilgį

A 8 3 cm B 8 3 3 cm C 4

3 cm D 4 3 3 cm

⓬ Apie statųjį trikampį apibrėžto apskritimo skersmens ilgis lygus 26 įbrėžto aps-kritimo spindulio ilgis lygus 4 Apskaičiuok šio trikampio perimetrą

A 56 B 60 C 64 D 112

KARTOJIMO UŽDAVINIAI

154


II dalis Išspręsk uždavinius

⓭ Kiek yra triženklių skaičių kurių bent vienas skaitmuo lygus 3

⓮ Keturis kartus po tiek pat procentų pabranginus prekę jos kaina padidėjo 4641 Po kiek procentų kaskart brango prekė

⓯ Rombo įstrižainių ilgiai lygūs 18 ir 9 a) Apskaičiuok rombo plotą b) Apskaičiuok rombo kraštinės ilgį c) Apskaičiuok rombo smailiojo kampo didumą 1deg tikslumu

⓰ Trikampio ABC kraštinių ilgiai yra AB = 14 BC = 15 AC = 13 Kraštinėse BC AC ir AB atitinkamai pažymėti taškai D E ir F taip kad figūra BDEF yra lygia-gretainis (žr pav)

a) Parodyk kad sin ang B = 45

b) Lygiagretainio kraštinės BF ilgį pažymėjęs x parodyk kad lygiagretainio plo-tas SBDEF = 12x ndash 6x2

7 c) Koks gali būti didžiausias lygiagretainio plotas d) Su kuria x reikšme lygiagretainis BDEF būtų rombas

⓱ Suprastink reiškinį 2 + x 2 ndash x

+ 2 ndash x 2 + x

⓲ Parabolė kerta koordinačių ašis taškuose (0 5) (1 0) ir (5 0) a) Parašyk šios parabolės lygtį b) Nustatyk parabolės viršūnės koordinates

⓳ Keturženklio skaičiaus skaitmenis surašius atvirkščia tvarka gaunamas kitas keturženklis skaičius Įrodyk kad pradinio ir gauto skaičių skirtumo modulis dalijasi iš 9 be liekanos

⓴ Automobilis pirmuosius 40 km važiavo x kmh greičiu o kitus 50 km ndash y kmh greičiu

a) Parašyk reiškinį visos kelionės laikui apskaičiuoti b) Yra žinoma kad xy = 600 Parašyk kelionės laiko T priklausomybės nuo x

išraišką T(x)

Pasportuodamas paveikslą ant kartono lapo dailininkas nori palikti nuo lapo viršaus ir apačios 5 cm pločio juostas o iš šonų ndash 2 cm pločio juostas Kartono lapo plotas 1700 cm2 ilgis x cm

a) Parodyk kad paveikslui skiriamos kartono dalies plotą galima apskai-čiuoti pagal formulę S = 1740 ndash 10x ndash 6800

x (cm2) b) Nustatyk galimas x reikšmes jei yra žinoma kad paveikslo plotas lygus

1200 cm2

Taisyklingojo penkiakampio AKLMN kraštinėse KL ir MN atitinkamai pažymė-ti taškai B ir C taip kad ABC yra lygiakraštis trikampis kurio kraštinės ilgis lygus 12 Apskaičiuok penkiakampio kraštinės ilgį dešimtųjų tikslumu

155

Nepatinka įrodinėti PieškKai kurie matematiniai įrodymo uždaviniai gali pasirodyti sunkūs ir nuobodūs Pamėginkime juos išspręsti kitaip Pavaizduokime piešiniu

Įrodykime kad 1 + 3 + 5 + + (2n ndash 1) = n2Pavaizduokime šiuos nelyginius skaičius skrituliukais Viršutiniame kai-riajame kampe ndash vienas šviesus skrituliukas toliau ndash trys tamsesni po jų ndash penki šviesūs tada ndash septyni tamsesni ir t t

Kvadratėlio kuriame yra 1 skrituliukas kraštinė ndash 1 (1 dėmuo) kvadratėlio kuriame yra 1 + 3 skrituliukai kraštinė ndash 2 (2 dėmenys) kvadratėlio kuriame yra 1 + 3 + 5 skrituliukai kraštinė ndash 3 (3 dėme-

nys) kvadratėlio kuriame yra 1 + 3 + 5 + + (2n ndash 1) skrituliukų kraš-

tinė ndash n (n dėmenų)Suma 1 + 3 + 5 + + (2n ndash 1) bus lygi kvadrate esančių skrituliukų

skaičiui t y n times n = n2

Kitas tos pačios savybės įrodymas dar pa-prastesnis Skaičius pavaizduokime skri-tuliukais ir sudėkime į trikampį pirmiau-sia ndash vienas skrituliukas žemiau ndash trys dar žemiau ndash penki ir t t Kairėje esančius skrituliukus palikime šviesius dešiniuo-sius nuspalvinkime

Labai aiškiai matyti kad trikampis tu-ri tiek pat eilučių kiek dėmenų yra sumoje 1 + 3 + 5 + t y n eilučių

Dabar dešinįjį trikampį sudarytą iš tamsių skrituliukų nukirpkime apverski-me ir padėkime kairėje Gausime kvadra-tą Jis turės n eilučių ir n stulpelių Taigi skrituliukų bus n times n = n2

Užduotys❶ Turime keturias tapatybes

a) 2 + 4 + 6 + + 2n = n(n + 1)b) (1 + 2 + 3 + + n ndash 1) + (1 + 2 + 3 + + n) = n2c) 8(1 + 2 + 3 + + n) + 1 = (2n + 1)2d) 1 + 2 + 3 + + n = n(n + 1)

2

Paveikslėlis dešinėje iliustruoja vienos iš šių tapatybių įrodymą Kurios Paaiškink šį įrodymą

❷ Sugalvok kaip pavaizduoti šias sumasa) 1 + 2 + 1 = 22b) 1 + 2 + 3 + 2 + 1 = 32c) 1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1 = 42 ir t t

97

1 times 8 + 1 = 9

12 times 8 + 2 = 98

123 times 8 + 3 = 987

1234 times 8 + 4 = 9876

12345 times 8 + 5 = 98765

123456 times 8 + 6 = 987654

1234567 times 8 + 7 = 9876543

12345678 times 8 + 8 = 98765432

123456789 times 8 + 9 = 987654321

1 times 9 + 2 = 11

12 times 9 + 3 = 111

123 times 9 + 4 = 1111

1234 times 9 + 5 = 11111

12345 times 9 + 6 = 111111

123456 times 9 + 7 = 1111111

1234567 times 9 + 8 = 11111111

12345678 times 9 + 9 = 111111111

123456789 times 9 + 10 = 1111111111

9 times 9 + 7 = 88

98 times 9 + 6 = 888

987 times 9 + 5 = 8888

9876 times 9 + 4 = 88888

98765 times 9 + 3 = 888888

987654 times 9 + 2 = 8888888

9876543 times 9 + 1 = 88888888

98765432 times 9 + 0 = 888888888

1 times 1 = 1

11 times 11 = 121

111 times 111 = 12321

1111 times 1111 = 1234321

11111 times 11111 = 123454321

111111 times 111111 = 12345654321

1111111 times 1111111 = 1234567654321

11111111 times 11111111 = 123456787654321

111111111 times 111111111 = 12345678987654321

Ar žinai kad kai kurios

vabzdžių rūšys gyvena pirminių skaičių ritmu

Viena vabzdžių cikadų rū-šis beveik visą gyvenimą tūno po žeme Tačiau išmu-šus valandai X milijonai šių vabzdžių išlenda į paviršių čia dauginasi ir žūva Įdomu kad cikados taip elgiasi itin regulia-riai ndash kas 13 ir 17 metų Kodėl būtent kas tiek metų Todėl kad šitaip jos išvengia natūralių savo priešų kurių dauginimosi ciklai ly-gūs dvejiems trejiems arba šešeriems metams

Ar žinai kas sieja augalų lapus jūrų žvaigždes ir Pizos miestą

Pizoje XII a pabaigoje gyveno matemati-kas Fibonačis (Fibonacci tikr Leonardas Pizietis) kuris įėjo į istoriją kaip žmogus atradęs Fibonačio seką ir vadinamąjį aukso pjūvį arba dieviškąją proporciją Laikydamie-si šios proporcijos žmonės sukūrė daugybę kūrinių Vis dėlto daug anksčiau už Fibonačį dieviškąją proporciją bdquoatradoldquo pati gamta Dau-gelio augalų lapai jūrų žvaigždžių formos ir net žmogaus kūnas ndash puikiausi šios proporcijos pavyz-džiai Neaiškinsime kas yra ši stebuklinga proporci-ja ndash atsakymą lengvai rasi internete Būtinai pažiūrėk ir įvertink skaičių magijos grožį

Ar žinai kad šiuolaikinių šifrų visiškai nereikia slėpti

Žmonės visada turėjo paslapčių Bet senovėje šifro raktas buvo saugojamas po devyniais užraktais o šiandien savo raktą galima paskelbti viešai Raktas ndash dviejų nepaprastai di-delių pirminių skaičių sandauga pq Ją paskelbi viešai šio vie-šojo rakto duomenims užkoduoti užtenka Tačiau norint juos iškoduoti reikia privačiojo rakto t y reikia žinoti skaičius p ir q O išskaidyti skaičių pq daugikliais net galingiausios skaičiavimo mašinos gali tik per labai ilgą laiką ir kainuoja tai labai brangiai

Skaičių magija

98





3 127 1


❸ Apskaičiuok a) 9 36 1 0 049 4

25 00121 1 916

b) 83 273 13 03 000864





an ak = ax

❺ Apskaičiuok













99







d) (1x + x

y) xyy + x2 e) (y

x)2 ndash (x

y)ndash2 f) ( x


g) a2 + a2 + a2

a4 + a4 + a4 h) a2 a2 a2

a4 a4 a4 i) a2(a2)6

(a5)4 a0








Pasitikrink ar moki

100

















n




čiai




SUSIPAŽINK

101















Pavyzdžiai






PamėginkPamėgink

Aibių veiksmai




Poaibis A sub B

102



empty 3 6 7 8 3 6 3 7 3 8 6 7 6 8 7 8 3 6 7 3 6 8 3 7 8 6 7 8 3 6 7 8


Pavyzdys



PamėginkPamėgink






2 3 5 6 cup 2 4 8 == 2 3 4 5 6 8

2 3 5 6 cap 2 4 8 = 2




[ndash27 7) cap [4 13 9 ) = [4 13 7 )

[ndash27 7) cup [4 13 9 ) = [ndash27 9)





Pavyzdžiai

103




PamėginkPamėgink

Aibių skirtumasA B

B A




2 3 4 5 6 2 4 8 = 3 5 6

2 4 8 2 3 4 5 6 = 8




A B = [ndash27 4 13 )

B A = [7 9)




Pavyzdžiai




PamėginkPamėgink

104








Pavyzdys


Pamėgink











105


4

325 = 2


16625

4 = 25



(25)4

= 16625 todėl 16

6254 = 2

5

Pavyzdys


4


PamėginkPamėgink






①Laipsnius 215 3


215 = 215 = 25

337 = 337

5125 = 554 = 554


3

Sprendimas



3

②Šaknis 37 358 1a7


37 = 317 = 317

358 = 358 = 30625

1a7


Sprendimas



Pavyzdžiai





PamėginkPamėgink

106
















UŽDAVINIAI

107











a) 00016256

4 b) 000864

3 c) 05 d) ndash 116

4


325 h) 04

i) 116

4 j) ndash 11024

5 k) ndash15 l) 000014

m) 0002435 n) 81625

4 o) 011 p) 000164


a) 325 203 5ndash05 (1

3)ndash25 b) 2

17 307 6ndash02 (1

5)ndash15


a) 225 122 473 1

33 b) 357 1

323 77 7

95



13 c) 16

625 000814 d) 00625ndash 34

e) 71932

5 (49)ndash05

f) 10ndash5 3 200 0005 g) ( 127)ndash

13 7293 h) (00016

00625)ndash 34 ( 15625

643 )ndash1

i) (1681)ndash

34 32

15 j) 8ndash

23 27

13 k) (00001

625 )ndash 34 10ndash3 l) 7348

4864 (27

9)ndash 12

m) 1024ndash 1

10 (18)

13 n) 56

1893 o) ( 81

625)ndash 14 0216

13 p) (1

2)ndash5 025

ndash 123

108










čia a b c d 0


2 18 + 2 12 ndash 3 8 + 75 =

= 2 9 ∙ 2 + 2 4 ∙ 3 ndash 3 4 ∙ 2 + + 25 ∙ 3 == 2 3 2 + 2 2 3 ndash 3 2 2 ++ 5 3 =

= 6 2 + 4 3 ndash 6 2 + 5 3 =

= 6 2 ndash 6 2 + 4 3 + 5 3 = = 9 3





Atsakymas 9 3

Pavyzdžiai

IŠMOK

109


(3 2 ndash 3 )(2 5 ndash 1) =



(3 2 ndash 3 )(2 5 ndash 1)




(3 5 ndash 2 3 )2 =

= (3 5 )2 ndash 2 ∙ 3 5 ∙ 2 3 + (2 3 )2 = a2 a b b2

= 9 5 ndash 2 3 2 5 ∙ 3 + 4 3 =

= 45 ndash 12 15 + 12 = 57 ndash 12 15

Sprendimas




Atlik veiksmus

a) 44 + 2 99 + 3 45 ndash 20 b) (2 3 ndash 3 2 )( 2 + 3 )

c) 2592 ndash (6 + 3 2 )2 d) (5 2 ndash 3 ) 2 2 + ( 2 + 3 )2


PamėginkPamėgink



a gt 0 Pavyzdžiui 22 = 4 = 2 52 = 5


( alt 0 )2

gt 0

= | a |

gt 0lt 0lt 0

= ndasha

gt 0lt 0lt 0



Įsimink



110






= a ∙ bb ∙ b

= a bb

čia b gt 0


ax ndash y








Sprendimas




Pavyzdys

Apskaičiuok




Pamėgink



23 = 2 3

3 3 = 2 3

3

Sprendimas


Atsakymas 2 33

Pavyzdžiai

ndash = ∙ ( + )

( ndash ) ∙ ( + )

= ∙ ∙

= ∙

111



21 ndash 3

= 2(1 + 3)(1 ndash 3)(1 + 3) =

= 2(1 + 3)12 ndash ( 3)2 = 2(1 + 3)

1 ndash 3 =

= 2(1 + 3)ndash2

= ndash1 ndash 3

Sprendimas





a n a ne 0



Taisyklė Pavyzdys

a0 = 1 20 = 1


22 = 14 (2

3 )ndash1

= 32





(ab )

n = a n

b n (23 )

ndash4 = 2 ndash4

3 ndash4 = 3 42 4 = 81

16 = 5 116


(ndash 210 )ndash3


=

= (ndash 15 )ndash3

+ (ndash 12 )ndash2

=


Sprendimas




Atsakymas ndash121

Pavyzdžiai


a) 112

b) 23 + 1

c) 3 ndash 2 52 3 + 5


Pamėgink

112


Įsimink

① ( an )n = a

② abn = an bn

③ ab

n = an

bn

④ akn = ank

⑤ ( an )k = akn

⑥ amknk = amn

⑦ amn = amn

Apskaičiuok



Pamėgink


Taisyklė Pavyzdys

( an )n = a ( 33 )3 = 3


abn = an bn 27 643 = 273 643 = 3 4 = 1245 85 = 325 = 2



ab

n = an

bn b ne 0 81625

4 = 814

6254 = 35

645

25 = 642

5 = 325 = 2


akn = ank 53 = 56




( an )k = akn ( 33 )2 = ( )233 = 33

8154 = ( 814 )5 = 35 = 243


amknk = amn a1215 = a3 43 5 = a45


amn = amn

223 = 223


113


Įsimink



(1 ndash 3)24 =

= (1 ndash 3)22 2 = |1 ndash 3| =


Sprendimas



Atsakymas 3 ndash 1

Pavyzdys


3 8 24 = 3 82 middot 24 = 15366

7 193 = 73 middot 193 = 65176

15366 lt 65176

3 8 24 lt 7 193





Pavyzdys


a) ( 315 )15 b) 16 ∙ 000014 c) 64729

6

d) 234 e) ( 33 )2 f) 248

g) ( 33 )3 ndash ( 55 )5 h) 015 ∙ 000015 i) 7295

35

j) 23 + 23 k) ( 243 )4 l) 23 + 226

m) 75881

4 + ( 234 )4

n) 24 ∙ 84 + 6253

53 o) 23

( 43 )2

p) 253

235 r) ( 23 )12 s) 21530 + 248


Pamėgink



Pamėgink

114



2 324 ndash 1624 + 12504 =

= 2 16 24 ndash 81 24 + 625 24 =

= 2 2 24 ndash 3 24 + 5 24 =

= 4 24 ndash 3 24 + 5 24 = 6 24

Sprendimas




Atsakymas 6 24


Taisyklė Pavyzdys

a0 = 1 1250 = 1


12 = (6

5)ndash 12 = (5

6) 12 = 5

6

am an = am + n 2 12 2

12 = 2

12 +

12 = 21 = 2


32 = 3212 ndash 1 = 3202 = 3215 = 325 = 2

(an)m = amn (202)5 = 21 = 2

(ab)n = an bn 216 13 = (8 27)

13 = 8

13 27

13= 2 3 = 6

(ab )

n = a n

b n ( 2566561)0125 = 2560125

65610125 = (28)0125

(38)0125 = 23


Įsimink

① a0 = 1

② andashn = 1a n

③ am an = am + n


⑤ (an)m = amn

⑥ (ab)n = an bn

⑦ (ab )

n = a n

b n b ne 0

❶ Palygink

a) 4 2 33 ir 3 2 3 b) 4 3 33 ir 3 3 34

❷ Suprastink

a) 323 ndash 1083 b) 23 7684 + 484


Pamėgink

115

⓱ Apskaičiuok

a) 8 ∙ 32 b) 3 + 3 + 3 3 c) 18 + 50



m) 3 + 6 2 n) 2( 8 ndash 2) o) (3 ndash 5 7)2


⓲ Apskaičiuok



g) 32 +2 + ∙ 32 +2 ndash ∙ 2 + 3 h) (3 + 2 2)2016 ∙ (3 ndash 2 2)2016



⓴ Apskaičiuok





Apskaičiuok




a) 25

b) 57 5

c) 35 ndash 2

d) 113 5 ndash 2 3

e) 37

f) 72 7

g) 27 ndash 5

h) 102 7 ndash 3 2

UŽDAVINIAI

Atlik veiksmus

a) (13)ndash 02 b) 1613 16ndash105 c) 515

505


32 e) 3 ndash

14 27 ndash

14 f) 605

305

g) ( 149)ndash

12 ndash (1


23 5ndash

32 5ndash

156 i) 2

13(4

13 + 32

13)

j) (12ndash075


12 (3 + 2)

12


Pamėgink

116


Apskaičiuok

a) 27 ndash 5

+ 47 + 5

b) ( 25 ndash 2

+ 45 + 2) ∙ 1

6 5 ndash 4

c) 36 ndash 3

+ 96 + 3

d) ( 27 ndash 2

+ 47 + 2) ∙ 3

6 7 ndash 4

Apskaičiuok

a) 1 + 2

21 ndash 2

2

+ (2 + 2)2

2 b) ( 43 + 5

ndash 32 + 7

+ 114 ndash 5) (9 ndash 7)

c) 21 ndash 4 5 21 + 4 5

ndash 1921 + 4 5

d) ( 127 ndash 1

ndash 85 ndash 1

+ 62 ndash 7) ∙ (2 5 + 4)ndash1

e) 1 + 3

3

1 ndash 33

+ (1 ndash 3)2

2 f) ( 25 ndash 3

+ 63 ndash 3

+ 12 ndash 5) ∙ (2 3 ndash 1)

g) 4 + 2 3 4 ndash 2 3

ndash 12 ndash 3

h) ( 45 ndash 1

ndash 35 ndash 2

+ 605 ndash 5) ∙ ( 5(1 + 2 5))ndash1

Apskaičiuok






3ndash4

Apskaičiuok


53 26


14) ndash2


i) 36 210 57

605




a) 8 ∙ 95 ∙ 4 ∙ 275 b) 2185 2145

2175 c) ( 23 )6 ndash ( 34 )2


j) 9 ∙ 43 ∙ 3 ∙ 163 k) 3174 3244

3214 l) ( 34 )8 ndash ( 24 )2


Apskaičiuok



117


a) 3 2 b) 2 34 c) 04 100004 d) 13 544

e) 5 3 f) 3 23 g) 25 100004 h) 2 25



Suprastink


Apskaičiuok


c) 4 ndash 2 36 1 + 33 43 d) 3( 3 ndash 7 )2

10( 5 + 214 )( 5 ndash 214 )

e) (1 + 2)2 + 44 f) 3 ndash 2 26 2 + 23 326


20( 154 + 2)( 154 ndash 2)


a) 25013

213

b) (313)3

ndash (205)4 c) 3025 27025 ndash 213 4

13 d) 3

13 (32

3 + 1)e) (4025 ndash 405)4 f) (23

2 + 1)2

g) (314 + 3

12) (31

4 ndash 312) h) (51

6 + 514) (51

6 ndash 514)

i) 16214

125013 j) (41

4)8

ndash (405)3 k) 214 8

14 ndash 3

13 9

13 l) (23

4 + 1) 214

m) (805 ndash 3205)2 n) (314 + 1)2

o) (414 + 1) (41

4 ndash 1) p) (1 + 314) (31

4 ndash 1)


a) 8 435 b) 2 4 16 4

3

3 4 c) 777 493 d) 8

274 3

26 312 26

e) 23 484 2ndash33 f) 1253 5255 g) 53 553

023 h) 125 53 54 3 1

515

15

Apskaičiuok


15 3 + 1 + 15 3 b) ( 10) 2 ndash ( 5 ) 2

( 2 ) 2 ndash 1


43 + 0008 ndash

13 d) (2 2 ndash 3 27) (23

2 + 9 3) + ( 1 4096) ndash

12( 4 3)ndash1

e) ((243 93 )14 ndash 3(3 34 )

13) 3 ndash

512 f) 3 + 63 9 ndash 6 26 ndash 33

g) 13 2 + 13 2 + 2

3 middot 13 2 ndash 13 2 h) ( 6 ) 2 + 2 2

( 3 ) 2 + ( 2 ) 2

i) ( 1 27) ndash 13 + 2 00016 ndash

14 + ( 1 81)ndash075 00640 j) 00001ndash

14 + ( 1

125) ndash 43 ndash 81075 1

9 ndash05

k) 84

74 4 ndash 24 4 + 24 l) ((31

2 + 1)2

ndash (4 + 312)33 )

12

ndash 2 cos 30deg

118


5 2 8 6 2 3 5

Tūks

tanč

ių sk

yriu

s

Šim

tų sk

yriu

s

Dešim

čių sk

yriu

s

Vien

etų

skyr

ius

Dešim

tųjų

skyr

ius

Šim

tųjų

skyr

ius

Tūks

tant

ųjų

skyr

ius



743 956 = 7 105 + 4 104 + 3 103 + 9 102 + 5 10 + 6






x4y = 4xy ndash 270 (1)

x4y = 100x + 40 + y

4xy = 400 + 10x + y

100x + 40 + y = 400 + 10x + y ndash 270







Pavyzdžiai


a) 287 b) 987 145 c) xyz d) abcde

Pamėgink

TAIKYK

119


1 x260

x + 2 + 6 + 0 = x + 8


1260 4260 7260

2 y265y + 2 + 6 + 5 = y + 13


2265 5265 8265











PamėginkPamėgink


1 6 = 016666 = 01(6)

1 7 = 0142857142857142 = 0(142857)

120



x = 025656 | 10 1 1

10x = 2565656 (1)

10x = 2565656 | 100 2 2

1000x = 2565656 (2)


x = 256 ndash 21000 ndash 10

x = 254990 = 127

495

32(56) = 3 256 ndash 2103 ndash 101 = 3 127

495 1 3






Išreiškiame x


Atsakymas 32(56) = 3 127495

Pavyzdys

021(8) = 218 ndash 21103 ndash 102 = 197

900 0(4) = 4 ndash 0101 ndash 100 = 4

9 2 3

0123(45) = 12345 ndash 123105 ndash 103 = 679

5500 0(56) = 56 ndash 0102 ndash 100 = 56

99 3 5








a) 0(7) b) 05(7) c) 214(8) d) 03(12)


Pamėgink

Pavyzdžiai

121


x = 025656 | 10 1 1

10x = 2565656 (1)

10x = 2565656 | 100 2 2

1000x = 2565656 (2)


x = 256 ndash 21000 ndash 10

x = 254990 = 127

495

32(56) = 3 256 ndash 2103 ndash 101 = 3 127

495 1 3






Išreiškiame x


Atsakymas 32(56) = 3 127495

Pavyzdys




1 2 000 000 000 = 12 ∙ 1010 10 vietų

0000006 1 = 61 ∙ 10ndash6 6 vietos



Pavyzdys


a + b = 24 1025 + 12 1025 = = 36 1025

a + c = 24 1025 + 5 1024 = = 24 1025 + 05 1025 = 29 1025

a b = (24 1025) (12 1025) = = (24 12) (1025 1025) = 288 1050

b c = 12 1025

5 1024 = 024 101 = 24





Pavyzdys


Pamėgink



Pamėgink

122





KMI = 601682 asymp 60


Pavyzdys

∆x = |x ndash a|






|a| 100







Pamėgink

123










KMI = 601682 asymp 60


Pavyzdys



a) 1 7 = 014 2 857 asymp 014


3 7 = 042 8 571 asymp 043

gt 5

artinys a = 043



Pavyzdys

b) ∆x = |1 7 ndash 014| = |50 ndash 49

350 | =

= | 1350| = 1

350

∆x = 1350 lt 00028 lt 0003

δ = ∆x|a| =

1350

750

= 1350 50

7 = 149

δ = 149 100 asymp 2041 lt 21




UŽDAVINIAI



Pamėgink

124



Įrodyk kad



Pagrįsk teiginius















125




d) 0(32) 0(4) e) 0(493) 07(45) f) 0(285714) 01(3)04(6) 4(9)

g) 2(8) ndash 0(4) h) 1(27) ndash 03(4) i) 0(917) + 03(614)

j) 0(57) 0(6) k) 0(267) 03(12) l) 0(53) 02(9)332(4) + 1(21)

Palygink skaičius

a) 1 6 ir 3


12






d) 0002096 1012

524 e) 08128 1024

254 10ndash14 f) 0027 1021 ndash 631 1017

g) 1890 00105 h) 00045 1017 i) 000007 10ndash16

j) 000010288016 1017 k) 5139645 10ndash13

7895 10ndash34 l) 760 1012 ndash 0003 1015


a) 5 6 h = 01 b) 2

7 h = 000001 c) 3 h = 01 d) 6 h = 001

e) 4 13 h = 001 f) 3

11 h = 0001 g) 11 h = 000001 h) 8 h = 000001


a) 1 9 h = 01 b) 2 h = 001 c) 3

11 h = 001 d) 10 h = 0001

126

1 variantas




6 reikšmė

A 7 6 B 1

6 C 75 D 74




❻ Apskaičiuok

a) (134)ndash 2 b) 7503

63 c) (33

4 9ndash 14)ndash4

d) ( 27 ndash 2 3 + 75) 3

e) 5( 3 ndash 7)2

5 ndash 21 f) ( 00001

81 ) ndash 34 10ndash4 g) ( 160

15

121502) ndash2

h) 23 ( 43 ndash 163 )



3









PASITIKRINK

127





2 variantas



A 4ndash 34 = 4

43 B 4ndash

34 = 1

644 C 4ndash

34 = 1

43 D 4ndash 34 = 1

2563


1417 reikšmė

A 1514 B 1 1

196 C 1415 D 1415





❻ Apskaičiuok


14 b) 2 8

16 8

4

3

3 88 c)

8113 + 3

73

33 + 813 + 21873

d) 53 + 2a 43 + 2a

202a + 2 e) 31 ndash 2 5 9 5 f) 17 ndash 338 33 + 178

❼ Suprastink

a) ( 182 ndash 13

ndash 2011 ndash 1

+ 2413 ndash 1) ( 1

2 + 11 )ndash1 b) (3 ndash 7)

12(3 + 7)

12

c) 1 + 3 + 32 + 33 + 34 + + 315







128









m4 + 3m3 + 23 (p ndash 4)(p ndash 12)

27 53



narys narys narys

trinaris




m + 2



7 ndash p + 3


racionalieji

iracionalieji


SUSIPAŽINK

129












Įsimink



② ne 0

③ 2n 0

④ 2n gt 0

⑤mn gt 0



Pavyzdžiai


1) (2 ndash x2)(2 + x2)x ndash 5 2) 2

5x 2 ndash 37x + 4

3) 23 x 2 ndash 5x ndash 813 4) 7

c ndash 2

c + 1 + c + 2

33

5) 2x2 ndash 5x ndash 325 6) (3 + x)(12 + x)

(x ndash 5)x

7) y3

3 + 3y23 8) 3y2 + 2

y2 + 5y ndash 6


Pamėgink

130



x(x ndash 4) ne 0







x 25x ne ndash1









x ne ndash3


(x + 7)(x ndash 7) lt 0








Pavyzdžiai


a) 03x ndash 1 3 b) 2

7x3 + 1 9x2 + 0(4)x ndash 12

c) 2 + 4x x + 3 d) 2 + 4x

x2 ndash 25

Pamėgink

131



3 c) 3 x ndash 36



12 ndash 2x g) x


x2 ndash 1









e) x13 ndash 1 f) 1



2x2 ndash 50



m) 2x + x25 n) x + 2

3 5 o) 2x + 1

x2 ndash 9 p) 12x + x + 4




a + 3 d) 4x


e) (3x ndash 1)ndash134 f) 5x + 40 3

1 ndash x2 g) 4




2 ndash a l) 35k + 21 6

2k + 34


1 ndash p2 n) 2x + 10


x + 5 p) 4 ndash 12x2 + 4 5x + 403

UŽDAVINIAI



b) x + 24

3 ndash x6



x2 ndash 1


Pamėgink

132











23 + xndash

13)

x 13 (x

23 + xndash

13) = x

13 x

23 + x

13 xndash

13 =

= x 13 +

23 + x

13 ndash

13 = x

33 + x0 = x + 1



Atsakymas x + 1









Pavyzdžiai

IŠMOK

133




a) x43 = x3 x3 = x x3

b) x94 = x4 x4 x4 = x2 x4

x94 = x 94 = x2

14 = x2 x4

c) x6y6 = x6 y6 = x y6





Pavyzdys



Įsiminka2n2n = |a|



(x ndash 4)44 + (x ndash 2)33 =




Pavyzdžiai


a) ( x 14 ndash 1 )( x



Pamėgink




Pamėgink

134









a) x y3 = x3y3

b) a b4 = a4b4










Pavyzdžiai

Suprastink



Pamėgink


a) a3 a4 (a gt 0) b) ab2 a3 (a b gt 0)


Pamėgink

135



Įsimink





= ndash x7y 46




Pavyzdys




① (a + b)2 = a2 + 2ab + b2



④ (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3


⑥ a3 + b3 = (a + b)(a2 ndash ab + b2)





Pamėgink


136



(2x + 3)3 = a b



Sprendimas


Atsakymas 8x3 + 36x2 + 54x + 27


( 2 ndash 2 3 )3 = a b



Sprendimas



Pavyzdžiai


8x6 + 60x4y + 150x2y2 + 125y3 =

= (2x2)3 + 3 (2x2)2 (5y) + 3 (2x2) (5y)2 + (5y)3 = a3 a2 b a b2 b3

= (2x2 + 5y)3




Pavyzdys


a) (m ndash 5n)3 b) (2x + 2)3c) ( 3 + 2)3 d) (2 2 + 2)3

Pamėgink




52


Pamėgink

137
















Pavyzdys








Pavyzdys




Pamėgink

138







a) 8x6 ndash a3b9 = (2x2)3 (ab3)3

= (2x2)3 ndash (ab3)3 = a3 b3


= (2x2 ndash ab3)(4x4 + 2x2ab3 + a2b6)






= ( x3 ndash y3 )( x23 + xy3 + y23 )








Taikome 7 formulę

Pavyzdys







Pamėgink



Pamėgink

139



x1 = 1 ndash 81 20 = ndash 2 5 x2 = 1 + 81

20 = 1 2


5) =

= 2 5(x ndash 1 2)(x + 2

5) =

= (2x ndash 1)(5x + 2)





Pavyzdys

Grupavimo būdas









Pavyzdys


= (x + y)(a + b)




++



Pamėgink




Pamėgink

140



6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys




ab + c

d = ad + bcbd

ab ndash c

d = ad ndash bcbd



x + y


Pamėgink

Suprastink




2x ndash 10


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys

3

141


6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys





ab middot c


ab c

d = ab middot d




x ndash y


x2 + y2

x ndash y =


x ndash yx2 + y2 =


x2 + y2 =


= x + y

Sprendimas


Pavyzdžiai

Suprastink

a) 1x x + x

+ xx + 1

b) 6 xx ndash 3

ndash 3x + 3


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys



x ndash yx + y


=


( x + y )( x ndash y ) =



x ndash y

Sprendimas




Pavyzdys

x ndash y x + y

142


UŽDAVINIAI




Suprastink

a) x12 middot x

14 b) (x4

5)3

c) (x23 middot x

15)15

d) x13

xndash 23

e) (x23)

34


n3)6n

h) (b2n bndash075n

bndash05n )ndash4n

i) y 13 middot y

23 j) (x2)

13 k) y

25


27)35

m) (y27)175


n2 o) (x

n4 middot x

n8)8

p) (xndash 56 n x3n

x 43 n )ndash6n




a) ( 3x + 1 ndash 4



Pamėgink


1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









2(1 + 3x) 1 ndash 3x2

143

Suprastink




a) 4 x 3 z 2y 6 4 y ndash2


a 3 b 5a 5

d) 5 a 5 c 2b 2 5 b ndash3


y 4 y 3x 6




a) 12x3y 3x2y b) 16x2y3 3x2y3 c) 144x 5y 124


12y23

e) 63x 5y 3 28x2y f) 8x2y5 4x 3y 45 g) 250xy 74

18x17y24 h) 3x 6y 83

ndash81y23









3b)3 h) (2 2 ndash 3 3)3

i) (3x ndash 4)3 j) (5x + 2)3 k) ( x3 + 1)3 l) ( x6 + x3 )3


p) (x 2 ndash 2)3



1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









144




14 ndash x

14y

34 g) n n + n h) x

34 ndash x



13 ndash x

13y




12 d) xn ndash yn




32 h) y + x 34




a) x + 3x + 4 b) x 3

x 4 c) (x + 2) 3(x + 2) + x d) (x + 2) ndash (x + 3)

(x + 2) + (x + 3)


x + 2 g) x + 1(x + 1)2 h) x 3 + 4

x 4 + 3

i) 6 xx 5 j) x + 1


b x + a



x ndash 5








b ndash a








a) ab ndash b2

2b b) x2 ndash y2





2x ndash 5y








a) x x ndash x


c) a ndash 1a + 1


e) x x + xx


g) x 6 ndash y 6



a) xy + y


x2 + 2x + 1 c) 3x + 1 + x + 5


d) 3x2 + 9x + 14 + 5

2x2 + 15x + 7 e) x ndash x2



x ndash 2

g) 2x2




x3 + 2x + 2x2 + 4 + 1x2 + 2

145

j) 1x(x + 1) + 1

x + 1 k) 6x2 ndash 9 + 9

x2 ndash 6x + 9 l) 4x + 2 + x + 6


m) 6x2 + 11x + 24 + 4








x ndash 3

Suprastink

a) x x ndash 2

ndash 2x + 2

b) 3


a ndash 9 c) x 12

x05 + 1 ndash 1

x05 ndash 1 d) 2

x + 2 + x

x ndash 2 ndash 4 x

x ndash 4

e) 11 + x

ndash 11 ndash x

f) 1a4 ndash 1

+ 1a4 + 1

g) 3

x 12 + 3 ndash x05

x05 ndash 3 h) x

81 ndash x ndash 9

x + 9 + x

x ndash 9

Suprastink

a) 16x2y5










3x j) x + 3x2 + 6x x2 ndash 9


x






3x + 4

e) 5 ndash 2

x ndash 3

4 ndash 1x ndash 3









1 + 3x

1 ndash 6x

m) 3 + 2

x + 4

5 ndash 1x + 4



2x + 2 ndash 1) 6x ndash 6 x + 1 p) ( 1

x ndash 1 ndash x + 1x2 + x + 1) (1 + 1

x3 ndash 1)





y ndash x ndash2








a13 + b



x + 1 + 1 ndash x )


16) xy 46 e) ( 1


x13 ndash 1

+ x13) middot x

13 ndash 1

x23 ndash 1

g) y ndash x

x23 + (xy)13 + y

23 + x

23 ndash y23

x3 ndash y13

h) x13y

13 x

13 y ndash y

13 x



y ndash z )ndash1

j) (x15 + x25

1 + x + 1) 1 ndash x3



ndash b a a + b

+ 3ab ndash b2

a ndash b

m) a + ba ndash b

ndash a + ab a + b

n) a + 1a a + a + a

1a2 ndash a




x05 ndash 1 r) ( 2 + x14


14


x34 s) 1x3 + y3 ndash x3 + y3

x23 ndash (xy)

13 + y

23




ndash 13


x + 1x x ndash 1

+ 2 x

146










6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai

TAIKYK

147




6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai







Sprendimas






2b + 1 ndash 6ab




PamėginkPamėgink





sin2 α

|v| = 2ghsin2 α

v = 2ghsin2 α


Išreiškiame v2




lg = T

2π

lg = ( T

2π )2

lg = T2

4π2gl = 4π2

T2

g = 4π2 middot lT2






Pavyzdžiai

148




p



f = 1F



c

1 + vc


R



P + ET


ndash 1)( 1R1

ndash 1R2)




y


12 = mgh2 + mv2

22


2



y + 24


n21 ndash 1

n22)








PamėginkPamėgink

UŽDAVINIAI

149












150

1 variantas


A 215a + b B 215 + a ndash b


b



A x = 3 B x = 0 C x = ndash3 D x = 9





a) x ndash 32 7 + 4


12 d) 3x ndash 27

x2 ndash 1






a) 32x 94 b) 81x7y 63 c) x 12y 345 d) x 17y 246






PASITIKRINK

151








a middot 5 + 9


⓭ Suprastink


m2 + n2 m2 ndash n2

4mn c) xx + 4 + 4


2 variantas


b2 =

A 140 B 142 C 145 D 146


A 00625 B 0 C 0125 D 025





15x3

c) 04x ndash 10x2 + 145 d) ( 205

10 ndash 5a)ndash18

❺ Pakelk kubu

a) (2 + 2 )3 b) (2 3 + 3 )3 c) (x 2 ndash y3 2 )3



❼ Suprastink




❾ Suprastink

a) 64x6 + 216y6



ndash 52 ndash x






4 kai y lt 0

152


❶Apskaičiuok

a) ( 7 ndash 5 23 + 7 + 503 ) middot 9 b) (3 + 2 5 4


54 + 1



❷Įrodyk teiginį

a) jei x23 + y

23 = a

23 tai x2 + x 4y 23 + y2 + x 2y 43 = a















+ ndash

bf middot xy = gcg

= = =

eec + bcyy = bfbe


153



A 40 B 250 C 225 D 2500


A 2600p B 10400 + p100 C 104p D 5200

100 + 2p








A 545 = 1

54 B 545 = 5

54 C 545 = 31254 D 5

45 = 6255


p ndash 1




x + 4 D 1x + 4



A a = 1 b = 5 B a = 2 b = 3 C a = 1 b = 4 D a = 3 b = 2




A 8 3 cm B 8 3 3 cm C 4

3 cm D 4 3 3 cm


A 56 B 60 C 64 D 112


154











+ 2 ndash x 2 + x





išraišką T(x)




1200 cm2


155












2



98





3 127 1


❸ Apskaičiuok a) 9 36 1 0 049 4

25 00121 1 916

b) 83 273 13 03 000864





an ak = ax

❺ Apskaičiuok













99







d) (1x + x

y) xyy + x2 e) (y

x)2 ndash (x

y)ndash2 f) ( x


g) a2 + a2 + a2

a4 + a4 + a4 h) a2 a2 a2

a4 a4 a4 i) a2(a2)6

(a5)4 a0








Pasitikrink ar moki

100

















n




čiai




SUSIPAŽINK

101















Pavyzdžiai






PamėginkPamėgink

Aibių veiksmai




Poaibis A sub B

102



empty 3 6 7 8 3 6 3 7 3 8 6 7 6 8 7 8 3 6 7 3 6 8 3 7 8 6 7 8 3 6 7 8


Pavyzdys



PamėginkPamėgink






2 3 5 6 cup 2 4 8 == 2 3 4 5 6 8

2 3 5 6 cap 2 4 8 = 2




[ndash27 7) cap [4 13 9 ) = [4 13 7 )

[ndash27 7) cup [4 13 9 ) = [ndash27 9)





Pavyzdžiai

103




PamėginkPamėgink

Aibių skirtumasA B

B A




2 3 4 5 6 2 4 8 = 3 5 6

2 4 8 2 3 4 5 6 = 8




A B = [ndash27 4 13 )

B A = [7 9)




Pavyzdžiai




PamėginkPamėgink

104








Pavyzdys


Pamėgink











105


4

325 = 2


16625

4 = 25



(25)4

= 16625 todėl 16

6254 = 2

5

Pavyzdys


4


PamėginkPamėgink






①Laipsnius 215 3


215 = 215 = 25

337 = 337

5125 = 554 = 554


3

Sprendimas



3

②Šaknis 37 358 1a7


37 = 317 = 317

358 = 358 = 30625

1a7


Sprendimas



Pavyzdžiai





PamėginkPamėgink

106
















UŽDAVINIAI

107











a) 00016256

4 b) 000864

3 c) 05 d) ndash 116

4


325 h) 04

i) 116

4 j) ndash 11024

5 k) ndash15 l) 000014

m) 0002435 n) 81625

4 o) 011 p) 000164


a) 325 203 5ndash05 (1

3)ndash25 b) 2

17 307 6ndash02 (1

5)ndash15


a) 225 122 473 1

33 b) 357 1

323 77 7

95



13 c) 16

625 000814 d) 00625ndash 34

e) 71932

5 (49)ndash05

f) 10ndash5 3 200 0005 g) ( 127)ndash

13 7293 h) (00016

00625)ndash 34 ( 15625

643 )ndash1

i) (1681)ndash

34 32

15 j) 8ndash

23 27

13 k) (00001

625 )ndash 34 10ndash3 l) 7348

4864 (27

9)ndash 12

m) 1024ndash 1

10 (18)

13 n) 56

1893 o) ( 81

625)ndash 14 0216

13 p) (1

2)ndash5 025

ndash 123

108










čia a b c d 0


2 18 + 2 12 ndash 3 8 + 75 =

= 2 9 ∙ 2 + 2 4 ∙ 3 ndash 3 4 ∙ 2 + + 25 ∙ 3 == 2 3 2 + 2 2 3 ndash 3 2 2 ++ 5 3 =

= 6 2 + 4 3 ndash 6 2 + 5 3 =

= 6 2 ndash 6 2 + 4 3 + 5 3 = = 9 3





Atsakymas 9 3

Pavyzdžiai

IŠMOK

109


(3 2 ndash 3 )(2 5 ndash 1) =



(3 2 ndash 3 )(2 5 ndash 1)




(3 5 ndash 2 3 )2 =

= (3 5 )2 ndash 2 ∙ 3 5 ∙ 2 3 + (2 3 )2 = a2 a b b2

= 9 5 ndash 2 3 2 5 ∙ 3 + 4 3 =

= 45 ndash 12 15 + 12 = 57 ndash 12 15

Sprendimas




Atlik veiksmus

a) 44 + 2 99 + 3 45 ndash 20 b) (2 3 ndash 3 2 )( 2 + 3 )

c) 2592 ndash (6 + 3 2 )2 d) (5 2 ndash 3 ) 2 2 + ( 2 + 3 )2


PamėginkPamėgink



a gt 0 Pavyzdžiui 22 = 4 = 2 52 = 5


( alt 0 )2

gt 0

= | a |

gt 0lt 0lt 0

= ndasha

gt 0lt 0lt 0



Įsimink



110






= a ∙ bb ∙ b

= a bb

čia b gt 0


ax ndash y








Sprendimas




Pavyzdys

Apskaičiuok




Pamėgink



23 = 2 3

3 3 = 2 3

3

Sprendimas


Atsakymas 2 33

Pavyzdžiai

ndash = ∙ ( + )

( ndash ) ∙ ( + )

= ∙ ∙

= ∙

111



21 ndash 3

= 2(1 + 3)(1 ndash 3)(1 + 3) =

= 2(1 + 3)12 ndash ( 3)2 = 2(1 + 3)

1 ndash 3 =

= 2(1 + 3)ndash2

= ndash1 ndash 3

Sprendimas





a n a ne 0



Taisyklė Pavyzdys

a0 = 1 20 = 1


22 = 14 (2

3 )ndash1

= 32





(ab )

n = a n

b n (23 )

ndash4 = 2 ndash4

3 ndash4 = 3 42 4 = 81

16 = 5 116


(ndash 210 )ndash3


=

= (ndash 15 )ndash3

+ (ndash 12 )ndash2

=


Sprendimas




Atsakymas ndash121

Pavyzdžiai


a) 112

b) 23 + 1

c) 3 ndash 2 52 3 + 5


Pamėgink

112


Įsimink

① ( an )n = a

② abn = an bn

③ ab

n = an

bn

④ akn = ank

⑤ ( an )k = akn

⑥ amknk = amn

⑦ amn = amn

Apskaičiuok



Pamėgink


Taisyklė Pavyzdys

( an )n = a ( 33 )3 = 3


abn = an bn 27 643 = 273 643 = 3 4 = 1245 85 = 325 = 2



ab

n = an

bn b ne 0 81625

4 = 814

6254 = 35

645

25 = 642

5 = 325 = 2


akn = ank 53 = 56




( an )k = akn ( 33 )2 = ( )233 = 33

8154 = ( 814 )5 = 35 = 243


amknk = amn a1215 = a3 43 5 = a45


amn = amn

223 = 223


113


Įsimink



(1 ndash 3)24 =

= (1 ndash 3)22 2 = |1 ndash 3| =


Sprendimas



Atsakymas 3 ndash 1

Pavyzdys


3 8 24 = 3 82 middot 24 = 15366

7 193 = 73 middot 193 = 65176

15366 lt 65176

3 8 24 lt 7 193





Pavyzdys


a) ( 315 )15 b) 16 ∙ 000014 c) 64729

6

d) 234 e) ( 33 )2 f) 248

g) ( 33 )3 ndash ( 55 )5 h) 015 ∙ 000015 i) 7295

35

j) 23 + 23 k) ( 243 )4 l) 23 + 226

m) 75881

4 + ( 234 )4

n) 24 ∙ 84 + 6253

53 o) 23

( 43 )2

p) 253

235 r) ( 23 )12 s) 21530 + 248


Pamėgink



Pamėgink

114



2 324 ndash 1624 + 12504 =

= 2 16 24 ndash 81 24 + 625 24 =

= 2 2 24 ndash 3 24 + 5 24 =

= 4 24 ndash 3 24 + 5 24 = 6 24

Sprendimas




Atsakymas 6 24


Taisyklė Pavyzdys

a0 = 1 1250 = 1


12 = (6

5)ndash 12 = (5

6) 12 = 5

6

am an = am + n 2 12 2

12 = 2

12 +

12 = 21 = 2


32 = 3212 ndash 1 = 3202 = 3215 = 325 = 2

(an)m = amn (202)5 = 21 = 2

(ab)n = an bn 216 13 = (8 27)

13 = 8

13 27

13= 2 3 = 6

(ab )

n = a n

b n ( 2566561)0125 = 2560125

65610125 = (28)0125

(38)0125 = 23


Įsimink

① a0 = 1

② andashn = 1a n

③ am an = am + n


⑤ (an)m = amn

⑥ (ab)n = an bn

⑦ (ab )

n = a n

b n b ne 0

❶ Palygink

a) 4 2 33 ir 3 2 3 b) 4 3 33 ir 3 3 34

❷ Suprastink

a) 323 ndash 1083 b) 23 7684 + 484


Pamėgink

115

⓱ Apskaičiuok

a) 8 ∙ 32 b) 3 + 3 + 3 3 c) 18 + 50



m) 3 + 6 2 n) 2( 8 ndash 2) o) (3 ndash 5 7)2


⓲ Apskaičiuok



g) 32 +2 + ∙ 32 +2 ndash ∙ 2 + 3 h) (3 + 2 2)2016 ∙ (3 ndash 2 2)2016



⓴ Apskaičiuok





Apskaičiuok




a) 25

b) 57 5

c) 35 ndash 2

d) 113 5 ndash 2 3

e) 37

f) 72 7

g) 27 ndash 5

h) 102 7 ndash 3 2

UŽDAVINIAI

Atlik veiksmus

a) (13)ndash 02 b) 1613 16ndash105 c) 515

505


32 e) 3 ndash

14 27 ndash

14 f) 605

305

g) ( 149)ndash

12 ndash (1


23 5ndash

32 5ndash

156 i) 2

13(4

13 + 32

13)

j) (12ndash075


12 (3 + 2)

12


Pamėgink

116


Apskaičiuok

a) 27 ndash 5

+ 47 + 5

b) ( 25 ndash 2

+ 45 + 2) ∙ 1

6 5 ndash 4

c) 36 ndash 3

+ 96 + 3

d) ( 27 ndash 2

+ 47 + 2) ∙ 3

6 7 ndash 4

Apskaičiuok

a) 1 + 2

21 ndash 2

2

+ (2 + 2)2

2 b) ( 43 + 5

ndash 32 + 7

+ 114 ndash 5) (9 ndash 7)

c) 21 ndash 4 5 21 + 4 5

ndash 1921 + 4 5

d) ( 127 ndash 1

ndash 85 ndash 1

+ 62 ndash 7) ∙ (2 5 + 4)ndash1

e) 1 + 3

3

1 ndash 33

+ (1 ndash 3)2

2 f) ( 25 ndash 3

+ 63 ndash 3

+ 12 ndash 5) ∙ (2 3 ndash 1)

g) 4 + 2 3 4 ndash 2 3

ndash 12 ndash 3

h) ( 45 ndash 1

ndash 35 ndash 2

+ 605 ndash 5) ∙ ( 5(1 + 2 5))ndash1

Apskaičiuok






3ndash4

Apskaičiuok


53 26


14) ndash2


i) 36 210 57

605




a) 8 ∙ 95 ∙ 4 ∙ 275 b) 2185 2145

2175 c) ( 23 )6 ndash ( 34 )2


j) 9 ∙ 43 ∙ 3 ∙ 163 k) 3174 3244

3214 l) ( 34 )8 ndash ( 24 )2


Apskaičiuok



117


a) 3 2 b) 2 34 c) 04 100004 d) 13 544

e) 5 3 f) 3 23 g) 25 100004 h) 2 25



Suprastink


Apskaičiuok


c) 4 ndash 2 36 1 + 33 43 d) 3( 3 ndash 7 )2

10( 5 + 214 )( 5 ndash 214 )

e) (1 + 2)2 + 44 f) 3 ndash 2 26 2 + 23 326


20( 154 + 2)( 154 ndash 2)


a) 25013

213

b) (313)3

ndash (205)4 c) 3025 27025 ndash 213 4

13 d) 3

13 (32

3 + 1)e) (4025 ndash 405)4 f) (23

2 + 1)2

g) (314 + 3

12) (31

4 ndash 312) h) (51

6 + 514) (51

6 ndash 514)

i) 16214

125013 j) (41

4)8

ndash (405)3 k) 214 8

14 ndash 3

13 9

13 l) (23

4 + 1) 214

m) (805 ndash 3205)2 n) (314 + 1)2

o) (414 + 1) (41

4 ndash 1) p) (1 + 314) (31

4 ndash 1)


a) 8 435 b) 2 4 16 4

3

3 4 c) 777 493 d) 8

274 3

26 312 26

e) 23 484 2ndash33 f) 1253 5255 g) 53 553

023 h) 125 53 54 3 1

515

15

Apskaičiuok


15 3 + 1 + 15 3 b) ( 10) 2 ndash ( 5 ) 2

( 2 ) 2 ndash 1


43 + 0008 ndash

13 d) (2 2 ndash 3 27) (23

2 + 9 3) + ( 1 4096) ndash

12( 4 3)ndash1

e) ((243 93 )14 ndash 3(3 34 )

13) 3 ndash

512 f) 3 + 63 9 ndash 6 26 ndash 33

g) 13 2 + 13 2 + 2

3 middot 13 2 ndash 13 2 h) ( 6 ) 2 + 2 2

( 3 ) 2 + ( 2 ) 2

i) ( 1 27) ndash 13 + 2 00016 ndash

14 + ( 1 81)ndash075 00640 j) 00001ndash

14 + ( 1

125) ndash 43 ndash 81075 1

9 ndash05

k) 84

74 4 ndash 24 4 + 24 l) ((31

2 + 1)2

ndash (4 + 312)33 )

12

ndash 2 cos 30deg

118


5 2 8 6 2 3 5

Tūks

tanč

ių sk

yriu

s

Šim

tų sk

yriu

s

Dešim

čių sk

yriu

s

Vien

etų

skyr

ius

Dešim

tųjų

skyr

ius

Šim

tųjų

skyr

ius

Tūks

tant

ųjų

skyr

ius



743 956 = 7 105 + 4 104 + 3 103 + 9 102 + 5 10 + 6






x4y = 4xy ndash 270 (1)

x4y = 100x + 40 + y

4xy = 400 + 10x + y

100x + 40 + y = 400 + 10x + y ndash 270







Pavyzdžiai


a) 287 b) 987 145 c) xyz d) abcde

Pamėgink

TAIKYK

119


1 x260

x + 2 + 6 + 0 = x + 8


1260 4260 7260

2 y265y + 2 + 6 + 5 = y + 13


2265 5265 8265











PamėginkPamėgink


1 6 = 016666 = 01(6)

1 7 = 0142857142857142 = 0(142857)

120



x = 025656 | 10 1 1

10x = 2565656 (1)

10x = 2565656 | 100 2 2

1000x = 2565656 (2)


x = 256 ndash 21000 ndash 10

x = 254990 = 127

495

32(56) = 3 256 ndash 2103 ndash 101 = 3 127

495 1 3






Išreiškiame x


Atsakymas 32(56) = 3 127495

Pavyzdys

021(8) = 218 ndash 21103 ndash 102 = 197

900 0(4) = 4 ndash 0101 ndash 100 = 4

9 2 3

0123(45) = 12345 ndash 123105 ndash 103 = 679

5500 0(56) = 56 ndash 0102 ndash 100 = 56

99 3 5








a) 0(7) b) 05(7) c) 214(8) d) 03(12)


Pamėgink

Pavyzdžiai

121


x = 025656 | 10 1 1

10x = 2565656 (1)

10x = 2565656 | 100 2 2

1000x = 2565656 (2)


x = 256 ndash 21000 ndash 10

x = 254990 = 127

495

32(56) = 3 256 ndash 2103 ndash 101 = 3 127

495 1 3






Išreiškiame x


Atsakymas 32(56) = 3 127495

Pavyzdys




1 2 000 000 000 = 12 ∙ 1010 10 vietų

0000006 1 = 61 ∙ 10ndash6 6 vietos



Pavyzdys


a + b = 24 1025 + 12 1025 = = 36 1025

a + c = 24 1025 + 5 1024 = = 24 1025 + 05 1025 = 29 1025

a b = (24 1025) (12 1025) = = (24 12) (1025 1025) = 288 1050

b c = 12 1025

5 1024 = 024 101 = 24





Pavyzdys


Pamėgink



Pamėgink

122





KMI = 601682 asymp 60


Pavyzdys

∆x = |x ndash a|






|a| 100







Pamėgink

123










KMI = 601682 asymp 60


Pavyzdys



a) 1 7 = 014 2 857 asymp 014


3 7 = 042 8 571 asymp 043

gt 5

artinys a = 043



Pavyzdys

b) ∆x = |1 7 ndash 014| = |50 ndash 49

350 | =

= | 1350| = 1

350

∆x = 1350 lt 00028 lt 0003

δ = ∆x|a| =

1350

750

= 1350 50

7 = 149

δ = 149 100 asymp 2041 lt 21




UŽDAVINIAI



Pamėgink

124



Įrodyk kad



Pagrįsk teiginius















125




d) 0(32) 0(4) e) 0(493) 07(45) f) 0(285714) 01(3)04(6) 4(9)

g) 2(8) ndash 0(4) h) 1(27) ndash 03(4) i) 0(917) + 03(614)

j) 0(57) 0(6) k) 0(267) 03(12) l) 0(53) 02(9)332(4) + 1(21)

Palygink skaičius

a) 1 6 ir 3


12






d) 0002096 1012

524 e) 08128 1024

254 10ndash14 f) 0027 1021 ndash 631 1017

g) 1890 00105 h) 00045 1017 i) 000007 10ndash16

j) 000010288016 1017 k) 5139645 10ndash13

7895 10ndash34 l) 760 1012 ndash 0003 1015


a) 5 6 h = 01 b) 2

7 h = 000001 c) 3 h = 01 d) 6 h = 001

e) 4 13 h = 001 f) 3

11 h = 0001 g) 11 h = 000001 h) 8 h = 000001


a) 1 9 h = 01 b) 2 h = 001 c) 3

11 h = 001 d) 10 h = 0001

126

1 variantas




6 reikšmė

A 7 6 B 1

6 C 75 D 74




❻ Apskaičiuok

a) (134)ndash 2 b) 7503

63 c) (33

4 9ndash 14)ndash4

d) ( 27 ndash 2 3 + 75) 3

e) 5( 3 ndash 7)2

5 ndash 21 f) ( 00001

81 ) ndash 34 10ndash4 g) ( 160

15

121502) ndash2

h) 23 ( 43 ndash 163 )



3









PASITIKRINK

127





2 variantas



A 4ndash 34 = 4

43 B 4ndash

34 = 1

644 C 4ndash

34 = 1

43 D 4ndash 34 = 1

2563


1417 reikšmė

A 1514 B 1 1

196 C 1415 D 1415





❻ Apskaičiuok


14 b) 2 8

16 8

4

3

3 88 c)

8113 + 3

73

33 + 813 + 21873

d) 53 + 2a 43 + 2a

202a + 2 e) 31 ndash 2 5 9 5 f) 17 ndash 338 33 + 178

❼ Suprastink

a) ( 182 ndash 13

ndash 2011 ndash 1

+ 2413 ndash 1) ( 1

2 + 11 )ndash1 b) (3 ndash 7)

12(3 + 7)

12

c) 1 + 3 + 32 + 33 + 34 + + 315







128









m4 + 3m3 + 23 (p ndash 4)(p ndash 12)

27 53



narys narys narys

trinaris




m + 2



7 ndash p + 3


racionalieji

iracionalieji


SUSIPAŽINK

129












Įsimink



② ne 0

③ 2n 0

④ 2n gt 0

⑤mn gt 0



Pavyzdžiai


1) (2 ndash x2)(2 + x2)x ndash 5 2) 2

5x 2 ndash 37x + 4

3) 23 x 2 ndash 5x ndash 813 4) 7

c ndash 2

c + 1 + c + 2

33

5) 2x2 ndash 5x ndash 325 6) (3 + x)(12 + x)

(x ndash 5)x

7) y3

3 + 3y23 8) 3y2 + 2

y2 + 5y ndash 6


Pamėgink

130



x(x ndash 4) ne 0







x 25x ne ndash1









x ne ndash3


(x + 7)(x ndash 7) lt 0








Pavyzdžiai


a) 03x ndash 1 3 b) 2

7x3 + 1 9x2 + 0(4)x ndash 12

c) 2 + 4x x + 3 d) 2 + 4x

x2 ndash 25

Pamėgink

131



3 c) 3 x ndash 36



12 ndash 2x g) x


x2 ndash 1









e) x13 ndash 1 f) 1



2x2 ndash 50



m) 2x + x25 n) x + 2

3 5 o) 2x + 1

x2 ndash 9 p) 12x + x + 4




a + 3 d) 4x


e) (3x ndash 1)ndash134 f) 5x + 40 3

1 ndash x2 g) 4




2 ndash a l) 35k + 21 6

2k + 34


1 ndash p2 n) 2x + 10


x + 5 p) 4 ndash 12x2 + 4 5x + 403

UŽDAVINIAI



b) x + 24

3 ndash x6



x2 ndash 1


Pamėgink

132











23 + xndash

13)

x 13 (x

23 + xndash

13) = x

13 x

23 + x

13 xndash

13 =

= x 13 +

23 + x

13 ndash

13 = x

33 + x0 = x + 1



Atsakymas x + 1









Pavyzdžiai

IŠMOK

133




a) x43 = x3 x3 = x x3

b) x94 = x4 x4 x4 = x2 x4

x94 = x 94 = x2

14 = x2 x4

c) x6y6 = x6 y6 = x y6





Pavyzdys



Įsiminka2n2n = |a|



(x ndash 4)44 + (x ndash 2)33 =




Pavyzdžiai


a) ( x 14 ndash 1 )( x



Pamėgink




Pamėgink

134









a) x y3 = x3y3

b) a b4 = a4b4










Pavyzdžiai

Suprastink



Pamėgink


a) a3 a4 (a gt 0) b) ab2 a3 (a b gt 0)


Pamėgink

135



Įsimink





= ndash x7y 46




Pavyzdys




① (a + b)2 = a2 + 2ab + b2



④ (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3


⑥ a3 + b3 = (a + b)(a2 ndash ab + b2)





Pamėgink


136



(2x + 3)3 = a b



Sprendimas


Atsakymas 8x3 + 36x2 + 54x + 27


( 2 ndash 2 3 )3 = a b



Sprendimas



Pavyzdžiai


8x6 + 60x4y + 150x2y2 + 125y3 =

= (2x2)3 + 3 (2x2)2 (5y) + 3 (2x2) (5y)2 + (5y)3 = a3 a2 b a b2 b3

= (2x2 + 5y)3




Pavyzdys


a) (m ndash 5n)3 b) (2x + 2)3c) ( 3 + 2)3 d) (2 2 + 2)3

Pamėgink




52


Pamėgink

137
















Pavyzdys








Pavyzdys




Pamėgink

138







a) 8x6 ndash a3b9 = (2x2)3 (ab3)3

= (2x2)3 ndash (ab3)3 = a3 b3


= (2x2 ndash ab3)(4x4 + 2x2ab3 + a2b6)






= ( x3 ndash y3 )( x23 + xy3 + y23 )








Taikome 7 formulę

Pavyzdys







Pamėgink



Pamėgink

139



x1 = 1 ndash 81 20 = ndash 2 5 x2 = 1 + 81

20 = 1 2


5) =

= 2 5(x ndash 1 2)(x + 2

5) =

= (2x ndash 1)(5x + 2)





Pavyzdys

Grupavimo būdas









Pavyzdys


= (x + y)(a + b)




++



Pamėgink




Pamėgink

140



6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys




ab + c

d = ad + bcbd

ab ndash c

d = ad ndash bcbd



x + y


Pamėgink

Suprastink




2x ndash 10


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys

3

141


6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys





ab middot c


ab c

d = ab middot d




x ndash y


x2 + y2

x ndash y =


x ndash yx2 + y2 =


x2 + y2 =


= x + y

Sprendimas


Pavyzdžiai

Suprastink

a) 1x x + x

+ xx + 1

b) 6 xx ndash 3

ndash 3x + 3


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys



x ndash yx + y


=


( x + y )( x ndash y ) =



x ndash y

Sprendimas




Pavyzdys

x ndash y x + y

142


UŽDAVINIAI




Suprastink

a) x12 middot x

14 b) (x4

5)3

c) (x23 middot x

15)15

d) x13

xndash 23

e) (x23)

34


n3)6n

h) (b2n bndash075n

bndash05n )ndash4n

i) y 13 middot y

23 j) (x2)

13 k) y

25


27)35

m) (y27)175


n2 o) (x

n4 middot x

n8)8

p) (xndash 56 n x3n

x 43 n )ndash6n




a) ( 3x + 1 ndash 4



Pamėgink


1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









2(1 + 3x) 1 ndash 3x2

143

Suprastink




a) 4 x 3 z 2y 6 4 y ndash2


a 3 b 5a 5

d) 5 a 5 c 2b 2 5 b ndash3


y 4 y 3x 6




a) 12x3y 3x2y b) 16x2y3 3x2y3 c) 144x 5y 124


12y23

e) 63x 5y 3 28x2y f) 8x2y5 4x 3y 45 g) 250xy 74

18x17y24 h) 3x 6y 83

ndash81y23









3b)3 h) (2 2 ndash 3 3)3

i) (3x ndash 4)3 j) (5x + 2)3 k) ( x3 + 1)3 l) ( x6 + x3 )3


p) (x 2 ndash 2)3



1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









144




14 ndash x

14y

34 g) n n + n h) x

34 ndash x



13 ndash x

13y




12 d) xn ndash yn




32 h) y + x 34




a) x + 3x + 4 b) x 3

x 4 c) (x + 2) 3(x + 2) + x d) (x + 2) ndash (x + 3)

(x + 2) + (x + 3)


x + 2 g) x + 1(x + 1)2 h) x 3 + 4

x 4 + 3

i) 6 xx 5 j) x + 1


b x + a



x ndash 5








b ndash a








a) ab ndash b2

2b b) x2 ndash y2





2x ndash 5y








a) x x ndash x


c) a ndash 1a + 1


e) x x + xx


g) x 6 ndash y 6



a) xy + y


x2 + 2x + 1 c) 3x + 1 + x + 5


d) 3x2 + 9x + 14 + 5

2x2 + 15x + 7 e) x ndash x2



x ndash 2

g) 2x2




x3 + 2x + 2x2 + 4 + 1x2 + 2

145

j) 1x(x + 1) + 1

x + 1 k) 6x2 ndash 9 + 9

x2 ndash 6x + 9 l) 4x + 2 + x + 6


m) 6x2 + 11x + 24 + 4








x ndash 3

Suprastink

a) x x ndash 2

ndash 2x + 2

b) 3


a ndash 9 c) x 12

x05 + 1 ndash 1

x05 ndash 1 d) 2

x + 2 + x

x ndash 2 ndash 4 x

x ndash 4

e) 11 + x

ndash 11 ndash x

f) 1a4 ndash 1

+ 1a4 + 1

g) 3

x 12 + 3 ndash x05

x05 ndash 3 h) x

81 ndash x ndash 9

x + 9 + x

x ndash 9

Suprastink

a) 16x2y5










3x j) x + 3x2 + 6x x2 ndash 9


x






3x + 4

e) 5 ndash 2

x ndash 3

4 ndash 1x ndash 3









1 + 3x

1 ndash 6x

m) 3 + 2

x + 4

5 ndash 1x + 4



2x + 2 ndash 1) 6x ndash 6 x + 1 p) ( 1

x ndash 1 ndash x + 1x2 + x + 1) (1 + 1

x3 ndash 1)





y ndash x ndash2








a13 + b



x + 1 + 1 ndash x )


16) xy 46 e) ( 1


x13 ndash 1

+ x13) middot x

13 ndash 1

x23 ndash 1

g) y ndash x

x23 + (xy)13 + y

23 + x

23 ndash y23

x3 ndash y13

h) x13y

13 x

13 y ndash y

13 x



y ndash z )ndash1

j) (x15 + x25

1 + x + 1) 1 ndash x3



ndash b a a + b

+ 3ab ndash b2

a ndash b

m) a + ba ndash b

ndash a + ab a + b

n) a + 1a a + a + a

1a2 ndash a




x05 ndash 1 r) ( 2 + x14


14


x34 s) 1x3 + y3 ndash x3 + y3

x23 ndash (xy)

13 + y

23




ndash 13


x + 1x x ndash 1

+ 2 x

146










6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai

TAIKYK

147




6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai







Sprendimas






2b + 1 ndash 6ab




PamėginkPamėgink





sin2 α

|v| = 2ghsin2 α

v = 2ghsin2 α


Išreiškiame v2




lg = T

2π

lg = ( T

2π )2

lg = T2

4π2gl = 4π2

T2

g = 4π2 middot lT2






Pavyzdžiai

148




p



f = 1F



c

1 + vc


R



P + ET


ndash 1)( 1R1

ndash 1R2)




y


12 = mgh2 + mv2

22


2



y + 24


n21 ndash 1

n22)








PamėginkPamėgink

UŽDAVINIAI

149












150

1 variantas


A 215a + b B 215 + a ndash b


b



A x = 3 B x = 0 C x = ndash3 D x = 9





a) x ndash 32 7 + 4


12 d) 3x ndash 27

x2 ndash 1






a) 32x 94 b) 81x7y 63 c) x 12y 345 d) x 17y 246






PASITIKRINK

151








a middot 5 + 9


⓭ Suprastink


m2 + n2 m2 ndash n2

4mn c) xx + 4 + 4


2 variantas


b2 =

A 140 B 142 C 145 D 146


A 00625 B 0 C 0125 D 025





15x3

c) 04x ndash 10x2 + 145 d) ( 205

10 ndash 5a)ndash18

❺ Pakelk kubu

a) (2 + 2 )3 b) (2 3 + 3 )3 c) (x 2 ndash y3 2 )3



❼ Suprastink




❾ Suprastink

a) 64x6 + 216y6



ndash 52 ndash x






4 kai y lt 0

152


❶Apskaičiuok

a) ( 7 ndash 5 23 + 7 + 503 ) middot 9 b) (3 + 2 5 4


54 + 1



❷Įrodyk teiginį

a) jei x23 + y

23 = a

23 tai x2 + x 4y 23 + y2 + x 2y 43 = a















+ ndash

bf middot xy = gcg

= = =

eec + bcyy = bfbe


153



A 40 B 250 C 225 D 2500


A 2600p B 10400 + p100 C 104p D 5200

100 + 2p








A 545 = 1

54 B 545 = 5

54 C 545 = 31254 D 5

45 = 6255


p ndash 1




x + 4 D 1x + 4



A a = 1 b = 5 B a = 2 b = 3 C a = 1 b = 4 D a = 3 b = 2




A 8 3 cm B 8 3 3 cm C 4

3 cm D 4 3 3 cm


A 56 B 60 C 64 D 112


154











+ 2 ndash x 2 + x





išraišką T(x)




1200 cm2


155












2



99







d) (1x + x

y) xyy + x2 e) (y

x)2 ndash (x

y)ndash2 f) ( x


g) a2 + a2 + a2

a4 + a4 + a4 h) a2 a2 a2

a4 a4 a4 i) a2(a2)6

(a5)4 a0








Pasitikrink ar moki

100

















n




čiai




SUSIPAŽINK

101















Pavyzdžiai






PamėginkPamėgink

Aibių veiksmai




Poaibis A sub B

102



empty 3 6 7 8 3 6 3 7 3 8 6 7 6 8 7 8 3 6 7 3 6 8 3 7 8 6 7 8 3 6 7 8


Pavyzdys



PamėginkPamėgink






2 3 5 6 cup 2 4 8 == 2 3 4 5 6 8

2 3 5 6 cap 2 4 8 = 2




[ndash27 7) cap [4 13 9 ) = [4 13 7 )

[ndash27 7) cup [4 13 9 ) = [ndash27 9)





Pavyzdžiai

103




PamėginkPamėgink

Aibių skirtumasA B

B A




2 3 4 5 6 2 4 8 = 3 5 6

2 4 8 2 3 4 5 6 = 8




A B = [ndash27 4 13 )

B A = [7 9)




Pavyzdžiai




PamėginkPamėgink

104








Pavyzdys


Pamėgink











105


4

325 = 2


16625

4 = 25



(25)4

= 16625 todėl 16

6254 = 2

5

Pavyzdys


4


PamėginkPamėgink






①Laipsnius 215 3


215 = 215 = 25

337 = 337

5125 = 554 = 554


3

Sprendimas



3

②Šaknis 37 358 1a7


37 = 317 = 317

358 = 358 = 30625

1a7


Sprendimas



Pavyzdžiai





PamėginkPamėgink

106
















UŽDAVINIAI

107











a) 00016256

4 b) 000864

3 c) 05 d) ndash 116

4


325 h) 04

i) 116

4 j) ndash 11024

5 k) ndash15 l) 000014

m) 0002435 n) 81625

4 o) 011 p) 000164


a) 325 203 5ndash05 (1

3)ndash25 b) 2

17 307 6ndash02 (1

5)ndash15


a) 225 122 473 1

33 b) 357 1

323 77 7

95



13 c) 16

625 000814 d) 00625ndash 34

e) 71932

5 (49)ndash05

f) 10ndash5 3 200 0005 g) ( 127)ndash

13 7293 h) (00016

00625)ndash 34 ( 15625

643 )ndash1

i) (1681)ndash

34 32

15 j) 8ndash

23 27

13 k) (00001

625 )ndash 34 10ndash3 l) 7348

4864 (27

9)ndash 12

m) 1024ndash 1

10 (18)

13 n) 56

1893 o) ( 81

625)ndash 14 0216

13 p) (1

2)ndash5 025

ndash 123

108










čia a b c d 0


2 18 + 2 12 ndash 3 8 + 75 =

= 2 9 ∙ 2 + 2 4 ∙ 3 ndash 3 4 ∙ 2 + + 25 ∙ 3 == 2 3 2 + 2 2 3 ndash 3 2 2 ++ 5 3 =

= 6 2 + 4 3 ndash 6 2 + 5 3 =

= 6 2 ndash 6 2 + 4 3 + 5 3 = = 9 3





Atsakymas 9 3

Pavyzdžiai

IŠMOK

109


(3 2 ndash 3 )(2 5 ndash 1) =



(3 2 ndash 3 )(2 5 ndash 1)




(3 5 ndash 2 3 )2 =

= (3 5 )2 ndash 2 ∙ 3 5 ∙ 2 3 + (2 3 )2 = a2 a b b2

= 9 5 ndash 2 3 2 5 ∙ 3 + 4 3 =

= 45 ndash 12 15 + 12 = 57 ndash 12 15

Sprendimas




Atlik veiksmus

a) 44 + 2 99 + 3 45 ndash 20 b) (2 3 ndash 3 2 )( 2 + 3 )

c) 2592 ndash (6 + 3 2 )2 d) (5 2 ndash 3 ) 2 2 + ( 2 + 3 )2


PamėginkPamėgink



a gt 0 Pavyzdžiui 22 = 4 = 2 52 = 5


( alt 0 )2

gt 0

= | a |

gt 0lt 0lt 0

= ndasha

gt 0lt 0lt 0



Įsimink



110






= a ∙ bb ∙ b

= a bb

čia b gt 0


ax ndash y








Sprendimas




Pavyzdys

Apskaičiuok




Pamėgink



23 = 2 3

3 3 = 2 3

3

Sprendimas


Atsakymas 2 33

Pavyzdžiai

ndash = ∙ ( + )

( ndash ) ∙ ( + )

= ∙ ∙

= ∙

111



21 ndash 3

= 2(1 + 3)(1 ndash 3)(1 + 3) =

= 2(1 + 3)12 ndash ( 3)2 = 2(1 + 3)

1 ndash 3 =

= 2(1 + 3)ndash2

= ndash1 ndash 3

Sprendimas





a n a ne 0



Taisyklė Pavyzdys

a0 = 1 20 = 1


22 = 14 (2

3 )ndash1

= 32





(ab )

n = a n

b n (23 )

ndash4 = 2 ndash4

3 ndash4 = 3 42 4 = 81

16 = 5 116


(ndash 210 )ndash3


=

= (ndash 15 )ndash3

+ (ndash 12 )ndash2

=


Sprendimas




Atsakymas ndash121

Pavyzdžiai


a) 112

b) 23 + 1

c) 3 ndash 2 52 3 + 5


Pamėgink

112


Įsimink

① ( an )n = a

② abn = an bn

③ ab

n = an

bn

④ akn = ank

⑤ ( an )k = akn

⑥ amknk = amn

⑦ amn = amn

Apskaičiuok



Pamėgink


Taisyklė Pavyzdys

( an )n = a ( 33 )3 = 3


abn = an bn 27 643 = 273 643 = 3 4 = 1245 85 = 325 = 2



ab

n = an

bn b ne 0 81625

4 = 814

6254 = 35

645

25 = 642

5 = 325 = 2


akn = ank 53 = 56




( an )k = akn ( 33 )2 = ( )233 = 33

8154 = ( 814 )5 = 35 = 243


amknk = amn a1215 = a3 43 5 = a45


amn = amn

223 = 223


113


Įsimink



(1 ndash 3)24 =

= (1 ndash 3)22 2 = |1 ndash 3| =


Sprendimas



Atsakymas 3 ndash 1

Pavyzdys


3 8 24 = 3 82 middot 24 = 15366

7 193 = 73 middot 193 = 65176

15366 lt 65176

3 8 24 lt 7 193





Pavyzdys


a) ( 315 )15 b) 16 ∙ 000014 c) 64729

6

d) 234 e) ( 33 )2 f) 248

g) ( 33 )3 ndash ( 55 )5 h) 015 ∙ 000015 i) 7295

35

j) 23 + 23 k) ( 243 )4 l) 23 + 226

m) 75881

4 + ( 234 )4

n) 24 ∙ 84 + 6253

53 o) 23

( 43 )2

p) 253

235 r) ( 23 )12 s) 21530 + 248


Pamėgink



Pamėgink

114



2 324 ndash 1624 + 12504 =

= 2 16 24 ndash 81 24 + 625 24 =

= 2 2 24 ndash 3 24 + 5 24 =

= 4 24 ndash 3 24 + 5 24 = 6 24

Sprendimas




Atsakymas 6 24


Taisyklė Pavyzdys

a0 = 1 1250 = 1


12 = (6

5)ndash 12 = (5

6) 12 = 5

6

am an = am + n 2 12 2

12 = 2

12 +

12 = 21 = 2


32 = 3212 ndash 1 = 3202 = 3215 = 325 = 2

(an)m = amn (202)5 = 21 = 2

(ab)n = an bn 216 13 = (8 27)

13 = 8

13 27

13= 2 3 = 6

(ab )

n = a n

b n ( 2566561)0125 = 2560125

65610125 = (28)0125

(38)0125 = 23


Įsimink

① a0 = 1

② andashn = 1a n

③ am an = am + n


⑤ (an)m = amn

⑥ (ab)n = an bn

⑦ (ab )

n = a n

b n b ne 0

❶ Palygink

a) 4 2 33 ir 3 2 3 b) 4 3 33 ir 3 3 34

❷ Suprastink

a) 323 ndash 1083 b) 23 7684 + 484


Pamėgink

115

⓱ Apskaičiuok

a) 8 ∙ 32 b) 3 + 3 + 3 3 c) 18 + 50



m) 3 + 6 2 n) 2( 8 ndash 2) o) (3 ndash 5 7)2


⓲ Apskaičiuok



g) 32 +2 + ∙ 32 +2 ndash ∙ 2 + 3 h) (3 + 2 2)2016 ∙ (3 ndash 2 2)2016



⓴ Apskaičiuok





Apskaičiuok




a) 25

b) 57 5

c) 35 ndash 2

d) 113 5 ndash 2 3

e) 37

f) 72 7

g) 27 ndash 5

h) 102 7 ndash 3 2

UŽDAVINIAI

Atlik veiksmus

a) (13)ndash 02 b) 1613 16ndash105 c) 515

505


32 e) 3 ndash

14 27 ndash

14 f) 605

305

g) ( 149)ndash

12 ndash (1


23 5ndash

32 5ndash

156 i) 2

13(4

13 + 32

13)

j) (12ndash075


12 (3 + 2)

12


Pamėgink

116


Apskaičiuok

a) 27 ndash 5

+ 47 + 5

b) ( 25 ndash 2

+ 45 + 2) ∙ 1

6 5 ndash 4

c) 36 ndash 3

+ 96 + 3

d) ( 27 ndash 2

+ 47 + 2) ∙ 3

6 7 ndash 4

Apskaičiuok

a) 1 + 2

21 ndash 2

2

+ (2 + 2)2

2 b) ( 43 + 5

ndash 32 + 7

+ 114 ndash 5) (9 ndash 7)

c) 21 ndash 4 5 21 + 4 5

ndash 1921 + 4 5

d) ( 127 ndash 1

ndash 85 ndash 1

+ 62 ndash 7) ∙ (2 5 + 4)ndash1

e) 1 + 3

3

1 ndash 33

+ (1 ndash 3)2

2 f) ( 25 ndash 3

+ 63 ndash 3

+ 12 ndash 5) ∙ (2 3 ndash 1)

g) 4 + 2 3 4 ndash 2 3

ndash 12 ndash 3

h) ( 45 ndash 1

ndash 35 ndash 2

+ 605 ndash 5) ∙ ( 5(1 + 2 5))ndash1

Apskaičiuok






3ndash4

Apskaičiuok


53 26


14) ndash2


i) 36 210 57

605




a) 8 ∙ 95 ∙ 4 ∙ 275 b) 2185 2145

2175 c) ( 23 )6 ndash ( 34 )2


j) 9 ∙ 43 ∙ 3 ∙ 163 k) 3174 3244

3214 l) ( 34 )8 ndash ( 24 )2


Apskaičiuok



117


a) 3 2 b) 2 34 c) 04 100004 d) 13 544

e) 5 3 f) 3 23 g) 25 100004 h) 2 25



Suprastink


Apskaičiuok


c) 4 ndash 2 36 1 + 33 43 d) 3( 3 ndash 7 )2

10( 5 + 214 )( 5 ndash 214 )

e) (1 + 2)2 + 44 f) 3 ndash 2 26 2 + 23 326


20( 154 + 2)( 154 ndash 2)


a) 25013

213

b) (313)3

ndash (205)4 c) 3025 27025 ndash 213 4

13 d) 3

13 (32

3 + 1)e) (4025 ndash 405)4 f) (23

2 + 1)2

g) (314 + 3

12) (31

4 ndash 312) h) (51

6 + 514) (51

6 ndash 514)

i) 16214

125013 j) (41

4)8

ndash (405)3 k) 214 8

14 ndash 3

13 9

13 l) (23

4 + 1) 214

m) (805 ndash 3205)2 n) (314 + 1)2

o) (414 + 1) (41

4 ndash 1) p) (1 + 314) (31

4 ndash 1)


a) 8 435 b) 2 4 16 4

3

3 4 c) 777 493 d) 8

274 3

26 312 26

e) 23 484 2ndash33 f) 1253 5255 g) 53 553

023 h) 125 53 54 3 1

515

15

Apskaičiuok


15 3 + 1 + 15 3 b) ( 10) 2 ndash ( 5 ) 2

( 2 ) 2 ndash 1


43 + 0008 ndash

13 d) (2 2 ndash 3 27) (23

2 + 9 3) + ( 1 4096) ndash

12( 4 3)ndash1

e) ((243 93 )14 ndash 3(3 34 )

13) 3 ndash

512 f) 3 + 63 9 ndash 6 26 ndash 33

g) 13 2 + 13 2 + 2

3 middot 13 2 ndash 13 2 h) ( 6 ) 2 + 2 2

( 3 ) 2 + ( 2 ) 2

i) ( 1 27) ndash 13 + 2 00016 ndash

14 + ( 1 81)ndash075 00640 j) 00001ndash

14 + ( 1

125) ndash 43 ndash 81075 1

9 ndash05

k) 84

74 4 ndash 24 4 + 24 l) ((31

2 + 1)2

ndash (4 + 312)33 )

12

ndash 2 cos 30deg

118


5 2 8 6 2 3 5

Tūks

tanč

ių sk

yriu

s

Šim

tų sk

yriu

s

Dešim

čių sk

yriu

s

Vien

etų

skyr

ius

Dešim

tųjų

skyr

ius

Šim

tųjų

skyr

ius

Tūks

tant

ųjų

skyr

ius



743 956 = 7 105 + 4 104 + 3 103 + 9 102 + 5 10 + 6






x4y = 4xy ndash 270 (1)

x4y = 100x + 40 + y

4xy = 400 + 10x + y

100x + 40 + y = 400 + 10x + y ndash 270







Pavyzdžiai


a) 287 b) 987 145 c) xyz d) abcde

Pamėgink

TAIKYK

119


1 x260

x + 2 + 6 + 0 = x + 8


1260 4260 7260

2 y265y + 2 + 6 + 5 = y + 13


2265 5265 8265











PamėginkPamėgink


1 6 = 016666 = 01(6)

1 7 = 0142857142857142 = 0(142857)

120



x = 025656 | 10 1 1

10x = 2565656 (1)

10x = 2565656 | 100 2 2

1000x = 2565656 (2)


x = 256 ndash 21000 ndash 10

x = 254990 = 127

495

32(56) = 3 256 ndash 2103 ndash 101 = 3 127

495 1 3






Išreiškiame x


Atsakymas 32(56) = 3 127495

Pavyzdys

021(8) = 218 ndash 21103 ndash 102 = 197

900 0(4) = 4 ndash 0101 ndash 100 = 4

9 2 3

0123(45) = 12345 ndash 123105 ndash 103 = 679

5500 0(56) = 56 ndash 0102 ndash 100 = 56

99 3 5








a) 0(7) b) 05(7) c) 214(8) d) 03(12)


Pamėgink

Pavyzdžiai

121


x = 025656 | 10 1 1

10x = 2565656 (1)

10x = 2565656 | 100 2 2

1000x = 2565656 (2)


x = 256 ndash 21000 ndash 10

x = 254990 = 127

495

32(56) = 3 256 ndash 2103 ndash 101 = 3 127

495 1 3






Išreiškiame x


Atsakymas 32(56) = 3 127495

Pavyzdys




1 2 000 000 000 = 12 ∙ 1010 10 vietų

0000006 1 = 61 ∙ 10ndash6 6 vietos



Pavyzdys


a + b = 24 1025 + 12 1025 = = 36 1025

a + c = 24 1025 + 5 1024 = = 24 1025 + 05 1025 = 29 1025

a b = (24 1025) (12 1025) = = (24 12) (1025 1025) = 288 1050

b c = 12 1025

5 1024 = 024 101 = 24





Pavyzdys


Pamėgink



Pamėgink

122





KMI = 601682 asymp 60


Pavyzdys

∆x = |x ndash a|






|a| 100







Pamėgink

123










KMI = 601682 asymp 60


Pavyzdys



a) 1 7 = 014 2 857 asymp 014


3 7 = 042 8 571 asymp 043

gt 5

artinys a = 043



Pavyzdys

b) ∆x = |1 7 ndash 014| = |50 ndash 49

350 | =

= | 1350| = 1

350

∆x = 1350 lt 00028 lt 0003

δ = ∆x|a| =

1350

750

= 1350 50

7 = 149

δ = 149 100 asymp 2041 lt 21




UŽDAVINIAI



Pamėgink

124



Įrodyk kad



Pagrįsk teiginius















125




d) 0(32) 0(4) e) 0(493) 07(45) f) 0(285714) 01(3)04(6) 4(9)

g) 2(8) ndash 0(4) h) 1(27) ndash 03(4) i) 0(917) + 03(614)

j) 0(57) 0(6) k) 0(267) 03(12) l) 0(53) 02(9)332(4) + 1(21)

Palygink skaičius

a) 1 6 ir 3


12






d) 0002096 1012

524 e) 08128 1024

254 10ndash14 f) 0027 1021 ndash 631 1017

g) 1890 00105 h) 00045 1017 i) 000007 10ndash16

j) 000010288016 1017 k) 5139645 10ndash13

7895 10ndash34 l) 760 1012 ndash 0003 1015


a) 5 6 h = 01 b) 2

7 h = 000001 c) 3 h = 01 d) 6 h = 001

e) 4 13 h = 001 f) 3

11 h = 0001 g) 11 h = 000001 h) 8 h = 000001


a) 1 9 h = 01 b) 2 h = 001 c) 3

11 h = 001 d) 10 h = 0001

126

1 variantas




6 reikšmė

A 7 6 B 1

6 C 75 D 74




❻ Apskaičiuok

a) (134)ndash 2 b) 7503

63 c) (33

4 9ndash 14)ndash4

d) ( 27 ndash 2 3 + 75) 3

e) 5( 3 ndash 7)2

5 ndash 21 f) ( 00001

81 ) ndash 34 10ndash4 g) ( 160

15

121502) ndash2

h) 23 ( 43 ndash 163 )



3









PASITIKRINK

127





2 variantas



A 4ndash 34 = 4

43 B 4ndash

34 = 1

644 C 4ndash

34 = 1

43 D 4ndash 34 = 1

2563


1417 reikšmė

A 1514 B 1 1

196 C 1415 D 1415





❻ Apskaičiuok


14 b) 2 8

16 8

4

3

3 88 c)

8113 + 3

73

33 + 813 + 21873

d) 53 + 2a 43 + 2a

202a + 2 e) 31 ndash 2 5 9 5 f) 17 ndash 338 33 + 178

❼ Suprastink

a) ( 182 ndash 13

ndash 2011 ndash 1

+ 2413 ndash 1) ( 1

2 + 11 )ndash1 b) (3 ndash 7)

12(3 + 7)

12

c) 1 + 3 + 32 + 33 + 34 + + 315







128









m4 + 3m3 + 23 (p ndash 4)(p ndash 12)

27 53



narys narys narys

trinaris




m + 2



7 ndash p + 3


racionalieji

iracionalieji


SUSIPAŽINK

129












Įsimink



② ne 0

③ 2n 0

④ 2n gt 0

⑤mn gt 0



Pavyzdžiai


1) (2 ndash x2)(2 + x2)x ndash 5 2) 2

5x 2 ndash 37x + 4

3) 23 x 2 ndash 5x ndash 813 4) 7

c ndash 2

c + 1 + c + 2

33

5) 2x2 ndash 5x ndash 325 6) (3 + x)(12 + x)

(x ndash 5)x

7) y3

3 + 3y23 8) 3y2 + 2

y2 + 5y ndash 6


Pamėgink

130



x(x ndash 4) ne 0







x 25x ne ndash1









x ne ndash3


(x + 7)(x ndash 7) lt 0








Pavyzdžiai


a) 03x ndash 1 3 b) 2

7x3 + 1 9x2 + 0(4)x ndash 12

c) 2 + 4x x + 3 d) 2 + 4x

x2 ndash 25

Pamėgink

131



3 c) 3 x ndash 36



12 ndash 2x g) x


x2 ndash 1









e) x13 ndash 1 f) 1



2x2 ndash 50



m) 2x + x25 n) x + 2

3 5 o) 2x + 1

x2 ndash 9 p) 12x + x + 4




a + 3 d) 4x


e) (3x ndash 1)ndash134 f) 5x + 40 3

1 ndash x2 g) 4




2 ndash a l) 35k + 21 6

2k + 34


1 ndash p2 n) 2x + 10


x + 5 p) 4 ndash 12x2 + 4 5x + 403

UŽDAVINIAI



b) x + 24

3 ndash x6



x2 ndash 1


Pamėgink

132











23 + xndash

13)

x 13 (x

23 + xndash

13) = x

13 x

23 + x

13 xndash

13 =

= x 13 +

23 + x

13 ndash

13 = x

33 + x0 = x + 1



Atsakymas x + 1









Pavyzdžiai

IŠMOK

133




a) x43 = x3 x3 = x x3

b) x94 = x4 x4 x4 = x2 x4

x94 = x 94 = x2

14 = x2 x4

c) x6y6 = x6 y6 = x y6





Pavyzdys



Įsiminka2n2n = |a|



(x ndash 4)44 + (x ndash 2)33 =




Pavyzdžiai


a) ( x 14 ndash 1 )( x



Pamėgink




Pamėgink

134









a) x y3 = x3y3

b) a b4 = a4b4










Pavyzdžiai

Suprastink



Pamėgink


a) a3 a4 (a gt 0) b) ab2 a3 (a b gt 0)


Pamėgink

135



Įsimink





= ndash x7y 46




Pavyzdys




① (a + b)2 = a2 + 2ab + b2



④ (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3


⑥ a3 + b3 = (a + b)(a2 ndash ab + b2)





Pamėgink


136



(2x + 3)3 = a b



Sprendimas


Atsakymas 8x3 + 36x2 + 54x + 27


( 2 ndash 2 3 )3 = a b



Sprendimas



Pavyzdžiai


8x6 + 60x4y + 150x2y2 + 125y3 =

= (2x2)3 + 3 (2x2)2 (5y) + 3 (2x2) (5y)2 + (5y)3 = a3 a2 b a b2 b3

= (2x2 + 5y)3




Pavyzdys


a) (m ndash 5n)3 b) (2x + 2)3c) ( 3 + 2)3 d) (2 2 + 2)3

Pamėgink




52


Pamėgink

137
















Pavyzdys








Pavyzdys




Pamėgink

138







a) 8x6 ndash a3b9 = (2x2)3 (ab3)3

= (2x2)3 ndash (ab3)3 = a3 b3


= (2x2 ndash ab3)(4x4 + 2x2ab3 + a2b6)






= ( x3 ndash y3 )( x23 + xy3 + y23 )








Taikome 7 formulę

Pavyzdys







Pamėgink



Pamėgink

139



x1 = 1 ndash 81 20 = ndash 2 5 x2 = 1 + 81

20 = 1 2


5) =

= 2 5(x ndash 1 2)(x + 2

5) =

= (2x ndash 1)(5x + 2)





Pavyzdys

Grupavimo būdas









Pavyzdys


= (x + y)(a + b)




++



Pamėgink




Pamėgink

140



6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys




ab + c

d = ad + bcbd

ab ndash c

d = ad ndash bcbd



x + y


Pamėgink

Suprastink




2x ndash 10


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys

3

141


6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys





ab middot c


ab c

d = ab middot d




x ndash y


x2 + y2

x ndash y =


x ndash yx2 + y2 =


x2 + y2 =


= x + y

Sprendimas


Pavyzdžiai

Suprastink

a) 1x x + x

+ xx + 1

b) 6 xx ndash 3

ndash 3x + 3


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys



x ndash yx + y


=


( x + y )( x ndash y ) =



x ndash y

Sprendimas




Pavyzdys

x ndash y x + y

142


UŽDAVINIAI




Suprastink

a) x12 middot x

14 b) (x4

5)3

c) (x23 middot x

15)15

d) x13

xndash 23

e) (x23)

34


n3)6n

h) (b2n bndash075n

bndash05n )ndash4n

i) y 13 middot y

23 j) (x2)

13 k) y

25


27)35

m) (y27)175


n2 o) (x

n4 middot x

n8)8

p) (xndash 56 n x3n

x 43 n )ndash6n




a) ( 3x + 1 ndash 4



Pamėgink


1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









2(1 + 3x) 1 ndash 3x2

143

Suprastink




a) 4 x 3 z 2y 6 4 y ndash2


a 3 b 5a 5

d) 5 a 5 c 2b 2 5 b ndash3


y 4 y 3x 6




a) 12x3y 3x2y b) 16x2y3 3x2y3 c) 144x 5y 124


12y23

e) 63x 5y 3 28x2y f) 8x2y5 4x 3y 45 g) 250xy 74

18x17y24 h) 3x 6y 83

ndash81y23









3b)3 h) (2 2 ndash 3 3)3

i) (3x ndash 4)3 j) (5x + 2)3 k) ( x3 + 1)3 l) ( x6 + x3 )3


p) (x 2 ndash 2)3



1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









144




14 ndash x

14y

34 g) n n + n h) x

34 ndash x



13 ndash x

13y




12 d) xn ndash yn




32 h) y + x 34




a) x + 3x + 4 b) x 3

x 4 c) (x + 2) 3(x + 2) + x d) (x + 2) ndash (x + 3)

(x + 2) + (x + 3)


x + 2 g) x + 1(x + 1)2 h) x 3 + 4

x 4 + 3

i) 6 xx 5 j) x + 1


b x + a



x ndash 5








b ndash a








a) ab ndash b2

2b b) x2 ndash y2





2x ndash 5y








a) x x ndash x


c) a ndash 1a + 1


e) x x + xx


g) x 6 ndash y 6



a) xy + y


x2 + 2x + 1 c) 3x + 1 + x + 5


d) 3x2 + 9x + 14 + 5

2x2 + 15x + 7 e) x ndash x2



x ndash 2

g) 2x2




x3 + 2x + 2x2 + 4 + 1x2 + 2

145

j) 1x(x + 1) + 1

x + 1 k) 6x2 ndash 9 + 9

x2 ndash 6x + 9 l) 4x + 2 + x + 6


m) 6x2 + 11x + 24 + 4








x ndash 3

Suprastink

a) x x ndash 2

ndash 2x + 2

b) 3


a ndash 9 c) x 12

x05 + 1 ndash 1

x05 ndash 1 d) 2

x + 2 + x

x ndash 2 ndash 4 x

x ndash 4

e) 11 + x

ndash 11 ndash x

f) 1a4 ndash 1

+ 1a4 + 1

g) 3

x 12 + 3 ndash x05

x05 ndash 3 h) x

81 ndash x ndash 9

x + 9 + x

x ndash 9

Suprastink

a) 16x2y5










3x j) x + 3x2 + 6x x2 ndash 9


x






3x + 4

e) 5 ndash 2

x ndash 3

4 ndash 1x ndash 3









1 + 3x

1 ndash 6x

m) 3 + 2

x + 4

5 ndash 1x + 4



2x + 2 ndash 1) 6x ndash 6 x + 1 p) ( 1

x ndash 1 ndash x + 1x2 + x + 1) (1 + 1

x3 ndash 1)





y ndash x ndash2








a13 + b



x + 1 + 1 ndash x )


16) xy 46 e) ( 1


x13 ndash 1

+ x13) middot x

13 ndash 1

x23 ndash 1

g) y ndash x

x23 + (xy)13 + y

23 + x

23 ndash y23

x3 ndash y13

h) x13y

13 x

13 y ndash y

13 x



y ndash z )ndash1

j) (x15 + x25

1 + x + 1) 1 ndash x3



ndash b a a + b

+ 3ab ndash b2

a ndash b

m) a + ba ndash b

ndash a + ab a + b

n) a + 1a a + a + a

1a2 ndash a




x05 ndash 1 r) ( 2 + x14


14


x34 s) 1x3 + y3 ndash x3 + y3

x23 ndash (xy)

13 + y

23




ndash 13


x + 1x x ndash 1

+ 2 x

146










6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai

TAIKYK

147




6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai







Sprendimas






2b + 1 ndash 6ab




PamėginkPamėgink





sin2 α

|v| = 2ghsin2 α

v = 2ghsin2 α


Išreiškiame v2




lg = T

2π

lg = ( T

2π )2

lg = T2

4π2gl = 4π2

T2

g = 4π2 middot lT2






Pavyzdžiai

148




p



f = 1F



c

1 + vc


R



P + ET


ndash 1)( 1R1

ndash 1R2)




y


12 = mgh2 + mv2

22


2



y + 24


n21 ndash 1

n22)








PamėginkPamėgink

UŽDAVINIAI

149












150

1 variantas


A 215a + b B 215 + a ndash b


b



A x = 3 B x = 0 C x = ndash3 D x = 9





a) x ndash 32 7 + 4


12 d) 3x ndash 27

x2 ndash 1






a) 32x 94 b) 81x7y 63 c) x 12y 345 d) x 17y 246






PASITIKRINK

151








a middot 5 + 9


⓭ Suprastink


m2 + n2 m2 ndash n2

4mn c) xx + 4 + 4


2 variantas


b2 =

A 140 B 142 C 145 D 146


A 00625 B 0 C 0125 D 025





15x3

c) 04x ndash 10x2 + 145 d) ( 205

10 ndash 5a)ndash18

❺ Pakelk kubu

a) (2 + 2 )3 b) (2 3 + 3 )3 c) (x 2 ndash y3 2 )3



❼ Suprastink




❾ Suprastink

a) 64x6 + 216y6



ndash 52 ndash x






4 kai y lt 0

152


❶Apskaičiuok

a) ( 7 ndash 5 23 + 7 + 503 ) middot 9 b) (3 + 2 5 4


54 + 1



❷Įrodyk teiginį

a) jei x23 + y

23 = a

23 tai x2 + x 4y 23 + y2 + x 2y 43 = a















+ ndash

bf middot xy = gcg

= = =

eec + bcyy = bfbe


153



A 40 B 250 C 225 D 2500


A 2600p B 10400 + p100 C 104p D 5200

100 + 2p








A 545 = 1

54 B 545 = 5

54 C 545 = 31254 D 5

45 = 6255


p ndash 1




x + 4 D 1x + 4



A a = 1 b = 5 B a = 2 b = 3 C a = 1 b = 4 D a = 3 b = 2




A 8 3 cm B 8 3 3 cm C 4

3 cm D 4 3 3 cm


A 56 B 60 C 64 D 112


154











+ 2 ndash x 2 + x





išraišką T(x)




1200 cm2


155












2



100

















n




čiai




SUSIPAŽINK

101















Pavyzdžiai






PamėginkPamėgink

Aibių veiksmai




Poaibis A sub B

102



empty 3 6 7 8 3 6 3 7 3 8 6 7 6 8 7 8 3 6 7 3 6 8 3 7 8 6 7 8 3 6 7 8


Pavyzdys



PamėginkPamėgink






2 3 5 6 cup 2 4 8 == 2 3 4 5 6 8

2 3 5 6 cap 2 4 8 = 2




[ndash27 7) cap [4 13 9 ) = [4 13 7 )

[ndash27 7) cup [4 13 9 ) = [ndash27 9)





Pavyzdžiai

103




PamėginkPamėgink

Aibių skirtumasA B

B A




2 3 4 5 6 2 4 8 = 3 5 6

2 4 8 2 3 4 5 6 = 8




A B = [ndash27 4 13 )

B A = [7 9)




Pavyzdžiai




PamėginkPamėgink

104








Pavyzdys


Pamėgink











105


4

325 = 2


16625

4 = 25



(25)4

= 16625 todėl 16

6254 = 2

5

Pavyzdys


4


PamėginkPamėgink






①Laipsnius 215 3


215 = 215 = 25

337 = 337

5125 = 554 = 554


3

Sprendimas



3

②Šaknis 37 358 1a7


37 = 317 = 317

358 = 358 = 30625

1a7


Sprendimas



Pavyzdžiai





PamėginkPamėgink

106
















UŽDAVINIAI

107











a) 00016256

4 b) 000864

3 c) 05 d) ndash 116

4


325 h) 04

i) 116

4 j) ndash 11024

5 k) ndash15 l) 000014

m) 0002435 n) 81625

4 o) 011 p) 000164


a) 325 203 5ndash05 (1

3)ndash25 b) 2

17 307 6ndash02 (1

5)ndash15


a) 225 122 473 1

33 b) 357 1

323 77 7

95



13 c) 16

625 000814 d) 00625ndash 34

e) 71932

5 (49)ndash05

f) 10ndash5 3 200 0005 g) ( 127)ndash

13 7293 h) (00016

00625)ndash 34 ( 15625

643 )ndash1

i) (1681)ndash

34 32

15 j) 8ndash

23 27

13 k) (00001

625 )ndash 34 10ndash3 l) 7348

4864 (27

9)ndash 12

m) 1024ndash 1

10 (18)

13 n) 56

1893 o) ( 81

625)ndash 14 0216

13 p) (1

2)ndash5 025

ndash 123

108










čia a b c d 0


2 18 + 2 12 ndash 3 8 + 75 =

= 2 9 ∙ 2 + 2 4 ∙ 3 ndash 3 4 ∙ 2 + + 25 ∙ 3 == 2 3 2 + 2 2 3 ndash 3 2 2 ++ 5 3 =

= 6 2 + 4 3 ndash 6 2 + 5 3 =

= 6 2 ndash 6 2 + 4 3 + 5 3 = = 9 3





Atsakymas 9 3

Pavyzdžiai

IŠMOK

109


(3 2 ndash 3 )(2 5 ndash 1) =



(3 2 ndash 3 )(2 5 ndash 1)




(3 5 ndash 2 3 )2 =

= (3 5 )2 ndash 2 ∙ 3 5 ∙ 2 3 + (2 3 )2 = a2 a b b2

= 9 5 ndash 2 3 2 5 ∙ 3 + 4 3 =

= 45 ndash 12 15 + 12 = 57 ndash 12 15

Sprendimas




Atlik veiksmus

a) 44 + 2 99 + 3 45 ndash 20 b) (2 3 ndash 3 2 )( 2 + 3 )

c) 2592 ndash (6 + 3 2 )2 d) (5 2 ndash 3 ) 2 2 + ( 2 + 3 )2


PamėginkPamėgink



a gt 0 Pavyzdžiui 22 = 4 = 2 52 = 5


( alt 0 )2

gt 0

= | a |

gt 0lt 0lt 0

= ndasha

gt 0lt 0lt 0



Įsimink



110






= a ∙ bb ∙ b

= a bb

čia b gt 0


ax ndash y








Sprendimas




Pavyzdys

Apskaičiuok




Pamėgink



23 = 2 3

3 3 = 2 3

3

Sprendimas


Atsakymas 2 33

Pavyzdžiai

ndash = ∙ ( + )

( ndash ) ∙ ( + )

= ∙ ∙

= ∙

111



21 ndash 3

= 2(1 + 3)(1 ndash 3)(1 + 3) =

= 2(1 + 3)12 ndash ( 3)2 = 2(1 + 3)

1 ndash 3 =

= 2(1 + 3)ndash2

= ndash1 ndash 3

Sprendimas





a n a ne 0



Taisyklė Pavyzdys

a0 = 1 20 = 1


22 = 14 (2

3 )ndash1

= 32





(ab )

n = a n

b n (23 )

ndash4 = 2 ndash4

3 ndash4 = 3 42 4 = 81

16 = 5 116


(ndash 210 )ndash3


=

= (ndash 15 )ndash3

+ (ndash 12 )ndash2

=


Sprendimas




Atsakymas ndash121

Pavyzdžiai


a) 112

b) 23 + 1

c) 3 ndash 2 52 3 + 5


Pamėgink

112


Įsimink

① ( an )n = a

② abn = an bn

③ ab

n = an

bn

④ akn = ank

⑤ ( an )k = akn

⑥ amknk = amn

⑦ amn = amn

Apskaičiuok



Pamėgink


Taisyklė Pavyzdys

( an )n = a ( 33 )3 = 3


abn = an bn 27 643 = 273 643 = 3 4 = 1245 85 = 325 = 2



ab

n = an

bn b ne 0 81625

4 = 814

6254 = 35

645

25 = 642

5 = 325 = 2


akn = ank 53 = 56




( an )k = akn ( 33 )2 = ( )233 = 33

8154 = ( 814 )5 = 35 = 243


amknk = amn a1215 = a3 43 5 = a45


amn = amn

223 = 223


113


Įsimink



(1 ndash 3)24 =

= (1 ndash 3)22 2 = |1 ndash 3| =


Sprendimas



Atsakymas 3 ndash 1

Pavyzdys


3 8 24 = 3 82 middot 24 = 15366

7 193 = 73 middot 193 = 65176

15366 lt 65176

3 8 24 lt 7 193





Pavyzdys


a) ( 315 )15 b) 16 ∙ 000014 c) 64729

6

d) 234 e) ( 33 )2 f) 248

g) ( 33 )3 ndash ( 55 )5 h) 015 ∙ 000015 i) 7295

35

j) 23 + 23 k) ( 243 )4 l) 23 + 226

m) 75881

4 + ( 234 )4

n) 24 ∙ 84 + 6253

53 o) 23

( 43 )2

p) 253

235 r) ( 23 )12 s) 21530 + 248


Pamėgink



Pamėgink

114



2 324 ndash 1624 + 12504 =

= 2 16 24 ndash 81 24 + 625 24 =

= 2 2 24 ndash 3 24 + 5 24 =

= 4 24 ndash 3 24 + 5 24 = 6 24

Sprendimas




Atsakymas 6 24


Taisyklė Pavyzdys

a0 = 1 1250 = 1


12 = (6

5)ndash 12 = (5

6) 12 = 5

6

am an = am + n 2 12 2

12 = 2

12 +

12 = 21 = 2


32 = 3212 ndash 1 = 3202 = 3215 = 325 = 2

(an)m = amn (202)5 = 21 = 2

(ab)n = an bn 216 13 = (8 27)

13 = 8

13 27

13= 2 3 = 6

(ab )

n = a n

b n ( 2566561)0125 = 2560125

65610125 = (28)0125

(38)0125 = 23


Įsimink

① a0 = 1

② andashn = 1a n

③ am an = am + n


⑤ (an)m = amn

⑥ (ab)n = an bn

⑦ (ab )

n = a n

b n b ne 0

❶ Palygink

a) 4 2 33 ir 3 2 3 b) 4 3 33 ir 3 3 34

❷ Suprastink

a) 323 ndash 1083 b) 23 7684 + 484


Pamėgink

115

⓱ Apskaičiuok

a) 8 ∙ 32 b) 3 + 3 + 3 3 c) 18 + 50



m) 3 + 6 2 n) 2( 8 ndash 2) o) (3 ndash 5 7)2


⓲ Apskaičiuok



g) 32 +2 + ∙ 32 +2 ndash ∙ 2 + 3 h) (3 + 2 2)2016 ∙ (3 ndash 2 2)2016



⓴ Apskaičiuok





Apskaičiuok




a) 25

b) 57 5

c) 35 ndash 2

d) 113 5 ndash 2 3

e) 37

f) 72 7

g) 27 ndash 5

h) 102 7 ndash 3 2

UŽDAVINIAI

Atlik veiksmus

a) (13)ndash 02 b) 1613 16ndash105 c) 515

505


32 e) 3 ndash

14 27 ndash

14 f) 605

305

g) ( 149)ndash

12 ndash (1


23 5ndash

32 5ndash

156 i) 2

13(4

13 + 32

13)

j) (12ndash075


12 (3 + 2)

12


Pamėgink

116


Apskaičiuok

a) 27 ndash 5

+ 47 + 5

b) ( 25 ndash 2

+ 45 + 2) ∙ 1

6 5 ndash 4

c) 36 ndash 3

+ 96 + 3

d) ( 27 ndash 2

+ 47 + 2) ∙ 3

6 7 ndash 4

Apskaičiuok

a) 1 + 2

21 ndash 2

2

+ (2 + 2)2

2 b) ( 43 + 5

ndash 32 + 7

+ 114 ndash 5) (9 ndash 7)

c) 21 ndash 4 5 21 + 4 5

ndash 1921 + 4 5

d) ( 127 ndash 1

ndash 85 ndash 1

+ 62 ndash 7) ∙ (2 5 + 4)ndash1

e) 1 + 3

3

1 ndash 33

+ (1 ndash 3)2

2 f) ( 25 ndash 3

+ 63 ndash 3

+ 12 ndash 5) ∙ (2 3 ndash 1)

g) 4 + 2 3 4 ndash 2 3

ndash 12 ndash 3

h) ( 45 ndash 1

ndash 35 ndash 2

+ 605 ndash 5) ∙ ( 5(1 + 2 5))ndash1

Apskaičiuok






3ndash4

Apskaičiuok


53 26


14) ndash2


i) 36 210 57

605




a) 8 ∙ 95 ∙ 4 ∙ 275 b) 2185 2145

2175 c) ( 23 )6 ndash ( 34 )2


j) 9 ∙ 43 ∙ 3 ∙ 163 k) 3174 3244

3214 l) ( 34 )8 ndash ( 24 )2


Apskaičiuok



117


a) 3 2 b) 2 34 c) 04 100004 d) 13 544

e) 5 3 f) 3 23 g) 25 100004 h) 2 25



Suprastink


Apskaičiuok


c) 4 ndash 2 36 1 + 33 43 d) 3( 3 ndash 7 )2

10( 5 + 214 )( 5 ndash 214 )

e) (1 + 2)2 + 44 f) 3 ndash 2 26 2 + 23 326


20( 154 + 2)( 154 ndash 2)


a) 25013

213

b) (313)3

ndash (205)4 c) 3025 27025 ndash 213 4

13 d) 3

13 (32

3 + 1)e) (4025 ndash 405)4 f) (23

2 + 1)2

g) (314 + 3

12) (31

4 ndash 312) h) (51

6 + 514) (51

6 ndash 514)

i) 16214

125013 j) (41

4)8

ndash (405)3 k) 214 8

14 ndash 3

13 9

13 l) (23

4 + 1) 214

m) (805 ndash 3205)2 n) (314 + 1)2

o) (414 + 1) (41

4 ndash 1) p) (1 + 314) (31

4 ndash 1)


a) 8 435 b) 2 4 16 4

3

3 4 c) 777 493 d) 8

274 3

26 312 26

e) 23 484 2ndash33 f) 1253 5255 g) 53 553

023 h) 125 53 54 3 1

515

15

Apskaičiuok


15 3 + 1 + 15 3 b) ( 10) 2 ndash ( 5 ) 2

( 2 ) 2 ndash 1


43 + 0008 ndash

13 d) (2 2 ndash 3 27) (23

2 + 9 3) + ( 1 4096) ndash

12( 4 3)ndash1

e) ((243 93 )14 ndash 3(3 34 )

13) 3 ndash

512 f) 3 + 63 9 ndash 6 26 ndash 33

g) 13 2 + 13 2 + 2

3 middot 13 2 ndash 13 2 h) ( 6 ) 2 + 2 2

( 3 ) 2 + ( 2 ) 2

i) ( 1 27) ndash 13 + 2 00016 ndash

14 + ( 1 81)ndash075 00640 j) 00001ndash

14 + ( 1

125) ndash 43 ndash 81075 1

9 ndash05

k) 84

74 4 ndash 24 4 + 24 l) ((31

2 + 1)2

ndash (4 + 312)33 )

12

ndash 2 cos 30deg

118


5 2 8 6 2 3 5

Tūks

tanč

ių sk

yriu

s

Šim

tų sk

yriu

s

Dešim

čių sk

yriu

s

Vien

etų

skyr

ius

Dešim

tųjų

skyr

ius

Šim

tųjų

skyr

ius

Tūks

tant

ųjų

skyr

ius



743 956 = 7 105 + 4 104 + 3 103 + 9 102 + 5 10 + 6






x4y = 4xy ndash 270 (1)

x4y = 100x + 40 + y

4xy = 400 + 10x + y

100x + 40 + y = 400 + 10x + y ndash 270







Pavyzdžiai


a) 287 b) 987 145 c) xyz d) abcde

Pamėgink

TAIKYK

119


1 x260

x + 2 + 6 + 0 = x + 8


1260 4260 7260

2 y265y + 2 + 6 + 5 = y + 13


2265 5265 8265











PamėginkPamėgink


1 6 = 016666 = 01(6)

1 7 = 0142857142857142 = 0(142857)

120



x = 025656 | 10 1 1

10x = 2565656 (1)

10x = 2565656 | 100 2 2

1000x = 2565656 (2)


x = 256 ndash 21000 ndash 10

x = 254990 = 127

495

32(56) = 3 256 ndash 2103 ndash 101 = 3 127

495 1 3






Išreiškiame x


Atsakymas 32(56) = 3 127495

Pavyzdys

021(8) = 218 ndash 21103 ndash 102 = 197

900 0(4) = 4 ndash 0101 ndash 100 = 4

9 2 3

0123(45) = 12345 ndash 123105 ndash 103 = 679

5500 0(56) = 56 ndash 0102 ndash 100 = 56

99 3 5








a) 0(7) b) 05(7) c) 214(8) d) 03(12)


Pamėgink

Pavyzdžiai

121


x = 025656 | 10 1 1

10x = 2565656 (1)

10x = 2565656 | 100 2 2

1000x = 2565656 (2)


x = 256 ndash 21000 ndash 10

x = 254990 = 127

495

32(56) = 3 256 ndash 2103 ndash 101 = 3 127

495 1 3






Išreiškiame x


Atsakymas 32(56) = 3 127495

Pavyzdys




1 2 000 000 000 = 12 ∙ 1010 10 vietų

0000006 1 = 61 ∙ 10ndash6 6 vietos



Pavyzdys


a + b = 24 1025 + 12 1025 = = 36 1025

a + c = 24 1025 + 5 1024 = = 24 1025 + 05 1025 = 29 1025

a b = (24 1025) (12 1025) = = (24 12) (1025 1025) = 288 1050

b c = 12 1025

5 1024 = 024 101 = 24





Pavyzdys


Pamėgink



Pamėgink

122





KMI = 601682 asymp 60


Pavyzdys

∆x = |x ndash a|






|a| 100







Pamėgink

123










KMI = 601682 asymp 60


Pavyzdys



a) 1 7 = 014 2 857 asymp 014


3 7 = 042 8 571 asymp 043

gt 5

artinys a = 043



Pavyzdys

b) ∆x = |1 7 ndash 014| = |50 ndash 49

350 | =

= | 1350| = 1

350

∆x = 1350 lt 00028 lt 0003

δ = ∆x|a| =

1350

750

= 1350 50

7 = 149

δ = 149 100 asymp 2041 lt 21




UŽDAVINIAI



Pamėgink

124



Įrodyk kad



Pagrįsk teiginius















125




d) 0(32) 0(4) e) 0(493) 07(45) f) 0(285714) 01(3)04(6) 4(9)

g) 2(8) ndash 0(4) h) 1(27) ndash 03(4) i) 0(917) + 03(614)

j) 0(57) 0(6) k) 0(267) 03(12) l) 0(53) 02(9)332(4) + 1(21)

Palygink skaičius

a) 1 6 ir 3


12






d) 0002096 1012

524 e) 08128 1024

254 10ndash14 f) 0027 1021 ndash 631 1017

g) 1890 00105 h) 00045 1017 i) 000007 10ndash16

j) 000010288016 1017 k) 5139645 10ndash13

7895 10ndash34 l) 760 1012 ndash 0003 1015


a) 5 6 h = 01 b) 2

7 h = 000001 c) 3 h = 01 d) 6 h = 001

e) 4 13 h = 001 f) 3

11 h = 0001 g) 11 h = 000001 h) 8 h = 000001


a) 1 9 h = 01 b) 2 h = 001 c) 3

11 h = 001 d) 10 h = 0001

126

1 variantas




6 reikšmė

A 7 6 B 1

6 C 75 D 74




❻ Apskaičiuok

a) (134)ndash 2 b) 7503

63 c) (33

4 9ndash 14)ndash4

d) ( 27 ndash 2 3 + 75) 3

e) 5( 3 ndash 7)2

5 ndash 21 f) ( 00001

81 ) ndash 34 10ndash4 g) ( 160

15

121502) ndash2

h) 23 ( 43 ndash 163 )



3









PASITIKRINK

127





2 variantas



A 4ndash 34 = 4

43 B 4ndash

34 = 1

644 C 4ndash

34 = 1

43 D 4ndash 34 = 1

2563


1417 reikšmė

A 1514 B 1 1

196 C 1415 D 1415





❻ Apskaičiuok


14 b) 2 8

16 8

4

3

3 88 c)

8113 + 3

73

33 + 813 + 21873

d) 53 + 2a 43 + 2a

202a + 2 e) 31 ndash 2 5 9 5 f) 17 ndash 338 33 + 178

❼ Suprastink

a) ( 182 ndash 13

ndash 2011 ndash 1

+ 2413 ndash 1) ( 1

2 + 11 )ndash1 b) (3 ndash 7)

12(3 + 7)

12

c) 1 + 3 + 32 + 33 + 34 + + 315







128









m4 + 3m3 + 23 (p ndash 4)(p ndash 12)

27 53



narys narys narys

trinaris




m + 2



7 ndash p + 3


racionalieji

iracionalieji


SUSIPAŽINK

129












Įsimink



② ne 0

③ 2n 0

④ 2n gt 0

⑤mn gt 0



Pavyzdžiai


1) (2 ndash x2)(2 + x2)x ndash 5 2) 2

5x 2 ndash 37x + 4

3) 23 x 2 ndash 5x ndash 813 4) 7

c ndash 2

c + 1 + c + 2

33

5) 2x2 ndash 5x ndash 325 6) (3 + x)(12 + x)

(x ndash 5)x

7) y3

3 + 3y23 8) 3y2 + 2

y2 + 5y ndash 6


Pamėgink

130



x(x ndash 4) ne 0







x 25x ne ndash1









x ne ndash3


(x + 7)(x ndash 7) lt 0








Pavyzdžiai


a) 03x ndash 1 3 b) 2

7x3 + 1 9x2 + 0(4)x ndash 12

c) 2 + 4x x + 3 d) 2 + 4x

x2 ndash 25

Pamėgink

131



3 c) 3 x ndash 36



12 ndash 2x g) x


x2 ndash 1









e) x13 ndash 1 f) 1



2x2 ndash 50



m) 2x + x25 n) x + 2

3 5 o) 2x + 1

x2 ndash 9 p) 12x + x + 4




a + 3 d) 4x


e) (3x ndash 1)ndash134 f) 5x + 40 3

1 ndash x2 g) 4




2 ndash a l) 35k + 21 6

2k + 34


1 ndash p2 n) 2x + 10


x + 5 p) 4 ndash 12x2 + 4 5x + 403

UŽDAVINIAI



b) x + 24

3 ndash x6



x2 ndash 1


Pamėgink

132











23 + xndash

13)

x 13 (x

23 + xndash

13) = x

13 x

23 + x

13 xndash

13 =

= x 13 +

23 + x

13 ndash

13 = x

33 + x0 = x + 1



Atsakymas x + 1









Pavyzdžiai

IŠMOK

133




a) x43 = x3 x3 = x x3

b) x94 = x4 x4 x4 = x2 x4

x94 = x 94 = x2

14 = x2 x4

c) x6y6 = x6 y6 = x y6





Pavyzdys



Įsiminka2n2n = |a|



(x ndash 4)44 + (x ndash 2)33 =




Pavyzdžiai


a) ( x 14 ndash 1 )( x



Pamėgink




Pamėgink

134









a) x y3 = x3y3

b) a b4 = a4b4










Pavyzdžiai

Suprastink



Pamėgink


a) a3 a4 (a gt 0) b) ab2 a3 (a b gt 0)


Pamėgink

135



Įsimink





= ndash x7y 46




Pavyzdys




① (a + b)2 = a2 + 2ab + b2



④ (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3


⑥ a3 + b3 = (a + b)(a2 ndash ab + b2)





Pamėgink


136



(2x + 3)3 = a b



Sprendimas


Atsakymas 8x3 + 36x2 + 54x + 27


( 2 ndash 2 3 )3 = a b



Sprendimas



Pavyzdžiai


8x6 + 60x4y + 150x2y2 + 125y3 =

= (2x2)3 + 3 (2x2)2 (5y) + 3 (2x2) (5y)2 + (5y)3 = a3 a2 b a b2 b3

= (2x2 + 5y)3




Pavyzdys


a) (m ndash 5n)3 b) (2x + 2)3c) ( 3 + 2)3 d) (2 2 + 2)3

Pamėgink




52


Pamėgink

137
















Pavyzdys








Pavyzdys




Pamėgink

138







a) 8x6 ndash a3b9 = (2x2)3 (ab3)3

= (2x2)3 ndash (ab3)3 = a3 b3


= (2x2 ndash ab3)(4x4 + 2x2ab3 + a2b6)






= ( x3 ndash y3 )( x23 + xy3 + y23 )








Taikome 7 formulę

Pavyzdys







Pamėgink



Pamėgink

139



x1 = 1 ndash 81 20 = ndash 2 5 x2 = 1 + 81

20 = 1 2


5) =

= 2 5(x ndash 1 2)(x + 2

5) =

= (2x ndash 1)(5x + 2)





Pavyzdys

Grupavimo būdas









Pavyzdys


= (x + y)(a + b)




++



Pamėgink




Pamėgink

140



6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys




ab + c

d = ad + bcbd

ab ndash c

d = ad ndash bcbd



x + y


Pamėgink

Suprastink




2x ndash 10


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys

3

141


6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys





ab middot c


ab c

d = ab middot d




x ndash y


x2 + y2

x ndash y =


x ndash yx2 + y2 =


x2 + y2 =


= x + y

Sprendimas


Pavyzdžiai

Suprastink

a) 1x x + x

+ xx + 1

b) 6 xx ndash 3

ndash 3x + 3


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys



x ndash yx + y


=


( x + y )( x ndash y ) =



x ndash y

Sprendimas




Pavyzdys

x ndash y x + y

142


UŽDAVINIAI




Suprastink

a) x12 middot x

14 b) (x4

5)3

c) (x23 middot x

15)15

d) x13

xndash 23

e) (x23)

34


n3)6n

h) (b2n bndash075n

bndash05n )ndash4n

i) y 13 middot y

23 j) (x2)

13 k) y

25


27)35

m) (y27)175


n2 o) (x

n4 middot x

n8)8

p) (xndash 56 n x3n

x 43 n )ndash6n




a) ( 3x + 1 ndash 4



Pamėgink


1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









2(1 + 3x) 1 ndash 3x2

143

Suprastink




a) 4 x 3 z 2y 6 4 y ndash2


a 3 b 5a 5

d) 5 a 5 c 2b 2 5 b ndash3


y 4 y 3x 6




a) 12x3y 3x2y b) 16x2y3 3x2y3 c) 144x 5y 124


12y23

e) 63x 5y 3 28x2y f) 8x2y5 4x 3y 45 g) 250xy 74

18x17y24 h) 3x 6y 83

ndash81y23









3b)3 h) (2 2 ndash 3 3)3

i) (3x ndash 4)3 j) (5x + 2)3 k) ( x3 + 1)3 l) ( x6 + x3 )3


p) (x 2 ndash 2)3



1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









144




14 ndash x

14y

34 g) n n + n h) x

34 ndash x



13 ndash x

13y




12 d) xn ndash yn




32 h) y + x 34




a) x + 3x + 4 b) x 3

x 4 c) (x + 2) 3(x + 2) + x d) (x + 2) ndash (x + 3)

(x + 2) + (x + 3)


x + 2 g) x + 1(x + 1)2 h) x 3 + 4

x 4 + 3

i) 6 xx 5 j) x + 1


b x + a



x ndash 5








b ndash a








a) ab ndash b2

2b b) x2 ndash y2





2x ndash 5y








a) x x ndash x


c) a ndash 1a + 1


e) x x + xx


g) x 6 ndash y 6



a) xy + y


x2 + 2x + 1 c) 3x + 1 + x + 5


d) 3x2 + 9x + 14 + 5

2x2 + 15x + 7 e) x ndash x2



x ndash 2

g) 2x2




x3 + 2x + 2x2 + 4 + 1x2 + 2

145

j) 1x(x + 1) + 1

x + 1 k) 6x2 ndash 9 + 9

x2 ndash 6x + 9 l) 4x + 2 + x + 6


m) 6x2 + 11x + 24 + 4








x ndash 3

Suprastink

a) x x ndash 2

ndash 2x + 2

b) 3


a ndash 9 c) x 12

x05 + 1 ndash 1

x05 ndash 1 d) 2

x + 2 + x

x ndash 2 ndash 4 x

x ndash 4

e) 11 + x

ndash 11 ndash x

f) 1a4 ndash 1

+ 1a4 + 1

g) 3

x 12 + 3 ndash x05

x05 ndash 3 h) x

81 ndash x ndash 9

x + 9 + x

x ndash 9

Suprastink

a) 16x2y5










3x j) x + 3x2 + 6x x2 ndash 9


x






3x + 4

e) 5 ndash 2

x ndash 3

4 ndash 1x ndash 3









1 + 3x

1 ndash 6x

m) 3 + 2

x + 4

5 ndash 1x + 4



2x + 2 ndash 1) 6x ndash 6 x + 1 p) ( 1

x ndash 1 ndash x + 1x2 + x + 1) (1 + 1

x3 ndash 1)





y ndash x ndash2








a13 + b



x + 1 + 1 ndash x )


16) xy 46 e) ( 1


x13 ndash 1

+ x13) middot x

13 ndash 1

x23 ndash 1

g) y ndash x

x23 + (xy)13 + y

23 + x

23 ndash y23

x3 ndash y13

h) x13y

13 x

13 y ndash y

13 x



y ndash z )ndash1

j) (x15 + x25

1 + x + 1) 1 ndash x3



ndash b a a + b

+ 3ab ndash b2

a ndash b

m) a + ba ndash b

ndash a + ab a + b

n) a + 1a a + a + a

1a2 ndash a




x05 ndash 1 r) ( 2 + x14


14


x34 s) 1x3 + y3 ndash x3 + y3

x23 ndash (xy)

13 + y

23




ndash 13


x + 1x x ndash 1

+ 2 x

146










6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai

TAIKYK

147




6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai







Sprendimas






2b + 1 ndash 6ab




PamėginkPamėgink





sin2 α

|v| = 2ghsin2 α

v = 2ghsin2 α


Išreiškiame v2




lg = T

2π

lg = ( T

2π )2

lg = T2

4π2gl = 4π2

T2

g = 4π2 middot lT2






Pavyzdžiai

148




p



f = 1F



c

1 + vc


R



P + ET


ndash 1)( 1R1

ndash 1R2)




y


12 = mgh2 + mv2

22


2



y + 24


n21 ndash 1

n22)








PamėginkPamėgink

UŽDAVINIAI

149












150

1 variantas


A 215a + b B 215 + a ndash b


b



A x = 3 B x = 0 C x = ndash3 D x = 9





a) x ndash 32 7 + 4


12 d) 3x ndash 27

x2 ndash 1






a) 32x 94 b) 81x7y 63 c) x 12y 345 d) x 17y 246






PASITIKRINK

151








a middot 5 + 9


⓭ Suprastink


m2 + n2 m2 ndash n2

4mn c) xx + 4 + 4


2 variantas


b2 =

A 140 B 142 C 145 D 146


A 00625 B 0 C 0125 D 025





15x3

c) 04x ndash 10x2 + 145 d) ( 205

10 ndash 5a)ndash18

❺ Pakelk kubu

a) (2 + 2 )3 b) (2 3 + 3 )3 c) (x 2 ndash y3 2 )3



❼ Suprastink




❾ Suprastink

a) 64x6 + 216y6



ndash 52 ndash x






4 kai y lt 0

152


❶Apskaičiuok

a) ( 7 ndash 5 23 + 7 + 503 ) middot 9 b) (3 + 2 5 4


54 + 1



❷Įrodyk teiginį

a) jei x23 + y

23 = a

23 tai x2 + x 4y 23 + y2 + x 2y 43 = a















+ ndash

bf middot xy = gcg

= = =

eec + bcyy = bfbe


153



A 40 B 250 C 225 D 2500


A 2600p B 10400 + p100 C 104p D 5200

100 + 2p








A 545 = 1

54 B 545 = 5

54 C 545 = 31254 D 5

45 = 6255


p ndash 1




x + 4 D 1x + 4



A a = 1 b = 5 B a = 2 b = 3 C a = 1 b = 4 D a = 3 b = 2




A 8 3 cm B 8 3 3 cm C 4

3 cm D 4 3 3 cm


A 56 B 60 C 64 D 112


154











+ 2 ndash x 2 + x





išraišką T(x)




1200 cm2


155












2



101















Pavyzdžiai






PamėginkPamėgink

Aibių veiksmai




Poaibis A sub B

102



empty 3 6 7 8 3 6 3 7 3 8 6 7 6 8 7 8 3 6 7 3 6 8 3 7 8 6 7 8 3 6 7 8


Pavyzdys



PamėginkPamėgink






2 3 5 6 cup 2 4 8 == 2 3 4 5 6 8

2 3 5 6 cap 2 4 8 = 2




[ndash27 7) cap [4 13 9 ) = [4 13 7 )

[ndash27 7) cup [4 13 9 ) = [ndash27 9)





Pavyzdžiai

103




PamėginkPamėgink

Aibių skirtumasA B

B A




2 3 4 5 6 2 4 8 = 3 5 6

2 4 8 2 3 4 5 6 = 8




A B = [ndash27 4 13 )

B A = [7 9)




Pavyzdžiai




PamėginkPamėgink

104








Pavyzdys


Pamėgink











105


4

325 = 2


16625

4 = 25



(25)4

= 16625 todėl 16

6254 = 2

5

Pavyzdys


4


PamėginkPamėgink






①Laipsnius 215 3


215 = 215 = 25

337 = 337

5125 = 554 = 554


3

Sprendimas



3

②Šaknis 37 358 1a7


37 = 317 = 317

358 = 358 = 30625

1a7


Sprendimas



Pavyzdžiai





PamėginkPamėgink

106
















UŽDAVINIAI

107











a) 00016256

4 b) 000864

3 c) 05 d) ndash 116

4


325 h) 04

i) 116

4 j) ndash 11024

5 k) ndash15 l) 000014

m) 0002435 n) 81625

4 o) 011 p) 000164


a) 325 203 5ndash05 (1

3)ndash25 b) 2

17 307 6ndash02 (1

5)ndash15


a) 225 122 473 1

33 b) 357 1

323 77 7

95



13 c) 16

625 000814 d) 00625ndash 34

e) 71932

5 (49)ndash05

f) 10ndash5 3 200 0005 g) ( 127)ndash

13 7293 h) (00016

00625)ndash 34 ( 15625

643 )ndash1

i) (1681)ndash

34 32

15 j) 8ndash

23 27

13 k) (00001

625 )ndash 34 10ndash3 l) 7348

4864 (27

9)ndash 12

m) 1024ndash 1

10 (18)

13 n) 56

1893 o) ( 81

625)ndash 14 0216

13 p) (1

2)ndash5 025

ndash 123

108










čia a b c d 0


2 18 + 2 12 ndash 3 8 + 75 =

= 2 9 ∙ 2 + 2 4 ∙ 3 ndash 3 4 ∙ 2 + + 25 ∙ 3 == 2 3 2 + 2 2 3 ndash 3 2 2 ++ 5 3 =

= 6 2 + 4 3 ndash 6 2 + 5 3 =

= 6 2 ndash 6 2 + 4 3 + 5 3 = = 9 3





Atsakymas 9 3

Pavyzdžiai

IŠMOK

109


(3 2 ndash 3 )(2 5 ndash 1) =



(3 2 ndash 3 )(2 5 ndash 1)




(3 5 ndash 2 3 )2 =

= (3 5 )2 ndash 2 ∙ 3 5 ∙ 2 3 + (2 3 )2 = a2 a b b2

= 9 5 ndash 2 3 2 5 ∙ 3 + 4 3 =

= 45 ndash 12 15 + 12 = 57 ndash 12 15

Sprendimas




Atlik veiksmus

a) 44 + 2 99 + 3 45 ndash 20 b) (2 3 ndash 3 2 )( 2 + 3 )

c) 2592 ndash (6 + 3 2 )2 d) (5 2 ndash 3 ) 2 2 + ( 2 + 3 )2


PamėginkPamėgink



a gt 0 Pavyzdžiui 22 = 4 = 2 52 = 5


( alt 0 )2

gt 0

= | a |

gt 0lt 0lt 0

= ndasha

gt 0lt 0lt 0



Įsimink



110






= a ∙ bb ∙ b

= a bb

čia b gt 0


ax ndash y








Sprendimas




Pavyzdys

Apskaičiuok




Pamėgink



23 = 2 3

3 3 = 2 3

3

Sprendimas


Atsakymas 2 33

Pavyzdžiai

ndash = ∙ ( + )

( ndash ) ∙ ( + )

= ∙ ∙

= ∙

111



21 ndash 3

= 2(1 + 3)(1 ndash 3)(1 + 3) =

= 2(1 + 3)12 ndash ( 3)2 = 2(1 + 3)

1 ndash 3 =

= 2(1 + 3)ndash2

= ndash1 ndash 3

Sprendimas





a n a ne 0



Taisyklė Pavyzdys

a0 = 1 20 = 1


22 = 14 (2

3 )ndash1

= 32





(ab )

n = a n

b n (23 )

ndash4 = 2 ndash4

3 ndash4 = 3 42 4 = 81

16 = 5 116


(ndash 210 )ndash3


=

= (ndash 15 )ndash3

+ (ndash 12 )ndash2

=


Sprendimas




Atsakymas ndash121

Pavyzdžiai


a) 112

b) 23 + 1

c) 3 ndash 2 52 3 + 5


Pamėgink

112


Įsimink

① ( an )n = a

② abn = an bn

③ ab

n = an

bn

④ akn = ank

⑤ ( an )k = akn

⑥ amknk = amn

⑦ amn = amn

Apskaičiuok



Pamėgink


Taisyklė Pavyzdys

( an )n = a ( 33 )3 = 3


abn = an bn 27 643 = 273 643 = 3 4 = 1245 85 = 325 = 2



ab

n = an

bn b ne 0 81625

4 = 814

6254 = 35

645

25 = 642

5 = 325 = 2


akn = ank 53 = 56




( an )k = akn ( 33 )2 = ( )233 = 33

8154 = ( 814 )5 = 35 = 243


amknk = amn a1215 = a3 43 5 = a45


amn = amn

223 = 223


113


Įsimink



(1 ndash 3)24 =

= (1 ndash 3)22 2 = |1 ndash 3| =


Sprendimas



Atsakymas 3 ndash 1

Pavyzdys


3 8 24 = 3 82 middot 24 = 15366

7 193 = 73 middot 193 = 65176

15366 lt 65176

3 8 24 lt 7 193





Pavyzdys


a) ( 315 )15 b) 16 ∙ 000014 c) 64729

6

d) 234 e) ( 33 )2 f) 248

g) ( 33 )3 ndash ( 55 )5 h) 015 ∙ 000015 i) 7295

35

j) 23 + 23 k) ( 243 )4 l) 23 + 226

m) 75881

4 + ( 234 )4

n) 24 ∙ 84 + 6253

53 o) 23

( 43 )2

p) 253

235 r) ( 23 )12 s) 21530 + 248


Pamėgink



Pamėgink

114



2 324 ndash 1624 + 12504 =

= 2 16 24 ndash 81 24 + 625 24 =

= 2 2 24 ndash 3 24 + 5 24 =

= 4 24 ndash 3 24 + 5 24 = 6 24

Sprendimas




Atsakymas 6 24


Taisyklė Pavyzdys

a0 = 1 1250 = 1


12 = (6

5)ndash 12 = (5

6) 12 = 5

6

am an = am + n 2 12 2

12 = 2

12 +

12 = 21 = 2


32 = 3212 ndash 1 = 3202 = 3215 = 325 = 2

(an)m = amn (202)5 = 21 = 2

(ab)n = an bn 216 13 = (8 27)

13 = 8

13 27

13= 2 3 = 6

(ab )

n = a n

b n ( 2566561)0125 = 2560125

65610125 = (28)0125

(38)0125 = 23


Įsimink

① a0 = 1

② andashn = 1a n

③ am an = am + n


⑤ (an)m = amn

⑥ (ab)n = an bn

⑦ (ab )

n = a n

b n b ne 0

❶ Palygink

a) 4 2 33 ir 3 2 3 b) 4 3 33 ir 3 3 34

❷ Suprastink

a) 323 ndash 1083 b) 23 7684 + 484


Pamėgink

115

⓱ Apskaičiuok

a) 8 ∙ 32 b) 3 + 3 + 3 3 c) 18 + 50



m) 3 + 6 2 n) 2( 8 ndash 2) o) (3 ndash 5 7)2


⓲ Apskaičiuok



g) 32 +2 + ∙ 32 +2 ndash ∙ 2 + 3 h) (3 + 2 2)2016 ∙ (3 ndash 2 2)2016



⓴ Apskaičiuok





Apskaičiuok




a) 25

b) 57 5

c) 35 ndash 2

d) 113 5 ndash 2 3

e) 37

f) 72 7

g) 27 ndash 5

h) 102 7 ndash 3 2

UŽDAVINIAI

Atlik veiksmus

a) (13)ndash 02 b) 1613 16ndash105 c) 515

505


32 e) 3 ndash

14 27 ndash

14 f) 605

305

g) ( 149)ndash

12 ndash (1


23 5ndash

32 5ndash

156 i) 2

13(4

13 + 32

13)

j) (12ndash075


12 (3 + 2)

12


Pamėgink

116


Apskaičiuok

a) 27 ndash 5

+ 47 + 5

b) ( 25 ndash 2

+ 45 + 2) ∙ 1

6 5 ndash 4

c) 36 ndash 3

+ 96 + 3

d) ( 27 ndash 2

+ 47 + 2) ∙ 3

6 7 ndash 4

Apskaičiuok

a) 1 + 2

21 ndash 2

2

+ (2 + 2)2

2 b) ( 43 + 5

ndash 32 + 7

+ 114 ndash 5) (9 ndash 7)

c) 21 ndash 4 5 21 + 4 5

ndash 1921 + 4 5

d) ( 127 ndash 1

ndash 85 ndash 1

+ 62 ndash 7) ∙ (2 5 + 4)ndash1

e) 1 + 3

3

1 ndash 33

+ (1 ndash 3)2

2 f) ( 25 ndash 3

+ 63 ndash 3

+ 12 ndash 5) ∙ (2 3 ndash 1)

g) 4 + 2 3 4 ndash 2 3

ndash 12 ndash 3

h) ( 45 ndash 1

ndash 35 ndash 2

+ 605 ndash 5) ∙ ( 5(1 + 2 5))ndash1

Apskaičiuok






3ndash4

Apskaičiuok


53 26


14) ndash2


i) 36 210 57

605




a) 8 ∙ 95 ∙ 4 ∙ 275 b) 2185 2145

2175 c) ( 23 )6 ndash ( 34 )2


j) 9 ∙ 43 ∙ 3 ∙ 163 k) 3174 3244

3214 l) ( 34 )8 ndash ( 24 )2


Apskaičiuok



117


a) 3 2 b) 2 34 c) 04 100004 d) 13 544

e) 5 3 f) 3 23 g) 25 100004 h) 2 25



Suprastink


Apskaičiuok


c) 4 ndash 2 36 1 + 33 43 d) 3( 3 ndash 7 )2

10( 5 + 214 )( 5 ndash 214 )

e) (1 + 2)2 + 44 f) 3 ndash 2 26 2 + 23 326


20( 154 + 2)( 154 ndash 2)


a) 25013

213

b) (313)3

ndash (205)4 c) 3025 27025 ndash 213 4

13 d) 3

13 (32

3 + 1)e) (4025 ndash 405)4 f) (23

2 + 1)2

g) (314 + 3

12) (31

4 ndash 312) h) (51

6 + 514) (51

6 ndash 514)

i) 16214

125013 j) (41

4)8

ndash (405)3 k) 214 8

14 ndash 3

13 9

13 l) (23

4 + 1) 214

m) (805 ndash 3205)2 n) (314 + 1)2

o) (414 + 1) (41

4 ndash 1) p) (1 + 314) (31

4 ndash 1)


a) 8 435 b) 2 4 16 4

3

3 4 c) 777 493 d) 8

274 3

26 312 26

e) 23 484 2ndash33 f) 1253 5255 g) 53 553

023 h) 125 53 54 3 1

515

15

Apskaičiuok


15 3 + 1 + 15 3 b) ( 10) 2 ndash ( 5 ) 2

( 2 ) 2 ndash 1


43 + 0008 ndash

13 d) (2 2 ndash 3 27) (23

2 + 9 3) + ( 1 4096) ndash

12( 4 3)ndash1

e) ((243 93 )14 ndash 3(3 34 )

13) 3 ndash

512 f) 3 + 63 9 ndash 6 26 ndash 33

g) 13 2 + 13 2 + 2

3 middot 13 2 ndash 13 2 h) ( 6 ) 2 + 2 2

( 3 ) 2 + ( 2 ) 2

i) ( 1 27) ndash 13 + 2 00016 ndash

14 + ( 1 81)ndash075 00640 j) 00001ndash

14 + ( 1

125) ndash 43 ndash 81075 1

9 ndash05

k) 84

74 4 ndash 24 4 + 24 l) ((31

2 + 1)2

ndash (4 + 312)33 )

12

ndash 2 cos 30deg

118


5 2 8 6 2 3 5

Tūks

tanč

ių sk

yriu

s

Šim

tų sk

yriu

s

Dešim

čių sk

yriu

s

Vien

etų

skyr

ius

Dešim

tųjų

skyr

ius

Šim

tųjų

skyr

ius

Tūks

tant

ųjų

skyr

ius



743 956 = 7 105 + 4 104 + 3 103 + 9 102 + 5 10 + 6






x4y = 4xy ndash 270 (1)

x4y = 100x + 40 + y

4xy = 400 + 10x + y

100x + 40 + y = 400 + 10x + y ndash 270







Pavyzdžiai


a) 287 b) 987 145 c) xyz d) abcde

Pamėgink

TAIKYK

119


1 x260

x + 2 + 6 + 0 = x + 8


1260 4260 7260

2 y265y + 2 + 6 + 5 = y + 13


2265 5265 8265











PamėginkPamėgink


1 6 = 016666 = 01(6)

1 7 = 0142857142857142 = 0(142857)

120



x = 025656 | 10 1 1

10x = 2565656 (1)

10x = 2565656 | 100 2 2

1000x = 2565656 (2)


x = 256 ndash 21000 ndash 10

x = 254990 = 127

495

32(56) = 3 256 ndash 2103 ndash 101 = 3 127

495 1 3






Išreiškiame x


Atsakymas 32(56) = 3 127495

Pavyzdys

021(8) = 218 ndash 21103 ndash 102 = 197

900 0(4) = 4 ndash 0101 ndash 100 = 4

9 2 3

0123(45) = 12345 ndash 123105 ndash 103 = 679

5500 0(56) = 56 ndash 0102 ndash 100 = 56

99 3 5








a) 0(7) b) 05(7) c) 214(8) d) 03(12)


Pamėgink

Pavyzdžiai

121


x = 025656 | 10 1 1

10x = 2565656 (1)

10x = 2565656 | 100 2 2

1000x = 2565656 (2)


x = 256 ndash 21000 ndash 10

x = 254990 = 127

495

32(56) = 3 256 ndash 2103 ndash 101 = 3 127

495 1 3






Išreiškiame x


Atsakymas 32(56) = 3 127495

Pavyzdys




1 2 000 000 000 = 12 ∙ 1010 10 vietų

0000006 1 = 61 ∙ 10ndash6 6 vietos



Pavyzdys


a + b = 24 1025 + 12 1025 = = 36 1025

a + c = 24 1025 + 5 1024 = = 24 1025 + 05 1025 = 29 1025

a b = (24 1025) (12 1025) = = (24 12) (1025 1025) = 288 1050

b c = 12 1025

5 1024 = 024 101 = 24





Pavyzdys


Pamėgink



Pamėgink

122





KMI = 601682 asymp 60


Pavyzdys

∆x = |x ndash a|






|a| 100







Pamėgink

123










KMI = 601682 asymp 60


Pavyzdys



a) 1 7 = 014 2 857 asymp 014


3 7 = 042 8 571 asymp 043

gt 5

artinys a = 043



Pavyzdys

b) ∆x = |1 7 ndash 014| = |50 ndash 49

350 | =

= | 1350| = 1

350

∆x = 1350 lt 00028 lt 0003

δ = ∆x|a| =

1350

750

= 1350 50

7 = 149

δ = 149 100 asymp 2041 lt 21




UŽDAVINIAI



Pamėgink

124



Įrodyk kad



Pagrįsk teiginius















125




d) 0(32) 0(4) e) 0(493) 07(45) f) 0(285714) 01(3)04(6) 4(9)

g) 2(8) ndash 0(4) h) 1(27) ndash 03(4) i) 0(917) + 03(614)

j) 0(57) 0(6) k) 0(267) 03(12) l) 0(53) 02(9)332(4) + 1(21)

Palygink skaičius

a) 1 6 ir 3


12






d) 0002096 1012

524 e) 08128 1024

254 10ndash14 f) 0027 1021 ndash 631 1017

g) 1890 00105 h) 00045 1017 i) 000007 10ndash16

j) 000010288016 1017 k) 5139645 10ndash13

7895 10ndash34 l) 760 1012 ndash 0003 1015


a) 5 6 h = 01 b) 2

7 h = 000001 c) 3 h = 01 d) 6 h = 001

e) 4 13 h = 001 f) 3

11 h = 0001 g) 11 h = 000001 h) 8 h = 000001


a) 1 9 h = 01 b) 2 h = 001 c) 3

11 h = 001 d) 10 h = 0001

126

1 variantas




6 reikšmė

A 7 6 B 1

6 C 75 D 74




❻ Apskaičiuok

a) (134)ndash 2 b) 7503

63 c) (33

4 9ndash 14)ndash4

d) ( 27 ndash 2 3 + 75) 3

e) 5( 3 ndash 7)2

5 ndash 21 f) ( 00001

81 ) ndash 34 10ndash4 g) ( 160

15

121502) ndash2

h) 23 ( 43 ndash 163 )



3









PASITIKRINK

127





2 variantas



A 4ndash 34 = 4

43 B 4ndash

34 = 1

644 C 4ndash

34 = 1

43 D 4ndash 34 = 1

2563


1417 reikšmė

A 1514 B 1 1

196 C 1415 D 1415





❻ Apskaičiuok


14 b) 2 8

16 8

4

3

3 88 c)

8113 + 3

73

33 + 813 + 21873

d) 53 + 2a 43 + 2a

202a + 2 e) 31 ndash 2 5 9 5 f) 17 ndash 338 33 + 178

❼ Suprastink

a) ( 182 ndash 13

ndash 2011 ndash 1

+ 2413 ndash 1) ( 1

2 + 11 )ndash1 b) (3 ndash 7)

12(3 + 7)

12

c) 1 + 3 + 32 + 33 + 34 + + 315







128









m4 + 3m3 + 23 (p ndash 4)(p ndash 12)

27 53



narys narys narys

trinaris




m + 2



7 ndash p + 3


racionalieji

iracionalieji


SUSIPAŽINK

129












Įsimink



② ne 0

③ 2n 0

④ 2n gt 0

⑤mn gt 0



Pavyzdžiai


1) (2 ndash x2)(2 + x2)x ndash 5 2) 2

5x 2 ndash 37x + 4

3) 23 x 2 ndash 5x ndash 813 4) 7

c ndash 2

c + 1 + c + 2

33

5) 2x2 ndash 5x ndash 325 6) (3 + x)(12 + x)

(x ndash 5)x

7) y3

3 + 3y23 8) 3y2 + 2

y2 + 5y ndash 6


Pamėgink

130



x(x ndash 4) ne 0







x 25x ne ndash1









x ne ndash3


(x + 7)(x ndash 7) lt 0








Pavyzdžiai


a) 03x ndash 1 3 b) 2

7x3 + 1 9x2 + 0(4)x ndash 12

c) 2 + 4x x + 3 d) 2 + 4x

x2 ndash 25

Pamėgink

131



3 c) 3 x ndash 36



12 ndash 2x g) x


x2 ndash 1









e) x13 ndash 1 f) 1



2x2 ndash 50



m) 2x + x25 n) x + 2

3 5 o) 2x + 1

x2 ndash 9 p) 12x + x + 4




a + 3 d) 4x


e) (3x ndash 1)ndash134 f) 5x + 40 3

1 ndash x2 g) 4




2 ndash a l) 35k + 21 6

2k + 34


1 ndash p2 n) 2x + 10


x + 5 p) 4 ndash 12x2 + 4 5x + 403

UŽDAVINIAI



b) x + 24

3 ndash x6



x2 ndash 1


Pamėgink

132











23 + xndash

13)

x 13 (x

23 + xndash

13) = x

13 x

23 + x

13 xndash

13 =

= x 13 +

23 + x

13 ndash

13 = x

33 + x0 = x + 1



Atsakymas x + 1









Pavyzdžiai

IŠMOK

133




a) x43 = x3 x3 = x x3

b) x94 = x4 x4 x4 = x2 x4

x94 = x 94 = x2

14 = x2 x4

c) x6y6 = x6 y6 = x y6





Pavyzdys



Įsiminka2n2n = |a|



(x ndash 4)44 + (x ndash 2)33 =




Pavyzdžiai


a) ( x 14 ndash 1 )( x



Pamėgink




Pamėgink

134









a) x y3 = x3y3

b) a b4 = a4b4










Pavyzdžiai

Suprastink



Pamėgink


a) a3 a4 (a gt 0) b) ab2 a3 (a b gt 0)


Pamėgink

135



Įsimink





= ndash x7y 46




Pavyzdys




① (a + b)2 = a2 + 2ab + b2



④ (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3


⑥ a3 + b3 = (a + b)(a2 ndash ab + b2)





Pamėgink


136



(2x + 3)3 = a b



Sprendimas


Atsakymas 8x3 + 36x2 + 54x + 27


( 2 ndash 2 3 )3 = a b



Sprendimas



Pavyzdžiai


8x6 + 60x4y + 150x2y2 + 125y3 =

= (2x2)3 + 3 (2x2)2 (5y) + 3 (2x2) (5y)2 + (5y)3 = a3 a2 b a b2 b3

= (2x2 + 5y)3




Pavyzdys


a) (m ndash 5n)3 b) (2x + 2)3c) ( 3 + 2)3 d) (2 2 + 2)3

Pamėgink




52


Pamėgink

137
















Pavyzdys








Pavyzdys




Pamėgink

138







a) 8x6 ndash a3b9 = (2x2)3 (ab3)3

= (2x2)3 ndash (ab3)3 = a3 b3


= (2x2 ndash ab3)(4x4 + 2x2ab3 + a2b6)






= ( x3 ndash y3 )( x23 + xy3 + y23 )








Taikome 7 formulę

Pavyzdys







Pamėgink



Pamėgink

139



x1 = 1 ndash 81 20 = ndash 2 5 x2 = 1 + 81

20 = 1 2


5) =

= 2 5(x ndash 1 2)(x + 2

5) =

= (2x ndash 1)(5x + 2)





Pavyzdys

Grupavimo būdas









Pavyzdys


= (x + y)(a + b)




++



Pamėgink




Pamėgink

140



6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys




ab + c

d = ad + bcbd

ab ndash c

d = ad ndash bcbd



x + y


Pamėgink

Suprastink




2x ndash 10


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys

3

141


6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys





ab middot c


ab c

d = ab middot d




x ndash y


x2 + y2

x ndash y =


x ndash yx2 + y2 =


x2 + y2 =


= x + y

Sprendimas


Pavyzdžiai

Suprastink

a) 1x x + x

+ xx + 1

b) 6 xx ndash 3

ndash 3x + 3


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys



x ndash yx + y


=


( x + y )( x ndash y ) =



x ndash y

Sprendimas




Pavyzdys

x ndash y x + y

142


UŽDAVINIAI




Suprastink

a) x12 middot x

14 b) (x4

5)3

c) (x23 middot x

15)15

d) x13

xndash 23

e) (x23)

34


n3)6n

h) (b2n bndash075n

bndash05n )ndash4n

i) y 13 middot y

23 j) (x2)

13 k) y

25


27)35

m) (y27)175


n2 o) (x

n4 middot x

n8)8

p) (xndash 56 n x3n

x 43 n )ndash6n




a) ( 3x + 1 ndash 4



Pamėgink


1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









2(1 + 3x) 1 ndash 3x2

143

Suprastink




a) 4 x 3 z 2y 6 4 y ndash2


a 3 b 5a 5

d) 5 a 5 c 2b 2 5 b ndash3


y 4 y 3x 6




a) 12x3y 3x2y b) 16x2y3 3x2y3 c) 144x 5y 124


12y23

e) 63x 5y 3 28x2y f) 8x2y5 4x 3y 45 g) 250xy 74

18x17y24 h) 3x 6y 83

ndash81y23









3b)3 h) (2 2 ndash 3 3)3

i) (3x ndash 4)3 j) (5x + 2)3 k) ( x3 + 1)3 l) ( x6 + x3 )3


p) (x 2 ndash 2)3



1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









144




14 ndash x

14y

34 g) n n + n h) x

34 ndash x



13 ndash x

13y




12 d) xn ndash yn




32 h) y + x 34




a) x + 3x + 4 b) x 3

x 4 c) (x + 2) 3(x + 2) + x d) (x + 2) ndash (x + 3)

(x + 2) + (x + 3)


x + 2 g) x + 1(x + 1)2 h) x 3 + 4

x 4 + 3

i) 6 xx 5 j) x + 1


b x + a



x ndash 5








b ndash a








a) ab ndash b2

2b b) x2 ndash y2





2x ndash 5y








a) x x ndash x


c) a ndash 1a + 1


e) x x + xx


g) x 6 ndash y 6



a) xy + y


x2 + 2x + 1 c) 3x + 1 + x + 5


d) 3x2 + 9x + 14 + 5

2x2 + 15x + 7 e) x ndash x2



x ndash 2

g) 2x2




x3 + 2x + 2x2 + 4 + 1x2 + 2

145

j) 1x(x + 1) + 1

x + 1 k) 6x2 ndash 9 + 9

x2 ndash 6x + 9 l) 4x + 2 + x + 6


m) 6x2 + 11x + 24 + 4








x ndash 3

Suprastink

a) x x ndash 2

ndash 2x + 2

b) 3


a ndash 9 c) x 12

x05 + 1 ndash 1

x05 ndash 1 d) 2

x + 2 + x

x ndash 2 ndash 4 x

x ndash 4

e) 11 + x

ndash 11 ndash x

f) 1a4 ndash 1

+ 1a4 + 1

g) 3

x 12 + 3 ndash x05

x05 ndash 3 h) x

81 ndash x ndash 9

x + 9 + x

x ndash 9

Suprastink

a) 16x2y5










3x j) x + 3x2 + 6x x2 ndash 9


x






3x + 4

e) 5 ndash 2

x ndash 3

4 ndash 1x ndash 3









1 + 3x

1 ndash 6x

m) 3 + 2

x + 4

5 ndash 1x + 4



2x + 2 ndash 1) 6x ndash 6 x + 1 p) ( 1

x ndash 1 ndash x + 1x2 + x + 1) (1 + 1

x3 ndash 1)





y ndash x ndash2








a13 + b



x + 1 + 1 ndash x )


16) xy 46 e) ( 1


x13 ndash 1

+ x13) middot x

13 ndash 1

x23 ndash 1

g) y ndash x

x23 + (xy)13 + y

23 + x

23 ndash y23

x3 ndash y13

h) x13y

13 x

13 y ndash y

13 x



y ndash z )ndash1

j) (x15 + x25

1 + x + 1) 1 ndash x3



ndash b a a + b

+ 3ab ndash b2

a ndash b

m) a + ba ndash b

ndash a + ab a + b

n) a + 1a a + a + a

1a2 ndash a




x05 ndash 1 r) ( 2 + x14


14


x34 s) 1x3 + y3 ndash x3 + y3

x23 ndash (xy)

13 + y

23




ndash 13


x + 1x x ndash 1

+ 2 x

146










6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai

TAIKYK

147




6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai







Sprendimas






2b + 1 ndash 6ab




PamėginkPamėgink





sin2 α

|v| = 2ghsin2 α

v = 2ghsin2 α


Išreiškiame v2




lg = T

2π

lg = ( T

2π )2

lg = T2

4π2gl = 4π2

T2

g = 4π2 middot lT2






Pavyzdžiai

148




p



f = 1F



c

1 + vc


R



P + ET


ndash 1)( 1R1

ndash 1R2)




y


12 = mgh2 + mv2

22


2



y + 24


n21 ndash 1

n22)








PamėginkPamėgink

UŽDAVINIAI

149












150

1 variantas


A 215a + b B 215 + a ndash b


b



A x = 3 B x = 0 C x = ndash3 D x = 9





a) x ndash 32 7 + 4


12 d) 3x ndash 27

x2 ndash 1






a) 32x 94 b) 81x7y 63 c) x 12y 345 d) x 17y 246






PASITIKRINK

151








a middot 5 + 9


⓭ Suprastink


m2 + n2 m2 ndash n2

4mn c) xx + 4 + 4


2 variantas


b2 =

A 140 B 142 C 145 D 146


A 00625 B 0 C 0125 D 025





15x3

c) 04x ndash 10x2 + 145 d) ( 205

10 ndash 5a)ndash18

❺ Pakelk kubu

a) (2 + 2 )3 b) (2 3 + 3 )3 c) (x 2 ndash y3 2 )3



❼ Suprastink




❾ Suprastink

a) 64x6 + 216y6



ndash 52 ndash x






4 kai y lt 0

152


❶Apskaičiuok

a) ( 7 ndash 5 23 + 7 + 503 ) middot 9 b) (3 + 2 5 4


54 + 1



❷Įrodyk teiginį

a) jei x23 + y

23 = a

23 tai x2 + x 4y 23 + y2 + x 2y 43 = a















+ ndash

bf middot xy = gcg

= = =

eec + bcyy = bfbe


153



A 40 B 250 C 225 D 2500


A 2600p B 10400 + p100 C 104p D 5200

100 + 2p








A 545 = 1

54 B 545 = 5

54 C 545 = 31254 D 5

45 = 6255


p ndash 1




x + 4 D 1x + 4



A a = 1 b = 5 B a = 2 b = 3 C a = 1 b = 4 D a = 3 b = 2




A 8 3 cm B 8 3 3 cm C 4

3 cm D 4 3 3 cm


A 56 B 60 C 64 D 112


154











+ 2 ndash x 2 + x





išraišką T(x)




1200 cm2


155












2



102



empty 3 6 7 8 3 6 3 7 3 8 6 7 6 8 7 8 3 6 7 3 6 8 3 7 8 6 7 8 3 6 7 8


Pavyzdys



PamėginkPamėgink






2 3 5 6 cup 2 4 8 == 2 3 4 5 6 8

2 3 5 6 cap 2 4 8 = 2




[ndash27 7) cap [4 13 9 ) = [4 13 7 )

[ndash27 7) cup [4 13 9 ) = [ndash27 9)





Pavyzdžiai

103




PamėginkPamėgink

Aibių skirtumasA B

B A




2 3 4 5 6 2 4 8 = 3 5 6

2 4 8 2 3 4 5 6 = 8




A B = [ndash27 4 13 )

B A = [7 9)




Pavyzdžiai




PamėginkPamėgink

104








Pavyzdys


Pamėgink











105


4

325 = 2


16625

4 = 25



(25)4

= 16625 todėl 16

6254 = 2

5

Pavyzdys


4


PamėginkPamėgink






①Laipsnius 215 3


215 = 215 = 25

337 = 337

5125 = 554 = 554


3

Sprendimas



3

②Šaknis 37 358 1a7


37 = 317 = 317

358 = 358 = 30625

1a7


Sprendimas



Pavyzdžiai





PamėginkPamėgink

106
















UŽDAVINIAI

107











a) 00016256

4 b) 000864

3 c) 05 d) ndash 116

4


325 h) 04

i) 116

4 j) ndash 11024

5 k) ndash15 l) 000014

m) 0002435 n) 81625

4 o) 011 p) 000164


a) 325 203 5ndash05 (1

3)ndash25 b) 2

17 307 6ndash02 (1

5)ndash15


a) 225 122 473 1

33 b) 357 1

323 77 7

95



13 c) 16

625 000814 d) 00625ndash 34

e) 71932

5 (49)ndash05

f) 10ndash5 3 200 0005 g) ( 127)ndash

13 7293 h) (00016

00625)ndash 34 ( 15625

643 )ndash1

i) (1681)ndash

34 32

15 j) 8ndash

23 27

13 k) (00001

625 )ndash 34 10ndash3 l) 7348

4864 (27

9)ndash 12

m) 1024ndash 1

10 (18)

13 n) 56

1893 o) ( 81

625)ndash 14 0216

13 p) (1

2)ndash5 025

ndash 123

108










čia a b c d 0


2 18 + 2 12 ndash 3 8 + 75 =

= 2 9 ∙ 2 + 2 4 ∙ 3 ndash 3 4 ∙ 2 + + 25 ∙ 3 == 2 3 2 + 2 2 3 ndash 3 2 2 ++ 5 3 =

= 6 2 + 4 3 ndash 6 2 + 5 3 =

= 6 2 ndash 6 2 + 4 3 + 5 3 = = 9 3





Atsakymas 9 3

Pavyzdžiai

IŠMOK

109


(3 2 ndash 3 )(2 5 ndash 1) =



(3 2 ndash 3 )(2 5 ndash 1)




(3 5 ndash 2 3 )2 =

= (3 5 )2 ndash 2 ∙ 3 5 ∙ 2 3 + (2 3 )2 = a2 a b b2

= 9 5 ndash 2 3 2 5 ∙ 3 + 4 3 =

= 45 ndash 12 15 + 12 = 57 ndash 12 15

Sprendimas




Atlik veiksmus

a) 44 + 2 99 + 3 45 ndash 20 b) (2 3 ndash 3 2 )( 2 + 3 )

c) 2592 ndash (6 + 3 2 )2 d) (5 2 ndash 3 ) 2 2 + ( 2 + 3 )2


PamėginkPamėgink



a gt 0 Pavyzdžiui 22 = 4 = 2 52 = 5


( alt 0 )2

gt 0

= | a |

gt 0lt 0lt 0

= ndasha

gt 0lt 0lt 0



Įsimink



110






= a ∙ bb ∙ b

= a bb

čia b gt 0


ax ndash y








Sprendimas




Pavyzdys

Apskaičiuok




Pamėgink



23 = 2 3

3 3 = 2 3

3

Sprendimas


Atsakymas 2 33

Pavyzdžiai

ndash = ∙ ( + )

( ndash ) ∙ ( + )

= ∙ ∙

= ∙

111



21 ndash 3

= 2(1 + 3)(1 ndash 3)(1 + 3) =

= 2(1 + 3)12 ndash ( 3)2 = 2(1 + 3)

1 ndash 3 =

= 2(1 + 3)ndash2

= ndash1 ndash 3

Sprendimas





a n a ne 0



Taisyklė Pavyzdys

a0 = 1 20 = 1


22 = 14 (2

3 )ndash1

= 32





(ab )

n = a n

b n (23 )

ndash4 = 2 ndash4

3 ndash4 = 3 42 4 = 81

16 = 5 116


(ndash 210 )ndash3


=

= (ndash 15 )ndash3

+ (ndash 12 )ndash2

=


Sprendimas




Atsakymas ndash121

Pavyzdžiai


a) 112

b) 23 + 1

c) 3 ndash 2 52 3 + 5


Pamėgink

112


Įsimink

① ( an )n = a

② abn = an bn

③ ab

n = an

bn

④ akn = ank

⑤ ( an )k = akn

⑥ amknk = amn

⑦ amn = amn

Apskaičiuok



Pamėgink


Taisyklė Pavyzdys

( an )n = a ( 33 )3 = 3


abn = an bn 27 643 = 273 643 = 3 4 = 1245 85 = 325 = 2



ab

n = an

bn b ne 0 81625

4 = 814

6254 = 35

645

25 = 642

5 = 325 = 2


akn = ank 53 = 56




( an )k = akn ( 33 )2 = ( )233 = 33

8154 = ( 814 )5 = 35 = 243


amknk = amn a1215 = a3 43 5 = a45


amn = amn

223 = 223


113


Įsimink



(1 ndash 3)24 =

= (1 ndash 3)22 2 = |1 ndash 3| =


Sprendimas



Atsakymas 3 ndash 1

Pavyzdys


3 8 24 = 3 82 middot 24 = 15366

7 193 = 73 middot 193 = 65176

15366 lt 65176

3 8 24 lt 7 193





Pavyzdys


a) ( 315 )15 b) 16 ∙ 000014 c) 64729

6

d) 234 e) ( 33 )2 f) 248

g) ( 33 )3 ndash ( 55 )5 h) 015 ∙ 000015 i) 7295

35

j) 23 + 23 k) ( 243 )4 l) 23 + 226

m) 75881

4 + ( 234 )4

n) 24 ∙ 84 + 6253

53 o) 23

( 43 )2

p) 253

235 r) ( 23 )12 s) 21530 + 248


Pamėgink



Pamėgink

114



2 324 ndash 1624 + 12504 =

= 2 16 24 ndash 81 24 + 625 24 =

= 2 2 24 ndash 3 24 + 5 24 =

= 4 24 ndash 3 24 + 5 24 = 6 24

Sprendimas




Atsakymas 6 24


Taisyklė Pavyzdys

a0 = 1 1250 = 1


12 = (6

5)ndash 12 = (5

6) 12 = 5

6

am an = am + n 2 12 2

12 = 2

12 +

12 = 21 = 2


32 = 3212 ndash 1 = 3202 = 3215 = 325 = 2

(an)m = amn (202)5 = 21 = 2

(ab)n = an bn 216 13 = (8 27)

13 = 8

13 27

13= 2 3 = 6

(ab )

n = a n

b n ( 2566561)0125 = 2560125

65610125 = (28)0125

(38)0125 = 23


Įsimink

① a0 = 1

② andashn = 1a n

③ am an = am + n


⑤ (an)m = amn

⑥ (ab)n = an bn

⑦ (ab )

n = a n

b n b ne 0

❶ Palygink

a) 4 2 33 ir 3 2 3 b) 4 3 33 ir 3 3 34

❷ Suprastink

a) 323 ndash 1083 b) 23 7684 + 484


Pamėgink

115

⓱ Apskaičiuok

a) 8 ∙ 32 b) 3 + 3 + 3 3 c) 18 + 50



m) 3 + 6 2 n) 2( 8 ndash 2) o) (3 ndash 5 7)2


⓲ Apskaičiuok



g) 32 +2 + ∙ 32 +2 ndash ∙ 2 + 3 h) (3 + 2 2)2016 ∙ (3 ndash 2 2)2016



⓴ Apskaičiuok





Apskaičiuok




a) 25

b) 57 5

c) 35 ndash 2

d) 113 5 ndash 2 3

e) 37

f) 72 7

g) 27 ndash 5

h) 102 7 ndash 3 2

UŽDAVINIAI

Atlik veiksmus

a) (13)ndash 02 b) 1613 16ndash105 c) 515

505


32 e) 3 ndash

14 27 ndash

14 f) 605

305

g) ( 149)ndash

12 ndash (1


23 5ndash

32 5ndash

156 i) 2

13(4

13 + 32

13)

j) (12ndash075


12 (3 + 2)

12


Pamėgink

116


Apskaičiuok

a) 27 ndash 5

+ 47 + 5

b) ( 25 ndash 2

+ 45 + 2) ∙ 1

6 5 ndash 4

c) 36 ndash 3

+ 96 + 3

d) ( 27 ndash 2

+ 47 + 2) ∙ 3

6 7 ndash 4

Apskaičiuok

a) 1 + 2

21 ndash 2

2

+ (2 + 2)2

2 b) ( 43 + 5

ndash 32 + 7

+ 114 ndash 5) (9 ndash 7)

c) 21 ndash 4 5 21 + 4 5

ndash 1921 + 4 5

d) ( 127 ndash 1

ndash 85 ndash 1

+ 62 ndash 7) ∙ (2 5 + 4)ndash1

e) 1 + 3

3

1 ndash 33

+ (1 ndash 3)2

2 f) ( 25 ndash 3

+ 63 ndash 3

+ 12 ndash 5) ∙ (2 3 ndash 1)

g) 4 + 2 3 4 ndash 2 3

ndash 12 ndash 3

h) ( 45 ndash 1

ndash 35 ndash 2

+ 605 ndash 5) ∙ ( 5(1 + 2 5))ndash1

Apskaičiuok






3ndash4

Apskaičiuok


53 26


14) ndash2


i) 36 210 57

605




a) 8 ∙ 95 ∙ 4 ∙ 275 b) 2185 2145

2175 c) ( 23 )6 ndash ( 34 )2


j) 9 ∙ 43 ∙ 3 ∙ 163 k) 3174 3244

3214 l) ( 34 )8 ndash ( 24 )2


Apskaičiuok



117


a) 3 2 b) 2 34 c) 04 100004 d) 13 544

e) 5 3 f) 3 23 g) 25 100004 h) 2 25



Suprastink


Apskaičiuok


c) 4 ndash 2 36 1 + 33 43 d) 3( 3 ndash 7 )2

10( 5 + 214 )( 5 ndash 214 )

e) (1 + 2)2 + 44 f) 3 ndash 2 26 2 + 23 326


20( 154 + 2)( 154 ndash 2)


a) 25013

213

b) (313)3

ndash (205)4 c) 3025 27025 ndash 213 4

13 d) 3

13 (32

3 + 1)e) (4025 ndash 405)4 f) (23

2 + 1)2

g) (314 + 3

12) (31

4 ndash 312) h) (51

6 + 514) (51

6 ndash 514)

i) 16214

125013 j) (41

4)8

ndash (405)3 k) 214 8

14 ndash 3

13 9

13 l) (23

4 + 1) 214

m) (805 ndash 3205)2 n) (314 + 1)2

o) (414 + 1) (41

4 ndash 1) p) (1 + 314) (31

4 ndash 1)


a) 8 435 b) 2 4 16 4

3

3 4 c) 777 493 d) 8

274 3

26 312 26

e) 23 484 2ndash33 f) 1253 5255 g) 53 553

023 h) 125 53 54 3 1

515

15

Apskaičiuok


15 3 + 1 + 15 3 b) ( 10) 2 ndash ( 5 ) 2

( 2 ) 2 ndash 1


43 + 0008 ndash

13 d) (2 2 ndash 3 27) (23

2 + 9 3) + ( 1 4096) ndash

12( 4 3)ndash1

e) ((243 93 )14 ndash 3(3 34 )

13) 3 ndash

512 f) 3 + 63 9 ndash 6 26 ndash 33

g) 13 2 + 13 2 + 2

3 middot 13 2 ndash 13 2 h) ( 6 ) 2 + 2 2

( 3 ) 2 + ( 2 ) 2

i) ( 1 27) ndash 13 + 2 00016 ndash

14 + ( 1 81)ndash075 00640 j) 00001ndash

14 + ( 1

125) ndash 43 ndash 81075 1

9 ndash05

k) 84

74 4 ndash 24 4 + 24 l) ((31

2 + 1)2

ndash (4 + 312)33 )

12

ndash 2 cos 30deg

118


5 2 8 6 2 3 5

Tūks

tanč

ių sk

yriu

s

Šim

tų sk

yriu

s

Dešim

čių sk

yriu

s

Vien

etų

skyr

ius

Dešim

tųjų

skyr

ius

Šim

tųjų

skyr

ius

Tūks

tant

ųjų

skyr

ius



743 956 = 7 105 + 4 104 + 3 103 + 9 102 + 5 10 + 6






x4y = 4xy ndash 270 (1)

x4y = 100x + 40 + y

4xy = 400 + 10x + y

100x + 40 + y = 400 + 10x + y ndash 270







Pavyzdžiai


a) 287 b) 987 145 c) xyz d) abcde

Pamėgink

TAIKYK

119


1 x260

x + 2 + 6 + 0 = x + 8


1260 4260 7260

2 y265y + 2 + 6 + 5 = y + 13


2265 5265 8265











PamėginkPamėgink


1 6 = 016666 = 01(6)

1 7 = 0142857142857142 = 0(142857)

120



x = 025656 | 10 1 1

10x = 2565656 (1)

10x = 2565656 | 100 2 2

1000x = 2565656 (2)


x = 256 ndash 21000 ndash 10

x = 254990 = 127

495

32(56) = 3 256 ndash 2103 ndash 101 = 3 127

495 1 3






Išreiškiame x


Atsakymas 32(56) = 3 127495

Pavyzdys

021(8) = 218 ndash 21103 ndash 102 = 197

900 0(4) = 4 ndash 0101 ndash 100 = 4

9 2 3

0123(45) = 12345 ndash 123105 ndash 103 = 679

5500 0(56) = 56 ndash 0102 ndash 100 = 56

99 3 5








a) 0(7) b) 05(7) c) 214(8) d) 03(12)


Pamėgink

Pavyzdžiai

121


x = 025656 | 10 1 1

10x = 2565656 (1)

10x = 2565656 | 100 2 2

1000x = 2565656 (2)


x = 256 ndash 21000 ndash 10

x = 254990 = 127

495

32(56) = 3 256 ndash 2103 ndash 101 = 3 127

495 1 3






Išreiškiame x


Atsakymas 32(56) = 3 127495

Pavyzdys




1 2 000 000 000 = 12 ∙ 1010 10 vietų

0000006 1 = 61 ∙ 10ndash6 6 vietos



Pavyzdys


a + b = 24 1025 + 12 1025 = = 36 1025

a + c = 24 1025 + 5 1024 = = 24 1025 + 05 1025 = 29 1025

a b = (24 1025) (12 1025) = = (24 12) (1025 1025) = 288 1050

b c = 12 1025

5 1024 = 024 101 = 24





Pavyzdys


Pamėgink



Pamėgink

122





KMI = 601682 asymp 60


Pavyzdys

∆x = |x ndash a|






|a| 100







Pamėgink

123










KMI = 601682 asymp 60


Pavyzdys



a) 1 7 = 014 2 857 asymp 014


3 7 = 042 8 571 asymp 043

gt 5

artinys a = 043



Pavyzdys

b) ∆x = |1 7 ndash 014| = |50 ndash 49

350 | =

= | 1350| = 1

350

∆x = 1350 lt 00028 lt 0003

δ = ∆x|a| =

1350

750

= 1350 50

7 = 149

δ = 149 100 asymp 2041 lt 21




UŽDAVINIAI



Pamėgink

124



Įrodyk kad



Pagrįsk teiginius















125




d) 0(32) 0(4) e) 0(493) 07(45) f) 0(285714) 01(3)04(6) 4(9)

g) 2(8) ndash 0(4) h) 1(27) ndash 03(4) i) 0(917) + 03(614)

j) 0(57) 0(6) k) 0(267) 03(12) l) 0(53) 02(9)332(4) + 1(21)

Palygink skaičius

a) 1 6 ir 3


12






d) 0002096 1012

524 e) 08128 1024

254 10ndash14 f) 0027 1021 ndash 631 1017

g) 1890 00105 h) 00045 1017 i) 000007 10ndash16

j) 000010288016 1017 k) 5139645 10ndash13

7895 10ndash34 l) 760 1012 ndash 0003 1015


a) 5 6 h = 01 b) 2

7 h = 000001 c) 3 h = 01 d) 6 h = 001

e) 4 13 h = 001 f) 3

11 h = 0001 g) 11 h = 000001 h) 8 h = 000001


a) 1 9 h = 01 b) 2 h = 001 c) 3

11 h = 001 d) 10 h = 0001

126

1 variantas




6 reikšmė

A 7 6 B 1

6 C 75 D 74




❻ Apskaičiuok

a) (134)ndash 2 b) 7503

63 c) (33

4 9ndash 14)ndash4

d) ( 27 ndash 2 3 + 75) 3

e) 5( 3 ndash 7)2

5 ndash 21 f) ( 00001

81 ) ndash 34 10ndash4 g) ( 160

15

121502) ndash2

h) 23 ( 43 ndash 163 )



3









PASITIKRINK

127





2 variantas



A 4ndash 34 = 4

43 B 4ndash

34 = 1

644 C 4ndash

34 = 1

43 D 4ndash 34 = 1

2563


1417 reikšmė

A 1514 B 1 1

196 C 1415 D 1415





❻ Apskaičiuok


14 b) 2 8

16 8

4

3

3 88 c)

8113 + 3

73

33 + 813 + 21873

d) 53 + 2a 43 + 2a

202a + 2 e) 31 ndash 2 5 9 5 f) 17 ndash 338 33 + 178

❼ Suprastink

a) ( 182 ndash 13

ndash 2011 ndash 1

+ 2413 ndash 1) ( 1

2 + 11 )ndash1 b) (3 ndash 7)

12(3 + 7)

12

c) 1 + 3 + 32 + 33 + 34 + + 315







128









m4 + 3m3 + 23 (p ndash 4)(p ndash 12)

27 53



narys narys narys

trinaris




m + 2



7 ndash p + 3


racionalieji

iracionalieji


SUSIPAŽINK

129












Įsimink



② ne 0

③ 2n 0

④ 2n gt 0

⑤mn gt 0



Pavyzdžiai


1) (2 ndash x2)(2 + x2)x ndash 5 2) 2

5x 2 ndash 37x + 4

3) 23 x 2 ndash 5x ndash 813 4) 7

c ndash 2

c + 1 + c + 2

33

5) 2x2 ndash 5x ndash 325 6) (3 + x)(12 + x)

(x ndash 5)x

7) y3

3 + 3y23 8) 3y2 + 2

y2 + 5y ndash 6


Pamėgink

130



x(x ndash 4) ne 0







x 25x ne ndash1









x ne ndash3


(x + 7)(x ndash 7) lt 0








Pavyzdžiai


a) 03x ndash 1 3 b) 2

7x3 + 1 9x2 + 0(4)x ndash 12

c) 2 + 4x x + 3 d) 2 + 4x

x2 ndash 25

Pamėgink

131



3 c) 3 x ndash 36



12 ndash 2x g) x


x2 ndash 1









e) x13 ndash 1 f) 1



2x2 ndash 50



m) 2x + x25 n) x + 2

3 5 o) 2x + 1

x2 ndash 9 p) 12x + x + 4




a + 3 d) 4x


e) (3x ndash 1)ndash134 f) 5x + 40 3

1 ndash x2 g) 4




2 ndash a l) 35k + 21 6

2k + 34


1 ndash p2 n) 2x + 10


x + 5 p) 4 ndash 12x2 + 4 5x + 403

UŽDAVINIAI



b) x + 24

3 ndash x6



x2 ndash 1


Pamėgink

132











23 + xndash

13)

x 13 (x

23 + xndash

13) = x

13 x

23 + x

13 xndash

13 =

= x 13 +

23 + x

13 ndash

13 = x

33 + x0 = x + 1



Atsakymas x + 1









Pavyzdžiai

IŠMOK

133




a) x43 = x3 x3 = x x3

b) x94 = x4 x4 x4 = x2 x4

x94 = x 94 = x2

14 = x2 x4

c) x6y6 = x6 y6 = x y6





Pavyzdys



Įsiminka2n2n = |a|



(x ndash 4)44 + (x ndash 2)33 =




Pavyzdžiai


a) ( x 14 ndash 1 )( x



Pamėgink




Pamėgink

134









a) x y3 = x3y3

b) a b4 = a4b4










Pavyzdžiai

Suprastink



Pamėgink


a) a3 a4 (a gt 0) b) ab2 a3 (a b gt 0)


Pamėgink

135



Įsimink





= ndash x7y 46




Pavyzdys




① (a + b)2 = a2 + 2ab + b2



④ (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3


⑥ a3 + b3 = (a + b)(a2 ndash ab + b2)





Pamėgink


136



(2x + 3)3 = a b



Sprendimas


Atsakymas 8x3 + 36x2 + 54x + 27


( 2 ndash 2 3 )3 = a b



Sprendimas



Pavyzdžiai


8x6 + 60x4y + 150x2y2 + 125y3 =

= (2x2)3 + 3 (2x2)2 (5y) + 3 (2x2) (5y)2 + (5y)3 = a3 a2 b a b2 b3

= (2x2 + 5y)3




Pavyzdys


a) (m ndash 5n)3 b) (2x + 2)3c) ( 3 + 2)3 d) (2 2 + 2)3

Pamėgink




52


Pamėgink

137
















Pavyzdys








Pavyzdys




Pamėgink

138







a) 8x6 ndash a3b9 = (2x2)3 (ab3)3

= (2x2)3 ndash (ab3)3 = a3 b3


= (2x2 ndash ab3)(4x4 + 2x2ab3 + a2b6)






= ( x3 ndash y3 )( x23 + xy3 + y23 )








Taikome 7 formulę

Pavyzdys







Pamėgink



Pamėgink

139



x1 = 1 ndash 81 20 = ndash 2 5 x2 = 1 + 81

20 = 1 2


5) =

= 2 5(x ndash 1 2)(x + 2

5) =

= (2x ndash 1)(5x + 2)





Pavyzdys

Grupavimo būdas









Pavyzdys


= (x + y)(a + b)




++



Pamėgink




Pamėgink

140



6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys




ab + c

d = ad + bcbd

ab ndash c

d = ad ndash bcbd



x + y


Pamėgink

Suprastink




2x ndash 10


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys

3

141


6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys





ab middot c


ab c

d = ab middot d




x ndash y


x2 + y2

x ndash y =


x ndash yx2 + y2 =


x2 + y2 =


= x + y

Sprendimas


Pavyzdžiai

Suprastink

a) 1x x + x

+ xx + 1

b) 6 xx ndash 3

ndash 3x + 3


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys



x ndash yx + y


=


( x + y )( x ndash y ) =



x ndash y

Sprendimas




Pavyzdys

x ndash y x + y

142


UŽDAVINIAI




Suprastink

a) x12 middot x

14 b) (x4

5)3

c) (x23 middot x

15)15

d) x13

xndash 23

e) (x23)

34


n3)6n

h) (b2n bndash075n

bndash05n )ndash4n

i) y 13 middot y

23 j) (x2)

13 k) y

25


27)35

m) (y27)175


n2 o) (x

n4 middot x

n8)8

p) (xndash 56 n x3n

x 43 n )ndash6n




a) ( 3x + 1 ndash 4



Pamėgink


1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









2(1 + 3x) 1 ndash 3x2

143

Suprastink




a) 4 x 3 z 2y 6 4 y ndash2


a 3 b 5a 5

d) 5 a 5 c 2b 2 5 b ndash3


y 4 y 3x 6




a) 12x3y 3x2y b) 16x2y3 3x2y3 c) 144x 5y 124


12y23

e) 63x 5y 3 28x2y f) 8x2y5 4x 3y 45 g) 250xy 74

18x17y24 h) 3x 6y 83

ndash81y23









3b)3 h) (2 2 ndash 3 3)3

i) (3x ndash 4)3 j) (5x + 2)3 k) ( x3 + 1)3 l) ( x6 + x3 )3


p) (x 2 ndash 2)3



1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









144




14 ndash x

14y

34 g) n n + n h) x

34 ndash x



13 ndash x

13y




12 d) xn ndash yn




32 h) y + x 34




a) x + 3x + 4 b) x 3

x 4 c) (x + 2) 3(x + 2) + x d) (x + 2) ndash (x + 3)

(x + 2) + (x + 3)


x + 2 g) x + 1(x + 1)2 h) x 3 + 4

x 4 + 3

i) 6 xx 5 j) x + 1


b x + a



x ndash 5








b ndash a








a) ab ndash b2

2b b) x2 ndash y2





2x ndash 5y








a) x x ndash x


c) a ndash 1a + 1


e) x x + xx


g) x 6 ndash y 6



a) xy + y


x2 + 2x + 1 c) 3x + 1 + x + 5


d) 3x2 + 9x + 14 + 5

2x2 + 15x + 7 e) x ndash x2



x ndash 2

g) 2x2




x3 + 2x + 2x2 + 4 + 1x2 + 2

145

j) 1x(x + 1) + 1

x + 1 k) 6x2 ndash 9 + 9

x2 ndash 6x + 9 l) 4x + 2 + x + 6


m) 6x2 + 11x + 24 + 4








x ndash 3

Suprastink

a) x x ndash 2

ndash 2x + 2

b) 3


a ndash 9 c) x 12

x05 + 1 ndash 1

x05 ndash 1 d) 2

x + 2 + x

x ndash 2 ndash 4 x

x ndash 4

e) 11 + x

ndash 11 ndash x

f) 1a4 ndash 1

+ 1a4 + 1

g) 3

x 12 + 3 ndash x05

x05 ndash 3 h) x

81 ndash x ndash 9

x + 9 + x

x ndash 9

Suprastink

a) 16x2y5










3x j) x + 3x2 + 6x x2 ndash 9


x






3x + 4

e) 5 ndash 2

x ndash 3

4 ndash 1x ndash 3









1 + 3x

1 ndash 6x

m) 3 + 2

x + 4

5 ndash 1x + 4



2x + 2 ndash 1) 6x ndash 6 x + 1 p) ( 1

x ndash 1 ndash x + 1x2 + x + 1) (1 + 1

x3 ndash 1)





y ndash x ndash2








a13 + b



x + 1 + 1 ndash x )


16) xy 46 e) ( 1


x13 ndash 1

+ x13) middot x

13 ndash 1

x23 ndash 1

g) y ndash x

x23 + (xy)13 + y

23 + x

23 ndash y23

x3 ndash y13

h) x13y

13 x

13 y ndash y

13 x



y ndash z )ndash1

j) (x15 + x25

1 + x + 1) 1 ndash x3



ndash b a a + b

+ 3ab ndash b2

a ndash b

m) a + ba ndash b

ndash a + ab a + b

n) a + 1a a + a + a

1a2 ndash a




x05 ndash 1 r) ( 2 + x14


14


x34 s) 1x3 + y3 ndash x3 + y3

x23 ndash (xy)

13 + y

23




ndash 13


x + 1x x ndash 1

+ 2 x

146










6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai

TAIKYK

147




6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai







Sprendimas






2b + 1 ndash 6ab




PamėginkPamėgink





sin2 α

|v| = 2ghsin2 α

v = 2ghsin2 α


Išreiškiame v2




lg = T

2π

lg = ( T

2π )2

lg = T2

4π2gl = 4π2

T2

g = 4π2 middot lT2






Pavyzdžiai

148




p



f = 1F



c

1 + vc


R



P + ET


ndash 1)( 1R1

ndash 1R2)




y


12 = mgh2 + mv2

22


2



y + 24


n21 ndash 1

n22)








PamėginkPamėgink

UŽDAVINIAI

149












150

1 variantas


A 215a + b B 215 + a ndash b


b



A x = 3 B x = 0 C x = ndash3 D x = 9





a) x ndash 32 7 + 4


12 d) 3x ndash 27

x2 ndash 1






a) 32x 94 b) 81x7y 63 c) x 12y 345 d) x 17y 246






PASITIKRINK

151








a middot 5 + 9


⓭ Suprastink


m2 + n2 m2 ndash n2

4mn c) xx + 4 + 4


2 variantas


b2 =

A 140 B 142 C 145 D 146


A 00625 B 0 C 0125 D 025





15x3

c) 04x ndash 10x2 + 145 d) ( 205

10 ndash 5a)ndash18

❺ Pakelk kubu

a) (2 + 2 )3 b) (2 3 + 3 )3 c) (x 2 ndash y3 2 )3



❼ Suprastink




❾ Suprastink

a) 64x6 + 216y6



ndash 52 ndash x






4 kai y lt 0

152


❶Apskaičiuok

a) ( 7 ndash 5 23 + 7 + 503 ) middot 9 b) (3 + 2 5 4


54 + 1



❷Įrodyk teiginį

a) jei x23 + y

23 = a

23 tai x2 + x 4y 23 + y2 + x 2y 43 = a















+ ndash

bf middot xy = gcg

= = =

eec + bcyy = bfbe


153



A 40 B 250 C 225 D 2500


A 2600p B 10400 + p100 C 104p D 5200

100 + 2p








A 545 = 1

54 B 545 = 5

54 C 545 = 31254 D 5

45 = 6255


p ndash 1




x + 4 D 1x + 4



A a = 1 b = 5 B a = 2 b = 3 C a = 1 b = 4 D a = 3 b = 2




A 8 3 cm B 8 3 3 cm C 4

3 cm D 4 3 3 cm


A 56 B 60 C 64 D 112


154











+ 2 ndash x 2 + x





išraišką T(x)




1200 cm2


155












2



103




PamėginkPamėgink

Aibių skirtumasA B

B A




2 3 4 5 6 2 4 8 = 3 5 6

2 4 8 2 3 4 5 6 = 8




A B = [ndash27 4 13 )

B A = [7 9)




Pavyzdžiai




PamėginkPamėgink

104








Pavyzdys


Pamėgink











105


4

325 = 2


16625

4 = 25



(25)4

= 16625 todėl 16

6254 = 2

5

Pavyzdys


4


PamėginkPamėgink






①Laipsnius 215 3


215 = 215 = 25

337 = 337

5125 = 554 = 554


3

Sprendimas



3

②Šaknis 37 358 1a7


37 = 317 = 317

358 = 358 = 30625

1a7


Sprendimas



Pavyzdžiai





PamėginkPamėgink

106
















UŽDAVINIAI

107











a) 00016256

4 b) 000864

3 c) 05 d) ndash 116

4


325 h) 04

i) 116

4 j) ndash 11024

5 k) ndash15 l) 000014

m) 0002435 n) 81625

4 o) 011 p) 000164


a) 325 203 5ndash05 (1

3)ndash25 b) 2

17 307 6ndash02 (1

5)ndash15


a) 225 122 473 1

33 b) 357 1

323 77 7

95



13 c) 16

625 000814 d) 00625ndash 34

e) 71932

5 (49)ndash05

f) 10ndash5 3 200 0005 g) ( 127)ndash

13 7293 h) (00016

00625)ndash 34 ( 15625

643 )ndash1

i) (1681)ndash

34 32

15 j) 8ndash

23 27

13 k) (00001

625 )ndash 34 10ndash3 l) 7348

4864 (27

9)ndash 12

m) 1024ndash 1

10 (18)

13 n) 56

1893 o) ( 81

625)ndash 14 0216

13 p) (1

2)ndash5 025

ndash 123

108










čia a b c d 0


2 18 + 2 12 ndash 3 8 + 75 =

= 2 9 ∙ 2 + 2 4 ∙ 3 ndash 3 4 ∙ 2 + + 25 ∙ 3 == 2 3 2 + 2 2 3 ndash 3 2 2 ++ 5 3 =

= 6 2 + 4 3 ndash 6 2 + 5 3 =

= 6 2 ndash 6 2 + 4 3 + 5 3 = = 9 3





Atsakymas 9 3

Pavyzdžiai

IŠMOK

109


(3 2 ndash 3 )(2 5 ndash 1) =



(3 2 ndash 3 )(2 5 ndash 1)




(3 5 ndash 2 3 )2 =

= (3 5 )2 ndash 2 ∙ 3 5 ∙ 2 3 + (2 3 )2 = a2 a b b2

= 9 5 ndash 2 3 2 5 ∙ 3 + 4 3 =

= 45 ndash 12 15 + 12 = 57 ndash 12 15

Sprendimas




Atlik veiksmus

a) 44 + 2 99 + 3 45 ndash 20 b) (2 3 ndash 3 2 )( 2 + 3 )

c) 2592 ndash (6 + 3 2 )2 d) (5 2 ndash 3 ) 2 2 + ( 2 + 3 )2


PamėginkPamėgink



a gt 0 Pavyzdžiui 22 = 4 = 2 52 = 5


( alt 0 )2

gt 0

= | a |

gt 0lt 0lt 0

= ndasha

gt 0lt 0lt 0



Įsimink



110






= a ∙ bb ∙ b

= a bb

čia b gt 0


ax ndash y








Sprendimas




Pavyzdys

Apskaičiuok




Pamėgink



23 = 2 3

3 3 = 2 3

3

Sprendimas


Atsakymas 2 33

Pavyzdžiai

ndash = ∙ ( + )

( ndash ) ∙ ( + )

= ∙ ∙

= ∙

111



21 ndash 3

= 2(1 + 3)(1 ndash 3)(1 + 3) =

= 2(1 + 3)12 ndash ( 3)2 = 2(1 + 3)

1 ndash 3 =

= 2(1 + 3)ndash2

= ndash1 ndash 3

Sprendimas





a n a ne 0



Taisyklė Pavyzdys

a0 = 1 20 = 1


22 = 14 (2

3 )ndash1

= 32





(ab )

n = a n

b n (23 )

ndash4 = 2 ndash4

3 ndash4 = 3 42 4 = 81

16 = 5 116


(ndash 210 )ndash3


=

= (ndash 15 )ndash3

+ (ndash 12 )ndash2

=


Sprendimas




Atsakymas ndash121

Pavyzdžiai


a) 112

b) 23 + 1

c) 3 ndash 2 52 3 + 5


Pamėgink

112


Įsimink

① ( an )n = a

② abn = an bn

③ ab

n = an

bn

④ akn = ank

⑤ ( an )k = akn

⑥ amknk = amn

⑦ amn = amn

Apskaičiuok



Pamėgink


Taisyklė Pavyzdys

( an )n = a ( 33 )3 = 3


abn = an bn 27 643 = 273 643 = 3 4 = 1245 85 = 325 = 2



ab

n = an

bn b ne 0 81625

4 = 814

6254 = 35

645

25 = 642

5 = 325 = 2


akn = ank 53 = 56




( an )k = akn ( 33 )2 = ( )233 = 33

8154 = ( 814 )5 = 35 = 243


amknk = amn a1215 = a3 43 5 = a45


amn = amn

223 = 223


113


Įsimink



(1 ndash 3)24 =

= (1 ndash 3)22 2 = |1 ndash 3| =


Sprendimas



Atsakymas 3 ndash 1

Pavyzdys


3 8 24 = 3 82 middot 24 = 15366

7 193 = 73 middot 193 = 65176

15366 lt 65176

3 8 24 lt 7 193





Pavyzdys


a) ( 315 )15 b) 16 ∙ 000014 c) 64729

6

d) 234 e) ( 33 )2 f) 248

g) ( 33 )3 ndash ( 55 )5 h) 015 ∙ 000015 i) 7295

35

j) 23 + 23 k) ( 243 )4 l) 23 + 226

m) 75881

4 + ( 234 )4

n) 24 ∙ 84 + 6253

53 o) 23

( 43 )2

p) 253

235 r) ( 23 )12 s) 21530 + 248


Pamėgink



Pamėgink

114



2 324 ndash 1624 + 12504 =

= 2 16 24 ndash 81 24 + 625 24 =

= 2 2 24 ndash 3 24 + 5 24 =

= 4 24 ndash 3 24 + 5 24 = 6 24

Sprendimas




Atsakymas 6 24


Taisyklė Pavyzdys

a0 = 1 1250 = 1


12 = (6

5)ndash 12 = (5

6) 12 = 5

6

am an = am + n 2 12 2

12 = 2

12 +

12 = 21 = 2


32 = 3212 ndash 1 = 3202 = 3215 = 325 = 2

(an)m = amn (202)5 = 21 = 2

(ab)n = an bn 216 13 = (8 27)

13 = 8

13 27

13= 2 3 = 6

(ab )

n = a n

b n ( 2566561)0125 = 2560125

65610125 = (28)0125

(38)0125 = 23


Įsimink

① a0 = 1

② andashn = 1a n

③ am an = am + n


⑤ (an)m = amn

⑥ (ab)n = an bn

⑦ (ab )

n = a n

b n b ne 0

❶ Palygink

a) 4 2 33 ir 3 2 3 b) 4 3 33 ir 3 3 34

❷ Suprastink

a) 323 ndash 1083 b) 23 7684 + 484


Pamėgink

115

⓱ Apskaičiuok

a) 8 ∙ 32 b) 3 + 3 + 3 3 c) 18 + 50



m) 3 + 6 2 n) 2( 8 ndash 2) o) (3 ndash 5 7)2


⓲ Apskaičiuok



g) 32 +2 + ∙ 32 +2 ndash ∙ 2 + 3 h) (3 + 2 2)2016 ∙ (3 ndash 2 2)2016



⓴ Apskaičiuok





Apskaičiuok




a) 25

b) 57 5

c) 35 ndash 2

d) 113 5 ndash 2 3

e) 37

f) 72 7

g) 27 ndash 5

h) 102 7 ndash 3 2

UŽDAVINIAI

Atlik veiksmus

a) (13)ndash 02 b) 1613 16ndash105 c) 515

505


32 e) 3 ndash

14 27 ndash

14 f) 605

305

g) ( 149)ndash

12 ndash (1


23 5ndash

32 5ndash

156 i) 2

13(4

13 + 32

13)

j) (12ndash075


12 (3 + 2)

12


Pamėgink

116


Apskaičiuok

a) 27 ndash 5

+ 47 + 5

b) ( 25 ndash 2

+ 45 + 2) ∙ 1

6 5 ndash 4

c) 36 ndash 3

+ 96 + 3

d) ( 27 ndash 2

+ 47 + 2) ∙ 3

6 7 ndash 4

Apskaičiuok

a) 1 + 2

21 ndash 2

2

+ (2 + 2)2

2 b) ( 43 + 5

ndash 32 + 7

+ 114 ndash 5) (9 ndash 7)

c) 21 ndash 4 5 21 + 4 5

ndash 1921 + 4 5

d) ( 127 ndash 1

ndash 85 ndash 1

+ 62 ndash 7) ∙ (2 5 + 4)ndash1

e) 1 + 3

3

1 ndash 33

+ (1 ndash 3)2

2 f) ( 25 ndash 3

+ 63 ndash 3

+ 12 ndash 5) ∙ (2 3 ndash 1)

g) 4 + 2 3 4 ndash 2 3

ndash 12 ndash 3

h) ( 45 ndash 1

ndash 35 ndash 2

+ 605 ndash 5) ∙ ( 5(1 + 2 5))ndash1

Apskaičiuok






3ndash4

Apskaičiuok


53 26


14) ndash2


i) 36 210 57

605




a) 8 ∙ 95 ∙ 4 ∙ 275 b) 2185 2145

2175 c) ( 23 )6 ndash ( 34 )2


j) 9 ∙ 43 ∙ 3 ∙ 163 k) 3174 3244

3214 l) ( 34 )8 ndash ( 24 )2


Apskaičiuok



117


a) 3 2 b) 2 34 c) 04 100004 d) 13 544

e) 5 3 f) 3 23 g) 25 100004 h) 2 25



Suprastink


Apskaičiuok


c) 4 ndash 2 36 1 + 33 43 d) 3( 3 ndash 7 )2

10( 5 + 214 )( 5 ndash 214 )

e) (1 + 2)2 + 44 f) 3 ndash 2 26 2 + 23 326


20( 154 + 2)( 154 ndash 2)


a) 25013

213

b) (313)3

ndash (205)4 c) 3025 27025 ndash 213 4

13 d) 3

13 (32

3 + 1)e) (4025 ndash 405)4 f) (23

2 + 1)2

g) (314 + 3

12) (31

4 ndash 312) h) (51

6 + 514) (51

6 ndash 514)

i) 16214

125013 j) (41

4)8

ndash (405)3 k) 214 8

14 ndash 3

13 9

13 l) (23

4 + 1) 214

m) (805 ndash 3205)2 n) (314 + 1)2

o) (414 + 1) (41

4 ndash 1) p) (1 + 314) (31

4 ndash 1)


a) 8 435 b) 2 4 16 4

3

3 4 c) 777 493 d) 8

274 3

26 312 26

e) 23 484 2ndash33 f) 1253 5255 g) 53 553

023 h) 125 53 54 3 1

515

15

Apskaičiuok


15 3 + 1 + 15 3 b) ( 10) 2 ndash ( 5 ) 2

( 2 ) 2 ndash 1


43 + 0008 ndash

13 d) (2 2 ndash 3 27) (23

2 + 9 3) + ( 1 4096) ndash

12( 4 3)ndash1

e) ((243 93 )14 ndash 3(3 34 )

13) 3 ndash

512 f) 3 + 63 9 ndash 6 26 ndash 33

g) 13 2 + 13 2 + 2

3 middot 13 2 ndash 13 2 h) ( 6 ) 2 + 2 2

( 3 ) 2 + ( 2 ) 2

i) ( 1 27) ndash 13 + 2 00016 ndash

14 + ( 1 81)ndash075 00640 j) 00001ndash

14 + ( 1

125) ndash 43 ndash 81075 1

9 ndash05

k) 84

74 4 ndash 24 4 + 24 l) ((31

2 + 1)2

ndash (4 + 312)33 )

12

ndash 2 cos 30deg

118


5 2 8 6 2 3 5

Tūks

tanč

ių sk

yriu

s

Šim

tų sk

yriu

s

Dešim

čių sk

yriu

s

Vien

etų

skyr

ius

Dešim

tųjų

skyr

ius

Šim

tųjų

skyr

ius

Tūks

tant

ųjų

skyr

ius



743 956 = 7 105 + 4 104 + 3 103 + 9 102 + 5 10 + 6






x4y = 4xy ndash 270 (1)

x4y = 100x + 40 + y

4xy = 400 + 10x + y

100x + 40 + y = 400 + 10x + y ndash 270







Pavyzdžiai


a) 287 b) 987 145 c) xyz d) abcde

Pamėgink

TAIKYK

119


1 x260

x + 2 + 6 + 0 = x + 8


1260 4260 7260

2 y265y + 2 + 6 + 5 = y + 13


2265 5265 8265











PamėginkPamėgink


1 6 = 016666 = 01(6)

1 7 = 0142857142857142 = 0(142857)

120



x = 025656 | 10 1 1

10x = 2565656 (1)

10x = 2565656 | 100 2 2

1000x = 2565656 (2)


x = 256 ndash 21000 ndash 10

x = 254990 = 127

495

32(56) = 3 256 ndash 2103 ndash 101 = 3 127

495 1 3






Išreiškiame x


Atsakymas 32(56) = 3 127495

Pavyzdys

021(8) = 218 ndash 21103 ndash 102 = 197

900 0(4) = 4 ndash 0101 ndash 100 = 4

9 2 3

0123(45) = 12345 ndash 123105 ndash 103 = 679

5500 0(56) = 56 ndash 0102 ndash 100 = 56

99 3 5








a) 0(7) b) 05(7) c) 214(8) d) 03(12)


Pamėgink

Pavyzdžiai

121


x = 025656 | 10 1 1

10x = 2565656 (1)

10x = 2565656 | 100 2 2

1000x = 2565656 (2)


x = 256 ndash 21000 ndash 10

x = 254990 = 127

495

32(56) = 3 256 ndash 2103 ndash 101 = 3 127

495 1 3






Išreiškiame x


Atsakymas 32(56) = 3 127495

Pavyzdys




1 2 000 000 000 = 12 ∙ 1010 10 vietų

0000006 1 = 61 ∙ 10ndash6 6 vietos



Pavyzdys


a + b = 24 1025 + 12 1025 = = 36 1025

a + c = 24 1025 + 5 1024 = = 24 1025 + 05 1025 = 29 1025

a b = (24 1025) (12 1025) = = (24 12) (1025 1025) = 288 1050

b c = 12 1025

5 1024 = 024 101 = 24





Pavyzdys


Pamėgink



Pamėgink

122





KMI = 601682 asymp 60


Pavyzdys

∆x = |x ndash a|






|a| 100







Pamėgink

123










KMI = 601682 asymp 60


Pavyzdys



a) 1 7 = 014 2 857 asymp 014


3 7 = 042 8 571 asymp 043

gt 5

artinys a = 043



Pavyzdys

b) ∆x = |1 7 ndash 014| = |50 ndash 49

350 | =

= | 1350| = 1

350

∆x = 1350 lt 00028 lt 0003

δ = ∆x|a| =

1350

750

= 1350 50

7 = 149

δ = 149 100 asymp 2041 lt 21




UŽDAVINIAI



Pamėgink

124



Įrodyk kad



Pagrįsk teiginius















125




d) 0(32) 0(4) e) 0(493) 07(45) f) 0(285714) 01(3)04(6) 4(9)

g) 2(8) ndash 0(4) h) 1(27) ndash 03(4) i) 0(917) + 03(614)

j) 0(57) 0(6) k) 0(267) 03(12) l) 0(53) 02(9)332(4) + 1(21)

Palygink skaičius

a) 1 6 ir 3


12






d) 0002096 1012

524 e) 08128 1024

254 10ndash14 f) 0027 1021 ndash 631 1017

g) 1890 00105 h) 00045 1017 i) 000007 10ndash16

j) 000010288016 1017 k) 5139645 10ndash13

7895 10ndash34 l) 760 1012 ndash 0003 1015


a) 5 6 h = 01 b) 2

7 h = 000001 c) 3 h = 01 d) 6 h = 001

e) 4 13 h = 001 f) 3

11 h = 0001 g) 11 h = 000001 h) 8 h = 000001


a) 1 9 h = 01 b) 2 h = 001 c) 3

11 h = 001 d) 10 h = 0001

126

1 variantas




6 reikšmė

A 7 6 B 1

6 C 75 D 74




❻ Apskaičiuok

a) (134)ndash 2 b) 7503

63 c) (33

4 9ndash 14)ndash4

d) ( 27 ndash 2 3 + 75) 3

e) 5( 3 ndash 7)2

5 ndash 21 f) ( 00001

81 ) ndash 34 10ndash4 g) ( 160

15

121502) ndash2

h) 23 ( 43 ndash 163 )



3









PASITIKRINK

127





2 variantas



A 4ndash 34 = 4

43 B 4ndash

34 = 1

644 C 4ndash

34 = 1

43 D 4ndash 34 = 1

2563


1417 reikšmė

A 1514 B 1 1

196 C 1415 D 1415





❻ Apskaičiuok


14 b) 2 8

16 8

4

3

3 88 c)

8113 + 3

73

33 + 813 + 21873

d) 53 + 2a 43 + 2a

202a + 2 e) 31 ndash 2 5 9 5 f) 17 ndash 338 33 + 178

❼ Suprastink

a) ( 182 ndash 13

ndash 2011 ndash 1

+ 2413 ndash 1) ( 1

2 + 11 )ndash1 b) (3 ndash 7)

12(3 + 7)

12

c) 1 + 3 + 32 + 33 + 34 + + 315







128









m4 + 3m3 + 23 (p ndash 4)(p ndash 12)

27 53



narys narys narys

trinaris




m + 2



7 ndash p + 3


racionalieji

iracionalieji


SUSIPAŽINK

129












Įsimink



② ne 0

③ 2n 0

④ 2n gt 0

⑤mn gt 0



Pavyzdžiai


1) (2 ndash x2)(2 + x2)x ndash 5 2) 2

5x 2 ndash 37x + 4

3) 23 x 2 ndash 5x ndash 813 4) 7

c ndash 2

c + 1 + c + 2

33

5) 2x2 ndash 5x ndash 325 6) (3 + x)(12 + x)

(x ndash 5)x

7) y3

3 + 3y23 8) 3y2 + 2

y2 + 5y ndash 6


Pamėgink

130



x(x ndash 4) ne 0







x 25x ne ndash1









x ne ndash3


(x + 7)(x ndash 7) lt 0








Pavyzdžiai


a) 03x ndash 1 3 b) 2

7x3 + 1 9x2 + 0(4)x ndash 12

c) 2 + 4x x + 3 d) 2 + 4x

x2 ndash 25

Pamėgink

131



3 c) 3 x ndash 36



12 ndash 2x g) x


x2 ndash 1









e) x13 ndash 1 f) 1



2x2 ndash 50



m) 2x + x25 n) x + 2

3 5 o) 2x + 1

x2 ndash 9 p) 12x + x + 4




a + 3 d) 4x


e) (3x ndash 1)ndash134 f) 5x + 40 3

1 ndash x2 g) 4




2 ndash a l) 35k + 21 6

2k + 34


1 ndash p2 n) 2x + 10


x + 5 p) 4 ndash 12x2 + 4 5x + 403

UŽDAVINIAI



b) x + 24

3 ndash x6



x2 ndash 1


Pamėgink

132











23 + xndash

13)

x 13 (x

23 + xndash

13) = x

13 x

23 + x

13 xndash

13 =

= x 13 +

23 + x

13 ndash

13 = x

33 + x0 = x + 1



Atsakymas x + 1









Pavyzdžiai

IŠMOK

133




a) x43 = x3 x3 = x x3

b) x94 = x4 x4 x4 = x2 x4

x94 = x 94 = x2

14 = x2 x4

c) x6y6 = x6 y6 = x y6





Pavyzdys



Įsiminka2n2n = |a|



(x ndash 4)44 + (x ndash 2)33 =




Pavyzdžiai


a) ( x 14 ndash 1 )( x



Pamėgink




Pamėgink

134









a) x y3 = x3y3

b) a b4 = a4b4










Pavyzdžiai

Suprastink



Pamėgink


a) a3 a4 (a gt 0) b) ab2 a3 (a b gt 0)


Pamėgink

135



Įsimink





= ndash x7y 46




Pavyzdys




① (a + b)2 = a2 + 2ab + b2



④ (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3


⑥ a3 + b3 = (a + b)(a2 ndash ab + b2)





Pamėgink


136



(2x + 3)3 = a b



Sprendimas


Atsakymas 8x3 + 36x2 + 54x + 27


( 2 ndash 2 3 )3 = a b



Sprendimas



Pavyzdžiai


8x6 + 60x4y + 150x2y2 + 125y3 =

= (2x2)3 + 3 (2x2)2 (5y) + 3 (2x2) (5y)2 + (5y)3 = a3 a2 b a b2 b3

= (2x2 + 5y)3




Pavyzdys


a) (m ndash 5n)3 b) (2x + 2)3c) ( 3 + 2)3 d) (2 2 + 2)3

Pamėgink




52


Pamėgink

137
















Pavyzdys








Pavyzdys




Pamėgink

138







a) 8x6 ndash a3b9 = (2x2)3 (ab3)3

= (2x2)3 ndash (ab3)3 = a3 b3


= (2x2 ndash ab3)(4x4 + 2x2ab3 + a2b6)






= ( x3 ndash y3 )( x23 + xy3 + y23 )








Taikome 7 formulę

Pavyzdys







Pamėgink



Pamėgink

139



x1 = 1 ndash 81 20 = ndash 2 5 x2 = 1 + 81

20 = 1 2


5) =

= 2 5(x ndash 1 2)(x + 2

5) =

= (2x ndash 1)(5x + 2)





Pavyzdys

Grupavimo būdas









Pavyzdys


= (x + y)(a + b)




++



Pamėgink




Pamėgink

140



6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys




ab + c

d = ad + bcbd

ab ndash c

d = ad ndash bcbd



x + y


Pamėgink

Suprastink




2x ndash 10


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys

3

141


6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys





ab middot c


ab c

d = ab middot d




x ndash y


x2 + y2

x ndash y =


x ndash yx2 + y2 =


x2 + y2 =


= x + y

Sprendimas


Pavyzdžiai

Suprastink

a) 1x x + x

+ xx + 1

b) 6 xx ndash 3

ndash 3x + 3


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys



x ndash yx + y


=


( x + y )( x ndash y ) =



x ndash y

Sprendimas




Pavyzdys

x ndash y x + y

142


UŽDAVINIAI




Suprastink

a) x12 middot x

14 b) (x4

5)3

c) (x23 middot x

15)15

d) x13

xndash 23

e) (x23)

34


n3)6n

h) (b2n bndash075n

bndash05n )ndash4n

i) y 13 middot y

23 j) (x2)

13 k) y

25


27)35

m) (y27)175


n2 o) (x

n4 middot x

n8)8

p) (xndash 56 n x3n

x 43 n )ndash6n




a) ( 3x + 1 ndash 4



Pamėgink


1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









2(1 + 3x) 1 ndash 3x2

143

Suprastink




a) 4 x 3 z 2y 6 4 y ndash2


a 3 b 5a 5

d) 5 a 5 c 2b 2 5 b ndash3


y 4 y 3x 6




a) 12x3y 3x2y b) 16x2y3 3x2y3 c) 144x 5y 124


12y23

e) 63x 5y 3 28x2y f) 8x2y5 4x 3y 45 g) 250xy 74

18x17y24 h) 3x 6y 83

ndash81y23









3b)3 h) (2 2 ndash 3 3)3

i) (3x ndash 4)3 j) (5x + 2)3 k) ( x3 + 1)3 l) ( x6 + x3 )3


p) (x 2 ndash 2)3



1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









144




14 ndash x

14y

34 g) n n + n h) x

34 ndash x



13 ndash x

13y




12 d) xn ndash yn




32 h) y + x 34




a) x + 3x + 4 b) x 3

x 4 c) (x + 2) 3(x + 2) + x d) (x + 2) ndash (x + 3)

(x + 2) + (x + 3)


x + 2 g) x + 1(x + 1)2 h) x 3 + 4

x 4 + 3

i) 6 xx 5 j) x + 1


b x + a



x ndash 5








b ndash a








a) ab ndash b2

2b b) x2 ndash y2





2x ndash 5y








a) x x ndash x


c) a ndash 1a + 1


e) x x + xx


g) x 6 ndash y 6



a) xy + y


x2 + 2x + 1 c) 3x + 1 + x + 5


d) 3x2 + 9x + 14 + 5

2x2 + 15x + 7 e) x ndash x2



x ndash 2

g) 2x2




x3 + 2x + 2x2 + 4 + 1x2 + 2

145

j) 1x(x + 1) + 1

x + 1 k) 6x2 ndash 9 + 9

x2 ndash 6x + 9 l) 4x + 2 + x + 6


m) 6x2 + 11x + 24 + 4








x ndash 3

Suprastink

a) x x ndash 2

ndash 2x + 2

b) 3


a ndash 9 c) x 12

x05 + 1 ndash 1

x05 ndash 1 d) 2

x + 2 + x

x ndash 2 ndash 4 x

x ndash 4

e) 11 + x

ndash 11 ndash x

f) 1a4 ndash 1

+ 1a4 + 1

g) 3

x 12 + 3 ndash x05

x05 ndash 3 h) x

81 ndash x ndash 9

x + 9 + x

x ndash 9

Suprastink

a) 16x2y5










3x j) x + 3x2 + 6x x2 ndash 9


x






3x + 4

e) 5 ndash 2

x ndash 3

4 ndash 1x ndash 3









1 + 3x

1 ndash 6x

m) 3 + 2

x + 4

5 ndash 1x + 4



2x + 2 ndash 1) 6x ndash 6 x + 1 p) ( 1

x ndash 1 ndash x + 1x2 + x + 1) (1 + 1

x3 ndash 1)





y ndash x ndash2








a13 + b



x + 1 + 1 ndash x )


16) xy 46 e) ( 1


x13 ndash 1

+ x13) middot x

13 ndash 1

x23 ndash 1

g) y ndash x

x23 + (xy)13 + y

23 + x

23 ndash y23

x3 ndash y13

h) x13y

13 x

13 y ndash y

13 x



y ndash z )ndash1

j) (x15 + x25

1 + x + 1) 1 ndash x3



ndash b a a + b

+ 3ab ndash b2

a ndash b

m) a + ba ndash b

ndash a + ab a + b

n) a + 1a a + a + a

1a2 ndash a




x05 ndash 1 r) ( 2 + x14


14


x34 s) 1x3 + y3 ndash x3 + y3

x23 ndash (xy)

13 + y

23




ndash 13


x + 1x x ndash 1

+ 2 x

146










6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai

TAIKYK

147




6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai







Sprendimas






2b + 1 ndash 6ab




PamėginkPamėgink





sin2 α

|v| = 2ghsin2 α

v = 2ghsin2 α


Išreiškiame v2




lg = T

2π

lg = ( T

2π )2

lg = T2

4π2gl = 4π2

T2

g = 4π2 middot lT2






Pavyzdžiai

148




p



f = 1F



c

1 + vc


R



P + ET


ndash 1)( 1R1

ndash 1R2)




y


12 = mgh2 + mv2

22


2



y + 24


n21 ndash 1

n22)








PamėginkPamėgink

UŽDAVINIAI

149












150

1 variantas


A 215a + b B 215 + a ndash b


b



A x = 3 B x = 0 C x = ndash3 D x = 9





a) x ndash 32 7 + 4


12 d) 3x ndash 27

x2 ndash 1






a) 32x 94 b) 81x7y 63 c) x 12y 345 d) x 17y 246






PASITIKRINK

151








a middot 5 + 9


⓭ Suprastink


m2 + n2 m2 ndash n2

4mn c) xx + 4 + 4


2 variantas


b2 =

A 140 B 142 C 145 D 146


A 00625 B 0 C 0125 D 025





15x3

c) 04x ndash 10x2 + 145 d) ( 205

10 ndash 5a)ndash18

❺ Pakelk kubu

a) (2 + 2 )3 b) (2 3 + 3 )3 c) (x 2 ndash y3 2 )3



❼ Suprastink




❾ Suprastink

a) 64x6 + 216y6



ndash 52 ndash x






4 kai y lt 0

152


❶Apskaičiuok

a) ( 7 ndash 5 23 + 7 + 503 ) middot 9 b) (3 + 2 5 4


54 + 1



❷Įrodyk teiginį

a) jei x23 + y

23 = a

23 tai x2 + x 4y 23 + y2 + x 2y 43 = a















+ ndash

bf middot xy = gcg

= = =

eec + bcyy = bfbe


153



A 40 B 250 C 225 D 2500


A 2600p B 10400 + p100 C 104p D 5200

100 + 2p








A 545 = 1

54 B 545 = 5

54 C 545 = 31254 D 5

45 = 6255


p ndash 1




x + 4 D 1x + 4



A a = 1 b = 5 B a = 2 b = 3 C a = 1 b = 4 D a = 3 b = 2




A 8 3 cm B 8 3 3 cm C 4

3 cm D 4 3 3 cm


A 56 B 60 C 64 D 112


154











+ 2 ndash x 2 + x





išraišką T(x)




1200 cm2


155












2



104








Pavyzdys


Pamėgink











105


4

325 = 2


16625

4 = 25



(25)4

= 16625 todėl 16

6254 = 2

5

Pavyzdys


4


PamėginkPamėgink






①Laipsnius 215 3


215 = 215 = 25

337 = 337

5125 = 554 = 554


3

Sprendimas



3

②Šaknis 37 358 1a7


37 = 317 = 317

358 = 358 = 30625

1a7


Sprendimas



Pavyzdžiai





PamėginkPamėgink

106
















UŽDAVINIAI

107











a) 00016256

4 b) 000864

3 c) 05 d) ndash 116

4


325 h) 04

i) 116

4 j) ndash 11024

5 k) ndash15 l) 000014

m) 0002435 n) 81625

4 o) 011 p) 000164


a) 325 203 5ndash05 (1

3)ndash25 b) 2

17 307 6ndash02 (1

5)ndash15


a) 225 122 473 1

33 b) 357 1

323 77 7

95



13 c) 16

625 000814 d) 00625ndash 34

e) 71932

5 (49)ndash05

f) 10ndash5 3 200 0005 g) ( 127)ndash

13 7293 h) (00016

00625)ndash 34 ( 15625

643 )ndash1

i) (1681)ndash

34 32

15 j) 8ndash

23 27

13 k) (00001

625 )ndash 34 10ndash3 l) 7348

4864 (27

9)ndash 12

m) 1024ndash 1

10 (18)

13 n) 56

1893 o) ( 81

625)ndash 14 0216

13 p) (1

2)ndash5 025

ndash 123

108










čia a b c d 0


2 18 + 2 12 ndash 3 8 + 75 =

= 2 9 ∙ 2 + 2 4 ∙ 3 ndash 3 4 ∙ 2 + + 25 ∙ 3 == 2 3 2 + 2 2 3 ndash 3 2 2 ++ 5 3 =

= 6 2 + 4 3 ndash 6 2 + 5 3 =

= 6 2 ndash 6 2 + 4 3 + 5 3 = = 9 3





Atsakymas 9 3

Pavyzdžiai

IŠMOK

109


(3 2 ndash 3 )(2 5 ndash 1) =



(3 2 ndash 3 )(2 5 ndash 1)




(3 5 ndash 2 3 )2 =

= (3 5 )2 ndash 2 ∙ 3 5 ∙ 2 3 + (2 3 )2 = a2 a b b2

= 9 5 ndash 2 3 2 5 ∙ 3 + 4 3 =

= 45 ndash 12 15 + 12 = 57 ndash 12 15

Sprendimas




Atlik veiksmus

a) 44 + 2 99 + 3 45 ndash 20 b) (2 3 ndash 3 2 )( 2 + 3 )

c) 2592 ndash (6 + 3 2 )2 d) (5 2 ndash 3 ) 2 2 + ( 2 + 3 )2


PamėginkPamėgink



a gt 0 Pavyzdžiui 22 = 4 = 2 52 = 5


( alt 0 )2

gt 0

= | a |

gt 0lt 0lt 0

= ndasha

gt 0lt 0lt 0



Įsimink



110






= a ∙ bb ∙ b

= a bb

čia b gt 0


ax ndash y








Sprendimas




Pavyzdys

Apskaičiuok




Pamėgink



23 = 2 3

3 3 = 2 3

3

Sprendimas


Atsakymas 2 33

Pavyzdžiai

ndash = ∙ ( + )

( ndash ) ∙ ( + )

= ∙ ∙

= ∙

111



21 ndash 3

= 2(1 + 3)(1 ndash 3)(1 + 3) =

= 2(1 + 3)12 ndash ( 3)2 = 2(1 + 3)

1 ndash 3 =

= 2(1 + 3)ndash2

= ndash1 ndash 3

Sprendimas





a n a ne 0



Taisyklė Pavyzdys

a0 = 1 20 = 1


22 = 14 (2

3 )ndash1

= 32





(ab )

n = a n

b n (23 )

ndash4 = 2 ndash4

3 ndash4 = 3 42 4 = 81

16 = 5 116


(ndash 210 )ndash3


=

= (ndash 15 )ndash3

+ (ndash 12 )ndash2

=


Sprendimas




Atsakymas ndash121

Pavyzdžiai


a) 112

b) 23 + 1

c) 3 ndash 2 52 3 + 5


Pamėgink

112


Įsimink

① ( an )n = a

② abn = an bn

③ ab

n = an

bn

④ akn = ank

⑤ ( an )k = akn

⑥ amknk = amn

⑦ amn = amn

Apskaičiuok



Pamėgink


Taisyklė Pavyzdys

( an )n = a ( 33 )3 = 3


abn = an bn 27 643 = 273 643 = 3 4 = 1245 85 = 325 = 2



ab

n = an

bn b ne 0 81625

4 = 814

6254 = 35

645

25 = 642

5 = 325 = 2


akn = ank 53 = 56




( an )k = akn ( 33 )2 = ( )233 = 33

8154 = ( 814 )5 = 35 = 243


amknk = amn a1215 = a3 43 5 = a45


amn = amn

223 = 223


113


Įsimink



(1 ndash 3)24 =

= (1 ndash 3)22 2 = |1 ndash 3| =


Sprendimas



Atsakymas 3 ndash 1

Pavyzdys


3 8 24 = 3 82 middot 24 = 15366

7 193 = 73 middot 193 = 65176

15366 lt 65176

3 8 24 lt 7 193





Pavyzdys


a) ( 315 )15 b) 16 ∙ 000014 c) 64729

6

d) 234 e) ( 33 )2 f) 248

g) ( 33 )3 ndash ( 55 )5 h) 015 ∙ 000015 i) 7295

35

j) 23 + 23 k) ( 243 )4 l) 23 + 226

m) 75881

4 + ( 234 )4

n) 24 ∙ 84 + 6253

53 o) 23

( 43 )2

p) 253

235 r) ( 23 )12 s) 21530 + 248


Pamėgink



Pamėgink

114



2 324 ndash 1624 + 12504 =

= 2 16 24 ndash 81 24 + 625 24 =

= 2 2 24 ndash 3 24 + 5 24 =

= 4 24 ndash 3 24 + 5 24 = 6 24

Sprendimas




Atsakymas 6 24


Taisyklė Pavyzdys

a0 = 1 1250 = 1


12 = (6

5)ndash 12 = (5

6) 12 = 5

6

am an = am + n 2 12 2

12 = 2

12 +

12 = 21 = 2


32 = 3212 ndash 1 = 3202 = 3215 = 325 = 2

(an)m = amn (202)5 = 21 = 2

(ab)n = an bn 216 13 = (8 27)

13 = 8

13 27

13= 2 3 = 6

(ab )

n = a n

b n ( 2566561)0125 = 2560125

65610125 = (28)0125

(38)0125 = 23


Įsimink

① a0 = 1

② andashn = 1a n

③ am an = am + n


⑤ (an)m = amn

⑥ (ab)n = an bn

⑦ (ab )

n = a n

b n b ne 0

❶ Palygink

a) 4 2 33 ir 3 2 3 b) 4 3 33 ir 3 3 34

❷ Suprastink

a) 323 ndash 1083 b) 23 7684 + 484


Pamėgink

115

⓱ Apskaičiuok

a) 8 ∙ 32 b) 3 + 3 + 3 3 c) 18 + 50



m) 3 + 6 2 n) 2( 8 ndash 2) o) (3 ndash 5 7)2


⓲ Apskaičiuok



g) 32 +2 + ∙ 32 +2 ndash ∙ 2 + 3 h) (3 + 2 2)2016 ∙ (3 ndash 2 2)2016



⓴ Apskaičiuok





Apskaičiuok




a) 25

b) 57 5

c) 35 ndash 2

d) 113 5 ndash 2 3

e) 37

f) 72 7

g) 27 ndash 5

h) 102 7 ndash 3 2

UŽDAVINIAI

Atlik veiksmus

a) (13)ndash 02 b) 1613 16ndash105 c) 515

505


32 e) 3 ndash

14 27 ndash

14 f) 605

305

g) ( 149)ndash

12 ndash (1


23 5ndash

32 5ndash

156 i) 2

13(4

13 + 32

13)

j) (12ndash075


12 (3 + 2)

12


Pamėgink

116


Apskaičiuok

a) 27 ndash 5

+ 47 + 5

b) ( 25 ndash 2

+ 45 + 2) ∙ 1

6 5 ndash 4

c) 36 ndash 3

+ 96 + 3

d) ( 27 ndash 2

+ 47 + 2) ∙ 3

6 7 ndash 4

Apskaičiuok

a) 1 + 2

21 ndash 2

2

+ (2 + 2)2

2 b) ( 43 + 5

ndash 32 + 7

+ 114 ndash 5) (9 ndash 7)

c) 21 ndash 4 5 21 + 4 5

ndash 1921 + 4 5

d) ( 127 ndash 1

ndash 85 ndash 1

+ 62 ndash 7) ∙ (2 5 + 4)ndash1

e) 1 + 3

3

1 ndash 33

+ (1 ndash 3)2

2 f) ( 25 ndash 3

+ 63 ndash 3

+ 12 ndash 5) ∙ (2 3 ndash 1)

g) 4 + 2 3 4 ndash 2 3

ndash 12 ndash 3

h) ( 45 ndash 1

ndash 35 ndash 2

+ 605 ndash 5) ∙ ( 5(1 + 2 5))ndash1

Apskaičiuok






3ndash4

Apskaičiuok


53 26


14) ndash2


i) 36 210 57

605




a) 8 ∙ 95 ∙ 4 ∙ 275 b) 2185 2145

2175 c) ( 23 )6 ndash ( 34 )2


j) 9 ∙ 43 ∙ 3 ∙ 163 k) 3174 3244

3214 l) ( 34 )8 ndash ( 24 )2


Apskaičiuok



117


a) 3 2 b) 2 34 c) 04 100004 d) 13 544

e) 5 3 f) 3 23 g) 25 100004 h) 2 25



Suprastink


Apskaičiuok


c) 4 ndash 2 36 1 + 33 43 d) 3( 3 ndash 7 )2

10( 5 + 214 )( 5 ndash 214 )

e) (1 + 2)2 + 44 f) 3 ndash 2 26 2 + 23 326


20( 154 + 2)( 154 ndash 2)


a) 25013

213

b) (313)3

ndash (205)4 c) 3025 27025 ndash 213 4

13 d) 3

13 (32

3 + 1)e) (4025 ndash 405)4 f) (23

2 + 1)2

g) (314 + 3

12) (31

4 ndash 312) h) (51

6 + 514) (51

6 ndash 514)

i) 16214

125013 j) (41

4)8

ndash (405)3 k) 214 8

14 ndash 3

13 9

13 l) (23

4 + 1) 214

m) (805 ndash 3205)2 n) (314 + 1)2

o) (414 + 1) (41

4 ndash 1) p) (1 + 314) (31

4 ndash 1)


a) 8 435 b) 2 4 16 4

3

3 4 c) 777 493 d) 8

274 3

26 312 26

e) 23 484 2ndash33 f) 1253 5255 g) 53 553

023 h) 125 53 54 3 1

515

15

Apskaičiuok


15 3 + 1 + 15 3 b) ( 10) 2 ndash ( 5 ) 2

( 2 ) 2 ndash 1


43 + 0008 ndash

13 d) (2 2 ndash 3 27) (23

2 + 9 3) + ( 1 4096) ndash

12( 4 3)ndash1

e) ((243 93 )14 ndash 3(3 34 )

13) 3 ndash

512 f) 3 + 63 9 ndash 6 26 ndash 33

g) 13 2 + 13 2 + 2

3 middot 13 2 ndash 13 2 h) ( 6 ) 2 + 2 2

( 3 ) 2 + ( 2 ) 2

i) ( 1 27) ndash 13 + 2 00016 ndash

14 + ( 1 81)ndash075 00640 j) 00001ndash

14 + ( 1

125) ndash 43 ndash 81075 1

9 ndash05

k) 84

74 4 ndash 24 4 + 24 l) ((31

2 + 1)2

ndash (4 + 312)33 )

12

ndash 2 cos 30deg

118


5 2 8 6 2 3 5

Tūks

tanč

ių sk

yriu

s

Šim

tų sk

yriu

s

Dešim

čių sk

yriu

s

Vien

etų

skyr

ius

Dešim

tųjų

skyr

ius

Šim

tųjų

skyr

ius

Tūks

tant

ųjų

skyr

ius



743 956 = 7 105 + 4 104 + 3 103 + 9 102 + 5 10 + 6






x4y = 4xy ndash 270 (1)

x4y = 100x + 40 + y

4xy = 400 + 10x + y

100x + 40 + y = 400 + 10x + y ndash 270







Pavyzdžiai


a) 287 b) 987 145 c) xyz d) abcde

Pamėgink

TAIKYK

119


1 x260

x + 2 + 6 + 0 = x + 8


1260 4260 7260

2 y265y + 2 + 6 + 5 = y + 13


2265 5265 8265











PamėginkPamėgink


1 6 = 016666 = 01(6)

1 7 = 0142857142857142 = 0(142857)

120



x = 025656 | 10 1 1

10x = 2565656 (1)

10x = 2565656 | 100 2 2

1000x = 2565656 (2)


x = 256 ndash 21000 ndash 10

x = 254990 = 127

495

32(56) = 3 256 ndash 2103 ndash 101 = 3 127

495 1 3






Išreiškiame x


Atsakymas 32(56) = 3 127495

Pavyzdys

021(8) = 218 ndash 21103 ndash 102 = 197

900 0(4) = 4 ndash 0101 ndash 100 = 4

9 2 3

0123(45) = 12345 ndash 123105 ndash 103 = 679

5500 0(56) = 56 ndash 0102 ndash 100 = 56

99 3 5








a) 0(7) b) 05(7) c) 214(8) d) 03(12)


Pamėgink

Pavyzdžiai

121


x = 025656 | 10 1 1

10x = 2565656 (1)

10x = 2565656 | 100 2 2

1000x = 2565656 (2)


x = 256 ndash 21000 ndash 10

x = 254990 = 127

495

32(56) = 3 256 ndash 2103 ndash 101 = 3 127

495 1 3






Išreiškiame x


Atsakymas 32(56) = 3 127495

Pavyzdys




1 2 000 000 000 = 12 ∙ 1010 10 vietų

0000006 1 = 61 ∙ 10ndash6 6 vietos



Pavyzdys


a + b = 24 1025 + 12 1025 = = 36 1025

a + c = 24 1025 + 5 1024 = = 24 1025 + 05 1025 = 29 1025

a b = (24 1025) (12 1025) = = (24 12) (1025 1025) = 288 1050

b c = 12 1025

5 1024 = 024 101 = 24





Pavyzdys


Pamėgink



Pamėgink

122





KMI = 601682 asymp 60


Pavyzdys

∆x = |x ndash a|






|a| 100







Pamėgink

123










KMI = 601682 asymp 60


Pavyzdys



a) 1 7 = 014 2 857 asymp 014


3 7 = 042 8 571 asymp 043

gt 5

artinys a = 043



Pavyzdys

b) ∆x = |1 7 ndash 014| = |50 ndash 49

350 | =

= | 1350| = 1

350

∆x = 1350 lt 00028 lt 0003

δ = ∆x|a| =

1350

750

= 1350 50

7 = 149

δ = 149 100 asymp 2041 lt 21




UŽDAVINIAI



Pamėgink

124



Įrodyk kad



Pagrįsk teiginius















125




d) 0(32) 0(4) e) 0(493) 07(45) f) 0(285714) 01(3)04(6) 4(9)

g) 2(8) ndash 0(4) h) 1(27) ndash 03(4) i) 0(917) + 03(614)

j) 0(57) 0(6) k) 0(267) 03(12) l) 0(53) 02(9)332(4) + 1(21)

Palygink skaičius

a) 1 6 ir 3


12






d) 0002096 1012

524 e) 08128 1024

254 10ndash14 f) 0027 1021 ndash 631 1017

g) 1890 00105 h) 00045 1017 i) 000007 10ndash16

j) 000010288016 1017 k) 5139645 10ndash13

7895 10ndash34 l) 760 1012 ndash 0003 1015


a) 5 6 h = 01 b) 2

7 h = 000001 c) 3 h = 01 d) 6 h = 001

e) 4 13 h = 001 f) 3

11 h = 0001 g) 11 h = 000001 h) 8 h = 000001


a) 1 9 h = 01 b) 2 h = 001 c) 3

11 h = 001 d) 10 h = 0001

126

1 variantas




6 reikšmė

A 7 6 B 1

6 C 75 D 74




❻ Apskaičiuok

a) (134)ndash 2 b) 7503

63 c) (33

4 9ndash 14)ndash4

d) ( 27 ndash 2 3 + 75) 3

e) 5( 3 ndash 7)2

5 ndash 21 f) ( 00001

81 ) ndash 34 10ndash4 g) ( 160

15

121502) ndash2

h) 23 ( 43 ndash 163 )



3









PASITIKRINK

127





2 variantas



A 4ndash 34 = 4

43 B 4ndash

34 = 1

644 C 4ndash

34 = 1

43 D 4ndash 34 = 1

2563


1417 reikšmė

A 1514 B 1 1

196 C 1415 D 1415





❻ Apskaičiuok


14 b) 2 8

16 8

4

3

3 88 c)

8113 + 3

73

33 + 813 + 21873

d) 53 + 2a 43 + 2a

202a + 2 e) 31 ndash 2 5 9 5 f) 17 ndash 338 33 + 178

❼ Suprastink

a) ( 182 ndash 13

ndash 2011 ndash 1

+ 2413 ndash 1) ( 1

2 + 11 )ndash1 b) (3 ndash 7)

12(3 + 7)

12

c) 1 + 3 + 32 + 33 + 34 + + 315







128









m4 + 3m3 + 23 (p ndash 4)(p ndash 12)

27 53



narys narys narys

trinaris




m + 2



7 ndash p + 3


racionalieji

iracionalieji


SUSIPAŽINK

129












Įsimink



② ne 0

③ 2n 0

④ 2n gt 0

⑤mn gt 0



Pavyzdžiai


1) (2 ndash x2)(2 + x2)x ndash 5 2) 2

5x 2 ndash 37x + 4

3) 23 x 2 ndash 5x ndash 813 4) 7

c ndash 2

c + 1 + c + 2

33

5) 2x2 ndash 5x ndash 325 6) (3 + x)(12 + x)

(x ndash 5)x

7) y3

3 + 3y23 8) 3y2 + 2

y2 + 5y ndash 6


Pamėgink

130



x(x ndash 4) ne 0







x 25x ne ndash1









x ne ndash3


(x + 7)(x ndash 7) lt 0








Pavyzdžiai


a) 03x ndash 1 3 b) 2

7x3 + 1 9x2 + 0(4)x ndash 12

c) 2 + 4x x + 3 d) 2 + 4x

x2 ndash 25

Pamėgink

131



3 c) 3 x ndash 36



12 ndash 2x g) x


x2 ndash 1









e) x13 ndash 1 f) 1



2x2 ndash 50



m) 2x + x25 n) x + 2

3 5 o) 2x + 1

x2 ndash 9 p) 12x + x + 4




a + 3 d) 4x


e) (3x ndash 1)ndash134 f) 5x + 40 3

1 ndash x2 g) 4




2 ndash a l) 35k + 21 6

2k + 34


1 ndash p2 n) 2x + 10


x + 5 p) 4 ndash 12x2 + 4 5x + 403

UŽDAVINIAI



b) x + 24

3 ndash x6



x2 ndash 1


Pamėgink

132











23 + xndash

13)

x 13 (x

23 + xndash

13) = x

13 x

23 + x

13 xndash

13 =

= x 13 +

23 + x

13 ndash

13 = x

33 + x0 = x + 1



Atsakymas x + 1









Pavyzdžiai

IŠMOK

133




a) x43 = x3 x3 = x x3

b) x94 = x4 x4 x4 = x2 x4

x94 = x 94 = x2

14 = x2 x4

c) x6y6 = x6 y6 = x y6





Pavyzdys



Įsiminka2n2n = |a|



(x ndash 4)44 + (x ndash 2)33 =




Pavyzdžiai


a) ( x 14 ndash 1 )( x



Pamėgink




Pamėgink

134









a) x y3 = x3y3

b) a b4 = a4b4










Pavyzdžiai

Suprastink



Pamėgink


a) a3 a4 (a gt 0) b) ab2 a3 (a b gt 0)


Pamėgink

135



Įsimink





= ndash x7y 46




Pavyzdys




① (a + b)2 = a2 + 2ab + b2



④ (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3


⑥ a3 + b3 = (a + b)(a2 ndash ab + b2)





Pamėgink


136



(2x + 3)3 = a b



Sprendimas


Atsakymas 8x3 + 36x2 + 54x + 27


( 2 ndash 2 3 )3 = a b



Sprendimas



Pavyzdžiai


8x6 + 60x4y + 150x2y2 + 125y3 =

= (2x2)3 + 3 (2x2)2 (5y) + 3 (2x2) (5y)2 + (5y)3 = a3 a2 b a b2 b3

= (2x2 + 5y)3




Pavyzdys


a) (m ndash 5n)3 b) (2x + 2)3c) ( 3 + 2)3 d) (2 2 + 2)3

Pamėgink




52


Pamėgink

137
















Pavyzdys








Pavyzdys




Pamėgink

138







a) 8x6 ndash a3b9 = (2x2)3 (ab3)3

= (2x2)3 ndash (ab3)3 = a3 b3


= (2x2 ndash ab3)(4x4 + 2x2ab3 + a2b6)






= ( x3 ndash y3 )( x23 + xy3 + y23 )








Taikome 7 formulę

Pavyzdys







Pamėgink



Pamėgink

139



x1 = 1 ndash 81 20 = ndash 2 5 x2 = 1 + 81

20 = 1 2


5) =

= 2 5(x ndash 1 2)(x + 2

5) =

= (2x ndash 1)(5x + 2)





Pavyzdys

Grupavimo būdas









Pavyzdys


= (x + y)(a + b)




++



Pamėgink




Pamėgink

140



6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys




ab + c

d = ad + bcbd

ab ndash c

d = ad ndash bcbd



x + y


Pamėgink

Suprastink




2x ndash 10


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys

3

141


6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys





ab middot c


ab c

d = ab middot d




x ndash y


x2 + y2

x ndash y =


x ndash yx2 + y2 =


x2 + y2 =


= x + y

Sprendimas


Pavyzdžiai

Suprastink

a) 1x x + x

+ xx + 1

b) 6 xx ndash 3

ndash 3x + 3


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys



x ndash yx + y


=


( x + y )( x ndash y ) =



x ndash y

Sprendimas




Pavyzdys

x ndash y x + y

142


UŽDAVINIAI




Suprastink

a) x12 middot x

14 b) (x4

5)3

c) (x23 middot x

15)15

d) x13

xndash 23

e) (x23)

34


n3)6n

h) (b2n bndash075n

bndash05n )ndash4n

i) y 13 middot y

23 j) (x2)

13 k) y

25


27)35

m) (y27)175


n2 o) (x

n4 middot x

n8)8

p) (xndash 56 n x3n

x 43 n )ndash6n




a) ( 3x + 1 ndash 4



Pamėgink


1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









2(1 + 3x) 1 ndash 3x2

143

Suprastink




a) 4 x 3 z 2y 6 4 y ndash2


a 3 b 5a 5

d) 5 a 5 c 2b 2 5 b ndash3


y 4 y 3x 6




a) 12x3y 3x2y b) 16x2y3 3x2y3 c) 144x 5y 124


12y23

e) 63x 5y 3 28x2y f) 8x2y5 4x 3y 45 g) 250xy 74

18x17y24 h) 3x 6y 83

ndash81y23









3b)3 h) (2 2 ndash 3 3)3

i) (3x ndash 4)3 j) (5x + 2)3 k) ( x3 + 1)3 l) ( x6 + x3 )3


p) (x 2 ndash 2)3



1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









144




14 ndash x

14y

34 g) n n + n h) x

34 ndash x



13 ndash x

13y




12 d) xn ndash yn




32 h) y + x 34




a) x + 3x + 4 b) x 3

x 4 c) (x + 2) 3(x + 2) + x d) (x + 2) ndash (x + 3)

(x + 2) + (x + 3)


x + 2 g) x + 1(x + 1)2 h) x 3 + 4

x 4 + 3

i) 6 xx 5 j) x + 1


b x + a



x ndash 5








b ndash a








a) ab ndash b2

2b b) x2 ndash y2





2x ndash 5y








a) x x ndash x


c) a ndash 1a + 1


e) x x + xx


g) x 6 ndash y 6



a) xy + y


x2 + 2x + 1 c) 3x + 1 + x + 5


d) 3x2 + 9x + 14 + 5

2x2 + 15x + 7 e) x ndash x2



x ndash 2

g) 2x2




x3 + 2x + 2x2 + 4 + 1x2 + 2

145

j) 1x(x + 1) + 1

x + 1 k) 6x2 ndash 9 + 9

x2 ndash 6x + 9 l) 4x + 2 + x + 6


m) 6x2 + 11x + 24 + 4








x ndash 3

Suprastink

a) x x ndash 2

ndash 2x + 2

b) 3


a ndash 9 c) x 12

x05 + 1 ndash 1

x05 ndash 1 d) 2

x + 2 + x

x ndash 2 ndash 4 x

x ndash 4

e) 11 + x

ndash 11 ndash x

f) 1a4 ndash 1

+ 1a4 + 1

g) 3

x 12 + 3 ndash x05

x05 ndash 3 h) x

81 ndash x ndash 9

x + 9 + x

x ndash 9

Suprastink

a) 16x2y5










3x j) x + 3x2 + 6x x2 ndash 9


x






3x + 4

e) 5 ndash 2

x ndash 3

4 ndash 1x ndash 3









1 + 3x

1 ndash 6x

m) 3 + 2

x + 4

5 ndash 1x + 4



2x + 2 ndash 1) 6x ndash 6 x + 1 p) ( 1

x ndash 1 ndash x + 1x2 + x + 1) (1 + 1

x3 ndash 1)





y ndash x ndash2








a13 + b



x + 1 + 1 ndash x )


16) xy 46 e) ( 1


x13 ndash 1

+ x13) middot x

13 ndash 1

x23 ndash 1

g) y ndash x

x23 + (xy)13 + y

23 + x

23 ndash y23

x3 ndash y13

h) x13y

13 x

13 y ndash y

13 x



y ndash z )ndash1

j) (x15 + x25

1 + x + 1) 1 ndash x3



ndash b a a + b

+ 3ab ndash b2

a ndash b

m) a + ba ndash b

ndash a + ab a + b

n) a + 1a a + a + a

1a2 ndash a




x05 ndash 1 r) ( 2 + x14


14


x34 s) 1x3 + y3 ndash x3 + y3

x23 ndash (xy)

13 + y

23




ndash 13


x + 1x x ndash 1

+ 2 x

146










6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai

TAIKYK

147




6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai







Sprendimas






2b + 1 ndash 6ab




PamėginkPamėgink





sin2 α

|v| = 2ghsin2 α

v = 2ghsin2 α


Išreiškiame v2




lg = T

2π

lg = ( T

2π )2

lg = T2

4π2gl = 4π2

T2

g = 4π2 middot lT2






Pavyzdžiai

148




p



f = 1F



c

1 + vc


R



P + ET


ndash 1)( 1R1

ndash 1R2)




y


12 = mgh2 + mv2

22


2



y + 24


n21 ndash 1

n22)








PamėginkPamėgink

UŽDAVINIAI

149












150

1 variantas


A 215a + b B 215 + a ndash b


b



A x = 3 B x = 0 C x = ndash3 D x = 9





a) x ndash 32 7 + 4


12 d) 3x ndash 27

x2 ndash 1






a) 32x 94 b) 81x7y 63 c) x 12y 345 d) x 17y 246






PASITIKRINK

151








a middot 5 + 9


⓭ Suprastink


m2 + n2 m2 ndash n2

4mn c) xx + 4 + 4


2 variantas


b2 =

A 140 B 142 C 145 D 146


A 00625 B 0 C 0125 D 025





15x3

c) 04x ndash 10x2 + 145 d) ( 205

10 ndash 5a)ndash18

❺ Pakelk kubu

a) (2 + 2 )3 b) (2 3 + 3 )3 c) (x 2 ndash y3 2 )3



❼ Suprastink




❾ Suprastink

a) 64x6 + 216y6



ndash 52 ndash x






4 kai y lt 0

152


❶Apskaičiuok

a) ( 7 ndash 5 23 + 7 + 503 ) middot 9 b) (3 + 2 5 4


54 + 1



❷Įrodyk teiginį

a) jei x23 + y

23 = a

23 tai x2 + x 4y 23 + y2 + x 2y 43 = a















+ ndash

bf middot xy = gcg

= = =

eec + bcyy = bfbe


153



A 40 B 250 C 225 D 2500


A 2600p B 10400 + p100 C 104p D 5200

100 + 2p








A 545 = 1

54 B 545 = 5

54 C 545 = 31254 D 5

45 = 6255


p ndash 1




x + 4 D 1x + 4



A a = 1 b = 5 B a = 2 b = 3 C a = 1 b = 4 D a = 3 b = 2




A 8 3 cm B 8 3 3 cm C 4

3 cm D 4 3 3 cm


A 56 B 60 C 64 D 112


154











+ 2 ndash x 2 + x





išraišką T(x)




1200 cm2


155












2



105


4

325 = 2


16625

4 = 25



(25)4

= 16625 todėl 16

6254 = 2

5

Pavyzdys


4


PamėginkPamėgink






①Laipsnius 215 3


215 = 215 = 25

337 = 337

5125 = 554 = 554


3

Sprendimas



3

②Šaknis 37 358 1a7


37 = 317 = 317

358 = 358 = 30625

1a7


Sprendimas



Pavyzdžiai





PamėginkPamėgink

106
















UŽDAVINIAI

107











a) 00016256

4 b) 000864

3 c) 05 d) ndash 116

4


325 h) 04

i) 116

4 j) ndash 11024

5 k) ndash15 l) 000014

m) 0002435 n) 81625

4 o) 011 p) 000164


a) 325 203 5ndash05 (1

3)ndash25 b) 2

17 307 6ndash02 (1

5)ndash15


a) 225 122 473 1

33 b) 357 1

323 77 7

95



13 c) 16

625 000814 d) 00625ndash 34

e) 71932

5 (49)ndash05

f) 10ndash5 3 200 0005 g) ( 127)ndash

13 7293 h) (00016

00625)ndash 34 ( 15625

643 )ndash1

i) (1681)ndash

34 32

15 j) 8ndash

23 27

13 k) (00001

625 )ndash 34 10ndash3 l) 7348

4864 (27

9)ndash 12

m) 1024ndash 1

10 (18)

13 n) 56

1893 o) ( 81

625)ndash 14 0216

13 p) (1

2)ndash5 025

ndash 123

108










čia a b c d 0


2 18 + 2 12 ndash 3 8 + 75 =

= 2 9 ∙ 2 + 2 4 ∙ 3 ndash 3 4 ∙ 2 + + 25 ∙ 3 == 2 3 2 + 2 2 3 ndash 3 2 2 ++ 5 3 =

= 6 2 + 4 3 ndash 6 2 + 5 3 =

= 6 2 ndash 6 2 + 4 3 + 5 3 = = 9 3





Atsakymas 9 3

Pavyzdžiai

IŠMOK

109


(3 2 ndash 3 )(2 5 ndash 1) =



(3 2 ndash 3 )(2 5 ndash 1)




(3 5 ndash 2 3 )2 =

= (3 5 )2 ndash 2 ∙ 3 5 ∙ 2 3 + (2 3 )2 = a2 a b b2

= 9 5 ndash 2 3 2 5 ∙ 3 + 4 3 =

= 45 ndash 12 15 + 12 = 57 ndash 12 15

Sprendimas




Atlik veiksmus

a) 44 + 2 99 + 3 45 ndash 20 b) (2 3 ndash 3 2 )( 2 + 3 )

c) 2592 ndash (6 + 3 2 )2 d) (5 2 ndash 3 ) 2 2 + ( 2 + 3 )2


PamėginkPamėgink



a gt 0 Pavyzdžiui 22 = 4 = 2 52 = 5


( alt 0 )2

gt 0

= | a |

gt 0lt 0lt 0

= ndasha

gt 0lt 0lt 0



Įsimink



110






= a ∙ bb ∙ b

= a bb

čia b gt 0


ax ndash y








Sprendimas




Pavyzdys

Apskaičiuok




Pamėgink



23 = 2 3

3 3 = 2 3

3

Sprendimas


Atsakymas 2 33

Pavyzdžiai

ndash = ∙ ( + )

( ndash ) ∙ ( + )

= ∙ ∙

= ∙

111



21 ndash 3

= 2(1 + 3)(1 ndash 3)(1 + 3) =

= 2(1 + 3)12 ndash ( 3)2 = 2(1 + 3)

1 ndash 3 =

= 2(1 + 3)ndash2

= ndash1 ndash 3

Sprendimas





a n a ne 0



Taisyklė Pavyzdys

a0 = 1 20 = 1


22 = 14 (2

3 )ndash1

= 32





(ab )

n = a n

b n (23 )

ndash4 = 2 ndash4

3 ndash4 = 3 42 4 = 81

16 = 5 116


(ndash 210 )ndash3


=

= (ndash 15 )ndash3

+ (ndash 12 )ndash2

=


Sprendimas




Atsakymas ndash121

Pavyzdžiai


a) 112

b) 23 + 1

c) 3 ndash 2 52 3 + 5


Pamėgink

112


Įsimink

① ( an )n = a

② abn = an bn

③ ab

n = an

bn

④ akn = ank

⑤ ( an )k = akn

⑥ amknk = amn

⑦ amn = amn

Apskaičiuok



Pamėgink


Taisyklė Pavyzdys

( an )n = a ( 33 )3 = 3


abn = an bn 27 643 = 273 643 = 3 4 = 1245 85 = 325 = 2



ab

n = an

bn b ne 0 81625

4 = 814

6254 = 35

645

25 = 642

5 = 325 = 2


akn = ank 53 = 56




( an )k = akn ( 33 )2 = ( )233 = 33

8154 = ( 814 )5 = 35 = 243


amknk = amn a1215 = a3 43 5 = a45


amn = amn

223 = 223


113


Įsimink



(1 ndash 3)24 =

= (1 ndash 3)22 2 = |1 ndash 3| =


Sprendimas



Atsakymas 3 ndash 1

Pavyzdys


3 8 24 = 3 82 middot 24 = 15366

7 193 = 73 middot 193 = 65176

15366 lt 65176

3 8 24 lt 7 193





Pavyzdys


a) ( 315 )15 b) 16 ∙ 000014 c) 64729

6

d) 234 e) ( 33 )2 f) 248

g) ( 33 )3 ndash ( 55 )5 h) 015 ∙ 000015 i) 7295

35

j) 23 + 23 k) ( 243 )4 l) 23 + 226

m) 75881

4 + ( 234 )4

n) 24 ∙ 84 + 6253

53 o) 23

( 43 )2

p) 253

235 r) ( 23 )12 s) 21530 + 248


Pamėgink



Pamėgink

114



2 324 ndash 1624 + 12504 =

= 2 16 24 ndash 81 24 + 625 24 =

= 2 2 24 ndash 3 24 + 5 24 =

= 4 24 ndash 3 24 + 5 24 = 6 24

Sprendimas




Atsakymas 6 24


Taisyklė Pavyzdys

a0 = 1 1250 = 1


12 = (6

5)ndash 12 = (5

6) 12 = 5

6

am an = am + n 2 12 2

12 = 2

12 +

12 = 21 = 2


32 = 3212 ndash 1 = 3202 = 3215 = 325 = 2

(an)m = amn (202)5 = 21 = 2

(ab)n = an bn 216 13 = (8 27)

13 = 8

13 27

13= 2 3 = 6

(ab )

n = a n

b n ( 2566561)0125 = 2560125

65610125 = (28)0125

(38)0125 = 23


Įsimink

① a0 = 1

② andashn = 1a n

③ am an = am + n


⑤ (an)m = amn

⑥ (ab)n = an bn

⑦ (ab )

n = a n

b n b ne 0

❶ Palygink

a) 4 2 33 ir 3 2 3 b) 4 3 33 ir 3 3 34

❷ Suprastink

a) 323 ndash 1083 b) 23 7684 + 484


Pamėgink

115

⓱ Apskaičiuok

a) 8 ∙ 32 b) 3 + 3 + 3 3 c) 18 + 50



m) 3 + 6 2 n) 2( 8 ndash 2) o) (3 ndash 5 7)2


⓲ Apskaičiuok



g) 32 +2 + ∙ 32 +2 ndash ∙ 2 + 3 h) (3 + 2 2)2016 ∙ (3 ndash 2 2)2016



⓴ Apskaičiuok





Apskaičiuok




a) 25

b) 57 5

c) 35 ndash 2

d) 113 5 ndash 2 3

e) 37

f) 72 7

g) 27 ndash 5

h) 102 7 ndash 3 2

UŽDAVINIAI

Atlik veiksmus

a) (13)ndash 02 b) 1613 16ndash105 c) 515

505


32 e) 3 ndash

14 27 ndash

14 f) 605

305

g) ( 149)ndash

12 ndash (1


23 5ndash

32 5ndash

156 i) 2

13(4

13 + 32

13)

j) (12ndash075


12 (3 + 2)

12


Pamėgink

116


Apskaičiuok

a) 27 ndash 5

+ 47 + 5

b) ( 25 ndash 2

+ 45 + 2) ∙ 1

6 5 ndash 4

c) 36 ndash 3

+ 96 + 3

d) ( 27 ndash 2

+ 47 + 2) ∙ 3

6 7 ndash 4

Apskaičiuok

a) 1 + 2

21 ndash 2

2

+ (2 + 2)2

2 b) ( 43 + 5

ndash 32 + 7

+ 114 ndash 5) (9 ndash 7)

c) 21 ndash 4 5 21 + 4 5

ndash 1921 + 4 5

d) ( 127 ndash 1

ndash 85 ndash 1

+ 62 ndash 7) ∙ (2 5 + 4)ndash1

e) 1 + 3

3

1 ndash 33

+ (1 ndash 3)2

2 f) ( 25 ndash 3

+ 63 ndash 3

+ 12 ndash 5) ∙ (2 3 ndash 1)

g) 4 + 2 3 4 ndash 2 3

ndash 12 ndash 3

h) ( 45 ndash 1

ndash 35 ndash 2

+ 605 ndash 5) ∙ ( 5(1 + 2 5))ndash1

Apskaičiuok






3ndash4

Apskaičiuok


53 26


14) ndash2


i) 36 210 57

605




a) 8 ∙ 95 ∙ 4 ∙ 275 b) 2185 2145

2175 c) ( 23 )6 ndash ( 34 )2


j) 9 ∙ 43 ∙ 3 ∙ 163 k) 3174 3244

3214 l) ( 34 )8 ndash ( 24 )2


Apskaičiuok



117


a) 3 2 b) 2 34 c) 04 100004 d) 13 544

e) 5 3 f) 3 23 g) 25 100004 h) 2 25



Suprastink


Apskaičiuok


c) 4 ndash 2 36 1 + 33 43 d) 3( 3 ndash 7 )2

10( 5 + 214 )( 5 ndash 214 )

e) (1 + 2)2 + 44 f) 3 ndash 2 26 2 + 23 326


20( 154 + 2)( 154 ndash 2)


a) 25013

213

b) (313)3

ndash (205)4 c) 3025 27025 ndash 213 4

13 d) 3

13 (32

3 + 1)e) (4025 ndash 405)4 f) (23

2 + 1)2

g) (314 + 3

12) (31

4 ndash 312) h) (51

6 + 514) (51

6 ndash 514)

i) 16214

125013 j) (41

4)8

ndash (405)3 k) 214 8

14 ndash 3

13 9

13 l) (23

4 + 1) 214

m) (805 ndash 3205)2 n) (314 + 1)2

o) (414 + 1) (41

4 ndash 1) p) (1 + 314) (31

4 ndash 1)


a) 8 435 b) 2 4 16 4

3

3 4 c) 777 493 d) 8

274 3

26 312 26

e) 23 484 2ndash33 f) 1253 5255 g) 53 553

023 h) 125 53 54 3 1

515

15

Apskaičiuok


15 3 + 1 + 15 3 b) ( 10) 2 ndash ( 5 ) 2

( 2 ) 2 ndash 1


43 + 0008 ndash

13 d) (2 2 ndash 3 27) (23

2 + 9 3) + ( 1 4096) ndash

12( 4 3)ndash1

e) ((243 93 )14 ndash 3(3 34 )

13) 3 ndash

512 f) 3 + 63 9 ndash 6 26 ndash 33

g) 13 2 + 13 2 + 2

3 middot 13 2 ndash 13 2 h) ( 6 ) 2 + 2 2

( 3 ) 2 + ( 2 ) 2

i) ( 1 27) ndash 13 + 2 00016 ndash

14 + ( 1 81)ndash075 00640 j) 00001ndash

14 + ( 1

125) ndash 43 ndash 81075 1

9 ndash05

k) 84

74 4 ndash 24 4 + 24 l) ((31

2 + 1)2

ndash (4 + 312)33 )

12

ndash 2 cos 30deg

118


5 2 8 6 2 3 5

Tūks

tanč

ių sk

yriu

s

Šim

tų sk

yriu

s

Dešim

čių sk

yriu

s

Vien

etų

skyr

ius

Dešim

tųjų

skyr

ius

Šim

tųjų

skyr

ius

Tūks

tant

ųjų

skyr

ius



743 956 = 7 105 + 4 104 + 3 103 + 9 102 + 5 10 + 6






x4y = 4xy ndash 270 (1)

x4y = 100x + 40 + y

4xy = 400 + 10x + y

100x + 40 + y = 400 + 10x + y ndash 270







Pavyzdžiai


a) 287 b) 987 145 c) xyz d) abcde

Pamėgink

TAIKYK

119


1 x260

x + 2 + 6 + 0 = x + 8


1260 4260 7260

2 y265y + 2 + 6 + 5 = y + 13


2265 5265 8265











PamėginkPamėgink


1 6 = 016666 = 01(6)

1 7 = 0142857142857142 = 0(142857)

120



x = 025656 | 10 1 1

10x = 2565656 (1)

10x = 2565656 | 100 2 2

1000x = 2565656 (2)


x = 256 ndash 21000 ndash 10

x = 254990 = 127

495

32(56) = 3 256 ndash 2103 ndash 101 = 3 127

495 1 3






Išreiškiame x


Atsakymas 32(56) = 3 127495

Pavyzdys

021(8) = 218 ndash 21103 ndash 102 = 197

900 0(4) = 4 ndash 0101 ndash 100 = 4

9 2 3

0123(45) = 12345 ndash 123105 ndash 103 = 679

5500 0(56) = 56 ndash 0102 ndash 100 = 56

99 3 5








a) 0(7) b) 05(7) c) 214(8) d) 03(12)


Pamėgink

Pavyzdžiai

121


x = 025656 | 10 1 1

10x = 2565656 (1)

10x = 2565656 | 100 2 2

1000x = 2565656 (2)


x = 256 ndash 21000 ndash 10

x = 254990 = 127

495

32(56) = 3 256 ndash 2103 ndash 101 = 3 127

495 1 3






Išreiškiame x


Atsakymas 32(56) = 3 127495

Pavyzdys




1 2 000 000 000 = 12 ∙ 1010 10 vietų

0000006 1 = 61 ∙ 10ndash6 6 vietos



Pavyzdys


a + b = 24 1025 + 12 1025 = = 36 1025

a + c = 24 1025 + 5 1024 = = 24 1025 + 05 1025 = 29 1025

a b = (24 1025) (12 1025) = = (24 12) (1025 1025) = 288 1050

b c = 12 1025

5 1024 = 024 101 = 24





Pavyzdys


Pamėgink



Pamėgink

122





KMI = 601682 asymp 60


Pavyzdys

∆x = |x ndash a|






|a| 100







Pamėgink

123










KMI = 601682 asymp 60


Pavyzdys



a) 1 7 = 014 2 857 asymp 014


3 7 = 042 8 571 asymp 043

gt 5

artinys a = 043



Pavyzdys

b) ∆x = |1 7 ndash 014| = |50 ndash 49

350 | =

= | 1350| = 1

350

∆x = 1350 lt 00028 lt 0003

δ = ∆x|a| =

1350

750

= 1350 50

7 = 149

δ = 149 100 asymp 2041 lt 21




UŽDAVINIAI



Pamėgink

124



Įrodyk kad



Pagrįsk teiginius















125




d) 0(32) 0(4) e) 0(493) 07(45) f) 0(285714) 01(3)04(6) 4(9)

g) 2(8) ndash 0(4) h) 1(27) ndash 03(4) i) 0(917) + 03(614)

j) 0(57) 0(6) k) 0(267) 03(12) l) 0(53) 02(9)332(4) + 1(21)

Palygink skaičius

a) 1 6 ir 3


12






d) 0002096 1012

524 e) 08128 1024

254 10ndash14 f) 0027 1021 ndash 631 1017

g) 1890 00105 h) 00045 1017 i) 000007 10ndash16

j) 000010288016 1017 k) 5139645 10ndash13

7895 10ndash34 l) 760 1012 ndash 0003 1015


a) 5 6 h = 01 b) 2

7 h = 000001 c) 3 h = 01 d) 6 h = 001

e) 4 13 h = 001 f) 3

11 h = 0001 g) 11 h = 000001 h) 8 h = 000001


a) 1 9 h = 01 b) 2 h = 001 c) 3

11 h = 001 d) 10 h = 0001

126

1 variantas




6 reikšmė

A 7 6 B 1

6 C 75 D 74




❻ Apskaičiuok

a) (134)ndash 2 b) 7503

63 c) (33

4 9ndash 14)ndash4

d) ( 27 ndash 2 3 + 75) 3

e) 5( 3 ndash 7)2

5 ndash 21 f) ( 00001

81 ) ndash 34 10ndash4 g) ( 160

15

121502) ndash2

h) 23 ( 43 ndash 163 )



3









PASITIKRINK

127





2 variantas



A 4ndash 34 = 4

43 B 4ndash

34 = 1

644 C 4ndash

34 = 1

43 D 4ndash 34 = 1

2563


1417 reikšmė

A 1514 B 1 1

196 C 1415 D 1415





❻ Apskaičiuok


14 b) 2 8

16 8

4

3

3 88 c)

8113 + 3

73

33 + 813 + 21873

d) 53 + 2a 43 + 2a

202a + 2 e) 31 ndash 2 5 9 5 f) 17 ndash 338 33 + 178

❼ Suprastink

a) ( 182 ndash 13

ndash 2011 ndash 1

+ 2413 ndash 1) ( 1

2 + 11 )ndash1 b) (3 ndash 7)

12(3 + 7)

12

c) 1 + 3 + 32 + 33 + 34 + + 315







128









m4 + 3m3 + 23 (p ndash 4)(p ndash 12)

27 53



narys narys narys

trinaris




m + 2



7 ndash p + 3


racionalieji

iracionalieji


SUSIPAŽINK

129












Įsimink



② ne 0

③ 2n 0

④ 2n gt 0

⑤mn gt 0



Pavyzdžiai


1) (2 ndash x2)(2 + x2)x ndash 5 2) 2

5x 2 ndash 37x + 4

3) 23 x 2 ndash 5x ndash 813 4) 7

c ndash 2

c + 1 + c + 2

33

5) 2x2 ndash 5x ndash 325 6) (3 + x)(12 + x)

(x ndash 5)x

7) y3

3 + 3y23 8) 3y2 + 2

y2 + 5y ndash 6


Pamėgink

130



x(x ndash 4) ne 0







x 25x ne ndash1









x ne ndash3


(x + 7)(x ndash 7) lt 0








Pavyzdžiai


a) 03x ndash 1 3 b) 2

7x3 + 1 9x2 + 0(4)x ndash 12

c) 2 + 4x x + 3 d) 2 + 4x

x2 ndash 25

Pamėgink

131



3 c) 3 x ndash 36



12 ndash 2x g) x


x2 ndash 1









e) x13 ndash 1 f) 1



2x2 ndash 50



m) 2x + x25 n) x + 2

3 5 o) 2x + 1

x2 ndash 9 p) 12x + x + 4




a + 3 d) 4x


e) (3x ndash 1)ndash134 f) 5x + 40 3

1 ndash x2 g) 4




2 ndash a l) 35k + 21 6

2k + 34


1 ndash p2 n) 2x + 10


x + 5 p) 4 ndash 12x2 + 4 5x + 403

UŽDAVINIAI



b) x + 24

3 ndash x6



x2 ndash 1


Pamėgink

132











23 + xndash

13)

x 13 (x

23 + xndash

13) = x

13 x

23 + x

13 xndash

13 =

= x 13 +

23 + x

13 ndash

13 = x

33 + x0 = x + 1



Atsakymas x + 1









Pavyzdžiai

IŠMOK

133




a) x43 = x3 x3 = x x3

b) x94 = x4 x4 x4 = x2 x4

x94 = x 94 = x2

14 = x2 x4

c) x6y6 = x6 y6 = x y6





Pavyzdys



Įsiminka2n2n = |a|



(x ndash 4)44 + (x ndash 2)33 =




Pavyzdžiai


a) ( x 14 ndash 1 )( x



Pamėgink




Pamėgink

134









a) x y3 = x3y3

b) a b4 = a4b4










Pavyzdžiai

Suprastink



Pamėgink


a) a3 a4 (a gt 0) b) ab2 a3 (a b gt 0)


Pamėgink

135



Įsimink





= ndash x7y 46




Pavyzdys




① (a + b)2 = a2 + 2ab + b2



④ (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3


⑥ a3 + b3 = (a + b)(a2 ndash ab + b2)





Pamėgink


136



(2x + 3)3 = a b



Sprendimas


Atsakymas 8x3 + 36x2 + 54x + 27


( 2 ndash 2 3 )3 = a b



Sprendimas



Pavyzdžiai


8x6 + 60x4y + 150x2y2 + 125y3 =

= (2x2)3 + 3 (2x2)2 (5y) + 3 (2x2) (5y)2 + (5y)3 = a3 a2 b a b2 b3

= (2x2 + 5y)3




Pavyzdys


a) (m ndash 5n)3 b) (2x + 2)3c) ( 3 + 2)3 d) (2 2 + 2)3

Pamėgink




52


Pamėgink

137
















Pavyzdys








Pavyzdys




Pamėgink

138







a) 8x6 ndash a3b9 = (2x2)3 (ab3)3

= (2x2)3 ndash (ab3)3 = a3 b3


= (2x2 ndash ab3)(4x4 + 2x2ab3 + a2b6)






= ( x3 ndash y3 )( x23 + xy3 + y23 )








Taikome 7 formulę

Pavyzdys







Pamėgink



Pamėgink

139



x1 = 1 ndash 81 20 = ndash 2 5 x2 = 1 + 81

20 = 1 2


5) =

= 2 5(x ndash 1 2)(x + 2

5) =

= (2x ndash 1)(5x + 2)





Pavyzdys

Grupavimo būdas









Pavyzdys


= (x + y)(a + b)




++



Pamėgink




Pamėgink

140



6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys




ab + c

d = ad + bcbd

ab ndash c

d = ad ndash bcbd



x + y


Pamėgink

Suprastink




2x ndash 10


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys

3

141


6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys





ab middot c


ab c

d = ab middot d




x ndash y


x2 + y2

x ndash y =


x ndash yx2 + y2 =


x2 + y2 =


= x + y

Sprendimas


Pavyzdžiai

Suprastink

a) 1x x + x

+ xx + 1

b) 6 xx ndash 3

ndash 3x + 3


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys



x ndash yx + y


=


( x + y )( x ndash y ) =



x ndash y

Sprendimas




Pavyzdys

x ndash y x + y

142


UŽDAVINIAI




Suprastink

a) x12 middot x

14 b) (x4

5)3

c) (x23 middot x

15)15

d) x13

xndash 23

e) (x23)

34


n3)6n

h) (b2n bndash075n

bndash05n )ndash4n

i) y 13 middot y

23 j) (x2)

13 k) y

25


27)35

m) (y27)175


n2 o) (x

n4 middot x

n8)8

p) (xndash 56 n x3n

x 43 n )ndash6n




a) ( 3x + 1 ndash 4



Pamėgink


1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









2(1 + 3x) 1 ndash 3x2

143

Suprastink




a) 4 x 3 z 2y 6 4 y ndash2


a 3 b 5a 5

d) 5 a 5 c 2b 2 5 b ndash3


y 4 y 3x 6




a) 12x3y 3x2y b) 16x2y3 3x2y3 c) 144x 5y 124


12y23

e) 63x 5y 3 28x2y f) 8x2y5 4x 3y 45 g) 250xy 74

18x17y24 h) 3x 6y 83

ndash81y23









3b)3 h) (2 2 ndash 3 3)3

i) (3x ndash 4)3 j) (5x + 2)3 k) ( x3 + 1)3 l) ( x6 + x3 )3


p) (x 2 ndash 2)3



1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









144




14 ndash x

14y

34 g) n n + n h) x

34 ndash x



13 ndash x

13y




12 d) xn ndash yn




32 h) y + x 34




a) x + 3x + 4 b) x 3

x 4 c) (x + 2) 3(x + 2) + x d) (x + 2) ndash (x + 3)

(x + 2) + (x + 3)


x + 2 g) x + 1(x + 1)2 h) x 3 + 4

x 4 + 3

i) 6 xx 5 j) x + 1


b x + a



x ndash 5








b ndash a








a) ab ndash b2

2b b) x2 ndash y2





2x ndash 5y








a) x x ndash x


c) a ndash 1a + 1


e) x x + xx


g) x 6 ndash y 6



a) xy + y


x2 + 2x + 1 c) 3x + 1 + x + 5


d) 3x2 + 9x + 14 + 5

2x2 + 15x + 7 e) x ndash x2



x ndash 2

g) 2x2




x3 + 2x + 2x2 + 4 + 1x2 + 2

145

j) 1x(x + 1) + 1

x + 1 k) 6x2 ndash 9 + 9

x2 ndash 6x + 9 l) 4x + 2 + x + 6


m) 6x2 + 11x + 24 + 4








x ndash 3

Suprastink

a) x x ndash 2

ndash 2x + 2

b) 3


a ndash 9 c) x 12

x05 + 1 ndash 1

x05 ndash 1 d) 2

x + 2 + x

x ndash 2 ndash 4 x

x ndash 4

e) 11 + x

ndash 11 ndash x

f) 1a4 ndash 1

+ 1a4 + 1

g) 3

x 12 + 3 ndash x05

x05 ndash 3 h) x

81 ndash x ndash 9

x + 9 + x

x ndash 9

Suprastink

a) 16x2y5










3x j) x + 3x2 + 6x x2 ndash 9


x






3x + 4

e) 5 ndash 2

x ndash 3

4 ndash 1x ndash 3









1 + 3x

1 ndash 6x

m) 3 + 2

x + 4

5 ndash 1x + 4



2x + 2 ndash 1) 6x ndash 6 x + 1 p) ( 1

x ndash 1 ndash x + 1x2 + x + 1) (1 + 1

x3 ndash 1)





y ndash x ndash2








a13 + b



x + 1 + 1 ndash x )


16) xy 46 e) ( 1


x13 ndash 1

+ x13) middot x

13 ndash 1

x23 ndash 1

g) y ndash x

x23 + (xy)13 + y

23 + x

23 ndash y23

x3 ndash y13

h) x13y

13 x

13 y ndash y

13 x



y ndash z )ndash1

j) (x15 + x25

1 + x + 1) 1 ndash x3



ndash b a a + b

+ 3ab ndash b2

a ndash b

m) a + ba ndash b

ndash a + ab a + b

n) a + 1a a + a + a

1a2 ndash a




x05 ndash 1 r) ( 2 + x14


14


x34 s) 1x3 + y3 ndash x3 + y3

x23 ndash (xy)

13 + y

23




ndash 13


x + 1x x ndash 1

+ 2 x

146










6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai

TAIKYK

147




6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai







Sprendimas






2b + 1 ndash 6ab




PamėginkPamėgink





sin2 α

|v| = 2ghsin2 α

v = 2ghsin2 α


Išreiškiame v2




lg = T

2π

lg = ( T

2π )2

lg = T2

4π2gl = 4π2

T2

g = 4π2 middot lT2






Pavyzdžiai

148




p



f = 1F



c

1 + vc


R



P + ET


ndash 1)( 1R1

ndash 1R2)




y


12 = mgh2 + mv2

22


2



y + 24


n21 ndash 1

n22)








PamėginkPamėgink

UŽDAVINIAI

149












150

1 variantas


A 215a + b B 215 + a ndash b


b



A x = 3 B x = 0 C x = ndash3 D x = 9





a) x ndash 32 7 + 4


12 d) 3x ndash 27

x2 ndash 1






a) 32x 94 b) 81x7y 63 c) x 12y 345 d) x 17y 246






PASITIKRINK

151








a middot 5 + 9


⓭ Suprastink


m2 + n2 m2 ndash n2

4mn c) xx + 4 + 4


2 variantas


b2 =

A 140 B 142 C 145 D 146


A 00625 B 0 C 0125 D 025





15x3

c) 04x ndash 10x2 + 145 d) ( 205

10 ndash 5a)ndash18

❺ Pakelk kubu

a) (2 + 2 )3 b) (2 3 + 3 )3 c) (x 2 ndash y3 2 )3



❼ Suprastink




❾ Suprastink

a) 64x6 + 216y6



ndash 52 ndash x






4 kai y lt 0

152


❶Apskaičiuok

a) ( 7 ndash 5 23 + 7 + 503 ) middot 9 b) (3 + 2 5 4


54 + 1



❷Įrodyk teiginį

a) jei x23 + y

23 = a

23 tai x2 + x 4y 23 + y2 + x 2y 43 = a















+ ndash

bf middot xy = gcg

= = =

eec + bcyy = bfbe


153



A 40 B 250 C 225 D 2500


A 2600p B 10400 + p100 C 104p D 5200

100 + 2p








A 545 = 1

54 B 545 = 5

54 C 545 = 31254 D 5

45 = 6255


p ndash 1




x + 4 D 1x + 4



A a = 1 b = 5 B a = 2 b = 3 C a = 1 b = 4 D a = 3 b = 2




A 8 3 cm B 8 3 3 cm C 4

3 cm D 4 3 3 cm


A 56 B 60 C 64 D 112


154











+ 2 ndash x 2 + x





išraišką T(x)




1200 cm2


155












2



106
















UŽDAVINIAI

107











a) 00016256

4 b) 000864

3 c) 05 d) ndash 116

4


325 h) 04

i) 116

4 j) ndash 11024

5 k) ndash15 l) 000014

m) 0002435 n) 81625

4 o) 011 p) 000164


a) 325 203 5ndash05 (1

3)ndash25 b) 2

17 307 6ndash02 (1

5)ndash15


a) 225 122 473 1

33 b) 357 1

323 77 7

95



13 c) 16

625 000814 d) 00625ndash 34

e) 71932

5 (49)ndash05

f) 10ndash5 3 200 0005 g) ( 127)ndash

13 7293 h) (00016

00625)ndash 34 ( 15625

643 )ndash1

i) (1681)ndash

34 32

15 j) 8ndash

23 27

13 k) (00001

625 )ndash 34 10ndash3 l) 7348

4864 (27

9)ndash 12

m) 1024ndash 1

10 (18)

13 n) 56

1893 o) ( 81

625)ndash 14 0216

13 p) (1

2)ndash5 025

ndash 123

108










čia a b c d 0


2 18 + 2 12 ndash 3 8 + 75 =

= 2 9 ∙ 2 + 2 4 ∙ 3 ndash 3 4 ∙ 2 + + 25 ∙ 3 == 2 3 2 + 2 2 3 ndash 3 2 2 ++ 5 3 =

= 6 2 + 4 3 ndash 6 2 + 5 3 =

= 6 2 ndash 6 2 + 4 3 + 5 3 = = 9 3





Atsakymas 9 3

Pavyzdžiai

IŠMOK

109


(3 2 ndash 3 )(2 5 ndash 1) =



(3 2 ndash 3 )(2 5 ndash 1)




(3 5 ndash 2 3 )2 =

= (3 5 )2 ndash 2 ∙ 3 5 ∙ 2 3 + (2 3 )2 = a2 a b b2

= 9 5 ndash 2 3 2 5 ∙ 3 + 4 3 =

= 45 ndash 12 15 + 12 = 57 ndash 12 15

Sprendimas




Atlik veiksmus

a) 44 + 2 99 + 3 45 ndash 20 b) (2 3 ndash 3 2 )( 2 + 3 )

c) 2592 ndash (6 + 3 2 )2 d) (5 2 ndash 3 ) 2 2 + ( 2 + 3 )2


PamėginkPamėgink



a gt 0 Pavyzdžiui 22 = 4 = 2 52 = 5


( alt 0 )2

gt 0

= | a |

gt 0lt 0lt 0

= ndasha

gt 0lt 0lt 0



Įsimink



110






= a ∙ bb ∙ b

= a bb

čia b gt 0


ax ndash y








Sprendimas




Pavyzdys

Apskaičiuok




Pamėgink



23 = 2 3

3 3 = 2 3

3

Sprendimas


Atsakymas 2 33

Pavyzdžiai

ndash = ∙ ( + )

( ndash ) ∙ ( + )

= ∙ ∙

= ∙

111



21 ndash 3

= 2(1 + 3)(1 ndash 3)(1 + 3) =

= 2(1 + 3)12 ndash ( 3)2 = 2(1 + 3)

1 ndash 3 =

= 2(1 + 3)ndash2

= ndash1 ndash 3

Sprendimas





a n a ne 0



Taisyklė Pavyzdys

a0 = 1 20 = 1


22 = 14 (2

3 )ndash1

= 32





(ab )

n = a n

b n (23 )

ndash4 = 2 ndash4

3 ndash4 = 3 42 4 = 81

16 = 5 116


(ndash 210 )ndash3


=

= (ndash 15 )ndash3

+ (ndash 12 )ndash2

=


Sprendimas




Atsakymas ndash121

Pavyzdžiai


a) 112

b) 23 + 1

c) 3 ndash 2 52 3 + 5


Pamėgink

112


Įsimink

① ( an )n = a

② abn = an bn

③ ab

n = an

bn

④ akn = ank

⑤ ( an )k = akn

⑥ amknk = amn

⑦ amn = amn

Apskaičiuok



Pamėgink


Taisyklė Pavyzdys

( an )n = a ( 33 )3 = 3


abn = an bn 27 643 = 273 643 = 3 4 = 1245 85 = 325 = 2



ab

n = an

bn b ne 0 81625

4 = 814

6254 = 35

645

25 = 642

5 = 325 = 2


akn = ank 53 = 56




( an )k = akn ( 33 )2 = ( )233 = 33

8154 = ( 814 )5 = 35 = 243


amknk = amn a1215 = a3 43 5 = a45


amn = amn

223 = 223


113


Įsimink



(1 ndash 3)24 =

= (1 ndash 3)22 2 = |1 ndash 3| =


Sprendimas



Atsakymas 3 ndash 1

Pavyzdys


3 8 24 = 3 82 middot 24 = 15366

7 193 = 73 middot 193 = 65176

15366 lt 65176

3 8 24 lt 7 193





Pavyzdys


a) ( 315 )15 b) 16 ∙ 000014 c) 64729

6

d) 234 e) ( 33 )2 f) 248

g) ( 33 )3 ndash ( 55 )5 h) 015 ∙ 000015 i) 7295

35

j) 23 + 23 k) ( 243 )4 l) 23 + 226

m) 75881

4 + ( 234 )4

n) 24 ∙ 84 + 6253

53 o) 23

( 43 )2

p) 253

235 r) ( 23 )12 s) 21530 + 248


Pamėgink



Pamėgink

114



2 324 ndash 1624 + 12504 =

= 2 16 24 ndash 81 24 + 625 24 =

= 2 2 24 ndash 3 24 + 5 24 =

= 4 24 ndash 3 24 + 5 24 = 6 24

Sprendimas




Atsakymas 6 24


Taisyklė Pavyzdys

a0 = 1 1250 = 1


12 = (6

5)ndash 12 = (5

6) 12 = 5

6

am an = am + n 2 12 2

12 = 2

12 +

12 = 21 = 2


32 = 3212 ndash 1 = 3202 = 3215 = 325 = 2

(an)m = amn (202)5 = 21 = 2

(ab)n = an bn 216 13 = (8 27)

13 = 8

13 27

13= 2 3 = 6

(ab )

n = a n

b n ( 2566561)0125 = 2560125

65610125 = (28)0125

(38)0125 = 23


Įsimink

① a0 = 1

② andashn = 1a n

③ am an = am + n


⑤ (an)m = amn

⑥ (ab)n = an bn

⑦ (ab )

n = a n

b n b ne 0

❶ Palygink

a) 4 2 33 ir 3 2 3 b) 4 3 33 ir 3 3 34

❷ Suprastink

a) 323 ndash 1083 b) 23 7684 + 484


Pamėgink

115

⓱ Apskaičiuok

a) 8 ∙ 32 b) 3 + 3 + 3 3 c) 18 + 50



m) 3 + 6 2 n) 2( 8 ndash 2) o) (3 ndash 5 7)2


⓲ Apskaičiuok



g) 32 +2 + ∙ 32 +2 ndash ∙ 2 + 3 h) (3 + 2 2)2016 ∙ (3 ndash 2 2)2016



⓴ Apskaičiuok





Apskaičiuok




a) 25

b) 57 5

c) 35 ndash 2

d) 113 5 ndash 2 3

e) 37

f) 72 7

g) 27 ndash 5

h) 102 7 ndash 3 2

UŽDAVINIAI

Atlik veiksmus

a) (13)ndash 02 b) 1613 16ndash105 c) 515

505


32 e) 3 ndash

14 27 ndash

14 f) 605

305

g) ( 149)ndash

12 ndash (1


23 5ndash

32 5ndash

156 i) 2

13(4

13 + 32

13)

j) (12ndash075


12 (3 + 2)

12


Pamėgink

116


Apskaičiuok

a) 27 ndash 5

+ 47 + 5

b) ( 25 ndash 2

+ 45 + 2) ∙ 1

6 5 ndash 4

c) 36 ndash 3

+ 96 + 3

d) ( 27 ndash 2

+ 47 + 2) ∙ 3

6 7 ndash 4

Apskaičiuok

a) 1 + 2

21 ndash 2

2

+ (2 + 2)2

2 b) ( 43 + 5

ndash 32 + 7

+ 114 ndash 5) (9 ndash 7)

c) 21 ndash 4 5 21 + 4 5

ndash 1921 + 4 5

d) ( 127 ndash 1

ndash 85 ndash 1

+ 62 ndash 7) ∙ (2 5 + 4)ndash1

e) 1 + 3

3

1 ndash 33

+ (1 ndash 3)2

2 f) ( 25 ndash 3

+ 63 ndash 3

+ 12 ndash 5) ∙ (2 3 ndash 1)

g) 4 + 2 3 4 ndash 2 3

ndash 12 ndash 3

h) ( 45 ndash 1

ndash 35 ndash 2

+ 605 ndash 5) ∙ ( 5(1 + 2 5))ndash1

Apskaičiuok






3ndash4

Apskaičiuok


53 26


14) ndash2


i) 36 210 57

605




a) 8 ∙ 95 ∙ 4 ∙ 275 b) 2185 2145

2175 c) ( 23 )6 ndash ( 34 )2


j) 9 ∙ 43 ∙ 3 ∙ 163 k) 3174 3244

3214 l) ( 34 )8 ndash ( 24 )2


Apskaičiuok



117


a) 3 2 b) 2 34 c) 04 100004 d) 13 544

e) 5 3 f) 3 23 g) 25 100004 h) 2 25



Suprastink


Apskaičiuok


c) 4 ndash 2 36 1 + 33 43 d) 3( 3 ndash 7 )2

10( 5 + 214 )( 5 ndash 214 )

e) (1 + 2)2 + 44 f) 3 ndash 2 26 2 + 23 326


20( 154 + 2)( 154 ndash 2)


a) 25013

213

b) (313)3

ndash (205)4 c) 3025 27025 ndash 213 4

13 d) 3

13 (32

3 + 1)e) (4025 ndash 405)4 f) (23

2 + 1)2

g) (314 + 3

12) (31

4 ndash 312) h) (51

6 + 514) (51

6 ndash 514)

i) 16214

125013 j) (41

4)8

ndash (405)3 k) 214 8

14 ndash 3

13 9

13 l) (23

4 + 1) 214

m) (805 ndash 3205)2 n) (314 + 1)2

o) (414 + 1) (41

4 ndash 1) p) (1 + 314) (31

4 ndash 1)


a) 8 435 b) 2 4 16 4

3

3 4 c) 777 493 d) 8

274 3

26 312 26

e) 23 484 2ndash33 f) 1253 5255 g) 53 553

023 h) 125 53 54 3 1

515

15

Apskaičiuok


15 3 + 1 + 15 3 b) ( 10) 2 ndash ( 5 ) 2

( 2 ) 2 ndash 1


43 + 0008 ndash

13 d) (2 2 ndash 3 27) (23

2 + 9 3) + ( 1 4096) ndash

12( 4 3)ndash1

e) ((243 93 )14 ndash 3(3 34 )

13) 3 ndash

512 f) 3 + 63 9 ndash 6 26 ndash 33

g) 13 2 + 13 2 + 2

3 middot 13 2 ndash 13 2 h) ( 6 ) 2 + 2 2

( 3 ) 2 + ( 2 ) 2

i) ( 1 27) ndash 13 + 2 00016 ndash

14 + ( 1 81)ndash075 00640 j) 00001ndash

14 + ( 1

125) ndash 43 ndash 81075 1

9 ndash05

k) 84

74 4 ndash 24 4 + 24 l) ((31

2 + 1)2

ndash (4 + 312)33 )

12

ndash 2 cos 30deg

118


5 2 8 6 2 3 5

Tūks

tanč

ių sk

yriu

s

Šim

tų sk

yriu

s

Dešim

čių sk

yriu

s

Vien

etų

skyr

ius

Dešim

tųjų

skyr

ius

Šim

tųjų

skyr

ius

Tūks

tant

ųjų

skyr

ius



743 956 = 7 105 + 4 104 + 3 103 + 9 102 + 5 10 + 6






x4y = 4xy ndash 270 (1)

x4y = 100x + 40 + y

4xy = 400 + 10x + y

100x + 40 + y = 400 + 10x + y ndash 270







Pavyzdžiai


a) 287 b) 987 145 c) xyz d) abcde

Pamėgink

TAIKYK

119


1 x260

x + 2 + 6 + 0 = x + 8


1260 4260 7260

2 y265y + 2 + 6 + 5 = y + 13


2265 5265 8265











PamėginkPamėgink


1 6 = 016666 = 01(6)

1 7 = 0142857142857142 = 0(142857)

120



x = 025656 | 10 1 1

10x = 2565656 (1)

10x = 2565656 | 100 2 2

1000x = 2565656 (2)


x = 256 ndash 21000 ndash 10

x = 254990 = 127

495

32(56) = 3 256 ndash 2103 ndash 101 = 3 127

495 1 3






Išreiškiame x


Atsakymas 32(56) = 3 127495

Pavyzdys

021(8) = 218 ndash 21103 ndash 102 = 197

900 0(4) = 4 ndash 0101 ndash 100 = 4

9 2 3

0123(45) = 12345 ndash 123105 ndash 103 = 679

5500 0(56) = 56 ndash 0102 ndash 100 = 56

99 3 5








a) 0(7) b) 05(7) c) 214(8) d) 03(12)


Pamėgink

Pavyzdžiai

121


x = 025656 | 10 1 1

10x = 2565656 (1)

10x = 2565656 | 100 2 2

1000x = 2565656 (2)


x = 256 ndash 21000 ndash 10

x = 254990 = 127

495

32(56) = 3 256 ndash 2103 ndash 101 = 3 127

495 1 3






Išreiškiame x


Atsakymas 32(56) = 3 127495

Pavyzdys




1 2 000 000 000 = 12 ∙ 1010 10 vietų

0000006 1 = 61 ∙ 10ndash6 6 vietos



Pavyzdys


a + b = 24 1025 + 12 1025 = = 36 1025

a + c = 24 1025 + 5 1024 = = 24 1025 + 05 1025 = 29 1025

a b = (24 1025) (12 1025) = = (24 12) (1025 1025) = 288 1050

b c = 12 1025

5 1024 = 024 101 = 24





Pavyzdys


Pamėgink



Pamėgink

122





KMI = 601682 asymp 60


Pavyzdys

∆x = |x ndash a|






|a| 100







Pamėgink

123










KMI = 601682 asymp 60


Pavyzdys



a) 1 7 = 014 2 857 asymp 014


3 7 = 042 8 571 asymp 043

gt 5

artinys a = 043



Pavyzdys

b) ∆x = |1 7 ndash 014| = |50 ndash 49

350 | =

= | 1350| = 1

350

∆x = 1350 lt 00028 lt 0003

δ = ∆x|a| =

1350

750

= 1350 50

7 = 149

δ = 149 100 asymp 2041 lt 21




UŽDAVINIAI



Pamėgink

124



Įrodyk kad



Pagrįsk teiginius















125




d) 0(32) 0(4) e) 0(493) 07(45) f) 0(285714) 01(3)04(6) 4(9)

g) 2(8) ndash 0(4) h) 1(27) ndash 03(4) i) 0(917) + 03(614)

j) 0(57) 0(6) k) 0(267) 03(12) l) 0(53) 02(9)332(4) + 1(21)

Palygink skaičius

a) 1 6 ir 3


12






d) 0002096 1012

524 e) 08128 1024

254 10ndash14 f) 0027 1021 ndash 631 1017

g) 1890 00105 h) 00045 1017 i) 000007 10ndash16

j) 000010288016 1017 k) 5139645 10ndash13

7895 10ndash34 l) 760 1012 ndash 0003 1015


a) 5 6 h = 01 b) 2

7 h = 000001 c) 3 h = 01 d) 6 h = 001

e) 4 13 h = 001 f) 3

11 h = 0001 g) 11 h = 000001 h) 8 h = 000001


a) 1 9 h = 01 b) 2 h = 001 c) 3

11 h = 001 d) 10 h = 0001

126

1 variantas




6 reikšmė

A 7 6 B 1

6 C 75 D 74




❻ Apskaičiuok

a) (134)ndash 2 b) 7503

63 c) (33

4 9ndash 14)ndash4

d) ( 27 ndash 2 3 + 75) 3

e) 5( 3 ndash 7)2

5 ndash 21 f) ( 00001

81 ) ndash 34 10ndash4 g) ( 160

15

121502) ndash2

h) 23 ( 43 ndash 163 )



3









PASITIKRINK

127





2 variantas



A 4ndash 34 = 4

43 B 4ndash

34 = 1

644 C 4ndash

34 = 1

43 D 4ndash 34 = 1

2563


1417 reikšmė

A 1514 B 1 1

196 C 1415 D 1415





❻ Apskaičiuok


14 b) 2 8

16 8

4

3

3 88 c)

8113 + 3

73

33 + 813 + 21873

d) 53 + 2a 43 + 2a

202a + 2 e) 31 ndash 2 5 9 5 f) 17 ndash 338 33 + 178

❼ Suprastink

a) ( 182 ndash 13

ndash 2011 ndash 1

+ 2413 ndash 1) ( 1

2 + 11 )ndash1 b) (3 ndash 7)

12(3 + 7)

12

c) 1 + 3 + 32 + 33 + 34 + + 315







128









m4 + 3m3 + 23 (p ndash 4)(p ndash 12)

27 53



narys narys narys

trinaris




m + 2



7 ndash p + 3


racionalieji

iracionalieji


SUSIPAŽINK

129












Įsimink



② ne 0

③ 2n 0

④ 2n gt 0

⑤mn gt 0



Pavyzdžiai


1) (2 ndash x2)(2 + x2)x ndash 5 2) 2

5x 2 ndash 37x + 4

3) 23 x 2 ndash 5x ndash 813 4) 7

c ndash 2

c + 1 + c + 2

33

5) 2x2 ndash 5x ndash 325 6) (3 + x)(12 + x)

(x ndash 5)x

7) y3

3 + 3y23 8) 3y2 + 2

y2 + 5y ndash 6


Pamėgink

130



x(x ndash 4) ne 0







x 25x ne ndash1









x ne ndash3


(x + 7)(x ndash 7) lt 0








Pavyzdžiai


a) 03x ndash 1 3 b) 2

7x3 + 1 9x2 + 0(4)x ndash 12

c) 2 + 4x x + 3 d) 2 + 4x

x2 ndash 25

Pamėgink

131



3 c) 3 x ndash 36



12 ndash 2x g) x


x2 ndash 1









e) x13 ndash 1 f) 1



2x2 ndash 50



m) 2x + x25 n) x + 2

3 5 o) 2x + 1

x2 ndash 9 p) 12x + x + 4




a + 3 d) 4x


e) (3x ndash 1)ndash134 f) 5x + 40 3

1 ndash x2 g) 4




2 ndash a l) 35k + 21 6

2k + 34


1 ndash p2 n) 2x + 10


x + 5 p) 4 ndash 12x2 + 4 5x + 403

UŽDAVINIAI



b) x + 24

3 ndash x6



x2 ndash 1


Pamėgink

132











23 + xndash

13)

x 13 (x

23 + xndash

13) = x

13 x

23 + x

13 xndash

13 =

= x 13 +

23 + x

13 ndash

13 = x

33 + x0 = x + 1



Atsakymas x + 1









Pavyzdžiai

IŠMOK

133




a) x43 = x3 x3 = x x3

b) x94 = x4 x4 x4 = x2 x4

x94 = x 94 = x2

14 = x2 x4

c) x6y6 = x6 y6 = x y6





Pavyzdys



Įsiminka2n2n = |a|



(x ndash 4)44 + (x ndash 2)33 =




Pavyzdžiai


a) ( x 14 ndash 1 )( x



Pamėgink




Pamėgink

134









a) x y3 = x3y3

b) a b4 = a4b4










Pavyzdžiai

Suprastink



Pamėgink


a) a3 a4 (a gt 0) b) ab2 a3 (a b gt 0)


Pamėgink

135



Įsimink





= ndash x7y 46




Pavyzdys




① (a + b)2 = a2 + 2ab + b2



④ (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3


⑥ a3 + b3 = (a + b)(a2 ndash ab + b2)





Pamėgink


136



(2x + 3)3 = a b



Sprendimas


Atsakymas 8x3 + 36x2 + 54x + 27


( 2 ndash 2 3 )3 = a b



Sprendimas



Pavyzdžiai


8x6 + 60x4y + 150x2y2 + 125y3 =

= (2x2)3 + 3 (2x2)2 (5y) + 3 (2x2) (5y)2 + (5y)3 = a3 a2 b a b2 b3

= (2x2 + 5y)3




Pavyzdys


a) (m ndash 5n)3 b) (2x + 2)3c) ( 3 + 2)3 d) (2 2 + 2)3

Pamėgink




52


Pamėgink

137
















Pavyzdys








Pavyzdys




Pamėgink

138







a) 8x6 ndash a3b9 = (2x2)3 (ab3)3

= (2x2)3 ndash (ab3)3 = a3 b3


= (2x2 ndash ab3)(4x4 + 2x2ab3 + a2b6)






= ( x3 ndash y3 )( x23 + xy3 + y23 )








Taikome 7 formulę

Pavyzdys







Pamėgink



Pamėgink

139



x1 = 1 ndash 81 20 = ndash 2 5 x2 = 1 + 81

20 = 1 2


5) =

= 2 5(x ndash 1 2)(x + 2

5) =

= (2x ndash 1)(5x + 2)





Pavyzdys

Grupavimo būdas









Pavyzdys


= (x + y)(a + b)




++



Pamėgink




Pamėgink

140



6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys




ab + c

d = ad + bcbd

ab ndash c

d = ad ndash bcbd



x + y


Pamėgink

Suprastink




2x ndash 10


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys

3

141


6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys





ab middot c


ab c

d = ab middot d




x ndash y


x2 + y2

x ndash y =


x ndash yx2 + y2 =


x2 + y2 =


= x + y

Sprendimas


Pavyzdžiai

Suprastink

a) 1x x + x

+ xx + 1

b) 6 xx ndash 3

ndash 3x + 3


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys



x ndash yx + y


=


( x + y )( x ndash y ) =



x ndash y

Sprendimas




Pavyzdys

x ndash y x + y

142


UŽDAVINIAI




Suprastink

a) x12 middot x

14 b) (x4

5)3

c) (x23 middot x

15)15

d) x13

xndash 23

e) (x23)

34


n3)6n

h) (b2n bndash075n

bndash05n )ndash4n

i) y 13 middot y

23 j) (x2)

13 k) y

25


27)35

m) (y27)175


n2 o) (x

n4 middot x

n8)8

p) (xndash 56 n x3n

x 43 n )ndash6n




a) ( 3x + 1 ndash 4



Pamėgink


1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









2(1 + 3x) 1 ndash 3x2

143

Suprastink




a) 4 x 3 z 2y 6 4 y ndash2


a 3 b 5a 5

d) 5 a 5 c 2b 2 5 b ndash3


y 4 y 3x 6




a) 12x3y 3x2y b) 16x2y3 3x2y3 c) 144x 5y 124


12y23

e) 63x 5y 3 28x2y f) 8x2y5 4x 3y 45 g) 250xy 74

18x17y24 h) 3x 6y 83

ndash81y23









3b)3 h) (2 2 ndash 3 3)3

i) (3x ndash 4)3 j) (5x + 2)3 k) ( x3 + 1)3 l) ( x6 + x3 )3


p) (x 2 ndash 2)3



1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









144




14 ndash x

14y

34 g) n n + n h) x

34 ndash x



13 ndash x

13y




12 d) xn ndash yn




32 h) y + x 34




a) x + 3x + 4 b) x 3

x 4 c) (x + 2) 3(x + 2) + x d) (x + 2) ndash (x + 3)

(x + 2) + (x + 3)


x + 2 g) x + 1(x + 1)2 h) x 3 + 4

x 4 + 3

i) 6 xx 5 j) x + 1


b x + a



x ndash 5








b ndash a








a) ab ndash b2

2b b) x2 ndash y2





2x ndash 5y








a) x x ndash x


c) a ndash 1a + 1


e) x x + xx


g) x 6 ndash y 6



a) xy + y


x2 + 2x + 1 c) 3x + 1 + x + 5


d) 3x2 + 9x + 14 + 5

2x2 + 15x + 7 e) x ndash x2



x ndash 2

g) 2x2




x3 + 2x + 2x2 + 4 + 1x2 + 2

145

j) 1x(x + 1) + 1

x + 1 k) 6x2 ndash 9 + 9

x2 ndash 6x + 9 l) 4x + 2 + x + 6


m) 6x2 + 11x + 24 + 4








x ndash 3

Suprastink

a) x x ndash 2

ndash 2x + 2

b) 3


a ndash 9 c) x 12

x05 + 1 ndash 1

x05 ndash 1 d) 2

x + 2 + x

x ndash 2 ndash 4 x

x ndash 4

e) 11 + x

ndash 11 ndash x

f) 1a4 ndash 1

+ 1a4 + 1

g) 3

x 12 + 3 ndash x05

x05 ndash 3 h) x

81 ndash x ndash 9

x + 9 + x

x ndash 9

Suprastink

a) 16x2y5










3x j) x + 3x2 + 6x x2 ndash 9


x






3x + 4

e) 5 ndash 2

x ndash 3

4 ndash 1x ndash 3









1 + 3x

1 ndash 6x

m) 3 + 2

x + 4

5 ndash 1x + 4



2x + 2 ndash 1) 6x ndash 6 x + 1 p) ( 1

x ndash 1 ndash x + 1x2 + x + 1) (1 + 1

x3 ndash 1)





y ndash x ndash2








a13 + b



x + 1 + 1 ndash x )


16) xy 46 e) ( 1


x13 ndash 1

+ x13) middot x

13 ndash 1

x23 ndash 1

g) y ndash x

x23 + (xy)13 + y

23 + x

23 ndash y23

x3 ndash y13

h) x13y

13 x

13 y ndash y

13 x



y ndash z )ndash1

j) (x15 + x25

1 + x + 1) 1 ndash x3



ndash b a a + b

+ 3ab ndash b2

a ndash b

m) a + ba ndash b

ndash a + ab a + b

n) a + 1a a + a + a

1a2 ndash a




x05 ndash 1 r) ( 2 + x14


14


x34 s) 1x3 + y3 ndash x3 + y3

x23 ndash (xy)

13 + y

23




ndash 13


x + 1x x ndash 1

+ 2 x

146










6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai

TAIKYK

147




6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai







Sprendimas






2b + 1 ndash 6ab




PamėginkPamėgink





sin2 α

|v| = 2ghsin2 α

v = 2ghsin2 α


Išreiškiame v2




lg = T

2π

lg = ( T

2π )2

lg = T2

4π2gl = 4π2

T2

g = 4π2 middot lT2






Pavyzdžiai

148




p



f = 1F



c

1 + vc


R



P + ET


ndash 1)( 1R1

ndash 1R2)




y


12 = mgh2 + mv2

22


2



y + 24


n21 ndash 1

n22)








PamėginkPamėgink

UŽDAVINIAI

149












150

1 variantas


A 215a + b B 215 + a ndash b


b



A x = 3 B x = 0 C x = ndash3 D x = 9





a) x ndash 32 7 + 4


12 d) 3x ndash 27

x2 ndash 1






a) 32x 94 b) 81x7y 63 c) x 12y 345 d) x 17y 246






PASITIKRINK

151








a middot 5 + 9


⓭ Suprastink


m2 + n2 m2 ndash n2

4mn c) xx + 4 + 4


2 variantas


b2 =

A 140 B 142 C 145 D 146


A 00625 B 0 C 0125 D 025





15x3

c) 04x ndash 10x2 + 145 d) ( 205

10 ndash 5a)ndash18

❺ Pakelk kubu

a) (2 + 2 )3 b) (2 3 + 3 )3 c) (x 2 ndash y3 2 )3



❼ Suprastink




❾ Suprastink

a) 64x6 + 216y6



ndash 52 ndash x






4 kai y lt 0

152


❶Apskaičiuok

a) ( 7 ndash 5 23 + 7 + 503 ) middot 9 b) (3 + 2 5 4


54 + 1



❷Įrodyk teiginį

a) jei x23 + y

23 = a

23 tai x2 + x 4y 23 + y2 + x 2y 43 = a















+ ndash

bf middot xy = gcg

= = =

eec + bcyy = bfbe


153



A 40 B 250 C 225 D 2500


A 2600p B 10400 + p100 C 104p D 5200

100 + 2p








A 545 = 1

54 B 545 = 5

54 C 545 = 31254 D 5

45 = 6255


p ndash 1




x + 4 D 1x + 4



A a = 1 b = 5 B a = 2 b = 3 C a = 1 b = 4 D a = 3 b = 2




A 8 3 cm B 8 3 3 cm C 4

3 cm D 4 3 3 cm


A 56 B 60 C 64 D 112


154











+ 2 ndash x 2 + x





išraišką T(x)




1200 cm2


155












2



107











a) 00016256

4 b) 000864

3 c) 05 d) ndash 116

4


325 h) 04

i) 116

4 j) ndash 11024

5 k) ndash15 l) 000014

m) 0002435 n) 81625

4 o) 011 p) 000164


a) 325 203 5ndash05 (1

3)ndash25 b) 2

17 307 6ndash02 (1

5)ndash15


a) 225 122 473 1

33 b) 357 1

323 77 7

95



13 c) 16

625 000814 d) 00625ndash 34

e) 71932

5 (49)ndash05

f) 10ndash5 3 200 0005 g) ( 127)ndash

13 7293 h) (00016

00625)ndash 34 ( 15625

643 )ndash1

i) (1681)ndash

34 32

15 j) 8ndash

23 27

13 k) (00001

625 )ndash 34 10ndash3 l) 7348

4864 (27

9)ndash 12

m) 1024ndash 1

10 (18)

13 n) 56

1893 o) ( 81

625)ndash 14 0216

13 p) (1

2)ndash5 025

ndash 123

108










čia a b c d 0


2 18 + 2 12 ndash 3 8 + 75 =

= 2 9 ∙ 2 + 2 4 ∙ 3 ndash 3 4 ∙ 2 + + 25 ∙ 3 == 2 3 2 + 2 2 3 ndash 3 2 2 ++ 5 3 =

= 6 2 + 4 3 ndash 6 2 + 5 3 =

= 6 2 ndash 6 2 + 4 3 + 5 3 = = 9 3





Atsakymas 9 3

Pavyzdžiai

IŠMOK

109


(3 2 ndash 3 )(2 5 ndash 1) =



(3 2 ndash 3 )(2 5 ndash 1)




(3 5 ndash 2 3 )2 =

= (3 5 )2 ndash 2 ∙ 3 5 ∙ 2 3 + (2 3 )2 = a2 a b b2

= 9 5 ndash 2 3 2 5 ∙ 3 + 4 3 =

= 45 ndash 12 15 + 12 = 57 ndash 12 15

Sprendimas




Atlik veiksmus

a) 44 + 2 99 + 3 45 ndash 20 b) (2 3 ndash 3 2 )( 2 + 3 )

c) 2592 ndash (6 + 3 2 )2 d) (5 2 ndash 3 ) 2 2 + ( 2 + 3 )2


PamėginkPamėgink



a gt 0 Pavyzdžiui 22 = 4 = 2 52 = 5


( alt 0 )2

gt 0

= | a |

gt 0lt 0lt 0

= ndasha

gt 0lt 0lt 0



Įsimink



110






= a ∙ bb ∙ b

= a bb

čia b gt 0


ax ndash y








Sprendimas




Pavyzdys

Apskaičiuok




Pamėgink



23 = 2 3

3 3 = 2 3

3

Sprendimas


Atsakymas 2 33

Pavyzdžiai

ndash = ∙ ( + )

( ndash ) ∙ ( + )

= ∙ ∙

= ∙

111



21 ndash 3

= 2(1 + 3)(1 ndash 3)(1 + 3) =

= 2(1 + 3)12 ndash ( 3)2 = 2(1 + 3)

1 ndash 3 =

= 2(1 + 3)ndash2

= ndash1 ndash 3

Sprendimas





a n a ne 0



Taisyklė Pavyzdys

a0 = 1 20 = 1


22 = 14 (2

3 )ndash1

= 32





(ab )

n = a n

b n (23 )

ndash4 = 2 ndash4

3 ndash4 = 3 42 4 = 81

16 = 5 116


(ndash 210 )ndash3


=

= (ndash 15 )ndash3

+ (ndash 12 )ndash2

=


Sprendimas




Atsakymas ndash121

Pavyzdžiai


a) 112

b) 23 + 1

c) 3 ndash 2 52 3 + 5


Pamėgink

112


Įsimink

① ( an )n = a

② abn = an bn

③ ab

n = an

bn

④ akn = ank

⑤ ( an )k = akn

⑥ amknk = amn

⑦ amn = amn

Apskaičiuok



Pamėgink


Taisyklė Pavyzdys

( an )n = a ( 33 )3 = 3


abn = an bn 27 643 = 273 643 = 3 4 = 1245 85 = 325 = 2



ab

n = an

bn b ne 0 81625

4 = 814

6254 = 35

645

25 = 642

5 = 325 = 2


akn = ank 53 = 56




( an )k = akn ( 33 )2 = ( )233 = 33

8154 = ( 814 )5 = 35 = 243


amknk = amn a1215 = a3 43 5 = a45


amn = amn

223 = 223


113


Įsimink



(1 ndash 3)24 =

= (1 ndash 3)22 2 = |1 ndash 3| =


Sprendimas



Atsakymas 3 ndash 1

Pavyzdys


3 8 24 = 3 82 middot 24 = 15366

7 193 = 73 middot 193 = 65176

15366 lt 65176

3 8 24 lt 7 193





Pavyzdys


a) ( 315 )15 b) 16 ∙ 000014 c) 64729

6

d) 234 e) ( 33 )2 f) 248

g) ( 33 )3 ndash ( 55 )5 h) 015 ∙ 000015 i) 7295

35

j) 23 + 23 k) ( 243 )4 l) 23 + 226

m) 75881

4 + ( 234 )4

n) 24 ∙ 84 + 6253

53 o) 23

( 43 )2

p) 253

235 r) ( 23 )12 s) 21530 + 248


Pamėgink



Pamėgink

114



2 324 ndash 1624 + 12504 =

= 2 16 24 ndash 81 24 + 625 24 =

= 2 2 24 ndash 3 24 + 5 24 =

= 4 24 ndash 3 24 + 5 24 = 6 24

Sprendimas




Atsakymas 6 24


Taisyklė Pavyzdys

a0 = 1 1250 = 1


12 = (6

5)ndash 12 = (5

6) 12 = 5

6

am an = am + n 2 12 2

12 = 2

12 +

12 = 21 = 2


32 = 3212 ndash 1 = 3202 = 3215 = 325 = 2

(an)m = amn (202)5 = 21 = 2

(ab)n = an bn 216 13 = (8 27)

13 = 8

13 27

13= 2 3 = 6

(ab )

n = a n

b n ( 2566561)0125 = 2560125

65610125 = (28)0125

(38)0125 = 23


Įsimink

① a0 = 1

② andashn = 1a n

③ am an = am + n


⑤ (an)m = amn

⑥ (ab)n = an bn

⑦ (ab )

n = a n

b n b ne 0

❶ Palygink

a) 4 2 33 ir 3 2 3 b) 4 3 33 ir 3 3 34

❷ Suprastink

a) 323 ndash 1083 b) 23 7684 + 484


Pamėgink

115

⓱ Apskaičiuok

a) 8 ∙ 32 b) 3 + 3 + 3 3 c) 18 + 50



m) 3 + 6 2 n) 2( 8 ndash 2) o) (3 ndash 5 7)2


⓲ Apskaičiuok



g) 32 +2 + ∙ 32 +2 ndash ∙ 2 + 3 h) (3 + 2 2)2016 ∙ (3 ndash 2 2)2016



⓴ Apskaičiuok





Apskaičiuok




a) 25

b) 57 5

c) 35 ndash 2

d) 113 5 ndash 2 3

e) 37

f) 72 7

g) 27 ndash 5

h) 102 7 ndash 3 2

UŽDAVINIAI

Atlik veiksmus

a) (13)ndash 02 b) 1613 16ndash105 c) 515

505


32 e) 3 ndash

14 27 ndash

14 f) 605

305

g) ( 149)ndash

12 ndash (1


23 5ndash

32 5ndash

156 i) 2

13(4

13 + 32

13)

j) (12ndash075


12 (3 + 2)

12


Pamėgink

116


Apskaičiuok

a) 27 ndash 5

+ 47 + 5

b) ( 25 ndash 2

+ 45 + 2) ∙ 1

6 5 ndash 4

c) 36 ndash 3

+ 96 + 3

d) ( 27 ndash 2

+ 47 + 2) ∙ 3

6 7 ndash 4

Apskaičiuok

a) 1 + 2

21 ndash 2

2

+ (2 + 2)2

2 b) ( 43 + 5

ndash 32 + 7

+ 114 ndash 5) (9 ndash 7)

c) 21 ndash 4 5 21 + 4 5

ndash 1921 + 4 5

d) ( 127 ndash 1

ndash 85 ndash 1

+ 62 ndash 7) ∙ (2 5 + 4)ndash1

e) 1 + 3

3

1 ndash 33

+ (1 ndash 3)2

2 f) ( 25 ndash 3

+ 63 ndash 3

+ 12 ndash 5) ∙ (2 3 ndash 1)

g) 4 + 2 3 4 ndash 2 3

ndash 12 ndash 3

h) ( 45 ndash 1

ndash 35 ndash 2

+ 605 ndash 5) ∙ ( 5(1 + 2 5))ndash1

Apskaičiuok






3ndash4

Apskaičiuok


53 26


14) ndash2


i) 36 210 57

605




a) 8 ∙ 95 ∙ 4 ∙ 275 b) 2185 2145

2175 c) ( 23 )6 ndash ( 34 )2


j) 9 ∙ 43 ∙ 3 ∙ 163 k) 3174 3244

3214 l) ( 34 )8 ndash ( 24 )2


Apskaičiuok



117


a) 3 2 b) 2 34 c) 04 100004 d) 13 544

e) 5 3 f) 3 23 g) 25 100004 h) 2 25



Suprastink


Apskaičiuok


c) 4 ndash 2 36 1 + 33 43 d) 3( 3 ndash 7 )2

10( 5 + 214 )( 5 ndash 214 )

e) (1 + 2)2 + 44 f) 3 ndash 2 26 2 + 23 326


20( 154 + 2)( 154 ndash 2)


a) 25013

213

b) (313)3

ndash (205)4 c) 3025 27025 ndash 213 4

13 d) 3

13 (32

3 + 1)e) (4025 ndash 405)4 f) (23

2 + 1)2

g) (314 + 3

12) (31

4 ndash 312) h) (51

6 + 514) (51

6 ndash 514)

i) 16214

125013 j) (41

4)8

ndash (405)3 k) 214 8

14 ndash 3

13 9

13 l) (23

4 + 1) 214

m) (805 ndash 3205)2 n) (314 + 1)2

o) (414 + 1) (41

4 ndash 1) p) (1 + 314) (31

4 ndash 1)


a) 8 435 b) 2 4 16 4

3

3 4 c) 777 493 d) 8

274 3

26 312 26

e) 23 484 2ndash33 f) 1253 5255 g) 53 553

023 h) 125 53 54 3 1

515

15

Apskaičiuok


15 3 + 1 + 15 3 b) ( 10) 2 ndash ( 5 ) 2

( 2 ) 2 ndash 1


43 + 0008 ndash

13 d) (2 2 ndash 3 27) (23

2 + 9 3) + ( 1 4096) ndash

12( 4 3)ndash1

e) ((243 93 )14 ndash 3(3 34 )

13) 3 ndash

512 f) 3 + 63 9 ndash 6 26 ndash 33

g) 13 2 + 13 2 + 2

3 middot 13 2 ndash 13 2 h) ( 6 ) 2 + 2 2

( 3 ) 2 + ( 2 ) 2

i) ( 1 27) ndash 13 + 2 00016 ndash

14 + ( 1 81)ndash075 00640 j) 00001ndash

14 + ( 1

125) ndash 43 ndash 81075 1

9 ndash05

k) 84

74 4 ndash 24 4 + 24 l) ((31

2 + 1)2

ndash (4 + 312)33 )

12

ndash 2 cos 30deg

118


5 2 8 6 2 3 5

Tūks

tanč

ių sk

yriu

s

Šim

tų sk

yriu

s

Dešim

čių sk

yriu

s

Vien

etų

skyr

ius

Dešim

tųjų

skyr

ius

Šim

tųjų

skyr

ius

Tūks

tant

ųjų

skyr

ius



743 956 = 7 105 + 4 104 + 3 103 + 9 102 + 5 10 + 6






x4y = 4xy ndash 270 (1)

x4y = 100x + 40 + y

4xy = 400 + 10x + y

100x + 40 + y = 400 + 10x + y ndash 270







Pavyzdžiai


a) 287 b) 987 145 c) xyz d) abcde

Pamėgink

TAIKYK

119


1 x260

x + 2 + 6 + 0 = x + 8


1260 4260 7260

2 y265y + 2 + 6 + 5 = y + 13


2265 5265 8265











PamėginkPamėgink


1 6 = 016666 = 01(6)

1 7 = 0142857142857142 = 0(142857)

120



x = 025656 | 10 1 1

10x = 2565656 (1)

10x = 2565656 | 100 2 2

1000x = 2565656 (2)


x = 256 ndash 21000 ndash 10

x = 254990 = 127

495

32(56) = 3 256 ndash 2103 ndash 101 = 3 127

495 1 3






Išreiškiame x


Atsakymas 32(56) = 3 127495

Pavyzdys

021(8) = 218 ndash 21103 ndash 102 = 197

900 0(4) = 4 ndash 0101 ndash 100 = 4

9 2 3

0123(45) = 12345 ndash 123105 ndash 103 = 679

5500 0(56) = 56 ndash 0102 ndash 100 = 56

99 3 5








a) 0(7) b) 05(7) c) 214(8) d) 03(12)


Pamėgink

Pavyzdžiai

121


x = 025656 | 10 1 1

10x = 2565656 (1)

10x = 2565656 | 100 2 2

1000x = 2565656 (2)


x = 256 ndash 21000 ndash 10

x = 254990 = 127

495

32(56) = 3 256 ndash 2103 ndash 101 = 3 127

495 1 3






Išreiškiame x


Atsakymas 32(56) = 3 127495

Pavyzdys




1 2 000 000 000 = 12 ∙ 1010 10 vietų

0000006 1 = 61 ∙ 10ndash6 6 vietos



Pavyzdys


a + b = 24 1025 + 12 1025 = = 36 1025

a + c = 24 1025 + 5 1024 = = 24 1025 + 05 1025 = 29 1025

a b = (24 1025) (12 1025) = = (24 12) (1025 1025) = 288 1050

b c = 12 1025

5 1024 = 024 101 = 24





Pavyzdys


Pamėgink



Pamėgink

122





KMI = 601682 asymp 60


Pavyzdys

∆x = |x ndash a|






|a| 100







Pamėgink

123










KMI = 601682 asymp 60


Pavyzdys



a) 1 7 = 014 2 857 asymp 014


3 7 = 042 8 571 asymp 043

gt 5

artinys a = 043



Pavyzdys

b) ∆x = |1 7 ndash 014| = |50 ndash 49

350 | =

= | 1350| = 1

350

∆x = 1350 lt 00028 lt 0003

δ = ∆x|a| =

1350

750

= 1350 50

7 = 149

δ = 149 100 asymp 2041 lt 21




UŽDAVINIAI



Pamėgink

124



Įrodyk kad



Pagrįsk teiginius















125




d) 0(32) 0(4) e) 0(493) 07(45) f) 0(285714) 01(3)04(6) 4(9)

g) 2(8) ndash 0(4) h) 1(27) ndash 03(4) i) 0(917) + 03(614)

j) 0(57) 0(6) k) 0(267) 03(12) l) 0(53) 02(9)332(4) + 1(21)

Palygink skaičius

a) 1 6 ir 3


12






d) 0002096 1012

524 e) 08128 1024

254 10ndash14 f) 0027 1021 ndash 631 1017

g) 1890 00105 h) 00045 1017 i) 000007 10ndash16

j) 000010288016 1017 k) 5139645 10ndash13

7895 10ndash34 l) 760 1012 ndash 0003 1015


a) 5 6 h = 01 b) 2

7 h = 000001 c) 3 h = 01 d) 6 h = 001

e) 4 13 h = 001 f) 3

11 h = 0001 g) 11 h = 000001 h) 8 h = 000001


a) 1 9 h = 01 b) 2 h = 001 c) 3

11 h = 001 d) 10 h = 0001

126

1 variantas




6 reikšmė

A 7 6 B 1

6 C 75 D 74




❻ Apskaičiuok

a) (134)ndash 2 b) 7503

63 c) (33

4 9ndash 14)ndash4

d) ( 27 ndash 2 3 + 75) 3

e) 5( 3 ndash 7)2

5 ndash 21 f) ( 00001

81 ) ndash 34 10ndash4 g) ( 160

15

121502) ndash2

h) 23 ( 43 ndash 163 )



3









PASITIKRINK

127





2 variantas



A 4ndash 34 = 4

43 B 4ndash

34 = 1

644 C 4ndash

34 = 1

43 D 4ndash 34 = 1

2563


1417 reikšmė

A 1514 B 1 1

196 C 1415 D 1415





❻ Apskaičiuok


14 b) 2 8

16 8

4

3

3 88 c)

8113 + 3

73

33 + 813 + 21873

d) 53 + 2a 43 + 2a

202a + 2 e) 31 ndash 2 5 9 5 f) 17 ndash 338 33 + 178

❼ Suprastink

a) ( 182 ndash 13

ndash 2011 ndash 1

+ 2413 ndash 1) ( 1

2 + 11 )ndash1 b) (3 ndash 7)

12(3 + 7)

12

c) 1 + 3 + 32 + 33 + 34 + + 315







128









m4 + 3m3 + 23 (p ndash 4)(p ndash 12)

27 53



narys narys narys

trinaris




m + 2



7 ndash p + 3


racionalieji

iracionalieji


SUSIPAŽINK

129












Įsimink



② ne 0

③ 2n 0

④ 2n gt 0

⑤mn gt 0



Pavyzdžiai


1) (2 ndash x2)(2 + x2)x ndash 5 2) 2

5x 2 ndash 37x + 4

3) 23 x 2 ndash 5x ndash 813 4) 7

c ndash 2

c + 1 + c + 2

33

5) 2x2 ndash 5x ndash 325 6) (3 + x)(12 + x)

(x ndash 5)x

7) y3

3 + 3y23 8) 3y2 + 2

y2 + 5y ndash 6


Pamėgink

130



x(x ndash 4) ne 0







x 25x ne ndash1









x ne ndash3


(x + 7)(x ndash 7) lt 0








Pavyzdžiai


a) 03x ndash 1 3 b) 2

7x3 + 1 9x2 + 0(4)x ndash 12

c) 2 + 4x x + 3 d) 2 + 4x

x2 ndash 25

Pamėgink

131



3 c) 3 x ndash 36



12 ndash 2x g) x


x2 ndash 1









e) x13 ndash 1 f) 1



2x2 ndash 50



m) 2x + x25 n) x + 2

3 5 o) 2x + 1

x2 ndash 9 p) 12x + x + 4




a + 3 d) 4x


e) (3x ndash 1)ndash134 f) 5x + 40 3

1 ndash x2 g) 4




2 ndash a l) 35k + 21 6

2k + 34


1 ndash p2 n) 2x + 10


x + 5 p) 4 ndash 12x2 + 4 5x + 403

UŽDAVINIAI



b) x + 24

3 ndash x6



x2 ndash 1


Pamėgink

132











23 + xndash

13)

x 13 (x

23 + xndash

13) = x

13 x

23 + x

13 xndash

13 =

= x 13 +

23 + x

13 ndash

13 = x

33 + x0 = x + 1



Atsakymas x + 1









Pavyzdžiai

IŠMOK

133




a) x43 = x3 x3 = x x3

b) x94 = x4 x4 x4 = x2 x4

x94 = x 94 = x2

14 = x2 x4

c) x6y6 = x6 y6 = x y6





Pavyzdys



Įsiminka2n2n = |a|



(x ndash 4)44 + (x ndash 2)33 =




Pavyzdžiai


a) ( x 14 ndash 1 )( x



Pamėgink




Pamėgink

134









a) x y3 = x3y3

b) a b4 = a4b4










Pavyzdžiai

Suprastink



Pamėgink


a) a3 a4 (a gt 0) b) ab2 a3 (a b gt 0)


Pamėgink

135



Įsimink





= ndash x7y 46




Pavyzdys




① (a + b)2 = a2 + 2ab + b2



④ (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3


⑥ a3 + b3 = (a + b)(a2 ndash ab + b2)





Pamėgink


136



(2x + 3)3 = a b



Sprendimas


Atsakymas 8x3 + 36x2 + 54x + 27


( 2 ndash 2 3 )3 = a b



Sprendimas



Pavyzdžiai


8x6 + 60x4y + 150x2y2 + 125y3 =

= (2x2)3 + 3 (2x2)2 (5y) + 3 (2x2) (5y)2 + (5y)3 = a3 a2 b a b2 b3

= (2x2 + 5y)3




Pavyzdys


a) (m ndash 5n)3 b) (2x + 2)3c) ( 3 + 2)3 d) (2 2 + 2)3

Pamėgink




52


Pamėgink

137
















Pavyzdys








Pavyzdys




Pamėgink

138







a) 8x6 ndash a3b9 = (2x2)3 (ab3)3

= (2x2)3 ndash (ab3)3 = a3 b3


= (2x2 ndash ab3)(4x4 + 2x2ab3 + a2b6)






= ( x3 ndash y3 )( x23 + xy3 + y23 )








Taikome 7 formulę

Pavyzdys







Pamėgink



Pamėgink

139



x1 = 1 ndash 81 20 = ndash 2 5 x2 = 1 + 81

20 = 1 2


5) =

= 2 5(x ndash 1 2)(x + 2

5) =

= (2x ndash 1)(5x + 2)





Pavyzdys

Grupavimo būdas









Pavyzdys


= (x + y)(a + b)




++



Pamėgink




Pamėgink

140



6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys




ab + c

d = ad + bcbd

ab ndash c

d = ad ndash bcbd



x + y


Pamėgink

Suprastink




2x ndash 10


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys

3

141


6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys





ab middot c


ab c

d = ab middot d




x ndash y


x2 + y2

x ndash y =


x ndash yx2 + y2 =


x2 + y2 =


= x + y

Sprendimas


Pavyzdžiai

Suprastink

a) 1x x + x

+ xx + 1

b) 6 xx ndash 3

ndash 3x + 3


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys



x ndash yx + y


=


( x + y )( x ndash y ) =



x ndash y

Sprendimas




Pavyzdys

x ndash y x + y

142


UŽDAVINIAI




Suprastink

a) x12 middot x

14 b) (x4

5)3

c) (x23 middot x

15)15

d) x13

xndash 23

e) (x23)

34


n3)6n

h) (b2n bndash075n

bndash05n )ndash4n

i) y 13 middot y

23 j) (x2)

13 k) y

25


27)35

m) (y27)175


n2 o) (x

n4 middot x

n8)8

p) (xndash 56 n x3n

x 43 n )ndash6n




a) ( 3x + 1 ndash 4



Pamėgink


1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









2(1 + 3x) 1 ndash 3x2

143

Suprastink




a) 4 x 3 z 2y 6 4 y ndash2


a 3 b 5a 5

d) 5 a 5 c 2b 2 5 b ndash3


y 4 y 3x 6




a) 12x3y 3x2y b) 16x2y3 3x2y3 c) 144x 5y 124


12y23

e) 63x 5y 3 28x2y f) 8x2y5 4x 3y 45 g) 250xy 74

18x17y24 h) 3x 6y 83

ndash81y23









3b)3 h) (2 2 ndash 3 3)3

i) (3x ndash 4)3 j) (5x + 2)3 k) ( x3 + 1)3 l) ( x6 + x3 )3


p) (x 2 ndash 2)3



1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









144




14 ndash x

14y

34 g) n n + n h) x

34 ndash x



13 ndash x

13y




12 d) xn ndash yn




32 h) y + x 34




a) x + 3x + 4 b) x 3

x 4 c) (x + 2) 3(x + 2) + x d) (x + 2) ndash (x + 3)

(x + 2) + (x + 3)


x + 2 g) x + 1(x + 1)2 h) x 3 + 4

x 4 + 3

i) 6 xx 5 j) x + 1


b x + a



x ndash 5








b ndash a








a) ab ndash b2

2b b) x2 ndash y2





2x ndash 5y








a) x x ndash x


c) a ndash 1a + 1


e) x x + xx


g) x 6 ndash y 6



a) xy + y


x2 + 2x + 1 c) 3x + 1 + x + 5


d) 3x2 + 9x + 14 + 5

2x2 + 15x + 7 e) x ndash x2



x ndash 2

g) 2x2




x3 + 2x + 2x2 + 4 + 1x2 + 2

145

j) 1x(x + 1) + 1

x + 1 k) 6x2 ndash 9 + 9

x2 ndash 6x + 9 l) 4x + 2 + x + 6


m) 6x2 + 11x + 24 + 4








x ndash 3

Suprastink

a) x x ndash 2

ndash 2x + 2

b) 3


a ndash 9 c) x 12

x05 + 1 ndash 1

x05 ndash 1 d) 2

x + 2 + x

x ndash 2 ndash 4 x

x ndash 4

e) 11 + x

ndash 11 ndash x

f) 1a4 ndash 1

+ 1a4 + 1

g) 3

x 12 + 3 ndash x05

x05 ndash 3 h) x

81 ndash x ndash 9

x + 9 + x

x ndash 9

Suprastink

a) 16x2y5










3x j) x + 3x2 + 6x x2 ndash 9


x






3x + 4

e) 5 ndash 2

x ndash 3

4 ndash 1x ndash 3









1 + 3x

1 ndash 6x

m) 3 + 2

x + 4

5 ndash 1x + 4



2x + 2 ndash 1) 6x ndash 6 x + 1 p) ( 1

x ndash 1 ndash x + 1x2 + x + 1) (1 + 1

x3 ndash 1)





y ndash x ndash2








a13 + b



x + 1 + 1 ndash x )


16) xy 46 e) ( 1


x13 ndash 1

+ x13) middot x

13 ndash 1

x23 ndash 1

g) y ndash x

x23 + (xy)13 + y

23 + x

23 ndash y23

x3 ndash y13

h) x13y

13 x

13 y ndash y

13 x



y ndash z )ndash1

j) (x15 + x25

1 + x + 1) 1 ndash x3



ndash b a a + b

+ 3ab ndash b2

a ndash b

m) a + ba ndash b

ndash a + ab a + b

n) a + 1a a + a + a

1a2 ndash a




x05 ndash 1 r) ( 2 + x14


14


x34 s) 1x3 + y3 ndash x3 + y3

x23 ndash (xy)

13 + y

23




ndash 13


x + 1x x ndash 1

+ 2 x

146










6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai

TAIKYK

147




6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai







Sprendimas






2b + 1 ndash 6ab




PamėginkPamėgink





sin2 α

|v| = 2ghsin2 α

v = 2ghsin2 α


Išreiškiame v2




lg = T

2π

lg = ( T

2π )2

lg = T2

4π2gl = 4π2

T2

g = 4π2 middot lT2






Pavyzdžiai

148




p



f = 1F



c

1 + vc


R



P + ET


ndash 1)( 1R1

ndash 1R2)




y


12 = mgh2 + mv2

22


2



y + 24


n21 ndash 1

n22)








PamėginkPamėgink

UŽDAVINIAI

149












150

1 variantas


A 215a + b B 215 + a ndash b


b



A x = 3 B x = 0 C x = ndash3 D x = 9





a) x ndash 32 7 + 4


12 d) 3x ndash 27

x2 ndash 1






a) 32x 94 b) 81x7y 63 c) x 12y 345 d) x 17y 246






PASITIKRINK

151








a middot 5 + 9


⓭ Suprastink


m2 + n2 m2 ndash n2

4mn c) xx + 4 + 4


2 variantas


b2 =

A 140 B 142 C 145 D 146


A 00625 B 0 C 0125 D 025





15x3

c) 04x ndash 10x2 + 145 d) ( 205

10 ndash 5a)ndash18

❺ Pakelk kubu

a) (2 + 2 )3 b) (2 3 + 3 )3 c) (x 2 ndash y3 2 )3



❼ Suprastink




❾ Suprastink

a) 64x6 + 216y6



ndash 52 ndash x






4 kai y lt 0

152


❶Apskaičiuok

a) ( 7 ndash 5 23 + 7 + 503 ) middot 9 b) (3 + 2 5 4


54 + 1



❷Įrodyk teiginį

a) jei x23 + y

23 = a

23 tai x2 + x 4y 23 + y2 + x 2y 43 = a















+ ndash

bf middot xy = gcg

= = =

eec + bcyy = bfbe


153



A 40 B 250 C 225 D 2500


A 2600p B 10400 + p100 C 104p D 5200

100 + 2p








A 545 = 1

54 B 545 = 5

54 C 545 = 31254 D 5

45 = 6255


p ndash 1




x + 4 D 1x + 4



A a = 1 b = 5 B a = 2 b = 3 C a = 1 b = 4 D a = 3 b = 2




A 8 3 cm B 8 3 3 cm C 4

3 cm D 4 3 3 cm


A 56 B 60 C 64 D 112


154











+ 2 ndash x 2 + x





išraišką T(x)




1200 cm2


155












2



108










čia a b c d 0


2 18 + 2 12 ndash 3 8 + 75 =

= 2 9 ∙ 2 + 2 4 ∙ 3 ndash 3 4 ∙ 2 + + 25 ∙ 3 == 2 3 2 + 2 2 3 ndash 3 2 2 ++ 5 3 =

= 6 2 + 4 3 ndash 6 2 + 5 3 =

= 6 2 ndash 6 2 + 4 3 + 5 3 = = 9 3





Atsakymas 9 3

Pavyzdžiai

IŠMOK

109


(3 2 ndash 3 )(2 5 ndash 1) =



(3 2 ndash 3 )(2 5 ndash 1)




(3 5 ndash 2 3 )2 =

= (3 5 )2 ndash 2 ∙ 3 5 ∙ 2 3 + (2 3 )2 = a2 a b b2

= 9 5 ndash 2 3 2 5 ∙ 3 + 4 3 =

= 45 ndash 12 15 + 12 = 57 ndash 12 15

Sprendimas




Atlik veiksmus

a) 44 + 2 99 + 3 45 ndash 20 b) (2 3 ndash 3 2 )( 2 + 3 )

c) 2592 ndash (6 + 3 2 )2 d) (5 2 ndash 3 ) 2 2 + ( 2 + 3 )2


PamėginkPamėgink



a gt 0 Pavyzdžiui 22 = 4 = 2 52 = 5


( alt 0 )2

gt 0

= | a |

gt 0lt 0lt 0

= ndasha

gt 0lt 0lt 0



Įsimink



110






= a ∙ bb ∙ b

= a bb

čia b gt 0


ax ndash y








Sprendimas




Pavyzdys

Apskaičiuok




Pamėgink



23 = 2 3

3 3 = 2 3

3

Sprendimas


Atsakymas 2 33

Pavyzdžiai

ndash = ∙ ( + )

( ndash ) ∙ ( + )

= ∙ ∙

= ∙

111



21 ndash 3

= 2(1 + 3)(1 ndash 3)(1 + 3) =

= 2(1 + 3)12 ndash ( 3)2 = 2(1 + 3)

1 ndash 3 =

= 2(1 + 3)ndash2

= ndash1 ndash 3

Sprendimas





a n a ne 0



Taisyklė Pavyzdys

a0 = 1 20 = 1


22 = 14 (2

3 )ndash1

= 32





(ab )

n = a n

b n (23 )

ndash4 = 2 ndash4

3 ndash4 = 3 42 4 = 81

16 = 5 116


(ndash 210 )ndash3


=

= (ndash 15 )ndash3

+ (ndash 12 )ndash2

=


Sprendimas




Atsakymas ndash121

Pavyzdžiai


a) 112

b) 23 + 1

c) 3 ndash 2 52 3 + 5


Pamėgink

112


Įsimink

① ( an )n = a

② abn = an bn

③ ab

n = an

bn

④ akn = ank

⑤ ( an )k = akn

⑥ amknk = amn

⑦ amn = amn

Apskaičiuok



Pamėgink


Taisyklė Pavyzdys

( an )n = a ( 33 )3 = 3


abn = an bn 27 643 = 273 643 = 3 4 = 1245 85 = 325 = 2



ab

n = an

bn b ne 0 81625

4 = 814

6254 = 35

645

25 = 642

5 = 325 = 2


akn = ank 53 = 56




( an )k = akn ( 33 )2 = ( )233 = 33

8154 = ( 814 )5 = 35 = 243


amknk = amn a1215 = a3 43 5 = a45


amn = amn

223 = 223


113


Įsimink



(1 ndash 3)24 =

= (1 ndash 3)22 2 = |1 ndash 3| =


Sprendimas



Atsakymas 3 ndash 1

Pavyzdys


3 8 24 = 3 82 middot 24 = 15366

7 193 = 73 middot 193 = 65176

15366 lt 65176

3 8 24 lt 7 193





Pavyzdys


a) ( 315 )15 b) 16 ∙ 000014 c) 64729

6

d) 234 e) ( 33 )2 f) 248

g) ( 33 )3 ndash ( 55 )5 h) 015 ∙ 000015 i) 7295

35

j) 23 + 23 k) ( 243 )4 l) 23 + 226

m) 75881

4 + ( 234 )4

n) 24 ∙ 84 + 6253

53 o) 23

( 43 )2

p) 253

235 r) ( 23 )12 s) 21530 + 248


Pamėgink



Pamėgink

114



2 324 ndash 1624 + 12504 =

= 2 16 24 ndash 81 24 + 625 24 =

= 2 2 24 ndash 3 24 + 5 24 =

= 4 24 ndash 3 24 + 5 24 = 6 24

Sprendimas




Atsakymas 6 24


Taisyklė Pavyzdys

a0 = 1 1250 = 1


12 = (6

5)ndash 12 = (5

6) 12 = 5

6

am an = am + n 2 12 2

12 = 2

12 +

12 = 21 = 2


32 = 3212 ndash 1 = 3202 = 3215 = 325 = 2

(an)m = amn (202)5 = 21 = 2

(ab)n = an bn 216 13 = (8 27)

13 = 8

13 27

13= 2 3 = 6

(ab )

n = a n

b n ( 2566561)0125 = 2560125

65610125 = (28)0125

(38)0125 = 23


Įsimink

① a0 = 1

② andashn = 1a n

③ am an = am + n


⑤ (an)m = amn

⑥ (ab)n = an bn

⑦ (ab )

n = a n

b n b ne 0

❶ Palygink

a) 4 2 33 ir 3 2 3 b) 4 3 33 ir 3 3 34

❷ Suprastink

a) 323 ndash 1083 b) 23 7684 + 484


Pamėgink

115

⓱ Apskaičiuok

a) 8 ∙ 32 b) 3 + 3 + 3 3 c) 18 + 50



m) 3 + 6 2 n) 2( 8 ndash 2) o) (3 ndash 5 7)2


⓲ Apskaičiuok



g) 32 +2 + ∙ 32 +2 ndash ∙ 2 + 3 h) (3 + 2 2)2016 ∙ (3 ndash 2 2)2016



⓴ Apskaičiuok





Apskaičiuok




a) 25

b) 57 5

c) 35 ndash 2

d) 113 5 ndash 2 3

e) 37

f) 72 7

g) 27 ndash 5

h) 102 7 ndash 3 2

UŽDAVINIAI

Atlik veiksmus

a) (13)ndash 02 b) 1613 16ndash105 c) 515

505


32 e) 3 ndash

14 27 ndash

14 f) 605

305

g) ( 149)ndash

12 ndash (1


23 5ndash

32 5ndash

156 i) 2

13(4

13 + 32

13)

j) (12ndash075


12 (3 + 2)

12


Pamėgink

116


Apskaičiuok

a) 27 ndash 5

+ 47 + 5

b) ( 25 ndash 2

+ 45 + 2) ∙ 1

6 5 ndash 4

c) 36 ndash 3

+ 96 + 3

d) ( 27 ndash 2

+ 47 + 2) ∙ 3

6 7 ndash 4

Apskaičiuok

a) 1 + 2

21 ndash 2

2

+ (2 + 2)2

2 b) ( 43 + 5

ndash 32 + 7

+ 114 ndash 5) (9 ndash 7)

c) 21 ndash 4 5 21 + 4 5

ndash 1921 + 4 5

d) ( 127 ndash 1

ndash 85 ndash 1

+ 62 ndash 7) ∙ (2 5 + 4)ndash1

e) 1 + 3

3

1 ndash 33

+ (1 ndash 3)2

2 f) ( 25 ndash 3

+ 63 ndash 3

+ 12 ndash 5) ∙ (2 3 ndash 1)

g) 4 + 2 3 4 ndash 2 3

ndash 12 ndash 3

h) ( 45 ndash 1

ndash 35 ndash 2

+ 605 ndash 5) ∙ ( 5(1 + 2 5))ndash1

Apskaičiuok






3ndash4

Apskaičiuok


53 26


14) ndash2


i) 36 210 57

605




a) 8 ∙ 95 ∙ 4 ∙ 275 b) 2185 2145

2175 c) ( 23 )6 ndash ( 34 )2


j) 9 ∙ 43 ∙ 3 ∙ 163 k) 3174 3244

3214 l) ( 34 )8 ndash ( 24 )2


Apskaičiuok



117


a) 3 2 b) 2 34 c) 04 100004 d) 13 544

e) 5 3 f) 3 23 g) 25 100004 h) 2 25



Suprastink


Apskaičiuok


c) 4 ndash 2 36 1 + 33 43 d) 3( 3 ndash 7 )2

10( 5 + 214 )( 5 ndash 214 )

e) (1 + 2)2 + 44 f) 3 ndash 2 26 2 + 23 326


20( 154 + 2)( 154 ndash 2)


a) 25013

213

b) (313)3

ndash (205)4 c) 3025 27025 ndash 213 4

13 d) 3

13 (32

3 + 1)e) (4025 ndash 405)4 f) (23

2 + 1)2

g) (314 + 3

12) (31

4 ndash 312) h) (51

6 + 514) (51

6 ndash 514)

i) 16214

125013 j) (41

4)8

ndash (405)3 k) 214 8

14 ndash 3

13 9

13 l) (23

4 + 1) 214

m) (805 ndash 3205)2 n) (314 + 1)2

o) (414 + 1) (41

4 ndash 1) p) (1 + 314) (31

4 ndash 1)


a) 8 435 b) 2 4 16 4

3

3 4 c) 777 493 d) 8

274 3

26 312 26

e) 23 484 2ndash33 f) 1253 5255 g) 53 553

023 h) 125 53 54 3 1

515

15

Apskaičiuok


15 3 + 1 + 15 3 b) ( 10) 2 ndash ( 5 ) 2

( 2 ) 2 ndash 1


43 + 0008 ndash

13 d) (2 2 ndash 3 27) (23

2 + 9 3) + ( 1 4096) ndash

12( 4 3)ndash1

e) ((243 93 )14 ndash 3(3 34 )

13) 3 ndash

512 f) 3 + 63 9 ndash 6 26 ndash 33

g) 13 2 + 13 2 + 2

3 middot 13 2 ndash 13 2 h) ( 6 ) 2 + 2 2

( 3 ) 2 + ( 2 ) 2

i) ( 1 27) ndash 13 + 2 00016 ndash

14 + ( 1 81)ndash075 00640 j) 00001ndash

14 + ( 1

125) ndash 43 ndash 81075 1

9 ndash05

k) 84

74 4 ndash 24 4 + 24 l) ((31

2 + 1)2

ndash (4 + 312)33 )

12

ndash 2 cos 30deg

118


5 2 8 6 2 3 5

Tūks

tanč

ių sk

yriu

s

Šim

tų sk

yriu

s

Dešim

čių sk

yriu

s

Vien

etų

skyr

ius

Dešim

tųjų

skyr

ius

Šim

tųjų

skyr

ius

Tūks

tant

ųjų

skyr

ius



743 956 = 7 105 + 4 104 + 3 103 + 9 102 + 5 10 + 6






x4y = 4xy ndash 270 (1)

x4y = 100x + 40 + y

4xy = 400 + 10x + y

100x + 40 + y = 400 + 10x + y ndash 270







Pavyzdžiai


a) 287 b) 987 145 c) xyz d) abcde

Pamėgink

TAIKYK

119


1 x260

x + 2 + 6 + 0 = x + 8


1260 4260 7260

2 y265y + 2 + 6 + 5 = y + 13


2265 5265 8265











PamėginkPamėgink


1 6 = 016666 = 01(6)

1 7 = 0142857142857142 = 0(142857)

120



x = 025656 | 10 1 1

10x = 2565656 (1)

10x = 2565656 | 100 2 2

1000x = 2565656 (2)


x = 256 ndash 21000 ndash 10

x = 254990 = 127

495

32(56) = 3 256 ndash 2103 ndash 101 = 3 127

495 1 3






Išreiškiame x


Atsakymas 32(56) = 3 127495

Pavyzdys

021(8) = 218 ndash 21103 ndash 102 = 197

900 0(4) = 4 ndash 0101 ndash 100 = 4

9 2 3

0123(45) = 12345 ndash 123105 ndash 103 = 679

5500 0(56) = 56 ndash 0102 ndash 100 = 56

99 3 5








a) 0(7) b) 05(7) c) 214(8) d) 03(12)


Pamėgink

Pavyzdžiai

121


x = 025656 | 10 1 1

10x = 2565656 (1)

10x = 2565656 | 100 2 2

1000x = 2565656 (2)


x = 256 ndash 21000 ndash 10

x = 254990 = 127

495

32(56) = 3 256 ndash 2103 ndash 101 = 3 127

495 1 3






Išreiškiame x


Atsakymas 32(56) = 3 127495

Pavyzdys




1 2 000 000 000 = 12 ∙ 1010 10 vietų

0000006 1 = 61 ∙ 10ndash6 6 vietos



Pavyzdys


a + b = 24 1025 + 12 1025 = = 36 1025

a + c = 24 1025 + 5 1024 = = 24 1025 + 05 1025 = 29 1025

a b = (24 1025) (12 1025) = = (24 12) (1025 1025) = 288 1050

b c = 12 1025

5 1024 = 024 101 = 24





Pavyzdys


Pamėgink



Pamėgink

122





KMI = 601682 asymp 60


Pavyzdys

∆x = |x ndash a|






|a| 100







Pamėgink

123










KMI = 601682 asymp 60


Pavyzdys



a) 1 7 = 014 2 857 asymp 014


3 7 = 042 8 571 asymp 043

gt 5

artinys a = 043



Pavyzdys

b) ∆x = |1 7 ndash 014| = |50 ndash 49

350 | =

= | 1350| = 1

350

∆x = 1350 lt 00028 lt 0003

δ = ∆x|a| =

1350

750

= 1350 50

7 = 149

δ = 149 100 asymp 2041 lt 21




UŽDAVINIAI



Pamėgink

124



Įrodyk kad



Pagrįsk teiginius















125




d) 0(32) 0(4) e) 0(493) 07(45) f) 0(285714) 01(3)04(6) 4(9)

g) 2(8) ndash 0(4) h) 1(27) ndash 03(4) i) 0(917) + 03(614)

j) 0(57) 0(6) k) 0(267) 03(12) l) 0(53) 02(9)332(4) + 1(21)

Palygink skaičius

a) 1 6 ir 3


12






d) 0002096 1012

524 e) 08128 1024

254 10ndash14 f) 0027 1021 ndash 631 1017

g) 1890 00105 h) 00045 1017 i) 000007 10ndash16

j) 000010288016 1017 k) 5139645 10ndash13

7895 10ndash34 l) 760 1012 ndash 0003 1015


a) 5 6 h = 01 b) 2

7 h = 000001 c) 3 h = 01 d) 6 h = 001

e) 4 13 h = 001 f) 3

11 h = 0001 g) 11 h = 000001 h) 8 h = 000001


a) 1 9 h = 01 b) 2 h = 001 c) 3

11 h = 001 d) 10 h = 0001

126

1 variantas




6 reikšmė

A 7 6 B 1

6 C 75 D 74




❻ Apskaičiuok

a) (134)ndash 2 b) 7503

63 c) (33

4 9ndash 14)ndash4

d) ( 27 ndash 2 3 + 75) 3

e) 5( 3 ndash 7)2

5 ndash 21 f) ( 00001

81 ) ndash 34 10ndash4 g) ( 160

15

121502) ndash2

h) 23 ( 43 ndash 163 )



3









PASITIKRINK

127





2 variantas



A 4ndash 34 = 4

43 B 4ndash

34 = 1

644 C 4ndash

34 = 1

43 D 4ndash 34 = 1

2563


1417 reikšmė

A 1514 B 1 1

196 C 1415 D 1415





❻ Apskaičiuok


14 b) 2 8

16 8

4

3

3 88 c)

8113 + 3

73

33 + 813 + 21873

d) 53 + 2a 43 + 2a

202a + 2 e) 31 ndash 2 5 9 5 f) 17 ndash 338 33 + 178

❼ Suprastink

a) ( 182 ndash 13

ndash 2011 ndash 1

+ 2413 ndash 1) ( 1

2 + 11 )ndash1 b) (3 ndash 7)

12(3 + 7)

12

c) 1 + 3 + 32 + 33 + 34 + + 315







128









m4 + 3m3 + 23 (p ndash 4)(p ndash 12)

27 53



narys narys narys

trinaris




m + 2



7 ndash p + 3


racionalieji

iracionalieji


SUSIPAŽINK

129












Įsimink



② ne 0

③ 2n 0

④ 2n gt 0

⑤mn gt 0



Pavyzdžiai


1) (2 ndash x2)(2 + x2)x ndash 5 2) 2

5x 2 ndash 37x + 4

3) 23 x 2 ndash 5x ndash 813 4) 7

c ndash 2

c + 1 + c + 2

33

5) 2x2 ndash 5x ndash 325 6) (3 + x)(12 + x)

(x ndash 5)x

7) y3

3 + 3y23 8) 3y2 + 2

y2 + 5y ndash 6


Pamėgink

130



x(x ndash 4) ne 0







x 25x ne ndash1









x ne ndash3


(x + 7)(x ndash 7) lt 0








Pavyzdžiai


a) 03x ndash 1 3 b) 2

7x3 + 1 9x2 + 0(4)x ndash 12

c) 2 + 4x x + 3 d) 2 + 4x

x2 ndash 25

Pamėgink

131



3 c) 3 x ndash 36



12 ndash 2x g) x


x2 ndash 1









e) x13 ndash 1 f) 1



2x2 ndash 50



m) 2x + x25 n) x + 2

3 5 o) 2x + 1

x2 ndash 9 p) 12x + x + 4




a + 3 d) 4x


e) (3x ndash 1)ndash134 f) 5x + 40 3

1 ndash x2 g) 4




2 ndash a l) 35k + 21 6

2k + 34


1 ndash p2 n) 2x + 10


x + 5 p) 4 ndash 12x2 + 4 5x + 403

UŽDAVINIAI



b) x + 24

3 ndash x6



x2 ndash 1


Pamėgink

132











23 + xndash

13)

x 13 (x

23 + xndash

13) = x

13 x

23 + x

13 xndash

13 =

= x 13 +

23 + x

13 ndash

13 = x

33 + x0 = x + 1



Atsakymas x + 1









Pavyzdžiai

IŠMOK

133




a) x43 = x3 x3 = x x3

b) x94 = x4 x4 x4 = x2 x4

x94 = x 94 = x2

14 = x2 x4

c) x6y6 = x6 y6 = x y6





Pavyzdys



Įsiminka2n2n = |a|



(x ndash 4)44 + (x ndash 2)33 =




Pavyzdžiai


a) ( x 14 ndash 1 )( x



Pamėgink




Pamėgink

134









a) x y3 = x3y3

b) a b4 = a4b4










Pavyzdžiai

Suprastink



Pamėgink


a) a3 a4 (a gt 0) b) ab2 a3 (a b gt 0)


Pamėgink

135



Įsimink





= ndash x7y 46




Pavyzdys




① (a + b)2 = a2 + 2ab + b2



④ (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3


⑥ a3 + b3 = (a + b)(a2 ndash ab + b2)





Pamėgink


136



(2x + 3)3 = a b



Sprendimas


Atsakymas 8x3 + 36x2 + 54x + 27


( 2 ndash 2 3 )3 = a b



Sprendimas



Pavyzdžiai


8x6 + 60x4y + 150x2y2 + 125y3 =

= (2x2)3 + 3 (2x2)2 (5y) + 3 (2x2) (5y)2 + (5y)3 = a3 a2 b a b2 b3

= (2x2 + 5y)3




Pavyzdys


a) (m ndash 5n)3 b) (2x + 2)3c) ( 3 + 2)3 d) (2 2 + 2)3

Pamėgink




52


Pamėgink

137
















Pavyzdys








Pavyzdys




Pamėgink

138







a) 8x6 ndash a3b9 = (2x2)3 (ab3)3

= (2x2)3 ndash (ab3)3 = a3 b3


= (2x2 ndash ab3)(4x4 + 2x2ab3 + a2b6)






= ( x3 ndash y3 )( x23 + xy3 + y23 )








Taikome 7 formulę

Pavyzdys







Pamėgink



Pamėgink

139



x1 = 1 ndash 81 20 = ndash 2 5 x2 = 1 + 81

20 = 1 2


5) =

= 2 5(x ndash 1 2)(x + 2

5) =

= (2x ndash 1)(5x + 2)





Pavyzdys

Grupavimo būdas









Pavyzdys


= (x + y)(a + b)




++



Pamėgink




Pamėgink

140



6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys




ab + c

d = ad + bcbd

ab ndash c

d = ad ndash bcbd



x + y


Pamėgink

Suprastink




2x ndash 10


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys

3

141


6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys





ab middot c


ab c

d = ab middot d




x ndash y


x2 + y2

x ndash y =


x ndash yx2 + y2 =


x2 + y2 =


= x + y

Sprendimas


Pavyzdžiai

Suprastink

a) 1x x + x

+ xx + 1

b) 6 xx ndash 3

ndash 3x + 3


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys



x ndash yx + y


=


( x + y )( x ndash y ) =



x ndash y

Sprendimas




Pavyzdys

x ndash y x + y

142


UŽDAVINIAI




Suprastink

a) x12 middot x

14 b) (x4

5)3

c) (x23 middot x

15)15

d) x13

xndash 23

e) (x23)

34


n3)6n

h) (b2n bndash075n

bndash05n )ndash4n

i) y 13 middot y

23 j) (x2)

13 k) y

25


27)35

m) (y27)175


n2 o) (x

n4 middot x

n8)8

p) (xndash 56 n x3n

x 43 n )ndash6n




a) ( 3x + 1 ndash 4



Pamėgink


1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









2(1 + 3x) 1 ndash 3x2

143

Suprastink




a) 4 x 3 z 2y 6 4 y ndash2


a 3 b 5a 5

d) 5 a 5 c 2b 2 5 b ndash3


y 4 y 3x 6




a) 12x3y 3x2y b) 16x2y3 3x2y3 c) 144x 5y 124


12y23

e) 63x 5y 3 28x2y f) 8x2y5 4x 3y 45 g) 250xy 74

18x17y24 h) 3x 6y 83

ndash81y23









3b)3 h) (2 2 ndash 3 3)3

i) (3x ndash 4)3 j) (5x + 2)3 k) ( x3 + 1)3 l) ( x6 + x3 )3


p) (x 2 ndash 2)3



1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









144




14 ndash x

14y

34 g) n n + n h) x

34 ndash x



13 ndash x

13y




12 d) xn ndash yn




32 h) y + x 34




a) x + 3x + 4 b) x 3

x 4 c) (x + 2) 3(x + 2) + x d) (x + 2) ndash (x + 3)

(x + 2) + (x + 3)


x + 2 g) x + 1(x + 1)2 h) x 3 + 4

x 4 + 3

i) 6 xx 5 j) x + 1


b x + a



x ndash 5








b ndash a








a) ab ndash b2

2b b) x2 ndash y2





2x ndash 5y








a) x x ndash x


c) a ndash 1a + 1


e) x x + xx


g) x 6 ndash y 6



a) xy + y


x2 + 2x + 1 c) 3x + 1 + x + 5


d) 3x2 + 9x + 14 + 5

2x2 + 15x + 7 e) x ndash x2



x ndash 2

g) 2x2




x3 + 2x + 2x2 + 4 + 1x2 + 2

145

j) 1x(x + 1) + 1

x + 1 k) 6x2 ndash 9 + 9

x2 ndash 6x + 9 l) 4x + 2 + x + 6


m) 6x2 + 11x + 24 + 4








x ndash 3

Suprastink

a) x x ndash 2

ndash 2x + 2

b) 3


a ndash 9 c) x 12

x05 + 1 ndash 1

x05 ndash 1 d) 2

x + 2 + x

x ndash 2 ndash 4 x

x ndash 4

e) 11 + x

ndash 11 ndash x

f) 1a4 ndash 1

+ 1a4 + 1

g) 3

x 12 + 3 ndash x05

x05 ndash 3 h) x

81 ndash x ndash 9

x + 9 + x

x ndash 9

Suprastink

a) 16x2y5










3x j) x + 3x2 + 6x x2 ndash 9


x






3x + 4

e) 5 ndash 2

x ndash 3

4 ndash 1x ndash 3









1 + 3x

1 ndash 6x

m) 3 + 2

x + 4

5 ndash 1x + 4



2x + 2 ndash 1) 6x ndash 6 x + 1 p) ( 1

x ndash 1 ndash x + 1x2 + x + 1) (1 + 1

x3 ndash 1)





y ndash x ndash2








a13 + b



x + 1 + 1 ndash x )


16) xy 46 e) ( 1


x13 ndash 1

+ x13) middot x

13 ndash 1

x23 ndash 1

g) y ndash x

x23 + (xy)13 + y

23 + x

23 ndash y23

x3 ndash y13

h) x13y

13 x

13 y ndash y

13 x



y ndash z )ndash1

j) (x15 + x25

1 + x + 1) 1 ndash x3



ndash b a a + b

+ 3ab ndash b2

a ndash b

m) a + ba ndash b

ndash a + ab a + b

n) a + 1a a + a + a

1a2 ndash a




x05 ndash 1 r) ( 2 + x14


14


x34 s) 1x3 + y3 ndash x3 + y3

x23 ndash (xy)

13 + y

23




ndash 13


x + 1x x ndash 1

+ 2 x

146










6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai

TAIKYK

147




6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai







Sprendimas






2b + 1 ndash 6ab




PamėginkPamėgink





sin2 α

|v| = 2ghsin2 α

v = 2ghsin2 α


Išreiškiame v2




lg = T

2π

lg = ( T

2π )2

lg = T2

4π2gl = 4π2

T2

g = 4π2 middot lT2






Pavyzdžiai

148




p



f = 1F



c

1 + vc


R



P + ET


ndash 1)( 1R1

ndash 1R2)




y


12 = mgh2 + mv2

22


2



y + 24


n21 ndash 1

n22)








PamėginkPamėgink

UŽDAVINIAI

149












150

1 variantas


A 215a + b B 215 + a ndash b


b



A x = 3 B x = 0 C x = ndash3 D x = 9





a) x ndash 32 7 + 4


12 d) 3x ndash 27

x2 ndash 1






a) 32x 94 b) 81x7y 63 c) x 12y 345 d) x 17y 246






PASITIKRINK

151








a middot 5 + 9


⓭ Suprastink


m2 + n2 m2 ndash n2

4mn c) xx + 4 + 4


2 variantas


b2 =

A 140 B 142 C 145 D 146


A 00625 B 0 C 0125 D 025





15x3

c) 04x ndash 10x2 + 145 d) ( 205

10 ndash 5a)ndash18

❺ Pakelk kubu

a) (2 + 2 )3 b) (2 3 + 3 )3 c) (x 2 ndash y3 2 )3



❼ Suprastink




❾ Suprastink

a) 64x6 + 216y6



ndash 52 ndash x






4 kai y lt 0

152


❶Apskaičiuok

a) ( 7 ndash 5 23 + 7 + 503 ) middot 9 b) (3 + 2 5 4


54 + 1



❷Įrodyk teiginį

a) jei x23 + y

23 = a

23 tai x2 + x 4y 23 + y2 + x 2y 43 = a















+ ndash

bf middot xy = gcg

= = =

eec + bcyy = bfbe


153



A 40 B 250 C 225 D 2500


A 2600p B 10400 + p100 C 104p D 5200

100 + 2p








A 545 = 1

54 B 545 = 5

54 C 545 = 31254 D 5

45 = 6255


p ndash 1




x + 4 D 1x + 4



A a = 1 b = 5 B a = 2 b = 3 C a = 1 b = 4 D a = 3 b = 2




A 8 3 cm B 8 3 3 cm C 4

3 cm D 4 3 3 cm


A 56 B 60 C 64 D 112


154











+ 2 ndash x 2 + x





išraišką T(x)




1200 cm2


155












2



109


(3 2 ndash 3 )(2 5 ndash 1) =



(3 2 ndash 3 )(2 5 ndash 1)




(3 5 ndash 2 3 )2 =

= (3 5 )2 ndash 2 ∙ 3 5 ∙ 2 3 + (2 3 )2 = a2 a b b2

= 9 5 ndash 2 3 2 5 ∙ 3 + 4 3 =

= 45 ndash 12 15 + 12 = 57 ndash 12 15

Sprendimas




Atlik veiksmus

a) 44 + 2 99 + 3 45 ndash 20 b) (2 3 ndash 3 2 )( 2 + 3 )

c) 2592 ndash (6 + 3 2 )2 d) (5 2 ndash 3 ) 2 2 + ( 2 + 3 )2


PamėginkPamėgink



a gt 0 Pavyzdžiui 22 = 4 = 2 52 = 5


( alt 0 )2

gt 0

= | a |

gt 0lt 0lt 0

= ndasha

gt 0lt 0lt 0



Įsimink



110






= a ∙ bb ∙ b

= a bb

čia b gt 0


ax ndash y








Sprendimas




Pavyzdys

Apskaičiuok




Pamėgink



23 = 2 3

3 3 = 2 3

3

Sprendimas


Atsakymas 2 33

Pavyzdžiai

ndash = ∙ ( + )

( ndash ) ∙ ( + )

= ∙ ∙

= ∙

111



21 ndash 3

= 2(1 + 3)(1 ndash 3)(1 + 3) =

= 2(1 + 3)12 ndash ( 3)2 = 2(1 + 3)

1 ndash 3 =

= 2(1 + 3)ndash2

= ndash1 ndash 3

Sprendimas





a n a ne 0



Taisyklė Pavyzdys

a0 = 1 20 = 1


22 = 14 (2

3 )ndash1

= 32





(ab )

n = a n

b n (23 )

ndash4 = 2 ndash4

3 ndash4 = 3 42 4 = 81

16 = 5 116


(ndash 210 )ndash3


=

= (ndash 15 )ndash3

+ (ndash 12 )ndash2

=


Sprendimas




Atsakymas ndash121

Pavyzdžiai


a) 112

b) 23 + 1

c) 3 ndash 2 52 3 + 5


Pamėgink

112


Įsimink

① ( an )n = a

② abn = an bn

③ ab

n = an

bn

④ akn = ank

⑤ ( an )k = akn

⑥ amknk = amn

⑦ amn = amn

Apskaičiuok



Pamėgink


Taisyklė Pavyzdys

( an )n = a ( 33 )3 = 3


abn = an bn 27 643 = 273 643 = 3 4 = 1245 85 = 325 = 2



ab

n = an

bn b ne 0 81625

4 = 814

6254 = 35

645

25 = 642

5 = 325 = 2


akn = ank 53 = 56




( an )k = akn ( 33 )2 = ( )233 = 33

8154 = ( 814 )5 = 35 = 243


amknk = amn a1215 = a3 43 5 = a45


amn = amn

223 = 223


113


Įsimink



(1 ndash 3)24 =

= (1 ndash 3)22 2 = |1 ndash 3| =


Sprendimas



Atsakymas 3 ndash 1

Pavyzdys


3 8 24 = 3 82 middot 24 = 15366

7 193 = 73 middot 193 = 65176

15366 lt 65176

3 8 24 lt 7 193





Pavyzdys


a) ( 315 )15 b) 16 ∙ 000014 c) 64729

6

d) 234 e) ( 33 )2 f) 248

g) ( 33 )3 ndash ( 55 )5 h) 015 ∙ 000015 i) 7295

35

j) 23 + 23 k) ( 243 )4 l) 23 + 226

m) 75881

4 + ( 234 )4

n) 24 ∙ 84 + 6253

53 o) 23

( 43 )2

p) 253

235 r) ( 23 )12 s) 21530 + 248


Pamėgink



Pamėgink

114



2 324 ndash 1624 + 12504 =

= 2 16 24 ndash 81 24 + 625 24 =

= 2 2 24 ndash 3 24 + 5 24 =

= 4 24 ndash 3 24 + 5 24 = 6 24

Sprendimas




Atsakymas 6 24


Taisyklė Pavyzdys

a0 = 1 1250 = 1


12 = (6

5)ndash 12 = (5

6) 12 = 5

6

am an = am + n 2 12 2

12 = 2

12 +

12 = 21 = 2


32 = 3212 ndash 1 = 3202 = 3215 = 325 = 2

(an)m = amn (202)5 = 21 = 2

(ab)n = an bn 216 13 = (8 27)

13 = 8

13 27

13= 2 3 = 6

(ab )

n = a n

b n ( 2566561)0125 = 2560125

65610125 = (28)0125

(38)0125 = 23


Įsimink

① a0 = 1

② andashn = 1a n

③ am an = am + n


⑤ (an)m = amn

⑥ (ab)n = an bn

⑦ (ab )

n = a n

b n b ne 0

❶ Palygink

a) 4 2 33 ir 3 2 3 b) 4 3 33 ir 3 3 34

❷ Suprastink

a) 323 ndash 1083 b) 23 7684 + 484


Pamėgink

115

⓱ Apskaičiuok

a) 8 ∙ 32 b) 3 + 3 + 3 3 c) 18 + 50



m) 3 + 6 2 n) 2( 8 ndash 2) o) (3 ndash 5 7)2


⓲ Apskaičiuok



g) 32 +2 + ∙ 32 +2 ndash ∙ 2 + 3 h) (3 + 2 2)2016 ∙ (3 ndash 2 2)2016



⓴ Apskaičiuok





Apskaičiuok




a) 25

b) 57 5

c) 35 ndash 2

d) 113 5 ndash 2 3

e) 37

f) 72 7

g) 27 ndash 5

h) 102 7 ndash 3 2

UŽDAVINIAI

Atlik veiksmus

a) (13)ndash 02 b) 1613 16ndash105 c) 515

505


32 e) 3 ndash

14 27 ndash

14 f) 605

305

g) ( 149)ndash

12 ndash (1


23 5ndash

32 5ndash

156 i) 2

13(4

13 + 32

13)

j) (12ndash075


12 (3 + 2)

12


Pamėgink

116


Apskaičiuok

a) 27 ndash 5

+ 47 + 5

b) ( 25 ndash 2

+ 45 + 2) ∙ 1

6 5 ndash 4

c) 36 ndash 3

+ 96 + 3

d) ( 27 ndash 2

+ 47 + 2) ∙ 3

6 7 ndash 4

Apskaičiuok

a) 1 + 2

21 ndash 2

2

+ (2 + 2)2

2 b) ( 43 + 5

ndash 32 + 7

+ 114 ndash 5) (9 ndash 7)

c) 21 ndash 4 5 21 + 4 5

ndash 1921 + 4 5

d) ( 127 ndash 1

ndash 85 ndash 1

+ 62 ndash 7) ∙ (2 5 + 4)ndash1

e) 1 + 3

3

1 ndash 33

+ (1 ndash 3)2

2 f) ( 25 ndash 3

+ 63 ndash 3

+ 12 ndash 5) ∙ (2 3 ndash 1)

g) 4 + 2 3 4 ndash 2 3

ndash 12 ndash 3

h) ( 45 ndash 1

ndash 35 ndash 2

+ 605 ndash 5) ∙ ( 5(1 + 2 5))ndash1

Apskaičiuok






3ndash4

Apskaičiuok


53 26


14) ndash2


i) 36 210 57

605




a) 8 ∙ 95 ∙ 4 ∙ 275 b) 2185 2145

2175 c) ( 23 )6 ndash ( 34 )2


j) 9 ∙ 43 ∙ 3 ∙ 163 k) 3174 3244

3214 l) ( 34 )8 ndash ( 24 )2


Apskaičiuok



117


a) 3 2 b) 2 34 c) 04 100004 d) 13 544

e) 5 3 f) 3 23 g) 25 100004 h) 2 25



Suprastink


Apskaičiuok


c) 4 ndash 2 36 1 + 33 43 d) 3( 3 ndash 7 )2

10( 5 + 214 )( 5 ndash 214 )

e) (1 + 2)2 + 44 f) 3 ndash 2 26 2 + 23 326


20( 154 + 2)( 154 ndash 2)


a) 25013

213

b) (313)3

ndash (205)4 c) 3025 27025 ndash 213 4

13 d) 3

13 (32

3 + 1)e) (4025 ndash 405)4 f) (23

2 + 1)2

g) (314 + 3

12) (31

4 ndash 312) h) (51

6 + 514) (51

6 ndash 514)

i) 16214

125013 j) (41

4)8

ndash (405)3 k) 214 8

14 ndash 3

13 9

13 l) (23

4 + 1) 214

m) (805 ndash 3205)2 n) (314 + 1)2

o) (414 + 1) (41

4 ndash 1) p) (1 + 314) (31

4 ndash 1)


a) 8 435 b) 2 4 16 4

3

3 4 c) 777 493 d) 8

274 3

26 312 26

e) 23 484 2ndash33 f) 1253 5255 g) 53 553

023 h) 125 53 54 3 1

515

15

Apskaičiuok


15 3 + 1 + 15 3 b) ( 10) 2 ndash ( 5 ) 2

( 2 ) 2 ndash 1


43 + 0008 ndash

13 d) (2 2 ndash 3 27) (23

2 + 9 3) + ( 1 4096) ndash

12( 4 3)ndash1

e) ((243 93 )14 ndash 3(3 34 )

13) 3 ndash

512 f) 3 + 63 9 ndash 6 26 ndash 33

g) 13 2 + 13 2 + 2

3 middot 13 2 ndash 13 2 h) ( 6 ) 2 + 2 2

( 3 ) 2 + ( 2 ) 2

i) ( 1 27) ndash 13 + 2 00016 ndash

14 + ( 1 81)ndash075 00640 j) 00001ndash

14 + ( 1

125) ndash 43 ndash 81075 1

9 ndash05

k) 84

74 4 ndash 24 4 + 24 l) ((31

2 + 1)2

ndash (4 + 312)33 )

12

ndash 2 cos 30deg

118


5 2 8 6 2 3 5

Tūks

tanč

ių sk

yriu

s

Šim

tų sk

yriu

s

Dešim

čių sk

yriu

s

Vien

etų

skyr

ius

Dešim

tųjų

skyr

ius

Šim

tųjų

skyr

ius

Tūks

tant

ųjų

skyr

ius



743 956 = 7 105 + 4 104 + 3 103 + 9 102 + 5 10 + 6






x4y = 4xy ndash 270 (1)

x4y = 100x + 40 + y

4xy = 400 + 10x + y

100x + 40 + y = 400 + 10x + y ndash 270







Pavyzdžiai


a) 287 b) 987 145 c) xyz d) abcde

Pamėgink

TAIKYK

119


1 x260

x + 2 + 6 + 0 = x + 8


1260 4260 7260

2 y265y + 2 + 6 + 5 = y + 13


2265 5265 8265











PamėginkPamėgink


1 6 = 016666 = 01(6)

1 7 = 0142857142857142 = 0(142857)

120



x = 025656 | 10 1 1

10x = 2565656 (1)

10x = 2565656 | 100 2 2

1000x = 2565656 (2)


x = 256 ndash 21000 ndash 10

x = 254990 = 127

495

32(56) = 3 256 ndash 2103 ndash 101 = 3 127

495 1 3






Išreiškiame x


Atsakymas 32(56) = 3 127495

Pavyzdys

021(8) = 218 ndash 21103 ndash 102 = 197

900 0(4) = 4 ndash 0101 ndash 100 = 4

9 2 3

0123(45) = 12345 ndash 123105 ndash 103 = 679

5500 0(56) = 56 ndash 0102 ndash 100 = 56

99 3 5








a) 0(7) b) 05(7) c) 214(8) d) 03(12)


Pamėgink

Pavyzdžiai

121


x = 025656 | 10 1 1

10x = 2565656 (1)

10x = 2565656 | 100 2 2

1000x = 2565656 (2)


x = 256 ndash 21000 ndash 10

x = 254990 = 127

495

32(56) = 3 256 ndash 2103 ndash 101 = 3 127

495 1 3






Išreiškiame x


Atsakymas 32(56) = 3 127495

Pavyzdys




1 2 000 000 000 = 12 ∙ 1010 10 vietų

0000006 1 = 61 ∙ 10ndash6 6 vietos



Pavyzdys


a + b = 24 1025 + 12 1025 = = 36 1025

a + c = 24 1025 + 5 1024 = = 24 1025 + 05 1025 = 29 1025

a b = (24 1025) (12 1025) = = (24 12) (1025 1025) = 288 1050

b c = 12 1025

5 1024 = 024 101 = 24





Pavyzdys


Pamėgink



Pamėgink

122





KMI = 601682 asymp 60


Pavyzdys

∆x = |x ndash a|






|a| 100







Pamėgink

123










KMI = 601682 asymp 60


Pavyzdys



a) 1 7 = 014 2 857 asymp 014


3 7 = 042 8 571 asymp 043

gt 5

artinys a = 043



Pavyzdys

b) ∆x = |1 7 ndash 014| = |50 ndash 49

350 | =

= | 1350| = 1

350

∆x = 1350 lt 00028 lt 0003

δ = ∆x|a| =

1350

750

= 1350 50

7 = 149

δ = 149 100 asymp 2041 lt 21




UŽDAVINIAI



Pamėgink

124



Įrodyk kad



Pagrįsk teiginius















125




d) 0(32) 0(4) e) 0(493) 07(45) f) 0(285714) 01(3)04(6) 4(9)

g) 2(8) ndash 0(4) h) 1(27) ndash 03(4) i) 0(917) + 03(614)

j) 0(57) 0(6) k) 0(267) 03(12) l) 0(53) 02(9)332(4) + 1(21)

Palygink skaičius

a) 1 6 ir 3


12






d) 0002096 1012

524 e) 08128 1024

254 10ndash14 f) 0027 1021 ndash 631 1017

g) 1890 00105 h) 00045 1017 i) 000007 10ndash16

j) 000010288016 1017 k) 5139645 10ndash13

7895 10ndash34 l) 760 1012 ndash 0003 1015


a) 5 6 h = 01 b) 2

7 h = 000001 c) 3 h = 01 d) 6 h = 001

e) 4 13 h = 001 f) 3

11 h = 0001 g) 11 h = 000001 h) 8 h = 000001


a) 1 9 h = 01 b) 2 h = 001 c) 3

11 h = 001 d) 10 h = 0001

126

1 variantas




6 reikšmė

A 7 6 B 1

6 C 75 D 74




❻ Apskaičiuok

a) (134)ndash 2 b) 7503

63 c) (33

4 9ndash 14)ndash4

d) ( 27 ndash 2 3 + 75) 3

e) 5( 3 ndash 7)2

5 ndash 21 f) ( 00001

81 ) ndash 34 10ndash4 g) ( 160

15

121502) ndash2

h) 23 ( 43 ndash 163 )



3









PASITIKRINK

127





2 variantas



A 4ndash 34 = 4

43 B 4ndash

34 = 1

644 C 4ndash

34 = 1

43 D 4ndash 34 = 1

2563


1417 reikšmė

A 1514 B 1 1

196 C 1415 D 1415





❻ Apskaičiuok


14 b) 2 8

16 8

4

3

3 88 c)

8113 + 3

73

33 + 813 + 21873

d) 53 + 2a 43 + 2a

202a + 2 e) 31 ndash 2 5 9 5 f) 17 ndash 338 33 + 178

❼ Suprastink

a) ( 182 ndash 13

ndash 2011 ndash 1

+ 2413 ndash 1) ( 1

2 + 11 )ndash1 b) (3 ndash 7)

12(3 + 7)

12

c) 1 + 3 + 32 + 33 + 34 + + 315







128









m4 + 3m3 + 23 (p ndash 4)(p ndash 12)

27 53



narys narys narys

trinaris




m + 2



7 ndash p + 3


racionalieji

iracionalieji


SUSIPAŽINK

129












Įsimink



② ne 0

③ 2n 0

④ 2n gt 0

⑤mn gt 0



Pavyzdžiai


1) (2 ndash x2)(2 + x2)x ndash 5 2) 2

5x 2 ndash 37x + 4

3) 23 x 2 ndash 5x ndash 813 4) 7

c ndash 2

c + 1 + c + 2

33

5) 2x2 ndash 5x ndash 325 6) (3 + x)(12 + x)

(x ndash 5)x

7) y3

3 + 3y23 8) 3y2 + 2

y2 + 5y ndash 6


Pamėgink

130



x(x ndash 4) ne 0







x 25x ne ndash1









x ne ndash3


(x + 7)(x ndash 7) lt 0








Pavyzdžiai


a) 03x ndash 1 3 b) 2

7x3 + 1 9x2 + 0(4)x ndash 12

c) 2 + 4x x + 3 d) 2 + 4x

x2 ndash 25

Pamėgink

131



3 c) 3 x ndash 36



12 ndash 2x g) x


x2 ndash 1









e) x13 ndash 1 f) 1



2x2 ndash 50



m) 2x + x25 n) x + 2

3 5 o) 2x + 1

x2 ndash 9 p) 12x + x + 4




a + 3 d) 4x


e) (3x ndash 1)ndash134 f) 5x + 40 3

1 ndash x2 g) 4




2 ndash a l) 35k + 21 6

2k + 34


1 ndash p2 n) 2x + 10


x + 5 p) 4 ndash 12x2 + 4 5x + 403

UŽDAVINIAI



b) x + 24

3 ndash x6



x2 ndash 1


Pamėgink

132











23 + xndash

13)

x 13 (x

23 + xndash

13) = x

13 x

23 + x

13 xndash

13 =

= x 13 +

23 + x

13 ndash

13 = x

33 + x0 = x + 1



Atsakymas x + 1









Pavyzdžiai

IŠMOK

133




a) x43 = x3 x3 = x x3

b) x94 = x4 x4 x4 = x2 x4

x94 = x 94 = x2

14 = x2 x4

c) x6y6 = x6 y6 = x y6





Pavyzdys



Įsiminka2n2n = |a|



(x ndash 4)44 + (x ndash 2)33 =




Pavyzdžiai


a) ( x 14 ndash 1 )( x



Pamėgink




Pamėgink

134









a) x y3 = x3y3

b) a b4 = a4b4










Pavyzdžiai

Suprastink



Pamėgink


a) a3 a4 (a gt 0) b) ab2 a3 (a b gt 0)


Pamėgink

135



Įsimink





= ndash x7y 46




Pavyzdys




① (a + b)2 = a2 + 2ab + b2



④ (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3


⑥ a3 + b3 = (a + b)(a2 ndash ab + b2)





Pamėgink


136



(2x + 3)3 = a b



Sprendimas


Atsakymas 8x3 + 36x2 + 54x + 27


( 2 ndash 2 3 )3 = a b



Sprendimas



Pavyzdžiai


8x6 + 60x4y + 150x2y2 + 125y3 =

= (2x2)3 + 3 (2x2)2 (5y) + 3 (2x2) (5y)2 + (5y)3 = a3 a2 b a b2 b3

= (2x2 + 5y)3




Pavyzdys


a) (m ndash 5n)3 b) (2x + 2)3c) ( 3 + 2)3 d) (2 2 + 2)3

Pamėgink




52


Pamėgink

137
















Pavyzdys








Pavyzdys




Pamėgink

138







a) 8x6 ndash a3b9 = (2x2)3 (ab3)3

= (2x2)3 ndash (ab3)3 = a3 b3


= (2x2 ndash ab3)(4x4 + 2x2ab3 + a2b6)






= ( x3 ndash y3 )( x23 + xy3 + y23 )








Taikome 7 formulę

Pavyzdys







Pamėgink



Pamėgink

139



x1 = 1 ndash 81 20 = ndash 2 5 x2 = 1 + 81

20 = 1 2


5) =

= 2 5(x ndash 1 2)(x + 2

5) =

= (2x ndash 1)(5x + 2)





Pavyzdys

Grupavimo būdas









Pavyzdys


= (x + y)(a + b)




++



Pamėgink




Pamėgink

140



6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys




ab + c

d = ad + bcbd

ab ndash c

d = ad ndash bcbd



x + y


Pamėgink

Suprastink




2x ndash 10


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys

3

141


6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys





ab middot c


ab c

d = ab middot d




x ndash y


x2 + y2

x ndash y =


x ndash yx2 + y2 =


x2 + y2 =


= x + y

Sprendimas


Pavyzdžiai

Suprastink

a) 1x x + x

+ xx + 1

b) 6 xx ndash 3

ndash 3x + 3


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys



x ndash yx + y


=


( x + y )( x ndash y ) =



x ndash y

Sprendimas




Pavyzdys

x ndash y x + y

142


UŽDAVINIAI




Suprastink

a) x12 middot x

14 b) (x4

5)3

c) (x23 middot x

15)15

d) x13

xndash 23

e) (x23)

34


n3)6n

h) (b2n bndash075n

bndash05n )ndash4n

i) y 13 middot y

23 j) (x2)

13 k) y

25


27)35

m) (y27)175


n2 o) (x

n4 middot x

n8)8

p) (xndash 56 n x3n

x 43 n )ndash6n




a) ( 3x + 1 ndash 4



Pamėgink


1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









2(1 + 3x) 1 ndash 3x2

143

Suprastink




a) 4 x 3 z 2y 6 4 y ndash2


a 3 b 5a 5

d) 5 a 5 c 2b 2 5 b ndash3


y 4 y 3x 6




a) 12x3y 3x2y b) 16x2y3 3x2y3 c) 144x 5y 124


12y23

e) 63x 5y 3 28x2y f) 8x2y5 4x 3y 45 g) 250xy 74

18x17y24 h) 3x 6y 83

ndash81y23









3b)3 h) (2 2 ndash 3 3)3

i) (3x ndash 4)3 j) (5x + 2)3 k) ( x3 + 1)3 l) ( x6 + x3 )3


p) (x 2 ndash 2)3



1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









144




14 ndash x

14y

34 g) n n + n h) x

34 ndash x



13 ndash x

13y




12 d) xn ndash yn




32 h) y + x 34




a) x + 3x + 4 b) x 3

x 4 c) (x + 2) 3(x + 2) + x d) (x + 2) ndash (x + 3)

(x + 2) + (x + 3)


x + 2 g) x + 1(x + 1)2 h) x 3 + 4

x 4 + 3

i) 6 xx 5 j) x + 1


b x + a



x ndash 5








b ndash a








a) ab ndash b2

2b b) x2 ndash y2





2x ndash 5y








a) x x ndash x


c) a ndash 1a + 1


e) x x + xx


g) x 6 ndash y 6



a) xy + y


x2 + 2x + 1 c) 3x + 1 + x + 5


d) 3x2 + 9x + 14 + 5

2x2 + 15x + 7 e) x ndash x2



x ndash 2

g) 2x2




x3 + 2x + 2x2 + 4 + 1x2 + 2

145

j) 1x(x + 1) + 1

x + 1 k) 6x2 ndash 9 + 9

x2 ndash 6x + 9 l) 4x + 2 + x + 6


m) 6x2 + 11x + 24 + 4








x ndash 3

Suprastink

a) x x ndash 2

ndash 2x + 2

b) 3


a ndash 9 c) x 12

x05 + 1 ndash 1

x05 ndash 1 d) 2

x + 2 + x

x ndash 2 ndash 4 x

x ndash 4

e) 11 + x

ndash 11 ndash x

f) 1a4 ndash 1

+ 1a4 + 1

g) 3

x 12 + 3 ndash x05

x05 ndash 3 h) x

81 ndash x ndash 9

x + 9 + x

x ndash 9

Suprastink

a) 16x2y5










3x j) x + 3x2 + 6x x2 ndash 9


x






3x + 4

e) 5 ndash 2

x ndash 3

4 ndash 1x ndash 3









1 + 3x

1 ndash 6x

m) 3 + 2

x + 4

5 ndash 1x + 4



2x + 2 ndash 1) 6x ndash 6 x + 1 p) ( 1

x ndash 1 ndash x + 1x2 + x + 1) (1 + 1

x3 ndash 1)





y ndash x ndash2








a13 + b



x + 1 + 1 ndash x )


16) xy 46 e) ( 1


x13 ndash 1

+ x13) middot x

13 ndash 1

x23 ndash 1

g) y ndash x

x23 + (xy)13 + y

23 + x

23 ndash y23

x3 ndash y13

h) x13y

13 x

13 y ndash y

13 x



y ndash z )ndash1

j) (x15 + x25

1 + x + 1) 1 ndash x3



ndash b a a + b

+ 3ab ndash b2

a ndash b

m) a + ba ndash b

ndash a + ab a + b

n) a + 1a a + a + a

1a2 ndash a




x05 ndash 1 r) ( 2 + x14


14


x34 s) 1x3 + y3 ndash x3 + y3

x23 ndash (xy)

13 + y

23




ndash 13


x + 1x x ndash 1

+ 2 x

146










6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai

TAIKYK

147




6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai







Sprendimas






2b + 1 ndash 6ab




PamėginkPamėgink





sin2 α

|v| = 2ghsin2 α

v = 2ghsin2 α


Išreiškiame v2




lg = T

2π

lg = ( T

2π )2

lg = T2

4π2gl = 4π2

T2

g = 4π2 middot lT2






Pavyzdžiai

148




p



f = 1F



c

1 + vc


R



P + ET


ndash 1)( 1R1

ndash 1R2)




y


12 = mgh2 + mv2

22


2



y + 24


n21 ndash 1

n22)








PamėginkPamėgink

UŽDAVINIAI

149












150

1 variantas


A 215a + b B 215 + a ndash b


b



A x = 3 B x = 0 C x = ndash3 D x = 9





a) x ndash 32 7 + 4


12 d) 3x ndash 27

x2 ndash 1






a) 32x 94 b) 81x7y 63 c) x 12y 345 d) x 17y 246






PASITIKRINK

151








a middot 5 + 9


⓭ Suprastink


m2 + n2 m2 ndash n2

4mn c) xx + 4 + 4


2 variantas


b2 =

A 140 B 142 C 145 D 146


A 00625 B 0 C 0125 D 025





15x3

c) 04x ndash 10x2 + 145 d) ( 205

10 ndash 5a)ndash18

❺ Pakelk kubu

a) (2 + 2 )3 b) (2 3 + 3 )3 c) (x 2 ndash y3 2 )3



❼ Suprastink




❾ Suprastink

a) 64x6 + 216y6



ndash 52 ndash x






4 kai y lt 0

152


❶Apskaičiuok

a) ( 7 ndash 5 23 + 7 + 503 ) middot 9 b) (3 + 2 5 4


54 + 1



❷Įrodyk teiginį

a) jei x23 + y

23 = a

23 tai x2 + x 4y 23 + y2 + x 2y 43 = a















+ ndash

bf middot xy = gcg

= = =

eec + bcyy = bfbe


153



A 40 B 250 C 225 D 2500


A 2600p B 10400 + p100 C 104p D 5200

100 + 2p








A 545 = 1

54 B 545 = 5

54 C 545 = 31254 D 5

45 = 6255


p ndash 1




x + 4 D 1x + 4



A a = 1 b = 5 B a = 2 b = 3 C a = 1 b = 4 D a = 3 b = 2




A 8 3 cm B 8 3 3 cm C 4

3 cm D 4 3 3 cm


A 56 B 60 C 64 D 112


154











+ 2 ndash x 2 + x





išraišką T(x)




1200 cm2


155












2



110






= a ∙ bb ∙ b

= a bb

čia b gt 0


ax ndash y








Sprendimas




Pavyzdys

Apskaičiuok




Pamėgink



23 = 2 3

3 3 = 2 3

3

Sprendimas


Atsakymas 2 33

Pavyzdžiai

ndash = ∙ ( + )

( ndash ) ∙ ( + )

= ∙ ∙

= ∙

111



21 ndash 3

= 2(1 + 3)(1 ndash 3)(1 + 3) =

= 2(1 + 3)12 ndash ( 3)2 = 2(1 + 3)

1 ndash 3 =

= 2(1 + 3)ndash2

= ndash1 ndash 3

Sprendimas





a n a ne 0



Taisyklė Pavyzdys

a0 = 1 20 = 1


22 = 14 (2

3 )ndash1

= 32





(ab )

n = a n

b n (23 )

ndash4 = 2 ndash4

3 ndash4 = 3 42 4 = 81

16 = 5 116


(ndash 210 )ndash3


=

= (ndash 15 )ndash3

+ (ndash 12 )ndash2

=


Sprendimas




Atsakymas ndash121

Pavyzdžiai


a) 112

b) 23 + 1

c) 3 ndash 2 52 3 + 5


Pamėgink

112


Įsimink

① ( an )n = a

② abn = an bn

③ ab

n = an

bn

④ akn = ank

⑤ ( an )k = akn

⑥ amknk = amn

⑦ amn = amn

Apskaičiuok



Pamėgink


Taisyklė Pavyzdys

( an )n = a ( 33 )3 = 3


abn = an bn 27 643 = 273 643 = 3 4 = 1245 85 = 325 = 2



ab

n = an

bn b ne 0 81625

4 = 814

6254 = 35

645

25 = 642

5 = 325 = 2


akn = ank 53 = 56




( an )k = akn ( 33 )2 = ( )233 = 33

8154 = ( 814 )5 = 35 = 243


amknk = amn a1215 = a3 43 5 = a45


amn = amn

223 = 223


113


Įsimink



(1 ndash 3)24 =

= (1 ndash 3)22 2 = |1 ndash 3| =


Sprendimas



Atsakymas 3 ndash 1

Pavyzdys


3 8 24 = 3 82 middot 24 = 15366

7 193 = 73 middot 193 = 65176

15366 lt 65176

3 8 24 lt 7 193





Pavyzdys


a) ( 315 )15 b) 16 ∙ 000014 c) 64729

6

d) 234 e) ( 33 )2 f) 248

g) ( 33 )3 ndash ( 55 )5 h) 015 ∙ 000015 i) 7295

35

j) 23 + 23 k) ( 243 )4 l) 23 + 226

m) 75881

4 + ( 234 )4

n) 24 ∙ 84 + 6253

53 o) 23

( 43 )2

p) 253

235 r) ( 23 )12 s) 21530 + 248


Pamėgink



Pamėgink

114



2 324 ndash 1624 + 12504 =

= 2 16 24 ndash 81 24 + 625 24 =

= 2 2 24 ndash 3 24 + 5 24 =

= 4 24 ndash 3 24 + 5 24 = 6 24

Sprendimas




Atsakymas 6 24


Taisyklė Pavyzdys

a0 = 1 1250 = 1


12 = (6

5)ndash 12 = (5

6) 12 = 5

6

am an = am + n 2 12 2

12 = 2

12 +

12 = 21 = 2


32 = 3212 ndash 1 = 3202 = 3215 = 325 = 2

(an)m = amn (202)5 = 21 = 2

(ab)n = an bn 216 13 = (8 27)

13 = 8

13 27

13= 2 3 = 6

(ab )

n = a n

b n ( 2566561)0125 = 2560125

65610125 = (28)0125

(38)0125 = 23


Įsimink

① a0 = 1

② andashn = 1a n

③ am an = am + n


⑤ (an)m = amn

⑥ (ab)n = an bn

⑦ (ab )

n = a n

b n b ne 0

❶ Palygink

a) 4 2 33 ir 3 2 3 b) 4 3 33 ir 3 3 34

❷ Suprastink

a) 323 ndash 1083 b) 23 7684 + 484


Pamėgink

115

⓱ Apskaičiuok

a) 8 ∙ 32 b) 3 + 3 + 3 3 c) 18 + 50



m) 3 + 6 2 n) 2( 8 ndash 2) o) (3 ndash 5 7)2


⓲ Apskaičiuok



g) 32 +2 + ∙ 32 +2 ndash ∙ 2 + 3 h) (3 + 2 2)2016 ∙ (3 ndash 2 2)2016



⓴ Apskaičiuok





Apskaičiuok




a) 25

b) 57 5

c) 35 ndash 2

d) 113 5 ndash 2 3

e) 37

f) 72 7

g) 27 ndash 5

h) 102 7 ndash 3 2

UŽDAVINIAI

Atlik veiksmus

a) (13)ndash 02 b) 1613 16ndash105 c) 515

505


32 e) 3 ndash

14 27 ndash

14 f) 605

305

g) ( 149)ndash

12 ndash (1


23 5ndash

32 5ndash

156 i) 2

13(4

13 + 32

13)

j) (12ndash075


12 (3 + 2)

12


Pamėgink

116


Apskaičiuok

a) 27 ndash 5

+ 47 + 5

b) ( 25 ndash 2

+ 45 + 2) ∙ 1

6 5 ndash 4

c) 36 ndash 3

+ 96 + 3

d) ( 27 ndash 2

+ 47 + 2) ∙ 3

6 7 ndash 4

Apskaičiuok

a) 1 + 2

21 ndash 2

2

+ (2 + 2)2

2 b) ( 43 + 5

ndash 32 + 7

+ 114 ndash 5) (9 ndash 7)

c) 21 ndash 4 5 21 + 4 5

ndash 1921 + 4 5

d) ( 127 ndash 1

ndash 85 ndash 1

+ 62 ndash 7) ∙ (2 5 + 4)ndash1

e) 1 + 3

3

1 ndash 33

+ (1 ndash 3)2

2 f) ( 25 ndash 3

+ 63 ndash 3

+ 12 ndash 5) ∙ (2 3 ndash 1)

g) 4 + 2 3 4 ndash 2 3

ndash 12 ndash 3

h) ( 45 ndash 1

ndash 35 ndash 2

+ 605 ndash 5) ∙ ( 5(1 + 2 5))ndash1

Apskaičiuok






3ndash4

Apskaičiuok


53 26


14) ndash2


i) 36 210 57

605




a) 8 ∙ 95 ∙ 4 ∙ 275 b) 2185 2145

2175 c) ( 23 )6 ndash ( 34 )2


j) 9 ∙ 43 ∙ 3 ∙ 163 k) 3174 3244

3214 l) ( 34 )8 ndash ( 24 )2


Apskaičiuok



117


a) 3 2 b) 2 34 c) 04 100004 d) 13 544

e) 5 3 f) 3 23 g) 25 100004 h) 2 25



Suprastink


Apskaičiuok


c) 4 ndash 2 36 1 + 33 43 d) 3( 3 ndash 7 )2

10( 5 + 214 )( 5 ndash 214 )

e) (1 + 2)2 + 44 f) 3 ndash 2 26 2 + 23 326


20( 154 + 2)( 154 ndash 2)


a) 25013

213

b) (313)3

ndash (205)4 c) 3025 27025 ndash 213 4

13 d) 3

13 (32

3 + 1)e) (4025 ndash 405)4 f) (23

2 + 1)2

g) (314 + 3

12) (31

4 ndash 312) h) (51

6 + 514) (51

6 ndash 514)

i) 16214

125013 j) (41

4)8

ndash (405)3 k) 214 8

14 ndash 3

13 9

13 l) (23

4 + 1) 214

m) (805 ndash 3205)2 n) (314 + 1)2

o) (414 + 1) (41

4 ndash 1) p) (1 + 314) (31

4 ndash 1)


a) 8 435 b) 2 4 16 4

3

3 4 c) 777 493 d) 8

274 3

26 312 26

e) 23 484 2ndash33 f) 1253 5255 g) 53 553

023 h) 125 53 54 3 1

515

15

Apskaičiuok


15 3 + 1 + 15 3 b) ( 10) 2 ndash ( 5 ) 2

( 2 ) 2 ndash 1


43 + 0008 ndash

13 d) (2 2 ndash 3 27) (23

2 + 9 3) + ( 1 4096) ndash

12( 4 3)ndash1

e) ((243 93 )14 ndash 3(3 34 )

13) 3 ndash

512 f) 3 + 63 9 ndash 6 26 ndash 33

g) 13 2 + 13 2 + 2

3 middot 13 2 ndash 13 2 h) ( 6 ) 2 + 2 2

( 3 ) 2 + ( 2 ) 2

i) ( 1 27) ndash 13 + 2 00016 ndash

14 + ( 1 81)ndash075 00640 j) 00001ndash

14 + ( 1

125) ndash 43 ndash 81075 1

9 ndash05

k) 84

74 4 ndash 24 4 + 24 l) ((31

2 + 1)2

ndash (4 + 312)33 )

12

ndash 2 cos 30deg

118


5 2 8 6 2 3 5

Tūks

tanč

ių sk

yriu

s

Šim

tų sk

yriu

s

Dešim

čių sk

yriu

s

Vien

etų

skyr

ius

Dešim

tųjų

skyr

ius

Šim

tųjų

skyr

ius

Tūks

tant

ųjų

skyr

ius



743 956 = 7 105 + 4 104 + 3 103 + 9 102 + 5 10 + 6






x4y = 4xy ndash 270 (1)

x4y = 100x + 40 + y

4xy = 400 + 10x + y

100x + 40 + y = 400 + 10x + y ndash 270







Pavyzdžiai


a) 287 b) 987 145 c) xyz d) abcde

Pamėgink

TAIKYK

119


1 x260

x + 2 + 6 + 0 = x + 8


1260 4260 7260

2 y265y + 2 + 6 + 5 = y + 13


2265 5265 8265











PamėginkPamėgink


1 6 = 016666 = 01(6)

1 7 = 0142857142857142 = 0(142857)

120



x = 025656 | 10 1 1

10x = 2565656 (1)

10x = 2565656 | 100 2 2

1000x = 2565656 (2)


x = 256 ndash 21000 ndash 10

x = 254990 = 127

495

32(56) = 3 256 ndash 2103 ndash 101 = 3 127

495 1 3






Išreiškiame x


Atsakymas 32(56) = 3 127495

Pavyzdys

021(8) = 218 ndash 21103 ndash 102 = 197

900 0(4) = 4 ndash 0101 ndash 100 = 4

9 2 3

0123(45) = 12345 ndash 123105 ndash 103 = 679

5500 0(56) = 56 ndash 0102 ndash 100 = 56

99 3 5








a) 0(7) b) 05(7) c) 214(8) d) 03(12)


Pamėgink

Pavyzdžiai

121


x = 025656 | 10 1 1

10x = 2565656 (1)

10x = 2565656 | 100 2 2

1000x = 2565656 (2)


x = 256 ndash 21000 ndash 10

x = 254990 = 127

495

32(56) = 3 256 ndash 2103 ndash 101 = 3 127

495 1 3






Išreiškiame x


Atsakymas 32(56) = 3 127495

Pavyzdys




1 2 000 000 000 = 12 ∙ 1010 10 vietų

0000006 1 = 61 ∙ 10ndash6 6 vietos



Pavyzdys


a + b = 24 1025 + 12 1025 = = 36 1025

a + c = 24 1025 + 5 1024 = = 24 1025 + 05 1025 = 29 1025

a b = (24 1025) (12 1025) = = (24 12) (1025 1025) = 288 1050

b c = 12 1025

5 1024 = 024 101 = 24





Pavyzdys


Pamėgink



Pamėgink

122





KMI = 601682 asymp 60


Pavyzdys

∆x = |x ndash a|






|a| 100







Pamėgink

123










KMI = 601682 asymp 60


Pavyzdys



a) 1 7 = 014 2 857 asymp 014


3 7 = 042 8 571 asymp 043

gt 5

artinys a = 043



Pavyzdys

b) ∆x = |1 7 ndash 014| = |50 ndash 49

350 | =

= | 1350| = 1

350

∆x = 1350 lt 00028 lt 0003

δ = ∆x|a| =

1350

750

= 1350 50

7 = 149

δ = 149 100 asymp 2041 lt 21




UŽDAVINIAI



Pamėgink

124



Įrodyk kad



Pagrįsk teiginius















125




d) 0(32) 0(4) e) 0(493) 07(45) f) 0(285714) 01(3)04(6) 4(9)

g) 2(8) ndash 0(4) h) 1(27) ndash 03(4) i) 0(917) + 03(614)

j) 0(57) 0(6) k) 0(267) 03(12) l) 0(53) 02(9)332(4) + 1(21)

Palygink skaičius

a) 1 6 ir 3


12






d) 0002096 1012

524 e) 08128 1024

254 10ndash14 f) 0027 1021 ndash 631 1017

g) 1890 00105 h) 00045 1017 i) 000007 10ndash16

j) 000010288016 1017 k) 5139645 10ndash13

7895 10ndash34 l) 760 1012 ndash 0003 1015


a) 5 6 h = 01 b) 2

7 h = 000001 c) 3 h = 01 d) 6 h = 001

e) 4 13 h = 001 f) 3

11 h = 0001 g) 11 h = 000001 h) 8 h = 000001


a) 1 9 h = 01 b) 2 h = 001 c) 3

11 h = 001 d) 10 h = 0001

126

1 variantas




6 reikšmė

A 7 6 B 1

6 C 75 D 74




❻ Apskaičiuok

a) (134)ndash 2 b) 7503

63 c) (33

4 9ndash 14)ndash4

d) ( 27 ndash 2 3 + 75) 3

e) 5( 3 ndash 7)2

5 ndash 21 f) ( 00001

81 ) ndash 34 10ndash4 g) ( 160

15

121502) ndash2

h) 23 ( 43 ndash 163 )



3









PASITIKRINK

127





2 variantas



A 4ndash 34 = 4

43 B 4ndash

34 = 1

644 C 4ndash

34 = 1

43 D 4ndash 34 = 1

2563


1417 reikšmė

A 1514 B 1 1

196 C 1415 D 1415





❻ Apskaičiuok


14 b) 2 8

16 8

4

3

3 88 c)

8113 + 3

73

33 + 813 + 21873

d) 53 + 2a 43 + 2a

202a + 2 e) 31 ndash 2 5 9 5 f) 17 ndash 338 33 + 178

❼ Suprastink

a) ( 182 ndash 13

ndash 2011 ndash 1

+ 2413 ndash 1) ( 1

2 + 11 )ndash1 b) (3 ndash 7)

12(3 + 7)

12

c) 1 + 3 + 32 + 33 + 34 + + 315







128









m4 + 3m3 + 23 (p ndash 4)(p ndash 12)

27 53



narys narys narys

trinaris




m + 2



7 ndash p + 3


racionalieji

iracionalieji


SUSIPAŽINK

129












Įsimink



② ne 0

③ 2n 0

④ 2n gt 0

⑤mn gt 0



Pavyzdžiai


1) (2 ndash x2)(2 + x2)x ndash 5 2) 2

5x 2 ndash 37x + 4

3) 23 x 2 ndash 5x ndash 813 4) 7

c ndash 2

c + 1 + c + 2

33

5) 2x2 ndash 5x ndash 325 6) (3 + x)(12 + x)

(x ndash 5)x

7) y3

3 + 3y23 8) 3y2 + 2

y2 + 5y ndash 6


Pamėgink

130



x(x ndash 4) ne 0







x 25x ne ndash1









x ne ndash3


(x + 7)(x ndash 7) lt 0








Pavyzdžiai


a) 03x ndash 1 3 b) 2

7x3 + 1 9x2 + 0(4)x ndash 12

c) 2 + 4x x + 3 d) 2 + 4x

x2 ndash 25

Pamėgink

131



3 c) 3 x ndash 36



12 ndash 2x g) x


x2 ndash 1









e) x13 ndash 1 f) 1



2x2 ndash 50



m) 2x + x25 n) x + 2

3 5 o) 2x + 1

x2 ndash 9 p) 12x + x + 4




a + 3 d) 4x


e) (3x ndash 1)ndash134 f) 5x + 40 3

1 ndash x2 g) 4




2 ndash a l) 35k + 21 6

2k + 34


1 ndash p2 n) 2x + 10


x + 5 p) 4 ndash 12x2 + 4 5x + 403

UŽDAVINIAI



b) x + 24

3 ndash x6



x2 ndash 1


Pamėgink

132











23 + xndash

13)

x 13 (x

23 + xndash

13) = x

13 x

23 + x

13 xndash

13 =

= x 13 +

23 + x

13 ndash

13 = x

33 + x0 = x + 1



Atsakymas x + 1









Pavyzdžiai

IŠMOK

133




a) x43 = x3 x3 = x x3

b) x94 = x4 x4 x4 = x2 x4

x94 = x 94 = x2

14 = x2 x4

c) x6y6 = x6 y6 = x y6





Pavyzdys



Įsiminka2n2n = |a|



(x ndash 4)44 + (x ndash 2)33 =




Pavyzdžiai


a) ( x 14 ndash 1 )( x



Pamėgink




Pamėgink

134









a) x y3 = x3y3

b) a b4 = a4b4










Pavyzdžiai

Suprastink



Pamėgink


a) a3 a4 (a gt 0) b) ab2 a3 (a b gt 0)


Pamėgink

135



Įsimink





= ndash x7y 46




Pavyzdys




① (a + b)2 = a2 + 2ab + b2



④ (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3


⑥ a3 + b3 = (a + b)(a2 ndash ab + b2)





Pamėgink


136



(2x + 3)3 = a b



Sprendimas


Atsakymas 8x3 + 36x2 + 54x + 27


( 2 ndash 2 3 )3 = a b



Sprendimas



Pavyzdžiai


8x6 + 60x4y + 150x2y2 + 125y3 =

= (2x2)3 + 3 (2x2)2 (5y) + 3 (2x2) (5y)2 + (5y)3 = a3 a2 b a b2 b3

= (2x2 + 5y)3




Pavyzdys


a) (m ndash 5n)3 b) (2x + 2)3c) ( 3 + 2)3 d) (2 2 + 2)3

Pamėgink




52


Pamėgink

137
















Pavyzdys








Pavyzdys




Pamėgink

138







a) 8x6 ndash a3b9 = (2x2)3 (ab3)3

= (2x2)3 ndash (ab3)3 = a3 b3


= (2x2 ndash ab3)(4x4 + 2x2ab3 + a2b6)






= ( x3 ndash y3 )( x23 + xy3 + y23 )








Taikome 7 formulę

Pavyzdys







Pamėgink



Pamėgink

139



x1 = 1 ndash 81 20 = ndash 2 5 x2 = 1 + 81

20 = 1 2


5) =

= 2 5(x ndash 1 2)(x + 2

5) =

= (2x ndash 1)(5x + 2)





Pavyzdys

Grupavimo būdas









Pavyzdys


= (x + y)(a + b)




++



Pamėgink




Pamėgink

140



6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys




ab + c

d = ad + bcbd

ab ndash c

d = ad ndash bcbd



x + y


Pamėgink

Suprastink




2x ndash 10


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys

3

141


6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys





ab middot c


ab c

d = ab middot d




x ndash y


x2 + y2

x ndash y =


x ndash yx2 + y2 =


x2 + y2 =


= x + y

Sprendimas


Pavyzdžiai

Suprastink

a) 1x x + x

+ xx + 1

b) 6 xx ndash 3

ndash 3x + 3


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys



x ndash yx + y


=


( x + y )( x ndash y ) =



x ndash y

Sprendimas




Pavyzdys

x ndash y x + y

142


UŽDAVINIAI




Suprastink

a) x12 middot x

14 b) (x4

5)3

c) (x23 middot x

15)15

d) x13

xndash 23

e) (x23)

34


n3)6n

h) (b2n bndash075n

bndash05n )ndash4n

i) y 13 middot y

23 j) (x2)

13 k) y

25


27)35

m) (y27)175


n2 o) (x

n4 middot x

n8)8

p) (xndash 56 n x3n

x 43 n )ndash6n




a) ( 3x + 1 ndash 4



Pamėgink


1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









2(1 + 3x) 1 ndash 3x2

143

Suprastink




a) 4 x 3 z 2y 6 4 y ndash2


a 3 b 5a 5

d) 5 a 5 c 2b 2 5 b ndash3


y 4 y 3x 6




a) 12x3y 3x2y b) 16x2y3 3x2y3 c) 144x 5y 124


12y23

e) 63x 5y 3 28x2y f) 8x2y5 4x 3y 45 g) 250xy 74

18x17y24 h) 3x 6y 83

ndash81y23









3b)3 h) (2 2 ndash 3 3)3

i) (3x ndash 4)3 j) (5x + 2)3 k) ( x3 + 1)3 l) ( x6 + x3 )3


p) (x 2 ndash 2)3



1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









144




14 ndash x

14y

34 g) n n + n h) x

34 ndash x



13 ndash x

13y




12 d) xn ndash yn




32 h) y + x 34




a) x + 3x + 4 b) x 3

x 4 c) (x + 2) 3(x + 2) + x d) (x + 2) ndash (x + 3)

(x + 2) + (x + 3)


x + 2 g) x + 1(x + 1)2 h) x 3 + 4

x 4 + 3

i) 6 xx 5 j) x + 1


b x + a



x ndash 5








b ndash a








a) ab ndash b2

2b b) x2 ndash y2





2x ndash 5y








a) x x ndash x


c) a ndash 1a + 1


e) x x + xx


g) x 6 ndash y 6



a) xy + y


x2 + 2x + 1 c) 3x + 1 + x + 5


d) 3x2 + 9x + 14 + 5

2x2 + 15x + 7 e) x ndash x2



x ndash 2

g) 2x2




x3 + 2x + 2x2 + 4 + 1x2 + 2

145

j) 1x(x + 1) + 1

x + 1 k) 6x2 ndash 9 + 9

x2 ndash 6x + 9 l) 4x + 2 + x + 6


m) 6x2 + 11x + 24 + 4








x ndash 3

Suprastink

a) x x ndash 2

ndash 2x + 2

b) 3


a ndash 9 c) x 12

x05 + 1 ndash 1

x05 ndash 1 d) 2

x + 2 + x

x ndash 2 ndash 4 x

x ndash 4

e) 11 + x

ndash 11 ndash x

f) 1a4 ndash 1

+ 1a4 + 1

g) 3

x 12 + 3 ndash x05

x05 ndash 3 h) x

81 ndash x ndash 9

x + 9 + x

x ndash 9

Suprastink

a) 16x2y5










3x j) x + 3x2 + 6x x2 ndash 9


x






3x + 4

e) 5 ndash 2

x ndash 3

4 ndash 1x ndash 3









1 + 3x

1 ndash 6x

m) 3 + 2

x + 4

5 ndash 1x + 4



2x + 2 ndash 1) 6x ndash 6 x + 1 p) ( 1

x ndash 1 ndash x + 1x2 + x + 1) (1 + 1

x3 ndash 1)





y ndash x ndash2








a13 + b



x + 1 + 1 ndash x )


16) xy 46 e) ( 1


x13 ndash 1

+ x13) middot x

13 ndash 1

x23 ndash 1

g) y ndash x

x23 + (xy)13 + y

23 + x

23 ndash y23

x3 ndash y13

h) x13y

13 x

13 y ndash y

13 x



y ndash z )ndash1

j) (x15 + x25

1 + x + 1) 1 ndash x3



ndash b a a + b

+ 3ab ndash b2

a ndash b

m) a + ba ndash b

ndash a + ab a + b

n) a + 1a a + a + a

1a2 ndash a




x05 ndash 1 r) ( 2 + x14


14


x34 s) 1x3 + y3 ndash x3 + y3

x23 ndash (xy)

13 + y

23




ndash 13


x + 1x x ndash 1

+ 2 x

146










6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai

TAIKYK

147




6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai







Sprendimas






2b + 1 ndash 6ab




PamėginkPamėgink





sin2 α

|v| = 2ghsin2 α

v = 2ghsin2 α


Išreiškiame v2




lg = T

2π

lg = ( T

2π )2

lg = T2

4π2gl = 4π2

T2

g = 4π2 middot lT2






Pavyzdžiai

148




p



f = 1F



c

1 + vc


R



P + ET


ndash 1)( 1R1

ndash 1R2)




y


12 = mgh2 + mv2

22


2



y + 24


n21 ndash 1

n22)








PamėginkPamėgink

UŽDAVINIAI

149












150

1 variantas


A 215a + b B 215 + a ndash b


b



A x = 3 B x = 0 C x = ndash3 D x = 9





a) x ndash 32 7 + 4


12 d) 3x ndash 27

x2 ndash 1






a) 32x 94 b) 81x7y 63 c) x 12y 345 d) x 17y 246






PASITIKRINK

151








a middot 5 + 9


⓭ Suprastink


m2 + n2 m2 ndash n2

4mn c) xx + 4 + 4


2 variantas


b2 =

A 140 B 142 C 145 D 146


A 00625 B 0 C 0125 D 025





15x3

c) 04x ndash 10x2 + 145 d) ( 205

10 ndash 5a)ndash18

❺ Pakelk kubu

a) (2 + 2 )3 b) (2 3 + 3 )3 c) (x 2 ndash y3 2 )3



❼ Suprastink




❾ Suprastink

a) 64x6 + 216y6



ndash 52 ndash x






4 kai y lt 0

152


❶Apskaičiuok

a) ( 7 ndash 5 23 + 7 + 503 ) middot 9 b) (3 + 2 5 4


54 + 1



❷Įrodyk teiginį

a) jei x23 + y

23 = a

23 tai x2 + x 4y 23 + y2 + x 2y 43 = a















+ ndash

bf middot xy = gcg

= = =

eec + bcyy = bfbe


153



A 40 B 250 C 225 D 2500


A 2600p B 10400 + p100 C 104p D 5200

100 + 2p








A 545 = 1

54 B 545 = 5

54 C 545 = 31254 D 5

45 = 6255


p ndash 1




x + 4 D 1x + 4



A a = 1 b = 5 B a = 2 b = 3 C a = 1 b = 4 D a = 3 b = 2




A 8 3 cm B 8 3 3 cm C 4

3 cm D 4 3 3 cm


A 56 B 60 C 64 D 112


154











+ 2 ndash x 2 + x





išraišką T(x)




1200 cm2


155












2



111



21 ndash 3

= 2(1 + 3)(1 ndash 3)(1 + 3) =

= 2(1 + 3)12 ndash ( 3)2 = 2(1 + 3)

1 ndash 3 =

= 2(1 + 3)ndash2

= ndash1 ndash 3

Sprendimas





a n a ne 0



Taisyklė Pavyzdys

a0 = 1 20 = 1


22 = 14 (2

3 )ndash1

= 32





(ab )

n = a n

b n (23 )

ndash4 = 2 ndash4

3 ndash4 = 3 42 4 = 81

16 = 5 116


(ndash 210 )ndash3


=

= (ndash 15 )ndash3

+ (ndash 12 )ndash2

=


Sprendimas




Atsakymas ndash121

Pavyzdžiai


a) 112

b) 23 + 1

c) 3 ndash 2 52 3 + 5


Pamėgink

112


Įsimink

① ( an )n = a

② abn = an bn

③ ab

n = an

bn

④ akn = ank

⑤ ( an )k = akn

⑥ amknk = amn

⑦ amn = amn

Apskaičiuok



Pamėgink


Taisyklė Pavyzdys

( an )n = a ( 33 )3 = 3


abn = an bn 27 643 = 273 643 = 3 4 = 1245 85 = 325 = 2



ab

n = an

bn b ne 0 81625

4 = 814

6254 = 35

645

25 = 642

5 = 325 = 2


akn = ank 53 = 56




( an )k = akn ( 33 )2 = ( )233 = 33

8154 = ( 814 )5 = 35 = 243


amknk = amn a1215 = a3 43 5 = a45


amn = amn

223 = 223


113


Įsimink



(1 ndash 3)24 =

= (1 ndash 3)22 2 = |1 ndash 3| =


Sprendimas



Atsakymas 3 ndash 1

Pavyzdys


3 8 24 = 3 82 middot 24 = 15366

7 193 = 73 middot 193 = 65176

15366 lt 65176

3 8 24 lt 7 193





Pavyzdys


a) ( 315 )15 b) 16 ∙ 000014 c) 64729

6

d) 234 e) ( 33 )2 f) 248

g) ( 33 )3 ndash ( 55 )5 h) 015 ∙ 000015 i) 7295

35

j) 23 + 23 k) ( 243 )4 l) 23 + 226

m) 75881

4 + ( 234 )4

n) 24 ∙ 84 + 6253

53 o) 23

( 43 )2

p) 253

235 r) ( 23 )12 s) 21530 + 248


Pamėgink



Pamėgink

114



2 324 ndash 1624 + 12504 =

= 2 16 24 ndash 81 24 + 625 24 =

= 2 2 24 ndash 3 24 + 5 24 =

= 4 24 ndash 3 24 + 5 24 = 6 24

Sprendimas




Atsakymas 6 24


Taisyklė Pavyzdys

a0 = 1 1250 = 1


12 = (6

5)ndash 12 = (5

6) 12 = 5

6

am an = am + n 2 12 2

12 = 2

12 +

12 = 21 = 2


32 = 3212 ndash 1 = 3202 = 3215 = 325 = 2

(an)m = amn (202)5 = 21 = 2

(ab)n = an bn 216 13 = (8 27)

13 = 8

13 27

13= 2 3 = 6

(ab )

n = a n

b n ( 2566561)0125 = 2560125

65610125 = (28)0125

(38)0125 = 23


Įsimink

① a0 = 1

② andashn = 1a n

③ am an = am + n


⑤ (an)m = amn

⑥ (ab)n = an bn

⑦ (ab )

n = a n

b n b ne 0

❶ Palygink

a) 4 2 33 ir 3 2 3 b) 4 3 33 ir 3 3 34

❷ Suprastink

a) 323 ndash 1083 b) 23 7684 + 484


Pamėgink

115

⓱ Apskaičiuok

a) 8 ∙ 32 b) 3 + 3 + 3 3 c) 18 + 50



m) 3 + 6 2 n) 2( 8 ndash 2) o) (3 ndash 5 7)2


⓲ Apskaičiuok



g) 32 +2 + ∙ 32 +2 ndash ∙ 2 + 3 h) (3 + 2 2)2016 ∙ (3 ndash 2 2)2016



⓴ Apskaičiuok





Apskaičiuok




a) 25

b) 57 5

c) 35 ndash 2

d) 113 5 ndash 2 3

e) 37

f) 72 7

g) 27 ndash 5

h) 102 7 ndash 3 2

UŽDAVINIAI

Atlik veiksmus

a) (13)ndash 02 b) 1613 16ndash105 c) 515

505


32 e) 3 ndash

14 27 ndash

14 f) 605

305

g) ( 149)ndash

12 ndash (1


23 5ndash

32 5ndash

156 i) 2

13(4

13 + 32

13)

j) (12ndash075


12 (3 + 2)

12


Pamėgink

116


Apskaičiuok

a) 27 ndash 5

+ 47 + 5

b) ( 25 ndash 2

+ 45 + 2) ∙ 1

6 5 ndash 4

c) 36 ndash 3

+ 96 + 3

d) ( 27 ndash 2

+ 47 + 2) ∙ 3

6 7 ndash 4

Apskaičiuok

a) 1 + 2

21 ndash 2

2

+ (2 + 2)2

2 b) ( 43 + 5

ndash 32 + 7

+ 114 ndash 5) (9 ndash 7)

c) 21 ndash 4 5 21 + 4 5

ndash 1921 + 4 5

d) ( 127 ndash 1

ndash 85 ndash 1

+ 62 ndash 7) ∙ (2 5 + 4)ndash1

e) 1 + 3

3

1 ndash 33

+ (1 ndash 3)2

2 f) ( 25 ndash 3

+ 63 ndash 3

+ 12 ndash 5) ∙ (2 3 ndash 1)

g) 4 + 2 3 4 ndash 2 3

ndash 12 ndash 3

h) ( 45 ndash 1

ndash 35 ndash 2

+ 605 ndash 5) ∙ ( 5(1 + 2 5))ndash1

Apskaičiuok






3ndash4

Apskaičiuok


53 26


14) ndash2


i) 36 210 57

605




a) 8 ∙ 95 ∙ 4 ∙ 275 b) 2185 2145

2175 c) ( 23 )6 ndash ( 34 )2


j) 9 ∙ 43 ∙ 3 ∙ 163 k) 3174 3244

3214 l) ( 34 )8 ndash ( 24 )2


Apskaičiuok



117


a) 3 2 b) 2 34 c) 04 100004 d) 13 544

e) 5 3 f) 3 23 g) 25 100004 h) 2 25



Suprastink


Apskaičiuok


c) 4 ndash 2 36 1 + 33 43 d) 3( 3 ndash 7 )2

10( 5 + 214 )( 5 ndash 214 )

e) (1 + 2)2 + 44 f) 3 ndash 2 26 2 + 23 326


20( 154 + 2)( 154 ndash 2)


a) 25013

213

b) (313)3

ndash (205)4 c) 3025 27025 ndash 213 4

13 d) 3

13 (32

3 + 1)e) (4025 ndash 405)4 f) (23

2 + 1)2

g) (314 + 3

12) (31

4 ndash 312) h) (51

6 + 514) (51

6 ndash 514)

i) 16214

125013 j) (41

4)8

ndash (405)3 k) 214 8

14 ndash 3

13 9

13 l) (23

4 + 1) 214

m) (805 ndash 3205)2 n) (314 + 1)2

o) (414 + 1) (41

4 ndash 1) p) (1 + 314) (31

4 ndash 1)


a) 8 435 b) 2 4 16 4

3

3 4 c) 777 493 d) 8

274 3

26 312 26

e) 23 484 2ndash33 f) 1253 5255 g) 53 553

023 h) 125 53 54 3 1

515

15

Apskaičiuok


15 3 + 1 + 15 3 b) ( 10) 2 ndash ( 5 ) 2

( 2 ) 2 ndash 1


43 + 0008 ndash

13 d) (2 2 ndash 3 27) (23

2 + 9 3) + ( 1 4096) ndash

12( 4 3)ndash1

e) ((243 93 )14 ndash 3(3 34 )

13) 3 ndash

512 f) 3 + 63 9 ndash 6 26 ndash 33

g) 13 2 + 13 2 + 2

3 middot 13 2 ndash 13 2 h) ( 6 ) 2 + 2 2

( 3 ) 2 + ( 2 ) 2

i) ( 1 27) ndash 13 + 2 00016 ndash

14 + ( 1 81)ndash075 00640 j) 00001ndash

14 + ( 1

125) ndash 43 ndash 81075 1

9 ndash05

k) 84

74 4 ndash 24 4 + 24 l) ((31

2 + 1)2

ndash (4 + 312)33 )

12

ndash 2 cos 30deg

118


5 2 8 6 2 3 5

Tūks

tanč

ių sk

yriu

s

Šim

tų sk

yriu

s

Dešim

čių sk

yriu

s

Vien

etų

skyr

ius

Dešim

tųjų

skyr

ius

Šim

tųjų

skyr

ius

Tūks

tant

ųjų

skyr

ius



743 956 = 7 105 + 4 104 + 3 103 + 9 102 + 5 10 + 6






x4y = 4xy ndash 270 (1)

x4y = 100x + 40 + y

4xy = 400 + 10x + y

100x + 40 + y = 400 + 10x + y ndash 270







Pavyzdžiai


a) 287 b) 987 145 c) xyz d) abcde

Pamėgink

TAIKYK

119


1 x260

x + 2 + 6 + 0 = x + 8


1260 4260 7260

2 y265y + 2 + 6 + 5 = y + 13


2265 5265 8265











PamėginkPamėgink


1 6 = 016666 = 01(6)

1 7 = 0142857142857142 = 0(142857)

120



x = 025656 | 10 1 1

10x = 2565656 (1)

10x = 2565656 | 100 2 2

1000x = 2565656 (2)


x = 256 ndash 21000 ndash 10

x = 254990 = 127

495

32(56) = 3 256 ndash 2103 ndash 101 = 3 127

495 1 3






Išreiškiame x


Atsakymas 32(56) = 3 127495

Pavyzdys

021(8) = 218 ndash 21103 ndash 102 = 197

900 0(4) = 4 ndash 0101 ndash 100 = 4

9 2 3

0123(45) = 12345 ndash 123105 ndash 103 = 679

5500 0(56) = 56 ndash 0102 ndash 100 = 56

99 3 5








a) 0(7) b) 05(7) c) 214(8) d) 03(12)


Pamėgink

Pavyzdžiai

121


x = 025656 | 10 1 1

10x = 2565656 (1)

10x = 2565656 | 100 2 2

1000x = 2565656 (2)


x = 256 ndash 21000 ndash 10

x = 254990 = 127

495

32(56) = 3 256 ndash 2103 ndash 101 = 3 127

495 1 3






Išreiškiame x


Atsakymas 32(56) = 3 127495

Pavyzdys




1 2 000 000 000 = 12 ∙ 1010 10 vietų

0000006 1 = 61 ∙ 10ndash6 6 vietos



Pavyzdys


a + b = 24 1025 + 12 1025 = = 36 1025

a + c = 24 1025 + 5 1024 = = 24 1025 + 05 1025 = 29 1025

a b = (24 1025) (12 1025) = = (24 12) (1025 1025) = 288 1050

b c = 12 1025

5 1024 = 024 101 = 24





Pavyzdys


Pamėgink



Pamėgink

122





KMI = 601682 asymp 60


Pavyzdys

∆x = |x ndash a|






|a| 100







Pamėgink

123










KMI = 601682 asymp 60


Pavyzdys



a) 1 7 = 014 2 857 asymp 014


3 7 = 042 8 571 asymp 043

gt 5

artinys a = 043



Pavyzdys

b) ∆x = |1 7 ndash 014| = |50 ndash 49

350 | =

= | 1350| = 1

350

∆x = 1350 lt 00028 lt 0003

δ = ∆x|a| =

1350

750

= 1350 50

7 = 149

δ = 149 100 asymp 2041 lt 21




UŽDAVINIAI



Pamėgink

124



Įrodyk kad



Pagrįsk teiginius















125




d) 0(32) 0(4) e) 0(493) 07(45) f) 0(285714) 01(3)04(6) 4(9)

g) 2(8) ndash 0(4) h) 1(27) ndash 03(4) i) 0(917) + 03(614)

j) 0(57) 0(6) k) 0(267) 03(12) l) 0(53) 02(9)332(4) + 1(21)

Palygink skaičius

a) 1 6 ir 3


12






d) 0002096 1012

524 e) 08128 1024

254 10ndash14 f) 0027 1021 ndash 631 1017

g) 1890 00105 h) 00045 1017 i) 000007 10ndash16

j) 000010288016 1017 k) 5139645 10ndash13

7895 10ndash34 l) 760 1012 ndash 0003 1015


a) 5 6 h = 01 b) 2

7 h = 000001 c) 3 h = 01 d) 6 h = 001

e) 4 13 h = 001 f) 3

11 h = 0001 g) 11 h = 000001 h) 8 h = 000001


a) 1 9 h = 01 b) 2 h = 001 c) 3

11 h = 001 d) 10 h = 0001

126

1 variantas




6 reikšmė

A 7 6 B 1

6 C 75 D 74




❻ Apskaičiuok

a) (134)ndash 2 b) 7503

63 c) (33

4 9ndash 14)ndash4

d) ( 27 ndash 2 3 + 75) 3

e) 5( 3 ndash 7)2

5 ndash 21 f) ( 00001

81 ) ndash 34 10ndash4 g) ( 160

15

121502) ndash2

h) 23 ( 43 ndash 163 )



3









PASITIKRINK

127





2 variantas



A 4ndash 34 = 4

43 B 4ndash

34 = 1

644 C 4ndash

34 = 1

43 D 4ndash 34 = 1

2563


1417 reikšmė

A 1514 B 1 1

196 C 1415 D 1415





❻ Apskaičiuok


14 b) 2 8

16 8

4

3

3 88 c)

8113 + 3

73

33 + 813 + 21873

d) 53 + 2a 43 + 2a

202a + 2 e) 31 ndash 2 5 9 5 f) 17 ndash 338 33 + 178

❼ Suprastink

a) ( 182 ndash 13

ndash 2011 ndash 1

+ 2413 ndash 1) ( 1

2 + 11 )ndash1 b) (3 ndash 7)

12(3 + 7)

12

c) 1 + 3 + 32 + 33 + 34 + + 315







128









m4 + 3m3 + 23 (p ndash 4)(p ndash 12)

27 53



narys narys narys

trinaris




m + 2



7 ndash p + 3


racionalieji

iracionalieji


SUSIPAŽINK

129












Įsimink



② ne 0

③ 2n 0

④ 2n gt 0

⑤mn gt 0



Pavyzdžiai


1) (2 ndash x2)(2 + x2)x ndash 5 2) 2

5x 2 ndash 37x + 4

3) 23 x 2 ndash 5x ndash 813 4) 7

c ndash 2

c + 1 + c + 2

33

5) 2x2 ndash 5x ndash 325 6) (3 + x)(12 + x)

(x ndash 5)x

7) y3

3 + 3y23 8) 3y2 + 2

y2 + 5y ndash 6


Pamėgink

130



x(x ndash 4) ne 0







x 25x ne ndash1









x ne ndash3


(x + 7)(x ndash 7) lt 0








Pavyzdžiai


a) 03x ndash 1 3 b) 2

7x3 + 1 9x2 + 0(4)x ndash 12

c) 2 + 4x x + 3 d) 2 + 4x

x2 ndash 25

Pamėgink

131



3 c) 3 x ndash 36



12 ndash 2x g) x


x2 ndash 1









e) x13 ndash 1 f) 1



2x2 ndash 50



m) 2x + x25 n) x + 2

3 5 o) 2x + 1

x2 ndash 9 p) 12x + x + 4




a + 3 d) 4x


e) (3x ndash 1)ndash134 f) 5x + 40 3

1 ndash x2 g) 4




2 ndash a l) 35k + 21 6

2k + 34


1 ndash p2 n) 2x + 10


x + 5 p) 4 ndash 12x2 + 4 5x + 403

UŽDAVINIAI



b) x + 24

3 ndash x6



x2 ndash 1


Pamėgink

132











23 + xndash

13)

x 13 (x

23 + xndash

13) = x

13 x

23 + x

13 xndash

13 =

= x 13 +

23 + x

13 ndash

13 = x

33 + x0 = x + 1



Atsakymas x + 1









Pavyzdžiai

IŠMOK

133




a) x43 = x3 x3 = x x3

b) x94 = x4 x4 x4 = x2 x4

x94 = x 94 = x2

14 = x2 x4

c) x6y6 = x6 y6 = x y6





Pavyzdys



Įsiminka2n2n = |a|



(x ndash 4)44 + (x ndash 2)33 =




Pavyzdžiai


a) ( x 14 ndash 1 )( x



Pamėgink




Pamėgink

134









a) x y3 = x3y3

b) a b4 = a4b4










Pavyzdžiai

Suprastink



Pamėgink


a) a3 a4 (a gt 0) b) ab2 a3 (a b gt 0)


Pamėgink

135



Įsimink





= ndash x7y 46




Pavyzdys




① (a + b)2 = a2 + 2ab + b2



④ (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3


⑥ a3 + b3 = (a + b)(a2 ndash ab + b2)





Pamėgink


136



(2x + 3)3 = a b



Sprendimas


Atsakymas 8x3 + 36x2 + 54x + 27


( 2 ndash 2 3 )3 = a b



Sprendimas



Pavyzdžiai


8x6 + 60x4y + 150x2y2 + 125y3 =

= (2x2)3 + 3 (2x2)2 (5y) + 3 (2x2) (5y)2 + (5y)3 = a3 a2 b a b2 b3

= (2x2 + 5y)3




Pavyzdys


a) (m ndash 5n)3 b) (2x + 2)3c) ( 3 + 2)3 d) (2 2 + 2)3

Pamėgink




52


Pamėgink

137
















Pavyzdys








Pavyzdys




Pamėgink

138







a) 8x6 ndash a3b9 = (2x2)3 (ab3)3

= (2x2)3 ndash (ab3)3 = a3 b3


= (2x2 ndash ab3)(4x4 + 2x2ab3 + a2b6)






= ( x3 ndash y3 )( x23 + xy3 + y23 )








Taikome 7 formulę

Pavyzdys







Pamėgink



Pamėgink

139



x1 = 1 ndash 81 20 = ndash 2 5 x2 = 1 + 81

20 = 1 2


5) =

= 2 5(x ndash 1 2)(x + 2

5) =

= (2x ndash 1)(5x + 2)





Pavyzdys

Grupavimo būdas









Pavyzdys


= (x + y)(a + b)




++



Pamėgink




Pamėgink

140



6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys




ab + c

d = ad + bcbd

ab ndash c

d = ad ndash bcbd



x + y


Pamėgink

Suprastink




2x ndash 10


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys

3

141


6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys





ab middot c


ab c

d = ab middot d




x ndash y


x2 + y2

x ndash y =


x ndash yx2 + y2 =


x2 + y2 =


= x + y

Sprendimas


Pavyzdžiai

Suprastink

a) 1x x + x

+ xx + 1

b) 6 xx ndash 3

ndash 3x + 3


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys



x ndash yx + y


=


( x + y )( x ndash y ) =



x ndash y

Sprendimas




Pavyzdys

x ndash y x + y

142


UŽDAVINIAI




Suprastink

a) x12 middot x

14 b) (x4

5)3

c) (x23 middot x

15)15

d) x13

xndash 23

e) (x23)

34


n3)6n

h) (b2n bndash075n

bndash05n )ndash4n

i) y 13 middot y

23 j) (x2)

13 k) y

25


27)35

m) (y27)175


n2 o) (x

n4 middot x

n8)8

p) (xndash 56 n x3n

x 43 n )ndash6n




a) ( 3x + 1 ndash 4



Pamėgink


1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









2(1 + 3x) 1 ndash 3x2

143

Suprastink




a) 4 x 3 z 2y 6 4 y ndash2


a 3 b 5a 5

d) 5 a 5 c 2b 2 5 b ndash3


y 4 y 3x 6




a) 12x3y 3x2y b) 16x2y3 3x2y3 c) 144x 5y 124


12y23

e) 63x 5y 3 28x2y f) 8x2y5 4x 3y 45 g) 250xy 74

18x17y24 h) 3x 6y 83

ndash81y23









3b)3 h) (2 2 ndash 3 3)3

i) (3x ndash 4)3 j) (5x + 2)3 k) ( x3 + 1)3 l) ( x6 + x3 )3


p) (x 2 ndash 2)3



1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









144




14 ndash x

14y

34 g) n n + n h) x

34 ndash x



13 ndash x

13y




12 d) xn ndash yn




32 h) y + x 34




a) x + 3x + 4 b) x 3

x 4 c) (x + 2) 3(x + 2) + x d) (x + 2) ndash (x + 3)

(x + 2) + (x + 3)


x + 2 g) x + 1(x + 1)2 h) x 3 + 4

x 4 + 3

i) 6 xx 5 j) x + 1


b x + a



x ndash 5








b ndash a








a) ab ndash b2

2b b) x2 ndash y2





2x ndash 5y








a) x x ndash x


c) a ndash 1a + 1


e) x x + xx


g) x 6 ndash y 6



a) xy + y


x2 + 2x + 1 c) 3x + 1 + x + 5


d) 3x2 + 9x + 14 + 5

2x2 + 15x + 7 e) x ndash x2



x ndash 2

g) 2x2




x3 + 2x + 2x2 + 4 + 1x2 + 2

145

j) 1x(x + 1) + 1

x + 1 k) 6x2 ndash 9 + 9

x2 ndash 6x + 9 l) 4x + 2 + x + 6


m) 6x2 + 11x + 24 + 4








x ndash 3

Suprastink

a) x x ndash 2

ndash 2x + 2

b) 3


a ndash 9 c) x 12

x05 + 1 ndash 1

x05 ndash 1 d) 2

x + 2 + x

x ndash 2 ndash 4 x

x ndash 4

e) 11 + x

ndash 11 ndash x

f) 1a4 ndash 1

+ 1a4 + 1

g) 3

x 12 + 3 ndash x05

x05 ndash 3 h) x

81 ndash x ndash 9

x + 9 + x

x ndash 9

Suprastink

a) 16x2y5










3x j) x + 3x2 + 6x x2 ndash 9


x






3x + 4

e) 5 ndash 2

x ndash 3

4 ndash 1x ndash 3









1 + 3x

1 ndash 6x

m) 3 + 2

x + 4

5 ndash 1x + 4



2x + 2 ndash 1) 6x ndash 6 x + 1 p) ( 1

x ndash 1 ndash x + 1x2 + x + 1) (1 + 1

x3 ndash 1)





y ndash x ndash2








a13 + b



x + 1 + 1 ndash x )


16) xy 46 e) ( 1


x13 ndash 1

+ x13) middot x

13 ndash 1

x23 ndash 1

g) y ndash x

x23 + (xy)13 + y

23 + x

23 ndash y23

x3 ndash y13

h) x13y

13 x

13 y ndash y

13 x



y ndash z )ndash1

j) (x15 + x25

1 + x + 1) 1 ndash x3



ndash b a a + b

+ 3ab ndash b2

a ndash b

m) a + ba ndash b

ndash a + ab a + b

n) a + 1a a + a + a

1a2 ndash a




x05 ndash 1 r) ( 2 + x14


14


x34 s) 1x3 + y3 ndash x3 + y3

x23 ndash (xy)

13 + y

23




ndash 13


x + 1x x ndash 1

+ 2 x

146










6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai

TAIKYK

147




6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai







Sprendimas






2b + 1 ndash 6ab




PamėginkPamėgink





sin2 α

|v| = 2ghsin2 α

v = 2ghsin2 α


Išreiškiame v2




lg = T

2π

lg = ( T

2π )2

lg = T2

4π2gl = 4π2

T2

g = 4π2 middot lT2






Pavyzdžiai

148




p



f = 1F



c

1 + vc


R



P + ET


ndash 1)( 1R1

ndash 1R2)




y


12 = mgh2 + mv2

22


2



y + 24


n21 ndash 1

n22)








PamėginkPamėgink

UŽDAVINIAI

149












150

1 variantas


A 215a + b B 215 + a ndash b


b



A x = 3 B x = 0 C x = ndash3 D x = 9





a) x ndash 32 7 + 4


12 d) 3x ndash 27

x2 ndash 1






a) 32x 94 b) 81x7y 63 c) x 12y 345 d) x 17y 246






PASITIKRINK

151








a middot 5 + 9


⓭ Suprastink


m2 + n2 m2 ndash n2

4mn c) xx + 4 + 4


2 variantas


b2 =

A 140 B 142 C 145 D 146


A 00625 B 0 C 0125 D 025





15x3

c) 04x ndash 10x2 + 145 d) ( 205

10 ndash 5a)ndash18

❺ Pakelk kubu

a) (2 + 2 )3 b) (2 3 + 3 )3 c) (x 2 ndash y3 2 )3



❼ Suprastink




❾ Suprastink

a) 64x6 + 216y6



ndash 52 ndash x






4 kai y lt 0

152


❶Apskaičiuok

a) ( 7 ndash 5 23 + 7 + 503 ) middot 9 b) (3 + 2 5 4


54 + 1



❷Įrodyk teiginį

a) jei x23 + y

23 = a

23 tai x2 + x 4y 23 + y2 + x 2y 43 = a















+ ndash

bf middot xy = gcg

= = =

eec + bcyy = bfbe


153



A 40 B 250 C 225 D 2500


A 2600p B 10400 + p100 C 104p D 5200

100 + 2p








A 545 = 1

54 B 545 = 5

54 C 545 = 31254 D 5

45 = 6255


p ndash 1




x + 4 D 1x + 4



A a = 1 b = 5 B a = 2 b = 3 C a = 1 b = 4 D a = 3 b = 2




A 8 3 cm B 8 3 3 cm C 4

3 cm D 4 3 3 cm


A 56 B 60 C 64 D 112


154











+ 2 ndash x 2 + x





išraišką T(x)




1200 cm2


155












2



112


Įsimink

① ( an )n = a

② abn = an bn

③ ab

n = an

bn

④ akn = ank

⑤ ( an )k = akn

⑥ amknk = amn

⑦ amn = amn

Apskaičiuok



Pamėgink


Taisyklė Pavyzdys

( an )n = a ( 33 )3 = 3


abn = an bn 27 643 = 273 643 = 3 4 = 1245 85 = 325 = 2



ab

n = an

bn b ne 0 81625

4 = 814

6254 = 35

645

25 = 642

5 = 325 = 2


akn = ank 53 = 56




( an )k = akn ( 33 )2 = ( )233 = 33

8154 = ( 814 )5 = 35 = 243


amknk = amn a1215 = a3 43 5 = a45


amn = amn

223 = 223


113


Įsimink



(1 ndash 3)24 =

= (1 ndash 3)22 2 = |1 ndash 3| =


Sprendimas



Atsakymas 3 ndash 1

Pavyzdys


3 8 24 = 3 82 middot 24 = 15366

7 193 = 73 middot 193 = 65176

15366 lt 65176

3 8 24 lt 7 193





Pavyzdys


a) ( 315 )15 b) 16 ∙ 000014 c) 64729

6

d) 234 e) ( 33 )2 f) 248

g) ( 33 )3 ndash ( 55 )5 h) 015 ∙ 000015 i) 7295

35

j) 23 + 23 k) ( 243 )4 l) 23 + 226

m) 75881

4 + ( 234 )4

n) 24 ∙ 84 + 6253

53 o) 23

( 43 )2

p) 253

235 r) ( 23 )12 s) 21530 + 248


Pamėgink



Pamėgink

114



2 324 ndash 1624 + 12504 =

= 2 16 24 ndash 81 24 + 625 24 =

= 2 2 24 ndash 3 24 + 5 24 =

= 4 24 ndash 3 24 + 5 24 = 6 24

Sprendimas




Atsakymas 6 24


Taisyklė Pavyzdys

a0 = 1 1250 = 1


12 = (6

5)ndash 12 = (5

6) 12 = 5

6

am an = am + n 2 12 2

12 = 2

12 +

12 = 21 = 2


32 = 3212 ndash 1 = 3202 = 3215 = 325 = 2

(an)m = amn (202)5 = 21 = 2

(ab)n = an bn 216 13 = (8 27)

13 = 8

13 27

13= 2 3 = 6

(ab )

n = a n

b n ( 2566561)0125 = 2560125

65610125 = (28)0125

(38)0125 = 23


Įsimink

① a0 = 1

② andashn = 1a n

③ am an = am + n


⑤ (an)m = amn

⑥ (ab)n = an bn

⑦ (ab )

n = a n

b n b ne 0

❶ Palygink

a) 4 2 33 ir 3 2 3 b) 4 3 33 ir 3 3 34

❷ Suprastink

a) 323 ndash 1083 b) 23 7684 + 484


Pamėgink

115

⓱ Apskaičiuok

a) 8 ∙ 32 b) 3 + 3 + 3 3 c) 18 + 50



m) 3 + 6 2 n) 2( 8 ndash 2) o) (3 ndash 5 7)2


⓲ Apskaičiuok



g) 32 +2 + ∙ 32 +2 ndash ∙ 2 + 3 h) (3 + 2 2)2016 ∙ (3 ndash 2 2)2016



⓴ Apskaičiuok





Apskaičiuok




a) 25

b) 57 5

c) 35 ndash 2

d) 113 5 ndash 2 3

e) 37

f) 72 7

g) 27 ndash 5

h) 102 7 ndash 3 2

UŽDAVINIAI

Atlik veiksmus

a) (13)ndash 02 b) 1613 16ndash105 c) 515

505


32 e) 3 ndash

14 27 ndash

14 f) 605

305

g) ( 149)ndash

12 ndash (1


23 5ndash

32 5ndash

156 i) 2

13(4

13 + 32

13)

j) (12ndash075


12 (3 + 2)

12


Pamėgink

116


Apskaičiuok

a) 27 ndash 5

+ 47 + 5

b) ( 25 ndash 2

+ 45 + 2) ∙ 1

6 5 ndash 4

c) 36 ndash 3

+ 96 + 3

d) ( 27 ndash 2

+ 47 + 2) ∙ 3

6 7 ndash 4

Apskaičiuok

a) 1 + 2

21 ndash 2

2

+ (2 + 2)2

2 b) ( 43 + 5

ndash 32 + 7

+ 114 ndash 5) (9 ndash 7)

c) 21 ndash 4 5 21 + 4 5

ndash 1921 + 4 5

d) ( 127 ndash 1

ndash 85 ndash 1

+ 62 ndash 7) ∙ (2 5 + 4)ndash1

e) 1 + 3

3

1 ndash 33

+ (1 ndash 3)2

2 f) ( 25 ndash 3

+ 63 ndash 3

+ 12 ndash 5) ∙ (2 3 ndash 1)

g) 4 + 2 3 4 ndash 2 3

ndash 12 ndash 3

h) ( 45 ndash 1

ndash 35 ndash 2

+ 605 ndash 5) ∙ ( 5(1 + 2 5))ndash1

Apskaičiuok






3ndash4

Apskaičiuok


53 26


14) ndash2


i) 36 210 57

605




a) 8 ∙ 95 ∙ 4 ∙ 275 b) 2185 2145

2175 c) ( 23 )6 ndash ( 34 )2


j) 9 ∙ 43 ∙ 3 ∙ 163 k) 3174 3244

3214 l) ( 34 )8 ndash ( 24 )2


Apskaičiuok



117


a) 3 2 b) 2 34 c) 04 100004 d) 13 544

e) 5 3 f) 3 23 g) 25 100004 h) 2 25



Suprastink


Apskaičiuok


c) 4 ndash 2 36 1 + 33 43 d) 3( 3 ndash 7 )2

10( 5 + 214 )( 5 ndash 214 )

e) (1 + 2)2 + 44 f) 3 ndash 2 26 2 + 23 326


20( 154 + 2)( 154 ndash 2)


a) 25013

213

b) (313)3

ndash (205)4 c) 3025 27025 ndash 213 4

13 d) 3

13 (32

3 + 1)e) (4025 ndash 405)4 f) (23

2 + 1)2

g) (314 + 3

12) (31

4 ndash 312) h) (51

6 + 514) (51

6 ndash 514)

i) 16214

125013 j) (41

4)8

ndash (405)3 k) 214 8

14 ndash 3

13 9

13 l) (23

4 + 1) 214

m) (805 ndash 3205)2 n) (314 + 1)2

o) (414 + 1) (41

4 ndash 1) p) (1 + 314) (31

4 ndash 1)


a) 8 435 b) 2 4 16 4

3

3 4 c) 777 493 d) 8

274 3

26 312 26

e) 23 484 2ndash33 f) 1253 5255 g) 53 553

023 h) 125 53 54 3 1

515

15

Apskaičiuok


15 3 + 1 + 15 3 b) ( 10) 2 ndash ( 5 ) 2

( 2 ) 2 ndash 1


43 + 0008 ndash

13 d) (2 2 ndash 3 27) (23

2 + 9 3) + ( 1 4096) ndash

12( 4 3)ndash1

e) ((243 93 )14 ndash 3(3 34 )

13) 3 ndash

512 f) 3 + 63 9 ndash 6 26 ndash 33

g) 13 2 + 13 2 + 2

3 middot 13 2 ndash 13 2 h) ( 6 ) 2 + 2 2

( 3 ) 2 + ( 2 ) 2

i) ( 1 27) ndash 13 + 2 00016 ndash

14 + ( 1 81)ndash075 00640 j) 00001ndash

14 + ( 1

125) ndash 43 ndash 81075 1

9 ndash05

k) 84

74 4 ndash 24 4 + 24 l) ((31

2 + 1)2

ndash (4 + 312)33 )

12

ndash 2 cos 30deg

118


5 2 8 6 2 3 5

Tūks

tanč

ių sk

yriu

s

Šim

tų sk

yriu

s

Dešim

čių sk

yriu

s

Vien

etų

skyr

ius

Dešim

tųjų

skyr

ius

Šim

tųjų

skyr

ius

Tūks

tant

ųjų

skyr

ius



743 956 = 7 105 + 4 104 + 3 103 + 9 102 + 5 10 + 6






x4y = 4xy ndash 270 (1)

x4y = 100x + 40 + y

4xy = 400 + 10x + y

100x + 40 + y = 400 + 10x + y ndash 270







Pavyzdžiai


a) 287 b) 987 145 c) xyz d) abcde

Pamėgink

TAIKYK

119


1 x260

x + 2 + 6 + 0 = x + 8


1260 4260 7260

2 y265y + 2 + 6 + 5 = y + 13


2265 5265 8265











PamėginkPamėgink


1 6 = 016666 = 01(6)

1 7 = 0142857142857142 = 0(142857)

120



x = 025656 | 10 1 1

10x = 2565656 (1)

10x = 2565656 | 100 2 2

1000x = 2565656 (2)


x = 256 ndash 21000 ndash 10

x = 254990 = 127

495

32(56) = 3 256 ndash 2103 ndash 101 = 3 127

495 1 3






Išreiškiame x


Atsakymas 32(56) = 3 127495

Pavyzdys

021(8) = 218 ndash 21103 ndash 102 = 197

900 0(4) = 4 ndash 0101 ndash 100 = 4

9 2 3

0123(45) = 12345 ndash 123105 ndash 103 = 679

5500 0(56) = 56 ndash 0102 ndash 100 = 56

99 3 5








a) 0(7) b) 05(7) c) 214(8) d) 03(12)


Pamėgink

Pavyzdžiai

121


x = 025656 | 10 1 1

10x = 2565656 (1)

10x = 2565656 | 100 2 2

1000x = 2565656 (2)


x = 256 ndash 21000 ndash 10

x = 254990 = 127

495

32(56) = 3 256 ndash 2103 ndash 101 = 3 127

495 1 3






Išreiškiame x


Atsakymas 32(56) = 3 127495

Pavyzdys




1 2 000 000 000 = 12 ∙ 1010 10 vietų

0000006 1 = 61 ∙ 10ndash6 6 vietos



Pavyzdys


a + b = 24 1025 + 12 1025 = = 36 1025

a + c = 24 1025 + 5 1024 = = 24 1025 + 05 1025 = 29 1025

a b = (24 1025) (12 1025) = = (24 12) (1025 1025) = 288 1050

b c = 12 1025

5 1024 = 024 101 = 24





Pavyzdys


Pamėgink



Pamėgink

122





KMI = 601682 asymp 60


Pavyzdys

∆x = |x ndash a|






|a| 100







Pamėgink

123










KMI = 601682 asymp 60


Pavyzdys



a) 1 7 = 014 2 857 asymp 014


3 7 = 042 8 571 asymp 043

gt 5

artinys a = 043



Pavyzdys

b) ∆x = |1 7 ndash 014| = |50 ndash 49

350 | =

= | 1350| = 1

350

∆x = 1350 lt 00028 lt 0003

δ = ∆x|a| =

1350

750

= 1350 50

7 = 149

δ = 149 100 asymp 2041 lt 21




UŽDAVINIAI



Pamėgink

124



Įrodyk kad



Pagrįsk teiginius















125




d) 0(32) 0(4) e) 0(493) 07(45) f) 0(285714) 01(3)04(6) 4(9)

g) 2(8) ndash 0(4) h) 1(27) ndash 03(4) i) 0(917) + 03(614)

j) 0(57) 0(6) k) 0(267) 03(12) l) 0(53) 02(9)332(4) + 1(21)

Palygink skaičius

a) 1 6 ir 3


12






d) 0002096 1012

524 e) 08128 1024

254 10ndash14 f) 0027 1021 ndash 631 1017

g) 1890 00105 h) 00045 1017 i) 000007 10ndash16

j) 000010288016 1017 k) 5139645 10ndash13

7895 10ndash34 l) 760 1012 ndash 0003 1015


a) 5 6 h = 01 b) 2

7 h = 000001 c) 3 h = 01 d) 6 h = 001

e) 4 13 h = 001 f) 3

11 h = 0001 g) 11 h = 000001 h) 8 h = 000001


a) 1 9 h = 01 b) 2 h = 001 c) 3

11 h = 001 d) 10 h = 0001

126

1 variantas




6 reikšmė

A 7 6 B 1

6 C 75 D 74




❻ Apskaičiuok

a) (134)ndash 2 b) 7503

63 c) (33

4 9ndash 14)ndash4

d) ( 27 ndash 2 3 + 75) 3

e) 5( 3 ndash 7)2

5 ndash 21 f) ( 00001

81 ) ndash 34 10ndash4 g) ( 160

15

121502) ndash2

h) 23 ( 43 ndash 163 )



3









PASITIKRINK

127





2 variantas



A 4ndash 34 = 4

43 B 4ndash

34 = 1

644 C 4ndash

34 = 1

43 D 4ndash 34 = 1

2563


1417 reikšmė

A 1514 B 1 1

196 C 1415 D 1415





❻ Apskaičiuok


14 b) 2 8

16 8

4

3

3 88 c)

8113 + 3

73

33 + 813 + 21873

d) 53 + 2a 43 + 2a

202a + 2 e) 31 ndash 2 5 9 5 f) 17 ndash 338 33 + 178

❼ Suprastink

a) ( 182 ndash 13

ndash 2011 ndash 1

+ 2413 ndash 1) ( 1

2 + 11 )ndash1 b) (3 ndash 7)

12(3 + 7)

12

c) 1 + 3 + 32 + 33 + 34 + + 315







128









m4 + 3m3 + 23 (p ndash 4)(p ndash 12)

27 53



narys narys narys

trinaris




m + 2



7 ndash p + 3


racionalieji

iracionalieji


SUSIPAŽINK

129












Įsimink



② ne 0

③ 2n 0

④ 2n gt 0

⑤mn gt 0



Pavyzdžiai


1) (2 ndash x2)(2 + x2)x ndash 5 2) 2

5x 2 ndash 37x + 4

3) 23 x 2 ndash 5x ndash 813 4) 7

c ndash 2

c + 1 + c + 2

33

5) 2x2 ndash 5x ndash 325 6) (3 + x)(12 + x)

(x ndash 5)x

7) y3

3 + 3y23 8) 3y2 + 2

y2 + 5y ndash 6


Pamėgink

130



x(x ndash 4) ne 0







x 25x ne ndash1









x ne ndash3


(x + 7)(x ndash 7) lt 0








Pavyzdžiai


a) 03x ndash 1 3 b) 2

7x3 + 1 9x2 + 0(4)x ndash 12

c) 2 + 4x x + 3 d) 2 + 4x

x2 ndash 25

Pamėgink

131



3 c) 3 x ndash 36



12 ndash 2x g) x


x2 ndash 1









e) x13 ndash 1 f) 1



2x2 ndash 50



m) 2x + x25 n) x + 2

3 5 o) 2x + 1

x2 ndash 9 p) 12x + x + 4




a + 3 d) 4x


e) (3x ndash 1)ndash134 f) 5x + 40 3

1 ndash x2 g) 4




2 ndash a l) 35k + 21 6

2k + 34


1 ndash p2 n) 2x + 10


x + 5 p) 4 ndash 12x2 + 4 5x + 403

UŽDAVINIAI



b) x + 24

3 ndash x6



x2 ndash 1


Pamėgink

132











23 + xndash

13)

x 13 (x

23 + xndash

13) = x

13 x

23 + x

13 xndash

13 =

= x 13 +

23 + x

13 ndash

13 = x

33 + x0 = x + 1



Atsakymas x + 1









Pavyzdžiai

IŠMOK

133




a) x43 = x3 x3 = x x3

b) x94 = x4 x4 x4 = x2 x4

x94 = x 94 = x2

14 = x2 x4

c) x6y6 = x6 y6 = x y6





Pavyzdys



Įsiminka2n2n = |a|



(x ndash 4)44 + (x ndash 2)33 =




Pavyzdžiai


a) ( x 14 ndash 1 )( x



Pamėgink




Pamėgink

134









a) x y3 = x3y3

b) a b4 = a4b4










Pavyzdžiai

Suprastink



Pamėgink


a) a3 a4 (a gt 0) b) ab2 a3 (a b gt 0)


Pamėgink

135



Įsimink





= ndash x7y 46




Pavyzdys




① (a + b)2 = a2 + 2ab + b2



④ (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3


⑥ a3 + b3 = (a + b)(a2 ndash ab + b2)





Pamėgink


136



(2x + 3)3 = a b



Sprendimas


Atsakymas 8x3 + 36x2 + 54x + 27


( 2 ndash 2 3 )3 = a b



Sprendimas



Pavyzdžiai


8x6 + 60x4y + 150x2y2 + 125y3 =

= (2x2)3 + 3 (2x2)2 (5y) + 3 (2x2) (5y)2 + (5y)3 = a3 a2 b a b2 b3

= (2x2 + 5y)3




Pavyzdys


a) (m ndash 5n)3 b) (2x + 2)3c) ( 3 + 2)3 d) (2 2 + 2)3

Pamėgink




52


Pamėgink

137
















Pavyzdys








Pavyzdys




Pamėgink

138







a) 8x6 ndash a3b9 = (2x2)3 (ab3)3

= (2x2)3 ndash (ab3)3 = a3 b3


= (2x2 ndash ab3)(4x4 + 2x2ab3 + a2b6)






= ( x3 ndash y3 )( x23 + xy3 + y23 )








Taikome 7 formulę

Pavyzdys







Pamėgink



Pamėgink

139



x1 = 1 ndash 81 20 = ndash 2 5 x2 = 1 + 81

20 = 1 2


5) =

= 2 5(x ndash 1 2)(x + 2

5) =

= (2x ndash 1)(5x + 2)





Pavyzdys

Grupavimo būdas









Pavyzdys


= (x + y)(a + b)




++



Pamėgink




Pamėgink

140



6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys




ab + c

d = ad + bcbd

ab ndash c

d = ad ndash bcbd



x + y


Pamėgink

Suprastink




2x ndash 10


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys

3

141


6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys





ab middot c


ab c

d = ab middot d




x ndash y


x2 + y2

x ndash y =


x ndash yx2 + y2 =


x2 + y2 =


= x + y

Sprendimas


Pavyzdžiai

Suprastink

a) 1x x + x

+ xx + 1

b) 6 xx ndash 3

ndash 3x + 3


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys



x ndash yx + y


=


( x + y )( x ndash y ) =



x ndash y

Sprendimas




Pavyzdys

x ndash y x + y

142


UŽDAVINIAI




Suprastink

a) x12 middot x

14 b) (x4

5)3

c) (x23 middot x

15)15

d) x13

xndash 23

e) (x23)

34


n3)6n

h) (b2n bndash075n

bndash05n )ndash4n

i) y 13 middot y

23 j) (x2)

13 k) y

25


27)35

m) (y27)175


n2 o) (x

n4 middot x

n8)8

p) (xndash 56 n x3n

x 43 n )ndash6n




a) ( 3x + 1 ndash 4



Pamėgink


1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









2(1 + 3x) 1 ndash 3x2

143

Suprastink




a) 4 x 3 z 2y 6 4 y ndash2


a 3 b 5a 5

d) 5 a 5 c 2b 2 5 b ndash3


y 4 y 3x 6




a) 12x3y 3x2y b) 16x2y3 3x2y3 c) 144x 5y 124


12y23

e) 63x 5y 3 28x2y f) 8x2y5 4x 3y 45 g) 250xy 74

18x17y24 h) 3x 6y 83

ndash81y23









3b)3 h) (2 2 ndash 3 3)3

i) (3x ndash 4)3 j) (5x + 2)3 k) ( x3 + 1)3 l) ( x6 + x3 )3


p) (x 2 ndash 2)3



1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









144




14 ndash x

14y

34 g) n n + n h) x

34 ndash x



13 ndash x

13y




12 d) xn ndash yn




32 h) y + x 34




a) x + 3x + 4 b) x 3

x 4 c) (x + 2) 3(x + 2) + x d) (x + 2) ndash (x + 3)

(x + 2) + (x + 3)


x + 2 g) x + 1(x + 1)2 h) x 3 + 4

x 4 + 3

i) 6 xx 5 j) x + 1


b x + a



x ndash 5








b ndash a








a) ab ndash b2

2b b) x2 ndash y2





2x ndash 5y








a) x x ndash x


c) a ndash 1a + 1


e) x x + xx


g) x 6 ndash y 6



a) xy + y


x2 + 2x + 1 c) 3x + 1 + x + 5


d) 3x2 + 9x + 14 + 5

2x2 + 15x + 7 e) x ndash x2



x ndash 2

g) 2x2




x3 + 2x + 2x2 + 4 + 1x2 + 2

145

j) 1x(x + 1) + 1

x + 1 k) 6x2 ndash 9 + 9

x2 ndash 6x + 9 l) 4x + 2 + x + 6


m) 6x2 + 11x + 24 + 4








x ndash 3

Suprastink

a) x x ndash 2

ndash 2x + 2

b) 3


a ndash 9 c) x 12

x05 + 1 ndash 1

x05 ndash 1 d) 2

x + 2 + x

x ndash 2 ndash 4 x

x ndash 4

e) 11 + x

ndash 11 ndash x

f) 1a4 ndash 1

+ 1a4 + 1

g) 3

x 12 + 3 ndash x05

x05 ndash 3 h) x

81 ndash x ndash 9

x + 9 + x

x ndash 9

Suprastink

a) 16x2y5










3x j) x + 3x2 + 6x x2 ndash 9


x






3x + 4

e) 5 ndash 2

x ndash 3

4 ndash 1x ndash 3









1 + 3x

1 ndash 6x

m) 3 + 2

x + 4

5 ndash 1x + 4



2x + 2 ndash 1) 6x ndash 6 x + 1 p) ( 1

x ndash 1 ndash x + 1x2 + x + 1) (1 + 1

x3 ndash 1)





y ndash x ndash2








a13 + b



x + 1 + 1 ndash x )


16) xy 46 e) ( 1


x13 ndash 1

+ x13) middot x

13 ndash 1

x23 ndash 1

g) y ndash x

x23 + (xy)13 + y

23 + x

23 ndash y23

x3 ndash y13

h) x13y

13 x

13 y ndash y

13 x



y ndash z )ndash1

j) (x15 + x25

1 + x + 1) 1 ndash x3



ndash b a a + b

+ 3ab ndash b2

a ndash b

m) a + ba ndash b

ndash a + ab a + b

n) a + 1a a + a + a

1a2 ndash a




x05 ndash 1 r) ( 2 + x14


14


x34 s) 1x3 + y3 ndash x3 + y3

x23 ndash (xy)

13 + y

23




ndash 13


x + 1x x ndash 1

+ 2 x

146










6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai

TAIKYK

147




6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai







Sprendimas






2b + 1 ndash 6ab




PamėginkPamėgink





sin2 α

|v| = 2ghsin2 α

v = 2ghsin2 α


Išreiškiame v2




lg = T

2π

lg = ( T

2π )2

lg = T2

4π2gl = 4π2

T2

g = 4π2 middot lT2






Pavyzdžiai

148




p



f = 1F



c

1 + vc


R



P + ET


ndash 1)( 1R1

ndash 1R2)




y


12 = mgh2 + mv2

22


2



y + 24


n21 ndash 1

n22)








PamėginkPamėgink

UŽDAVINIAI

149












150

1 variantas


A 215a + b B 215 + a ndash b


b



A x = 3 B x = 0 C x = ndash3 D x = 9





a) x ndash 32 7 + 4


12 d) 3x ndash 27

x2 ndash 1






a) 32x 94 b) 81x7y 63 c) x 12y 345 d) x 17y 246






PASITIKRINK

151








a middot 5 + 9


⓭ Suprastink


m2 + n2 m2 ndash n2

4mn c) xx + 4 + 4


2 variantas


b2 =

A 140 B 142 C 145 D 146


A 00625 B 0 C 0125 D 025





15x3

c) 04x ndash 10x2 + 145 d) ( 205

10 ndash 5a)ndash18

❺ Pakelk kubu

a) (2 + 2 )3 b) (2 3 + 3 )3 c) (x 2 ndash y3 2 )3



❼ Suprastink




❾ Suprastink

a) 64x6 + 216y6



ndash 52 ndash x






4 kai y lt 0

152


❶Apskaičiuok

a) ( 7 ndash 5 23 + 7 + 503 ) middot 9 b) (3 + 2 5 4


54 + 1



❷Įrodyk teiginį

a) jei x23 + y

23 = a

23 tai x2 + x 4y 23 + y2 + x 2y 43 = a















+ ndash

bf middot xy = gcg

= = =

eec + bcyy = bfbe


153



A 40 B 250 C 225 D 2500


A 2600p B 10400 + p100 C 104p D 5200

100 + 2p








A 545 = 1

54 B 545 = 5

54 C 545 = 31254 D 5

45 = 6255


p ndash 1




x + 4 D 1x + 4



A a = 1 b = 5 B a = 2 b = 3 C a = 1 b = 4 D a = 3 b = 2




A 8 3 cm B 8 3 3 cm C 4

3 cm D 4 3 3 cm


A 56 B 60 C 64 D 112


154











+ 2 ndash x 2 + x





išraišką T(x)




1200 cm2


155












2



113


Įsimink



(1 ndash 3)24 =

= (1 ndash 3)22 2 = |1 ndash 3| =


Sprendimas



Atsakymas 3 ndash 1

Pavyzdys


3 8 24 = 3 82 middot 24 = 15366

7 193 = 73 middot 193 = 65176

15366 lt 65176

3 8 24 lt 7 193





Pavyzdys


a) ( 315 )15 b) 16 ∙ 000014 c) 64729

6

d) 234 e) ( 33 )2 f) 248

g) ( 33 )3 ndash ( 55 )5 h) 015 ∙ 000015 i) 7295

35

j) 23 + 23 k) ( 243 )4 l) 23 + 226

m) 75881

4 + ( 234 )4

n) 24 ∙ 84 + 6253

53 o) 23

( 43 )2

p) 253

235 r) ( 23 )12 s) 21530 + 248


Pamėgink



Pamėgink

114



2 324 ndash 1624 + 12504 =

= 2 16 24 ndash 81 24 + 625 24 =

= 2 2 24 ndash 3 24 + 5 24 =

= 4 24 ndash 3 24 + 5 24 = 6 24

Sprendimas




Atsakymas 6 24


Taisyklė Pavyzdys

a0 = 1 1250 = 1


12 = (6

5)ndash 12 = (5

6) 12 = 5

6

am an = am + n 2 12 2

12 = 2

12 +

12 = 21 = 2


32 = 3212 ndash 1 = 3202 = 3215 = 325 = 2

(an)m = amn (202)5 = 21 = 2

(ab)n = an bn 216 13 = (8 27)

13 = 8

13 27

13= 2 3 = 6

(ab )

n = a n

b n ( 2566561)0125 = 2560125

65610125 = (28)0125

(38)0125 = 23


Įsimink

① a0 = 1

② andashn = 1a n

③ am an = am + n


⑤ (an)m = amn

⑥ (ab)n = an bn

⑦ (ab )

n = a n

b n b ne 0

❶ Palygink

a) 4 2 33 ir 3 2 3 b) 4 3 33 ir 3 3 34

❷ Suprastink

a) 323 ndash 1083 b) 23 7684 + 484


Pamėgink

115

⓱ Apskaičiuok

a) 8 ∙ 32 b) 3 + 3 + 3 3 c) 18 + 50



m) 3 + 6 2 n) 2( 8 ndash 2) o) (3 ndash 5 7)2


⓲ Apskaičiuok



g) 32 +2 + ∙ 32 +2 ndash ∙ 2 + 3 h) (3 + 2 2)2016 ∙ (3 ndash 2 2)2016



⓴ Apskaičiuok





Apskaičiuok




a) 25

b) 57 5

c) 35 ndash 2

d) 113 5 ndash 2 3

e) 37

f) 72 7

g) 27 ndash 5

h) 102 7 ndash 3 2

UŽDAVINIAI

Atlik veiksmus

a) (13)ndash 02 b) 1613 16ndash105 c) 515

505


32 e) 3 ndash

14 27 ndash

14 f) 605

305

g) ( 149)ndash

12 ndash (1


23 5ndash

32 5ndash

156 i) 2

13(4

13 + 32

13)

j) (12ndash075


12 (3 + 2)

12


Pamėgink

116


Apskaičiuok

a) 27 ndash 5

+ 47 + 5

b) ( 25 ndash 2

+ 45 + 2) ∙ 1

6 5 ndash 4

c) 36 ndash 3

+ 96 + 3

d) ( 27 ndash 2

+ 47 + 2) ∙ 3

6 7 ndash 4

Apskaičiuok

a) 1 + 2

21 ndash 2

2

+ (2 + 2)2

2 b) ( 43 + 5

ndash 32 + 7

+ 114 ndash 5) (9 ndash 7)

c) 21 ndash 4 5 21 + 4 5

ndash 1921 + 4 5

d) ( 127 ndash 1

ndash 85 ndash 1

+ 62 ndash 7) ∙ (2 5 + 4)ndash1

e) 1 + 3

3

1 ndash 33

+ (1 ndash 3)2

2 f) ( 25 ndash 3

+ 63 ndash 3

+ 12 ndash 5) ∙ (2 3 ndash 1)

g) 4 + 2 3 4 ndash 2 3

ndash 12 ndash 3

h) ( 45 ndash 1

ndash 35 ndash 2

+ 605 ndash 5) ∙ ( 5(1 + 2 5))ndash1

Apskaičiuok






3ndash4

Apskaičiuok


53 26


14) ndash2


i) 36 210 57

605




a) 8 ∙ 95 ∙ 4 ∙ 275 b) 2185 2145

2175 c) ( 23 )6 ndash ( 34 )2


j) 9 ∙ 43 ∙ 3 ∙ 163 k) 3174 3244

3214 l) ( 34 )8 ndash ( 24 )2


Apskaičiuok



117


a) 3 2 b) 2 34 c) 04 100004 d) 13 544

e) 5 3 f) 3 23 g) 25 100004 h) 2 25



Suprastink


Apskaičiuok


c) 4 ndash 2 36 1 + 33 43 d) 3( 3 ndash 7 )2

10( 5 + 214 )( 5 ndash 214 )

e) (1 + 2)2 + 44 f) 3 ndash 2 26 2 + 23 326


20( 154 + 2)( 154 ndash 2)


a) 25013

213

b) (313)3

ndash (205)4 c) 3025 27025 ndash 213 4

13 d) 3

13 (32

3 + 1)e) (4025 ndash 405)4 f) (23

2 + 1)2

g) (314 + 3

12) (31

4 ndash 312) h) (51

6 + 514) (51

6 ndash 514)

i) 16214

125013 j) (41

4)8

ndash (405)3 k) 214 8

14 ndash 3

13 9

13 l) (23

4 + 1) 214

m) (805 ndash 3205)2 n) (314 + 1)2

o) (414 + 1) (41

4 ndash 1) p) (1 + 314) (31

4 ndash 1)


a) 8 435 b) 2 4 16 4

3

3 4 c) 777 493 d) 8

274 3

26 312 26

e) 23 484 2ndash33 f) 1253 5255 g) 53 553

023 h) 125 53 54 3 1

515

15

Apskaičiuok


15 3 + 1 + 15 3 b) ( 10) 2 ndash ( 5 ) 2

( 2 ) 2 ndash 1


43 + 0008 ndash

13 d) (2 2 ndash 3 27) (23

2 + 9 3) + ( 1 4096) ndash

12( 4 3)ndash1

e) ((243 93 )14 ndash 3(3 34 )

13) 3 ndash

512 f) 3 + 63 9 ndash 6 26 ndash 33

g) 13 2 + 13 2 + 2

3 middot 13 2 ndash 13 2 h) ( 6 ) 2 + 2 2

( 3 ) 2 + ( 2 ) 2

i) ( 1 27) ndash 13 + 2 00016 ndash

14 + ( 1 81)ndash075 00640 j) 00001ndash

14 + ( 1

125) ndash 43 ndash 81075 1

9 ndash05

k) 84

74 4 ndash 24 4 + 24 l) ((31

2 + 1)2

ndash (4 + 312)33 )

12

ndash 2 cos 30deg

118


5 2 8 6 2 3 5

Tūks

tanč

ių sk

yriu

s

Šim

tų sk

yriu

s

Dešim

čių sk

yriu

s

Vien

etų

skyr

ius

Dešim

tųjų

skyr

ius

Šim

tųjų

skyr

ius

Tūks

tant

ųjų

skyr

ius



743 956 = 7 105 + 4 104 + 3 103 + 9 102 + 5 10 + 6






x4y = 4xy ndash 270 (1)

x4y = 100x + 40 + y

4xy = 400 + 10x + y

100x + 40 + y = 400 + 10x + y ndash 270







Pavyzdžiai


a) 287 b) 987 145 c) xyz d) abcde

Pamėgink

TAIKYK

119


1 x260

x + 2 + 6 + 0 = x + 8


1260 4260 7260

2 y265y + 2 + 6 + 5 = y + 13


2265 5265 8265











PamėginkPamėgink


1 6 = 016666 = 01(6)

1 7 = 0142857142857142 = 0(142857)

120



x = 025656 | 10 1 1

10x = 2565656 (1)

10x = 2565656 | 100 2 2

1000x = 2565656 (2)


x = 256 ndash 21000 ndash 10

x = 254990 = 127

495

32(56) = 3 256 ndash 2103 ndash 101 = 3 127

495 1 3






Išreiškiame x


Atsakymas 32(56) = 3 127495

Pavyzdys

021(8) = 218 ndash 21103 ndash 102 = 197

900 0(4) = 4 ndash 0101 ndash 100 = 4

9 2 3

0123(45) = 12345 ndash 123105 ndash 103 = 679

5500 0(56) = 56 ndash 0102 ndash 100 = 56

99 3 5








a) 0(7) b) 05(7) c) 214(8) d) 03(12)


Pamėgink

Pavyzdžiai

121


x = 025656 | 10 1 1

10x = 2565656 (1)

10x = 2565656 | 100 2 2

1000x = 2565656 (2)


x = 256 ndash 21000 ndash 10

x = 254990 = 127

495

32(56) = 3 256 ndash 2103 ndash 101 = 3 127

495 1 3






Išreiškiame x


Atsakymas 32(56) = 3 127495

Pavyzdys




1 2 000 000 000 = 12 ∙ 1010 10 vietų

0000006 1 = 61 ∙ 10ndash6 6 vietos



Pavyzdys


a + b = 24 1025 + 12 1025 = = 36 1025

a + c = 24 1025 + 5 1024 = = 24 1025 + 05 1025 = 29 1025

a b = (24 1025) (12 1025) = = (24 12) (1025 1025) = 288 1050

b c = 12 1025

5 1024 = 024 101 = 24





Pavyzdys


Pamėgink



Pamėgink

122





KMI = 601682 asymp 60


Pavyzdys

∆x = |x ndash a|






|a| 100







Pamėgink

123










KMI = 601682 asymp 60


Pavyzdys



a) 1 7 = 014 2 857 asymp 014


3 7 = 042 8 571 asymp 043

gt 5

artinys a = 043



Pavyzdys

b) ∆x = |1 7 ndash 014| = |50 ndash 49

350 | =

= | 1350| = 1

350

∆x = 1350 lt 00028 lt 0003

δ = ∆x|a| =

1350

750

= 1350 50

7 = 149

δ = 149 100 asymp 2041 lt 21




UŽDAVINIAI



Pamėgink

124



Įrodyk kad



Pagrįsk teiginius















125




d) 0(32) 0(4) e) 0(493) 07(45) f) 0(285714) 01(3)04(6) 4(9)

g) 2(8) ndash 0(4) h) 1(27) ndash 03(4) i) 0(917) + 03(614)

j) 0(57) 0(6) k) 0(267) 03(12) l) 0(53) 02(9)332(4) + 1(21)

Palygink skaičius

a) 1 6 ir 3


12






d) 0002096 1012

524 e) 08128 1024

254 10ndash14 f) 0027 1021 ndash 631 1017

g) 1890 00105 h) 00045 1017 i) 000007 10ndash16

j) 000010288016 1017 k) 5139645 10ndash13

7895 10ndash34 l) 760 1012 ndash 0003 1015


a) 5 6 h = 01 b) 2

7 h = 000001 c) 3 h = 01 d) 6 h = 001

e) 4 13 h = 001 f) 3

11 h = 0001 g) 11 h = 000001 h) 8 h = 000001


a) 1 9 h = 01 b) 2 h = 001 c) 3

11 h = 001 d) 10 h = 0001

126

1 variantas




6 reikšmė

A 7 6 B 1

6 C 75 D 74




❻ Apskaičiuok

a) (134)ndash 2 b) 7503

63 c) (33

4 9ndash 14)ndash4

d) ( 27 ndash 2 3 + 75) 3

e) 5( 3 ndash 7)2

5 ndash 21 f) ( 00001

81 ) ndash 34 10ndash4 g) ( 160

15

121502) ndash2

h) 23 ( 43 ndash 163 )



3









PASITIKRINK

127





2 variantas



A 4ndash 34 = 4

43 B 4ndash

34 = 1

644 C 4ndash

34 = 1

43 D 4ndash 34 = 1

2563


1417 reikšmė

A 1514 B 1 1

196 C 1415 D 1415





❻ Apskaičiuok


14 b) 2 8

16 8

4

3

3 88 c)

8113 + 3

73

33 + 813 + 21873

d) 53 + 2a 43 + 2a

202a + 2 e) 31 ndash 2 5 9 5 f) 17 ndash 338 33 + 178

❼ Suprastink

a) ( 182 ndash 13

ndash 2011 ndash 1

+ 2413 ndash 1) ( 1

2 + 11 )ndash1 b) (3 ndash 7)

12(3 + 7)

12

c) 1 + 3 + 32 + 33 + 34 + + 315







128









m4 + 3m3 + 23 (p ndash 4)(p ndash 12)

27 53



narys narys narys

trinaris




m + 2



7 ndash p + 3


racionalieji

iracionalieji


SUSIPAŽINK

129












Įsimink



② ne 0

③ 2n 0

④ 2n gt 0

⑤mn gt 0



Pavyzdžiai


1) (2 ndash x2)(2 + x2)x ndash 5 2) 2

5x 2 ndash 37x + 4

3) 23 x 2 ndash 5x ndash 813 4) 7

c ndash 2

c + 1 + c + 2

33

5) 2x2 ndash 5x ndash 325 6) (3 + x)(12 + x)

(x ndash 5)x

7) y3

3 + 3y23 8) 3y2 + 2

y2 + 5y ndash 6


Pamėgink

130



x(x ndash 4) ne 0







x 25x ne ndash1









x ne ndash3


(x + 7)(x ndash 7) lt 0








Pavyzdžiai


a) 03x ndash 1 3 b) 2

7x3 + 1 9x2 + 0(4)x ndash 12

c) 2 + 4x x + 3 d) 2 + 4x

x2 ndash 25

Pamėgink

131



3 c) 3 x ndash 36



12 ndash 2x g) x


x2 ndash 1









e) x13 ndash 1 f) 1



2x2 ndash 50



m) 2x + x25 n) x + 2

3 5 o) 2x + 1

x2 ndash 9 p) 12x + x + 4




a + 3 d) 4x


e) (3x ndash 1)ndash134 f) 5x + 40 3

1 ndash x2 g) 4




2 ndash a l) 35k + 21 6

2k + 34


1 ndash p2 n) 2x + 10


x + 5 p) 4 ndash 12x2 + 4 5x + 403

UŽDAVINIAI



b) x + 24

3 ndash x6



x2 ndash 1


Pamėgink

132











23 + xndash

13)

x 13 (x

23 + xndash

13) = x

13 x

23 + x

13 xndash

13 =

= x 13 +

23 + x

13 ndash

13 = x

33 + x0 = x + 1



Atsakymas x + 1









Pavyzdžiai

IŠMOK

133




a) x43 = x3 x3 = x x3

b) x94 = x4 x4 x4 = x2 x4

x94 = x 94 = x2

14 = x2 x4

c) x6y6 = x6 y6 = x y6





Pavyzdys



Įsiminka2n2n = |a|



(x ndash 4)44 + (x ndash 2)33 =




Pavyzdžiai


a) ( x 14 ndash 1 )( x



Pamėgink




Pamėgink

134









a) x y3 = x3y3

b) a b4 = a4b4










Pavyzdžiai

Suprastink



Pamėgink


a) a3 a4 (a gt 0) b) ab2 a3 (a b gt 0)


Pamėgink

135



Įsimink





= ndash x7y 46




Pavyzdys




① (a + b)2 = a2 + 2ab + b2



④ (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3


⑥ a3 + b3 = (a + b)(a2 ndash ab + b2)





Pamėgink


136



(2x + 3)3 = a b



Sprendimas


Atsakymas 8x3 + 36x2 + 54x + 27


( 2 ndash 2 3 )3 = a b



Sprendimas



Pavyzdžiai


8x6 + 60x4y + 150x2y2 + 125y3 =

= (2x2)3 + 3 (2x2)2 (5y) + 3 (2x2) (5y)2 + (5y)3 = a3 a2 b a b2 b3

= (2x2 + 5y)3




Pavyzdys


a) (m ndash 5n)3 b) (2x + 2)3c) ( 3 + 2)3 d) (2 2 + 2)3

Pamėgink




52


Pamėgink

137
















Pavyzdys








Pavyzdys




Pamėgink

138







a) 8x6 ndash a3b9 = (2x2)3 (ab3)3

= (2x2)3 ndash (ab3)3 = a3 b3


= (2x2 ndash ab3)(4x4 + 2x2ab3 + a2b6)






= ( x3 ndash y3 )( x23 + xy3 + y23 )








Taikome 7 formulę

Pavyzdys







Pamėgink



Pamėgink

139



x1 = 1 ndash 81 20 = ndash 2 5 x2 = 1 + 81

20 = 1 2


5) =

= 2 5(x ndash 1 2)(x + 2

5) =

= (2x ndash 1)(5x + 2)





Pavyzdys

Grupavimo būdas









Pavyzdys


= (x + y)(a + b)




++



Pamėgink




Pamėgink

140



6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys




ab + c

d = ad + bcbd

ab ndash c

d = ad ndash bcbd



x + y


Pamėgink

Suprastink




2x ndash 10


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys

3

141


6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys





ab middot c


ab c

d = ab middot d




x ndash y


x2 + y2

x ndash y =


x ndash yx2 + y2 =


x2 + y2 =


= x + y

Sprendimas


Pavyzdžiai

Suprastink

a) 1x x + x

+ xx + 1

b) 6 xx ndash 3

ndash 3x + 3


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys



x ndash yx + y


=


( x + y )( x ndash y ) =



x ndash y

Sprendimas




Pavyzdys

x ndash y x + y

142


UŽDAVINIAI




Suprastink

a) x12 middot x

14 b) (x4

5)3

c) (x23 middot x

15)15

d) x13

xndash 23

e) (x23)

34


n3)6n

h) (b2n bndash075n

bndash05n )ndash4n

i) y 13 middot y

23 j) (x2)

13 k) y

25


27)35

m) (y27)175


n2 o) (x

n4 middot x

n8)8

p) (xndash 56 n x3n

x 43 n )ndash6n




a) ( 3x + 1 ndash 4



Pamėgink


1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









2(1 + 3x) 1 ndash 3x2

143

Suprastink




a) 4 x 3 z 2y 6 4 y ndash2


a 3 b 5a 5

d) 5 a 5 c 2b 2 5 b ndash3


y 4 y 3x 6




a) 12x3y 3x2y b) 16x2y3 3x2y3 c) 144x 5y 124


12y23

e) 63x 5y 3 28x2y f) 8x2y5 4x 3y 45 g) 250xy 74

18x17y24 h) 3x 6y 83

ndash81y23









3b)3 h) (2 2 ndash 3 3)3

i) (3x ndash 4)3 j) (5x + 2)3 k) ( x3 + 1)3 l) ( x6 + x3 )3


p) (x 2 ndash 2)3



1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









144




14 ndash x

14y

34 g) n n + n h) x

34 ndash x



13 ndash x

13y




12 d) xn ndash yn




32 h) y + x 34




a) x + 3x + 4 b) x 3

x 4 c) (x + 2) 3(x + 2) + x d) (x + 2) ndash (x + 3)

(x + 2) + (x + 3)


x + 2 g) x + 1(x + 1)2 h) x 3 + 4

x 4 + 3

i) 6 xx 5 j) x + 1


b x + a



x ndash 5








b ndash a








a) ab ndash b2

2b b) x2 ndash y2





2x ndash 5y








a) x x ndash x


c) a ndash 1a + 1


e) x x + xx


g) x 6 ndash y 6



a) xy + y


x2 + 2x + 1 c) 3x + 1 + x + 5


d) 3x2 + 9x + 14 + 5

2x2 + 15x + 7 e) x ndash x2



x ndash 2

g) 2x2




x3 + 2x + 2x2 + 4 + 1x2 + 2

145

j) 1x(x + 1) + 1

x + 1 k) 6x2 ndash 9 + 9

x2 ndash 6x + 9 l) 4x + 2 + x + 6


m) 6x2 + 11x + 24 + 4








x ndash 3

Suprastink

a) x x ndash 2

ndash 2x + 2

b) 3


a ndash 9 c) x 12

x05 + 1 ndash 1

x05 ndash 1 d) 2

x + 2 + x

x ndash 2 ndash 4 x

x ndash 4

e) 11 + x

ndash 11 ndash x

f) 1a4 ndash 1

+ 1a4 + 1

g) 3

x 12 + 3 ndash x05

x05 ndash 3 h) x

81 ndash x ndash 9

x + 9 + x

x ndash 9

Suprastink

a) 16x2y5










3x j) x + 3x2 + 6x x2 ndash 9


x






3x + 4

e) 5 ndash 2

x ndash 3

4 ndash 1x ndash 3









1 + 3x

1 ndash 6x

m) 3 + 2

x + 4

5 ndash 1x + 4



2x + 2 ndash 1) 6x ndash 6 x + 1 p) ( 1

x ndash 1 ndash x + 1x2 + x + 1) (1 + 1

x3 ndash 1)





y ndash x ndash2








a13 + b



x + 1 + 1 ndash x )


16) xy 46 e) ( 1


x13 ndash 1

+ x13) middot x

13 ndash 1

x23 ndash 1

g) y ndash x

x23 + (xy)13 + y

23 + x

23 ndash y23

x3 ndash y13

h) x13y

13 x

13 y ndash y

13 x



y ndash z )ndash1

j) (x15 + x25

1 + x + 1) 1 ndash x3



ndash b a a + b

+ 3ab ndash b2

a ndash b

m) a + ba ndash b

ndash a + ab a + b

n) a + 1a a + a + a

1a2 ndash a




x05 ndash 1 r) ( 2 + x14


14


x34 s) 1x3 + y3 ndash x3 + y3

x23 ndash (xy)

13 + y

23




ndash 13


x + 1x x ndash 1

+ 2 x

146










6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai

TAIKYK

147




6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai







Sprendimas






2b + 1 ndash 6ab




PamėginkPamėgink





sin2 α

|v| = 2ghsin2 α

v = 2ghsin2 α


Išreiškiame v2




lg = T

2π

lg = ( T

2π )2

lg = T2

4π2gl = 4π2

T2

g = 4π2 middot lT2






Pavyzdžiai

148




p



f = 1F



c

1 + vc


R



P + ET


ndash 1)( 1R1

ndash 1R2)




y


12 = mgh2 + mv2

22


2



y + 24


n21 ndash 1

n22)








PamėginkPamėgink

UŽDAVINIAI

149












150

1 variantas


A 215a + b B 215 + a ndash b


b



A x = 3 B x = 0 C x = ndash3 D x = 9





a) x ndash 32 7 + 4


12 d) 3x ndash 27

x2 ndash 1






a) 32x 94 b) 81x7y 63 c) x 12y 345 d) x 17y 246






PASITIKRINK

151








a middot 5 + 9


⓭ Suprastink


m2 + n2 m2 ndash n2

4mn c) xx + 4 + 4


2 variantas


b2 =

A 140 B 142 C 145 D 146


A 00625 B 0 C 0125 D 025





15x3

c) 04x ndash 10x2 + 145 d) ( 205

10 ndash 5a)ndash18

❺ Pakelk kubu

a) (2 + 2 )3 b) (2 3 + 3 )3 c) (x 2 ndash y3 2 )3



❼ Suprastink




❾ Suprastink

a) 64x6 + 216y6



ndash 52 ndash x






4 kai y lt 0

152


❶Apskaičiuok

a) ( 7 ndash 5 23 + 7 + 503 ) middot 9 b) (3 + 2 5 4


54 + 1



❷Įrodyk teiginį

a) jei x23 + y

23 = a

23 tai x2 + x 4y 23 + y2 + x 2y 43 = a















+ ndash

bf middot xy = gcg

= = =

eec + bcyy = bfbe


153



A 40 B 250 C 225 D 2500


A 2600p B 10400 + p100 C 104p D 5200

100 + 2p








A 545 = 1

54 B 545 = 5

54 C 545 = 31254 D 5

45 = 6255


p ndash 1




x + 4 D 1x + 4



A a = 1 b = 5 B a = 2 b = 3 C a = 1 b = 4 D a = 3 b = 2




A 8 3 cm B 8 3 3 cm C 4

3 cm D 4 3 3 cm


A 56 B 60 C 64 D 112


154











+ 2 ndash x 2 + x





išraišką T(x)




1200 cm2


155












2



114



2 324 ndash 1624 + 12504 =

= 2 16 24 ndash 81 24 + 625 24 =

= 2 2 24 ndash 3 24 + 5 24 =

= 4 24 ndash 3 24 + 5 24 = 6 24

Sprendimas




Atsakymas 6 24


Taisyklė Pavyzdys

a0 = 1 1250 = 1


12 = (6

5)ndash 12 = (5

6) 12 = 5

6

am an = am + n 2 12 2

12 = 2

12 +

12 = 21 = 2


32 = 3212 ndash 1 = 3202 = 3215 = 325 = 2

(an)m = amn (202)5 = 21 = 2

(ab)n = an bn 216 13 = (8 27)

13 = 8

13 27

13= 2 3 = 6

(ab )

n = a n

b n ( 2566561)0125 = 2560125

65610125 = (28)0125

(38)0125 = 23


Įsimink

① a0 = 1

② andashn = 1a n

③ am an = am + n


⑤ (an)m = amn

⑥ (ab)n = an bn

⑦ (ab )

n = a n

b n b ne 0

❶ Palygink

a) 4 2 33 ir 3 2 3 b) 4 3 33 ir 3 3 34

❷ Suprastink

a) 323 ndash 1083 b) 23 7684 + 484


Pamėgink

115

⓱ Apskaičiuok

a) 8 ∙ 32 b) 3 + 3 + 3 3 c) 18 + 50



m) 3 + 6 2 n) 2( 8 ndash 2) o) (3 ndash 5 7)2


⓲ Apskaičiuok



g) 32 +2 + ∙ 32 +2 ndash ∙ 2 + 3 h) (3 + 2 2)2016 ∙ (3 ndash 2 2)2016



⓴ Apskaičiuok





Apskaičiuok




a) 25

b) 57 5

c) 35 ndash 2

d) 113 5 ndash 2 3

e) 37

f) 72 7

g) 27 ndash 5

h) 102 7 ndash 3 2

UŽDAVINIAI

Atlik veiksmus

a) (13)ndash 02 b) 1613 16ndash105 c) 515

505


32 e) 3 ndash

14 27 ndash

14 f) 605

305

g) ( 149)ndash

12 ndash (1


23 5ndash

32 5ndash

156 i) 2

13(4

13 + 32

13)

j) (12ndash075


12 (3 + 2)

12


Pamėgink

116


Apskaičiuok

a) 27 ndash 5

+ 47 + 5

b) ( 25 ndash 2

+ 45 + 2) ∙ 1

6 5 ndash 4

c) 36 ndash 3

+ 96 + 3

d) ( 27 ndash 2

+ 47 + 2) ∙ 3

6 7 ndash 4

Apskaičiuok

a) 1 + 2

21 ndash 2

2

+ (2 + 2)2

2 b) ( 43 + 5

ndash 32 + 7

+ 114 ndash 5) (9 ndash 7)

c) 21 ndash 4 5 21 + 4 5

ndash 1921 + 4 5

d) ( 127 ndash 1

ndash 85 ndash 1

+ 62 ndash 7) ∙ (2 5 + 4)ndash1

e) 1 + 3

3

1 ndash 33

+ (1 ndash 3)2

2 f) ( 25 ndash 3

+ 63 ndash 3

+ 12 ndash 5) ∙ (2 3 ndash 1)

g) 4 + 2 3 4 ndash 2 3

ndash 12 ndash 3

h) ( 45 ndash 1

ndash 35 ndash 2

+ 605 ndash 5) ∙ ( 5(1 + 2 5))ndash1

Apskaičiuok






3ndash4

Apskaičiuok


53 26


14) ndash2


i) 36 210 57

605




a) 8 ∙ 95 ∙ 4 ∙ 275 b) 2185 2145

2175 c) ( 23 )6 ndash ( 34 )2


j) 9 ∙ 43 ∙ 3 ∙ 163 k) 3174 3244

3214 l) ( 34 )8 ndash ( 24 )2


Apskaičiuok



117


a) 3 2 b) 2 34 c) 04 100004 d) 13 544

e) 5 3 f) 3 23 g) 25 100004 h) 2 25



Suprastink


Apskaičiuok


c) 4 ndash 2 36 1 + 33 43 d) 3( 3 ndash 7 )2

10( 5 + 214 )( 5 ndash 214 )

e) (1 + 2)2 + 44 f) 3 ndash 2 26 2 + 23 326


20( 154 + 2)( 154 ndash 2)


a) 25013

213

b) (313)3

ndash (205)4 c) 3025 27025 ndash 213 4

13 d) 3

13 (32

3 + 1)e) (4025 ndash 405)4 f) (23

2 + 1)2

g) (314 + 3

12) (31

4 ndash 312) h) (51

6 + 514) (51

6 ndash 514)

i) 16214

125013 j) (41

4)8

ndash (405)3 k) 214 8

14 ndash 3

13 9

13 l) (23

4 + 1) 214

m) (805 ndash 3205)2 n) (314 + 1)2

o) (414 + 1) (41

4 ndash 1) p) (1 + 314) (31

4 ndash 1)


a) 8 435 b) 2 4 16 4

3

3 4 c) 777 493 d) 8

274 3

26 312 26

e) 23 484 2ndash33 f) 1253 5255 g) 53 553

023 h) 125 53 54 3 1

515

15

Apskaičiuok


15 3 + 1 + 15 3 b) ( 10) 2 ndash ( 5 ) 2

( 2 ) 2 ndash 1


43 + 0008 ndash

13 d) (2 2 ndash 3 27) (23

2 + 9 3) + ( 1 4096) ndash

12( 4 3)ndash1

e) ((243 93 )14 ndash 3(3 34 )

13) 3 ndash

512 f) 3 + 63 9 ndash 6 26 ndash 33

g) 13 2 + 13 2 + 2

3 middot 13 2 ndash 13 2 h) ( 6 ) 2 + 2 2

( 3 ) 2 + ( 2 ) 2

i) ( 1 27) ndash 13 + 2 00016 ndash

14 + ( 1 81)ndash075 00640 j) 00001ndash

14 + ( 1

125) ndash 43 ndash 81075 1

9 ndash05

k) 84

74 4 ndash 24 4 + 24 l) ((31

2 + 1)2

ndash (4 + 312)33 )

12

ndash 2 cos 30deg

118


5 2 8 6 2 3 5

Tūks

tanč

ių sk

yriu

s

Šim

tų sk

yriu

s

Dešim

čių sk

yriu

s

Vien

etų

skyr

ius

Dešim

tųjų

skyr

ius

Šim

tųjų

skyr

ius

Tūks

tant

ųjų

skyr

ius



743 956 = 7 105 + 4 104 + 3 103 + 9 102 + 5 10 + 6






x4y = 4xy ndash 270 (1)

x4y = 100x + 40 + y

4xy = 400 + 10x + y

100x + 40 + y = 400 + 10x + y ndash 270







Pavyzdžiai


a) 287 b) 987 145 c) xyz d) abcde

Pamėgink

TAIKYK

119


1 x260

x + 2 + 6 + 0 = x + 8


1260 4260 7260

2 y265y + 2 + 6 + 5 = y + 13


2265 5265 8265











PamėginkPamėgink


1 6 = 016666 = 01(6)

1 7 = 0142857142857142 = 0(142857)

120



x = 025656 | 10 1 1

10x = 2565656 (1)

10x = 2565656 | 100 2 2

1000x = 2565656 (2)


x = 256 ndash 21000 ndash 10

x = 254990 = 127

495

32(56) = 3 256 ndash 2103 ndash 101 = 3 127

495 1 3






Išreiškiame x


Atsakymas 32(56) = 3 127495

Pavyzdys

021(8) = 218 ndash 21103 ndash 102 = 197

900 0(4) = 4 ndash 0101 ndash 100 = 4

9 2 3

0123(45) = 12345 ndash 123105 ndash 103 = 679

5500 0(56) = 56 ndash 0102 ndash 100 = 56

99 3 5








a) 0(7) b) 05(7) c) 214(8) d) 03(12)


Pamėgink

Pavyzdžiai

121


x = 025656 | 10 1 1

10x = 2565656 (1)

10x = 2565656 | 100 2 2

1000x = 2565656 (2)


x = 256 ndash 21000 ndash 10

x = 254990 = 127

495

32(56) = 3 256 ndash 2103 ndash 101 = 3 127

495 1 3






Išreiškiame x


Atsakymas 32(56) = 3 127495

Pavyzdys




1 2 000 000 000 = 12 ∙ 1010 10 vietų

0000006 1 = 61 ∙ 10ndash6 6 vietos



Pavyzdys


a + b = 24 1025 + 12 1025 = = 36 1025

a + c = 24 1025 + 5 1024 = = 24 1025 + 05 1025 = 29 1025

a b = (24 1025) (12 1025) = = (24 12) (1025 1025) = 288 1050

b c = 12 1025

5 1024 = 024 101 = 24





Pavyzdys


Pamėgink



Pamėgink

122





KMI = 601682 asymp 60


Pavyzdys

∆x = |x ndash a|






|a| 100







Pamėgink

123










KMI = 601682 asymp 60


Pavyzdys



a) 1 7 = 014 2 857 asymp 014


3 7 = 042 8 571 asymp 043

gt 5

artinys a = 043



Pavyzdys

b) ∆x = |1 7 ndash 014| = |50 ndash 49

350 | =

= | 1350| = 1

350

∆x = 1350 lt 00028 lt 0003

δ = ∆x|a| =

1350

750

= 1350 50

7 = 149

δ = 149 100 asymp 2041 lt 21




UŽDAVINIAI



Pamėgink

124



Įrodyk kad



Pagrįsk teiginius















125




d) 0(32) 0(4) e) 0(493) 07(45) f) 0(285714) 01(3)04(6) 4(9)

g) 2(8) ndash 0(4) h) 1(27) ndash 03(4) i) 0(917) + 03(614)

j) 0(57) 0(6) k) 0(267) 03(12) l) 0(53) 02(9)332(4) + 1(21)

Palygink skaičius

a) 1 6 ir 3


12






d) 0002096 1012

524 e) 08128 1024

254 10ndash14 f) 0027 1021 ndash 631 1017

g) 1890 00105 h) 00045 1017 i) 000007 10ndash16

j) 000010288016 1017 k) 5139645 10ndash13

7895 10ndash34 l) 760 1012 ndash 0003 1015


a) 5 6 h = 01 b) 2

7 h = 000001 c) 3 h = 01 d) 6 h = 001

e) 4 13 h = 001 f) 3

11 h = 0001 g) 11 h = 000001 h) 8 h = 000001


a) 1 9 h = 01 b) 2 h = 001 c) 3

11 h = 001 d) 10 h = 0001

126

1 variantas




6 reikšmė

A 7 6 B 1

6 C 75 D 74




❻ Apskaičiuok

a) (134)ndash 2 b) 7503

63 c) (33

4 9ndash 14)ndash4

d) ( 27 ndash 2 3 + 75) 3

e) 5( 3 ndash 7)2

5 ndash 21 f) ( 00001

81 ) ndash 34 10ndash4 g) ( 160

15

121502) ndash2

h) 23 ( 43 ndash 163 )



3









PASITIKRINK

127





2 variantas



A 4ndash 34 = 4

43 B 4ndash

34 = 1

644 C 4ndash

34 = 1

43 D 4ndash 34 = 1

2563


1417 reikšmė

A 1514 B 1 1

196 C 1415 D 1415





❻ Apskaičiuok


14 b) 2 8

16 8

4

3

3 88 c)

8113 + 3

73

33 + 813 + 21873

d) 53 + 2a 43 + 2a

202a + 2 e) 31 ndash 2 5 9 5 f) 17 ndash 338 33 + 178

❼ Suprastink

a) ( 182 ndash 13

ndash 2011 ndash 1

+ 2413 ndash 1) ( 1

2 + 11 )ndash1 b) (3 ndash 7)

12(3 + 7)

12

c) 1 + 3 + 32 + 33 + 34 + + 315







128









m4 + 3m3 + 23 (p ndash 4)(p ndash 12)

27 53



narys narys narys

trinaris




m + 2



7 ndash p + 3


racionalieji

iracionalieji


SUSIPAŽINK

129












Įsimink



② ne 0

③ 2n 0

④ 2n gt 0

⑤mn gt 0



Pavyzdžiai


1) (2 ndash x2)(2 + x2)x ndash 5 2) 2

5x 2 ndash 37x + 4

3) 23 x 2 ndash 5x ndash 813 4) 7

c ndash 2

c + 1 + c + 2

33

5) 2x2 ndash 5x ndash 325 6) (3 + x)(12 + x)

(x ndash 5)x

7) y3

3 + 3y23 8) 3y2 + 2

y2 + 5y ndash 6


Pamėgink

130



x(x ndash 4) ne 0







x 25x ne ndash1









x ne ndash3


(x + 7)(x ndash 7) lt 0








Pavyzdžiai


a) 03x ndash 1 3 b) 2

7x3 + 1 9x2 + 0(4)x ndash 12

c) 2 + 4x x + 3 d) 2 + 4x

x2 ndash 25

Pamėgink

131



3 c) 3 x ndash 36



12 ndash 2x g) x


x2 ndash 1









e) x13 ndash 1 f) 1



2x2 ndash 50



m) 2x + x25 n) x + 2

3 5 o) 2x + 1

x2 ndash 9 p) 12x + x + 4




a + 3 d) 4x


e) (3x ndash 1)ndash134 f) 5x + 40 3

1 ndash x2 g) 4




2 ndash a l) 35k + 21 6

2k + 34


1 ndash p2 n) 2x + 10


x + 5 p) 4 ndash 12x2 + 4 5x + 403

UŽDAVINIAI



b) x + 24

3 ndash x6



x2 ndash 1


Pamėgink

132











23 + xndash

13)

x 13 (x

23 + xndash

13) = x

13 x

23 + x

13 xndash

13 =

= x 13 +

23 + x

13 ndash

13 = x

33 + x0 = x + 1



Atsakymas x + 1









Pavyzdžiai

IŠMOK

133




a) x43 = x3 x3 = x x3

b) x94 = x4 x4 x4 = x2 x4

x94 = x 94 = x2

14 = x2 x4

c) x6y6 = x6 y6 = x y6





Pavyzdys



Įsiminka2n2n = |a|



(x ndash 4)44 + (x ndash 2)33 =




Pavyzdžiai


a) ( x 14 ndash 1 )( x



Pamėgink




Pamėgink

134









a) x y3 = x3y3

b) a b4 = a4b4










Pavyzdžiai

Suprastink



Pamėgink


a) a3 a4 (a gt 0) b) ab2 a3 (a b gt 0)


Pamėgink

135



Įsimink





= ndash x7y 46




Pavyzdys




① (a + b)2 = a2 + 2ab + b2



④ (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3


⑥ a3 + b3 = (a + b)(a2 ndash ab + b2)





Pamėgink


136



(2x + 3)3 = a b



Sprendimas


Atsakymas 8x3 + 36x2 + 54x + 27


( 2 ndash 2 3 )3 = a b



Sprendimas



Pavyzdžiai


8x6 + 60x4y + 150x2y2 + 125y3 =

= (2x2)3 + 3 (2x2)2 (5y) + 3 (2x2) (5y)2 + (5y)3 = a3 a2 b a b2 b3

= (2x2 + 5y)3




Pavyzdys


a) (m ndash 5n)3 b) (2x + 2)3c) ( 3 + 2)3 d) (2 2 + 2)3

Pamėgink




52


Pamėgink

137
















Pavyzdys








Pavyzdys




Pamėgink

138







a) 8x6 ndash a3b9 = (2x2)3 (ab3)3

= (2x2)3 ndash (ab3)3 = a3 b3


= (2x2 ndash ab3)(4x4 + 2x2ab3 + a2b6)






= ( x3 ndash y3 )( x23 + xy3 + y23 )








Taikome 7 formulę

Pavyzdys







Pamėgink



Pamėgink

139



x1 = 1 ndash 81 20 = ndash 2 5 x2 = 1 + 81

20 = 1 2


5) =

= 2 5(x ndash 1 2)(x + 2

5) =

= (2x ndash 1)(5x + 2)





Pavyzdys

Grupavimo būdas









Pavyzdys


= (x + y)(a + b)




++



Pamėgink




Pamėgink

140



6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys




ab + c

d = ad + bcbd

ab ndash c

d = ad ndash bcbd



x + y


Pamėgink

Suprastink




2x ndash 10


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys

3

141


6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys





ab middot c


ab c

d = ab middot d




x ndash y


x2 + y2

x ndash y =


x ndash yx2 + y2 =


x2 + y2 =


= x + y

Sprendimas


Pavyzdžiai

Suprastink

a) 1x x + x

+ xx + 1

b) 6 xx ndash 3

ndash 3x + 3


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys



x ndash yx + y


=


( x + y )( x ndash y ) =



x ndash y

Sprendimas




Pavyzdys

x ndash y x + y

142


UŽDAVINIAI




Suprastink

a) x12 middot x

14 b) (x4

5)3

c) (x23 middot x

15)15

d) x13

xndash 23

e) (x23)

34


n3)6n

h) (b2n bndash075n

bndash05n )ndash4n

i) y 13 middot y

23 j) (x2)

13 k) y

25


27)35

m) (y27)175


n2 o) (x

n4 middot x

n8)8

p) (xndash 56 n x3n

x 43 n )ndash6n




a) ( 3x + 1 ndash 4



Pamėgink


1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









2(1 + 3x) 1 ndash 3x2

143

Suprastink




a) 4 x 3 z 2y 6 4 y ndash2


a 3 b 5a 5

d) 5 a 5 c 2b 2 5 b ndash3


y 4 y 3x 6




a) 12x3y 3x2y b) 16x2y3 3x2y3 c) 144x 5y 124


12y23

e) 63x 5y 3 28x2y f) 8x2y5 4x 3y 45 g) 250xy 74

18x17y24 h) 3x 6y 83

ndash81y23









3b)3 h) (2 2 ndash 3 3)3

i) (3x ndash 4)3 j) (5x + 2)3 k) ( x3 + 1)3 l) ( x6 + x3 )3


p) (x 2 ndash 2)3



1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









144




14 ndash x

14y

34 g) n n + n h) x

34 ndash x



13 ndash x

13y




12 d) xn ndash yn




32 h) y + x 34




a) x + 3x + 4 b) x 3

x 4 c) (x + 2) 3(x + 2) + x d) (x + 2) ndash (x + 3)

(x + 2) + (x + 3)


x + 2 g) x + 1(x + 1)2 h) x 3 + 4

x 4 + 3

i) 6 xx 5 j) x + 1


b x + a



x ndash 5








b ndash a








a) ab ndash b2

2b b) x2 ndash y2





2x ndash 5y








a) x x ndash x


c) a ndash 1a + 1


e) x x + xx


g) x 6 ndash y 6



a) xy + y


x2 + 2x + 1 c) 3x + 1 + x + 5


d) 3x2 + 9x + 14 + 5

2x2 + 15x + 7 e) x ndash x2



x ndash 2

g) 2x2




x3 + 2x + 2x2 + 4 + 1x2 + 2

145

j) 1x(x + 1) + 1

x + 1 k) 6x2 ndash 9 + 9

x2 ndash 6x + 9 l) 4x + 2 + x + 6


m) 6x2 + 11x + 24 + 4








x ndash 3

Suprastink

a) x x ndash 2

ndash 2x + 2

b) 3


a ndash 9 c) x 12

x05 + 1 ndash 1

x05 ndash 1 d) 2

x + 2 + x

x ndash 2 ndash 4 x

x ndash 4

e) 11 + x

ndash 11 ndash x

f) 1a4 ndash 1

+ 1a4 + 1

g) 3

x 12 + 3 ndash x05

x05 ndash 3 h) x

81 ndash x ndash 9

x + 9 + x

x ndash 9

Suprastink

a) 16x2y5










3x j) x + 3x2 + 6x x2 ndash 9


x






3x + 4

e) 5 ndash 2

x ndash 3

4 ndash 1x ndash 3









1 + 3x

1 ndash 6x

m) 3 + 2

x + 4

5 ndash 1x + 4



2x + 2 ndash 1) 6x ndash 6 x + 1 p) ( 1

x ndash 1 ndash x + 1x2 + x + 1) (1 + 1

x3 ndash 1)





y ndash x ndash2








a13 + b



x + 1 + 1 ndash x )


16) xy 46 e) ( 1


x13 ndash 1

+ x13) middot x

13 ndash 1

x23 ndash 1

g) y ndash x

x23 + (xy)13 + y

23 + x

23 ndash y23

x3 ndash y13

h) x13y

13 x

13 y ndash y

13 x



y ndash z )ndash1

j) (x15 + x25

1 + x + 1) 1 ndash x3



ndash b a a + b

+ 3ab ndash b2

a ndash b

m) a + ba ndash b

ndash a + ab a + b

n) a + 1a a + a + a

1a2 ndash a




x05 ndash 1 r) ( 2 + x14


14


x34 s) 1x3 + y3 ndash x3 + y3

x23 ndash (xy)

13 + y

23




ndash 13


x + 1x x ndash 1

+ 2 x

146










6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai

TAIKYK

147




6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai







Sprendimas






2b + 1 ndash 6ab




PamėginkPamėgink





sin2 α

|v| = 2ghsin2 α

v = 2ghsin2 α


Išreiškiame v2




lg = T

2π

lg = ( T

2π )2

lg = T2

4π2gl = 4π2

T2

g = 4π2 middot lT2






Pavyzdžiai

148




p



f = 1F



c

1 + vc


R



P + ET


ndash 1)( 1R1

ndash 1R2)




y


12 = mgh2 + mv2

22


2



y + 24


n21 ndash 1

n22)








PamėginkPamėgink

UŽDAVINIAI

149












150

1 variantas


A 215a + b B 215 + a ndash b


b



A x = 3 B x = 0 C x = ndash3 D x = 9





a) x ndash 32 7 + 4


12 d) 3x ndash 27

x2 ndash 1






a) 32x 94 b) 81x7y 63 c) x 12y 345 d) x 17y 246






PASITIKRINK

151








a middot 5 + 9


⓭ Suprastink


m2 + n2 m2 ndash n2

4mn c) xx + 4 + 4


2 variantas


b2 =

A 140 B 142 C 145 D 146


A 00625 B 0 C 0125 D 025





15x3

c) 04x ndash 10x2 + 145 d) ( 205

10 ndash 5a)ndash18

❺ Pakelk kubu

a) (2 + 2 )3 b) (2 3 + 3 )3 c) (x 2 ndash y3 2 )3



❼ Suprastink




❾ Suprastink

a) 64x6 + 216y6



ndash 52 ndash x






4 kai y lt 0

152


❶Apskaičiuok

a) ( 7 ndash 5 23 + 7 + 503 ) middot 9 b) (3 + 2 5 4


54 + 1



❷Įrodyk teiginį

a) jei x23 + y

23 = a

23 tai x2 + x 4y 23 + y2 + x 2y 43 = a















+ ndash

bf middot xy = gcg

= = =

eec + bcyy = bfbe


153



A 40 B 250 C 225 D 2500


A 2600p B 10400 + p100 C 104p D 5200

100 + 2p








A 545 = 1

54 B 545 = 5

54 C 545 = 31254 D 5

45 = 6255


p ndash 1




x + 4 D 1x + 4



A a = 1 b = 5 B a = 2 b = 3 C a = 1 b = 4 D a = 3 b = 2




A 8 3 cm B 8 3 3 cm C 4

3 cm D 4 3 3 cm


A 56 B 60 C 64 D 112


154











+ 2 ndash x 2 + x





išraišką T(x)




1200 cm2


155












2



115

⓱ Apskaičiuok

a) 8 ∙ 32 b) 3 + 3 + 3 3 c) 18 + 50



m) 3 + 6 2 n) 2( 8 ndash 2) o) (3 ndash 5 7)2


⓲ Apskaičiuok



g) 32 +2 + ∙ 32 +2 ndash ∙ 2 + 3 h) (3 + 2 2)2016 ∙ (3 ndash 2 2)2016



⓴ Apskaičiuok





Apskaičiuok




a) 25

b) 57 5

c) 35 ndash 2

d) 113 5 ndash 2 3

e) 37

f) 72 7

g) 27 ndash 5

h) 102 7 ndash 3 2

UŽDAVINIAI

Atlik veiksmus

a) (13)ndash 02 b) 1613 16ndash105 c) 515

505


32 e) 3 ndash

14 27 ndash

14 f) 605

305

g) ( 149)ndash

12 ndash (1


23 5ndash

32 5ndash

156 i) 2

13(4

13 + 32

13)

j) (12ndash075


12 (3 + 2)

12


Pamėgink

116


Apskaičiuok

a) 27 ndash 5

+ 47 + 5

b) ( 25 ndash 2

+ 45 + 2) ∙ 1

6 5 ndash 4

c) 36 ndash 3

+ 96 + 3

d) ( 27 ndash 2

+ 47 + 2) ∙ 3

6 7 ndash 4

Apskaičiuok

a) 1 + 2

21 ndash 2

2

+ (2 + 2)2

2 b) ( 43 + 5

ndash 32 + 7

+ 114 ndash 5) (9 ndash 7)

c) 21 ndash 4 5 21 + 4 5

ndash 1921 + 4 5

d) ( 127 ndash 1

ndash 85 ndash 1

+ 62 ndash 7) ∙ (2 5 + 4)ndash1

e) 1 + 3

3

1 ndash 33

+ (1 ndash 3)2

2 f) ( 25 ndash 3

+ 63 ndash 3

+ 12 ndash 5) ∙ (2 3 ndash 1)

g) 4 + 2 3 4 ndash 2 3

ndash 12 ndash 3

h) ( 45 ndash 1

ndash 35 ndash 2

+ 605 ndash 5) ∙ ( 5(1 + 2 5))ndash1

Apskaičiuok






3ndash4

Apskaičiuok


53 26


14) ndash2


i) 36 210 57

605




a) 8 ∙ 95 ∙ 4 ∙ 275 b) 2185 2145

2175 c) ( 23 )6 ndash ( 34 )2


j) 9 ∙ 43 ∙ 3 ∙ 163 k) 3174 3244

3214 l) ( 34 )8 ndash ( 24 )2


Apskaičiuok



117


a) 3 2 b) 2 34 c) 04 100004 d) 13 544

e) 5 3 f) 3 23 g) 25 100004 h) 2 25



Suprastink


Apskaičiuok


c) 4 ndash 2 36 1 + 33 43 d) 3( 3 ndash 7 )2

10( 5 + 214 )( 5 ndash 214 )

e) (1 + 2)2 + 44 f) 3 ndash 2 26 2 + 23 326


20( 154 + 2)( 154 ndash 2)


a) 25013

213

b) (313)3

ndash (205)4 c) 3025 27025 ndash 213 4

13 d) 3

13 (32

3 + 1)e) (4025 ndash 405)4 f) (23

2 + 1)2

g) (314 + 3

12) (31

4 ndash 312) h) (51

6 + 514) (51

6 ndash 514)

i) 16214

125013 j) (41

4)8

ndash (405)3 k) 214 8

14 ndash 3

13 9

13 l) (23

4 + 1) 214

m) (805 ndash 3205)2 n) (314 + 1)2

o) (414 + 1) (41

4 ndash 1) p) (1 + 314) (31

4 ndash 1)


a) 8 435 b) 2 4 16 4

3

3 4 c) 777 493 d) 8

274 3

26 312 26

e) 23 484 2ndash33 f) 1253 5255 g) 53 553

023 h) 125 53 54 3 1

515

15

Apskaičiuok


15 3 + 1 + 15 3 b) ( 10) 2 ndash ( 5 ) 2

( 2 ) 2 ndash 1


43 + 0008 ndash

13 d) (2 2 ndash 3 27) (23

2 + 9 3) + ( 1 4096) ndash

12( 4 3)ndash1

e) ((243 93 )14 ndash 3(3 34 )

13) 3 ndash

512 f) 3 + 63 9 ndash 6 26 ndash 33

g) 13 2 + 13 2 + 2

3 middot 13 2 ndash 13 2 h) ( 6 ) 2 + 2 2

( 3 ) 2 + ( 2 ) 2

i) ( 1 27) ndash 13 + 2 00016 ndash

14 + ( 1 81)ndash075 00640 j) 00001ndash

14 + ( 1

125) ndash 43 ndash 81075 1

9 ndash05

k) 84

74 4 ndash 24 4 + 24 l) ((31

2 + 1)2

ndash (4 + 312)33 )

12

ndash 2 cos 30deg

118


5 2 8 6 2 3 5

Tūks

tanč

ių sk

yriu

s

Šim

tų sk

yriu

s

Dešim

čių sk

yriu

s

Vien

etų

skyr

ius

Dešim

tųjų

skyr

ius

Šim

tųjų

skyr

ius

Tūks

tant

ųjų

skyr

ius



743 956 = 7 105 + 4 104 + 3 103 + 9 102 + 5 10 + 6






x4y = 4xy ndash 270 (1)

x4y = 100x + 40 + y

4xy = 400 + 10x + y

100x + 40 + y = 400 + 10x + y ndash 270







Pavyzdžiai


a) 287 b) 987 145 c) xyz d) abcde

Pamėgink

TAIKYK

119


1 x260

x + 2 + 6 + 0 = x + 8


1260 4260 7260

2 y265y + 2 + 6 + 5 = y + 13


2265 5265 8265











PamėginkPamėgink


1 6 = 016666 = 01(6)

1 7 = 0142857142857142 = 0(142857)

120



x = 025656 | 10 1 1

10x = 2565656 (1)

10x = 2565656 | 100 2 2

1000x = 2565656 (2)


x = 256 ndash 21000 ndash 10

x = 254990 = 127

495

32(56) = 3 256 ndash 2103 ndash 101 = 3 127

495 1 3






Išreiškiame x


Atsakymas 32(56) = 3 127495

Pavyzdys

021(8) = 218 ndash 21103 ndash 102 = 197

900 0(4) = 4 ndash 0101 ndash 100 = 4

9 2 3

0123(45) = 12345 ndash 123105 ndash 103 = 679

5500 0(56) = 56 ndash 0102 ndash 100 = 56

99 3 5








a) 0(7) b) 05(7) c) 214(8) d) 03(12)


Pamėgink

Pavyzdžiai

121


x = 025656 | 10 1 1

10x = 2565656 (1)

10x = 2565656 | 100 2 2

1000x = 2565656 (2)


x = 256 ndash 21000 ndash 10

x = 254990 = 127

495

32(56) = 3 256 ndash 2103 ndash 101 = 3 127

495 1 3






Išreiškiame x


Atsakymas 32(56) = 3 127495

Pavyzdys




1 2 000 000 000 = 12 ∙ 1010 10 vietų

0000006 1 = 61 ∙ 10ndash6 6 vietos



Pavyzdys


a + b = 24 1025 + 12 1025 = = 36 1025

a + c = 24 1025 + 5 1024 = = 24 1025 + 05 1025 = 29 1025

a b = (24 1025) (12 1025) = = (24 12) (1025 1025) = 288 1050

b c = 12 1025

5 1024 = 024 101 = 24





Pavyzdys


Pamėgink



Pamėgink

122





KMI = 601682 asymp 60


Pavyzdys

∆x = |x ndash a|






|a| 100







Pamėgink

123










KMI = 601682 asymp 60


Pavyzdys



a) 1 7 = 014 2 857 asymp 014


3 7 = 042 8 571 asymp 043

gt 5

artinys a = 043



Pavyzdys

b) ∆x = |1 7 ndash 014| = |50 ndash 49

350 | =

= | 1350| = 1

350

∆x = 1350 lt 00028 lt 0003

δ = ∆x|a| =

1350

750

= 1350 50

7 = 149

δ = 149 100 asymp 2041 lt 21




UŽDAVINIAI



Pamėgink

124



Įrodyk kad



Pagrįsk teiginius















125




d) 0(32) 0(4) e) 0(493) 07(45) f) 0(285714) 01(3)04(6) 4(9)

g) 2(8) ndash 0(4) h) 1(27) ndash 03(4) i) 0(917) + 03(614)

j) 0(57) 0(6) k) 0(267) 03(12) l) 0(53) 02(9)332(4) + 1(21)

Palygink skaičius

a) 1 6 ir 3


12






d) 0002096 1012

524 e) 08128 1024

254 10ndash14 f) 0027 1021 ndash 631 1017

g) 1890 00105 h) 00045 1017 i) 000007 10ndash16

j) 000010288016 1017 k) 5139645 10ndash13

7895 10ndash34 l) 760 1012 ndash 0003 1015


a) 5 6 h = 01 b) 2

7 h = 000001 c) 3 h = 01 d) 6 h = 001

e) 4 13 h = 001 f) 3

11 h = 0001 g) 11 h = 000001 h) 8 h = 000001


a) 1 9 h = 01 b) 2 h = 001 c) 3

11 h = 001 d) 10 h = 0001

126

1 variantas




6 reikšmė

A 7 6 B 1

6 C 75 D 74




❻ Apskaičiuok

a) (134)ndash 2 b) 7503

63 c) (33

4 9ndash 14)ndash4

d) ( 27 ndash 2 3 + 75) 3

e) 5( 3 ndash 7)2

5 ndash 21 f) ( 00001

81 ) ndash 34 10ndash4 g) ( 160

15

121502) ndash2

h) 23 ( 43 ndash 163 )



3









PASITIKRINK

127





2 variantas



A 4ndash 34 = 4

43 B 4ndash

34 = 1

644 C 4ndash

34 = 1

43 D 4ndash 34 = 1

2563


1417 reikšmė

A 1514 B 1 1

196 C 1415 D 1415





❻ Apskaičiuok


14 b) 2 8

16 8

4

3

3 88 c)

8113 + 3

73

33 + 813 + 21873

d) 53 + 2a 43 + 2a

202a + 2 e) 31 ndash 2 5 9 5 f) 17 ndash 338 33 + 178

❼ Suprastink

a) ( 182 ndash 13

ndash 2011 ndash 1

+ 2413 ndash 1) ( 1

2 + 11 )ndash1 b) (3 ndash 7)

12(3 + 7)

12

c) 1 + 3 + 32 + 33 + 34 + + 315







128









m4 + 3m3 + 23 (p ndash 4)(p ndash 12)

27 53



narys narys narys

trinaris




m + 2



7 ndash p + 3


racionalieji

iracionalieji


SUSIPAŽINK

129












Įsimink



② ne 0

③ 2n 0

④ 2n gt 0

⑤mn gt 0



Pavyzdžiai


1) (2 ndash x2)(2 + x2)x ndash 5 2) 2

5x 2 ndash 37x + 4

3) 23 x 2 ndash 5x ndash 813 4) 7

c ndash 2

c + 1 + c + 2

33

5) 2x2 ndash 5x ndash 325 6) (3 + x)(12 + x)

(x ndash 5)x

7) y3

3 + 3y23 8) 3y2 + 2

y2 + 5y ndash 6


Pamėgink

130



x(x ndash 4) ne 0







x 25x ne ndash1









x ne ndash3


(x + 7)(x ndash 7) lt 0








Pavyzdžiai


a) 03x ndash 1 3 b) 2

7x3 + 1 9x2 + 0(4)x ndash 12

c) 2 + 4x x + 3 d) 2 + 4x

x2 ndash 25

Pamėgink

131



3 c) 3 x ndash 36



12 ndash 2x g) x


x2 ndash 1









e) x13 ndash 1 f) 1



2x2 ndash 50



m) 2x + x25 n) x + 2

3 5 o) 2x + 1

x2 ndash 9 p) 12x + x + 4




a + 3 d) 4x


e) (3x ndash 1)ndash134 f) 5x + 40 3

1 ndash x2 g) 4




2 ndash a l) 35k + 21 6

2k + 34


1 ndash p2 n) 2x + 10


x + 5 p) 4 ndash 12x2 + 4 5x + 403

UŽDAVINIAI



b) x + 24

3 ndash x6



x2 ndash 1


Pamėgink

132











23 + xndash

13)

x 13 (x

23 + xndash

13) = x

13 x

23 + x

13 xndash

13 =

= x 13 +

23 + x

13 ndash

13 = x

33 + x0 = x + 1



Atsakymas x + 1









Pavyzdžiai

IŠMOK

133




a) x43 = x3 x3 = x x3

b) x94 = x4 x4 x4 = x2 x4

x94 = x 94 = x2

14 = x2 x4

c) x6y6 = x6 y6 = x y6





Pavyzdys



Įsiminka2n2n = |a|



(x ndash 4)44 + (x ndash 2)33 =




Pavyzdžiai


a) ( x 14 ndash 1 )( x



Pamėgink




Pamėgink

134









a) x y3 = x3y3

b) a b4 = a4b4










Pavyzdžiai

Suprastink



Pamėgink


a) a3 a4 (a gt 0) b) ab2 a3 (a b gt 0)


Pamėgink

135



Įsimink





= ndash x7y 46




Pavyzdys




① (a + b)2 = a2 + 2ab + b2



④ (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3


⑥ a3 + b3 = (a + b)(a2 ndash ab + b2)





Pamėgink


136



(2x + 3)3 = a b



Sprendimas


Atsakymas 8x3 + 36x2 + 54x + 27


( 2 ndash 2 3 )3 = a b



Sprendimas



Pavyzdžiai


8x6 + 60x4y + 150x2y2 + 125y3 =

= (2x2)3 + 3 (2x2)2 (5y) + 3 (2x2) (5y)2 + (5y)3 = a3 a2 b a b2 b3

= (2x2 + 5y)3




Pavyzdys


a) (m ndash 5n)3 b) (2x + 2)3c) ( 3 + 2)3 d) (2 2 + 2)3

Pamėgink




52


Pamėgink

137
















Pavyzdys








Pavyzdys




Pamėgink

138







a) 8x6 ndash a3b9 = (2x2)3 (ab3)3

= (2x2)3 ndash (ab3)3 = a3 b3


= (2x2 ndash ab3)(4x4 + 2x2ab3 + a2b6)






= ( x3 ndash y3 )( x23 + xy3 + y23 )








Taikome 7 formulę

Pavyzdys







Pamėgink



Pamėgink

139



x1 = 1 ndash 81 20 = ndash 2 5 x2 = 1 + 81

20 = 1 2


5) =

= 2 5(x ndash 1 2)(x + 2

5) =

= (2x ndash 1)(5x + 2)





Pavyzdys

Grupavimo būdas









Pavyzdys


= (x + y)(a + b)




++



Pamėgink




Pamėgink

140



6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys




ab + c

d = ad + bcbd

ab ndash c

d = ad ndash bcbd



x + y


Pamėgink

Suprastink




2x ndash 10


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys

3

141


6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys





ab middot c


ab c

d = ab middot d




x ndash y


x2 + y2

x ndash y =


x ndash yx2 + y2 =


x2 + y2 =


= x + y

Sprendimas


Pavyzdžiai

Suprastink

a) 1x x + x

+ xx + 1

b) 6 xx ndash 3

ndash 3x + 3


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys



x ndash yx + y


=


( x + y )( x ndash y ) =



x ndash y

Sprendimas




Pavyzdys

x ndash y x + y

142


UŽDAVINIAI




Suprastink

a) x12 middot x

14 b) (x4

5)3

c) (x23 middot x

15)15

d) x13

xndash 23

e) (x23)

34


n3)6n

h) (b2n bndash075n

bndash05n )ndash4n

i) y 13 middot y

23 j) (x2)

13 k) y

25


27)35

m) (y27)175


n2 o) (x

n4 middot x

n8)8

p) (xndash 56 n x3n

x 43 n )ndash6n




a) ( 3x + 1 ndash 4



Pamėgink


1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









2(1 + 3x) 1 ndash 3x2

143

Suprastink




a) 4 x 3 z 2y 6 4 y ndash2


a 3 b 5a 5

d) 5 a 5 c 2b 2 5 b ndash3


y 4 y 3x 6




a) 12x3y 3x2y b) 16x2y3 3x2y3 c) 144x 5y 124


12y23

e) 63x 5y 3 28x2y f) 8x2y5 4x 3y 45 g) 250xy 74

18x17y24 h) 3x 6y 83

ndash81y23









3b)3 h) (2 2 ndash 3 3)3

i) (3x ndash 4)3 j) (5x + 2)3 k) ( x3 + 1)3 l) ( x6 + x3 )3


p) (x 2 ndash 2)3



1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









144




14 ndash x

14y

34 g) n n + n h) x

34 ndash x



13 ndash x

13y




12 d) xn ndash yn




32 h) y + x 34




a) x + 3x + 4 b) x 3

x 4 c) (x + 2) 3(x + 2) + x d) (x + 2) ndash (x + 3)

(x + 2) + (x + 3)


x + 2 g) x + 1(x + 1)2 h) x 3 + 4

x 4 + 3

i) 6 xx 5 j) x + 1


b x + a



x ndash 5








b ndash a








a) ab ndash b2

2b b) x2 ndash y2





2x ndash 5y








a) x x ndash x


c) a ndash 1a + 1


e) x x + xx


g) x 6 ndash y 6



a) xy + y


x2 + 2x + 1 c) 3x + 1 + x + 5


d) 3x2 + 9x + 14 + 5

2x2 + 15x + 7 e) x ndash x2



x ndash 2

g) 2x2




x3 + 2x + 2x2 + 4 + 1x2 + 2

145

j) 1x(x + 1) + 1

x + 1 k) 6x2 ndash 9 + 9

x2 ndash 6x + 9 l) 4x + 2 + x + 6


m) 6x2 + 11x + 24 + 4








x ndash 3

Suprastink

a) x x ndash 2

ndash 2x + 2

b) 3


a ndash 9 c) x 12

x05 + 1 ndash 1

x05 ndash 1 d) 2

x + 2 + x

x ndash 2 ndash 4 x

x ndash 4

e) 11 + x

ndash 11 ndash x

f) 1a4 ndash 1

+ 1a4 + 1

g) 3

x 12 + 3 ndash x05

x05 ndash 3 h) x

81 ndash x ndash 9

x + 9 + x

x ndash 9

Suprastink

a) 16x2y5










3x j) x + 3x2 + 6x x2 ndash 9


x






3x + 4

e) 5 ndash 2

x ndash 3

4 ndash 1x ndash 3









1 + 3x

1 ndash 6x

m) 3 + 2

x + 4

5 ndash 1x + 4



2x + 2 ndash 1) 6x ndash 6 x + 1 p) ( 1

x ndash 1 ndash x + 1x2 + x + 1) (1 + 1

x3 ndash 1)





y ndash x ndash2








a13 + b



x + 1 + 1 ndash x )


16) xy 46 e) ( 1


x13 ndash 1

+ x13) middot x

13 ndash 1

x23 ndash 1

g) y ndash x

x23 + (xy)13 + y

23 + x

23 ndash y23

x3 ndash y13

h) x13y

13 x

13 y ndash y

13 x



y ndash z )ndash1

j) (x15 + x25

1 + x + 1) 1 ndash x3



ndash b a a + b

+ 3ab ndash b2

a ndash b

m) a + ba ndash b

ndash a + ab a + b

n) a + 1a a + a + a

1a2 ndash a




x05 ndash 1 r) ( 2 + x14


14


x34 s) 1x3 + y3 ndash x3 + y3

x23 ndash (xy)

13 + y

23




ndash 13


x + 1x x ndash 1

+ 2 x

146










6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai

TAIKYK

147




6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai







Sprendimas






2b + 1 ndash 6ab




PamėginkPamėgink





sin2 α

|v| = 2ghsin2 α

v = 2ghsin2 α


Išreiškiame v2




lg = T

2π

lg = ( T

2π )2

lg = T2

4π2gl = 4π2

T2

g = 4π2 middot lT2






Pavyzdžiai

148




p



f = 1F



c

1 + vc


R



P + ET


ndash 1)( 1R1

ndash 1R2)




y


12 = mgh2 + mv2

22


2



y + 24


n21 ndash 1

n22)








PamėginkPamėgink

UŽDAVINIAI

149












150

1 variantas


A 215a + b B 215 + a ndash b


b



A x = 3 B x = 0 C x = ndash3 D x = 9





a) x ndash 32 7 + 4


12 d) 3x ndash 27

x2 ndash 1






a) 32x 94 b) 81x7y 63 c) x 12y 345 d) x 17y 246






PASITIKRINK

151








a middot 5 + 9


⓭ Suprastink


m2 + n2 m2 ndash n2

4mn c) xx + 4 + 4


2 variantas


b2 =

A 140 B 142 C 145 D 146


A 00625 B 0 C 0125 D 025





15x3

c) 04x ndash 10x2 + 145 d) ( 205

10 ndash 5a)ndash18

❺ Pakelk kubu

a) (2 + 2 )3 b) (2 3 + 3 )3 c) (x 2 ndash y3 2 )3



❼ Suprastink




❾ Suprastink

a) 64x6 + 216y6



ndash 52 ndash x






4 kai y lt 0

152


❶Apskaičiuok

a) ( 7 ndash 5 23 + 7 + 503 ) middot 9 b) (3 + 2 5 4


54 + 1



❷Įrodyk teiginį

a) jei x23 + y

23 = a

23 tai x2 + x 4y 23 + y2 + x 2y 43 = a















+ ndash

bf middot xy = gcg

= = =

eec + bcyy = bfbe


153



A 40 B 250 C 225 D 2500


A 2600p B 10400 + p100 C 104p D 5200

100 + 2p








A 545 = 1

54 B 545 = 5

54 C 545 = 31254 D 5

45 = 6255


p ndash 1




x + 4 D 1x + 4



A a = 1 b = 5 B a = 2 b = 3 C a = 1 b = 4 D a = 3 b = 2




A 8 3 cm B 8 3 3 cm C 4

3 cm D 4 3 3 cm


A 56 B 60 C 64 D 112


154











+ 2 ndash x 2 + x





išraišką T(x)




1200 cm2


155












2



116


Apskaičiuok

a) 27 ndash 5

+ 47 + 5

b) ( 25 ndash 2

+ 45 + 2) ∙ 1

6 5 ndash 4

c) 36 ndash 3

+ 96 + 3

d) ( 27 ndash 2

+ 47 + 2) ∙ 3

6 7 ndash 4

Apskaičiuok

a) 1 + 2

21 ndash 2

2

+ (2 + 2)2

2 b) ( 43 + 5

ndash 32 + 7

+ 114 ndash 5) (9 ndash 7)

c) 21 ndash 4 5 21 + 4 5

ndash 1921 + 4 5

d) ( 127 ndash 1

ndash 85 ndash 1

+ 62 ndash 7) ∙ (2 5 + 4)ndash1

e) 1 + 3

3

1 ndash 33

+ (1 ndash 3)2

2 f) ( 25 ndash 3

+ 63 ndash 3

+ 12 ndash 5) ∙ (2 3 ndash 1)

g) 4 + 2 3 4 ndash 2 3

ndash 12 ndash 3

h) ( 45 ndash 1

ndash 35 ndash 2

+ 605 ndash 5) ∙ ( 5(1 + 2 5))ndash1

Apskaičiuok






3ndash4

Apskaičiuok


53 26


14) ndash2


i) 36 210 57

605




a) 8 ∙ 95 ∙ 4 ∙ 275 b) 2185 2145

2175 c) ( 23 )6 ndash ( 34 )2


j) 9 ∙ 43 ∙ 3 ∙ 163 k) 3174 3244

3214 l) ( 34 )8 ndash ( 24 )2


Apskaičiuok



117


a) 3 2 b) 2 34 c) 04 100004 d) 13 544

e) 5 3 f) 3 23 g) 25 100004 h) 2 25



Suprastink


Apskaičiuok


c) 4 ndash 2 36 1 + 33 43 d) 3( 3 ndash 7 )2

10( 5 + 214 )( 5 ndash 214 )

e) (1 + 2)2 + 44 f) 3 ndash 2 26 2 + 23 326


20( 154 + 2)( 154 ndash 2)


a) 25013

213

b) (313)3

ndash (205)4 c) 3025 27025 ndash 213 4

13 d) 3

13 (32

3 + 1)e) (4025 ndash 405)4 f) (23

2 + 1)2

g) (314 + 3

12) (31

4 ndash 312) h) (51

6 + 514) (51

6 ndash 514)

i) 16214

125013 j) (41

4)8

ndash (405)3 k) 214 8

14 ndash 3

13 9

13 l) (23

4 + 1) 214

m) (805 ndash 3205)2 n) (314 + 1)2

o) (414 + 1) (41

4 ndash 1) p) (1 + 314) (31

4 ndash 1)


a) 8 435 b) 2 4 16 4

3

3 4 c) 777 493 d) 8

274 3

26 312 26

e) 23 484 2ndash33 f) 1253 5255 g) 53 553

023 h) 125 53 54 3 1

515

15

Apskaičiuok


15 3 + 1 + 15 3 b) ( 10) 2 ndash ( 5 ) 2

( 2 ) 2 ndash 1


43 + 0008 ndash

13 d) (2 2 ndash 3 27) (23

2 + 9 3) + ( 1 4096) ndash

12( 4 3)ndash1

e) ((243 93 )14 ndash 3(3 34 )

13) 3 ndash

512 f) 3 + 63 9 ndash 6 26 ndash 33

g) 13 2 + 13 2 + 2

3 middot 13 2 ndash 13 2 h) ( 6 ) 2 + 2 2

( 3 ) 2 + ( 2 ) 2

i) ( 1 27) ndash 13 + 2 00016 ndash

14 + ( 1 81)ndash075 00640 j) 00001ndash

14 + ( 1

125) ndash 43 ndash 81075 1

9 ndash05

k) 84

74 4 ndash 24 4 + 24 l) ((31

2 + 1)2

ndash (4 + 312)33 )

12

ndash 2 cos 30deg

118


5 2 8 6 2 3 5

Tūks

tanč

ių sk

yriu

s

Šim

tų sk

yriu

s

Dešim

čių sk

yriu

s

Vien

etų

skyr

ius

Dešim

tųjų

skyr

ius

Šim

tųjų

skyr

ius

Tūks

tant

ųjų

skyr

ius



743 956 = 7 105 + 4 104 + 3 103 + 9 102 + 5 10 + 6






x4y = 4xy ndash 270 (1)

x4y = 100x + 40 + y

4xy = 400 + 10x + y

100x + 40 + y = 400 + 10x + y ndash 270







Pavyzdžiai


a) 287 b) 987 145 c) xyz d) abcde

Pamėgink

TAIKYK

119


1 x260

x + 2 + 6 + 0 = x + 8


1260 4260 7260

2 y265y + 2 + 6 + 5 = y + 13


2265 5265 8265











PamėginkPamėgink


1 6 = 016666 = 01(6)

1 7 = 0142857142857142 = 0(142857)

120



x = 025656 | 10 1 1

10x = 2565656 (1)

10x = 2565656 | 100 2 2

1000x = 2565656 (2)


x = 256 ndash 21000 ndash 10

x = 254990 = 127

495

32(56) = 3 256 ndash 2103 ndash 101 = 3 127

495 1 3






Išreiškiame x


Atsakymas 32(56) = 3 127495

Pavyzdys

021(8) = 218 ndash 21103 ndash 102 = 197

900 0(4) = 4 ndash 0101 ndash 100 = 4

9 2 3

0123(45) = 12345 ndash 123105 ndash 103 = 679

5500 0(56) = 56 ndash 0102 ndash 100 = 56

99 3 5








a) 0(7) b) 05(7) c) 214(8) d) 03(12)


Pamėgink

Pavyzdžiai

121


x = 025656 | 10 1 1

10x = 2565656 (1)

10x = 2565656 | 100 2 2

1000x = 2565656 (2)


x = 256 ndash 21000 ndash 10

x = 254990 = 127

495

32(56) = 3 256 ndash 2103 ndash 101 = 3 127

495 1 3






Išreiškiame x


Atsakymas 32(56) = 3 127495

Pavyzdys




1 2 000 000 000 = 12 ∙ 1010 10 vietų

0000006 1 = 61 ∙ 10ndash6 6 vietos



Pavyzdys


a + b = 24 1025 + 12 1025 = = 36 1025

a + c = 24 1025 + 5 1024 = = 24 1025 + 05 1025 = 29 1025

a b = (24 1025) (12 1025) = = (24 12) (1025 1025) = 288 1050

b c = 12 1025

5 1024 = 024 101 = 24





Pavyzdys


Pamėgink



Pamėgink

122





KMI = 601682 asymp 60


Pavyzdys

∆x = |x ndash a|






|a| 100







Pamėgink

123










KMI = 601682 asymp 60


Pavyzdys



a) 1 7 = 014 2 857 asymp 014


3 7 = 042 8 571 asymp 043

gt 5

artinys a = 043



Pavyzdys

b) ∆x = |1 7 ndash 014| = |50 ndash 49

350 | =

= | 1350| = 1

350

∆x = 1350 lt 00028 lt 0003

δ = ∆x|a| =

1350

750

= 1350 50

7 = 149

δ = 149 100 asymp 2041 lt 21




UŽDAVINIAI



Pamėgink

124



Įrodyk kad



Pagrįsk teiginius















125




d) 0(32) 0(4) e) 0(493) 07(45) f) 0(285714) 01(3)04(6) 4(9)

g) 2(8) ndash 0(4) h) 1(27) ndash 03(4) i) 0(917) + 03(614)

j) 0(57) 0(6) k) 0(267) 03(12) l) 0(53) 02(9)332(4) + 1(21)

Palygink skaičius

a) 1 6 ir 3


12






d) 0002096 1012

524 e) 08128 1024

254 10ndash14 f) 0027 1021 ndash 631 1017

g) 1890 00105 h) 00045 1017 i) 000007 10ndash16

j) 000010288016 1017 k) 5139645 10ndash13

7895 10ndash34 l) 760 1012 ndash 0003 1015


a) 5 6 h = 01 b) 2

7 h = 000001 c) 3 h = 01 d) 6 h = 001

e) 4 13 h = 001 f) 3

11 h = 0001 g) 11 h = 000001 h) 8 h = 000001


a) 1 9 h = 01 b) 2 h = 001 c) 3

11 h = 001 d) 10 h = 0001

126

1 variantas




6 reikšmė

A 7 6 B 1

6 C 75 D 74




❻ Apskaičiuok

a) (134)ndash 2 b) 7503

63 c) (33

4 9ndash 14)ndash4

d) ( 27 ndash 2 3 + 75) 3

e) 5( 3 ndash 7)2

5 ndash 21 f) ( 00001

81 ) ndash 34 10ndash4 g) ( 160

15

121502) ndash2

h) 23 ( 43 ndash 163 )



3









PASITIKRINK

127





2 variantas



A 4ndash 34 = 4

43 B 4ndash

34 = 1

644 C 4ndash

34 = 1

43 D 4ndash 34 = 1

2563


1417 reikšmė

A 1514 B 1 1

196 C 1415 D 1415





❻ Apskaičiuok


14 b) 2 8

16 8

4

3

3 88 c)

8113 + 3

73

33 + 813 + 21873

d) 53 + 2a 43 + 2a

202a + 2 e) 31 ndash 2 5 9 5 f) 17 ndash 338 33 + 178

❼ Suprastink

a) ( 182 ndash 13

ndash 2011 ndash 1

+ 2413 ndash 1) ( 1

2 + 11 )ndash1 b) (3 ndash 7)

12(3 + 7)

12

c) 1 + 3 + 32 + 33 + 34 + + 315







128









m4 + 3m3 + 23 (p ndash 4)(p ndash 12)

27 53



narys narys narys

trinaris




m + 2



7 ndash p + 3


racionalieji

iracionalieji


SUSIPAŽINK

129












Įsimink



② ne 0

③ 2n 0

④ 2n gt 0

⑤mn gt 0



Pavyzdžiai


1) (2 ndash x2)(2 + x2)x ndash 5 2) 2

5x 2 ndash 37x + 4

3) 23 x 2 ndash 5x ndash 813 4) 7

c ndash 2

c + 1 + c + 2

33

5) 2x2 ndash 5x ndash 325 6) (3 + x)(12 + x)

(x ndash 5)x

7) y3

3 + 3y23 8) 3y2 + 2

y2 + 5y ndash 6


Pamėgink

130



x(x ndash 4) ne 0







x 25x ne ndash1









x ne ndash3


(x + 7)(x ndash 7) lt 0








Pavyzdžiai


a) 03x ndash 1 3 b) 2

7x3 + 1 9x2 + 0(4)x ndash 12

c) 2 + 4x x + 3 d) 2 + 4x

x2 ndash 25

Pamėgink

131



3 c) 3 x ndash 36



12 ndash 2x g) x


x2 ndash 1









e) x13 ndash 1 f) 1



2x2 ndash 50



m) 2x + x25 n) x + 2

3 5 o) 2x + 1

x2 ndash 9 p) 12x + x + 4




a + 3 d) 4x


e) (3x ndash 1)ndash134 f) 5x + 40 3

1 ndash x2 g) 4




2 ndash a l) 35k + 21 6

2k + 34


1 ndash p2 n) 2x + 10


x + 5 p) 4 ndash 12x2 + 4 5x + 403

UŽDAVINIAI



b) x + 24

3 ndash x6



x2 ndash 1


Pamėgink

132











23 + xndash

13)

x 13 (x

23 + xndash

13) = x

13 x

23 + x

13 xndash

13 =

= x 13 +

23 + x

13 ndash

13 = x

33 + x0 = x + 1



Atsakymas x + 1









Pavyzdžiai

IŠMOK

133




a) x43 = x3 x3 = x x3

b) x94 = x4 x4 x4 = x2 x4

x94 = x 94 = x2

14 = x2 x4

c) x6y6 = x6 y6 = x y6





Pavyzdys



Įsiminka2n2n = |a|



(x ndash 4)44 + (x ndash 2)33 =




Pavyzdžiai


a) ( x 14 ndash 1 )( x



Pamėgink




Pamėgink

134









a) x y3 = x3y3

b) a b4 = a4b4










Pavyzdžiai

Suprastink



Pamėgink


a) a3 a4 (a gt 0) b) ab2 a3 (a b gt 0)


Pamėgink

135



Įsimink





= ndash x7y 46




Pavyzdys




① (a + b)2 = a2 + 2ab + b2



④ (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3


⑥ a3 + b3 = (a + b)(a2 ndash ab + b2)





Pamėgink


136



(2x + 3)3 = a b



Sprendimas


Atsakymas 8x3 + 36x2 + 54x + 27


( 2 ndash 2 3 )3 = a b



Sprendimas



Pavyzdžiai


8x6 + 60x4y + 150x2y2 + 125y3 =

= (2x2)3 + 3 (2x2)2 (5y) + 3 (2x2) (5y)2 + (5y)3 = a3 a2 b a b2 b3

= (2x2 + 5y)3




Pavyzdys


a) (m ndash 5n)3 b) (2x + 2)3c) ( 3 + 2)3 d) (2 2 + 2)3

Pamėgink




52


Pamėgink

137
















Pavyzdys








Pavyzdys




Pamėgink

138







a) 8x6 ndash a3b9 = (2x2)3 (ab3)3

= (2x2)3 ndash (ab3)3 = a3 b3


= (2x2 ndash ab3)(4x4 + 2x2ab3 + a2b6)






= ( x3 ndash y3 )( x23 + xy3 + y23 )








Taikome 7 formulę

Pavyzdys







Pamėgink



Pamėgink

139



x1 = 1 ndash 81 20 = ndash 2 5 x2 = 1 + 81

20 = 1 2


5) =

= 2 5(x ndash 1 2)(x + 2

5) =

= (2x ndash 1)(5x + 2)





Pavyzdys

Grupavimo būdas









Pavyzdys


= (x + y)(a + b)




++



Pamėgink




Pamėgink

140



6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys




ab + c

d = ad + bcbd

ab ndash c

d = ad ndash bcbd



x + y


Pamėgink

Suprastink




2x ndash 10


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys

3

141


6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys





ab middot c


ab c

d = ab middot d




x ndash y


x2 + y2

x ndash y =


x ndash yx2 + y2 =


x2 + y2 =


= x + y

Sprendimas


Pavyzdžiai

Suprastink

a) 1x x + x

+ xx + 1

b) 6 xx ndash 3

ndash 3x + 3


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys



x ndash yx + y


=


( x + y )( x ndash y ) =



x ndash y

Sprendimas




Pavyzdys

x ndash y x + y

142


UŽDAVINIAI




Suprastink

a) x12 middot x

14 b) (x4

5)3

c) (x23 middot x

15)15

d) x13

xndash 23

e) (x23)

34


n3)6n

h) (b2n bndash075n

bndash05n )ndash4n

i) y 13 middot y

23 j) (x2)

13 k) y

25


27)35

m) (y27)175


n2 o) (x

n4 middot x

n8)8

p) (xndash 56 n x3n

x 43 n )ndash6n




a) ( 3x + 1 ndash 4



Pamėgink


1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









2(1 + 3x) 1 ndash 3x2

143

Suprastink




a) 4 x 3 z 2y 6 4 y ndash2


a 3 b 5a 5

d) 5 a 5 c 2b 2 5 b ndash3


y 4 y 3x 6




a) 12x3y 3x2y b) 16x2y3 3x2y3 c) 144x 5y 124


12y23

e) 63x 5y 3 28x2y f) 8x2y5 4x 3y 45 g) 250xy 74

18x17y24 h) 3x 6y 83

ndash81y23









3b)3 h) (2 2 ndash 3 3)3

i) (3x ndash 4)3 j) (5x + 2)3 k) ( x3 + 1)3 l) ( x6 + x3 )3


p) (x 2 ndash 2)3



1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









144




14 ndash x

14y

34 g) n n + n h) x

34 ndash x



13 ndash x

13y




12 d) xn ndash yn




32 h) y + x 34




a) x + 3x + 4 b) x 3

x 4 c) (x + 2) 3(x + 2) + x d) (x + 2) ndash (x + 3)

(x + 2) + (x + 3)


x + 2 g) x + 1(x + 1)2 h) x 3 + 4

x 4 + 3

i) 6 xx 5 j) x + 1


b x + a



x ndash 5








b ndash a








a) ab ndash b2

2b b) x2 ndash y2





2x ndash 5y








a) x x ndash x


c) a ndash 1a + 1


e) x x + xx


g) x 6 ndash y 6



a) xy + y


x2 + 2x + 1 c) 3x + 1 + x + 5


d) 3x2 + 9x + 14 + 5

2x2 + 15x + 7 e) x ndash x2



x ndash 2

g) 2x2




x3 + 2x + 2x2 + 4 + 1x2 + 2

145

j) 1x(x + 1) + 1

x + 1 k) 6x2 ndash 9 + 9

x2 ndash 6x + 9 l) 4x + 2 + x + 6


m) 6x2 + 11x + 24 + 4








x ndash 3

Suprastink

a) x x ndash 2

ndash 2x + 2

b) 3


a ndash 9 c) x 12

x05 + 1 ndash 1

x05 ndash 1 d) 2

x + 2 + x

x ndash 2 ndash 4 x

x ndash 4

e) 11 + x

ndash 11 ndash x

f) 1a4 ndash 1

+ 1a4 + 1

g) 3

x 12 + 3 ndash x05

x05 ndash 3 h) x

81 ndash x ndash 9

x + 9 + x

x ndash 9

Suprastink

a) 16x2y5










3x j) x + 3x2 + 6x x2 ndash 9


x






3x + 4

e) 5 ndash 2

x ndash 3

4 ndash 1x ndash 3









1 + 3x

1 ndash 6x

m) 3 + 2

x + 4

5 ndash 1x + 4



2x + 2 ndash 1) 6x ndash 6 x + 1 p) ( 1

x ndash 1 ndash x + 1x2 + x + 1) (1 + 1

x3 ndash 1)





y ndash x ndash2








a13 + b



x + 1 + 1 ndash x )


16) xy 46 e) ( 1


x13 ndash 1

+ x13) middot x

13 ndash 1

x23 ndash 1

g) y ndash x

x23 + (xy)13 + y

23 + x

23 ndash y23

x3 ndash y13

h) x13y

13 x

13 y ndash y

13 x



y ndash z )ndash1

j) (x15 + x25

1 + x + 1) 1 ndash x3



ndash b a a + b

+ 3ab ndash b2

a ndash b

m) a + ba ndash b

ndash a + ab a + b

n) a + 1a a + a + a

1a2 ndash a




x05 ndash 1 r) ( 2 + x14


14


x34 s) 1x3 + y3 ndash x3 + y3

x23 ndash (xy)

13 + y

23




ndash 13


x + 1x x ndash 1

+ 2 x

146










6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai

TAIKYK

147




6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai







Sprendimas






2b + 1 ndash 6ab




PamėginkPamėgink





sin2 α

|v| = 2ghsin2 α

v = 2ghsin2 α


Išreiškiame v2




lg = T

2π

lg = ( T

2π )2

lg = T2

4π2gl = 4π2

T2

g = 4π2 middot lT2






Pavyzdžiai

148




p



f = 1F



c

1 + vc


R



P + ET


ndash 1)( 1R1

ndash 1R2)




y


12 = mgh2 + mv2

22


2



y + 24


n21 ndash 1

n22)








PamėginkPamėgink

UŽDAVINIAI

149












150

1 variantas


A 215a + b B 215 + a ndash b


b



A x = 3 B x = 0 C x = ndash3 D x = 9





a) x ndash 32 7 + 4


12 d) 3x ndash 27

x2 ndash 1






a) 32x 94 b) 81x7y 63 c) x 12y 345 d) x 17y 246






PASITIKRINK

151








a middot 5 + 9


⓭ Suprastink


m2 + n2 m2 ndash n2

4mn c) xx + 4 + 4


2 variantas


b2 =

A 140 B 142 C 145 D 146


A 00625 B 0 C 0125 D 025





15x3

c) 04x ndash 10x2 + 145 d) ( 205

10 ndash 5a)ndash18

❺ Pakelk kubu

a) (2 + 2 )3 b) (2 3 + 3 )3 c) (x 2 ndash y3 2 )3



❼ Suprastink




❾ Suprastink

a) 64x6 + 216y6



ndash 52 ndash x






4 kai y lt 0

152


❶Apskaičiuok

a) ( 7 ndash 5 23 + 7 + 503 ) middot 9 b) (3 + 2 5 4


54 + 1



❷Įrodyk teiginį

a) jei x23 + y

23 = a

23 tai x2 + x 4y 23 + y2 + x 2y 43 = a















+ ndash

bf middot xy = gcg

= = =

eec + bcyy = bfbe


153



A 40 B 250 C 225 D 2500


A 2600p B 10400 + p100 C 104p D 5200

100 + 2p








A 545 = 1

54 B 545 = 5

54 C 545 = 31254 D 5

45 = 6255


p ndash 1




x + 4 D 1x + 4



A a = 1 b = 5 B a = 2 b = 3 C a = 1 b = 4 D a = 3 b = 2




A 8 3 cm B 8 3 3 cm C 4

3 cm D 4 3 3 cm


A 56 B 60 C 64 D 112


154











+ 2 ndash x 2 + x





išraišką T(x)




1200 cm2


155












2



117


a) 3 2 b) 2 34 c) 04 100004 d) 13 544

e) 5 3 f) 3 23 g) 25 100004 h) 2 25



Suprastink


Apskaičiuok


c) 4 ndash 2 36 1 + 33 43 d) 3( 3 ndash 7 )2

10( 5 + 214 )( 5 ndash 214 )

e) (1 + 2)2 + 44 f) 3 ndash 2 26 2 + 23 326


20( 154 + 2)( 154 ndash 2)


a) 25013

213

b) (313)3

ndash (205)4 c) 3025 27025 ndash 213 4

13 d) 3

13 (32

3 + 1)e) (4025 ndash 405)4 f) (23

2 + 1)2

g) (314 + 3

12) (31

4 ndash 312) h) (51

6 + 514) (51

6 ndash 514)

i) 16214

125013 j) (41

4)8

ndash (405)3 k) 214 8

14 ndash 3

13 9

13 l) (23

4 + 1) 214

m) (805 ndash 3205)2 n) (314 + 1)2

o) (414 + 1) (41

4 ndash 1) p) (1 + 314) (31

4 ndash 1)


a) 8 435 b) 2 4 16 4

3

3 4 c) 777 493 d) 8

274 3

26 312 26

e) 23 484 2ndash33 f) 1253 5255 g) 53 553

023 h) 125 53 54 3 1

515

15

Apskaičiuok


15 3 + 1 + 15 3 b) ( 10) 2 ndash ( 5 ) 2

( 2 ) 2 ndash 1


43 + 0008 ndash

13 d) (2 2 ndash 3 27) (23

2 + 9 3) + ( 1 4096) ndash

12( 4 3)ndash1

e) ((243 93 )14 ndash 3(3 34 )

13) 3 ndash

512 f) 3 + 63 9 ndash 6 26 ndash 33

g) 13 2 + 13 2 + 2

3 middot 13 2 ndash 13 2 h) ( 6 ) 2 + 2 2

( 3 ) 2 + ( 2 ) 2

i) ( 1 27) ndash 13 + 2 00016 ndash

14 + ( 1 81)ndash075 00640 j) 00001ndash

14 + ( 1

125) ndash 43 ndash 81075 1

9 ndash05

k) 84

74 4 ndash 24 4 + 24 l) ((31

2 + 1)2

ndash (4 + 312)33 )

12

ndash 2 cos 30deg

118


5 2 8 6 2 3 5

Tūks

tanč

ių sk

yriu

s

Šim

tų sk

yriu

s

Dešim

čių sk

yriu

s

Vien

etų

skyr

ius

Dešim

tųjų

skyr

ius

Šim

tųjų

skyr

ius

Tūks

tant

ųjų

skyr

ius



743 956 = 7 105 + 4 104 + 3 103 + 9 102 + 5 10 + 6






x4y = 4xy ndash 270 (1)

x4y = 100x + 40 + y

4xy = 400 + 10x + y

100x + 40 + y = 400 + 10x + y ndash 270







Pavyzdžiai


a) 287 b) 987 145 c) xyz d) abcde

Pamėgink

TAIKYK

119


1 x260

x + 2 + 6 + 0 = x + 8


1260 4260 7260

2 y265y + 2 + 6 + 5 = y + 13


2265 5265 8265











PamėginkPamėgink


1 6 = 016666 = 01(6)

1 7 = 0142857142857142 = 0(142857)

120



x = 025656 | 10 1 1

10x = 2565656 (1)

10x = 2565656 | 100 2 2

1000x = 2565656 (2)


x = 256 ndash 21000 ndash 10

x = 254990 = 127

495

32(56) = 3 256 ndash 2103 ndash 101 = 3 127

495 1 3






Išreiškiame x


Atsakymas 32(56) = 3 127495

Pavyzdys

021(8) = 218 ndash 21103 ndash 102 = 197

900 0(4) = 4 ndash 0101 ndash 100 = 4

9 2 3

0123(45) = 12345 ndash 123105 ndash 103 = 679

5500 0(56) = 56 ndash 0102 ndash 100 = 56

99 3 5








a) 0(7) b) 05(7) c) 214(8) d) 03(12)


Pamėgink

Pavyzdžiai

121


x = 025656 | 10 1 1

10x = 2565656 (1)

10x = 2565656 | 100 2 2

1000x = 2565656 (2)


x = 256 ndash 21000 ndash 10

x = 254990 = 127

495

32(56) = 3 256 ndash 2103 ndash 101 = 3 127

495 1 3






Išreiškiame x


Atsakymas 32(56) = 3 127495

Pavyzdys




1 2 000 000 000 = 12 ∙ 1010 10 vietų

0000006 1 = 61 ∙ 10ndash6 6 vietos



Pavyzdys


a + b = 24 1025 + 12 1025 = = 36 1025

a + c = 24 1025 + 5 1024 = = 24 1025 + 05 1025 = 29 1025

a b = (24 1025) (12 1025) = = (24 12) (1025 1025) = 288 1050

b c = 12 1025

5 1024 = 024 101 = 24





Pavyzdys


Pamėgink



Pamėgink

122





KMI = 601682 asymp 60


Pavyzdys

∆x = |x ndash a|






|a| 100







Pamėgink

123










KMI = 601682 asymp 60


Pavyzdys



a) 1 7 = 014 2 857 asymp 014


3 7 = 042 8 571 asymp 043

gt 5

artinys a = 043



Pavyzdys

b) ∆x = |1 7 ndash 014| = |50 ndash 49

350 | =

= | 1350| = 1

350

∆x = 1350 lt 00028 lt 0003

δ = ∆x|a| =

1350

750

= 1350 50

7 = 149

δ = 149 100 asymp 2041 lt 21




UŽDAVINIAI



Pamėgink

124



Įrodyk kad



Pagrįsk teiginius















125




d) 0(32) 0(4) e) 0(493) 07(45) f) 0(285714) 01(3)04(6) 4(9)

g) 2(8) ndash 0(4) h) 1(27) ndash 03(4) i) 0(917) + 03(614)

j) 0(57) 0(6) k) 0(267) 03(12) l) 0(53) 02(9)332(4) + 1(21)

Palygink skaičius

a) 1 6 ir 3


12






d) 0002096 1012

524 e) 08128 1024

254 10ndash14 f) 0027 1021 ndash 631 1017

g) 1890 00105 h) 00045 1017 i) 000007 10ndash16

j) 000010288016 1017 k) 5139645 10ndash13

7895 10ndash34 l) 760 1012 ndash 0003 1015


a) 5 6 h = 01 b) 2

7 h = 000001 c) 3 h = 01 d) 6 h = 001

e) 4 13 h = 001 f) 3

11 h = 0001 g) 11 h = 000001 h) 8 h = 000001


a) 1 9 h = 01 b) 2 h = 001 c) 3

11 h = 001 d) 10 h = 0001

126

1 variantas




6 reikšmė

A 7 6 B 1

6 C 75 D 74




❻ Apskaičiuok

a) (134)ndash 2 b) 7503

63 c) (33

4 9ndash 14)ndash4

d) ( 27 ndash 2 3 + 75) 3

e) 5( 3 ndash 7)2

5 ndash 21 f) ( 00001

81 ) ndash 34 10ndash4 g) ( 160

15

121502) ndash2

h) 23 ( 43 ndash 163 )



3









PASITIKRINK

127





2 variantas



A 4ndash 34 = 4

43 B 4ndash

34 = 1

644 C 4ndash

34 = 1

43 D 4ndash 34 = 1

2563


1417 reikšmė

A 1514 B 1 1

196 C 1415 D 1415





❻ Apskaičiuok


14 b) 2 8

16 8

4

3

3 88 c)

8113 + 3

73

33 + 813 + 21873

d) 53 + 2a 43 + 2a

202a + 2 e) 31 ndash 2 5 9 5 f) 17 ndash 338 33 + 178

❼ Suprastink

a) ( 182 ndash 13

ndash 2011 ndash 1

+ 2413 ndash 1) ( 1

2 + 11 )ndash1 b) (3 ndash 7)

12(3 + 7)

12

c) 1 + 3 + 32 + 33 + 34 + + 315







128









m4 + 3m3 + 23 (p ndash 4)(p ndash 12)

27 53



narys narys narys

trinaris




m + 2



7 ndash p + 3


racionalieji

iracionalieji


SUSIPAŽINK

129












Įsimink



② ne 0

③ 2n 0

④ 2n gt 0

⑤mn gt 0



Pavyzdžiai


1) (2 ndash x2)(2 + x2)x ndash 5 2) 2

5x 2 ndash 37x + 4

3) 23 x 2 ndash 5x ndash 813 4) 7

c ndash 2

c + 1 + c + 2

33

5) 2x2 ndash 5x ndash 325 6) (3 + x)(12 + x)

(x ndash 5)x

7) y3

3 + 3y23 8) 3y2 + 2

y2 + 5y ndash 6


Pamėgink

130



x(x ndash 4) ne 0







x 25x ne ndash1









x ne ndash3


(x + 7)(x ndash 7) lt 0








Pavyzdžiai


a) 03x ndash 1 3 b) 2

7x3 + 1 9x2 + 0(4)x ndash 12

c) 2 + 4x x + 3 d) 2 + 4x

x2 ndash 25

Pamėgink

131



3 c) 3 x ndash 36



12 ndash 2x g) x


x2 ndash 1









e) x13 ndash 1 f) 1



2x2 ndash 50



m) 2x + x25 n) x + 2

3 5 o) 2x + 1

x2 ndash 9 p) 12x + x + 4




a + 3 d) 4x


e) (3x ndash 1)ndash134 f) 5x + 40 3

1 ndash x2 g) 4




2 ndash a l) 35k + 21 6

2k + 34


1 ndash p2 n) 2x + 10


x + 5 p) 4 ndash 12x2 + 4 5x + 403

UŽDAVINIAI



b) x + 24

3 ndash x6



x2 ndash 1


Pamėgink

132











23 + xndash

13)

x 13 (x

23 + xndash

13) = x

13 x

23 + x

13 xndash

13 =

= x 13 +

23 + x

13 ndash

13 = x

33 + x0 = x + 1



Atsakymas x + 1









Pavyzdžiai

IŠMOK

133




a) x43 = x3 x3 = x x3

b) x94 = x4 x4 x4 = x2 x4

x94 = x 94 = x2

14 = x2 x4

c) x6y6 = x6 y6 = x y6





Pavyzdys



Įsiminka2n2n = |a|



(x ndash 4)44 + (x ndash 2)33 =




Pavyzdžiai


a) ( x 14 ndash 1 )( x



Pamėgink




Pamėgink

134









a) x y3 = x3y3

b) a b4 = a4b4










Pavyzdžiai

Suprastink



Pamėgink


a) a3 a4 (a gt 0) b) ab2 a3 (a b gt 0)


Pamėgink

135



Įsimink





= ndash x7y 46




Pavyzdys




① (a + b)2 = a2 + 2ab + b2



④ (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3


⑥ a3 + b3 = (a + b)(a2 ndash ab + b2)





Pamėgink


136



(2x + 3)3 = a b



Sprendimas


Atsakymas 8x3 + 36x2 + 54x + 27


( 2 ndash 2 3 )3 = a b



Sprendimas



Pavyzdžiai


8x6 + 60x4y + 150x2y2 + 125y3 =

= (2x2)3 + 3 (2x2)2 (5y) + 3 (2x2) (5y)2 + (5y)3 = a3 a2 b a b2 b3

= (2x2 + 5y)3




Pavyzdys


a) (m ndash 5n)3 b) (2x + 2)3c) ( 3 + 2)3 d) (2 2 + 2)3

Pamėgink




52


Pamėgink

137
















Pavyzdys








Pavyzdys




Pamėgink

138







a) 8x6 ndash a3b9 = (2x2)3 (ab3)3

= (2x2)3 ndash (ab3)3 = a3 b3


= (2x2 ndash ab3)(4x4 + 2x2ab3 + a2b6)






= ( x3 ndash y3 )( x23 + xy3 + y23 )








Taikome 7 formulę

Pavyzdys







Pamėgink



Pamėgink

139



x1 = 1 ndash 81 20 = ndash 2 5 x2 = 1 + 81

20 = 1 2


5) =

= 2 5(x ndash 1 2)(x + 2

5) =

= (2x ndash 1)(5x + 2)





Pavyzdys

Grupavimo būdas









Pavyzdys


= (x + y)(a + b)




++



Pamėgink




Pamėgink

140



6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys




ab + c

d = ad + bcbd

ab ndash c

d = ad ndash bcbd



x + y


Pamėgink

Suprastink




2x ndash 10


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys

3

141


6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys





ab middot c


ab c

d = ab middot d




x ndash y


x2 + y2

x ndash y =


x ndash yx2 + y2 =


x2 + y2 =


= x + y

Sprendimas


Pavyzdžiai

Suprastink

a) 1x x + x

+ xx + 1

b) 6 xx ndash 3

ndash 3x + 3


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys



x ndash yx + y


=


( x + y )( x ndash y ) =



x ndash y

Sprendimas




Pavyzdys

x ndash y x + y

142


UŽDAVINIAI




Suprastink

a) x12 middot x

14 b) (x4

5)3

c) (x23 middot x

15)15

d) x13

xndash 23

e) (x23)

34


n3)6n

h) (b2n bndash075n

bndash05n )ndash4n

i) y 13 middot y

23 j) (x2)

13 k) y

25


27)35

m) (y27)175


n2 o) (x

n4 middot x

n8)8

p) (xndash 56 n x3n

x 43 n )ndash6n




a) ( 3x + 1 ndash 4



Pamėgink


1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









2(1 + 3x) 1 ndash 3x2

143

Suprastink




a) 4 x 3 z 2y 6 4 y ndash2


a 3 b 5a 5

d) 5 a 5 c 2b 2 5 b ndash3


y 4 y 3x 6




a) 12x3y 3x2y b) 16x2y3 3x2y3 c) 144x 5y 124


12y23

e) 63x 5y 3 28x2y f) 8x2y5 4x 3y 45 g) 250xy 74

18x17y24 h) 3x 6y 83

ndash81y23









3b)3 h) (2 2 ndash 3 3)3

i) (3x ndash 4)3 j) (5x + 2)3 k) ( x3 + 1)3 l) ( x6 + x3 )3


p) (x 2 ndash 2)3



1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









144




14 ndash x

14y

34 g) n n + n h) x

34 ndash x



13 ndash x

13y




12 d) xn ndash yn




32 h) y + x 34




a) x + 3x + 4 b) x 3

x 4 c) (x + 2) 3(x + 2) + x d) (x + 2) ndash (x + 3)

(x + 2) + (x + 3)


x + 2 g) x + 1(x + 1)2 h) x 3 + 4

x 4 + 3

i) 6 xx 5 j) x + 1


b x + a



x ndash 5








b ndash a








a) ab ndash b2

2b b) x2 ndash y2





2x ndash 5y








a) x x ndash x


c) a ndash 1a + 1


e) x x + xx


g) x 6 ndash y 6



a) xy + y


x2 + 2x + 1 c) 3x + 1 + x + 5


d) 3x2 + 9x + 14 + 5

2x2 + 15x + 7 e) x ndash x2



x ndash 2

g) 2x2




x3 + 2x + 2x2 + 4 + 1x2 + 2

145

j) 1x(x + 1) + 1

x + 1 k) 6x2 ndash 9 + 9

x2 ndash 6x + 9 l) 4x + 2 + x + 6


m) 6x2 + 11x + 24 + 4








x ndash 3

Suprastink

a) x x ndash 2

ndash 2x + 2

b) 3


a ndash 9 c) x 12

x05 + 1 ndash 1

x05 ndash 1 d) 2

x + 2 + x

x ndash 2 ndash 4 x

x ndash 4

e) 11 + x

ndash 11 ndash x

f) 1a4 ndash 1

+ 1a4 + 1

g) 3

x 12 + 3 ndash x05

x05 ndash 3 h) x

81 ndash x ndash 9

x + 9 + x

x ndash 9

Suprastink

a) 16x2y5










3x j) x + 3x2 + 6x x2 ndash 9


x






3x + 4

e) 5 ndash 2

x ndash 3

4 ndash 1x ndash 3









1 + 3x

1 ndash 6x

m) 3 + 2

x + 4

5 ndash 1x + 4



2x + 2 ndash 1) 6x ndash 6 x + 1 p) ( 1

x ndash 1 ndash x + 1x2 + x + 1) (1 + 1

x3 ndash 1)





y ndash x ndash2








a13 + b



x + 1 + 1 ndash x )


16) xy 46 e) ( 1


x13 ndash 1

+ x13) middot x

13 ndash 1

x23 ndash 1

g) y ndash x

x23 + (xy)13 + y

23 + x

23 ndash y23

x3 ndash y13

h) x13y

13 x

13 y ndash y

13 x



y ndash z )ndash1

j) (x15 + x25

1 + x + 1) 1 ndash x3



ndash b a a + b

+ 3ab ndash b2

a ndash b

m) a + ba ndash b

ndash a + ab a + b

n) a + 1a a + a + a

1a2 ndash a




x05 ndash 1 r) ( 2 + x14


14


x34 s) 1x3 + y3 ndash x3 + y3

x23 ndash (xy)

13 + y

23




ndash 13


x + 1x x ndash 1

+ 2 x

146










6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai

TAIKYK

147




6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai







Sprendimas






2b + 1 ndash 6ab




PamėginkPamėgink





sin2 α

|v| = 2ghsin2 α

v = 2ghsin2 α


Išreiškiame v2




lg = T

2π

lg = ( T

2π )2

lg = T2

4π2gl = 4π2

T2

g = 4π2 middot lT2






Pavyzdžiai

148




p



f = 1F



c

1 + vc


R



P + ET


ndash 1)( 1R1

ndash 1R2)




y


12 = mgh2 + mv2

22


2



y + 24


n21 ndash 1

n22)








PamėginkPamėgink

UŽDAVINIAI

149












150

1 variantas


A 215a + b B 215 + a ndash b


b



A x = 3 B x = 0 C x = ndash3 D x = 9





a) x ndash 32 7 + 4


12 d) 3x ndash 27

x2 ndash 1






a) 32x 94 b) 81x7y 63 c) x 12y 345 d) x 17y 246






PASITIKRINK

151








a middot 5 + 9


⓭ Suprastink


m2 + n2 m2 ndash n2

4mn c) xx + 4 + 4


2 variantas


b2 =

A 140 B 142 C 145 D 146


A 00625 B 0 C 0125 D 025





15x3

c) 04x ndash 10x2 + 145 d) ( 205

10 ndash 5a)ndash18

❺ Pakelk kubu

a) (2 + 2 )3 b) (2 3 + 3 )3 c) (x 2 ndash y3 2 )3



❼ Suprastink




❾ Suprastink

a) 64x6 + 216y6



ndash 52 ndash x






4 kai y lt 0

152


❶Apskaičiuok

a) ( 7 ndash 5 23 + 7 + 503 ) middot 9 b) (3 + 2 5 4


54 + 1



❷Įrodyk teiginį

a) jei x23 + y

23 = a

23 tai x2 + x 4y 23 + y2 + x 2y 43 = a















+ ndash

bf middot xy = gcg

= = =

eec + bcyy = bfbe


153



A 40 B 250 C 225 D 2500


A 2600p B 10400 + p100 C 104p D 5200

100 + 2p








A 545 = 1

54 B 545 = 5

54 C 545 = 31254 D 5

45 = 6255


p ndash 1




x + 4 D 1x + 4



A a = 1 b = 5 B a = 2 b = 3 C a = 1 b = 4 D a = 3 b = 2




A 8 3 cm B 8 3 3 cm C 4

3 cm D 4 3 3 cm


A 56 B 60 C 64 D 112


154











+ 2 ndash x 2 + x





išraišką T(x)




1200 cm2


155












2



118


5 2 8 6 2 3 5

Tūks

tanč

ių sk

yriu

s

Šim

tų sk

yriu

s

Dešim

čių sk

yriu

s

Vien

etų

skyr

ius

Dešim

tųjų

skyr

ius

Šim

tųjų

skyr

ius

Tūks

tant

ųjų

skyr

ius



743 956 = 7 105 + 4 104 + 3 103 + 9 102 + 5 10 + 6






x4y = 4xy ndash 270 (1)

x4y = 100x + 40 + y

4xy = 400 + 10x + y

100x + 40 + y = 400 + 10x + y ndash 270







Pavyzdžiai


a) 287 b) 987 145 c) xyz d) abcde

Pamėgink

TAIKYK

119


1 x260

x + 2 + 6 + 0 = x + 8


1260 4260 7260

2 y265y + 2 + 6 + 5 = y + 13


2265 5265 8265











PamėginkPamėgink


1 6 = 016666 = 01(6)

1 7 = 0142857142857142 = 0(142857)

120



x = 025656 | 10 1 1

10x = 2565656 (1)

10x = 2565656 | 100 2 2

1000x = 2565656 (2)


x = 256 ndash 21000 ndash 10

x = 254990 = 127

495

32(56) = 3 256 ndash 2103 ndash 101 = 3 127

495 1 3






Išreiškiame x


Atsakymas 32(56) = 3 127495

Pavyzdys

021(8) = 218 ndash 21103 ndash 102 = 197

900 0(4) = 4 ndash 0101 ndash 100 = 4

9 2 3

0123(45) = 12345 ndash 123105 ndash 103 = 679

5500 0(56) = 56 ndash 0102 ndash 100 = 56

99 3 5








a) 0(7) b) 05(7) c) 214(8) d) 03(12)


Pamėgink

Pavyzdžiai

121


x = 025656 | 10 1 1

10x = 2565656 (1)

10x = 2565656 | 100 2 2

1000x = 2565656 (2)


x = 256 ndash 21000 ndash 10

x = 254990 = 127

495

32(56) = 3 256 ndash 2103 ndash 101 = 3 127

495 1 3






Išreiškiame x


Atsakymas 32(56) = 3 127495

Pavyzdys




1 2 000 000 000 = 12 ∙ 1010 10 vietų

0000006 1 = 61 ∙ 10ndash6 6 vietos



Pavyzdys


a + b = 24 1025 + 12 1025 = = 36 1025

a + c = 24 1025 + 5 1024 = = 24 1025 + 05 1025 = 29 1025

a b = (24 1025) (12 1025) = = (24 12) (1025 1025) = 288 1050

b c = 12 1025

5 1024 = 024 101 = 24





Pavyzdys


Pamėgink



Pamėgink

122





KMI = 601682 asymp 60


Pavyzdys

∆x = |x ndash a|






|a| 100







Pamėgink

123










KMI = 601682 asymp 60


Pavyzdys



a) 1 7 = 014 2 857 asymp 014


3 7 = 042 8 571 asymp 043

gt 5

artinys a = 043



Pavyzdys

b) ∆x = |1 7 ndash 014| = |50 ndash 49

350 | =

= | 1350| = 1

350

∆x = 1350 lt 00028 lt 0003

δ = ∆x|a| =

1350

750

= 1350 50

7 = 149

δ = 149 100 asymp 2041 lt 21




UŽDAVINIAI



Pamėgink

124



Įrodyk kad



Pagrįsk teiginius















125




d) 0(32) 0(4) e) 0(493) 07(45) f) 0(285714) 01(3)04(6) 4(9)

g) 2(8) ndash 0(4) h) 1(27) ndash 03(4) i) 0(917) + 03(614)

j) 0(57) 0(6) k) 0(267) 03(12) l) 0(53) 02(9)332(4) + 1(21)

Palygink skaičius

a) 1 6 ir 3


12






d) 0002096 1012

524 e) 08128 1024

254 10ndash14 f) 0027 1021 ndash 631 1017

g) 1890 00105 h) 00045 1017 i) 000007 10ndash16

j) 000010288016 1017 k) 5139645 10ndash13

7895 10ndash34 l) 760 1012 ndash 0003 1015


a) 5 6 h = 01 b) 2

7 h = 000001 c) 3 h = 01 d) 6 h = 001

e) 4 13 h = 001 f) 3

11 h = 0001 g) 11 h = 000001 h) 8 h = 000001


a) 1 9 h = 01 b) 2 h = 001 c) 3

11 h = 001 d) 10 h = 0001

126

1 variantas




6 reikšmė

A 7 6 B 1

6 C 75 D 74




❻ Apskaičiuok

a) (134)ndash 2 b) 7503

63 c) (33

4 9ndash 14)ndash4

d) ( 27 ndash 2 3 + 75) 3

e) 5( 3 ndash 7)2

5 ndash 21 f) ( 00001

81 ) ndash 34 10ndash4 g) ( 160

15

121502) ndash2

h) 23 ( 43 ndash 163 )



3









PASITIKRINK

127





2 variantas



A 4ndash 34 = 4

43 B 4ndash

34 = 1

644 C 4ndash

34 = 1

43 D 4ndash 34 = 1

2563


1417 reikšmė

A 1514 B 1 1

196 C 1415 D 1415





❻ Apskaičiuok


14 b) 2 8

16 8

4

3

3 88 c)

8113 + 3

73

33 + 813 + 21873

d) 53 + 2a 43 + 2a

202a + 2 e) 31 ndash 2 5 9 5 f) 17 ndash 338 33 + 178

❼ Suprastink

a) ( 182 ndash 13

ndash 2011 ndash 1

+ 2413 ndash 1) ( 1

2 + 11 )ndash1 b) (3 ndash 7)

12(3 + 7)

12

c) 1 + 3 + 32 + 33 + 34 + + 315







128









m4 + 3m3 + 23 (p ndash 4)(p ndash 12)

27 53



narys narys narys

trinaris




m + 2



7 ndash p + 3


racionalieji

iracionalieji


SUSIPAŽINK

129












Įsimink



② ne 0

③ 2n 0

④ 2n gt 0

⑤mn gt 0



Pavyzdžiai


1) (2 ndash x2)(2 + x2)x ndash 5 2) 2

5x 2 ndash 37x + 4

3) 23 x 2 ndash 5x ndash 813 4) 7

c ndash 2

c + 1 + c + 2

33

5) 2x2 ndash 5x ndash 325 6) (3 + x)(12 + x)

(x ndash 5)x

7) y3

3 + 3y23 8) 3y2 + 2

y2 + 5y ndash 6


Pamėgink

130



x(x ndash 4) ne 0







x 25x ne ndash1









x ne ndash3


(x + 7)(x ndash 7) lt 0








Pavyzdžiai


a) 03x ndash 1 3 b) 2

7x3 + 1 9x2 + 0(4)x ndash 12

c) 2 + 4x x + 3 d) 2 + 4x

x2 ndash 25

Pamėgink

131



3 c) 3 x ndash 36



12 ndash 2x g) x


x2 ndash 1









e) x13 ndash 1 f) 1



2x2 ndash 50



m) 2x + x25 n) x + 2

3 5 o) 2x + 1

x2 ndash 9 p) 12x + x + 4




a + 3 d) 4x


e) (3x ndash 1)ndash134 f) 5x + 40 3

1 ndash x2 g) 4




2 ndash a l) 35k + 21 6

2k + 34


1 ndash p2 n) 2x + 10


x + 5 p) 4 ndash 12x2 + 4 5x + 403

UŽDAVINIAI



b) x + 24

3 ndash x6



x2 ndash 1


Pamėgink

132











23 + xndash

13)

x 13 (x

23 + xndash

13) = x

13 x

23 + x

13 xndash

13 =

= x 13 +

23 + x

13 ndash

13 = x

33 + x0 = x + 1



Atsakymas x + 1









Pavyzdžiai

IŠMOK

133




a) x43 = x3 x3 = x x3

b) x94 = x4 x4 x4 = x2 x4

x94 = x 94 = x2

14 = x2 x4

c) x6y6 = x6 y6 = x y6





Pavyzdys



Įsiminka2n2n = |a|



(x ndash 4)44 + (x ndash 2)33 =




Pavyzdžiai


a) ( x 14 ndash 1 )( x



Pamėgink




Pamėgink

134









a) x y3 = x3y3

b) a b4 = a4b4










Pavyzdžiai

Suprastink



Pamėgink


a) a3 a4 (a gt 0) b) ab2 a3 (a b gt 0)


Pamėgink

135



Įsimink





= ndash x7y 46




Pavyzdys




① (a + b)2 = a2 + 2ab + b2



④ (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3


⑥ a3 + b3 = (a + b)(a2 ndash ab + b2)





Pamėgink


136



(2x + 3)3 = a b



Sprendimas


Atsakymas 8x3 + 36x2 + 54x + 27


( 2 ndash 2 3 )3 = a b



Sprendimas



Pavyzdžiai


8x6 + 60x4y + 150x2y2 + 125y3 =

= (2x2)3 + 3 (2x2)2 (5y) + 3 (2x2) (5y)2 + (5y)3 = a3 a2 b a b2 b3

= (2x2 + 5y)3




Pavyzdys


a) (m ndash 5n)3 b) (2x + 2)3c) ( 3 + 2)3 d) (2 2 + 2)3

Pamėgink




52


Pamėgink

137
















Pavyzdys








Pavyzdys




Pamėgink

138







a) 8x6 ndash a3b9 = (2x2)3 (ab3)3

= (2x2)3 ndash (ab3)3 = a3 b3


= (2x2 ndash ab3)(4x4 + 2x2ab3 + a2b6)






= ( x3 ndash y3 )( x23 + xy3 + y23 )








Taikome 7 formulę

Pavyzdys







Pamėgink



Pamėgink

139



x1 = 1 ndash 81 20 = ndash 2 5 x2 = 1 + 81

20 = 1 2


5) =

= 2 5(x ndash 1 2)(x + 2

5) =

= (2x ndash 1)(5x + 2)





Pavyzdys

Grupavimo būdas









Pavyzdys


= (x + y)(a + b)




++



Pamėgink




Pamėgink

140



6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys




ab + c

d = ad + bcbd

ab ndash c

d = ad ndash bcbd



x + y


Pamėgink

Suprastink




2x ndash 10


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys

3

141


6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys





ab middot c


ab c

d = ab middot d




x ndash y


x2 + y2

x ndash y =


x ndash yx2 + y2 =


x2 + y2 =


= x + y

Sprendimas


Pavyzdžiai

Suprastink

a) 1x x + x

+ xx + 1

b) 6 xx ndash 3

ndash 3x + 3


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys



x ndash yx + y


=


( x + y )( x ndash y ) =



x ndash y

Sprendimas




Pavyzdys

x ndash y x + y

142


UŽDAVINIAI




Suprastink

a) x12 middot x

14 b) (x4

5)3

c) (x23 middot x

15)15

d) x13

xndash 23

e) (x23)

34


n3)6n

h) (b2n bndash075n

bndash05n )ndash4n

i) y 13 middot y

23 j) (x2)

13 k) y

25


27)35

m) (y27)175


n2 o) (x

n4 middot x

n8)8

p) (xndash 56 n x3n

x 43 n )ndash6n




a) ( 3x + 1 ndash 4



Pamėgink


1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









2(1 + 3x) 1 ndash 3x2

143

Suprastink




a) 4 x 3 z 2y 6 4 y ndash2


a 3 b 5a 5

d) 5 a 5 c 2b 2 5 b ndash3


y 4 y 3x 6




a) 12x3y 3x2y b) 16x2y3 3x2y3 c) 144x 5y 124


12y23

e) 63x 5y 3 28x2y f) 8x2y5 4x 3y 45 g) 250xy 74

18x17y24 h) 3x 6y 83

ndash81y23









3b)3 h) (2 2 ndash 3 3)3

i) (3x ndash 4)3 j) (5x + 2)3 k) ( x3 + 1)3 l) ( x6 + x3 )3


p) (x 2 ndash 2)3



1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









144




14 ndash x

14y

34 g) n n + n h) x

34 ndash x



13 ndash x

13y




12 d) xn ndash yn




32 h) y + x 34




a) x + 3x + 4 b) x 3

x 4 c) (x + 2) 3(x + 2) + x d) (x + 2) ndash (x + 3)

(x + 2) + (x + 3)


x + 2 g) x + 1(x + 1)2 h) x 3 + 4

x 4 + 3

i) 6 xx 5 j) x + 1


b x + a



x ndash 5








b ndash a








a) ab ndash b2

2b b) x2 ndash y2





2x ndash 5y








a) x x ndash x


c) a ndash 1a + 1


e) x x + xx


g) x 6 ndash y 6



a) xy + y


x2 + 2x + 1 c) 3x + 1 + x + 5


d) 3x2 + 9x + 14 + 5

2x2 + 15x + 7 e) x ndash x2



x ndash 2

g) 2x2




x3 + 2x + 2x2 + 4 + 1x2 + 2

145

j) 1x(x + 1) + 1

x + 1 k) 6x2 ndash 9 + 9

x2 ndash 6x + 9 l) 4x + 2 + x + 6


m) 6x2 + 11x + 24 + 4








x ndash 3

Suprastink

a) x x ndash 2

ndash 2x + 2

b) 3


a ndash 9 c) x 12

x05 + 1 ndash 1

x05 ndash 1 d) 2

x + 2 + x

x ndash 2 ndash 4 x

x ndash 4

e) 11 + x

ndash 11 ndash x

f) 1a4 ndash 1

+ 1a4 + 1

g) 3

x 12 + 3 ndash x05

x05 ndash 3 h) x

81 ndash x ndash 9

x + 9 + x

x ndash 9

Suprastink

a) 16x2y5










3x j) x + 3x2 + 6x x2 ndash 9


x






3x + 4

e) 5 ndash 2

x ndash 3

4 ndash 1x ndash 3









1 + 3x

1 ndash 6x

m) 3 + 2

x + 4

5 ndash 1x + 4



2x + 2 ndash 1) 6x ndash 6 x + 1 p) ( 1

x ndash 1 ndash x + 1x2 + x + 1) (1 + 1

x3 ndash 1)





y ndash x ndash2








a13 + b



x + 1 + 1 ndash x )


16) xy 46 e) ( 1


x13 ndash 1

+ x13) middot x

13 ndash 1

x23 ndash 1

g) y ndash x

x23 + (xy)13 + y

23 + x

23 ndash y23

x3 ndash y13

h) x13y

13 x

13 y ndash y

13 x



y ndash z )ndash1

j) (x15 + x25

1 + x + 1) 1 ndash x3



ndash b a a + b

+ 3ab ndash b2

a ndash b

m) a + ba ndash b

ndash a + ab a + b

n) a + 1a a + a + a

1a2 ndash a




x05 ndash 1 r) ( 2 + x14


14


x34 s) 1x3 + y3 ndash x3 + y3

x23 ndash (xy)

13 + y

23




ndash 13


x + 1x x ndash 1

+ 2 x

146










6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai

TAIKYK

147




6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai







Sprendimas






2b + 1 ndash 6ab




PamėginkPamėgink





sin2 α

|v| = 2ghsin2 α

v = 2ghsin2 α


Išreiškiame v2




lg = T

2π

lg = ( T

2π )2

lg = T2

4π2gl = 4π2

T2

g = 4π2 middot lT2






Pavyzdžiai

148




p



f = 1F



c

1 + vc


R



P + ET


ndash 1)( 1R1

ndash 1R2)




y


12 = mgh2 + mv2

22


2



y + 24


n21 ndash 1

n22)








PamėginkPamėgink

UŽDAVINIAI

149












150

1 variantas


A 215a + b B 215 + a ndash b


b



A x = 3 B x = 0 C x = ndash3 D x = 9





a) x ndash 32 7 + 4


12 d) 3x ndash 27

x2 ndash 1






a) 32x 94 b) 81x7y 63 c) x 12y 345 d) x 17y 246






PASITIKRINK

151








a middot 5 + 9


⓭ Suprastink


m2 + n2 m2 ndash n2

4mn c) xx + 4 + 4


2 variantas


b2 =

A 140 B 142 C 145 D 146


A 00625 B 0 C 0125 D 025





15x3

c) 04x ndash 10x2 + 145 d) ( 205

10 ndash 5a)ndash18

❺ Pakelk kubu

a) (2 + 2 )3 b) (2 3 + 3 )3 c) (x 2 ndash y3 2 )3



❼ Suprastink




❾ Suprastink

a) 64x6 + 216y6



ndash 52 ndash x






4 kai y lt 0

152


❶Apskaičiuok

a) ( 7 ndash 5 23 + 7 + 503 ) middot 9 b) (3 + 2 5 4


54 + 1



❷Įrodyk teiginį

a) jei x23 + y

23 = a

23 tai x2 + x 4y 23 + y2 + x 2y 43 = a















+ ndash

bf middot xy = gcg

= = =

eec + bcyy = bfbe


153



A 40 B 250 C 225 D 2500


A 2600p B 10400 + p100 C 104p D 5200

100 + 2p








A 545 = 1

54 B 545 = 5

54 C 545 = 31254 D 5

45 = 6255


p ndash 1




x + 4 D 1x + 4



A a = 1 b = 5 B a = 2 b = 3 C a = 1 b = 4 D a = 3 b = 2




A 8 3 cm B 8 3 3 cm C 4

3 cm D 4 3 3 cm


A 56 B 60 C 64 D 112


154











+ 2 ndash x 2 + x





išraišką T(x)




1200 cm2


155












2



119


1 x260

x + 2 + 6 + 0 = x + 8


1260 4260 7260

2 y265y + 2 + 6 + 5 = y + 13


2265 5265 8265











PamėginkPamėgink


1 6 = 016666 = 01(6)

1 7 = 0142857142857142 = 0(142857)

120



x = 025656 | 10 1 1

10x = 2565656 (1)

10x = 2565656 | 100 2 2

1000x = 2565656 (2)


x = 256 ndash 21000 ndash 10

x = 254990 = 127

495

32(56) = 3 256 ndash 2103 ndash 101 = 3 127

495 1 3






Išreiškiame x


Atsakymas 32(56) = 3 127495

Pavyzdys

021(8) = 218 ndash 21103 ndash 102 = 197

900 0(4) = 4 ndash 0101 ndash 100 = 4

9 2 3

0123(45) = 12345 ndash 123105 ndash 103 = 679

5500 0(56) = 56 ndash 0102 ndash 100 = 56

99 3 5








a) 0(7) b) 05(7) c) 214(8) d) 03(12)


Pamėgink

Pavyzdžiai

121


x = 025656 | 10 1 1

10x = 2565656 (1)

10x = 2565656 | 100 2 2

1000x = 2565656 (2)


x = 256 ndash 21000 ndash 10

x = 254990 = 127

495

32(56) = 3 256 ndash 2103 ndash 101 = 3 127

495 1 3






Išreiškiame x


Atsakymas 32(56) = 3 127495

Pavyzdys




1 2 000 000 000 = 12 ∙ 1010 10 vietų

0000006 1 = 61 ∙ 10ndash6 6 vietos



Pavyzdys


a + b = 24 1025 + 12 1025 = = 36 1025

a + c = 24 1025 + 5 1024 = = 24 1025 + 05 1025 = 29 1025

a b = (24 1025) (12 1025) = = (24 12) (1025 1025) = 288 1050

b c = 12 1025

5 1024 = 024 101 = 24





Pavyzdys


Pamėgink



Pamėgink

122





KMI = 601682 asymp 60


Pavyzdys

∆x = |x ndash a|






|a| 100







Pamėgink

123










KMI = 601682 asymp 60


Pavyzdys



a) 1 7 = 014 2 857 asymp 014


3 7 = 042 8 571 asymp 043

gt 5

artinys a = 043



Pavyzdys

b) ∆x = |1 7 ndash 014| = |50 ndash 49

350 | =

= | 1350| = 1

350

∆x = 1350 lt 00028 lt 0003

δ = ∆x|a| =

1350

750

= 1350 50

7 = 149

δ = 149 100 asymp 2041 lt 21




UŽDAVINIAI



Pamėgink

124



Įrodyk kad



Pagrįsk teiginius















125




d) 0(32) 0(4) e) 0(493) 07(45) f) 0(285714) 01(3)04(6) 4(9)

g) 2(8) ndash 0(4) h) 1(27) ndash 03(4) i) 0(917) + 03(614)

j) 0(57) 0(6) k) 0(267) 03(12) l) 0(53) 02(9)332(4) + 1(21)

Palygink skaičius

a) 1 6 ir 3


12






d) 0002096 1012

524 e) 08128 1024

254 10ndash14 f) 0027 1021 ndash 631 1017

g) 1890 00105 h) 00045 1017 i) 000007 10ndash16

j) 000010288016 1017 k) 5139645 10ndash13

7895 10ndash34 l) 760 1012 ndash 0003 1015


a) 5 6 h = 01 b) 2

7 h = 000001 c) 3 h = 01 d) 6 h = 001

e) 4 13 h = 001 f) 3

11 h = 0001 g) 11 h = 000001 h) 8 h = 000001


a) 1 9 h = 01 b) 2 h = 001 c) 3

11 h = 001 d) 10 h = 0001

126

1 variantas




6 reikšmė

A 7 6 B 1

6 C 75 D 74




❻ Apskaičiuok

a) (134)ndash 2 b) 7503

63 c) (33

4 9ndash 14)ndash4

d) ( 27 ndash 2 3 + 75) 3

e) 5( 3 ndash 7)2

5 ndash 21 f) ( 00001

81 ) ndash 34 10ndash4 g) ( 160

15

121502) ndash2

h) 23 ( 43 ndash 163 )



3









PASITIKRINK

127





2 variantas



A 4ndash 34 = 4

43 B 4ndash

34 = 1

644 C 4ndash

34 = 1

43 D 4ndash 34 = 1

2563


1417 reikšmė

A 1514 B 1 1

196 C 1415 D 1415





❻ Apskaičiuok


14 b) 2 8

16 8

4

3

3 88 c)

8113 + 3

73

33 + 813 + 21873

d) 53 + 2a 43 + 2a

202a + 2 e) 31 ndash 2 5 9 5 f) 17 ndash 338 33 + 178

❼ Suprastink

a) ( 182 ndash 13

ndash 2011 ndash 1

+ 2413 ndash 1) ( 1

2 + 11 )ndash1 b) (3 ndash 7)

12(3 + 7)

12

c) 1 + 3 + 32 + 33 + 34 + + 315







128









m4 + 3m3 + 23 (p ndash 4)(p ndash 12)

27 53



narys narys narys

trinaris




m + 2



7 ndash p + 3


racionalieji

iracionalieji


SUSIPAŽINK

129












Įsimink



② ne 0

③ 2n 0

④ 2n gt 0

⑤mn gt 0



Pavyzdžiai


1) (2 ndash x2)(2 + x2)x ndash 5 2) 2

5x 2 ndash 37x + 4

3) 23 x 2 ndash 5x ndash 813 4) 7

c ndash 2

c + 1 + c + 2

33

5) 2x2 ndash 5x ndash 325 6) (3 + x)(12 + x)

(x ndash 5)x

7) y3

3 + 3y23 8) 3y2 + 2

y2 + 5y ndash 6


Pamėgink

130



x(x ndash 4) ne 0







x 25x ne ndash1









x ne ndash3


(x + 7)(x ndash 7) lt 0








Pavyzdžiai


a) 03x ndash 1 3 b) 2

7x3 + 1 9x2 + 0(4)x ndash 12

c) 2 + 4x x + 3 d) 2 + 4x

x2 ndash 25

Pamėgink

131



3 c) 3 x ndash 36



12 ndash 2x g) x


x2 ndash 1









e) x13 ndash 1 f) 1



2x2 ndash 50



m) 2x + x25 n) x + 2

3 5 o) 2x + 1

x2 ndash 9 p) 12x + x + 4




a + 3 d) 4x


e) (3x ndash 1)ndash134 f) 5x + 40 3

1 ndash x2 g) 4




2 ndash a l) 35k + 21 6

2k + 34


1 ndash p2 n) 2x + 10


x + 5 p) 4 ndash 12x2 + 4 5x + 403

UŽDAVINIAI



b) x + 24

3 ndash x6



x2 ndash 1


Pamėgink

132











23 + xndash

13)

x 13 (x

23 + xndash

13) = x

13 x

23 + x

13 xndash

13 =

= x 13 +

23 + x

13 ndash

13 = x

33 + x0 = x + 1



Atsakymas x + 1









Pavyzdžiai

IŠMOK

133




a) x43 = x3 x3 = x x3

b) x94 = x4 x4 x4 = x2 x4

x94 = x 94 = x2

14 = x2 x4

c) x6y6 = x6 y6 = x y6





Pavyzdys



Įsiminka2n2n = |a|



(x ndash 4)44 + (x ndash 2)33 =




Pavyzdžiai


a) ( x 14 ndash 1 )( x



Pamėgink




Pamėgink

134









a) x y3 = x3y3

b) a b4 = a4b4










Pavyzdžiai

Suprastink



Pamėgink


a) a3 a4 (a gt 0) b) ab2 a3 (a b gt 0)


Pamėgink

135



Įsimink





= ndash x7y 46




Pavyzdys




① (a + b)2 = a2 + 2ab + b2



④ (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3


⑥ a3 + b3 = (a + b)(a2 ndash ab + b2)





Pamėgink


136



(2x + 3)3 = a b



Sprendimas


Atsakymas 8x3 + 36x2 + 54x + 27


( 2 ndash 2 3 )3 = a b



Sprendimas



Pavyzdžiai


8x6 + 60x4y + 150x2y2 + 125y3 =

= (2x2)3 + 3 (2x2)2 (5y) + 3 (2x2) (5y)2 + (5y)3 = a3 a2 b a b2 b3

= (2x2 + 5y)3




Pavyzdys


a) (m ndash 5n)3 b) (2x + 2)3c) ( 3 + 2)3 d) (2 2 + 2)3

Pamėgink




52


Pamėgink

137
















Pavyzdys








Pavyzdys




Pamėgink

138







a) 8x6 ndash a3b9 = (2x2)3 (ab3)3

= (2x2)3 ndash (ab3)3 = a3 b3


= (2x2 ndash ab3)(4x4 + 2x2ab3 + a2b6)






= ( x3 ndash y3 )( x23 + xy3 + y23 )








Taikome 7 formulę

Pavyzdys







Pamėgink



Pamėgink

139



x1 = 1 ndash 81 20 = ndash 2 5 x2 = 1 + 81

20 = 1 2


5) =

= 2 5(x ndash 1 2)(x + 2

5) =

= (2x ndash 1)(5x + 2)





Pavyzdys

Grupavimo būdas









Pavyzdys


= (x + y)(a + b)




++



Pamėgink




Pamėgink

140



6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys




ab + c

d = ad + bcbd

ab ndash c

d = ad ndash bcbd



x + y


Pamėgink

Suprastink




2x ndash 10


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys

3

141


6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys





ab middot c


ab c

d = ab middot d




x ndash y


x2 + y2

x ndash y =


x ndash yx2 + y2 =


x2 + y2 =


= x + y

Sprendimas


Pavyzdžiai

Suprastink

a) 1x x + x

+ xx + 1

b) 6 xx ndash 3

ndash 3x + 3


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys



x ndash yx + y


=


( x + y )( x ndash y ) =



x ndash y

Sprendimas




Pavyzdys

x ndash y x + y

142


UŽDAVINIAI




Suprastink

a) x12 middot x

14 b) (x4

5)3

c) (x23 middot x

15)15

d) x13

xndash 23

e) (x23)

34


n3)6n

h) (b2n bndash075n

bndash05n )ndash4n

i) y 13 middot y

23 j) (x2)

13 k) y

25


27)35

m) (y27)175


n2 o) (x

n4 middot x

n8)8

p) (xndash 56 n x3n

x 43 n )ndash6n




a) ( 3x + 1 ndash 4



Pamėgink


1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









2(1 + 3x) 1 ndash 3x2

143

Suprastink




a) 4 x 3 z 2y 6 4 y ndash2


a 3 b 5a 5

d) 5 a 5 c 2b 2 5 b ndash3


y 4 y 3x 6




a) 12x3y 3x2y b) 16x2y3 3x2y3 c) 144x 5y 124


12y23

e) 63x 5y 3 28x2y f) 8x2y5 4x 3y 45 g) 250xy 74

18x17y24 h) 3x 6y 83

ndash81y23









3b)3 h) (2 2 ndash 3 3)3

i) (3x ndash 4)3 j) (5x + 2)3 k) ( x3 + 1)3 l) ( x6 + x3 )3


p) (x 2 ndash 2)3



1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









144




14 ndash x

14y

34 g) n n + n h) x

34 ndash x



13 ndash x

13y




12 d) xn ndash yn




32 h) y + x 34




a) x + 3x + 4 b) x 3

x 4 c) (x + 2) 3(x + 2) + x d) (x + 2) ndash (x + 3)

(x + 2) + (x + 3)


x + 2 g) x + 1(x + 1)2 h) x 3 + 4

x 4 + 3

i) 6 xx 5 j) x + 1


b x + a



x ndash 5








b ndash a








a) ab ndash b2

2b b) x2 ndash y2





2x ndash 5y








a) x x ndash x


c) a ndash 1a + 1


e) x x + xx


g) x 6 ndash y 6



a) xy + y


x2 + 2x + 1 c) 3x + 1 + x + 5


d) 3x2 + 9x + 14 + 5

2x2 + 15x + 7 e) x ndash x2



x ndash 2

g) 2x2




x3 + 2x + 2x2 + 4 + 1x2 + 2

145

j) 1x(x + 1) + 1

x + 1 k) 6x2 ndash 9 + 9

x2 ndash 6x + 9 l) 4x + 2 + x + 6


m) 6x2 + 11x + 24 + 4








x ndash 3

Suprastink

a) x x ndash 2

ndash 2x + 2

b) 3


a ndash 9 c) x 12

x05 + 1 ndash 1

x05 ndash 1 d) 2

x + 2 + x

x ndash 2 ndash 4 x

x ndash 4

e) 11 + x

ndash 11 ndash x

f) 1a4 ndash 1

+ 1a4 + 1

g) 3

x 12 + 3 ndash x05

x05 ndash 3 h) x

81 ndash x ndash 9

x + 9 + x

x ndash 9

Suprastink

a) 16x2y5










3x j) x + 3x2 + 6x x2 ndash 9


x






3x + 4

e) 5 ndash 2

x ndash 3

4 ndash 1x ndash 3









1 + 3x

1 ndash 6x

m) 3 + 2

x + 4

5 ndash 1x + 4



2x + 2 ndash 1) 6x ndash 6 x + 1 p) ( 1

x ndash 1 ndash x + 1x2 + x + 1) (1 + 1

x3 ndash 1)





y ndash x ndash2








a13 + b



x + 1 + 1 ndash x )


16) xy 46 e) ( 1


x13 ndash 1

+ x13) middot x

13 ndash 1

x23 ndash 1

g) y ndash x

x23 + (xy)13 + y

23 + x

23 ndash y23

x3 ndash y13

h) x13y

13 x

13 y ndash y

13 x



y ndash z )ndash1

j) (x15 + x25

1 + x + 1) 1 ndash x3



ndash b a a + b

+ 3ab ndash b2

a ndash b

m) a + ba ndash b

ndash a + ab a + b

n) a + 1a a + a + a

1a2 ndash a




x05 ndash 1 r) ( 2 + x14


14


x34 s) 1x3 + y3 ndash x3 + y3

x23 ndash (xy)

13 + y

23




ndash 13


x + 1x x ndash 1

+ 2 x

146










6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai

TAIKYK

147




6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai







Sprendimas






2b + 1 ndash 6ab




PamėginkPamėgink





sin2 α

|v| = 2ghsin2 α

v = 2ghsin2 α


Išreiškiame v2




lg = T

2π

lg = ( T

2π )2

lg = T2

4π2gl = 4π2

T2

g = 4π2 middot lT2






Pavyzdžiai

148




p



f = 1F



c

1 + vc


R



P + ET


ndash 1)( 1R1

ndash 1R2)




y


12 = mgh2 + mv2

22


2



y + 24


n21 ndash 1

n22)








PamėginkPamėgink

UŽDAVINIAI

149












150

1 variantas


A 215a + b B 215 + a ndash b


b



A x = 3 B x = 0 C x = ndash3 D x = 9





a) x ndash 32 7 + 4


12 d) 3x ndash 27

x2 ndash 1






a) 32x 94 b) 81x7y 63 c) x 12y 345 d) x 17y 246






PASITIKRINK

151








a middot 5 + 9


⓭ Suprastink


m2 + n2 m2 ndash n2

4mn c) xx + 4 + 4


2 variantas


b2 =

A 140 B 142 C 145 D 146


A 00625 B 0 C 0125 D 025





15x3

c) 04x ndash 10x2 + 145 d) ( 205

10 ndash 5a)ndash18

❺ Pakelk kubu

a) (2 + 2 )3 b) (2 3 + 3 )3 c) (x 2 ndash y3 2 )3



❼ Suprastink




❾ Suprastink

a) 64x6 + 216y6



ndash 52 ndash x






4 kai y lt 0

152


❶Apskaičiuok

a) ( 7 ndash 5 23 + 7 + 503 ) middot 9 b) (3 + 2 5 4


54 + 1



❷Įrodyk teiginį

a) jei x23 + y

23 = a

23 tai x2 + x 4y 23 + y2 + x 2y 43 = a















+ ndash

bf middot xy = gcg

= = =

eec + bcyy = bfbe


153



A 40 B 250 C 225 D 2500


A 2600p B 10400 + p100 C 104p D 5200

100 + 2p








A 545 = 1

54 B 545 = 5

54 C 545 = 31254 D 5

45 = 6255


p ndash 1




x + 4 D 1x + 4



A a = 1 b = 5 B a = 2 b = 3 C a = 1 b = 4 D a = 3 b = 2




A 8 3 cm B 8 3 3 cm C 4

3 cm D 4 3 3 cm


A 56 B 60 C 64 D 112


154











+ 2 ndash x 2 + x





išraišką T(x)




1200 cm2


155












2



120



x = 025656 | 10 1 1

10x = 2565656 (1)

10x = 2565656 | 100 2 2

1000x = 2565656 (2)


x = 256 ndash 21000 ndash 10

x = 254990 = 127

495

32(56) = 3 256 ndash 2103 ndash 101 = 3 127

495 1 3






Išreiškiame x


Atsakymas 32(56) = 3 127495

Pavyzdys

021(8) = 218 ndash 21103 ndash 102 = 197

900 0(4) = 4 ndash 0101 ndash 100 = 4

9 2 3

0123(45) = 12345 ndash 123105 ndash 103 = 679

5500 0(56) = 56 ndash 0102 ndash 100 = 56

99 3 5








a) 0(7) b) 05(7) c) 214(8) d) 03(12)


Pamėgink

Pavyzdžiai

121


x = 025656 | 10 1 1

10x = 2565656 (1)

10x = 2565656 | 100 2 2

1000x = 2565656 (2)


x = 256 ndash 21000 ndash 10

x = 254990 = 127

495

32(56) = 3 256 ndash 2103 ndash 101 = 3 127

495 1 3






Išreiškiame x


Atsakymas 32(56) = 3 127495

Pavyzdys




1 2 000 000 000 = 12 ∙ 1010 10 vietų

0000006 1 = 61 ∙ 10ndash6 6 vietos



Pavyzdys


a + b = 24 1025 + 12 1025 = = 36 1025

a + c = 24 1025 + 5 1024 = = 24 1025 + 05 1025 = 29 1025

a b = (24 1025) (12 1025) = = (24 12) (1025 1025) = 288 1050

b c = 12 1025

5 1024 = 024 101 = 24





Pavyzdys


Pamėgink



Pamėgink

122





KMI = 601682 asymp 60


Pavyzdys

∆x = |x ndash a|






|a| 100







Pamėgink

123










KMI = 601682 asymp 60


Pavyzdys



a) 1 7 = 014 2 857 asymp 014


3 7 = 042 8 571 asymp 043

gt 5

artinys a = 043



Pavyzdys

b) ∆x = |1 7 ndash 014| = |50 ndash 49

350 | =

= | 1350| = 1

350

∆x = 1350 lt 00028 lt 0003

δ = ∆x|a| =

1350

750

= 1350 50

7 = 149

δ = 149 100 asymp 2041 lt 21




UŽDAVINIAI



Pamėgink

124



Įrodyk kad



Pagrįsk teiginius















125




d) 0(32) 0(4) e) 0(493) 07(45) f) 0(285714) 01(3)04(6) 4(9)

g) 2(8) ndash 0(4) h) 1(27) ndash 03(4) i) 0(917) + 03(614)

j) 0(57) 0(6) k) 0(267) 03(12) l) 0(53) 02(9)332(4) + 1(21)

Palygink skaičius

a) 1 6 ir 3


12






d) 0002096 1012

524 e) 08128 1024

254 10ndash14 f) 0027 1021 ndash 631 1017

g) 1890 00105 h) 00045 1017 i) 000007 10ndash16

j) 000010288016 1017 k) 5139645 10ndash13

7895 10ndash34 l) 760 1012 ndash 0003 1015


a) 5 6 h = 01 b) 2

7 h = 000001 c) 3 h = 01 d) 6 h = 001

e) 4 13 h = 001 f) 3

11 h = 0001 g) 11 h = 000001 h) 8 h = 000001


a) 1 9 h = 01 b) 2 h = 001 c) 3

11 h = 001 d) 10 h = 0001

126

1 variantas




6 reikšmė

A 7 6 B 1

6 C 75 D 74




❻ Apskaičiuok

a) (134)ndash 2 b) 7503

63 c) (33

4 9ndash 14)ndash4

d) ( 27 ndash 2 3 + 75) 3

e) 5( 3 ndash 7)2

5 ndash 21 f) ( 00001

81 ) ndash 34 10ndash4 g) ( 160

15

121502) ndash2

h) 23 ( 43 ndash 163 )



3









PASITIKRINK

127





2 variantas



A 4ndash 34 = 4

43 B 4ndash

34 = 1

644 C 4ndash

34 = 1

43 D 4ndash 34 = 1

2563


1417 reikšmė

A 1514 B 1 1

196 C 1415 D 1415





❻ Apskaičiuok


14 b) 2 8

16 8

4

3

3 88 c)

8113 + 3

73

33 + 813 + 21873

d) 53 + 2a 43 + 2a

202a + 2 e) 31 ndash 2 5 9 5 f) 17 ndash 338 33 + 178

❼ Suprastink

a) ( 182 ndash 13

ndash 2011 ndash 1

+ 2413 ndash 1) ( 1

2 + 11 )ndash1 b) (3 ndash 7)

12(3 + 7)

12

c) 1 + 3 + 32 + 33 + 34 + + 315







128









m4 + 3m3 + 23 (p ndash 4)(p ndash 12)

27 53



narys narys narys

trinaris




m + 2



7 ndash p + 3


racionalieji

iracionalieji


SUSIPAŽINK

129












Įsimink



② ne 0

③ 2n 0

④ 2n gt 0

⑤mn gt 0



Pavyzdžiai


1) (2 ndash x2)(2 + x2)x ndash 5 2) 2

5x 2 ndash 37x + 4

3) 23 x 2 ndash 5x ndash 813 4) 7

c ndash 2

c + 1 + c + 2

33

5) 2x2 ndash 5x ndash 325 6) (3 + x)(12 + x)

(x ndash 5)x

7) y3

3 + 3y23 8) 3y2 + 2

y2 + 5y ndash 6


Pamėgink

130



x(x ndash 4) ne 0







x 25x ne ndash1









x ne ndash3


(x + 7)(x ndash 7) lt 0








Pavyzdžiai


a) 03x ndash 1 3 b) 2

7x3 + 1 9x2 + 0(4)x ndash 12

c) 2 + 4x x + 3 d) 2 + 4x

x2 ndash 25

Pamėgink

131



3 c) 3 x ndash 36



12 ndash 2x g) x


x2 ndash 1









e) x13 ndash 1 f) 1



2x2 ndash 50



m) 2x + x25 n) x + 2

3 5 o) 2x + 1

x2 ndash 9 p) 12x + x + 4




a + 3 d) 4x


e) (3x ndash 1)ndash134 f) 5x + 40 3

1 ndash x2 g) 4




2 ndash a l) 35k + 21 6

2k + 34


1 ndash p2 n) 2x + 10


x + 5 p) 4 ndash 12x2 + 4 5x + 403

UŽDAVINIAI



b) x + 24

3 ndash x6



x2 ndash 1


Pamėgink

132











23 + xndash

13)

x 13 (x

23 + xndash

13) = x

13 x

23 + x

13 xndash

13 =

= x 13 +

23 + x

13 ndash

13 = x

33 + x0 = x + 1



Atsakymas x + 1









Pavyzdžiai

IŠMOK

133




a) x43 = x3 x3 = x x3

b) x94 = x4 x4 x4 = x2 x4

x94 = x 94 = x2

14 = x2 x4

c) x6y6 = x6 y6 = x y6





Pavyzdys



Įsiminka2n2n = |a|



(x ndash 4)44 + (x ndash 2)33 =




Pavyzdžiai


a) ( x 14 ndash 1 )( x



Pamėgink




Pamėgink

134









a) x y3 = x3y3

b) a b4 = a4b4










Pavyzdžiai

Suprastink



Pamėgink


a) a3 a4 (a gt 0) b) ab2 a3 (a b gt 0)


Pamėgink

135



Įsimink





= ndash x7y 46




Pavyzdys




① (a + b)2 = a2 + 2ab + b2



④ (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3


⑥ a3 + b3 = (a + b)(a2 ndash ab + b2)





Pamėgink


136



(2x + 3)3 = a b



Sprendimas


Atsakymas 8x3 + 36x2 + 54x + 27


( 2 ndash 2 3 )3 = a b



Sprendimas



Pavyzdžiai


8x6 + 60x4y + 150x2y2 + 125y3 =

= (2x2)3 + 3 (2x2)2 (5y) + 3 (2x2) (5y)2 + (5y)3 = a3 a2 b a b2 b3

= (2x2 + 5y)3




Pavyzdys


a) (m ndash 5n)3 b) (2x + 2)3c) ( 3 + 2)3 d) (2 2 + 2)3

Pamėgink




52


Pamėgink

137
















Pavyzdys








Pavyzdys




Pamėgink

138







a) 8x6 ndash a3b9 = (2x2)3 (ab3)3

= (2x2)3 ndash (ab3)3 = a3 b3


= (2x2 ndash ab3)(4x4 + 2x2ab3 + a2b6)






= ( x3 ndash y3 )( x23 + xy3 + y23 )








Taikome 7 formulę

Pavyzdys







Pamėgink



Pamėgink

139



x1 = 1 ndash 81 20 = ndash 2 5 x2 = 1 + 81

20 = 1 2


5) =

= 2 5(x ndash 1 2)(x + 2

5) =

= (2x ndash 1)(5x + 2)





Pavyzdys

Grupavimo būdas









Pavyzdys


= (x + y)(a + b)




++



Pamėgink




Pamėgink

140



6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys




ab + c

d = ad + bcbd

ab ndash c

d = ad ndash bcbd



x + y


Pamėgink

Suprastink




2x ndash 10


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys

3

141


6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys





ab middot c


ab c

d = ab middot d




x ndash y


x2 + y2

x ndash y =


x ndash yx2 + y2 =


x2 + y2 =


= x + y

Sprendimas


Pavyzdžiai

Suprastink

a) 1x x + x

+ xx + 1

b) 6 xx ndash 3

ndash 3x + 3


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys



x ndash yx + y


=


( x + y )( x ndash y ) =



x ndash y

Sprendimas




Pavyzdys

x ndash y x + y

142


UŽDAVINIAI




Suprastink

a) x12 middot x

14 b) (x4

5)3

c) (x23 middot x

15)15

d) x13

xndash 23

e) (x23)

34


n3)6n

h) (b2n bndash075n

bndash05n )ndash4n

i) y 13 middot y

23 j) (x2)

13 k) y

25


27)35

m) (y27)175


n2 o) (x

n4 middot x

n8)8

p) (xndash 56 n x3n

x 43 n )ndash6n




a) ( 3x + 1 ndash 4



Pamėgink


1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









2(1 + 3x) 1 ndash 3x2

143

Suprastink




a) 4 x 3 z 2y 6 4 y ndash2


a 3 b 5a 5

d) 5 a 5 c 2b 2 5 b ndash3


y 4 y 3x 6




a) 12x3y 3x2y b) 16x2y3 3x2y3 c) 144x 5y 124


12y23

e) 63x 5y 3 28x2y f) 8x2y5 4x 3y 45 g) 250xy 74

18x17y24 h) 3x 6y 83

ndash81y23









3b)3 h) (2 2 ndash 3 3)3

i) (3x ndash 4)3 j) (5x + 2)3 k) ( x3 + 1)3 l) ( x6 + x3 )3


p) (x 2 ndash 2)3



1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









144




14 ndash x

14y

34 g) n n + n h) x

34 ndash x



13 ndash x

13y




12 d) xn ndash yn




32 h) y + x 34




a) x + 3x + 4 b) x 3

x 4 c) (x + 2) 3(x + 2) + x d) (x + 2) ndash (x + 3)

(x + 2) + (x + 3)


x + 2 g) x + 1(x + 1)2 h) x 3 + 4

x 4 + 3

i) 6 xx 5 j) x + 1


b x + a



x ndash 5








b ndash a








a) ab ndash b2

2b b) x2 ndash y2





2x ndash 5y








a) x x ndash x


c) a ndash 1a + 1


e) x x + xx


g) x 6 ndash y 6



a) xy + y


x2 + 2x + 1 c) 3x + 1 + x + 5


d) 3x2 + 9x + 14 + 5

2x2 + 15x + 7 e) x ndash x2



x ndash 2

g) 2x2




x3 + 2x + 2x2 + 4 + 1x2 + 2

145

j) 1x(x + 1) + 1

x + 1 k) 6x2 ndash 9 + 9

x2 ndash 6x + 9 l) 4x + 2 + x + 6


m) 6x2 + 11x + 24 + 4








x ndash 3

Suprastink

a) x x ndash 2

ndash 2x + 2

b) 3


a ndash 9 c) x 12

x05 + 1 ndash 1

x05 ndash 1 d) 2

x + 2 + x

x ndash 2 ndash 4 x

x ndash 4

e) 11 + x

ndash 11 ndash x

f) 1a4 ndash 1

+ 1a4 + 1

g) 3

x 12 + 3 ndash x05

x05 ndash 3 h) x

81 ndash x ndash 9

x + 9 + x

x ndash 9

Suprastink

a) 16x2y5










3x j) x + 3x2 + 6x x2 ndash 9


x






3x + 4

e) 5 ndash 2

x ndash 3

4 ndash 1x ndash 3









1 + 3x

1 ndash 6x

m) 3 + 2

x + 4

5 ndash 1x + 4



2x + 2 ndash 1) 6x ndash 6 x + 1 p) ( 1

x ndash 1 ndash x + 1x2 + x + 1) (1 + 1

x3 ndash 1)





y ndash x ndash2








a13 + b



x + 1 + 1 ndash x )


16) xy 46 e) ( 1


x13 ndash 1

+ x13) middot x

13 ndash 1

x23 ndash 1

g) y ndash x

x23 + (xy)13 + y

23 + x

23 ndash y23

x3 ndash y13

h) x13y

13 x

13 y ndash y

13 x



y ndash z )ndash1

j) (x15 + x25

1 + x + 1) 1 ndash x3



ndash b a a + b

+ 3ab ndash b2

a ndash b

m) a + ba ndash b

ndash a + ab a + b

n) a + 1a a + a + a

1a2 ndash a




x05 ndash 1 r) ( 2 + x14


14


x34 s) 1x3 + y3 ndash x3 + y3

x23 ndash (xy)

13 + y

23




ndash 13


x + 1x x ndash 1

+ 2 x

146










6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai

TAIKYK

147




6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai







Sprendimas






2b + 1 ndash 6ab




PamėginkPamėgink





sin2 α

|v| = 2ghsin2 α

v = 2ghsin2 α


Išreiškiame v2




lg = T

2π

lg = ( T

2π )2

lg = T2

4π2gl = 4π2

T2

g = 4π2 middot lT2






Pavyzdžiai

148




p



f = 1F



c

1 + vc


R



P + ET


ndash 1)( 1R1

ndash 1R2)




y


12 = mgh2 + mv2

22


2



y + 24


n21 ndash 1

n22)








PamėginkPamėgink

UŽDAVINIAI

149












150

1 variantas


A 215a + b B 215 + a ndash b


b



A x = 3 B x = 0 C x = ndash3 D x = 9





a) x ndash 32 7 + 4


12 d) 3x ndash 27

x2 ndash 1






a) 32x 94 b) 81x7y 63 c) x 12y 345 d) x 17y 246






PASITIKRINK

151








a middot 5 + 9


⓭ Suprastink


m2 + n2 m2 ndash n2

4mn c) xx + 4 + 4


2 variantas


b2 =

A 140 B 142 C 145 D 146


A 00625 B 0 C 0125 D 025





15x3

c) 04x ndash 10x2 + 145 d) ( 205

10 ndash 5a)ndash18

❺ Pakelk kubu

a) (2 + 2 )3 b) (2 3 + 3 )3 c) (x 2 ndash y3 2 )3



❼ Suprastink




❾ Suprastink

a) 64x6 + 216y6



ndash 52 ndash x






4 kai y lt 0

152


❶Apskaičiuok

a) ( 7 ndash 5 23 + 7 + 503 ) middot 9 b) (3 + 2 5 4


54 + 1



❷Įrodyk teiginį

a) jei x23 + y

23 = a

23 tai x2 + x 4y 23 + y2 + x 2y 43 = a















+ ndash

bf middot xy = gcg

= = =

eec + bcyy = bfbe


153



A 40 B 250 C 225 D 2500


A 2600p B 10400 + p100 C 104p D 5200

100 + 2p








A 545 = 1

54 B 545 = 5

54 C 545 = 31254 D 5

45 = 6255


p ndash 1




x + 4 D 1x + 4



A a = 1 b = 5 B a = 2 b = 3 C a = 1 b = 4 D a = 3 b = 2




A 8 3 cm B 8 3 3 cm C 4

3 cm D 4 3 3 cm


A 56 B 60 C 64 D 112


154











+ 2 ndash x 2 + x





išraišką T(x)




1200 cm2


155












2



121


x = 025656 | 10 1 1

10x = 2565656 (1)

10x = 2565656 | 100 2 2

1000x = 2565656 (2)


x = 256 ndash 21000 ndash 10

x = 254990 = 127

495

32(56) = 3 256 ndash 2103 ndash 101 = 3 127

495 1 3






Išreiškiame x


Atsakymas 32(56) = 3 127495

Pavyzdys




1 2 000 000 000 = 12 ∙ 1010 10 vietų

0000006 1 = 61 ∙ 10ndash6 6 vietos



Pavyzdys


a + b = 24 1025 + 12 1025 = = 36 1025

a + c = 24 1025 + 5 1024 = = 24 1025 + 05 1025 = 29 1025

a b = (24 1025) (12 1025) = = (24 12) (1025 1025) = 288 1050

b c = 12 1025

5 1024 = 024 101 = 24





Pavyzdys


Pamėgink



Pamėgink

122





KMI = 601682 asymp 60


Pavyzdys

∆x = |x ndash a|






|a| 100







Pamėgink

123










KMI = 601682 asymp 60


Pavyzdys



a) 1 7 = 014 2 857 asymp 014


3 7 = 042 8 571 asymp 043

gt 5

artinys a = 043



Pavyzdys

b) ∆x = |1 7 ndash 014| = |50 ndash 49

350 | =

= | 1350| = 1

350

∆x = 1350 lt 00028 lt 0003

δ = ∆x|a| =

1350

750

= 1350 50

7 = 149

δ = 149 100 asymp 2041 lt 21




UŽDAVINIAI



Pamėgink

124



Įrodyk kad



Pagrįsk teiginius















125




d) 0(32) 0(4) e) 0(493) 07(45) f) 0(285714) 01(3)04(6) 4(9)

g) 2(8) ndash 0(4) h) 1(27) ndash 03(4) i) 0(917) + 03(614)

j) 0(57) 0(6) k) 0(267) 03(12) l) 0(53) 02(9)332(4) + 1(21)

Palygink skaičius

a) 1 6 ir 3


12






d) 0002096 1012

524 e) 08128 1024

254 10ndash14 f) 0027 1021 ndash 631 1017

g) 1890 00105 h) 00045 1017 i) 000007 10ndash16

j) 000010288016 1017 k) 5139645 10ndash13

7895 10ndash34 l) 760 1012 ndash 0003 1015


a) 5 6 h = 01 b) 2

7 h = 000001 c) 3 h = 01 d) 6 h = 001

e) 4 13 h = 001 f) 3

11 h = 0001 g) 11 h = 000001 h) 8 h = 000001


a) 1 9 h = 01 b) 2 h = 001 c) 3

11 h = 001 d) 10 h = 0001

126

1 variantas




6 reikšmė

A 7 6 B 1

6 C 75 D 74




❻ Apskaičiuok

a) (134)ndash 2 b) 7503

63 c) (33

4 9ndash 14)ndash4

d) ( 27 ndash 2 3 + 75) 3

e) 5( 3 ndash 7)2

5 ndash 21 f) ( 00001

81 ) ndash 34 10ndash4 g) ( 160

15

121502) ndash2

h) 23 ( 43 ndash 163 )



3









PASITIKRINK

127





2 variantas



A 4ndash 34 = 4

43 B 4ndash

34 = 1

644 C 4ndash

34 = 1

43 D 4ndash 34 = 1

2563


1417 reikšmė

A 1514 B 1 1

196 C 1415 D 1415





❻ Apskaičiuok


14 b) 2 8

16 8

4

3

3 88 c)

8113 + 3

73

33 + 813 + 21873

d) 53 + 2a 43 + 2a

202a + 2 e) 31 ndash 2 5 9 5 f) 17 ndash 338 33 + 178

❼ Suprastink

a) ( 182 ndash 13

ndash 2011 ndash 1

+ 2413 ndash 1) ( 1

2 + 11 )ndash1 b) (3 ndash 7)

12(3 + 7)

12

c) 1 + 3 + 32 + 33 + 34 + + 315







128









m4 + 3m3 + 23 (p ndash 4)(p ndash 12)

27 53



narys narys narys

trinaris




m + 2



7 ndash p + 3


racionalieji

iracionalieji


SUSIPAŽINK

129












Įsimink



② ne 0

③ 2n 0

④ 2n gt 0

⑤mn gt 0



Pavyzdžiai


1) (2 ndash x2)(2 + x2)x ndash 5 2) 2

5x 2 ndash 37x + 4

3) 23 x 2 ndash 5x ndash 813 4) 7

c ndash 2

c + 1 + c + 2

33

5) 2x2 ndash 5x ndash 325 6) (3 + x)(12 + x)

(x ndash 5)x

7) y3

3 + 3y23 8) 3y2 + 2

y2 + 5y ndash 6


Pamėgink

130



x(x ndash 4) ne 0







x 25x ne ndash1









x ne ndash3


(x + 7)(x ndash 7) lt 0








Pavyzdžiai


a) 03x ndash 1 3 b) 2

7x3 + 1 9x2 + 0(4)x ndash 12

c) 2 + 4x x + 3 d) 2 + 4x

x2 ndash 25

Pamėgink

131



3 c) 3 x ndash 36



12 ndash 2x g) x


x2 ndash 1









e) x13 ndash 1 f) 1



2x2 ndash 50



m) 2x + x25 n) x + 2

3 5 o) 2x + 1

x2 ndash 9 p) 12x + x + 4




a + 3 d) 4x


e) (3x ndash 1)ndash134 f) 5x + 40 3

1 ndash x2 g) 4




2 ndash a l) 35k + 21 6

2k + 34


1 ndash p2 n) 2x + 10


x + 5 p) 4 ndash 12x2 + 4 5x + 403

UŽDAVINIAI



b) x + 24

3 ndash x6



x2 ndash 1


Pamėgink

132











23 + xndash

13)

x 13 (x

23 + xndash

13) = x

13 x

23 + x

13 xndash

13 =

= x 13 +

23 + x

13 ndash

13 = x

33 + x0 = x + 1



Atsakymas x + 1









Pavyzdžiai

IŠMOK

133




a) x43 = x3 x3 = x x3

b) x94 = x4 x4 x4 = x2 x4

x94 = x 94 = x2

14 = x2 x4

c) x6y6 = x6 y6 = x y6





Pavyzdys



Įsiminka2n2n = |a|



(x ndash 4)44 + (x ndash 2)33 =




Pavyzdžiai


a) ( x 14 ndash 1 )( x



Pamėgink




Pamėgink

134









a) x y3 = x3y3

b) a b4 = a4b4










Pavyzdžiai

Suprastink



Pamėgink


a) a3 a4 (a gt 0) b) ab2 a3 (a b gt 0)


Pamėgink

135



Įsimink





= ndash x7y 46




Pavyzdys




① (a + b)2 = a2 + 2ab + b2



④ (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3


⑥ a3 + b3 = (a + b)(a2 ndash ab + b2)





Pamėgink


136



(2x + 3)3 = a b



Sprendimas


Atsakymas 8x3 + 36x2 + 54x + 27


( 2 ndash 2 3 )3 = a b



Sprendimas



Pavyzdžiai


8x6 + 60x4y + 150x2y2 + 125y3 =

= (2x2)3 + 3 (2x2)2 (5y) + 3 (2x2) (5y)2 + (5y)3 = a3 a2 b a b2 b3

= (2x2 + 5y)3




Pavyzdys


a) (m ndash 5n)3 b) (2x + 2)3c) ( 3 + 2)3 d) (2 2 + 2)3

Pamėgink




52


Pamėgink

137
















Pavyzdys








Pavyzdys




Pamėgink

138







a) 8x6 ndash a3b9 = (2x2)3 (ab3)3

= (2x2)3 ndash (ab3)3 = a3 b3


= (2x2 ndash ab3)(4x4 + 2x2ab3 + a2b6)






= ( x3 ndash y3 )( x23 + xy3 + y23 )








Taikome 7 formulę

Pavyzdys







Pamėgink



Pamėgink

139



x1 = 1 ndash 81 20 = ndash 2 5 x2 = 1 + 81

20 = 1 2


5) =

= 2 5(x ndash 1 2)(x + 2

5) =

= (2x ndash 1)(5x + 2)





Pavyzdys

Grupavimo būdas









Pavyzdys


= (x + y)(a + b)




++



Pamėgink




Pamėgink

140



6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys




ab + c

d = ad + bcbd

ab ndash c

d = ad ndash bcbd



x + y


Pamėgink

Suprastink




2x ndash 10


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys

3

141


6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys





ab middot c


ab c

d = ab middot d




x ndash y


x2 + y2

x ndash y =


x ndash yx2 + y2 =


x2 + y2 =


= x + y

Sprendimas


Pavyzdžiai

Suprastink

a) 1x x + x

+ xx + 1

b) 6 xx ndash 3

ndash 3x + 3


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys



x ndash yx + y


=


( x + y )( x ndash y ) =



x ndash y

Sprendimas




Pavyzdys

x ndash y x + y

142


UŽDAVINIAI




Suprastink

a) x12 middot x

14 b) (x4

5)3

c) (x23 middot x

15)15

d) x13

xndash 23

e) (x23)

34


n3)6n

h) (b2n bndash075n

bndash05n )ndash4n

i) y 13 middot y

23 j) (x2)

13 k) y

25


27)35

m) (y27)175


n2 o) (x

n4 middot x

n8)8

p) (xndash 56 n x3n

x 43 n )ndash6n




a) ( 3x + 1 ndash 4



Pamėgink


1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









2(1 + 3x) 1 ndash 3x2

143

Suprastink




a) 4 x 3 z 2y 6 4 y ndash2


a 3 b 5a 5

d) 5 a 5 c 2b 2 5 b ndash3


y 4 y 3x 6




a) 12x3y 3x2y b) 16x2y3 3x2y3 c) 144x 5y 124


12y23

e) 63x 5y 3 28x2y f) 8x2y5 4x 3y 45 g) 250xy 74

18x17y24 h) 3x 6y 83

ndash81y23









3b)3 h) (2 2 ndash 3 3)3

i) (3x ndash 4)3 j) (5x + 2)3 k) ( x3 + 1)3 l) ( x6 + x3 )3


p) (x 2 ndash 2)3



1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









144




14 ndash x

14y

34 g) n n + n h) x

34 ndash x



13 ndash x

13y




12 d) xn ndash yn




32 h) y + x 34




a) x + 3x + 4 b) x 3

x 4 c) (x + 2) 3(x + 2) + x d) (x + 2) ndash (x + 3)

(x + 2) + (x + 3)


x + 2 g) x + 1(x + 1)2 h) x 3 + 4

x 4 + 3

i) 6 xx 5 j) x + 1


b x + a



x ndash 5








b ndash a








a) ab ndash b2

2b b) x2 ndash y2





2x ndash 5y








a) x x ndash x


c) a ndash 1a + 1


e) x x + xx


g) x 6 ndash y 6



a) xy + y


x2 + 2x + 1 c) 3x + 1 + x + 5


d) 3x2 + 9x + 14 + 5

2x2 + 15x + 7 e) x ndash x2



x ndash 2

g) 2x2




x3 + 2x + 2x2 + 4 + 1x2 + 2

145

j) 1x(x + 1) + 1

x + 1 k) 6x2 ndash 9 + 9

x2 ndash 6x + 9 l) 4x + 2 + x + 6


m) 6x2 + 11x + 24 + 4








x ndash 3

Suprastink

a) x x ndash 2

ndash 2x + 2

b) 3


a ndash 9 c) x 12

x05 + 1 ndash 1

x05 ndash 1 d) 2

x + 2 + x

x ndash 2 ndash 4 x

x ndash 4

e) 11 + x

ndash 11 ndash x

f) 1a4 ndash 1

+ 1a4 + 1

g) 3

x 12 + 3 ndash x05

x05 ndash 3 h) x

81 ndash x ndash 9

x + 9 + x

x ndash 9

Suprastink

a) 16x2y5










3x j) x + 3x2 + 6x x2 ndash 9


x






3x + 4

e) 5 ndash 2

x ndash 3

4 ndash 1x ndash 3









1 + 3x

1 ndash 6x

m) 3 + 2

x + 4

5 ndash 1x + 4



2x + 2 ndash 1) 6x ndash 6 x + 1 p) ( 1

x ndash 1 ndash x + 1x2 + x + 1) (1 + 1

x3 ndash 1)





y ndash x ndash2








a13 + b



x + 1 + 1 ndash x )


16) xy 46 e) ( 1


x13 ndash 1

+ x13) middot x

13 ndash 1

x23 ndash 1

g) y ndash x

x23 + (xy)13 + y

23 + x

23 ndash y23

x3 ndash y13

h) x13y

13 x

13 y ndash y

13 x



y ndash z )ndash1

j) (x15 + x25

1 + x + 1) 1 ndash x3



ndash b a a + b

+ 3ab ndash b2

a ndash b

m) a + ba ndash b

ndash a + ab a + b

n) a + 1a a + a + a

1a2 ndash a




x05 ndash 1 r) ( 2 + x14


14


x34 s) 1x3 + y3 ndash x3 + y3

x23 ndash (xy)

13 + y

23




ndash 13


x + 1x x ndash 1

+ 2 x

146










6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai

TAIKYK

147




6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai







Sprendimas






2b + 1 ndash 6ab




PamėginkPamėgink





sin2 α

|v| = 2ghsin2 α

v = 2ghsin2 α


Išreiškiame v2




lg = T

2π

lg = ( T

2π )2

lg = T2

4π2gl = 4π2

T2

g = 4π2 middot lT2






Pavyzdžiai

148




p



f = 1F



c

1 + vc


R



P + ET


ndash 1)( 1R1

ndash 1R2)




y


12 = mgh2 + mv2

22


2



y + 24


n21 ndash 1

n22)








PamėginkPamėgink

UŽDAVINIAI

149












150

1 variantas


A 215a + b B 215 + a ndash b


b



A x = 3 B x = 0 C x = ndash3 D x = 9





a) x ndash 32 7 + 4


12 d) 3x ndash 27

x2 ndash 1






a) 32x 94 b) 81x7y 63 c) x 12y 345 d) x 17y 246






PASITIKRINK

151








a middot 5 + 9


⓭ Suprastink


m2 + n2 m2 ndash n2

4mn c) xx + 4 + 4


2 variantas


b2 =

A 140 B 142 C 145 D 146


A 00625 B 0 C 0125 D 025





15x3

c) 04x ndash 10x2 + 145 d) ( 205

10 ndash 5a)ndash18

❺ Pakelk kubu

a) (2 + 2 )3 b) (2 3 + 3 )3 c) (x 2 ndash y3 2 )3



❼ Suprastink




❾ Suprastink

a) 64x6 + 216y6



ndash 52 ndash x






4 kai y lt 0

152


❶Apskaičiuok

a) ( 7 ndash 5 23 + 7 + 503 ) middot 9 b) (3 + 2 5 4


54 + 1



❷Įrodyk teiginį

a) jei x23 + y

23 = a

23 tai x2 + x 4y 23 + y2 + x 2y 43 = a















+ ndash

bf middot xy = gcg

= = =

eec + bcyy = bfbe


153



A 40 B 250 C 225 D 2500


A 2600p B 10400 + p100 C 104p D 5200

100 + 2p








A 545 = 1

54 B 545 = 5

54 C 545 = 31254 D 5

45 = 6255


p ndash 1




x + 4 D 1x + 4



A a = 1 b = 5 B a = 2 b = 3 C a = 1 b = 4 D a = 3 b = 2




A 8 3 cm B 8 3 3 cm C 4

3 cm D 4 3 3 cm


A 56 B 60 C 64 D 112


154











+ 2 ndash x 2 + x





išraišką T(x)




1200 cm2


155












2



122





KMI = 601682 asymp 60


Pavyzdys

∆x = |x ndash a|






|a| 100







Pamėgink

123










KMI = 601682 asymp 60


Pavyzdys



a) 1 7 = 014 2 857 asymp 014


3 7 = 042 8 571 asymp 043

gt 5

artinys a = 043



Pavyzdys

b) ∆x = |1 7 ndash 014| = |50 ndash 49

350 | =

= | 1350| = 1

350

∆x = 1350 lt 00028 lt 0003

δ = ∆x|a| =

1350

750

= 1350 50

7 = 149

δ = 149 100 asymp 2041 lt 21




UŽDAVINIAI



Pamėgink

124



Įrodyk kad



Pagrįsk teiginius















125




d) 0(32) 0(4) e) 0(493) 07(45) f) 0(285714) 01(3)04(6) 4(9)

g) 2(8) ndash 0(4) h) 1(27) ndash 03(4) i) 0(917) + 03(614)

j) 0(57) 0(6) k) 0(267) 03(12) l) 0(53) 02(9)332(4) + 1(21)

Palygink skaičius

a) 1 6 ir 3


12






d) 0002096 1012

524 e) 08128 1024

254 10ndash14 f) 0027 1021 ndash 631 1017

g) 1890 00105 h) 00045 1017 i) 000007 10ndash16

j) 000010288016 1017 k) 5139645 10ndash13

7895 10ndash34 l) 760 1012 ndash 0003 1015


a) 5 6 h = 01 b) 2

7 h = 000001 c) 3 h = 01 d) 6 h = 001

e) 4 13 h = 001 f) 3

11 h = 0001 g) 11 h = 000001 h) 8 h = 000001


a) 1 9 h = 01 b) 2 h = 001 c) 3

11 h = 001 d) 10 h = 0001

126

1 variantas




6 reikšmė

A 7 6 B 1

6 C 75 D 74




❻ Apskaičiuok

a) (134)ndash 2 b) 7503

63 c) (33

4 9ndash 14)ndash4

d) ( 27 ndash 2 3 + 75) 3

e) 5( 3 ndash 7)2

5 ndash 21 f) ( 00001

81 ) ndash 34 10ndash4 g) ( 160

15

121502) ndash2

h) 23 ( 43 ndash 163 )



3









PASITIKRINK

127





2 variantas



A 4ndash 34 = 4

43 B 4ndash

34 = 1

644 C 4ndash

34 = 1

43 D 4ndash 34 = 1

2563


1417 reikšmė

A 1514 B 1 1

196 C 1415 D 1415





❻ Apskaičiuok


14 b) 2 8

16 8

4

3

3 88 c)

8113 + 3

73

33 + 813 + 21873

d) 53 + 2a 43 + 2a

202a + 2 e) 31 ndash 2 5 9 5 f) 17 ndash 338 33 + 178

❼ Suprastink

a) ( 182 ndash 13

ndash 2011 ndash 1

+ 2413 ndash 1) ( 1

2 + 11 )ndash1 b) (3 ndash 7)

12(3 + 7)

12

c) 1 + 3 + 32 + 33 + 34 + + 315







128









m4 + 3m3 + 23 (p ndash 4)(p ndash 12)

27 53



narys narys narys

trinaris




m + 2



7 ndash p + 3


racionalieji

iracionalieji


SUSIPAŽINK

129












Įsimink



② ne 0

③ 2n 0

④ 2n gt 0

⑤mn gt 0



Pavyzdžiai


1) (2 ndash x2)(2 + x2)x ndash 5 2) 2

5x 2 ndash 37x + 4

3) 23 x 2 ndash 5x ndash 813 4) 7

c ndash 2

c + 1 + c + 2

33

5) 2x2 ndash 5x ndash 325 6) (3 + x)(12 + x)

(x ndash 5)x

7) y3

3 + 3y23 8) 3y2 + 2

y2 + 5y ndash 6


Pamėgink

130



x(x ndash 4) ne 0







x 25x ne ndash1









x ne ndash3


(x + 7)(x ndash 7) lt 0








Pavyzdžiai


a) 03x ndash 1 3 b) 2

7x3 + 1 9x2 + 0(4)x ndash 12

c) 2 + 4x x + 3 d) 2 + 4x

x2 ndash 25

Pamėgink

131



3 c) 3 x ndash 36



12 ndash 2x g) x


x2 ndash 1









e) x13 ndash 1 f) 1



2x2 ndash 50



m) 2x + x25 n) x + 2

3 5 o) 2x + 1

x2 ndash 9 p) 12x + x + 4




a + 3 d) 4x


e) (3x ndash 1)ndash134 f) 5x + 40 3

1 ndash x2 g) 4




2 ndash a l) 35k + 21 6

2k + 34


1 ndash p2 n) 2x + 10


x + 5 p) 4 ndash 12x2 + 4 5x + 403

UŽDAVINIAI



b) x + 24

3 ndash x6



x2 ndash 1


Pamėgink

132











23 + xndash

13)

x 13 (x

23 + xndash

13) = x

13 x

23 + x

13 xndash

13 =

= x 13 +

23 + x

13 ndash

13 = x

33 + x0 = x + 1



Atsakymas x + 1









Pavyzdžiai

IŠMOK

133




a) x43 = x3 x3 = x x3

b) x94 = x4 x4 x4 = x2 x4

x94 = x 94 = x2

14 = x2 x4

c) x6y6 = x6 y6 = x y6





Pavyzdys



Įsiminka2n2n = |a|



(x ndash 4)44 + (x ndash 2)33 =




Pavyzdžiai


a) ( x 14 ndash 1 )( x



Pamėgink




Pamėgink

134









a) x y3 = x3y3

b) a b4 = a4b4










Pavyzdžiai

Suprastink



Pamėgink


a) a3 a4 (a gt 0) b) ab2 a3 (a b gt 0)


Pamėgink

135



Įsimink





= ndash x7y 46




Pavyzdys




① (a + b)2 = a2 + 2ab + b2



④ (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3


⑥ a3 + b3 = (a + b)(a2 ndash ab + b2)





Pamėgink


136



(2x + 3)3 = a b



Sprendimas


Atsakymas 8x3 + 36x2 + 54x + 27


( 2 ndash 2 3 )3 = a b



Sprendimas



Pavyzdžiai


8x6 + 60x4y + 150x2y2 + 125y3 =

= (2x2)3 + 3 (2x2)2 (5y) + 3 (2x2) (5y)2 + (5y)3 = a3 a2 b a b2 b3

= (2x2 + 5y)3




Pavyzdys


a) (m ndash 5n)3 b) (2x + 2)3c) ( 3 + 2)3 d) (2 2 + 2)3

Pamėgink




52


Pamėgink

137
















Pavyzdys








Pavyzdys




Pamėgink

138







a) 8x6 ndash a3b9 = (2x2)3 (ab3)3

= (2x2)3 ndash (ab3)3 = a3 b3


= (2x2 ndash ab3)(4x4 + 2x2ab3 + a2b6)






= ( x3 ndash y3 )( x23 + xy3 + y23 )








Taikome 7 formulę

Pavyzdys







Pamėgink



Pamėgink

139



x1 = 1 ndash 81 20 = ndash 2 5 x2 = 1 + 81

20 = 1 2


5) =

= 2 5(x ndash 1 2)(x + 2

5) =

= (2x ndash 1)(5x + 2)





Pavyzdys

Grupavimo būdas









Pavyzdys


= (x + y)(a + b)




++



Pamėgink




Pamėgink

140



6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys




ab + c

d = ad + bcbd

ab ndash c

d = ad ndash bcbd



x + y


Pamėgink

Suprastink




2x ndash 10


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys

3

141


6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys





ab middot c


ab c

d = ab middot d




x ndash y


x2 + y2

x ndash y =


x ndash yx2 + y2 =


x2 + y2 =


= x + y

Sprendimas


Pavyzdžiai

Suprastink

a) 1x x + x

+ xx + 1

b) 6 xx ndash 3

ndash 3x + 3


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys



x ndash yx + y


=


( x + y )( x ndash y ) =



x ndash y

Sprendimas




Pavyzdys

x ndash y x + y

142


UŽDAVINIAI




Suprastink

a) x12 middot x

14 b) (x4

5)3

c) (x23 middot x

15)15

d) x13

xndash 23

e) (x23)

34


n3)6n

h) (b2n bndash075n

bndash05n )ndash4n

i) y 13 middot y

23 j) (x2)

13 k) y

25


27)35

m) (y27)175


n2 o) (x

n4 middot x

n8)8

p) (xndash 56 n x3n

x 43 n )ndash6n




a) ( 3x + 1 ndash 4



Pamėgink


1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









2(1 + 3x) 1 ndash 3x2

143

Suprastink




a) 4 x 3 z 2y 6 4 y ndash2


a 3 b 5a 5

d) 5 a 5 c 2b 2 5 b ndash3


y 4 y 3x 6




a) 12x3y 3x2y b) 16x2y3 3x2y3 c) 144x 5y 124


12y23

e) 63x 5y 3 28x2y f) 8x2y5 4x 3y 45 g) 250xy 74

18x17y24 h) 3x 6y 83

ndash81y23









3b)3 h) (2 2 ndash 3 3)3

i) (3x ndash 4)3 j) (5x + 2)3 k) ( x3 + 1)3 l) ( x6 + x3 )3


p) (x 2 ndash 2)3



1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









144




14 ndash x

14y

34 g) n n + n h) x

34 ndash x



13 ndash x

13y




12 d) xn ndash yn




32 h) y + x 34




a) x + 3x + 4 b) x 3

x 4 c) (x + 2) 3(x + 2) + x d) (x + 2) ndash (x + 3)

(x + 2) + (x + 3)


x + 2 g) x + 1(x + 1)2 h) x 3 + 4

x 4 + 3

i) 6 xx 5 j) x + 1


b x + a



x ndash 5








b ndash a








a) ab ndash b2

2b b) x2 ndash y2





2x ndash 5y








a) x x ndash x


c) a ndash 1a + 1


e) x x + xx


g) x 6 ndash y 6



a) xy + y


x2 + 2x + 1 c) 3x + 1 + x + 5


d) 3x2 + 9x + 14 + 5

2x2 + 15x + 7 e) x ndash x2



x ndash 2

g) 2x2




x3 + 2x + 2x2 + 4 + 1x2 + 2

145

j) 1x(x + 1) + 1

x + 1 k) 6x2 ndash 9 + 9

x2 ndash 6x + 9 l) 4x + 2 + x + 6


m) 6x2 + 11x + 24 + 4








x ndash 3

Suprastink

a) x x ndash 2

ndash 2x + 2

b) 3


a ndash 9 c) x 12

x05 + 1 ndash 1

x05 ndash 1 d) 2

x + 2 + x

x ndash 2 ndash 4 x

x ndash 4

e) 11 + x

ndash 11 ndash x

f) 1a4 ndash 1

+ 1a4 + 1

g) 3

x 12 + 3 ndash x05

x05 ndash 3 h) x

81 ndash x ndash 9

x + 9 + x

x ndash 9

Suprastink

a) 16x2y5










3x j) x + 3x2 + 6x x2 ndash 9


x






3x + 4

e) 5 ndash 2

x ndash 3

4 ndash 1x ndash 3









1 + 3x

1 ndash 6x

m) 3 + 2

x + 4

5 ndash 1x + 4



2x + 2 ndash 1) 6x ndash 6 x + 1 p) ( 1

x ndash 1 ndash x + 1x2 + x + 1) (1 + 1

x3 ndash 1)





y ndash x ndash2








a13 + b



x + 1 + 1 ndash x )


16) xy 46 e) ( 1


x13 ndash 1

+ x13) middot x

13 ndash 1

x23 ndash 1

g) y ndash x

x23 + (xy)13 + y

23 + x

23 ndash y23

x3 ndash y13

h) x13y

13 x

13 y ndash y

13 x



y ndash z )ndash1

j) (x15 + x25

1 + x + 1) 1 ndash x3



ndash b a a + b

+ 3ab ndash b2

a ndash b

m) a + ba ndash b

ndash a + ab a + b

n) a + 1a a + a + a

1a2 ndash a




x05 ndash 1 r) ( 2 + x14


14


x34 s) 1x3 + y3 ndash x3 + y3

x23 ndash (xy)

13 + y

23




ndash 13


x + 1x x ndash 1

+ 2 x

146










6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai

TAIKYK

147




6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai







Sprendimas






2b + 1 ndash 6ab




PamėginkPamėgink





sin2 α

|v| = 2ghsin2 α

v = 2ghsin2 α


Išreiškiame v2




lg = T

2π

lg = ( T

2π )2

lg = T2

4π2gl = 4π2

T2

g = 4π2 middot lT2






Pavyzdžiai

148




p



f = 1F



c

1 + vc


R



P + ET


ndash 1)( 1R1

ndash 1R2)




y


12 = mgh2 + mv2

22


2



y + 24


n21 ndash 1

n22)








PamėginkPamėgink

UŽDAVINIAI

149












150

1 variantas


A 215a + b B 215 + a ndash b


b



A x = 3 B x = 0 C x = ndash3 D x = 9





a) x ndash 32 7 + 4


12 d) 3x ndash 27

x2 ndash 1






a) 32x 94 b) 81x7y 63 c) x 12y 345 d) x 17y 246






PASITIKRINK

151








a middot 5 + 9


⓭ Suprastink


m2 + n2 m2 ndash n2

4mn c) xx + 4 + 4


2 variantas


b2 =

A 140 B 142 C 145 D 146


A 00625 B 0 C 0125 D 025





15x3

c) 04x ndash 10x2 + 145 d) ( 205

10 ndash 5a)ndash18

❺ Pakelk kubu

a) (2 + 2 )3 b) (2 3 + 3 )3 c) (x 2 ndash y3 2 )3



❼ Suprastink




❾ Suprastink

a) 64x6 + 216y6



ndash 52 ndash x






4 kai y lt 0

152


❶Apskaičiuok

a) ( 7 ndash 5 23 + 7 + 503 ) middot 9 b) (3 + 2 5 4


54 + 1



❷Įrodyk teiginį

a) jei x23 + y

23 = a

23 tai x2 + x 4y 23 + y2 + x 2y 43 = a















+ ndash

bf middot xy = gcg

= = =

eec + bcyy = bfbe


153



A 40 B 250 C 225 D 2500


A 2600p B 10400 + p100 C 104p D 5200

100 + 2p








A 545 = 1

54 B 545 = 5

54 C 545 = 31254 D 5

45 = 6255


p ndash 1




x + 4 D 1x + 4



A a = 1 b = 5 B a = 2 b = 3 C a = 1 b = 4 D a = 3 b = 2




A 8 3 cm B 8 3 3 cm C 4

3 cm D 4 3 3 cm


A 56 B 60 C 64 D 112


154











+ 2 ndash x 2 + x





išraišką T(x)




1200 cm2


155












2



123










KMI = 601682 asymp 60


Pavyzdys



a) 1 7 = 014 2 857 asymp 014


3 7 = 042 8 571 asymp 043

gt 5

artinys a = 043



Pavyzdys

b) ∆x = |1 7 ndash 014| = |50 ndash 49

350 | =

= | 1350| = 1

350

∆x = 1350 lt 00028 lt 0003

δ = ∆x|a| =

1350

750

= 1350 50

7 = 149

δ = 149 100 asymp 2041 lt 21




UŽDAVINIAI



Pamėgink

124



Įrodyk kad



Pagrįsk teiginius















125




d) 0(32) 0(4) e) 0(493) 07(45) f) 0(285714) 01(3)04(6) 4(9)

g) 2(8) ndash 0(4) h) 1(27) ndash 03(4) i) 0(917) + 03(614)

j) 0(57) 0(6) k) 0(267) 03(12) l) 0(53) 02(9)332(4) + 1(21)

Palygink skaičius

a) 1 6 ir 3


12






d) 0002096 1012

524 e) 08128 1024

254 10ndash14 f) 0027 1021 ndash 631 1017

g) 1890 00105 h) 00045 1017 i) 000007 10ndash16

j) 000010288016 1017 k) 5139645 10ndash13

7895 10ndash34 l) 760 1012 ndash 0003 1015


a) 5 6 h = 01 b) 2

7 h = 000001 c) 3 h = 01 d) 6 h = 001

e) 4 13 h = 001 f) 3

11 h = 0001 g) 11 h = 000001 h) 8 h = 000001


a) 1 9 h = 01 b) 2 h = 001 c) 3

11 h = 001 d) 10 h = 0001

126

1 variantas




6 reikšmė

A 7 6 B 1

6 C 75 D 74




❻ Apskaičiuok

a) (134)ndash 2 b) 7503

63 c) (33

4 9ndash 14)ndash4

d) ( 27 ndash 2 3 + 75) 3

e) 5( 3 ndash 7)2

5 ndash 21 f) ( 00001

81 ) ndash 34 10ndash4 g) ( 160

15

121502) ndash2

h) 23 ( 43 ndash 163 )



3









PASITIKRINK

127





2 variantas



A 4ndash 34 = 4

43 B 4ndash

34 = 1

644 C 4ndash

34 = 1

43 D 4ndash 34 = 1

2563


1417 reikšmė

A 1514 B 1 1

196 C 1415 D 1415





❻ Apskaičiuok


14 b) 2 8

16 8

4

3

3 88 c)

8113 + 3

73

33 + 813 + 21873

d) 53 + 2a 43 + 2a

202a + 2 e) 31 ndash 2 5 9 5 f) 17 ndash 338 33 + 178

❼ Suprastink

a) ( 182 ndash 13

ndash 2011 ndash 1

+ 2413 ndash 1) ( 1

2 + 11 )ndash1 b) (3 ndash 7)

12(3 + 7)

12

c) 1 + 3 + 32 + 33 + 34 + + 315







128









m4 + 3m3 + 23 (p ndash 4)(p ndash 12)

27 53



narys narys narys

trinaris




m + 2



7 ndash p + 3


racionalieji

iracionalieji


SUSIPAŽINK

129












Įsimink



② ne 0

③ 2n 0

④ 2n gt 0

⑤mn gt 0



Pavyzdžiai


1) (2 ndash x2)(2 + x2)x ndash 5 2) 2

5x 2 ndash 37x + 4

3) 23 x 2 ndash 5x ndash 813 4) 7

c ndash 2

c + 1 + c + 2

33

5) 2x2 ndash 5x ndash 325 6) (3 + x)(12 + x)

(x ndash 5)x

7) y3

3 + 3y23 8) 3y2 + 2

y2 + 5y ndash 6


Pamėgink

130



x(x ndash 4) ne 0







x 25x ne ndash1









x ne ndash3


(x + 7)(x ndash 7) lt 0








Pavyzdžiai


a) 03x ndash 1 3 b) 2

7x3 + 1 9x2 + 0(4)x ndash 12

c) 2 + 4x x + 3 d) 2 + 4x

x2 ndash 25

Pamėgink

131



3 c) 3 x ndash 36



12 ndash 2x g) x


x2 ndash 1









e) x13 ndash 1 f) 1



2x2 ndash 50



m) 2x + x25 n) x + 2

3 5 o) 2x + 1

x2 ndash 9 p) 12x + x + 4




a + 3 d) 4x


e) (3x ndash 1)ndash134 f) 5x + 40 3

1 ndash x2 g) 4




2 ndash a l) 35k + 21 6

2k + 34


1 ndash p2 n) 2x + 10


x + 5 p) 4 ndash 12x2 + 4 5x + 403

UŽDAVINIAI



b) x + 24

3 ndash x6



x2 ndash 1


Pamėgink

132











23 + xndash

13)

x 13 (x

23 + xndash

13) = x

13 x

23 + x

13 xndash

13 =

= x 13 +

23 + x

13 ndash

13 = x

33 + x0 = x + 1



Atsakymas x + 1









Pavyzdžiai

IŠMOK

133




a) x43 = x3 x3 = x x3

b) x94 = x4 x4 x4 = x2 x4

x94 = x 94 = x2

14 = x2 x4

c) x6y6 = x6 y6 = x y6





Pavyzdys



Įsiminka2n2n = |a|



(x ndash 4)44 + (x ndash 2)33 =




Pavyzdžiai


a) ( x 14 ndash 1 )( x



Pamėgink




Pamėgink

134









a) x y3 = x3y3

b) a b4 = a4b4










Pavyzdžiai

Suprastink



Pamėgink


a) a3 a4 (a gt 0) b) ab2 a3 (a b gt 0)


Pamėgink

135



Įsimink





= ndash x7y 46




Pavyzdys




① (a + b)2 = a2 + 2ab + b2



④ (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3


⑥ a3 + b3 = (a + b)(a2 ndash ab + b2)





Pamėgink


136



(2x + 3)3 = a b



Sprendimas


Atsakymas 8x3 + 36x2 + 54x + 27


( 2 ndash 2 3 )3 = a b



Sprendimas



Pavyzdžiai


8x6 + 60x4y + 150x2y2 + 125y3 =

= (2x2)3 + 3 (2x2)2 (5y) + 3 (2x2) (5y)2 + (5y)3 = a3 a2 b a b2 b3

= (2x2 + 5y)3




Pavyzdys


a) (m ndash 5n)3 b) (2x + 2)3c) ( 3 + 2)3 d) (2 2 + 2)3

Pamėgink




52


Pamėgink

137
















Pavyzdys








Pavyzdys




Pamėgink

138







a) 8x6 ndash a3b9 = (2x2)3 (ab3)3

= (2x2)3 ndash (ab3)3 = a3 b3


= (2x2 ndash ab3)(4x4 + 2x2ab3 + a2b6)






= ( x3 ndash y3 )( x23 + xy3 + y23 )








Taikome 7 formulę

Pavyzdys







Pamėgink



Pamėgink

139



x1 = 1 ndash 81 20 = ndash 2 5 x2 = 1 + 81

20 = 1 2


5) =

= 2 5(x ndash 1 2)(x + 2

5) =

= (2x ndash 1)(5x + 2)





Pavyzdys

Grupavimo būdas









Pavyzdys


= (x + y)(a + b)




++



Pamėgink




Pamėgink

140



6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys




ab + c

d = ad + bcbd

ab ndash c

d = ad ndash bcbd



x + y


Pamėgink

Suprastink




2x ndash 10


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys

3

141


6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys





ab middot c


ab c

d = ab middot d




x ndash y


x2 + y2

x ndash y =


x ndash yx2 + y2 =


x2 + y2 =


= x + y

Sprendimas


Pavyzdžiai

Suprastink

a) 1x x + x

+ xx + 1

b) 6 xx ndash 3

ndash 3x + 3


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys



x ndash yx + y


=


( x + y )( x ndash y ) =



x ndash y

Sprendimas




Pavyzdys

x ndash y x + y

142


UŽDAVINIAI




Suprastink

a) x12 middot x

14 b) (x4

5)3

c) (x23 middot x

15)15

d) x13

xndash 23

e) (x23)

34


n3)6n

h) (b2n bndash075n

bndash05n )ndash4n

i) y 13 middot y

23 j) (x2)

13 k) y

25


27)35

m) (y27)175


n2 o) (x

n4 middot x

n8)8

p) (xndash 56 n x3n

x 43 n )ndash6n




a) ( 3x + 1 ndash 4



Pamėgink


1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









2(1 + 3x) 1 ndash 3x2

143

Suprastink




a) 4 x 3 z 2y 6 4 y ndash2


a 3 b 5a 5

d) 5 a 5 c 2b 2 5 b ndash3


y 4 y 3x 6




a) 12x3y 3x2y b) 16x2y3 3x2y3 c) 144x 5y 124


12y23

e) 63x 5y 3 28x2y f) 8x2y5 4x 3y 45 g) 250xy 74

18x17y24 h) 3x 6y 83

ndash81y23









3b)3 h) (2 2 ndash 3 3)3

i) (3x ndash 4)3 j) (5x + 2)3 k) ( x3 + 1)3 l) ( x6 + x3 )3


p) (x 2 ndash 2)3



1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









144




14 ndash x

14y

34 g) n n + n h) x

34 ndash x



13 ndash x

13y




12 d) xn ndash yn




32 h) y + x 34




a) x + 3x + 4 b) x 3

x 4 c) (x + 2) 3(x + 2) + x d) (x + 2) ndash (x + 3)

(x + 2) + (x + 3)


x + 2 g) x + 1(x + 1)2 h) x 3 + 4

x 4 + 3

i) 6 xx 5 j) x + 1


b x + a



x ndash 5








b ndash a








a) ab ndash b2

2b b) x2 ndash y2





2x ndash 5y








a) x x ndash x


c) a ndash 1a + 1


e) x x + xx


g) x 6 ndash y 6



a) xy + y


x2 + 2x + 1 c) 3x + 1 + x + 5


d) 3x2 + 9x + 14 + 5

2x2 + 15x + 7 e) x ndash x2



x ndash 2

g) 2x2




x3 + 2x + 2x2 + 4 + 1x2 + 2

145

j) 1x(x + 1) + 1

x + 1 k) 6x2 ndash 9 + 9

x2 ndash 6x + 9 l) 4x + 2 + x + 6


m) 6x2 + 11x + 24 + 4








x ndash 3

Suprastink

a) x x ndash 2

ndash 2x + 2

b) 3


a ndash 9 c) x 12

x05 + 1 ndash 1

x05 ndash 1 d) 2

x + 2 + x

x ndash 2 ndash 4 x

x ndash 4

e) 11 + x

ndash 11 ndash x

f) 1a4 ndash 1

+ 1a4 + 1

g) 3

x 12 + 3 ndash x05

x05 ndash 3 h) x

81 ndash x ndash 9

x + 9 + x

x ndash 9

Suprastink

a) 16x2y5










3x j) x + 3x2 + 6x x2 ndash 9


x






3x + 4

e) 5 ndash 2

x ndash 3

4 ndash 1x ndash 3









1 + 3x

1 ndash 6x

m) 3 + 2

x + 4

5 ndash 1x + 4



2x + 2 ndash 1) 6x ndash 6 x + 1 p) ( 1

x ndash 1 ndash x + 1x2 + x + 1) (1 + 1

x3 ndash 1)





y ndash x ndash2








a13 + b



x + 1 + 1 ndash x )


16) xy 46 e) ( 1


x13 ndash 1

+ x13) middot x

13 ndash 1

x23 ndash 1

g) y ndash x

x23 + (xy)13 + y

23 + x

23 ndash y23

x3 ndash y13

h) x13y

13 x

13 y ndash y

13 x



y ndash z )ndash1

j) (x15 + x25

1 + x + 1) 1 ndash x3



ndash b a a + b

+ 3ab ndash b2

a ndash b

m) a + ba ndash b

ndash a + ab a + b

n) a + 1a a + a + a

1a2 ndash a




x05 ndash 1 r) ( 2 + x14


14


x34 s) 1x3 + y3 ndash x3 + y3

x23 ndash (xy)

13 + y

23




ndash 13


x + 1x x ndash 1

+ 2 x

146










6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai

TAIKYK

147




6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai







Sprendimas






2b + 1 ndash 6ab




PamėginkPamėgink





sin2 α

|v| = 2ghsin2 α

v = 2ghsin2 α


Išreiškiame v2




lg = T

2π

lg = ( T

2π )2

lg = T2

4π2gl = 4π2

T2

g = 4π2 middot lT2






Pavyzdžiai

148




p



f = 1F



c

1 + vc


R



P + ET


ndash 1)( 1R1

ndash 1R2)




y


12 = mgh2 + mv2

22


2



y + 24


n21 ndash 1

n22)








PamėginkPamėgink

UŽDAVINIAI

149












150

1 variantas


A 215a + b B 215 + a ndash b


b



A x = 3 B x = 0 C x = ndash3 D x = 9





a) x ndash 32 7 + 4


12 d) 3x ndash 27

x2 ndash 1






a) 32x 94 b) 81x7y 63 c) x 12y 345 d) x 17y 246






PASITIKRINK

151








a middot 5 + 9


⓭ Suprastink


m2 + n2 m2 ndash n2

4mn c) xx + 4 + 4


2 variantas


b2 =

A 140 B 142 C 145 D 146


A 00625 B 0 C 0125 D 025





15x3

c) 04x ndash 10x2 + 145 d) ( 205

10 ndash 5a)ndash18

❺ Pakelk kubu

a) (2 + 2 )3 b) (2 3 + 3 )3 c) (x 2 ndash y3 2 )3



❼ Suprastink




❾ Suprastink

a) 64x6 + 216y6



ndash 52 ndash x






4 kai y lt 0

152


❶Apskaičiuok

a) ( 7 ndash 5 23 + 7 + 503 ) middot 9 b) (3 + 2 5 4


54 + 1



❷Įrodyk teiginį

a) jei x23 + y

23 = a

23 tai x2 + x 4y 23 + y2 + x 2y 43 = a















+ ndash

bf middot xy = gcg

= = =

eec + bcyy = bfbe


153



A 40 B 250 C 225 D 2500


A 2600p B 10400 + p100 C 104p D 5200

100 + 2p








A 545 = 1

54 B 545 = 5

54 C 545 = 31254 D 5

45 = 6255


p ndash 1




x + 4 D 1x + 4



A a = 1 b = 5 B a = 2 b = 3 C a = 1 b = 4 D a = 3 b = 2




A 8 3 cm B 8 3 3 cm C 4

3 cm D 4 3 3 cm


A 56 B 60 C 64 D 112


154











+ 2 ndash x 2 + x





išraišką T(x)




1200 cm2


155












2



124



Įrodyk kad



Pagrįsk teiginius















125




d) 0(32) 0(4) e) 0(493) 07(45) f) 0(285714) 01(3)04(6) 4(9)

g) 2(8) ndash 0(4) h) 1(27) ndash 03(4) i) 0(917) + 03(614)

j) 0(57) 0(6) k) 0(267) 03(12) l) 0(53) 02(9)332(4) + 1(21)

Palygink skaičius

a) 1 6 ir 3


12






d) 0002096 1012

524 e) 08128 1024

254 10ndash14 f) 0027 1021 ndash 631 1017

g) 1890 00105 h) 00045 1017 i) 000007 10ndash16

j) 000010288016 1017 k) 5139645 10ndash13

7895 10ndash34 l) 760 1012 ndash 0003 1015


a) 5 6 h = 01 b) 2

7 h = 000001 c) 3 h = 01 d) 6 h = 001

e) 4 13 h = 001 f) 3

11 h = 0001 g) 11 h = 000001 h) 8 h = 000001


a) 1 9 h = 01 b) 2 h = 001 c) 3

11 h = 001 d) 10 h = 0001

126

1 variantas




6 reikšmė

A 7 6 B 1

6 C 75 D 74




❻ Apskaičiuok

a) (134)ndash 2 b) 7503

63 c) (33

4 9ndash 14)ndash4

d) ( 27 ndash 2 3 + 75) 3

e) 5( 3 ndash 7)2

5 ndash 21 f) ( 00001

81 ) ndash 34 10ndash4 g) ( 160

15

121502) ndash2

h) 23 ( 43 ndash 163 )



3









PASITIKRINK

127





2 variantas



A 4ndash 34 = 4

43 B 4ndash

34 = 1

644 C 4ndash

34 = 1

43 D 4ndash 34 = 1

2563


1417 reikšmė

A 1514 B 1 1

196 C 1415 D 1415





❻ Apskaičiuok


14 b) 2 8

16 8

4

3

3 88 c)

8113 + 3

73

33 + 813 + 21873

d) 53 + 2a 43 + 2a

202a + 2 e) 31 ndash 2 5 9 5 f) 17 ndash 338 33 + 178

❼ Suprastink

a) ( 182 ndash 13

ndash 2011 ndash 1

+ 2413 ndash 1) ( 1

2 + 11 )ndash1 b) (3 ndash 7)

12(3 + 7)

12

c) 1 + 3 + 32 + 33 + 34 + + 315







128









m4 + 3m3 + 23 (p ndash 4)(p ndash 12)

27 53



narys narys narys

trinaris




m + 2



7 ndash p + 3


racionalieji

iracionalieji


SUSIPAŽINK

129












Įsimink



② ne 0

③ 2n 0

④ 2n gt 0

⑤mn gt 0



Pavyzdžiai


1) (2 ndash x2)(2 + x2)x ndash 5 2) 2

5x 2 ndash 37x + 4

3) 23 x 2 ndash 5x ndash 813 4) 7

c ndash 2

c + 1 + c + 2

33

5) 2x2 ndash 5x ndash 325 6) (3 + x)(12 + x)

(x ndash 5)x

7) y3

3 + 3y23 8) 3y2 + 2

y2 + 5y ndash 6


Pamėgink

130



x(x ndash 4) ne 0







x 25x ne ndash1









x ne ndash3


(x + 7)(x ndash 7) lt 0








Pavyzdžiai


a) 03x ndash 1 3 b) 2

7x3 + 1 9x2 + 0(4)x ndash 12

c) 2 + 4x x + 3 d) 2 + 4x

x2 ndash 25

Pamėgink

131



3 c) 3 x ndash 36



12 ndash 2x g) x


x2 ndash 1









e) x13 ndash 1 f) 1



2x2 ndash 50



m) 2x + x25 n) x + 2

3 5 o) 2x + 1

x2 ndash 9 p) 12x + x + 4




a + 3 d) 4x


e) (3x ndash 1)ndash134 f) 5x + 40 3

1 ndash x2 g) 4




2 ndash a l) 35k + 21 6

2k + 34


1 ndash p2 n) 2x + 10


x + 5 p) 4 ndash 12x2 + 4 5x + 403

UŽDAVINIAI



b) x + 24

3 ndash x6



x2 ndash 1


Pamėgink

132











23 + xndash

13)

x 13 (x

23 + xndash

13) = x

13 x

23 + x

13 xndash

13 =

= x 13 +

23 + x

13 ndash

13 = x

33 + x0 = x + 1



Atsakymas x + 1









Pavyzdžiai

IŠMOK

133




a) x43 = x3 x3 = x x3

b) x94 = x4 x4 x4 = x2 x4

x94 = x 94 = x2

14 = x2 x4

c) x6y6 = x6 y6 = x y6





Pavyzdys



Įsiminka2n2n = |a|



(x ndash 4)44 + (x ndash 2)33 =




Pavyzdžiai


a) ( x 14 ndash 1 )( x



Pamėgink




Pamėgink

134









a) x y3 = x3y3

b) a b4 = a4b4










Pavyzdžiai

Suprastink



Pamėgink


a) a3 a4 (a gt 0) b) ab2 a3 (a b gt 0)


Pamėgink

135



Įsimink





= ndash x7y 46




Pavyzdys




① (a + b)2 = a2 + 2ab + b2



④ (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3


⑥ a3 + b3 = (a + b)(a2 ndash ab + b2)





Pamėgink


136



(2x + 3)3 = a b



Sprendimas


Atsakymas 8x3 + 36x2 + 54x + 27


( 2 ndash 2 3 )3 = a b



Sprendimas



Pavyzdžiai


8x6 + 60x4y + 150x2y2 + 125y3 =

= (2x2)3 + 3 (2x2)2 (5y) + 3 (2x2) (5y)2 + (5y)3 = a3 a2 b a b2 b3

= (2x2 + 5y)3




Pavyzdys


a) (m ndash 5n)3 b) (2x + 2)3c) ( 3 + 2)3 d) (2 2 + 2)3

Pamėgink




52


Pamėgink

137
















Pavyzdys








Pavyzdys




Pamėgink

138







a) 8x6 ndash a3b9 = (2x2)3 (ab3)3

= (2x2)3 ndash (ab3)3 = a3 b3


= (2x2 ndash ab3)(4x4 + 2x2ab3 + a2b6)






= ( x3 ndash y3 )( x23 + xy3 + y23 )








Taikome 7 formulę

Pavyzdys







Pamėgink



Pamėgink

139



x1 = 1 ndash 81 20 = ndash 2 5 x2 = 1 + 81

20 = 1 2


5) =

= 2 5(x ndash 1 2)(x + 2

5) =

= (2x ndash 1)(5x + 2)





Pavyzdys

Grupavimo būdas









Pavyzdys


= (x + y)(a + b)




++



Pamėgink




Pamėgink

140



6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys




ab + c

d = ad + bcbd

ab ndash c

d = ad ndash bcbd



x + y


Pamėgink

Suprastink




2x ndash 10


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys

3

141


6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys





ab middot c


ab c

d = ab middot d




x ndash y


x2 + y2

x ndash y =


x ndash yx2 + y2 =


x2 + y2 =


= x + y

Sprendimas


Pavyzdžiai

Suprastink

a) 1x x + x

+ xx + 1

b) 6 xx ndash 3

ndash 3x + 3


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys



x ndash yx + y


=


( x + y )( x ndash y ) =



x ndash y

Sprendimas




Pavyzdys

x ndash y x + y

142


UŽDAVINIAI




Suprastink

a) x12 middot x

14 b) (x4

5)3

c) (x23 middot x

15)15

d) x13

xndash 23

e) (x23)

34


n3)6n

h) (b2n bndash075n

bndash05n )ndash4n

i) y 13 middot y

23 j) (x2)

13 k) y

25


27)35

m) (y27)175


n2 o) (x

n4 middot x

n8)8

p) (xndash 56 n x3n

x 43 n )ndash6n




a) ( 3x + 1 ndash 4



Pamėgink


1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









2(1 + 3x) 1 ndash 3x2

143

Suprastink




a) 4 x 3 z 2y 6 4 y ndash2


a 3 b 5a 5

d) 5 a 5 c 2b 2 5 b ndash3


y 4 y 3x 6




a) 12x3y 3x2y b) 16x2y3 3x2y3 c) 144x 5y 124


12y23

e) 63x 5y 3 28x2y f) 8x2y5 4x 3y 45 g) 250xy 74

18x17y24 h) 3x 6y 83

ndash81y23









3b)3 h) (2 2 ndash 3 3)3

i) (3x ndash 4)3 j) (5x + 2)3 k) ( x3 + 1)3 l) ( x6 + x3 )3


p) (x 2 ndash 2)3



1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









144




14 ndash x

14y

34 g) n n + n h) x

34 ndash x



13 ndash x

13y




12 d) xn ndash yn




32 h) y + x 34




a) x + 3x + 4 b) x 3

x 4 c) (x + 2) 3(x + 2) + x d) (x + 2) ndash (x + 3)

(x + 2) + (x + 3)


x + 2 g) x + 1(x + 1)2 h) x 3 + 4

x 4 + 3

i) 6 xx 5 j) x + 1


b x + a



x ndash 5








b ndash a








a) ab ndash b2

2b b) x2 ndash y2





2x ndash 5y








a) x x ndash x


c) a ndash 1a + 1


e) x x + xx


g) x 6 ndash y 6



a) xy + y


x2 + 2x + 1 c) 3x + 1 + x + 5


d) 3x2 + 9x + 14 + 5

2x2 + 15x + 7 e) x ndash x2



x ndash 2

g) 2x2




x3 + 2x + 2x2 + 4 + 1x2 + 2

145

j) 1x(x + 1) + 1

x + 1 k) 6x2 ndash 9 + 9

x2 ndash 6x + 9 l) 4x + 2 + x + 6


m) 6x2 + 11x + 24 + 4








x ndash 3

Suprastink

a) x x ndash 2

ndash 2x + 2

b) 3


a ndash 9 c) x 12

x05 + 1 ndash 1

x05 ndash 1 d) 2

x + 2 + x

x ndash 2 ndash 4 x

x ndash 4

e) 11 + x

ndash 11 ndash x

f) 1a4 ndash 1

+ 1a4 + 1

g) 3

x 12 + 3 ndash x05

x05 ndash 3 h) x

81 ndash x ndash 9

x + 9 + x

x ndash 9

Suprastink

a) 16x2y5










3x j) x + 3x2 + 6x x2 ndash 9


x






3x + 4

e) 5 ndash 2

x ndash 3

4 ndash 1x ndash 3









1 + 3x

1 ndash 6x

m) 3 + 2

x + 4

5 ndash 1x + 4



2x + 2 ndash 1) 6x ndash 6 x + 1 p) ( 1

x ndash 1 ndash x + 1x2 + x + 1) (1 + 1

x3 ndash 1)





y ndash x ndash2








a13 + b



x + 1 + 1 ndash x )


16) xy 46 e) ( 1


x13 ndash 1

+ x13) middot x

13 ndash 1

x23 ndash 1

g) y ndash x

x23 + (xy)13 + y

23 + x

23 ndash y23

x3 ndash y13

h) x13y

13 x

13 y ndash y

13 x



y ndash z )ndash1

j) (x15 + x25

1 + x + 1) 1 ndash x3



ndash b a a + b

+ 3ab ndash b2

a ndash b

m) a + ba ndash b

ndash a + ab a + b

n) a + 1a a + a + a

1a2 ndash a




x05 ndash 1 r) ( 2 + x14


14


x34 s) 1x3 + y3 ndash x3 + y3

x23 ndash (xy)

13 + y

23




ndash 13


x + 1x x ndash 1

+ 2 x

146










6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai

TAIKYK

147




6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai







Sprendimas






2b + 1 ndash 6ab




PamėginkPamėgink





sin2 α

|v| = 2ghsin2 α

v = 2ghsin2 α


Išreiškiame v2




lg = T

2π

lg = ( T

2π )2

lg = T2

4π2gl = 4π2

T2

g = 4π2 middot lT2






Pavyzdžiai

148




p



f = 1F



c

1 + vc


R



P + ET


ndash 1)( 1R1

ndash 1R2)




y


12 = mgh2 + mv2

22


2



y + 24


n21 ndash 1

n22)








PamėginkPamėgink

UŽDAVINIAI

149












150

1 variantas


A 215a + b B 215 + a ndash b


b



A x = 3 B x = 0 C x = ndash3 D x = 9





a) x ndash 32 7 + 4


12 d) 3x ndash 27

x2 ndash 1






a) 32x 94 b) 81x7y 63 c) x 12y 345 d) x 17y 246






PASITIKRINK

151








a middot 5 + 9


⓭ Suprastink


m2 + n2 m2 ndash n2

4mn c) xx + 4 + 4


2 variantas


b2 =

A 140 B 142 C 145 D 146


A 00625 B 0 C 0125 D 025





15x3

c) 04x ndash 10x2 + 145 d) ( 205

10 ndash 5a)ndash18

❺ Pakelk kubu

a) (2 + 2 )3 b) (2 3 + 3 )3 c) (x 2 ndash y3 2 )3



❼ Suprastink




❾ Suprastink

a) 64x6 + 216y6



ndash 52 ndash x






4 kai y lt 0

152


❶Apskaičiuok

a) ( 7 ndash 5 23 + 7 + 503 ) middot 9 b) (3 + 2 5 4


54 + 1



❷Įrodyk teiginį

a) jei x23 + y

23 = a

23 tai x2 + x 4y 23 + y2 + x 2y 43 = a















+ ndash

bf middot xy = gcg

= = =

eec + bcyy = bfbe


153



A 40 B 250 C 225 D 2500


A 2600p B 10400 + p100 C 104p D 5200

100 + 2p








A 545 = 1

54 B 545 = 5

54 C 545 = 31254 D 5

45 = 6255


p ndash 1




x + 4 D 1x + 4



A a = 1 b = 5 B a = 2 b = 3 C a = 1 b = 4 D a = 3 b = 2




A 8 3 cm B 8 3 3 cm C 4

3 cm D 4 3 3 cm


A 56 B 60 C 64 D 112


154











+ 2 ndash x 2 + x





išraišką T(x)




1200 cm2


155












2



125




d) 0(32) 0(4) e) 0(493) 07(45) f) 0(285714) 01(3)04(6) 4(9)

g) 2(8) ndash 0(4) h) 1(27) ndash 03(4) i) 0(917) + 03(614)

j) 0(57) 0(6) k) 0(267) 03(12) l) 0(53) 02(9)332(4) + 1(21)

Palygink skaičius

a) 1 6 ir 3


12






d) 0002096 1012

524 e) 08128 1024

254 10ndash14 f) 0027 1021 ndash 631 1017

g) 1890 00105 h) 00045 1017 i) 000007 10ndash16

j) 000010288016 1017 k) 5139645 10ndash13

7895 10ndash34 l) 760 1012 ndash 0003 1015


a) 5 6 h = 01 b) 2

7 h = 000001 c) 3 h = 01 d) 6 h = 001

e) 4 13 h = 001 f) 3

11 h = 0001 g) 11 h = 000001 h) 8 h = 000001


a) 1 9 h = 01 b) 2 h = 001 c) 3

11 h = 001 d) 10 h = 0001

126

1 variantas




6 reikšmė

A 7 6 B 1

6 C 75 D 74




❻ Apskaičiuok

a) (134)ndash 2 b) 7503

63 c) (33

4 9ndash 14)ndash4

d) ( 27 ndash 2 3 + 75) 3

e) 5( 3 ndash 7)2

5 ndash 21 f) ( 00001

81 ) ndash 34 10ndash4 g) ( 160

15

121502) ndash2

h) 23 ( 43 ndash 163 )



3









PASITIKRINK

127





2 variantas



A 4ndash 34 = 4

43 B 4ndash

34 = 1

644 C 4ndash

34 = 1

43 D 4ndash 34 = 1

2563


1417 reikšmė

A 1514 B 1 1

196 C 1415 D 1415





❻ Apskaičiuok


14 b) 2 8

16 8

4

3

3 88 c)

8113 + 3

73

33 + 813 + 21873

d) 53 + 2a 43 + 2a

202a + 2 e) 31 ndash 2 5 9 5 f) 17 ndash 338 33 + 178

❼ Suprastink

a) ( 182 ndash 13

ndash 2011 ndash 1

+ 2413 ndash 1) ( 1

2 + 11 )ndash1 b) (3 ndash 7)

12(3 + 7)

12

c) 1 + 3 + 32 + 33 + 34 + + 315







128









m4 + 3m3 + 23 (p ndash 4)(p ndash 12)

27 53



narys narys narys

trinaris




m + 2



7 ndash p + 3


racionalieji

iracionalieji


SUSIPAŽINK

129












Įsimink



② ne 0

③ 2n 0

④ 2n gt 0

⑤mn gt 0



Pavyzdžiai


1) (2 ndash x2)(2 + x2)x ndash 5 2) 2

5x 2 ndash 37x + 4

3) 23 x 2 ndash 5x ndash 813 4) 7

c ndash 2

c + 1 + c + 2

33

5) 2x2 ndash 5x ndash 325 6) (3 + x)(12 + x)

(x ndash 5)x

7) y3

3 + 3y23 8) 3y2 + 2

y2 + 5y ndash 6


Pamėgink

130



x(x ndash 4) ne 0







x 25x ne ndash1









x ne ndash3


(x + 7)(x ndash 7) lt 0








Pavyzdžiai


a) 03x ndash 1 3 b) 2

7x3 + 1 9x2 + 0(4)x ndash 12

c) 2 + 4x x + 3 d) 2 + 4x

x2 ndash 25

Pamėgink

131



3 c) 3 x ndash 36



12 ndash 2x g) x


x2 ndash 1









e) x13 ndash 1 f) 1



2x2 ndash 50



m) 2x + x25 n) x + 2

3 5 o) 2x + 1

x2 ndash 9 p) 12x + x + 4




a + 3 d) 4x


e) (3x ndash 1)ndash134 f) 5x + 40 3

1 ndash x2 g) 4




2 ndash a l) 35k + 21 6

2k + 34


1 ndash p2 n) 2x + 10


x + 5 p) 4 ndash 12x2 + 4 5x + 403

UŽDAVINIAI



b) x + 24

3 ndash x6



x2 ndash 1


Pamėgink

132











23 + xndash

13)

x 13 (x

23 + xndash

13) = x

13 x

23 + x

13 xndash

13 =

= x 13 +

23 + x

13 ndash

13 = x

33 + x0 = x + 1



Atsakymas x + 1









Pavyzdžiai

IŠMOK

133




a) x43 = x3 x3 = x x3

b) x94 = x4 x4 x4 = x2 x4

x94 = x 94 = x2

14 = x2 x4

c) x6y6 = x6 y6 = x y6





Pavyzdys



Įsiminka2n2n = |a|



(x ndash 4)44 + (x ndash 2)33 =




Pavyzdžiai


a) ( x 14 ndash 1 )( x



Pamėgink




Pamėgink

134









a) x y3 = x3y3

b) a b4 = a4b4










Pavyzdžiai

Suprastink



Pamėgink


a) a3 a4 (a gt 0) b) ab2 a3 (a b gt 0)


Pamėgink

135



Įsimink





= ndash x7y 46




Pavyzdys




① (a + b)2 = a2 + 2ab + b2



④ (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3


⑥ a3 + b3 = (a + b)(a2 ndash ab + b2)





Pamėgink


136



(2x + 3)3 = a b



Sprendimas


Atsakymas 8x3 + 36x2 + 54x + 27


( 2 ndash 2 3 )3 = a b



Sprendimas



Pavyzdžiai


8x6 + 60x4y + 150x2y2 + 125y3 =

= (2x2)3 + 3 (2x2)2 (5y) + 3 (2x2) (5y)2 + (5y)3 = a3 a2 b a b2 b3

= (2x2 + 5y)3




Pavyzdys


a) (m ndash 5n)3 b) (2x + 2)3c) ( 3 + 2)3 d) (2 2 + 2)3

Pamėgink




52


Pamėgink

137
















Pavyzdys








Pavyzdys




Pamėgink

138







a) 8x6 ndash a3b9 = (2x2)3 (ab3)3

= (2x2)3 ndash (ab3)3 = a3 b3


= (2x2 ndash ab3)(4x4 + 2x2ab3 + a2b6)






= ( x3 ndash y3 )( x23 + xy3 + y23 )








Taikome 7 formulę

Pavyzdys







Pamėgink



Pamėgink

139



x1 = 1 ndash 81 20 = ndash 2 5 x2 = 1 + 81

20 = 1 2


5) =

= 2 5(x ndash 1 2)(x + 2

5) =

= (2x ndash 1)(5x + 2)





Pavyzdys

Grupavimo būdas









Pavyzdys


= (x + y)(a + b)




++



Pamėgink




Pamėgink

140



6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys




ab + c

d = ad + bcbd

ab ndash c

d = ad ndash bcbd



x + y


Pamėgink

Suprastink




2x ndash 10


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys

3

141


6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys





ab middot c


ab c

d = ab middot d




x ndash y


x2 + y2

x ndash y =


x ndash yx2 + y2 =


x2 + y2 =


= x + y

Sprendimas


Pavyzdžiai

Suprastink

a) 1x x + x

+ xx + 1

b) 6 xx ndash 3

ndash 3x + 3


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys



x ndash yx + y


=


( x + y )( x ndash y ) =



x ndash y

Sprendimas




Pavyzdys

x ndash y x + y

142


UŽDAVINIAI




Suprastink

a) x12 middot x

14 b) (x4

5)3

c) (x23 middot x

15)15

d) x13

xndash 23

e) (x23)

34


n3)6n

h) (b2n bndash075n

bndash05n )ndash4n

i) y 13 middot y

23 j) (x2)

13 k) y

25


27)35

m) (y27)175


n2 o) (x

n4 middot x

n8)8

p) (xndash 56 n x3n

x 43 n )ndash6n




a) ( 3x + 1 ndash 4



Pamėgink


1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









2(1 + 3x) 1 ndash 3x2

143

Suprastink




a) 4 x 3 z 2y 6 4 y ndash2


a 3 b 5a 5

d) 5 a 5 c 2b 2 5 b ndash3


y 4 y 3x 6




a) 12x3y 3x2y b) 16x2y3 3x2y3 c) 144x 5y 124


12y23

e) 63x 5y 3 28x2y f) 8x2y5 4x 3y 45 g) 250xy 74

18x17y24 h) 3x 6y 83

ndash81y23









3b)3 h) (2 2 ndash 3 3)3

i) (3x ndash 4)3 j) (5x + 2)3 k) ( x3 + 1)3 l) ( x6 + x3 )3


p) (x 2 ndash 2)3



1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









144




14 ndash x

14y

34 g) n n + n h) x

34 ndash x



13 ndash x

13y




12 d) xn ndash yn




32 h) y + x 34




a) x + 3x + 4 b) x 3

x 4 c) (x + 2) 3(x + 2) + x d) (x + 2) ndash (x + 3)

(x + 2) + (x + 3)


x + 2 g) x + 1(x + 1)2 h) x 3 + 4

x 4 + 3

i) 6 xx 5 j) x + 1


b x + a



x ndash 5








b ndash a








a) ab ndash b2

2b b) x2 ndash y2





2x ndash 5y








a) x x ndash x


c) a ndash 1a + 1


e) x x + xx


g) x 6 ndash y 6



a) xy + y


x2 + 2x + 1 c) 3x + 1 + x + 5


d) 3x2 + 9x + 14 + 5

2x2 + 15x + 7 e) x ndash x2



x ndash 2

g) 2x2




x3 + 2x + 2x2 + 4 + 1x2 + 2

145

j) 1x(x + 1) + 1

x + 1 k) 6x2 ndash 9 + 9

x2 ndash 6x + 9 l) 4x + 2 + x + 6


m) 6x2 + 11x + 24 + 4








x ndash 3

Suprastink

a) x x ndash 2

ndash 2x + 2

b) 3


a ndash 9 c) x 12

x05 + 1 ndash 1

x05 ndash 1 d) 2

x + 2 + x

x ndash 2 ndash 4 x

x ndash 4

e) 11 + x

ndash 11 ndash x

f) 1a4 ndash 1

+ 1a4 + 1

g) 3

x 12 + 3 ndash x05

x05 ndash 3 h) x

81 ndash x ndash 9

x + 9 + x

x ndash 9

Suprastink

a) 16x2y5










3x j) x + 3x2 + 6x x2 ndash 9


x






3x + 4

e) 5 ndash 2

x ndash 3

4 ndash 1x ndash 3









1 + 3x

1 ndash 6x

m) 3 + 2

x + 4

5 ndash 1x + 4



2x + 2 ndash 1) 6x ndash 6 x + 1 p) ( 1

x ndash 1 ndash x + 1x2 + x + 1) (1 + 1

x3 ndash 1)





y ndash x ndash2








a13 + b



x + 1 + 1 ndash x )


16) xy 46 e) ( 1


x13 ndash 1

+ x13) middot x

13 ndash 1

x23 ndash 1

g) y ndash x

x23 + (xy)13 + y

23 + x

23 ndash y23

x3 ndash y13

h) x13y

13 x

13 y ndash y

13 x



y ndash z )ndash1

j) (x15 + x25

1 + x + 1) 1 ndash x3



ndash b a a + b

+ 3ab ndash b2

a ndash b

m) a + ba ndash b

ndash a + ab a + b

n) a + 1a a + a + a

1a2 ndash a




x05 ndash 1 r) ( 2 + x14


14


x34 s) 1x3 + y3 ndash x3 + y3

x23 ndash (xy)

13 + y

23




ndash 13


x + 1x x ndash 1

+ 2 x

146










6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai

TAIKYK

147




6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai







Sprendimas






2b + 1 ndash 6ab




PamėginkPamėgink





sin2 α

|v| = 2ghsin2 α

v = 2ghsin2 α


Išreiškiame v2




lg = T

2π

lg = ( T

2π )2

lg = T2

4π2gl = 4π2

T2

g = 4π2 middot lT2






Pavyzdžiai

148




p



f = 1F



c

1 + vc


R



P + ET


ndash 1)( 1R1

ndash 1R2)




y


12 = mgh2 + mv2

22


2



y + 24


n21 ndash 1

n22)








PamėginkPamėgink

UŽDAVINIAI

149












150

1 variantas


A 215a + b B 215 + a ndash b


b



A x = 3 B x = 0 C x = ndash3 D x = 9





a) x ndash 32 7 + 4


12 d) 3x ndash 27

x2 ndash 1






a) 32x 94 b) 81x7y 63 c) x 12y 345 d) x 17y 246






PASITIKRINK

151








a middot 5 + 9


⓭ Suprastink


m2 + n2 m2 ndash n2

4mn c) xx + 4 + 4


2 variantas


b2 =

A 140 B 142 C 145 D 146


A 00625 B 0 C 0125 D 025





15x3

c) 04x ndash 10x2 + 145 d) ( 205

10 ndash 5a)ndash18

❺ Pakelk kubu

a) (2 + 2 )3 b) (2 3 + 3 )3 c) (x 2 ndash y3 2 )3



❼ Suprastink




❾ Suprastink

a) 64x6 + 216y6



ndash 52 ndash x






4 kai y lt 0

152


❶Apskaičiuok

a) ( 7 ndash 5 23 + 7 + 503 ) middot 9 b) (3 + 2 5 4


54 + 1



❷Įrodyk teiginį

a) jei x23 + y

23 = a

23 tai x2 + x 4y 23 + y2 + x 2y 43 = a















+ ndash

bf middot xy = gcg

= = =

eec + bcyy = bfbe


153



A 40 B 250 C 225 D 2500


A 2600p B 10400 + p100 C 104p D 5200

100 + 2p








A 545 = 1

54 B 545 = 5

54 C 545 = 31254 D 5

45 = 6255


p ndash 1




x + 4 D 1x + 4



A a = 1 b = 5 B a = 2 b = 3 C a = 1 b = 4 D a = 3 b = 2




A 8 3 cm B 8 3 3 cm C 4

3 cm D 4 3 3 cm


A 56 B 60 C 64 D 112


154











+ 2 ndash x 2 + x





išraišką T(x)




1200 cm2


155












2



126

1 variantas




6 reikšmė

A 7 6 B 1

6 C 75 D 74




❻ Apskaičiuok

a) (134)ndash 2 b) 7503

63 c) (33

4 9ndash 14)ndash4

d) ( 27 ndash 2 3 + 75) 3

e) 5( 3 ndash 7)2

5 ndash 21 f) ( 00001

81 ) ndash 34 10ndash4 g) ( 160

15

121502) ndash2

h) 23 ( 43 ndash 163 )



3









PASITIKRINK

127





2 variantas



A 4ndash 34 = 4

43 B 4ndash

34 = 1

644 C 4ndash

34 = 1

43 D 4ndash 34 = 1

2563


1417 reikšmė

A 1514 B 1 1

196 C 1415 D 1415





❻ Apskaičiuok


14 b) 2 8

16 8

4

3

3 88 c)

8113 + 3

73

33 + 813 + 21873

d) 53 + 2a 43 + 2a

202a + 2 e) 31 ndash 2 5 9 5 f) 17 ndash 338 33 + 178

❼ Suprastink

a) ( 182 ndash 13

ndash 2011 ndash 1

+ 2413 ndash 1) ( 1

2 + 11 )ndash1 b) (3 ndash 7)

12(3 + 7)

12

c) 1 + 3 + 32 + 33 + 34 + + 315







128









m4 + 3m3 + 23 (p ndash 4)(p ndash 12)

27 53



narys narys narys

trinaris




m + 2



7 ndash p + 3


racionalieji

iracionalieji


SUSIPAŽINK

129












Įsimink



② ne 0

③ 2n 0

④ 2n gt 0

⑤mn gt 0



Pavyzdžiai


1) (2 ndash x2)(2 + x2)x ndash 5 2) 2

5x 2 ndash 37x + 4

3) 23 x 2 ndash 5x ndash 813 4) 7

c ndash 2

c + 1 + c + 2

33

5) 2x2 ndash 5x ndash 325 6) (3 + x)(12 + x)

(x ndash 5)x

7) y3

3 + 3y23 8) 3y2 + 2

y2 + 5y ndash 6


Pamėgink

130



x(x ndash 4) ne 0







x 25x ne ndash1









x ne ndash3


(x + 7)(x ndash 7) lt 0








Pavyzdžiai


a) 03x ndash 1 3 b) 2

7x3 + 1 9x2 + 0(4)x ndash 12

c) 2 + 4x x + 3 d) 2 + 4x

x2 ndash 25

Pamėgink

131



3 c) 3 x ndash 36



12 ndash 2x g) x


x2 ndash 1









e) x13 ndash 1 f) 1



2x2 ndash 50



m) 2x + x25 n) x + 2

3 5 o) 2x + 1

x2 ndash 9 p) 12x + x + 4




a + 3 d) 4x


e) (3x ndash 1)ndash134 f) 5x + 40 3

1 ndash x2 g) 4




2 ndash a l) 35k + 21 6

2k + 34


1 ndash p2 n) 2x + 10


x + 5 p) 4 ndash 12x2 + 4 5x + 403

UŽDAVINIAI



b) x + 24

3 ndash x6



x2 ndash 1


Pamėgink

132











23 + xndash

13)

x 13 (x

23 + xndash

13) = x

13 x

23 + x

13 xndash

13 =

= x 13 +

23 + x

13 ndash

13 = x

33 + x0 = x + 1



Atsakymas x + 1









Pavyzdžiai

IŠMOK

133




a) x43 = x3 x3 = x x3

b) x94 = x4 x4 x4 = x2 x4

x94 = x 94 = x2

14 = x2 x4

c) x6y6 = x6 y6 = x y6





Pavyzdys



Įsiminka2n2n = |a|



(x ndash 4)44 + (x ndash 2)33 =




Pavyzdžiai


a) ( x 14 ndash 1 )( x



Pamėgink




Pamėgink

134









a) x y3 = x3y3

b) a b4 = a4b4










Pavyzdžiai

Suprastink



Pamėgink


a) a3 a4 (a gt 0) b) ab2 a3 (a b gt 0)


Pamėgink

135



Įsimink





= ndash x7y 46




Pavyzdys




① (a + b)2 = a2 + 2ab + b2



④ (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3


⑥ a3 + b3 = (a + b)(a2 ndash ab + b2)





Pamėgink


136



(2x + 3)3 = a b



Sprendimas


Atsakymas 8x3 + 36x2 + 54x + 27


( 2 ndash 2 3 )3 = a b



Sprendimas



Pavyzdžiai


8x6 + 60x4y + 150x2y2 + 125y3 =

= (2x2)3 + 3 (2x2)2 (5y) + 3 (2x2) (5y)2 + (5y)3 = a3 a2 b a b2 b3

= (2x2 + 5y)3




Pavyzdys


a) (m ndash 5n)3 b) (2x + 2)3c) ( 3 + 2)3 d) (2 2 + 2)3

Pamėgink




52


Pamėgink

137
















Pavyzdys








Pavyzdys




Pamėgink

138







a) 8x6 ndash a3b9 = (2x2)3 (ab3)3

= (2x2)3 ndash (ab3)3 = a3 b3


= (2x2 ndash ab3)(4x4 + 2x2ab3 + a2b6)






= ( x3 ndash y3 )( x23 + xy3 + y23 )








Taikome 7 formulę

Pavyzdys







Pamėgink



Pamėgink

139



x1 = 1 ndash 81 20 = ndash 2 5 x2 = 1 + 81

20 = 1 2


5) =

= 2 5(x ndash 1 2)(x + 2

5) =

= (2x ndash 1)(5x + 2)





Pavyzdys

Grupavimo būdas









Pavyzdys


= (x + y)(a + b)




++



Pamėgink




Pamėgink

140



6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys




ab + c

d = ad + bcbd

ab ndash c

d = ad ndash bcbd



x + y


Pamėgink

Suprastink




2x ndash 10


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys

3

141


6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys





ab middot c


ab c

d = ab middot d




x ndash y


x2 + y2

x ndash y =


x ndash yx2 + y2 =


x2 + y2 =


= x + y

Sprendimas


Pavyzdžiai

Suprastink

a) 1x x + x

+ xx + 1

b) 6 xx ndash 3

ndash 3x + 3


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys



x ndash yx + y


=


( x + y )( x ndash y ) =



x ndash y

Sprendimas




Pavyzdys

x ndash y x + y

142


UŽDAVINIAI




Suprastink

a) x12 middot x

14 b) (x4

5)3

c) (x23 middot x

15)15

d) x13

xndash 23

e) (x23)

34


n3)6n

h) (b2n bndash075n

bndash05n )ndash4n

i) y 13 middot y

23 j) (x2)

13 k) y

25


27)35

m) (y27)175


n2 o) (x

n4 middot x

n8)8

p) (xndash 56 n x3n

x 43 n )ndash6n




a) ( 3x + 1 ndash 4



Pamėgink


1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









2(1 + 3x) 1 ndash 3x2

143

Suprastink




a) 4 x 3 z 2y 6 4 y ndash2


a 3 b 5a 5

d) 5 a 5 c 2b 2 5 b ndash3


y 4 y 3x 6




a) 12x3y 3x2y b) 16x2y3 3x2y3 c) 144x 5y 124


12y23

e) 63x 5y 3 28x2y f) 8x2y5 4x 3y 45 g) 250xy 74

18x17y24 h) 3x 6y 83

ndash81y23









3b)3 h) (2 2 ndash 3 3)3

i) (3x ndash 4)3 j) (5x + 2)3 k) ( x3 + 1)3 l) ( x6 + x3 )3


p) (x 2 ndash 2)3



1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









144




14 ndash x

14y

34 g) n n + n h) x

34 ndash x



13 ndash x

13y




12 d) xn ndash yn




32 h) y + x 34




a) x + 3x + 4 b) x 3

x 4 c) (x + 2) 3(x + 2) + x d) (x + 2) ndash (x + 3)

(x + 2) + (x + 3)


x + 2 g) x + 1(x + 1)2 h) x 3 + 4

x 4 + 3

i) 6 xx 5 j) x + 1


b x + a



x ndash 5








b ndash a








a) ab ndash b2

2b b) x2 ndash y2





2x ndash 5y








a) x x ndash x


c) a ndash 1a + 1


e) x x + xx


g) x 6 ndash y 6



a) xy + y


x2 + 2x + 1 c) 3x + 1 + x + 5


d) 3x2 + 9x + 14 + 5

2x2 + 15x + 7 e) x ndash x2



x ndash 2

g) 2x2




x3 + 2x + 2x2 + 4 + 1x2 + 2

145

j) 1x(x + 1) + 1

x + 1 k) 6x2 ndash 9 + 9

x2 ndash 6x + 9 l) 4x + 2 + x + 6


m) 6x2 + 11x + 24 + 4








x ndash 3

Suprastink

a) x x ndash 2

ndash 2x + 2

b) 3


a ndash 9 c) x 12

x05 + 1 ndash 1

x05 ndash 1 d) 2

x + 2 + x

x ndash 2 ndash 4 x

x ndash 4

e) 11 + x

ndash 11 ndash x

f) 1a4 ndash 1

+ 1a4 + 1

g) 3

x 12 + 3 ndash x05

x05 ndash 3 h) x

81 ndash x ndash 9

x + 9 + x

x ndash 9

Suprastink

a) 16x2y5










3x j) x + 3x2 + 6x x2 ndash 9


x






3x + 4

e) 5 ndash 2

x ndash 3

4 ndash 1x ndash 3









1 + 3x

1 ndash 6x

m) 3 + 2

x + 4

5 ndash 1x + 4



2x + 2 ndash 1) 6x ndash 6 x + 1 p) ( 1

x ndash 1 ndash x + 1x2 + x + 1) (1 + 1

x3 ndash 1)





y ndash x ndash2








a13 + b



x + 1 + 1 ndash x )


16) xy 46 e) ( 1


x13 ndash 1

+ x13) middot x

13 ndash 1

x23 ndash 1

g) y ndash x

x23 + (xy)13 + y

23 + x

23 ndash y23

x3 ndash y13

h) x13y

13 x

13 y ndash y

13 x



y ndash z )ndash1

j) (x15 + x25

1 + x + 1) 1 ndash x3



ndash b a a + b

+ 3ab ndash b2

a ndash b

m) a + ba ndash b

ndash a + ab a + b

n) a + 1a a + a + a

1a2 ndash a




x05 ndash 1 r) ( 2 + x14


14


x34 s) 1x3 + y3 ndash x3 + y3

x23 ndash (xy)

13 + y

23




ndash 13


x + 1x x ndash 1

+ 2 x

146










6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai

TAIKYK

147




6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai







Sprendimas






2b + 1 ndash 6ab




PamėginkPamėgink





sin2 α

|v| = 2ghsin2 α

v = 2ghsin2 α


Išreiškiame v2




lg = T

2π

lg = ( T

2π )2

lg = T2

4π2gl = 4π2

T2

g = 4π2 middot lT2






Pavyzdžiai

148




p



f = 1F



c

1 + vc


R



P + ET


ndash 1)( 1R1

ndash 1R2)




y


12 = mgh2 + mv2

22


2



y + 24


n21 ndash 1

n22)








PamėginkPamėgink

UŽDAVINIAI

149












150

1 variantas


A 215a + b B 215 + a ndash b


b



A x = 3 B x = 0 C x = ndash3 D x = 9





a) x ndash 32 7 + 4


12 d) 3x ndash 27

x2 ndash 1






a) 32x 94 b) 81x7y 63 c) x 12y 345 d) x 17y 246






PASITIKRINK

151








a middot 5 + 9


⓭ Suprastink


m2 + n2 m2 ndash n2

4mn c) xx + 4 + 4


2 variantas


b2 =

A 140 B 142 C 145 D 146


A 00625 B 0 C 0125 D 025





15x3

c) 04x ndash 10x2 + 145 d) ( 205

10 ndash 5a)ndash18

❺ Pakelk kubu

a) (2 + 2 )3 b) (2 3 + 3 )3 c) (x 2 ndash y3 2 )3



❼ Suprastink




❾ Suprastink

a) 64x6 + 216y6



ndash 52 ndash x






4 kai y lt 0

152


❶Apskaičiuok

a) ( 7 ndash 5 23 + 7 + 503 ) middot 9 b) (3 + 2 5 4


54 + 1



❷Įrodyk teiginį

a) jei x23 + y

23 = a

23 tai x2 + x 4y 23 + y2 + x 2y 43 = a















+ ndash

bf middot xy = gcg

= = =

eec + bcyy = bfbe


153



A 40 B 250 C 225 D 2500


A 2600p B 10400 + p100 C 104p D 5200

100 + 2p








A 545 = 1

54 B 545 = 5

54 C 545 = 31254 D 5

45 = 6255


p ndash 1




x + 4 D 1x + 4



A a = 1 b = 5 B a = 2 b = 3 C a = 1 b = 4 D a = 3 b = 2




A 8 3 cm B 8 3 3 cm C 4

3 cm D 4 3 3 cm


A 56 B 60 C 64 D 112


154











+ 2 ndash x 2 + x





išraišką T(x)




1200 cm2


155












2



127





2 variantas



A 4ndash 34 = 4

43 B 4ndash

34 = 1

644 C 4ndash

34 = 1

43 D 4ndash 34 = 1

2563


1417 reikšmė

A 1514 B 1 1

196 C 1415 D 1415





❻ Apskaičiuok


14 b) 2 8

16 8

4

3

3 88 c)

8113 + 3

73

33 + 813 + 21873

d) 53 + 2a 43 + 2a

202a + 2 e) 31 ndash 2 5 9 5 f) 17 ndash 338 33 + 178

❼ Suprastink

a) ( 182 ndash 13

ndash 2011 ndash 1

+ 2413 ndash 1) ( 1

2 + 11 )ndash1 b) (3 ndash 7)

12(3 + 7)

12

c) 1 + 3 + 32 + 33 + 34 + + 315







128









m4 + 3m3 + 23 (p ndash 4)(p ndash 12)

27 53



narys narys narys

trinaris




m + 2



7 ndash p + 3


racionalieji

iracionalieji


SUSIPAŽINK

129












Įsimink



② ne 0

③ 2n 0

④ 2n gt 0

⑤mn gt 0



Pavyzdžiai


1) (2 ndash x2)(2 + x2)x ndash 5 2) 2

5x 2 ndash 37x + 4

3) 23 x 2 ndash 5x ndash 813 4) 7

c ndash 2

c + 1 + c + 2

33

5) 2x2 ndash 5x ndash 325 6) (3 + x)(12 + x)

(x ndash 5)x

7) y3

3 + 3y23 8) 3y2 + 2

y2 + 5y ndash 6


Pamėgink

130



x(x ndash 4) ne 0







x 25x ne ndash1









x ne ndash3


(x + 7)(x ndash 7) lt 0








Pavyzdžiai


a) 03x ndash 1 3 b) 2

7x3 + 1 9x2 + 0(4)x ndash 12

c) 2 + 4x x + 3 d) 2 + 4x

x2 ndash 25

Pamėgink

131



3 c) 3 x ndash 36



12 ndash 2x g) x


x2 ndash 1









e) x13 ndash 1 f) 1



2x2 ndash 50



m) 2x + x25 n) x + 2

3 5 o) 2x + 1

x2 ndash 9 p) 12x + x + 4




a + 3 d) 4x


e) (3x ndash 1)ndash134 f) 5x + 40 3

1 ndash x2 g) 4




2 ndash a l) 35k + 21 6

2k + 34


1 ndash p2 n) 2x + 10


x + 5 p) 4 ndash 12x2 + 4 5x + 403

UŽDAVINIAI



b) x + 24

3 ndash x6



x2 ndash 1


Pamėgink

132











23 + xndash

13)

x 13 (x

23 + xndash

13) = x

13 x

23 + x

13 xndash

13 =

= x 13 +

23 + x

13 ndash

13 = x

33 + x0 = x + 1



Atsakymas x + 1









Pavyzdžiai

IŠMOK

133




a) x43 = x3 x3 = x x3

b) x94 = x4 x4 x4 = x2 x4

x94 = x 94 = x2

14 = x2 x4

c) x6y6 = x6 y6 = x y6





Pavyzdys



Įsiminka2n2n = |a|



(x ndash 4)44 + (x ndash 2)33 =




Pavyzdžiai


a) ( x 14 ndash 1 )( x



Pamėgink




Pamėgink

134









a) x y3 = x3y3

b) a b4 = a4b4










Pavyzdžiai

Suprastink



Pamėgink


a) a3 a4 (a gt 0) b) ab2 a3 (a b gt 0)


Pamėgink

135



Įsimink





= ndash x7y 46




Pavyzdys




① (a + b)2 = a2 + 2ab + b2



④ (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3


⑥ a3 + b3 = (a + b)(a2 ndash ab + b2)





Pamėgink


136



(2x + 3)3 = a b



Sprendimas


Atsakymas 8x3 + 36x2 + 54x + 27


( 2 ndash 2 3 )3 = a b



Sprendimas



Pavyzdžiai


8x6 + 60x4y + 150x2y2 + 125y3 =

= (2x2)3 + 3 (2x2)2 (5y) + 3 (2x2) (5y)2 + (5y)3 = a3 a2 b a b2 b3

= (2x2 + 5y)3




Pavyzdys


a) (m ndash 5n)3 b) (2x + 2)3c) ( 3 + 2)3 d) (2 2 + 2)3

Pamėgink




52


Pamėgink

137
















Pavyzdys








Pavyzdys




Pamėgink

138







a) 8x6 ndash a3b9 = (2x2)3 (ab3)3

= (2x2)3 ndash (ab3)3 = a3 b3


= (2x2 ndash ab3)(4x4 + 2x2ab3 + a2b6)






= ( x3 ndash y3 )( x23 + xy3 + y23 )








Taikome 7 formulę

Pavyzdys







Pamėgink



Pamėgink

139



x1 = 1 ndash 81 20 = ndash 2 5 x2 = 1 + 81

20 = 1 2


5) =

= 2 5(x ndash 1 2)(x + 2

5) =

= (2x ndash 1)(5x + 2)





Pavyzdys

Grupavimo būdas









Pavyzdys


= (x + y)(a + b)




++



Pamėgink




Pamėgink

140



6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys




ab + c

d = ad + bcbd

ab ndash c

d = ad ndash bcbd



x + y


Pamėgink

Suprastink




2x ndash 10


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys

3

141


6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys





ab middot c


ab c

d = ab middot d




x ndash y


x2 + y2

x ndash y =


x ndash yx2 + y2 =


x2 + y2 =


= x + y

Sprendimas


Pavyzdžiai

Suprastink

a) 1x x + x

+ xx + 1

b) 6 xx ndash 3

ndash 3x + 3


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys



x ndash yx + y


=


( x + y )( x ndash y ) =



x ndash y

Sprendimas




Pavyzdys

x ndash y x + y

142


UŽDAVINIAI




Suprastink

a) x12 middot x

14 b) (x4

5)3

c) (x23 middot x

15)15

d) x13

xndash 23

e) (x23)

34


n3)6n

h) (b2n bndash075n

bndash05n )ndash4n

i) y 13 middot y

23 j) (x2)

13 k) y

25


27)35

m) (y27)175


n2 o) (x

n4 middot x

n8)8

p) (xndash 56 n x3n

x 43 n )ndash6n




a) ( 3x + 1 ndash 4



Pamėgink


1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









2(1 + 3x) 1 ndash 3x2

143

Suprastink




a) 4 x 3 z 2y 6 4 y ndash2


a 3 b 5a 5

d) 5 a 5 c 2b 2 5 b ndash3


y 4 y 3x 6




a) 12x3y 3x2y b) 16x2y3 3x2y3 c) 144x 5y 124


12y23

e) 63x 5y 3 28x2y f) 8x2y5 4x 3y 45 g) 250xy 74

18x17y24 h) 3x 6y 83

ndash81y23









3b)3 h) (2 2 ndash 3 3)3

i) (3x ndash 4)3 j) (5x + 2)3 k) ( x3 + 1)3 l) ( x6 + x3 )3


p) (x 2 ndash 2)3



1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









144




14 ndash x

14y

34 g) n n + n h) x

34 ndash x



13 ndash x

13y




12 d) xn ndash yn




32 h) y + x 34




a) x + 3x + 4 b) x 3

x 4 c) (x + 2) 3(x + 2) + x d) (x + 2) ndash (x + 3)

(x + 2) + (x + 3)


x + 2 g) x + 1(x + 1)2 h) x 3 + 4

x 4 + 3

i) 6 xx 5 j) x + 1


b x + a



x ndash 5








b ndash a








a) ab ndash b2

2b b) x2 ndash y2





2x ndash 5y








a) x x ndash x


c) a ndash 1a + 1


e) x x + xx


g) x 6 ndash y 6



a) xy + y


x2 + 2x + 1 c) 3x + 1 + x + 5


d) 3x2 + 9x + 14 + 5

2x2 + 15x + 7 e) x ndash x2



x ndash 2

g) 2x2




x3 + 2x + 2x2 + 4 + 1x2 + 2

145

j) 1x(x + 1) + 1

x + 1 k) 6x2 ndash 9 + 9

x2 ndash 6x + 9 l) 4x + 2 + x + 6


m) 6x2 + 11x + 24 + 4








x ndash 3

Suprastink

a) x x ndash 2

ndash 2x + 2

b) 3


a ndash 9 c) x 12

x05 + 1 ndash 1

x05 ndash 1 d) 2

x + 2 + x

x ndash 2 ndash 4 x

x ndash 4

e) 11 + x

ndash 11 ndash x

f) 1a4 ndash 1

+ 1a4 + 1

g) 3

x 12 + 3 ndash x05

x05 ndash 3 h) x

81 ndash x ndash 9

x + 9 + x

x ndash 9

Suprastink

a) 16x2y5










3x j) x + 3x2 + 6x x2 ndash 9


x






3x + 4

e) 5 ndash 2

x ndash 3

4 ndash 1x ndash 3









1 + 3x

1 ndash 6x

m) 3 + 2

x + 4

5 ndash 1x + 4



2x + 2 ndash 1) 6x ndash 6 x + 1 p) ( 1

x ndash 1 ndash x + 1x2 + x + 1) (1 + 1

x3 ndash 1)





y ndash x ndash2








a13 + b



x + 1 + 1 ndash x )


16) xy 46 e) ( 1


x13 ndash 1

+ x13) middot x

13 ndash 1

x23 ndash 1

g) y ndash x

x23 + (xy)13 + y

23 + x

23 ndash y23

x3 ndash y13

h) x13y

13 x

13 y ndash y

13 x



y ndash z )ndash1

j) (x15 + x25

1 + x + 1) 1 ndash x3



ndash b a a + b

+ 3ab ndash b2

a ndash b

m) a + ba ndash b

ndash a + ab a + b

n) a + 1a a + a + a

1a2 ndash a




x05 ndash 1 r) ( 2 + x14


14


x34 s) 1x3 + y3 ndash x3 + y3

x23 ndash (xy)

13 + y

23




ndash 13


x + 1x x ndash 1

+ 2 x

146










6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai

TAIKYK

147




6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai







Sprendimas






2b + 1 ndash 6ab




PamėginkPamėgink





sin2 α

|v| = 2ghsin2 α

v = 2ghsin2 α


Išreiškiame v2




lg = T

2π

lg = ( T

2π )2

lg = T2

4π2gl = 4π2

T2

g = 4π2 middot lT2






Pavyzdžiai

148




p



f = 1F



c

1 + vc


R



P + ET


ndash 1)( 1R1

ndash 1R2)




y


12 = mgh2 + mv2

22


2



y + 24


n21 ndash 1

n22)








PamėginkPamėgink

UŽDAVINIAI

149












150

1 variantas


A 215a + b B 215 + a ndash b


b



A x = 3 B x = 0 C x = ndash3 D x = 9





a) x ndash 32 7 + 4


12 d) 3x ndash 27

x2 ndash 1






a) 32x 94 b) 81x7y 63 c) x 12y 345 d) x 17y 246






PASITIKRINK

151








a middot 5 + 9


⓭ Suprastink


m2 + n2 m2 ndash n2

4mn c) xx + 4 + 4


2 variantas


b2 =

A 140 B 142 C 145 D 146


A 00625 B 0 C 0125 D 025





15x3

c) 04x ndash 10x2 + 145 d) ( 205

10 ndash 5a)ndash18

❺ Pakelk kubu

a) (2 + 2 )3 b) (2 3 + 3 )3 c) (x 2 ndash y3 2 )3



❼ Suprastink




❾ Suprastink

a) 64x6 + 216y6



ndash 52 ndash x






4 kai y lt 0

152


❶Apskaičiuok

a) ( 7 ndash 5 23 + 7 + 503 ) middot 9 b) (3 + 2 5 4


54 + 1



❷Įrodyk teiginį

a) jei x23 + y

23 = a

23 tai x2 + x 4y 23 + y2 + x 2y 43 = a















+ ndash

bf middot xy = gcg

= = =

eec + bcyy = bfbe


153



A 40 B 250 C 225 D 2500


A 2600p B 10400 + p100 C 104p D 5200

100 + 2p








A 545 = 1

54 B 545 = 5

54 C 545 = 31254 D 5

45 = 6255


p ndash 1




x + 4 D 1x + 4



A a = 1 b = 5 B a = 2 b = 3 C a = 1 b = 4 D a = 3 b = 2




A 8 3 cm B 8 3 3 cm C 4

3 cm D 4 3 3 cm


A 56 B 60 C 64 D 112


154











+ 2 ndash x 2 + x





išraišką T(x)




1200 cm2


155












2



128









m4 + 3m3 + 23 (p ndash 4)(p ndash 12)

27 53



narys narys narys

trinaris




m + 2



7 ndash p + 3


racionalieji

iracionalieji


SUSIPAŽINK

129












Įsimink



② ne 0

③ 2n 0

④ 2n gt 0

⑤mn gt 0



Pavyzdžiai


1) (2 ndash x2)(2 + x2)x ndash 5 2) 2

5x 2 ndash 37x + 4

3) 23 x 2 ndash 5x ndash 813 4) 7

c ndash 2

c + 1 + c + 2

33

5) 2x2 ndash 5x ndash 325 6) (3 + x)(12 + x)

(x ndash 5)x

7) y3

3 + 3y23 8) 3y2 + 2

y2 + 5y ndash 6


Pamėgink

130



x(x ndash 4) ne 0







x 25x ne ndash1









x ne ndash3


(x + 7)(x ndash 7) lt 0








Pavyzdžiai


a) 03x ndash 1 3 b) 2

7x3 + 1 9x2 + 0(4)x ndash 12

c) 2 + 4x x + 3 d) 2 + 4x

x2 ndash 25

Pamėgink

131



3 c) 3 x ndash 36



12 ndash 2x g) x


x2 ndash 1









e) x13 ndash 1 f) 1



2x2 ndash 50



m) 2x + x25 n) x + 2

3 5 o) 2x + 1

x2 ndash 9 p) 12x + x + 4




a + 3 d) 4x


e) (3x ndash 1)ndash134 f) 5x + 40 3

1 ndash x2 g) 4




2 ndash a l) 35k + 21 6

2k + 34


1 ndash p2 n) 2x + 10


x + 5 p) 4 ndash 12x2 + 4 5x + 403

UŽDAVINIAI



b) x + 24

3 ndash x6



x2 ndash 1


Pamėgink

132











23 + xndash

13)

x 13 (x

23 + xndash

13) = x

13 x

23 + x

13 xndash

13 =

= x 13 +

23 + x

13 ndash

13 = x

33 + x0 = x + 1



Atsakymas x + 1









Pavyzdžiai

IŠMOK

133




a) x43 = x3 x3 = x x3

b) x94 = x4 x4 x4 = x2 x4

x94 = x 94 = x2

14 = x2 x4

c) x6y6 = x6 y6 = x y6





Pavyzdys



Įsiminka2n2n = |a|



(x ndash 4)44 + (x ndash 2)33 =




Pavyzdžiai


a) ( x 14 ndash 1 )( x



Pamėgink




Pamėgink

134









a) x y3 = x3y3

b) a b4 = a4b4










Pavyzdžiai

Suprastink



Pamėgink


a) a3 a4 (a gt 0) b) ab2 a3 (a b gt 0)


Pamėgink

135



Įsimink





= ndash x7y 46




Pavyzdys




① (a + b)2 = a2 + 2ab + b2



④ (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3


⑥ a3 + b3 = (a + b)(a2 ndash ab + b2)





Pamėgink


136



(2x + 3)3 = a b



Sprendimas


Atsakymas 8x3 + 36x2 + 54x + 27


( 2 ndash 2 3 )3 = a b



Sprendimas



Pavyzdžiai


8x6 + 60x4y + 150x2y2 + 125y3 =

= (2x2)3 + 3 (2x2)2 (5y) + 3 (2x2) (5y)2 + (5y)3 = a3 a2 b a b2 b3

= (2x2 + 5y)3




Pavyzdys


a) (m ndash 5n)3 b) (2x + 2)3c) ( 3 + 2)3 d) (2 2 + 2)3

Pamėgink




52


Pamėgink

137
















Pavyzdys








Pavyzdys




Pamėgink

138







a) 8x6 ndash a3b9 = (2x2)3 (ab3)3

= (2x2)3 ndash (ab3)3 = a3 b3


= (2x2 ndash ab3)(4x4 + 2x2ab3 + a2b6)






= ( x3 ndash y3 )( x23 + xy3 + y23 )








Taikome 7 formulę

Pavyzdys







Pamėgink



Pamėgink

139



x1 = 1 ndash 81 20 = ndash 2 5 x2 = 1 + 81

20 = 1 2


5) =

= 2 5(x ndash 1 2)(x + 2

5) =

= (2x ndash 1)(5x + 2)





Pavyzdys

Grupavimo būdas









Pavyzdys


= (x + y)(a + b)




++



Pamėgink




Pamėgink

140



6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys




ab + c

d = ad + bcbd

ab ndash c

d = ad ndash bcbd



x + y


Pamėgink

Suprastink




2x ndash 10


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys

3

141


6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys





ab middot c


ab c

d = ab middot d




x ndash y


x2 + y2

x ndash y =


x ndash yx2 + y2 =


x2 + y2 =


= x + y

Sprendimas


Pavyzdžiai

Suprastink

a) 1x x + x

+ xx + 1

b) 6 xx ndash 3

ndash 3x + 3


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys



x ndash yx + y


=


( x + y )( x ndash y ) =



x ndash y

Sprendimas




Pavyzdys

x ndash y x + y

142


UŽDAVINIAI




Suprastink

a) x12 middot x

14 b) (x4

5)3

c) (x23 middot x

15)15

d) x13

xndash 23

e) (x23)

34


n3)6n

h) (b2n bndash075n

bndash05n )ndash4n

i) y 13 middot y

23 j) (x2)

13 k) y

25


27)35

m) (y27)175


n2 o) (x

n4 middot x

n8)8

p) (xndash 56 n x3n

x 43 n )ndash6n




a) ( 3x + 1 ndash 4



Pamėgink


1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









2(1 + 3x) 1 ndash 3x2

143

Suprastink




a) 4 x 3 z 2y 6 4 y ndash2


a 3 b 5a 5

d) 5 a 5 c 2b 2 5 b ndash3


y 4 y 3x 6




a) 12x3y 3x2y b) 16x2y3 3x2y3 c) 144x 5y 124


12y23

e) 63x 5y 3 28x2y f) 8x2y5 4x 3y 45 g) 250xy 74

18x17y24 h) 3x 6y 83

ndash81y23









3b)3 h) (2 2 ndash 3 3)3

i) (3x ndash 4)3 j) (5x + 2)3 k) ( x3 + 1)3 l) ( x6 + x3 )3


p) (x 2 ndash 2)3



1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









144




14 ndash x

14y

34 g) n n + n h) x

34 ndash x



13 ndash x

13y




12 d) xn ndash yn




32 h) y + x 34




a) x + 3x + 4 b) x 3

x 4 c) (x + 2) 3(x + 2) + x d) (x + 2) ndash (x + 3)

(x + 2) + (x + 3)


x + 2 g) x + 1(x + 1)2 h) x 3 + 4

x 4 + 3

i) 6 xx 5 j) x + 1


b x + a



x ndash 5








b ndash a








a) ab ndash b2

2b b) x2 ndash y2





2x ndash 5y








a) x x ndash x


c) a ndash 1a + 1


e) x x + xx


g) x 6 ndash y 6



a) xy + y


x2 + 2x + 1 c) 3x + 1 + x + 5


d) 3x2 + 9x + 14 + 5

2x2 + 15x + 7 e) x ndash x2



x ndash 2

g) 2x2




x3 + 2x + 2x2 + 4 + 1x2 + 2

145

j) 1x(x + 1) + 1

x + 1 k) 6x2 ndash 9 + 9

x2 ndash 6x + 9 l) 4x + 2 + x + 6


m) 6x2 + 11x + 24 + 4








x ndash 3

Suprastink

a) x x ndash 2

ndash 2x + 2

b) 3


a ndash 9 c) x 12

x05 + 1 ndash 1

x05 ndash 1 d) 2

x + 2 + x

x ndash 2 ndash 4 x

x ndash 4

e) 11 + x

ndash 11 ndash x

f) 1a4 ndash 1

+ 1a4 + 1

g) 3

x 12 + 3 ndash x05

x05 ndash 3 h) x

81 ndash x ndash 9

x + 9 + x

x ndash 9

Suprastink

a) 16x2y5










3x j) x + 3x2 + 6x x2 ndash 9


x






3x + 4

e) 5 ndash 2

x ndash 3

4 ndash 1x ndash 3









1 + 3x

1 ndash 6x

m) 3 + 2

x + 4

5 ndash 1x + 4



2x + 2 ndash 1) 6x ndash 6 x + 1 p) ( 1

x ndash 1 ndash x + 1x2 + x + 1) (1 + 1

x3 ndash 1)





y ndash x ndash2








a13 + b



x + 1 + 1 ndash x )


16) xy 46 e) ( 1


x13 ndash 1

+ x13) middot x

13 ndash 1

x23 ndash 1

g) y ndash x

x23 + (xy)13 + y

23 + x

23 ndash y23

x3 ndash y13

h) x13y

13 x

13 y ndash y

13 x



y ndash z )ndash1

j) (x15 + x25

1 + x + 1) 1 ndash x3



ndash b a a + b

+ 3ab ndash b2

a ndash b

m) a + ba ndash b

ndash a + ab a + b

n) a + 1a a + a + a

1a2 ndash a




x05 ndash 1 r) ( 2 + x14


14


x34 s) 1x3 + y3 ndash x3 + y3

x23 ndash (xy)

13 + y

23




ndash 13


x + 1x x ndash 1

+ 2 x

146










6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai

TAIKYK

147




6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai







Sprendimas






2b + 1 ndash 6ab




PamėginkPamėgink





sin2 α

|v| = 2ghsin2 α

v = 2ghsin2 α


Išreiškiame v2




lg = T

2π

lg = ( T

2π )2

lg = T2

4π2gl = 4π2

T2

g = 4π2 middot lT2






Pavyzdžiai

148




p



f = 1F



c

1 + vc


R



P + ET


ndash 1)( 1R1

ndash 1R2)




y


12 = mgh2 + mv2

22


2



y + 24


n21 ndash 1

n22)








PamėginkPamėgink

UŽDAVINIAI

149












150

1 variantas


A 215a + b B 215 + a ndash b


b



A x = 3 B x = 0 C x = ndash3 D x = 9





a) x ndash 32 7 + 4


12 d) 3x ndash 27

x2 ndash 1






a) 32x 94 b) 81x7y 63 c) x 12y 345 d) x 17y 246






PASITIKRINK

151








a middot 5 + 9


⓭ Suprastink


m2 + n2 m2 ndash n2

4mn c) xx + 4 + 4


2 variantas


b2 =

A 140 B 142 C 145 D 146


A 00625 B 0 C 0125 D 025





15x3

c) 04x ndash 10x2 + 145 d) ( 205

10 ndash 5a)ndash18

❺ Pakelk kubu

a) (2 + 2 )3 b) (2 3 + 3 )3 c) (x 2 ndash y3 2 )3



❼ Suprastink




❾ Suprastink

a) 64x6 + 216y6



ndash 52 ndash x






4 kai y lt 0

152


❶Apskaičiuok

a) ( 7 ndash 5 23 + 7 + 503 ) middot 9 b) (3 + 2 5 4


54 + 1



❷Įrodyk teiginį

a) jei x23 + y

23 = a

23 tai x2 + x 4y 23 + y2 + x 2y 43 = a















+ ndash

bf middot xy = gcg

= = =

eec + bcyy = bfbe


153



A 40 B 250 C 225 D 2500


A 2600p B 10400 + p100 C 104p D 5200

100 + 2p








A 545 = 1

54 B 545 = 5

54 C 545 = 31254 D 5

45 = 6255


p ndash 1




x + 4 D 1x + 4



A a = 1 b = 5 B a = 2 b = 3 C a = 1 b = 4 D a = 3 b = 2




A 8 3 cm B 8 3 3 cm C 4

3 cm D 4 3 3 cm


A 56 B 60 C 64 D 112


154











+ 2 ndash x 2 + x





išraišką T(x)




1200 cm2


155












2



129












Įsimink



② ne 0

③ 2n 0

④ 2n gt 0

⑤mn gt 0



Pavyzdžiai


1) (2 ndash x2)(2 + x2)x ndash 5 2) 2

5x 2 ndash 37x + 4

3) 23 x 2 ndash 5x ndash 813 4) 7

c ndash 2

c + 1 + c + 2

33

5) 2x2 ndash 5x ndash 325 6) (3 + x)(12 + x)

(x ndash 5)x

7) y3

3 + 3y23 8) 3y2 + 2

y2 + 5y ndash 6


Pamėgink

130



x(x ndash 4) ne 0







x 25x ne ndash1









x ne ndash3


(x + 7)(x ndash 7) lt 0








Pavyzdžiai


a) 03x ndash 1 3 b) 2

7x3 + 1 9x2 + 0(4)x ndash 12

c) 2 + 4x x + 3 d) 2 + 4x

x2 ndash 25

Pamėgink

131



3 c) 3 x ndash 36



12 ndash 2x g) x


x2 ndash 1









e) x13 ndash 1 f) 1



2x2 ndash 50



m) 2x + x25 n) x + 2

3 5 o) 2x + 1

x2 ndash 9 p) 12x + x + 4




a + 3 d) 4x


e) (3x ndash 1)ndash134 f) 5x + 40 3

1 ndash x2 g) 4




2 ndash a l) 35k + 21 6

2k + 34


1 ndash p2 n) 2x + 10


x + 5 p) 4 ndash 12x2 + 4 5x + 403

UŽDAVINIAI



b) x + 24

3 ndash x6



x2 ndash 1


Pamėgink

132











23 + xndash

13)

x 13 (x

23 + xndash

13) = x

13 x

23 + x

13 xndash

13 =

= x 13 +

23 + x

13 ndash

13 = x

33 + x0 = x + 1



Atsakymas x + 1









Pavyzdžiai

IŠMOK

133




a) x43 = x3 x3 = x x3

b) x94 = x4 x4 x4 = x2 x4

x94 = x 94 = x2

14 = x2 x4

c) x6y6 = x6 y6 = x y6





Pavyzdys



Įsiminka2n2n = |a|



(x ndash 4)44 + (x ndash 2)33 =




Pavyzdžiai


a) ( x 14 ndash 1 )( x



Pamėgink




Pamėgink

134









a) x y3 = x3y3

b) a b4 = a4b4










Pavyzdžiai

Suprastink



Pamėgink


a) a3 a4 (a gt 0) b) ab2 a3 (a b gt 0)


Pamėgink

135



Įsimink





= ndash x7y 46




Pavyzdys




① (a + b)2 = a2 + 2ab + b2



④ (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3


⑥ a3 + b3 = (a + b)(a2 ndash ab + b2)





Pamėgink


136



(2x + 3)3 = a b



Sprendimas


Atsakymas 8x3 + 36x2 + 54x + 27


( 2 ndash 2 3 )3 = a b



Sprendimas



Pavyzdžiai


8x6 + 60x4y + 150x2y2 + 125y3 =

= (2x2)3 + 3 (2x2)2 (5y) + 3 (2x2) (5y)2 + (5y)3 = a3 a2 b a b2 b3

= (2x2 + 5y)3




Pavyzdys


a) (m ndash 5n)3 b) (2x + 2)3c) ( 3 + 2)3 d) (2 2 + 2)3

Pamėgink




52


Pamėgink

137
















Pavyzdys








Pavyzdys




Pamėgink

138







a) 8x6 ndash a3b9 = (2x2)3 (ab3)3

= (2x2)3 ndash (ab3)3 = a3 b3


= (2x2 ndash ab3)(4x4 + 2x2ab3 + a2b6)






= ( x3 ndash y3 )( x23 + xy3 + y23 )








Taikome 7 formulę

Pavyzdys







Pamėgink



Pamėgink

139



x1 = 1 ndash 81 20 = ndash 2 5 x2 = 1 + 81

20 = 1 2


5) =

= 2 5(x ndash 1 2)(x + 2

5) =

= (2x ndash 1)(5x + 2)





Pavyzdys

Grupavimo būdas









Pavyzdys


= (x + y)(a + b)




++



Pamėgink




Pamėgink

140



6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys




ab + c

d = ad + bcbd

ab ndash c

d = ad ndash bcbd



x + y


Pamėgink

Suprastink




2x ndash 10


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys

3

141


6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys





ab middot c


ab c

d = ab middot d




x ndash y


x2 + y2

x ndash y =


x ndash yx2 + y2 =


x2 + y2 =


= x + y

Sprendimas


Pavyzdžiai

Suprastink

a) 1x x + x

+ xx + 1

b) 6 xx ndash 3

ndash 3x + 3


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys



x ndash yx + y


=


( x + y )( x ndash y ) =



x ndash y

Sprendimas




Pavyzdys

x ndash y x + y

142


UŽDAVINIAI




Suprastink

a) x12 middot x

14 b) (x4

5)3

c) (x23 middot x

15)15

d) x13

xndash 23

e) (x23)

34


n3)6n

h) (b2n bndash075n

bndash05n )ndash4n

i) y 13 middot y

23 j) (x2)

13 k) y

25


27)35

m) (y27)175


n2 o) (x

n4 middot x

n8)8

p) (xndash 56 n x3n

x 43 n )ndash6n




a) ( 3x + 1 ndash 4



Pamėgink


1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









2(1 + 3x) 1 ndash 3x2

143

Suprastink




a) 4 x 3 z 2y 6 4 y ndash2


a 3 b 5a 5

d) 5 a 5 c 2b 2 5 b ndash3


y 4 y 3x 6




a) 12x3y 3x2y b) 16x2y3 3x2y3 c) 144x 5y 124


12y23

e) 63x 5y 3 28x2y f) 8x2y5 4x 3y 45 g) 250xy 74

18x17y24 h) 3x 6y 83

ndash81y23









3b)3 h) (2 2 ndash 3 3)3

i) (3x ndash 4)3 j) (5x + 2)3 k) ( x3 + 1)3 l) ( x6 + x3 )3


p) (x 2 ndash 2)3



1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









144




14 ndash x

14y

34 g) n n + n h) x

34 ndash x



13 ndash x

13y




12 d) xn ndash yn




32 h) y + x 34




a) x + 3x + 4 b) x 3

x 4 c) (x + 2) 3(x + 2) + x d) (x + 2) ndash (x + 3)

(x + 2) + (x + 3)


x + 2 g) x + 1(x + 1)2 h) x 3 + 4

x 4 + 3

i) 6 xx 5 j) x + 1


b x + a



x ndash 5








b ndash a








a) ab ndash b2

2b b) x2 ndash y2





2x ndash 5y








a) x x ndash x


c) a ndash 1a + 1


e) x x + xx


g) x 6 ndash y 6



a) xy + y


x2 + 2x + 1 c) 3x + 1 + x + 5


d) 3x2 + 9x + 14 + 5

2x2 + 15x + 7 e) x ndash x2



x ndash 2

g) 2x2




x3 + 2x + 2x2 + 4 + 1x2 + 2

145

j) 1x(x + 1) + 1

x + 1 k) 6x2 ndash 9 + 9

x2 ndash 6x + 9 l) 4x + 2 + x + 6


m) 6x2 + 11x + 24 + 4








x ndash 3

Suprastink

a) x x ndash 2

ndash 2x + 2

b) 3


a ndash 9 c) x 12

x05 + 1 ndash 1

x05 ndash 1 d) 2

x + 2 + x

x ndash 2 ndash 4 x

x ndash 4

e) 11 + x

ndash 11 ndash x

f) 1a4 ndash 1

+ 1a4 + 1

g) 3

x 12 + 3 ndash x05

x05 ndash 3 h) x

81 ndash x ndash 9

x + 9 + x

x ndash 9

Suprastink

a) 16x2y5










3x j) x + 3x2 + 6x x2 ndash 9


x






3x + 4

e) 5 ndash 2

x ndash 3

4 ndash 1x ndash 3









1 + 3x

1 ndash 6x

m) 3 + 2

x + 4

5 ndash 1x + 4



2x + 2 ndash 1) 6x ndash 6 x + 1 p) ( 1

x ndash 1 ndash x + 1x2 + x + 1) (1 + 1

x3 ndash 1)





y ndash x ndash2








a13 + b



x + 1 + 1 ndash x )


16) xy 46 e) ( 1


x13 ndash 1

+ x13) middot x

13 ndash 1

x23 ndash 1

g) y ndash x

x23 + (xy)13 + y

23 + x

23 ndash y23

x3 ndash y13

h) x13y

13 x

13 y ndash y

13 x



y ndash z )ndash1

j) (x15 + x25

1 + x + 1) 1 ndash x3



ndash b a a + b

+ 3ab ndash b2

a ndash b

m) a + ba ndash b

ndash a + ab a + b

n) a + 1a a + a + a

1a2 ndash a




x05 ndash 1 r) ( 2 + x14


14


x34 s) 1x3 + y3 ndash x3 + y3

x23 ndash (xy)

13 + y

23




ndash 13


x + 1x x ndash 1

+ 2 x

146










6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai

TAIKYK

147




6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai







Sprendimas






2b + 1 ndash 6ab




PamėginkPamėgink





sin2 α

|v| = 2ghsin2 α

v = 2ghsin2 α


Išreiškiame v2




lg = T

2π

lg = ( T

2π )2

lg = T2

4π2gl = 4π2

T2

g = 4π2 middot lT2






Pavyzdžiai

148




p



f = 1F



c

1 + vc


R



P + ET


ndash 1)( 1R1

ndash 1R2)




y


12 = mgh2 + mv2

22


2



y + 24


n21 ndash 1

n22)








PamėginkPamėgink

UŽDAVINIAI

149












150

1 variantas


A 215a + b B 215 + a ndash b


b



A x = 3 B x = 0 C x = ndash3 D x = 9





a) x ndash 32 7 + 4


12 d) 3x ndash 27

x2 ndash 1






a) 32x 94 b) 81x7y 63 c) x 12y 345 d) x 17y 246






PASITIKRINK

151








a middot 5 + 9


⓭ Suprastink


m2 + n2 m2 ndash n2

4mn c) xx + 4 + 4


2 variantas


b2 =

A 140 B 142 C 145 D 146


A 00625 B 0 C 0125 D 025





15x3

c) 04x ndash 10x2 + 145 d) ( 205

10 ndash 5a)ndash18

❺ Pakelk kubu

a) (2 + 2 )3 b) (2 3 + 3 )3 c) (x 2 ndash y3 2 )3



❼ Suprastink




❾ Suprastink

a) 64x6 + 216y6



ndash 52 ndash x






4 kai y lt 0

152


❶Apskaičiuok

a) ( 7 ndash 5 23 + 7 + 503 ) middot 9 b) (3 + 2 5 4


54 + 1



❷Įrodyk teiginį

a) jei x23 + y

23 = a

23 tai x2 + x 4y 23 + y2 + x 2y 43 = a















+ ndash

bf middot xy = gcg

= = =

eec + bcyy = bfbe


153



A 40 B 250 C 225 D 2500


A 2600p B 10400 + p100 C 104p D 5200

100 + 2p








A 545 = 1

54 B 545 = 5

54 C 545 = 31254 D 5

45 = 6255


p ndash 1




x + 4 D 1x + 4



A a = 1 b = 5 B a = 2 b = 3 C a = 1 b = 4 D a = 3 b = 2




A 8 3 cm B 8 3 3 cm C 4

3 cm D 4 3 3 cm


A 56 B 60 C 64 D 112


154











+ 2 ndash x 2 + x





išraišką T(x)




1200 cm2


155












2



130



x(x ndash 4) ne 0







x 25x ne ndash1









x ne ndash3


(x + 7)(x ndash 7) lt 0








Pavyzdžiai


a) 03x ndash 1 3 b) 2

7x3 + 1 9x2 + 0(4)x ndash 12

c) 2 + 4x x + 3 d) 2 + 4x

x2 ndash 25

Pamėgink

131



3 c) 3 x ndash 36



12 ndash 2x g) x


x2 ndash 1









e) x13 ndash 1 f) 1



2x2 ndash 50



m) 2x + x25 n) x + 2

3 5 o) 2x + 1

x2 ndash 9 p) 12x + x + 4




a + 3 d) 4x


e) (3x ndash 1)ndash134 f) 5x + 40 3

1 ndash x2 g) 4




2 ndash a l) 35k + 21 6

2k + 34


1 ndash p2 n) 2x + 10


x + 5 p) 4 ndash 12x2 + 4 5x + 403

UŽDAVINIAI



b) x + 24

3 ndash x6



x2 ndash 1


Pamėgink

132











23 + xndash

13)

x 13 (x

23 + xndash

13) = x

13 x

23 + x

13 xndash

13 =

= x 13 +

23 + x

13 ndash

13 = x

33 + x0 = x + 1



Atsakymas x + 1









Pavyzdžiai

IŠMOK

133




a) x43 = x3 x3 = x x3

b) x94 = x4 x4 x4 = x2 x4

x94 = x 94 = x2

14 = x2 x4

c) x6y6 = x6 y6 = x y6





Pavyzdys



Įsiminka2n2n = |a|



(x ndash 4)44 + (x ndash 2)33 =




Pavyzdžiai


a) ( x 14 ndash 1 )( x



Pamėgink




Pamėgink

134









a) x y3 = x3y3

b) a b4 = a4b4










Pavyzdžiai

Suprastink



Pamėgink


a) a3 a4 (a gt 0) b) ab2 a3 (a b gt 0)


Pamėgink

135



Įsimink





= ndash x7y 46




Pavyzdys




① (a + b)2 = a2 + 2ab + b2



④ (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3


⑥ a3 + b3 = (a + b)(a2 ndash ab + b2)





Pamėgink


136



(2x + 3)3 = a b



Sprendimas


Atsakymas 8x3 + 36x2 + 54x + 27


( 2 ndash 2 3 )3 = a b



Sprendimas



Pavyzdžiai


8x6 + 60x4y + 150x2y2 + 125y3 =

= (2x2)3 + 3 (2x2)2 (5y) + 3 (2x2) (5y)2 + (5y)3 = a3 a2 b a b2 b3

= (2x2 + 5y)3




Pavyzdys


a) (m ndash 5n)3 b) (2x + 2)3c) ( 3 + 2)3 d) (2 2 + 2)3

Pamėgink




52


Pamėgink

137
















Pavyzdys








Pavyzdys




Pamėgink

138







a) 8x6 ndash a3b9 = (2x2)3 (ab3)3

= (2x2)3 ndash (ab3)3 = a3 b3


= (2x2 ndash ab3)(4x4 + 2x2ab3 + a2b6)






= ( x3 ndash y3 )( x23 + xy3 + y23 )








Taikome 7 formulę

Pavyzdys







Pamėgink



Pamėgink

139



x1 = 1 ndash 81 20 = ndash 2 5 x2 = 1 + 81

20 = 1 2


5) =

= 2 5(x ndash 1 2)(x + 2

5) =

= (2x ndash 1)(5x + 2)





Pavyzdys

Grupavimo būdas









Pavyzdys


= (x + y)(a + b)




++



Pamėgink




Pamėgink

140



6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys




ab + c

d = ad + bcbd

ab ndash c

d = ad ndash bcbd



x + y


Pamėgink

Suprastink




2x ndash 10


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys

3

141


6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys





ab middot c


ab c

d = ab middot d




x ndash y


x2 + y2

x ndash y =


x ndash yx2 + y2 =


x2 + y2 =


= x + y

Sprendimas


Pavyzdžiai

Suprastink

a) 1x x + x

+ xx + 1

b) 6 xx ndash 3

ndash 3x + 3


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys



x ndash yx + y


=


( x + y )( x ndash y ) =



x ndash y

Sprendimas




Pavyzdys

x ndash y x + y

142


UŽDAVINIAI




Suprastink

a) x12 middot x

14 b) (x4

5)3

c) (x23 middot x

15)15

d) x13

xndash 23

e) (x23)

34


n3)6n

h) (b2n bndash075n

bndash05n )ndash4n

i) y 13 middot y

23 j) (x2)

13 k) y

25


27)35

m) (y27)175


n2 o) (x

n4 middot x

n8)8

p) (xndash 56 n x3n

x 43 n )ndash6n




a) ( 3x + 1 ndash 4



Pamėgink


1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









2(1 + 3x) 1 ndash 3x2

143

Suprastink




a) 4 x 3 z 2y 6 4 y ndash2


a 3 b 5a 5

d) 5 a 5 c 2b 2 5 b ndash3


y 4 y 3x 6




a) 12x3y 3x2y b) 16x2y3 3x2y3 c) 144x 5y 124


12y23

e) 63x 5y 3 28x2y f) 8x2y5 4x 3y 45 g) 250xy 74

18x17y24 h) 3x 6y 83

ndash81y23









3b)3 h) (2 2 ndash 3 3)3

i) (3x ndash 4)3 j) (5x + 2)3 k) ( x3 + 1)3 l) ( x6 + x3 )3


p) (x 2 ndash 2)3



1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









144




14 ndash x

14y

34 g) n n + n h) x

34 ndash x



13 ndash x

13y




12 d) xn ndash yn




32 h) y + x 34




a) x + 3x + 4 b) x 3

x 4 c) (x + 2) 3(x + 2) + x d) (x + 2) ndash (x + 3)

(x + 2) + (x + 3)


x + 2 g) x + 1(x + 1)2 h) x 3 + 4

x 4 + 3

i) 6 xx 5 j) x + 1


b x + a



x ndash 5








b ndash a








a) ab ndash b2

2b b) x2 ndash y2





2x ndash 5y








a) x x ndash x


c) a ndash 1a + 1


e) x x + xx


g) x 6 ndash y 6



a) xy + y


x2 + 2x + 1 c) 3x + 1 + x + 5


d) 3x2 + 9x + 14 + 5

2x2 + 15x + 7 e) x ndash x2



x ndash 2

g) 2x2




x3 + 2x + 2x2 + 4 + 1x2 + 2

145

j) 1x(x + 1) + 1

x + 1 k) 6x2 ndash 9 + 9

x2 ndash 6x + 9 l) 4x + 2 + x + 6


m) 6x2 + 11x + 24 + 4








x ndash 3

Suprastink

a) x x ndash 2

ndash 2x + 2

b) 3


a ndash 9 c) x 12

x05 + 1 ndash 1

x05 ndash 1 d) 2

x + 2 + x

x ndash 2 ndash 4 x

x ndash 4

e) 11 + x

ndash 11 ndash x

f) 1a4 ndash 1

+ 1a4 + 1

g) 3

x 12 + 3 ndash x05

x05 ndash 3 h) x

81 ndash x ndash 9

x + 9 + x

x ndash 9

Suprastink

a) 16x2y5










3x j) x + 3x2 + 6x x2 ndash 9


x






3x + 4

e) 5 ndash 2

x ndash 3

4 ndash 1x ndash 3









1 + 3x

1 ndash 6x

m) 3 + 2

x + 4

5 ndash 1x + 4



2x + 2 ndash 1) 6x ndash 6 x + 1 p) ( 1

x ndash 1 ndash x + 1x2 + x + 1) (1 + 1

x3 ndash 1)





y ndash x ndash2








a13 + b



x + 1 + 1 ndash x )


16) xy 46 e) ( 1


x13 ndash 1

+ x13) middot x

13 ndash 1

x23 ndash 1

g) y ndash x

x23 + (xy)13 + y

23 + x

23 ndash y23

x3 ndash y13

h) x13y

13 x

13 y ndash y

13 x



y ndash z )ndash1

j) (x15 + x25

1 + x + 1) 1 ndash x3



ndash b a a + b

+ 3ab ndash b2

a ndash b

m) a + ba ndash b

ndash a + ab a + b

n) a + 1a a + a + a

1a2 ndash a




x05 ndash 1 r) ( 2 + x14


14


x34 s) 1x3 + y3 ndash x3 + y3

x23 ndash (xy)

13 + y

23




ndash 13


x + 1x x ndash 1

+ 2 x

146










6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai

TAIKYK

147




6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai







Sprendimas






2b + 1 ndash 6ab




PamėginkPamėgink





sin2 α

|v| = 2ghsin2 α

v = 2ghsin2 α


Išreiškiame v2




lg = T

2π

lg = ( T

2π )2

lg = T2

4π2gl = 4π2

T2

g = 4π2 middot lT2






Pavyzdžiai

148




p



f = 1F



c

1 + vc


R



P + ET


ndash 1)( 1R1

ndash 1R2)




y


12 = mgh2 + mv2

22


2



y + 24


n21 ndash 1

n22)








PamėginkPamėgink

UŽDAVINIAI

149












150

1 variantas


A 215a + b B 215 + a ndash b


b



A x = 3 B x = 0 C x = ndash3 D x = 9





a) x ndash 32 7 + 4


12 d) 3x ndash 27

x2 ndash 1






a) 32x 94 b) 81x7y 63 c) x 12y 345 d) x 17y 246






PASITIKRINK

151








a middot 5 + 9


⓭ Suprastink


m2 + n2 m2 ndash n2

4mn c) xx + 4 + 4


2 variantas


b2 =

A 140 B 142 C 145 D 146


A 00625 B 0 C 0125 D 025





15x3

c) 04x ndash 10x2 + 145 d) ( 205

10 ndash 5a)ndash18

❺ Pakelk kubu

a) (2 + 2 )3 b) (2 3 + 3 )3 c) (x 2 ndash y3 2 )3



❼ Suprastink




❾ Suprastink

a) 64x6 + 216y6



ndash 52 ndash x






4 kai y lt 0

152


❶Apskaičiuok

a) ( 7 ndash 5 23 + 7 + 503 ) middot 9 b) (3 + 2 5 4


54 + 1



❷Įrodyk teiginį

a) jei x23 + y

23 = a

23 tai x2 + x 4y 23 + y2 + x 2y 43 = a















+ ndash

bf middot xy = gcg

= = =

eec + bcyy = bfbe


153



A 40 B 250 C 225 D 2500


A 2600p B 10400 + p100 C 104p D 5200

100 + 2p








A 545 = 1

54 B 545 = 5

54 C 545 = 31254 D 5

45 = 6255


p ndash 1




x + 4 D 1x + 4



A a = 1 b = 5 B a = 2 b = 3 C a = 1 b = 4 D a = 3 b = 2




A 8 3 cm B 8 3 3 cm C 4

3 cm D 4 3 3 cm


A 56 B 60 C 64 D 112


154











+ 2 ndash x 2 + x





išraišką T(x)




1200 cm2


155












2



131



3 c) 3 x ndash 36



12 ndash 2x g) x


x2 ndash 1









e) x13 ndash 1 f) 1



2x2 ndash 50



m) 2x + x25 n) x + 2

3 5 o) 2x + 1

x2 ndash 9 p) 12x + x + 4




a + 3 d) 4x


e) (3x ndash 1)ndash134 f) 5x + 40 3

1 ndash x2 g) 4




2 ndash a l) 35k + 21 6

2k + 34


1 ndash p2 n) 2x + 10


x + 5 p) 4 ndash 12x2 + 4 5x + 403

UŽDAVINIAI



b) x + 24

3 ndash x6



x2 ndash 1


Pamėgink

132











23 + xndash

13)

x 13 (x

23 + xndash

13) = x

13 x

23 + x

13 xndash

13 =

= x 13 +

23 + x

13 ndash

13 = x

33 + x0 = x + 1



Atsakymas x + 1









Pavyzdžiai

IŠMOK

133




a) x43 = x3 x3 = x x3

b) x94 = x4 x4 x4 = x2 x4

x94 = x 94 = x2

14 = x2 x4

c) x6y6 = x6 y6 = x y6





Pavyzdys



Įsiminka2n2n = |a|



(x ndash 4)44 + (x ndash 2)33 =




Pavyzdžiai


a) ( x 14 ndash 1 )( x



Pamėgink




Pamėgink

134









a) x y3 = x3y3

b) a b4 = a4b4










Pavyzdžiai

Suprastink



Pamėgink


a) a3 a4 (a gt 0) b) ab2 a3 (a b gt 0)


Pamėgink

135



Įsimink





= ndash x7y 46




Pavyzdys




① (a + b)2 = a2 + 2ab + b2



④ (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3


⑥ a3 + b3 = (a + b)(a2 ndash ab + b2)





Pamėgink


136



(2x + 3)3 = a b



Sprendimas


Atsakymas 8x3 + 36x2 + 54x + 27


( 2 ndash 2 3 )3 = a b



Sprendimas



Pavyzdžiai


8x6 + 60x4y + 150x2y2 + 125y3 =

= (2x2)3 + 3 (2x2)2 (5y) + 3 (2x2) (5y)2 + (5y)3 = a3 a2 b a b2 b3

= (2x2 + 5y)3




Pavyzdys


a) (m ndash 5n)3 b) (2x + 2)3c) ( 3 + 2)3 d) (2 2 + 2)3

Pamėgink




52


Pamėgink

137
















Pavyzdys








Pavyzdys




Pamėgink

138







a) 8x6 ndash a3b9 = (2x2)3 (ab3)3

= (2x2)3 ndash (ab3)3 = a3 b3


= (2x2 ndash ab3)(4x4 + 2x2ab3 + a2b6)






= ( x3 ndash y3 )( x23 + xy3 + y23 )








Taikome 7 formulę

Pavyzdys







Pamėgink



Pamėgink

139



x1 = 1 ndash 81 20 = ndash 2 5 x2 = 1 + 81

20 = 1 2


5) =

= 2 5(x ndash 1 2)(x + 2

5) =

= (2x ndash 1)(5x + 2)





Pavyzdys

Grupavimo būdas









Pavyzdys


= (x + y)(a + b)




++



Pamėgink




Pamėgink

140



6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys




ab + c

d = ad + bcbd

ab ndash c

d = ad ndash bcbd



x + y


Pamėgink

Suprastink




2x ndash 10


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys

3

141


6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys





ab middot c


ab c

d = ab middot d




x ndash y


x2 + y2

x ndash y =


x ndash yx2 + y2 =


x2 + y2 =


= x + y

Sprendimas


Pavyzdžiai

Suprastink

a) 1x x + x

+ xx + 1

b) 6 xx ndash 3

ndash 3x + 3


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys



x ndash yx + y


=


( x + y )( x ndash y ) =



x ndash y

Sprendimas




Pavyzdys

x ndash y x + y

142


UŽDAVINIAI




Suprastink

a) x12 middot x

14 b) (x4

5)3

c) (x23 middot x

15)15

d) x13

xndash 23

e) (x23)

34


n3)6n

h) (b2n bndash075n

bndash05n )ndash4n

i) y 13 middot y

23 j) (x2)

13 k) y

25


27)35

m) (y27)175


n2 o) (x

n4 middot x

n8)8

p) (xndash 56 n x3n

x 43 n )ndash6n




a) ( 3x + 1 ndash 4



Pamėgink


1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









2(1 + 3x) 1 ndash 3x2

143

Suprastink




a) 4 x 3 z 2y 6 4 y ndash2


a 3 b 5a 5

d) 5 a 5 c 2b 2 5 b ndash3


y 4 y 3x 6




a) 12x3y 3x2y b) 16x2y3 3x2y3 c) 144x 5y 124


12y23

e) 63x 5y 3 28x2y f) 8x2y5 4x 3y 45 g) 250xy 74

18x17y24 h) 3x 6y 83

ndash81y23









3b)3 h) (2 2 ndash 3 3)3

i) (3x ndash 4)3 j) (5x + 2)3 k) ( x3 + 1)3 l) ( x6 + x3 )3


p) (x 2 ndash 2)3



1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









144




14 ndash x

14y

34 g) n n + n h) x

34 ndash x



13 ndash x

13y




12 d) xn ndash yn




32 h) y + x 34




a) x + 3x + 4 b) x 3

x 4 c) (x + 2) 3(x + 2) + x d) (x + 2) ndash (x + 3)

(x + 2) + (x + 3)


x + 2 g) x + 1(x + 1)2 h) x 3 + 4

x 4 + 3

i) 6 xx 5 j) x + 1


b x + a



x ndash 5








b ndash a








a) ab ndash b2

2b b) x2 ndash y2





2x ndash 5y








a) x x ndash x


c) a ndash 1a + 1


e) x x + xx


g) x 6 ndash y 6



a) xy + y


x2 + 2x + 1 c) 3x + 1 + x + 5


d) 3x2 + 9x + 14 + 5

2x2 + 15x + 7 e) x ndash x2



x ndash 2

g) 2x2




x3 + 2x + 2x2 + 4 + 1x2 + 2

145

j) 1x(x + 1) + 1

x + 1 k) 6x2 ndash 9 + 9

x2 ndash 6x + 9 l) 4x + 2 + x + 6


m) 6x2 + 11x + 24 + 4








x ndash 3

Suprastink

a) x x ndash 2

ndash 2x + 2

b) 3


a ndash 9 c) x 12

x05 + 1 ndash 1

x05 ndash 1 d) 2

x + 2 + x

x ndash 2 ndash 4 x

x ndash 4

e) 11 + x

ndash 11 ndash x

f) 1a4 ndash 1

+ 1a4 + 1

g) 3

x 12 + 3 ndash x05

x05 ndash 3 h) x

81 ndash x ndash 9

x + 9 + x

x ndash 9

Suprastink

a) 16x2y5










3x j) x + 3x2 + 6x x2 ndash 9


x






3x + 4

e) 5 ndash 2

x ndash 3

4 ndash 1x ndash 3









1 + 3x

1 ndash 6x

m) 3 + 2

x + 4

5 ndash 1x + 4



2x + 2 ndash 1) 6x ndash 6 x + 1 p) ( 1

x ndash 1 ndash x + 1x2 + x + 1) (1 + 1

x3 ndash 1)





y ndash x ndash2








a13 + b



x + 1 + 1 ndash x )


16) xy 46 e) ( 1


x13 ndash 1

+ x13) middot x

13 ndash 1

x23 ndash 1

g) y ndash x

x23 + (xy)13 + y

23 + x

23 ndash y23

x3 ndash y13

h) x13y

13 x

13 y ndash y

13 x



y ndash z )ndash1

j) (x15 + x25

1 + x + 1) 1 ndash x3



ndash b a a + b

+ 3ab ndash b2

a ndash b

m) a + ba ndash b

ndash a + ab a + b

n) a + 1a a + a + a

1a2 ndash a




x05 ndash 1 r) ( 2 + x14


14


x34 s) 1x3 + y3 ndash x3 + y3

x23 ndash (xy)

13 + y

23




ndash 13


x + 1x x ndash 1

+ 2 x

146










6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai

TAIKYK

147




6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai







Sprendimas






2b + 1 ndash 6ab




PamėginkPamėgink





sin2 α

|v| = 2ghsin2 α

v = 2ghsin2 α


Išreiškiame v2




lg = T

2π

lg = ( T

2π )2

lg = T2

4π2gl = 4π2

T2

g = 4π2 middot lT2






Pavyzdžiai

148




p



f = 1F



c

1 + vc


R



P + ET


ndash 1)( 1R1

ndash 1R2)




y


12 = mgh2 + mv2

22


2



y + 24


n21 ndash 1

n22)








PamėginkPamėgink

UŽDAVINIAI

149












150

1 variantas


A 215a + b B 215 + a ndash b


b



A x = 3 B x = 0 C x = ndash3 D x = 9





a) x ndash 32 7 + 4


12 d) 3x ndash 27

x2 ndash 1






a) 32x 94 b) 81x7y 63 c) x 12y 345 d) x 17y 246






PASITIKRINK

151








a middot 5 + 9


⓭ Suprastink


m2 + n2 m2 ndash n2

4mn c) xx + 4 + 4


2 variantas


b2 =

A 140 B 142 C 145 D 146


A 00625 B 0 C 0125 D 025





15x3

c) 04x ndash 10x2 + 145 d) ( 205

10 ndash 5a)ndash18

❺ Pakelk kubu

a) (2 + 2 )3 b) (2 3 + 3 )3 c) (x 2 ndash y3 2 )3



❼ Suprastink




❾ Suprastink

a) 64x6 + 216y6



ndash 52 ndash x






4 kai y lt 0

152


❶Apskaičiuok

a) ( 7 ndash 5 23 + 7 + 503 ) middot 9 b) (3 + 2 5 4


54 + 1



❷Įrodyk teiginį

a) jei x23 + y

23 = a

23 tai x2 + x 4y 23 + y2 + x 2y 43 = a















+ ndash

bf middot xy = gcg

= = =

eec + bcyy = bfbe


153



A 40 B 250 C 225 D 2500


A 2600p B 10400 + p100 C 104p D 5200

100 + 2p








A 545 = 1

54 B 545 = 5

54 C 545 = 31254 D 5

45 = 6255


p ndash 1




x + 4 D 1x + 4



A a = 1 b = 5 B a = 2 b = 3 C a = 1 b = 4 D a = 3 b = 2




A 8 3 cm B 8 3 3 cm C 4

3 cm D 4 3 3 cm


A 56 B 60 C 64 D 112


154











+ 2 ndash x 2 + x





išraišką T(x)




1200 cm2


155












2



132











23 + xndash

13)

x 13 (x

23 + xndash

13) = x

13 x

23 + x

13 xndash

13 =

= x 13 +

23 + x

13 ndash

13 = x

33 + x0 = x + 1



Atsakymas x + 1









Pavyzdžiai

IŠMOK

133




a) x43 = x3 x3 = x x3

b) x94 = x4 x4 x4 = x2 x4

x94 = x 94 = x2

14 = x2 x4

c) x6y6 = x6 y6 = x y6





Pavyzdys



Įsiminka2n2n = |a|



(x ndash 4)44 + (x ndash 2)33 =




Pavyzdžiai


a) ( x 14 ndash 1 )( x



Pamėgink




Pamėgink

134









a) x y3 = x3y3

b) a b4 = a4b4










Pavyzdžiai

Suprastink



Pamėgink


a) a3 a4 (a gt 0) b) ab2 a3 (a b gt 0)


Pamėgink

135



Įsimink





= ndash x7y 46




Pavyzdys




① (a + b)2 = a2 + 2ab + b2



④ (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3


⑥ a3 + b3 = (a + b)(a2 ndash ab + b2)





Pamėgink


136



(2x + 3)3 = a b



Sprendimas


Atsakymas 8x3 + 36x2 + 54x + 27


( 2 ndash 2 3 )3 = a b



Sprendimas



Pavyzdžiai


8x6 + 60x4y + 150x2y2 + 125y3 =

= (2x2)3 + 3 (2x2)2 (5y) + 3 (2x2) (5y)2 + (5y)3 = a3 a2 b a b2 b3

= (2x2 + 5y)3




Pavyzdys


a) (m ndash 5n)3 b) (2x + 2)3c) ( 3 + 2)3 d) (2 2 + 2)3

Pamėgink




52


Pamėgink

137
















Pavyzdys








Pavyzdys




Pamėgink

138







a) 8x6 ndash a3b9 = (2x2)3 (ab3)3

= (2x2)3 ndash (ab3)3 = a3 b3


= (2x2 ndash ab3)(4x4 + 2x2ab3 + a2b6)






= ( x3 ndash y3 )( x23 + xy3 + y23 )








Taikome 7 formulę

Pavyzdys







Pamėgink



Pamėgink

139



x1 = 1 ndash 81 20 = ndash 2 5 x2 = 1 + 81

20 = 1 2


5) =

= 2 5(x ndash 1 2)(x + 2

5) =

= (2x ndash 1)(5x + 2)





Pavyzdys

Grupavimo būdas









Pavyzdys


= (x + y)(a + b)




++



Pamėgink




Pamėgink

140



6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys




ab + c

d = ad + bcbd

ab ndash c

d = ad ndash bcbd



x + y


Pamėgink

Suprastink




2x ndash 10


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys

3

141


6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys





ab middot c


ab c

d = ab middot d




x ndash y


x2 + y2

x ndash y =


x ndash yx2 + y2 =


x2 + y2 =


= x + y

Sprendimas


Pavyzdžiai

Suprastink

a) 1x x + x

+ xx + 1

b) 6 xx ndash 3

ndash 3x + 3


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys



x ndash yx + y


=


( x + y )( x ndash y ) =



x ndash y

Sprendimas




Pavyzdys

x ndash y x + y

142


UŽDAVINIAI




Suprastink

a) x12 middot x

14 b) (x4

5)3

c) (x23 middot x

15)15

d) x13

xndash 23

e) (x23)

34


n3)6n

h) (b2n bndash075n

bndash05n )ndash4n

i) y 13 middot y

23 j) (x2)

13 k) y

25


27)35

m) (y27)175


n2 o) (x

n4 middot x

n8)8

p) (xndash 56 n x3n

x 43 n )ndash6n




a) ( 3x + 1 ndash 4



Pamėgink


1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









2(1 + 3x) 1 ndash 3x2

143

Suprastink




a) 4 x 3 z 2y 6 4 y ndash2


a 3 b 5a 5

d) 5 a 5 c 2b 2 5 b ndash3


y 4 y 3x 6




a) 12x3y 3x2y b) 16x2y3 3x2y3 c) 144x 5y 124


12y23

e) 63x 5y 3 28x2y f) 8x2y5 4x 3y 45 g) 250xy 74

18x17y24 h) 3x 6y 83

ndash81y23









3b)3 h) (2 2 ndash 3 3)3

i) (3x ndash 4)3 j) (5x + 2)3 k) ( x3 + 1)3 l) ( x6 + x3 )3


p) (x 2 ndash 2)3



1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









144




14 ndash x

14y

34 g) n n + n h) x

34 ndash x



13 ndash x

13y




12 d) xn ndash yn




32 h) y + x 34




a) x + 3x + 4 b) x 3

x 4 c) (x + 2) 3(x + 2) + x d) (x + 2) ndash (x + 3)

(x + 2) + (x + 3)


x + 2 g) x + 1(x + 1)2 h) x 3 + 4

x 4 + 3

i) 6 xx 5 j) x + 1


b x + a



x ndash 5








b ndash a








a) ab ndash b2

2b b) x2 ndash y2





2x ndash 5y








a) x x ndash x


c) a ndash 1a + 1


e) x x + xx


g) x 6 ndash y 6



a) xy + y


x2 + 2x + 1 c) 3x + 1 + x + 5


d) 3x2 + 9x + 14 + 5

2x2 + 15x + 7 e) x ndash x2



x ndash 2

g) 2x2




x3 + 2x + 2x2 + 4 + 1x2 + 2

145

j) 1x(x + 1) + 1

x + 1 k) 6x2 ndash 9 + 9

x2 ndash 6x + 9 l) 4x + 2 + x + 6


m) 6x2 + 11x + 24 + 4








x ndash 3

Suprastink

a) x x ndash 2

ndash 2x + 2

b) 3


a ndash 9 c) x 12

x05 + 1 ndash 1

x05 ndash 1 d) 2

x + 2 + x

x ndash 2 ndash 4 x

x ndash 4

e) 11 + x

ndash 11 ndash x

f) 1a4 ndash 1

+ 1a4 + 1

g) 3

x 12 + 3 ndash x05

x05 ndash 3 h) x

81 ndash x ndash 9

x + 9 + x

x ndash 9

Suprastink

a) 16x2y5










3x j) x + 3x2 + 6x x2 ndash 9


x






3x + 4

e) 5 ndash 2

x ndash 3

4 ndash 1x ndash 3









1 + 3x

1 ndash 6x

m) 3 + 2

x + 4

5 ndash 1x + 4



2x + 2 ndash 1) 6x ndash 6 x + 1 p) ( 1

x ndash 1 ndash x + 1x2 + x + 1) (1 + 1

x3 ndash 1)





y ndash x ndash2








a13 + b



x + 1 + 1 ndash x )


16) xy 46 e) ( 1


x13 ndash 1

+ x13) middot x

13 ndash 1

x23 ndash 1

g) y ndash x

x23 + (xy)13 + y

23 + x

23 ndash y23

x3 ndash y13

h) x13y

13 x

13 y ndash y

13 x



y ndash z )ndash1

j) (x15 + x25

1 + x + 1) 1 ndash x3



ndash b a a + b

+ 3ab ndash b2

a ndash b

m) a + ba ndash b

ndash a + ab a + b

n) a + 1a a + a + a

1a2 ndash a




x05 ndash 1 r) ( 2 + x14


14


x34 s) 1x3 + y3 ndash x3 + y3

x23 ndash (xy)

13 + y

23




ndash 13


x + 1x x ndash 1

+ 2 x

146










6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai

TAIKYK

147




6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai







Sprendimas






2b + 1 ndash 6ab




PamėginkPamėgink





sin2 α

|v| = 2ghsin2 α

v = 2ghsin2 α


Išreiškiame v2




lg = T

2π

lg = ( T

2π )2

lg = T2

4π2gl = 4π2

T2

g = 4π2 middot lT2






Pavyzdžiai

148




p



f = 1F



c

1 + vc


R



P + ET


ndash 1)( 1R1

ndash 1R2)




y


12 = mgh2 + mv2

22


2



y + 24


n21 ndash 1

n22)








PamėginkPamėgink

UŽDAVINIAI

149












150

1 variantas


A 215a + b B 215 + a ndash b


b



A x = 3 B x = 0 C x = ndash3 D x = 9





a) x ndash 32 7 + 4


12 d) 3x ndash 27

x2 ndash 1






a) 32x 94 b) 81x7y 63 c) x 12y 345 d) x 17y 246






PASITIKRINK

151








a middot 5 + 9


⓭ Suprastink


m2 + n2 m2 ndash n2

4mn c) xx + 4 + 4


2 variantas


b2 =

A 140 B 142 C 145 D 146


A 00625 B 0 C 0125 D 025





15x3

c) 04x ndash 10x2 + 145 d) ( 205

10 ndash 5a)ndash18

❺ Pakelk kubu

a) (2 + 2 )3 b) (2 3 + 3 )3 c) (x 2 ndash y3 2 )3



❼ Suprastink




❾ Suprastink

a) 64x6 + 216y6



ndash 52 ndash x






4 kai y lt 0

152


❶Apskaičiuok

a) ( 7 ndash 5 23 + 7 + 503 ) middot 9 b) (3 + 2 5 4


54 + 1



❷Įrodyk teiginį

a) jei x23 + y

23 = a

23 tai x2 + x 4y 23 + y2 + x 2y 43 = a















+ ndash

bf middot xy = gcg

= = =

eec + bcyy = bfbe


153



A 40 B 250 C 225 D 2500


A 2600p B 10400 + p100 C 104p D 5200

100 + 2p








A 545 = 1

54 B 545 = 5

54 C 545 = 31254 D 5

45 = 6255


p ndash 1




x + 4 D 1x + 4



A a = 1 b = 5 B a = 2 b = 3 C a = 1 b = 4 D a = 3 b = 2




A 8 3 cm B 8 3 3 cm C 4

3 cm D 4 3 3 cm


A 56 B 60 C 64 D 112


154











+ 2 ndash x 2 + x





išraišką T(x)




1200 cm2


155












2



133




a) x43 = x3 x3 = x x3

b) x94 = x4 x4 x4 = x2 x4

x94 = x 94 = x2

14 = x2 x4

c) x6y6 = x6 y6 = x y6





Pavyzdys



Įsiminka2n2n = |a|



(x ndash 4)44 + (x ndash 2)33 =




Pavyzdžiai


a) ( x 14 ndash 1 )( x



Pamėgink




Pamėgink

134









a) x y3 = x3y3

b) a b4 = a4b4










Pavyzdžiai

Suprastink



Pamėgink


a) a3 a4 (a gt 0) b) ab2 a3 (a b gt 0)


Pamėgink

135



Įsimink





= ndash x7y 46




Pavyzdys




① (a + b)2 = a2 + 2ab + b2



④ (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3


⑥ a3 + b3 = (a + b)(a2 ndash ab + b2)





Pamėgink


136



(2x + 3)3 = a b



Sprendimas


Atsakymas 8x3 + 36x2 + 54x + 27


( 2 ndash 2 3 )3 = a b



Sprendimas



Pavyzdžiai


8x6 + 60x4y + 150x2y2 + 125y3 =

= (2x2)3 + 3 (2x2)2 (5y) + 3 (2x2) (5y)2 + (5y)3 = a3 a2 b a b2 b3

= (2x2 + 5y)3




Pavyzdys


a) (m ndash 5n)3 b) (2x + 2)3c) ( 3 + 2)3 d) (2 2 + 2)3

Pamėgink




52


Pamėgink

137
















Pavyzdys








Pavyzdys




Pamėgink

138







a) 8x6 ndash a3b9 = (2x2)3 (ab3)3

= (2x2)3 ndash (ab3)3 = a3 b3


= (2x2 ndash ab3)(4x4 + 2x2ab3 + a2b6)






= ( x3 ndash y3 )( x23 + xy3 + y23 )








Taikome 7 formulę

Pavyzdys







Pamėgink



Pamėgink

139



x1 = 1 ndash 81 20 = ndash 2 5 x2 = 1 + 81

20 = 1 2


5) =

= 2 5(x ndash 1 2)(x + 2

5) =

= (2x ndash 1)(5x + 2)





Pavyzdys

Grupavimo būdas









Pavyzdys


= (x + y)(a + b)




++



Pamėgink




Pamėgink

140



6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys




ab + c

d = ad + bcbd

ab ndash c

d = ad ndash bcbd



x + y


Pamėgink

Suprastink




2x ndash 10


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys

3

141


6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys





ab middot c


ab c

d = ab middot d




x ndash y


x2 + y2

x ndash y =


x ndash yx2 + y2 =


x2 + y2 =


= x + y

Sprendimas


Pavyzdžiai

Suprastink

a) 1x x + x

+ xx + 1

b) 6 xx ndash 3

ndash 3x + 3


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys



x ndash yx + y


=


( x + y )( x ndash y ) =



x ndash y

Sprendimas




Pavyzdys

x ndash y x + y

142


UŽDAVINIAI




Suprastink

a) x12 middot x

14 b) (x4

5)3

c) (x23 middot x

15)15

d) x13

xndash 23

e) (x23)

34


n3)6n

h) (b2n bndash075n

bndash05n )ndash4n

i) y 13 middot y

23 j) (x2)

13 k) y

25


27)35

m) (y27)175


n2 o) (x

n4 middot x

n8)8

p) (xndash 56 n x3n

x 43 n )ndash6n




a) ( 3x + 1 ndash 4



Pamėgink


1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









2(1 + 3x) 1 ndash 3x2

143

Suprastink




a) 4 x 3 z 2y 6 4 y ndash2


a 3 b 5a 5

d) 5 a 5 c 2b 2 5 b ndash3


y 4 y 3x 6




a) 12x3y 3x2y b) 16x2y3 3x2y3 c) 144x 5y 124


12y23

e) 63x 5y 3 28x2y f) 8x2y5 4x 3y 45 g) 250xy 74

18x17y24 h) 3x 6y 83

ndash81y23









3b)3 h) (2 2 ndash 3 3)3

i) (3x ndash 4)3 j) (5x + 2)3 k) ( x3 + 1)3 l) ( x6 + x3 )3


p) (x 2 ndash 2)3



1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









144




14 ndash x

14y

34 g) n n + n h) x

34 ndash x



13 ndash x

13y




12 d) xn ndash yn




32 h) y + x 34




a) x + 3x + 4 b) x 3

x 4 c) (x + 2) 3(x + 2) + x d) (x + 2) ndash (x + 3)

(x + 2) + (x + 3)


x + 2 g) x + 1(x + 1)2 h) x 3 + 4

x 4 + 3

i) 6 xx 5 j) x + 1


b x + a



x ndash 5








b ndash a








a) ab ndash b2

2b b) x2 ndash y2





2x ndash 5y








a) x x ndash x


c) a ndash 1a + 1


e) x x + xx


g) x 6 ndash y 6



a) xy + y


x2 + 2x + 1 c) 3x + 1 + x + 5


d) 3x2 + 9x + 14 + 5

2x2 + 15x + 7 e) x ndash x2



x ndash 2

g) 2x2




x3 + 2x + 2x2 + 4 + 1x2 + 2

145

j) 1x(x + 1) + 1

x + 1 k) 6x2 ndash 9 + 9

x2 ndash 6x + 9 l) 4x + 2 + x + 6


m) 6x2 + 11x + 24 + 4








x ndash 3

Suprastink

a) x x ndash 2

ndash 2x + 2

b) 3


a ndash 9 c) x 12

x05 + 1 ndash 1

x05 ndash 1 d) 2

x + 2 + x

x ndash 2 ndash 4 x

x ndash 4

e) 11 + x

ndash 11 ndash x

f) 1a4 ndash 1

+ 1a4 + 1

g) 3

x 12 + 3 ndash x05

x05 ndash 3 h) x

81 ndash x ndash 9

x + 9 + x

x ndash 9

Suprastink

a) 16x2y5










3x j) x + 3x2 + 6x x2 ndash 9


x






3x + 4

e) 5 ndash 2

x ndash 3

4 ndash 1x ndash 3









1 + 3x

1 ndash 6x

m) 3 + 2

x + 4

5 ndash 1x + 4



2x + 2 ndash 1) 6x ndash 6 x + 1 p) ( 1

x ndash 1 ndash x + 1x2 + x + 1) (1 + 1

x3 ndash 1)





y ndash x ndash2








a13 + b



x + 1 + 1 ndash x )


16) xy 46 e) ( 1


x13 ndash 1

+ x13) middot x

13 ndash 1

x23 ndash 1

g) y ndash x

x23 + (xy)13 + y

23 + x

23 ndash y23

x3 ndash y13

h) x13y

13 x

13 y ndash y

13 x



y ndash z )ndash1

j) (x15 + x25

1 + x + 1) 1 ndash x3



ndash b a a + b

+ 3ab ndash b2

a ndash b

m) a + ba ndash b

ndash a + ab a + b

n) a + 1a a + a + a

1a2 ndash a




x05 ndash 1 r) ( 2 + x14


14


x34 s) 1x3 + y3 ndash x3 + y3

x23 ndash (xy)

13 + y

23




ndash 13


x + 1x x ndash 1

+ 2 x

146










6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai

TAIKYK

147




6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai







Sprendimas






2b + 1 ndash 6ab




PamėginkPamėgink





sin2 α

|v| = 2ghsin2 α

v = 2ghsin2 α


Išreiškiame v2




lg = T

2π

lg = ( T

2π )2

lg = T2

4π2gl = 4π2

T2

g = 4π2 middot lT2






Pavyzdžiai

148




p



f = 1F



c

1 + vc


R



P + ET


ndash 1)( 1R1

ndash 1R2)




y


12 = mgh2 + mv2

22


2



y + 24


n21 ndash 1

n22)








PamėginkPamėgink

UŽDAVINIAI

149












150

1 variantas


A 215a + b B 215 + a ndash b


b



A x = 3 B x = 0 C x = ndash3 D x = 9





a) x ndash 32 7 + 4


12 d) 3x ndash 27

x2 ndash 1






a) 32x 94 b) 81x7y 63 c) x 12y 345 d) x 17y 246






PASITIKRINK

151








a middot 5 + 9


⓭ Suprastink


m2 + n2 m2 ndash n2

4mn c) xx + 4 + 4


2 variantas


b2 =

A 140 B 142 C 145 D 146


A 00625 B 0 C 0125 D 025





15x3

c) 04x ndash 10x2 + 145 d) ( 205

10 ndash 5a)ndash18

❺ Pakelk kubu

a) (2 + 2 )3 b) (2 3 + 3 )3 c) (x 2 ndash y3 2 )3



❼ Suprastink




❾ Suprastink

a) 64x6 + 216y6



ndash 52 ndash x






4 kai y lt 0

152


❶Apskaičiuok

a) ( 7 ndash 5 23 + 7 + 503 ) middot 9 b) (3 + 2 5 4


54 + 1



❷Įrodyk teiginį

a) jei x23 + y

23 = a

23 tai x2 + x 4y 23 + y2 + x 2y 43 = a















+ ndash

bf middot xy = gcg

= = =

eec + bcyy = bfbe


153



A 40 B 250 C 225 D 2500


A 2600p B 10400 + p100 C 104p D 5200

100 + 2p








A 545 = 1

54 B 545 = 5

54 C 545 = 31254 D 5

45 = 6255


p ndash 1




x + 4 D 1x + 4



A a = 1 b = 5 B a = 2 b = 3 C a = 1 b = 4 D a = 3 b = 2




A 8 3 cm B 8 3 3 cm C 4

3 cm D 4 3 3 cm


A 56 B 60 C 64 D 112


154











+ 2 ndash x 2 + x





išraišką T(x)




1200 cm2


155












2



134









a) x y3 = x3y3

b) a b4 = a4b4










Pavyzdžiai

Suprastink



Pamėgink


a) a3 a4 (a gt 0) b) ab2 a3 (a b gt 0)


Pamėgink

135



Įsimink





= ndash x7y 46




Pavyzdys




① (a + b)2 = a2 + 2ab + b2



④ (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3


⑥ a3 + b3 = (a + b)(a2 ndash ab + b2)





Pamėgink


136



(2x + 3)3 = a b



Sprendimas


Atsakymas 8x3 + 36x2 + 54x + 27


( 2 ndash 2 3 )3 = a b



Sprendimas



Pavyzdžiai


8x6 + 60x4y + 150x2y2 + 125y3 =

= (2x2)3 + 3 (2x2)2 (5y) + 3 (2x2) (5y)2 + (5y)3 = a3 a2 b a b2 b3

= (2x2 + 5y)3




Pavyzdys


a) (m ndash 5n)3 b) (2x + 2)3c) ( 3 + 2)3 d) (2 2 + 2)3

Pamėgink




52


Pamėgink

137
















Pavyzdys








Pavyzdys




Pamėgink

138







a) 8x6 ndash a3b9 = (2x2)3 (ab3)3

= (2x2)3 ndash (ab3)3 = a3 b3


= (2x2 ndash ab3)(4x4 + 2x2ab3 + a2b6)






= ( x3 ndash y3 )( x23 + xy3 + y23 )








Taikome 7 formulę

Pavyzdys







Pamėgink



Pamėgink

139



x1 = 1 ndash 81 20 = ndash 2 5 x2 = 1 + 81

20 = 1 2


5) =

= 2 5(x ndash 1 2)(x + 2

5) =

= (2x ndash 1)(5x + 2)





Pavyzdys

Grupavimo būdas









Pavyzdys


= (x + y)(a + b)




++



Pamėgink




Pamėgink

140



6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys




ab + c

d = ad + bcbd

ab ndash c

d = ad ndash bcbd



x + y


Pamėgink

Suprastink




2x ndash 10


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys

3

141


6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys





ab middot c


ab c

d = ab middot d




x ndash y


x2 + y2

x ndash y =


x ndash yx2 + y2 =


x2 + y2 =


= x + y

Sprendimas


Pavyzdžiai

Suprastink

a) 1x x + x

+ xx + 1

b) 6 xx ndash 3

ndash 3x + 3


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys



x ndash yx + y


=


( x + y )( x ndash y ) =



x ndash y

Sprendimas




Pavyzdys

x ndash y x + y

142


UŽDAVINIAI




Suprastink

a) x12 middot x

14 b) (x4

5)3

c) (x23 middot x

15)15

d) x13

xndash 23

e) (x23)

34


n3)6n

h) (b2n bndash075n

bndash05n )ndash4n

i) y 13 middot y

23 j) (x2)

13 k) y

25


27)35

m) (y27)175


n2 o) (x

n4 middot x

n8)8

p) (xndash 56 n x3n

x 43 n )ndash6n




a) ( 3x + 1 ndash 4



Pamėgink


1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









2(1 + 3x) 1 ndash 3x2

143

Suprastink




a) 4 x 3 z 2y 6 4 y ndash2


a 3 b 5a 5

d) 5 a 5 c 2b 2 5 b ndash3


y 4 y 3x 6




a) 12x3y 3x2y b) 16x2y3 3x2y3 c) 144x 5y 124


12y23

e) 63x 5y 3 28x2y f) 8x2y5 4x 3y 45 g) 250xy 74

18x17y24 h) 3x 6y 83

ndash81y23









3b)3 h) (2 2 ndash 3 3)3

i) (3x ndash 4)3 j) (5x + 2)3 k) ( x3 + 1)3 l) ( x6 + x3 )3


p) (x 2 ndash 2)3



1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









144




14 ndash x

14y

34 g) n n + n h) x

34 ndash x



13 ndash x

13y




12 d) xn ndash yn




32 h) y + x 34




a) x + 3x + 4 b) x 3

x 4 c) (x + 2) 3(x + 2) + x d) (x + 2) ndash (x + 3)

(x + 2) + (x + 3)


x + 2 g) x + 1(x + 1)2 h) x 3 + 4

x 4 + 3

i) 6 xx 5 j) x + 1


b x + a



x ndash 5








b ndash a








a) ab ndash b2

2b b) x2 ndash y2





2x ndash 5y








a) x x ndash x


c) a ndash 1a + 1


e) x x + xx


g) x 6 ndash y 6



a) xy + y


x2 + 2x + 1 c) 3x + 1 + x + 5


d) 3x2 + 9x + 14 + 5

2x2 + 15x + 7 e) x ndash x2



x ndash 2

g) 2x2




x3 + 2x + 2x2 + 4 + 1x2 + 2

145

j) 1x(x + 1) + 1

x + 1 k) 6x2 ndash 9 + 9

x2 ndash 6x + 9 l) 4x + 2 + x + 6


m) 6x2 + 11x + 24 + 4








x ndash 3

Suprastink

a) x x ndash 2

ndash 2x + 2

b) 3


a ndash 9 c) x 12

x05 + 1 ndash 1

x05 ndash 1 d) 2

x + 2 + x

x ndash 2 ndash 4 x

x ndash 4

e) 11 + x

ndash 11 ndash x

f) 1a4 ndash 1

+ 1a4 + 1

g) 3

x 12 + 3 ndash x05

x05 ndash 3 h) x

81 ndash x ndash 9

x + 9 + x

x ndash 9

Suprastink

a) 16x2y5










3x j) x + 3x2 + 6x x2 ndash 9


x






3x + 4

e) 5 ndash 2

x ndash 3

4 ndash 1x ndash 3









1 + 3x

1 ndash 6x

m) 3 + 2

x + 4

5 ndash 1x + 4



2x + 2 ndash 1) 6x ndash 6 x + 1 p) ( 1

x ndash 1 ndash x + 1x2 + x + 1) (1 + 1

x3 ndash 1)





y ndash x ndash2








a13 + b



x + 1 + 1 ndash x )


16) xy 46 e) ( 1


x13 ndash 1

+ x13) middot x

13 ndash 1

x23 ndash 1

g) y ndash x

x23 + (xy)13 + y

23 + x

23 ndash y23

x3 ndash y13

h) x13y

13 x

13 y ndash y

13 x



y ndash z )ndash1

j) (x15 + x25

1 + x + 1) 1 ndash x3



ndash b a a + b

+ 3ab ndash b2

a ndash b

m) a + ba ndash b

ndash a + ab a + b

n) a + 1a a + a + a

1a2 ndash a




x05 ndash 1 r) ( 2 + x14


14


x34 s) 1x3 + y3 ndash x3 + y3

x23 ndash (xy)

13 + y

23




ndash 13


x + 1x x ndash 1

+ 2 x

146










6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai

TAIKYK

147




6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai







Sprendimas






2b + 1 ndash 6ab




PamėginkPamėgink





sin2 α

|v| = 2ghsin2 α

v = 2ghsin2 α


Išreiškiame v2




lg = T

2π

lg = ( T

2π )2

lg = T2

4π2gl = 4π2

T2

g = 4π2 middot lT2






Pavyzdžiai

148




p



f = 1F



c

1 + vc


R



P + ET


ndash 1)( 1R1

ndash 1R2)




y


12 = mgh2 + mv2

22


2



y + 24


n21 ndash 1

n22)








PamėginkPamėgink

UŽDAVINIAI

149












150

1 variantas


A 215a + b B 215 + a ndash b


b



A x = 3 B x = 0 C x = ndash3 D x = 9





a) x ndash 32 7 + 4


12 d) 3x ndash 27

x2 ndash 1






a) 32x 94 b) 81x7y 63 c) x 12y 345 d) x 17y 246






PASITIKRINK

151








a middot 5 + 9


⓭ Suprastink


m2 + n2 m2 ndash n2

4mn c) xx + 4 + 4


2 variantas


b2 =

A 140 B 142 C 145 D 146


A 00625 B 0 C 0125 D 025





15x3

c) 04x ndash 10x2 + 145 d) ( 205

10 ndash 5a)ndash18

❺ Pakelk kubu

a) (2 + 2 )3 b) (2 3 + 3 )3 c) (x 2 ndash y3 2 )3



❼ Suprastink




❾ Suprastink

a) 64x6 + 216y6



ndash 52 ndash x






4 kai y lt 0

152


❶Apskaičiuok

a) ( 7 ndash 5 23 + 7 + 503 ) middot 9 b) (3 + 2 5 4


54 + 1



❷Įrodyk teiginį

a) jei x23 + y

23 = a

23 tai x2 + x 4y 23 + y2 + x 2y 43 = a















+ ndash

bf middot xy = gcg

= = =

eec + bcyy = bfbe


153



A 40 B 250 C 225 D 2500


A 2600p B 10400 + p100 C 104p D 5200

100 + 2p








A 545 = 1

54 B 545 = 5

54 C 545 = 31254 D 5

45 = 6255


p ndash 1




x + 4 D 1x + 4



A a = 1 b = 5 B a = 2 b = 3 C a = 1 b = 4 D a = 3 b = 2




A 8 3 cm B 8 3 3 cm C 4

3 cm D 4 3 3 cm


A 56 B 60 C 64 D 112


154











+ 2 ndash x 2 + x





išraišką T(x)




1200 cm2


155












2



135



Įsimink





= ndash x7y 46




Pavyzdys




① (a + b)2 = a2 + 2ab + b2



④ (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3


⑥ a3 + b3 = (a + b)(a2 ndash ab + b2)





Pamėgink


136



(2x + 3)3 = a b



Sprendimas


Atsakymas 8x3 + 36x2 + 54x + 27


( 2 ndash 2 3 )3 = a b



Sprendimas



Pavyzdžiai


8x6 + 60x4y + 150x2y2 + 125y3 =

= (2x2)3 + 3 (2x2)2 (5y) + 3 (2x2) (5y)2 + (5y)3 = a3 a2 b a b2 b3

= (2x2 + 5y)3




Pavyzdys


a) (m ndash 5n)3 b) (2x + 2)3c) ( 3 + 2)3 d) (2 2 + 2)3

Pamėgink




52


Pamėgink

137
















Pavyzdys








Pavyzdys




Pamėgink

138







a) 8x6 ndash a3b9 = (2x2)3 (ab3)3

= (2x2)3 ndash (ab3)3 = a3 b3


= (2x2 ndash ab3)(4x4 + 2x2ab3 + a2b6)






= ( x3 ndash y3 )( x23 + xy3 + y23 )








Taikome 7 formulę

Pavyzdys







Pamėgink



Pamėgink

139



x1 = 1 ndash 81 20 = ndash 2 5 x2 = 1 + 81

20 = 1 2


5) =

= 2 5(x ndash 1 2)(x + 2

5) =

= (2x ndash 1)(5x + 2)





Pavyzdys

Grupavimo būdas









Pavyzdys


= (x + y)(a + b)




++



Pamėgink




Pamėgink

140



6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys




ab + c

d = ad + bcbd

ab ndash c

d = ad ndash bcbd



x + y


Pamėgink

Suprastink




2x ndash 10


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys

3

141


6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys





ab middot c


ab c

d = ab middot d




x ndash y


x2 + y2

x ndash y =


x ndash yx2 + y2 =


x2 + y2 =


= x + y

Sprendimas


Pavyzdžiai

Suprastink

a) 1x x + x

+ xx + 1

b) 6 xx ndash 3

ndash 3x + 3


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys



x ndash yx + y


=


( x + y )( x ndash y ) =



x ndash y

Sprendimas




Pavyzdys

x ndash y x + y

142


UŽDAVINIAI




Suprastink

a) x12 middot x

14 b) (x4

5)3

c) (x23 middot x

15)15

d) x13

xndash 23

e) (x23)

34


n3)6n

h) (b2n bndash075n

bndash05n )ndash4n

i) y 13 middot y

23 j) (x2)

13 k) y

25


27)35

m) (y27)175


n2 o) (x

n4 middot x

n8)8

p) (xndash 56 n x3n

x 43 n )ndash6n




a) ( 3x + 1 ndash 4



Pamėgink


1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









2(1 + 3x) 1 ndash 3x2

143

Suprastink




a) 4 x 3 z 2y 6 4 y ndash2


a 3 b 5a 5

d) 5 a 5 c 2b 2 5 b ndash3


y 4 y 3x 6




a) 12x3y 3x2y b) 16x2y3 3x2y3 c) 144x 5y 124


12y23

e) 63x 5y 3 28x2y f) 8x2y5 4x 3y 45 g) 250xy 74

18x17y24 h) 3x 6y 83

ndash81y23









3b)3 h) (2 2 ndash 3 3)3

i) (3x ndash 4)3 j) (5x + 2)3 k) ( x3 + 1)3 l) ( x6 + x3 )3


p) (x 2 ndash 2)3



1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









144




14 ndash x

14y

34 g) n n + n h) x

34 ndash x



13 ndash x

13y




12 d) xn ndash yn




32 h) y + x 34




a) x + 3x + 4 b) x 3

x 4 c) (x + 2) 3(x + 2) + x d) (x + 2) ndash (x + 3)

(x + 2) + (x + 3)


x + 2 g) x + 1(x + 1)2 h) x 3 + 4

x 4 + 3

i) 6 xx 5 j) x + 1


b x + a



x ndash 5








b ndash a








a) ab ndash b2

2b b) x2 ndash y2





2x ndash 5y








a) x x ndash x


c) a ndash 1a + 1


e) x x + xx


g) x 6 ndash y 6



a) xy + y


x2 + 2x + 1 c) 3x + 1 + x + 5


d) 3x2 + 9x + 14 + 5

2x2 + 15x + 7 e) x ndash x2



x ndash 2

g) 2x2




x3 + 2x + 2x2 + 4 + 1x2 + 2

145

j) 1x(x + 1) + 1

x + 1 k) 6x2 ndash 9 + 9

x2 ndash 6x + 9 l) 4x + 2 + x + 6


m) 6x2 + 11x + 24 + 4








x ndash 3

Suprastink

a) x x ndash 2

ndash 2x + 2

b) 3


a ndash 9 c) x 12

x05 + 1 ndash 1

x05 ndash 1 d) 2

x + 2 + x

x ndash 2 ndash 4 x

x ndash 4

e) 11 + x

ndash 11 ndash x

f) 1a4 ndash 1

+ 1a4 + 1

g) 3

x 12 + 3 ndash x05

x05 ndash 3 h) x

81 ndash x ndash 9

x + 9 + x

x ndash 9

Suprastink

a) 16x2y5










3x j) x + 3x2 + 6x x2 ndash 9


x






3x + 4

e) 5 ndash 2

x ndash 3

4 ndash 1x ndash 3









1 + 3x

1 ndash 6x

m) 3 + 2

x + 4

5 ndash 1x + 4



2x + 2 ndash 1) 6x ndash 6 x + 1 p) ( 1

x ndash 1 ndash x + 1x2 + x + 1) (1 + 1

x3 ndash 1)





y ndash x ndash2








a13 + b



x + 1 + 1 ndash x )


16) xy 46 e) ( 1


x13 ndash 1

+ x13) middot x

13 ndash 1

x23 ndash 1

g) y ndash x

x23 + (xy)13 + y

23 + x

23 ndash y23

x3 ndash y13

h) x13y

13 x

13 y ndash y

13 x



y ndash z )ndash1

j) (x15 + x25

1 + x + 1) 1 ndash x3



ndash b a a + b

+ 3ab ndash b2

a ndash b

m) a + ba ndash b

ndash a + ab a + b

n) a + 1a a + a + a

1a2 ndash a




x05 ndash 1 r) ( 2 + x14


14


x34 s) 1x3 + y3 ndash x3 + y3

x23 ndash (xy)

13 + y

23




ndash 13


x + 1x x ndash 1

+ 2 x

146










6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai

TAIKYK

147




6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai







Sprendimas






2b + 1 ndash 6ab




PamėginkPamėgink





sin2 α

|v| = 2ghsin2 α

v = 2ghsin2 α


Išreiškiame v2




lg = T

2π

lg = ( T

2π )2

lg = T2

4π2gl = 4π2

T2

g = 4π2 middot lT2






Pavyzdžiai

148




p



f = 1F



c

1 + vc


R



P + ET


ndash 1)( 1R1

ndash 1R2)




y


12 = mgh2 + mv2

22


2



y + 24


n21 ndash 1

n22)








PamėginkPamėgink

UŽDAVINIAI

149












150

1 variantas


A 215a + b B 215 + a ndash b


b



A x = 3 B x = 0 C x = ndash3 D x = 9





a) x ndash 32 7 + 4


12 d) 3x ndash 27

x2 ndash 1






a) 32x 94 b) 81x7y 63 c) x 12y 345 d) x 17y 246






PASITIKRINK

151








a middot 5 + 9


⓭ Suprastink


m2 + n2 m2 ndash n2

4mn c) xx + 4 + 4


2 variantas


b2 =

A 140 B 142 C 145 D 146


A 00625 B 0 C 0125 D 025





15x3

c) 04x ndash 10x2 + 145 d) ( 205

10 ndash 5a)ndash18

❺ Pakelk kubu

a) (2 + 2 )3 b) (2 3 + 3 )3 c) (x 2 ndash y3 2 )3



❼ Suprastink




❾ Suprastink

a) 64x6 + 216y6



ndash 52 ndash x






4 kai y lt 0

152


❶Apskaičiuok

a) ( 7 ndash 5 23 + 7 + 503 ) middot 9 b) (3 + 2 5 4


54 + 1



❷Įrodyk teiginį

a) jei x23 + y

23 = a

23 tai x2 + x 4y 23 + y2 + x 2y 43 = a















+ ndash

bf middot xy = gcg

= = =

eec + bcyy = bfbe


153



A 40 B 250 C 225 D 2500


A 2600p B 10400 + p100 C 104p D 5200

100 + 2p








A 545 = 1

54 B 545 = 5

54 C 545 = 31254 D 5

45 = 6255


p ndash 1




x + 4 D 1x + 4



A a = 1 b = 5 B a = 2 b = 3 C a = 1 b = 4 D a = 3 b = 2




A 8 3 cm B 8 3 3 cm C 4

3 cm D 4 3 3 cm


A 56 B 60 C 64 D 112


154











+ 2 ndash x 2 + x





išraišką T(x)




1200 cm2


155












2



136



(2x + 3)3 = a b



Sprendimas


Atsakymas 8x3 + 36x2 + 54x + 27


( 2 ndash 2 3 )3 = a b



Sprendimas



Pavyzdžiai


8x6 + 60x4y + 150x2y2 + 125y3 =

= (2x2)3 + 3 (2x2)2 (5y) + 3 (2x2) (5y)2 + (5y)3 = a3 a2 b a b2 b3

= (2x2 + 5y)3




Pavyzdys


a) (m ndash 5n)3 b) (2x + 2)3c) ( 3 + 2)3 d) (2 2 + 2)3

Pamėgink




52


Pamėgink

137
















Pavyzdys








Pavyzdys




Pamėgink

138







a) 8x6 ndash a3b9 = (2x2)3 (ab3)3

= (2x2)3 ndash (ab3)3 = a3 b3


= (2x2 ndash ab3)(4x4 + 2x2ab3 + a2b6)






= ( x3 ndash y3 )( x23 + xy3 + y23 )








Taikome 7 formulę

Pavyzdys







Pamėgink



Pamėgink

139



x1 = 1 ndash 81 20 = ndash 2 5 x2 = 1 + 81

20 = 1 2


5) =

= 2 5(x ndash 1 2)(x + 2

5) =

= (2x ndash 1)(5x + 2)





Pavyzdys

Grupavimo būdas









Pavyzdys


= (x + y)(a + b)




++



Pamėgink




Pamėgink

140



6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys




ab + c

d = ad + bcbd

ab ndash c

d = ad ndash bcbd



x + y


Pamėgink

Suprastink




2x ndash 10


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys

3

141


6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys





ab middot c


ab c

d = ab middot d




x ndash y


x2 + y2

x ndash y =


x ndash yx2 + y2 =


x2 + y2 =


= x + y

Sprendimas


Pavyzdžiai

Suprastink

a) 1x x + x

+ xx + 1

b) 6 xx ndash 3

ndash 3x + 3


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys



x ndash yx + y


=


( x + y )( x ndash y ) =



x ndash y

Sprendimas




Pavyzdys

x ndash y x + y

142


UŽDAVINIAI




Suprastink

a) x12 middot x

14 b) (x4

5)3

c) (x23 middot x

15)15

d) x13

xndash 23

e) (x23)

34


n3)6n

h) (b2n bndash075n

bndash05n )ndash4n

i) y 13 middot y

23 j) (x2)

13 k) y

25


27)35

m) (y27)175


n2 o) (x

n4 middot x

n8)8

p) (xndash 56 n x3n

x 43 n )ndash6n




a) ( 3x + 1 ndash 4



Pamėgink


1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









2(1 + 3x) 1 ndash 3x2

143

Suprastink




a) 4 x 3 z 2y 6 4 y ndash2


a 3 b 5a 5

d) 5 a 5 c 2b 2 5 b ndash3


y 4 y 3x 6




a) 12x3y 3x2y b) 16x2y3 3x2y3 c) 144x 5y 124


12y23

e) 63x 5y 3 28x2y f) 8x2y5 4x 3y 45 g) 250xy 74

18x17y24 h) 3x 6y 83

ndash81y23









3b)3 h) (2 2 ndash 3 3)3

i) (3x ndash 4)3 j) (5x + 2)3 k) ( x3 + 1)3 l) ( x6 + x3 )3


p) (x 2 ndash 2)3



1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









144




14 ndash x

14y

34 g) n n + n h) x

34 ndash x



13 ndash x

13y




12 d) xn ndash yn




32 h) y + x 34




a) x + 3x + 4 b) x 3

x 4 c) (x + 2) 3(x + 2) + x d) (x + 2) ndash (x + 3)

(x + 2) + (x + 3)


x + 2 g) x + 1(x + 1)2 h) x 3 + 4

x 4 + 3

i) 6 xx 5 j) x + 1


b x + a



x ndash 5








b ndash a








a) ab ndash b2

2b b) x2 ndash y2





2x ndash 5y








a) x x ndash x


c) a ndash 1a + 1


e) x x + xx


g) x 6 ndash y 6



a) xy + y


x2 + 2x + 1 c) 3x + 1 + x + 5


d) 3x2 + 9x + 14 + 5

2x2 + 15x + 7 e) x ndash x2



x ndash 2

g) 2x2




x3 + 2x + 2x2 + 4 + 1x2 + 2

145

j) 1x(x + 1) + 1

x + 1 k) 6x2 ndash 9 + 9

x2 ndash 6x + 9 l) 4x + 2 + x + 6


m) 6x2 + 11x + 24 + 4








x ndash 3

Suprastink

a) x x ndash 2

ndash 2x + 2

b) 3


a ndash 9 c) x 12

x05 + 1 ndash 1

x05 ndash 1 d) 2

x + 2 + x

x ndash 2 ndash 4 x

x ndash 4

e) 11 + x

ndash 11 ndash x

f) 1a4 ndash 1

+ 1a4 + 1

g) 3

x 12 + 3 ndash x05

x05 ndash 3 h) x

81 ndash x ndash 9

x + 9 + x

x ndash 9

Suprastink

a) 16x2y5










3x j) x + 3x2 + 6x x2 ndash 9


x






3x + 4

e) 5 ndash 2

x ndash 3

4 ndash 1x ndash 3









1 + 3x

1 ndash 6x

m) 3 + 2

x + 4

5 ndash 1x + 4



2x + 2 ndash 1) 6x ndash 6 x + 1 p) ( 1

x ndash 1 ndash x + 1x2 + x + 1) (1 + 1

x3 ndash 1)





y ndash x ndash2








a13 + b



x + 1 + 1 ndash x )


16) xy 46 e) ( 1


x13 ndash 1

+ x13) middot x

13 ndash 1

x23 ndash 1

g) y ndash x

x23 + (xy)13 + y

23 + x

23 ndash y23

x3 ndash y13

h) x13y

13 x

13 y ndash y

13 x



y ndash z )ndash1

j) (x15 + x25

1 + x + 1) 1 ndash x3



ndash b a a + b

+ 3ab ndash b2

a ndash b

m) a + ba ndash b

ndash a + ab a + b

n) a + 1a a + a + a

1a2 ndash a




x05 ndash 1 r) ( 2 + x14


14


x34 s) 1x3 + y3 ndash x3 + y3

x23 ndash (xy)

13 + y

23




ndash 13


x + 1x x ndash 1

+ 2 x

146










6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai

TAIKYK

147




6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai







Sprendimas






2b + 1 ndash 6ab




PamėginkPamėgink





sin2 α

|v| = 2ghsin2 α

v = 2ghsin2 α


Išreiškiame v2




lg = T

2π

lg = ( T

2π )2

lg = T2

4π2gl = 4π2

T2

g = 4π2 middot lT2






Pavyzdžiai

148




p



f = 1F



c

1 + vc


R



P + ET


ndash 1)( 1R1

ndash 1R2)




y


12 = mgh2 + mv2

22


2



y + 24


n21 ndash 1

n22)








PamėginkPamėgink

UŽDAVINIAI

149












150

1 variantas


A 215a + b B 215 + a ndash b


b



A x = 3 B x = 0 C x = ndash3 D x = 9





a) x ndash 32 7 + 4


12 d) 3x ndash 27

x2 ndash 1






a) 32x 94 b) 81x7y 63 c) x 12y 345 d) x 17y 246






PASITIKRINK

151








a middot 5 + 9


⓭ Suprastink


m2 + n2 m2 ndash n2

4mn c) xx + 4 + 4


2 variantas


b2 =

A 140 B 142 C 145 D 146


A 00625 B 0 C 0125 D 025





15x3

c) 04x ndash 10x2 + 145 d) ( 205

10 ndash 5a)ndash18

❺ Pakelk kubu

a) (2 + 2 )3 b) (2 3 + 3 )3 c) (x 2 ndash y3 2 )3



❼ Suprastink




❾ Suprastink

a) 64x6 + 216y6



ndash 52 ndash x






4 kai y lt 0

152


❶Apskaičiuok

a) ( 7 ndash 5 23 + 7 + 503 ) middot 9 b) (3 + 2 5 4


54 + 1



❷Įrodyk teiginį

a) jei x23 + y

23 = a

23 tai x2 + x 4y 23 + y2 + x 2y 43 = a















+ ndash

bf middot xy = gcg

= = =

eec + bcyy = bfbe


153



A 40 B 250 C 225 D 2500


A 2600p B 10400 + p100 C 104p D 5200

100 + 2p








A 545 = 1

54 B 545 = 5

54 C 545 = 31254 D 5

45 = 6255


p ndash 1




x + 4 D 1x + 4



A a = 1 b = 5 B a = 2 b = 3 C a = 1 b = 4 D a = 3 b = 2




A 8 3 cm B 8 3 3 cm C 4

3 cm D 4 3 3 cm


A 56 B 60 C 64 D 112


154











+ 2 ndash x 2 + x





išraišką T(x)




1200 cm2


155












2



137
















Pavyzdys








Pavyzdys




Pamėgink

138







a) 8x6 ndash a3b9 = (2x2)3 (ab3)3

= (2x2)3 ndash (ab3)3 = a3 b3


= (2x2 ndash ab3)(4x4 + 2x2ab3 + a2b6)






= ( x3 ndash y3 )( x23 + xy3 + y23 )








Taikome 7 formulę

Pavyzdys







Pamėgink



Pamėgink

139



x1 = 1 ndash 81 20 = ndash 2 5 x2 = 1 + 81

20 = 1 2


5) =

= 2 5(x ndash 1 2)(x + 2

5) =

= (2x ndash 1)(5x + 2)





Pavyzdys

Grupavimo būdas









Pavyzdys


= (x + y)(a + b)




++



Pamėgink




Pamėgink

140



6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys




ab + c

d = ad + bcbd

ab ndash c

d = ad ndash bcbd



x + y


Pamėgink

Suprastink




2x ndash 10


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys

3

141


6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys





ab middot c


ab c

d = ab middot d




x ndash y


x2 + y2

x ndash y =


x ndash yx2 + y2 =


x2 + y2 =


= x + y

Sprendimas


Pavyzdžiai

Suprastink

a) 1x x + x

+ xx + 1

b) 6 xx ndash 3

ndash 3x + 3


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys



x ndash yx + y


=


( x + y )( x ndash y ) =



x ndash y

Sprendimas




Pavyzdys

x ndash y x + y

142


UŽDAVINIAI




Suprastink

a) x12 middot x

14 b) (x4

5)3

c) (x23 middot x

15)15

d) x13

xndash 23

e) (x23)

34


n3)6n

h) (b2n bndash075n

bndash05n )ndash4n

i) y 13 middot y

23 j) (x2)

13 k) y

25


27)35

m) (y27)175


n2 o) (x

n4 middot x

n8)8

p) (xndash 56 n x3n

x 43 n )ndash6n




a) ( 3x + 1 ndash 4



Pamėgink


1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









2(1 + 3x) 1 ndash 3x2

143

Suprastink




a) 4 x 3 z 2y 6 4 y ndash2


a 3 b 5a 5

d) 5 a 5 c 2b 2 5 b ndash3


y 4 y 3x 6




a) 12x3y 3x2y b) 16x2y3 3x2y3 c) 144x 5y 124


12y23

e) 63x 5y 3 28x2y f) 8x2y5 4x 3y 45 g) 250xy 74

18x17y24 h) 3x 6y 83

ndash81y23









3b)3 h) (2 2 ndash 3 3)3

i) (3x ndash 4)3 j) (5x + 2)3 k) ( x3 + 1)3 l) ( x6 + x3 )3


p) (x 2 ndash 2)3



1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









144




14 ndash x

14y

34 g) n n + n h) x

34 ndash x



13 ndash x

13y




12 d) xn ndash yn




32 h) y + x 34




a) x + 3x + 4 b) x 3

x 4 c) (x + 2) 3(x + 2) + x d) (x + 2) ndash (x + 3)

(x + 2) + (x + 3)


x + 2 g) x + 1(x + 1)2 h) x 3 + 4

x 4 + 3

i) 6 xx 5 j) x + 1


b x + a



x ndash 5








b ndash a








a) ab ndash b2

2b b) x2 ndash y2





2x ndash 5y








a) x x ndash x


c) a ndash 1a + 1


e) x x + xx


g) x 6 ndash y 6



a) xy + y


x2 + 2x + 1 c) 3x + 1 + x + 5


d) 3x2 + 9x + 14 + 5

2x2 + 15x + 7 e) x ndash x2



x ndash 2

g) 2x2




x3 + 2x + 2x2 + 4 + 1x2 + 2

145

j) 1x(x + 1) + 1

x + 1 k) 6x2 ndash 9 + 9

x2 ndash 6x + 9 l) 4x + 2 + x + 6


m) 6x2 + 11x + 24 + 4








x ndash 3

Suprastink

a) x x ndash 2

ndash 2x + 2

b) 3


a ndash 9 c) x 12

x05 + 1 ndash 1

x05 ndash 1 d) 2

x + 2 + x

x ndash 2 ndash 4 x

x ndash 4

e) 11 + x

ndash 11 ndash x

f) 1a4 ndash 1

+ 1a4 + 1

g) 3

x 12 + 3 ndash x05

x05 ndash 3 h) x

81 ndash x ndash 9

x + 9 + x

x ndash 9

Suprastink

a) 16x2y5










3x j) x + 3x2 + 6x x2 ndash 9


x






3x + 4

e) 5 ndash 2

x ndash 3

4 ndash 1x ndash 3









1 + 3x

1 ndash 6x

m) 3 + 2

x + 4

5 ndash 1x + 4



2x + 2 ndash 1) 6x ndash 6 x + 1 p) ( 1

x ndash 1 ndash x + 1x2 + x + 1) (1 + 1

x3 ndash 1)





y ndash x ndash2








a13 + b



x + 1 + 1 ndash x )


16) xy 46 e) ( 1


x13 ndash 1

+ x13) middot x

13 ndash 1

x23 ndash 1

g) y ndash x

x23 + (xy)13 + y

23 + x

23 ndash y23

x3 ndash y13

h) x13y

13 x

13 y ndash y

13 x



y ndash z )ndash1

j) (x15 + x25

1 + x + 1) 1 ndash x3



ndash b a a + b

+ 3ab ndash b2

a ndash b

m) a + ba ndash b

ndash a + ab a + b

n) a + 1a a + a + a

1a2 ndash a




x05 ndash 1 r) ( 2 + x14


14


x34 s) 1x3 + y3 ndash x3 + y3

x23 ndash (xy)

13 + y

23




ndash 13


x + 1x x ndash 1

+ 2 x

146










6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai

TAIKYK

147




6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai







Sprendimas






2b + 1 ndash 6ab




PamėginkPamėgink





sin2 α

|v| = 2ghsin2 α

v = 2ghsin2 α


Išreiškiame v2




lg = T

2π

lg = ( T

2π )2

lg = T2

4π2gl = 4π2

T2

g = 4π2 middot lT2






Pavyzdžiai

148




p



f = 1F



c

1 + vc


R



P + ET


ndash 1)( 1R1

ndash 1R2)




y


12 = mgh2 + mv2

22


2



y + 24


n21 ndash 1

n22)








PamėginkPamėgink

UŽDAVINIAI

149












150

1 variantas


A 215a + b B 215 + a ndash b


b



A x = 3 B x = 0 C x = ndash3 D x = 9





a) x ndash 32 7 + 4


12 d) 3x ndash 27

x2 ndash 1






a) 32x 94 b) 81x7y 63 c) x 12y 345 d) x 17y 246






PASITIKRINK

151








a middot 5 + 9


⓭ Suprastink


m2 + n2 m2 ndash n2

4mn c) xx + 4 + 4


2 variantas


b2 =

A 140 B 142 C 145 D 146


A 00625 B 0 C 0125 D 025





15x3

c) 04x ndash 10x2 + 145 d) ( 205

10 ndash 5a)ndash18

❺ Pakelk kubu

a) (2 + 2 )3 b) (2 3 + 3 )3 c) (x 2 ndash y3 2 )3



❼ Suprastink




❾ Suprastink

a) 64x6 + 216y6



ndash 52 ndash x






4 kai y lt 0

152


❶Apskaičiuok

a) ( 7 ndash 5 23 + 7 + 503 ) middot 9 b) (3 + 2 5 4


54 + 1



❷Įrodyk teiginį

a) jei x23 + y

23 = a

23 tai x2 + x 4y 23 + y2 + x 2y 43 = a















+ ndash

bf middot xy = gcg

= = =

eec + bcyy = bfbe


153



A 40 B 250 C 225 D 2500


A 2600p B 10400 + p100 C 104p D 5200

100 + 2p








A 545 = 1

54 B 545 = 5

54 C 545 = 31254 D 5

45 = 6255


p ndash 1




x + 4 D 1x + 4



A a = 1 b = 5 B a = 2 b = 3 C a = 1 b = 4 D a = 3 b = 2




A 8 3 cm B 8 3 3 cm C 4

3 cm D 4 3 3 cm


A 56 B 60 C 64 D 112


154











+ 2 ndash x 2 + x





išraišką T(x)




1200 cm2


155












2



138







a) 8x6 ndash a3b9 = (2x2)3 (ab3)3

= (2x2)3 ndash (ab3)3 = a3 b3


= (2x2 ndash ab3)(4x4 + 2x2ab3 + a2b6)






= ( x3 ndash y3 )( x23 + xy3 + y23 )








Taikome 7 formulę

Pavyzdys







Pamėgink



Pamėgink

139



x1 = 1 ndash 81 20 = ndash 2 5 x2 = 1 + 81

20 = 1 2


5) =

= 2 5(x ndash 1 2)(x + 2

5) =

= (2x ndash 1)(5x + 2)





Pavyzdys

Grupavimo būdas









Pavyzdys


= (x + y)(a + b)




++



Pamėgink




Pamėgink

140



6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys




ab + c

d = ad + bcbd

ab ndash c

d = ad ndash bcbd



x + y


Pamėgink

Suprastink




2x ndash 10


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys

3

141


6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys





ab middot c


ab c

d = ab middot d




x ndash y


x2 + y2

x ndash y =


x ndash yx2 + y2 =


x2 + y2 =


= x + y

Sprendimas


Pavyzdžiai

Suprastink

a) 1x x + x

+ xx + 1

b) 6 xx ndash 3

ndash 3x + 3


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys



x ndash yx + y


=


( x + y )( x ndash y ) =



x ndash y

Sprendimas




Pavyzdys

x ndash y x + y

142


UŽDAVINIAI




Suprastink

a) x12 middot x

14 b) (x4

5)3

c) (x23 middot x

15)15

d) x13

xndash 23

e) (x23)

34


n3)6n

h) (b2n bndash075n

bndash05n )ndash4n

i) y 13 middot y

23 j) (x2)

13 k) y

25


27)35

m) (y27)175


n2 o) (x

n4 middot x

n8)8

p) (xndash 56 n x3n

x 43 n )ndash6n




a) ( 3x + 1 ndash 4



Pamėgink


1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









2(1 + 3x) 1 ndash 3x2

143

Suprastink




a) 4 x 3 z 2y 6 4 y ndash2


a 3 b 5a 5

d) 5 a 5 c 2b 2 5 b ndash3


y 4 y 3x 6




a) 12x3y 3x2y b) 16x2y3 3x2y3 c) 144x 5y 124


12y23

e) 63x 5y 3 28x2y f) 8x2y5 4x 3y 45 g) 250xy 74

18x17y24 h) 3x 6y 83

ndash81y23









3b)3 h) (2 2 ndash 3 3)3

i) (3x ndash 4)3 j) (5x + 2)3 k) ( x3 + 1)3 l) ( x6 + x3 )3


p) (x 2 ndash 2)3



1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









144




14 ndash x

14y

34 g) n n + n h) x

34 ndash x



13 ndash x

13y




12 d) xn ndash yn




32 h) y + x 34




a) x + 3x + 4 b) x 3

x 4 c) (x + 2) 3(x + 2) + x d) (x + 2) ndash (x + 3)

(x + 2) + (x + 3)


x + 2 g) x + 1(x + 1)2 h) x 3 + 4

x 4 + 3

i) 6 xx 5 j) x + 1


b x + a



x ndash 5








b ndash a








a) ab ndash b2

2b b) x2 ndash y2





2x ndash 5y








a) x x ndash x


c) a ndash 1a + 1


e) x x + xx


g) x 6 ndash y 6



a) xy + y


x2 + 2x + 1 c) 3x + 1 + x + 5


d) 3x2 + 9x + 14 + 5

2x2 + 15x + 7 e) x ndash x2



x ndash 2

g) 2x2




x3 + 2x + 2x2 + 4 + 1x2 + 2

145

j) 1x(x + 1) + 1

x + 1 k) 6x2 ndash 9 + 9

x2 ndash 6x + 9 l) 4x + 2 + x + 6


m) 6x2 + 11x + 24 + 4








x ndash 3

Suprastink

a) x x ndash 2

ndash 2x + 2

b) 3


a ndash 9 c) x 12

x05 + 1 ndash 1

x05 ndash 1 d) 2

x + 2 + x

x ndash 2 ndash 4 x

x ndash 4

e) 11 + x

ndash 11 ndash x

f) 1a4 ndash 1

+ 1a4 + 1

g) 3

x 12 + 3 ndash x05

x05 ndash 3 h) x

81 ndash x ndash 9

x + 9 + x

x ndash 9

Suprastink

a) 16x2y5










3x j) x + 3x2 + 6x x2 ndash 9


x






3x + 4

e) 5 ndash 2

x ndash 3

4 ndash 1x ndash 3









1 + 3x

1 ndash 6x

m) 3 + 2

x + 4

5 ndash 1x + 4



2x + 2 ndash 1) 6x ndash 6 x + 1 p) ( 1

x ndash 1 ndash x + 1x2 + x + 1) (1 + 1

x3 ndash 1)





y ndash x ndash2








a13 + b



x + 1 + 1 ndash x )


16) xy 46 e) ( 1


x13 ndash 1

+ x13) middot x

13 ndash 1

x23 ndash 1

g) y ndash x

x23 + (xy)13 + y

23 + x

23 ndash y23

x3 ndash y13

h) x13y

13 x

13 y ndash y

13 x



y ndash z )ndash1

j) (x15 + x25

1 + x + 1) 1 ndash x3



ndash b a a + b

+ 3ab ndash b2

a ndash b

m) a + ba ndash b

ndash a + ab a + b

n) a + 1a a + a + a

1a2 ndash a




x05 ndash 1 r) ( 2 + x14


14


x34 s) 1x3 + y3 ndash x3 + y3

x23 ndash (xy)

13 + y

23




ndash 13


x + 1x x ndash 1

+ 2 x

146










6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai

TAIKYK

147




6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai







Sprendimas






2b + 1 ndash 6ab




PamėginkPamėgink





sin2 α

|v| = 2ghsin2 α

v = 2ghsin2 α


Išreiškiame v2




lg = T

2π

lg = ( T

2π )2

lg = T2

4π2gl = 4π2

T2

g = 4π2 middot lT2






Pavyzdžiai

148




p



f = 1F



c

1 + vc


R



P + ET


ndash 1)( 1R1

ndash 1R2)




y


12 = mgh2 + mv2

22


2



y + 24


n21 ndash 1

n22)








PamėginkPamėgink

UŽDAVINIAI

149












150

1 variantas


A 215a + b B 215 + a ndash b


b



A x = 3 B x = 0 C x = ndash3 D x = 9





a) x ndash 32 7 + 4


12 d) 3x ndash 27

x2 ndash 1






a) 32x 94 b) 81x7y 63 c) x 12y 345 d) x 17y 246






PASITIKRINK

151








a middot 5 + 9


⓭ Suprastink


m2 + n2 m2 ndash n2

4mn c) xx + 4 + 4


2 variantas


b2 =

A 140 B 142 C 145 D 146


A 00625 B 0 C 0125 D 025





15x3

c) 04x ndash 10x2 + 145 d) ( 205

10 ndash 5a)ndash18

❺ Pakelk kubu

a) (2 + 2 )3 b) (2 3 + 3 )3 c) (x 2 ndash y3 2 )3



❼ Suprastink




❾ Suprastink

a) 64x6 + 216y6



ndash 52 ndash x






4 kai y lt 0

152


❶Apskaičiuok

a) ( 7 ndash 5 23 + 7 + 503 ) middot 9 b) (3 + 2 5 4


54 + 1



❷Įrodyk teiginį

a) jei x23 + y

23 = a

23 tai x2 + x 4y 23 + y2 + x 2y 43 = a















+ ndash

bf middot xy = gcg

= = =

eec + bcyy = bfbe


153



A 40 B 250 C 225 D 2500


A 2600p B 10400 + p100 C 104p D 5200

100 + 2p








A 545 = 1

54 B 545 = 5

54 C 545 = 31254 D 5

45 = 6255


p ndash 1




x + 4 D 1x + 4



A a = 1 b = 5 B a = 2 b = 3 C a = 1 b = 4 D a = 3 b = 2




A 8 3 cm B 8 3 3 cm C 4

3 cm D 4 3 3 cm


A 56 B 60 C 64 D 112


154











+ 2 ndash x 2 + x





išraišką T(x)




1200 cm2


155












2



139



x1 = 1 ndash 81 20 = ndash 2 5 x2 = 1 + 81

20 = 1 2


5) =

= 2 5(x ndash 1 2)(x + 2

5) =

= (2x ndash 1)(5x + 2)





Pavyzdys

Grupavimo būdas









Pavyzdys


= (x + y)(a + b)




++



Pamėgink




Pamėgink

140



6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys




ab + c

d = ad + bcbd

ab ndash c

d = ad ndash bcbd



x + y


Pamėgink

Suprastink




2x ndash 10


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys

3

141


6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys





ab middot c


ab c

d = ab middot d




x ndash y


x2 + y2

x ndash y =


x ndash yx2 + y2 =


x2 + y2 =


= x + y

Sprendimas


Pavyzdžiai

Suprastink

a) 1x x + x

+ xx + 1

b) 6 xx ndash 3

ndash 3x + 3


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys



x ndash yx + y


=


( x + y )( x ndash y ) =



x ndash y

Sprendimas




Pavyzdys

x ndash y x + y

142


UŽDAVINIAI




Suprastink

a) x12 middot x

14 b) (x4

5)3

c) (x23 middot x

15)15

d) x13

xndash 23

e) (x23)

34


n3)6n

h) (b2n bndash075n

bndash05n )ndash4n

i) y 13 middot y

23 j) (x2)

13 k) y

25


27)35

m) (y27)175


n2 o) (x

n4 middot x

n8)8

p) (xndash 56 n x3n

x 43 n )ndash6n




a) ( 3x + 1 ndash 4



Pamėgink


1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









2(1 + 3x) 1 ndash 3x2

143

Suprastink




a) 4 x 3 z 2y 6 4 y ndash2


a 3 b 5a 5

d) 5 a 5 c 2b 2 5 b ndash3


y 4 y 3x 6




a) 12x3y 3x2y b) 16x2y3 3x2y3 c) 144x 5y 124


12y23

e) 63x 5y 3 28x2y f) 8x2y5 4x 3y 45 g) 250xy 74

18x17y24 h) 3x 6y 83

ndash81y23









3b)3 h) (2 2 ndash 3 3)3

i) (3x ndash 4)3 j) (5x + 2)3 k) ( x3 + 1)3 l) ( x6 + x3 )3


p) (x 2 ndash 2)3



1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









144




14 ndash x

14y

34 g) n n + n h) x

34 ndash x



13 ndash x

13y




12 d) xn ndash yn




32 h) y + x 34




a) x + 3x + 4 b) x 3

x 4 c) (x + 2) 3(x + 2) + x d) (x + 2) ndash (x + 3)

(x + 2) + (x + 3)


x + 2 g) x + 1(x + 1)2 h) x 3 + 4

x 4 + 3

i) 6 xx 5 j) x + 1


b x + a



x ndash 5








b ndash a








a) ab ndash b2

2b b) x2 ndash y2





2x ndash 5y








a) x x ndash x


c) a ndash 1a + 1


e) x x + xx


g) x 6 ndash y 6



a) xy + y


x2 + 2x + 1 c) 3x + 1 + x + 5


d) 3x2 + 9x + 14 + 5

2x2 + 15x + 7 e) x ndash x2



x ndash 2

g) 2x2




x3 + 2x + 2x2 + 4 + 1x2 + 2

145

j) 1x(x + 1) + 1

x + 1 k) 6x2 ndash 9 + 9

x2 ndash 6x + 9 l) 4x + 2 + x + 6


m) 6x2 + 11x + 24 + 4








x ndash 3

Suprastink

a) x x ndash 2

ndash 2x + 2

b) 3


a ndash 9 c) x 12

x05 + 1 ndash 1

x05 ndash 1 d) 2

x + 2 + x

x ndash 2 ndash 4 x

x ndash 4

e) 11 + x

ndash 11 ndash x

f) 1a4 ndash 1

+ 1a4 + 1

g) 3

x 12 + 3 ndash x05

x05 ndash 3 h) x

81 ndash x ndash 9

x + 9 + x

x ndash 9

Suprastink

a) 16x2y5










3x j) x + 3x2 + 6x x2 ndash 9


x






3x + 4

e) 5 ndash 2

x ndash 3

4 ndash 1x ndash 3









1 + 3x

1 ndash 6x

m) 3 + 2

x + 4

5 ndash 1x + 4



2x + 2 ndash 1) 6x ndash 6 x + 1 p) ( 1

x ndash 1 ndash x + 1x2 + x + 1) (1 + 1

x3 ndash 1)





y ndash x ndash2








a13 + b



x + 1 + 1 ndash x )


16) xy 46 e) ( 1


x13 ndash 1

+ x13) middot x

13 ndash 1

x23 ndash 1

g) y ndash x

x23 + (xy)13 + y

23 + x

23 ndash y23

x3 ndash y13

h) x13y

13 x

13 y ndash y

13 x



y ndash z )ndash1

j) (x15 + x25

1 + x + 1) 1 ndash x3



ndash b a a + b

+ 3ab ndash b2

a ndash b

m) a + ba ndash b

ndash a + ab a + b

n) a + 1a a + a + a

1a2 ndash a




x05 ndash 1 r) ( 2 + x14


14


x34 s) 1x3 + y3 ndash x3 + y3

x23 ndash (xy)

13 + y

23




ndash 13


x + 1x x ndash 1

+ 2 x

146










6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai

TAIKYK

147




6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai







Sprendimas






2b + 1 ndash 6ab




PamėginkPamėgink





sin2 α

|v| = 2ghsin2 α

v = 2ghsin2 α


Išreiškiame v2




lg = T

2π

lg = ( T

2π )2

lg = T2

4π2gl = 4π2

T2

g = 4π2 middot lT2






Pavyzdžiai

148




p



f = 1F



c

1 + vc


R



P + ET


ndash 1)( 1R1

ndash 1R2)




y


12 = mgh2 + mv2

22


2



y + 24


n21 ndash 1

n22)








PamėginkPamėgink

UŽDAVINIAI

149












150

1 variantas


A 215a + b B 215 + a ndash b


b



A x = 3 B x = 0 C x = ndash3 D x = 9





a) x ndash 32 7 + 4


12 d) 3x ndash 27

x2 ndash 1






a) 32x 94 b) 81x7y 63 c) x 12y 345 d) x 17y 246






PASITIKRINK

151








a middot 5 + 9


⓭ Suprastink


m2 + n2 m2 ndash n2

4mn c) xx + 4 + 4


2 variantas


b2 =

A 140 B 142 C 145 D 146


A 00625 B 0 C 0125 D 025





15x3

c) 04x ndash 10x2 + 145 d) ( 205

10 ndash 5a)ndash18

❺ Pakelk kubu

a) (2 + 2 )3 b) (2 3 + 3 )3 c) (x 2 ndash y3 2 )3



❼ Suprastink




❾ Suprastink

a) 64x6 + 216y6



ndash 52 ndash x






4 kai y lt 0

152


❶Apskaičiuok

a) ( 7 ndash 5 23 + 7 + 503 ) middot 9 b) (3 + 2 5 4


54 + 1



❷Įrodyk teiginį

a) jei x23 + y

23 = a

23 tai x2 + x 4y 23 + y2 + x 2y 43 = a















+ ndash

bf middot xy = gcg

= = =

eec + bcyy = bfbe


153



A 40 B 250 C 225 D 2500


A 2600p B 10400 + p100 C 104p D 5200

100 + 2p








A 545 = 1

54 B 545 = 5

54 C 545 = 31254 D 5

45 = 6255


p ndash 1




x + 4 D 1x + 4



A a = 1 b = 5 B a = 2 b = 3 C a = 1 b = 4 D a = 3 b = 2




A 8 3 cm B 8 3 3 cm C 4

3 cm D 4 3 3 cm


A 56 B 60 C 64 D 112


154











+ 2 ndash x 2 + x





išraišką T(x)




1200 cm2


155












2



140



6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys




ab + c

d = ad + bcbd

ab ndash c

d = ad ndash bcbd



x + y


Pamėgink

Suprastink




2x ndash 10


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys

3

141


6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys





ab middot c


ab c

d = ab middot d




x ndash y


x2 + y2

x ndash y =


x ndash yx2 + y2 =


x2 + y2 =


= x + y

Sprendimas


Pavyzdžiai

Suprastink

a) 1x x + x

+ xx + 1

b) 6 xx ndash 3

ndash 3x + 3


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys



x ndash yx + y


=


( x + y )( x ndash y ) =



x ndash y

Sprendimas




Pavyzdys

x ndash y x + y

142


UŽDAVINIAI




Suprastink

a) x12 middot x

14 b) (x4

5)3

c) (x23 middot x

15)15

d) x13

xndash 23

e) (x23)

34


n3)6n

h) (b2n bndash075n

bndash05n )ndash4n

i) y 13 middot y

23 j) (x2)

13 k) y

25


27)35

m) (y27)175


n2 o) (x

n4 middot x

n8)8

p) (xndash 56 n x3n

x 43 n )ndash6n




a) ( 3x + 1 ndash 4



Pamėgink


1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









2(1 + 3x) 1 ndash 3x2

143

Suprastink




a) 4 x 3 z 2y 6 4 y ndash2


a 3 b 5a 5

d) 5 a 5 c 2b 2 5 b ndash3


y 4 y 3x 6




a) 12x3y 3x2y b) 16x2y3 3x2y3 c) 144x 5y 124


12y23

e) 63x 5y 3 28x2y f) 8x2y5 4x 3y 45 g) 250xy 74

18x17y24 h) 3x 6y 83

ndash81y23









3b)3 h) (2 2 ndash 3 3)3

i) (3x ndash 4)3 j) (5x + 2)3 k) ( x3 + 1)3 l) ( x6 + x3 )3


p) (x 2 ndash 2)3



1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









144




14 ndash x

14y

34 g) n n + n h) x

34 ndash x



13 ndash x

13y




12 d) xn ndash yn




32 h) y + x 34




a) x + 3x + 4 b) x 3

x 4 c) (x + 2) 3(x + 2) + x d) (x + 2) ndash (x + 3)

(x + 2) + (x + 3)


x + 2 g) x + 1(x + 1)2 h) x 3 + 4

x 4 + 3

i) 6 xx 5 j) x + 1


b x + a



x ndash 5








b ndash a








a) ab ndash b2

2b b) x2 ndash y2





2x ndash 5y








a) x x ndash x


c) a ndash 1a + 1


e) x x + xx


g) x 6 ndash y 6



a) xy + y


x2 + 2x + 1 c) 3x + 1 + x + 5


d) 3x2 + 9x + 14 + 5

2x2 + 15x + 7 e) x ndash x2



x ndash 2

g) 2x2




x3 + 2x + 2x2 + 4 + 1x2 + 2

145

j) 1x(x + 1) + 1

x + 1 k) 6x2 ndash 9 + 9

x2 ndash 6x + 9 l) 4x + 2 + x + 6


m) 6x2 + 11x + 24 + 4








x ndash 3

Suprastink

a) x x ndash 2

ndash 2x + 2

b) 3


a ndash 9 c) x 12

x05 + 1 ndash 1

x05 ndash 1 d) 2

x + 2 + x

x ndash 2 ndash 4 x

x ndash 4

e) 11 + x

ndash 11 ndash x

f) 1a4 ndash 1

+ 1a4 + 1

g) 3

x 12 + 3 ndash x05

x05 ndash 3 h) x

81 ndash x ndash 9

x + 9 + x

x ndash 9

Suprastink

a) 16x2y5










3x j) x + 3x2 + 6x x2 ndash 9


x






3x + 4

e) 5 ndash 2

x ndash 3

4 ndash 1x ndash 3









1 + 3x

1 ndash 6x

m) 3 + 2

x + 4

5 ndash 1x + 4



2x + 2 ndash 1) 6x ndash 6 x + 1 p) ( 1

x ndash 1 ndash x + 1x2 + x + 1) (1 + 1

x3 ndash 1)





y ndash x ndash2








a13 + b



x + 1 + 1 ndash x )


16) xy 46 e) ( 1


x13 ndash 1

+ x13) middot x

13 ndash 1

x23 ndash 1

g) y ndash x

x23 + (xy)13 + y

23 + x

23 ndash y23

x3 ndash y13

h) x13y

13 x

13 y ndash y

13 x



y ndash z )ndash1

j) (x15 + x25

1 + x + 1) 1 ndash x3



ndash b a a + b

+ 3ab ndash b2

a ndash b

m) a + ba ndash b

ndash a + ab a + b

n) a + 1a a + a + a

1a2 ndash a




x05 ndash 1 r) ( 2 + x14


14


x34 s) 1x3 + y3 ndash x3 + y3

x23 ndash (xy)

13 + y

23




ndash 13


x + 1x x ndash 1

+ 2 x

146










6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai

TAIKYK

147




6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai







Sprendimas






2b + 1 ndash 6ab




PamėginkPamėgink





sin2 α

|v| = 2ghsin2 α

v = 2ghsin2 α


Išreiškiame v2




lg = T

2π

lg = ( T

2π )2

lg = T2

4π2gl = 4π2

T2

g = 4π2 middot lT2






Pavyzdžiai

148




p



f = 1F



c

1 + vc


R



P + ET


ndash 1)( 1R1

ndash 1R2)




y


12 = mgh2 + mv2

22


2



y + 24


n21 ndash 1

n22)








PamėginkPamėgink

UŽDAVINIAI

149












150

1 variantas


A 215a + b B 215 + a ndash b


b



A x = 3 B x = 0 C x = ndash3 D x = 9





a) x ndash 32 7 + 4


12 d) 3x ndash 27

x2 ndash 1






a) 32x 94 b) 81x7y 63 c) x 12y 345 d) x 17y 246






PASITIKRINK

151








a middot 5 + 9


⓭ Suprastink


m2 + n2 m2 ndash n2

4mn c) xx + 4 + 4


2 variantas


b2 =

A 140 B 142 C 145 D 146


A 00625 B 0 C 0125 D 025





15x3

c) 04x ndash 10x2 + 145 d) ( 205

10 ndash 5a)ndash18

❺ Pakelk kubu

a) (2 + 2 )3 b) (2 3 + 3 )3 c) (x 2 ndash y3 2 )3



❼ Suprastink




❾ Suprastink

a) 64x6 + 216y6



ndash 52 ndash x






4 kai y lt 0

152


❶Apskaičiuok

a) ( 7 ndash 5 23 + 7 + 503 ) middot 9 b) (3 + 2 5 4


54 + 1



❷Įrodyk teiginį

a) jei x23 + y

23 = a

23 tai x2 + x 4y 23 + y2 + x 2y 43 = a















+ ndash

bf middot xy = gcg

= = =

eec + bcyy = bfbe


153



A 40 B 250 C 225 D 2500


A 2600p B 10400 + p100 C 104p D 5200

100 + 2p








A 545 = 1

54 B 545 = 5

54 C 545 = 31254 D 5

45 = 6255


p ndash 1




x + 4 D 1x + 4



A a = 1 b = 5 B a = 2 b = 3 C a = 1 b = 4 D a = 3 b = 2




A 8 3 cm B 8 3 3 cm C 4

3 cm D 4 3 3 cm


A 56 B 60 C 64 D 112


154











+ 2 ndash x 2 + x





išraišką T(x)




1200 cm2


155












2



141


6b ndash 6a

4a2 ndash 4b2


3(2b ndash 2a) =



= ndash2a + 2b3





Pavyzdys





ab middot c


ab c

d = ab middot d




x ndash y


x2 + y2

x ndash y =


x ndash yx2 + y2 =


x2 + y2 =


= x + y

Sprendimas


Pavyzdžiai

Suprastink

a) 1x x + x

+ xx + 1

b) 6 xx ndash 3

ndash 3x + 3


Pamėgink


3 ndash p


3 ndash p =


p ndash 3 =


3(p ndash 3) =







Pavyzdys



x ndash yx + y


=


( x + y )( x ndash y ) =



x ndash y

Sprendimas




Pavyzdys

x ndash y x + y

142


UŽDAVINIAI




Suprastink

a) x12 middot x

14 b) (x4

5)3

c) (x23 middot x

15)15

d) x13

xndash 23

e) (x23)

34


n3)6n

h) (b2n bndash075n

bndash05n )ndash4n

i) y 13 middot y

23 j) (x2)

13 k) y

25


27)35

m) (y27)175


n2 o) (x

n4 middot x

n8)8

p) (xndash 56 n x3n

x 43 n )ndash6n




a) ( 3x + 1 ndash 4



Pamėgink


1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









2(1 + 3x) 1 ndash 3x2

143

Suprastink




a) 4 x 3 z 2y 6 4 y ndash2


a 3 b 5a 5

d) 5 a 5 c 2b 2 5 b ndash3


y 4 y 3x 6




a) 12x3y 3x2y b) 16x2y3 3x2y3 c) 144x 5y 124


12y23

e) 63x 5y 3 28x2y f) 8x2y5 4x 3y 45 g) 250xy 74

18x17y24 h) 3x 6y 83

ndash81y23









3b)3 h) (2 2 ndash 3 3)3

i) (3x ndash 4)3 j) (5x + 2)3 k) ( x3 + 1)3 l) ( x6 + x3 )3


p) (x 2 ndash 2)3



1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









144




14 ndash x

14y

34 g) n n + n h) x

34 ndash x



13 ndash x

13y




12 d) xn ndash yn




32 h) y + x 34




a) x + 3x + 4 b) x 3

x 4 c) (x + 2) 3(x + 2) + x d) (x + 2) ndash (x + 3)

(x + 2) + (x + 3)


x + 2 g) x + 1(x + 1)2 h) x 3 + 4

x 4 + 3

i) 6 xx 5 j) x + 1


b x + a



x ndash 5








b ndash a








a) ab ndash b2

2b b) x2 ndash y2





2x ndash 5y








a) x x ndash x


c) a ndash 1a + 1


e) x x + xx


g) x 6 ndash y 6



a) xy + y


x2 + 2x + 1 c) 3x + 1 + x + 5


d) 3x2 + 9x + 14 + 5

2x2 + 15x + 7 e) x ndash x2



x ndash 2

g) 2x2




x3 + 2x + 2x2 + 4 + 1x2 + 2

145

j) 1x(x + 1) + 1

x + 1 k) 6x2 ndash 9 + 9

x2 ndash 6x + 9 l) 4x + 2 + x + 6


m) 6x2 + 11x + 24 + 4








x ndash 3

Suprastink

a) x x ndash 2

ndash 2x + 2

b) 3


a ndash 9 c) x 12

x05 + 1 ndash 1

x05 ndash 1 d) 2

x + 2 + x

x ndash 2 ndash 4 x

x ndash 4

e) 11 + x

ndash 11 ndash x

f) 1a4 ndash 1

+ 1a4 + 1

g) 3

x 12 + 3 ndash x05

x05 ndash 3 h) x

81 ndash x ndash 9

x + 9 + x

x ndash 9

Suprastink

a) 16x2y5










3x j) x + 3x2 + 6x x2 ndash 9


x






3x + 4

e) 5 ndash 2

x ndash 3

4 ndash 1x ndash 3









1 + 3x

1 ndash 6x

m) 3 + 2

x + 4

5 ndash 1x + 4



2x + 2 ndash 1) 6x ndash 6 x + 1 p) ( 1

x ndash 1 ndash x + 1x2 + x + 1) (1 + 1

x3 ndash 1)





y ndash x ndash2








a13 + b



x + 1 + 1 ndash x )


16) xy 46 e) ( 1


x13 ndash 1

+ x13) middot x

13 ndash 1

x23 ndash 1

g) y ndash x

x23 + (xy)13 + y

23 + x

23 ndash y23

x3 ndash y13

h) x13y

13 x

13 y ndash y

13 x



y ndash z )ndash1

j) (x15 + x25

1 + x + 1) 1 ndash x3



ndash b a a + b

+ 3ab ndash b2

a ndash b

m) a + ba ndash b

ndash a + ab a + b

n) a + 1a a + a + a

1a2 ndash a




x05 ndash 1 r) ( 2 + x14


14


x34 s) 1x3 + y3 ndash x3 + y3

x23 ndash (xy)

13 + y

23




ndash 13


x + 1x x ndash 1

+ 2 x

146










6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai

TAIKYK

147




6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai







Sprendimas






2b + 1 ndash 6ab




PamėginkPamėgink





sin2 α

|v| = 2ghsin2 α

v = 2ghsin2 α


Išreiškiame v2




lg = T

2π

lg = ( T

2π )2

lg = T2

4π2gl = 4π2

T2

g = 4π2 middot lT2






Pavyzdžiai

148




p



f = 1F



c

1 + vc


R



P + ET


ndash 1)( 1R1

ndash 1R2)




y


12 = mgh2 + mv2

22


2



y + 24


n21 ndash 1

n22)








PamėginkPamėgink

UŽDAVINIAI

149












150

1 variantas


A 215a + b B 215 + a ndash b


b



A x = 3 B x = 0 C x = ndash3 D x = 9





a) x ndash 32 7 + 4


12 d) 3x ndash 27

x2 ndash 1






a) 32x 94 b) 81x7y 63 c) x 12y 345 d) x 17y 246






PASITIKRINK

151








a middot 5 + 9


⓭ Suprastink


m2 + n2 m2 ndash n2

4mn c) xx + 4 + 4


2 variantas


b2 =

A 140 B 142 C 145 D 146


A 00625 B 0 C 0125 D 025





15x3

c) 04x ndash 10x2 + 145 d) ( 205

10 ndash 5a)ndash18

❺ Pakelk kubu

a) (2 + 2 )3 b) (2 3 + 3 )3 c) (x 2 ndash y3 2 )3



❼ Suprastink




❾ Suprastink

a) 64x6 + 216y6



ndash 52 ndash x






4 kai y lt 0

152


❶Apskaičiuok

a) ( 7 ndash 5 23 + 7 + 503 ) middot 9 b) (3 + 2 5 4


54 + 1



❷Įrodyk teiginį

a) jei x23 + y

23 = a

23 tai x2 + x 4y 23 + y2 + x 2y 43 = a















+ ndash

bf middot xy = gcg

= = =

eec + bcyy = bfbe


153



A 40 B 250 C 225 D 2500


A 2600p B 10400 + p100 C 104p D 5200

100 + 2p








A 545 = 1

54 B 545 = 5

54 C 545 = 31254 D 5

45 = 6255


p ndash 1




x + 4 D 1x + 4



A a = 1 b = 5 B a = 2 b = 3 C a = 1 b = 4 D a = 3 b = 2




A 8 3 cm B 8 3 3 cm C 4

3 cm D 4 3 3 cm


A 56 B 60 C 64 D 112


154











+ 2 ndash x 2 + x





išraišką T(x)




1200 cm2


155












2



142


UŽDAVINIAI




Suprastink

a) x12 middot x

14 b) (x4

5)3

c) (x23 middot x

15)15

d) x13

xndash 23

e) (x23)

34


n3)6n

h) (b2n bndash075n

bndash05n )ndash4n

i) y 13 middot y

23 j) (x2)

13 k) y

25


27)35

m) (y27)175


n2 o) (x

n4 middot x

n8)8

p) (xndash 56 n x3n

x 43 n )ndash6n




a) ( 3x + 1 ndash 4



Pamėgink


1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









2(1 + 3x) 1 ndash 3x2

143

Suprastink




a) 4 x 3 z 2y 6 4 y ndash2


a 3 b 5a 5

d) 5 a 5 c 2b 2 5 b ndash3


y 4 y 3x 6




a) 12x3y 3x2y b) 16x2y3 3x2y3 c) 144x 5y 124


12y23

e) 63x 5y 3 28x2y f) 8x2y5 4x 3y 45 g) 250xy 74

18x17y24 h) 3x 6y 83

ndash81y23









3b)3 h) (2 2 ndash 3 3)3

i) (3x ndash 4)3 j) (5x + 2)3 k) ( x3 + 1)3 l) ( x6 + x3 )3


p) (x 2 ndash 2)3



1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









144




14 ndash x

14y

34 g) n n + n h) x

34 ndash x



13 ndash x

13y




12 d) xn ndash yn




32 h) y + x 34




a) x + 3x + 4 b) x 3

x 4 c) (x + 2) 3(x + 2) + x d) (x + 2) ndash (x + 3)

(x + 2) + (x + 3)


x + 2 g) x + 1(x + 1)2 h) x 3 + 4

x 4 + 3

i) 6 xx 5 j) x + 1


b x + a



x ndash 5








b ndash a








a) ab ndash b2

2b b) x2 ndash y2





2x ndash 5y








a) x x ndash x


c) a ndash 1a + 1


e) x x + xx


g) x 6 ndash y 6



a) xy + y


x2 + 2x + 1 c) 3x + 1 + x + 5


d) 3x2 + 9x + 14 + 5

2x2 + 15x + 7 e) x ndash x2



x ndash 2

g) 2x2




x3 + 2x + 2x2 + 4 + 1x2 + 2

145

j) 1x(x + 1) + 1

x + 1 k) 6x2 ndash 9 + 9

x2 ndash 6x + 9 l) 4x + 2 + x + 6


m) 6x2 + 11x + 24 + 4








x ndash 3

Suprastink

a) x x ndash 2

ndash 2x + 2

b) 3


a ndash 9 c) x 12

x05 + 1 ndash 1

x05 ndash 1 d) 2

x + 2 + x

x ndash 2 ndash 4 x

x ndash 4

e) 11 + x

ndash 11 ndash x

f) 1a4 ndash 1

+ 1a4 + 1

g) 3

x 12 + 3 ndash x05

x05 ndash 3 h) x

81 ndash x ndash 9

x + 9 + x

x ndash 9

Suprastink

a) 16x2y5










3x j) x + 3x2 + 6x x2 ndash 9


x






3x + 4

e) 5 ndash 2

x ndash 3

4 ndash 1x ndash 3









1 + 3x

1 ndash 6x

m) 3 + 2

x + 4

5 ndash 1x + 4



2x + 2 ndash 1) 6x ndash 6 x + 1 p) ( 1

x ndash 1 ndash x + 1x2 + x + 1) (1 + 1

x3 ndash 1)





y ndash x ndash2








a13 + b



x + 1 + 1 ndash x )


16) xy 46 e) ( 1


x13 ndash 1

+ x13) middot x

13 ndash 1

x23 ndash 1

g) y ndash x

x23 + (xy)13 + y

23 + x

23 ndash y23

x3 ndash y13

h) x13y

13 x

13 y ndash y

13 x



y ndash z )ndash1

j) (x15 + x25

1 + x + 1) 1 ndash x3



ndash b a a + b

+ 3ab ndash b2

a ndash b

m) a + ba ndash b

ndash a + ab a + b

n) a + 1a a + a + a

1a2 ndash a




x05 ndash 1 r) ( 2 + x14


14


x34 s) 1x3 + y3 ndash x3 + y3

x23 ndash (xy)

13 + y

23




ndash 13


x + 1x x ndash 1

+ 2 x

146










6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai

TAIKYK

147




6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai







Sprendimas






2b + 1 ndash 6ab




PamėginkPamėgink





sin2 α

|v| = 2ghsin2 α

v = 2ghsin2 α


Išreiškiame v2




lg = T

2π

lg = ( T

2π )2

lg = T2

4π2gl = 4π2

T2

g = 4π2 middot lT2






Pavyzdžiai

148




p



f = 1F



c

1 + vc


R



P + ET


ndash 1)( 1R1

ndash 1R2)




y


12 = mgh2 + mv2

22


2



y + 24


n21 ndash 1

n22)








PamėginkPamėgink

UŽDAVINIAI

149












150

1 variantas


A 215a + b B 215 + a ndash b


b



A x = 3 B x = 0 C x = ndash3 D x = 9





a) x ndash 32 7 + 4


12 d) 3x ndash 27

x2 ndash 1






a) 32x 94 b) 81x7y 63 c) x 12y 345 d) x 17y 246






PASITIKRINK

151








a middot 5 + 9


⓭ Suprastink


m2 + n2 m2 ndash n2

4mn c) xx + 4 + 4


2 variantas


b2 =

A 140 B 142 C 145 D 146


A 00625 B 0 C 0125 D 025





15x3

c) 04x ndash 10x2 + 145 d) ( 205

10 ndash 5a)ndash18

❺ Pakelk kubu

a) (2 + 2 )3 b) (2 3 + 3 )3 c) (x 2 ndash y3 2 )3



❼ Suprastink




❾ Suprastink

a) 64x6 + 216y6



ndash 52 ndash x






4 kai y lt 0

152


❶Apskaičiuok

a) ( 7 ndash 5 23 + 7 + 503 ) middot 9 b) (3 + 2 5 4


54 + 1



❷Įrodyk teiginį

a) jei x23 + y

23 = a

23 tai x2 + x 4y 23 + y2 + x 2y 43 = a















+ ndash

bf middot xy = gcg

= = =

eec + bcyy = bfbe


153



A 40 B 250 C 225 D 2500


A 2600p B 10400 + p100 C 104p D 5200

100 + 2p








A 545 = 1

54 B 545 = 5

54 C 545 = 31254 D 5

45 = 6255


p ndash 1




x + 4 D 1x + 4



A a = 1 b = 5 B a = 2 b = 3 C a = 1 b = 4 D a = 3 b = 2




A 8 3 cm B 8 3 3 cm C 4

3 cm D 4 3 3 cm


A 56 B 60 C 64 D 112


154











+ 2 ndash x 2 + x





išraišką T(x)




1200 cm2


155












2



143

Suprastink




a) 4 x 3 z 2y 6 4 y ndash2


a 3 b 5a 5

d) 5 a 5 c 2b 2 5 b ndash3


y 4 y 3x 6




a) 12x3y 3x2y b) 16x2y3 3x2y3 c) 144x 5y 124


12y23

e) 63x 5y 3 28x2y f) 8x2y5 4x 3y 45 g) 250xy 74

18x17y24 h) 3x 6y 83

ndash81y23









3b)3 h) (2 2 ndash 3 3)3

i) (3x ndash 4)3 j) (5x + 2)3 k) ( x3 + 1)3 l) ( x6 + x3 )3


p) (x 2 ndash 2)3



1 ndash 9x2 + 26x + 2)(1 + 3x)


1 ndash 9x2 + 26x + 2 =




= 6x ndash 22(1 ndash 3x)(1 + 3x) =


1 + 3x


1 + 3x middot 1 + 3x1 =









144




14 ndash x

14y

34 g) n n + n h) x

34 ndash x



13 ndash x

13y




12 d) xn ndash yn




32 h) y + x 34




a) x + 3x + 4 b) x 3

x 4 c) (x + 2) 3(x + 2) + x d) (x + 2) ndash (x + 3)

(x + 2) + (x + 3)


x + 2 g) x + 1(x + 1)2 h) x 3 + 4

x 4 + 3

i) 6 xx 5 j) x + 1


b x + a



x ndash 5








b ndash a








a) ab ndash b2

2b b) x2 ndash y2





2x ndash 5y








a) x x ndash x


c) a ndash 1a + 1


e) x x + xx


g) x 6 ndash y 6



a) xy + y


x2 + 2x + 1 c) 3x + 1 + x + 5


d) 3x2 + 9x + 14 + 5

2x2 + 15x + 7 e) x ndash x2



x ndash 2

g) 2x2




x3 + 2x + 2x2 + 4 + 1x2 + 2

145

j) 1x(x + 1) + 1

x + 1 k) 6x2 ndash 9 + 9

x2 ndash 6x + 9 l) 4x + 2 + x + 6


m) 6x2 + 11x + 24 + 4








x ndash 3

Suprastink

a) x x ndash 2

ndash 2x + 2

b) 3


a ndash 9 c) x 12

x05 + 1 ndash 1

x05 ndash 1 d) 2

x + 2 + x

x ndash 2 ndash 4 x

x ndash 4

e) 11 + x

ndash 11 ndash x

f) 1a4 ndash 1

+ 1a4 + 1

g) 3

x 12 + 3 ndash x05

x05 ndash 3 h) x

81 ndash x ndash 9

x + 9 + x

x ndash 9

Suprastink

a) 16x2y5










3x j) x + 3x2 + 6x x2 ndash 9


x






3x + 4

e) 5 ndash 2

x ndash 3

4 ndash 1x ndash 3









1 + 3x

1 ndash 6x

m) 3 + 2

x + 4

5 ndash 1x + 4



2x + 2 ndash 1) 6x ndash 6 x + 1 p) ( 1

x ndash 1 ndash x + 1x2 + x + 1) (1 + 1

x3 ndash 1)





y ndash x ndash2








a13 + b



x + 1 + 1 ndash x )


16) xy 46 e) ( 1


x13 ndash 1

+ x13) middot x

13 ndash 1

x23 ndash 1

g) y ndash x

x23 + (xy)13 + y

23 + x

23 ndash y23

x3 ndash y13

h) x13y

13 x

13 y ndash y

13 x



y ndash z )ndash1

j) (x15 + x25

1 + x + 1) 1 ndash x3



ndash b a a + b

+ 3ab ndash b2

a ndash b

m) a + ba ndash b

ndash a + ab a + b

n) a + 1a a + a + a

1a2 ndash a




x05 ndash 1 r) ( 2 + x14


14


x34 s) 1x3 + y3 ndash x3 + y3

x23 ndash (xy)

13 + y

23




ndash 13


x + 1x x ndash 1

+ 2 x

146










6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai

TAIKYK

147




6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai







Sprendimas






2b + 1 ndash 6ab




PamėginkPamėgink





sin2 α

|v| = 2ghsin2 α

v = 2ghsin2 α


Išreiškiame v2




lg = T

2π

lg = ( T

2π )2

lg = T2

4π2gl = 4π2

T2

g = 4π2 middot lT2






Pavyzdžiai

148




p



f = 1F



c

1 + vc


R



P + ET


ndash 1)( 1R1

ndash 1R2)




y


12 = mgh2 + mv2

22


2



y + 24


n21 ndash 1

n22)








PamėginkPamėgink

UŽDAVINIAI

149












150

1 variantas


A 215a + b B 215 + a ndash b


b



A x = 3 B x = 0 C x = ndash3 D x = 9





a) x ndash 32 7 + 4


12 d) 3x ndash 27

x2 ndash 1






a) 32x 94 b) 81x7y 63 c) x 12y 345 d) x 17y 246






PASITIKRINK

151








a middot 5 + 9


⓭ Suprastink


m2 + n2 m2 ndash n2

4mn c) xx + 4 + 4


2 variantas


b2 =

A 140 B 142 C 145 D 146


A 00625 B 0 C 0125 D 025





15x3

c) 04x ndash 10x2 + 145 d) ( 205

10 ndash 5a)ndash18

❺ Pakelk kubu

a) (2 + 2 )3 b) (2 3 + 3 )3 c) (x 2 ndash y3 2 )3



❼ Suprastink




❾ Suprastink

a) 64x6 + 216y6



ndash 52 ndash x






4 kai y lt 0

152


❶Apskaičiuok

a) ( 7 ndash 5 23 + 7 + 503 ) middot 9 b) (3 + 2 5 4


54 + 1



❷Įrodyk teiginį

a) jei x23 + y

23 = a

23 tai x2 + x 4y 23 + y2 + x 2y 43 = a















+ ndash

bf middot xy = gcg

= = =

eec + bcyy = bfbe


153



A 40 B 250 C 225 D 2500


A 2600p B 10400 + p100 C 104p D 5200

100 + 2p








A 545 = 1

54 B 545 = 5

54 C 545 = 31254 D 5

45 = 6255


p ndash 1




x + 4 D 1x + 4



A a = 1 b = 5 B a = 2 b = 3 C a = 1 b = 4 D a = 3 b = 2




A 8 3 cm B 8 3 3 cm C 4

3 cm D 4 3 3 cm


A 56 B 60 C 64 D 112


154











+ 2 ndash x 2 + x





išraišką T(x)




1200 cm2


155












2



144




14 ndash x

14y

34 g) n n + n h) x

34 ndash x



13 ndash x

13y




12 d) xn ndash yn




32 h) y + x 34




a) x + 3x + 4 b) x 3

x 4 c) (x + 2) 3(x + 2) + x d) (x + 2) ndash (x + 3)

(x + 2) + (x + 3)


x + 2 g) x + 1(x + 1)2 h) x 3 + 4

x 4 + 3

i) 6 xx 5 j) x + 1


b x + a



x ndash 5








b ndash a








a) ab ndash b2

2b b) x2 ndash y2





2x ndash 5y








a) x x ndash x


c) a ndash 1a + 1


e) x x + xx


g) x 6 ndash y 6



a) xy + y


x2 + 2x + 1 c) 3x + 1 + x + 5


d) 3x2 + 9x + 14 + 5

2x2 + 15x + 7 e) x ndash x2



x ndash 2

g) 2x2




x3 + 2x + 2x2 + 4 + 1x2 + 2

145

j) 1x(x + 1) + 1

x + 1 k) 6x2 ndash 9 + 9

x2 ndash 6x + 9 l) 4x + 2 + x + 6


m) 6x2 + 11x + 24 + 4








x ndash 3

Suprastink

a) x x ndash 2

ndash 2x + 2

b) 3


a ndash 9 c) x 12

x05 + 1 ndash 1

x05 ndash 1 d) 2

x + 2 + x

x ndash 2 ndash 4 x

x ndash 4

e) 11 + x

ndash 11 ndash x

f) 1a4 ndash 1

+ 1a4 + 1

g) 3

x 12 + 3 ndash x05

x05 ndash 3 h) x

81 ndash x ndash 9

x + 9 + x

x ndash 9

Suprastink

a) 16x2y5










3x j) x + 3x2 + 6x x2 ndash 9


x






3x + 4

e) 5 ndash 2

x ndash 3

4 ndash 1x ndash 3









1 + 3x

1 ndash 6x

m) 3 + 2

x + 4

5 ndash 1x + 4



2x + 2 ndash 1) 6x ndash 6 x + 1 p) ( 1

x ndash 1 ndash x + 1x2 + x + 1) (1 + 1

x3 ndash 1)





y ndash x ndash2








a13 + b



x + 1 + 1 ndash x )


16) xy 46 e) ( 1


x13 ndash 1

+ x13) middot x

13 ndash 1

x23 ndash 1

g) y ndash x

x23 + (xy)13 + y

23 + x

23 ndash y23

x3 ndash y13

h) x13y

13 x

13 y ndash y

13 x



y ndash z )ndash1

j) (x15 + x25

1 + x + 1) 1 ndash x3



ndash b a a + b

+ 3ab ndash b2

a ndash b

m) a + ba ndash b

ndash a + ab a + b

n) a + 1a a + a + a

1a2 ndash a




x05 ndash 1 r) ( 2 + x14


14


x34 s) 1x3 + y3 ndash x3 + y3

x23 ndash (xy)

13 + y

23




ndash 13


x + 1x x ndash 1

+ 2 x

146










6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai

TAIKYK

147




6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai







Sprendimas






2b + 1 ndash 6ab




PamėginkPamėgink





sin2 α

|v| = 2ghsin2 α

v = 2ghsin2 α


Išreiškiame v2




lg = T

2π

lg = ( T

2π )2

lg = T2

4π2gl = 4π2

T2

g = 4π2 middot lT2






Pavyzdžiai

148




p



f = 1F



c

1 + vc


R



P + ET


ndash 1)( 1R1

ndash 1R2)




y


12 = mgh2 + mv2

22


2



y + 24


n21 ndash 1

n22)








PamėginkPamėgink

UŽDAVINIAI

149












150

1 variantas


A 215a + b B 215 + a ndash b


b



A x = 3 B x = 0 C x = ndash3 D x = 9





a) x ndash 32 7 + 4


12 d) 3x ndash 27

x2 ndash 1






a) 32x 94 b) 81x7y 63 c) x 12y 345 d) x 17y 246






PASITIKRINK

151








a middot 5 + 9


⓭ Suprastink


m2 + n2 m2 ndash n2

4mn c) xx + 4 + 4


2 variantas


b2 =

A 140 B 142 C 145 D 146


A 00625 B 0 C 0125 D 025





15x3

c) 04x ndash 10x2 + 145 d) ( 205

10 ndash 5a)ndash18

❺ Pakelk kubu

a) (2 + 2 )3 b) (2 3 + 3 )3 c) (x 2 ndash y3 2 )3



❼ Suprastink




❾ Suprastink

a) 64x6 + 216y6



ndash 52 ndash x






4 kai y lt 0

152


❶Apskaičiuok

a) ( 7 ndash 5 23 + 7 + 503 ) middot 9 b) (3 + 2 5 4


54 + 1



❷Įrodyk teiginį

a) jei x23 + y

23 = a

23 tai x2 + x 4y 23 + y2 + x 2y 43 = a















+ ndash

bf middot xy = gcg

= = =

eec + bcyy = bfbe


153



A 40 B 250 C 225 D 2500


A 2600p B 10400 + p100 C 104p D 5200

100 + 2p








A 545 = 1

54 B 545 = 5

54 C 545 = 31254 D 5

45 = 6255


p ndash 1




x + 4 D 1x + 4



A a = 1 b = 5 B a = 2 b = 3 C a = 1 b = 4 D a = 3 b = 2




A 8 3 cm B 8 3 3 cm C 4

3 cm D 4 3 3 cm


A 56 B 60 C 64 D 112


154











+ 2 ndash x 2 + x





išraišką T(x)




1200 cm2


155












2



145

j) 1x(x + 1) + 1

x + 1 k) 6x2 ndash 9 + 9

x2 ndash 6x + 9 l) 4x + 2 + x + 6


m) 6x2 + 11x + 24 + 4








x ndash 3

Suprastink

a) x x ndash 2

ndash 2x + 2

b) 3


a ndash 9 c) x 12

x05 + 1 ndash 1

x05 ndash 1 d) 2

x + 2 + x

x ndash 2 ndash 4 x

x ndash 4

e) 11 + x

ndash 11 ndash x

f) 1a4 ndash 1

+ 1a4 + 1

g) 3

x 12 + 3 ndash x05

x05 ndash 3 h) x

81 ndash x ndash 9

x + 9 + x

x ndash 9

Suprastink

a) 16x2y5










3x j) x + 3x2 + 6x x2 ndash 9


x






3x + 4

e) 5 ndash 2

x ndash 3

4 ndash 1x ndash 3









1 + 3x

1 ndash 6x

m) 3 + 2

x + 4

5 ndash 1x + 4



2x + 2 ndash 1) 6x ndash 6 x + 1 p) ( 1

x ndash 1 ndash x + 1x2 + x + 1) (1 + 1

x3 ndash 1)





y ndash x ndash2








a13 + b



x + 1 + 1 ndash x )


16) xy 46 e) ( 1


x13 ndash 1

+ x13) middot x

13 ndash 1

x23 ndash 1

g) y ndash x

x23 + (xy)13 + y

23 + x

23 ndash y23

x3 ndash y13

h) x13y

13 x

13 y ndash y

13 x



y ndash z )ndash1

j) (x15 + x25

1 + x + 1) 1 ndash x3



ndash b a a + b

+ 3ab ndash b2

a ndash b

m) a + ba ndash b

ndash a + ab a + b

n) a + 1a a + a + a

1a2 ndash a




x05 ndash 1 r) ( 2 + x14


14


x34 s) 1x3 + y3 ndash x3 + y3

x23 ndash (xy)

13 + y

23




ndash 13


x + 1x x ndash 1

+ 2 x

146










6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai

TAIKYK

147




6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai







Sprendimas






2b + 1 ndash 6ab




PamėginkPamėgink





sin2 α

|v| = 2ghsin2 α

v = 2ghsin2 α


Išreiškiame v2




lg = T

2π

lg = ( T

2π )2

lg = T2

4π2gl = 4π2

T2

g = 4π2 middot lT2






Pavyzdžiai

148




p



f = 1F



c

1 + vc


R



P + ET


ndash 1)( 1R1

ndash 1R2)




y


12 = mgh2 + mv2

22


2



y + 24


n21 ndash 1

n22)








PamėginkPamėgink

UŽDAVINIAI

149












150

1 variantas


A 215a + b B 215 + a ndash b


b



A x = 3 B x = 0 C x = ndash3 D x = 9





a) x ndash 32 7 + 4


12 d) 3x ndash 27

x2 ndash 1






a) 32x 94 b) 81x7y 63 c) x 12y 345 d) x 17y 246






PASITIKRINK

151








a middot 5 + 9


⓭ Suprastink


m2 + n2 m2 ndash n2

4mn c) xx + 4 + 4


2 variantas


b2 =

A 140 B 142 C 145 D 146


A 00625 B 0 C 0125 D 025





15x3

c) 04x ndash 10x2 + 145 d) ( 205

10 ndash 5a)ndash18

❺ Pakelk kubu

a) (2 + 2 )3 b) (2 3 + 3 )3 c) (x 2 ndash y3 2 )3



❼ Suprastink




❾ Suprastink

a) 64x6 + 216y6



ndash 52 ndash x






4 kai y lt 0

152


❶Apskaičiuok

a) ( 7 ndash 5 23 + 7 + 503 ) middot 9 b) (3 + 2 5 4


54 + 1



❷Įrodyk teiginį

a) jei x23 + y

23 = a

23 tai x2 + x 4y 23 + y2 + x 2y 43 = a















+ ndash

bf middot xy = gcg

= = =

eec + bcyy = bfbe


153



A 40 B 250 C 225 D 2500


A 2600p B 10400 + p100 C 104p D 5200

100 + 2p








A 545 = 1

54 B 545 = 5

54 C 545 = 31254 D 5

45 = 6255


p ndash 1




x + 4 D 1x + 4



A a = 1 b = 5 B a = 2 b = 3 C a = 1 b = 4 D a = 3 b = 2




A 8 3 cm B 8 3 3 cm C 4

3 cm D 4 3 3 cm


A 56 B 60 C 64 D 112


154











+ 2 ndash x 2 + x





išraišką T(x)




1200 cm2


155












2



146










6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai

TAIKYK

147




6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai







Sprendimas






2b + 1 ndash 6ab




PamėginkPamėgink





sin2 α

|v| = 2ghsin2 α

v = 2ghsin2 α


Išreiškiame v2




lg = T

2π

lg = ( T

2π )2

lg = T2

4π2gl = 4π2

T2

g = 4π2 middot lT2






Pavyzdžiai

148




p



f = 1F



c

1 + vc


R



P + ET


ndash 1)( 1R1

ndash 1R2)




y


12 = mgh2 + mv2

22


2



y + 24


n21 ndash 1

n22)








PamėginkPamėgink

UŽDAVINIAI

149












150

1 variantas


A 215a + b B 215 + a ndash b


b



A x = 3 B x = 0 C x = ndash3 D x = 9





a) x ndash 32 7 + 4


12 d) 3x ndash 27

x2 ndash 1






a) 32x 94 b) 81x7y 63 c) x 12y 345 d) x 17y 246






PASITIKRINK

151








a middot 5 + 9


⓭ Suprastink


m2 + n2 m2 ndash n2

4mn c) xx + 4 + 4


2 variantas


b2 =

A 140 B 142 C 145 D 146


A 00625 B 0 C 0125 D 025





15x3

c) 04x ndash 10x2 + 145 d) ( 205

10 ndash 5a)ndash18

❺ Pakelk kubu

a) (2 + 2 )3 b) (2 3 + 3 )3 c) (x 2 ndash y3 2 )3



❼ Suprastink




❾ Suprastink

a) 64x6 + 216y6



ndash 52 ndash x






4 kai y lt 0

152


❶Apskaičiuok

a) ( 7 ndash 5 23 + 7 + 503 ) middot 9 b) (3 + 2 5 4


54 + 1



❷Įrodyk teiginį

a) jei x23 + y

23 = a

23 tai x2 + x 4y 23 + y2 + x 2y 43 = a















+ ndash

bf middot xy = gcg

= = =

eec + bcyy = bfbe


153



A 40 B 250 C 225 D 2500


A 2600p B 10400 + p100 C 104p D 5200

100 + 2p








A 545 = 1

54 B 545 = 5

54 C 545 = 31254 D 5

45 = 6255


p ndash 1




x + 4 D 1x + 4



A a = 1 b = 5 B a = 2 b = 3 C a = 1 b = 4 D a = 3 b = 2




A 8 3 cm B 8 3 3 cm C 4

3 cm D 4 3 3 cm


A 56 B 60 C 64 D 112


154











+ 2 ndash x 2 + x





išraišką T(x)




1200 cm2


155












2



147




6abx + 5a = x + 2bx

a(6bx + 5) = x + 2bx

a = x + 2bx6bx + 5

Sprendimas







Pavyzdžiai







Sprendimas






2b + 1 ndash 6ab




PamėginkPamėgink





sin2 α

|v| = 2ghsin2 α

v = 2ghsin2 α


Išreiškiame v2




lg = T

2π

lg = ( T

2π )2

lg = T2

4π2gl = 4π2

T2

g = 4π2 middot lT2






Pavyzdžiai

148




p



f = 1F



c

1 + vc


R



P + ET


ndash 1)( 1R1

ndash 1R2)




y


12 = mgh2 + mv2

22


2



y + 24


n21 ndash 1

n22)








PamėginkPamėgink

UŽDAVINIAI

149












150

1 variantas


A 215a + b B 215 + a ndash b


b



A x = 3 B x = 0 C x = ndash3 D x = 9





a) x ndash 32 7 + 4


12 d) 3x ndash 27

x2 ndash 1






a) 32x 94 b) 81x7y 63 c) x 12y 345 d) x 17y 246






PASITIKRINK

151








a middot 5 + 9


⓭ Suprastink


m2 + n2 m2 ndash n2

4mn c) xx + 4 + 4


2 variantas


b2 =

A 140 B 142 C 145 D 146


A 00625 B 0 C 0125 D 025





15x3

c) 04x ndash 10x2 + 145 d) ( 205

10 ndash 5a)ndash18

❺ Pakelk kubu

a) (2 + 2 )3 b) (2 3 + 3 )3 c) (x 2 ndash y3 2 )3



❼ Suprastink




❾ Suprastink

a) 64x6 + 216y6



ndash 52 ndash x






4 kai y lt 0

152


❶Apskaičiuok

a) ( 7 ndash 5 23 + 7 + 503 ) middot 9 b) (3 + 2 5 4


54 + 1



❷Įrodyk teiginį

a) jei x23 + y

23 = a

23 tai x2 + x 4y 23 + y2 + x 2y 43 = a















+ ndash

bf middot xy = gcg

= = =

eec + bcyy = bfbe


153



A 40 B 250 C 225 D 2500


A 2600p B 10400 + p100 C 104p D 5200

100 + 2p








A 545 = 1

54 B 545 = 5

54 C 545 = 31254 D 5

45 = 6255


p ndash 1




x + 4 D 1x + 4



A a = 1 b = 5 B a = 2 b = 3 C a = 1 b = 4 D a = 3 b = 2




A 8 3 cm B 8 3 3 cm C 4

3 cm D 4 3 3 cm


A 56 B 60 C 64 D 112


154











+ 2 ndash x 2 + x





išraišką T(x)




1200 cm2


155












2



148




p



f = 1F



c

1 + vc


R



P + ET


ndash 1)( 1R1

ndash 1R2)




y


12 = mgh2 + mv2

22


2



y + 24


n21 ndash 1

n22)








PamėginkPamėgink

UŽDAVINIAI

149












150

1 variantas


A 215a + b B 215 + a ndash b


b



A x = 3 B x = 0 C x = ndash3 D x = 9





a) x ndash 32 7 + 4


12 d) 3x ndash 27

x2 ndash 1






a) 32x 94 b) 81x7y 63 c) x 12y 345 d) x 17y 246






PASITIKRINK

151








a middot 5 + 9


⓭ Suprastink


m2 + n2 m2 ndash n2

4mn c) xx + 4 + 4


2 variantas


b2 =

A 140 B 142 C 145 D 146


A 00625 B 0 C 0125 D 025





15x3

c) 04x ndash 10x2 + 145 d) ( 205

10 ndash 5a)ndash18

❺ Pakelk kubu

a) (2 + 2 )3 b) (2 3 + 3 )3 c) (x 2 ndash y3 2 )3



❼ Suprastink




❾ Suprastink

a) 64x6 + 216y6



ndash 52 ndash x






4 kai y lt 0

152


❶Apskaičiuok

a) ( 7 ndash 5 23 + 7 + 503 ) middot 9 b) (3 + 2 5 4


54 + 1



❷Įrodyk teiginį

a) jei x23 + y

23 = a

23 tai x2 + x 4y 23 + y2 + x 2y 43 = a















+ ndash

bf middot xy = gcg

= = =

eec + bcyy = bfbe


153



A 40 B 250 C 225 D 2500


A 2600p B 10400 + p100 C 104p D 5200

100 + 2p








A 545 = 1

54 B 545 = 5

54 C 545 = 31254 D 5

45 = 6255


p ndash 1




x + 4 D 1x + 4



A a = 1 b = 5 B a = 2 b = 3 C a = 1 b = 4 D a = 3 b = 2




A 8 3 cm B 8 3 3 cm C 4

3 cm D 4 3 3 cm


A 56 B 60 C 64 D 112


154











+ 2 ndash x 2 + x





išraišką T(x)




1200 cm2


155












2



149












150

1 variantas


A 215a + b B 215 + a ndash b


b



A x = 3 B x = 0 C x = ndash3 D x = 9





a) x ndash 32 7 + 4


12 d) 3x ndash 27

x2 ndash 1






a) 32x 94 b) 81x7y 63 c) x 12y 345 d) x 17y 246






PASITIKRINK

151








a middot 5 + 9


⓭ Suprastink


m2 + n2 m2 ndash n2

4mn c) xx + 4 + 4


2 variantas


b2 =

A 140 B 142 C 145 D 146


A 00625 B 0 C 0125 D 025





15x3

c) 04x ndash 10x2 + 145 d) ( 205

10 ndash 5a)ndash18

❺ Pakelk kubu

a) (2 + 2 )3 b) (2 3 + 3 )3 c) (x 2 ndash y3 2 )3



❼ Suprastink




❾ Suprastink

a) 64x6 + 216y6



ndash 52 ndash x






4 kai y lt 0

152


❶Apskaičiuok

a) ( 7 ndash 5 23 + 7 + 503 ) middot 9 b) (3 + 2 5 4


54 + 1



❷Įrodyk teiginį

a) jei x23 + y

23 = a

23 tai x2 + x 4y 23 + y2 + x 2y 43 = a















+ ndash

bf middot xy = gcg

= = =

eec + bcyy = bfbe


153



A 40 B 250 C 225 D 2500


A 2600p B 10400 + p100 C 104p D 5200

100 + 2p








A 545 = 1

54 B 545 = 5

54 C 545 = 31254 D 5

45 = 6255


p ndash 1




x + 4 D 1x + 4



A a = 1 b = 5 B a = 2 b = 3 C a = 1 b = 4 D a = 3 b = 2




A 8 3 cm B 8 3 3 cm C 4

3 cm D 4 3 3 cm


A 56 B 60 C 64 D 112


154











+ 2 ndash x 2 + x





išraišką T(x)




1200 cm2


155












2



150

1 variantas


A 215a + b B 215 + a ndash b


b



A x = 3 B x = 0 C x = ndash3 D x = 9





a) x ndash 32 7 + 4


12 d) 3x ndash 27

x2 ndash 1






a) 32x 94 b) 81x7y 63 c) x 12y 345 d) x 17y 246






PASITIKRINK

151








a middot 5 + 9


⓭ Suprastink


m2 + n2 m2 ndash n2

4mn c) xx + 4 + 4


2 variantas


b2 =

A 140 B 142 C 145 D 146


A 00625 B 0 C 0125 D 025





15x3

c) 04x ndash 10x2 + 145 d) ( 205

10 ndash 5a)ndash18

❺ Pakelk kubu

a) (2 + 2 )3 b) (2 3 + 3 )3 c) (x 2 ndash y3 2 )3



❼ Suprastink




❾ Suprastink

a) 64x6 + 216y6



ndash 52 ndash x






4 kai y lt 0

152


❶Apskaičiuok

a) ( 7 ndash 5 23 + 7 + 503 ) middot 9 b) (3 + 2 5 4


54 + 1



❷Įrodyk teiginį

a) jei x23 + y

23 = a

23 tai x2 + x 4y 23 + y2 + x 2y 43 = a















+ ndash

bf middot xy = gcg

= = =

eec + bcyy = bfbe


153



A 40 B 250 C 225 D 2500


A 2600p B 10400 + p100 C 104p D 5200

100 + 2p








A 545 = 1

54 B 545 = 5

54 C 545 = 31254 D 5

45 = 6255


p ndash 1




x + 4 D 1x + 4



A a = 1 b = 5 B a = 2 b = 3 C a = 1 b = 4 D a = 3 b = 2




A 8 3 cm B 8 3 3 cm C 4

3 cm D 4 3 3 cm


A 56 B 60 C 64 D 112


154











+ 2 ndash x 2 + x





išraišką T(x)




1200 cm2


155












2



151








a middot 5 + 9


⓭ Suprastink


m2 + n2 m2 ndash n2

4mn c) xx + 4 + 4


2 variantas


b2 =

A 140 B 142 C 145 D 146


A 00625 B 0 C 0125 D 025





15x3

c) 04x ndash 10x2 + 145 d) ( 205

10 ndash 5a)ndash18

❺ Pakelk kubu

a) (2 + 2 )3 b) (2 3 + 3 )3 c) (x 2 ndash y3 2 )3



❼ Suprastink




❾ Suprastink

a) 64x6 + 216y6



ndash 52 ndash x






4 kai y lt 0

152


❶Apskaičiuok

a) ( 7 ndash 5 23 + 7 + 503 ) middot 9 b) (3 + 2 5 4


54 + 1



❷Įrodyk teiginį

a) jei x23 + y

23 = a

23 tai x2 + x 4y 23 + y2 + x 2y 43 = a















+ ndash

bf middot xy = gcg

= = =

eec + bcyy = bfbe


153



A 40 B 250 C 225 D 2500


A 2600p B 10400 + p100 C 104p D 5200

100 + 2p








A 545 = 1

54 B 545 = 5

54 C 545 = 31254 D 5

45 = 6255


p ndash 1




x + 4 D 1x + 4



A a = 1 b = 5 B a = 2 b = 3 C a = 1 b = 4 D a = 3 b = 2




A 8 3 cm B 8 3 3 cm C 4

3 cm D 4 3 3 cm


A 56 B 60 C 64 D 112


154











+ 2 ndash x 2 + x





išraišką T(x)




1200 cm2


155












2



152


❶Apskaičiuok

a) ( 7 ndash 5 23 + 7 + 503 ) middot 9 b) (3 + 2 5 4


54 + 1



❷Įrodyk teiginį

a) jei x23 + y

23 = a

23 tai x2 + x 4y 23 + y2 + x 2y 43 = a















+ ndash

bf middot xy = gcg

= = =

eec + bcyy = bfbe


153



A 40 B 250 C 225 D 2500


A 2600p B 10400 + p100 C 104p D 5200

100 + 2p








A 545 = 1

54 B 545 = 5

54 C 545 = 31254 D 5

45 = 6255


p ndash 1




x + 4 D 1x + 4



A a = 1 b = 5 B a = 2 b = 3 C a = 1 b = 4 D a = 3 b = 2




A 8 3 cm B 8 3 3 cm C 4

3 cm D 4 3 3 cm


A 56 B 60 C 64 D 112


154











+ 2 ndash x 2 + x





išraišką T(x)




1200 cm2


155












2



153



A 40 B 250 C 225 D 2500


A 2600p B 10400 + p100 C 104p D 5200

100 + 2p








A 545 = 1

54 B 545 = 5

54 C 545 = 31254 D 5

45 = 6255


p ndash 1




x + 4 D 1x + 4



A a = 1 b = 5 B a = 2 b = 3 C a = 1 b = 4 D a = 3 b = 2




A 8 3 cm B 8 3 3 cm C 4

3 cm D 4 3 3 cm


A 56 B 60 C 64 D 112


154











+ 2 ndash x 2 + x





išraišką T(x)




1200 cm2


155












2



154











+ 2 ndash x 2 + x





išraišką T(x)




1200 cm2


155












2



155












2



PLANIMETRIJA PLOKŠTUMOS VEKTORIAI - sviesa.lt skyrius reiškiniai.pdf · planimetrija lygtys,...

Documents

Transcript of PLANIMETRIJA PLOKŠTUMOS VEKTORIAI - sviesa.lt skyrius reiškiniai.pdf · planimetrija lygtys,...