1

Zadatak 241 (4A, TUP)

Kolika je mjera najmanjeg kuta u trokutu kojemu su stranice duljina 7 cm, 8 cm i 9 cm?

Rjeenje 241 Ponovimo!

Trokut je dio ravnine omeen s tri duine. Te duine zovemo stranice trokuta. Nasuprot veoj stranici u trokutu lei vei kut. Nasuprot manjoj stranici u trokutu lei manji kut.

Skratiti razlomak znai brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem razliitim od nule i jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

=

Pouak o kosinusu (kosinusov pouak) U trokutu ABC vrijede ove jednakosti

2 2 2 2 2 2 2 2 22 cos 2 cos 2, .s, coa b c b c b a c a c c a b a b = + = + = +

2 2 2 2 2 2 2 2 2cos cos co, , s

2 2 2.

b c a a c b a b cb c a c a b

+ + + = = =

Neka je a = 7 cm, b = 8 cm i c = 9 cm. Budui da se nasuprot najmanje stranice a u trokutu nalazi najmanji kut , slijedi:

( ) ( ) ( )2 2 22 2 2 2 2 2 8 9 71 1cos cos cos

2 2 2 8 9cm cm cmb c a b c a

b c b c cm cm

+ + +

= = =

2 2 2 264 81 49 961 1cos cos2 2144 144

kratimo razlomak2

s 48

cm cm cm cm

cm cm cm

+

= =

21 0cos 48 11'23''.

3

= =

Vjeba 241

Kolika je mjera najmanjeg kuta u trokutu kojemu su stranice duljina 14 cm, 16 cm i 18 cm?

Rezultat: 48 11' 23''.

Zadatak 242 (4A, TUP)

Na skici je prikazan konveksan etverokut ABCD u kojem je + = + = 180.

b < c <

a < c <

a < b <

c

b a

2

Pravci AB i CD sijeku se u toki T. Toka T je 3 cm udaljena od toke A, 6 cm od toke D i 10 cm od toke C. Kolika je duljina stranice ?AB

. 13 . 15 . 17 . 19A cm B cm C cm D cm Rjeenje 242

Ponovimo! Trokut je dio ravnine omeen s tri duine. Te duine zovemo stranice trokuta. Slinost trokuta Kaemo da su dva trokuta slina ako postoji pridruivanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajui kutovi jednaki, a odgovarajue stranice proporcionalne.

,, ,1 1 11 1 1

.

a b c ka b c

= = = = = = Omjer stranica slinih trokuta k zovemo koeficijent slinosti.

b1

c1

a1

c

b aC1

A B

C

A1 B1

Prvi pouak slinosti (K K) Dva su trokuta slina ako se podudaraju u dva kuta. Drugi pouak slinosti (S K S) Dva su trokuta slina ako se podudaraju u jednom kutu, a stranice koje odreuju taj kut su proporcionalne. Trei pouak slinosti (S S S) Dva su trokuta slina ako su im sve odgovarajue stranice proporcionalne. etvrti pouak slinosti (S S K) Dva su trokuta slina ako su im dvije stranice proporcionalne, a podudaraju se u kutu nasuprot veoj stranici. Ako su a i b brojevi, kaemo da je kolinik a : b, b 0 omjer brojeva a i b. Vrijednost omjera ne mijenja se ako se prvi i drugi broj pomnoe ili podijele istim brojem.

( ) ( ): :a b a n b n= ( ) ( ): : : .:a b a n b n=

Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera. Ako je

a : b = k i c : d = k, tada je razmjer ili proporcija

a : b = c : d.

Umnoak vanjskih lanova razmjera a i d jednak je umnoku unutarnjih lanova razmjera b i c.

.: :a b c d a d b c= = Dva su kuta suplementna, ako je njihov zbroj jednak 180, jo kaemo da su ti kutovi sukuti.

+ = 180

3

Sa slike vidi se: 3 , 6 , 10 ,TA TD TC AB TB TA= = = =

, , ,DAB ABC BCD CDA = = = = Dokaimo da vrijedi:

,TAD = .ADT =

TAD =

0 0180 180.

0 0180 180

metodakomparacije

TAD TADTAD

= = =

+ = =

ADT =

0 0180 180.

0 0180 180

metodakomparacije

ADT ADTADT

= =

=+ = =

4

Uoimo da su trokuti TAD i TBC slini jer imaju jednake kutove (kut DTA je zajedniki za oba trokuta, ,ABC ADT BCD TAD = = ). Nasuprot kutu je:

u trokutu TAD stranica TA u trokutu TBC stranica .TC

Nasuprot kutu je: u trokutu TAD stranica TD u trokutu TBC stranica .TB

Tada vrijedi razmjer:

: : : 10 6 : 3 3 60TB TC TD TA TB TB= = =

/ : 33 60 20.TB TB = =

Raunamo duljinu stranice .AB

20 3 17.AB TB TA AB AB= = = Odgovor je pod C.

Vjeba 242

Na skici je prikazan konveksan etverokut ABCD u kojem je + = + = 180.

Pravci AB i CD sijeku se u toki T. Toka T je 6 cm udaljena od toke A, 12 cm od toke D i 20 cm od toke C. Kolika je duljina stranice ?AB

. 26 . 30 . 34 . 38A cm B cm C cm D cm Rezultat: C.

Zadatak 243 (4A, TUP)

U pravokutnome trokutu mjera jednoga iljastog kuta je sedam puta vea od mjere drugoga iljastog kuta. Kolika je mjera manjega kuta toga trokuta?

0 0 0 0. 11 15 ' . 12 51' . 22 30 ' . 25 42 'A B C D

Rjeenje 243 Ponovimo!

Trokut je dio ravnine omeen s tri duine. Te duine zovemo stranice trokuta. Zbroj kutova u trokutu je 180.

.

0180 + + =

Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90). Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete, a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta.

090 0, .09 = + =

5

Kako zapisati da je broj b ''n puta'' vei od broja a?

, , .

b bb n a a nn a

= = =

Mjera najmanjega kuta pravokutnog trokuta dobije se iz sustava jednadbi.

metoda/ : 8

supstitucije0 0 0 0 090 7 90 8 90 8 90 11 15'.

7

+ = + = = = =

=

Odgovor je pod A.

Vjeba 243

U pravokutnome trokutu mjera jednoga iljastog kuta je osam puta vea od mjere drugoga iljastog kuta. Kolika je mjera manjega kuta toga trokuta?

0 0 0 0. 10 . 12 . 22 . 25A B C D

Rezultat: A.

Zadatak 244 (Helena, pedagoki fakultet) Neka je zadan trokut ABC takav da je AC

6

Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot veoj stranici. etverokut je dio ravnine omeen sa etiri duine. etverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima etiri kuta i etiri stranice. Kvadrat je etverokut kojemu su sve stranice sukladne, a dijagonale meusobno sukladne i okomite.

c

bb

b

ba

a

a

a

R

P

M

N

A

C

B

Sa slike vidi se:

,AC CP PR RA b BM MN NC CB a= = = = = = = = , ,CAB ABC BCA = = =

0 0 0 090 90 , 90 90 .NCA BCA BCP BCA = + = + = + = +

a

a

a

ab

b

bb

c

R

P

M

N

C

A B

a

a

a

ab

b

bb

c

R

P

M

N

C

A B

Uoimo trokute ANC i BCP za koje vrijedi:

ANC 0

, , 90NC a CA b NCA = = = + BCP

0, , 90 .BC a CP b BCP = = = +

Tada je:

7

090.090

NCANCA BCP

BCP

= + =

= +

Dakle, promatrani trokuti ANC i BCP imaju dvije stranice jednake duljine

,NC BC a CA CP b= = = =

i jednake kutove meu tim stranicama

.NCA BCP =

Po drugom pouku o sukladnosti trokuta (S K S) trokuti ANC i BCP sukladni su (podudaraju se u dvije stranice i kutu meu njima) pa im je i trea stranica jednake duljine, tj.

.AN BP= Dokaz gotov.

Vjeba 244

Svaki vanjski kut trokuta jednak je zbroju dvaju unutarnjih kutova trokuta koji s njime nisu susjedni.

Rezultat:

'

A B

C

'

A B

C

0180... ' .0

' 180

+ + = = +

+ =

Zadatak 245 (Helena, pedagoki fakultet)

Neka je iCAB BED AB BE = = (slika). Dokaite da je AD=CE.

B E

A

C

D

Rjeenje 245

Ponovimo! Trokut je dio ravnine omeen s tri duine. Te duine zovemo stranice trokuta. Sukladnost trokuta Kaemo da su dva trokuta sukladna ako postoji pridruivanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da

8

su odgovarajui kutovi jednaki, a odgovarajue stranice jednakih duljina.

, , , ,1 1 1 1 1 1, .a a b b c c = = = = = =

Prvi pouak sukladnosti (S S S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u sve tri stranice. Drugi pouak sukladnosti (S K S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu izmeu njih. Trei pouak sukladnosti (K S K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u jednoj stranici i oba kuta na toj stranici. etvrti pouak sukladnosti (S S K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot veoj stranici.

B E

A

C

D

Uoimo trokute ABC i BED za koje vrijedi:

, , .AB BE ABC DBE CAB BED= = = =

B E EB

A

C

D

A

C

D

Po treem pouku o sukladnosti trokuta (K S K) trokuti ABC i BED sukladni su (podudaraju se u jednoj stranici i oba kuta na toj stranici) pa vrijedi:

, .DB BC AC ED= = Sa slika vidi se:

AB BE AD DB E DB BBC CC= + = + =

.AD BC BC CE A BD CC E AD CEBC + = + + = + =

Dokaz gotov.

9

Vjeba 245

Zbroj vanjskih kutova trokuta jednak je punom kutu (360).

Rezultat:

'

''

B

C

A

01800'

' ' ' ... ' ' ' 360 .'

'

+ + =

= + + + = + + + + + + + =

= +

= +

Zadatak 246 (Nick, gimnazija)

Duljine katete a i hipotenuze c pravokutnog trokuta su dva uzastopna prirodna broja. Kvadrat katete b trokuta je:

. . . 2 . 2A a c B a c C a c D a c + + Rjeenje 246

Ponovimo!

( )2 2 22 .a b a a b b+ = + +

Trokut je dio ravnine omeen s tri duine. Te duine zovemo stranice trokuta. Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90). Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete, a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta. Pitagorin pouak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama. Skup svih prirodnih brojeva oznaavamo sa N i piemo:

{ }1, 2, 3, 4, 5, ... , , , .. .1 .N n n= + Zakon asocijacije za zbrajanje

( ) ( ) .a b c a b c+ + = + +

Kako zapisati dva uzastopna prirodna broja?

, 1, .1 ,n n n n+

Budui da su duljine katete a i hipotenuze c pravokutnog trokuta dva uzastopna prirodna broja, vrijedi:

( ) ( ), 1 2 22 2 2 2 2 2 21 1 2 12 2 2a n c n

n b n b n n b n n na b c

= = + + = + = + = + +

+ =

( )2 2 2 22 1 2 1 1 12 2b n b n b n bn nn n n = + + = + = + + = + +

12

.b an

nc

a

c

=

=

+ +

=

Odgovor je pod B.

10

Vjeba 246

Duljine katete b i hipotenuze c pravokutnog trokuta su dva uzastopna prirodna broja. Kvadrat katete a trokuta je:

. . . 2 . 2A b c B b c C b c D b c + + Rezultat: B.

Zadatak 247 (Petra, strukovna kola)

Nacrtani su usporedni pravci p i q i po dvije toke na svakome od njih. Koja je tvrdnja tona za povrine trokuta ABC i ABD prikazanih na skici?

. 0.5 .A P P B P PABC ABD ABC ABD= =

. 1.5 . 2C P P D P PABC ABD ABC ABD= = Rjeenje 247

Ponovimo!

Trokut je dio ravnine omeen s tri duine. Te duine zovemo stranice trokuta. Plotina trokuta izraunava se po formuli

, .

2,

2 2

b va v c va b cP P P

= = =

Plotina trokuta jednaka je polovici produkta duljine jedne njegove stranice i duljine visine koja odgovara toj stranici.

P = a v

2

PABC = PABD = PABE

a

v vv

E

B

C

A

D

11

vvv

a a a

== P PP

Sa slike vidi se da trokuti ABC i ABD imaju jednaku osnovicu (bazu) AB , a visine su jednake duljine jer su pravci p i q usporedni. Povrine trokuta ABC i ABD jednake su. Odgovor je pod B.

Vjeba 247

Nacrtani su usporedni pravci p i q i po dvije toke na svakome od njih. Koja je tvrdnja tona za povrine trokuta CDA i CDB prikazanih na skici?

p

q

A B

C D

. 0.5 .A P P B P PCDA CDB CDA CDB= =

. 1.5 . 2C P P D P PCDA CDB CDA CDB= = Rezultat: B.

Zadatak 248 (Ivana, gimnazija)

Razlika duljina hipotenuze i jedne katete pravokutnog trokuta je 8 cm, a duljina je druge katete 36 cm. Kolika je povrina trokuta?

Rjeenje 248

Ponovimo!

( )2 2 22 .x y x x y y+ = + +

Trokut je dio ravnine omeen s tri duine. Te duine zovemo stranice trokuta. Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90). Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete,

12

a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta. Pitagorin pouak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama. Plotina pravokutnog trokuta ije su katete a i b dana je formulom

2.

a bP

=

Iz zadane pretpostavke dobije se sustav jednadbi.

( )Pitagorin pouak28 8 2 2 28 36

36 36 2 2c a

c a b

c aa a

b b =

= = + + = +

= = +

2 264 16 1296 64 16 1296 64 16 12 2 62 9a a a a aa a + + = + + = + ++ =

16 1296 64 16 1232 16 1232 7/: 16 7.a a a a = = = =

Povrina pravokutnog trokuta iznosi:

77 , 3677 36 21386 .

24

a cm b cmcm cm

P P cma bP

= =

= =

=

Vjeba 248

Razlika duljina hipotenuze i jedne katete pravokutnog trokuta je 4 cm, a duljina je druge katete 8 cm. Kolika je povrina trokuta?

Rezultat: 24 cm2.

Zadatak 249 (Lea, gimnazija)

Koliki su kutovi jednakokranog trokuta, ako je a = 330 cm i va = 150 cm?

Rjeenje 249

Ponovimo!

Trokut je dio ravnine omeen s tri duine. Te duine zovemo stranice trokuta. Na osnovi odnosa meu duljinama stranica trokut moe biti: 1) raznostranian, 2) jednakokraan, 3) jednakostranian. Kod jednakokranog trokuta duljine dviju stranica su jednake. Stranice jednakih duljina zovemo kracima trokuta. Visine su trokuta duine kojima je jedan kraj vrh trokuta, a drugi sjecite okomice (koja prolazi promatranim vrhom) s pravcem na kojem lei suprotna stranica trokuta. Zbroj svih kutova u trokutu je 180.

.

0180 + + = Za jednakokraan trokut vrijedi:

02 180 . + =

Tangens iljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine katete uz taj kut. Gledaj slike!

13

a

2

2

2

a

2

b

va

a

b b

vava

bb

a

Iz pravokutnog trokuta, ije su katete va i ,2a

a hipotenuza b uz pomo funkcije tangens, dobije se:

2 2 2 1501 11330

2 2

vav v v cma a atg tg tg tg tga a a a cm

= = = = =

300 300 3001 1 1 042 16 '25 ''.330 330 330

cm

cm

cmtg tg tg

cm = = = =

Raunamo kut . 02 180 0 0 0 02 42 16 '25 '' 180 84 32 '50 '' 180

042 16 '25 ''

+ =

+ = + = =

0 0 0 0 0180 84 32 '50 '' 179 59 '60 '' 84 32 '50 '' 95 27 '10 ''01 60 '

1'.

60 '' = = =

=

=

Vjeba 249

Koliki su kutovi jednakokranog trokuta, ako je a = 660 cm i va = 300 cm?

Rezultat: 0 095 27 '10 '' , 42 16 '25 ''. = =

Zadatak 250 (Lea, gimnazija)

U jednakokranom trokutu ABC je AC=BC= 30 cm i AB= 25 cm. Simetrale kutova na osnovici trokuta sijeku se u toki D. Koliki je kut ADB?

Rjeenje 250

Ponovimo! Skratiti razlomak znai brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem razliitim od nule i jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

=

Trokut je dio ravnine omeen s tri duine. Te duine zovemo stranice trokuta. Na osnovi odnosa meu duljinama stranica trokut moe biti: 1) raznostranian, 2) jednakokraan, 3) jednakostranian. Kod jednakokranog trokuta duljine dviju stranica su jednake. Stranice jednakih duljina zovemo kracima trokuta. Visine su trokuta duine kojima je jedan kraj vrh trokuta, a drugi sjecite okomice (koja prolazi promatranim vrhom) s pravcem na kojem lei suprotna stranica trokuta.

14

Zbroj svih kutova u trokutu je 180. .

0180 + + =

Kosinus iljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete uz taj kut i duljine hipotenuze.

FE

D

N

FE

D

N

FE

D

NA B BA BA

C C C

Sa slika vidi se: 130 , 25 , ,2

AC BC AB AN NB AB BAC CBA= = = = = =

1 1, ,

2 2NAD BAC DBN CBA NAD DBN = = =

Visina CN okomita je na osnovicu AB i trokut ABC dijeli na dva sukladna pravokutna trokuta: ANC i NBC. Promatrajmo, na primjer, pravokutan trokut ANC. Pomou funkcije kosinus dobije se:

1 1 252 2cos cos cos

30

AB cmANNAC NAC NAC

AC AC cm

= = =

1 25 25 52cos cos cos cos30 6 0 12

2560

NAC NAC NACcm

cmNAC

= = = =

51 0cos 65 22 '32 ''.

12NAC NAC = =

Tada je 011 1 10 065 22 '32 '' 64 82 '32 ''0

26 '

2 2NAD NAC NAD NAD = = = =

032 41'16.NAD = Zbog

,NAD DBN = slijedi

( )0 0180 180NAD ADB DBN ADB NAD DBN + + = = +

0 0 0180 2 180 2 65 22 '32 ''ADB NAD ADB = =

01 60 '1' 6

0 0 0 0180 130 44 '64 '' 179 59 '60 '' 130 40 '

5 ' 4'

''ADB ADB = = ==

049 14 '56 '' .ADB =

15

Vjeba 250

U jednakokranom trokutu ABC je AC=BC= 60 cm i AB= 50 cm. Simetrale kutova na osnovici trokuta sijeku se u toki D. Koliki je kut ADB?

Rezultat: 0 095 27 '10 '' , 42 16 '25 ''. = =

Zadatak 251 (Matija, gimnazija)

Duljine stranica trokuta jednake su 11 cm, 12 cm i 13 cm. Razlika duljina dviju kraih stranica slinog trokuta iznosi 11 cm. Kolike su duljine stranica slinog trokuta?

Rjeenje 251

Ponovimo! Trokut je dio ravnine omeen s tri duine. Te duine zovemo stranice trokuta. Slinost trokuta Kaemo da su dva trokuta slina ako postoji pridruivanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajui kutovi jednaki, a odgovarajue stranice proporcionalne.

11 1 1

, ,1 1 1 , .1

1

a k aa b c

k b k ba b c

c k c

=

= = = = = = =

=

Omjer stranica slinih trokuta k zovemo koeficijent slinosti.

b1

c1

a1

c

b aC1

A B

C

A1 B1

Zakon distribucije mnoenja prema zbrajanju.

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c + = + + = +

Ako trokut ABC ima duljine stranica a, b i c, tada njemu slian trokut A1B1C1 ima duljine stranica a1, b1 i c1 tako da vrijedi:

1.1

1

a k a

b k b

c k c

=

=

=

Traimo koeficijent slinosti k. Budui da je razlika duljina dviju kraih stranica slinog trokuta jednaka 11 cm, vrijedi:

( )metodakomparacije

111 1 11 111 1

b ak b k a k b a

b a k b k a

=

= = =

( )12 11 11 1 11 11.k k k = = = Duljine stranica slinog trokuta iznose:

1111 ,

11 11 1211 1 111 12 132 .1 1 111

12

13 1431 113

1

a k a a a cm

b k b b b cm

c k c c c

kc c

a

b

m

= = =

= =

=

=

= = =

= = =

16

Vjeba 251

Duljine stranica trokuta jednake su 11 cm, 12 cm i 13 cm. Zbroj duljina dviju kraih stranica slinog trokuta iznosi 253 cm. Kolike su duljine stranica slinog trokuta?

Rezultat: 121 , 132 , 143 .1 1 1a cm b cm c cm= = =

Zadatak 252 (Antun, tehnika kola)

U tupokutnome trokutu ABC mjera kuta u vrhu B je 23, a duljine stranica su AB= 20 cm i BC = 30 cm. Kolika je duljina visine iz vrha B?

. 14.77 . 15.77 . 16.77 . 17.77A cm B cm C cm D cm Rjeenje 252

Ponovimo!

Trokut je dio ravnine omeen s tri duine. Te duine zovemo stranice trokuta. Plotina trokuta izraunava se po formuli

, .

2,

2 2

b va v c va b cP P P

= = =

Plotina trokuta jednaka je polovici produkta duljine jedne njegove stranice i duljine visine koja odgovara toj stranici. Plotina trokuta zadanog dvjema stranicama i kutom izmeu njih

1 1 1sin , sin si, .n

2 2 2P a b P b c P a c = = =

Pouak o kosinusu (kosinusov pouak) U trokutu ABC vrijede ove jednakosti

2 2 2 2 2 2 2 2 22 cos 2 cos 2, .s, coa b c b c b a c a c c a b a b = + = + = +

23

30 cm

20 cmA B

C

Sa slike vidi se: 020 , 30 , 23AB BC ABC= = =

Duljinu AC, tree stranice trokuta ABC, izraunamo primjenom kosinusovog pouka.

2 2 2 2 cosAC AB BC AB BC ABC= +

2 2 2 2 cos /AC AB BC AB BC ABC = +

2 2 2 cosAC AB BC AB BC ABC = +

2 2 020 30 2 20 30 cos 23 13.98 .AC AC cm = + =

17

Uporabom formula za plotinu trokuta odredimo duljinu visine iz vrha B, vb.

metodakomparaci

1 02 sin 232 21 0

sin 232

je

AC vbP AC vb AB BCP AB BC

=

=

=

2/0

sin 231 0sin 23

2 2

AC v AB BCb AB BC vb ACAC

= =

020 30 sin 2316.77 .

13.98v v cmb b

= =

Odgovor je pod C.

Vjeba 252

U tupokutnome trokutu ABC mjera kuta u vrhu B je 23, a duljine stranica su AB= 40 cm i BC = 60 cm. Kolika je duljina visine iz vrha B?

. 29.54 . 31.54 . 33.54 . 35.54A cm B cm C cm D cm

Rezultat: C.

Zadatak 253 (Ivan, srednja kola)

Izraunaj visinu na stranicu AB u trokutu iji su vrhovi A( 3, 2), B(1, 1) i C( 3, 3).

Rjeenje 253

Ponovimo!

, , .

1

a

n a d abn b ac b c bd

= = =

Zakon distribucije mnoenja prema zbrajanju

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c + = + + = +

Trokut je dio ravnine omeen s tri duine. Te duine zovemo stranice trokuta. Visine su trokuta duine kojima je jedan kraj vrh trokuta, a drugi sjecite okomice (koja prolazi promatranim vrhom) s pravcem na kojem lei suprotna stranica trokuta. Jednadba pravca oblika

y k x l= +

naziva se eksplicitni oblik jednadbe pravca ili krae, eksplicitna jednadba pravca. Broj k naziva se koeficijent smjera pravca. Broj l nazivamo odsjeak pravca na osi y. Pravac tokama A(x1, y1) , B(x2, y2) , x1 x2, ima koeficijent smjera:

2 12

.

1

y yk

x x

=

Uvjet okomitosti: Ako su pravci dani eksplicitnim jednadbama y = k1 x + l1, y = k2 x + l2, k1, k2 0, tada su okomiti ako i samo ako je

1 111 2 1 2 .2 1

k k k kk k

= = =

Koeficijenti, dakle, moraju imati suprotne predznake i moraju biti meusobno reciproni. Jednadba pravca zadanog koeficijentom smjera k i tokom T(x1, y1) glasi

18

( )1 .1y y k x x = Odredimo koeficijent smjera k1 pravca AB (na kojem lei stranica AB trokuta ABC).

( ) ( )( ) ( ) ( )

, 3, 2 1 2 3 31 1.1 1 11 3 1 3

2 11

2 4, 1, 12 2 1

A x y Ak k k

y y

x x xBk

y B

=

=

= = = +

=

Budui da je pravac kojemu pripada visina vc okomit na stranicu AB, za njegov koeficijent smjera k2 vrijedi:

111/ 1 411 1 .1 2 1 2 2 2 2 23 3

41 31

4

k k k k k k k kkk

= = = = = =

Jednadba pravca kojemu pripada visina vc je:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )1 2 1

4, , 3, 3 4 42 1 13 3 3 3 3

3 3

k C x y Cy x y x

y y k x x

= =

= = +

=

4 4 43 4 4 3 7.3 3 3

y x y x y x = + = + + = +

Vjeba 253

Izraunaj visinu na stranicu BC u trokutu iji su vrhovi A( 3, 2), B(1, 1) i C( 3, 3).

Rezultat: 2 4.y x=

Zadatak 254 (Helena, gimnazija)

Na skici je prikazan paralelogram ABCD kojemu je stranica AB duljine 5 cm, a visina na tu stranicu 8 cm. Toka S je sjecite njegovih dijagonala, a toka T polovite duine .BS Izraunajte povrinu trokuta ABT.

19

5 cm

8 cmT

S

D

A B

C

Rjeenje 254

Ponovimo!

, .

a

a c a c a dbcb d b d b cd

= =

Skratiti razlomak znai brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem razliitim od nule i jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

=

Paralelogrami su etverokuti kojima su po dvije nasuprotne stranice usporedne (paralelne). Dijagonala paralelograma je spojnica dva nesusjedna vrha. Paralelogram ima dvije dijagonale koje se meusobno raspolavljaju. Trokut je dio ravnine omeen s tri duine. Te duine zovemo stranice trokuta. Visine su trokuta duine kojima je jedan kraj vrh trokuta, a drugi sjecite okomice (koja prolazi promatranim vrhom) s pravcem na kojem lei suprotna stranica trokuta. Plotina trokuta izraunava se po formuli

, .

2,

2 2

b va v c va b cP P P

= = =

Plotina trokuta jednaka je polovici produkta duljine jedne njegove stranice i duljine visine koja odgovara toj stranici.

vvv

a a a

== P PP

20

h

v = 8 cm

5 cm

T

S

D C

BA

Sa slike vidi se: visina okomita, na5 , 8 ,AB DC BC AD v h BD= = = =

11 1 12

.

1 2 2 42

BT BSBT BD BT BD

BS BD

=

= =

=

Izraunamo plotinu trokuta ABD.

5 8 220 .2 2

AB vP P P cmABD ABD ABD

= = =

Plotina trokuta ABD moe se izraunati i na sljedei nain.

.

2BD h

PABD

=

Promatrajmo trokute ABD i ABT. Imaju zajedniku visinu h, a za baze vrijedi:

1.

4BT BD=

Pomou omjera dobije se plotina treokuta ABT.

2 1

2 1

2

2

BT h BT BTP P P P BTABT ABT ABT ABT

BD h BD BD

h

hP P P P BDABD ABD ABD ABD

= = = =

14 44

14

1 1BDP P PABT ABT ABT

P BD P PABD ABD

BDBT BD

ABD DB

= = = =

1 1 1 2/ 220 5 .4 4 4

PABT P P P cm P cmABT APAB BD ABT ABTPAD

BD = = = =

Vjeba 254 Na skici je prikazan paralelogram ABCD kojemu je stranica AB duljine 5 cm, a visina na tu

stranicu 8 cm. Toka S je sjecite njegovih dijagonala, a toka T polovite duine .BS Izraunajte povrinu trokuta ABT.

21

6 cm

8 cmT

S

D

A B

C

Rezultat: 6 cm2.

Zadatak 255 (Sanja, gimnazija)

Opseg pravokutnog trokuta je jednak 200. Duljina hipotenuze je jednaka 78. Koliki je polumjer trokutu upisane krunice?

Rjeenje 255

Ponovimo!

Trokut je dio ravnine omeen s tri duine. Te duine zovemo stranice trokuta. Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90). Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete, a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta. Ako su a i b duljine kateta, a c duljina hipotenuze pravokutnog trokuta ABC, onda je formula za opseg

.O a b c= + +

Ako je zadan pravokutni trokut duljina kateta a i b i hipotenuze c, tada je polumjer r upisane krunice dan formulom

2.

a b cr

+ =

Skratiti razlomak znai brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem razliitim od nule i jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

=

rS

1.inaica

200 20078 200 200 78 122.

78 78O a b c

a b a b a bc c

= + + = + + = + = + =

= =

Polumjer trokutu upisane krunice iznosi:

22

4122 122 78 44 22.7

48 22 22

a b ca br r r r

cr

+ =

= = = ==

+ =

2.inaica

200 20078 78 2

22 2

O a b c a b a br r

c c

a b c c c cr

+ = + + = + + =

+ = =

= =

2 200 2 78 200 156 4422.

2 2 2 2442

a b c cr r r r r r

+ + = = = = = =

Vjeba 255

Opseg pravokutnog trokuta je jednak 400. Duljina hipotenuze je jednaka 156. Koliki je polumjer trokutu upisane krunice?

Rezultat: 44.

Zadatak 256 (Lilly, gimnazija)

Duljine stranica trokuta su a = 5, b = 6 i c = 8. Kako se odnose visine trokuta?

Rjeenje 256

Ponovimo!

Skratiti razlomak znai brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem razliitim od nule i jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

=

Trokut je dio ravnine omeen s tri duine. Te duine zovemo stranice trokuta. Plotina trokuta izraunava se po formuli

, .

2,

2 2

b va v c va b cP P P

= = =

Plotina trokuta jednaka je polovici produkta duljine jedne njegove stranice i duljine visine koja odgovara toj stranici. Ako su a i b brojevi, kaemo da je kvocijent a : b, b 0 omjer brojeva a i b. Vrijednost omjera ne mijenja se ako se prvi i drugi broj pomnoe ili podijele istim brojem.

( ) ( ): :a b a n b n= ( ) ( ): : : .:a b a n b n=

Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera. Ako je

a : b = k i c : d = k, tada je razmjer ili proporcija

a : b = c : d. Ako postoji n jednakih omjera

:1 1a b k=

:2 2a b k=

:3 3a b k= ...

: ,a b kn n = produeni razmjer je

: : : ... : .: : : ... :1 2 3 1 2 3a a a a b b b bn n=

23

2/

2

222

2 2 2 2: : : :

2

/2

/2

22

2

a

b

c

a va v Paa PP vaa

b v b v P P P Pb bP P v v v va cb bb a b cc v c v Pc c vP P c

c

== =

= = = =

=

=

=

lanove razmjerakrat

2 1 2 1 2imo s

1: : :

a 2 2 22:

P P Pv v va cb a P b P c PP

=

1 1 1 1 1 12 2 22 2

: : : : : : :2

:v v v v v va c a cb ba b c a bP

c

P PP P P

=

=

1 1 1: : : :

5 6 8

5lanove razmjera

6proirimo sa 120

8

a

b v va cbc

v =

=

=

=

1 1 1 1 1 1: : 120 : 120 : 120 : : :120 120 120

5 66 8:

5 8v v v v v va c a cb b = =

: : 24 : 20 : 15.v v va cb = Vjeba 256

Duljine stranica trokuta su a = 3, b = 4 i c = 5. Kako se odnose visine trokuta?

Rezultat: : : 20 : 15 : 12.v v va cb =

Zadatak 257 (Sanny, gimnazija)

S krova kue visine 15 m vidi se podnoje tornja pod kutom depresije od 12 35' 28'', a njegov vrh pod kutom elevacije od 18 39' 24''. Kolika je visina tornja?

Rjeenje 257

Ponovimo!

Trokut je dio ravnine omeen s tri duine. Te duine zovemo stranice trokuta. Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90). Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete, a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta. Tangens iljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine katete uz taj kut. Kut elevacije kut od horizontalnog pravca prema gore. Kut depresije kut od horizontalnog pravca prema dolje.

kut

depresije

kut

elevacije horizontalni pravac

24

D

C

B

A d

h

h2

h1

I

D

C

B

A d

h

h2

h1

I

Sa slika vidi se: 0 012 35 '28 '' , 18 34 '24 '' , , , ,1 2AC d BC h CD h BD h = = = = = =

Uoimo pravokutne trokute ACD i ABC. Pomou funkcije tangens dobije se:

/m

2 22

1 1 1

etodakomparacije

/

h hCD htg tg dtgAC d tgd

h h

dtg

hBCtg tg tg d

AC d d td

tg g

= = ==

= = = =

2 1 2 1 1.2/

h h h h h tgh

tg tg tg tg tgtg

= = =

Visina h tornja iznosi: 1 11 2 1 1

h tg tgh h h h h h htg tg

= + = + = +

018 39 '24 ''15 1 37.67 .012 35 '28 ''

tgh m h m

tg = + =

Vjeba 257

S krova kue visine 30 m vidi se podnoje tornja pod kutom depresije od 12 35' 28'', a njegov vrh pod kutom elevacije od 18 39' 24''. Kolika je visina tornja?

Rezultat: 75.35 m.

25

Zadatak 258 (Ivan, gimnazija)

Povrina trokuta jednaka je 214.42 cm2, dva su njegova kuta = 35 15' i = 101 17'. Kolike su duljine stranica ovog trokuta?

Rjeenje 258

Ponovimo! 01 60 ' 1' 6 ', .0 '= =

Trokut je dio ravnine omeen s tri duine. Te duine zovemo stranice trokuta. Zbroj kutova u trokutu je 180.

.

0180 + + =

Povrina trokuta zadanog duljinom jedne njegove stranice i mjerama sva tri kuta dana je izrazom:

2 2 2sin sin sin sin sin sin2 sin 2 sin 2 sin

, , .

a b cP P P

= = =

Podsjetimo se pouka o sinusima (sinusovog pouka). U trokutu ABC vrijedi

2sin si i

,

n s n

a b cR

= = =

pri emu je R polumjer opisane krunice tog trokuta. Najprije odredimo mjeru kuta .

( ) ( )0 0 0 0 0180 180 180 35 15 ' 101 17 ' + + = = + = + 0 0 0 0 0180 136 32 ' 179 60 ' 136 32 ' 43 28 '. = = =

Iz zadane povrine izraunamo, na primjer, duljinu stranice a.

2 2sin sin sin sin 2 sin22 sin 2 sin sin sin

2 sin/

sin sina a P

P P a

= = =

/2 sin 2 sin2sin sin sin sin

P Pa a

= =

2 02 214.42 sin 35 15' 19.15 .0 0sin101 17 ' sin 43 28'

cma a cm

= =

Da bismo odredili duljine stranica b i c primijenit emo pouak o sinusima:

sin

sin sin sin sin/ sin

sinb a b a ab

= = =

019.15 sin101 17 '32.54 .0

sin 35 15 '

cmb b cm

= =

sin

sin sin sin sin/ sin

sinc a c a a

c

= = =

019.15 sin 43 28 '22.83 .0

sin 35 15 '

cmc c cm

= =

26

Vjeba 258

Povrina trokuta jednaka je 857.68 cm2, dva su njegova kuta = 35 15' i = 101 17'. Kolike su duljine stranica ovog trokuta?

Rezultat: a = 38.30 cm, b = 65.08 cm, c = 45.66 cm.

Zadatak 259 (Ivan, gimnazija)

Na horizontalnom zemljitu nalazi se neboder. Njegov se vrh vidi iz udaljenosti d pod kutom elevacije . Za koliko se trebamo pribliiti neboderu da bi se kut elevacije udvostruio?

Rjeenje 259

Ponovimo!

Trokut je dio ravnine omeen s tri duine. Te duine zovemo stranice trokuta. Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90). Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete, a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta. Tangens iljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine katete uz taj kut. Kut elevacije kut od horizontalnog pravca prema gore.

2.2 21

tgtg

tg

=

, , ,

1, .

1a

n a c a d b c a dn m n m bn a a a a acb d b d b cd

+= = = = =

Zakon distribucije mnoenja prema zbrajanju.

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c + = + + = +

Skratiti razlomak znai brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem razliitim od nule i jedinice

, 0 ., 1a n a n nb n b

=

2

d

d - xx

h

BA

C

D

Sa slike vidi se: , , ,AD x DB d x AB d BC h= = = =

Uoimo pravokutne trokute ABC i DBC. Pomou funkcije tangens dobije se:

27

2

d

d - xx

h

BA

C

D

2

d

d - xx

h

BA

C

D

( )/

2 /2 2

BC h htg tg tgAB d dh hBC tg tgtg d x d xDB

d

d x

= = =

= ==

( ) ( )metodakomparacije 22

h d tgd tg d x tg

h d x tg

=

= =

( )2 2 2 2 2 2d tg d tg x tg x tg d tg d tg x tg d tg tg = = =

( ) ( )1 2/ 2 222

22 1

2d tg tg

x tg d tg tg xtg

tgtg ttg g

=

= =

( )22 12 22 2 211 1 1

2 2 22 2 21 1 1

tg tg tgtg tg tgd tg d dtg tg tg

x x xtg tg tg

tg tg tg

= = =

3 3 322 21 1

2 2 22 21

21

21 1

tg tg tg tg tg tg tgd d dtg tg

x x xtg tg tg

g

gtg tg

t

t

+ + +

= = =

28

( ) ( ) ( ) ( )3 2 2 21 1 1.

2 2 2 2

d tg tg d tg tg d tg d tgx x x x

tg t

tg

g tg

+ + + + = = = =

Vjeba 259

Na horizontalnom zemljitu nalazi se neboder. Njegov se vrh vidi iz udaljenosti 600 m pod kutom elevacije . Za koliko se trebamo pribliiti neboderu da bi se kut elevacije udvostruio?

Rezultat: ( )2300 1 .x tg m= +

Zadatak 260 (Deny, gimnazija)

Izraunaj duljinu hipotenuze pravokutnog trokuta ako polumjer tom trokutu upisane krunice iznosi 4 cm, a jedan kut trokuta 67 25'.

Rjeenje 260

Ponovimo!

, .

a b a ba b b a

n n n

+= + = =

Skratiti razlomak znai brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem razliitim od nule i jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

=

Trokut je dio ravnine omeen s tri duine. Te duine zovemo stranice trokuta. Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90). Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete, a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta. Sinus iljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine hipotenuze. Kosinus iljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete uz taj kut i duljine hipotenuze. Ako je zadan pravokutni trokut duljina kateta a i b i hipotenuze c, tada je polumjer r upisane krunice dan formulom

2.

a b cr

+ =

r r

r

c

b

a

Sa slike vidi se: 04 , 67 25 ' , sin , cosa br cm

c c = = = =

Raunamo duljinu hipotenuze c.

/ 2 22 2

2a b c a b c r a b c r a b cr r

c c c c c cc

+ + + = = = + =

29

z

2 2 21 sin cos 1

amjena

sin

cos

c a

c c

bc

r a b r a b rc c c c c c c

= + = + = +

=

=

2 2 2sin cos 1

sin cos 1 sin c/

sin cos os1 1r r r

c cc

c

+

= + = = + +

2 4 26.03 .0 0sin 67 25 ' cos 67 25 ' 1

cmc c cm

= =+

Vjeba 260

Izraunaj duljinu hipotenuze pravokutnog trokuta ako polumjer tom trokutu upisane krunice iznosi 8 cm, a jedan kut trokuta 67 25'.

Rezultat: 52.06 cm.