AIBĖS, FUNKCIJOS, LYGTYS

Aibės sąvoka ir pavyzdžiai

Atskirų objektų rinkiniai, grupės, sistemos, kompleksai matem-

atikoje vadinami aibėmis. Šie atskiri objektai vadinami

aibės elementais. Kai elementas a priklauso aibei A

rašome: a ∈ A. Jei b nėra (nepriklauso) aibei A, rašome

b /∈ A. Pavyzdžiui, 1 ∈ {0,1,3,5} ir 2 /∈ {0,1,3,5}.

Paminėkime gerai žinomas matematikoje skaičių aibes

N = {1,2,3, . . .} – natūralieji skaičiai,

Z = {. . . ,−2,−1,0,1,2,3, . . .} – sveikieji skaičiai,

Q = {mn, m ∈ Z, n ∈ N} – racionalieji skaičiai,

R – realieji skaičiai.

Realieji skaičiai gali būti pavaizduoti tiesėje: bet kurį realųjį

skaičių atitinka vienintelis tiesės taškas ir atvirksčiai – bet

kurį tiesės tašką atitinka vienintelis realusis skaičius.

Aibės poaibis

Apibrėžimas. Jei visi aibės A elementai yra ir aibės B

elementai, sakome, kad A yra aibės B poaibis ir rašomeA ⊂ B.

Pavyzdžiui,

{1,2,3} ⊂ {−1,0,1,√2,2,3, π} ⊂ R

Pastebėkime, kad skaičių aibės

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

Iš poaibio apibrėžimo išplaukia, kad A ⊂ A, t. y. kiekvienaaibė yra savo poabis.

2

Skaičių intervalai

Intervalai – aibės R poaibiai[a, b] – uždarasis intervalas (atkarpa) –aibė {x ∈ R : a 6 x 6 b};(a, b) – atvirasis intervalas –aibė {x ∈ R : a < x < b};(a, b] – pusiau atvirasis intervalas –aibė {x ∈ R : a < x 6 b};[a, b) – pusiau atvirasis intervalas –aibė {x ∈ R : a 6 x < b}.

Begaliniai intervalai:(−∞, a] – aibė {x ∈ R : x 6 a};(−∞, a) – aibė {x ∈ R : x < a};(b,+∞) – aibė {x ∈ R : x > b};[b,+∞) – aibė {x ∈ R : x > b}.

Pastebėkime, kad (−∞,+∞) = R.

3

Aibių sąjunga ir sankirta

Apibrėžimas. Aibių A ir B sąjunga vadiname aibę(žymime A∪B), sudarytą iš elementų, kurie priklauso bentvienai iš aibių A, B (t. y. iš elementų, kurie priklauso arbaaibei A, arba aibei B, arba abiems aibėms A ir B).

Pavyzdžiui,

{1,2,5} ∪ {0,1,3,4,5,6} = {0,1,2,3,4,5,6}

Pastebėkime, kad tų pačių elementų du kartus nerašome.Dar susitarkime, kad nėra svarbi aibės elementų tvarka.

Apibrėžimas. Aibių A ir B sankirta vadiname aibę(žymime A ∩ B), sudarytą iš elementų, kurie priklauso iraibei A, ir aibei B (t. y. iš elementų, kurie priklauso abiemsaibėms A ir B).

Pavyzdžiui,

{1,2,5} ∩ {0,1,3,4,5,6} = {1,5}

4

Tuščioji aibė

Kai aibės A ir B neturi bendrų elementų, jų sankirta irgi

neturi elementų ir vadinama tuščiąja aibe (žymime ∅).

Pavyzdžiui,

{1,2} ∩ {3,4,5} = ∅

(0,1) ∩ (1,1) = ∅

{x ∈ R : x2 +1 = 0} = ∅

Teorema. Jei A yra bet kuri aibė,

∅ ⊂ A

5

Aibių skirtumas

Aibių A ir B skirtumu (žymime A \ B) vadinama aibė,

sudaryta iš tų aibės A elementų, kurie nėra (nepriklauso)

aibės B elementai.

Pavyzdžiai

{1,2,3}\{2,3,4} = {1}, {2,3,4}\{1,2,3} = {4}

{x ∈ R : |x| > 0} = R, {x ∈ R : |x| > 0} = R\{0}

{x ∈ R : |x| > 0} = ∅

6

Veiksmų su aibėmis

Oilerio diagramos

7

Veiksmai su skaičių intervalais

(−∞, a) ∪ [a,+∞) = R

(−∞, a) ∪ (a,+∞) = R \ {a}

(−∞, a) ∩ [a,+∞) = ∅

(−∞, a] ∩ [a,+∞) = {a}

Tarkime, kad a < b. Tada

(−∞, b] ∩ [a,+∞) = [a, b]

(−∞, b) ∩ (a,+∞) = (a, b)

(−∞, a] ∩ [b,+∞) = ∅

8

Funkcijos apibrėžimas

Tarkime, kad f yra taisyklė, kuri kiekvienam aibės A ele-

mentui, priskiria kurį nors vieną aibės B elementą. Rašome

f : A → B. Pavyzdžiui, A = {Jonas,Petras,Birutė} – fir-

mos darbuotojų aibė, B = {vadovas,pavaduotojas,referentas}– pareigų aibė. Taisyklė f , kuri nurodo darbuotojo pareigas:

f :Jonas → vadovasPetras → pavaduotojasBirutė → referentas

yra funkcija.

Tarkime, kad a ∈ A, b ∈ B. Tada funkciją galima api-

brėžti jos reikšmėmis f(a) = b. Pažymėkime, JJ – Jonas

Jonaitis, PP – Petras Petraitis, JP – Jonas Petraitis, PJ –

Petras Jonaitis, v – vadovas, p – patarėjas, r – referentas.

Taisyklė g:

g (JJ) = v, g (JP) = p, g (PJ) = p, g (PP) = r

irgi yra funkcija.

9

Funkcijos apibrėžimo ir reikšmių sritys

Aibė A vadinama funkcijos f : A → B apibrėžimo sriti-

mi, visų reikšmių f(a) aibė vadinama funkcijos reikšmių

sritimi. Paveiksle pavaizduota funkcija

f : A → B, A = {a, b, c, d}, B = {α, β, γ, δ}.

Jos reikšmių aibė yra {α, β, δ} ⊂ B.

10

Funkcijų pavyzdžiai

Dolerio kursas

Surašykime į lentelę Lietuvos banko nustatytus JAV doleriokursus [Lt]:

data 2009-09-07 2009-10-07 2009-11-07Lt už $ 2.41670 2.34560 2.32860

data 2009-12-07 2010-01-07 2010-02-07Lt už $ 2.28940 2.40940 2.49150

data 2011-01-08 2011-01-20 2011-02-07Lt už $ 2.63310 2.56060 2.53460

Turime funkciją L : D → R.

D – datų aibė, R – realiųjų skaičių aibė.

Pateikta lentelėje informacija leidžia sužinoti dienos d do-lerio kursą k = L(d). Kintamasis d vadinamas neprik-lausomu kintamuoju, o funkcijos reikšmė k – priklau-somu kintamuoju.

11

Funkcijų pavyzdžiai

Paprastųjų palūkanų skaičiavimas

Tarkime, kad bankas moka r% (procentų) paprastųjų palūkanų

per metus ir pradinis įnašas į banką S0[Lt]. Tada sukaupta

po n metų suma

Sp (n) = S0

(

1 +r

100· n

)

.

Sudėtinių palūkanų skaičiavimas

Tarkime, kad bankas moka r% (procentų) sudėtinių palūkanų

per metus ir pradinis įnašas į banką S0[Lt]. Tada sukaupta

po n metų suma

Ss (n) = S0

(

1 +r

100

)n.

Taigi abiem atvejais Sp,s : N → R.

12

Funkcijos grafikas

Nagrinėsime skaičių funkcijas, t. y. f : A → B,A ⊂ R, B ⊂ R. Tarkime, kad A yra baigtinis arba begali-nis intervalas. Tada aibę A galima pavaizduoti skaičių tiesė-je 0x (abscisių ašyje), o funkcijos reikšmes y = f(x) vaiz-duojame vertikalioje (ordinačių) ašyje 0y. Taigi plokštu-mos taškai, kurių Dekarto koordinėtės (x, y), sudaro kreivę– funkcijos grafiką.

Paveiksle pavaizduotos funkcijų y = x + 1 ir y = x2

grafikai.

13

Elementariųjų funkcijų grafikai

Tiesinė funkcija

y = kx+ b

14

Kvadratinė funkcija

y = ax2 + bx+ c

Diskriminantas D = b2 − 4ac.Lygties y = 0 šaknys (egzistuoja, kai D > 0)

x1,2 =−b±

√D

2a.

Paveiksle pavaizduotos parabolėsy = x2, y = 2x2, y = −2x2 +4.

15

Trigonometrinės funkcijos

Paveiksle pavaizduoti funkcijų y = sin x ir y = cos x

grafikai

16

Laipsninės ir rodiklinės funkcijos

17

Logaritminė funkcija

y = logax, x > 0, a > 0, a 6= 1.

alogax = x

Žymime log10x = lgx, logex = ln x, e = 2,71828 . . ..

Paveiksle pavaizduoti funkcijųy = log2x – (1), y = lnx – (2), y = lg x – (3)grafikai.

18

Funkcijų reiškimas keliomis formulėmis

Tarkime, kad funkcijos f(x) aibrėžimo sritis yra aibė D ir

A ⊂ D. Jei funkcija f(x) reiškiama formule f1(x), kai

x ∈ A ir formule f2(x) priešingu atveju. Tada rašome

f(x) =

{

f1(x), kai x ∈ A,f2(x), kai x ∈ D \A.

Pavyzdys. Tarkime, kad tam tikra paslauga buvo pasiū-

lyta laiko momentų t1, o laiko momentu t2 ja naudojosi

100% visų vartotojų. Funkcija

L(t) =

0, kai t 6 t1,

100t−t1t2−t1

, kai t1 < t < t2,

100, kai t > t2

gali būti tokios paslaugos tiekimo lygio matematinis mod-

elis.

19

Atkarpomis tiesinė funkcija

Funkcija L(t) vadinama atkarpomis tiesinė funkcija. Josgrafikas pavaizduotas paveiksle.

Uždavinys. Nustatykime laiko momentą, kai paslauganaudojosi 30% visų vartotojų.Sprendžiame lygtį:

L(t) = 100t− t1t2 − t1

= 30

⇒ t = t1 +0,3 (t2 − t1) = 0,7t1 +0,3t2.

20

Tiesės lygtis

Tarkime, kad žinomos dvi tiesinės funkcijos y(x) = kx+b

reikšmės y(

x1

)

= y1, y(

x2

)

= y2. Tiesė eina per

taškus A1

(

x1, y1

)

ir A2

(

x2, y2

)

. Tada

x− x1x2 − x1

=y − y1y2 − y1

arba

y =y2 − y1x2 − x1

x− y2 − y1x2 − x1

x1 + y1.

Taigi

k =y2 − y1x2 − x1

, b = −y2 − y1x2 − x1

x1 + y1.

Pavyzdys. Užrašykime tiesės, einančios per taškus A(1,2)

ir B(2,1) lygtį.

Taikome formulę:

x− 1

2− 1=

y − 2

1− 2⇒ x− 1 = −y +2

arba y = −x+3.

21

Pavyzdys

Akcijos kaina didėjo nuo sausio 7 (12Lt) iki vasario 11 (20Lt),po to mažėjo iki vasario 28 (15Lt). Sudarykime atkar-pomis tiesinę kainos funkciją k(t). Laiką t matuosimedienų skaičiais nuo metų pradžios: sausio 7 pažymėkimet1 = 7, vasario 11: t2 = 42 ir vasario 28: t3 = 59.Tada, kai t ∈

[

t1, t2

]

, turime tiesės einančios per taškus

(7,12) ir (42,20) atkarpą. Kai t ∈[

t2, t3

]

– per taškus(42,20) ir (59,15). Taigi pirmuoju atveju

k − 12

20− 12=

t− 7

42− 7,

o antruoju –

k − 20

15− 20=

t− 42

59− 42.

Užrašome

k(t) =

835 t+ 52

5 kai 7 6 t 6 42

≈ 0,2286t+10,40

− 517 t+ 550

17 kai 42 6 t 6 59

≈ −0,2941t+32,35

22

Apskaičiuokime akcijos kainą sausio 17 ir vasario 21 dienomis.

Sausio 17 yra 17-oji metų diena. Kadangi 17 ∈ [7,42],

gauname

k(17) ≈ 0,2286 · 17+ 10,40 = 14,29[Lt]

Vasario 21 yra 31 + 21 = 52-oji metų diena. Turime

52 ∈ [42,59] ir

k(52) ≈ −0,2941 · 52 + 32,35 = 17,06[Lt]

23

Interpoliacija

Raskime einančią per tris žinomus taškus parabolę

y = ax2 + bx+ c.

Tarkime, kad žinomi taškai A1

(

x1, y1

)

, A2

(

x2, y2

)

,

A3

(

x3, y3

)

ir x1 6= x2, x1 6= x3, x2 6= x3. Tada

kvadratinį trinarį galima užrašyti taip:

y(x) = y1

(

x− x2

) (

x− x3

)

(

x1 − x2

) (

x1 − x3

)+

+y2

(

x− x1

) (

x− x3

)

(

x2 − x1

) (

x2 − x3

)+

+y3

(

x− x1

) (

x− x2

)

(

x3 − x1

) (

x3 − x2

),

kuris vadinamas Lagranžo interpoliaciniu daugianariu (poli-

nomu).

24

Pavyzdys

Raskime, einančią per taškus (7,12), (42,20) ir (59,15),

parabolę

k(t) =12 (t− 42)(t− 59)

(7− 42)(7− 59)+20

(t− 7)(t− 59)

(42− 7)(42− 59)+

+15(t− 7)(t− 42)

(59− 7)(59− 42)=

=12(t2 − 101t+2478)

1820−20(t2 − 68t+413)

595+

+15(t2 − 49t+294)

884=

= − 311

30940t2 +

22311

30940t+

16453

2210

25

Apskaičiuokime k(17) ir k(52). Turime

k(t) ≈ −0,0101 t2 +0,7211 t+7,444

ir

k(17) ≈ −0,0101 · 172 +0,7211 · 17+7,444 ≈

≈ 16,80,

k(52) ≈ −0,0101 · 522 +0,7211 · 52+7,444 ≈

≈ 17,76.

26

Paveiksle pavaizduota parabolė ir dviejų tiesių atkarpos,

jungiančios tuos pačius taškus (7,12), (42,20) ir (59,15).

27