ANALIZĖ I - klevas.mif.vu.ltklevas.mif.vu.lt/~rimasn/Matematinė analizė/analize1.pdf ·...

ANALIZĖ I

RIMAS NORVAIŠA

11.2 variantas, 2019 vasario 11E-paštas: rimas.norvaisa @mii.vu.lt

1 skyrius

Pratarmė

Analizė I - pirmoji matematinės analizės dalis, kurioje nagrinėjamos vieno rea-laus kintamojo funkcijos su realiomis reikšmėmis. Šis paskaitų konspektas skir-tas rudens semestrui. Tiksliau 48 valandos paskaitoms (3 val. per savaitę), 72valandos pratyboms (4 val. per savaitę) ir savarankiškam darbui 150 valandų.

Kurso tikslas - išsiugdyti gebėjimą suprasti matematikos kalbą, lavinti loginįsamprotavimų tikslumą ir pažinti matematinės analizės sąvokas.

Pagrindinė tikslo siekimo priemonė - savarankiškas darbas (tam skirta dau-giausia studento darbo laiko) padedant dėstytojams. Pagal skaitytojo gebėjimąspręsti šio konspekto pratimus vertinamas jo atstumas iki tikslo.

Turinys

1 Pratarmė 2

2 Įvadas 52.1 Kas yra matematinė analizė? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Realiųjų skaičių sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Skaičių sekos konvergavimas 233.1 Sekos riba ir Cauchy seka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2 Monotoninės sekos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.3 Posekiai ir ribiniai taškai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.4 Skaičių eilutės . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.5 Begalinės aibės . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.6 Pastabos ir papildymai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4 Funkcijos realiųjų skaičių aibėje 844.1 Atvirosios ir uždarosios tiesės taškų aibės . . . . . . . . . . . . 854.2 Funkcijos ir jų konvergavimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.3 Funkcijos tolydumo ir trūkio taškai . . . . . . . . . . . . . . . . 1074.4 Tolydžioji funkcija uždarame intervale . . . . . . . . . . . . . . 1154.5 Monotoninės funkcijos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1234.6 Elementariosios funkcijos ir jų tolydumas . . . . . . . . . . . . 133

5 Diferencijavimas 1455.1 Funkcijos išvestinė . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1455.2 Diferencijavimo taisyklės . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1555.3 Elementariųjų funkcijų diferencijuojamumas . . . . . . . . . . . 1605.4 Diferencijuojamų funkcijų savybės . . . . . . . . . . . . . . . . 1645.5 Aukštesniųjų eilių išvestinės ir Taylor’o formulė . . . . . . . . . 1775.6 Funkcijos tyrimas diferencijuojant . . . . . . . . . . . . . . . . 1845.7 Pastabos ir papildymai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

4 Turinys

6 Integravimas 1926.1 Riemann’o integralas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1936.2 Riemann’o integralo egzistavimas ir savybės . . . . . . . . . . . 2046.3 Ryšys tarp integravimo ir diferencijavimo . . . . . . . . . . . . 2186.4 Netiesioginiai integralai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2286.5 Henstock’o-Kurzweil’o integralas . . . . . . . . . . . . . . . . . 2306.6 Riemann’o-Stieltjes’o integralai . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2336.7 Papildymai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

7 Funkcijų sekos konvergavimas 2367.1 Funkcijų seka ir jos riba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2377.2 Tolygus konvergavimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2407.3 Funkcijų eilutės . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2497.4 Laipsninės eilutės . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2527.5 Papildymai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

8 Priedas 2658.1 Pagrindinės sąvokos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2658.2 Žymėjimai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2668.3 Senovės graikų raidynas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

Rodyklė 268

Literatūra 268

2 skyrius

Įvadas

2.1 Kas yra matematinė analizė?

Matematinė analizė, arba tiesiog analizė, yra matematikos sritis nagrinėjantifunkcijų konvergavimą. Funkcija yra fundamentali ir labai bendra matematikossąvoka. Plačiąja prasme matematinė analizė apima didelę matematikos dalį. Jaipriskiriami diferencialinis ir integralinis skaičiavimai, realaus kintamojo funkci-jų teorija, kompleksinio kintamojo funkcijų teorija, diferencialinių ir integraliniųlygčių teorijos, funkcinė analizė ir kitos matematikos sritys. Šiame konspektematematinė analizė traktuojama siaurąja prasme. Būtent ją sudaro funkcijų tarprealiųjų skaičių ir jų baigtinių rinkinių (vektorių) konvergavimo teorija, bei tokiųfunkcijų diferencijavimas ir integravimas.

Funkcijos tarp skaičių yra taisyklė, kuri kiekvienam skaičiui x iš realiųjųskaičių aibės, žymimos simboliu R, priskiria vienintelį realųjį skaičių f(x) ir šipriskyrimo taisyklė žymima f : R→ R. Tokios funkcijos nagrinėjamos pirmoješio kurso dalyje, vadinamoje Analize I. Antroje kurso dalyje, vadinamoje Ana-lize II, nagrinėjamos funkcijos, kurios kiekvienam skaičių rinkiniui (x1, . . . , xd)iš tokių rinkinių aibės Rd priskiria vienintelį skaičių arba skaičių rinkinį; čia dyra nelygus nuliui natūralusis skaičius.

Funkcijos tyrimas yra jos reikšmių aibės tyrimas kai funkcijos argumentaitelkiasi apie kurį nors skaičių. Tokiu atveju klausiama ar funkcijos reikšmės taippat telkiasi apie kurį nors skaičių ir tokia savybė, jei galioja, vadinama funkcijoskonvergavimu. Šiek tiek tiksliau sakoma, kad funkcija f konverguoja taške1 aį skaičių c, jei visiems skaičiams x, esantiems pakankamai arti a ir nelygiemsa, skirtumas tarp c ir f(x) yra kaip norimai mažas. Tokiu atveju skaičius c

1Čia žodis „taškas” reiškia skaičių. Tokia termino naudojimo tradicija aiškinama toliau.

6 2 skyrius. Įvadas

vadinamas funkcijos f riba taške a ir žymimas

limx→a

f(x) := c. (2.1)

Funkcijos išvestinė ir funkcijos integralas, naudojami tų funkcijų tyrimui, taippat yra tam tikrų funkcijų ribos. Taigi, matematinė analizė yra funkcijų konver-gavimo tyrimas ir paprasčiausių funkcijų klasifikavimas.

Ką tik suformuluotas konvergavimo apibūdinimas nėra tikslus. Frazės „kaipnorimai mažas” ir „pakankamai arti” rodo, kad funkcijos konvergavimas yra su-sijęs su kol kas tiksliai neapibrėžtu artėjimo prie nulio procesu. Tiksli šių fraziųprasmė apibrėžiama naudojant teiginių logikos priemones (4.17 apibrėžtis). Sušiomis ir kitomis matematinės kalbos priemonėmis supažindiname „Analize 0"[16].

Matematinės analizės kilmė Matematinės analizės atsiradimą skatino bandy-mai matematiškai apibūdinti judėjimą. Kasdieninio gyvenimo patirtis mumssako, kad judėjimas apibūdinamas fizikos sąvokomis greičiu ir pagreičiu, ku-rias, savo ruožtu, apibrėžia matematikos sąvokos: funkcijos (pirmoji) išvestinė irfunkcijos antroji išvestinė. Šiuolaikinė šių matematikos sąvokų prasmė atsiradotik XIX amžiaus gale. Lyginant su daugelio tūkstančių metų trukmės matema-tikos istorija tai atsitiko labai nesenai. Kodėl taip vėlai? Todėl, kad judėjimassusijęs su be galo mažais dydžiais. Matematinė analizė yra anksčiau naudotoir tikslesnio šios matematikos srities pavadinimo be galo mažų dydžių analizė(angl. infinitesimal analysis) santrumpa.

Senovės graikų filosofai, bandydami protu paaiškinti judėjimą, susidūrė sudideliais sunkumais. Vienas jų, Zenonas2, judėjimo problemiškumą iliustravotokiu samprotavimu. Tarkime, kad tarpusavyje lenktyniaudami bėga vėžlys irAchilas. Kadangi jų greičiai skirtingai, vėžlys turi nubėgti atstumą V0V , kurisyra perpus trumpesnis už Achilui reikalingą nubėgti atstumą A0A.

Vėžlys ir Achilas pradeda bėgti tuo pačiu metu iš taško V0 ir A0, atitinkamai.Kol Achilas nubėgo nuo taško A0 iki taško A1, t.y. iki tos vietos, nuo kurios pra-dėjo bėgti vėžlys, šis tuo tarpu nulapsėjo iki taško V1. Šį bėgimo laiko intervaląpavadinkime pirmuoju. Kol Achilas nubėgo nuo taško A1 iki taško A2, t.y. ikitos vietos, nuo kurios pradėjo bėgti vėžlys po pirmojo bėgimo intervalo, šis tuotarpu nulapsėjo iki taško V2. Šį bėgimo laiko intervalą pavadinkime antruoju.Bėgimas toliau tęsiasi panašiai. Kol Achilas atbėga iki tos vietos, kur buvo vėž-lys po praėjusio laiko intervalo, šis nulapsi iki kito taško. Taigi, atkarpos V0Vir A0A dalinamos į vis mažesnio ilgio atkarpas, kurių neįmanoma suskaičiuoti

2Zenonas iš Elėjos (angl. Zeno of Elea) (490-430 m. pr. Kr. g.) - graikų filosofas

2.1 Kas yra matematinė analizė? 7

2.1 pav.. Zenono aporija apie vėžlį ir Achilą

ir kiekvienai jų įveikti reikia laiko. Išeitų, kad toks bėgimas niekada nesibaigia,nes sudėjus be galo daug teigiamų skaičių (laiko intervalų) turėtume gauti neri-boto ilgio laiko trukmę. Taigi, jei judėjimas yra galimas, tai jo protu neįmanomapaaiškinti. Iš to Zenonas daro išvadą, kad judėjimas yra tik mūsų pojūčių iliuzija,nepaaiškinama protu.

Zenono aporija rodo, kad matematinis judėjimo apibūdinimas reikalauja pa-aiškinti, kaip elgtis su „begaliniu skaičiumi" dydžių, kurie yra „be galo mažėjan-tys". Vienaip ar kitaip šią problemą sprendė Galileo Galilėjus, Izaokas Niutonasir kiti mokslininkai. Jų sprendimas rėmėsi intuicija (logiškai nepagrindžiamanuomone) apie šiuos dydžius. Šiuolaikinis problemos sprendimas išsirutuliojotik XIX amžiuje. Sprendimas grindžiamas natūraliųjų skaičių ir realiųjų skaičiųlogine samprata ir aibės sąvoka. XVIII ir XIX amžiais realieji skaičiai vis darbuvo tapatinami su taškais ant geometrinės tiesės, o jų savybės apibūdinamosremiantis intuicija ir geometrine vaizduote. Intuityvų supratimą palaipsniui kei-tė tokia skaičiaus samprata, kurioje išskiriamos skaičius apibrėžiančios savybės,vadinamos aksiomomis. Tai reiškia, kad realiųjų skaičių savybės nustatomos neiš geometrinės tiesės vaizdinio, o išvedamos iš aksiomomis apibrėžiamų savybiųlogikos pagalba.

Svarbiausia realiųjų skaičių savybė yra realiųjų skaičių aibės R „pilnumas”.Tiksliau ši savybė formuluojama skaičių sekos konvergavimo apibūdinimu. Pri-minsime, kad skaičių seka yra funkcija f , kurios apibrėžimo sritis yra natūraliųjųskaičių aibė N = 0, 1, 2, . . . , žymima (xn)n∈N, čia xn = f(n) realusis skaičius


kiekvienam n ∈ N. Skaičių seka (xn)n∈N konverguoja į skačių c, jei skirtumastarp c ir xn yra kaip norimai mažas visiems pakankamai dideliems n. Nesun-ku patikrinti, kad konverguojanti skaičių seka (xn)n∈N turi savybę: skirtumasxn − xm yra kaip norimai mažas visiems pakankamai dideliems n ir m. Pasi-rodo, kad bet kuri šią savybę turinti skaičių seka konverguoja į kurį nors realųjįskaičių. Šis faktas vadinamas realiųjų skaičių aibės pilnumu ir yra matematinėsanalizės faktas, o ne prielaida (žr. 3.36 teoremą). Visos matematinės analizėssąvokos ir teoremos gaunamos iš realiųjų skaičių savybių naudojant tik logiką iraibių teoriją. Netrukus susipažinsime su šių teorijų elementais.

Momentinis greitis ir funkcijos išvestinė taške Ta aplinkybė, kad matemati-nės analizės pagrindai nėra siejami su realaus pasaulio patirtimi yra svarbi, nesmatematinės analizės sąvokos ir rezultatai naudojami gamtos moksluose. Mate-matikos taikymai remiasi standartine praktika tapatinti realiųjų skaičių aibę sugeometrine tiese (dažnai pakanka prielaidos3, kad tarp šių objektų egzistuojaabipus vienareikšmė atitiktis). Pavyzdžiui, judėjimą gamtoje tiriantis mokslas -fizika - išreiškia jį funkcija. Tapatinant laiką su neneigiamų realiųjų skaičių aibeR+, tiese linija judančio kūno vieta laiko momentu t išreiškiama skaičiumi, kurįpažymėjus f(t), gauname funkciją f : R+ → R. Remiantis Galileo Galilei dės-niu, laisvai krintančio parašiutininko judėjimas, iki jam išskleidžiant parašiutą,apibūdinamas funkcija

f(t) = 12gt

2;

čia g = 9, 81 m/s2. Judėjimas apibūdinamas greičiu. Kas tai yra? Vidutinisgreitis (angl. average velocity) yra funkcijos f reikšmių pokyčio f(t) − f(s) iratitinkamų laiko momentų pokyčio t − s santykis. Kita judėjimą apibūdinan-ti sąvoka yra momentinis greitis (angl. instantaneous speed) apskaičiuojamasbet kuriam fiksuotam laiko momentui s. Su kiekvienu laiko momentu t 6= s,reikšmės

φ(t) := f(t)− f(s)t− s

apibrėžia naują funkciją φ : R \ s → R. Funkcijos φ riba taške s, jei tokiągalima rasti, vadinama funkcijos f išvestine taške s ir yra interpretuojama kaipmomentinis greitis taške s. Laisvai krentančio parašiutininko momentinis greitislaiko momentu s yra riba

limt→s

f(t)− f(s)t− s

= g

2 limt→s

t2 − s2

t− s= g

2 limt→s

(t+ s) = gs.

3Tradiciškai ši prielaida vadinama Cantoro-Dedekindo aksioma.

2.2 Realiųjų skaičių sistema 9

Matome, kad ne fiziškai matuojamas dydis yra momentinis greitis, o matemati-kos sąvoka apibrėžia fizikoje naudojamą dydį. Šia prasme matematinė analizėformuoja gamtos ir visuomenės mokslų sąvokas, kuriomis apibūdinama mus su-panti tikrovė.

Matematinės analizės terminas naudojamas ir platesne prasme, apimant netik funkcijų bet ir funkcionalų (funkcijos, kurių argumentu yra begalinė skaičiųseka) bei operatorių (funkcijos, kurių argumentu ir reikšme yra begalinė skaičiųseka) tyrimą. Šia prasme matematinei analizei priskiriamos sritys yra diferencia-linis skaičiavimas, integralinis skaičiavimas, realaus kintamojo funkcijų teorija,kompleksinio kintamojo funkcijų teorija, diferencialinių lygčių teorija, integra-linių lygčių teorija, variacinis skaičiavimas, funkcinė analizė ir kai kurios kitossritys. Šiuolaikinės skaičių teorija ir tikimybių teorija naudoja ir savo ruožtutobulina matematinės analizės metodus.

Tačiau dažniausiai matematinės analizės terminas naudojamas savo pagrin-dine prasme ir apima analizės pagrindus: realiųjų skaičių teoriją, ribų teoriją,eilučių teoriją, diferencialinį ir integralinį skaičiavimą bei tiesioginių taikymųsritis (optimizavimas, Fourier eilučių teorija ir kita).

2.2 Realiųjų skaičių sistemaRealiųjų skaičių sistemą sudaro realiųjų skaičių aibė R, jos du skirtingi elementai0 ir 1, aibėje R apibrėžtos dvi binarinės operacijos + (suma) ir · (sandauga), irbinarinis sąryšis ≤ (tvarka) aibėje R, kuriems galioja savybės I, II, III ir IV.

I. Trejetas (R,+, ·) sudaro lauką, t.y.

• visiems x ir y iš R, x+ y = y + x ir x·y = y·x;

• visiems x, y ir z iš R, (x+ y) + z = x+ (y + z) ir (x·y)·z = x·(y·z);

• visiems x, y ir z iš R, x·(y + z) = x·y + y·z;

• visiems x iš R, x+ 0 = x;

• 0 6= 1 ir visiems x iš R, x·1 = x;

• visiems x iš R egzistuoja toks −x iš R, kad x+ (−x) = 0;

• visiems x iš R \ 0 egzistuoja toks x−1 iš R, kad x·x−1 = 1.

II. Pora (R,≤) sudaro pilnai sutvarkytą aibę, t.y.

• visiems x iš R, x ≤ x;


• visiems x ir y iš R, jei x ≤ y ir y ≤ x, tai x = y;

• visiems x, y ir z iš R, jei x ≤ y ir y ≤ z, tai x ≤ z;

• visiems x ir y iš R, x ≤ y arba y ≤ x.

III. Lauko (R,+, ·) operacijos suderintos su tvarka ≤, t.y.

• visiems x, y ir z iš R, jei x ≤ y tai x+ z ≤ y + z;

• visiems x ir y iš R, jei 0 ≤ x ir 0 ≤ y, tai 0 ≤ x·y.

IV. Tvarka ≤ aibėje R yra pilna (kontinuumo aksioma):

• visoms netuščioms realiųjų skaičių aibėms A ⊂ R, jei A turi viršutinį rėžį,tai A turi mažiausią viršutinį rėžį.

Realiųjų skaičių aritmetika

2.1 lema. Tegul x, y ir z yra realieji skaičiai. Teisingi teiginiai:

1. jei x+ z = y + z, tai x = y;

2. jei x+ y = x, tai y = 0;

3. jei x+ y = 0, tai y = −x;

4. −(x+ y) = (−x) + (−y);

5. −0 = 0;

6. jei xz = yz ir z 6= 0, tai x = y;

7. 0·x = 0 = x·0;

8. jei xy = x ir x 6= 0, tai y = 1;

9. jei xy = 1, tai y = x−1;

10. jei x 6= 0 ir y 6= 0, tai (xy)−1 = x−1y−1;

11. (−1)·x = −x;

12. (−x)y = −xy = x(−y);

13. −(−x) = x;


14. (−1)2 = 1 ir 1−1 = 1;

15. jei xy = 0, tai x = 0 arba y = 0;

16. jei x 6= 0, tai (x−1)−1 = x;

17. jei x 6= 0, tai (−x)−1 = −x−1.

Tvarkos aksiomų grupės pasekmės Tvarkos sąryšis x ≤ y, skaitomas „x ma-žiau arba lygus už y", žymimas ir taip y ≥ x. Tvarkos sąryšis x ≤ y kai x 6= yžymimas x < y, skaitomas „x mažiau už y", bei žymimas ir taip y > x, vadina-mas griežtąja nelygybe.

2.2 lema (Trichotomija). Bet kuriems x ∈ R ir y ∈ R teisingas lygiai vienas ištrijų sąryšių:

x < y, x = y, x > y.

Įrodymas. Tegul x ∈ R ir y ∈ R. Teiginius x ≤ y ir x ≥ y žymėkime raidėmisAir B, atitinkamai. Pagal ketvirtąją tvarkos aksiomą yra teisingas teiginys A ∨ B.Kadangi B ∨ ¬B yra tautologija, tai

A⇔ A ∧ (B ∨ ¬B)⇔ (A ∧ ¬B) ∨ (A ∧B)

(2.22 teorema iš [16]). Analogiškai gauname

B ⇔ B ∧ (A ∨ ¬A)⇔ (B ∧ ¬A) ∨ (B ∧ A).

Teiginiai A ∧ ¬B, A ∧ B ir B ∧ ¬A yra poromis nesuderinami. Tegul C žymiteiginį x = y. Pagal pirmąsias dvi tvarkos aksiomas C ekvivalentus teiginiuiA ∧ B. Todėl teisingos implikacijos C ⇒ A ir C ⇒ B, kurios atitinkamaiekvivalenčios implikacijoms ¬A ⇒ ¬C ir ¬B ⇒ ¬C. Tai įrodo lemos teiginį.

2.3 lema. Tegul x, y, z ir w yra realieji skaičiai. teisingi teiginiai:

1. jei x < y ir y < z, tai x < z;

2. jei x < y tai x+ z < y + z;

3. jei x < y ir z > 0, tai xz < yz;

4. jei x < y ir z < w, tai x+ z < y + w;

5. x > 0 tada ir tik tada, kai −x < 0;


6. x < y tada ir tik tada, kai y − x > 0 tada ir tik tada, kai −y < −x;

7. jei x 6= 0, tai x2 > 0;

8. −1 < 0 < 1;

9. x < x+ 1;

10. jei x ≤ y ir z > 0, tai xz < yz;

11. jei 0 ≤ x < y ir 0 ≤ z < w, tai xz < yw;

12. jei x < y ir z < 0, tai xz > yz;

13. jei x > 0, tai x−1 > 0;

14. jei x > 0 ir y > 0, tai x < y tada ir tik tada, kai y−1 < x−1 tada ir tiktada, kai x2 < y2.

Įrodymas. (1): Tegul x < y ir y < z. Tada x ≤ y, y ≤ z, x 6= y ir y 6= z.Remiantis tvarkos aksioma, x ≤ z. Tarkim, kad x = z. Tada z ≤ y ir y ≤ z.Remiantis tvarkos aksioma, y = z. Ši prieštara įrodo x 6= z ir todėl x < z.

Pilnumo aksiomos pasekmės Svarbiausias realiųjų skaičių aibės pranašumaslyginant ją su racionaliųjų skaičių aibe yra mažiausio viršutinio rėžio egzista-vimas kiekvienai netuščiai aibei A. Priminsime, kad realusis skaičius M yrarealiųjų skaičių aibės A viršutinis rėžis, jei x ≤M su kiekvienu x ∈ A.

2.4 apibrėžtis. Tegul A yra realiųjų skaičių aibė ir M ∈ R. Sakoma, kad M yraaibės A mažiausias viršutinis rėžis, jei galioja (a) ir (b), čia

(a) M yra aibės A viršutinis rėžis;

(b) jei M ′ yra aibės A viršutinis rėžis, tai M ′ ≥M .

Norint patikrinti (b) sąlygą, kartais naudingas toks faktas.

2.5 lema. Tegul A yra realiųjų skaičių aibė ir M ∈ R. M yra aibės A mažiausiasviršutinis rėžis tada ir tik tada, kai galioja (a) ir (b′), čia (a) yra 2.4 apibrėžtiesteiginys, o (b′) yra šis teiginys:

kiekvienam ε > 0 egzistuoja toks x ∈ A, kad x > M − ε. (2.2)


Įrodymas. Remiantis implikacijos kontrapozicijos dėsniu (žiūrėk 2.22 teoremąįvade [16]), 2.4 apibrėžties (b) teiginys teisingas tada ir tik tada, kai teisingaloginė išvada

jei M ′ < M , tai M ′ nėra aibės A viršutinis rėžis. (2.3)

Įrodysime (2.3) ir (2.2) teiginių ekvivalentumą. Tarkime, kad teisingas (2.3)teiginys ir tegul ε > 0. Pažymėkime M ′ := M − ε. Pagal (2.3) implikaciją,M ′ nėra aibės A viršutinis rėžis. Remiantis kvantorių neigimo teorema (žiūrėk2.22 teoremą įvade [16]), M ′ nėra aibės A viršutinis rėžis, t.y. teisingas teiginys¬(∀x ∈ A, x ≤ M ′) tada ir tik tada, kai ∃x ∈ A : x > M ′ = M − ε. Kadangiε > 0 pasirinktas laisvai, teisingas (2.2) teiginys.

Atvirkščiai, dabar tarkime, kad (2.2) teiginys yra teisingas ir tegul M ′ < M .Pažymėkime ε := M −M ′. Remiantis (2.2) teiginiu, egzistuoja toks x ∈ A, kadx > M − ε = M ′. Todėl M ′ nėra aibės A viršutinis rėžis. Kadangi M ′ < Mpasirinktas laisvai, teisingas (2.3) teiginys. Teorema įrodyta.

2.6 apibrėžtis. Tegul A yra realiųjų skaičių aibė. Jei A netuščia ir turi viršutinįrėžį, tai jos mažiausią viršutinį rėžį - vienintelį realųjį skaičių - žymėsime supA.Jei A netuščia ir neturi viršutinio rėžio, tai šį faktą žymėsime supA = +∞. JeiA tuščia, tai rašysime supA = −∞. Taip apibrėžtas supA vadinamas A aibėssupremumu arba tiksliuoju viršutiniu rėžiu. Jei A netuščia ir turi apatinį rėžį, taijos didžiausią apatinį rėžį - vienintelį realųjį skaičių - žymėsime inf A. Jei Anetuščia ir neturi apatinio rėžio, tai šį faktą žymėsime inf A = −∞. Jei A tuščia,tai rašysime inf A = +∞. Taip apibrėžtas inf A = − sup(−A) ir vadinamas Aaibės infimumu arba tiksliuoju apatiniu rėžiu.

Pastaroje apibrėžtyje +∞ ir −∞ yra tik simboliai, o ne matematiniai objek-tai.

2.7 apibrėžtis. Tegul A yra netuščia ir aprėžta realiųjų skaičių aibė. Jei supA ∈A, tai supA vadinamas aibės A maksimumu arba jos didžiausiu elementu ir žy-mimas maxA := supA. Jei inf A ∈ A, tai inf A vadinamas aibės A minimumuarba jos mažiausiu elementu ir žymimas minA := inf A.

Kaip ir sveikųjų skaičių atveju, pasitelkus trichotomijos savybę, realiojo skai-čiaus t ∈ R moduliu vadinamas skaičius:

|t| :=

t, jei t yra teigiamas,0, jei t = 0,−t, jei t yra neigiamas.

(2.4)

Realiųjų skaičių modulis turi šias savybes.


2.8 teorema. Tegul t ir s yra realieji skaičiai. Tada

(a) |t| = maxt,−t;

(b) |t| ≥ 0 (neneigiamumas);

(c) |t| = 0 tada ir tik tada, kai t = 0;

(d) jei |t| < ε kiekvienam ε > 0, tai t = 0;

(e) |t·s| = |t|·|s| (multiplikatyvumas);

(f) |t+ s| ≤ |t|+ |s| (subadityvumas arba trikampio nelygybė);

(g) ||t| − |s|| ≤ |t− s|;

(h) −|t| ≤ t ≤ |t|.

Bet kuriems realiesiems skaičiams t ir s, atstumu tarp t ir s vadinamas skai-čius

ρ(t, s) := |t− s|. (2.5)

Naudojantis 2.8 teorema galima įrodyti tokią išvadą:

2.9 išvada. Tegul t, s ir r yra realieji skaičiai. Galioja teiginiai:

(a) ρ(t, s) ≥ 0 (neneigiamumas);

(b) ρ(t, s) = 0 tada ir tik tada, kai t = s ;

(c) ρ(t, s) = ρ(s, t) (simetriškumas);

(d) ρ(t, r) ≤ ρ(t, s) + ρ(s, r) (tranzityvumas).

Tvarka realiųjų skaičių aibėje R leidžia nusakyti dažnai naudojamus jos po-aibius - intervalus.

2.10 apibrėžtis. Tegul a ir b yra realieji skaičiai. Aibė

[a, b] := t ∈ R : a ≤ t ≤ b vadinama uždaruoju intervalu,(a, b) := t ∈ R : a < t < b vadinama atviruoju intervalu,[a, b) := t ∈ R : a ≤ t < b vadinama atviruoju iš dešinės intervalu,(a, b] := t ∈ R : a < t ≤ b vadinama atviruoju iš kairės intervalu.


Jei a = b, tai uždarasis intervalas [a, a] = a vadinamas vienine aibe (angl.singleton), o kiti trys intervalai yra tuščiosios aibės. Taip pat tuščiosiomis aibė-mis yra visi keturi intervalai kai a > b. Kiekvienu iš keturių intervalų atveju,taškas a vadinamas intervalo kairiuoju galu, o taškas b vadinamas intervalo de-šiniuoju galu. Kiekvienas iš keturių intervalų vadinamas baigtiniu intervalu.Aibės

(−∞, b] := x ∈ R : x ≤ b, ir [a,+∞) := x ∈ R : x ≥ a,

bei atitinkamai apibrėžtos aibės (−∞, b) ir (a,+∞), vadinamos begaliniais in-tervalais.

Kartais realiųjų skaičių aibė R žymima kaip intervalas (−∞,+∞), bet tainėra naujas objektas.

2.11 išvada. Tegul x ∈ R ir ε ∈ (0,∞). Tada

t ∈ R : |t− x| < ε = (x− ε, x+ ε).

Kitaip tariant, bet kuriam t ∈ R teisinga

|t− x| < ε ⇔ t ∈ (x− ε, x+ ε).

Natūralieji, sveikieji ir racionalieji skaičiai Realiųjų skaičių aibėje yra tokiejos elementai, kurie vadinami natūraliaisiais, sveikaisiais ir racionaliaisiais skai-čiais. Analizė 0 [16] parodyta, kaip apibrėžiami natūralieji skaičiai naudojantaibių teorijos sąvokas. Po to natūraliųjų skaičių aibė yra nuosekliai papildomakonstruojant sveikuosius, racionaliuosius ir realiuosius skaičius. Dabar esamepriešingoje situacijoje. Jau turėdami realiųjų skaičių sistemą norime jos vidujeapibrėžti natūraliuosius, sveijuosius ir racionaliuosius skaičius.

2.12 apibrėžtis. Tarkime, kad I ⊂ R. Aibė I vadinama indukcine (angl. induc-tive set), jei jai galioja dvi savybės:

(a) 0 ∈ I;

(b) jei n ∈ I , tai n+ 1 ∈ I .

2.13 apibrėžtis. Natūraliųjų skaičių aibė, žymima N, yra sankirta visų realiųjųskaičių aibės poaibių, kurie yra indukcinėmis aibėmis.

2.14 lema. Teisingi teiginiai:


1. N yra indukcinė aibė;

2. jei A ⊂ R ir A yra indukcinė aibė, tai N ⊂ A;

3. jei n ∈ N, tai n ≥ 0.

2.15 teorema (Peano aksiomos). Tarkime, kad p : N → N yra funkcija su reikš-mėmis p(n) := n+ 1 kiekvienam n ∈ N. Tada

(a) nėra tokio n ∈ N, kad p(n) = 0,

(b) funkcija p yra injekcija,

(c) jei S ⊂ N yra tokia, kad 0 ∈ S ir teisinga implikacija n ∈ S ⇒ p(n) ∈ S,tai S = N.

Įrodymas. (a): tarkime priešingai, p(n) = n + 1 = 0 su kuriuo nors n ∈ N.Tada n = −1. Bet, pagal 2.14 lemą, n ≥ 0. Prieštara - įrodanti (a) teiginį.

(b): Tarkime, kad p(n) = p(m) su kuriais nors n ∈ N ir m ∈ N. Tadan+ 1 = m+ 1, o iš čia n = m. Taigi, p yra injekcija.

(c): Tegul S ⊂ N turi nurodytas savybes. Tai reiškia, kad S yra indukcinėaibė. Remiantis 2.14.(b) lema, N ⊂ S. Kartu su prielaida S ⊂ N, tai įrodoS = N.

Teiginys (c) tarp Peano aksiomų vadinamas matematine indukcija. Kartais jįpatogu naudoti ne aibėms bet teiginiams. Būtent teisinga kita teorema

2.16 teorema (Matematinė indukcija). Tegul S(n) yra teiginys su kiekvienu n ∈N. Tarkime, kad teisingi:

1. S(0);

2. S(k)⇒ S(k + 1) kiekvienam k ∈ N.

Tada teisingas S(n) kiekvienam n ∈ N.

2.17 lema. Tarkime, kad N+ = N \ 0. Jei n ∈ N+, tai n ≥ 1.

Įrodymas. Tegul A := k ∈ N : k = 0 arba k ≥ 1. Pakanka parodyti, kadA = N. 0 ∈ A. Tarkime, kad n ∈ A ir n 6= 0. Tada n ≥ 1. Remiantis realiųjųskaičių aibės III grupės aksioma, n+ 1 ≥ 1 + 1 = 2. Kadangi 1 > 0 (2.3 lema),tai 2 > 1 remiantis ta pačia aksioma. Dėl griežtos nelygybės tranzityvumo (2.3lema), n + 1 > 1. Todėl n + 1 ∈ A. Matematinės indukcijos principas įrodolemą.


2.18 teorema (Archimedo savybė). Tarkime, kad b ∈ R, a ∈ R ir a > 0. Tadaegzistuoja toks n ∈ N+, kad b < na.

Įrodymas. Jei b ≤ 0, tai, imdami n = 1, gauname b ≤ 0 < a = na. Toliautarkime, kad b > 0 ir teoremos teiginys yra klaidingas, t.y. b ≥ na kiekvienamn ∈ N+. Tegul

A := na : n ∈ N+.

Aibė A ⊂ R yra netuščia ir aprėžta pagal prielaida, o b yra jos viršutinis rėžis.Remiantis pilnumo aksioma, A turi mažiausią viršutinį rėžį supA. Tegul m ∈N+. Kadangi m + 1 ∈ N+, tai (m + 1)a ∈ A. Tada ma ≤ supA − a. Kadangim ∈ N+ yra laisvai pasirinktas, tai supA−a yraA aibės viršutinis rėžis mažesnisuž mažiausią viršutinį rėžį. Ši prieštara įrodo teoremos teiginį.

2.19 lema. Jei x ∈ R ir x > 0, tai egzistuoja toks n ∈ N+, kad n−1 < x.

Įrodymas. Tegul x ∈ R ir x > 0. Pagal 2.18 teoremą egzistuoja toks n ∈ N+,kad 1 < nx. Todėl n−1 < x.

2.20 teorema (Visiško sutvarkymo pricipas). Bet kuris natūraliųjų skaičių aibėsnetuščias poaibis turi mažiausią elementą.

Įrodymas. Įrodymas prieštaros būdu. Tarkime, kad A yra toks natūraliųjų skai-čių aibės netuščias poaibis, kuris neturi mažiausio elemento. Teiginį „i 6∈ Akiekvienam 0 ≤ i ≤ n" žymėkime S(n). Įrodysime, kad teiginys S(n) teisin-gas kiekvienam n ∈ N ir tai bus prieštara tam, kad A yra netuščia aibė. S(0)teisingas, nes 0 6∈ A. Iš tikro, jei 0 ∈ A, tai A turi mažiausią elementą, būtent0. Tarkime, kad teisingas S(k) su kuriuo nors k ∈ N. Tada i 6∈ A kiekvienam0 ≤ i ≤ k. S(k+1) bus teisingas, jei k+1 6∈ A. Iš tikro, jei k+1 ∈ A, tai k+1būtų mažiausias aibės A elementas ir tai prieštarautų prielaidai. Todėl teisingasS(k+ 1). Remiantis matematines indukcija, S(n) teisingas kiekvienam n ∈ N irtai įrodo teoremą.

2.21 apibrėžtis. Sveikųjų skaičių aibe, žymima Z, yra realiųjų skaičių poaibis

Z = −N ∪ N, čia −N := x ∈ R : x = −n su kuriuo nors n ∈ N.

2.22 apibrėžtis. Racionaliųjų skaičių aibė, žymima Q, yra realiųjų skaičių poai-bis

Q = x ∈ R : x = p·q−1 := pq

su kuriais nors p ∈ Z ir q ∈ Z, kai q 6= 0.


Skaičiaus kėlimas laipsniu

2.23 apibrėžtis. Tegul x ∈ R. Kiekvienam n ∈ N skaičius xn ∈ R apibrėžiamasrekursijos būdu:

(a) x0 := 1;

(b) jei xn ∈ R, tai xn+1 := xn·x.

2.24 lema. Tegul x ∈ R ir x 6= 0. Tada xn 6= 0 kiekvienam n ∈ N.

Įrodymas. Tegul S = k ∈ N : xk+1 6= 0. Pagal prielaidą 0 ∈ S. Tarkime,kad n ∈ S su kuriuo nors n ∈ N. Pagal laipsnio apibrėžimą x(n+1)+1 = xn+1x.Pagal 2.1, jei xn+1x = 0, tai xn+1 = 0 arba x = 0 - prieštara. Todėl n + 1 ∈ S.Remiantis indukcijos principu S = N, ką ir reikėjo įrodyti.

2.25 apibrėžtis. Tegul x ∈ R ir x 6= 0. Kiekvienam n ∈ N skaičius x−n yraapibrėžiamas kaip xn atvirkštinis, t.y. x−n := (xn)−1.

2.26 teorema. Tegul q ir r yra nelygūs nuliui realieji skaičiai, o n ir m yrasveikieji skaičiai. Tada

(a) qn·qm = qn+m, (qn)m = qnm ir (qr)n = qn·rn;

(b) jei q ≥ r ≥ 0, tai qn ≥ rn ≥ 0, jei n yra teigiamas, ir 0 < qn ≤ rn, jei nyra neigiamas;

(c) jei q > 0, r > 0, n 6= 0 ir qn = rn, tai q = r;

(d) |qn| = |q|n.

2.27 lema. Tegul x ∈ R, x 6= 0 ir p, q ∈ Z. Tada

1. xp·xq = xp+q;

2. (xp)q = xpq

3. |xp| = |x|p.

2.28 apibrėžtis. Tegul r yra teigiamas realusis skaičius ir n yra teigiamas natū-ralusis skaičius. Sakysime, kad supremumas

r1/n := supx ∈ R : x > 0 ir xn ≤ r

yra n-toji šaknis iš r.


Įrodysime, kad taip apibrėžta šaknis yra realusis skaičius.

2.29 lema. Tegul r yra teigiamas realusis skaičius ir n yra teigiamas natūralusisskaičius. Tada r1/n yra teigiamas realusis skaičius.

Įrodymas. Remiantis mažiausio viršutinio rėžio teorema (?? teorema), r1/n yrarealusis skaičius jei aibė

A := x ∈ R : x > 0 ir xn ≤ r (2.6)

yra netuščia ir turi viršutinį rėžį. Jei r ≥ 1, tai 1 ∈ A. Jei r < 1, tai r ∈ A(kodėl?). Tai bet kuriuo atveju A aibė yra netuščia. Jei r ≤ 1, tai 1 yra Aaibė viršutinis rėžis. Iš tikro, jei ne, tai yra toks x ∈ A, kad x > 1. Bet tadaxn > 1 (kodėl?) ir xn > r - prieštara, įrodanti viršutinio rėžio egzistavimąkai r ≤ 1. Dabar tegul r > 1. Tvirtiname, kad A aibės viršutinis rėžis yrar. Jei ne, tai yra toks x ∈ A, kad x > r. Tada x > 1 ir xn > r (kodėl?) -prieštara, įrodanti viršutinio rėžio egzistavimą, kai r > 1. Įrodėme, kad r1/n

yra realusis skaičius. Be to, jis yra teigiamas, kadangi visi A aibės elementaiteigiami. Teoremos įrodymas baigtas.

n-tojo laipsnio šaknies iš realiojo skaičiaus operacija turi savybes suformu-luotas kitoje teoremoje.

2.30 teorema. Tegul r, s yra teigiami realieji skaičiai ir n,m yra teigiami natū-ralieji skaičiai. Tada

(a) jei s = r1/n, tai sn = r;

(b) atvirkščiai, jei sn = r, tai s = r1/n;

(c) nelygybė r > s galioja tada ir tik tada, kai r1/n > s1/n;

(d) jei r > 1, tai r1/n > r1/m tada ir tik tada, kai n < m; jei r < 1, tair1/n > r1/m tada ir tik tada, kai n > m; jei r = 1, tai r1/n = 1;

(e) (rs)1/n = r1/ns1/n;

(f) (r1/n)1/m = r1/(nm).

Įrodymas. Įrodysime (a). Tegul s = r1/n ir A yra (2.6) aibė. Dėl trichotomijospakanka įrodyti, kad atvejai sn > r ir sn < r negalimi. Pirmiausia tarkime, kadsn > r ir ε := sn − r > 0. Tada δ := ε/(nsn−1) > 0. Remiantis 2.2.?? pratimu,


egzistuoja toks t ∈ A, kad s − δ < t ≤ s. Tada naudodami 2.2.?? pratimoalgebrinę tapatybę, gauname

ε = sn − tn + tn − r≤ sn − tn

= (s− t)( n−1∑j=0

sjtn−1−j)

≤ (s− t)( n−1∑j=0

sjsn−1−j)

= (s− t)nsn−1

< δnsn−1

= ε.

Tai yra prieštara, įrodanti atvejo sn > r negalimumą. Dabar tarkime, kad sn < rir ε := r − sn > 0. Tegul δ yra toks realusis skaičius, kuriam galioja 0 < δ <min1, ε/(s+ 1)n. Naudodami binomo formulę (??), gauname

(s+ δ)n =n∑j=0

(n

j

)sjδn−j

= sn + δn−1∑j=0

(n

j

)sjδn−1−j

< sn + δn−1∑j=0

(n

j

)sj1n−j

= sn + δ(s+ 1)n

= r − ε+ δ(s+ 1)n

< r − ε+ ε

= r.

Tai reiškia, kad s + δ ∈ A - prieštara, nes s = r1/n yra A aibės viršutinisrėžis. Įrodėme, kad atvejis sn < r taip pat nėra galimas ir tuo pačiu įrodėme (a)tvirtinimą.

Apibrėžiant kėlimą laipsniu x, kai x yra racionalusis skaičius, naudojamegalimybę racionalųjį skaičių išreišti tokiu santykiu m/n, kur m yra sveikasisskaičius, o n yra teigiamas natūralusis skaičius (kodėl tai galima?).


2.31 apibrėžtis. Tegul r yra teigiamas realusis skaičius ir q yra racionalusis skai-čius. Kadangi egzistuoja tokie m ∈ Z ir n ∈ N∗, kad q = m/n, tai skaičius

rq := (r1/n)m

vadinamas skaičiaus r laipsniu su racionaliuoju rodikliu q.

Norint parodyti, kad ši apibrėžtis yra korektiška, būtina įsitikinti, kad ji ne-priklauso nuo racionaliojo skaičiaus q galimų skirtingų išraiškų.

2.32 lema. Tegul m,m′ yra tokie sveikieji skaičiai, o n, n′ yra tokie teigiaminatūralieji skaičiai, kad m/n = m′/n′. Jei r yra teigiamas realusis skaičius, tai(r1/n)m = (r1/n′)m′ .

Įrodymas. Remiantis trichotomijos savybe teoremą pakanka įrodyti trim atve-jais: m = 0, m > 0 ir m < 0. Kai m = 0, tai m′ = 0 (kodėl?). Šiuo atveju(r1/n)m = 1 ir (r1/n′)m′ = 1; tai tvirtinimas teisingas.

Tegul m > 0. Tada m′ > 0 (kodėl?) ir mn′ = nm′. Tegul t := r1/(mn′) =r1/(nm′). Remiantis 2.30 teoremos (f) tvirtinimu, t = (r1/n′)1/m ir t = (r1/n)1/m′ .Remiantis 2.30 teoremos (a) tvirtinimu, tm = (r1/n′) ir tm′ = (r1/n). Kadangi

(r1/n′)m′ = (tm)m′ = tmm′ = (tm′)m = (r1/n)m,

tvirtinimas teisingas ir antruoju atveju.Galiausiai tegul m < 0. Tada (−m)/n = (−m′)/n′. Kadangi −m > 0,

pagal jau įrodytą atvejį, (r1/n)−m = (r1/n′)−m′ . Abiejų lygybės pusių multipli-kacinių atvirkštinių lygybė įrodo tvirtinimą paskutiniuoju atveju.

Taigi, kėlimas racionaliuoju laipsniu rq yra korektiškai apibrėžtas. Šis api-brėžimas sutampa su ankstesniu, kai q = 1/n (kodėl?) ir kai q = n (kodėl?).

Pagrindinės skaičiaus kėlimo racionaliuoju laipsniu savybės suformuluotoskitoje teoremoje.

2.33 teorema. Tegul r, s yra teigiami realieji skaičiai ir q, t yra racionalieji skai-čiai. Tada

(a) rq yra teigiamas realusis skaičius;

(b) rq+t = rqrt, (rq)t = rqt ir (rs)q = rqsq;

(c) r−q = 1/rq;

(d) jei q > 0, tai r > s tada ir tik tada, kai rq > sq;


(e) jei r > 1, tai rq > rt tada ir tik tada, kai q > t; jei r < 1, tai rq > rt tadair tik tada, kai q < t.

Lieka neapibrėžta realiojo skaičiaus r kėlimo laipsniu x operacija, kai r > 0ir x yra bet kuris realusis skaičius. Tai padaryta kitame skyriuje naudojant tenįrodytas realiųjų skaičių sekos konvergavimo savybes.

3 skyrius

Skaičių sekos konvergavimas

Kurso įvadą baigėme realiųjų skaičių sistemos konstravimu; realiųjų skaičių ai-bėje apibrėžėme keturias algebrines operacijas, tvarką ir įrodėme netuščios aibėsmažiausio viršutinio rėžio egzistavimą. Pagrindiniu realiųjų skaičių konstrukci-jos tikslu yra racionaliųjų skaičių aibės papildymas tokiais elementais, kad kiek-viena gautos aibės elementų Cauchy seka turėtų ribą. Tęsdami įvade pradėtądarbą, šiame skyriuje apibrėžiame realiųjų skaičių sekos konvergavimo sąvoką irparodome, kad kiekviena realiųjų skaičių seka turi ribą tada ir tik tada, kai ji yraCauchy seka (3.36 teorema vadinama Cauchy kriterijumi).

Ribos sąvoka yra svarbi ir sunki matematinės analizės sąvoka. Intuityvia ri-bos samprata buvo grindžiami tiek graikų vartojamas figūros ploto skaičiavimas,tiek Newtono ir Leibnizo diferencialinis skaičiavimas. Tačiau tik 19 šimtmetyjeB. Bolzano ir K. Weierstrassas suformulavo logiškai nepriekaištingą ribos sam-pratą.

3.1 Sekos riba ir Cauchy sekaPriminsime skaičių sekos sąvoką, kurią jau nagrinėjome Analizė 0.

3.1 apibrėžtis. Tarkime, kad sveikųjų skaičių aibė A yra baigtinė arba begalinė.Realiųjų skaičių seka, žymima (rn)n∈A, yra funkcija iš aibės A į aibę R. Šiosfunkcijos argumentas n ∈ A vadinamas sekos indeksu, o šios funkcijos reikšmėrn ∈ R vadinama sekos nariu. Jei indeksų aibė A yra baigtinė, tai (rn)n∈Avadinama baigtine seka. Jei indeksų aibė A = N = 0, 1, 2, . . . tai, trumpumodėlei, rašome tiesiog

(rn) := (rn)n∈N = (r0, r1, r2 . . . , rn, . . . ).

24 3 skyrius. Skaičių sekos konvergavimas

Jei indeksų aibė A = n ∈ N : n ≥ m su kuriuo nors m ∈ Z, tai atitinkamąrealiųjų skaičių seką žymime šiomis išraiškomis:

(rn)n≥m := (rn)n∈A = (rn)∞n=m = (rn+m) = (rm, rm+1, . . . , rn, . . . ).

3.2 pastaba. Dviejų narių baigtinė seka yra tas pats, kas dviejų realiųjų skaičiųsutvarkytoji pora. Tiksliau, tegul (r1, r2) yra dviejų narių baigtinė seka, A :=1, 2, f(1) := r1 ir f(2) := r2. Šios reikšmės apibrėžia vienintelę seką-funkcijąf : A→ R, kuriai galioja lygybė (f(1), f(2)) = (r1, r2).

Toliau formuluojama realiųjų skaičių sekos konvergavimo sąvoką.

3.3 apibrėžtis. Tarkime, kad (rn)n≥m yra realiųjų skaičių seka ir r yra realusisskaičius. Sakoma, kad (rn)n≥m konverguoja į r, jei kiekvienam realiajam skai-čiui ε > 0 egzistuoja toks natūralusis skaičius N = N(ε) ≥ m, kad kiekvienamn ∈ N teisinga implikacija

jei n ≥ N, tai |rn − r| < ε. (3.1)

Sakoma, kad (rn)n≥m konverguoja, jei egzistuoja toks r ∈ R, kad (rn)n≥m kon-verguoja į r.

3.4 pastaba. Natūraliojo skaičiaus N(ε) žymėjimas išreiškia jo priklausomybęnuo ε. Jei turime ε′ mažesnį už ε, tai atitinkamas natūralusis skaičius N(ε′)gali būti didesnis už N(ε). Kai dėl to neprarandame aiškumo, rašome tiesiogN vietoje N(ε), nors N ir priklauso nuo ε. Nei skaičius N(ε), nei skaičius Nneturi vienaties savybės; jei N(ε) su nurodyta savybe egzistuoja, tai bet kuriskitas didesnis už jį skaičius taip pat turi tą pačią savybę.

Skaičių sekos ribos apibrėžime reikalaujama, kad N(ε) su nurodyta savybeegzistuotų kiekvienam ε > 0. Skaitytojui siūlome įrodyti, kad N(ε) su nurodytasavybe pakanka rasti kiekvienam 0 < ε < ε0 su kuriuo nors realiuoju skaičiumiε0 > 0 (3.1.2 pratimas). Dėl šios priežasties simbolis ε paprastai naudojamasžymėti „kaip norimai mažą teigiamą dydį".

Naudojant loginius simbolius ir skaičiaus modulio savybes (2.11 išvada) se-kos (rn)n≥m konvergavimo į r savybę galima formuluoti taip:

∀ ε > 0, ∃N ∈ N : ∀n ∈ N [n ≥ N ⇒ rn ∈ (r − ε, r + ε)].

3.5 pavyzdys. Remdamiesi 3.3 apibrėžtimi įrodysime, kad seka ( 1n)n≥1 konver-

guoja į 0. Tarkime, kad ε > 0 yra duotas. Tuo būdu fiksuojame apibrėžties

3.1 Sekos riba ir Cauchy seka 25

kintamąjį ε. Rasime tokį šį ε atitinkantį N ∈ N, kad kiekvienam n ∈ N būtųteisinga implikacija

jei n ≥ N , tai∣∣∣∣ 1n− 0

∣∣∣∣ = 1n< ε. (3.2)

Pastarąją nelygybę išspręsime atžvilgiu n. Šiuo atveju tai paprasta, nes

1n< ε ⇔ n >

1ε. (3.3)

TegulN := d1εe = b1

εc+1 - mažiausias sveikasis skaičius didesnis už 1

ε. Imkime

bet kurį n ≥ N . Tada n ≥ 1ε. Remiantis (3.3), šiam n teisinga 1

n< ε nelygybė.

Todėl teisinga (3.2) implikacijos išvada. Kadangi n ≥ N yra laisvai pasirinktas,tai teisinga (3.2) implikacija. Kadangi ε > 0 yra laisvai pasirinktas, tai teisinga3.3 apibrėžties sąlyga.

Toliau įrodysime, kad skaičius, į kurį konverguoja seka, yra vienintelis.

3.6 teorema. Jei realiųjų skaičių seka (rn)n≥m konverguoja į realiuosius skai-čius r ir t, tai r = t.

Įrodymas. Remiantis 2.8.(d) teorema pakanka įrodyti, kad |t − s| < ε kiekvie-nam ε > 0. Tegul ε > 0 pasirinktas laisvai. Pagal sekos (rn)n≥m konvergavimo įskaičius r ir t prielaidą egzistuoja, atitinkamai, tokie K ∈ N ir M ∈ N, kad

|rn − r| <ε

2 ir |rn − t| <ε

2 (3.4)

kai n ≥ N := maxK,M. Tada

|r − t| = |(r − rN) + (rN − t)|trikampio nelygybė ≤ |r − rN |+ |rN − t|

pagal (3.4) <ε

2 + ε

2 = ε.

Kadangi ε > 0 yra laisvai pasirinktas, tai t = s, ką ir reikėjo įrodyti.

Kadangi skaičius, į kurį konverguoja seka, yra vienintelis, tai jam suteikia-mas vardas.

3.7 apibrėžtis. Jei realiųjų skaičių seka (rn)n≥m konverguoja į realujį skaičių r,tai r vadinamas sekos (rn)n≥m riba , o šis faktas išreiškiamas simboliu

limn→∞

rn = r arba rn → r kai n→∞. (3.5)

Jei realiojo skaičiaus, į kurį konverguoja seka (rn)n≥m, nėra, tai sakoma, kad jidiverguoja.


Sekos ribos žymėjime (3.5) nėra nurodomas sekos pirmojo elemento indek-sas. Tai nėra žymėjimo netikslumas, nes riba nepriklauso nuo sekos pirmųjųelementų (3.1.1 pratimas).

Kitas konverguojančios sekos pavyzdys iliustruoja seką apibrėžiamą rekursi-jos būdu.

3.8 teorema. Tegul realusis skaičius r yra toks, kad |r| < 1 ir a0 yra bet kurisrealusis skaičius. Tarkime, kad sekos (an) nariai apibrėžti taip, kad

an+1 := ran (3.6)

su kiekvienu n ∈ N. Tada seka (an) konverguoja į 0.

Įrodymas. Remiantis rekursijos teorema (Analize 0), (3.6) sąryšis apibrėžia seką(an). Remiantis indukcija šios sekos kiekvienas narys an = a0r

n. Jei a0 = 0,tai visi sekos (an) nariai lygūs nuliui ir tvirtinimas galioja (kodėl?). Jei r = 0,tai visi sekos (an) nariai pradedant antruoju taip pat lygūs nuliui ir tvirtinimasvėl galioja. Todėl tarsime, kad a0 6= 0 ir r 6= 0. Tegul ε > 0. Reikia rasti tokįN(ε) ∈ N, kad nelygybė

ρ(an, 0) = |an − 0| = |a0||r|n < ε (3.7)

galiotų kiekvienam n ≥ N(ε). Tegul x := 1/|r|. Kadangi 0 < |r| < 1, taiy := x− 1 > 0, ir, naudodami binomo formulę (??), gauname nelygybę

1|r|n

= xn = (1 + y)n >(n

1

)y = ny, t. y. |r|n < 1

ny.

Todėl pakanka rasti tokį N(ε) ∈ N, kad nelygybė

|a0|ny

< ε (3.8)

galiotų kiekvienam n ≥ N(ε). Tegul

N(ε) := 1 +⌊ |a0|εy

⌋.

Tada (3.8), o tuo pačiu ir (3.7), galioja kiekvienam n ≥ N(ε) dėl skaičiaussveikosios dalies apibrėžties (žr. (??)), ką ir reikėjo įrodyti.

Seką pavadinome diverguojančia, jei nėra ribos į kurią ji konverguotų. Pavyz-džiui, tokia yra seka (rn), kurios nariai yra rn := (−1)n, n ∈ N (3.1.4 pratimas).Šios sekos divergavimas vyksta jos nariams pakaitomis įgyjant dvi reikšmes 1 ir−1. Tuo tarpu seka (n) diverguoja jos nariams tampant kaip norimai dideliems.Skirtingas divergavimo rūšis atspindi dažnai naudojama tokia terminologija.


3.9 apibrėžtis. Sakoma, kad realiųjų skaičių seka (rn)n≥m diverguoja į +∞, jeisu kiekvienu M egzistuoja toks natūralusis N ≥ m, kad kiekvienam n ∈ Ngalioja implikacija

jei n ≥ N, tai rn ≥M.

Ši sekos savybė žymima limn→∞ rn = +∞ arba rn → +∞, kai n → +∞.Sakome, kad realiųjų skaičių seka (rn)n≥m diverguoja į−∞, jei su kiekvienuMegzistuoja toks natūralusis N ≥ m, kad kiekvienam n ∈ N galioja implikacija

jei n ≥ N, tai rn ≤M.

Ši sekos savybė žymima limn→∞ rn = −∞ arba rn → −∞, kai n→ +∞.

3.1.5 pratime prašoma ištirti (3.6) rekursija apibrėžtos sekos divergavimo rū-šis, kai |r| ≥ 1.

Apibendrinsime racionaliųjų skaičių Cauchy sekos sąvoką realiesiems skai-čiams.

3.10 apibrėžtis. Realiųjų skaičių seka (rn)n≥m vadinama Cauchy seka, jei betkuriam teigiamam realiajam skaičiui ε, egzistuoja toks natūralusis skaičius N =N(ε) ≥ m, kad visiems n ∈ N ir m ∈ N galioja implikacija

jei n ≥ N ir k ≥ N tai ρ(rn, rk) = |rn − rk| < ε. (3.9)

Kaip buvo minėta ?? pastaboje, įrodysime, kad skaičiui ε tapus realiuoju,apibrėžiama sekos savybė yra suderinta su ankstesniąja tokia prasme.

3.11 teorema. Tegul (rn)n≥m yra racionaliųjų skaičių seka. Ji yra Cauchy seka?? apibrėžties prasme tada ir tik tada, kai ji yra Cauchy seka 3.10 apibrėžtiesprasme.

Įrodymas. Iš pradžių tarkime, kad seka (rn)n≥m yra Cauchy seka 3.10 apibrėž-ties prasme. Tada su kiekvienu realiuoju ε > 0, egzistuoja N(ε) su apibrėžtyjenurodyta savybe (3.9). Ši savybė galioja ir tada, kai ε > 0 yra racionalusis skai-čius. Todėl seka (rn)n≥m yra Cauchy seka ?? apibrėžties prasme.

Dabar tarkime, kad seka (rn)n≥m yra Cauchy seka ?? apibrėžties prasme.Tarkime, kad ε > 0 yra realusis skaičius. Remiantis ?? teorema, egzistuoja toksracionalusis skaičius ε′, kad 0 < ε′ < ε. Tada egzistuoja toks N = N(ε′) ∈ N,kad atstumas

ρ(rn, rk) = |rn − rk| < ε′ visiems n ≥ N ir k ≥ N .

Kadangi ε′ < ε, ši savybė išlieka teisinga ε′ pakeitus ε, t.y. galioja (3.9). Gauna-me, kad seka yra Cauchy seka 3.10 apibrėžties prasme, ką ir reikėjo įrodyti.


Dabar galime, kad konverguojančios skaičių sekos nariai privalo būti vis ar-timesni, kai narių indeksai didėja.

3.12 teorema. Kiekviena konverguojanti realiųjų skaičių seka yra Cauchy seka.

Šios teoremos įrodymas panašus į ?? teoremos įrodymą ir todėl praleidžia-mas. Vėliau įrodysime labai svarbią pastarosios teoremos atvirkščią implikaciją(3.36 teorema).

Galiausiai realiesiems skaičiams apibendrinsime racionaliųjų skaičių sekosaprėžtumo sąvoką (?? apibrėžtis).

3.13 apibrėžtis. Tegul (rn)n≥m yra realiųjų skaičių seka. Sakoma, kad (rn)n≥myra aprėžta, jei šios sekos narių aibė rn : n ∈ N, n ≥ m yra aprėžta. Sako-ma, kad (rn)n≥m yra aprėžta skaičiumi M , jei |rn| ≤ M kiekvienam n ≥ m.Sakoma, kad (rn)n≥m yra aprėžta iš viršaus skaičiumi M arba skaičius M yrašios sekos viršutinis rėžis, jei rn ≤ M kiekvienam n ≥ m. Sakoma, kad seka(rn)n≥m yra aprėžta iš viršaus, jei ji yra aprėžta iš viršaus su kuriuo nors skai-čiumi. Analogiškai sakoma, kad (rn)n≥m yra aprėžta iš apačios skaičiumi Marba skaičius M yra šios sekos apatinis rėžis, jei rn ≥ M kiekvienam n ≥ m.Sakoma, kad seka (rn)n≥m yra aprėžta iš apačios, jei ji yra aprėžta iš apačios sukuriuo nors skaičiumi.

Kitos teoremos įrodymas yra analogiškas ?? teoremos įrodymui (3.1.11 prat-imas).

3.14 teorema. Kiekviena realiųjų skaičių Cauchy seka yra aprėžta.

Šio skyrelio pabaigai suformuluosime įprastas sekos konvergavimo taisykles.Jos iliustruoja sekų konvergavimo savybės invariantiškumą1 algebrinių operacijųatžvilgiu.

3.15 teorema. Tarkime, kad realiųjų skaičių sekos (rn)n≥m ir (sn)n≥m konver-guoja, atitinkamai, į realiuosius skaičius r ir s. Tada

(a) seka (rn + sn)n≥m konverguoja į r + s, t. y.

limn→∞

(rn + sn) = limn→∞

rn + limn→∞

sn;

(b) seka (rnsn)n≥m konverguoja į rs, t. y.

limn→∞

(rnsn) =(

limn→∞

rn)(

limn→∞

sn);

1Savybė yra invariantiška algebrinės operacijos atžvilgiu, jei ji išlieka nepakitusi atlikus tąoperaciją.


(c) jei s 6= 0 ir sn 6= 0 su kiekvienu n ≥ m, tai seka (s−1n )n≥m konverguoja į

s−1, t. y.limn→∞

(s−1n ) =

(limn→∞

sn)−1

;

(d) seka (maxrn, sn)n≥m konverguoja į maxr, s, t. y.

limn→∞

maxrn, sn = max

limn→∞

rn, limn→∞

sn.

Įrodymas. Įrodysime tik (c). Kitus teiginius siūlome įrodyti skaitytojui (3.1.14pratimas). Tegul ε > 0. Egzistuoja toks N1, kad |sn − s| < εs2/2 kiekvienamn ≥ N1. Be to, egzistuoja toks N2, kad |sn| ≥ |s|/2 kiekvienam n ≥ N2 (3.1.9pratimas). Tegul N := maxN1, N2. Tada kiekvienam n ≥ N , turime∣∣∣∣ 1

sn− 1s

∣∣∣∣ = |sn − s||sn||s|

≤ |sn − s|s2/2 <

εs2/2s2/2 = ε,

ką ir reikėjo įrodyti.

Pastarosios teoremos teiginius galima derinti tarpusavyje, parodant konverga-vimo invariantiškumą ir kitų operacijų atžvilgiu. Pavyzdžiui, atžvilgiu dalybos,dauginimo iš skaičiaus ir minimumo. 3.1.17 pratimas rodo konvergavimo inva-riantiškumą tvarkos atžvilgiu. Kitoje teoremoje suformuluotas tvarkos lyginimometodas matyt dažniausiai ir lengviausiai taikomas nustatant sekos konvergavi-mą.

3.16 teorema. Tarkime, kad (rn)n≥m, (sn)n≥m ir (tn)n≥m yra tokios realiųjųskaičių sekos, kad sn ≤ rn ≤ tn kiekvienam n ≥ m. Jei limn→∞ sn = r =limn→∞ tn, tai limn→∞ rn = r.

Įrodymas. Tegul ε > 0. Kadangi sekos (sn) ir (tn) konverguoja į r, tai egzistuojatoks natūralusis skaičius N ≥ m, kad

sn − r > −ε ir tn − r < ε

visiems n ≥ N (kodėl?). Kadangi nelygybė sn ≤ rn ≤ tn galioja kiekvienamn ≥ m, tai visiems n ≥ N galioja nelygybės

−ε < sn − r ≤ rn − r ≤ tn − r < ε.

Dar kartą naudojant modulio savybes gavome, kad |rn − r| < ε visiems n ≥ N .Kadangi ε > 0 yra laisvai pasirinktas, teorema įrodyta.

Pastarosios teoremos naudingumą galima iliustruoti tokiu pavyzdžiu. Tegul|rn| ≤ c/n kiekvienam n ∈ N∗, čia c ∈ R. Remiantis 3.5 pavyzdžiu 1/n → 0,kai n → ∞. Remiantis 3.15 teoremos (b) teiginiu, c/n → 0 ir −c/n → 0, kain→∞ (kodėl?). Tada 3.16 teoremos dėka, rn → 0, kai n→∞.


Pratimai

1. Tarkime, kad (rn)n≥m yra realiųjų skaičių seka, r ∈ R ir natūralusis skai-čius k > m. Įrodyti, kad (rn)n≥m konverguoja į r tada ir tik tada, kai(rn)n≥k konverguoja į r.

2. Įrodyti, kad realiųjų skaičių seka (rn)n≥m konverguoja į skaičių r ∈ R, jeiegzistuoja toks realusis skaičius ε0 > 0, kad kiekvienam realiajam skaičiui0, ε < ε0 egzistuoja toks natūralusis skaičius N(ε) ≥ m, kad ρ(rn, r) < εkiekvienam n ≥ N(ε).

3. Suformuluoti, ką reiškia, kad seka (rn) diverguoja, teiginį išreiškiant logi-niais kvantoriais.

4. Įrodyti, kad seka ((−1)n) diverguoja.

5. Tegul (an) yra (3.6) rekursija apibrėžta seka. Ištirti jos konvergavimo klau-simą nustatant galimas divergavimo rūšis kai |r| ≥ 1.

6. Tegul r ∈ R yra toks, kad |r| < 1, a0 ∈ R, c ∈ R ir su kiekvienu n ∈ N,tegul an+1 := ran + c. Ar seka (an) konverguoja? Jei taip, rasti ribą.

7. Tegul (rn) yra realiųjų skaičių seka ir r ∈ R. Įrodyti, kad limn→∞ rn =r tada ir tik tada, kai kiekvienam k ∈ N∗ egzistuoja toks N ∈ N, kadρ(rn, r) < 1/k kiekvienam n ≥ N .

8. Tarkime, kad realiųjų skaičių seka (rn)n≥m konverguoja į skaičių r. Įrody-ti, kad seka (|rn|)n≥m konverguoja į |r|. Nuoroda: ||a| − |b|| ≤ |a− b| kaia ∈ R ir b ∈ R.

9. Tarkime, kad realiųjų skaičių seka (rn)n≥m konverguoja į skaičių r ir r 6=0. Įrodyti, kad egzistuoja toks N ≥ m, kad |rn| ≥ |r|/2 kiekvienamn ≥ N . Nuoroda: Pasinaudoti 8 pratimu ir paimti ε = |r|/2.

10. Tarkime, kad teigiamų realiųjų skaičių seka (rn)n≥m konverguoja į teigia-mą skaičių r. Įrodyti, kad seka (√rn)n≥m konverguoja į

√r. Nuoroda:

atstumą ρ(√rn,√r) padauginti ir padalinti iš

√rn +

√r.

11. Įrodyti 3.14 teoremą.

12. Tegul skaičių seka (rn) konverguoja į r ir tegul s ∈ R yra toks, kad s < r.Įrodyti, kad visi sekos (rn) nariai, išskyrus baigtinį jų skaičių, yra didesniuž s.

3.2 Monotoninės sekos 31

13. Įrodyti: jei skaičių seka (rn) konverguoja į r ir |rn| ≤ C visiems pakanka-mai dideliems n, tai |r| ≤ C.

14. Įrodyti 3.15 teoremos (a), (b) ir (d) teiginius.

15. Tegul galioja 3.15 teoremos prielaidos, bei riba s ir visi nariai sn nelygūsnuliui. Įrodyti, kad seka (rn/sn)n≥m konverguoja į (r/s)n≥m.

16. Galiojant 3.15 teoremos prielaidoms įrodyti, kad seka (minrn, sn)n≥mkonverguoja į minr, s.

17. Tegul realiųjų skaičių sekos (rn)n≥m ir (tn)n≥m konverguoja į skaičius r irt, atitinkamai. Įrodyti: jei rn ≤ tn kiekvienam n ≥ m, tai r ≤ t.

18. Tarkime, kad realiųjų skaičių aibė A turi viršutinį rėžį M ir egzistuojatokia iš A aibės elementų sudaryta seka (xn), kad xn → M , kai n → ∞.Įrodyti, kad M yra A aibės mažiausias viršutinis rėžis.

3.2 Monotoninės sekosPraeitame skyrelyje parodėme, kad kiekviena konverguojanti seka yra aprėžta.Galima klausti ar teisingas atvirkščias teiginys, t. y. ar kiekviena aprėžta sekakonverguoja? Sekos ((−1)n) pavyzdys rodo, kad atsakymas į šį klausimą yraneigiamas . Klausimas, ar konkreti seka konverguoja, ar ne, dažniausiai yra labaisunkus. Todėl verta ieškoti tokių sekos savybių, kurios, kartu su aprėžtumu,galėtų garantuoti konvergavimą. Parodysime, kad viena tokia sekos savybė yrajos monotoniškumas.

3.17 apibrėžtis. Sakoma, kad realiųjų skaičių seka (rn)n≥m yra

(a) didėjanti, jei rn+1 > rn kiekvienam n ≥ m;

(b) mažėjanti, jei rn+1 < rn kiekvienam n ≥ m;

(c) nemažėjanti, jei rn+1 ≥ rn kiekvienam n ≥ m;

(d) nedidėjanti, jei rn+1 ≤ rn kiekvienam n ≥ m.

Sakoma, kad seka yra monotoninė, jei ji yra nemažėjanti arba nedidėjanti.

Monotoninėms sekoms tirti naudosime supremumo ir infimumo sąvokas anks-čiau apibrėžtas aibėms (žiūrėk (2.6)). Kadangi seka yra funkcija, o ne aibė, api-brėžimą tenka patikslinti.


3.18 apibrėžtis. Tegul (rn)n≥m yra realiųjų skaičių seka. Šios sekos supremumasyra

supn≥m

rn := sup(rn)n≥m := suprn : n ≥ m.

Dešinioji pusė yra aibės rn : n ≥ m mažiausias viršutinis rėžis, jei jis egzis-tuoja ir yra begalybės simbolis priešingu atveju. Šios sekos infimumas yra

infn≥m

rn := inf(rn)n≥m := infrn : n ≥ m.

Dešinioji pusė yra aibės rn : n ≥ m didžiausias apatinis rėžis, jei jis egzistuojair yra minus begalybės simbolis priešingu atveju.

Apibrėžimą iliustruosime pavyzdžiais. Tegul rn := (−1)n su kiekvienu n ∈N. Tada sekos (rn) nariais yra skaičiai 1,−1, 1,−1, 1,−1, . . . , t. y. sekos nariųaibė rn : n ∈ N lygi tik iš dviejų elementų sudarytai aibei 1,−1. Todėl,šiame pavyzdyje, supn∈N rn = sup1,−1 = 1 ir infn∈N rn = inf1,−1 = −1.

Kitam pavyzdžiui tarkime, kad rn := 1/(n+ 1) kai n ∈ N. Šiame pavyzdyjesekos (rn) narių aibė yra 1, 1/2, 1/3, . . . . Skaitytojui siūloma įrodyti, kadsupn∈N rn = 1 ir infn∈N rn = 0 (3.2.1 pratimas). Pastebėkime, kad šios sekosinfimumas nepriklauso sekos narių aibei.

Taip pat tarkime, kad rn := n su kiekvienu n ∈ N. Tada sekos (rn) nariųaibė yra visa N. Šiuo atveju supremumas supn∈N rn = +∞ nėra skaičius, oinfimumas infn∈N rn = 0 yra pirmasis sekos narys.

Kaip iliustruoja pastarasis pavyzdys, sekos supremumas ir infimumas nebūti-nai yra realieji skaičiai (jie gali būti simboliai +∞ ar −∞). Kita teorema teigia,kad aprėžtos sekos (3.13 apibrėžtis) supremumas ir infimumas visada yra skai-čiai.

3.19 teorema. Jei realiųjų skaičių seka (rn)n≥m yra aprėžta skaičiumi M , taiM ≥ 0, sekos supremumas ir infimumas yra skaičiai,

−M ≤ infn≥m

rn ≤ supn≥m

rn ≤M. (3.10)

Įrodymas. Tarkime, kad seka (rn)n≥m yra aprėžta skaičiumi M . Tai reiškia,kad yra aprėžta šios sekos narių aibė. Todėl egzistuoja šios aibės mažiausiasviršutinis rėžis supn≥m rn ir didžiausias apatinis infn≥m rn rėžis (3.19 apibrėžtis).Be to, |xn| ≤ M kiekvienam n ≥ m. Todėl M ≥ 0. (3.10) išnašos vidurinėnelygybė teisinga, nes aibės apatinis rėžis yra nedidesnis už jos viršutinį rėžį.Remiantis modulio apibrėžtimi, nelygybės

rn ≤ |rn| ≤M ir rn ≥ −|rn| ≥ −M


galioja su kiekvienu n ≥ m. Tai reiškia, kad M yra sekos viršutinis rėžis, o −Myra sekos apatinis rėžis. Likusios dvi (3.10) išnašos nelygybės teisingos remiantismažiausio viršutinio rėžio ir didžiausio apatinio rėžio apibrėžtimis.

Kita teorema rodo, kaip keičiasi sekų supremumas ir infimumas jas sudedantir dauginant iš skaičiaus.

3.20 teorema. Tegul (rn)n≥m ir (sn)n≥m dvi aprėžtos realiųjų skaičių sekos, orealusis skaičius c > 0. Tada aprėžtomis yra sekos (crn)n≥m ir (rn + sn)n≥m.Be to,

supn≥m

(crn) = c supn≥m

rn, infn≥m

(crn) = c infn≥m

rn, (3.11)

supn≥m

(rn + sn) ≤ supn≥m

rn + supn≥m

sn, (3.12)

infn≥m

(rn + sn) ≥ infn≥m

rn + infn≥m

sn (3.13)

ir nelygybės gali būti griežtos.

Įrodymas. Sekų (crn)n≥m ir (rn + sn)n≥m aprėžtumu galima įsitikinti naudojantšias modulio savybes: |crn| = c|rn| ir |rn + sn| ≤ |rn|+ |sn| kiekvienam n ≥ m(2.8 teorema). Įrodysime tik pirmąją iš dviejų lygybių (3.11) išnašoje, likusiąįrodymo dalį palikdami skaitytojui. Remiantis 3.19 teorema, R := supn≥m rn ∈R. Kadangi kiekvienam n ≥ m, crn ≤ cR, tai cR yra netuščios aibės crn : n ≥m viršutinis rėžis. Remiantis realiųjų skaičių aibės tvarkos pilnumu, egzistuojašios aibės mažiausias viršutinis rėžis T := supn≥m(crn) ir T ≤ cR. Tarkime,kad T < cR. Tada R > T/c. Remiantis 2.5 teorema egzistuoja toks n ≥ m, kadrn > T/c, t. y. crn > T - prieštara, įrodanti pirmąją lygybę (3.11) išnašoje.

Yra sekų, kurioms (3.12) sąryšyje teisinga griežta nelygybė. Tokiomis yrasekos (rn) = ((−1)n) = (1,−1, 1,−1, 1,−1, . . . ) ir (sn) = ((−1)n+1) =(−1, 1,−1, 1,−1, 1, . . . ). Jų suma yra (rn + sn) = (0, 0, 0, . . . ). Šioms sekomsteisingi sąryšiai

supn

(rn + sn) = 0 < 2 = supnrn + sup

nsn.

Pastebėsime, kad šių sekų narių aibėms A := rn : n ∈ N = 1,−1 ir B :=sn : n ∈ N = 1,−1 teisinga lygybė

sup(A+B) = 2 = supA+ supB,

nes A+B = rn + sm : n,m ∈ N = 2, 0,−2.Kita teorema yra svarbiausia šiame skyrelyje. Jos formulavime naudojamos

sekos aprėžtumo iš viršaus ir aprėžtumo iš apačios sąvokos (3.13 apibrėžtis).


3.21 teorema. Tegul realiųjų skaičių seka (rn)n≥m yra nemažėjanti ir aprėžta išviršaus. Tada (rn)n≥m konverguoja ir jos riba yra

limn→∞

rn = supn≥m

rn. (3.14)

Analogiškai, jei realiųjų skaičių seka (rn)n≥m nedidėja, ir yra aprėžta iš apačios,tai

limn→∞

rn = infn≥m

rn.

Įrodymas. Įrodysime tik pirmąją teoremos dalį, palikdami skaitytojui įrodyti josantrąją dalį (3.2.3 pratimas). Remiantis realiųjų skaičių aibės tvarkos pilnumu,V := supn≥m rn yra mažiausias viršutinis rėžis. Tegul realusis skaičius ε > 0.Remiantis 2.5 teorema, egzistuoja toks sveikasis skaičius N ≥ m, kad rN >V − ε, t. y. V − rN < ε. Kadangi seka nemažėjanti, nelygybės rn ≥ rN galiojavisiems n ≥ N . Antra vertus, V yra visų sekos narių aibės viršutinis rėžis, t. y.rn ≤ V kiekvienam n ≥ m. Gauname, kad nelygybės

|V − rn| = V − rn ≤ V − rN < ε

galioja visiems n ≥ N . Tai įrodo (3.14).

Kaip išvadą iš šios teoremos gauname, kad kiekviena monotoninė ir aprėž-ta seka konverguoja. Iliustruosime pastarosios teoremos naudingumą rasdamikonkrečios sekos ribą.

3.22 teorema. Tegul realusis skaičius a > 1, ir su kiekvienu n ∈ N∗, tegulrn := a1/n. Tada limn→∞ rn = 1.

Įrodymas. Pirma, parodysime, kad rn > rn+1 kiekvienam n ∈ N∗. Kadangia > 1, remiantis 2.30 teoremos (c) teiginiu, kiekvienam n ∈ N∗, a1/n > 1 (kodėl11/n = 1?). Tada kiekvienam n ∈ N∗, galioja nelygybės (kodėl?)

(rn)n+1 = (a1/n)n·a1/n = a·a1/n > a·1 = a.

Dar kartą panaudoję 2.30 teoremos (c) teiginį gauname, kad rn > rn+1 kiek-vienam n ∈ N∗. Tokiu būdu seka (rn)n∈N∗ yra nedidėjanti ir aprėžta iš apačios.Remiantis 3.21 teoremos antrąja dalimi, seka (rn)n∈N∗ konverguoja ir jos riba yrainfn≥1 rn. Parodysime, kad šis infimumas lygus 1.

Antra, parodysime, kad infn≥1 rn = 1. Pagal 3.18 apibrėžimą, sekos (rn)n∈N∗infimumas yra jos narių aibės A := a1/n : n ∈ N∗ infimumas. Jau parodėme,kad 1 yra šios aibės apatinis rėžis, nes a > 1. Skaičius 1 yra A aibės didžiausias


apatinis rėžis tada ir tik tada, kai kiekvienam ε > 0 egzistuoja toks n ∈ N∗, kada1/n < 1 + ε. Šios savybės įrodymui tarkime, kad ε > 0. Dar kartą naudodami2.30 teoremos (c) teiginį gauname, kad a1/n < 1 + ε tada ir tik tada, kai a <(1 + ε)n. Prisiminę nelygybę 1 + nε ≤ (1 + ε)n kiekvienam n ∈ N (2.2.??pratimas), matome, kad pakanka rasti tokį n ∈ N∗, kad a < 1 + nε. Naudojantskaičiaus t := (a − 1)/ε sveikosios dalies apibrėžimą (??), ieškomas n ∈ N yra1 + b(a− 1)/εc.

Jei realusis skaičius 0 < a < 1, tai galioja tas pats pastarosios teoremostvirtinimas. Šio fakto įrodymo radimas siūlomas skaitytojui (3.2.5 pratimas).3.2.6 pratime siūloma įrodyti, kad n1/n → 1, kai n → ∞. Pastarajame pavyz-dyje sekos (rn) nariai turi išraišką rn = abn

n , kur (an) diverguoja į +∞, o (bn)konverguoja į 0. Bent kiek įvairesnių tokių sekų konvergavimo klausimas ypačkomplikuotas.

Toliau tarkime, kad nedidėjanti seka (an) konverguoja į 1, o seka (bn) diver-guoja į +∞. Ne mažiau sudėtingas klausimas ar konverguoja seka (abn

n )? Jeiatsakymas taip, ar riba lygi 1? Kitame pavyzdyje matysime, kad konvergavimoklausimas turi teigiamą atsakimą, bet riba yra labai neįprasta. Tiesą sakant širiba yra realusis skaičius vadinamas Eulerio2 skaičiumi, kurio vaidmens mate-matikoje neįmanoma pervertinti. Eulerio skaičius žymimas e ir kita teorema yrajo apibrėžimas.

3.23 teorema. Su kiekvienu n ∈ N∗, tegul cn := (1 + 1/n)n. Seka (cn)n∈N∗ yranemažėjanti, aprėžta iš viršaus ir egzistuoja riba

e := limn→∞

cn.

Įrodymas. Remiantis 3.21 teorema pakanka įrodyti, kad (cn)n≥1 yra nemažėjantiir aprėžta iš viršaus. Naudodami nelygybę (1+xn)n ≥ 1+nx kiekvienam x > 1ir n ∈ N∗, gauname

cn+1

cn= n+ 1

n

((n+ 2)/(n+ 1))n+1

((n+ 1)/n)n+1

= n+ 1n

(1− 1

(n+ 1)2

)n+1

≥ n+ 1n

(1− (n+ 1) 1

(n+ 1)2

)= n+ 1

n

(1− 1

n+ 1

)= 1

2Leonhard Euler (1707-1783) - šveicarų matematikas


bet kuriam n ≥ 1, t. y. seka (cn)n≥1 yra nemažėjanti. Šios sekos aprėžtumą iš vir-šaus įrodysime naudodami binomo formulę ir baigtinės geometrinės progresijossumos formulę

2 < cn = 1 +n∑j=1

( 1j! ·n

n·n− 1n· · · n− j + 1

n

)

≤ 1 +n∑j=1

1j! ≤ 1 +

n∑j=1

12j−1

= 1 + 1− (1/2)n1− (1/2) ≤ 1 + 1

1− (1/2) = 3,

kiekvienam n ≥ 1, ką ir reikėjo įrodyti.

Pastarosios teoremos įrodymas rodo, kad Eulerio skaičius e yra tarp 2 ir 3.Galima įrodyti, kad Eulerio skaičius yra iracionalusis skaičius. 3.4 skyrelio galeįrodyta kita Eulerio skaičius išraiška.

Pratimai

1. Tegul rn := 1/(n + 1) su kiekvienu n ∈ N. Įrodyti, kad supn∈N rn = 1 irinfn∈N rn = 0.

2. Baigti 3.20 teoremos įrodymą ir rasti pavyzdžius tokių sekų (rn)n≥m ir(sn)n≥m, kurioms (3.12) ir (3.13) nelygybės yra griežtos.

3. Įrodyti 3.21 teoremos antrąją dalį.

4. Pasiūlyti sekos savybę, kuri būtų silpnesnė už savybę „nemažėjanti” ir kurikartu su savybe „aprėžta iš viršaus” garantuotų sekos konvergavimą. Nuo-roda: pasinaudoti pastaba paminėta po 3.7 apibrėžties.

5. Tegul realusis skaičius 0 < a < 1 ir su kiekvienu n ∈ N∗, tegul rn := a1/n.Įrodyti, kad limn→∞ rn = 1.

6. Tegul rn := n1/n su kiekvienu n ∈ N∗. Įrodyti, kad limn→∞ rn = 1.Nuoroda: naudoti binomo formulę skleidžiant rnn = (1+hn)n ir pirmuosiustris gauto skleidinio narius.

7. Tegul r ∈ R. Įrodyti, kad egzistuoja tokia racionaliųjų skaičių seka (qn),kuri konverguoja į r. Be to, tokią seką galima parinkti monotonine.

8. Įrodyti, kad nemažėjanti realiųjų skaičių seka diverguoja į +∞ tada ir tiktada, kai ji nėra aprėžta iš viršaus.

3.3 Posekiai ir ribiniai taškai 37

3.3 Posekiai ir ribiniai taškaiŠiame skyrelyje sekos ribos sąvoka apibendrinama sekoms, kurios neturi ribos.Apibendrinimo idėją iliustruosime diverguojančia seka (rn) = (1,−1, 1, . . . ),kurios bendrojo nario išraiška yra rn = (−1)n kiekvienam n ∈ N (jos diver-gavimas teigiamas 3.1.4 pratime). Šios sekos nariai su indeksais n = 2k kiek-vienam k ∈ N sudaro naują seką (tk) = (1, 1, 1, . . . ), kurios bendrasis narystk = (−1)2k = 1 kiekvienam k ∈ N. Naujoji seka (tk) konverguoja ir jos ribayra 1. Kiti pradinės diverguojančios sekos (rn) nariai yra su indeksais n = 2k+1kiekvienam k ∈ N. Jie sudaro dar vieną seką (sk) = (−1,−1,−1, . . . ), kuriosbendrasis narys sk := (−1)2k+1 = −1 kiekvienam k ∈ N. Seka (sk) taip pat kon-verguoja ir jos riba yra −1. Tokiu būdu iš diverguojančios sekos (rn) išskyrėmedvi naujas konverguojančias sekas (tk) ir (sk), kurios yra toliau apibrėžiamosposekio sąvokos pavyzdžiai, o šių sekų ribos 1 ir −1 yra sekos (rn) ribinių taškųpavyzdžiai.

Pastarajame pavyzdyje seka (tk) konstruojama iš pradinės sekos (rn) nuosek-liai iš jos imant narius pagal taisyklę (funkciją) tarp sekų indeksų:

k 7→ nk := 2k, kiekvienam k = 0, 1, 2, . . . .

Taip konstruojamos sekos (tk) nariai yra tk = rnk= (−1)2k kiekvienam k ∈ N.

Apibendrinsime šią konstrukciją.Tegul (rn)n≥m yra duota bet kokia seka. Sukonstruosime naują seką (tk)

pagal pasirinktą tokią taisyklę (funkciją) tarp indeksų aibių:

N 3 k 7→ nk ∈ n ∈ N : n ≥ m, (3.15)

kuri yra didėjanti, t.y. nk+1 > nk kiekvienam k ∈ N. Taigi, n0 ≥ m. Be to, jeink ≥ m+ k, tai nk+1 ≥ m+ (k + 1), kadangi nk+1 > nk. Remiantis indukcijosprincipu, teisinga

nk ≥ k +m, kiekvienam k ∈ N. (3.16)

3.24 apibrėžtis. Tegul (rn)n≥m yra realiųjų skaičių seka. Sakoma, kad realiųjųskaičių seka (tk) yra sekos (rn)n≥m posekis, jei egzistuoja tokia didėjanti taisyklė(funkcija) (3.15) su reikšmėmis nk, kad tk = rnk

kiekvienam k ∈ N.

Vaizdžiai kalbant, posekis gaunamas iš pradinės sekos išmetant kai kuriuosjos narius ir iš naujo sunumeruojant likusius jos narius. Skyrelio pradžioje su-konstruotos sekos ((−1)2k) ir ((−1)2k+1) yra pradinės sekos ((−1)n) posekiai.Šie posekiai gauti naudojant didėjančias taisykles nk = 2k ir nk = 2k + 1 kiek-vienam k ∈ N.

Toliau apibrėžiama ribinio taško sąvoka yra sekos ribos sąvokos apibendrini-mas.


3.25 apibrėžtis. Realusis skaičius x vadinamas realiųjų skaičių sekos (rn)n≥mribiniu tašku, jei kiekvienam ε > 0 ir kiekvienam N ≥ m egzistuoja toks natū-ralusis skaičius n, kad n ≥ N ir |rn − x| < ε.

Naudojant loginius simbolius ir modulio savybes (2.11 išvada) galima sakyti,kad x yra sekos (rn)n≥m ribinis taškas, jei

∀ ε > 0, ∀N ∈ N, ∃n ∈ N : n ≥ N ∧ rn ∈ (x− ε, x+ ε).

Skirtingai nuo ribos apibrėžties, ribinio taško apibrėžime N ∈ N yra kartusu bendrumo kvantoriumi „kiekvienam", o n ∈ N yra kartu su egzistavimokvantoriumi „egzistuoja". Tokia kvantorių kombinacija reikalauja, kad intervale(x− ε, x+ ε) būtų be galo daug sekos narių rn. Tuo tarpu ribos apibrėžtyje (3.3apibrėžtis) reikalaujama, kad intervale (x − ε, x + ε) būtų visi sekos nariai rn,kurių indeksai yra ne mažesni už kurį norsN . Todėl konverguojančios sekos ribayra jos ribiniu tašku. Atvirkščias teiginys nebūtinai teisingas.

Skaičiai 1 ir −1 yra sekos ((−1)n) ribiniai taškai. Patikrinkime, kad 1 yrašios sekos ribinis taškas. Tegul ε > 0 ir N ∈ N. Jei N yra lyginis, t. y. jeiN = 2k su kuriuo nors k ∈ N, tai imkime n := N . Jei N yra nelyginis, t. y. jeiN = 2k + 1 su kuriuo nors k ∈ N, tai imkime n := N + 1. Taip apibrėžtam nturime n ≥ N , (−1)n = 1 ir |rn − 1| = 0 < ε, t. y. 1 yra sekos ((−1)n) ribinistaškas.

Toliau įrodyta, kad skaičius yra sekos ribiniu tašku tada ir tik tada, kai jis yratos sekos kurio nors posekio riba.

3.26 teorema. Tegul (rn)n≥m yra realiųjų skaičių seka ir x yra realusis skaičius.Teiginiai (a) ir (b) yra ekvivalentūs, čia

(a) x yra sekos (rn)n≥m ribinis taškas;

(b) egzistuoja toks sekos (rn)n≥m posekis, kuris konverguoja į x.

Įrodymas. Implikacijos (a) ⇒ (b) įrodymui tarkime, kad galioja (a). Naudo-dami matematinę indukciją sukonstruosime tokią didėjančią taisyklę k 7→ nk,k ∈ N, kad rnk

→ x, kai k → ∞. Remiantis ribinio taško apibrėžtimi su ε = 1,egzistuoja toks natūralusis skaičius n ≥ m, kad |rn − x| < 1. Todėl aibė

A1 :=n ∈ N : n ≥ m, |rn − x| < 1

yra netuščia. Tegul n0 yra mažiausias A1 aibės elementas, t.y. n0 = minA1.Be to, |rn0 − x| < 1 pagal A1 aibės apibrėžimą. Toliau remiantis ribinio taškoapibrėžtimi, aibė

A2 :=n ∈ N : n > n0, |rn − x| <

12


yra netuščia. Tegul n1 = minA2, kuris yra didesnis už n0 ir |rn1 − x| < 1/2pagal A2 aibės apibrėžimą. Tarkime, kad sukonstravome tokį baigtinį natūraliųjųskaičių rinkinį n0, n1, . . . , nk, kad n0 < n1 < · · · < nk ir ρ(rni

, x) < 1/(i + 1)kiekvienam i = 0, . . . , k. Tada, kaip ir anksčiau, aibė

Ak+2 :=n ∈ N : n > nk, |rn − x| <

1k + 2

yra netuščia, o jos mažiausias elementas nk+1 = minAk+2 yra didesnis už nkir |rnk+1 − x| < 1/(k + 2) pagal Ak+2 aibės apibrėžimą. Remiantis indukcijosprincipu egzistuoja tokia didėjanti natūraliųjų skaičių seka (nk), kad |rnk

− x| <1/(k + 1) kiekvienam k ∈ N. Pastaroji savybė reiškia, kad rnk

→ x kai k →∞.Teiginys (b), o tuo pačiu ir implikacija (a)⇒ (b), yra įrodyti.

Atvirkštinės implikacijos (b) ⇒ (a) įrodymui tarkime, kad galioja (b). Pa-žymėkime (rnk

) sekos (rn)n≥m posekį, kuris konverguoja į x. Tegul ε > 0 irN ∈ N. Egzistuoja toks K ∈ N, kad visiems k ∈ N teisinga implikacija: jeik ≥ K , tai |rnk

− x| < ε. Tegul l := maxK,N. Remiantis (3.16) savybe,nl ≥ l ≥ N ir |rnl

− x| < ε. Todėl x yra sekos (rn)n≥m ribinis taškas, ką irreikėjo įrodyti.

Kita teorema teigia, kad konverguojančios sekos bet kuris posekis konver-guoja ir turi tą pačią ribą.

3.27 teorema. Tarkime, kad realiųjų skaičių seka (rn)n≥m konverguoja į r ∈ Rir seka (tk) yra sekos (rn)n≥m posekis. Tada tk → r kai k →∞.

Įrodymas. Tegul ε > 0. Kadangi (rn)n≥m konverguoja į r, egzistuoja toks N ∈N, kad |rn − r| < ε kiekvienam n ≥ N . Kadangi seka (tk) yra sekos (rn)n≥mposekis, egzistuoja tokia didėjanti natūraliųjų skaičių seka (nk), kad rnk

= tk irnk ≥ k kiekvienam k ∈ N. Tada su kiekvienu k ≥ N , turime nk ≥ nN ≥ N ir

|tk − r| = |rnk− r| < ε.

Kadangi ε > 0 laisvai pasirinktas, tk → r kai k →∞, ką ir reikėjo įrodyti.

Pastaroji teorema turi dar vieną interpretaciją. Prisiminkime, sekos riba yratos sekos ribinis taškas. Pagal 3.27 teoremą, jei seka konverguoja į skaičių r, taišios sekos ribinių taškų aibę sudaro vienintelis elementas r. Iš tikrųjų, jei x yrasekos ribinis taškas, tai remiantis 3.26 teorema, egzistuoja posekis konverguo-jantis į skaičių x. Tuo tarpu pastaroji teorema teigia, kad tas posekis konverguojaį skaičių r. Remiantis ribos vienatimi (3.6 teorema), x = r.


Bolzano-Weierstrasso teorema Aprėžta seka neprivalo konverguoti, jei ji nėramonotoninė. Įrodysime, kad bet kuri aprėžta seka turi konverguojantį posekį. Šisfaktas vadinamas Bolzano–Weierstrasso teorema, kuria ne kartą naudosimės šia-me matematinės analizės kurse (toliau 3.29 teorema). Prieš pradedant teoremosįrodymą patogu suformuluoti ir įrodyti keletą naudingų teiginių apie aprėžtassekas.

Tegul (rn)n≥m yra realiųjų skaičių seka. Su kiekvienu k ≥ m galime api-brėžti tokią šios sekos narių aibę

Sk := rn : n ≥ k, (3.17)

kurią sudaro visi nagrinėjamos sekos nariai išskyrus pirmuosius k − m narius.Taip pat, su kiekvienu k ≥ m, tegul

r+k := sup

n≥krn = supSk. (3.18)

Pagal supremumo apibrėžimą r+k gali būti simbolis +∞, jei Sk aibė neturi viršu-

tinio rėžio. Priešingu atveju r+k ∈ R, nes Sk aibė netuščia.

3.28 lema. Tegul (rn)n≥m yra aprėžta realiųjų skaičių seka ir (r+k )k≥m yra (3.18)

skaičių seka. Tada

(a) seka (r+k )k≥m yra aprėžta ir nedidėjanti;

(b) seka (r+k )k≥m konverguoja į x := infk≥m r+

k ir x yra sekos (rn)n≥m ribinistaškas;

(c) jei y yra sekos (rn)n≥m ribinis taškas, tai y ≤ x, kur x yra (b) teiginyjeapibrėžtas skaičius.

Įrodymas. Pradėsime nuo (a) teiginio įrodymo. Pagal lemos prielaidą egzistuojatoks skaičius M ≥ 0, kad |rn| ≤ M kiekvienam n ≥ m. Todėl Sk aibė aprėžtaskaičiumi M kiekvienam k ≥ m. Remiantis 3.19 teorema, |r+

k | ≤ M kiekvie-nam k ≥ m, t. y. seka (r+

k )k≥m yra aprėžta. Seka (r+k )k≥m yra nedidėjanti, nes

kiekvienam k ≥ m, Sk+1 ⊂ Sk ir todėl

r+k+1 = supSk+1 ≤ supSk = r+

k .

(b) teiginio pirmoji dalis yra 3.21 teoremos antrosios dalies išvada. Būtent,kadangi seka (r+

k )k≥m yra nedidėjanti ir aprėžta, ji konverguoja ir

limk→∞

r+k = inf

k≥mr+k = x. (3.19)


Antroji (b) teiginio dalis nėra pirmosios dalies išvada, nes r+k neprivalo būti se-

kos (rn)n≥m nariais. Antrosios dalies įrodymui patikrinsime 3.25 apibrėžtiesreikalavimus. Pasirinkime bet kuriuos ε > 0 ir N ≥ m. Kadangi r+

k → x, kaik →∞, egzistuoja toks k(ε) ≥ m, kad

|r+k(ε) − x| = r+

k(ε) − x < ε/2.

Kadangi seka (r+k )k≥m yra nedidėjanti ((a) teiginys), x ≤ r+

k ≤ r+k(ε) kiekvienam

k ≥ k(ε). Tegul K := maxN, k(ε). Remiantis 2.5 lema ir tuo, kad r+K =

supSK , egzistuoja toks n ≥ K, kad

r+K ≥ rn > r+

K − ε/2.

Tada naudodami trikampio nelygybę, gauname

|rn − x| ≤ |rn − r+K |+ |r+

K − x| = (r+K − rn) + (r+

K − x) < ε/2 + ε/2 = ε,

t. y. x yra sekos (rn)n≥m ribinis taškas.Galiausiai (c) teiginio įrodymui tarkime, kad y yra sekos (rn)n≥m ribinis taš-

kas, o x yra (3.19) riba. Remiantis 3.26 teorema, egzistuoja toks sekos (rn)n≥mposekis, kuris konverguoja į y, t. y. egzistuoja tokia didėjanti natūraliųjų skaičiųseka (ni), kad rni

→ y kai i → ∞. Kadangi ni ≥ i + m remiantis (3.16), tairni≤ r+

i+m kiekvienam i ∈ N, tai y ≤ x (3.1.17 pratimas). Lemos įrodymasbaigtas.

Dabar jau pasiruošę įrodyti žadėtąją aprėžtų sekų savybę.

3.29 teorema (Bolzano–Weierstrasso). Jei realiųjų skaičių seka yra aprėžta, taiji turi konverguojantį posekį.

Įrodymas. Remiantis 3.26 teorema pakanka įrodyti teiginį: jei realiųjų skaičiųseka yra aprėžta, tai ji turi ribinį tašką. Tačiau pastarasis teiginys išplaukia iš3.28 lemos (b) teiginio.

3.30 pavyzdys. Tegul (xn) yra realiųjų skaičių seka diverguojanti į +∞ ir tegulrn := cos(xn) kiekvienam n ∈ N. Šios reikšmės apibrėžia aprėžtą seką; tiksliaurn ∈ [−1, 1] kievienam n. Remiantis Bolzano-Weierstrasso teorema egzistuojaposekis (rnk

), kuris konverguoja į realųjį skaičių.

Bolzano-Weierstrasso teoremos įrodyme naudojome sekos posekį sukonst-ruotą 3.28 lemoje. Šis posekis yra ypatingas ir tuo, kad jis konverguoja į di-džiausią sekos ribinį tašką, jei tokių yra daugiau nei vienas. Analogiškas savybes


turi ir toliau apibrėžiamas posekis konverguojantis į mažiausią sekos ribinį tašką.Abu šie posekiai dažnai pasirodo esą naudingi tiriant sekos konvergavimą. Todėlpanagrinėsime juos detaliau.

Kaip ir anksčiau, tegul (rn)n≥m yra realiųjų skaičių seka, o Sk yra šios sekosnarių aibė apibrėžta (3.17) išnašoje kiekvienam k ≥ m. Su kiekvienu k ≥ m,tegul

r−k := infn≥k

rn = inf Sk. (3.20)

Pagal infimumo apibrėžimą, r−k gali būti simbolis−∞, jei Sk aibė neturi apatiniorėžio. Priešingu atveju r−k ∈ R, nes Sk aibė netuščia. Skaitytojui siūlome įrodytitokį tvirtinimą (3.3.14 pratimas).

3.31 lema. Tegul (rn)n≥m yra aprėžta realiųjų skaičių seka. Tada (3.20) išraiš-koms galioja teiginiai:

(a) seka (r−k )k≥m yra aprėžta ir nemažėjanti;

(b) seka (r−k )k≥m konverguoja į y := supk≥m r−k ir y yra sekos (rn)n≥m ribinistaškas;

(c) jei x yra sekos (rn)n≥m ribinis taškas, tai y ≤ x, kur y yra (b) teiginyjeapibrėžtas skaičius.

Tegul (rn)n≥m yra realiųjų skaičių seka ir tegulR yra šios sekos ribinių taškųaibė. Bolzano–Weierstrasso teorema teigia, kad R aibė yra netuščia, jei seka yraaprėžta. Be to, tokiu atveju pati R aibė yra aprėžta (žr. 3.19 teoremą).

3.32 apibrėžtis. Tegul (rn)n≥m yra realiųjų skaičių seka ir tegulR yra šios sekosribinių taškų aibė. Jei seka (xn) yra aprėžta iš viršaus, tai aibės R mažiausiasviršutinis rėžis vadinamas šios sekos viršutine riba ir žymimas3

lim supn→∞

xn := supR. (3.21)

Priešingu atveju sekos viršutinė riba yra simbolis +∞ ir rašoma

lim supn→∞

xn = +∞.

Jei seka (xn) yra aprėžta iš apačios, tai aibės R didžiausias apatinis rėžis vadina-mas šios sekos apatine riba ir žymimas

lim infn→∞

xn := inf R.

3lim supn→∞ yra vienas simbolis!


Priešingu atveju sekos apatinė riba yra simbolis −∞ ir rašoma

lim infn→∞

xn = −∞.

Begalybės simbolio naudojimas apibrėžiant viršutinę sekos ribą pateisinamastuo, kad neaprėžta iš viršaus seka turi diverguojantį į +∞ posekį (3.3.15 prati-mas). Analogiškas faktas ir pateisinimas galioja neaprėžtai iš apačios sekai.

Anksčiau minėta, kad aprėžtos aibės supremumas neprivalo būti tos aibėselementu (2.7 apibrėžtis). Todėl neaišku, ar aprėžtos sekos ribinių taškų aibėsR supremumas (3.21) yra ribinis taškas. Teigiamą atsakymą į šį klausimą duodakita teorema.

3.33 teorema. Tegul (rn)n≥m yra aprėžta realiųjų skaičių seka. Tada sekos vir-šutinė riba ir apatinė riba yra sekos ribiniai taškai, bei galioja lygybės:

lim supn→∞

rn = inf

supn≥k

rn : k ≥ m (

= infk≥m

r+k

)(3.22)

irlim infn→∞

rn = sup

infn≥k

rn : k ≥ m (

= supk≥m

r−k

).

Įrodymas. Dešinioji (3.22) lygybės pusė yra lygi skaičiui x := infk≥m r+k , kur

r+k yra apibrėžti (3.18) išnašoje. Remiantis 3.28 lemos (b) teiginiu, x yra sekos

(rn)n≥m ribinis taškas. Todėl pirmoji teoremos dalis apie sekos viršutinę ribąbus įrodyta, jei teisinga (3.22) lygybė. Kadangi x yra ribinis taškas, tai galiojanelygybė x ≤ supR. Jei x < supR, tai egzistuoja toks y ∈ R, kad x < y, o taiprieštarauja 3.28 lemos (c) teiginiui. Todėl teisinga (3.22) lygybė. Skaitytojuisiūlome įrodyti antrąją teoremos dalį apie sekos apatinę ribą (3.3.16 pratimas).

Sekos viršutinę ir apatinę ribas galima apibūdinti panašiu būdu, kaip apibrė-žiamas sekos konvergavimas.

3.34 teorema. Tegul (rn)n≥m yra aprėžta realiųjų skaičių seka, tegul L+ yra šiossekos viršutinė riba ir tegul L− yra šios sekos apatinė riba. Galioja teiginiai:

(a) kiekvienam ε > 0 egzistuoja toks N ≥ m, kad rn < L+ + ε kiekvienamn ≥ N ;

(b) kiekvienam ε > 0 ir kiekvienam N ≥ m egzistuoja toks n ≥ N , kadrn > L+ − ε;


(c) jei L yra toks skaičius, kuriam galioja (a) ir (b) (vietoje L+), tai L = L+;

(d) kiekvienam ε > 0 egzistuoja toks N ≥ m, kad rn > L− − ε kiekvienamn ≥ N ;

(e) kiekvienam ε > 0 ir kiekvienam N ≥ m egzistuoja toks n ≥ N , kadrn < L− + ε;

(f) jei L yra toks skaičius, kuriam galioja (d) ir (e) (vietoje L−), tai L = L−.

Įrodymas. Remiantis 3.28 lemos (b) teiginiu ir (3.22) lygybe, L+ = limk→∞ r+k .

Tegul ε > 0. Egzistuoja toks N ∈ N, kad nelygybė

L+ − ε/2 < supn≥k

rn = r+k < L+ + ε (3.23)

galioja visiems k ≥ N (kodėl?). Dešinioji (3.23) nelygybės pusė įrodo teiginį(a), o kairioji šios nelygybės pusė įrodo teiginį (b) (kodėl?). Jei L yra toks skai-čius, kuriam galioja (a) ir (b) (vietoje L+), tai L yra sekos (rn)n≥m ribinis taškas.Jei jis nėra ribinių taškų aibės maksimumas, tai gauname prieštarą (kaip?), kuriįrodo teiginį (c). Likusius teiginius taip pat siūlome įrodyti skaitytojui (3.3.17pratimas).

Naudodami šią teoremą įrodysime vieną viršutinės ir apatinės ribos savybę.

3.35 teorema. Tarkime, kad (rn)n≥m yra aprėžta neneigiamų realiųjų skaičiųseka ir (sn)n≥m yra konverguojanti neneigiamų realiųjų skaičių seka. Tada

lim supn→∞

(snrn) = limn→∞

sn lim supn→∞

rn (3.24)

irlim infn→∞

(snrn) = limn→∞

sn lim infn→∞

rn. (3.25)

Įrodymas. Tegul s yra sekos (sn)n≥m riba ir r yra sekos (rn)n≥m viršutinė riba.Jei s = 0 arba r = 0, tai (3.24) lygybę siūlome įrodyti pačiam skaitytojui (3.3.18pratimas). Toliau tarsime, kad s > 0 ir r > 0. Parodysime, kad sr yra sekos(snrn)n≥m viršutinė riba naudodami 3.34 teoremos (c) teiginį. Tegul ε > 0.Tegul R yra sekos (rn)n≥m viršutinis rėžis. Kadangi seka (sn)n≥m konverguoja įs, egzistuoja toks M ∈ N, kad sm − s > −ε/(2R) visiems m ≥ M . Remiantis3.34 teoremos (b) teiginiu kai L+ = r, egzistuoja toks n ≥ M , kad rn − r >−ε/(2s). Tada

snrn − sr = (sn − s)rn + s(rn − r) > −ε

2

(rnR

+ 1)> −ε,


t.y. sekai (snrn)n≥m galioja 3.34 teoremos (b) teiginys su sr vietoje L+. (a)teiginio įrodymui vėl imkime bet kurį ε > 0. Remiantis šiuo teiginiu sekai(rn)n≥m ir tuo, kad seka (sn)n≥m konverguoja į s, egzistuoja toks N ∈ N, kadrn − r < ε/(2s) ir sn − s < ε/(2R) visiems n ≥ N . Visiems šiems n turime

snrn − sr = (sn − s)rn + s(rn − r) <ε

2

(rnR

+ 1)< ε.

Remiantis 3.34 teoremos (c) teiginiu su L = rs, galioja (3.24). (3.25) lygybėpaliekama įrodyti skaitytojui (3.3.18 pratimas).

Realiųjų skaičių aibės pilnumas 3.12 teorema teigia, kad kiekviena konver-guojanti realiųjų skaičių seka yra Cauchy seka. Dabar jau galime įrodyti impli-kaciją priešinga kryptimi, t. y. kiekviena Cauchy seka konverguoja. Ši realiųjųskaičių sekos savybė vadinama realiųjų skaičių aibės pilnumu ir yra labai svarbimatematinėje analizėje. Kadangi toliau formuluojama teorema dažnai naudoja-ma įrodyti skaičių sekos konvergavimą, ji vadinama Cauchy kriterijumi.

3.36 teorema (Cauchy kriterijus). Realiųjų skaičių seka konverguoja tada ir tiktada, kai ji yra Cauchy seka.

Įrodymas. Kiekviena konverguojanti realiųjų skaičių seka yra Cauchy seka re-miantis 3.12 teorema. Implikacijos priešinga kryptimi įrodymui tarkime, kad(rn)n≥m yra realiųjų skaičių Cauchy seka. Remiantis 3.14 teorema, seka (rn)n≥myra aprėžta. Remiantis Bolzano–Weierstrasso teorema (3.29 teorema), egzistuo-ja x ∈ R ir į šį skaičių konverguojantis posekis (rnk

)k≥m. Įrodysime, kad x yrasekos (rn)n≥m riba. Tegul ε > 0. Kadangi (rn)n≥m yra Cauchy seka, egzistuojatoks N ≥ m, kad

ρ(rn, rk) < ε/2 (3.26)

kiekvienam n ≥ N ir k ≥ N . Kadangi posekio indeksų seka (nk)k≥m yradidėjanti, tai galime pasirinkti tokį didelį k, kad nk ≥ N ir ρ(rnk

, x) < ε/2.Tada naudodami trikampio nelygybę ir (3.26) su indeksu nk vietoje k, gauname,kad nelygybės

ρ(rn, x) ≤ ρ(rn, rnk) + ρ(rnk

, x) < ε/2 + ε/2 = ε

galioja kiekvienam n ≥ N . Kadangi ε > 0 yra laisvai pasirinktas, tai rn → x,kai n→∞, ką ir reikėjo įrodyti.

Pirmuoju Cauchy kriterijaus taikymo pavyzdžiu bus skaičiaus kėlimo rea-liuoju laipsniu pagrindimas.


Skaičiaus kėlimas laipsniu. II dalis 2.2 skyrelio pabaigoje apibrėžėme rea-liojo skaičiaus r kėlimą laipsniu x, kai laipsnio rodiklis x yra racionalusis skai-čius. Kai laipsnio rodiklis yra realusis skaičius, tai jis yra racionaliųjų skaičiųriba (3.2.7 pratimas). Norėdami pasinaudoti šia savybe privalome parodyti, kadlaipsniai su racionaliaisiais rodikliais taip pat konverguoja ir riba nepriklauso nuoį laipsnio rodiklį konverguojančios sekos pasirinkimo.

3.37 teorema. Tegul r yra teigiamas realusis skaičius ir tegul x yra realusisskaičius. Jei racionaliųjų skaičių seka (qn) konverguoja į x, tai konverguojaseka (rqn). Be to, jei (pn) yra kita racionaliųjų skaičių seka konverguojanti į x,tai seka (rpn) turi tą pačią ribą kaip ir seka (rqn), t. y.

limn→∞

rqn = limn→∞

rpn .

Įrodymas. Remiantis realiųjų skaičių trichotomija galimos trys skirtingos alter-natyvos: r < 1, r = 1 ir r > 1. Jei r = 1, tai rq = 1 su bet kuriuo racionaliuojuskaičiumi q (kodėl?). Šiuo atveju teoremos tvirtinimas teisingas. Įrodymas ki-tais dviem atvejais simetriškas. Teoremos tvirtinimą įrodysime, kai r > 1 irskaitytojui siūlome teoremą įrodyti, kai r < 1 (3.3.22 pratimas).

Pirmiausia įrodysime, kad seka (rqn) konverguoja. Remiantis Cauchy krite-rijumi pakanka įrodyti, kad (rqn) yra Cauchy seka. Tegul ε > 0. Reikia rasti tokįN ∈ N∗, kad ρ(rqn , rqm) < ε kiekvienam n ≥ N ir m ≥ N . Naudodami 2.33teoremos tvirtinimus įsitikiname, kad lygybė

ρ(rqn , rqm) = rqm

∣∣∣rqn−qm − 1∣∣∣

galioja kiekvienam n ∈ N ir m ∈ N. Kadangi seka (qn) konverguoja, ji yraaprėžta (3.12 ir 3.14 teoremos), t. y. egzistuoja toks M , kad qm ≤M kiekvienamm ∈ N. Kadangi r > 1, tai rqm ≤ rM (2.33 teorema) ir nelygybė

ρ(rqn , rqm) ≤ rM∣∣∣rqn−qm − 1

∣∣∣ (3.27)

galioja kiekvienam n ∈ N ir m ∈ N. Remiantis 3.22 teorema seka (r1/k) konver-guoja į 1, kai k →∞. Todėl egzistuoja toks K ∈ N∗ (priklausantis nuo ε ir M ),kad

ρ(r1/K , 1) = r1/K − 1 < εr−M . (3.28)

Kadangi seka (qn) konverguoja, ji yra Cauchy seka (3.12 teorema) ir todėl galimerasti tokį N ∈ N (priklausantį nuo K, kuris savo ruožtu priklauso nuo ε ir M ),kad ρ(qn, qm) < 1/K kiekvienam n ≥ N ir m ≥ N . Kadangi r > 1, tai

r−1/K − 1 < rqn−qm − 1 < r1/K − 1


irr−1/K − 1 = −r−1/K

(r1/K − 1

)> −

(r1/K − 1

).

Apjungdami šias nelygybes gauname modulio įvertinimą∣∣∣rqn−qm − 1∣∣∣ < r1/K − 1

kiekvienam n ≥ N ir m ≥ N . Panaudoję šią ir (3.28) nelygybes dešinėje (3.27)nelygybės pusėje, gauname

ρ(rqn , rqm) < rM(r1/K − 1

)< rMεr−M = ε

kiekvienam n ≥ N ir m ≥ N , t. y. (rqn) yra Cauchy seka.Teoremos antrosios dalies įrodymui pakanka parodyti, kad

limn→∞

rqn−pn = 1 (3.29)

(kodėl?). Remiantis 3.15 teorema seka (qn − pn) konverguoja į nulį ir todėl at-stumas ρ(qn, pn) yra mažas visiems pakankamai dideliems n ∈ N. Šis faktaskartu su sekos (r1/k) konvergavimu į 1 įrodo (3.29), kaip ką tik buvo parodyta.Teoremos įrodymas baigtas.

Dabar jau esame pasiruošę apibrėžti skaičiaus kėlimą laipsniu su realiuojurodikliu.

3.38 apibrėžtis. Tegul r yra teigiamas realusis skaičius ir tegul x yra bet kurisrealusis skaičius. Jei (qn) yra racionaliųjų skaičių seka konverguojanti į x, taiskaičius

rx := limn→∞

rqn

vadinamas skaičiaus r laipsniu su realiuoju rodikliu x.

Šis apibrėžimas yra korektiškas. Pirma, kiekvienas realusis skaičius x turibent vieną į jį konverguojančią racionaliųjų skaičių seką (3.2.7 pratimas). Ant-ra, turėdami tokią seką (qn), remiantis 3.37 teorema, žinome, kad konverguojalaipsnių seka (rqn). Trečia, dėka tos pačios teoremos, žinome, kad laipsnis ne-priklauso nuo į rodiklį konverguojančios racionaliųjų skaičių sekos. Galiausiai,jei laipsnio rodiklis yra racionalusis skaičius, tai ankstesnis laipsnio apibrėžimas(2.31 apibrėžimas) ir dabartinis apibrėžimas yra suderinti, nes į bet kurį racionalųskaičių q konverguoja seka (q), kurios kiekvienas narys yra tas skaičius q.

Dabar galima suformuluoti pagrindines kėlimo realiuoju laipsniu savybes.Kai laipsnio rodikliai yra racionalūs skaičiai šios savybės yra 2.33 teorema.


3.39 teorema. Tegul r ir s yra teigiami realieji skaičiai, o q ir t yra bet kokierealieji skaičiai. Teisingi teiginiai:

(a) rq yra teigiamas realusis skaičius;

(b) rq+t = rqrt ir (rq)t = rqt;

(c) r−q = 1/rq;

(d) jei q > 0, tai r > s tada ir tik tada, kai rq > sq;

(e) jei r > 1, tai rq > rt tada ir tik tada, kai q > r; jei r < 1, tai rq > rt tadair tik tada, kai q < r.

Įrodymas. Įrodysime tik (b) teiginio pirmąją lygybę. Remiantis 3.38 apibrėžtimiegzistuoja tokios racionaliųjų skaičių sekos (qn) ir (tn), kurios konverguoja į q irt, atitinkamai, bei rq = limn→∞ r

qn ir rt = limn→∞ rtn . Remiantis 3.15 teoremos

(a) teiginiu seka (qn + tn) konverguoja į q + t ir

rq+t = limn→∞

rqn+tn

2.33 teoremos (b) teiginys = limn→∞

rqnrtn

3.15 teoremos (b) teiginys = limn→∞

rqn limn→∞

rtn

= rqrt.

Likusius šios teoremos teiginius siūlome įrodyti skaitytojui (3.3.23 pratimas).

Pratimai

1. Tegul (3.15) funkcija f yra griežtai didėjanti. Įrodyti, kad f(k) ≥ k kiek-vienam k ≥ m.

2. Įrodyti, kad sekos (rn) posekio posekis yra (rn) posekis.

3. Pateikite pavyzdį sekos, kuri turi lygiai du ribinius taškus. Ar galite įsi-vaizduoti seką su be galo daug ribinių taškų?

4. Tegul R yra sekos (rn) ribinių taškų aibė. Rasti sekos (−rn) ribinių taškųaibę.

5. Tegul seka (rn) konverguoja į r, (sn) yra bet kokia seka. Rasti sekos (rnsn)ribinių taškų aibę.


6. Tegul r yra sekos (rn) ribinis taškas ir tegul s yra sekos (sn) ribinis taškas.Ar visada s + r yra sekos (sn + rn) ribinis taškas? Įrodyti arba pateiktikontrpavyzdį.

7. Tegul r1 = 1/2; tegul kiti trys nariai yra 1/4, 1/2, 3/4; tegul kiti septyninariai yra 1/8, 1/4, 3/8, 1/2, 5/8, 3/4, 7/8; ir taip toliau. Rasti visus šiossekos ribinius taškus.

8. Pateikite pavyzdį sekos, kurios ribinių taškų aibė yra tuščia.

9. Tegul seka (an) yra aprėžta iš viršaus. Įrodyti, kad šios sekos ribinių taškųaibė yra aprėžta iš viršaus.

10. Pateikite pavyzdį sekos, kurios ribinių taškų aibė yra aprėžta iš viršaus, betnėra aprėžta iš apačios.

11. Pateikite pavyzdį neaprėžtos sekos, kuri turi lygiai vieną ribinį tašką.

12. Tegul (rn) yra nemažėjanti realiųjų skaičių seka ir tegul ji turi ribinį tašką.Įrodyti, kad (rn) konverguoja.

13. Įrodyti 3.26 teoremos implikaciją (b)⇒ (a).

14. Įrodyti 3.31 lemą. Nuoroda: Apibrėžti tn := −rn kiekvienam n ≥ m irpanaudoti 3.28 lemą sekai (tn)n≥m.

15. Įrodyti: jei realiųjų skaičių seka yra neaprėžta iš viršaus, tai ji turi posekįdiverguojantį į +∞.

16. Įrodyti 3.33 teoremos antrąją dalį.


18. Įrodyti 3.35 teoremą kai dešinioji (3.24) lygybės pusė yra nulis ir antrąjąšios teoremos dalį.

19. Tegul (rn)n≥m ir (sn)n≥m yra aprėžtos realiųjų skaičių sekos. Įrodyti, kad

lim supn→∞

(rn + sn) ≤ lim supn→∞

rn + lim supn→∞

sn.

20. Pateikite pavyzdį tokių aprėžtų sekų (rn)n≥m ir (sn)n≥m, kad

lim supn→∞

(rn + sn) = 0 ir lim supn→∞

rn = lim supn→∞

sn = 1.


21. Tegul (rn)n≥m ir (sn)n≥m yra tokios aprėžtos realiųjų skaičių sekos, kadrn ≤ sn kiekvienam n ≥ m. Įrodyti, kad

lim supn→∞

rn ≤ lim supn→∞

sn ir lim infn→∞

rn ≤ lim infn→∞

sn.

22. Įrodyti 3.37 teoremą, kai 0 < r < 1.


3.4 Skaičių eilutėsŠiame skyrelyje nagrinėjamos realiųjų skaičių sumos turinčios be galo daug na-rių arba tai, kas vadinama begaline skaičių eilute. Tokios sumos pavyzdžiu yrabegalinės mažėjančios geometrinės progresijos narių suma

1 + q + q2 + · · ·+ qn + · · · =∞∑i=0

qi = 11− q ,

čia −1 < q < 1. Prisiminkite, kokia prasmė šiai lygybei buvo suteikiama mo-kyklinėje matematikoje? Čia šis faktas įrodytas 3.49 teoremoje žemiau.

Tarkime, kad (ai)i≥m yra realiųjų skaičių seka. Su bet kuriuo natūraliuojun ≥ m baigtinės skaičių sumos apibrėžiamos rekursijos būdu:

Sm := am,

Sm+1 := Sm + am+1 =m+1∑i=m

ai,

Sm+2 := Sm+1 + am+2 =m+2∑i=m

ai,

Sm+3 := Sm+2 + am+3 =m+3∑i=m

ai,

. . .

Sn := Sn−1 + an =n∑

i=mai,

. . .

Kiekvienam n ≥ m, baigtinę sumą

Sn =n∑

i=mai

3.4 Skaičių eilutės 51

vadinsime (ai)i≥m sekos n-tąja daline suma. Išraiška

am + am+1 + am+2 + · · · arba∞∑i=m

ai

vadinama formalia begaline eilute arba tiesiog eilute, o skaičius ai vadinamaseilutės bendruoju nariu arba tiesiog eilutės nariu. Žodis formali nurodo, kadtokia eilutė nėra skaičius, o yra dalinių sumų seka (Sn)n≥m, kuri gali konverguotiarba diverguoti.

3.40 apibrėžtis. Tegul (ai)i≥m yra realiųjų skaičių seka ir (Sn)n≥m yra jos su-daryta dalinių sumų seka. Sakoma, kad eilutė

∑∞i=m ai konverguoja, jei kon-

verguoja dalinių sumų seka (Sn)n≥m. Konverguojančios eilutės suma vadinamariba

∞∑i=m

ai := limn→∞

Sn.

Jei dalinių sumų seka (Sn)n≥m diverguoja, tai sakoma, kad eilutė∑∞i=m ai diver-

guoja. Pastaruoju atveju eilutei nepriskiriamas joks skaičius sakant, kad eilutė∑∞i=m ai diverguoja.

Tokiu būdu simbolis∑∞i=m ai žymi ir formalią eilutę, ir eilutės sumą kai ši

konverguoja.Gali atrodyti, kad eilutė, kaip dalinių sumų seka, yra specialaus pavidalo

skaičių seka. Tačiau taip nėra, nes kiekviena seka yra kurios nors eilutės daliniųsumų seka. Norėdami tuo įsitikinti tarkime, kad (bi) yra bet kuri skaičių seka.Apibrėžkime seką (ai), kurios nariais yra

a0 := b0, a1 := b1 − b0, . . . ai := bi − bi−1, . . .

Tada eilutės∑∞i=0 ai dalinės sumos yra Sn = bn kiekvienam n ∈ N. Iš tikro. Kai

n = 0, S0 = a0 = b0 pagal apibrėžimą. Tarkime, kad Sn = bn su kuriuo norsn ∈ N. Tada pagal rekursinį sumos apibrėžimą ir prielaidą,

Sn+1 = Sn + an+1 = bn + (bn+1 − bn) = bn+1.

Indukcijos principas įrodo norimą tvirtinimą.Kaip pavyzdį nagrinėkime eilutę

∑∞i=0 2−i. Naudodami matematinę indukci-

ją įsitikiname, kad šios eilutės dalinė suma yra

Sn =n∑i=0

2−i = 2− 12n


kiekvienam n ∈ N. Kadangi 1/2n → 0 kai n → ∞ (3.8 teorema su a0 = 1 irr = 1/2), tai dalinių sumų seka (Sn) konverguoja, o eilutės suma

∞∑i=0

2−i = limn→∞

Sn = 2,

t. y. eilutė∑∞i=0 2−i konverguoja ir jos suma yra 2. Tuo tarpu, panašiai skaičiuo-

jant, eilutės∑∞i=0 2i dalinė suma yra

Sn =n∑i=0

2i = 2n+1 − 1

kiekvienam n ∈ N. Kadangi seka (2n+1 − 1) yra neaprėžta, tai eilutė∑∞i=0 2i

diverguoja.

Cauchy kriterijus eilutėms Pradėsime nuo būtinos ir pakankamos eilutės kon-vergavimo sąlygos nustatymo. Kadangi kita teorema išplaukia iš sekų konverga-vimo Cauchy kriterijaus, tai ji vadinama eilutės konvergavimo Cauchy kriteriju-mi:

3.41 teorema. Tegul (ai)i≥m yra realiųjų skaičių seka. Eilutė∑∞i=m ai konver-

guoja tada ir tik tada, kai kiekvienam ε > 0 egzistuoja toks N ≥ m, kad∣∣∣∣ n∑i=k+1

ai

∣∣∣∣ < ε kiekvienam n > k ≥ N . (3.30)

Įrodymas. Pagal apibrėžimą, eilutė∑∞i=m ai konverguoja jei konverguoja dalinių

sumų seka (Sn)n≥m. Remiantis realiųjų skaičių sekos konvergavimo Cauchy kri-terijumi (3.36 teorema) taip yra tada ir tik tada, kai (Sn)n≥m yra Cauchy seka, t.y. kiekvienam ε > 0 egzistuoja toks N ≥ m, kad

ρ(Sn, Sk) = |Sn − Sk| =∣∣∣∣ n∑i=k+1

ai

∣∣∣∣ < ε

visiems n ≥ N ir k ≥ N . Jei n ≤ k, tai suma∑ni=k+1 ai = 0 pagal baigtinės

sumos apibrėžimą (8.1). Todėl pastaroji sąlyga ekvivalenti (3.30) sąlygai, ką irreikėjo įrodyti.

Cauchy kriterijaus naudingumą iliustruosime įrodydami keletą svarbių teigi-nių apie eilutes. Pirma, aritmetinės operacijos su konverguojančiomis eilutėmisyra panašios į tas, kurios galioja baigtinėms sumoms ([16] 4.29 teorema).


3.42 teorema. Tegul (ai)i≥m ir (bi)i≥m yra realiųjų skaičių sekos. Teisingi teigi-niai:

(a) jei konverguojančios eilutės∑∞i=m ai suma yra A ir jei konverguojančios

eilutės∑∞i=m bi suma yra B, tai konverguoja eilutė

∑∞i=m(ai + bi) ir jos

suma yra A+B;

(b) jei konverguojančios eilutės∑∞i=m ai suma yra A ir jei c yra realusis skai-

čius, tai konverguoja eilutė∑∞i=m(cai) ir jos suma yra cA;

(c) su kiekvienu k ∈ N, jei viena iš dviejų eilučių∑∞i=m ai ir

∑∞i=m+k ai kon-

verguoja, tai konverguoja kita eilutė ir galioja lygybė

∞∑i=m

ai =m+k−1∑i=m

ai +∞∑

i=m+kai; (3.31)

(d) jei konverguojančios eilutės∑∞i=m ai suma yra A ir jei k yra sveikasis

skaičius, tai konverguoja eilutė∑∞j=m+k aj−k ir jos suma yra A.

Teiginyje (d) imdami k = −m gauname

∞∑i=m

ai =∞∑i=0

ai+m =:∑i

ai+m.

Įrodymas. Įrodysime tik (c) ir (d) teiginius. Pirmuosius du teiginius siūlomeįrodyti skaitytojui (3.4.1 pratimas). (c) teiginio įrodymui pastebėsime, kad 3.41teoremos būtina ir pakankama eilutės konvergavimo sąlyga (3.30) abiems eilu-tėms sutampa kai N ≥ m + k. Todėl konverguoja abi eilutės jei konverguojabent viena iš jų. Remiantis ?? teoremos (a) teiginiu lygybė

n∑i=m

ai =m+k−1∑i=m

ai +n∑

i=m+kai

galioja kiekvienam n ≥ m + k. Skaičiai esantys abiejose pastarosios lygybėspusėse konverguoja kai n → ∞ į atitinkamus skaičius esančius abiejose (3.31)lygybės pusėse ir tuo įrodo (3.31) lygybę (kodėl?).

(d) teiginio įrodymui pastebėsime, kad baigtinėms sumoms lygybė

n∑i=l

ai =n+k∑j=l+k

aj−k (3.32)


galioja visiems n ≥ l ≥ m ir kiekvienam k ∈ Z (4.29.(b) teorema iš Analizė0 [16]). Tegul k ∈ Z ir ε > 0. Kadangi eilutė

∑∞i=m ai konverguoja, remiantis

eilutės konvergavimo Cauchy kriterijumi (3.41 teorema), egzistuoja toksN ≥ m,kad ∣∣∣∣ n+k∑

j=l+kaj−k

∣∣∣∣ =∣∣∣∣ n∑i=l

ai

∣∣∣∣ < ε

kiekvienam n ≥ l ≥ N . Dabar panaudoję Cauchy kriterijų ir pastarąją lygybęeilutei

∑∞j=m+k aj−k įsitikiname jos konvergavimu. Eilutės

∑∞j=m+k aj−k suma

yra A, nes lygybės (3.32) su l = m abiejose pusėse esantys skaičiai konverguojakai n→∞ ir todėl jų ribos lygios. 3.42 teorema įrodyta.

Pastaroji teorema rodo konverguojančių eilučių ir baigtinių sumų panašumą.Tačiau ne visos baigtinių sumų savybės yra teisingos begalinėms eilutėms. Taimatysime šio skyrelio pabaigoje aptariant konverguojančios eilutės narių persta-tymą.

Tęsdami Cauchy kriterijaus naudingumo iliustravimą įrodysime būtiną eilu-tės konvergavimo sąlygą. (3.30) sąlygoje imdami n = k + 1 gauname, kad visieilutės nariai, išskyrus pirmuosius N + 1, yra moduliu mažesni už ε. Kadangiε > 0 yra laisvai pasirinktas, įrodėme teiginį:

3.43 išvada. Tegul (ai)i≥m yra realiųjų skaičių seka. Jei eilutė∑∞i=m ai konver-

guoja, tai konverguoja seka (ai)i≥m ir riba limi→∞ ai = 0.

Tegul A yra teiginys „eilutė∑∞i=m ai konverguoja", o B yra teiginys „konver-

guoja seka (ai)i≥m ir riba limi→∞ ai = 0". 3.43 išvada teigia, kad implikacijaA ⇒ B teisinga visada. Remiantis implikacijos kontrapozicijos dėsniu ([16]),3.43 išvada taip pat reiškia, kad visada teisinga implikacija ¬B ⇒ ¬A. Ki-taip tariant, jei seka (ai)i≥m nekonverguoja į 0, tai eilutė

∑∞i=m ai diverguoja. Šį

faktą naudosime tirdami geometrinės progresijos sumos elgesį kai sumos nariųskaičius neaprėžtai didėja (3.49 teorema).

Dabar įrodysime, kad 3.43 išvados atvirkštinė implikacijaB ⇒ A nėra teisin-ga. Kitaip tariant, ši išvada yra būtina bet nėra pakankama eilutės konvergavimosąlyga. Tam tikslui parodysime, kad harmoninė eilutė

∞∑i=1

1i

diverguoja, nors jos bendrųjų narių seka (1/i)i≥1 konverguoja į nulį. Iš tikro,sugrupuosime šios eilutės narius kaip nurodyta skliaustais:

1 + 12 +

(13 + 1

4

)+(1

5 + 16 + 1

7 + 18

)+ · · ·+

( 12n−1 + 1 + · · ·+ 1

2n)

+ · · · ,


Tada su kiekvienu n ≥ 1 galima taip vertinti dalines sumas

S2n = 1 + 12 +

(13 + 1

4

)+ · · ·+

( 12n−1 + 1 + · · ·+ 1

2n)

> 1 + 12 +

(14 + 1

4

)+ · · ·+

( 12n + · · ·+ 1

2n)

= 1 + 12 + 2

(14

)+ · · ·+ 2n−1

( 12n)

= 1 + 12 + 1

2 + · · ·+ 12

= 1 + n

2 .

Šis įvertis rodo, kad harmoninės eilutės dalinės sumos, o tuo pačiu ir pati har-moninė eilutė diverguoja.

Kai kurioms sekoms (ai)i≥m 3.43 išvadoje gauta būtinoji eilutės konverga-vimo sąlyga yra ir pakankama. Prieš tai, dar kartą naudodami Cauchy kriterijų,įrodysime eilutės konvergavimo Dirichlet4 požymį.

3.44 teorema. Tarkime, kad realiųjų skaičių sekos (bi)i≥m ir (ci)i≥m turi šiassavybes:

(a) dalinių sumų seka(∑n

i=m bi)n≥m

yra aprėžta;

(b) seka (ci)i≥m nedidėja ir konverguoja į nulį;

Tada konverguoja eilutė∑∞i=m bici.

Įrodymas. Su kiekvienu natūraliuoju skaičiumi n ≥ m pažymėkime dalines su-mas:

Sn :=n∑

i=mbici ir Bn :=

n∑i=m

bi.

Su bet kuriais natūraliaisiais skaičiais n > k > m, kadangi bi = Bi − Bi−1,galioja lygybės

Sn − Sk =n∑

i=k+1(Bi −Bi−1)ci

= Bk+1ck+1 −Bkck+1 +Bk+2ck+2 −Bk+1ck+2 + · · ·· · ·+Bn−1cn−1 −Bn−2cn−1 +Bncn −Bn−1cn

= −Bkck+1 +n∑

i=k+1Bi(ci − ci+1) +Bncn.

4Peter Gustav Lejeune Dirichlet - Dirišle (1805-1859), vokiečių matematikas


Kadangi seka (Bi)i≥m yra aprėžta. egzistuoja toks M ∈ R, kad |Bi| ≤ Mvisiems i ≥ m. Be to, sekos (ci)i≥m nariams galioja nelygybės ci ≥ ci+1 ≥ 0kiekvienam i ≥ m. Vertindami gautą išraišką gauname nelygybes

|Sn − Sk| ≤ |Bk|ck+1 +n∑

i=k+1|Bi|(ci − ci+1) + |Bn|cn+1

≤ Mck+1 +M(ck+1 − cn+1) +Mcn+1

= 2Mck+1.

Tegul ε > 0. Kadangi seka (ci)i≥m konverguoja į nulį, egzistuoja toks N ≥ m,kad ck ≤ ε/(2M) visiems k ≥ N . Todėl |Sn − Sk| < ε kai n > k > N .Remiantis Cauchy kriterijumi, eilutė

∑∞i=m bici konverguoja.

3.45 pastaba. Pastarajame įrodyme naudojome lygybę baigtinėms sumoms

n∑i=k+1

(Bi −Bi−1)ci = Bncn −Bkck+1 +n∑

i=k+1Bi(ci − ci+1).

Ją galima būtų vadinti „sumavimo dalimis" formule sumoms pagal analogiją suintegravimo dalimis formule integralams ((6.44) žemiau).

Kita teorema vadinama alternuojančios eilutės konvergavimo požymiu arbaLeibnizo5 požymiu. Alternuojančioms eilutėms būtinoji eilutės konvergavimosąlyga yra ir pakankama.

3.46 teorema. Tarkime, kad realiųjų skaičių seka (ci)i≥m nedidėja, t.y. ci ≥ ci+1visiems i ≥ m. Eilutė

∑∞i=m(−1)ici konverguoja tada ir tik tada, kai ci → 0

kartu su i → ∞. Be to, jei eilutė konverguoja, jos suma yra S ir n-toji dalinėsuma yra Sn, tai

|S − Sn| ≤ cn+1

kiekvienam n ≥ m.

Įrodymas. Tarkime, kad eilutė∑∞i=m(−1)ici konverguoja. Remiantis būtina ei-

lutės konvergavimo sąlyga (3.43 išvada), jos bendrųjų narių seka konverguoja įnulį. Kadangi seka konverguoja į nulį tada ir tik tada, kai į nulį konverguojamodulių seka, tai

|(−1)ici| = |ci| → 0 kai i→∞,

t. y. ci → 0 kai i→∞.5Gottfried Wilhelm Leibniz – Leibnicas (1646–1716), vokiečių matematikas.


Dabar tarkime atvirkščiai, kad ci → 0 kai i → ∞. Eilutės konvergavi-mui įrodyti naudosime Dirichlet požymį (3.44 teorema), kuriame bi = (−1)ikiekvienam i ≥ m. Pastebėkime, kad |∑n

i=1 bi| ≤ 1 kiekvienam n ≥ m. Ka-dangi visos 3.44 teoremos prielaidos galioja, tai konverguoja eilutė

∑∞i=m bici =∑∞

i=m(−1)ici.Tarkime, kad eilutė

∑∞i=m(−1)ici konverguoja, jos suma yra S ir n-toji dalinė

suma yra Sn. Jei n = 2k ≥ m, tai

Sn+2 = Sn + (−1)2k+1c2k+1 + (−1)2k+2c2k+2

= Sn − (c2k+1 − c2k+2) ≤ Sn,

nes (ci)i≥m yra nedidėjanti neneigiamų realiųjų skaičių seka. Todėl posekis(S2k)k≥k1 su k1 := mink ∈ N : 2k ≥ m yra nedidėjantis ir konverguoja įeilutės sumą S (3.27 teorema). Jei n = 2k+ 1 ≥ m, tai dėl tos pačios priežasties

Sn+2 = Sn + (−1)2k+2c2k+2 + (−1)2k+3c2k+3

= Sn + (c2k+2 − c2k+3) ≥ Sn.

Todėl posekis (S2k+1)k≥k2 su k2 := mink ∈ N : 2k+ 1 ≥ m yra nemažėjantisir konverguoja į eilutės sumą S (3.27 teorema). Todėl kiekvienam k ≥ m galiojanelygybės

S2k+1 ≤ S ≤ S2k.

Atveju n = 2k − 1 ≥ m turime

|S − S2k−1| = S − S2k−1 ≤ S2k − S2k−1 = (−1)2kc2k = c2k,

o atveju n = 2k ≥ m turime

|S − S2k| = S2k − S ≤ S2k − S2k+1 = −(−1)2k+1c2k+1 = c2k+1,


Panaudoję pastarąją teoremą eilutei∑∞i=1(−1)ii−1 ir jos dalinei sumai S1 =

−1, gauname eilutės sumos S įvertinimą

− (3/2) ≤ S ≤ −(1/2). (3.33)

Absoliutus konvergavimas Alternuojančios eilutės konvergavimo kriterijus ro-do, kad eilutė

∑∞i=1(−1)ii−1 konverguoja. Diverguojančios harmoninės eilutės∑∞

i=1 i−1 pavyzdys iliustruoja galimybę, kad realiųjų skaičių eilutė

∑∞i=m ai kon-

verguoja, o iš jos narių modulių sudaryta eilutė∑∞i=m |ai| diverguoja. Ši aplin-

kybė rodo esant prasminga nagrinėti kitą eilutės konvergavimo sampratą.


3.47 apibrėžtis. Sakoma, kad realiųjų skaičių eilutė∑∞i=m ai konverguoja abso-

liučiai, jei konverguoja eilutė∑∞i=m |ai|.

Skyrelio gale matysime, kad absoliučiai ar ne absoliučiai konverguojančioseilutės elgiasi skirtingai. Norint pabrėžti skirtumą tarp konvergavimo ir absoliu-taus konvergavimo, pirmąjį iš jų vadinsime reliatyviu konvergavimu. Reliatyviaikonverguojanti eilutė gali nekonverguoti absoliučiai kaip rodo ankstesnis alter-nuojančios eilutės pavyzdys.

3.48 teorema. Jei realiųjų skaičių eilutė∑∞i=m ai konverguoja absoliučiai, tai ji

konverguoja reliatyviai ir galioja nelygybė∣∣∣∣ ∞∑i=m

ai

∣∣∣∣ ≤ ∞∑i=m|ai|. (3.34)

Įrodymas. Eilutės∑∞i=m ai konvergavimui įrodyti naudosime Cauchy kriterijų

eilutėms (3.41 teorema) du kartus. Tegul ε > 0. Kadangi konverguoja eilutė∑∞i=m |ai|, tai egzistuoja toks N ≥ m, kad

n∑i=k+1

|ai| =∣∣∣∣ n∑i=k+1

|ai|∣∣∣∣ < ε

kiekvienam n > k ≥ N remiantis 3.41 teorema. Naudodami trikampio nelygybębaigtinėms sumoms (4.29.(e) teorema [16]) ir pastarąją išvadą gauname, kad∣∣∣∣ n∑

i=k+1ai

∣∣∣∣ ≤ n∑i=k+1

|ai| < ε

kiekvienam n > k ≥ N . Antrą kartą pasiremdami 3.41 teorema darome išvadą,kad konverguoja eilutė

∑∞i=m ai. Tuo tarpu nelygybę (3.34) gauname dar kartą

naudodami ?? teoremos (e) teiginį ir 3.1.17 pratimą.

Absoliutaus eilutės konvergavimo pavyzdžiu yra geometrinė eilutė, kuri api-bendrina geometrinės progresijos formulę.

3.49 teorema. Tegul x yra realusis skaičius. Jei |x| < 1, tai geometrinė eilutėkonverguoja absoliučiai ir jos suma yra

∞∑j=0

xj = 11− x. (3.35)

Jei |x| ≥ 1, tai geometrinė eilutė∑∞j=0 x

j diverguoja.


Įrodymas. Tegul |x| < 1. Remiantis 2.27 lema (|xj| = |x|j kai j ∈ N) ir geo-metrinės progresijos sumos formule lygybės

Sn :=n∑j=0|xj| =

n∑j=0|x|j = 1− |x|n+1

1− |x|

galioja kiekvienam n ∈ N. Remiantis 3.8 teorema su a0 = 1 ir r = x seka(|x|n) konverguoja ir limn→∞ |x|n = 0. Todėl konverguoja eilutės

∑∞j=0 |xj|

dalinių sumų seka (Sn), t. y. geometrinė eilutė konverguoja absoliučiai. Darkartą panaudoję geometrinės progresijos sumos formulę gauname geometrinėseilutės sumą (3.35).

Dabar tegul |x| ≥ 1. Tada

ρ(xj, 0) = |xj| = |x|j ≥ 1

kiekvienam j ∈ N (kodėl?). Tai reiškia, kad seka (xj) nekonverguoja į nulį kaij →∞. Tada remiantis 3.43 išvada geometrinė eilutė

∑∞j=0 x

j diverguoja.

Neneigiamų skaičių eilutės Laikinai dėmesys sutelkiamas aptarimui tų eilu-čių, kurių nariai yra neneigiami. Toks supaprastinimas pateisinamas ir tuo, kadbet kurios eilutės absoliutaus konvergavimo klausimas tapatus neneigiamų skai-čių eilučių konvergavimo klausimui.

Tarkime, kad eilutės∑∞i=m ai visi nariai yra neneigiami, t. y. ai ≥ 0 kiek-

vienam i ≥ m. Tokios eilutės dalinių sumų seka (Sn)n≥m yra nemažėjanti, t. y.Sn+1 ≥ Sn kiekvienam n ≥ m. Remiantis 3.21 teorema (pakankamumas), bei3.12 ir 3.14 teoremomis (būtinumas), eilutė

∑∞i=m ai konverguoja tada ir tik tada,

kai jos dalinių sumų seka yra aprėžta. Įrodėme teoremą:

3.50 teorema. Neneigiamų skaičių eilutė∑∞i=m ai konverguoja tada ir tik tada,

kai egzistuoja toks realusis skaičius M , kad

n∑i=m

ai ≤M kiekvienam n ≥ m.

Be to, konvergavimo atveju eilutės suma yra

∞∑i=m

ai = supn≥m

n∑i=m

ai.

Kita teorema vadinama eilučių lyginimo požymiu (angl. comparison test).


3.51 teorema. Tegul realiųjų skaičių eilutės∑∞i=m ai ir

∑∞i=m bi yra tokios, kad

|ai| ≤ bi kiekvienam i ≥ m.

(a) Jei eilutė∑∞i=m bi konverguoja, tai eilutė

∑∞i=m ai konverguoja absoliučiai

ir galioja nelygybės ∣∣∣∣ ∞∑i=m

ai

∣∣∣∣ ≤ ∞∑i=m|ai| ≤

∞∑i=m

bi.

(b) Jei eilutė∑∞i=m ai ne konverguoja absoliučiai, tai eilutė

∑∞i=m bi diverguo-

ja.

Įrodymas. Eilučių∑∞i=m |ai| ir

∑∞i=m bi nariai yra neneigiami todėl kiekviena iš

jų konverguoja tada ir tik tada kai jos yra aprėžtos (3.50 teorema). Remiantis ??teoremos (e) teiginiu ir šios teoremos prielaida, nagrinėjamų eilučių dalinėmssumoms nelygybės ∣∣∣∣ n∑

i=mai

∣∣∣∣ ≤ n∑i=m|ai| ≤

n∑i=m

bi

galioja kiekvienam n ≥ m. Naudojant šias nelygybes įrodoma teorema (kaip?).

Pavyzdžiais parodysime, kad pastarosios teoremos prielaida |ai| ≤ bi kiek-vienam i ≥ m nėra atsitiktinė. Jos negalima pakeisti prielaida ai ≤ bi kiek-vienam i ≥ m, nes imdami ai = −1/i ir bi = 0 kiekvienam i ≥ 1 gaunamekonverguojančią eilutę

∑∞i=1 bi ir diverguojančią eilutę

∑∞i=1 ai. Taip pat netinka

prielaida |ai| ≤ |bi| kiekvienam i ≥ m, nes imdami bi = (−1)i/i ir ai = 1/ikiekvienam i ≥ 1 vėl gauname konverguojančią eilutę

∑∞i=1 bi ir diverguojančią

eilutę∑∞i=1 ai.

Kitas kriterijus tinka toms neneigiamų skaičių eilutėms, kurių nariai nedidė-ja. Jis kartais vadinamas Cauchy kondensacijos požymiu (angl. Cauchy conden-sation test).

3.52 teorema. Tegul (ai)i≥1 yra neneigiamų realiųjų skaičių nedidėjanti seka,t.y. ai ≥ 0 ir ai ≥ ai+1 kiekvienam i ≥ 1. Eilutė

∑∞i=1 ai konverguoja tada ir tik

tada, kai konverguoja eilutė

∞∑j=0

2ja2j = a1 + 2a2 + 4a4 + 8a8 + · · · . (3.36)

Įrodymas. Su kiekvienu n ∈ N∗ tegul Sn := ∑ni=1 ai yra eilutės

∑∞i=1 ai dalinė

suma ir su kiekvienu k ∈ N tegul Tk := ∑kj=0 2ja2j yra (3.36) eilutės dalinė


suma. Remiantis 3.50 teorema pakanka įrodyti, kad dalinių sumų seka (Sn)n≥1yra aprėžta tada ir tik tada, kai yra aprėžta dalinių sumų seka (Tk)k≥0. Tamtikslui pakanka įrodyti, kad su kiekvienu k ∈ N galioja nelygybės

S2k+1−1 ≤ Tk ≤ 2S2k . (3.37)

Iš tikro, jei (Sn)n≥1 yra aprėžta, tai aprėžtas yra ir posekis (S2k)k≥0, o tada ap-rėžta seka (Tk)k≥0 pagal antrąją iš (3.37) nelygybių. Atvirkščiai, jei aprėžta yraseka (Tk)k≥0, tai, pagal pirmąją iš (3.37) nelygybių, aprėžta yra seka S2k+1−1.Tačiau dėka nelygybės 2k+1 − 1 ≥ k + 1 (kodėl ji galioja?) aprėžta yra seka(Sk+1)k≥0. Tokiu būdu pakanka įrodyti (3.37) kiekvienam k ∈ N.

Naudosimės indukcijos principu. Kai k = 0, tai (3.37) yra nelygybės

S1 ≤ T0 ≤ 2S1,

kurios dėl dalinių sumų apibrėžimo ir to, kad a1 ≥ 0, virsta akivaizdžiomisnelygybėmis

a1 ≤ a1 ≤ 2a1.

Tarkime, kad (3.37) galioja su kuriuo nors k ∈ N. Įrodysime, kad galioja (3.37)su k + 1 vietoje k, t. y. įrodysime

S2k+2−1 ≤ Tk+1 ≤ 2S2k+1 . (3.38)

Remiantis baigtinės sumos savybėmis (?? teoremos (a) ir (f) teiginiai) ir tuo,kad seka (ai)i≥1 yra nedidėjanti

S2k+1 = S2k +2k+1∑i=2k+1

ai ≥ S2k +2k+1∑i=2k+1

a2k+1 = S2k + 2ka2k+1 .

Pastarasias nelygybes padauginę iš dviejų ir panaudoję prielaidą (3.37) gauname(3.38) dešiniosios pusės įvertinimą

2S2k+1 ≥ 2S2k + 2k+1a2k+1 ≥ Tk + 2k+1a2k+1 = Tk+1.

Toliau (3.38) kairioji pusė vertinama panašiai

S2k+2−1 = S2k+1−1 +2k+2−1∑i=2k+1

ai

≤ S2k+1−1 +2k+2−1∑i=2k+1

a2k+1 = S2k+1−1 + 2k+1a2k+1 .

Šios nelygybės kartu su prielaida (3.37) įrodo (3.38). Indukcijos principas įrodo(3.37) kiekvienam k ∈ N, ką ir reikėjo įrodyti.


3.53 išvada. Tegul r yra teigiamas realusis skaičius. Eilutė∑∞i=1(1/ir) konver-

guoja jei r > 1 ir diverguoja jei r ≤ 1.

Įrodymas. Remiantis 3.39.(d) teorema seka (1/ir)i≥1 yra nedidėjanti su teigia-mais nariais. Tai remiantis 3.52 teorema eilutė

∑∞i=1(1/ir) konverguoja tada ir

tik tada, kai konverguoja eilutė∞∑j=0

2j 1(2j)r .

Dar kartą naudodami 3.39 teoremą šią eilutę pertvarkome į geometrinę eilutę∞∑j=0

(21−r)j.

Remiantis 3.49 teorema pastaroji geometrinė eilutė konverguoja tada ir tik tada,kai |21−r| < 1, o tai savo ruožtu galioja tada ir tik tada, kai r > 1.

Kiti eilučių konvergavimo požymiai Pirmasis požymis vadinamas šakniespožymiu (angl. root test) arba Cauchy požymiu. Šis požymis formuluojamas nau-dojant sekos viršutinės ribos sąvoką (3.32 apibrėžtis).

3.54 teorema. Tegul∑∞i=m ai yra realiųjų skaičių eilutė ir tegul

α := lim supi→∞

|ai|1/i.

(a) Jei α < 1, tai∑∞i=m ai konverguoja absoliučiai.

(b) Jei α > 1 arba α = +∞, tai∑∞i=m ai diverguoja.

(c) Jei α = 1, tai negalima daryti jokios išvados.

Įrodymas. Tegul α < 1. Egzistuoja toks β ∈ R, kad α < β < 1 (kodėl?).Remiantis 3.34 teoremos (a) teiginiu egzistuoja toks N ≥ m, kad |ai|1/i ≤ βkiekvienam i ≥ N . Todėl |ai| ≤ βi kiekvienam i ≥ N . Kadangi 0 < β <1, remiantis geometrinės eilutės konvergavimo faktu (3.49 teorema) ir eilučiųlyginimo požymiu (3.51 teorema) gauname, kad teisingas (a) teiginys.

Tegul skaičius α > 1. Remiantis 3.34 teoremos (b) teiginiu kiekvienamN ≥ m egzistuoja toks i ≥ N , kad |ai| ≥ 1. Gauname, kad seka (ai)i≥mnekonverguoja į nulį (kodėl?). Kadangi neišpildyta būtina eilutės konvergavimosąlyga (3.43 išvada) teisingas (b) teiginys. Kai α yra simbolis +∞, tai seka(|ai|1/i) yra neaprėžta ir panašiai (kaip?) gauname tą pačią išvadą.

(c) teiginys siūlomas įrodyti skaitytojui (3.4.8 pratimas)


Tais atvejais, kai eilutės nario šaknį sunku skaičiuoti, galima bandyti naudotiseilutės gretimų narių santykio skaičiavimu atsižvelgiant į kitą teiginį.

3.55 lema. Tegul (ci)i≥m yra teigiamų skaičių seka. Galioja nelygybės

lim infi→∞

ci+1

ci≤ lim inf

i→∞c

1/ii ≤ lim sup

i→∞c

1/ii ≤ lim sup

i→∞

ci+1

ci,

kai dešinioji pusė yra skaičius, t. y. nėra +∞.

Įrodymas. Reikia įrodyti pirmąją ir trečiąją nelygybes kadangi antroji teisingadėl viršutinės ir apatinės ribų apibrėžčių. Kadangi argumentai simetriški, įrody-sime tik trečiąją nelygybę, o pirmąją siūlome įrodyti skaitytojui (3.4.6 pratimas).

Tegul L := lim supi→∞ci+1ci

. Jei L = +∞, tai nieko nereikia įrodyti. TegulL ∈ R. Kadangi ci+1/ci ≥ 0 kiekvienam i ≥ m, tai L ≥ 0. Tegul ε > 0.Remiantis 3.34 teoremos (a) teiginiu egzistuoja toks N ≥ m, kad (ci+1/ci) ≤L+ ε kiekvienam i ≥ N , t. y. ci+1 ≤ ci(L+ ε) kiekvienam i ≥ N . Naudodamiindukcijos principą įrodome, kad

ci ≤ cN(L+ ε)i−N kiekvienam i ≥ N

(kaip?). Pažymėję K := cN(L+ ε)−N , gauname, kad

ci ≤ K(L+ ε)i kiekvienam i ≥ N.

Abi nelygybės pakėlę laipsniu 1/i, gauname, kad

c1/ii ≤ K1/i(L+ ε) kiekvienam i ≥ N.

Remiantis 3.22 teorema ir 3.2.5 pratimu, limi→∞K1/i(L+ ε) = L+ ε. Remda-

miesi 3.3.21 pratimu gauname, kad

lim supi→∞

c1/ii ≤ L+ ε.

Kadangi ε > 0 yra laisvai pasirinktas, tai

lim supi→∞

c1/ii ≤ L.

(3.1.?? pratimas), ką ir reikėjo įrodyti.

Eilutės konvergavimo šaknies požymis (3.54 teorema) kartu su 3.55 lema įro-do kitą eilutės konvergavimo požymį, kuris vadinamas santykio požymiu (angl.ratio test) arba d’Alemberto6 požymiu.

6Jean le Rond d’Alembert – Žanas d’Alamberas (1717–1783), prancūzų matematikas ir filoso-fas.


3.56 teorema. Tegul∑∞i=m ai yra nelygių nuliui realiųjų skaičių eilutė.

(a) Jei lim supi→∞(|ai+1|/|ai|) < 1, tai∑∞i=m ai konverguoja absoliučiai.

(b) Jei lim infi→∞(|ai+1|/|ai|) > 1, tai∑∞i=m ai diverguoja.

(c) Likusiais atvejais, t. y. jei

lim infi→∞

(|ai+1|/|ai|) ≤ 1 ≤ lim supi→∞

(|ai+1|/|ai|),

tai negalima daryti jokios išvados.

Dar vieną neneigiamų skaičių eilutės konvergavimo požymį įrodysime poto, kai apibrėšime integralo sąvoką (6.26 teorema). Pastarąjį santykio požymįiliustruosime pavyzdžiu.

3.57 pavyzdys. Tarkime, kad x ∈ R. Priminsime, kad 0! := 1 ir i! := 1·2· · ·ivisiems i ∈ N∗. Ištirsime skaičių eilutės

∞∑i=0

xi

i! = 1 + x

1! + x2

2! + x3

3! + · · · . (3.39)

konvergavimą. Skaitytojui siūloma įrodyti, kad seka (|x|/(i + 1)) konverguoja įnulį. Kadangi konverguojančios sekos viršutinė riba sutampa su riba, tai

lim supi→∞

|xi+1/(i+ 1)!||xi/i!| = lim

i→∞

|x|i+ 1 = 0.

Remiantis 3.56 teoremos (a) teiginiu, (3.39) eilutė konverguoja absoliučiai.

7.4 skyrelyje parodysime, kad (3.39) eilutės suma yra ex. Šį faktą kai x = 1galima įrodyti jau čia. Priminsime, kad Eulerio skaičius apibrėžtas riba

e = limn→∞

(1 + 1

n

)n(3.23 teorema). Įrodysime, kad

e = 1 + 11! + 1

2! + 13! + · · · = 1 +

∞∑i=1

1i! . (3.40)


Naudodami Niutono binomo formulę gauname

cn :=(

1 + 1n

)n= 1 +

(n

1

)1n

+(n

2

)1n2 + · · ·+

(n

k

)1nk

+ · · ·+ 1nn

= 1 + 1 + 12!

(1− 1

n

)+ · · ·

· · ·+ 1k!

(1− 1

n

)(1− 2

n

)· · ·

(1− k − 1

n

)+ · · ·

· · ·+ 1n!

(1− 1

n

)(1− 2

n

)· · ·

(1− n− 1

n

)(3.41)

< 1 + 1 + 12! + · · ·+ 1

n! =: Sn.

Kiekvienai natūraliųjų skaičių porai 1 ≤ k ≤ n žymėkime reiškinį

tk,n := 1 + 1 + 12!

(1− 1

n

)+ · · ·+ 1

k!

(1− 1

n

)(1− 2

n

)· · ·

(1− k − 1

n

).

(3.41) nelygybę galima užrašyti taip: cn = tn,n < Sn. Tegul k ∈ N. (3.41)nelygybė rodo, kad bet kuriam n ≥ k teisinga tk,n < cn. Pastarojoje nelygybėjeperėję prie ribos kai n→∞ gauname

limn→∞

tk,n = Sk ≤ e = limn→∞

cn.

Čia k ∈ N yra laisvai pasirinktas. Todėl visiems n ∈ N teisingos nelygybės

cn < Sn ≤ e.

Šioje nelygybėje perėję prie ribos kai n→∞ gauname

limn→∞

Sn = limn→∞

cn = e,

t.y. teisinga (3.40) išraiška.

Eilutės narių perstatymas Baigtinėms skaičių sumoms būdinga tai, kad sumanepriklauso nuo narių tvarkos sumoje. Pavyzdžiui, dėl realiųjų skaičių sumoskomutatyvumo ir asociatyvumo dėsnių visada teisinga

a1 + a2 + a3 = a2 + a3 + a1. (3.42)

Netrukus parodysime, kad šios savybės analogas eilutėms ne visada teisingas.Tegul f : 1, 2, 3 → 1, 2, 3 yra funkcija su reikšmėmis f(1) = 2, f(2) =

3 ir f(3) = 1. Dešinėje (3.42) lygybės pusėje esančią sumą galima užrašyti irtaip: af(1)+af(2)+af(3). Toliau kalbėdami apie sumos ir eilutės narių perstatymąvartosime funkciją apibrėžtą sumos narių indeksų aibėje ir tokią terminologiją.


3.58 apibrėžtis. Tegul (ai)i≥m yra realiųjų skaičių seka ir tegul funkcija

f : i ∈ N : i ≥ m → i ∈ N : i ≥ m

yra bijekcija. Eilutė∑∞i=m af(i) vadinama eilutės

∑∞i=m ai perstata.

Pagal šį apibrėžimą, kiekvienas eilutės∑∞i=m ai narys pasirodo perstatoje∑∞

i=m af(i) lygiai vieną kartą ir kiekvienas perstatos narys pasirodo lygiai vie-ną kartą pradinėje eilutėje.

Tai, kad narių perstatymas gali pakeisti konverguojančios begalinės skaičiųeilutės sumą rodo toks pavyzdys.

3.59 pavyzdys. Tegul

T := 1− 12 + 1

3 −14 + 1

5 −16 + 1

7 −18 + · · · , (3.43)

arba T = ∑∞i=1(−1)i+1i−1 = (−1)S ir S = ∑∞

i=1(−1)ii−1. Remiantis 3.46teorema konverguoja alternuojanti eilutė S. Todėl remiantis 3.42 teoremos (b)teiginiu konverguoja eilutė T . Be to, remiantis (3.33) įvertinimu, turime 1/2 ≤T ≤ 3/2 (vėliau matysime, kad iš tikro T = ln 2 = 0.693147...). Padauginę(3.43) eilutę iš 1/2, taip pat gauname konverguojančią eilutę

12T = 1

2 −14 + 1

6 −18 + · · · .

Nagrinėkime (3.43) eilutės perstatą, gaunamą iš eilės imant teigiamą narį ir gru-puojant jį su iš eilės imamais dviem neigiamais nariais, ir atliekant toliau nuro-dytus veiksmus:(

1− 12 −

14

)+(1

3 −16 −

18

)+(1

5 −110 −

112

)+ · · ·

=(

1− 12

)− 1

4 +(1

3 −16

)− 1

8 +(1

5 −110

)− 1

12 + · · ·

= 12 −

14 + 1

6 −18 + 1

10 −112 + · · · = 1

2T.

Taigi perstatos suma yra lygi pusei pradinės eilutės sumos T 6= 0. Gali atrodyti,kad perstata neišsemia visos pradinės eilutės nes neigiamų narių imama du kartdaugiau už teigiamų. Tačiau kitame skyrelyje matysime, kad šis įspūdis nėrapagrįstas, o gautas faktas atspindi vieną iš begalybės savybių.

Kita teorema rodo, kad tokių keistenybių su eilute negali atsitikti jei eilutėkonverguoja absoliučiai.


3.60 teorema. Tegul∑∞i=0 ai yra absoliučiai konverguojanti realiųjų skaičių ei-

lutė ir tegul funkcija f : N → N yra bijekcija. Tada perstata∑∞i=0 af(i) konver-

guoja absoliučiai ir jos suma

∞∑i=0

af(i) =∞∑i=0

ai. (3.44)

Įrodymas. Pirmiausia įrodysime, kad eilutė∑∞i=0 af(i) konverguoja absoliučiai.

Su kiekvienu n ≥ 0 tegul

Un :=n∑i=0|ai| ir Vn :=

n∑i=0|af(i)|

atitinkamu eilučių dalinės sumos. Kadangi eilutė∑∞i=0 ai konverguoja absoliu-

čiai, remiantis 3.50 teorema,

∞∑i=0|ai| = sup

n≥0Un =: H ∈ R.

Remiantis ta pačia 3.50 teorema pakanka parodyti, kad dalinių sumų seka (Vn)aprėžta. Tegul n ∈ N. f funkcijos pagalba gautas aibės Yn := 0, 1, . . . , nvaizdas f [Yn] yra natūraliųjų skaičių aibė turinti n+ 1 elementą. Tegul

Kn := maxf(i) : i ∈ Yn (3.45)

yra aibės f [Yn] maksimalus elementas. Tada f [Yn] ⊂ 0, 1, . . . , Kn ir

Vn ≤Kn∑i=0|ai| = UKn ≤ H.

Kadangi n ∈ N yra laisvai pasirinktas, tai seka (Vn) yra aprėžta. Pirmoji teore-mos dalis yra įrodyta.

Dabar įrodysime (3.44) lygybę. Tegul Sn yra eilutės∑∞i=0 ai n-toji dalinė

suma, tegul S := ∑∞i=0 ai yra eilutės suma ir tegul ε > 0. Kadangi

∑∞i=0 ai

konverguoja absoliučiai, egzistuoja toks N1 ∈ N, kad∑ni=k |ai| < ε/2 visiems

n ≥ k ≥ N1. Be to, egzistuoja toks N ≥ N1, kad |S − SN | < ε/2. TegulTm yra perstatos

∑∞i=0 af(i) m-toji dalinė suma ir M := KN apibrėžtas (3.45)

išraiška. Jei m ≥M , tai visi SN sumos nariai yra tarp Tm sumos narių ir galiojanelygybės

|Tm − SN | ≤ supn>N

n∑i=N+1

|ai| ≤ ε/2


(kodėl?). Naudodami trikampio nelygybę gauname

ρ(S, Tm) = |S − SN + SN − Tm| ≤ |S − SN |+ |SN − Tm| < ε/2 + ε/2 = ε

kiekvienam m ≥ M . Kadangi ε > 0 yra laisvai pasirinktas, tai galioja (3.44)lygybė ir teorema įrodyta.

Grįšime prie reliatyviai konverguojančios eilutės T = ∑∞i=1(−1)i+1i−1 (žr.

(3.43)) ir parodysime, kad jos narius galima taip perstatyti, kad gauta eilutė kon-verguoja į bet kurį iš anksto duotą skaičių. Tam tikslui pastebėsime, kad T eilutėsteigiami nariai sudaro diverguojančią eilutę (3.4.9 pratimas). Taip pat diverguojaeilutė, kurią sudaro T eilutės neigiamų narių moduliai.

Tegul a ∈ R. Naujos eilutės pirmaisiais nariais imsime T eilutės teigiamusnarius

1 + 13 + 1

5 + · · ·+ 12k + 1

iki tol, kol pirmą kartą gaunama suma bus daugiau už a. Po to nuosekliai pridė-sime T eilutės neigiamus narius

1 + 13 + 1

5 + · · ·+ 12k + 1 −

12 −

14 − · · · −

12l

iki tol, kol pirmą kartą gaunama suma bus mažiau už a. Po to pridėsime tei-giamus eilutės narius iki tol, kol gaunama suma bus daugiau už a. Neaprėžtaitęsdami šią konstrukciją su likusiais T eilutės nariais ir naudodami tai, kad Teilutės nariai konverguoja į nulį gauname dalinių sumų seką konverguojančią į a.

Pastarasis pavyzdys nėra išimtis, bet dėsningumo iliustracija. Kiekvienos rea-liatyviai bet ne absoliučiai konverguojančios eilutės narius galima taip perstatyti,kad nauja eilutė konverguotų į bet kurį iš anksto duotą realųjį skaičių [21, 3.55teorema, 63 pusl.].

Pratimai

1. Įrodyti 3.42 teoremos (a) ir (b) teiginius.

2. Tarkime, kad skaičių eilutė∑∞i=m bi konverguoja absoliučiai o skaičių seka

(ci)i≥m yra aprėžta. Įrodyti, kad eilutė∑∞i=m bici konverguoja absoliučiai.

3. (Abelio požymis) Tarkime, kad skaičių eilutė∑∞i=m bi konverguoja, o skai-

čiųs seka (ci)i≥m yra monotononė ir aprėžta. Įrodyti, kad eilutė∑∞i=m bici

konverguoja absoliučiai. Nuoroda: apibendrinti 3.44 teoremos įrodymą.

3.5 Begalinės aibės 69

4. Tegul∑∞i=m ai ir

∑∞i=m bi yra neneigiamų skaičių eilutės, ir tegul egzistuo-

ja riba L = limi→∞ ai/bi. Įrodyti:

(a) jei L > 0, tai∑∞i=m ai konverguoja tada ir tik tada, kai konverguoja∑∞

i=m bi;

(b) jei L = 0 ir∑∞i=m bi konverguoja, tai konverguoja

∑∞i=m ai.

5. Tarkime, kad teigiamų realiųjų skaičių sekos (ai)i≥m ir (bi)i≥m turi savybę:

ai+1

ai≤ bi+1

bivisiems i ≥ m.

Įrodyti implikaciją: jei eilutė∑∞i=m bi konverguoja, tai konverguoja eilutė∑∞

i=m ai. Nuoroda: pastebėti, kad seka (ai/bi)i≥m yra monotoniškai nedi-dėjanti ir naudoti eilučių lyginimo požymį (3.51 teorema).

6. Įrodyti 3.55 lemos pirmąją nelygybę.

7. Įrodyti, kad limn→∞ n1/n = 1. Nuoroda: naudotis 3.55 lema.

8. Pateikite pavyzdį tokios diverguojančios realiųjų skaičių eilutės∑∞i=m ai,

kad limi→∞ a1/ii = limi→∞(ai+1/ai) = 1 ir pavyzdį tokios konverguojan-

čios eilutės∑∞i=m bi, kad limi→∞ b

1/ii = limi→∞(bi+1/bi) = 1. Nuoroda:

naudotis 3.53 išvada.

9. Įrodyti, kad diverguoja eilutė∑∞i=0(2i+ 1)−1.

10. Tegul neneigiamų skaičių eilutė∑∞i=m ai konverguoja. Įrodyti, kad kon-

verguoja eilutė∑∞i=m a

2i .

11. Tegul neneigiamų skaičių eilutė∑∞i=m ai konverguoja. Pateikti pavyzdį ro-

dantį, kad eilutė∑∞i=m√ai diverguoja ir įrodyti, kad

∑∞i=m√ai/i konver-

guoja. Nuoroda: įrodyti ir naudotis nelygybe xy ≤ (x2 + y2)/2 skaičiamsx, y.

3.5 Begalinės aibėsIki šiol baigtine vadinome aibę, kurios elementų skaičius yra baigtinis, o be-galine vadinome bet kurią aibę, kuri nėra baigtinė. Pirmiausia šiame skyrelyjesuteikiama tiksli prasmė frazei „baigtinis elementų skaičius”. Po to, šiame sky-relyje nagrinėjamos begalinės aibės, kurių elementus galima sunumeruoti; tokia


yra, pavyzdžiui, realiųjų skaičių sekos (rn) narių aibė rn : n ∈ N. Tačiau arvisas realiųjų skaičių aibes galima sunumeruoti? Norėdami atsakyti į šį ir kituspanašius klausimus šiame skyrelyje patikslinsime ir papildysime sąvokas susiju-sias su aibių dydžio įvertinimu.

Aibės galia Kada dvi aibės turi tą patį dydį? Galima būtų sakyti, kad dvi aibėsyra to paties dydžio, jei jos turi tą patį elementų skaičių. Tačiau frazė „elementųskaičius”, griežtai kalbant, nėra apibrėžta. Ši frazė be paaiškinimų nepritaikomabegalinėms aibėms.

Ar dvi aibės yra to paties dydžio galima nustatyti susiejant aibių elementusabipus vienareikšme atitiktimi. Pavyzdžiui, norint įsitikinti ar šaukštų rinkinysyra to paties dydžio kaip ir lėkščių rinkinys nebūtina kiekvieną iš šių aibių su-skaičiuoti. Pakanka šalia kiekvienos lėkštės padėti lygiai vieną šaukštą. Jei tokiubūdu kiekvieną lėkštę atitiks vienintelis šaukštas ir atvirkščiai, tai darome išvadą,kad lėkščių ir šaukštų rinkiniai yra to paties dydžio.

3.61 apibrėžtis. Sakoma, kad dvi aibės X ir Y yra vienodos galios arba, kadaibės X galia yra lygi aibės Y galiai, jei egzistuoja bijekcija f : X → Y .

Pavyzdžiui, aibės 1, 2, 3 galia yra lygi aibės 4, 5, 6 galiai, bet nėra lygiaibės 1, 2 galiai (kodėl?). Tačiau vienodą galią turinčios aibės gali būti vienakitos poaibiu. Pavyzdžiui, jei X yra natūraliųjų skaičių aibė N, o Y yra lyginiųnatūraliųjų skaičių aibė 2n : n ∈ N, tai funkcija f : X → Y su reikšmėmisf(n) := 2n yra bijekcija (kodėl?). Taigi X ir Y yra vienodos galios, nors vienaiš jų yra „pusė” kitos. Matysime, kad tai yra tipiška begalinių aibių savybė.

Skaitytojui siūlome įrodyti kitą teoremą (3.5.1 pratimas).

3.62 teorema. Tegul X , Y ir Z yra aibės. Tada

(a) X yra vienodos galios kaip ir X;

(b) jei X galia lygi Y galiai, tai Y galia lygi X galiai;

(c) jei X galia lygi Y galiai ir Y galia lygi Z galiai, tai X galia lygi Z galiai.

Įrodymas. (b) teiginio įrodymas. Tegul X galia lygi Y galiai, t.y. egzistuo-ja bijekcija f : X → Y . Kadangi bijekcija yra būtina ir pakankama funk-cijos apverčiamumo sąlyga (3.36 teorema [16]), egzistuoja atvirkštinė funkcijaf−1 : Y → X , t.y.

f−1(f(x)) = x ∀x ∈ X ir f(f−1(y)) = y ∀ y ∈ Y. (3.46)


Parodysime, kad f−1 yra bijekcija. Tegul x ∈ X ir y := f(x) ∈ Y . Tadaf−1(y) = f−1(f(x)) = x pagal pirmąjį iš dviejų sąryšių (3.46). Taigi f−1 yrasiurjekcija. Tegul y1, y2 ∈ Y ir f−1(y1) = f−1(y2). Remianti antruoju iš dviejųsąryšių (3.46), turime

y1 = f(f−1(y1)) = f(f−1(y2)) = y2.

Taigi, f−1 yra injekcija. Įrodėme, kad f−1 yra bijekcija, o tuo pačių įrodėmeteiginį (b).

Pastarosios teoremos teiginiai rodo, kad aibių savybė turėti tą pačią galiąsu kita aibe yra ekvivalentumo sąryšis; ekvivalenčiomis laikant vienodos galiosaibes. Šiuo atveju negalime teigti, kad nagrinėjama savybė yra aibės binarusissąryšis, nes visų aibių rinkinys, kurioms apibrėžta nagrinėjama vienodos galiossavybė, nėra aibė. Tačiau, apsiribojus tokiu aibių rinkiniu, kuris yra aibė, galimeteigti, kad nagrinėjamas aibių rinkinys suskyla į nesikertančias ir tą pačią galiąturinčias aibių klases.

Kitu šio skyrelio tikslu yra sąvokos „baigtinė aibė” apibrėžimas. Sakymas,kad tokia yra aibė turinti „baigtinį elementų skaičių”, atrodo intuityviai aiškus irpraktiškas, bet nepakankamas naudotis matematikoje. Tipiškas baigtinės aibėspavyzdys yra aibė i ∈ N : 1 ≤ i ≤ n = 1, 2, . . . , n, turinti n elementų. Šisteiginys turi prasmę ir tada, kai n = 0, nes aibė i ∈ N : 1 ≤ i ≤ 0 tuo atvejuatveju yra tuščia.

3.63 apibrėžtis. Tegul n yra natūralusis skaičius. Sakoma, kad aibės X galiayra n, arba n yra aibės X kardinalinis skaičius, jei X yra vienodos galios su aibei ∈ N : 1 ≤ i ≤ n. Taip pat sakoma, kad aibė X turi n elementų, arba aibės Xelementų skaičius yra n, jei jos galia yra n.

Galios sąvokos apibrėžtis yra korektiška, jei jos reikšmė nustatoma vienin-teliu būdu, t.y. jei n ir m yra aibės X galia, tai n = m. Tam tikslui iš pradžiųįrodysime du pagalbinius teiginius.

3.64 lema. Aibės galia yra nulis tada ir tik tada, kai ta aibė yra tuščioji.

Įrodymas. Tarkime, kad aibės X galia yra nulis, t. y. egzistuoja bijekcija

f : i ∈ N : 1 ≤ i ≤ 0 → X.

Kadangi i ∈ N : 1 ≤ i ≤ 0 = ∅, tai f yra tuščioji funkcija ([16]). Kadangi fyra bijekcija, tai X = ∅.

Atvirkščiai tarkime, kad X = ∅. Kadangi i ∈ N : 1 ≤ i ≤ 0 = ∅ taiieškoma bijekcija yra tuščioji funkcija f : ∅ → ∅ ([16]). Tuščiosios aibės galiayra nulis, ką ir reikėjo įrodyti.


Pastarosios lemos išvada: jei aibės galia nėra nulis tai ji netuščia. Šią išvadągalima papildyti kitu teiginiu.

3.65 lema. Tarkime, kad n ∈ N∗ ir aibės X galia yra n. Tada X yra netuščia irsu bet kuriuo elementu x ∈ X , aibės X \ x galia yra n− 1.

Įrodymas. Tegul f yra bijekcija iš X į i ∈ N : 1 ≤ i ≤ n nustatanti aibės Xgalią. Kadangi f−1(n) ∈ X , tai X yra netuščia. Tegul x ∈ X . Tada f(x) yranatūralusis skaičius tarp 1 ir n. Apibrėžkime funkciją

g : X \ x → i ∈ N : 1 ≤ i ≤ n− 1

su reikšmėmis g(y) := f(y) jei f(y) < f(x) ir g(y) := f(y)−1 jei f(y) > f(x).Funkcija g yra bijekcija (kodėl?), kas įrodo, kad aibėsX\x galia yra n−1.

Dabar pasiruošę įrodyti baigtinės aibės galios ir kardinalinio skaičiaus sąvo-kos korektiškumą.

3.66 teorema. Tarkime, kad n ∈ N ir aibės X galia yra n. Jei m ∈ N taip patyra aibės X galia, tai m = n.

Įrodymas. Įrodysime indukcija pagal n. Kai n = 0, tai aibė X yra tuščia ir jinegali turėti jokios kitos galios reikšmės išskyrus nulį remiantis 3.64 lema. Tar-kime, kad teoremos tvirtinimas teisingas toms aibėms, kurių galia yra natūralusisskaičius n ir tarkime, kad aibės X galia yra n + 1. Taip pat tarkime, kad aibėsX galia yra m ∈ N∗. Remiantis 3.65 lema X yra netuščia aibė ir su bet kuriuoelementu x ∈ X , aibės X \ x galia yra n ir m− 1. Pagal indukcijos prielaidąn = m − 1. Todėl n + 1 = m. Teoremos teiginys teisingas visiems n remiantisindukcijos principu.

3.67 apibrėžtis. Sakoma, kad aibė yra baigtinė, jei jos galia yra n su kuriuonors natūraliuoju skaičiumi n. Priešingu atveju sakoma, kad aibė yra begalinė.Baigtinės aibėsX galią žymėsime |X|, taip pat vadinamą kardinaliniu skaičiumi.

Prisimindami aibės galios apibrėžtis 3.63 ir 3.61 turime, kad aibėX yra baig-tinė tada ir tik tada, kai egzistuoja natūralusis skaičius n ir bijekcija f : i ∈N : 1 ≤ i ≤ n → X . Kitaip sakant aibė X yra baigtinė tada ir tik tada, kaijos elementus galima sunumeruoti, t. y. X = x1, . . . , xn, čia xi := f(i) vi-siems i ∈ N, 1 ≤ i ≤ n. Šia prasme, baigtinės aibės galia arba kardinalinisskaičius yra tos aibės elementų skaičius, gaunamas nustačius bijekciją tarp Xir aibės N poaibio. Pavyzdžiui, aibės X = 0, 1, 2 galia yra 3, nes funkcijaf : i ∈ N : 1 ≤ i ≤ 3 → X su reikšmėmis f(i) := i− 1 ∈ X yra bijekcija.

Kita teorema pateikia begalinės aibės pavyzdį.


3.68 teorema. Natūraliųjų skaičių aibė N yra begalinė.

Įrodymas. Tarkime priešingai, kad aibė N yra baigtinė ir jos galia |N| = n ∈ N.Kadangi aibė N yra netuščia, tai n yra teigiamas. Be to, egzistuoja bijekcija

f : In = i ∈ N : 1 ≤ i ≤ n → N. (3.47)

Tvirtiname, kad aibės Im vaizdas Fm := f [Im] aibėje N yra aprėžta iš viršaus aibėsu bet kuriuo m ∈ N∗. Įrodysime tai indukcijos būdu. Iš tikrųjų, kai m = 1, aibėF1 yra aprėžta skaičiumi f(1) ∈ N. Tarkime, kad su kuriuo norsm ∈ N∗, aibė Fmyra aprėžta skaičiumi M ∈ N. Tada aibė Fm+1 = Fm∪f(m+ 1), aibė Fm yraaprėžta skaičiumi M ir aibė f(m+ 1) yra aprėžta skaičiumi f(m+ 1). Taigi,aibė Fm+1 aprėžta skaičiumi maxM, f(m + 1) ∈ N. Remiantis indukcijosprincipu, kiekvienamm, aibė Fm yra aprėžta iš viršaus natūraliųjų skaičių aibėje.

Tegul n ∈ N∗ yra (3.47) sąryšiu apibrėžtas skaičius. Egzistuoja toks M ∈ N,kad f(i) ≤ M kiekvienam 1 ≤ i ≤ n. Tokiu atveju natūralusis skaičius M + 1nėra lygus f(i) kiekvienam i ∈ 1, . . . , n - prieštara tam, kad f yra bijekcija.Teorema įrodyta.

Baigtinių aibių galios savybės išreiškiamos naudojant natūraliųjų skaičių arit-metiką, ką iliustruoja kita teorema.

3.69 teorema. Tarkime, kad X yra baigtinė aibė. Tada teisingi teiginiai:

(a) Jei x 6∈ X , tai aibė X ∪ x yra baigtinė ir |X ∪ x| = |X|+ 1.

(b) Jei Y ⊂ X , tai aibė Y yra baigtinė ir |Y | ≤ |X|; jei be to Y 6= X , tai|Y | < |X|.

(c) Jei Y yra baigtinė aibė, taiX∪Y yra baigtinė aibė ir |X∪Y | ≤ |X|+|Y |;be to, |X ∪ Y | = |X|+ |Y | jei papildomai X ∩ Y = ∅.

(d) Jei Y yra bet kokia aibė ir f : X → Y yra funkcija, tai vaizdas f [X] yrabaigtinė aibė ir |f [X]| ≤ |X|; jei be to f yra injekcija, tai |f [X]| = |X|.

(e) Jei Y yra baigtinė aibė, tai Descarteso sandauga X × Y yra baigtinė aibėir |X × Y | = |X| |Y |.

(f) Su kiekvienu k ∈ 0, 1, . . . , |X|, aibė X turi lygiai(|X|k

)poaibių, kurių

galia yra k, čia(nk

)yra binomo koeficientas.

(g) Laipsninė aibė P(X) yra baigtinė ir |P(X)| = 2|X|.


Įrodymas. Įrodysime tik (a), (b) ir (f). Kiti teoremos teiginiai siūlomi įrodytiskaitytojui (3.5.2 pratimas).

(a): Kadangi aibė X yra baigtinė egzistuoja toks n ∈ N, kad |X| = n. Jein = 0, tai X yra tuščia ir |X ∪ x| = |x| = 1 = |X| + 1, nes tarp x ir1 turime akivaizdžią bijekciją. Tarkime, kad n ≥ 1. Tada egzistuoja bijekcijaf : 1, . . . , n → X . Apibrėžkime funkciją g : 1, . . . , n + 1 → X ∪ x sureikšmėmis g(i) := f(i) jei 1 ≤ i ≤ n ir g(n + 1) := x. Tada g yra bijekcija(kodėl?), įrodanti teiginį.

(b): Kadangi aibė X yra baigtinė egzistuoja toks n ∈ N, kad |X| = n.Galima tarti, kad n ≥ 1 ir Y yra netuščia, nes priešingu atveju teiginys aiškus.Tegul f yra bijekcija iš N := i ∈ N : 1 ≤ i ≤ n į X nustatanti X galią ir tegulM := i ∈ N : 1 ≤ i ≤ n, f(i) ∈ Y ⊂ N . Tada funkcijos f siaurinys fM yrabijekcija tarp M ir Y (kodėl?) rodanti, kad M ir Y turi tą pačią (baigtinę) galią.Tegul g(1) yra M aibės minimumas, g(2) yra M \ g(1) aibės minimumas irt. t. iki g(m) yra aibės M maksimumas. Tada kompozicija fMg yra bijekcija iši ∈ N : 1 ≤ i ≤ m į Y ir |Y | = m ≤ n = |X| (kodėl?). Jei Y 6= X , taiM 6= 1, . . . , n ir |Y | = m < n = |X|.

(f): Su bet kuria aibe X , turinčia galią n ∈ N, pažymėkime Pn(X) tokįteiginį: su kiekvienu k ∈ 0, 1, . . . , n teisinga

∣∣∣Y ∈ P(X) : |Y | = k∣∣∣ =

(n

k

).

Indukcijos pagalba įrodysime, kad kiekvienai aibei X , kurios galia yra n, galiojateiginys Pn(X). Tegul

M := n ∈ N : ∀X : |X| = n galioja Pn(X).

Aibė X = ∅ turi vienintelį poaibį Y = ∅ ir(

00

)= 1 remiantis faktorialo apibrė-

žimu. Tai rodo, kad teisingas teiginys P0(∅). Kadangi tuščioji aibė yra vienintelėaibė turinti galią lygią nuliui, tai 0 ∈M . Tarkime, kad n ∈M . Parodysime, kadn + 1 ∈ M . Tegul aibė X yra tokia, kurios galia |X| = n + 1. Reikia įrodyti,kad galioja teiginys Pn+1(X). Dar kartą remiantis faktu, kad nulinę galią turivienintelė tuščioji aibė, galioja lygybės

∣∣∣Y ∈ P(X) : |Y | = 0∣∣∣ = |∅| = 1 =

(n+ 1

0

),

t. y. teiginį Pn+1(X) apibrėžianti savybė galioja kai k = 0. Įrodysime šią savybę,kai k ∈ 1, . . . , n + 1. Kadangi X yra netuščia, tai jai priklauso bent vienas


objektas x (?? teorema). Visus X-o poaibius Y padalinsime į dvi nesikertančiasklases: į tuos kuriems nepriklauso x ir į tuos kuriems priklauso x. Tada teisingalygybė

Y ∈ P(X) : |Y | = k= Y ∈ P(X \ x) : |Y | = k ∪ Y ∈ P(X) : |Y | = k ir x ∈ Y .

Remiantis 3.65 lema, |X \ x| = n. Tai pagal indukcijos prielaidą, turime

∣∣∣Y ∈ P(X \ x) : |Y | = k∣∣∣ =

(n

k

).

Dar kartą remiantis 3.65 lema, gauname lygybes

Y ∈ P(X) : |Y | = k ir x ∈ Y = Y \ x ∈ P(X \ x) : |Y | = k ir x ∈ Y = Z ∈ P(X \ x) : |Z| = k − 1.

Remiantis indukcijos prielaida, pastarosios aibės galia yra(

nk−1

). Remiantis šios

teoremos (c) teiginiu nesikertančioms aibėms ir binominio koeficiento apibrėž-timi, gauname∣∣∣Y ∈ P(X) : |Y | = k

∣∣∣ =(n

k

)+(

n

k − 1

)=(n+ 1k

).

Įrodėme, kad galioja teiginys Pn+1(X). Kadangi X yra laisvai pasirinkta aibėturinti galią n + 1, tai n + 1 ∈ M . Remiantis indukcijos principu M = N, ką irreikėjo įrodyti.

Suskaičiuojamos ir nesuskaičiuojamos aibės Dabar suteiksime tikslią pras-mę tam, ką iki šiol vadinome begalinės aibės elementų numeracija.

3.70 apibrėžtis. Aibė X vadinama suskaičiuojamai begaline, arba suskaičiuo-jama, jei jos galia yra lygi natūraliųjų skaičių aibės N galiai. Sakoma, kad aibėX yra ne daugiau kaip suskaičiuojama, jei ji yra suskaičiuojama arba baigtinė.Sakoma, kad aibė yra nesuskaičiuojama, jei ji yra begalinė ir nėra suskaičiuoja-ma.

Jei aibė X yra suskaičiuojama, tai egzistuoja bijekcija f : N → X . Todėlkiekvienas aibės X elementas išreiškiamas funkcijos f reikšme f(n) su kuriuonors vieninteliu n ∈ N, t. y.

X = f(0), f(1), f(2), . . . .


Tokia aibės X išraiška rodo, kad jos elementai sudaro seką (f(n)). Suskaičiuo-jamai begaline yra lyginių natūraliųjų skaičių aibė Y = 2n : n ∈ N. Iš tikro,funkcija f : N → Y su reikšmėmis f(n) := 2n kiekvienam n ∈ N yra bijekci-ja (kodėl?). Dar daugiau, parodysime, kad kiekvienas natūraliųjų skaičių aibėsbegalinis poaibis yra suskaičiuojama aibė.

3.71 teorema. Tegul X yra natūraliųjų skaičių aibės N begalinis poaibis. Tadaegzistuoja vienintelė bijekcija f : N → X , kuri yra didėjanti, t. y. f(n + 1) >f(n) kiekvienam n ∈ N.

Įrodymas. Apibrėšime nurodytą funkciją f . Natūraliųjų skaičių aibė X turi mi-nimalų elementą; pažymėkime šį elementą a0. Tarkime, kad apibrėžėme a0, a1, . . . , an−1su kuriuo nors n ≥ 1 ir tegul

Xn := x ∈ X : x 6= am, ∀m < n = X \ a0, . . . , an−1.

Natūraliųjų skaičių aibė Xn yra netuščia (kodėl?). Aibės Xn minimalų elemen-tą pažymėkime an. Jo egzistavimą garantuoja 2.20 teorema. Rekursijos teore-ma ([16]) garantuoja, kad egzistuoja aibės X elementų seka (an), t. y. funkcijaf : N→ X su reikšmėmis f(n) := an.

Parodysime, kad f yra didėjanti. Tegul n ∈ N. Kadangi an+1 ∈ Xn+1 ⊂ Xn

ir an yra minimalus aibės Xn elementas, tai an ≤ an+1. Be to, an+1 6= an pagalXn+1 apibrėžimą. Todėl an < an+1. Kadangi n yra laisvai pasirinktas, tai f yradidėjanti.

Funkcija f yra injekcija. Iš tikrųjų, tegul n 6= m. Dėl natūraliųjų skaičių tri-chotomijos, arba n < m arba n > m. Tegul n < m (priešingu atveju argumentaisimetriški). Kadangi f yra didėjanti, tai an < an+k kiekvienam k > 0 (kodėl?);atskiru atveju an < am. Taigi f(n) 6= f(m), t. y. f yra injekcija.

Funkcija f yra siurjekcija, t. y. kiekvienam x ∈ X egzistuoja toks n ∈ N, kadx = an. Tegul x ∈ X . Tarkime priešingai, kad x 6= an kiekvienam n ∈ N. Tadax ∈ Xn kiekvienam n ∈ N (kodėl?). Dėl an minimalumo, x ≥ an kiekvienamn ∈ N. Kadangi seka (an) didėjanti, tai an ≥ n kiekvienam n ∈ N (kodėl?). Dėlnelygybės tranzityvumo, x ≥ n kiekvienam n ∈ N; atskiru atveju x ≥ x + 1 -prieštara, įrodanti, kad f yra siurjekcija.

Kadangi f yra injekcija ir siurjekcija, tai ji yra bijekcija. Liko parodyti, kadf yra vienintelė didėjanti bijekcija. Tarkime priešingai - egzistuoja skirtinganuo f didėjanti bijekcija g : N → X . Tada aibė n ∈ N : g(n) 6= f(n) yranetuščia. Remiantis 2.20 teorema egzistuoja minimalus šios aibės elementas m,t. y. g(m) 6= f(m) = am ir g(n) = f(n) = an visiems n < m. Kadangi g yradidėjanti bijekcija, tai funkcija

gm : n ∈ N : n ≥ m → X \ g(0), . . . , g(m− 1) = Xm


su reikšmėmis gm(n) := g(n) taip pat yra didėjanti bijekcija (kodėl?). Todėlgm(m) turi būti mažiausias aibės Xm elementas am, t. y. g(m) = gm(m) = am -prieštara, įrodanti, kad funkcija f yra vienintelė. Teorema įrodyta.

Kadangi baigtinės aibės yra ne daugiau kaip suskaičiuojamos, tai pastarojiteorema leidžia suformuluoti kitus du teiginius:

3.72 išvada. Visi natūraliųjų skaičių aibės poaibiai yra ne daugiau kaip suskai-čiuojami.

3.73 išvada. Jei aibė X yra ne daugiau kaip suskaičiuojama ir aibė Y yra Xpoaibis, tai Y yra ne daugiau kaip suskaičiuojama.

Įrodymas. JeiX yra baigtinė aibė, tai išvados teiginys išplaukia iš 3.69 teoremos(b) teiginio. Tarkime, kad X yra suskaičiuojamai begalinė. Tada egzistuojabijekcija f iš X į N. Kadangi Y ⊂ X , tai funkcijos f siaurinys fY į aibę Yapibrėžia bijekciją fY : Y → f [Y ] (kodėl fY yra bijekcija?). Tada Y ir f [Y ] turitą pačią galią. Kadangi f [Y ] ⊂ N, tai f [Y ] yra ne daugiau kaip suskaičiuojamadėl 3.72 išvados. Todėl Y yra ne daugiau kaip suskaičiuojama, ką ir reikėjoįrodyti.

Šiuose teiginiuose kalbama apie natūraliųjų skaičių aibės poaibių suskaičiuo-jamumą. Tačiau suskaičiuojamomis yra ir aibės aiškiai „didesnės" už natūraliųjųskaičių aibę. Pavyzdžiui, suskaičiuojamomis yra sveikųjų skaičių aibė Z (3.5.4pratimas) ir racionaliųjų skaičių aibė Q (3.5.5 pratimas).

Parodysime, kad dviejų suskaičiuojamų aibių A ir B Descarteso sandaugaA × B yra suskaičiuojama aibė. Pagal prielaidą šių aibių elementus galime su-numeruoti; tegulA = a0, a1, a2, . . . irB = b0, b1, b2, . . . . Visus aibėsA×Belementus galima išreikšti lentele

(a0, b0) (a0, b1) (a0, b2) . . .(a1, b0) (a1, b1) (a1, b2) . . .(a2, b0) (a2, b1) (a2, b2) . . .. . . . . . . . .

Šios lentelės elementus rikiuojant į eilę diagonalių kryptimis, bet praleidžianttuos, kurie jau yra eilėje, gauname seką

(a0, b0)︸︷︷︸1 narys

, (a0, b1), (a1, b0)︸︷︷︸2 nariai

, (a0, b2), (a1, b1), (a2, b0)︸︷︷︸3 nariai

, . . . ,

sugrupuotą pagal diagonales. Galima pastebėti, kad kiekvienas aibės A×B ele-mentas patenka į šią seką ir kiekvienam natūraliajam n priskiriamas vienintelis


šios aibės elementas. Tai reiškia, kad tarp A×B ir N egzistuoja bijekcija. Tačiaušis argumentas nėra pilnas, nes nenurodo bijekcijos išreikštiniu pavidalu. Toliauyra kitas, trumpesnis ir pilnas, to paties teiginio įrodymas.

3.74 teorema. Jei A ir B yra suskaičiuojamos aibės, tai jų Descarteso sandaugaA×B yra suskaičiuojama aibė.

Įrodymas. Naudosimės fundamentaliąja aritmetikos teorema: kiekvieną ne ma-žesnį už 2 natūralųjį skaičių galima išreikšti pirminių daugiklių sandauga vienin-teliu būdu, jei nekreipti dėmesio į daugiklių tvarką (?? teorema). Naudosimėsantrąja šios teoremos dalimi - skaidinio vienatimi. Tegul A ir B yra suskaičiuo-jamos aibės. Egzistuoja bijekcijos f ir g iš N į A ir B, atitinkamai. Tada

A×B = (f(n), g(m)) : n ∈ N, m ∈ N.

Apibrėšime funkciją h iš A×B į N su reikšmėmis

h((f(n), g(m))) := 2n3m, n ∈ N, m ∈ N.

Jei (n,m) 6= (n′,m′), tai 2n3m 6= 2n′3m′ remiantis fundamentaliosios aritme-tikos teoremos antrąja dalimi. Todėl funkcija h : A × B → N yra injekcija.Susiaurinus h reikšmių aibę iki vaizdo h[A × B] ⊂ N, ji tampa bijekcija. Re-miantis 3.72 išvada, h[A×B] yra ne daugiau kaip suskaičiuojama. Todėl A×Byra ne daugiau kaip suskaičiuojama. Kadangi A × B nėra baigtinė, tai įrodoteoremą.

Kyla klausimas ar visos begalinės aibės yra suskaičiuojamos? Atsakymas- neigiamas; atradimo metu, 19 amžiuje, šis faktas tapo labai reikšmingu, nesparodė, kad begalybė nėra vienalytė. Atsakymo autorius - G. Cantoras7 - taippat laikomas aibių teorijos kūrėju.

3.75 teorema (Cantor’o teorema). TegulX yra aibė (baigtinė ar begalinė). Tadaaibės X ir P(X) negali turėti tą pačią galią.

Įrodymas. 8 Jei X yra tuščioji aibė ∅, tai laipsninė aibė P(X) = ∅ turi vienąelementą, t. y. teoremos teiginys šiuo atveju teisingas. Tarkime, kad X nėratuščioji aibė ir priešingai teoremos teiginiui, tarkime, kad aibės X ir P(X) turi

7Georg Cantor (1845-1918) - vokiečių matematikas8Sakoma, kad Cantoro teoremos įrodymas yra vienas iš kelių (keturių ar penkių) nuostabiau-

sių įrodymų visoje matematikoje. Verta palyginti šį įrodymą su Russello paradoksu ?? skyreliopradžioje ?? pavyzdys.


tą pačią galią. Tada egzistuoja bijekcija f : X → P(X). Kadangi f(x) ⊂ Xkiekvienam x ∈ X , tai turi prasmę aibė

A := x ∈ X : x 6∈ f(x),

kuri yra X poaibis, t. y. A ∈ P(X). Kadangi f yra siurjekcija egzistuoja toksa ∈ X , kad f(a) = A. Yra lygiai dvi galimybės: a ∈ A arba a 6∈ A. Jei a ∈ A,tai pagalA apibrėžimą teisinga a 6∈ f(a) = A - prieštara. Jei a 6∈ A, tai a 6∈ f(a)ir vėl pagal A apibrėžimą teisinga a ∈ A - prieštara. Abiem atvejais gaunameprieštarą, kas įrodo teoremą.

3.76 išvada. Laipsninė aibė P(N) nėra suskaičiuojama.

Įrodymas. Remiantis 3.75 teorema aibės P(N) ir N negali turėti tą pačią galią.Kadangi N yra suskaičiuojama, tai P(N) yra baigtinė arba nėra suskaičiuojama.Be to, aibių rinkinys n : n ∈ N yra P(N) poaibis ir yra suskaičiuojamas.Todėl, remiantis 3.69 teoremos (b) teiginiu, aibė P(N) nėra baigtinė. Tai reiškia,kad laipsninė aibė P(N) nėra suskaičiuojama.

Galiausiai Cantoro teorema įgalina įrodyti kitą neakivaizdų faktą.

3.77 išvada. Realiųjų skaičių aibė R nėra suskaičiuojama.

Įrodymas. Su kiekviena aibe X ⊂ N apibrėšime funkciją 1IX : N → 0, 1 sureikšmėmis 1IX(n) := 1 jei n ∈ X ir 1IX(n) := 0 jei n 6∈ X . Tada apibrėšimefunkciją f : P(N)→ R su reikšmėmis

f(X) :=∞∑n=0

1IX(n)3−n, X ∈ P(N).

Geometrinės eilutės absoliutus konvergavimas (3.49 teorema) ir eilučių lyginimopožymis (3.51 teorema) įrodo, kad f(X) eilutė konverguoja absoliučiai kiekvie-nam X ∈ P(N). Todėl funkcijos f reikšmėmis yra eilutės suma, o pati funkcijayra korektiškai apibrėžta. Jei f yra injekcija, tai vaizdas f [P(N)] turi tą pačiągalią, kaip ir laipsninė aibė P(N), kuri nėra suskaičiuojama (3.76 išvada). Tadanebūtų suskaičiuojama ir aibė R remiantis 3.73 išvada. Todėl pakanka įrodyti,kad f yra injekcija.

Tarkime, kad f nėra injekcija. Tada egzistuoja tokios dvi skirtingos aibesX ∈ P(N) ir Y ∈ P(N), kad f(X) = f(Y ). Kadangi X 6= Y , tai aibė Z :=(X \ Y ) ∪ (Y \ X) yra netuščia. Remiantis 2.20 teorema, aibėje Z egzistuojamažiausias elementas n0, kuris priklauso arba aibei X \ Y arba aibei Y \ X .


Dėl simetrijos galime tarti, kad n0 ∈ X \ Y . Dėl n0 minimalumo, kiekvienamn < n0, arba n ∈ X ∩ Y arba n 6∈ X ∪ Y (kodėl?). Tada

f(X)− f(Y ) =∞∑n=0

1IX(n)3−n −∞∑n=0

1IY (n)3−n

=( n0−1∑

n=01IX(n)3−n + 3−n0 +

∞∑n=n0+1

1IX(n)3−n)

−( n0−1∑

n=01IY (n)3−n +

∞∑n=n0+1

1IY (n)3−n)

= 3−n0 +∞∑

n=n0+11IX(n)3−n −

∞∑n=n0+1

1IY (n)3−n

≥ 3−n0 + 0−∞∑

n=n0+13−n.

Remiantis 3.42 teoremos (d) teiginiu ir geometrinės eilutės suma (3.35) gauna-mos lygybės

∞∑n=n0+1

3−n =∞∑j=0

3−(n0+1+j) = 3−n0−1∞∑j=0

3−j = 123−n0 .

Todėl0 = f(X)− f(Y ) ≥ 3−n0 − (1/2)3−n0 > 0

- prieštara, įrodanti, kad f yra injekcija.

Apie dvi aibes A ir B sakoma, kad aibės A galia yra nedidesnė už aibės Bgalią, jei egzistuoja injekcija f : A → B. Jei be to, neegzistuoja bijekcija tarpA ir B, tai sakoma, kad aibės B galia yra didesnė už aibės A galią. 3.77 išvadarodo, kad realiųjų skaičių aibė R turi didesnę galią negu natūraliųjų skaičių aibėN. Tokiu būdu atsakymas į klausimą „ar galima sunumeruoti realiųjų skaičiųaibę?” yra neigiamas.

Iki šiol žodžiai „galia” ir „kardinalumas” vartojami frazėse „aibės turi vie-nodą galią” ar „galia yra didesnė”. Tačiau kaip matematinis objektas galia irkardinalinis skaičius apibrėžtas tik baigtinėms aibėms.

Kadangi aibių savybė būti vienodos galios savybė yra ekvivalentumo sąryšis(3.62 teorema), tai natūralu būtų aibės A galia laikyti klasę visų aibių, kurios turivienodą galią su A. Tačiau tokia klasė yra per didelė, kad būtų aibė ir neaišku,kaip ji galėtų būti matematiniu objektu. Yra keletas būdų spręsti šią problemą.Vienas jų yra su kiekviena aibe A susieti „standartinę” aibę, kuri turi vienodą


galią su aibe A (kaip yra baigtinių aibių atveju). Paprastai tokia standartine ai-be yra ordinalas, apibrėžiamas grynojoje aibių teorijoje (žr. [11]). Tokiu atvejukardinalinį skaičių |X| galima apibrėžti ir begalinėms aibėms X . Pavyzdžiui,natūraliųjų skaičių aibės kardinalinis skaičius9 ℵ0 := |N| yra mažiausias tarpbegalinių aibių. Jei realiųjų skaičių aibės kardinalinį skaičių žymėti c (angl. con-tinuum), tai c yra didesnis už ℵ0. Teiginys, kad tarp ℵ0 ir c nėra kitų kardinaliniųskaičių vadinamas kontinuumo hipoteze. K. Gödelis ir P. Cohenas įrodė, kadZermelo-Fraenkelio aibių aksiomų sistemos kontekste ši hipotezė nėra išspren-džiama nei teigiamai, nei neigiamai.

Pratimai


2. Įrodyti likusius 3.69 teoremos teiginius. Nuoroda (g) teiginiui: (1 + 1)n =∑nk=0

(nk

).

3. Tegul X yra begalinė aibė, Y yra aibė ir funkcija f : X → Y yra injekcijaĮrodyti, kad f [X] yra begalinė aibė.

4. Įrodyti, kad sveikųjų skaičių aibė Z yra suskaičiuojama.

5. Įrodyti, kad racionaliųjų skaičių aibė Q yra suskaičiuojama. Nuoroda:kiekvienas q ∈ Q∗ išreiškiamas nesuprastinama trupmena m/n; remian-tis ?? teorema, m = pa1

1 pa22 · · · par

r ir n = qb11 q

b22 · · · qbs

s . Tegul f(m/n) :=p2a1

1 p2a22 · · · p2ar

r q2b1−11 q2b2−1

2 · · · q2bs−1s . Tada f : Q∗ \ 1 → N∗ \ 1.

6. Įrodyti, kad racionaliųjų skaičių porų aibė Q× Q yra suskaičiuojama.

7. Įrodyti, kad bet kurie du uždari intervalai yra vienodos galios.

8. Įrodyti, kad intervalai (0, 1) ir (0,+∞) yra vienodos galios. Nuoroda:x 7→ 1/x yra bijekcija iš (0, 1) į (1,∞) ir x 7→ x−1 yra bijekcija iš (1,∞)į (0,∞).

9. Įrodyti, kad (−1, 1) ir R yra vienodos galios aibės.

9ℵ yra hebrajų kalbos abėcėlės pirmoji raidė, skaitoma alef.


3.6 Pastabos ir papildymaiRealiųjų skaičių aibės pilnumas Praeito skyriaus gale ir šiame skyriuje buvoįrodytos kelios teoremos, kurios vienaip ar kitaip apibūdina realiųjų skaičių aibėspilnumą. Galima įrodyti dar daugiau. Būtent, toliau formuluojami penki teiginiaiyra ekvivalentūs:

(a) visoms netuščioms realiųjų skaičių aibėms A, jei A turi viršutinį rėžį, taiA turi mažiausią viršutinį rėžį (?? teorema);

(b) kiekviena aprėžta nemažėjanti realiųjų skaičių seka konverguoja (3.21 teo-rema);

(c) kiekviena aprėžta realiųjų skaičių seka turi konverguojantį posekį (3.29teorema);

(d) kiekviena realiųjų skaičių Cauchy seka konverguoja (3.36 teorema);

(e) jei realiųjų skaičių seka (an) nemažėja, realiųjų skaičių seka (bn) nedidėjair an ≤ bn kiekvienam n ∈ N, tai uždarieji intervalai [an, bn], n ∈ N,traukiasi [a0, b0] ⊃ [a1, b1] ⊃ · · · ⊃ [an, bn] ⊃ · · · ir jų sankirta⋂

n∈N[an, bn] 6= ∅.

Realiųjų skaičių dešimtainė sistema Priminsime (žr. (??)) natūraliųjų skaičiųžymėjimus dešimtainiais skaitmenimis.

3.78 apibrėžtis. Dešimtainis skaitmuo arba skaitmuo dešimtainėje sistemoje yrabet kuris iš dešimties simbolių 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Šie skaitmenys žymipirmuosius dešimt elementų iš natūraliųjų skaičių aibės N.

Vienuoliktąjį natūraliųjų skaičių aibės elementą, dešimt, kol kas žymėsime9++.

3.79 apibrėžtis. Dešimtainis teigiamas natūralusis skaitmuo arba teigiamas na-tūralusis skaitmuo dešimtainėje sistemoje yra dešimtainių skaitmenų baigtinė se-ka anan−1 . . . a0, kai n ∈ N ir an 6= 0. Dešimtainis teigiamas natūralusis skait-muo žymi teigiamą natūralųjį skaičių priskiriamą pagal formulę

anan−1 . . . a0 :=n∑i=0

ai·(9++)i.

3.6 Pastabos ir papildymai 83

Pavyzdžiui, pagal pastarąjį apibrėžimą turime

10 = 1·(9++)1 + 0·(9++)0 = 9++.

Todėl natūralųjį skaičių 9++ toliau žymėsime 10 (dešimt). Be to, kiekvienas de-šimtainis skaitmuo yra dešimtainis teigiamas natūralusis skaitmuo. Pavyzdžiui,pagal pastarąjį apibrėžimą turime

5 = 5·(9++)0 = 5.

3.80 teorema. Kiekvienas teigiamas natūralusis skaičius yra išreiškiamas lygiaivienu dešimtainiu teigiamu natūraliuoju skaitmeniu.

Kitoje apibrėžtyje naudojamas simbolis , vadinamas dešimtainiu kableliu.

3.81 apibrėžtis. Dešimtainis realusis skaitmuo yra dešimtainių skaitmenų ir de-šimtainio kablelio begalinė seka

± anan−1 . . . a0, a−1a−2 . . . (3.48)

kur n ∈ N, anan−1 . . . a0 yra dešimtainis teigiamas natūralusis skaitmuo arbanulis, a−i, i ∈ N∗, yra dešimtainiai skaitmenys ir ± yra + arba −. Dešimtainisrealusis skaitmuo (3.48) žymi realųjį skaičių

±1·( n∑i=0

ai·10i +∞∑j=1

a−j·10−j).

3.82 teorema. Kiekvienas realusis skaičius yra išreiškiamas bent vienu dešim-tainiu realiuoju skaitmeniu.

Ši išraiška nėra vienintelė. Pavyzdžiui, realusis skaičius 1 išreiškiamas dviemskirtingais dešimtainiais realiaisiais skaitmenimis 1, 00 . . . ir 0, 99 . . . .

4 skyrius

Funkcijos realiųjų skaičių aibėje

Praeitame skyriuje nagrinėjamos realiųjų skaičių sekos, t. y. funkcijos apibrėžtosnatūraliųjų skaičių aibėje N su reikšmėmis realiųjų skaičių aibėje R. Pavyzdžiui,tiriamas sekos narių (funkcijų iš N į R reikšmių) konvergavimas, kai sekos indek-sas neaprėžtai auga. Šiame skyriuje nagrinėjamos funkcijos apibrėžtos realiųjųskaičių aibėje R su reikšmėmis toje pačioje aibėje R. Kadangi realiųjų skaičiųaibė yra nesuskaičiuojama, funkcijų iš R į R konvergavimo klausimai yra gerokaiįvairesni. Be to, realiųjų skaičių aibė turi pilnumo savybę (kiekviena Cauchy se-ka konverguoja), kurią galima interpretuoti kaip realiųjų skaičių aibės tolydumą,lyginant su natūraliųjų skaičių aibės diskretumu.

Dar kartą priminsime, kad realiųjų skaičių aibė R tik 19-ame šimtmetyje įgijodabartinį loginį pagrindą, atskiriant realiuosius skaičius nuo geometrinės tiesėstaškų. Iki tol realieji skaičiai buvo tapatinami su tiesės taškais, o jų savybės buvokildinamos iš intuityviai suprantamos tiesės taškų „tolydumo savybės”, vadina-mos kontinuumu. Ryšį tarp geometrinės tiesės ir realiųjų skaičių aibės šiuolaiki-nėje matematikoje nusako Dedekindo-Cantoro aksioma: tarp geometrinės tiesėstaškų ir realiųjų skaičių aibės egzistuoja tvarką išsauganti bijekcija.

Nors realiųjų skaičių aibė matematikoje yra atskirta nuo geometrinės tiesėstaškų, tačiau tradiciniai terminai matematinėje analizėje išliko. Pavyzdžiui, žo-dis „taškas” jau buvo panaudotas apibrėžiant sekos ribinio taško sąvoką. Šiuoir kitais atvejais „taškas” arba „tiesės taškas” naudojami kaip sinonimai frazei„realusis skaičius”. Panašiai, toliau nagrinėjamas sąvokas „tiesės taškų aibė” ar„taškų aibė” reikia suprasti kaip realiųjų skaičių aibė ar skaičių aibė, o „realiųjųskaičių tiesė” yra tas pats, kas realiųjų skaičių aibė R.

4.1 Atvirosios ir uždarosios tiesės taškų aibės 85

4.1 Atvirosios ir uždarosios tiesės taškų aibėsŠiame skyrelyje nagrinėjamos dviejų tipų tiesės taškų aibės: uždarosios ir atvi-rosios aibės. Uždarosiomis yra aibės, kurioms priklauso visi jos „ribiniai" taškai(4.1.(b) apibrėžtis), o atvirosiomis yra uždarųjų aibių papildiniai. Tikslesniamšių aibių apibrėžimui naudojamos sąvokos, kurios apibūdina taško padėtį aibėsatžvilgiu.

Tiesės taškų klasifikavimas aibės atžvilgiu Tegul y yra tiesės taškas, t. y. yyra realusis skaičius, arba tiesiog y ∈ R. Su bet kuriuo realiuoju skaičiumi ε > 0,taško y ε-aplinka, arba tiesiog aplinka, yra aibė tų tiesės taškų, kurie nutolę nuoy atstumu mažesniu negu ε, žymima

Oε(y) := x ∈ R : |x− y| < ε = (y − ε, y + ε).

Pastaroji lygybė yra skaičiaus modulio savybių pasekmė (2.11 išvada). Taip patnaudosime aibę

O•ε (y) := x ∈ R : 0 < |x− y| < ε = (y − ε, y) ∪ (y, y + ε),

kuri yra taško y ε-aplinka be to taško, vadinama pradurta ε-aplinka. Taško padėtįatžvilgiu kurios nors aibės apibūdina to taško aplinkos ir aibės sankirta.

4.1 apibrėžtis. Tegul A yra tiesės taškų aibė, o y yra tiesės taškas.

(a) Sakoma, kad y yra A sąlyčio taškas, jei kiekvienoje jo aplinkoje yra bentvienas aibės A elementas, t. y. kiekvienam ε > 0 egzistuoja toks x ∈ A,kad x ∈ Oε(y).

(b) Sakoma, kad y yra A ribinis taškas, jei kiekvienoje jo aplinkoje yra bentvienas aibės A elementas, skirtingas nuo y, t. y. kiekvienam ε > 0 egzis-tuoja toks x ∈ A, kad x ∈ O•ε (y).

(c) Sakoma, kad y yra A izoliuotas taškas, jei y ∈ A ir egzistuoja tokia joaplinka, kurioje daugiau nėra aibės A elementų, t. y. egzistuoja toks ε > 0,kad A ∩O•ε (y) = ∅.

(d) Sakoma, kad y yraA vidinis taškas, jei y ∈ A ir egzistuoja tokia jo aplinka,kurią sudaro tik aibės A elementai, t.y. egzistuoja toks ε > 0, kad Oε(y) ⊂A.

86 4 skyrius. Funkcijos realiųjų skaičių aibėje

Norint geriau suprasti 4.1 apibrėžties sąvokas verta išsiaiškinti kokios rūšiestaškais yra kiekvienas konkrečios aibės elementas. Pavyzdžiui, kiekvienas in-tervalo A = [0, 1) := x ∈ R : 0 ≤ x < 1 elementas yra šios aibės ribinisir sąlyčio taškas. Taškas y = 1 taip pat yra šios aibės ribinis ir sąlyčio taškas,nors ir nėra jos elementu. Intervalo A = [0, 1) vidiniais taškais yra visi atviriojointervalo (0, 1) ⊂ A elementai. Intervalas A = [0, 1) neturi izoliuotų taškų, bety = 2 yra aibės [0, 1) ∪ 2 izoliuotas ir sąlyčio taškas.

Panašią analizę verta atlikti su kitomis iki šiol sutiktomis tiesės taškų aibėmis,pavyzdžiui, natūraliųjų skaičių aibe N, sveikųjų skaičių aibe Z ir racionaliųjųskaičių aibe Q. Kitais tiesės taškų aibių pavyzdžiais yra aibės gautos taikant aibiųoperacijas jau apibrėžtoms aibėms. Pavyzdžiui, aibė 1∪2 yra intervalų [1, 2]ir (1, 2) aibių skirtumas, arba sankirta N ∩ (1/2, 5/2). Visa tiesės taškų aibė Ryra sąjunga (−∞, 0] ∪ (0,+∞). Jei A yra bet kuri iš paminėtų aibių ir y yratos aibės elementas, tai siūlome išsiaiškinti: Ar y yra aibės A ribinis (izoliuotas,sąlyčio, vidinis) taškas?

Lyginant 4.1 apibrėžties sąvokas galima pastebėti tris faktus: (1) kiekvienasaibės ribinis taškas yra tos aibės sąlyčio taškas, (2) kiekvienas aibės izoliuotastaškas yra tos aibės sąlyčio taškas ir (3) taškas negali būti tos pačios aibės izo-liuotas ir ribinis taškas. Taip pat pastebėkime, kad (4) skirtingai nuo izoliuototaško, aibės A ribinis taškas neprivalo būti aibės A elementu. Netrukus parody-sime, kad taškas yra aibės sąlyčio tada ir tik tada, kai jis yra tos aibės ribinis arbaizoliuotas taškas (4.3 teorema).

4.2 apibrėžtis. Tegul A yra tiesės taškų aibė. Visų A sąlyčio taškų aibė vadina-ma aibės A uždariniu ir žymima A. Visų A ribinių taškų aibė vadinama aibės Aišvestine ir žymima A′. Visų A izoliuotų taškų aibę žymėsime IA.

Pavyzdžiui, atvirojo intervalo (a, b) uždarinys yra uždarasis intervalas [a, b](4.1.2 pratimas). Racionaliųjų skaičių aibės Q uždarinys yra realiųjų skaičių ai-bė R (4.1.3 pratimas). Toliau įrodyta, kad uždarinį, sąlyčio taškų aibę, sudaroribiniai ir izoliuoti taškai.

4.3 teorema. Tegul A yra tiesės taškų aibė. Tada A = A′ ∪ IA ir IA = A \ A′.

Įrodymas. Antrąją lygybę siūloma įrodyti skaitytojui (4.1.5 pratimas). Dėl pir-mosios lygybės, atsižvelgiant į ankstesnius pastebėjimus esančius prieš 4.2 api-brėžimą, pakanka įrodyti, kad A ⊂ A′ ∪ IA. Tegul x ∈ A. Jei x 6∈ A′, tai egzis-tuoja toks ε0 > 0, kad A ∩ O•ε0(x) = ∅. Kadangi x ∈ A, tai A ∩ Oε0(x) 6= ∅.Todėl x ∈ A, ir tai rodo, kad x ∈ IA. Parodėme, kad teisinga alternatyva x ∈ A′arba x ∈ IA. Teorema įrodyta.


Aibės uždariniui galioja savybės suformuluotos kitoje teoremoje.

4.4 teorema. Tegul X ir Y yra tiesės taškų aibės. Tada

(a) X ⊂ X;

(b) jei X ⊂ Y , tai X ⊂ Y ;

(c) X = X;

(d) X ∪ Y = X ∪ Y ;

(e) X ∩ Y ⊂ X ∩ Y .

Įrodymas. Įrodysime (b), (c) ir (d) teiginius palikdami skaitytojui įrodyti (a)ir (e) teiginius (4.1.6 pratimas). Tegul X ⊂ Y ir c ∈ X . Dėl sąlyčio taškoapibrėžties, kiekvienam ε > 0, taško c ε-aplinka Oε(c) turi netuščią sankirtą suX , t.y. Oε(c)∩X 6= ∅. Kadangi X ⊂ Y , tai Oε(c)∩X ⊂ Oε(c)∩Y kiekvienamε > 0, o tai rodo, kad c ∈ Y (kodėl?). Tokiu būdu galioja (b) teiginys.

Įrodysime (c) teiginį. Remiantis šios teoremos (a) ir (b) teiginiais, turimeX ⊂ X . Pakanka įrodyti, kad X ⊂ X . Tegul x ∈ X . Tada x yra arba izoliuotasarba ribinis aibės X taškas (4.3 teorema). Pirmuoju atveju jis priklauso X dėlizoliuotojo taško apibrėžties. Antruoju atveju parodysime, kad x yra aibės Xribinis taškas ir todėl taip pat priklausoX . Iš tikrųjų, tegul ε > 0. Tada egzistuojatoks y ∈ X , kad |x − y| < ε/2. Savo ruožtu, kadangi y yra aibės X sąlyčiotaškas, tai egzistuoja toks z ∈ X , kad |y − z| < ε/2. Remiantis trikampionelygybe turime

|x− z| ≤ |x− y|+ |y − z| < ε/2 + ε/2 = ε,

t. y. Oε(x) ∩ X 6= ∅. Kadangi ε > 0 yra laisvai pasirinktas, tai x yra aibės Xribinis taškas. Teiginio (c) įrodymas baigtas.

Liko įrodyti (d) teiginį. Įrodant X ∪ Y ⊂ X ∪ Y tarkime, kad c yra aibėsX ∪ Y sąlyčio taškas. Remiantis sąlyčio taško apibrėžtimi, kiekvienam ε > 0,aibė Oε(c) ∩ (X ∪ Y ) 6= ∅. Kadangi (??.?? pratimas)

Oε(c) ∩ (X ∪ Y ) = (Oε(c) ∩X) ∪ (Oε(c) ∩ Y ),

tai kiekvienam ε > 0, Oε(c) ∩ X 6= ∅ arba Oε(c) ∩ Y 6= ∅. Tvirtiname, kadgalioja bent vienas iš teiginių

T :=[∀ε > 0, Oε(c) ∩X 6= ∅] arba S:=[∀ε > 0, Oε(c) ∩ Y 6= ∅].


Iš tikro, jei ne, tai galioja ¬T ir ¬S (?? teoremos (h) teiginys). Remiantis ??teorema egzistuoja toks ε1 > 0, kadOε1(c)∩X = ∅ ir egzistuoja toks ε2 > 0, kadOε2(c)∩Y = ∅. TadaOε(c)∩X = ∅ irOε(c)∩Y = ∅ kai ε = minε1, ε2 > 0.Ši prieštara įrodo, kad galioja T arba S. Kitaip kalbant turime c ∈ X arbac ∈ Y . Todėl c ∈ X ∪ Y . Įrodėme, kad X ∪ Y ⊂ X ∪ Y . Įrodant priešingąsąryšį, kadangi X ⊂ X ∪ Y ir Y ⊂ X ∪ Y , tai X ⊂ X ∪ Y ir Y ⊂ X ∪ Yremiantis šios teoremos (b) teiginiu. TodėlX ∪ Y ⊃ X∪Y , kas įrodo (d) teiginįir teoremą.

Paskutinis šio skyrelio faktas: taškas yra ribinis aibės taškas tada ir tik tada,kai jis yra tos aibės elementų sekos riba.

4.5 teorema. Tegul A yra tiesės taškų aibė ir y tiesės taškas. y yra A ribinistaškas tada ir tik tada, kai egzistuoja tokia iš A elementų sudaryta seka (xn),kad xn 6= y kiekvienam n ir xn → y kai n→∞.

Įrodymas. Tarkime, kad (xn) yra tokia iš A elementų sudaryta seka, kad xn 6= ykiekvienam n ir xn → y kai n→∞. Tada su kiekvienu ε > 0 egzistuoja toks n,kad |xn − y| < ε, t. y. xn ∈ Oε(y). Kadangi xn ∈ A ir xn 6= y, tai y yra aibės Aribinis taškas.

Atvirkščiai tarkime, kad y yra A ribinis taškas. Remiantis ribinio taško api-brėžtimi, su kiekvienu ε > 0 sankirta A ∩O•ε (y) yra netuščia, t. y. aibė

Xε := x ∈ A : 0 < |x− y| < εyra netuščia su kiekvienu ε > 0. Tegul εn := 1/n su kiekvienu n ∈ N∗. Ta-da X1, X1/2, X1/3, . . . yra netuščių aibių rinkinys. Remiantis rinkimo aksioma(?? aksioma) egzistuoja tokia seka (xn)n≥1, kurios kiekvienas narys xn ∈ Xεn .Kadangi |xn − y| < 1/n kiekvienam n ≥ 1, tai xn → y kai n → ∞. Be to,kiekvienam n ≥ 1, xn ∈ A ir xn 6= y, ką ir reikėjo įrodyti.

Kalbėdami apie sekas ankstesniame skyriuje naudojome sekos ribinio taškosąvoką (3.25 apibrėžimas). Kyla klausimas: Koks yra ryšys tarp sekos ribiniotaško sąvokos ir aibės ribinio taško sąvokos? Prisiminkime, seka yra funkcija, one aibė. Atsakant į šį klausimą tarkime, kad (rn) yra tokia realiųjų skaičių seka,kurios visi nariai yra skirtingi. Tegul A yra šios sekos narių aibė rn : n ∈ N.Taip pat prisiminkime, kad vienodi objektai aibėje yra tapatinami. Tačiau dėlsekos narių skirtingumo prielaidos, aibė A yra begalinė. Taigi, skaičius x yrasekos (rn) ribinis taškas tada ir tik tada, kai x yra aibės A ribinis taškas. Jeiatsisakysime prielaidos, kad visi sekos (rn) nariai yra skirtingi, tai gausime kitokįatskymą. Pavyzdžiui, jei sekoje (rn) visi nariai lygūs: r0 = r1 = r2 = · · · , taiA = rn : n ∈ N = r0. Šiuo atveju r0 yra sekos (rn) ribinis taškas ir aibės Aizoliuotas taškas.


Uždarosios aibės

4.6 apibrėžtis. Realiųjų skaičių aibė F vadinama uždarąja, jei ji sutampa susavo uždariniu, t. y. jei F = F .

Pavyzdžiui uždarasis intervalas [a, b] yra uždaroji aibė bet kuriems a ∈ R irb ∈ R (4.1.10 pratimas). Uždarosiomis yra aibės N, R ir ∅ (4.1.3 pratimas).

4.7 teorema. Tiesės taškų aibė yra uždaroji tada ir tik tada, kai jai priklauso visijos ribiniai taškai.

Įrodymas. Tarkime, kad aibei A priklauso visi jos ribiniai taškai, t.y. A′ ⊂ A.Remiantis 4.3 teorema, A = A′ ∪ IA. Kadangi IA ⊂ A, tai A ⊂ A. Kartu su 4.4teoremos (a) teiginiu, tai rodo, kad A = A, t.y. aibė A yra uždaroji.

Tarkime atvirkščiai, kad aibė A yra uždaroji, t.y. A = A. Dar kartą remiantis4.3 teorema, A′ ⊂ A′ ∪ IA = A = A, t.y. aibei A priklausso visi jos ribiniaitaškai. Teorema įrodyta.

Kitą teoremą verta palyginti su Bolzano-Weierstrasso teorema (3.29 teore-ma), jog kiekviena aprėžta realiųjų skaičių seka turi konverguojantį posekį.

4.8 teorema. Teiginiai (a) ir (b) apie tiesės taškų aibę A yra ekvivalentūs, čia

(a) A yra aprėžtoji ir uždaroji;

(b) kiekviena A elementų seka turi posekį, konverguojantį į kurį nors A ele-mentą.

Įrodymas. Tarkime, kad galioja (a) teiginys. Tegul (xi) yra A elementų seka.Kadangi xi : i ∈ N ⊂ A ir aibė A yra aprėžta, tai aprėžta yra ir seka (xi).Remiantis Bolzano–Weierstrasso teorema sekoms (3.29 teorema), seka (xi) turikonverguojantį posekį, t. y. egzistuoja griežtai didėjanti seka (nk) ir x ∈ R tokie,kad xnk

→ x kai k → ∞. Kadangi xnk∈ A kiekvienam k, tai x yra aibės A

sąlyčio taškas (4.1.8 pratimas). Kadangi A yra uždara, tai x ∈ A. Todėl sekos(xi) posekis turi ribą x priklausančią aibei A, t. y. galioja (b) teiginys.

Dabar tarkime, kad galioja (b) teiginys. Pirma įrodysime, kad A yra uždaraaibė. Tegul y yra A ribinis taškas. Remiantis 4.5 teorema egzistuoja tokia iš Aelementų sudaryta seka (xn), kad xn 6= y kiekvienam n ir xn → y kai n → ∞.Pagal prielaidą (b) ši seka turi posekį (xnk

) konverguojantį į aibės A elementą x.Remiantis 3.27 teorema x = y ir todėl y ∈ A. Tada A yra uždara aibė remiantis4.7 teorema.

Dabar įrodysime, kad A yra aprėžta aibė. Tarkime, kad aibė A nėra aprėžta.Tada kiekvienam n ∈ N egzistuoja toks x ∈ A, kad |x| > n, t. y. aibė Xn :=


x ∈ A : |x| > n yra netuščia. Remiantis rinkimo aksioma (?? aksioma)egzistuoja seka (xn), kurios kiekvienas narys xn ∈ Xn ⊂ A. Pagal prielaidą(b) ši seka turi posekį (xnk

) konverguojantį į aibės A elementą x. Todėl seka(xnk

) privalo būti aprėžta (3.12 ir 3.14 teoremos), o tai yra prieštara tam, kad|xnk| > nk ≥ k kiekvienam k. Prieštara įrodo, kad A yra aprėžta aibė. Teorema

įrodyta.

Atvirosios aibės Toliau naudojama aibių X ir Y skirtumo operacija X \ Yapibrėžta (??) sąryšiu. Kai X = R ir Y ⊂ R, tai Y c = R \ Y vadinama aibės Ypapildiniu (iki R).

4.9 apibrėžtis. Tegul G yra realiųjų skaičių aibė. Sakoma, kad G yra atviroji,jei papildinys Gc yra uždaroji aibė.

Pavyzdžiui bet kuriems realiesiems skaičiams a < b atvirasis intervalas (a, b)yra atviroji aibė, nes papildinys (a, b)c = (−∞, a] ∪ [b,+∞) yra uždaroji aibė(4.1.14 pratimas). Atviroji aibė neprivalo būti atviruoju intervalu; pavyzdžiui,atviroji aibė (0, 1) ∪ (2, 3) nėra atvirasis intervalas. Ne visos tiesės taškų aibėsyra arba atvirosios arba uždarosios. Pavyzdžiui intervalai [a, b) ir (a, b] nėra neiatvirieji nei uždarieji (4.1.21 pratimas). Tačiau yra dvi tiesės taškų aibės R ir ∅,kurios yra ir atvirosios ir uždarosios. Iš tikro, remiantis 4.1.3 pratimu R ir ∅ yrauždarosios aibės. Kadangi R \ R = ∅ ir R \ ∅ = R, tai R ir ∅ yra ir atvirosiosaibės.

Kitai teoremai reikalinga prisiminti vidinio taško sąvoką iš 4.1(d) apibrėžties.

4.10 teorema. Realiųjų skaičių aibėG yra atviroji tada ir tik tada, kai kiekvienasG elementas yra jos vidinis taškas.

Įrodymas. Tegul G yra atviroji aibė ir x ∈ G. Tada papildinys F := Gc yrauždaroji aibė ir x 6∈ F . Kadangi x nėra aibės F sąlyčio taškas, egzistuoja toksε > 0, kad Oε(x) ∩ F = ∅. Tada ε-aplinka Oε(x) ⊂ G (kodėl?).

Atvirkščiai tarkime, kad kiekvienam G elementui x egzistuoja toks ε > 0,kad ε-aplinka Oε(x) ⊂ G. Priešingai G atvirumui tarkime, kad aibė F := R \Gnėra uždaroji, t. y. egzistuoja toks aibės F sąlyčio taškas x, kuris nepriklausoF . Tada x ∈ G ir remiantis prielaida egzistuoja toks ε > 0, kad ε-aplinkaOε(x) ⊂ G. Bet tada x aplinkoje Oε(x) nėra aibės F taškų, kas prieštarauja tam,kad x yra aibės F sąlyčio taškas. Ši prieštara įrodo, kad x ∈ F ir todėl G yraatviroji aibė. Teorema įrodyta.

4.11 apibrėžtis. Aibės A visų vidinių taškų aibė vadinama jos vidumi ir žymimaA.


Tokiu būdu galime perfrazuoti 4.10 teoremą sakydami, kad aibė yra atvirojitada ir tik tada, kai jos vidus sutampa su visa aibe.

Kompaktinės aibės Toliau nagrinėsime tokią aibės savybę: iš bet kurio josdenginio atvirosiomis aibėmis galima išrinkti baigtinį denginį. Matysime, kadtokia, ar į ją panaši savybė, būdinga tik aprėžtosioms ir uždarosioms aibėms. Beto, ši savybė naudinga įrodinėjant kitas savybes (pavyzdžiui 4.15 ir 4.56 teore-mos).

4.12 apibrėžtis. Tegul A yra realiųjų skaičių aibė ir tegul Λ yra realiųjų skaičiųaibių rinkinys. Sakoma, kad Λ dengia aibę A, arba Λ yra aibės A denginys, jeikiekvienam x ∈ A egzistuoja tokia aibė X ∈ Λ, kad x ∈ X , t. y. jei A ⊂ ⋃Λ.Sakoma, kad aibės A denginys Λ yra baigtinis, jei rinkinys Λ yra baigtinis. Taippat sakoma, kad Λ yra aibės A denginys atvirosiomis aibėmis, jei visi rinkinio Λelementai yra atvirosios aibės.

Pavyzdžiui, intervalų G0 := (−ε, ε) su ε > 0 ir Gk := (1/(2 + k), 1/k) suk ≥ 1 rinkinys Λ = Gk : k ∈ N yra intervalo [0, 1/2] skaitus denginys, nes

⋃Λ = (−ε, ε) ∪

∞⋃k=1

( 12 + k

,1k

)= (−ε, 1) ⊃ [0, 1/2].

Nesunku patikrinti, kad su bet kuriuo ε > 0 galima rasti tokį n ≥ 1, kad[0, 1/2] ⊂ ⋃n

k=0 Gk. Tokiais atvejais sakoma, kad iš rinkinio Λ galima išrink-ti intervalo [0, 1/2] baigtinį denginį.

4.13 apibrėžtis. Aibė A vadinama kompaktine, jei iš kiekvieno jos denginio at-viromis aibėmis galima išrinkti baigtinį denginį.

Kita teorema apibūdina tiesės taškų aibes, kurioms tokia savybė visada tei-singa.

4.14 teorema. Teiginiai (a) ir (b) apie tiesės taškų aibę A yra ekvivalentūs, čia

(a) A yra aprėžtoji ir uždaroji;

(b) A yra kompaktinė aibė.

Įrodymas. Tarkime, kad galioja (a) teiginys, bet (b) teiginys nėra teisingas. To-dėl egzistuoja toks aibės A denginys atviromis aibėmis G, kuriame nėra aibęA dengiančio baigtinio poaibio. Kadangi aibė A yra aprėžta egzistuoja toksuždarasis intervalas [a, b], kad A ⊂ [a, b]. Daliname [a, b] į du lygius interva-lus I1 ir I2. Tvirtiname, kad arba A ∩ I1 arba A ∩ I2 (arba abi sankirtos) nėra


padengiamos baigtiniu G šeimos elementų skaičiumi. Priešingu atveju sąjunga(A ∩ I1) ∪ (A ∩ I2) = A būtų padengiama baigtiniu G šeimos elementų skai-čiumi. Tegul [a1, b1] yra bet kuris iš dviejų intervalų I1 ir I2, kurio sankirta su Anėra padengiama baigtiniu G šeimos elementų skaičiumi. Intervalo [a1, b1] ilgisyra (b− a)/2. Toliau tą patį darome su intervalu [a1, b1] vietoje [a, b] ir gaunameintervalą [a2, b2], kurio sankirta su A nėra padengiama baigtiniu G šeimos ele-mentų skaičiumi, o [a2, b2] ilgis yra (b− a)/4, nes jis yra pusė intervalo [a1, b1].Tęsdami šį intervalų dalinimo procesą gauname įdėtų intervalų seką

[a, b] ⊃ [a1, b1] ⊃ [a2, b2] ⊃ · · · ⊃ [an, bn] ⊃ · · · . (4.1)

Kiekvieno iš šių intervalų sankirta su aibeA nėra padengiama baigtiniu G šeimoselementų skaičiumi, o jų ilgiai (bn − an) = (b − a)/2n → 0 kai n → ∞.Su kiekvienu n pasirinkime bet kurį elementą xn ∈ [an, bn] ∩ A. Remiantis4.8 teoremos (a) ⇒ (b) implikacija egzistuoja toks sekos (xn) posekis (xnk

),kuris konverguoja į aibės A elementą x. Kadangi atvirųjų aibių šeima G dengiaaibę A tai egzistuoja tokia atviroji aibė G, kuriai priklauso x. Kadangi x yra Gvidinis taškas egzistuoja tokia ε-aplinka Oε(x), kad Oε(x) ⊂ G. Kadangi įdėtųjųintervalų (4.1) ilgiai konverguoja į nulį, egzistuoja toks indeksas n, kad

[an, bn] ∈ Oε(x) ⊂ G.

Gavome, kad sankirta [an, bn] ∩ A padengiama baigtiniu (netgi vienu) G šeimoselementų skaičiumi. Ši prieštara įrodo, kad teiginys (b) yra teisingas.

Tarkime, kad galioja (b) teiginys. Parodysime, kad aibė A yra aprėžtoji. Te-gul Gn := On(0) = (−n, n) su kiekvienu n ∈ N. Kadangi

⋃n∈NGn = R ir

A ⊂ R, tai Gn : n ∈ N yra aibės A denginys atviromis aibėmis. Pagal prielai-dą egzistuoja toks N ∈ N, kad

A ⊂N⋃n=0

Gn = GN = (−N,N)

kadangi Gn ⊂ GN kiekvienam n < N . Kitaip tariant |x| < N su kiekvienux ∈ A, t. y. aibė A yra aprėžtoji.

Aibės A uždarumą įrodome prieštaros būdu. Tegul A nėra uždaroji. Tokiuatveju egzistuoja aibės A ribinis taškas y, kuris nepriklauso aibei A. Remiantis4.5 teorema, egzistuoja tokia seka (xi), kurios visi nariai priklauso aibeiA ir patiseka konverguoja į y. Kadangi y 6∈ A, εx := |x− y|/2 > 0 su kiekvienu x ∈ A.Aplinkų šeima Oεx(x) : x ∈ A sudaro A aibės denginį atviromis aibėmis.Kadangi teisingas (b) teiginys, egzistuoja toks N ∈ N, kad x1, . . . , xN ⊂ A ir

A ⊂N⋃i=1

Oεxi(xi). (4.2)


Tegul ε := minεxi: 1 ≤ i ≤ N > 0. Kadangi seka (xi) konverguoja į y

egzistuoja toks m ∈ N, kad |xm − y| < ε. Dėl (4.2) ir dėl to, kad xm ∈ A,xm ∈ Oεxj

(xj) su kuriuo nors indeksu j ∈ 1, . . . , N, t.y. |xm − xj| < εxj.

Todėl

|xj − y| ≤ |xj − xm|+ |xm − y| < εxj+ ε ≤ 2εxj

= |xj − y|.

Tai yra prieštara įrodanti aibės A uždarumą.

Remiantis Bolzano-Weiertrasso teorema (3.29 teorema), kiekviena aprėžtojirealiųjų skaičių seka turi ribinį tašką. Pasinaudosime pastarąja teorema įrodyda-mi kitą svarbią Bolzano-Weiertrasso teoremą.

4.15 teorema. Kiekviena aprėžtoji begalinė tiesės taškų aibė turi bent vieną ri-binį tašką.

Įrodymas. Tegul A yra aprėžtoji begalinė tiesės taškų aibė. Tarkime, kad A ne-turi ribinių taškų. Kadangi A yra aprėžtoji, tai egzistuoja tokie du skaičiai a ir b,kad A ⊂ [a, b]. Jei y ∈ [a, b], tai egzistuoja toks ε(y) > 0, kad O•ε(y)(y) ∩ A = ∅kadangi A neturi ribinių taškų. Kitaip tariant egzistuoja atvirasis intervalasUy := (y − ε(y), y + ε(y)), kurio sankirta su A yra y arba ∅. Kita vertus, at-virųjų intervalų rinkinys Λ = Uy : y ∈ [a, b] yra intervalo [a, b] denginys. Re-miantis 4.14 teorema egzistuoja baigtinis Λ elementų rinkinys Uyi

: 1 ≤ i ≤ ntaip pat dengiantis [a, b], o tuo pačiu dengiantis ir [a, b] poaibį A. Tada

A = A ∩n⋃i=1

Uyi=

n⋃i=1

(A ∩ Uyi

)⊂ yi : 1 ≤ i ≤ n

yra prieštara tam, kad A yra begalinė. Todėl A turi bent vieną ribinį tašką.

Pratimai

1. Tegul a ir b yra tokie tiesės taškai, kad a < b ir tegul x ∈ (a, b). Įrodyti,kad egzistuoja tokia x aplinka Oε(x), kuri yra (a, b) poaibis.

2. Tegul a ir b yra tokie tiesės taškai, kad a < b. Įrodyti, kad (a, b) = [a, b],(−∞, b) = (−∞, b] ir (a,+∞) = [a,+∞).

3. Įrodyti, kad N = N, Q = R, R = R ir ∅ = ∅.

4. Tegul a ir b yra tokie tiesės taškai, kad a < b. Tarkime, kad I yra betkuris iš intervalų [a, b], (a, b], [a, b), (a, b), (−∞, b), (−∞, b], (a,+∞)ar [a,+∞). Įrodyti, kad kiekvienas elementas x ∈ I yra aibės I ribinistaškas.


5. Įrodyti 4.3 teoremos antrąją lygybę.

6. Įrodyti 4.4 teoremos (a) ir (d) teiginius.

7. Tegul A ⊂ R ir y ∈ R. Įrodyti, kad taškas y yra aibės A ribinis taškas tadair tik tada, kai jis priklauso aibės A \ y uždariniui.

8. Tegul aibė A ⊂ R ir y ∈ R. Įrodyti, kad y yra aibės A sąlyčio taškastada ir tik tada, kai egzistuoja tokia iš A elementų sudaryta seka (xn), kadxn → y kai n→∞. Nuoroda: remtis 4.5 teoremos įrodymu.

9. (∗∗∗) Tarkime, kad X ir Y yra tokios tiesės taškų aibės, kad X ⊂ Y ⊂ X .Įrodyti, kad Y = X .

10. Tegul a, b ∈ R. Įrodyti, kad uždarasis intervalas [a, b] yra uždara aibė.

11. Tegul X yra tiesės taškų aibė. Įrodyti, kad X yra uždaroji aibė, t. y. X =X .

12. TegulX yra tiesės taškų aibė ir tegul Y yra tokia uždaroji tiesės taškų aibė,kad X ⊂ Y . Įrodyti, kad X ⊂ Y .

13. Tegul X yra tiesės taškų aibė ir F yra tokių uždarųjų aibių Y ⊂ R klasė,kad X ⊂ Y . Įrodyti, kad X = ⋂F .

14. Tegul X1, . . . , Xn yra uždarųjų aibių rinkinys. Įrodyti, kad⋃ni=1 Xi yra

uždaroji aibė.

15. Tegul F yra uždarųjų aibių rinkinys (baigtinis ar begalinis). Įrodyti, kadsankirta

⋂F yra uždaroji aibė.

16. Įrodyti, kad aprėžtosios aibės uždarinys yra aprėžtoji aibė.

17. Įrodyti, kad kiekviena baigtinė tiesės taškų aibė yra uždaroji ir aprėžtoji.

18. Tarkime, kad A yra netuščia ir aprėžta iš viršaus tiesės taškų aibė ir tegulM := supA. Įrodyti, kad M yra A aibės sąlyčio taškas.

19. Tiesės taškų aibė G yra atviroji tada ir tik tada, kai G = R \ F ir F yrauždaroji tiesės taškų aibė. Nuoroda: naudotis ??.?? pratimu.

20. Tiesės taškų aibė F yra uždaroji tada ir tik tada, kai tiesės taškų aibė R \Fyra atviroji.

4.2 Funkcijos ir jų konvergavimas 95

21. Tegul realieji skaičiai a < b. Įrodyti, kad intervalai [a, b) ir (a, b] nėra neiatvirosios nei uždarosios aibės.

22. Tegul X1, . . . , Xn yra atvirųjų aibių rinkinys. Įrodyti, kad⋂ni=1 Xi yra

atviroji aibė.

23. Tegul G yra atvirųjų aibių rinkinys (baigtinis ar begalinis). Įrodyti, kadjungtis

⋃G yra atviroji aibė.

24. Tarkime, kad realiųjų skaičių aibė X yra aprėžtoji ir uždaroji. Įrodyti, kadsupX ∈ X ir inf X ∈ X .

4.2 Funkcijos ir jų konvergavimasNuo šiol tirsime funkcijas apibrėžtas tiesės taškų aibėje su reikšmėmis taip pattiesės taškų aibėje. Tegul X yra tiesės taškų aibė, t.y. X ⊂ R. Funkcija yra tai-syklė f , kuri kiekvienam aibės X elementui priskiria lygiai vieną realųjį skaičių.Kaip ir anksčiau, funkcija žymima f : X → R.

Vaizdingai kalbant, funkcija yra juodoji dėžė su įėjimo ir išėjimo kanalais.Tokia dėžė-funkcija įėjimo duomenis - funkcijos argumento reikšmes - trans-formuoja į išėjimo duomenis - funkcijos reikšmes. Paprastai funkcijos tiriamostam, kad įvertinti kiek skiriasi funkcijos reikšmės kintant funkcijos argumentui.Jei nežymiai pasikeitus argumentui, funkcijos reikšmė taip pat nesmarkiai kinta,tai sakoma, kad funkcija yra glodi. Tolesniuose skyriuose nagrinėjamos įvai-rios funkcijos glodumo sampratos: tolydumas, diferencijuojamumas ir kitos. Jeifunkcija nėra glodi, tai nežymiai pasikeitus argumento reikšmei funkcijos reikš-mė gali kisti šuoliais arba labai smarkiai svyruoti; tada sakoma, kad funkcija yratrūki arba šiurkšti.

Pavyzdžiui, pastovioji funkcija f : R → R su reikšmėmis f(x) = c kiek-vienam x ∈ R ir kuriam nors c ∈ R yra maksimaliai glodi. Trūkios funkcijospavyzdžiu yra funkcija su reikšmėmis

f(x) :=

1 jei x ∈ Q,0 jei x ∈ R \ Q. (4.3)

Tai realiųjų skaičių aibėje R korektiškai apibrėžta funkcija, vadinama Dirichlet1

funkcija; ypatinga tuo, kad jos reikšmė nėra aritmetinė išraiška priklausanti nuoargumento. Pabandžius nupiešti šios funkcijos grafiką galima įsitikinti, kad ji yralabai trūki.

1Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859) - vokiečių matematikas.


Veiksmai su funkcijomis Iki šiol aritmetines operacijas atlikome tik su skai-čiais. Tinkamai apibrėžus, šias operacijas galima alikti ir su funkcijomis.

4.16 apibrėžtis. Tegul X yra tiesės taškų aibė, o f : X → R ir g : X → R yrafunkcijos.

(a) f ir g suma yra funkcija f + g : X → R su reikšmėmis

(f + g)(x) := f(x) + g(x) ∀x ∈ X.

(b) f ir g skirtumas yra funkcija f − g : X → R su reikšmėmis

(f − g)(x) := f(x)− g(x) ∀x ∈ X.

(c) f ir g maksimumas yra funkcija maxf, g : X → R su reikšmėmis

maxf, g(x) := maxf(x), g(x) ∀x ∈ X.

(d) f ir g minimumas yra funkcija minf, g : X → R su reikšmėmis

minf, g(x) := minf(x), g(x) ∀x ∈ X.

(e) f ir g sandauga yra funkcija fg : X → R (arba f ·g : X → R) su reikšmė-mis

(fg)(x) := f(x)g(x) ∀x ∈ X.

(f) Jei g(x) 6= 0 kiekvienam x ∈ X , tai f ir g santykis yra funkcija f/g : X →R su reikšmėmis

(f/g)(x) := f(x)/g(x) ∀x ∈ X.

(e) Jei c ∈ R, tai cf : X → R (arba c·f : X → R) yra funkcija su reikšmėmis

(cf)(x) := cf(x) ∀x ∈ X.

Pavyzdžiui, tegul f ir g yra funkcijos su reikšmėmis f(x) = x3 ir g(x) = 2xvisiems x ∈ R. Tada f + g yra funckija su reikšmėmis (f + g)(x) = x3 + 2x vi-siems x ∈ R, o funkcijos fg reikšmės yra 2x4 visiems x ∈ R. Funkcijų sandaugafg nėra tas pats, kas jų kompozicija fg. Pastarajame pavyzdyje kompozicijosfg reikšmės yra f(g(x)) = 8x3 visiems x ∈ R.


Šias aritmetines operacijas su funkcijomis galima papildyti jų kombinacijo-mis. Pavyzdžiui, funkcijos f modulis yra funkcija |f | := maxf,−f, kuriosreikšmės

|f |(x) = maxf(x),−f(x) =

f(x), jei f(x) > 0

0, jei f(x) = 0−f(x), jei f(x) < 0

= |f(x)|

apibrėžtos kiekvienam f apibrėžimo srities elementui x. Kitame pavyzdyje funk-cijos f kvadratas yra funkcija f 2 := f ·f , kurios reikšmės yra f 2(x) = (f(x))2

kiekvienam f apibrėžimo srities elementui x.Panašiai yra apibrėžiama tvarka tarp funkcijų. Tegul f : X → R ir g : X →

R yra funkcijos. Rašoma f ≥ g, jei f(x) ≥ g(x) kiekvienam x ∈ X . Taippat rašoma f > g, jei f(x) > g(x) kiekvienam x ∈ X . Atskiru atveju išraiškaf > 0 reiškia, kad f(x) > 0 kiekvienam x ∈ X .

Verta nepamiršti, kad funkcija f ir jos reikšmė f(x) taške x yra skirtingi ob-jektai. Funkcija yra dviejų aibių elementus siejanti taisyklė, o funkcijos reikšmėyra vienas iš reikšmių aibės elementų. Ne visi veiksmai su funkcijomis išreiškia-mi aritmetiniais veiksmais su funkcijos reikšmėmis. Vienas iš tokių veiksmų bustoliau apibrėžiamas funkcijos konvergavimas.

Funkcijos konvergavimas Praeitame skyriuje apibrėžėme ir nagrinėjome rea-liųjų skaičių sekos konvergavimą. Priminsime, kad seka yra funkcija, kuriosapibrėžimo sritis yra natūraliųjų skaičių aibė N. Dabar konvergavimo sąvokąapibrėšime funkcijoms, kurios apibrėžtos realiųjų skaičių aibėje R. Priminsime,kad, skirtingai nuo N, R nėra suskaičiuojama aibė.

4.17 apibrėžtis. Tegul A ⊂ R, f : A → R, skaičius a yra aibės A ribinis taškasir c ∈ R. Sakoma, kad f konverguoja į c taške a, jei kiekvienam ε > 0 egzistuojatoks δ = δ(ε) > 0, kad visiems x ∈ A teisinga implikacija

jei 0 < |x− a| < δ, tai∣∣∣f(x)− c

∣∣∣ < ε.

Arba, naudojant logikos simbolius, f konverguoja į c taške a, jei teisingas teigi-nys

(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ A)[(x ∈ O•δ(a))⇒ (f(x) ∈ Oε(c))].

Funkcijos konvergavimas taške a yra apibrėžtas jei a yra funkcijos apibrėži-mo srities ribinis taškas. Pastebėkime, kad 4.17 apibrėžtyje funkcijos f reikšmėf(a) nėra naudojama. Tai reiškia, kad funkcija neprivalo būti apibrėžta taške a,


tačiau kiekvienoje a aplinkoje turi būti taškų, kuriuose funkcija apibrėžta. Pa-vyzdžiui, jei f(x) = 0 kiekvienam x ∈ [0, 1), tai 1 yra aibės [0, 1) ribinis taškasir funkcija f : [0, 1)→ R konverguoja į 0 taške 1. Taip pat į 0 ši funkcija konver-guoja kiekviename intervalo [0, 1) taške. Tačiau šios funkcijos konvergavimastaške 2 neturi prasmės (kodėl?), net ir tuo atveju jei apibrėžtume funkcijos freikšmę tame taške lygią nuliui.

Tegul g : R→ R yra funkcija su reikšmėmis

g(x) :=

1, jei x > 00, jei x = 0−1, jei x < 0.

(4.4)

Tada g nekonverguoja taške 0 (kodėl?). Tegul g : (0,+∞) → R yra funkcijos gsiaurinys į aibę (0,+∞), t. y. g(x) := g(x) kiekvienam x ∈ (0,+∞). Tada gkonverguoja į 1 taške 0, kas iliustruoja funkcijos apibrėžimo srities svarbą.

Tarkime, kad funkcija f : A→ R konverguoja į c aibės A ribiniame taške a.Kadangi a yra A ribinis taškas, tai egzistuoja A elementų seka (xn) konverguo-janti į a. Remiantis 4.17 apibrėžtimi kiekvienam ε > 0 egzistuoja toks δ > 0,kad |f(xn)−c| < ε kai |xn−a| < δ. Kadangi xn → a kai n→∞, tai egzistuojatoks N ∈ N, kad |xn − a| < δ kai n ≥ N . Tai rodo, kad funkcijos f reikšmiųseka (f(xn)) konverguoja į c kai n → ∞. Klausimas: ar teisingas priešingasteiginys, t.y. jei kuri nors funkcijos reikšmių seka konverguoja, tai konverguojafunkcija?

Kitas pavyzdys rodo, kad atsakymas į pastarąjį klausimą yra neigiamas. Te-gul h : (0, 1]→ R yra funkcija su reikšmėmis

h(x) :=

1, jei x ∈ 1/n : n ∈ N∗0, jei x ∈ (0, 1] \ 1/n : n ∈ N∗. (4.5)

Šiuo atveju 0 yra intervalo (0, 1] ribinis taškas ir galima klausti ar h funkcijakonverguoja taške 0? Skaitytojui siūloma įrodyti, kad h funkcija nekonverguojataške 0 (4.2.4 pratimas). Taškuose xn := 1/n ši funkcija turi reikšmes h(xn) = 1ir xn → 0. Taigi, funkcijos reikšmių seka (h(xn)) konverguoja į 1,

Kita teorema rodo, kad funkcijos konvergavimas yra ekvivalentus kiekvienosfunkcijos reikšmių sekos konvergavimui.

4.18 teorema. Tegul A ⊂ R, f : A → R, a yra aibės A ribinis taškas ir c ∈ R.Teiginiai (a) ir (b) yra ekvivalentūs, čia

(a) f konverguoja į c taške a;


(b) kiekvienai aibės A \ a elementų sekai (xn), kuri konverguoja į a kain → ∞, funkcijos reikšmių seka (f(xn)) konverguoja į c kai n → ∞;kitaip tariant,

jei xn ∈ A \ a ∀n ir limn→∞

xn = a, tai limn→∞

f(xn) = c. (4.6)

Įrodymas. Implikacija (a) ⇒ (b) jau įrodyta prieš šios teoremos formulavimą.Įrodysime priešingą implikaciją. Tegul galioja (b) ir tarkime, kad (a) teiginysnėra teisingas. Tada egzistuoja toks ε0 > 0, kad kiekvienam δ > 0 galima rastitašką xδ ∈ A, kuriam teisinga xδ ∈ O•δ(a) ir f(xδ) 6∈ Oε0(c), t. y. kiekvienamδ > 0 aibė

Xδ := x ∈ A ∩ (a− δ, a) ∩ (a, a+ δ) : |f(x)− c| ≥ ε0 6= ∅.

Tegul δn := 1/n kiekvienam n = 1, 2, . . . . Egzistuoja seka (xn)n≥1, kurioskiekvienas narys xn ∈ Xδn (aibių teorijos rinkimo aksioma). Ši seka (xn)n≥1yra tokia, kad xn 6= a kiekvienam n ir xn → a kai n → ∞, bet atstumas|f(xn) − c| ≥ ε0 kiekvienam n. Tai yra prieštara (b) teiginiui įrodanti, kad (a)teiginys yra teisingas.

Kita teorema rodo, kad funkcija negali konverguoti į du skirtingus skaičius.

4.19 teorema. Tegul aibė A ⊂ R, funkcija f : A → R ir a yra aibės A ribinistaškas. Jei taške a f konverguoja į skaičius c ir d, tai c = d.

Įrodymas. Tarkime, kad taške a funkcija f konverguoja į skaičius c ir d. Kadangia yra aibės A ribinis taškas, tai egzistuoja tokia aibės A elementų seka (xn), kadxn 6= a kiekvienam n ir xn → a kai n → ∞. Remiantis 4.18 teorema seka(f(xn)) konverguoja į skaičius c ir d. Kadangi konverguojančios sekos riba yravienintelė (3.6 teorema), tai c = d, ką ir reikėjo įrodyti.

Kaip ir sekos atveju, suteikiamas vardas ir žymėjimas skaičiui į kurį konver-guoja funkcija.

4.20 apibrėžtis. TegulA ⊂ R, f : A→ R ir skaičius a yra aibėsA ribinis taškas.Jei f konverguoja į skaičių c taške a, tai c vadinamas funkcijos f riba taške a iržymimas

limx→a

f(x) = c(

arba f(x)→ c kai x→ a).

Sakoma, kad funkcija f konverguoja taške a, jei egzistuoja jos riba, t. y. jeiegzistuoja toks skaičius c, kad f konverguoja į c taške a. Jei nėra realaus skaičioį kurį taške a konverguoja funkcija f , tai sakoma, kad ji diverguoja taške a


Remiantis 4.18 teorema, gaunama funkcijos divergavimo taške sąlyga.

4.21 išvada. Tegul A ⊂ R, f : A→ R, a yra aibės A ribinis taškas ir c ∈ R. Jeiegzistuoja dvi A \ a aibės elementų sekos (xn) ir (yn), kurios konverguoja į akai n→∞, egzistuoja ribos

u := limn→∞

f(xn) ir v := limn→∞

f(yn),

bet u 6= v, tai f diverguoja taške a.

Toliau formuluojamas funkcijų konvergavimo taisykles nesunkiai įrodomosnaudojantis analogiškomis sekų konvergavimo taisyklėmis ir 4.18 teorema.

4.22 teorema. Tegul A yra tiesės taškų aibė, skaičius a yra aibės A ribinis taš-kas, o f : A→ R ir g : A→ R yra funkcijos. Tarkime, kad taške a f konverguojaį u ir g konverguoja į v. Tada teisingi teiginiai:

(a) f + g konverguoja į u+ v taške a;

(b) fg konverguoja į uv taške a;

(c) jei v 6= 0, tai f/g konverguoja į u/v taške a ;

(c) maxf, g konverguoja į maxu, v taške a;

(e) minf, g konverguoja į minu, v taške a;

(f) |f | konverguoja į |u| taške a.

Įrodymas. Įrodysime tik teiginį (a) kitus teiginius siūloma įrodyti skaitytojui(4.2.7 pratimas). Tegul (xn) yra tokia A aibės elementų seka, kad xn 6= a kiek-vienam n ir limn→∞ xn = a. Remiantis 4.18 teorema, limn→∞ f(xn) = u irlimn→∞ g(xn) = v. Remiantis 3.15 teoremos teiginiu (a), f(xn)+g(xn)→ u+vkai n→∞. Tada teiginys (a) išplaukia dar kartą pasinaudojus 4.18 teorema.

Funkcijos konvergavimo Cauchy kriterijus Dabar įrodysime konvergavimokriterijų funkcijoms, analogišką sekų konvergavimo Cauchy kriterijui (3.36 teo-rema).

4.23 apibrėžtis. Tegul aibė A ⊂ R, funkcija f : A → R, ir skaičius a yra aibėsA ribinis taškas. Sakoma, kad funkcijai f galioja Cauchy sąlyga taške a, jeikiekvienam ε > 0 egzistuoja toks δ = δ(ε) > 0, kad atstumas |f(x)− f(y)| < εvisiems x ∈ O•δ(a) ir y ∈ O•δ(a).


Remiantis Bolzano-Weierstrasso teorema iš aprėžtos sekos galima išrinktikonverguojantį posekį. Šis faktas kartu su Cauchy sąlyga įgalina nustatyti funk-cijos konvergavimo Cauchy kriterijų.

4.24 teorema. Tegul aibė A ⊂ R, funkcija f : A → R ir skaičius a yra aibėsA ribinis taškas. Funkcija f konverguoja taške a tada ir tik tada, kai jai galiojaCauchy sąlyga taške a.

Įrodymas. Tarkime, kad funkcija f konverguoja taške a. Todėl egzistuoja toksc ∈ R, kad f konverguoja į c taške a. Tegul ε > 0. Egzistuoja toks δ = δ(ε) > 0,kad |f(x)− c| < ε/2 visiems x ∈ A, kuriems 0 < |x− a| < δ. Jei x ∈ O•δ(a) iry ∈ O•δ(a), tai

|f(x)− f(y)| = |f(x)− c+ c− f(y)| ≤ |f(x)− c|+ |f(y)− c|< ε/2 + ε/2 = ε,

t. y. funkcijai f galioja Cauchy sąlyga taške a.Atvirkščiai, tarkime, kad funkcijai f galioja Cauchy sąlyga taške a. Tegul

ε > 0. Egzistuoja toks δ = δ(ε) > 0, kad

|f(x)− f(y)| < ε/2 (4.7)

visiems x ∈ O•δ(a) ir y ∈ O•δ(a). Tegul (xn) yra tokia aibės A elementų seka,kad xn 6= a kiekvienam n ir xn → a kai n → ∞. Egzistuoja toks N ∈ N, kad|xn − a| < δ visiems n ≥ N . Tada kiekvienam n ≥ N ir m ≥ N ,

|f(xn)− f(xm)| < ε/2,

t. y. realiųjų skaičių seka (f(xn)) yra Cauchy seka. Remiantis Cauchy kriterijumisekoms (3.36 teorema) egzistuoja toks c ∈ R, kad f(xn)→ c kai n→∞. Taigi,egzistuoja toks n0 ≥ N , kad |f(xn0) − c| < ε/2. Kadangi xn0 ∈ O•δ(a) irnaudojant (4.7), nelygybės

|f(x)− c| = |f(x)− f(xn0) + f(xn0)− c|≤ |f(x)− f(xn0)|+ |f(xn0)− c|< ε/2 + ε/2 = ε

galioja kiekvienam x ∈ O•δ(a), t. y. f konverguoja į c taške a. Teoremos įrody-mas baigtas.


Funkcijos vienpusis konvergavimas Toliau apibrėšime ribos iš kairės ir deši-nės sąvokas reikalaudami argumentų artėjimo tik iš vienos pusės. Būtent, tegulf : A → R, c yra aibių A ∩ (−∞, c) ir A ∩ (c,∞) ribinis taškas, bei r ∈ R.Pagal 4.17 apibrėžimą funkcija f konverguoja į r taške c, jei kiekvienam ε > 0egzistuoja toks δ > 0, kad visiems x ∈ R teisinga implikacija T (ε, δ, x), čia

T (ε, δ, x) :=[jei x ∈ A ∩O•δ(c), tai |f(x)− r| < ε

]. (4.8)

Toliau šį f funkcijos konvergavimą vadinsime abipusiu. Bet kuriems ε > 0,δ > 0 ir x ∈ R implikacija T (ε, δ, x) ekvivalenti teiginiui T+(ε, δ, x)∧T−(ε, δ, x),čia

T+(ε, δ, x) :=[jei x ∈ A ∩ (c, c+ δ), tai |f(x)− r| < ε

],

T−(ε, δ, x) :=[jei x ∈ A ∩ (c− δ, c), tai |f(x)− r| < ε

].

Taip yra todėl, kad aibė A ∩ O•δ(c) yra dviejų nesikertančių aibių A ∩ (c, c + δ)ir A ∩ (c− δ, c) sąjunga. Todėl teiginys x ∈ A ∩O•δ(c) yra ekvivalentus teiginiųS1 := [x ∈ A ∩ (c, c + δ)] ir S2 := [x ∈ A ∩ (c − δ, c)] disjunkcijai S1 ∨ S2.Dabar galima pasinaudoti teiginių logikos faktu[

S1 ∨ S2 ⇒ R] ⇔ [S1 ⇒ R] ∧ [S2 ⇒ R], (4.9)

čia R := [|f(x)− r| < ε]. Toliau konvergavimas iš dešinės apibrėžiamas naudo-jant implikaciją T+(ε, δ, x) = [S1 ⇒ R], o konvergavimas iš kairės apibrėžia-mas naudojant implikaciją T−(ε, δ, x) = [S2 ⇒ R].

4.25 apibrėžtis. Tegul A ⊂ R, f : A→ R ir r ∈ R.

(a) Tarkime, kad c yra aibės A ∩ (c,+∞) ribinis taškas. Sakoma, kad f kon-verguoja į r taške c iš dešinės, jei kiekvienam ε > 0 egzistuoja toks δ > 0,kad visiems x ∈ R teisinga implikacija T+(ε, δ, x).

(b) Tarkime, kad c yra aibės A ∩ (−∞, c) ribinis taškas. sakoma, kad f kon-verguoja į r taške c iš kairės, jei kiekvienam ε > 0 egzistuoja toks δ > 0,kad visiems x ∈ R teisinga implikacija T−(ε, δ, x).

(a) ir (b) savybes vadiname funkcijos f vienpusiu konvergavimu.

Prielaida, jog skaičius c yra aibės A ∩ (c,+∞) ribinis taškas, garantuoja tai,kad kiekvienam δ > 0 aibė A ∩ (c, c + δ) yra netuščia. Simetrišką savybę iškairės garantuoja prielaida, jog c yra aibės A ∩ (−∞, c) ribinis taškas.


Kaip ir abipusio konvergavimo taške atveju, funkcija neprivalo būti apibrėžtataške c tam, kad ji konverguotų taške c iš kairės ir konverguotų taške c iš dešinės.Pavyzdžiui, reikšmės h(x) := x/|x| kiekvienam realiam skaičiui x 6= 0 apibrėžiafunkciją h : R \ 0 → R, konverguojančią taške 0 iš dešinės ir iš kairės.

Kitas pagalbinis teiginys rodo, kad funkcijos vienpusis konvergavimas taške cyra tos funkcijos siaurinio į vieną pusę nuo c abipusis konvergavimas. Naudojan-tis šiuo teiginiu, abipusio konvergavimo savybės lengvai perkeliamos vienpusiamkonvergavimui.

4.26 lema. Tegul A ⊂ R, g : A → R, c yra aibės A ∩ (c,+∞) ribinis taškas irr ∈ R. Funkcija g konverguoja į r taške c iš dešinės tada ir tik tada, kai funkcijosg siaurinys į aibę A ∩ (c,+∞) konverguoja į r taške c.

Įrodymas. Tegul f yra funkcijos g siaurinys į aibę A ∩ (c,+∞). Kadangi kon-vergavimas iš dešinės priklauso tik nuo argumentų x > c, tai limx→c+ g(x) = rtada ir tik tada, kai limx→c+ f(x) = r. Tegul ε > 0, δ > 0 ir x ∈ R. Šiuo at-veju implikacijos T−(ε, δ, x) antecedentas yra tuščioji aibė ir todėl ši implikacijayra tautologija. Remiantis 2.22(l) teoremos iš [16] paskutiniu teiginiu ir (4.9)teiginiu, turime

T+(ε, δ, x) ⇔ T+(ε, δ, x) ∧ T−(ε, δ, x) ⇔ T (ε, δ, x).

Todėl limx→c+ f(x) = r tada ir tik tada, kai limx→c f(x) = r, ką ir reikėjoįrodyti.

Be abejonės, teisingas analogiškas teiginys konvergavimui iš kairės. Vienasvarbi konvergavimo savybė yra vienatis skaičiaus į kurį konverguojama. Šį faktąsiūlome įrodyti skaitytojui (4.2.8 pratimas).

4.27 teorema. Tegul A ⊂ R ir f : A→ R.

(a) Jei c yra aibės A ∩ (c,+∞) ribinis taškas ir funkcija f konverguoja į rtaške c iš dešinės, tai toks skaičius r yra vienintelis.

(b) Jei c yra aibės A ∩ (−∞, c) ribinis taškas ir funkcija f konverguoja į rtaške c iš kairės, tai toks skaičius r yra vienintelis.

Šis vienatinumo faktas pateisina toliau formuluojamas apibrėžtis.

4.28 apibrėžtis. Tegul A ⊂ R ir f : A→ R.


(a) Jei c yra aibės A∩ (c,+∞) ribinis taškas ir f konverguoja į skaičių r taškec iš dešinės, tai r vadinamas funkcijos f riba iš dešinės taške c ir rašoma

limx→c+

f(x) = f(c+) := r,(

arba f(x)→ r kai x→ c+).

Sakoma, kad funkcija f konverguoja taške c iš dešinės, jei egzistuoja josriba iš dešinės f(c+).

(b) Jei c yra aibės A∩ (−∞, c) ribinis taškas ir f konverguoja į skaičių r taškec iš kairės, tai r vadinamas funkcijos f riba iš kairės taške c ir rašoma

limx→c−

f(x) = f(c−) := r,(

arba f(x)→ r kai x→ c−).

Sakoma, kad funkcija f konverguoja taške c iš kairės, jei egzistuoja josriba iš kairės f(c−).

Tegul f : R→ R yra funkcija su reikšmėmis

f(x) :=

1, jei x = 00, jei x 6= 0. (4.10)

Taške 0 ši funkcija konverguoja į 0 iš dešinės, iš kairės, bei standartinio konverga-vimo prasme kai x→ 0. Galima spėti, jog toks faktas teisingas visada: funkcijosriba kuriame nors taške egzistuoja, jei tame taške egzistuoja riba iš dešinės, ribaiš kairės ir vienpusės ribos yra lygios. Būtent, teisinga teorema:

4.29 teorema. Tegul aibė A ⊂ R, f : A → R, bei c yra aibių A ∩ (c,+∞) irA ∩ (−∞, c) ribinis taškas. f konverguoja taške c tada ir tik tada, kai taške c fturi ribą iš dešinės f(c+), turi ribą iš kairės f(c−) ir f(c+) = f(c−). Jei šiostrys ribos egzistuoja, tai jos yra lygios.

Įrodymas. Tarkime, kad f konverguoja taške c į r. Todėl kiekvienam ε > 0egzistuoja toks δ > 0, kad visiems x ∈ R teisinga implikacija T (ε, δ, x) apibrėžta(4.8) sąryšiu. Kadangi ši implikacija ekvivalenti teiginiui T+(ε, δ, x)∧T−(ε, δ, x),tai taške c f turi ribą iš dešinės, turi ribą iš kairės ir jos lygios r.

Atvirkščiai, tarkime, kad taške c f turi ribą iš dešinės f(c+), turi ribą iškairės f(c−) ir f(c+) = f(c−) = r. Tegul ε > 0. Egzistuoja toks δ1 > 0,kad kiekvienam x ∈ R teisinga implikacija T+(ε, δ1, x). Taip pat egzistuojatoks δ2 > 0, kad kiekvienam x ∈ R teisinga implikacija T−(ε, δ2, x). Tegulδ := minδ1, δ2 > 0 ir x ∈ A ∩ O•δ(c). Tada x ∈ A ∩ (c, c + δ1) arbax ∈ A ∩ (c − δ2, c). Kadangi teisingos implikacijos T+(ε, δ1, x) ir T−(ε, δ2, x),tai abiem atvejais |f(x) − r| < ε. Įrodėme, kad f konverguoja taške c į r. Tuopačiu įrodėme, kad visos trys ribos lygios, kai jos egzistuoja.


Funkcijos konvergavimas begalybėje Kol kas šiame skyrelyje apibrėžėme kąreiškia, kad funkcija f : A → R turi ribą kai argumento reikšmės artėja į aibėsA ribinį tašką a, t. y. kai argumento reikšmės artėja į realųjį skaičių. Dabarapibendrinsime šią sąvoką, kai argumento reikšmės „artėja” prie simbolių +∞arba −∞. Reikia prisiminti, kad tokį konvergavimą jau naudojome praeitameskyriuje sekoms, nes seka yra funkcija su apibrėžimo sritimi N.

Konvergavimui begalybėje apibrėžti turime apibendrinti ribinio taško sąvokąbegalybės simboliams.

4.30 apibrėžtis. Tegul A yra realiųjų skaičių aibė. Sakysime, kad +∞ yra aibėsA ribinis taškas, jei kiekvienam R ∈ R egzistuoja toks x ∈ A, kad x > R.Taip pat sakysime, kad −∞ yra aibės A ribinis taškas, jei kiekvienam R ∈ Regzistuoja toks x ∈ A, kad x < R.

Pavyzdžiui, dėl Archimedo savybės (2.18 teorema), +∞ yra natūraliųjų skai-čių aibės N ribinis taškas. Tuo tarpu +∞ ir −∞ yra sveikųjų skaičių aibės Zribiniai taškai. Nesunku pastebėti, kad +∞ yra aibės A ribinis taškas tada ir tiktada, kai aibė A nėra aprėžta iš viršaus, t. y. kai supA = +∞. Analogiškai, −∞yra aibės A ribinis taškas tada ir tik tada, kai aibė A nėra aprėžta iš apačios, t. y.kai inf A = −∞.

4.31 apibrėžtis. Tarkime, kad +∞ yra aibės A ⊂ R ribinis taškas, f : A → Ryra funkcija ir c ∈ R. Sakoma, kad f konverguoja į c kai argumentas neaprėžtaididėja arba konverguoja į c plius begalybėje, rašoma

limx→+∞

f(x) = c arba f(x)→ c kai x→ +∞,

jei kiekvienam ε > 0 egzistuoja toks R = R(ε) ∈ (0,+∞), kad visiems x ∈ Agalioja implikacija: jei x > R, tai |f(x)− c| < ε.

Simetriškas konvergavimui kai argumentas neaprėžtai didėja yra toliau api-brėžiamas konvergavimas kai argumentas neaprėžtai mažėja.

4.32 apibrėžtis. Tarkime, kad −∞ yra aibės A ⊂ R ribinis taškas, f : A → Ryra funkcija ir c ∈ R. Sakoma, kad f konverguoja į c kai argumentas neaprėžtaimažėja arba konverguoja į c minus begalybėje, rašoma

limx→−∞

f(x) = c arba f(x)→ c kai x→ −∞,

jei kiekvienam ε > 0 egzistuoja toks R = R(ε) ∈ (−∞, 0), kad visiems x ∈ Agalioja implikacija: jei x < R, tai |f(x)− c| < ε.


Pavyzdžiui, tegul A = (0,+∞) ir f : A → R yra funkcija su reikšmėmisf(x) := 1/x kiekvienam x ∈ A. Tada +∞ yra aibės A ⊂ R ribinis taškas irfunkcija f konverguoja į 0, kai funkcijos argumentas neaprėžtai didėja (kodėl?).

Ar sutampa skaičių sekos konvergavimas (3.3 apibrėžtis)ir ją atitinkančiosfunkcijos konvergavimas kai argumentas neaprėžtai didėja (4.31 apibrėžtis)? Te-gul (rn) yra realiųjų skaičių seka, kuri konverguoja į skaičių r. Tai, kad seka yrafunkcija reiškia, jog reikšmės f(n) := rn kiekvienam n ∈ N apibrėžia funkci-ją f : N → R. Taigi, ar taip apibrėžta funkcija f konverguoja į r kai funkcijosargumentas neaprėžtai didėja, t. y. reikia patikrinti ar teisinga, kad

limn→+∞

f(n) = r? (4.11)

Suformulavę konvergavimo faktus funkcijai ir sekai pastebime, kad jie sutampa.Galima įsivaizduoti, kad plius begalybę ir minus begalybę atitinkantys taškai

sutampa. Tada prasminga kalbėti apie konvergavimą begalybėje.

4.33 apibrėžtis. Tarkime, kad f : R → R yra funkcija ir c ∈ R. Sakoma, kad fkonverguoja į c begalybėje, rašoma

limx→∞

f(x) = c arba f(x)→ c kai x→∞,

jei kiekvienam ε > 0 egzistuoja toks R = R(ε) ∈ (0,+∞), kad visiems x ∈ Rgalioja implikacija: jei |x| > R, tai |f(x)− c| < ε.

Nesunku įsitikinti, kad funkcija konverguoja begalybėje tada ir tik tada, kaiji konverguoja plius begalybėje, minus begalybėje ir abi ribos yra lygios.

Pratimai

1. Tegul f : R→ R, a ∈ R ir c ∈ R. Įrodyti, kad f(x)→ c kai x→ a tada irtik tada, kai |f(x)− c| → 0 kai x→ a.

2. Tarkime, kad funkcijų f : R → R ir g : R → R reiškmės yra lygios visurišskyrus taške c ∈ R ir funkcija f konverguoja taške c. Įrodyti, kad funkcijag konverguoja taške c su ta pačia riba.

3. ([13], Theorem 13.1) Tarkime, kad c ∈ R, u ∈ R ir f : R→ R. Įrodyti, kadu = limx→c f(x) tada ir tik tada, kai teisingi teiginiai (i) ir (ii), čia

(i) kiekvienam d1 < u egzistuoja intervalas (a1, b1), kuriam priklauso cir nelygybė d1 < f(x) teisinga visiems x ∈ (a1, c) ∪ (c, b1);

4.3 Funkcijos tolydumo ir trūkio taškai 107

(ii) kiekvienam d2 > u egzistuoja intervalas (a2, b2), kuriam priklauso cir nelygybė d2 > f(x) teisinga visiems x ∈ (a2, c) ∪ (c, b2).

4. Tegul h : (0, 1] → R yra funkcija su reikšmėmis (4.5). Įrodyti, kad hfunkcija nekonverguoja taške 0.

5. Tegul f : R → R yra funkcija su reikšmėmis (4.3). Įrodyti, kad taške 0funkcijos f riba neegzistuoja.

6. Tegul f : R→ R, g : R→ R ir h : R→ R yra funkcijos. Kurios iš keturiųlygybių

(f + g)h = (fh) + (gh)f(g + h) = (fg) + (gh)(f + g)·h = (f ·h) + (g·h)f ·(g + h) = (f ·g) + (g·h)

yra teisingos ir kurios iš jų yra klaidingos? Teigiamą atsakymą įrodyti,neigiamą atsakymą pagrįsti pavyzdžiu.




10. Tegul a < b, f : [a, b] → R yra funkcija, y ∈ (a, b] ir z ∈ [a, b). Tarkime,kad egzistuoja f(y−) ir f(z+), o nelygybės c ≤ f(x) ≤ d galioja visiemsx ∈ [a, b]. Įrodyti, kad c ≤ f(y−) ≤ d ir c ≤ f(z+) ≤ d.

11. Atsakyti į (4.11) klausimą su pagrindimu.

4.3 Funkcijos tolydumo ir trūkio taškaiMatematinė tolydumo sąvoka išreiškia funkcijos reikšmės f(x) „tolydžią pri-klausomybę” nuo argumento x. Intuityvia prasme funkcija yra tolydi, jei jos gra-fiko eskizą galima nubrėžti neatitraukiant rankos. Matematine prasme funkcijayra tolydi, jei ji yra tolydi kiekviename apibrėžimo srities taške. Pastarąją fra-zę paryškinome todėl, kad ji skamba paradoksaliai: Ką galėtų reikšti funkcijostolydumas taške?

Funkcija f yra tolydi taške y jei tame taške ji konverguoja į reikšmę f(y)praeito skyrelio prasme. Apie funkcijos f tolydumą taške y prasminga kalbėtitada, kai funkcija yra apibrėžta ne tik taško y aplinkoje bet ir pačiame taške y.


4.34 apibrėžtis. Tegul aibėA ⊂ R, funkcija f : A→ R ir tegul elementas y ∈ Ayra aibės A ribinis taškas. Sakoma, kad f yra tolydi taške y, arba y yra funkcijosf tolydumo taškas, jei

limx→y

f(x) = f(y);

kitaip tariant, jei kiekvienam ε > 0 egzistuoja toks δ > 0, kad visiems x ∈ Agalioja implikacija: jei x ∈ Oδ(y), tai |f(x)− f(y)| < ε. Jei f nėra tolydi taškey, tai sakoma, kad f yra trūki taške y arba y yra funkcijos f trūkio taškas.

Tolydumas taške yra prieštaringai skambanti frazė, t.y. oksimoronas. Intui-tyviai, tolydumas yra kažkas tęstinio, o taškas yra dydžio neturintis matematinisobjektas. Tolydumo savybę taške funkcija įgyja dėka savo reikšmių to taško ap-linkoje. Nepaisant to, kai kuriuose vadovėliuose funkcija laikoma tolydžia taške,kuris yra izoliuotas, t.y. taške, kurio aplinkoje funkcija nėra apibrėžta.

Dar keisčiau, funkcija gali būti trūki bet kuriuose greta esančiuose taškuose.Pateiksime pavyzdį funkcijos, kuri yra tolydi tik viename savo apibrėžimo sritiestaške. Su kiekvienu x ∈ R tegul

f(x) :=

x, jei x ∈ Q,−x, jei x ∈ R \ Q. (4.12)

Šios reikšmės apibrėžia funkciją f : R→ R. Tegul x > 0 ir δ > 0. Jei x ∈ Q, taiegzistuoja toks y ∈ R \ Q, kad x < y < x+ δ. Tada

|f(x)− f(y)| = |x− (−y)| = x+ y > 2x. (4.13)

Jei x ∈ R \ Q, tai egzistuoja toks y ∈ Q, kad x < y < x + δ. Tada vėlgalioja (4.13). Tai rodo, kad f nėra tolydi taške x (kodėl?), t. y. ji yra trūki taškex. Simetriški argumentai rodo, kad f yra trūki taške x kai x < 0. Skaitytojuisiūloma įrodyti, kad f tolydi taške x = 0 (4.3.10 pratimas).

Toliau išskirsime dvi trūkių rūšis naudodami vienpusės ribos sąvoką (4.28apibrėžtis).

4.35 apibrėžtis. Tegul aibėA ⊂ R, funkcija f : A→ R ir tegul elementas y ∈ Ayra aibių A∩ (−∞, y) ir A∩ (y,+∞) ribinis taškas. Sakoma, kad f taške y turipirmos rūšies, arba paprastąjį trūkį, jei f yra trūki taške y, tačiau f(y+) ir f(y−)egzistuoja. Priešingu atveju trūkis vadinamas antros rūšies trūkiu.

Pavyzdžiui, funkcija f : R→ R su reikšmėmis (4.3) visuose taškuose x ∈ Rturi antros rūšies trūkio taškus, nes nei f(x+), nei f(x−) neegzistuoja. Funkcijaf : R→ R su reikšmėmis (4.12) visuose taškuose x 6= 0 turi antros rūšies trūkiotaškus. Funkcija f : R → R su reikšmėmis (4.10) taške x = 0 turi paprastąjįtrūkį; visuose kituose taškuose ji yra tolydi.


4.36 pastaba. Kartais funkcijos f trūkio tašku vadinamas taškas y jei f nėraapibrėžta tame taške, bet y yra jos apibrėžimo srities ribinis taškas. Pavyzdžiui,funkcija f : (0,+∞) → R su reikšmėmis f(x) := 1/x kiekvienam x > 0, nėraapibrėžta taške x = 0, bet galima sakyti, kad taške x = 0 turi antros rūšies trūkį,nes neegzistuoja f(0+) (kodėl?).

4.37 apibrėžtis. Tegul aibė A ⊂ R ir f : A → R yra funkcija. Sakoma, kadfunkcija f tolydi, jei ji tolydi kiekviename apibrėžimo srities A ribiniame taške.

Pastaroje apibrėžtyje kalbama apie tolydumą ribiniuose taškuose, nes nėraprasmės kalbėti apie tolydumą izoliuotame taške, kaip jau minėta anksčiau.

4.38 pastaba. Tegul aibės B ⊂ A ⊂ R ir f : A → R yra funkcija. Teiginys: „fyra tolydi aibėje B” gali turėti dvi prasmes. Viena prasme tai gali reikšti, kad fyra tolydi kiekviename aibės B taške, o kita prasme tai gali reikšti, kad funkcijosf siaurinys į aibę B, žymimas f|B, yra tolydi funkcija. Šios dvi prasmės galiskirtis kaip rodo toks pavyzdys. Tegul A := [0, 1], B := [0, 1] ∩ Q ir funkcijaf : A→ R įgyja reikšmes

f(x) :=

1, jei x ∈ [0, 1] ∩ Q,0, jei x ∈ [0, 1] \ Q.

Aišku, kad funkcija f yra trūki kiekviename savo apibrėžimo srities taške, o tuopačiu ji nėra tolydi nei viename aibės B taške (kiekvienas aibės B elementas yrašios aibės ribinis taškas). Tuo tarpu funkcijos f siaurinys f|Q į aibę Q yra tolydifunkcija kiekvienam savo apibrėžimo srities taške. Siekiant išvengti dviprasmiš-kumo, funkcijos tolydumą suprantame tik jos apibrėžimo srityje išskyrus apibrė-žimo srities izoliuotus taškus.

Tolydumo apibūdinimas Pirmos dvi teoremos nurodo būtinas ir pakankamassąlygas tam, kad funkcija būtų tolydi taške.

4.39 teorema. Tegul A ⊂ R, f : A → R ir tegul elementas y ∈ A yra aibės Aribinis taškas. Kiti du teiginiai yra ekvivalentūs:

(a) f yra tolydi taške y;

(b) kiekvienai aibės A elementų sekai (xn), kuri konverguoja į y kai n → ∞,funkcijos reikšmių seka (f(xn)) konverguoja į f(y) kai n → ∞; kitaiptariant,

jei xn ∈ A ∀n ir limn→∞

xn = y, tai limn→∞

f(xn) = f(y).


Įrodymas. Teiginiai (a) ir (b) ekvivalentūs dėl 4.18 teoremos. Skirtumas tarp(b) ir 4.18 teoremos teiginio (b) yra tas, kad šiame (b) teiginyje nereikalaujamexn 6= y, nes ši savybė nekeičia konvergavimo sąlygų.

4.40 teorema. Tegul A ⊂ R, f : A → R ir tegul elementas y ∈ A yra aibiųA ∩ (−∞, y) ir A ∩ (y,+∞) ribinis taškas. Kiti du teiginiai yra ekvivalentūs:

(a) f yra tolydi taške y;

(b) egzistuoja f(y−), f(y+) ir f(y−) = f(y) = f(y+).

Įrodymas. Tarkime, kad f yra tolydi taške y. Kiekvienam ε > 0 egzistuoja toksδ = δ(ε) > 0, kad visiems x ∈ A galioja implikacija

jei 0 < |x− y| < δ, tai |f(x)− f(y)| < ε. (4.14)

Remiantis modulio apibrėžimu, 0 < |x−y| < δ tada ir tik tada, kai y < x < y+δarba y − δ < x < y. Todėl iš (4.14) implikacijos išplaukia, kad visiems x ∈ Agalioja implikacija

jei y < x < y + δ, tai |f(x)− f(y)| < ε.

Tai reiškia, kad egzistuoja funkcijos f riba iš dešinės taške y ir f(y+) = f(y).Simetriškas argumentas rodo, kad egzistuoja funkcijos f riba iš kairės taške y irf(y−) = f(y). Įrodėme implikaciją (a)⇒ (b).

Dabar tarkime, kad galioja teiginys (b). Tegul ε > 0. Kadangi egzistuojaf(y−) ir f(y−) = f(y), tai egzistuoja toks δ1 > 0, kad visiems x ∈ A galiojaimplikacija

jei y − δ1 < x < y, tai |f(x)− f(y)| < ε. (4.15)

Kadangi egzistuoja f(y+) ir f(y+) = f(y), tai egzistuoja toks δ2 > 0, kadvisiems x ∈ A galioja implikacija

jei y < x < y + δ2, tai |f(x)− f(y)| < ε. (4.16)

Tegul δ := minδ1, δ2. Tada δ > 0. Be to, jei 0 < |x−y| < δ, tai y < x < y+δ2arba y − δ1 < x < y. Todėl visiems x ∈ A iš (4.15) ir (4.16) išplaukia (4.14).Kadangi ε > 0 yra laisvai pasirinktas, f yra tolydi taške y. Įrodėme implikaciją(b)⇒ (a) ir tuo pačiu visą teoremą.

Kitos dvi teoremos nurodo teiginius ekvivalenčius tam, kad funkcija būtųtolydi savo apibrėžimo srityje.


4.41 teorema. Tarkime, kad uždara tiesės taškų aibė A neturi izoliuotų taškų irf : A → R yra funkcija. f yra tolydi tada ir tik tada, kai kiekvienos uždarosiosaibės F ⊂ R pirmavaizdis f−1[F ] yra uždaroji aibė.

Įrodymas. Tarkime, kad f yra tolydi. Tegul F ⊂ R yra uždaroji aibė. Įrodysime,kad pirmavaizdis f−1[F ] yra uždaroji aibė. Tegul y yra aibės f−1[F ] ribinistaškas. Reikia parodyti, kad y ∈ f−1[F ], t. y. f(y) ∈ F . Kadangi f−1[F ] ⊂ A,A yra uždaroji ir f−1[F ] ⊂ A = A, tai y ∈ A. Be to, remiantis 4.5 teorema,egzistuoja tokia aibės f−1[F ] elementų seka (xn), kad xn 6= y kiekvienam nir xn → y kai n → ∞. Kadangi f(xn) ∈ F kiekvienam n ir f yra tolyditaške y, tai f(xn) → f(y) kai n → ∞ remiantis 4.39 teorema. Naudojant 4.1.8pratimo teiginį turime, kad f(y) yra aibės F sąlyčio taškas. Kadangi F uždarojif(y) ∈ F , t. y. y ∈ f−1[F ], ką ir reikėjo parodyti.

Dabar tarkime, kad kiekvienos uždarosios aibės F ⊂ R pirmavaizdis f−1[F ]yra uždaroji aibė. Tegul f nėra tolydi aibėje A. Tai reiškia, kad f nėra tolydikuriame nors taške y ∈ A. Kadangi A neturi izoliuotų taškų, y yra aibės Aribinis taškas, o tai reiškia, kad egzistuoja ε > 0 ir aibės A elementų seka (xn),konverguojanti į y kai n → ∞, bet |f(xn) − f(y)| > ε kiekvienam n (4.3.8pratimas). Tegul F := R\Oε(f(y)). Tada F yra uždaroji aibė. Be to, f(xn) ∈ Fkiekvienam n, t. y. xn ∈ f−1[F ] kiekvienam n. Kadangi xn → y, tai y yra aibėsf−1[F ] sąlyčio taškas, bet y 6∈ f−1[F ] - prieštara tam, kad f−1[F ] privalo būtiuždaroji. Todėl f yra tolydi.

Kyla klausimas, ar uždarosios aibės vaizdas gaunamas tolydžiąja funkcija taippat uždaras? Kitas pavyzdys rodo, kad atsakymas yra neigiamas.

4.42 pavyzdys. Tarkime, kad f : R→ R yra funkcija su reikšmėmis

f(x) := 11 + x2 , x ∈ R.

Aibė F := [0,∞) yra uždaroji, funkcija f yra tolydi, o jos vaizdas f [F ] = (0, 1]nėra uždaroji aibė.

Teorema, analogiška pastarajai teoremai apie uždarąsias aibes ir tolydumą,galioja ir atvirosioms aibėms.

4.43 teorema. Tarkime, kad A yra atviroji tiesės taškų aibė ir f : A → R yrafunkcija. f yra tolydi tada ir tik tada, kai kiekvienos atvirosios aibės G ⊂ Rpirmavaizdis f−1[G] yra atviroji aibė.


Įrodymas. Tarkime, kad f yra tolydi. Tegul G ⊂ R yra atviroji aibė. Įrodysime,kad pirmavaizdis f−1[G] yra atviroji aibė. Tegul y ∈ f−1[G]. Reikia parodytiegzistuojant tokį δ > 0, kad Oδ(y) ⊂ f−1[G] (4.10 teorema). Kadangi f(y) ∈ Gir G yra atviroji, remiantis ta pačia 4.10 teorema, egzistuoja toks ε > 0, kadOε(f(y)) ⊂ G. Kadangi f tolydi taške y ir A atviroji, egzistuoja toks δ > 0,kad Oδ(y) ⊂ A ir f(x) ∈ Oε(f(y)) kiekvienam x ∈ Oδ(y). Pastarasis teiginysreiškia, kad Oδ(y) ⊂ f−1[G], ką ir reikėjo įrodyti.

Dabar tarkime, kad kiekvienos atvirosios aibės G ⊂ R pirmavaizdis f−1[G]yra atviroji aibė. Tegul y ∈ A. Parodysime, kad f yra tolydi taške y. Tegul ε > 0irG := Oε(f(y)). TadaG yra atviroji aibė ir jos pirmavaizdis f−1[G] yra atvirojiaibė pagal prielaidą. Kadangi y ∈ f−1[G], tai remiantis 4.10 teorema, egzistuojatoks δ > 0, kad Oδ(y) ⊂ f−1[G], t. y. |f(x)− f(y)| < ε kiekvienam x ∈ Oδ(y),ką ir reikėjo parodyti.

Kitas pavyzdys rodo, kad atvirosios aibės vaizdas gaunamas tolydžiąja funk-cija neprivalo būti atviroji aibė.

4.44 pavyzdys. Tarkime, kad f : R→ R yra funkcija su reikšmėmis f(x) := x2,x ∈ R. Aibė G = (−1, 1) yra atviroji, funkcija f yra tolydi, o jos vaizdasf [G] = [0, 1) nėra atviroji aibė.

Tolydumo savybės Aritmetinės operacijos tarp funkcijų išsaugo tolydumą:

4.45 teorema. Tegul aibė A ⊂ R ir elementas y ∈ A yra aibės A ribinis taškas.Jei funkcijos f : A→ R ir g : A→ R yra tolydžios taške y, tai

(a) f + g tolydi taške y;

(b) fg tolydi taške y;

(c) f/g tolydi taške y jei g(y) 6= 0;

(c) maxf, g tolydi taške y;

(e) minf, g tolydi taške y;

(f) |f | tolydi taške y.

Įrodymas. Įrodysime tik (a) teiginį; visi kiti teiginiai įrodomi panašiai ir skaity-tojui siūloma tai patikrinti. Naudosime 4.39 teoremos (a) ir (c) teiginių ekviva-lentumą. Tegul (xn) yra aibės A elementų seka konverguojanti į y. Remiantisminėta teorema pakanka parodyti, kad (f+g)(xn)→ (f+g)(y) kai n→∞. Ka-dangi funkcijos f : A→ R ir g : A→ R yra tolydžios taške y, tai f(xn)→ f(y)


ir g(xn) → g(y) kai n → ∞. Remiantis sumos f + g apibrėžimu 4.16 ir 3.15teoremos (a) teiginiu, gaunama

limn→∞

(f + g)(xn) = limn→∞

[f(xn) + g(xn)] = f(y) + g(y) = (f + g)(y),


Remiantis pastarąja teorema ir laipsninės funkcijos tolydumu (4.75 teorema)gaunama, kad bet kuris daugianaris

p(x) = a0 + a1x+ a2x2 + · · ·+ anx

n, x ∈ R, (4.17)

yra tolydžioji funkcija p : R→ R; čia a0, a1, . . . , an yra realieji skaičiai.Kita svarbi tolydumo savybė yra tolydžiųjų funkcijų kompozicijos (?? api-

brėžimas) tolydumas:

4.46 teorema. Tegul A ir B yra tiesės taškų aibės, f : A → B ir g : B → Ryra funkcijos, elementas y ∈ A yra aibės A ribinis taškas ir elementas f(y) ∈ Byra aibės B ribinis taškas. Jei f yra tolydi taške y ir g yra tolydi taške f(y), taikompozicija gf yra tolydi taške y.

Įrodymas. Tegul ε > 0. Kadangi g yra tolydi taške f(y), tai egzistuoja toksη > 0, kad |g(z) − g(f(y))| < ε jei z ∈ B ir |z − f(y)| < η. Kadangi f yratolydi taške y, tai egzistuoja toks δ > 0, kad |f(x) − f(y)| < η jei x ∈ A ir|x− y| < δ. Taigi, jei x ∈ A ir |x− y| < δ, tai

|g(f(x))− g(f(y))| = |(gf)(x)− (gf)(y)| < ε,


Pratimai

1. Tegul f : R→ R yra funkcija su reikšmėmis

f(x) :=

x3 + 2, jei x ≤ 0,x2 − 2, jei 0 < x ≤ 2,x, jei x > 2.

Rasti funkcijos f tolydumo ir trūkio taškus.

2. Tegul a ∈ R ir f : R→ R yra funkcija su reikšmėmis

f(x) :=x2 − x+ 1, jei x ≤ 1,ax+ 1, jei x > 1.

Kokioms a reikšmėms funkcija f yra tolydi?


3. Su kiekvienu x ∈ R tegul f(x) := bxc yra skaičiaus sveikoji dalis (??teorema). Rasti funkcijos f : R → R su reikšmėmis f(x), x ∈ R, trūkiotaškų aibę.

4. Tegul f ir g yra funkcijos iš R į R su reikšmėmis, atitinkamai,

f(x) :=

sin(1/x), jei x 6= 0,0, jei x = 0, ir g(x) :=

x sin(1/x), jei x 6= 0,0, jei x = 0.

Įrodyti, kad 0 yra funkcijos f antros rūšies trūkio taškas, o funkcijos g -tolydumo taškas.

5. Tarkime, kad funkcija f : R→ R yra tolydi ir c ∈ R yra toks, kad f(c) > 0.Įrodyti egzistuojant tokį δ > 0, kad f(x) > f(c)/2 kiekvienam x ∈ Oδ(c).

6. Tarkime, kad f : R→ R yra tolydi funkcija ir f(x) = 0 kiekvienam x ∈ Q.Įrodyti, kad f(x) = 0 kiekvienam x ∈ R.

7. Kiekvieną racionalųjį skaičių galima užrašyti trupmenam/n; čia n ∈ N∗ irm ∈ Z neturi bendro daliklio. Tegul f : R→ R yra funkcija su reikšmėmis

f(x) :=

0, jei x ∈ R \ Q,

1/n, jei x = m/n 6= 0,1, jei x = 0.

Įrodyti, kad f yra tolydi kiekviename iracionaliajame taške, o kiekvienameracionaliajame taške turi paprastą trūkį. Nuoroda: jei a ∈ R \ Q ir ε > 0,tai aibė tų x = m/n ∈ Q, kuriems |x− a| < 1 ir n ≤ 1/ε yra baigtinė.

8. Tarkime, kad A yra tiesės taškų aibė, y ∈ A yra aibės A ribinis taškas irfunkcija f : A→ R yra trūki taške y. Įrodyti, kad egzistuoja tokie ε > 0 iraibės A elementų seka (xn), kad xn → y kai n→∞ ir |f(xn)−f(y)| > εkiekvienam n.

9. Tarkime, kad A yra tiesės taškų aibė, y ∈ A yra aibės A ribinis taškas irf : A→ R yra funkcija. Nenaudojant loginio neiginio suformuluoti būtinąir pakankama sąlygą tam, kad f būtų trūki taške y.

10. Tegul f : R → R yra funkcija su reikšmėmis (4.12). Įrodyti, kad f tolyditaške x = 0.

11. Tarkime, kad f : [a, b] → R yra tolydi funkcija. Įrodyti, kad egzistuojatokia tolydi funkcija g : R → R, kad g(x) = f(x) kiekvienam x ∈ [a, b](tokia funkcija g vadinama funkcijos f tolydžiuoju tęsiniu). Įrodykite, kadšis teiginys nėra teisingas bet kuriai tolydžiai funkcijai f : (a, b)→ R.

4.4 Tolydžioji funkcija uždarame intervale 115

12. Pateikti pavyzdžius tokių funkcijų f : R→ R ir g : R→ R, kad

(a) f nėra tolydi, bet g ir gf yra tolydžios;

(b) g nėra tolydi, bet f ir gf yra tolydžios;

(c) f ir g nėra tolydžios, bet gf yra tolydi.

13. Tarkime, kad f : (a, b)→ R yra tokia funkcija, kad

f(λx+ (1− λ)y) ≤ λf(x) + (1− λ)f(y)

visiems x ∈ (a, b), y ∈ (a, b) ir λ ∈ (0, 1) (tokia funkcija vadinamaiškiląja). Įrodyti, kad f yra tolydi. Nuoroda: tegul c ∈ (a, b) ir g(x) :=f(c + x) − f(c) kiekvienam x ∈ (a − c, b − c). Pakanka parodyti, kadšiomis reikšmėmis apibrėžta funkcija g yra iškilioji ir tolydi nulyje.

4.4 Tolydžioji funkcija uždarame intervaleŠiame skyrelyje parodoma, kad kiekviena uždarame intervale2 apibrėžta toly-džioji funkcija turi daug naudingų savybių.

4.47 apibrėžtis. Tegul f : A→ R yra funkcija. Funkcija f vadinama aprėžta išviršaus, jei jos reikšmių sritis f [A] yra aprėžta iš viršaus, t. y. jei egzistuoja toksM ∈ R, kad

f(x) ≤M kiekvienam x ∈ A.

Funkcija f vadinama aprėžta iš apačios, jei jos reikšmių sritis f [A] yra aprėžtaiš apačios, t. y. jei egzistuoja toks m ∈ R, kad

f(x) ≥ m kiekvienam x ∈ A.

Funkcija f vadinama aprėžta, jei ji yra aprėžta iš viršaus ir iš apačios.

Tegul A yra netuščia realiųjų skaičių aibė ir f : A → R yra funkcija. Jeifunkcija f yra aprėžta iš viršaus, tai jos reikšmių aibė (reikšmių sritis) f [A] =f(x) : x ∈ A yra netuščia ir aprėžta iš viršaus. Todėl šios funkcijos reikšmiųsritis turi mažiausią viršutinį rėžį

supAf := supf(x) : x ∈ A ∈ R. (4.18)

2Pagal 2.10 apibrėžimą, intervalas reiškia baigtinį intervalą.


Jei funkcija f yra aprėžta iš apačios, tai jos reikšmių aibė (reikšmių sritis) f [A] =f(x) : x ∈ A yra netuščia ir aprėžta iš apačios, bei turi didžiausią apatinį rėžį

infAf := inff(x) : x ∈ A ∈ R. (4.19)

Jei f nėra aprėžta, tai supA f arba infA f yra simboliai +∞ arba −∞, atitinka-mai.

Funkcija yra aprėžta tada ir tik tada, kai jos modulis yra aprėžtas iš viršaus(4.4.1 pratimas). Remiantis aibės supremumo apibrėžimu (2.6 apibrėžimas),funkcija f : A→ R yra aprėžta tada ir tik tada, kai

supA|f | := sup|f(x)| : x ∈ A ∈ R.

Be to, funkcija f nėra aprėžta tada ir tik tada, kai supA |f | = +∞ (kodėl?).Ne visos tolydžios funkcijos yra aprėžtos. Pavyzdžiui funkcija f : (0,+∞)→

R su reikšmėmis f(x) := 1/x kiekvienam x > 0 yra tolydi, bet neaprėžta iš vir-šaus intervale (0, 1) (kodėl?). Tačiau šios funkcijos siaurinys intervale [1, 2] yratolydi ir aprėžta funkcija (kodėl?).

4.48 teorema. Uždarame intervale apibrėžta tolydžioji funkcija yra aprėžta.

Įrodymas. Tegul a < b ir funkcija f : [a, b] → R yra tolydžioji. Tarkime, kadf nėra aprėžta. Remiantis 4.47 apibrėžtimi ir egzistencijos kvantoriaus neiginiu,ši prielaida ekvivalenti tam, kad kiekvienam M ∈ R egzistuoja toks x ∈ [a, b],kad |f(x)| > M . Todėl kiekvienam n ∈ N aibė Xn := x ∈ [a, b] : |f(x)| >n yra netuščia. Remiantis rinkimo aksioma egzistuoja seka (xn)n≥1, kurioskiekvienas narys xn ∈ Xn. Gautos sekos (xn) nariai priklauso uždarai ir aprėžtaiaibei [a, b]. Remiantis 4.8 teorema aibei A := [a, b], seka (xn) turi posekį (xnk

)konverguojantį į intervalo [a, b] elementą x. Kadangi f tolydi, tai seka (f(xnk

))konverguoja į f(x) kai k →∞. Remiantis 3.12 ir 3.14 teoremomis seka (f(xnk

))yra aprėžta. Iš kitos pusės |f(xnk

)| > nk ≥ k kiekvienam k ∈ N pagal sekosapibrėžimą - prieštara, įrodanti teoremą.

Maksimumo principas Faktas, kad funkcija yra aprėžta, nieko konkretaus ne-sako apie funkcijos reikšmių aibės viršutinį ir apatinį rėžius. Nagrinėsime atve-jus, kai tokiais rėžiais yra funkcijos reikšmės.

4.49 apibrėžtis. Tegul A yra tiesės taškų aibė ir f : A → R yra funkcija. Ele-mentas u ∈ A vadinamas funkcijos f maksimumo tašku, o skaičius f(u) vadi-namas funkcijos f maksimaliąja reikšme, jei f(u) ≥ f(x) kiekvienam x ∈ A.


Taip pat sakoma, kad funkcija f įgyja maksimumą, jei aibėje A egzistuoja josmaksimumo taškas. Elementas v ∈ A vadinamas funkcijos f minimumo tašku,o skaičius f(v) vadinamas funkcijos f minimaliąja reikšme, jei f(v) ≤ f(x)kiekvienam x ∈ A. Taip pat sakoma, kad funkcija f įgyja minimumą, jei aibėjeA egzistuoja jos minimumo taškas.

4.50 pavyzdys. Tarkime, kad f : [0,∞)→ R yra funkcija su reikšmėmis

f(x) := x

1 + x, x ≥ 0.

Ši funkcija yra aprėžta, jos mažiausias viršutinis rėžis

sup[0,∞)

f = supf(x) : x ∈ [0,∞) = 1,

bet jos apibrėžimo srityje nėra maksimumo taško, t. y. nėra tokio elemento u ∈(0,∞), kad f(u) = 1. Šios funkcijos didžiausias apatinis rėžis yra

inf[0,∞)

f = inff(x) : x ∈ [0,∞) = 0,

x = 0 yra šios funkcijos minimumo taškas ir f(0) = 0 yra minimalioji reikšmė.

Funkcija gali turėti ne vieną maksimumo tašką ir ne vieną minimumo tašką.Pavyzdžiui, funkcijos f : [0, 1] → R su reikšmėmis f(x) = 1 visiems x ∈ [0, 1]kiekvienas apibrėžimo srities taškas yra maksimumo taškas ir minimumo taškas.

Kita teorema vadinama maksimumo principu:

4.51 teorema. Tarkime, kad a < b ir funkcija f : [a, b]→ R yra tolydžioji. Tegul

M1 := sup[a,b]

f ir M2 := inf[a,b]

f.

TadaM1 irM2 yra funkcijos f maksimalioji ir minimalioji reikšmės, atitinkamai,t.y. egzistuoja tokie c1 ∈ [a, b] ir c2 ∈ [a, b], kad f(c1) = M1 ir f(c2) = M2.

Įrodymas. Kadangi f yra uždarame intervale apibrėžta tolydžioji funkcija, tai jiyra aprėžta remiantis 4.48 teorema. Todėl funkcijos f reikšmių aibė f(x) : x ∈[a, b] turi mažiausią viršutinį rėžį, t.y. M1 ∈ R. Analogiškai funkcijos f reikš-mių aibė turi didžiausią apatinį rėžį, t.y. M2 ∈ R. Faktą, kad M1 yra maksimalifunkcijos reikšmė įrodysime dviem būdais.

I būdas. Egzistuoja tokia [a, b] elementų seka (xn), kad f(xn) > M1 − 1/nkiekvienam n ∈ N∗ (kodėl?). Remiantis 3.16 teorema f(xn)→ M1 kai n→∞.


Remiantis 4.8 teorema egzistuoja c1 ∈ [a, b] ir sekos (xn) posekis (xnk) konver-

guojantis į c1 kai k →∞. Kadangi f yra tolydi taške c1, tai f(xnk)→ f(c1) kai

k → ∞. Remiantis 3.27 teorema ir dėl funkcijos ribos vienaties f(c1) = M1,t.y. M1 yra maksimali funkcijos reikšmė.

II būdas. Tarkime, kad f(x) < M1 kiekvienam x ∈ [a, b]. Tegul v ∈ [a, b].Tada f(v) < M1, o tada

f(v) < f(v) +M1

2 < M1.

Kadangi f tolydi, remiantis 4.2.3 pratimu, kuriame u = f(v) ir d2 = (f(v) +M1)/2, egzistuoja toks δv > 0, kad

f(x) < f(v) +M1

2 visiems x ∈ Oδv(v) ∩ [a, b].

Šeima Oδv(v) : v ∈ [a, b] yra intervalo [a, b] denginys atviromis aibėmis. Ka-dangi intervalas [a, b] yra kompaktinė aibė (4.14 teorema), egzistuoja baigtinė[a, b] taškų aibė v1, . . . , vn, kurių aplinkos sudaro [a, b] denginį, t.y. [a, b] ⊂∪ni=1Oδvi

(vi). Tada max(f(vi) + M1)/2: i ∈ 1, . . . , n yra funkcijos reikš-mių aibės viršutinis rėžis, kuris yra mažesnis už mažiausią šios aibės viršutinįrėžį M1. Ši prieštara įrodo, kad M1 yra maksimali funkcijos reikšmė, kas įrodopirmąją teoremos dalį.

Teoremos antrosios dalies įrodymui apibrėžkime funkciją g := −f . Pagaljau įrodytą pirmąją dalį egzistuoja toks taškas v ∈ [a, b], kad

f(v) = −g(v) = − supg(x) : x ∈ [a, b] = inff(x) : x ∈ [a, b] =: m.

Kadangi m yra funkcijos f reikšmių srities f(x) : x ∈ [a, b] apatinis rėžis, taifunkcija f įgyja minimalią reikšmę taške v, kas įrodo antrąją teoremos dalį.

Viduriniosios reikšmės savybė Ką tik įrodėme, kad uždarame intervale api-brėžta tolydžioji funkcija įgyja minimaliąją ir maksimaliąją reikšmes. Toliauįrodysime, kad ji taip pat įgyja visas reikšmes tarp minimaliosios ir maksimalio-sios.

4.52 apibrėžtis. Tarkime, kad realiųjų skaičių aibė A turi bent du elementus irf : A → R yra funkcija. Sakoma, kad f turi viduriniosios reikšmės savybę, jeibet kuriems skirtingiems u ∈ A ir v ∈ A ir bet kuriam tarp f(u) ir f(v) esančiamskaičiui y, tarp u ir v yra toks skaičius c ∈ A, kad f(c) = y.

Toliau įrodysime vadinamąją viduriniųjų reikšmių teoremą (angl. the inter-mediate value theorem):


4.53 teorema. Uždarame intervale apibrėžta tolydžioji funkcija turi vidurinio-sios reikšmės savybę.

Įrodymas. Tegul a < b ir f : [a, b] → R yra tolydžioji funkcija. Tegul a ≤ u <v ≤ b ir tegul skaičius y yra tarp f(u) ir f(v). Jei y = f(u) arba y = f(v), taiteorema įrodyta. Pirma, tarkime, kad f(u) < y < f(v). Tegul

A := x ∈ [u, v] : f(x) < y.

Aibė A yra netuščia, nes u ∈ A, ir turi viršutinį rėžį, nes x ≤ v kiekvienamx ∈ A. Todėl A aibė turi mažiausią viršutinį rėžį

c := supA ∈ R. (4.20)

Parodysime, kad f(c) = y. Jei f(c) > y, tai c > a. Remiantis funkcijos ftolydumu, egzistuoja toks δ ∈ (0, c−a], kad f(x) > y visiems x ∈ (c−δ, c] (arba4.2.3 pratimas, kuriame u = f(c)). Tokiu atveju c−δ yra aibėsA viršutinis rėžis,kas prieštarauja (4.20). Jei f(c) < y, tai c < b. Dar kartą remiantis funkcijos ftolydumu, egzistuoja toks δ ∈ (0, b − c], kad f(x) < y visiems x ∈ [c, c + δ)(arba 4.2.3 pratimas, kuriame u = f(c)). Tokiu atveju c nėra aibės A viršutinisrėžis, kas taip pat prieštarauja (4.20). Remiantis trichotomija, f(c) = y pirmuojuatveju.

Antra, tarkime, kad f(u) > y > f(v). Tada −f(u) < −y < −f(v). Kadan-gi funkcija −f : [a, b] → R taip pat tolydi, remiantis pirmojo atvejo įrodymu sufunkcija −f vietoje f , randame tokį c ∈ [u, v], kad −f(c) = −y, t.y. f(c) = yabiem atvejais.

Tam, kad funkcija turėtų viduriniosios reikšmės savybę, ji neprivalo būti to-lydžiąja. Funkcija f : [0, 1]→ R su reikšmėmis

f(x) =

sin(1/x), jei x ∈ (0, 1],0, jei x = 0,

yra trūki ir turi viduriniosios reikšmės savybę apibrėžimo srityje.Viduriniosios reikšmės teoremos naudingumą iliustruosime dar viena išvada.

Funkcijos f : A → R nejudamuoju tašku vadinamas toks skaičius c ∈ A, kadf(c) = c. Pavyzdžiui funkcija f : [0, 1] → R su reikšmėmis f(x) := x2 kiek-vienam x ∈ [0, 1] turi du nejudamuosius taškus 0 ir 1. Įdomu tai, kad bent vienąnejudamąjį tašką turi bet kuri funkcija, kuri yra apibrėžta ir tolydi uždarame in-tervale [a, b] ir reikšmes įgyja tame pačiame intervale [a, b]3.

3Kai funkcijos apibrėžimo sritis yra sudėtingesnė aibė, nejudamojo taško egzistavimo faktas(vadinamas nejudamojo taško teorema) yra netrivialus ir svarbus. Pavyzdžiui, naudojant tokįfaktą galima įrodyti ekonominės bendrosios pusiausvyros matematiniame modelyje egzistavimą(žr. [15, 4 skyrius]).


4.1 pav.. Funkcijos sin(1/x) grafikas

4.54 išvada. Tarkime, kad a ≤ b ir funkcija f : [a, b] → [a, b] yra tolydi. Egzis-tuoja toks taškas c ∈ [a, b], kad f(c) = c.

Įrodymas. Galime tarti, kad a < b (kodėl?). Tegul g(x) := f(x) − x kiekvie-nam x ∈ [a, b]. Šiomis reikšmėmis apibrėžta funkcija g : [a, b] → R yra tolydiremiantis 4.45 teorema. Kadangi funkcijos f reikšmės priklauso intervalui [a, b],tai g(a) = f(a) − a ≥ 0 ir g(b) = f(b) − b ≤ 0, t. y. 0 ∈ [g(b), g(a)]. Remian-tis 4.53 teorema funkcija g turi viduriniosios reikšmės savybę intervale [a, b], taiegzistuoja toks c ∈ [a, b], kad g(c) = 0, t. y. f(c) = c, ką ir reikėjo įrodyti.

Tolygus tolydumas Funkcija f : A → R yra tolydi taške y ∈ A, jei duotamε > 0 galima rasti tokį δ > 0, kad reikšmės f(x) yra nutolę nuo f(y) atstu-mu ne didesniu už ε su visais x ∈ Oδ(y). Šioje funkcijos savybėje skaičius δgali priklausyti net tik nuo skaičiaus ε bet ir nuo taško y. Tai iliustruoja toliaunagrinėjama funkcija su reikšmėmis f(x) = 1/x visiems x ∈ (0, 1). Apibrėši-me naują funkcijos savybę, kurioje reikalaujamas skaičiaus δ nepriklausomumasnuos taško y.

4.55 apibrėžtis. Funkcija f : A → R vadinama tolygiai tolydžiąja, jei kiekvie-nam ε > 0 egzistuoja toks δ = δ(ε) > 0, kad kiekvienai aibės A elementų porai(x, y) galioja implikacija: jei |x− y| < δ, tai |f(x)− f(y)| < ε.

Kiekviena tolygiai tolydžioji funkcija yra tolydžioji (kodėl?). Atvirkštinisteiginys „kiekviena tolydžioji funkcija yra tolygiai tolydžioji" neteisingas. Įro-dysime tai funkcijos pavyzdžiu. Funkcija f : (0,+∞) → R su reikšmėmis


f(x) := 1/x yra tolydi kiekviename apibrėžimo srities (0, 1] taške (4.75 teo-rema su r = −1). Parodysime, kad ji nėra tolygiai tolydžioji. Tegul ε = 1.Reikia rasti tokį δ > 0, kad atstumas

|f(x)− f(y)| =∣∣∣∣1x − 1

y

∣∣∣∣ < 1

tiems x ir y iš intervalo (0, 1], kuriems |x − y| < δ. Imkime bet kurį δ > 0.Egzistuoja toks n ∈ N∗, kad 1/n < δ (kodėl?). Tegul x = 1/(n+ 2) ir y = 1/n.Tada x ir y priklauso intervalui (0, 1], o atstumas tarp jų

|x− y| = 2n(n+ 2) <

n+ 2n(n+ 2) = 1

n< δ ir

∣∣∣∣1x − 1y

∣∣∣∣ = 2 6< 1.

Tai reiškia, kad implikacija „jei |x− y| < δ, tai |f(x)− f(y)| < 1" nėra teisinga.Kadangi δ > 0 laisvai pasirinktas skaičius, funkcija f nėra tolygiai tolydžioji.

Pastarajame pavyzdyje funkcijos apibrėžimo sritis (0, 1] nėra uždaras interva-las. Kita teorema rodo, kad apsiribojus funkcijomis, kurių apibrėžimo sritis yrauždaras intervalas, teiginys „kiekviena tolydžioji funkcija yra tolygiai tolydžiąja"tampa teisingu.

4.56 teorema. Tolydžioji uždarame intervale funkcija yra tolygiai tolydžioji.

Įrodymas. Tegul f : [a, b] → R yra tolydžioji funkcija. Įrodysime, kad f yratolygiai tolydžioji intervale [a, b]. Galime tarti, kad a < b. Tegul ε > 0. Ka-dangi f yra tolydžioji kiekviename intervalo [a, b] taške, tai duotam x ∈ [a, b]egzistuoja toks realusis skaičius η(x) > 0, kad |f(y)− f(z)| < ε bet kuriems yir z iš aplinkos Oη(x)(x). Kiekvienam x ∈ [a, b] tegul Ux := Oη(x)/2(x). TadaU := Ux : x ∈ [a, b] yra intervalo [a, b] denginys atvirais intervalais. Remian-tis 4.14 teorema, egzistuoja U elementų baigtinis rinkinys Ux1 , . . . , Uxn taippat dengiantis [a, b]. Tegul δ := minη(xi)/2: i = 1, . . . , n. Tada δ > 0. Te-gul y ir z yra tokie intervalo [a, b] elementai, kad atstumas |y−z| < δ. Egzistuojatoks i ∈ 1, . . . , n, kad y ∈ Uxi

. Tada

|z − xi| ≤ |z − y|+ |y − xi| < δ + η(xi)2 ≤ η(xi).

Taigi, y ir z priklauso tai pačiai aplinkai Oη(xi)(xi). Todėl |f(y)−f(z)| < ε, t. y.f yra tolygiai tolydžiąja.

Pratimai


1. Tegul f : A → R yra funkcija ir |f | yra jos modulis. Įrodyti, kad f yraaprėžta tada ir tik tada, kai |f | yra aprėžta iš viršaus.

2. Tarkime, kad funkcija f : A→ R yra aprėžta. Įrodyti, kad

oscAf := sup

f(x)− f(y) : x ∈ A, y ∈ A

(4.21)

= sup|f(x)− f(y)| : x ∈ A, y ∈ A

= sup

Af − inf

Af.

Skaičius osc Af vadinamas f funkcijos mostu aibėje A (angl. oscillation).

3. Pateikti pavyzdžius:

(a) funkcijos f : (−1, 1) → R, kuri yra tolydi ir aprėžta, kažkuriametaške įgyja minimalią reikšmę, bet niekur neįgyja maksimalios reikš-mės;

(b) funkcijos f : [1,+∞) → R, kuri yra tolydi ir aprėžta, kažkuriametaške įgyja maksimalią reikšmę, bet niekur neįgyja minimalios reikš-mės;

(c) funkcijos f : [−1, 1]→ R, kuri yra aprėžta, bet niekur neįgyja mini-malios reikšmės ir niekur neįgyja maksimalios reikšmės;

(d) funkcijos f : [−1, 1]→ R, kuri neturi viršutinio rėžio ir neturi apati-nio rėžio.

Paaiškinti, kodėl nei vienas iš šių pavyzdžių nepaneigia maksimumo prin-cipo.

4. Tarkime, kad funkcija f : A → R įgyja maksimalią reikšmę taške u ∈ A.Įrodyti, kad f(u) = supA f .

5. Pateikti pavyzdį tokios funkcijos f : A→ R, kad supA f ∈ R, bet ji niekurneįgyja maksimalios reikšmės.

6. Tegul funkcija f : A → R yra tolydi ir Q yra racionaliųjų skaičių aibė.Įrodyti, kad supA f = supA∩Q f .

7. Tegul f : [a, b]→ R ir g : [a, b]→ R yra tolydžios funkcijos. Tarkime, kadf(0) < g(0) ir f(1) > g(1). Įrodyti egzistuojant tokį tašką c ∈ (0, 1), kadf(c) = g(c).

4.5 Monotoninės funkcijos 123

8. Tarkime, kad funkcija f : [0, 2]→ R yra tolydi ir f(0) = f(2). Įrodyti, kadintervale [0, 2] egzistuoja tokie skaičiai a ir b, kad a−b = 1 ir f(a) = f(b).

9. Tegul f : [a, b] → R yra tolydi funkcija. Tarkime, kad f(x) > 0 kiek-vienam x ∈ [a, b]. Įrodyti egzistuojant tokį skaičių c > 0, kad f(x) > ckiekvienam x ∈ [a, b].

10. Tegul f : [a, b] → R ir g : [a, b] → R yra tolydžios funkcijos. Tarkime,kad f(x) > g(x) kiekvienam x ∈ [a, b]. Įrodyti egzistuojant tokį skaičiųc > 0, kad f(x) > c+ g(x) kiekvienam x ∈ [a, b].

11. Tegul f : [a, b] → R ir g : [a, b] → R yra tolydžios funkcijos. Tarkime,kad f(x) < g(x) kiekvienam x ∈ [a, b]. Įrodyti egzistuojant tokį skaičiųc < 1, kad f(x) ≤ cg(x) kiekvienam x ∈ [a, b]. Nuoroda: nagrinėti aibesx ∈ [a, b] : f(x) ≥ (1− 1/n)g(x).

12. Tegul f : [1,+∞) → [1,+∞) yra funkcija su reikšmėmis f(x) =√x

visiems x ≥ 1. Įrodyti, kad f nėra aprėžta, bet yra tolygiai tolydinė.

13. Tarkime, kad f : [a, b] → R yra funkcija, α ∈ (0, 1] ir egzistuoja toksskaičius C ∈ R, kad

|f(x)− f(y)| ≤ C|x− y|α (4.22)

visiems x ∈ [a, b] ir y ∈ [a, b] (tada sakoma, kad funkcijai f galioja Höl-derio sąlyga su rodikliu α). Įrodyti, kad f yra tolygiai tolydi.

14. Tarkime, kad f : [a, b] → R yra funkcija, kuriai egzistuoja toks skaičiusC ∈ R, kad (4.22) galioja su kuriuo nors α > 1. Įrodyti, kad su kuriuonors c ∈ R, f(x) = c visiems x ∈ [a, b].

15. Pateikti tokį tolygiai tolydžios funkcijos f pavyzdį, kuriai negalioja Höl-derio sąlyga su rodikliu 1. Nuoroda: nagrinėti funkciją su reikšmėmisf(x) =

√x.

4.5 Monotoninės funkcijosŠiame skyrelyje nagrinėsime funkcijas skirtingas nuo tolydžiųjų funkcijų, betturinčias panašias savybes.

4.57 apibrėžtis. Tegul B ⊂ A ⊂ R ir f : A→ R yra funkcija. f vadinama


(a) nemažėjančia aibėje B, jei visiems x ∈ B ir y ∈ B teisinga implikacija

[x > y] ⇒ [f(x) ≥ f(y)].

(b) didėjančia aibėje B, jei visiems x ∈ B ir y ∈ B teisinga implikacija

[x > y] ⇒ [f(x) > f(y)].

(c) nedidėjančia aibėje B, jei visiems x ∈ B ir y ∈ B teisinga implikacija

[x > y] ⇒ [f(x) ≤ f(y)].

(d) mažėjančia aibėje B, jei visiems x ∈ B ir y ∈ B teisinga implikacija

[x > y] ⇒ [f(x) < f(y)].

Funkcija f vadinama monotonine aibėje B, jei ji yra nedidėjanti arba nemažė-janti. Jei B = A, tai frazė „aibėje B" praleidžiama.

Jei A = N, tai funkcija f : N → R yra seka ir šiuo atveju pastaroji apibrėžtissutampa su 3.17 apibrėžtimi sekoms. Funkcija g : A→ R su reikšmėmis g(x) =1 visiems x ∈ A yra nedidėjanti ir nemažėjanti, bet (atveju, kai A nėra vieninėaibė) nėra didėjanti ir nėra mažėjanti.

Monotoninė funkcija neprivalo būti tolydžiąja savo apibrėžimo srityje. Pa-vyzdžiui, tokia yra funkcija (4.4). Tačiau monotoninės funkcijos turi vienpusesribas visuose savo apibrėžimo srities taškuose remiantis toliau įrodyta teorema(4.28 apibrėžtis).

4.58 teorema. Tegul J yra intervalas, baigtinis ar begalinis, a yra jo kairysisgalas, b yra jo dešinysis galas ir y ∈ J (J uždarinys). Tegul f : J → R yranemažėjanti ir aprėžta funkcija. Jei y 6= a, tai taške y egzistuoja riba iš kairės ir

f(y−) = limx→y−

f(x) = supf(x) : x ∈ J ∩ (−∞, y). (4.23)

Jei y 6= b, tai taške y egzistuoja riba iš dešinės ir

f(y+) = limx→y+

f(x) = inff(x) : x ∈ J ∩ (y,+∞). (4.24)

Be to, jei u, v ∈ J ir u < v, tai f(u+) ≤ f(v−).


Įrodymas. Tegul y 6= a. Aibė f(x) : x ∈ J∩(−∞, y) yra netuščia ir aprėžta išviršaus skaičiumi f(y), nes funkcija f nemažėja. Remiantis mažiausio viršutiniorėžio teorema (?? teorema) egzistuoja K := supf(x) : a ≤ x < y ∈ R irK ≤ f(y). Įrodysime, kad taške y egzistuoja riba iš kairės ir lygiK. Tegul ε > 0.Remiantis supremumo savybe (2.2.?? pratimas) egzistuoja toks z ∈ J∩(−∞, y),kad f(z) > K − ε. Kadangi f yra nemažėjanti funkcija, tai

K − ε < f(z) ≤ f(x) ≤ K

visiems x ∈ (z, y). Todėl, visiems x ∈ (z, y),

−ε < f(x)−K ≤ 0 < ε.

Kadangi ε > 0 yra laisvai pasirinktas, tai riba iš kairės egzistuoja ir lygi K.Kai y 6= b ribos iš dešinės taške y egzistavimas ir (4.24) paliekami įrodyti

skaitytojui. Tegul Tegul u, v ∈ J ir u < v. Bet kuriam y ∈ (u, v), pagaljau įrodytą teoremos dalį ir mažiausio viršutinio bei didžiausio apatinio rėžiųapibrėžtis, turime

f(u+) = inff(x) : x ∈ J ∩ (u,+∞) ≤ f(y)≤ supf(x) : x ∈ J ∩ (−∞, v) = f(v−),


Teorema, analogiška pastarajai teoremai, galioja ir mažėjančiai funkcijai. Josįrodymas paliekamas skaitytojui (4.5.1 pratimas).

4.59 teorema. Tegul J yra intervalas, baigtinis ar begalinis, a yra jo kairysisgalas, b yra jo dešinysis galas ir y ∈ J . Tegul f : J → R yra nedidėjantifunkcija. Jei y 6= a, tai taške y egzistuoja riba iš kairės ir

f(y−) = limx→y−

f(x) = inff(x) : x ∈ J ∩ (−∞, y). (4.25)

Jei y 6= b, tai taške y egzistuoja riba iš dešinės ir

f(y+) = limx→y+

f(x) = supf(x) : x ∈ J ∩ (y,+∞). (4.26)

Be to, jei u, v ∈ J ir u < v, tai f(u+) ≥ f(v−).

Remiantis pastarosiomis teoremomis monotoninė funkcija gali turėti tik pa-prastąjį trūkį (4.35 apibrėžtis).


Funkcijos viršutinė ir apatinė ribos Apibendrinsime sekos viršutinės ir apati-nės ribos sąvokas pagal analogiją su 3.33 teoremos teiginiais. Tai daroma dviematvejais. Pirma, kai funkcijos argumentas diverguoja į plius begalybę. Antra, kaifunkcijos argumentas konverguoja į skaičių.

Tegul a ∈ R ir f : [a,+∞)→ R yra aprėžta funkcija. Funkcija S : [a,+∞)→R su reikšmėmis

S(y) := supf(x) : x ∈ [y,+∞), y ≥ a,

yra nedidėjanti. Šios funkcijos argumentui y tolstant į begalybę, jos reikšmės api-būdina funkcijos f elgesį begalybėje. Panašų vaidmenį atlieka funkcija I : [a,+∞)→R su reikšmėmis

I(y) := inff(x) : x ∈ [y,+∞), y ≥ a,

kuri yra nemažėjanti. Šių funkcijų apibūdinamą f elgesį vadinsime jos viršutineir apatine ribomis begalybėje.

4.60 apibrėžtis. Tegul a ∈ R ir f : [a,+∞)→ R yra aprėžta funkcija. Funkcijosf viršutine riba plius begalybėje vadiname skaičių

lim supx→+∞

f(x) := infy≥a

S(y)(

= inf

supx≥y

f(x) : y ≥ a)

= limy→+∞

S(y). (4.27)

Funkcijos f apatine riba plius begalybėje vadiname skaičių

lim infx→+∞

f(x) := supy≥a

I(y)(

= sup

infx≥y

f(x) : y ≥ a)

= limy→+∞

I(y). (4.28)

Kai funkcija f yra apibrėžta tik natūraliųjų skaičių aibėje, tai šios sąvokossutampa su sekos viršutine ir apatine ribomis. Lygybės 4.27 ir 4.27 teisingos,monotoninių funkcijų ribos egzistuoja visada.

4.61 pavyzdys. Tegul f(x) = sin x kiekvienam x ∈ R. Šios funkcijos viršutinėir apatinė riba begalybėje yra

lim supx→+∞

sin x = 1 ir lim infx→+∞

sin x = −1,

atitinkamai. Tokios reikšmės gaunamos todėl, kad šiuo atveju S(y) = 1 ir I(y) =−1 kiekvienam y ∈ R.


Tegul I ⊂ R yra intervalas, baigtinis ar begalinis, f : I → R ir r yra I ribinistaškas. Funkcija U : (0,∞)→ R su reikšmėmis

U(δ) := supf(x) : x ∈ I, 0 < |x− r| < δ, δ > 0, (4.29)

yra nemažėjanti (kodėl?). Remiantis 4.58 teorema, kurioje f = U , J = (0,∞)ir y = 0 = J = [0,∞), infU(δ) : δ > 0 = U(0+).

Funkcija V : (0,∞)→ R su reikšmėmis

V (δ) := inff(x) : x ∈ I, 0 < |x− r| < δ, δ > 0, (4.30)

yra nedidėjanti (kodėl?). Remiantis 4.59 teorema, kurioje f = V , J = (0,∞) iry = 0 = J = [0,∞), supV (δ) : δ > 0 = V (0+).

4.62 apibrėžtis. Tegul I ⊂ R yra intervalas, baigtinis ar begalinis, f : I → Ryra aprėžta funkcija ir skaičius r yra I ribinis taškas. Funkcijos f viršutine ribataške r vadiname skaičių

lim supx→r

f(x) := infδ>0

U(δ) = U(0+). (4.31)

Funkcijos f apatine riba taške r vadiname skaičių

lim infx→r

f(x) := supδ>0

V (δ) = V (0+).

Apibendrinsime 3.34 teoremą funkcijoms.

4.63 teorema. Tegul I ⊂ R yra intervalas, baigtinis ar begalinis, f : I → R yraaprėžta funkcija, skaičius r yra I ribinis taškas ir L+ := lim supx→r f(x).

(a) kiekvienam ε > 0 egzistuoja toks δ > 0, kad f(x) < L+ + ε visiemsx ∈ I ∩O•δ(r);

(b) kiekvienam ε > 0 ir kiekvienam δ > 0 egzistuoja toks x ∈ I ∩ O•δ(r), kadf(x) > L+ − ε;

(c) jei L yra toks skaičius, kuriam teisingi teiginiai (a) ir (b) su L vietoje L′,tai L = L′.

Įrodymas. Tegul ε > 0. Kadangi L+ yra aibės U(δ) : δ > 0 didžiausiasapatinis rėžis, tai egzistuoja toks δ > 0, kad U(δ) < L+ + ε. Dėl pastarosiosnelygybės ir (4.29) apibrėžties, nelygybė f(x) < L+ + ε teisinga visiems x ∈I ∩O•δ(r). Teiginys (a) įrodytas.


Tegul ε > 0 ir δ > 0. Kadangi U(δ) yra mažiausias viršutinis rėžis (4.29)egzistuoja toks x ∈ I ∩ O•δ(r), kad f(x) > U(δ) − ε/2. Kadangi L+ − ε/2 yraaibės U(δ) : δ > 0 apatinis rėžis, tai

f(x) > U(δ)− ε

2 >(L+ − ε

2

)− ε

2 = L+ − ε.

Teiginys (b) įrodytas.Duotam ε > 0, pagal (a) teiginį su L vietoje L+, egzistuoja toks δ > 0, kad

L+ ≤ U(δ) = supf(x) : x ∈ I ∩O•δ(r) ≤ L+ ε.

Tai reiškia, kad L+ ≤ L+ ε su kiekvienu ε > 0. Todėl L+ ≤ L (??.?? pratimas).Duotam ε > 0 ir duotam δ > 0, pagal (b) teiginį su L vietoje L+, egzistuojatoks x ∈ I ∩ O•δ(r), kad f(x) > L − ε. Remiantis (4.29) apibrėžtimi, nelygybėL < U(δ) + ε teisinga kiekvienam ε > 0 ir kiekvienam δ > 0. Remiantis(4.31) apibrėžtimi, duotam ε > 0 galime rasti tokį δ > 0, kad U(δ) < L+ + ε.Apjungiant pastarąsias nelygybes, L < L+ + 2ε teisinga kiekvienam ε. TodėlL ≤ L+ (??.?? pratimas). Gavome, kad L = L+ ir teiginys (c) įrodytas.

4.64 teorema. Tegul I ⊂ R yra intervalas, baigtinis ar begalinis, f : I → R yraaprėžta funkcija ir skaičius r yra I ribinis taškas. Tada teisinga nelygybė

lim infx→r

f(x) ≤ lim supx→r

f(x). (4.32)

Lygybė šioje nelygybėje teisinga tada ir tik tada, kai egzistuoja riba limx→r f(x).Be to, lygybės atveju visos trys ribos lygios:

limx→r

f(x) = lim infx→r

f(x) = lim supx→r

f(x). (4.33)

Įrodymas. Naudosime dydžių U(δ) ir V (δ) žymėjimus (4.29) ir (4.30). Dėl šiųdydžių apibrėžties, kiekvienam δ > 0 teisinga nelygybė V (δ) ≤ U(δ). Kadangi,V (1/n) → V (0+) ir U(1/n) → U(0+) kai n → ∞, tai V (0+) ≤ U(0+)(3.1.17 pratimas). Tai įrodo (4.32) nelygybę.

Tegul c := V (0+) = U(0+). Įrodysime, kad f konverguoja taške r į c. Tegulε > 0. Egzistuoja toks δ > 0, kad c − ε < V (δ) ≤ c ir c ≤ U(δ) < c + ε. Tadajei x ∈ I ir 0 < |x− r| < δ, tai

c− ε < U(δ) ≤ f(x) ≤ V (δ) < c+ ε,

t.y. |f(x)− c| < ε. Kadangi ε > 0 laisvai pasirinktas, tai f konverguoja taške rį c.


Atvirkščiai, tegul f konverguoja taške r į c. Įrodysime, kad V (0+) = U(0+) =c. Tegul ε > 0. Egzistuoja toks δ > 0, kad

c− ε < f(x) < c+ ε

kai x ∈ I ir 0 < |x− r| < δ. Tada galioja nelygybės

c− ε ≤ V (δ) ≤ V (0+) ≤ U(0+) ≤ U(δ) ≤ c+ ε.

Todėl |V (0+)− c| < ε ir |U(0+)− c| < ε. Kadangi ε > 0 laisvai pasirinktas, taiV (0+) = U(0+) = c.

Funkcijos trūkio taškai Tegul A yra realiųjų skaičių aibė ir B ⊂ A. Funkcija1IB : A→ R su reikšmėmis

1IB(x) :=

1, jei x ∈ B,0, jei x ∈ A \B. (4.34)

vadinama aibėsB indikatorine funkcija. Jei a < c < b, tai funkcija 1I[a,c] : [a, b]→R yra nedidėjanti, o funkcija 1I[c,b] : [a, b]→ R yra nemažėjanti.

Iliustruosime 4.58 teoremą funkcija f := (1/2)1I1+1I(1,2] : [0, 2]→ R. Nau-dojant ribos iš dešinės ir ribos iš kairės apibrėžimus (4.25 apibrėžtis), gaunama(kaip?)

limx→1−

f(x) = 0 ir limx→1+

f(x) = 1.

Todėl teisingi sąryšiai

f(1−) = 0 = supx∈[0,1)

f(x) < 1/2 = f(1) < infx∈(1,2]

f(x) = 1 = f(1+),

t. y. 1 ∈ [0, 2] yra funkcijos f paprastasis trūkis. Kituose intervalo [0, 2] taškuosefunkcija f yra tolydžioji (kodėl?).

Sukonstruosime pavyzdį nemažėjančios funkcijos turinčios suskaičiuojamaibegalinę paprastųjų trūkių aibę. Tegul (xn) yra intervalo (a, b) elementų didėjantiseka. Tegul (cn) yra tokia teigiamų skaičių seka, kad eilutė

∑∞n=0 cn konverguoja.

Kiekvienam x ∈ [a, b] reikšmės

f(x) :=∞∑n=0

cn1I[a,x](xn); (4.35)

apibrėžia funkciją f : [a, b] → R. Skaitytojui siūloma įrodyti 4.5.3 pratime nu-rodytas šios funkcijos savybes.


4.65 teorema. Monotoninė uždarame intervale funkcija gali turėti ne daugiaukaip suskaičiuojamą aibę trūkio taškų.

Įrodymas. Teoremą įrodysime tik nemažėjančiai funkcijai, o jos įrodymas ne-didėjančiai funkcijai yra paliekamas skaitytojui. Tegul f : [a, b] → R yra ne-mažėjanti funkcija ir tegul T yra jos trūkio taškų aibė. Remiantis 4.58 teoremafunkcijos f trūkio taškai gali būti tik paprasti, t. y. kiekvienam x ∈ T ∩ (a, b)egzistuoja f(x+) ∈ R ir f(x−) ∈ R, bei f(x−) < f(x+) (kodėl?). Re-miantis ?? teorema, kiekvienam x ∈ T ∩ (a, b), egzistuoja racionalusis skai-čius h(x) ∈ (f(x−), f(x+)). Dėl tos pačios priežasties egzistuoja racionalu-sis skaičius h(a) ∈ (f(a), f(a+)) jei a ∈ T ir egzistuoja racionalusis skai-čius h(b) ∈ (f(b−), f(b)) jei b ∈ T . Remiantis 4.58 teorema bet kuriemsa ≤ u < v ≤ b, turime f(u+) ≤ f(v−), ir todėl h(u) < h(v) kai u ∈ Tir v ∈ T . Tokiu būdu funkcija h : T → Q su reikšmėmis h(x), x ∈ T , yrainjekcija. Tai rodo, kad egzistuoja bijekcija tarp aibės T ir racionaliųjų skaičiųpoaibio. Kadangi racionaliųjų skaičių aibė yra suskaičiuojama, tai bet kuris jospoaibis yra ne daugiau kaip suskaičiuojamas remiantis 3.73 išvada, ką ir reikėjoįrodyti.

Monotoninės funkcijos tolydumas Tarkime, kad a < b ir funkcija f : [a, b]→R yra didėjanti. Be to, tarkime, kad funkcija f yra tolydžioji visuose intervalo[a, b] taškuose išskyrus vieną tašką c ∈ (a, b), kuriame ji turi paprastąjį trūkįremiantis 4.58 teorema. Todėl f(c−) < f(c+), o f(c) ∈ [f(c−), f(c+)]. Tvirti-name, kad funkcijos f reikšmių sritis

f[[a, b]

]= A := [f(a), f(c−)) ∪ f(c) ∪ (f(c+), f(b)]. (4.36)

Iš tikro, kadangi f(a) ≤ f(u) < f(c−) kai u ∈ [a, c) ir f(c+) < f(v) ≤ f(b)kai v ∈ (c, b] remiantis 4.5.2 pratimu, tai f

[[a, b]

]⊂ A. Priešingam sąryšiui

įrodyti, tegul y ∈ (f(a), f(c−)). Remiantis ribos iš kairės apibrėžtimi ir (4.23)sąryšiais galima rasti tokį elementą u ∈ (a, c), kad y < f(u) ≤ f(c−). Funkci-jos f siaurinys į intervalą [a, u] yra tolydžioji funkcija ir, remiantis viduriniosiosreikšmės teorema, egzistuoja toks v ∈ (a, u), kad y = f(v). Tai rodo, kad visiintervalo [f(a), f(c−)) taškai yra funkcijos f reikšmės. Tą patį galima pasakytiapie intervalą (f(c+), f(b)], kas įrodo (4.36) aibių lygybę.

Kita lema rodo, kad aibė A (4.36) lygybėje nėra intervalas kai f(c−) <f(c+).

4.66 lema. Tarkime, kad J yra tiesės taškų aibė turinti bent du taškus. Aibė Jyra intervalas (baigtinis ar begalinis) tada ir tik tada, kai su bet kuriais u ∈ J ,


v ∈ J ir u < v galioja savybė:

jei u < x < v, tai x ∈ J . (4.37)

Įrodymas. Tegul J yra intervalas, u ∈ J , v ∈ J ir u < v. Priklausomai nuo to uyra ar nėra J kairysis galas, o v yra ar nėra J dešinysis galas, galimi keturi atvejai.Įrodysime tik atveju, kai u ir v nėra J galais, palikdami įrodymą skaitytojui kitaistrim atvejais. Tegul a yra J kairysis galas, a < u, b yra J dešinysis galas ir v < b.Jei u < x < v, tai remiantis tvarkos tranzityvumu (?? teorema), a < x < b irx ∈ J pagal intervalo apibrėžimą.

Dabar atvirkščiai, tarkime, kad su bet kuriais u ∈ J , v ∈ J ir u < v galiojasavybė (4.37). Tegul

a := infx ∈ R : x ∈ J ir b := supx ∈ R : x ∈ J,

čia a gali būti realus skaičius arba simbolis−∞, o b gali būti realus skaičius arbasimbolis +∞. Priklausomai nuo to a ∈ J ar a 6∈ J , o b ∈ J ar b 6∈ J , galimiketuri atvejai. Įrodysime tik atveju, kai a 6∈ J ir b 6∈ J , palikdami įrodymąskaitytojui kitais trim atvejais. Šiuo atveju pakanka įrodyti, kad J = (a, b). Jeix ∈ J , tai a < x < b remiantis a ir b apibrėžimais ir todėl x ∈ (a, b). Atvirkščiai,tegul x ∈ (a, b). Remiantis didžiausio apatinio rėžio ir mažiausio viršutinio rėžioapibrėžimais egzistuoja u ∈ (a, x)∩J ir v ∈ (x, b)∩J (2.2.?? ir 2.2.?? pratimai).Tada u < x < v ir x ∈ J remiantis savybe (4.37). Taigi, J = (a, b), ką ir reikėjoįrodyti.

Remiantis (4.36) lygybe galima spėti, kad bet kuri didėjanti ar mažėjantifunkcija yra tolydžioji ar turi trūkį priklauso nuo to ar jos reikšmių sritis yraintervalas ar ne. Šį spėjimą patvirtina kita teorema.

4.67 teorema. Tarkime, kad I yra intervalas, baigtinis ar begalinis, o funkcijaf : I → R yra didėjanti.

(a) Funkcijos f reikšmių sritis f [I] yra intervalas tada ir tik tada, kai f yratolydžioji.

(b) Jei f yra tolydžioji, tai f yra bijekcija iš I į f [I], o jos atvirkštinė funkcijaf−1 : f [I]→ I yra tolydžioji ir didėjanti.

Įrodymas. Įrodysime (a) teiginį. Pirma tarkime, kad f reikšmių sritis f [I] yraintervalas ir c ∈ I yra I vidinis taškas, t. y. c nėra intervalo I galas. Parodysime,kad f yra tolydžioji taške c. Kadangi f yra didėjanti, tai f(x) < f(c) < f(y)


visiems x ∈ A := I∩(−∞, c) ir y ∈ B := I∩(c,+∞). Remiantis 4.58 teorematurime sąryšius

f(c−) = supf(x) : x ∈ A ≤ f(c) ≤ inff(y) : y ∈ B = f(c+).

Remiantis 4.40 teorema funkcija f yra tolydžioji taške c jei f(c−) = f(c+).Tarkime, kad f(c−) < f(c+). Tada arba f(c) 6= f(c−) arba f(c) 6= f(c+).Kadangi f(x) ≤ f(c−) kiekvienam x ∈ A ir f(y) ≥ f(c+) kiekvienam y ∈B, tai abiem atvejais f reikšmių sritis nėra intervalas - prieštara, įrodanti, kadf(c−) = f(c) = f(c+) ir f yra tolydžioji taške c. Funkcijos tolydumas intervaloI galiniuose taškuose paliekamas įrodyti skaitytojui (4.5.6 pratimas).

Dabar tarkime, kad funkcija f yra tolydžioji. Įrodysime, kad funkcijos freikšmių sritis f [I] yra intervalas. Tegul u, v ∈ f [I], u < v ir u < x < v.Remiantis 4.66 lema pakanka parodyti, kad x ∈ f [I]. Egzistuoja t ∈ I toks, kadf(t) = u ir egzistuoja toks s ∈ I , kad f(s) = v. Be to, s < t kadangi f yradidėjanti. Funkcijos f siaurinys į uždarą intervalą [s, t] yra tolydžioji funkcija.Remiantis vidurinės reikšmės teorema (4.53 teorema) egzistuoja toks r ∈ (s, t),kad f(r) = x ir todėl x ∈ f [I]. Teiginys (a) įrodytas.

(b) teiginio įrodymui tarkime, kad f yra tolydžioji. Kadangi f yra didėjanti,visiems x ∈ I ir y ∈ I , jei f(x) = f(y), tai x = y, t. y. f yra injekcija. Funk-cija f : I → f [I] yra siurjekcija, o tuo pačiu f yra bijekcija turinti atvirkštinęfunkciją f−1 : f [I]→ I . Norėdami parodyti, kad f−1 yra didėjanti tarkime, kadu ∈ f [I], v ∈ f [I] ir u < v. Tegul x := f−1(u) ir y := f−1(v). Tada f(x) = uir f(y) = v. Kadangi f yra didėjanti, tai

f−1(u) = x < y = f−1(v),

t. y. f−1 yra didėjanti. Pagal šios teoremos (a) teiginį, atvirkštinės funkcijos f−1

apibrėžimo sritis f [I] yra intervalas, o jos reikšmių sritis taip pat intervalas I .Dar kartą panaudoję šios teoremos (a) teiginį funkcijai f−1 gauname, kad f−1

yra tolydžioji. Teorema yra įrodyta.

Baigtinės variacijos funkcijos

4.68 apibrėžtis. Tegul skaičiai a < b. Funkcijos f : [a, b] → R variacija vadi-namas dydis

v(f ; [a, b]) := sup n∑i=1|f(ti)−f(ti−1)| : a = t0 < t1 < · · · < tn = b, n ∈ N∗

,

kuris gali būti skaičius arba simbolis +∞. Jei v(f ; [a, b]) ∈ R, tai f vadinamabaigtinės variacijos funkcija.

4.6 Elementariosios funkcijos ir jų tolydumas 133

4.69 teorema. Tegul skaičiai a < c < b ir f : [a, b]→ R yra baigtinės variacijosfunkcija. Tada

v(f ; [a, b]) = v(f ; [a, c]) + v(f ; [c, b]).4.70 teorema. Tegul skaičiai a < b ir f : [a, b] → R. Funkcija f yra baigti-nės variacijos tada ir tik tada, kai ji išreiškiama dviejų nemažėjančių funkcijųskirtumu.

Pratimai


2. Tarkime, kad a < y ≤ b ir f : [a, b] → R yra didėjanti funkcija. Įrodyti,kad f(x) < f(y−) visiems x ∈ [a, y).

3. Tarkime, kad f : [a, b] → R yra funkcija su reikšmėmis (4.35). Įrodyti,kad f yra nemažėjanti, f(xn+)−f(xn−) = cn kiekvienam n ∈ N ir f yratolydi taškuose x 6∈ xn : n ∈ N.

4. Ar aibė A apibrėžta (4.36) lygybe gali būti intervalu kai funkcija f yranemažėjanti? Atsakymą pagrįsti.

5. Baigti 4.66 lemos įrodymą.

6. Tarkime, kad funkcija f : [a, b] → R didėja ir f[[a, b]

]yra intervalas. Įro-

dyti, kad f yra tolydi taškuose a ir b.

4.6 Elementariosios funkcijos ir jų tolydumas4.3 skyrelyje parodėme, kad rodiklinė ir laipsninė funkcijos yra tolydžios. Šiameskyrelyje apibrėšime ir tolydumo atžvilgiu ištirsime logaritminę bei trigonomet-rines funkcijas. Be to, įrodysime, kad elementariosios funkcijos vieninteliu būdunusakomos savo savybėmis.

Rodiklinė funkcija Priminsime, kad funkcija f : R→ R su reikšmėmis f(x) =rx visiems x ∈ R vadiname rodikline funkcija su pagrindu r, čia r > 0. Remian-tis ?? teoremos teiginiu (b), kiekvienam x ∈ R ir y ∈ R galioja lygybė

f(x+ y) = f(x)f(y).Tuo tarpu tos pačios teoremos (e) teiginys rodo, kad rodiklinė funkcija su pagrin-du r yra didėjanti kai r > 1. Toliau įrodysime, kad rodiklinė funkcija vieninteliubūdu nusakomos šiomis savybėmis.


4.71 teorema. Tegul r > 1. Tarkime, kad funkcijai f : R → R galioja teiginiai(a), (b) ir (c), čia

(a) f(x+ y) = f(x)f(y) kiekvienam x ∈ R ir y ∈ R;

(b) f(1) = r;

(c) f yra didėjanti.

Tada f(x) = rx kiekvienam x ∈ R.

Įrodymas. Tegul m ∈ N∗ ir tegul

Nm :=n ∈ N : f

(n

m

)=[f( 1m

)]n.

Remiantis (a) savybe turime

f(1) = f(1 + 0) = f(1)f(0).

Kadangi f(1) = r 6= 0, tai f(0) = 1 ir 0 ∈ Nm remiantis ?? apibrėžimu. Teguln ∈ Nm. Dar kartą naudojant ?? apibrėžimą ir (a) prielaidą, turime

f(n+ 1m

)= f

(n

m

)f( 1m

)=[f( 1m

)]nf( 1m

)=[f( 1m

)]n+1,

t. y. n+ 1 ∈ Nm. Remiantis indukcijos principu Nm = N. Taigi m ∈ Nm ir[f( 1m

)]m= f

(m

m

)= f(1) = r.

Remiantis 2.30 teoremos (a) teiginiu,

f( 1m

)= r1/m.

Kadangi m ∈ N∗ yra laisvai pasirinktas, tai

f(n

m

)= rn/m (4.38)

kiekvienam n ∈ N ir m ∈ N∗. Dar kartą naudodami (a) prielaidą gauname

1 = f(0) = f(n

m+ (−n)

m

)= f

(n

m

)f(−nm

).


Dėl šio sąryšio ir ?? teoremos (c) teiginio turime

f(−nm

)= 1

/f(n

m

)= 1

/rn/m = r−n/m.

Todėl (4.38) galioja kiekvienam n ∈ Z ir m ∈ N∗, t. y. f(x) = rx visiemsracionaliesiems skaičiams x.

Tegul x ∈ R ir kiekvienam k ∈ N tegul mk := 2k. Remiantis ?? teoremakiekvienam k ∈ N egzistuoja toks nk ∈ Z, kad

nk ≤ mkx < nk + 1. (4.39)

Seka (nk/mk) yra didėjanti, o seka ((nk + 1)/mk) yra mažėjanti (kodėl?). Todėl

a := supnk/mk : k ∈ N ≤ x ≤ b := inf(nk + 1)/mk : k ∈ N.

Be to, kiekvienam k ∈ N

b− a ≤ nk + 1mk

− nkmk

= 1mk

.

Kadangi 1/mk = 2−k → 0 kai k →∞, tai a = b ir

limk→∞

nkmk

= limk→∞

nk + 1mk

= x. (4.40)

Kadangi f yra didėjanti pagal (c) prielaidą ir galioja (4.38), tai

rnk/mk = f(nkmk

)≤ f(x) < f

(nk + 1mk

)= r(nk+1)/mk .

Remiantis 3.37 teorema ir 3.38 apibrėžimu, kairioji ir dešinioji šių nelygybiųpusės konverguoja į rx kai k →∞. Todėl f(x) = rx visiems x ∈ R, ką ir reikėjoįrodyti.

Skaitytojui siūloma įrodyti, kad panašios savybės vieninteliu būdu nusakorodiklinę funkciją su pagrindu r ∈ (0, 1) (4.6.1 pratimas).

Tegul r > 0. Funkcija fr : R → R, kurios reikšmės yra skaičiaus r laipsnissu realiuoju rodikliu

fr(x) := rx, x ∈ R,

vadinama rodikline funkcija su pagrindu r, arba tiesiog rodikline funkcija. Ro-diklinė funkcija, kurios pagrindas yra Eulerio skaičius r = e apibrėžtas 3.23teorema, vadinama eksponentine funkcija. Parodysime, kad rodiklinė funkcijayra tolydi.


4.72 teorema. Bet kuriam r > 0, rodiklinė funkcija su pagrindu r yra tolydi.

Įrodymas. Kadangi atveju r = 1 funkcija fr(x) = 1 kiekvienam x ∈ R, taigalime tarti, kad r 6= 1. Tegul y ∈ R. Įrodysime, kad fr yra tolydi taške y. Tegulε > 0. Naudodami skaičiaus kėlimo realiuoju laipsniu savybes (?? teorema)turime

ρ(fr(x), fr(y)) = |rx − ry| = |rx−yry − ry| = ry|rx−y − 1|

su kiekvienu x ∈ R. Pakanka rasti tokį δ > 0, kad galiotų nelygybė

|rx−y − 1| < εr−y ∀ x ∈ Oδ(y). (4.41)

Remiantis 3.22 teorema ir 3.2.5 pratimu, r1/n → 1 kai n → ∞. Be to, r−1/n =(1/r)1/n → 1 kai n→∞. Todėl egzistuoja toks N ∈ N, kad

max|r1/N − 1|, |r−1/N − 1| < εr−y.

Tegul δ := 1/N ir x ∈ Oδ(y). Tada −(1/N) < x − y < 1/N . Dar kartąnaudojant skaičiaus kėlimo laipsniu savybes (?? teoremos (e) teiginys), jei r >1, tai

−εr−y < r−1/N − 1 < rx−y − 1 < r1/N − 1 < εr−y

ir galioja (4.41). Jei r < 1, tai

−εr−y < r1/N − 1 < rx−y − 1 < r−1/N − 1 < εr−y

ir taip pat galioja (4.41), ką ir reikėjo įrodyti.

Logaritminė funkcija Logaritminę funkciją apibrėšime kaip rodiklinės funk-cijos atvirkštinę. Prieš tai įrodysime tokio apibrėžimo korektiškumą.

4.73 teorema. Tarkime, kad r > 1 ir f yra rodiklinė funkcija su pagrindu r.Funkcija f turi atvirkštinę funkciją g : (0,+∞) → R su savybėmis (a), (b), (c)ir (d), čia

(a) g(uv) = g(u) + g(v) kiekvienam u > 0 ir v > 0;

(b) g(r) = 1;

(c) g yra didėjanti;

(d) g yra tolydi.


Jei funkcijai g : (0,+∞)→ R galioja savybės (a), (b) ir (c), tai ji yra funkcijosf atvirkštinė funkcija.

Įrodymas. Parodysime, kad f turi atvirkštinę funkciją ir jai galioja savybės (a),(b), (c) ir (d). Pirma parodysime, kad f funkcijos reikšmių sritis f [R] yra(0,+∞). Kadangi f(x) = rx > 0 kiekvienam x ∈ R (?? teoremos (a) teiginys),tai f [R] ⊂ (0,+∞). Kadangi f yra didėjanti ir tolydi (4.71 ir 4.72 teoremos),tai jos reikšmių sritis f [R] yra intervalas remiantis 4.67 teoremos (a) teiginiu.Jei u > 1, tai egzistuoja toks n ∈ N, kad rn > u (kodėl?) ir todėl u ∈ f [R]remiantis 4.66 teorema. Jei u ∈ (0, 1), tai egzistuoja toks n ∈ N, kad r−n < u(kodėl?) ir u ∈ f [R] dėl tos pačios priežasties. Taigi (0,+∞) ⊂ f [R], kas įrodonorimą lygybę f [R] = (0,+∞). Remiantis 4.67 teorema funkcija f yra bijekcijaiš R į (0,+∞), o jos atvirkštinė funkcija f−1 : (0,+∞) → R yra didėjanti irtolydi. Remiantis 4.71 teoremos (b) teiginiu ir atvirkštinės funkcijos apibrėžimu(?? apibrėžimas), turime lygybes

f−1(r) = f−1(f(1)) = 1.

Tegul u > 0 ir v > 0. Tada x := f−1(u) ∈ R ir y := f−1(v) ∈ R. Darkartą naudojant atvirkštinės funkcijos apibrėžimą ir 4.71 teoremos (a) teiginį,gauname f(x) = u, f(y) = v ir

f−1(uv) = f−1(f(x)f(y)) = f−1(f(x+ y)) = x+ y = f−1(u) + f−1(v).

Taigi, funkcijai g := f−1 iš (0,+∞) į R galioja (a), (b), (c) ir (d).Tegul funkcijai g : (0,+∞)→ R galioja (a), (b) ir (c). Įrodysime, kad iš šių

savybių išplaukia lygybė g = f−1. Remiantis atvirkštinės funkcijos apibrėžimu(?? apibrėžtis) tam pakanka parodyti, kad g(f(x)) = x kiekvienam x ∈ R. Tegulm ∈ N∗ ir tegul

Nm :=n ∈ N : g

(rn/m

)= n · g

(r1/m

).

Remiantis (a) savybe turime

g(1) = g(1 · 1) = g(1) + g(1) = 2g(1),

t. y. g(1) = 0. Kadangi r0 = 1 remiantis ?? apibrėžtimi, tai

g(r0/m) = g(1) = 0 = 0 · g(r1/m)

ir 0 ∈ Nm. Tegul n ∈ Nm. Naudojant 2.33 teoremos (b) teiginį ir (a) prielaidą,turime

g(r(n+1)/m

)= g

(rn/m · r1/n

)= g

(rn/m

)+ g

(r1/m

)= (n+ 1)g

(r1/m

)


t. y. n+ 1 ∈ Nm. Remiantis indukcijos principu Nm = N. Taigi m ∈ Nm ir

1 = g(r) = g(rm/m

)= m · g

(r1/m

)t. y. g(r1/m) = 1/m. Kadangi m ∈ N∗ yra laisvai pasirinktas, tai

g(rn/m

)= n/m (4.42)

kiekvienam n ∈ N ir m ∈ N∗. Dar kartą naudodami 2.33 teoremos (b) teiginį ir(a) prielaidą, gauname

0 = g(1) = g(rn/m · r−n/m

)= g

(rn/m

)+ g

(r−n/m

).

Iš čia turimeg(r−n/m

)= −g

(rn/m

)= −n/m

kiekvienam n ∈ N ir m ∈ N∗. Todėl (4.42) galioja kiekvienam n ∈ Z ir m ∈ N∗,t. y. g(rx) = x visiems racionaliesiems skaičiams x.

Tegul x ∈ R ir kiekvienam k ∈ N tegul mk := 2k. Kaip ir 4.71 teoremosįrodyme randame tokią sveikųjų skaičių seką (nk), kad galioja (4.39) ir (4.40).Kadangi g yra didėjanti, tai

nkmk

= g(rnk/mk

)≤ g

(rx)< g

(r(nk+1)/mk

)= nk + 1

mk

.

Kadangi kairioji ir dešinioji šių nelygybių pusės konverguoja į x kai k →∞, taix = g(rx) = g(f(x)), ką ir reikėjo įrodyti.

Remiantis pastarąja teorema rodiklinės funkcijos su pagrindu r atvirkštinėfunkcija yra apibrėžta, o jos apibrėžimo sritis yra intervalas (0,+∞). Tai patei-sina kitą apibrėžimą.

4.74 apibrėžtis. Tegul r > 1. Rodiklinės funkcijos su pagrindu r atvirkštinėfunkcija vadinama logaritmine funkcija su pagrindu r ir žymima logr. Loga-ritminė funkcija logr, kurios pagrindas yra Eulerio skaičius r = e, vadinamanatūriniu logaritmu ir žymima ln := loge.

Tokiu būdu kiekvienam x ∈ R ir u ∈ (0,+∞), atitinkamai

logr rx = x ir rlogr u = u. (4.43)

Remiantis 4.73 teorema logaritminei funkcijai su pagrindu r > 1 galioja savybės(a), (b), (c) ir (d) kai g = logr. Logaritminė funkcija su pagrindu r ∈ (0, 1)apibrėžta toliau (4.47) formule.


Nustatysime sąryšį tarp logaritminių funkcijų su skirtingais pagrindais. Tegulr > 1, t > 1 ir

g(x) := logr xlogr t

, x > 0.

Šios reikšmės apibrėžia funkciją g : (0,+∞)→ R, kuriai galioja 4.73 teoremos(a) ir (c) savybės. Be to,

g(t) = logr tlogr t

= 1.

Remiantis 4.73 teoremos antrąja dalimi, turime g = logt ir todėl sąryšis

logr x = logr t· logt x (4.44)

galioja visiems x > 0. Remiantis šiuo sąryšiu su x = ty, y ∈ R, ir logaritminėsfunkcijos apibrėžimu, gauname

logr ty = logr t· logt ty = y· logr t. (4.45)

Tuo tarpu (4.44) sąryšyje įstatę x = r gauname kitą naudingą formulę

logr t· logt r = 1. (4.46)

Pavyzdžiui, kai t = e, tai logr e = 1/(ln r) bet kuriam r > 1.Papildysime logaritminės funkcijos apibrėžimą kai pagrindas yra skaičius iš

intervalo (0, 1). Tegul t ∈ (0, 1). Tada r := 1/t > 1 ir logr t = logr r−1 = −1remiantis (4.45) ir 4.73 teoremos (b) savybe. Logaritmine funkcija pagrindut ∈ (0, 1) vadinsime funkciją logt su reikšmėmis

logt x := logr xlogr t

= − logr x = − log1/t x (4.47)

kiekvienam x > 0.

Laipsninė funkcija Priminsime, kad funkcija h : (0,+∞) → R su reikšmė-mis h(u) = uq visiems u > 0, vadinama laipsnine funkcija su laipsniu q, čiaq ∈ R. Remiantis (4.43) antruoju sąryšiu su r = e bei ?? teoremos (b) teiginiu,visiems u > 0 galioja lygybės:

h(u) =(elnu

)q= eq lnu = f(qg(u)),

čia f yra eksponentinė funkcija ir g yra natūrinis logaritmas. Tegul `(x) := qxvisiems x ∈ R. Šios reikšmės apibrėžia funkciją ` : R → R, vadinamą tiesine.Gavome, kad laipsninė funkcija yra trijų funkcijų kompozicija:

h = f`g. (4.48)


Ši laipsninės funkcijos išraiška leidžia nesunkiai nustatyti kitas jos savybes nau-dojant žinomas savybes funkcijoms f , ` ir g. Pavyzdžiui, h tolydumas (4.75teorema) yra šios išraiškos ir teoremos apie tolydžių funkcijų kompozicijos toly-dumą (4.46 teorema) išvada.

Tegul q ∈ R. Funkcija hq : (0,+∞) → R, kurios reikšmės yra skaičiauslaipsnis su rodikliu q (3.38 apibrėžimas)

hq(u) := uq, u > 0,

vadinsime laipsnine funkcija su laipsniu q arba tiesiog laipsnine funkcija.

4.75 teorema. Bet kuriam q ∈ R, laipsninė funkcija su laipsniu q yra tolydi.

Įrodymas. Naudojant skaičiaus kėlimo laipsniu savybes (?? teorema), kiekvie-nam u ∈ (0,+∞) ir v ∈ (0,+∞) turime sąryšius

ρ(hq(u), hq(v)) = |uq − vq| = vq∣∣∣∣(uv

)q− 1

∣∣∣∣.Šie sąryšiai rodo, kad hq yra tolydi taške v, jei hq yra tolydi taške 1 (kodėl?). Įro-dysime, kad h yra tolydi taške 1. Naudojant 4.22 teoremos (b) teiginį ir indukcijągauname, kad kiekvienam n ∈ Z, un → 1 kai u → 1. Remiantis ?? teoremaegzistuoja toks sveikasis skaičius n, kad n ≤ q < n+ 1. Tegul ε > 0. Egzistuojatoks δ > 0, kad

max|un − 1|, |un+1 − 1| < ε

kai |u − 1| < δ. Naudojant skaičiaus kėlimo laipsniu savybes (?? teoremos (e)teiginys), jei u > 1, tai galioja nelygybės

−ε < un − 1 ≤ uq − 1 < un+1 − 1 < ε

ir galioja simetriškos nelygybės, jei u < 1. Abiem atvejais |uq − 1| < ε kai|u− 1| < δ, ką ir reikėjo įrodyti.

Trigonometrinės funkcijos Šios funkcijos vidurinėje mokykloje paprastai api-brėžiamos remiantis geometriniais samprotavimais ir todėl netinkamos naudotismūsų atveju. Trigonometrines funkcijas apibrėšime panašiai kaip ir kitas ele-mentariąsias funkcijas.

4.76 teorema. Egzistuoja vienintelės funkcijos S : R → R ir C : R → R, ku-rioms galioja sąryšiai:


(a) visiems x ∈ R ir y ∈ R galioja sąryšiai

S(x+ y) = S(x)C(y) + S(y)C(x), (4.49)

C(x+ y) = C(x)C(y)− S(x)S(y); (4.50)

(b) S(0) 6= C(0);

(c) egzistuoja toks x0 > 0, kad visiems x ∈ (0, x0) galioja C(x) 6= 0 ir

0 < S(x) < x <S(x)C(x) . (4.51)

Šią teoremą įrodysime vėliau naudodami funkcijų eilučių konvergavimą.

4.77 apibrėžtis. 4.76 teoremos funkciją S vadinsime sinuso funkcija arba tiesiogsinusu ir žymėsime sin, o funkcijąC vadinsime kosinuso funkcija arba tiesiog ko-sinusu ir žymėsime cos. Abi funkcijas vadinsime trigonometrinėmis funkcijomis.

Naudodami 4.76 teoremos teiginius įrodysime visas kitas trigonometriniųfunkcijų savybes. Pirmiausia parodysime, kad

sin 0 = 0 ir cos 0 = 1. (4.52)

Sąryšiai (4.49) ir (4.50) kai x = y = 0 tampa lygčių sistema

sin 0 = 2 sin 0 · cos 0,cos 0 = cos2 0− sin2 0.

nežinomųjų sin 0 ir cos 0 atžvilgiu. Iš pirmosios lygties gauname, kad arbasin 0 = 0 arba cos 0 = 1/2. Antrosios alternatyvos atveju iš antrosios lygtiesišplaukia lygybė sin2 0 = −(1/4) < 0 - prieštara (žr. ??.?? pratimas). Todėlsin 0 = 0. Šis faktas ir tai, kad cos 0 6= 0 kartu su antrąja lygtimi įrodo (4.52).

Sąryšiai (4.49) ir (4.50) kai x = −y kartu su įrodytomis savybėmis (4.52)tampa lygčių sistema

0 = sin x cos(−x) + sin(−x) cosx,1 = cosx cos(−x)− sin x sin(−x)

nežinomųjų sin(−x) ir cos(−x) atžvilgiu kiekvienam x ∈ R. Išsprendę sistemą,gauname sąryšius

sin(−x) = − sin x ir cos(−x) = cos x. (4.53)


Funkcija f : R → R vadinama nelygine, jei f(−x) = −f(x) kiekvienam x ∈ Rir funkcija g : R → R vadinama lygine, jei g(−x) = g(x) kiekvienam x ∈ R.Tokiu būdu (4.53) sąryšiai rodo, kad sinusas yra nelyginė funkcija, o kosinusasyra lyginė funkcija.

(4.50) sąryšyje imdami x ∈ R ir y = −x ir naudodami (4.52), gaunamelygybę

sin2 x+ cos2 x = 1, (4.54)

galiojančią visiems x ∈ R. Naudodami šią lygybę, bei ??.?? ir ??.?? pratimųteiginius, gauname nelygybes

| sin x| ≤ 1 ir | cosx| ≤ 1, (4.55)

galiojančias visiems x ∈ R.Galiausiai įrodysime tokias formules: visiems u ∈ R ir v ∈ R

sin u− sin v = 2 sin u− v2 cos u+ v

2 ; (4.56)

cosu− cos v = −2 sin u+ v

2 sin u− v2 . (4.57)

Iš (4.49) lygybės atimdami tą pačią lygybę su −y vietoje y , gauname

sin(x+ y)− sin(x− y) = 2 sin y cosx.

Atlikę tuos pačius pertvarkymus su (4.50) lygybe, gauname

cos(x+ y)− cos(x− y) = −2 sin x sin y.

Tai įrodo (4.56) ir (4.57) pažymėjus u := x+ y ir v := x− y.

4.78 teorema. Trigonometrinės funkcijos yra tolydinės.

Toliau tirsime trigonometrinių funkcijų reikšmių sritį. Pirmiausia parody-sime, kad kosinuso funkcija intervale (0,+∞) įgyja bent vieną reikšmę lygiąnuliui. Priminsime, kad cos 0 = 1. Tegul

d := infcosx : x > 0.

Tarkime, kad d > 0. Remiantis 4.76 teoremos (c) savybe, egzistuoja toks x > 0,kad sin(x/2) > 0. Tada remiantis (4.56) formule, kiekvienam k ∈ N turime

sin(k + 1)x− sin kx = 2 sin x2 cos (2k + 1)x2 ≥ 2d sin x2 > 0.


Tai rodo, kad skaičių seka (sin kx) neaprėžtai didėja, kas prieštarauja (4.55) fak-tui. Todėl d ≤ 0. Jei d < 0, tai remiantis kosinuso funkcijos tolydumu ir vidu-rinės reikšmės savybe (4.53 teorema), egzistuoja toks x0 > 0, kad cosx0 = 0.Lieka ištirti atvejį, kai d = 0. Tarkime, kad pastaruoju atveju cosx > 0 kiekvie-nam x ≥ 0. Remiantis (4.56) formule sinuso funkcija yra didėjanti, o kosinusofunkcija yra mažėjanti remiantis (4.54) formule. Kadangi d = 0, naudodami2.2.?? pratimo teiginį gauname egzistuojant tokį z0 > 0, kad cosx < 1/3 vi-siems x > z0. Prisiminus, kad sin 0 = 0, tada sin x =

√1− cos2 x > 2

√2/3

visiems x > z0. Naudojant (4.49) formulę su y = x > z0 gauname nelygybes

2√

23 < sin 2x = 2 sin x cosx < 2 · 1 · 1

3 = 23 .

Tai yra prieštara, nes√

2 > 1. Įrodėme egzistuojant tokį x0 > 0, kad cosx0 = 0.Tegul

π := 2 infx > 0: cosx = 0.

Kadangi kosinuso funkcija yra tolydi ir cos 0 = 1, tai π > 0, cos(π/2) = 0 irsin(π/2) = 1. Dėl anksčiau minėtų priežasčių, intervale [0, π/2] sinusas didėja,o kosinusas mažėja. Naudodami 4.76 teoremos (b) formules gauname

sin(x+ π/2) = sin(π/2) cosx+ cos(π/2) sin x = cosx,

cos(x+ π/2) = cos(π/2) cosx− sin(π/2) sin x = − sin x.

visiems x ∈ R. Todėl visiems x ∈ R galioja lygybės

sin(x+ π) = cos(x+ π/2) = − sin x,

cos(x+ π) = − sin(x+ π/2) = − cosx.

Dabar naudodami pastarąsias lygybes gauname, kad

sin(x+ 2π) = − sin(x+ π) = sin x, (4.58)

cos(x+ 2π) = − cos(x+ π) = cos x (4.59)

galioja visiems x ∈ R.Funkcija f : R → R vadinama periodine, jei egzistuoja toks T ∈ R, kad

f(x + T ) = f(x) visiems x ∈ R, o skaičius T vadinamas funkcijos f periodu.Formulės (4.58) ir (4.58) rodo, kad sinusas ir kosinusas yra periodinės funkcijossu periodu T = 2π.


Galiausiai įrodysime, kad

limx→0

sin xx

= 1. (4.60)

Iš tikrųjų, remiantis 4.76 teoremos (c) savybe, egzistuoja toks x0 > 0, kad nely-gybės

cosx < sin xx

< 1

galioja visiems x ∈ (0, x0). Kadangi kosinusas tolydi funkcija ir cos 0 = 1, taiegzistuoja riba iš dešinės

limx→0+

sin xx

= 1.

Kadangi sinusas yra nelyginė funkcija, tai

limx→0−

sin xx

= limx→0−

sin(−x)−x

= limx→0+

sin xx

.

Remiantis 4.29 teorema gauname, kad galioja (4.60), ką ir norėjome įrodyti.

Pratimai

1. Tarkime, kad r ∈ (0, 1) ir funkcijai f : R → R galioja 4.71 teoremosteiginiai (a), (b) bei teiginys (c′): f yra mažėjanti. Įrodyti, kad f(x) = xr

su kiekvienu x ∈ R.

2. Tarkime, kad r > 1 ir funkcijai g : (0,+∞) → R, galioja 4.73 teoremosteiginiai (a), (b) ir (d). Įrodyti, kad g = logr.

3. Tarkime, kad r ∈ (0, 1). Įrodyti, kad funkcijai g := logr galioja 4.73teoremos teiginiai (a), (b), (d) ir teiginys (c′): g yra mažėjanti.


5 skyrius

Diferencijavimas

Funkcija vadinama diferencijuojama, jei ji diferencijuojama kiekviename api-brėžimo srities taške, t.y. kiekviename taške turi išvestinę. Kaip ir tolydumas,diferencijuojamumas išreiškia jos glodumą. Tik stipresne prasme; jei funkcijadiferencijuojama, tai ji tolydi. Diferencijavimas kartu su integravimu yra pagrin-diniai funkcijų tyrimo metodai matematinėje analizėje.

5.1 Funkcijos išvestinėSkyrelis pradedamas bandymu paaiškinti funkcijos išvestinės taške prasmę. To-liau supažindinama su trimis skirtingais, bet ekvivalenčiais funkcijos išvestinėsapibrėžimais.

Funkcijos išvestinės taške prasmė Funkcijos f tolydumas taške c reiškia

f(x)→ f(c) kai x→ c.

Funkcijos f diferencijuojamumas taške c reiškia

f(x)− f(c)x− c

→ m kai x→ c.

su kuriuo nors m ∈ R. Skaičius m vadinamas išvestine taške c. Funkcijos f iš-vestinė taške c rodo kaip kinta jos reikšmės f(x) taško c aplinkoje. Iliustruosimetai dviejų funkcijų pavyzdžiu. Funkcija yra taisyklė, kuri kiekvienam skaičiuipriskiria kitą skaičių. Nagrinėkime dvi tokias neneigiamų skaičių priskyrimotaisykles:

R+ 3 x 7→ f(x) :=√x ir R+ 3 x 7→ g(x) := x2.

146 5 skyrius. Diferencijavimas

Priminsime, kad kintamasis x vadinamas funkcijos argumentu, o kintamieji f(x)ir g(x) vadinami funkcijų f ir g reikšmėmis, atitinkamai. Vietoje kintamojo ximant konkretų skaičių, nurodytos dvi taisyklės, funkcijos f ir g, priskiria skai-čius f(x) ir g(x). Palyginkime funkcijų reikšmes atitinkančias skirtingoms argu-mento x reikšmėms.

x f(x) g(x)0, 8 0, 8944... 0, 640, 9 0, 9486... 0, 811 1 1

1, 1 1, 0488... 1, 211, 2 1, 0954... 1, 44

Ši lentelė iliustruoja abiejų funkcijų tolydumą taške 1. Matome, kad argumen-tui esant x = 1 abi funkcijos įgyja tą pačią reikšmę f(1) = g(1) = 1. Tačiauf(x) ir g(x) skiriasi, kai x 6= 1. Be to, g(x) reikšmės skiriasi nuo 1 daugiaunegu f(x) reikšmės. Šį skirtumą vertinsime lygindami funkcijos reikšmių poky-čius atitinkančius argumentų pokytį x − 1. Šiuo atveju lyginsime skirtuminiussantykius

φ(x) := f(x)− f(c)x− c

ir ψ(x) := g(x)− g(c)x− c

,

kai c = 1, o x 6= 1 ir x− 1 mažas.

x− 1 φ(x) ψ(x)−0, 01 0, 5012... 1, 99−0, 001 0, 5001... 1, 9990, 001 0, 4998... 2, 0010, 01 0, 4987... 2, 01

Argumentui x įgyjant 1 artimas reikšmes, skirtuminių santykių φ(x) ir ψ(x)reikšmės telkiasi, atitinkamai, prie 0, 5 ir 2. Šie du skaičiai įvertina pirmojelentelėje matomą funkcijų f ir g kitimo skirtumą skaičiaus 1 aplinkoje. Kai ar-gumento reikšmė x yra arti 1, bet jam nelygi, tai φ(x) arti 0, 5, o ψ(x) arti 2.Tačiau reikšmės φ(1) ir ψ(1) nėra apibrėžtos, nes nėra apibrėžtas santykis 0/0.Kaip skaičiams 0, 5 ir 2 suteikti tikslią prasmę?

Atsirandant matematinei analizei, skirtuminio santykio neapibrėžtis 0/0 bu-vo sunkiausia problema bandant jai suteikti matematinę prasmę. Problema buvoišspręsta XIX amžiuje suteikus prasmę funkcijos konvergavimui. Skirtuminiosantykio riba nulyje, jei ji egzistuoja, vadinama funkcijos išvestine taške. Paro-dysime, kad skaičiai 0, 5 ir 2 yra atitinkamų skirtuminių santykių ribos.

5.1 Funkcijos išvestinė 147

Konkrečių funkcijų f ir g atveju, jų išvestines taške c galima apskaičiuotipertvarkant skirtuminius santykius. Būtent, kai c > 0 ir x 6= c, daugindami irdalindami iš to paties reiškinio

√x+√c, gauname

f(x)− f(c)x− c

=√x−√c

x− c·√x+√c√

x+√c

= (√x)2 − (

√c)2

(x− c)(√x+√c) = x− c

(x− c)(√x+√c)

= 1√x+√c.

Dešinėje pusėje esantis reiškinys turi prasmę kai c = 1. Atveju c = 1 jis lygus0, 5. Funkcijos f išvestine taške c yra

f ′(c) := limx→c

f(x)− f(c)x− c

= limx→c

1√x+√c

= 12√c.

Taigi, f ′(1) = 0, 5.Funkciją g atitinkantis skirtuminis santykis pertvarkomas panašiai. Būtent,

kai c > 0 ir x 6= c, gauname

g(x)− g(c)x− c

= x2 − c2

x− c

= (x− c)(x+ c)x− c

= x+ c.

Dešinėje pusėje esantis reiškinys turi prasmę kai c = 1. Atveju c = 1 jis lygus 2.Funkcijos g išvestine taške c yra

g′(c) := limx→c

g(x)− g(c)x− c

= limx→c

(x+ c) = 2c.

Taigi, g′(1) = 2. Gavome, kad funkcijos g reikšmių kitimas taško 1 aplinkoje yraketuris kartus didesnis už funkcijos f reikšmių kitimą to paties taško aplinkoje.Kitame skyrelyje paaiškintos dar dvi galimos išvestinės taške interpretacijos.

Funkcijos išvestinės taške apibrėžtis Kaip ir funkcijos tolydumas, diferenci-juojamumas turi prasmę tokiame funkcijos apibrėžimo srities A taške c, kurioaplinkoje ji yra apibrėžta. Tiksliau kalbant elementas c ∈ A turi būti aibės Avidiniu tašku (4.11 apibrėžtis).


5.1 apibrėžtis. Tegul A yra realiųjų skaičių aibė, elementas c ∈ A yra aibės Avidinis taškas ir f : A → R yra funkcija. Sakoma, kad funkcija f yra diferenci-juojama taške c, jei egzistuoja riba

m := limx→c

f(x)− f(c)x− c

.

Skaičiusm vadinamas funkcijos f išvestine taške c ir žymimas f ′(c) arba f (1)(c).Funkcija φ : A \ c → R su reikšmėmis

φ(x) := f(x)− f(c)x− c

, x ∈ A \ c,

vadinama funkcijos f skirtuminiu santykiu taške c. Funkcija f : A → R yradiferencijuojama, jei ji diferencijuojama kiekviename apibrėžimo srities A vidi-niame taške, o funkcija c 7→ f ′(c), c ∈ A, apibrėžta aibės A viduje A, žymimaf ′ arba f (1) ir vadinama išvestine funkcija.

5.2 pastaba. Jei aibė A funkcijos išvestinės apibrėžtyje neturi vidinių taškų, taifunkcija su apibrėžimo sritimi A nėra diferencijuojama nei viename taške. JeiA = [a, b], tai funkcija f : [a, b] → R gali būti diferencijuojama kiekvienameatvirojo intervalo (a, b) = A taške ir nėra diferencijuojama intervalo [a, b] ga-luose a ir b. Kai kuriuose vadovėliuose (pavyzdžiui [21, 83 pusl.]) išvestinėapibrėžiama ir intervalo [a, b] galuose naudojant vienpusę ribą.

Atsižvelgiant į funkcijos ribos apibrėžimą 4.17 turime: skaičius f ′(c) ∈ R yrafunkcijos f išvestinė taške c tada ir tik tada, kai su kiekvienu ε > 0 egzistuojatoks δ > 0, kad visiems x ∈ A galioja implikacija

jei 0 < |x− c| < δ, tai∣∣∣∣f(x)−f(c)

x−c − f ′(c)∣∣∣∣ < ε.

Be to, dėl funkcijos ribos vienatinumo (4.19 teorema), išvestinė, jei egzistuoja,yra vienintelė.

5.3 pavyzdys. Kitas pavyzdys rodo, kad tolydi taške funkcija neprivalo būtidiferencijuojama tame taške. Tegul f : R → R yra funkcija su reikšmėmisf(x) = |x| kiekvienam x ∈ R. Šios funkcijos skirtuminis santykis taške 0 yra

φ(x) = f(x)− f(0)x

= |x|x

=

1, jei x > 0−1, jei x < 0.

kiekvienam x ∈ R \ 0. Skirtuminis santykis neturi ribos taške 0, nes

limx→0−

φ(x) = −1 6= 1 = limx→0+

φ(x).

Tuo tarpu pati funkcija f yra tolydi taške 0 (kodėl?).


Kita išvestinės apibrėžimo forma Parodysime, kad funkcija diferencijuojamataške tada ir tik tada, kai to taško aplinkoje ji yra išreiškiama afininės funkcijos irgreitai artėjančios į nulį funkcijos suma. Funkcija ` : R → R vadinama afinine,jei egzistuoja tokie skaičiai s ir m, kad `(x) = s+mx visiems x ∈ R. Jei s = 0,tai funkcija ` vadinama tiesine.

5.4 teorema. Tarkime, kad f : A→ R yra funkcija, c yra aibės A vidinis taškasir m yra realusis skaičius. Funkcija f yra diferencijuojama taške c su išvestinef ′(c) = m tada ir tik tada, kai egzistuoja taške c tolydi ir nuliui tame taške lygifunkcija h : A→ R ir lygybė

f(x) =afininė funkcija︷︸︸︷

f(c) +m(x− c) +h(x)(x− c) (5.1)

teisinga visiems x iš A.

Įrodymas. Tarkime, kad funkcija f yra diferencijuojama taške c ir m = f ′(c).Apibrėšime funkciją h : A→ R su reikšmėmis

h(x) :=

f(x)−f(c)x−c −m, jei x ∈ A \ c

0, jei x = c.

visiems x ∈ A. Remdamiesi 5.1 apibrėžtimi gauname

limx→c

h(x) = limx→c

f(x)− f(c)x− c

−m = 0 = h(0).

Todėl h yra tolydi taške c ir nuliui tame taške lygi funkcija iš A į R Be to, (5.1)lygybė teisinga visiems x ∈ A.

Atvirkščiai, tarkime, kad egzistuoja taške c tolydi ir nuliui tame taške lygifunkcija h : A → R ir lygybė (5.1) teisinga visiems x ∈ A. Kadangi h artėja įnulį taške c, tai

limx→c

f(x)− f(c)x− c

= m+ limx→c

h(x) = m+ 0 = m,

t.y. f yra diferencijuojama taške c su išvestine f ′(c) = m.

Paskutinis narys (5.1) lygybėje, lyginant su prieš jį esančiu nariu, yra greitaiį nulį artėjanti funkcija kitos apibrėžties prasme.


5.5 apibrėžtis. Tegul r ir p yra funkcijos apibrėžtos skaičiaus c ∈ R aplinkojeir abi lygios nuliui taške c. Sakoma, kad r yra nykstamai maža atžvilgiu p taškoc aplinkoje ir rašoma r = oc(p) arba r(x) = o(p(x)) kai x → c (tariama r yrao-mažasis nuo p taško c aplinkoje), jei

limx→c

r(x)p(x) = 0.

Sakysime, kad r yra greitai artėjanti į nulį taške c, jei taško c aplinkoje ji yranykstamai maža atžvilgiu funkcijos p su reikšmėmis p(x) = x−c visiems x ∈ R.

Remiantis ribos apibrėžtimi, funkcija r yra greitai artėjanti į nulį taške c, jeir(c) = 0 ir kiekvienam ε > 0 egzistuoja toks δ > 0, kad visiems x iš taško caplinkos teisinga implikacija:

jei x ∈ (c− δ, c+ δ), tai |r(x)| ≤ ε|x− c|. (5.2)

Pavyzdžiui, taške c = 0 tokia yra funkcija x 7→ x2. Dabar diferencijuojamumosavybę galima išreikšti kitaip.

5.6 išvada. Tarkime, kad f : A → R yra funkcija, c yra aibės A vidinis taškasir m yra realusis skaičius. Funkcija f yra diferencijuojama taške c su išvestinef ′(c) = m tada ir tik tada, kai egzistuoja greitai artėjanti į nulį taške c funkcijar : A→ R ir lygybė

f(x) =afininė funkcija︷︸︸︷

f(c) +m(x− c) +r(x) (5.3)

teisinga visiems x iš A.

5.1 ir 5.3 išraiškos rodo, kad kiekviena diferencijuojama funkcija yra tolydi.Tačiau tolydi taške funkcija neprivalo būti diferencijuojama tame taške kaip rodo5.3 pavyzdys.

5.7 išvada. Tarkime, kad A yra realiųjų skaičių aibė, elementas c ∈ A yra aibėsA vidinis taškas ir funkcija f : A → R yra diferencijuojama taške c. Tada ftolydi taške c.

Funkcijos grafiko liestinė Parodysime, kad išvestinę galima apibūdinti nau-dojant analizinės geometrijos sąvokas. Atvirame intervale (a, b) apibrėžtos funk-cijos f grafikas yra taškų aibė (x, f(x)) : x ∈ (a, b) geometrinėje plokštu-moje su koordinačių sistema. Tiesė L geometrinėje plokštumoje yra ir taip pat


žymimos funkcijos L su reikšmėmis L(x) = d + mx grafikas, čia d,m yrafiksuoti skaičiai, o x yra kintamasis žymintis realųjį skaičių. Tegul c yra in-tervalo (a, b) elementas ir funkcija f yra apibrėžta intervale (a, b). Per plokš-tumos tašką P = (c, f(c)) einanti tiesė L yra grafikas funkcijos su reikšmėmisL(x) = f(c)+m(x−c). Kartais L(x) vadinama tiesės L lygtimi, om vadinamastiesės krypties koefcientu arba posvyriu (angl. slope).

5.8 apibrėžtis. Tarkime, kad f yra atvirame intervale (a, b) apibrėžta funkcija,c ∈ (a, b) ir P = (c, f(c)) yra funkcijos f grafiko taškas. Tiesė L nubrėžta pertašką P vadinama funkcijos f grafiko liestine taške P , jei su kiekviena kita tieseK nubrėžta per tašką P egzistuoja tokia c aplinka U ⊂ (a, b), kad nelygybė

|f(x)− L(x)| ≤ |f(x)−K(x)| (5.4)

galioja visiems x ∈ U .

Kitaip tariant, funkcijos f grafiko liestine taške P yra tiesėL, esanti funkcijosf geriausia tiesine aproksimacija taške P .

Naudojant šį apibrėžimą, nesunku įsitikinti, kad 5.3 pavyzdžio funkcijos sureikšmėmis f(x) = |x|, x ∈ R, grafikas neturi liestinės taške (0, 0). Pakankapastebėti, kad bet kuriam kandidatui į liestinę arba tiesė K1(x) = x, arba tiesėK2(x) = −x geriau aproksimuoja funkciją f iš kurios nors vienos pusės. Pavyz-džiui, jei tartume, kad liestine yra tiesė L, tai dėl 5.8 apibrėžties egzistuoja toksδ > 0, kad visiems x ∈ [0, δ) teisinga nelygybė

|x− L(x)| =∣∣∣|x| − L(x)

∣∣∣ ≤ ||x| −K1(x)| = 0

ir visiems x ∈ (−δ, 0] teisinga nelygybė

|x+ L(x)| =∣∣∣|x| − L(x)

∣∣∣ ≤ ||x| −K2(x)| = 0.

Tokia tiesė L nulio aplinkoje privalo sutapti su funkcija x 7→ |x|, kas yra neįma-noma.

Kitas pavyzdys. Jei f yra afininė funkcija, t.y. jei jos grafikas yra tiesė, tai jipati yra liestinė kiekviename grafiko taške ir ši liestinė yra vienintelė.

5.9 teorema. Jei funkcijos grafikas turi liestinę taške, tai ji yra vienintelė.

Įrodymas. Tarkime, kad funkcijos f grafikas kuriame nors taške (c, f(c)) turidvi skirtingas liestines L1 ir L2. Tada galioja lygybė

|f(x)− L1(x)| = |f(x)− L2(x)|


visiems x iš taško c aplinkos. Jei |u| = |v|, tai arba u = v, arba u = −v.Kadangi L1(x) 6= L2(x) kai x 6= c, tai f(x) = (1/2)[L1(x) + L2(x)]. Taigi,taško c aplinkoje, f yra afininė funkcija. Dėl afininės funkcijos grafiko liestinėsvienaties, L1 = L2 - prieštara, įrodanti teoremos teiginį.

Dabar įrodysime faktą apie liestinės ir išvestinės egzistavimo ekvivalentumą.

5.10 teorema. Tarkime, kad f yra atvirame intervale (a, b) apibrėžta funkcija,c ∈ (a, b) ir tiesė L eina per tašką P = (c, f(c)). Tiesė L yra funkcijos f grafikoliestinė taške P tada ir tik tada, kai funkcija f yra diferencijuojama taške c irišvestinė f ′(c) yra tiesės L krypties koeficientas.

Įrodymas. Tarkime, kad funkcijos reikšmėmis L(x) = f(c)+m(x−c) apibrėžtatiesė L yra funkcijos f grafiko liestinė taške (c, f(c)). Įrodysime, kad funkcija fyra diferencijuojama taške c ir išvestinė f ′(c) = m. Tegul ε > 0. Tarkime, kadL1ir L2 yra dvi tiesės apibrėžtos funkcijų reikšmėmis L1(x) = f(c)+(m+ε)(x−c)ir L2(x) = f(c) + (m− ε)(x− c) visiems x ∈ R. Lygybės

[f(x)− L1(x)] = [f(x)− L(x)]− ε(x− c),[f(x)− L2(x)] = [f(x)− L(x)] + ε(x− c) (5.5)

teisingos visiems x ∈ (a, b). Remiantis liestinės apibrėžtimi, egzistuoja toksskaičius δ > 0, kad nelygybės

|f(x)− L(x)| ≤ |f(x)− L1(x)| ir |f(x)− L(x)| ≤ |f(x)− L2(x)| (5.6)

galioja visiems x ∈ (c− δ, c+ δ). Pirma, nagrinėkime atvejį, kai c− δ < x < c.Norėdami įrodyti, kad

f(x)− L1(x) > 0, (5.7)

tarkime, kad teisinga priešinga nelygybė f(x)−L1(x) ≤ 0. Kadangi pirmojoje išdviejų lygybių (5.5) paskutinis narys−ε(x−c) > 0, tai f(x)−L(x) < 0 (kodėl?).Panaudojus šiuos reikšmių ženklus vertinant modulius, pirmoji iš dviejų (5.6)nelygybių įgyja išraišką

−[f(x)− L(x)] ≤ −[f(x)− L1(x)].

Suprastinę, gauname nelygybę c ≤ x. Tai yra prieštara, įrodanti (5.7). Norėdamiįrodyti, kad

f(x)− L2(x) < 0, (5.8)

tarkime, kad teisinga priešinga nelygybė f(x)−L2(x) ≥ 0. Kadangi antrojoje išdviejų lygybių (5.5) paskutinis narys ε(x− c) < 0, tai f(x)−L(x) > 0 (kodėl?).


Panaudojus šiuos reikšmių ženklus vertinant modulius, antroji iš dviejų (5.6)nelygybių įgyja išraišką

f(x)− L(x) ≤ f(x)− L2(x).

Suprastinę, gauname nelygybę c ≤ x. Tai yra prieštara, įrodanti (5.8). Apjun-gę (5.7) ir (5.8), gauname L1(x) < f(x) < L2(x). Pastarosiose nelygybėse,atimdami f(c) ir dalindami iš x− c, gauname∣∣∣∣∣f(x)− f(c)

x− c−m

∣∣∣∣∣ < ε.

Antra, šią nelygybę lygiai taip pat gauname ir tuo atveju, kai c < x < c + δ.Kadangi ε > 0 yra laisvai pasirinktas, išvestinė f ′(c) egzistuoja ir lygim. Pirmojiteoremos implikacija įrodyta.

Dabar tarkime, kad egzistuoja išvestinė f ′(c) ir tiesė L apibrėžta lygtimiL(x) = f(c) + f ′(c)(x − c). Įrodysime, kad L yra funkcijos f grafiko liesti-nė taške P . Tegul K yra tiesė apibrėžta lygtimi K(x) = f(c) + m(x − c) ir joskrypties koeficientas m 6= f ′(c). Duotam ε = (1/2)|f ′(c) −m| > 0 egzistuojatoks skaičius δ ∈ (0,minc− a, b− c) > 0, kad nelygybė∣∣∣∣∣f(x)− f(c)

x− c− f ′(c)

∣∣∣∣∣ ≤ 12 |f

′(c)−m|

galioja visiems 0 < |x − c| < δ. Padauginę abi nelygybės puses iš |x − c|,gauname, kad nelygybė

|f(x)− L(x)| ≤ 12 |f

′(c)−m||x− c| = 12 |L(x)−K(x)| (5.9)

galioja visiems x ∈ (c− δ, c+ δ). Kiekvienam x ∈ (a, b), pridėdami ir atimdamif(x), gauname

|L(x)−K(x)| = |L(x)− f(x) + f(x)−K(x)|≤ |f(x)− L(x)|+ |f(x)−K(x)|.

Įstatę gautą nelygybę į (5.9) nelygybės dešinę pusę ir pertvarkę, gauname (5.4)nelygybę. Kadangi K yra laisvai pasirinkta tiesė einanti per tašką P , antrojiteoremos implikacija ir tuo pačiu visa teorema yra įrodyta.

Kita funkcijos išvestinės interpretacija gaunama, kai funkcija f išreiškia ju-dančios dalelės nueitą kelią. Pavyzdžiui, jei funkcijos f : [a, b] → R reikš-mė f(x) yra atstumas laiko momentu x, tai vidutinis greitis yra nueito keliof(x)− f(c) ir laiko intervalo x− c santykis. Jei šis santykis turi ribą kai x→ c,tai ši riba yra momentinis greitis arba išvestinė.


Pratimai

1. Tegul A yra realiųjų skaičių aibė, elementas c ∈ A yra aibės A vidinistaškas ir f : A→ R yra funkcija. Įrodyti, kad f yra diferencijuojama taškec tada ir tik tada, kai egzistuoja riba

s := limh→0

f(c+ h)− f(c)h

.

Be to, jei bent vienas iš ekvivalenčių teiginių teisingas, tai f ′(c) = s.

2. Tegul f : (a, b) → R yra pastovioji funkcija su vienintele reikšme r ∈ R,t. y. f(x) = r kiekvienam x ∈ (a, b). Įrodyti, kad f yra diferencijuojamarandant jos išvestinę visuose apibrėžimo taškuose.

3. Tegul ` : R → R yra afininė funkcija su reikšmėmis `(x) = rx + t kiek-vienam x ∈ R ir kuriems nors r ∈ R ir t ∈ R. Įrodyti, kad ` yra diferenci-juojama randant jos išvestinę visuose apibrėžimo taškuose.

4. Įrodyti 5.7 išvadą.

5. Tegul f : (0,+∞) → R yra funkcija su reikšmėmis f(x) = 1/x kiek-vienam x > 0. Rasti jos išvestinę taške x > 0, skaičiuojant skirtuminiosantykio ribą.

6. Tarkime, kad f : R → R yra bet kuri funkcija, m ∈ R ir ψ : R → R yrafunkcija su reikšmėmis

ψ(x) =

f(x)−f(c)x−c , jei x 6= c,

m, jei x = c.

Įrodyti, kad f diferencijuojama taške c su išvestine f ′(c) = m tada ir tiktada, kai ψ yra tolydi taške c. (Pastaba: funkcija ψ skiriasi nuo skirtuminiosantykio φ tuo, kad ψ apibrėžta taške c.)

7. ([13], Exercise 4 puslapyje 186) Tarkime, kad f : R → R yra bet kurifunkcija, m ∈ R ir q : R→ R yra funkcija su reikšmėmis

q(x) =

f(x)−f(c)x−c −m, jei x 6= c,

0, jei x = c.(5.10)

Įrodyti, kad f diferencijuojama taške c su išvestine f ′(c) = m tada ir tiktada, kai q yra tolydi taške c.

5.2 Diferencijavimo taisyklės 155

8. Tarkime, kad q : R→ R yra bet kuri funkcija taške c lygi nuliui, ir r : R→R yra funkcija su reikšmėmis

r(x) = q(x)(x− c), x ∈ R.

Įrodyti, kad r yra greitai artėjanti į nulį taške c tada ir tik tada, kai q yratolydi taške c.

9. Tarkime, kad taško c aplinkoje apibrėžta funkcija r yra lygi nuliui taške c.Įrodyti, kad r yra greitai artėjanti į nulį taško c aplinkoje funkcija tada irtik tada, kai r yra diferencijuojama taške c ir išvestinė r′(c) = 0.

10. ([13], Exercise 7 puslapyje 187) Tarkime, kad funkcijos f : R → R irg : R → R yra diferencijuojamos taške c ∈ R ir g′(c) 6= 0. Įrodyti, kadegzistuoja riba

limx→c

f(x)− f(c)g(x)− g(c) = f ′(c)

g′(c) .

11. Tegul ` yra afininė funkcija. Kuriuose taškuose diferencijuojama funkcija|`| su reikšmėmis |`(x)|, x ∈ R?

5.2 Diferencijavimo taisyklėsPraeitame skyrelyje išsiaiškinome tris funkcijos diferencijuojamumo būdus (5.1apibrėžtis, bei 5.4 ir 5.10 teoremos). Tačiau šiuos teiginius sunku naudoti ban-dant nustatyti ar konkreti funkcija yra diferencijuojama ir kam lygi jos išvestinėfunkcija. Dažnai pavyksta išskaidyti funkciją į keletą paprastesnių funkciją irnustatyti jos diferencijuojamumą naudojant šiame skyrelyje įrodytas diferencija-vimo taisykles.

Pradėsime nuo diferencijavimo taisyklių gautų naudojant aritmetines opera-cijas tarp funkcijų.

5.11 teorema. Tarkime, kad A yra realiųjų skaičių aibė, elementas c ∈ A yraaibėsA vidinis taškas, o funkcijos f : A→ R ir g : A→ R yra diferencijuojamostaške c. Tada galioja teiginiai:

(a) sumos funkcija f + g yra diferencijuojama taške c ir jos išvestinė yra

(f + g)′(c) = f ′(c) + g′(c);

(b) sandaugos funkcija fg yra diferencijuojama taške c ir jos išvestinė yra

(fg)′(c) = f ′(c)g(c) + f(c)g′(c);


(c) su bet kuriuo skaičiumi r ∈ R, funkcija rf yra diferencijuojama taške c irjos išvestinė yra

(rf)′(c) = rf ′(c);

(d) jei be to g(x) 6= 0 kiekvienam x ∈ A, tai santykio funkcija f/g yra dife-rencijuojama taške c ir jos išvestinė yra(

f

g

)′(c) = f ′(c)g(c)− f(c)g′(c)

g2(c) .

Įrodymas. Įrodysime tik teiginį (b) palikdami kitus teiginius įrodyti skaitytojui(5.1.1 pratimas). Kiekvienam x ∈ A \ c atimdami ir pridėdami f(c)g(x)gauname skirtuminio santykio išraišką

φ(x) := (fg)(x)− (fg)(c)x− c

= g(x)f(x)− f(c)x− c

+ f(c)g(x)− g(c)x− c

.

Kadangi f ir g yra diferencijuojamos taške c, o g yra tolydi tame taške, tai

limx→c

φ(x) = limx→c

g(x) limx→c

f(x)− f(c)x− c

+ f(c) limx→c

g(x)− g(c)x− c

= g(c)f ′(c) + f(c)g′(c),

t. y. sandauga fg yra diferencijuojama taške c su nurodyta išvestine.

Šias taisykles iliustruosime diferencijuodami polinomą (4.17):

p′(x) =( n∑k=0

akhk(x))′

=n∑k=0

akh′k(x)

= a1 + 2a2x+ · · ·+ nanxn−1, x > 0,

čia n ∈ N, ak skaičiai, o hk(x) laipsninės funkcijos visiems k ∈ 0, . . . , n.Toliau įrodyta funkcijų kompozicijos diferencijavimo taisyklė.

5.12 teorema. Tarkime, kad A ir B yra realiųjų skaičių aibės, elementas c ∈A yra aibės A vidinis taškas, o elementas d ∈ B yra aibės B vidinis taškas.Tarkime, kad f : A → B yra diferencijuojama taške c funkcija ir f(c) = d, ofunkcija g : B → R yra diferencijuojamos taške d. Tada kompozicija gf yradiferencijuojama taške c ir jos išvestinė

(gf)′(c) = g′(f(c))f ′(c). (5.11)


Įrodymas. Remiantis 5.4 teorema, egzistuoja greitai artėjanti į nulį taške c funk-cija r ir lygybė

f(x) = f(c) + f ′(c)(x− c) + r(x)teisinga visiems x ∈ A, bei egzistuoja greitai artėjanti į nulį taške d funkcija q irlygybė

g(y) = g(d) + g′(d)(y − d) + q(y)teisinga visiems y ∈ B. Imdami y = f(x) ir įstatydami pirmąją lygybę į antrąją,gauname

(gf)(x) = g(f(x)) = g(f(c)) + g′(f(c))(f(x)− f(c)) + q(f(x))= (gf)(c) + g′(f(c))f ′(c)(x− c) + g′(f(c))r(x) + q(f(x)).

visiems x ∈ A. Dar kartą remiantis 5.4 teorema, pakanka parodyti, kad R :=g′(f(c))r + qf yra greitai artėjanti į nulį taške c funkcija. Kadangi r ir q yragreitai artėjančios į nulį funkcijos ir funkcija f yra tolydi taške c (5.7 išvada), tai

limx→c

R(x)x− c

= g′(f(c)) limx→c

r(x)x− c

+ limx→c

q(f(x))f(x)− f(c) ·

f(x)− f(c)x− c

= 0,


Atvirkštinė funkcija Tarkime, kad funkcija f ir jos atvirkštinė funkcija f−1

yra diferencijuojamos taškuose c ir d := f(c), atitinkamai. Prisiminus kompozi-cijos apibrėžimą, šios funkcijos susijusios sąryšiu

(f−1f)(c) = c.

Naudodami kompozicijos diferencijavimo taisyklę difrencijuojame abi šio sąry-šio puses ir gauname lygybę

(f−1)′(d)·f ′(c) = 1.

Padalinę abi lygybės pusės iš f ′(c) 6= 0, gauname atvirkštinės funkcijos išves-tinės išraišką. Toliau parodysime, kad prielaida apie atvirkštinės funkcijos dife-rencijuojamumą yra perteklinė; ji yra pradinės funkcijos diferencijuojamumo iratvirkštinės funkcijos tolydumo pasekmė.

Anksčiau parodėme, kad didėjančios ir tolydžios intervale I funkcijos f reikš-mių sritis f [I] yra intervalas, kuriame apibrėžiama atvirkštinė funkcija f−1 yra


didėjanti ir tolydi (4.67 teorema). Teiginys, kuriame vietoje didėjančios funkci-jos turime mažėjančią funkciją, taip pat teisingas. Toliau įrodytas atvirkštinėsfunkcijos diferencijavimo sąlygas vadiname atvirkštinės funkcijos diferencijavi-mo taisykle.

5.13 teorema. Tarkime, kad I yra intervalas, baigtinis ar begalinis, o funkcijaf : I → R yra didėjanti ir tolydi. Jei f yra diferencijuojama vidiniame intervaloI taške c ir f ′(c) 6= 0, tai f [I] yra intervalas, d := f(c) yra vidinis šio intervalotaškas ir atvirkštinė funkcija f−1 : f [I] → R yra diferencijuojama taške d suišvestine

(f−1)′(d) = 1f ′(c) = 1

f ′(f−1(d)) .

Įrodymas. Remiantis 4.67 teoremos pirmąja dalimi, funkcijos f reikšmių sritisf [I] yra intervalas, o taškas d := f(c) ∈ f [I] yra šio intervalo vidinis taškas,nes f yra didėjanti. Todėl egzistuoja toks ε > 0, kad taško d aplinka Oε(d) ⊂f [I]. Dėl tos pačios 4.67 teoremos antrosios dalies, atvirkštinė funkcija f−1

apibrėžta intervale f [I] yra tolydi ir didėjanti. Be to, kiekvienam y ∈ O•ε (d),x := f−1(y) ∈ I ir x 6= c, o funkcijos f−1 skirtuminis santykis taške d yra

f−1(y)− f−1(d)y − d

= x− cf(f−1(y))− f(c) = x− c

f(x)− f(c) .

Kadangi f−1 yra tolydi taške d, tai x = f−1(y) → f−1(d) = c kai y → d.Remiantis 4.22(c) teorema ir tuo, kad f diferencijuojamumo taške c gauname

limy→d

f−1(y)− f−1(d)y − d

= limx→c

x− cf(x)− f(c) = 1

f ′(c) ,


Remiantis 5.10 teorema, funkcija f diferencijuojama taške c tada ir tik tada,kai jos grafike per tašką (c, f(c)) galima nubrėžti liestinę L su reikšmėmis

L(x) = f(c) + f ′(c)(x− c), x ∈ R.

Pastaroji 5.13 teorema rodo, kad atvirkštinė funkcija f−1 yra diferencijuojamataške d = f(c) ir jos grafiko liestinės per tą tašką krypties koeficientas yra1/f ′(c):

K(y) = f−1(d) + 1f ′(x)(y − d) = 1

f ′(c)y −f(c)f ′(c) + c, y ∈ R.


Priminsime, kad bet kurios afininės funkcijos `(x) = mx+ r, x ∈ R, atvirkštinėyra afininė funkcija su reikšmėmis

`−1(y) = 1my − r

m, y ∈ R,

(Skyrelis „Funkcijos" iš [16]). Tai rodo, kad afininė funkcija K yra atvirkštinėafininei funkcijai L, t.y. K = L−1.

5.14 pavyzdys. Tegul f : R→ R yra funkcija su reikšmėmis

f(x) = x2 + 2x+ 3. (5.12)

Parodysime, kad ši funkcija atvirkštinės neturi, bet du jos siauriniai turi ir rasimejų išvestines.

(5.12) funkcijos grafikas yra parabolė, kurios viršūnė yra taške (−1, 2), ošakos nukreiptos į viršų. Funkcija f nėra bijekcija, nes kiekviena už du didesnėreikšmė y = f(x) įgyjama dvejose argumento x reikšmėse. Tačiau intervale(−∞,−1) funkcija f mažėja, o intervale (−1,+∞) funkcija f didėja. Remiantis4.67 teorema, turi egzistuoti dvi tolydžios atvirkštinės funkcijos. Jas randameišsprendę lygtį y = f(x) atžvilgiu x. Taip gauname dvi funkcijas apibrėžtaskiekvienam y > 2 su reikšmėmis:

f−11 (y) = −

√y − 2− 1 = x ∈ (−∞,−1)

irf−1

2 (y) =√y − 2− 1 = x ∈ (−1,+∞).

Šiuo atveju galima tiesiog suskaičiuoti atitinkamas išvestines funkcijas. Bet pa-sinaudosime 5.13 teorema. Šios teoremos prielaida yra išpildyta, nes funkcija fyra visur diferencijuojama, o jos išvestinė funkcija f ′ 6= 0 srityje (−∞,−1) ∪(−1,+∞). Todėl, kiekvienam y > 2, turime

(f−11 )′(y) = 1

f ′(x) = 12x+ 2 = − 1

2√y − 2

ir(f−1

2 )′(y) = 1f ′(x) = 1

2x+ 2 = 12√y − 2 .

Pratimai



2. Tarkime, kad funkcija f : R → R yra diferencijuojama ir niekur nelyginuliui. Rasti funkcijos R 3 x 7→ 1/f(x) išvestinę funkciją.

3. Tarkime, kad funkcija f : R → R yra diferencijuojama, x ∈ R, y ∈R ir F (t) := f(x + ty) kiekvienam t ∈ (0, 1). Įrodyti, kad funkcijaF : (0, 1)→ R yra diferencijuojama ir rasti jos išvestinę funkciją F ′.

4. Naudojant (5.13) teoremą rasti funkcijos (0,∞) 3 x 7→√x išvestinę funk-

ciją.

5. Tarkime kad f : R → R yra funkcija su teigiamomis reikšmėmis ir joskvadratas f 2 := f · f yra diferencijuojama funkcija. Ar f yra diferencijuo-jama? Atsakymą pagrįsti.

5.3 Elementariųjų funkcijų diferencijuojamumasŠiame skyrelyje įrodytas elementariųjų funkcijų diferencijuojamumas ir rastos jųišvestinės funkcijos. Čia pateikta įrodytų teiginių suvestinė lentelė:

f : A→ R f(x), x ∈ A f ′(x), x ∈ AA = (0,+∞), q ∈ R xq qxq−1

A = R, r ∈ (1,+∞) rx rx loge rA = (0,+∞), r ∈ (1,+∞) logr x (logr e)/xA = R sin x cosxA = R cosx − sin x

Laipsninė funkcija

5.15 teorema. Tegul f : R → R yra funkcija su reikšmėmis f(x) = xn, x ∈ Rir n ∈ N∗. Įrodyti, kad f yra diferencijuojama ir jos išvestinė funkcija f ′ įgyjareikšmes

f ′(x) = nxn−1, x ∈ R. (5.13)

Įrodymas. Naudosime indukciją pagal n. Kai n = 1, tai f(x) = x ir

limy→x

f(y)− f(x)y − x

= limy→x

y − xy − x

= limy→x

1 = 1.

Taigi f diferencijuojama ir f ′(x) = 1 visiems x ∈ R.

5.3 Elementariųjų funkcijų diferencijuojamumas 161

Tarkime, kad n ∈ N∗, f yra diferencijuojama ir (5.13) teisinga. Tegul g(x) :=xn+1 visiems x ∈ R. Tada g(x) = xf(x) ir

g′(x) = 1·xn + x·nxn−1 = (n+ 1)xn

remiantis funkcijų sandaugos diferencijavimo taisykle. Teoremos teiginys teisin-gas dėl matematinės indukcijos principo.

Logaritminė funkcija Ši funkcija apibūdinta 4.74 apibrėžtimi, o jos tolydumasįrodytas 4.73 teorema.

5.16 teorema. Tegul r ∈ (1,+∞). Logaritminė funkcija su pagrindu r yradiferencijuojama su išvestine

log′r u := (logr)′(u) = logr eu

kiekvienam u > 0.

Įrodymas. Tegul u > 0. Naudojant 4.73 teoremos (a) teiginį ir (4.45) sąryšį(kaip?), funkcijos logr skirtuminis santykis taške u yra

logr(u+ t)− logr ut

= 1u· logr

(1 + t

u

)u/t(5.14)

kiekvienam t ∈ (−u, 0) ∪ (0,+∞). Prisimindami, kad cn := (1 + 1/n)n → ekai n→∞ (3.23 teorema) parodysime, kad

lims→0

(1 + s)1/s = limx→∞

(1 + 1

x

)x= e. (5.15)

Su kiekvienu x > 1 egzistuoja toks n = n(x) ∈ N∗, kad n ≤ x < n + 1 (??teorema). Be to, galioja nelygybės(

1 + 1x

)x≤(

1 + 1n

)n+1=(

1 + 1n

)n(1 + 1

n

)=: An

ir (1 + 1

x

)x≥(

1 + 1n+ 1

)n=(

1 + 1n+ 1

)n+1 11 + 1/(1 + n) =: Bn.

Remiantis 3.15 teoremos (b) teiginiu, šių nelygybių dešiniosios pusės turi ribas

limn→∞

An =(

limn→∞

cn

)limn→∞

(1 + 1

n

)= e · 1 = e


irlimn→∞

Bn =(

limn→∞

cn+1

)limn→∞

11 + 1/(1 + n) = e · 1 = e.

Todėl, duotam ε > 0, egzistuoja toksN ∈ N∗, kadAn irBn skiriasi nuo emažiaukaip per ε visiems n ≥ N . Tada visiems x > N + 1 galioja nelygybės

−ε < Bn(x) − e ≤(

1 + 1x

)x− e ≤ An(x) − e < ε,

kas įrodo (5.15). Kadangi logr yra tolydi funkcija (4.73 teoremos (d) teiginys),tai

lims→0

logr(1 + s)1/s = limx→∞

logr(

1 + 1x

)x= logr e.

Šis faktas kartu su (5.14) sąryšiu rodo, kad

limt→0

logr(u+ t)− logr ut

= logr eu

,


Kai logaritminės funkcijos logr pagrindas yra Eulerio skaičius r = e gauna-me gauname natūrinio logaritmo ln išvestinę.

5.17 išvada. Visiems u > 0, (ln u)′ = 1/u.

Norėdami įrodyti rodiklinės funkcijos x 7→ fr(x) := rx, x ∈ R, diferenci-juojamumą parodysime, kad ji yra logaritminės funkcijos u 7→ logr u, u > 0,atvirkštinė ir panaudosime atvirkštinės funkcijos diferencijavimo taisyklę.

5.18 teorema. Tegul r ∈ (1,+∞). Rodiklinė funkcija fr su pagrindu r yradiferencijuojama su išvestine

f ′r(x) = fr(x) loge r

kiekvienam x ∈ R.

Įrodymas. Remiantis 4.73 teorema rodiklinė funkcija fr turi atvirkštinę funkcijąf−1r iš intervalo fr[I] = (0,+∞) į R, kuri yra didėjanti ir tolydi. Pagal logarit-

minės funkcijos apibrėžimą turime g := logr = f−1r . Remiantis 4.67 teorema

funkcija g turi atvirkštinę funkciją g−1 : R → R. Parodysime, kad fr = g−1.Tegul x ∈ R ir u := fr(x) ∈ fr[I]. Tada x = f−1

r (u) = g(u) ir

g−1(x) = g−1(g(u)) = u = fr(x).

5.3 Elementariųjų funkcijų diferencijuojamumas 163

Todėl fr = g−1. Remiantis 5.16 teorema funkcija g yra diferencijuojama. Dėlšios priežasties kartu su atvirkštinės funkcijos diferencijavimo taisykle (5.13 teo-rema) g−1 yra diferencijuojama su išvestine

f ′r(x) = (g−1)′(x) = 1g′(u) = u

logr e= fr(x)

logr e= fr(x) loge r,


Kai rodiklinės funkcijos fr pagrindas yra Eulerio skaičius r = e gaunamelabai paprastą eksponentinės funkcijos išvestinės išraišką.

5.19 išvada. Visiems x ∈ R, (ex)′ = ex.

Tegul q ∈ R ir h : (0,+∞) → R yra laipsninė funkcija su reikšmėmish(u) = uq visiems u > 0. Šios elementariosios funkcijos išvestinę rasime di-ferencijuodami jos išraišką h = fe`g (žr. (4.48)) ir naudodami kompozicijosdiferencijavimo taisyklę (5.11).

Remiantis 5.17 išvada, funkcija g = ln: (0,+∞) → R yra diferencijuojamair jos išvestinė yra g′(u) = u−1 kiekvienam u > 0. Tiesinė funkcija ` : R → Rsu reikšmėmis `(x) = qx visiems x ∈ R yra diferencijuojama ir jos išvesti-nė yra `′(x) = q kiekvienam x. Remiantis 5.19 išvada, eksponentinė funkcijafe : R → R yra diferencijuojama ir jos išvestinė yra f ′e(x) = ex kiekvienamx ∈ R. Remiantis kompozicijos diferencijavimo teorema (5.12 teorema) funkcijah yra diferencijuojamas ir jos išvestinė yra

h′(u) = f ′e((`g)(u))·(`g)′(u)= f ′e(`(g(u)))·`′(g(u))·g′(u)= eq lnu·q·u−1 = quq−1

kiekvienam u > 0.

5.20 teorema. Trigonometrinės funkcijos yra diferencijuojamos su išvestinėmis

sin′ x := (sin)′(x) = cos x ir cos′ x := (cos)′(x) = − sin x

kiekvienam x ∈ R.

Įrodymas. Tegul x ∈ R ir t ∈ R \ 0. Remiantis (4.56) turime

sin(x+ t)− sin x = 2 sin t

2 cos(x+ t

2

).


Padalinę pastarąją lygybę iš t ir pertvarkę dešiniąją pusę gauname

sin(x+ t)− sin xt

=sin t

2t2

cos(x+ t

2

).

Tada naudodami (4.60) ir kosinuso tolydumą gauname

sin′ x = limt→0

sin(x+ t)− sin xt

= cosx,

t. y. sinuso funkcija yra diferencijuojama su nurodyta išvestine. Kosinuso dife-rencijuojamumą siūlome įrodyti skaitytojui.

Pratimai

1. Įrodyti, kad cos′ x = − sin x.

2. Kuriuose taškuose diferencijuojamos funkcijos | sin x| ir sin |x|?

3. Įrodyti, kad funkcija f : R→ R su reikšmėmis f(x) := sin x3, x ∈ R, yradiferencijuojama ir rasti išvestinę.

5.4 Diferencijuojamų funkcijų savybėsŠiame skyrelyje nagrinėjamos tos diferencijuojamų funkcijų savybės, kurias ga-lima apibūdinti atitinkamos išvestinės funkcijos savybėmis.

Funkcijos ekstremumai Pirmiausia papildysime funkcijos maksimumo taškoir minimumo taško sąvokas iš 4.49 apibrėžties.

5.21 apibrėžtis. Tegul A yra tiesės taškų aibė ir f : A → R. Elementas u ∈ Avadinamas funkcijos f lokalaus maksimumo tašku, jei egzistuoja toks δ > 0, kadOδ(u) = (u−δ, u+δ) ⊂ A ir f(u) ≥ f(x) visiems x ∈ Oδ(u). Elementas v ∈ Avadinamas funkcijos f lokalaus minimumo tašku, jei egzistuoja toks δ > 0, kadOδ(v) = (v − δ, v + δ) ⊂ A ir f(v) ≤ f(x) visiems x ∈ Oδ(v). Elementasc ∈ A vadinamas funkcijos f lokalaus ekstremumo tašku, jei jis yra lokalausmaksimumo taškas arba lokalaus minimumo taškas.

Pastebėsime, kad funkcijos lokalaus ekstremumo tašku gali būti tik tos funk-cijos apibrėžimo srities vidinis taškas. Jei funkcijos maksimumo (minimumo)

5.4 Diferencijuojamų funkcijų savybės 165

taškas yra vidinis taškas, tai jis yra tos funkcijos lokalaus maksimumo (minimu-mo) taškas. Aiškumo dėlei, funkcijos maksimumo taškas vadinamas tos funk-cijos globalaus maksimumo tašku, funkcijos minimumo taškas vadinamas tosfunkcijos globalaus minimumo tašku, o maksimumo arba minimumo taškas va-dinamas globalaus ekstremumo tašku. Pavyzdžiui, jei funkcija f apibrėžta užda-rame intervale A = [a, b], tai a ir b negali būti f funkcijos lokalaus ekstremumotaškais. Tačiau a ir b gali būti f funkcijos globalaus ekstremumo taškais.

5.22 teorema. Tarkime, kad c yra aibės A vidinis taškas ir funkcija f : A → Ryra diferencijuojama taške c. Jei c yra funkcijos f lokalaus ekstremumo taškas,tai f ′(c) = 0.

Įrodymas. I būdas Reikia įrodyti implikaciją: jei teisingas teiginys S := „c yrafunkcijos f lokalaus ekstremumo taškas”, tai teisingas teiginys T :=„f ′(c) = 0”.Remiantis kontrapozicija pakanka įrodyti implikaciją: ¬T ⇒ ¬S, čia¬T =„f ′(c) 6=0”, o ¬S =„kaip norimai arti c egzistuoja tokie taškai x1 ∈ A ir x2 ∈ A, kad

f(x1) < f(c) < f(x2).”

Tegul f ′(c) 6= 0. Galimi du atvejai: f ′(c) > 0 ir f ′(c) < 0. Norimą implikacijąpakanka įrodyti atveju f ′(c) > 0. Iš tikro, jei f ′(c) < 0, tai (−f)′(c) > 0 irpakanka panaudoti pirmojo atvejo implikaciją (kodėl?). Tegul f ′(c) > 0. Re-miantis išvestinės apibrėžimu kai ε = f ′(c) ir tuo, kad c yra aibės A vidinistaškas, egzistuoja toks δ > 0, kad Oδ(c) ⊂ A ir nelygybė∣∣∣∣f(x)− f(c)

x− c− f ′(c)

∣∣∣∣ < f ′(c)

galioja visiems x ∈ Oδ(c). Tad visiems šiems x skirtuminis santykis

f(x)− f(c)x− c

> 0.

Todėl kiekvienam x1 ∈ (c − δ, c) ∩ (a, c), galioja nelygybė f(x1) < f(c) irkiekvienam x2 ∈ (c, c + δ) ∩ (c, b) galioja nelygybė f(x2) > f(c), ką ir reikėjoįrodyti naudojant I būdą.

II būdas Tarkime, kad c yra lokalaus maksimumo taškas. Tada egzistuojatoks δ > 0, kad f(x) ≤ f(c) visiems x ∈ Oδ(c) ⊂ A. Tegul (xn) yra skaičiųseka konverguojanti į tašką c ir visi jos nariai xn > c. Tada egzistuoja toksN ∈ N, kad xn ∈ Oδ(c) ir f(xn) ≤ f(c) visiems n ≥ N . Todėl remiantis 4.18teorema ir 3.1.17 pratimu turime sąryšius

f ′(c) = limn→∞

f(xn)− f(c)xn − c

≤ 0. (5.16)


Priešingai nelygybei įrodyti imkime į tašką c konverguojančią skaičių seką (yn),kurios visi nariai yn < c. Tada taip pat egzistuoja toks N ∈ N, kad yn ∈ Oδ(c)ir f(yn) ≤ f(c) visiems n ≥ N . Vėlgi remiantis 4.18 teorema ir 3.1.17 pratimuturime sąryšius

f ′(c) = limn→∞

f(yn)− f(c)yn − c

≥ 0, (5.17)

nes dabar yn− c < 0. Nelygybės (5.16) ir (5.17) abi kartu įrodo lygybę f ′(c) = 0kai c yra lokalaus maksimumo taškas. Įrodymas kai c yra lokalaus minimumotaškas yra simetriškas ir praleistas. Teoremos įrodymas antruoju būdu baigtas.

Remiantis pastarąja teorema, jei funkcijos apibrėžimo srities vidinis taškasyra lokalaus ekstremumo taškas, tai arba funkcija yra nediferencijuojama tametaške arba jos išvestinė tame taške yra lygi nuliui. Funkcijos f apibrėžimo sritiesvidinis taškas c vadinamas stacionarumo tašku, jei f ′(c) = 0, ir vadinamas ne-diferencijuojamumo tašku, jei išvestinė tame taške neegzistuoja. Bet kuris iš šiųdviejų taškų vadinamas kritiniu tašku.

5.23 išvada. Funkcijos lokalaus ekstremumo taškas yra jos kritinis taškas.

Šią išvadą iliustruoja funkcijos su reikšmėmis f(x) = x2 ir f(x) = |x| vi-siems x ∈ R. Nulis yra abiejų funkcijų ekstremumo taškas, pirmosios funkcijosstacionarumo taškas ir antrosios funkcijos nediferencijuojamumo taškas. Tačiaukritinis taškas neprivalo būti ekstremumo tašku. Tai įrodo pavyzdys funkcijossu reikšmėmis f(x) = x3 visiems x ∈ R (kodėl?). 5.23 išvada ir pastarasispavyzdys rodo, kad taško kritiškumas yra būtina, bet nėra pakankama lokalausekstremumo sąlyga. Netrukus parodysime, kad išvestinės funkcijos ženklo pasi-keitimas pereinant kritinį tašką yra pakankama ekstremumo sąlyga (5.28 teore-ma).

Maksimumo principas (4.51 teorema) garantuoja, kad tolydi uždarame inter-vale funkcija turi globalaus ekstremumo tašką, bet nenurodo būdo kaip jį rasti.Remiantis pastarąja išvada, globalaus ekstremumo taškas yra arba kritiniame taš-ke arba intervalo galuose.

5.24 pavyzdys. Tarkime, kad funkcija f : [−3, 3] → R įgyja reikšmes f(x) =x3−3x visiems x ∈ [−3, 3]. Ši funkcija yra diferencijuojama intervale (−3, 3) irf ′(x) = 3x2 − 3 visiems x ∈ (−3, 3). Funkcijos f stacionarūs taškai yra lygties

f ′(x) = 3x2 − 3 = 0

sprendiniai 1 ir −1. Todėl globalaus ekstremumo taškais gali būti bet kuris išaibės −3,−1, 1, 3 elementų. Suskaičiavę funkcijos reikšmes šiuose taškuose


gauname, kad f(−3) = −18, f(−1) = 2, f(1) = −2 ir f(3) = 18. Todėl −3yra globalaus minimumo taškas ir 3 yra globalaus maksimumo taškas.

Diferencijuojamos funkcijos savybių tyrimui yra naudingos toliau aptariamosvidutinės reikšmės teoremos.

Vidutinės reikšmės teoremos Pradėsime vidutinės reikšmės teoremos atskiruatveju, vadinamu Rolleso1 teorema.

5.25 teorema. Tarkime, kad funkcija f : [a, b] → R yra tolydi intervale [a, b],yra diferencijuojama intervale (a, b) ir teisinga lygybė f(a) = f(b). Tokiu atvejuegzistuoja toks taškas c ∈ (a, b), kad f ′(c) = 0.

Įrodymas. Kadangi funkcija f yra tolydi uždarame intervale [a, b], tai ji įgyjamaksimumą ir minimumą (4.51 teorema). Jei minimumas ir maksimumas įgy-jami intervalo galuose, tai f(x) = f(a) = f(b) kiekvienam x ∈ [a, b] (įgyjavienintelę reikšmę) ir f ′(c) = 0 kiekvienam c ∈ (a, b) (5.1.2 pratimas). Prie-šingu atveju bent vienas taškas c ∈ (a, b) yra funkcijos f lokalaus ekstremumotaškas ir teoremos teiginys šiuo atveju išplaukia iš 5.22 teoremos.

Rolleso teoremoje yra trys prielaidos: tolydumas, diferencijuojamumas ir ga-linių reikšmių sutapimas. Jei bent viena iš trijų prielaidų nėra išpildyta, tai teore-mos išvada neprivalo galioti. Tai įrodo trys pavyzdžiai. Pirma, jei f(x) = x kaix ∈ [0, 1) ir f(1) = 0, tai šiomis reikšmėmis apibrėžta funkcija f : [0, 1] → Rnėra tolydi ir jai negalioja teoremos išvada. Antra, jei f(x) = x kai x ∈ [0, 1/2]ir f(x) = 1 − x kai x ∈ (1/2, 1], tai šiomis reikšmėmis apibrėžta funkcijaf : [0, 1] → R nėra diferencijuojama taške x = 1/2 ir jai negalioja teoremosišvada. Trečia, jei f(x) = x kai x ∈ [0, 1], tai šiomis reikšmėmis apibrėžtosfunkcijos f galinių taškų reikšmės f(0) 6= f(1) ir jai taip pat negalioja teoremosišvada.

Remiantis funkcijos išvestinės ir jos grafiko liestinės egzistavimo ekvivalen-tumu (5.10 teorema), Rolleso teoremą galima interpretuoti geometriškai. Rol-leso teoremos prielaidas tenkinančios f funkcijos grafikas kuriame nors taške(c, f(c)), c ∈ (a, b), privalo turėti liestinę lygiagrečią x-ų ašiai.

Kita Rolleso teoremos iliustracija gaunama kai funkcijos f reikšmės f(t) yrajudančios mašinos vieta momentu t, o išvestinė funkcija f ′ yra mašinos judėjimomomentinis greitis. Tarkime, kad mašina momentu t = a išvyksta iš punkto Atiesiu keliu ir grįžta atgal į punktą A momentu t = b > a. Taip pat tarkime, kadfunkcijos f : [a, b] → R reikšmės nurodo mašinos atstumą iki punkto A. Jei yra

1Michel Rolle (1652-1719) prancūzų matematikas.


išpildytos Rolleso teoremos prielaidos, tai turi egzistuoti momentas c tarp a ir b,kurio metu mašinos momentinis greitis yra lygus nuliui.

Apibendrinsime pastarąją iliustraciją tardami, kad mašina pajuda iš punktoA = f(a) momentu a ir atvyksta momentu b į punktą B = f(b). Tarp abiejųpunktų yra 60 km atstumas, kurį mašina įveikia lygiai per vieną valandą. Dėlšių prielaidų mašinos vidutinis greitis yra 60 km per valandą. Remiantis toliauįrodoma vidutinės reikšmės teorema (5.26 teorema), egzistuoja toks momentasc ∈ (a, b), kada mašinos momentinis greitis yra lygus jos vidutiniam greičiui, t.y. galioja lygybė

f(b)− f(a)b− a

= f ′(c). (5.18)

Toliau įrodoma vidutinės reikšmės teorema (angl. the mean value theorem).

5.26 teorema. Tarkime, kad funkcija f : [a, b] → R yra tolydi intervale [a, b] irdiferencijuojama intervale (a, b). Egzistuoja toks c ∈ (a, b), kad galioja (5.18).

Įrodymas. Tegul m yra realusis skaičius, kurį netrukus pasirinksime. Su kiek-vienu x ∈ [a, b] tegul ψ(x) := f(x) − mx. Šios reikšmės apibrėžia tolydžiąintervale [a, b] ir diferencijuojamą intervale (a, b) funkciją ψ : [a, b] → R (ko-dėl?). Parinksime m taip, kad ψ(a) = ψ(b). Išsprendę lygtį m atžvilgiu gauna-me, kad norima lygybė galioja kai m = (f(b)−f(a))/(b−a). Su šia m reikšmefunkcijai ψ galioja Rolleso teoremos prielaidos. Todėl egzistuoja toks c ∈ (a, b),kad ψ′(c) = 0. Kadangi išvestinė ψ′(x) = f ′(x) − m visiems x ∈ (a, b), taif ′(c) = m, t. y. galioja (5.18), ką ir reikėjo įrodyti.

Naudojantis šia vidutinės reikšmės teorema galima įrodyti nemažai bendrųdiferencijuojamos funkcijos savybių. Skaitytojui siūloma įrodyti kaip pagal iš-vestinės funkcijos ženklą galima nustatyti tos funkcijos monotoniškumo tipą.

5.27 teorema. Tarkime, kad a < b, o funkcija f : [a, b]→ R yra tolydi intervale[a, b] ir diferencijuojama intervale (a, b). Teisingos implikacijos:

(a) išvestinė funkcija f ′ yra neneigiama intervale (a, b) tada ir tik tada, kaifunkcija f yra nemažėjanti intervale [a, b];

(b) jei išvestinė funkcija f ′ yra teigiama intervale (a, b), tai funkcija f yradidėjanti intervale [a, b];

(c) jei išvestinė funkcija f ′ yra lygi nuliui intervale (a, b), tai funkcija f yrapastovioji intervale [a, b];


(d) išvestinė funkcija f ′ yra neteigiama intervale (a, b) tada ir tik tada, kaifunkcija f yra nedidėjanti intervale [a, b].

(e) jei išvestinė funkcija f ′ yra neigiama intervale (a, b), tai funkcija f yramažėjanti intervale [a, b].

Įrodymas. Įrodysime tik teiginį (a), likusius teiginius palikdami įrodyti skaity-tojui. Tarkime, kad f ′(x) ≥ 0 kiekvienam x ∈ (a, b). Tegul u, v ∈ [a, b] iru < v. Remiantis vidutinės reikšmės teorema funkcijai f : [u, v]→ R egzistuojatoks c ∈ (u, v), kad f(v)− f(u) = f ′(c)(v− u) ≥ 0, t.y. f(u) ≤ f(v). Kadangiu ir v laisvai pasirinkti, tai funkcija f yra nemažėjanti intervale [a, b].

Atvirkščiai, tarkime, kad funkcija f yra nemažėjanti intervale [a, b]. Tegulc ∈ (a, b). Egzistuoja toks δ > 0, kad (c − δ, c + δ) ⊂ [a, b]. Jei x ∈ (c, c + δ),tai f(x) ≥ f(c), nes f yra nemažėjanti. Todėl skirtuminis santykis f(x)−f(c)

x−c ≥0. Kadangi skirtuminis santykis konverguoja į f ′(c), remiantis 4.29 teorema ir4.2.10 pratimu, teisingi sąryšiai

f ′(c) = limx→c

f(x)− f(c)x− c

= limx→c+

f(x)− f(c)x− c

≥ 0,


Diferencijuojamai funkcijai 5.22 teorema nustato lokalaus ekstremumo eg-zistavimo būtiną sąlygą, t. y. išvestinė lokalaus ekstremumo taške turi būti lyginuliui. Ši sąlyga nėra pakankama. 5.27 teorema įgalina įrodyti lokalaus ekstre-mumo egzistavimo pakankamas sąlygas, kai funkcija yra diferencijuojama kriti-nio taško pradurtoje aplinkoje2. Sakysime, kad funkcija g taške c keičia ženkląiš teigiamo į neigiamą, jei egzistuoja toks ε > 0, kad g yra apibrėžta pradur-toje ε-aplinkoje O•ε (c), g(x) > 0 visiems x ∈ (c − ε, c) ir g(x) < 0 visiemsx ∈ (c, c + ε). Analogiškai apibrėžiama frazė, kad funkcija g taške c keičiaženklą iš neigiamo į teigiamą.

5.28 teorema. Tarkime, kad a < c < b, funkcija f yra apibrėžta, tolydi intervale[a, b] ir diferencijuojama kurioje nors taško c pradurtoje aplinkoje. Taip pattarkime, kad c yra funkcijos f kritinis taškas. Tada funkcijai f galioja savybės:

(a) jei taške c išvestinė funkcija f ′ keičia ženklą iš neigiamo į teigiamą, tai cyra funkcijos f lokalus minimumas;

(b) jei taške c išvestinė funkcija f ′ keičia ženklą iš teigiamo į neigiamą, tai cyra funkcijos f lokalus maksimumas;

2Dar vieną lokalaus ekstremumo kriterijų įrodysime, kai funkcija du kartus diferencijuojama.


(c) jei taške c išvestinė funkcija f ′ nekeičia ženklą (yra arba teigiama iš abiejųpusių arba yra neigiama iš abiejų pusių), tai c nėra funkcijos f lokalusekstremumas.

Įrodymas. Įrodysime tik (a) teiginį, nes kitų dviejų teiginių įrodymas panašus.Turime, kad taške c išvestinė funkcija f ′ keičia ženklą iš neigiamo į teigiamą.Todėl galima rasti tokius skaičius u ir v, kad a ≤ u < c < v ≤ b, išvestinėfunkcija f ′ apibrėžta intervaluose (u, c) ir (c, v), f ′(x) < 0 visiems x ∈ (u, c) irf ′(x) > 0 visiems x ∈ (c, v). Remiantis 5.27 teorema, f yra mažėjanti intervale[u, c] ir f yra didėjanti intervale [c, v]. Gavome, kad f(x) ≥ f(c) visiems x ∈(u, v), t. y. taškas c yra funkcijos f lokalus minimumas.

5.29 pavyzdys. Modulio funkcija f su reikšmėmis f(x) = |x|, x ∈ R, yradiferencijuojama bet kurioje taško nulis pradurtoje aplinkoje (ir nėra diferenci-juojama taške nulis). Šios funkcijos išvestinė funkcija f ′ = −1 intervale (−1, 0)ir f ′ = 1 intervale (0, 1). Taigi, taške 0 išvestinė funkcija f ′ keičia ženklą išneigiamo į teigiamą ir todėl nulis yra funkcijos f lokalaus minimumo taškas.

Toliau įrodomas vidutinės reikšmės teoremos apibendrinimas, vadinamas Cau-chy vidutinės reikšmės teorema. Tarkime, kad funkcijoms f : [a, b] → R irg : [a, b] → R galioja vidutinės reikšmės teoremos prielaidos. Tada egzistuo-ja tokie elementai cf ∈ (a, b) ir cg ∈ (a, b), kad

f ′(cf )g′(cg)

= f(b)− f(a)g(b)− g(a) ,

jei tik vardikliai nėra lygūs nuliui. Remiantis šiuo argumentu, cf ir cg neprivalobūti lygūs. Cauchy vidutinės reikšmės teorema teigia, jog galima rasti lygius cfir cg, kuriems galioja pastaroji lygybė.

5.30 teorema. Tarkime, kad funkcijos f : [a, b] → R ir g : [a, b] → R yra toly-džios intervale [a, b], diferencijuojamos intervale (a, b) ir g′(x) 6= 0 kiekvienamx ∈ (a, b). Egzistuoja toks c ∈ (a, b), kad

f(b)− f(a)g(b)− g(a) = f ′(c)

g′(c) .

Įrodymas. Kadangi g′(x) 6= 0 kiekvienam x ∈ (a, b), tai g(a) 6= g(b) remiantis5.25 teorema ir teiginių kontrapozicija (?? teorema). Funkcija φ : [a, b] → Rsu reikšmėmis φ(x) := f(x) − Ag(x) ir bet kuriuo skaičiumi A yra tolydi irdiferencijuojama intervale (a, b). Parinksime A taip, kad φ(a) = φ(b), t. y.

f(a)− Ag(a) = f(b)− Ag(b).


Išsprendę šią lygtį atžvilgiu A gauname

A = f(b)− f(a)g(b)− g(a) .

Remiantis 5.25 teorema funkcijai φ egzistuoja toks c ∈ (a, b), kad

0 = φ′(c) = f ′(c)− f(b)− f(a)g(b)− g(a) g

′(c),


Nesunku pastebėti, kad 5.26 teorema išplaukia iš pastarosios 5.30 teoremoskai g : [a, b]→ R yra funkcija su reikšmėmis g(x) := x visiems x ∈ [a, b].

L’Hopital’io taisyklė Tarkime, kad c ∈ R yra toks funkcijų f ir g apibrėžimosričių taškas, kuriame f(c) = g(c) = 0. Tokiu atveju bandant skaičiuoti šiųfunkcijų santykio ribą

limx→c

f(x)g(x) (5.19)

4.22 teoremos (c) teiginys nepritaikomas, nes skaitiklio ir vardiklio ribų santykis0/0 neapibrėžtas. Jei papildomai funkcijos f ir g yra diferencijuojamos taške cir g′(c) 6= 0, tai

limx→c

f(x)g(x) = f ′(c)

g′(c) (5.20)

(5.4.10 pratimas). Toliau formuluojamos (5.19) ribos egzistavimo sąlygos darbendresniu atveju; funkcijos f ir g neprivalo būti apibrėžtos taške c. Ši teoremavadinama funkcijų santykio ribos (5.19) skaičiavimo L’Hopitalio taisykle3 esantneapibrėžtumui 0/0.

5.31 teorema. Tegul realieji skaičiai a < c < b, funkcijos f ir g yra apibrėžtosir diferencijuojamos intervale (c, b), o išvestinė funkcija g′ 6= 0 intervale (c, b).Tarkime, kad

limx→c+

f(x) = limx→c+

g(x) = 0.

Jei

egzistuoja riba limx→c+

f ′(x)g′(x) =: A+, (5.21)

3Funkcijų santykio ribos, kai skaitiklis ir vardiklis kartu artėja į nulį arba į begalybę, skai-čiavimo taisyklę atrado šveicarų matematikas Johann Bernoulli (1667-1748). Šią taisyklę di-ferencialiniam skaičiavimui skirtame vadovėlyje paminėjo prancūzų matematikas Guillaume del’Hopitalis, apie ją sužinojęs iš Bernoulli.


tai

riba limx→c+

f(x)g(x) egzistuoja ir lygi A+. (5.22)

Implikacija (5.21)⇒ (5.22) taip pat teisinga kai funkcijų apibrėžimo sritis (c, b)ir konvergavimas x→ c+ yra pakeisti taip:

(a) apibrėžimo sritimi (a, c) ir konvergavimu x→ c−;

(b) apibrėžimo sritimi (a, c) ∪ (c, b) ir konvergavimu x→ c;

(c) apibrėžimo sritimi (a,∞) ir konvergavimu x→∞;

(d) apibrėžimo sritimi (−∞, b) ir konvergavimu x→ −∞.

Įrodymas. Tarkime, kad teisinga implikacijos prielaida (5.21). Funkcijos f ir gyra tolydžios intervale (c, b) (5.7 išvada). Papildome jų apibrėžimus taške c ri-bos iš dešinės taške c reikšme 0 ir gauname tolydžias funkcijas f, g : [c, b)→ R.Su bet kuriuo x ∈ (c, b) abiejų funkcijų siauriniai uždarame intervale [c, x]yra tolydžios funkcijos diferencijuojamos intervalo viduje. Todėl, remiantis vi-dutinės reikšmės teorema (5.26 teorema) ir prielaida g′ 6= 0 intervale (c, b),g(x) = g(x) − g(c) = g′(y)(x − c) su kuriuo nors y ∈ (c, x) ir g(x) 6= 0.Įrodėme, kad g 6= 0 intervale (c, b). Likusios (5.22) teiginio dalies įrodymuipasirinkime bet kurį ε > 0. Pagal vienpusės ribos apibrėžimą (4.25 apibrėžtis)egzistuoja toks δ > 0, kad (c, c+ δ) ⊂ (c, b) ir teisinga implikacija

jei x ∈ (c, c+ δ), tai∣∣∣∣f ′(x)g′(x) − A+

∣∣∣∣ < ε. (5.23)

Įrodysime, kad galioja implikacija

jei y ∈ (c, c+ δ), tai∣∣∣∣f(y)g(y) − A+

∣∣∣∣ < ε. (5.24)

Tegul y ∈ (c, c + δ). Remiantis Cauchy vidutinės reikšmės teorema 5.30, egzis-tuoja toks x ∈ (c, y), kad

f(y)g(y) = f(y)− f(c)

g(y)− g(c) = f ′(x)g′(x) .

Kadangi x ∈ (c, c + δ), tai (5.24) implikacijos konsekventas galioja dėl (5.23)implikacijos ir pastarosios išnašos lygybių. Todėl teisinga (5.22) teiginio antrojidalis.


Implikacijos (5.21)⇒ (5.22) įrodymas atveju (a) yra toks pat tik vietoje ap-linkos (c, c+δ) naudojama aplinka (c−δ, c). Atveju (b) samprotavimą apie ribosegzistavimą galima sutrumpinti. Pagal prielaidą egzistuoja riba

limx→c

f ′(x)g′(x) =: A.

Remiantis 4.29 teoremos teiginio būtinumo dalimi egzistuoja atitinkama riba išdešinės A+, atitinkama riba iš kairės A− ir A = A+ = A−. Pagal įrodytąjąteoremos dalį teisingi teiginiai

limx→c+

f(x)g(x) egzistuoja ir lygi A, bei lim

x→c−

f(x)g(x) egzistuoja ir lygi A.

Remiantis tos pačios 4.29 teoremos teiginio pakankamumo dalimi teisingas tei-ginys

limx→c

f(x)g(x) egzistuoja ir lygi A.

Konvergavimo į begalybę atveju taip pat galima sutrumpinti samprotavimą nau-dojant jau įrodytą dalį. Apibrėžkime funkcijas F (y) := f(1/y) ir G(y) :=g(1/y) kiekvienam y iš tokios pradurtos nulio aplinkos, kad 1/y ∈ (b,∞) (c)atveju arba 1/y ∈ (−∞, a) (d) atveju. Tada

limy→0±

F (y) = limx→±∞

f(x) = 0 = limx→±∞

g(x) = limy→0±

G(y).

Naudodami kompozicijos diferencijavimo taisyklę gauname, kad funkcijos F , Gyra diferencijuojamos su išvestinėmis

F ′(y) = −f ′(1y

) 1y2 ir G′(y) = −g′

(1y

) 1y2 6= 0.

Todėl F ′(y)/G′(y) = f ′(1/y)/g′(1/y). Naudodamį jau įrodytą teoremos dalįvienpusėms riboms gauname

limx→±∞

f(x)g(x) = lim

y→±0

F (y)G(y) = lim

y→±0

F ′(y)G′(y) = lim

x→±∞

f ′(x)g′(x) .

Teoremos įrodymas baigtas.

5.32 pavyzdys. Tegul f(x) = x − sin x ir g(x) = x3. Rasime šių funkcijųsantykio ribą taške 0. Matome, kad f(0) = g(0) = 0 ir f ′(0) = g′(0) = 0.


Kadangi yra išpildytos 5.31 teoremos prielaidos, bandysime įvertinti išvestiniųfunkcijų santykio ribą taške 0:

limx→0

x− sin xx3 = lim

x→0

1− cosx3x2

vis dar neapibrėžtumas 0/0 = limx→0

sin x6x

vis dar neapibrėžtumas 0/0 = limx→0

cosx6 = 1

6 .

L’Hopithalio taisyklė taikoma nuosekliai tol kol arba skaitiklis arba vardiklis turinelygią nuliui ribą.

Kita teorema yra funkcijų santykio ribos skaičiavimo L’Hopithalio taisyklėesant neapibrėžtumui∞/∞.

5.33 teorema. Tegul realieji skaičiai a < c < b, ,funkcijos f ir g yra apibrėžtosir diferencijuojamos intervale (c, b), o išvestinė funkcija g′ 6= 0 intervale (c, b).Tarkime, kad

limx→c+

|f(x)| = limx→c+

|g(x)| =∞.

Teisinga implikacija(5.21) ⇒ (5.22). Be to, ši implikacija teisinga visais kitais5.31 teoremoje nurodytais konvergavimo atvejais.

Įrodymas. Įrodysime nurodytą implikaciją tik suformuluotu atveju, nes įrody-mai kitais atvejais yra tokie pat, kaip 5.31 teoremoje. Tegul ε > 0. Kadangif ′(x)/g′(x)→ A ir |g(x)| → ∞ kai x→ c+. egzistuoja toks δ > 0, kad∣∣∣∣f ′(x)

g′(x) − A∣∣∣∣ < ε

2 ir g(x) 6= 0 ∀x ∈ (c, c+ δ).

Tegul x ∈ (c, c+ δ). Remiantis Cauchy vidutinės reikšmės teorema 5.30, egzis-tuoja toks y ∈ (c, x), kad funkcijų f ir g skirtuminis santykis

ψ(x) := f(x)− f(c)g(x)− g(c) = f ′(y)

g′(y) .

Kadangi y ∈ (c, c+ δ), tai

|ψ(x)− A| < ε

2 ∀x ∈ (c, c+ δ). (5.25)

Skirtuminio santykio ψ(x) skaitiklį ir vardiklį dalindami iš g(x) gauname lygybę

ψ(x) =f(x)g(x) −

f(c)g(x)

1− g(c)g(x)

.


Išsprendę šią lygybę atžvilgiu trupmenos f(x)/g(x) ir pertvarkę narius, gauname

f(x)g(x) − ψ(x) = f(c)

g(x) − ψ(x) · g(c)g(x) . (5.26)

Kadangi |g(x)| → ∞ kai x → c+, trupmenos f(c)/g(x) ir g(c)/g(x) artėja įnulį kai x→ c+. Skirtuminiam santykiui ψ(x) esant aprėžtam dėl (5.25) sąryšio,dešinioji (5.26) lygybės pusė artėja į nulį kai x→ c+. Todėl visiems x esantiemspakankamai arti c iš dešinės turime įvertį

∣∣∣∣f(x)g(x) − ψ(x)

∣∣∣∣ < ε

2 .

Apjungus pastarąjį ir (5.25) įverčius, nelygybės

∣∣∣∣f(x)g(x) − A

∣∣∣∣ ≤ ∣∣∣∣f(x)g(x) − ψ(x)

∣∣∣∣+ |ψ(x)− A| < ε

2 + ε

2 = ε

teisingos visiems x esantiems pakankamai arti c iš dešinės. Implikacija (5.21)⇒(5.22) įrodyta.

5.34 pavyzdys. Pastarąją L’Hopithalio taisyklę iliustruosime trimis pavyzdžiais:su bet kuriais r > 0, p > 0 ir a > 1

limx→∞

xr

apx= lim

x→∞

loga xxr

= limx→0+

loga xx−r

= 0.

Šie pavyzdžiai rodo, kad begalybėje eksponentinė funkcija apx auga greičiau užbet kurią laipsninę funkciją xr, kuri savo ruožtu, auga greičiau už logaritminęfunkciją, o nulyje logaritminė funkcija yra lėtesnė už bet kurio neigiamo laips-nio funkciją x−r. Tegul n yra mažiausias natūralusis skaičius nemažesnis už r.Taikydami 5.33 teoremą n kartų gauname

limx→∞

xr

apx= lim

x→∞

r(r − 1) · · · (r − n+ 1)xr−n(p ln a)napx = 0,

nes r−n ≤ 0. Kitas dvi ribas apskaičiuojame vieną kartą taikydami 5.33 teoremą

limx→∞

loga xxr

= limx→∞

loga erxr

= 0 ir limx→0+

loga xx−r

= limx→0+

xr loga e−r

= 0.


Pratimai

1. Įrodyti, kad lygtisx3 + x = 1, x ∈ [0, 1],

turi lygiai vieną sprendinį intervale [0, 1]. Nuoroda: naudoti viduriniųjųreikšmių ir Rolleso teoremas.

2. Tarkime kad funkcija f : [a, b] → R yra tolydi intervale [a, b], diferen-cijuojama intervale (a, b) ir jos išvestinė funkcija f ′ yra pastovioji, t. y.f ′(x) = m visiems x ∈ (a, b). Įrodyti, kad f yra afininė funkcija.

3. Tarkime, kad funkcija f : [a, b] → R yra tolydi intervale [a, b], diferenci-juojama intervale (a, b), f(a) = 1 ir |f ′(x)| < 0.5 visiems x ∈ (a, b). Kągalima pasakyti apie f(b)?

4. Tarkime, kad f : R → R ir g : R → R yra diferencijuojamos funkcijos,f(0) ≤ g(0) ir f ′(x) ≤ g′(x) kiekvienam x ≥ 0. Įrodyti, kad f(x) ≤ g(x)kiekvienam x ≥ 0.

5. Tarkime, kad f : R→ R yra funkcija su reikšmėmis

f(t) :=t3/2 sin(1/t), jei t 6= 0,0, jei t = 0.

Įrodyti, kad ši funkcija yra diferencijuojama ir jos išvestinė funkcija f ′ nėraaprėžta bet kuriame intervale [−a, a], a > 0.

6. Tarkime, kad funkcija f : [a, b] → R yra tolydi intervale [a, b], diferen-cijuojama intervale (a, b), o jos išvestinė funkcija aprėžta. Įrodyti, kadegzistuoja toks skaičius K ∈ R, kad nelygybė

|f(x)− f(y)| ≤ K|x− y|

galioja visiems x ∈ [a, b] ir y ∈ [a, b].

7. Baigti įrodyti 5.27 teoremą.

8. Tegul 0 < p < 1 ir a1, . . . , an teigiami realūs skaičiai. Įrodyti, kad

(a1 + · · ·+ an)p ≤ ap1 + · · ·+ apn.

Nuoroda: naudotis 5.27 teorema funkcijai f(x) = (1 + x)p − 1 − xp irindukcija.

5.5 Aukštesniųjų eilių išvestinės ir Taylor’o formulė 177

5.5 Aukštesniųjų eilių išvestinės ir Taylor’o formu-lė

Šiame skyrelyje apibendrinsime diferencijuojamos funkcijos išraiškas (5.1) ir(5.3) naudodami aukštesniųjų eilių išvestines.

5.35 apibrėžtis. Tegul A yra realiųjų skaičių aibė, elementas c ∈ A yra aibės Avidinis taškas ir f : A → R yra funkcija. Sakoma, kad funkcija f yra du kartusdiferencijuojama taške c, jei jos išvestinė funkcija f ′ egzistuoja taško c aplinkojeir yra diferencijuojama taške c, t. y. jei egzistuoja riba

limx→c

f ′(x)− f ′(c)x− c

=: r.

Skaičius r vadinamas funkcijos f antrąja išvestine taške c ir žymimas f ′′(c) :=(f ′)′(c) arba f (2)(c). Sakoma, kad funkcija f : A → R yra du kartus diferenci-juojama, jei ji yra du kartus diferencijuojama kiekviename apibrėžimo srities Avidiniame taške, o funkcija c 7→ f ′′(c), c ∈ A, apibrėžta A aibės viduje A, žy-mima f ′′ arba f (2) ir vadinama antrosios eilės išvestine funkcija, o f ′ vadinamapirmosios eilės išvestine funkcija.

Pirmoji išvestinė yra funkcijos kokybinio elgesio tyrimo priemonė. Parodysi-me, kad antroji išvestine įgalina tokį tyrimą atlikti tiksliau. Funkcijos f išvestinėstaške c egzistavimas suteikia galimybę jos reikšmes taško c aplinkoje apytiksliaiišreikšti afininės funkcijos reikšmėmis:

f(x) = f(c) + f ′(c)(x− c) + h(x)(x− c),

čia h(x) reikšmės artėja į nulį kai x artėja į c (5.4 teorema). Parodysime, kad ant-rosios eilės išvestinės funkcijos egzistavimas įgalina patikslinti pastarąją išraiškąparodant tokio taško x∗ egzistavimą, kad

h(x) = 12f′′(x∗)(x− c).

Būtent teisingas kitas teiginys.

5.36 teorema. Tarkime, kad funkcija f : (a, b) → R yra du kartus diferencijuo-jama. Su kiekvienu x ∈ (a, b) ir c ∈ (a, b) egzistuoja toks x∗ ∈ (a, b), esantistarp x ir c kai x 6= c, kad

f(x) = f(c) + f ′(c)(x− c) + 12f′′(x∗)(x− c)2. (5.27)


Įrodymas. Tegul x ∈ (a, b) ir c ∈ (a, b). Jei x = c, tai (5.27) galioja su betkuriuo x∗ ∈ (a, b). Todėl galima tarti, kad x 6= c. Taško x∗ ∈ (a, b) radimui nau-dosime Cauchy vidutinės reikšmės teoremą du kartus funkcijoms F : (a, b)→ Rir G : (a, b)→ R, kurių reikšmės yra

F (x) := f(x)− f(c)− f ′(c)(x− c) ir G(x) := (x− c)2

visiems x ∈ (a, b). Kadangi x 6= c, galimi du atvejai: a < x < c arba c < x < b.Nagrinėsime tik pirmąjį atvejį, kadangi antruoju atveju įrodymas yra panašus.

Tegul a < x < c. Pastebėkime, kad funkcijos F ir G yra du kartus diferenci-juojamos (kodėl?), F (c) = F ′(c) = 0,G(c) = G′(c) = 0,G(y) 6= 0 irG′(y) 6= 0visiems y ∈ (x, c). Remiantis 5.30 teorema funkcijų F irG siauriniams intervale[x, c], egzistuoja toks y ∈ (x, c), kad

F (x)G(x) = F (c)− F (x)

G(c)−G(x) = F ′(y)G′(y) . (5.28)

Dar kartą remiantis 5.30 teorema funkcijų F ′ ir G′ siauriniams intervale [y, c],egzistuoja toks x∗ ∈ (y, c), kad

F ′(y)G′(y) = F ′(c)− F ′(y)

G′(c)−G′(y) = F ′′(x∗)G′′(x∗) = 1

2f′′(x∗). (5.29)

Kairioji (5.28) lygybės pusė yra lygi dešiniajai (5.29) lygybės pusei ir tai įrodo(5.27). Teoremos įrodymas baigtas.

Norėdmi paaiškinti Tayloro formulės prasmę priminsime (5.1) išraišką dife-rencijuojamai taške x ∈ (a, b) funkcijai f : (a, b) → R. Remiantis šia išraiška,skirtumas tarp funkcijos t 7→ f(x+ t) ir afininės funkcijos t 7→ f(x) + f ′(x)t =`(x+ t) (žr. (5.1)) nulio aplinkoje yra funkcija g(t) = o(t) kai t→ 0, t. y.

limt→0

f(x+ t)− `(x+ t)t

= 0 ir f(x) = `(x).

Gavome, kad nykstamai mažų dydžių lyginimo prasme (5.5 apibrėžtis), taško xaplinkoje, funkcijos f skirtumas nuo afininės funkcijos ` artėja į nulį greičiau užfunkciją t.

Dabar tarkime, kad funkcija f : (a, b)→ R yra du kartus diferencijuojama irjos antroji išvestinė f (2) yra tolydi. Remiantis Tayloro formule (5.27) kiekvienamx ∈ (a, b) ir t 6= 0 egzistuoja x∗(t) ∈ (a, b), esantis tarp x ir x+ t, bei riba

limt→0

f(x+ t)− [f(x) + f ′(x)t+ 2−1f (2)(x)t2]t2


= 12 limt→0

[f (2)(x∗(t))− f (2)(x)] = 0,

nes f (2) yra tolydi taške x ir x∗(t) yra tarp x ir x+ t kiekvienam t 6= 0. Kiekvie-nam t ∈ R, tegul

P2,xf(t) := f(x) + f ′(x)t+ 2−1f (2)(x)t2.

Šiomis reikšmėmis apibrėžta funkcija P2,xf yra kintamojo t antrosios eilės poli-nomas, kuriam galioja sąryšiai f(x) = P2,xf(0) ir

f(x+ t) = P2,xf(t) + o(t2) kai t→ 0.

Tai reiškia, kad taško x aplinkoje funkcija f skiriasi nuo antrosios eilės polino-mo dydžiu, kuris artėja į nulį greičiau už t2. Nykstamai mažų dydžių lyginimoprasme, funkcijos f skirtumas nuo kvadratinio polinomo yra mažesnis už šiosfunkcijos skirtumą nuo pirmos eilės polinomo (afininės funkcijos). Galima tikė-tis, kad funkcijos elgesys taško aplinkoje dar tiksliau apibūdinamas aukštesnėseilės polinomu. Parodysime, kad taip iš tikro yra kai egzistuoja funkcijos aukš-tesnės eilės išvestinės, kurias toliau apibrėžiame.

5.37 apibrėžtis. Tegul A yra realiųjų skaičių aibė su netuščiu vidumi A irf : A → R yra funkcija. Tarkime, kad n ∈ N∗ ir egzistuoja n-tosios eilės iš-vestinė funkcija f (n) : A → R. Jei f (n) yra diferencijuojama taške c ∈ A,tai išvestinė f (n+1)(c) := (f (n))′(c) vadinama (n + 1)-os eilės išvestine taškec. Sakoma, kad funkcija f : A → R yra n + 1 kartą diferencijuojama, jei jituri n + 1 eilės išvestinę kiekviename apibrėžimo srities A vidiniame taške, ofunkcija c 7→ f (n+1)(c), c ∈ A, apibrėžta A aibės viduje A, žymima f (n+1) irvadinama f funkcijos n+ 1 eilės išvestine funkcija.

Kai n = 1, šis apibrėžtis sutampa su 5.35 apibrėžtimi.Tarkime, kad funkcija f : (a, b)→ R yra n kartų diferencijuojama su kuriuo

nors n ∈ N∗. Funkcijos f n-tojo laipsnio Tayloro polinomu taške x ∈ (a, b)vadinama funkcija Pn,xf(t) : R→ R su reikšmėmis

Pn,xf(t) = f(x) + f (1)(x)t+ f (2)(x)2 t2 + · · ·+ f (n)(x)

n! tn =n∑i=0

f (i)(x)i! ti

visiems t ∈ R; čia f (0) := f ir 0! := 1. Taigi, pirmojo laipsnio polinomas Pn,1fyra afininė funkcija. Šiame skyrelyje parodysime, kad

f(x+ t) = Pn,xf(t) + o(tn) kai t→ 0, (5.30)

jei funkcijos f n-toji išvestinė funkcija yra tolydi. Pastaroji sąlyga paprastai for-muluojama tokiu būdu.


5.38 apibrėžtis. Tegul A yra realiųjų skaičių aibė su netuščiu vidumi A ir n ∈N. Atveju n = 0, funkcija f : A → R vadinama C0 klasės funkcija, jei ji yratolydi aibėje A. Atveju n ≥ 1, funkcija f : A→ R vadinama Cn klasės funkcija,jei ji yra tolydi aibėje A ir kiekvienam k ∈ 1, . . . , n, k-tosios eilės išvestinėfunkcija f (k) : A → R egzistuoja ir yra tolydi.

Toliau yra diferencijuojamos funkcijos pavyzdys, kuri nėra C1 klasės funkci-ja.


f(t) :=t2 sin(1/t), jei t 6= 0,0, jei t = 0. (5.31)

Šios funkcijos išvestinė funkcija f ′ turi reikšmes

f ′(t) :=

2t sin(1/t)− cos(1/t), jei t 6= 0,0, jei t = 0,

gaunamas paeiliui taikant sandaugos diferencijavimo taisyklę (5.11 teoremos (b)teiginys) ir kompozicijos diferencijavimo taisyklę (5.12 teorema). Kadangi 0 yrafunkcijos t 7→ cos(1/t) antros rūšies trūkio taškas, o funkcijos t 7→ t sin(1/t)tolydumo taškas (4.3.4 pratimas), tai išvestinė funkcija f ′ nėra tolydi taške 0 irtuo pačiu nėra tolydi funkcija iš R į R.

5.40 pavyzdys. Tegul k yra lyginis natūralusis skaičius ir f : R→ R yra funkcijasu reikšmėmis f(x) := |x|k+1, x ∈ R. Funkcija f yra Ck klasės funkcija, betnėra Cn klasės funkcija kiekvienam n > k.

Kitos teoremos teiginys taip pat vadinamas Tayloro formule.

5.41 teorema. Tarkime, kad f : (a, b) → R yra Cn klasės funkcija su kuriuonors n ∈ N ir x ∈ (a, b). Tada galioja (5.30).

Įrodymas. Jei n = 0, tai f(x+ t) = f(x) + o(1) kai t→ 0 galioja dėl funkcijosf tolydumo. Tarkime, kad n ≥ 1. Kiekvienam t ∈ (a− x, b− x) tegul

Rn(t) := f(x+ t)− Pn,xf(t).

Tada Rn(0) = f(x) − Pn,xf(0) = f(x) − f(x) = 0. Tegul φ(t) := x + tkai t ∈ (a − x, b − x). Naudojant kompozicijos diferencijavimo taisyklę (5.11)funkcijai t 7→ (fφ)(t) = f(x+ t), jos išvestinė taške t yra

(fφ)(1)(t) = f (1)(φ(t)) · φ(1)(t) = f (1)(x+ t).


Be to, naudodami laipsninės funkcijos t 7→ tk diferencijuojamumą, gauname

R(1)n (t) = f (1)(x+ t)− f (1)(x)

1! 1− f (2)(x)2! 2t− · · · − f (n)(x)

n! ntn−1

= f (1)(x+ t)−n∑i=1

f (i)(x)(i− 1)!t

i−1.

Kadangi išvestinė funkcija f (1) ir laipsninė funkcijos yra tolydžios, tai

limt→0

R(1)n (t) = lim

t→0f (1)(x+ t)− f (1)(x)− lim

t→0

n∑i=2

f (i)(x)(i− 1)!t

i−1

= f (1)(x)− f (1)(x) = 0.

Naudodami indukciją (kaip?), su kiekvienu k ∈ 1, . . . , n gauname

R(k)n (t) = f (k)(x+ t)−

n∑i=k

f (i)(x)(i− k)!t

i−k

ir limt→0 R(k)n (t) = f (k)(x) − f (k)(x) = 0 kadangi f (k) yra tolydi funkcija pa-

gal prielaidą. Skaičiuojant ribą Rn(t)/tn kai t → 0 turime neapibrėžtumą 0/0,naudojame L’Hopitalio taisyklę (5.31 teorema) n kartų ir gauname

limt→0

Rn(t)tn

= limt→0

R(1)n (t)ntn−1 = · · · = lim

t→0

R(n)n (t)n! = 0,


5.42 teorema. Tarkime, kad n ∈ N, funkcija f : [a, b]→ R yra tolydi ir intervale(a, b) yra (n + 1) kartą diferencijuojama. Atveju n ≥ 1 tarkime, kad kiekvie-nam k = 1, . . . , n taške a egzistuoja riba iš dešinės f (k)(a) := f (k)(a+). Tadaegzistuoja toks taškas c ∈ (a, b), kad

f(b) =n∑k=0

f (k)(a)k! (b− a)k + f (n+1)(c)

(n+ 1)! (b− a)n+1,

čia f (0) := f ir 0! := 1.

Teoremos įrodymui naudosime pagalbinį teiginį:


5.43 lema. Tarkime, kad n ∈ N∗, funkcijos F : [a, b] → R ir G : [a, b] → Ryra tolydžios, intervale (a, b) yra (n + 1) kartą diferencijuojamos, G(k)(x) 6= 0kiekvienam x ∈ (a, b) ir k = 1, . . . , n+ 1, o kiekvienai iš funkcijų F (k) ir G(k) suk = 0, 1, . . . , n taške a riba iš dešinės egzistuoja ir lygi nuliui. Tada egzistuojatoks taškas c ∈ (a, b), kad

F (b)G(b) = F (n+1)(c)

G(n+1)(c) .

Įrodymas. Kadangi funkcijos F irG tolydžios, tai F (a) = F (a+) = 0 irG(a) =G(a+) = 0. Remiantis 5.30 teorema funkcijoms f := F ir g := G egzistuojatoks c1 ∈ (a, b), kad

F (b)G(b) = F (b)− F (a)

G(b)−G(a) = F ′(c1)G′(c1) .

TegulF ′(a) := F ′(a+) = 0 irG′(a) := G′(a+) = 0. Tada funkcijosF ′ : [a, c1]→R ir G′ : [a, c1]→ R yra tolydžios, o intervale (a, c1) yra diferencijuojamos. Re-miantis 5.30 teorema funkcijoms f := F ′ ir g := G′ egzistuoja toks c2 ∈ (a, c1),kad

F (b)G(b) = F ′(c1)

G′(c1) = F ′(c1)− F ′(a)G′(c1)−G′(a) = F ′′(c2)

G′′(c2) .

Jei n = 1, tai lema įrodyta. Tarkime, kad n > 1, c0 := b ir su kuriuo nors1 ≤ k ≤ n egzistuoja toks ck ∈ (a, ck−1), kad

F (b)G(b) = F (k)(ck)

G(k)(ck). (5.32)

Tegul F (k)(a) := F (k)(a+) = 0 ir G(k)(a) := G(k)(a+) = 0. Tada funkcijosF (k) : [a, ck] → R ir G(k) : [a, ck] → R yra tolydžios, o intervale (a, ck) yradiferencijuojamos. Remiantis 5.30 teorema funkcijoms f := F (k) ir g := G(k)

egzistuoja toks ck+1 ∈ (a, ck), kad

F (b)G(b) = F (k)(ck)

G(k)(ck)= F (k)(ck)− F (k)(a)G(k)(ck)−G(k)(a) = F (k+1)(ck+1)

G(k+1)(ck+1) .

Remiantis indukcijos principu egzistuoja tokie a < ck < ck−1, k = 1, . . . , n+ 1,kuriems galioja (5.32) ir lemos tvirtinimas teisingas su c := cn+1 ∈ (a, b).

5.42 teoremos įrodymas. Atveju n = 0 teorema išplaukia iš vidutinės reikšmėsteoremos (5.26 teorema). Todėl tarsime, kad n ∈ N∗. Su kiekvienu x ∈ [a, b]


tegul

F (x) := f(x)−n∑k=0

f (k)(a)k! (x− a)k ir G(x) := (x− a)n+1.

Funkcija F : [a, b] → R yra tolydi ir (n + 1) kartą diferencijuojama intervale(a, b) kartu su funkcija f . Be to, F (n+1) = f (n+1), F (a) = f(a)− f(a) = 0 ir

limx→a+

F (k)(x) = f (k)(a+)− f (k)(a) = 0

kiekvienam k = 1, . . . , n. Funkcija G : [a, b] → R taip pat yra tolydi ir (n + 1)kartą diferencijuojama intervale (a, b). Be to, G(n+1)(x) = (n + 1)! visiemsx ∈ (a, b), G(k)(a+) = G(k)(a) = 0 kai k = 0, . . . , n, bei G(k)(x) > 0 kai x > air k = 1, . . . , n+ 1. Remiantis 5.43 lema egzistuoja toks c ∈ (a, b), kad

(f(b)−

n∑k=0

f (k)(a)k! (b− a)k

)/(b− a)n+1 = F (b)

G(b) = F (n+1)(c)G(n+1)(c) = f (n+1)(c)

(n+ 1)! ,


5.44 teorema. Tarkime, kad realieji skaičiai a < c < b, n ∈ N∗, funkci-ja f : (a, b) → R diferencijuojama n + 1 kartą intervale (a, b). Kiekvienamx ∈ (a, b) egzistuoja toks taškas u tarp x ir c, kad

f(x) =n∑k=0

f (k)(c)k! (x− c)k + f (n+1)(u)

(n+ 1)! (x− c)n+1. (5.33)

Įrodymas. Kai x = c, (5.33) lygybė galioja su u = x = c. Toliau tarsime, kadx 6= c. Tegul A yra toks skaičius, kuriam galioja lygybė

f(x) =n∑k=0

f (k)(c)k! (x− c)k + A(x− c)n+1.

Rasime tokį tašką u tarp x ir c, kadA = f (n+1)(u)/(n+1)!. Tegul g : (a, b)→ Ryra funkcija su reikšmėmis

g(y) =n∑k=0

f (k)(y)k! (x− y)k + A(x− y)n+1, y ∈ (a, b).

Remiantis 5.7 išvada, funkcijos f , f (1),..., f (n) yra tolydžios intervale (a, b). Tai-pogi tolydžiųjų funkcijų kompozicija yra tolydžioji funkcija (4.46 teorema), o


aritmetinės operacijos tarp tolydžiųjų funkcijų išsaugo tolydumą. Todėl funkcijag yra tolydžioji intervale (a, b). Pastebėsime, kad g(c) = g(x) = f(x). Be to,funkcija g yra diferencijuojama ir

g′(y) = f (n+1)(y)n! (x− y)n − A(n+ 1)(x− y)n, y ∈ (a, b). (5.34)

Gavome, kad funkcijos g siauriniui į uždarą intervalą su galiniais taškais x ir cgalioja Rolleso teoremos (5.25 teorema) prielaidos. Todėl egzistuoja toks taškasu tarp x ir c, kad g′(u) = 0. Įstačius šią argumento y = u reikšmę į (5.34) irišsprendus gautą lygtį atžvilgiu A gauname A = f (n+1)(u)/(n+1)!, ką ir reikėjoįrodyti.

Pratimai

1. Tarkime, kad f yra C2 klasės funkcija intervale (a, b) ir šiame intervaleyra trys skirtingi taškai x1, x2, x3, kuriuose f(x1) = f(x2) = f(x3) = 0.Įrodyti, kad egzistuoja toks taškas c ∈ (a, b), kad f (2)(c) = 0.

2. Tarkime, kad f ir g yra C2 klasės funkcija intervale (a, b), c ∈ (a, b),f(c) = f ′(c) = 0 = g′(c) = g(c) ir g(2)(c) 6= 0. Įrodyti, kad

limx→c

f(x)g(x) = f (2)(c)

g(2)(c) .

3. Įrodyti 5.40 pavyzdžio teiginį.

4. Rasti sinuso funkcijos Tayloro formulę taške 0.

5.6 Funkcijos tyrimas diferencijuojant

Pratęsime 5.4 skyrelyje pradėtą funkcijos ekstremumų tyrimą.

Iškilosios ir įgaubtosios funkcijos Tokių funkcijų apibrėžimo sritimi yra rea-liųjų skaičių intervalas; nesvarbu baigtinis ar begalinis, atviras ar uždaras kuria-me nors gale (2.10 apibrėžtis). Intervalas J turi svarbią savybę (žr. 4.66 lemą):jei x1 ∈ J ir x2 ∈ J , tai λx1 +(1−λ)x2 ∈ (x1, x2) ⊂ J su bet kuriuo λ ∈ (0, 1).

5.6 Funkcijos tyrimas diferencijuojant 185

5.45 apibrėžtis. Tarkime, kad J yra realiųjų skaičių intervalas ir f : J → Ryra funkcija. Funkcija f vadinama iškiląja intervale J (angl. convex), jei su betkuriais x1 ∈ J ir x2 ∈ J nelygybė

f(λx1 + (1− λ)x2) ≤ λf(x1) + (1− λ)f(x2) (5.35)

galioja visiems λ ∈ (0, 1). Funkcija f vadinama griežtai iškiląja intervale J(angl. strictly convex), jei su bet kuriais x1 ∈ J ir x2 ∈ J , (5.35) nelygybė yragriežta ir galioja visiems λ ∈ (0, 1). Funkcija f vadinama (griežtai) įgaubtąjaintervale J (angl. (strictly) concave), jei −f yra (giežtai) iškiloji intervale J .Intervalą J vadinsime funkcijos f (griežto) iškilumo arba (griežto) įgaubtumointervalu, jei tame intervale galioja atitinkama f funkcijos savybė.

Iškiląją ir įgaubtąją funkcijas galima atpažinti iš jų grafiko geometrinėje plokš-tumoje su Descarteso koordinačių sistema. Būtent, jei kiekvienam x ∈ (a, b),funkcijos f grafiko taškas (x, f(x)) yra žemiau (aukščiau) atkarpos jungian-čios taškus (a, f(a)) ir (b, f(b)), tai funkcija f : (a, b) → R yra griežtai iškiloji(įgaubtoji). Dėl to, kartais įgaubtoji funkcija vadinama iškila į viršų, o iškilojifunkcija tada vadinama iškila į apačią.

Iškilųjų funkcijų pavyzdžiai: x2, ex, |x|, x log x. Įgaubtųjų funkcijų pavyz-džiai: logr x (kai r > 1),

√x. Afininė funkcija yra iškiloji ir įgaubtoji intervale

(a, b).Iškiloji funkcija yra tolydi, išskyrus, gal būt, apibrėžimo srities galus (4.3.13

pratimas). Kai kurios iškilosios funkcijos yra du kartus diferencijuojamos. To-kioms funkcijoms turime pakankamą iškilumo sąlygą.

5.46 teorema. Tarkime, kad funkcija f : (a, b)→ R yra du kartus diferencijuoja-ma. Jei jos antrosios eilės išvestinė funkcija f ′′ yra visur neneigiama (teigiama),tai f yra (griežtai) iškiloji intervale (a, b).

Įrodymas. Remiantis 5.36 teorema, su kiekvienu x ∈ (a, b) ir c ∈ (a, b) egzis-tuoja toks x∗ ∈ (a, b), esantis tarp x ir c, kad

f(x) = f(c) + f ′(c)(x− c) + 12f′′(x∗)(x− c)2.

Tegul λ ∈ (0, 1), a < x1 < x2 < b ir c := λx1 + (1− λ)x2. Kadangi f ′′ ≥ 0, tainaudodami pastarąją lygybę su x = x1 ir x = x2, gauname nelygybes

f(x1) ≥ f(c) + f ′(c)(x1 − c) ir f(x2) ≥ f(c) + f ′(c)(x2 − c).


Padauginę šias nelygybes atitinkamai iš λ ir 1− λ bei sudėję, gauname

λf(x1) + (1− λ)f(x2) ≥ λf(c) + (1− λ)f(c)+f ′(c)

[λ(x1 − c) + (1− λ)(x2 − c)

]= f(c) + f ′(c)

[λx1 + (1− λ)x2 − c

]= f(λx1 + (1− λ)x2).

Tai rodo, kad f yra iškiloji funkcija. Griežto iškilumo įrodymas, antrai išvestineif ′′ esant visur teigiamai, yra toks pat.

Funkcija gali būti iškiląja vienoje savo apibrėžimo srities dalyje ir įgaubtąjakitoje apibrėžimo srities dalyje. Tokia yra pavyzdžiui funkcija f : R → R sureikšmėmis f(x) = x3 visiems x ∈ R. Ši funkcija yra griežtai iškiloji intervale(0,+∞) ir yra griežtai įgaubtoji intervale (−∞, 0). Šios funkcijos apibrėžimosrities taškas x = 0 yra toliau apibrėžiamo perlinkio taško pavyzdys.

5.47 apibrėžtis. Tarkime, kadA yra realiųjų skaičių aibė, f : A→ R yra funkci-ja ir c yra aibės A vidinis taškas. Taškas c vadinamas funkcijos f perlinkio tašku(angl. inflection point), jei c yra funkcijos f tolydumo taškas ir vienu metu yra

funkcijos f griežto iškilumo intervalo galas bei funkcijos f griežto įgaubtumointervalo galas.

Parodysime, kad nulis yra sinuso funkcijos perlinkio taškas.

5.48 pavyzdys. Tegul f(x) := sin x, x ∈ R. Remiantis 4.78 teorema funkcija fyra tolydi taške x = 0. Remiantis 5.20 teorema f ′′(x) = − sin x, x ∈ R.

5.49 teorema (Būtina perlinkio taško savybė). Tarkime, kad funkcija f : (a, b)→R yra du kartus diferencijuojama ir f ′′ yra tolydi funkcija. Jei taškas c ∈ (a, b)yra funkcijos f perlinkio taškas, tai f ′′(c) = 0.

Įrodymas. Remiantis implikacijos kontrapozicija, pakanka įrodyti implikacija:jei f ′′(c) 6= 0, tai c nėra perlinkio taškas. Tegul f ′′(c) > 0. Kadangi f ′′ tolyditaške c, tai egzistuoja tokia c aplinka, kurioje f ′′ yra teigiama iš abiejų taško cpusių. Remiantis 5.46 teorema, f yra iškila abiejose c taško pusėse. Todėl c nėraperlinkio taškas. Analogiškas argumentas teisingas, kai f ′′(c) < 0. Teoremaįrodyta.

5.50 teorema (Pakankama perlinkio taško savybė). Tarkime, kad c ∈ (a, b) irfunkcija f : (a, b) → R yra tolydi taške c bei du kartus diferencijuojama taško cpradurtoje aplinkoje. Jei antrosios eilės išvestinė funkcija f ′′ pereinant tašką ckeičia ženklą, tai c yra perlinkio taškas.

5.6 Funkcijos tyrimas diferencijuojant 187

Įrodymas. Remiantis 5.46 teorema, c vienu metu yra funkcijos f griežto iškilu-mo intervalo galas bei funkcijos f griežto įgaubtumo intervalo galas. Todėl c yraperlinkio taškas.

Funkcijos ekstremumai Tiriant išvestinės ženklo kitimą kritinio taško aplin-koje, 5.28 teorema įgalina nustatyti lokalaus ekstremumo rūšį. Dabar įrodysimekitą lokalaus ekstremumo pakankamą sąlygą tirdami antrosios išvestinės ženkląstacionarumo taške.

5.51 teorema. Tarkime, kad a < c < b ir du kartus diferencijuojamos funkcijosf : (a, b)→ R antrosios eilės išvestinė funkcija f ′′ yra tolydi.

(a) Jei f ′(c) = 0 ir f ′′(c) < 0, tai f turi lokalųjį maksimumą taške c.

(b) Jei f ′(c) = 0 ir f ′′(c) > 0, tai f turi lokalųjį minimumą taške c.

(c) Jei f ′(c) = 0 ir f ′′(c) = 0, tai taške c funkcija f gali turėti lokalųjį ekstre-mumą arba ne.

Įrodymas. Teiginio (a) įrodymui tarkime, kad f ′(c) = 0 ir f ′′(c) < 0. Kadangif ′′ yra tolydi, egzistuoja taško c aplinkaO(c), kurioje f ′′ yra neigiama (4.3.5 pra-timas). Remiantis 5.27 teoremos (e) teiginiu, išvestinė funkcija f ′ yra mažėjantiaplinkoje O(c). Kadangi f ′(c) = 0, taške c išvestinė funkcija f ′ keičia ženk-lą iš teigiamo į neigiamą. Remiantis 5.28 teoremos (b) teiginiu, f turi lokalųjįmaksimumą taške c, ką ir reikėjo įrodyti.

Teiginio (b) įrodymui naudojami simetriški argumentai, kuriuos praleidžia-me. Teiginio (c) įrodymui nagrinėkime tris funkcijas: f(x) = x4, f(x) = −x4

ir f(x) = x3 visiems x ∈ R. Kiekvienos iš trijų funkcijų pirma ir antra išvestinėstaške c = 0 yra lygios nuliui, t. y. galioja (c) teiginio prielaidos. Tačiau funkcijaf(x) = x4 nulyje turi lokalujį minimumą, funkcija f(x) = −x4 nulyje turi loka-lujį maksimumą, o funkcija f(x) = x3 yra didėjanti nulio aplinkoje, t. y. neturilokalaus ekstremumo. Šie pavyzdžiai įrodo (c) teiginį ir visą teoremą.

5.52 pavyzdys. Tarkime, kad α ∈ R ir f : (0,∞)→ R yra funkcija su reikšmė-mis

f(x) := xα − αx+ α− 1, x > 0.Ištirsime šios funkcijos kitimą, kai α ∈ (0, 1), α < 0 ir α > 1 (atvejai α = 0 irα = 1 neįdomūs, nes tada funkcija f yra pastovioji). Funkcija f yra du kartusdiferencijuojama, jos pirmoji išvestinė f ′(x) = α(xα−1 − 1), x > 0, o antrojiišvestinė f ′′(x) = α(α − 1)xα−2, x > 0. Turime f ′(x) = 0 tada ir tik tada, kaix = 1 (kodėl?).


Tegul α ∈ (0, 1). Tada f ′′(1) = α(α − 1) < 0 ir x = 1 yra funkcijos flokalaus maksimumo taškas remiantis 5.51 teorema.

Funkcijos grafiko asimptotės Tai funkcijos reikšmių kitimas begalybėje, kaiargumentas artėja į begalybę arba kai argumentas kinta antros rūšies trūkio taškoaplinkoje (4.35 apibrėžtis).

5.53 apibrėžtis. Tiesė L vadinama funkcijos f grafiko asimptote, jei atsumas dtarp funkcijos grafiko taško M ir tiesės L artėja į nulį, kai M tolsta į begalybę.

Nagrinėsime trijų rūšių asimptotes: vertikalią, horizontalią ir pasvirusią.

5.54 apibrėžtis. Tiesė L = (c, y) : y ∈ R, c ∈ R, yra funkcijos f grafikovertikali asimptotė, jei

limx→c−

f(x) = ±∞ arba limx→c+

f(x) = ±∞.

Pavyzdžiui, funkcija f su reikšmėmis f(x) = 1x, x 6= 0, turi vertikalią asimp-

totę taško x = 0 aplinkoje. Taškas x = 0 yra šios funkcijos antrosios rūšies trūkiotaškas. Atstumas d(x) tarp funkcijos grafiko taško M(x, f(x)) ir vertikaliosiostiesės L = (0, y) : y ∈ R taško (0, f(x)) yra

d(x) =√

(x− 0)2 + (f(x)− f(x))2 = |x| → 0 as x→ 0.

5.55 apibrėžtis. Tiesė L = (x, a) : x ∈ R, a ∈ R, yra funkcijos f grafikohorizontalioji asimptotė, jei

limx→−∞

f(x) = a arba limx→+∞

f(x) = a.

Pavyzdžiui, funkcija f su reikšmėmis f(x) = 1x, x 6= 0, turi horizontalią

asimptotę L = (x, 0) : x ∈ R su a = 0, nes

limx→−∞

1x

= 0 ir limx→+∞

1x

= 0.

Atstumas d(x) tarp funkcijos grafiko taško M(x, f(x)) ir vertikaliosios tiesėsL = (x, 0) : y ∈ R taško (x, 0) yra

d(x) =√

(x− x)2 + (f(x)− 0)2 = 1|x|→ 0 as x→ ±∞.


5.56 apibrėžtis. Tiesė L = (x, kx + b) : x ∈ R, k ∈ R \ 0 ir b ∈ R, yrafunkcijos f grafiko pasvirusioji asimptotė, jei

limx→±∞

f(x)x

= k ir limx→±∞

[f(x)− kx] = b.

Jei α yra kampas tarp tiesės L ir x-ų ašies, tai atstumas tarp asimptotės L irfunkcijos f grafiko taško

d = [f(x)− (kx+ b)] cosα.

Funkcijos ir jos grafiko tyrimo schema

1. Nustatyti funkcijos apibrėžimo sritį.

2. Rasti funkcijos grafiko ir koordinačių sistemos ašių susikirtimo taškus.

3. Rasti galimus ekstremumo taškus.

4. Nustatyti galimus monotoniškumo intervalus.

5. Rasti galimus perlinkio taškus.

6. Rasti galimas funkcijos grafiko asimptotes.

7. Nupiešti funkcijos grafiką.

Pratimai

1. Tarkime, kad a, b, c yra skaičiai ir f : R → R yra funkcija su reikšmėmisf(x) = x3 + ax2 + bx + c. Rasti tokį d ∈ R, kad f yra įgaubta intervale(−∞, d] ir iškila intervale [d,∞).

2. Įrodyti, kad iškilosios funkcijos lokalus minimumas yra globalus.

5.7 Pastabos ir papildymaiWeierstrasso funkcija Tik XIX amžiuje atsirado šiuolaikinė ribos samprata.Jos apibrėžimas siejamas su Cauchy, Bolzano ir Weiertstrasso vardais. Iki tolfunkcijos tolydumas buvo suprantamas įvairiai (kaip?). Buvo manoma, kad kiek-viena tolydi funkcija yra diferencijuojama (kaip ji suprantama?) išskyrus gal būtizoliuotuose taškuose. Todėl tolydžios ir visur nediferencijuojamos funkcijos


pavyzdys buvo labai netikėtas. Tokią funkciją sukonstravo Weierstrassas 1872metais:

f(x) =∞∑k=0

ak cos(bkπx), x ∈ R,

čia 0 < a < 1, b yra nelyginis natūralusis skaičius ir ab > 1 + 32π. Mažiausias

pastarąją nelygybę tenkinantis b = 7. Weierstrassas įrodė, kad funkcija f yravisur nediferencijuojama. Tačiau ši funkcija yra tolygiai tolydi

Funkcijos diferencialas Greta funkcijos išvestinės sąvokos, apibrėžtos 5.1 sky-relyje, naudojama funkcijos diferencialo sąvoka, kurią čia apibrėšime. Tarkime,kad f : A → R yra funkcija ir c yra aibės A vidinis taškas. Funkcijos f diferen-cialu taške c vadinama tiesinė funkcija t 7→ f ′(c)t ir žymima df(c) (arbaDf(c)).Taigi, diferencialas yra funkcija df(c) : R→ R (ne skaičius kaip išvestinė f ′(c)),kurios reikšmės

df(c)(t) = f ′(c)t visiems t ∈ R. (5.36)

Reikšmės gc(t) := c+ t visiems t ∈ R apibrėžia tiesinę funkciją gc : R→ R. Josišvestinė taške nulis yra gc(0) = 1. Todėl funkcijos gc diferencialas taške nulisyra taip pat tiesinė funkcija dgc(0) su reikšmėmis dgc(0)(t) = t visiems t ∈ R.Įstatę šią t išraišką į (5.36) gauname lygybę

df(c)(t) = f ′(c)dgc(0)(t) visiems t ∈ R.

Kadangi gc(0) = c, pakeitę žymėjimą dc := dgc(0), gauname funkcijų lygybę

df(c) = f ′(c)dc.

Tiesinių funkcijų df(c) ir dc santykis yra pastovioji funkcija įgyjanti pastoviąreikšmę f ′(c), t.y.

df(c)dc

= f ′(c). (5.37)

Šios lygybės kairioji pusė yra kita išvestinės, esančios dešinėje pusėje, išraiška.Ši išraiška primena Leibnizo4 naudotą žymėjimą, bet prasmė yra kita. Leibnizasnežinojo nei funkcijos sąvokos, nei realiųjų skaičių šiuolaikinės sampratos. Jisnagrinėjo „kintamuosius dydžius" ir naudojo tiesės taškus žymėti skaičius ([12],3 skyrius). Išvestinės išraišką dešinėje (5.37) lygybės pusėje pasiūlė Lagran-geas5.

4Gottfried Leibniz (1646-1716), vokiečių matematikas ir filosofas.5Joseph Louis Lagrange (1736-1813), italų kilmės prancūzų matematikas ir astronomas.


Funkcijos grafiko liestinė 5.8 apibrėžtį pasiūlė Irl Bivens.

Papildoma literatūra

1. J.A.H. Ameen. Continuous Nowhere Dif ferentiable Functions. Thesis forthe Degree of Master Science, 2014.

2. I. Bivens. What a Tangent Line is When it isn’t a Limit. The CollegeMathematics Journal, vol. 17, No. 2, 1986, 133-143.

3. G.H. Hardy. Weierstrass’s Non-Dif ferentiable Function. Transactions ofthe American Mathematical Society, vol. 17, No 3 (Jul. 1916), pp. 301-325.

4. J. Johnsen. Simple proofs of nowhere-dif ferentiability for Weierstrass’sfunction and cases of slow growth.

https://arxiv.org/pdf/1610.06354.pdf

5. K.M. Kolwankar, A. D. Cangal. Fractional differentiability of nowhere differentiable functions and dimensions. Chaos 6, 505 (1996).

6. M. E. McLaughlin. An introduction to everywhere continuous, nowhere differentiable funcions. 2013 Nurodyti internetinį adresą.

7. A. Shoemaker. On French Pudding and a Gwerman Mathematician. Jour-nal of Humanistic Mathematics, 2017, vol. 7, Issue 2. Apie patologinesfunkcijas su istorine ir šiuolaikinių rezultatų apžvalga.

8. A.N. Singh. The theory and construction of non-dif ferentiable functions.India (?), 1935. Ankstesnių sąvokų sampratų apžvalga.

9. K. Weierstrass. On Continuous functions of a Real Argument that do nothave a Well-defined Differential Quotient.

6 skyrius

Integravimas

Integralas yra sumos apibendrinimas kai sumuojamų narių yra nesuskaičiuoja-mai daug, tiek, kiek yra taškų atkarpoje. Anksčiau nagrinėta, eilute vadinamabegalinė suma turi tik suskaičiuojamą narių kiekį. Matematikoje naudojami įvai-rūs skirtingai apibrėžiami integralai ([3]). Konkretus integralo apibrėžimas galibūti motyvuojamas įvairiais taikymo poreikiais. Pavyzdžiui, norint apskaičiuotiplotą koordinatinėje plokštumoje esančios srities, kuri ribojama teigiamos funk-cijos f : [a, b]→ R grafiku ir horizontalia ašimi, tenka suteikti prasmę sumai∑

x∈[a,b]f(x)∆x, (6.1)

čia ∆x yra „kaip norimai mažas dydis". Kitu atveju tenka skaičiuoti nesuskai-čiuojamai daug reikšmių įgyjančio atsitiktinio dydžio su pasiskirstymo funkcijaF vidutinę reikšmę. Tai daroma sumuojant visas galimas to dydžio reikšmesx ∈ [a, b] padaugintas iš „kaip norimai mažo F funkcijos pokyčio" ∆F (x), otam reikia suteikti prasmę sumai ∑

x∈[a,b]x∆F (x).

Tai tik du iš daugelio kitų integralo naudojimo pavyzdžių.Mes daugiausia dėmesio skiriame B. Riemanno1 pasiūlytam integralui. Ta-

čiau minime ir kitus integralus: Cauchy, Henstocko-Kurzweilo, Lebesgue, Stielt-jeso. Nors integravimas yra nepriklausoma nuo diferencijavimo sąvoka, tačiaukai kuriais atvejais integralą ir diferencijavimą galima susieti kaip viena kitaiatvirkštines operacijas (žr. 6.3 skyrelį toliau).

1Bernhard Riemann (1826-1866), vokiečių matematikas.

6.1 Riemann’o integralas 193

6.1 Riemann’o integralasSuteiksime prasmę (6.1) išraiškai. Tegul f : [a, b] → R yra funkcija ir a < b.Intervalą [a, b] daliname į n mažesnių intervalų

[a, t1] = [t0, t1], [t1, t2], · · · [tn−2, tnn−1 ], [tn−1, tn] = [tn−1, b].

Iš kiekvieno jų pasirenkamas bet kuris taškas si ∈ [ti−1, ti] ir sudaroma suma

n∑i=1

f(si)[ti − ti−1] = f(s1)[t1 − a] + · · ·+ f(sn)[b− tn−1].

Integralas egzistuoja arba ne, priklausomai nuo to, ar šių sumų reikšmės kaupiasiapie kurį nors skaičių I , kai didėjant intervalų [ti−1, ti], i = 1, . . . , n, skaičiui,maksimalus jų ilgis mažėja.

Apibrėžtis ir pavyzdžiai Priminsime, kad intervalas [a, b] vadinamas neišsi-gimusiu, jei a < b. Išsigimusiu atveju intervalą sudaro vienas taškas arba tuščiaaibė. Neišsigimusio intervalo [a, b] taškų aibė τ := ti : i = 0, 1, . . . , n vadi-nama šio intervalo skaidiniu, jei

a = t0 < t1 < · · · < tn−1 < tn = b.

Skaidinys τ dalo [a, b] į n intervalų [ti−1, ti], i = 1, . . . , n. Skaidinio τ =ti : i = 0, 1, . . . , n smulkis yra maksimalus intervalų [ti−1, ti] ilgis ir žymi-mas

|τ | = maxti − ti−1 : 1 ≤ i ≤ n.Kiekvienam i ∈ 1, . . . , n bet kuris elementas si ∈ [ti−1, ti] vadinamas inter-valo [ti−1, ti] žyme. Skaidinys τ = ti : i = 0, 1, . . . , n kartu su kuriuo norsžymių rinkiniu (s1, . . . , sn) vadinamas žymėtuoju skaidiniu ir žymimas

τ := (si, [ti−1, ti]) : i = 1, . . . , n. (6.2)

Intervalo [a, b] žymėtųjų skaidinių aibė yra ZS[a, b]. Suma

S(f ; τ) :=n∑i=1

f(si)[ti − ti−1]. (6.3)

vadinama funkcijos f : [a, b] → R Riemanno integraline suma atitinkančia žy-mėtąjį skaidinį (6.2). Kabliataškis žymint sumą S(f ; τ) naudojamas norint pa-brėžti, kad kintamieji f ir τ yra skirtingos rūšies matematiniai objektai.

Dabar pasiruošę apibrėžti Riemann’o integralą.

194 6 skyrius. Integravimas

6.1 apibrėžtis. Tarkime, kad [a, b] yra neišsigimęs intervalas ir f : [a, b] → R.Funkcijos f Riemann’o integralu intervale [a, b] vadinamas skaičius I ∈ R turin-tis savybę: kiekvienam ε > 0 egzistuoja toks δ > 0, kad teisinga implikacija

jei τ ∈ ZS[a, b] ir |τ | < δ, tai∣∣∣I − S(f ; τ)

∣∣∣ < ε. (6.4)

Jei toks skaičius I egzistuoja, tai sakoma, kad funkcija f yra R-integruojamaintervale [a, b], o pats skaičius žymimas

∫ b

af :=

∫ b

af(t) dt := I.

Taip pat sakoma, kad funkcija f yra R-integruojama, jei ji yra R-integruojamasavo apibrėžimo srityje.

6.2 pastaba. Atkreipsime dėmesį į apibrėžtyje naudojamą frazę "bet kuriam[a, b] žymėtajam skaidiniui τ". Ji reiškia, kad nelygybė (6.4) privalo galioti kiek-vienam τ = ti : i = 0, 1, . . . , n skaidinio žymių rinkiniui (s1, s2, . . . , sn).

Iliustruosime Riemanno integralo apibrėžimą skaičiuodami indikatorinės funk-cijos (4.34) integralą. Šis pavyzdys taip pat parodo, kad stačiakampio ploto skai-čiavimas Riemanno integralo pagalba duoda reikalingą atsakymą.

6.3 pavyzdys. Tarkime, kad skaičiai a ≤ c < d ≤ b. Rasime indikatorinėsfunkcijos 1I[c,d] Riemanno integralą. Pastebėsime, kad šia funkcija apibrėžiamosaibės

(x, y) : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ 1I[c,d](x)

geometrinis vaizdas yra stačiakampis [c, d]× [0, 1], kurio plotas yra d− c. Paro-dysime, kad ∫ b

a1I[c,d] = d− c. (6.5)

Tegul ε > 0 yra duotas ir žinomas. Reikia rasti tokį δ > 0, kad nelygybė∣∣∣S(1I[c,d]; τ)− (d− c)∣∣∣ < ε (6.6)

galiotų bet kuriam [a, b] žymėtajam skaidiniui τ , kurio smulkis |τ | < δ. Taipadarysime atveju, kai a < c ir d < b, skaitytojui palikdami nagrinėti likusiusatvejus (6.1.2 pratimas).

Tegul δ1 := minc−a, d−c, b−d ir τ = (si; [ti−1, ti]) : i = 1, . . . , n yratoks žymėtasis skaidinys, kurio smulkis |τ | < δ1. Dėl šio pasirinkimo egzistuoja


tokie indeksai ic ∈ 1, . . . , n ir id ∈ 1, . . . , n, kad c ∈ (tic−1, tic ] ir d ∈[tid−1, tid). Šį skaidinį atitinkanti Riemanno suma yra

S(1I[c,d]; τ) = 1I[c,d](sic)(tic − tic−1) + (tid−1 − tic) + 1I[c,d](sid)(tid − tid−1),

nes 1I[c,d](si) = 1 kai ic < i < id ir 1I[c,d](si) = 0 kai 1 ≤ i < ic ir id < i ≤ n.Tada∣∣∣S(1I[c,d]; τ)− (d− c)

∣∣∣ ≤ |tic − tic−1|+ |tic − c|+ |d− tid−1|+ |tid − tid−1|≤ 4|τ |.

Pasirinkus δ := minδ1, ε/4, gauname (6.6) nelygybę galiojant bet kuriam [a, b]žymėtajam skaidiniui τ , kurio smulkis |τ | < δ. (6.5) lygybė įrodyta kai a < c ird < b.

Toliau įsitikinsime Riemanno integralo apibrėžties korektiškumu, t. y. ar api-brėžiamas matematinis objektas yra vienintelis.

6.4 teorema. Jei funkcija R-integruojama, tai jos Riemanno integralas yra vie-nintelis.

Įrodymas. Tarkime, kad funkcija f : [a, b] → R yra R-integruojama intervale[a, b] ir egzistuoja tokie du skirtingi skaičiai I1 ir I2, kuriems galioja 6.1 apibrėž-ties savybė. Tegul ε := |I1 − I2| > 0. Tada egzistuoja toks δ > 0, kad∣∣∣I1 − S(f ; τ)

∣∣∣ < ε/3 ir∣∣∣I2 − S(f ; τ)

∣∣∣ < ε/3

bet kuriam [a, b] žymėtajam skaidiniui τ , kurio smulkis |τ | < δ. Jei τ yra betkuris toks [a, b] žymėtasis skaidinys, tai

ε = |I1 − I2| ≤∣∣∣I1 − S(f ; τ)

∣∣∣+ ∣∣∣I2 − S(f ; τ)∣∣∣ < ε/3 + ε/3 = (2/3)ε.

Nelygybė tarp kraštinių narių yra prieštara, įrodanti teoremą.

Riemanno integralą apibrėžėme neišsigimusiems intervalams [a, b], t. y. kaia < b. Papildysime šį apibrėžimą bet kuriems a, b ∈ R. Pirmiausia, jei a = b,t. y. kai intervalas [a, b] yra vieninė aibė, tai susitarsime bet kurios funkcijos fintegralą laikyti apibrėžtu taip ∫ a

af := 0. (6.7)


Jei a 6= b, tai galimi du atvejai: a < b arba b < a. Toliau patogu visus šiuosatvejus žymėti vienu simboliu∫ b

af :=

∫ ba f jei a ≤ b,

−∫ ab f jei b < a,

(6.8)

jei, kaip visada, dešinioji pusė yra apibrėžta. Tolesniame skyrelyje 6.4 aptarsimeintegralo apibrėžimą, kai a arba b yra begalybės simboliai.

Toliau parodysime, kad funkcija f(t) = t, t ∈ [a, b], yra R-integruojama.

6.5 pavyzdys. Su kiekvienu t ∈ R tegul

F (t) := 12t

2.

Pastebėkime, kad išvestinė F ′(t) = t = f(t) kiekvienam t ∈ (a, b). Tegulτ = ti : i = 0, 1, . . . , n yra intervalo [a, b] skaidinys. Remiantis vidutinėsreikšmės teorema, kiekvienam i ∈ 1, . . . , n egzistuoja toks ui ∈ (ti−1, ti), kad

F (ti)− F (ti−1) = F ′(ui)(ti − ti−1) = ui(ti − ti−1).

Sudėję visas šias išraiškas gauname

F (b)− F (a) =n∑i=1

[F (ti)− F (ti−1)

]=

n∑i=1

ui(ti − ti−1),

čia (ui; [ti−1, ti]) : i = 1, . . . , n yra žymėtasis skaidinys, kuriame žymės uinėra laisvai pasirinktos. Tegul τ = (si; [ti−1, ti]) : i = 1, . . . , n yra bet kuris[a, b] intervalo žymėtasis skaidinys. Tada

F (b)− F (a)− S(f ; τ) =n∑i=1

(ui − si)(ti − ti−1).

Jei δ > 0 ir skaidinio τ smulkis |τ | < δ, tai |ui − si| < δ kiekvienam i ∈1, . . . , n, nes si ir ui priklauso intervalui [ti−1, ti]. Todėl

∣∣∣F (b)− F (a)− S(f ; τ)∣∣∣ ≤ n∑

i=1|ui − si|(ti − ti−1)

<n∑i=1

δ(ti − ti−1) = δ(b− a).

Jei ε > 0 yra bet kuris duotas skaičius, tai imant δ := ε/(b− a) gauname∣∣∣F (b)− F (a)− S(f ; τ)∣∣∣ ≤ ε


su bet kuriuo žymėtuoju skaidiniu τ , kurio smulkis |τ | < δ. Tai rodo, kad funk-cija f(t) = t, t ∈ [a, b], yra R-integruojama ir jos integralas∫ b

at dt = F (b)− F (a) = 1

2(b2 − a2).

Šį pavyzdį galima apibendrinti visoms funkcijoms f , kurios yra diferencijuoja-mos.

Jei taip nesudėtinga rasti bet kurios diferencijuojamos funkcijos integralą, taikyla klausimas ar kiekviena funkcija yra R-integruojama? Neigiamą atsakymą įšį klausimą duoda toks pavyzdys.

6.6 pavyzdys. Tegul f : [0, 1]→ R yra funkcija su reikšmėmis

f(x) :=

1 jei x ∈ [0, 1] ∩ Q,0 jei x ∈ [0, 1] \ Q. (6.9)

Su šia funkcija susidūrėme anksčiau kalbėdami apie funkcijos ribas, kurių jineturi nei viename savo apibrėžimo srities taške. Parodysime, kad f nėra R-integruojama. Tegul τ = ti : i = 0, 1, . . . , n yra intervalo [0, 1] skaidinys.Tegul ri ∈ [ti−1, ti] ∩ Q kiekvienam i = 1, . . . , n. Tada τ = (ri; [ti−1, ti]) : i =1, . . . , n yra intervalo [0, 1] žymėtasis skaidinys ir jį atitinkanti Riemanno sumayra

S(f ; τ) =n∑i=1

f(ri)[ti−1 − ti] =n∑i=1

1 · [ti − ti−1] = 1.

Tegul si ∈ [ti−1, ti] \ Q kiekvienam i = 1, . . . , n. Aibė τ = (si; [ti−1, ti]) : i =1, . . . , n taip pat yra intervalo [0, 1] žymėtasis skaidinys, o jį atitinkanti Rie-manno suma yra

S(f ; τ) =n∑i=1

f(si)[ti−1 − ti] =n∑i=1

0 · [ti − ti−1] = 0.

Kadangi skaidinys τ yra laisvai pasirinktas, tai Riemanno suma negali būti artijokio skaičiaus visoms skaidinio žymėms. Tai reiškia, kad šio pavyzdžio funkcijanėra R-integruojama.

Jei funkcija yra R-integruojama tai jos integralas yra Riemanno sumų ribatokia prasme:

6.7 teorema. Tarkime, kad [a, b] yra neišsigimęs intervalas ir funkcija f : [a, b]→R yra R-integruojama. Tegul τn, n ∈ N∗, yra tokie intervalo [a, b] žymėtieji skai-diniai, kurių smulkis |τn| → 0, kai n→∞. Tada

limn→∞

S(f ; τn) =∫ b

af.


Šį faktą siūlome įrodyti skaitytojui (6.1.4 pratimas).Tarkime f : [a, b] → R yra funkcija ir τn, n ∈ N∗, yra tokie intervalo [a, b]

žymėtieji skaidiniai, kurių smulkis |τn| → 0, kai n → ∞. Jei funkcija f yraR-integruojama, tai riba

limn→∞

S(f ; τn) (6.10)

egzistuoja bet kuriai skaidinių sekai τn, kurios smulkis |τn| → 0, kai n → ∞,ir lygi funkcijos integralui remiantis 6.7 teorema. Tarkime nėra žinoma, kadfunkcija f R-integruojama, bet yra žinoma, kad riba (6.10) egzistuoja su ku-ria nors skaidinių seka. Klausimas: ar galima daryti išvadą, kad funkcija fyra R-integruojama? Atsakymas - ne. Tai įrodo nagrinėtas pavyzdys funkcijosf : [0, 1]→ R su reikšmėmis (6.9). Iš tikro, kiekvienam n ∈ N∗ aibė

τn := k/n : k = 0, 1, . . . , n =

0, 1n,

2n, . . . , 1− 1

n, 1,

yra intervalo [0, 1] skaidinys, kurio smulkis |τn| = 1/n → 0 kai n → ∞. Be to,kiekvienam n ∈ N∗ aibė

τn = (k/n; [(k − 1)/n, k/n]) : k = 1, . . . , n

yra intervalo [0, 1] žymėtasis skaidinys, o jį atitinkanti funkcijos f Riemannosuma yra

S(f ; τn) =n∑k=1

f(k

n

)[k

n− k − 1

n

]=

n∑k=1

1 · 1n

= 1

kadangi k/n ∈ [0, 1] ∩ Q kiekvienam k ∈ 1, . . . , n. Todėl

limn→∞

S(f ; τn) = 1,

bet f nėra R-integruojama kaip matėme 6.6 pavyzdyje.

Plotas ir integralas Jei plokštumos sritis yra daugiakampis, pavyzdžiui, sta-čiakampis, trikampis, ar daugiakampis, tai mes žinome, kas yra tokios sritiesplotas ir kaip jį apskaičiuoti. Jei sritis A yra sudėtingesnė, pavyzdžiui skritu-lys, tai jos plotas S(A) randamas sritį A lyginant su paprastesnėmis sritimis An,n = 1, 2, . . . , kurių plotus S(An) galima apskaičiuoti, o sritys An tampa vis „ar-timesnės” sričiai A kai n neaprėžtai auga. Tada srities A plotas S(A) yra sričiųAn plotų S(An) sudarytos sekos riba kai n → ∞, jei ji egzistuoja. Taigi, sritiesA plotas yra funkcijos A 7→ S(A) reikšmė.


Apibrėžiant plotą naudojama adityvumu vadinama savybė: jei sritis A išreiš-kiama tokių sričių A1, A2, . . . , An sąjunga A1 ∪A2 ∪ · · · ∪An, kurios gali turėtibendrus tik krašto taškus (neturi bendrų vidinių taškų), tai

S(A) = S(A1) + S(A2) + · · ·+ S(An). (6.11)

Pavyzdžiui, kvadratas A := [0, 1] × [0, 1], su bet kuriais n ∈ N∗ ir m ∈ N∗,išreiškiamas sąjunga kvadratų

Ai,j :=[i− 1n

,i

n

]×[j − 1m

,j

m

], i = 1, . . . , n, j = 1, . . . ,m;

skirtingi Ai,j ir Ai′,j′ gali turėti tik bendras kraštines. Tada adityvumo savybėreiškia, kad

n∑i=1

m∑j=1

S(Ai,j) =n∑i=1

m∑j=1

1nm

= 1 = S(A).

Naudojant adityvumo savybę ir tuo, kad funkcijos A 7→ S(A) reikšmės yra ne-neigiami skaičiai, gaunama (6.1.7 pratimas) monotoniškumu vadinama savybė:

jei A1 ⊂ A2, tai S(A1) ≤ S(A2). (6.12)

Toliau parodoma, kaip naudojant adityvumo ir monotoniškumo savybes, ap-skaičiuojamas sudėtingesnės srities plotas. Tegul f : [a, b] → R yra tolydi funk-cija su neneigiamomis reikšmėmis. Tegul

A := (x, y) : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x) (6.13)

yra aibė. Ši aibė, pavaizduota plokštumoje su Descarteso koordinačių sistema,yra sritis iš apačios ribojama x-ų ašimi, iš šonų ribojama vertikalėmis x = a irx = b, ir iš viršaus ribojama f funkcijos grafiku y = f(x), x ∈ [a, b]. Apibrėšimeir rasime šios srities plotą S(A). Paprastumo dėlei, šiuose samprotavimuose aibėA tapatinama su ką tik apibūdintu jos geometriniu vaizdu plokštumoje.

Tegul ti : i = 0, . . . , n yra tokie ant x-ų ašies esančios atkarpos [a, b] taš-kai, kad

a = t0 < t1 < t2 < · · · < tn−1 < tn = b.

Per šiuos n+ 1 taškus brėžiame tieses, lygiagrečias y-ų ašiai. Tarkime, kad funk-cija f yra nemažėjanti. Tada atkarpoje [ti−1, ti], f(ti−1) yra funkcijos f minimalireikšmė ir stačiakampis Bi := [ti−1, ti] × [0, f(ti−1)] yra srities A poaibis sukiekvienu i = 1, . . . , n. Apjungę šiuos stačiakampius, gauname sritį

An :=n⋃i=1

Bi,


kuri yra srities A poaibis. Remiantis adityvumo savybe, srities An plotas yra

S(An) =n∑i=1

S(Bi) =n∑i=1

f(ti−1)[ti − ti−1]. (6.14)

Dėl monotoniškumo, S(An) ≤ S(A); čia S(A) dar nežinoma bet ieškoma vie-nintelė reikšmė, reiškianti srities A plotą. Aišku, kad sritis An priklauso nuotaškų aibės ti : i = 0, . . . , n pasirinkimo.

Pastarajame paragrafe aprašytą srities An konstravimo procesą galime atlik-ti su bet kuriuo n ∈ N∗. Be to, tarkime, kad taškų aibės ti : i = 0, . . . , nkinta taip, kad maksimalus intervalų [ti−1, ti] ilgis neaprėžtai mažėja, kai n ne-aprėžtai auga. Vėliau matysime, kad tokiu būdu gauta skaičių seka (S(An))n≥1konverguoja. Šios skaičių sekos (vienintelė) riba ir yra srities A plotas S(A) irsakoma, kad S(An) aproksimuoja S(A). Čia rasime šią ribą atskiru atveju, kai[a, b] = [1, 2] ir funkcija f įgyja reikšmes f(x) = x2 visiems x ∈ [1, 2].

Su kiekvienu n ∈ N∗ tegul ti := 1 + (i/n), i = 0, 1, . . . , n. Tada (6.14) lygus

S(An) =n∑i=1

(1 + i− 1

n

)2 1n

= 1n

n∑i=1

(1 + 2 i− 1

n+ (i− 1)2

n2

)

= 1n

( n∑i=1

1 + 2n

n∑i=1

(i− 1) + 1n2

n∑i=1

(i− 1)2)

= 1n

(n+ 2

n

(n− 1)n2 + 1

n2(n− 1)n(2n− 1)

6

)= 1 +

(1− 1

n

)+ 1

6

(1− 1

n

)(2− 1

n

);

čia buvo panaudotos lygybėsn∑j=1

1 = n, (6.15)

n∑j=1

j = n(n+ 1)2 , (6.16)

n∑j=1

j2 = n(n+ 1)(2n+ 1)6 . (6.17)

Naudojant skaičių sekos konvergavimo taisykles (3.15 teorema) ir tai, kad 1/nkonverguoja į nulį kai n→∞, įrodomas ribos

limn→∞

S(An) = 213 =: S(A) (6.18)


egzistavimas, kuris ir yra (6.13) srities plotas kai f(x) = x2 visiems x ∈ [1, 2].Skaičiuojant ribą S(A) buvo naudota speciali intervalo [1, 2] taškų aibė 1 +

(i/n) : i = 0, . . . , n. Kaip jau buvo minėta, ši riba egzistuoja ir yra ta pati, kainaudojama bet kuri intervalo [1, 2] taškų aibė ti : i = 0, . . . , n, kuriai galiojasavybė

limn→∞

max1≤i≤n

(ti − ti−1) = 0,

jei funkcija f yra tolydi (žr. toliau įrodytą 6.17 teoremą). Nors ribą S(A) pava-dinome srities A plotu, jos skaičiavimas iliustruoja tai, kas vadinama funkcijosf Cauchy integralu. Lyginant su plotu, integralas yra bendresnė matematikossąvoka.

Cauchy integralas Pirmuoju šiuolaikinės integralo sampratos kūrėju buvo A.L. Cauchy. Tarkime, kad f yra intervale [a, b] apibrėžta funkcija. Pasirinkus betkurį teigiamą natūralųjį skaičių n, taip pat pasirinkime n+1 intervalo [a, b] tašką

a = t0 < t1 < · · · < tn−1 < tn = b,

kurių aibė τ = ti : i = 0, 1, . . . , n yra intervalo [a, b] skaidinys. Naudojantisskaidiniu τ sudaroma suma

S(f ; τ) :=n∑i=1

f(ti−1)[ti − ti−1],

vadinama Cauchy integraline suma. Cauchy integralinė suma S(f ; τ) yra taspats, kas (6.13) srities plotą aproksimuojanti suma (6.14). Be to, Cauchy integra-linė suma sutampa su Riemanno integraline suma (6.3), turinčią žymes si = ti−1,i = 1, . . . , n.

6.8 apibrėžtis. Skaičius I vadinamas funkcijos f : [a, b]→ R Cauchy integralu,jei kiekvienam ε > 0 egzistuoja toks δ > 0, kad nelygybė∣∣∣S(f ; τ)− I

∣∣∣ < ε

galioja su kiekvienu intervalo [a, b] skaidiniu τ , kurio smulkis |τ | < δ.

Kaip pavyzdį suskaičiuosime funkcijos f : [a, b]→ R su reikšmėmis f(x) =x visiems x ∈ [a, b] Cauchy integralą (palygink su 6.5 pavyzdžiu). Šią funkcijąir skaidinį τ = ti : i = 0, 1, . . . , n atitinkanti integralinė suma yra

S(f ; τ) =n∑i=1

ti−1[ti − ti−1].


Pagal integralo geometrinę interpretaciją ši suma aproksimuoja srities (6.13) plo-tą. Integralinę sumą sudaro n stačiakampių, kurių kraštinių ilgiai yra ti − ti−1 irti−1, plotų suma. Tikslus aproksimuojamos srities A plotas yra lygus

n∑i=1

ti−1[ti − ti−1] + 1

2[ti − ti−1]2

= 12

n∑i=1

[t2i − t2i−1] = b2 − a2

2 .

Ši išraiška parodo, kad integralinės sumos ir sritiesA ploto skirtumo modulis yra∣∣∣∣S(f ; τ)− b2 − a2

2

∣∣∣∣ = 12

n∑i=1

[ti − ti−1]2 ≤ b− a2 max

1≤i≤n(ti − ti−1).

Duotam ε > 0, nelygybė ∣∣∣∣S(f ; τ)− b2 − a2

2

∣∣∣∣ < ε

galioja kiekvienam intervalo [a, b] skaidiniui τ , kurio smulkis

|τ | = max1≤i≤n

(ti − ti−1) < δ := 2εb− a

.

Tokiu būdu įrodėme, kad skaičius

I := b2 − a2

2yra funkcijos f Cauchy integralas. Netrukus įrodysime, kad toks skaičius (inte-gralas) I yra vienintelis (6.4 teorema).

Apibrėždami Cauchy integralą naudojome integralines sumas S(f ; τ), kurio-se funkcijos f reikšmė kiekviename skaidinio τ = ti : i = 0, 1, . . . , n interva-le [ti−1, ti] imama taške ti−1. Tai buvo natūralu geometrinėje interpretacijoje kaifunkcija yra nedidėjanti. Jei vietoje ti−1 būtų naudotas dešinysis intervalo galasti kiekvienam i, tai gautume kitas aproksimuojančias sritis, kurios pilnai dengiasritį (6.13), t. y. sritis An := ∑n

i=1[ti−1, ti]× [0, f(ti)], kurių plotas

S(An) :=n∑i=1

f(ti)(ti − ti−1) ≥ S(A).

Skaitytojui siūloma įsitikinti, kad atveju f(x) = x2 visiems x ∈ [1, 2], ieškomaploto reikšmė bus ta pati, t. y.

limn→∞

S(An) = 213 . (6.19)

Dar daugiau, atsakymas bus tas pats, jei vietoje S(An) ar S(An) naudojama Rie-manno integralinė suma (6.3), kurioje žymės si ∈ [ti−1, ti] yra laisvai pasirinktoskiekvienam i = 1, . . . , n. Teisingas bendresnis teiginys:


6.9 teorema. Jei funkcija f : [a, b] → R yra tolydi ir egzistuoja jos Cauchyintegralas, tai egzistuoja jos Riemanno integralas ir abu integralai yra lygūs.

Šią teoremą siūloma įrodyti skaitytojui.

6.10 pastaba. 1823 m. A.-L. Cauchy integralą apibrėžė su prielaida, kad funkcijaf : [a, b]→ R yra tolydi. Jis įrodė, kad egzistuoja skaičius I , kuriam galioja 6.8apibrėžtis. B. Riemannas pakeitė A.-L. Cauchy integralo apibrėžimą siekdamasapibrėžti integralą funkcijoms, kurios nėra tolydžios. Jis įrodė, kad jo integralasegzistuoja funkcijoms, kurios turi be galo daug trūkio taškų. Vėliau H. Lebes-gue2 nustatė tikslų Riemanno prasme integruojamos funkcijos trūkio taškų aibėsdydį (žr. 7.2 skyrelio papildymus 6.7 skyrelyje).

Pratimai

1. Tegul [a, b] yra neišsigimęs intervalas. Bet kuriam δ > 0 rasti tokį [a, b]skaidinį τ = ti : i = 0, 1, . . . , n, kad jo smulkis |τ | < δ.

2. Įrodyti (6.5) kai a = c arba d = b.

3. Tegul a ≤ c ≤ b. Įrodyti, kad ∫ ba 1Ic = 0.


5. Tegul c ∈ R ir tegul f : [a, b] → R yra funkcija su reikšmėmis f(x) = cvisiems x ∈ [a, b]. Rasti šios funkcijos Riemanno integralą naudojantis tik6.1 apibrėžtimi.

6. Tegul f : [a, b] → R yra funkcija su reikšmėmis f(x) = xa visiems x ∈[a, b] ir kuriam nors a ∈ R\−1. Rasti šios funkcijos Riemanno integraląnaudojantis tik 6.1 apibrėžtimi.

7. Tarkime kad neneigiamai srities funkcijai A 7→ S(A) galioja adityvumosavybė (6.11). Įrodyti, kad jai galioja monotoniškumo savybė (6.12).

8. Įrodyti lygybes (6.15), (6.16) ir (6.17) galiojant su kiekvienu n ∈ N∗.

9. Įrodyti lygybęn∑j=1

j3 = n2(n+ 1)2

4 =( n∑j=1

j)2

galiojant su kiekvienu n ∈ N∗ ir rasti ribą limn→∞ S(An), kai S(An) api-brėžta (6.14) sąryšiu ir f(x) = x3 kiekvienam x ∈ [1, 2].

2Henri Lebesgue (1875-1941), prancūzų matematikas.


10. Analogiškai (6.18), rasti sritiesA := (x, y) : x ∈ [a, b], o y yra tarp 0 ir f(x)plotą, kai funkcija f yra duota reikšmėmis

(a) f(x) = x2 + 1, x ∈ [a, b] = [0, 1];(b) f(x) = 2x2 − 1, x ∈ [a, b] = [−2, 0];(c) f(x) = 1− x2, x ∈ [a, b] = [−2, 2].

11. Įrodyti (6.19).


13. Įrodyti 6.9 teoremą, kai funkcijos tolydumo prielaida yra pakeista jos mo-notoniškumo prielaida.

6.2 Riemann’o integralo egzistavimas ir savybėsŽinojimas, kad duotos funkcijos integralas (skaičius) egzistuoja nereiškia to in-tegralo reikšmės žinojimą. Matematikoje dažnai pakanka žinoti, kad vienos arkitos funkcijos integralas egzistuoja. Todėl labai svarbu rasti tokias funkcijossavybes (aprėžtumas, tolydumas, monotoniškumas ir panašiai), kurios yra pa-kankamos funkcijos integralui egzistuoti. Tokias funkcijos savybes vadinsimepakankamomis integralo egzistavimo sąlygomis. Ne mažiau svarbu rasti ir tokiasfunkcijos savybes, kurios yra būtinos integralui egzistuoti, nes jos gali būti nau-dojamos nustatyti tam, kad integralas neegzistuoja. Tokias savybes vadinsimebūtinomis integralo egzistavimo sąlygomis. Integralo konkrečios reikšmės radi-mas yra sunkesnis uždavinys ir tampa aktualiu uždaviniu matematikos taikymuo-se. Kitame skyriuje po fundamentaliosios analizės teoremos įrodymo aptarsime,kaip ji naudojama funkcijos integralo reikšmės radimui.

Toliau parodome, kad funkcijos aprėžtumas yra būtina sąlyga tos funkcijosRiemanno integralui egzistuoti.

6.11 teorema. R-integruojama uždarame intervale funkcija yra aprėžta tame in-tervale.

Įrodymas. Nagrinėkime funkciją f : [a, b] → R. Remiantis kontrapozicija (??teoremos (b) teiginys), pakanka įrodyti implikaciją: jei f nėra aprėžta, tai f nėraR-integruojama. Galime tarti, kad funkcija f yra neaprėžta iš viršaus; atvejukai funkcija f neaprėžta iš apačios, samprotavimai simetriški. Dėl funkcijos fneaprėžtumo iš viršaus egzistuoja tokia intervalo [a, b] elementų seka (rk), kad

6.2 Riemann’o integralo egzistavimas ir savybės 205

f(rk) → +∞ kai k → ∞. Remiantis 4.8 teorema, galime tarti, kad seka (rk)konverguoja į kurį nors r ∈ [a, b] (kodėl?).

Tegul τ = ti : i = 0, 1, . . . , n yra bet kuris intervalo [a, b] skaidinys. Eg-zistuoja toks j ∈ 1, . . . , n, kad r ∈ [tj−1, tj]. Tarkime, kad r ∈ (tj−1, tj). Siū-lome skaitytojui papildyti įrodimą, kai r = tj−1 arba r = tj . Tegul si yra interva-lų [ti−1, ti], i 6= j žymės. Visiems pakankamai dideliems k ∈ N, rk ∈ [tj−1, tj].Todėl, šiems k ∈ N, aibė

τk :=

(si; [ti−1, ti]) : i ∈ 1, . . . , n \ j∪

(rk; [tj−1, tj])

yra žymėtasis intervalo [a, b] skaidinys ir

limk→∞

S(f ; τk) =n∑i=1i 6=j

f(si)[ti − ti−1] + [tj − tj−1] limk→∞

f(rk) = +∞.

Šis faktas rodo, kad neįmanoma rasti tokio skaičiaus I ∈ R, kuris būti artimassumoms S(f ; τ), kad ir koks smulkus būtų skaidinys τ . Teorema įrodyta.

Tegul f : [0, 1] → R yra funkcija su reikšmėmis f(x) := 1/x kai x ∈ (0, 1]ir f(0) := 0. Nesunku įsitikinti, kad funkcija f nėra aprėžta. Todėl remiantis pa-starąja teorema ši funkcija nėra R-integruojama. Kitaip tariant, ši funkcija nėraR-integruojama, nes jai negalioja būtina integralo egzistavimo sąlyga - aprėžtu-mas.

Funkcija f : [0, 1] → R su reikšmėmis (6.9) yra aprėžta, nes įgyja tik dvireikšmes. Tačiau kaip matėme ji nėra R-integruojama. Todėl funkcijos aprėž-tumas, būdamas būtina R-integruojamumo sąlyga, nėra pakankama Riemannointegralo egzistavimo sąlyga.

Riemanno integralo egzistavimą galima apibūdinti toliau formuluojamu Cau-chy kriterijumi.

6.12 teorema. Tarkime, kad [a, b] yra neišsigimęs intervalas ir f : [a, b] → R.Funkcija f yra R-integruojama intervale [a, b] tada ir tik tada, kai kiekvienamε > 0 egzistuoja toks δ > 0, kad nelygybė∣∣∣S(f ; τ1)− S(f ; τ2)

∣∣∣ < ε (6.20)

galioja visiems intervalo [a, b] žymėtiems skaidiniams τ1 ir τ2, kurių smulkis ma-žesnis už δ.


Įrodymas. Tarkime, kad f yra R-integruojama intervale [a, b]. Duotam ε > 0egzistuoja toks δ > 0, kad nelygybė∣∣∣∣ ∫ b

af − S(f ; τ)

∣∣∣∣ < ε/2

galioja bet kuriam [a, b] žymėtajam skaidiniui τ , kurio smulkis |τ | < δ. Tada vi-siems intervalo [a, b] žymėtiesiems skaidiniams τ1 ir τ2, kurių smulkis mažesnisuž δ, turime∣∣∣S(f ; τ1)− S(f ; τ2)

∣∣∣≤

∣∣∣∣S(f ; τ1)−∫ b

af

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣ ∫ b

af − S(f ; τ2)

∣∣∣ < ε/2 + ε/2 = ε,

t. y. galioja sąlyga (6.20) Riemanno sumoms.Dabar tarkime, kad kiekvienam ε > 0 egzistuoja toks δ > 0, kad nelygybė

(6.20) galioja visiems intervalo [a, b] žymėtiems skaidiniams τ1 ir τ2, kurių smul-kis mažesnis už δ. Naudojant šią prielaidą ir indukciją, gaunama (kaip?) tokianedidėjanti skaičių seka (δn)n≥1, kad nelygybė∣∣∣S(f ; τ1)− S(f ; τ2)

∣∣∣ < 1/n (6.21)

galioja visiems [a, b] žymėtiems skaidiniams τ1 ir τ2, kurių smulkis mažesnis užδn. Kiekvienam n ∈ N∗, tegul κn yra toks intervalo [a, b] žymėtasis skaidinys,kurio smulkis |κn| < δn. Kadangi seka (δn)n≥1 yra nedidėjanti, jei m ≥ n, tai∣∣∣S(f ; κm)− S(f ; κn)

∣∣∣ < 1/n. (6.22)

Realiųjų skaičių seka (S(f ; κn))n≥1 yra Cauchy seka (kodėl?). Remiantis 3.36teorema, ši seka turi ribą, kurią pažymėsime I . Parodysime, kad I = ∫ ba f .Naudodami (6.22) nelygybę ir 3.1.13 pratimo teiginį gauname nelygybę∣∣∣I − S(f ; κn)

∣∣∣ ≤ 1/n (6.23)

kiekvienam n ∈ N∗. Tegul ε > 0 ir N := minn ∈ N∗ : n ≥ 2/ε. Jei τ yratoks intervalo [a, b] žymėtasis skaidinys, kurio smulkis |τ | < δN , tai naudojantis(6.21) ir (6.23), gauname∣∣∣I − S(f ; τ)

∣∣∣ ≤ ∣∣∣I − S(f ; κN)∣∣∣+ ∣∣∣S(f ; κN)− S(f ; τ)

∣∣∣< 1/N + 1/N ≤ ε.

Kadangi ε > 0 yra laisvai pasirinktas, tai funkcija f yra R-integruojama intervale[a, b], ką ir reikėjo įrodyti.


Kitas Riemanno integralo egzistavimo kriterijus turi prasmę tik aprėžtomsfunkcijoms. Tačiau tai nėra trūkumas, nes funkcijos aprėžtumas yra būtina sąly-ga tos funkcijos Riemanno integralui egzistuoti kaip ką tik buvo įrodyta. Nagri-nėkime aprėžtą funkciją f : [a, b] → R ir intervalo [a, b] skaidinį κ = ti : i =0, . . . , n. Kiekviename šio skaidinio intervale [ti−1, ti] yra apibrėžtas funkcijosf mostas (žr. (4.21))

osc[ti−1,ti]

f = supf(u)− f(v) : ti−1 ≤ u ≤ ti, ti−1 ≤ v ≤ ti.

Kiekvienam i ∈ 1, . . . , n tegul mi := inff(u) : u ∈ [ti−1, ti] ir Mi :=supf(u) : u ∈ [ti−1, ti]. Tada osc [ti−1,ti]f = Mi −mi (4.4.2 pratimas). Iliust-ruojant funkcijos f grafiką geometrinėje plokštumoje su Descarteso koordinačiųsistema, stačiakampis [ti−1, ti] × [mi,Mi] yra „dėžutė”, padengianti funkcijos fgrafiką virš intervalo [ti−1, ti]. Todėl skaičių

O(f ;κ) :=n∑i=1

(osc

[ti−1,ti]f)

(ti − ti−1), (6.24)

vadinsime funkcijos f dėžučių suma, atitinkančia skaidinį κ.

6.13 lema. Tarkime, kad funkcija f : [a, b]→ R yra aprėžta, o τ1 ir τ2 yra inter-valo [a, b] skaidiniai. Tada∣∣∣S(f ; τ1)− S(f ; τ2)

∣∣∣ ≤ O(f ; τ1) +O(f ; τ2). (6.25)

Įrodymas. Tegul τ := τ1 ∪ τ2. Tarkime, kad τ1 = (si, [ti−1, ti]) : i = 1, . . . , nir τ = ∪ni=1(ri,j, [ti,j−1, ti,j]) : j ∈ Ii, čia Ii yra indeksų j aibė, kurių reikiasunumeruoti tuos τ elementus ti,j , kurie patenka į (ti−1, ti]. Tada

|S(f ; τ1)− S(f ; τ)|

=∣∣∣∣ n∑i=1

∑j∈Ii

[f(si)− f(ri,j)](ti,j − ti,j−1)∣∣∣∣

≤n∑i=1

∑j∈Ii

|f(si)− f(ri,j)|(ti,j − ti,j−1)

≤n∑i=1

(osc

[ti−1,ti]f)∑j∈Ii

(ti,j − ti,j−1) = O(f ; τ1).

Lygiai taip pat gaunama nelygybė |S(f ; τ) − S(f ; τ2)| ≤ O(f ; τ2). Trikampionelygybė ir dvi pastarosios nelygybės įrodo (6.25).


6.14 lema. Tarkime, kad funkcija f : [a, b] → R yra aprėžta, τ yra intervalo[a, b] skaidinys ir t ∈ (a, b) yra toks taškas, kuris nepriklauso τ . Tada tašku tpapildytą [a, b] skaidinį τ ∪t atitinkančiai dėžučių sumaiO(f ; τ ∪t) galiojanelygybės

O(f ; τ ∪ t) ≤ O(f ; τ) ≤ O(f ; τ ∪ t) + (M −m)|τ |, (6.26)

čia M := sup[a,b] f ir m := inf [a,b] f .

Įrodymas. Tarkime, kad τ = ti : i = 0, . . . , n yra intervalo [a, b] skaidinysir t ∈ (tj−1, tj) su kuriuo nors j ∈ 1, . . . , n. Kadangi osc Af ≤ osc Bf kaiA ⊂ B, tai

O(f ; τ)−O(f ; τ ∪ t)

=(

osc[tj−1,tj ]

f)

(tj − tj−1)−(

osc[tj−1,t]

f)

(t− tj−1)−(

osc[t,tj ]

f)

(tj − t)

≥(

osc[tj−1,tj ]

f)

(tj − tj−1)−(

osc[tj−1,tj ]

f)[

(t− tj−1) + (tj − t)]

= 0.

Kadangi funkcijos mostas osc [a,b]f = M −m (4.4.2 pratimas), tai

O(f ; τ)−O(f ; τ ∪ t)

=(

osc[tj−1,tj ]

f)

(tj − tj−1)−(

osc[tj−1,t]

f)

(t− tj−1)−(

osc[t,tj ]

f)

(tj − t)

≤(

osc[tj−1,tj ]

f)

(tj − tj−1) ≤ (M −m)|τ |.

Gautos nelygybės įrodo (6.26).

6.15 apibrėžtis. Tarkime, kad funkcija f : [a, b] → R yra aprėžta. Sakysime,kad funkcijos f dėžučių suma nykstamai maža, jei su kiekvienu ε > 0 egzistuojatoks intervalo [a, b] skaidinys κ, kad O(f ;κ) ≤ ε.

Kitą teoremą vadinsime funkcijos R-integruojamumo dėžučių sumos kriteri-jumi.

6.16 teorema. Tarkime, kad funkcija f : [a, b] → R yra aprėžta. Funkcija f yraR-integruojama tada ir tik tada, kai jos dėžučių suma nykstamai maža.

Įrodymas. Tarkime, kad f yra R-integruojama. Norėdami įrodyti, kad funkcijosf dėžučių suma nykstamai maža, imkime bet kurį ε > 0. Remiantis Riemanno


integralo apibrėžtimi arba Riemanno integralo Cauchy kriterijumi (6.20) su τ1 =τ2, egzistuoja toks δ > 0, kad nelygybė

∣∣∣∣ n∑i=1

[f(si)− f(ri)](ti − ti−1)∣∣∣∣ < ε

2

galioja kiekvienam [a, b] skaidiniui ti : i = 0, . . . , n, kurio smulkis yra ma-žesnis už δ, ir bet kuriems si ∈ [ti−1, ti] ir ri ∈ [ti−1, ti]. Tegul κ = ti : i =0, . . . , n yra bet kuris intervalo [a, b] skaidinys, kurio smulkis |κ| < δ. Kiekvie-nam i ∈ 1, . . . , n, remiantis supremumo apibrėžtimi (2.2.?? pratimas), galimaparinkti tokius si ∈ [ti−1, ti] ir ri ∈ [ti−1, ti], kad

osc[ti−1,ti]

f ≤ [f(si)− f(ri)] + ε

2(b− a) .

Kiekvieną iš šių nelygybių daugindami iš (ti − ti−1), i ∈ 1, . . . , n, ir po tosudėdami gauname

O(f ;κ) =n∑i=1

(osc

[ti−1,ti]f)

(ti − ti−1)

≤∣∣∣∣ n∑i=1

[f(si)− f(ri)](ti − ti−1)∣∣∣∣+ ε

2(b− a)

n∑i=1

(ti − ti−1)

< ε/2 + ε/2 = ε,

t. y. funkcijos f dėžučių suma nykstamai maža.Tarkime, kad funkcijos f dėžučių suma nykstamai maža. Norėdami įro-

dyti, kad funkcija f yra R-integruojama, dar kartą naudosime Riemanno in-tegralo Cauchy kriterijų. Imkime bet kurį ε > 0. Egzistuoja toks intervalo[a, b] skaidinys κ = rj : j = 0, . . . , k, kad O(f ;κ) < ε/4. Tegul δ :=ε/[4(k − 1)(M − m)], čia M ir m yra funkcijos f mažiausias apatinis ir di-džiausias viršutinis rėžiai. Tegul τ = ti : i = 0, . . . , n yra toks intervalo [a, b]skaidinys, kurio smulkis |τ | < δ. Galime tarti, kad visi elementai r1, . . . , rk−1nepriklauso τ , nes priešingu atveju išrinktume tuos elementus iš κ kurie nepri-klauso τ ir tik su jais atliktume tolesnius veiksmus.

O(f ; τ) ≤ O(f ; τ ∪ r1) + (M −m)δ≤ O(f ; τ ∪ r1, r2) + 2(M −m)δ· · ·

≤ O(f ; τ ∪ r1, . . . , rk−1) + (k − 1)(M −m)δ. (6.27)


Kadangi τ ∪ r1, . . . , rk−1 = κ ∪ t1, . . . , tn−1 (r0 = t0 = a ir rk = tn = b) irnuosekliai taikydami pirmąją nelygybę (6.26) n− 1 kartų, gauname

O(f ; τ ∪ r1, . . . , rk−1) = O(f ;κ ∪ t1, . . . , tn−1) ≤ O(f ;κ).

Pastaroji nelygybė kartu su (6.27) rodo, kad įvertinimas

O(f ; τ) ≤ O(f ;κ) + (k − 1)(M −m)δ < ε/4 + ε/4 = ε/2

galioja bet kuriam [a, b] skaidiniui τ , kurio smulkis |τ | < δ. Remiantis 6.13lema, jei τ1 ir τ2 yra tokie intervalo [a, b] skaidiniai, kad |τ1| < δ ir |τ2| < δ, tai∣∣∣S(f ; τ1)− S(f ; τ2)

∣∣∣ ≤ O(f ; τ1) +O(f ; τ2) < ε/2 + ε/2 = ε.

Funkcija f yra R-integruojama remiantis Cauchy kriterijumi Riemanno integra-lui (6.12 teorema).

Kita teorema rodo, kad uždarame intervale apibrėžtos funkcijos savybė - to-lydumas - yra pakankama Riemanno integralo egzistavimo sąlyga.

6.17 teorema. Tolydi uždarame intervale funkcija yra R-integruojama.

Įrodymas. Tegul [a, b] yra neišsigimęs intervalas ir f : [a, b] → R yra tolydifunkcija. Jos R-integruojamumui įrodyti naudosime dėžučių sumavimo kriterijų(6.16 teorema). Tegul ε > 0. Tolydi uždarame intervale funkcija yra tolygiaitolydi (4.56 teorema) ir todėl egzistuoja toks δ > 0, kad

|f(u)− f(v)| < ε

(b− a) , jei u ∈ [a, b], v ∈ [a, b] ir |u− v| ≤ δ. (6.28)

Tegul κ = ti : i = 0, . . . , n yra toks [a, b] skaidinys, kurio smulkis |κ| < δ.Kiekvienam i ∈ 1, . . . , n, skaičių aibė

|f(u)− f(v)| : u ∈ [ti−1, ti], v ∈ [ti−1, ti]

yra aprėžta skaičiumi ε/(b− a) dėl (6.28). Todėl šios aibės mažiausias viršutinisrėžis osc [ti−1,ti]f taip pat neviršija ε/(b − a). Remiantis funkcijos f dėžučiųsumos apibrėžtimi (6.24), turime

O(f ;κ) =n∑i=1

(osc

[ti−1,ti]f)

(ti − ti−1) ≤ ε

b− a

n∑i=1

(ti − ti−1) = ε,

t. y. funkcijos f dėžučių suma nykstamai maža. Teorema įrodyta.


Dar viena pakankama Riemanno integralo egzistavimo sąlyga - funkcijos mo-notoniškumas - formuluojama kita teorema. Priminsime, kad monotoninė funk-cija gali būti trūki (žr. 4.5 skyrelį).

6.18 teorema. Monotoninė uždarame intervale funkcija yra R-integruojama.

Įrodymas. Tegul [a, b] yra neišsigimęs intervalas ir f : [a, b] → R yra monoto-ninė funkcija. Tarsime, kad f yra nedidėjanti funkcija ir f(a) > f(b); įrody-mas nemažėjančios funkcijos atveju arba kai f(a) = f(b) paliekamas skaity-tojui. Funkcijos R-integruojamumui įrodyti naudosime dėžučių sumavimo kri-terijų (6.16 teorema). Tegul ε > 0, tegul δ := ε/[f(a) − f(b)] > 0 ir tegulκ = ti : i = 0, . . . , n yra toks [a, b] skaidinys, kurio smulkis |κ| < δ. Kadan-gi f yra nedidėjanti funkcija, kiekvienam i ∈ 1, . . . , n, jos mostas intervale[ti−1, ti] yra osc [ti−1,ti]f = f(ti−1) − f(ti) ≥ 0 ir dėžučių suma atitinkanti κskaidinį yra

O(f ;κ) =n∑i=1

(osc

[ti−1,ti]f)

(ti − ti−1) ≤ |κ|n∑i=1

[f(ti−1)− f(ti)] < ε,

t. y. funkcijos f dėžučių suma nykstamai maža. Teorema įrodyta.

Integralo savybės Funkcijos su apibrėžimo sritimi [a, b] Riemanno integraląapibrėžėme taip pat intervale [a, b]. Turi prasmę klausimas ar funkcija integruo-jama mažesniame intervale [c, d] ⊂ [a, b], jei ji integruojama intervale [a, b].Teigiamą atsakymą į šį klausimą duoda kita teorema.

6.19 teorema. Tarkime, kad [a, b] yra neišsigimęs intervalas, funkcija f : [a, b]→R yra R-integruojama intervale [a, b] ir a ≤ c < d ≤ b. Tada f yra R-integruojama intervale [c, d].

Įrodymas. Funkcija f yra aprėžta remiantis 6.11 teorema. Naudosime dėžučiųsumos kriterijų (6.16 teorema) du kartus: funkcijai f ir jos siauriniui į interva-lą [c, d] (?? apibrėžimas). Tegul ε > 0. Remiantis dėžučių sumos kriterijumifunkcijai f egzistuoja toks [a, b] intervalo skaidinys κ, kad O(f ;κ) ≤ ε. Galimatarti, kad c ∈ κ ir d ∈ κ, nes priešingu atveju įterpę trūkstamus taškus į κ, dė-žučių sumą tik sumažintume (6.14 lemma). Tegul g yra funkcijos f siaurinys irτ := [c, d] ∩ κ, Tada aibę τ sudaro tie κ taškai kurie priklauso [c, d], τ yra [c, d]skaidinys ir O(g; τ) ≤ O(f ;κ) ≤ ε, t. y. funkcijos f siauriniui į [c, d] galiojadėžučių sumos nykstamas mažumas.


Priešinga pastarosios teoremos implikacija būtų teiginys, kad intervale [c, d]R-integruojama funkcija yra taip pat R-integruojama didesniame intervale [a, b].Šis priešingas teiginys nėra visada teisingas. Pavyzdžiui, funkcija f : [0, 1]→ Rsu reikšmėmis f(x) := 1/x kai x ∈ (0, 1] ir f(0) := 0 yra R-integruojamaintervale [c, 1] su kiekvienu c ∈ (0, 1) (kodėl?), bet nėra R-integruojama intervale[0, 1] (kodėl?).

Bet kaip pakeitus R-integruojamos funkcijos baigtinį skaičių reikšmių, ji iš-lieka R-integruojama su ta pačia integralo reikšme. Toliau įrodysime šį faktąatskiru atveju.

6.20 teorema. Tarkime, kad funkcija f : [a, b]→ R yra R-integruojama ir c ∈ R.Tegul f : [a, b] → R yra funkcija su reikšmėmis f(x) := f(x) kai x ∈ (a, b] irf(a) := c. Tada f yra R-integruojama ir∫ b

af =

∫ b

af.

Įrodymas. Tegul τ := (si; [ti−1, ti]) : i = 1, . . . , n yra intervalo [a, b] žymė-tasis skaidinys. Jei s1 ∈ (a, t1] tai S(f , τ) = S(f ; τ). Tarkime, kad s1 = a irf(a) 6= c. Naudodami trikampio nelygybę, gauname∣∣∣∣S(f ; τ)−

∫ b

af∣∣∣∣ ≤ ∣∣∣∣S(f ; τ)− S(f ; τ)

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣S(f ; τ)−∫ b

af∣∣∣∣

≤ |c− f(a)|(t1 − a) +∣∣∣∣S(f ; τ)−

∫ b

af∣∣∣∣. (6.29)

Tegul ε > 0. Kadangi f yra R-integruojama, egzistuoja toks δ1 > 0, kad pasku-tinis narys (6.29) išraiškoje yra mažesnis už ε/2 visiems žymėtiems skaidiniams,kurių smulkis mažesnis už δ1. Tegul

δ := minδ1, ε/(2|c− f(a)|).

Tada (6.29) išraiška yra mažesnė už ε visiems žymėtiems skaidiniams τ , kuriųsmulkis |τ | < δ, kas įrodo teoremą.

6.21 teorema. Tarkime, kad funkcija f : [a, b] → R yra R-integruojama. Tadayra R-integruojamas jos modulis |f | ir galioja nelygybė∣∣∣∣ ∫ b

af

∣∣∣∣ ≤ ∫ b

a|f |. (6.30)

Įrodymas. Funkcija f yra aprėžta remiantis 6.11 teorema. Tada yra aprėžtas irjos modulis |f | (4.4.1 pratimas). Todėl funkcijos |f | R-integruojamumui įrodyti


galima naudoti dėžučių sumos kriterijų (6.16 teorema). Tegul ε > 0. Kadangi fyra R-integruojama, egzistuoja toks [a, b] skaidinys κ = ti : i = 0, . . . , n, kadO(f ;κ) ≤ ε. Su kiekvienu i ∈ 1, . . . , n, nelygybė

||f(u)| − |f(v)|| ≤ |f(u)− f(v)|≤ sup|f(x)− f(y)| : ti−1 ≤ x ≤ ti, ti−1 ≤ y ≤ ti= osc

[ti−1,ti]f

galioja visiems u ∈ [ti−1, ti] ir v ∈ [ti−1, ti] (??.?? pratimas). Todėl kiekvienami ∈ 1, . . . , n, galioja nelygybės

osc[ti−1,ti]

|f | ≤ osc[ti−1,ti]

f.

Daugindami šias nelygybes iš (ti − ti−1) ≥ 0 ir jas sumuodami, gauname

O(|f |;κ) =n∑i=1

(osc

[ti−1,ti]|f |)

(ti − ti−1) ≤ O(f ;κ) ≤ ε,

t. y. funkcijos |f | dėžučių suma nykstamai maža ir |f | yra R-integruojama. (6.30)nelygybę siūloma įrodyti skaitytojui (6.1.5 pratimas).

Labai svarbi toliau formuluojama Riemanno integralo savybė vadinama inte-gralo adityvumu. Ji atitinka ploto adityvumo savybę (6.11).

6.22 teorema. Tarkime, kad [a, b] yra neišsigimęs intervalas, f : [a, b] → R yrafunkcija ir a < c < b. Jei f yra R-integruojama intervaluose [a, c] ir [c, b], tai fyra R-integruojama intervale [a, b] ir∫ b

af =

∫ c

af +

∫ b

cf. (6.31)

Įrodymas. Kadangi f yra R-integruojama intervaluose [a, c] ir [c, b], f yra aprėž-ta intervaluose [a, c] ir [c, b] remiantis 6.11 teorema. Todėl f yra aprėžta intervale[a, b]. Funkcijos f R-integruojamumui įrodyti naudosime dėžučių sumos kri-terijų (6.16 teorema). Tegul ε > 0. Egzistuoja [a, c] intervalo skaidinys κ1 ir[c, b] intervalo skaidinys tokie, kad O(f ;κ1) ≤ ε/2 ir O(f ;κ2) ≤ ε/2. Aibėκ := κ1 ∪ κ2 yra [a, b] intervalo skaidinys ir

O(f ;κ) = O(f ;κ1) +O(f ;κ2) ≤ ε/2 + ε/2 = ε,

t. y. funkcijos f dėžučių suma nykstamai maža ir f yra R-integruojama intervale[a, b].


Įrodysime (6.31) lygybę. Tegul ε > 0. Kadangi visi trys integralai (6.31)lygybėje egzistuoja, egzistuoja toks δ > 0, kad kiekvienas iš trijų integralų ski-riasi nuo atitinkamos Riemanno sumos mažiau už ε/3 kai tik skaidinio smulkisyra mažesnis už δ. Tegul τ yra toks [a, b] intervalo skaidinys, kad |τ | < δ irc ∈ τ . Tegul τ1 := τ ∩ [a, c] ir τ2 := τ ∩ [c, b]. Tada τ1 ir τ2 yra atitinka-mai intervalų [a, c] ir [c, b] skaidiniai, kurių smulkis taip pat mažesnis už δ, oS(f ; τ) = S(f ; τ1) + S(f ; τ2). Pridėdami ir atimdami S(f ; τ) ir naudodamitrikampio nelygybę, gauname∣∣∣∣ ∫ b

af −

∫ c

af −

∫ b

cf∣∣∣∣

=∣∣∣∣( ∫ b

af − S(f ; τ)

)−( ∫ c

af − S(f ; τ1)

)−( ∫ b

cf − S(f ; τ1)

)∣∣∣∣≤

∣∣∣∣ ∫ b

af − S(f ; τ)

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣ ∫ c

af − S(f ; τ1)

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣ ∫ b

cf − S(f ; τ2)

∣∣∣∣< ε/3 + ε/3 + ε/3 = ε.

Kadangi ε yra laisvai pasirinktas skaičius, tai kairioji pusė privalo būti nulis, kasįrodo (6.31) lygybę.

Kita Riemanno integralo savybė vadinama integralo tiesiškumu.

6.23 teorema. Tarkime, kad [a, b] yra neišsigimęs intervalas, u ir v yra skaičiai,o f : [a, b] → R ir g : [a, b] → R yra R-integruojamos intervale [a, b] funkci-jos. Tada funkcija uf + vg yra R-integruojama intervale [a, b] ir jos Riemannointegralas ∫ b

a[uf + vg] = u

∫ b

af + v

∫ b

ag. (6.32)

Įrodymas. Galime tarti, kad |u| + |v| > 0, nes priešingu atveju teorema aiš-kiai yra teisinga. Tegul I := u ∫ ba f + v ∫ ba g ir ε > 0. Kadangi f ir g yraR-integruojamos intervale [a, b] funkcijos, egzistuoja toks δ > 0, kad∣∣∣∣ ∫ b

af − S(f ; τ)

∣∣∣∣ < ε

2(|u|+ |v|) ir∣∣∣∣ ∫ b

ag − S(g; τ)

∣∣∣∣ < ε

2(|u|+ |v|) (6.33)

bet kuriam [a, b] žymėtajam skaidiniui τ , kurio smulkis |τ | < δ. Tegul τ =(si; [ti−1, ti]) : i = 1, . . . , n yra toks [a, b] žymėtasis skaidinys, kurio smulkis|τ | < δ. Tada

S(uf + vg; τ) =n∑i=1

(uf + vg)(si)[ti − ti−1]


= un∑i=1

f(si)[ti − ti−1] + vn∑i=1

g(si)[ti − ti−1] = uS(f ; τ) + vS(g; τ).

Naudojantis šiais sąryšiais ir (6.33) nelygybėmis, gauname

∣∣∣I − S(uf + vg; τ)∣∣∣ =

∣∣∣∣u ∫ b

af − uS(f ; τ) + v

∫ b

ag − vS(g; τ)

∣∣∣∣≤ |u|

∣∣∣∣ ∫ b

af − S(f ; τ)

∣∣∣∣+ |v|∣∣∣∣ ∫ b

ag − S(g; τ)

∣∣∣∣ < ε/2 + ε/2 = ε.

Todėl funkcija uf + vg yra R-integruojama intervale [a, b] ir jos Riemanno inte-gralui galioja (6.32), ką ir reikėjo įrodyti.

6.24 teorema. Tarkime, kad funkcija f : [a, b]→ R yra R-integruojama intervale[a, b]. Tada

(b− a) inf[a,b]

f ≤∫ b

af ≤ (b− a) sup

[a,b]f. (6.34)

Įrodymas. Nelygybė (6.34) teisinga, kai a = b. Tarkime, kad b > a. Kadangifunkcija f yra R-integruojama, tai ji yra aprėžta remiantis 6.11 teorema. Todėlinf [a,b] f ir sup[a,b] f yra realūs skaičiai. Tegul τ = (si; [ti−1, ti]) : i = 1, . . . , nyra intervalo [a, b] žymėtasis skaidinys ir S(f ; τ) yra šį skaidinį atitinkanti funk-cijos f Riemanno suma (6.3). Remiantis realiųjų skaičių tvarkos savybėmis (??teorema) galioja nelygybės

S(f ; τ) ≤ sup[a,b]

fn∑i=1

[ti − ti−1] = (b− a) sup[a,b]

f

ir

S(f ; τ) ≥ inf[a,b]

fn∑i=1

[ti − ti−1] = (b− a) inf[a,b]

f.

Tegul τn, n ∈ N∗, yra tokie intervalo [a, b] žymėtieji skaidiniai, kurių smulkis|τn| → 0, kai n → ∞. Tada S(f ; τn) → ∫ ba f kai n → ∞ remiantis 6.7 teo-rema. Gautos nelygybės Riemanno sumoms ir pastarasis konvergavimo faktasįrodo teoremos tvirtinimą (žr. 3.1.17 pratimą).

6.25 išvada. Tarkime, kad funkcija f : [a, b] → R yra R-integruojama intervale[a, b]. Jei f yra tolydi, tai egzistuoja toks taškas c ∈ [a, b], kad

∫ b

af = f(c)(b− a).


Įrodymas. Teiginys teisingas su c = a, kai a = b. Tegul b > a. Kadangi fyra tolydi, tai intervale [a, b] f įgyja maksimalią ir minimalią reikšmes remiantismaksimumo principu (4.51 teorema), t. y. egzistuoja toks u ∈ [a, b], kad f(u) =inf [a,b] f ir egzistuoja toks v ∈ [a, b], kad f(v) = sup[a,b] f . Remiantis 6.24teorema skaičius

y := 1b− a

∫ b

af ∈ [f(u), f(v)].

Dar kartą dėl funkcijos f tolydumo, jai galioja vidurinės reikšmės savybė (4.53teorema) ir todėl egzistuoja toks taškas c ∈ [a, b], kad f(c) = y, ką ir reikėjoįrodyti.

Šį skyrių pradėjome teigdami, kad integralas yra susijęs su sumavimu. Iliust-ruodami šią mintį parodysime, kaip integravimas gali būti naudojamas nustatantar konverguoja eilutė. Būtent, suformuluosime ir įrodysime neneigiamų skaičiųeilutės konvergavimo integralinį požymį.

6.26 teorema. Tegul m ∈ N ir funkcija f : [m,∞) → R yra nedidėjanti irneneigiama. Eilutė

∑∞i=m f(i) konverguoja tada ir tik tada, kai

supn>m

∫ n

mf ∈ R.

Įrodymas. Remiantis 3.50 teorema, neneigiamų skaičių eilutė∑∞i=m f(i) kon-

verguoja tada ir tik tada, kai supn>m∑ni=m f(i) ∈ R. Kadangi funkcija f yra

nedidėjanti, tai kiekvienam i ≥ m

f(i) ≥ f(x) ≥ f(i+ 1)

kai x ∈ [i, i+ 1]. Be to, remiantis 6.1.6 pratimo teiginiu, nelygybės

f(i) ≥∫ i+1

if ≥ f(i+ 1)

galioja kiekvienam i ≥ m. Su bet kuriuo n > m, sumuodami šias nelygybes nuoi = m iki i = n ir naudodami integralo adityvumą, gauname

Sn :=n∑

i=mf(i) ≥

∫ n+1

mf ≥

n∑i=m

f(i+ 1) = Sn+1 − f(m). (6.35)

Naudodami antrąją iš šių nelygybių, turime

Sn+1 ≤ f(m) + supn>m

∫ n

mf


kiekvienam n > m, kas įrodo∑∞i=m f(i) konvergavimą. Atvirkščiai, jei eilutė

konverguoja, tai naudojant pirmąją iš (6.35) nelygybių, gauname

supn>m

∫ n

mf ≤ sup

n>mSn =

∞∑i=m

f(i) ∈ R,


Kitas pavyzdys iliustruoja integralinio požymio taikymą ir tuo pačiu yra al-ternatyvus 3.53 išvados įrodymo būdas.

6.27 pavyzdys. Parodysime, kad eilutė∑∞i=1(1/ir) konverguoja kai r > 1 ir

diverguoja kai 0 < r ≤ 1. Tegul r > 0 ir f(x) := x−r visiems x > 0. Kitameskyrelyje parodysime, kad

∫ n

1x−r dx =

1

1−r

(n1−r − 1

), jei r 6= 1,

lnn, jei r = 1.

Norimas faktas išplaukia iš 6.26 teoremos.

Pratimai

1. Tegul f : [a, b] → R yra neneigiama (t. y. f(x) ≥ 0 visiems x ∈ [a, b]) irR-integruojama funkcija. Įrodyti, kad ∫ ba f ≥ 0.

2. Tarkime, kad funkcija f : [a, b]→ R yra R-integruojama. Taip pat tarkime,kad f yra neneigiama ir egzistuoja taškas t ∈ [a, b], kuriame f yra tolydibei teigiama: f(t) > 0. Įrodyti, kad ∫ ba f > 0.

3. Įrodyti, kad baigtinės variacijos funkcija yra R-integruojama.

4. Tarkime, kad f : [0, 1] → R yra funkcija su reikšmėmis f(x) = 0 kaix ∈ (0, 1] ir f(0) = 1. Įrodyti, kad f yra R-integruojama ir rasti josRiemanno integralą.

5. Tarkime, kad funkcija f : [a, b]→ R ir jos modulis |f | yra R-integruojamos.Įrodyti (6.30) nelygybę.

6. Tarkime, kad funkcijos f : [a, b]→ R ir g : [a, b]→ R yra R-integruojamosir f(x) ≥ g(x) kiekvienam x ∈ [a, b]. Įrodyti, kad ∫ ba f ≥ ∫ ba g.


7. Tarkime, kad [a, b] yra neišsigimęs intervalas ir f : [a, b] → R. Įrodyti,kad funkcija f yra R-integruojama tada ir tik tada, kai egzistuoja skaičiusI ∈ R su savybe: kiekvienam ε > 0 egzistuoja toks [a, b] skaidinys κ, kadnelygybė ∣∣∣I − S(f ; τ)

∣∣∣ < ε

galioja kiekvienam žymėtajam skaidiniui τ gautam smulkinant κ, t. y. τ ⊃κ. Be to, šis skaičius I , jei egzistuoja, yra lygus ∫ ba f .

6.3 Ryšys tarp integravimo ir diferencijavimoTegul f : [a, b]→ R yra tolydi funkcija. Remiantis 6.17 teorema, galima apibrėžtikitą funkciją Φ: [a, b]→ R su reikšmėmis

Φ(x) :=∫ x

af, x ∈ [a, b], (6.36)

kuri yra Riemanno integralas su kintamu viršutiniu rėžiu. Šią funkciją vadinamesankaupos funkcija3. Remiantis toliau įrodyta 6.31 teorema, teisingos lygybės( ∫ x

af)′

= Φ′(x) = f(x), x ∈ (a, b). (6.37)

Toks teiginys vadinamas pirmąja fundamentaliąja analizės teorema (FAT). To-lydi funkcija F : [a, b]→ R, kuri yra diferencijuojama intervalo viduje ir

F ′(x) = f(x), x ∈ (a, b).

vadinama pirmykšte funkcijai f (6.28 apibrėžtis). Pagal pirmąją FAT, sankauposfunkcija Φ yra pirmykštė funkcijai f . Yra ir antroji FAT, kuri papildo pirmąjątokiu būdu. Tegul f yra R-integruojama funkcija, o F : [a, b]→ R yra pirmykštėfunkcijai f . Tada∫ x

aF ′ =

∫ x

af = F (x)− F (a), x ∈ [a, b]. (6.38)

Taigi, bet kuri pirmykštė funkcija F yra yra sankaupos funkcija Φ plius skai-čius F (a). Be to, pastaroji lygybė rodo, kad funkcijos f Riemanno integralasapskaičiuojamas žinant pirmykštę funkcijai f . Plačiau apie šią galimybę rašomaskyrelio gale nagrinėjant neapibrėžtinį integralą.

3Matematinės analizės literatūroje anglų kalba ši funkcija vadinama accumulation function.

6.3 Ryšys tarp integravimo ir diferencijavimo 219

Abi FAT nusako sąryšį tarp diferencijavimo ir integravimo. Pirma, (6.37)sąryšiai rodo, kad integruojant funkciją f ir gautą funkciją po to diferencijuojantgauname pradinę funkciją:

fintegravimas−−−−−−−−−→ Φ diferencijavimas−−−−−−−−−−−→ f

Antra, (6.38) sąryšiai rodo, kad diferencijuojant pirmykštę funkcijai f ir gautąfunkciją po to integruojant gauname pradinę funkciją F :

Fdiferencijavimas−−−−−−−−−−−→ f

integravimas−−−−−−−−−→ F

Šios rodyklės rodo, kad diferencijavimas ir integravimas yra viena kitai atvirkš-tinės operacijos.

Pirmykštė funkcija Siejant diferencijavimą su integravimu svarbų vaidmenįatlieka toliau apibrėžiama funkcija.

6.28 apibrėžtis. Tegul A yra realiųjų skaičių aibė su netuščiu vidumi A irf : A → R. Sakoma, kad funkcija F : A → R yra pirmykštė funkcijai f (angl.primitive or antiderivative), jei F yra tolydi aibėjeA, diferencijuojama jos vidujeA ir išvestinė F ′(x) = f(x) kiekvienam x ∈ A.

Tegul f : R→ R yra funkcija su reikšmėmis

f(x) =

0, jei x < 0,x, jei x ≥ 0.

Šios funkcijos pirmykšte yra funkcija F : R→ R su reikšmėmis

F (x) =

0, jei x < 0,x2

2 , jei x ≥ 0.

Ne visos funkcijos turi pirmykštes kaip rodo kitas pavyzdys.

6.29 pavyzdys. Tegul f : (−1, 1)→ R yra funkcija su reikšmėmis

f(x) =

1, jei x 6= 0,0, jei x = 0.

Prieštaros būdu parodysime, kad ši funkcija neturi pirmykštės. Tarkime, kadF : (−1, 1) → R yra pirmykštė funkcijai f . Todėl F ′(x) = 1 kai x ∈ (−1, 0) ir


x ∈ (0, 1). Parodysime, kad nulyje F yra diferencijuojama, bet F ′(0) = 1 6= 0 =f(0). Remiantis vidutinės reikšmės teorema (5.26 teorema) funkcijai F intervale[0, x] su bet kuriuo x ∈ (0, 1), egzistuoja toks y ∈ (0, x), kad

F (x)− F (0)x− 0 = F ′(y)x

x= 1

Tokią pačią lygybę gauname, kai x ∈ (−1, 0). Todėl funkcijos F išvestinę taškenulis apibrėžiančio skirtuminio santykio riba yra F ′(0) = 1. Tai prieštaraujatam, kad pirmykštės funkcijos išvestinė taške nulis turi būti F ′(0) = f(0) = 0.

Ta pati funkcija f gali turėti daugiau nei vieną pirmykštę funkciją. Iš tikro,jei F yra pirmykštė funkcijai f ir C ∈ R, tai F + C yra pirmykštė funkcijai f ,nes [F (x) + C]′ = F ′(x) kiekvienam x ∈ (a, b). Be to, tos pačios funkcijosbet kurios dvi pirmykštės funkcijos skiriasi tik konstanta. Tai išplaukia iš kitoteiginio.

6.30 lema. Tegul skaičiai a < b. Tarkime, kad dvi tolydžios intervale [a, b] irdifererencijuojamos intervale (a, b) funkcijos F : [a, b] → R ir G : [a, b] → Rturi sutampančias išvestines F ′(x) = G′(x) visiems x ∈ (a, b). Tada egzistuojatoks C ∈ R, kad

F (x) = G(x) + C, x ∈ [a, b].

Įrodymas. Tegul φ(x) := F (x) − G(x), x ∈ [a, b]. Nesunku patikrinti, kadšiomis reikšmėmis apibrėžta funkcija φ yra tolydi intervale [a, b] ir diferencijuo-jama intervale (a, b) ir jos išvestinė funkcija φ′(x) = 0 visiems x ∈ (a, b). Tegulx ∈ (a, b]. Remiantis vidutinės reikšmės teorema (5.26 teorema) funkcijos φsiauriniui į intervalą [a, x], egzistuoja toks c ∈ (a, x), kad

φ(x)− φ(a) = φ′(c)(x− a) = 0,

arbaF (x)−G(x) = F (a)−G(a) =: C.

Kadangi x ∈ (a, b] yra laisvai pasirinktas, tai lema yra įrodyta.

Pirmoji fundamentalioji analizės teorema Tegul f yra funkcija intervale [0, 1]su reikšmėmis f(t) = t visiems t ∈ [0, 1]. Integruodami šią funkciją gaunamesankaupos funkciją Φ su reikšmėmis

Φ(x) =∫ x

0t dt = x2

2 , x ∈ [0, 1].


Paskutinė lygybė įrodyta 6.5pavyzdyje. Diferencijuodami sankaupos funkciją Φgauname

Φ′(x) = x = f(x), x ∈ (0, 1).Parodysime, kad sankaupos funkcija Φ su reikšmėmis (6.36) visada diferenci-juojama jei funkcija f yra tolydi. Tai reiškia, kad integravimas glodina funkciją.Kitokią glodinimo integruojant savybę siūlome įrodyti skaitytojui 6.3.2 pratime.Be to, parodysime, kad sankaupos funkcijos Φ išvestinė visada yra funkcija f ,kaip pastarajame pavyzdyje.

Pirmykštės funkcijos egzistavimo pakankamą sąlygą ir jos radimo būdą siūlokita teorema, vadinama pirmąja fundamentaliąja teorema.

6.31 teorema. Tegul I yra neišsigimęs realiųjų skaičių intervalas, a ∈ I irf : I → R. Tarkime, kad R-integruojamas f siaurinys į kiekvieną uždarą in-tervalą priklausantį I ir Φ(x) :=

∫ xa f , x ∈ I . Jei c ∈ I ir f yra tolydi taške c,

tai Φ yra diferencijuojama taške c ir Φ′(c) = f(c). Jei f yra tolydi, tai Φ yra jospirmykštė funkcija.

Įrodymas. Tarkime, kad c ∈ I ir f yra tolydi taške c. Įrodysime, kad skirtuminissantykis

φ(x) := Φ(x)− Φ(c)x− c

→ f(c), kai x→ c+. (6.39)

Skaitytojui paliekama įrodyti, kad φ(x) → f(c) kai x → c−. Abiejų vienpusiųribų egzistavimas ir lygybė skaičiui f(c) įrodo, kad Φ diferencijuojama taške c irišvestinė Φ′(c) = f(c) (4.29 teorema).

Tegul δ > 0 yra toks, kad (c, c + δ] ⊂ I ir tegul c < x < c + δ. Kadangif − f(c) yra R-integruojama,

|φ(x)− f(c)| = 1x− c

∣∣∣∣ ∫ x

c[f − f(c)]

∣∣∣∣≤ 1

x− c

∫ x

c|f − f(c)|

≤ sup|f(t)− f(c)| : t ∈ [c, x],

remiantis (6.34). Kadangi f tolydi taške c, dešinioji pusė yra kaip norimai mažavisiems x ∈ (c, c + δ) pasirinkus pakankamai mažą δ > 0. Tai įrodo (6.39) irpirmąją teoremos implikaciją.

Dabar tarkime, kad f yra tolydi intervale I . Remiantis pirmąja įrodymo da-limi, intervalo viduje I, integralinė funkcija Φ yra diferencijuojama, tolydi (5.7išvada) ir Φ′ = f . Tam, kad Φ būtų f primityvi funkcija lieka parodyti, kad Φyra tolydi intervalo I galuose, jei šie jam priklauso. Tarkime, kad c yra kairysis


intervalo I galas ir c ∈ I . Tegul δ > 0 yra toks, kad (c, c + δ] ⊂ I ir tegulc < x < c+ δ.∣∣∣Φ(x)− Φ(c)

∣∣∣ =∣∣∣∣ ∫ x

cf∣∣∣∣ ≤ ∫ x

c|f |

≤ (x− c) sup|f(t)| : t ∈ [c, c+ δ],

remiantis (6.34). Kadangi tolydi uždarame intervale yra aprėžta, dešinioji šiosnelygybės yra kaip norimai maža visiems x ∈ (c, c + δ) pasirinkus pakankamaimažą δ > 0. Tai įrodo Φ tolydumą taške c ir antrąją teoremos implikaciją.

Remiantis pastarąja teorema, tolydžios funkcijos f Riemanno integralas sukintamu viršutiniu rėžiu yra pirmykštė funkcija. Kitas pavyzdys rodo, kad šisfaktas nėra teisingas jei funkcija f yra trūki.

6.32 pavyzdys. Tegul f : [0, 2]→ R yra funkcija su reikšmėmis

f(t) :=

0 jei x ∈ [0, 1],1 jei x ∈ (1, 2].

Tada sankaupos funkcija

Φ(x) =∫ x

0f =

0 jei x ∈ [0, 1],x− 1 jei x ∈ (1, 2].

Šiomis reikšmėmis apibrėžta funkcija Φ yra tolydi bet nediferencijuojama (ko-dėl?), taigi ji nėra funkcijos f pirmykšte funkcija.

Antroji fundamentalioji analizės teorema Remiantis pirmąja fundamentalią-ja teorema (6.31 teorema), tolydžios funkcijos f pastumta sankaupos funkcija Φyra pirmykštė funkcijai f . Dabar įrodysime priešingą teiginį: pirmykštė funkcijaif yra pastumta sankaupos funkcija Φ.

6.33 teorema. Tegul skaičiai a < b. Tarkime, kad funkcija f : [a, b] → R yraR-integruojama, o funkcija F : [a, b]→ R yra pirmykštė funkcijai f . Tada

F (x) = F (a) +∫ x

af, x ∈ [a, b]. (6.40)

Įrodymas. Kadangi f yra R-integruojama intervale [a, b], tai Riemanno integ-ralas (6.40) lygybėje egzistuoja kiekvienam x ∈ [a, b] remiantis 6.19 teorema.Įrodysime (6.40) lygybę. Tegul x ∈ (a, b] ir kiekvienam n ∈ N∗, tegul

tn,i := a+ i

n(x− a), i = 0, 1, . . . , n.


Tada taškų aibė tn,i : i = 0, 1, . . . , n yra intervalo [a, x] skaidinys. Remian-tis vidutinės reikšmės teorema (5.26 teorema), su kiekvienu n ∈ N∗ ir i ∈1, . . . , n egzistuoja toks sn,i ∈ (tn,i−1, tn,i) ⊂ (a, x), kad

F (tn,i)− F (tn,i−1) = F ′(sn,i)[tn,i − tn,i−1] = f(sn,i)[tn,i − tn,i−1].

Antroji lygybė galioja, nes F yra pirmykštė funkcijai f . Sumuodami pastarasiaslygybes kai i ∈ 1, . . . , n, gauname, kad naujos lygybės

F (x)− F (a) =n∑i=1

[F (tn,i)− F (tn,i−1)] =n∑i=1

f(sn,i)[tn,i − tn,i−1] (6.41)

galioja kiekvienam n ∈ N∗. Iš kitos pusės, kadangi

max1≤i≤n

[tn,i − tn,i−1] = x− an→ 0, kai n→∞,

remiantis Riemanno integralo apibrėžtimi, duotam ε > 0, nelygybė∣∣∣∣ n∑i=1

f(sn,i)[tn,i − tn,i−1]−∫ x

af∣∣∣∣ < ε

galioja visiems pakankamai dideliems n. Šis faktas kartu su lygybėmis (6.41)įrodo (6.40) kai x ∈ (a, b]. Kadangi atveju x = a lygybė (6.40) galioja dėl (6.7)susitarimo, teorema įrodyta.

Pagal pastarąją teoremą, funkcijos f apibrėžtinis integralas išreiškiamas pir-mykštės funkcijos F reikšmių skirtumu, t.y.∫ b

af = F (b)− F (a).

Jei mokame apskaičiuoti pirmykštės funkcijos F reikšmes, tai galime apskai-čiuoti funkcijos f Riemanno integralą. Anksčiau įrodėme (6.30 lema), kad inter-vale apibrėžtos funkcijos f bet kurios dvi pirmykštės funkcijos skiriasi konstanta.Todėl bet kurios pirmykštės funkcijos F ir konstantosC suma yra bendriausia to-kios funkcijos išraiška. Kitaip tariant, F +C : C ∈ R yra intervale apibrėžtosfunkcijos f visų pirmykščių funkcijų aibė.

6.34 apibrėžtis. Tegul A yra realiųjų skaičių aibė su netuščiu vidumi A ir funk-cija f : A → R turi pirmykštę funkciją. Funkcijos f neapibrėžtiniu integralu,žymimu

∫f(x) dx, vadiname bendriausią jos pirmykštės funkcijos išraišką. Jei

A yra intervalas, C ∈ R ir F yra funkcijos f pirmykštė funkcija, tai∫f(x) dx = F (x) + C, x ∈ A, (6.42)

yra funkcijos f neapibrėžtinis integralas.


Kitas pavyzdys rodo, kad (6.42) nėra bendriausia pirmykštės funkcijos išraiš-ka, kai jos apibrėžimo sritis A nėra intervalas.

6.35 pavyzdys. Tegul f, F : R\0 → R yra funkcijos su reikšmėmis f(x) = 1x

ir F (x) = ln |x| visiems x ∈ R \ 0 = (−∞, 0) ∪ (0,∞). Nesunku patikrin-ti, kad F yra f pirmykštė funkcija. Rasime bendriausią pirmykštės funkcijos -neapibrėžtinio integralo - išraišką.

Tegul G yra bet kuri f pirmykštė funkcija. Jos siaurinys į (0,∞), žymėkimjį G+, yra f siaurinio į tą patį intervalą pirmykštė, kurios bendriausia išraiškayra F+ + C1. G funcijos siaurinys į (−∞, 0), žymėkim jį G−, yra f siaurinioį tą patį intervalą pirmykštė, kurios bendriausia išraiška yra F− + C2. Todėl fneapibrėžtinis integralas yra

∫ 1xdx =

F (x) + C1 kai x > 0,F (x) + C2 kai x < 0.

Kai C1 = 1, o C2 = 2 gauname pirmykštę funkciją, kuri neturi (6.42) išraiškos.

(6.42) simbolis kairėje žymi tipišką (bendriausią) pirmykštę funkciją, o nevisų pirmykščių funkcijų aibę. Verta atkreipti dėmesį į tai, kad pointegrinėsfunkcijos f(x) dx kintamasis x žymi pirmykštės funkcijos kintamąjį. Kitaip yra(apibrėžtinio) Riemanno integralo žymėjime ∫ ba f(x) dx, čia kintamąjį x galimapraleisti, ar pakeisti, nes visas simbolis žymi skaičių, o ne funkciją. Tą ir daromešiame konspekte Riemanno integralą dažnai žymėdami ∫ ba f . Toks neapibrėžtiniointegralo žymėjimas yra tradicijos laikymasis.

Neapibrėžtinių integralų skaičiavimas Funkcijos neapibrėžtinio integralo ra-dimas yra diferencijavimui atvirkštinė operacija, vadinama integravimu. Tiks-liau, jei intervale I apibrėžta funkcija f turi pirmykštę funkciją F , tai

∫f(x) dx =

∫F ′(x) dx = F (x) + C, x ∈ I.

Funkcijos f integravimas reiškia pirmykštės funkcijos F išraiškos radimą. Toliauužrašytos elementariųjų funkcijų neapibrėžtinių integralų formulės patikrinamosrandant atitinkamas pirmykštes funkcijas iš elementariųjų funkcijų diferencijavi-


mo formulių lentelės (žr. 5.3 skyrelį).∫0 dx = C,∫1 dx = x+ C,∫xq dx = C +

xq+1

q+1 , jei q 6= −1,ln x, jei q = −1,

x > 0.∫rx dx = rx

ln r + C, r > 0, r 6= 1,∫sin x dx = − cosx+ C,∫cosx dx = sin x+ C,∫ dx

1 + x2 = arctan x+ C,∫ dx√1− x2

= arcsin x+ C.

Sudėtingesnių funkcijų neapibrėžtiniai integralai apskaičiuojami naudojant to-liau formuluojamas taisykles ir jau žinomus paprastesnių funkcijų neapibrėžti-nius integralus.

Atliekant neapibrėžtinių integralų pertvarkymus tenka juos nuolat lyginti.Tokiu atveju, ką reiškia lygybė tarp reiškinių, kuriuose yra nuo laisvų konstan-tų priklausantys neapibrėžtiniai integralai? Jei lyginami reiškiniai yra tiesiniaineapibrėžtinių integralų atžvilgiu, tai abiejų pusių išvestinės turi sutapti. Iš toseka, kad tokių reiškinių lygybė reiškia, kad jų skirtumas yra laisva konstanta.Pavyzdžiui, taip suprantamas kitas teiginys.

6.36 teorema. Tegul I yra realiųjų skaičių intervalas, f, g : I → R yra funkcijosir k ∈ R. Tarkime, kad f ir g turi pirmykštes funkcijas. Tada

(a) f + g turi pirmykštę funkciją ir∫

[f + g](x) dx =∫f(x) dx+

∫g(x) dx;

(b) f − g turi pirmykštę funkciją ir∫

[f − g](x) dx =∫f(x) dx−

∫g(x) dx;

(c) kf turi pirmykštę funkciją ir∫

[kf ](x) dx = k∫f(x) dx.

Įrodymas. Įrodysime tik (a) teiginį, likusius palikdami įrodyti skaitytojui. TegulF ir G yra, atitinkamai, f ir g pirmykštės funkcijos. Remiantis 5.11(a) teorema,

[F +G]′(x) = F ′(x) +G′(x) = f(x) + g(x) = [f + g](x), visiems x ∈ I.


Todėl F + G yra f + g pirmykštė funkcija, o funkcijos f + g neapibrėžtinisintegralas ∫

[f + g](x) dx = [F +G](x) + C,

čia C ∈ R. Pagal prielaidą∫f(x) dx = F (x) + C1 ir

∫g(x) dx = G(x) + C2,

čia C1 ∈ R ir C2 ∈ R. Tada∫[f + g](x) dx−

∫f(x) dx−

∫g(x) dx

= [F +G](x) + C − F (x)− C1 −G(x)− C2 = C − C1 − C2.

Kadangi C − C1 − C2 įgyja bet kurią reikšmę iš R, tai nurodyta lygybė tarpneapibrėžtinių integralų yra teisinga.

6.37 teorema. Tegul I, J yra realiųjų skaičių intervalai, funkcijos g : I → J irf : J → R. Tarkime, kad g yra diferencijuojama (I viduje), o F yra f pirmykštėfunkcija. Tada ∫

f(g(x))g′(x) dx = F (g(x)) + C, x ∈ I.

Įrodymas. Pagal pirmykštės funkcijos apibrėžimą, F yra diferencijuojama irF ′ =f . Remiantis kompozicijos diferencijavimo taisykle (5.12 teorema), kompozicijaFg yra taip pat diferencijuojama ir

[Fg]′(x) = F ′(g(x))·g′(x) = f(g(x))·g′(x), x ∈ I.

Tai reiškia, kad Fg yra (fg)·g′ pirmykštė funkcija ir teoremos teiginys yrateisingas.

Integravimo dalimis formulė neapibrėžtiniam integralui.

6.38 teorema. Tegul I yra realiųjų skaičių intervalas ir f, g : I → R yra funkci-jos. Tarkime, kad f ir g yra tolydžiai diferencijuojamos intervalo viduje I. Tadafunkcijos f ′g ir fg′ turi pirmykštes ir∫

f(x)g′(x) dx = f(x)g(x)−∫f ′(x)g(x) dx, x ∈ I. (6.43)


Įrodymas. Kadangi f ir g yra tolydžiai diferencijuojamos intervalo viduje I, taif ′·g ir gf ′ yra tolydinės intervale I funkcijos. Remiantis pirmąja FAT (6.31teorema), šios funkcijos turi pirmykštes. Remiantis 6.36 teorema, šių funkcijųsuma taip pat turi pirmykštę ir jos neapibrėžtinis integralas∫

[f ′(x)g(x) + f(x)g′(x)] dx =∫f ′(x)g(x) dx+

∫f(x)g′(x) dx, x ∈ I.

Kita vertus, remiantis funkcijų sandaugos diferencijuojamumu (5.11(b) teorema),sandauga f ·g yra diferencijuojama ir (f ·g)′(x) = f ′(x)g(x)+f(x)g′(x) visiemsx ∈ I. Todėl f ·g yra funkcijos f ′·g + f ·g pirmykštė ir∫

[f ′(x)g(x) + f(x)g′(x)] dx = f(x)g(x) + C, x ∈ I.

Apjungdami gautas išraiškas ir prijungdami „+C" prie vieno iš neapibrėžtiniųintegralų, gauname(6.43) formulę.

Jei nesunkiai galima apskaičiuoti pirmykštę vienos iš dviejų funkcijų f ·g′ir f ′·g, tai naudojant integravimo dalimis formulę galima rasti kitos funkcijospirmykštę. Tai iliustruoja kitas pavyzdys.

6.39 pavyzdys. Naudodami integravimo dalimis formulę apskaičiuosime neapi-brėžtinį integralą ∫

ln x dx, x > 0.

Tegul f(x) := ln x ir g(x) := x kai x > 0. Taip apibrėžtos funkcijos f ir gyra tolydžiai diferencijuojamos, nes f ′(x) = 1

xir g′(x) = 1 kai x > 0. Kadangi

(fg′)(x) = ln x ir ieškome šios funkcijos pirmykštę, tai integravimo dalimis for-mulė gali pagelbėti tik jei sugebėsime rasti (f ′g)(x) = 1 pirmykštę. Akivaizdu,kad 1 pirmykštė yra funkcija x 7→ x. Naudodami (6.43) lygybę gauname∫

ln x dx =∫f(x)g′(x) dx = x· ln x−

∫1 dx = x ln x− x+ C.

Tai ir yra ieškoma išraiška.

Integravimas dalimis Likusioje šio skyrelio dalyje parodysime kaip, naudo-jantis fundamentaliąja analizės teorema, galima įrodyti kitus analizės faktus. Bū-tent įrodysime vieną iš integravimo dalimis formulės variantų: jei a, b, u, v ∈ R,a < u < v < b ir g, h : [a, b] → R yra tolydžios ir tolydžiai diferencijuojamosintervale (a, b), tai ∫ v

u(g′h) = (gh)(v)− (gh)(u)−

∫ v

u(gh′). (6.44)


Šio fakto įrodymui tegul f(t) := (gh)′(t), t ∈ [u, v]. Tada F := gh : [u, v]→ Ryra pirmykštė funkcijai f . Remiantis antrąja fundamentaliosios analizės teorema

F (v)− F (u) =∫ v

uf =

∫ v

u(gh)′ =

∫ v

ug′h+

∫ v

ugh′;

čia pastaroji lygybė gauta naudojant funkcijų sandaugos diferencijavimo taisyk-lę (5.11 teorema (b) teiginys), bei Riemanno integralo tiesiškumo savybę (6.23teorema). Iš čia išplaukia (6.44).

Pratimai

1. Tarkime, kad f : [a, b] → R yra R-integruojama ir neneigiama. Įrodyti,kad funkcija Φ su reikšmėmis (6.36) yra neneigiama. Kada Φ yra didėjantifunkcija?

2. Tarkime, kad f : [a, b] → R yra R-integruojama. Įrodyti, kad funkcija Φsu reikšmėmis (6.36) yra tolygiai tolydi.

3. Tarkime, kad funkcija f : R → R yra tolydi, o funkcija g : R → R yradiferencijuojama. Įrodyti, kad funkcija

x 7→∫ g(x)

0f, x ∈ R,

yra diferencijuojama ir rasti jos išvestinę.

4. Tegul∫f(x) dx = F (x) + C visiems x iš intervalo I ir C ∈ R. Tegul

a, b ∈ R ir a 6= 0. Įrodyti, kad∫f(ax+ b) dx = 1

a·F (ax+ b) + C

visiems x ∈ I ir C ∈ R.

6.4 Netiesioginiai integralaiPraeitame skyrelyje parodėme (6.11 teorema), kad baigtiniame uždarame inter-vale apibrėžta ir R-integruojama funkcija privalo būti aprėžta. Šiame skyrelyjeRiemanno integralas apibendrinamas funkcijoms, kurios yra arba apibrėžtos be-galiniame intervale (pirmosios rūšies netiesioginis integralas), arba neaprėžtosbaigtiniame intervale (antrosios rūšies netiesioginis integralas).

6.4 Netiesioginiai integralai 229

Pirmosios rūšies netiesioginis integralas

6.40 apibrėžtis. Tarkime, kad funkcija f : [a,∞)→ R yra R-integruojama kiek-viename baigtiniame intervale [a, b], b > a. Jei egzistuoja baigtinė riba (skaičius)

∫ ∞a

f := limb→∞

∫ b

af,

tai ji vadinama funkcijos f netiesioginiu integralu intervale [a,∞) ir sakoma,kad funkcijos f netiesioginis integralas intervale [a,∞) konverguoja. Jei riba yrabegalinė arba neegzistuoja, tai sakoma, kad funkcijos f netiesioginis integralasintervale [a,∞) diverguoja.

6.41 pavyzdys. Funkcijos f : R → R su reikšmėmis f(x) = 11+x2 , x ∈ R,

netiesioginis integralas intervale [0,∞) konverguoja, nes

∫ b

0

dx

1 + x2 = arctan(x)∣∣∣∣b0

= arctan(b)→ π

2 =∫ ∞

0

dx

1 + x2

kai b → ∞. Kadangi arktangentas yra pirmykštė funkcijai f , rašydami lygybesnaudojame atitinkamo neapibrėžtinio integralo formule ir antrąja fundamentalią-ja teorema.

Antrosios rūšies netiesioginis integralas

6.42 apibrėžtis. Tarkime, kad a < b ir funkcija f : [a, b)→ R yra R-integruojamakiekviename uždarame intervale [a, x], a < x < b. Jei egzistuoja riba

∫ b−

af := lim

x→b−

∫ x

af,

tai ji vadinama funkcijos f netiesioginiu integralu intervale [a, b) ir sakoma, kadfunkcijos f netiesioginis integralas intervale [a, b) konverguoja.

Sakysime, kad funkcija f : [a, b) → R yra neaprėžta taško b aplinkoje, jei jiyra aprėžta kiekviename uždarame intervale [a, x], a < x < b, ir sup|f(x)| : x ∈[a, b) = +∞. Pavyzdžiui tokia yra funkcija f su reikšmėmis

f(x) =

(b− x)−α kai x ∈ [a, b),0 kai x = b;

čia α > 0.


6.43 teorema. Jei funkcija f : [a, b]→ R yra R-integruojama intervale [a, b], taiegzistuoja jos netiesioginis integralas intervale [a, b) ir∫ b−

af =

∫ b

af.

Ši teorema rodo, kad antrosios rūšies netiesioginis integralas apibendrinaRiemanno integralą.

Netiesioginiams integralams galioja pagrindinės (tiesioginio) Riemanno in-tegralo savybės.

6.5 Henstock’o-Kurzweil’o integralasŠiame skyrelyje skaitytojas supažindinimas su apibendrintuoju Riemanno in-tegralu. Lyginant su Riemanno integralu, naujasis integravimo būdas gerokaipraplečia integruojamų funkcijų klasę; praplečia klasę funkcijų, kurioms galio-ja svarbios analizės teoremos (fundamentalioji analizės teorema); yra apibrėž-tas visoms Lebesgue prasme integruojamoms funkcijoms; yra apibrėžtas visomsfunkcijoms, kurios yra Riemanno integruojamos netiesiogiai. Galiausiai naujojointegralo apibrėžimas labai mažai skiriasi nuo Riemanno integralo apibrėžimo.

Neišsigimusio intervalo [a, b] matuokliu (angl. gauge) vadinama bet kuri funk-cija δ(·) : [a, b] → R su teigiamomis reikšmėmis, t. y. δ(x) > 0 kiekvienamx ∈ [a, b]. Intervalo [a, b] žymėtasis skaidinys τ = (si; [ti−1, ti]) : i = 1, . . . , nyra δ(·)-smulkus, jei

[ti−1, ti] ≤ [si − δ(si), si + δ(si)] kiekvienam i = 1, . . . , n.

Jei matuoklio reikšmės nepriklauso nuo argumento, t. y. jei δ(x) = δ > 0 kiek-vienam x ∈ [a, b], tai žymėtojo skaidinio τ δ(·)-smulkumus yra tas pats, kas josmulkis |τ | ≤ δ.

6.44 apibrėžtis. Tarkime, kad [a, b] yra neišsigimęs intervalas ir f : [a, b] → R.Funkcijos f Henstock’o-Kurzweil’o integralu intervale [a, b] vadinamas skaičiusH ∈ R turintis savybę: kiekvienam ε > 0 egzistuoja toks intervalo [a, b] matuok-lis δ(·) > 0, kad nelygybė ∣∣∣S(f ; τ)−H

∣∣∣ < ε

galioja bet kuriam intervalo [a, b] δ(·)-smulkiam žymėtajam skaidiniui τ . Jei toksskaičius H egzistuoja, tai sakoma, kad funkcija f HK-integruojama intervale[a, b] ir skaičius žymimas

(HK)∫ b

af := (HK)

∫ b

af(t) dt := H.

6.5 Henstock’o-Kurzweil’o integralas 231

Taip pat sakoma, kad funkcija f HK-integruojama, jei ji HK-integruojama savoapibrėžimo srityje.

6.6 pavyzdyje parodėme, kad Dirichlet funkcija (6.9) neintegruojama Rie-manno prasme. Parodysime, kad ši funkcija integruojama Henstocko-Kurzweiloprasme.

6.45 pavyzdys. Tegul f : [0, 1] → R yra funkcija su reikšmėmis (6.9). Nau-dosime tai, kad racionaliųjų skaičių aibė yra skaiti (3.5.5 pratimas). Tegul (rk)yra seka sudaryta iš visų [0, 1] ∩ Q aibės elementų. Tegul ε > 0. Apibrėškimematuoklį δ(·) : [0, 1]→ R su reikšmėmis

δ(x) :=ε/2k+1 kai x = rk,1 kai x ∈ [0, 1] \ Q.

Tegul τ = (si; [ti−1, ti]) : i = 1, . . . , n yra δ(·)-smulkus intervalo [0, 1] žy-mėtasis skaidinys. Jei žymė si yra iracionalusis skaičius, tai f(si) = 0 ir i-tasisnarys Riemanno sumoje S(f ; τ) lygus nuliui. Jei žymė si yra racionalusis skai-čius, tai f(si) = 1 ir i-tasis narys Riemanno sumoje S(f ; τ) lygus ti− ti−1, kurismažesnis už ε/2k su kuriuo nors k. Todėl visa Riemanno suma įvertinama∣∣∣∣ n∑

i=1f(si)(ti − ti−1)

∣∣∣∣ ≤ ∞∑k=1

ε

2k = ε.

Kadangi τ yra bet kuris δ(·)-smulkus intervalo [0, 1] žymėtasis skaidinys, taifunkcija f HK-integruojama ir (HK) ∫ 1

0 f = 0.

6.46 lema. Tegul F : [a, b] → R yra funkcija, c ∈ (a, b) ir m ∈ R. FunkcijaF yra diferencijuojama taške c su išvestine F ′(c) = m tada ir tik tada, kaikiekvienam ε > 0 egzistuoja toks skaičius δ > 0, kad visiems u, v ∈ [a, b]teisinga implikacija: jei

c− δ ≤ u ≤ c ≤ v ≤ c+ δ, (6.45)

tai|F (v)− F (u)−m(v − u)| ≤ ε(v − u). (6.46)

Įrodymas. Tarkime, kad funkcija F yra diferencijuojama taške c su išvestineF ′(c) = m. Remiantis 5.4 teorema, egzistuoja greitai artėjanti į nulį taške cfunkcija r ir lygybė

F (x)− F (c)−m(x− c) = r(x) (6.47)


teisinga visiems x ∈ [a, b]. Tegul ε > 0. Remiantis funkcijos r apibrėžtimi ir(5.2), egzistuoja toks skaičius δ > 0, kad visiems x ∈ [a, b] teisinga implikacija:

jei c− δ ≤ x ≤ c+ δ, tai |r(x)| ≤ ε|x− c|. (6.48)

Tegul u, v ∈ [a, b] yra tokie, kad galioja (6.45). Pridėdami ir atimdami c bei F (c)gauname

|F (v)− F (u)−m(v − u)| ≤ |F (v)− F (c)−m(v − c)|+|F (c)− F (u)−m(c− u)|

(6.47) kai x = v ir x = u = |r(v)|+ |r(u)|(6.48) kai x = v ir x = u ≤ ε(v − c) + ε(c− u) = ε(v − u),

t.y. teisinga (6.46).Atvirkščiai, tarkime, kad kiekvienam ε > 0 egzistuoja toks skaičius δ > 0,

kad visiems u, v ∈ [a, b] teisinga implikacija: jei (6.45), tai (6.46). Apibrėžkimefunkciją r : [a, b]→ R taip, kad būtų teisinga (6.47). Tada jai teisinga implikacija(6.48), t.y. r yra greitai artėjanti į nulį taške c funkcija. Dar kartą remiantis 5.4teorema, funkcija F yra diferencijuojama taške c su išvestine F ′(c) = m. Lemaįrodyta.

6.47 teorema. Tarkime, kad funkcija f : [a, b] → R turi pirmykštę F intervale[a, b]. Tada f yra HK-integruojama ir

(HK)∫ b

af = F (b)− F (a). (6.49)

Įrodymas. Tegul ε > 0. Kadangi F diferencijuojama intervale (a, b), remiantis6.46 lema, egzistuoja tokia funkcija δε(·) : (a, b) → (0,∞), kad kiekvienamu, v ∈ [a, b] ir s ∈ (a, b) teisinga implikacija: jei (6.45), tai (6.46) su ε/[3(b− a)]vietoje ε. Kadangi F tolydi taške a, egzistuoja toks δε(a) > 0, kad

|f(a)|(t− a) + |F (t)− F (a)| < ε/3 (6.50)

visiems t ∈ (a, a + δε(a)). Kadangi F tolydi taške b, egzistuoja toks δε(b) > 0,kad

|f(b)|(b− t) + |F (b)− F (t)| < ε/3 (6.51)

visiems t ∈ (b − δε(b), b). Parodysime, kad bet kuriam intervalo [a, b] δε(·)-smulkiam žymėtajam skaidiniui τ teisinga nelygybė∣∣∣S(f ; τ)− [F (b)− F (a)]

∣∣∣ < ε. (6.52)

6.6 Riemann’o-Stieltjes’o integralai 233

Kadangi ε > 0 yra laisvai pasirinktas, tai įrodo (6.49) integralo egzistavimą irlygybę.

Tegul τ = (si; [ti−1, ti]) : i = 1, . . . , n yra δε(·)-smulkus intervalo [a, b]žymėtasis skaidinys. Tarkime, kad s1 ∈ (a, t1] ir sn ∈ [tn−1, b). Kadangi f(si) =F ′(si) kiekvienam i, tai

∣∣∣S(f ; τ)− [F (b)− F (a)]∣∣∣ =

∣∣∣∣ n∑i=1

f(si)[ti − ti−1]−n∑i=1

[F (ti)− F (ti−1)]∣∣∣∣

≤n∑i=1

∣∣∣F (ti)− F (ti−1)− F ′(si)[ti − ti−1]∣∣∣

≤n∑i=1

ε

3(b− a)(ti − ti−1) = ε

3(b− a)(b− a) < ε.

Jei s1 = a ir/arba sn = b, tai kraštinius sumos narius vertiname naudodami(6.50) ir/arba (6.51). Parodėme, kad visais atvejais (6.52) yra teisinga.

6.48 pavyzdys. Remiantis 6.47 teorema, kiekvienam b > 0 teisinga lygybė

(HK)∫ b

0

dx√x

= 2√b.

Iš tikro, tegul f : [0, b] → R yra funkcija su reikšmėmis f(x) = 1√x

kai x ∈(0, b] ir f(0) := 0. Ši funkcija turi pirmykštę F intervale [0, b] su reikšmėmisF (x) = 2

√x, x ∈ [0, b], kuri yra tolydi ir diferencijuojama, kurios išvestinė

F ′(x) = f(x) kiekvienam x ∈ (0, b).

6.6 Riemann’o-Stieltjes’o integralaiTarkime, kad intervalas [a, b] yra neišsigimęs. Tegul f : [a, b]→ R ir g : [a, b]→R yra dvi funkcijos. Su kiekvienu intervalo [a, b] žymėtuoju skaidiniu τ =(si; [ti−1, ti]) : i = 1, . . . , n apibrėšime Riemanno-Stieltjeso sumą

S(f, g; τ) :=n∑i=1

f(si)[g(ti)− g(ti−1)].

6.49 apibrėžtis. Tarkime, kad [a, b] yra neišsigimęs intervalas, f : [a, b] → R irg : [a, b]→ R. Riemann’o-Stieltjes’o integralu intervale [a, b] vadinamas skaičiusI ∈ R turintis savybę: kiekvienam ε > 0 egzistuoja toks δ > 0, kad nelygybė∣∣∣I − S(f, g; τ)

∣∣∣ < ε


galioja bet kuriam intervalo [a, b] žymėtajam skaidiniui τ , kurio smulkis |τ | <δ. Jei toks skaičius I egzistuoja, tai sakoma, kad funkcija f RS-integruojamaintervale [a, b] atžvilgiu funkcijos g ir skaičius žymimas

(RS)∫ b

af dg := (RS)

∫ b

af(t) dg(t) := I.

Taip pat sakoma, kad funkcija f RS-integruojama atžvilgiu funkcijos g, jei ji RS-integruojama savo apibrėžimo srityje.

Intervalo [a, b] skaidinys τ yra intervalo [a, b] skaidinio λ tankinys4 jei λ ⊂τ aibių prasme. Be to yra sakoma kad žymėtasis skaidinys τ yra skaidinio λtankinys jei τ yra λ tankinys.

6.50 apibrėžtis. Tarkime, kad [a, b] yra neišsigimęs intervalas, f : [a, b] → R irg : [a, b]→ R. Sutankintu Riemann’o-Stieltjes’o integralu intervale [a, b] vadina-mas skaičius I ∈ R turintis savybę: kiekvienam ε > 0 egzistuoja toks intervalo[a, b] skaidinys λ, kad nelygybė∣∣∣I − S(f, g; τ)

∣∣∣ < ε

galioja bet kuriam intervalo [a, b] žymėtajam skaidiniui τ , kuris yra λ tankinys.Jei toks skaičius I egzistuoja, tai sakoma, kad funkcija f sRS-integruojama in-tervale [a, b] atžvilgiu funkcijos g ir skaičius žymimas

(sRS)∫ b

af dg := (sRS)

∫ b

af(t) dg(t) := I.

Taip pat sakoma, kad funkcija f sRS-integruojama atžvilgiu funkcijos g, jei jisRS-integruojama savo apibrėžimo srityje.

6.7 Papildymai6.1 skyrelis Funkcijos Riemanno integruojamumo Lebesgueo kriterijus

6.51 apibrėžtis. Realiųjų skaičių aibės A matas lygus nuliui, jei su kiekvienuε > 0 egzistuoja toks atvirųjų intervalų skaitus rinkinys Jk : k ∈ N, kad

A ⊂∞⋃k=0

Jk ir∞∑k=0|Jk| ≤ ε,

čia |Jk| yra intervalo Jk ilgis.4Dažnai panašiame kontekste yra naudojamas terminas „smulkinys“ [21, p. 98]. Pastarasis

terminas atspindi aibės [a, b] \ τ smulkumą atžvilgiu aibės [a, b] \ λ. Tuo tarpu mes naudojameterminą „tankinys” norėdami pabrėžti sąryšį tarp pačių skaidinių.

6.7 Papildymai 235

6.52 teorema. Tarkime, kad funkcija f : [a, b] → R yra aprėžta. f yra R-integruojama tada ir tik tada, kai jos trūkio taškų aibės matas lygus nuliui.

Pirmykštė funkcija 6.29 pavyzdys rodo, kad labai paprastos funkcijos gali ne-turėti pirmykštės. Tačiau jei funkcija turi pirmykštę, tai kaip ją rasti? Vienąatsakymą į šį klausimą duoda antroji FAT (6.33 teorema):

6.53 teorema. Tegul f : [a, b] → R turi pirmykštę F : [a, b] → R. Tarkime, kadfunkcija f yra R-integruojama. Tada

F (x) = F (a) + (R)∫ x

af, x ∈ [a, b]. (6.53)

6.52 teorema rodo, kad ne kiekviena aprėžta funkcija yra integruojama Rie-manno prasme. Ar galima rasti pirmykštę funkciją kitaip, nei naudojant Rie-manno integralą? Į šį klausimą teigiamai atsakė H. Lebesgue, tam tikslui api-bendrinęs Riemanno integralo sąvoką.

6.54 teorema. Tegul f : [a, b] → R turi pirmykštę F : [a, b] → R. Tarkime, kadfunkcija f yra aprėžta. Tada f yra integruojama Lebesgue prasme ir

F (x) = F (a) + (L)∫ x

af, x ∈ [a, b]. (6.54)

Pasirodo, kad funkcijos f aprėžtumo prielaidos taip pat galima atsisakyti.Bet tuo atveju reikia naudoti dar bendresnį integralą už Lebesgue integralą.

6.55 teorema. Tegul f : [a, b] → R turi pirmykštę F : [a, b] → R. Tada f yraintegruojama Henstock’o-Kurzweil’o prasme ir

F (x) = F (a) + (HK)∫ x

af, x ∈ [a, b]. (6.55)

Šios teoremos įrodymas yra, pavyzdžiui, [25, Theorem 2.6.2]

7 skyrius

Funkcijų sekos konvergavimas

Iki šiol kalbėta apie skaičių sekos konvergavimą (3 skyrius) ir apie funkcijoskonvergavimą (4, 5 ir 6 skyriai). Šiame skyriuje kalbama apie funkcijų sekoskonvergavimą. Kas yra funkcijų seka ir kodėl įdomus jos konvergavimo klausi-mas?

Paaiškinsime tai pavyzdžiu. Su kiekvienu x ∈ R ir n ∈ N, turime realiųjųskaičių sumą

Sn(x) :=n∑j=0

xj = 1 + x+ x2 + · · ·+ xn ∈ R. (7.1)

Remiantis 3.49 teorema apie geometrinę eilutę, jei x ∈ (−1, 1), tai skaičių seka(Sn(x)) konverguoja į skaičių 1/(1− x). Šį faktą galima performuluoti ir kitaip.Su kiekvienu n ∈ N, tegul Sn yra funkcija iš intervalo (−1, 1) į realiųjų skaičiųaibę R su reikšmėmis (7.1). Be to, skaičiai

S(x) := 1/(1− x), x ∈ (−1, 1) (7.2)

apibrėžia funkciją S : (−1, 1)→ R. Minėtas skaičių geometrinės eilutės konver-gavimo faktas išreiškiamas sąryšiu

limn→∞

Sn(x) = S(x), x ∈ (−1, 1). (7.3)

Tai yra sąryšis tarp funkcijų Sn, n ∈ N, ir funkcijos S reikšmių, kurį toliau vadin-sime funkcijų sekos (Sn) paprastu konvergavimu į funkciją S, vadinamą funkcijųsekos riba. Tokiu atveju taip pat sakoma, kad funkcija S yra aproksimuojamafunkcijomis Sn, n ∈ N.

Nustatytas funkcijų sekos (Sn) paprasto konvergavimo faktas įdomus tuo, kadracionalioji funkcija S aproksimuojama paprastų laipsninių funkcijų suma Sn,

7.1 Funkcijų seka ir jos riba 237

vadinama daugianariu arba polinomu. Žinant daugianarių savybes galima tikėtis,kad jomis aproksimuojama funkcija turės panašias savybes. Norint patikrinti irrealizuoti tokį funkcijų tyrimo metodą reikia apibrėžti minėtas sąvokas (kol kasbuvo kalbama tik apie konkretų pavyzdį) atsakant į klausimus:

(i) kas yra funkcijų seka ir ką galėtų reikšti funkcijų sekos konvergavimas?

(ii) jei seką sudaro tolydžios funkcijos, tai ar ribinė funkcija bus tolydi?

(iii) jei seką sudaro diferencijuojamos funkcijos, tai ar ribinė funkcija bus dife-rencijuojama?

(iv) jei seką sudaro integruojamos funkcijos, tai ar ribinė funkcija bus inte-gruojama?

Šiame skyriuje nagrinėjami suformuluoti klausimai.Tai, kad šių klausimų sprendimas nėra paprastas rodo toks pastebėjimas apie

nagrinėjamas funkcijas Sn ir S. Kiekvienas funkcijų aibės Sn : n ∈ N ele-mentas yra aprėžta funkcija (4.47 apibrėžtis), nes

sup(−1,1)

|Sn| = sup∣∣∣ n∑

j=0xj∣∣∣ : x ∈ (−1, 1)

= n+ 1.

Tuo tarpu funkcija S : (−1, 1) → R su reikšmėmis (7.2) yra neaprėžta. Šis pa-vyzdys rodo, kad neaprėžta funkcija gali būti aproksimuojama aprėžtomis funk-cijomis. Jei funkcijos aprėžtumą vadinti „gera” savybe, tai aproksimuojamafunkcija nebūtinai ją paveldi.

7.1 Funkcijų seka ir jos ribaTarkime, kad A yra realiųjų skaičių aibė ir kiekvienam n ∈ N, fn : A → Ryra funkcija. Tokiu atveju, kiekvienam x ∈ A, šių funkcijų reikšmės taške xapibrėžia realiųjų skaičių seką (fn(x)) = (fn(x))n∈N, kuri yra funkcija iš aibėsN į aibę R (3.1 apibrėžtis). Gauname, kad Descarteso sandaugoje (A × N) ×R apibrėžtas funkcinis sąryšis (tenkina vertikaliosios tiesės požymį) kiekvienaisutvarkytai porai (x, n) ∈ A×N priskiriantis skaičių F (x, n) := fn(x) ∈ R taip,kad

(a) kiekvienam n ∈ N, F (·, n) = fn yra funkcija iš A į R;

(b) kiekvienam x ∈ A, F (x, ·) = (fn(x)) yra funkcija iš N į R, t. y. seka.

238 7 skyrius. Funkcijų sekos konvergavimas

Šį funkcinį sąryšį atitinkančią funkciją F iš A × N į R vadiname funkcijų sekaaibėje A su reikšmėmis fn(x), (x, n) ∈ A × N, ir žymime ją (fn) = (fn)n∈N.Kiekvienam n, funkcija fn vadinama sekos (fn) n-tuoju nariu.

7.1 pastaba. Funkcijų seka yra dviejų argumentų funkcija A × N 3 (x, n) 7→fn(x) ∈ R ir reikšmės išraiškoje fn(x) argumentų žymėjimas yra nesimetriškas.Išskyrus nusistovėjusia tradicija, kito paaiškinimo matyt nėra.

Skyriaus pradžioje nagrinėtos funkcijos Sn, n ∈ N, sudaro funkcijų seką(Sn) aibėje A = R. Iš tikro, kiekvienam n, (7.1) reikšmės apibrėžia funkcijąSn : R→ R, o kiekvienam x ∈ R, (Sn(x)) yra realiųjų skaičių seka. Taigi, (Sn)yra funkcijų seka aibėje R.

Tarkime, kad (fn) yra funkcijų seka aibėje A ⊂ R. Jei x yra aibės A taškaskuriame skaičių seka (fn(x)) konverguoja, tai riba limn→∞ fn(x) yra apibrėžtavieninteliu būdu (3.6 teorema). Tarkime, kad B yra aibė tų x ∈ A, kuriuose seka(fn(x)) konverguoja. Tada aibėje B yra apibrėžta funkcija f su reikšmėmis

f(x) := limn→∞

fn(x), x ∈ B,

nes Descarteso sandaugoje B × R apibrėžtas funkcinis sąryšis (x, f(x)) : x ∈B. Tokiu atveju sakoma, kad funkcijų seka (fn) konverguoja paprastai aibėjeB, o f : B → R yra funkcijų sekos riba, arba ribinė funkcija. Funkcijų sekos(fn) paprastą konvergavimą į funkciją f žymėsime

limn→∞

fn = f arba fn → f kai n→∞.

Pavyzdžiui, tegul (Sn) yra funkcijų seka aibėje R su reikšmėmis (7.1). Šiosfunkcijų sekos nariai yra funkcijos Sn apibrėžtos aibėje R. Remiantis 3.49 teo-rema (geometrinė eilutė), kiekvienam x ∈ (−1, 1) skaičių seka (Sn(x)) konver-guoja į skaičių S(x) := 1/(1− x). Todėl funkcijų seka (Sn) konverguoja aibėjeB := (−1, 1), o funkcija S : B → R yra ribinė funkcija.

Atsakėme į pirmąjį skyriaus pradžioje suformuluotą klausimą. Parodysime,kad atsakymai į kitus klausimus priklauso nuo to ar galima sukeisti vietomisdvi skirtingas ribas. Tarkime, kad funkcijų sekos (fn) aibėje A nariai fn yratolydžios taške c ∈ A funkcijos ir f : A→ R yra šios funkcijų sekos riba. Norintpatikrinti ar funkcija f tolydi taške c ∈ A tarkime, kad aibės A elementų seka(xk) konverguoja į c kai k →∞. Jei lygybių grandinėje

limk→∞

f(xk) = limk→∞

(limn→∞

fn(xk))

?= limn→∞

(limk→∞

fn(xk))

= limn→∞

fn(c) = f(c)

7.1 Funkcijų seka ir jos riba 239

galioja lygybė su klaustuku, tai atsakymas į antrąjį skyriaus pradžioje suformu-luotą klausimą yra teigiamas. Matysime, kad atsakymai į likusius klausimus taippat priklauso nuo galimybės keisti vietomis perėjimą prie ribos.

Kitas paprastas pavyzdys rodo, kad toks keitimas vietomis ribas bendru atve-ju nėra galimas.

7.2 pavyzdys. Su kiekvienu n ∈ N tegul fn(m) := m/(n+m) visiems m ∈ N∗.Šios reikšmės apibrėžia funkcijų seką (fn) aibėje N∗ ir

limm→∞

(limn→∞

fn(m))6= lim

n→∞

(limm→∞

fn(m)).

Iš tikro, kiekvienam m ∈ N∗ riba limn→∞m/(n+m) = 0 ir todėl kairėje pusėjeturime limm→∞ 0 = 0. Tuo tarpu dešinėje pusėje, kiekvienam n ∈ N∗ ribalimm→∞m/(n+m) = 1 ir todėl limn→∞ 1 = 1.

Jei pastarasis pavyzdys gali pasirodyti dirbtinis, tai kitas pavyzdys natūralu-mo prasme turėtų būti labiau įtikinantis. Pavyzdyje apibrėžtos tolydžios funkci-jos paprastai konverguoja į ribinę funkciją, kuri nėra tolydi.

7.3 pavyzdys. Su kiekvienu n ∈ N ir x ∈ [0, 1] tegul fn(x) := xn. Kiekvie-na funkcija fn yra tolydi. Tačiau, su kiekvienu x ∈ [0, 1), limn→∞ x

n = 0,o limn→∞ 1n = 1. Todėl funkcijų seka (fn) konverguoja paprastai į funkcijąf : [0, 1] → R su reikšmėmis f(x) = 0 kai x ∈ [0, 1) ir f(x) = 1 kai x = 1.Funkcija f yra trūki.

Kitame skyrelyje aptariamas tolygiu vadinamas funkcijų sekos konvergavi-mas, kuris išsaugo „gerąsias” konverguojančių funkcijų savybes.

Pratimai

1. Kiekvienam n ∈ N, n ≥ 3 ir x ∈ [0, 1], tegul

fn(x) :=

n2x, jei x ∈ [0, 1/n),2n− n2x, jei x ∈ [1/n, 2/n),0, jei x ∈ [2/n, 1].

Nustatyti ar šiomis reikšmėmis apibrėžta funkcijų seka (fn) konverguojair rasti ribinę funkciją.

2. Kiekvienam n ∈ N∗ ir x ∈ R, tegul

fn(x) :=

min1, nx, jei x ≥ 0,max−1, nx, jei x < 0.

Nustatyti ar šiomis reikšmėmis apibrėžta funkcijų seka (fn)n≥1 konverguo-ja ir jei taip, ar ribinė funkcija tolydi?


3. Su kiekvienu n ∈ N∗, tegul

Qn :=p

q∈ [0, 1] : p ∈ N, q ∈ 1, . . . , n

yra racionaliųjų skaičių aibė, ir

fn(x) :=

1, jei x ∈ Qn,0, jei x ∈ [0, 1] \Qn.

Nustatyti ar šiomis reikšmėmis apibrėžta funkcijų seka (fn)n≥1 konverguo-ja ir rasti ribinę funkciją.

4. Tarkime, kad funkcijų sekos (fn) ir (gn) intervale [a, b] paprastai konver-guoja į funkcijas f : [a, b] → R ir g : [a, b] → R, atitinkamai. Įrodyti, kadfunkcijų seka (gnfn) paprastai konverguoja į funkciją gf .

5. Tarkime, kad funkcijų seka (fn) intervale [a, b] paprastai konverguoja įfunkciją f : [a, b]→ R ir kiekvienas sekos narys fn yra didėjanti funkcija.Nustatyti ar ribinė funkciją yra didėjanti? Atsakymą pagrįsti.

6. 7.3 pavyzdyje apibrėžta funkcijų seka (fn) paprastai konverguoja į funkcijąf . Duotam ε = 1/3 rasti tokį numerį N ∈ N, kad |fn(x) − f(x)| < 1/3visiems n ≥ N , kai x = 0, 5 ir x = 0, 9. Kokią išvadą galima daryti iš šioskaičiavimo rezultatų?

7.2 Tolygus konvergavimasPasirodo, kad šiek tiek stipresnis už paprastąjį funkcijų sekos konvergavimą įga-lina atsakyti teigiamai į paskutinius tris skyriaus pradžioje formuluojamus klau-simus.

7.4 apibrėžtis. Tarkime, kad (fn) yra funkcijų seka realiųjų skaičių aibėje A,B ⊂ A ir f : B → R yra funkcija. Sakoma, kad fn konverguoja tolygiai aibėjeB į f , žymima fn

t→ f kai n → ∞ aibėje B, jei kiekvienam ε > 0 egzistuojatoks N ∈ N, kad visiems n ∈ N teisinga implikacija

jei n ≥ N ir x ∈ A, tai |fn(x)− f(x)| < ε. (7.4)

Sakoma, kad fn konverguoja tolygiai aibėje B, jei egzistuoja tokia funkcijaf : B → R, kad fn

t→ f kai n → ∞ aibėje B. Jei B = A, tai frazė „aibė-je B” praleidžiama.

7.2 Tolygus konvergavimas 241

Kuo skiriasi tolygus konvergavimas nuo paprasto konvergavimo? Mes sako-me, kad fn konverguoja į f paprastai aibėje B, jei kiekvienam x ∈ B, fn(x) →f(x) kai n → ∞. Tai reiškia, kad duotiems x ∈ B ir ε > 0 egzistuoja toksN ∈ N, kad |fn(x) − f(x)| < ε kiekvienam n ≥ N . Šiame paprasto konverga-vimo apibrėžime skaičius N gali priklausyti ne tik nuo ε bet ir nuo x. Tuo tarputolygaus konvergavimo atveju skaičius N yra tas pats kiekvienam x ∈ B. Šiaprasme tolygus konvergavimas yra stipresnė savybė už paprastą konvergavimą.

Žvelgiant į (7.4) implikaciją, galima pastebėti, kad funkcija x 7→ |fn(x) −f(x)| yra aprėžta skaičiumi ε ir todėl jos mažiausias viršutinis rėžis neviršija ε.Dar daugiau, skaitytojas prašomas įrodyti, kad

fnt→ f aibėje B ⇔ lim

n→∞supx∈B|fn(x)− f(x)| = 0

(7.2.1 pratimas).

7.5 pavyzdys. Tarkime, kad funkcijų seka (fn) aibėje R apibrėžta reikšmėmis

fn(x) := x2 + nx

n

visiems n ∈ N∗ ir x ∈ R. Kadangi kiekvienam x ∈ R egzistuoja riba

limn→∞

fn(x) = x+ limn→∞

x2

n= x,

funkcijų seka (fn) paprastai konverguoja aibėje R į funkciją f su reikšmėmisf(x) = x, x ∈ R. Tačiau ši seka aibėje R tolygiai nekonverguoja. Iš tikro, tegulε ∈ (0, 1) ir N ∈ N, yra tokie, kad visiems n ∈ N galioja implikacija

jei n ≥ N ir x ∈ R, tai |fn(x)− f(x)| = x2

n< ε.

Kai n = N , tai paskutinė nelygybė virsta nelygybe N > x2/ε, kas yra neįmano-ma kai x ∈ R yra bet koks. Tą pačią išvadą gauname pastebėję, kad

supx∈R|fn(x)− f(x)| = sup

x∈R

x2

n= +∞

ir pasinaudoję 7.2.1 pratimu.Jei aibę B = R pakeisime bet kuria aprėžta aibe, pavyzdžiui, intervalu B =

[−b, b] su kuriuo nors b > 0, tai funkcijų seka (fn) tolygiai konverguoja aibėje[−b, b]. Iš tikro, tokiu atveju (7.4) galioja kai N := bb2/εc+ 1.


Šio skyriaus įžangoje (7.1) reikšmėmis apibrėžtos funkcijų sekos nariai Snyra aprėžtos funkcijos, o jos ribinė funkcija S yra neaprėžta. Toliau įrodysime,kad tolygiai konverguojančios aprėžtų funkcijų sekos ribinė funkcija privalo būtiaprėžta.

7.6 teorema. Tegul (fn) yra funkcijų seka realiųjų skaičių aibėje A tolygiai kon-verguojanti į funkciją f : A → R. Tarkime, kad supA |fn| ∈ R su kiekvienun ∈ N. Tada supA |f | ∈ R ir

limn→∞

supA|fn| = sup

A|f |. (7.5)

Įrodymas. Kadangi seka (fn) konverguoja į f tolygiai, egzistuoja toks N ∈ N,kad

|fN(x)− f(x)| < 1 ∀ x ∈ A.

Naudodami šį faktą ir trikampio nelygybę gauname, kad

|f(x)| ≤ |f(x)− fN(x)|+ |fN(x)| < 1 + supA|fN |

kiekvienam x ∈ A. Taigi, funkcijos f modulio reikšmių aibė |f(x)| : x ∈ Ayra aprėžta iš viršaus ir todėl funkcija f aprėžta (4.4.1 pratimas).

Dar kartą panašiai naudodami trikampio nelygybę ir mažiausio viršutinio rė-žio egzistavimo faktą gauname, kad nelygybės

supA|fn| ≤ sup

A|fn − f |+ sup

A|f |

irsupA|f | ≤ sup

A|f − fn|+ sup

A|fn|

galioja kiekvienam n ∈ N. Pertvarkę šias nelygybes turime

− supA|fn − f | ≤ sup

A|fn| − sup

A|f | ≤ sup

A|fn − f |

ir, remiantis modulio apibrėžimu, nelygybė∣∣∣∣ supA|fn| − sup

A|f |∣∣∣∣ ≤ sup

A|fn − f |

galioja kiekvienam n ∈ N. Kadangi funkcijų seka (fn) konverguoja į f tolygiai,dešinėje šios nelygybės pusėje esantys skaičiai konverguoja į nulį kai n → ∞(7.2.1 pratimas) ir galioja (7.5), ką ir reikėjo įrodyti.


Kita teorema yra funkcijų sekos tolygaus konvergavimo Cauchy kriterijus.Skaitytojui siūloma pačiam įrodyti šią teoremą (7.2.7 pratimas).

7.7 teorema. Funkcijų seka (fn) aibėje A ⊂ R konverguoja tolygiai aibėje B ⊂A tada ir tik tada, kai kiekvienam ε > 0 egzistuoja N ∈ N toks, kad visiemsn ∈ N ir m ∈ N teisinga imolikacija

jei n ≥ N , m ≥ N ir x ∈ B, tai |fn(x)− fm(x)| < ε.

Naudodami Cauchy kriterijų įrodysime, kad funkcijų sekos tolygus konver-gavimas leidžia sukeisti vietomis ribas:

limx→c

(limn→∞

fn(x))

= limn→∞

(limx→c

fn(x)). (7.6)

Būtent galioja teorema.

7.8 teorema. Tarkime, kad ∅ 6= B ⊂ A ⊂ R ir aibėje A apibrėžta funkcijų seka(fn) tolygiai konverguoja aibėje B į funkciją f : B → R. Tegul c yra aibės Bribinis taškas ir kiekvienam n ∈ N, egzistuoja riba limx→c fn(x) =: rn. Tadaegzistuoja riba limn→∞ rn, egzistuoja riba limx→c f(x) ir abi ribos yra lygios, t.y. galioja (7.6).

Įrodymas. Pirma parodysime, kad seka (rn) konverguoja naudodami konverga-vimo Cauchy kriterijų ir skaičių sekai ir funkcijų sekai. Tegul ε > 0. Remiantis7.7 teorema egzistuoja toks N ∈ N, kad

|fn(x)− fm(x)| < ε

kai n ≥ N , m ≥ N ir x ∈ B. Kadangi kiekvienam n ∈ N ir m ∈ N riba

limx→c|fn(x)− fm(x)| = |rn − rm|,

tai |rn − rm| ≤ ε kai n ≥ N ir m ≥ N , t. y. (rn) yra Cauchy seka. Remiantis3.36 teorema egzistuoja toks r ∈ R, kad seka (rn) konverguoja į r.

Antra parodysime, kad limx→c f(x) = r. Tegul ε > 0. Kadangi (rn) kon-verguoja į r ir (fn) tolygiai konverguoja aibėje B į f , egzistuoja toks m ∈ N,kad

|rm − r| < ε/3 ir |f(x)− fm(x)| < ε/3kiekvienam x ∈ B. Tada egzistuoja toks δ = δ(m) > 0, kad |fm(x)−rm| < ε/3kai x ∈ B ir 0 < |x− c| < δ. Naudojant trikampio nelygybę, turime

|f(x)− r| ≤ |f(x)− fm(x)|+ |fm(x)− rm|+ |rm − r| < ε/3 + ε/3 + ε/3 = ε

tiems x ∈ B, kuriems 0 < |x− c| < δ, ką ir reikėjo įrodyti.


Skaitytojams siūlome įrodyti kitą išvadą naudojant pastarąją teoremą.

7.9 išvada. Tarkime, kad (fn) yra tolydžių funkcijų seka aibėje A tolygiai kon-verguojanti į funkciją f : A→ R. Tada f yra tolydi.

Kitas pavyzdys rodo, kad tolygiai konverguojančios diferencijuojamų funkci-jų sekos riba neprivalo būti diferencijuojama funkcija.

7.10 pavyzdys. Tarkime, kad funkcijų seka (fn) aibėje R apibrėžta reikšmėmis

fn(x) :=√x2 + 1

n

visiems n ∈ N∗ ir x ∈ R. Kadangi kiekvienam x ∈ R riba

limn→∞

fn(x) = limn→∞

√|x|2 + 1

n= |x|,

funkcijų seka (fn) paprastai konverguoja aibėje R į funkciją f su reikšmėmisf(x) = |x|, x ∈ R. Su kiekvienu n ∈ N∗ ir x ∈ R galimi tokie pertvarkymai

|fn(x)− f(x)| = 1n

1√x2 + n−1 + |x|

≤ 1√n

(kodėl?). Tai leidžia parodyti, kad (fn) tolygiai konverguoja į f . Taip pat galimapatikrinti, kad kiekviena funkcija fn yra diferencijuojama, o ribinė funkcija fnėra diferencijuojama taške x = 0.

Kita teorema rodo, kad diferencijuojamų funkcijų riba yra diferencijuojama,jei atitinkamų išvestinių funkcijų seka konverguoja tolygiai.

7.11 teorema. Tarkime, kad (fn) yra funkcijų seka intervale [a, b] ir fn yra di-ferencijuojama intervale (a, b) su kiekvienu n. Taip pat tarkime, kad su kuriuonors c ∈ (a, b) konverguoja skaičių seka (fn(c)). Jei išvestinių funkcijų seka (f ′n)konverguoja tolygiai intervale (a, b), tai egzistuoja tokia funkcija f : [a, b]→ R,kuri yra diferencijuojama intervale (a, b), fn

t→ f kai n→∞ ir

limn→∞

f ′n(x) = f ′(x) (7.7)

kiekvienam x ∈ (a, b).


Įrodymas. Pirmiausia parodysime, kad funkcijų seka (fn) tolygiai konverguoja.Tarkime, kad ε > 0. Remiantis Cauchy kriterijais skaičių sekai (fn(c)) ir funk-cijų sekai (f ′n) egzistuoja toks N ∈ N, kad visiems n ≥ N ir m ≥ N galiojanelygybės

|(fn − fm)(c)| < ε/2 (7.8)

ir|(f ′n − f ′m)(x)| < ε/[2(b− a)], ∀x ∈ (a, b). (7.9)

Remiantis vidutinės reikšmės teorema (5.26 teorema) funkcijai fn − fm ir (7.9)nelygybe, gauname

|(fn − fm)(u)− (fn − fm)(v)| < ε|u− v|2(b− a) ≤

ε

2 (7.10)

bet kuriems u ∈ [a, b] ir v ∈ [a, b], bei visiems n ≥ N ir m ≥ N . Tokiu būdu,atsižvelgę į (7.8) ir (7.10), gauname

|(fn − fm)(x)| ≤ |(fn − fm)(x)− (fn − fm)(c)|+ |(fn − fm)(c)| < ε

visiems x ∈ [a, b], n ≥ N irm ≥ N . Dar kartą remiantis Cauchy kriterijumi (7.7teorema), funkcijų seka (fn) konverguoja tolygiai intervale [a, b], t. y. egzistuojatokia funkcija f : [a, b] → R, kad fn

t→ f kai n → ∞. Liko įrodyti, kad f yradiferencijuojama intervale (a, b) ir galioja (7.7).

Tegul x ∈ (a, b). Visiems t ∈ A := (a− x, 0) ∪ (0, b− x) ir n ∈ N, tegul

φn(t) := fn(x+ t)− fn(x)t

ir φ(t) := f(x+ t)− f(x)t

.

Aišku, kad φn → φ konverguoja kai n → ∞ paprastai aibėje A. Parodysime,kad šis konvergavimas tolygus. Iš tikro, visiems n ∈ N ir t ∈ A, turime

|φn(t)− φ(t)| = limm→∞

|φn(t)− φm(t)|.

Be to, naudojant (7.10) pirmąją nelygybę, gauname

|φn(t)− φm(t)| = 1t

∣∣∣(fn − fm)(x+ t)− (fn − fm)(x)∣∣∣ ≤ ε

2(b− a)

visiems n ∈ N, m ∈ N ir t ∈ A. Todėl φnt→ φ kai n→∞ aibėje A. Remiantis

7.8 teorema šiai funkcijų sekai, leidžiančia sukeisti vietomis ribas, gauname

limt→0

f(x+ t)− f(x)t

= limt→0

(limn→∞

fn(x+ t)− fn(x)t

)= lim

n→∞

(limt→0

fn(x+ t)− fn(x)t

)= lim

n→∞f ′n(x),


t. y. f yra diferencijuojama taške x ir galioja (7.7). Kadangi x ∈ (a, b) yra laisvaipasirinktas, teorema įrodyta.

Šį skyrelį baigsime nagrinėdami klausimą apie galimybę pereiti prie ribos pointegralo ženklu. Kitas pavyzdys rodo, kad R-integruojamų funkcijų paprastaskonvergavimas nėra pakankama sąlyga tokiam veiksmui.

7.12 pavyzdys. Su kiekvienu n ∈ N∗ tegul

fn(x) :=n, jei 0 < x < 1/n,0, jei x = 0 arba 1/n ≤ x ≤ 1.

Remiantis 6.20, 6.22 ir 6.23 teoremomis, šios reikšmės apibrėžia R-integruojamąfunkciją fn : [0, 1]→ R ir jos integralas∫ 1

0fn = n

∫ 1/n

01I(0,1/n) +

∫ 1

1/n0 = n

∫ 1/n

01 = 1.

Kiekvienam x ∈ [0, 1], seka (fn(x)) konverguoja į nulį. Aišku, kad visur nulįįgyjanti funkcija yra R-integruojama ir jos integralas yra lygus nuliui. Tačiau

limn→∞

( ∫ 1

0fn

)= 1 6= 0 =

∫ 1

0

(limn→∞

fn

).

Pastarajame pavyzdyje funkcijų seka (fn) yra neaprėžta. Šio skyrelio papil-dymuose yra suformuluota Arzela aprėžto konvergavimo teorema rodanti, kadaprėžtumo sąlyga yra esminė tam, kad galima būtų pereiti prie ribos po integraloženklu. Čia įrodysime paprastesnę teoremą.

7.13 teorema. Tarkime, kad (fn) yra R-integruojamų funkcijų seka intervale[a, b] tolygiai konverguojanti į funkciją f : [a, b]→ R. Tada f yra R-integruojamair

limn→∞

∫ b

afn =

∫ b

af.

Įrodymas. Funkcijos f R-integruojamumas įrodomas remiantis dėžučių sumoskriterijumi (6.16 teorema). Tam tikslui funkcijos f mostą įvertinsime per funkci-jos fn mostą bet kuriame intervale. Tegul [s, t] ⊂ [a, b]. Bet kuriems u ∈ [s, t] irv ∈ [s, t], pridėdami ir atimdami [fn(u)− fn(v)], turime

f(u)− f(v) = (f − fn)(u)− (f − fn)(v) + [fn(u)− fn(v)]

≤ 2 sup[a,b]|f − fn|+ osc

[s,t]fn.


Todėl aibės f(u)− f(v) : u ∈ [s, t], v ∈ [s, t] mažiausiam viršutiniam rėžiui,t. y. funkcijos f mostui intervale [s, t] taip pat galioja nelygybė

osc[s,t]

f ≤ 2 sup[a,b]|f − fn|+ osc

[s,t]fn.

Tegul ε > 0. Kadangi fn konverguoja į f tolygiai, egzistuoja toks indeksasn ∈ N, kuriam

sup[a,b]|f − fn| <

ε

3(b− a)(7.2.1 pratimas). Kadangi fn yra R-integruojama egzistuoja toks intervalo [a, b]skaidinys τ = ti : i = 0, . . . , k, kad

O(fn; τ) =k∑i=1

(osc

[ti−1,ti]fn

)[ti − ti−1] < ε

3 .

Tada naudodami gautas nelygybes turime

O(f ; τ) =k∑i=1

(osc

[ti−1,ti]f)

[ti − ti−1]

≤ 2 sup[a,b]|f − fn|

k∑i=1

[ti − ti−1] +O(fn;κ)

<2ε3 + ε

3 = ε,

t. y. funkcijai f galioja dėžučių sumos nykstamo mažumo savybė. Taigi funkcijaf yra R-integruojama.

Remiantis 6.23 teorema, funkcija fn− f yra R-integruojama. Tada remiantis6.21 teorema, yra R-integruojamas šios funkcijos modulis |fn − f | ir galiojanelygybės ∣∣∣∣ ∫ b

afn −

∫ b

af∣∣∣∣ ≤ ∫ b

a

∣∣∣fn − f ∣∣∣ ≤ sup[a,b]|fn − f |(b− a).

Dėl funkcijų tolygaus konvergavimo, dešinė šių nelygybių pusė konverguoja įnulį kai n neaprėžtai didėja.

Pratimai

1. Tegul (fn) yra funkcijų seka realiųjų skaičių aibėje A ir f : A → R. Įro-dyti, kad fn

t→ f kai n → ∞ tada ir tik tada, kai su kuriuo nors m ∈ Nskaičių seka (supA |fn − f |)n≥m konverguoja į nulį.


2. Suformuluoti ir įrodyti teoremą analogišką 7.8 teoremai, kai A = B = N∗

ir c yra simbolis +∞. Kokią išvadą galima padaryti dėl 7.2 pavyzdžio?

3. Kiekvienam n ∈ N tegul fn(x) := xn kai x ∈ [0, 1] ir tegul α ∈ (0, 1]. Arfunkcijų seka (fn) intervale [0, α] konverguoja tolygiai? Atsakymą pagrįs-ti.

4. Nustatyti ar 7.1.1 pavyzdžio funkcijų seka konverguoja tolygiai. Atsakymąpagrįsti.



7. Įrodyti funkcijų sekos tolygaus konvergavimo Cauchy kriterijų (7.7 teore-ma). Nuoroda: funkcijų sekos ribinę funkciją konstruoti naudojant skaičiųsekos konvergavimo Cauchy kriterijų.


9. Įrodyti, kad aibėjeA tolygiai konverguojanti aprėžtų funkcijų seka (fn) yratolygiai aprėžta, t. y. supn supA |fn| ∈ R.

10. Tarkime, kad funkcijų sekos (fn) ir (gn) aibėje A tolygiai konverguoja.Įrodyti, kad funkcijų seka (fn + gn) konverguoja tolygiai aibėje A.

11. Tarkime, kad funkcijų seka (fn) intervale [a, b] tolygiai konverguoja į funk-ciją f : [a, b] → R ir ribinė funkcija f yra aprėžta. Įrodyti, kad egzistuojaN ∈ N ir M ∈ R tokie, kad |fn(x)| ≤M visiems n ≥ N ir x ∈ [a, b].

12. Tarkime, kad aprėžtų funkcijų sekos (fn) ir (gn) intervale [a, b] tolygiaikonverguoja. Įrodyti, kad funkcijų seka (fngn) konverguoja tolygiai inter-vale [a, b].

13. Tarkime, kad funkcijų sekos (fn) ir (gn) intervale [a, b] tolygiai konver-guoja į funkcijas f : [a, b] → R ir g : [a, b] → R, atitinkamai. Įrodyti,kad funkcijų seka (gnfn) tolygiai konverguoja į funkciją gf kai f ir g yraaprėžtos. Rasti pavyzdį, kuriame f ir g nėra aprėžtos, o funkcijų sekos(gnfn) konvergavimas į funkciją gf nėra tolygus.

7.3 Funkcijų eilutės 249

14. Tarkime, kad funkcijų seka (fn) intervale [a, b] tolygiai konverguoja į funk-ciją f : [a, b] → R ir funkcija g : R → R yra tolygiai tolydi. Įrodyti, kadfunkcijų seka (gfn) tolygiai konverguoja į funkciją gf

7.3 Funkcijų eilutėsŠiame skyrelyje apibendrinama skaičių eilutės sąvoką (3.4 skyrelis) kai vietojeskaičių yra sumuojamos funkcijos. Panašiu būdu suteikiama prasmė funkcijųsumai, kurioje yra be galo daug dėmenų, bet ne daugiau kaip skaitus kiekis.

7.14 apibrėžtis. Tarkime, kad (fj) yra funkcijų seka realiųjų skaičių aibėje A.Su kiekvienu n ∈ N, funkcijų suma

Sn :=n∑j=0

fj = f0 + f1 + · · ·+ fn

yra funkcija iš aibės A į aibę R, vadinama funkcijų sekos (fj) daline suma. Da-linių sumų seka (Sn) vadinama funkcijų eilute aibėje A ir žymima

∞∑j=0

fj arba∞∑j=0

fj(x), x ∈ A. (7.11)

Kiekviena funkcija fj vadinama šios funkcijų eilutės nariu.

Šioje apibrėžtyje apibūdinta tik tai, kas yra sumuojama. Funkcijų eilutėssumos prasmę nusako kita apibrėžtis.

7.15 apibrėžtis. Tarkime, kad (fj) yra funkcijų seka realiųjų skaičių aibėje Air B ⊂ A. Jei dalinių sumų seka (Sn) konverguoja paprastai aibėje B ⊂ A įfunkciją S, tai sakoma, kad funkcijų eilutė (7.11) konverguoja paprastai aibėjeB ir eilutės suma vadinama funkcija S. Jei dalinių sumų seka (Sn) konverguojaį S tolygiai aibėje B, tai sakome, kad funkcijų eilutė (7.11) konverguoja tolygiaiaibėje B.

Funkcijų eilutės suma S taip pat žymima (7.11) išraiškomis, t.y.∞∑j=0

fj = S = limn→∞

Sn.

Reikia nepamiršti, kad toks žymėjimas gali būti dviprasmiškas. Aiškumo dėlei,kai nieko neteigiama apie šios eilutės sumą S, tai, pabrėžiant šią aplinkybę, (7.11)išraiškos vadinamos formaliąja funkcijų eilute.


Šio skyriaus pradžioje aptartas funkcijų sekos pavyzdys yra taip pat ir pa-prastai konverguojančios funkcijų eilutės pavyzdys:

∞∑j=0

xj = 11− x, x ∈ (−1, 1).

Klausimas, ar ši eilutė konverguoja absoliučiai aibėje (−1, 1)? Atsakant į šįklausimą galima naudotis kita teorema.

7.16 teorema. Tarkime, kad (fj) yra funkcijų seka realiųjų skaičių aibėje A irB ⊂ A.

(a) Jei funkcijų eilutė (7.11) konverguoja paprastai aibėje B, tai (fj) konver-guoja paprastai į nulinę funkciją aibėje B.

(b) Jei funkcijų eilutė (7.11) konverguoja tolygiai aibėjeB, tai (fj) konverguo-ja tolygiai į nulinę funkciją aibėje B.

Šiuose teiginiuose nulinės funkcijos reikšmės yra 0 visiems x ∈ B.

Skaitytojui siūloma pačiam įrodyti šią teoremą (7.3.1 pratimas). Jos teiginiaiyra būtinos funkcijų eilutės konvergavimo sąlygos. Kitos teoremos teiginys yrapakankama funkcijų eilutės tolygaus konvergavimo sąlyga.

7.17 teorema (Weierstrass’o M-požymis). Tarkime, kad (fj) yra funkcijų sekarealiųjų skaičių aibėje A ir B ⊂ A. Tarkime, kad kiekvienam j ∈ N egzistuojatoks skaičius Mj , kad |fj(x)| ≤ Mj visiems x ∈ B ir konverguoja skaičių eilutė∑∞j=0 Mj . Tada funkcijų eilutė (7.11) konverguoja tolygiai aibėje B.

Įrodymas. Tegul ε > 0. Kadangi∑Mi konverguoja (3.41(i) teorema), tai galima

rasti tokį N ∈ N, kad∑mj=nMj < ε visiems m > n ≥ N . Tada bet kuriam

x ∈ B,

∣∣∣Sm(x)− Sn(x)∣∣∣ =

∣∣∣∣ m∑j=n+1

fj(x)∣∣∣∣ ≤ m∑

j=n+1|fj(x)| ≤

m∑j=n+1

Mj < ε. (7.12)

Remiantis funkcijų sekos tolygaus konvergavimo Cauchy kriterijumi, funkcijųeilutė (7.11) konverguoja tolygiai aibėje B.

Toliau parodysime, kad tolygiai konverguojančios funkcijų eilutės narių toly-dumas, diferencijuojamumas ir integruojamumas išlieka galioti eilutės sumai.

7.3 Funkcijų eilutės 251

7.18 teorema. Tarkime, kad (fj) yra funkcijų seka realiųjų skaičių aibėje A irfunkcijų eilutė

∑∞j=0 fj tolygiai konverguoja į funkciją S. Jei kiekvienas eilutės

narys fj yra tolydi funkcija, tai tolydi yra ir funkcijų eilutės suma S.

Įrodymas. Tarkime, kad kiekviena funkcija fj yra tolydi savo apibrėžimo srityjeA. Tada yra tolydi kiekviena dalinė suma Sn, n ∈ N (4.45(i) teorema). Remiantis7.17 ir 7.9 teoremomis, ribinė funkcija S yra tolydi.

Skaitytojui siūloma pačiam įrodyti kitas dvi teoremas (7.3.7 ir 7.3.8 pratimai).

7.19 teorema. Tarkime, kad (fj) yra funkcijų seka intervale [a, b] ir funkcijųeilutė

∑∞j=0 fj tolygiai konverguoja į funkciją S. Jei kiekvienas sekos narys fj

yra R-integruojamas, tai R-integruojama yra ir funkcijų eilutės suma S, bei∫ b

aS =

∞∑j=0

∫ b

afj.

7.20 teorema. Tegul (fj) yra funkcijų seka intervale [a, b]. Tarkime, kad kiekvie-nas sekos narys fj yra diferencijuojama funkcija intervale (a, b), funkcijų eilutė∑∞j=0 f

′j tolygiai konverguoja intervale (a, b) ir skaičių eilutė

∑∞j=0 fj(c) kon-

verguoja su kuriuo nors c ∈ (a, b). Tada funkcijų eilutė∑∞j=0 fj konverguoja

tolygiai intervale [a, b], jos suma S diferencijuojama intervale (a, b) ir

S ′ =∞∑j=0

f ′j.

Pratimai

1. Įrodyti 7.16 teoremą. Nuoroda: galima naudotis atitinkamu Cauchy krite-rijumi.

2. Įrodyti, kad funkcijų eilutė∑∞j=0 x

j , x ∈ (−1, 1), nekonverguoja tolygiaiintervale (−1, 1), bet konverguoja tolygiai intervale [−r, r] jei 0 < r < 1.

3. Įrodyti, kad funkcijų eilutė∑∞j=0 e

−jxxj , x ≥ 0, konverguoja tolygiai inter-vale [0,+∞) ir rasti eilutės sumą. Nuoroda: naudotis ankstesniu pratimu.

4. Tarkime, kad skaičių eilutė∑∞j=0 cj konverguoja absoliučiai. Įrodyti, kad

funkcijų eilutė∑∞j=0 cjx

j konverguoja tolygiai intervale [−1, 1].

5. Tarkime, kad (fj) ir (gj) yra neneigiamų funkcijų sekos realiųjų skaičiųaibėje A ir egzistuoja toks N ∈ N, kad fj(x) ≤ gj(x) visiems j ≥ N irx ∈ A. Įrodyti: jei funkcijų eilutė

∑∞j=0 gj konverguoja tolygiai, tai tolygiai

konverguoja ir funkcijų eilutė∑∞j=0 fj .


6. Tarkime, kad (fj) yra funkcijų seka realiųjų skaičių aibėje A, bet kuriaiskirtingų indeksų porai (j, k) galioja sąlyga

x ∈ A : fj(x) 6= 0 ∩ x ∈ A : fk(x) 6= 0 = ∅,

ir kiekvienam j ∈ N egzistuoja toks Mj ∈ R, kad |fj(x)| ≤ Mj visiemsx ∈ A, o limj→∞Mj = 0. Įrodyti, kad funkcijų eilutė

∑∞j=0 fj konverguo-

ja tolygiai.

7. Įrodyti 7.19 teoremą. Nuoroda: galima naudotis 7.13 teorema.

8. Įrodyti 7.20 teoremą. Nuoroda: galima naudotis 7.11 teorema.

9. Įrodyti, kad funkcija x 7→ S(x) := ∑∞j=0 x

j , x ∈ (−1, 1) yra diferencijuo-jama,

S ′(x) =∞∑j=0

(j + 1)xj

ir rasti šios funkcijų eilutės sumą.

10. Įrodyti, kad funkcijų eilutė∑∞j=0 x(1−x)j , x ∈ [0, 1], konverguoja papras-

tai intervale [0, 1] ir rasti jos sumą. Ar konvergavimas tolygus?

11. Įrodyti, kad funkcijų eilutė∑∞j=0

xj

j! , x ∈ R, konverguoja paprastai, eilutėssuma S diferencijuojama ir S ′(x) = S(x).

7.4 Laipsninės eilutėsTegul a ∈ R ir (cj) yra realiųjų skaičių seka. Šiame skyrelyje nagrinėjamosfunkcijų eilutės

∞∑j=0

cj(x− a)j = c0 + c1(x− a) + c2(x− a)2 + · · · . (7.13)

Tokios eilutės vadinamos laipsninėmis eilutėmis aplink tašką a su koeficientųseka (cj).

Laipsninės eilutės konvergavimo aibė Laipsninės eilutės pavyzdžiu yra jaunagrinėta geometrinė eilutė

∞∑j=0

(x− a)j = 1 + (x− a) + (x− a)2 + · · · .

7.4 Laipsninės eilutės 253

Remiantis 3.49 teorema, ši eilutė diverguoja kai |x− a| ≥ 1, o priešingu atveju,kai |x− a| < 1, eilutė konverguoja ir jos suma yra

∞∑j=0

(x− a)j = 11− (x− a) = 1

(1 + a)− x. (7.14)

Laipsninės eilutės suma nagrinėjama kaip funkcija, kuri turi savo apibrėžimosritį sutampančią su eilutės konvergavimo aibe. Tokio nagrinėjimo prasmė yrata, kad laipsninės eilutės suma gali būti sudėtinga funkcija. Tuo tarpu laipsninėeilutė turi labai paprastą formą ir todėl gali būti naudojama skaičiuojant apytik-res eilutės sumos reikšmes. Geometrinės eilutės konvergavimo aibė yra atvirasintervalas

x ∈ R : |x− a| < 1 = (a− 1, a+ 1),simetriškas a atžvilgiu. Pastebėsime, kad geometrinės eilutės suma (7.14) turiprasmę ir tada, kai x 6∈ (a− 1, a+ 1), bet eilutė tuo atveju diverguoja.

Parodysime, kad (7.13) laipsninės eilutės konvergavimo aibė visada yra in-tervalas, kurio vidus yra simetriškas a atžvilgiu. Tegul (cj) yra (7.13) laipsninėseilutės koeficientų seka ir tegul

ρ := lim supj→∞

|cj|1/j (7.15)

yra skaičių sekos (|cj|1/j) viršutinė riba. Priminsime, kad ρ yra simbolis +∞kai ši seka yra neaprėžta ir ρ yra (neneigiamas) realusis skaičius priešingu atveju(3.32 apibrėžtis). Tegul

R :=

+∞, jei ρ = 0,1/ρ, jei ρ ∈ (0,+∞),0, jei ρ = +∞.

(7.16)

7.21 teorema. Laipsninė eilutė (7.13) konverguoja aibėje I , kuri yra intervalas(baigtinis ar begalinis) priklausantis nuo R (ir ρ) taip, kad:

(a) I = a kai R = 0;

(b) kaiR ∈ (0,+∞), tai a−R ir a+R yra intervalo I galiniai taškai, kuriuoseeilutė gali konverguoti arba diverguoti (ir priklausomai nuo to šie galiniaitaškai gali priklausyti intervalui I arba ne);

(c) I = R kai R = +∞.

Intervalo I viduje (7.13) eilutės konvergavimas yra absoliutus.


Įrodymas. Eilutė konverguoja kai x = a bet kuriuo atveju. Kitais atvejais nau-dosimės eilutės konvergavimo šaknies požymiu (3.54 teorema). Tegul x ∈ R irx 6= a. Tada

lim supj→+∞

|cj(x− a)j|1/j =

+∞, jei ρ = +∞,ρ|x− a|, jei ρ ∈ [0,+∞).

Jei ρ = +∞ arbaR = 0, tai eilutė diverguoja kiekvienam x 6= a, t. y. galioja (a).Jei ρ = 0 arba R = +∞, tai eilutė konverguoja absoliučiai kiekvienam x ∈ R,t. y. galioja (c). Tegul ρ ∈ (0,+∞) arba R ∈ (0,+∞). Eilutė diverguoja kaiρ|x − a| > 1, t. y. kai x 6∈ (a − R, a + R). Eilutė konverguoja absoliučiai kaiρ|x−a| < 1, t. y. kai x ∈ (a−R, a+R). Eilutė gali konverguoti arba diverguotikai ρ|x − a| = 1, t. y. kai x = a − R arba kai x = a + R. Įrodėme (b) ir tuopačiu visą teoremą.

(7.13) laipsninė eilutė savo konvergavimo aibėje, kuri yra intervalas Ia = Ipagal pastarąją teoremą, apibrėžia funkciją Pa : Ia → R su reikšmėmis

Pa(x) :=∞∑j=0

cj(x− a)j, x ∈ Ia.

7.22 apibrėžtis. (7.13) laipsninės eilutės aplink tašką a konvergavimo aibė Ia va-dinama konvergavimo intervalu. Šiame intervale apibrėžta funkcija Pa vadinama(7.13) laipsninės eilutės suma. Koeficientų sekos (cj) ir (7.15) lygybe apibrėž-tas dydis R (neneigiamas skaičius arba simbolis +∞) vadinamas konvergavimospinduliu aplink tašką a.

7.23 pavyzdys. Rasime laipsninės eilutės

∞∑j=1

(x− a)jj

(7.17)

konvergavimo intervalą. Tuo tikslu apskaičiuosime ρ iš (7.15) apibrėžties. Šioslaipsninės eilutės koeficientų seką sudaro neneigiami skaičiai c0 = 0 ir cj = 1/jkai j ≥ 1. Remiantis 3.2.6 pratimu, seka j1/j → 1 kai j →∞. Todėl

ρ = lim supj→∞

1j1/j =

(limj→∞

j1/j)−1

= 1,

o konvergavimo spindulys R = 1/ρ = 1. Remiantis 7.21 teorema, (7.17) laipsni-nė eilutė diverguoja, kai |x− a| > 1 ir konverguoja absoliučiai kai |x− a| < 1.Kai x = a+1, gauname harmoninę skaičių eilutę, kuri diverguoja. Kai x = a−1,


gauname alternuojančią skaičių eilutę, kuri konverguoja (3.46 teorema). Apjun-gę šiuos faktus, galime daryti išvada, kad (7.17) laipsninės eilutės konvergavimointervalas Ia = [a− 1, a+ 1).

Toliau dėl paprastumo nagrinėsime laipsninę eilutę (7.13) kai a = 0, t. y.laipsninę eilutę aplink tašką 0

∞∑j=0

cjxj = c0 + c1x+ c2x

2 + · · · . (7.18)

Remiantis 7.21 teorema, šios laipsninės eilutės konvergavimo aibė yra konverga-vimo intervalas I = I0, kurio galiniai taškai yra −R ir R. Toks supaprastini-mas nemažina bendrumo, nes (7.13) eilutės konvergavimo intervalas Ia skiria-si nuo (7.18) laipsninės eilutės konvergavimo intervalo I0 tik postūmiu, o sumaPa(x) = P (x − a), kur P (x) := P0(x) visiems x ∈ I0 yra (7.18) laipsninėseilutės suma.

Funkciją P apibrėžiančios laipsninės eilutės dalinė suma

Qn(x) =n∑j=0

cjxj = c0 + c1x+ c2x

2 + · · ·+ cnxn (7.19)

yra n-tosios eilės daugianaris su kiekvienu n ∈ N. Tuo tarpu funkcijos P (x)reikšmės (7.18) primena daugianarį, kuris galėtų būti vadinamas „begalinės ei-lės” daugianariu, bet vadinamas laipsnine eilute. Matysime, kad daugeliu atvejų(pavyzdžiui diferencijuojant ar integruojant), funkcija P elgiasi panašiai kaip irdaugianaris Qn.

Pirmiausia parodysime, kad laipsninės eilutės suma yra tolydi funkcija kon-vergavimo intervalo viduje.

7.24 teorema. Tarkime, kad laipsninė eilutė (7.18) konverguoja ir jos konver-gavimo spindulys R 6= 0 (teigiamas arba +∞). Tada kiekvienam r ∈ (0, R),laipsninė eilutė (7.18) intervale [−r, r] konverguoja tolygiai ir jos suma P yratolydi funkcija intervale (−R,R).

Įrodymas. Tegul r ∈ (0, R). Kiekvienam x ∈ [−r, r], turime

|cjxj| = |cj||x|j ≤ |cj|rj.

Remiantis 7.21 teorema, konverguoja skaičių eilutė∑∞j=0 |cj|rj . Remiantis We-

ierstrass’o M-požymiu (7.17 teorema), laipsninė eilutė (7.18) intervale [−r, r]konverguoja tolygiai. Kadangi laipsninės funkcijos cjxj yra tolydžios, tai dėltos pačios priežasties (7.18) eilutės suma P yra tolydi intervale [−r, r]. Kadan-gi r ∈ (0, R) yra laisvai pasirinktas, tai suma P yra tolydi funkcija intervale(−R,R).


Toliau parodysime, kad laipsninės eilutės suma vienareikšmiškai apibrėžiakoeficientų seką (cj) ta prasme, kad dvi eilutės turinčios lygias sumas privaloturėti ir tuos pačius koeficientus.

7.25 teorema. Tarkime, kad laipsninės eilutės (7.18) konvergavimo spindulysR 6= 0 (teigiamas arba +∞) ir jos suma P (x) = 0 kiekvienam x ∈ (−R,R).Tada cj = 0 kiekvienam j ∈ N.

Įrodymas. Naudosime indukciją pagal indeksą j. Kadangi P (0) = c0 ir P (0) =0 pagal prielaidą, tai c0 = 0. Tarkime, kad c0 = · · · = ck su kuriuo nors k ∈ N.Pakanka įrodyti, kad ck+1 = 0. Remiantis indukcijos prielaida, turime

∞∑j=k+1

cjxj = 0, ∀x ∈ (−R,R). (7.20)

Atlikus eilutės sumavimo indekso keitimą, gauname lygybes

∞∑j=k+1

cjxj = xk+1

(ck+1 + c1+k+1x+ · · ·

)= xk+1

∞∑j=0

cj+k+1xj. (7.21)

Kadangi (7.4.6 pratimas)

lim supj→∞

|cj+k+1|1/j = lim supj→∞

|cj|1/j, (7.22)

laipsninės eilutės∑∞j=0 cj+k+1x

j konvergavimo spindulys yraR, t.y. tas pats kon-vergavimo spindulys kaip ir pradinės eilutės. Tarkime, kad Q(x) yra šios eilutėssuma kai x ∈ (−R,R). Dėl (7.20) ir (7.21) lygybių, Q(x) = 0 kai 0 < |x| < R.Kita vertus, remiantis 7.24 teorema, Q yra tolydi funkcija ir todėl Q(0) = 0. Ka-dangi Q(0) = ck+1, tai ck+1 = 0. Remiantis indukcijos principu, ck = 0 visiemsk ∈ N, ką ir reikėjo įrodyti.

Skaitytojui siūloma pačiam įrodyti kitą teiginį (7.4.3 pratimas).

7.26 išvada. Tarkime, kad∑∞j=0 cjx

j ir∑∞j=0 djx

j yra dvi laipsninės eilutės,kurių konvergavimo spinduliai R1 ir R2 nėra lygūs nuliui, o jų sumos yra P1ir P2, atitinkamai. Jei P1(x) = P2(x) visiems x ∈ (−r, r) su kuriuo nors0 < r < minR1, R2, tai cj = dj kiekvienam j ∈ N.


Laipsninės eilutės diferencijavimas ir integravimas Laipsninės eilutės sumayra daugianarių (7.19) riba. Kiekvieno tokio daugianario išvestinė funkcija yradaugianaris

Q′n(x) = c1 + 2c2x+ · · ·+ ncnxn−1 =

n∑j=1

jcjxj−1.

Panariui diferencijuojant (7.18) formaliąją laipsninę eilutę gaunama kita forma-lioji laipsninė eilutė

∞∑j=1

jcjxj−1 =

∞∑j=0

djxj, dj := (j + 1)cj+1, (7.23)

vadinama formaliąja išvestine. Klausimas: ar formalioji išvestinė konverguoja irkoks yra šios laipsninės eilutės sumos ryšys su (7.18) eilutės sumos P išvestineP ′. Parodysime, kad jos sutampa.

7.27 teorema. Tarkime, kad laipsninė eilutė (7.18) konverguoja, jos konvergavi-mo spindulys R 6= 0 (teigiamas arba +∞) ir jos suma yra P . Tada formaliosiosišvestinės konvergavimo spindulys yra R, funkcija P diferencijuojama intervale(−R,R) ir jos išvestinė funkcija lygi formaliosios išvestinės sumai, t. y.

P ′(x) =∞∑j=1

jcjxj−1, x ∈ (−R,R). (7.24)

Įrodymas. Tegul ρ = 1/R yra (7.15) sąryšiu apibrėžtas (7.18) laipsninės eilutėskonvergavimo spindulio atvirkštinis dydis. Rasime formaliosios išvestinės (7.23)konvergavimo spindulį. Remiantis 7.4.4 pratimu, seka (j+1)1/j → 1 kai j →∞.Remiantis (3.24) lygybe ir 7.4.5 pratimu, galioja lygybės

lim supj→∞

|dj|1/j = limj→∞

(j + 1)1/j lim supj→∞

(|cj+1|1/j) = ρ.

Taigi, (7.23) ir (7.18) laipsninių eilučių konvergavimo spinduliai sutampa. Re-miantis 7.24 teorema, formalioji išvestinė konverguoja tolygiai intervale [−r, r]su kiekvienu r ∈ (0, R). Tegul x ∈ (−R,R). Randame tokį r ∈ (0, R), kadx ∈ (−r, r). Remiantis 7.20 teorema kai [a, b] = [−r, r], funkcija P yra diferen-cijuojama taške x ir galioja (7.24). Kadangi x ∈ (−R,R) yra laisvai pasirinktas,tai teorema įrodyta.

Iliustruosime pastarąją teoremą geometrinės eilutės diferencijavimu.


7.28 pavyzdys. Tarkime, kad laipsninės eilutės aplink tašką a = 0 (7.13) koefi-cientų seka cj = 1 visiems j ∈ N. Tai yra geometrinė eilutė, kurios suma

∞∑j=0

xj = 11− x visiems x ∈ (−1, 1),

o jos konvergavimo spindulys R = 1. Remiantis 7.27 teorema, šios eilutės for-malioji išvestinė konverguoja intervale (−1, 1) ir jos suma yra

∞∑j=1

jxj−1 =( 1

1− x

)′= 1

(1− x)2

visiems x ∈ (−1, 1).

Naudojant 7.27 teoremą ir indukciją gauname, kad laipsninė eilutė yra be galodaug kartų diferencijuojama savo konvergavimo intervalo viduje.

7.29 išvada. Tarkime, kad laipsninė eilutė (7.18) konverguoja, jos konvergavimospindulys R 6= 0 (teigiamas arba +∞) ir jos suma yra P . Tada funkcija Pyra diferencijuojama intervale (−R,R) be galo daug kartų ir jos n-tosios eilėsišvestinė taške x ∈ (−R,R) yra

P (n)(x) =∞∑j=n

j(j − 1) · · · (j − n+ 1)cjxj−n n ∈ N∗.

Atskiru atveju, kai x = 0, tai P (n)(0) = n!cn kiekvienam n ∈ N.

Kitaip tariant (7.18) laipsninė eilutė savo konvergavimo intervalo viduje turitokią išraišką:

P (x) = P (0) + P (1)(0)1! x+ P (2)(0)

2! x2 + · · ·+ P (n)(0)n! xn + · · ·

Pereinant prie laipsninių eilučių integravimo klausimo, nagrinėsime tuos laips-ninių eilučių neapibrėžtinius integralus G, kuriems G(0) = 0 (6.34 apibrėžtis).(7.19) daugianario neapibrėžtinis integralas yra∫

Qn(x) dx = c0x+ c1x2

2 + · · ·+ cnxn+1

n+ 1 .

Panariui integruojant (7.18) formaliąją laipsninę eilutę, gaunama kita formaliojilaipsninė eilutė

∞∑j=0

cjj + 1x

j+1 =∞∑j=0

djxj, dj = cj−1

j, j ≥ 1, ir d0 = 0, (7.25)


vadinama formaliuoju neapibrėžtiniu integralu. Klausimas: ar formalusis neapi-brėžtinis integralas konverguoja ir koks yra šios laipsninės eilutės sumosQ ryšyssu (7.18) eilutės suma P . Atsakymas: funkcija Q yra pirmykštė funkcijai P . Šiofakto įrodymas gaunamas naudojant 7.27 teoremą, bei jos įrodymą, ir paliekamasskaitytojui (7.4.7 pratimas).

7.30 teorema. Tarkime, kad laipsninė eilutė (7.18) konverguoja, jos konvergavi-mo spindulys R 6= 0 (teigiamas arba +∞) ir jos suma yra P . Tada formaliojoneapibrėžtinio integralo konvergavimo spindulys yra R ir šios eilutės suma Qyra pirmykštė funkcijai P .

Pastarąją teoremą iliustruosime geometrinės eilutės integravimu.

7.31 pavyzdys. Tarkime, kad laipsninės eilutės aplink tašką a = 0 (7.13) koefci-entų seka cj = 1 visiems j ∈ N. Tai yra geometrinė eilutė, kurios suma

∞∑j=0

xj = 11− x visiems x ∈ (−1, 1),

o jos konvergavimo spindulys R = 1. Remiantis 7.30 teorema, šios eilutės for-malusis neapibrėžtinis integralas konverguoja intervale (−1, 1) ir jos suma yra

∞∑j=0

∫ y

0xj dx =

∞∑j=0

yj+1

j + 1 =∫ y

0

( 11− x

)dx = −

∫ 1−y

1

dx

x= − ln(1− y)

visiems y ∈ (−1, 1). Šią išraišką galima pertvarkyti, atlikus kintamojo y keitimą:x := 1− y, gaunant logaritminės funkcijos išraišką laipsnine eilute aplink taškąa = 1

ln x =∞∑j=1

(−1)j−1

j(x− 1)j (7.26)

visiems x ∈ (0, 2).

Elementariųjų funkcijų skleidimas laipsnine eilute 7.31 pavyzdys rodo, kadlaipsninės eilutės suma gali būti pakankamai sudėtinga elementarioji funkcijalogaritmas. Apibendrinsime šį faktą.

7.32 apibrėžtis. Tegul f : A → R yra funkcija ir a yra aibės A vidinis taškas.Sakoma, kad f yra išskleidžiama laipsnine eilute taško a aplinkoje, jei egzis-tuoja laipsninė eilutė

∑∞j=0 cj(x − a)j , kurios konvergavimo spindulys R > 0,

konvergavimo intervalas Ia = (a−R, a+R) ⊂ A ir

f(x) =∞∑j=0

cj(x− a)j, x ∈ Ia.


Taigi, 7.31 pavyzdys rodo, kad logaritmo funkcija ln x, x ∈ (0,∞), išsklei-džiama laipsnine eilute taško a = 1 aplinkoje ir galioja (7.26) lygybė.

Toliau apibūdinsime bendrą metodą, kurio pagalba galima gauti kitų elemen-tariųjų funkcijų skleidimą laipsnine eilute.

7.33 teorema. Tarkime, kad f : A→ R yra funkcija, a yra aibėsA vidinis taškasir f yra išskleidžiama laipsnine eilute

∑∞j=0 cj(x−a)j taško a aplinkoje Ia. Tada

f yra be galo daug kartų diferencijuojama aibėje Ia ir

cj = f (j)(a)j! , visiems j ∈ N.

Ši teorema yra 7.29 išvados ir 7.32 apibrėžties pasekmė. Ji rodo, kad funkci-jos diferencijuojamumas be galo daug kartų yra būtina sąlyga tam, kad ją galimabūtų išskleisti laipsnine eilute. Klausimas: ar ši diferencijuojamumo sąlyga yrair pakankama? Kitas pavyzdys rodo, kad atsakymas yra neigiamas. Pavyzdžioautorius yra A. L. Cauchy (1789-1857).


f(x) =e−1/x2

, jei x 6= 0,0, jei x = 0.

Ši funkcija yra be galo daug kartų diferencijuojama su išvestine f (n)(0) = 0visiems n ∈ N. Jei ši funkcija būtų išreiškiama laipsnine eilute taško 0 aplinkoje,tai tos eilutės koeficientai cj = 0 remiantis 7.33 teorema. Tokios eilutės sumanulio aplinkoje turėtų būti lygi nuliui ir funkcijos f reikšmėms, kurios nėra lygiosnuliui kai x 6= 0. Ši prieštara rodo, kad funkcijos f neįmanoma išreikšti laipsnineeilute nulio aplinkoje.

Kitoje teoremoje suformuluota pakankama sąlyga tam, kad funkcija būtų iš-skleidžiama laipsnine eilute.

7.35 teorema. Tarkime, kad atviras intervalas Ia = (a − r, a + r) ⊂ R, r > 0,funkcija f : Ia → R yra be galo daug kartų diferencijuojama ir egzistuoja toksM ∈ R, kad

|f (j)(x)| ≤M j visiems j ∈ N ir x ∈ Ia. (7.27)

Tada

f(x) = f(a) +∞∑j=1

f (j)(a)j! (x− a)j visiems x ∈ Ia. (7.28)


Įrodymas. Su kiekvienu n ∈ N∗ tegul

Rn(x) := f(x)− f(a)−n∑j=1

f (j)(a)j! (x− a)j, x ∈ Ia.

Pakanka parodyti, kad Rn(x)→ 0 kai n→∞ kiekvienam x ∈ Ia. Tegul x ∈ Iair n ∈ N∗. Remiantis 5.44 teorema, egzistuoja toks taškas u tarp x ir a, kad

Rn(x) = f (n+1)(u)(n+ 1)! (x− a)n+1.

Naudojant prielaidą (7.27) gauname

|Rn(x)| ≤ |f(n+1)(u)|

(n+ 1)! |x− a|n+1 ≤ Mn+1|x− a|n+1

(n+ 1)! =: an,

ir tai teisinga kiekvienam x ∈ Ia ir n ∈ N∗. Dešinioji pastarosios nelygybės pusėkonverguoja į nulį kai n → ∞, kadangi konverguoja eilutė

∑n an, ką ir reikėjo

įrodyti.

Ši teorema patikslina 5.5 skyrelyje įrodytą Tayloro formulę kai funkcija yrabe galo daug kartų diferencijuojama. Kita apibrėžtis nurodo kaip (7.28) lygybėsdešinėje pusėje esanti laipsninė eilutė yra susijusi su Tayloro vardu1.

7.36 apibrėžtis. Tarkime, kad realusis skaičius a yra realiųjų skaičių aibės Avidinis taškas ir funkcija f : A → R yra be galo daug kartų diferencijuojamataške a. Kiekvienam n ∈ N funkcijos f n-tojo laipsnio Taylor’o daugianariutaške a yra funkcija T f,an : R→ R su reikšmėmis

T f,an (x) := f(a) +n∑j=1

f (j)(a)j! (x− a)j, visiems x ∈ R.

Funkcijos f Taylor’o eilute taške a yra laipsninė eilutė

T f,a(x) := f(a) +∞∑j=1

f (j)(a)j! (x− a)j, visiems x ∈ R.

Sakoma, kad f yra išskleidžiama Taylor’o eilute taško a aplinkoje, jei jos Ta-ylor’o eilutės konvergavimo spindulys R > 0, konvergavimo intervalas Ia =(a−R, a+R) ⊂ A ir f(x) = T f,a(x) visiems x ∈ Ia.

1Brook Taylor (1685-1731), britų matematikas.


Nesunku pastebėti, kad funkcijos Tayloro daugianaris yra jos Tayloro eilutėsdalinė suma.

Parodysime, kad eksponentinė funkcija E : R → R su reikšmėmis E(x) =ex, x ∈ R, yra be galo daug kartų diferencijuojama ir rasime jos skleidinį Tayloroeilute nulio aplinkoje. Naudosimės tuo, kad E ′(x) = E(x) visiems x ∈ R (5.18teorema su r = e). Remiantis indukcija įrodome (7.4.8 pratimas), kad j-tojiišvestinė

E(j)(x) = ex visiems j ∈ N ir x ∈ R. (7.29)

Todėl eksponentinės funkcijos Tayloro eilutė taške nulis yra

TE,0(x) =∞∑j=0

xj

j! = 1 + x

1! + x2

2! + x3

3! + · · · . (7.30)

Rasime šios laipsninės eilutės konvergavimo spindulį. Kadangi

limj→∞

cj+1

cj= lim

j→∞

1j + 1 = 0,

remiantis 3.55 lema, ρ = 0 ir (7.30) laipsninės eilutės konvergavimo spindulysR = +∞. Naudodami 7.35 teoremą parodysime, kad (7.30) laipsninės eilutėssuma P yra eksponentinė funkcija E. Tegul skaičius r > 0 yra bet koks. Tada

|E(j)(x)| = |ex| < er ≤ (rr)j

visiems j ∈ N ir x ∈ I0 = (−r, r). Remiantis 7.35 teorema lygybė

ex =∞∑j=0

xj

j! = 1 + x

1! + x2

2! + x3

3! + · · · (7.31)

galioja visiems x ∈ (−r, r). Kadangi r yra laisvai pasirinktas, tai (7.31) lygybėgalioja visiems x ∈ R.

Analogiškai gaunami kitų elementariųjų funkcijų skleidiniai Tayloro eilute.Pavyzdžiui, logaritminės funkcijos Tayloro eilutė taške vienas yra

ln x =∞∑j=1

(−1)j−1

j(x− 1)j = (x− 1)− (x− 1)2

2 + (x− 1)3

3 − · · · , (7.32)

kai 0 < x < 2. Pakeitus kintamuosius, taip pat turime išraišką

ln(1 + x) = x− x2

2 + x3

3 −x4

4 + · · · =∞∑j=1

(−1)j−1

jxj, x ∈ (−1, 1).


Trigonometrinių funkcijų skleidiniai Tayloro eilute taške nulis yra

sin x = x− x3

3! + x5

5! −x7

7! + · · · =∞∑j=0

(−1)j x2j+1

(2j + 1)! , (7.33)

cosx = 1− x2

2! + x4

4! −x6

6! + · · · =∞∑j=0

(−1)j x2j

(2j)! , (7.34)

visiems x ∈ R

Pratimai

1. Rasti laipsninės eilutės∑∞j=0

2j

(j+2)2xj konvergavimo intervalą.

2. Rasti laipsninės eilutės∑∞j=1

jj

j!xj konvergavimo spindulį. Nuoroda: nau-

dotis 3.55 lema.


4. Įrodyti, kad limj→∞(j+ 1)1/j = 1. Nuoroda: naudotis 3.2.6 pratimu (arba3.4.7 pratimu) ir rodiklinės funkcijos tolydumu (4.72 teorema).

5. Tarkime, kad laipsninės eilutės (7.13) koeficientų sekai (cj) galioja lygybėlim supj→∞ |cj|1/j = ρ. Įrodyti, kad lim supj→∞ |cj+1|1/j = ρ. Nuoroda:naudotis 3.34 teorema apie viršutinę ribą ir rodiklinės funkcijos tolydumu(4.72 teorema).

6. Įrodyti (7.22).


8. Įrodyti, kad eksponentinė funkcija yra be galo daug kartų diferencijuojamair jos išvestinėms galioja (7.29) lygybės.

9. Rasti laipsninės eilutės∑∞j=1 x

j/j, x ∈ (−1, 1), sumą (žr. 7.23 pratimą).

10. Įrodyti logaritminės funkcijos skleidinį (7.32) Tayloro eilute ir nustatyti joskonvergavimo spindulį.

11. Įrodyti sinuso funkcijos skleidinį (7.33) Tayloro eilute ir nustatyti jos kon-vergavimo spindulį.

12. Įrodyti kosinuso funkcijos skleidinį (7.34) Tayloro eilute ir nustatyti joskonvergavimo spindulį.


7.5 Papildymai7.2 skyrelis Arzela aprėžto konvergavimo teorema

7.37 teorema. Tarkime, kad (fn) yra R-integruojamų funkcijų seka intervale[a, b] paprastai konverguojanti į R-integruojamą funkciją f : [a, b] → R. Taippat tarkime, kad seka (fn) yra aprėžta, t. y. egzistuoja toks skaičius M , kad|fn(x)| ≤M visiems n ∈ N ir x ∈ [a, b]. Tada

limn→∞

(R)∫ b

afn = (R)

∫ b

af.

Šioje Arzela teoremoje Riemanno integralams viena iš prielaidų yra ribinėsfunkcijos R-integruojamumas. Šios prielaidos galima atsisakyti, jei vietoje Rie-manno integralo naudojamas Henstocko-Kurzweilo integralas.

7.38 teorema. Tarkime, kad (fn) yra HK-integruojamų funkcijų seka intervale[a, b] paprastai konverguojanti į funkciją f : [a, b] → R. Taip pat tarkime, kadseka (fn) yra aprėžta, t. y. egzistuoja toks skaičius M , kad |fn(x)| ≤M visiemsn ∈ N ir x ∈ [a, b]. Tada f yra HK-integruojama ir

limn→∞

(HK)∫ b

afn = (HK)

∫ b

af.

Šios ir dar bendresnių teoremų įrodymai yra žemiau nurodytoje L. P. Yee irR. Vyborny knygoje.

Papildoma literatūra

1. A. Gordon (2000). A convergence theorem for the Riemann integral. Math.Mag., 73, 141-147. http://www.jstor.org/stable/2691086

2. W. A. J. Luxemburg (1971). Arzela’s dominated convergence theorem forthe Riemann integral. Amer. Math. Monthly, 78, 970-979.

3. N. de Silva (2010). A concise, elementary proof of Arzela’s bounded con-vergence theorem. Amer. Math. Monthly, 117, 918-920.

4. L. P. Yee, R. Vyborny. The Integral: An Easy Approach after Kurzweiland Henstock. Cambridge University Press, 2000.

8 skyrius

Priedas

8.1 Pagrindinės sąvokosFunkcijų klasės Funkcija - ?? apibrėžtis

1. Tolydinės funkcijos

2. Tolygiai tolydinės funkcijos

3. Hölderio funkcijos

4. Lipschitzo funkcijos

5. Diferencijuojamos funkcijos

6. C1 klasės funkcijos

7. Analizinės funkcijos

8. Monotoninės funkcijos

9. Tiesinės ir afininės funkcijos

10. Iškilosios ir įgaubtosios funkcijos

11. Daugianariai (arba polinomai)

12. Elementariosios funkcijos. Pagrindinėmis elementariosiomis funkcijomisvadinamos pastovioji, laipsninė, rodiklinė, logaritminė, trigonometrinės iratvirkštinės trigonometrinės funkcijos. Funkcija, kuri gaunama iš pagrin-dinių elementariųjų funkcijų, atlikus baigtinį aritmetinių operacijų ir kom-pozicijų skaičių, vadinama elementariąja.

266 8 skyrius. Priedas

13. Racionaliosios funkcijos. Racionaliąja funkcija vadinama realaus kinta-mojo funkcija, kurios reikšmė gaunama atliekant baigtinį skaičių aritme-tinių operacijų (sudėties, atimties, daugybos, dalybos ir kėlimo sveikuojulaipsniu) su realiaisiais skaičiais ir nepriklausomu kintamuoju. Šio kinta-mojo x racionaliosios funkcijos R reikšmė R(x) išreiškiama daugianariųP (x) ir Q(x) santykiu.

8.2 ŽymėjimaiDažnai naudojamų aibių vardai:

simbolis reikšmėN natūralieji skaičiai 0, 1, 2, . . . N∗ teigiami natūralieji skaičiai 1, 2, . . . Z sveikieji skaičiai . . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . . Z+ nelygūs nuliui sveikieji skaičiai Z \ 0Q racionalieji skaičiaiQ∗ teigiami racionalieji skaičiaiR realieji skaičiaiR+ neneigiami realieji skaičiai [0,+∞)R++ teigiami realieji skaičiai (0,+∞)P(X) aibės X visų poaibių rinkinys, vadinamas laipsnine aibe

Dviejų skaičių a ir b maksimumas yra skaičius, žymimas simboliumi

maxa, b :=a, jei a ≥ b,b, jei a < b.

Baigtinės skaičių aibės a1, . . . , an maksimumas yra skaičius

max1≤i≤n

ai = maxai : i = 1, . . . , n.

Baigtinės sekos (ai) narių suma apibrėžiama rekursijos būdu:n∑

i=mai :=

0 jei m > n,(∑n−1

i=m ai)

+ an jei m ≤ n.(8.1)

Tegul funkcija f : Z → R, k, n ∈ Z ir k ≤ n. Funkcijos f reikšmiųf(k), . . . , f(n) suma

n∑j=k

f(j) := f(k) + · · ·+ f(n).

8.3 Senovės graikų raidynas 267

8.3 Senovės graikų raidynasDidžiosios ir mažosios raidės1

didžioji raidė mažoji raidė pavadinimasα alfaβ beta

Γ γ gama∆ δ delta

ε epsilonζ dzetaη eta

Θ θ tetaι jotaκ kapa

Λ λ lambdaµ miuν ni

Ξ ξ ksiΠ π pi

ρ roΣ σ sigma

τ tauΥ υ ipsilonΦ φ fi

χ chiΨ ψ psiΩ ω omega

1Pagal leidinį Visuotinė lietuvių enciklopedija (VII t., 2005, 88 p.).

Literatūra

1. S. Abbott, Understanding Analysis. Springer, 2001.

2. E.D. Bloch, Proofs and Fundamentals. A First Course in Abstract mathe-matics. Second Edition. Springer, 2011.

3. F.E. Burk, A Garden of Integrals. The Mathematical Association of Ame-rica, 2007.

4. C.G. Denlinger, Elements of Real Analysis. 2011.

5. K. Devlin, Introduction to Mathematical Thinking. 2011.

6. S. Feferman. The Number Systems. Foundations of Algebra and Analysis.Addison-Wesley Publ. Comp., London, 1963.

7. M. Hale, Essentials of Mathematics. Introduction to Theory, Proof, and theProfessional Culture. The Mathematical Association of America, 2003.

8. J. Havil, The Irrationals. A Story of the Numbers You Can’t Count On.Princeton University Press, 2012.

9. V. Klenk, Kas yra simbolinė logika. Vilniaus universiteto leidykla, 2011.

10. E. Landau, Foundations of Analysis. The Arithmetic of Whole, Rational,Irrational and Complex Numbers. Engl. transl by F. Steinhardt, Third Edi-tion. AMS Chelsea Publishing, 1966.

11. A. Levy, Basic Set Theory, Springer, 1979.

12. H. N. Jahnke, (Ed.) A History of Analysis. American Mathematical Society,2003.

13. J. Marsden, A.J. Weinstein, Calculus Unlimited. Benjamin/CummingsPublishing Company, 1981.

Literatūra 269

14. A. Nivenas, Racionalūs ir iracionalūs skaičiai. Vilnius, Mintis, 1974.

15. R. Norvaiša, Statinės bendrosios pusiausvyros matematiniai pagrindai.Mokslo aidai, Vilnius, 2007.

16. R. Norvaiša, Analizė 0: Teorinė aritmetika. Variantas 11.1 2017 lapkričio 1.http//uosis.mif.vu.lt/~rimasn

17. R. Plečkaitis, Logikos pagrindai. Tyto Alba, Vilnius 2004.

18. M. C. Reed, Fundamental Ideas of Analysis. John Wiley & Sons, NewYork, 1998.

19. P. Suppes, Introduction to Logic. Dover Publications, INC. Mineola, NewYork, 1999.

20. P. Suppes and Sh. Hill, First Course in Mathematical Logic. Dover Publi-cations, INC. Mineola, New York, 2002.

21. V. Rudinas, Matematinės analizės pagrindai. Mokslas, Vilnius, 1978.

22. T. Tao, Analysis I. Hindustan Book Agency, India, 2006.

23. D. J. Velleman, How To Prove It. A Structured Approach. Second Edition.Cambridge University Press, Cambridge, 2006.

24. Ju. A. Šichanovič, Įvadas į šiuolaikinę matematiką. Pradinės sąvokos (rusųkalba). Nauka, Maskva, 1965.

25. L.P. Yee and R. Vyborny, The Integral: An Easy Approach after Kurweiland Henstock. Cambridge University Press, 2000.

http//uosis.mif.vu.lt/~rimasn

ANALIZĖ I - klevas.mif.vu.ltklevas.mif.vu.lt/~rimasn/Matematinė analizė/analize1.pdf ·...

Documents

Transcript of ANALIZĖ I - klevas.mif.vu.ltklevas.mif.vu.lt/~rimasn/Matematinė analizė/analize1.pdf ·...