II dalis

Aibės, funkcijos ir sąryšiai

Šioje dalyje susipažinsime su svarbiausiomis aibių, funkcijų ir sąryšių sąvokomis bei savybėmis. Taine tik diskrečiosios, bet ir apskritai matematikos pagrindas.

1 Aibių algebra

Paprasčiausias diskretus objektas yra baigtinė aibė, todėl šiame skyriuje priminsime kai kurias aibiųteorijos sąvokas.

1.1 Pagrindiniai apibrėžimai

Aibė ir jos elementas yra pirminės matematikos sąvokos (kaip skaičius, taškas ir pan.), jos nėraformaliai apibrėžiamos. Intuityviai aibę laikome skirtingų objektų nesutvarkytu rinkiniu, o pačiusobjektus vadiname tos aibės elementais. Atkreipkite dėmesį į tai, kad aibė yra nesutvarkytasrinkinys, t. y. neturi jokios reikšmės, kuria tvarka išvardijami aibės elementai (kitaip tariant,jei vardindami aibės elementus juos sukeistume vietomis, aibė nuo to nepasikeistų). Taip patatkreipkite dėmesį ir į tai, kad aibė yra skirtingų elementų rinkinys, t. y. joje negali būti vienodųelementų. Tuo pačiu tai reiškia, kad jei jūs konstruojate aibę, dėdami elementus į ją kokia norseilės tvarka, jūs turite tikrinti, ar dedamo elemento dar nėra aibėje, kad neįdėtumėte jo dar kartą.

Baigtinė aibė paprastai apibrėžiama, išvardijant jos elementus, atskirtus kableliais, apskliau-džiant viską riestiniais skliaustais, pavyzdžiui, A = {a1, . . . , an}. Pavyzdžiui, aibę C, sudarytą išdviejų sveikųjų skaičių — −12 ir 6, — galėtume apibrėžti taip: C = {−12, 6}. Tada skaičiai −12ir 6 yra aibės C elementai.

Tai, kad elementas a priklauso aibei A, žymime a ∈ A. Jei b nepriklauso A, rašome b /∈ A.Pavyzdžiui, 6 ∈ C, bet 3 /∈ C.

Aibė B yra aibės A poaibis (žymime B ⊆ A), jei kiekvienas aibės B elementas priklauso iraibei A. Pavyzdžiui, jei D = {−12, 3, 6}, tai C ⊆ D, nes abu aibės C elementai — ir −12, ir 6 —priklauso ir aibei D. O D nėra aibės C poaibis, nes aibės D elementas 3 nepriklauso aibei C.

Aibės A ir B vadinamos lygiomis (žymime A = B), jei jos yra sudarytos iš vienodų elementų.Aišku, kad A = B tada ir tik tada, kai A ⊆ B ir B ⊆ A (aibės A ir B lygios tada ir tik tada, kai visielementai, priklausantys aibei A, priklauso ir aibei B, ir atvirkščiai). Pavyzdžiui, jei E = {6,−12},tai C = E. O aibės C ir D nėra lygios, nes aibės D elementas 3 nepriklauso aibei C.

Jei B ⊆ A ir B 6= A, poaibį B vadiname tikruoju (arba tikriniu) aibės A poaibiu ir žymime1

B ⊂ A. Pavyzdžiui, C ⊂ D, nes, kaip jau matėme, C ⊆ D ir C 6= D. Tačiau aibė C, nors ir yraaibės E poaibis, bet nėra aibės E tikrasis poaibis, nes C = E.

Aibės A ir B vadinamos nesikertančiomis, jei jos neturi bendrų elementų. Pavyzdžiui, jeiF = {3, 4}, tai C ir F nesikerta, o D ir F kertasi, nes turi bendrą elementą 3.

Baigtinę aibę, turinčią n > 0 elementų, vadiname n-aibe, o bet kurį jos poaibį, turintį melementų, vadiname m-poaibiu (0 6 m 6 n). Baigtinės aibės elementų skaičius dar vadinamas jos

1Dažnai mokslinėje literatūroje žymėjimas ⊂ naudojamas kalbant apie bet kurį poaibį, nebūtinai tikrąjį. Tokiuatveju, norint pabrėžti, kad poaibis tikrasis, naudojamas žymėjimas (.

13

galia. Aibės A galia žymima |A|. Pavyzdžiui, aibės C galia yra 2, aibės D — 3, t. y. |C| = 2,|D| = 3.

Tuščią rinkinį, neturintį nė vieno objekto, vadiname tuščiąja aibe ir žymime ∅. Tuščią aibęlaikome bet kurios aibės poaibiu.

Aibės A poaibių aibę žymime P(A). Pavyzdžiui, aibės C poaibiai yra tokie: tuščia aibė ∅, dupoaibiai, turintys po vieną elementą — {−12} ir {6}, — bei poaibis, sudarytas iš abiejų aibės Celementų, t. y. pati aibė C. Taigi, galime užrašyti, kad P(C) = {∅, {−12}, {6}, C}.

Kitas baigtinės ar begalinės aibės apibrėžimo būdas — nurodoma savybė S, kuria pasižymi tosaibės elementai ir nepasižymi jokie kiti objektai. Tokiu atveju naudojamas užrašas A = {x: S(x)}arba A = {x | S(x)}. Pavyzdžiui, sveikųjų lyginių skaičių aibę G = {. . . ,−6,−4,−2, 0, 2, 4, 6, . . .}galime užrašyti taip:

G = {x: x — sveikasis lyginis skaičius}.

Galima nurodyti ir kuriai aibei priklauso x: A = {x ∈ B: S(x)} arba A = {x ∈ B | S(x)}.Pavyzdžiui, sveikųjų lyginių skaičių aibę G galime apibrėžti ir taip:

G = {x ∈ Z: x — lyginis skaičius},

kur raide Z, kaip įprasta, žymime sveikųjų skaičių aibę.Be to, naudojami ir žymėjimai A = {P (x): S(x)} bei A = {P (x) | S(x)}, reiškiantys aibę visų

reikšmių, gaunamų įstačius elementus x, tenkinančius savybę S, į reiškinį P . Pavyzdžiui, sveikųjųlyginių skaičių aibę G galime apibrėžti ir taip:

G = {2x: x — sveikasis skaičius}

= {2x: x ∈ Z}.

Dažnai visos nagrinėjamos aibės yra poaibiai kokios nors didesnės aibės U , vadinamos univer-saliąja aibe. Mūsų pavyzdžiuose iki šiol mes nagrinėjome tik aibes, sudarytas iš sveikųjų skaičių,todėl universalioji aibė šiuo atveju galėtų būti, pavyzdžiui, sveikųjų skaičių aibė Z. Arba realiųjųskaičių aibė R. Arba bet kuri kita aibė, kurios poaibiai yra visos nagrinėjamos aibės.

1.2 Aibių operacijų apibrėžimai

Aibes patogu vaizduoti grafiškai Veno diagramomis (dar vadinamomis Oilerio skrituliais). Uni-versaliąją aibę vaizduojame stačiakampiu, o jos poaibius — susikertančiais skrituliais. Pavyzdžiui,dviejų aibių A ir B Veno diagrama būtų tokia:

Apibrėšime pagrindines aibių operacijas:

• Aibių A ir B sąjunga A ∪ B := {x: x ∈ A arba x ∈ B}. Ją galima būtų pavaizduoti tokiaVeno diagrama:

14

čia aibių A ir B sąjunga A ∪ B yra nuspalvinta pilkai.

• Aibių A ir B sankirta A ∩ B := {x: x ∈ A ir x ∈ B}.

• Aibių A ir B skirtumas A \B := {x: x ∈ A ir x /∈ B}.

• Aibės A ⊆ U papildinys (iki universaliosios aibės U) A := U \ A = {x: x /∈ A}. Aišku, kaduniversalioji aibė U turi būti nurodyta arba nuspėjama iš konteksto.

1.1 pavyzdys. Tarkime, turime universaliąją aibę U = {a, b, c, d, e} ir du jos poaibius A ={a, b, c}, B = {b, d}. Tada

A ∪ B = {a, b, c, d},

A ∩ B = {b},

A \B = {a, c},

B \ A = {d},

A = {d, e},

B = {a, c, e}. �

15

1.2 pavyzdys. Nagrinėsime natūraliųjų skaičių aibės N = {0, 1, 2, 3, . . .} poaibius, t.y. universa-lioji aibė U = N. Apibrėžę

N2 = {x: x dalijasi iš 2} = {0, 2, 4, . . .} irN3 = {x: x dalijasi iš 3} = {0, 3, 6, . . .},

gauname

N2 ∪ N3 = {x: x dalijasi iš 2 arba 3} = {0, 2, 3, 4, 6, 8, 9, . . .};

N2 ∩ N3 = {x: x dalijasi iš 6} = {0, 6, 12, . . .};

N2 \ N3 = {x: x dalijasi iš 2, bet nesidalija iš 3} = {2, 4, 8, 10, 14, . . .};

N3 \ N2 = {x: x dalijasi iš 3, bet nesidalija iš 2} = {3, 9, 15, . . .};

N2 = {x: x nesidalija iš 2} = {1, 3, 5, . . .};

N3 = {x: x nesidalija iš 3} = {1, 2, 4, 5, 7, 8, . . .}. �

1.3 pastaba. Kaip kelių elementų sumą ar sandaugą galime trumpiau užrašyti, naudodami sumosar sandaugos ženklus (atitinkamai

∑

ir∏

), taip ir kelių aibių sąjungą ar sankirtą irgi galimeužrašyti trumpiau. Tarkime, turime n aibių A1, A2, . . . , An. Tegu B = {1, 2, . . . , n}. Tada

⋃

i∈B

Ai =

n⋃

i=1

Ai = A1 ∪A2 ∪ · · · ∪ An,

⋂

i∈B

Ai =

n⋂

i=1

Ai = A1 ∩A2 ∩ · · · ∩ An.

1.3 Aibių operacijų savybės

Egzistuoja ryšys tarp aibių operacijų ir loginių operacijų. Aibių operacijos ∪,∩ ir ¯ (papildinys)atitinka logines operacijas ∨,∧ ir ¬, aibės U (universali aibė) ir ∅ (tuščia aibė) atitinka logineskonstantas t ir k. Tada aibių operacijos irgi tenkina dėsnius, kuriuos jūs jau žinote iš matematinėslogikos: visiems universalios aibės U poaibiams A, B ir C galioja

(1) (a) A ∪B = B ∪ A,

(b) A ∩B = B ∩ A (komutatyvumas),

(2) (a) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C,

(b) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C (asociatyvumas),

(3) (a) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C),

(b) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) (distributyvumas),

(4) (a) A ∪∅ = A,

(b) A ∩∅ = ∅,

(5) A = A,

16

(6) (a) A ∪A = A,

(b) A ∩A = A (idempotentumas),

(7) (a) A ∪B = A ∩ B,

(b) A ∩B = A ∪ B (De Morgano dėsniai).

Aibių visumą, kurioje galioja dėsniai (1)–(7), vadina aibių algebra.Kaip galima įrodyti šiuos dėsnius? Yra keli įrodymo būdai. Nesudėtingas aibių algebros for-

mules patogu patikrinti, naudojant Veno diagramas. Pavyzdžiui, aibių lygybę A \B = A ∪ Bdemonstruoja tokios diagramos:

Kairiojoje diagramoje pilkai nuspalvinta aibė A \B, o dešiniojoje diagramoje aibę A ∪ B atitinkata sritis, kuri nuspalvinta bent vienu pilkos spalvos atspalviu. Matome, kad tai ta pati aibė.

Kitas aibių lygybių įrodymo būdas — įrodyti, naudojantis aibių operacijų apibrėžimais ir logikosdėsniais. Įrodykime, pavyzdžiui, De Morgano dėsnį (7)(a).

Įrodymas. Kad įrodytume, kad dvi aibės C ir D yra lygios, užtenka parodyti, kad C ⊆ D irD ⊆ C. Pradėkime nuo įrodymo, kad A ∪B ⊆ A ∩ B. Pagal poaibio apibrėžimą, reikia parodyti,kad kiekvienas aibės A ∪ B elementas priklauso ir aibei A ∩ B. Tarkime, x ∈ A ∪B. Parodysime,kad x ∈ A ∩ B. Tai, kad x ∈ A ∪B, reiškia, kad x /∈ A ∪ B, t.y. x nepriklauso nei aibei A, neiaibei B (x /∈ A ir x /∈ B). Kitaip tariant, x ∈ A ir x ∈ B, t.y. x ∈ A ∩ B. Taigi bet kuris aibėsA ∪ B elementas priklauso ir aibei A ∩ B, todėl A ∪B ⊆ A ∩ B.

Iš kitos pusės, tegu x ∈ A ∩ B. Reikia parodyti, kad x ∈ A ∪B. Panaudosime tuos pačiussamprotavimus, tik iš kitos pusės. Kadangi x ∈ A ∩ B, tai x ∈ A ir x ∈ B, o tai reiškia, kad xnepriklauso nei aibei A, nei aibei B. Todėl x /∈ A ∪ B, iš kur ir gauname, kad x ∈ A ∪B. TaigiA ∩ B ⊆ A ∪ B.

Parodėme, kad A ∪ B ⊆ A ∩B ir A∩B ⊆ A ∪B, o tai reiškia, kad A ∪ B = A ∩B. Įrodymasbaigtas. �

Kaip ir logikos dėsnių atveju, kai kuriuos iš šių dėsnių galima apibendrinti didesniam nariųskaičiui. Pavyzdžiui, De Morgano dėsnius galime apibendrinti taip:

(7) (a′) A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An = A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An,

(b′) A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An = A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An.

Pastebėkime, kad dėsnius (3)(b), (6)(b) ir (7)(b) galima gauti atitinkamai iš dėsnių (3)(a), (6)(a)ir (7)(a), pakeitus juose ženklus ∪ į ∩ ir atvirkščiai. Pasirodo, aibių algebroje galioja taisyklė,vadinama dualumo principu:

Jei turime teisingą aibių lygybę, sudarytą iš universalios aibės U poaibių ir operacijų∪, ∩ bei ¯ (papildinio), tai pakeitę abiejose lygybės pusėse ženklus ∪ į ∩, ∩ į ∪, ∅ į Uir U į ∅, vėl gausime teisingą aibių lygybę, vadinamą dualia lygybe.

17

Pavyzdžiui, iš (4) galime gauti teisingas lygybes

(8) (a) A ∩ U = A;

(b) A ∪ U = U .

Dualumo principo įrodymas. Dualumo principas išplaukia iš (7)(a′) ir (7)(b′) lygybių. Parodysime pavyz-džiu. Iš (3)(a) gaukime jai dualią lygybę (3)(b). Lygybė (3)(a) — tai dviejų aibių lygybė. Kadangi aibės lygios, taijų papildiniai irgi lygūs:

A ∩ (B ∪C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C).

Na, o dabar abiejose lygybės pusėse, naudodamiesi (7)(a′) ir (7)(b′) lygybėmis, įkėlinėjame papildinio ženklus įskliaustus tol, kol nebeliks ką įkelti:

A ∪B ∪ C = A ∩B ∩ A ∩ C,

A ∪ (B ∩C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C). (∗)

Pažymėkime X = A, Y = B ir Z = C. Gauname lygybę

X ∪ (Y ∩ Z) = (X ∪ Y ) ∩ (X ∪ Z). (∗∗)

Be to, lygybė (3)(a) yra teisinga visoms aibėms A, B ir C, todėl lygybė (∗) taip pat yra teisinga visoms aibėms A,B ir C. Kai A, B ir C perbėga visas aibes, jų papildiniai X , Y ir Z irgi perbėga visas aibes, todėl lygybė (∗∗) yrateisinga visoms aibėms X , Y ir Z. Gavome (3)(b) lygybę.

Visiškai taip pat galėtume gauti dualią lygybę, jei į pradinę lygybę įeitų kurios nors aibės papildinys, tuščia aibėar universali aibė.

1.4 Dekarto sandauga

Norėdami apibrėžti paskutinę aibių operaciją, pateikiame dar keletą sąvokų.Bet kokių objektų (nebūtinai skirtingų) rinkinį vadiname šeima. Pavyzdžiui, A = {0, 1, 1, 1}

yra šeima. Baigtinę šeimą, turinčią m elementų, vadiname m-šeima. Pavyzdžiui, A yra 4-šeima.Sutvarkytą šeimą vadiname seka. Pavyzdžiui, α = (0, 1, 1, 1) yra seka. Sekoje turi reikšmę netik pats objektas, bet ir jo vieta. Sukeitę du skirtingus objektus vietomis, gauname kitą seką.Pavyzdžiui, α ir β = (1, 0, 1, 1) yra dvi skirtingos sekos. Baigtines sekas iš m objektų dar vadinam-vektoriais arba tiesiog vektoriais, o begalines sekas — tiesiog sekomis. Pavyzdžiui, α ir β yradu skirtingi 4-vektoriai, o γ∞ = 00110011 . . . yra begalinė periodinė seka. m-vektoriaus α =(α1, . . . , αm) i-tąjį elementą αi vadina vektoriaus α i-tąja koordinate. Pavyzdžiui, vektoriaus βtrečioji koordinatė yra 1.

Atkreipkite dėmesį, kad, kai elementų rinkinys nėra sutvarkytas (šeima, aibė), vartojami ries-tiniai skliaustai (pavyzdžiui, A = {0, 1, 1, 1}). Kai elementų rinkinys yra sutvarkytas (vektorius,seka), vartojami paprasti skliaustai (pavyzdžiui, α = (0, 1, 1, 1)).

Dažnai praleisime kablelius ir skliaustus sekų bei vektorių žymėjime, pavyzdžiui, rašysime α =0111 ir pan.

1.4 apibrėžimas. Netuščių aibių A1, A2, . . . , Am Dekarto sandauga vadiname aibę

A1 × · · · ×Am :={

(α1, . . . , αm): αi ∈ Ai, i = 1, . . . , m}

.

Tai yra aibė visų galimų m-vektorių, kurių i-toji koordinatė priklauso aibei Ai.

18

1.5 pavyzdys. Jei A = {0, 1}, B = {a, b}, tai

A×B = {(0, a), (0, b), (1, a), (1, b)}

B ×A = {(a, 0), (a, 1), (b, 0), (b, 1)}. �

1.6 pavyzdys. Tegu V = {a, b, . . . , h} (vertikalės), H = {1, 2, . . . , 8} (horizontalės). Tada L =V ×H = {a1, a2, . . . , h8} — šachmatų lentos laukelių aibė (vietoje vektoriaus (a, 1) čia mes nau-dojame šachmatininkams įprastą žymėjimą a1). �

1.7 pavyzdys. Tarkime, turime tris aibes: A = {1, 2}, B = {a, b, c}, C = {3, 4}. Tada

A× B × C = {1a3, 1a4, 1b3, 1b4, 1c3, 1c4, 2a3, 2a4, 2b3, 2b4, 2c3, 2c4}. �

1.8 teorema. Jei A1, . . . Am yra baigtinės netuščios aibės, tai

|A1 × A2 × · · · ×Am| = |A1| · |A2| · . . . · |Am|.

Įrodymas. Lygybė akivaizdi, nes m-vektoriaus α ∈ A1 × · · · × Am i-oji koordinatė αi gali būti betkuris iš |Ai| aibės Ai elementų (i = 1, . . . , m). Todėl skirtingų m-vektorių bus |A1| · |A2| · . . . · |Am|.�

Jei A1 = A2 = · · · = Am =: A, tai aibių A1, A2, . . . , Am Dekarto sandaugą žymėsime Am irvadinsime aibės Am-uoju Dekarto laipsniu, o jos elementus — m-vektoriais aibėje A (arba virš aibėsA). Pavyzdžiui, {0, 1}3 = {000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111}. Vektorius aibėje {0, 1} vadinamedvinariais (arba binariniais). Taigi α = (0, 1, 1, 1) yra dvinaris vektorius, α ∈ {0, 1}4. Praplėtęaibės Dekarto laipsnio apibrėžimą, simboliu A∞ žymėsime aibę begalinių sekų, sudarytų iš aibės Aelementų. Pavyzdžiui, γ∞ = 00110011 . . . ∈ {0, 1}∞.

2 Funkcijos

2.1 Pagrindiniai apibrėžimai

Atitiktimi tarp netuščių aibių A ir B vadiname bet kokį netuščią poaibį F ⊆ A× B.

2.1 pavyzdys. Tegu A = {a, b, c}, B = {0, 1, 2}. Tada F = {(a, 1), (b, 0), (c, 1)} ir F ′ = {(a, 0), (a, 1),(a, 2), (c, 0)} yra atitiktys. �

Atitiktis F — funkcinė, jei kiekvienam a ∈ A egzistuoja vienintelis vektorius (a, b) ∈ F .

2.2 pavyzdys. Paskutinio pavyzdžio atitiktis F yra funkcinė, nes aibėje F yra vienintelis vekto-rius, kurio pirmoji koordinatė yra a, taip pat vienintelis vektorius su b, ir taip pat su c. AtitiktisF ′ nėra funkcinė, nes yra trys vektoriai su a, ir jokio su b. �

Jei F ⊆ A×B — funkcinė atitiktis, tai sakome, kad F apibrėžia funkciją (atvaizdį) f :A → B(skaitome: funkcija f iš A į B). Vektoriaus (a, b) ∈ F koordinatę a vadiname funkcijos f argumentu,o koordinatę b žymime f(a) ir vadiname elemento a vaizdu arba funkcijos f reikšme taške a.

19

2.3 pavyzdys. Kadangi 2.1 pavyzdžio atitiktis F yra funkcinė, tai ji apibrėžia funkciją f :A → Btokią, kad f(a) = 1, f(b) = 0 ir f(c) = 1. Elemento a vaizdas yra 1, elemento b — 0, ir elemento c— 1. Grafiškai galėtume pavaizduoti taip:

0

1

a

c

A B f

b

2 �

Taigi funkcija f :A → B yra atitiktis tarp A ir B, priskirianti kiekvienam aibės A elementuikokį nors aibės B elementą. Aibė A vadinama funkcijos f apibrėžimo sritimi, o aibės B poaibisRf := f(A) := {b ∈ B: ∃a ∈ A toks, kad b = f(a)} vadinamas funkcijos f reikšmių sritimi (ženklas‘∃’ reiškia „egzistuoja“, taip pat vartosime ženklą ‘∀’, kuris reiškia „kiekvienam“ arba „visiems“).Beje, aibę f(A) galima apibrėžti, vartojant trumpesnį užrašą: f(A) = {f(a): a ∈ A} — tai yraaibė reikšmių f(a), kai a perbėga aibę A. Matome, kad f(A) yra tiesiog aibės A elementų vaizdųaibė.

2.4 pavyzdys. 2.3 pavyzdžio funkcijos f apibrėžimo sritis yra A = {a, b, c}, o reikšmių sritis yraRf = f(A) = {0, 1} ⊂ B. �

Jei A′ ⊆ A, tai aibės B poaibį f(A′) := {f(a): a ∈ A′} vadiname aibės A′ vaizdu.

2.5 pavyzdys. Jei A′ = {a, c} ⊂ A, tai aibės A′ vaizdas f(A′) = {1} ⊂ B, kur f yra 2.3 pavyzdžiofunkcija. O f({a, b}) = {0, 1}. �

Aibės A poaibį f−1(b) := {a ∈ A: f(a) = b} vadiname elemento b ∈ B pirmavaizdžiu. Tai aibėelementų iš A, kuriuos funkcija f atvaizduoja į b.

2.6 pavyzdys. Tęsiame ankstesnį pavyzdį. Elemento 0 ∈ B pirmavaizdis yra f−1(0) = {b} ⊂ A,elemento 1 — f−1(1) = {a, c}, ir elemento 2 — f−1(2) = ∅. �

Lygiai taip pat apibrėžiamas ir aibės B′ ⊆ B pirmavaizdis f−1(B′) := {a ∈ A: f(a) ∈ B′} —aibė elementų iš A, kuriuos funkcija f atvaizduoja į kurį nors poaibio B′ elementą.

2.7 pavyzdys. Tęsiame ankstesnį pavyzdį. Aibės {0, 2} pirmavaizdis yra f−1({0, 2}) = {b}, oaibės {0, 1} — f−1({0, 1}) = {a, b, c} = A. �

Nesunku įsitikinti, kad aibės B′ pirmavaizdis yra lygus jos elementų pirmavaizdžių sąjungai, t.y.

f−1(B′) =⋃

b∈B′

f−1(b).

2.8 pavyzdys. Tęsdami ankstesnį pavyzdį, gauname, kad

f−1({0, 2}) = f−1(0) ∪ f−1(2) = {b} ∪∅ = {b},

f−1({0, 1}) = f−1(0) ∪ f−1(1) = {b} ∪ {a, c} = A.

. �

20

Kai aibės A ir B yra baigtinės, funkciją f :A → B taip pat vadiname baigtine. Baigtinę funkcijągalime vaizduoti jos reikšmių lentele. Jei A = {a1, . . . , an}, tai baigtinės funkcijos f :A → Breikšmių lentelė bus tokia:

x f(x)a1 f(a1)a2 f(a2)...

...an f(an)

2.9 pavyzdys. 2.3 pavyzdžio funkcija gali būti pavaizduota tokia reikšmių lentele:

x f(x)a 1b 0c 1 �

2.2 Funkcijų savybės

Funkcijos f :A → B, pasižyminčios svarbiomis savybėmis, turi dar kitus pavadinimus.

2.10 apibrėžimas. Tarkime, turime funkciją f :A → B.

• Funkcija f vadinama injekcija (arba injektyviu atvaizdžiu), jei bet kurių dviejų skirtingų aibėsA elementų a1 ir a2 vaizdai f(a1) ir f(a2) irgi yra skirtingi. Formaliai tai galime užrašytitaip1:

∀a1, a2 ∈ A (a1 6= a2 ⇒ f(a1) 6= f(a2)).

• Funkcija f vadinama siurjekcija (arba siurjektyviu atvaizdžiu), jei Rf = B, t.y. jei į kiekvienąaibės B elementą funkcija f atvaizduoja bent vieną aibės A elementą, arba, kitaip tariant, jeijokio aibės B elemento pirmavaizdis nėra tuščias.

• Funkcija f vadinama bijekcija (arba bijektyviu atvaizdžiu), jei f — injekcija ir siurjekcijakartu.

2.11 pastaba. Naudodami kontrapozicijos logikos dėsnį p → q ∼ ¬q → ¬p, gauname kitą injekci-jos apibrėžimą: f — injekcija, jei

∀a1, a2 ∈ A (f(a1) = f(a2) ⇒ a1 = a2),

t.y. jei visiems aibės A elementams galioja tokia savybė: iš to, kad kažkokių dviejų elementų vaizdailygūs, gauname, kad tai vienas ir tas pats elementas.

2.12 pavyzdys. Tegu

A = {0, 1}, B = {a, b, c}, F1 ={

(0, a), (1, a)}

, F2 ={

(0, b), (1, a)}

.

1Implikacijos ženklas ⇒ dažnai vartojamas vietoj „iš to, kad…, išplaukia, kad…“, arba „jei…, tai…“. Šiuo atvejuapibrėžimas turėtų būti skaitomas taip: f — injekcija, jei visiems a1, a2 ∈ A iš to, kad a1 6= a2, išplaukia, kadf(a1) 6= f(a2).

21

1. Tarkime, atitiktis Fi, i = 1, 2, apibrėžia funkciją fi :A → B. Tada f2 — injekcija, bet nesiurjekcija, o f1 — nei injekcija, nei siurjekcija.

0

1

a

b

c

A B f2

0

1

a

b

c

A B f1

2. Tarkime, F1 apibrėžia f1 :A → B1 = {a}. Tada f1 — siurjekcija, bet ne injekcija.

0

1

a

A B1 f1

3. Tarkime, F2 apibrėžia f2 :A → B2 = {a, b}. Tada f2 — bijekcija.

0

1

a

A B2 f2

b

�

Šis pavyzdys taip pat parodė, kad funkcijos f :A → B savybės priklauso ne tik nuo jos įgyjamųreikšmių, bet ir nuo aibių A ir B. Kaip matėme, pakeitus vien aibę B, funkcija tapo siurjekcija.

Bijekciją dar vadina abipusiškai vienareikšmiu atvaizdavimu (arba abipusiškai vienareikšme ati-tiktimi, abipusiškai vienareikšmiu atvaizdžiu), kadangi šiuo atveju ne tik kiekvienam a ∈ A priski-riamas vienintelis aibės B elementas b, žymimas f(a), bet ir kiekvienam b ∈ B egzistuoja vienintelisa ∈ A toks, kad f(a) = b. Pažymėję tokį elementą a =: g(b), gauname funkciją g :B → A, kurivadinama atvirkštine funkcijai f ir žymima f−1.

2.13 pavyzdys. Imkime tą pačią bijekciją f2 : {0, 1} → {a, b} iš paskutinio pavyzdžio, apibrėžtąatitikties F2 =

{

(0, b), (1, a)}

. Tada f2(0) = b, f2(1) = a, ir atvirkštinė funkcija f−1

2 : {a, b} → {0, 1}įgyja tokias reikšmes: f−1

2 (a) = 1, f−1

2 (b) = 0. �

Nesunku pastebėti, kad kiekvienam a ∈ A turime f−1(f(a)) = a. Taip pat aišku, kad jei A irB yra baigtinės aibės, o f :A → B — bijekcija, tai A ir B turi po tiek pat elementų.

2.3 Bijekcijos taikymo pavyzdys: poaibių aibės galia

Tuo pasinaudodami, rasime duotos aibės A poaibių aibės P(A) galią. Priminsime, kad baigtinėsaibės A galia |A| vadiname jos elementų skaičių.

2.14 teorema. Jei aibė A yra baigtinė, tai |P(A)| = 2|A|.

22

Įrodymas. Lygybę įrodysime, remdamiesi 1.8 teorema, iš kurios išplaukia, kad |{0, 1}n| = 2n. JeiA tuščia, tai P(A) = {∅} ir turime teisingą lygybę 1 = 20.

Tarkime, A — netuščia, t.y. A = {a1, . . . , an}, n > 1. Apibrėžkime funkciją χ :P(A) → {0, 1}n,kuri kiekvienam B ⊆ A priskiria n-vektorių α = χ(B) su koordinatėmis

αi =

{

1, ai ∈ B;

0, ai /∈ B.

Vektorius χ(B) dar vadinamas poaibio B charakteringuoju vektoriumi. Jis nusako, kurie aibės Aelementai priklauso poaibiui B, o kurie ne. Pavyzdžiui, jei A = {a, b, c, d}, tai χ({a}) = 1000,χ({b, d}) = 0101, χ(A) = 1111, o χ(∅) = 0000.

Nesunku įsitikinti, kad kiekvieną binarinį vektorių α ∈ {0, 1}n atitinka lygiai vienas poaibisB ∈ P(A) toks, kad α = χ(B). Taigi χ yra bijekcija ir |P(A)| = |{0, 1}n| = 2n. �

3 Sąryšiai

3.1 Pagrindiniai apibrėžimai

3.1 apibrėžimas. Tegu sveikasis skaičius n > 2, aibė A nėra tuščia. n-viečiu (n-nariniu) sąryšiuaibėje A vadiname bet kokį poaibį R ⊆ An.

3.2 pavyzdys. Pitagoro skaičių trejetai sudaro trivietį sąryšį P = {(x, y, z): x2+y2 = z2, x, y, z ∈Z} sveikųjų skaičių aibėje. Pavyzdžiui, (3, 4, 5) ∈ P . �

Toliau nagrinėsime tik dviviečius (binarinius) sąryšius, kuriuos vadinsime tiesiog sąryšiais.

3.3 pavyzdys. Kiekvieną funkciją f :A → A atitinka sąryšis {(a, f(a)): a ∈ A} (mes jį vadinomeatitiktimi). Pavyzdžiui, funkciją f : {0, 1} → {0, 1}, f(0) = 1, f(1) = 1, atitinka sąryšis R ={(0, 1), (1, 1)}. �

Jei (a, b) ∈ R, tai sakome, kad a ir b yra susieti sąryšiu R ir žymime aR b. Priešingu atvejužymime ¬(aR b).

3.4 pavyzdys. Tegu A = {2, 4, 7}, R = {(2, 4), (2, 7), (4, 7)}. Tada rašome 2R 4, 2R 7, 4R 7,¬(4R 2). �

Kodėl toks žymėjimas? Daugeliu atvejų tai natūralus žymėjimas. Pavyzdžiui, atkreipkite dė-mesį, kad paskutinio pavyzdžio sąryšį galėtume pavadinti „mažiau“ (nes sąryšiui priklauso tik tosporos (a, b) ∈ A2, kurioms a < b), todėl natūraliau šį sąryšį būtų žymėti ženklu ,<‘, ir tada 2R 4,2R 7 bei 4R 7 būtų užrašomi taip: 2 < 4, 2 < 7 ir 4 < 7. Dažnai, šnekant apie sąryšius, ir turimiomenyje tokie „natūralūs“ sąryšiai, kaip „mažiau“ (<), „daugiau“ (>), „mažiau arba lygu“ (6),„daugiau arba lygu“ (>), „lygu“ (=) natūraliųjų, sveikųjų, racionaliųjų ar realiųjų skaičių aibėse,„ekvivalentu“ (∼) loginių formulių aibėje, „yra poaibis“ (⊆), „yra tikrasis poaibis“ (⊂), „lygu“universaliosios aibės poaibių aibėje ir t.t. Kaip matome, kiekvienu atveju kai kurios objektų porosyra susietos sąryšiu, o kai kurios ne. Pavyzdžiui, kai sąryšis yra „mažiau“ sveikųjų skaičių aibėje,tai skaičiai 2 ir 3 yra susieti tuo sąryšiu (nes 2 < 3), o 4 ir 3 ne (nes netiesa, kad 4 < 3). Pa-čiu bendriausiu atveju sąryšis apibrėžiamas tiesiog išvardijant elementų poras, susietas tuo sąryšiu(kaip tai ir yra padaryta 3.4 pavyzdyje).

23

3.5 pavyzdys. Visų žmonių aibėje galime apibrėžti sąryšį „gyventi tame pačiame mieste“: asmuoa bus susietas su asmeniu b, jei jie gyvena tame pačiame mieste (gyvenvientėje, kaime, vietovėje).�

3.6 pavyzdys. Kurios nors įmonės darbuotojų aibėje galima apibrėžti sąryšį „būti viršininku“:asmuo a bus susietas su asmeniu b, jei asmuo a yra asmens b viršininkas (nebūtinai tiesioginis). �

Baigtinėje aibėje A = {a1, a2, . . . , an} apibrėžtą sąryšį R galima nusakyti sąryšio matrica.

3.7 apibrėžimas. Sąryšio R matrica — tai n × n matrica M , kurios elementas Mij, esantis i-tosios eilutės ir j-tojo stulpelio susikirtime, yra lygus 1, jei ai ir aj yra susieti sąryšiu R, ir 0, jeinėra:

Mij =

{

1, jei ai Raj,

0, priešingu atveju.

3.8 pavyzdys. 3.4 pavyzdžio sąryšio matrica yra

M =

2 4 72 0 1 14 0 0 17 0 0 0

.

Čia mes aiškumo dėlei pažymėjome eilutes ir stulpelius aibės A elementais. �

Toliau panagrinėsime, kokiomis savybėmis gali pasižymėti sąryšiai.

3.2 Refleksyvus sąryšis

3.9 apibrėžimas. Sąryšį R aibėje A vadiname refleksyviu, jei ∀a ∈ A (aR a), t.y. jei kiekvienasaibės A elementas sąryšiu R yra susietas su savimi pačiu.

Sąryšis yra refleksyvus tada ir tik tada, kai jo matricos pagrindinėje įstrižainėje1 nėra nei vienonulio (yra tik vienetai). Tai matome iš to, kad sąryšio matricos pagrindinėje įstrižainėje esantyselementai atitinka poras (a, a).

3.10 pavyzdžiai. 1. 3.4 pavyzdžio sąryšis nėra refleksyvus, nes netiesa, kad, pavyzdžiui, 2 < 2(t.y. pora (2, 2) /∈ R).

2. Sąryšis R = {(2, 2), (2, 7), (4, 2), (4, 4), (7, 7)} aibėje A = {2, 4, 7} yra refleksyvus. Iš tikrųjų,2R 2, 4R 4 ir 7R 7. Jo matrica yra

M =

2 4 72 1 0 14 1 1 07 0 0 1

.

Matome, kad pagrindinėje įstrižainėje yra tik vienetai.

1n× n matricos M pagrindinę įstrižainę sudaro elementai M11, M22,…,Mnn.

24

3. 3.5 pavyzdžio sąryšis „gyventi tame pačiame mieste“ yra refleksyvus, nes kiekvienas žmogusgyvena tame pačiame mieste, kaip ir jis pats.

4. 3.6 pavyzdžio sąryšis „būti viršininku“ nėra refleksyvus, jei žmogaus nelaikysime savo patiesviršininku.

5. Sąryšiai „mažiau arba lygu“ (6), „daugiau arba lygu“ (>), „lygu“ (=) sveikųjų skaičių aibėjeyra refleksyvūs sąryšiai. Pavyzdžiui, kiekvienas sveikasis skaičius a tenkina tokią savybę:a 6 a, todėl sąryšis „mažiau arba lygu“ (6) yra refleksyvus. �

3.3 Antirefleksyvus sąryšis

3.11 apibrėžimas. Sąryšį R aibėje A vadiname antirefleksyviu, jei neegzistuoja tokio a ∈ A, kadaR a.

Kitaip tariant, sąryšis R yra antirefleksyvus, jei ∀a ∈ A ¬(aR a). Sąryšis yra antirefleksyvustada ir tik tada, kai jo matricos pagrindinėje įstrižainėje nėra nei vieno vieneto (yra tik nuliai).

3.12 pavyzdžiai. 1. 3.4 pavyzdžio sąryšis yra antirefleksyvus, nes ∀a ∈ A (a, a) /∈ R.

2. 3.5 pavyzdžio sąryšis „gyventi tame pačiame mieste“ nėra antirefleksyvus, nes jis yra reflek-syvus.

3. 3.6 pavyzdžio sąryšis „būti viršininku“ yra antirefleksyvus, jei žmogaus nelaikysime savopaties viršininku.

4. Sąryšiai „mažiau“ (<) ir „daugiau“ (>) sveikųjų skaičių aibėje yra antirefleksyvūs sąryšiai,nes joks sveikasis skaičius netenkina savybių a < a arba a > a. �

Taigi sąryšis gali būti refleksyvus (tada jis nebus antirefleksyvus, jam priklausys visos vienodųelementų poros (a, a), jo matricos pagrindinėje įstrižainėje bus tik vienetai), antirefleksyvus (tadajis nebus refleksyvus, jokia vienodų elementų pora (a, a) jam nepriklausys, jo matricos pagrindinėjeįstrižainėje bus tik nuliai), ir nei toks, nei toks (tada bus ir jam priklausančių vienodų elementųporų, ir nepriklausančių, o jo matricos pagrindinėje įstrižainėje bus ir vienetų, ir nulių). Jis negalibūti ir refleksyvus, ir antirefleksyvus.

3.13 pavyzdys. Sąryšis R′ = {(2, 4), (2, 7), (4, 2), (4, 4), (7, 2), (7, 7)} aibėje A = {2, 4, 7} nėra neirefleksyvus, nei antirefleksyvus. Iš tikrųjų, jis nėra refleksyvus, nes ¬(2R′ 2), ir nėra antirefleksyvus,nes 4R′ 4. Sąryšio R′ matrica M ′ turi ir vienetų, ir nulių pagrindinėje įstrižainėje:

M ′ =

2 4 72 0 1 14 1 1 07 1 0 1

�

25

3.4 Simetrinis sąryšis

3.14 apibrėžimas. Sąryšį R aibėje A vadiname simetriniu, jei ∀a, b ∈ A (aR b ⇒ bR a), t.y. jeikažkokie elementai a ir b yra susieti sąryšiu, tai b ir a taip pat būtinai turi būti susieti.

Taigi sąryšis bus simetrinis, jei bet kuriems dviem elementams a ir b arba aR b ir bR a, arba neiaR b, nei bR a. Todėl simetrinio sąryšio matricoje vienetai eina poromis: jei yra Mij = 1, taiMji irgi lygu 1, o jei Mij = 0, tai ir Mji = 0. Taigi simetrinio sąryšio matrica yra simetrinėpagrindinės įstrižainės atžvilgiu. Pagrindinėje įstrižainėje gali būti bet kas, tai neturi reikšmėssąryšio simetriškumui. Iš tikrųjų, jei a = b, tai aR b ir bR a yra vienas ir tas pats, todėl poroms(a, a) simetriškumo sąlyga visada patenkinta.

3.15 pavyzdžiai. 1. 3.4 pavyzdžio sąryšis nėra simetrinis, nes 2R 4, bet netiesa, kad 4R 2.

2. 3.13 pavyzdžio sąryšis R′ yra simetrinis.

3. 3.5 pavyzdžio sąryšis „gyventi tame pačiame mieste“ yra simetrinis, nes jei asmuo a gyvenatame pačiame mieste, kaip asmuo b, tai ir asmuo b gyvena tame pačiame mieste, kaip asmuoa.

4. 3.6 pavyzdžio sąryšis „būti viršininku“ nėra simetrinis, nes jei asmuo a yra asmens b viršinin-kas, tai asmuo b nebus asmens a viršininkas. �

3.5 Antisimetrinis sąryšis

3.16 apibrėžimas. Sąryšį R aibėje A vadiname antisimetriniu, jei

∀a, b ∈ A (aR b ∧ bR a ⇒ a = b). (1)

3.17 pastaba. Pasinaudojus kontrapozicijos dėsniu (p → q ∼ ¬q → ¬p), antisimetriškumo api-brėžimą galima suformuluoti ir taip:

∀a, b ∈ A (a 6= b ⇒ ¬(aR b ∧ bR a)). (2)

Jei dar pritaikytume De Morgano dėsnį, gautume

∀a, b ∈ A (a 6= b ⇒ ¬(aR b) ∨ ¬(bR a)). (3)

O pasinaudoję implikacijos pašalinimo dėsniu (p → q ∼ ¬p ∨ q), antisimetrinio sąryšio apibrėžimągalėtume užrašyti ir taip:

∀a, b ∈ A, a 6= b, (aR b ⇒ ¬(bR a)). (4)

Formulės (1)–(4) pateikia ekvivalenčius antisimetrinio sąryšio apibrėžimus, ir mes galime naudotitą apibrėžimą, kuris lengviau taikomas. Dažnai (4) formule pateiktas apibrėžimas yra aiškiausiasiš visų. �

26

Savais žodžiais tariant, sąryšis R aibėje A yra antisimetrinis, jei jokiems skirtingiems aibės Aelementams a ir b nėra vienu metu ir aR b, ir bR a. Jei kažkuris elementas Mij , i 6= j, antisimetriniosąryšio matricoje M yra lygus 1, tai Mji būtinai bus 0 (tačiau jei Mij = 0, tai nebūtinai Mji = 1,gali būti, kad jie abu bus lygūs nuliui).

Pagrindinėje įstrižainėje esantys elementai vėlgi reikšmės neturi.

3.18 pavyzdys. 3.4 pavyzdžio sąryšis yra antisimetrinis. Antisimetrinis yra ir sąryšis R′′ ={(2, 2), (2, 4), (4, 4), (7, 2)} toje pačioje aibėje A = {2, 4, 7}. Jo matrica bus

M ′′ =

2 4 72 1 1 04 0 1 07 1 0 0

.

Ir tikrai, (2, 4) ∈ R′′, bet (4, 2) /∈ R′′. Taip pat (7, 2) ∈ R′′, bet (2, 7) /∈ R′′. Todėl tai antisimetrinissąryšis. �

3.19 pavyzdžiai. 1. 3.5 pavyzdžio sąryšis „gyventi tame pačiame mieste“ nėra antisimetrinis,nes jei asmuo a gyvena tame pačiame mieste, kaip ir kitas asmuo b, tai ir asmuo b gyvenatame pačiame mieste, kaip asmuo a (netenkinama (4) savybė).

2. 3.6 pavyzdžio sąryšis „būti viršininku“ yra antisimetrinis, nes jei asmuo a yra kito asmens bviršininkas, tai asmuo b nebus asmens a viršininkas (tenkinama (4) savybė). �

3.20 pastaba. Koks ryšys tarp simetriškumo ir antisimetriškumo?Tarkime, bent viena pora (a, b) su skirtingais elementais a ir b priklauso sąryšiui R (sąryšio matricoje yra vienetų

ne tik pagrindinėje įstrižainėje). Tada, jei sąryšis yra simetrinis, pora (b, a) irgi priklausys R, todėl sąryšis nebusantisimetrinis. Jei sąryšis yra antisimetrinis, tai pora (b, a) nepriklausys R, ir sąryšis nebus simetrinis. Be abejo,gali būti, kad sąryšis nebus nei simetrinis, nei antisimetrinis (žr. 3.21 pavyzdį). Taigi šiuo atveju sąryšis bus arbasimetrinis (bet ne antisimetrinis), arba antisimetrinis (bet ne simetrinis), arba nei toks, nei toks.

Dabar tarkime priešingai — jokia pora (a, b) su skirtingais elementais a ir b nepriklauso sąryšiui R (vienetaisąryšio matricoje gali būti tik pagrindinėje įstrižainėje). Tokiu atveju sąryšis tenkins ir simetriškumo, ir antisimetriš-kumo apibrėžimus, todėl bus vienu metu ir simetrinis, ir antisimetrinis. Pavyzdžiui, lygybės (=) sąryšis sveikųjųskaičių aibėje yra ir simetrinis, ir antisimetrinis.

3.21 pavyzdys. Sąryšis R′′′ = {(2, 2), (2, 4), (4, 2), (7, 2)} aibėje A = {2, 4, 7}, kurio matrica yra

M ′′′ =

2 4 72 1 1 04 1 0 07 1 0 0

,

nėra nei simetrinis, nei antisimetrinis. Iš tikrųjų, jis nėra simetrinis, nes, nors (7, 2) ∈ R′′′, bet (2, 7) /∈ R′′′. Jis nėraantisimetrinis, nes ir (2, 4), ir (4, 2) jam priklauso. �

3.6 Tranzityvus sąryšis

3.22 apibrėžimas. Sąryšį R aibėje A vadiname tranzityviu, jei ∀a, b, c ∈ A (aR b ∧ bR c ⇒aR c).

27

3.23 pavyzdžiai. 1. Ši savybė labai natūrali, pavyzdžiui, sąryšis „daugiau“ sveikųjų skaičiųaibėje yra tranzityvus. Iš tikrųjų, visiems sveikiesiems skaičiams a, b ir c teisinga tokiasavybė: jei a > b bei b > c, tai, aišku, ir a > c.

2. Sąryšiai „mažiau“ (<), „mažiau arba lygu“ (6), „daugiau arba lygu“ (>), „lygu“ (=) sveikųjųskaičių aibėje irgi yra tranzityvūs.

3. 3.4 pavyzdžio sąryšis R irgi tranzityvus.

4. 3.18 pavyzdžio sąryšis R′′ nėra tranzityvus, nes 7R 2 ir 2R 4, bet ¬(7R 4).

5. 3.5 pavyzdžio sąryšis „gyventi tame pačiame mieste“ yra tranzityvus, nes visiems asmenimsa, b ir c tenkinama tokia savybė: jei asmuo a gyvena tame pačiame mieste, kaip asmuo b,asmuo b gyvena tame pačiame mieste, kaip asmuo c, tai ir asmuo a gyvena tame pačiamemieste, kaip asmuo c.

6. 3.6 pavyzdžio sąryšis „būti viršininku“ yra tranzityvus, nes visiems asmenims a, b ir c tenki-nama tokia savybė: jei asmuo a yra asmens b viršininkas, asmuo b yra asmens c viršininkas,tai asmuo a taip pat yra asmens c (netiesioginis) viršininkas. �

3.7 Ekvivalentumo sąryšis

3.24 apibrėžimas. Refleksyvų, simetrinį ir tranzityvų sąryšį vadiname ekvivalentumo sąryšiu.

3.25 pavyzdžiai. 1. 3.5 pavyzdžio sąryšis „gyventi tame pačiame mieste“ yra ekvivalentumosąryšis, nes, kaip matėme, tenkina visas tris reikiamas savybes.

2. 3.6 pavyzdžio sąryšis „būti viršininku“ nėra ekvivalentumo sąryšis, nes nėra refleksyvus irsimetrinis.

3. Lygybės sveikųjų skaičių aibėje, aibių aibėje, ekvivalentumo loginių formulių aibėje sąryšiaiyra ekvivalentumo sąryšių pavyzdžiai. Patikrinkite. �

Daugiau ekvivalentumo sąryšio pavyzdžių rasite 3.9 poskyryje.Ekvivalentumo sąryšis pasižymi tokia svarbia savybe. Jei aibėje A apibrėžtas ekvivalentumo

sąryšis R, tai aibę A galima suskaidyti į netuščius nesikertančius poaibius tokiu būdu, kad tamepačiame poaibyje esantys elementai yra susieti sąryšiu R, o esantys skirtinguose — nėra susieti.Tie poaibiai vadinami ekvivalentumo klasėmis.

3.26 pavyzdys. 3.5 pavyzdžio sąryšio „gyventi tame pačiame mieste“ ekvivalentumo klasės yratame pačiame mieste gyvenančių žmonių aibės, pavyzdžiui, viena klasė būtų vilniečiai, kita kau-niečiai, trečia mosėdiškiai ir t.t. �

Iš kitos pusės, bet koks aibės A suskaidymas į netuščius nesikertančius poaibius apibrėžia ekvi-valentumo sąryšį „priklausyti tam pačiam poaibiui“ (patikrinkite!).

28

3.8 Tvarkos sąryšiai

3.27 apibrėžimas. Refleksyvų, antisimetrinį ir tranzityvų sąryšį vadiname negriežtos tvarkos są-ryšiu, o antirefleksyvų, antisimetrinį ir tranzityvų sąryšį vadiname griežtos tvarkos sąryšiu. Abušie sąryšiai vadinami tvarkos sąryšiais.

3.28 pavyzdžiai. 1. Sąryšis „būti ne didesniu“ (6) sveikųjų skaičių aibėje yra negriežtos tvar-kos sąryšis, o sąryšis „būti didesniu“ (>) sveikųjų skaičių aibėje yra griežtos tvarkos sąryšis.

2. 3.4 pavyzdžio sąryšis taip pat yra griežtos tvarkos sąryšis.

3. 3.5 pavyzdžio sąryšis „gyventi tame pačiame mieste“ nėra tvarkos sąryšis, nes, kaip matėme,nėra antisimetrinis.

4. 3.6 pavyzdžio sąryšis „būti viršininku“ yra griežtos tvarkos sąryšis, nes, kaip matėme, tenkinavisas tris reikiamas savybes. �

3.29 apibrėžimas. Elementai a, b ∈ A vadinami palyginamais (tvarkos sąryšio R atžvilgiu), jeiaR b arba bR a.

3.30 pavyzdžiai. 1. Prisiminkime 3.4 pavyzdžio sąryšį R. Elementai 2 ir 4 yra palyginamisąryšio R atžvilgiu, nes 2R 4. Elementai 7 ir 2 taip pat yra, nes 2R 7.

2. Bet kurie du sveikieji skaičiai yra palyginami sąryšio „būti ne didesniu“ (6) atžvilgiu.

3. Darbuotojai iš skirtingų įmonės skyrių nėra palyginami 3.6 pavyzdžio sąryšio „būti viršininku“atžvilgiu.

4. Nepalyginamų elementų pavyzdys pateiktas ir 3.34 pavyzdyje. �

3.31 apibrėžimas. Aibė A, kurioje apibrėžtas tvarkos sąryšis R, vadinama sutvarkyta. Sutvarkytaaibė vadinama visiškai sutvarkyta, jei bet kurie du skirtingi aibės A elementai yra palyginami. Tokiuatveju sąryšis R vadinamas tiesinės tvarkos sąryšiu. Priešingu atveju aibė vadinama iš daliessutvarkyta, o sąryšis R vadinamas dalinės tvarkos sąryšiu.

3.32 pavyzdžiai. 1. Sąryšis „būti ne didesniu“ (6) sveikųjų skaičių aibėje yra tiesinės tvarkossąryšis, ir sveikųjų skaičių aibė yra visiškai sutvarkyta aibė to sąryšio atžvilgiu.

2. 3.6 pavyzdžio sąryšis „būti viršininku“ yra dalinės tvarkos sąryšis, ir kurios nors įmonėsdarbuotojų aibė to sąryšio atžvilgiu yra iš dalies sutvarkyta. �

29

3.9 Papildomi pavyzdžiai

3.33 pavyzdžiai. Tegu A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} ir

R1 = {(a, a): a ∈ A} = {(a, b): a, b ∈ A, a = b (lygybė tarp natūrinių skaičių)}= {(1, 1), (2, 2), . . . , (10, 10)},

R2 = {(a, b): a, b ∈ A, a 6 b (nelygybė tarp natūrinių skaičių)}= {(1, 1), (1, 2), . . . , (1, 10), (2, 2), (2, 3), . . . , (2, 10), . . . , (9, 9), (9, 10), (10, 10)},

R3 = {(a, b): a, b ∈ A, b− a dalijasi iš 3 be liekanos}= {(1, 1), (1, 4), (1, 7), (1, 10), (2, 2), (2, 5), (2, 8), (3, 3), (3, 6), (3, 9), (4, 1), (4, 4), (4, 7), . . .},

R4 = R2 ∩R3

= {(1, 1), (1, 4), (1, 7), (1, 10), (2, 2), (2, 5), (2, 8), (3, 3), (3, 6), (3, 9), (4, 4), (4, 7), (4, 10), . . .}.

Nesunku patikrinti, kad R1 ir R3 — ekvivalentumo sąryšiai, sąryšis R1 suskaido aibę A į ekviva-lentumo klases {1}, {2}, . . . , {10}, o sąryšis R3 — į {1, 4, 7, 10}, {2, 5, 8}, {3, 6, 9}. Be to, R1, R2 irR4 yra negriežtos tvarkos sąryšiai. Iš šių trijų tvarkos sąryšių tik su sąryšiu R2 aibė A bus visiškaisutvarkyta.

Beje, sąlyga aR3 b dažniau rašoma taip: a ≡ b mod 3. Galima apibendrinti šį sąryšį: jei n —bet koks nenulinis natūralusis skaičius, tai a ≡ b mod n reiškia, kad b− a dalijasi iš n be liekanos.Nesunku pastebėti, kad ši sąlyga ekvivalenti tokiai: a ir b padaliję iš n gauname tą pačią liekaną.�

3.34 pavyzdys. Dvinarių vektorių aibėje {0, 1}n apibrėžkime sąryšį �. Tegu α = (α1, . . . , αn) irβ = (β1, . . . , βn) ∈ {0, 1}n. Sakysime, kad α yra mažesnis arba lygus β ir žymėsime α � β, jei

α1 6 β1, α2 6 β2, . . . , αn 6 βn.

Nesunku patikrinti, kad � yra negriežtos tvarkos sąryšis, taigi aibė {0, 1}n su šiuo sąryšiu yrasutvarkyta. Tačiau, kai n > 2, ši aibė nėra visiškai sutvarkyta, nes, pavyzdžiui, vektoriai (0, 1, . . .)ir (1, 0, . . .) nėra palyginami. �

4 Skaičiosios ir kontinuumo galios aibės, begalinių aibių

galia

Šis skyrius paruoštas pagal dr. doc. Stanislovo Norgėlos vadovėlį „Matematinė logika“ (TEV, Vilnius, 2004).

Šiame skyriuje kalbėsime apie aibių lyginimą. Jei aibės baigtinės, jas nesunku palyginti, suradusjų galias. Didesnė ta aibė, kuri turi daugiau elementų. O jei aibės begalinės? Ar gali būti vienaaibė „didesnė“ („labiau begalinė“), negu kita?

Kaip įprasta, raide R žymėsime realiųjų skaičių aibę, Q — racionaliųjų, Z — sveikųjų, N ={0, 1, 2, ...} — natūraliųjų bei N− = {1, 2, 3, ...} — natūraliųjų skaičių aibę be 0.

4.1 Ekvivalenčios aibės

Tarkime, yra dvi baigtinės aibės A,B ir norime sužinoti, kurioje jų yra daugiau elementų. Galimetai atlikti skaičiuodami elementus abiejose aibėse. Tarkime, pirmojoje aibėje jų yra m, o antrojoje— n. Jei m > n, tai aibėje A elementų yra daugiau negu aibėje B. Jei m < n, tai daugiau elementųyra aibėje B. Na, o jei m = n, tai abiejose aibėse yra po vienodą skaičių elementų.

30

Galima tai atlikti ir kitu būdu. Paaiškinsime pavyzdžiu. Norime žinoti, ar pakanka studentamsvadovėlių. Išdalijame juos (suprantama, kiekvienam po vieną) ir žiūrime, ar liko vadovėlių. Jei taip,tai vadovėlių yra daugiau negu studentų. Jei ne, ir liko studentų, neturinčių vadovėlių, tai studentųyra daugiau. Jei vadovėlių neliko ir visi studentai turi po vadovėlį, tai studentų ir vadovėlių yravienodas skaičius. Tokiu atveju tarp studentų ir vadovėlių aibių egzistuoja abipusiškai vienareikšmėatitiktis (bijekcija). Antrasis dviejų aibių lyginimo būdas geresnis tuo, kad jį galima taikyti irbegalinėms aibėms.

4.1 apibrėžimas. Aibės A, B vadinamos ekvivalenčiomis, jei tarp jų elementų egzistuoja abipu-siškai vienareikšmė atitiktis (bijekcija). Tokiu atveju žymėsime A ∼ B.

4.2 pavyzdžiai. 1. Baigtinės aibės A := {a, b, c} ir B := {1, 2, 3} yra ekvivalenčios, nes tarp jųelementų egzistuoja, pavyzdžiui, tokia abipusiškai vienareikšmė atitiktis f : A → B: f(a) = 1,f(b) = 2, f(c) = 3.

2. Begalinės aibės N = {0, 1, 2, . . .} ir B := {0,−1,−2, . . .} yra ekvivalenčios, nes tarp jų ele-mentų egzistuoja, pavyzdžiui, tokia abipusiškai vienareikšmė atitiktis f : N → B: f(0) = 0,f(1) = −1, f(2) = −2 ir t. t. Šią atitiktį galima užrašyti tokia formule: f(n) = −n.

3. Lyginių natūraliųjų skaičių aibė A := {0, 2, 4, . . .} = {2x | x ∈ N} ir nelyginių natūraliųjųskaičių aibė B := {1, 3, 5, . . .} = {2x + 1 | x ∈ N} yra ekvivalenčios, nes tarp jų elementųegzistuoja, pavyzdžiui, tokia abipusiškai vienareikšmė atitiktis f : A → B: f(0) = 1, f(2) = 3,f(4) = 5 ir t. t. Šią atitiktį galima užrašyti tokia formule: f(n) = n+ 1. �

4.3 pastaba. Nesunku įsitikinti, kad aibių ekvivalentumas yra ekvivalentumo sąryšis (patikrinkitepatys, naudodamiesi ekvivalentumo sąryšio apibrėžimu).

Iš abipusiškai vienareikšmių atitikčių savybių (žr. 2.2 poskyrį) gauname, kad baigtinės aibės yraekvivalenčios tada ir tik tada, kai jų elementų skaičius vienodas. Toliau panagrinėsime begaliniųaibių ekvivalentumą.

4.2 Skaičiosios aibės

Šiame poskyryje apibrėšime begalines skaičiąsias aibes ir panagrinėsime kelis jų pavyzdžius.

4.4 apibrėžimas. Aibė vadinama skaičiąja, jei ji ekvivalenti natūraliųjų skaičių aibei.

Iš apibrėžimo išplaukia, kad skaičioji aibė yra begalinė.

4.5 pavyzdys. Natūraliųjų skaičių aibė yra skaiti. Įrodykite. �

4.6 pavyzdys. Parodysime, kad sveikųjų skaičių aibė Z yra skaiti.Nurodysime abipusiškai vienareikšmę atitiktį tarp aibių Z ir N elementų. Ją žymėsime l.

0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, …l l l l l l l0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …

Ši atitiktis gali būti užrašyta tokia formule: f : Z → N,

f(x) =

{

2x− 1, jei x > 0,

−2x, jei x 6 0.�

31

Iš šio pavyzdžio matome, kad begalinė aibė gali būti ekvivalenti savo tikrajam poaibiui, koniekada nebus baigtinių aibių atveju.

4.7 pastaba. Abipusiškai vienareikšmė atitiktis gali būti užrašyta kuria nors formule ar taisykle.Norint įrodyti, kad kuri nors aibė A yra skaiti, pakanka nurodyti taisyklę, pagal kurią būtų gaunamaseka visų aibės A elementų (kiekvienas aibės A elementas joje aptinkamas tik po vieną kartą). Ištikrųjų, jei mes galime užrašyti visus aibės A elementus į vieną seką, tai tos sekos nariams galėsimepriskirti natūraliuosius skaičius 0, 1, 2, 3, . . . (kaip padarėme 4.6 pavyzdyje), t. y. rasime abipusiškaivienareikšmę atitiktį tarp aibės A elementų ir natūraliųjų skaičių. Kitaip tariant, galėsime sekąsuindeksuoti natūraliaisiais skaičiais, t. y. užrašyti pavidalu a0, a1, a2, . . .

4.8 pavyzdys. Norint įrodyti, kad aibė Z yra skaičioji, pakanka parodyti, kad ją galima parašytisekos pavidalu. Pavyzdžiui, taip, kaip tai padaryta 4.6 pavyzdyje: 0, 1,−1, 2,−2, 3,−3, . . . Iš tokioužrašymo matyti, kad sekoje yra visi Z elementai po vieną kartą. Pasirinkus kurį nors elementą,galima apskaičiuoti, kelintas jis yra sekoje. �

Panagrinėkime tokį klausimą: jei begalinė aibė yra skaičioji, ar jos begalinis poaibis irgi busskaitusis?

4.9 apibrėžimas. Aibė vadinama numeruojamąja, jei ji yra baigtinė arba skaičioji.

4.10 teorema. Kiekvienas skaičiosios aibės poaibis yra numeruojamoji aibė.

Įrodymas. Tarkime, kad A = {a0, a1, a2, . . .} yra kuri nors skaičioji aibė ir B ⊆ A. Išbraukiamesekos a0, a1, a2, . . . visus tuos narius, kurie nepriklauso aibei B. Gauname seką, kuri yra begalinėir kartu skaičioji, arba baigtinė. Teorema įrodyta. �

4.11 išvada. Jei A = {a0, a1, a2, . . .} yra skaičioji aibė, tai B = {ai, ai+1, ai+2, . . .} (i > 0) — taippat skaičioji.

Pagal šią išvadą N ∼ N−. Jei A skaičioji, tai A ∼ N. Iš ekvivalenčių aibių tranzityvumo savybėsišplaukia, kad A skaičioji tada ir tik tada, kai A ∼ N− (patikrinkite patys). Tai reiškia, kad sekosnarius galima pradėti numeruoti nuo vieneto. Dažniausiai taip ir yra daroma. Tai siejama su nariosekoje eiliškumu: pirmasis narys, antrasis narys ir t.t. Mes taip pat kai kada skaičiosios aibės nariusrašysime pradėdami indeksu 1: a1, a2, a3, . . .

Dabar panagrinėsime skaičiųjų aibių sąjungos ir Dekarto sandaugos skaitumą. Iš to išplauksteorema apie racionaliųjų skaičių aibės skaitumą.

4.12 apibrėžimas. Tarkime, A = {A0, A1, A2, . . .} yra skaičioji aibė, kurios elementai yra skai-čiosios aibės Ai = {ai0, a

i1, a

i2, . . .}. Tuomet aibė A0 ∪ A1 ∪ A2 ∪ · · · vadinama skaičiosios sistemos

skaičiųjų aibių sąjunga.

4.13 teorema. Skaičiosios sistemos skaičiųjų aibių sąjunga yra skaičioji aibė.

Įrodymas. Tarkime, A = {A0, A1, A2, . . .} bei Ai (i = 0, 1, 2, . . .) yra skaičiosios aibės, Ai = {ai0, ai1,

ai2, . . .}. Nurodysime taisyklę, kaip galima visus aibės A0 ∪A1 ∪A2 ∪ · · · elementus parašyti sekospavidalu.

32

. . .

a40 a41 a42 a43 a44 . . .❄��✒a30 a31 a32 a33 a34 . . .��✠ ��✒a20 a21 a22 a23 a24 . . .❄��✒ ��✠ ��✒a10 a11 a12 a13 a14 . . .��✠ ��✒ ��✠ ��✒ ��✠a00✲a01 a02

✲a03 a04✲a05 . . .

Rodyklėmis nurodome tvarką, kuria rašomi elementai: a00, a01, a

10, a

20, . . . Tik prieš rašydami kurį

nors elementą aij, tikriname, ar nėra jam lygaus jau gautoje sekoje. Jei taip, tai aij praleidžiame.Teorema įrodyta. �

4.14 teorema. Dviejų skaičiųjų aibių Dekarto sandauga yra skaičioji aibė.

Įrodymas. Tarkime, yra dvi skaičiosios aibės A = {a0, a1, a2, . . .} ir B = {b0, b1, b2, . . .}. RaideCi (i = 0, 1, 2, . . .) pažymėkime aibę {(ai, b0), (ai, b1), (ai, b2), . . .}. Tuomet A × B lygi sąjungaiskaičiųjų aibių C0, C1, C2, . . . Pagal 4.13 teoremą, C0 ∪ C1 ∪ C2 ∪ · · · yra skaičioji, kartu ir A× Byra skaičioji aibė. Teorema įrodyta. �

Pagal indukciją gauname tokią išvadą.

4.15 išvada. Baigtinio skaičiaus skaičiųjų aibių Dekarto sandauga yra skaičioji aibė.

4.16 teorema. Racionaliųjų skaičių aibė Q yra skaičioji.

Įrodymas. Racionaliuosius skaičius galime parašyti trupmenomis mn

(čia m ∈ Z, n ∈ N−), o pa-starąsias — poromis (m,n). Kadangi Z bei N− yra skaičios aibės, tai ir visų porų (m,n) aibė busskaiti, nes, pagal 4.14 teoremą, Z×N− yra skaiti aibė. Kai kuriomis poromis nusakome vieną ir tąpatį racionalųjį skaičių, pavyzdžiui, poromis (2, 4) ir (1, 2) nusakomas tas pats racionalusis skaičius1

2. Todėl Q ⊂ Z × N−. Begalinė racionaliųjų skaičių aibė Q yra skaičiosios aibės poaibis, todėl,

pagal 4.10 teoremą, ji pati taip pat yra skaiti aibė. Teorema įrodyta. �

Dabar apibrėšime žodžio sąvoką ir panagrinėsime žodžių aibės skaitumą.

4.17 apibrėžimas. Tarkime, A yra bet kokia netuščia aibė. Aibės A žodžiu vadinsime baigtinęaibės A elementų seką. Elementų skaičių žodyje vadinsime žodžio ilgiu.

4.18 pavyzdys. A = {a, b, c}. Tuomet a, bba, cabbaccac yra aibės A žodžiai. Jų ilgiai atitinkamailygūs 1, 3, 9. �

Kai kalbama apie kurios nors aibės žodžius, tai A dar vadinama abėcėle, o jos elementai —raidėmis. Žodyje ta pati raidė gali pasitaikyti ne vieną kartą. Pavyzdžiui, žodyje cabbaccac triskartus kartojasi raidė a, du kartus — b ir keturis kartus — c.

Tarkime, kad abėcėlė A yra baigtinė aibė. Visų galimų abėcėlės A žodžių aibę žymėsime A∗.Pavyzdžiui, jei A = {a}, tai A∗ = {∅, a, aa, aaa, . . .}, kur ∅ žymime tuščią žodį, t. y. žodį, kuriamenėra nė vienos raidės (nulinio ilgio žodį).

4.19 teorema. Baigtinės abėcėlės A visų žodžių aibė A∗ yra skaičioji.

Įrodymas. Nurodysime taisyklę, pagal kurią rašysime seka visus aibės A∗ elementus. Visų pirmarašome nulinio ilgio žodį, paskui kuria nors tvarka surašome visus vienetinio ilgio žodžius, po tovisus ilgio 2 žodžius, ilgio 3 žodžius ir t.t. Kadangi abėcėlė baigtinė, tai duoto ilgio žodžių irgi busbaigtinis skaičius, ir juos visus galėsime išrašyti. Tokiu būdu bet kuris bet kokio ilgio žodis busšioje sekoje. Teorema įrodyta. �

33

4.3 Kontinuumo galios aibės

Visos iki šiol nagrinėtos begalinės aibės buvo skaičiosios. O ar yra ir neskaičiųjų begalinių aibių?

4.20 teorema. Atvirojo intervalo (0, 1) visų realiųjų skaičių aibė nėra skaičioji.

Įrodymas. Tarkime, kad ta aibė yra skaičioji. Tuomet jos elementus galima užrašyti sekos pavidalu:

0, a11a12a

13 . . .

0, a21a22a

23 . . .

0, a31a32a

33 . . .

. . .

čia 0 6 aij 6 9 (i, j > 1) — skaitmenys, i-tajam sekos skaičiui (iš viršaus į apačią) priskiriamenatūralųjį i.

Imkime bet kurį skaičių 0, b1b2b3 . . ., pasižymintį tokia savybe: bi 6= aii ∀i. Pavyzdžiui, tai galėtųbūti skaičius, apibrėžtas tokiu būdu:

bi =

{

1, jei aii 6= 1,

2, jei aii = 1.

Skaičius 0, b1b2b3 . . . priklauso intervalui (0, 1), bet jo aprašytoje sekoje nėra, nes jis skiriasi nuokiekvieno sekos nario bent viena pozicija. Taigi neegzistuoja abipusiškai vienareikšmės atitiktiestarp natūraliųjų skaičių aibės ir atvirojo intervalo (0, 1) visų realiųjų skaičių aibės. Teorema įro-dyta. �

Atvirojo intervalo (0, 1) visų realiųjų skaičių aibė ekvivalenti realiųjų skaičių aibei. Abipusiš-kai vienareikšmę atitiktį gauname transformavę atkarpą (0, 1) į pusapskritimį ir greta jo nubrėžęrealiųjų skaičių tiesę R:

✫✪◦ O0 1

R

��

��

��

Bet kuri tiesė, einanti per pusapskritimio centrą O (išskyrus tiesę, lygiagrečią realiųjų skaičių tieseiR), kerta ir pusapskritimį, ir realiųjų skaičių tiesę. Atitiktis atvaizduos susikirtimo su pusapskriti-miu tašką (t. y. atvirojo intervalo (0, 1) skaičių) į susikirtimo su realiųjų skaičių tiese tašką (t. y. įrealųjį skaičių). Nesunku patikrinti, kad tokiu būdu apibrėžta atitiktis (0, 1) → R yra abipusiškaivienareikšmė (patikrinkite).

Taigi, realiųjų skaičių aibė R taip pat nėra skaičioji aibė.

4.21 apibrėžimas. Aibė, ekvivalenti realiųjų skaičių aibei, vadinama kontinuumo galios aibe.

34

4.4 Begalinių aibių galių seka

Jei baigtinėje aibėje A yra n elementų, tai aibėje P (A) bus 2n elementų, t.y. daugiau negu aibėjeA. Įdomu, kad analogiškas tvirtinimas teisingas ir begalinėms aibėms: aibė P (A) yra gausesnė užaibę A.

4.22 teorema. Jokios aibės A poaibių aibė P (A) nėra ekvivalenti jokiam aibės A poaibiui (įskaitantir pačią aibę A).

Įrodymas. Tai akivaizdu baigtinėms aibėms. Begalinėms aibėms įrodysime prieštaros būdu. Tar-kime, A yra kuri nors begalinė aibė, ir atsiras toks A poaibis A0, kad P (A) ∼ A0. Taigi tarp aibėsA0 elementų ir P (A) elementų (A poaibių) egzistuoja abipusiškai vienareikšmė atitiktis.

Suformuokime aibės A0 poaibį B tokiu būdu: elementas a iš A0 priklauso aibei B tada ir tiktada, kai jis nėra jį atitinkančios (pagal nurodytą abipusiškai vienareikšmę atitiktį) aibės iš P (A)elementas.

B tenkina sąlygą B ⊆ A0 ⊆ A ir todėl B ∈ P (A). Remiantis prielaida, aibėje A0 atsiras jįatitinkantis elementas (pažymėkime jį raide b). Klausiama, ar b ∈ B. Pagal aibės B konstravimą,b ∈ B tada ir tiktai tada, kai b /∈ B. Gavome prieštarą. Teorema įrodyta. �

Galima įrodyti, kad skaičiosios aibės poaibių aibė yra kontinuumo galios aibė. Be to, kaipmatome, kontinuumo galios aibės poaibių aibė yra ne kontinuumo, o aukštesnės galios aibė. Ir t.t.Taigi kaip baigtinių aibių galios rikiuojasi nuo mažiausios (tuščios aibės galios) iki begalybės, taipir begalinių aibių galios rikiuojasi nuo mažiausios (natūraliųjų skaičių aibės galios) iki begalybės.

35