Phương pháp chập cuộn hình chiếu ngượcĐịnh nghĩa đạo hàm:

Biến đổi Radon ngược có thể được viết :

Như vậy, công thức của biến đổi Radon ngược là Điều này có nghĩa là R-1 cũng có thể được triển khai bằng cách chập cuộn các hình chiếu khác nhau với 1/2ΠS và kết quả hình chiếu ngược ( Hình 10.8b).10.6 Thuật toán cuộn chập/tách hình chiếu ngược. Phương pháp lọc hình chiếu ngượcTừ công thức 10.29 và 10.30 chúng ta có thể viết:

ở đây là phép lọc một chiều với tần số đáp ứng là |ε|

Suy ra

Công thức này có thể được triển khai bằng phép lọc các hình chiếu trong miền Fourier và hình chiếu ngược biến đổi Fourier ngược của kết quả ( Hình 10.8c).Ví dụ 10.4

Chúng ta sẽ tìm biến đổi Radon ngược của Phương pháp chập cuộn hình chiếu ngược. Sử dụng

trong công thức 10.26

Bởi vì chuỗi Fourier ngược của 1/(ε-α) là jΠej2Παt, nên tích phân trên trở thành f(x,y)=exp[j2Π(xcos + y sin )t]sgn(t)|t=5=exp[j10Π(x cos + y sin )].

1

Phương pháp lọc hình chiếu ngược.

Thay =tan1(3/4), f(x,y) sẽ giống như trong ví dụ 10.1.Lọc 2 chiều qua biến đổi RadonMột ứng dụng hữu ích của định lý chập cuộn hình chiếu là trong việc triển khai của các phép lọc 2 chiều. chúng ta biểu diễn lại tần số đáp ứng

của phép lọc 2 chiều.Tham khảo hình 10.9 và công thức 10.25, phép lọc này có thể được phát triển bởi lần lọc đầu tiên với ngưỡng θ, hình chiếu một chiều g(s,θ) bởi

Hình 10.9Một phép lọc một chiều mà tần số đáp ứng là và sau đó đưa ra biến đổi Radon ngược. Dùng cách biểu diễn lại của R-1 trong hình 10.8a, ta được một thuật toán tổng quát về lọc hình chiếu ngược, phép lọc trở thành

. Sau đây, phép lọc 2 chiều với tần số đáp ứng có thể được triển khai như sau:

ở đây biểu diễn phép lọc một chiều với tần số đáp ứng .

10.6 THUẬT TOÁN CHẬP CUỘN/ LỌC HÌNH CHIẾU NGƯỢC: QUÁ TRÌNH SỐ HÓA ĐẦY ĐỦ [18-21]Các kết quả trên có ích để phát triển các thuật toán dựng lại hình ảnh thực. Bây giờ chúng ta thảo luận về quá trình số hóa đầy đủ của các thuật toán này.Xem xét về sự lấy mẫuTrong thực tế, các hình chiếu chỉ có giá trị trên một lưới hữu hạn. ta có:

2

ở đây sm= md, θm= nξ , = Π/N. Vì vậy chúng ta có N hình chiếu lấy từ các góc cách đều nhau, mỗi mẫu thống nhất với khoảng thời gian d. Nếu có ξ0 là tần số không gian cao nhất của đối tượng đã cho thì d không nên vượt qua tần số Nyquist tương ứng, nghĩa là d<=1/2ξ0. Nếu đối tượng có không gian được giới hạn, nghĩa là fp(r,ф) = 0, |r|>D/2, thì D = Md, và số mẫu nên có là:

Chọn của các bộ lọcHàm lọc |ξ| cần cho phép biến đổi Radon ngược nhấn mạnh tần số không gian cao. Khi hầu hết các ảnh trong thực tế có SNR thấp ở tần số cao, sử dụng bộ lọc này làm tăng nhiễu. Để giới hạn sự tăng vô hạn của tần số đáp ứng, một dải giới hạn được gọi là bộ lọc Ram – Lak [19]

đã được đề xuất. Trong thực tế, hầu hết các đối tượng có không gian giới hạn và dải lọc giới hạn với ngưỡng tấn số ξ0 là không hợp lý lắm, nhất là với sự có mặt của nhiễu. Một giá trị của ξ0 cho độ phân giải thấp và giá trị lớn dẫn tới làm tăng nhiễu. Tổng quát hóa của công thức 10.41 là các lớp của phép lọc

Trong đó hàm W(ξ) là cửa sổ giới hạn, nghĩa là chọn lựa để đưa ra một tần số đáp ứng cao ổn định hơn để đạt được cân bằng tốt hơn giữa độ rộng dải tần (nghĩa là tần số đáp ứng cao) và giảm nhiễu. Bảng 10.3 là danh sách một số bộ lọc thường được sử dụng. Hình 10.10 thể hiện đáp ứng tần số và đáp ứng xung của bộ lọc khi cho d=1.

3

Tần số đáp ứng H(ξ) Đáp ứng xung h(s)

Hình 10.10 các bộ lọc tái dựng lại.

(a) thuật toán cuộn hình chiếu ngược: số hóa đầy đủ

4

(b) thuật toán lọc hình chiếu ngược: số hóa đầy đủHình 10.11 quá trình thực hiện đầy đủ của thuật toán chập cuộn/lọc

hình chiếu ngược.Vì các hàm này tin cậy và chính xác, các đáp ứng xung được hiển thị quan sát nhiễu ở trên một đường thẳng. Khi mức thấp nhất, bộ lọc Shepp – Logan được ưa thích hơn bộ lọc Ram – Lak. Khái quát cửa sổ Hamming ở mức thấp cùng với giá trị tối ưu của α cho mức nhiễu, được sử dụng khi nhiễu là đáng kể. Với sự có mặt của nhiễu phương pháp lọc tốt hơn là sử dụng bộ lọc được xây dựng trên mô hình tuyến tính còn gọi là bộ lọc Stochastic ( Phần 10.8).Với mỗi bộ lọc, thuật toán tái hiện trong thực tế có 2 bước chính:

1. Với mỗi ngưỡng θ, lọc các hình chiếu g(s,θ) bởi bộ lọc một chiều có đáp ứng tần số là H(ξ) và đáp ứng xung là h(s).

2. Hình chiếu ngược của phép chiếu lọc, .Tùy vào phương pháp lọc, ta đưa ra 2 thuật toán hình 10.11. Trong cả 2 thuật toán hình chiếu ngược được thực hiện với sai số chấp nhận được. Thuật toán chập cuộn hình chiếu ngượcBiểu diễn ở hình 10.11aToán tử chập cuộn:

Hình chiếu ngược:

Phép lọc được thực hiện bởi toán tử chập cuộn trực tiếp trong miền s. Các bước thực hiện như sau:

1. Thực hiện cuộn riêng rẽ như thực hiện xấp xỉ giá trị đã được lấy mẫu của hình chiếu đã được lọc, nghĩa là,

ở đây thu được bởi việc lấy mẫu với tỷ lệ đáp ứng

xung h(s). Bảng 10.3 là danh sách cho các bộ lọc khác nhau.

5

Đầu tiên toán tử chập cuộn có thể được triển khai trực tiếp hoặc qua biến đổi FFT đã được giới thiệu ở phần 5.4.

2. Nội suy tuyến tính thì ta thu được biểu thức xấp xỉ của là:

3. Lấy tích phân xấp xỉ

ở đây βN được gọi phép rời rạc hình chiếu ngược. Lý do của phép toán hình chiếu ngược, nó cần thiết cho việc nội suy các hình chiếu đã lọc . Việc này được yêu cầu chính xác nếu ảnh dựng lại được ước lượng trong một lưới đã được lấy làm mẫu.Ví dụ để tính

Trên khung lưới với quãng cách , ta

vẫn cần tính ở các điểm giữa md, m=-M/2,…, M/2-1. Thực hiện nội suy tuyến tính của công thức 10.45 sẽ cho ta sự cân bằng giữa độ phân giải và làm mịn [18]. Công thức nội suy Lagrange bậc 0 đôi khi được sử dụng để tăng tốc độ của phép toán hình chiếu ngược.Thuật toán lọc hình chiếu ngượcTrong hình 10.11b, toán tử lọc được thực hiện trong miền tần số theo đẳng thức

Căn cứ vào H(ξ), phép lọc tần số đáp ứng, đây là phép lọc được thực hiện gần dúng bằng cách sử dụng phép xấy xỉ một mẫu đã lấy của G(ξ,θ) và thay thế một FFT cho biến đổi fourier ngược. Thuật toán được biểu diễn ở hình 10.11b, thuật toán lọc hình chiếu ngược một chiều tương đương với việc xét thuật toán một chiều trong phần 8.3. Các bước của thuật toán này như sau:1. Mở rộng chuỗi gn(m), -M/2 <= m <= (M/2)-1 bằng cách thêm vào

các số 0 và lặp lại định kỳ để thu được chuỗi Gn(K), 1<= k<=K-1. Khoảng xác định cho biết độ phân giải của việc lấy mẫu trong miền tần số. Thường K=2M nếu m lớn; ví dụ, K=512 nếu M=256

2. Từ mẫu H(ξ) thu được

Trong đó * là liên hợp phức.

6

3. Nhân chuỗi và ,và lấy FFT ngược

của kết quả. Một chu kỳ mở rộng cho kết quả với . Ảnh đã tái dựng lại được thu được qua

công thức 10.45 và 10.46.Ví dụ 10.5Hình 10.12b cho thấy một hình chiếu điển hình của một đối tượng được số hóa trên một lưới 128x128 ( hình 10.12a). việc tái dụng thu được từ 90 hình chiếu, mỗi 256 mẫu trên một dòng, sử dụng thuật toán chập cuộn hình chiếu ngược với các bộ lọc Ram – Lak và Shepp – Logar, được biểu diễn ở hình 10.12c và hình 10.12d. tương ứng với cường độ hình ảnh của đối tượng và tái dựng nó theo một đường ngang xuyên tâm biểu diễn trên hình 10.12f đến 10.12h. Hai cách tái dựng hầu như đồng nhất. Nhiễu xuất hiện là do tần số đáp ứng cao của bộ lọc tái dựng và điển hình cho phép lọc ngược. Đầu ra của phép lọc Stochastic được biểu diễn ở hình 10.12e và 10.12i thể hiện sự cải tiến của kết quả này. Phép lọc này sẽ được nói đến trong phần 10.8.Dựng lại hình sử dụng bộ xử lý song song tuyến tínhGần đây kiến trúc phần cứng được phát triển mạnh [11] cho phép máy tính tính toán với tốc độ cao tới biến đổi Radon và hình chiếp ngược. Theo cách này tốc độ thực hiện thuật toán chập cuộn và lọc ngược hình chiếu giống với các phép xử lý các số lớn của các phép xử lý ảnh khác trong không gian Radon. Hình 10.3 biểu diễn một vài kết quả của việc tái dựng hình ảnh sửdụng kiến trúc của bộ xử lý này.10.7 BIẾN ĐỔI RADON CỦA NHỮNG TRƯỜNG NGẪU NHIÊNChúng ta đã xét f(x,y) là hàm xác định. Trong nhiều trường hợp, như việc nén dữ liệu và phép lọc nhiễu, nó khá có ích để xét đến đầu vào f(x,y) cho các trường ngẫu nhiên. Vì vậy, nó trở nên cần thiết cho việc tìm hiểu các tính chất của biến đổi Radon của những trường ngẫu nhiên, nghĩa là hình chiếu của các trường ngẫu nhiên.

Biến đổi đơn Định lý Radon cho các trường ngẫu nhiên có thể được hiểu một cách dễ dàng bởi cách xét công thức

7

(a) Đối tượng gốc (b) Hình chiếu điển hình

(c) Bộ lọc Ram – Lak (d) Bộ lọc Shepp – Logan

(e) Bộ lọc Stochastic

8

(t) Đối tượng tuyến tính (h) Tái dựng lại qua bộ lọc Ram – Lak

(h) Tái dựng lại qua bộ lọc (i) Tái dựng lại qua bộ lọc Shepp – Logan Stochastic ( Cũng có thể nhìn

ví dụ 10.6)Hình 10.12 Ví dụ tái dựng lại ảnh

ở đây đại diện cho phép lọc một chiều khi tần số đáp ứng là |ξ|1/2. Công thức

là tương đương để lọc các hình chiếu bởi (Hình 10.14). Công thức này cũng có thể được thực hiện bởi phép lọc 2 chiều với tần số đáp ứng (ξ2

2 + ξ22)1/4 theo biến đổi Radon.

Định lý 10.1 Lấy là toán tử liên hợp của . Toán tử là duy nhất, nghĩa là

Điều này có nghĩa nghịch đảo của bằng liên hợp phức của nó và

biến đổi bảo toàn năng lượng, nghĩa là

9

(a) Nền Ảnh gốc (b) Tái dựng lại qua thuật toán chập cuộn hình chiếu ngược

(c) Nền ảnh nhị phân (d) Tái dựng lại sử dụng thuật toán đầy đủ ART

Hình 10.13 Ví dụ về tái dựng lại sử dụng bộ xử lý song song tuyến tính

Định lý này cho phép phát triển các tính chất của biến đổi Radon cho các trường ngẫu nhiên. Để chứng minh cho công thức trên và các định lý, nhìn vào hình 10.13

10

Hình 10.14 Biến đổi Tính Chất Của Biến Đổi Radon Cho Các Trường Ngẫu NhiênĐịnh nghĩa: Ta lấy f(x,y) là trường ngẫu nhiên cố định cùng với

mật độ quan phổ và hàm tương quan thì S(ξ1,ξ2) và tạo nên cặp biến đổi Fourier 2 chiều. Lấy Sp(ξ, θ) để chỉ rõ cực tọa độ biểu diễn của S(ξ1,ξ2), nghĩa là:

Hơn nữa, ta lấy rp(s, θ) là biến đổi Fourier ngược của Sp(ξ, θ), nghĩa là

Áp dụng định lý phép chiếu với hàm 2 chiều chúng ta có được quan hệ sau:

Định lý 10.2. toán tử là biến đổi Radon cho biến đổi trắng trong ngưỡng θ cho các trường ngẫu nhiên, và hàm tự tương quan của

được cho bởi công thức:

ở đây

Điều này có nghĩa trường ngẫu nhiên định nghĩa qua công thức 10.50 là cố định trong miền s và không tương quan với nhau trong ngưỡng θ. Vì có thể thu được bằng cách chuyển g(s, θ) qua , nó độc lập với ngưỡng θ, nên bản thân g(s, θ) cũng phải không tương quan nhau trong ngưỡng θ. Vì vậy, biến đổi Radon cho biến đổi trắng trong ngưỡng θ cho các trường ngẫu nhiên, và hàm tự tương quan của

phải ở dạng

ở đây rg(s, θ) chưa xác định. Bây giờ, với một ngưỡng θ bất kỳ, chúng ta định nghĩa mật độ quang phổ của như biến đổi Fourier một chiều của hàm tự tương quan của nó vể phương diện s, nghĩa là

Từ hình 10.14 ta có thể viết

11

Các kết quả dẫn đến định lý hữu ích.Định lý hình chiếu cho các trường ngẫu nhiên

Định lý 10.3. Mật độ quang phổ một chiều của biến đổi

của trường ngẫu nhiên f(x,y) là trung tâm ngưỡng θ của mật độ của nó, quang phổ hai chiều S(ξ1,ξ2) của nó, nghĩa là

Định lý này đáng ghi nhận bởi vì trung tâm của mật độ quang

phổ hai chiều S(ξ1,ξ2) bằng mật độ quang phổ một chiều của và khác với g(s, θ). Mặt khác, định lý hình chiếu nói rằng trung tâm của mật độ quang phổ biên hai chiều (nghĩa là, biến đổi Fourier) F(ξ1,ξ2) bằng với

mật độ quang phổ biên một chiều của g(s, θ) và khác với . Tổ hợp công thức 10.59 và 10.60 ta có

Từ đó ta công thức

Và

Định lý 10.3 có ích cho việc tìm mật độ quang phổ của nhiễu trong tái dựng hình ảnh do nhiễu trong hình chiếu của đối tượng quan sát. Ví dụ, giả sử v(s, θ) là trường ngẫu nhiên các điểm 0, v(s, θ) phải cố định trong s và không có tương quan với nhau trong ngưỡng θ, với

Nếu v(s, θ) đại diện cho sự tập trung của nhiễu trong các hình chiếu, thì một phần nhiễu trong quá trình tái dựng hình ảnh sẽ là

ở đây . Viết lại công thức 10.65

và áp dụng định lý 10.3 chúng ta có thể viết , mật độ quang phổ của η là

12

Điều này có nghĩa là khi quan sát mà có nhiễu thì mật độ quang phổ bị khuếch đại bởi (ξ1

2 + ξ22)1/2 của quá trình tái dựng lại (nghĩa là bởi

). Mật độ quang phổ chỉ bị giới hạn nếu khi . Ví dụ, nếu trường ngẫu nhiên v(s,θ) là dải tần giới hạn, thì η(x,y) cũng sẽ bị giới hạn và Sη sẽ duy trì giới hạn.

10.8 DỰNG LẠI HÌNH CHIẾU TỪ NHỮNG HÌNH CHIẾU BLURRED

Giá Trị Đo MẫuVới sự có mặt của nhiễu, các bộ lọc tái dựng trong bảng 10.3 không tối ưu trong bất cứ trường hợp nào. Giả sử hình chiếu quan sát được là

Hàm hp(s,θ) biểu diễn cho bất biến trượt Blur ( với đặc trưng s), có thể xảy ra và projection – gathering instrumentation, và thêm vào v(s,θ) làm giảm nhiễu đến một giá trị của hàm f(x,y) và không tương quan trong ngưỡng θ [xem công thức 10.46a]. bộ lọc được xây dựng trên mô hình tuyến tính bình phương có thể xác định từ bộ lọc Wiener đã được thảo luận ở chương 8.Mô hình lọc bình phương tối ưuƯớc lượng mô hình lọc bình phương tuyến tính của f(x,y), có thể được tái dựng lại tử w(s, θ), bởi thuật toán lọc/ chập cuộn hình chiếu ngược (sẽ được nói trong phần 10.14)

ở đây

Nhận xétBộ lọc tối ưu tái dựng lại ở trên có thể được triển khai như khái quát thuật toán lọc/chập cuộn hình chiếu ngược sử dụng kỹ thuật phần 10.6. A provision has to be made for the fact that bây giờ chúng ta lọc một chiều ap(s,θ), ap(s,θ) có thể thay đổi với ngưỡng θ.Tái dựng lại từ các hình chiếu

Trong trường hợp hình chiếu bị mờ ta có:

13

và

Bộ lọc tái dựng lại được đưa ra bởi công thức

Chú ý rằng nếu có nhiễu, nghĩa là Sη→0, thì Ap(ξ, θ)→|ξ|, điều này là hoàn toàn chính xác. Bộ lọc yêu cầu cho biến đổi Radon ngược.

Sử dụng công thức 10.61 và 10.70 chúng ta có thể viết

ở đây

Chú ý rằng là bộ lọc Weiner một chiều với g(s, θ) cho ta w(s, θ). Điều này có nghĩa bộ lọc tối ưu toàn diện Ap là khai triển của |

ξ|, bộ lọc cần cho biến đổi Radon ngược, và hàm cửa sổ đâị diện cho bộ lọc tối ưu cục bộ cho mỗi hình chiếu. Trong thực tế,

có thể được ước tính thích nghi cho mỗi ngưỡng θ bởi đánh giá Sw(ξ, θ), mật độ quang phổ của hình chiếu thu được là w(s, θ).

Ví dụ 10.6 tái dựng lại từ các hình chiếuGiả sử hàm phương sai của đối tượng được chuẩn hóa bởi hàm

đẳng hướng . Mật độ quang phổ tương ứng là

hoặc

Giả sử hình chiếu không bị mờ và lấy . Thì tần số đáp ứng của bộ lọc tái dựng tối ưu, thì từ nay trở đi gọi là bộ lọc Stochastic, được cho bởi

Bộ lọc này độc lập với ngưỡng θ và có tần số đáp ứng nhiều như của bộ lọc Stochastic (hình 15.10a). Hình 15.10b biểu diễn tần số xung của Stochastic sử dụng cho việc tái tạo lại hình ảnh từ những hình chiếu với

, và α=0.266. Kết quả của việc tái dựng lại biểu diễn

14

ở hình 10.15c đến 10.15i. So sánh với bộ lọc Shepp – Logan ngay cả trong trường hợp cố định

15