1

Minta az 1. Házi feladat megoldására, ÁVF, 2000/2001 I. félév. 1. Feladat:

Megoldás: Standard alak:

2x1 − x2 − x3 + x4 =4 x1 + x2 − x3 + x4 + x5 =2 x1 − x2 + x3 − x4 − x6 =2

x1≥0, x2≥0, x3≥0, x4≥0, x5≥0, x6≥0 (− x1 − x2 − x3 − x4 ) →max

Mesterséges változókkal bővített standard alak:

2x1 − x2 − x3 + x4 + p1 =4 x1 + x2 − x3 + x4 + x5 =2 x1 − x2 + x3 − x4 − x6 + p2 =2

x1≥0, x2≥0, x3≥0, x4≥0, x5≥0, x6≥0, p1≥0, p2≥0 ( p1 + p2) →min (− x1 − x2 − x3 − x4 ) →max

Mesterséges változókkal bővített standard alak átzárójelezve és az első fázis célfüggvénye maximalizálásra változtatva: 4 − (2x1 − x2 − x3 + x4 + p1 ) =0 2 − ( x1 + x2 − x3 + x4 + x5 ) =0 2 − ( x1 − x2 + x3 − x4 − x6 + p2) =0 x1≥0, x2≥0, x3≥0, x4≥0, x5≥0, x6≥0, p1≥0, p2≥0

0 − ( p1 + p2) =H→max 0 − ( x1 + x2 + x3 + x4 ) =z→max Az első fázis célfüggvényéből a mesterséges változókat eliminálva:

4 − (2x1 − x2 − x3 + x4 + p1 ) =0 2 − ( x1 + x2 − x3 + x4 + x5 ) =0 2 − ( x1 − x2 + x3 − x4 − x6 + p2) =0 x1≥0, x2≥0, x3≥0, x4≥0, x5≥0, x6≥0, p1≥0, p2≥0 −6 − (−3x1 +2x2 + x6 ) =H→max 0 − ( x1 + x2 + x3 + x4 ) =z→max

Forrás: http://www.doksi.hu

2

Az induló szimplex tábla: B0 xB x1 x2 x3 x4 x5 x6 p1 p2 θi p1 4 2 − 1 − 1 1 0 0 1 0 2 x5 2 1 1 − 1 1 1 0 0 0 2 p2 2 1 − 1 1 − 1 0 − 1 0 1 2 ← ∆Hj −6 −3 2 0 0 0 1 0 0 ∆zj 0 1 1 1 1 0 0 0 0

↑ Az I. fázis iterációi: B1 xB x1 x2 x3 x4 x5 x6 p1 p2 θi p1 0 0 1 − 3 3 0 2 1 −2 0 ← x5 0 0 2 − 2 2 1 1 0 −1 0 x1 2 1 − 1 1 − 1 0 − 1 0 1 − ∆Hj 0 0 − 1 3 − 3 0 −2 0 3 ∆zj − 2 0 2 0 2 0 1 0 −1

↑ B2 xB x1 x2 x3 x4 x5 x6 p1 p2 θi

x2 0 0 1 − 3 3 0 2 1 −2 x5 0 0 0 4 −4 1 −3 −2 3 x1 2 1 0 −2 2 0 1 1 −1 ∆Hj 0 0 0 0 0 0 0 1 1 ∆zj − 2 0 0 6 −4 0 −3 −2 3

A II. fázis iterációi: B2 xB x1 x2 x3 x4 x5 x6 θi x2 0 0 1 − 3 3 0 2 0 ← x5 0 0 0 4 −4 1 −3 − x1 2 1 0 −2 2 0 1 2 ∆zj − 2 0 0 6 −4 0 −3

↑ B3 xB x1 x2 x3 x4 x5 x6

x6 0 0 1/2 − 3/2 3/2 0 1 x5 0 0 3/2 − 1/2 1/2 1 0 x1 2 1 − 1/2 − 1/2 1/2 0 0 ∆zj − 2 0 3/2 3/2 1/2 0 0

A feladatnak létezik megengedett megoldása és véges optimuma! Az optimális megoldás: x1 = 2.0, x2 = 0.0, x3 = 0.0, x4 = 0.0, zopt = − 2.0.

Forrás: http://www.doksi.hu

3

2. Feladat:

Megoldás: Standard alak:

x1 +2 x2 + x3 − x4 − x5 =2

2x1 −2 x2 −2x3 − x4 + x6 =4 −2x1 − x2 −2 x3 +2 x4 − x7 =3 x1≥0, x2≥0, x3≥0, x4≥0, x5≥0, x6≥0, x7≥0 (−2x1 −2 x2 + x3 + x4 ) →max

Mesterséges változókkal bővített standard alak:

x1 +2 x2 + x3 − x4 − x5 +p1 =2 2x1 −2 x2 −2x3 − x4 + x6 =4 −2x1 − x2 −2 x3 +2 x4 − x7 +p2 =3 x1≥0, x2≥0, x3≥0, x4≥0, x5≥0, x6≥0, x7≥0, p1≥0, p2≥0

( p1 +p2) →min (−2x1 −2 x2 + x3 + x4 ) →max Mesterséges változókkal bővített standard alak átzárójelezve és az első fázis célfüggvénye maximalizálásra változtatva: 2 − (x1 2 x2 + x3 − x4 − x5 + p1 ) =0 4 − (2x1 −2 x2 −2 x3 − x4 + x6 ) =0 3 − (−2x1 − x2 −2 x3 +2 x4 − x7 + p2) =0 x1≥0, x2≥0, x3≥0, x4≥0, x5≥0, x6≥0, x7≥0, p1≥0, p2≥0

0 − ( p1 + p2) =H→max 0 − (2x1 +2 x2 − x3 − x4 ) =z→max Az első fázis célfüggvényéből a mesterséges változókat eliminálva: 2 − (x1 2 x2 + x3 − x4 − x5 + p1 ) =0 4 − (2x1 −2 x2 −2 x3 − x4 + x6 ) =0 3 − (−2x1 − x2 −2 x3 +2 x4 − x7 + p2) =0 x1≥0, x2≥0, x3≥0, x4≥0, x5≥0, x6≥0, x7≥0, p1≥0, p2≥0

0 − (x1 − x2 + x3 − x4 + x5 + x7 ) =H→max 0 − (2x1 +2 x2 − x3 − x4 ) =z→max

Forrás: http://www.doksi.hu

4

Az induló szimplex tábla: B0 xB x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 p1 p2 θi p1 2 1 2 1 − 1 − 1 0 0 1 0 2 ← x6 4 2 − 2 − 2 − 1 0 1 0 0 0 − p2 3 −2 − 1 − 2 2 0 0 − 1 0 1 − ∆Hj −5 1 − 1 1 − 1 1 0 1 0 0 ∆zj 0 2 2 − 1 − 1 0 0 0 0 0

↑ Az I. fázis iterációi: B1 xB x1 x2 x3 x4 x5 x6 p1 p2 θi x2 1 1/2 1 1/2 − 1/2 − 1/2 0 1/2 0 − x6 6 3 0 − 1 − 2 − 1 1 1 0 − p2 4 3/2 0 −3/2 3/2 − 1/2 0 1/2 1 8/3 ← ∆Hj −4 3/2 0 3/2 − 3/2 1/2 0 1/2 0 ∆zj − 2 1 0 − 2 0 1 0 − 1 0

↑ B2 xB x1 x2 x3 x4 x5 x6 p1 p2 θi

x2 7/3 1 1 0 0 − 2/3 0 2/3 1/3 x6 34/3 5 0 −3 0 − 5/3 1 5/3 4/3 p2 8/3 1 0 −1 1 − 1/3 0 1/3 2/3 ∆Hj 0 0 0 0 0 0 0 1 1 ∆zj − 2 1 0 − 2 0 1 0 − 1 0

A II. fázis iterációi: B2 xB x1 x2 x3 x4 x5 x6 θi

x2 7/3 1 1 0 0 − 2/3 0 x6 34/3 5 0 −3 0 − 5/3 1 p2 8/3 1 0 −1 1 − 1/3 0 ∆zj − 2 1 0 − 2 0 1 0

↑ A feladat célfüggvénye az adott korlátozó feltételek mellett tetszőlegesen nagy értéket felvehet, vagyis a feladatnak nincs véges optimuma.

Forrás: http://www.doksi.hu

5

3. Feladat:

Megoldás: Standard alak:

2 x1 + x2 + x3 −2 x4 − x5 =4 − 2x1 − 2 x2 +2 x3 + x4 =2 2 x1 + x2 + 2 x3 − 2 x4 +x6 =4

x1≥0, x2≥0, x3≥0, x4≥0, x5≥0, x6≥0 (2 x1 − x2 −2 x3 − x4 ) →max Mesterséges változókkal bővített standard alak:

2 x1 + x2 + x3 −2 x4 − x5 +p1 =4 − 2x1 − 2 x2 +2 x3 + x4 +p2 =2 2 x1 + x2 + 2 x3 − 2 x4 +x6 =4

x1≥0, x2≥0, x3≥0, x4≥0, x5≥0, x6≥0 ( p1 + p2) →min (2 x1 − x2 −2 x3 − x4 ) →max Mesterséges változókkal bővített standard alak átzárójelezve és az első fázis célfüggvénye maximalizálásra változtatva: 4 − (2x1 + x2 + x3 − 2x4 − x5 + p1 ) =0 2 − (−2 x1 − 2 x2 +2 x3 + x4 + p2) =0 4 − ( 2 x1 + x2 +2 x3 −2 x4 + x6 ) =0 x1≥0, x2≥0, x3≥0, x4≥0, x5≥0, x6≥0, p1≥0, p2≥0

0 − ( p1 + p2) =H→max 0 − (−2x1 + x2 +2 x3 + x4 ) =z→max Az első fázis célfüggvényéből a mesterséges változókat eliminálva: 4 − (2x1 + x2 + x3 − 2x4 − x5 + p1 ) =0 2 − (−2 x1 − 2 x2 +2 x3 + x4 + p2) =0 4 − ( 2 x1 + x2 +2 x3 −2 x4 + x6 ) =0 x1≥0, x2≥0, x3≥0, x4≥0, x5≥0, x6≥0, p1≥0, p2≥0 −6 − ( + x2 −3 x3 + x4 + x5 ) =H→max 0 − (−2x1 + x2 +2 x3 + x4 ) =z→max

Forrás: http://www.doksi.hu

6

Az induló szimplex tábla: B0 xB x1 x2 x3 x4 x5 x6 p1 p2 θi p1 4 2 1 1 −2 −1 0 1 0 4 p2 2 −2 −2 2 1 0 0 0 1 1 ← x6 4 2 1 2 − 2 0 1 0 0 2 ∆Hj −6 0 1 −3 1 1 0 0 0 ∆zj 0 −2 1 2 1 0 0 0 0

↑ Az I. fázis iterációi: B1 xB x1 x2 x3 x4 x5 x6 p1 p2 θi p1 3 3 2 0 −5/2 −1 0 1 −1/2 3/2 x3 1 −1 −1 1 1/2 0 0 0 1/2 − x6 2 4 3 0 − 3 0 1 0 −1 2/3 ← ∆Hj −3 −3 −2 0 5/2 1 0 0 3/2 ∆zj −2 0 3 0 0 0 0 0 −1

↑ B2 xB x1 x2 x3 x4 x5 x6 p1 p2 θi p1 5/3 1/3 0 0 −1/2 −1 −2/3 1 1/6 5 x3 5/3 1/3 0 1 −1/2 0 1/3 0 1/6 5 x2 2/3 4/3 1 0 − 1 0 1/3 0 −1/3 1/2 ← ∆Hj −5/3 −1/3 0 0 1/2 1 2/3 0 7/6 ∆zj −4 −4 0 0 3 0 −1 0 0

↑ B3 xB x1 x2 x3 x4 x5 x6 p1 p2 θi p1 3/2 0 −1/4 0 −1/4 −1 −3/4 1 1/4 x3 3/2 0 −1/4 1 −1/4 0 1/4 0 1/4 x1 1/2 1 3/4 0 − 3/4 0 1/4 0 −1/4 ∆Hj −3/2 0 1/4 0 1/4 1 3/4 0 13/12 ∆zj −2 0 3 0 0 0 0 0 −1

A feladatnak nincs megengedett megoldása, mert a bevezetett mesterséges változók összegének a minimuma 3/2 és ez nagyobb mint nulla. Budapest, 2000. szeptember 27.

Dr. Szántai Tamás sk.. főiskolai tanár

Forrás: http://www.doksi.hu

7

Minta a 2. Házi feladat megoldására, ÁVF, 1999/2000 II. félév. 1. Oldja meg a duális feladat megoldásával az alábbi lineáris programozási feladatot! Adja meg a w1, w2, w3, w4 változók optimális értékeit, valamint a célfüggvénynek ezekre a w1, w2, w3, w4 értékekre felvett optimális értékeit!

2 w1 − w2 +2 w3 +2 w4 ≥ 4 − w1 − w2 − w3 +2 w4 ≥ 1 − w1 + w2 − w3 − w4 ≥ 2 w1≥0, w2≥0, w3≥0, w4≥0 (− w1 − w2 −3 w3 − w4) →max!

Mivel tudjuk, hogy duál duálja az eredeti primál feladat, azért tekintsük a fenti feladatot minimalizálandó célfüggvénnyel:

2 w1 − w2 +2 w3 +2 w4 ≥ 4 − w1 − w2 − w3 +2 w4 ≥ 1 − w1 + w2 − w3 − w4 ≥ 2 w1≥0, w2≥0, w3≥0, w4≥0 ( w1 + w2 +3 w3 + w4) →min!

Ez a feladat duál alakú, így az ő duál párja az a primál alakú feladat, amelynek éppen ő a duális párja. Ha x1, x2, x3 jelöli ennek a feladatnak a változóit, akkor ez a feladat:

2 x1 − x2 − x3 ≤ 1 − x1 − x2 + x3 ≤ 1 2 x1 − x2 − x3 ≤ 3 2 x1 +2 x2 − x3 ≤ 1 x1≥0, x2≥0, x3≥0 (4 x1 + x2 +2 x3) →max!

Vezessük be az x4, x5, x6, x7 segéd változókat:

2 x1 − x2 − x3 + x4 = 1 − x1 − x2 + x3 + x5 = 1 2 x1 − x2 − x3 + x6 = 3 2 x1 +2 x2 − x3 + x7 = 1 x1≥0, x2≥0, x3≥0, x4≥0, x5≥0, x6≥0, x7≥0 (4 x1 + x2 +2 x3 ) →max!

Ebben a feladatban az x4, x5, x6, x7 segéd változók kifejezett változók, így átzárójelezés után azt kapjuk, hogy

Forrás: http://www.doksi.hu

8

1− (2 x1 − x2 − x3 + x4 ) = 0 1− (− x1 − x2 + x3 + x5 ) = 0 3− (2 x1 − x2 − x3 + x6 ) = 0 1− (2 x1 +2 x2 − x3 + x7) = 0 x1≥0, x2≥0, x3≥0, x4≥0, x5≥0, x6≥0, x7≥0 0− (−4 x1 − x2 −2 x3 ) →max!

Ebből az induló szimplex tábla és az ezt követő iterációk szimplex táblái rendre:

B0 xB x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 θi x4 1 2 − 1 − 1 1 0 0 0 − x5 1 −1 − 1 1 0 1 0 0 1 ← x6 3 2 − 1 − 1 0 0 1 0 − x7 1 2 2 − 1 0 0 0 1 − ∆zj 0 −4 − 1 −2 0 0 0 0 ↑

B1 xB x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 θi x4 2 1 − 2 0 1 1 0 0 − x3 1 −1 − 1 1 0 1 0 0 − x6 4 1 − 2 0 0 1 1 0 − x7 2 1 1 0 0 1 0 1 1 ← ∆zj 2 −6 − 3 0 0 2 0 0 ↑

B2 xB x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 θi x4 6 3 0 0 1 3 0 2 4/3 ← x3 3 0 0 1 0 2 0 1 − x6 8 3 0 0 0 3 1 2 8/3 x2 2 1 1 0 0 1 0 1 2 ∆zj 8 −3 0 0 0 5 0 3 ↑

B3 xB x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 θi x1 2 1 0 0 1/3 1 0 2/3 x3 3 0 0 1 0 2 0 1 x6 2 0 0 0 −1 0 1 0 x2 0 0 1 0 −1/3 0 0 1/3 ∆zj 14 0 0 0 1 8 0 5

Ez a feladat optimális szimplex táblája, melyből leolvasható a duális feladat optimális megoldása: x1=2, x2=0, x3=3, x4=0, x5=0, x6=2, x7=0 és az optimum zopt=14. Ha most x4, x5, x6, x7 helyett u1, u2, u3, u4 jelöli a feladat segéd változóit és az optimális szimplex tábla felső sorában azonosítjuk a duál feladat megfelelő w1, w2, w3, w4 változóit és v1, v2, v3 segéd változóit, akkor a ∆zj sorból leolvashatjuk a duál, vagyis az eredeti feladat optimális megoldását is:

v1 v2 v3 w1 w2 w3 w4 B3 xB x1 x2 x3 u1 u2 u3 u4 θi x1 2 1 0 0 1/3 1 0 2/3 x3 3 0 0 1 0 2 0 1

Forrás: http://www.doksi.hu

9

u3 2 0 0 0 −1 0 1 0 x2 0 0 1 0 −1/3 0 0 1/3 ∆zj 14 0 0 0 1 8 0 5

Így duális pár optimális megoldása: w1=1, w2=8, w3=0, w4=5, v1=0, v2=0, v3=0 és az optimuma f=14, vagyis a feladatban kérdezett maximalizálandó célfüggvényre 14−=f . 2. Oldja meg az alábbi szállítási feladatot:

8 3 7 4 1 9 17 5 8 4 9 5 5 33

7 2 3 8 1 4 36 6 1 2 4 3 7 81

36 34 10 27 33 27 167 Az induló megoldást Vogel és Korda módszerével keressük meg (valószínű, hogy ez nehezen lesz követhető).

8 3 7 4 17 1 9 17 8 26 5 8 4 9 5 7 5 33 26 5 5 5 4 0

7 2 3 8 16 1 20 4 36 20 7 7 5 4 10 6 34 1 10 2 27 4 3 7 81 47 37 10 6 5 5 3 1 36 34 10 27 33 27 167 10 16 7

3 7 5 5 4 5 2 7 2 5 4 3 1 5 2

Letisztázva az induló megoldást és a duál változókat a baloldali és a felső peremre kiszámítva, valamint a bal alsó sarokba a javítás mutatószámait kiszámítva:

4 −1 0 2 1 4 0 4 8

4 3 7 7 2 4 17 1 5 9 17 1 26 5 8 8 3 4 6 9 3 5 7 5 33 0 3 7 3 2 3 3 6 8 16 1 20 4 36 2 10 6 34 1 10 2 27 4 0 3 1 7 81 36 34 10 27 33 27 167

Szerencsés módon máris megtaláltuk az optimális megoldást, hiszen a bal alsó sarkok mindegyikében nemnegatív szám áll. Tekintsük mégis a (4,5) cellát, itt a bal alsó sarokban 0 található, tehát hozzá hurkot szerkesztve egy alternatív optimális megoldást lehet megtalálni. A hurok a következő: (4,5) − (3,5) − (3,6) − (2,6) − (2,1) − (4,1). Ebben a (4,5) cellától páratlan távoli cellákba beírt szállítások rendre 16, 7 és 10, ezek minimuma 7, így egy alternatív optimális megoldást ad a következő szállítási tábla:

4 −1 0 2 1 4 0 4 8

4 3 7 7 2 4 17 1 5 9 17 1 33 5 8 8 3 4 6 9 3 5 0 5 33 0 3 7 3 2 3 3 6 8 9 1 27 4 36 2 3 6 34 1 10 2 27 4 7 3 1 7 81 36 34 10 27 33 27 167

Forrás: http://www.doksi.hu

10

Megjegyzés: Mindaddig, ameddig a bal alsó sarkokba számított számok között van negatív, a fentihez hasonló transzformációkat kell végrehajtani. A feladat egyik optimális megoldása: 1 → 5: 17 egység 1 egységárral = 17 2 → 1: 33 egység 5 egységárral = 165 3 → 5: 9 egység 1 egységárral = 9 3 → 6: 27 egység 4 egységárral = 108 4 → 1: 3 egység 6 egységárral = 18 4 → 2: 34 egység 1 egységárral = 34 4 → 3: 10 egység 2 egységárral = 20 4 → 4: 27 egység 4 egységárral = 108 4 → 5: 7 egység 3 egységárral = 21 Összesen: 500

Forrás: http://www.doksi.hu

11

3. Oldja meg az alábbi hozzárendelési feladatot:

20 18 36 19 21 56 21 50 23 66 5 60 39 27 16 5 29 13 20 9 11 56 2 20 21 49 49 27 42 21 58 16 52 57 65 8 8 8 19 29 24 22

64 19 36 2 50 34 33

Először minden sor minden eleméből le kell vonni a sor legkisebb elemét, ezért minden sor mellett feltüntetjük a legkisebb elemet:

20 18 36 19 21 56 21 18 50 23 66 5 60 39 27 5 16 5 29 13 20 9 11 5 56 2 20 21 49 49 27 2 42 21 58 16 52 57 65 16 8 8 8 19 29 24 22 8

64 19 36 2 50 34 33 2 A levonások után keletkező tábla:

2 0 18 1 3 38 3 45 18 61 0 55 34 22 11 0 24 8 15 4 6 54 0 18 19 47 47 25 26 5 42 0 36 41 49 0 0 0 11 21 16 14

62 17 34 0 48 32 31 Másodszorra ugyanezt megtesszük minden oszlopra:

2 0 18 1 3 38 3 45 18 61 0 55 34 22 11 0 24 8 15 4 6 54 0 18 19 47 47 25 26 5 42 0 36 41 49 0 0 0 11 21 16 14

62 17 34 0 48 32 31 0 0 0 0 3 4 3

Forrás: http://www.doksi.hu

12

2 0 18 1 0 34 0

45 18 61 0 52 30 19 11 0 24 8 12 0 3 54 0 18 19 44 43 22 26 5 42 0 33 37 46 0 0 0 11 18 12 11

62 17 34 0 45 28 28 Lefedjük az összes nullát minimális számú fedővonallal:

↓ ↓ ↓ → 2 0 18 1 0 34 0 ← 45 18 61 0 52 30 19 11 0 24 8 12 0 3 54 0 18 19 44 43 22 26 5 42 0 33 37 46 → 0 0 0 11 18 12 11 ← 62 17 34 0 45 28 28 ↑ ↑ ↑

A fedetlen elemek legkisebbike 3, ezt levonjuk a fedetlenekből és hozzáadjuk a kétszer fedettekhez:

↓ ↓ → 2 3 18 4 0 37 0 ← 42 18 58 0 49 30 16 → 8 0 21 8 9 0 0 ← 51 0 15 19 41 43 19 23 5 39 0 30 37 43 → 0 3 0 14 18 15 11 ← 59 17 31 0 42 28 25 ↑ ↑

A fedetlen elemek legkisebbike 15, ezt levonjuk a fedetlenekből és hozzáadjuk a kétszer fedettekhez:

Forrás: http://www.doksi.hu

13

↓ ↓ → 2 3 18 4 0 37 0 ← 27 18 43 0 34 15 1 → 8 0 21 8 9 0 0 ← → 36 0 0 19 26 28 4 ← 8 5 24 0 15 22 28 → 0 3 0 14 18 15 11 ← 44 17 16 0 27 13 10 ↑ ↑

A fedetlen elemek legkisebbike 1, ezt levonjuk a fedetlenekből és hozzáadjuk a kétszer fedettekhez:

↓ → 2 4 18 5 0 37 0 ← → 26 18 42 0 33 14 0 ← → 8 1 21 9 9 0 0 ← → 36 1 0 20 26 28 4 ← 7 5 23 0 14 21 27 → 0 4 0 15 18 15 11 ← 43 17 15 0 26 12 9 ↑

A fedetlen elemek legkisebbike 5, ezt levonjuk a fedetlenekből és hozzáadjuk a kétszer fedettekhez:

2 4 18 5 0 37 0 26 18 42 5 33 14 0 8 1 21 9 9 0 0 36 1 0 20 26 28 4 2 0 18 0 9 16 22 0 4 0 20 18 15 11 38 12 10 0 16 7 4

A fenti táblában az összes nullát már csak 7 vonallal lehetett volna lefedni, ezért kellett, hogy létezzen 7 darab egymást mint sakkbástya nem ütő nulla szám a táblában. Ezeket félkövér betűkkel jelöltem. Végül is az eredeti táblában a feladat optimális megoldása: 1 → 5: 21 2 → 7: 27 3 → 6: 9 4 → 3: 20 5 → 2: 21 6 → 1: 8 7 → 4: 2 Összesen: 108

Forrás: http://www.doksi.hu