MF2_Hidrostatica

Mecánica de Fluidos

Jean-François DULHOSTE – Escuela de Ingeniería Mecánica - ULA

1

TTeemmaa 22

HH IIDDRROOSSTTAATTIICCAA Estática de fluidos

PPrreessiióónn La presión se define como una fuerza por unidad de superficie. Por ejemplo un sólido apoyado sobre una superficie ejerce una presión igual al peso sobre el área d ela superficie de contacto.

EEccuuaacciióónn ffuunnddaammeennttaall ddee llaa hhiiddrroossttááttiiccaa Esta es una expresión que permite determinar el campo de presiones dentro de un fluido. Consideremos un elemento diferencial (dm) de masa del fluido de lados dx, dy, dz. Como todo fluido, este elemento puede estar sometido a fuerzas superficiales y fuerzas volumétricas:

• La única fuerza volumétrica que por lo general interesa en los problemas de ingeniería es la debida a la gravedad o peso propio:

dzdydxgVdgdmgFd Brrrr

ρρ === • Al estar el fluido en reposo la única fuerza superficial a la

que está sometido es la debida a la presión, ya que no soporta fuerzas cortantes. Luego ésta se puede expresar haciendo un desarrollo en serie de Taylor alrededor del punto “O” (centro del elemento) para cada una de las caras del elemento. Así, si P es la presión en el centro del elemento y se desprecian los términos de orden superior, para la cara izquierda:

( )22dy

yPPdy

yPPyY

yPPP LL ∂

∂−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

∂∂

+=−∂∂

+=

Y se pueden obtener expresiones similares para las demás caras del elemento, así para la cara derecha:

( )2dy

yPPyY

yPPP RR ∂

∂+=−

∂∂

+=

Cada fuerza de presión es entonces el producto de tres factores: • La magnitud de la presión (ecuación anterior) • El área de la cara donde actúa la fuerza (para las caras izquierda y derecha será dxdz) • El vector unitario correspondiente (para las caras izquierda j y derecha –j)

La ecuación para las fuerzas superficiales queda entonces como:

W

P

Area A

AWP =

y

x

z

dy

dx

dz

PR PL



2

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )kdxdydzzPPkdxdydz

zPP

jdxdzdyyPPjdxdzdy

yPP

idydzdxxPPidydzdx

xPPFd S

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−+

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−+

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−=

22

22

22r

Agrupando y cancelando términos obtenemos:

dzdydxPdzdydxkzPj

yPi

xPFd S −∇=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

−=r

Donde Pz

ky

jx

iP ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇ se denomina gradiente de presión.

La fuerza total en el elemento será entonces:

( ) dzdydxPgFdFdFd SB ∇−=+=rrrr

ρ Que podemos expresar por unidad de volumen como:

( )Pgdzdydx

FdVdFd

∇−==r

rr

ρ

Por otro lado si aplicamos la ley de Newton tendremos:

ρρ aVdFdVdaFd rr

rr=⇔=

Como el fluido está estático 0=ar , por lo tanto 0=VdFdr

Igualando las dos ecuaciones obtenemos: 0=∇− Pgrρ

Como se trata de una ecuación vectorial, esta se puede expresar en termino de sus componentes:

zzPg

yyPg

xxPg

z

y

x

dirección en 0

dirección en 0

dirección en 0

=∂∂

−

=∂∂

−

=∂∂

−

ρ

ρ

ρ

Si se escoge un sistema de coordenadas tal que la dirección de la gravedad coincida con uno de los ejes (z por ejemplo) entonces tendremos que:

0

0

gzPyPxP

ρ−=∂∂

=∂∂

=∂∂

Obtenemos así la ecuación fundamental de la hidrostática: gdzdP ρ−=



3

Esta ecuación es válida bajo las condiciones siguientes: 1. Fluido en reposo 2. La única fuerza volumétrica es la gravedad 3. Eje z vertical hacia arriba

Si consideramos que el fluido es incompresible, lo cual se puede suponer para muchos casos prácticos, entonces se puede integrar esta expresión entre el nivel de referencia z0 al cual corresponde una P0 y un nivel z al cual corresponde una presión P:

∫∫ −=z

z

P

PgdzdP

00

ρ

Si ρ y g son constantes:

( )00 zzgPP −−=− ρ

Y si llamamos ( )0zzh −= , siendo h positiva de arriba hacia abajo tendremos:

ghPP ρ+= 0

PPrrooppiieeddaaddeess ddee llaa pprreessiióónn eenn uunn fflluuiiddoo • La presión en un fluido en reposo es igual en todas las direcciones (principio de Pascal) • La presión en todos los puntos situados en un mismo plano horizontal en el seno de un fluido en reposo es la

misma. • La estática de los fluidos ideales no se diferencia de la estática de los fluidos reales. • La fuerza de presión en un fluido en reposo es siempre a compresión y jamás a tracción • La superficie libre de un líquido en reposo es siempre horizontal.

PPrreessiióónn aattmmoossfféérriiccaa Es la presión ejercida por el peso de la atmósfera sobre la superficie terrestre. Se ha aceptado internacionalmente a la atmósfera estándar a nivel del mar (altitud 0 m) como:

T = 288 ºK P = 101.3 KPa

En Mérida la presión es del orden de 85 KPa (alrededor de la facultad de Ingeniería), pero varía en función de la zona de la ciudad debido a los cambios de altitud y condiciones climáticas.

RReeffeerreenncciiaass ddee pprreessiióónn Las presiones de pueden medir como presiones absolutas o relativas.

P

h

0P



4

Presión absoluta La presión absoluta es la medida de la presión referida al cero absoluto (vacío total o ausencia total de materia)

Presión relativa Las presiones relativas son las presiones referidas a otra presión. La presión de referencia más utilizada es la presión atmosférica. Se tiene así diversas denominaciones de presión como:

Presión manométrica Es la presión referida a la `presión atmosférica.

Presión de vacío Es la presión referida a la presión atmosférica pero por debajo de ella.

Presión diferencial Es la diferencia entre dos presiones cualesquiera

Presión atmosférica Es la presión ejercida por el peso de la atmósfera sobre la tierra. AS nivel del mar esta es de aproximadamente 760 mm de Hg , 14.7 psia o 100 KPa. En Merida que se encuentra a aproximadamente 1600 metros de altitud esta es de aproximadamente 85 KPa.

Presión barométrica Es la medida de la presión atmosférica la cual varía levemente con las condiciones climáticas.

Unidades de presión Las unidades de presión expresan una unidad de fuerza sobre unidad de área. Las más usadas son Kg/cm2, psi (lbf/pulg2), Pascal (N/m2), bar, atmósfera, Torr (mm de columna de Hg). La siguiente tabla resume los factores de conversión de las unidades de presión más comunes.

psi Pa Kg/cm2 Bar Atmósfera Torr Cm H2O Pulg H2O Pulg Hg

psi 1 6896.5 0.0703 0.0689 0.0680 51.715 70.31 27.68 2.036 Pa 0.000145 1 0.00001019 0.00001 0.00000987 0.0075 0.01 0.0039 0.00029

Kg/cm2 14.22 98067 1 0.9807 0.9678 735.58 1000 393.7 28.96 Bar 14.50 100000 1.019 1 0.9869 750.062 1024 401.46 29.53

Atmósfera 14.70 101325 1.0332 1.01325 1 760 1033 406.78 29.92 Torr 0.01934 133.32 0.001359 0.00133 0.001316 1 1.359 0.5352 0.0394

Cm H2O 0.0142 100 0.0010 0.0009 0.00096 0.7356 1 0.3937 0.0289 Pulg H2O 0.0361 254.6 0.00254 0.00249 0.00246 1.8683 2.540 1 0.07355 Pulg Hg 0.4912 3386 0.0345 0.0333 0.0334 25.40 34.53 13.6 1

P2

P1

P. atmosférica

Vacío absoluto

P. barométrica

P. diferencial

P. manométrica

P. vacío

P1

P. absoluta



5

EEjjeerrcciicciiooss..

Ejercicio 1 A través de los tubos A y B, vistos en corte en la figura, fluye agua. En el tubo en forma de U invertida se tiene aceite con una densidad relativa de 0.8. En los otros dos segmentos del manómetro se tiene mercurio con una densidad relativa de 13.6. Determine la diferencia de presión entre los tubos A y B en lbf/pulg2.

Ejercicio 2 El manómetro de depósito de la figura tiene un tubo de diámetro 10 mm y un depósito de diámetro 32 mm. El líquido manométrico es aceite rojo merian con DR=0.827. Determine el desplazamiento de líquido en el tubo del manómetro por cada milímetro de agua de presión diferencial aplicada.

Ejercicio 3 El manómetro inclinado mostrado en la figura tiene un depósito con diámetro D = 90 mm y un tubo medidor con diámetro d=6 mm. El fluido manométrico es aceite rojo merian con DR=0.827. La longitud del tubo medidor es 0.6 m y posee un angulo θ = 30º. Determinar la presión máxima en Pa que puede medirse con este manómetro.

A B

10” 4”

3” 4” 5”

8”

Hg

H2O Aceite

Línea de cero

P1 P2

h

H L

θ D

d

Nivel de líquido en equilibrio

h

H

D

d



6

FFuueerrzzaass hhiiddrroossttááttiiccaass ssoobbrree ssuuppeerrffiicciieess ssuummeerrggiiddaass La fuerza sobre una superficie sumergida se compone de:

1. La magnitud de la fuerza. 2. La dirección de la fuerza. 3. La línea de acción de la fuerza.

FFuueerrzzaass hhiiddrroossttááttiiccaass ssoobbrree ssuuppeerrffiicciieess ppllaannaass ssuummeerrggiiddaass Sea la superficie de la figura, se desea determinar la fuerza sobre su superficie superior, si ésta está bajo la presión de un líquido mientras que por el otro lado no tiene presión aplicada.

Como ya se dijo la fuerza hidrostática actúa perpendicularmente a cualquier superficie en el fluido.

PdAdF = La fuerza resultante se determina sumando las contribuciones de cada elemento diferencial:

∫= AR PdAF

Para ello se debe tomar en cuenta que la relación entre la presión y la altura viene dada por:

hPghPgdhPPh

γρρ +=+=+= ∫ 0000

Si se usan presiones manométricas, en general P0 es cero, luego: hP γ=

Y como la geometría de la placa se expresa en función de x e y, h se puede expresar como: θsinyh =

En este caso la ecuación de la fuerza será:

∫∫ ==AAR dAyhdAF θγγ sin

La distancia a un centroide se define como:

∫=A

ydAA

y 1

RF

dA dF

θ h

Cp

x

z

dy

dA

y

y y

'y

yCg

Cp: centro de presión Cg: centroide x , y : coordenadas del centroide de la placa

'x , 'y : coordenadas del centro de presión de la placa. y : coordenada del elemento

diferencial de presión θ : ángulo de la placa con el eje vertical h : altura desde la superficie libre la elemento diferencial

RF : fuerza resultante

x 'x



7

Por lo tanto la fuerza se puede expresar como: AhAyFR γθγ == sin

Donde h es la distancia vertical desde la superficie libre hasta el centroide del área. El punto de aplicación de la fuerza debe ser tal que el momento de dicha fuerza con respecto a cualquier eje resulte igual al momento de la fuerza distribuida respecto al mismo eje. Si llamamos a las coordenadas del punto de aplicación de la fuerza resultante a x’, y’. El valor de la coordenada y’ se puede obtener igualando momentos alrededor del eje x, siendo este horizontal:

∫= AR yPdAFy'

Luego la coordenada y’ será:

( ) ∫∫∫ ===AAA

R

dAyAy

dAyyAy

yPdAF

y 21sinsin

11' θγθγ

Donde el momento de inercia del área A se define como:

∫= Ax dAyI 2

Este momento de inercia se puede determinar a partir del momento de inercia respecto al centroide con la ayuda del teorema de transferencia de ejes paralelos:

2yAII x += Sustituyendo estos valores en la ecuación para la coordenada y’ obtenemos:

yAy

IAyyAIy +=

+=

2

'

Y el valor de la coordenada x’, se puede obtener igualando momentos alrededor del eje y:

∫= AR xPdAFx'

Luego la coordenada y’ será:

( ) ∫∫∫ ===AAA

R

xydAAy

dAyxAy

xPdAF

x 1sinsin

11' θγθγ

Donde el producto de inercia del área A se define como:

∫= Axy xydAI

Utilizando el teorema de transferencia para el producto de inercia: yxAII xyxy +=

Obtenemos:

xAy

IAy

yxAIx xyxy +=

+='

Nótese que si la superficie tiene un área simétrica x’ coincide con x . En resumen tenemos que:

1. La magnitud de la fuerza esta dada por la ecuación: AhFR γ=

2. La dirección de la fuerza es perpendicular a la superficie. 3. La línea de acción de la fuerza resultante pasa a través del punto (x’, y’), cuyas coordenadas se obtienen con las

expresiones:

yAy

IyxAy

Ix xy +=+= ';'



8

PPrrooppiieeddaaddeess ddee ssuuppeerrffiicciieess ppllaannaass

Figura Centroide Area Momento de Inercia

Rectángulo 2hy = bhA = 12

3bhI =

Triángulo 3hy =

2bhA =

36

3bhI =

Círculo ry = 4

2dA π=

64

4dI π=

Semicírculo π34ry =

8

2dA π=

128

4dI xπ

=

Elipse by =

abA π=

4

3abI π=

Semielipse π34by =

2abA π

= 8

3abI xπ

= b

y

2a

y 2b

2a

r y

2r

r y d

b

h y

b

h y



9


Ejercicio 4 La superficie inclinada que se muestra en la figura, está articulada en el punto A y tiene 5 metros de ancho. Determine la fuerza resultante, FR que ejerce el agua sobre ésta.

Ejercicio 5 Para el problema anterior se cambia la compuerta rectangular por una compuerta trapezoidal, como se muestra en la figura. Determine la fuerza resultante, FR que ejerce el agua sobre ésta.

Ejercicio 6 Un submarino se encuentra a 100 pies por debajo de la superficie del agua como se muestra en la figura. Determine la fuerza F necesaria para abrir la escotilla circular, cuya forma es como se indica en la figura. Suponga la presión dentro del submarino igual a la presión atmosférica.

30º L = 4m

D = 2m

30º

5 pies

100 pies

F

5 m

4 m

5 m



10

FFuueerrzzaass hhiiddrroossttááttiiccaass ssoobbrree ssuuppeerrffiicciieess ccuurrvvaass ssuummeerrggiiddaass La diferencia básica en el cálculo de la fuerza que actúa sobre una superficie curva respecto de una plana radica en el hecho de ser dF perpendicular en todo momento a la superficie, entonces cada diferencial de fuerza tiene una dirección diferente. Para simplificar la operación de totalización solo debemos sumar los componentes de los vectores fuerza, referidos a un eje de coordenadas adecuado. Por lo tanto en este caso debemos aplicar 3 veces, como máximo, la ecuación para la superficie.

Componentes de la fuerza Si se tiene la superficie mostrada en la figura.

La fuerza de presión en este caso esta dada por:

PdAdF = La fuerza resultante se determina sumando las contribuciones de cada elemento diferencial:

∫= AR PdAF

Esta fuerza resultante se puede descomponer en componentes: kFjFiFF RzRyRxR ++=

Donde i, j, k son los vectores unitarios de las direcciones x, y, z respectivamente. Cada una de estas componentes de fuerza se puede expresar como:

∫∫∫∫∫∫

==

==

==

A zA zRz

A yA yRy

A xA xRx

PdAdAPF

PdAdAPF

PdAdAPF

θ

θ

θ

cos

cos

cos

Donde xθ , yθ y zθ son los ángulos entre dA y los vectores unitarios i, j y k respectivamente. Por lo tanto dAx, dAy y dAz son las proyecciones del elemento dA sobre los planos perpendiculares a los ejes x, y y z respectivamente.

x

y

z

dA

dAx dAy

dAz

FR

FRz

FRx

FRy

x’

z’

y’



11

Aquí se pueden diferenciar dos casos: • Las componentes horizontales de la fuerza de presión sobre una superficie curva es igual a la suma vectorial de

las fuerzas de presión ejercidas sobre la proyección de la superficie curva en los planos verticales. • La componente vertical de la fuerza de presión sobre una superficie curva es igual al peso del líquido que se

encuentra verticalmente por encima de dicha superficie hasta la superficie libre. Esto ya que si analizamos la expresión para la fuerza vertical y tomando en cuenta que hP γ= obtenemos lo siguiente:

∫∫∫ ===VA zA zRz VddAhdAPF γθγθ coscos

Línea de acción de la fuerza Una vez establecidas las componentes de las fuerzas se debe especificar las líneas de acción de cada componente, utilizando el mismo criterio que para las superficies planas. Es decir la sumatoria de momentos de cada componente de la fuerza resultante debe ser igual al momentote la fuerza distribuida, respecto al mismo eje. Así se tiene:

( )

( )

( )∫

∫

∫

++

=

++

=

++

=

A yxRyRx

A zxRzRx

A zyRzRy

dAdAzPFF

z

dAdAyPFF

y

dAdAxPFF

x

1'

1'

1'

Caso de superficie con curvatura en dos dimensiones Para comprender mejor el problema lo vamos a simplificar al caso de una superficie curva en dos dimensiones. Es decir una superficie curva con ancho constante en la dirección x. Por lo tanto no existirán fuerzas hidrostáticas en esa dirección. La figura muestra un corte de la superficie con un plano yz. En este caso las componentes de la fuerza se expresan:

∫∫∫∫

==

==

A zA zRz

A yA yRy

PdAdAPF

PdAdAPF

θ

θ

cos

cos

Y la línea de acción se obtiene con las expresiones:

∫∫

∫

==

=

VAy yRy

Az zRz

VxdV

zPdAF

z

yPdAF

y

11'

1'

Cuando se trabaja con superficies cilíndricas (radio de curvatura constante) es conveniente expresar el dA en función del ángulo de barrido en la circunferencia, es decir:

θWRddA = Donde:

R: radio del cilindro W: ancho de la superficie θ : ángulo de barrido de la circunferencia.

De esta forma se puede utilizar θ como variable de integración, quedando la fuerza expresada de la siguiente forma:

z

y

FR

FRy

FRz

y’

z’

l

dA

θ



12

∫∫ ==2

1coscos

θ

θθθθ WRdPdAPF

ARl

Donde θ es el ángulo entre el vector dA y el vector unitario de la dirección l.


Ejercicio 7 La compuerta mostrada en la figura tiene un ancho constante de W = 5 m. La ecuación que describe la superficie es ayx 2= donde a = 4 m. El nivel del agua en el lado derecho de la compuerta es 4 m. Determine las componentes horizontal y vertical de la fuerza resultante debida al agua y la línea de acción de cada una.

Ejercicio 8 El tanque abierto mostrado en la figura se llena con agua hasta un nivel de 10 pies. Determine las magnitudes y las líneas de acción de las componentes vertical y horizontal de la fuerza resultante que ejerce el agua sobre la parte curva en el fondo del tanque.

Ejercicio 9 La compuerta de la figura que tiene forma de cuarto de cilindro está articulada en el punto A y tiene 2 m de ancho perpendicularmente al plano del papel. El fondo de la compuerta se encuentra 3 m por debajo de la superficie del agua, determine:

a. Magnitudes de la fuerza horizontal y vertical b. Líneas de acción de la fuerza.

z

x

Radio 4 pies

12 pies

10 pies

10 pies

A 3 m



13

FFlloottaacciióónn yy eessttaabbiilliiddaadd

FFlloottaacciióónn Se denomina flotación o fuerza de empuje a la fuerza que experimenta un cuerpo cuando se sumerge o flota sobre una superficie, debido a la presión del líquido. La expresión para determinar la fuerza de empuje puede encontrarse fácilmente utilizando las expresiones para fuerza sobre superficies sumergidas. Consideremos el cuerpo de la siguiente figura que se encuentra sumergido.

Si suponemos que el cuerpo está formado por elementos de volumen de forma cilíndrica, se tendrá que la fuerza neta aplicada sobre cada elemento cilíndrico será igual a la sumatoria de las fuerzas de presión aplicadas. La fuerza horizontal es cero ya que al estar sometido a la misma presión por todos lados, la fuerza ejercida de un lado contrarresta la del otro. Para la fuerza vertical en cambio las presiones en la parte superior e inferior son diferentes por lo tanto existirá una fuerza resultante que se puede determinar con la expresión:

dAPdAPdFZ 12 −= Siendo la dirección positiva de z de abajo hacia arriba. Como la presión en un fluido en reposo es igual a:

ghPP ρ+= 0 Tendremos entonces:

( ) ( )dAghPdAghPdFZ 1020 ρρ +−+=

( )dAhhgdFZ 12 −= ρ Resulta que:

( ) VddAhh =− 12 Donde Vd es el diferencial de volumen del elemento cilíndrico. Por lo tanto:

VgVdgdFFVZZ ρρ === ∫∫

Por lo tanto deducimos que la fuerza de empuje, la cual permite flotar a algunos cuerpos, es igual al peso del volumen de líquido desplazado, esto ultimo es conocido como el principio de Arquímedes, quien en el año 220 a.c. lo utilizo para determinar si la corona del rey Hieron II estaba hecha de oro puro. Hoy en día este principio es utilizado para el diseño de embarcaciones. Este principio nos indica que un cuerpo flota si su peso es inferior al peso del volumen del líquido desalojado, si no es así el cuerpo se hunde.

h1 h2

dA

Vd

x y

z

dAP1

dAP2

PA



14

EEssttaabbiilliiddaadd La estabilidad del cuerpo viene determinada por la línea de acción de la fuerza, la cual se puede determinar mediante el procedimiento expuesto para superficies sumergidas. Un cuerpo se encuentra en equilibrio estable cuando el par T (o momento) formado por el peso y la fuerza de flotación tienden a reestablecer la posición del cuerpo. En el caso contrario la fuerza de flotación tenderá a voltear el cuerpo y por lo tanto este será inestable. En general se puede decir que un cuerpo es estable cuando su centro de gravedad se encuentra por debajo de la línea de flotación, de lo contrario es inestable.

Ejercicio 10 Un hydrómetro, como el mostrado en la figura, es un dispositivo para medir la densidad relativa de un líquido. El valor de esa propiedad queda indicado por el nivel donde la superficie libre interfecta el vástago del dispositivo, cuando a éste se le permite flotar en el líquido. El nivel 1 corresponde al agua destilada. Para el dispositivo mostrado en la figura de 6 mm de diámetro el volumen sumergido en agua destilada fue de 15 cm3. Determine la distancia h desde el nivel 1 hasta la superficie cuando el hidrómetro se coloca en una solución de ácido nítrico cuya densidad relativa es 1.5.

FZ FZ

W

W

T

T Cg

Cg

Estable Inestable

1

h

D

Ácido nítrico



15

FFlluuiiddooss ccoonn mmoovviimmiieennttoo ddee ccuueerrppoo rrííggiiddoo Cuando un fluido se somete a un movimiento de cuerpo rígido (un vaso lleno de agua que se muevo, por ejemplo), este se mueve sin deformarse como si se tratase de un sólido. Al no haber deformación el único esfuerzo que actúa sobre el elemento es la presión. Por lo tanto si este movimiento pose aceleración, entonces la variación de presión en el fluido ya no será solo función de h por la gravedad, sino también función de la dirección de la aceleración al cual está sometido. Por lo tanto la superficie libre del líquido ya no será un plano horizontal. Recordemos que la presión en un fluido estático viene dada por la expresión:

PgVdFd

∇−=r

r

ρ

Por otro lado si aplicamos la ley de Newton tendremos:

ρaVdFd rr

=

Igualando las dos ecuaciones obtenemos: aPg rr ρρ =∇−

Como se trata de una ecuación vectorial, esta se puede expresar en termino de sus componentes:

zazPg

yayPg

xaxPg

zz

yy

xx

dirección en

dirección en

dirección en

ρρ

ρρ

ρρ

=∂∂

−

=∂∂

−

=∂∂

−

Si se escoge un sistema de coordenadas tal que la dirección de la gravedad coincida con uno de los ejes (z por ejemplo) entonces tendremos que:

zz

y

x

agzP

ayP

axP

ρρ

ρ

ρ

−=∂∂

−=∂∂

−=∂∂

Aceleración lineal uniforme Si se tiene un tanque con una aceleración lineal uniforme como el mostrado en la figura: En este caso para simplificar las expresiones se hace coincidir la dirección de la aceleración con el plano xz, de esta manera la presión en el fluido se podrá expresar con solo dos componentes:

zz

x

agzP

axP

ρρ

ρ

−=∂∂

−=∂∂

La diferencia de presión en el seno de un fluido es: g

a

ax

az

d

e θ

x

z

b



16

dzzPdx

xPdP

∂∂

+∂∂

=

Y en la superficie libre del líquido el cambio de presión es cero:

0=∂∂

+∂∂ dz

zPdx

xP

Sustituyendo las expresiones para las derivadas, y tomando en cuanta que gg x −= , tendremos:

( ) 0=+−− dzagdxa zx ρρ La superficie libre queda definida por la expresión:

z

x

aga

dxdz

+−

=

Esto muestra que la superficie libre será una recta inclinada, cuya pendiente está definida por:

z

x

aga

be

xz

+−

=== θtan2

Rotación uniforme alrededor de un eje vertical En este caso utilizaremos coordenadas polares para resolver el problema. Aquí el fluido se somete a una aceleración centrífuga, la cual lleva la dirección radial hacia afuera y su expresión es:

RaR2ω=

Por lo tanto solo existe aceleración en la dirección radial R. De esta manera la presión en el fluido se puede expresar con solo dos componentes una radial y una vertical:

z

R

gzP

aRP

ρ

ρ

=∂∂

=∂∂

Sustituyendo la expresión de la aceleración en función de la velocidad angular nos queda:

zgzP

RRP

ρ

ρω

=∂∂

=∂∂ 2

La diferencia de presión en el seno de un fluido se expresa en este caso como:

dzzPdR

RPdP

∂∂

+∂∂

=

Y en la superficie libre del líquido el cambio de presión es cero:

0=∂∂

+∂∂ dz

zPdR

RP

Sustituyendo las expresiones para las derivadas y tomando en cuanta que gg x −= , tendremos:

02 =− gdzRdR ρρω Integrando a ambos lados obtenemos:

∫∫ = RdRdzg 2ω

g

ω

d

e

R

z

b



17

2

22 Rgz ω=

La superficie libre queda definida por la expresión:

gRz

2

22ω=

Esta expresión representa una parábola en el plano zR lo que indica que la superficie libre será un paraboloide de revolución.

Ejercicio 11 Una persona debe mudarse a otra localidad. De sus pertenencias, debe llevar consigo una pecera en la parte trasera d esu vehículo. La pecera tiene forma de prisma rectangular de 12 por 24 por 12 pulgadas. Si suponemos que la aceleración máxima que puede producir el vehículo es de 2/3 de g y que esta es horizontal. ¿Qué cantidad de agua debe colocar en la pecera con el objeto de asegurar que el agua no se derrame durante el viaje?.

Ejercicio 12 El cilindro que se muestra en la figura gira alrededor de su línea central.

a. ¿Qué velocidad de rotación se requiere para que el agua apenas toque el origen O? b. Calcule la presión en los puntos A y B.

NOTA: El volumen de un paraboloide de revolución es la mitad del de un cilindro con el mismo radio y altura.

ω

10 cm

2 cm

r

z

20 cm

R

A

B

O

MF2_Hidrostatica

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