Mathadabi12-Book72dpi

�U?O{U?|d?�«

Íu�U��« w�U��« nBK�

w�bMH�«Ë Í—U−²�«Ë WO½U�½ù« ÂuKF�«

WO�UŽ bL×� Æ√ ©ÎUI�M�® bF�� 5D� Æœ

W(U� qONÝ Æ√ `�U� .dJ�« b³Ž Æ√

q³I� bL×� Æ√

ÊuH�R*«

5D�K� W�Ëœ

w�UF�« rOKF��«Ë WO�d��« …—«“Ë

5D�K� W�Ëœ w� w�UF�« rOKF²�«Ë WOÐd²�« …—«“Ë —d�

Â≤∞∞∑Ø≤∞∞∂ wÝ«—b�« ÂUFK� UNÝ—«b� w� Íu½U¦�« w½U¦�« nBK� UO{U¹d�« »U²� f¹—bð

U????????O{U¹d�« ÃUNM* wMÞu�« o¹dH�«

—U??H�« “UMNý jO³{ ”UO�« Æœ åÎ UI�M�

ò bF�� 5D� Æœ

d??ÐUł U½UO� WH?OKš wKŽ Æœ bLŠ qOKš wKŽ

p???A qz«Ë q??³I� bL×� Ê«bLŠ bL×� Æœ

…dŽUOÝ bLŠ√ ∫Í—«œ≈ ·«d?ý≈

Õu³?×Ð l¹UÞ Ê«bL?Š ∫WŽU³DK� VÝu;« œ«bŽù«

»u³Š rÝUÐ w½U�√ ∫r?OL?Bð

w�¹b�« Í“u� ÊUNLÝ« ∫bO????CMð

ÍËUL×� ‰UL ∫ ·öG�« rOLBð

Z¼UM*« e?�d�

hL(«uÐ√ dLŽÆœ ∫ ÍuÐdð ·«dý≈

WOMH�« …dz«b�«

ÂUF�« ·«d?ýù«

hL(« uÐ√ rOF½ Æœ ∫Z¼UM*« W?M' fOz—

5ÝU¹ Õö� Æœ ∫Z¼UM*« e�d� ÂUŽ d¹b�

W�IM*« WO�|d��« WF�D�«

?¼ ±¥≥≥ Ø Â ≤∞±≤

Z¼UM*« ed�Øw�UF�« rOKF²�«Ë WOÐd²�« …—«“u� WþuH×� l?³D�« ‚uIŠ lOLł

WM¹b*« ed� WNł s� 5LO�« vKŽ Ÿ—Uý ‰Ë√≠b¼UF*« Ÿ—Uý≠ÊuOB*« wŠ≠ Z¼UM*« ed�

´π∑∞≠≤≠≤π∂π≥∑∑ fU� ´π∑∞≠≤≠≤π∂π≥μ∞ ÊuHKð ¨5D�K� ≠ tK�« Â«— ≠ ∑±π »Æ ’

[email protected] ∫w½Ëd²J�ô« Ê«uMF�« ≠ www.pcdc.edu.ps ∫WO½Ëd²J�ô« W×HB�«

W×IM*« W��M�« ¡«dŁ≈ o¹d�

…bFÝ uÐ√ qOLł Æ√ ∫ÂUŽ ·«d?ý≈

œU¹“ uÐ√ s1√ Æ√ åÎ UI�M�

ò …dŽUOÝ bLŠ√ Æ√ `�U� b×� Æœ

W½U³ý fO� Æ√ w�UF� qOLł Æ√ `�U� U½— Æ√

r?|bI

UŠuLÞ oOI×²� ªWOMOD�KH�« WO�uB)« wŽ«d¹ ÃUNM� l{Ë …—Ëd{ w�UF�« rOKF²�«Ë WOÐd²�« …—«“Ë √—

WOMÞu�« …œUO��« ¡UM³� Î U ÒLN� ÎUÝUÝ√ bF¹ wMOD�K� ÃUNM� ¡UMÐ Ê≈ Æ»uFA�« 5Ð t½UJ� cšQ¹ v²Š wMOD�KH�« VFA�«

W�«b²�*« W¹dA³�« œ—«u*« WOLMð …«œ√Ë ¨w½U�½≈ oŠu¼Ë ¨WOÞ«d�u1b�«Ë rOI�« aOÝd²� Î UÝUÝ√Ë wMOD�KH�« VFAK�

Æ…—«“uK� WO�L)« WD)« ΔœU³� UN²�Ý— w²�«

…—«“u�« w�uð «c� ªlL²−*« ·«b¼√ oI×²ð UN�öš s� w²�« rOKF²K� W�Ozd�« WKOÝu�« t½√ w� ÃUNM*« WOL¼√ sLJðË

¨V�UD�«Ë rKF*« bOÐ v�Ë_« …«œ_«Ë ¨rKF²K� jOÝu�« —bB*« t½_ ªÃUNM*« d�UMŽ bŠ√ ¨wÝ—b*« »U²J�UÐ W�Uš W¹UMŽ

jzUÝu�« s� U¼dOžË ÍdÝ_« rKF²�«Ë WOK;« W�UI¦�«Ë »uÝU(«Ë X½d²½ù« ∫rKF²�« qzUÝË s� ÁdOž v�≈ W�U{≈

Æ…bŽU�*«

V²J� ¨wMOD�KH�« Z¼UMLK� UN²Dš s� WÝœU��« WKŠd*« oO³Dð Â©≤∞∞∂Ø≤∞∞μ® ÂUF�« «c¼ …—«“u�« d�√

d¹uDð v�≈ W�U{ùUÐ ¨wMI²�«Ë wMN*«Ë WO½U�½ô« ÂuKF�«Ë wLKF�« tŽËdHÐ ©dAŽ ÍœU(« ® Íu½U¦�« ‰Ë_« nB�«

UNÐË ¨ÂœUI�« ÂUF�« w� ©±≤®Íu½U¦�« w½U¦�« nB�« ÃUNM� V² UNF³²OÝË ¨©±∞≠±® WOÝUÝ_« WKŠd*« V² iFÐ

¨©±≤≠±® ·uHBK� ÂUF�« rOKF²K� WOÝ—b*« V²J�« lOLł œ«bŽ« XKL« b� w�UF�« rOKF²�«Ë WOÐd²�« …—«“Ë ÊuJð

WO1uIð UÝ«—œ qLŽË w½Ëd²J�ô« rOKF²�«Ë UJ³A�« ‰U−� w� WO²×²�« WOM³�« lOÝuð vKŽ ÎUO�UŠ …—«“u�« qLFðË

WOŽu½ 5�%Ë ÍuÐd²�« d¹uD²�« WK�«u* ¨©ÎU¹œuLŽË ÎUOI�√® YŠU³*« lOLł w� ¨Àö¦�« qŠ«d*« Z¼UM* tOKOK%Ë

ÆwMOD�KH�« rOKF²�«

Î̈ UÐU² μ≥∞ »—UI¹ U¼œbŽË ¨Êü« v²Š dAŽ bŠ_« ·uHBK� e$√ w²�« rKF*« W�œ√Ë WOÝ—b*« V²J�« bFðË

ªwIDM�Ë qNÝ »uKÝQÐ X{d ÔŽ U�uKF�Ë ·—UF� s� tOKŽ qL²Að U0 ¨rKF²�«Ë rOKF²�« WOKLŽ w� WOÝUÝ√ …eO—

VO�UÝ√Ë WDA½_«Ë qzUÝu�«Ë ¨f¹—b²�« oz«dDÐ qB²ð ¨W×{«Ë «dýR� sLC²ð ¨WŽuM²� «d³š dO�u²�

ÆÁöŽ√ …—uc*« WO�L)« WD)« ΔœU³� l� Â¡ö²ðË ¨.uI²�«

Êu�uI¹ s¹c�« ULKF*«Ë 5LKF*«Ë 5¹uÐd²�« W—UA0 ÎUÒ¹uMÝ U¼ƒ«dŁ≈Ë UN×OIMðË V²J�« WFł«d� r²ðË

Â¡ö²ð w ªd¹uD²�«Ë q¹bF²K� WKÐU� WO³¹d& UF³Þ WFÐ«d�« v�« v�Ë_« s� UF³D�« …—«“u�« ÈdðË ¨UN�¹—b²Ð

—«bI0 œ«œeð wMOD�KH�« wÝ—b*« »U²J�« WLO� Ê≈ Æ…UO(« «—UN�Ë włu�uMJ²�«Ë wLKF�« ÂbI²�« w� «dOG²�« l�

s¹c�« ¨WOÝ—b*« V²J�« œ«bŽ≈ ‰U−� w� 5BB�²*« s� sJ2 œbŽ d³√ W—UA� s�Ë œuNł s� tO� ‰c³ð U�

Z¼UM*« ed� UN�Ý— WO−NM0 ¨WFł«d*« s� WFÝ«u�« UOKLF�« ‰öš s� ¨rOKF²�« w� ÎUÒ¹d¼uł Î «dOOGð ÊuŁb×¹

ÆÁbOŠuð vKŽ qLF¹ Íc�« sÞu�« w�dÞ w� Ã«dšù«Ë nO�Q²�« w�U−� w�

ULEM*«Ë U�ÝR*« v�≈ d¹bI²�«Ë dJA�« q¹e−Ð ÂbI²ð Ê√ ô≈ UNF�¹ô w�UF�« rOKF²�«Ë WOÐd²�« …—«“Ë Ê≈

ÆZ¼UM*« ŸËdA* w�U*« UNLŽb� ªUJO−KÐ W�uJŠ W�U�ÐË WI¹bB�«Ë WOÐdF�« ‰Ëb�«Ë ¨WO�Ëb�«

s� w�¹—U²�« wMÞu�« qLF�« «c¼ “U$≈ w� X—Uý w²�« ¨WOMÞu�« W¹uÐd²�« «¡UHJ�UÐ d�H²� …—«“u�« Ê√ UL

V�Š yq ¨…eOL*« r¼œuN−Ð rN²—UA� vKŽ r¼dJAðË ¨WOÝ—b*« V²J�« œ«bŽSÐ ÂuIð w²�« ¨W¹uÐd²�« ÊU−K�« ‰öš

¨qLF�« Uý—uÐ 5—UA*«Ë ¨s¹—d;«Ë ¨5H�R*«Ë ¨—«d�ù«Ë ¨Z¼UM*«ed�Ë ¨W¹—«“u�« Z¼UM*« ÊU' qLAðË ¨tF�u�

ÆoO³D²�« ¡UMŁ√ Ê«bO*« s� WOÝ—b*« V²J�« ¡«dŁ≈ w� 5—UA*«Ë ¨5FÐUD�«Ë ¨5Fł«d*«Ë ¨5�UÝd�«Ë ¨5LLB*«Ë

w�UF�« rOKF²�«Ë WOÐd²�« …—«“Ë

Z¼UM*« e?�d�

WOLKF�« YŠU³LK� W�UF�« …—«œù«

Â ≤∞±∞ ÊU???�O½

WbI

¨bFÐË 5*UF�« »— tK� bL(«

w½U¦�« nBK� UO{U¹d�« »U² ¨¡«eŽ_« UM²³KD�Ë ¨ ULKF*«Ë 5LKF*« UMzö�e� ÂbI½ Ê√ U½d�¹

sL{ UO{U¹d�« Y×³* W�bF*« WC¹dF�« ◊uD)« o�Ë ¨w�bM�Ë Í—U&Ë WO½U�½≈ ÂuKŽØÍu½U¦�«

Æ‰Ë_« wMOD�KH�« ÃUNM*« WDš

¨tðUIO³DðË q�UJ²�«Ë ¨tðUIO³DðË q{UH²�«Ë ¨ U�uHB*« ∫w¼ «bŠË lÐ—√ vKŽ »U²J�« qL²A¹

Æ‰UL²Šô«Ë ¡UBŠù«Ë

¨ U�uHB*« vKŽ UOKLF�«Ë ¨W�uHB*« ÂuNH� UM�b� ¨© U�uHB*«® v�Ë_« …bŠu�« wH�

…bŽUIÐË wÐdC�« dOEM�« WI¹dDÐ WOD)« ôœUF*« WLE½√ qŠ ‰ËUM²ð WDO�Ð UIO³DðË ¨ «œb;«Ë

Æd1d

¨dOG²�« jÝu²�Ë ¨Ê«d²�ô« W¹UN½ ÂuNH� UM�b� ¨©tðUIO³DðË q{UH²�«® WO½U¦�« …bŠu�« w�Ë

ÆÈuBI�« rOI�«Ë WOÝbMN�« UIO³D²�« iFÐË ¨‚UI²ýô« 5½«u�Ë v�Ë_« WI²A*«Ë

¨q{UH²K� WO�JŽ WOKLF œËb;« dOž q�UJ²�« UM�b� ¨©tðUIO³DðË q�UJ²�«® W¦�U¦�« …bŠu�« w�Ë

Æ UŠU�*« »U�ŠË WOÝbMN�« UIO³D²�« iFÐË ¨t�«ušË œËb;« q�UJ²�«Ë

Æl�u²�«Ë ¨w�UL²Šô« l¹“u²�«Ë ¨wz«uAF�« dOG²*« ÂuNH� UM�b� ¨©‰UL²Šô«® WFÐ«d�« …bŠu�« w�Ë

U½d²š«Ë ¨WMJ2 WI¹dÞ j�ÐQÐ 5½«uI�«Ë rO¼UH*« .bIð vKŽ UM�dŠ bI� ¨»uKÝ_« YOŠ s� U�√

…—dI*« hB(« œbŽ —U³²Žô« 5FÐ s¹cš¬ ¨…—dI*« …œU*« UOÝUÝ√ wDG¹ U� s¹—UL²�«Ë WK¦�_« s�

·—UF*« rNÐU�≈ vKŽ ’d(« l� ¨WOK³I²�*« rNðUłUO²Š«Ë ¨W³KD�« 5Ð W¹œdH�« ‚ËdH�«Ë ¨Y×³LK�

q ¡UN½≈ v�≈ U½bLŽ «c�Ë ¨W�UF�« W¹u½U¦�« WÝ«—b�« …œUNý ÊU×²�ô rNK¼Rð w²�« W¹—ËdC�« «—UN*«Ë

WFł«d*« qzU�� s� WŽuL−0 »U²J�« UMON½√ UL ¨WO�UI*«Ë WOŽu{u*« WK¾Ý_« s� WŽuL−0 …bŠË

ÆWLN*« WO{U¹d�« 5½«uI�«Ë U�öF�« iFÐ W³KD�« tO� lł«d¹ ’Uš o×K0Ë ¨ «bŠu�« lOL' WK�UA�«

lO{«u� .bIð w�Ë ¨¡«eŽ_« UM²³KÞ UłUŠ fLKð w� UMI�Ë b� ÊuJ½ Ê√ d¹bI�« wKF�« tK�« uŽb½

5�dA� ¨Ê«bO*« w� ¡ö�e�« qJ� q¹e'« dJA�« ÂbI½Ë ªrN� WÐ–UłË W�uA� …—uBÐ »U²J�« «c¼

¨»U²J�« «c¼ «œu�� ¡«dŁ≈ w� «u—Uý s¹c�« UE�U;« lOLł s� ULKF�Ë 5LKF�Ë ¨ U�dA�Ë

…b¹bł WF³Þ —«b�ù cOHM²�« l{u� »U²J�« l{Ë bFÐ rNðUŠ«d²�«Ë rNðUEŠö0 U½u�u¹ Ê√ 5K�¬

ÆW×IM�

oO�u²�« w�Ë tK�«Ë

ÊuH�R*«

≤ U�uHB*«

≥ W�uHB*« ÂuNH� ± ≠ ±

π U�uHB*« vKŽ UOKLF« ≤ ≠ ±

≤± «œb;« ≥ ≠ ±

≤μ WO½U¦« W³ðd« s� WFÐd*« W�uHBLK wÐdC« dOEM« ¥ ≠ ±

≥∞ UIO³Dð μ ≠ ±

≥¥ W�UŽ s¹—U9

U???¹u??²;«

v

�Ë_

« …b

�u�«

≥∑ tðUIO³DðË q{UH²�«

≥∏ Ê«d² ô« W¹UN½ ± ≠ ≤

¥≤ U¹UNM« 5½«u ≤ ≠ ≤

¥∏ Ê«d² ô« dOGð jÝu²� ≥ ≠ ≤

μ¥ Ê«d² ö vË_« WI²A*« ¥ ≠ ≤

μ∏ ‚UI²ýô« bŽ«u μ ≠ ≤

∂μ WI²A*« vKŽ UIO³Dð ∂ ≠ ≤

∂∏ Ê«d² ö ÈuBI« rOI« ∑ ≠ ≤

∑≤ W�UŽ s¹—U9

WO�U��« …b

�u�«

∑¥ tðUIO³DðË q�UJ²�«

∑μ œËb;« dOž q�UJ²« ± ≠ ≥

∑π œËb;« dOž q�UJ²« bŽ«u ≤ ≠ ≥

∏¥ œËb;« dOž q�UJ²« vKŽ UIO³Dð ≥ ≠ ≥

∏∂ œËb;« q�UJ²« ¥ ≠ ≥

π∞ œËb;« q�UJ²« hzUBš μ ≠ ≥

πμ œËb;« q�UJ²« vKŽ UIO³Dð ∂ ≠ ≥

±∞∞ W�UŽ s¹—U9

W��U��« …b

�u�«

WF

�«d

�« …b

�u�«

±∞≥ ‰UL²Šô«

±∞¥ wz«uAF« dOG²*« ± ≠ ¥

±∞π qBHM*« wz«uAF« dOG²*« l uð ≤ ≠ ¥

±±∂ W�UŽ s¹—U9

±±∏ W�UŽ WFł«d�

±≤± WO{U¹d« 5½«uI«Ë U öF« iFÐ ∫o×K�

±≤≥ lł«d*«

±±

…b???Šu«…b???Šu«

U�uHB*«

≤

∫«cJ¼ …dB²�� …—uBÐ U½UO³�« Ác¼ ÷dŽ sJL¹

W¾O¼ vKŽ UN{dŽË U½UO³�« V¹u³ðv�≈ ¨WOLKF�« UMðUÝ«—œ w�Ë WO�uO�« UMðUOŠ w� ¨ÊUOŠ_« s� dO¦ w� Q−K½

UF�U−�« ÈbŠ≈ w� W³KD�« l¹“uð ÊU Îö¦L�¨…bLŽô«Ë ·uHB�« s� œbŽ s� W½uJ� qJA�« WKOD²� ‰Ë«bł

∫w�U²�« ‰Ëb−�« w� u¼ UL UOKJ�« iFÐ w� Â≤∞∞μ Ø ≤∞∞¥ wÝ«—b�« ÂUF�« s� ‰Ë_« qBH�« w� WOMODKH�«

±≤≥∏ ∂μ≥

¥∏± ¥≥∞

∂¥≥ μ≤±

WŁöŁ s� W½uJ� W�uHBL�« Ác¼ Ê√ ULÐË ªWKšb� tO� œ«bŽ_« s� œbŽ q vL¹Ë ¨W�uHB� rOEM²�« «c¼ vL¹

W�uHBL�« ÊuJ²ð Ê√ sJL¹Ë ª≤ w� ≥ √dIðË ≤ ≥ ©bF³�«® W³ðd�« s� W�uHB� UN½≈ ‰UI¹ t½S� ¨s¹œuLŽË ·uH�

∫WOðü« WK¦�_« w� sO³� u¼ UL ¨ …bLŽ_« Ë√ ·uHB�« s� œbŽ Í√ s�

fM−�«

WOKJ�«—u–ÀU½≈

»«œü«∂μ≥±≤≥∏

ÂuKF�«¥≥∞¥∏±

…—U−²�«μ≤±∂¥≥

(Concept of a Matrix) W�uHB*« ÂuNH� ±≠±

±π

¨ ≤± ∏ π≠ ¥ Ω ¨

∏[¥ ∂

Ω ¨

±≠ π μ ≤

Ω ≤μ ≤≤ ±μ

∂ ≤ ¥≠ ±±

∏≠ ≤∞ ±∏

≥

¥

±π μ[∂ ∏

≤ ±[≤ ±∂ ¥≠

¨¥ ± w¼ W�uHBL�« W³ð—Ë ¨≤ ≥ w¼ W�uHBL�« W³ð—Ë ¨¥ ¥ w¼ W�uHBL�« W³ð—

Æ± ≥ w¼ W�uHBL�« W³ð—Ë

≥

¥

∫n¹dFð

sOÝu� sOÐ …—uB×� …bLŽ√Ë ·uH� W¾O¼ vKŽ WOIOIŠ œ«bŽ_ qJA�« qOD²� rOEMð w¼ ∫W�uHBL�«

Æ ŸuM�« s�

¨ÊU³łu� ÊU×O×� Ê«œbŽ Ê ¨ Â YOŠ …bLŽ_« s� Ê ¨·uHB�« s� Â s� t½uJL�« W�uHBL�«Ë

ÆÆÆÆ¨ ¨ q¦� ·dŠ_« bŠQÐ UN²OLð sJL¹Ë ¨Ê Â

W³ðd�« s� W�uHB� UN½≈ ‰UI¹

Êb� lÐ—√ w� ©W¹u¾L�« Uł—b�UÐ …—bI�® vLEF�« …—«d×�« Uł—b� ÂUF�« ‰bFL�« q¦L¹ ‰Ëbł wðQ¹ ULO�Ë

∫‰uK¹√Ë ¨“uLðË ¨—U¹√Ë ¨—«–¬Ë ¨w½U¦�« Êu½U dNý√ ‰öš WOMODK�

w½U¦�« Êu½U—«–¬—U¹√“uLð‰uK¹√

…ež±μ±π≤∏≥±≤π

tK�« Â«—±±±∂≤μ≤π≤∑

sOMł±∂≤∞≤∏≥±≤π

U×¹—√±∏≤≥≥∞≥¥≥±

≤π ≥± ≤∏ ±π ±μ

≤∑ ≤π ≤μ ±∂ ±±

Ω W�uHBL�UÐ tKO¦Lð sJL¹ oÐU�« ‰Ëb−�«Ë

≤π ≥± ≤∏ ≤∞ ±∂

≥± ≥¥ ≥∞ ≤≥ ±∏

Æ…bLŽ√ WLšË ·uH� WFÐ—√ s� W½uJ� UN½_ μ ¥ W³ðd�« s� w¼ W�uHBL�« Ác¼Ë

ÆWKšb� vL¹ UNKš«œ …œułuL�« ©œ«bŽ_«® d�UMF�« s� ©œbŽ® dBMŽ qË

Æ≤π ¨ ≥± ¨ ≤∏ ¨ ±π ¨ ±μ ∫w¼ W�uHBL�« w� ‰Ë_« nB�« öšb� Ê√ kŠô

≤±

√ e�d�UÐ UN� e�d¹Ë W�uHBLK� w½U¦�« œuLF�«Ë ‰Ë_« nB�« w� lIð ¨Îö¦� ¨±π WKšbL�«

Æ±π Ω ≤±

√ Ê√ Í√ ¨©sOMŁ« bŠ«Ë n�√ √dIðË®

Æ≤∏ Ω ≥±

√ Ê√ Í√ Y�U¦�« œuLF�«Ë ‰Ë_« nB�« w� lIð ≤∏ WKšbL�« Ê√ UL

Æ≥± Ω ¥≥

√ Ê√ Í√ ¥≥

√ e�d�UÐ

W�uHBLK� lÐ«d�« œuLF�«Ë Y�U¦�« nB�« w� WKšbLK� e�d¹ q¦L�UÐË

Æ?¼ Í

√ e�d�UÐ W�uHBL�« s� ?¼ œuLF�«Ë Í nB�« w� WKšbLK� e�d¹ ¨ÂUŽ tłuÐË

μ

∫sOO�U²²� s¹dNA� nðUN�«Ë ¡UÐdNJ�«Ë ¡UL�« „öN²Ý« s� WOMODK� WKzUŽ ·ËdB� wðü« ‰Ëb−�« sO³¹ ∫©±® ‰U¦�

©—UM¹œ® ¡UL�« ·ËdB�©—UM¹œ® ¡UÐdNJ�« ·ËdB�©—UM¹œ® nðUN�« ·ËdB�

—«–¬±μ≤μ±∏

ÊUO½±¥≤±±∂

ÆUN²³ð— V²«Ë

W�uHBLÐ ‰Ëb−�« q¦� √

ø≥≤

” WKšbL�« w¼ U� »

ø≤±

” WKšbL�« w¼ U� ?ł

±∏ ≤μ ±μ

±∂ ≤± ±¥

Ω

√

≥ ≤ Ω …bLŽ_« œbŽ ·uHB�« œbŽ Ω

W³ð—

±∂ Ω ≥≤

” Ê√ Í√ Y�U¦�« œuLF�«Ë w½U¦�« nB�« w� lIð

≥≤

” WKšbL�« »

≤μ Ω ≤±

” Ê√ Í√ w½U¦�« œuLF�«Ë ‰Ë_« nB�« w� lIð

≤±

” WKšbL�« ?ł

∫W�Uš U�uHB�

∫UNM� U�uHBL�« WÝ«—œ w� W�Uš WOL¼√ U�uHBL�« iF³�

W�uHBL�U� ¨…bLŽ_« œbŽË ·uHB�« œbŽ UNO� ÈËU²¹ w²�« W�uHBL�« w¼Ë ∫WFÐdL�« W�uHBL�« Æ±

vKŽ Íu²×ð μ μ W³ðd�« s� WFÐdL�« W�uHBL�«Ë ¨s¹œuLŽË sOH� vKŽ Íu²×ð ≤ ≤ W³ðd�« s� WFÐdL�«

Æ≤ W³ðd�« s� UN½QÐ Î«—UB²š« ≤ ≤ W³ðd�« s� WFÐdL�« W�uHBLK� ‰UI¹ Æ…bLŽ√ WLšË ·uH� WLš

ÆÂ

W³ðd�« s� UN½QÐ Â

Â

W³ðd�« s� WFÐdL�« W�uHBLK� ‰UI¹ ¨ÂUŽ tłuÐË

ÆWO½U¦�« W³ðd�« s� WFÐd� W�uHB� w¼

≤ ±

∂≠ μ

∫W�uHBL�« Îö¦L�

± ≤ μ

±≠ ± ≤

≤ ±≠ ≥

ÆW¦�U¦�« W³ðd�« s� WFÐd� W�uHB� w¼ W�uHBL�«Ë

Æ© ® e�d�UÐ UN� e�d¹Ë ¨—UH�√ UNðöšb� lOLł W�uHB� w¼ ∫W¹dHB�« W�uHBL�« Æ≤

∂

± ≥ W³ðd�« s� W¹dH� W�uHB� w¼

∞

∞

∞

Ω ± ≥

W�uHBL�« Îö¦L�

≥ W³ðd�« s� W¹dH� W�uHB� w¼

∞ ∞ ∞

∞ ∞ ∞

∞ ∞ ∞

Ω ≥

W�uHBL�« p�cË

vKŽ√ s� fOzd�« dDI�« qJAð w²�« UNðöšb� s� WKšb� q WFÐd� W�uHB� w¼ ∫™

…bŠu�« W�uHB� Æ≥

Æ—UH�√ wN� öšbL�« w�UÐ U�√ ¨± ÍËUð —UO�« qHÝ√ v�≈ sOLO�«

Æ≤ W³ðd�« s� …bŠu�« W�uHB� w¼

∞ ±

± ∞

Ω ≤

W�uHBL�« Îö¦L�

Æ≥ W³ðd�« s� …bŠu�« W�uHB� w¼

∞ ∞ ±

∞ ± ∞

± ∞ ∞

Ω ≥

W�uHBL�« p�cË

∫5²�uHB� ÍËU�ð

∫n¹dFð

ÆW¹ËU²� …dþUM²L�« ULNðöšb� X½UË UNH½ W³ðd�« ULN� ÊU «–≈ ¨ ÊU²�uHBL�« ÈËU²ð

∂ ≤∞

¥

± ≠ μ ≥

W�uHBL�« ÍËUð

∂ μ

¥ π

W�uHBL�U�

Æ±≠ Ω » ¨ π Ω ?ł ¨ μ Ω œ ¨ ¥ Ω √ ∫ÊuJð U�bMŽ

œ ¥

±≠ ?ł

Ω

μ √

» π

W�uHBL�«Ë

ÆULNO²³ð— ·ö²šô

∞ ≤ ±

∞ ¥ ≥

W�uHBL�« ÍËUð ö�

≤ ±

¥ ≥

W�uHBL�« U�√

ÆÎUIŠô sO³²OÝ UL U�uHBL�« »d{ WOKLŽ w� …b¹U×L�« W�uHBL�« w¼ …bŠu�« W�uHB� ™

∑

Æ’ ¨” s� q WLO� b−�

≤ π

± ∂

Ω

≤ ”

± ’ ´ ”

X½U «–≈ ∫©≤® ‰U¦�

∫W¹ËU²� …dþUM²L�« ULNðöšbL� ÊU²¹ËU²� sO²�uHBL�« Ê√ ULÐ

∂ Ω ’ ´ ” ¨ π Ω ” Ê√ Í√

∂ Ω ’ ´ π π Ω ” sJ�Ë

≥≠ Ω ’ UNM�Ë

©± ≠ ±® qzU?��Ë s¹—U9

UL¼ ÊUŽd� lMBLK� ÊU «–S� ÆsDI�«Ë ¨d¹d×�«Ë ¨·uB�« ∫»«uŁ_« s� Ÿ«u½√ WŁöŁ Z²M¹ ZO½ lMB� ±

∫wðüU ÎUO�u¹ Ÿd� q UN−²M¹ w²�« »«uŁ_« œbŽ ÊUË »¨ √

ÆsDI�« s� ÎUÐuŁ ≤∑ ¨ d¹d×�« s� ÎUÐuŁ ≥∂ ¨ ·uB�« s� ÎUÐuŁ ¥∏ ∫√ ŸdH�« Z²M¹

ÆsDI�« s� ÎUÐuŁ ∏¥ ¨ d¹d×�« s� ÎUÐuŁ ≤∏ ¨·uB�« s� ÎUÐuŁ μ∑∫» ŸdH�« Z²M¹

Æ≥ ≤ W³ðd�« s� W�uHB� qJý vKŽ WIÐU�« U½UO³�« V²√

∫WOðü« U�uHBL�« p¹b� ≤

∞ ∞

∞ ∞

∞ ∞

Ω ¨

π μ

±∏ ≤

Ω ¨

∑ μ ±,μ ∂

¥≠ ± π ≤

μ≠ ∑≠ ± ≤

Ω

±∏ ±μ ≤ Ω ¨

∞ ∞ ±

∞ ± ∞

± ∞ ∞

Ω

øUNM� q W³ð— U�Ë ¨WL��« U�uHBL�« sOÐ s� WFÐdL�« U�uHBL�« =rÝ √

ø W�uHBL�« W³ð— U� ?ł øUNMOÐ s� W¹dHB�« W�uHBL�« =rÝ »

ø±≤

» WKšbL�« WLO� U� ?¼ ø¥≥

√ WKšbL�« WLO� U� œ

∏

∫WO�U²�« WO�uHBL�« ôœUFL�« w� ’¨ ” s� q WLO� błË√ ¥

≤ ’

≥ ¥

Ω

≤ ± ´ ”

≥ ”

√

¥ μ

±∞ ±≥

Ω

≤’

± ≠ ”

±∞ ± ´ ”≤

»

≥

∑

Ω

’ ≠ ”

’ ´”

?ł

∫`�—Ë ¨fKÐU½Ë ¨r×� XOÐË ¨”bI�« w¼ WOMODK� Êb� lÐ—√ sOÐ ©d²�uKOJ�UÐ® U�UL�« q¦L¹ w�U²�« ‰Ëb−�« μ

”bI�«r×� XOÐfKÐU½`�—

”bI�«∏±≥∞

r×� XOÐ∞∑∞

fKÐU½∂≤

`�—±≥∏±∏∞

Æ‰Ëb−�« w� Už«dH�« qL√ √

Æ WFÐ«d�« W³ðd�« s� WFÐd� W�uHBLÐ ‰Ëb−�« q¦� »

π

qOK��« lMB�tK�« Â«— lMB�

(Matrix Operations) U�uHB*« vKŽ UOKLF« ≤≠±

ÆUNBzUBšË UOKLF�« Ác¼ vKŽ ·dF²MÝË ¨WMOF� ◊Ëdý d�«uð bMŽ U�uHBL�« vKŽ UOKLF�« iFÐ ¡«dł≈ UMMJL¹

lL'« WOKLŽ ∫ÎôË√

∫n¹dFð

u¼ ¨ ´ e�d�UÐ t� e�d¹Ë ¨sO²�uHBL�« ŸuL−� ÊS� Ê Â UNH½ W³ðd�« s� sO²�uHB� ¨ X½U «–≈

Æ ¨ w� UN� sOðdþUML�« sO²KšbL�« ŸuL−L� W¹ËU� UNO� WKšb� q ÊuJðË ¨UNH½ W³ðd�« UN� W�uHB�

ÆsO²�uHBL�« w²³ð— ÍËUð u¼Ë sO²�uHB� lLł ◊dý kŠô

±≤ π ± ≤

∞ ∏≠ ≥ ≠ ¥

Ω ̈

≤ ±≠ ±

μ≠ ≥ ∞

Ω ̈

≥ ≤ ±

±± ∂ ¥

Ω X½U «–≈ Îö¦L�

∫ ÊuJ¹Ë UNH½ W³ðd�« s� ULN½_ ¨ sO²�uHBL�« lLł sJL¹ t½S�

μ ± ≤

∂ π ¥

Ω

≤ ´ ≥ ±≠

´ ≤ ± ´ ±

μ≠

´ ±± ≥ ´ ∂ ∞ ´ ¥

Ω ´

ÆULNO²³ð— ·ö²šô sJL� dOž uN� ¨ sO²�uHBL�« lLł U�√

WŁöŁ ULNM� q Z²M¹Ë tK�« Â«— w� dšü«Ë qOK��« w� UL¼bŠ√ W¹cŠú� ÊUFMB� bLŠ√ bMŽ ∫©±® ‰U¦�

ÆwM³�« ÊuK�«Ë ¨œuÝ_« ÊuK�« ∫sO½uKÐ Ÿu½ qË å?łò ¨å»ò ¨å√ò ∫W¹cŠ_« s� Ÿ«u½√

∫sOO�U²�« sO�Ëb−�« w� UL ≤∞∞≥ WMÝ —«–¬ dNý s� ‰Ë_« Ÿu³Ý_« w� sOFMBL�« ÃU²½≈ ÊU «–S�

ÆWHK²�L�« UN�UM�QÐ W¹cŠ_« s� ÊUFMBL�« t−²M¹ U� ŸuL−� q¦Lð w²�« W�uHBL�« V²√

œuÝ√wMÐ

√μμ∂μ

»¥μ≥∞

?łμ∞¥μ

œuÝ√wMÐ

√∏∞π∞

»∂∞¥∞

?ł≥∞≥∞

±∞

ÊS� ¨tK�« Â«— lMB� ÃU²½≈ W�uHBL� e�d�«Ë ¨qOK��« lMB� ÃU²½≈ W�uHBL� e�d�« UM�b�²Ý« «–≈

∫w¼ ÎUF� ÊUFMBL�« t−²M¹ U� q¦Lð w²�« W�uHBL�«

±μμ ±≥μ

∑∞ ±∞μ

∑μ ∏∞

Ω

∂μ μμ

≥∞ ¥μ

¥μ μ∞

´

π∞ ∏∞

¥∞ ∂∞

≥∞ ≥∞

Ω ´

∫YO×Ð ≥ ≤ W³ðd�« s� W�uHBL�« b−�¨

π ∂≠ μ

¥≠ ± ≤

Ω X½U«–≈ ∫©≤® ‰U¦�

≥ ≤ W³ðd�« s� W¹dHB�« W�uHBL�« Ω ´

ÆÎ«dH� ULNŽuL−� ÊuJ¹ v²Š w� UN� WKÐUIL�« WKšbLK� wFL−�« dOEM�« ÊuJð Ê√ V−¹ w� WKšb� q

π≠ ∂ μ≠

¥ ±≠ ≤≠

Ω ¨

π ∂≠ μ

¥≠ ± ≤

Ω

∞ ∞ ∞

∞ ∞ ∞

Ω

π≠

´ π ∂ ´ ∂≠

μ≠

´ μ

¥ ´ ¥≠

±≠

´ ± ≤≠

´ ≤

Ω ́ œU−¹SÐ q×�« W×� s� oI×²�« sJL¹

Æ W�uHBLK� wFL−�« dOEM�« W�uHBL�« vLð

≠ Ω ÊS� «c� ¨© V�UÝ √dIÔ¹ ® ≠ e�d�UÐ W�uHBLK� wFL−�« dOEMK� …œUŽ e�d¹

ÕdD« WOKLŽ ∫ÎUO½UŁ

∫n¹dFð

ÕdD� t½√ Í√ Æ© ≠® ´ Ω ≠ ∫ÊS� UNH½ W³ðd�« s� sO²�uHB� ¨ X½U «–≈

Æ W�uHBLK� wFL−�« dOEM�« v�≈ lL−½ UM½S� W�uHBL�« s� W�uHBL�«

Æ ≠ WLO� bł¨

≥≠ ±

∞ ≤≠

Ω ¨

±≠ ≤

± ≥

Ω X½U «–≈ ∫©≥® ‰U¦�

±±

≤ ±

± μ

Ω

≥ ±≠

∞ ≤

´

±≠ ≤

± ≥

Ω © ≠® ´ Ω ≠

öšbL�« s� W�uHBL�« öšb� ÕdÞ s� Z²Mð Ê√ sJL¹ ≠ W�uHBL�« öšb� Ê√ kŠô

≤ ±

± μ

Ω

≥≠

≠ ±≠

± ≠ ≤

∞ ≠ ± ≤≠

≠ ≥

Ω ≠ ∫Ê√ Í√ ¨ W�uHBL�« w� UN� …dþUML�«

wIOIŠ œbFÐ W�uHB� »d{ WOKLŽ ∫ÎU¦UŁ

∫n¹dFð

ÊuJðË Ê Â W³ðd�« s� W�uHB� „ ÊS� ¨ÎUOIOIŠ Î«œbŽ „ ÊUË ¨Ê Â W³ðd�« s� W�uHB� X½U «–≈

Æ„ œbF�UÐ WÐËdC� w� UN� …dþUML�« WKšbL�« ÍËUð UNO� WKšb� q

∂ ≤

Ω

≥ ≤ ± ≤

Ω ≤ ∫ÊS�

≥ ±

Ω X½U «–≈ ∫Îö¦L�

±∞≠ ¥ μ≠ ≤ ≤ ≤ μ≠ ≤

≥≠ ±≠

Ω

≥ ±≠ ± ±≠

Ω ©±≠®

μ ≤≠ μ≠ ±≠ ≤ ±≠

Æ ≠ Ω ©±≠® Ê√ Í√ W�uHBLK� wFL−�« dOEM�« wDF¹ ©±≠® Ê√ kŠô

∫wIOIŠ œbFÐ U�uHB*« »d{Ë U�uHB*« lLł hzUBš

∫WOðü« hzUB��« wIOIŠ œbFÐ UNÐd{Ë U�uHBL�« lLł WOKLF�

Æ©WOK¹b³²�« WO�U��«® ´ Ω ´ √

Æ©WOFOL−²�« WO�U��«® © ´ ® ´ Ω ´ © ´ ® »

Æ©

wFLł b¹U×� dBMŽ œułË WO�Uš® Ω ´

Ω ´ ?ł

Æ©W�uHB� qJ� wFLł dOE½ œułË WO�Uš® Ω ´ © ≠® Ω © ≠® ´ œ

Æ© U�uHBL�« lLł vKŽ ÍœbF�« »dC�« l¹“uð WO�Uš® „ ¨ „ ´ „ Ω © ´ ®„ ?¼

±≤

WOK¹b³²�« WO�U��« W×� s� oI×ð Æ

μ ≤

≤≠ ±≠

Ω ¨

≤ ±

≥ ≤

Ω sJ²� ∫©¥® ‰U¦�

Æ U�uHBL�« lLł WOKLF�

∑ ≥

± ±

Ω

μ ≤

≤≠ ±≠

´

≤ ±

≥ ≤

Ω ´

∑ ≥

± ±

Ω

≤ ±

≥ ≤

´

μ ≤

≤≠ ±≠

Ω ´

´ Ω ´

± ≤

¥≠ ∞

Ω

±≠ ±

¥ ≥

´

∫WO�uHBL�« W�œUFL�« qŠ ∫©μ® ‰U¦�

∫Z²M¹ —UO�« s� W�œUFL�« w�dÞ v�≈

±≠ ±

¥ ≥

W�uHBLK� wFL−�« dOEM�« W�U{SÐ

± ±≠

¥≠ ≥≠

´

± ≤

¥≠ ∞

Ω

± ±≠

¥≠ ≥≠

´ ©

±≠ ±

¥ ≥

´ ®

∫Z²M¹ wFL−�« dOEM�«Ë lOL−²�« w²O�Uš Â«b�²ÝUÐË

≤ ±

∏≠ ≥≠

Ω

∞ ∞

∞ ∞

´

∫Z²M¹ wFL−�« b¹U×L�« WO�Uš Â«b�²ÝUÐË

≤ ±

∏≠ ≥≠

Ω

±≥

∫WEŠö�

∫«cJ¼ Î«—UB²š« d¦√ WI¹dDÐ ©μ® ‰U¦� q×Ð `Lð ÎUIÐUÝ …—ucL�« ’«u��UÐ U�uHBL�« lLł WOKLŽ l²Lð Ê≈

± ≤

¥≠ ∞

Ω

±≠ ±

¥ ≥

´

±≠ ±

¥ ≥

≠

± ≤

¥≠ ∞

Ω

≤ ±

∏≠ ≥≠

Ω

©±≠® ≠ ± ± ≠ ≤

¥ ≠ ¥ ≠ ≥ ≠ ∞

Ω

±≠ ±

∞ ±

´

Ω

∞ ±

≤ ∞

≥ ´ ≥ ∫WO�uHBL�« W�œUFL�« qŠ ∫©∂® ‰U¦�

±≠ ±

∞ ±

´ Ω

∞ ≥

∂ ∞

´ ≥

±≠ ≤≠

∂≠ ±

Ω ∞ ≥

∂ ∞

≠ ±≠ ±

∞ ±

Ω ≤

±≠ ≤≠

∂≠ ±

±

≤

Ω

±

≤ ≠ ±≠

≥≠

±

≤

Ω

±¥

U³¹—bð

≤ ±≠ ±

μ ¥ ≥

Ω œ¨

∞ ≤

μ ∞

Ω ¨

¥ ≥

¥≠ ∞

Ω ¨

≤ ≥

± μ

Ω X½U «–≈ ±

≠ » ´ √ ∫©sJ�√ Ê≈® wðQ¹ UL� Îö b−�

œμ œ œ ´ ?ł

μ≠ ±≠

¥≠ ∞

≥ ≠

≤ ¥≠

≤≠ ±

≤ ´

¥ ≤

∂ ±≠

μ ∫WLO� bł ≤

∞

∞

Ω ≤ ´ ≥ Ê√ YO×Ð W�uHBL�« b−�¨

∏

≤≠

Ω W�uHBL�« X½U «–≈ ≥

ÆŸ¨ ’ ¨” s� q WLO� b−� ¨

≥≠ ∞ ±≠

μ ≤ ¥≠

Ω

Ÿ π ≥≠

≤ ± ∞

´

μ≠ ”≥ ≤

≥ ’ ¥≠

ÊU «–≈ ¥

© ´ ® ±∏ ≠ ±π ´ ±π WLO� b−� ¨

μ ∞

± ≤

Ω ¨

± ±

≤ ≤

Ω X½U «–≈ μ

∫WO�U²�« WO�uHBL�« ôœUFL�« qŠ ∂

¥≠ ≥

∏ ∑

´

Ω

≤ ±

∂ μ≠

√

∞ ∞

∞ ∞

Ω

±≠ ≤

¥ ≥

≠ ≤

»

± ≤≠

´ ≤ Ω

±± ≥

´ ≥≠ ?ł

±≠ ±≠ ¥ ±≠

±μ

∫ U�uHB*« »d{ ∫ÎUFÐ«—

∫wðü« ‰Ëb−�« w� sO³� u¼ UL XOÐ qJ� b¹b×�«Ë XMLÝù« s� tðUłUO²Š« — ÒbI¹Ë ¨» ¨ √ sO²OÐ ¡UMÐ ‰ËUI� b¹d¹

©sÞ® XMLÝô« WOL©sÞ® b¹b×�« WOL

√ XO³�«¥∞∑

» XO³�«≥∞μ

∫wðü« ‰Ëb−�« w� UL sÞ qJ� —UM¹b�UÐ ÁöŽ√ …—ucL�« œ«uL�« —UFÝ√ X½UË

©—UM¹œ® sD�« dFÝ

XMLÝù«∂∞

b¹b×�«μ∞∞

∫wðQ¹ UL b¹b×�«Ë XMLÝù« s� XOÐ q WHK œU−¹≈ ‰ËUIL�« lOD²¹

b¹b×�« WHK ´ XMLÝô« WHK Ω √ XO³�« WHK

μ∞∞ ∑ ´ ∂∞ ¥∞ Ω

≥μ∞∞ ´ ≤¥∞∞ Ω

Æ—UM¹œ μπ∞∞ Ω

μ∞∞ μ ´ ∂∞ ≥∞ Ω » XO³�« WHK

≤μ∞∞ ´ ±∏∞∞ Ω

Æ—UM¹œ ¥≥∞∞ Ω

∫—UFÝ_« W�uHB�Ë UOLJ�« W�uHB� WÐU²JÐ p�–Ë ¨ U�uHBL�« Â«b�²ÝUÐ Èdš√ WI¹dDÐ UÐU×�« Ác¼ ¡«dł≈ UMMJL¹

∂∞

μ∞∞

Ω —UFÝ_« W�uHB� ¨

∑ ¥∞

μ ≥∞

Ω UOLJ�« W�uHB�

∫wðü« n¹dF²�« o�Ë ÊU²�uHBL�« ÊUðU¼ »dCÔð rŁ

∫n¹dFð

u¼ »dC�« q�UŠ ÊS� ‰ x Ê W³ðd�« s� W�uHB� ¨ Ê x Â W³ðd�« s� W�uHB� X½U «–≈

q�«uŠ ŸuL−� ÍËUð W−ðUM�« W�uHBLK� ?¼ Í

?ł WKšbL�« Ê≈ YO×Ð ¨‰ x Â W³ðd�« s� W�uHB�

ÆWO½U¦�« W�uHBL�« s� ?¼ œuLF�«Ë v�Ë_« W�uHBL�« s� Í nB�« w� …dþUM²L�« öšbL�« »d{

ÆWO½U¦« W�uHBL« ·uH� œbŽ l vË_« W�uHBL« …bLŽ√ œbŽ ÍËU�ð ◊dAÐ sO²�uHB »d{ sJL¹ t½√ kŠô

±∂

∂∞

μ∞∞

Ω ¨

∑ ¥∞

μ ≥∞

Ω ∫oÐU�« ‰U¦L�« wH�

Æ± ≤ W³ðd�« s� W�uHB� u¼Ë »dC�« q� UŠ œU−¹≈ sJL¹ ± ≤ w¼ W³ð—Ë¨≤ ≤ w¼ W³ð—

q�«uŠ ŸuL−� b−½

¨±±

?ł WKšbL�« Í√ W−ðUM�« W�uHBLK� ‰Ë_« œuLF�«Ë ‰Ë_« nB�« w� WKšbL�« œU−¹ù

`C²¹ UL W�uHBLK� ‰Ë_« œuLF�« w� UN� …dþUML�« öšbL�UÐ W�uHBLK� ‰Ë_« nB�« öšb� »d{

∫wK¹ ULO�

Ω

∂∞

μ∞∞

∑ ¥∞

μ ≥∞

Ω

μ∞∞ ∑ ´ ∂∞ ¥∞ Ω ©WKKEL�«® ±±

?ł WKšbL�«

μπ∞∞ Ω ≥μ∞∞ ´ ≤¥∞∞ Ω

q�«uŠ ŸuL−� b−½

¨±≤

?ł WKšbL�« Í√ W−ðUM�« W�uHBLK� ‰Ë_« œuLF�«Ë w½U¦�« nB�« w� WKšbL�« œU−¹ùË

Æ W�uHBLK� ‰Ë_« œuLF�« w� UN� …dþUML�« öšbL�UÐ W�uHBLK� w½U¦�« nB�« öšb� »d{

μ∞∞ μ ´ ∂∞ ≥∞ Ω ±≤

?ł WKšbL�«

¥≥∞∞ Ω ≤μ∞∞ ´ ±∏∞∞ Ω

μπ∞∞

¥≥∞∞

Ω Ω »dC�« q�UŠ W�uHB�

XMLÝô« s� » XO³�« nO�UJðË ¨—UM¹œ μπ∞∞ ÍËUð b¹b×�«Ë XMLÝù« s� √ XO³�« nO�UJð Ê√ Í√

Æ—UM¹œ ¥≥∞∞ ÍËUð b¹b×�«Ë

± ≤≠ ∞

Ω ¨

≤ ±

Ω X½U «–≈ ∫©∏® ‰U¦�

μ ≥ ≥≠ ¥ ≥

¨ ∫s� Îö ©sJ�« Ê≈® błË√

≤ ≤± ≤

±≤

?ł

±±

?ł

± ≤ ± ≤ ≤ ≤

±∑

≤ x ≤≥ x ≤

…bLŽ√ œbŽ Ê_ »dC�« q�UŠ œU−¹≈ sJL¹ Ê–≈ ¨≥ ≤ W³ðd�« s� ¨≤ ≤ W³ðd�« s�

Æ ·uH� œbŽ ÍËU¹

± ≤≠ ∞

≤ ±

Ω

μ ≥ ≥≠ ¥ ≥

μ ≤ ´ ± ± ≥ ≤ ´ ©≤≠® ± ≥≠ ≤ ´ ∞ ±

Ω

μ ¥ ´ ± ≥ ≥ ¥ ´ ©≤≠® ≥ ≥≠ ¥ ´ ∞ ≥

±± ¥ ∂≠

Ω

≤≥ ∂ ±≤≠

Æ ·uH� œbŽ ÍËU¹ ô …bLŽ√ œbŽ Ê_ sJL�dOG� »dC�« q�UŠ œU−¹≈ U�√

μ≠ ≤≠ ±

Ω ¨

±≠ ≤

Ω X½U «–≈

∫©π® ‰U¦�

∞ ¥ ≥

∞ ±

¥ ≥≠

økŠöð «–U� Æ ¨ ∫s� Îö ©sJ�« Ê≈® błËQ�

q�UŠ p�cË ¨ »dC�« q�UŠ œU−¹≈ sJL¹ Ê–≈ ≥ ≤ W³ðd�« s� ¨ ≤ ≥ W³ðd�« s�

Æ »dC�«

±∞≠ ∏≠ ±≠

Ω

μ≠ ≤≠ ±

±≠ ≤

Ω μ≠ ≤≠ ±

∞ ¥ ≥

∞ ±

±μ ≤≤ π ¥ ≥≠

≤±≠ ±μ

Ω

±≠ ≤

μ≠ ≤≠ ±

Ω

≥≠ ±∞

∞ ±

∞ ¥ ≥

¥ ≥≠

≥ x ≤

≥ x ≤

±∏

ÆWOK¹b³ð dOž ÂUŽ tłuÐ U�uHBL�« »d{ WOKLŽ Ê√ wMF¹ UL� Ê√ kŠö½

wðü« ÂUEM�« q¦Lð

∑

±≠

Ω

”

’

± ≤

±≠ ±

∫WO�uHB*« W�œUF*« Ê√ 5Ð ∫©±∞® ‰U¦�

∑ Ω ’ ´ ”≤ ∫WOD)« ôœUF*« s�

±≠ Ω ’ ≠ ”

∑

±≠

Ω

”

’

± ≤

±≠ ±

∑

±≠

Ω

’ ´ ”≤

’ ≠ ”

©5²�uHB� ÍËUð n¹dFð s� ®

∑ Ω ’ ´ ”≤

±≠ Ω ’ ≠ ”

W�uHB�

”

’

W�uHBL�« vLðË ¨ ôœUFL�« ÂUEM� ö�UFL�« W�uHB�

± ≤

±≠ ±

W�uHBL�« vLð

ÆXÐ«u¦�« W�uHB�

∑

±≠

W�uHBL�« vLðË ¨©qO¼U−L�« ® «dOG²L�«

∫WO�uHB� W�œUFLÐ sOO�U²�« sO�UEM�« s� ö q=¦� ∫©±±® ‰U¦�

π Ω Ÿ

≥ ´ ’ ≤ ≠ ” » ¥≠ Ω ”≤ ≠ ’ √

∂≠ Ω Ÿ

≠ ’ ≥ ´ ”≠ ∞ Ω ± ´ ’ ´ ”

±∑ Ω Ÿ

μ ´ ’μ ≠ ”≤

W�œUF� q s� sL¹_« ·dD�« w� ’ dOG²L�« rŁ ÎôË√ ” dOG²L�« dNE¹ YO×Ð sO²�œUFL�« œËbŠ Vðd½ √

∫«cJ¼ UNM� d¹_« ·dD�« w� XÐU¦�« b×�« ÊuJ¹Ë

¥≠ Ω ’ ´ ”≤≠

¥≠

±≠

Ω

”

’

± ≤≠

± ±

∫w¼ WO�uHBL�« W�œUFL�« ±≠ Ω ’ ´ ”

±π

∫w¼ ÂUEMK� WK¦LL�« WO�uHBL�« W�œUFL�« Ê–≈ ¨W³ðd� Àö¦�« ôœUFL�« »

π

”

≥ ≤≠ ±

∂≠ Ω ’ ±≠ ≥ ±≠

±∑ Ÿ

μ μ≠ ≤

XÐ«u¦�« W�uHB� «dOG²L�« W�uHB� ö�UFL�« W�uHB�

∫ U�uHB*« »d{ WOKLŽ hzUBš

X½UË ¨W�dF� WO�U²�« «—U³F�« w� lL−�«Ë »dC�« w²OKLŽ s� Îö Ê≈ YO×Ð U�uHB� ̈ ̈ X½U «–≈

∫ÊS� ÎUOIOIŠ Î«œbŽ „

©lOL−²�«® © ® Ω © ® √

©sOLO�« s� l¹“u²�«® ´ Ω © ´ ® »

©—UO�« s� l¹“u²�«® ´ Ω © ´ ® ?ł

©…b¹U×L�« W�uHBL�« ® Ω Ω œ

© „® Ω © „® Ω © ® „ ?¼

ÆW³ÝUM� U�uHB� —UO²šUÐ WO�Uš q W×� s� oI×ð

økŠöð «–U� Æ błËQ�

∂≠ ¥

≥ ≤≠

Ω ¨

∂ ≥

¥ ≤

Ω X½U «–≈ ∫©±≤® ‰U¦�

≤

Ω

∞ ∞

∞ ∞

Ω

∂≠ ¥

≥ ≤≠

∂ ≥

¥ ≤

Ω

¨W¹dH� W�uHB� XO� sO²�uHBL�« s� ÎU¹« Ê√ l� ≤

W¹dHB�« W�uHBL�« Ω »dC�« q�UŠ Ê√ kŠö½

ÆW¹dH� W�uHB� u¼ sO²¹dH� dOž sO²�uHB� »d{ q�UŠ ÊuJ¹ Ê√ sJL¹ ¨ÂUŽ tłuÐ t½√ wMF¹ «c¼Ë

ÆWO�U��« Ác¼ w� WOIOI×�« œ«bŽ_« »d{ sŽ U�uHBL�« »d{ ·ö²š« kŠô

≤∞

¨ błËQ�¨

≤ μ

±≠ ≤≠

Ω ¨

μ ±≠

≥≠ ≤

Ω ¨

≥ ≤

∂ ¥

Ω X½U «–≈ ∫©±≥® ‰U¦�

økŠöð «–U�

± ¥

≤ ∏

Ω

μ ±≠

≥≠ ≤

≥ ≤

∂ ¥

Ω

± ¥

≤ ∏

Ω

≤ μ

±≠ ≤≠

≥ ≤

∂ ¥

Ω

∫Ê√ wMF¹ «c¼Ë sJ�Ë Ω Ê√ kŠö½

Ω Ê√ ÃU²M²Ý«Ë sO�dD�« s� ‰«e²šUÐ UM� `Lð ô Ω

ÆWO�U��« Ác¼ w� WOIOI×�« œ«bŽ_« sŽ U�uHBL�« ·ö²š« kŠô

©≤ ≠ ±® qzU?��Ë s¹—U9

∫wK¹ UL� q w� »dC�« q�UŠ ©sJ�√ Ê≈® bł ±

≤

≤≠ ∞ ±

»

≤ ± ≤ ∞

√

≥

±≠ μ ¥ ≥≠ ¥

≤ μ

∞ ± ≥

œ

≤ π≠ ≥ ±≠ ≤

?ł

∞ ≤≠ ¥ ±≠ ≤ ∂≠ ∑ μ ≥ ¥

∞ ±

Ω ¨

∞ ≤

Ω ¨

≤≠ ±

Ω

X½U «–≈

≤

≤ ≥ ± ± ± ≥

Æ© ® Ω © ® ∫Ê√ s=OÐ

W�uHB� ¨ ö�UFL�« W�uHB� YOŠ Ω …—uB�« vKŽ sOO�U²�« sO�UEM�« s� Îö V²« ≥

∫XÐ«u¦�« W�uHB� ¨ «dOG²L�«

≥ Ω Ÿ

´ ’ ≠ ” » ∞ Ω ¥ ≠ ’ ´ ”∂ √

± Ω Ÿ

≤ ´ ’ ≠ ” ±≠ Ω ’≤ ´ ”≥

± Ω Ÿ

≠ ”≤ ´ ’

≤±

(Determinants) «œb;« ≥≠±

jÐ— sJL¹ sJ�Ë ª Î«œbŽ XO� UNð«– b×Ð w¼Ë œ«bŽ_« s� qJA�« qOD²� rOEMð w¼ W�uHBL�« Ê√ UM�dŽ

UM¦¹bŠ dBIMÝË ¨UNðUIO³DðË U�uHBL�« w� t²OL¼√ t� W�uHBL�« œb×� vL¹ wIOIŠ œbFÐ WFÐdL�« W�uHBL�«

ÆW¦�U¦�«Ë WO½U¦�« W³ðd�« s� WFÐdL�« U�uHBL�UÐ WD³ðdL�« «œb×L�« sŽ

∫n¹dFð

∫WO½U¦�« W³ðd�« s� WFÐdL�« W�uHBL�« œb×�

∫wðQ¹ UL ·dF¹ ¨¸ ¸ e�d�UÐ t� e�d¹ Ë ¨ œb×� ÊS�

≤±

” ±±

”

≤≤

” ±≤

” Ω X½U «–≈

Æ±≤

”≤±

” ≠

≤≤

”±±

” Ω

≤±

” ±±

”

≤≤

” ±≤

” Ω ¸ ¸

Æ œb×� b−� ¨

μ ≥

Ω X½U «–≈ ∫©±®‰U¦�¥ ≤

≤ Ω μ x ≤ ≠ ¥ x ≥ Ω

μ ≥

Ω

¸ ¸

¥ ≤

ø” WLO� UL� ¨dH� Ω

” ¥

ÊU «–≈ ∫©≤®‰U¦�π ±≤

∞ Ω

” ¥

π ±≤

∞ Ω ” ±≤ ≠ π ¥

≥ Ω ” UNM�Ë ∞ Ω ” ±≤ ≠ ≥∂

≤≤

¸ ¸≤μ

Ω

¸ ¸ Ê√ s

ÒO³�¨ μ Ω ¨

≤ ±

¥ ≥

Ω X½U «–≈ ∫©≥®‰U¦�

≤≠ Ω ≥ ≤ ≠ ¥ ± Ω

≤ ±

Ω ¸ ¸

¥ ≥

±∞ μ

Ω

≤ ±

μ Ω

μ Ω

≤∞ ±μ ¥ ≥

±∞ μ

Ω ¸ ¸

≤∞ ±μ

±∞ ±μ ≠ ≤∞ μ Ω

±μ∞ ≠

±∞∞ Ω

μ∞≠ Ω

≤≠ ≤μ Ω

¸ ¸ ≤μ Ω

∫n¹dFð

∫W¦�U¦�« W³ðd�« s� WFÐdL�« W�uHBL�« œb×�

∫wK¹ UL

¸ ¸ ·dFO�

≥±

” ≤±

” ±±

”

Ω X½U «–≈

≥≤

” ≤≤

” ±≤

”

≥≥

” ≤≥

” ±≥

”

≤≤

” ±≤

”

≤≥

” ±≥

”

≥±

” ´

≥≤

” ±≤

”

≥≥

” ±≥

”

≤±

” ≠

≥≤

” ≤≤

”

±±

” Ω

≥±

” ≤±

” ±±

”

Ω

¸ ¸

≥≥

” ≤≥

”

≥≤

” ≤≤

” ±≤

”

≥≥

” ≤≥

” ±≥

”

≤≥

∫WEŠö�

WKšb� q »dCÐ p�–Ë ¨‰Ë_« nB�« öšb� W�ôbÐ ·Òd ÔŽ W¦�U¦�« W³ðd�« s� WFÐdL�« W�uHBL�« œb×� Ê√ kŠö¹

WKšbL�« ÁcN� œuLF�«Ë nB�« VDý bFÐ WOK�_« W�uHBL�« s� W−ðUM�« WO½U¦�« W³ðd�« s� WFÐdL�« W�uHBL�« œb×LÐ tO�

ÆVOðd²�« vKŽ ´ ¨≠ ¨´ ∫ «—Uýù« qKð …UŽ«d� l� WŁö¦�« »dC�« q�«uŠ lLł rŁ

¥ ≥ ≠ ≤

∫WLO� bł

∫©¥® ‰U¦�

Æ ∑ μ ∂

∏ π ±≠

μ ∂

¥ ´

∑ ∂

©

≥ ≠®≠

∑ μ

≤ Ω

¥ ≥≠ ≤

π ±≠ ∏ ±≠ ∏ π

∑ μ

∂

∏ π

±≠

©μ ´ μ¥® ¥ ´ ©∑ ´ ¥∏ ®≥ ´ ©∂≥ ≠ ¥∞® ≤ Ω

≥μμ Ω μπ ¥ ´ μμ ≥ ´ ≤≥≠ ≤

≤≠ ∞ ±

∫ WLO� błË√

∫©μ®‰U¦� ≥ ≤ ±

∂ μ ¥≠

≤ ±

≤≠ ´

≥ ±

∞ ≠

≥ ≤

± Ω

≤≠ ∞ ±

μ ¥≠ ∂ ¥≠ ∂ μ

≥ ≤

±

∂ μ

¥≠

©∏ ´ μ ® ≤≠ ´ dH� ≠ ©±μ ≠±≤® ± Ω

≤∂ ≠ ≥≠ Ω

≤π≠ Ω

≤¥

©≥ ≠ ±® qzU?��Ë s¹—U9

∫WOðü« U�uHBL�« s� q œb×� bł ¨

π ∂

μ ¥

Ω X½U «–≈ ±

≤ » √

Æ∂ Ω

ÊuJ¹ YO×Ð WO½U¦�« W³ðd�« s� WFÐd� W�uHB� V²« ≤

Æ

Ω

Ê√ s=OÐ ¨

¥≠ ±

≤ ≥≠

Ω ¨

≥ ≤≠

μ≠ ¥

Ω sJ²� ≥

ø ” rO� ØWLO� UL� ¨±∞≠ Ω

¥ ”

± ≠ ” ≥

ÊU «–≈ ¥

∫wK¹ UL� q WLO� błË√ μ

≥ ≤≠ ±

∞ μ ¥

π ∏ ∑

»

∂≠ ≤

≥ ±

√

∏ ∞ ±≠

¥ ≥ ∑

μ ≤ ≤

œ

≤ ≥≠ ¥≠

± ∞ ∂

≤ ≥ ¥≠

?ł

¥≠ ≤≠ ≥

ÊU «–≈ ∂ø” rO�ØWLO� UL� ¨

π ”

” ¥

Ω ≤≠ ±≠ ¥

±≤ ∂ ±±

≤μ

(Inverse of a square Matrix of order 2® WO½U¦« W³ðd« s� WFÐd*« W�uHBLK wÐdC« dOEM« ¥≠±

∫n¹dFð

Î«dOE½ vLð WO½U¦�« W³ðd�« s� WFÐdL�« W�uHBL�« ÊS� ¨WO½U¦�« W³ðd�« s� WFÐd� W�uHB� X½U «–≈

ÆWO½U¦�« W³ðd�« s� …b¹U×L�« W�uHBL�« ≤ YOŠ ¨ ≤ Ω Ω ÊU «–≈ W�uHBLK� ÎUOÐd{

∫ÊuJ¹ czbMŽË ¨

±≠

Ω ∫Ê√ Í√ ¨

±≠

e�d�UÐ W�uHBLK� wÐdC�« dOEMK� …œUŽ e�d¹

≤ Ω

±≠

Ω

±≠

±≠ ≤

± ±≠

Ω W�uHBLK� wÐdC�« dOEM�« w¼

± ±

≤ ±

Ω W�uHBL�« Ê√ sOÐ ∫©±® ‰U¦�

≤

Ω

∞ ±

± ∞

Ω

± ±

≤ ±

±≠ ≤

± ±≠

Ω

≤ Ω

∞ ±

± ∞

Ω

±≠ ≤

± ±≠

± ±

≤ ±

Ω

±≠

Ω Ë√ W�uHBLK� wÐdC�« dOEM�« w¼ Ê√ Í√¨≤

Ω Ω

ÆwÐd{ dOE½ UN� fO�

∞ ±

∞ ∞

Ω W�uHBL�« Ê√ X³Ł√ ∫©≤® ‰U¦�

’ ”

Ê Ÿ

Ω

±≠

ÎUOÐd{ Î«dOE½ W�uHBLK� Ê√ ÷dH½

≤ Ω

±≠

Ω

±≠

≤

Ω

’ ”

Ê Ÿ

∞ ±

∞ ∞

≤∂

∞ ±

± ∞

Ω

’ ”

∞ ∞

Æ± ¨∞ sO²KšbL�« Í√ ¨w½U¦�« œuLF�«Ë w½U¦�« nB�« w� sO²F�«u�« sOðdþUM²L�« sO²KšbL�« ÍËUð ÂbF� qO×²� «c¼Ë

ÆwÐd{ dOE½ W�uHBLK� błu¹ ô

t� fO� dšü« UNCFÐË wÐd{ dOE½ UN� WO½U¦�« W³ðd�« s� WFÐdL�« U�uHBL�« iFÐ Ê√ kŠö½ WIÐU�« WK¦�_« s�

ÆwÐd{ dOE½

∫n¹dFð

∫…œdHML�« W�uHBL�«

Æ…œdHM� W�uHB� vLð wÐd{ dOE½ UN� fO� w²�« WFÐdL�« W�uHBL�«

Æ…œdHM� dOž W�uHB� vLð wÐd{ dOE½ UN� w²�« WFÐdL�« W�uHBL�«Ë

∫WO�U²�« …bŽUI�« s� `C²¹ UL œb×L�« ‰öš s� …œdHML�« W�uHBL�« eOOLð sJL¹Ë

∫…bŽU

Æ©`O×� fJF�«Ë® Î«dH� Ω ÊU «–≈ …œdHM� W�uHB� WFÐdL�« W�uHBL�« ÊuJð

ø

∂ ≥

≤ ±

Ω ¨

≥ ≤

¥ ±≠

Ω …œdHM� WOðü« U�uHBL�« s� Í√ ∫©≥® ‰U¦�

Æ…œdHM� dOž W�uHB� ∞ ±± Ω

≥ ≤

¥ ±≠

Ω

Æ…œdHM� W�uHB� ∞ Ω

∂ ≥

≤ ±

Ω

∫WO½U¦« W³ðd« s� WFÐd*« W�uHBLK wÐdC« dOEM« œU−¹≈

¨ô Â√ W�uHBL� wÐd{ dOE½ œułË vKŽ rJ×�« sJL¹ «œb×L�« Â«b�²ÝUÐ t½√ WIÐU�« …bŽUI�« s� kŠö½

ÆÁœułË ‰UŠ w� WO½U¦�« W³ðd�« s� WFÐdL�« W�uHBLK� wÐdC�« dOEM�« œU−¹≈ WI¹dÞ vKŽ wK¹ ULO� ·dF²MÝË

≤∑

± ±

≥ ±

Ω W�uHBLK� wÐdC�« dOEM�« błË√ ∫©¥® ‰U¦�

∞ ≤ Ω ± ± ≠ ± ≥ Ω

±≠

wÐd{ dOE½ W�uHBLK� błu¹

’ ”

‰ Ÿ

Ω ±≠

Ê√ ÷dH½

≤

Ω ±≠

Ω ±≠

Ê√ ULÐ

∞ ±

± ∞

Ω

± ±

≥ ±

’ ”

‰ Ÿ

∞ ±

± ∞

Ω

’≥ ´ ” ’ ´ ”

‰≥ ´ Ÿ ‰ ´ Ÿ

∞ Ω ’≥ ´ ” ¨ ± Ω ’ ´ ”

±

≤

≠ Ω ’ ¨ ≥

≤

Ω ” ∫Z²M¹ sO²�œUFL�« q×ÐË

± Ω ‰≥ ´ Ÿ

¨ ∞ Ω ‰´Ÿ p�cË

±

≤

Ω ‰ ¨ ±

≤

≠ Ω Ÿ ∫Z²M¹ sO²�œUFL�« q×ÐË

±≠ ≥

± ±≠

±

Ω

±≠ ≥

± ±≠

±

≤

Ω

±

≤

≠ ≥

≤

±

≤

±

≤

≠

Ω ±≠

fOzd�« dDI�« vKŽ 5²Kšb*« q¹b³ð bFÐ sŽ W&UM�« W�uHB*« ±

œb×�

Ω ١- ∫Ê√ Í√

Ædšü« dDI�« vKŽ sO²KšbL�« wð—Uý≈ dOOGðË ©≤≤

√ ¨ ±±

√ sO²KšbL�« Íu×¹ Íc�«®

≤∏

∫ÂUŽ tłuÐ

Æ

≤±

√≠ ≤≤

√

±±

√ ±≤

√≠

±

Ω ±≠

ÊS� ∞

ÊUË

≤±

√ ±±

√

≤≤

√ ±≤

√

Ω X½U «–«

∂ ≤≠

∏ ≥≠

Ω W�uHBLK� ©błË Ê≈® wÐdC�« dOEM�« błË√ ∫©μ® ‰U¦�

©∂ ≥≠® ≠ ∏ ≤≠ Ω

∂ ≤≠

Ω ¸ ¸

∏ ≥≠

±∏ ´ ±∂≠ Ω

∞ ≤ Ω

∫ÍËU¹Ë œułu�

±≠

∂≠ ∏

≤≠ ≥

±

≤

Ω

∂≠ ∏

≤≠ ≥

±

¸ ¸

Æq×�« W×� s� oI×ð ≥≠ ¥

±≠ ±,μ

Ω

≤≠ ≥

∂≠ π

Ω W�uHBLK� ©błË Ê≈® wÐdC�« dOEM�« błË√ ∫©∂® ‰U¦�

©≤≠ π® ≠ ©∂≠ ≥® Ω

≤≠ ≥

Ω ¸

¸

∂≠ π

±∏ ´ ±∏≠ Ω

dH� Ω

Æœułu� dOž

±≠

≤π

©¥ ≠ ±® qzU?��Ë s¹—U9

ø…œdHM� WO�U²�« U�uHBL�« s� Í√ ±

ÆwIOIŠ œbŽ ” YOŠ ¨

±≠ ”

” ±

Ω ¨

∂ ≥

¥ ≤

Ω ¨

≤ ±

± ±≠

Ω

∫…œdHM� W�uHB� WO�U²�« U�uHBL�« s� Îö qF−ð w²�« WOIOI×�« ” rO� Ø WLO� bł ≤

≤ ”

≥ ∂

√

∏ ”

” ≤

»

± ”

± ≠ ”

∞

?ł

Æ

Ω ± ≠

∫Ê√ sO³�

±

≤

≥

≤

≥

≤

≠ ±

≤

Ω X½U «–≈ ≥

∫wK¹ UL� Îö błËQ�

± ±≠

≤ ±≠

Ω ¨

≤≠ ±

¥ ±≠

Ω X½U «–≈ ¥

±≠

√

±≠

»

?ł

økŠöð «–U� Æ

±≠

±≠

¨

±≠

© ® œ

≥∞

(Applications® UIO³Dð μ≠±

∫ U�uHBL« Â«b�²ÝUÐ WOD�« ôœUFL« WLE½√ qŠ

WI¹dÞ vKŽ ·dF²�« p� o³Ý b�Ë ¨WOD��« ôœUFL�« WLE½√ qŠ w� UN�«b�²Ý« U�uHBLK� WLNL�« UIO³D²�« s�

s� sO²�œUF� s� ÊuJ� ÂUE½ q×� sO¹dš√ sO²I¹dÞ vKŽ ·dF²MÝË ªWLE½_« Ác¼ q×� w½UO³�« qO¦L²�«Ë ·c×�«Ë i¹uF²�«

Æ «œb×L�«Ë U�uHBL�« Â«b�²ÝUÐ p�–Ë ’ ¨” s¹dOG²LÐ v�Ë_« Wł—b�«

∫wÐdC« dOEM« WI¹dÞ ©±®

∫wÐdC�« dOEM�« WI¹dÞ Â«b�²ÝUÐ wðü« ÂUEM�« qŠ ∫©±® ‰U¦�

±≥ Ω ’ ≥ ´ ”≤

≤± Ω ’μ ´ ” ≥

±≥

Ω

” ≥ ≤

∫w�U²�U WO�uHB� W�œUF� …—u� vKŽ ÂUEM�« lC½

≤± ’ μ ≥

«dOG²L�« W�uHB� ¨ ö�UFL�« W�uHB� YOŠ Ω W�UF�« …—uB�« vKŽ w¼Ë

∫XÐ«u¦�« W�uHB�

∞ ± Ω ©≥ ≥® ≠ ©μ ≤® Ω

Æœułu� ±≠

≥≠ μ

≤ ≥≠

Ω ≥≠ μ

≤ ≥≠

±

±

Ω

±≠

∫Z²MO� ±≠

wÐdC�« dOEM�UÐ sOLO�« s� W�œUFL�« w�dÞ »dC½

±≥

≤±

≥≠ μ

≤ ≥≠

Ω ©

”

’

≥ ≤

μ ≥

®

≥≠ μ

≤ ≥≠

∫Z²M¹ wÐdC�« dOEM�« WO�UšË U�uHBL�« »d{ w� lOL−²�« WO�Uš Â«b�²ÝUÐË

≤

≥

Ω

”

’

∞ ±

± ∞

≥±

≤

≥

Ω

”

’

Æ ≥ Ω ’ ¨ ≤ Ω ”

’¨” s¹dOG²� w� WOD��« ôœUFL�« s� ÎU�UE½ q¦Lð Ω WO�uHBL�« W�œUFL�« X½U «–≈ ∫ÂUŽ tłuÐ

±≠

Ω

”

’

Ë√

±≠

Ω ÊS�

∫wÐdC�« dOEM�« WI¹dÞ Â«b�²ÝUÐ wðü« ÂUEM�« qŠ ∫©≤® ‰U¦�

≤≠ Ω ’ ≤ ´ ”

∞ Ω π≠ ’±± ´ ” ≥

≤≠ Ω ’ ≤ ´ ” ∫wK¹ UL sO²³ðd� sO²�œUFL�« V²J½

π Ω ’±± ´ ” ≥

Ω …—uB�« vKŽ w¼Ë

≤≠

Ω

” ≤ ±

∫w¼ ÂUEMK� WK¦LL�« WO�uHBL�« W�œUFL�«

π ’ ±± ≥

∞ μ Ω ∂ ≠ ±± Ω ©≥ ≤® ≠ ©±± ±® Ω ¨

≤ ±

Ω

±± ≥

≤≠

μ

±±

μ

±

μ

≥≠

μ

Ω ≤≠ ±±

± ≥≠

±

μ

Ω

±≠

œułu�

±≠

±≠

Ω

”

’

∏≠

≥

Ω

≤≠

π

≤≠

μ

±±

μ

±

μ

≥≠

μ

Ω

”

’

Æ ≥ Ω ’ ¨ ∏≠ Ω ”

≥≤

∫ÂUEM�« q×� dL¹d …bŽU� Âb�²Ý« ∫©≥® ‰U¦�

μ Ω ’ ≤ ´ ”

± Ω ’ ≠ ” ≥


μ

±

Ω

”

’

≤ ±

±≠ ≥


∑≠ Ω

≤ ±

±≠ ≥

Ω

∑≠ Ω

≤ μ

±≠ ±

Ω ”

±¥≠ Ω

μ ±

± ≥

Ω ’

± Ω

∑≠

∑≠

Ω

”

Ω ”

Æq×�« W×� s� oI×ð Æ≤ Ω

±¥≠

∑≠

Ω

’

Ω ’

YOŠ Ω ∫…—uB�« c�²¹ Íc�«Ë ©sO�uN−�® s¹dOG²� w� sO²�œUF� s� ÊuJL�« WOD��« ôœUFL�« ÂUEM�

∫u¼ q×�« ÊuJ¹ dH� ¨XÐ«u¦�« W�uHB� ¨ «dOG²L�« W�uHB� ¨ ö�UFL�« W�uHB�

Æ

’

Ω ’ ¨

”

Ω”

¨XÐ«u¦�« W�uHB� œuLFÐ ©” ö�UFL� q¦LL�«® ‰Ë_« œuLF�« ‰«b³²Ý« bFÐ ö�UFL�« W�uHB� œb×� u¼

” YOŠ

ÆXÐ«u¦�« W�uHB� œuLFÐ ©’ ö�UFL� q¦LL�«® w½U¦�« œuLF�« ‰«b³²Ý« bFÐ ö�UFL�« W�uHB� œb×� u¼ ’

∫(Cramer’s Rule) d1d� …bŽU WI¹dÞ©≤®

v�≈ bFÐ ULO� tK�Ë√ ÎUDL½ WOD��« ôœUFL�« WLE½_ tKŠ ¡UMŁ« ©Â±∑μ≤ ≠ ±∑∞¥® dL¹d Íd¹u�« r�UF�« kŠô

∫WOðü« …bŽUI�«

∫dL¹d� …bŽU�

≥≥

∫ÂUEM�« q×� dL¹d …bŽU� Âb�²Ý« ∫©¥® ‰U¦�

∞ Ω ± ≠ ’ ´ ”

∞ Ω ”≥ ´ ’≤

± Ω ’ ´ ” ∫wK¹ UL sO²³ðd� sO²�œUFL�« ÎôË√ V²J½

∞ Ω ’≤ ´ ”≥


±

∞

Ω

”

’

± ±

≤ ≥


±≠ Ω ± ≥ ≠ ≤ ± Ω

± ±

≤ ≥

Ω

∫wÐdC�« dOEM�« WI¹dÞ Â«b�²ÝUÐ WOðü« WLE½_« s� Îö qŠ ±

μ Ω ’μ ´ ”≥ »

∞ Ω ≤≠ ’ ´ ”

√

∂ Ω ’∂ ´ ”¥ μ Ω ’≥ ´ ”

∫dL¹d …bŽU� Â«b�²ÝUÐ WOðü« WLE½_« s� Îö qŠ ≤

± ´ ’ Ω ” »

∑ Ω ’ ≠ ”≤

√

≤ Ω ’ ´ ”≤ ± Ω ” ´ ’≤

U³¹—bð

≤ Ω ± ∞ ≠ ≤ ± Ω

± ±

≤ ∞

Ω ”

≥≠ Ω ± ≥ ≠ ∞ ± Ω

± ±

∞ ≥

Ω ’

≤≠ Ω

≤

±≠

Ω

”

Ω ”

Æq×�« W×� s� oI×ð

Æ ≥ Ω

≥≠

±≠

Ω

’

Ω ’

≥¥

∫wK¹ UL� qJ� W×O×B�« WÐUłù« e�— d²š« ±

Ω ≠ ÊS�

∂≠ ¥

≥ ≤

Ω ≤ Ê√ XLKŽ «–≈ ±

∞ ∞

∞ ∞

œ

≥ ≤≠

±,μ≠ ± ≠

?ł

≥≠ ≤

±,μ ±

»

∂ ¥≠

≥ ≠ ≤≠

√

∫ÊuJð Ê√ sJL¹ ÊS�

±

≤

Ω

±

≤

YO×Ð W�uHB� X½U «–≈ ≤

± ±

œ

±

±

?ł

∞ ±

± ∞

»

± ∞

∞ ±

√

≤ ≤Ω W³ð—Ë ¨≤ ≥Ω W³ð— X½UË ¨ Ω YO×Ð U�uHB� ¨ ¨ X½U «–≈ ≥

∫w¼ W³ð— ÊS�

≤ ≤ œ ≥ ≥ ?ł ≥ ≤ » ≤ ≥ √

∫w¼ WOðü« U�uHBL�« sOÐ s� …œdHML�« W�uHBL�« ¥

≤≠ ¥

≥ ∂≠

œ

∞ ±

± ∞

?ł

≥ ±

∂≠ ≤

»

μ ≤

≥ ±

√

∫ÍËUð ÊS�

¥≠ ±

±≠ ≤≠

Ω

± ≤

≤≠ ±≠

ÊU «–≈ μ

≥≠ ∞

≤ ±

œ

≤ ∞

±≠ ≥≠

?ł

≤≠ ±

∞ ≥

»

≥ ≤

∞ ±≠

√

∫W�UŽ s¹—ULð

≥μ

∫ÍËU¹ ¸

≤¸ ÊS�

¥ ≤

μ ≥

Ω X½U «–≈ ∂

∏≠ œ ∏ ?ł ≤ » ≤≠ √

∫ÍËU¹ ≥± ´ © ´ ® ≥≤ ≠ ≥≥ ÊS�

± μ

≤≠ ±≠

Ω ¨

≤ ±

¥ ≥

Ω X½U «–≈ ∑

± ¥

∂ ¥

œ

± ¥≠

≤ ≤

?ł

± ¥≠

∂ ¥

»

≥ ∂

≤ ≤

√

∫VOðd²�« vKŽ UL¼ Â

¨’w²LO� ÊS�

≥ ∑

≤ ±´ Â

Ω

≥ ”

’≠” ’

Ω X½U «–≈ ∏

¥ ¨ μ œ ±∞ ¨ π ?ł ± ¨ ≤ » ∏ ¨ π √

∫VOðd²�« vKŽ UL¼ ’¨” w²LO� ÊS�¨

±≠ ±¥

≤≠ ±π

Ω

±≠ ≤

∞ ±

≤ ’

” ≤ ≥

± μ ¥

ÊU «–≈ π

p�– dOž œ ∂ ¨ ± ?ł ¥ ¨ ± » ± ¨ ∂ √

∫w¼ WOðü« «—U³F�« s� W×O×B�« …—U³F�« ±∞

ÆWOK¹b³ð U�uHBL�« »d{ WOKLŽ √

ÆW¹dH� dOž W�uHB� ÊS� sO²¹dH� dOž sO²�uHB� ¨ ÊU «–≈ »

ÆÎUC¹√ …œdHM� W�uHB� © ≤® ÊS� …œdHM� W�uHB� X½U «–≈ ?ł

Æ W�uHBLK� wÐdC�« dOEM�« w¼ ÊS� Ω X½U «–≈ œ

∫YOŠ ¨ Ω ÊuJ¹ Ê√ sJL¹ ô «–UL� sOÐ ¨»dC�« WOKLŽ ¡«dł≈ ÊËbÐ ≤

±≠ ≤

∞ ±

≤ ’

Ω ¨

” ≤ ≥

± μ ¥

Ω

≤ ≥

≥ ≤

≥∂

Æ≤±

?ł ¨ ≥≤

?ł błËQ� Ω X½UË ¨

≥ ≤ ±

≤ ∞ ±≠

Ω ¨

≥ ≤

±≠ ≥

± ∑

Ω X½U «–« ≥

Æ Ω YO×Ð W�uHBL�« bł¨

μ

¥≠

Ω ¨

¥≠ ±

≥ ±≠

Ω X½U «–≈ ¥

∫wÐdC�« dOEM�« WI¹dÞ ‰ULF²ÝUÐ wðü« ÂUEM�« qŠ μ

≤≤ Ω ’ ≤ ≠” ≥

≥ Ω ’μ ´ ” ∑

∫dL¹d …bŽU� Â«b�²ÝUÐ wðô« ÂUEM�« qŠ ∂

≥ Ω ’≥ ≠ ”≤

±∞ Ω ’ ´ ”≥

∫WO�uHBL�« W�œUFL�« qŠ ∑

¥ ≤≠

μ ≥

Ω

¥ ≥

≤ ±

Æ»¨ √ s� Ìq WLO� błËQ� ¨

≤ ≤≠

μ≠ μ

Ω

μ ±

∞ ≥

» ∂≠

≥ √ ¥

∞ ≤ ±≠

Ê√ rKŽ «–≈ ∏

ø” WLO� UL� ¨ ∞ Ω

≤ ±≠ ≥

μ ” μ

≤≠ ± ±≠

ÊU «–≈ π

≥∑

≤≤

…b???Šu«…b???Šu«

tðUIO³DðË q{UH²«

≥∏

©Limit of a Function® Ê«d² ô« W¹UN½ ±≠≤

U½«d²�ô« ’«uš iFÐ WIÐUÝ ·uH� w� UM�dFð b�Ë ¨ UO{U¹d�« w� WOÝUÝ_« rO¼UHL�« s� Ê«d²�ô« ∫bONLð

Æ…bŠu�« w� WIŠö�« œuM³�«Ë bM³�« «c¼ w� ’«u��« Ác¼ s� b¹eL�« ·dF²MÝË ªWO½UO³�« UNðöO¦LðË UNŽ«u½√Ë

qJ� sOF²¹ YO×Ð ¨qÐUIL�« ‰U−L�« WO½U¦�« vLðË ¨‰U−L�« v�Ë_« vLð sO²ŽuL−� sOÐ W�öŽ ‚ Ê«d²�ô«

ÆqÐUIL�« ‰U−L�« w� ’ jI� bŠ«Ë dBMŽ ‰U−L�« w� ” dBMŽ

Æ©”®‚ Ω ’ V²J½Ë ” bMŽ ‚ Ê«d²�ô« WLO� Ë√ ‚ Ê«d²�ô« w� ” dBMF�« …—u� ’ dBMF�« wL½

UNM� ÌqJ� qÐUIL�« ‰U−L�«Ë ‰U−L�« ÊuJ¹ w²�« U½«d²�ô« w¼Ë ªWOIOI×�« U½«d²�ô« w� UM�UL²¼« edMÝ

i¹uF²�UÐ U½«d²�ô« ÁcN� ‰U−L�« d�UMŽ —u� sOFMÝË ÆUNM� WOzeł WŽuL−� Ë√ ̈ WOIOI×�« œ«bŽ_« WŽuL−�

” ¨ ≤

” Ω ©”®‚ ∫‰uI½ ÊQ W�œUF� Ë√ W¹d³ł …bŽU� w�

∫Îö¦L� ≤

” w¼ wIOIŠ œbŽ Í√ ” YOŠ ” bMŽ t²LO� Íc�« ‚ Ê«d²�ô« p�cÐ bBI½Ë

Æ«cJ¼Ë ÆÆÆ ¨ π Ω ≥≠ ≥≠ Ω ≤

©≥≠® Ω ©≥≠®‚ ¨ ¥ Ω ≤ ≤ Ω ≤

©≤® Ω ©≤®‚

Âb�²MÝË ¨ ÍËUð ôË q¦� WMOF� WLO� s� ” »d²Ið U�bMŽ Ê«d²�ô« rO� WÝ«—œ ‰ËUM²¹ U¹UNM�« Ÿu{u� Ê≈

ÆW¹UNM�« ÂuNH� vKŽ ·dF²K� WO½UO³�« ÂuÝd�«Ë ‰Ë«b−�« bM³�« «c¼ w�

»d²Ið U�bMŽ Ê«d²�ô« rOI� Àb×¹ «–U� Æ ” ¨± ´ ”≤ Ω ©”®‚ Ê«d²�ô« sJO� ∫©±® ‰U¦�

ÆÎUO½UOÐ p�– ` Ò{Ë ø©t¹ËUð Ê√ ÊËœ® ≤ œbF�« s� ”

Æ…dþUML�« Ê«d²�ô« rO�Ë ©t¹ËUð Ê√ ÊËœ® ≤ œbF�« s� ÎUO−¹—bð »d²Ið ” dOG²LK� ÎULO� sO³¹ ÎôËbł ÊuJ½

”≤[±≤[∞±≤[∞∞±←ì≤

ì→±,πππ±,ππ±,π

’μ[≤μ[∞≤μ[∞∞≤←ìμ

ì→¥,ππ∏¥,π∏¥,∏

s� ≤ œbF�« s� »d²Ið ” Ê√ Í√® tM� d³√ rO� ‰öš s� ≤ œbF�« s� ” »«d²�UÐ t½√ ‰Ëb−�« s� kŠö½

∫rOI�« c�²ð …dþUML�« ©”®‚ rO� ÊS� ≤,∞∞± ¨ ≤,∞± ¨ ≤,± ∫rOI�« …c�²� ©sOLO�« WNł

Æμ œbF�« s� WÐd²I� VOðd²�« vKŽ μ,∞∞≤ ¨ μ,∞≤ ¨ μ,≤

œbF�« s� »d²Ið ” Ê√ Í√® ¨tM� dG�√ rO� ‰öš s� ≤ œbF�« s� ” »«d²�UÐ t½√ ÎUC¹√ ‰Ëb−�« s� kŠö½Ë

∫rOI�« c�²ð …dþUML�« ©”®‚ rO� ÊS� ±,πππ ¨ ±,ππ ¨ ±,π ∫rOI�« …c�²� ©—UO�« WNł s� ≤

Æμ œbF�« s� WÐd²I� VOðd²�« vKŽ ¥,ππ∏ ¨ ¥,π∏ ¨ ¥,∏

Æμ w¼ jI� …bŠ«Ë WLO� s� sO²�U×�« w� Ê«d²�ô« rO� »d²Ið Ê–≈

≥π

s� ” »d²Ið U�bMŽ ©”®‚ Ê«d²�ô« W¹UN½ Ê≈ ‰uI½ p�c�

Æμ ÍËUð ≤

μ Ω ©”®‚

”≤ ←

∫V²J½Ë

Æ—ËU−L�« ©±≠≤® qJA�« kŠô

«c¼ sJ�Ë ¨≤ Ω ” bMŽ Ê«d²�ô« WLO� ÍËUð ≤ s� ” »d²Ið U�bMŽ Ê«d²�ô« W¹UN½ Ê√ ‰U¦L�« «c¼ w� kŠö½

∫w�U²�« ‰U¦L�« kŠô Æ ÎULz«œ ÎU×O×� fO�

»d²Ið U�bMŽ Ê«d²�ô« rOI� Àb×¹ «–U� Æ≥ ” ¨

π ≠ ≤”

≥ ≠ ”

Ω ©”®‚ Ê«d²�ô« sJO� ∫©≤® ‰U¦�

ÆÎUO½UOÐ p�– ` Ò{Ë ø©t¹ËUð Ê√ ÊËœ® ≥ œbF�« s� ”

∫«cJ¼ Ê«d²�ô« …bŽU� jO³ð UMMJL¹ t½√ ôË√ kŠö½

≥ ” ¨≥ ´ ” Ω

©≥ ´ ”®©≥ ≠ ”®

≥ ≠ ”

Ω

π ≠ ≤”

≥ ≠ ”

Ω ©”®‚

∫…dþUML�« Ê«d²�ô« rO�Ë ≥ œbF�« s� ÎUO−¹—bð »d²Ið ” dOG²LK� ÎULO� sO³¹ ÎôËbł ¡wAM½

”≥,±≥,∞±≥,∞∞±←ì≥

ì→≤,πππ≤,ππ≤,π

©”®‚∂,±∂,∞±∂,∞∞±←ì∂

ì→μ,πππμ,ππμ,π

©”®‚ rO� ÊS� ©ÈdO�«Ë vMLO�«® sO²N−�« s� ≥ œbF�« s� ” »«d²�UÐ t½√ ‰Ëb−�« s� kŠö½

Æ∂ œbF�« u¼ jI� bŠ«Ë œbŽ s� »d²Ið …dþUML�«

Æ∂ Ω

π ≠ ≤”

≥ ≠ ”

”≥←

Ω ©”®‚

”≥←

ÊS� p�c�

Æ ©≤≠≤®qJA�« kŠô

©±≠≤® qJý

≤±≠ ”

μ

’

¥∞

©≤≠≤® qJý

≥ Ω ”

bMŽ ·dF� dOž ©”®‚ Ê«d²�ô« Ê√ ‰U¦L�« «c¼ w� kŠö½

∂ ÍËUðË …œułu� ≥ s� ”

»d²Ið U�bMŽ Ê«d²�ô« W¹UN½ sJ�Ë

Ê«d²�ô« WLO� ÂuNH� sŽ nK²�¹ WDI½ bMŽ Ê«d²�ô« W¹UN½ Ê√ Í√

ÆWDIM�« pKð bMŽ

Ê«d²�ô« rO� Í√ Ê«d²�ô« „uKÝ ‰ËUM²¹ WDI½ bMŽ W¹UNM�« ÂuNH� Ê≈

WDIM�« bMŽ Ê«d²�ô« WLO� sŽ dEM�« iGÐ WDIM�« pKð —«uł w�

ÆUNð«–

∫ÂUŽ tłuÐ

” rO� »d²Ið U�bMŽ ‰ sOF� wIOIŠ œbŽ s� »d²Ið Ê«d²�ô« rO� X½UË ¨ÎU½«d²�«©”®‚ ÊU «–≈

ÍËUð s� »d²Ið ” U�bMŽ ©”®‚ Ê«d²�ô« W¹UN½ Ê≈ ‰uI½ UM½S� ¨©t¹ËUð Ê√ ÊËœ®

œbF�« s�

Æ‰ Ω ©”®‚

”←

V²J½Ë ‰

W�UŠ q w� © błË Ê≈® WÐuKDL�« W¹UNM�« sÒOŽË ©≥ ≠≤® qJý w� w½UO³�« qO¦L²�« bL²Ž« ∫©≥® ‰U¦�

ÆWMO³L�« ôU×�« s�

±”

≤

≥

’

≤±≠”

≤

’

¥

”

’

±”

’

≥

©”®‚

”± ←

√©”®„

”∞ ←

»

©”®‚ Ω ’©”®„ Ω ’

©”®‰

”≤ ←

?ł

©”®‰ Ω ’

©”®?¼

”± ←

œ

©”®?¼ Ω ’

©≥≠≤® qJý

±≠”

’

≥

∂

¥±

Æ± œbFK� …—ËU−L�« ” rO� lOL−� ≥ WLOI�« cšQ¹ XÐUŁ ©”®‚ Ê«d²�ô« Ê_ ¨ ≥ Ω ©”®‚

”± ←

√

œbFK� …—ËU−L�« ” rO� lOL−� dHB�« s� »d²Ið ©”®„ Ê«d²�ô« rO� Ê_ ¨ ∞ Ω ©”®„

”∞ ←

»

Æ—UO�« s�Ë sOLO�« s� dH�

≤ œbFK� …—ËU−L�« ” rO� lOL−� ¥ œbF�« s� »d²Ið Ê«d²�ô« rO� Ê_ ¨ ¥ Ω ©”®‰

”≤ ←

?ł

¥ Ω ©”®‰

”≤ ←

ULMOÐ ≤ Ω ©≤®‰ Ê√ W�U×�« Ác¼ w� kŠô

»d²Ið Ê«d²�ô« rO� ÊS� sOLO�« s� ± œbF�« s� ” XÐd²�« «–≈ t½_ ¨ …œułu� dOž ©”®?¼

”± ←

œ

œbF�« s� »d²Ið Ê«d²�ô« rO� ÊS� —UO�« s� ± œbF�« s� ” XÐd²�« «–≈Ë ¨≥ œbF�« s�

Æ ± s� ” »d²Ið U�bMŽ tH½ œbF�« s� »d²Ið ô ©”®‚ rO� ÊS� «c�Ë ¨≤

©± ≠ ≤® qzU?��Ë s¹—U9

∫…—ucL�« WLOI�« s� ” »d²Ið U�bMŽ sOOðü« sO½«d²�ô« s� qJ� W¹UNM�« sOŽË ¨ÎU³ÝUM� ÎôËbł Êu ±

©± ”® ¨ ± ” ¨

≤ ≠ ” ´ ≤

”

± ≠ ”

Ω ©”®?¼ » ©≤ ”® ¨ ”≤ Ω ©”®‚ √

∫sÒOŽ ©¥≠≤® qJý w� WK¦LL�« ©”®

≥

‚ ¨©”®≤

‚ ¨©”®±

‚ U½«d²�ô« s� Ì qJ� ≤

∞ Ω ” bMŽ Ê«d²�ô« WLO� √

© błË Ê≈® Æ©”® ‚ ”

∞ ←

»

©√®

©»® ©?ł®

©¥≠≤® qJý

∞”

’

©”®±

‚

”

≤

’

∞

©”®≤

‚

”

≤

’

∞

©”®≥

‚

¥≤

©Limit Rules® U¹UNM« 5½«u ≤≠≤

bM³�« «c¼ w� ·dF²MÝ ¨WO½UO³�« ÂuÝd�«Ë ‰Ë«b−�« Â«b�²ÝUÐ U¹UNM�« »UŠ w� bN−�«Ë X�uK� Î«—UB²š«

Æ U½«d²�ô« s� dO¦J� U¹UNM�« »UŠ qNð w²�« sO½«uI�« s� Î«œbŽ

Æ©”®‚

”≤ ←

błËQ� ¨¥ Ω ©”®‚ ÊU «–≈ ∫©±® ‰U¦�

WOIOI×�« ” rO� lOL−� ¥ ÍËU¹ XÐUŁ Ê«d²�« ©”®‚ Ê√ ULÐ

ÊS� —UO�« s� Ë√ sOLO�« s� ≤ s� »d²Ið ” U�bMŽ t½S�

¥ Ω ©”®‚

”≤ ←

Ê√ Í√ ¨¥ W¹ËU� vI³ð ©”®‚ rO�

Æ—ËU−L�« ©μ ≠ ≤® qJA�« kŠô

∫ÂUŽ tłuÐ

Æ?ł Ω ©”®‚

” ←

ÊS� ¨wIOIŠ œbŽ ?ł ¨ ” lOL−� ?ł Ω ©”®‚ ÊU «–≈ ∫©±® Êu½U�

ÆtH½ XÐU¦�« w¼ wIOIŠ œbŽ Í√ s� ” »d²Ið U�bMŽ XÐU¦�« Ê«d²�ô« W¹UN½ Ê√ Í√

Æ©”®‚

”≥ ←

błËQ� ” ¨” Ω ©”®‚ ÊU «–≈ ∫©≤® ‰U¦�

WOIOI×�« ” rO� lOL−� ” Ω ©”®‚ Ê√ ULÐ

—UO�« Ë√ sOLO�« s� ≥ s� ” »d²Ið U�bMŽ t½S�

ÎUC¹√ ≥ s� »d²Ið ©”®‚ rO� ÊS�

≥ Ω ©”®‚

”≥ ←

Ê√ Í√

Æ —ËU−L�« ©∂ ≠ ≤® qJA�« kŠô

©μ≠≤® qJý

©∂≠≤® qJý

”

’

≥

≥

≤”

’

¥

¥≥

∫ÂUŽ tłuÐ

Ω ©”®‚

”

←

ÊS� ” ¨ ” Ω ©”®‚ ÊU «–≈ ∫©≤® Êu½U�

w¼ s� »d²Ið ” U�bMŽ ” Ω ©”®‚ Ê«d²�ô« W¹UN½ Ê√ Í√

Ë√ ¨ÕdÞ Ë√ ¨lLł UOKLŽ ULNDÐdð sO½«d²�« s� ÊuJ� Ê«d²�ô W¹UNM�« »UŠ s� UMMJLð WO�U²�« sO½«uI�«Ë

∫WL�Ë√ ¨»d{

∫ÊS� ÎUOIOIŠ Î«œbŽ ?ł ÊUË Â Ω ©”®?¼

”

←

¨‰ Ω ©”®‚

”

←

X½U «–≈

Æ©wIOIŠ œbŽ w� »dC�« Êu½U�® ‰ ?ł Ω ©”®‚

”←

?ł Ω ©”®‚ ?ł

”←

≥

Æ©lL−�« Êu½U�® Â

´ ‰ Ω ©”®?¼

”←

´ ©”®‚

”←

Ω ©©”®?¼ ´ ©”®‚® ”←

¥

Æ©ÕdD�« Êu½U�® Â

≠ ‰ Ω ©”®?¼

”←

≠ ©”®‚

”←

Ω ©©”®?¼ ≠ ©”®‚® ”←

μ

Æ©»dC�« Êu½U�® Â

‰ Ω ©”®?¼

”←

©”®‚

”←

Ω ©©”®?¼ ©”®‚® ”←

∂

Æ©WLI�« Êu½U�® ∞ Â

¨ ∞ ©”®?¼ ¨ ‰

Â

Ω

©”®‚

”←

©”®?¼

”←

Ω ©”®‚

©”®?¼ ”←

∑

”≥

”≤ ←

błË√ ∫©≥® ‰U¦�

”

”≤ ←

≥ Ω ”≥

”≤ ←

≤ ≥ Ω

∂ Ω

¥¥

©≤ ´ ”®

”μ ←

błË√ ∫©¥® ‰U¦�

≤

”μ ←

´ ”

”μ ←

Ω ©≤ ´ ”®

”μ ←

≤ ´ μ Ω

∑ Ω

∫s� Îö błËQ� ∂ Ω ©”®?¼

”± ←

¨¥ Ω ©”®‚

”± ←

X½U «–≈ ∫©μ® ‰U¦�

Æ©©”®?¼ ©”®‚® ”

± ←

» Æ©©”®?¼ ≠ ©”®‚® ”

± ←

√

Æ©©”®?¼≥ ´ ©”®‚≤® ”

± ←

œ Æ©©”®‚

©”®?¼

® ”

± ←

?ł

Æ©”®≤

‚

”± ←

?¼

©”®?¼

”± ←

≠ ©”®‚

”± ←

Ω ©©”®?¼ ≠ ©”®‚® ”

± ←

√

∂ ≠ ¥ Ω

≤≠ Ω

©”®?¼

”± ←

©”®‚

”± ←

Ω ©©”®?¼ ©”®‚® ”

± ←

»

∂ ¥ Ω

≤¥ Ω

≤

≥

Ω

¥

∂

Ω

©”®‚

”± ←

©”®?¼

”± ←

Ω ©©”®‚

©”®?¼®

”± ←

?ł

¥μ

©”®?¼≥

”± ←

´ ©”®‚≤

”± ←

Ω ©©”®?¼≥ ´ ©”®‚≤® ”

± ←

œ

©”®?¼

”± ←

≥ ´ ©”®‚

”± ←

≤Ω

∂ ≥ ´ ¥ ≤ Ω

±∏ ´ ∏ Ω

≤∂ Ω

©©”®‚ ©”®‚® ”

± ←

Ω ©”®≤

‚

”± ←

?¼

©”®‚

”± ←

©”®‚

”± ←

Ω

¥ ¥ Ω

±∂ Ω

∫ ULOLFð

Æ U½«d²�ô« œbŽ ÊU ULN� ÊU×O×� ÊUIÐU�« »dC�«Ë lL−�« U½u½U� Æ±

Æ?ł bMŽ Ê«d²�ô« WLO� ÍËUð ?ł sOF� œbŽ s� ” »d²Ið U�bMŽ œËb×�« dO¦ Ê«d²�ô« W¹UN½Æ≤

Æ∞ ÂUIL�« W¹UN½ ◊dAÐ ?ł bMŽ Ê«d²�ô« WLO� ÍËUð ?ł sOF� œbŽ s� ” »d²Ið U�bMŽ ™

w³M�« Ê«d²�ô« W¹UN½ Æ≥

≥”

”≥ ←

błË√ ∫©∂® ‰U¦�

≥

≥ Ω ≥

”

”≥ ←

ÊuJð ¨dýU³L�« i¹uF²�UÐ

≤∑ Ω

©± ´ ”μ ´ ≤”≤®

”± ←

błË√ ∫©∑® ‰U¦�

± ´ ± μ ´ ©≤

±® ≤ Ω ©± ´ ”μ ´ ≤”≤®

”± ←


∏ Ω

∞ ©”®?¼ ¨œËbŠ «dO¦ ©”®?¼ ¨©”®‚ YOŠ

©”

®‚

©”

®?¼

…—uB�« vKŽ t²ÐU² sJL¹ Íc�« Ê«d²�ô« u¼ w³M�« Ê«d²�ô« ™

¥∂

∑ ” ¨

∂ ´ ”

∑ ≠ ” ”¥ ←

błË√ ∫©∏® ‰U¦�

∂ ´ ¥

∑ ≠ ¥

Ω

∂ ´ ”

∑ ≠ ” ”¥ ←


≥

±

≥

≠Ω

±∞

≥ ≠

Ω

± ” ¨≤ ´ ”≥ ≠

≤

”

± ≠ ” ”± ←

błË√ ∫©π® ‰U¦�

ÆÎ«dH� ÍËUð ± ” U�bMŽ ÂUIL�« W¹UN½Ë ¨w³½ Ê«d²�«

≤ ´ ”≥ ≠ ≤”

± ≠ ” Ê«d²�ô«

dH�

dH� Ω

≤ ´ ± ≥ ≠ ≤

±

± ≠ ±

∫vKŽ qB×½ dýU³L�« i¹uF²�« bMŽ l�«u�« w� ÆdýU³L�« i¹uF²�« “u−¹ ô «c�

bOF½ ¨…—uB�« Ác¼ s� hK�²K�Ë Æ…œb×� W−O²½ wDFð ô UN½_ WMOF� dOž …—u� vLð …—uB�« Ác¼Ë

∫«cJ¼ q�«uF�« v�≈ qOK×²�« Â«b�²ÝUÐ W¾�UJ� …—uBÐ Ê«d²�ô« WÐU²

± ” ¨©≤ ≠ ”® ”

± ←

Ω

©≤ ≠ ”®©± ≠ ”®

©± ≠ ”® ”± ←

Ω

≤ ´ ”≥ ≠ ≤”

± ≠ ” ”± ←

±≠ Ω

μ ” ¨”μ ≠

≤

”

≤μ ≠ ≤” ”

μ ←

błË√ ∫©±∞® ‰U¦�

ÆWMOF� dOž …—u� w¼Ë ¨dH�

dH� Ω

μ μ ≠ ≤

μ

≤μ ≠ ≤

μ

∫vKŽ qB×½ dýU³L�« i¹uF²�« bMŽ

”

μ ´ ” ”

μ ←

Ω

©μ ≠ ”® ”

©μ ´ ”®©μ ≠ ”® ”

μ ←

Ω

”μ ≠ ≤”

≤μ ≠ ≤” ”

μ ←

Ê–≈

±

≤

Ω

μ

±∞

Ω

¥∑

©≤ ≠ ≤® qzU?��Ë s¹—U9

∫WO�U²�« U¹UNM�« błËQ� ¥ Ω ©”®?¼

”¥ ←

¨∂ Ω ©”®‚

”¥ ←

X½U «–≈ ±

©©”®?¼≤ ©”®‚® ”

¥ ←

» ¨ ©©”®‚ ≤”

® ”

¥ ←

√

©”®‚≤

©”®?¼≥ ”¥ ←

œ ©©”®≤

?¼ ≠ ©”®≤

‚® ”

¥ ←

?ł

∫WO�U²�« U¹UNM�« s� Îö błË√ ≤

≤”

± ´ ≤”

”∞ ←

» ±≠ ” ¨

”

± ´ ”

”± ←

√

±¨∞ ”¨ ¥ ≠ ”≤ ´

≥

”

” ≠ ≤”

”≤ ←

œ ©μ ´ ”≥ ≠ ≤”≤®

”≤≠ ←

?ł

∫WO�U²�« U¹UNM�« s� Îö błË√ ≥

≤≠ ” ¨ ∂ ≠ ” ≠

≤”

≤ ´ ” ”≤≠ ←

» ± ” ¨

≤

” ≠ ”

” ≠ ±

”± ←

√

≤ ” ¨ ∏ ≠

≥

”

≤ ≠ ”

”≤ ←

œ ±≠ ”¨ ©

±

± ´ ”

≠

≤

”

± ´ ”

®

”±≠ ←

?ł

ø √ WLO� UL� ¨∑ Ω ©≥ ´ ”≤®

”√ ←

Ê√ XLKŽ «–≈ ¥

∫WO�U²�« U¹UNM�« s� Îö błËQ� ≤” Ω ©”®‚ ÊU «–≈ μ

± ”¨ ©±®‚ ≠ ©”®‚

± ≠ ”

”± ←

√

∞ ?¼¨ ©≤®‚ ≠ ©?¼ ´ ≤®‚

?¼

?¼∞ ←

»

¥∏

©Average rate of change of a function® Ê«d² ô« dOGð jÝu²� ≥≠≤

Ê«uŁμ bFÐË ̈÷—_« `DÝ sŽ Â±∞∞ WO�—Ë …dzUÞ ŸUHð—« ÊU «–S� ¨WO�uO�« UMðUOŠ w� W�u�QL�« d¼«uE�« s� dOG²�«

∫wK¹ UL dOG²�« «c¼ V×½Ë ¨WO�—u�« …dzUD�« ŸUHð—« w� ÀbŠ b� Î«dOGð Ê≈ ‰uI½ UM½S� ¨Â±≤∞ UNŽUHð—« `³�√

‰Ë_« ŸUHð—ô« ≠ w½U¦�« ŸUHð—ô« Ω ŸUHð—ô« w� dOG²�« —«bI�

±∞∞ ≠ ±≤∞ Ω

ÆÂ ≤∞ Ω

Æ …dzUD�« WdŠ s� Ê«uŁμ ‰öš Î«d²� ≤∞ U¼—«bI� ŸUHð—ô« w� …œU¹“ „UM¼ Ê√ Í√

WŽU�«Ør∑μ WŽdÐ dOð X×³�√ sO²IO�œ bFÐË ¨WŽU�«Ør∏∞ WŽdÐ U� WE×� w� dOð …—UOÝ X½U «–≈Ë

∫wK¹ UL dOG²�« «c¼ V×½Ë …—UO�« WŽdÝ w� ÀbŠ b� Î«dOGð Ê≈ ÎUC¹√ ‰uI½ UM½S�

v�Ë_« WŽd�« ≠ WO½U¦�« WŽd�« Ω WŽd�« w� dOG²�« —«bI�

∏∞ ≠ ∑μ Ω

ÆWŽU�«Ørμ≠ Ω

Æ…—UO�« WdŠ s� sO²IO�œ ‰öš WŽU�«Ørμ Á—«bI� WŽd�« w� ÎU½UBI½ „UM¼ Ê√ Í√

” w� dOG²�« sŽ Àb×²½ Ê√ wFO³D�« sL� ¨’ ¨” s¹dOG²L�« sOÐ W�öŽ ©”®‚ Ω ’ Ê«d²�ô« ÊU UL�Ë

Æs¹dOG²�« s¹c¼ sOÐ W�öF�« ”—b½Ë ’ w� dþUML�« dOG²�«Ë

∫n¹dFð

©±

”®‚ Ω ±

’ s� ’ dOGð p�c� ÎUF³ðË ¨ ≤

” v�≈ ±

” s� ” dOGðË ¨ÎU½«d²�« ©”®‚ Ω ’ ÊU «–≈

∫UM½S� ©≤

”®‚ Ω ≤

’ v�≈

Æ©” U²�œ √dI¹Ë® ¨” e�d�UÐ t� e�d½Ë ¨” w� dOG²�« ©±

” ≠ ≤

”® —«bIL�« wL½ √

e�d½Ë ¨Ê«d²�ô« WLO� w� dOG²�« Ë√ ¨’ w� dOG²�« ©±

”®‚ ≠ ©≤

”®‚ Ω ±

’ ≠ ≤

’ —«bIL�« wL½ »

Æ©’ U²�œ √dI¹Ë® ’ e�d�UÐ t�

dOG²ð U�bMŽ ©”®‚ Ê«d²�ô« dOGð jÝu²�

©±

”®‚ ≠ ©≤

”®‚

±

” ≠ ≤

”

Ω±

’ ≠ ≤

’

±

” ≠ ≤

”

Ω

’

”

dJ�« wL½ ?ł

Æ≤

” v�≈ ±

” s� ”

¥π

©”®‚ Ω ’ Ê«d²�ô« vM×M� —ËU−L�« ©∑≠≤® qJA�« sO³¹

ÆtOKŽ sO²F�«u�« ©≤

’ ¨≤

”®» ¨©±

’¨±

”®√ sO²DIM�«Ë

∫ÊuJ¹ WOKOK×²�« WÝbMN�« w� UMðU�uKF� s�

±

’ ≠ ≤

’

±

” ≠ ≤

” Ω »√ rOI²L�« qO�

dOG²ð U�bMŽ ©”®‚ Ω ’ Ê«d²�ô« dOGð jÝu²�

lÞUI�« rOI²L�« qO� ÍËU¹ ≤

” v�≈ ±

” s� ”

Æ©≤

’ ¨≤

”®» ¨©±

’¨±

”®√ sO²DIM�« bMŽ Ê«d²�ô« vM×ML�

∫ÂUŽ tłuÐ

Ê«d²�ô« vM×ML� lÞUI�« rOI²L�« qO� q¦L¹ ©”®‚ Ω’ Ê«d²�ö�

’Δ”Δ

dOG²�« jÝu²�

Æ©≤

’¨≤

”®¨©±

’¨±

”® sO²DIM�« bMŽ

∫błËQ� ¥ Ω ≤

” v�≈ ≤ Ω ±

” s� ” dOGðË ¨ ” ¨≤ ≠ ”≤ Ω ©”®‚ Ω ’ ÊU «–≈ ∫©±® ‰U¦�

’Δ”Δ

?ł ’Δ » ”Δ √

±

” ≠ ≤

” Ω ”Δ √

≤ ≠ ¥ Ω

≤ Ω

±

’ ≠ ≤

’ Ω ’Δ »

©±

”®‚ ≠ ©≤

”®‚ Ω

©≤ ≠ ≤ ≤®≠©≤ ≠ ¥ ≤® Ω

≤ ≠ ∂ Ω

¥ Ω

≤ Ω

¥

≤

Ω

’Δ ”Δ ?ł

Æ—ËU−L�« ©∏≠≤® qJA�« kŠô

©∑≠≤® qJý

±

”≤

”

≤

’

’

”

’

©≤

’¨≤

”®»

©±

’¨±

”®√

”±

’ ?ł

©∏≠≤® qJý

± ≤”

’

©≤¨≤®

©∂¨¥®

”Δ

’Δ

μ∞

błËQ� μ Ω ≤

” v�≈ ≤ Ω ±

” s� ” dOGðË ¨≤

” Ω ©”®‚ Ω’ Ê«d²�ô« ÊU «–≈ ∫©≤® ‰U¦�

Æ

’Δ”Δ

dOG²�« jÝu²�

±

” ≠ ≤

” Ω ”Δ

≤ ≠ μ Ω

≥ Ω

±

’ ≠ ≤

’ Ω ’Δ

©±

”®‚ ≠ ©≤

”®‚

Ω

©≤®‚ ≠ ©μ®‚ Ω

¥ ≠ ≤μ Ω

≤± Ω

≤±

≥

Ω

’Δ”Δ

∑ Ω

sO²DIM�UÐ dL¹ Íc�« ©”®‚ Ω ’ Ê«d²�ô« vM×M� —ËU−L�« ©π≠≤® qJA�« q¦L¹ ∫©≥® ‰U¦�

ø©”®‚ Ê«d²�ô« vM×ML� lÞUI�« »√ rOI²L�« qO� U� Æ©μ¨≤®» ¨©≤¨±≠®√

’Δ”Δ Ω »√ lÞUI�« rOI²L�« qO�

±

’ ≠ ≤

’

±

” ≠ ≤

” Ω

≤ ≠ μ

©±≠® ≠ ≤

Ω

± Ω

≥

≥

Ω

©π≠≤® qJý

± ≤±≠≤≠”

≤

μ

’

©≤¨±≠®√

©μ¨≤®»

”Δ

’Δ

μ±

rÝ≥,± v�≈ rÝ≥ s� lKC�« ‰uÞ dOGð «–S� ÆtKJAÐ ÎUEH²×� vI³¹ YO×Ð VFJ� œbL²¹ ∫©¥® ‰U¦�

ÆVFJL�« r−Š w� dOG²�« » ÆlKC�« ‰uÞ w� dOG²�« √ ∫błËQ�

ÆVFJL�« r−Š w� dOG²�« jÝu²� ?ł

≥

‰ Ω ©‰®‚ Ω Õ

Ê√ Í√ ¨©‰® tFK{ ‰uÞ w� Ê«d²�« ©Õ

® VFJL�« r−Š Ê√ rKF½

rÝ∞,± Ω ≥ ≠ ≥,± Ω ±

‰ ≠ ≤

‰ Ω ©‰ ® lKC�« ‰uÞ w� dOG²�« √

©≥®‚ ≠ ©≥,±®‚ Ω ±

Õ ≠

≤

Õ Ω ©

Õ® VFJL�« r−Š w� dOG²�« »

≥

©≥® ≠ ≥

©≥,±® Ω

≥

rÝ≤,∑π± Ω ≤∑ ≠ ≤π,∑π± Ω

≤∑,π± Ω

≤,∑π±

∞,± Ω

ÕΔ‰Δ Ω VFJL�« r−Š w� dOG²�« jÝu²� ?ł

≤≠ Ω ±

” s� ” dOG²ð U�bMŽ Ê«d²�ô« dOGð jÝu²� ÊU «–≈ ÆÎU½«d²�« ©”®‚ Ω ’ sJO� ∫©μ® ‰U¦�

∫błËQ� ¨¥ u¼ ≥ Ω ≤

” v�≈

±∞ Ω ©≤≠®‚ ÊQÐ ÎULKŽ ©≥®‚ » Æ’ w� dOG²�« √

©≤≠® ≠ ≥ Ω ±

”≠≤

”Ω” Ω ” w� dOG²�« √

μ Ω

’Δ”Δ Ω dOG²�« jÝu²�

’Δμ

Ω ¥

≤∞ Ω μ ¥ Ω ’Δ

±

’ ≠ ≤

’ Ω ’Δ »

©≤≠®‚ ≠ ©≥®‚ Ω

±∞ ≠ ©≥®‚ Ω ≤∞

≥∞ Ω ±∞ ´ ≤∞ Ω ©≥®‚

μ≤

∫©WDÝu²*« WŽd�«® dOG²« jÝu²� vKŽ oO³Dð

jš vKŽ ©Ë® W²ÐUŁ WDI½ sŽ ©·® ÁbFÐ Ê≈ YO×Ð ©±∞≠≤® qJA�« w� UL rOI²� jš w� rł —UÝ «–≈

s� ©±

·® bFÐ vKŽ ÊuJ¹ ©±

Ê® s�“ bFÐ r−�« ÊS� ¨Wd×�« s�“ Ê YOŠ ¨©Ê®‚ Ω · Ê«d²�ôUÐ œb×¹ Wd×�«

Æ©Ë® s� ≤

· bFÐ vKŽ ÊuJ¹

©≤

Ê® s�“ bFÐË ¨©Ë®

±

Ê ≠ ≤

Ê Ω Ê Ω s�e�« w� dOG²�«

» √ W�UL�« Ω ±

· ≠ ≤

· Ω · ΩW�UL�« w� dþUML�« dOG²�«

r−K� WDÝu²L�« WŽd�« rÝ« tOKŽ oKD¹ U� u¼Ë

·ΔÊΔ Ωs�eK� W³M�UÐ W�UL�« dOGð jÝu²�

Æ≤

Ê ¨±

Ê sOM�e�« sOÐ

sŽ —U²�_UÐ r−�« bFÐ · YOŠ Êμ ´ ≤

Ê Ω · …bŽUI�« o�Ë rOI²� jš w� rł dO¹ ∫©∂® ‰U¦�

∫błË√ ¨WO½UŁ Ê bFÐ Wd×�« jš vKŽ ©Ë® W²ÐUŁ WDI½

ÆÊ«uŁ ≥ Ω Ê U�bMŽ ©Ë® sŽ r−�« bFÐ √

ÆÊ«uŁ μ Ω Ê U�bMŽ ©Ë® sŽ r−�« bFÐ »

Æμ Ω ≤

Ê ¨≥ Ω ±

Ê sOÐ r−K� WDÝu²L�« WŽd�« ?ł

∫ÊuJ¹ W�UL�« Ê«d²�« …bŽU� w� ≥ Ω Ê i¹uF²Ð √

≥ μ ´ ≥ ≥ Ω ·

ÆÊ«uŁ ≥ bFÐ ©Ë® sŽ r−�« bFÐ Î«d²� ≤¥ Ω

∫ÊuJ¹ W�UL�« Ê«d²�« …bŽU� w� μ Ω Ê i¹uF²ÐË »

μ μ ´ μ μ Ω ·

ÆÊ«uŁ μ bFÐ ©Ë® sŽ r−�« bFÐ Î«d²� μ∞ Ω

·ΔÊΔ Ω r−K� WDÝu²L�« WŽd�« ?ł

≤¥ ≠ μ∞

≥ ≠ μ

Ω

≤∂

≤

Ω

ÀØÂ±≥ Ω

©±∞≠≤® qJý

»√

Ë

±·

≤·

·

´

μ≥

©≠≥ ≤® qzU?��Ë s¹—U9

∫WO�U²�« ôU×�« s� Ìq w� ” WLO� U� ±

Æ≥,≤ Ω ≤

” v�≈ ≤ Ω ±

” s� ” dOG²ð U�bMŽ √

± Ω ≤

” v�≈ ±,∂ Ω ±

” s� ” dOG²ð U�bMŽ »

∫WO�U²�« ôU×�« s� Ìq w� ≤

” WLO� U� ≤

∂ Ω ” ¨ ¥ Ω ±

” √

∞,μ Ω ” ¨ ≤≠ Ω ±

” »

∫błËQ� ¨≥ Ω ≤

” v�≈ ≤ Ω ±

” s� ” dOGðË ± ´ ” ≠ ≤

” Ω ©”®‚ Ω ’ X½U «–≈ ≥

’Δ”Δ

?ł ’ » ” √

Æ» √ lÞUI�« rOI²L�« qO� błË√ Æ©”®‚ Ω’ Ê«d²�ô« vM×M� vKŽ ©±∞ ¨ ≥®» ¨ ©μ ¨ ≤≠®√ ÊU²DIM�« lIð ¥

WO½UŁ ©Ê® bFÐ Wd×�« jš vKŽ©Ë® W²ÐUŁ WDI½ sŽ —U²�_UÐ ©·® ÁbFÐ Ê≈ YO×Ð rOI²� jš w� rł dO¹ μ

ÆÊ∂ ≠ ≤

Ê≤ Ω · …bŽUI�UÐ vDF¹

ÆWd×�« ¡bÐ s� ÌÊ«uŁ μ —Ëd� bFÐ Ë sŽ r−�« bFÐ błË√ √

ÆWd×�« ¡bÐ s� ÌÊ«uŁ ∑ —Ëd� bFÐ Ë sŽ r−�« bFÐ błË√ »

Æ∑ Ω ≤

Ê ¨μ Ω ±

Ê sOM�e�« sOÐ r−K� WDÝu²L�« WŽd�« błË√ ?ł

W×OHB�« WŠU� w� dOG²�« jÝu²� błË√ ÆUNKJAÐ WEH²×� qEð YO×Ð qJA�« WFÐd� W×OH� œbL²ð ∂

ÆrÝ μ,± v�≈ rÝμ s� lKC�« ‰uÞ dOG²¹ U�bMŽ UNFK{ ‰uD� W³M�UÐ

∫Ê√ sO³� ¨?¼ ´ ≥ Ω ≤

” v�≈ ≥ Ω ±

” s� ” dOGðË ¨ ” ¨¥ ´ ”≤ Ω ©”®‚ ÊU «–≈ ∑

≤ Ω Ê«d²�ô« dOGð jÝu²�

μ¥

First Derivative ©dOG²« ‰bF�® Ê«d² ö vË_« WI²A*« ¥≠≤

«c¼ w� ”—bMÝ Æ≤

” v�≈ ±

” s� ” dOG²ð U�bMŽ ©”®‚ Ω’ Ê«d²�ö� dOG²�« jÝu²� oÐU�« bM³�« w� UMÝ—œ

Æ

’Δ”Δ ”

∞←

”—b½ Ê√ b¹d½ Í√ ±

” s� ≤

” »d²Ið U�bMŽ dOG²�« jÝu²� bM³�«

Ë√® Ê«d²�ö� v�Ë_« WI²AL�« vLðË ¨q{UH²�« rKŽ w� wOzd�« Ê«uMF�« w¼ © błË Ê≈® W¹UNM�« Ác¼ Ê≈

ÆWIŠö�« œuM³�« w� UNCFÐ ·dF²MÝ WLNL�« UIO³D²�« s� dO¦ UN�Ë ¨©Ê«d²�ô« dOGð ‰bF�

∫błËQ� ¨≤

” Ω ©”®‚ Ω ’ Ê«d²�ô« ÊU «–≈ ∫©±® ‰U¦�

Æ¥ Ω ≤

” v�≈ ≤ Ω ±

” s� ” dOG²ð U�bMŽ Ê«d²�ô« dOGð jÝu²� √

Æ”Δ ´ ≤ Ω ≤

” v�≈ ≤ Ω ±

” s� ” dOG²ð U�bMŽ Ê«d²�ô« dOGð jÝu²� »

∞ ”Δ U�bMŽ dOG²�« jÝu²� W¹UN½ ?ł

¥ Ω ©≤®‚ Ω ©±

”®‚ Ω ±

’ √

±∂ Ω ©¥®‚ Ω ©≤

”®‚ Ω ≤

’

≤ Ω ≤ ≠ ¥ Ω ±

” ≠ ≤

” Ω

”Δ

±≤ Ω ¥ ≠±∂ Ω ±

’ ≠ ≤

’ Ω

’Δ

∂ Ω

±≤

≤

Ω

’Δ”Δ Ω Ê«d²�ô« dOGð jÝu²�

¥ Ω ©≤®‚ Ω ©±

”®‚ Ω ±

’ »

≤

©”Δ ´ ≤® Ω ©”Δ ´ ≤®‚ Ω ©≤

”®‚ Ω ≤

’

¥ ≠ ≤

©”Δ ´ ≤® Ω ±

’ ≠ ≤

’ Ω

’Δ

¥ ≠ ≤

©”Δ® ´ ”Δ¥ ´ ¥ Ω

≤

©”Δ® ´ ”Δ¥ Ω

’Δ”Δ Ω Ê«d²�ô« dOGð jÝu²�

©”Δ ´ ¥® ”Δ”Δ Ω

≤

©”Δ® ´ ”Δ¥

”Δ Ω

∞ ”Δ ¨”Δ ´ ¥ Ω

¥ Ω ©”Δ ´ ¥® ”

∞←

Ω

’Δ”Δ ”

∞←

Ω dOG²�« jÝu²� W¹UN½ ?ł

μμ

≤ Ω ” bMŽ ≤

” Ω ©”®‚ Ê«d²�ö� v�Ë_« WI²AL�« ¥ Ω

’Δ”Δ ”

∞←

Í√ W¹UNM�« Ác¼ wL½

Æ©≤ Ω ” bMŽ Ê«d²�ô« dOGð ‰bF� Ë√®

e�d¹Ë ¨t�U−� w� ±

” Ω ” bMŽ ©”®‚ Ω ’ ©Ê«d²�ô« dOGð ‰bF�® Ê«d²�ö� v�Ë_« WI²AL�«

∫«cJ¼ ·dFÔð ¨©±

”® Ó‚ e�d�UÐ UN�

Æ©W¹UNM�« œułË ◊dAÐ®

©±

”®‚ ≠ ©”Δ ´ ±

”®‚

”Δ ”∞←

Ω ©±

”® Ó‚

∫n¹dFð

±

” Ω ”

’œ

”œ

Ë√

±

” Ω ”

Ó’ e�d�UÐ ÎUC¹√ ±

” bMŽ ©”®‚ Ê«d²�ô« WI²AL� e�d¹ √ ∫ UEŠö�

WK�UF� q�UF¹ ô …bŠ«Ë …bŠË

’œ

”œ

e�d�«® Æ ±

” Ω ” bMŽ sOÝ ‰«œ œU� ‰«œ ∫√dIðË

Æ©ÂUI�Ë jÐ s� d

∫ÊuJ²� ÁöŽ√ n¹dF²�« w� ?¼ Ω ”Δ d³²FMÝ ¨jO³²�« qł√ s� »

Æ

©±

”®‚ ≠ ©?¼ ´ ±

”®‚

?¼ ?¼∞←

Ω ©±

”® Ó‚

©≤

’ ¨≤

”®» ¨©±

’ ¨±

”®√ sO²DIM�«Ë ©”®‚ Ω ’ Ê«d²�ô« vM×M� —ËU−L�« ©±±≠≤® qJA�« sO³¹

vKŽ W²ÐUŁ ©±

’ ¨±

”® √ WDIM�« XOIÐ «–S� ªtOKŽ sO²F�«u�«

vM×ML�« vKŽ ÎUO−¹—bð » WDIM�« Xd×ðË ¨vM×ML�«

ÆÆÆ¨ Ó» √ q¦� …b¹bł ÎUŽU{Ë√ c�²¹ » √ lÞUI�« ÊS� ¨ √ ÁU−ðUÐ

‰ËR¹ czbMŽË ¨ √ bMŽ vM×MLK� ÎUÝUL� `³B¹ W¹UNM�« w�Ë

Æ√ bMŽ ”ULL�« qO� v�≈ lÞUI�« qO�

”ULL�« qO� q¦Lð

’œ

”œ

Ω

’Δ”Δ ”

∞←

Ê√ Í√

Æ√ bMŽ Ê«d²�ô« vM×ML�

∫ÂUŽ tłuÐ

”ULL�« qO� q¦Lð Ê«d²�ô« vM×M� vKŽ WDI½ bMŽ ©”®‚ Ω ’ Ê«d²�ö�

’œ

”œ

v�Ë_« WI²AL�«

ÆWDIM�« pKð bMŽ Ê«d²�ô« vM×ML�

©±

’¨±

”®√

±

”≤

”

’

”

©≤

’¨≤

”®»

”UL�

lÞU�

lÞU�

©±±≠≤® qJý

Ó»

μ∂

ÆWI²AL�« n¹dFð Â«b�²ÝUÐ ©±® Ó‚ błËQ� ¥ ≠ ”≥ Ω ©”® ‚ ÊU «–≈ ∫©≤® ‰U¦�

©±®‚ ≠ ©?¼ ´ ±®‚

?¼ ?¼∞←

Ω ©±® Ó‚

©¥ ≠± ≥® ≠ ©¥ ≠ ©?¼ ´ ±®≥®

?¼ ?¼∞←

Ω

± ´ ¥ ≠ ?¼≥ ´ ≥

?¼

?¼∞←

Ω

?¼≥

?¼

?¼∞←

Ω

≥

?¼∞←

Ω

≥ Ω

ÆWI²AL�« n¹dFð Â«b�²ÝUÐ ¨∞ Ω ” bMŽ ≥” Ω ©”®‚ Ê«d²�ö� v�Ë_« WI²AL�« błË√ ∫©≥® ‰U¦�

©∞®‚ ≠ ©?¼ ´ ∞®‚

?¼ ?¼∞←

Ω ©∞® Ó‚

©∞®‚ ≠ ©?¼®‚

?¼ ?¼∞←

Ω

∞ ≠ ≥

?¼

?¼

?¼∞←

Ω

≤

?¼

?¼∞←

Ω

dH� Ω

μ∑

Æ

©≥®‚ ≠ ©?¼ ´ ≥®‚

?¼ ?¼∞←

błËQ� ≤ Ω ©≥® Ó‚ ¨±∞Ω ©≥®‚ ÊU «–≈ ∫©¥® ‰U¦�

©v�Ë_« WI²AL�« n¹dFð® ©≥® Ó‚ Ω

©≥®‚ ≠ ©?¼ ´ ≥®‚

?¼

?¼∞←

≤ Ω

?¼ ´μ Ω ≤

” v�≈ μ Ω ±

” s� ” dOG²ð U�bMŽ ©”®‚ Ω ’ Ê«d²�ô« dOGð jÝu²� ÊU «–≈ ∫©μ® ‰U¦�

Æ©μ® Ó‚ błËQ� ¨

≤

?¼ ´ ?¼±≥

?¼

ÍËU¹

≤

?¼ ´ ?¼±≥

?¼ Ω

©μ®‚ ≠ ©?¼ ´ μ®‚

?¼ Ω dOG²�« jÝu²�

©μ®‚ ≠ ©?¼ ´ μ®‚

?¼

?¼∞←

Ω ©μ® Ó‚

©?¼ ´ ±≥®?¼

?¼

?¼∞←

Ω

≤

?¼ ´ ?¼±≥

?¼

?¼∞←

Ω

±≥ Ω © ?¼ ´±≥®

?¼∞←

Ω

©¥ ≠ ≤® qzU?��Ë s¹—U9

∫W�UŠ q w� …UDFL�« WDIM�« bMŽ ©”® Ó‚ błË√ ¨WDI½ bMŽ WI²AL�« n¹dFð Â«b�²ÝUÐ ±

≤ Ω ”¨ ≤ ≠ ”μ Ω ©”®‚ » ≤≠ Ω ” ¨ ±∞ Ω ©”®‚ √

≥ Ω ” ¨ ≤

”≤ Ω ©”®‚ ?ł

∫błËQ� ¨ ∂ Ω ©¥® Ó‚ ÊU «–≈ ≤

©¥®‚ ≠ ©?¼ ´ ¥®‚

?¼≤ ?¼∞←

»

©¥®‚ ≠ ©?¼ ´ ¥®‚

?¼ ?¼∞←

√

?¼ ´≤ Ω ≤

” v�≈ ≤ Ω ±

” s� ” dOG²ð U�bMŽ ©”®‚ Ω ’ Ê«d²�ô« dOGð jÝu²� ÊU «–≈ ≥

Æ ©≤® Ó‚ WLO� błËQ�

± ≠

©?¼ ´ ≤®≤

ÍËU¹

μ∏

(Differentiation Rules) ‚UI²ýô« bŽ«u μ≠≤

»UŠ s� ‰UI²½ö�Ë ¨‰«RÝ q qŠ w� n¹dF²�« Â«b�²Ý« v�≈ ¡u−K�« ÂbŽË v�Ë_« WI²AL�« »UŠ qON²�

œU−¹ù W�UF�« bŽ«uI�« bM³�« «c¼ w� ·dF²MÝ ¨t�U−� w� WDI½ W¹√ v�≈ Ê«d²�ô« ‰U−� w� WMOF� WDI½ bMŽ WI²AL�«

Ë√ »dC�« Ë√ ÕdD�« Ë√ lL−�« UOKLFÐ U½«d²�ô« Ác¼ sŽ Z²M¹ U�Ë WOÝUÝ_« U½«d²�ô« iF³� v�Ë_« WI²AL�«

Æ‚UI²ýö� WKÐU� U½«d²�« w¼ UNÝ—b½ w²�« U½«d²�ô« lOLł ÊQÐ ÎULKŽ ¨WLI�«

Æ©”® Ó‚ błËQ� ” ¨¥ Ω ©”®‚ ÊU «–≈ ∫©±® ‰U¦�

Æ” rO� lOL−� ¥ WLOI�« c�²¹ XÐUŁ Ê«d²�« ©”®‚ Ê«d²�ô«

©”

®‚ ≠ ©?¼ ´ ”

®‚

?¼

?¼∞←

Ω ©”® Ó‚

¥ ≠ ¥

?¼

?¼∞←

Ω

∞

?¼

?¼∞←

Ω

∞

?¼∞←

Ω

∞ Ω

∫ÂUŽ tłuÐ

ÆdH� Ω ©”® Ó‚ ÊS� ¨wIOIŠ œbŽ ?ł ¨ ?ł Ω ©”®‚ ÊU «–≈ ∫©±® …bŽU�

ÆXÐU¦�« ÊU ULN� Î«dH� ÍËUð XÐU¦�« Ê«d²�ô« WI²A� Ê√ Í√

Æ©”® Ó‚ błËQ� ” ¨≤” Ω ©”®‚ X½U «–≈ ∫©≤® ‰U¦�

©”

®‚ ≠ ©?¼ ´ ”

®‚

?¼

?¼∞←

Ω ©”® Ó‚

≤

” ≠

≤

©?¼ ´ ”

®

?¼

?¼∞←

Ω

μπ

≤

”

≠ ≤

?¼ ´ ”

?¼≤ ´

≤

”

?¼

?¼∞←

Ω

©?¼ ´ ”

≤®?¼

?¼

?¼∞←

Ω

©?¼ ´ ”≤®

?¼∞←

Ω

”≤ Ω

±

”≤ Ω ”≤ Ω ©”® Ó‚ Ê√Ë ≤

” Ω ©”®‚ Ê√ kŠô

∫ÂUŽ tłuÐ

∫ÊS� Ê” Ω ©”®‚ ÊU «–≈ ∫©≤® …bŽU�

ÆwIOIŠ œbŽ Í√ Ê

¨ ±≠Ê

” Ê Ω ©”® Ó‚

∫WOðü« ôU×�« s� Ìq w�

’œ

”œ

v�Ë_« WI²AL�« błË√ ∫©≥® ‰U¦�

∞ ” ¨ ≤≠

” Ω ’ » μ

” Ω ’ √

∞ ” ¨ ” Ω ’ œ ∞ ” ¨

±

≥” Ω’ ?ł

μ

” Ω ’ √

¥

”μ Ω ±≠μ

”μ Ω

’œ

”œ

∞ ” ¨ ≤≠

” Ω ’ »

≥≠

”≤≠ Ω ±≠≤≠

” ≤≠ Ω

’œ

”œ

≤≠

≥” Ω

∞ ” ¨ ≥≠

” Ω

±

≥” Ω ’ ?ł

¥≠

”≥≠ Ω ±≠≥≠

” ≥≠ Ω

’œ

”œ

≥≠

¥” Ω

∂∞

∞ ” ¨ ” Ω ’ œ

±

≤

” Ω

±

≤

≠

”

±

≤

Ω

± ≠

±

≤

”

±

≤

Ω

’œ

”œ

∫ÊU «–≈ ∫©≥® …bŽU�

©lL−�« …bŽU�® ©”®≤

Ó‚ ´ ©”®±

Ó‚ Ω ©”® Ó‚ ÊS� ©”®≤

‚ ´ ©”®±

‚ Ω ©”®‚ √

©ÕdD�« …bŽU�® ©”®≤

Ó‚ ≠ ©”®±

Ó‚ Ω ©”® Ó?¼ ÊS� ©”®

≤

‚ ≠ ©”®±

‚ Ω ©”®?¼ »

ÆsO½«d²�« s� d¦√ qLA²� lL−�« …bŽU� rOLFð sJL¹Ë

Æ©≤® Ó‚ błË√ rŁ ©”® Ó‚ błËQ�

¨≤

” ´ ≥

” Ω ©”®‚ ÊU «–≈ ∫©¥® ‰U¦�

”≤ ´ ≤”≥ Ω ©”® Ó‚

±∂ Ω ¥ ´ ±≤ Ω ≤ ≤ ´ ≤

≤ ≥ Ω ©≤® Ó‚

± Ω ” bMŽ

’œ

”œ

błËQ� ∂ ´ ” ≠ ¥

” Ω ’ X½U «–≈ ∫©μ® ‰U¦�

± ≠ ≥

”¥ Ω

’œ

”œ

≥ Ω ± ≠ ≥

± ¥ Ω

± Ω ”

’œ

”œ

©”® Ó‚ √ Ω ©”® Ó?¼ ÊS� ¨wIOIŠ œbŽ Í√ √ ¨ ©”®‚ √ Ω ©”®?¼ Ê«d²�ô« ÊU «–≈ ∫©¥® …bŽU�

Ê«d²�ô« WI²A� w� XÐU¦�« Ω Ê«d²�« w� XÐUŁ WI²A� Ê√ Í√

∂±

©±≠® Ó‚ błËQ� ¨≥

”μ Ω ©”®‚ ÊU «–≈ ∫©∂® ‰U¦�

≥

”μ Ω ©”®‚

≤

”±μ Ω ≤

”≥ μ Ω ©”® Ó‚

≤

©±≠® ±μ Ω ©±≠® Ó‚

± ±μ Ω

±μ Ω

©≤® Ó‚ błËQ�¨± ´ ”∂ ≠ ≤

”¥ ´ ≥

”≤ Ω ©”®‚ ÊU «–≈ ∫©∑®‰U¦�

∂ ≠ ”≤ ¥ ´ ≤

”≥ ≤ Ω ©”® Ó‚

∂ ≠ ”∏ ´ ≤

”∂ Ω

∂ ≠ ≤ ∏ ´≤

≤ ∂ Ω ©≤® Ó‚

≥¥ Ω ∂ ≠ ±∂ ´ ≤¥ Ω

U³¹—bð

μ ≠ ” Ω’ » ≤ Ω’ √ ∫wK¹ ULO�

’œ

”œ

błË√ ±

±∞ ´ ”¥ ´ ≥

”≤ Ω ’ œ ∞ ” ¨

±

∂

”

Ω ’ ?ł

∞ ”¨ ” ´ ” Ω ’

Ë ∞ ”¨

≤

”

≤

´

≤

”

Ω ’ ?¼

± ´” ´ ≤

” Ω ©”®‚ ÊQÐ ÎULKŽ ©≤® Ó‚ błË√ ≤

∫błËQ� ≤≠ Ω ©≤® Ó?¼ ¨≥ Ω ©≤® Ó‚ ÊU «–≈ ≥

©”®?¼ ´ ©”®‚ Ω ©”®‰ YOŠ ©≤® Ó‰ √

©”®?¼¥ ≠ ©”®‚ Ω ©”®Â

YOŠ ©≤® ÓÂ √

≤ Ω Ê bMŽ ·œ

Êœ

błËQ� ¨ ∑ ´ Ê∂ ´

≥

Ê

±

≥

≠ ¥

Ê

±

¥

Ω · X½U «–≈ ¥

Æ©”® Ó‚ błËQ� ¨©± ≠ ≤

”®©± ´ ”® Ω ©”®‚ ÊU «–≈ μ

∂≤

∫ÊS� ©”®?¼ ©”®‚ Ω ©”®‰ Ê«d²�ô« ÊU «–≈ ∫©μ® …bŽU�

©»dC�« …bŽU�® ©”®?¼ ©”® Ó‚ ´ ©”® Ó?¼ ©”®‚ Ω ©”® Ó‰

Æ‰Ë_« WI²A� w½U¦�« ´ w½U¦�« WI²A� ‰Ë_« Ω sO½«d²�« »d{ q�UŠ WI²A� Ê√ Í√

Æ

’œ

”œ

błËQ� ¨©± ≠ ”®©± ´ ”® Ω ’ X½U «–≈ ∫©∏®‰U¦�

©± ≠ ”®©± ´ ”® Ω’

± ©± ≠ ”® ´ ± ©± ´ ”® Ω

’œ

”œ

± ≠ ” ´ ± ´ ” Ω

”≤ Ω

± ≠ ≤

” Ω ’ ÊuJð dýU³L�« »dC�UÐ t½√ kŠô

ÊUIÐUD²� ÊUÐ«u−�«Ë ¨”≤ Ω

’œ

”œ

± Ω ” bMŽ

’œ

”œ

błËQ� ¨©≥ ´ ”≤®©± ≠ ” ´ ≤

”® Ω ’ X½U «–≈ ∫©π®‰U¦�

©≥ ´ ”≤®©± ≠ ” ´ ≤

”® Ω ’

©± ´ ”≤®©≥ ´ ”≤® ´ ≤ ©± ≠ ” ´ ≤

”® Ω

’œ

”œ

©± ´ ≤®©≥ ´ ≤® ´ ≤ ©± ≠ ± ´ ±® Ω

± Ω ”

’œ

”œ

±∑ Ω ±μ ´ ≤ Ω

∫ÊS� ∞ ©”®?¼ ¨

©”®‚

©”®?¼

Ω ©”®Â

Ê«d²�ô« ÊU «–≈ ∫©∂® …bŽU�

©WLI�« …bŽU�® ∞ ©”®?¼ ¨

©”® Ó?¼ ©”®‚ ≠ ©”® Ó‚ ©”®?¼

≤

©©”®?¼®

Ω ©”®ÓÂ

ÂUIL�« WI²A� j³�« ≠ j³�« WI²A� ÂUIL�«

ÂUIL�« lÐd�

Ω sO½«d²�« WL� ZðU½ WI²A� Ê√ Í√

∂≥

Æ©”® Ó‚ błËQ� μ

≤

”¨

± ´ ”≥

μ ≠ ”≤

Ω ©”®‚ ÊU «–≈ ∫©±∞® ‰U¦�

≤ ©± ´ ”≥® ≠ ≥ ©μ ≠ ”≤®

≤

©μ ≠ ”≤®

Ω ©”® Ó‚

≤ ≠ ”∂ ≠ ±μ ≠ ”∂

≤

©μ ≠ ”≤®

Ω

±∑≠

≤

©μ ≠ ”≤®

Ω

Æ≥ Ω ©±® Ó?¼ ¨≤ Ω ©±®?¼ ÊQÐ ÎULKŽ ©±® Ó‚ błËQ� ±≠ ”¨

©”®?¼

± ´ ” Ω ©”®‚ ÊU «–≈ ∫©±±® ‰U¦�

± ©”®?¼ ≠ ©”® Ó?¼ ©± ´ ”®

≤

©± ´ ”®

Ω ©”® Ó‚

©±®?¼ ≠ ©±® Ó?¼ ©± ´ ±®

≤

©≤®

Ω ©±® Ó‚

©±®?¼ ≠ ©±® Ó?¼≤

¥

Ω

≤ ≠ ≥ ≤

¥

Ω

± Ω

¥

¥

Ω

∂¥

©μ ≠ ≤® qzU?��Ë s¹—U9

∫WO�U²�« U½«d²�ô« s� ÌqJ� v�Ë_« WI²AL�« błË√ ±

± ” ¨

± ´ ”

± ≠ ” Ω ©”®„ » ©± ´ ”≥®©± ´

≤”® Ω ©”®‚ √

≤

≥

” ¨

μ ´ ”≤

≤ ≠ ”≥ Ω ©”®

Â œ

≤

©± ´ ”® Ω ©”®‰ ?ł

≥ ´ ”≤ ´ ≤

”√ Ω ©”®‚ Ê«d²�ô« vM×ML� ”ULL�« qO� qF−ð w²�« √ XÐU¦�« WLO� błË√ ≤

Æ ± Ω ” U�bMŽ ∂ ÎU¹ËU�

©±®‚ ≠ ©?¼ ´ ±®‚

?¼

?¼∞ ←

błËQ� ¨¥” Ω ©”®‚ ÊU «–≈ ≥

ÆtOKŽ WF�«u�« ©± ¨≤® WDIM�« bMŽ

”≤

≤ ≠ ”≥

Ω ©”®‚ Ê«d²�ô« vM×ML� ”ULL�« qO� błË√ ¥

∫błË√ ¨± Ω ©≥® Ó?¼ ¨ μ Ω ©≥® Ó‚ ¨ ≥ Ω ©≥®?¼ ¨ ≤≠ Ω ©≥®‚ YO×Ð ÊU½«d²�« ©”®?¼ ¨©”®‚ μ

≥ Ω ” U�bMŽ ©©”®?¼ ©”®‚® Ê«d²�ö� v�Ë_« WI²AL�« √

≥ Ω ” U�bMŽ

©”®‚

©”®?¼

Ê«d²�ö� v�Ë_« WI²AL�« »

≥ Ω ” U�bMŽ ©©”®‚ ≤”® Ê«d²�ö� v�Ë_« WI²AL�« ?ł

≥ Ω ” U�bMŽ

©”®?¼

”

Ê«d²�ö� v�Ë_« WI²AL�« œ

∂μ

WI²A*« vKŽ UIO³Dð ∂≠≤

∫tOKŽ WDI½ bMŽ Ê«d² ô« vM×M* ”UL*« WœUF� ≠ WOÝbM¼ UIO³Dð

WDIM�« bMŽ Ê«d²�ô« vM×ML� ”ULL�« qO� q¦Lð ±

” Ω ” bMŽ ©”®‚ Ω ’ Ê«d²�ö� v�Ë_« WI²AL�« Ê√ ÎUIÐUÝ UMLKŽ

Ê«d²�ô« vM×ML� ”ULL�« W�œUF� œU−¹≈ UMMJL¹ ©±

’ ¨±

”® ”UL²�« WDI½ W�dFLÐË

¨±

” ΩwMO�« UNOŁ«bŠ« w²�«

Æ”ULL�« qO� Â

YOŠ ¨©±

” ≠ ”®Â

Ω ±

’ ≠ ’ ∫ …bŽUI�« VŠ

WF�«u�« ©± ¨±® WDIM�« bMŽ ± ´ ≤” ≠

≥” Ω ’ Ê«d²�ô« vM×ML� ”ULL�« qO� błË√ ∫©±® ‰U¦�

Æ”ULL�« «c¼ W�œUF� błË√ rŁ tOKŽ

± Ω ” U�bMŽ

’œ

”œ

ÍËU¹ ©± ¨±® WDIM�« bMŽ ”ULL�« qO�

Æ”≤ ≠ ≤”≥ Ω

’œ

”œ

sJ�

± Ω ”

’œ

”œ

Ω ©± ¨±® WDIM�« bMŽ ”ULL�« qO�

± ≤ ≠ ≤

± ≥ Ω

± Ω ≤ ≠ ≥ Ω

©±

” ≠ ”®Â

Ω ±

’ ≠ ’ ∫”ULL�« W�œUF�

©± ≠ ”®± Ω

± ≠ ’

± ≠ ” Ω

± ≠ ’

” Ω ’

qO� ÊuJ¹ w²�«Ë μ ´ ”¥ ≠ ≤” Ω ©”®‚ Ω ’ Ê«d²�ô« vM×M� vKŽ WDIM�« błË√ ∫©≤®‰U¦�

Æ”ULL�« «c¼ W�œUF� błË√ rŁ ª≤ ÍËU¹ U¼bMŽ ”ULL�«

≤ Ω

’œ

”œ

Ω ”UL²�« WDI½ bMŽ ”ULL�« qO�

¥ ≠ ”≤ Ω

’œ

”œ

sJ�

≥ Ω ” UNM�Ë ≤ Ω ¥ ≠ ”≤

∂∂

≥ Ω ”UL²�« WDIM� wMO�« wŁ«bŠù«

∫ Ê«d²�ô« …bŽU� w� ≥ Ω ” ÷uF½ ”UL²�« WDIM� ÍœUB�« wŁ«bŠù« œU−¹ùË

μ ´ ≥ ¥ ≠ ≤

≥ Ω ’

Æ≤ Ω

©≤¨≥® WDIM�« w¼ ”UL²�« WDI½

©±

” ≠ ”®Â

Ω ±

’ ≠ ’ ∫ ”ULL�« W�œUF�

©≥ ≠ ”®≤ Ω

≤ ≠ ’

¥ ≠ ”≤ Ω

’

ÆvM×ML�« vKŽ WF�«u�« ©≥≠¨≤® WDIM�« bMŽ

” ´ ±

” ≠ ±

Ω ’ Ê«d²�ô« vM×ML� ”ULL�« W�œUF� błË√ ∫©≥®‰U¦�

©≥≠ ¨≤® WDIM�« w¼ ”UL²�« WDI½

≤ Ω ”

’œ

”œ

Ω ”ULL�« qO�

±≠ ©” ´ ±® ≠ ± ©” ≠ ±®

≤

©” ≠ ±®

Ω

’œ

”œ

sJ�

” ´ ± ´ ” ≠ ±

≤

©” ≠ ±®

Ω

≤

≤

©” ≠ ±®

Ω

≤ Ω ≤

≤

©± ≠®

Ω ≤

≤

©≤ ≠ ±®

Ω

≤ Ω ”

’œ

”œ

©±

” ≠ ”®Â

Ω ±

’ ≠ ’ ∫w¼ ”ULL�« W�œUF�

©≤ ≠ ”®≤ Ω ©≥≠® ≠ ’

¥ ≠ ”≤ Ω ≥ ´ ’

∑ ≠ ”≤ Ω ’

∂∑

©∂ ≤≠® qzU?��Ë s¹—U9

ÆW�UŠ q w� WMO³L�« WDIM�« bMŽ WOðü« U½«d²�ô« UOM×M� s� ÌqJ� ”ULL�« qO� błË√ ±

©± ¨∞® WDIM�« bMŽ ± ´ ” ≠ ≤”≤ ´

≥” Ω ’ √

©≤ ¨ ±® WDIM�« bMŽ ¥

± ´ ”

Ω’ »

©≤ ¨ ¥® WDIM�« bMŽ ” Ω ’ ?ł

w²�« WDIM�« bMŽ ¨μ ≠ ” ≠ ≤

”≥ ≠ ≥” Ω ©”®‚ Ω ’ Ê«d²�ô« vM×ML� ”ULL�« W�œUF� błË√ ≤

≥ Ω wMO�« UNOŁ«bŠ≈

ÆÎUOI�√ ”ULL�« U¼bMŽ ÊuJ¹Ë ¨± ´ ”±≤ ≠ ≤”≥ ≠

≥”≤ Ω ’ vM×ML�« vKŽ WF�«u�« jIM�«ØWDIM�« błË√ ≥

∂∏

©Extreme Values® Ê«d² ö ÈuBI« rOI« ∑≠≤

Ê«d²�ô« vM×M� —ËU−*« ©±≤≠≤®qJA�« q¦ Ô1

bMŽ Ê«d²�ô« WLO� Ê√ kŠö½Æ©”

®‚ Ω ’

jIM�« lOLł bMŽ Ê«d²�ô« WLO� s� d³√ √ WDIM�«

√ WDIMK� ÍœUB�« wŁ«bŠùU� ¨√ WDIMK� …—ËU−*«

Æ…—ËU−*« jIM�« qJ� ÍœUB�« wŁ«bŠô« s� d³√ ?ł√ wÝ√d�« j)UÐ Îö¦2

dG�√ » WDIM�« bMŽ Ê«d²�ô« WLO� Ê√ kŠöð UL ÆÊ«d²�ö� WOK×� vLEŽ WLO� √ bMŽ Ê«d²�ô« WLO� wL½

œ » wÝ√d�« j)UÐ Îö¦2 » WDIMK� ÍœUB�« wŁ«bŠùU� ¨» WDIMK� …—ËU−*« jIM�« lOLł bMŽ Ê«d²�ô« WLO� s�

ÆÊ«d²�ö� WOK×� ÈdG� WLO� » bMŽ Ê«d²�ô« WLO� vLð ¨…—ËU−*« jIM�« lOL' ÍœUB�« wŁ«bŠô« s� dG�√

∫ÂUŽ tłuÐ

∫©?ł®‚ Ê≈ ‰UIÔ¹ t½S� Ê«d²�ô« ‰U−� w� ?ł Ω

” X½UË ÎU½«d²�« ©

”®‚ Ω ’ ÊU «–≈

bMŽ Ê«d²�ô« WLO� ©ÍËUð Ë√® s� d³√ ©?ł®‚ X½U «–≈ Ê«d²�ö� WOK×� vLEŽ WLO� √

Æ?ł ?� …—ËU−*« ” rO� lOLł

lOLł bMŽ Ê«d²�ô« WLO� ©ÍËUð Ë√® s� dG�√ ©?ł®‚ X½U «–≈ Ê«d²�ö� WOK×� ÈdG� WLO� »

Æ?ł ?� …—ËU−*« ” rO�

ÆÊ«d²�ö� WOK×� ÈuB� WLO� Ê«d²�ö� WOK;« ÈdGB�« WLOI�« Ë√ WOK;« vLEF�« WLOI�« vLðË

øt� WOK;« ÈuBI�« rOI�« 5OFð w� Ê«d²�ö� v�Ë_« WI²A*« U½bŽUð nO ∫Êü« ‰«R�«Ë

Æ‚UI²ýö� WKÐUI�« WDO³�« W¹d³'« U½«d²�ô« vKŽ …—uBI� wK¹ ULO� UM²ÐUł≈ ÊuJ²Ý

∫WOK;« vLEF« rOI« ≠ vË_« WU(«

©”®‚ Ω ’ Ê«d²�ô« vM×M� —ËU−*« ©±≥≠≤® qJA�« q¦1

¨WOK×� vLEŽ WLO� WDI½ w¼ » WDI½ Ê√ qJA�« s� kŠö½Ë

øWDIM�« Ác¼ hzUBš w¼ UL�

U¼bMŽ Ê«d²�ö� v�Ë_« WI²A*« Ê√ Í√ wI�√ » WDIM�« bMŽ ”UL*« ©±®

ÆÎ«dH� ÊuJð

«–S� ¨vKŽ« v�≈ bŽU� » WDIM�« q³� Ê«d²�ô« vM×M� ¡eł ©≤®

©±≤≠≤® qJý

?ł œ

’

”

√

»

©”®‚ Ω ’

’

”

wI�√ ”UL�WOK×� vLEŽ WLO�

bŽU� ‰“U½

?ł√

»

©±≥≠≤® qJý

∂π

©±¥≠≤® qJý

”

wI�√ ”UL�

bŽU�‰“U½

WOK×� ÈdG� WLO�

’

»

?ł√

WDI½ W¹√ bMŽ ”UL*« qO� Ê√ Í√ ¨” WLO� …œU¹eÐ œ«œeð ’ WLO� ÊS� » v�≈ √ s� ¡e'« «c¼ vKŽ U½dÝ

ÆW³łu� ÊuJð ¡e'« «c¼ w� WDI½ W¹√ bMŽ Ê«d²�ö� v�Ë_« WI²A*« Ê√ wMF¹ «c¼Ë ¨ÎU³łu� ÊuJ¹ ¡e'« «c¼ vKŽ

WLO� ÊS� ?ł v�≈ » s� ¡e−�« «c¼ vKŽ U½dÝ «–S� ¨qHÝ« v�≈ ‰“U½ » WDIM�« bFÐ Ê«d²�ô« vM×M� ¡eł ©≥®

wMF¹ «c¼Ë ¨ÎU³�UÝ ÊuJ¹ ¡e−�« «c¼ vKŽ WDI½ W¹√ bMŽ ”ULL�« qO� Ê√ Í√ ¨” WLO� …œU¹eÐ hIMð ’

ÆW³�UÝ ÊuJð ¡e−�« «c¼ w� WDI½ W¹√ bMŽ Ê«d²�ö� v�Ë_« WI²AL�« Ê√

WI²AL�« ÊQÐ » WOK×L�« vLEF�« WLOI�« WDI½ eOL²ð Ê–≈

s� WI²AL�« …—Uý≈ w� Î«dOGð „UM¼ Ê√Ë Î«dH� ÊuJð U¼bMŽ

»

©”® Ó‚ …—Uý≈

”

´ ∞´´ ≠≠≠

∫—ËU−L�« `O{u²�« kŠ ô ÆU¼bFÐ W³�UÝ v�≈ » q³� W³łu�

∫WOK;« ÈdGB« rOI« ≠ WO½U¦« WU(«

WOK;« ÈdGB�« WLOI�« WDI½ Ê√ ©±¥≠≤® qJA�« s� kŠö½

U¼bMŽ ”UL*« ÊuJ¹ Ê«d²�ô« vM×M� vKŽ WDI½ UN½QÐ eOL²ð

Ê«d²�ô« vM×M� Ê√Ë Î̈«dH� ÊuJð v�Ë_« WI²A*« Ê√ Í√ ÎUOI�√

WDIM�« bFÐ bŽU� v�≈ WDIM�« q³� ‰“U½ s� t²FO³Þ dOG¹

ÆW³łu� v�≈ W³�UÝ s� dOG²ð v�Ë_« WI²A*« …—Uý≈ Ê√ Í√

∫—ËU−*« `O{u²�« kŠô

»

©”® Ó‚ …—Uý≈

”

≠ ∞≠≠ ´´´

∫ÂUŽ tłuÐ

∫v�Ë_« WI²A*« —U³²š«

∫ÊS� ∞ Ω ©?ł®Ó‚ YO×Ð t�U−� w� WDI½ ?ł X½UË ÎU½«d²�« ©”®‚ ÊU «–≈

ÆU¼bFÐ W³�UÝ v�≈ ?ł q³� W³łu� s� UNð—Uý≈ ©”

®Ó‚ WI²A*« dOž «–≈ WOK×� vLEŽ WLO�©?ł®‚ √

ÆU¼bFÐ W³łu� v�≈ ?ł q³� W³�UÝ s� UNð—Uý≈ ©”

®Ó‚ WI²A*« dOž «–≈ WOK×� ÈdG� WLO� ©?ł® ‚ »

Æ ”

¨μ ≠ ”

∂ ´ ≤”

≠ Ω ©”

®‚ Ê«d²�ö� WOK;« ÈuBI�« rOI�«ØWLOI�« 5Ž ∫©±®‰U¦�

∂ ´ ”≤≠ Ω ©”® Ó‚ v�Ë_« WI²A*« b$ √

∫W&UM�« W�œUF*« q×½Ë Î«dH� Ωv�Ë_« WI²A*« qF$ »

Ê«d²�ô« „uKÝ

Ê«d²�ô« „uKÝ

∑∞

∞ Ω ∂ ´ ”≤≠

∂≠ Ω ”≤≠

≥ Ω ”

∫v�Ë_« WI²A*« …—Uý« Â«b�²ÝUÐ ≥ Ω ”

YOŠ WDIM�« d³²�½ ?ł

ÊuJð Îö¦� ≤ Ω ” bMŽ ¨ ≥ Ω ”

q³�

W³łu� ¨≤ Ω ∂ ´ ≤ × ≤≠ Ω ©≤® Ó‚

ÊuJð Îö¦� ¥ Ω ” bMŽ ¨ ≥ Ω ”

bFÐ

ÆW³�UÝ ¨≤≠ Ω ∂ ´ ¥ × ≤≠ Ω ©¥® Ó‚

Æ≥ Ω ”

—«uł w� ≠ v�≈ ´ s� WI²AL�« …—Uý≈ dOGð Ê–≈

Ác¼Ë ≥ Ω ” bMŽ Ê«d²�ö� WOK×� vLEŽ WLO� błuð Ê–≈

¥ Ω μ ≠ ±∏ ´ π≠ Ω ©≥®‚ w¼ WLOI�«

ÆÊ«d²�ô« vM×M� q¦1 Íc�« ©±μ≠≤® qJA�« kŠô

Æ ”

¨ ≤”

≥ ≠ ≥”

Ω ©”

®‚ Ê«d²�ö� WOK;« ÈuBI�« rOI�«ØWLOI�« 5Ž ∫©≤® ‰U¦�

”∂ ≠

≤”≥ Ω ©

”®Ó‚ √

∞ Ω ©”

®Ó‚ »

∞ Ω ”

∂ ≠ ≤”

≥

∞ Ω ©≤ ≠ ”

®”

≥

≤ ¨ ∞ Ω ”

∫ ∞ Ω ”

d³²�½ ∫ÎôË√ ?ł

±≠ ∂ ≠ ≤

©±≠® ≥ Ω ©±≠®Ó‚ ÊuJð Îö¦� ±≠ Ω ” bMŽ ¨∞ Ω ” q³�

W³łu� ¨π Ω ∂ ´ ± ≥ Ω

± ∂ ≠ ≤

± ≥ Ω ©±®Ó‚ ÊuJð Îö¦� ± Ω ” bMŽ ¨ ∞ Ω ” bFÐ

W³�UÝ ¨ ≥≠ Ω ∂ ≠ ≥ Ω

≠ v�≈ ´ s� v�Ë_« WI²AL�« …—Uý≈ dOGð

∞ Ω ∞ ≥ ≠ ≥

©∞® ÍËUðË WOK×� vLEŽ ©∞®‚

≥

©”® Ó‚ …—Uý≈

”

´ ∞´´ ≠≠≠

≤

’

”± ≤ ≥ ¥ μ

≥

¥

±

©¥¨≥®

©±μ≠≤® qJý

∞

©”® Ó‚ …—Uý≈

”

´ ∞´´ ´≠

≤

≠≠ ∞ ´´

©”®‚ „uKÝ

©”®‚ „uKÝ

∑±

≤ Ω ”

d³²�½ ∫ÎUO½UŁ

W³�UÝ ¨≥≠ Ω ©±®Ó‚ ÊuJð Îö¦� ± Ω ” bMŽ ¨≤ Ω ” q³�

≥ ∂ ≠ ≤

≥ ≥ Ω ©≥®Ó‚ ÊuJð Îö¦� ≥ Ω ” bMŽ ¨≤ Ω ” bFÐ

W³łu� ¨π Ω ±∏ ≠ ≤∑ Ω

´ v�≈ ≠ s� ©”® Ó‚ …—Uý≈ dOGð

¥≠ Ω±≤ ≠ ∏ Ω ≤

≤ ≥ ≠ ≥

≤ ÍËUðË WOK×� ÈdG� ©≤®‚

Æ

” ¨

≥” Ω ©

”®‚ Ê«d²�ö� błË Ê≈ WOK;« ÈuBI�« rOI�« ØWLOI�« 5Ž ∫©≥® ‰U¦�

≤

”≥ Ω ©”

®Ó‚

∞ Ω ©”

®Ó‚

∞ Ω ”

UNM�Ë ∞ Ω ≤”

≥

∫∞ Ω ” d³²�½

¨W³łu� WI²A*« ÊuJð ¨ ∞ Ω” q³�

©p�– s� oI%® ÎUC¹√ W³łu� WI²A*« ÊuJð ¨∞ Ω ” bFÐË

∞ Ω ”

‰uŠ v�Ë_« WI²AL�« …—Uý≈ dOG²ð r�

WOK×� ÈuB� rO� Ê«d²�ö� błuð ô

Æ©±∂≠≤® qJA�« kŠô

©∑ ≠ ≤® qzU?��Ë s¹—U9

∫v�Ë_« WI²AL�« —U³²š« ÎU�b�²� WOðü« U½«d²�ô« s� qJ� © błË Ê≈® ÈuBI�« rOI�«ØWLOI�« sOŽ ±

”

¨ π ´ ”

∏ ´≤”

≤Ω ©”

®‚ √

”

¨ μ ´ ”

±∞ ´ ≤”

≠ Ω ©”

®‚ »

”

¨ ”

±≤ ≠ ≥”

Ω ©”

®‚ ?ł

ÆWOK×� ÈuB� WLO� W¹√ ”

¨∏≠≥”

Ω©”

®‚ Ê«d²�ö� błuð ô t½√ sOÐ ≤

ø√ WLO� UL� ≤ Ω ”

bMŽ WOK×� vLEŽ WLO� ¨ ”

¨ ±∞ ´ ”

¥ ´ ≤”

√ Ω ©”

®‚ Ê«d²�ö� ÊU «–≈ ≥

©±∂≠≤® qJý

±±≠

±≠

’

”

±

≥” Ω ©”®‚

∑≤

∫W�UŽ s¹—U9


∫u¼ VFJL�« r−Š w� dOG²�« —«bI� ÊS� rÝ≥ v�≈ rÝ≤ s� VFJ� lK{ ‰uÞ dOGð «–≈ ±

≥

rÝ± œ ≥

rÝ±π ?ł ≥

rÝ≤∑ » ≥

rÝ∏ √

∫ÍËUð

≥∂ ≠ ≤”

∂ ≠ ”

∂ ← ”

≤

…œułu� dOž œ ∞ ?ł ±≤ » ∂ √

dOGð jÝu²� ¨©”

®‚Ω’ Ê«d²�ô« vM×M� vKŽ ÊU²DI½ ©π ¨ ≥®» ¨ ©¥¨≤≠®√ ÊU²DIM�« ≥

∫u¼ ≥ v�≈ ≤≠ s� ” dOG²ð U�bMŽ Ê«d²�ô«

Æ UODFL�« s� tÐUŠ sJL¹ ô œ ±≠ ?ł ± » μ √

∫u¼ ¥ Ω ”

U�bMŽ ” Ω ©

”®‚ Ê«d²�ô« vM×ML� ”ULL�« qO� ¥

±

≤

≠ œ ≤ ?ł

±

≤

»

±

¥

√

Æw½«u¦�UÐ s�e�« Ê ¨—U²�_UÐ W�UL�« · YOŠ Êμ ´ ≤

Ê Ω · W�öF�« o�Ë rOI²� jš w� rł dO¹ μ

∫w¼ Wd×�« ¡bÐ s� ÌÊ«uŁ ¥ ‰Ë√ w� r−K� WDÝu²L�« WŽd�«

ÀØÂ±≥ œ ÀØÂπ ?ł ÀØÂ∏ » ÀØÂ ≥∂ √

≥≠ Ω ©±® Ó„ ¨≤ Ω ©±® „ ¨≥ Ω ©±® Ó‚ ¨¥ Ω ©±®‚ ∫YO×Ð ‚UI²ýö� ÊöÐU� ÊU½«d²�« ©”®„¨©”®‚ ™

∫WO�U²�« ∏ ¨ ∑ ¨ ∂ WK¾Ý_« sŽ WÐUłù« w� U�uKFL�« Ác¼ vKŽ bL²Ž«

∫ÍËUð ± Ω ” bMŽ ©©”®„≤ ´ ©”®‚® Ê«d²�ö� v�Ë_« WI²AL�« WLO� ∂

±≠ œ dH� ?ł ≠≥ » ∏ √

∫ÍËUð ± Ω ” bMŽ ©©”®„ × ©”®‚® Ê«d²�ö� v�Ë_« WI²AL�« WLO� ∑

dH� œ π≠ ?ł ∂≠ » ∂ √

∫ÍËUð ± Ω ” bMŽ ©

©”®‚

©”®„

® Ê«d²�ö� v�Ë_« WI²AL�« WLO� ∏

±,μ≠ œ ¥,μ ?ł ±≠ » ± √

∑≥

U¼bMŽ Ê«d²�ö� ÊuJ¹ w²�« ” WLO� ÊS� ¨ ”

¨≤∞ ´ ”

±∞ ≠ ≤”

μ Ω ©”

®‚ ÊU «–≈ π

∫w¼ WOK×� ÈdG� WLO�

błuð ô œ ±≠ ?ł ± » dH� √

Ê«d²�ô« vM×M� q¦L¹ —ËU−L�« qJA�« ±∞

ø©”

®‚

≥ ← ”

w¼ U� ¨©”

®‚ Ω’

≥ √

± »

≤ ?ł

Æ…œułu� dOž œ

¨ ∑ ÍËU??¹ μ Ω ≤

” v�≈ ± Ω ±

” s� ” dOG²ð U�bMŽ ©”

®‚ Ω ’ Ê«d²�ô« dOGð jÝu²� ÊU «–≈ ≤

ø©μ®‚ WLO� UL� ∂ Ω ©±®‚ ÊU?Ë

ÆWI²AL�« n¹dFð Â«b�²ÝUÐ ©±®Ó‚ błËQ� ≤”

≥ Ω ©”

®‚ ÊU «–≈ ≥

©≤®‚ ≠ ©?¼≤´®‚

?¼

∞ ← ?¼

błËQ� ¨©± ≠ ”

® ©± ´ ”

® Ω ©”

®‚ ÊU «–≈ ¥

≤≠ Ω ©±® Ó?¼ ¨≥ Ω ©±®?¼ ÊQÐ ÎULKŽ ©±® Ó‚ błË√ ©¥ ´

≤”≥® ©

”®?¼ Ω ©

”®‚ ÊU «–≈ μ

ÊuJ¹ w²�«Ë ≥∞ ´ ”

±≤ ≠ ≤”

±

≤

≠ ≥”

±

≥

Ω ©”

®‚ Ê«d²�ô« vM×M� vKŽ jIMK� ” rO� błË√ ∂

ÆÎUOI�√ ”ULL�« U¼bMŽ

w²�«Ë vM×ML�« vKŽ WF�«u�« WDIM�« bMŽ

”

± ´ ≤”

Ω ©”

®‚ Ê«d²�ô« vM×ML� ”ULL�« W�œUF� błË√ ∑

ÆdH� Ω wMO�« UNOŁ«bŠ≈

∫WOðü« ôU×�« s� q w�

’œ

”œ

błË√ ∏

”±∞ ≠ ≤”μ ´

≥”≤ Ω ’ √

©± ´ ” ≠ ≤”®©± ´ ” ´

≤”® Ω ’ »

± ´ ”≤

≥ ´ ≤”

Ω ’ ?ł

∫v�Ë_« WI²AL�« —U³²š« ÎU�b�²� WOðü« U½«d²�ô« s� qJ� © błË Ê≈® ÈuBI�« rOI�«ØWLOI�« sOŽ π

”

¨ ≥”

¥ ≠ ¥”

Ω ©”

®‚ √

”

¨ ”

≥ ≠ ≥”

Ω ©”

®‚ »

±”

±

≤

≥

≤ ≥

’

∑¥

≥≥

…b???Šu«…b???Šu«

tðUIO³DðË q�UJ²«

?ł ´

©”

®‚

©”

®Ó‚

∑μ

(Indefinite Integral® œËb;« dOž q�UJ²« ±≠≥

v�Ë_« WI²AL�« œU−¹≈ ÎUÝUÝ√ ‰ËUM²ð q{UH²�« WOKLŽ Ê√ U½błËË ¨tðUIO³DðË q{UH²�« WIÐU�« …bŠu�« w� UMÝ—œ

Ê«d²�ô« ÊU «–≈Ë ¨∏ ́”≤ Ω ©”® Ó‚ v�Ë_« t²I²A� ÊS� ”∏ ´ ≤” Ω ©”®‚ Ê«d²�ô« ÊU «–S� ªÂuKF� Ê«d²�ô

ÆÆÆ«cJ¼Ë ¥”μ Ω ©”® Ó‚ ÊS�

μ” Ω ©”®‚

XLKŽ «–≈ ©”®‚ wK�_« Ê«d²�ô« œU−¹≈ Í√ ¨q{UH²�« WOKLF� WOJF�« WOKLF�UÐ r²NMÝ …bŠu�« Ác¼ w�

Æq�UJ²�« WOJF�« WOKLF�« Ác¼ vLðË ª©”® Ó‚ v�Ë_« t²I²A�

ø©”®‚ ÊuJ¹ Ê√ sJL¹ «–UL� ¨μ Ω ©”® Ó‚ w¼ ” v�≈ W³M�UÐ v�Ë_« t²I²A� ÎU½«d²�« ©”®‚ sJO� ∫©±® ‰U¦�

Æμ Ω ©”® Ó‚ v�Ë_« t²I²A� ÊuJð ”μ Ω ©”®‚ Ê«d²�ô« Ê√ rKF½ ¨q{UH²�« w� UMðU�uKF� s�

øbOŠu�« »«u−�« u¼ Ê«d²�ô« «c¼ q¼ sJ�Ë ¨”μ Ω ©”®‚ wK�_« Ê«d²�ô« ÊuJ¹ Ê√ sJL¹ Ê–≈

Æμ ÍËUð v�Ë_« t²I²A�± ´ ”μ Ω ©”®‚ Ê«d²�ô« Ê≈

Æμ ÍËUð v�Ë_« t²I²A� ±∞∞ ≠ ”μ Ω ©”®‚ Ê«d²�ô«Ë

Æμ ÍËUð v�Ë_« t²I²A� ±πμ≤ ´ ”μ Ω ©”®‚ Ê«d²�ô«Ë

Æμ Ω ©”® Ó‚ WI²ALK� WOK�√ U½«d²�« ÊuJð Ê√ ÎUC¹√ `KBð Àö¦�« U½«d²�ô« Ác¼ ÊS� «c�

Æa�≈ÆÆÆ¨

±

≤

≠ ”μ ¨ ≤ ´ ”μ ¨±π∞ ≠ ”μ ¨ ±∞ ´ ”μ ∫ U½«d²�ô« ÎUC¹√ `KBð V³�« fHM�Ë

Æμ ÍËUð UN²I²A� w²�« WOK�_« U½«d²�ô« s� Î«bł dO³ œbŽ œU−¹≈ UMMJL¹ Í√

ÂUF�« Ê«d²�ô« u¼ wIOIŠ œbŽ ?ł YOŠ ?ł ´ ”μ Ω ©”®‚ Ê√ Z²M²½ U½«d²�ô« Ác¼ w� q�Q²�UÐË

Æμ ÍËUð v�Ë_« UN²I²A� w²�« U½«d²�ô« lOLł WŽuL−� q¦L¹ Íc�«

q�UJ²�« «c¼ wL½Ë μ Ω ©”® Ó‚ Ê«d²�ö� œËb×L�« dOž q�UJ²�« ?ł ´ ”μ Ω ©”®‚ ÂUF�« Ê«d²�ô« wL½

ÊuJð w²�« q{UH²�« WOKLŽ fJFÐ ?ł XÐU¦�« œułu� …bOŠË XO� q�UJ²�« WOKLŽ W−O²½ Ê_ œËb×� dOž Îö�UJð

ÆjI� …bŠ«Ë W−O²½ ÎULz«œ UN²−O²½

∑∂

≤

”≥ Ω ©”® Ó‚ WI²ALK� WOK�√ U½«d²�« WLš V²√ ∫©≤® ‰U¦�

∫WÐuKDL�« U½«d²�ö� WMJL� UÐUł≈ sO³¹ w�U²�« ‰Ëb−�«

©”® Ó‚ WMJL� WOK�√ U½«d²�«

≥”

± ´ ≥”

≤”≥π∞ ≠ ≥”

≤∞∞∞ ´ ≥”

´ ≥”

ÆÆÆ

∫ÂUŽ tłuÐË

v�≈ W³M�UÐ ©”® Ó‚ Ê«d²�ö� œËb×L�« dOž q�UJ²�« ÊS� ©”® Ó‚ v�Ë_« t²I²A� ÎU½«d²�« ©”®‚ ÊU «–≈

ÆwIOIŠ œbŽ ?ł ¨ ?ł ´ ©”®‚ Ω ”œ ©”® Ó‚ ∫“u�d�UÐ p�– V²J½Ë ?ł ´ ©”®‚ ÍËU¹ ”

Æq�UJ²�« XÐUŁ ?ł XÐU¦�« vLÔ¹Ë œËb×L�« dOž q�UJ²�« …—Uý≈ © ® e�d�« vL

Ô¹

∫w�U²�« jD�L�UÐ q�UJ²�«Ë q{UH²�« sOÐ W�öF�«Ë n¹dF²�« «c¼ `O{uð sJL¹

©”®‚ Ê«d²�ô«©”® Ó‚ v�Ë_« WI²AL�«

q{UHð WOKLŽ

?ł ´ ©”®‚ ÂUF�« Ê«d²�ô«©”® Ó‚ v�Ë_« WI²AL�«

q�UJð WOKLŽ

©œËb×L�« dOž q�UJ²�«®

∑∑

Æ”œ ∏ błË√ ∫©≥® ‰U¦�

Æ∏ w¼ ” v�≈ W³M�UÐ v�Ë_« t²I²A� Íc�« ÂUF�« Ê«d²�ô« œU−¹≈ wMF¹ ”œ ∏

Æ U½«d²�ô« Ác¼ bŠ√ u¼ ”∏ Ω ©”®‚ Ê«d²�ô« ÊuJ¹ ‚UI²ýô« bŽ«u� w� UMðU�uKF� s�

?ł ´ ”∏ Ω ©”®‚ u¼ ÂUF�« Ê«d²�ô« Ê–≈

?ł ´ ”∏ Ω ”œ ∏ Ê√ Í√

Æ”œ ≥

”¥ błË√ ∫©¥® ‰U¦�

Æ≥”¥ Ω ©”® Ó‚ ÊS�

¥” Ω ©”®‚ ÊU «–≈ ¨‚UI²ýô« bŽ«u� VŠ

?ł ´ ¥” Ω ”œ ≥”¥

’œ

”œ

błËQ� ¨”œ μ”∂ Ω’ X½U «–≈ ∫©μ® ‰U¦�

Æ”œ μ”∂ Ω ’

Æ∂” u¼

μ”∂ ÍËUð v�Ë_« t²I²A� Íc�« Ê«d²�ô« ÊS� ¨‚UI²ýô« bŽ«u� VŠ

?ł ´ ∂

” Ω ”œμ”∂ Ω ’

μ

”∂ Ω

’œ

”œ

tM�Ë

∫dš¬ qŠ

”œ μ

”∂ Ω’

∫ÊuJ¹ q{UH²K� WOJŽ WOKLŽ t½√Ë q�UJ²�« ÂuNH� VŠ

μ

”∂Ω

’œ

”œ

∑∏

ø«–UL�Ë øW×O×� ?ł ´ ”≥ ≠ ≤”¥ ´

≥”

≥

Ω ”œ©≥ ≠ ”¥ ´ ≤”® …—U³F�« q¼ ∫©∂® ‰U¦�

v�Ë_« t²I²A� X½U «–≈ q�UJ²�« WOKLF� ÎU×O×� ÎU−ðU½ ?ł ´ ”≥ ≠ ≤”¥ ´

≥”

≥

ÂUF�« Ê«d²�ô« ÊuJ¹

≥ ≠ ”¥ ´ ≤” Ê«d²�ô« ÍËUð

≥ ≠ ”∏ ´ ≤”≥

±

≥

Ω ÂUF�« Ê«d²�ö� v�Ë_« WI²AL�«

≥ ≠ ”¥ ´ ≤” ≥ ≠” ∏ ´

≤” Ω

ÆW×O×� dOž …—U³F�«

©± ≠ ≥® qzU?��Ë s¹—U9

∫wK¹ ULO� ⁄«dH�« qL√ ±

ÆÆÆÆÆÆÆ Ω ”œ ”±∞ ÊS� ”±∞ w¼ ≤”μ Ê«d²�ô« WI²A� X½U «–≈ √

ÆÆÆÆÆ Ω ”œ©≤ ´ ≤”≥® ÊS� ≤ ´

≤

”≥ w¼ ” v�≈ W³M�UÐ ©”≤ ´ ≥”® WI²A� X½U «–≈ »

ÆÆÆÆÆΩ

’œ

”œ

ÊS� ”œ ”±≤ Ω’ X½U «–≈ ?ł

∫WO�U²�« WK¾Ý_« sŽ Vł√ ¨q{UH²�« w� pðU�uKF� ‰öš s� ≤

Æ∑ ÍËUð ULNM� q WI²A� sO½«d²�« V²√ √

Æ¥”μÍËUð UNM� q WI²A� U½«d²�« WŁöŁ V²√ »

ÆÎ«dH� ÍËUð ULNM� q WI²A� sO½«d²�« V²√ ?ł

ø«–UL�Ë ¨W×O×� WO�U²�« «—U³F�« Í√ ≥

Æ?ł ´ ” ´ ≤” ´

¥”

±

¥

Ω”œ©± ≠ ”≤ ´ ≥”® √

Æ?ł ´ ≤”≥ ´

≥”

≥

Ω ”œ©”∂ ´ ≤”® »

Æ?ł ´ ¥ Ω ”œ©± ´ ”¥® ?ł

Æ?ł ´

≤

” ≠

≥”±

≥ Ω ”œ ©

≤

≤” ´

≤”® œ

Æ©≤® ÓÂ błË√ ”œ ≤”≥ Ω ©”®Â ÊU «–≈ ¥

∑π

(Rules of Indefinite Integral® œËb;« dOž q�UJ²« bŽ«u ≤≠≥

w� w¼ q�UJ²�« WOKLŽ Ê√Ë ¨ÊU²OJŽ ÊU²OKLŽ œËb×L�« dOž q�UJ²�«Ë q{UH²�« Ê√ oÐU�« ”—b�« w� UM�dŽ

q�UJ²K� bŽ«u� U¼dþUMð ÎUIÐUÝ U¼UMÝ—œ w²�« ‚UI²ýô« bŽ«u� ÊS� «c�Ë ¨W�uKF� t²I²A� Ê«d²�« sŽ Y×³�« l�«u�«

∫w¼ bŽ«uI�« Ác¼Ë W�uNÝË dOÐ …œËb×L�« dOž ö�UJ²�« œU−¹≈ UMOKŽ qNð œËb×L�« dOž

∫©±® …bŽU

Æq�UJ²�« XÐUŁ ?ł ¨ YOŠ ?ł ´ ” Ω”œ

”œ ≥ błË√ ∫©±® ‰U¦�

?ł ´ ”≥ Ω ”œ ≥

∫©≤® …bŽU

Æ±≠ Ê ¨ Ê ¨ ?ł YOŠ ?ł ´

±´Ê

”

±´ Ê

Ω ”œ Ê”

∫WO�U²�« ö�UJ²�« s� Îö błË√ ∫©≤® ‰U¦�

”œ ”

?ł ”œ μ≠” » ”œ

≤” √

?ł ´

≥

”

≥

Ω?ł ´

±´≤

”

± ´ ≤

Ω ”œ ≤” √

?ł ´ ¥≠

”

±

¥

≠ Ω ?ł ´

¥≠

”

¥≠

Ω ?ł ´

±´μ≠

”

±´μ≠

Ω ”œ μ≠” »

?ł ´

≥

≤ ”

≤

≥

Ω ?ł ´

± ´

±

≤ ”

± ´ ±

≤

Ω ”œ

±

≤ ” Ω ”œ ”

?ł

∫©≥® …bŽU

”œ ©”®‚ Ω ”œ ©”®‚ ∫ÊS� ÎUOIOIŠ Î«œbŽ ÊU «–≈

∏∞

∫WO�U²�« ö�UJ²�« błË√ ∫©≥® ‰U¦�

”œ ≥ ?ł o½œ ≤

o½ » ”œ ∂

”∑ √

Æ?ł ´

∑

”

∑

∑ Ω ”œ ∂

” ∑ Ω ”œ ∂

”∑ √

Æ?ł ´ ∑

” Ω

?ł ´

≥

o½

≥

Ω o½œ ≤

o½ Ω o½œ ≤

o½ »

?ł ´ ≥

o½

≥

Ω

?ł ´

±´∞”

± ´ ∞

≥ Ω ”œ∞” ≥ Ω ”œ

∞” ≥ Ω ”œ ≥ ?ł

?ł ´ ”≥ Ω

∫©¥® …bŽU

”œ©”

®?¼ ”œ©”

®‚ Ω”œ ©©”

®?¼ ©”

®‚®

ÆsO½«d²�ô« wK�UJ²� Íd³−�« ŸuL−L�« ÍËU¹ sO½«d²�ô Íd³−�« ŸuL−L�« q�UJð Ê√ Í√

”œ©”∑ ´ μ

”¥® błË√ ∫©¥®‰U¦�

”œ ”∑ ´ ”œ μ”¥ Ω”œ©”∑ ´

μ”¥®

”œ ” ∑ ´ ”œ μ” ¥ Ω

Æ©q�UJ²�« U²ÐUŁ ≤

?ł ¨±

?ł® ≤

?ł ´

≤

”

≤

∑ ´ ±

?ł ´

∂

”

∂

¥ Ω

©≤

?ł ´ ±

?ł® ´ ≤

” ∑

≤

´ ∂”

≤

≥

Ω

≤

?ł ´ ±

?ł Ω ?ł YOŠ¨ ?ł

´ ≤

” ∑

≤

´ ∂”

≤

≥

Ω

∏±

”œ© ”

≥

≠ ≤”® błË√ ∫©μ® ‰U¦�

”œ ”

≥

≠ ”œ

≤” Ω ”œ© ”

≥

≠ ≤”®

”œ

±

≥ ” ≠ ”œ ≤” Ω

©≤

?ł ´

± ´

±

≥ ”

± ´ ±

≥

® ≠ ±

?ł ´

≥

”

≥

Ω

≤

?ł ≠

¥

≥ ”

≥

¥

≠ ±

?ł ´

≥

”

≥

Ω

©≤

?ł ≠

±

?ł® ´

¥

≥ ”

≥

¥

≠

≥

”

≥

Ω

©≤

?ł ≠

±

?ł Ω ?ł® ?ł ´

¥

≥ ”

≥

¥

≠

≥

”

≥

Ω

ÆsO½«d²�« s� d¦√ qLA²� ©¥® …bŽU� rOLFð sJL¹ √ ∫ UEŠö�

Æq×�« w� …bŠ«Ë …d� ?ł ÂUF�« XÐU¦�« WÐU²Ë ≤

?ł ¨±

?ł q�UJ²�« w²ÐUŁ sŽ ¡UMG²Ýô« sJL¹ »

”œ©≥” ´

≤” ´ ” ≠ ±® błË√ ∫©∂® ‰U¦�

”œ≥” ´ ”œ

≤” ´ ”œ” ≠ ”œ± Ω ”œ©≥” ´

≤” ´ ” ≠±®

?ł´

¥

”

¥

´

≥

”

≥

´

≤

”

≤

≠ ” Ω

∏≤

Æ”œ©≥ ≠ ”®©≤ ´ ”® błË√ ∫©∑® ‰U¦�

”œ ©∂ ≠” ≠ ≤”® Ω ”œ©≥ ≠ ”®©≤ ´ ”®

”œ ∂ ≠ ”œ ” ≠ ”œ ≤” Ω

??ł ´ ”∂ ≠

≤

”

≤

≠

≥

”

≥

Ω

∑≠ ” ¨”œ

≤± ≠ ”¥ ´ ≤”

∑ ´ ”

błË√ ∫©∏® ‰U¦�

”œ

©≥ ≠ ”®©∑ ´ ”®

∑ ´ ”

Ω ”œ

≤± ≠ ”¥ ´ ≤”

∑ ´ ”

”œ

©≥ ≠ ”® Ω

?ł ´ ”≥ ≠

≤

”

≤

Ω

∫WEŠö�

”œ ©”®‚

”œ ©”®?¼

”œ

©”®‚

©”®?¼

p�cË ¨”œ ©”®?¼ ”œ ©”®‚ ”œ ©”®?¼ ©”®‚

ÆsO½«d²�« WL� ZðU½ Ë√ »d{ q�UŠ q�UJ²� W�UŽ …bŽU� błuð ôË

∏≥

©≤ ≠ ≥® qzU?��Ë s¹—U9

∫WO�U²�« ö�UJ²�« s� Îö błË√ ±

”œ ©≥ ≠ ”≤® » ”œ ¥ √

∞ ” ¨”œ

”μ ≠ ≥”≤

” œ ∞ ”¨ ”œ ©

∂

≤

”

≠ ≥

”® ?ł

’œ ©∏ ≠ ≤

’¥ ≠ ¥

’μ® Ë ”œ ≤” μ

?¼

¥ ” ¨”œ

±∂ ≠ ≤”

¥ ≠ ” błË√ ≤

Ÿœ

≤

©≤ ´ Ÿ

® błË√ ≥

”œ ©μ ´ ” ®©μ ≠ ” ® błË√ ¥

∞ ” ¨ ”œ ©¥” ´

≥” ´ ”® ≥≠” błË√ μ

∏¥

œËb;« dOž q�UJ²« vKŽ UIO³Dð ≥≠≥

vKŽ »U²J�« «c¼ w� ·dF²MÝ ¨q�UJ²�«Ë q{UH²�« sOÐ W�öF�«Ë œËb×L�« dOž q�UJ²�« bŽ«uI� UM²Ý«—œ bFÐ

ÆœËb×L�« dOž q�UJ²�« vKŽ UIO³D²�« s� Ÿu½

∫©tOKŽ WDI½Ë Ê«d² ô« vM×M* ”UL*« qO� rKŽ «–≈ Ê«d² ô« …bŽU œU−¹≈® WOÝbM¼ UIO³Dð

”≤Ω ©”® Ó‚ …bŽUI�UÐ vDF¹ tOKŽ WDI½ W¹√ bMŽ ©”®‚ Ê«d²�ô« vM×ML� ”ULL�« qO� ÊU «–≈ ∫©±® ‰U¦�

Æ©≥ ¨ ∞® WDIM�UÐ dL¹ Ê«d²�ô« vM×M� ÊQÐ ÎULKŽ ©”®‚ Ê«d²�ô« …bŽU� błËQ�

”≤ Ω ©”® Ó‚ Ê√ ULÐ

”œ ”≤ Ω ©”®‚

?ł ´ ≤” Ω

ÆÊ«d²�ô« W�œUF� oI×ð ©≥¨∞®WDIM�« Ê–≈ ¨©≥¨ ∞®WDIM�UÐ dL¹ »uKDL�« Ê«d²�ô« vM×M� Ê√ ULÐË

?ł ´ ≤

” Ω ©”®‚

?ł ´ ≤

∞ Ω ≥

≥ Ω ?ł UNM�Ë ?ł ´ ∞ Ω ≥

≥ ´ ≤

” Ω ©”®‚ u¼ »uKDL�« Ê«d²�ô«

Ê«d²�ô« u¼ œËb×L�« dOž q�UJ²�« WOKLŽ ZðU½ Ê√ kŠô

s� WON²M� dOž WŽuL−� q¦L¹ ¨?ł ´ ≤” Ω ©”®‚ ÂUF�«

WDI½ Í√ bMŽ ”ULL�« qO� w²�« WOK�_« U½«d²�ô«

qO³Ý vKŽ `{u¹ ©±≠≥® qJA�«Ë ”≤ ÍËU¹ UNOKŽ

∫ U½«d²�ô« q¦Lð UOM×M� WŁöŁ ‰U¦L�«

≥ ≠ ≤

”

¨ ≥ ´ ≤

”

¨ ≤

”

©≥¨∞® WDIM�UÐ dL¹ ≥ ´ ≤” u¼ jI� UNM� Î«bŠ«Ë sJ�Ë

Æ»uKDL�« Ê«d²�ô« uN� ©±≠≥® qJý

”≤±±≠≤≠

±≠

’

≤≠

≥≠

≥

≥ ´ ≤

”

≤

”

≥ ≠ ≤

”

∏μ

…bŽUI�UÐ vDFÔ¹ tOKŽ WDI½ Í√ bMŽ ©”®‚ Ê«d²�ô« vM×ML� ”ULL�« qO� ÊU «–≈ ∫©≤® ‰U¦�

Æ≤ Ω ©±®‚ ÊQÐ ÎULKŽ ©”®‚ Ê«d²�ô« …bŽU� błË√ Æ∏ ≠ ”∂ Ω ©”® Ó‚

∏ ≠ ”∂ Ω ©”® Ó‚

”œ©∏ ≠ ”∂® Ω ©”®‚

?ł ´ ”∏ ≠ ≤”

∂

≤

Ω ©”®‚

?ł ´ ”∏ ≠ ≤”≥ Ω ©”®‚

≤ Ω ©±®‚ Ê√ ULÐË

?ł ´ ©±®∏ ≠ ≤

©±®≥ Ω ≤

?ł ´ ∏ ≠ ≥ Ω ≤

∑ Ω ?ł UNM�Ë ?ł ´ μ≠ Ω ≤

∑ ´ ”∏ ≠ ≤”≥ Ω ©”®‚

©≥ ≠ ≥® qzU?��Ë s¹—U9

W�öF�UÐ vDF¹ tOKŽ WDI½ Í√ bMŽ ©”®‚ Ê«d²�ô« vM×ML� ”ULL�« qO� ÊU «–≈ ±

Æ©μ ¨±® WDIM�UÐ dL¹ Ê«d²�ô« vM×M� ÊQÐ ÎULKŽ ©”®‚ Ê«d²�ô« …bŽU� błË√ ¨± ´ ”≤ Ω ©”® Ó‚

Æ±≤ Ω ©≤®‚ ÊQÐ ÎULKŽ ©”®‚ Ê«d²�ô« …bŽU� błËQ� ¨≥

”¥ Ω ©”® ÓÓ‚ X½U «–≈ ≤

Æ©∞¨≥® WDIM�UÐ dL¹ ©”®‚ vM×M� ÊQÐ ÎULKŽ ¥ Ω ©”® Ó‚ t²I²A� ÊuJð Íc�« ©”®‚ Ê«d²�ô« …bŽU� błË√ ≥

∏∂

(Definite Integral) œËb;« q�UJ²« ¥≠≥

?ł ´ ©”®‚ Ω ”œ©”® Ó‚ Ê√ U½błu� ©”® Ó‚ Ê«d²�ö� œËb×L�« dOž q�UJ²�« WIÐU�« œuM³�« w� UMF� d�

Æ ?ł ´

≤

”

≤

Ω ”œ” ∫Îö¦L� ¨?ł XÐU¦�« œułu� …œb×� dOž W−O²½ q�UJ²K� W−O²M�« Ác¼Ë

Æ ?ł ´ ≤ Ω ?ł´

≤

©≤®

≤

Ω œËb×L�« dOž q�UJ²�« WLO� ÊS� ≤ Ω ” Ê√ UM{d� «–S�

Æ ?ł ´ ∏ Ω ?ł´

≤

©¥®

≤

Ω œËb×L�« dOž q�UJ²�« WLO� ÊS� ¥ Ω ” Ê√ UM{d� «–≈Ë

œËb×L�« dOž q�UJ²�« w²LO� sOÐ ‚dH�« Ê√ kŠö¹ sJ�Ë ¨?ł XÐU¦�« œułu� …œb×� dOž sO²�U×�« w� W−O²M�«Ë

?ł XÐU¦�« WLO� vKŽ n�u²¹ ô œb×� —«bI� «c¼Ë ¨∂ Ω ©?ł ´ ≤® ≠ ©?ł ´ ∏® u¼ ¥ Ω ” bMŽË ≤ Ω ” bMŽ

Î«œËb×� Îö�UJð ¥ Ω ” ̈≤ Ω ” U�bMŽ ©”® Ó‚ Ê«d²�ö� œËb×L�« dOž q�UJ²�« w²LO� sOÐ ‚dH�« «c¼ wL½

Æ∂ Ω ”œ ”

¥

≤

V²J½Ë ¥ Ω ” v�≈ ≤ Ω ” s� ©”® Ó‚ Ê«d²�ö�

∫n¹dFð

œËb×L�«dOž q�UJ²�« w²LO� sOÐ ‚dH�« ÍËU¹ » Ω ” v�≈ √ Ω ” s� ©”® Ó‚ Ê«d²�ö� œËb×L�« q�UJ²�«

∫“u�d�UÐ p�– sŽ d³F¹Ë ” dOG²LK� » ¨ √ sO²LOI�« bMŽ ©”®‚ Ê«d²�ö�

©√®‚ ≠ ©»®‚ Ω

√

»

©”®‚ Ω ”œ ©”® Ó‚

»

√

ÆœËb×L�« q�UJ²K� ÍuKF�« b×�« ∫» ¨œËb×L�« q�UJ²K� wKH�« b×�« ∫√ vL¹

”œ ≤”

¥

±

VŠ≈ ∫©±® ‰U¦�

±

¥

≥

”

≥

Ω ”œ ≤”

¥

±

±

≥

≠

∂¥

≥

Ω

≥

©±®

≥

≠

≥

©¥®

≥

Ω

≤± Ω

∂≥

≥

Ω

∏∑

”œ©≤ ´ ”

≥

®

∏

±

VŠ« ∫©≤® ‰U¦�

”œ©≤ ´

±

≥

”®

∏

±

Ω ”œ©≤ ´ ”

≥

®

∏

±

±

∏

”≤ ´

¥

≥ ”

≥

¥

Ω

±

∏

”≤ ´

¥

≥ ”

¥

≥

Ω

©± ≤ ´

¥

≥

©±®

≥

¥

® ≠ ©©∏®≤ ´

¥

≥

©∏®

≥

¥

® Ω

©≤ ´

≥

¥

® ≠ ©±∂ ´ ±∂

≥

¥

® Ω

©≤ ´

≥

¥

® ≠ ©±∂ ´ ±≤® Ω

≤μ ±

¥

Ω ≤ ≥

¥

≠ ≤∏ Ω

”œ©∑ ≠ ”∏®

¥

≤

Ω ’ X½U «–≈ ∫©≥® ‰U¦�

Æ ’ WLO� VŠ« √

økŠöð «–U� Æ

’œ

”œ

błË√ »

”œ©∑ ≠ ”∏®

¥

≤

Ω ’ √

≤

¥

”∑ ≠ ≤

”¥ Ω

≤

¥

”∑ ≠ ≤

”

∏

≤

Ω

©©≤®∑ ≠ ≤

©≤®¥® ≠ ©©¥®∑ ≠ ≤

©¥®¥® Ω

© ±¥ ≠ ±∂ ® ≠ © ≤∏ ≠ ∂¥ ® Ω

≤ ≠ ≥∂ Ω

≥¥ Ω

∏∏

≥¥ Ω ’ Ê√ ULÐ »

Æ©dH� Ω XÐU¦�« Ê«d²�ô« WI²A� Ê_® dH� Ω

’œ

”œ

Ê«d²�ô« WI²A� ÍËUð t²I²A� Ê√ Í√ ÎUOIOIŠ Î«œbŽ ÍËUð ÎULz«œ œËb×L�« q�UJ²�« W−O²½ Ê√ kŠô

ÆÎ«dH� Ω XÐU¦�«

Æ√ XÐU¦�« WLO� b−� ¨ ∏ Ω ”œ ”≤

√

±

ÊU «–≈ ∫©¥® ‰U¦�

±

√

≤

” Ω ”œ ”≤

√

±

≤

©±® ≠ ≤

√ Ω

± ≠ ≤

√ Ω

∏ Ω ± ≠ ≤

√

π Ω ≤

√

≥≠ ¨ ≥ Ω √

≥ Ω ©±®‚ ¨±∞ Ω ©¥®‚ ÊUË ¨©”®‚ Ê«d²�ô« WI²A� w¼ ©”® Ó‚ X½U «–≈ ∫©μ® ‰U¦�

”œ©”® Ó‚

¥

±

WLO� b−�

±

¥

©”®‚ Ω ”œ ©”® Ó‚

¥

±

©±®‚ ≠ ©¥®‚ Ω

∑ Ω ≥ ≠ ±∞Ω

∏π

©¥ ≠ ≥® qzU?��Ë s¹—U9

∫WO�U²�« ö�UJ²�« s� q WLO� VŠ« ±

”œ©μ ≠ ”∏®

≥

±

» ”œ∑

¥

∞

√

”œ ≥”¥

±

±

œ ”œ ≤”≥

≤

≤≠

?ł

”œ©

±

≥

”

´

±

≤

”

®

≤

±

Ë

”œ

≥

”

π

¥

?¼

Æ”œ ©”® Ó‚

∂

≥

WLO� błËQ� ¨±≤ Ω ©∂®‚ ¨∏ Ω ©≥®‚ ÊUË ©”®‚ Ê«d²�ô« WI²A� w¼ ©”® Ó‚ X½U «–≈ ≤

ø√ XÐU¦�« rO�Ø WLO� UL� ¨dH� Ω ”œ©μ ´ ”≤®

√

≤≠

ÊU «–≈ ≥

ø» XÐU¦�« WLO� UL� ̈ ±∏ Ω ”œ »

μ

≤

ÊU «–≈ ¥

Æ”œ ©”®ÓŸ

≥

±

WLO� VŠS� ¨?ł ´ ”≤ ´ ≥” Ω ”œ ©”® ÓŸ ÊU «–≈ μ

Æ”œ ≤

©± ´ ”≤®

±

≤≠

VŠ« ∂

π∞

(Properties of Definite Integral® œËb;« q�UJ²« hzUBš μ≠≥

WHK²�L�« ö�UJ²�« sOÐ jÐd�« w� U½bŽUð w²�«Ë œËb×L�« q�UJ²�« ’«uš iFÐ vKŽ bM³�« «c¼ w� ·dF²MÝ

ÆœËb×L�« q�UJ²�« WLO� »UŠ qNðË

”œ μ

¥

±

WLO� błË√ ∫©±® ‰U¦�

±

¥

”μ Ω ”œ μ

¥

±

±μ Ω ≥ μ Ω ©± ≠ ¥®μ Ω ± μ ≠ ¥ μ Ω

©± ≠ ¥®μ Ω ”œ μ

¥

±

Ê√ kŠô

Æ©wKH�« b×�« ≠ ÍuKF�« b×�«®μ Ω

∫ÂUŽ tłuÐ

?ł ¨» ¨√ ª ©√ ≠ »® ?ł Ω ”œ ?ł

»

√

∫©±® WO�Uš

∫WO�U²�« ö�UJ²�« błË√ ∫©≤® ‰U¦�

”œ ”

≥

≥

?ł ”œ ”∂

≤

μ

» ”œ ”∂

μ

≤

√

≤

©≤®≥ ≠ ≤

©μ® ≥ Ω

≤

μ

≤

”≥ Ω ”œ ”∂

μ

≤

√

∂≥ Ω ±≤ ≠ ∑μ Ω ¥ ≥ ≠ ≤μ ≥ Ω

≤

©μ®≥ ≠ ≤

©≤®≥ Ω

μ

≤

≤

”≥ Ω ”œ ”∂

≤

μ

»

∂≥≠ Ω ∑μ ≠ ±≤ Ω ≤μ ≥ ≠ ¥ ≥ Ω

ÆdH� Ω

π

≤

≠

π

≤

Ω

≥

≥

≤

”

≤

Ω ”œ ”

≥

≥

?ł

π±

dH� Ω ”œ ”

≥

≥

Ê√Ë ¨”œ ”∂

≤

μ

≠ Ω ”œ ”∂

μ

≤

∫Ê√ kŠö½

∫ÂUŽ tłuÐ

∫©≤® WO�Uš

”œ ©”®‚

√

»

≠ Ω ”œ ©”®‚

»

√

√

dH� Ω ”œ ©”®‚

√

√

»

∫WO�U²�« ö�UJ²�« VŠ≈ ∫©≥® ‰U¦�

”œ©≤” ´ ” ®

±

∞

?ł ”œ ≤”

±

∞

» ”œ ”

±

∞

√

±

≤

Ω dH� ≠

≤

©±®

≤

Ω

∞

±

≤

”

≤

Ω ”œ ”

±

∞

√

±

≥

Ω dH� ≠

≥

©±®

≥

Ω

∞

±

≥

”

≥

Ω ”œ ≤”

±

∞

»

μ

∂

Ω dH� ≠ ©

±

≥

´

±

≤

® Ω

∞

±

≥

”

≥

´

≤

”

≤

Ω ”œ ©≤” ´ ” ®

±

∞

?ł

”œ

≤”

±

∞

´ ”œ ”

±

∞

Ω ”œ ©≤” ´ ” ®

±

∞

Ê√ kŠô

∫ÂUŽ tłuÐ

∫©≥® WO�Uš

”œ©”®?¼

»

√

”œ ©”®‚

»

√

Ω ”œ©©”®?¼ ©”®‚®

»

√

ÆsO½«d²�ô« wK�UJ²� Íd³−�« ŸuL−L�« ÍËU¹ sO½«d²�ô Íd³−�« ŸuL−L�« q�UJð Ê√ Í√

ÆsO½«d²�« s� d¦_ W×O×� ©≥® WO�U��« ∫WEŠö�

π≤

∫wK¹ U� VŠ« ∏ Ω ”œ ©”®?¼

≥

≤

¨ ≥≠ Ω ”œ ©”®‚

≥

≤

ÊU «–≈ ∫©¥® ‰U¦�

”œ©μ ´ ©”®?¼®

≤

≥

» ”œ ©©”® ?¼ ´ ©”®‚®

≥

≤

√

”œ©”® ?¼

≥

≤

´ ”œ©”®‚

≥

≤

Ω ”œ ©©”® ?¼ ´ ©”®‚®

≥

≤

√

μ Ω ∏ ´ ≥≠ Ω

”œ μ

≤

≥

´ ”œ©”®?¼

≤

≥

Ω ”œ©μ ´ ©”®?¼®

≤

≥

»

±≠

μ ´ ∏≠ Ω ©≥ ≠ ≤®μ ´ ”œ©”®?¼

≥

≤

≠ Ω

±≥≠ Ω

∫©¥® WO�Uš

?ł ¨» ¨√ YOŠ ¨”œ ©”®‚

»

√

?ł Ω ”œ ©”®‚ ?ł

»

√

∫ ©”®‚ μ

≤

≥≠

WLO� UL� ¨ ¥ Ω ”œ ©”®‚

≤

≥≠

ÊU «–≈ ∫©μ® ‰U¦�

Ω ”œ ©”®‚

≤

≥≠

μ Ω ”œ ©”®‚ μ

≤

≥≠

≤∞ Ω ¥ μ Ω

∫WO�U²�« ö�UJ²�« VŠ≈ ∫©∂® ‰U¦�

”œ≤

”≥

μ

±

?ł ”œ≤

”≥

μ

≤

» ”œ≤

”≥

≤

±

√

∑ Ω ± ≠ ∏ Ω ≥

©±® ≠ ≥

©≤® Ω

±

≤

≥”

Ω ”œ≤

”≥

≤

±

√

π≥

±±∑ Ω ∏ ≠ ±≤μ Ω ≥

©≤® ≠ ≥

©μ® Ω

≤

μ

≥”

Ω ”œ≤

”≥

μ

≤

»

±≤¥ Ω ± ≠ ±≤μ Ω ≥

©±® ≠ ≥

©μ® Ω

±

μ

≥”

Ω ”œ≤

”≥

μ

±

?ł

”œ≤

”≥

μ

±

Ω ”œ≤

”≥

μ

≤

´ ”œ≤

”≥

≤

±

Ê√ kŠô

∫ÂUŽ tłuÐ

∫©μ® WO�Uš

Æ ?ł ¨» ¨√ YOŠ ¨”œ©”®‚

?ł

√

Ω ”œ©”®‚

?ł

»

´ ”œ©”®‚

»

√

ÆW�U{ù« WO�Uš WO�U��« Ác¼ vLð

Æ”œ ©”®„

∂

±≠

VŠ≈ ¨≤ Ω ”œ ©”®„

∂

≥

¨μ Ω ”œ ©”®„

≥

±≠

ÊU «–≈ ∫©∑®‰U¦�

”œ ©”®„

∂

≥

´ ”œ ©”®„

≥

±≠

Ω ”œ ©”®„

∂

±≠

∑ Ω ≤ ´ μ Ω

∫WO�U²�« ö�UJ²�« VŠ≈ ¨±∞ Ω ”œ©”®‚≤

±

≥

¨ ¥ Ω ”œ ©”®‚

μ

±

Ê√ XLKŽ «–≈ ∫©∏®‰U¦�

”œ ©”

±

≤

´ ©”®‚®

≥

±

» ”œ ©”®‚

μ

≥

√

±∞ Ω ”œ©”®‚≤

±

≥

Ê√ ULÐ √

±∞ Ω ”œ©”®‚

±

≥

≤

π¥

μ Ω ”œ©”®‚

±

≥

©W�U{ù« WO�Uš® ”œ ©”®‚

μ

±

´ ”œ ©”®‚

±

≥

Ω ”œ ©”®‚

μ

≥

sJ�

π Ω ¥ ´ μ Ω ”œ ©”®‚

μ

≥

”œ ”

±

≤

≥

±

´ ”œ ©”®‚

≥

±

Ω ”œ©”

±

≤

´ ©”®‚®

≥

±

»

”œ ”

≥

±

±

≤

´ μ≠ Ω

©

±

≥

≤

”

≤

®

±

≤

´ μ≠ Ω

©

±

≤

≠

π

≤

®

±

≤

´ μ≠ Ω

≥≠ Ω ≤ ´ μ≠ Ω ¥

±

≤

´ μ≠ Ω

©μ ≠ ≥® qzU?��Ë s¹—U9

Æ”œ©¥ ´ ”≤ ´ ≤

”≥®

±

±≠

VŠ« ±

∫WLO� UL� ¨¥ Ω ”œ©”®‚

≤

μ

¨μ Ω ”œ ©”®‚

≤

±

ÊU «–≈ ≤

ø”œ©∑ ´ ©”®‚≤®

μ

≤

?ł ø”œ ©”®‚

μ

±

» ø”œ ©”®‚≥

≤

±

√

Æ”œ©” ´

±

≤

”

®

≥

≥

błË√ ≥

Æ ”œ ¥

”

≤

±

´ ”œ ¥

”

±

≤≠

∫WLO� sO²I¹dDÐ błË√ ¥

ø”œ©©”®?¼ ≠ ©”®‚®

±≠

¥

WLO� UL� ¨≤± Ω ”œ©”®?¼ ≥

¥

±≠

¨±∞ Ω ”œ©”®‚≤

¥

±≠

Ê√ XLKŽ «–≈ μ

πμ

Applications ©Areas® © UŠU�*«® œËb;« q�UJ²« vKŽ UIO³Dð ∂≠≥

œbŽ w¼ œËb×L�« q�UJ²�« W−O²½ Ê√ UM�dŽË ” v�≈ W³M�UÐ ©”®‚ Ê«d²�ö� œËb×L�« q�UJ²�« ÎUIÐUÝ UMÝ—œ

Æq�UJ²�« œËbŠ vKŽË ©”®‚ Ê«d²�ô« vKŽ bL²Fð œbF�« p�– WLO� Ê√Ë wIOIŠ

≤∞ Ω ¥ μ Ω ©≤ ≠ ∂®μ Ω

≤

∂

”μ Ω ”œμ

∂

≤

∫Îö¦L�

μ Ω ©”®‚ vM×M� sOÐ …—uB×L�« WIDML�« UMK¦� «–≈Ë

w� UL ¨∂ Ω ” ¨≤ Ω ” sOLOI²L�« sOÐË UMO�« —u×�Ë

øUN²ŠU� UL� ¨WŠU� WIDML�« ÁcN� ÊS� ¨—ËU−L�« ©≤≠≥® qJA�«

«bŠË μ t�uÞ qOD²� WŠU� Ω Â

WIDML�« WŠU�

ÆWFÐd� …bŠË ≤∞Ω¥ μ Ω «bŠË¥ t{dŽË

Ê«d²�ö� œËb×L�« q�UJ²�«WLO� ÍËUð WIDML�« WŠU� Ê√ kŠô

∂ Ω ” v�≈ ≤ Ω ” s� μ Ω ©”®‚

π

≤

Ω ∞ ≠ π

≤

Ω

∞

≥

≤

”

≤

Ω ”œ ”

≥

∞

∫dš¬ ‰U¦LË

” Ω ©”®‚ vM×M� sOÐ …—uB×L�« WIDML�« WŠU� Ê√ kŠö½Ë

≥ Ω ” ¨ ∞ Ω ” sOLOI²L�«Ë UMO�« —u×�Ë

∫ÍËUð —ËU−L�« ©≥≠≥® qJA�« w� WMO³L�«Ë

Æ©W¹Ë«e�« rzU� YK¦� WIDML�« Ê_® ŸUHð—ô« …bŽUI�« ±

≤

ÆWFÐd� …bŠË π

≤

Ω ≥ ≥ ±

≤

≥ Ω ” v�≈ ∞ Ω ” s� ” Ω ©”®‚ Ê«d²�ö� œËb×L�« q�UJ²�« WLO� ÍËUð WIDML�« WŠU� Ê√ ÎUC¹√ kŠö½Ë

∫ÂUŽ tłuÐ

∫W¹dE½

…—uB×L�« WIDML�« WŠU� ÊS� ¨© UMO�« —u×� ‚u� ÁUM×M� lI¹® ÎU³łu� ÎU½«d²�« ©”®‚ ÊU «–≈

Æ”œ ©”®‚

»

√

ÍËUð » Ω ” ¨ √ Ω ” sOLOI²L�«Ë UMO�« —u×�Ë ©”®‚ vM×M� sOÐ

ÆÎUO½UOÐ WK¦L*« oÞUM*« UŠU� »UŠ vKŽ bM³�« «c¼ w� UM²Ý«—œ dB²I²Ý ∫WEŠö�

±

’

”≤ ≥ ¥ μ ∂

±

≤

≥

¥

Â

μ Ω ©”®‚

± Â

≤ ≥±±≠”

”

Ω ©

”

®‚

’

©≤≠≥® qJý

©≥≠≥® qJý

π∂

Ê«d²�ô« W�œUF� ÊQÐ ÎULKŽ ¨—ËU−L�« ©¥≠≥® qJA�« w� WKKEL�« WIDML�« WŠU� VŠ« ∫©±® ‰U¦�

± ≠ ” Ω ©”®‚ w¼

”œ ©”®‚

μ

≤

Ω Â

WIDML�« WŠU�

”œ ©± ≠ ”®

μ

≤

Ω

≤

μ

”

≠

≤

”

≤

Ω

©≤ ≠

¥

≤

® ≠ ©μ ≠

≤μ

≤

® Ω

ÆWFÐd� …bŠË

±μ

≤

Ω dH� ≠ μ ≠

≤μ

≤

Ω

qJA�« w� WKKEL�« WIDML�« WŠU� VŠ≈ ∫©≤® ‰U¦�

q¦LL�« Ê«d²�ô« ÊQÐ ÎULKŽ ¨—ËU−L�« ©μ≠≥®

≤” Ω ©”®‚ u¼ qJA�« w�

”œ

≤”

≤

∞

Ω Â

WIDML�« WŠU�

dH� ≠

∏

≥

Ω

∞

≤

≥

”

≥

Ω

ÆWFÐd� …bŠË

∏

≥

Ω

©∂≠≥® qJA�« w� WKKEL�« WIDML�« WŠU� VŠ« ∫©≥® ‰U¦�

≤”

≠¥ Ω ©”

®‚ ÊQÐ ÎULKŽ —ËU−L�«

≤≠

≤

≥

”

≥

≠ ”

¥ Ω ”

œ ©≤”

≠¥ ®

≤

≤≠

Ω Â

WIDML�« WŠU�

©¥≠≥® qJý

±±≠”

≤ ≥

±

¥ μ

≤

≥

¥

Â

’

± ≠

”

Ω ©”

®‚

±±≠≤≠ ”≤ ≥ ¥

¥

Â

’

©∂≠≥® qJý

±±≠≤≠

©”®‚ Ω ’

”≤ ≥

±

¥

≤

≥

¥

Â

©μ≠≥® qJý

’

©”®‚ Ω ’

π∑

©∑≠≥® qJý

±

±

’

”≤ ≥

≤

Â

≤

±

Â

±≠

≤≠

©∏

≥

´ ≤≠

¥® ≠ ©∏

≥

≠ ≤ ¥® Ω

∏

≥

≠ ∏ ´ ∏

≥

≠ ∏ Ω

±∂

≥

≠ ±∂ Ω

ÆWFÐd� …bŠË ≥≤

≥

Ω

∫WEŠö�

WŠU� ÊS� ¨ UMO�« —u×� X×ð ÁUM×M� lI¹ Í√ ¨» Ω ” ¨ √ Ω ” sOÐ ÎU³�UÝ ÎU½«d²�« ©”®‚ ÊU «–≈

Æ”œ ©”®‚

»

√

≠ ÍËUð » Ω ” ¨√ Ω ” sOLOI²L�«Ë UMO�« —u×�Ë ©”®‚ vM×M� sOÐ …—uB×L�« WIDML�«

≤ ≠ ”≤ Ω ©”®‚ vM×M� sOÐ …—uB×� —ËU−L�« ©∑≠≥®qJA�« w� WKKEL�« WIDML�« ∫©¥® ‰U¦�

ÆWIDML�« Ác¼ WŠU� VŠ« Æ≤ Ω ” ¨ ∞ Ω ” sOLOI²L�«Ë UMO�« —u×�Ë

Æ≤

Â ¨ ±

Â UL¼ sOzeł s� W½uJ� WÐuKDL�« WIDML�«

∫…bŠ vKŽ WIDM� q WŠU� V×½Ë

Æ© UMO�« —u×� X×ð WF�«Ë ±

Â Ê_® ”œ©≤ ≠ ”≤®

±

∞

≠ Ω ±

Â WŠU�

© dH� ≠ ©≤ ≠ ±®® ≠ Ω ©

∞

±

”≤ ≠ ≤” ®≠ Ω

ÆWFÐd� …bŠË ± Ω ©± ≠®≠ Ω

©≤ ≠ ±® ≠ ©¥ ≠ ¥® Ω

±

≤

”≤ ≠ ≤” Ω ”œ©≤ ≠ ”≤®

≤

±

Ω ≤

Â WŠU�

WFÐd� …bŠË ± Ω ± ´ dH� Ω

≤

Â WŠU� ´

±

Â WŠU� Ω WÐuKDL�« WIDML�« WŠU�

©p�– s� oI×ð® ÆWFÐd� …bŠË ≤ Ω ± ´ ± Ω

©”®‚ Ω ’

π∏

—ËU−L�« ©∏≠≥®qJA�« w� WKKEL�« WIDML�« ∫©μ® ‰U¦�

UMO�« —u×�Ë ©”®‚ vM×M� sOÐ …—uB×L�« w¼

¥≠ Ω ”œ ©”®‚

≥

±

¨μ Ω ”œ©”®‚

±

±≠

ÊU «–S�

ÆWKKEL�« WIDML�« WŠU� VŠ«

Æ© UMO�« ‚u� WF�«Ë ±

Â Ê_® WFÐd� «bŠË μ Ω ”œ©”®‚

±

±≠

Ω ±

Â WŠU�

Æ© UMO�« X×ð WF�«Ë ≤

Â Ê_® WFÐd� «bŠË ¥ Ω ©¥ ≠®≠ Ω ”œ©”®‚

≥

±

≠ Ω ≤

Â WŠU�

≤

Â WŠU� ´

±

Â WŠU� Ω WKKEL�« WIDML�« WŠU�

WFÐd� «bŠË π Ω ¥ ´ μ Ω

©∏≠≥® qJý

±±≠≤≠

±

”≥

≤

±

Â

≤

Â

’©”®‚ Ω ’

ππ

± ≤

≤

±≠

”

±

≥

¥

’

”≤ ≠ ¥ Ω ©”®‚

©∂ ≠ ≥® qzU?��Ë s¹—U9

q×�« W×� s� oI×ðË ¨WO�U²�« ‰UJý_« s� q w� WKKEL�« WIDML�« WŠU� VŠ« ¨q�UJ²�« Â«b�²ÝUÐ ±

Æ©W¹u²L�« WÝbMN�« bŽ«u� Â«b�²ÝUÐ® œ ¨» ¨ √ ‰UJý_« w�

» √

?ł ?ł

∫VŠ« ¨≤≠ Ω ”œ ©”®‚

μ

≥

¨∂ Ω ”œ©”®‚

≥

±

ÊU «–≈ ≤

”œ ©”®‚

μ

±

√

©”®‚ vM×M� sOÐ …—uB×L�« WIDML�« WŠU� »

Æ—ËU−L�« qJA�« w� WMO³L�« UMO�« —u×�Ë

≤≠ ±≠

≤

±≠

’

”

±

≥

≤≠

≥≠

≤ ´ ” Ω ©”®Â

±±≠≤≠ ”≤ ≥

±

¥

≤

≥

¥

’

±´≤” Ω©”® ?¼

± ≤

±≠

’

”

±

≥ ¥ μ

≤

©”®‚ Ω ’

±

’

”≤ ≥ ¥ μ ∂

±

≤

≤ Ω ©”®‚

±∞∞

∫W�UŽ s¹—ULð


∫ÍËU¹ ”œ ¥ ±

?ł ´ ”¥ œ ?ł ´ ≤”¥ ?ł dH� » ¥ √

∫ÍËU¹ ”œ ±

≤

”

¥

±

WLO� ≤

≥ œ

μ≠

¥

?ł

∂≥≠

∂¥

»

≥

¥

√

∫w¼ » WLO� ÊS� ¨Vłu� wIOIŠ œbŽ » YOŠ ¨±∞ Ω ”œ »

»

≥

ÊU «–≈ ≥

≥ œ ±≥ ?ł μ » ¥ √

∫ÍËUð ”œ©”®‚

μ

±

WLO� ÊS� ∑ Ω ”œ ©”®‚

≥

μ

¨¥ Ω ”œ ©”®‚

≥

±

ÊU «–≈ ¥

≤∏ œ ≥≠ ?ł ≥ » ±± √

∫ÍËU¹ ”œ ”

”

±

∞

μ

μ

≤

œ

≤

≥

?ł

≤

μ

»

≥

≤

√

∫UL¼ w²LO� ÊS� ¥ Ω ”œ ©± ´ ”≤®

±

ÊU «–≈ ∂

¥ ¨≤ œ ≤ ¨≥≠ ?ł ≥ ¨≥≠ » ≤ ¨≥ √

∫ÍËU¹ ”œ ©”® Ó‚

μ

±

ÊS� ¨∂ Ω ©μ®‚ ¨ ∏ Ω ©±® ‚ ÊU «–≈ ∑

¥∏ œ ±¥ ?ł ≤ » ≤≠ √

±∞±

± ≤

±≠

’

±

≥ ¥ μ

≤

±∞ ”WFÐd� «bŠË ∂

WFÐd� «bŠË ¥

©”®‚ Ω ’∫w¼ —ËU−L�« qJA�« s� ”œ©”®‚

±∞

±

WLO� ∏

≤≠ » ≤ √

±∞≠ œ ±∞ ?ł

∫ÍËU¹ ”œ ©”®‚≤

≥

±

ÊS� ¨≤≥ Ω ”œ©¥ ´ ©”®‚μ®

≥

±

ÊU «–≈ π

∂ œ ±π ?ł ±μ » ±∞ √

∫”¥ ≠ ≤”≥ Ω ©”® Ó‚ WI²ALK� ÎUOK�√ ÎU½«d²�« q¦L¹ WO�U²�« U½«d²�ô« bŠ√ ±∞

¥ ≠ ”∂ Ω ©”®‚ » ≤”≤ ≠

≥” Ω ©”®‚ √

¥ ≠ ≥” Ω ©”®‚ œ

≤”≤ ≠ ≥”≥ Ω ©”®‚ ?ł

∫”œ©”®‚

»

√

…—uB�« vKŽ bŠ«Ë q�UJ²Ð WO�U²�« ö�UJ²�« ‚d� Ë√ ŸuL−� sŽ dÒ³Ž ≤

”œ©”®‚

∂

μ

´ ”œ©”®‚

μ

¥

´ ”œ©”®‚

¥

≤

» ”œ©”®‚

≥

μ

≠ ”œ©”®‚

≥

±

√

∫wK¹ ULO�

’œ

”œ

błË√ ≥

≤≠ ” ¨”œ

”≤ ´ ≤”

≤ ´ ”

Ω ’ » ”œ ©± ´ ”

®

¥

±

Ω ’ √

Æ”œ ’

b−� ”œ ≤”≥

≤

±

Ω ’ X½U «–≈ ¥

∫WO�U²�« ö�UJ²�« VŠ« μ

≥ ” ¨”œ

π ≠ ≤”

≥ ≠ ”

?ł ”œ ≤

©¥ ´ ”®

¥

≤

» ”œ ∏

≥

∞

√

±∞≤

ø”œ ©”®‰

±

≤≠

WLO� UL� ¨?ł ´ ”¥ ´

≥

≤”

Ω ”œ ©”®‰

ÊU «–≈ ∂

∫WO�U²�« ö�UJ²�« s� q WLO� UL� ¨≤ Ω ”œ ©”®‚

≥

¥

¨∂ Ω ”œ ©”®‚ ≤

≥

±

ÊU «–≈ ∑

ø”œ©”®‚

¥

±

» ø”œ©”®‚ μ

≥

±

√

ø”œ©©”®‚ ≠ ”®

¥

±

?ł

q×�« W×� s� oI×ð ÆWO�U²�« ‰UJý_« s� q w� WKKEL�« WIDML�« WŠU� »UŠ w� q�UJ²�« Âb�²Ý« ∏

Æ©W¹u²L�« WÝbMN�« bŽ«u� Â«b�²ÝUÐ® ?ł ¨√ sOKJA�« w�

» √

?ł

”≥

±≠

≤≠

’

”≥ ≠ ≤” Ω ©”®‚

± ≥

≥

≤

±

∂≤ ¥ μ ∑ ∏”

’

≥ Ω ©”®‚

”

∂

∂

”

≠ ∂

Ω © ”

®‚

’

∞

±∞≥

¥¥

…b???Šu«…b???Šu«

‰UL²Šô«

86878889

72737475

66676869

±∞¥

(Random Variable) wz«uAF« dOG²*« ±≠¥

UÝUOI�« s� œbŽ vKŽ ‰uB×�« r²¹¨·uHB�« bŠ√ W³KÞ ‰«uÞ√ ”UO� bMF� ¨W�ËdF� …dJ� dOG²L�« …dJ� Ê≈

q WMOF� WM¹b� w� …—«d×�« Uł—œ XK−ÔÝ u�Ë ªÎ«dOG²� UM¼ ‰uD�«d³²F¹ p�c�Ë ¨W³KD�« bŠ√ ‰uÞ UNM� q q¦L¹

Âb�²½ «dOG²L�« sŽ dO³F²K�Ë ªÆÆÆ «cJ¼Ë¨dš¬ Î«dOG²� q¦Lð WK−L�« …—«d×�« Wł—œ ÊS� ¨dNý …bL� Âu¹

ÆÆÆ¨Ÿ ¨’ ¨” q¦� Î«“u�— …œUŽ

pK²Ð j³ðdð œ«bŽQÐ UM�UL²¼« dB×M¹ UL½≈Ë ¨WÐd−²�« ZzU²½ öOBH²Ð r²N½ ô bI� ¨WOz«uAŽ WÐd−ð ¡«dł≈ bMŽË

ÆUNH½ WÐd−²�« —«dJð bMŽ Èdš√ v�≈ W�ËU×� s� ‰U×�« WFO³DÐ dOG²ð œ«bŽ_« Ác¼Ë ¨ZzU²M�«

t½_dOG²� œbF�« «c¼ ÊS� ¨dNEð w²�« —uB�« œbŽ WEŠö�Ë ¨sOðd� WLE²M� bI½ WFD� ¡UI�≈ WÐd−ð w� ¨Îö¦L�

” dOG²L�« Â«b�²ÝUÐ p�– sŽ dO³F²�« sJL¹Ë ª…—u� Í√ dNEð ô Ë√ ¨…bŠ«Ë …—u� dNEð Ë√ ¨ÊUð—u� dNEð b�

Í√ dNEð r� «–≈ dH� WLOI�«Ë¨…bŠ«Ë …—u� dNþ «–≈ ± WLOI�« c�²¹Ë ¨ÊUð—u� dNþ «–≈ ≤ WLOI�« c�²¹ Íc�«

Æ©±≠¥® qJA�« kŠô ÆÎUOz«uAŽ Î«dOG²� ” dOG²L�« vLÔ¹ W�U×�« Ác¼ q¦� w� Æ…—u�

ÊS� ¨œdM�« d−Š vKŽ …d¼UE�« ◊UIM�« œbŽ wHF{ q¦L¹ ’ dOG²L�« ÊUË ¨…bŠ«Ë …d� rE²M� œd½ d−Š wI�Ô√ «–≈Ë

Æ©≤≠¥® qJA�« UN×{u¹ ÎULO� c�²¹ wz«uAŽ dOG²� ’

©’¨’®

©„¨’®

©’¨„®

©„¨„®

≤

±

dH�

wMOF�« ¡UCH�«wz«uAF�« dOG²L�« rO�

≤

¥

∂

∏

±∞

±≤

wMOF�« ¡UCH�«wz«uAF�« dOG²L�« rO�

±

≤

≥

¥

μ

∂

©±≠¥® qJý

©≤≠¥® qJý

±∞μ

∫ÂUŽ tłuÐ

ÆU� WOz«uAŽ WÐd−ð ZzU²½ U¼œb×ð W¹œbŽ ÎULO� cšQ¹ dOG²� u¼ ∫wz«uAF�« dOG²L�«

∫WOz«uAF�« «dOG²L�« s� sOŽu½ sOÐ eOOL²�« sJL¹Ë «c¼

ÆqBHML�« wz«uAF�« dOG²L�« √

ÆqB²L�« wz«uAF�« dOG²L�« »

ÆqBHML�« wz«uAF�« dOG²L�« sŽ UM¼ Y¹b×�« dB²IOÝË

∫qBHM*« wz«uAF« dOG²*«

ÆbFK� WKÐU� ÎULO� cšQ¹ Íc�« wz«uAF�« dOG²L�« u¼

Ê_ ¨qBHM� wz«uAŽ dOG²� u¼ ” wz«uAF�« dOG²L�« ÊS� ¨WIÐU�« sOðd� WLE²M� bI½ WFD� ¡UI�≈ WÐd−ð wH�

ÆdH�¨ ± ¨≤ ∫ Àö¦�« rOI�« cšQ¹ dOG²L�« «c¼

«–≈ ¨¡«œuÝ «d ¥ ¨¡«dLŠ «d μ tÐ ‚ËbM� s� ÎUF� «d ÀöŁ V×Ý WÐd−ð w� ∫©±® ‰U¦�

Æ” dOG²L�« rO� V²U� ¨WÐu×L�« ¡«œu�« «dJ�« œbŽ q¦L¹ ” wz«uAF�« dOG²L�« ÊU

…d Ë√ ¨Ê«Ë«œuÝ ÊUðd Ë√ ¨¡«œuÝ «d ÀöŁ dNEð b� ¨‚ËbMB�« s� ÎUF� «d ÀöŁ V×Ý bMŽ

Æ¡«œuÝ …d Í√ dNEð ô Ë√ ¨¡«œuÝ …bŠ«Ë

ÆdH� ¨± ¨≤ ¨≥ ∫w¼ ” wz«uAF�« dOG²L�« rO� Ê–≈

’Uš q−Ý w� sO³zUG�« œbŽ V²J¹Ë ¨ÎU³�UÞ ©¥∞® tO� nB� W³KD�« Â«Ëœ rKF� kŠö¹ ∫©≤® ‰U¦�

Æ ÎUOz«uAŽ dO²š« Â«Ëb�« ÂU¹√ bŠ√ w� sO³zUG�« œbŽ q¦L¹ Ÿ wz«uAF�«dOG²L�« ÊU ÊS� ¨p�cÐ

ÆŸ rO� V²U�

Æ¥∞Ë√ ¨ÆÆÆ Ë√ ¨≤ Ë√ ¨± Ë√ ¨ Î«dH� sO³zUG�« œbŽ ÊuJ¹ Ê√ sJL¹

Æ¥∞ ¨ÆÆÆ¨≤ ¨± ¨dH� ∫w¼ Ÿ rO�

wz«uAF�« dOG²L�« ÊUË ¨WO�U²²� «d�©¥® tOKŽ oKÞ√ «–S� ¨·b¼ u×½ h�ý »uB¹ ∫©≥® ‰U¦�

Æ” rO� V²√ ¨WÐU�ù« «d� œbŽ q¦L¹ ” qBHML�«

Æ¥ ¨ ≥ ¨ ≤ ¨ ± ¨ dH� ∫w¼ ” rO�

±∞∂

∫wz«uAF« dOG²LK wUL²Šô« l¹“u²«

s� d¦√ Ë√ W−O²MÐ j³ðdð WLOI�« Ác¼ Ê_ ¨‰UL²Š« qBHML�« wz«uAF�« dOG²L�« U¼cšQ¹ w²�« rOI�« s� WLO� qJ�

w�UL²Šô« l¹“u²�UÐ vLÔ¹ U� UN� WKÐUIL�« ôUL²Šô« l� wz«uAF�« dOG²L�« rO� q ÒJAÔðË ¨WOz«uAF�« WÐd−²�« ZzU²½

Æwz«uAF�« dOG²LK�

¨ÍuKF�« tłu�« vKŽ ◊UIM�« œbŽ WEŠö�Ë ¨…bŠ«Ë …d� rE²M� œd½ d−Š ¡UI�≈ WÐd−ð w� ∫©¥® ‰U¦�

l¹“u²�« V²U� ¨ÍuKF�« tłu�« vKŽ …d¼UE�« ◊UIM�« œbŽ q¦L¹ ” wz«uAF�« dOG²L�« ÊU «–≈

Æwz«uAF�« dOG²LK� w�UL²Šô«

‰Ëb−�«Ë¨tH½ ‰UL²Šô« UN� rOI�« Ác¼ lOLłË ¨ ∂ ¨ μ ¨ ¥ ¨ ≥ ¨ ≤ ¨ ± ∫rOI�« cšQ¹ ” dOG²L�«

Æ” dOG²LK� w�UL²Šô« l¹“u²�« q¦L¹ wðü«

” qBHML�« wz«uAF�« dOG²LK� w�UL²Šô« l¹“u²�« ‰Ëbł

” rO�±≤≥¥μ∂

‰UL²Šô« rO�

±

∂

±

∂

±

∂

±

∂

±

∂

±

∂

∫w�U²�« u×M�« vKŽ W³ðd� Ã«Ë“√ …—uBÐ w�UL²Šô« l¹“u²�« sŽ dO³F²�« sJL¹Ë

©

±

∂

¨∂® ¨ ©

±

∂

¨μ® ¨ ©

±

∂

¨¥® ¨ ©

±

∂

¨≥® ¨ ©

±

∂

¨≤® ¨ ©

±

∂

¨±®

∫ÊuJ¹ w�UL²Š« l¹“uð q w� ∫WEŠö�

Æ∞ wz«uAF�« dOG²L�« rO� s� WLO� q ‰UL²Š« Æ±

Æ ± Ω wz«uAF�« dOG²L�« rO� lOLł ôUL²Š« ŸuL−� Æ≤

ŸuL−� t½QÐ ’ wz«uAF�« dOG²L�« ·Òd ÔŽË ¨…bŠ«Ë …d� Ê«e¹UL²�Ë ÊULE²M� œd½ «d−Š w�

Ô— ∫©μ® ‰U¦�

ÆvKŽ√ v�≈ s¹d¼UE�« s¹œbF�«

Æ‰Ëb−Ð WÐd−²K� WMJLL�« Zð«uM�« qÒ¦� √

Æ’ dOG²LK� w�UL²Šô« l¹“u²�« ‰Ëbł V²√ »

±∞∑

s¹œbF�« ŸuL−�Ë ¨œdM�« Íd−Š w�— WÐd−²� WHK²�L�« Zð«uM�« w�U²�« ‰Ëb−�« q¦L¹ √

ÆvKŽ√ v�≈ s¹d¼UE�«

vKŽ√ v�≈ s¹d¼UE�« s¹œbF�« ŸuL−�Ë ¨sOLE²M� œd½ Íd−Š w�— WÐd−²� WHK²�L�« Zð«uM�«

WÐd−²K� WHK²�L�« Zð«uM�«

s¹œbF�« ŸuL−�

©’ dOG²L�« rO�®

©±¨±®≤

©≤¨±® ¨©±¨≤®≥

©≤¨≤® ¨©±¨≥® ¨©≥¨±®¥

©≤¨≥® ¨ ©≥¨≤® ¨©±¨¥® ¨©¥¨±®μ

©≥¨≥® ¨©¥¨≤® ¨©≤¨¥® ¨©±¨μ® ¨©μ¨±®∂

©≥¨¥® ¨©¥¨≥® ¨©≤¨μ® ¨©μ¨≤® ¨©±¨∂® ¨©∂ ¨±®∑

©¥¨¥® ¨©≥¨μ® ¨©μ¨≥® ¨©≤¨∂® ¨©∂¨≤®∏

©¥¨μ® ¨©μ¨¥® ¨©≥¨∂® ¨©∂¨≥®π

©μ¨μ® ¨©¥¨∂® ¨©∂¨¥®±∞

©μ¨∂® ¨©∂¨μ®±±

©∂¨∂®±≤

Æ±≤¨ ±± ¨ ±∞ ¨ π ¨ ∏ ¨ ∑ ¨ ∂ ¨ μ ¨ ¥ ¨ ≥ ¨ ≤ ∫w¼ ’ dOG²L�« rO� Ê√ ‰Ëb−�« s� `C²¹ »

dOG²L�« e�— ¨qON²K� Âb�²MÝË ¨’ dOG²LK� w�UL²Šô« l¹“u²�« ‰Ëbł w�U²�« ‰Ëb−�« q¦L¹Ë

ÆdOG²L�« WLO� e�— vKŽ ÎUC¹√ W�ôbK� ’

’ wz«uAF�« dOG²LK� w�UL²Šô« l¹“u²�« ‰Ëbł

’≤≥¥μ∂∑∏π±∞±±±≤

©’®‰

±

≥∂

≤

≥∂

≥

≥∂

¥

≥∂

μ

≥∂

∂

≥∂

μ

≥∂

¥

≥∂

≥

≥∂

≤

≥∂

±

≥∂

±∞∏

Æ√ WLO� VŠ« Æ” wz«uAŽ dOG²L� ÎUO�UL²Š« ÎUF¹“uð wðü« ‰Ëb−�« q¦L¹ ∫©∂® ‰U¦�

” ≤≥¥μ

©”®‰∞,±∂∞,±∑∞,μ≥√

± Ω ôUL²Šô« ŸuL−�

± Ω √ ´ ∞,μ≥ ´ ∞,±∑ ´ ∞,±∂

∞,±¥ Ω √ UNM�Ë ± Ω √ ´ ∞,∏∂

©± ≠ ¥® qzU?��Ë s¹—U9

∫WO�U²�« ôU×�« s� q w� wz«uAF�« dOG²L�« U¼c�²¹ w²�« rOI�« błË√ ±

ÆU� WMÝ w� W�UF�« W¹u½U¦�« ÊU×²�ô sO�bI²L�« s� ÎUOz«uAŽ «ËdO²š« »öÞ μ sOÐ s� sO×łUM�« œbŽ √

Æ¡«dLŠ «d ∂ ¨¡«œuÝ «d ¥ tÐ ‚ËbM� s� ÎUOz«uAŽ «d ≥ V×Ý WÐd−ð w� ¡«dL×�« «dJ�« œbŽ »

Æ‰UHÞ√ ¥ UN� w²�« özUF�« s� ÎUOz«uAŽ dO²š« WKzUŽ w� —uc�« ‰UHÞ_« œbŽ œ

WFD� w�— bMŽ WÐU² —uNþ «d� œbŽ u¼ ” YOŠ ¨” wz«uAF�« dOG²LK� w�UL²Šô« l¹“u²�« V²√ ≤

ÆsOðd� WLE²M� bI½

Æ» ¨√ s� q WLO� VŠ« Æ√≤ Ω » X½U «–S� ¨Ÿ wz«uAŽ dOG²L� ÎUO�UL²Š« ÎUF¹“uð wðü« ‰Ëb−�« q¦L¹ ≥

Ÿ ¥∏±≤±∂

©Ÿ

®‰∞,≤»∞,∂√

ø«–UL�Ë ÎUO�UL²Š« ÎUF¹“uð d³²F¹ ¨sOO�U²�« sOF¹“u²�« Í√ ¥

√

”±≤¥∏±∂

©”®‰∞,±∞,≤∞,≥∞,≤∞,±

μ ¨¥ ¨≥ ¨≤ ¨± Ω ” ¨

”

±μ

Ω ©”®‰ YOŠ ©©”®‰ ¨”® »

UL¼bŠ√ Ë√ s¹d¼UE�« s¹œbF�« d³√ q¦L¹ ” wz«uAF�« dOG²L�« ÊUË ¨…bŠ«Ë …d� ÊULE²M� œd½ «d−Š wI�√ μ

Æ ” wz«uAF�« dOG²LK� w�UL²Šô« l¹“u²�« V²√ Æ± ©±¨±®¨ μ ©μ ¨±® ∫ Îö¦L� U¹ËUð «–≈

X³×ÔÝ ∏¨∑ ¨∂ ÂU�—_UÐ dšü«Ë μ¨¥¨≥ ÂU�—_UÐ WL�d� tð«d ‰Ë_« ¨ «d ÀöŁ ULNM� qJÐ ÊU�ËbM� ∂

sOðdJ�« vKŽ sOÐu²JL�« s¹œbF�« »d{ ZðU½ u¼ ” dOG²L�« ÊUË ¨‚ËbM� q s� ÎUOz«uAŽ …d

Æ” wz«uAF�« dOG²LK� w�UL²Šô« l¹“u²�« V²√ ÆsO²Ðu×L�«

±∞π

Expectation ©wÐU�(« jÝu«® qBHM*« wz«uAF« dOG²*« l uð ≤≠¥

∫wðü« ‰U¦L�« ”—b½ ¨©wÐU×�« jÝu�«® qBHML�« wz«uAF�« dOG²LK� l�u²�« …dJ� V¹dI²�

?ł ¨» ¨√ oÞUM� v�≈ rIL�« rNÝ_« Õu� u×½ d�UÝ »ÒuB

Ô¹ ∫©±® ‰U¦�

»U�√ «–≈ ◊UI½ ±∞ vKŽ qB×¹Ë ¨©≥≠¥® qJý w� UL

…bŠ«Ë WDI½Ë ¨ » WIDML�« »U�√ «–≈ ◊UI½ μ ¨√ WIDML�«

…d� ±∞∞ ÕuK�« u×½ d�UÝ v�— Æ ?ł WIDML�« »U�√ «–≈

…d� ≥∞ » WIDML�«Ë ¨…d� ≤∞ √ WIDML�« »U�Q�

w²�« ◊UIM�« œbF� wÐU×�« jÝu�« U� Æ…d� μ∞ ?ł WIDML�«Ë

ø…bŠ«u�« …dL�« w� d�UÝ UNOKŽ qBŠ

± μ∞ ´ μ ≥∞ ´ ±∞ ≤∞ Ω …d� ±∞∞ w� d�UÝ UNOKŽ qBŠ w²�« ◊UIM�« ŸuL−�

μ∞ ´ ±μ∞ ´ ≤∞∞Ω

WDI½ ¥∞∞ Ω

◊UIM�« ŸuL−�

«d*« œbŽ

Ω …bŠ«u�« …dL�« w� d�UÝ UNOKŽ qBŠ w²�« ◊UIM�« œbF� wÐU×�« jÝu�«

◊UI½¥ Ω

¥∞∞

±∞∞

Ω

w¼Ë wz«uAF�« dOG²L�« rO� »dCÐ p�–Ë ¨Èdš√ WI¹dDÐ wÐU×�« jÝu�« vKŽ ‰uB×�« UMMJL¹ t½√ kŠô

VOðd²�« vKŽ ∞,μ ¨ ∞,≥ ¨ ∞,≤ © ôUL²Šô«® UN� WKÐUIL�« WO³M�« —«dJ²�« w� ± ¨ μ ¨ ±∞ UM¼

∫wðü« ‰Ëb−�« w� `{u� u¼ UL ¨»dC�« q�«uŠ lLł rŁ

©”®wz«uAF�« dOG²L�« rO�±∞μ±

©”®‰ ©‰UL²Šô«® w³M�« —«dJ²�«∞,≤∞,≥∞,μ

©”®‰ ”≤±,μ∞,μ¥

¥ Ω ◊UIM�« œbF� wÐU×�« jÝu�«

w²�« ◊UIM�« œbŽ jÝu²� q¦L¹ uN� ¨l�u²�« u¼ dš¬ rÝUÐ wz«uAF�« dOG²LK� wÐU×�« jÝu�« vLÔ¹

Æ «dL�« s� Î«dO³ Î«œbŽ ÕuK�« u×½ v�— u� …bŠ«u�« …dL�« w� d�UÝ UNOKŽ qB×¹ Ê√ l�u²Ô¹

√

»

?ł

©≥≠¥® qJý

±±∞

∫ÂUŽ tłuÐ

∫l u²«

¨©±

”®‰ WKÐUI� ôUL²ŠUÐ Ê

” ÆÆÆ¨≤

” ¨ ±

” rOI�« cšQ¹ ÎöBHM� ÎUOz«uAŽ Î«dOG²� ” ÊU «–≈

∫«cJ¼ ·ÒdF

Ô¹ ©”® t� e�d¹Ë

”

l�uð ÊS� ¨VOðd²�« vKŽ ©

Ê

”®‰ ¨ÆÆÆ¨©

≤

”®‰

©Ê

”®‰

Ê

” ´

ÆÆÆ ´ ©

≤

”®‰ ≤

” ´ ©±

”®‰ ±

” Ω ©”®

©”

®‰ ”

Î«—UB²š« V²JðË ¨©—

”®‰

—

”Ê

±Ω—

Ω

Æ©”® VŠ≈ ¨” dOG²LK� w�UL²Šô« l¹“u²�« q¦L¹ wðü« ‰Ëb−�« ∫©≤® ‰U¦�

”±≤≥¥

©”®‰

±

±∞

≤

±∞

≥

±∞

¥

±∞

©”®‰ ” Ω ©”®

¥

±∞

¥ ´

≥

±∞

≥ ´

≤

±∞

≤ ´

±

±∞

± Ω

±∂

±∞

´

π

±∞

´

¥

±∞

´

±

±∞

Ω

≥ Ω

≥∞

±∞

Ω

—uB�« œbŽ q¦L¹ ” wz«uAF�« dOG²L�« ÊU «–≈ ¨ÎUF� WLE²M� bI½ lD� ÀöŁ w�— WÐd−ð w� ∫©≥® ‰U¦�

Æ©”

®l�uð VŠ« ÆlDIK� ÍuKF�« tłu�« vKŽ dNEð w²�«

©’¨’¨„® ¨ ©’¨„¨’® ¨ ©„¨’¨’® ¨ ©’¨’¨’®

Ω wMOF�« ¡UCH�«

© „ ¨ „ ¨ „ ® ¨ ©„ ¨„ ¨ ’® ¨ ©„ ¨ ’ ¨„® ¨ © ’ ¨ „ ¨ „ ®

≥ ¨≤ ¨± ¨dH� Ω ©’ rO�® ÍuKF�« tłu�« vKŽ dNEð w²�« —uB�« œbŽ Ê√ kŠö½ ¨wMOF�« ¡UCH�« s�

Æ’ dOG²LK� w�UL²Šô« l¹“u²�« q¦L¹ wðü« ‰Ëb−�«Ë

”∞±≤≥

©”®‰

±

∏

≥

∏

≥

∏

±

∏

±±±

©’®‰ ’ Ω ©’®

±

∏

≥ ´

≥

∏

≤ ´

≥

∏

± ´

±

∏

∞ Ω

≥

∏

´

∂

∏

´

≥

∏

´ ∞ Ω

±,μ Ω

±≤

∏

Ω

bMŽ ◊UI½ ±∞ VJ¹Ë …bŠ«Ë …d� sOLE²M� œd½ Íd−Š wIKÔ¹ ∫WO�U²�« W³FK�« h�ý VFK¹ ∫©¥® ‰U¦�

dOG²L�« ÊU «–S� ¨sOHK²�� sONłË —uNþ bMŽ ◊UI½ μ d�¹Ë ¨sOKŁUL²� sONłË —uNþ

Æ©”

® błËQ� ¨h�A�« UN³J¹ w²�« ◊UIM�« œbŽ q¦L¹ ” wz«uAF�«

μ≠ ¨±∞∫ sO²LOI�« ” dOG²L�« cšQ¹

—uNþ «d� œbŽ Ê√ WEŠö� sJL¹ ©¥≠¥® qJA�« s�Ë

∂

≥∂

Ω ©±∞ Ω ”®‰ Ê–≈ ¨∂ Ω sOKŁUL²� sONłË

≥∞ u¼ sOHK²�� sONłË —uNþ «d� œbŽ Ê√Ë

≥∞

≥∂

Ω ©μ≠ Ω”®‰ Ê–≈

u¼ ” dOG²LK� w�UL²Šô« l¹“u²�« ‰Ëbł Ê–≈

”±∞μ≠

©”®‰

∂

≥∂

≥∞

≥∂

©”®‰ ” Ω ©”®

≥∞

≥∂

μ≠ ´

∂

≥∂

±∞ Ω

≤,μ≠ Ω

π∞≠

≥∂

Ω

Æ «dL�« s� Î«dO³ Î«œbŽ œdM�« d−Š v�— «–≈ …d� q w� nB½Ë sO²DI½ t�bF� U� d�OÝ VŽö�« Ê√ wMF¹ «c¼Ë

ÆWDI½≤μ∞ Ω ≤,μ ±∞∞ d�¹ Ê√ l�u²L�« sL� ¨…d� ±∞∞ œdM�« d−Š v�— «–≈ Îö¦L�

μ

± ≤ ≥ ¥ μ ∂

±

≤

≥

¥

∂

X

X

X

X

X

X

©¥≠¥® qJý

‰Ë_« œdM�« d−Š

w½U

¦�«

œd

M�«

d−

Š

sOHK²�� sONłË

sOKŁUL²� sONłË X

±±≤

∫l u²« hzUBš

Æwz«uAF�« dOG²L�« rO� vKŽ q¹bFð ÀbŠ «–≈ tÐUŠ UMOKŽ qNð WLN� hzUBš qBHML�« wz«uAF�« dOG²L�« l�u²�

∫WOðü« …bŽUI�« ‰öš s� hzUB��« Ác¼ iFÐ ·dF²MÝË

∫…bŽU

∫ÊS� ÊU²ÐUŁ » ¨ √ YOŠ ¨» ´” √ Ω ’ ÊUË ¨©”

® tF�uð ÎUOz«uAŽ Î«dOG²� ”

ÊU «–≈

» ´ ©”

® √ Ω ©’®

©”® √ Ω ©’® ÊS� ” √ Ω’ ÊU «–≈ ¨…bŽUI�« ÁcN� W�Uš W�U×

Æ©μ ≠ ”¥® VŠU� ∏ Ω ©”® ÊU «–≈ ∫©μ® ‰U¦�

μ ≠ ©”® ¥ Ω ©μ ≠ ”¥®

μ ≠ ∏ ¥ Ω

≤∑ Ω

©”

≥® VŠ« ¨∂ Ω ©”® ÊU «–≈ ∫©∂® ‰U¦�

©”® ≥ Ω ©” ≥®

∂ ≥ Ω

±∏ Ω

∫ wðü« ‰Ëb−�« w� UL ” wz«uAŽ dOG²L� w�UL²Šô« l¹“u²�« ÊU «–≈ ∫©∑® ‰U¦�

”±≤≥

©”®‰ ≤

μ

±

μ

≤

μ

Æ©”

® VŠ« √

Æ©’

® VŠU� ”μ Ω ’

wz«uAF�« dOG²L�« ÊU «–≈ »

±±≥

©”®‰ ” Ω ©”® √

≤

μ

≥ ´

±

μ

≤ ´

≤

μ

± Ω

∂

μ

´

≤

μ

´

≤

μ

Ω

≤ Ω

±∞

μ

Ω

Æ±∞ Ω ≤ μ Ω ©”® μ Ω ©”μ® Ω ©’®

∫”

wz«uAŽ dOG²L� w�UL²Šô« l¹“u²�« q¦L¹ w�U²�« ‰Ëb−�« ∫©∏® ‰U¦�

”±≥μ

©”®‰

±

¥

≤

¥

±

¥

Æ©”

® VŠ« √

Æ©Ÿ

® VŠU� ∑ ´”≤ Ω Ÿ

wz«uAF�« dOG²L�« ÊU «–≈ »

©”®‰ ” Ω ©”® √

±

¥

μ ´

≤

¥

≥ ´

±

¥

± Ω

μ

¥

´

∂

¥

´

±

¥

Ω

≥ Ω

±≤

¥

Ω

©∑ ´”≤® Ω ©Ÿ

®

∑ ´ ©”® ≤ Ω

∑ ´ ≥ ≤ Ω

±≥ Ω

±±¥

©≤ ≠ ¥® qzU?��Ë s¹—U9

∫sO²O�U²�« sO²�U×�« s� q w� wz«uAF�« dOG²L�« l�uð VŠ« ±

”≥∂π

©”® ‰

±

≥

±

≥

±

≥

Ÿ¥≠≥±≤≤∞

©Ÿ

®‰∞,±∞,μ∞,≤∞,≤

vKŽ ◊UIM�« œbŽ q¦L¹ ” YOŠ ¨” wz«uAF�« dOG²L�« l�uð VŠ« Æ…bŠ«Ë …d� rE²M� œd½ d−Š wI�Ô√ ≤

ÆœdM�« d−×� ÍuKF�« tłu�«

d¼UE�« œbF�« lÐd� t½QÐ ’ wz«uAF�« dOG²L�« ·Òd ÔŽ «–≈ ¨…bŠ«Ë …d� rE²M� œd½ d−Š ¡UI�≈ WÐd−ð w� ≥

Æ’ l�uð VŠ« ÆÍuKF�« tłu�« vKŽ

œd½ Íd−Š w�— bMŽ vKŽ_ s¹d¼UE�« s¹œbF�« ŸuL−� q¦L¹ Íc�« ” wz«uAF�« dOG²L�« l�uð VŠ« ¥

ÆÎUF� sOLE²M�

Æ’ dOG²LK� w�UL²Šô« l¹“u²�« wðü« ‰Ëb−�« q¦L¹ μ

’±¥π±∂

©’® ‰

±

±∞

≤

±∞

√

¥

±∞

Æ√ WLO� bł √

Æ©’® VŠ« »

…bŠ«Ë W�—Ë fOJ�« s� X³×Ý Æ±∞¨±∞ ¨±∞ ¨≥ ¨≤ ¨±∫œ«bŽ_UÐ WL�d�Ë WKŁUL²� U�—Ë ∂ tÐ fO ∂

ÆWÐu×L�« W�—u�« vKŽ d¼UE�« œbF�« t½QÐ ” wz«uAF�« dOG²L�« ·dŽË ÎUOz«uAŽ

Æ” dOG²LK� w�UL²Šô« l¹“u²�« V²√ √

Æ©”® VŠ« »

√

»

±±μ

ÆdO½U½œ ±∞ WLOIÐ …ezUł UNM� q qL×¹ UHKG� ±∞ ∫wK¹ UL ÎUHKG� μ∞ tÐ ‚ËbM� ∑

ÆbŠ«Ë —UM¹œ WLOIÐ …ezUł UNM� q qL×¹ UHKG� ±∞

Æ—UM¹œ

±

≤

WLOIÐ …ezUł UNM� q qL×¹ ÎUHKG� ±μ

Æez«uł qL×ð ô w�U³�«Ë

ÆÎUOz«uAŽ UHKGL�« Ác¼ bŠ√ p³×Ý bMŽ tOKŽ qB×ð Íc�« mK³LK� pF�uð błË√

Æ©” ∑® VŠ« ¨μ Ω ©”® ÊU «–≈ ∏

Æ©μ ≠’≤® VŠ« ¨≤≠ Ω ©’® ÊU «–≈ π

Æ©”® VŠ« ¨±± Ω ©μ ´”≤® ÊU «–≈ ±∞

Æ” wz«uAF�« dOG²LK� w�UL²Šô« l¹“u²�« wðü« ‰Ëb−�« q¦L¹ ±±

”μ≠±∂

©”®‰

±

∏

μ

∏

≤

∏

∫błË√

Æ©”® √

Æ©” ≤® »

Æ©± ≠ ” ≥® ?ł

±±∂

∫W�UŽ s¹—U9


dOG²*« ÊU «–≈ ¨¡«œuÝ «d ¥Ë ¨¡«dLŠ «d ≥ vKŽ Íu²×¹ ‚ËbM� s� 5ðd V×Ý WÐd& w� ±

∫w¼ ” rO� ÊS� WÐu×*« ¡«dL(« «dJ�« œbŽ q¦1 ” wz«uAF�«

≤¨ ± ¨dH� œ ≤ ¨ ± ?ł ≤ » ≥ √

¨s¹e¹UL²� œd½ Íd−Š w�— bMŽ s¹d¼UE�« 5L�d�« 5Ð ‚dHK� WIKD*« WLOI�« q¦1 UOz«uAŽ Î«dOG²� ” ÊU «–≈ ≤

∫w¼ WMJL*« ” rO� WŽuL−� ÊS�

Æ ±≤¨ÆÆÆ¨μ ¨ ¥ ¨ ≥ ¨ ≤ » Æ ∂ ¨ μ ¨ ¥ ¨ ≥ ¨ ≤ ¨ ± √

Æ μ ¨ ¥ ¨ ≥ ¨ ≤ œ Æ μ ¨ ¥ ¨ ≥ ¨ ≤ ¨ ± ¨ dH� ?ł

∫ÎUO�UL²Š« ÎUF¹“uð ÊuJ¹ Ê√ `KB¹ WOðü« UF¹“u²�« bŠ√ ≥

”±±≠∑≥

©”®‰∞[±μ∞[≤∞[μ∞[±μ

»

”¥∂∏

©”®‰

±

μ

≤

μ

≥

μ

√

”±≤≥¥

©”®‰

±

≥

±

≥

±

¥

±

±∂

œ

”≥≠≤≠±≠

©”®‰∞[≤μ∞[≥μ∞[μ¥ ?ł

∫ÍËU¹ ©”® ÊS� ¨

”

±≤ Ω ©”®‰ ÊUË ¨μ¨ ¥ ¨ ≥ rOI�« cšQ¹ ÎUOz«uAŽ Î«dOG²� ” ÊU «–≈ ¥

∂ œ

∂

≤μ ?ł μ »

≤μ

∂ √

∫ÍËU¹ ©”® ÊS� ∞[¥ Ω ©≤®‰ ÊUË ¨¥ ¨ ≤ 5²LOI�« cšQ¹ ÎUOz«uAŽ Î«dOG²� ” ÊU «–≈ μ

≥[∂ œ ≥[≤ ?ł ≤[∏ » ≤[¥ √

∫ÍËU¹ ©∏ ≠ Ÿ≥® ÊS� ¨∂ Ω ©Ÿ® ÊU «–≈ ∂

±∞ œ ∏≠ ?ł ±∏ » ∂ √

∫ÍËU¹ ©”® ÊS� ¨

”

≤∞ Ω ©”®‰ ÊUË ¨±∞ ¨ ∂ ¨ ¥ rOI�« cšQ¹ ÎUOz«uAŽ Î«dOG²� ” ÊU «–≈ ∑

p�– dOž œ ± ?ł ≤∞ » ∑[∂ √

±±∑

∫wK¹ UL w�UL²Šô« tF¹“uð wz«uAŽ dOG²� ” ∏

©

±

∂ ¨ ∂® ¨©

±

≤ ¨≥® ¨©

±

≥ ¨π®

∫ÍËU¹ ©” ≤®

≤≤ œ ±∏ ?ł ±± » μ[μ √

∫wK¹ UL ” wz«uAŽ dOG²* w�UL²Šô« l¹“u²�« π

”√≥μ

©”®‰∞[≤∞[±∞[∑

∫w¼ ¥ Ω ©”® qF& w²�« √ WLO�

μ œ ≥ ?ł ± » ∞[± √

∫ÍËU¹ ©”® ÊS� ¨±∂ Ω ©± ´ ” ≥® ÊU «–≈ ±∞

μ≠ œ ±μ ?ł ±∞ » μ √

«d vKŽ w½U¦�« ‚ËbMB�« Íu²×¹Ë ª¥¨ ≥¨ ≤¨± ÂU�—_« qL×ð «d vKŽ ‰Ë_« Íu²×¹ ÊU�ËbM� ≤

ŸuL−� ÊQÐ ” wz«uAF�« dOG²L�« ·Òd ÔŽË ¨‚ËbM� q s� …bŠ«Ë …d X³×

ÔÝ Æμ ¨ ≥¨ ≤ ÂU�—_« qL×ð

ÆsO²Ðu×L�« sOðdJ�« vKŽ sOL�d�«

ÆWMJLL�« ” rO� V²√ √

Æw�UL²Šô« l¹“u²�« ‰Ëbł V²√ »

Æ©”® VŠ« ?ł

d�¹Ë ¨≥ r�d�« Ë√ ± r�d�« dNþ «–≈ ◊UI½ μ VŽô `Ðd¹ ¨…bŠ«Ë …d� rE²M� œd½ d−Š w�— WÐd−ð w� ≥

ø◊UIM�« s� VŽö�« `Ð— l�uð U�Æp�– dOž dNþ «–≈ …bŠ«Ë WDI½ `Ðd¹Ë ¨≤ r�d�« dNþ «–≈ ◊UI½±∞

VŠ« rŁ √ WLO� bł Æ”√≤ Ω ©”®‰ ÊUË ¥ ¨ ≥ ¨ ≤ ¨ ± ¨ ∞ ∫rOI�« c�²¹ wz«uAŽ dOG²� ” ¥

Æ©μ ´ ”≤® ¨©”®

Æ‰UHÞ√ ¥ U¼bMŽ WKzUŽ w� —uc�« ‰UHÞ_« œbŽ l�uð VŠ« μ

±±∏

∫błËQ� ¨

≤≠ μ

±≠ ±

Ω ¨

± ≥

± ≤≠

Ω X½U «–≈ ±

¸ ´

¸ ?ł ≠

≤ » ´ √

≥≠ ±

≥ ≤

≠ ≤ Ω

±≠ ¥

μ ≥

´ ∫WO�uHBL�« W�œUFL�« qŠ ≤

∫ U�uHBL�« Â«b�²ÝUÐ w�U²�« ÂUEM�« qŠ ≥

± Ω ’≥ ≠ ”

π Ω ”≤ ´ ’

ö�UFL�« W�uHB� X½U ¨’ ¨” s¹dOG²LÐ sO²ODš sO²�œUF� s� ÊuJ� ÂUE½ qŠ bMŽ ¥

Æ’ ¨” s� q WLO� błË√ ¨

±≠

μ≠

w¼ XÐ«u¦�« W�uHB�Ë

± ≤

±≠ ±

w¼

bŠ√ s� v�Ë_« WFÐ—_« dNý_« w� ?ł ¨» ¨√ …eNł_« s� Ÿ«u½√ WŁöŁ s� Í—U−ð q×� UFO³� X½U μ

Æ

μ ≥ ±∞

∏ ¥ ≤≤

≥ ±μ ≤∞

±∞ ∞ ±≤

Ω W�uHBL�« w� WK¦L� Â«uŽ_«

Æ Î«—UM¹œ ≥∞ ©?ł® ŸuM�« s�Ë Î̈«—UM¹œ μ∞ ©»® ŸuM�« s�Ë Î̈«—UM¹œ≤∞ ©√® ŸuM�« s� “UN−�« sLŁ ÊU «–S�

ÆWFÐ—_« dNý_« s� q w� …eNł_« s� q×L�« tŽUÐ U� ŸuL−� WLO� œU−¹ù U�uHBL�« Âb�²Ý«

dH� Ω

± ± ±

∏ ¥ ≤

π μ ≥

∫Ê√ sOÐ ∂

∫W�UŽ WFł«d�

±±π

Æ©”®‚ Ω ’ Ê«d²�ô« vM×M� q¦L¹ —ËU−L�« qJA�« ∑

∫s� q œU−¹≈ w� qJA�« Âb�²Ý«

©±®‚ √

©≥®‚ »

© błË Ê≈® ©”®‚

”± ←

?ł

© błË Ê≈® ©”®‚

”∞ ←

œ

© błË Ê≈® ©”®‚

”≤ ←

?¼

∫WO�U²�« U¹UNM�« s� Îö błË√ ∏

¥ ” ¨

¥ ´ ”μ ≠ ≤

”

¥ ≠ ”

”¥ ←

» ©±∞ ´ ” ´ ≤

”≤ ≠ ≥

”®

”± ←

√

≤≠ ” ¨

∏ ≠ ≤

”≤

≤ ´ ”

”≤≠←

?ł

Æ∑ Ω ≤

” v�≈ ≤ Ω ±

” s� ” dOG²ð U�bMŽ ≤ ´ ”

Ω ©”®‚ Ê«d²�ô« dOGð jÝu²� błË√ π

∫VŠ« ¨≤ ´ ≤” Ω ©”®?¼ ¨≤ Ω ©≤® Ó‚ ¨≥ Ω ©≤®‚ ÊU «–≈ ±∞

Æ©¥® Ó?¼≥ ?ł ©≤®Ó

©

‚

?¼® » ©≤® Ó©?¼ ´ ‚® √

∫WO�U²�« U¹UNM�« s� q WLO� UL� ¨≥ ≠ ”∂ ´ ¥”≤ Ω ©”®‚ ÊU «–≈ ±±

ø

©?¼ ´ ≤®‚ ≠ ©≤®‚

?¼≥

?¼∞ ←

» ø

©±®‚ ≠ ©?¼ ´ ±®‚

?¼≥

?¼∞ ←

√

± Ω wMO�« UNOŁ«bŠ≈ w²�« WDIM�« bMŽ

”¥

± ´ ≤”

Ω ©”®‚ Ê«d²�ô« vM×ML� ”ULL�« W�œUF� błË√ ±≤

∫WO�U²�« ö�UJ²�« błË√ ±≥

”œ ©± ´ ≤

”≤ ≠ ≥”¥®

±

∞

» ”œ ©± ´ ”≤ ´ ≤”≤®

≤

±

√

Ÿœ ©≥ ´

Ÿ®©± ≠

Ÿ® œ ”œ©

±

≤” ´

” ® ?ł

± ≤

±

’

”

±≤∞

ø√ XÐU¦�« WLO� UL� ±μ Ω ”œ ©√ ≠ ©”®‚≤®

μ

≤

ÊUË ¨∏ Ω ”œ ©”®‚

μ

≤

ÊU «–≈ ±¥

‰UL²Š« ÊU «–S� ¨dÞUL�« dOž ÂuO�« w� s¹—UM¹œ d�¹Ë dÞUL�« ÂuO�« w� dO½U½œ∑ mK³� öE� lzUÐ `Ðd¹ ±μ

Æw�uO�« dłU²�« `Ð— l�uð VŠ« Æ∞,∂ Ω dÞUL�« ÂuO�«

Æ©∂®‰ błË√ Æ∑ Ω ©”® ÊUË π ¨∂ sO²LOI�« cšQ¹ ÎUOz«uAŽ Î«dOG²� ” ÊU «–≈ ±∂

ÆWÐU²J�« —uNþ ‰UL²Š« ·UF{√ WLš ÍËU¹ …—uB�« —uNþ ‰UL²Š« ÊuJ¹ YO×Ð WLE²M� dOž œuI½ WFD� ±∑

∫…—u� —uNþ «d� œbŽ q¦L¹ ” wz«uAF�« dOG²L�« ÊU «–S� ÆsO²O�U²²� sOðd� WFDI�« Ác¼ XOI�√

Æ” wz«uAF�« dOG²LK� w�UL²Šô« l¹“u²�« V²√ √

Æ©” ® bł »

∫” wz«uAF�« dOG²LK� w�UL²Šô« l¹“u²�« q¦L¹ w�U²�« ‰Ëb−�« ±∏

”∞±≤≥

©”

®‰∞,≤∞,±√»

Æ≤ Ω ©”® ÊQÐ ÎULKŽ » ¨√ sO²ÐU¦�« bł

±≤±

WO{U¹d« 5½«uI«Ë U öF« iFÐ ∫o×K�

d³'« w� ∫ÎôË√

∫fÝ_« sO½«u� Æ±

r�d�«Êu½UI�«‰U¦L�«

±Ê ´

Â

Ω

Ê

Âμ

≤ Ω ≤

≤ ≥

≤

≤

Ê ≠ Â

Ω

Â

Ê∏ Ω ≥

≤ Ω ≥≠∂

≤ Ω

∂

≤

≥

≤

≥Ê

Â

Ω

Ê

©

Â

®

∂

≥ Ω ≥ ≤

≥ Ω ≥

©≤

≥®

¥

Â

Ê

Ω

Â

Ê

¥ Ω

∂¥

≥

Ω

≤

∏

≥

Ω

≤

≥

∏

μ

±Â

Ω

Â≠±

≤μ

Ω

±

≤

μ

Ω ≤≠

μ

∫„d²A� q�UŽ Ã«dšSÐ qOK×²�« Æ≤

©¥ ´ ”®” Ω ”¥ ´ ≤” ∫‰U¦� ©» ´ √®√ Ω »√ ´

≤

√

∫sOFÐd� sOÐ ‚d� qOK×ð Æ≥

©≥ ´ ”®©≥ ≠ ”® Ω π ≠ ≤” ∫‰U¦� ©»´√®©»≠√®Ω

≤

»≠≤

√

∫sO³FJ� ŸuL−�Ë ‚d� qOK×ð Æ¥

©¥ ´ ”≤ ´ ≤”®©≤ ≠ ”® Ω ∏ ≠

≥” ∫‰U¦� ©≤

» ´ »√ ´ ≤

√®©»≠√® Ω ≥

»≠≥

√

©π ´ ”≥ ≠ ≤”®©≥ ´ ”® Ω ≤∑ ´

≥” ∫‰U¦� ©≤

» ´ »√ ≠ ≤

√®©» ´ √® Ω ≥

» ´ ≥

√

∫WODš W�œUF� qŠ Æμ

∞ Ω ∂ ´ ”≤ ∫‰U¦� ∞ √ ¨∞ Ω » ´ ”√

∂≠ Ω ”≤

»≠

√

Ω ”

≥≠ Ω ”

∫q�«uF�« v�≈ qOK×²�« Â«b�²ÝUÐ WOFOÐdð W�œUF� qŠ Æ∂

∞ Ω ≤ ´

”≥ ≠ ≤

” ∫‰U¦�

∞ Ω ©± ≠ ”®©≤ ≠ ”®

± Ω ” ¨≤ Ω ”

∫s¹bŠ s� ÊuJ� Íd³ł —«bI� lOÐdð Æ∑

¥ ´ ”¥ ´ ≤” Ω

≤

©≤ ´ ”® ∫‰U¦� ≤

» ´ »√≤ ´ ≤

√ Ω ≤

©» ´ √®

±≤≤

≤±

±

’

”

≤

≥

≥

¥

μ ©μ¨≥®

©≤¨≤®

≤±

±

’

”

≤

≥

≥

¥

μ

©≤¨μ®

©¥¨±®

¥ μ

WOKOK×²« WÝbMN« w� ∫ÎUO½UŁ

vKŽ ÊUFIð ©≤

’ ¨≤

”® ¨©±

’¨±

”® sO²DI½ Í_ ±

’ ≠ ≤

’

±

” ≠ ≤

” Ω

«œUB�« ‚d�

UMO�« ‚d�

Ω rOI²L�« qO� Æ±

ÆrOI²L�« j��«

±

≤

≠ Ω

≤

¥≠

Ω

≤ ≠

¥

μ ≠

±

Ω œ ?ł qO� ≥Ω

≥

±

Ω

≤ ≠

μ

≤ ≠

≥

Ω »√ qO�

∫rOI²L�« W�œUF� Æ≤

∞ Ω ?ł ´ ’ » ´ ”√ w¼ rOI²L�« W�œUFL� W�UF�« …—uB�«

Æ©±

” ≠

”®Â Ω

±

’ ≠ ’ ∫w¼ ©±

’ ¨±

”® WDIM�UÐ dL¹Ë Â tKO� Íc�« rOI²L�« W�œUF� ∫W�Uš W�UŠ

©±

” ≠

”®Â Ω

±

’ ≠ ’ ∫oÐU�« qJA�« w� »√ rOI²L�« W�œUF� ∫‰U¦�

©≤ ≠

”® ≥ Ω ≤ ≠’

∂ ≠

”≥ Ω ≤ ≠ ’

Æ¥ ≠

”≥ Ω ’

√

»

?ł

œ

±≤≥

∫lł«d*«

ÆÂ±π∏≥ wK¹«Ë Êuł —«œ ¨÷uŽ bL×� ÊU½bŽË `O³� uÐ√ w×³� bL×� ¡UBŠù« w� W�bI� Æ±

Æ ËdOÐ ¨dAM�«Ë WŽU³DK� WOÐdF�« WCNM�« —«œ ¨qJO¼ wLN� e¹eF�« b³Ž Æœ W¹œUB²�ô« …—«œù«Ë UO{U¹d�« Æ≤

ÆÊULŽ WOÐöD�« U�b�K� wÐdF�« edL�«

ÆÂ≤∞∞¥ dAMK� qz«Ë —«œ ¨Ê«bLŠ qOKš w×²� ¨q�UJ²�«Ë q{UH²�« UOÝUÝ√ Æ≥

ÆÂ±πππ WŠu²HL�« ”bI�« WF�Uł ¨©±® q�UJðË q{UHð Æ¥

5. Precalculus, second edition, Larson/Hostetler

6. www.Earth math_htm

7. http://www.zweigmedia.com/ThirdEdsite/summary7.htm1

∫‰ULA« UE�U×�

∫»uM'« UE�U×�

tK�« bL×Ð »U²�«« -

WM¹—“ œuL×� ‰UM� qOL włU½ œuL×� d³ł tOłË VO¼Ë w½ôu−�« qO³½ `O³� dLŽ

ÍbM¼ vKO� Â«eŽ sLŠd�« b³Ž w�UŽ w�b� dLŽ Ê«dOł b�Uš w�UF� qOLł

rOŠd�« b³Ž WMONł WLž«d{ ÊU½bŽ d³ł U¹d“ ÊU−ý√ W�«ež uÐ√ X�dO� XÐUŁ ‰ULł

…dłU−½ w×³� qBO� UMO� ÊU×LÝ ÍËbÐ «“u� …Ëö×�« uÐ√ vM� W�öÝ wHD�

WIÞUIÞ b�Uš «—UAÐ WOH�Ë w�UŽ e¹eF�« b³Ž W¹œU½ »U¹– bL×� `³� s¹b�« —u½

»uIF¹ wHD� vN½ dJÐ uÐ√ W¹œU½ dJÐ uÐ√ wLN� bL×� dŽUA�« W�uš sO�U−Ž ¡UMÝ

Â«dŽ uÐ√ bL×� wKŽ UýUÐ uÐ√ vM³� —Ëe³�« e¹U� —bÐ wHO� dÝUł uMŠ ÂU²š

sO×� œuL×� qOKš WýË«—œ n�«Ë bL×� Õö� —U³−�« b³Ž œULŽ bOý— ‰ULł 5ÝU¹ WMOJÝ

—U�³�« œuL×� WOH� tO³Ž uÐ√ b¹d� rO¼«dÐ≈ f¹uŽ wMŠ …bz«— dOAÐ b−�√ dLŽ« W¹œU�

…—UÝ uÐ√ sLŠd�« b³Ž b�Uš wKÐUM�« —ULŽ W½—ULŽ bOFÝ ¡U�Ë …œuŽ vNÝ «—UAÐ wLN�

ÕöL�« ÂU²Ð« dJÐ uÐ√ b�Uš öŽ w�«u� …bzUŽ tŽUMý ¡UMŁ

r¹dJ�« b³Ž bLŠ√ …œUž gK —U³−�« b³Ž WOLÝ— ÊULK�« ÂUO¼ Ê«d¼“ dUý ”UM¹«

∫Íu½U¦�« w½U¦�« nBK� UO{U¹d�« »U²� —«d�≈ w� Êu�—UA*«

÷UO� bL×� W¹«b�« r¹— dOLŽ uÐ√ W¹Ë«— „d²�« Õö� V¹b�« błU� Æœ

·«uA�« qOŽULÝ« qDÝ_« ‰UL w�ô bL×� ÊUDKÝ uÐ√ f½u¹ dÝUł uÐ√ œUNł

UMN� tK�« b³Ž WODŽ …e¹eŽ wÐuN�« œU¹≈ dIý_« sL¹√ Íb¹b×�« œULŽ

—UDF�« ‰UM� dO³ý qONÝ —eł uÐ√ wKŽ uK×�« œUNł ÷uŽ rO¼«dÐ«

vÝu� ÂUÝË «dH�« bL×� ÀuždÐ ·Ëƒd�« b³Ž nOMŠ …dOLÝ gD³�« bL×�

Ê«bLŠ bL×� Ê«uDŽ bFÝ√ …œU×ý ÷U¹— ‘U³N�« œU¹≈ wHOB�« oO�—

bLŠ UN� tK�« œUł “u� …œuŽ WLŠ— ‚uŽUM�« bOFÝ …œuŽ dLŽ

ÍdBL�« Õö� …œ—Ë uÐ√ bOFÝ Âd Õ«Ë—«

Mathadabi12-Book72dpi

Documents

Transcript of Mathadabi12-Book72dpi