logjika_matematike

Logjika Matematike. Punuar nga komuniteti i http://bitbit.uni.cc Faqe 1

Logjika matematike

Leksion 1.

Një ndër kuptimet themelore të logjikës është pohimi, i cili nuk përkufizohet por sqarohet me anën e shëmbujve të ndryshëm. Megjithatë mund të themi se pohimi është një thënie për të cilën mund të japim mendim nëse është i vërtetë apo jo. Shembull: Durrësi është qytet bregdetar. - është pohim i vërtetë. 5 > 7 është pohim sepse mund të flasim për vërtetësinë e tij, natyrisht është pohim i gabuar. Ka shumë thënie që për arsye të ndryshme nuk mund të flasim për vërtetësinë e tyre, psh: Numri i yjeve është i pafundëm.

Pohimet shënohen me gërmat p, q, r, m, n. Për çdo pohim mund të ndërtohet një tabelë e tillë:

Mohimi i pohimit p shënohet . Pohimi është i vërtetë kur p është i gabuar dhe është i

gabuar kur p është i vërtetë:

Është e qartë se = .

Shpesh herë në jetën e përditshme përdorim pohime të përbëra të cilët formohen nga pohimet

e thjeshta duke futur lidhëzat logjike, të cilat janë:

- Lidhëza mohuese

- Lidhëza konjuktive ∧

- Lidhëza diznjuktive ∨

- Lidhëza implikative ⇒

- Lidhëza e ekuivalencës ⇔

Lidhëza mohuese është unarë (veprimi kryehet edhe vetëm me një pohim) ndërsa të tjerat janë

binarë (nuk kanë kuptim në më pak se dy pohime).

Konjukti i dy pohimeve p dhe q shënohet p ∧ q (lexohet “p dhe q”). Ky pohim është i vërtetë

vetëm atëhere kur të dy pohimet janë te vërteta.

Tabela e vërtetësisë:

p Ose mund të shënohet edhe p

V T G

p

V G

G V


Diznjukti i dy pohimeve p dhe q shënohet p ∨ q dhe lexohet “p ose q”. Ky pohim është i gabuar vetëm kur dy pohimet e dhëna janë të gabuar.


Lidhëza diznjuktive në këtë rast nuk ka kuptim përjashtues. Në rastin

përjashtues përdoret një lidhëz e tillë: dhe ka tabelën e vërtetësisë:

Implikimi i pohomit p me q shënohet p ⇒⇒⇒⇒ q dhe lexohet “p sjell q”. ky pohim është i gabuar vetëm kur pohimi p është i vërtetë dhe pohimi q është i gabuar.


p është kusht i mjaftueshëm për vërtetësinë e q, kurse q është kusht i nevojshëm për vërtetësinë

e p.

Ekuivaleca e pohimit p dhe pohimit q shënohet p ⇔ q dhe “nëse p, atëherë dhe vetëm atëherë kemi q”. Pohimi (p ⇔ q) është i vërtetë vetëm atëherë kur pohimi p dhe pohimi q janë të barabartë:

p ⇔ q është ekuivalente me (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p). Pra (p⇔q) ⇔ [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)].

Kjo vërtetohet me anë të tabelës së vërtetësisë sepse kanë

të njëjtën shpërndarje vlerash.

(p ⇔ q) ⇔ [(p ⇒ q) (q ⇒ p)]

Përkufizim: Një formulë quhet Tautalogji në qoftë se për çdo shpërndarje të vlerave të vërtetësisë të pohimeve të thjeshta që e përbëjnë atë, ajo merr vlerën V (e vërtetë). Tautologjia ndryshe quhet edhe ligj logjik.


Shembuj tautologjishë:

F = [(p ⇒ q) ⇔ ( ⇒ )]

Leksion 2. Teorema për tautologjitë

Teoremë 1: Në qoftë se A është tautologji dhe formula ⇒ është tautologji, atëherë edhe është tautologji. (me dhe shënojmë formula të përbëra)

Vërtetim: Supozojmë që nuk është tautologji, do të thotë që ekziston një shpërndarje e vlerave të thjeshta(të dhe ⇒ ) që e përbëjnë, për të cilin merr vlerën G. Meqë merr gjithmonë vlerën V (është tautologji), do të kemi që ⇒ të marrë vlerën G (pra ⇒ nuk do të ishte tautologji). Kjo hedh poshtë supozimin.

Çdo formulë e përbërë quhet edhe formulë e algjebrës së pohimeve. Formulat e algjebrës së pohimeve, janë të gjithë ato formula që jepen sipas këtyre dy pikave:

1- Çdo pohim i thjeshtë është formulë e algjebrës së pohimeve. 2- Nqs A dhe B janë pohime të thjeshta, atëherë edhe , , A ∧ B, A ∨ B, A⇒B, A⇔B janë

gjithashtu formula të algjebrës së pohimeve.

Lemë thotë: Çdo formulë e algjebrës së pohimeve mund të kthehet në një formulë të njëvleshme që përmban një nga çiftet e lidhëzave: ( , ∧), ( , ∨), ( , ⇒), ( , ⇔).

Shembull: p ⇒ q ~ . (shenja ~ do të thotë ekuivalente, ose ⇔, dhe me F nënkuptohet vërtetësia e formulës). Tabela e vërtetësisë:

Shembull 2: (p ⇔ q) ~ (p ⇒ q) ∨ (q ⇒ p) ~ ( v ) ∨ ( v ) ~ .

Siç u pa, edhe implikimi, edhe ekuivalenca mund të shprehen me formula ekuivalente që permbajnë vetëm me një çift lidhëzash. (“ , ∨” në rastin e parë dhe “ ,∨” në rastin e dytë).

Ligji i parë i Morganit

Ligji i dytë i Morganit

Tabela e vërtetësisë detyrë.


Teorema 2.

Kemi një formulë të algjebrës së pohimeve , e cila përbëhet nga n pohime të thjeshta A dhe është tautologji. Po të zëvendësojmë A1 ,A2 ...,An të me formula të tjera, do të marrim një

formulë të algjebrës së pohimeve ’ , e cila do të jetë ekuivalente me .

Marrim një shperndarjenjë shperndarje të çfarëdoshme të vlerave të vërtetësisë(pra bëjmë një interpretim) për gërmat A1 ,A2 ...,An. Prej kushtit do të marri vlerën V. po këtë shperndarje e vendosim në gërmat pohuese që përbëjnë formulat ’. Meqë ’ ka po ato lidhëza logjike si

, atëherë edhe në ’ për këtë interpretim do të marrim përsëri vlerën V. Pra, meqë është tautologji (merr vlerën V për çdo kombinim të pohimeve) dhe ’ ka të njëjtat lidhëza,edhe ’ do të marrë vlerën V).

Ligje logjike të tjera:

1. A ⇔ B ~ 2. A ∨ B ~ ∧ 3. A ⇒ B ~ ⇒ 4. A ∧ B ~ B ∧ A 5. A ∨ B ~ B ∨ A 6. (A ∧ B) ∧ C ~ A ∧ (B ∧ C) 7. (A ∨ B) ∨ C ~ A ∨ (B ∨ C) 8. A ∧ (B ∨ C) ~ (A ∧ B) ∨ (A ∧ B) 9. A ~

Detyrë: Të vërtetohen këto tautologji me tabelat përkatëse.

Shtesë: lidhëza të tjera.

Lidhëza mohuese e diznjuktit (ose lidheza e Sheferit): A ↓ B ~ .


Lidhëza mohuese konjuktive: A│B ~ .



Disa ligje të tjera :

A ~

A ∧ B ~ ~ (A│B) │ (A│B)

Dhe një Tautologji tjetër: A ∧ merr gjithmonë vlerën G.

Një formulë e tillë që s’është mohim i tautologjisë, quhet kundërthënie.

Shembull:

(A ∨ B) ⇒ A Të shndërrohet në një formulë ekuivalente që permban vetëm një çift lidhëzash.

(A ∨ B) ⇒ A ~ ∨ A ~ ( ∧ ) ∨ A ~ ( ∨ A) ∧ ( ∨ A) ~ V ∧ ( ∨ A) ~ ∨A

Dy ekuivalencat e fundit janë të vërteta sepse ∨ A është tautologji (V) , dhe vërtetësia i një konjuksioni i një tautalogjie me pohimin ( ∨ A) varet vetëm nga pohimi ( ∨ A). Kjo gjë mund të vërtetohet me tabelë.

Në formulat normale konjuktive dhe formulat normale diznjuktive, mund të kontrollojmë nëse një formulë është tautologji ose jo me anë të tabelës.

Nëse një formulë përbëhet prej 2 gërmave(pohimeve), atëherë tabela do të ketë 4 rreshta (��).

Nëse formula përmban 3 gërma të thjeshta, atëherë tabela permban 8 rreshta (��).

Nëse një formulë përmban n gërma të thjeshta, atëherë tabela do të ketë � rreshta.

Pra sic shihet praktikisht nuk është e lehtë për të kontrolluar me anën e tabelave të vërtetësisë nëse një formulë është apo jo tautologji. Në ndihmë për të zgjidhur këtë problempërdoren format normale konjuktive apo diznjuktive.

Përkufizim 1: Shumë elementare quhet formula A1 ∨ A2 ∨ .... ∨ An.

Përkufizim 2: Prodhim elementar quhet formula A1 ∧ A2 ∧ .... ∧ An.

Përkufizim 3: Formulë normale konjuktive quhet formula : 1 ∧ 2 ∧ ... ∧ n, ku i (i= 1, 2, .., n)= A1 ∨ A2 ∨ .... ∨ An.

Përkufizim 4: Formulë normale diznjuktive quhet formula : 1 ∨ 2 ∨ ... ∨ n, ku

i = A1 ∧ A2 ∧ .... ∧ An.


Duke përdorur Lemën vërehet me lehtësi se çdo formulë e algjebrës së pohimeve mund të kalojë në një formulë ekuivalente normale konjuktive ose normale diznjuktive.

Në rastin kur është formulë normale kunjuktive ajo është tautologji në qoftë se secila nga formulat i(i=1,2..n) është tautologji. Meqë i janë shuma elementare, atëherë ato janë tautologji kur formulat shumë elementare janë tautologji. Një shumë elementare është tautologji atëherë dhe vetëm atëherë kur ajo përmban një pohim së bashku me mohimin e tij (pra duhet të ketë një cift të tillë: A ∨ ).

Me të vërtetë, në qoftë se formula i përmban pohimin dhe monimin e një gërme (A ∨ ) atëherë për cfarëdo shpërndarje të vlerave të vërtetësisë, ajo do të marrë vlerën V.

Në qoftë se n formulën i nuk figuron pohimi i thjeshtë me mohimin e thjeshtë, atëherë ekziston një shperndarje ku të gjithë pohimet e thjeshta marrin vlerën G, rrjedhimisht edhe

i do të marrë vlerën G. (Pra nuk është tautologji)

Leksion 3

Teoremë: Le të jetë E një formulë e përbërë vetëm nga lidhëzat ∧, ∨ dhe nga pohime e mohime. Shënojmë E’ formulën që merret nga E duke zëvendësuar lidhëzën logjike ∧ me ∨, ∨ me ∧, dhe çdo pohim me mohimin e tij (dhe anasjelltas), atëherë =E’

Vërtetimin do ta bëjmë me metodën e induksionit matematik. 1)Do të kontrollojmë vërtetsinë e teoremës për n=0: E ~ A dhe E΄ ~ . Por ~ , pra kemi E΄ ~ . Teorema është e vërtetë për n = 0 ( n nënkupton numrin e lidhëzave ). 2)Supozojmë vërtetsinë e barazimit për numrin e lidhëzave jo më shumë se n. Po supozojmë se është teorema është e vërtetë për formulat dhe , ku dhe kanë jo më shumë se n lidhëza secila. 3)Të kontollojmë vërtetsinë e teoremës për numrin e lidhezave n+1 (për një më shumë). Marrim një formulë E që ka n+1 lidhëza E= ∧ (ose mund të jetë E= ∨ ). :ku dhe kanë jo më shumë se n lidhëza (në bazë të supozimit formula është e vërtetë për secilën). E’ ~ ∧ .

~ ~ ∧ . ∴ del se E’ = . Njëlloj vërtetohet edhe kur E = ∨ . Pra formula është e vërtetë edhe për n+1 lidhëza.

Shënim: Me = nënkuptojmë ~ ose ⇔.


Shembull

Të kontrollohet nëse është tautologji formula: ⇒(p ⇒ q) Menyra 1:

Supozojmë se nuk është tautologji. Pra, për një shperndarje të vlerave të vërtetësisë kjo merr vlerën G. (Me këtë kemi supozuar se nuk është tautologji). Që të marrë vlerën G formula, duhet që të jetë i vërtete (rrjedhimisht p është i gabuar) dhe (p ⇒ q) të marrë vlerën G. Nëse p merr vleren G, merr vlerën V. Por cdo herë që ana e majtë është e vërtetë, ana e djathtë është e vërtetë. (Sepse implikimi ( p ⇒ q ) është gjithmonë i vërtetë kur p merr vlerën G). Pra supozimi bie poshtë, rrjedh se formula është tautologji. Mënyra 2:

Dimë se ⇒ ~ v , pra edhe formula e jonë mund të shndërrohet në: ⇒( ⇒ ) ~ ⋁ ( ⇒ ) ~ ⋁ ( ⋁ ) ~ ( ⋁ ) ⋁ . Por ⋁ është gjithmonë e

vërtetë, pra edhe formula është tautologji. Tabela e Vërtetësisë:

q p ⇒ q p ⇒ (p ⇒ q)

V G V V V

V G G G V

G V V V V

G V G V V

Cdo funksion vërtetësie i çiftëzohet një formulë e algjebrës së pohimeve që përmban lidhëzat ⋀, ⋁, ¯. Shembull

Jepet një funksion vërtetësie me tabelë si vijon: Secilit nga rreshtat e shenuar (ku funksioni merr vleren V) i shoqërohet formula: *1 : A1 ∧ A2 ∧ A3.

*2: A1 ∧ 2 ∧ A3. *3: A1 ∧ 2 ∧ 3.

*4: 1 ∧ 2 ∧ 3. Formula përfundimtare do të jetë diznjuksioni i secilit rresht të tabelës: D: ( A1 ∧ A2 ∧ A3) ⋁ (A1 ∧ 2 ∧ A3) ⋁ (A1 ∧ 2 ∧ 3) ⋁ ( 1 ∧ 2 ∧ 3). Formula qe rrjedh nga tabela (funskioni logjik) është formula e kërkuar. Që kjo formulë të jetë e vërtetë përveç rasteve të mësipërme, duhet dhe mjafton që të paktën një nga produktet elementare të jetë i vërtetë. Një produkt i tillë elementar është i vërtetë vetëm në një rresht të tabelës, në atë rresht ku formula D merr vleren V, prandaj formula normale e diznjuktit nuk mund të marri vlerën V në asnjë rast tjetër.

Eduard Çuni – Pranverë 2009

X1 X2 X3 G(X1,X2,X3) V V V V *1 V V G G V G V V *2 V G G V *3 G V V G G V G G G G V G G G G V *4

logjika_matematike

Documents

Transcript of logjika_matematike