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职教技术出版中心

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普通高等教育 “十一五” 国家级规划教材信息管理与信息系统专业规划教材

管理决策分析（第二版）

赵新泉　彭勇行　主编

北　京

内　容　简　介

本书是普通高等教育 “十一五” 国家级规划教材。该书在２０００年科学出版社出版的枟管理决策分析枠基础上对以下内容做了修改、补充：１畅适当地调整了教材体系，以实用决策为主线，突出多目标决策方法；２畅结合学科发展和教学实际，适当充实了新成果和新方法；３畅精选了典型案例，突出了学科适用性的特点，注重解决问题能力的培养；４畅设计的练习题特别注意培养学生的动手能力。

本书由决策分析概论、确定型决策分析、效用函数、风险型决策分析、贝叶斯决策分析、多目标决策分析、多属性决策分析、序贯决策分析、模糊决策分析和灰色决策方法等９章组成。大约需要７２学时。

本书可作为信息管理与信息系统及相关专业的大学本科教材。

　图书在版编目（CIP）数据

　管理决策分析／赵新泉，彭勇行主编畅 — ２版 —北京：科学出版社，２００８（普通高等教育 “十一五” 国家级规划教材 ·信息管理与信息系统专业

规划教材）

　 ISBN ９７８唱７唱０３唱０２２７５５唱３

　 Ⅰ畅管 … 　 Ⅱ 畅 ①赵 … ②彭 … 　 Ⅲ 畅管理学：决策学高等学校教材　Ⅳ畅C９３４　中国版本图书馆 CIP数据核字（２００８）第１２３４２９号

责任编辑：王淑兰／责任校对：赵　燕责任印制：吕春珉／封面设计：耕者设计工作室

出版北京东黄城根北街１６号

邮政编码：１００７１７

ht tp ：／／ w w w ． sciencep ． com

中国科学院印刷厂印刷科学出版社发行　各地新华书店经销

　倡

２０００年１０月第　一　版

２００８年９月第　二　版

２００８年９月第八次印刷

　　

开本： B５（７２０ × １０００）

印张：２４

字数：４６３６８０

印数：１３５００ — １７５００

定价： 38畅00元（如有印装质量问题，我社负责调换枙环伟枛）

举报电话：０１０唱６４０３０２２９；０１０唱６４０３４３１５；１３５０１１５１３０３

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第二版前言

“管理就是决策” 、 “管理的关键在于决策” ，这是当代著名的英国经济与管理学家、诺贝尔经济学奖获得者西蒙教授的至理名言。这一精辟论断，突出了决策在现代管理的核心地位。决策分析是研究决策行为基本理论和方法的一门新学科，涉及到管理学、统计学、运筹学、系统科学、信息学等许多领域，是一门综合性较强的应用学科。随着我国市场经济的发展，国外著名企业的进入，企业面临规模不断扩大、信息瞬时多变、竞争日趋激烈的经济环境，传统的经验决策已经远远不能满足管理工作的需要。现代管理与传统管理的主要区别，在于决策的科学化和定量化，定性分析与定量分析相结合，应用现代规模型技术和信息技术，对规模庞大、结构复杂的决策问题作出准确分析和及时判断。学习现代决策知识，增强企业经营活力和竞争能力，已是各级管理人员的当务之急。

“管理决策分析” 是教育部制定的普通高等学校本科专业目录信息管理与信息系统专业的主干课程，本书是普通高等教育 “十一五” 国家级规划教材。由于这是一门综合性较强的课程，２０世纪末全国各高等院校信息管理与信息系统及相近专业开设该课程的为数不多，课程目标、体系、内容和方法均无成形的经验可以借鉴。１９８８年彭勇行教授编写了教材枟决策方法及应用枠，并在本校教学中使用多次。１９９２年，根据财政部 “八五” 教材建设规划，彭勇行教授主编了枟决策方法及应用枠教学大纲。同年１１月财政部在武汉原中南财经大学召开财政部部属院校教学大纲审稿会，对该大纲进行了审定。１９９３年，根据财政部审定的教学大纲，彭勇行教授与兄弟院校合作，主编了枟管理决策分析枠，由原武汉测绘科技大学出版社出版。２０００年枟管理决策分析枠作为原中南财经大学信息管理与信息系统专业系列教材之一，经修订后由科学出版社出版。经过多年的教学和科研实践，进一步明确了该课程在管理信息与信息系统专业建设中的地位和作用，确定了课程的体系和内容，探讨了课程的教学方法和手段，结合现实社会经济实际决策问题开展科研工作，取得了一系列研究成果。２００６年，枟管理决策分析枠申报 “普通高等教育 ‘十一五’ 国家级规划教材” ，并获得批准。本书依据申报意见，在彭勇行教授的直接参与和指导下，作了如下的修改和补充：

第一，教材体系作了适当调整，以实用决策分析为主线，由随机决策、多目标决策和模糊灰色决策三个知识板块组成，并突出多目标决策方法；

第二，结合学科发展和教学实际，适当充实学科领域内的新成果和新方法。例如，研究经济系统矛盾转化的物元分析法、多目标群组决策方法等；

第三，突出学科适用性强的特点，参阅近几年国内外文献，结合我们的科学

研究成果，精选部分典型案例，有助于培养学生分析和解决问题的能力；第四，结合信息管理与信息系统专业特点，注意培养学生动手能力。全书由决策分析概论、确定型决策分析、效用函数、风险型决策分析、贝叶

斯决策分析、多目标决策分析、多属性决策分析、序贯决策分析、模糊决策和灰色决策方法等９章组成。

讲授全书内容大约需要７２学时，也可以根据专业需要选学部分章节，并安排适当上机实践学时。

本书由赵新泉、彭勇行主编。第１章、第２章、第４章由李政兴编写，第３章、第５章由刘康泽编写，第６章、第８章由罗捍东编写，第７章由彭勇行编写，第９章由赵新泉编写。全书由彭勇行指导编写，彭勇行、赵新泉总篡、修改，李政兴审稿。本教材在编写过程中，得到了中南财经政法大学信息学院和科学出版社的大力支持，对此我们表示深切地谢意。由于我们水平有限，加之时间仓促，书中不足和错误之处在所难免，敬请各位专家和读者指正。

编　者２００８年１月于武昌

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第一版前言

管理就是决策，这是当代著名的管理学家、１９７８年诺贝尔经济学奖获得者西蒙教授的至理名言。这一精辟论断，突出了决策在现代管理中的核心地位。决策分析是研究决策行为基本理论和方法的一门新学科，也是涉及管理学、统计学、运筹学、系统科学、信息科学等许多领域，综合性较强的一门应用学科。随着社会主义市场经济的不断发展，企业面临规模不断扩大、信息瞬息多变、竞争日趋激烈的经济环境，传统的经验决策已经远远不能满足管理工作需要。现代管理与传统管理的主要区别，在于决策的科学化和定量化，定性分析与定量分析相结合，应用现代的模型技术和信息技术，对规模庞大、结构复杂的决策问题作出准确分析和及时判断。学习现代科学决策知识，已是各级管理人员的当务之急。

枟管理决策分析枠是国家教委制定的普通高等学校本科专业目录管理信息系统专业的主干课程，财政部教育司 “八五” 教材建设规划也将该课程列为管理信息系统专业的主干课程。由于这是一门综合性较强的新课程，全国各高等院校相近专业较早开设该课程的为数不多，课程目标、体系、内容和方法均无成形的经验可以借鉴。１９８８年，作者编写了教材枟决策方法及其应用枠，在校内使用多次。１９９２年，根据财政部 “八五” 教材建设规划，作者主编了枟决策方法及其应用枠教学大纲。同年１１月，财政部在武汉中南财经大学召开部属院校教学大纲审稿会，对该大纲进行了审定。１９９３年，根据财政部审定的教学大纲，作者与兄弟院校合作，主编了枟管理决策分析枠教材，由武汉测绘科技大学出版社出版。经过多年的教学和科研实践，逐步明确了该课程在管理信息系统专业建设中的地位和作用，确定了课程体系和内容，探讨了课程教学方法和手段，结合现实社会经济实际决策问题开展科研工作，取得了一系列研究成果。这次作为中南财经大学信息管理和信息系统专业系列教材之一重新出版，作者在以下几个方面，又作了较大的修改和补充。第一，教材体系作了适当调整，以实用决策分析为主线，由随机决策、多目标决策和模糊灰色决策三个知识板块构成新体系，并突出在社会经济实际中应用广泛的多目标决策方法；第二，结合学科发展和教学实际，适当充实学科领域内的新成果和新方法。例如，研究经济系统矛盾转化的物元分析方法．多目标群组决策方法等；第三，突出学科实用性强的特点，参阅近几年国内外文献和结合作者的科学研究成果，精选部分典型应用案例，有助于培养学生分析和解决实际问题的能力；第四，结合信息管理与信息系统专业特点，注意培养学生动手能力。应用管理决策分析的理论和方法，解决社会经济实际问题，往往因素众多、数据复杂、计算量大，必须借助现代信息技术作为工具。在

教学实践中，指导学生开发了管理决策分析教学辅助软件，并作为附录编人教材。全书由决策分析概论、确定型决策分析、效用函数、风险型决策分析、贝叶斯决策分析、多目标决策分析、多属性决策分析、序贯决策分析、模糊决策和灰色决策方法等九章组成。全部内容上完大约需要７２学时，也可以根据专业需要选学部分章节，并安排适当上机实践学时。

本教材由彭勇行主编。第一、三、五、六、七、八、九章由彭勇行撰写，第二、四章由李政兴撰写，附录由韩波撰写。全书由彭勇行总纂、修改。本教材在编写过程中，得到中南财经大学信息系各级领导的支持，并参阅了国内外各种文献资料。完稿后，信息管理与信息系统专业系列教材编委会组织了专家进行审稿。对此，我们表示深切的谢意。由于作者水平有限，加之时间仓促，书中不足和错误之处在所难免，敬请各位专家和读者指正。

联系电话：０２７唱８８０４５６８６

作　者１９９９年１０月于武昌

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目　　录

第二版前言

第一版前言

第 1章　决策分析概论１………………………………………………………………

　　１畅１　决策分析的原理及其要素１………………………………………………

　　１畅２　决策分析的分类和原则５…………………………………………………

　　１畅３　决策分析的步骤８…………………………………………………………

　　１畅４　决策系统１１…………………………………………………………………

　　习题一１５…………………………………………………………………………

第 2章　确定型决策分析１６…………………………………………………………

　　２畅１　盈亏决策分析１６……………………………………………………………

　　２畅２　现金流及其时间价值２４……………………………………………………

　　２畅３　无约束确定型投资决策３０…………………………………………………

　　２畅４　多方案投资决策４０…………………………………………………………

　　习题二４３…………………………………………………………………………

第 3章　效用函数４６…………………………………………………………………

　　３畅１　理性行为公理４６……………………………………………………………

　　３畅２　效用函数的定义和构成５１…………………………………………………

　　３畅３　效用函数表６０………………………………………………………………

　　３畅４　效用函数的曲线拟合６５……………………………………………………

　　习题三７０…………………………………………………………………………

第 4章　风险型决策分析７２…………………………………………………………

　　４畅１　不确定型决策分析７２………………………………………………………

　　４畅２　风险型决策分析的准则７９…………………………………………………

　　４畅３　决策树分析法９４……………………………………………………………

　　４畅４　灵敏度分析１００……………………………………………………………

　　４畅５　状态分析和风险分析１０５…………………………………………………

　　习题四１２５…………………………………………………………………………

第 5章　贝叶斯决策分析１２８…………………………………………………………

　　５畅１　贝叶斯决策的基本方法１２８………………………………………………

　　５畅２　贝叶斯决策信息的价值１３８………………………………………………

　　５畅３　抽样贝叶斯决策１４５………………………………………………………

　　５畅４　贝叶斯风险和贝叶斯原则１５３……………………………………………

　　习题五１５６…………………………………………………………………………

第 6章　多目标决策分析１５９…………………………………………………………

　　６畅１　多目标决策的目标准则体系１５９…………………………………………

　　６畅２　目标规划方法１６３…………………………………………………………

　　６畅３　化多为少方法１７２…………………………………………………………

　　６畅４　多维效用并合方法１８１……………………………………………………

　　６畅５　 AHP方法１９６………………………………………………………………

　　６畅６　 DEA 方法２１４………………………………………………………………

　　习题六２３０…………………………………………………………………………

第 7章　多属性决策分析２３３…………………………………………………………

　　７畅１　多属性决策指标体系２３３…………………………………………………

　　７畅２　多指标决策方法２４１………………………………………………………

　　７畅３　主成分分析法２５２…………………………………………………………

　　７畅４　物元决策方法２６０…………………………………………………………

　　习题七２６７…………………………………………………………………………

第 8章　序贯决策分析２６９……………………………………………………………

　　８畅１　多阶段决策２６９……………………………………………………………

　　８畅２　马尔科夫决策２７８…………………………………………………………

　　８畅３　群决策简介２８９……………………………………………………………

　　习题八３００…………………………………………………………………………

第 9章　模糊决策和灰色决策方法３０３………………………………………………

　　９畅１　模糊综合评价方法３０３……………………………………………………

　　９畅２　灰色局势决策３１７…………………………………………………………

　　９畅３　灰色层次决策３３４…………………………………………………………

　　９畅４　灰色规划３４１………………………………………………………………

　　习题九３４８…………………………………………………………………………

附表３５２…………………………………………………………………………………

　　附表１　整付复本利系数表（ F／ P ，i ，N）３５２……………………………………

　　附表２　整付现值系数表（ P／ F ，i ，N）３５４………………………………………

　　附表３　年金现值系数表（ P／ A ，i ，N）３５８………………………………………

　　附表４　投资回收系数表（ A／ P ，i ，N）３６０………………………………………

　　附表５　等差换算系数表（ A／G ，i ，N）３６４………………………………………

　　附表６　效用函数值表３６６………………………………………………………

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第１章　决策分析概论决策分析是一门年轻的学科，开始于２０世纪４０年代的统计决策理论，随着研

究程度的逐步深入和应用范围的日益扩大，已经从单目标决策发展到多目标决策，从单阶段决策发展到序贯决策，从个人决策发展到群决策等，决策分析已经形成了一个十分活跃和广阔的研究领域。从２０世纪６０年代开始，决策分析方法在经济管理各部门逐步得到应用，并取得了较好的经济和社会效益。本书主要讨论决策分析的基本概念、基本方法及其在经济管理中的应用。

１畅１　决策分析的原理及其要素１畅１畅１　决策分析的概念及发展简史

决策分析简称决策。所谓决策，就是泛指作出决定。人们在采取一项行动之前，反复比较和权衡各种方案的优劣，然后作出决定。在现代管理科学中，对决策常有两种理解，一种是狭义理解，另一种是广义理解。狭义理解，认为决策就是作出决定，仅限于对不同行动方案作出最佳选择。广义理解，把决策看作是一个过程，为了实现某一特定系统的预定目标，在占有信息和经验的基础上，根据客观条件，提出各种备选方案，应用科学的理论和方法，进行必要的判断、分析和计算，按照某种准则，从中选出最满意方案，并对方案的实施进行检查，直到目标实现的全过程。后一种广义理解的代表人物，就是美国著名经济学家西蒙（H畅 A畅 Simon），他提出“管理就是决策”的著名论断，把决策行为贯穿于管理的全过程。

决策分析是一门年轻的学科，其产生和发展是由两条线展开，最后交叉汇合形成的。一条线是统计决策，决策分析最初是在统计决策理论的基础上发展起来的。从２０世纪２０年代开始，统计学家奈曼（J畅 Neyman）和皮尔逊（E畅 S畅 Pear唱son）提出假设检验理论，利用抽样信息对统计假设作出统计推断，在接受和拒绝两种行动中作出决定，这就是最早提出“决定”（Decision）的概念。２０世纪４０年代，冯 · 诺依曼（Von Neumann）和摩根斯坦（Morgenstern）发表了名著枟决策理论和经济行为枠，在古典效用概念基础上，提出了现代效用理论，成为决策分析的重要理论基础。２０世纪５０年代，萨维奇（L畅 J畅 Savage）用统计分析方法研究决策问题，建立贝叶斯决策理论。美国哥伦比亚大学教授瓦尔德（A畅Wald）提出决策函数的概念和方法，利用最大期望值准则，作为风险决策的标准。２０世纪６０年

代，霍华德（R畅 A畅 Howard）发表枟决策分析：应用决策理论枠一文，首次提出“决策分析”这一名词。从此以后，许多学者在决策分析领域作了大量的研究工作，例如序贯决策、多目标决策、群决策等，决策分析逐渐形成一门新学科，并得到不断充实和完善。

另一条线是管理科学。第二次世界大战前后，生产力取得长足发展，生产社会化程度日益提高，科学技术得到飞速进步。生产的发展和科技的进步，对管理提出更高的要求，促使管理科学进入深入发展的新阶段。在这一时期，美国学者巴纳德（C畅 I畅 Barnard）和斯特恩（E畅 Stene）在管理科学中首次提出了决策的概念。２０世纪５０年代，美国卡内基大学教授西蒙（H畅 A畅 Simon）发表枟管理决策新科学枠等一系列著作，突出了决策在管理中的核心地位，对决策准则、决策程序以及决策过程中目标冲突等问题作出开创性的分析，首次将行为科学引入决策分析理论，提出用“满意准则”替代传统的“最优准则” ，并倡导将人工智能技术引入决策科学，为决策支持系统的研究指出了新方向。他综合应用科学技术各领域的新知识，对大型企业和跨国公司的管理决策进行研究，取得了很好的经济和社会效益。西蒙开创性的工作，奠定了现代管理决策的理论基础，对管理科学作出了重大贡献，获得了１９７８年诺贝尔经济学奖。２０世纪６０年代，经济学家阿罗（K畅 Arrow）发表著作枟社会选择和个人价值枠，他的不可能定理对群决策和社会选择领域的研究起着重要作用，使决策分析理论研究进入更新更广泛的领域。在决策分析学科的发展历史过程中，两条线索相互交叉和促进，使该学科无论是在理论还是应用方面的研究，均取得了长足的进步。此后，许多学者充分吸收系统科学、行为科学、运筹学、统计学和计算机科学的内容和方法，使决策分析学科在广度和深度方面，都得到充分发展，逐渐形成了现代决策分析理论的框架和基础。尽管如此，决策分析学科远未成熟，还有待进一步研究和发展。

１畅１畅２　决策分析的特征

现代决策分析有如下几个主要特征。

１畅系统性

所谓系统，是指由相互依赖、相互作用的若干部分所构成的，具有特定功能的有机整体。系统可以分解为若干构成要素和一定的联系方式，但是系统不是构成要素和某种构成要素的简单组合，而是构成要素相互联系、相互作用在新的本质水平上所形成的有机整体。系统的整体性具有丰富的内涵。其一，系统是构成要素有机联系的统一整体，构成要素是系统的有机组成部分，并对系统的整体功能产生一定程度影响。要素对系统的影响，并非孤立行为，而是通过其他要素相互联系、相互协调地共同运作，完成系统的整体功能。构成要素只有在整体中，在与其他要

·２· 管理决策分析

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素的联系中，才具备应有的属性和功能。一旦从系统中分离出去，在本质上已不具有原来的属性和功能。其二，系统具有功能的非加和性，即系统的整体功能通常并不等于各局部功能之和。一个系统的整体功能不仅取决于其构成要素，更主要取决于构成要素之间的联系总和。因此，系统的整体功能往往大于各局部功能的简单叠加之和。其三，系统具有整体结构性，优化结构是系统取得良好整体功能的有效途径。优良的构成要素并不等于系统整体功能优良，整体功能优良也不等于构成要素最优。起着重要作用的是系统的结构性。所有的社会经济现象和社会经济过程，都应该作为一个经济系统进行分析和研究。一切系统均具有整体性、目的性和相关性。因此，用系统的思想和方法，去分析决策对象内部各要素之间的结构和联系，寻求决策目标、决策环境、决策准则和内部条件之间在整体上的动态平衡，使决策分析取得令人满意的结果，这是决策分析的一个重要特征。有人认为，系统的思想和方法，是现代决策分析的灵魂。

２畅动态性

社会经济系统是一个不断变化、不断发展的运动系统。系统变化发展的各阶段、各时期之间均存在密切的联系。对某一时期和阶段的社会经济活动进行分析，既要受到前期和前阶段活动的影响，又要影响后期和后阶段的社会经济活动。社会经济系统的结构是运动中的结构，联系是过程中的联系，稳定是交换中的稳定。因此，动态性是决策分析的另一重要特征。动态性表现在时间和空间两个方面。在时间上，社会经济系统的状态不是静止的，而是随着时间的变化而变化，决策必须分析系统结构和功能的动态情况。例如，投资决策分析需要测算货币的时间价值对投资效益和风险的影响，是经济方案评价的重要内容。在空间上，系统内部要素之间，系统与环境之间的相互联系、相互作用，都是在运动变化中实现的。正是由于系统与环境之间不断地交换物质、能量和信息，使系统在开放和动态中形成新的稳定和平衡。社会经济系统是一个非平衡的复杂开放系统，经常不断地输入劳力、资金、物质和信息，输出产品和技术，在一定条件下保持稳定有序状态。现阶段，我国实行对外开放对内搞活的基本方针，面临经济体制和经济增长方式的两个根本转变，国有大中型企业处于转轨变型的新时期，要面对剧烈变动的经济环境，要适应市场的复杂变化，企业的经营决策者必须在经营策略、生产规模、技术引进、产品销售及其他方面作出适应市场的相应变化，决策分析的动态特性更具有重要意义。

３畅信息性

信息是物质运动的普遍属性，是事和物运动状态的直接或间接表达。正如控制论创始人维纳（N畅Wiener）所说：“信息就是信息，既不是物质，也不是能量。”物

·３·第１章　决策分析概论

质、能量和信息是构成现实世界的三大要素。材料、能源、信息是社会经济系统运作和发展的三大基本要素。社会经济系统的运动过程均存在三种流量，一是由生产资料、劳动资料等组成的物质流；二是由劳动力和其他能源组成的能量流；三是由组织、计划、管理、控制等组成的为实现一定目标的信息流。在同样数量的物质流和能量流输入的条件下，不同质量信息流的输入，会产生不同的经济效益，创造出不同的价值。由此可见，信息是促使社会物质财富增值，促进国民经济增长的重要手段。２１世纪是信息化的世纪，信息将成为国民经济中不可替代的战略资源。因此，信息是科学决策的基础。经济信息是社会经济活动和发展过程中各种数据、消息、情报和资料等的总称。社会经济活动的全过程，始终离不开信息，离不开信息的收集、传递、加工、处理和应用。决策与信息的关系，好像江河的源和流的关系，源远才能流长。信息不充分，决策就会缺乏依据。信息不准确，往往导致决策失误。在现代竞争激烈的市场环境中，强调决策分析的信息基础，是决策分析的又一主要特征。计算机是信息处理强有力的工具，具有存储容量大、运算速度快等特点。以计算机技术为基础，对经济管理信息进行收集、存储、检索、加工和传递，建立应用于企业管理或组织机构的人机系统，即管理信息系统（MIS）。进一步应用计算机网络、数据库、人工智能等技术，根据决策分析理论和方法、管理科学、行为科学，建立支持半结构和非结构型决策问题的人机交互信息系统，即决策支持系统（DSS）。随着社会信息化程度不断提高，计算机网络和人工智能技术的飞速发展，开发全能的群决策支持系统（GDSS）和基于知识的决策支持系统（KDSS），将使现代决策分析发展到更高级的阶段。

１畅１畅３　决策分析的基本要素

为了说明决策分析的基本要素，下面分析萨维奇（L畅 J畅 Savage）给出的一个无数据决策的实例。

如果计划用六个鸡蛋煎蛋饼，已经向碗里打了五个好鸡蛋，准备打第六个鸡蛋时，有三种不同的方案可供选择，即：

方案 a１：将第六个蛋打入盛有五个好蛋的碗里，简称“打入” ；方案 a２：将第六个蛋单独打入另一个碗里，以便检查好坏，简称“单打” ；方案 a３：丢弃第六个蛋，简称“丢弃” 。由于第六个蛋事前不知是好是坏，每种方案均面临两种不确定的状态，即：状态 θ１：第六个蛋是好蛋；状态 θ２：第六个蛋是坏蛋。如果用 oi j （ i ＝１，２，３；j ＝１，２）分别表示方案 ai 在状态 θ j 下的决策结果，这个

无数据决策问题所出现的全部结果，可以表示为表１畅１。

·４· 管理决策分析

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表 1畅1状态 θ j）

结果值 o ij）

方案 a i）好蛋 θ１坏蛋 θ２

打入（ a１）六个鸡蛋煎饼（ o１１）五个好蛋浪费，无蛋煎饼（ o１２）

单打（ a２）六个鸡蛋煎饼，多洗一个碗（ o２１）五个鸡蛋煎饼，多洗一个碗（ o２２）

丢弃（ a３）五个鸡蛋煎饼，浪费一个好蛋（ o３１）五个鸡蛋煎饼（ o３２）

三种方案如何决策，涉及不同决策者不同的评价准则。由此例可以看出，决策分析的基本要素为：

① 决策者。受社会、政治、经济和心理等诸因素影响的决策主体，可以是个体或群体。例如，某跨国公司的总经理或董事会。

② 决策目标。决策问题对于决策者所希望实现的目标，可以是单个目标，也可以是多个目标。

③ 行动方案。实现决策目标所采取的具体措施和手段。行动方案的个数可以是有限多个，也可以是无限多个。在某些情况下，行动方案也可以用连续变量表示。通常，有限多个行动方案用 ai（ i ＝１，２，… ，m）表示。

④ 自然状态。采取某种决策方案时，决策环境客观存在的各种状态。自然状态可以是确定的、不确定的或随机的，可以是离散的，也可以是连续的。有限多个离散的自然状态，通常表示为 θj（ j ＝１，２，… ，n）。

⑤ 条件结果值。采取某种行动方案在不同自然状态下所出现的结果。条件结果值可以表示为收益值、损失值或效用值。条件结果值可以是离散的，也可以是连续的。在离散情况下，m个行动方案 n个自然状态的条件结果值表示为 o i j （ i ＝１，２，… ，m ；j ＝１，２，… ，n）。

⑥ 决策准则。实现决策目标而选择行动方案所依据的价值标准和行为准则。一般来说，决策准则依赖于决策者的价值倾向和偏好态度。

１畅２　决策分析的分类和原则１畅２畅１　决策分析的分类

决策分析的种类很多，按照不同的标准有不同的分类。可以按照决策的层次、决策的范围、决策的程序、决策的目标、决策的自然状态等标准进行分类。

按决策的层次划分，可分为战略决策、管理决策和业务决策。所谓战略决策，是指企业为了谋求与经常变化的市场环境取得动态平衡的一种决策，涉及企业长期、全局、根本的生产经营问题，是对企业总任务、总方针、总发展的决策。所谓管理决策，是指企业为实施战略决策，在局部范围内，对生产计划、技术引进、产品结

·５·第１章　决策分析概论

构、资金投入、人事管理等问题进行决策。所谓业务决策，是指企业在一定的经营管理水平上，为了提高日常生产业务效率所进行的一种决策，如生产安排、销售管理、质量控制、财务支出等日常性决策。按决策层次划分也是相对的，最高管理层主要进行战略决策和管理决策，中级管理层主要进行管理决策，下级管理层主要进行业务决策。

按决策的程序划分，可分为程序性决策和非程序性决策。程序性决策是对经常重复发生的问题，可以依据常规的经验和方法，按照例行的程序进行的一种决策。非程序性决策恰好相反，是对不经常出现、涉及面广、情况复杂的问题，缺乏常规的经验和方法，需要依赖决策者的经验和判断进行的一种决策。

按决策目标划分，可分为单目标决策和多目标决策。仅有一个目标的决策称为单目标决策，存在两个或两个以上目标的决策称为多目标决策。社会经济系统中的决策问题，主要是多目标决策，多目标决策比单目标决策更具有实用价值。

按决策的动态性划分，可分为静态决策和动态决策。静态决策亦称为单阶段决策，是某个时期或某个阶段内的决策问题。动态决策又称为序贯决策或多阶段决策，是对不同时期不同阶段的决策问题。

按决策的自然状态划分，可分为确定型决策、风险型决策、非确定型决策和竞争型决策。确定型决策的自然状态完全确定，可以按决策目标和评价准则选择行动方案。这种决策问题目标清楚、状态明确、约束条件已知，建立优化数学模型可以求出最优解。这类问题在运筹学中有关章节已作了详细讨论，本教材不作过多叙述。风险型决策是自然状态有两种或两种以上，各种自然状态出现的概率已知或可以测定的决策问题。风险型决策在社会经济实际中经常碰到，本教材将作详细讨论。非确定型决策是自然状态有两种或两种以上，而各种状态出现的概率无法测定的决策问题。竞争型决策是研究决策主体在利益相互影响的环境中策略的选择问题，在市场经济的条件下，竞争型决策有着重要的现实意义。

一般来说，不论哪种决策，最终都归结为对各种行动方案的选择。单目标、单阶段、确定型决策情况比较简单，每一个行动方案仅有一个确定的结果，可以用结果值的优劣作为判据，建立决策模型进行评价分析。多目标、多阶段、风险型决策情况复杂得多，每一个行动方案涉及的自然状态不确定，条件结果值有若干个，建立选择最佳行动方案的决策模型就困难得多，必须建立专门的理论和方法，这就是决策分析所要研究解决的问题。

１畅２畅２　决策分析的基本原则

怎样才能进行正确的决策，这是各级管理人员所关心的现实问题。正确的决策除了掌握决策分析的理论和方法外，还要求决策分析人员具备丰富的经验和知识水平，遵循从实践中总结出来的决策原则和决策程序。科学决策必须遵循的基

·６· 管理决策分析

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本原则如下。

１畅信息充分原则

信息是决策的基础。决策信息包括决策问题全部构成要素的数据、资料、结构、环境以及内在规律性。有价值的信息必须具有准确性、时效性和全面性。准确就是真实，虚假的信息往往导致错误决策。时效就是及时，过时的信息也会导致失误，错失最佳决策时机。全面就是系统，重要的信息决不能遗漏。决策分析人员必须深刻了解决策问题，认真调查研究，建立必要的信息渠道和网络，建立信息反馈制度。

２畅系统分析原则

综观全局，整体优化是决策分析必须坚持的原则。要以整体目标为核心进行系统分析，坚持局部效果服从整体效果，次要利益服从主要利益，眼前利益服从长远利益，追求整体目标最优，综合平衡，全盘规划，统筹兼顾，才能作出正确的决策。

３畅经济效益原则

决策的最终目的是提高决策部门的经济效益，促进生产发展。在决策分析的过程中，要使效益与规模、效益与速度、经济效益与社会效益相结合。另外，还要充分注意决策分析过程的经济合理性，进行成本效益分析。

４畅定性和定量分析结合原则

决策分析经常使用定量分析方法，例如优化、统计、模拟、对策等模型技术，并使用计算机进行信息处理。定量分析必须与定性分析相结合。其理由一是在社会经济问题中，存在大量非数量性指标，例如市场前景、职工素质、社会稳定程度等，这些指标通常用经验分析和主观判断方法作出定性分析；二是只有在对社会经济系统构成要素和内在规律性作了大量透彻定性分析基础上，定量的机理分析才是真实有效的。因此，定量分析和定性分析相结合，是决策分析的基本原则之一。定性分析是定量分析的基础，定量分析是定性分析的深入和补充，二者各有长短，相互依赖。从定性到定量，定性分析和定量分析相结合，循环往复，逐步深化，这是决策分析的一般规律。

５畅社会制约原则

决策分析的指标、准则、判据，都必须与国家、地区的方针、政策、法规和条例的要求相一致，不允许有任何背离和疏漏之处。在决策分析过程中，应该把这些方针、政策、法规和条例作为社会经济系统的环境因素，作为社会条件加以考虑。决

·７·第１章　决策分析概论

策的结果也要受到这些因素的制约和检验，不一致的地方，必须及时修正，直到符合要求为止，决策主体的价值取向和主观判断也不能违背这些社会条件。例如，外资企业如果单纯追求最大利润，发生损害劳工权益，污染生态环境等现象，则是不能容忍的，必须按照国家和地方有关法律法规予以制止。

６畅民主集中原则

重大社会经济问题决策，仅依靠个人是不行的，要坚持民主集中的科学原则。要建立合理精干的决策机构，实行决策分工体制。有专人收集整理决策信息，有专人设计论证方案，有专人协调各部门的决策目标和要求，在分析论证的基础上，决策者最后选择方案并负决策责任。只有民主与集中结合，个体决策与群体决策结合，集体智慧与首长负责结合，才能保证决策的正确性。

１畅３　决策分析的步骤１畅３畅１　决策分析的步骤

决策分析是一个动态系统的反馈过程。决策过程通常随问题的性质，决策目标要求以及决策者偏好的不同而相异。但是，决策程序应该反映决策过程的客观规律，是决策过程的可视化描述。一般来说，科学的决策分析大致可以分为两个阶段六个步骤。两个阶段即决策分析和优选反馈阶段，六个步骤分别是识别问题、设

图１畅１

计目标、制定方案、评价分析、优化方案、实施反馈。决策程序框图如图１畅１。决策分析阶段包括前四个步骤，优选反馈阶段包括后两个步骤。在决策分析程序中，第一阶段要充分掌握决策信息，利用运筹学、统计学、系统科学等现代数量分析技术，应用计算机、网络等现代信息技术，对可行方案进行评价分析。第二阶段要充

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分应用管理科学和行为科学的理论和方法，对方案的抉择、实施、反馈和修正，作出合理判断。因此，科学决策是客观信息与主观判断、经济数量方法、信息技术与管理科学相结合的逻辑推理结果。

下面，对决策分析的六个步骤作简要说明。

１畅识别问题

决策分析的最终目的就是为了解决问题，识别问题是解决问题的前提。所谓问题，就是社会经济系统期望状态和实际状态的差异。要善于识别问题，分析问题，就要深入调查研究。只有熟悉了解决策系统的实际情况，按照确定的目标收集、整理有关信息资料，才能发现实际状态与规划、标准要求的差距，找出问题关键。要分析问题的性质、特点、范围、背景和条件等，即所谓界定问题。问题界定清楚了，要进一步分析问题产生的原因，由表及里，去伪存真，在错综复杂的因素中抓住主要矛盾，找准问题症结，才能提出解决问题的办法和方案。

２畅设计目标

决策目标是在一定的环境和条件下，决策系统所期望实现的结果，是决策分析过程中制定方案、评价方案和选择方案的基准。决策目标的确定在决策分析中至关重要，既是决策的出发点，也是决策的归宿。缺乏明确的目标，无法拟定和选择方案，也无法判定问题是否解决。因此，确定决策目标，通常要注意以下几点：第一，目标的针对性要把握决策系统的本质属性和内在规律，针对解决问题的关键和要害提出目标。第二，目标的准确性目标设计要抓住关键和分清主次，目标表述要具体、准确，符合各专业领域中的科学技术规范，数量指标要与现行统计口径相一致。第三，目标的层次性社会经济系统均具有一定的层次结构关系，各层次的子系统或元素之间相互关联、相互作用，以其特定的目标协调运行。系统决策的目标也应该具有相应的层次结构，这种关系或是序列型的从属结构关系，或是非序列型的相关结构关系。第四，目标的可靠性决策信息是决策目标的基础，决策目标依靠决策信息的支持。准确可靠的决策信息，是正确决策的前提。设计目标要充分注意能够进行定量和定性分析，便于使用现代信息技术处理。第五，目标的相关性。复杂的社会经济系统，各目标之间往往存在某种程度的相关关系，容易导致综合评价的失真和偏误。对于此类目标，应当采取适当的技术处理措施，在保证主要决策信息的条件下，使决策目标之间相互独立。

３畅制定方案

决策方案是实现目标解决问题的方法和途径，制定方案是一个十分细致而又富于启发性的创造过程。制定方案要注意两点，一是勇于创新，二是精心设计。勇

·９·第１章　决策分析概论

于创新就是在总结过去经验和教训基础上，大胆探索，开拓改革，敢于提出新思路新方法，进行知识创新、技术创新。在当前激烈竞争迅速变化的市场环境中，企业能否实现技术创新、管理创新、产品创新，是企业生存发展的关键。精心设计是对决策方案的每个细节都要仔细推敲，反复核算，严格论证，要经得起怀疑者和反对者的挑剔。对一些涉及国计民生的重大社会经济问题，必须组织力量，进行可行性研究。

４畅评价分析

评价分析就是根据决策目标和评价标准，应用科学方法和有效手段对拟定的可行方案进行分析比较、筛选排序，从中挑选出一两个较满意的方案，提供给决策者最后抉择。应当制定合理的评价准则和评价要素，根据可行方案的价值大小、费用高低及风险特性等要素分析评价，有时还要进行灵敏度分析。在条件允许的情况下，尽可能用计算机进行模拟比较分析。在评价分析过程中，根据分析结果，进一步提出修正方案，或综合几个方案的优点提出修正方案。对于决策目标的不合理因素，经过反馈需要作出适当修改，并据此进一步修订方案。评价分析，反馈信息，修正目标，修订方案，多次循环往复，直到各可行方案的优劣排序情况已经比较清楚时，评价分析步骤方能终止。

５畅优化方案

经过以上四个步骤，根据决策准则和评价标准，在各方案分析比较的基础上，全面权衡各方案的优劣、利弊、得失、好坏，最终由决策者确定选择最满意的可行方案。这里，决策者或是企业和部门的领导人，或是企业和部门的领导集体。要求决策者具备较强的分析和判断能力、敏锐的洞察能力。决策方案最后优化抉择成功与否，在很大程度上取决于决策者的经验和水平。往往同样的决策问题，同样的机会和风险，不同的决策者可能作出不同的决策，其决策效果也是大相径庭的。

６畅实施反馈

经过评价分析和优化方案所选定的决策方案目标能否实现，结果是否满意，均有待于局部或整体实施检验。实践是检验真理的唯一标准，在实施方案的实践中，可以进一步对其进行审查和修正。人们对客观事物的认识总有一个由表及里的深化过程，任何一个完好的行动方案，在具体实施中难免出现一些预料不到的新情况新问题。因此，对于决策环境、决策目标、决策标准等在实施过程中出现的新信息，要及时反馈，及时进行必要的修正。如果发现由于市场环境和主观条件的重大变化，致使决策目标和行动方案需要作出根本性修正时，就要进行追踪决策，以避免出现不必要的混乱和经济上的重大损失。

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１畅３畅２　追踪决策的特点

追踪决策是在实施方案的过程中，发现原决策方案出现重大失误时采取的一种补救性决策措施。作好追踪决策要注意以下四个基本特征，即回溯分析、非零起点、双重优化、心理效应。

回溯分析是从原决策起点开始，按照决策程序和决策环境逐步作出客观分析，查找失误的原因，以便及时修正，使追踪决策建立在客观实际的基础上。非零起点是决策方案实施过程中，随着时间的推移，决策环境和决策条件已经发生一定的变化，追踪决策要充分注意时点上的推移对决策过程的影响。双重优化是追踪决策既要使新方案优于原方案，又要在新方案的拟定过程中，修正决策目标和决策标准，使新方案进一步优化。心理效应是发现原方案失误带来的内部和外部心理因素压力，要因势利导、慎思笃行，保证追踪决策的顺利进行。

１畅４　决策系统

前面，已经讨论了决策问题的构成要素。为了明确地表述决策问题，引入决策函数和决策系统的概念。

１畅４畅１　决策函数

１畅收益函数

许多决策问题常把收益值作为决策方案的评价指标，最满意方案就是收益值最大的方案。这里，收益是广义的，泛指收入、产值等。

设决策问题的收益值为 q ，状态变量为 θ，决策变量（方案或策略）为 a 。当决策变量 a和状态变量 θ确定后，收益值 q随之确定。收益值 q是 a和 θ的函数，称为收益函数，记作

q ＝ Q（a ，θ）（１畅１）如果决策变量和状态变量是离散的，即 a ＝ ai （ i ＝１，２，… ，m），θ ＝ θj （ j ＝１，２，… ，n），则收益函数可以表示为

qi j ＝ Q（ ai ，θj）　　（ i ＝１，２，… ，m ；j ＝１，２，… ，n）收益函数可以用矩阵表示，称为收益矩阵，即

Q ＝（ qi j ）m× n ＝

q１１ q１２ … q１ nq２１ q２２ … q２ n qm１ qm２ … qmn

·１１·第１章　决策分析概论

２畅损失函数

损失值又称为遗憾值，表示没有采取最满意方案或策略时所造成的损失。当决策变量 a和状态变量 θ确定后，损失值 r是 a和 θ的函数，称为损失函数，记作

r ＝ R（a ，θ）（１畅２）在离散情况下，损失值可以表示为

ri j ＝ R（ ai ，θj）　　（ i ＝１，２，… ，m ；j ＝１，２，… ，n）损失函数可以表示为损失矩阵，即

R ＝（ ri j ）m× n ＝

r１１ r１２ … r１ nr２１ r２２ … r２ n rm１ rm２ … rmn

损失值可以通过收益值计算出来，计算公式为ri j ＝ max

１ ≤ k ≤ mq k j － qi j 　　（ i ＝１，２，… ，m ；j ＝１，２，… ，n）（１畅３）

由此可见，损失值 ri j表示在状 θ j 的条件下，没有采取收益值最大方案，“舍优取劣”给决策带来的损失或遗憾。

一般地，损失函数和收益函数有如下关系

R（a ，θ）＝ maxa′ ∈ AQ（a′ ，θ）－ Q（a ，θ）（１畅４）

其中，A表示所有方案或策略的集合。

３畅决策函数

收益函数、损失函数和效用函数统称为决策函数，记作f ＝ F（a ，θ）（１畅５）

收益矩阵、损失矩阵和效用矩阵统称为决策矩阵，记作

O ＝（ oi j ）m× n ＝

o１１ o１２ … o１ no２１ o２２ … o２ n om１ om２ … omn

决策矩阵常用表格表示，称为决策表，见表１畅２。【例 1畅1】　某企业拟定了三个生产方案，方案 a１是新建两条生产线生产两种

新产品；方案 a２是新建一条生产线生产一种新产品；方案 a３是扩建原有生产线改进老产品。在销售预测的基础上，测算了各方案在不同市场需求状态下的条件收益值，见表１畅３。试求该决策问题的损失矩阵。

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表 1畅2状态变量 θ j）

状态概率 Pθ j）

条件结果值 o ij ）决策变量 a i）

θ１ θ２ … θ j … θn

P（θ１） P（θ２） … P（θ j） … P（θn）

a１ o１１ o１２ … o１ j … o１n

a２ o２１ o２２ … o２ j … o２n

a i oi１ oi２ … o ij … oin

am om１ om２ … omj … omn

表 1畅3 （单位：万元）市场状态 θ j）

条件收益值 qi j）方案 a i）

θ１（高需求） θ２（中需求） θ３（低需求）

a１１０００６００－２００

a２７５０４５０５０

a３３００３００８０

解：由决策表１畅３知道，收益矩阵

Q ＝（ qi j ）３ × ３＝１０００６００－２００７５０４５０５０３００３００８０

由公式（１畅３）求得该决策问题的损失矩阵为

R ＝（ ri j ）３ × ３＝００２８０

２５０１５０３０７００３０００

１畅４畅２　决策系统

在系统决策中，所有方案或策略 a的集合，称为行动空间，记作 A 。当决策变量 a为有限的离散情况时，行动空间可以用向量表示，即

A ＝（a１，a２，… ，am） T

所有可能状态 θ的集合，称为状态空间，记作 Ω 。当状态变量为有限的离散情况时，状态空间可以用向量表示，即

Ω ＝（θ１，θ２，… ，θn） T

状态空间 Ω ，行动空间 A以及定义在 Ω ，A 上的决策函数 F（ a ，θ）共同构成一个系

·３１·第１章　决策分析概论

统，称为决策系统，记作（ Ω ，A ，F）

系统决策的目的，就是寻求最满意方案，记作 a倡或 aopt ，使得决策函数 F达到最优值。

１畅４畅３　决策树

当状态空间 Ω和行动方案 A 的元素为有限的离散情况时，决策系统除了可以用决策矩阵表示以外，还可以用决策树形图表示。这种树形图称为决策树。

设决策系统（ Ω ，A ，F）的决策矩阵 O ＝（oi j ）m × n ，我们作出该系统的决策树。

１畅决策点和方案枝

在这个决策问题中，可行方案有 m个，a ＝ ai （ i ＝１，２，… ，m）。用树形图表示这一局面，如图１畅２（a）。决策点用矩形方框表示，在该处需要对各种方案作出合理的选择。

图１畅２

从决策点引出 m条直线，每一条直线表示一个可行方案，称为方案枝，并将方案 ai标点在方案枝直线之上。

２畅状态点和概率枝

对于每一个可行方案，都面临几个可能的自然状态 θ ＝ θj （ j ＝１，２，… ，n）。为了表示这一局面，亦用树形图表示，如图１畅２（b）。每一个方案枝的末端画出一个圆圈，称为状态点或机会点，从状态点引出 n个直线，每一条直线表示一种自然状态，称为概率枝或状态枝，并将状态值 θj 标注在概率枝直线之上。

３畅决策树

把决策点、方案枝和状态点、概率枝结合在一起，构成表示决策系统（ Ω ，A ，F）的各种方案和各种状态的树形图，称为决策树图。从决策点起沿方案枝经过状态

·４１· 管理决策分析

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点到概率枝，表示了不同方案 ai 在不同状态 θ j 下的条件结果，并将条件结果值 oi j标 o i j标注在概率枝的末端。决策树图如图１畅３所示。

图１畅３

用决策树表示决策系统形象直观、简便实用，特别是不同方案的自然状态不尽相同时，用决策矩阵表示就不太方便，而用决策树图就十分自然。决策树图直观形象，很受企业管理人员的欢迎。当然，在方案和自然状态的个数比较多的情况时，画出决策树图就显得有些复杂。利用决策树进行决策分析的方法，在第４章及以后的有关章节中，将作进一步讨论。

【例 1畅2】　画出１畅１节中无数据决策实例的决策树图。解：在该实例中，行动方案为 ai（ i ＝１，２，３），自然状态为 θj（ j ＝１，２），决策矩阵

O ＝（ oi j ）３ × ２，其中 ai ，θj 的意义见表１畅１。该决策问题的决策树图如图１畅４。

图１畅４

习　题　一

１畅什么是决策分析？决策分析有哪些特点？决策分析由哪些要素构成？２畅正确决策必须遵循哪些基本原则？３畅用框图说明决策分析的步骤。４畅画出１畅４节例１畅１决策问题的决策树图。

·５１·第１章　决策分析概论

第２章　确定型决策分析决策函数一般依赖于决策变量与状态变量，当决策变量即行动方案确定时，决

策函数的结果值是一个随机变量。当状态变量固定即只存在一种状态时，每一个行动方案对应着一个确定的结果值，这时决策函数仅依赖于决策变量，这种决策问题称为确定型决策。确定型决策就是要选择最满意的行动方案使决策函数取最优值，这类问题可以通过建立最优化数学模型来求解。这些方法在运筹学中已有详细的介绍，这里仅就管理决策分析中一些常用的方法进行讨论。还需指出，现实生活中，决策函数只依赖于行动方案而与状态变量无关的情形几乎是不存在的，确定型决策分析是在决策环境变化不大时对问题的一种简化处理。

２畅１　盈亏决策分析２畅１畅１　盈亏决策分析的基本原理

各种不确定因素（如投资、成本、销售量、产品价格、项目寿命期等）的变化会影响投资方案的经济效果，当这些因素变化达到某一临界值时，就会影响方案的取舍。盈亏决策分析的目的就是找出这种临界值，判断投资方案对不确定因素变化的承受能力，为决策提供依据。盈亏决策分析的基本方法是通过研究产销量、成本、利润三者的关系，找出使盈亏平衡的产销量水平，从而得到盈利区间和亏损区间。所以，盈亏决策分析又称盈亏平衡分析或量本利分析。

盈亏决策分析可以通过图示法和解析法两种方法来进行。设总成本函数为 C ＝ C（ q），总收益函数为 R ＝ R（ q），总利润函数为 L ＝ L（ q）。

在直角坐标系中，以横轴代表产销量 q ，纵轴代表总成本 C和总收益 R ，画出总成本曲线和总收益曲线，这样的图形称为盈亏平衡图（图２畅１）。

图２畅１中 F是固定成本曲线，由于固定成本不随产销量变化，故它是一条平行于 q轴的水平线。 C代表总成本曲线，总成本等于固定成本与可变成本之和，即C ＝ F ＋ Cv ，可变成本 Cv 在图中由曲线 C与曲线 F 沿纵轴方向的距离表示。利润函数为总收益函数与总成本函数之差，即 L（ q）＝ R（ q）－ C（ q），当 L（ q）＝０，即R（ q）＝ C（ q）时，盈亏平衡，对应的产销量 q称为盈亏平衡点，图中有两个盈亏平衡点 q０１和 q０２；当 L（ q）＞０时，企业盈利，对应的产销量区间称为盈利区；当 L（ q）＜０时，企业亏损，对应的产销量区间称为亏损区。 R曲线高出 C 曲线越多，表示盈利越多。

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图２畅１　盈亏平衡图

解析法是利用各经济变量之间的关系式，通过数学分析的方法来找出盈亏平衡点及盈利区和亏损区。一种较为简单的情形是假设在分析期内价格和单位可变成本不变，总收益和总成本都是产销量 q的线性函数，即所谓的线性盈亏平衡分析。下面分别介绍线性盈亏分析的基本关系式、贡献收益分析和多产品结构的贡献收益分析。

设 q为产销量； p 为产品单价；F为固定成本；v为单位可变成本；Cv 为可变成本；C为总成本；R为总收益；L为总利润。

以上变量有如下关系式

L ＝ R － C ＝ p q － F － v q由此得，产销量为

q ＝ F ＋ Lp － v （２畅１）

令 L ＝０的盈亏平衡点

q０＝ Fp － v （２畅２）

式（２畅１）和式（２畅２）称为线性盈亏分析的基本关系式。图２畅２是线性盈亏平衡图。

图２畅２

·７１·第２章　确定型决策分析

在短期内，企业生产某种产品的固定成本一般不变，产品的产销量决策与固定成本无关，只需分析变动成本和销售收入对销售利润的影响，这就是贡献收益问题。贡献收益是指销售收入与变动成本的差额，记作 g ，即

g ＝ R － Cv ＝ p q － v q ＝（ p － v） q这里，产品单位价格与单位变动成本之差 p － v 称为边际贡献，记为 m ，它表示单位产品补偿固定成本或获取利润的能力。贡献收益又可表示为

g ＝ mq线性盈亏分析的基本关系式用边际贡献表示为

q ＝ F ＋ Lm （２畅３）

q０＝ Fm （２畅４）

式（２畅４）表明，盈亏平衡的产销量是使得贡献收益刚好补偿固定成本的产销量，即mq０＝ F

　　在多产品结构的情况下，仍然可以进行贡献收益分析。设某企业生产 n种产品，第 i种产品的单价和单位可变成本分别为 p i 和 v i ，贡献收益和边际贡献收益分别为 gi 和 m i ，销售量和销售额分别为 qi 和 b i ，i ＝１，２，… ，n 。 n种产品的贡献收益总额为 G ，则

G ＝ R － Cv ＝ ∑n

i ＝１p i q i － ∑

n

i ＝１vi q i ＝ ∑

n

i ＝１（ p i － vi） qi ＝ ∑

n

i ＝１mi q i ＝ ∑

n

i ＝１gi

G ，L ，F的关系与单一产品时相同，即

L ＝ G － F （２畅５）

在多产品结构时，贡献收益总额 G与销售总额 B 之比称为综合边际贡献率，记为 M ，即

M ＝ GB （２畅６）

M表示单位销售额可提供补偿固定成本和获取利润的份额，是产品组合群这种补偿能力的表现。

设第 i种产品的销售额占销售总额的比重为 a i ，即 ai ＝ biB ，由式（２畅６）有

M ＝１B ∑

n

i ＝１gi ＝ ∑

n

i ＝１

biB · gib i ＝ ∑

n

i ＝１ai m i q ip i q i ＝ ∑

n

i ＝１ai m ip i （２畅７）

式（２畅７）中 mi 与 p i 的比值称为第 i 种产品的边际贡献率，表示该产品单位销售额可供补偿固定成本和利润的能力。式（２畅７）表明，综合边际贡献率 M等于各产品的边际贡献率以其产品销售额在总销售额中所占比重为权重的加权平均。

·８１· 管理决策分析

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用边际贡献收益表示的线性盈亏分析的基本关系式（２畅３）、（２畅４），可以推广到多产品结构的情形。根据式（２畅５）和式（２畅６），有

B ＝ F ＋ LM （２畅８）

B０＝ FM （２畅９）

这里 B０为盈亏平衡时的销售总额。在管理决策分析中，需要分析产品销量的变动对销售利润的影响，为此引入经

营杠杆 r 。在单一产品结构的情形，r表示产销量相对变动百分之一而导致销售利润变动的百分比。就是说，经营杠杆系数是销售利润对产销量的弹性，即

r ＝ ELEq ＝ dLdq ·qL （２畅１０）

由式（２畅３）知 L ＝ mq － F ，所以dLdq ＝ m

因此有

r ＝ mqL ＝ gL （２畅１１）

对多产品结构的情形，设 ri 是第 i 产品的经营杠杆系数，即

ri ＝ ELEq i ＝抄 L抄 qiq iL ＝ giL 　　（ i ＝１，２，… ，n）

多产品组合的经营杠杆系数为

r ＝ ∑n

i ＝１ri ＝ ∑

n

i ＝１

ELEq i ＝ GL （２畅１２）

表示每一种产品产销量都往同一方向变动１％时，利润总额变动的百分比。式（２畅１１）与式（２畅１２）表明，不论是单一产品还是多产品结构，经营杠杆系数都等于贡献收益额与销售利润额的比值。

经营杠杆系数越大，销售利润对销售量变动的反映越灵敏，即销售量增加一定的百分比带来的利润增量越大，同时销售量减少一定的百分比使利润减少的数量也越大。因此，在产品的市场前景看好时，经营杠杆系数越大越有利。否则，经营杠杆系数不宜过大。

在盈亏决策分析中，除了分析产销量的变动对利润的影响外，还可分析其他因素如投资、价格等的变动对利润的影响。

２畅１畅２　线性盈亏分析的应用实例

盈亏分析是辅助企业进行管理决策的一种有效工具。在帮助企业决策者确定

·９１·第２章　确定型决策分析

生产规模、合理分析企业资源、制定利润计划、开发新产品决策、价格决策和成本控制等诸多方面都十分有用。下面从几个方面，结合实例具体说明。

１畅生产规模决策

利用线性盈亏分析，选择合理的生产规模，可使企业获得较好的经济效益。【例 2畅1】　某出版社拟出版一种教材，编辑费、排版费、作者一次性版权费等

计入固定成本，合计４００００元。纸张、印刷、销售佣金等费用计入变动成本，每册合计４畅００元，每册售价８畅００元，出版该书的目标利润为６００００元，试确定至少应销售多少册。

解：根据线性盈亏分析的基本关系式（２畅２），盈亏平衡点为

q０＝ Fp － v ＝４００００

８－４＝１００００（册）

即销售１００００册可保本，超过１００００册可盈利。边际贡献 m ＝ p － v ＝８－４＝４（元），它表示销售量达到１００００册以后，每多售

一本就可获利４元，所以追加的销售量应为

q － q０＝ Lm ＝６００００

４＝１５０００（册）

即为了获利６００００元，应销售册数为q ＝１５０００＋ q０＝２５０００（册）

如果估计２５０００册难以销售出去，要完成６００００元的目标利润，就必须提高售价或降低成本。如果本着经济效益服从社会效益的原则，则售价不应提高，可适当降低出版社的目标利润。

２畅产品价格决策

在线性盈亏分析的基础上，根据一定的利润目标，企业对产品价格的决策方法有两种，一是成本外加法，二是平均成本法。它们都是在产品单位变动成本的基础上，摊入一定比例的固定成本和目标利润，以确定产品的价格。两者只是在表示方法上略有不同。

根据式（２畅１），得到产品的单价

p ＝ v ＋ Fq ＋ Lq （２畅１３）

按公式（２畅１３）确定价格，称为成本外加法。例如，在例２畅１中，如果只能销售２００００册教材，则每册定价为

p ＝４＋４００００２００００＋６００００

２００００＝９（元）

·０２· 管理决策分析

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由平均单位成本加上平均利润确定价格的方法，称为平均成本法，即

p ＝ AC ＋ Lq （２畅１４）

这里，AC是平均单位成本，AC ＝ C（ q）q ，当 C（ q）＝ F ＋ vq时，成本外加法与平均成

本法确定的价格相同。【例 2畅2】　某厂生产一种小型收录机，年生产能力为１０万台，固定成本为２３０

万元，单位变动成本为５０元。现已落实国内订货６万台，单价为９０元。最近，一外商提出如降低价格，可订货３万台，并承担其运输及摊销费用，因而外销产品的单位变动成本降为４０元。该厂目标利润为１３０万元，试确定外销产品的定价，并作出是否接受外商订货的决策。

解：内销产品的边际贡献为

m１＝９０－５０＝４０（元）

内销６万台补偿固定成本后可获利

L１＝ m１ q１－ F ＝４０ × ６－２３０＝１０（万元）

该产品目标利润为１３０万元，外销目标利润为

L２＝ L － L１＝１３０－１０＝１２０（万元）

由于固定成本已摊入内销产品，外销产品价格按式（２畅１３）确定为

p２＝ v２＋ L２q２＝４０＋１２０３＝８０（元）

接受外商订货还可使生产能力利用率由６１０＝６０％提高到６＋３

１０＝９０％。尽管

企业通过进一步拓展国内市场，同样可实现其利润目标，但接受外商订货有利于开拓国际市场，有利于企业进一步掌握国际市场和新技术方面的信息，故应接受这批订货。

３畅产品结构决策

当企业生产多种产品时，由于不同产品提供的边际贡献往往是不同的，故产品结构变动会对企业利润总额产生一定的影响。

【例 2畅3】　设某工厂的固定成本为６００万元，生产 A 、B 、C 三种产品，如果该厂维持销售总额２５００万元不变，但产品结构可由三种产品的售额比９ ∶ ２５ ∶ １６变为１２ ∶ １０ ∶ ３，两种方案的有关数据见表２畅１（方案一）、表２畅２（方案二）。为使企业获得较大利润，试对这两种产品结构方案作出选择。

·１２·第２章　确定型决策分析

表 2畅1产品销售量 qi／万件单价 p i／元边际贡献 m i／元售额比 a i

A １畅５３００２２０９／５０

B ２畅５５００１８０２５／５０

C ４２００１００１６／５０

表 2畅2产品销售量 qi／万件单价 p i／元边际贡献 m i／元售额比 a i

A ４３００２２０１２／２５

B ２５００１８０１０／２５

C １畅５２００１００３／２５

解：根据公式（２畅７），方案一的综合边际贡献率为

M１＝ ∑３

i ＝１ai m ip i ＝９

５０ × ２２０３００＋２５

５０ × １８０５００＋１６

５０ × １００２００＝０畅４７２

盈亏平衡点销售额为

B０１＝ FM１

＝６０００畅４７２＝１２７１畅２（万元）

贡献收益总额为

G１＝ ∑３

i ＝１mi q i ＝２２０ × １畅５＋１８０ × ２畅５＋１００ × ４＝１１８０（万元）

故方案一的利润总额为

L１＝ G１－ F ＝１１８０－６００＝５８０（万元）同样，计算方案二的相应各指标为

M２＝０畅５５６B０２＝１０７９畅１（万元）G２＝１３９０（万元）L２＝７９０（万元）

由此可见，即使销售总额没有提高，但由于改变了产品的结构，企业的盈亏平衡点和利润都发生变化，利润由５８０万元增加到７９０万元，净增２１０万元，故应选择方案二。

通常，对多产品生产的企业来说，应尽可能地增加边际贡献大的产品的产销量，而减少边际贡献小的产品的产销量（假设固定成本保持不变），以提高企业生产的盈利性。

４畅设备更新决策

企业通过设备更新、工艺改进、厂址变更等措施，通常可以提高劳动生产率，使

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单位产品的可变成本降低，但同时会增加固定成本，因而企业利润水平也会随着改变。是保持原有生产条件，还是选择更新设备，要视市场状况和企业的盈利状况而定。

【例 2畅4】　某电子元件厂，原来自动化程度较低，年最大生产能力只有２０万件，为了提高产品的产量和质量，准备购进全自动化设备，将使生产能力提高一倍，同时固定成本增加，单位可变成本降低，有关数据见表２畅３。试对是否购进新设备进行决策分析。

表 2畅3　　　　设备成本　　　　

半自动化全自动化

固定成本／万元２００３００

单位变动成本／元１６１１

价格／元３６３６

解：根据线性盈亏分析模型，上述两种方案的总成本函数分别为C１＝ F１＋ v１ q ＝２００＋１６ qC２＝ F２＋ v２ q ＝３００＋１１ q

总收益函数相同，都是 R ＝３６ q 。作出两种方案的盈亏平衡图，如图２畅３所示

图２畅３

两种方案的盈亏平衡点分别是

q０１＝ F１p － v１＝２００

３６－１６＝１０（万件）

q０２＝ F２p － v２＝３００

３６－１１＝１２（万件）

　　当 C１＝ C２时，产销量是

·３２·第２章　确定型决策分析

qN ＝ F２－ F１v１－ v２＝３００－２００

１６－１１＝２０（万件）

从图２畅３可以看出，当产销量在１２万件到２０万件之间时，采用原设备生产比采用新设备，盈利更大；当产销量超过２０万件时，采用新的全自动化设备，盈利较大。因此，企业可进行市场需求量的预测，根据需求量的情况，结合企业的生产经营条件，合理地选择生产方案。

结合本例，进一步说明经营杠杆系数的意义与作用。假设预测产销量为 q ＝２７万件，两种方案的经营杠杆系数分别为

r１＝ g１L１＝（ p － v１） q（ p － v１） q － F１＝（３６－１６） × ２７

（３６－１６） × ２７－２００＝１畅５９

r２＝ g２L２＝（ p － v２） q（ p － v２） q － F２＝（３６－１１） × ２７

（３６－１１） × ２７－３００＝１畅８

说明当产销量为２７万件时，产销量变动１％，采用原设备生产，利润变动１畅５９％，采用新设备利润变动１畅８％。如果采用新设备生产，增加产量可使利润有较快的增长；反之，减少产量，利润下降得也快。因此，此时应尽量使生产规模扩大。

２畅２　现金流及其时间价值

任何一个经济系统（项目、企业、部门等）所从事的活动，从货币形态上来讲，就是货币的流入与流出，经济活动的目的，就是要使货币在流入与流出的过程中得到增值。评价一个经济系统的运行效益，就是要看流入量超过流出量即净现金流量的多少。经济学认为，不同时期等额货币的价值是不同的，即货币必须考虑其时间价值。一个项目的寿命期一般不止一年，那么在不同时期发生的现金流量必须按同一标准来进行比较，也就是说对不同时期的现金流量要按某一标准进行换算，只有这样才能对不同的方案作出正确的选择。下面分别讨论现金流的估计及常用的等值换算方法。

２畅２畅１　现金流的估计

现金流量指某一时期现金流入量与现金流出量之差额，也称净现金流量，即 t时期（如第 t年）的净现金流量为

Ft ＝ F（１）t － F（２）tF（１）t 表示 t 期的现金流入量，F（２）t 表示 t期的现金流出量。现金流是指按时间顺序依次发生的净现金流量的序列。通常，一个方案（以投资方案或称为投资项目为例）的现金流入包括以下各项：① 投产后的销售收入。② 财务安排的贷款或拨款。

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③ 其他资金来源（例如设备折旧费、项目残值等）。现金流出包括以下内容：① 固定资产投资（包括征购土地、购置设备、土建费、运输安装费、保险费及相

关的劳务费用等还包括开发研制费、投产前的各项准备费）。② 流动资金（流动资金是指流动资产减去流动负债）。③毛经营成本即不包括财务费用（利息）、税金以及折旧费在内的经营费用。④ 财务安排的还款和应付的利息。⑤ 纳税。⑥ 其他（如新购设备引起的现金支付）。在弄清每一年的各项现金流入和现金流出以后，按前述公式计算当年的净现

金流量。在分析项目的现金流时要特别注意三个问题。第一，要严格区分现金流入与现金流出，在此基础上才能准确计算净现金流量；第二，是否确实发生了现金流量；第三，现金流量产出的时间。

【例 2畅5】　某企业拟购买一台新设备，购价２００００元，运费１２００元，安装费８００元，固定资产投资方向调节税５００元，投产时一次性投入流动资金５０００元。新设备投产后，１０年内每年可得销售收入１８０００元，相应地增加生产和销售费用１００００元，所得税率为５０％。新设备寿命期为１０年，无残值。新设备使用终了时，仍可回收流动资金５０００元。试计算这个项目的现金流。

解：购买新设备的现金流量为　　　　　　新设备购价　　　　　　　－２００００　　　　　　运输安装费　　　　　　　－２０００　　　　　　投产时流动资金　　　　　－５０００　　　　　　调节税　　　　　　　　　－５００　　　　　　　　　　　　合计　　　　　　　　　　－２７５００（元）

投产后第１～９年，每年的净利润为　　　　　　销售收入　　　　　　　　　１８０００　　　　　　生产销售费　　　　　　　－１００００　　　　　　设备折旧费　　　　　　　－２２００　　　　　　　　　　　　合计　　　　　　　　　　　５８００（元）

投资后第１～９年的现金流量为

５８００ × （１－５０％）＋２２００＝５１００（元）

投产后第１０年的现金流量为５１００＋５０００＝１０１００（元）

综合上述计算结果，购买新设备带来的现金流如表２畅４所示。

·５２·第２章　确定型决策分析

表 2畅4时间／年０１２３４５６７８９１０

现金流／元－２７５００５１００５１００５１００５１００５１００５１００５１００５１００５１００１０１００

在一般情况下，建设期各年的净现金流量为负值，投产期各年的净现金流量为正值。

２畅２畅２　货币的将来值和现值

一定数量的货币在不同时期或时点上的价值量是不同的，它们的差额就是货币的时间价值，或称资金的时间价值。

１畅货币的将来值

设有资金 P元，年利率为 i ，按复利计算，则 N年末的本利和 F 称为资金 P 的将来值，即

F ＝ P（１＋ i） N ＝ P（ F／ P ，i ，N）（２畅１５）这里系数（ F／ P ，i ，N）＝（１＋ i） N 称为整付复本利系数或复利终值系数，表示现值一元在复利率为 i时，N年末的将来值。整付复本利系数可查附表１。

例如，现有资金１００元，i ＝５％，１０年末的将来值是F ＝１００（ F／ P ，５％，１０）＝１００ × １畅６２９＝１６２畅９（元）

２畅货币的现值

设年利率为 i ，N年末的资金为 F ，由式（２畅１５）知，第一年初资金的价值应是P ＝ F（１＋ i）－ N ＝ F（ P／ F ，i ，N）（２畅１６）

这里 P称为 F的现值，系数（ P／ F ，i ，N）＝（１＋ i）－ N称为整付现值系数，表示 N 年末一元按利率 i 折算的现值。整付现值系数可查附表２。

例如，年利率 i ＝５％，１０年末的资金１００元的现值是P ＝１００（ P／F ，５％，１０）＝１００ × ０畅６１４＝６１畅４（元）

在现值意义下，利率 i也称为折现率，表示未来资金对现在的折扣关系。在将来值意义下，利率 i也称为回收率，表示现在的投资在未来的回收关系。

３畅现金流的净现值

利用公式（２畅１５）、（２畅１６），可以计算现金流的净现值和将来值。设有现金流Ft（ t ＝０，１，… ，N），用 N PV表示其净现值，则

NPV ＝ ∑N

t ＝０Ft（ P／ F ，i ，t）＝ F０＋ F１（ P／F ，i ，１）

·６２· 管理决策分析

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＋ F２（ P／ F ，i ，２）＋ … ＋ FN （ P／ F ，i ，N）（２畅１７）即现金流的净现值等于投资期各年的净现金流量折算成的现值之和。这里 F０表示第一年初的投资额，（ P／ F ，i ，０）＝１。

【例 2畅6】　计算例２畅５中现金流的净现值，折现率 i ＝５％。解：由公式（２畅１７），有

　　 NPV ＝ ∑１０

t ＝０Ft（ P／F ，５％，t）

＝ F０＋ F１（ P／ F ，５％，１）＋ … ＋ F９（ P／ F ，５％，９）＋ F１０（ P／ F ，５％，１０）＝－２７５００＋５１００（０畅９５２４＋ … ＋０畅６４４６）＋１０１００ × ０畅６１３９＝１４９５１（元）

现金流的净将来值就是投资期各年的净现金流量折算成将来某一确定年的将

来值之和，计算公式不难由式（２畅１５）推出。

２畅２畅３　年金

设有一个第一年至第 N年的现金流 F t（ t ＝１，２，… ，N），如果F１＝ F２＝ … ＝ FN ＝ A

则称 A为年金。即年金是一系列每年发生的等额现金流量。一系列年金可以换算成总现值或总将来值。反过来，现在的一笔资金也可以

换算成将来或过去发生的一系列年金。设在 N 年内，每一年末发生年金 A 元，折现率为 i ，由公式（２畅１７）知，第一年

初的总现值为

P ＝ ∑N

t ＝１A（１＋ i）－ t ＝ A ∑

N

t ＝１（１＋ i）－ t

按等比级数求前 n项和的公式，有

P ＝ A · １－（１＋ i）－ N

i ＝ A（ P／ A ，i ，N）（２畅１８）

这里，系数（ P／ A ，i ，N）＝１－（１＋ i）－ N

i 称为年金现值系数，表示折现率为 i ，N 年内

年金一元折算成第一年初的现值总额。年金现值系数可查附表３。利用年金总现值公式（２畅１８），可以简化例２畅６中净现值的计算

NPV ＝ F０＋ F１（ P／ A ，５％，９）＋ F１０（ P／ F ，５％，１０）＝－２７５００＋５１００ × ７畅１０７８＋１０１００ × ０畅６１３９＝１４９５１（元）

由式（２畅１８）可得

A ＝ P · i１－（１＋ i）－ N ＝ P（ A／ P ，i ，N）（２畅１９）

·７２·第２章　确定型决策分析

这里，系数（ A／ P ，i ，N）＝ i１－（１＋ i）－ N称为投资回收系数，表示第一年初投资一

元，回收率为 i ，N年内每年末回收的年金。投资回收系数可查附表４。【例 2畅7】　某企业现借得１０００万元贷款，在１０年内以年利率１２％均匀偿还，

每年应付的金额是多少？解：由公式（２畅１９）有

A ＝１０００（ A／ P ，１２％，１０）＝１０００ × ０畅１７６９８ ≈ １７７（万元）

２畅２畅４　等差换算

如果在现金流中 Ft 中，各年的净现金流量成等差数列，即Ft ＝ A′ ＋（ t －１） G 　　（ t ＝１，２，… ，N）（２畅２０）

则称这样的现金流为等差年金序列，称 A′为等差年金基值，G为公差，表示每年递增的现金流量。

为了比较不同的等差年金序列的价值，常常把它们都折算成 N 年内发生的一系列等额年金，这种方法称为等差换算。等差换算公式可由下面的两个步骤得到。

第一步，由公式（２畅１７），将等差年金序列（２畅２０）折算为第一年初的总净现值，即

NPV ＝ ∑N

t ＝１A′ ＋（ t －１）G （ P／ F ，i ，t）（２畅２１）

第二步，再由公式（２畅１９），将上述总净现值折算成 N年内发生的等额年金

A ＝ ∑N

t ＝１A′ ＋（ t －１）G （ P／F ，i ，t） · （ A／ P ，i ，N）

将上式展开推导可得（请有兴趣的读者自己推导）

A ＝ A′ ＋ G １i － N

（１＋ i） N －１＝ A′ ＋ G（ A／G ，i ，N）（２畅２２）

这里，系数（ A／G ，i ，N）＝１i －

N（１＋ i） N －１称为等差换算系数，表示 N 年内年利

率为 i ，等差年金基值为零，公差为１元的等差年金序列折算成的等额年金。等差换算系数可查附表５。

【例 2畅8】　某投资方案五年内，第一年末支付４００万元，以后按等差额每年递增２００万元，年利率为 i ＝１０％。若五年内均匀支付，每年应支付的金额是多少？

解：由公式（２畅２２）有

A ＝ A′ ＋ G（ A／G ，i ，N）＝４００＋２００ × １畅８１＝７６２（万元）

上面得到的货币时间价值的等值换算关系归纳如表２畅５所示。

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表 2畅5 　常用货币等值换算关系已知求公式系数名称系数符号

现值 P 将来值 F F ＝ P（１＋ i） N 整付复本利系数（ F／ P ，i ，N）

将来值 F 现值 P P ＝ F（１＋ i）－ N 整付现值系数（ P／ F ，i ，N）

年金 A 现值 P P ＝ A · １－（１＋ i）－ N

i 年金现值系数（ P／ A ，i ，N）

现值 P 年金 A A ＝ P · i１－（１＋ i）－ N 投资回收系数（ A／ P ，i ，N）

等差额 G基值 A′ 年金 A A ＝ A′ ＋ G １i － N

（１＋ i） N －１等差换算系数（ A／ G ，i ，N）

２畅２畅５　应用实例（分红问题）

投资者有一笔资金 F０，欲将其投资于某一项目，每年将得到分红 dt ，（ t ＝１，２，… ，N）。并设首期（第一年）的红利率为 k ，即 d１＝ kF０，以后每年的红利按 g的比率递增，即 dt ＝ d１（１＋ g） t －１＝ kF０（１＋ g） t －１，（ t ＝１，２，… ，N）。回收率（利率）为 i ，并假定 g ＜ i 。显然，投资者希望 k和 g 尽可能地大，集资者则希望它的尽可能地小。那么，k和 g 满足什么条件时，投资和集资双方都能接受？这一问题称为“分红问题”或“租金问题” 。

考虑货币的时间价值，历年得到的分红折算为第一年初的现值总额为

P０＝ ∑N

t ＝１

dt（１＋ i） t ＝ ∑

N

t ＝１

kF０（１＋ g） t－１

（１＋ i） t ＝ kF０

i － g １－１＋ g１＋ i

N

假设分红一直继续下去（ N → ∞ ），由于 g ＜ i ，则有

P０＝ kF０

i － gP０

F０＝ ki － g

投资者希望每年分红的总现值不小于投资额，即 P０ ≥ F０；集资者则希望所得到的资本不小于他所付出的红利总现值，即 F０ ≥ P０。因而有 P０＝ F０，即

k ＝ i － g或 i ＝ k ＋ g这就是投资和集资双方妥协的条件。特别，当每年分红数额相同，即 g ＝０时，有k ＝ i ，即红利率等于利率。

【例 2畅9】　设刚刚竣工的某大型商场由国家投资１０００万元建成，如果将其承包给个人，以后每年要支付维护费用１５万元，回收率（利率） i ＝１０％。（１）如果每年按等额上交利税，承包期为２０年；（２）每年上交的利税比前一年递增８％，一直承包下去。求每年承包人至少要上交多少利税，国家才能收回其全部投资。

解：（１）承包期 N ＝２０，i ＝１０％，将国家全部投资折算为年金为

·９２·第２章　确定型决策分析

A ＝１０００（ A／ P ，１０％，２０）＋１５＝１０００ × ０畅１１７４６＋１５＝１３２畅４６（万元）即承包人每年至少要上交利税１３２畅４６万元。

（２）国家每年追加１５万元的总现值是

∑∞

t ＝１

１５（１＋ i） t ＝ ∑

∞

t ＝１

１５（１＋１０％） t ＝１５０（万元）

国家全部投资的总现值是

F０＝１０００＋１５０＝１１５０（万元）由于 N → ∞ ，由上面的分红问题模型可知，第一年的利税率为 k ＝ i － g ＝１０％－８％＝２％，故第一年应上交的利税为

d１＝ kF０＝２％ × １１５０＝２３（万元）以后每年的利税依次递增８％。

２畅３　无约束确定型投资决策

投资决策是管理决策的一个重要方面，由于投资行为具有后效性和长期性，一旦决策不慎，将会给企业和国家带来重大损失。因此，应重视投资决策方法的研究。下面，我们介绍几种目前常用的投资决策方法，即净现值法、内部收益率法和投资回收期法。使用这些方法有一些基本的假设条件，即无约束确定性假设，在这些假设条件下进行的决策称为无约束确定型投资决策。

２畅３畅１　基本假设条件

无约束确定性假设可归纳为以下几条。

１畅投资项目是独立的

在一组投资项目中，各个项目现金流之间，不存在经济的、技术的和其他因素的依赖关系。一个项目的获利性，不影响其他项目的获利性。

２畅资金来源是不受限制的

假定存在一个理想的资金市场，在这个市场中，资金的交易是按现行的利率自由进行，而不受其他因素的干扰。

３畅投资结果是确定的

假设投资者掌握了全部有关目前和未来的投资信息，并且信息是真实准确的，不存在风险和不确定性，包括投资项目的所有因素和变量，如现金流、折现率、时间因素、经济寿命期等。

·０３· 管理决策分析

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４畅投资项目是不可分割的

投资项目是一个整体的功能单位，或是实现，或是不实现。这个假设在财务上的意义是，资金按项目逐项调拨，一笔资金表示一个特定的投资项目。

上述假设条件的实际意义是，投资者只需对一个单独的投资项目进行决策分析，而不必顾及这个项目与其他项目的关系，这使问题变得容易处理。

２畅３畅２　净现值法（NPV 法）

从经济角度看，一个投资项目方案能否被采用，要看这个项目能否给投资者带来盈利，凡盈利为零或为负数的项目应当放弃。由于投资项目周期一般较长，故计算项目盈利能力时必须考虑资金的时间价值。项目盈利能力表现为现金流的净现值。

设某投资项目发生在寿命期内的净现金流为 Ft（ t ＝０，１，２，… ，N），若已知折现率为 i ，则由式（２畅１７），有

NPV ＝ ∑N

t ＝０Ft（１＋ i）－ t （２畅２３）

实际上，在项目寿命期内，每一年的折现率一般是不同的，公式（２畅１７）是在每年折现率都相同的假定下得到的。在实际应用中，公式中的 i一般通过估算或假定来确定。根据机会成本原则的要求，只有那些能给投资者带来盈利的项目才会被采纳。因此，投资回收率不应小于资金成本率，故公式（２畅１７）中的 i最小可以取资金成本率。

当 N PV为正值时，说明现金流入总现值大于现金流出总现值，按现值计算的投资收益率大于资金成本率，投资者有利可图，投资方案可接受；反之，当 N PV为负值时，投资方案应放弃，若比较两个投资方案，当 NPV 均为正值时，应取 N PV较大的方案，这就是净现值决策法则。

【例 2畅10】　在２畅２节例２畅５的更新设备的投资项目中，如果资金成本率 i ＝５％，试对该项目进行决策。

解：由２畅２节例２畅６的计算结果得知NPV ＝１４９５１（元）

由于 NPV ＞０，该项目可以接受。在净现值法中，折现率 i的大小，对决策起着十分敏感的作用。为此，我们进

一步讨论 N PV对 i 的依赖关系。在式（２畅２３）中，假定各期的现金流量 Ft （ t ＝０，１，… ，N）是固定不变的，则 N PV是 i 的函数，即

NPV（ i）＝ ∑N

t ＝０Ft（１＋ i）－ t ＝ F０＋ F１（１＋ i）－１＋ … ＋ FN （１＋ i）－ N

（２畅２４）

·１３·第２章　确定型决策分析

假设 F０＜０，Ft ＞０（ t ＝１，… ，N），且 N PV（ i）是 i的连续函数，则d NPV（ i）d i ＝－ F１

（１＋ i）２－ … － NF N（１＋ i） N ＋１（２畅２５）

显然，当－１＜ i ＜＋ ∞ 时，有d NPV（ i）d i ＜０

又因为d２ NPV（ i）d i２＝２ F１

（１＋ i）３＋ … ＋ N（ N ＋１） FN（１＋ i） N ＋２＞０

故 N PV（ i）在（－１，＋ ∞ ）内是一条单调下降且下凸的曲线，又易知 limi → －１N PV（ i）＝

＋ ∞ ，limi → ＋ ∞

NPV（ i）＝ F０，故曲线 N PV（ i）有垂直渐近线 i ＝－１和水平渐近线

N PV ＝ F０，NPV（ i）的图形如图２畅４所示。

图２畅４

由图２畅４可以看出，对于同一项目，尽管净现金流是固定不变的，但由于 i对NPV 的影响，使得对同一净现金流，当折现率 i取不同值时，可能作出完全相反的决策。图中，i 倡是使 N PV（ i）＝０的折现率，当 i ＜ i 倡时，NPV（ i）＞０，按净现值决策法则，应该接受该项目；当 i ＞ i 倡时，NPV（ i）＜０，应该拒绝该项目。还应指出，上述净现值函数 NPV（ i）的性质是在 F０＜０，Ft ＞０（ t ＝１，２，… ，N）的条件下导出

的。如果不满足这一条件，由式（２畅２５）可以看出，d N PV（ i）d i 不一定小于零，即

N PV（ i）不一定是单调递减的，曲线 N PV（ i）与 i轴也可以有两个以上的交点。

２畅３畅３　内部收益率法（ I RR法）

由上面的讨论可知，使净现值函数 NPV（ i）为零的折现率 i 倡是一个很重要的参数，它对项目决策有着重要的影响，我们称这一折现率为项目的内部收益率。即满足方程

NPV（ i）＝ ∑N

t ＝０Ft（１＋ i）－ t ＝０（２畅２６）

·２３· 管理决策分析

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的折现率称为内部收益率。

求内部收益率 i 倡就是求方程 ∑N

t ＝０Ft（１＋ i）－ t ＝０的根，也就是要求解 i的 N 次

方程

F０（１＋ i） N ＋ F１（１＋ i） N －１＋ … ＋ FN ＝０（２畅２７）一般来说，该方程在复数范围内有 N个根，手工计算并非易事。实际应用中，可以利用计算机应用软件来求解。如果用手工计算，可以利用逐次试算逼近的方法，找出两个接近于 i 倡的折现率 i１和 i２，其中 i１满足 NPV（ i１）＞０，i２满足 NPV（ i２）＜０，NPV（ i１）和 N PV（ i２）都接近于零，再利用线性内插值法求出 i 倡的近似值，见图２畅５。计算公式如（２畅２８）。

i 倡＝ i１＋ NPV（ i１）NPV（ i１）－ NPV（ i２）（ i２－ i１）（２畅２８）

图２畅５

【例 2畅11】　某投资项目在寿命期内净现金流如表２畅６所示，求此项目的内部收益率。

表 2畅6 （单位：万元）

计算期（第 t年）建设期经营期

０１２３ … ８９１０１１

净现金流量－１０００３６３６ … ３６２５２５３５

解：设定不同的折现率 i ，使 N PV（ i）逐步向零逼近，试算结果如下：设定折现率 i 　　　　　净现值 NPV（ i）

　　　　　　　　　１０％　　　　　　　　９１畅８３８４　　　　　　　　　３０％　　　　　　　　－１９畅２８００　　　　　　　　　２０％　　　　　　　　２１畅７３１３

·３３·第２章　确定型决策分析

　　　　　　　　　２４％　　　　　　　　３畅９３１８　　　　　　　　　２６％　　　　　　　　－３畅０１９０

经过５次试算，得到了两个较接近零的净现值３畅９３１８和－３畅０１９０，相应的折现率i１＝２４％，i２＝２６％，由线性内插值公式得 i 倡的近似值为

i 倡＝２４％＋３畅９１３８３畅９１３８－（－３畅０１９０） · （２６％－２４％）＝２５畅１３％

下面讨论内部收益率经济意义。一方面，由内部收益率的定义可知，i 倡是使项目净现值为零的折现率，或者说是使项目现金流入量总现值等于现金流出量总现值的折现率。从净现值的意义上说，i 倡是使项目达到盈亏平衡的折现率。另一方面，如果记

St ＝ F０（１＋ i） t ＋ F１（１＋ i） t－１＋ … ＋ Ft （２畅２９）这里，t ＝１，２，… ，N 。 St 是从第０期到第 t期的净现金流量折算为第 t期的终值之和，称为第 t期末的未回收投资金额。显然 St 也是 i 的函数，即 St ＝ St （ i）。由式（２畅２７）可知，内部收益率 i 倡满足 SN （ i 倡）＝０，即 i 倡使得项目寿命期终了时未回收的投资余额刚好为零。

综上所述，内部收益率不仅是使项目净现值 NPV（ i）＝０的利率，而且也是在项目寿命期内，为使投资完全回收，计算未回收投资余额的利率，这就是内部收益率的经济意义。

一般而言，内部收益率越大越好，至少不能低于资金成本率 k ，否则 k ＞ i 倡，N PV（ k）＜０，投资余额不能完全回收，将发生亏损现象。内部收益率（ I RR）法的决策准则是：

当 i 倡＞ k时，则采纳该项目；当 i 倡＜ k时，则否定该项目。【例 2畅12】　在例２畅１１中，如果项目资金来源于贷款，利率是 i ＝１０％，试用

I RR法对项目进行决策。解：由例２畅１１的计算结果得 i 倡＝２５畅１３％，又资金成本率 k ＝１０％，i 倡＞ k ，应

采纳该项目。应该指出使用内部收益率法进行决策，关键是求出内部收益率 i 倡。由方程式

（２畅２７）可以看到，如果对现金流 Ft（ t ＝０，１，… ，N）不加以限制，方程可能存在多个实根的情形，这就给使用内部收益率法带来困难。例如，若某项目的现金流如表２畅７所示。

表 2畅7 （单位：千元）

第 t年末０１２３４５

净现金流量 F t －１０００８００８００－２００３５０－１００

·４３· 管理决策分析

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将 Ft 代入方程式（２畅２７）可得五个根，其中 i１＝０畅３８０，i２＝－０畅７２７，其余的根是 i３＝－１畅９１５＜－１，i４＝ i５是虚数，应舍去。进一步研究可知，净现值函数 N PV（ i）的图形如图２畅６（－１＜ i ＜＋ ∞ 的部分）。在区间（－１，＋ ∞ ）内有两个实根 i１和i２，但由于计算 NPV（ i）的折现率 i是资金成本率，i不应为负值，故这时起作用的内部收益率只有 i１，由 I RR决策法则，当０＜ k ＜０畅３８０时，投资项目可以接受；当k ＞０畅３８０时，应放弃此项目。可以证明，在纯投资条件下，内部收益率是唯一的，即 I RR法必须以纯投资为

前提条件。所谓纯投资，是指在项目寿命期内，按内部收益率计算的未回收投资余额为非正的，并且在项目寿命期终了时，刚好回收了全部投资余额。即 Ft 满足

St ＝ ∑t

j ＝０F j （１＋ i 倡） t－ j ≤ ０　　（ t ＝０，１，２，… ，N －１）

SN ＝ ∑N

j ＝０F j （１＋ i 倡） N － j ＝０

图２畅６

另外，还应注意，不宜用内部收益率来排列几个投资方案的优劣顺序。在比较两个或者多个投资方案的优劣顺序时，不能单纯地看内部收益率的大小，还应结合投资规模综合考虑。例如，项目 A 、B的现金流如表２畅８所示。

表 2畅8 （单位：千元）

第 t期末０１２３

项目 A 的现金流 FA t －１０００４７５４７５４７５

项目 B 的现金流 FB t －１００００４３８０４３８０４３８０

由 FA t和 FB t分别求出项目 A 、B的内部收益率为

·５３·第２章　确定型决策分析

i 倡A ＝２０％，i 倡B ＝１５％尽管 i 倡A ＞ i 倡B ，但在逻辑上项目 B要优于项目 A 。因为在同一时期内，项目 A 为企业提供的投资收益为

３ × ４７５－１０００＝４２５（千元）项目 B为企业提供的收益为

３ × ４３８０－１００００＝３１４０（千元）项目 B比项目 A 带来的收益大得多。

２畅３畅４　投资回收期法

回收期是评价投资项目的一个简单而常用的经济指标。投资回收期是指项目投产后用每年的净现金流量偿还项目投资额所需要的时间，也就是累加净现金流量第一次出现零值所需要的时间。设第 t年的净现金流量为 F t（ t ＝０，１，… ，N），

σm ＝ ∑m

t ＝０Ft 为前 m 年的累加净现金流量，且 σm －１＜０，σm ＞０。由线性内插值法，不

难推得投资回收期 Q的计算公式是

Q ＝ m －１＋ | σm－１ |Fm （２畅３０）

【例 2畅 13】　设投资方案 A 和 B 的现金流如表２畅９，试求两方案的投资回收期。

表 2畅9 （单位：元）

t期末／年方案 A 方案 B

现金流 FA t 累加现金流 ∑ FA t 现金流 FBt 累加现金流 ∑ FBt

０－１０００００－１０００００－１０００００－１０００００

１２５０００－７５０００５００００－５００００

２３００００－４５０００５０００００

３３５０００－１００００５０００

４４００００３００００

５４５０００

解：根据上表数据，由公式（２畅３０）得项目 A 、B的投资回收期分别为QA ＝３＋ | －１００００ |

４００００＝３畅２５（年）

QB ＝２（年）上述计算回收期的方法，直接累加净现金流量，没有考虑资金的时间价值，虽

然简单，却没有完全反映实际情况。改进的方法是，考虑资金的时间价值，用 St ＝

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∑t

j ＝０F j（１＋ i） t－ j 代替公式（２畅３０）中的 σm ，即

Q ＝ m －１＋ | Sm－１ |Fm ＋ Sm－１ · i （２畅３１）

这里折现率 i取资金成本率，其余符号的含义与公式（２畅３０）中相同，式（２畅３１）中的Q称为折现回收期。例２畅１３中，若取 i ＝１０％，对现金流作相应处理，可计算折现回收期。以方案

A 为例，见表２畅１０。

表 2畅10 （单位：元）

t期末／年

现金流

F t

i ＝１０％时的资金成本（利息）

S t －１ · i累加现金流（终值）

S t ＝ S t －１（１＋ i）＋ F t０－１０００００－１０００００

１２５０００－１００００－８５０００

２３００００－８５００－６３５００

３３５０００－６３５０－３４８５０

４４００００－３４８５１６６５

５４５０００

由公式（２畅３１）有

Q ＝３＋ | －３４８５０ |４００００－３４８５＝３畅９５（年）

利用回收期法评价投资项目，其决策方法有两种。第一种方法是把回收期作为一种时间期限，凡超过了规定回收期的投资项目都应该否定。第二种方法是把回收期作为比较不同投资方案优劣的标准，回收期越短，投资的经济效果越大。运用这种方法有很大的局限性，只有当不同项目在投资规模和净现值相差不大时，才用回收期对不同方案排列次序。如在例２畅１３中，QA ＝３畅２５＞ QB ＝２。但是，通过

计算可得项目 A 、B的净现值分别是 N PVA ＝２９０７８元，NPVB ＝－９４６６元。尽管

QB ＜ QA ，但 NPVB 比 NPV A 小得多，从逻辑上讲，不能说项目 B优于项目 A 。由于回收期仅考虑了回收期内的现金流，忽略了回收期后的现金流，因此回收

期仅反映了项目前期的经济效益情况，而没有反映出项目寿命期内的全部经济效益情况。故仅用回收期单一判据来对项目进行决策是不够的。尽管如此，由于回收期计算简单，它仍是实际应用中广泛运用的投资决策的数量指标。另外，回收期的倒数１／Q ，可以作为投资前期平均收益率的一个粗略度量。例如，回收期 Q ＝４年，１／Q ＝２５％表示前４年平均每年回收期初投资的比率。１／Q称为投资效果系数。

·７３·第２章　确定型决策分析

２畅３畅５　相对经济效益评价法

略去方案相同的部分，仅比较方案不同部分经济效益的评价方法称为相对经济效益评价法。这类方法大致分为两种，一种是方案的收益相同，仅比较费用部分，以费用最小原则优选方案，称为费用相对经济效益指标法。另一种是方案的目标和计算期相同，仅比较收益的差额部分，以收益最大原则优选方案，称为收益相对经济效益指标法。前种评价方法的重要指标有费用现值、等额年费用等，后种评价方法的主要指标有差额净现值、差额投资回收期、差额内部收益率等。

１畅费用现值

费用现值是将方案计算期内的年成本，按基准收益率折算为现值，加上方案的总投资现值。以费用现值为判据，费用现值越小，方案的经济效益越好。费用现值计算公式有两种，不考虑资金的时间价值称为静态公式，考虑资金时间价值称为动态公式。

费用现值静态公式为

或Z ＝ I ＋ i－１

c CZ ＝ I ＋ PcC

（２畅３２）

其中，Z表示总折算费用；I表示总投资；C表示年成本；ic 表示基准收益率（即最低期望收益率或目标收益率，由国家或部门制定）；Pc 表示基准投资回收期（ Pc ＝i －１c ）。费用现值动态公式为

PW ＝ ∑N

t ＝０（ I ＋ C′ － Sv － W） t（ P／ F ，ic ，t）（２畅３３）

其中，PW 为动态费用现值；I 表示年投资（一般发生在项目前期）；C′表示年经营成本；Sv 表示收回固定资产余值；W 表示收回流动资金；Sv 和 W 一般发生在寿命期的最后一年；N表示寿命期。

２畅等额年费用

等额年费用是将方案的投资和年成本折算为系列等额年金。计算公式也有静态和动态两种。

等额年费用静态公式为

或Z′ ＝ C ＋ ic I

Z′ ＝ C ＋ IP c

（２畅３４）

其中，Z′表示年折算费用，其余符号与公式（２畅３３）相同。

·８３· 管理决策分析

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等额年费用动态公式为

AC ＝ ∑N

t ＝０（ I ＋ C′ － Sv － W） t（ P／ F ，ic ，t） · （ A／ P ，ic ，N）（２畅３５）

其中，AC表示等额年费用，其他符号含义与公式（２畅３３）相同。特别，如果投资总现值为 IP （相当于期初一次性投资 IP ），每年经营成本 C′t

均相等，设为 C′ ，寿命期末收回流动资金 W ＝０，则式（２畅３５）可简化为AC ＝ C′ ＋（ IP － Sv）（ A／ P ，ic ，N）＋ Sv · ic （２畅３６）

用等额年费用作为判据，等额年费用越少，方案的经济效益越好。等额年费用指标适用于寿命期不同的方案的比较。

３畅差额净现值

差额净现值是利用基准收益率，将两方案净现金流量差额折算为现值之和。设方案一和方案二的净现金流分别是 F（１）t 和 F（２）

t （ t ＝０，１，２，… ，N），差额净现值的计算公式为

Δ NPV ＝ ∑N

t ＝０Δ Ft（１＋ ic）－ t ＝ ∑

N

t ＝０（ F（１）t － F（２）t ）（１＋ ic）－ t （２畅３７）

以差额净现值作为判据，差额净现值大于零时，选择方案一，差额净现值小于零时，选择方案二。

４畅差额投资回收期

差额投资回收期是两个方案的投资差额用年生产成本差额逐年回收的年限，是方案间相对经济效益指标。设 I１、I２分别表示方案一、方案二的投资总额，I１＜I２，C１、C２分别表示方案一、方案二的年生产成本。 C１＞ C２，则方案二与方案一的差额投资回收期 Pa 为

Pa ＝ I２－ I１C１－ C２（２畅３８）

用差额投资回收期作判据，要与基准投资回收期 Pc 比较，当 Pa ＜ Pc 时，说明投资增加部分的经济效益是好的，应该选择投资大的方案，即方案二；当 Pa ＞ Pc时，说明投资增加部分的经济效益不好，应选择投资小的方案，即方案一。

应该注意，差额投资回收期是静态指标，使用时要求投资在期初一次完成，生产成本比较稳定，两方案产量相差不大，并满足条件 I１＜ I２，C１＞ C２。

５畅差额投资内部收益率

差额投资内部收益率是使两个方案各年的差额净现金流量的现值之和等于零

的折现率，即满足等式

·９３·第２章　确定型决策分析

∑N

t ＝０（F（１）t － F（２）t ）（１＋ Δ IRR）－ t ＝０（２畅３９）

的折现率 Δ I RR称为差额投资内部收益率。用差额投资内部收益率为判据，要与基准收益率 ic 比较，当 Δ I RR ＞ ic 时，应

选投资额（现值）大的方案即方案一；当 Δ I RR ＜ ic 时，应选投资额现值较小的方案即方案二。

【例 2畅 14】　设有两个经济方案，寿命期内为企业带来的收益相当。方案一的期初投资为３０万元，寿命期为６年，每年需经营成本２０万元，残值５万元；方案二期初投资４０万元，寿命期为９年，每年经营成本１６万元，无残值。取基准收益率为１２％，试评价并选择方案。

解：两方案收益相差不大，仅比较费用部分。采用等额年费用指标，由于两方案均为期初一次投资，年经营成本为等额年金，用简化的等额年费用动态公式（２畅３６），两方案的等额年费用分别为

AC１＝２０＋（３０－５）（ A／ P ，１２％，６）＋５ × １２％＝２４畅１８（万元）AC２＝１６＋（４０－０）（ A／ P ，１２％，９）＝２３畅５０（万元）

因为 AC２＜ AC１，故方案二优于方案一，选择方案二。本例也可用费用现值指标进行评价，由于两方案寿命期不同，可按较短的寿命

期计算，寿命期较长者进行适当折算，即先将费用在较长的寿命期内折算为年金，再取较短的寿命期将年金折算为现值。方案一寿命期较短，两方案都取６年计算费用现值，由公式（２畅３３），有

PW １＝ ∑N１

t ＝０（ I１＋ C′１－ Sv１－ W １） t（ P／ F ，ic ，t）

＝３０＋２０（ P／ A ，１２％，６）－５（ P／F ，１２％，６）＝１０９畅７０（万元）

PW ２＝ ∑N２

t ＝０（ I２＋ C′２－ Sv２－ W ２） t（ P／ F ，ic ，t）（ A／ P ，ic ，N２） · （ P／ A ，ic ，N１）

＝ AC２ · （ P／ A ，１２％，６）＝９６畅６２（万元）

由于 PW２＜ PW１，应选方案二。由此看出，用两种费用指标评价结果一致。

２畅４　多方案投资决策

对于任何投资决策，如果都能简单地采用前述经济评价指标以决定项目的取舍，投资决策就会变得简单易行。然而，在实践中，由于决策结构的复杂性，如果仅仅掌握几种评价指标，而不掌握正确的评价方法，就不能达到正确决策的目的。下

·０４· 管理决策分析

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面就独立型与互斥型两种类型的投资方案，介绍评价与决策的方法。

２畅４畅１　独立型投资方案的决策

独立方案，是指作为评价对象的各方案的现金流是独立的，不具有相关性，且任一方案的采用与否都不影响其他方案是否采用的决策。如果决策对象是单一方案，则可认为是独立方案的特例。

独立方案的采用与否，只取决于方案自身的经济性，即只需检验它们是否能通过净现值、净年值（净现值在寿命期内折算为年金）或内部收益率指标的评价标准。因此，多个独立方案与单一方案的评价方法是相同的。

用经济效果评价标准（如净现值 N PV ＞０，净年值 N A V ＞０，内部收益率I RR ＞ ic 等）检验方案自身的经济性，叫“绝对效果检验” 。凡通过绝对效果检验的方案，就认为它在经济效果上是可以接受的，否则应予以拒绝。

【例 2畅15】　两个独立方案 A 和 B ，其现金流如表２畅１１所示，试判断其经济可行性（ ic ＝１５％）。

表 2畅11 （单位：万元）　　　　第 t年末

方案　　　　　０１～１０

A －２００４５

B －２００３０

解：本例为独立方案。先计算两方案自身的绝对效果指标，再根据各指标的判别准则进行方案取舍。

１）两方案的净现值分别为NPV A ＝－２００＋４５（ P／ A ，１５％，１０）＝２５畅８（万元）NPV B ＝－２００＋３０（ P／ A ，１５％，１０）＝－４９畅４（万元）

由于 NPVA ＞０，NPVB ＜０，方案 A 可以接受，方案 B应予拒绝。２）两方案的净年值分别为

NA V A ＝ NPV A （ A／ P ，１５％，１０）＝５畅１４（万元）NA V B ＝ NPV B（ A／ P ，１５％，１０）＝－９畅８６（万元）

由于 N A V A ＞０，N A VB ＜０，根据净年值判别准则，方案 A 可接受，方案 B应予拒绝。

３）由方程－２００＋４５（ P／ A ，IRR A ，１０）＝０

解出方案 A 的内部收益率 I RRA ＝１８畅５％。类似地，解得 I RRB ＝８畅２％，由于I RRA ＞ ic（１５％），I RRB ＜ ic ，故接受方案 A ，拒绝方案 B 。

·１４·第２章　确定型决策分析

对于独立方案而言，经济上是否可行的判据是其绝对经济效果指标是否优于一定的标准，不论采用净现值、净年值或内部收益率当中的哪个评价指标、评价结论都是一样的。

２畅４畅２　互斥型投资方案决策

方案之间存在着互不相容、互相排斥的关系，称为互斥方案。在对多个互斥方案进行决策时，至多只能选择其中之一。互斥方案的决策包含两部分内容：一是考察各个方案自身的经济效果，即进行绝对效果检验；二是考察哪个方案最优，即进行相对经济效果检验。具体做法分为三步：

① 计算各方案的全部经济效益指标，并进行绝对效果检验，对未通过检验的方案予以淘汰。

② 对于保留下来的方案，将全部经济效益指标进行排序。也可计算各方案的相对经济效益指标，并排序。要注意两点，第一，当某一指标在不同方案间不具有可比性时，要进行适当折算。如投资规模相差较大的方案，净现值就不具备可比

性，这时要用净现值率即 NPVI ，I为投资额来比较；再如，寿命期相差悬殊的方

案，净现值也不具备可比性，此时，应将净现值折算为净年值。第二，当某个全部经济效益指标不宜用来说明方案的优劣时，就要采用相对经济效益指标。例如，方案一的内部收益率大于方案二的内部收益率，即 I RR１＞ I RR２，不能说方案一必定优于方案二，这时要改用两方案的差额内部收益率 Δ I RR来比较。总之，用何种指标来排列不同方案的优劣次序，要具体问题具体分析。

③ 根据以上确定的优劣次序，选择唯一的一个最优方案。【例 2畅16】　设互斥方案 A 、B的寿命期分别为３年和５年，各自的净现金流量

见表２畅１２，试对方案进行评价选择（ ic ＝１２％）。


　　　　　第 t年末方案　　　　　

０１２３４５

A －３００９６９６９６９６９６

B －１００４２４２４２

解：１）用净现值法进行决策。由于寿命期不同，取最短的方案寿命期３年作为共同分析期，用年值折现法求各方案的净现值：

NPV A ＝［－３００＋９６（ P／ A ，１２％，５）］（ A／ P ，１２％，５）（ P／ A ，１２％，３）＝３０畅７０（万元）NPV B ＝－１００＋４２（ P／ A ，１２％，３）＝０畅８８（万元）

·２４· 管理决策分析

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由于 NPVA ＞ NPVB ＞０故选取方案 A 。２）由于方案的寿命期不同，可用净年值法进行决策。

NA V A ＝－３００（ A／ P ，１２％，５）＋９６＝１２畅７８（万元）NA V B ＝－１００（ A／ P ，１２％，３）＋４２＝０畅３６５（万元）

由于 N A VA ＞ N A VB ＞０，故可选取方案 A 。３）用内部收益率指标进行决策。首先进行绝对效果检验，求方案 A 、B各自的

内部收益率。分别列出求解方案 A 、B内部收益率的方程－３００＋９６（ P／ A ，IRR A ，５）＝０－１００＋４２（ P／ A ，IRR B ，３）＝０

求得 I RRA ＝１８畅１４％，I RRB ＝１２畅５３％，I RRA 和 I RR B 均大于 i c ＝１２％，故方案A 、B均通过绝对效果检验。

内部收益率指标不能说明方案的优劣，还要进一步用相对经济效益指标，即差额内部收益率来进行选优。

用差额内部收益率进行寿命期不等的互斥方案的决策，应满足的条件是，初始投资额大的方案年均净现金流大，且寿命期较长。本例中，方案 A 的年均净现金流为－３００／５＋９６＝３６万元，方案 B 的年均净现金流为－１００／３＋４２＝８畅７万元，初始投资额大的方案 A 年的均净现金流大、且寿命期长，符合上述条件。

求解寿命期不等的互斥方案间差额内部收益率的方程，可用令两方案净年值相等的方式建立。令

　［－３００＋９６（ P／ A ，Δ IRR ，５）］（ A／ P ，Δ IRR ，５）＝［－１００＋４２（ P／ A ，Δ IRR ，３）］（ A／ P ，Δ IRR ，３）

求得 Δ I RR ＝２０畅７７％。由于 Δ I RR ＞ ic ，由差额内部收益率判别准则可知，应选择初始投资额大的方案 A 。

习　题　二

１畅某厂原来生产甲产品，现拟利用现有的生产能力开发新产品乙或新产品丙。如果开发乙产品则甲产品需减产１／３；如果开发丙产品则甲产品需减产１／２。这三种产品的有关数据如表２畅１３。

表 2畅13产品名称甲（实际数）乙（预计数）丙（预计数）

生产量／件３０００１０００１４００

销售单价／元５０９０７０

单位变动成本／元３０６５４８

固定成本总额／元１８０００

·３４·第２章　确定型决策分析

根据上述资料作出开发哪种新产品较为有利的决策分析。２畅某工厂目前生产能力的利用程度（用机器小时反映）为９０％，共生产甲、乙、丙三种产品，

其有关售价和成本资料如表２畅１４。

表 2畅14

　　　　　项目

产品　　　　　售价／元单位变动成本／元单位固定成本／元

甲３６１４畅４０１０畅８０

乙３９畅６０２８畅８０３畅６０

丙１０畅８０３畅６０１畅８０

假定该厂每件产品的固定成本是按机器小时分配的，每一机器小时分配１畅８０元。该厂为了充分利用剩余的１０％的生产能力，以生产哪一种产品经济效益较高？

３畅某厂生产某种外销产品，为提高自动化程度，需购置新设备，采取新的技术措施。新方案使固定成本增加，而单位可变成本降低，产量也相应增加。新老方案对此数据如表２畅１５，试对两种方案进行决策分析。

表 2畅15　　　　　　案别

项目　　　　　　老方案新方案

固定成本／万元１０１５

单位变动成本／元５畅５３畅０

价格／元１８１８

生产能力／万件２２畅５

４畅假设年复利率为８％，试求（１）现在支付多少元与１０年后支付１８０００元是等价的；（２）在５年内每年年末偿付１０００元，现在的借款是多少；（３）现在投资１００００元，今后３年内每年至少应有多少收入才不亏损；（４）每年年末投资多少，才能在１５年末达到２４０００元。５畅某商业银行向一家企业发放为期６年的长期贷款，当年贷款额为１８００万元，用于企业的

固定资产更新。以后的５年中，每年贷给１００万元，其中第４年多贷５０万元。年利率为５％，６年后一次还清，本利和为多少？

６畅某房地产开发公司准备采取分期付款的方式出售商品房。每套售价２０万元，首期（第一年）付款１０万元，以后每年付款１畅２万元，按年利率３％计算，需多少年收回全部售房款。

７畅某人寿保险公司推销一种养老保险，保险条款规定，一个４０岁的人（男）若从现在起每年交１２００元，６０岁退休时可一次性领取养老金３００００元。若同期银行利率４％，问买保险与储蓄相比，哪种方式更合算。

８畅某企业获得一笔８００００元的贷款，偿还期为４年，按年利率１０％计复利，有四种还款方式：

·４４· 管理决策分析

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a畅每年年末偿还２００００元本金和所欠利息；b畅每年年末只偿还所欠利息，第４年末一次性还清本金；c畅在４年中每年年末等额偿还；d畅第４年末一次还清本息。试计算各种还款方式所付出的总金额。９畅一台全新的施工设备价格为６０００元，估计使用寿命为６年，在使用寿命终结时没有残

值。预计税款、保险费、维修费、燃料费和润滑油费的支出：第一年为１５００元，第二年为１７００元，以后每年增加２００元。假设年利率为８％，请问这台施工设备等值等额年费用是多少？

１０畅连续８年每年年末支付一笔款项，第一年２万元，以后每年递增１５００元，年利率为６％，问全部支付款项的现值是多少？

１１畅两个互相排斥的方案 A 、B的净现金流如下表２畅１６，试在折现率 i ＝１０％或 i ＝２０％的情况下，用净现值法对两方案作出取舍。


年份０１２３４５

净现金

流量

方案 A －２３０１００１００１００５０５０

方案 B －１００３０３０６０６０６０

１２畅某项目净现金流量如表２畅１７，当基准折现率 ic ＝１２％时，试用内部收益率判断该项目在经济效果上是否可以接受。


年份０１２３４５

净现金流量－１００２０３０２０４０４０

１３畅某项目有三个互斥的采暖方案 A 、B 、C ，均能满足同样的需要。其费用数据如表２畅１８所示。基准折现率 ic ＝１０％，试用费用现值和费用年值确定最优方案。


总投资（第０年末）年营运费用

（第１年到第１０年末）

方

案

A ２００６０

B ２４０５０

C ３００３５

１４畅互斥方案 A 、B寿命不等，净现金流量如表２畅１９所示。试评价选择（ ic ＝１０％）。

表 2畅19 （单位：万元）　　　　年份

方案　　　　０１２３４５６

A －１００４０４０４０４０／／

B －２５０６０６０６０６０６０６０

·５４·第２章　确定型决策分析

第３章　效用函数

社会经济问题中的决策问题，往往包含有许多随机因素或不确定因素。例如，在市场需求难于预测的情况下，如何制定某产品的生产方案，这类问题的决策属于随机决策的范畴。随机决策有两个基本特点，一是状态的随机性，二是决策结果值的效用特性。决策问题的每种结果对于决策人都有一定的效用，效用是在有风险的情况下决策人对结果的爱好（偏好）的量化，定义了决策结果的效用以后，就可以比较各种结果的优劣。效用及其效用函数是随机决策分析的基础。本章将在讨论理性行为公理的基础上，给出效用及效用函数的概念，并介绍效用函数的构造方法。

３畅１　理性行为公理

在随机决策中，决策系统（ Ω ，A ，F）中的决策方案均是在状态空间背景中加以比较，并按照某种规则，选出决策者最满意的行动方案。这里需要讨论两个问题，一是如何表述在状态空间背景中的决策方案，二是如何按照人们共同遵循的行为准则，作为评价方案优劣的价值标准。在管理决策理论中，常用事态体表示在随机性状态空间中的行动方案，方案的比较表示为事态体的比较，并归纳总结出人们共同遵循的决策行为准则，这就是理性行为公理。

３畅１畅１　事态体及其关系

１畅事态体的概念

定义 3畅1 　具有两种或两种以上的有限个可能结果的方案（或事情），称为事态体。事态体中各种可能结果出现的概率是已知的。设事态体的 n个可能结果值

为 o１，o２，… ，on ，相应出现的概率为 p１，p２，… ，pn ，并且 ∑n

j ＝１p j ＝１，则事态体记作

T ＝（ p１，o１；p２，o２；… ；pn ，on）事态体可以用树形图表示，如图３畅１所示。特别地，当 n ＝２时，称 T为简单事态体，即 T ＝（ p ，o１；１－ p ，o２）。简单事态

体 T的树形图如图３畅２所示。例如，某公司研究试制一种新产品，投入市场有一定风险。根据市场预测，该

产品在市场看好的情况下，可以获利２０万；在市场前景较差时，将亏损５万元。

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图３畅１

图３畅２

市场看好和市场较差的概率分别为０畅６和０畅４。该公司试制新产品方案在决策分析中，可以表示为一个简单事态体，即 T ＝（０畅６，２０；０畅４，－５）。

为讨论方便起见，记所有事态体集合为 J。这里，不加证明地给出事态体集合J如下性质：

① 在凸线性组合下，J是闭集。即若 T１ ∈J，T２ ∈J，当０ ≤ λ≤ １时，有λT １＋（１－ λ） T２ ∈ J

② 退化事态体仍属于事态体集合，即退化事态体T ＝（０，o１；０，o２；… ；１，oj ；… ；０，on） ∈ J

性质 ①表示两个事态体的凸线性组合仍是一个事态体。性质 ② 表示退化的事态体实质上是一个结果值，仍是一个事态体，只是结果值 oj 以１的概率出现，其他结果值出现的概率为０。

２畅事态体的比较

决策的最终结果，是将行动方案依据某种准则作出合理的排序，从而选择最满意的方案。方案的排序就是事态体的比较。为此，下面给出条件结果值和事态体优劣关系比较的概念和表示方法。

定义 3畅2 　设 o１，o２是事态体 T 的任意两个结果值，根据决策目标和决策者的偏好，o１和 o２有如下关系：

① 若偏好结果值 o１，则称 o１优于 o２，记作 o１巢 o２。反之，称 o１劣于 o２，记作o１吵 o２。

② 若对结果值 o１、o２无所偏好，则称 o１无差异于 o２，记作 o１～ o２。

·７４·第３章　效用函数

③ 若不偏好结果值 o１，则称 o１不优于 o２，记作 o１踌 o２。反之，称 o１不劣于 o２，记作 o１畴 o２。

定义 3畅3 　设两个简单事态体 T１，T２具有相同的结果值 o１，o２，即 T１＝（ p１，o１；１－ p１，o２）， T２＝（ p２，o１；１－ p２，o２），并假定 o１巢 o２。

① 若 p１＝ p２，则称事态体 T１无差异于 T２，记作 T１～ T２。② 若 p１＞ p２，则称事态体 T１优于 T２，记作 T１巢 T２。反之，称事态体 T１劣

于 T２，记作 T１吵 T２。例如，某公司试制新产品方案 T１＝（０畅６，２０；０畅４，－５），另一新产品方案为

T２＝（０畅７，２０；０畅３，－５），显然， T２巢 T１。定义 3畅4 　设有两个简单事态体 T１，T２仅具有一个相同结果值，另一个结果

值不相同，即 T１＝（ p１，o１；１－ p１，o０）， T２＝（ p２，o２；１－ p２，o０），其中 o２巢 o１巢 o０。① 若 p１＝ p２，则称事态体 T２优于 T１，记作 T２巢 T１。② 若 T１～ T２，则一定有 p１＞ p２。例如，新产品方案 T１＝（ p１，１０；１－ p１，－５），T２＝（ p２，２０；１－ p２，－５）。如果

p１＝ p２，显然 T２巢 T１。如果两个方案 T１和 T２无差异，则一定有 p１＞ p２。

３畅１畅２　理性行为公理

理性行为所遵循的一般规律，并且无需证明，为人们普遍接受，称之为理性行为公理。理性行为公理是效用函数的基础，只有满足理性行为公理的事态体集合J，其元素之间的优劣关系和它的效用才具有一致性。

公理 3畅 1（连通性）　J上事态体的优劣关系是连通的。即若 T１，T２ ∈J，则或者 T１巢 T２，或者 T１吵 T２，或者 T１～ T２，三者必居其一。

公理 3畅2（传递性）　J上事态体的优劣关系是传递的。即若 T１，T２，T３ ∈ J，且 T１巢 T２， T２巢 T３，则 T１巢 T３。若 T１～ T２， T２～ T３，则 T１～ T３。

公理 3畅3（复合性）　若 T１，T２，Q ∈J，且０＜ p ＜１，则 T１吵 T２，当且仅当pT １＋（１－ p）Q 吵 pT ２＋（１－ p）Q

公理 3畅4（相对有序性）　若 T１，T２，T３ ∈ J，并且 T１巢 T２巢 T３，则存在数 p ，q ，０＜ p ＜１，０＜ q ＜１，使得

pT １＋（１－ p） T３巢 T２巢 qT １＋（１－ q） T３公理３畅１表示J上的所有元素，其优劣关系都具有可比性，即所有元素都可

以成对比较，没有不可比较的元素。公理３畅２表示J上各个元素的优劣比较是可以传递的，它们可以按一定的优

劣关系排列次序，如果有些元素无差异，则它们可以排在同一位置上。满足公理３畅１和公理３畅２的事态体集合，称为全序集。公理３畅３表示，事态体的优劣关系是可以复合的，复合之后的事态体保持原

·８４· 管理决策分析

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有的优劣关系不变。公理３畅４表示J上事态体的优劣关系都是相对的，而不是绝对的优与劣，T１

不是无限优， T３也不是无限劣。也就是说，没有一种后果比其他所有后果都无限好，也没有一种后果比其他所有后果都无限坏。

讨论了事态体的优劣关系和理性行为公理，就可以推出事态体的一些基本性质了。

３畅１畅３　事态体的基本性质

性质 3畅 1 　设事态体 T１＝（ p ，o１；１－ p ，o０）， T２＝（ x ，o２；１－ x ，o０），且 o１巢 o０，o２巢 o０。若 o２巢 o１，则存在 x ＝ p′ ＜ p ，使得 T２～ T１。其中 x称为可调概率值。证明　由定义３畅４容易得到性质３畅１的结论。例如，某公司的新产品开发方案 T１＝（０畅６，２０；０畅４，－５），T２＝（ x ，２５；１－ x ，

－５）。当 x ＝０畅６时，显然 T２巢 T１。如果逐渐减少可调概率值 x ，决策者对 T２的偏好程度也随之降低。当 x减少到某一适当程度 x ＝ p′ ＜０畅６时，决策者认为对方案 T１、 T２无所偏好，此时， T１～ T２。

性质 3畅2（确定当量和无差异概率）　设事态体 T ＝（ x ，o１；１－ x ，o２），且 o１巢o２。若对于满足优劣关系 o１巢 oξ 巢 o２的任意结果值 oξ ，则必存在 x ＝ p（０＜ p ＜１），使得

T ＝（ p ，o１；１－ p ，o２）～ oξ其中结果值 oξ 称为事态体 T 的确定当量， p称为 oξ 关于 o１与 o２的无差异概率。

证明　不妨将结果值 oξ 视为退化的事态体，即oξ ～（１，oξ ，０，o２）

由于 o１巢 oξ 巢 o２，由性质３畅１知，存在 x ＝ p（０＜ p ＜１），使得T ＝（ p ，o１；１－ p ，o２）～（１，oξ ，０，o２）

根据公理３畅２，则有oξ ～ T ＝（ p ，o１；１－ p ，o２）

性质 3畅3 　任一事态体无差异于一个简单事态体。设事态体

T ＝（ p１，o１；p２，o２；… ；pn ，on）

则必存在一个简单事态体 T′ ＝（ p′ ，o倡；１－ p′ ，o°），使得 T′ ～ T 。其中o倡畴 max o１，o２，… ，on （３畅１）o° 踌 min o１，o２，… ，on （３畅２）

并且 p′ ＝ ∑n

j ＝１p j q j ，这里 qj （ j ＝１，２，… ，n）是 oj 关于 o 倡和 o°的无差异概率。

证明　先证式（３畅１）和式（３畅２）中取“ 巢 ”和“ 吵 ”的情况，即

·９４·第３章　效用函数

o倡巢 max o１，o２，… ，ono° 吵 min o１，o２，… ，on

这时，显然有关系式o倡巢 oj 巢 o°（ j ＝１，２，… ，n）

由性质３畅１知，存在 oj 关于 o 倡和 o°的无差异概率 qj（ j ＝１，２，… ，n），使得oj ～ R j ＝（ q j ，o倡，１－ qj ，o°）

其中 R j 是与 o j 无差异的简单事态体。由理性行为公理及概率运算的性质，有　　　 T ＝（ p１，o１；p２，o２；… ；pn ，on）

～（ p１，R１；p２，R２；… ；p j ，R j ；… ；pn ，Rn）～（ p１ q１，o倡）；p１（１－ q１），o° ；p２ q２，o倡；p２（１－ q２），o° ；… ；p j q j ，o倡；p j （１－ qj），o° ；… ；pn qn ，o倡；pn（１－ qn），o°）

～ ∑n

j ＝１p j q j ，o倡；∑

n

j ＝１p j（１－ qj ），o°

～ ∑n

j ＝１p j q j ，o倡；∑

n

j ＝１p j － ∑

n

j ＝１p j q j ，o°

～ ∑n

j ＝１p j q j ，o倡；１－ ∑

n

j ＝１p j q j ，o°

～（ p′ ，o倡；１－ p′ ，o°）＝ T′

其中， p′ ＝ ∑n

j ＝１p j q j 。

再证式（３畅１）和式（３畅２）中取“ ～ ”的情况，即o倡～ max o１，o２，… ，ono° ～ min o１，o２，… ，on

设 ok ＝ max o１，o２，… ，on ， ol ＝ min o１，o２，… ，on 。于是，除 ok 、ol 之外，其余oj （ j ＝１，２，… ，n ；j ≠ k ，l）均满足式子

o倡巢 oj 巢 o°由前面的证明知

oj ～ R j ＝（ qj ，o倡；１－ qj ，o°），（ j ＝１，２，… ，n ；j ≠ k ，l）对于结果值 ok ，ol ，由于

ok ～ Rk ＝（１，o倡；０，o°）ol ～ Rl ＝（０，o倡；１，o°）

同样可以证明，进行无差异代换，推出结果 T ～ T′ 。综合起来，有

T ～ T′ 证毕

性质３畅３说明，任一事态均无差异于某一简单事态体。因此，在决策分析中，

·０５· 管理决策分析

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比较一般事态体之间的优劣关系，可以转化为比较相应简单事态体之间的优劣关系，再根据事态体优劣或无差异关系的传递性，得到所讨论事态体的排序。随机决策分析常将不同自然状态的可行方案视为一个事态体，利用事态体的性质作出合理排序，从而选择最满意方案。由此可见，理性行为公理和事态体及其性质是随机决策的重要依据。

３畅２　效用函数的定义和构成

设有决策系统（ Ω ，A ，F），在离散情况下，结果值可以表示为决策矩阵

O ＝（ oi j ）m× n ＝

o１１ o１２ … o１ no２１ o２２ … o２ n om１ om２ … omn

其中，矩阵 O的每一行都表示一个可行方案的 n个可能结果值，即事态体T i ＝（ p１，oi１；p２，oi２；… ；pn ，oin ）　　（ i ＝１，２，… ，m）

而 p j ＝ P（θj）是已知的状态概率。此问题的决策分析，就是对这 m个事态体进行排序。由３畅１节中的性质３畅３知，存在简单事态体 T′i ，使得

T i ～ T′i ＝（ p′i ，o倡；１－ p′i ，o°）

这里， o倡畴 maxi ，j

｛ oi j ｝，o° 踌 mini ，j

｛ oi j ｝，p′i ＝ ∑n

j ＝１p j q i j ，qi j 是结果值 o i j关于 o 倡和 o°的

无差异概率。于是，决策问题就转化为对 m个简单事态体 T′i 的排序。由事态体的性质知，最满意方案所对应的简单事态体，应该是最大概率值

max１ ≤ i ≤ m

p′i ＝ max１ ≤ i ≤ m ∑

n

j ＝１p j q i j

所对应的简单事态体。要求最大概率值 max１ ≤ i ≤ m

p′i ，关键在于求出无差异概率值 qi j ，而 qi j由关系式

oi j ～（ qi j ，o倡；１－ qi j ，o°）所确定。不难看出， qi j的大小与结果值 o i j的优劣具有一致性，即结果值 oi j越优，相应的 qi j值就越大；反之， qi j值就越小。这样，在结果值集合｛ oi j ｝与无差异概率值集合｛ qi j ｝之间存在着某种对应关系，而 o ≤ qi j ≤ １。无差异概率值是无量纲的量。通过这种对应关系，就将可行方案的 n个具有量纲的结果值，转化为相应的无量纲的量，而且保持了优劣关系的一致性。为此，引入效用的概念和测算方法。

３畅２畅１　效用和效用函数的概念

在经济学中，效用（utility）是指商品或劳务满足人的欲望或需要的能力。一

·１５·第３章　效用函数

种商品或劳务是否具有效用，具有多大的效用，取决于它能否满足和在多大程度上满足人的欲望和需要。效用因人、因时、因地而不相同，同一种商品或劳务对于不同的消费者，在不同的时间和不同的地点，其效用是不相同的。由此可知，经济中的效用是描述商品或劳务满足消费者需要程度的一个概念，主要用于消费者行为的理论分析。同样，在决策理论中需要讨论和描述可行方案的各种结果值满足决策者愿望，实现决策者偏好程度的问题。因此，需要引入效用的概念，并进一步讨论如何测度结果值的效用。

１畅效用的概念

定义 3畅 5 　设决策问题的各可行方案有多种可能的结果值 o ，依据决策者的主观愿望和价值倾向，每个结果值对决策者均有不同的价值和作用。反映结果值 o对决策者价值和作用大小的量值称为效用，记作

u ＝ u（ o）　　这里需要指出，在决策理论中，效用具有二重性。一方面，效用是概念，它反映决策方案的结果值满足和实现决策者愿望和倾向的程度。另一方面，效用也是量值，可以用具体的方法测定，并作为决策分析的依据。下面介绍一种效用的测定方法。这种方法称之为标准效用测定法，是由冯 ·诺依曼（Von Neumann）与莫根斯坦（Morgenstern）提出来的，又简称 V － M方法。

设有决策系统（ Ω ，A ，F），其结果值集合为 O ＝｛o１，o２，… ，on｝，记o倡畴 max｛ o１，o２，… ，on｝o° 踌 min｛ o１，o２，… ，on｝

用 V － M法测定结果值 o j （ j ＝１，２，… ，n）的效用值 u（ oj），其步骤如下：① 设 u（ o倡）＝１，u（ o°）＝０；② 建立简单事态体（ x ，o倡，１－ x ，o°），其中 x称为可调概率；③ 通过反复提问，不断改变可调概率值 x ，让决策者权衡比较，当 x ＝ p j 时，

得到无差异关系

oj ～（ p j ，o倡；１－ p j ，o°）④ 测得结果值 oj 的效用

u（ oj）＝ p j u（ o倡）＋（１－ p j） u（ o°）＝ p j由 V － M方法的步骤可以看出，这种方法的基本思路是在结果值集合的基础

上，用最优值和最劣值建立简单事态体，通过反复提问，直到决策者认可的无差异关系，用无差异概率值来测度结果值的效用。根据理性行为公理和事态体的性质，这种方法保证了结果值和效用值关系的一致性。

举例说明：某公司试制某种新产品，根据市场预测，畅销时可获利１０万元，滞销时将亏损１万元。不妨设 o倡＝１０，o° ＝－１。这个风险方案可以表示为事态体

·２５· 管理决策分析

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（ p ，o倡；１－ p ，o°）该公司另有一个无风险方案，即如果生产某种老产品，可以稳获利５万元。设 o ＝５，于是

o倡巢 o 巢 o°需要测定效用值 u（ o）。经过反复提问，让公司决策者反复对比和权衡。当 p ＝０畅８时，决策者偏好风险方案；当 p ＝０畅５时，决策者转向偏好无风险方案。当 p ＝０畅６时，决策者对两种方案无所偏好，即确定无差异关系式

o ～（０畅６，o倡；０畅４，o°）因此，效用值 u（ o）＝０畅６。

２畅效用函数

我们给出了效用的概念以及效用的测定方法，在此基础上，进一步讨论定义在结果值集合上的效用函数。

定义 3畅6 　设决策问题的结果值集合 O ＝｛ o１，o２，… ，on｝，且o倡畴 max｛ o１，o２，… ，on｝，o° 踌 min｛ o１，o２，… ，on｝

若定义在 O上的实值函数 u（ o）满足条件：① u（ o倡）＝１，u（ o°）＝０，且橙 o ∈ O ，u（ o）满足无差异关系

o ～（ u（ o），o倡；１－ u（ o），o°）（３畅３）② 橙 o１，o２ ∈ O ，如果 o１畴 o２，当且仅当

u（ o１） ≥ u（ o２）③ 橙 o１，o２ ∈ O ，且０ ≤ λ ≤ １，则

u λo１＋（１－ λ） o２＝ λu（ o１）＋（１－ λ） u（ o２）（３畅４）则称 u（ o）为结果值集合 O上的效用函数（Utility Function），并记为 u ＝ u（ o）。

需要注意的是，定义在集合 O上的效用函数，其取值为０ ≤ u（ o） ≤ １，效用值与结果值满足优劣关系的一致性要求。并且，对于结果值的凸线性组合满足线性关系。

３畅２畅２　效用函数的构成

前面给出了效用函数的概念，在管理决策分析中，需要进一步讨论能够反映决策者不同偏好的具体效用函数，画出相应的效用曲线，便于在分析过程中操作应用。下面，介绍一种实用的效用函数构造方法。这种方法的基本思路是，对于决策问题的结果值集合，先用标准效用测定法找出一个基准效用值，这就是效用值等于０畅５的结果值，称之为确定当量 oξ 。其余效用值无需测定，而是按比例用线性内插的方法，用同一个标准计算得到。在这个假设前提下，大大简化了效用函数的构造过程。

·３５·第３章　效用函数

设决策问题结果值集合 O ＝｛o１，o２，… ，on｝，取最优值 o倡畴 max１ ≤ j ≤ n

｛ oj ｝，最劣值

o° 踌 max１ ≤ j ≤ n

｛ oj｝。现在构造效用函数 u ＝ u（ o），并且令 u（ o倡）＝１， u（ o°）＝０。为了测

定基准效用值，各以０畅５的概率取最优值 o倡和最劣值 o° ，构造简单事态体（０畅５，o倡；０畅５，o°）

用标准效用测定法，得到该事态体的确定当量 oξ ，使得oξ ～（０畅５，o倡；０畅５，o°）

需要指出，这是反向应用标准效用测定法。即最优值 o倡和最劣值 o°发生的概率均确定为０畅５，反复提问不断调整的是确定当量的数值 oξ ，这里 o倡巢 oξ 巢 o° 。直到oξ 和事态体之间的无差异关系成立，由效用函数的定义知

u（ oξ）＝０畅５ u（ o倡）＋０畅５ u（ o°）＝０畅５ × １＋０畅５ × ０＝０畅５由此得到的确定当量 oξ ，就是构造效用函数的基准值。这样，得到效用曲线 u ＝u（ o）上的三个已知点（ o° ，０），（ oξ ，０畅５），（o倡，１）。为了使效用曲线规范化，下面对结果值进行归一化处理。令

x° ＝ x（ o°）＝０，x 倡＝ x（ o倡）＝１其他结果值按线性变换公式

x（ oj ）＝ oj － o°o倡－ o° ，oj ∈ O （３畅５）

进行处理。于是，确定当量 oξ 的归一化值为

ε ＝ x（ oξ）＝ oξ － o°o倡－ o°

称 ε为权衡指标值。经过归一化变换之后，效用曲线上的三个已知点对应于变换后的三个已知点（０，０），（ε，０畅５），（１，１）。在坐标平面上用横轴表示归一化值 x ，用纵轴表示效用函数值 u（ x），就可以粗略地勾画出相应的效用曲线了。

为了较精确地描绘出效用曲线，仅有上述的三个点是远远不够的，还需要补充足够多的点。为此，将纵轴效用函数值区间［０，１］划分为２n 等分，得到一系列效用函数值

１２n ，

２２ n ，

３２ n ，… ，２

n －１２n ，１

当 n ＝２时，即将［０，１］划分为２２＝４等分，相应的４个效用值分别为０畅２５，０畅５，０畅７５，１

其对应的横坐标值依次记为

x０畅２５，x０畅５，x０畅７５，x 倡

其中已知 x０畅５＝ x（ oξ）＝ ε，x 倡＝ x（ o倡）＝１，只需求得横坐标值 x０畅２５和 x０畅７５即可。按照效用函数的构造假设，根据同一标准用线性内插方法计算其他效用函数

值。由于无差异关系

·４５· 管理决策分析

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oξ ～（０畅５，o倡；０畅５，o°）所得到的基准值 oξ 将区间［ o° ，o倡］划分为［ o° ，oξ］和［ oξ ，o倡］两个区间，其归一化值为

ε ＝ oξ － o°o倡－ o° ＝ x０畅５－ x０

x 倡－ x０其中 x０＝０为 o°的归一化值。按照同一标准分别在区间［ x０，x０畅５］和［ x０畅５，x 倡］中内插点 x０畅２５和点 x０畅７５，即按比例关系式

x０畅２５－ x０x０畅５－ x０＝ x０畅５－ x０

x 倡－ x０x０畅７５－ x０畅５x 倡－ x０畅５＝ x０畅５－ x０

x 倡－ x０分别计算 x０畅２５和 x０畅７５，于是

x０畅２５＝ x０＋ ε（ x０畅５－ x０）＝ ε２（３畅６）x０畅７５＝ x０畅５＋ ε（ x 倡－ x０畅５）＝ ε ＋ ε（１－ ε）＝２ε － ε２（３畅７）

这样，又确定了效用曲线上的两个点（ x０畅２５，０畅２５）和（ x０畅７５，０畅７５），连同三个已知点（０，０），（ε，０畅５），（１，１）共有５个点，在坐标平面上用光滑曲线相连结，得到较为精确的效用曲线 u ＝ u（ x），如图３畅３所示。

图３畅３

图中 Δ １，Δ ２，Δ ３，Δ ４分别表示点 x０畅２５，x０畅５，x０畅７５将区间［０，１］划分为４条线段的长度。由式（３畅６）和式（３畅７），则　　　　　　　　　　　 Δ １＝ ε２

Δ ２＝ ε － ε２＝（１－ ε）εΔ ３＝（２ε － ε２）－ ε ＝（１－ ε）εΔ ４＝１－（２ε － ε２）＝（１－ ε）２

由此，坐标点 x０畅２５，x０畅５，x０畅７５，x１畅０可以分别由 Δ i（ i ＝１，２，３，４）依次相加而得，即

·５５·第３章　效用函数

　　　　　　 x０畅２５＝ Δ １＝ ε２

x０畅５＝ Δ １＋ Δ ２＝ ε２＋（１－ ε）ε ＝ εx０畅７５＝ Δ １＋ Δ ２＋ Δ ３＝ ε ＋（１－ ε）ε ＝２ε － ε２

x１畅０＝ Δ １＋ Δ ２＋ Δ ３＋ Δ４＝（２ε － ε２）＋（１－ ε）２＝１一般地，２n 个效用值

１２n ，

２２n ，… ，２

n －１２n ，１

所对应的横轴 x上的坐标点，将区间［０，１］划分为２n 个小线段，其长度设为 Δ k（ k＝１，２，… ，２n）畅用上述方法可以计算 Δ k ，并用数学归纳法证明，这些小线段的长度依次为

Δ１＝ εn

Δ２＝ εn－１（１－ ε）Δ３＝ εn－１（１－ ε）Δ４＝ εn－２（１－ ε）２

　　　　 … …Δ８＝ εn－３（１－ ε）３

　　　　 … … … …Δ２ n －１＝ ε（１－ ε）n－１

Δ２ n ＝（１－ ε）n

一般表达式为

Δ k ＝ εn－ tk （１－ ε） t k ，（ k ＝１，２，… ，２n）（３畅８）其中

tk ＝０　　　　　　　　　　　　　　　（ k ＝１）

tk ＝ ∑s＋１

r ＝１

k －２ r－１－１２ r ＋１（２－ r）　　（ k ＝２，３，… ，２n）

式中k －２ r －１－１

２ r 为高斯（Gauss）函数，表示不大于 k －２ r －１－１２ r 的最大整数，且正

数 s由条件k －２ s －１ ≥ ０k －２ s＋１－１＜０

　　（ k ＝２，３，… ，２n）

确定。可以解得

s ＝ ln（ k －１）ln２　　（ k ＝２，３，… ，２n）（３畅９）

式中方括号的含义同前。将式（３畅８）求得的 Δ k（ k ＝１，２，… ，２n）依次相加，即得 x轴上２n 个点的坐标

·６５· 管理决策分析

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x i ＝ ∑i

k ＝１Δk ＝ ∑

i

k ＝１εn－ t k （１－ ε） t k 　　（ i ＝１，２，… ，２n）（３畅１０）

对应的效用值依次为

u（ xi）＝ i２n 　　（ i ＝１，２，… ，２n）

对于任意点 x ∈ ［ xi －１，x i］，其效用值 u（ x）均可由 u（ xi －１）和 u（ xi）用线性内插法求得其近似值。这样，当 n充分大时，可以计算任意精度的效用值 u（ x）。在实际应用中，取 n ＝６，即将效用区间［０，１］划分为２６＝６４个小区间，其效用值的精度已经足够了。

３畅２畅３　效用与风险的关系

在市场经济的条件下，许多决策问题都包含有随机的或不确定的因素，决策者选择方案几乎都要承担一定的风险，不同的决策者对风险的态度是有区别的。效用表示了决策者对决策方案各结果值的偏好程度，也可以用不同类型的效用函数表征决策者对风险的不同态度。通常，根据决策者对风险的不同态度，可以将效用函数分为三类，即中立型、保守型和冒险型的效用函数。下面将分别加以讨论。

１畅中立型效用函数

设有效用函数 u ＝ u（ x），若 x１＜ x２，有u（ x１）＋ u（ x２）

２＝ u x１＋ x２２（３畅１１）

则称为中立型效用函数，对应的效用曲线是一条直线（图３畅４中曲线 u ＝ u１（ x））。

图３畅４

例如，某厂商试制一种新产品要承担一定的风险，以０畅５的概率获利 x１＝３

·７５·第３章　效用函数

（万元），以０畅５的概率亏损 x２＝－１（万元）。该风险方案可以表示为简单事态体T ＝（０畅５，x１；０畅５，x２）

此风险方案的期望收益值为x１＋ x２

２＝１（万元）。假设该厂商认为此风险方案的效

益与另一项不冒风险可稳获利 x３＝１（万元）的方案是等价的，即无差异关系T ＝（０畅５，x１；０畅５，x２）～ x３

成立。于是，确定当量 x３与事态体 T的效用值相等，即u（ x３）＝０畅５ u（ x１）＋０畅５ u（ x２）

而

x３＝ x１＋ x２２

则有

u x１＋ x２２＝ u（ x１）＋ u（ x２）

２因此，该厂商对风险持中立态度，其效用曲线是一条直线。

应该注意，中立型效用函数的图形是一条直线，表示效用值与结果值增长成正比例关系。当结果值增加时，效用值按相同比例增加，决策者的效用值增加的速度稳定，表明对风险的持平均的态度，既不对有利结果特别追求，也不对不利结果谨慎从事。由于效用值和结果值成正比例，通常可以用结果值直接评选方案。

２畅保守型效用函数

设有效用函数 u ＝ u（ x），若 u１＜ u２，有

u（ x１）＋ u（ x２）２＜ u x１＋ x２

２（３畅１２）

则称为保守型效用函数，对应的效用曲线是一条上凸曲线（图３畅４中曲线 u ＝u２（ x））。例如，与中立型效用函数所举的实例相同，假设该厂商对风险持谨慎态度，

认为此风险方案仅与另一项不冒风险可稳获利 x３＝０畅５（万元）的方案等价，即认为风险方案的可能获利值低于其期望收益值。于是，无差异关系

T ＝（０畅５，x１；０畅５，x２）～ x３成立，确定当量 x３与事态体 T的效用值相等，即

u（ x３）＝ u（ x１）＋ u（ x２）２

而

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x３＜ x１＋ x２２

故有

u（ x３）＜ u x１＋ x２２

因此

u（ x１）＋ u（ x２）２＜ u x１＋ x２

２该厂商对风险持谨慎态度，其效用函数属于保守型效用函数。应该注意，保守型效用函数的图形是一条上凸曲线，表示效用值随结果值的

增加而增加，但增加的速度逐渐由快至慢。反映了决策者随结果值增加越来越谨慎，对风险持厌恶态度。当效用曲线上凸得越厉害，则表示决策者对风险保守的程度越突出。

３畅冒险型效用函数

设有效用函数 u ＝ u（ x），若 u１＜ u２，有u（ x１）＋ u（ x２）

２＞ u x１＋ x２２

则称为冒险型效用函数，对应的效用曲线是一条下凸曲线（图３畅４中曲线 u ＝u３（ x））。例如，在前例中，假设该厂商对风险持追求态度，认为该风险方案与另一项

不冒风险可稳获利 x３＝１畅５（万元）的方案等价，即认为风险方案的可能获利值高于其期望利润值。于是，无差异关系

T ＝（０畅５，x１；０畅５，x２）～ x３成立，确定当量 x３与事态体 T的效用值相等，即

u（ x３）＝ u（ x１）＋ u（ x２）２

而

x３＞ x１＋ x２２

故有

u（ x３）＞ u x１＋ x２２从而

u（ x１）＋ u（ x２）２＞ u x１＋ x２２

该厂商对风险持追求态度，其效用函数属于冒险型效用函数。

·９５·第３章　效用函数

需要指出，冒险型效用函数的图形是一条下凸曲线，表示效用值随结果值增加而增加，但增加的速度随之逐渐加快。反应了决策者喜欢冒险，乐于大胆尝试的个性。随着结果值增加，对市场变化充满信心，敢于冒风险追求高额利润。效用曲线下凸得越厉害，表示决策者越富于冒险性。

以上三种效用函数是最基本的效用函数。在实际情况中，为了更加准确地反映决策者对风险的态度，可以用三种基本效用函数构造混合型的效用函数。例如，根据实际分析，确定结果值 x０ ∈ ［０，１］，当 x ＜ x０时，即结果值不大时，决策者具有一定冒险精神，用下凸效用曲线表示；当 x ＞ x０时，即结果值较大时，决策者对风险转而持谨慎态度，可用上凸效用曲线表示。这样，构成的混合型效用曲线由下凸曲线和上凸曲线两部分组成，点（ x０，u（ x０））是曲线的拐点。

３畅３　效用函数表

３畅２节介绍了效用函数的构造方法，其基本思路是通过标准效用测定法，测定决策者对应于效用值０畅５的结果值 oξ ，经过归一化处理后，以此为标准，用线性内插方法计算出效用曲线上的其余点（ xi ，u（ xi））（ i ＝１，２，… ，２n）。在实际应用中，为了使用方便，将对应于不同权衡指标值 ε的效用函数值编制成表格，便于使用查找，这种表格称之为效用函数表。

１畅效用函数表的构造

在实际应用中，当 n ＝６时，效用曲线上有２６＝６４个点，效用函数的精度已经足够了。因此，常用的效用函数表取 n ＝６，根据３畅２节，对于权衡指标值 ε，分别计算 x轴上的６４个点 xi（ i ＝１，２，… ，２６），即　　　　　　　　　 x１＝ ε６

x２＝ ε５

x３＝２ε５－ ε６

　　　　　 … … … …x３１＝５ε２－１０ε３＋１０ε４－５ε５＋ ε６

x３２＝ εx３３＝ ε ＋ ε５－ ε６

　　　　　 … … … …x６３＝６ε －１５ε２＋２０ε３－１５ε４＋６ε５－ ε６

x６４＝１对应的效用函数值为

u（ x１）＝２－６＝０畅０１５６２５　　　　

·０６· 管理决策分析

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u（ x２）＝２ · ２－６＝０畅０３１２５０u（ x３）＝３ · ２－６＝０畅０４６８７５　　　 … … … …u（ x３１）＝３１ · ２－６＝０畅４８４３７５u（ x３２）＝３２ · ２－６＝０畅５０００００u（ x３３）＝３３ · ２－６＝０畅５１５６２５　　　 … … … …u（ x６３）＝６３ · ２－６＝０畅９８４３７５u（ x６４）＝６４ · ２－６＝１畅００００００

当 ε取不同的数值，按照上述公式便可以计算出相应的效用函数值，并且编制成表格，见本教材后的附表二。效用函数表（见表３畅１）的结构是：

① 表中第１行为权衡指标值 ε，以适当步长列出 ε从０畅１０～０畅５０共２５个值。其中开始步长为０畅０５，从 ε＝０畅２０起，步长减小至０畅０２。到 ε＝０畅２６时，步长减小为０畅０１，一直到 ε＝０畅４０。后面一直到 ε＝０畅５０，步长增至０畅０２。

② 表中左起第一列为效用函数列，共列出６４个效用函数值 u（ xi ）（ i ＝１，２，… ，６４）。

③ 表中其余各行各列，按照不同的权衡指标值，分别列出相应的自变量值xi（ i ＝１，２，… ，６４）。使用效用函数表我们按照两种情况分别加以讨论。

表 3畅1　　　　　　　 ε

x 　　　

u（ x）　　　　　　　

… 　０畅３７０畅３８０畅３９　 …

０畅５０００００ … 　０畅３７０００００畅３８０００００畅３９００００　 …

０畅５１５６２５ … 　０畅３７４３６９０畅３８４９１３０畅３９５５０４　 …

０畅５３１２５０ … 　０畅３８１８０７０畅３９２９２８０畅４０４１１２　 …

０畅５４６８７５ … 　０畅３８９２４６０畅４００９４６０畅４１２７２０　 …

０畅５６２５００ … 　０畅４０１９１１０畅４１４０２１０畅４２６１８５　 …

２畅上凸型效用函数（ε ＜０畅５）

可以证明，当权衡指标值 ε＜０畅５时，效用函数的图形是上凸曲线，这种效用函数也常称为上凸型效用函数。上凸型效用函数值可以在效用函数表中直接查出，其查表步骤是：

·１６·第３章　效用函数

① 将条件结果值 oj 归一化处理，得到

x j ＝ oj － o°o倡－ o°其中 o倡＝ max｛ o１，o２，… ，on｝，o° ＝ min｛ o１，o２，… ，on｝。

② 利用标准效用测定法，确定决策者的确定当量 oξ ，归一化得到权衡指标值ε，并在效用函数表中找到相应的 ε（＜０畅５）列。

③ 如果在 ε列中，能够直接查到 x j 值，则该 x值所在同一行位于 u（ x j）列的数值，即为所需查找的效用函数值 u（ x j）。

④ 如果在 ε列中，不能直接查到 x j 值，可以找出同一 ε列中，与 x j 值相邻近的值 x１，x２，即 x１＜ x j ＜ x２，并且查出相应的效用值 u（ x１），u（ x２），用线性内插法计算所求效用函数值 u（ x j ）。由于效用函数是单调增加函数，有

u（ x１）＜ u（ x j）＜ u（ x２）于是由

u（ x２）－ u（ x j）u（ x２）－ u（ x１）＝ x２－ x j

x２－ x１推得

u（ x j ）＝ u（ x２）－［u（ x２）－ u（ x１）］ x２－ x jx２－ x１（３畅１３）

或者由

u（ x j ）－ u（ x１）u（ x２）－ u（ x１）＝ x j － x１x２－ x１

推得

u（ x j ）＝ u（ x１）＋［u（ x２）－ u（ x１）］ x j － x１x２－ x１（３畅１４）

下面，举例说明效用函数表的使用。【例 3畅1】　某企业欲投产一种新产品，有三种方案可供选择。假设市场划分

为三种状态，即市场畅销、一般、滞销，根据预测分析知三种方案在不同的市场状态下所获利润额，将他们构成决策矩阵（单位：万元）

O ＝（oi j ）３ × ３＝９畅５６畅２２畅０２０畅０７畅５－５畅０１４畅０６畅０－２畅５

根据标准效用法测定，该企业的决策者认为，某风险方案盈利２０万元和亏损５万元的机会各占一半，等价于稳获利４畅５万元的无风险方案。试求该企业决策者的效用矩阵。

解：根据题意，该决策者的确定当量 oξ ＝４畅５，即oξ ～（０畅５，o倡；０畅５，o°）

·２６· 管理决策分析

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其中， o倡＝ max１ ≤ i ，j ≤ ３

｛ oi j ｝＝２０，o° ＝ min１ ≤ i ，j ≤ ３

｛０ i j ｝＝－５。于是，权衡指标值

ε ＝ oξ － o°o倡－ o°

＝０畅３８将结果值归一化处理，即

xi j ＝ oi j － o°o倡－ o° 　　（ i ，j ＝１，２，３）

得到归一化决策矩阵

X ＝（ xi j ）３ × ３＝０畅５８００畅４４８０畅２８０１畅００００畅５０００畅００００畅７６００畅４４００畅１００

查效用函数表，将归一化矩阵的 xi j转化为相应的效用值 u（ xi j ）。例如，查效用函数值 u（ x１１）＝ u（０畅５８０）。在 ε＝０畅３８列中，不能直接查到 x１１＝０畅５８０。于是，取其邻近值 x１＝０畅５５９５， x２＝０畅５８０８， x１＜ x１１＜ x２。查出相应的效用函数值

u（ x１）＝ u（０畅５５９５）＝０畅７１８８u（ x２）＝ u（０畅５８０８）＝０畅７３４４

由线性内插公式（３畅１４），求得　　 u（ x１１）＝ u１１＝ u（０畅５８０）

＝ u（０畅５８０８）－［ u（０畅５８０８）－ u（０畅５５９５）］０畅５８０８－０畅５８００畅５８０８－０畅５５９５

＝０畅７３３８同样地，可求得其余各效用函数值 u（ x i j ）＝ ui j ，从而得到决策者的效用矩阵

U ＝（ ui j ）３ × ３＝０畅７３３８０畅６０９４０畅４３０６１畅０００００畅６７１５０畅０００００畅８７５００畅６０１００畅２０７０

３畅下凸型效用函数（ε ＞０畅５）

当权衡指标值 ε＞０畅５时，效用函数的图形是下凸曲线。可以证明， ε＞０畅５的效用曲线 u ＝ u（ x）与权衡指标值为 ε′ ＝１－ ε的上凸型效用曲线 u ＝ u′（ x）关于直线 u ＝ x对称。例如，图３畅５中 ε＝０畅３５的上凸型效用曲线与 ε＝０畅６５的下凸型效用曲线关于直线 u ＝ x对称。另外，效用直线 u ＝ x的权衡指标值 ε ＝０畅５。并且下凸型效用函数 u ＝ u（ x）与相对应的上凸型效用函数有如下的关系式

u（ x）＝１－ u′（１－ x）（３畅１５）由此可知，尽管教材之后所附效用函数表只列出了权衡指标值 ε从０畅１到

０畅５之值，根据上述效用函数性质，可以查出下凸型效用函数之值。当 ε ＞０畅５

·３６·第３章　效用函数

图３畅５

时，效用函数 u（ x）的计算步骤是：① 将条件结果值 oj 归一化处理，得到

x j ＝ oj － o°o倡－ o°其中 o倡＝ max｛ o１，o２，… ，on｝，o° ＝ min｛ o１，o２，… ，on｝。

② 利用标准效用测定法测定决策者的权衡指标值 ε（ε＞０畅５）。

③ 计算１－ x j 之值。④ 查效用函数表 ε′ ＝１－ ε列，这时

ε′ ＜０畅５，从而查得效用函数值 u′（１－ x j）。⑤ 由公式（３畅１６）求出效用函数值u（ x j）＝１－ u′（１－ x j ）

下面举例说明。【例 3畅 2】　在例３畅１中，如果测得决策者的权衡指标值 ε＝０畅６５，试求该决策

者的效用矩阵。解：取 ε′ ＝１－０畅６５＝０畅３５。由例３畅１知， o１１＝９畅５的归一化值 x１１＝０畅５８０。

按照下凸型效用函数的计算步骤，１－ x１１＝０畅４２，查效用函数表中 ε′ ＝０畅３５列，计算得到 u′（１－ x１１）＝０畅６２０，因此

u（ x１１）＝１－ u′（１－ x１１）＝１－０畅６２０＝０畅３８同样，可以计算其余效用函数值，计算过程如表３畅２所示。

表 3畅2oi j o１１ o１２ o１３ o２１ o２２ o２３ o３１ o３２ o３３

x i j ０畅５８００畅４４８０畅２８０１畅００００畅５０００畅５０００畅７６００畅４４００畅１００

１－ x i j ０畅４２００畅５５２０畅７２００畅００００畅５０００畅５０００畅２４００畅５６００畅９００

u′（１－ x ij ）０畅６２００畅７４００畅８７３０畅００００畅７０８０畅７０８０畅４２８０畅７４４０畅９７５

u（ x ij）０畅３８００畅２６００畅１２７１畅００００畅２９２０畅２９２０畅５７２０畅２５６０畅０２５

因此，决策者的效用矩阵为

　 U ＝（ ui j ）３ × ３＝０畅３８００畅２６００畅１２７１畅００００畅２９２０畅００００畅５７２０畅２５６０畅０２５

最后还要指出，在管理决策的实际问题中，对于成本型指标值，条件结果值与效用值并非同时增长，即结果值增加时对应效用值反而减少。例如，产品价格、生产成本都属此类。这时，应作适当处理，使归一化指标值正向化，即归一化值

·４６· 管理决策分析

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x越大，对应效用值也越大，以便于查效用函数表。这种逆向指标正向化的方法，在以后多指标决策中将要辟专节加以讨论。

３畅４　效用函数的曲线拟合

前节介绍的效用函数构造方法，是通过效用函数表，求得某效用函数 u ＝u（ x）上有限个点的坐标，将它们连结成一条光滑曲线，得到该函数的效用曲线。这里，有两个问题值得讨论。其一，仅仅得到一条曲线，却不知道该效用曲线的函数表达式，难以研究效用函数的某些解析性质。其二，所得的曲线与客观存在的决策者的效用曲线存在一定误差，如何使误差尽量地小。为此，我们通过曲线拟合，确定效用函数的近似表达式，即拟合函数表达式。下面介绍效用函数的曲线拟合方法，不妨仅讨论 ε＜０畅５的情形，即上凸型效用函数情形。当 ε＞０畅５时，可以通过适当变换得到。

常见的拟合曲线形式有以下几种：① 线性函数型

u（ x）＝ c１＋ a１（ x － c２）② 指数函数型

u（ x）＝ c１＋ a１［１－ ea２（ x － c２）］③ 双指数函数型

u（ x）＝ c１＋ a１［２－ ea２（ x － c２）－ ea３（ x － c３）］④ 指数加线性函数型

u（ x）＝ c１＋ a１［１－ ea２（ x － c２）＋ a３（ x － c３）］⑤ 幂函数型

u（ x）＝ c１＋ a１（ x － c２）a 　　（０＜ a ＜１）⑥ 对数函数型

u（ x）＝ c１＋ a１ ln（ x － c２）其中 ai ，ci（ i ＝１，２，３）均为待定常数。

下面仅讨论两种最常用的效用函数曲线拟合方法。

３畅４畅１　幂函数型效用曲线

幂函数

y ＝ ta 　　（０＜ a ＜１）（３畅１６）当幂指数 a ∈ （０，１）时，幂函数曲线是上凸的。在区间（０，＋ ∞ ）内，曲线的曲率

k ＝｜ y″｜（１＋ y′２）３／２ ≠常数，即 k是一个变量。为了取得最佳的曲线拟合效果，一般取

·５６·第３章　效用函数

幂函数曲线的某一段，作为待定效用函数的近似曲线。为此，作坐标平移变换如图３畅６所示。

图３畅６

t ＝ T ＋ cy ＝ Y ＋ ca

代入式（３畅１７），得Y ＝－ ca ＋（ T ＋ c）a

令 Y ＝１b u（ x）（b ≠ ０），且 T ＝ x ，则

u（ x）＝－ bca ＋ b（ x ＋ c）a 　　（０＜ a ＜１）（３畅１７）其中 b ，c为待定常数，式（３畅１８）是效用函数的幂函数表达式。

当 a取定不同数值时，可以用线性回归的方法，求出待定常数 b ，c 。令 a ＝１２，由（３畅１８）式，得

u（ x）＝－ b c ＋ b x ＋ c （３畅１８）移项后两边平方，并整理得

xu（ x）＝２ c

b ＋１b２ u（ x）

再令 Z ＝ xu（ x）， A ＝２ c

b ， B ＝１b２，代入上式，得到关于 Z和 u（ x）的线性函数

Z ＝ A ＋ Bu（ x）（３畅１９）不妨设某决策者的权衡指标值 ε＝０畅４，按照下面步骤求得该决策者的效用函

数的拟合曲线表达式：① 查效用函数表（ε＝０畅４），得到该效用曲线上的６４个点的坐标

（ xi ，u（ xi）），（ i ＝１，２，… ，６４）

·６６· 管理决策分析

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② 由最小二乘法，分别计算得

u（ x）＝１６４ ∑

６４

i ＝１u（ xi）＝０畅５０７８

珚Z ＝１６４ ∑

６４

i ＝１

xiu（ x i）＝０畅７１２８

∑６４

i ＝１［ u（ xi）－ u（ x）］２＝ ∑

６４

i ＝１u２（ xi）－６４ u（ x）２＝５畅３３２０

∑６４

i ＝１［Zi －珚Z］［ u（ xi）－ u（ x）］＝ ∑

６４

i ＝１Zi u（ x i）－６４ u（ x）珚Z ＝３畅０２３８

其中 Zi ＝ xiu（ xi）（ i ＝１，２，… ，６４）。于是，线性函数（３畅２０）的系数 A ， B的最小二乘

估计值为

B ＝∑６４

i ＝１［Zi －珚Z］［ u（ xi）－ u（ x）］

∑６４

i ＝１［ u（ x i）－ u（ x）］２

＝３畅０２３８５畅３３２０＝０畅５６７１

A ＝珚Z － B u（ x）＝０畅７１２８－０畅５６７１ × ０畅５０７８＝０畅４２４９

③ 求出幂函数型效用函数的拟合表达式，由 A ＝２ cb ，B ＝１

b２，解得

b ＝１B

＝１０畅５６７１

＝１畅３２７９

c ＝ Ab２

２

＝０畅４２４９ × １畅３２７９２

２

＝０畅０７９６

代入式（３畅１９），得到 ε＝０畅４的效用函数幂函数型拟合表达式为

u（ x）＝－１畅３２７９０畅０７９６＋１畅３２７９ x ＋０畅０７９６

＝－０畅３７４６＋１畅３２７９ x ＋０畅０７９６（３畅２０）同样，当 ε＜０畅５取其他数值时，可以求得相应的效用函数的拟合表达式。例

如，当 ε＝０畅４６时，效用函数的拟合表达式为

u（ x）＝－１畅３１１＋１畅８９０ x ＋０畅４８１（３畅２１）当 ε＝０畅３５时，其效用函数的拟合表达式为

u（ x）＝－０畅１６８＋１畅１９２ x ＋０畅０２０（３畅２２）这里需要指出，在实际应用中幂指数 a也可以取其他数值，其效用函数表达

式的拟合方法完全类似。

３畅４畅２　对数函数型效用曲线

对数函数

·７６·第３章　效用函数

y ＝ ln t 　　（０＜ t ＜＋ ∞ ）（３畅２３）其图形是上凸曲线，为了取得最佳的曲线拟合效果，作坐标平移，如图３畅７所示，即

t ＝ T ＋ cy ＝ Y ＋ ln c

其中 c ＞０，于是式（３畅２４）可化为Y ＝－ ln c ＋ ln（ T ＋ c）

令 Y ＝ u（ x）b （ b ≠ ０），T ＝ x ，则有

u（ x）＝－ bln c ＋ bln（ x ＋ c）（３畅２４）再令 a ＝－ bln c ，上式即为

u（ x）＝ a ＋ bln（ x ＋ c）（３畅２５）其中 a ，b ，c为待定常数。

图３畅７

根据效用函数的性质，有u（１）＝１，u（ε）＝０畅５

代入式（３畅２５），得方程组－ bln c ＋ bln（１＋ c）＝１－ bln c ＋ bln（ε ＋ c）＝０畅５

解之得

c ＝ ε２

１－２ε 　　（０＜ ε ＜０畅５）

将 c之值代入式（３畅２６），得到仅含两个未知常数的对数函数表达式

u（ x）＝ a ＋ bln x ＋ ε２

１－２ε （３畅２６）

令 X ＝ ln x ＋ ε２

１－２ε ，得线性函数

·８６· 管理决策分析

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u ＝ a ＋ bX （３畅２７）利用最小二乘估计确定未知常数 a ，b之值。

与幂函数型效用函数表达式拟合过程类似，设决策者的权衡指标值 ε＝０畅４，按照下面步骤进行计算：

① 查效用函数表（ε＝０畅４），得到对应效应曲线上６４个点的坐标（ xi ，u（ x i））　　（ i ＝１，２，… ，６４）

由 ε＝０畅４，计算得 ε２

１－２ε＝０畅８，式（３畅２７）即化为

u（ x）＝ a ＋ bln（ x ＋０畅８）＝ a ＋ bX （３畅２８）其中 X ＝ ln（ x ＋０畅８）。

② 由最小二乘估计，分别计算得

珡X ＝１６４ ∑

６４

i ＝１X i ＝１

６４ ∑６４

i ＝１（ x i ＋０畅８）＝０畅１６２７

珔u ＝１６４ ∑

６４

i ＝１u（ xi）＝０畅５０７８

１６４ ∑

６４

i ＝１（ X i －珡X）２＝ ∑

６４

i ＝１X２i －６４珡X２＝３畅５０７０

∑６４

i ＝１［ u（ xi）－珔u］［ X i －珡X］＝ ∑

６４

i ＝１u（ xi） X i －６４ u 珡X ＝４畅３２１８

于是，线性函数（３畅２８）的系数 a ，b的最小二乘估计值为

b ＝∑６４

i ＝１［ u（ xi）－珔u］［ X i －珡X］

∑６４

i ＝１（ X i －珡X）２

＝４畅３２１８３畅５０７０＝１畅２３２３

a ＝珔u － b珡X ＝０畅５０７８－１畅２３２３ × ０畅１６２７＝０畅３０７３③ 将 a ，b的估计值代入式（３畅２９），得到 ε＝０畅４的效用函数的对数函数型拟

合表达式

u（ x）＝０畅３０７３＋１畅２３２３ln（ x ＋０畅８）（３畅２９）　　类似地，当取 ε ＜０畅５的其他值，也可以求得相应效用函数的拟合表达式。例如，当 ε＝０畅４６时，其对数函数型拟合表达式为

u（ x）＝－３畅０１７４＋３畅１１５７ln（ x ＋２畅６４５）（３畅３０）当 ε＝０畅３５时，其相应的拟合表达式为

u（ x）＝０畅８０４５＋０畅９１１１ln（ x ＋０畅４０８３）（３畅３１）至此，我们介绍了三种计算效用函数的方法，即效用函数表、幂函数型效用

函数和对数函数型效用函数的方法。对于同一决策者测定的权衡指标值 ε，这三种方法能否一致地表示该决策者的效用函数。这里，仅以 ε＝０畅４为例，列出用三

·９６·第３章　效用函数

种方法计算得到的效用函数值（如表３畅３所示）。经过比较可以看出，幂函数型和对数函数型效用函数均能较好地拟合表示决策者的效用函数，其中对数型效用函数拟合的误差较小。

最后还需指出，在效用函数表中，权衡指标值是测定得到的，而各坐标值 x都是通过递推关系式（３畅８）、式（３畅９）、式（３畅１０）计算得到的，尽管这与实际值会稍有一些偏差。但是，可以证明，由于这种偏差很小，在一般情况下，对于决策结果，即可行方案的排序往往没有本质性的误差。

表 3畅3　　　　　　方法

u（ x）x 　　　　

一二三

效用函数表幂函数型对数函数型

… … … …

０畅３１３６０畅４３７５０畅４５８１０畅４３９９

０畅３４８２０畅４６８８０畅４９３９０畅４７７６

０畅４１５４０畅５３１３０畅５５９７０畅５４７７

０畅４３８４０畅５６２５０畅５８１１０畅５７０８

０畅４６１４０畅５９３８０畅６０２１０畅５９３５

０畅４９６００畅６２５００畅６３２９０畅６２６８

０畅５１９００畅６５６３０畅６５２８０畅６４８５

０畅５５３６０畅６８７５０畅６８２１０畅６８０４

０畅５８８２０畅７１８８０畅７１０５０畅７１１５

０畅６４０００畅７５０００畅７５１８０畅７５６６

… … … …

习　题　三

１畅解释下列名词。（１）确定当量（２）无差异概率（３）效用（４）效用函数（５）权衡指标值（６）标准效用测定法２畅效用与风险有什么关系？效用曲线分类的标准是什么？３畅设某投资者在可供选择的投资方案中，可能获得的最大收益值 o倡＝２０（万元），最小收

益值 o° ＝－１０（万元），利用标准效用测定法测得该投资者的无差异关系式如下（单位：万元）。

·０７· 管理决策分析

科

学出版社


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试计算投资者的权衡指标值 ε，并判断其效用函数的类型。（１） oξ ＝０～（０畅５，o倡；０畅５，o°）（２） oξ ＝８～（０畅５，o倡；０畅５，o°）（３） oξ ＝５～（０畅５，o倡；０畅５，o°）４畅对于第３题中的第三种投资者，分别查表求出下列结果值（单位：万元）的效用值：　　　　２０，　８，　５，　－６，　－１０５畅设决策矩阵

O ＝（oi j ）３× ３＝８００８００８００２５００９００－５００１５００８５０１２０

已知决策者的无差异关系式

oξ ＝５５０～（０畅５，o倡；０畅５，o°）其中 o倡＝２５００，o° ＝－５００。试查表求出该决策者的效用矩阵。６畅在第５题中，如果决策者的权衡指标值 ε＝０畅６５，试查表求出决策者的效用矩阵。７畅设决策矩阵

O ＝（oi j ）３× ４＝５００７００５００８００２５０４００１００３０００－２０００－２００

决策者的权衡指标值 ε＝０畅４，试用幂函数型效用函数求出相应的效用矩阵。８畅在第７题中，试用对数函数型效用函数求出相应的效用矩阵。

·１７·第３章　效用函数

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