店址:新北巿立明德高中國中部數學科教學研究會...
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從探討尺規作圖任意角三等分中發現莫利定理 李偉銘 老師
在上二年級的尺規作圖這單元,讓我回想起以前的教授跟我說,不可能使用尺規作圖將
一個角分成三等分(但可以使用別的方法,因不在國中課綱所以不予討論),只有幾個特殊的
角才可以。例如:直角、135∘等少數的幾個角。然後我開始去查閱資料有沒有能讓國中生
了解為什麼是尺規作圖辦不到的,但在看了證明之後,發現對國中生來說,很難解釋清楚給
他們聽,不過在找尋的過程中我卻發現了莫利定理,這是一個很令我驚豔的定理,因為它的
內容牽扯上我們學數學最不喜歡碰的三等分角。
莫利定理:
任給一個三角形△ ABC ,作各角的三等分角線,兩鄰角的三等分角線會得到一個交點,共
有三個交點,則三個交點圍成一個正三角形(如下圖一)。
圖一 圖二
現在就來介紹這定理證明的過程。
證明:
如上圖二,設△ABC 的∠A=3α,∠B=3β,∠C=3γ
與 BC 相鄰的兩條三等分分角線交於 X
∠B 和∠C 的另兩條三等分分角線交於 S,則 X 為△SBC 的內心,
得 XS 平分∠BSC
在 XS 兩側分別作∠SXZ=∠SXY=30°,且 Z、Y 分別在BC 、CS 上
則△SXZ 全等於△SXY
所以 XZ = XY
又∠ZXY=60°
故△XYZ 為正三角形
數食店月刊 第 68 期 103 年 5 月號
店址:新北巿立明德高中國中部數學科教學研究會
店長:涂佩瑜 老師 執行長:陳玉芬 老師 大掌櫃:汪姵君
Hint
讓裡面小三角形是
正三角形再去推得
是由三個角的三等
分線構成
同學們在看解答之
前先想想看,是否
能夠用你國中三年
學到的數學方法去
證明它 。
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接下來要證 AZ 、 AY 三等分∠A
分別在 BA 、CA取 'BX = BX , "CX =CX ,則△BZX'全等於△BZX,得 'ZX = ZX = ZY
同理 得 "YX = ZY
所以 'ZX = ZY = "YX
∠X'ZY=360°-2∠BZX-60°
=360°-2(∠S/2+30°)-60°
=240°-∠S
=240°-(180°-2β-2γ)
=60°+2(β+γ)
=60°+2(60°-α)
=180°-2α
同理 得∠ZYX"=180°-2α
參考資料: http://ej0cl6.pixnet.net/blog/post/26306404-%5B%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%
AE%9A%E7%90%86%5Dmorley%E5%AE
本校國中部數學科陳玉芬、涂佩瑜、李伶芳老師,為讓數學走進生活,更希望學生在生
活中發現數學,她們透過在該校已發行 13 年的「數食店月刊」及古文本「九章算術」的轉
譯,結合電腦互動方式提高學生的學習興趣,把中國經典數學著作「九章算術」翻譯成白話
文教學,獲得今年台灣微軟創意教師競賽的特別獎與國中組優勝,明年 3 月將代表台灣參
加全球教育論壇,與世界各國老師的教案一較高下。所以,同學們若在校園中看到老師們要
向她們說聲恭喜哦!。
全文網址:
http://mag.udn.com/mag/edu/storypage.jsp?f_ART_ID=513844#ixzz32J7EIz
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作 X'ZY 的外接圓 O 由對稱性知 X"也在
圓 O 上,
則圓心角∠X'OZ=∠ZOY=∠YOX"=2
α,故∠X'OX"=6α
又因為∠A=3α,故 A 也在圓 O 上
又弦 'ZX = ZY = "YX
得 AZ 、 AY 為∠A 的三等分線,故得證
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學週考風雲榜
前期答對同學名單 注意:名字旁的數字表示你答對的題數,也是你可以來領取下午茶的份數哦!
208 陳蓬元×4 208 林芷伶×1 102 陳亭如×3 109 簡慧姍×1 104 張巧羚×1 307 王鈺媞×1 307 蔡佩芸×3
103 邵立瑜×1
※編輯部聲明:每期都有適合各年級同學的程度,希望同學們針對自己的實力誠實地全力以赴,如此獲獎才有意義!
甲、乙、丙、丁、戊分別是 1、9、2、8、5
692 推理遊戲 安朵娜特/勞倫特/藍色/玫瑰
薩 賓/賽 吉/黃色/百合
瑪克西 /維森特/粉紅/菊花
多明妮克/巴斯坦/紅色/蘭花
艾斯黛拉/帝地爾/白色/康乃馨
單元 3-1 3-2 單元 3-3 單元 3-2 3-3
班級 座號 姓名 成績 班級 座號 姓名 成績 班級 座號 姓名 成績
102 1 王承彥 98 101 1 任治樺 100 306 4 許智豪 96
103 13 魏啟峻 100 9 邱繼泓 96 305 3 柯亭佑 96
104 6 陳政豪 95 102 6 許智翔 96 305 5 張富閔 100
17 張巧羚 95 104 17 張巧羚 100 309 15 徐艾琳 96 100
105 7 黃品竣 100 100 105 7 黃品竣 100 307 9 王鈺媞 100
31 林珈卉 100 31 林珈卉 95 12 呂宜珊 96
單元 3-4 106 9 范益福 96 20 顏于雯 100
305 3 柯亭佑 95 18 陳雯馨 100 21 林佳弘 96
306 19 劉曉芸 95 111 23 王慈翎 96
我的媽媽像
什麼?
我的媽媽像『+』號,總是給我正面能量,一直教我做人處事的人生道理! 208林芷伶
我的媽媽像『循環小數』,對我的愛永無止境! 208林芷伶
我的媽媽像『圓周率』,永遠有講不完的話! 307王子嘉
我的媽媽像『絶對值』,不管我怎麼壞,她都永遠會把我拖回「正」軌。 204 王軍
我的媽媽像『圓周率』,給我「無窮盡」的愛。 108 王麗雅
我的媽媽像『未知數』,總是不知道媽媽心裡到底在想什麼? 108 許子潔
我的媽媽像『』,對我的愛永遠沒有底線。 204 王玟博
我的媽媽像『未知數』,心情總是搖擺不定 109 簡慧姍
前期解答專區
榜上有名的同學,記得
明天(5/29)中午找佩
瑜師領珍珠奶茶哦!
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繪馬亭上的十道題
不知各位同學是否已看過子惠樓 2 樓數學科專科教室前繪馬亭上的題目?那都是每位
數學老師為同學們精心設計的數學題目!不僅有趣而且還是將來數學週的參考題,最重要的
是在解題的過程中,同學們會看到數學的不同「面貌」,真心期待同學們的熱情參與!
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下圖是本校繪馬亭同學解題的情形,只要同學認為已解出該題的正解,歡迎你向你的數
學老師索取解答卷,寫下你的答案之後,懸掛於繪馬亭上表示勇於展現自己的實力,你們的
熱烈參與,將會是數學老師們努力的最大動力。
為何叫做『繪馬亭』?
首先,此『繪馬亭』從設計到命名,都是由本校數學科朱志竣老師一手包辦的,為了精
簡成本,他僅利用 4000元的材料費製作出了價值上萬元的『繪馬亭』(有外校老師估約 30000
元),所以同學們,下回在校園中見到朱老師記得要向他說聲謝謝!
接著,我們就要來介紹『繪馬亭』了,原來是在日本江戶時期,人們為了酬神,卻又買
不起真馬來謝神,於是想到在木板上畫匹馬以表心意,進而演進到為了祈求神明的護持提升
技藝,或感謝神明讓自己成長,人們就各自為了不同目的將寫上數學算式的繪馬獻給神明,
這就是所謂的『算額繪馬』。那麼同學們是也能利用這『繪馬亭』讓自己的學藝更精進呢?