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FUNDAMENTOS DE CORRELACIÓN DE FOTONES
Prof. María L. Calvo
Clase del 26 y 27* de enero de 2011
(Primera hora)*
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Fuentes de fotones• Fuente natural de fotones: El Sol
Frecuencias de emisión:a) Visible (electrones que realizan las transiciones cuánticas
son los más externos al átomo)b) Rayos X (electrones que realizan las transiciones
próximos al núcleo atómico), energía/fotón superior a 100 eV.
• Reacciones de muy alta energía entre partículas elementales: Por ejemplo, colisión electrón-positrón, generación de energías del orden de 109 eV.
• Fuentes controladas de fotones:Por ejemplo, fenómeno inverso del efecto fotovoltáico: fuentes de luz basadas en semi-conductores (LED’s): Recombinación electrón-hueco genera un fotón (con energía de unos eV)
La detección de fotones• Fundamentos: Absorción de fotones en materiales
adecuados.• Efecto fotoeléctrico: Los fotones absorbidos crean una
corriente de fotoelectrones medible. Se puede producir con luz UV o visible dependiendo de la naturaleza del cátodo.
• Fotomultiplicadores: Los electrones emitidos por el cátodo son acelerados mediante un campo externo.
• Otros detectores:• En visible, UV e IR: Cámaras CCD
LÍMITE DE LA DESCRIPCIÓN CLÁSICA•La descripción clásica de la coherencia óptica está ligada a la naturaleza de las fuentes de radiación y de los instrumentos de medida.
•La naturaleza matemática de Γ12(t) es independiente del proceso de detección del campo.
•El primer tratamiento para la descripción cuántica de la coherenciaóptica se debe a Glauber (1962).
Se consideran paquetes de ondas de fotones con propiedadesparticulares:
1) El fotón posee momento.
2) El fotón tiene asociada una función de onda.
3) : El fotón tiene dos variables dinámicas de momento angular: a) orbital, b) interno o espín:
4) LosLos fotonesfotones puedenpueden correlacionarcorrelacionar. La correlación de fotones tieneasociado un volumen de coherencia.
R.J. Glauber, “The Quantum theory of optical coherence”, J. Opt. Soc. Am., 130(6), 2529 (1963)
Propiedades particularesPropiedades particulares• 1) El fotón posee momento:
• 2) El fotón tiene asociada una función de ondavectorial:
• El vector: es la función de onda del fotón.
( )p p p px y z≡ , ,
( )( )
( )3
3 / 2, , exp2d kf r t f k t ikrπ
= ∫
( ),f k t
Momento angularMomento angular
• 3) : El fotón tiene dos variables dinámicas(operadores) de momento angular: a) orbital (l)
b) interno o espín (polarización) (S):
S p k= ± =;
Comparación entre el spin y el momentoangular orbital del fotón
Correlación de fotones• Definimos el espacio de las fases: seis variables
de posición (tres) y momento (tres):
• Definimos una celda unidad que caracterizafotones « idénticos ».
( ), , ; , ,x y zx y z p p p
( )( )x y zx y z p p pγ∆ = ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆
Estos fotones tienen el mismo estado spin.Se puede definir: ∆γ = h3
Definición de volumen de coherenciaDefinición de volumen de coherencia• De forma aproximada para una fuente plana
emitiendo fotones, se define:
• Donde S es el área de la fuente plana.• Y:
• Que corresponde a una definición análoga al volumen de coherencia clásico.
2312z
x y zS
λ λλ
∆ ∆ ∆ =∆
php
λ ∆∆ =
c cx y z V l A∆ ∆ ∆ = = ∆
Longitud de coherencia transversal d ~ λ/θLongitud de coherencia longitudinal l ~ c / ∆ωVolumen de coherencia d2 lParámetro de degeneración δ
δ = número de fotones en el volumen de coherenciaδ = número de fotones por modo (cavidad) Parámetro de degeneración:
1. Fuente térmica
2. Radiación de sincrotrón δ ≈ α N λ/ (cτ F) ≈ 104/F
4. Láser ~1 mJ emisión en el visible δ≈ 1015
ParParáámetrometro de de degeneracidegeneracióónn: : camposcampos queque puedenpueden ser ser tratadostratadosclcláásicamentesicamente ((δδ >>1)>>1)
3. Radiación de Wiggler δ ≈ 2 MW α N λ/ (cτ F) para KW > 1
F = número de modostransversales en en el área del haz
El Sol 1
exp 1B
hK T
δν
=
−
EXPERIMENTOS DE CORRELACIÓN DE EXPERIMENTOS DE CORRELACIÓN DE FOTONESFOTONES
•La correlación de fotones tiene naturaleza estadística.
•La probabilidad de detección de una corriente de fotoelectrones es proporcional a la intensidad instantánea asociada al campo de radiación:
donde: η es un coeficiente que está ligado a la naturaleza del detector.
∆ t: tiempo de respuesta
Para un número de medidas N:
( ) ( )P t I t t≈ η ∆
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P t P t P t I t I t I t t t tN N N N1 2 1 2 1 2 1 2.... .... ... ...= η η η ∆ ∆ ∆
El El experimentoexperimento de de HanburyHanbury--Brown y Brown y TwissTwissPilot stellar intensity interferometerJodrell Bank, England, (1955)- First measurement of the angular diameter of a main sequence star (Sirius).- Stellar Intensity Interferometer,Narrabi, Australia (1963)
Datos: Cada espejo formado por 252 micro-espejos (mosaicos) hexagonales de 38 cm de ancho, con geométrica próxima a un espejo parabólico. Diámetro total: 6,5 m.
EXPERIENCIA DE HANBURY BROWN Y TWISS
( ) ( ) ( )[ ]I t I t I I1 2 1 2 1221+ = +τ γ τ
DETECTOR 1
DET
ECTO
R 2
FILTRO DE BAJA
FILTRO
DE BAJA
τ RETARDO
xMULTIPLICADOR
INTEGRADOR
FUENTE
I2
I1
∆I2 ∆I1
2)()(1 || 11 tirkitirki
PBBAA eeI φφ +⋅+⋅ +=
2)()(2 || 22 tirkitirki
PBBAA eeI φφ +⋅+⋅ +=
21 =PI 22 =PI
Como en el experimento clásico:
FundamentosFundamentos::
)](cos[24 2121 rrkII PP ∆−∆+=Si tomamos el producto antes de realizar el promedio temporal:
)( 221121 BABA rrrrrr −−−=∆−∆
Donde:
A
B
P2
P1
L >> (d & R)
d
R
rA1
rB1
rA2
rB2
(relacionado con la geometría de la fuente y el detector)
RELACIÓN SEÑAL-RUIDO
( ) ( ) ( ) ( ) 20
2O O
dRMS
O
T TS c d A n fN N Tα γ= = ∆
Datos relativos al experimento de Narrabi (1956):
d : distancia entre detectores (base del interferómetro)
A: área del detector = 30 m2
α: eficiencia cuántica del detector = 0.20
λ: longitud de onda = 430 nm
∆f: anchura de banda de la señal analógica = 100 MHz
TO: tiempo de correlación = 1 h
La relación señal/ruido cuando se observa la radiación de una estrella en el zenit: n: número de fotones/m2sHz = 5.10-5 es:
c(d)/N = 127x 0,2 (en 1 hora), 0.2: coef. de pérdidas
Correlación de segundo ordenCorrelación de segundo orden
( ) ( ) ( ) ( )2 2τ τΓ = Γ −Se cumple:
Para una onda electromagnética clásica:
( ) ( ) ( ) ( )2 2 0τΓ ≤ Γ
Este comportamiento no se cumple para estados cuánticos de luz.
Γ(2) (τ)
Supondremos un campo óptico térmico como procesogaussiano. Para N=2, la correlación de intensidades:
Experimentalmente se obtiene la correlación de las fluctuaciones de la intensidad:
Para τ=0: el coeficiente de correlación es:
( ) ( ) ( )∆I t I t I t= −
( ) ( )C
I I
I I12
1 2
12
22
=∆ ∆
∆ ∆
( ) ( ) ( ) 21 21 2 12I t I t I Iτ γ τ∆ ∆ + =
( ) ( ) ( ) 21 21 2 121I t I t I Iτ γ τ + = +
R. Hanbury Brown, The intensity interferometer, Taylor & Francis Ltd., London, 1974
Correlación de segundo orden: Coeficiente Correlación de segundo orden: Coeficiente de correlaciónde correlación
21
21
IIII
C = Coeficiente de correlación de segundoorden
Es importante notar que para el caso de fuentes coherentes(en este caso <I>=I)
2121 IIII =
Promedio temporal del producto de intensidades
Producto del promedio temporal de cada intensidad
Y por tanto:C=1
Valores teóricos :
y experimentales del coeficiente de correlación C12 como función de la separación entre fotodetectores (experimento en laboratorio):
Separación entre detectores (mm)
C12
(d)/C
12(0
)
( )( )
( )12
12 0C senC
τ πτ νπτ ν
∆=
∆
EJEMPLO DE CORRELACIÓN DE INTENSIDADES
Supondremos una fuente con densidad espectral lorentziana. De acuerdocon el T. de Wiener-Khinchin:
donde Z es una señal analítica compleja. Si:
La correlación de intensidades es:
( ) ( ) ( )Γzz I iτ ω τ α τ= −exp exp0
I I I1 2= =
( ) ( ) ( )[ ]I t I t I+ = + −τ α τ2 1 2exp
La desviación :
Para un láser ideal:
El campo óptico térmico puede tener un comportamiento caótico. Se puedenencontrar campos ópticos altamentefluctuantes
σ I I2 2=
Iσ →2 0
ResumenResumen• La función de correlación contiene información de la
geometría de la fuente.
• La anchura de correlación se comporta como: 1/(anchura de la fuente)
• La correlación de intensidades de segunda orden obtenidaen el experimento de Hanbury-Brown y Twiss no essensible a las fases aleatorias que podrían destruir el patrón interferencial
La teoría cuántica del experimento La teoría cuántica del experimento HanburyHanbury--BrownBrown y y TwissTwiss
Para bosones:
Para fermiones:
Experimentos actuales con HBT:
Roy J. Glauber