FundamentosFundamentos de de espectroscopiaespectroscopia de Fourierde Fourier

Clase miércoles 25 de octubre de 2006

EsquemaEsquema del del interferómetrointerferómetro de Michelsonde Michelson• La espectroscopia de Fourier está fundamentada en la capacidad de

obtener datos del espectro de una fuente a partir de la información que se obtiene en un interferograma de Michelson.

• El método experimental para la obtención del interferograma requiere de un interferómetro de Michelson con uno de los espejos móvil.

Distribución de la intensidad registrada en el Distribución de la intensidad registrada en el plano de detecciónplano de detección

• Sabemos que en el caso más sencillo, cuando la ondas que se recombinan son monocromáticas, obtenemos:

( ) ( )

( ) ( )

cos

; : logitud de onda media de emision de la fuente

o bien, de forma general:

cos

I k s I k s

k

I I

πλ

λ

τ πντ

ω πν

∆ ∆ = +

=

= +

=

0

0

2 1

2

2 1 2

2

Campo Campo policromáticopolicromático• Supongamos ahora una fuente que genera un

campo compuesto por una mezcla de frecuencias. Haciendo uso del análisis de Fourier:

( ) ( ) i tE t E e dπ νν ν+∞ −= ∫ 2

00

• Supondremos que esta fuente ilumina ahora el interferómetro de Michelson.

Función de interferenciaFunción de interferencia• A la salida del interferómetro, en el plano de

detección la distribución de la intensidad es:

( ) ( ) ( )cosI E dτ ν πντ ν+∞

= +∫2

002 1 2

•Decimos que es el perfil espectral de la fuente.

•La función de interferencia está expresada como suma de dos contribuciones que tienen distinto significado físico.

( )E ν2

0

Estudio de las contribuciones de la Estudio de las contribuciones de la función de interferenciafunción de interferencia

• Podemos escribir de acuerdo con la expresión anterior:

( ) ( ) ( ) ( )Luminosidad total de la fuente Interferograma

cosI W d W dτ ν ν ν πντ ν+∞ +∞

= +∫ ∫0 02 2 2

• Supondremos que el perfil espectral tiene propiedades de simetría:

( ) ( )W Wν ν= −

Representación completa del Representación completa del interferogramainterferograma

• De acuerdo con las propiedades anteriores:

( ) ( ) ( ) ( )cos iI W d W e dπ νττ ν πντ ν ν ν∆+∞ +∞ −

−∞= =∫ ∫ 2

02 2

( ) ( ) ( ) ( )cos 20

2 2 π νττ ν πντ ν ν ν∆+∞ +∞ −

−∞= =∫ ∫ ii W d W e d

• Como función normalizada al valor máximo:

•Perfil espectral de línea normalizado: ( )W ν

Aplicando la transformación de Fourierinversa:

( ) ( ) ( ) ( )cos iW I d I e dπ ντν τ πντ τ τ τ∆ ∆+∞ +∞ +

−∞= =∫ ∫ 2

02 2

•El perfil espectral se determina mediante la transformación de Fourier del interferograma.

•Se toma la representación normalizada al valor máximo de la función:

( )( )( )

;

; fuera del dominio0

00

0

νν

ν ν+∞

>

=

∫W

W W d

ConsideracionesConsideraciones• De acuerdo con la expresión anterior el perfil espectral

solo se recupera a partir de medidas de τ variando de cero a infinito.

• En la práctica esto no es posible ya que sabemos que los brazos del interferómetro tienen longitud finita: ∆Smax= cτmax.

• Este valor determina la resolución en frecuencias:

minmax

ντ

∆ =1

Casos particularesCasos particulares• Perfil espectral Delta-Dirac:

( ) ( )W ν δ ν ν= − 0

• En este caso el interferograma es equivalente a una constante (Hágase una comprobación).

• Fuente de gas a baja presión: El perfil de línea queda determinado por el ensanchamiento Dopplerasociado a las colisiones interatómicas.

•En este caso se obtiene un: Perfil espectral con ensanchamiento gaussiano:

Interferograma asociado a un perfil de línea gaussiano (Ejercicio 2)

( ) ln exp ln2

2 2 2 2ν νννπ ν ∆∆

− = −

W

( )W dν ν+∞

=∫0 1

( ) ( )cos expln

: frecuencia media de emision: anchura media

i πτ ντ πντ

νν

∆∆

∆

= −

2

22 2

Definimos:

Donde la normalización debe de cumplir:

La parte real de la transformada de Fourier del perfil de línea es:

Ejemplo numéricoEjemplo numérico

( ) expln

V πτ ντ ∆ ∝ −

2

2 2

•La visibilidad de las franjas del interferograma decrece según:

Aplicaciones de la espectroscopia Aplicaciones de la espectroscopia de de FourierFourier

•Espectroscopia Infrarroja (IR):En el dominio espectral del IR, si bien la energía de los fotones es débil, se pueden hacer medidas rápidas con una alta resolución.

Esta técnica es muy importante para identificar materiales orgánicos, como polímeros.

Lo que se analiza es el espectro de absorción de la radiación IR producido por la muestra al paso de la luz en el interferómetro.

Espectro visible del hidrógeno y del helio

αHγH βH

Ejemplo de espectro de absorción mediante Ejemplo de espectro de absorción mediante técnicas de espectroscopia IR por transformación técnicas de espectroscopia IR por transformación

de de FourierFourier