Funciones_Hiperbólicas
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REPASO DE FUNCIONES HIPERBOLICAS
Ing. Juan Carlos Tandazo CandoDepartamento de Ciencias Exactas
ESPE
Indice
1. Funciones hiperbolicas directas 21.1. Formulas de las funciones hiperbolicas directas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Graficos de las funciones hiperbolicas directas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2. Funciones hiperbolicas inversas 62.1. Formulas de las funciones hiperbolicas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2. Graficos de las funciones hiperbolicas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3. Identidades fundamentales de las funciones hiperbolicas 103.1. Identidades hiperbolicas de cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2. Identidades hiperbolicas cuadraticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.3. Identidades hiperbolicas de argumento doble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.4. Identidades hiperbolicas de argumento mitad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.5. Identidades hiperbolicas de suma y resta de argumentos . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.6. Identidades hiperbolicas de suma a producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
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1. Funciones hiperbolicas directas
1.1. Formulas de las funciones hiperbolicas directas
Las funciones hiperbolicas directas vienen relacionadas con las funciones exponenciales ex y ex,mediante las siguientes formulas:
senh x =ex ex
2=e2x 1
2ex
cosh x =ex + ex
2=e2x + 1
2ex
tanh x =ex exex + ex
=e2x 1e2x + 1
coth x =ex + ex
ex ex =e2x + 1
e2x 1
sech x =2
ex + ex=
2ex
e2x + 1
csch x =2
ex ex =2ex
e2x 1
Trabajando con la primera y segunda formulas se puede llegar a demostrar que:
cosh x + senh x = ex
cosh x senh x = ex
1.2. Graficos de las funciones hiperbolicas directas
A continuacion se presentan los graficos de cada una de las funciones hiperbolicas directas, as comosus caractersticas mas importantes:
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SENO HIPERBOLICO
Dom: RRg: RPto de corte: (0,0)Monotona: en RParidad: ImparAsntotas: No tiene
COSENO HIPERBOLICO
Dom: RRg: [1;+[Pto de corte: (0,1)Monotona: de ]-;0] de [0;+[Paridad: ParAsntotas: No tiene
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TANGENTE HIPERBOLICA
Dom: RRg: ]-1;1[Pto de corte: (0,0)Monotona: en RParidad: ImparAsntotas: A.H. en y = -1 y = 1
COTANGENTE HIPERBOLICA
Dom: R-{0}Rg: ]-;-1[ ]1;+[Pto de corte: No existeMonotona: en R-{0}Paridad: ImparAsntotas: A.H. en y = -1 y = 1
A.V. en x= 0
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SECANTE HIPERBOLICA
Dom: RRg: ]0;1]Pto de corte: (0,1)Monotona: de ]-;0] de [0;+[Paridad: ParAsntotas: A.H. en y = 0
COSECANTE HIPERBOLICA
Dom: R-{0}Rg: R-{0}Pto de corte: No existeMonotona: en R-{0}Paridad: ImparAsntotas: A.H. en y = 0
A.V. en x= 0
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2. Funciones hiperbolicas inversas
Las funciones hiperbolicas inversas se notan mediante la palabra area o arg acompanado por elnombre de la correspondiente funcion hiperbolica, as por ejemplo: la funcion inversa de la funcionseno hiperbolico sera area seno hiperbolico o arg seno hiperbolico.
2.1. Formulas de las funciones hiperbolicas inversas
Las funciones hiperbolicas inversas vienen relacionadas con la funcion logaritmo natural, mediantelas siguientes formulas:
argsenh(x) = ln(x +x2 + 1)
argcosh(x) = ln(x +x2 1)
argtanh(x) =1
2ln
(1 + x
1 x)
para |x| < 1
argctgh(x) =1
2ln
(x + 1
x 1)
para |x| > 1
argsech(x) = ln
(1 +
1 x2x
)
argcsch(x) = ln
(1 +
1 + x2
x
)
2.2. Graficos de las funciones hiperbolicas inversas
Las funciones hiperbolicas senh x, tanh x, coth x y csch x son biyectivas en todo su dominio porlo tanto tienen inversas, sin embargo las funciones hiperbolicas cosh x y sech x al ser dos funcionespares no son biyectivas, pero si restringimos su dominio en el intervalo de [0,+[ en donde ya sonbiyectivas, podemos determinar sus respectivas funciones inversas.
A continuacion se presentan los graficos de cada una de las funciones hiperbolicas inversas, as comosus caractersticas mas importantes.
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AREASENO HIPERBOLICO
Dom: RRg: RPto de corte: (0,0)Monotona: en RParidad: ImparAsntotas: No tiene
AREACOSENO HIPERBOLICO
Dom: [1;+[Rg: [0;+[Pto de corte: (1,0)Monotona: de [1;+[Paridad: No tieneAsntotas: No tiene
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AREATANGENTE HIPERBOLICA
Dom: ]-1;1[Rg: RPto de corte: (0,0)Monotona: en ]-1;1[Paridad: ImparAsntotas: A.V. en x = -1 x = 1
AREACOTANGENTE HIPERBOLICA
Dom: ]-;-1[ ]1;+[Rg: R-{0}Pto de corte: No existeMonotona: en ]-;-1[ ]1;+[Paridad: ImparAsntotas: A.V. en x = -1 x = 1
A.H. en y= 0
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AREASECANTE HIPERBOLICA
Dom: ]0;1]Rg: [0;+[Pto de corte: (1,0)Monotona: de ]0;1]Paridad: No tieneAsntotas: A.V. en x = 0
AREACOSECANTE HIPERBOLICA
Dom: R-{0}Rg: R-{0}Pto de corte: No existeMonotona: en R-{0}Paridad: ImparAsntotas: A.H. en y = 0
A.V. en x= 0
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3. Identidades fundamentales de las funciones hiperbolicas
3.1. Identidades hiperbolicas de cociente
tanh x =senh x
cosh x
coth x =cosh x
senh x
sech x =1
cosh x
csch x =1
senh x
tanh x =1
coth x
3.2. Identidades hiperbolicas cuadraticas
cosh2x senh2x = 1
sech2x + tanh2x = 1
coth2x csch2x = 1
3.3. Identidades hiperbolicas de argumento doble
senh(2x) = 2 senh x cosh x
cosh(2x) = cosh2x + senh2x
cosh(2x) = 2 cosh2x 1
cosh(2x) = 1 + 2 senh2x
tanh(2x) =2 . tanh x
1 + tanh2x
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3.4. Identidades hiperbolicas de argumento mitad
senh(x
2
)=
cosh x 1
2
cosh(x
2
)=
cosh x + 1
2
3.5. Identidades hiperbolicas de suma y resta de argumentos
senh(x + y) = senh x cosh y + cosh x senh y
senh(x y) = senh x cosh y cosh x senh y
cosh(x + y) = cosh x cosh y + senh x senh y
cosh(x y) = cosh x cosh y senh x senh y
tanh(x + y) =tanh x + tanh y
1 + tanh x . tanh y
tanh(x y) = tanh x tanh y1 tanh x . tanh y
3.6. Identidades hiperbolicas de suma a producto
senh x + senh y = 2 senh
(x + y
2
). cosh
(x y
2
)
cosh x + cosh y = 2 cosh
(x + y
2
). cosh
(x y
2
)
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