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單元四 相似形的應用

課文A： 相似三角形的關係

對於兩個相似三角形來說，除了對應角相等、對應邊成比例以外，還

有沒有其他關係呢？

這一段課文就要說明兩個相似三角形對應角平分線、對應中線、對應

高及面積的關係！

討論 1.「角平分線」

如圖，△ABC~△DEF，

AG 、 DH 分別是對應角

∠A、∠D 的角平分線，

我們稱 AG 與 DH 是對應角

平分線。

要討論的是 AG 和DH，所以

要看看與這兩邊有關的

△ABG 和△DEH

△ABG 與△DEH 中，因為△ABC~△DEF，

所以對應角相等∠B= 、∠BAC= 。

又因為 AG 、DH 是角平分線段，

所以∠BAG=1

2×∠BAC=

1

2× = 。

故△ABG~△DEH (根據 相似性質)，

因此 AG ：DH = AB：DE。

即兩個相似三角形中，對應角平分線段長度的比等於對應邊長的比。

60

討論 2.「中線」

如圖，△ABC~△DEF，

I、K 分別是對應邊 BC、EF 的

中點，我們稱 AI 與DK 是對應

中線。

因為要討論的是 AI 和DK ，所

以要看看與這兩邊有關的

△ABI 和△DEK：

△ABI 與△DEK 中，因為△ABC~△DEF

所以對應角相等∠B= 、

對應邊成比例 AB：DE = BC ： 。

又因為 I 是BC 的中點，K 是BC 的中點，

所以BI =1

2× ，EK =

1

2× 。

得知BI ：EK = ： = AB：DE。

故△ABI~△DEK(根據 相似性質)，

因此 AI：DK = AB：DE。

也就是兩個相似三角形中，對應中線長度的比等於對應邊長的比。

61

討論 3.「高」

如圖，△ABC~△DEF，AM、DN

分別是對應邊 BC、EF 的高，我

們就稱 AM 與DN 是對應高。

因為要討論的是 AM 和DN ，所

以要看看與這兩邊有關的

△ABM 和△DEN

△ABM 與△DEN 中

因為△ABC~△DEF，所以對應角相等∠B= 。

AM 是BC 上的高，DN 是EF 上的高，

所以∠AMB= 90°，∠DNE=90°。

故△ABM~△DEN (根據 相似性質)，

因此 AM ：DN = AB：DE。

也就是兩個相似三角形中，對應高的比等於對應邊長的比。

62

討論 4.「面積」

如下圖△ABC~△DEF

三角形的面積=2

底 高，

所以△ABC 面積=2

BC AM、△DEF 面積=

2

EF DN，

△ABC 面積：△DEF 面積=2

BC AM：

2

EF DN

= BC × AM ：EF × DN

= BC ×r BC ：EF ×r EF

=2 2

:r BC r EF

=2 2

:BC EF

也就是兩個相似三角形中，面積的比等於對應邊長的平方比。

試著利用這個概念來解題目吧！

例題一：如下圖，平行四邊形 ABCD 中，E 為 AD上一點且 AE =2

3AD，

BE 與 AC交於 F 點，求

(1)△AEF 面積：△CBF 面積=？

(2)若平行四邊形 ABCD 面積=30，則△AEF 面積=？

由討論 3 可以知道對應高的比等於

對應邊長的比，

所以 ： = ：

令 =r ,r≠0，則 =r

63

◎解題思維：先證明△AEF~△CBF，再利用相似形的性質。

解：(1)△AEF 與△CBF 中

∠EAF=∠BCF（ AD // BC ）

∠AFE=∠CFB（對頂角）

故△AEF~△CBF (AA)。

在平行四邊形 ABCD 中， AD= BC ，故 AE =2

3AD =

2

3BC；

所以△AEF 與△CBF 的對應邊比為 AE：CB =2：3。

根據討論 4，兩個相似三角形的面積比等於對應邊長的平方比，

△AEF 面積：△CBF 面積= 2 22 :3 =4：9。

(2)平行四邊形 ABCD 面積=30，

△ABC 面積=1

2×平行四邊形 ABCD

=1

2×30=15。

△ABF 與△CBF 中

以 AC當底邊時，這兩個三角形的高都是 BG。

所以△ABF 與△CBF 的面積比就是底的比為 AF ：FC ，

又因為在△AEF~△CBF 所以 AF ：FC = AE：CB =2：3，

故△ABF 面積：△CBF 面積 =2：3。

因此△CBF 面積=

3

2 3×△ABC 面積=

3

5×15=9，

由(1)知道△AEF 面積：△CBF 面積=4：9，

所以可以得知△AEF 面積=4。

64

重點提問

1.根據上面的課文，兩個相似三角形的對應角平分線段、對應中線、對應

高有什麼關係？

2.根據上面的課文，兩個相似三角形的面積會有什麼關係呢？

請舉例說明並解釋原因。

3.請利用相似的想法，證明以下關於三角形兩邊中點連線的特性：

如右圖，△ABC 中，D、E 分別為

AB和 AC的中點，則

(1)△ABC~△ADE

(2) DE // BC

(3) DE =1

2BC

(4)△ADE 面積=1

4△ABC 面積

65

․隨堂練習：

1.如下圖，△ABC~△DEF，而且 AG 是∠CAB 的角平分線段，DH 是∠FDE

的角平分線段。若 AB =6、DE =9、 AG =5，求DH =？

2.如下圖，△ABC~△DEF，而且，I 是 BC 的中點，K 是EF 的中點。

若 AC =4、DF =10、 AI =2，求DK 的長度。

3.如下圖，△ABC~△DEF，而且 AM ⟘ BC，DN ⟘ EF。若BC =6、EF =8、

AM =1.5，求DN 的長度。

66

4.如下圖，平行四邊形 ABCD 中，E 為 AD上一點，BE 與 AC 交於 F，

若 AE =4、ED =2，求

(1) AF ： AC =？

(2) EF：FB=？

(3)△AFE 面積：△AFB 面積= ？

(4)△AFB 面積：△CFB 面積 = ？

(5)△AFE 面積：△CFB 面積= ？

5.如下圖，四邊形 ABCD 為平行四邊形，C 為BE 的中點，求

△ADF 面積：△EAB 面積=？

還是不太懂，請看下面影片

(1)概念

https://youtu.be/QKiX0gBb_wI

(2)更多例題

https://youtu.be/7OMYNYcxeWM

(3)更多例題

https://youtu.be/MJguRTNmYsI

67

課文B： 直角三角形的母子相似關係

在課文 A 當中討論了兩個相似三角形之間的關係，接下來這一篇課文

要討論一個特別的三角形─直角三角形，所隱含的相似關係。

討論 1.

如圖，三角形 ABC 是直角三角形，

其中∠BAC=90°、 AD⊥BC 於 D 點。

有三個直角三角形：

△ABC、△DBA、△DAC

利用AA相似性質證明三組三角形相似

在△ABC 與△DBA 中，

所以△ABC~△DBA。

在△DBA 與△DAC 中，

所以△DBA~△DAC。

在△DAC 與△ABC 中，

所以△DAC~△ABC。

這種大的直角三角形與兩個小的直角三角形相似，就稱為直角三角形

的母子相似。我們又可以利用相似性質，得到更厲害的邊與邊之間關係，

下面以一題實例來說明！

1

1

2

2

68

例題一：如下圖，三角形 ABC 是一個直角三角形，其中∠BAC=90°、

AD⊥BC 於 D 點，若知道BD =6、DC =3，求

(1) AB =？

(2) AD=？

(3) AC =？

◎解題思維：利用三個直角三角形彼此相似。

解：(1)因為△ABC~△DBA，

所以BC ：BA= AB：DB，

9 ： AB = AB： 6

AB × AB =9×6=54

2AB =54，又 AB >0，

故 AB = 54 3 6

(2)因為△DBA~△DAC，

所以 AD：CD = DB：DA，

AD： 3 = 6 ：DA

AD× AD=3×6=18

2AD =18，又 AD>0，

故 18 3 2AD

69

(3)因為△ABC~△DAC，

所以BC ： AC =CA：CD，

9 ： AC =CA： 3

AC × AC =3×9=27

2AC =27，又 AC >0，

故 27 3 3AC

★省思：

如圖，直角三角形 ABC 中，

∠BAC=90°，其中 AD⊥BC 於 D 點，

而且如果當知道BD、DC 時，

從上面的討論就可以藉由下列的關係算出 AB、 AC 、 AD：

(1) BC ：BA= AB：DB ⟹2

AB = BC × BD

(2) AD：CD = DB：DA⟹2

AD = DB × DC

(3) BC ： AC =CA：CD ⟹2

AC =CB × CD

70

重點提問

1.請在下面畫出一個直角三角形以及其斜邊上的高。

2.在提問 1 所畫出來的圖形當中，有幾個直角三角形？

這些直角三角形間又有什麼關係？原因為何？

3.根據上面的課文，請用自己的話解釋「直角三角形的母子相似性質」，

並利用提問 1 當中的例子說明。

71

․隨堂練習：

1.△ABC 中，∠CAB=90°， AM 為BC 邊上的高。若BM =5、MC =8，求

(1) AB =？

(2) AM =？

(3) AC =？

(4)△ABC 面積：△MBA 面積=？

還是不太懂，請看下面影片

(1)概念

https://youtu.be/giPXo4Ycl8M

(2)性質證明

https://youtu.be/AaBnGhLY4gc

(3)更多例題

https://youtu.be/zRUhjywIHyc

72

課文C： 測量問題

在現實生活當中有很多時候沒辦法直接測量實物，如山高、河寬…，

我們可以利用相似性質來進行簡單的測量。

例題一：一個斜坡坡面長 40 公尺，離地面高 4 公尺，今將一個物體從地

面沿著斜坡推了 15 公尺，請問此時此物體距離地面多少公尺？

◎解題思維：面對這類的問題要試著將簡圖畫出來，如下：

AB =40、 BC =4、 AD=15

解：如下圖，△ABC 與△ADE 中

∠BAC=∠DAE、∠BCA=∠DEA=90°，

根據 AA 相似性質，所以△ABC~△ADE。

所以 AB： AD= BC ：DE ⟹40：15=4：DE ⟹8：3=4：DE ⟹8× DE =3×4

DE =3 4

8

=

3

2，得物體離地面DE =1.5(公尺)

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例題二：東樺的身高 165 公分，某天早上

升旗他發現自己的影子長度為 55 公分，

同時間國旗桿的影子 180 公分，請問學校

的國旗旗桿高度為多少公分？

◎解題思維：將簡圖畫出來，其中 AC、DF 都是代表陽光，所以 AC // DF ：

解：△ABC 與△DEF 中，因為 AC // DF，所以∠C=∠F；且∠B=∠E=90°，

故△ABC~△DEF（AA）

所以 AB：DE = DE：EF ⟹165：DE = 55：180⟹165：DE =11：36

⟹11× DE =36×165

得旗杆長度DE =540(公分)

A

B C

D

E F

因為太陽距離地球相當地遙遠，使

得太陽光在經過這麼長的距離來

到地球後，會近乎以同樣的角度到

達，所以我們一般都把太陽光當作

是平行光來看待喔！

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例題三：嘉偉要測量河面的寬度，於是他站在河岸邊的 A 點上，目光與

河岸垂直，面朝對岸選定一顆大石頭做標記，作為 B 點。然後他沿河岸

往下游走 20 公尺後再標定一點 C，接著繼續走了 5 公尺，標定一點 D。

然後他從 D 點，垂直河岸，朝離開河的方向走了 4 公尺。此時，往對岸

的大石頭(B 點)看，發現 C 點和大石頭在同一直線上，於是他將這個位置

標定為 E 點，並畫以下示意圖。請問河面寬 AB多少公尺？

◎解題思維：將簡圖標上長度如下圖：

解：△ABC 與△CDE 中

∠BCA=∠ECD(對頂角)、∠BAC=∠EDC=90°，

故△ABC~△DEC（AA）

所以 AB：DE =CA：CD ⟹ AB：4=20：5⟹ AB：4=4：1

得河寬 AB =16

A

B

C D

E

B

A C D

E 20

5 4

75

例題四：湖邊有一座瞭望臺及一個

碼頭，小儀想知道它們之間的直線

距離。在湖邊空地找到了一根電線

杆，小儀測量後發現電線杆距離瞭

望臺 60 公尺、電線杆距離碼頭 45

公尺。小儀從電線杆往瞭望臺方向

走 20 公尺處佇立了一根紅色竹竿，

而從電線杆往碼頭方向走 15 公尺處佇立一根藍色竹竿，測量後發現，紅

色竹竿與藍色竹竿之間距離 30 公尺，求瞭望臺與碼頭直線距離為多少？

◎解題思維：

畫出簡圖，A 點代表瞭望台、B

點代表碼頭、C 點代表電線杆，點

D 當紅色竹竿、點 E 當藍色竹竿：

解：△CDE 與△CAB 中

∠ACB=∠DCE、CA：CD =60：20=3：1、CB：CE =45：15=3：1，

CA：CD =CB：CE ，

故△CAB~△CDE（SAS）

所以 AB：DE =CA：CD，

AB：30=60：20

20× AB =60×30

得瞭望臺與碼頭距離 AB =90 (公尺)

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例題五：小君想要測量樹高，她在樹前 3 公尺立了一根長 2 公尺的竹竿，

並在竹竿後方 1 公尺處架了 1 公尺高的腳架，

利用望遠鏡觀察發現竹竿的頂端與樹梢成一直線，

求樹高為多少？

◎解題思維：

畫出簡圖，AB代表樹，CD代表竹竿，EF 代表

腳架，作輔助線 EG⊥ AB，EG與CD交於 H 點。

解：△EAG 與△ECH 中

∠AEG=∠CEH、∠AGE=∠CHE=90°，

故△AEG~△CEH（AA）

所以 AG ：CH = EG：EH ，

AG ：1=4：1

得 AG =4

樹高 AB = AG +GB =4+1=5(公尺)

77

重點提問

1.根據上面的文本，解決這種測量問題可以分成三個步驟：

(1)畫出 。

(2)找到 三角形。

(3)利用 求出答案。

2.請將下面的簡圖填入相對應的情境當中，並試著解出答案。

(甲) (乙) (丙)

(丁) (戊)

(1)某天早上怡芳想測量與地面垂直的樹高，她先測得樹影為 160 公分，

又垂直地面立了一根高為 160 公分的竹竿，測得竹竿的影子長度為 80 公

分。請問樹高為多少？

D

B

C A E

F

78

(2)庫克船長在島上藏了三批珠寶，先在島上 O 地藏第一批珠寶，然後向

東走 1.6 公里，再向南走 1.6 公里到 B 地藏第二批珠寶，再循原路回到 O

地後，向西走 0.8 公里，再向北走 x 公里到 D 地藏第三批珠寶時，發現 O、

B、D 三地恰好在同一條直線。請問 x 為多少？

(3)地面上有一光源往牆面照射，距離光源 1.6 公尺處有立一個高度為 0.8

公尺的竿子，其在牆面上的影子恰好是 1.6 公尺。請問竿子距離牆面為多

少？

(4)在山興市中有繁星鄉和一條直線型的公路，今天以繁星鄉為基準點，

向北走 1.6 公里可到達公路；若由繁星鄉向西走 1.6 公里，再向北走 0.8

公里也可以到達公路；則由繁星鄉向東走 1.6 公里，再向北走多少也可以

到達公路？

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(5)小怡想知道湖邊 B 點到湖中小島 C 點的距離，他在湖外找了一點 A

點，並測得 AB =1.6 公里、AC =2 公里後，又分別在 AB、 AC 上找到 E、

F 兩點，測得EB=0.8 公里、FC =1 公里、EF =1.2 公里，求 B 點到 C 點

的距離為多少？

․隨堂練習：

1.曉芳想測量與地面垂直的樹高，她先測得樹影為 53 公分，又垂直地面立

了一根高為 140 公分的標竿，測得標竿的影子長度為 28 公分，求樹高為

多少？

80

2.地面上有一光源往牆面照射，身高為 174 公分的小幸自光源往牆面走 290

公分，在牆面上的人影恰好是 240 公分。請問：

(1)光源距離牆面多遠？

(2)小幸距離光源多遠時，牆面上的人影恰好會是 400 公分？

3.小希想要測量自己所住的公寓高度，她在公寓前 40 公尺立了一根長 2 公

尺的竹竿，並在竹竿後方 1 公尺處架了 1.5 公尺的腳架，利用望遠鏡觀察

發現竹竿的頂端與公寓樓頂成一直線，求公寓樓頂為多少？

81

4.嘉偉要測量河面的寬度，於是他站在河岸邊的 A 點上，目光與河岸垂直，

面朝對岸選定一顆大石頭做標記，作為 B 點。然後他沿河岸往上游走 30

公尺後再標定一點 C，接著繼續走了 3 公尺，標定一點 D。然後他從 D 點，

垂直河岸，朝離開河的方向走了 4 公尺。此時，往對岸的大石頭(B 點)看，

發現 C 點和大石頭在同一直線上，於是他將這個位置標定為 E 點。請問：

(1)河面寬 AB多少公尺？

(2)E 點距離大石頭(B 點)多遠？

A

B

C D

E

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5.小韞想知道湖邊上 B、C 兩點的直線距離。首先，他在湖外找了一點 A

點的空地，測量後發現 AB =4.8 公里、AC =6.4 公里，又分別在 AB、AC

上找到 E、F 兩點，測得EB =3.6 公里、FC =4.8 公里、EF =2 公里，求 B

點到 C 點的直線距離為多少？

還是不太懂，請看下面影片

(1)例題二

https://youtu.be/Xcu9bB3WmRk

(2)例題三

https://youtu.be/xnpqKL7IUZA

C

B

E F