ESTATSTICAEPROBABILIDADEMDULO220132ProfReinaldoCarvalhodeMorais

1

PROBABILIDADEESTATÍSTICA E

MÓDULO 2

0,0% 0,7% 0,0%2,8%

11,7% 11,0%

35,2%

15,9%

11,0%

6,9%4,8%

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

40%

Não

re

spo

nd

eu

0,0

a

1,0

1,1

a

2,0

2,1

a

3,0

3,1

a

4,0

4,1

a

5,0

5,1

a

6,0

6,1

a

7,0

7,1

a

8,0

8,1

a

9,0

9,1

a

10

y = 0,25x - 3,69R² = 0,38

0

2

4

6

8

10

12

14

15 20 25 30 35 40

0,0

2,0

4,0

6,0

8,0

10,0

12,0

2010T4

2011T1

2011T2

2011T3

2011T4

6,0

5,3

3,4

0,32,2

5,3

4,2

3,3

2,1

1,4

10,3

5,3

4,3

2,9

2,7

7,5

4,2

3,8

3,2

2,7

PROFESSOR: Reinaldo Carvalho de Morais

2

CAPÍTULO 4

PROBABILIDADE

Pode-se definir probabilidade como uma “medida de incerteza”. Podemos usá-la para

avaliar a chance de determinado evento acontecer. Na linguagem estatística, um evento é qualquer

ocorrência que tenha uma probabilidade associada a ela. Por exemplo: o lançamento de um dado

conta com seis resultados possíveis. O evento “número ímpar” tem 50% de probabilidade de

acontecer, pois temos 3 números ímpares (1,3,5) dos 6 possíveis.

A probabilidade pode ser medida numa escala percentual ou numa escala unitária. Dessa

forma, se um evento é impossível, ele tem probabilidade 0 ou 0% de probabilidade de acontecer. A

certeza absoluta do acontecimento de algum evento confere probabilidade igual a 1. Podemos

também falar em 100% de probabilidade.

4.1 Definições básicas

Historicamente, existem três diferentes abordagens conceituais desenvolvidas para

definir probabilidade e para determinar seus valores: a abordagem clássica, a abordagem

freqüentista (ou empírica) e a abordagem subjetiva.

4.1.1 Abordagem clássica

Pela abordagem clássica, podemos determinar os valores das probabilidades com base no

conhecimento do espaço amostral. No lançamento de um dado, o espaço amostral consiste no

conjunto de todos os resultados possíveis. No referido caso, os seis valores que podem ser obtidos.

DEFINIÇÕES 4.1

EXPERIMENTO: Qualquer ação ou processo cujo resultado está sujeito à incerteza.

ESPAÇO AMOSTRAL (S) : Conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento.

EVENTO: É um subconjunto o espaço amostral.

3

Exemplo 4.1

Um dado é lançado uma vez. Estamos interessados nos resultados acima de 4. Dessa forma, temos:

[a] Experimento: Lançamento de um dado.

[b] Espaço amostral (S): Conjunto de todos os possíveis resultados do experimento. No caso o

conjunto S é {1,2,3,4,5,6}.

[c] Evento: Representado por uma letra maiúscula, consiste num subconjunto do espaço amostral.

Nesse caso, nos números 5 e 6 do dado (Resultados acima de 4).

A = {5,6}

Exemplo 4.2

Um dado é lançado uma vez. Estamos interessados nos resultados ímpares. Dessa forma, temos:


[b] Espaço amostral: S = {1,2,3,4,5,6}

[c] Evento: A = {1,3,5}

Observe que o conjunto A é um subconjunto de S, conforme definição 4.1.

E se estivermos interessados nos números inferiores a 3?


[b] Espaço amostral: S = {1,2,3,4,5,6}

[c] Evento: A = {1,2}

Observação: Um evento geralmente é representado pelas primeiras letras do alfabeto em maiúscula

(A,B,C,D,...).

4

Exemplo 4.3

Suponha que sejam lançados dois dados. O quadro abaixo mostra o conjunto dos possíveis

resultados:

1 2 3 4 5 6

1 [1,1] [1,2] [1,3] [1,4] [1,5] [1,6]

2 [2,1] [2,2] [2,3] [2,4] [2,5] [2,6]

3 [3,1] [3,2] [3,3] [3,4] [3,5] [3,6]

4 [4,1] [4,2] [4,3] [4,4] [4,5] [4,6]

5 [5,1] [5,2] [5,3] [5,4] [5,5] [5,6]

6 [6,1] [6,2] [6,3] [6,4] [6,5] [6,6]

[a] Experimento: Lançamento de dois dados.

[b] Espaço amostral: S = {[1,1],[1,2],[1,3], ... , [6,4],[6,5],[6,6]}

[c] Suponha que tenhamos os seguintes eventos (subconjuntos do espaço amostral):

A = Os dois dados apresentam valores iguais:

1 2 3 4 5 6

1 [1,1] [1,2] [1,3] [1,4] [1,5] [1,6]

2 [2,1] [2,2] [2,3] [2,4] [2,5] [2,6]

3 [3,1] [3,2] [3,3] [3,4] [3,5] [3,6]

4 [4,1] [4,2] [4,3] [4,4] [4,5] [4,6]

5 [5,1] [5,2] [5,3] [5,4] [5,5] [5,6]

6 [6,1] [6,2] [6,3] [6,4] [6,5] [6,6]

Portanto, ...1666,06

1

36

6

)(

)()(

SN

ANAP

B = A soma deve ser superior a 8:

1 2 3 4 5 6

1 [1,1] [1,2] [1,3] [1,4] [1,5] [1,6]

2 [2,1] [2,2] [2,3] [2,4] [2,5] [2,6]

3 [3,1] [3,2] [3,3] [3,4] [3,5] [3,6]

4 [4,1] [4,2] [4,3] [4,4] [4,5] [4,6]

5 [5,1] [5,2] [5,3] [5,4] [5,5] [5,6]

6 [6,1] [6,2] [6,3] [6,4] [6,5] [6,6]

)(BP

5

C = O primeiro dado deve ter valor maior do que o segundo dado.

1 2 3 4 5 6

1 [1,1] [1,2] [1,3] [1,4] [1,5] [1,6]

2 [2,1] [2,2] [2,3] [2,4] [2,5] [2,6]

3 [3,1] [3,2] [3,3] [3,4] [3,5] [3,6]

4 [4,1] [4,2] [4,3] [4,4] [4,5] [4,6]

5 [5,1] [5,2] [5,3] [5,4] [5,5] [5,6]

6 [6,1] [6,2] [6,3] [6,4] [6,5] [6,6]

)(CP

D = A divisão do primeiro pelo segundo valor deve dar um número inteiro.

1 2 3 4 5 6

1 [1,1] [1,2] [1,3] [1,4] [1,5] [1,6]

2 [2,1] [2,2] [2,3] [2,4] [2,5] [2,6]

3 [3,1] [3,2] [3,3] [3,4] [3,5] [3,6]

4 [4,1] [4,2] [4,3] [4,4] [4,5] [4,6]

5 [5,1] [5,2] [5,3] [5,4] [5,5] [5,6]

6 [6,1] [6,2] [6,3] [6,4] [6,5] [6,6]

)(DP

A abordagem clássica também é conhecida como abordagem a priori. Tal denominação se

dá em função do conhecimento da distribuição das probabilidades antes do “sorteio”.

Exemplo 4.4

Em um baralho que contém quatro ases e 48 outras cartas, a probabilidade de que um ás (A) seja

obtido em uma simples retirada é

13

1

52

4

)(

)()(

SN

ANAP

6

4.1.2 Abordagem freqüentista (ou empírica)

A expressão frequentista ocorre pelo fato de as probabilidades serem estimada com base

na frequência relativa com que os eventos ocorrem. Podemos utilizar a seguinte expressão

matemática:

n

AnAP

)()(

O numerador da expressão acima se refere ao número de observações de A. O

denominador refere-se ao tamanho da amostra. Se estivermos interessados em estimar a

probabilidade de uma ocorrência de trânsito ser de gravidade: ALTA, MÉDIA ou BAIXA, numa

determinada região da cidade, podemos tomar a frequência que cada uma ocorre na referida região.

Exemplo 4.5

O Comandante de determinada Companhia deseja estimar a probabilidade de

determinado acidente ser de GRAVIDADE ALTA numa dada região da cidade. Para isso foi utilizada

a seguinte tabela de frequência relativa a partir do banco de dados com o histórico do de

determinado ano:

FREQÜÊNCIA FREQÜÊNCIA

GRAVIDADE ABSOLUTA RELATIVA

BAIXA 862 58,2%

MÉDIA 467 31,6%

ALTA 151 10,2%

TOTAL 1480 100,0%

A probabilidade desejada é de 0,102 ou 10,2%. O conhecimento desse número pode

auxiliar o comandante no planejamento das ações da Companhia.

Exemplo 4.6

Numa linha de produção, foi verificado que a cada 1.000 peças inspecionadas, 7 apresentam

diâmetro fora da especificação. Qual a probabilidade de uma peça selecionada ao acaso estar fora

da especificação?

007,01000

7)( AP

7

Exemplo 4.7

Num banco de dados de uma seguradora contendo 500 clientes, 155 são jovens solteiros com

menos de 25 anos. Se 13 deles se envolveram numa batida de trânsito no ano passado, estime a

probabilidade desse evento ocorrer.

P(batida) = _______ =

4.1.3 Abordagem Subjetiva

Tanto a abordagem clássica como a da frequência relativa produzem valores objetivos de

probabilidade. Em comparação, na abordagem subjetiva a probabilidade de um evento consiste no

grau de crença de um indivíduo na ocorrência do mesmo, baseado em evidências disponíveis para

ele. Um exemplo poderia ser a crença de um profissional do ramo imobiliário na probabilidade de

determinado imóvel se valorizar acima da média do mercado em determinada região da cidade. Um

engenheiro pode acreditar que determinada máquina irá falhar ou apresentar defeito nos próximos

meses com probabilidade 70%. Apesar se ser considerado um “chute” (pois não se baseou na

frequência relativa), essa probabilidade pode ser utilizada como base para a tomada de decisões.

Exercício 4.8

Para cada uma das seguintes situações, indicar qual a melhor abordagem probabilística para o

contexto: clássica, de frequência relativa ou subjetiva.

(a) Probabilidade de que haja uma recessão econômica no próximo ano.

(b) Probabilidade de que um dado de seis lados mostre um 1 ou 6 em um único lance.

(c) Probabilidade de que numa caixa com 20 peças onde se sabe que uma é defeituosa, uma peça

escolhida aleatoriamente seja defeituosa.

(d) Probabilidade de que uma pessoa escolhida aleatoriamente, que entra em um departamento de

uma grande loja, faça uma compra naquele departamento.

(e) Probabilidade de obter cara no lançamento de uma moeda.

(f) Probabilidade de ter pelo menos dois alunos faltantes nessa turma em uma aula de Estatística.

8

4.2 Eventos mutuamente excludentes

Dois ou mais eventos são mutuamente excludentes, ou disjuntos, se eles não podem

ocorrer ao mesmo tempo. Ou seja, a ocorrência de um evento automaticamente elimina a

possibilidade de ocorrência do outro evento (ou eventos). Por exemplo, suponha que consideramos

dois possíveis eventos: “ás” e “rei” relativos à retirada de uma carta de um baralho. Esses dois

eventos são mutuamente excludentes porque qualquer carta retirada não pode ser um ás e um rei ao

mesmo tempo. É um ou outro.

Dois ou mais eventos são não excludentes quando é possível que eles ocorram juntos.

Note que esta definição não indica que tais eventos devam necessariamente ocorrer sempre juntos.

Por exemplo, suponha que consideramos dois eventos “ás” e “espada”. Estes dois eventos não são

mutuamente excludentes, porque uma carta pode ser tanto ás como espada. Entretanto, isso não

significa que todo ás é de espada, ou toda espada é um ás.

Exemplo 4.9

Em um estudo do comportamento do consumidor, um analista classifica as pessoas que entram em

uma loja de roupas de acordo com o sexo (“masculino” ou “feminino”) e de acordo com a idade (“até

30 anos” e “mais de 30 anos”). Estes dois eventos, ou classificações “masculino” e “feminino” são

mutuamente exclusivos, uma vez que uma pessoa só pode ser classificada em uma ou outra

categoria. Similarmente, os eventos “até 30 anos” e “sexo masculino” não são mutuamente

excludentes, porque uma pessoa escolhida aleatoriamente pode ter as duas características.

Exercício 4.10

O banco de dados abaixo se refere a 10 modelos de veículos fabricados por uma determinada

montadora.

MODELO SISTEMA

DE TRANSMISSÃO DE VIDRO

VEÍCULO FREIO

1 AUTOMÁTICA ABS ELÉTRICO

2 MANUAL MECÂNICO ELÉTRICO


4 AUTOMÁTICA MECÂNICO ELÉTRICO

5 MANUAL MECÂNICO MANUAL






9

Assinale os eventos que são mutuamente exclusivos:

[ ] Transmissão automática x Transmissão manual

[ ] Transmissão automática x Freio ABS

[ ] Freio ABS x Vidro manual

[ ] Vidro manual x vidro elétrico

OPERAÇÕES ENTRE EVENTOS:

UNIÃO: INTERSEÇÃO:

EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS COMPLEMENTAR:

4.3 Regras de adição

As regras de adição são usadas quando desejamos determinar a probabilidade de um

evento ou outro (ou ambos) ocorrerem em uma simples observação.

10

Simbolicamente, podemos representar a probabilidade de um evento A ou um evento B

como sendo designado por P(A U B) (lê-se “probabilidade de A união B”).

DEFINIÇÃO 4.2 Sejam A e B eventos de determinado espaço amostral (S). Então:

)()()()( BAPBPAPBAP

Exemplo 4.11

Na turma de LOGÍSTICA, 12 estudantes são casados e 17 estudantes são do sexo masculino.

FEMININO MASCULINO

SOLTEIRO 12 10 22

CASADO 5 7 12

TOTAL 17 17 34

ESTADO CIVILGÊNERO

TOTAL

Calcule a probabilidade de ser CASADO ou ser do sexo MASCULINO:

)()()()( BAPBPAPBAP

)()()()( MASCULINOCASADOPMASCULINOPCASADOPMASCULINOCASADOP

11

6471,034

22

34

7

34

17

34

12)( MASCULINOCASADOP

Exercício 4.12

Com base no banco de dados abaixo, determine as seguintes probabilidades:

MODELO SISTEMA

DE TRANSMISSÃO DE VIDRO

VEÍCULO FREIO




4 AUTOMÁTICA MECÂNICO ELÉTRICO







[a] Probabilidade de selecionar um veículo com transmissão automática:

[b] Probabilidade de selecionar um veículo com transmissão automática e sistema de freio

mecânico.

[c] Probabilidade de selecionar um veículo com transmissão automática ou sistema de freio

mecânico.

12

[d] Probabilidade de selecionar um veículo com vidro elétrico e transmissão manual.

4.4 Eventos independentes e probabilidade condicional

Dois eventos são independentes quando a ocorrência ou não ocorrência de um evento não

tem efeito sobre a probabilidade de concorrência do outro evento. Dois eventos são dependentes

quando a ocorrência ou não ocorrência de um evento afeta a probabilidade de ocorrência do outro

evento.

Exemplo 4.13 (adaptado de KAZMIER, 2007)

Os resultados do lançamento de uma moeda por duas vezes consecutivas são considerados

independentes, pois o resultado do primeiro lançamento não afeta as respectivas probabilidades

de cara ou coroa ocorrerem no segundo lançamento. A retirada de duas cartas sem reposição de

um baralho são eventos dependentes, pois as probabilidades associadas à segunda retirada são

dependentes do resultado da primeira retirada. Especificamente, se um “ás” ocorre na primeira

retirada, então a probabilidade de um “ás” ocorrer na segunda retirada é a razão do número de

ases que sobraram no baralho pelo número total de cartas restantes no baralho.

Exemplo 4.14

O sorteio da mega sena dessa semana é independente do sorteio da semana passada.

Exemplo 4.15

Se uma pista molhada altera a probabilidade de acidente numa rodovia então os eventos: [A = pista

molhada] e [B = acidente] são DEPENDENTES.

Quando dois eventos são dependentes, o conceito de probabilidade condicional é

empregado para designar a probabilidade de ocorrência de um evento relacionado. A expressão

P(B/A) indica a probabilidade do evento B ocorrer dado que o evento A ocorreu. Note que B / A não

é uma fração.

Expressões de probabilidade condicional não são requeridas para eventos independentes,

pois, por definição, não há relação entre a ocorrência de tais eventos.

13

Exclusividade mútua indica que os dois eventos não podem ocorrer juntos, enquanto

independência indica que a probabilidade de ocorrência de um evento não é afetada pela ocorrência

do outro evento.

Portanto, segue-se que se dois eventos são mutuamente exclusivos, este é um exemplo de

eventos altamente dependentes, pois a probabilidade de um evento, dado que o outro ocorreu será

sempre igual a zero.

4.5 Regras de multiplicação

As regras de multiplicação estão interessadas na determinação da probabilidade da

ocorrência conjunta de A e B. Há duas variações da regra de multiplicação, de acordo com a

dependência ou independência de dois eventos.

A regra de multiplicação para eventos independentes é

Exemplo 4.16: Através da equação acima, se uma moeda é lançada duas vezes, a probabilidade de

que ambos os resultados sejam “caras” é (1/2)(1/2)=(1/4).

DIAGRAMA DE ÁRVORE

O diagrama de árvore é particularmente útil como um método de ilustrar os possíveis

eventos associados com observações sequenciais, ou tentativas sequenciais. A figura abaixo é um

exemplo deste tipo de diagrama para eventos associados ao lançamento de uma moeda por duas

vezes, e identifica os resultados possíveis e a probabilidade em cada ponto da sequência.

1º LANÇAMENTO 2º LANÇAMENTO ESPAÇO AMOSTRAL PROBABILIDADE

ASSOCIADA

1/2 CARA (CARA, CARA) 1/4

CARA

1/2

1/2 COROA (CARA, COROA) 1/4

1/2 CARA (COROA, CARA) 1/4

1/2

COROA

1/2 COROA (COROA, COROA) 1/4

TOTAL 4/4

14

Exercício 4.17 (adaptado de MAGALHÃES e LIMA, 2005)

Peças produzidas por uma máquina são classificadas como defeituosas, recuperáveis ou perfeitas

com probabilidade 0,1; 0,2 ou 0,7; respectivamente. De um grande lote, foram sorteadas duas peças

com reposição. Represente a situação via DIAGRAMA DE ÁRVORE:

1º SORTEIO 2º SORTEIO ESPAÇO AMOSTRAL PROBABILIDADE

ASSOCIADA

DEFEITUOSA

DEFEITUOSA RECUPERÁVEL

PERFEITA

DEFEITUOSA

RECUPERÁVEL RECUPERÁVEL

PERFEITA

DEFEITUOSA

PERFEITA RECUPERÁVEL

PERFEITA

[a] Qual a probabilidade de sortear duas peças

defeituosas?

[b] Qual a probabilidade de sortear uma peça

perfeita e uma recuperável?

[c] Qual a probabilidade de sortear pelo menos

uma peça perfeita?

[d] Qual a probabilidade de sortear uma peça

recuperável ou uma perfeita?

15

Exercício 4.18

Imagine que no caminho de volta da faculdade para casa, você passe por 3 sinais de trânsito.

Considere que a probabilidade de encontrar um sinal fechado seja de 0,3. Considere que a

probabilidade de encontrar um sinal aberto seja de 0,7.

[a] Construa o diagrama de arvore representando as possibilidades.

PROBABILIDADE

ESPAÇO AMOSTRAL ASSOCIADA

[a] Qual a probabilidade de encontrar os 3 sinais

fechados?

[b] Qual a probabilidade de encontrar pelo

menos 1 sinal fechado?

[c] Qual a probabilidade de encontrar no máximo

2 sinais abertos?

[d] Qual de encontrar exatamente 1 sinal

aberto?

[e] Qual a probabilidade de encontrar os 3 sinais

abertos

[f] Qual de encontrar no mínimo 1 sinal aberto?

16

Exercício 4.19

A probabilidade de ocorrência de turbulência em um determinado percurso a ser feito por uma

aeronave é de 0,2 em um circuito diário. Seja X o número de vôos com turbulência em um total de 3

desses vôos (ou seja, uma semana de trabalho). Qual a probabilidade de que:


PROBABILIDADE

ESPAÇO AMOSTRAL ASSOCIADA

[a] Qual a probabilidade de haver turbulência nos

três vôos?

[b] Qual a probabilidade de haver turbulência

em pelo menos um vôo?

[c] Qual a probabilidade de haver turbulência em

no máximo dois vôos?

[d] Qual de haver turbulência em exatamente 1

vôo?

[e] Qual a probabilidade de não haver turbulência

nos três vôos?

[f] Qual a probabilidade de haver turbulência

em exatamente dois vôos?

17

Exercício 4.20

A probabilidade de que um cliente potencial contatado pelo telefone faça uma compra é 0,23.

Suponha que o vendedor tenha feito 3 ligações.


[a] Qual a probabilidade de realizar 3 vendas?

[b] Qual a probabilidade de realizar 2 vendas?

[c] Qual a probabilidade de realizar 1 venda?

[d] Qual a probabilidade de não realizar

nenhuma venda?

[e] Qual a probabilidade de realizar no mínimo

uma venda?

[f] Qual a probabilidade de realizar no máximo

duas vendas?

18

4.6 Tabelas de Probabilidade Conjunta

Numa tabela de probabilidade conjunta possíveis eventos (ou resultados) para uma

variável são listados como cabeçalhos de linhas, todos os possíveis eventos para uma segunda

variável são listados como cabeçalhos de coluna e os valores inseridos em cada célula da tabela é a

probabilidade de cada ocorrência conjunta.

Geralmente, as probabilidades em tais tabelas são baseadas nas frequências de ocorrência

observadas para vários eventos conjuntos, em vez de serem a prior por natureza.

A tabela de frequência de ocorrências conjuntas, as quais fornecem as base para a

construção de uma tabela de probabilidades conjuntas, é chamada de tabela de contingência.

Exemplo 4.21

A Tabela abaixo é uma tabela de contingência que descreve 200 pessoas que entraram em uma loja

de roupas de acordo com sexo e idade, enquanto a Tabela B é a tabela de probabilidades conjuntas

correspondente. As frequências divulgadas em cada célula da tabela de contingência são

convertidas em um valor de probabilidade através da divisão pelo numero total de observações,

nesse caso, 200.

Masculino (M) Feminino (F)

< 25 60 50 110

25 ou + 80 10 90

TOTAL 140 60 200

Masculino (M) Feminino (F)

< 25 0,30 0,25 0,55

25 ou + 0,40 0,05 0,45

TOTAL 0,70 0,30 1,00

SEXOIDADE TOTAL

IDADESEXO

TOTAL

A probabilidade de 0,30 na linha 1 e coluna 1 da tabela B indica que há uma

probabilidade de 0,30 que uma pessoa escolhida aleatoriamente desse grupo de 200 pessoas seja

um homem abaixo de 25 anos. A probabilidade marginal de 0,70 para a coluna 1 indica que há uma

probabilidade de 0,70 que a pessoa escolhida aleatoriamente seja do sexo masculino.

19

No contexto das tabelas de probabilidade conjunta, uma probabilidade marginal é

também assim chamada porque é um total de uma linha ou uma coluna.

Enquanto que os valores de probabilidade nas células são correspondentes à

probabilidade de ocorrência conjunta, as probabilidades marginais são incondicionais, ou

simplesmente, probabilidades de eventos particulares.

Como uma tabela de probabilidade conjunta também inclui todos os valores de

probabilidade incondicional como totais marginais, podemos usar a equação abaixo para determinar

qualquer valor de probabilidade condicional.

Exemplo 4.22

Suponha que estamos interessados na probabilidade de que uma pessoa escolhida aleatoriamente

na tabela B do exercício anterior seja “abaixo de 25” dado que é um “homem”(M). A probabilidade,

usando a equação acima é

43,070,0

30,0

)(

))25(()/25(

MP

MPMP

Exemplo 4.23

O quadro abaixo resume os dados de 16 alunos de uma turma de Estatística.

IDADE Capital Interior TOTAL

Abaixo de 25 8 3 11

25 ou mais 2 3 5

TOTAL 10 6 16

[a] Qual a probabilidade de ter 25 ou mais, dado que nasceu na capital?

P(≥25/Capital) =

[b] Qual a probabilidade de ter nascido na capital, dado que tem 25 anos ou mais?

P(Capital/≥25) =

20

[c] Qual a probabilidade de ter nascido na capital ou ter menos de 25 anos?

P(C ou < 25) =

[d] Qual a probabilidade de ter nascido na capital e ter menos de 25 anos?

P(C e < 25) =

[e] Qual a probabilidade de ter menos de 25 anos?

P( < 25) =

Exercício 4.24

A tabela abaixo representa a quantidade de veículos vendidas por uma concessionária no ano de

2010 de acordo com o estado civil do comprador (solteiro/casado) e o tipo de veículo. Uma venda

acaba de ser feita.

ESTADO

CIVIL COMPACTO MÉDIO GRANDE

SOLTEIRO 181 117 46 344

CASADO 87 244 125 456

TOTAL 268 361 171 800

TIPO DE VEÍCULOTOTAL

[a] Qual a probabilidade de ter vendido um

veículo COMPACTO?

[b] Qual a probabilidade de ter vendido um

veículo para um comprador CASADO?

[c] Qual a probabilidade de ter vendido um

veículo GRANDE e o comprador ser SOLTEIRO?

[d] Qual a probabilidade de ter

vendido um veículo COMPACTO ou o

comprador ser CASADO?

[e] Qual a probabilidade de ter vendido um

veículo GRANDE dado que o comprador é

CASADO?

[f] Qual a probabilidade de ter vendido um

veículo COMPACTO dado que o comprador é

SOLTEIRO?

21

Exercício 4.25

De 50 alunos de uma turma de Engenharia, 20 gostam da disciplina de Estatística, 15 gostam da

disciplina de Cálculo e 10 gostam de ambas.

[a] Construa uma TABELA DE DUPLA ENTRADA que ilustre os eventos designados como E e C.

[b] Determine a probabilidade de que um aluno

goste de Estatística ou Cálculo.

[c] Qual a probabilidade de gostar de

Estatística, dado que gosta de Cálculo?

[d] Qual a probabilidade de sortear um aluno que

não goste nem de Estatística, nem de Cálculo?

[e] Qual a probabilidade de gostar de

Cálculo, dado que gosta de Estatística?

Exercício 4.26

Numa cidade do interior de Minas Gerais, estima-se que cerca de 20% dos habitantes são obesos.

Sabe-se que 50% dos obesos praticam esporte, enquanto que essa porcentagem entre os não

obesos é de 40%, conforme tabela abaixo. Para um indivíduo escolhido aleatoriamente nessa

cidade, obtenha:

SIM NÃO

SIM 10% 10% 20%

NÃO 32% 48% 80%

TOTAL 42% 58% 100%

ESPORTEOBESIDADE TOTAL

[a] Probabilidade de não praticar esportes.

[b] Probabilidade de ser obeso, dado que não

pratica esportes.

22

[c] Probabilidade de ser obeso ou não praticar

esportes.

[d] Não ser obeso dado que pratica esportes.

Exercício 4.27

A Tabela de contingência abaixo apresenta uma classificação resume informações de um banco de

dados relacionado ao tempo de atendimento de ocorrências de trânsito.

30 minutos ou menos mais de 30 minutos

SIM 71 7 78

NÃO 158 21 179

TOTAL 229 28 257

FIM DE SEMANATEMPO DE ATENDIMENTO (EM MINUTOS)

TOTAL

[a] Qual a probabilidade de a ocorrência de trânsito

ter acontecido no fim de semana?

[b] Qual a probabilidade de a ocorrência de

transito ter acontecido no fim de semana e

durar 30 minutos ou menos?

[c] Qual a probabilidade de a ocorrência durar mais

de 30 minutos dado que foi no final de semana

[d] Qual a probabilidade de a ocorrência

durar mais de 30 minutos?

[e] Qual a probabilidade de a ocorrência não ter

sido no fim de semana dado que durou mais de 30

minutos?

[f] Qual a probabilidade de a ocorrência ter

durado 30 minutos ou menos?

23

Exercício 4.28

Um levantamento socioeconômico entre os habitantes de uma cidade revelou que: 17% têm casa

própria; 22% têm automóvel; 8% têm casa própria e automóvel.

[a] Construa uma TABELA DE DUPLA ENTRADA que ilustre os eventos designados como C e A.

[b] Qual a probabilidade de sorter uma pessoa que

não tem nem casa própria, nem carro?

[c] Qual a probabilidade de ter carro, dado

que tem casa própria?

[d] Qual a probabilidade de ter casa própria, dado

que tem carro?

[e] Qual a probabilidade de ter casa própria

ou ter carro?

Exercício 4.29

Um Engenheiro de Segurança do Trabalho elaborou a seguinte tabela de dupla entrada para

resumir 500 acidentes.

ALTA MÉDIA BAIXA

MANHÃ 15 85 200 300

TARDE 35 65 100 200

TOTAL 50 150 300 500

TURNOGRAVIDADE

TOTAL

[a] Qual a probabilidade ocorrer um acidente com

GRAVIDADE ALTA, dado que foi a TARDE?

[B] Qual a probabilidade a probabilidade de

ocorrer um acidente a TARDE, dado que foi

de GRAVIDADE ALTA?

24

[c] Qual a probabilidade ocorrer um acidente de

GRAVIDADE ALTA e ter sido a TARDE?

[d] Qual a probabilidade de ocorrer um

acidente de GRAVIDADE ALTA ou ter sido a

TARDE?

Exercício 4.30 (adaptado de MONTGOMERY et al, 2009, pag. 25):

Um fabricante de faróis para automóveis testa lâmpadas sob ambientes com alta umidade e com alta

temperatura, usando intensidade e vida útil como as respostas de interesse. A seguinte tabela

mostra o desempenho de 130 lâmpadas:

SATISFATÓRIA INSATISFATÓRIA

SATISFATÓRIA 117 3 120

INSATISFATÓRIA 8 2 10

TOTAL 125 5 130

VIDA ÚTILTOTALINTENSIDADE

[a] Uma lâmpada é selecionada aleatoriamente. Qual a probabilidade de ter a intensidade

satisfatória e a vida útil satisfatória:

[b] Uma lâmpada é selecionada aleatoriamente. Qual a probabilidade de ter a intensidade

satisfatória ou a vida útil satisfatória:

[c] Uma lâmpada é selecionada aleatoriamente. Qual a probabilidade de ter a intensidade

insatisfatória ou a vida útil insatisfatória:

25

CAPÍTULO 5DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE

PARA VARIÁVEIS ALEATÓRIAS

5.1 Definição de variável aleatória

Uma variável aleatória é definida como sendo um evento numérico no qual seu valor é

determinado por um processo probabilístico. Por exemplo: o sexo de um bebê ao nascer é um evento

probabilístico, pois apresenta um conjunto de possibilidades, com probabilidades associadas. Tal

conjunto com dois possíveis resultados: masculino e feminino, com probabilidades associadas

(aproximadamente 0,49 e 0,51, respectivamente).

Quando valores de probabilidade são atribuídos a todos os valores numéricos possíveis

de uma variável aleatória X, tanto por uma listagem quanto por uma função matemática, o resultado

é uma distribuição de probabilidades. Podemos fazer uma estimativa da distribuição de

probabilidades através da distribuição de frequência. Se numa turma de Estatística com 50 alunos,

tivermos 30 solteiros, 15 casados e 5 divorciados, temos uma distribuição onde a probabilidade de

sortear um solteiro é 0,60, de sortear um casado é 0,30 e de sortear um divorciado é 0,10.

A soma das probabilidades para todos os possíveis resultados numéricos deve ser igual a

1. Valores de probabilidade individuais devem ser indicados pelo símbolo f(x), o qual indica que uma

função matemática está envolvida, através de P(X=x), o que reconhece que uma variável aleatória

pode ter vários valores específicos, ou simplesmente P(X).

Para uma variável aleatória discreta os valores observados podem ocorrer somente em

pontos isolados ao longo de uma escala de valores. As principais distribuições discretas são:

Distribuição Binomial e Distribuição de Poisson.

Para uma variável aleatória contínua todos os possíveis valores fracionários da variável

não podem ser listados, portanto as probabilidades que são determinadas por uma função

matemática são ilustradas graficamente através de uma função de densidade de probabilidade, ou

uma curva de probabilidade. A principal distribuição contínua é a distribuição Normal.

26

5.2 Descrição de uma variável aleatória discreta

Assim como para coleções de amostras e dados da população, também é útil descrever

uma variável aleatória em termos de sua média e sua variância, ou desvio padrão. A média de uma

variável aleatória X é chamada de valor esperado (ou esperança matemática) e é representada por

E(X). Para uma variável aleatória discreta ela é a média ponderada de todos os valores possíveis da

variável com suas respectivas probabilidades usadas como pesos. O valor esperado de uma variável

discreta tem a seguinte fórmula:

Exemplo 5.1

O número de vans que foram requisitadas por uma agência de locação de veículos durante um

período de 50 dias está identificado na tabela abaixo:

As frequências observadas forma convertidas em probabilidades para este período de 50 dias.

Podemos observar que a probabilidade de exatamente 7 vans serem requisitadas em um dia

escolhido aleatoriamente neste período é de 0,20 e a probabilidade de seis ou mais serem

requisitadas é 0,28 + 0,20 + 0,08 = 0,56.

27

Exercício 5.2

Os dados abaixo consistem numa distribuição de frequência para a variável número de irmãos.

Calcule o valor esperado.

Número de irmãos Frequencia Probabilidade Valor Ponderado

X P[X] X . P[X]

0 4

1 9

2 14

3 7

4 4

5 2

40

O valor esperado é:

A VARIÂNCIA de uma variável aleatória X é indicada por V(X). Ela é calculada em relação a

E(X) como a média da distribuição de probabilidade. A forma geral dos desvios para a fórmula da

variância de uma variável aleatória discreta é

Exemplo 5.3

A planilha para o cálculo da variância para a demanda de vans locadas é apresentada na Tabela

abaixo. Conforme indicado a variância tem valor de 1,74.

28

Exercício 5.4

O número de viaturas retornando de uma ocorrência policial a cada hora foi observado como

seguindo a distribuição de probabilidade abaixo. Calcule:

[a] O número esperado X de chegadas por hora.

[b] A variância.

[c] O desvio padrão para a variável aleatória discreta.

Exercício 5.5

Numa obra da construção civil, um engenheiro resolveu estimar a probabilidade de falta de algum

trabalhador através da frequência relativa. Sendo X o número de trabalhadores que faltam ao

trabalho, segue a distribuição de probabilidades. Calcule:

X P(X)

0 0,53

1 0,23

2 0,12

3 0,07

4 0,03

5 0,02

29

[a] O número esperado de

trabalhadores faltantes.

[b] A variância do “Número de

trabalhadores faltantes”

[c] O desvio padrão do

“Número de trabalhadores

faltantes”.

5.3 A Distribuição Binomial

A distribuição binomial é uma distribuição de probabilidade discreta que é aplicável como

modelo para tomada de decisão em situações nas quais o processo de amostragem pode ser

assumido como em conformidade com um processo de Bernoulli. Um processo de Bernoulli é um

processo de amostragem no qual

[1] Somente dois eventos mutuamente exclusivos em cada tentativa, ou observação, são

possíveis. Por conveniência eles são chamados de sucesso e falha.

[2] Os resultados em uma série de tentativas, ou observações, constituem eventos

independentes.

[3] A probabilidade de sucesso em cada tentativa, indicada por p, permanece constante de

uma tentativa para outra.

A distribuição binomial pode ser usada na determinação da probabilidade de obter um

designado número de sucesso s em um processo de Bernoulli. Três valores são requeridos:

O número designado de sucessos (X);

O número de tentativas ou observações (n);

A probabilidade de sucesso de cada tentativa (p).

A fórmula para determinação da probabilidade de um número específico de sucessos X

para uma distribuição binomial é

30

Exercício 5.6

Estima-se que numa ocorrência de trânsito com vítimas, a probabilidade de embriaguez do

motorista seja 0,35. Se acontecerem 6 acidentes com vítimas em determinada região da cidade, qual

a probabilidade de:

[a] Todos os motoristas terem ingerido bebida

alcoólica?

[b] 3 motoristas terem ingerido bebida

alcoólica?

[c] Nenhum motorista ter ingerido bebida

alcoólica?

[d] 2 motoristas terem ingerido bebida

alcoólica?

Exercício 5.7

Um teste de múltipla escolha contem 8 questões com 4 alternativas cada. Suponha que um

estudante “chute” todas as questões da prova.

[a] Qual a probabilidade de acertar 3 questões?

[b] Qual a probabilidade de acertar todas as

questões?

31

[c] Qual a probabilidade de errar todas as

questões?

[d] Qual a probabilidade de acertar 5 questões?

[e] Qual a probabilidade de acertar 1 questão?

[f] Qual a probabilidade de acertar 2 questões?

Exercício 5.8

Uma pesquisa com 337 alunos de uma determinada faculdade investigou o número de reprovações

de cada um no semestre anterior. Constatou-se que 177 estudantes não foram reprovados nenhuma

vez. Além disso, 84 estudantes tiveram 1 reprovação. Ocorreram também: 35 casos de 2

reprovações, 22 casos de 3 reprovações, 14 casos de 4 reprovações e 5 casos de 5 reprovações. A

tabela abaixo apresenta os valores que a variável “Número de reprovações” pode assumir. A tabela

mostra também a estimativa de probabilidade para cada um desses valores.

X )(XP )(XPX 2X )(2 XPX

0 177/337

1 84/337

2 35/337

3 22/337

4 14/337

5 5/337

337/337 = 1 )(XE )( 2XE

Calcule:

32

[a] O número esperado de

reprovações.

[b] A variância do “Número de

reprovações”.

[c] O desvio padrão do

“Número de reprovações”.

Exercício 5.9

Uma moeda é lançada 7 vezes. Calcule:

[a] Probabilidade de aparecer cara 3 vezes.

[b] Probabilidade de aparecer cara 4 vezes.

[c] Não aparecer cara nenhuma vez.

[d] Aparecer cara 7 vezes.

Exercício 5.10

Nos últimos 180 dias ocorreram acidentes em 99 dias numa determinada rodovia.

[a] Calcule a probabilidade de ocorrer acidente

em 2 dos próximos 7 dias.

[b] Calcule a probabilidade de ocorrer não

ocorrer acidente nos próximos 3 dias.

33

Exercício 5.11 (WAPOLE, 2008)

Suponha que, para um grande carregamento de chips de circuito integrado, a probabilidade de falha

em qualquer um deles seja de 0,10. Calcule a probabilidade de que, no máximo, três chips falhem em

uma amostra aleatória de 20.

Exercício 5.12 – Nos últimos 360 dias ocorreram acidentes em 54 dias numa determinada rodovia.

[a] Calcule a probabilidade de ocorrer acidente

em 2 dos próximos 5 dias.

[b] Calcule a probabilidade de ocorrer não

ocorrer acidente nos próximos 4 dias.

[c] Calcule a probabilidade de ocorrer 1 ou mais

acidentes nos próximos 4 dias.

[d] Calcule a probabilidade de ocorrer no

máximo 2 acidentes nos próximos 5 dias.

34

Exercício 5.13

Imagine que no caminho de volta da faculdade para casa, você passe por 5 sinais de trânsito.

Considere que a probabilidade de encontrar um sinal fechado seja de 0,3. Considere que a

probabilidade de encontrar um sinal aberto seja de 0,7.

[a] Qual a probabilidade de encontrar todos os

sinais abertos?

[b] Qual a probabilidade de encontrar todos os

sinais fechados?

[c] Qual a probabilidade de encontrar pelo

menos 2 sinais abertos?

[d] Qual a probabilidade de encontrar no

máximo 3 sinais abertos?

35

Exercício 5.14 – A probabilidade de que um cliente potencial contatado pelo telefone faça uma

compra é 0,17.

[a] Em 5 ligações, qual a probabilidade de que

sejam efetuadas 2 vendas?

[b] Em 10 ligações, qual a probabilidade de que

sejam efetuadas 2 vendas?

[c] Em 7 ligações, qual a probabilidade de efetuar

pelo menos 2 vendas?

[d] Em 7 ligações, qual a probabilidade de

efetuar no máximo 2 vendas?

36

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

DEVORE, Jay L. Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências, 2006.

GRIFFITHS, Dawn. Use a cabeça! Estatística. Rio de Janeiro: Altabooks, 2009.

KAZMIER, Leonard J. Estatística Aplicada à Administração e Economia. Bookman, 2007.

LEVINE, D. M.; Berenson, M. L.; Stephan, D. Estatística: Teoria e aplicações. LTC Ed. Rio de

Janeiro.

MAGALHÃES, Marcos Nascimento, LIMA, Antônio Carlos Pedroso de. Noções de

Probabilidade e Estatística. 6º. Edusp, 2007.

MONTGOMERY, D. C.; RUNGER, G. C. Estatística aplicada e probabilidade para

engenheiros. 3.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009.

MOORE, David S. A estatística básica e sua prática. Rio de Janeiro. LTC, 2005.

MOORE, David. S, McCABE, George P., DUCKWORTH, William M., SCLOVE, Stanley L. A

Prática da Estatística Empresarial. Como Usar Dados para Tomar Decisões. Rio de Janeiro: LTC, 2006.

TRIOLA, Mário F. Introdução à Estatística. LTC. 10a edição 2008. 722p.

VIEIRA, S. Introdução à bioestatística. 3.ed. Rio de Janeiro: Campus, 2008. 4ª edição.

WALPOLE, Ronald. E. Probabilidade e estatística para engenharia e ciências. São Paulo:

Pearson Prentice Hall, 2009.

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