Programa de Ps-Graduao em Engenharia Qumica - UFRGS EQP00006 Mtodos Matemticos

Prof. Andr R. Muniz - amuniz@enq.ufrgs.br

Trabalho Computacional 01 Resolver os seguintes problemas usando o Maple. Para obter a soluo de uma EDO, usar o comando dsolve; para manipulao, explorao e visualizao de solues, usar os diversos comandos vistos em aula (plot, rhs, subs, diff, int, simplify, etc.), quando necessrio. Resoluo deve ser feita em dupla ou sozinho, e entregue at o dia 21/05 as 08:30 AM (por email). Incluir comentrios no arquivo comentando o que foi feito em cada passo (quando adequado). Ao fazer grficos, incluir nome nos eixos e legenda. (1) Um lquido escoa numa pelcula de espessura h em regime permanente, laminar e completamente desenvolvido, para baixo, sobre uma superfcie inclinada de largura W, conforme a figura:

Considere que o fluido newtoniano e que no h gradiente de presso na direo x. A equao a ser resolvida e as condies de contorno associadas so dadas por:

0sin22

=+ gdy

vd x 0==hy

x

dydv ( ) 00 =xv

a) Obtenha uma expresso para o perfil de velocidade ( )yvx do lquido.

b) Obtenha uma expresso para a distribuio de tenso de cisalhamento, ( )dydvy xyx = .

c) Obtenha uma expresso para a vazo por largura da placa W (em z), ( )dyyvWQ h

x=0

.

Use os seguintes valores numricos para os parmetros nos prximos itens: = 0.01 g/(cm.s) = 1 g/cm3 h = 1 cm g = 9.8 m/s2 W = 1 m d) Faa um grfico do perfil de velocidades para = {15,45,60} (todas curvas no mesmo grfico; cuide a converso grausradianos). e) Faa um grfico da vazo em funo de (0 < < 90)

(2) Um reator batelada a volume constante usado para conduzir uma reao do tipo: A + R R + R

Estas reaes so chamadas de autocatalticas, visto que o produto R da reao age como catalisador da prpria reao. A equao de balano molar para o reagente A dada por:

RAA CCk

dtdC

=

Se no incio temos no reator o reagente A em uma concentrao CA0, o produto/catalisador R em uma concentrao CR0, e sabendo que a soma das concentraes CA + CR constante ao longo do processo (CA + CR = CA0 + CR0 = C0), pode-se escrever:

( )AAA CCCkdtdC

= 0

(a) Obtenha uma expresso para a concentrao do reagente A em funo do tempo de reao. (b) Para a situao onde a constante cintica seja k = 0.1, e as concentraes iniciais sejam CA0 = 1 e CR0 = 1, faa o grfico da concentrao da espcie A em funo do tempo de t=0 a 100. (c) Repita (b) para o caso onde CA0 = 1 e CR0 = 0.01 (menos concentrado inicialmente em R). Discuta as diferenas qualitativas que surgem em relao ao caso anterior. (3) Um termopar usado para medio de flutuaes de temperatura em uma corrente gasosa T. As flutuaes de temperatura da corrente podem ser modeladas por

( )tTtT 2sin)( 0 += , onde T0 e so constantes e a frequncia das oscilaes. Para determinar uma expresso para a resposta esperada do termopar, ou seja, para a temperatura do mesmo em funo do tempo T(t), deve-se resolver a seguinte equao diferencial (assumindo que gradientes de temperatura internos so desprezados):

( ) 0=+ TThAdtdTmcp

Assuma que inicialmente o termopar se encontra em uma temperatura Ti. Na forma

adimensional a EDO fica: sin=+

dd , onde

0TT = ,

0tt

= e 02 t = , e a

condio inicial fica ( ) i =0 . (a) Resolva o problema de valor inicial na sua forma adimensional e obtenha a expresso para (). Escreva tambm a expresso para a resposta do sistema aps um longo perodo de tempo SS(). (b) Para diferentes valores de (0.01, 0.1, 1, 2, 10) e i =2, faa uma curva de () e SS() (as duas no mesmo grfico, um grfico para cada ). Comente sobre os resultados (() versus SS(), efeito de na resposta transiente). atingido um estado estacionrio pelo sistema?

(4) Na determinao do coeficiente de transferncia de calor convectivo em um tubo de seo circular, sob a condio de escoamento plenamente desenvolvido, recai-se na resoluo da seguinte EDO (chamada de equao de Graetz):

( ) 01'" 2222 =++ yxxxyyx onde uma constante. Obtenha uma soluo em srie de potncias para esta equao que seja finita em x = 0. Faa grficos da soluo no intervalo x = [0, 1] contendo um nmero adequado* de termos, para = 0.5, = 1 e = 2 (todos no mesmo grfico). * verifique primeiro o nmero necessrio de termos na srie para obter uma soluo com boa preciso