DERIV_DIREC_Y_GRADIENTE.pptx

8/16/2019 DERIV_DIREC_Y_GRADIENTE.pptx

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DERIVADA DIRECCIONAL Y GRADIENTE

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PROBLEMAS DE APLICACIÓN

1. La temperatura en un punto de una pa!a met"#!a en e pano $Y

e% en &rado% Ce%#u%.

.En!uentra a ra'(n de !am)#o de a temperatura en e punto *1+1,en a d#re!!#(n - %ent#do de e!tor */+01,.

.na 2orm#&a 3ue e%t" en e punto *1+1, 3u#ere !am#nar en ad#re!!#(n - %ent#do en 3ue a temperatura d#%m#nu-e m"%

r"p#damente. En!uentra un e!tor un#tar#o en e%ta d#re!!#(n -%ent#do.

2 2( , )

1

xyT x y

x y=

+ +


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/. La atura de una monta4a !on re%pe!to a n#e de mar+#ene dado por 5

donde x repre%enta a d#re!!#(n E%te e y a d#re!!#(n Norte.n ap#n#%ta e%ta en e punto de a monta4a de!oordenada% .

2 5

( , ) 1000 0.01 0.05h x y x y= − −

( , ) (200,100) x y =


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PREGUNTAS :

- Ana#'ar %# e ap#n#%ta a%!#ende o de%!#ende !uando!am#na en a% d#re!!#one% Norte+ Nore%te - Surre%pe!t#amente.

0 6Cu" %er7a a d#re!!#(n 3ue 2a de %e&u#r e ap#n#%ta para3ue no !am)#e %u atura8

0 6Cu"e% %er"n a% d#re!!#one% 3ue 2a de tomar paraa%!ender - de%!ender o m"% r"p#do po%#)e 8


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9. Supongamos que la altura de una montaña enla posición (!"# esta dada por :

Si en la posición $a" un manantial! %Enque dirección comien&a acorrer el agua'

2 22( , ) 2 x yh x y e e− −= +

(1,0)


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%ómo se puede calcular la pendiente deestas rectas tangentes'


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%C(mo podemo% !a!uar a pend#ente de e%ta re!tatan&ente en a d#re!!#(n u'


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: 6Se podr" rea!#onar a pend#ente !on a&una der#adae%pe!#a8

: 6C(mo %e rea!#ona e%ta nuea der#ada !on a%der#ada% par!#ae%8

: 6C(mo rea!#onamo% a der#ada par!#a !on a der#adaen otra% d#re!!#one%8


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: ;aar a der#ada de en e punto P*1+/,+ en

a d#re!!#(n de e!tor v *1+1, .

: ;aar a der#ada de a


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)*GR* +E )A SES,N

A t>rm#no de a %e%#(n? e e%tud#ante re%uee e@er!#!#o%- pro)ema% de ap#!a!#(n de a% der#ada% d#re!!#onae%- &rad#ente? ut##'ando %u% de


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+E.,N,,N

: Se de


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Dado la función f:U⊂R2→R y el vector unitariocon 0≤θ≤2π ; la DERIVADA DIRECCIONAL de f en

, en la dirección de μ, se dene por:

roposición:

0 00

0

( ) ( )( ) lim

t

f P tu f P D f P

t µ →

+ −=

0 0 0 0

0

(( , ) (cos , )) ( , )limt

f x y t sen f x y

t

θ θ

→

+ −

0 0 0 00

0

(( , ) (cos , )) ( , )( ) lim

t

f x y t sen f x y D f P

t µ θ θ

→

+ −=


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PropiedadTeorema "i es una

función diferencia#le, entonces laderivada direccional se calcula por lafór$ula:

1 1 2

1 2

( ,... ) ......n nu

n

f f f D f x x u u u

x x xr

∂ ∂ ∂= + + +

∂ ∂ ∂


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+E.,N,,N : GRA+,ENTE +E UNA .UN,N

: S# e% una


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BIBLIOGRAFÍA

1. Larson-Hose!er "C#!$%!o " &1&.1& LAR'

(. 'e)ar* +ames. "C#!$%!o m%!i,aria!e &1& 'TE/0(22(

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