[復習:三角関数] - 東京電機大学公式サイト[復習:三角関数] θ r b a b...
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[ 復習 : 三角関数 ]
θ
rb
ab
sinθ=r
acosθ=
r
・ cos は、直角三角形の斜辺 r と
角θをはさむ辺 a との比
sin は、角θの対辺 b との比
・ 斜辺 r = 1 なら、cos と sin は、a,b の
長さに等しくなる。cosθ=a sinθ=b
1-1
-1
θ x
y
1
a
bP=(a, b)
0
x-y 平面に、半径が1の円(単位円と言う)を描く。円周上の点Pと、Pから x 軸に垂線を下ろした点 と、原点0とは、直角三角形になる。そして、この直角三角形は、斜辺の長さが1である。
Pの座標を(a,b)とする。また、x軸と半径P-0とが作る角度をθとする。
すると、 cosθ=a sinθ=b となる。
つまり、単位円の上の点Pの座標、(a,b)は、(cosθ,sinθ) となる。
cos と sin
単位円 と三角関数
ラジアンで表した円の角度
度 0° 90° 180° 270° 360°
ラジアン 0 π 2π
θ x
y
0
θ=0
θ=
1
2π
3
2π
1
2π
θ=3
2π
θ=π
θ=-π
θ=-1
2π
θ=π と θ=-π は同じθ=(3/2)π と θ=(-1/2)π は同じつまり、2πを足したり引いたりしても、一周するだけなので、円の角度としては同じとなる。
だから、 cos(-π)=cosπsin(-1/2)π=sin(3/2)π
などが成立する。
1-1
-1
tx
y
1
cos t
sin t
0
P
時間を変数とした 三角関数
関数 cos t は、単位円上を等速円周運動をする点Pの x座標
t
0
cos t
信号理論(金田)
[ 複素正弦波 1/2 ]
1-1
-1
ωtR(実)
1
ejωt
0
複素正弦波の定義
ejωt =cosωt+j sinωt
ω:角周波数、 t :時間
・ ejωt は、
実数部が cosωt、虚数部が sinωtを持つ複素数として定義される。
I (虚)
sinωt
cosωt
性質: 複素数 ejωt は、絶対値(大きさ: 原点からの距離)が1で、偏角が ωt の複素数である。
(証明)
・ 性質 1-1: 複素数 ejωt の絶対値 (=原点からの長さ)は、ωt の値によらず常に1である。
(証明): 複素数 ejωt の絶対値 = | ejωt | = √((実数部)2+(虚数部)2 )
= = √((cosωt)2+(sinωt)2 )=1
・ 性質 1-2:複素数 ejωt の偏角はωt である。
(証明): 一般に、複素数 z の絶対値を | z |、偏角をθとすると、
実数部は | z |・cosθ、 虚数部は | z |・sinθと表される。
ejωt の絶対値は 1 なので、その実数部は cosθ、虚数部はsinθと表される。
一方定義より、 ejωt の実数部は cosωt、虚数部はsinωt であるので、
偏角 θ=ωt であることが示される。
( オイラーの公式 )
・ 性質より、時間が経過して t が大きくなるにつれて、偏角が増加するので、ejωt は半径が1の円
(単位円 )の上を回転する。
・ ωt = 2πf t より、t = 1/ f となると、ωt=2π となって、1回転する。つまり、ejωt の回転周期は、
周波数の逆数である。 1秒間に f 回回転する。
[ 複素正弦波 2/2 ]
正弦波として、sin や cos ではなく、 ejωt を使うことの利点
・ 指数関数の形をしているので、微分・積分が簡単。
)2( 1
)1( (
tjtj
tjtj
ej
dte
ejedt
d
(積分)
微分)
式からわかるように、微分は jωをかける、積分は jωで割る操作と同じになる。
・ また、2つの正弦波の掛け算や割り算も、複素正弦波の場合は簡単になる。
/
()-(
)(
2121
2121
tjtjtj
tjtjtj
eee
eee
(除算)
乗算)
式からわかるように、乗算は加算、除算は減算操作で表される。
通常の正弦波 sin, cos と、複素正弦波の関係。
これらの式は、sin (または cos )が、 e jωt と e -jωt からできていることを表している。
が得られる。
よって、
を加算して、と式が得られる。また、式
よって、
を引き算すると、から式式となる。
として、をの式は、また、
の定義より、複素正弦波
tjtj
tjtj
tjtj
tjtj
tj
tj
tj
tj
eet
tee
eej
t
tjee
tjte
e
tjte
e
2
1cos
cos2
(2)(1)
2
1sin
sin2
(2)(1)
)2(sincos
j- j (1)
)1(sincos
[ 複素正弦波によるフーリエ級数 ]
が示された。となり、式
」なので、周期積分するとを、周期で、「のは角周波数に代入すれば、を式
公式のときは、オイラーの
立する。であるので、上記が成 となり、のときは、を示す。
最初に、
]の証明式[
:信号の周期
得られる。 をかけて積分すれば
複素共役に、同じ複素正弦波のは、の係数 複素正弦波
の求め方]係数[
リエ級数複素正弦波によるフー◇
(A1)
000sin 1
cos 1
sincos 1
1
0 cossin (A1)
)A2(sincos
0
1 1 0
(A1)00
01
1
(2.26)
)26.2( )(1
)(
(2.21) )(
T
0
T
0
T
0
T
0
T
0
0
T
0
0
33
221
33
2210
0
0
0
0
00
0000000
dttmjT
dttmT
dttmjtmT
dteT
mmmT
tmjtme
m
Tdteem
m
mdte
T
T
dtetfT
F
etfFe
F
eFeFeFeFeFeFFeFtf
tjm
tjm
tjm
tjm
tjnT
n
tjnn
tjn
n
tjtjtjtjtjtj
n
tjnn
が成立する。となる。よって、式すべて
番目の積分項以外はとなるで、の関係を利用したもの第四の等号は、式
(2.26) 0
(A1)
000000
1111
00
0000
0)(
0
)(
0
)2(20
)1(10 0
nFeFeF
FF
dteFT
dteFT
dteFT
dteFT
ntj
ntnnj
n
nn
T tnnjn
T tnjT tnjT tjn
dteFeFeFeFeFeFeF
T
dteeFeeFeeF
eeFeeFeeFeFT
dteeFeFeFeFeFeFFT
dtetfT
tf
tnjtnjtnjT tnjtnjtnjtjn
tjntjtjntjtjntj
T tjntjtjntjtjntjtjn
tjnT tjtjtjtjtjtj
tjnT
0000000
000000
0000000
0000000
0
)3(3
)2(2
)1(10
)3(3
)2(2
)1(10
33
221
0
33
2210
0
33
221
33
2210
0
1
1
1
)(1
)12.2()()26.2(
を代入すると、に、式の式
00 0 Fn
信号理論 第4回 金田
・・・
・・・・・・
・・・
・・・
・・・ ・・・
・・・・・・
・・・
[ 正弦波の和による信号の合成=フーリエ級数 ]
信号理論 第4回 金田
0 20 40 60 80-2
-1
0
1
2
0 20 40 60 80-2
-1
0
1
2
0 20 40 60 80-2
-1
0
1
2
0 20 40 60 80-2
-1
0
1
2
sin t t3sin3
1
tt 3sin3
1sin
t5sin5
1
tt 3sin3
1sin
ttt 5sin5
13sin
3
1sin
tsin
t7sin7
1
ttt 5sin5
13sin
3
1sin
tttt 7sin7
15sin
5
13sin
3
1sin
方形波の合成
0 50 100 150-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
0 50 100 150-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
0 50 100 150-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
0 50 100 150-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
tsin tsin
tt 2sin2
1sin
t2sin2
1
t3sin3
1tt 2sin
2
1sin
ttt 3sin3
12sin
2
1sin
t4sin4
1ttt 3sin
3
12sin
2
1sin
tttt 4sin4
13sin
3
12sin
2
1sin
のこぎり波の合成
◇ 例) 「ゲート関数」 または 「方形パルス」 (教科書の p. 19 の (c) の内容)
フーリエ変換の例
0
τ (タウ)
A
・ 時刻 -τ/2 および τ/2の間でのみ値 A を持ち、それ以外の時刻では値が 0 となる下記の信号 f(t) を考える。この信号は、「ゲート関数」 または 「方形パルス」 と呼ばれる。
・ この信号のフーリエ変換 F(ω)は、以下のように求められる。(教科書の式(2.42)の、τ0=τ/2 とおいた場合)
信号理論 第5回 金田
-τ/2 τ/2t
f (t)
t
tAtf
2/0
2/2/)(
)2/(
)2/sin(
22/
)()(
2/2/
2/2/2/2/
2/
2/
2/
2/
Aj
eeA
eej
Aee
j
A
ej
AdteAdtetfF
jj
jjjj
tjtjtj
◇ 「標本化関数」 または 「sinc関数」
・ sin(x)/x の形の関数を、「標本化関数」 または 「sinc関数」 と呼ぶ。( 上式は、x=ωτ/2 としたもの。 A と τ は一定値なので、高さはAτ)
0
x
1 x=π,2π,3π,...で、0 となる
π2π 3π
sin(x)x = sin(x)
x1
振幅
振幅が1/xで小さくなっていく正弦波
よって、
ゲート関数 標本化関数
( =ゲート関数のフーリエ変換は標本化関数である )
1x
x
1)sin(
lim0
x
xx
注:
sin(x) は 0付近では、sin(x) ≒ x となるので
ω=n・2π/τn=1,2,3,・・・
ごとに0となる
最大値は Aτ
1) 一般に、信号 f ( t ) はいろいろな周波数の正弦波信号 (音で言えば、低い音から高い音まで)を含んでいる。
2) それぞれの周波数の正弦波(成分)を、どの位多く含んでいるかを分析するのがフーリエ変換である。
3) 分析するためには、信号 f ( t ) に e -j ωt を乗算して積分すればよい。式で表せば、
4) F(ω) は、信号 f (t ) に含まれている周波数ωの正弦波の成分を表す。( F(ω) はスペクトル、または、周波数スペクトルとも呼ばれる。)
5) F(ω) は複素数で、その絶対値 | F(ω) | と偏角 arg(F(ω) ) はそれぞれ、正弦波の大きさと位相を表す。( それぞれ、振幅スペクトル、位相スペクトルと呼ぶ。 )
6) F(ω) を図で表す場合、特にことわらなければ横軸に(角)周波数、縦軸に周波数成分の大きさ を描く。この振幅スペクトルを、単に 「(周波数)スペクトル」 と呼ぶことも多い。
7) ωが負の部分を描くこともあるが、+ωと-ωは同じ周波数を表し、 | F(ω) | の値は同じ。→ よって、 | F(ω) | は ω=0 を中心に左右対称となる。
8) 「信号 f (t ) のフーリエ変換が F(ω) 」 である時、
f (t ) F(ω)
(時間信号) (周波数スペクトル)
と表し、 「 f (t ) と F(ω) はフーリエ変換対である 」 と言う。
dtetfF tj )()(
周波数
| F(ω) |
省略することも多い
ω
( フーリエ変換の式 )
ω0
| F(ω) |
[ フーリエ変換のメモ ] - 概要 -
信号理論 第6回 金田
大きさ
0
時間波形 → 周波数スペクトル
分析 (周波数分析)
周波数スペクトル → 時間波形
合成 (信号波形の合成)
フーリエ級数
(周期信号)
フーリエ級数:
複素正弦波表現
(周期信号)
・ 積分区間は周期 T
フーリエ変換
(非周期信号)
・ 積分区間 ∞ ・ こちらは 「逆フーリエ変換」 と呼ぶ
DFT
(Discrete Fourier Transform: 離散フーリエ変換)
ディジタル信号
(離散時間信号)
コンピュータ計算用
・ 離散時間信号 x(n) n: 整数時間
・ 離散周波数スペクトル X(k) k:整数周波数
・ 積分(Σ)の区間は有限 (Nサンプル)
(=N個の標本化データ)
・ 計算される周波数も N個
・ 周波数間隔は Fs/N (ただし、Fsは標本化
周波数)
・ こちらは 「逆DFT」 と呼ぶ
T
k
T
k
T
dttktxT
b
dttktxT
a
dttxT
a
0 0
0 0
00
)sin()(2
)cos()(2
)(1
)}sin(
)cos({)(
0
100
tkb
tkaatx
k
kk
T tjk dtetx
TkX
0
0)(1
)(
k
tjkekXtx 0)()(
)/(21
0
)()( NknjN
n
enxkX
1
0
)/(2)(1
)(N
k
NknjekXN
nx
dtetxX tj )()(
deXtx tj)(
2
1)(
信号理論 第6回 (金田)
(2.26)(2.25)
(2.31)(2.30)
理論
理論
実用
理論
[ 各種の 時間-周波数変換のまとめ ]
(2.3)
(2.4)(2.5)(2.6)
◇ δ(デルタ)関数 (インパルス関数)
デルタ関数 δ(t)
t0
τ
1/τ
・ 時間幅がτ、高さが 1/τ のゲート関数を考える。(面積は1)
・ このゲート関数の面積を一定にしたまま、幅を0 に近づける。 (τ → 0 ) すると、高さ 1/τ は、無限大になる。 これをδ関数と呼び、δ(t) と表す。
t
0
τ
面積 1(一定)
[ 表記 ]
δ(t): t=0 のインパルス
t
0
矢印で表す
δ( t-t0 ): t =t0 のインパルス
t
0 t0
[ 性質 ]
1)(
1)(
)(
0)(
0)(0
)0()()(
1)(
0
よって
より)のフーリエ変換 (②③
の値を取り出す働きの
なので 以外では
②
:面積は1①
t
edtet
t
ttf
tt
fdtttf
dtt
jtj
t
0ω
0
1
δ関数は、全周波数成分を含む
)(2 1)(2
1
2
1)(
2
1
)(
または
よって
の逆フーリエ変換④
dte tj
t0
ω0
直流は、ω=0 でだけ値を持つ
δ(t)
δ(ω)
21
(一定値=直流)
信号理論 第6回 金田
[ 関数の平行移動 ]
t
f(t)
t
f(t-τ)
τ0 0
τf(t-τ) は、f(t) を
右側に「τ」移動したもの
・ 信号 f(t-τ) は、t =τ の時 (t =τを代入すると)、 値 f(0) となる。
この値は、信号 f(t) が t =0 の時の値である。
・ つまり、f(t-τ) は、t =τ で、 f(t) が t=0 の時の値をとる。
したがって、f(t-τ) は、f(t) を右側に「τ」移動したものである。
・ f(t +τ) は、f(t) を左側に「τ」移動したものとなる。
t =-τ で、 f(t) が t=0 の時の値をとる。
時間 t
f(t)
6時 7時5時
時間 t
f(t -1)
6時 7時5時
時間 t
f(t +1 )
6時 7時5時
・f(t-1) → 信号 f(t)の波形が右に 1時間移動→ 6時に発生した現象が、7時に発生した
→ 信号 f(t) が 1時間遅れた
・ つまり、f(t-τ) は、
信号 f(t) に比べて時間 「τ」 遅れている。
・f(t +1) → 信号 f(t) の波形が左に1時間移動→ 6時に発生した現象が、5時に発生
→ 信号 f(t) が 1時間進んだ
・ つまり、f(t +τ) は、
信号 f(t) に比べて時間 「τ」 進んでいる。
f(t-τ) は、f(t) を
時間「τ」遅らせたもの
τ(タウ)
時間の単位は hour
例) ① y=t と ② y=t-1 を比べてみると、 ②は①を「右に」1動かしたもの
t
y
t
y
-1
1
0
関数(信号)の時間軸方向の平行移動を「時間推移」と呼ぶ
① ②
信号理論 第7回 金田
( 時間軸上での移動 = 時間推移 )
[ 微分・積分時のスペクトル変化の補足 ]
◇ 信号 f (t) の微分・積分のフーリエ変換は、
)(1
)(
Fj
df
Fjtfdt
d
t
となる。 つまり、信号を微分すると周波数成分は jω倍され、積分すると 1/ (j ω)倍になる。例えば、10 kHz の周波数成分は、1kHz の周波数成分に比べてωが10倍なので、10倍大きな値になる(強調される)。
◇ 周波数成分が jω倍されるということの意味を考える。信号 f (t) に含まれる周波数ωの成分とは、sin(ωt) のことである。よって、f(t) = sin(ωt) として、これを微分・積分してみると、
2sincossin
tttdt
d
となる。 すなわち、sin ωt を微分すると、振幅が ω 倍され、位相が π/2 だけ進む。位相 π/2 の進みは複素数で 「 j 倍 」 と表されるので、周波数成分は、「 j ω倍 」 されることになる。一方、sin ωt の積分は、
2
sin1
cos1
sin
ttdtt
となる。 すなわち、sin ωt を積分すると、振幅が 1/ω 倍され、位相が π/2 だけ遅れる。位相 π/2 の遅れは複素数で 「 1/ j 倍 」 と表されるので、周波数成分は、「1/ j ω倍 」 されることになる。
時間t
sin(ωt)
0
傾きは0
傾きは負
0
cos(ωt)
sin(ωt)の微分値= sin(ωt)の傾き、であるのでt=0 で傾きは最大値で、しばらく経つと傾きは0になり、その後傾きは負になる。この性質から、sin の微分は cos となることが予想できる
周波数が高いほど、傾きは大きい→周波数が高いほど、微分値は大きい
◇ さらに定性的に考えてみる。 「 微分は波形の傾き !! 」 なので、
最大値
0
傾き最大
信号理論 第7回 金田
◎ 伝達関数 H(ω) の例
ω周波数
ω周波数
ω周波数 ω
周波数
1
H(ω)
1
ωc ωc
ωc1 ωc2ωc2ωc1
信号理論 第8回 (金田)
・ 低域通過フィルタ (高域カット) ・ 高域通過フィルタ (低域カット)
H(ω)
・ 帯域通過フィルタ
H(ω)1
ω周波数
H(ω)=jω
1
・ 高域強調フィルタ(微分特性)
・ 帯域除去フィルタ
H(ω)
(ラジオやテレビなどの選局に利用)
・ 低域通過フィルタ (LPF: Low Pass Filter)
・ 高域通過フィルタ (HPF: High Pass Filter)
・ 帯域通過フィルタ (BPF: Band Pass Filter)
・ 帯域除去フィルタ (BEF: Band Elimination Filter)
H(ω)
の大きさ
H(ω)
の大きさ
H(ω)
の大きさ
H(ω)
の大きさ
1
H(ω)
の大きさ
時間
時間
時間
×
=
時間
時間
時間
×
=
振幅変調 と パルス符号変調信号理論(金田)
◇ 振幅変調(AM: Amplitude Modulation)
① 音声信号など、周波数の低い信号(例えば、100Hz~4000Hz)
② 高い周波数の正弦波信号(搬送波、キャリア)(例えば、TBSラジオなら 954kHz)
③ 上記2つの信号の掛け算この信号が電波として送られる。
・ 正弦波信号の振幅を変化させていることから「振幅(Amplitude) 変調(Modulation): AM」と呼ばれる。
◇ パルス符号変調(PCM: Pulse Coded Modulation)
④ ディジタル信号: (1と0との2値を持つ)・ 方形パルスの有り・無しで、1と0を表す
⑤ 高い周波数の正弦波信号(搬送波、キャリア)
⑥ 上記2つの信号の掛け算。 この信号が通信される。・ 正弦波の有無で1と0を表す・ 方形パルスで 1と0のコード(符合)を表し、
正弦波信号の振幅を変化させていることから「パルス符号(Pulse Coded) 変調(Modulation): PCM」と呼ばれる。
・ 初期のころ、PCM 信号は、AD変換されたディジタル信号をそのまま送信していたので、「PCM」とは、パソコン用語では、「AD変換されたままで、mp3 などのオーディオ圧縮されていない信号」 という意味でも用いられている。
1 0 1 1 1 10 0 0
0
1
①
②
③
④
⑤
⑥
※ ④で示したパルス波形そのものを伝送する場合もある。
1 0 1 1 1 10 0 0