第三章 三角恒等变换

3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

3.1.1 两角差的余弦公式：• 问题 1 ：不用计算器，请你计算 cos15° 的值。

问题 2 ：如何用 α、 β的三角函数值来表示 cos(α－ β) 的值？

sinsincoscos)cos(

• 例 1 、已知

是第三象限角，求 cos(α － β) 的值。

sinsincoscos)cos(

,13

5cos),,

2(,

5

4sin

• 例 2 、已知 cos(α+30°)= ,

求： cosα的值。

5

4 30120

sinsincoscos)cos(

• 例 3 、已知 ， α 是第四象限角，

求：

5

3sin

)4

tan(),4

cos(),4

sin(

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式：

sinsincoscos)cos( )cos( )sin( )sin(

)tan(

)tan(

sinsincoscos sincoscossin

tantan1

tantan

sincoscossin

tantan1

tantan

• 例 1 、利用和（差）角公式计算下列各式的值：

（ 1 ） （ 2 ）

（ 3 ）

42sin72cos42cos72sin 70sin20sin70cos20cos

15tan1

15tan1

例 2 、把下列式子化为 Asin （ ωx+φ）的形式：

1 3 sin cos

(2)sin cos

(3)3sin 4cos

x x

x x

x x

（）

)sin(cossin 22 xbaxbxa

这里的 由2222

sin,cosba

b

ba

a

来确定！

• 例 1 、在△ ABC中，求证：

0tantantantantantan CBACBA

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式：

2cos

2sin

2tan

22 sincos 1cos2 2 2sin21 cossin2

2tan1

tan2

• 例 2 、已知 ，求：

。

24,

13

52sin

4tan,4cos,4sin

• 例 3 、在△ ABC中， cosA＝ ， tanB＝

2 ，求 tan(2A+2B) 的值。5

4

练习：• 1 、已知： sinα＝ 0.8 ， α ∈ ，求 sin2α，

cos2α的值（保留两个有效数字）。• 2 、已知 cosα＝ ， 180°<α<270° ，求

sin2α， cos2α， tan2α。• 3 、已知 tanα＝ ， tanβ＝ ，求 tan(α+2β) 的

值。• 4 、已知 ，且

，求 的值。

)2

,0(

3

3

7

13

1

3

1sin)sin(cos)cos(

)2,2

3( )

42cos(

• 例 4 、探究“三倍角”公式：

3cos

3sin 3sin4sin3 cos3cos4 3

• 例 1 、试以 表示 。cos2

tan,2

cos,2

sin 222

2

cos1

2sin2

2

cos1

2cos2

cos1

cos1

2tan2

例 1* （ 1 ）已知： ， ，求： 。5

3cos )

2,0(

2tan,

2cos,

2sin

（ 2 ）已知： ， 是第一象限角，求： 。5

3cos

2tan,

2cos,

2sin

（ 3 ）已知： ，求： 。5

3cos

2tan,

2cos,

2sin

3.2 三角函数的恒等变形：

例 2 、求证：

sin

cos1

cos1

sin

2tan

• 例 3 、求函数 y＝ sinx＋ cosx的周期，最大值和最小值，单调区间。

3

例 4 、已知函数 f(x) ＝ 2sinx(sinx－ cosx) 。

（ 1 ）求 f(x) 的最小正周期和最大值；

（ 2 ）画出函数 y＝ f(x) 在区间 上的图象。

（ 3 ）指出函数 y＝ f(x) 是由函数 y＝ sinx经过怎样的变换得到的。

]2

,2

[

)sin(cossin 22 xbaxbxa

这里的 由2222

sin,cosba

b

ba

a

来确定！

• 例 5 、如图，已知 OPQ是半径为 1 ，圆心

角为 的扇形， C是扇形弧上的动

点， ABCD是扇形的内接矩形。请问：矩

形 ABCD的最大面积是多少？

3

• 例 6 、求证：

（ 1 ）

（ 2 ）

)]sin()[sin(2

1cossin

2cos

2sin2sinsin

已知： ，化简： 2 sin1

作业：• P156 － 157 ： A1 、 A2 、 A3 、 A4 、 A5

B1 、 B2 、 B3 、 B4 、 B5 、 B6 。

练习：如图，已知 ABCD、 CDEF、 EFGH都是正方形，求证：∠ HBG＋∠ HCG＋∠HFG＝ 90° A

B C

D

F

E H

G