Ch.7 Induction Motors 2 -...

건국대 전력전자연구실

Ch.7 Induction Motors 2

교류여자기기

- 유도전동기와 변압기의 연관성- 등가회로를 기준으로 회로해석- 유도전동기의 변압기 등가회로

- 유도전동기의 입력 및 출력, 역률, 효율 등 산출- 토크 해석 ; 기동토크, 최대토크- 비례추이 특성


7.2 유도전동기와 변압기의 연관성 1(복습)

1w 2w

Sw

mw

유도전동기를 변압기의 전기적 회로로 대비시키면 다음과 같다.

변압기의 전기적 등가회로


전동기의 회전축에 기계적 부하를 연결하면

1) 회전자의 속도가 저하되므로 고정자의 회전자계와의 상대속도가 증대되고

2) 상대속도의 증대로 기전력 및 와전류가 커져서 2차 부하전류가 증대됨

3) 2차 부하전류가 커짐에 따라 1차 전류의 유입 증대

∴ 변압기와 동일한 개념으로 간주됨 변압기 : 부하변화에 의한 자속변동의 상쇄

유도기 : 상대속도의 차에 의한 자속쇄교




ⅰ) 전자유도작용에 따름ⅱ) 변압기 등가회로 표현 가능

ⅰ) 공극의 유무ⅱ) 2차 단자의 단락 여부ⅲ) 2차 회로의 회전 여부ⅳ) 1차 및 2차 주파수 상이 여부

② 유도전동기의 전기적 등가회로

① 변압기의 전기적 등가회로


7.2 유도전동기와 변압기의 연관성 – 2차 리액턴스

① 2차 리액턴스

- 유도전동기 =

212 2 Lfx p=- 변압기 =

12 ww s= 를 이용하면

)( 2 122 sfLx p=\

만약, 전동기가 정지하였다면즉, 이므로1s =

122 2 fLx p=

222 2 Lfx p=

→ 변압기의 경우와 동일해 짐


① 변압기의 전기적 등가회로


7.2 유도전동기와 변압기의 연관성 – 2차 전압


① 변압기의 전기적 등가회로 ② 2차 전압

- 유도전동기=

122 4 fNkE f F=- 변압기 =

222 4 fNkkE wf F=

12 ww s= 이므로

)s ( 4 122 fNkkE wf F=\

만약, 전동기가 정지하였다면즉, 이므로1s =

121,220 4 fNkkEE wfs F== =변압기에서는 이므로,

202 EE =

122 4 fNkkE wf F=\

임의의 슬립 s에 대한 2차전압 ;

122 4 sfNkksE wf F=


7.2 유도전동기와 변압기의 연관성 – 2차 순시전압


① 변압기의 전기적 등가회로③ 2차 순시전압

- 유도전동기 =

tEte 122 sin2)( w=- 변압기 =

12 ww s= 이므로

tsEte 2202 sin2)( w=

tssEte 122 sin2)( w=\

이를 다시 쓰면, 즉

tsEte 222 sin2)( w=

202 EE =


7.2 유도전동기와 변압기 연관성 – 2차 전압 변경

2I 21 r

ss-

2e

2r 2x

2222 )( IE jsxrs +=

22

22 jsxr

s+

=\EI

에서, 전류를 구하면

22

22

jxsr+

=\EI

1) 분모, 분자에 s를 나누고전류를 다시 구하면

2) 2차 권선저항을 변압기 형태로 분리함의 저항부하로 됨

à 속도 즉, 슬립에 연관되는 부하; 동손과 기계적 출력을 분리하는 것임

22

r rs

®2

1 s rs-


7.2 유도전동기의 전기적 등가회로

21 r

ss-

2e

2r 2x

- 회전하는 회전자가 변압기의 2차회로와 같이정지함

- 변압기에는 여러 형태의 부하가 연결되지만유도기에는 속도 관련 저항부하만 존재함

저항부하 =

21 s r

s-

부하=축의 동력

부하=부하저항의 전력


7.2 유도전동기의 전기적 등가회로

21 r

ss-

2e

2r 2x

21 r

ss-

2e2r 2x

1v

1r 1x

1e


7.2 유도전동기의 변압기 등가회로

1v

1i

1r 1x2i 2r 2x

21 r

ss-

oG oB

oi

1i1v 21 r

ss-

21 rr +21 xx +

21 ii =¢1ioi

oG oB

21 r

ss-

2e2r 2x

1v

1r 1x

1e


7.3 변압기 등가회로의 비교 – 변압기 및 유도전동기 1

- 전자유도작용으로 설명가능

ⅰ) 공극의 유무 ; 유도전동기에는 공극이 존재함 →

ⅱ) 2차 단자의 단락 여부 ; 권선형의 경우 부하를 연결할 수 있음

ⅲ) 2차 회로의 회전 여부 ; 유도기의 경우 회전으로 인한 슬립 발생

2차 전압 및 2차 리액턴스가 주파수에 따라 달라짐

→ 자화전류 커짐(일정자속 기준)

→

변압기 등가회로로 해석함→

IM TRÂ >Â



1v 2v1e 2e

1i

1r 1x1i¢

OG OB

0i

ehi +fi 2

r 2xR

X

2i

2i

1v 2v1e 2e

1i

1r 1x1i¢

2r 2x

21 r

ss-

: 유효권선비

-상당 도체수의 비-권선법, 단절계수

: 권선비

- 권선수의 비

effa

a



21 r

ss-

2r 2x

1v

1r 1x

oG oB

oi

1i 2i

2v

1i 2i

2r 2x

1v

1r 1x

oG oB

oi

R

X2v



1v 21 rss-

21 rr +

21 xx +21 ii =¢

2v

1i

1i

eqr eqx

1v 2v

21 ii =¢

jXR +


7.2 유도전동기의 해석 - 변수지정

: 고정자 입력

: 고정자 동손

1P

1cP

: 철손ehP +

: 회전자 입력(gap power)2P

: 회전자 동손

: 총 기계적 출력2cP

dP

유도전동기의 등가회로에서 주요한 값들을 먼저 지정해 보자.

: 순 기계적 출력OP

21 r

ss-

2E

2r 2x

1V

1r 1x

1E 2V

1I 1I ¢ 2I →→

OG OB

OI↓

inP

SCLP

coreP

AGP

RCLP

convP

outP↑

↑


7.2 유도전동기의 해석 – 전력의 흐름도

: 고정자 입력

: 고정자 동손

1P

1cP

: 철손ehP +

: 회전자 입력(gap power)2P

: 회전자 동손

: 총 기계적 출력2cP

dP

유도전동기에서 고려해야 할 입출력 및 손실들의 관계

: 순 기계적 출력OP

inP

SCLP

coreP

AGP

RCLP

convP

outP↑

↑


7.2 3상 유도전동기의 해석 – 회전자 1

앞서 지정한 변수들을 이용하여 입출력의 관계식들을 구해 보자

sRIPAG 2

223=

2223 RIPRCL =

① 회전자 입력 – 공극에 전달되는 전력으로 gap power, 2차 입력이라고도 함

srIP 2222 3= 또는 2222 cos3 qIEP = 교재 :

② 회전자 동손 – 회전자 권선내에서 발생되는 저항손실

22

22 3 rIPc = à 회전자 입력 을 이용, 다시 쓰면 22 sPPc =\2P

회전자동손 = 슬립 X 회전자 입력

교재 :

21 r

ss-

2r 2x

1V

1r 1x

oG oB

oI

1I 2I

2V

+

-

↓

→ 회전자동손의 다른 명칭 ; slip power


7.2 3상 유도전동기의 해석 – 회전자 2

)1(3 222 s

sRIPconv-

=

③ 총 기계적 출력 – 전동기가 갖는 총 회전력으로 2차 출력이라고도 함

22

213 r

ssI -=22 cd PPP -= 교재 :

④ 순 기계적 출력 – 회전자의 축에 나타나는 출력

lossdO PPP -= (기계손 = 마찰손+ 풍손 + 표유부하손)

straywindfrictloss PPPP ++=\ lossP

2)1( Ps-=

21 r

ss-

2r 2x

1V

1r 1x

oG oB

oI

1I 2I

2V

+

-

↓

앞서 지정한 변수들을 이용하여 입출력의 관계식들을 구해 보자


7.2 3상 유도전동기의 해석 – 고정자 1

12

13 RIPSCL =

① 고정자 입력 – 1차권선에서 유입되는 총 공급전력으로 1차 입력이라고 함

ehc PPPP +++= 121 또는 1111 cos3 qIVP =

② 고정자 동손 – 고정자 권선내에서 발생되는 저항손실

12

11 3 rIPc =

③ 철심손 – 히스테리시스손 및 와류손의 합2

13 EGP Oeh =+

교재 :

Ccore GEP2

13=교재 :

21 r

ss-

2r 2x

1V

1r 1x

oG oB

oI

1I 2I

2V

+

-

↓

이번에는 고정자에 대한 관계식들을 구해 보자


7.2 3상 유도전동기의 해석 – 효율

① 효율(efficiency)1 입력 고정자

출력 기계적 순

PPO==h

② 피상효율(apparent efficiency)

③ 2차 효율(secondary efficiency)

11 3 입력 피상출력 기계적 총

IVPd

a ==h

sP

PsPPd -=-== = 1)1(

2

2

22 입력 회전자

출력 기계적 총h

- hh >2보통 의 관계를 가짐- 효율을 개선하려면 슬립을 가능한 한 작게 해야 함

21 r

ss-

2r 2x

1V

1r 1x

oG oB

oI

1I 2I

2V

+

-

↓

이번에는 효율을 구해 보자


7.2 3상 유도전동기의 해석 – 역율

① 2차 전류

② 회전자 역률

- 부하(즉, 2차 전류)가 커질수록 역률이 개선됨

22

22 jsxr

s+

=EI

22

22

22

)(sxr

sEI+

=크기 :

22

22

22

)(cos

sxr

r

+=q

2

22

2

2

22

22

2

)( sEIr

II

sxr

r=´

+=

이번에는 회전자의 역률을 구하면


7.2 3상 유도전동기의 해석 – 정리

① 총 기계적 출력

22

213 r

ssIPd

-=

③ 회전자 동손

2)1( Ps-=

srIP 2222 3=② 회전자 입력

22

22 3 rIPc =

22 sPPc =- 회전자 입력 및 회전자 동손의 관계 에서

2

2

PPs c=- 슬립의 다른 표현

회전자입력

회전자동손슬립 =®

- 총 기계적 출력과 회전자 입력의 관계에서 2)1( PsPd -=

- 2차 입력 : 2차 동손 : 2차 출력 = : :s s-11dP2P 2cP

(회전자 입력) (회전자 동손) (총 기계적 출력)

21 r

ss-

2r 2x

1V

1r 1x

oG oB

oI

1I 2I

2V

+

-

↓

앞의 결과들을 정리하면


7.2 3상 유도전동기의 해석 – 토크식 1 & 2

① 회전자계의 속도(동기속도) : Sw② 회전자의 회전속도 :

③ 총 기계적 출력(2차 출력) :

mw

Sm s ww )1( -=슬립의 정의에서

22

213 r

ssIPd

-= 2)1( Ps-=

④ 토크와 2차 출력의 관계가 TP md w= 로 표현되므로

또한 회전자의 속도와 2차 출력의 표현에서

S

PTw

2 =\

m

dPTw

=\ ; 토크식 1

Sm

d

sPsPTww )1()1( 2

--

== 로 되므로

동기속도

차입력2토크 =®; 토크식 2 ; 동기와트로 표현된 토크

21 r

ss-

2r 2x

1V

1r 1x

oG oB

oI

1I 2I

2V

+

-

↓

토크의 관계식들을 구하면


7.2 3상 유도전동기의 해석 – 토크식 2

② 토크의 표현식 2

① 토크의 표현식 1

22

213 rs

sIPTmm

d

ww-

==

위의 2가지 경우의 토크식에서 모두 2차 전류 의 표현만 알면 구할 수 있으며

SS srIPTww

222

2 3==

2I

ⅰ) 정확한 등가회로를 이용할 경우

ⅱ) 근사 등가회로를 이용할 경우

와 같이 어느 등가회로를 사용하는가에 따라 그 표현식이 달라진다.

21 r

ss-

2r 2x

1V

1r 1x

oG oB

oI

1I 2I

2V

+

-

↓


7.2 3상 유도전동기의 해석 – 2차 전류의 표현

21 r

ss-

2r 2x1r 1x

oG oB

OI

2V

21 II =¢

1V

1I

+

-

+

-

1E

↓

21 r

ss-

21 rr +21 xx +

21 II =¢1I

2V1V

+

--

+OI

1E

↓ ② 근사등가회로에서는 간단해 진다.

① 정확한 등가회로에서는

221

22

1

12

)( xxsrr

VI

++÷øö

çèæ +

=

전류 의 표현식이 복잡해 지고2I

221

12 // zY

YzYz

VI+

×+

=O

O

O

페이서로 나타내면 다음과 같다.

111 jxr +=z 222 / jxsr +=zOOO jBG -=Y

(단, , ,

임 )

이 때문에 대부분 토크식은 근사등가회로에서 구한다.


7.2 3상 유도전동기의 해석 – 토크식(최종)

유도전동기의 토크는 다음과 같다.2

2122

1

12

)()( xxsrr

VI+++

=

2차전류가 다음과 같이 얻어졌으므로

SS srIPTww

222

2 3==

21 r

ss-

21 rr +21 xx +

21 II =¢1I

2V1V

+

--

+OI

1E

↓

토크의 최종적인 표현을 근사 등가회로에서 구해보자.

의 표현에서

þýü

îíì +++

=2

2122

1

212

)()(

3

xxsrrs

VrTSw

à 토크는 공급전압의 제곱에 관계됨


7.2 3상 유도전동기의 해석 – 토크특성곡선

21 r

ss-

21 rr +21 xx +

21 II =¢1I

2V1V

+

--

+OI

1E

↓

앞에서 구한 토크의 특성곡선을 구해보자

þýü

îíì +++

=2

2122

1

212

)()(

3

xxsrrs

VrTSw

↑ ↑s=1(정지상태)

s=0(동기상태)

↕동작영역

(기동토크)

(최대토크)

(정격토크)


7.2 3상 유도전동기의 해석 – 최대토크

앞의 토크 특성곡선에서 기동토크, 최대토크 및 최대토크시 슬립을 구해보자

þýü

îíì +++

=2

2122

1

212

)()(

3

xxsrrs

VrTSw

↑ ↑s=1(정지상태)

s=0(동기상태)

↕동작영역

(기동토크)

(최대토크)

(정격토크)

0== Tss

dsdT

① 최대토크(pullout torque)

에서 최대토크시 슬립을구할 수 있음

221

21

2

)(

xxr

rsT++

±=\

이로부터 최대토크를 구하면

})({2

32

212

11

21

xxrr

VTS

P+++

=w

s=sT↑ ② 2차 출력 – 최대토크시 출력

PTSssdPTsPP

T)1( -==

=w

으로 2차저항에 무관함


7.2 3상 유도전동기의 해석 – 기동토크

이번에는 기동토크와 기동시 최대토크 발생조건을 구해보자

↑ ↑

s=1(정지상태)

s=0(동기상태)

↕동작영역

(기동토크)

(최대토크)

(정격토크)

})(){(3

221

221

212

1 xxrrVrTT

SsS +++

=== w

③ 기동토크(starting torque)

④ 기동시 최대 토크가 발생되는 조건

s=sT↑

따라서 2차 저항을 다음으로 정하면 된다.

다음의 최대토크시 슬립= 1로 둔다

앞의 토크식에 s = 1 을 대입함

1)(

2

212

1

2 =++

=\xxr

rsT

221

21122

)( xxrrrs

S ++==\=

þýü

îíì +++

=2

2122

1

212

)()(

3

xxsrrs

VrTSw


7.2 3상 유도전동기의 해석 – 최대출력

이번에는 총 기계적 출력(2차 출력)이 최대가 되는 조건을 구해보자

⑤ 2차출력이 최대로 될 경우의 슬립

⑥ 최대 2차 출력

최대토크가 되는 슬립 : s = sT

221

2212

2

)()(

xxrrrrsP

++++±=\

})(){(

)1(32

2122

1

212

xxsrrs

V rsPd+++

-=

s=sP↓

s=sT

↑

221

21

2

)( xxr

rsT++

±=

0== Pss

d

dsdP

에서 구할 수 있음

})(){(2

32

212

12

21

21

xxrrr

VPPPssdS ++++==

=

⑦ 최대출력시 토크

)1( PSS

ssPS sPTT

P -==

= w


7.2 3상 유도전동기의 해석 – 출력 및 토크 곡선 비교

221

2212

2

)()( xxrrrrsP

++++=

})(){(

)1(32

2122

1

212

xxsrrs

V rsPd+++

-=

221

21

2

)( xxr

rsT++

=

s=sP

s=sT↑

PssdSPP

==

PssPSTT

==

PTTssP

PP=

=

↙

↗↘↓

þýü

îíì +++

=2

2122

1

212

)()(

3

xxsrrs

VrTSw

총 기계적 출력(2차 출력) 과 토크가 최대로 되는 슬립에서 토크 및 출력의 크기를모두 요약, 정리해 보자.

PT ss > ; 최대토크는 최대출력보다 낮은 속도(큰 값의 슬립)에서 발생된다.

↑


T

s

PT

ST

TS 1 20TS-1-

↖↖동기상태 정지상태

↙기동토크 ST

↙최대토크 PT

7.2 3상 유도전동기의 해석 – 토크 동작모드 1

21 r

ss-

21 rr +21 xx +

21 II =¢1I

2V1V

+

--

+OI

1E

↓

지금까지 설명한 토크특성을 다양한 슬립에 대해 조사해 보자

þýü

îíì +++

=2

2122

1

212

)()(

3

xxsrrs

VrTSw


7.2 3상 유도전동기의 해석 – 토크 동작모드 2

T

s

PT

ST

TS 1 20TS-1-


↙기동토크 ST

↙최대토크 PT

회전속도

슬립

앞의 토크특성곡선을 교재의 곡선과 대비해 보자

토크

토크


7.2 3상 유도전동기의 해석 – 토크 동작모드3

앞의 토크특성곡선에서 구간별 동작모드를 살펴보자T

s

PT

ST

TS 1 20TS-1-


↙기동토크 ST

↙최대토크 PT

Sw SwSw

mwmw mw

Sm ww > mS ww > 0


7.5 권선형 유도전동기의 비례추이 1

와 같이 2차 저항을 증가시키면 슬립도같은 비율로 커진다.

þýü

îíì +++

=2

2122

1

212

)()(

3

xxsrrs

VrTSw

T

1 0(slip)0 100%(speed)

0s =

wm=

1EXR2EXR3EXR4EXR5EXR >>>>

토크식에서22

1

2 221 1 2

3

( ) ( )S

r VsT

rr x xs

w=

ì ü+ + +í ýî þ

sr2 의 회전자 2차저항을 변화시켜 보자.

skrk

skrk

skrk

sr

n

n 2

2

22

1

212 =××××==

저항과 슬립을 같은 비율로 변화시키면

즉,

토크특성 곡선에서 최대토크는 고정되고최대 슬립점만이 이동함

à 비례추이(proportional shifting)

비례추이는 권선형 유도전동기에서만 가능함.



T

1 0(slip)0 100%(speed)

0s =wm=

1EXR2EXR3EXR4EXR5EXR >>>>

토크 이외에 비례추이의 특성을 갖는 변수가 어떤 것이 있는지 살펴보자

þýü

îíì +++

=2

2122

1

21

2

)()(

3

xxsrr

Vsr

TSw

skrk

skrk

skrk

sr

n

n 2

2

22

1

212 =××××==

221

22

1

12

)( xxsrr

VI

++÷øö

çèæ +

=- 2차 전류

srIP 2222 3=- 회전자 입력(2차 입력)

이상의 값들은 다음의 조건을 만족하므로

비례추이 특성을 갖는다.

이외에도 1차전류, 역률, 고정자입력 등도비례추이특성을 가짐.



01234 RRRRR >>>>

권선형 유도전동기에서

- 외부저항의 크기가 커질수록 낮은 속도에서 최대토크점이 존재함

- 농형 유도전동기에서는 불가능함

- 저항의 크기를 조절하여 전동기의 기동토크를 변화시키는 기중기에 쓰임

저항증대

속도저하



권선형 유도전동기에서 외부의 저항 을 계산해 보자.

2rEXTR

EXTR

지금, 2차저항이 이며,2r

Ts

2 EXTr R+2r

' 1Ts =0EXTR = 0EXTR >

22 2

1 1 2

( )

Trs

r x x=

+ +' 2

2 21 1 2

1( )

EXTT

r Rsr x x

+= =

+ +

2

1EXT TT

R sr s

-=

연결후 2차 총저항이 임2 EXTr R+


요약 - 유도전동기의 해석

1. 유도기와 변압기의 연관성

- 등가회로를 기준으로 회로해석- 유도전동기의 변압기 등가회로

2. 유도전동기의 출력특성 해석

- 1차 및 2차 전류, 입력 및 출력, 역률, 효율 등- 토크 해석 ; 기동토크, 최대 토크- 비례추이 특성

< 본 자료는 수업자료로써 책 Electric Machinery Fundamentals (4th – Stephen J. Chapman)의 그림이 이용되었음 >

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