編輯室墨記

「數學知識是被發現還是被發明或者被創造的或者兩者皆有」是一道有趣的哲學問題

同樣的「數學遊戲是被發現還是被發明或者被創造的或者兩者皆有」也是各說各話的問題

但即使這些問題存在不需解答也不影響代數大師尤拉分解白努力所舉

「不可能分解成兩個實係數多項式乘積的四次多項式 4 3 2( ) 4 2 4 4f x x x x x 」

的例子尤拉更是第一位將 1 的平方根 1 定義為 i的數學家而究竟在那個時代人們如何

理解 i這個「數」呢誠如尤拉所言「所有可能的數不是大於 0 就是小於 0 或等於 0所以負

數的平方根就不能是個數既然是不可能的數hellip我們只能稱之為虛數因為只有在虛幻中

才會有這樣的數」

高中數學課程近幾年加入統計課程目的是想要讓學生感覺數學貼近生活內容包含迴歸

直線抽樣統計信賴區間hellip等而信賴區間這個單元即建立在「中央極限定理」的理論上

但多數人未能了解其意義在廖世經老師的文章中帶領大家以高中生的觀點來欣賞中央極

限定理

數學不僅僅是數字上的計算邏輯的概念更是占有重要的一席之地來看看江慶昱老師分

享數學中兩個重要的數學邏輯概念李維昌老師在求解四元一次聯立方程式時進而與四次多

項方程式連結在一起了讓我們進入這一趟驚奇的解題之旅吧第 21 期中陳敏晧老師利用「數

學『撕』想」與大家分享專題研究後續的部分於本期中陸續完整的呈現給大家

竭誠邀稿

歡迎將您的教學生活趣聞甘苦談教案分享教材探討以1000~2000字的內容註明主

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發 行 人李枝昌

編輯顧問許志農

總 編 輯陳韻嵐

執行編輯莊莉錚

美術編輯林佳瑩

發 行 所龍騰文化事業股份有限公司

地 址248新北市五股區五權七路1號

電 話(02)2299-9063

傳 真(02)2298-9755

創 刊 日20061130

出 刊 日20131115

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龍騰數亦優 201311 目次 龍騰業務跑天下 數學質好畫亦優

許志農 臺灣師大數學系

》》戲說數學《象棋棋盤上的數學遊戲hellip老馬識途》

《圍貓遊戲hellip心理學家的遊戲》

廖世經 臺中市立東山高中

》》中央極限定理

江慶昱 衛道中學退休教師

》》數學課程中的兩個邏輯概念

李維昌 國立宜蘭高中

》》四元一次聯立方程式與四次多項方程式的巧遇

許志農 臺灣師大數學系

》》國立臺灣師範大學數學系 102 學年度甄試試題

陳敏晧 國立蘭陽女中

》》高中數學專題研究教案(PartII)

許志農 臺灣師大數學系

》》動手玩數學專欄

》》動手玩數學《第 21 期》破解秘笈

3

14

18

21

25

32

38

數亦優 3

半張棋盤上的 45 顆棋子騰空躍起一匹馬以敏捷的馬步迅

速地將它們串連成了一條直線避免所有棋子散落一地

在 1783 年晚餐後尤拉一邊喝著茶一邊和小孫女玩耍突然之間煙斗從他手中掉了

下來他說了一聲「我的煙斗」並彎腰去撿結果再也沒有站起來他抱著頭說了一句「我

死了」尤拉停止了生命和計算尤拉是數學史上 多產的數學家現在常用的數學符號很多

都是尤拉所發明的例如函數符號 ( )f x 圓周率 自然對數的底 e log xsin xcos x

以及虛數單位 i等

尤拉恆等式

1 0ie

曾經被兩本數學雜誌評選為史上 漂亮數學公式的第一名尤拉本人也非常喜歡這恆等式

原因是式子中的 0 與 1 分別是加法與乘法的單位元素式子中還有加法乘法與次方三種運

算並且涵蓋虛數 i及圓周率 兩個重要的數學符號下圖則是尤拉注視著現代蘋果電腦公司

在 i-phone 手機背殼上所刻的尤拉恆等式

larr 尤拉

提到尤拉就讓人聯想到他在哥尼斯堡七橋問題上的畫龍點睛之作每座城市被濃縮成為

一個點而橋樑被幻想成為連接兩點間的線段這出神入化的轉換讓網絡圖解決了七橋問

題在當時也只有鬼魅數學家尤拉才想得出來哥尼斯堡七橋問題是基於一個現實生活中

的事例當時東普魯士哥尼斯堡（今日俄羅斯加里寧格勒）市區跨普列戈利亞河兩岸河中

心有兩個小島小島與河的兩岸有七座橋連接哥尼斯堡市長要求尤拉找出一條散步路線

讓人能走經哥尼斯堡的七座橋而且每座橋只能經過一次

許志農臺灣師大數學系

4 數亦優

哥尼斯堡七橋問題是現代圖論中的有名問題這個問題在所有橋都只能走一遍的前提下如

何才能把這個地方所有的橋都走遍於 1736 年尤拉在聖彼得堡科學院發表了圖論史上第一

篇重要文獻圓滿地解決了七橋問題並證明市長要求的散步路線並不存在也順帶解決了

所謂的「一筆畫問題」

尤拉把實際的問題簡化為平面上點與線的網絡圖每一座橋視為一條線橋所連接的地

區視為點這樣若從某點出發後 後再回到這點則這一點所連出去的線數必須是偶數條

為了方便解釋把連出去的線數為奇數的點稱為奇點而連出去的線數為偶數的點叫偶點

而所謂的網絡圖能一筆畫就是可以從某起點出發在每條線剛好畫過一次的條件下 後畫

到另一個終點要注意的是起點是可以等於終點

更詳細的討論是如果一個網絡圖能一筆畫完成那麼一定有一個起點開始畫也有一

個終點有一條邊進這點那麼就要有一條邊出去有進無出的點肯定是終點而有出無進

的點就是起點因此在「過路點」進出的邊總數應該是偶數即「過路點」是偶點綜合起

來能一筆畫完成的網絡圖必須具備以下兩個條件中的一個

1 如果起點和終點是不一樣那麼起點與終點必須是奇點

2 如果起點和終點是同一點那麼它也是屬於「有進有出」的類型因此必須是偶點這個

網絡圖上的每個點都必須是偶點

尤拉把哥尼斯堡附近的地圖轉化成可以用一筆畫思考的網絡圖其中 ABCD四點代表四塊區

域濃縮所產生的點而點與點的連線就是橫跨區域之間的橋樑

因為四個點都是奇點所以無法將這網絡圖一筆畫把這線條圖上的推論還原回實際的問題

就是告訴我們遊覽哥尼斯堡的七座橋而且每座橋只能經過一次的散步路線是不存在的

哥尼斯堡七橋問題是一道「無解」的問題而這個無解並不是幾何學裡的邊長與角度兩

個量度上的無解而是將城市縮成一個點橋樑當成連接點與點之間的線段透過有出就有

進的一筆畫原理說明「哥尼斯堡市長所要求的散步路線是不存在的」尤拉的一筆畫作法使幾

何學擺脫了測量距離與角度的負擔而開啟了現代拓樸學的一扇窗有了七橋問題的經驗之

後碰到幾何問題不一定要從長度與角度的幾何量著手也可以考量其他的方法

底下就是一道典型的幾何謎題切下棋盤斜對角線上的兩個邊角如下左圖所示然後

你是否可以用 31 張長方形骨牌去完全覆蓋這個棋盤每一張骨牌的大小必須剛好覆蓋棋盤上

相鄰的兩個正方格

數亦優 5

這道謎題對經驗不足的初學者來說簡直是一道難題但對看過解答的老鳥來說卻又是送

分題我們只需將棋盤塗成黑白相間的西洋棋盤樣式如上右圖所示接著發現每塊骨牌

無論橫著擺或者縱著放都剛好占據一格黑色與一格白色的正方格而這棋盤一共有 62 格正

方格需要 31 塊骨牌才能蓋滿但這 31 塊骨牌應該蓋住「31 格黑色正方格與 31 格白色正方

格」這剛好與棋盤上的「32 格黑色正方格與 30 格白色正方格」相抵觸也就是說這也是

一道無解的問題

「數學知識是被發現還是被發明或者被創造的或者兩者皆有」是一道有趣的哲學問題

同樣的「數學遊戲是被發現還是被發明或者被創造的或者兩者皆有」也是各說各話的問題

像網絡圖的一筆畫原理是因七橋問題而誕生還是七橋問題只是一個動機讓早就存在的數

學知識「一筆畫原理」被數學家發現呢接下來是遊戲時間讓我們介紹一道象棋的啟蒙遊

戲hellip老馬識途

中國象棋盤由九道直線和十道橫線交叉組成棋盤上共有 90 個交叉點象棋子就擺放和

活動在這些交叉點上棋盤分成兩個半張每半張都是由九道直線和五道橫線交叉組成共

有 45 個交叉點

一隻馬能否跳遍半張空象棋棋盤上的每一個交叉點答案是肯定的稍具象棋知識的人都

能準確回答這個問題但是若進一步要求是否能找到一條路徑讓馬跳遍半張空棋盤上所

有交叉點的過程中任意一個交叉點只允許被馬踩過一次後面這個問題恐怕要難倒許多

人了這個古老難題在西方稱之為「騎士旅遊」早在十六世紀時瑞士數學家貝爾特蘭德

即提出這個問題著名的大數學家尤拉在 1759 年開始研究它並獲得了一般解法

6 數亦優

讓我們將思緒跳回到半張象棋棋盤上如下圖將 45 個交叉點塗上黑白的顏色計算

一下有 23 個交叉點被塗上黑色其餘的 22 個交叉點被塗上白色（包括馬所在的位置也是

白色）

馬從白色交叉點出發是否可以找到一條路徑讓每一個交叉點剛好被馬踩過一次用馬走

的日步模擬一下不難發現前後兩步分別會落在不同顏色的交叉點上既然馬從白色交叉

點出發這代表馬的奇數步落在白色交叉點而偶數步停在黑色交叉點上又半張棋盤一共

有 45 個交叉點若馬找到每一個交叉點剛好被踩過一次的旅行方式則奇數步有 23 步偶

數步有 22 步也就是說馬會踏過 23 個白色交叉點及 22 個黑色交叉點這顯然與半張棋盤

上的交叉點顏色分布不合那就是說馬從白色交叉點出發是沒辦法完成旅行的

後來一道象棋專家的餘興節目我們把馬起始位置改變一下讓馬從黑色交叉點開始

跳躍結果又如何呢各位可以從下圖中動手嘗試看看能否讓馬剛好踩過每個交叉點一次

的前提下讓馬以日步完成半張象棋棋盤的旅行

這是一道帶有東方色彩的餘興節目「馬走日步」更是道地的中國口味在中國馬是一種獨

特的動物牠可文可武可以是人文藝術與棋藝的主題也可以是主導整齣戰爭歷史的利

器可以是貴族用來標示身分地位的象徵也可以是攸關庶民生活的重要寄託我們很難找

到一種功能如此多元指向如此豐富可平實又可高貴與人長期相伴的動物

在餘興節目中稱這遊戲為老馬識途是有數學典故的而這典故跟唐朝及中國數學家

陳省身有關聯唐太宗昭陵上有六匹駿馬的浮雕石刻聞名於世俗稱昭陵六駿（白蹄烏

青騅颯露紫拳毛騧特勤驃什伐赤）這六匹戰馬是李世民在唐開國戰爭中南征北討的

坐騎並命唐初大畫家閻本立繪草圖監石雕而成因而有

「秦王鐵騎取天下六駿功高畫亦優」

這樣的詩句流傳於世這六匹馬中的颯露紫與拳毛騧於 1914 年被盜運往美國現藏於美國

費城賓夕法尼亞大學博物館它們的複製品與其餘四匹駿馬的真品陳列於西安碑林博物館

數學家陳省身有感於古物流落他鄉的遺憾特在偉大數論學家韋依所著的《數論》這本書的

扉頁上用毛筆書寫著「老馬識途」四個中文字並附上拳毛騧的圖片渴望它們早日回歸

故里

數亦優 7

唐太宗懷念的這六駿有的在箭雨中穿行帶傷而馳有的跨河飛奔越野而去有的

緩步慢行若有所思閻本立所草繪的六匹駿馬中三匹作騰蹄飛奔之狀三匹為站立徐行

的姿勢有些馬則身中數箭甚至有一幅是描述邱行恭武將替太宗的一匹愛馬拔箭的情景

後讓我們回到尤拉如開頭所言虛數單位 i是尤拉發明的想必尤拉在方程式上也有

很大的貢獻這裡提出一則尤拉在解方程式上的天才之旅在「代數基本定理」尚未被證明

正確之前萊布尼茲就質疑過「每個實係數多項式都可以分解成一次或者兩次實係數多項式

的乘積」的正確性數學家白努力更舉一個精確的例子說「四次多項式 4 3 2( ) 4 2 4 4f x x x x x

就不可能分解成兩個實係數多項式的乘積」

然而代數大師尤拉在 1742 年時將白努力所舉的四次多項式 ( )f x 分解為二次多項式

2 2 4 2 7 1 4 2 7 7x x

與另一個二次多項式

2 2 4 2 7 1 4 2 7 7x x

的乘積如果再套一下一元二次方程式根的公式解那麼尤拉就把這個四次多項式方程式的

四個根都精確的表達出來了真不知道這神奇的因式分解是如何想出來的

像這種類似的例子還有許多例如將乘式

2 210 2 5 10 2 5 10 2 5 10 2 55 5

2 2x x x x

乘開也是一個以整數為係數的四次多項式

尤拉是第一位將 1 的平方根 1 定義為 i的數學家究竟在那個時代人們如何理解 i這

個「數」呢我們以尤拉的一段話來作結束「所有可能的數不是大於 0 就是小於 0 或等於 0

所以負數的平方根就不能是個數既然是不可能的數hellip我們只能稱之為虛數因為只有

在虛幻中才會有這樣的數」

尤拉尤拉20131018 取自 httpaprendiendomatematicascombachilleratolos-puentes-de-konigsberg

8 數亦優

運籌於帷幄之中以空間換取時間決勝於千里之外

玩電腦上的遊戲到底利多還是弊多我教過一位女大學生高中時因愛玩電玩遊戲「楓

之谷」高一高二多是資優班倒數高三才發憤圖強順利考上公費生讀博士班時我的

室友每天都玩電腦上的遊戲沉溺到連指導教授都經常來關切最近樓下的鄰居說「他兒

子最近被電玩遊戲迷住了連補習都不想去上」諸如此類的情形在中學或大學應該是很

普遍的現象我孩子就讀的小學有一間超過百坪大的教室裡面擺滿兩三百種益智小遊戲

坊間看得到的都在裡面而且每位小朋友每學期都要上六次「數學探索」的課程其實就是

在探索那些益智遊戲我當了一學年的數探志工覺得這課程還不錯究竟沉溺於電玩遊戲

跟玩益智小遊戲要如何區別呢我們可以慎選出具有啟發或啟蒙意義又不會讓小孩沉溺於

其中的遊戲嗎

最近心理學家發現休閒放鬆類的簡單小遊戲才能提高快樂感達到減壓效果據美

國媒體報導美國俄亥俄州立大學傳播和心理學教授布拉德布希曼等人招募了一些志願者

玩不同種類的遊戲研究人員清楚地發現那些玩休閒小遊戲的人自我感覺更舒服更快樂

能體驗到較多的正面情緒而玩暴力遊戲的人則攻擊性和侵略性增強此外玩了一會兒休

閒小遊戲比如和小動物互動之後人們會變得更親切更願意主動幫助他人希望本章所

要介紹的遊戲也是心理學家們發明的「圍貓遊戲」可以達到這個效果甚至超過這個功能

達到啟蒙的意義

圍貓遊戲是心理學家所設計出來的一道數學遊戲遊戲背景是平面上放置許多排列整齊

的圓圈一隻貓位於正中央的圓圈上而有少許的圓圈是黑色這是一場圍貓者與貓的鬥智

遊戲圍貓者每次可以點選一個圓圈讓它變成黑色而貓每次必須移動到鄰近還尚未變成黑

色的圓圈上當貓被黑色圓圈圍住時貓就被捉擒了但若貓跑出所有的圓圈外則圍貓失

敗

這遊戲是心理學家發明的心理學家把貓視為需要接受輔導的對象（如叛逆的學生）而

圍貓的人是輔導人員（如學校的導師）而黑色圓圈是貓的朋友輔導人員或學校導師必須透

過這些朋友的幫忙將貓咪圍起來才算輔導成功

許志農臺灣師大數學系

數亦優 9

日本 Game Design 團體將圍貓遊戲數位化寫成 Flash 的版本讓圍貓遊戲成為線上遊戲

的一種各位可以在網路上用「圍貓遊戲」四個字搜尋就能在線上玩圍貓遊戲了這遊戲

除了好玩之外還可以測試玩者的決策能力在布滿圓形的長方形棋盤上每個圓形都與六

個圓形相連一隻貓立於棋盤中央的圓形內玩者每次點選一個圓形塗黑來圍堵貓但貓可

以往尚未被塗色的隔壁圓形移動究竟鹿死誰手就要看 Game Design 的設計功力與圍貓者

的技巧誰強了下圖是貓被圍住的一種情形

用堵貓的方法進行圍貓遊戲經常沒辦法成功主要是因為貓有六個方向可以逃竄圍

堵方法很難奏效那麼圍貓遊戲是一種純靠運氣的遊戲嗎應該也不是我們可以往數學層

面來思考在進入更深入的討論之前回想一下國中時「任一三角形 ABC的內角和剛好等於

180」是如何證明的讓小朋友站在 A點朝向 B點往 B點走去當走到 B點時原地旋

轉轉到臉朝 C點的方向接著往 C點走去又當走到 A點時並原地旋轉轉到臉朝 B點

的方向停了下來此時小朋友回到出發前的 A點且臉部朝向的方向相同（都朝向 B點）

這告訴我們「小朋友一共轉了完整的一圈即 360的意思」另外我們在三角形 AB及 C三

個頂點上分別畫出旋轉的角度會發現他們都是外角

因為 AB及 C每點都是由一對內角及一對外角構成所以三角形的內角和就是

3 360 2 360180

2

證明三角形內角和等於180的概念真的對圍貓遊戲有所幫忙或者啟發嗎且讓我們深入

一點來探討圍貓遊戲吧圍貓棋盤上貓有六個方向可以逃竄用堵貓的方式圍貓肯定很難

奏效貓移動速度過快無法圍住所以利用空間爭取時間是個不錯的圍法但究竟要離貓

多遠的地方開始圍起呢這可能要根據貓有多少朋友這些黑色圓圈如何分布來決定了又

以何種形狀來圍住貓呢是圓形三角形長方形或者還有其他各種不同的形狀呢因為貓

10 數亦優

有六個方位可以逃所以用六邊形來圍貓是個不錯的想法舉例來說在下圖中貓僅有三

位朋友照理說圍住貓很難但是可以先想辦法幫貓製造比較多的朋友

在下圖中幫貓找到了三位朋友讓六位朋友位於凸六邊形的六個頂點上但我們也要付出

讓貓移動三步的代價還好此時貓還沒跑出六邊形外代表還有機會圍貓成功

從上圖可以洞悉貓想要往北邊逃竄當務之急當然是把北邊守住然後牽引貓順著六邊形

的邊移動在碰到頂點時帶著貓轉彎如下圖所示

繼續牽引貓順著六邊形的邊移動在碰到頂點時帶著貓轉彎在經歷六個轉彎之後貓就

會發現「牠已被困在六邊形內了」

數亦優 11

總結我們的作法是「利用空間換取時間先選妥適當大小的凸六邊形最好這凸六邊形的六

個頂點中有愈多是黑色圓圈愈好（代表儘量用貓的朋友當頂點）然後點選剩下的非黑色圓

圈構築完成圍貓的六邊形當貓衝撞這六邊形的一邊時牽引貓順著邊移動遇到頂點時

帶著貓轉彎在經歷六個轉彎之後貓就被困在凸六邊形內大功告成」手癢的讀者可以

在線上試玩看看圍貓遊戲是一道老少咸宜不分男女都很喜歡玩的遊戲也是心理學家

闡述「何謂輔導」的遊戲

把圍貓遊戲視為一道數學問題我們從混沌的實際操作過程裡得到圍貓的精髓這整個

過程就是數學孕育與思考的過程數學家亨利龐加萊在《數學的創造》中將自己對數學

的思考分為三個階段準備孕育與驗證首先所謂的準備階段就是對問題下很大功夫

又深陷混亂的階段在這個階段人們都會採取觀察實作分析學習與內化等有意識的

策略其次孕育階段就是停止有意識的思考讓潛意識發酵當腦袋裡的小燈泡忽然被點

亮那個「恍然大悟」的時刻就會到來最後驗證階段也是收割階段這一階段只是寫下

所有的事情檢查細節進行組織並發表龐加萊特別強調孕育階段的潛意識角色這是最

難懂也是至為關鍵的階段

談到潛意識就讓我們聯想到作夢而談到作夢又讓我們想到佛洛伊德在 1900 年出版的《夢

的解析》這本書在佛洛伊德出版《夢的解析》之前人類常把所作的夢當成神諭或預告未

來即將發生的事件看待上個世紀初期當印度數學家拉馬奴姜在英國留學時他的老師哈

代就常常好奇的問說「你每天早上一起床就寫下這麼多的恆等式到底是如何發生的」

拉馬奴姜總是說「那些是昨晚神明託夢給我的」例如

3 5 5 5 5 532 27 1 3 9

5 5 25 25 25

3

33 3 33 9 2

cos40 cos80 cos202

3 3 3 33sec40 sec80 sec20 6 9 1

拉馬奴姜顯然是個等式達人也是將龐加萊孕育階段中的潛意識發揮到淋漓盡致的人

12 數亦優

最後把圍貓遊戲當成小孩子數學思考的學習單觀察不同孩子經歷準備孕育與驗證

階段的發展過程是個不錯的主題當然小孩迷失方向時老師應該適時介入給予該有的幫

忙但切忌將答案傳遞給他

附錄

101 學年度全國高中數學科能力競賽決賽在彰師大數學系舉行其中的筆試試題(一)第二題就

是證明拉馬奴姜的恆等式

3

33 3 33 9 2

cos40 cos80 cos202

在五十位考生中只有一位作對而且是位高二的女生以下是羅啟心這位女學生的作法

設

3 3 3 3 3 3cos40 cos80 cos20 cos40 cos80 cos160S

則

3

3 3 3 3 3 3

3 3 3

cos40 cos80 cos160

3 cos40 cos80 cos80 cos160 cos40 cos160

3 cos40 cos80 cos160

S

S

利用三倍角公式可知 cos40 cos80 cos160 為

3 14 3

2x x

的三個根再由根與係數的關係知道

cos 40 cos80 cos160 0

3cos40 cos80 cos80 cos160 cos40 cos160

4

1

cos40 cos80 cos1608

由第一及第二式知

3 3 3 3 3 3 3 33 cos40 cos80 cos80 cos160 cos40 cos160

2S S

現在令

3 3 3 3 3 3cos40 cos80 cos80 cos160 cos40 cos160T

則

3 33

2S TS

又

數亦優 13

3

3 3 32 2 23 3 3 3 3 3

3 3 32 2 2

2

cos40 cos80 cos80 cos160 cos40 cos160

3 cos 40 cos80 cos160 cos40 cos 80 cos160 cos40 cos80 cos 160

3 cos 40 cos 80 cos 160

3 1 13 3

4 2 2

3 3

2 2

T

T

T S

TS

綜合兩式得

3 31 3

2 4T S

將此式代入 3 33

2S TS 得

3

33 3 33 3 13 27

2 4 2S ST S S

展開整理得

9 6 3 279 27 0

8S S S

再配方得

33 27 93 27 27

8 8S

解得

33 3 9

32

S 33 9

2 或

323 9

2

即

33 3 9

32

S 33 9

32

或3

23 93

2

因為 S為實數所以 3S 也是實數因此

33 3 9

32

S

解得

33

3 93

2S

即

3 3 3 333

cos 40 cos80 cos 20 9 22

得證

14 數亦優

一前言 》

高中數學課程近幾年不斷的加入統計的課程目的是想要讓學生感覺數學更貼近我們的生

活內容包含迴歸直線抽樣統計信賴區間hellip等而信賴區間這個單元建立在一個重要的

理論之上即為中央極限定理查閱大學教材內容大多在做定理及輔助定理的推導大多數人

未能完全了解其意義在這篇文章中我們將以高中生的觀點來欣賞中央極限定理

二中央極限定理（Central Limit Theorem簡寫 CLT）是什麼 》

每四年一次的總統大選選前新聞社都會透過電話隨機抽樣的方式來估計各組候選人的

支持度若每次電話抽樣訪問新聞社都隨機挑選 100 人這樣他們便可以獲得一組平均數標

準差這樣的行為重複多次則可以得到多組抽樣並討論其平均數標準差如果多組的平

均數用柱狀圖來呈現我們可以發現圖形隨著抽樣的次數增加會接近常態分配並且當選舉

後會發現真實的支持率與所有研究者當初所做的結果平均數相同且其標準差接近原來的

1

n倍即我們討論對象已由原來調查樣本變為這些研究者為我們討論對象這便是中央極

限定理討論的內容

現在讓我們重新敘述中央極限定理（有限母體）的內容

中央極限定理（Central Limit Theorem簡寫 C L T） 設研究目標為變量 T 1 2 Nt t t 平均數 標準差 則

2

2 21 1

1

1

N N

i i Ni i

ii

t tt

N N N

每次抽樣皆取 n個並取後放回其共有 NnC m 種抽樣方法數若每次抽樣平均分別為

1 2 mx x x 其結果會成常態分配則

1 1 2 mx x x 平均數為 1 2 Nt t t

N

2 1 2 mx x x 標準差為1

1

N n

n N

另外當 N n 時標準差近似於n

接下來我們可以進一步以高中的觀點探討為何抽樣平均的平均數會與當初未知的平均數相

同抽樣平均的標準差為何是1

1

N n

n N

廖世經臺中市立東山高中

數亦優 15

三抽樣平均的平均數及標準差 》

沿用上述的定理符號可以得到

1 2 mx x x

meanm

1 2 1 3 1 1 2n n N n N n Nt t t t t t t t t

n n n

m

1

1 1 2Nn NC t t t

nm

（

1

1

1

1 N Nn n

N n N nC C

n N n N n N n N

同理

22

1

1N Nn n

n nC C

N N

）

1 2

Nn N

nC t t t

Nnm

（∵ N

nC m ）

1 2 Nt t t

N

從上式證明結果我們可以發現學者抽樣平均所做的平均數與當初我們想要研究的目標

平均數是相同的這個觀念有助於我們將來思考信賴區間的概念

抽樣平均的變異數1

1

N n

n N

推導則為

2 2 2

1 1 1 1

2m m m m

i i i

i i i i

x x xvariance

m m

(A)

首先我們先考慮(A)中的1

m

i

i

x

從平均數的推導我們得到

1

m

i

i

x

m

則

1

m

i

i

x m

(B)

再考慮(A)中的2

1

m

i

i

x

2 2 22 1 2 1 3 1 1 2

1

mn n N n N n N

i

i

t t t t t t t t tx

n n n

2 2 21 2

1 1 2 2 1 2 1 3 1

2

2N Nn N n N NC t t t C t t t t t t

n

2 2 21 2 1 2 1 3 1

2

12

1N Nn N n N N

n nnC t t t C t t t t t t

N N N

n

2 2 21 2 1 2 1 3 1

112

1N N N

nm t t t m t t t t t t

N N N

n

(C)

16 數亦優

接著先計算(C)中的 1 2 1 3 12 N Nt t t t t t

2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 3 12N N N Nt t t t t t t t t t t t

2 2 2 21 2 1 2 1 3 12N N NN t t t t t t t t t

2 2 22 21 2 1 3 1 1 22 N N Nt t t t t t N t t t

將得到的式子代回(C)得到

2 2 2 2 2 22 2

1 2 1 22

1

111N Nm

i

i

nm t t t m N t t t

N N Nx

n

2

2 2 21 2

1

1 1N

m N n m n Nt t t

N N N

n

(D)

將(B)以及(D)的結果代回(A)得到

2 2

1 1 1

2m m m

i i

i i i

x xvariance

m

22 2 2

1 22

1

1 12

N

m N n m n Nt t t

N N Nm m

nm

2

2 2 21 2

2 2

1

1 12

N

N n n Nt t t

N N N

n

22 2 2 2

1 2

11

1 1N

N n n Nt t t

n N N n N

2

2 2 21 2

1

1 1N

N n N nt t t

n N N n N

2 2 221 21

1N

N n t t t

n N N

21

1

N n

n N

數亦優 17

在大學書中中央極限定理的敘述大多直接使用標準差n

是因為當 N n 時則

11

1 1

N n n

N N

rarr1故標準差會近似於

n

四結論 》

中央極限定理的存在幫助了我們做抽樣討論時從原本我們想要研究的目標轉換到探

討研究人員所做的數據上上面所討論的方式只透過平均數變異數的定義加上組合的想

法可以讓高中生更加了解中央極限定理藉此了解數學的真善美這是研究會時分享給其他

老師的內容謝謝我的實習老師黃怡慈老師的幫忙整理

18 數亦優

一楔子 》

古希臘人尤勒士（Euathlus）向普羅塔哥拉斯（Protagoras）學習辯論術先付一半學費

另一半學費訂定契約言明等學成後在第一場辯護勝訴時再付如果敗訴則學費不必再交

但尤勒士畢業後根本不擔任辯護的工作自然也不交另一半的學費因此普羅塔哥拉斯便告

他普羅塔哥拉斯說「如果我勝訴法官當然要判他還我學費如果我敗訴那就是尤勒士勝

訴依契約他還是要還我學費」尤勒士說「如果我勝訴當然是要求法官判我不必還學費

如果我敗訴依契約我也不必還學費」請問法官該怎麼判

二歸謬證法 》

亞里斯多德認為愈重的物體落下得愈快1589 年伽利略如此舉反證把兩物 AB

綁在一起成為 A B 假設 A比 B重則由高處落下時因為 B落下的速度比 A慢把 A拖

住所以 A B 落下的速度比 A 慢又 A B 比 A 重所以 A B 落下的速度又比 A 快矛盾

所以「任何物體同時從相同的高處落下皆同時著地」伽利略如是說

99 課程綱要把歸謬證法拿掉了我猜想最少有兩位先生會很鬱卒一位是歐幾里得先生

他在《幾何原本》中用歸謬證法證明了「質數有無窮多個」另一位是蔡聰明先生他用了 28

種方法證明 2 是無理數

三直觀與證明 》

最近看到一篇文章關於 2 是無理數的證明

假設 2p

q 是有理數其中 p q是正整數且 1p q 則

2

22

p

q

直觀上「如果p

q不是整數則

2

2

p

q更不可能是整數」矛盾

所以假設錯誤即 2 是無理數得證

（這是因為如果 p q沒有相同的成分 2p 和 2q 自然也不會有相同的成分如果p

q都無法化簡

成整數2

2

p

q更沒有機會了因此這個式子是個明顯可笑的矛盾等號左邊是整數右邊不是

整數兩者怎麼可能相等）

我想提一段陳年往事多年前一次國中數學週考中某老師出了一道題目證明三角形

兩邊和大於第三邊直觀上這何需證明因為兩點之間直線最短嘛於是我買了歐幾里得

的《幾何原本》根據歐幾里得的體系證明「三角形兩邊和大於第三邊」確實需要很長的篇幅

我相信這不會是出題老師的本意我的判斷是出題老師只想要學生說明「兩點之間直線最短」

江慶昱衛道中學退休教師

數亦優 19

那麼考題應該改成請說明「三角形兩邊和大於第三邊」中學階段不必強調數學的嚴密性

這是共識（60 年代的新數學過度強調嚴密性是失敗的原因之一）但是直觀的說明與嚴格的證

明應該予以區隔這純屬我個人的看法所以我以為上述關於 2 的證明實偏向於說明（註

最早項武義先生認為他解決了克卜勒的裝填問題陳省身先生也為之背書但還是不被接受

目前公認是 Thomas Hales 解決了httpenwikipediaorgwikiKepler_conjecture數學界的所謂

「證明」自有其行規）

如何在高中引入簡易邏輯是一件困難但是值得深思的事

四等價 》

高中課程中另一個重要的邏輯概念是「等價」有一年大學聯考考這麼一題證明「海龍

公式邊長 a b c的三角形面積 ( )( )( )s s a s b s c 」那時候大學錄取率大約 30不到

補習班之間競爭非常激烈大家趕著把解答登報有一間補習班第一天是這樣證明的

因為( ) ( )( )

sin cos2 2

A s s a A s b s c

bc bc

所以1 1

sin 2sin cos ( )( )( )2 2 2 2

A Abc A bc s s a s b s c

第二天趕快發報更正因為在邏輯上第一天拿一個等價的命題當作證明等於沒有證明

換句話說患了邏輯上的錯誤了

五等價的一些例子 》

我們在國中時有這樣的性質 p三角形任兩邊和大於第三邊又在書中的同一個角落看到

q三角形任兩邊差小於第三邊很容易證明「 p q 」這種情形我們叫 p與 q等價意思是 p

與 q是同一回事以下舉一些等價的例子

1 p平行公設過直線外一點恰有一直線與之平行q三角形內角和為180

2 G是ABC的重心則 p q r三個向量式等價

1 1

3 3

p AG AB AC

1 1 1

3 3 3

q OG OA OB OC

0r AG BG CG

3 2 2 2

p u v u v

（柯西不等式） q u v u v

（三角不等式）

4 p周長固定的平面圖形中以圓形面積最大q面積固定的平面圖形中以圓形周長最小

5 (1)正弦定理(2)餘弦定理(3)投影定理 等價

6 實數的完備性有多種等價的敘述（我有一位同事到師大數學系修碩士班學分就是上了一本

這樣的書）

7 p算幾不等式q柯西不等式

20 數亦優

六算幾不等式與柯西不等式的等價 》

算幾不等式與柯西不等式在形式上相差很多兩者會等價甚感意外我第一次是在臺中一

中的網頁內看到證明過程當時沒有仔細研究後來回去找就找不到那份資料了最近上網搜

尋找到建中徐健策老師的一篇專題算是一償宿願這是我寫這篇文章的另一個因緣

七後記 》

1900 年量子力學開始萌芽到 1965 年朝永振一郎（S Tomonaga）薛文格（Julian Schwinger）

與費因曼得到諾貝爾物理獎是一段精采的故事重點是薛文格與費因曼對量子電動力學的看法

與算法南轅北轍薛文格用的是歐洲優雅的數學費因曼的路徑積分用的是圖像式的數學把

兩者結合為一或者說看出兩者的「等價性」的是戴森（Freeman J Dyson）我覺得這比證

明兩命題的等價有更深刻的意義

非歐幾何的發展也有類似的地方義大利幾何學家 Eugenio Beltrami（1835~1899）證明了

Lobachevsky（1793~1856）與 Ferdinand Minding（1806~1885）的非歐幾何模型是「等價」的

（註代數中複數平面與平面向量同構以上兩種情況說同構或等價哪一個說法比較恰當

當就教於各位）

99 課程綱要把歸謬證法放在附錄我觀察最近兩年的各校段考試題大約只有三四個學

校段考中有考歸謬證法早年國中考高中每年要考一題證明題一題尺規作圖當時我們會

努力教證明題當然包括用「窮舉法」證明「圓內接四邊形的充要條件為對角互補」基測不

考證明題後絕大部分的老師不會花時間去證明這個定理向來就是「考試引導教學」自古皆

然隋唐時期科舉要考《算經》所以宋朝有四位偉大的數學家秦九韶李治楊輝朱世傑

到明清科舉只考八股文可以印證中國數學沒落的一段史實證明與數學的關係就如同實驗與

物理的關係基測與學測不考證明題相信有不少人憂心忡忡如今又把歸謬證法拿掉（放在

附錄與拿掉等價）應該有人輾轉難眠吧

早上（2012829）看到新聞十二年國教將於後年上路臺大名譽教授劉廣定批評103

年到 107 年的高中學生要繼續接受舊課綱的教育他堅決反對沒有新課綱的十二年國教後

年就要推十二年國教課綱最快 106 年才能完成到 108 年才有新課綱教科書可用意味之前

的高中生都要繼續接受舊課綱教育芬蘭從 1980 年代開始教改先找學校試辦2000 年才全

面實施然而臺灣十二年國教從宣布到實施只有三年準備期讓人憂心

參考資料

1 蔡聰明 2 是無理數的 28 種證明數學傳播季刊第 23 卷（第 1 期）

2 王九逵邏輯與數學思維

3 南山柯西不等式與排序不等式上海教育出版社P230

4 William Dunham（1995）天才之旅牛頓出版股份有限公司P61

5 戴森（1993）宇宙波瀾天下文化

6 奧瑟曼（1997）宇宙的詩篇天下文化P84

7 Stefan Kulczycki（1992）非歐幾里得幾何學水牛出版社P32

8 蔡辰理中國數學史上的黃金時代及其四個偉大的數學家20130701 取自

httpepistemathntuedutwarticlesmmmm_03_2_07page2htmltop

9 徐健策老師專題柯西琴生與冪平均不等式20131002 取自 httpmath1cktpedutw徐健策mathhtm

數亦優 21

一研究目的 》

將一道解四元一次聯立方程式的題目利用四次多項函數且領導係數為 1 的恆等原理來解

答

二研究過程 》

已知

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

12 1 2 3 2 5 2 7

14 1 4 3 4 5 4 7

16 1 6 3 6 5 6 7

18 1 8 3 8 5 8 7

x y z w

x y z w

x y z w

x y z w

試求(1) ( )x y z w (2) x y z w

一 首先將上題解讀為解四元一次聯立方程式

設

2

3

2

2

3 5 7105 2079 429 143 1

3 5 7 11 21 1485 1001 195 1

9 385 819 495 13 7 11 135 189 231 429 1

3 5 11 13

x aa b c d

y b a b c d

a b c dz ca b c d

w d

211512 1320 2288 5

4b c d

52376 1144 208 1

4b c d

5 956 504 1584 1

4b c d

2432 640 1792 0 19 5 14 0

5 1792 3840 5632 0 7 15 22 0

b c d b c d

b c d b c d

由5 14 14 19 19 5

320 320 320 11115 22 22 7 7 15

b c d

由1

56 504 1584 1 1024 11024

b b b b b c d

代入1 1 1 175 35

5 189 231 429 1 51024 1024 1024 1024 1024

a a a

李維昌國立宜蘭高中

22 數亦優

2 2 2 3 2 23 5 7 3 5 7 11 3 7 11 13 3 5 11 13( )

1024 1024 1024 1024x y z w

即為(1)的所求

2 3 2 2

2 3

2 2

3 5 7 3 5 7 11 3 7 11 13 3 5 11 13

35 13 5 7 3 5 7 11

1024 10241 1

3 7 11 13 3 5 11 131024 1024

x y z w a b c d

11025 10395 9009 6435 36864

361024 1024

即為(2)的所求

二 嘗試利用四次多項函數且領導係數為 1 的恆等原理來解答此題

1 構造以 t為變數的四次多項函數且領導係數為 1命此函數為 ( )f t

2 2 2 2 2 2 2( ) 1 3 5 7 3 5 7f t t t t t x t t t

2 2 2 2 2 2 2 2 21 5 7 1 3 7 1 3 5y t t t z t t t w t t t

其中 x y z w四數為常數

2 2 2 2 2 2 2 2 21

2 1 2 3 2 5 2 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 1 2 3 2 5 2 7 2 3 2 5 2 7

2 1 2 5 2 7 2 1 2 3 2 7

2 1 2 3 2 5 0

x

y z

w

2(2 ) 0f

3 2 2 2 2 2 2 2 21

4 1 4 3 4 5 4 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

4 1 4 3 4 5 4 7 4 3 4 5 4 7

4 1 4 5 4 7 4 1 4 3 4 7

4 1 4 3 4 5 0

x

y z

w

2(4 ) 0f

4 2 2 2 2 2 2 2 21

6 1 6 3 6 5 6 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

6 1 6 3 6 5 6 7 6 3 6 5 6 7

6 1 6 5 6 7 6 1 6 3 6 7

6 1 6 3 6 5 0

x

y z

w

2(6 ) 0f

數亦優 23

5 2 2 2 2 2 2 2 21

8 1 8 3 8 5 8 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

8 1 8 3 8 5 8 7 8 3 8 5 8 7

8 1 8 5 8 7 8 1 8 3 8 7

8 1 8 3 8 5 0

x

y z

w

2(8 ) 0f

6 由 12345的討論可得知 ( )f t 等價 2 2 2 22 4 6 8t t t t

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 4 6 8

1 3 5 7 3 5 7 1 5 7

1 3 7 1 3 5

t t t t

t t t t x t t t y t t t

z t t t w t t t

為 t的四次多項方程式

第式等號的左式 3t 的係數＝第式等號的右式 3t 的係數

2 2 2 2 2 2 2 22 4 6 8 1 3 5 7 x y z w

2 2 2 2 2 2 2 22 4 6 8 1 3 5 7 120 84 36x y z w

即為(2)的所求

7 x的求法

將 21t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

1 2 1 4 1 6 1 8 1 3 1 5 1 7

2 1 4 1 6 1 8 1 1 3 3 5 5 7 7 9 3 5 7

2 4 4 6 6 8 10243 1 5 1 7 1

x

x

8 y的求法

將 23t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 3

2 2 2 2 2 2

3 2 3 4 3 6 3 8 3 1 3 5 3 7

3 2 4 3 6 3 8 3 1 5 1 7 3 9 5 11 3 5 7 11

2 4 2 8 4 10 10243 1 5 3 7 3

y

y

9 z的求法

將 25t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

5 2 5 4 5 6 5 8 5 1 5 3 5 7

5 2 5 4 6 5 8 5 3 7 1 9 1 11 3 13 3 7 11 13

4 6 2 8 2 12 10245 1 5 3 7 5

z

z

24 數亦優

10 w的求法

將 27t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

7 2 7 4 7 6 7 8 7 1 7 3 7 5

7 2 7 4 7 6 8 7 5 9 3 11 1 13 1 15 3 5 11 13

6 8 4 10 2 12 10247 1 7 3 7 5

w

w

11 由 78910的討論可得

2 2 2 3 2 23 5 7 3 5 7 11 3 7 11 13 3 5 11 13

( ) 1024 1024 1024 1024

x y z w

即為(1)的所求

三 結論

1 解題的巧妙與否存乎一心「學則需疑於不疑處有疑方是進矣」本題為解四元

一次聯立方程式基本解題策略為克拉瑪公式加減消去法或代入消去法三種由

於這三種計算相當繁瑣進而苦思其他對策經過一番思索驀然回首伊人卻在

燈火闌珊處竟然將此題與四次多項方程式連結在一起有了令人會心一笑的妙解

真是一次驚奇的解題之旅

2 孔子曾言「學而不思則罔思而不學則殆」我期待每次解題時皆能直搗黃龍

一眼看穿題目的堂奧之妙事後「大膽假設小心求證」檢驗過程和結果是否達

到最佳化藉由在夙昔的典範亦步亦趨臻於真善美的解題境界

數亦優 25

國立臺灣師範大學數學系

筆試一計算證明題（考試時間2 小時）

1 (1) 直角三角形的兩股長為 a b斜邊長為 c試證 3 3 3c a b （8 分）

(2) 如下圖圓 O內二直徑 AC BD互相垂直在劣弧DC上任取一點 E

試證以 AE 為一邊的正方形面積等於四邊形 ABED面積的二倍 （12 分）

2 設函數 2( ) 6 5f x x x 求坐標平面上滿足聯立不等式

( ) ( ) 0

( ) ( ) 0

f x f y

f x f y

的所有點 ( )x y 所形成的區域面積 （20 分）

3 設 a b c d 為實數且 a b c d ( ) ( )f x g x 為滿足 ( ) ( )f a f b 及 ( ) ( )g c g d 的實係數二次多

項式已知 ( ) ( )f x g x 為常數多項式證明

(1) a b c d （8 分）

(2) 2( )

2

( )2

a bf a f

a bc d c d

g c g

（12 分）

4 如下圖所示ABC和DBC為空間中的兩個等腰三角形M為線段 BC 的中點令

AB AC a DB DC b BM CM c 和DA x

(1) 已知向量內積 0AM BD

求證 2 2 22x a b c （8 分）

(2) 已知 2 2 22x a b c 求證向量內積 0AM BD

（12 分）

26 數亦優

5 師大數學系舉辦系徽設計比賽入圍決選的有四件作品由 10 名學生代表進行不記名投票

每人投兩票且兩票須投不同作品在沒有廢票的情況下試問

(1) 四件作品的得票情形共有幾種 （8 分）

(2) 得票數 高的作品恰有一件的票數分布有幾種 （12 分）

筆試二填充題（考試時間15 小時）

1 設 a為實數若對於所有實數 x2

2

32

2

x ax

x x

恆成立則 a的範圍為

2 若等比數列的第三項是1 i 第五項是1 1

16 16i 其中 1i 則此等比數列的公比為

（有兩解）

3 從1234567 等數字中選取三個排成三位數數字不重複則排出來的是 3 的倍數但不是 5 的倍數

的整數有 個

4 桌上有十個骰子當中有一個骰子出現 5 點的機率是1

2而出現其他點數的機率均等其他

九個都是均勻的骰子用隨機的方式選取一個骰子來投擲在出現 5 點的情況下被選取的

骰子是不均勻骰子的條件機率為 （答案若為分數請化為 簡分數）

5 在電腦裡有一公定的對照表（ASCII）將英文字母ABhellipZ及空格等字元分別對應至一整數

其對應數字如下表所示

字母 空格 A B C D E F G H

ASCII 碼 32 65 66 67 68 69 70 71 72

字母 I J K L M N O P Q

ASCII 碼 73 74 75 76 77 78 79 80 81

字母 R S T U V W X Y Z

ASCII 碼 82 83 84 85 86 87 88 89 90

數亦優 27

我們可利用此對照表在 facebookTM 傳送保密訊息給朋友我們與朋友約定所有的英文字母及

空格皆以對照表中的整數替代例如「HE IS DAVID」的訊息用「7269327383326865867368」

取代然後將此數字字串的奇數項排在矩陣的第一列偶數項排在第二列形成以下矩陣

7 6 3 7 8 3 6 6 8 7 6

2 9 2 3 3 2 8 5 6 3 8B

再與二階方陣

1 2

2 3A

相乘得到

11 24 7 13 14 7 22 16 20 13 22

20 39 12 23 25 12 36 27 34 23 36AB

後依上述規則反求得字串「11202439071213231425071222361627203413232236」傳送給朋

友如此他人便不能立即得知傳送之內容現在在此規則下你接收到數字字串

「233825411222213516271932」可以轉成矩陣

23 25 12 21 16 19

38 41 22 35 27 32

其所代表之訊息為

6 坐標平面上圓 C通過點 (02) 且 C與兩直線 3 2 0 1 0x y y 皆相切則圓 C的方程

式為

7 坐標空間中ABC的三頂點分別為 (1 11) ( 321) (5 43)A B C P為ABC內部一點且

令P到 AB BC CA的距離分別為 x y z則 2 2 2x y z 的 小值為 （答案若為分數

請化為 簡分數）

8 函數 4 4( ) cos 3sinf x x x 的 小值為

9 設 為實數若

cos 0 sin

0 1 0

sin 0 cos

A

則 5A

10 袋中有編號分別為 1 到 6 的六個球從袋中隨機選取兩球令隨機變數 X表示在被選取的

兩球中球號比袋中剩下的球號都大的球的個數（例如如果選到 2 號和 3 號球那袋中剩

下的就是 1456 號球因為選出的球中並沒有比 1456 都大的球號故這種情況下 0X ）

隨機變數 X的期望值為 （答案若為分數請化為 簡分數）

28 數亦優

筆試一計算證明題

1 (1) 利用 2 2 2c a b 及 c a c b 得

3 2 2 2 2 3 3c c a b ca cb a b

(2) 過 E作 EF AC 則

四邊形 ABED的面積

1 1

2 21

21

2

ABD BDE

BD AO BD OF

BD AO OF

AC AF

又在直角三角形 ACE中因為2

AE AC AF 所以2

AE 四邊形 ABED面積的兩倍

2 因為

2 22 2( ) ( ) 6 6 10 3 3 8f x f y x y x y x y

2 2( ) ( ) 6 6 6f x f y x y x y x y x y

所以

2 23 3 8( ) ( ) 0

( ) ( ) 0 6 0

x yf x f y

f x f y x y x y

因此滿足上述條件的所有點 ( )x y 為

22 23 3 8

0 6 0

x y

x y x y

或 22 2

3 3 8

0 6 0

x y

x y x y

其所圍成的區域如下圖所示面積為 218 4

2

數亦優 29

3 (1) 依題意可設 ( ) ( )f x r x a x b s g x r x c x d s

因為 ( ) ( )f x g x 是常數多項式所以比較一二次項係數知

r r r a b r c d

得 a b c d

(2) 由 2 2

( )2 4 4

a b a ba bf r s r f a

得

2

4 ( )2a b

f a f

ra b

故得證

註1o 也可利用對稱性知 ( )y f x 的頂點之 x軸坐標為2

a b ( )y g x 的頂點之 x軸坐標

為2

c d而得證

2o 亦可用插值多項式證明

4 (1) 由向量分解DA DM MA DB BM MA

得

2 22 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2

2

2 2

DA DA DM MA DM MA DM MA

b c a c DB BM MA

b a c DB MA BM MA

因為 0AM BD

且 BM MA 所以

2 2 2 22DA b a c

因此

2 2 22DA a b c

(2) 由(1)及 BM MA 可得

2 2 2 22 2DA b a c DB MA

依題意知 2 2 22DA x b a c 即

22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2b a c b a c b a c DB MA

故

0DB MA

30 數亦優

5 (1) 由題意可以知道

1 四件作品所得的總票數為 20 票

2 每件作品 多可以得到 10 票

令四件作品的得票數分別為 x y z u由1 2 可得

200 10x y z u x y z u

因為 0 10x y z u 所以 420H 須扣掉11 20x y z u 的情況由 20x y z u 且

0x y z u 可知 多只有一個票數會大於等於 11假設 11x 令 11x x 可得

90 9x y z u x y z u

此情況有 4 129 9 220H C 種

因此票數分布為 4 420 94 1771 4 220 891H H 種

(2) 假設得票數 高為 x由題意可得

200 10x y z u y z u x

因為 y z u x 也就是 1y z u x 所以

1 1 1 4 3x y z u x x x x x

由 20x y z u 得

20 4 3x

即

23

4x

因此當 6x 時才會滿足只有一件作品得票數 高且票數為 x

當 6x 時

140 5y z u y z u

滿足此情況的 y z u有 (554)(545)(455) 3 種

當 7x 時

130 6y z u y z u

因為 13y z u 且 0y z u 所以 y z u 多只有一個會大於等於 7

由(1)可知滿足此情況有 3 3 15 813 6 13 63 3 105 84 21H H C C 種

同理

當 8910x 時 y z u 多只有一個會大於等於 8910故

當 8x 時有 3 3 14 612 4 12 43 3 91 45 46H H C C 種

當 9x 時有 3 3 13 411 2 11 23 3 78 18 60H H C C 種

數亦優 31

當 10x 時有 3 3 12 210 0 10 03 3 66 3 63H H C C 種

因此滿足只有一件作品得票數 高的情形有

4 3 21 46 60 63 772 種

筆試二填充題

1 2 3 4 5

0 4a 2 2

8 8i

66 1

4 NORMAL

6 7 8 9 10

2 2

3 1 4x y

2 2

3 3 5 36x y

（或是 2 2 2 3 2 0x y x y ）

50

79

3

4

cos5 0 sin 5

0 1 0

sin 5 0 cos5

2

5

32 數亦優

《接續PartI 請見數亦優第 21 期》

四 正多邊形

(一) 除了正方形及三角形以外我們還考慮將其他形狀組合討論其撕裂次數是否與正方

形三角形相同

(二) 並非所有正多邊形皆可組合若內角非360

kk

便不能組合例如

1 正五邊形的內角和180 3 540 則一個內角為108但108 360 k k

無法將五邊形完整組合必有空隙

2 正六邊形的內角和180 4 720 則一個內角為120因為120 3 360

則任三個相同的正六邊形皆可相互組合

(三) 完整排列正六邊形為例以 m張排列

例 1 一頁 5 個正六邊形排列

撕開 2 次使下排的兩個正六邊形與上排分開再逐一將上排撕開共需 4 次

由例 1撕的次數結果皆為 1m 次

（Part II） 陳敏晧國立蘭陽女中

數亦優 33

(四) 內部有洞正六邊形為例m張 n個洞排列

例 2 一頁 11 張且 2 洞排列

先撕開 2 次使其成為無洞排列再撕開 1 次使其變成兩頁完整排列再逐一撕開

共需 12 次

由例 1與例 2得知撕的次數結果皆為 1n m 次

五 「切割」的定義

(一) 我們從平面延伸到立體討論柏拉圖的五個正多面體先將正多面體每面切開分開

的次數是否也有彼此相似之處

(二) 因為立體無法如平面一樣用撕的故用切的而計算次數的定義與方法也與平面有很

大的差異

(三) 「切一次」的定義與限制沿著稜邊切下一個面才算作「一次」第一次切下後

便將封閉的正多面體打開此後每切一次都必須從開放的稜邊切下不可再一次從

封閉的面切下

以正六面體為例

此為一個完整封閉的正六面體

第一次沿著粗線切開可切下一個面

34 數亦優

六 柏拉圖多面體

1 正四面體

第一次將底面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 3 個面切下共需切

1 3 1 3 次

2 正六面體

第一次將頂面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 5 個面切下共需切

1 5 1 5 次

斜線部分為第一次被切下的面

封閉正六面體被打開後第二次只能從

開放的 4 條稜邊（粗線）切下

第二刀不可再從封閉面（粗線）開始切

數亦優 35

3 正八面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 7 個面切下共

需切 1 7 1 7 次

4 正十二面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 11 個面切下共

需切 1 11 1 11 次

5 正二十面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 19 個面切下共

需切 1 19 1 19 次

36 數亦優

由上述例子可得知切割次數皆剛好為正多面體的(總面數 1 )次

研究發現

內部有洞洞數 a b 其中 a洞的個數b每個洞的張數

矩 形

完整排列

邊長 邊長 總張數 撕的次數

2 2 4 3

4 5 20 19

不規則排列

總張數 撕的次數

10 9

13 12

內部有洞

邊長 邊長 洞數 總張數（邊長 邊長 洞的張數） 撕的次數

3 3 1 1 8 3 3 1 8

3 5 2 1 13 3 5 2 14

三 角 形

完整排列

邊長 總張數 撕的次數

2 4 3

3 9 8

不規則排列

總張數 撕的次數

10 9

13 12

內部有洞

邊長 洞數 總張數（邊長平方 洞的張數） 撕的次數

規

則

4 1 1 15 4 4 1 15

5 1 1 24 5 5 1 24

5 1 2 23 5 5 2 23

5 1 3 22 5 5 3 22

6 1 1 35 6 6 1 35

6 1 2 34 6 6 2 34

6 2 1 34 6 6 2 1 35

6 3 1 33 6 6 3 1 35

6 1 2 1 1 33 6 6 2 1 34

7 2 2 45 7 7 2 2 46

不

規

則

1 1 22 22

1 1 23 23

1 2 32 32

數亦優 37

六 邊 形

完整排列

總張數 撕的次數

3 2

5 4

內部有洞

洞數 總張數 撕的次數

1 1 6 6

2 1 11 12

正 多 面 體

面數 撕的次數

正四面體 4 3

正六面體 6 5

正八面體 8 7

正十二面體 12 11

正二十面體 20 19

目前的研究我們發現了以下獨特的結論平面幾何圖形中矩形正三角形和正六邊形的

規則形狀與不規則形狀紙張之最佳撕法都是(總張數 1 )次矩形正三角形及正六邊形排列成

內部有 n個洞且 m張的紙張之最佳撕法都是 1n m 次而柏拉圖立體的最少切割次數皆為

正多面體的(總面數 1 )次最重要我們發現其實撕裂或切割次數與撕裂或切割方法（或順序）

無關

參考資料

1 陳美如（200003）撕郵票問題數學傳播第 24 卷第 1 期P82~86

2 許志農與奇人相遇httpmathntnuedutw~macomeethtm

3 林義強多面體簡介第一屆全國高中數學教學研討會論文集P177~192

參數學專題研究反思 》

上述作品得到今年北一區數學科展優等過程中我與學生教學相長高二學生因為所學的

數學很有限所以數學解題層次會有侷限但是相對地數學思維與想像力卻是受過數學訓練

的我們所不及的在這次數學專題研究中我扮演的角色是諮詢者協助者鼓勵者完成任

務是那三位鍥而不捨的同學鄭羽呈李依庭林佩柔 勘誤 第 21 刊〈高中數學專題研究教案（PartI）〉 P34 倒數第 6 行「設m k 」應改為「設m k 」 P36 第 3 行「設m k 」應改為「設m k 」 P38 內部有洞的 1(1)~(4)分類應改為「1(1)一頁 24 張內部有一個洞一張為 1 洞」

「1(2)一頁 23 張內部有一個洞兩張為 1 洞」 「1(3)一頁 23 張內部有一個洞兩張為 1 洞」 「1(4)一頁 22 張內部有一個洞三張為 1 洞」

38 數亦優

動手玩數學 許志農臺灣師大數學系

在 下 圖 中已 知 ABC為 直 角

三 角 形 1AB 求

(1) 線段 AD的長度（化為最簡形式）

(2) 餘切 cot24

的值

〔玩鎖玩索〕

這道問題改編自「求 cot24

的值」這道

教師甄選試題關於這道餘切求值問題

有兩位老師的作法是用標準特別角出發

再求出欲求的餘切值

底下是另一位老師的作法

已知 ABC 為 直 角 三 角 形 4AC 求

AB BC及 cot24

的值

請 加 上 線 段 使 下 圖 分 成 五

份 形 狀 完 全 相 等 的 部 分（翻面

相等也算）

或 許 下 圖 對 你 會 有 些 幫 助 它 們 是 四 份

形 狀 完 全 相 等 的 部 分

〔玩鎖玩索〕

這是 1998 年夏天香港中文大學教育學

院第二次舉辦暑期資優課程中在數學有關的

工作坊裡的一道測智遊戲

遊戲 85

遊戲 86

數亦優 39

在 坐 標 平 面 上 畫 一 直 線 1L在

線 上 任 取 一 點O 以O為 旋 轉

中 心依 逆 時 針 方 向 將 直 線 1L

旋 轉 120得 到 直 線 2L 如 下

圖 所 示

已 知 直 線 1L 的 斜 率 為m求 證 直 線 2L 的 斜

率 為

3

3 1

m

m

〔玩鎖玩索〕

直線是平面幾何上的重要元素而斜率又

是直線在代數上的代言人掌握斜率就如同控

制直線一樣從逆轉120的 直 線 斜 率 公 式

不 難 知 道 坐 標 平 面 上 的 正 三 角 形 之 三

條 邊 斜 率

1 2 3 m m m

是可以互相推導的即由 1m 可 以 得 到 2m 與

3m 的 公 式 而 且 還 知 道 以 下 兩 個 恆 等 式

1 2 2 3 3 1 3m m m m m m

1 2 31 2 3

1 1 19m m m

m m m

宇 富 怕 手 機 被 盜 打 每 日 更

換 開 機 密 碼為 了 便 於 記 憶

他 想 到 一 則 更 換 密 碼 的 算 術

通 則 「 昨 天 密 碼 為p 今

日 的 密 碼 就 更 新 為1

1

p

p

」

宇 富 跟 所 有 的 人 說「 我 已 經

使 用 這 密 碼 通 則 500天 了 而

且 第 一 天 的 密 碼 就 設 為 2 1

相 信 各 位 算 到 手 痠也 無 法 算

出 今 天 的 開 機 密 碼 」

徵求可以破解開機密碼的人士

〔玩鎖玩索〕

如果第一天的密碼為 那麼破解密碼

的難度有增加嗎

遊戲 87

遊戲 88

40 數亦優

動動手手玩玩數數學學~~破破解解秘秘笈笈

遊戲 81

如圖所示

(1) 考慮 ABC 因為 8sin15AB BC 且

150ABC 所以 ABC 為等腰三角

形且 15BAC 因此

2 cos15 2 8sin15 cos15AC AB

1

8sin30 8 42

(2) 仿照(1)的方法 ACE 也是等腰三角

形且 30CAE 因此

32 cos30 2 4 4 3

2AE AC

遊戲 82

秦九韶這個依括弧次序求函數值 f a 的演

算法就是高中數學多項式那章所介紹的綜

合除法

2 5 4 8

2

2

a

a

仔細計算上述綜合除法的空白位置可以發

現小中大括弧位置所代表的值與秦九韶

小中大括弧內的值完全一樣

遊戲 83

(1)

2cos 2cos24 24cot

24 sin 2sin cos24 24 24

1 cos1 cos

3 412

sin sin12 3 4

(2) 因為

cos cos cos sin sin3 4 3 4 3 4

1 2 3 2

2 2 2 2

2 6

4 4

及

sin sin cos sin cos3 4 3 4 4 3

3 2 2 1

2 2 2 2

6 2

4 4

所以

2 61 4 6 24 4cot

24 6 2 6 24 4

2

4 6 2 6 2

6 2

2 2 3 6

遊戲 84

令

2 3A a b c b c i

2 3B c a b a b i

2 3C b a c c a i

且

1 3

2

i

因為 2A C B

所以 3 3 3 6 3A C B

又因為 3 6 1 所以 3 3 3A B C

得證

ltlt ASCII85EncodePages false AllowTransparency false AutoPositionEPSFiles true AutoRotatePages All Binding Left CalGrayProfile (Dot Gain 20) CalRGBProfile (sRGB IEC61966-21) CalCMYKProfile (US Web Coated 050SWOP051 v2) sRGBProfile (sRGB IEC61966-21) CannotEmbedFontPolicy Error CompatibilityLevel 13 CompressObjects Tags CompressPages true ConvertImagesToIndexed true PassThroughJPEGImages true CreateJobTicket false DefaultRenderingIntent Default DetectBlends true DetectCurves 00000 ColorConversionStrategy LeaveColorUnchanged DoThumbnails false EmbedAllFonts true EmbedOpenType false ParseICCProfilesInComments true EmbedJobOptions true DSCReportingLevel 0 EmitDSCWarnings false EndPage -1 ImageMemory 1048576 LockDistillerParams false MaxSubsetPct 100 Optimize true OPM 1 ParseDSCComments true ParseDSCCommentsForDocInfo true PreserveCopyPage true PreserveDICMYKValues true PreserveEPSInfo true PreserveFlatness true PreserveHalftoneInfo false PreserveOPIComments true PreserveOverprintSettings true StartPage 1 SubsetFonts true TransferFunctionInfo Apply UCRandBGInfo Preserve UsePrologue false ColorSettingsFile () AlwaysEmbed [ true ] NeverEmbed [ true ] AntiAliasColorImages false CropColorImages true ColorImageMinResolution 300 ColorImageMinResolutionPolicy OK DownsampleColorImages true ColorImageDownsampleType Bicubic ColorImageResolution 300 ColorImageDepth -1 ColorImageMinDownsampleDepth 1 ColorImageDownsampleThreshold 150000 EncodeColorImages true ColorImageFilter DCTEncode AutoFilterColorImages true ColorImageAutoFilterStrategy JPEG ColorACSImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt ColorImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt JPEG2000ColorACSImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 30 gtgt JPEG2000ColorImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 30 gtgt AntiAliasGrayImages false CropGrayImages true GrayImageMinResolution 300 GrayImageMinResolutionPolicy OK DownsampleGrayImages true GrayImageDownsampleType Bicubic GrayImageResolution 300 GrayImageDepth -1 GrayImageMinDownsampleDepth 2 GrayImageDownsampleThreshold 150000 EncodeGrayImages true GrayImageFilter DCTEncode AutoFilterGrayImages true GrayImageAutoFilterStrategy JPEG GrayACSImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt GrayImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt JPEG2000GrayACSImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 30 gtgt JPEG2000GrayImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 30 gtgt AntiAliasMonoImages false CropMonoImages true MonoImageMinResolution 1200 MonoImageMinResolutionPolicy OK DownsampleMonoImages true MonoImageDownsampleType Bicubic MonoImageResolution 1200 MonoImageDepth -1 MonoImageDownsampleThreshold 150000 EncodeMonoImages true MonoImageFilter CCITTFaxEncode MonoImageDict ltlt K -1 gtgt AllowPSXObjects false CheckCompliance [ None ] PDFX1aCheck false PDFX3Check false PDFXCompliantPDFOnly false PDFXNoTrimBoxError 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數亦優 3

半張棋盤上的 45 顆棋子騰空躍起一匹馬以敏捷的馬步迅

速地將它們串連成了一條直線避免所有棋子散落一地

在 1783 年晚餐後尤拉一邊喝著茶一邊和小孫女玩耍突然之間煙斗從他手中掉了

下來他說了一聲「我的煙斗」並彎腰去撿結果再也沒有站起來他抱著頭說了一句「我

死了」尤拉停止了生命和計算尤拉是數學史上 多產的數學家現在常用的數學符號很多

都是尤拉所發明的例如函數符號 ( )f x 圓周率 自然對數的底 e log xsin xcos x

以及虛數單位 i等

尤拉恆等式

1 0ie

曾經被兩本數學雜誌評選為史上 漂亮數學公式的第一名尤拉本人也非常喜歡這恆等式

原因是式子中的 0 與 1 分別是加法與乘法的單位元素式子中還有加法乘法與次方三種運

算並且涵蓋虛數 i及圓周率 兩個重要的數學符號下圖則是尤拉注視著現代蘋果電腦公司

在 i-phone 手機背殼上所刻的尤拉恆等式

larr 尤拉

提到尤拉就讓人聯想到他在哥尼斯堡七橋問題上的畫龍點睛之作每座城市被濃縮成為

一個點而橋樑被幻想成為連接兩點間的線段這出神入化的轉換讓網絡圖解決了七橋問

題在當時也只有鬼魅數學家尤拉才想得出來哥尼斯堡七橋問題是基於一個現實生活中

的事例當時東普魯士哥尼斯堡（今日俄羅斯加里寧格勒）市區跨普列戈利亞河兩岸河中

心有兩個小島小島與河的兩岸有七座橋連接哥尼斯堡市長要求尤拉找出一條散步路線

讓人能走經哥尼斯堡的七座橋而且每座橋只能經過一次

許志農臺灣師大數學系

4 數亦優

哥尼斯堡七橋問題是現代圖論中的有名問題這個問題在所有橋都只能走一遍的前提下如

何才能把這個地方所有的橋都走遍於 1736 年尤拉在聖彼得堡科學院發表了圖論史上第一

篇重要文獻圓滿地解決了七橋問題並證明市長要求的散步路線並不存在也順帶解決了

所謂的「一筆畫問題」

尤拉把實際的問題簡化為平面上點與線的網絡圖每一座橋視為一條線橋所連接的地

區視為點這樣若從某點出發後 後再回到這點則這一點所連出去的線數必須是偶數條

為了方便解釋把連出去的線數為奇數的點稱為奇點而連出去的線數為偶數的點叫偶點

而所謂的網絡圖能一筆畫就是可以從某起點出發在每條線剛好畫過一次的條件下 後畫

到另一個終點要注意的是起點是可以等於終點

更詳細的討論是如果一個網絡圖能一筆畫完成那麼一定有一個起點開始畫也有一

個終點有一條邊進這點那麼就要有一條邊出去有進無出的點肯定是終點而有出無進

的點就是起點因此在「過路點」進出的邊總數應該是偶數即「過路點」是偶點綜合起

來能一筆畫完成的網絡圖必須具備以下兩個條件中的一個

1 如果起點和終點是不一樣那麼起點與終點必須是奇點

2 如果起點和終點是同一點那麼它也是屬於「有進有出」的類型因此必須是偶點這個

網絡圖上的每個點都必須是偶點

尤拉把哥尼斯堡附近的地圖轉化成可以用一筆畫思考的網絡圖其中 ABCD四點代表四塊區

域濃縮所產生的點而點與點的連線就是橫跨區域之間的橋樑

因為四個點都是奇點所以無法將這網絡圖一筆畫把這線條圖上的推論還原回實際的問題

就是告訴我們遊覽哥尼斯堡的七座橋而且每座橋只能經過一次的散步路線是不存在的

哥尼斯堡七橋問題是一道「無解」的問題而這個無解並不是幾何學裡的邊長與角度兩

個量度上的無解而是將城市縮成一個點橋樑當成連接點與點之間的線段透過有出就有

進的一筆畫原理說明「哥尼斯堡市長所要求的散步路線是不存在的」尤拉的一筆畫作法使幾

何學擺脫了測量距離與角度的負擔而開啟了現代拓樸學的一扇窗有了七橋問題的經驗之

後碰到幾何問題不一定要從長度與角度的幾何量著手也可以考量其他的方法

底下就是一道典型的幾何謎題切下棋盤斜對角線上的兩個邊角如下左圖所示然後

你是否可以用 31 張長方形骨牌去完全覆蓋這個棋盤每一張骨牌的大小必須剛好覆蓋棋盤上

相鄰的兩個正方格

數亦優 5

這道謎題對經驗不足的初學者來說簡直是一道難題但對看過解答的老鳥來說卻又是送

分題我們只需將棋盤塗成黑白相間的西洋棋盤樣式如上右圖所示接著發現每塊骨牌

無論橫著擺或者縱著放都剛好占據一格黑色與一格白色的正方格而這棋盤一共有 62 格正

方格需要 31 塊骨牌才能蓋滿但這 31 塊骨牌應該蓋住「31 格黑色正方格與 31 格白色正方

格」這剛好與棋盤上的「32 格黑色正方格與 30 格白色正方格」相抵觸也就是說這也是

一道無解的問題

「數學知識是被發現還是被發明或者被創造的或者兩者皆有」是一道有趣的哲學問題

同樣的「數學遊戲是被發現還是被發明或者被創造的或者兩者皆有」也是各說各話的問題

像網絡圖的一筆畫原理是因七橋問題而誕生還是七橋問題只是一個動機讓早就存在的數

學知識「一筆畫原理」被數學家發現呢接下來是遊戲時間讓我們介紹一道象棋的啟蒙遊

戲hellip老馬識途

中國象棋盤由九道直線和十道橫線交叉組成棋盤上共有 90 個交叉點象棋子就擺放和

活動在這些交叉點上棋盤分成兩個半張每半張都是由九道直線和五道橫線交叉組成共

有 45 個交叉點

一隻馬能否跳遍半張空象棋棋盤上的每一個交叉點答案是肯定的稍具象棋知識的人都

能準確回答這個問題但是若進一步要求是否能找到一條路徑讓馬跳遍半張空棋盤上所

有交叉點的過程中任意一個交叉點只允許被馬踩過一次後面這個問題恐怕要難倒許多

人了這個古老難題在西方稱之為「騎士旅遊」早在十六世紀時瑞士數學家貝爾特蘭德

即提出這個問題著名的大數學家尤拉在 1759 年開始研究它並獲得了一般解法

6 數亦優

讓我們將思緒跳回到半張象棋棋盤上如下圖將 45 個交叉點塗上黑白的顏色計算

一下有 23 個交叉點被塗上黑色其餘的 22 個交叉點被塗上白色（包括馬所在的位置也是

白色）

馬從白色交叉點出發是否可以找到一條路徑讓每一個交叉點剛好被馬踩過一次用馬走

的日步模擬一下不難發現前後兩步分別會落在不同顏色的交叉點上既然馬從白色交叉

點出發這代表馬的奇數步落在白色交叉點而偶數步停在黑色交叉點上又半張棋盤一共

有 45 個交叉點若馬找到每一個交叉點剛好被踩過一次的旅行方式則奇數步有 23 步偶

數步有 22 步也就是說馬會踏過 23 個白色交叉點及 22 個黑色交叉點這顯然與半張棋盤

上的交叉點顏色分布不合那就是說馬從白色交叉點出發是沒辦法完成旅行的

後來一道象棋專家的餘興節目我們把馬起始位置改變一下讓馬從黑色交叉點開始

跳躍結果又如何呢各位可以從下圖中動手嘗試看看能否讓馬剛好踩過每個交叉點一次

的前提下讓馬以日步完成半張象棋棋盤的旅行

這是一道帶有東方色彩的餘興節目「馬走日步」更是道地的中國口味在中國馬是一種獨

特的動物牠可文可武可以是人文藝術與棋藝的主題也可以是主導整齣戰爭歷史的利

器可以是貴族用來標示身分地位的象徵也可以是攸關庶民生活的重要寄託我們很難找

到一種功能如此多元指向如此豐富可平實又可高貴與人長期相伴的動物

在餘興節目中稱這遊戲為老馬識途是有數學典故的而這典故跟唐朝及中國數學家

陳省身有關聯唐太宗昭陵上有六匹駿馬的浮雕石刻聞名於世俗稱昭陵六駿（白蹄烏

青騅颯露紫拳毛騧特勤驃什伐赤）這六匹戰馬是李世民在唐開國戰爭中南征北討的

坐騎並命唐初大畫家閻本立繪草圖監石雕而成因而有

「秦王鐵騎取天下六駿功高畫亦優」

這樣的詩句流傳於世這六匹馬中的颯露紫與拳毛騧於 1914 年被盜運往美國現藏於美國

費城賓夕法尼亞大學博物館它們的複製品與其餘四匹駿馬的真品陳列於西安碑林博物館

數學家陳省身有感於古物流落他鄉的遺憾特在偉大數論學家韋依所著的《數論》這本書的

扉頁上用毛筆書寫著「老馬識途」四個中文字並附上拳毛騧的圖片渴望它們早日回歸

故里

數亦優 7

唐太宗懷念的這六駿有的在箭雨中穿行帶傷而馳有的跨河飛奔越野而去有的

緩步慢行若有所思閻本立所草繪的六匹駿馬中三匹作騰蹄飛奔之狀三匹為站立徐行

的姿勢有些馬則身中數箭甚至有一幅是描述邱行恭武將替太宗的一匹愛馬拔箭的情景

後讓我們回到尤拉如開頭所言虛數單位 i是尤拉發明的想必尤拉在方程式上也有

很大的貢獻這裡提出一則尤拉在解方程式上的天才之旅在「代數基本定理」尚未被證明

正確之前萊布尼茲就質疑過「每個實係數多項式都可以分解成一次或者兩次實係數多項式

的乘積」的正確性數學家白努力更舉一個精確的例子說「四次多項式 4 3 2( ) 4 2 4 4f x x x x x

就不可能分解成兩個實係數多項式的乘積」

然而代數大師尤拉在 1742 年時將白努力所舉的四次多項式 ( )f x 分解為二次多項式

2 2 4 2 7 1 4 2 7 7x x

與另一個二次多項式

2 2 4 2 7 1 4 2 7 7x x

的乘積如果再套一下一元二次方程式根的公式解那麼尤拉就把這個四次多項式方程式的

四個根都精確的表達出來了真不知道這神奇的因式分解是如何想出來的

像這種類似的例子還有許多例如將乘式

2 210 2 5 10 2 5 10 2 5 10 2 55 5

2 2x x x x

乘開也是一個以整數為係數的四次多項式

尤拉是第一位將 1 的平方根 1 定義為 i的數學家究竟在那個時代人們如何理解 i這

個「數」呢我們以尤拉的一段話來作結束「所有可能的數不是大於 0 就是小於 0 或等於 0

所以負數的平方根就不能是個數既然是不可能的數hellip我們只能稱之為虛數因為只有

在虛幻中才會有這樣的數」

尤拉尤拉20131018 取自 httpaprendiendomatematicascombachilleratolos-puentes-de-konigsberg

8 數亦優

運籌於帷幄之中以空間換取時間決勝於千里之外

玩電腦上的遊戲到底利多還是弊多我教過一位女大學生高中時因愛玩電玩遊戲「楓

之谷」高一高二多是資優班倒數高三才發憤圖強順利考上公費生讀博士班時我的

室友每天都玩電腦上的遊戲沉溺到連指導教授都經常來關切最近樓下的鄰居說「他兒

子最近被電玩遊戲迷住了連補習都不想去上」諸如此類的情形在中學或大學應該是很

普遍的現象我孩子就讀的小學有一間超過百坪大的教室裡面擺滿兩三百種益智小遊戲

坊間看得到的都在裡面而且每位小朋友每學期都要上六次「數學探索」的課程其實就是

在探索那些益智遊戲我當了一學年的數探志工覺得這課程還不錯究竟沉溺於電玩遊戲

跟玩益智小遊戲要如何區別呢我們可以慎選出具有啟發或啟蒙意義又不會讓小孩沉溺於

其中的遊戲嗎

最近心理學家發現休閒放鬆類的簡單小遊戲才能提高快樂感達到減壓效果據美

國媒體報導美國俄亥俄州立大學傳播和心理學教授布拉德布希曼等人招募了一些志願者

玩不同種類的遊戲研究人員清楚地發現那些玩休閒小遊戲的人自我感覺更舒服更快樂

能體驗到較多的正面情緒而玩暴力遊戲的人則攻擊性和侵略性增強此外玩了一會兒休

閒小遊戲比如和小動物互動之後人們會變得更親切更願意主動幫助他人希望本章所

要介紹的遊戲也是心理學家們發明的「圍貓遊戲」可以達到這個效果甚至超過這個功能

達到啟蒙的意義

圍貓遊戲是心理學家所設計出來的一道數學遊戲遊戲背景是平面上放置許多排列整齊

的圓圈一隻貓位於正中央的圓圈上而有少許的圓圈是黑色這是一場圍貓者與貓的鬥智

遊戲圍貓者每次可以點選一個圓圈讓它變成黑色而貓每次必須移動到鄰近還尚未變成黑

色的圓圈上當貓被黑色圓圈圍住時貓就被捉擒了但若貓跑出所有的圓圈外則圍貓失

敗

這遊戲是心理學家發明的心理學家把貓視為需要接受輔導的對象（如叛逆的學生）而

圍貓的人是輔導人員（如學校的導師）而黑色圓圈是貓的朋友輔導人員或學校導師必須透

過這些朋友的幫忙將貓咪圍起來才算輔導成功

許志農臺灣師大數學系

數亦優 9

日本 Game Design 團體將圍貓遊戲數位化寫成 Flash 的版本讓圍貓遊戲成為線上遊戲

的一種各位可以在網路上用「圍貓遊戲」四個字搜尋就能在線上玩圍貓遊戲了這遊戲

除了好玩之外還可以測試玩者的決策能力在布滿圓形的長方形棋盤上每個圓形都與六

個圓形相連一隻貓立於棋盤中央的圓形內玩者每次點選一個圓形塗黑來圍堵貓但貓可

以往尚未被塗色的隔壁圓形移動究竟鹿死誰手就要看 Game Design 的設計功力與圍貓者

的技巧誰強了下圖是貓被圍住的一種情形

用堵貓的方法進行圍貓遊戲經常沒辦法成功主要是因為貓有六個方向可以逃竄圍

堵方法很難奏效那麼圍貓遊戲是一種純靠運氣的遊戲嗎應該也不是我們可以往數學層

面來思考在進入更深入的討論之前回想一下國中時「任一三角形 ABC的內角和剛好等於

180」是如何證明的讓小朋友站在 A點朝向 B點往 B點走去當走到 B點時原地旋

轉轉到臉朝 C點的方向接著往 C點走去又當走到 A點時並原地旋轉轉到臉朝 B點

的方向停了下來此時小朋友回到出發前的 A點且臉部朝向的方向相同（都朝向 B點）

這告訴我們「小朋友一共轉了完整的一圈即 360的意思」另外我們在三角形 AB及 C三

個頂點上分別畫出旋轉的角度會發現他們都是外角

因為 AB及 C每點都是由一對內角及一對外角構成所以三角形的內角和就是

3 360 2 360180

2

證明三角形內角和等於180的概念真的對圍貓遊戲有所幫忙或者啟發嗎且讓我們深入

一點來探討圍貓遊戲吧圍貓棋盤上貓有六個方向可以逃竄用堵貓的方式圍貓肯定很難

奏效貓移動速度過快無法圍住所以利用空間爭取時間是個不錯的圍法但究竟要離貓

多遠的地方開始圍起呢這可能要根據貓有多少朋友這些黑色圓圈如何分布來決定了又

以何種形狀來圍住貓呢是圓形三角形長方形或者還有其他各種不同的形狀呢因為貓

10 數亦優

有六個方位可以逃所以用六邊形來圍貓是個不錯的想法舉例來說在下圖中貓僅有三

位朋友照理說圍住貓很難但是可以先想辦法幫貓製造比較多的朋友

在下圖中幫貓找到了三位朋友讓六位朋友位於凸六邊形的六個頂點上但我們也要付出

讓貓移動三步的代價還好此時貓還沒跑出六邊形外代表還有機會圍貓成功

從上圖可以洞悉貓想要往北邊逃竄當務之急當然是把北邊守住然後牽引貓順著六邊形

的邊移動在碰到頂點時帶著貓轉彎如下圖所示

繼續牽引貓順著六邊形的邊移動在碰到頂點時帶著貓轉彎在經歷六個轉彎之後貓就

會發現「牠已被困在六邊形內了」

數亦優 11

總結我們的作法是「利用空間換取時間先選妥適當大小的凸六邊形最好這凸六邊形的六

個頂點中有愈多是黑色圓圈愈好（代表儘量用貓的朋友當頂點）然後點選剩下的非黑色圓

圈構築完成圍貓的六邊形當貓衝撞這六邊形的一邊時牽引貓順著邊移動遇到頂點時

帶著貓轉彎在經歷六個轉彎之後貓就被困在凸六邊形內大功告成」手癢的讀者可以

在線上試玩看看圍貓遊戲是一道老少咸宜不分男女都很喜歡玩的遊戲也是心理學家

闡述「何謂輔導」的遊戲

把圍貓遊戲視為一道數學問題我們從混沌的實際操作過程裡得到圍貓的精髓這整個

過程就是數學孕育與思考的過程數學家亨利龐加萊在《數學的創造》中將自己對數學

的思考分為三個階段準備孕育與驗證首先所謂的準備階段就是對問題下很大功夫

又深陷混亂的階段在這個階段人們都會採取觀察實作分析學習與內化等有意識的

策略其次孕育階段就是停止有意識的思考讓潛意識發酵當腦袋裡的小燈泡忽然被點

亮那個「恍然大悟」的時刻就會到來最後驗證階段也是收割階段這一階段只是寫下

所有的事情檢查細節進行組織並發表龐加萊特別強調孕育階段的潛意識角色這是最

難懂也是至為關鍵的階段

談到潛意識就讓我們聯想到作夢而談到作夢又讓我們想到佛洛伊德在 1900 年出版的《夢

的解析》這本書在佛洛伊德出版《夢的解析》之前人類常把所作的夢當成神諭或預告未

來即將發生的事件看待上個世紀初期當印度數學家拉馬奴姜在英國留學時他的老師哈

代就常常好奇的問說「你每天早上一起床就寫下這麼多的恆等式到底是如何發生的」

拉馬奴姜總是說「那些是昨晚神明託夢給我的」例如

3 5 5 5 5 532 27 1 3 9

5 5 25 25 25

3

33 3 33 9 2

cos40 cos80 cos202

3 3 3 33sec40 sec80 sec20 6 9 1

拉馬奴姜顯然是個等式達人也是將龐加萊孕育階段中的潛意識發揮到淋漓盡致的人

12 數亦優

最後把圍貓遊戲當成小孩子數學思考的學習單觀察不同孩子經歷準備孕育與驗證

階段的發展過程是個不錯的主題當然小孩迷失方向時老師應該適時介入給予該有的幫

忙但切忌將答案傳遞給他

附錄

101 學年度全國高中數學科能力競賽決賽在彰師大數學系舉行其中的筆試試題(一)第二題就

是證明拉馬奴姜的恆等式

3

33 3 33 9 2

cos40 cos80 cos202

在五十位考生中只有一位作對而且是位高二的女生以下是羅啟心這位女學生的作法

設

3 3 3 3 3 3cos40 cos80 cos20 cos40 cos80 cos160S

則

3

3 3 3 3 3 3

3 3 3

cos40 cos80 cos160

3 cos40 cos80 cos80 cos160 cos40 cos160

3 cos40 cos80 cos160

S

S

利用三倍角公式可知 cos40 cos80 cos160 為

3 14 3

2x x

的三個根再由根與係數的關係知道

cos 40 cos80 cos160 0

3cos40 cos80 cos80 cos160 cos40 cos160

4

1

cos40 cos80 cos1608

由第一及第二式知

3 3 3 3 3 3 3 33 cos40 cos80 cos80 cos160 cos40 cos160

2S S

現在令

3 3 3 3 3 3cos40 cos80 cos80 cos160 cos40 cos160T

則

3 33

2S TS

又

數亦優 13

3

3 3 32 2 23 3 3 3 3 3

3 3 32 2 2

2

cos40 cos80 cos80 cos160 cos40 cos160

3 cos 40 cos80 cos160 cos40 cos 80 cos160 cos40 cos80 cos 160

3 cos 40 cos 80 cos 160

3 1 13 3

4 2 2

3 3

2 2

T

T

T S

TS

綜合兩式得

3 31 3

2 4T S

將此式代入 3 33

2S TS 得

3

33 3 33 3 13 27

2 4 2S ST S S

展開整理得

9 6 3 279 27 0

8S S S

再配方得

33 27 93 27 27

8 8S

解得

33 3 9

32

S 33 9

2 或

323 9

2

即

33 3 9

32

S 33 9

32

或3

23 93

2

因為 S為實數所以 3S 也是實數因此

33 3 9

32

S

解得

33

3 93

2S

即

3 3 3 333

cos 40 cos80 cos 20 9 22

得證

14 數亦優

一前言 》

高中數學課程近幾年不斷的加入統計的課程目的是想要讓學生感覺數學更貼近我們的生

活內容包含迴歸直線抽樣統計信賴區間hellip等而信賴區間這個單元建立在一個重要的

理論之上即為中央極限定理查閱大學教材內容大多在做定理及輔助定理的推導大多數人

未能完全了解其意義在這篇文章中我們將以高中生的觀點來欣賞中央極限定理

二中央極限定理（Central Limit Theorem簡寫 CLT）是什麼 》

每四年一次的總統大選選前新聞社都會透過電話隨機抽樣的方式來估計各組候選人的

支持度若每次電話抽樣訪問新聞社都隨機挑選 100 人這樣他們便可以獲得一組平均數標

準差這樣的行為重複多次則可以得到多組抽樣並討論其平均數標準差如果多組的平

均數用柱狀圖來呈現我們可以發現圖形隨著抽樣的次數增加會接近常態分配並且當選舉

後會發現真實的支持率與所有研究者當初所做的結果平均數相同且其標準差接近原來的

1

n倍即我們討論對象已由原來調查樣本變為這些研究者為我們討論對象這便是中央極

限定理討論的內容

現在讓我們重新敘述中央極限定理（有限母體）的內容

中央極限定理（Central Limit Theorem簡寫 C L T） 設研究目標為變量 T 1 2 Nt t t 平均數 標準差 則

2

2 21 1

1

1

N N

i i Ni i

ii

t tt

N N N

每次抽樣皆取 n個並取後放回其共有 NnC m 種抽樣方法數若每次抽樣平均分別為

1 2 mx x x 其結果會成常態分配則

1 1 2 mx x x 平均數為 1 2 Nt t t

N

2 1 2 mx x x 標準差為1

1

N n

n N

另外當 N n 時標準差近似於n

接下來我們可以進一步以高中的觀點探討為何抽樣平均的平均數會與當初未知的平均數相

同抽樣平均的標準差為何是1

1

N n

n N

廖世經臺中市立東山高中

數亦優 15

三抽樣平均的平均數及標準差 》

沿用上述的定理符號可以得到

1 2 mx x x

meanm

1 2 1 3 1 1 2n n N n N n Nt t t t t t t t t

n n n

m

1

1 1 2Nn NC t t t

nm

（

1

1

1

1 N Nn n

N n N nC C

n N n N n N n N

同理

22

1

1N Nn n

n nC C

N N

）

1 2

Nn N

nC t t t

Nnm

（∵ N

nC m ）

1 2 Nt t t

N

從上式證明結果我們可以發現學者抽樣平均所做的平均數與當初我們想要研究的目標

平均數是相同的這個觀念有助於我們將來思考信賴區間的概念

抽樣平均的變異數1

1

N n

n N

推導則為

2 2 2

1 1 1 1

2m m m m

i i i

i i i i

x x xvariance

m m

(A)

首先我們先考慮(A)中的1

m

i

i

x

從平均數的推導我們得到

1

m

i

i

x

m

則

1

m

i

i

x m

(B)

再考慮(A)中的2

1

m

i

i

x

2 2 22 1 2 1 3 1 1 2

1

mn n N n N n N

i

i

t t t t t t t t tx

n n n

2 2 21 2

1 1 2 2 1 2 1 3 1

2

2N Nn N n N NC t t t C t t t t t t

n

2 2 21 2 1 2 1 3 1

2

12

1N Nn N n N N

n nnC t t t C t t t t t t

N N N

n

2 2 21 2 1 2 1 3 1

112

1N N N

nm t t t m t t t t t t

N N N

n

(C)

16 數亦優

接著先計算(C)中的 1 2 1 3 12 N Nt t t t t t

2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 3 12N N N Nt t t t t t t t t t t t

2 2 2 21 2 1 2 1 3 12N N NN t t t t t t t t t

2 2 22 21 2 1 3 1 1 22 N N Nt t t t t t N t t t

將得到的式子代回(C)得到

2 2 2 2 2 22 2

1 2 1 22

1

111N Nm

i

i

nm t t t m N t t t

N N Nx

n

2

2 2 21 2

1

1 1N

m N n m n Nt t t

N N N

n

(D)

將(B)以及(D)的結果代回(A)得到

2 2

1 1 1

2m m m

i i

i i i

x xvariance

m

22 2 2

1 22

1

1 12

N

m N n m n Nt t t

N N Nm m

nm

2

2 2 21 2

2 2

1

1 12

N

N n n Nt t t

N N N

n

22 2 2 2

1 2

11

1 1N

N n n Nt t t

n N N n N

2

2 2 21 2

1

1 1N

N n N nt t t

n N N n N

2 2 221 21

1N

N n t t t

n N N

21

1

N n

n N

數亦優 17

在大學書中中央極限定理的敘述大多直接使用標準差n

是因為當 N n 時則

11

1 1

N n n

N N

rarr1故標準差會近似於

n

四結論 》

中央極限定理的存在幫助了我們做抽樣討論時從原本我們想要研究的目標轉換到探

討研究人員所做的數據上上面所討論的方式只透過平均數變異數的定義加上組合的想

法可以讓高中生更加了解中央極限定理藉此了解數學的真善美這是研究會時分享給其他

老師的內容謝謝我的實習老師黃怡慈老師的幫忙整理

18 數亦優

一楔子 》

古希臘人尤勒士（Euathlus）向普羅塔哥拉斯（Protagoras）學習辯論術先付一半學費

另一半學費訂定契約言明等學成後在第一場辯護勝訴時再付如果敗訴則學費不必再交

但尤勒士畢業後根本不擔任辯護的工作自然也不交另一半的學費因此普羅塔哥拉斯便告

他普羅塔哥拉斯說「如果我勝訴法官當然要判他還我學費如果我敗訴那就是尤勒士勝

訴依契約他還是要還我學費」尤勒士說「如果我勝訴當然是要求法官判我不必還學費

如果我敗訴依契約我也不必還學費」請問法官該怎麼判

二歸謬證法 》

亞里斯多德認為愈重的物體落下得愈快1589 年伽利略如此舉反證把兩物 AB

綁在一起成為 A B 假設 A比 B重則由高處落下時因為 B落下的速度比 A慢把 A拖

住所以 A B 落下的速度比 A 慢又 A B 比 A 重所以 A B 落下的速度又比 A 快矛盾

所以「任何物體同時從相同的高處落下皆同時著地」伽利略如是說

99 課程綱要把歸謬證法拿掉了我猜想最少有兩位先生會很鬱卒一位是歐幾里得先生

他在《幾何原本》中用歸謬證法證明了「質數有無窮多個」另一位是蔡聰明先生他用了 28

種方法證明 2 是無理數

三直觀與證明 》

最近看到一篇文章關於 2 是無理數的證明

假設 2p

q 是有理數其中 p q是正整數且 1p q 則

2

22

p

q

直觀上「如果p

q不是整數則

2

2

p

q更不可能是整數」矛盾

所以假設錯誤即 2 是無理數得證

（這是因為如果 p q沒有相同的成分 2p 和 2q 自然也不會有相同的成分如果p

q都無法化簡

成整數2

2

p

q更沒有機會了因此這個式子是個明顯可笑的矛盾等號左邊是整數右邊不是

整數兩者怎麼可能相等）

我想提一段陳年往事多年前一次國中數學週考中某老師出了一道題目證明三角形

兩邊和大於第三邊直觀上這何需證明因為兩點之間直線最短嘛於是我買了歐幾里得

的《幾何原本》根據歐幾里得的體系證明「三角形兩邊和大於第三邊」確實需要很長的篇幅

我相信這不會是出題老師的本意我的判斷是出題老師只想要學生說明「兩點之間直線最短」

江慶昱衛道中學退休教師

數亦優 19

那麼考題應該改成請說明「三角形兩邊和大於第三邊」中學階段不必強調數學的嚴密性

這是共識（60 年代的新數學過度強調嚴密性是失敗的原因之一）但是直觀的說明與嚴格的證

明應該予以區隔這純屬我個人的看法所以我以為上述關於 2 的證明實偏向於說明（註

最早項武義先生認為他解決了克卜勒的裝填問題陳省身先生也為之背書但還是不被接受

目前公認是 Thomas Hales 解決了httpenwikipediaorgwikiKepler_conjecture數學界的所謂

「證明」自有其行規）

如何在高中引入簡易邏輯是一件困難但是值得深思的事

四等價 》

高中課程中另一個重要的邏輯概念是「等價」有一年大學聯考考這麼一題證明「海龍

公式邊長 a b c的三角形面積 ( )( )( )s s a s b s c 」那時候大學錄取率大約 30不到

補習班之間競爭非常激烈大家趕著把解答登報有一間補習班第一天是這樣證明的

因為( ) ( )( )

sin cos2 2

A s s a A s b s c

bc bc

所以1 1

sin 2sin cos ( )( )( )2 2 2 2

A Abc A bc s s a s b s c

第二天趕快發報更正因為在邏輯上第一天拿一個等價的命題當作證明等於沒有證明

換句話說患了邏輯上的錯誤了

五等價的一些例子 》

我們在國中時有這樣的性質 p三角形任兩邊和大於第三邊又在書中的同一個角落看到

q三角形任兩邊差小於第三邊很容易證明「 p q 」這種情形我們叫 p與 q等價意思是 p

與 q是同一回事以下舉一些等價的例子

1 p平行公設過直線外一點恰有一直線與之平行q三角形內角和為180

2 G是ABC的重心則 p q r三個向量式等價

1 1

3 3

p AG AB AC

1 1 1

3 3 3

q OG OA OB OC

0r AG BG CG

3 2 2 2

p u v u v

（柯西不等式） q u v u v

（三角不等式）

4 p周長固定的平面圖形中以圓形面積最大q面積固定的平面圖形中以圓形周長最小

5 (1)正弦定理(2)餘弦定理(3)投影定理 等價

6 實數的完備性有多種等價的敘述（我有一位同事到師大數學系修碩士班學分就是上了一本

這樣的書）

7 p算幾不等式q柯西不等式

20 數亦優

六算幾不等式與柯西不等式的等價 》

算幾不等式與柯西不等式在形式上相差很多兩者會等價甚感意外我第一次是在臺中一

中的網頁內看到證明過程當時沒有仔細研究後來回去找就找不到那份資料了最近上網搜

尋找到建中徐健策老師的一篇專題算是一償宿願這是我寫這篇文章的另一個因緣

七後記 》

1900 年量子力學開始萌芽到 1965 年朝永振一郎（S Tomonaga）薛文格（Julian Schwinger）

與費因曼得到諾貝爾物理獎是一段精采的故事重點是薛文格與費因曼對量子電動力學的看法

與算法南轅北轍薛文格用的是歐洲優雅的數學費因曼的路徑積分用的是圖像式的數學把

兩者結合為一或者說看出兩者的「等價性」的是戴森（Freeman J Dyson）我覺得這比證

明兩命題的等價有更深刻的意義

非歐幾何的發展也有類似的地方義大利幾何學家 Eugenio Beltrami（1835~1899）證明了

Lobachevsky（1793~1856）與 Ferdinand Minding（1806~1885）的非歐幾何模型是「等價」的

（註代數中複數平面與平面向量同構以上兩種情況說同構或等價哪一個說法比較恰當

當就教於各位）

99 課程綱要把歸謬證法放在附錄我觀察最近兩年的各校段考試題大約只有三四個學

校段考中有考歸謬證法早年國中考高中每年要考一題證明題一題尺規作圖當時我們會

努力教證明題當然包括用「窮舉法」證明「圓內接四邊形的充要條件為對角互補」基測不

考證明題後絕大部分的老師不會花時間去證明這個定理向來就是「考試引導教學」自古皆

然隋唐時期科舉要考《算經》所以宋朝有四位偉大的數學家秦九韶李治楊輝朱世傑

到明清科舉只考八股文可以印證中國數學沒落的一段史實證明與數學的關係就如同實驗與

物理的關係基測與學測不考證明題相信有不少人憂心忡忡如今又把歸謬證法拿掉（放在

附錄與拿掉等價）應該有人輾轉難眠吧

早上（2012829）看到新聞十二年國教將於後年上路臺大名譽教授劉廣定批評103

年到 107 年的高中學生要繼續接受舊課綱的教育他堅決反對沒有新課綱的十二年國教後

年就要推十二年國教課綱最快 106 年才能完成到 108 年才有新課綱教科書可用意味之前

的高中生都要繼續接受舊課綱教育芬蘭從 1980 年代開始教改先找學校試辦2000 年才全

面實施然而臺灣十二年國教從宣布到實施只有三年準備期讓人憂心

參考資料

1 蔡聰明 2 是無理數的 28 種證明數學傳播季刊第 23 卷（第 1 期）

2 王九逵邏輯與數學思維

3 南山柯西不等式與排序不等式上海教育出版社P230

4 William Dunham（1995）天才之旅牛頓出版股份有限公司P61

5 戴森（1993）宇宙波瀾天下文化

6 奧瑟曼（1997）宇宙的詩篇天下文化P84

7 Stefan Kulczycki（1992）非歐幾里得幾何學水牛出版社P32

8 蔡辰理中國數學史上的黃金時代及其四個偉大的數學家20130701 取自

httpepistemathntuedutwarticlesmmmm_03_2_07page2htmltop

9 徐健策老師專題柯西琴生與冪平均不等式20131002 取自 httpmath1cktpedutw徐健策mathhtm

數亦優 21

一研究目的 》

將一道解四元一次聯立方程式的題目利用四次多項函數且領導係數為 1 的恆等原理來解

答

二研究過程 》

已知

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

12 1 2 3 2 5 2 7

14 1 4 3 4 5 4 7

16 1 6 3 6 5 6 7

18 1 8 3 8 5 8 7

x y z w

x y z w

x y z w

x y z w

試求(1) ( )x y z w (2) x y z w

一 首先將上題解讀為解四元一次聯立方程式

設

2

3

2

2

3 5 7105 2079 429 143 1

3 5 7 11 21 1485 1001 195 1

9 385 819 495 13 7 11 135 189 231 429 1

3 5 11 13

x aa b c d

y b a b c d

a b c dz ca b c d

w d

211512 1320 2288 5

4b c d

52376 1144 208 1

4b c d

5 956 504 1584 1

4b c d

2432 640 1792 0 19 5 14 0

5 1792 3840 5632 0 7 15 22 0

b c d b c d

b c d b c d

由5 14 14 19 19 5

320 320 320 11115 22 22 7 7 15

b c d

由1

56 504 1584 1 1024 11024

b b b b b c d

代入1 1 1 175 35

5 189 231 429 1 51024 1024 1024 1024 1024

a a a

李維昌國立宜蘭高中

22 數亦優

2 2 2 3 2 23 5 7 3 5 7 11 3 7 11 13 3 5 11 13( )

1024 1024 1024 1024x y z w

即為(1)的所求

2 3 2 2

2 3

2 2

3 5 7 3 5 7 11 3 7 11 13 3 5 11 13

35 13 5 7 3 5 7 11

1024 10241 1

3 7 11 13 3 5 11 131024 1024

x y z w a b c d

11025 10395 9009 6435 36864

361024 1024

即為(2)的所求

二 嘗試利用四次多項函數且領導係數為 1 的恆等原理來解答此題

1 構造以 t為變數的四次多項函數且領導係數為 1命此函數為 ( )f t

2 2 2 2 2 2 2( ) 1 3 5 7 3 5 7f t t t t t x t t t

2 2 2 2 2 2 2 2 21 5 7 1 3 7 1 3 5y t t t z t t t w t t t

其中 x y z w四數為常數

2 2 2 2 2 2 2 2 21

2 1 2 3 2 5 2 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 1 2 3 2 5 2 7 2 3 2 5 2 7

2 1 2 5 2 7 2 1 2 3 2 7

2 1 2 3 2 5 0

x

y z

w

2(2 ) 0f

3 2 2 2 2 2 2 2 21

4 1 4 3 4 5 4 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

4 1 4 3 4 5 4 7 4 3 4 5 4 7

4 1 4 5 4 7 4 1 4 3 4 7

4 1 4 3 4 5 0

x

y z

w

2(4 ) 0f

4 2 2 2 2 2 2 2 21

6 1 6 3 6 5 6 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

6 1 6 3 6 5 6 7 6 3 6 5 6 7

6 1 6 5 6 7 6 1 6 3 6 7

6 1 6 3 6 5 0

x

y z

w

2(6 ) 0f

數亦優 23

5 2 2 2 2 2 2 2 21

8 1 8 3 8 5 8 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

8 1 8 3 8 5 8 7 8 3 8 5 8 7

8 1 8 5 8 7 8 1 8 3 8 7

8 1 8 3 8 5 0

x

y z

w

2(8 ) 0f

6 由 12345的討論可得知 ( )f t 等價 2 2 2 22 4 6 8t t t t

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 4 6 8

1 3 5 7 3 5 7 1 5 7

1 3 7 1 3 5

t t t t

t t t t x t t t y t t t

z t t t w t t t

為 t的四次多項方程式

第式等號的左式 3t 的係數＝第式等號的右式 3t 的係數

2 2 2 2 2 2 2 22 4 6 8 1 3 5 7 x y z w

2 2 2 2 2 2 2 22 4 6 8 1 3 5 7 120 84 36x y z w

即為(2)的所求

7 x的求法

將 21t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

1 2 1 4 1 6 1 8 1 3 1 5 1 7

2 1 4 1 6 1 8 1 1 3 3 5 5 7 7 9 3 5 7

2 4 4 6 6 8 10243 1 5 1 7 1

x

x

8 y的求法

將 23t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 3

2 2 2 2 2 2

3 2 3 4 3 6 3 8 3 1 3 5 3 7

3 2 4 3 6 3 8 3 1 5 1 7 3 9 5 11 3 5 7 11

2 4 2 8 4 10 10243 1 5 3 7 3

y

y

9 z的求法

將 25t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

5 2 5 4 5 6 5 8 5 1 5 3 5 7

5 2 5 4 6 5 8 5 3 7 1 9 1 11 3 13 3 7 11 13

4 6 2 8 2 12 10245 1 5 3 7 5

z

z

24 數亦優

10 w的求法

將 27t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

7 2 7 4 7 6 7 8 7 1 7 3 7 5

7 2 7 4 7 6 8 7 5 9 3 11 1 13 1 15 3 5 11 13

6 8 4 10 2 12 10247 1 7 3 7 5

w

w

11 由 78910的討論可得

2 2 2 3 2 23 5 7 3 5 7 11 3 7 11 13 3 5 11 13

( ) 1024 1024 1024 1024

x y z w

即為(1)的所求

三 結論

1 解題的巧妙與否存乎一心「學則需疑於不疑處有疑方是進矣」本題為解四元

一次聯立方程式基本解題策略為克拉瑪公式加減消去法或代入消去法三種由

於這三種計算相當繁瑣進而苦思其他對策經過一番思索驀然回首伊人卻在

燈火闌珊處竟然將此題與四次多項方程式連結在一起有了令人會心一笑的妙解

真是一次驚奇的解題之旅

2 孔子曾言「學而不思則罔思而不學則殆」我期待每次解題時皆能直搗黃龍

一眼看穿題目的堂奧之妙事後「大膽假設小心求證」檢驗過程和結果是否達

到最佳化藉由在夙昔的典範亦步亦趨臻於真善美的解題境界

數亦優 25

國立臺灣師範大學數學系

筆試一計算證明題（考試時間2 小時）

1 (1) 直角三角形的兩股長為 a b斜邊長為 c試證 3 3 3c a b （8 分）

(2) 如下圖圓 O內二直徑 AC BD互相垂直在劣弧DC上任取一點 E

試證以 AE 為一邊的正方形面積等於四邊形 ABED面積的二倍 （12 分）

2 設函數 2( ) 6 5f x x x 求坐標平面上滿足聯立不等式

( ) ( ) 0

( ) ( ) 0

f x f y

f x f y

的所有點 ( )x y 所形成的區域面積 （20 分）

3 設 a b c d 為實數且 a b c d ( ) ( )f x g x 為滿足 ( ) ( )f a f b 及 ( ) ( )g c g d 的實係數二次多

項式已知 ( ) ( )f x g x 為常數多項式證明

(1) a b c d （8 分）

(2) 2( )

2

( )2

a bf a f

a bc d c d

g c g

（12 分）

4 如下圖所示ABC和DBC為空間中的兩個等腰三角形M為線段 BC 的中點令

AB AC a DB DC b BM CM c 和DA x

(1) 已知向量內積 0AM BD

求證 2 2 22x a b c （8 分）

(2) 已知 2 2 22x a b c 求證向量內積 0AM BD

（12 分）

26 數亦優

5 師大數學系舉辦系徽設計比賽入圍決選的有四件作品由 10 名學生代表進行不記名投票

每人投兩票且兩票須投不同作品在沒有廢票的情況下試問

(1) 四件作品的得票情形共有幾種 （8 分）

(2) 得票數 高的作品恰有一件的票數分布有幾種 （12 分）

筆試二填充題（考試時間15 小時）

1 設 a為實數若對於所有實數 x2

2

32

2

x ax

x x

恆成立則 a的範圍為

2 若等比數列的第三項是1 i 第五項是1 1

16 16i 其中 1i 則此等比數列的公比為

（有兩解）

3 從1234567 等數字中選取三個排成三位數數字不重複則排出來的是 3 的倍數但不是 5 的倍數

的整數有 個

4 桌上有十個骰子當中有一個骰子出現 5 點的機率是1

2而出現其他點數的機率均等其他

九個都是均勻的骰子用隨機的方式選取一個骰子來投擲在出現 5 點的情況下被選取的

骰子是不均勻骰子的條件機率為 （答案若為分數請化為 簡分數）

5 在電腦裡有一公定的對照表（ASCII）將英文字母ABhellipZ及空格等字元分別對應至一整數

其對應數字如下表所示

字母 空格 A B C D E F G H

ASCII 碼 32 65 66 67 68 69 70 71 72

字母 I J K L M N O P Q

ASCII 碼 73 74 75 76 77 78 79 80 81

字母 R S T U V W X Y Z

ASCII 碼 82 83 84 85 86 87 88 89 90

數亦優 27

我們可利用此對照表在 facebookTM 傳送保密訊息給朋友我們與朋友約定所有的英文字母及

空格皆以對照表中的整數替代例如「HE IS DAVID」的訊息用「7269327383326865867368」

取代然後將此數字字串的奇數項排在矩陣的第一列偶數項排在第二列形成以下矩陣

7 6 3 7 8 3 6 6 8 7 6

2 9 2 3 3 2 8 5 6 3 8B

再與二階方陣

1 2

2 3A

相乘得到

11 24 7 13 14 7 22 16 20 13 22

20 39 12 23 25 12 36 27 34 23 36AB

後依上述規則反求得字串「11202439071213231425071222361627203413232236」傳送給朋

友如此他人便不能立即得知傳送之內容現在在此規則下你接收到數字字串

「233825411222213516271932」可以轉成矩陣

23 25 12 21 16 19

38 41 22 35 27 32

其所代表之訊息為

6 坐標平面上圓 C通過點 (02) 且 C與兩直線 3 2 0 1 0x y y 皆相切則圓 C的方程

式為

7 坐標空間中ABC的三頂點分別為 (1 11) ( 321) (5 43)A B C P為ABC內部一點且

令P到 AB BC CA的距離分別為 x y z則 2 2 2x y z 的 小值為 （答案若為分數

請化為 簡分數）

8 函數 4 4( ) cos 3sinf x x x 的 小值為

9 設 為實數若

cos 0 sin

0 1 0

sin 0 cos

A

則 5A

10 袋中有編號分別為 1 到 6 的六個球從袋中隨機選取兩球令隨機變數 X表示在被選取的

兩球中球號比袋中剩下的球號都大的球的個數（例如如果選到 2 號和 3 號球那袋中剩

下的就是 1456 號球因為選出的球中並沒有比 1456 都大的球號故這種情況下 0X ）

隨機變數 X的期望值為 （答案若為分數請化為 簡分數）

28 數亦優

筆試一計算證明題

1 (1) 利用 2 2 2c a b 及 c a c b 得

3 2 2 2 2 3 3c c a b ca cb a b

(2) 過 E作 EF AC 則

四邊形 ABED的面積

1 1

2 21

21

2

ABD BDE

BD AO BD OF

BD AO OF

AC AF

又在直角三角形 ACE中因為2

AE AC AF 所以2

AE 四邊形 ABED面積的兩倍

2 因為

2 22 2( ) ( ) 6 6 10 3 3 8f x f y x y x y x y

2 2( ) ( ) 6 6 6f x f y x y x y x y x y

所以

2 23 3 8( ) ( ) 0

( ) ( ) 0 6 0

x yf x f y

f x f y x y x y

因此滿足上述條件的所有點 ( )x y 為

22 23 3 8

0 6 0

x y

x y x y

或 22 2

3 3 8

0 6 0

x y

x y x y

其所圍成的區域如下圖所示面積為 218 4

2

數亦優 29

3 (1) 依題意可設 ( ) ( )f x r x a x b s g x r x c x d s

因為 ( ) ( )f x g x 是常數多項式所以比較一二次項係數知

r r r a b r c d

得 a b c d

(2) 由 2 2

( )2 4 4

a b a ba bf r s r f a

得

2

4 ( )2a b

f a f

ra b

故得證

註1o 也可利用對稱性知 ( )y f x 的頂點之 x軸坐標為2

a b ( )y g x 的頂點之 x軸坐標

為2

c d而得證

2o 亦可用插值多項式證明

4 (1) 由向量分解DA DM MA DB BM MA

得

2 22 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2

2

2 2

DA DA DM MA DM MA DM MA

b c a c DB BM MA

b a c DB MA BM MA

因為 0AM BD

且 BM MA 所以

2 2 2 22DA b a c

因此

2 2 22DA a b c

(2) 由(1)及 BM MA 可得

2 2 2 22 2DA b a c DB MA

依題意知 2 2 22DA x b a c 即

22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2b a c b a c b a c DB MA

故

0DB MA

30 數亦優

5 (1) 由題意可以知道

1 四件作品所得的總票數為 20 票

2 每件作品 多可以得到 10 票

令四件作品的得票數分別為 x y z u由1 2 可得

200 10x y z u x y z u

因為 0 10x y z u 所以 420H 須扣掉11 20x y z u 的情況由 20x y z u 且

0x y z u 可知 多只有一個票數會大於等於 11假設 11x 令 11x x 可得

90 9x y z u x y z u

此情況有 4 129 9 220H C 種

因此票數分布為 4 420 94 1771 4 220 891H H 種

(2) 假設得票數 高為 x由題意可得

200 10x y z u y z u x

因為 y z u x 也就是 1y z u x 所以

1 1 1 4 3x y z u x x x x x

由 20x y z u 得

20 4 3x

即

23

4x

因此當 6x 時才會滿足只有一件作品得票數 高且票數為 x

當 6x 時

140 5y z u y z u

滿足此情況的 y z u有 (554)(545)(455) 3 種

當 7x 時

130 6y z u y z u

因為 13y z u 且 0y z u 所以 y z u 多只有一個會大於等於 7

由(1)可知滿足此情況有 3 3 15 813 6 13 63 3 105 84 21H H C C 種

同理

當 8910x 時 y z u 多只有一個會大於等於 8910故

當 8x 時有 3 3 14 612 4 12 43 3 91 45 46H H C C 種

當 9x 時有 3 3 13 411 2 11 23 3 78 18 60H H C C 種

數亦優 31

當 10x 時有 3 3 12 210 0 10 03 3 66 3 63H H C C 種

因此滿足只有一件作品得票數 高的情形有

4 3 21 46 60 63 772 種

筆試二填充題

1 2 3 4 5

0 4a 2 2

8 8i

66 1

4 NORMAL

6 7 8 9 10

2 2

3 1 4x y

2 2

3 3 5 36x y

（或是 2 2 2 3 2 0x y x y ）

50

79

3

4

cos5 0 sin 5

0 1 0

sin 5 0 cos5

2

5

32 數亦優

《接續PartI 請見數亦優第 21 期》

四 正多邊形

(一) 除了正方形及三角形以外我們還考慮將其他形狀組合討論其撕裂次數是否與正方

形三角形相同

(二) 並非所有正多邊形皆可組合若內角非360

kk

便不能組合例如

1 正五邊形的內角和180 3 540 則一個內角為108但108 360 k k

無法將五邊形完整組合必有空隙

2 正六邊形的內角和180 4 720 則一個內角為120因為120 3 360

則任三個相同的正六邊形皆可相互組合

(三) 完整排列正六邊形為例以 m張排列

例 1 一頁 5 個正六邊形排列

撕開 2 次使下排的兩個正六邊形與上排分開再逐一將上排撕開共需 4 次

由例 1撕的次數結果皆為 1m 次

（Part II） 陳敏晧國立蘭陽女中

數亦優 33

(四) 內部有洞正六邊形為例m張 n個洞排列

例 2 一頁 11 張且 2 洞排列

先撕開 2 次使其成為無洞排列再撕開 1 次使其變成兩頁完整排列再逐一撕開

共需 12 次

由例 1與例 2得知撕的次數結果皆為 1n m 次

五 「切割」的定義

(一) 我們從平面延伸到立體討論柏拉圖的五個正多面體先將正多面體每面切開分開

的次數是否也有彼此相似之處

(二) 因為立體無法如平面一樣用撕的故用切的而計算次數的定義與方法也與平面有很

大的差異

(三) 「切一次」的定義與限制沿著稜邊切下一個面才算作「一次」第一次切下後

便將封閉的正多面體打開此後每切一次都必須從開放的稜邊切下不可再一次從

封閉的面切下

以正六面體為例

此為一個完整封閉的正六面體

第一次沿著粗線切開可切下一個面

34 數亦優

六 柏拉圖多面體

1 正四面體

第一次將底面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 3 個面切下共需切

1 3 1 3 次

2 正六面體

第一次將頂面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 5 個面切下共需切

1 5 1 5 次

斜線部分為第一次被切下的面

封閉正六面體被打開後第二次只能從

開放的 4 條稜邊（粗線）切下

第二刀不可再從封閉面（粗線）開始切

數亦優 35

3 正八面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 7 個面切下共

需切 1 7 1 7 次

4 正十二面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 11 個面切下共

需切 1 11 1 11 次

5 正二十面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 19 個面切下共

需切 1 19 1 19 次

36 數亦優

由上述例子可得知切割次數皆剛好為正多面體的(總面數 1 )次

研究發現

內部有洞洞數 a b 其中 a洞的個數b每個洞的張數

矩 形

完整排列

邊長 邊長 總張數 撕的次數

2 2 4 3

4 5 20 19

不規則排列

總張數 撕的次數

10 9

13 12

內部有洞

邊長 邊長 洞數 總張數（邊長 邊長 洞的張數） 撕的次數

3 3 1 1 8 3 3 1 8

3 5 2 1 13 3 5 2 14

三 角 形

完整排列

邊長 總張數 撕的次數

2 4 3

3 9 8

不規則排列

總張數 撕的次數

10 9

13 12

內部有洞

邊長 洞數 總張數（邊長平方 洞的張數） 撕的次數

規

則

4 1 1 15 4 4 1 15

5 1 1 24 5 5 1 24

5 1 2 23 5 5 2 23

5 1 3 22 5 5 3 22

6 1 1 35 6 6 1 35

6 1 2 34 6 6 2 34

6 2 1 34 6 6 2 1 35

6 3 1 33 6 6 3 1 35

6 1 2 1 1 33 6 6 2 1 34

7 2 2 45 7 7 2 2 46

不

規

則

1 1 22 22

1 1 23 23

1 2 32 32

數亦優 37

六 邊 形

完整排列

總張數 撕的次數

3 2

5 4

內部有洞

洞數 總張數 撕的次數

1 1 6 6

2 1 11 12

正 多 面 體

面數 撕的次數

正四面體 4 3

正六面體 6 5

正八面體 8 7

正十二面體 12 11

正二十面體 20 19

目前的研究我們發現了以下獨特的結論平面幾何圖形中矩形正三角形和正六邊形的

規則形狀與不規則形狀紙張之最佳撕法都是(總張數 1 )次矩形正三角形及正六邊形排列成

內部有 n個洞且 m張的紙張之最佳撕法都是 1n m 次而柏拉圖立體的最少切割次數皆為

正多面體的(總面數 1 )次最重要我們發現其實撕裂或切割次數與撕裂或切割方法（或順序）

無關

參考資料

1 陳美如（200003）撕郵票問題數學傳播第 24 卷第 1 期P82~86

2 許志農與奇人相遇httpmathntnuedutw~macomeethtm

3 林義強多面體簡介第一屆全國高中數學教學研討會論文集P177~192

參數學專題研究反思 》

上述作品得到今年北一區數學科展優等過程中我與學生教學相長高二學生因為所學的

數學很有限所以數學解題層次會有侷限但是相對地數學思維與想像力卻是受過數學訓練

的我們所不及的在這次數學專題研究中我扮演的角色是諮詢者協助者鼓勵者完成任

務是那三位鍥而不捨的同學鄭羽呈李依庭林佩柔 勘誤 第 21 刊〈高中數學專題研究教案（PartI）〉 P34 倒數第 6 行「設m k 」應改為「設m k 」 P36 第 3 行「設m k 」應改為「設m k 」 P38 內部有洞的 1(1)~(4)分類應改為「1(1)一頁 24 張內部有一個洞一張為 1 洞」

「1(2)一頁 23 張內部有一個洞兩張為 1 洞」 「1(3)一頁 23 張內部有一個洞兩張為 1 洞」 「1(4)一頁 22 張內部有一個洞三張為 1 洞」

38 數亦優

動手玩數學 許志農臺灣師大數學系

在 下 圖 中已 知 ABC為 直 角

三 角 形 1AB 求

(1) 線段 AD的長度（化為最簡形式）

(2) 餘切 cot24

的值

〔玩鎖玩索〕

這道問題改編自「求 cot24

的值」這道

教師甄選試題關於這道餘切求值問題

有兩位老師的作法是用標準特別角出發

再求出欲求的餘切值

底下是另一位老師的作法

已知 ABC 為 直 角 三 角 形 4AC 求

AB BC及 cot24

的值

請 加 上 線 段 使 下 圖 分 成 五

份 形 狀 完 全 相 等 的 部 分（翻面

相等也算）

或 許 下 圖 對 你 會 有 些 幫 助 它 們 是 四 份

形 狀 完 全 相 等 的 部 分

〔玩鎖玩索〕

這是 1998 年夏天香港中文大學教育學

院第二次舉辦暑期資優課程中在數學有關的

工作坊裡的一道測智遊戲

遊戲 85

遊戲 86

數亦優 39

在 坐 標 平 面 上 畫 一 直 線 1L在

線 上 任 取 一 點O 以O為 旋 轉

中 心依 逆 時 針 方 向 將 直 線 1L

旋 轉 120得 到 直 線 2L 如 下

圖 所 示

已 知 直 線 1L 的 斜 率 為m求 證 直 線 2L 的 斜

率 為

3

3 1

m

m

〔玩鎖玩索〕

直線是平面幾何上的重要元素而斜率又

是直線在代數上的代言人掌握斜率就如同控

制直線一樣從逆轉120的 直 線 斜 率 公 式

不 難 知 道 坐 標 平 面 上 的 正 三 角 形 之 三

條 邊 斜 率

1 2 3 m m m

是可以互相推導的即由 1m 可 以 得 到 2m 與

3m 的 公 式 而 且 還 知 道 以 下 兩 個 恆 等 式

1 2 2 3 3 1 3m m m m m m

1 2 31 2 3

1 1 19m m m

m m m

宇 富 怕 手 機 被 盜 打 每 日 更

換 開 機 密 碼為 了 便 於 記 憶

他 想 到 一 則 更 換 密 碼 的 算 術

通 則 「 昨 天 密 碼 為p 今

日 的 密 碼 就 更 新 為1

1

p

p

」

宇 富 跟 所 有 的 人 說「 我 已 經

使 用 這 密 碼 通 則 500天 了 而

且 第 一 天 的 密 碼 就 設 為 2 1

相 信 各 位 算 到 手 痠也 無 法 算

出 今 天 的 開 機 密 碼 」

徵求可以破解開機密碼的人士

〔玩鎖玩索〕

如果第一天的密碼為 那麼破解密碼

的難度有增加嗎

遊戲 87

遊戲 88

40 數亦優

動動手手玩玩數數學學~~破破解解秘秘笈笈

遊戲 81

如圖所示

(1) 考慮 ABC 因為 8sin15AB BC 且

150ABC 所以 ABC 為等腰三角

形且 15BAC 因此

2 cos15 2 8sin15 cos15AC AB

1

8sin30 8 42

(2) 仿照(1)的方法 ACE 也是等腰三角

形且 30CAE 因此

32 cos30 2 4 4 3

2AE AC

遊戲 82

秦九韶這個依括弧次序求函數值 f a 的演

算法就是高中數學多項式那章所介紹的綜

合除法

2 5 4 8

2

2

a

a

仔細計算上述綜合除法的空白位置可以發

現小中大括弧位置所代表的值與秦九韶

小中大括弧內的值完全一樣

遊戲 83

(1)

2cos 2cos24 24cot

24 sin 2sin cos24 24 24

1 cos1 cos

3 412

sin sin12 3 4

(2) 因為

cos cos cos sin sin3 4 3 4 3 4

1 2 3 2

2 2 2 2

2 6

4 4

及

sin sin cos sin cos3 4 3 4 4 3

3 2 2 1

2 2 2 2

6 2

4 4

所以

2 61 4 6 24 4cot

24 6 2 6 24 4

2

4 6 2 6 2

6 2

2 2 3 6

遊戲 84

令

2 3A a b c b c i

2 3B c a b a b i

2 3C b a c c a i

且

1 3

2

i

因為 2A C B

所以 3 3 3 6 3A C B

又因為 3 6 1 所以 3 3 3A B C

得證

ltlt ASCII85EncodePages false AllowTransparency false AutoPositionEPSFiles true AutoRotatePages All Binding Left CalGrayProfile (Dot Gain 20) CalRGBProfile (sRGB IEC61966-21) CalCMYKProfile (US Web Coated 050SWOP051 v2) sRGBProfile (sRGB IEC61966-21) CannotEmbedFontPolicy Error CompatibilityLevel 13 CompressObjects Tags CompressPages true ConvertImagesToIndexed true PassThroughJPEGImages true CreateJobTicket false DefaultRenderingIntent Default DetectBlends true DetectCurves 00000 ColorConversionStrategy LeaveColorUnchanged DoThumbnails false EmbedAllFonts true EmbedOpenType false ParseICCProfilesInComments true EmbedJobOptions true DSCReportingLevel 0 EmitDSCWarnings false EndPage -1 ImageMemory 1048576 LockDistillerParams false MaxSubsetPct 100 Optimize true OPM 1 ParseDSCComments true ParseDSCCommentsForDocInfo true PreserveCopyPage true PreserveDICMYKValues true PreserveEPSInfo true PreserveFlatness true PreserveHalftoneInfo false PreserveOPIComments true PreserveOverprintSettings true StartPage 1 SubsetFonts true TransferFunctionInfo Apply UCRandBGInfo Preserve UsePrologue false ColorSettingsFile () AlwaysEmbed [ true ] NeverEmbed [ true ] AntiAliasColorImages false CropColorImages true ColorImageMinResolution 300 ColorImageMinResolutionPolicy OK DownsampleColorImages true ColorImageDownsampleType Bicubic ColorImageResolution 300 ColorImageDepth -1 ColorImageMinDownsampleDepth 1 ColorImageDownsampleThreshold 150000 EncodeColorImages true ColorImageFilter DCTEncode AutoFilterColorImages true ColorImageAutoFilterStrategy JPEG ColorACSImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt ColorImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt JPEG2000ColorACSImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 30 gtgt JPEG2000ColorImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 30 gtgt AntiAliasGrayImages false CropGrayImages true GrayImageMinResolution 300 GrayImageMinResolutionPolicy OK DownsampleGrayImages true GrayImageDownsampleType Bicubic GrayImageResolution 300 GrayImageDepth -1 GrayImageMinDownsampleDepth 2 GrayImageDownsampleThreshold 150000 EncodeGrayImages true GrayImageFilter DCTEncode AutoFilterGrayImages true GrayImageAutoFilterStrategy JPEG GrayACSImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt GrayImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt JPEG2000GrayACSImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 30 gtgt JPEG2000GrayImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 30 gtgt AntiAliasMonoImages false CropMonoImages true MonoImageMinResolution 1200 MonoImageMinResolutionPolicy OK DownsampleMonoImages true MonoImageDownsampleType Bicubic MonoImageResolution 1200 MonoImageDepth -1 MonoImageDownsampleThreshold 150000 EncodeMonoImages true MonoImageFilter CCITTFaxEncode MonoImageDict ltlt K -1 gtgt AllowPSXObjects false CheckCompliance [ None ] PDFX1aCheck false PDFX3Check false PDFXCompliantPDFOnly false PDFXNoTrimBoxError true PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 000000 000000 000000 000000 ] PDFXSetBleedBoxToMediaBox true PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 000000 000000 000000 000000 ] PDFXOutputIntentProfile () PDFXOutputConditionIdentifier () PDFXOutputCondition () PDFXRegistryName () PDFXTrapped False CreateJDFFile false Description ltlt ARA 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 BGR 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 CHS 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 ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 50 and later) CHT ltFEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002gt gtgt Namespace [ (Adobe) (Common) (10) ] OtherNamespaces [ ltlt AsReaderSpreads false CropImagesToFrames true ErrorControl WarnAndContinue FlattenerIgnoreSpreadOverrides false IncludeGuidesGrids false IncludeNonPrinting false IncludeSlug false Namespace [ (Adobe) (InDesign) (40) ] OmitPlacedBitmaps false OmitPlacedEPS false OmitPlacedPDF false SimulateOverprint Legacy gtgt ltlt AddBleedMarks false AddColorBars false AddCropMarks false AddPageInfo false AddRegMarks false ConvertColors ConvertToCMYK DestinationProfileName () DestinationProfileSelector DocumentCMYK 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數亦優 3

半張棋盤上的 45 顆棋子騰空躍起一匹馬以敏捷的馬步迅

速地將它們串連成了一條直線避免所有棋子散落一地

在 1783 年晚餐後尤拉一邊喝著茶一邊和小孫女玩耍突然之間煙斗從他手中掉了

下來他說了一聲「我的煙斗」並彎腰去撿結果再也沒有站起來他抱著頭說了一句「我

死了」尤拉停止了生命和計算尤拉是數學史上 多產的數學家現在常用的數學符號很多

都是尤拉所發明的例如函數符號 ( )f x 圓周率 自然對數的底 e log xsin xcos x

以及虛數單位 i等

尤拉恆等式

1 0ie

曾經被兩本數學雜誌評選為史上 漂亮數學公式的第一名尤拉本人也非常喜歡這恆等式

原因是式子中的 0 與 1 分別是加法與乘法的單位元素式子中還有加法乘法與次方三種運

算並且涵蓋虛數 i及圓周率 兩個重要的數學符號下圖則是尤拉注視著現代蘋果電腦公司

在 i-phone 手機背殼上所刻的尤拉恆等式

larr 尤拉

提到尤拉就讓人聯想到他在哥尼斯堡七橋問題上的畫龍點睛之作每座城市被濃縮成為

一個點而橋樑被幻想成為連接兩點間的線段這出神入化的轉換讓網絡圖解決了七橋問

題在當時也只有鬼魅數學家尤拉才想得出來哥尼斯堡七橋問題是基於一個現實生活中

的事例當時東普魯士哥尼斯堡（今日俄羅斯加里寧格勒）市區跨普列戈利亞河兩岸河中

心有兩個小島小島與河的兩岸有七座橋連接哥尼斯堡市長要求尤拉找出一條散步路線

讓人能走經哥尼斯堡的七座橋而且每座橋只能經過一次

許志農臺灣師大數學系

4 數亦優

哥尼斯堡七橋問題是現代圖論中的有名問題這個問題在所有橋都只能走一遍的前提下如

何才能把這個地方所有的橋都走遍於 1736 年尤拉在聖彼得堡科學院發表了圖論史上第一

篇重要文獻圓滿地解決了七橋問題並證明市長要求的散步路線並不存在也順帶解決了

所謂的「一筆畫問題」

尤拉把實際的問題簡化為平面上點與線的網絡圖每一座橋視為一條線橋所連接的地

區視為點這樣若從某點出發後 後再回到這點則這一點所連出去的線數必須是偶數條

為了方便解釋把連出去的線數為奇數的點稱為奇點而連出去的線數為偶數的點叫偶點

而所謂的網絡圖能一筆畫就是可以從某起點出發在每條線剛好畫過一次的條件下 後畫

到另一個終點要注意的是起點是可以等於終點

更詳細的討論是如果一個網絡圖能一筆畫完成那麼一定有一個起點開始畫也有一

個終點有一條邊進這點那麼就要有一條邊出去有進無出的點肯定是終點而有出無進

的點就是起點因此在「過路點」進出的邊總數應該是偶數即「過路點」是偶點綜合起

來能一筆畫完成的網絡圖必須具備以下兩個條件中的一個

1 如果起點和終點是不一樣那麼起點與終點必須是奇點

2 如果起點和終點是同一點那麼它也是屬於「有進有出」的類型因此必須是偶點這個

網絡圖上的每個點都必須是偶點

尤拉把哥尼斯堡附近的地圖轉化成可以用一筆畫思考的網絡圖其中 ABCD四點代表四塊區

域濃縮所產生的點而點與點的連線就是橫跨區域之間的橋樑

因為四個點都是奇點所以無法將這網絡圖一筆畫把這線條圖上的推論還原回實際的問題

就是告訴我們遊覽哥尼斯堡的七座橋而且每座橋只能經過一次的散步路線是不存在的

哥尼斯堡七橋問題是一道「無解」的問題而這個無解並不是幾何學裡的邊長與角度兩

個量度上的無解而是將城市縮成一個點橋樑當成連接點與點之間的線段透過有出就有

進的一筆畫原理說明「哥尼斯堡市長所要求的散步路線是不存在的」尤拉的一筆畫作法使幾

何學擺脫了測量距離與角度的負擔而開啟了現代拓樸學的一扇窗有了七橋問題的經驗之

後碰到幾何問題不一定要從長度與角度的幾何量著手也可以考量其他的方法

底下就是一道典型的幾何謎題切下棋盤斜對角線上的兩個邊角如下左圖所示然後

你是否可以用 31 張長方形骨牌去完全覆蓋這個棋盤每一張骨牌的大小必須剛好覆蓋棋盤上

相鄰的兩個正方格

數亦優 5

這道謎題對經驗不足的初學者來說簡直是一道難題但對看過解答的老鳥來說卻又是送

分題我們只需將棋盤塗成黑白相間的西洋棋盤樣式如上右圖所示接著發現每塊骨牌

無論橫著擺或者縱著放都剛好占據一格黑色與一格白色的正方格而這棋盤一共有 62 格正

方格需要 31 塊骨牌才能蓋滿但這 31 塊骨牌應該蓋住「31 格黑色正方格與 31 格白色正方

格」這剛好與棋盤上的「32 格黑色正方格與 30 格白色正方格」相抵觸也就是說這也是

一道無解的問題

「數學知識是被發現還是被發明或者被創造的或者兩者皆有」是一道有趣的哲學問題

同樣的「數學遊戲是被發現還是被發明或者被創造的或者兩者皆有」也是各說各話的問題

像網絡圖的一筆畫原理是因七橋問題而誕生還是七橋問題只是一個動機讓早就存在的數

學知識「一筆畫原理」被數學家發現呢接下來是遊戲時間讓我們介紹一道象棋的啟蒙遊

戲hellip老馬識途

中國象棋盤由九道直線和十道橫線交叉組成棋盤上共有 90 個交叉點象棋子就擺放和

活動在這些交叉點上棋盤分成兩個半張每半張都是由九道直線和五道橫線交叉組成共

有 45 個交叉點

一隻馬能否跳遍半張空象棋棋盤上的每一個交叉點答案是肯定的稍具象棋知識的人都

能準確回答這個問題但是若進一步要求是否能找到一條路徑讓馬跳遍半張空棋盤上所

有交叉點的過程中任意一個交叉點只允許被馬踩過一次後面這個問題恐怕要難倒許多

人了這個古老難題在西方稱之為「騎士旅遊」早在十六世紀時瑞士數學家貝爾特蘭德

即提出這個問題著名的大數學家尤拉在 1759 年開始研究它並獲得了一般解法

6 數亦優

讓我們將思緒跳回到半張象棋棋盤上如下圖將 45 個交叉點塗上黑白的顏色計算

一下有 23 個交叉點被塗上黑色其餘的 22 個交叉點被塗上白色（包括馬所在的位置也是

白色）

馬從白色交叉點出發是否可以找到一條路徑讓每一個交叉點剛好被馬踩過一次用馬走

的日步模擬一下不難發現前後兩步分別會落在不同顏色的交叉點上既然馬從白色交叉

點出發這代表馬的奇數步落在白色交叉點而偶數步停在黑色交叉點上又半張棋盤一共

有 45 個交叉點若馬找到每一個交叉點剛好被踩過一次的旅行方式則奇數步有 23 步偶

數步有 22 步也就是說馬會踏過 23 個白色交叉點及 22 個黑色交叉點這顯然與半張棋盤

上的交叉點顏色分布不合那就是說馬從白色交叉點出發是沒辦法完成旅行的

後來一道象棋專家的餘興節目我們把馬起始位置改變一下讓馬從黑色交叉點開始

跳躍結果又如何呢各位可以從下圖中動手嘗試看看能否讓馬剛好踩過每個交叉點一次

的前提下讓馬以日步完成半張象棋棋盤的旅行

這是一道帶有東方色彩的餘興節目「馬走日步」更是道地的中國口味在中國馬是一種獨

特的動物牠可文可武可以是人文藝術與棋藝的主題也可以是主導整齣戰爭歷史的利

器可以是貴族用來標示身分地位的象徵也可以是攸關庶民生活的重要寄託我們很難找

到一種功能如此多元指向如此豐富可平實又可高貴與人長期相伴的動物

在餘興節目中稱這遊戲為老馬識途是有數學典故的而這典故跟唐朝及中國數學家

陳省身有關聯唐太宗昭陵上有六匹駿馬的浮雕石刻聞名於世俗稱昭陵六駿（白蹄烏

青騅颯露紫拳毛騧特勤驃什伐赤）這六匹戰馬是李世民在唐開國戰爭中南征北討的

坐騎並命唐初大畫家閻本立繪草圖監石雕而成因而有

「秦王鐵騎取天下六駿功高畫亦優」

這樣的詩句流傳於世這六匹馬中的颯露紫與拳毛騧於 1914 年被盜運往美國現藏於美國

費城賓夕法尼亞大學博物館它們的複製品與其餘四匹駿馬的真品陳列於西安碑林博物館

數學家陳省身有感於古物流落他鄉的遺憾特在偉大數論學家韋依所著的《數論》這本書的

扉頁上用毛筆書寫著「老馬識途」四個中文字並附上拳毛騧的圖片渴望它們早日回歸

故里

數亦優 7

唐太宗懷念的這六駿有的在箭雨中穿行帶傷而馳有的跨河飛奔越野而去有的

緩步慢行若有所思閻本立所草繪的六匹駿馬中三匹作騰蹄飛奔之狀三匹為站立徐行

的姿勢有些馬則身中數箭甚至有一幅是描述邱行恭武將替太宗的一匹愛馬拔箭的情景

後讓我們回到尤拉如開頭所言虛數單位 i是尤拉發明的想必尤拉在方程式上也有

很大的貢獻這裡提出一則尤拉在解方程式上的天才之旅在「代數基本定理」尚未被證明

正確之前萊布尼茲就質疑過「每個實係數多項式都可以分解成一次或者兩次實係數多項式

的乘積」的正確性數學家白努力更舉一個精確的例子說「四次多項式 4 3 2( ) 4 2 4 4f x x x x x

就不可能分解成兩個實係數多項式的乘積」

然而代數大師尤拉在 1742 年時將白努力所舉的四次多項式 ( )f x 分解為二次多項式

2 2 4 2 7 1 4 2 7 7x x

與另一個二次多項式

2 2 4 2 7 1 4 2 7 7x x

的乘積如果再套一下一元二次方程式根的公式解那麼尤拉就把這個四次多項式方程式的

四個根都精確的表達出來了真不知道這神奇的因式分解是如何想出來的

像這種類似的例子還有許多例如將乘式

2 210 2 5 10 2 5 10 2 5 10 2 55 5

2 2x x x x

乘開也是一個以整數為係數的四次多項式

尤拉是第一位將 1 的平方根 1 定義為 i的數學家究竟在那個時代人們如何理解 i這

個「數」呢我們以尤拉的一段話來作結束「所有可能的數不是大於 0 就是小於 0 或等於 0

所以負數的平方根就不能是個數既然是不可能的數hellip我們只能稱之為虛數因為只有

在虛幻中才會有這樣的數」

尤拉尤拉20131018 取自 httpaprendiendomatematicascombachilleratolos-puentes-de-konigsberg

8 數亦優

運籌於帷幄之中以空間換取時間決勝於千里之外

玩電腦上的遊戲到底利多還是弊多我教過一位女大學生高中時因愛玩電玩遊戲「楓

之谷」高一高二多是資優班倒數高三才發憤圖強順利考上公費生讀博士班時我的

室友每天都玩電腦上的遊戲沉溺到連指導教授都經常來關切最近樓下的鄰居說「他兒

子最近被電玩遊戲迷住了連補習都不想去上」諸如此類的情形在中學或大學應該是很

普遍的現象我孩子就讀的小學有一間超過百坪大的教室裡面擺滿兩三百種益智小遊戲

坊間看得到的都在裡面而且每位小朋友每學期都要上六次「數學探索」的課程其實就是

在探索那些益智遊戲我當了一學年的數探志工覺得這課程還不錯究竟沉溺於電玩遊戲

跟玩益智小遊戲要如何區別呢我們可以慎選出具有啟發或啟蒙意義又不會讓小孩沉溺於

其中的遊戲嗎

最近心理學家發現休閒放鬆類的簡單小遊戲才能提高快樂感達到減壓效果據美

國媒體報導美國俄亥俄州立大學傳播和心理學教授布拉德布希曼等人招募了一些志願者

玩不同種類的遊戲研究人員清楚地發現那些玩休閒小遊戲的人自我感覺更舒服更快樂

能體驗到較多的正面情緒而玩暴力遊戲的人則攻擊性和侵略性增強此外玩了一會兒休

閒小遊戲比如和小動物互動之後人們會變得更親切更願意主動幫助他人希望本章所

要介紹的遊戲也是心理學家們發明的「圍貓遊戲」可以達到這個效果甚至超過這個功能

達到啟蒙的意義

圍貓遊戲是心理學家所設計出來的一道數學遊戲遊戲背景是平面上放置許多排列整齊

的圓圈一隻貓位於正中央的圓圈上而有少許的圓圈是黑色這是一場圍貓者與貓的鬥智

遊戲圍貓者每次可以點選一個圓圈讓它變成黑色而貓每次必須移動到鄰近還尚未變成黑

色的圓圈上當貓被黑色圓圈圍住時貓就被捉擒了但若貓跑出所有的圓圈外則圍貓失

敗

這遊戲是心理學家發明的心理學家把貓視為需要接受輔導的對象（如叛逆的學生）而

圍貓的人是輔導人員（如學校的導師）而黑色圓圈是貓的朋友輔導人員或學校導師必須透

過這些朋友的幫忙將貓咪圍起來才算輔導成功

許志農臺灣師大數學系

數亦優 9

日本 Game Design 團體將圍貓遊戲數位化寫成 Flash 的版本讓圍貓遊戲成為線上遊戲

的一種各位可以在網路上用「圍貓遊戲」四個字搜尋就能在線上玩圍貓遊戲了這遊戲

除了好玩之外還可以測試玩者的決策能力在布滿圓形的長方形棋盤上每個圓形都與六

個圓形相連一隻貓立於棋盤中央的圓形內玩者每次點選一個圓形塗黑來圍堵貓但貓可

以往尚未被塗色的隔壁圓形移動究竟鹿死誰手就要看 Game Design 的設計功力與圍貓者

的技巧誰強了下圖是貓被圍住的一種情形

用堵貓的方法進行圍貓遊戲經常沒辦法成功主要是因為貓有六個方向可以逃竄圍

堵方法很難奏效那麼圍貓遊戲是一種純靠運氣的遊戲嗎應該也不是我們可以往數學層

面來思考在進入更深入的討論之前回想一下國中時「任一三角形 ABC的內角和剛好等於

180」是如何證明的讓小朋友站在 A點朝向 B點往 B點走去當走到 B點時原地旋

轉轉到臉朝 C點的方向接著往 C點走去又當走到 A點時並原地旋轉轉到臉朝 B點

的方向停了下來此時小朋友回到出發前的 A點且臉部朝向的方向相同（都朝向 B點）

這告訴我們「小朋友一共轉了完整的一圈即 360的意思」另外我們在三角形 AB及 C三

個頂點上分別畫出旋轉的角度會發現他們都是外角

因為 AB及 C每點都是由一對內角及一對外角構成所以三角形的內角和就是

3 360 2 360180

2

證明三角形內角和等於180的概念真的對圍貓遊戲有所幫忙或者啟發嗎且讓我們深入

一點來探討圍貓遊戲吧圍貓棋盤上貓有六個方向可以逃竄用堵貓的方式圍貓肯定很難

奏效貓移動速度過快無法圍住所以利用空間爭取時間是個不錯的圍法但究竟要離貓

多遠的地方開始圍起呢這可能要根據貓有多少朋友這些黑色圓圈如何分布來決定了又

以何種形狀來圍住貓呢是圓形三角形長方形或者還有其他各種不同的形狀呢因為貓

10 數亦優

有六個方位可以逃所以用六邊形來圍貓是個不錯的想法舉例來說在下圖中貓僅有三

位朋友照理說圍住貓很難但是可以先想辦法幫貓製造比較多的朋友

在下圖中幫貓找到了三位朋友讓六位朋友位於凸六邊形的六個頂點上但我們也要付出

讓貓移動三步的代價還好此時貓還沒跑出六邊形外代表還有機會圍貓成功

從上圖可以洞悉貓想要往北邊逃竄當務之急當然是把北邊守住然後牽引貓順著六邊形

的邊移動在碰到頂點時帶著貓轉彎如下圖所示

繼續牽引貓順著六邊形的邊移動在碰到頂點時帶著貓轉彎在經歷六個轉彎之後貓就

會發現「牠已被困在六邊形內了」

數亦優 11

總結我們的作法是「利用空間換取時間先選妥適當大小的凸六邊形最好這凸六邊形的六

個頂點中有愈多是黑色圓圈愈好（代表儘量用貓的朋友當頂點）然後點選剩下的非黑色圓

圈構築完成圍貓的六邊形當貓衝撞這六邊形的一邊時牽引貓順著邊移動遇到頂點時

帶著貓轉彎在經歷六個轉彎之後貓就被困在凸六邊形內大功告成」手癢的讀者可以

在線上試玩看看圍貓遊戲是一道老少咸宜不分男女都很喜歡玩的遊戲也是心理學家

闡述「何謂輔導」的遊戲

把圍貓遊戲視為一道數學問題我們從混沌的實際操作過程裡得到圍貓的精髓這整個

過程就是數學孕育與思考的過程數學家亨利龐加萊在《數學的創造》中將自己對數學

的思考分為三個階段準備孕育與驗證首先所謂的準備階段就是對問題下很大功夫

又深陷混亂的階段在這個階段人們都會採取觀察實作分析學習與內化等有意識的

策略其次孕育階段就是停止有意識的思考讓潛意識發酵當腦袋裡的小燈泡忽然被點

亮那個「恍然大悟」的時刻就會到來最後驗證階段也是收割階段這一階段只是寫下

所有的事情檢查細節進行組織並發表龐加萊特別強調孕育階段的潛意識角色這是最

難懂也是至為關鍵的階段

談到潛意識就讓我們聯想到作夢而談到作夢又讓我們想到佛洛伊德在 1900 年出版的《夢

的解析》這本書在佛洛伊德出版《夢的解析》之前人類常把所作的夢當成神諭或預告未

來即將發生的事件看待上個世紀初期當印度數學家拉馬奴姜在英國留學時他的老師哈

代就常常好奇的問說「你每天早上一起床就寫下這麼多的恆等式到底是如何發生的」

拉馬奴姜總是說「那些是昨晚神明託夢給我的」例如

3 5 5 5 5 532 27 1 3 9

5 5 25 25 25

3

33 3 33 9 2

cos40 cos80 cos202

3 3 3 33sec40 sec80 sec20 6 9 1

拉馬奴姜顯然是個等式達人也是將龐加萊孕育階段中的潛意識發揮到淋漓盡致的人

12 數亦優

最後把圍貓遊戲當成小孩子數學思考的學習單觀察不同孩子經歷準備孕育與驗證

階段的發展過程是個不錯的主題當然小孩迷失方向時老師應該適時介入給予該有的幫

忙但切忌將答案傳遞給他

附錄

101 學年度全國高中數學科能力競賽決賽在彰師大數學系舉行其中的筆試試題(一)第二題就

是證明拉馬奴姜的恆等式

3

33 3 33 9 2

cos40 cos80 cos202

在五十位考生中只有一位作對而且是位高二的女生以下是羅啟心這位女學生的作法

設

3 3 3 3 3 3cos40 cos80 cos20 cos40 cos80 cos160S

則

3

3 3 3 3 3 3

3 3 3

cos40 cos80 cos160

3 cos40 cos80 cos80 cos160 cos40 cos160

3 cos40 cos80 cos160

S

S

利用三倍角公式可知 cos40 cos80 cos160 為

3 14 3

2x x

的三個根再由根與係數的關係知道

cos 40 cos80 cos160 0

3cos40 cos80 cos80 cos160 cos40 cos160

4

1

cos40 cos80 cos1608

由第一及第二式知

3 3 3 3 3 3 3 33 cos40 cos80 cos80 cos160 cos40 cos160

2S S

現在令

3 3 3 3 3 3cos40 cos80 cos80 cos160 cos40 cos160T

則

3 33

2S TS

又

數亦優 13

3

3 3 32 2 23 3 3 3 3 3

3 3 32 2 2

2

cos40 cos80 cos80 cos160 cos40 cos160

3 cos 40 cos80 cos160 cos40 cos 80 cos160 cos40 cos80 cos 160

3 cos 40 cos 80 cos 160

3 1 13 3

4 2 2

3 3

2 2

T

T

T S

TS

綜合兩式得

3 31 3

2 4T S

將此式代入 3 33

2S TS 得

3

33 3 33 3 13 27

2 4 2S ST S S

展開整理得

9 6 3 279 27 0

8S S S

再配方得

33 27 93 27 27

8 8S

解得

33 3 9

32

S 33 9

2 或

323 9

2

即

33 3 9

32

S 33 9

32

或3

23 93

2

因為 S為實數所以 3S 也是實數因此

33 3 9

32

S

解得

33

3 93

2S

即

3 3 3 333

cos 40 cos80 cos 20 9 22

得證

14 數亦優

一前言 》

高中數學課程近幾年不斷的加入統計的課程目的是想要讓學生感覺數學更貼近我們的生

活內容包含迴歸直線抽樣統計信賴區間hellip等而信賴區間這個單元建立在一個重要的

理論之上即為中央極限定理查閱大學教材內容大多在做定理及輔助定理的推導大多數人

未能完全了解其意義在這篇文章中我們將以高中生的觀點來欣賞中央極限定理

二中央極限定理（Central Limit Theorem簡寫 CLT）是什麼 》

每四年一次的總統大選選前新聞社都會透過電話隨機抽樣的方式來估計各組候選人的

支持度若每次電話抽樣訪問新聞社都隨機挑選 100 人這樣他們便可以獲得一組平均數標

準差這樣的行為重複多次則可以得到多組抽樣並討論其平均數標準差如果多組的平

均數用柱狀圖來呈現我們可以發現圖形隨著抽樣的次數增加會接近常態分配並且當選舉

後會發現真實的支持率與所有研究者當初所做的結果平均數相同且其標準差接近原來的

1

n倍即我們討論對象已由原來調查樣本變為這些研究者為我們討論對象這便是中央極

限定理討論的內容

現在讓我們重新敘述中央極限定理（有限母體）的內容

中央極限定理（Central Limit Theorem簡寫 C L T） 設研究目標為變量 T 1 2 Nt t t 平均數 標準差 則

2

2 21 1

1

1

N N

i i Ni i

ii

t tt

N N N

每次抽樣皆取 n個並取後放回其共有 NnC m 種抽樣方法數若每次抽樣平均分別為

1 2 mx x x 其結果會成常態分配則

1 1 2 mx x x 平均數為 1 2 Nt t t

N

2 1 2 mx x x 標準差為1

1

N n

n N

另外當 N n 時標準差近似於n

接下來我們可以進一步以高中的觀點探討為何抽樣平均的平均數會與當初未知的平均數相

同抽樣平均的標準差為何是1

1

N n

n N

廖世經臺中市立東山高中

數亦優 15

三抽樣平均的平均數及標準差 》

沿用上述的定理符號可以得到

1 2 mx x x

meanm

1 2 1 3 1 1 2n n N n N n Nt t t t t t t t t

n n n

m

1

1 1 2Nn NC t t t

nm

（

1

1

1

1 N Nn n

N n N nC C

n N n N n N n N

同理

22

1

1N Nn n

n nC C

N N

）

1 2

Nn N

nC t t t

Nnm

（∵ N

nC m ）

1 2 Nt t t

N

從上式證明結果我們可以發現學者抽樣平均所做的平均數與當初我們想要研究的目標

平均數是相同的這個觀念有助於我們將來思考信賴區間的概念

抽樣平均的變異數1

1

N n

n N

推導則為

2 2 2

1 1 1 1

2m m m m

i i i

i i i i

x x xvariance

m m

(A)

首先我們先考慮(A)中的1

m

i

i

x

從平均數的推導我們得到

1

m

i

i

x

m

則

1

m

i

i

x m

(B)

再考慮(A)中的2

1

m

i

i

x

2 2 22 1 2 1 3 1 1 2

1

mn n N n N n N

i

i

t t t t t t t t tx

n n n

2 2 21 2

1 1 2 2 1 2 1 3 1

2

2N Nn N n N NC t t t C t t t t t t

n

2 2 21 2 1 2 1 3 1

2

12

1N Nn N n N N

n nnC t t t C t t t t t t

N N N

n

2 2 21 2 1 2 1 3 1

112

1N N N

nm t t t m t t t t t t

N N N

n

(C)

16 數亦優

接著先計算(C)中的 1 2 1 3 12 N Nt t t t t t

2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 3 12N N N Nt t t t t t t t t t t t

2 2 2 21 2 1 2 1 3 12N N NN t t t t t t t t t

2 2 22 21 2 1 3 1 1 22 N N Nt t t t t t N t t t

將得到的式子代回(C)得到

2 2 2 2 2 22 2

1 2 1 22

1

111N Nm

i

i

nm t t t m N t t t

N N Nx

n

2

2 2 21 2

1

1 1N

m N n m n Nt t t

N N N

n

(D)

將(B)以及(D)的結果代回(A)得到

2 2

1 1 1

2m m m

i i

i i i

x xvariance

m

22 2 2

1 22

1

1 12

N

m N n m n Nt t t

N N Nm m

nm

2

2 2 21 2

2 2

1

1 12

N

N n n Nt t t

N N N

n

22 2 2 2

1 2

11

1 1N

N n n Nt t t

n N N n N

2

2 2 21 2

1

1 1N

N n N nt t t

n N N n N

2 2 221 21

1N

N n t t t

n N N

21

1

N n

n N

數亦優 17

在大學書中中央極限定理的敘述大多直接使用標準差n

是因為當 N n 時則

11

1 1

N n n

N N

rarr1故標準差會近似於

n

四結論 》

中央極限定理的存在幫助了我們做抽樣討論時從原本我們想要研究的目標轉換到探

討研究人員所做的數據上上面所討論的方式只透過平均數變異數的定義加上組合的想

法可以讓高中生更加了解中央極限定理藉此了解數學的真善美這是研究會時分享給其他

老師的內容謝謝我的實習老師黃怡慈老師的幫忙整理

18 數亦優

一楔子 》

古希臘人尤勒士（Euathlus）向普羅塔哥拉斯（Protagoras）學習辯論術先付一半學費

另一半學費訂定契約言明等學成後在第一場辯護勝訴時再付如果敗訴則學費不必再交

但尤勒士畢業後根本不擔任辯護的工作自然也不交另一半的學費因此普羅塔哥拉斯便告

他普羅塔哥拉斯說「如果我勝訴法官當然要判他還我學費如果我敗訴那就是尤勒士勝

訴依契約他還是要還我學費」尤勒士說「如果我勝訴當然是要求法官判我不必還學費

如果我敗訴依契約我也不必還學費」請問法官該怎麼判

二歸謬證法 》

亞里斯多德認為愈重的物體落下得愈快1589 年伽利略如此舉反證把兩物 AB

綁在一起成為 A B 假設 A比 B重則由高處落下時因為 B落下的速度比 A慢把 A拖

住所以 A B 落下的速度比 A 慢又 A B 比 A 重所以 A B 落下的速度又比 A 快矛盾

所以「任何物體同時從相同的高處落下皆同時著地」伽利略如是說

99 課程綱要把歸謬證法拿掉了我猜想最少有兩位先生會很鬱卒一位是歐幾里得先生

他在《幾何原本》中用歸謬證法證明了「質數有無窮多個」另一位是蔡聰明先生他用了 28

種方法證明 2 是無理數

三直觀與證明 》

最近看到一篇文章關於 2 是無理數的證明

假設 2p

q 是有理數其中 p q是正整數且 1p q 則

2

22

p

q

直觀上「如果p

q不是整數則

2

2

p

q更不可能是整數」矛盾

所以假設錯誤即 2 是無理數得證

（這是因為如果 p q沒有相同的成分 2p 和 2q 自然也不會有相同的成分如果p

q都無法化簡

成整數2

2

p

q更沒有機會了因此這個式子是個明顯可笑的矛盾等號左邊是整數右邊不是

整數兩者怎麼可能相等）

我想提一段陳年往事多年前一次國中數學週考中某老師出了一道題目證明三角形

兩邊和大於第三邊直觀上這何需證明因為兩點之間直線最短嘛於是我買了歐幾里得

的《幾何原本》根據歐幾里得的體系證明「三角形兩邊和大於第三邊」確實需要很長的篇幅

我相信這不會是出題老師的本意我的判斷是出題老師只想要學生說明「兩點之間直線最短」

江慶昱衛道中學退休教師

數亦優 19

那麼考題應該改成請說明「三角形兩邊和大於第三邊」中學階段不必強調數學的嚴密性

這是共識（60 年代的新數學過度強調嚴密性是失敗的原因之一）但是直觀的說明與嚴格的證

明應該予以區隔這純屬我個人的看法所以我以為上述關於 2 的證明實偏向於說明（註

最早項武義先生認為他解決了克卜勒的裝填問題陳省身先生也為之背書但還是不被接受

目前公認是 Thomas Hales 解決了httpenwikipediaorgwikiKepler_conjecture數學界的所謂

「證明」自有其行規）

如何在高中引入簡易邏輯是一件困難但是值得深思的事

四等價 》

高中課程中另一個重要的邏輯概念是「等價」有一年大學聯考考這麼一題證明「海龍

公式邊長 a b c的三角形面積 ( )( )( )s s a s b s c 」那時候大學錄取率大約 30不到

補習班之間競爭非常激烈大家趕著把解答登報有一間補習班第一天是這樣證明的

因為( ) ( )( )

sin cos2 2

A s s a A s b s c

bc bc

所以1 1

sin 2sin cos ( )( )( )2 2 2 2

A Abc A bc s s a s b s c

第二天趕快發報更正因為在邏輯上第一天拿一個等價的命題當作證明等於沒有證明

換句話說患了邏輯上的錯誤了

五等價的一些例子 》

我們在國中時有這樣的性質 p三角形任兩邊和大於第三邊又在書中的同一個角落看到

q三角形任兩邊差小於第三邊很容易證明「 p q 」這種情形我們叫 p與 q等價意思是 p

與 q是同一回事以下舉一些等價的例子

1 p平行公設過直線外一點恰有一直線與之平行q三角形內角和為180

2 G是ABC的重心則 p q r三個向量式等價

1 1

3 3

p AG AB AC

1 1 1

3 3 3

q OG OA OB OC

0r AG BG CG

3 2 2 2

p u v u v

（柯西不等式） q u v u v

（三角不等式）

4 p周長固定的平面圖形中以圓形面積最大q面積固定的平面圖形中以圓形周長最小

5 (1)正弦定理(2)餘弦定理(3)投影定理 等價

6 實數的完備性有多種等價的敘述（我有一位同事到師大數學系修碩士班學分就是上了一本

這樣的書）

7 p算幾不等式q柯西不等式

20 數亦優

六算幾不等式與柯西不等式的等價 》

算幾不等式與柯西不等式在形式上相差很多兩者會等價甚感意外我第一次是在臺中一

中的網頁內看到證明過程當時沒有仔細研究後來回去找就找不到那份資料了最近上網搜

尋找到建中徐健策老師的一篇專題算是一償宿願這是我寫這篇文章的另一個因緣

七後記 》

1900 年量子力學開始萌芽到 1965 年朝永振一郎（S Tomonaga）薛文格（Julian Schwinger）

與費因曼得到諾貝爾物理獎是一段精采的故事重點是薛文格與費因曼對量子電動力學的看法

與算法南轅北轍薛文格用的是歐洲優雅的數學費因曼的路徑積分用的是圖像式的數學把

兩者結合為一或者說看出兩者的「等價性」的是戴森（Freeman J Dyson）我覺得這比證

明兩命題的等價有更深刻的意義

非歐幾何的發展也有類似的地方義大利幾何學家 Eugenio Beltrami（1835~1899）證明了

Lobachevsky（1793~1856）與 Ferdinand Minding（1806~1885）的非歐幾何模型是「等價」的

（註代數中複數平面與平面向量同構以上兩種情況說同構或等價哪一個說法比較恰當

當就教於各位）

99 課程綱要把歸謬證法放在附錄我觀察最近兩年的各校段考試題大約只有三四個學

校段考中有考歸謬證法早年國中考高中每年要考一題證明題一題尺規作圖當時我們會

努力教證明題當然包括用「窮舉法」證明「圓內接四邊形的充要條件為對角互補」基測不

考證明題後絕大部分的老師不會花時間去證明這個定理向來就是「考試引導教學」自古皆

然隋唐時期科舉要考《算經》所以宋朝有四位偉大的數學家秦九韶李治楊輝朱世傑

到明清科舉只考八股文可以印證中國數學沒落的一段史實證明與數學的關係就如同實驗與

物理的關係基測與學測不考證明題相信有不少人憂心忡忡如今又把歸謬證法拿掉（放在

附錄與拿掉等價）應該有人輾轉難眠吧

早上（2012829）看到新聞十二年國教將於後年上路臺大名譽教授劉廣定批評103

年到 107 年的高中學生要繼續接受舊課綱的教育他堅決反對沒有新課綱的十二年國教後

年就要推十二年國教課綱最快 106 年才能完成到 108 年才有新課綱教科書可用意味之前

的高中生都要繼續接受舊課綱教育芬蘭從 1980 年代開始教改先找學校試辦2000 年才全

面實施然而臺灣十二年國教從宣布到實施只有三年準備期讓人憂心

參考資料

1 蔡聰明 2 是無理數的 28 種證明數學傳播季刊第 23 卷（第 1 期）

2 王九逵邏輯與數學思維

3 南山柯西不等式與排序不等式上海教育出版社P230

4 William Dunham（1995）天才之旅牛頓出版股份有限公司P61

5 戴森（1993）宇宙波瀾天下文化

6 奧瑟曼（1997）宇宙的詩篇天下文化P84

7 Stefan Kulczycki（1992）非歐幾里得幾何學水牛出版社P32

8 蔡辰理中國數學史上的黃金時代及其四個偉大的數學家20130701 取自

httpepistemathntuedutwarticlesmmmm_03_2_07page2htmltop

9 徐健策老師專題柯西琴生與冪平均不等式20131002 取自 httpmath1cktpedutw徐健策mathhtm

數亦優 21

一研究目的 》

將一道解四元一次聯立方程式的題目利用四次多項函數且領導係數為 1 的恆等原理來解

答

二研究過程 》

已知

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

12 1 2 3 2 5 2 7

14 1 4 3 4 5 4 7

16 1 6 3 6 5 6 7

18 1 8 3 8 5 8 7

x y z w

x y z w

x y z w

x y z w

試求(1) ( )x y z w (2) x y z w

一 首先將上題解讀為解四元一次聯立方程式

設

2

3

2

2

3 5 7105 2079 429 143 1

3 5 7 11 21 1485 1001 195 1

9 385 819 495 13 7 11 135 189 231 429 1

3 5 11 13

x aa b c d

y b a b c d

a b c dz ca b c d

w d

211512 1320 2288 5

4b c d

52376 1144 208 1

4b c d

5 956 504 1584 1

4b c d

2432 640 1792 0 19 5 14 0

5 1792 3840 5632 0 7 15 22 0

b c d b c d

b c d b c d

由5 14 14 19 19 5

320 320 320 11115 22 22 7 7 15

b c d

由1

56 504 1584 1 1024 11024

b b b b b c d

代入1 1 1 175 35

5 189 231 429 1 51024 1024 1024 1024 1024

a a a

李維昌國立宜蘭高中

22 數亦優

2 2 2 3 2 23 5 7 3 5 7 11 3 7 11 13 3 5 11 13( )

1024 1024 1024 1024x y z w

即為(1)的所求

2 3 2 2

2 3

2 2

3 5 7 3 5 7 11 3 7 11 13 3 5 11 13

35 13 5 7 3 5 7 11

1024 10241 1

3 7 11 13 3 5 11 131024 1024

x y z w a b c d

11025 10395 9009 6435 36864

361024 1024

即為(2)的所求

二 嘗試利用四次多項函數且領導係數為 1 的恆等原理來解答此題

1 構造以 t為變數的四次多項函數且領導係數為 1命此函數為 ( )f t

2 2 2 2 2 2 2( ) 1 3 5 7 3 5 7f t t t t t x t t t

2 2 2 2 2 2 2 2 21 5 7 1 3 7 1 3 5y t t t z t t t w t t t

其中 x y z w四數為常數

2 2 2 2 2 2 2 2 21

2 1 2 3 2 5 2 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 1 2 3 2 5 2 7 2 3 2 5 2 7

2 1 2 5 2 7 2 1 2 3 2 7

2 1 2 3 2 5 0

x

y z

w

2(2 ) 0f

3 2 2 2 2 2 2 2 21

4 1 4 3 4 5 4 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

4 1 4 3 4 5 4 7 4 3 4 5 4 7

4 1 4 5 4 7 4 1 4 3 4 7

4 1 4 3 4 5 0

x

y z

w

2(4 ) 0f

4 2 2 2 2 2 2 2 21

6 1 6 3 6 5 6 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

6 1 6 3 6 5 6 7 6 3 6 5 6 7

6 1 6 5 6 7 6 1 6 3 6 7

6 1 6 3 6 5 0

x

y z

w

2(6 ) 0f

數亦優 23

5 2 2 2 2 2 2 2 21

8 1 8 3 8 5 8 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

8 1 8 3 8 5 8 7 8 3 8 5 8 7

8 1 8 5 8 7 8 1 8 3 8 7

8 1 8 3 8 5 0

x

y z

w

2(8 ) 0f

6 由 12345的討論可得知 ( )f t 等價 2 2 2 22 4 6 8t t t t

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 4 6 8

1 3 5 7 3 5 7 1 5 7

1 3 7 1 3 5

t t t t

t t t t x t t t y t t t

z t t t w t t t

為 t的四次多項方程式

第式等號的左式 3t 的係數＝第式等號的右式 3t 的係數

2 2 2 2 2 2 2 22 4 6 8 1 3 5 7 x y z w

2 2 2 2 2 2 2 22 4 6 8 1 3 5 7 120 84 36x y z w

即為(2)的所求

7 x的求法

將 21t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

1 2 1 4 1 6 1 8 1 3 1 5 1 7

2 1 4 1 6 1 8 1 1 3 3 5 5 7 7 9 3 5 7

2 4 4 6 6 8 10243 1 5 1 7 1

x

x

8 y的求法

將 23t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 3

2 2 2 2 2 2

3 2 3 4 3 6 3 8 3 1 3 5 3 7

3 2 4 3 6 3 8 3 1 5 1 7 3 9 5 11 3 5 7 11

2 4 2 8 4 10 10243 1 5 3 7 3

y

y

9 z的求法

將 25t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

5 2 5 4 5 6 5 8 5 1 5 3 5 7

5 2 5 4 6 5 8 5 3 7 1 9 1 11 3 13 3 7 11 13

4 6 2 8 2 12 10245 1 5 3 7 5

z

z

24 數亦優

10 w的求法

將 27t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

7 2 7 4 7 6 7 8 7 1 7 3 7 5

7 2 7 4 7 6 8 7 5 9 3 11 1 13 1 15 3 5 11 13

6 8 4 10 2 12 10247 1 7 3 7 5

w

w

11 由 78910的討論可得

2 2 2 3 2 23 5 7 3 5 7 11 3 7 11 13 3 5 11 13

( ) 1024 1024 1024 1024

x y z w

即為(1)的所求

三 結論

1 解題的巧妙與否存乎一心「學則需疑於不疑處有疑方是進矣」本題為解四元

一次聯立方程式基本解題策略為克拉瑪公式加減消去法或代入消去法三種由

於這三種計算相當繁瑣進而苦思其他對策經過一番思索驀然回首伊人卻在

燈火闌珊處竟然將此題與四次多項方程式連結在一起有了令人會心一笑的妙解

真是一次驚奇的解題之旅

2 孔子曾言「學而不思則罔思而不學則殆」我期待每次解題時皆能直搗黃龍

一眼看穿題目的堂奧之妙事後「大膽假設小心求證」檢驗過程和結果是否達

到最佳化藉由在夙昔的典範亦步亦趨臻於真善美的解題境界

數亦優 25

國立臺灣師範大學數學系

筆試一計算證明題（考試時間2 小時）

1 (1) 直角三角形的兩股長為 a b斜邊長為 c試證 3 3 3c a b （8 分）

(2) 如下圖圓 O內二直徑 AC BD互相垂直在劣弧DC上任取一點 E

試證以 AE 為一邊的正方形面積等於四邊形 ABED面積的二倍 （12 分）

2 設函數 2( ) 6 5f x x x 求坐標平面上滿足聯立不等式

( ) ( ) 0

( ) ( ) 0

f x f y

f x f y

的所有點 ( )x y 所形成的區域面積 （20 分）

3 設 a b c d 為實數且 a b c d ( ) ( )f x g x 為滿足 ( ) ( )f a f b 及 ( ) ( )g c g d 的實係數二次多

項式已知 ( ) ( )f x g x 為常數多項式證明

(1) a b c d （8 分）

(2) 2( )

2

( )2

a bf a f

a bc d c d

g c g

（12 分）

4 如下圖所示ABC和DBC為空間中的兩個等腰三角形M為線段 BC 的中點令

AB AC a DB DC b BM CM c 和DA x

(1) 已知向量內積 0AM BD

求證 2 2 22x a b c （8 分）

(2) 已知 2 2 22x a b c 求證向量內積 0AM BD

（12 分）

26 數亦優

5 師大數學系舉辦系徽設計比賽入圍決選的有四件作品由 10 名學生代表進行不記名投票

每人投兩票且兩票須投不同作品在沒有廢票的情況下試問

(1) 四件作品的得票情形共有幾種 （8 分）

(2) 得票數 高的作品恰有一件的票數分布有幾種 （12 分）

筆試二填充題（考試時間15 小時）

1 設 a為實數若對於所有實數 x2

2

32

2

x ax

x x

恆成立則 a的範圍為

2 若等比數列的第三項是1 i 第五項是1 1

16 16i 其中 1i 則此等比數列的公比為

（有兩解）

3 從1234567 等數字中選取三個排成三位數數字不重複則排出來的是 3 的倍數但不是 5 的倍數

的整數有 個

4 桌上有十個骰子當中有一個骰子出現 5 點的機率是1

2而出現其他點數的機率均等其他

九個都是均勻的骰子用隨機的方式選取一個骰子來投擲在出現 5 點的情況下被選取的

骰子是不均勻骰子的條件機率為 （答案若為分數請化為 簡分數）

5 在電腦裡有一公定的對照表（ASCII）將英文字母ABhellipZ及空格等字元分別對應至一整數

其對應數字如下表所示

字母 空格 A B C D E F G H

ASCII 碼 32 65 66 67 68 69 70 71 72

字母 I J K L M N O P Q

ASCII 碼 73 74 75 76 77 78 79 80 81

字母 R S T U V W X Y Z

ASCII 碼 82 83 84 85 86 87 88 89 90

數亦優 27

我們可利用此對照表在 facebookTM 傳送保密訊息給朋友我們與朋友約定所有的英文字母及

空格皆以對照表中的整數替代例如「HE IS DAVID」的訊息用「7269327383326865867368」

取代然後將此數字字串的奇數項排在矩陣的第一列偶數項排在第二列形成以下矩陣

7 6 3 7 8 3 6 6 8 7 6

2 9 2 3 3 2 8 5 6 3 8B

再與二階方陣

1 2

2 3A

相乘得到

11 24 7 13 14 7 22 16 20 13 22

20 39 12 23 25 12 36 27 34 23 36AB

後依上述規則反求得字串「11202439071213231425071222361627203413232236」傳送給朋

友如此他人便不能立即得知傳送之內容現在在此規則下你接收到數字字串

「233825411222213516271932」可以轉成矩陣

23 25 12 21 16 19

38 41 22 35 27 32

其所代表之訊息為

6 坐標平面上圓 C通過點 (02) 且 C與兩直線 3 2 0 1 0x y y 皆相切則圓 C的方程

式為

7 坐標空間中ABC的三頂點分別為 (1 11) ( 321) (5 43)A B C P為ABC內部一點且

令P到 AB BC CA的距離分別為 x y z則 2 2 2x y z 的 小值為 （答案若為分數

請化為 簡分數）

8 函數 4 4( ) cos 3sinf x x x 的 小值為

9 設 為實數若

cos 0 sin

0 1 0

sin 0 cos

A

則 5A

10 袋中有編號分別為 1 到 6 的六個球從袋中隨機選取兩球令隨機變數 X表示在被選取的

兩球中球號比袋中剩下的球號都大的球的個數（例如如果選到 2 號和 3 號球那袋中剩

下的就是 1456 號球因為選出的球中並沒有比 1456 都大的球號故這種情況下 0X ）

隨機變數 X的期望值為 （答案若為分數請化為 簡分數）

28 數亦優

筆試一計算證明題

1 (1) 利用 2 2 2c a b 及 c a c b 得

3 2 2 2 2 3 3c c a b ca cb a b

(2) 過 E作 EF AC 則

四邊形 ABED的面積

1 1

2 21

21

2

ABD BDE

BD AO BD OF

BD AO OF

AC AF

又在直角三角形 ACE中因為2

AE AC AF 所以2

AE 四邊形 ABED面積的兩倍

2 因為

2 22 2( ) ( ) 6 6 10 3 3 8f x f y x y x y x y

2 2( ) ( ) 6 6 6f x f y x y x y x y x y

所以

2 23 3 8( ) ( ) 0

( ) ( ) 0 6 0

x yf x f y

f x f y x y x y

因此滿足上述條件的所有點 ( )x y 為

22 23 3 8

0 6 0

x y

x y x y

或 22 2

3 3 8

0 6 0

x y

x y x y

其所圍成的區域如下圖所示面積為 218 4

2

數亦優 29

3 (1) 依題意可設 ( ) ( )f x r x a x b s g x r x c x d s

因為 ( ) ( )f x g x 是常數多項式所以比較一二次項係數知

r r r a b r c d

得 a b c d

(2) 由 2 2

( )2 4 4

a b a ba bf r s r f a

得

2

4 ( )2a b

f a f

ra b

故得證

註1o 也可利用對稱性知 ( )y f x 的頂點之 x軸坐標為2

a b ( )y g x 的頂點之 x軸坐標

為2

c d而得證

2o 亦可用插值多項式證明

4 (1) 由向量分解DA DM MA DB BM MA

得

2 22 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2

2

2 2

DA DA DM MA DM MA DM MA

b c a c DB BM MA

b a c DB MA BM MA

因為 0AM BD

且 BM MA 所以

2 2 2 22DA b a c

因此

2 2 22DA a b c

(2) 由(1)及 BM MA 可得

2 2 2 22 2DA b a c DB MA

依題意知 2 2 22DA x b a c 即

22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2b a c b a c b a c DB MA

故

0DB MA

30 數亦優

5 (1) 由題意可以知道

1 四件作品所得的總票數為 20 票

2 每件作品 多可以得到 10 票

令四件作品的得票數分別為 x y z u由1 2 可得

200 10x y z u x y z u

因為 0 10x y z u 所以 420H 須扣掉11 20x y z u 的情況由 20x y z u 且

0x y z u 可知 多只有一個票數會大於等於 11假設 11x 令 11x x 可得

90 9x y z u x y z u

此情況有 4 129 9 220H C 種

因此票數分布為 4 420 94 1771 4 220 891H H 種

(2) 假設得票數 高為 x由題意可得

200 10x y z u y z u x

因為 y z u x 也就是 1y z u x 所以

1 1 1 4 3x y z u x x x x x

由 20x y z u 得

20 4 3x

即

23

4x

因此當 6x 時才會滿足只有一件作品得票數 高且票數為 x

當 6x 時

140 5y z u y z u

滿足此情況的 y z u有 (554)(545)(455) 3 種

當 7x 時

130 6y z u y z u

因為 13y z u 且 0y z u 所以 y z u 多只有一個會大於等於 7

由(1)可知滿足此情況有 3 3 15 813 6 13 63 3 105 84 21H H C C 種

同理

當 8910x 時 y z u 多只有一個會大於等於 8910故

當 8x 時有 3 3 14 612 4 12 43 3 91 45 46H H C C 種

當 9x 時有 3 3 13 411 2 11 23 3 78 18 60H H C C 種

數亦優 31

當 10x 時有 3 3 12 210 0 10 03 3 66 3 63H H C C 種

因此滿足只有一件作品得票數 高的情形有

4 3 21 46 60 63 772 種

筆試二填充題

1 2 3 4 5

0 4a 2 2

8 8i

66 1

4 NORMAL

6 7 8 9 10

2 2

3 1 4x y

2 2

3 3 5 36x y

（或是 2 2 2 3 2 0x y x y ）

50

79

3

4

cos5 0 sin 5

0 1 0

sin 5 0 cos5

2

5

32 數亦優

《接續PartI 請見數亦優第 21 期》

四 正多邊形

(一) 除了正方形及三角形以外我們還考慮將其他形狀組合討論其撕裂次數是否與正方

形三角形相同

(二) 並非所有正多邊形皆可組合若內角非360

kk

便不能組合例如

1 正五邊形的內角和180 3 540 則一個內角為108但108 360 k k

無法將五邊形完整組合必有空隙

2 正六邊形的內角和180 4 720 則一個內角為120因為120 3 360

則任三個相同的正六邊形皆可相互組合

(三) 完整排列正六邊形為例以 m張排列

例 1 一頁 5 個正六邊形排列

撕開 2 次使下排的兩個正六邊形與上排分開再逐一將上排撕開共需 4 次

由例 1撕的次數結果皆為 1m 次

（Part II） 陳敏晧國立蘭陽女中

數亦優 33

(四) 內部有洞正六邊形為例m張 n個洞排列

例 2 一頁 11 張且 2 洞排列

先撕開 2 次使其成為無洞排列再撕開 1 次使其變成兩頁完整排列再逐一撕開

共需 12 次

由例 1與例 2得知撕的次數結果皆為 1n m 次

五 「切割」的定義

(一) 我們從平面延伸到立體討論柏拉圖的五個正多面體先將正多面體每面切開分開

的次數是否也有彼此相似之處

(二) 因為立體無法如平面一樣用撕的故用切的而計算次數的定義與方法也與平面有很

大的差異

(三) 「切一次」的定義與限制沿著稜邊切下一個面才算作「一次」第一次切下後

便將封閉的正多面體打開此後每切一次都必須從開放的稜邊切下不可再一次從

封閉的面切下

以正六面體為例

此為一個完整封閉的正六面體

第一次沿著粗線切開可切下一個面

34 數亦優

六 柏拉圖多面體

1 正四面體

第一次將底面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 3 個面切下共需切

1 3 1 3 次

2 正六面體

第一次將頂面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 5 個面切下共需切

1 5 1 5 次

斜線部分為第一次被切下的面

封閉正六面體被打開後第二次只能從

開放的 4 條稜邊（粗線）切下

第二刀不可再從封閉面（粗線）開始切

數亦優 35

3 正八面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 7 個面切下共

需切 1 7 1 7 次

4 正十二面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 11 個面切下共

需切 1 11 1 11 次

5 正二十面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 19 個面切下共

需切 1 19 1 19 次

36 數亦優

由上述例子可得知切割次數皆剛好為正多面體的(總面數 1 )次

研究發現

內部有洞洞數 a b 其中 a洞的個數b每個洞的張數

矩 形

完整排列

邊長 邊長 總張數 撕的次數

2 2 4 3

4 5 20 19

不規則排列

總張數 撕的次數

10 9

13 12

內部有洞

邊長 邊長 洞數 總張數（邊長 邊長 洞的張數） 撕的次數

3 3 1 1 8 3 3 1 8

3 5 2 1 13 3 5 2 14

三 角 形

完整排列

邊長 總張數 撕的次數

2 4 3

3 9 8

不規則排列

總張數 撕的次數

10 9

13 12

內部有洞

邊長 洞數 總張數（邊長平方 洞的張數） 撕的次數

規

則

4 1 1 15 4 4 1 15

5 1 1 24 5 5 1 24

5 1 2 23 5 5 2 23

5 1 3 22 5 5 3 22

6 1 1 35 6 6 1 35

6 1 2 34 6 6 2 34

6 2 1 34 6 6 2 1 35

6 3 1 33 6 6 3 1 35

6 1 2 1 1 33 6 6 2 1 34

7 2 2 45 7 7 2 2 46

不

規

則

1 1 22 22

1 1 23 23

1 2 32 32

數亦優 37

六 邊 形

完整排列

總張數 撕的次數

3 2

5 4

內部有洞

洞數 總張數 撕的次數

1 1 6 6

2 1 11 12

正 多 面 體

面數 撕的次數

正四面體 4 3

正六面體 6 5

正八面體 8 7

正十二面體 12 11

正二十面體 20 19

目前的研究我們發現了以下獨特的結論平面幾何圖形中矩形正三角形和正六邊形的

規則形狀與不規則形狀紙張之最佳撕法都是(總張數 1 )次矩形正三角形及正六邊形排列成

內部有 n個洞且 m張的紙張之最佳撕法都是 1n m 次而柏拉圖立體的最少切割次數皆為

正多面體的(總面數 1 )次最重要我們發現其實撕裂或切割次數與撕裂或切割方法（或順序）

無關

參考資料

1 陳美如（200003）撕郵票問題數學傳播第 24 卷第 1 期P82~86

2 許志農與奇人相遇httpmathntnuedutw~macomeethtm

3 林義強多面體簡介第一屆全國高中數學教學研討會論文集P177~192

參數學專題研究反思 》

上述作品得到今年北一區數學科展優等過程中我與學生教學相長高二學生因為所學的

數學很有限所以數學解題層次會有侷限但是相對地數學思維與想像力卻是受過數學訓練

的我們所不及的在這次數學專題研究中我扮演的角色是諮詢者協助者鼓勵者完成任

務是那三位鍥而不捨的同學鄭羽呈李依庭林佩柔 勘誤 第 21 刊〈高中數學專題研究教案（PartI）〉 P34 倒數第 6 行「設m k 」應改為「設m k 」 P36 第 3 行「設m k 」應改為「設m k 」 P38 內部有洞的 1(1)~(4)分類應改為「1(1)一頁 24 張內部有一個洞一張為 1 洞」

「1(2)一頁 23 張內部有一個洞兩張為 1 洞」 「1(3)一頁 23 張內部有一個洞兩張為 1 洞」 「1(4)一頁 22 張內部有一個洞三張為 1 洞」

38 數亦優

動手玩數學 許志農臺灣師大數學系

在 下 圖 中已 知 ABC為 直 角

三 角 形 1AB 求

(1) 線段 AD的長度（化為最簡形式）

(2) 餘切 cot24

的值

〔玩鎖玩索〕

這道問題改編自「求 cot24

的值」這道

教師甄選試題關於這道餘切求值問題

有兩位老師的作法是用標準特別角出發

再求出欲求的餘切值

底下是另一位老師的作法

已知 ABC 為 直 角 三 角 形 4AC 求

AB BC及 cot24

的值

請 加 上 線 段 使 下 圖 分 成 五

份 形 狀 完 全 相 等 的 部 分（翻面

相等也算）

或 許 下 圖 對 你 會 有 些 幫 助 它 們 是 四 份

形 狀 完 全 相 等 的 部 分

〔玩鎖玩索〕

這是 1998 年夏天香港中文大學教育學

院第二次舉辦暑期資優課程中在數學有關的

工作坊裡的一道測智遊戲

遊戲 85

遊戲 86

數亦優 39

在 坐 標 平 面 上 畫 一 直 線 1L在

線 上 任 取 一 點O 以O為 旋 轉

中 心依 逆 時 針 方 向 將 直 線 1L

旋 轉 120得 到 直 線 2L 如 下

圖 所 示

已 知 直 線 1L 的 斜 率 為m求 證 直 線 2L 的 斜

率 為

3

3 1

m

m

〔玩鎖玩索〕

直線是平面幾何上的重要元素而斜率又

是直線在代數上的代言人掌握斜率就如同控

制直線一樣從逆轉120的 直 線 斜 率 公 式

不 難 知 道 坐 標 平 面 上 的 正 三 角 形 之 三

條 邊 斜 率

1 2 3 m m m

是可以互相推導的即由 1m 可 以 得 到 2m 與

3m 的 公 式 而 且 還 知 道 以 下 兩 個 恆 等 式

1 2 2 3 3 1 3m m m m m m

1 2 31 2 3

1 1 19m m m

m m m

宇 富 怕 手 機 被 盜 打 每 日 更

換 開 機 密 碼為 了 便 於 記 憶

他 想 到 一 則 更 換 密 碼 的 算 術

通 則 「 昨 天 密 碼 為p 今

日 的 密 碼 就 更 新 為1

1

p

p

」

宇 富 跟 所 有 的 人 說「 我 已 經

使 用 這 密 碼 通 則 500天 了 而

且 第 一 天 的 密 碼 就 設 為 2 1

相 信 各 位 算 到 手 痠也 無 法 算

出 今 天 的 開 機 密 碼 」

徵求可以破解開機密碼的人士

〔玩鎖玩索〕

如果第一天的密碼為 那麼破解密碼

的難度有增加嗎

遊戲 87

遊戲 88

40 數亦優

動動手手玩玩數數學學~~破破解解秘秘笈笈

遊戲 81

如圖所示

(1) 考慮 ABC 因為 8sin15AB BC 且

150ABC 所以 ABC 為等腰三角

形且 15BAC 因此

2 cos15 2 8sin15 cos15AC AB

1

8sin30 8 42

(2) 仿照(1)的方法 ACE 也是等腰三角

形且 30CAE 因此

32 cos30 2 4 4 3

2AE AC

遊戲 82

秦九韶這個依括弧次序求函數值 f a 的演

算法就是高中數學多項式那章所介紹的綜

合除法

2 5 4 8

2

2

a

a

仔細計算上述綜合除法的空白位置可以發

現小中大括弧位置所代表的值與秦九韶

小中大括弧內的值完全一樣

遊戲 83

(1)

2cos 2cos24 24cot

24 sin 2sin cos24 24 24

1 cos1 cos

3 412

sin sin12 3 4

(2) 因為

cos cos cos sin sin3 4 3 4 3 4

1 2 3 2

2 2 2 2

2 6

4 4

及

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4 數亦優

哥尼斯堡七橋問題是現代圖論中的有名問題這個問題在所有橋都只能走一遍的前提下如

何才能把這個地方所有的橋都走遍於 1736 年尤拉在聖彼得堡科學院發表了圖論史上第一

篇重要文獻圓滿地解決了七橋問題並證明市長要求的散步路線並不存在也順帶解決了

所謂的「一筆畫問題」

尤拉把實際的問題簡化為平面上點與線的網絡圖每一座橋視為一條線橋所連接的地

區視為點這樣若從某點出發後 後再回到這點則這一點所連出去的線數必須是偶數條

為了方便解釋把連出去的線數為奇數的點稱為奇點而連出去的線數為偶數的點叫偶點

而所謂的網絡圖能一筆畫就是可以從某起點出發在每條線剛好畫過一次的條件下 後畫

到另一個終點要注意的是起點是可以等於終點

更詳細的討論是如果一個網絡圖能一筆畫完成那麼一定有一個起點開始畫也有一

個終點有一條邊進這點那麼就要有一條邊出去有進無出的點肯定是終點而有出無進

的點就是起點因此在「過路點」進出的邊總數應該是偶數即「過路點」是偶點綜合起

來能一筆畫完成的網絡圖必須具備以下兩個條件中的一個

1 如果起點和終點是不一樣那麼起點與終點必須是奇點

2 如果起點和終點是同一點那麼它也是屬於「有進有出」的類型因此必須是偶點這個

網絡圖上的每個點都必須是偶點

尤拉把哥尼斯堡附近的地圖轉化成可以用一筆畫思考的網絡圖其中 ABCD四點代表四塊區

域濃縮所產生的點而點與點的連線就是橫跨區域之間的橋樑

因為四個點都是奇點所以無法將這網絡圖一筆畫把這線條圖上的推論還原回實際的問題

就是告訴我們遊覽哥尼斯堡的七座橋而且每座橋只能經過一次的散步路線是不存在的

哥尼斯堡七橋問題是一道「無解」的問題而這個無解並不是幾何學裡的邊長與角度兩

個量度上的無解而是將城市縮成一個點橋樑當成連接點與點之間的線段透過有出就有

進的一筆畫原理說明「哥尼斯堡市長所要求的散步路線是不存在的」尤拉的一筆畫作法使幾

何學擺脫了測量距離與角度的負擔而開啟了現代拓樸學的一扇窗有了七橋問題的經驗之

後碰到幾何問題不一定要從長度與角度的幾何量著手也可以考量其他的方法

底下就是一道典型的幾何謎題切下棋盤斜對角線上的兩個邊角如下左圖所示然後

你是否可以用 31 張長方形骨牌去完全覆蓋這個棋盤每一張骨牌的大小必須剛好覆蓋棋盤上

相鄰的兩個正方格

數亦優 5

這道謎題對經驗不足的初學者來說簡直是一道難題但對看過解答的老鳥來說卻又是送

分題我們只需將棋盤塗成黑白相間的西洋棋盤樣式如上右圖所示接著發現每塊骨牌

無論橫著擺或者縱著放都剛好占據一格黑色與一格白色的正方格而這棋盤一共有 62 格正

方格需要 31 塊骨牌才能蓋滿但這 31 塊骨牌應該蓋住「31 格黑色正方格與 31 格白色正方

格」這剛好與棋盤上的「32 格黑色正方格與 30 格白色正方格」相抵觸也就是說這也是

一道無解的問題

「數學知識是被發現還是被發明或者被創造的或者兩者皆有」是一道有趣的哲學問題

同樣的「數學遊戲是被發現還是被發明或者被創造的或者兩者皆有」也是各說各話的問題

像網絡圖的一筆畫原理是因七橋問題而誕生還是七橋問題只是一個動機讓早就存在的數

學知識「一筆畫原理」被數學家發現呢接下來是遊戲時間讓我們介紹一道象棋的啟蒙遊

戲hellip老馬識途

中國象棋盤由九道直線和十道橫線交叉組成棋盤上共有 90 個交叉點象棋子就擺放和

活動在這些交叉點上棋盤分成兩個半張每半張都是由九道直線和五道橫線交叉組成共

有 45 個交叉點

一隻馬能否跳遍半張空象棋棋盤上的每一個交叉點答案是肯定的稍具象棋知識的人都

能準確回答這個問題但是若進一步要求是否能找到一條路徑讓馬跳遍半張空棋盤上所

有交叉點的過程中任意一個交叉點只允許被馬踩過一次後面這個問題恐怕要難倒許多

人了這個古老難題在西方稱之為「騎士旅遊」早在十六世紀時瑞士數學家貝爾特蘭德

即提出這個問題著名的大數學家尤拉在 1759 年開始研究它並獲得了一般解法

6 數亦優

讓我們將思緒跳回到半張象棋棋盤上如下圖將 45 個交叉點塗上黑白的顏色計算

一下有 23 個交叉點被塗上黑色其餘的 22 個交叉點被塗上白色（包括馬所在的位置也是

白色）

馬從白色交叉點出發是否可以找到一條路徑讓每一個交叉點剛好被馬踩過一次用馬走

的日步模擬一下不難發現前後兩步分別會落在不同顏色的交叉點上既然馬從白色交叉

點出發這代表馬的奇數步落在白色交叉點而偶數步停在黑色交叉點上又半張棋盤一共

有 45 個交叉點若馬找到每一個交叉點剛好被踩過一次的旅行方式則奇數步有 23 步偶

數步有 22 步也就是說馬會踏過 23 個白色交叉點及 22 個黑色交叉點這顯然與半張棋盤

上的交叉點顏色分布不合那就是說馬從白色交叉點出發是沒辦法完成旅行的

後來一道象棋專家的餘興節目我們把馬起始位置改變一下讓馬從黑色交叉點開始

跳躍結果又如何呢各位可以從下圖中動手嘗試看看能否讓馬剛好踩過每個交叉點一次

的前提下讓馬以日步完成半張象棋棋盤的旅行

這是一道帶有東方色彩的餘興節目「馬走日步」更是道地的中國口味在中國馬是一種獨

特的動物牠可文可武可以是人文藝術與棋藝的主題也可以是主導整齣戰爭歷史的利

器可以是貴族用來標示身分地位的象徵也可以是攸關庶民生活的重要寄託我們很難找

到一種功能如此多元指向如此豐富可平實又可高貴與人長期相伴的動物

在餘興節目中稱這遊戲為老馬識途是有數學典故的而這典故跟唐朝及中國數學家

陳省身有關聯唐太宗昭陵上有六匹駿馬的浮雕石刻聞名於世俗稱昭陵六駿（白蹄烏

青騅颯露紫拳毛騧特勤驃什伐赤）這六匹戰馬是李世民在唐開國戰爭中南征北討的

坐騎並命唐初大畫家閻本立繪草圖監石雕而成因而有

「秦王鐵騎取天下六駿功高畫亦優」

這樣的詩句流傳於世這六匹馬中的颯露紫與拳毛騧於 1914 年被盜運往美國現藏於美國

費城賓夕法尼亞大學博物館它們的複製品與其餘四匹駿馬的真品陳列於西安碑林博物館

數學家陳省身有感於古物流落他鄉的遺憾特在偉大數論學家韋依所著的《數論》這本書的

扉頁上用毛筆書寫著「老馬識途」四個中文字並附上拳毛騧的圖片渴望它們早日回歸

故里

數亦優 7

唐太宗懷念的這六駿有的在箭雨中穿行帶傷而馳有的跨河飛奔越野而去有的

緩步慢行若有所思閻本立所草繪的六匹駿馬中三匹作騰蹄飛奔之狀三匹為站立徐行

的姿勢有些馬則身中數箭甚至有一幅是描述邱行恭武將替太宗的一匹愛馬拔箭的情景

後讓我們回到尤拉如開頭所言虛數單位 i是尤拉發明的想必尤拉在方程式上也有

很大的貢獻這裡提出一則尤拉在解方程式上的天才之旅在「代數基本定理」尚未被證明

正確之前萊布尼茲就質疑過「每個實係數多項式都可以分解成一次或者兩次實係數多項式

的乘積」的正確性數學家白努力更舉一個精確的例子說「四次多項式 4 3 2( ) 4 2 4 4f x x x x x

就不可能分解成兩個實係數多項式的乘積」

然而代數大師尤拉在 1742 年時將白努力所舉的四次多項式 ( )f x 分解為二次多項式

2 2 4 2 7 1 4 2 7 7x x

與另一個二次多項式

2 2 4 2 7 1 4 2 7 7x x

的乘積如果再套一下一元二次方程式根的公式解那麼尤拉就把這個四次多項式方程式的

四個根都精確的表達出來了真不知道這神奇的因式分解是如何想出來的

像這種類似的例子還有許多例如將乘式

2 210 2 5 10 2 5 10 2 5 10 2 55 5

2 2x x x x

乘開也是一個以整數為係數的四次多項式

尤拉是第一位將 1 的平方根 1 定義為 i的數學家究竟在那個時代人們如何理解 i這

個「數」呢我們以尤拉的一段話來作結束「所有可能的數不是大於 0 就是小於 0 或等於 0

所以負數的平方根就不能是個數既然是不可能的數hellip我們只能稱之為虛數因為只有

在虛幻中才會有這樣的數」

尤拉尤拉20131018 取自 httpaprendiendomatematicascombachilleratolos-puentes-de-konigsberg

8 數亦優

運籌於帷幄之中以空間換取時間決勝於千里之外

玩電腦上的遊戲到底利多還是弊多我教過一位女大學生高中時因愛玩電玩遊戲「楓

之谷」高一高二多是資優班倒數高三才發憤圖強順利考上公費生讀博士班時我的

室友每天都玩電腦上的遊戲沉溺到連指導教授都經常來關切最近樓下的鄰居說「他兒

子最近被電玩遊戲迷住了連補習都不想去上」諸如此類的情形在中學或大學應該是很

普遍的現象我孩子就讀的小學有一間超過百坪大的教室裡面擺滿兩三百種益智小遊戲

坊間看得到的都在裡面而且每位小朋友每學期都要上六次「數學探索」的課程其實就是

在探索那些益智遊戲我當了一學年的數探志工覺得這課程還不錯究竟沉溺於電玩遊戲

跟玩益智小遊戲要如何區別呢我們可以慎選出具有啟發或啟蒙意義又不會讓小孩沉溺於

其中的遊戲嗎

最近心理學家發現休閒放鬆類的簡單小遊戲才能提高快樂感達到減壓效果據美

國媒體報導美國俄亥俄州立大學傳播和心理學教授布拉德布希曼等人招募了一些志願者

玩不同種類的遊戲研究人員清楚地發現那些玩休閒小遊戲的人自我感覺更舒服更快樂

能體驗到較多的正面情緒而玩暴力遊戲的人則攻擊性和侵略性增強此外玩了一會兒休

閒小遊戲比如和小動物互動之後人們會變得更親切更願意主動幫助他人希望本章所

要介紹的遊戲也是心理學家們發明的「圍貓遊戲」可以達到這個效果甚至超過這個功能

達到啟蒙的意義

圍貓遊戲是心理學家所設計出來的一道數學遊戲遊戲背景是平面上放置許多排列整齊

的圓圈一隻貓位於正中央的圓圈上而有少許的圓圈是黑色這是一場圍貓者與貓的鬥智

遊戲圍貓者每次可以點選一個圓圈讓它變成黑色而貓每次必須移動到鄰近還尚未變成黑

色的圓圈上當貓被黑色圓圈圍住時貓就被捉擒了但若貓跑出所有的圓圈外則圍貓失

敗

這遊戲是心理學家發明的心理學家把貓視為需要接受輔導的對象（如叛逆的學生）而

圍貓的人是輔導人員（如學校的導師）而黑色圓圈是貓的朋友輔導人員或學校導師必須透

過這些朋友的幫忙將貓咪圍起來才算輔導成功

許志農臺灣師大數學系

數亦優 9

日本 Game Design 團體將圍貓遊戲數位化寫成 Flash 的版本讓圍貓遊戲成為線上遊戲

的一種各位可以在網路上用「圍貓遊戲」四個字搜尋就能在線上玩圍貓遊戲了這遊戲

除了好玩之外還可以測試玩者的決策能力在布滿圓形的長方形棋盤上每個圓形都與六

個圓形相連一隻貓立於棋盤中央的圓形內玩者每次點選一個圓形塗黑來圍堵貓但貓可

以往尚未被塗色的隔壁圓形移動究竟鹿死誰手就要看 Game Design 的設計功力與圍貓者

的技巧誰強了下圖是貓被圍住的一種情形

用堵貓的方法進行圍貓遊戲經常沒辦法成功主要是因為貓有六個方向可以逃竄圍

堵方法很難奏效那麼圍貓遊戲是一種純靠運氣的遊戲嗎應該也不是我們可以往數學層

面來思考在進入更深入的討論之前回想一下國中時「任一三角形 ABC的內角和剛好等於

180」是如何證明的讓小朋友站在 A點朝向 B點往 B點走去當走到 B點時原地旋

轉轉到臉朝 C點的方向接著往 C點走去又當走到 A點時並原地旋轉轉到臉朝 B點

的方向停了下來此時小朋友回到出發前的 A點且臉部朝向的方向相同（都朝向 B點）

這告訴我們「小朋友一共轉了完整的一圈即 360的意思」另外我們在三角形 AB及 C三

個頂點上分別畫出旋轉的角度會發現他們都是外角

因為 AB及 C每點都是由一對內角及一對外角構成所以三角形的內角和就是

3 360 2 360180

2

證明三角形內角和等於180的概念真的對圍貓遊戲有所幫忙或者啟發嗎且讓我們深入

一點來探討圍貓遊戲吧圍貓棋盤上貓有六個方向可以逃竄用堵貓的方式圍貓肯定很難

奏效貓移動速度過快無法圍住所以利用空間爭取時間是個不錯的圍法但究竟要離貓

多遠的地方開始圍起呢這可能要根據貓有多少朋友這些黑色圓圈如何分布來決定了又

以何種形狀來圍住貓呢是圓形三角形長方形或者還有其他各種不同的形狀呢因為貓

10 數亦優

有六個方位可以逃所以用六邊形來圍貓是個不錯的想法舉例來說在下圖中貓僅有三

位朋友照理說圍住貓很難但是可以先想辦法幫貓製造比較多的朋友

在下圖中幫貓找到了三位朋友讓六位朋友位於凸六邊形的六個頂點上但我們也要付出

讓貓移動三步的代價還好此時貓還沒跑出六邊形外代表還有機會圍貓成功

從上圖可以洞悉貓想要往北邊逃竄當務之急當然是把北邊守住然後牽引貓順著六邊形

的邊移動在碰到頂點時帶著貓轉彎如下圖所示

繼續牽引貓順著六邊形的邊移動在碰到頂點時帶著貓轉彎在經歷六個轉彎之後貓就

會發現「牠已被困在六邊形內了」

數亦優 11

總結我們的作法是「利用空間換取時間先選妥適當大小的凸六邊形最好這凸六邊形的六

個頂點中有愈多是黑色圓圈愈好（代表儘量用貓的朋友當頂點）然後點選剩下的非黑色圓

圈構築完成圍貓的六邊形當貓衝撞這六邊形的一邊時牽引貓順著邊移動遇到頂點時

帶著貓轉彎在經歷六個轉彎之後貓就被困在凸六邊形內大功告成」手癢的讀者可以

在線上試玩看看圍貓遊戲是一道老少咸宜不分男女都很喜歡玩的遊戲也是心理學家

闡述「何謂輔導」的遊戲

把圍貓遊戲視為一道數學問題我們從混沌的實際操作過程裡得到圍貓的精髓這整個

過程就是數學孕育與思考的過程數學家亨利龐加萊在《數學的創造》中將自己對數學

的思考分為三個階段準備孕育與驗證首先所謂的準備階段就是對問題下很大功夫

又深陷混亂的階段在這個階段人們都會採取觀察實作分析學習與內化等有意識的

策略其次孕育階段就是停止有意識的思考讓潛意識發酵當腦袋裡的小燈泡忽然被點

亮那個「恍然大悟」的時刻就會到來最後驗證階段也是收割階段這一階段只是寫下

所有的事情檢查細節進行組織並發表龐加萊特別強調孕育階段的潛意識角色這是最

難懂也是至為關鍵的階段

談到潛意識就讓我們聯想到作夢而談到作夢又讓我們想到佛洛伊德在 1900 年出版的《夢

的解析》這本書在佛洛伊德出版《夢的解析》之前人類常把所作的夢當成神諭或預告未

來即將發生的事件看待上個世紀初期當印度數學家拉馬奴姜在英國留學時他的老師哈

代就常常好奇的問說「你每天早上一起床就寫下這麼多的恆等式到底是如何發生的」

拉馬奴姜總是說「那些是昨晚神明託夢給我的」例如

3 5 5 5 5 532 27 1 3 9

5 5 25 25 25

3

33 3 33 9 2

cos40 cos80 cos202

3 3 3 33sec40 sec80 sec20 6 9 1

拉馬奴姜顯然是個等式達人也是將龐加萊孕育階段中的潛意識發揮到淋漓盡致的人

12 數亦優

最後把圍貓遊戲當成小孩子數學思考的學習單觀察不同孩子經歷準備孕育與驗證

階段的發展過程是個不錯的主題當然小孩迷失方向時老師應該適時介入給予該有的幫

忙但切忌將答案傳遞給他

附錄

101 學年度全國高中數學科能力競賽決賽在彰師大數學系舉行其中的筆試試題(一)第二題就

是證明拉馬奴姜的恆等式

3

33 3 33 9 2

cos40 cos80 cos202

在五十位考生中只有一位作對而且是位高二的女生以下是羅啟心這位女學生的作法

設

3 3 3 3 3 3cos40 cos80 cos20 cos40 cos80 cos160S

則

3

3 3 3 3 3 3

3 3 3

cos40 cos80 cos160

3 cos40 cos80 cos80 cos160 cos40 cos160

3 cos40 cos80 cos160

S

S

利用三倍角公式可知 cos40 cos80 cos160 為

3 14 3

2x x

的三個根再由根與係數的關係知道

cos 40 cos80 cos160 0

3cos40 cos80 cos80 cos160 cos40 cos160

4

1

cos40 cos80 cos1608

由第一及第二式知

3 3 3 3 3 3 3 33 cos40 cos80 cos80 cos160 cos40 cos160

2S S

現在令

3 3 3 3 3 3cos40 cos80 cos80 cos160 cos40 cos160T

則

3 33

2S TS

又

數亦優 13

3

3 3 32 2 23 3 3 3 3 3

3 3 32 2 2

2

cos40 cos80 cos80 cos160 cos40 cos160

3 cos 40 cos80 cos160 cos40 cos 80 cos160 cos40 cos80 cos 160

3 cos 40 cos 80 cos 160

3 1 13 3

4 2 2

3 3

2 2

T

T

T S

TS

綜合兩式得

3 31 3

2 4T S

將此式代入 3 33

2S TS 得

3

33 3 33 3 13 27

2 4 2S ST S S

展開整理得

9 6 3 279 27 0

8S S S

再配方得

33 27 93 27 27

8 8S

解得

33 3 9

32

S 33 9

2 或

323 9

2

即

33 3 9

32

S 33 9

32

或3

23 93

2

因為 S為實數所以 3S 也是實數因此

33 3 9

32

S

解得

33

3 93

2S

即

3 3 3 333

cos 40 cos80 cos 20 9 22

得證

14 數亦優

一前言 》

高中數學課程近幾年不斷的加入統計的課程目的是想要讓學生感覺數學更貼近我們的生

活內容包含迴歸直線抽樣統計信賴區間hellip等而信賴區間這個單元建立在一個重要的

理論之上即為中央極限定理查閱大學教材內容大多在做定理及輔助定理的推導大多數人

未能完全了解其意義在這篇文章中我們將以高中生的觀點來欣賞中央極限定理

二中央極限定理（Central Limit Theorem簡寫 CLT）是什麼 》

每四年一次的總統大選選前新聞社都會透過電話隨機抽樣的方式來估計各組候選人的

支持度若每次電話抽樣訪問新聞社都隨機挑選 100 人這樣他們便可以獲得一組平均數標

準差這樣的行為重複多次則可以得到多組抽樣並討論其平均數標準差如果多組的平

均數用柱狀圖來呈現我們可以發現圖形隨著抽樣的次數增加會接近常態分配並且當選舉

後會發現真實的支持率與所有研究者當初所做的結果平均數相同且其標準差接近原來的

1

n倍即我們討論對象已由原來調查樣本變為這些研究者為我們討論對象這便是中央極

限定理討論的內容

現在讓我們重新敘述中央極限定理（有限母體）的內容

中央極限定理（Central Limit Theorem簡寫 C L T） 設研究目標為變量 T 1 2 Nt t t 平均數 標準差 則

2

2 21 1

1

1

N N

i i Ni i

ii

t tt

N N N

每次抽樣皆取 n個並取後放回其共有 NnC m 種抽樣方法數若每次抽樣平均分別為

1 2 mx x x 其結果會成常態分配則

1 1 2 mx x x 平均數為 1 2 Nt t t

N

2 1 2 mx x x 標準差為1

1

N n

n N

另外當 N n 時標準差近似於n

接下來我們可以進一步以高中的觀點探討為何抽樣平均的平均數會與當初未知的平均數相

同抽樣平均的標準差為何是1

1

N n

n N

廖世經臺中市立東山高中

數亦優 15

三抽樣平均的平均數及標準差 》

沿用上述的定理符號可以得到

1 2 mx x x

meanm

1 2 1 3 1 1 2n n N n N n Nt t t t t t t t t

n n n

m

1

1 1 2Nn NC t t t

nm

（

1

1

1

1 N Nn n

N n N nC C

n N n N n N n N

同理

22

1

1N Nn n

n nC C

N N

）

1 2

Nn N

nC t t t

Nnm

（∵ N

nC m ）

1 2 Nt t t

N

從上式證明結果我們可以發現學者抽樣平均所做的平均數與當初我們想要研究的目標

平均數是相同的這個觀念有助於我們將來思考信賴區間的概念

抽樣平均的變異數1

1

N n

n N

推導則為

2 2 2

1 1 1 1

2m m m m

i i i

i i i i

x x xvariance

m m

(A)

首先我們先考慮(A)中的1

m

i

i

x

從平均數的推導我們得到

1

m

i

i

x

m

則

1

m

i

i

x m

(B)

再考慮(A)中的2

1

m

i

i

x

2 2 22 1 2 1 3 1 1 2

1

mn n N n N n N

i

i

t t t t t t t t tx

n n n

2 2 21 2

1 1 2 2 1 2 1 3 1

2

2N Nn N n N NC t t t C t t t t t t

n

2 2 21 2 1 2 1 3 1

2

12

1N Nn N n N N

n nnC t t t C t t t t t t

N N N

n

2 2 21 2 1 2 1 3 1

112

1N N N

nm t t t m t t t t t t

N N N

n

(C)

16 數亦優

接著先計算(C)中的 1 2 1 3 12 N Nt t t t t t

2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 3 12N N N Nt t t t t t t t t t t t

2 2 2 21 2 1 2 1 3 12N N NN t t t t t t t t t

2 2 22 21 2 1 3 1 1 22 N N Nt t t t t t N t t t

將得到的式子代回(C)得到

2 2 2 2 2 22 2

1 2 1 22

1

111N Nm

i

i

nm t t t m N t t t

N N Nx

n

2

2 2 21 2

1

1 1N

m N n m n Nt t t

N N N

n

(D)

將(B)以及(D)的結果代回(A)得到

2 2

1 1 1

2m m m

i i

i i i

x xvariance

m

22 2 2

1 22

1

1 12

N

m N n m n Nt t t

N N Nm m

nm

2

2 2 21 2

2 2

1

1 12

N

N n n Nt t t

N N N

n

22 2 2 2

1 2

11

1 1N

N n n Nt t t

n N N n N

2

2 2 21 2

1

1 1N

N n N nt t t

n N N n N

2 2 221 21

1N

N n t t t

n N N

21

1

N n

n N

數亦優 17

在大學書中中央極限定理的敘述大多直接使用標準差n

是因為當 N n 時則

11

1 1

N n n

N N

rarr1故標準差會近似於

n

四結論 》

中央極限定理的存在幫助了我們做抽樣討論時從原本我們想要研究的目標轉換到探

討研究人員所做的數據上上面所討論的方式只透過平均數變異數的定義加上組合的想

法可以讓高中生更加了解中央極限定理藉此了解數學的真善美這是研究會時分享給其他

老師的內容謝謝我的實習老師黃怡慈老師的幫忙整理

18 數亦優

一楔子 》

古希臘人尤勒士（Euathlus）向普羅塔哥拉斯（Protagoras）學習辯論術先付一半學費

另一半學費訂定契約言明等學成後在第一場辯護勝訴時再付如果敗訴則學費不必再交

但尤勒士畢業後根本不擔任辯護的工作自然也不交另一半的學費因此普羅塔哥拉斯便告

他普羅塔哥拉斯說「如果我勝訴法官當然要判他還我學費如果我敗訴那就是尤勒士勝

訴依契約他還是要還我學費」尤勒士說「如果我勝訴當然是要求法官判我不必還學費

如果我敗訴依契約我也不必還學費」請問法官該怎麼判

二歸謬證法 》

亞里斯多德認為愈重的物體落下得愈快1589 年伽利略如此舉反證把兩物 AB

綁在一起成為 A B 假設 A比 B重則由高處落下時因為 B落下的速度比 A慢把 A拖

住所以 A B 落下的速度比 A 慢又 A B 比 A 重所以 A B 落下的速度又比 A 快矛盾

所以「任何物體同時從相同的高處落下皆同時著地」伽利略如是說

99 課程綱要把歸謬證法拿掉了我猜想最少有兩位先生會很鬱卒一位是歐幾里得先生

他在《幾何原本》中用歸謬證法證明了「質數有無窮多個」另一位是蔡聰明先生他用了 28

種方法證明 2 是無理數

三直觀與證明 》

最近看到一篇文章關於 2 是無理數的證明

假設 2p

q 是有理數其中 p q是正整數且 1p q 則

2

22

p

q

直觀上「如果p

q不是整數則

2

2

p

q更不可能是整數」矛盾

所以假設錯誤即 2 是無理數得證

（這是因為如果 p q沒有相同的成分 2p 和 2q 自然也不會有相同的成分如果p

q都無法化簡

成整數2

2

p

q更沒有機會了因此這個式子是個明顯可笑的矛盾等號左邊是整數右邊不是

整數兩者怎麼可能相等）

我想提一段陳年往事多年前一次國中數學週考中某老師出了一道題目證明三角形

兩邊和大於第三邊直觀上這何需證明因為兩點之間直線最短嘛於是我買了歐幾里得

的《幾何原本》根據歐幾里得的體系證明「三角形兩邊和大於第三邊」確實需要很長的篇幅

我相信這不會是出題老師的本意我的判斷是出題老師只想要學生說明「兩點之間直線最短」

江慶昱衛道中學退休教師

數亦優 19

那麼考題應該改成請說明「三角形兩邊和大於第三邊」中學階段不必強調數學的嚴密性

這是共識（60 年代的新數學過度強調嚴密性是失敗的原因之一）但是直觀的說明與嚴格的證

明應該予以區隔這純屬我個人的看法所以我以為上述關於 2 的證明實偏向於說明（註

最早項武義先生認為他解決了克卜勒的裝填問題陳省身先生也為之背書但還是不被接受

目前公認是 Thomas Hales 解決了httpenwikipediaorgwikiKepler_conjecture數學界的所謂

「證明」自有其行規）

如何在高中引入簡易邏輯是一件困難但是值得深思的事

四等價 》

高中課程中另一個重要的邏輯概念是「等價」有一年大學聯考考這麼一題證明「海龍

公式邊長 a b c的三角形面積 ( )( )( )s s a s b s c 」那時候大學錄取率大約 30不到

補習班之間競爭非常激烈大家趕著把解答登報有一間補習班第一天是這樣證明的

因為( ) ( )( )

sin cos2 2

A s s a A s b s c

bc bc

所以1 1

sin 2sin cos ( )( )( )2 2 2 2

A Abc A bc s s a s b s c

第二天趕快發報更正因為在邏輯上第一天拿一個等價的命題當作證明等於沒有證明

換句話說患了邏輯上的錯誤了

五等價的一些例子 》

我們在國中時有這樣的性質 p三角形任兩邊和大於第三邊又在書中的同一個角落看到

q三角形任兩邊差小於第三邊很容易證明「 p q 」這種情形我們叫 p與 q等價意思是 p

與 q是同一回事以下舉一些等價的例子

1 p平行公設過直線外一點恰有一直線與之平行q三角形內角和為180

2 G是ABC的重心則 p q r三個向量式等價

1 1

3 3

p AG AB AC

1 1 1

3 3 3

q OG OA OB OC

0r AG BG CG

3 2 2 2

p u v u v

（柯西不等式） q u v u v

（三角不等式）

4 p周長固定的平面圖形中以圓形面積最大q面積固定的平面圖形中以圓形周長最小

5 (1)正弦定理(2)餘弦定理(3)投影定理 等價

6 實數的完備性有多種等價的敘述（我有一位同事到師大數學系修碩士班學分就是上了一本

這樣的書）

7 p算幾不等式q柯西不等式

20 數亦優

六算幾不等式與柯西不等式的等價 》

算幾不等式與柯西不等式在形式上相差很多兩者會等價甚感意外我第一次是在臺中一

中的網頁內看到證明過程當時沒有仔細研究後來回去找就找不到那份資料了最近上網搜

尋找到建中徐健策老師的一篇專題算是一償宿願這是我寫這篇文章的另一個因緣

七後記 》

1900 年量子力學開始萌芽到 1965 年朝永振一郎（S Tomonaga）薛文格（Julian Schwinger）

與費因曼得到諾貝爾物理獎是一段精采的故事重點是薛文格與費因曼對量子電動力學的看法

與算法南轅北轍薛文格用的是歐洲優雅的數學費因曼的路徑積分用的是圖像式的數學把

兩者結合為一或者說看出兩者的「等價性」的是戴森（Freeman J Dyson）我覺得這比證

明兩命題的等價有更深刻的意義

非歐幾何的發展也有類似的地方義大利幾何學家 Eugenio Beltrami（1835~1899）證明了

Lobachevsky（1793~1856）與 Ferdinand Minding（1806~1885）的非歐幾何模型是「等價」的

（註代數中複數平面與平面向量同構以上兩種情況說同構或等價哪一個說法比較恰當

當就教於各位）

99 課程綱要把歸謬證法放在附錄我觀察最近兩年的各校段考試題大約只有三四個學

校段考中有考歸謬證法早年國中考高中每年要考一題證明題一題尺規作圖當時我們會

努力教證明題當然包括用「窮舉法」證明「圓內接四邊形的充要條件為對角互補」基測不

考證明題後絕大部分的老師不會花時間去證明這個定理向來就是「考試引導教學」自古皆

然隋唐時期科舉要考《算經》所以宋朝有四位偉大的數學家秦九韶李治楊輝朱世傑

到明清科舉只考八股文可以印證中國數學沒落的一段史實證明與數學的關係就如同實驗與

物理的關係基測與學測不考證明題相信有不少人憂心忡忡如今又把歸謬證法拿掉（放在

附錄與拿掉等價）應該有人輾轉難眠吧

早上（2012829）看到新聞十二年國教將於後年上路臺大名譽教授劉廣定批評103

年到 107 年的高中學生要繼續接受舊課綱的教育他堅決反對沒有新課綱的十二年國教後

年就要推十二年國教課綱最快 106 年才能完成到 108 年才有新課綱教科書可用意味之前

的高中生都要繼續接受舊課綱教育芬蘭從 1980 年代開始教改先找學校試辦2000 年才全

面實施然而臺灣十二年國教從宣布到實施只有三年準備期讓人憂心

參考資料

1 蔡聰明 2 是無理數的 28 種證明數學傳播季刊第 23 卷（第 1 期）

2 王九逵邏輯與數學思維

3 南山柯西不等式與排序不等式上海教育出版社P230

4 William Dunham（1995）天才之旅牛頓出版股份有限公司P61

5 戴森（1993）宇宙波瀾天下文化

6 奧瑟曼（1997）宇宙的詩篇天下文化P84

7 Stefan Kulczycki（1992）非歐幾里得幾何學水牛出版社P32

8 蔡辰理中國數學史上的黃金時代及其四個偉大的數學家20130701 取自

httpepistemathntuedutwarticlesmmmm_03_2_07page2htmltop

9 徐健策老師專題柯西琴生與冪平均不等式20131002 取自 httpmath1cktpedutw徐健策mathhtm

數亦優 21

一研究目的 》

將一道解四元一次聯立方程式的題目利用四次多項函數且領導係數為 1 的恆等原理來解

答

二研究過程 》

已知

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

12 1 2 3 2 5 2 7

14 1 4 3 4 5 4 7

16 1 6 3 6 5 6 7

18 1 8 3 8 5 8 7

x y z w

x y z w

x y z w

x y z w

試求(1) ( )x y z w (2) x y z w

一 首先將上題解讀為解四元一次聯立方程式

設

2

3

2

2

3 5 7105 2079 429 143 1

3 5 7 11 21 1485 1001 195 1

9 385 819 495 13 7 11 135 189 231 429 1

3 5 11 13

x aa b c d

y b a b c d

a b c dz ca b c d

w d

211512 1320 2288 5

4b c d

52376 1144 208 1

4b c d

5 956 504 1584 1

4b c d

2432 640 1792 0 19 5 14 0

5 1792 3840 5632 0 7 15 22 0

b c d b c d

b c d b c d

由5 14 14 19 19 5

320 320 320 11115 22 22 7 7 15

b c d

由1

56 504 1584 1 1024 11024

b b b b b c d

代入1 1 1 175 35

5 189 231 429 1 51024 1024 1024 1024 1024

a a a

李維昌國立宜蘭高中

22 數亦優

2 2 2 3 2 23 5 7 3 5 7 11 3 7 11 13 3 5 11 13( )

1024 1024 1024 1024x y z w

即為(1)的所求

2 3 2 2

2 3

2 2

3 5 7 3 5 7 11 3 7 11 13 3 5 11 13

35 13 5 7 3 5 7 11

1024 10241 1

3 7 11 13 3 5 11 131024 1024

x y z w a b c d

11025 10395 9009 6435 36864

361024 1024

即為(2)的所求

二 嘗試利用四次多項函數且領導係數為 1 的恆等原理來解答此題

1 構造以 t為變數的四次多項函數且領導係數為 1命此函數為 ( )f t

2 2 2 2 2 2 2( ) 1 3 5 7 3 5 7f t t t t t x t t t

2 2 2 2 2 2 2 2 21 5 7 1 3 7 1 3 5y t t t z t t t w t t t

其中 x y z w四數為常數

2 2 2 2 2 2 2 2 21

2 1 2 3 2 5 2 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 1 2 3 2 5 2 7 2 3 2 5 2 7

2 1 2 5 2 7 2 1 2 3 2 7

2 1 2 3 2 5 0

x

y z

w

2(2 ) 0f

3 2 2 2 2 2 2 2 21

4 1 4 3 4 5 4 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

4 1 4 3 4 5 4 7 4 3 4 5 4 7

4 1 4 5 4 7 4 1 4 3 4 7

4 1 4 3 4 5 0

x

y z

w

2(4 ) 0f

4 2 2 2 2 2 2 2 21

6 1 6 3 6 5 6 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

6 1 6 3 6 5 6 7 6 3 6 5 6 7

6 1 6 5 6 7 6 1 6 3 6 7

6 1 6 3 6 5 0

x

y z

w

2(6 ) 0f

數亦優 23

5 2 2 2 2 2 2 2 21

8 1 8 3 8 5 8 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

8 1 8 3 8 5 8 7 8 3 8 5 8 7

8 1 8 5 8 7 8 1 8 3 8 7

8 1 8 3 8 5 0

x

y z

w

2(8 ) 0f

6 由 12345的討論可得知 ( )f t 等價 2 2 2 22 4 6 8t t t t

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 4 6 8

1 3 5 7 3 5 7 1 5 7

1 3 7 1 3 5

t t t t

t t t t x t t t y t t t

z t t t w t t t

為 t的四次多項方程式

第式等號的左式 3t 的係數＝第式等號的右式 3t 的係數

2 2 2 2 2 2 2 22 4 6 8 1 3 5 7 x y z w

2 2 2 2 2 2 2 22 4 6 8 1 3 5 7 120 84 36x y z w

即為(2)的所求

7 x的求法

將 21t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

1 2 1 4 1 6 1 8 1 3 1 5 1 7

2 1 4 1 6 1 8 1 1 3 3 5 5 7 7 9 3 5 7

2 4 4 6 6 8 10243 1 5 1 7 1

x

x

8 y的求法

將 23t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 3

2 2 2 2 2 2

3 2 3 4 3 6 3 8 3 1 3 5 3 7

3 2 4 3 6 3 8 3 1 5 1 7 3 9 5 11 3 5 7 11

2 4 2 8 4 10 10243 1 5 3 7 3

y

y

9 z的求法

將 25t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

5 2 5 4 5 6 5 8 5 1 5 3 5 7

5 2 5 4 6 5 8 5 3 7 1 9 1 11 3 13 3 7 11 13

4 6 2 8 2 12 10245 1 5 3 7 5

z

z

24 數亦優

10 w的求法

將 27t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

7 2 7 4 7 6 7 8 7 1 7 3 7 5

7 2 7 4 7 6 8 7 5 9 3 11 1 13 1 15 3 5 11 13

6 8 4 10 2 12 10247 1 7 3 7 5

w

w

11 由 78910的討論可得

2 2 2 3 2 23 5 7 3 5 7 11 3 7 11 13 3 5 11 13

( ) 1024 1024 1024 1024

x y z w

即為(1)的所求

三 結論

1 解題的巧妙與否存乎一心「學則需疑於不疑處有疑方是進矣」本題為解四元

一次聯立方程式基本解題策略為克拉瑪公式加減消去法或代入消去法三種由

於這三種計算相當繁瑣進而苦思其他對策經過一番思索驀然回首伊人卻在

燈火闌珊處竟然將此題與四次多項方程式連結在一起有了令人會心一笑的妙解

真是一次驚奇的解題之旅

2 孔子曾言「學而不思則罔思而不學則殆」我期待每次解題時皆能直搗黃龍

一眼看穿題目的堂奧之妙事後「大膽假設小心求證」檢驗過程和結果是否達

到最佳化藉由在夙昔的典範亦步亦趨臻於真善美的解題境界

數亦優 25

國立臺灣師範大學數學系

筆試一計算證明題（考試時間2 小時）

1 (1) 直角三角形的兩股長為 a b斜邊長為 c試證 3 3 3c a b （8 分）

(2) 如下圖圓 O內二直徑 AC BD互相垂直在劣弧DC上任取一點 E

試證以 AE 為一邊的正方形面積等於四邊形 ABED面積的二倍 （12 分）

2 設函數 2( ) 6 5f x x x 求坐標平面上滿足聯立不等式

( ) ( ) 0

( ) ( ) 0

f x f y

f x f y

的所有點 ( )x y 所形成的區域面積 （20 分）

3 設 a b c d 為實數且 a b c d ( ) ( )f x g x 為滿足 ( ) ( )f a f b 及 ( ) ( )g c g d 的實係數二次多

項式已知 ( ) ( )f x g x 為常數多項式證明

(1) a b c d （8 分）

(2) 2( )

2

( )2

a bf a f

a bc d c d

g c g

（12 分）

4 如下圖所示ABC和DBC為空間中的兩個等腰三角形M為線段 BC 的中點令

AB AC a DB DC b BM CM c 和DA x

(1) 已知向量內積 0AM BD

求證 2 2 22x a b c （8 分）

(2) 已知 2 2 22x a b c 求證向量內積 0AM BD

（12 分）

26 數亦優

5 師大數學系舉辦系徽設計比賽入圍決選的有四件作品由 10 名學生代表進行不記名投票

每人投兩票且兩票須投不同作品在沒有廢票的情況下試問

(1) 四件作品的得票情形共有幾種 （8 分）

(2) 得票數 高的作品恰有一件的票數分布有幾種 （12 分）

筆試二填充題（考試時間15 小時）

1 設 a為實數若對於所有實數 x2

2

32

2

x ax

x x

恆成立則 a的範圍為

2 若等比數列的第三項是1 i 第五項是1 1

16 16i 其中 1i 則此等比數列的公比為

（有兩解）

3 從1234567 等數字中選取三個排成三位數數字不重複則排出來的是 3 的倍數但不是 5 的倍數

的整數有 個

4 桌上有十個骰子當中有一個骰子出現 5 點的機率是1

2而出現其他點數的機率均等其他

九個都是均勻的骰子用隨機的方式選取一個骰子來投擲在出現 5 點的情況下被選取的

骰子是不均勻骰子的條件機率為 （答案若為分數請化為 簡分數）

5 在電腦裡有一公定的對照表（ASCII）將英文字母ABhellipZ及空格等字元分別對應至一整數

其對應數字如下表所示

字母 空格 A B C D E F G H

ASCII 碼 32 65 66 67 68 69 70 71 72

字母 I J K L M N O P Q

ASCII 碼 73 74 75 76 77 78 79 80 81

字母 R S T U V W X Y Z

ASCII 碼 82 83 84 85 86 87 88 89 90

數亦優 27

我們可利用此對照表在 facebookTM 傳送保密訊息給朋友我們與朋友約定所有的英文字母及

空格皆以對照表中的整數替代例如「HE IS DAVID」的訊息用「7269327383326865867368」

取代然後將此數字字串的奇數項排在矩陣的第一列偶數項排在第二列形成以下矩陣

7 6 3 7 8 3 6 6 8 7 6

2 9 2 3 3 2 8 5 6 3 8B

再與二階方陣

1 2

2 3A

相乘得到

11 24 7 13 14 7 22 16 20 13 22

20 39 12 23 25 12 36 27 34 23 36AB

後依上述規則反求得字串「11202439071213231425071222361627203413232236」傳送給朋

友如此他人便不能立即得知傳送之內容現在在此規則下你接收到數字字串

「233825411222213516271932」可以轉成矩陣

23 25 12 21 16 19

38 41 22 35 27 32

其所代表之訊息為

6 坐標平面上圓 C通過點 (02) 且 C與兩直線 3 2 0 1 0x y y 皆相切則圓 C的方程

式為

7 坐標空間中ABC的三頂點分別為 (1 11) ( 321) (5 43)A B C P為ABC內部一點且

令P到 AB BC CA的距離分別為 x y z則 2 2 2x y z 的 小值為 （答案若為分數

請化為 簡分數）

8 函數 4 4( ) cos 3sinf x x x 的 小值為

9 設 為實數若

cos 0 sin

0 1 0

sin 0 cos

A

則 5A

10 袋中有編號分別為 1 到 6 的六個球從袋中隨機選取兩球令隨機變數 X表示在被選取的

兩球中球號比袋中剩下的球號都大的球的個數（例如如果選到 2 號和 3 號球那袋中剩

下的就是 1456 號球因為選出的球中並沒有比 1456 都大的球號故這種情況下 0X ）

隨機變數 X的期望值為 （答案若為分數請化為 簡分數）

28 數亦優

筆試一計算證明題

1 (1) 利用 2 2 2c a b 及 c a c b 得

3 2 2 2 2 3 3c c a b ca cb a b

(2) 過 E作 EF AC 則

四邊形 ABED的面積

1 1

2 21

21

2

ABD BDE

BD AO BD OF

BD AO OF

AC AF

又在直角三角形 ACE中因為2

AE AC AF 所以2

AE 四邊形 ABED面積的兩倍

2 因為

2 22 2( ) ( ) 6 6 10 3 3 8f x f y x y x y x y

2 2( ) ( ) 6 6 6f x f y x y x y x y x y

所以

2 23 3 8( ) ( ) 0

( ) ( ) 0 6 0

x yf x f y

f x f y x y x y

因此滿足上述條件的所有點 ( )x y 為

22 23 3 8

0 6 0

x y

x y x y

或 22 2

3 3 8

0 6 0

x y

x y x y

其所圍成的區域如下圖所示面積為 218 4

2

數亦優 29

3 (1) 依題意可設 ( ) ( )f x r x a x b s g x r x c x d s

因為 ( ) ( )f x g x 是常數多項式所以比較一二次項係數知

r r r a b r c d

得 a b c d

(2) 由 2 2

( )2 4 4

a b a ba bf r s r f a

得

2

4 ( )2a b

f a f

ra b

故得證

註1o 也可利用對稱性知 ( )y f x 的頂點之 x軸坐標為2

a b ( )y g x 的頂點之 x軸坐標

為2

c d而得證

2o 亦可用插值多項式證明

4 (1) 由向量分解DA DM MA DB BM MA

得

2 22 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2

2

2 2

DA DA DM MA DM MA DM MA

b c a c DB BM MA

b a c DB MA BM MA

因為 0AM BD

且 BM MA 所以

2 2 2 22DA b a c

因此

2 2 22DA a b c

(2) 由(1)及 BM MA 可得

2 2 2 22 2DA b a c DB MA

依題意知 2 2 22DA x b a c 即

22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2b a c b a c b a c DB MA

故

0DB MA

30 數亦優

5 (1) 由題意可以知道

1 四件作品所得的總票數為 20 票

2 每件作品 多可以得到 10 票

令四件作品的得票數分別為 x y z u由1 2 可得

200 10x y z u x y z u

因為 0 10x y z u 所以 420H 須扣掉11 20x y z u 的情況由 20x y z u 且

0x y z u 可知 多只有一個票數會大於等於 11假設 11x 令 11x x 可得

90 9x y z u x y z u

此情況有 4 129 9 220H C 種

因此票數分布為 4 420 94 1771 4 220 891H H 種

(2) 假設得票數 高為 x由題意可得

200 10x y z u y z u x

因為 y z u x 也就是 1y z u x 所以

1 1 1 4 3x y z u x x x x x

由 20x y z u 得

20 4 3x

即

23

4x

因此當 6x 時才會滿足只有一件作品得票數 高且票數為 x

當 6x 時

140 5y z u y z u

滿足此情況的 y z u有 (554)(545)(455) 3 種

當 7x 時

130 6y z u y z u

因為 13y z u 且 0y z u 所以 y z u 多只有一個會大於等於 7

由(1)可知滿足此情況有 3 3 15 813 6 13 63 3 105 84 21H H C C 種

同理

當 8910x 時 y z u 多只有一個會大於等於 8910故

當 8x 時有 3 3 14 612 4 12 43 3 91 45 46H H C C 種

當 9x 時有 3 3 13 411 2 11 23 3 78 18 60H H C C 種

數亦優 31

當 10x 時有 3 3 12 210 0 10 03 3 66 3 63H H C C 種

因此滿足只有一件作品得票數 高的情形有

4 3 21 46 60 63 772 種

筆試二填充題

1 2 3 4 5

0 4a 2 2

8 8i

66 1

4 NORMAL

6 7 8 9 10

2 2

3 1 4x y

2 2

3 3 5 36x y

（或是 2 2 2 3 2 0x y x y ）

50

79

3

4

cos5 0 sin 5

0 1 0

sin 5 0 cos5

2

5

32 數亦優

《接續PartI 請見數亦優第 21 期》

四 正多邊形

(一) 除了正方形及三角形以外我們還考慮將其他形狀組合討論其撕裂次數是否與正方

形三角形相同

(二) 並非所有正多邊形皆可組合若內角非360

kk

便不能組合例如

1 正五邊形的內角和180 3 540 則一個內角為108但108 360 k k

無法將五邊形完整組合必有空隙

2 正六邊形的內角和180 4 720 則一個內角為120因為120 3 360

則任三個相同的正六邊形皆可相互組合

(三) 完整排列正六邊形為例以 m張排列

例 1 一頁 5 個正六邊形排列

撕開 2 次使下排的兩個正六邊形與上排分開再逐一將上排撕開共需 4 次

由例 1撕的次數結果皆為 1m 次

（Part II） 陳敏晧國立蘭陽女中

數亦優 33

(四) 內部有洞正六邊形為例m張 n個洞排列

例 2 一頁 11 張且 2 洞排列

先撕開 2 次使其成為無洞排列再撕開 1 次使其變成兩頁完整排列再逐一撕開

共需 12 次

由例 1與例 2得知撕的次數結果皆為 1n m 次

五 「切割」的定義

(一) 我們從平面延伸到立體討論柏拉圖的五個正多面體先將正多面體每面切開分開

的次數是否也有彼此相似之處

(二) 因為立體無法如平面一樣用撕的故用切的而計算次數的定義與方法也與平面有很

大的差異

(三) 「切一次」的定義與限制沿著稜邊切下一個面才算作「一次」第一次切下後

便將封閉的正多面體打開此後每切一次都必須從開放的稜邊切下不可再一次從

封閉的面切下

以正六面體為例

此為一個完整封閉的正六面體

第一次沿著粗線切開可切下一個面

34 數亦優

六 柏拉圖多面體

1 正四面體

第一次將底面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 3 個面切下共需切

1 3 1 3 次

2 正六面體

第一次將頂面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 5 個面切下共需切

1 5 1 5 次

斜線部分為第一次被切下的面

封閉正六面體被打開後第二次只能從

開放的 4 條稜邊（粗線）切下

第二刀不可再從封閉面（粗線）開始切

數亦優 35

3 正八面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 7 個面切下共

需切 1 7 1 7 次

4 正十二面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 11 個面切下共

需切 1 11 1 11 次

5 正二十面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 19 個面切下共

需切 1 19 1 19 次

36 數亦優

由上述例子可得知切割次數皆剛好為正多面體的(總面數 1 )次

研究發現

內部有洞洞數 a b 其中 a洞的個數b每個洞的張數

矩 形

完整排列

邊長 邊長 總張數 撕的次數

2 2 4 3

4 5 20 19

不規則排列

總張數 撕的次數

10 9

13 12

內部有洞

邊長 邊長 洞數 總張數（邊長 邊長 洞的張數） 撕的次數

3 3 1 1 8 3 3 1 8

3 5 2 1 13 3 5 2 14

三 角 形

完整排列

邊長 總張數 撕的次數

2 4 3

3 9 8

不規則排列

總張數 撕的次數

10 9

13 12

內部有洞

邊長 洞數 總張數（邊長平方 洞的張數） 撕的次數

規

則

4 1 1 15 4 4 1 15

5 1 1 24 5 5 1 24

5 1 2 23 5 5 2 23

5 1 3 22 5 5 3 22

6 1 1 35 6 6 1 35

6 1 2 34 6 6 2 34

6 2 1 34 6 6 2 1 35

6 3 1 33 6 6 3 1 35

6 1 2 1 1 33 6 6 2 1 34

7 2 2 45 7 7 2 2 46

不

規

則

1 1 22 22

1 1 23 23

1 2 32 32

數亦優 37

六 邊 形

完整排列

總張數 撕的次數

3 2

5 4

內部有洞

洞數 總張數 撕的次數

1 1 6 6

2 1 11 12

正 多 面 體

面數 撕的次數

正四面體 4 3

正六面體 6 5

正八面體 8 7

正十二面體 12 11

正二十面體 20 19

目前的研究我們發現了以下獨特的結論平面幾何圖形中矩形正三角形和正六邊形的

規則形狀與不規則形狀紙張之最佳撕法都是(總張數 1 )次矩形正三角形及正六邊形排列成

內部有 n個洞且 m張的紙張之最佳撕法都是 1n m 次而柏拉圖立體的最少切割次數皆為

正多面體的(總面數 1 )次最重要我們發現其實撕裂或切割次數與撕裂或切割方法（或順序）

無關

參考資料

1 陳美如（200003）撕郵票問題數學傳播第 24 卷第 1 期P82~86

2 許志農與奇人相遇httpmathntnuedutw~macomeethtm

3 林義強多面體簡介第一屆全國高中數學教學研討會論文集P177~192

參數學專題研究反思 》

上述作品得到今年北一區數學科展優等過程中我與學生教學相長高二學生因為所學的

數學很有限所以數學解題層次會有侷限但是相對地數學思維與想像力卻是受過數學訓練

的我們所不及的在這次數學專題研究中我扮演的角色是諮詢者協助者鼓勵者完成任

務是那三位鍥而不捨的同學鄭羽呈李依庭林佩柔 勘誤 第 21 刊〈高中數學專題研究教案（PartI）〉 P34 倒數第 6 行「設m k 」應改為「設m k 」 P36 第 3 行「設m k 」應改為「設m k 」 P38 內部有洞的 1(1)~(4)分類應改為「1(1)一頁 24 張內部有一個洞一張為 1 洞」

「1(2)一頁 23 張內部有一個洞兩張為 1 洞」 「1(3)一頁 23 張內部有一個洞兩張為 1 洞」 「1(4)一頁 22 張內部有一個洞三張為 1 洞」

38 數亦優

動手玩數學 許志農臺灣師大數學系

在 下 圖 中已 知 ABC為 直 角

三 角 形 1AB 求

(1) 線段 AD的長度（化為最簡形式）

(2) 餘切 cot24

的值

〔玩鎖玩索〕

這道問題改編自「求 cot24

的值」這道

教師甄選試題關於這道餘切求值問題

有兩位老師的作法是用標準特別角出發

再求出欲求的餘切值

底下是另一位老師的作法

已知 ABC 為 直 角 三 角 形 4AC 求

AB BC及 cot24

的值

請 加 上 線 段 使 下 圖 分 成 五

份 形 狀 完 全 相 等 的 部 分（翻面

相等也算）

或 許 下 圖 對 你 會 有 些 幫 助 它 們 是 四 份

形 狀 完 全 相 等 的 部 分

〔玩鎖玩索〕

這是 1998 年夏天香港中文大學教育學

院第二次舉辦暑期資優課程中在數學有關的

工作坊裡的一道測智遊戲

遊戲 85

遊戲 86

數亦優 39

在 坐 標 平 面 上 畫 一 直 線 1L在

線 上 任 取 一 點O 以O為 旋 轉

中 心依 逆 時 針 方 向 將 直 線 1L

旋 轉 120得 到 直 線 2L 如 下

圖 所 示

已 知 直 線 1L 的 斜 率 為m求 證 直 線 2L 的 斜

率 為

3

3 1

m

m

〔玩鎖玩索〕

直線是平面幾何上的重要元素而斜率又

是直線在代數上的代言人掌握斜率就如同控

制直線一樣從逆轉120的 直 線 斜 率 公 式

不 難 知 道 坐 標 平 面 上 的 正 三 角 形 之 三

條 邊 斜 率

1 2 3 m m m

是可以互相推導的即由 1m 可 以 得 到 2m 與

3m 的 公 式 而 且 還 知 道 以 下 兩 個 恆 等 式

1 2 2 3 3 1 3m m m m m m

1 2 31 2 3

1 1 19m m m

m m m

宇 富 怕 手 機 被 盜 打 每 日 更

換 開 機 密 碼為 了 便 於 記 憶

他 想 到 一 則 更 換 密 碼 的 算 術

通 則 「 昨 天 密 碼 為p 今

日 的 密 碼 就 更 新 為1

1

p

p

」

宇 富 跟 所 有 的 人 說「 我 已 經

使 用 這 密 碼 通 則 500天 了 而

且 第 一 天 的 密 碼 就 設 為 2 1

相 信 各 位 算 到 手 痠也 無 法 算

出 今 天 的 開 機 密 碼 」

徵求可以破解開機密碼的人士

〔玩鎖玩索〕

如果第一天的密碼為 那麼破解密碼

的難度有增加嗎

遊戲 87

遊戲 88

40 數亦優

動動手手玩玩數數學學~~破破解解秘秘笈笈

遊戲 81

如圖所示

(1) 考慮 ABC 因為 8sin15AB BC 且

150ABC 所以 ABC 為等腰三角

形且 15BAC 因此

2 cos15 2 8sin15 cos15AC AB

1

8sin30 8 42

(2) 仿照(1)的方法 ACE 也是等腰三角

形且 30CAE 因此

32 cos30 2 4 4 3

2AE AC

遊戲 82

秦九韶這個依括弧次序求函數值 f a 的演

算法就是高中數學多項式那章所介紹的綜

合除法

2 5 4 8

2

2

a

a

仔細計算上述綜合除法的空白位置可以發

現小中大括弧位置所代表的值與秦九韶

小中大括弧內的值完全一樣

遊戲 83

(1)

2cos 2cos24 24cot

24 sin 2sin cos24 24 24

1 cos1 cos

3 412

sin sin12 3 4

(2) 因為

cos cos cos sin sin3 4 3 4 3 4

1 2 3 2

2 2 2 2

2 6

4 4

及

sin sin cos sin cos3 4 3 4 4 3

3 2 2 1

2 2 2 2

6 2

4 4

所以

2 61 4 6 24 4cot

24 6 2 6 24 4

2

4 6 2 6 2

6 2

2 2 3 6

遊戲 84

令

2 3A a b c b c i

2 3B c a b a b i

2 3C b a c c a i

且

1 3

2

i

因為 2A C B

所以 3 3 3 6 3A C B

又因為 3 6 1 所以 3 3 3A B C

得證

ltlt ASCII85EncodePages false AllowTransparency false AutoPositionEPSFiles true AutoRotatePages All Binding Left CalGrayProfile (Dot Gain 20) CalRGBProfile (sRGB IEC61966-21) CalCMYKProfile (US Web Coated 050SWOP051 v2) sRGBProfile (sRGB IEC61966-21) CannotEmbedFontPolicy Error CompatibilityLevel 13 CompressObjects Tags CompressPages true ConvertImagesToIndexed true PassThroughJPEGImages true CreateJobTicket false DefaultRenderingIntent Default DetectBlends true DetectCurves 00000 ColorConversionStrategy LeaveColorUnchanged DoThumbnails false EmbedAllFonts true EmbedOpenType false ParseICCProfilesInComments true EmbedJobOptions true DSCReportingLevel 0 EmitDSCWarnings false EndPage -1 ImageMemory 1048576 LockDistillerParams false MaxSubsetPct 100 Optimize true OPM 1 ParseDSCComments true ParseDSCCommentsForDocInfo true PreserveCopyPage true PreserveDICMYKValues true PreserveEPSInfo true PreserveFlatness true PreserveHalftoneInfo false PreserveOPIComments true PreserveOverprintSettings true StartPage 1 SubsetFonts true TransferFunctionInfo Apply UCRandBGInfo Preserve UsePrologue false ColorSettingsFile () AlwaysEmbed [ true ] NeverEmbed [ true ] AntiAliasColorImages false CropColorImages true ColorImageMinResolution 300 ColorImageMinResolutionPolicy OK DownsampleColorImages true ColorImageDownsampleType Bicubic ColorImageResolution 300 ColorImageDepth -1 ColorImageMinDownsampleDepth 1 ColorImageDownsampleThreshold 150000 EncodeColorImages true ColorImageFilter DCTEncode AutoFilterColorImages true ColorImageAutoFilterStrategy JPEG ColorACSImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt ColorImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt JPEG2000ColorACSImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 30 gtgt JPEG2000ColorImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 30 gtgt AntiAliasGrayImages false CropGrayImages true GrayImageMinResolution 300 GrayImageMinResolutionPolicy OK DownsampleGrayImages true GrayImageDownsampleType Bicubic GrayImageResolution 300 GrayImageDepth -1 GrayImageMinDownsampleDepth 2 GrayImageDownsampleThreshold 150000 EncodeGrayImages true GrayImageFilter DCTEncode AutoFilterGrayImages true GrayImageAutoFilterStrategy JPEG GrayACSImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt GrayImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt JPEG2000GrayACSImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 30 gtgt JPEG2000GrayImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 30 gtgt AntiAliasMonoImages false CropMonoImages true MonoImageMinResolution 1200 MonoImageMinResolutionPolicy OK DownsampleMonoImages true MonoImageDownsampleType Bicubic MonoImageResolution 1200 MonoImageDepth -1 MonoImageDownsampleThreshold 150000 EncodeMonoImages true MonoImageFilter CCITTFaxEncode MonoImageDict ltlt K -1 gtgt AllowPSXObjects false CheckCompliance [ None ] PDFX1aCheck false PDFX3Check false PDFXCompliantPDFOnly false PDFXNoTrimBoxError true PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 000000 000000 000000 000000 ] PDFXSetBleedBoxToMediaBox true PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 000000 000000 000000 000000 ] PDFXOutputIntentProfile () PDFXOutputConditionIdentifier () PDFXOutputCondition () PDFXRegistryName () PDFXTrapped False CreateJDFFile false Description ltlt ARA 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 BGR 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 CHS 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 ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 50 and later) CHT ltFEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002gt gtgt Namespace [ (Adobe) (Common) (10) ] OtherNamespaces [ ltlt AsReaderSpreads false CropImagesToFrames true ErrorControl WarnAndContinue FlattenerIgnoreSpreadOverrides false IncludeGuidesGrids false IncludeNonPrinting false IncludeSlug false Namespace [ (Adobe) (InDesign) (40) ] OmitPlacedBitmaps false OmitPlacedEPS false OmitPlacedPDF false SimulateOverprint Legacy gtgt ltlt AddBleedMarks false AddColorBars false AddCropMarks false AddPageInfo false AddRegMarks false ConvertColors ConvertToCMYK DestinationProfileName () DestinationProfileSelector DocumentCMYK 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數亦優 5

這道謎題對經驗不足的初學者來說簡直是一道難題但對看過解答的老鳥來說卻又是送

分題我們只需將棋盤塗成黑白相間的西洋棋盤樣式如上右圖所示接著發現每塊骨牌

無論橫著擺或者縱著放都剛好占據一格黑色與一格白色的正方格而這棋盤一共有 62 格正

方格需要 31 塊骨牌才能蓋滿但這 31 塊骨牌應該蓋住「31 格黑色正方格與 31 格白色正方

格」這剛好與棋盤上的「32 格黑色正方格與 30 格白色正方格」相抵觸也就是說這也是

一道無解的問題

「數學知識是被發現還是被發明或者被創造的或者兩者皆有」是一道有趣的哲學問題

同樣的「數學遊戲是被發現還是被發明或者被創造的或者兩者皆有」也是各說各話的問題

像網絡圖的一筆畫原理是因七橋問題而誕生還是七橋問題只是一個動機讓早就存在的數

學知識「一筆畫原理」被數學家發現呢接下來是遊戲時間讓我們介紹一道象棋的啟蒙遊

戲hellip老馬識途

中國象棋盤由九道直線和十道橫線交叉組成棋盤上共有 90 個交叉點象棋子就擺放和

活動在這些交叉點上棋盤分成兩個半張每半張都是由九道直線和五道橫線交叉組成共

有 45 個交叉點

一隻馬能否跳遍半張空象棋棋盤上的每一個交叉點答案是肯定的稍具象棋知識的人都

能準確回答這個問題但是若進一步要求是否能找到一條路徑讓馬跳遍半張空棋盤上所

有交叉點的過程中任意一個交叉點只允許被馬踩過一次後面這個問題恐怕要難倒許多

人了這個古老難題在西方稱之為「騎士旅遊」早在十六世紀時瑞士數學家貝爾特蘭德

即提出這個問題著名的大數學家尤拉在 1759 年開始研究它並獲得了一般解法

6 數亦優

讓我們將思緒跳回到半張象棋棋盤上如下圖將 45 個交叉點塗上黑白的顏色計算

一下有 23 個交叉點被塗上黑色其餘的 22 個交叉點被塗上白色（包括馬所在的位置也是

白色）

馬從白色交叉點出發是否可以找到一條路徑讓每一個交叉點剛好被馬踩過一次用馬走

的日步模擬一下不難發現前後兩步分別會落在不同顏色的交叉點上既然馬從白色交叉

點出發這代表馬的奇數步落在白色交叉點而偶數步停在黑色交叉點上又半張棋盤一共

有 45 個交叉點若馬找到每一個交叉點剛好被踩過一次的旅行方式則奇數步有 23 步偶

數步有 22 步也就是說馬會踏過 23 個白色交叉點及 22 個黑色交叉點這顯然與半張棋盤

上的交叉點顏色分布不合那就是說馬從白色交叉點出發是沒辦法完成旅行的

後來一道象棋專家的餘興節目我們把馬起始位置改變一下讓馬從黑色交叉點開始

跳躍結果又如何呢各位可以從下圖中動手嘗試看看能否讓馬剛好踩過每個交叉點一次

的前提下讓馬以日步完成半張象棋棋盤的旅行

這是一道帶有東方色彩的餘興節目「馬走日步」更是道地的中國口味在中國馬是一種獨

特的動物牠可文可武可以是人文藝術與棋藝的主題也可以是主導整齣戰爭歷史的利

器可以是貴族用來標示身分地位的象徵也可以是攸關庶民生活的重要寄託我們很難找

到一種功能如此多元指向如此豐富可平實又可高貴與人長期相伴的動物

在餘興節目中稱這遊戲為老馬識途是有數學典故的而這典故跟唐朝及中國數學家

陳省身有關聯唐太宗昭陵上有六匹駿馬的浮雕石刻聞名於世俗稱昭陵六駿（白蹄烏

青騅颯露紫拳毛騧特勤驃什伐赤）這六匹戰馬是李世民在唐開國戰爭中南征北討的

坐騎並命唐初大畫家閻本立繪草圖監石雕而成因而有

「秦王鐵騎取天下六駿功高畫亦優」

這樣的詩句流傳於世這六匹馬中的颯露紫與拳毛騧於 1914 年被盜運往美國現藏於美國

費城賓夕法尼亞大學博物館它們的複製品與其餘四匹駿馬的真品陳列於西安碑林博物館

數學家陳省身有感於古物流落他鄉的遺憾特在偉大數論學家韋依所著的《數論》這本書的

扉頁上用毛筆書寫著「老馬識途」四個中文字並附上拳毛騧的圖片渴望它們早日回歸

故里

數亦優 7

唐太宗懷念的這六駿有的在箭雨中穿行帶傷而馳有的跨河飛奔越野而去有的

緩步慢行若有所思閻本立所草繪的六匹駿馬中三匹作騰蹄飛奔之狀三匹為站立徐行

的姿勢有些馬則身中數箭甚至有一幅是描述邱行恭武將替太宗的一匹愛馬拔箭的情景

後讓我們回到尤拉如開頭所言虛數單位 i是尤拉發明的想必尤拉在方程式上也有

很大的貢獻這裡提出一則尤拉在解方程式上的天才之旅在「代數基本定理」尚未被證明

正確之前萊布尼茲就質疑過「每個實係數多項式都可以分解成一次或者兩次實係數多項式

的乘積」的正確性數學家白努力更舉一個精確的例子說「四次多項式 4 3 2( ) 4 2 4 4f x x x x x

就不可能分解成兩個實係數多項式的乘積」

然而代數大師尤拉在 1742 年時將白努力所舉的四次多項式 ( )f x 分解為二次多項式

2 2 4 2 7 1 4 2 7 7x x

與另一個二次多項式

2 2 4 2 7 1 4 2 7 7x x

的乘積如果再套一下一元二次方程式根的公式解那麼尤拉就把這個四次多項式方程式的

四個根都精確的表達出來了真不知道這神奇的因式分解是如何想出來的

像這種類似的例子還有許多例如將乘式

2 210 2 5 10 2 5 10 2 5 10 2 55 5

2 2x x x x

乘開也是一個以整數為係數的四次多項式

尤拉是第一位將 1 的平方根 1 定義為 i的數學家究竟在那個時代人們如何理解 i這

個「數」呢我們以尤拉的一段話來作結束「所有可能的數不是大於 0 就是小於 0 或等於 0

所以負數的平方根就不能是個數既然是不可能的數hellip我們只能稱之為虛數因為只有

在虛幻中才會有這樣的數」

尤拉尤拉20131018 取自 httpaprendiendomatematicascombachilleratolos-puentes-de-konigsberg

8 數亦優

運籌於帷幄之中以空間換取時間決勝於千里之外

玩電腦上的遊戲到底利多還是弊多我教過一位女大學生高中時因愛玩電玩遊戲「楓

之谷」高一高二多是資優班倒數高三才發憤圖強順利考上公費生讀博士班時我的

室友每天都玩電腦上的遊戲沉溺到連指導教授都經常來關切最近樓下的鄰居說「他兒

子最近被電玩遊戲迷住了連補習都不想去上」諸如此類的情形在中學或大學應該是很

普遍的現象我孩子就讀的小學有一間超過百坪大的教室裡面擺滿兩三百種益智小遊戲

坊間看得到的都在裡面而且每位小朋友每學期都要上六次「數學探索」的課程其實就是

在探索那些益智遊戲我當了一學年的數探志工覺得這課程還不錯究竟沉溺於電玩遊戲

跟玩益智小遊戲要如何區別呢我們可以慎選出具有啟發或啟蒙意義又不會讓小孩沉溺於

其中的遊戲嗎

最近心理學家發現休閒放鬆類的簡單小遊戲才能提高快樂感達到減壓效果據美

國媒體報導美國俄亥俄州立大學傳播和心理學教授布拉德布希曼等人招募了一些志願者

玩不同種類的遊戲研究人員清楚地發現那些玩休閒小遊戲的人自我感覺更舒服更快樂

能體驗到較多的正面情緒而玩暴力遊戲的人則攻擊性和侵略性增強此外玩了一會兒休

閒小遊戲比如和小動物互動之後人們會變得更親切更願意主動幫助他人希望本章所

要介紹的遊戲也是心理學家們發明的「圍貓遊戲」可以達到這個效果甚至超過這個功能

達到啟蒙的意義

圍貓遊戲是心理學家所設計出來的一道數學遊戲遊戲背景是平面上放置許多排列整齊

的圓圈一隻貓位於正中央的圓圈上而有少許的圓圈是黑色這是一場圍貓者與貓的鬥智

遊戲圍貓者每次可以點選一個圓圈讓它變成黑色而貓每次必須移動到鄰近還尚未變成黑

色的圓圈上當貓被黑色圓圈圍住時貓就被捉擒了但若貓跑出所有的圓圈外則圍貓失

敗

這遊戲是心理學家發明的心理學家把貓視為需要接受輔導的對象（如叛逆的學生）而

圍貓的人是輔導人員（如學校的導師）而黑色圓圈是貓的朋友輔導人員或學校導師必須透

過這些朋友的幫忙將貓咪圍起來才算輔導成功

許志農臺灣師大數學系

數亦優 9

日本 Game Design 團體將圍貓遊戲數位化寫成 Flash 的版本讓圍貓遊戲成為線上遊戲

的一種各位可以在網路上用「圍貓遊戲」四個字搜尋就能在線上玩圍貓遊戲了這遊戲

除了好玩之外還可以測試玩者的決策能力在布滿圓形的長方形棋盤上每個圓形都與六

個圓形相連一隻貓立於棋盤中央的圓形內玩者每次點選一個圓形塗黑來圍堵貓但貓可

以往尚未被塗色的隔壁圓形移動究竟鹿死誰手就要看 Game Design 的設計功力與圍貓者

的技巧誰強了下圖是貓被圍住的一種情形

用堵貓的方法進行圍貓遊戲經常沒辦法成功主要是因為貓有六個方向可以逃竄圍

堵方法很難奏效那麼圍貓遊戲是一種純靠運氣的遊戲嗎應該也不是我們可以往數學層

面來思考在進入更深入的討論之前回想一下國中時「任一三角形 ABC的內角和剛好等於

180」是如何證明的讓小朋友站在 A點朝向 B點往 B點走去當走到 B點時原地旋

轉轉到臉朝 C點的方向接著往 C點走去又當走到 A點時並原地旋轉轉到臉朝 B點

的方向停了下來此時小朋友回到出發前的 A點且臉部朝向的方向相同（都朝向 B點）

這告訴我們「小朋友一共轉了完整的一圈即 360的意思」另外我們在三角形 AB及 C三

個頂點上分別畫出旋轉的角度會發現他們都是外角

因為 AB及 C每點都是由一對內角及一對外角構成所以三角形的內角和就是

3 360 2 360180

2

證明三角形內角和等於180的概念真的對圍貓遊戲有所幫忙或者啟發嗎且讓我們深入

一點來探討圍貓遊戲吧圍貓棋盤上貓有六個方向可以逃竄用堵貓的方式圍貓肯定很難

奏效貓移動速度過快無法圍住所以利用空間爭取時間是個不錯的圍法但究竟要離貓

多遠的地方開始圍起呢這可能要根據貓有多少朋友這些黑色圓圈如何分布來決定了又

以何種形狀來圍住貓呢是圓形三角形長方形或者還有其他各種不同的形狀呢因為貓

10 數亦優

有六個方位可以逃所以用六邊形來圍貓是個不錯的想法舉例來說在下圖中貓僅有三

位朋友照理說圍住貓很難但是可以先想辦法幫貓製造比較多的朋友

在下圖中幫貓找到了三位朋友讓六位朋友位於凸六邊形的六個頂點上但我們也要付出

讓貓移動三步的代價還好此時貓還沒跑出六邊形外代表還有機會圍貓成功

從上圖可以洞悉貓想要往北邊逃竄當務之急當然是把北邊守住然後牽引貓順著六邊形

的邊移動在碰到頂點時帶著貓轉彎如下圖所示

繼續牽引貓順著六邊形的邊移動在碰到頂點時帶著貓轉彎在經歷六個轉彎之後貓就

會發現「牠已被困在六邊形內了」

數亦優 11

總結我們的作法是「利用空間換取時間先選妥適當大小的凸六邊形最好這凸六邊形的六

個頂點中有愈多是黑色圓圈愈好（代表儘量用貓的朋友當頂點）然後點選剩下的非黑色圓

圈構築完成圍貓的六邊形當貓衝撞這六邊形的一邊時牽引貓順著邊移動遇到頂點時

帶著貓轉彎在經歷六個轉彎之後貓就被困在凸六邊形內大功告成」手癢的讀者可以

在線上試玩看看圍貓遊戲是一道老少咸宜不分男女都很喜歡玩的遊戲也是心理學家

闡述「何謂輔導」的遊戲

把圍貓遊戲視為一道數學問題我們從混沌的實際操作過程裡得到圍貓的精髓這整個

過程就是數學孕育與思考的過程數學家亨利龐加萊在《數學的創造》中將自己對數學

的思考分為三個階段準備孕育與驗證首先所謂的準備階段就是對問題下很大功夫

又深陷混亂的階段在這個階段人們都會採取觀察實作分析學習與內化等有意識的

策略其次孕育階段就是停止有意識的思考讓潛意識發酵當腦袋裡的小燈泡忽然被點

亮那個「恍然大悟」的時刻就會到來最後驗證階段也是收割階段這一階段只是寫下

所有的事情檢查細節進行組織並發表龐加萊特別強調孕育階段的潛意識角色這是最

難懂也是至為關鍵的階段

談到潛意識就讓我們聯想到作夢而談到作夢又讓我們想到佛洛伊德在 1900 年出版的《夢

的解析》這本書在佛洛伊德出版《夢的解析》之前人類常把所作的夢當成神諭或預告未

來即將發生的事件看待上個世紀初期當印度數學家拉馬奴姜在英國留學時他的老師哈

代就常常好奇的問說「你每天早上一起床就寫下這麼多的恆等式到底是如何發生的」

拉馬奴姜總是說「那些是昨晚神明託夢給我的」例如

3 5 5 5 5 532 27 1 3 9

5 5 25 25 25

3

33 3 33 9 2

cos40 cos80 cos202

3 3 3 33sec40 sec80 sec20 6 9 1

拉馬奴姜顯然是個等式達人也是將龐加萊孕育階段中的潛意識發揮到淋漓盡致的人

12 數亦優

最後把圍貓遊戲當成小孩子數學思考的學習單觀察不同孩子經歷準備孕育與驗證

階段的發展過程是個不錯的主題當然小孩迷失方向時老師應該適時介入給予該有的幫

忙但切忌將答案傳遞給他

附錄

101 學年度全國高中數學科能力競賽決賽在彰師大數學系舉行其中的筆試試題(一)第二題就

是證明拉馬奴姜的恆等式

3

33 3 33 9 2

cos40 cos80 cos202

在五十位考生中只有一位作對而且是位高二的女生以下是羅啟心這位女學生的作法

設

3 3 3 3 3 3cos40 cos80 cos20 cos40 cos80 cos160S

則

3

3 3 3 3 3 3

3 3 3

cos40 cos80 cos160

3 cos40 cos80 cos80 cos160 cos40 cos160

3 cos40 cos80 cos160

S

S

利用三倍角公式可知 cos40 cos80 cos160 為

3 14 3

2x x

的三個根再由根與係數的關係知道

cos 40 cos80 cos160 0

3cos40 cos80 cos80 cos160 cos40 cos160

4

1

cos40 cos80 cos1608

由第一及第二式知

3 3 3 3 3 3 3 33 cos40 cos80 cos80 cos160 cos40 cos160

2S S

現在令

3 3 3 3 3 3cos40 cos80 cos80 cos160 cos40 cos160T

則

3 33

2S TS

又

數亦優 13

3

3 3 32 2 23 3 3 3 3 3

3 3 32 2 2

2

cos40 cos80 cos80 cos160 cos40 cos160

3 cos 40 cos80 cos160 cos40 cos 80 cos160 cos40 cos80 cos 160

3 cos 40 cos 80 cos 160

3 1 13 3

4 2 2

3 3

2 2

T

T

T S

TS

綜合兩式得

3 31 3

2 4T S

將此式代入 3 33

2S TS 得

3

33 3 33 3 13 27

2 4 2S ST S S

展開整理得

9 6 3 279 27 0

8S S S

再配方得

33 27 93 27 27

8 8S

解得

33 3 9

32

S 33 9

2 或

323 9

2

即

33 3 9

32

S 33 9

32

或3

23 93

2

因為 S為實數所以 3S 也是實數因此

33 3 9

32

S

解得

33

3 93

2S

即

3 3 3 333

cos 40 cos80 cos 20 9 22

得證

14 數亦優

一前言 》

高中數學課程近幾年不斷的加入統計的課程目的是想要讓學生感覺數學更貼近我們的生

活內容包含迴歸直線抽樣統計信賴區間hellip等而信賴區間這個單元建立在一個重要的

理論之上即為中央極限定理查閱大學教材內容大多在做定理及輔助定理的推導大多數人

未能完全了解其意義在這篇文章中我們將以高中生的觀點來欣賞中央極限定理

二中央極限定理（Central Limit Theorem簡寫 CLT）是什麼 》

每四年一次的總統大選選前新聞社都會透過電話隨機抽樣的方式來估計各組候選人的

支持度若每次電話抽樣訪問新聞社都隨機挑選 100 人這樣他們便可以獲得一組平均數標

準差這樣的行為重複多次則可以得到多組抽樣並討論其平均數標準差如果多組的平

均數用柱狀圖來呈現我們可以發現圖形隨著抽樣的次數增加會接近常態分配並且當選舉

後會發現真實的支持率與所有研究者當初所做的結果平均數相同且其標準差接近原來的

1

n倍即我們討論對象已由原來調查樣本變為這些研究者為我們討論對象這便是中央極

限定理討論的內容

現在讓我們重新敘述中央極限定理（有限母體）的內容

中央極限定理（Central Limit Theorem簡寫 C L T） 設研究目標為變量 T 1 2 Nt t t 平均數 標準差 則

2

2 21 1

1

1

N N

i i Ni i

ii

t tt

N N N

每次抽樣皆取 n個並取後放回其共有 NnC m 種抽樣方法數若每次抽樣平均分別為

1 2 mx x x 其結果會成常態分配則

1 1 2 mx x x 平均數為 1 2 Nt t t

N

2 1 2 mx x x 標準差為1

1

N n

n N

另外當 N n 時標準差近似於n

接下來我們可以進一步以高中的觀點探討為何抽樣平均的平均數會與當初未知的平均數相

同抽樣平均的標準差為何是1

1

N n

n N

廖世經臺中市立東山高中

數亦優 15

三抽樣平均的平均數及標準差 》

沿用上述的定理符號可以得到

1 2 mx x x

meanm

1 2 1 3 1 1 2n n N n N n Nt t t t t t t t t

n n n

m

1

1 1 2Nn NC t t t

nm

（

1

1

1

1 N Nn n

N n N nC C

n N n N n N n N

同理

22

1

1N Nn n

n nC C

N N

）

1 2

Nn N

nC t t t

Nnm

（∵ N

nC m ）

1 2 Nt t t

N

從上式證明結果我們可以發現學者抽樣平均所做的平均數與當初我們想要研究的目標

平均數是相同的這個觀念有助於我們將來思考信賴區間的概念

抽樣平均的變異數1

1

N n

n N

推導則為

2 2 2

1 1 1 1

2m m m m

i i i

i i i i

x x xvariance

m m

(A)

首先我們先考慮(A)中的1

m

i

i

x

從平均數的推導我們得到

1

m

i

i

x

m

則

1

m

i

i

x m

(B)

再考慮(A)中的2

1

m

i

i

x

2 2 22 1 2 1 3 1 1 2

1

mn n N n N n N

i

i

t t t t t t t t tx

n n n

2 2 21 2

1 1 2 2 1 2 1 3 1

2

2N Nn N n N NC t t t C t t t t t t

n

2 2 21 2 1 2 1 3 1

2

12

1N Nn N n N N

n nnC t t t C t t t t t t

N N N

n

2 2 21 2 1 2 1 3 1

112

1N N N

nm t t t m t t t t t t

N N N

n

(C)

16 數亦優

接著先計算(C)中的 1 2 1 3 12 N Nt t t t t t

2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 3 12N N N Nt t t t t t t t t t t t

2 2 2 21 2 1 2 1 3 12N N NN t t t t t t t t t

2 2 22 21 2 1 3 1 1 22 N N Nt t t t t t N t t t

將得到的式子代回(C)得到

2 2 2 2 2 22 2

1 2 1 22

1

111N Nm

i

i

nm t t t m N t t t

N N Nx

n

2

2 2 21 2

1

1 1N

m N n m n Nt t t

N N N

n

(D)

將(B)以及(D)的結果代回(A)得到

2 2

1 1 1

2m m m

i i

i i i

x xvariance

m

22 2 2

1 22

1

1 12

N

m N n m n Nt t t

N N Nm m

nm

2

2 2 21 2

2 2

1

1 12

N

N n n Nt t t

N N N

n

22 2 2 2

1 2

11

1 1N

N n n Nt t t

n N N n N

2

2 2 21 2

1

1 1N

N n N nt t t

n N N n N

2 2 221 21

1N

N n t t t

n N N

21

1

N n

n N

數亦優 17

在大學書中中央極限定理的敘述大多直接使用標準差n

是因為當 N n 時則

11

1 1

N n n

N N

rarr1故標準差會近似於

n

四結論 》

中央極限定理的存在幫助了我們做抽樣討論時從原本我們想要研究的目標轉換到探

討研究人員所做的數據上上面所討論的方式只透過平均數變異數的定義加上組合的想

法可以讓高中生更加了解中央極限定理藉此了解數學的真善美這是研究會時分享給其他

老師的內容謝謝我的實習老師黃怡慈老師的幫忙整理

18 數亦優

一楔子 》

古希臘人尤勒士（Euathlus）向普羅塔哥拉斯（Protagoras）學習辯論術先付一半學費

另一半學費訂定契約言明等學成後在第一場辯護勝訴時再付如果敗訴則學費不必再交

但尤勒士畢業後根本不擔任辯護的工作自然也不交另一半的學費因此普羅塔哥拉斯便告

他普羅塔哥拉斯說「如果我勝訴法官當然要判他還我學費如果我敗訴那就是尤勒士勝

訴依契約他還是要還我學費」尤勒士說「如果我勝訴當然是要求法官判我不必還學費

如果我敗訴依契約我也不必還學費」請問法官該怎麼判

二歸謬證法 》

亞里斯多德認為愈重的物體落下得愈快1589 年伽利略如此舉反證把兩物 AB

綁在一起成為 A B 假設 A比 B重則由高處落下時因為 B落下的速度比 A慢把 A拖

住所以 A B 落下的速度比 A 慢又 A B 比 A 重所以 A B 落下的速度又比 A 快矛盾

所以「任何物體同時從相同的高處落下皆同時著地」伽利略如是說

99 課程綱要把歸謬證法拿掉了我猜想最少有兩位先生會很鬱卒一位是歐幾里得先生

他在《幾何原本》中用歸謬證法證明了「質數有無窮多個」另一位是蔡聰明先生他用了 28

種方法證明 2 是無理數

三直觀與證明 》

最近看到一篇文章關於 2 是無理數的證明

假設 2p

q 是有理數其中 p q是正整數且 1p q 則

2

22

p

q

直觀上「如果p

q不是整數則

2

2

p

q更不可能是整數」矛盾

所以假設錯誤即 2 是無理數得證

（這是因為如果 p q沒有相同的成分 2p 和 2q 自然也不會有相同的成分如果p

q都無法化簡

成整數2

2

p

q更沒有機會了因此這個式子是個明顯可笑的矛盾等號左邊是整數右邊不是

整數兩者怎麼可能相等）

我想提一段陳年往事多年前一次國中數學週考中某老師出了一道題目證明三角形

兩邊和大於第三邊直觀上這何需證明因為兩點之間直線最短嘛於是我買了歐幾里得

的《幾何原本》根據歐幾里得的體系證明「三角形兩邊和大於第三邊」確實需要很長的篇幅

我相信這不會是出題老師的本意我的判斷是出題老師只想要學生說明「兩點之間直線最短」

江慶昱衛道中學退休教師

數亦優 19

那麼考題應該改成請說明「三角形兩邊和大於第三邊」中學階段不必強調數學的嚴密性

這是共識（60 年代的新數學過度強調嚴密性是失敗的原因之一）但是直觀的說明與嚴格的證

明應該予以區隔這純屬我個人的看法所以我以為上述關於 2 的證明實偏向於說明（註

最早項武義先生認為他解決了克卜勒的裝填問題陳省身先生也為之背書但還是不被接受

目前公認是 Thomas Hales 解決了httpenwikipediaorgwikiKepler_conjecture數學界的所謂

「證明」自有其行規）

如何在高中引入簡易邏輯是一件困難但是值得深思的事

四等價 》

高中課程中另一個重要的邏輯概念是「等價」有一年大學聯考考這麼一題證明「海龍

公式邊長 a b c的三角形面積 ( )( )( )s s a s b s c 」那時候大學錄取率大約 30不到

補習班之間競爭非常激烈大家趕著把解答登報有一間補習班第一天是這樣證明的

因為( ) ( )( )

sin cos2 2

A s s a A s b s c

bc bc

所以1 1

sin 2sin cos ( )( )( )2 2 2 2

A Abc A bc s s a s b s c

第二天趕快發報更正因為在邏輯上第一天拿一個等價的命題當作證明等於沒有證明

換句話說患了邏輯上的錯誤了

五等價的一些例子 》

我們在國中時有這樣的性質 p三角形任兩邊和大於第三邊又在書中的同一個角落看到

q三角形任兩邊差小於第三邊很容易證明「 p q 」這種情形我們叫 p與 q等價意思是 p

與 q是同一回事以下舉一些等價的例子

1 p平行公設過直線外一點恰有一直線與之平行q三角形內角和為180

2 G是ABC的重心則 p q r三個向量式等價

1 1

3 3

p AG AB AC

1 1 1

3 3 3

q OG OA OB OC

0r AG BG CG

3 2 2 2

p u v u v

（柯西不等式） q u v u v

（三角不等式）

4 p周長固定的平面圖形中以圓形面積最大q面積固定的平面圖形中以圓形周長最小

5 (1)正弦定理(2)餘弦定理(3)投影定理 等價

6 實數的完備性有多種等價的敘述（我有一位同事到師大數學系修碩士班學分就是上了一本

這樣的書）

7 p算幾不等式q柯西不等式

20 數亦優

六算幾不等式與柯西不等式的等價 》

算幾不等式與柯西不等式在形式上相差很多兩者會等價甚感意外我第一次是在臺中一

中的網頁內看到證明過程當時沒有仔細研究後來回去找就找不到那份資料了最近上網搜

尋找到建中徐健策老師的一篇專題算是一償宿願這是我寫這篇文章的另一個因緣

七後記 》

1900 年量子力學開始萌芽到 1965 年朝永振一郎（S Tomonaga）薛文格（Julian Schwinger）

與費因曼得到諾貝爾物理獎是一段精采的故事重點是薛文格與費因曼對量子電動力學的看法

與算法南轅北轍薛文格用的是歐洲優雅的數學費因曼的路徑積分用的是圖像式的數學把

兩者結合為一或者說看出兩者的「等價性」的是戴森（Freeman J Dyson）我覺得這比證

明兩命題的等價有更深刻的意義

非歐幾何的發展也有類似的地方義大利幾何學家 Eugenio Beltrami（1835~1899）證明了

Lobachevsky（1793~1856）與 Ferdinand Minding（1806~1885）的非歐幾何模型是「等價」的

（註代數中複數平面與平面向量同構以上兩種情況說同構或等價哪一個說法比較恰當

當就教於各位）

99 課程綱要把歸謬證法放在附錄我觀察最近兩年的各校段考試題大約只有三四個學

校段考中有考歸謬證法早年國中考高中每年要考一題證明題一題尺規作圖當時我們會

努力教證明題當然包括用「窮舉法」證明「圓內接四邊形的充要條件為對角互補」基測不

考證明題後絕大部分的老師不會花時間去證明這個定理向來就是「考試引導教學」自古皆

然隋唐時期科舉要考《算經》所以宋朝有四位偉大的數學家秦九韶李治楊輝朱世傑

到明清科舉只考八股文可以印證中國數學沒落的一段史實證明與數學的關係就如同實驗與

物理的關係基測與學測不考證明題相信有不少人憂心忡忡如今又把歸謬證法拿掉（放在

附錄與拿掉等價）應該有人輾轉難眠吧

早上（2012829）看到新聞十二年國教將於後年上路臺大名譽教授劉廣定批評103

年到 107 年的高中學生要繼續接受舊課綱的教育他堅決反對沒有新課綱的十二年國教後

年就要推十二年國教課綱最快 106 年才能完成到 108 年才有新課綱教科書可用意味之前

的高中生都要繼續接受舊課綱教育芬蘭從 1980 年代開始教改先找學校試辦2000 年才全

面實施然而臺灣十二年國教從宣布到實施只有三年準備期讓人憂心

參考資料

1 蔡聰明 2 是無理數的 28 種證明數學傳播季刊第 23 卷（第 1 期）

2 王九逵邏輯與數學思維

3 南山柯西不等式與排序不等式上海教育出版社P230

4 William Dunham（1995）天才之旅牛頓出版股份有限公司P61

5 戴森（1993）宇宙波瀾天下文化

6 奧瑟曼（1997）宇宙的詩篇天下文化P84

7 Stefan Kulczycki（1992）非歐幾里得幾何學水牛出版社P32

8 蔡辰理中國數學史上的黃金時代及其四個偉大的數學家20130701 取自

httpepistemathntuedutwarticlesmmmm_03_2_07page2htmltop

9 徐健策老師專題柯西琴生與冪平均不等式20131002 取自 httpmath1cktpedutw徐健策mathhtm

數亦優 21

一研究目的 》

將一道解四元一次聯立方程式的題目利用四次多項函數且領導係數為 1 的恆等原理來解

答

二研究過程 》

已知

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

12 1 2 3 2 5 2 7

14 1 4 3 4 5 4 7

16 1 6 3 6 5 6 7

18 1 8 3 8 5 8 7

x y z w

x y z w

x y z w

x y z w

試求(1) ( )x y z w (2) x y z w

一 首先將上題解讀為解四元一次聯立方程式

設

2

3

2

2

3 5 7105 2079 429 143 1

3 5 7 11 21 1485 1001 195 1

9 385 819 495 13 7 11 135 189 231 429 1

3 5 11 13

x aa b c d

y b a b c d

a b c dz ca b c d

w d

211512 1320 2288 5

4b c d

52376 1144 208 1

4b c d

5 956 504 1584 1

4b c d

2432 640 1792 0 19 5 14 0

5 1792 3840 5632 0 7 15 22 0

b c d b c d

b c d b c d

由5 14 14 19 19 5

320 320 320 11115 22 22 7 7 15

b c d

由1

56 504 1584 1 1024 11024

b b b b b c d

代入1 1 1 175 35

5 189 231 429 1 51024 1024 1024 1024 1024

a a a

李維昌國立宜蘭高中

22 數亦優

2 2 2 3 2 23 5 7 3 5 7 11 3 7 11 13 3 5 11 13( )

1024 1024 1024 1024x y z w

即為(1)的所求

2 3 2 2

2 3

2 2

3 5 7 3 5 7 11 3 7 11 13 3 5 11 13

35 13 5 7 3 5 7 11

1024 10241 1

3 7 11 13 3 5 11 131024 1024

x y z w a b c d

11025 10395 9009 6435 36864

361024 1024

即為(2)的所求

二 嘗試利用四次多項函數且領導係數為 1 的恆等原理來解答此題

1 構造以 t為變數的四次多項函數且領導係數為 1命此函數為 ( )f t

2 2 2 2 2 2 2( ) 1 3 5 7 3 5 7f t t t t t x t t t

2 2 2 2 2 2 2 2 21 5 7 1 3 7 1 3 5y t t t z t t t w t t t

其中 x y z w四數為常數

2 2 2 2 2 2 2 2 21

2 1 2 3 2 5 2 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 1 2 3 2 5 2 7 2 3 2 5 2 7

2 1 2 5 2 7 2 1 2 3 2 7

2 1 2 3 2 5 0

x

y z

w

2(2 ) 0f

3 2 2 2 2 2 2 2 21

4 1 4 3 4 5 4 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

4 1 4 3 4 5 4 7 4 3 4 5 4 7

4 1 4 5 4 7 4 1 4 3 4 7

4 1 4 3 4 5 0

x

y z

w

2(4 ) 0f

4 2 2 2 2 2 2 2 21

6 1 6 3 6 5 6 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

6 1 6 3 6 5 6 7 6 3 6 5 6 7

6 1 6 5 6 7 6 1 6 3 6 7

6 1 6 3 6 5 0

x

y z

w

2(6 ) 0f

數亦優 23

5 2 2 2 2 2 2 2 21

8 1 8 3 8 5 8 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

8 1 8 3 8 5 8 7 8 3 8 5 8 7

8 1 8 5 8 7 8 1 8 3 8 7

8 1 8 3 8 5 0

x

y z

w

2(8 ) 0f

6 由 12345的討論可得知 ( )f t 等價 2 2 2 22 4 6 8t t t t

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 4 6 8

1 3 5 7 3 5 7 1 5 7

1 3 7 1 3 5

t t t t

t t t t x t t t y t t t

z t t t w t t t

為 t的四次多項方程式

第式等號的左式 3t 的係數＝第式等號的右式 3t 的係數

2 2 2 2 2 2 2 22 4 6 8 1 3 5 7 x y z w

2 2 2 2 2 2 2 22 4 6 8 1 3 5 7 120 84 36x y z w

即為(2)的所求

7 x的求法

將 21t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

1 2 1 4 1 6 1 8 1 3 1 5 1 7

2 1 4 1 6 1 8 1 1 3 3 5 5 7 7 9 3 5 7

2 4 4 6 6 8 10243 1 5 1 7 1

x

x

8 y的求法

將 23t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 3

2 2 2 2 2 2

3 2 3 4 3 6 3 8 3 1 3 5 3 7

3 2 4 3 6 3 8 3 1 5 1 7 3 9 5 11 3 5 7 11

2 4 2 8 4 10 10243 1 5 3 7 3

y

y

9 z的求法

將 25t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

5 2 5 4 5 6 5 8 5 1 5 3 5 7

5 2 5 4 6 5 8 5 3 7 1 9 1 11 3 13 3 7 11 13

4 6 2 8 2 12 10245 1 5 3 7 5

z

z

24 數亦優

10 w的求法

將 27t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

7 2 7 4 7 6 7 8 7 1 7 3 7 5

7 2 7 4 7 6 8 7 5 9 3 11 1 13 1 15 3 5 11 13

6 8 4 10 2 12 10247 1 7 3 7 5

w

w

11 由 78910的討論可得

2 2 2 3 2 23 5 7 3 5 7 11 3 7 11 13 3 5 11 13

( ) 1024 1024 1024 1024

x y z w

即為(1)的所求

三 結論

1 解題的巧妙與否存乎一心「學則需疑於不疑處有疑方是進矣」本題為解四元

一次聯立方程式基本解題策略為克拉瑪公式加減消去法或代入消去法三種由

於這三種計算相當繁瑣進而苦思其他對策經過一番思索驀然回首伊人卻在

燈火闌珊處竟然將此題與四次多項方程式連結在一起有了令人會心一笑的妙解

真是一次驚奇的解題之旅

2 孔子曾言「學而不思則罔思而不學則殆」我期待每次解題時皆能直搗黃龍

一眼看穿題目的堂奧之妙事後「大膽假設小心求證」檢驗過程和結果是否達

到最佳化藉由在夙昔的典範亦步亦趨臻於真善美的解題境界

數亦優 25

國立臺灣師範大學數學系

筆試一計算證明題（考試時間2 小時）

1 (1) 直角三角形的兩股長為 a b斜邊長為 c試證 3 3 3c a b （8 分）

(2) 如下圖圓 O內二直徑 AC BD互相垂直在劣弧DC上任取一點 E

試證以 AE 為一邊的正方形面積等於四邊形 ABED面積的二倍 （12 分）

2 設函數 2( ) 6 5f x x x 求坐標平面上滿足聯立不等式

( ) ( ) 0

( ) ( ) 0

f x f y

f x f y

的所有點 ( )x y 所形成的區域面積 （20 分）

3 設 a b c d 為實數且 a b c d ( ) ( )f x g x 為滿足 ( ) ( )f a f b 及 ( ) ( )g c g d 的實係數二次多

項式已知 ( ) ( )f x g x 為常數多項式證明

(1) a b c d （8 分）

(2) 2( )

2

( )2

a bf a f

a bc d c d

g c g

（12 分）

4 如下圖所示ABC和DBC為空間中的兩個等腰三角形M為線段 BC 的中點令

AB AC a DB DC b BM CM c 和DA x

(1) 已知向量內積 0AM BD

求證 2 2 22x a b c （8 分）

(2) 已知 2 2 22x a b c 求證向量內積 0AM BD

（12 分）

26 數亦優

5 師大數學系舉辦系徽設計比賽入圍決選的有四件作品由 10 名學生代表進行不記名投票

每人投兩票且兩票須投不同作品在沒有廢票的情況下試問

(1) 四件作品的得票情形共有幾種 （8 分）

(2) 得票數 高的作品恰有一件的票數分布有幾種 （12 分）

筆試二填充題（考試時間15 小時）

1 設 a為實數若對於所有實數 x2

2

32

2

x ax

x x

恆成立則 a的範圍為

2 若等比數列的第三項是1 i 第五項是1 1

16 16i 其中 1i 則此等比數列的公比為

（有兩解）

3 從1234567 等數字中選取三個排成三位數數字不重複則排出來的是 3 的倍數但不是 5 的倍數

的整數有 個

4 桌上有十個骰子當中有一個骰子出現 5 點的機率是1

2而出現其他點數的機率均等其他

九個都是均勻的骰子用隨機的方式選取一個骰子來投擲在出現 5 點的情況下被選取的

骰子是不均勻骰子的條件機率為 （答案若為分數請化為 簡分數）

5 在電腦裡有一公定的對照表（ASCII）將英文字母ABhellipZ及空格等字元分別對應至一整數

其對應數字如下表所示

字母 空格 A B C D E F G H

ASCII 碼 32 65 66 67 68 69 70 71 72

字母 I J K L M N O P Q

ASCII 碼 73 74 75 76 77 78 79 80 81

字母 R S T U V W X Y Z

ASCII 碼 82 83 84 85 86 87 88 89 90

數亦優 27

我們可利用此對照表在 facebookTM 傳送保密訊息給朋友我們與朋友約定所有的英文字母及

空格皆以對照表中的整數替代例如「HE IS DAVID」的訊息用「7269327383326865867368」

取代然後將此數字字串的奇數項排在矩陣的第一列偶數項排在第二列形成以下矩陣

7 6 3 7 8 3 6 6 8 7 6

2 9 2 3 3 2 8 5 6 3 8B

再與二階方陣

1 2

2 3A

相乘得到

11 24 7 13 14 7 22 16 20 13 22

20 39 12 23 25 12 36 27 34 23 36AB

後依上述規則反求得字串「11202439071213231425071222361627203413232236」傳送給朋

友如此他人便不能立即得知傳送之內容現在在此規則下你接收到數字字串

「233825411222213516271932」可以轉成矩陣

23 25 12 21 16 19

38 41 22 35 27 32

其所代表之訊息為

6 坐標平面上圓 C通過點 (02) 且 C與兩直線 3 2 0 1 0x y y 皆相切則圓 C的方程

式為

7 坐標空間中ABC的三頂點分別為 (1 11) ( 321) (5 43)A B C P為ABC內部一點且

令P到 AB BC CA的距離分別為 x y z則 2 2 2x y z 的 小值為 （答案若為分數

請化為 簡分數）

8 函數 4 4( ) cos 3sinf x x x 的 小值為

9 設 為實數若

cos 0 sin

0 1 0

sin 0 cos

A

則 5A

10 袋中有編號分別為 1 到 6 的六個球從袋中隨機選取兩球令隨機變數 X表示在被選取的

兩球中球號比袋中剩下的球號都大的球的個數（例如如果選到 2 號和 3 號球那袋中剩

下的就是 1456 號球因為選出的球中並沒有比 1456 都大的球號故這種情況下 0X ）

隨機變數 X的期望值為 （答案若為分數請化為 簡分數）

28 數亦優

筆試一計算證明題

1 (1) 利用 2 2 2c a b 及 c a c b 得

3 2 2 2 2 3 3c c a b ca cb a b

(2) 過 E作 EF AC 則

四邊形 ABED的面積

1 1

2 21

21

2

ABD BDE

BD AO BD OF

BD AO OF

AC AF

又在直角三角形 ACE中因為2

AE AC AF 所以2

AE 四邊形 ABED面積的兩倍

2 因為

2 22 2( ) ( ) 6 6 10 3 3 8f x f y x y x y x y

2 2( ) ( ) 6 6 6f x f y x y x y x y x y

所以

2 23 3 8( ) ( ) 0

( ) ( ) 0 6 0

x yf x f y

f x f y x y x y

因此滿足上述條件的所有點 ( )x y 為

22 23 3 8

0 6 0

x y

x y x y

或 22 2

3 3 8

0 6 0

x y

x y x y

其所圍成的區域如下圖所示面積為 218 4

2

數亦優 29

3 (1) 依題意可設 ( ) ( )f x r x a x b s g x r x c x d s

因為 ( ) ( )f x g x 是常數多項式所以比較一二次項係數知

r r r a b r c d

得 a b c d

(2) 由 2 2

( )2 4 4

a b a ba bf r s r f a

得

2

4 ( )2a b

f a f

ra b

故得證

註1o 也可利用對稱性知 ( )y f x 的頂點之 x軸坐標為2

a b ( )y g x 的頂點之 x軸坐標

為2

c d而得證

2o 亦可用插值多項式證明

4 (1) 由向量分解DA DM MA DB BM MA

得

2 22 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2

2

2 2

DA DA DM MA DM MA DM MA

b c a c DB BM MA

b a c DB MA BM MA

因為 0AM BD

且 BM MA 所以

2 2 2 22DA b a c

因此

2 2 22DA a b c

(2) 由(1)及 BM MA 可得

2 2 2 22 2DA b a c DB MA

依題意知 2 2 22DA x b a c 即

22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2b a c b a c b a c DB MA

故

0DB MA

30 數亦優

5 (1) 由題意可以知道

1 四件作品所得的總票數為 20 票

2 每件作品 多可以得到 10 票

令四件作品的得票數分別為 x y z u由1 2 可得

200 10x y z u x y z u

因為 0 10x y z u 所以 420H 須扣掉11 20x y z u 的情況由 20x y z u 且

0x y z u 可知 多只有一個票數會大於等於 11假設 11x 令 11x x 可得

90 9x y z u x y z u

此情況有 4 129 9 220H C 種

因此票數分布為 4 420 94 1771 4 220 891H H 種

(2) 假設得票數 高為 x由題意可得

200 10x y z u y z u x

因為 y z u x 也就是 1y z u x 所以

1 1 1 4 3x y z u x x x x x

由 20x y z u 得

20 4 3x

即

23

4x

因此當 6x 時才會滿足只有一件作品得票數 高且票數為 x

當 6x 時

140 5y z u y z u

滿足此情況的 y z u有 (554)(545)(455) 3 種

當 7x 時

130 6y z u y z u

因為 13y z u 且 0y z u 所以 y z u 多只有一個會大於等於 7

由(1)可知滿足此情況有 3 3 15 813 6 13 63 3 105 84 21H H C C 種

同理

當 8910x 時 y z u 多只有一個會大於等於 8910故

當 8x 時有 3 3 14 612 4 12 43 3 91 45 46H H C C 種

當 9x 時有 3 3 13 411 2 11 23 3 78 18 60H H C C 種

數亦優 31

當 10x 時有 3 3 12 210 0 10 03 3 66 3 63H H C C 種

因此滿足只有一件作品得票數 高的情形有

4 3 21 46 60 63 772 種

筆試二填充題

1 2 3 4 5

0 4a 2 2

8 8i

66 1

4 NORMAL

6 7 8 9 10

2 2

3 1 4x y

2 2

3 3 5 36x y

（或是 2 2 2 3 2 0x y x y ）

50

79

3

4

cos5 0 sin 5

0 1 0

sin 5 0 cos5

2

5

32 數亦優

《接續PartI 請見數亦優第 21 期》

四 正多邊形

(一) 除了正方形及三角形以外我們還考慮將其他形狀組合討論其撕裂次數是否與正方

形三角形相同

(二) 並非所有正多邊形皆可組合若內角非360

kk

便不能組合例如

1 正五邊形的內角和180 3 540 則一個內角為108但108 360 k k

無法將五邊形完整組合必有空隙

2 正六邊形的內角和180 4 720 則一個內角為120因為120 3 360

則任三個相同的正六邊形皆可相互組合

(三) 完整排列正六邊形為例以 m張排列

例 1 一頁 5 個正六邊形排列

撕開 2 次使下排的兩個正六邊形與上排分開再逐一將上排撕開共需 4 次

由例 1撕的次數結果皆為 1m 次

（Part II） 陳敏晧國立蘭陽女中

數亦優 33

(四) 內部有洞正六邊形為例m張 n個洞排列

例 2 一頁 11 張且 2 洞排列

先撕開 2 次使其成為無洞排列再撕開 1 次使其變成兩頁完整排列再逐一撕開

共需 12 次

由例 1與例 2得知撕的次數結果皆為 1n m 次

五 「切割」的定義

(一) 我們從平面延伸到立體討論柏拉圖的五個正多面體先將正多面體每面切開分開

的次數是否也有彼此相似之處

(二) 因為立體無法如平面一樣用撕的故用切的而計算次數的定義與方法也與平面有很

大的差異

(三) 「切一次」的定義與限制沿著稜邊切下一個面才算作「一次」第一次切下後

便將封閉的正多面體打開此後每切一次都必須從開放的稜邊切下不可再一次從

封閉的面切下

以正六面體為例

此為一個完整封閉的正六面體

第一次沿著粗線切開可切下一個面

34 數亦優

六 柏拉圖多面體

1 正四面體

第一次將底面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 3 個面切下共需切

1 3 1 3 次

2 正六面體

第一次將頂面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 5 個面切下共需切

1 5 1 5 次

斜線部分為第一次被切下的面

封閉正六面體被打開後第二次只能從

開放的 4 條稜邊（粗線）切下

第二刀不可再從封閉面（粗線）開始切

數亦優 35

3 正八面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 7 個面切下共

需切 1 7 1 7 次

4 正十二面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 11 個面切下共

需切 1 11 1 11 次

5 正二十面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 19 個面切下共

需切 1 19 1 19 次

36 數亦優

由上述例子可得知切割次數皆剛好為正多面體的(總面數 1 )次

研究發現

內部有洞洞數 a b 其中 a洞的個數b每個洞的張數

矩 形

完整排列

邊長 邊長 總張數 撕的次數

2 2 4 3

4 5 20 19

不規則排列

總張數 撕的次數

10 9

13 12

內部有洞

邊長 邊長 洞數 總張數（邊長 邊長 洞的張數） 撕的次數

3 3 1 1 8 3 3 1 8

3 5 2 1 13 3 5 2 14

三 角 形

完整排列

邊長 總張數 撕的次數

2 4 3

3 9 8

不規則排列

總張數 撕的次數

10 9

13 12

內部有洞

邊長 洞數 總張數（邊長平方 洞的張數） 撕的次數

規

則

4 1 1 15 4 4 1 15

5 1 1 24 5 5 1 24

5 1 2 23 5 5 2 23

5 1 3 22 5 5 3 22

6 1 1 35 6 6 1 35

6 1 2 34 6 6 2 34

6 2 1 34 6 6 2 1 35

6 3 1 33 6 6 3 1 35

6 1 2 1 1 33 6 6 2 1 34

7 2 2 45 7 7 2 2 46

不

規

則

1 1 22 22

1 1 23 23

1 2 32 32

數亦優 37

六 邊 形

完整排列

總張數 撕的次數

3 2

5 4

內部有洞

洞數 總張數 撕的次數

1 1 6 6

2 1 11 12

正 多 面 體

面數 撕的次數

正四面體 4 3

正六面體 6 5

正八面體 8 7

正十二面體 12 11

正二十面體 20 19

目前的研究我們發現了以下獨特的結論平面幾何圖形中矩形正三角形和正六邊形的

規則形狀與不規則形狀紙張之最佳撕法都是(總張數 1 )次矩形正三角形及正六邊形排列成

內部有 n個洞且 m張的紙張之最佳撕法都是 1n m 次而柏拉圖立體的最少切割次數皆為

正多面體的(總面數 1 )次最重要我們發現其實撕裂或切割次數與撕裂或切割方法（或順序）

無關

參考資料

1 陳美如（200003）撕郵票問題數學傳播第 24 卷第 1 期P82~86

2 許志農與奇人相遇httpmathntnuedutw~macomeethtm

3 林義強多面體簡介第一屆全國高中數學教學研討會論文集P177~192

參數學專題研究反思 》

上述作品得到今年北一區數學科展優等過程中我與學生教學相長高二學生因為所學的

數學很有限所以數學解題層次會有侷限但是相對地數學思維與想像力卻是受過數學訓練

的我們所不及的在這次數學專題研究中我扮演的角色是諮詢者協助者鼓勵者完成任

務是那三位鍥而不捨的同學鄭羽呈李依庭林佩柔 勘誤 第 21 刊〈高中數學專題研究教案（PartI）〉 P34 倒數第 6 行「設m k 」應改為「設m k 」 P36 第 3 行「設m k 」應改為「設m k 」 P38 內部有洞的 1(1)~(4)分類應改為「1(1)一頁 24 張內部有一個洞一張為 1 洞」

「1(2)一頁 23 張內部有一個洞兩張為 1 洞」 「1(3)一頁 23 張內部有一個洞兩張為 1 洞」 「1(4)一頁 22 張內部有一個洞三張為 1 洞」

38 數亦優

動手玩數學 許志農臺灣師大數學系

在 下 圖 中已 知 ABC為 直 角

三 角 形 1AB 求

(1) 線段 AD的長度（化為最簡形式）

(2) 餘切 cot24

的值

〔玩鎖玩索〕

這道問題改編自「求 cot24

的值」這道

教師甄選試題關於這道餘切求值問題

有兩位老師的作法是用標準特別角出發

再求出欲求的餘切值

底下是另一位老師的作法

已知 ABC 為 直 角 三 角 形 4AC 求

AB BC及 cot24

的值

請 加 上 線 段 使 下 圖 分 成 五

份 形 狀 完 全 相 等 的 部 分（翻面

相等也算）

或 許 下 圖 對 你 會 有 些 幫 助 它 們 是 四 份

形 狀 完 全 相 等 的 部 分

〔玩鎖玩索〕

這是 1998 年夏天香港中文大學教育學

院第二次舉辦暑期資優課程中在數學有關的

工作坊裡的一道測智遊戲

遊戲 85

遊戲 86

數亦優 39

在 坐 標 平 面 上 畫 一 直 線 1L在

線 上 任 取 一 點O 以O為 旋 轉

中 心依 逆 時 針 方 向 將 直 線 1L

旋 轉 120得 到 直 線 2L 如 下

圖 所 示

已 知 直 線 1L 的 斜 率 為m求 證 直 線 2L 的 斜

率 為

3

3 1

m

m

〔玩鎖玩索〕

直線是平面幾何上的重要元素而斜率又

是直線在代數上的代言人掌握斜率就如同控

制直線一樣從逆轉120的 直 線 斜 率 公 式

不 難 知 道 坐 標 平 面 上 的 正 三 角 形 之 三

條 邊 斜 率

1 2 3 m m m

是可以互相推導的即由 1m 可 以 得 到 2m 與

3m 的 公 式 而 且 還 知 道 以 下 兩 個 恆 等 式

1 2 2 3 3 1 3m m m m m m

1 2 31 2 3

1 1 19m m m

m m m

宇 富 怕 手 機 被 盜 打 每 日 更

換 開 機 密 碼為 了 便 於 記 憶

他 想 到 一 則 更 換 密 碼 的 算 術

通 則 「 昨 天 密 碼 為p 今

日 的 密 碼 就 更 新 為1

1

p

p

」

宇 富 跟 所 有 的 人 說「 我 已 經

使 用 這 密 碼 通 則 500天 了 而

且 第 一 天 的 密 碼 就 設 為 2 1

相 信 各 位 算 到 手 痠也 無 法 算

出 今 天 的 開 機 密 碼 」

徵求可以破解開機密碼的人士

〔玩鎖玩索〕

如果第一天的密碼為 那麼破解密碼

的難度有增加嗎

遊戲 87

遊戲 88

40 數亦優

動動手手玩玩數數學學~~破破解解秘秘笈笈

遊戲 81

如圖所示

(1) 考慮 ABC 因為 8sin15AB BC 且

150ABC 所以 ABC 為等腰三角

形且 15BAC 因此

2 cos15 2 8sin15 cos15AC AB

1

8sin30 8 42

(2) 仿照(1)的方法 ACE 也是等腰三角

形且 30CAE 因此

32 cos30 2 4 4 3

2AE AC

遊戲 82

秦九韶這個依括弧次序求函數值 f a 的演

算法就是高中數學多項式那章所介紹的綜

合除法

2 5 4 8

2

2

a

a

仔細計算上述綜合除法的空白位置可以發

現小中大括弧位置所代表的值與秦九韶

小中大括弧內的值完全一樣

遊戲 83

(1)

2cos 2cos24 24cot

24 sin 2sin cos24 24 24

1 cos1 cos

3 412

sin sin12 3 4

(2) 因為

cos cos cos sin sin3 4 3 4 3 4

1 2 3 2

2 2 2 2

2 6

4 4

及

sin sin cos sin cos3 4 3 4 4 3

3 2 2 1

2 2 2 2

6 2

4 4

所以

2 61 4 6 24 4cot

24 6 2 6 24 4

2

4 6 2 6 2

6 2

2 2 3 6

遊戲 84

令

2 3A a b c b c i

2 3B c a b a b i

2 3C b a c c a i

且

1 3

2

i

因為 2A C B

所以 3 3 3 6 3A C B

又因為 3 6 1 所以 3 3 3A B C

得證

ltlt ASCII85EncodePages false AllowTransparency false AutoPositionEPSFiles true AutoRotatePages All Binding Left CalGrayProfile (Dot Gain 20) CalRGBProfile (sRGB IEC61966-21) CalCMYKProfile (US Web Coated 050SWOP051 v2) sRGBProfile (sRGB IEC61966-21) CannotEmbedFontPolicy Error CompatibilityLevel 13 CompressObjects Tags CompressPages true ConvertImagesToIndexed true PassThroughJPEGImages true CreateJobTicket false DefaultRenderingIntent Default DetectBlends true DetectCurves 00000 ColorConversionStrategy LeaveColorUnchanged DoThumbnails false EmbedAllFonts true EmbedOpenType false ParseICCProfilesInComments true EmbedJobOptions true DSCReportingLevel 0 EmitDSCWarnings false EndPage -1 ImageMemory 1048576 LockDistillerParams false MaxSubsetPct 100 Optimize true OPM 1 ParseDSCComments true ParseDSCCommentsForDocInfo true PreserveCopyPage true PreserveDICMYKValues true PreserveEPSInfo true PreserveFlatness true PreserveHalftoneInfo false PreserveOPIComments true PreserveOverprintSettings 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6 數亦優

讓我們將思緒跳回到半張象棋棋盤上如下圖將 45 個交叉點塗上黑白的顏色計算

一下有 23 個交叉點被塗上黑色其餘的 22 個交叉點被塗上白色（包括馬所在的位置也是

白色）

馬從白色交叉點出發是否可以找到一條路徑讓每一個交叉點剛好被馬踩過一次用馬走

的日步模擬一下不難發現前後兩步分別會落在不同顏色的交叉點上既然馬從白色交叉

點出發這代表馬的奇數步落在白色交叉點而偶數步停在黑色交叉點上又半張棋盤一共

有 45 個交叉點若馬找到每一個交叉點剛好被踩過一次的旅行方式則奇數步有 23 步偶

數步有 22 步也就是說馬會踏過 23 個白色交叉點及 22 個黑色交叉點這顯然與半張棋盤

上的交叉點顏色分布不合那就是說馬從白色交叉點出發是沒辦法完成旅行的

後來一道象棋專家的餘興節目我們把馬起始位置改變一下讓馬從黑色交叉點開始

跳躍結果又如何呢各位可以從下圖中動手嘗試看看能否讓馬剛好踩過每個交叉點一次

的前提下讓馬以日步完成半張象棋棋盤的旅行

這是一道帶有東方色彩的餘興節目「馬走日步」更是道地的中國口味在中國馬是一種獨

特的動物牠可文可武可以是人文藝術與棋藝的主題也可以是主導整齣戰爭歷史的利

器可以是貴族用來標示身分地位的象徵也可以是攸關庶民生活的重要寄託我們很難找

到一種功能如此多元指向如此豐富可平實又可高貴與人長期相伴的動物

在餘興節目中稱這遊戲為老馬識途是有數學典故的而這典故跟唐朝及中國數學家

陳省身有關聯唐太宗昭陵上有六匹駿馬的浮雕石刻聞名於世俗稱昭陵六駿（白蹄烏

青騅颯露紫拳毛騧特勤驃什伐赤）這六匹戰馬是李世民在唐開國戰爭中南征北討的

坐騎並命唐初大畫家閻本立繪草圖監石雕而成因而有

「秦王鐵騎取天下六駿功高畫亦優」

這樣的詩句流傳於世這六匹馬中的颯露紫與拳毛騧於 1914 年被盜運往美國現藏於美國

費城賓夕法尼亞大學博物館它們的複製品與其餘四匹駿馬的真品陳列於西安碑林博物館

數學家陳省身有感於古物流落他鄉的遺憾特在偉大數論學家韋依所著的《數論》這本書的

扉頁上用毛筆書寫著「老馬識途」四個中文字並附上拳毛騧的圖片渴望它們早日回歸

故里

數亦優 7

唐太宗懷念的這六駿有的在箭雨中穿行帶傷而馳有的跨河飛奔越野而去有的

緩步慢行若有所思閻本立所草繪的六匹駿馬中三匹作騰蹄飛奔之狀三匹為站立徐行

的姿勢有些馬則身中數箭甚至有一幅是描述邱行恭武將替太宗的一匹愛馬拔箭的情景

後讓我們回到尤拉如開頭所言虛數單位 i是尤拉發明的想必尤拉在方程式上也有

很大的貢獻這裡提出一則尤拉在解方程式上的天才之旅在「代數基本定理」尚未被證明

正確之前萊布尼茲就質疑過「每個實係數多項式都可以分解成一次或者兩次實係數多項式

的乘積」的正確性數學家白努力更舉一個精確的例子說「四次多項式 4 3 2( ) 4 2 4 4f x x x x x

就不可能分解成兩個實係數多項式的乘積」

然而代數大師尤拉在 1742 年時將白努力所舉的四次多項式 ( )f x 分解為二次多項式

2 2 4 2 7 1 4 2 7 7x x

與另一個二次多項式

2 2 4 2 7 1 4 2 7 7x x

的乘積如果再套一下一元二次方程式根的公式解那麼尤拉就把這個四次多項式方程式的

四個根都精確的表達出來了真不知道這神奇的因式分解是如何想出來的

像這種類似的例子還有許多例如將乘式

2 210 2 5 10 2 5 10 2 5 10 2 55 5

2 2x x x x

乘開也是一個以整數為係數的四次多項式

尤拉是第一位將 1 的平方根 1 定義為 i的數學家究竟在那個時代人們如何理解 i這

個「數」呢我們以尤拉的一段話來作結束「所有可能的數不是大於 0 就是小於 0 或等於 0

所以負數的平方根就不能是個數既然是不可能的數hellip我們只能稱之為虛數因為只有

在虛幻中才會有這樣的數」

尤拉尤拉20131018 取自 httpaprendiendomatematicascombachilleratolos-puentes-de-konigsberg

8 數亦優

運籌於帷幄之中以空間換取時間決勝於千里之外

玩電腦上的遊戲到底利多還是弊多我教過一位女大學生高中時因愛玩電玩遊戲「楓

之谷」高一高二多是資優班倒數高三才發憤圖強順利考上公費生讀博士班時我的

室友每天都玩電腦上的遊戲沉溺到連指導教授都經常來關切最近樓下的鄰居說「他兒

子最近被電玩遊戲迷住了連補習都不想去上」諸如此類的情形在中學或大學應該是很

普遍的現象我孩子就讀的小學有一間超過百坪大的教室裡面擺滿兩三百種益智小遊戲

坊間看得到的都在裡面而且每位小朋友每學期都要上六次「數學探索」的課程其實就是

在探索那些益智遊戲我當了一學年的數探志工覺得這課程還不錯究竟沉溺於電玩遊戲

跟玩益智小遊戲要如何區別呢我們可以慎選出具有啟發或啟蒙意義又不會讓小孩沉溺於

其中的遊戲嗎

最近心理學家發現休閒放鬆類的簡單小遊戲才能提高快樂感達到減壓效果據美

國媒體報導美國俄亥俄州立大學傳播和心理學教授布拉德布希曼等人招募了一些志願者

玩不同種類的遊戲研究人員清楚地發現那些玩休閒小遊戲的人自我感覺更舒服更快樂

能體驗到較多的正面情緒而玩暴力遊戲的人則攻擊性和侵略性增強此外玩了一會兒休

閒小遊戲比如和小動物互動之後人們會變得更親切更願意主動幫助他人希望本章所

要介紹的遊戲也是心理學家們發明的「圍貓遊戲」可以達到這個效果甚至超過這個功能

達到啟蒙的意義

圍貓遊戲是心理學家所設計出來的一道數學遊戲遊戲背景是平面上放置許多排列整齊

的圓圈一隻貓位於正中央的圓圈上而有少許的圓圈是黑色這是一場圍貓者與貓的鬥智

遊戲圍貓者每次可以點選一個圓圈讓它變成黑色而貓每次必須移動到鄰近還尚未變成黑

色的圓圈上當貓被黑色圓圈圍住時貓就被捉擒了但若貓跑出所有的圓圈外則圍貓失

敗

這遊戲是心理學家發明的心理學家把貓視為需要接受輔導的對象（如叛逆的學生）而

圍貓的人是輔導人員（如學校的導師）而黑色圓圈是貓的朋友輔導人員或學校導師必須透

過這些朋友的幫忙將貓咪圍起來才算輔導成功

許志農臺灣師大數學系

數亦優 9

日本 Game Design 團體將圍貓遊戲數位化寫成 Flash 的版本讓圍貓遊戲成為線上遊戲

的一種各位可以在網路上用「圍貓遊戲」四個字搜尋就能在線上玩圍貓遊戲了這遊戲

除了好玩之外還可以測試玩者的決策能力在布滿圓形的長方形棋盤上每個圓形都與六

個圓形相連一隻貓立於棋盤中央的圓形內玩者每次點選一個圓形塗黑來圍堵貓但貓可

以往尚未被塗色的隔壁圓形移動究竟鹿死誰手就要看 Game Design 的設計功力與圍貓者

的技巧誰強了下圖是貓被圍住的一種情形

用堵貓的方法進行圍貓遊戲經常沒辦法成功主要是因為貓有六個方向可以逃竄圍

堵方法很難奏效那麼圍貓遊戲是一種純靠運氣的遊戲嗎應該也不是我們可以往數學層

面來思考在進入更深入的討論之前回想一下國中時「任一三角形 ABC的內角和剛好等於

180」是如何證明的讓小朋友站在 A點朝向 B點往 B點走去當走到 B點時原地旋

轉轉到臉朝 C點的方向接著往 C點走去又當走到 A點時並原地旋轉轉到臉朝 B點

的方向停了下來此時小朋友回到出發前的 A點且臉部朝向的方向相同（都朝向 B點）

這告訴我們「小朋友一共轉了完整的一圈即 360的意思」另外我們在三角形 AB及 C三

個頂點上分別畫出旋轉的角度會發現他們都是外角

因為 AB及 C每點都是由一對內角及一對外角構成所以三角形的內角和就是

3 360 2 360180

2

證明三角形內角和等於180的概念真的對圍貓遊戲有所幫忙或者啟發嗎且讓我們深入

一點來探討圍貓遊戲吧圍貓棋盤上貓有六個方向可以逃竄用堵貓的方式圍貓肯定很難

奏效貓移動速度過快無法圍住所以利用空間爭取時間是個不錯的圍法但究竟要離貓

多遠的地方開始圍起呢這可能要根據貓有多少朋友這些黑色圓圈如何分布來決定了又

以何種形狀來圍住貓呢是圓形三角形長方形或者還有其他各種不同的形狀呢因為貓

10 數亦優

有六個方位可以逃所以用六邊形來圍貓是個不錯的想法舉例來說在下圖中貓僅有三

位朋友照理說圍住貓很難但是可以先想辦法幫貓製造比較多的朋友

在下圖中幫貓找到了三位朋友讓六位朋友位於凸六邊形的六個頂點上但我們也要付出

讓貓移動三步的代價還好此時貓還沒跑出六邊形外代表還有機會圍貓成功

從上圖可以洞悉貓想要往北邊逃竄當務之急當然是把北邊守住然後牽引貓順著六邊形

的邊移動在碰到頂點時帶著貓轉彎如下圖所示

繼續牽引貓順著六邊形的邊移動在碰到頂點時帶著貓轉彎在經歷六個轉彎之後貓就

會發現「牠已被困在六邊形內了」

數亦優 11

總結我們的作法是「利用空間換取時間先選妥適當大小的凸六邊形最好這凸六邊形的六

個頂點中有愈多是黑色圓圈愈好（代表儘量用貓的朋友當頂點）然後點選剩下的非黑色圓

圈構築完成圍貓的六邊形當貓衝撞這六邊形的一邊時牽引貓順著邊移動遇到頂點時

帶著貓轉彎在經歷六個轉彎之後貓就被困在凸六邊形內大功告成」手癢的讀者可以

在線上試玩看看圍貓遊戲是一道老少咸宜不分男女都很喜歡玩的遊戲也是心理學家

闡述「何謂輔導」的遊戲

把圍貓遊戲視為一道數學問題我們從混沌的實際操作過程裡得到圍貓的精髓這整個

過程就是數學孕育與思考的過程數學家亨利龐加萊在《數學的創造》中將自己對數學

的思考分為三個階段準備孕育與驗證首先所謂的準備階段就是對問題下很大功夫

又深陷混亂的階段在這個階段人們都會採取觀察實作分析學習與內化等有意識的

策略其次孕育階段就是停止有意識的思考讓潛意識發酵當腦袋裡的小燈泡忽然被點

亮那個「恍然大悟」的時刻就會到來最後驗證階段也是收割階段這一階段只是寫下

所有的事情檢查細節進行組織並發表龐加萊特別強調孕育階段的潛意識角色這是最

難懂也是至為關鍵的階段

談到潛意識就讓我們聯想到作夢而談到作夢又讓我們想到佛洛伊德在 1900 年出版的《夢

的解析》這本書在佛洛伊德出版《夢的解析》之前人類常把所作的夢當成神諭或預告未

來即將發生的事件看待上個世紀初期當印度數學家拉馬奴姜在英國留學時他的老師哈

代就常常好奇的問說「你每天早上一起床就寫下這麼多的恆等式到底是如何發生的」

拉馬奴姜總是說「那些是昨晚神明託夢給我的」例如

3 5 5 5 5 532 27 1 3 9

5 5 25 25 25

3

33 3 33 9 2

cos40 cos80 cos202

3 3 3 33sec40 sec80 sec20 6 9 1

拉馬奴姜顯然是個等式達人也是將龐加萊孕育階段中的潛意識發揮到淋漓盡致的人

12 數亦優

最後把圍貓遊戲當成小孩子數學思考的學習單觀察不同孩子經歷準備孕育與驗證

階段的發展過程是個不錯的主題當然小孩迷失方向時老師應該適時介入給予該有的幫

忙但切忌將答案傳遞給他

附錄

101 學年度全國高中數學科能力競賽決賽在彰師大數學系舉行其中的筆試試題(一)第二題就

是證明拉馬奴姜的恆等式

3

33 3 33 9 2

cos40 cos80 cos202

在五十位考生中只有一位作對而且是位高二的女生以下是羅啟心這位女學生的作法

設

3 3 3 3 3 3cos40 cos80 cos20 cos40 cos80 cos160S

則

3

3 3 3 3 3 3

3 3 3

cos40 cos80 cos160

3 cos40 cos80 cos80 cos160 cos40 cos160

3 cos40 cos80 cos160

S

S

利用三倍角公式可知 cos40 cos80 cos160 為

3 14 3

2x x

的三個根再由根與係數的關係知道

cos 40 cos80 cos160 0

3cos40 cos80 cos80 cos160 cos40 cos160

4

1

cos40 cos80 cos1608

由第一及第二式知

3 3 3 3 3 3 3 33 cos40 cos80 cos80 cos160 cos40 cos160

2S S

現在令

3 3 3 3 3 3cos40 cos80 cos80 cos160 cos40 cos160T

則

3 33

2S TS

又

數亦優 13

3

3 3 32 2 23 3 3 3 3 3

3 3 32 2 2

2

cos40 cos80 cos80 cos160 cos40 cos160

3 cos 40 cos80 cos160 cos40 cos 80 cos160 cos40 cos80 cos 160

3 cos 40 cos 80 cos 160

3 1 13 3

4 2 2

3 3

2 2

T

T

T S

TS

綜合兩式得

3 31 3

2 4T S

將此式代入 3 33

2S TS 得

3

33 3 33 3 13 27

2 4 2S ST S S

展開整理得

9 6 3 279 27 0

8S S S

再配方得

33 27 93 27 27

8 8S

解得

33 3 9

32

S 33 9

2 或

323 9

2

即

33 3 9

32

S 33 9

32

或3

23 93

2

因為 S為實數所以 3S 也是實數因此

33 3 9

32

S

解得

33

3 93

2S

即

3 3 3 333

cos 40 cos80 cos 20 9 22

得證

14 數亦優

一前言 》

高中數學課程近幾年不斷的加入統計的課程目的是想要讓學生感覺數學更貼近我們的生

活內容包含迴歸直線抽樣統計信賴區間hellip等而信賴區間這個單元建立在一個重要的

理論之上即為中央極限定理查閱大學教材內容大多在做定理及輔助定理的推導大多數人

未能完全了解其意義在這篇文章中我們將以高中生的觀點來欣賞中央極限定理

二中央極限定理（Central Limit Theorem簡寫 CLT）是什麼 》

每四年一次的總統大選選前新聞社都會透過電話隨機抽樣的方式來估計各組候選人的

支持度若每次電話抽樣訪問新聞社都隨機挑選 100 人這樣他們便可以獲得一組平均數標

準差這樣的行為重複多次則可以得到多組抽樣並討論其平均數標準差如果多組的平

均數用柱狀圖來呈現我們可以發現圖形隨著抽樣的次數增加會接近常態分配並且當選舉

後會發現真實的支持率與所有研究者當初所做的結果平均數相同且其標準差接近原來的

1

n倍即我們討論對象已由原來調查樣本變為這些研究者為我們討論對象這便是中央極

限定理討論的內容

現在讓我們重新敘述中央極限定理（有限母體）的內容

中央極限定理（Central Limit Theorem簡寫 C L T） 設研究目標為變量 T 1 2 Nt t t 平均數 標準差 則

2

2 21 1

1

1

N N

i i Ni i

ii

t tt

N N N

每次抽樣皆取 n個並取後放回其共有 NnC m 種抽樣方法數若每次抽樣平均分別為

1 2 mx x x 其結果會成常態分配則

1 1 2 mx x x 平均數為 1 2 Nt t t

N

2 1 2 mx x x 標準差為1

1

N n

n N

另外當 N n 時標準差近似於n

接下來我們可以進一步以高中的觀點探討為何抽樣平均的平均數會與當初未知的平均數相

同抽樣平均的標準差為何是1

1

N n

n N

廖世經臺中市立東山高中

數亦優 15

三抽樣平均的平均數及標準差 》

沿用上述的定理符號可以得到

1 2 mx x x

meanm

1 2 1 3 1 1 2n n N n N n Nt t t t t t t t t

n n n

m

1

1 1 2Nn NC t t t

nm

（

1

1

1

1 N Nn n

N n N nC C

n N n N n N n N

同理

22

1

1N Nn n

n nC C

N N

）

1 2

Nn N

nC t t t

Nnm

（∵ N

nC m ）

1 2 Nt t t

N

從上式證明結果我們可以發現學者抽樣平均所做的平均數與當初我們想要研究的目標

平均數是相同的這個觀念有助於我們將來思考信賴區間的概念

抽樣平均的變異數1

1

N n

n N

推導則為

2 2 2

1 1 1 1

2m m m m

i i i

i i i i

x x xvariance

m m

(A)

首先我們先考慮(A)中的1

m

i

i

x

從平均數的推導我們得到

1

m

i

i

x

m

則

1

m

i

i

x m

(B)

再考慮(A)中的2

1

m

i

i

x

2 2 22 1 2 1 3 1 1 2

1

mn n N n N n N

i

i

t t t t t t t t tx

n n n

2 2 21 2

1 1 2 2 1 2 1 3 1

2

2N Nn N n N NC t t t C t t t t t t

n

2 2 21 2 1 2 1 3 1

2

12

1N Nn N n N N

n nnC t t t C t t t t t t

N N N

n

2 2 21 2 1 2 1 3 1

112

1N N N

nm t t t m t t t t t t

N N N

n

(C)

16 數亦優

接著先計算(C)中的 1 2 1 3 12 N Nt t t t t t

2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 3 12N N N Nt t t t t t t t t t t t

2 2 2 21 2 1 2 1 3 12N N NN t t t t t t t t t

2 2 22 21 2 1 3 1 1 22 N N Nt t t t t t N t t t

將得到的式子代回(C)得到

2 2 2 2 2 22 2

1 2 1 22

1

111N Nm

i

i

nm t t t m N t t t

N N Nx

n

2

2 2 21 2

1

1 1N

m N n m n Nt t t

N N N

n

(D)

將(B)以及(D)的結果代回(A)得到

2 2

1 1 1

2m m m

i i

i i i

x xvariance

m

22 2 2

1 22

1

1 12

N

m N n m n Nt t t

N N Nm m

nm

2

2 2 21 2

2 2

1

1 12

N

N n n Nt t t

N N N

n

22 2 2 2

1 2

11

1 1N

N n n Nt t t

n N N n N

2

2 2 21 2

1

1 1N

N n N nt t t

n N N n N

2 2 221 21

1N

N n t t t

n N N

21

1

N n

n N

數亦優 17

在大學書中中央極限定理的敘述大多直接使用標準差n

是因為當 N n 時則

11

1 1

N n n

N N

rarr1故標準差會近似於

n

四結論 》

中央極限定理的存在幫助了我們做抽樣討論時從原本我們想要研究的目標轉換到探

討研究人員所做的數據上上面所討論的方式只透過平均數變異數的定義加上組合的想

法可以讓高中生更加了解中央極限定理藉此了解數學的真善美這是研究會時分享給其他

老師的內容謝謝我的實習老師黃怡慈老師的幫忙整理

18 數亦優

一楔子 》

古希臘人尤勒士（Euathlus）向普羅塔哥拉斯（Protagoras）學習辯論術先付一半學費

另一半學費訂定契約言明等學成後在第一場辯護勝訴時再付如果敗訴則學費不必再交

但尤勒士畢業後根本不擔任辯護的工作自然也不交另一半的學費因此普羅塔哥拉斯便告

他普羅塔哥拉斯說「如果我勝訴法官當然要判他還我學費如果我敗訴那就是尤勒士勝

訴依契約他還是要還我學費」尤勒士說「如果我勝訴當然是要求法官判我不必還學費

如果我敗訴依契約我也不必還學費」請問法官該怎麼判

二歸謬證法 》

亞里斯多德認為愈重的物體落下得愈快1589 年伽利略如此舉反證把兩物 AB

綁在一起成為 A B 假設 A比 B重則由高處落下時因為 B落下的速度比 A慢把 A拖

住所以 A B 落下的速度比 A 慢又 A B 比 A 重所以 A B 落下的速度又比 A 快矛盾

所以「任何物體同時從相同的高處落下皆同時著地」伽利略如是說

99 課程綱要把歸謬證法拿掉了我猜想最少有兩位先生會很鬱卒一位是歐幾里得先生

他在《幾何原本》中用歸謬證法證明了「質數有無窮多個」另一位是蔡聰明先生他用了 28

種方法證明 2 是無理數

三直觀與證明 》

最近看到一篇文章關於 2 是無理數的證明

假設 2p

q 是有理數其中 p q是正整數且 1p q 則

2

22

p

q

直觀上「如果p

q不是整數則

2

2

p

q更不可能是整數」矛盾

所以假設錯誤即 2 是無理數得證

（這是因為如果 p q沒有相同的成分 2p 和 2q 自然也不會有相同的成分如果p

q都無法化簡

成整數2

2

p

q更沒有機會了因此這個式子是個明顯可笑的矛盾等號左邊是整數右邊不是

整數兩者怎麼可能相等）

我想提一段陳年往事多年前一次國中數學週考中某老師出了一道題目證明三角形

兩邊和大於第三邊直觀上這何需證明因為兩點之間直線最短嘛於是我買了歐幾里得

的《幾何原本》根據歐幾里得的體系證明「三角形兩邊和大於第三邊」確實需要很長的篇幅

我相信這不會是出題老師的本意我的判斷是出題老師只想要學生說明「兩點之間直線最短」

江慶昱衛道中學退休教師

數亦優 19

那麼考題應該改成請說明「三角形兩邊和大於第三邊」中學階段不必強調數學的嚴密性

這是共識（60 年代的新數學過度強調嚴密性是失敗的原因之一）但是直觀的說明與嚴格的證

明應該予以區隔這純屬我個人的看法所以我以為上述關於 2 的證明實偏向於說明（註

最早項武義先生認為他解決了克卜勒的裝填問題陳省身先生也為之背書但還是不被接受

目前公認是 Thomas Hales 解決了httpenwikipediaorgwikiKepler_conjecture數學界的所謂

「證明」自有其行規）

如何在高中引入簡易邏輯是一件困難但是值得深思的事

四等價 》

高中課程中另一個重要的邏輯概念是「等價」有一年大學聯考考這麼一題證明「海龍

公式邊長 a b c的三角形面積 ( )( )( )s s a s b s c 」那時候大學錄取率大約 30不到

補習班之間競爭非常激烈大家趕著把解答登報有一間補習班第一天是這樣證明的

因為( ) ( )( )

sin cos2 2

A s s a A s b s c

bc bc

所以1 1

sin 2sin cos ( )( )( )2 2 2 2

A Abc A bc s s a s b s c

第二天趕快發報更正因為在邏輯上第一天拿一個等價的命題當作證明等於沒有證明

換句話說患了邏輯上的錯誤了

五等價的一些例子 》

我們在國中時有這樣的性質 p三角形任兩邊和大於第三邊又在書中的同一個角落看到

q三角形任兩邊差小於第三邊很容易證明「 p q 」這種情形我們叫 p與 q等價意思是 p

與 q是同一回事以下舉一些等價的例子

1 p平行公設過直線外一點恰有一直線與之平行q三角形內角和為180

2 G是ABC的重心則 p q r三個向量式等價

1 1

3 3

p AG AB AC

1 1 1

3 3 3

q OG OA OB OC

0r AG BG CG

3 2 2 2

p u v u v

（柯西不等式） q u v u v

（三角不等式）

4 p周長固定的平面圖形中以圓形面積最大q面積固定的平面圖形中以圓形周長最小

5 (1)正弦定理(2)餘弦定理(3)投影定理 等價

6 實數的完備性有多種等價的敘述（我有一位同事到師大數學系修碩士班學分就是上了一本

這樣的書）

7 p算幾不等式q柯西不等式

20 數亦優

六算幾不等式與柯西不等式的等價 》

算幾不等式與柯西不等式在形式上相差很多兩者會等價甚感意外我第一次是在臺中一

中的網頁內看到證明過程當時沒有仔細研究後來回去找就找不到那份資料了最近上網搜

尋找到建中徐健策老師的一篇專題算是一償宿願這是我寫這篇文章的另一個因緣

七後記 》

1900 年量子力學開始萌芽到 1965 年朝永振一郎（S Tomonaga）薛文格（Julian Schwinger）

與費因曼得到諾貝爾物理獎是一段精采的故事重點是薛文格與費因曼對量子電動力學的看法

與算法南轅北轍薛文格用的是歐洲優雅的數學費因曼的路徑積分用的是圖像式的數學把

兩者結合為一或者說看出兩者的「等價性」的是戴森（Freeman J Dyson）我覺得這比證

明兩命題的等價有更深刻的意義

非歐幾何的發展也有類似的地方義大利幾何學家 Eugenio Beltrami（1835~1899）證明了

Lobachevsky（1793~1856）與 Ferdinand Minding（1806~1885）的非歐幾何模型是「等價」的

（註代數中複數平面與平面向量同構以上兩種情況說同構或等價哪一個說法比較恰當

當就教於各位）

99 課程綱要把歸謬證法放在附錄我觀察最近兩年的各校段考試題大約只有三四個學

校段考中有考歸謬證法早年國中考高中每年要考一題證明題一題尺規作圖當時我們會

努力教證明題當然包括用「窮舉法」證明「圓內接四邊形的充要條件為對角互補」基測不

考證明題後絕大部分的老師不會花時間去證明這個定理向來就是「考試引導教學」自古皆

然隋唐時期科舉要考《算經》所以宋朝有四位偉大的數學家秦九韶李治楊輝朱世傑

到明清科舉只考八股文可以印證中國數學沒落的一段史實證明與數學的關係就如同實驗與

物理的關係基測與學測不考證明題相信有不少人憂心忡忡如今又把歸謬證法拿掉（放在

附錄與拿掉等價）應該有人輾轉難眠吧

早上（2012829）看到新聞十二年國教將於後年上路臺大名譽教授劉廣定批評103

年到 107 年的高中學生要繼續接受舊課綱的教育他堅決反對沒有新課綱的十二年國教後

年就要推十二年國教課綱最快 106 年才能完成到 108 年才有新課綱教科書可用意味之前

的高中生都要繼續接受舊課綱教育芬蘭從 1980 年代開始教改先找學校試辦2000 年才全

面實施然而臺灣十二年國教從宣布到實施只有三年準備期讓人憂心

參考資料

1 蔡聰明 2 是無理數的 28 種證明數學傳播季刊第 23 卷（第 1 期）

2 王九逵邏輯與數學思維

3 南山柯西不等式與排序不等式上海教育出版社P230

4 William Dunham（1995）天才之旅牛頓出版股份有限公司P61

5 戴森（1993）宇宙波瀾天下文化

6 奧瑟曼（1997）宇宙的詩篇天下文化P84

7 Stefan Kulczycki（1992）非歐幾里得幾何學水牛出版社P32

8 蔡辰理中國數學史上的黃金時代及其四個偉大的數學家20130701 取自

httpepistemathntuedutwarticlesmmmm_03_2_07page2htmltop

9 徐健策老師專題柯西琴生與冪平均不等式20131002 取自 httpmath1cktpedutw徐健策mathhtm

數亦優 21

一研究目的 》

將一道解四元一次聯立方程式的題目利用四次多項函數且領導係數為 1 的恆等原理來解

答

二研究過程 》

已知

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

12 1 2 3 2 5 2 7

14 1 4 3 4 5 4 7

16 1 6 3 6 5 6 7

18 1 8 3 8 5 8 7

x y z w

x y z w

x y z w

x y z w

試求(1) ( )x y z w (2) x y z w

一 首先將上題解讀為解四元一次聯立方程式

設

2

3

2

2

3 5 7105 2079 429 143 1

3 5 7 11 21 1485 1001 195 1

9 385 819 495 13 7 11 135 189 231 429 1

3 5 11 13

x aa b c d

y b a b c d

a b c dz ca b c d

w d

211512 1320 2288 5

4b c d

52376 1144 208 1

4b c d

5 956 504 1584 1

4b c d

2432 640 1792 0 19 5 14 0

5 1792 3840 5632 0 7 15 22 0

b c d b c d

b c d b c d

由5 14 14 19 19 5

320 320 320 11115 22 22 7 7 15

b c d

由1

56 504 1584 1 1024 11024

b b b b b c d

代入1 1 1 175 35

5 189 231 429 1 51024 1024 1024 1024 1024

a a a

李維昌國立宜蘭高中

22 數亦優

2 2 2 3 2 23 5 7 3 5 7 11 3 7 11 13 3 5 11 13( )

1024 1024 1024 1024x y z w

即為(1)的所求

2 3 2 2

2 3

2 2

3 5 7 3 5 7 11 3 7 11 13 3 5 11 13

35 13 5 7 3 5 7 11

1024 10241 1

3 7 11 13 3 5 11 131024 1024

x y z w a b c d

11025 10395 9009 6435 36864

361024 1024

即為(2)的所求

二 嘗試利用四次多項函數且領導係數為 1 的恆等原理來解答此題

1 構造以 t為變數的四次多項函數且領導係數為 1命此函數為 ( )f t

2 2 2 2 2 2 2( ) 1 3 5 7 3 5 7f t t t t t x t t t

2 2 2 2 2 2 2 2 21 5 7 1 3 7 1 3 5y t t t z t t t w t t t

其中 x y z w四數為常數

2 2 2 2 2 2 2 2 21

2 1 2 3 2 5 2 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 1 2 3 2 5 2 7 2 3 2 5 2 7

2 1 2 5 2 7 2 1 2 3 2 7

2 1 2 3 2 5 0

x

y z

w

2(2 ) 0f

3 2 2 2 2 2 2 2 21

4 1 4 3 4 5 4 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

4 1 4 3 4 5 4 7 4 3 4 5 4 7

4 1 4 5 4 7 4 1 4 3 4 7

4 1 4 3 4 5 0

x

y z

w

2(4 ) 0f

4 2 2 2 2 2 2 2 21

6 1 6 3 6 5 6 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

6 1 6 3 6 5 6 7 6 3 6 5 6 7

6 1 6 5 6 7 6 1 6 3 6 7

6 1 6 3 6 5 0

x

y z

w

2(6 ) 0f

數亦優 23

5 2 2 2 2 2 2 2 21

8 1 8 3 8 5 8 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

8 1 8 3 8 5 8 7 8 3 8 5 8 7

8 1 8 5 8 7 8 1 8 3 8 7

8 1 8 3 8 5 0

x

y z

w

2(8 ) 0f

6 由 12345的討論可得知 ( )f t 等價 2 2 2 22 4 6 8t t t t

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 4 6 8

1 3 5 7 3 5 7 1 5 7

1 3 7 1 3 5

t t t t

t t t t x t t t y t t t

z t t t w t t t

為 t的四次多項方程式

第式等號的左式 3t 的係數＝第式等號的右式 3t 的係數

2 2 2 2 2 2 2 22 4 6 8 1 3 5 7 x y z w

2 2 2 2 2 2 2 22 4 6 8 1 3 5 7 120 84 36x y z w

即為(2)的所求

7 x的求法

將 21t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

1 2 1 4 1 6 1 8 1 3 1 5 1 7

2 1 4 1 6 1 8 1 1 3 3 5 5 7 7 9 3 5 7

2 4 4 6 6 8 10243 1 5 1 7 1

x

x

8 y的求法

將 23t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 3

2 2 2 2 2 2

3 2 3 4 3 6 3 8 3 1 3 5 3 7

3 2 4 3 6 3 8 3 1 5 1 7 3 9 5 11 3 5 7 11

2 4 2 8 4 10 10243 1 5 3 7 3

y

y

9 z的求法

將 25t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

5 2 5 4 5 6 5 8 5 1 5 3 5 7

5 2 5 4 6 5 8 5 3 7 1 9 1 11 3 13 3 7 11 13

4 6 2 8 2 12 10245 1 5 3 7 5

z

z

24 數亦優

10 w的求法

將 27t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

7 2 7 4 7 6 7 8 7 1 7 3 7 5

7 2 7 4 7 6 8 7 5 9 3 11 1 13 1 15 3 5 11 13

6 8 4 10 2 12 10247 1 7 3 7 5

w

w

11 由 78910的討論可得

2 2 2 3 2 23 5 7 3 5 7 11 3 7 11 13 3 5 11 13

( ) 1024 1024 1024 1024

x y z w

即為(1)的所求

三 結論

1 解題的巧妙與否存乎一心「學則需疑於不疑處有疑方是進矣」本題為解四元

一次聯立方程式基本解題策略為克拉瑪公式加減消去法或代入消去法三種由

於這三種計算相當繁瑣進而苦思其他對策經過一番思索驀然回首伊人卻在

燈火闌珊處竟然將此題與四次多項方程式連結在一起有了令人會心一笑的妙解

真是一次驚奇的解題之旅

2 孔子曾言「學而不思則罔思而不學則殆」我期待每次解題時皆能直搗黃龍

一眼看穿題目的堂奧之妙事後「大膽假設小心求證」檢驗過程和結果是否達

到最佳化藉由在夙昔的典範亦步亦趨臻於真善美的解題境界

數亦優 25

國立臺灣師範大學數學系

筆試一計算證明題（考試時間2 小時）

1 (1) 直角三角形的兩股長為 a b斜邊長為 c試證 3 3 3c a b （8 分）

(2) 如下圖圓 O內二直徑 AC BD互相垂直在劣弧DC上任取一點 E

試證以 AE 為一邊的正方形面積等於四邊形 ABED面積的二倍 （12 分）

2 設函數 2( ) 6 5f x x x 求坐標平面上滿足聯立不等式

( ) ( ) 0

( ) ( ) 0

f x f y

f x f y

的所有點 ( )x y 所形成的區域面積 （20 分）

3 設 a b c d 為實數且 a b c d ( ) ( )f x g x 為滿足 ( ) ( )f a f b 及 ( ) ( )g c g d 的實係數二次多

項式已知 ( ) ( )f x g x 為常數多項式證明

(1) a b c d （8 分）

(2) 2( )

2

( )2

a bf a f

a bc d c d

g c g

（12 分）

4 如下圖所示ABC和DBC為空間中的兩個等腰三角形M為線段 BC 的中點令

AB AC a DB DC b BM CM c 和DA x

(1) 已知向量內積 0AM BD

求證 2 2 22x a b c （8 分）

(2) 已知 2 2 22x a b c 求證向量內積 0AM BD

（12 分）

26 數亦優

5 師大數學系舉辦系徽設計比賽入圍決選的有四件作品由 10 名學生代表進行不記名投票

每人投兩票且兩票須投不同作品在沒有廢票的情況下試問

(1) 四件作品的得票情形共有幾種 （8 分）

(2) 得票數 高的作品恰有一件的票數分布有幾種 （12 分）

筆試二填充題（考試時間15 小時）

1 設 a為實數若對於所有實數 x2

2

32

2

x ax

x x

恆成立則 a的範圍為

2 若等比數列的第三項是1 i 第五項是1 1

16 16i 其中 1i 則此等比數列的公比為

（有兩解）

3 從1234567 等數字中選取三個排成三位數數字不重複則排出來的是 3 的倍數但不是 5 的倍數

的整數有 個

4 桌上有十個骰子當中有一個骰子出現 5 點的機率是1

2而出現其他點數的機率均等其他

九個都是均勻的骰子用隨機的方式選取一個骰子來投擲在出現 5 點的情況下被選取的

骰子是不均勻骰子的條件機率為 （答案若為分數請化為 簡分數）

5 在電腦裡有一公定的對照表（ASCII）將英文字母ABhellipZ及空格等字元分別對應至一整數

其對應數字如下表所示

字母 空格 A B C D E F G H

ASCII 碼 32 65 66 67 68 69 70 71 72

字母 I J K L M N O P Q

ASCII 碼 73 74 75 76 77 78 79 80 81

字母 R S T U V W X Y Z

ASCII 碼 82 83 84 85 86 87 88 89 90

數亦優 27

我們可利用此對照表在 facebookTM 傳送保密訊息給朋友我們與朋友約定所有的英文字母及

空格皆以對照表中的整數替代例如「HE IS DAVID」的訊息用「7269327383326865867368」

取代然後將此數字字串的奇數項排在矩陣的第一列偶數項排在第二列形成以下矩陣

7 6 3 7 8 3 6 6 8 7 6

2 9 2 3 3 2 8 5 6 3 8B

再與二階方陣

1 2

2 3A

相乘得到

11 24 7 13 14 7 22 16 20 13 22

20 39 12 23 25 12 36 27 34 23 36AB

後依上述規則反求得字串「11202439071213231425071222361627203413232236」傳送給朋

友如此他人便不能立即得知傳送之內容現在在此規則下你接收到數字字串

「233825411222213516271932」可以轉成矩陣

23 25 12 21 16 19

38 41 22 35 27 32

其所代表之訊息為

6 坐標平面上圓 C通過點 (02) 且 C與兩直線 3 2 0 1 0x y y 皆相切則圓 C的方程

式為

7 坐標空間中ABC的三頂點分別為 (1 11) ( 321) (5 43)A B C P為ABC內部一點且

令P到 AB BC CA的距離分別為 x y z則 2 2 2x y z 的 小值為 （答案若為分數

請化為 簡分數）

8 函數 4 4( ) cos 3sinf x x x 的 小值為

9 設 為實數若

cos 0 sin

0 1 0

sin 0 cos

A

則 5A

10 袋中有編號分別為 1 到 6 的六個球從袋中隨機選取兩球令隨機變數 X表示在被選取的

兩球中球號比袋中剩下的球號都大的球的個數（例如如果選到 2 號和 3 號球那袋中剩

下的就是 1456 號球因為選出的球中並沒有比 1456 都大的球號故這種情況下 0X ）

隨機變數 X的期望值為 （答案若為分數請化為 簡分數）

28 數亦優

筆試一計算證明題

1 (1) 利用 2 2 2c a b 及 c a c b 得

3 2 2 2 2 3 3c c a b ca cb a b

(2) 過 E作 EF AC 則

四邊形 ABED的面積

1 1

2 21

21

2

ABD BDE

BD AO BD OF

BD AO OF

AC AF

又在直角三角形 ACE中因為2

AE AC AF 所以2

AE 四邊形 ABED面積的兩倍

2 因為

2 22 2( ) ( ) 6 6 10 3 3 8f x f y x y x y x y

2 2( ) ( ) 6 6 6f x f y x y x y x y x y

所以

2 23 3 8( ) ( ) 0

( ) ( ) 0 6 0

x yf x f y

f x f y x y x y

因此滿足上述條件的所有點 ( )x y 為

22 23 3 8

0 6 0

x y

x y x y

或 22 2

3 3 8

0 6 0

x y

x y x y

其所圍成的區域如下圖所示面積為 218 4

2

數亦優 29

3 (1) 依題意可設 ( ) ( )f x r x a x b s g x r x c x d s

因為 ( ) ( )f x g x 是常數多項式所以比較一二次項係數知

r r r a b r c d

得 a b c d

(2) 由 2 2

( )2 4 4

a b a ba bf r s r f a

得

2

4 ( )2a b

f a f

ra b

故得證

註1o 也可利用對稱性知 ( )y f x 的頂點之 x軸坐標為2

a b ( )y g x 的頂點之 x軸坐標

為2

c d而得證

2o 亦可用插值多項式證明

4 (1) 由向量分解DA DM MA DB BM MA

得

2 22 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2

2

2 2

DA DA DM MA DM MA DM MA

b c a c DB BM MA

b a c DB MA BM MA

因為 0AM BD

且 BM MA 所以

2 2 2 22DA b a c

因此

2 2 22DA a b c

(2) 由(1)及 BM MA 可得

2 2 2 22 2DA b a c DB MA

依題意知 2 2 22DA x b a c 即

22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2b a c b a c b a c DB MA

故

0DB MA

30 數亦優

5 (1) 由題意可以知道

1 四件作品所得的總票數為 20 票

2 每件作品 多可以得到 10 票

令四件作品的得票數分別為 x y z u由1 2 可得

200 10x y z u x y z u

因為 0 10x y z u 所以 420H 須扣掉11 20x y z u 的情況由 20x y z u 且

0x y z u 可知 多只有一個票數會大於等於 11假設 11x 令 11x x 可得

90 9x y z u x y z u

此情況有 4 129 9 220H C 種

因此票數分布為 4 420 94 1771 4 220 891H H 種

(2) 假設得票數 高為 x由題意可得

200 10x y z u y z u x

因為 y z u x 也就是 1y z u x 所以

1 1 1 4 3x y z u x x x x x

由 20x y z u 得

20 4 3x

即

23

4x

因此當 6x 時才會滿足只有一件作品得票數 高且票數為 x

當 6x 時

140 5y z u y z u

滿足此情況的 y z u有 (554)(545)(455) 3 種

當 7x 時

130 6y z u y z u

因為 13y z u 且 0y z u 所以 y z u 多只有一個會大於等於 7

由(1)可知滿足此情況有 3 3 15 813 6 13 63 3 105 84 21H H C C 種

同理

當 8910x 時 y z u 多只有一個會大於等於 8910故

當 8x 時有 3 3 14 612 4 12 43 3 91 45 46H H C C 種

當 9x 時有 3 3 13 411 2 11 23 3 78 18 60H H C C 種

數亦優 31

當 10x 時有 3 3 12 210 0 10 03 3 66 3 63H H C C 種

因此滿足只有一件作品得票數 高的情形有

4 3 21 46 60 63 772 種

筆試二填充題

1 2 3 4 5

0 4a 2 2

8 8i

66 1

4 NORMAL

6 7 8 9 10

2 2

3 1 4x y

2 2

3 3 5 36x y

（或是 2 2 2 3 2 0x y x y ）

50

79

3

4

cos5 0 sin 5

0 1 0

sin 5 0 cos5

2

5

32 數亦優

《接續PartI 請見數亦優第 21 期》

四 正多邊形

(一) 除了正方形及三角形以外我們還考慮將其他形狀組合討論其撕裂次數是否與正方

形三角形相同

(二) 並非所有正多邊形皆可組合若內角非360

kk

便不能組合例如

1 正五邊形的內角和180 3 540 則一個內角為108但108 360 k k

無法將五邊形完整組合必有空隙

2 正六邊形的內角和180 4 720 則一個內角為120因為120 3 360

則任三個相同的正六邊形皆可相互組合

(三) 完整排列正六邊形為例以 m張排列

例 1 一頁 5 個正六邊形排列

撕開 2 次使下排的兩個正六邊形與上排分開再逐一將上排撕開共需 4 次

由例 1撕的次數結果皆為 1m 次

（Part II） 陳敏晧國立蘭陽女中

數亦優 33

(四) 內部有洞正六邊形為例m張 n個洞排列

例 2 一頁 11 張且 2 洞排列

先撕開 2 次使其成為無洞排列再撕開 1 次使其變成兩頁完整排列再逐一撕開

共需 12 次

由例 1與例 2得知撕的次數結果皆為 1n m 次

五 「切割」的定義

(一) 我們從平面延伸到立體討論柏拉圖的五個正多面體先將正多面體每面切開分開

的次數是否也有彼此相似之處

(二) 因為立體無法如平面一樣用撕的故用切的而計算次數的定義與方法也與平面有很

大的差異

(三) 「切一次」的定義與限制沿著稜邊切下一個面才算作「一次」第一次切下後

便將封閉的正多面體打開此後每切一次都必須從開放的稜邊切下不可再一次從

封閉的面切下

以正六面體為例

此為一個完整封閉的正六面體

第一次沿著粗線切開可切下一個面

34 數亦優

六 柏拉圖多面體

1 正四面體

第一次將底面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 3 個面切下共需切

1 3 1 3 次

2 正六面體

第一次將頂面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 5 個面切下共需切

1 5 1 5 次

斜線部分為第一次被切下的面

封閉正六面體被打開後第二次只能從

開放的 4 條稜邊（粗線）切下

第二刀不可再從封閉面（粗線）開始切

數亦優 35

3 正八面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 7 個面切下共

需切 1 7 1 7 次

4 正十二面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 11 個面切下共

需切 1 11 1 11 次

5 正二十面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 19 個面切下共

需切 1 19 1 19 次

36 數亦優

由上述例子可得知切割次數皆剛好為正多面體的(總面數 1 )次

研究發現

內部有洞洞數 a b 其中 a洞的個數b每個洞的張數

矩 形

完整排列

邊長 邊長 總張數 撕的次數

2 2 4 3

4 5 20 19

不規則排列

總張數 撕的次數

10 9

13 12

內部有洞

邊長 邊長 洞數 總張數（邊長 邊長 洞的張數） 撕的次數

3 3 1 1 8 3 3 1 8

3 5 2 1 13 3 5 2 14

三 角 形

完整排列

邊長 總張數 撕的次數

2 4 3

3 9 8

不規則排列

總張數 撕的次數

10 9

13 12

內部有洞

邊長 洞數 總張數（邊長平方 洞的張數） 撕的次數

規

則

4 1 1 15 4 4 1 15

5 1 1 24 5 5 1 24

5 1 2 23 5 5 2 23

5 1 3 22 5 5 3 22

6 1 1 35 6 6 1 35

6 1 2 34 6 6 2 34

6 2 1 34 6 6 2 1 35

6 3 1 33 6 6 3 1 35

6 1 2 1 1 33 6 6 2 1 34

7 2 2 45 7 7 2 2 46

不

規

則

1 1 22 22

1 1 23 23

1 2 32 32

數亦優 37

六 邊 形

完整排列

總張數 撕的次數

3 2

5 4

內部有洞

洞數 總張數 撕的次數

1 1 6 6

2 1 11 12

正 多 面 體

面數 撕的次數

正四面體 4 3

正六面體 6 5

正八面體 8 7

正十二面體 12 11

正二十面體 20 19

目前的研究我們發現了以下獨特的結論平面幾何圖形中矩形正三角形和正六邊形的

規則形狀與不規則形狀紙張之最佳撕法都是(總張數 1 )次矩形正三角形及正六邊形排列成

內部有 n個洞且 m張的紙張之最佳撕法都是 1n m 次而柏拉圖立體的最少切割次數皆為

正多面體的(總面數 1 )次最重要我們發現其實撕裂或切割次數與撕裂或切割方法（或順序）

無關

參考資料

1 陳美如（200003）撕郵票問題數學傳播第 24 卷第 1 期P82~86

2 許志農與奇人相遇httpmathntnuedutw~macomeethtm

3 林義強多面體簡介第一屆全國高中數學教學研討會論文集P177~192

參數學專題研究反思 》

上述作品得到今年北一區數學科展優等過程中我與學生教學相長高二學生因為所學的

數學很有限所以數學解題層次會有侷限但是相對地數學思維與想像力卻是受過數學訓練

的我們所不及的在這次數學專題研究中我扮演的角色是諮詢者協助者鼓勵者完成任

務是那三位鍥而不捨的同學鄭羽呈李依庭林佩柔 勘誤 第 21 刊〈高中數學專題研究教案（PartI）〉 P34 倒數第 6 行「設m k 」應改為「設m k 」 P36 第 3 行「設m k 」應改為「設m k 」 P38 內部有洞的 1(1)~(4)分類應改為「1(1)一頁 24 張內部有一個洞一張為 1 洞」

「1(2)一頁 23 張內部有一個洞兩張為 1 洞」 「1(3)一頁 23 張內部有一個洞兩張為 1 洞」 「1(4)一頁 22 張內部有一個洞三張為 1 洞」

38 數亦優

動手玩數學 許志農臺灣師大數學系

在 下 圖 中已 知 ABC為 直 角

三 角 形 1AB 求

(1) 線段 AD的長度（化為最簡形式）

(2) 餘切 cot24

的值

〔玩鎖玩索〕

這道問題改編自「求 cot24

的值」這道

教師甄選試題關於這道餘切求值問題

有兩位老師的作法是用標準特別角出發

再求出欲求的餘切值

底下是另一位老師的作法

已知 ABC 為 直 角 三 角 形 4AC 求

AB BC及 cot24

的值

請 加 上 線 段 使 下 圖 分 成 五

份 形 狀 完 全 相 等 的 部 分（翻面

相等也算）

或 許 下 圖 對 你 會 有 些 幫 助 它 們 是 四 份

形 狀 完 全 相 等 的 部 分

〔玩鎖玩索〕

這是 1998 年夏天香港中文大學教育學

院第二次舉辦暑期資優課程中在數學有關的

工作坊裡的一道測智遊戲

遊戲 85

遊戲 86

數亦優 39

在 坐 標 平 面 上 畫 一 直 線 1L在

線 上 任 取 一 點O 以O為 旋 轉

中 心依 逆 時 針 方 向 將 直 線 1L

旋 轉 120得 到 直 線 2L 如 下

圖 所 示

已 知 直 線 1L 的 斜 率 為m求 證 直 線 2L 的 斜

率 為

3

3 1

m

m

〔玩鎖玩索〕

直線是平面幾何上的重要元素而斜率又

是直線在代數上的代言人掌握斜率就如同控

制直線一樣從逆轉120的 直 線 斜 率 公 式

不 難 知 道 坐 標 平 面 上 的 正 三 角 形 之 三

條 邊 斜 率

1 2 3 m m m

是可以互相推導的即由 1m 可 以 得 到 2m 與

3m 的 公 式 而 且 還 知 道 以 下 兩 個 恆 等 式

1 2 2 3 3 1 3m m m m m m

1 2 31 2 3

1 1 19m m m

m m m

宇 富 怕 手 機 被 盜 打 每 日 更

換 開 機 密 碼為 了 便 於 記 憶

他 想 到 一 則 更 換 密 碼 的 算 術

通 則 「 昨 天 密 碼 為p 今

日 的 密 碼 就 更 新 為1

1

p

p

」

宇 富 跟 所 有 的 人 說「 我 已 經

使 用 這 密 碼 通 則 500天 了 而

且 第 一 天 的 密 碼 就 設 為 2 1

相 信 各 位 算 到 手 痠也 無 法 算

出 今 天 的 開 機 密 碼 」

徵求可以破解開機密碼的人士

〔玩鎖玩索〕

如果第一天的密碼為 那麼破解密碼

的難度有增加嗎

遊戲 87

遊戲 88

40 數亦優

動動手手玩玩數數學學~~破破解解秘秘笈笈

遊戲 81

如圖所示

(1) 考慮 ABC 因為 8sin15AB BC 且

150ABC 所以 ABC 為等腰三角

形且 15BAC 因此

2 cos15 2 8sin15 cos15AC AB

1

8sin30 8 42

(2) 仿照(1)的方法 ACE 也是等腰三角

形且 30CAE 因此

32 cos30 2 4 4 3

2AE AC

遊戲 82

秦九韶這個依括弧次序求函數值 f a 的演

算法就是高中數學多項式那章所介紹的綜

合除法

2 5 4 8

2

2

a

a

仔細計算上述綜合除法的空白位置可以發

現小中大括弧位置所代表的值與秦九韶

小中大括弧內的值完全一樣

遊戲 83

(1)

2cos 2cos24 24cot

24 sin 2sin cos24 24 24

1 cos1 cos

3 412

sin sin12 3 4

(2) 因為

cos cos cos sin sin3 4 3 4 3 4

1 2 3 2

2 2 2 2

2 6

4 4

及

sin sin cos sin cos3 4 3 4 4 3

3 2 2 1

2 2 2 2

6 2

4 4

所以

2 61 4 6 24 4cot

24 6 2 6 24 4

2

4 6 2 6 2

6 2

2 2 3 6

遊戲 84

令

2 3A a b c b c i

2 3B c a b a b i

2 3C b a c c a i

且

1 3

2

i

因為 2A C B

所以 3 3 3 6 3A C B

又因為 3 6 1 所以 3 3 3A B C

得證

ltlt ASCII85EncodePages false AllowTransparency false AutoPositionEPSFiles true AutoRotatePages All Binding Left CalGrayProfile (Dot Gain 20) CalRGBProfile (sRGB IEC61966-21) CalCMYKProfile (US Web Coated 050SWOP051 v2) sRGBProfile (sRGB IEC61966-21) CannotEmbedFontPolicy Error CompatibilityLevel 13 CompressObjects Tags CompressPages true ConvertImagesToIndexed true PassThroughJPEGImages true CreateJobTicket false DefaultRenderingIntent Default DetectBlends true DetectCurves 00000 ColorConversionStrategy LeaveColorUnchanged DoThumbnails false EmbedAllFonts true EmbedOpenType false ParseICCProfilesInComments true EmbedJobOptions true DSCReportingLevel 0 EmitDSCWarnings false EndPage -1 ImageMemory 1048576 LockDistillerParams false MaxSubsetPct 100 Optimize true OPM 1 ParseDSCComments true ParseDSCCommentsForDocInfo true PreserveCopyPage true PreserveDICMYKValues true PreserveEPSInfo true PreserveFlatness true PreserveHalftoneInfo false PreserveOPIComments true PreserveOverprintSettings 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 CHS ltFEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e9ad88d2891cf76845370524d53705237300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002gt CZE 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 DAN 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HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata najpogodnijih za visokokvalitetni ispis prije tiskanja koristite ove postavke Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 50 i kasnijim verzijama) HUN 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數亦優 7

唐太宗懷念的這六駿有的在箭雨中穿行帶傷而馳有的跨河飛奔越野而去有的

緩步慢行若有所思閻本立所草繪的六匹駿馬中三匹作騰蹄飛奔之狀三匹為站立徐行

的姿勢有些馬則身中數箭甚至有一幅是描述邱行恭武將替太宗的一匹愛馬拔箭的情景

後讓我們回到尤拉如開頭所言虛數單位 i是尤拉發明的想必尤拉在方程式上也有

很大的貢獻這裡提出一則尤拉在解方程式上的天才之旅在「代數基本定理」尚未被證明

正確之前萊布尼茲就質疑過「每個實係數多項式都可以分解成一次或者兩次實係數多項式

的乘積」的正確性數學家白努力更舉一個精確的例子說「四次多項式 4 3 2( ) 4 2 4 4f x x x x x

就不可能分解成兩個實係數多項式的乘積」

然而代數大師尤拉在 1742 年時將白努力所舉的四次多項式 ( )f x 分解為二次多項式

2 2 4 2 7 1 4 2 7 7x x

與另一個二次多項式

2 2 4 2 7 1 4 2 7 7x x

的乘積如果再套一下一元二次方程式根的公式解那麼尤拉就把這個四次多項式方程式的

四個根都精確的表達出來了真不知道這神奇的因式分解是如何想出來的

像這種類似的例子還有許多例如將乘式

2 210 2 5 10 2 5 10 2 5 10 2 55 5

2 2x x x x

乘開也是一個以整數為係數的四次多項式

尤拉是第一位將 1 的平方根 1 定義為 i的數學家究竟在那個時代人們如何理解 i這

個「數」呢我們以尤拉的一段話來作結束「所有可能的數不是大於 0 就是小於 0 或等於 0

所以負數的平方根就不能是個數既然是不可能的數hellip我們只能稱之為虛數因為只有

在虛幻中才會有這樣的數」

尤拉尤拉20131018 取自 httpaprendiendomatematicascombachilleratolos-puentes-de-konigsberg

8 數亦優

運籌於帷幄之中以空間換取時間決勝於千里之外

玩電腦上的遊戲到底利多還是弊多我教過一位女大學生高中時因愛玩電玩遊戲「楓

之谷」高一高二多是資優班倒數高三才發憤圖強順利考上公費生讀博士班時我的

室友每天都玩電腦上的遊戲沉溺到連指導教授都經常來關切最近樓下的鄰居說「他兒

子最近被電玩遊戲迷住了連補習都不想去上」諸如此類的情形在中學或大學應該是很

普遍的現象我孩子就讀的小學有一間超過百坪大的教室裡面擺滿兩三百種益智小遊戲

坊間看得到的都在裡面而且每位小朋友每學期都要上六次「數學探索」的課程其實就是

在探索那些益智遊戲我當了一學年的數探志工覺得這課程還不錯究竟沉溺於電玩遊戲

跟玩益智小遊戲要如何區別呢我們可以慎選出具有啟發或啟蒙意義又不會讓小孩沉溺於

其中的遊戲嗎

最近心理學家發現休閒放鬆類的簡單小遊戲才能提高快樂感達到減壓效果據美

國媒體報導美國俄亥俄州立大學傳播和心理學教授布拉德布希曼等人招募了一些志願者

玩不同種類的遊戲研究人員清楚地發現那些玩休閒小遊戲的人自我感覺更舒服更快樂

能體驗到較多的正面情緒而玩暴力遊戲的人則攻擊性和侵略性增強此外玩了一會兒休

閒小遊戲比如和小動物互動之後人們會變得更親切更願意主動幫助他人希望本章所

要介紹的遊戲也是心理學家們發明的「圍貓遊戲」可以達到這個效果甚至超過這個功能

達到啟蒙的意義

圍貓遊戲是心理學家所設計出來的一道數學遊戲遊戲背景是平面上放置許多排列整齊

的圓圈一隻貓位於正中央的圓圈上而有少許的圓圈是黑色這是一場圍貓者與貓的鬥智

遊戲圍貓者每次可以點選一個圓圈讓它變成黑色而貓每次必須移動到鄰近還尚未變成黑

色的圓圈上當貓被黑色圓圈圍住時貓就被捉擒了但若貓跑出所有的圓圈外則圍貓失

敗

這遊戲是心理學家發明的心理學家把貓視為需要接受輔導的對象（如叛逆的學生）而

圍貓的人是輔導人員（如學校的導師）而黑色圓圈是貓的朋友輔導人員或學校導師必須透

過這些朋友的幫忙將貓咪圍起來才算輔導成功

許志農臺灣師大數學系

數亦優 9

日本 Game Design 團體將圍貓遊戲數位化寫成 Flash 的版本讓圍貓遊戲成為線上遊戲

的一種各位可以在網路上用「圍貓遊戲」四個字搜尋就能在線上玩圍貓遊戲了這遊戲

除了好玩之外還可以測試玩者的決策能力在布滿圓形的長方形棋盤上每個圓形都與六

個圓形相連一隻貓立於棋盤中央的圓形內玩者每次點選一個圓形塗黑來圍堵貓但貓可

以往尚未被塗色的隔壁圓形移動究竟鹿死誰手就要看 Game Design 的設計功力與圍貓者

的技巧誰強了下圖是貓被圍住的一種情形

用堵貓的方法進行圍貓遊戲經常沒辦法成功主要是因為貓有六個方向可以逃竄圍

堵方法很難奏效那麼圍貓遊戲是一種純靠運氣的遊戲嗎應該也不是我們可以往數學層

面來思考在進入更深入的討論之前回想一下國中時「任一三角形 ABC的內角和剛好等於

180」是如何證明的讓小朋友站在 A點朝向 B點往 B點走去當走到 B點時原地旋

轉轉到臉朝 C點的方向接著往 C點走去又當走到 A點時並原地旋轉轉到臉朝 B點

的方向停了下來此時小朋友回到出發前的 A點且臉部朝向的方向相同（都朝向 B點）

這告訴我們「小朋友一共轉了完整的一圈即 360的意思」另外我們在三角形 AB及 C三

個頂點上分別畫出旋轉的角度會發現他們都是外角

因為 AB及 C每點都是由一對內角及一對外角構成所以三角形的內角和就是

3 360 2 360180

2

證明三角形內角和等於180的概念真的對圍貓遊戲有所幫忙或者啟發嗎且讓我們深入

一點來探討圍貓遊戲吧圍貓棋盤上貓有六個方向可以逃竄用堵貓的方式圍貓肯定很難

奏效貓移動速度過快無法圍住所以利用空間爭取時間是個不錯的圍法但究竟要離貓

多遠的地方開始圍起呢這可能要根據貓有多少朋友這些黑色圓圈如何分布來決定了又

以何種形狀來圍住貓呢是圓形三角形長方形或者還有其他各種不同的形狀呢因為貓

10 數亦優

有六個方位可以逃所以用六邊形來圍貓是個不錯的想法舉例來說在下圖中貓僅有三

位朋友照理說圍住貓很難但是可以先想辦法幫貓製造比較多的朋友

在下圖中幫貓找到了三位朋友讓六位朋友位於凸六邊形的六個頂點上但我們也要付出

讓貓移動三步的代價還好此時貓還沒跑出六邊形外代表還有機會圍貓成功

從上圖可以洞悉貓想要往北邊逃竄當務之急當然是把北邊守住然後牽引貓順著六邊形

的邊移動在碰到頂點時帶著貓轉彎如下圖所示

繼續牽引貓順著六邊形的邊移動在碰到頂點時帶著貓轉彎在經歷六個轉彎之後貓就

會發現「牠已被困在六邊形內了」

數亦優 11

總結我們的作法是「利用空間換取時間先選妥適當大小的凸六邊形最好這凸六邊形的六

個頂點中有愈多是黑色圓圈愈好（代表儘量用貓的朋友當頂點）然後點選剩下的非黑色圓

圈構築完成圍貓的六邊形當貓衝撞這六邊形的一邊時牽引貓順著邊移動遇到頂點時

帶著貓轉彎在經歷六個轉彎之後貓就被困在凸六邊形內大功告成」手癢的讀者可以

在線上試玩看看圍貓遊戲是一道老少咸宜不分男女都很喜歡玩的遊戲也是心理學家

闡述「何謂輔導」的遊戲

把圍貓遊戲視為一道數學問題我們從混沌的實際操作過程裡得到圍貓的精髓這整個

過程就是數學孕育與思考的過程數學家亨利龐加萊在《數學的創造》中將自己對數學

的思考分為三個階段準備孕育與驗證首先所謂的準備階段就是對問題下很大功夫

又深陷混亂的階段在這個階段人們都會採取觀察實作分析學習與內化等有意識的

策略其次孕育階段就是停止有意識的思考讓潛意識發酵當腦袋裡的小燈泡忽然被點

亮那個「恍然大悟」的時刻就會到來最後驗證階段也是收割階段這一階段只是寫下

所有的事情檢查細節進行組織並發表龐加萊特別強調孕育階段的潛意識角色這是最

難懂也是至為關鍵的階段

談到潛意識就讓我們聯想到作夢而談到作夢又讓我們想到佛洛伊德在 1900 年出版的《夢

的解析》這本書在佛洛伊德出版《夢的解析》之前人類常把所作的夢當成神諭或預告未

來即將發生的事件看待上個世紀初期當印度數學家拉馬奴姜在英國留學時他的老師哈

代就常常好奇的問說「你每天早上一起床就寫下這麼多的恆等式到底是如何發生的」

拉馬奴姜總是說「那些是昨晚神明託夢給我的」例如

3 5 5 5 5 532 27 1 3 9

5 5 25 25 25

3

33 3 33 9 2

cos40 cos80 cos202

3 3 3 33sec40 sec80 sec20 6 9 1

拉馬奴姜顯然是個等式達人也是將龐加萊孕育階段中的潛意識發揮到淋漓盡致的人

12 數亦優

最後把圍貓遊戲當成小孩子數學思考的學習單觀察不同孩子經歷準備孕育與驗證

階段的發展過程是個不錯的主題當然小孩迷失方向時老師應該適時介入給予該有的幫

忙但切忌將答案傳遞給他

附錄

101 學年度全國高中數學科能力競賽決賽在彰師大數學系舉行其中的筆試試題(一)第二題就

是證明拉馬奴姜的恆等式

3

33 3 33 9 2

cos40 cos80 cos202

在五十位考生中只有一位作對而且是位高二的女生以下是羅啟心這位女學生的作法

設

3 3 3 3 3 3cos40 cos80 cos20 cos40 cos80 cos160S

則

3

3 3 3 3 3 3

3 3 3

cos40 cos80 cos160

3 cos40 cos80 cos80 cos160 cos40 cos160

3 cos40 cos80 cos160

S

S

利用三倍角公式可知 cos40 cos80 cos160 為

3 14 3

2x x

的三個根再由根與係數的關係知道

cos 40 cos80 cos160 0

3cos40 cos80 cos80 cos160 cos40 cos160

4

1

cos40 cos80 cos1608

由第一及第二式知

3 3 3 3 3 3 3 33 cos40 cos80 cos80 cos160 cos40 cos160

2S S

現在令

3 3 3 3 3 3cos40 cos80 cos80 cos160 cos40 cos160T

則

3 33

2S TS

又

數亦優 13

3

3 3 32 2 23 3 3 3 3 3

3 3 32 2 2

2

cos40 cos80 cos80 cos160 cos40 cos160

3 cos 40 cos80 cos160 cos40 cos 80 cos160 cos40 cos80 cos 160

3 cos 40 cos 80 cos 160

3 1 13 3

4 2 2

3 3

2 2

T

T

T S

TS

綜合兩式得

3 31 3

2 4T S

將此式代入 3 33

2S TS 得

3

33 3 33 3 13 27

2 4 2S ST S S

展開整理得

9 6 3 279 27 0

8S S S

再配方得

33 27 93 27 27

8 8S

解得

33 3 9

32

S 33 9

2 或

323 9

2

即

33 3 9

32

S 33 9

32

或3

23 93

2

因為 S為實數所以 3S 也是實數因此

33 3 9

32

S

解得

33

3 93

2S

即

3 3 3 333

cos 40 cos80 cos 20 9 22

得證

14 數亦優

一前言 》

高中數學課程近幾年不斷的加入統計的課程目的是想要讓學生感覺數學更貼近我們的生

活內容包含迴歸直線抽樣統計信賴區間hellip等而信賴區間這個單元建立在一個重要的

理論之上即為中央極限定理查閱大學教材內容大多在做定理及輔助定理的推導大多數人

未能完全了解其意義在這篇文章中我們將以高中生的觀點來欣賞中央極限定理

二中央極限定理（Central Limit Theorem簡寫 CLT）是什麼 》

每四年一次的總統大選選前新聞社都會透過電話隨機抽樣的方式來估計各組候選人的

支持度若每次電話抽樣訪問新聞社都隨機挑選 100 人這樣他們便可以獲得一組平均數標

準差這樣的行為重複多次則可以得到多組抽樣並討論其平均數標準差如果多組的平

均數用柱狀圖來呈現我們可以發現圖形隨著抽樣的次數增加會接近常態分配並且當選舉

後會發現真實的支持率與所有研究者當初所做的結果平均數相同且其標準差接近原來的

1

n倍即我們討論對象已由原來調查樣本變為這些研究者為我們討論對象這便是中央極

限定理討論的內容

現在讓我們重新敘述中央極限定理（有限母體）的內容

中央極限定理（Central Limit Theorem簡寫 C L T） 設研究目標為變量 T 1 2 Nt t t 平均數 標準差 則

2

2 21 1

1

1

N N

i i Ni i

ii

t tt

N N N

每次抽樣皆取 n個並取後放回其共有 NnC m 種抽樣方法數若每次抽樣平均分別為

1 2 mx x x 其結果會成常態分配則

1 1 2 mx x x 平均數為 1 2 Nt t t

N

2 1 2 mx x x 標準差為1

1

N n

n N

另外當 N n 時標準差近似於n

接下來我們可以進一步以高中的觀點探討為何抽樣平均的平均數會與當初未知的平均數相

同抽樣平均的標準差為何是1

1

N n

n N

廖世經臺中市立東山高中

數亦優 15

三抽樣平均的平均數及標準差 》

沿用上述的定理符號可以得到

1 2 mx x x

meanm

1 2 1 3 1 1 2n n N n N n Nt t t t t t t t t

n n n

m

1

1 1 2Nn NC t t t

nm

（

1

1

1

1 N Nn n

N n N nC C

n N n N n N n N

同理

22

1

1N Nn n

n nC C

N N

）

1 2

Nn N

nC t t t

Nnm

（∵ N

nC m ）

1 2 Nt t t

N

從上式證明結果我們可以發現學者抽樣平均所做的平均數與當初我們想要研究的目標

平均數是相同的這個觀念有助於我們將來思考信賴區間的概念

抽樣平均的變異數1

1

N n

n N

推導則為

2 2 2

1 1 1 1

2m m m m

i i i

i i i i

x x xvariance

m m

(A)

首先我們先考慮(A)中的1

m

i

i

x

從平均數的推導我們得到

1

m

i

i

x

m

則

1

m

i

i

x m

(B)

再考慮(A)中的2

1

m

i

i

x

2 2 22 1 2 1 3 1 1 2

1

mn n N n N n N

i

i

t t t t t t t t tx

n n n

2 2 21 2

1 1 2 2 1 2 1 3 1

2

2N Nn N n N NC t t t C t t t t t t

n

2 2 21 2 1 2 1 3 1

2

12

1N Nn N n N N

n nnC t t t C t t t t t t

N N N

n

2 2 21 2 1 2 1 3 1

112

1N N N

nm t t t m t t t t t t

N N N

n

(C)

16 數亦優

接著先計算(C)中的 1 2 1 3 12 N Nt t t t t t

2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 3 12N N N Nt t t t t t t t t t t t

2 2 2 21 2 1 2 1 3 12N N NN t t t t t t t t t

2 2 22 21 2 1 3 1 1 22 N N Nt t t t t t N t t t

將得到的式子代回(C)得到

2 2 2 2 2 22 2

1 2 1 22

1

111N Nm

i

i

nm t t t m N t t t

N N Nx

n

2

2 2 21 2

1

1 1N

m N n m n Nt t t

N N N

n

(D)

將(B)以及(D)的結果代回(A)得到

2 2

1 1 1

2m m m

i i

i i i

x xvariance

m

22 2 2

1 22

1

1 12

N

m N n m n Nt t t

N N Nm m

nm

2

2 2 21 2

2 2

1

1 12

N

N n n Nt t t

N N N

n

22 2 2 2

1 2

11

1 1N

N n n Nt t t

n N N n N

2

2 2 21 2

1

1 1N

N n N nt t t

n N N n N

2 2 221 21

1N

N n t t t

n N N

21

1

N n

n N

數亦優 17

在大學書中中央極限定理的敘述大多直接使用標準差n

是因為當 N n 時則

11

1 1

N n n

N N

rarr1故標準差會近似於

n

四結論 》

中央極限定理的存在幫助了我們做抽樣討論時從原本我們想要研究的目標轉換到探

討研究人員所做的數據上上面所討論的方式只透過平均數變異數的定義加上組合的想

法可以讓高中生更加了解中央極限定理藉此了解數學的真善美這是研究會時分享給其他

老師的內容謝謝我的實習老師黃怡慈老師的幫忙整理

18 數亦優

一楔子 》

古希臘人尤勒士（Euathlus）向普羅塔哥拉斯（Protagoras）學習辯論術先付一半學費

另一半學費訂定契約言明等學成後在第一場辯護勝訴時再付如果敗訴則學費不必再交

但尤勒士畢業後根本不擔任辯護的工作自然也不交另一半的學費因此普羅塔哥拉斯便告

他普羅塔哥拉斯說「如果我勝訴法官當然要判他還我學費如果我敗訴那就是尤勒士勝

訴依契約他還是要還我學費」尤勒士說「如果我勝訴當然是要求法官判我不必還學費

如果我敗訴依契約我也不必還學費」請問法官該怎麼判

二歸謬證法 》

亞里斯多德認為愈重的物體落下得愈快1589 年伽利略如此舉反證把兩物 AB

綁在一起成為 A B 假設 A比 B重則由高處落下時因為 B落下的速度比 A慢把 A拖

住所以 A B 落下的速度比 A 慢又 A B 比 A 重所以 A B 落下的速度又比 A 快矛盾

所以「任何物體同時從相同的高處落下皆同時著地」伽利略如是說

99 課程綱要把歸謬證法拿掉了我猜想最少有兩位先生會很鬱卒一位是歐幾里得先生

他在《幾何原本》中用歸謬證法證明了「質數有無窮多個」另一位是蔡聰明先生他用了 28

種方法證明 2 是無理數

三直觀與證明 》

最近看到一篇文章關於 2 是無理數的證明

假設 2p

q 是有理數其中 p q是正整數且 1p q 則

2

22

p

q

直觀上「如果p

q不是整數則

2

2

p

q更不可能是整數」矛盾

所以假設錯誤即 2 是無理數得證

（這是因為如果 p q沒有相同的成分 2p 和 2q 自然也不會有相同的成分如果p

q都無法化簡

成整數2

2

p

q更沒有機會了因此這個式子是個明顯可笑的矛盾等號左邊是整數右邊不是

整數兩者怎麼可能相等）

我想提一段陳年往事多年前一次國中數學週考中某老師出了一道題目證明三角形

兩邊和大於第三邊直觀上這何需證明因為兩點之間直線最短嘛於是我買了歐幾里得

的《幾何原本》根據歐幾里得的體系證明「三角形兩邊和大於第三邊」確實需要很長的篇幅

我相信這不會是出題老師的本意我的判斷是出題老師只想要學生說明「兩點之間直線最短」

江慶昱衛道中學退休教師

數亦優 19

那麼考題應該改成請說明「三角形兩邊和大於第三邊」中學階段不必強調數學的嚴密性

這是共識（60 年代的新數學過度強調嚴密性是失敗的原因之一）但是直觀的說明與嚴格的證

明應該予以區隔這純屬我個人的看法所以我以為上述關於 2 的證明實偏向於說明（註

最早項武義先生認為他解決了克卜勒的裝填問題陳省身先生也為之背書但還是不被接受

目前公認是 Thomas Hales 解決了httpenwikipediaorgwikiKepler_conjecture數學界的所謂

「證明」自有其行規）

如何在高中引入簡易邏輯是一件困難但是值得深思的事

四等價 》

高中課程中另一個重要的邏輯概念是「等價」有一年大學聯考考這麼一題證明「海龍

公式邊長 a b c的三角形面積 ( )( )( )s s a s b s c 」那時候大學錄取率大約 30不到

補習班之間競爭非常激烈大家趕著把解答登報有一間補習班第一天是這樣證明的

因為( ) ( )( )

sin cos2 2

A s s a A s b s c

bc bc

所以1 1

sin 2sin cos ( )( )( )2 2 2 2

A Abc A bc s s a s b s c

第二天趕快發報更正因為在邏輯上第一天拿一個等價的命題當作證明等於沒有證明

換句話說患了邏輯上的錯誤了

五等價的一些例子 》

我們在國中時有這樣的性質 p三角形任兩邊和大於第三邊又在書中的同一個角落看到

q三角形任兩邊差小於第三邊很容易證明「 p q 」這種情形我們叫 p與 q等價意思是 p

與 q是同一回事以下舉一些等價的例子

1 p平行公設過直線外一點恰有一直線與之平行q三角形內角和為180

2 G是ABC的重心則 p q r三個向量式等價

1 1

3 3

p AG AB AC

1 1 1

3 3 3

q OG OA OB OC

0r AG BG CG

3 2 2 2

p u v u v

（柯西不等式） q u v u v

（三角不等式）

4 p周長固定的平面圖形中以圓形面積最大q面積固定的平面圖形中以圓形周長最小

5 (1)正弦定理(2)餘弦定理(3)投影定理 等價

6 實數的完備性有多種等價的敘述（我有一位同事到師大數學系修碩士班學分就是上了一本

這樣的書）

7 p算幾不等式q柯西不等式

20 數亦優

六算幾不等式與柯西不等式的等價 》

算幾不等式與柯西不等式在形式上相差很多兩者會等價甚感意外我第一次是在臺中一

中的網頁內看到證明過程當時沒有仔細研究後來回去找就找不到那份資料了最近上網搜

尋找到建中徐健策老師的一篇專題算是一償宿願這是我寫這篇文章的另一個因緣

七後記 》

1900 年量子力學開始萌芽到 1965 年朝永振一郎（S Tomonaga）薛文格（Julian Schwinger）

與費因曼得到諾貝爾物理獎是一段精采的故事重點是薛文格與費因曼對量子電動力學的看法

與算法南轅北轍薛文格用的是歐洲優雅的數學費因曼的路徑積分用的是圖像式的數學把

兩者結合為一或者說看出兩者的「等價性」的是戴森（Freeman J Dyson）我覺得這比證

明兩命題的等價有更深刻的意義

非歐幾何的發展也有類似的地方義大利幾何學家 Eugenio Beltrami（1835~1899）證明了

Lobachevsky（1793~1856）與 Ferdinand Minding（1806~1885）的非歐幾何模型是「等價」的

（註代數中複數平面與平面向量同構以上兩種情況說同構或等價哪一個說法比較恰當

當就教於各位）

99 課程綱要把歸謬證法放在附錄我觀察最近兩年的各校段考試題大約只有三四個學

校段考中有考歸謬證法早年國中考高中每年要考一題證明題一題尺規作圖當時我們會

努力教證明題當然包括用「窮舉法」證明「圓內接四邊形的充要條件為對角互補」基測不

考證明題後絕大部分的老師不會花時間去證明這個定理向來就是「考試引導教學」自古皆

然隋唐時期科舉要考《算經》所以宋朝有四位偉大的數學家秦九韶李治楊輝朱世傑

到明清科舉只考八股文可以印證中國數學沒落的一段史實證明與數學的關係就如同實驗與

物理的關係基測與學測不考證明題相信有不少人憂心忡忡如今又把歸謬證法拿掉（放在

附錄與拿掉等價）應該有人輾轉難眠吧

早上（2012829）看到新聞十二年國教將於後年上路臺大名譽教授劉廣定批評103

年到 107 年的高中學生要繼續接受舊課綱的教育他堅決反對沒有新課綱的十二年國教後

年就要推十二年國教課綱最快 106 年才能完成到 108 年才有新課綱教科書可用意味之前

的高中生都要繼續接受舊課綱教育芬蘭從 1980 年代開始教改先找學校試辦2000 年才全

面實施然而臺灣十二年國教從宣布到實施只有三年準備期讓人憂心

參考資料

1 蔡聰明 2 是無理數的 28 種證明數學傳播季刊第 23 卷（第 1 期）

2 王九逵邏輯與數學思維

3 南山柯西不等式與排序不等式上海教育出版社P230

4 William Dunham（1995）天才之旅牛頓出版股份有限公司P61

5 戴森（1993）宇宙波瀾天下文化

6 奧瑟曼（1997）宇宙的詩篇天下文化P84

7 Stefan Kulczycki（1992）非歐幾里得幾何學水牛出版社P32

8 蔡辰理中國數學史上的黃金時代及其四個偉大的數學家20130701 取自

httpepistemathntuedutwarticlesmmmm_03_2_07page2htmltop

9 徐健策老師專題柯西琴生與冪平均不等式20131002 取自 httpmath1cktpedutw徐健策mathhtm

數亦優 21

一研究目的 》

將一道解四元一次聯立方程式的題目利用四次多項函數且領導係數為 1 的恆等原理來解

答

二研究過程 》

已知

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

12 1 2 3 2 5 2 7

14 1 4 3 4 5 4 7

16 1 6 3 6 5 6 7

18 1 8 3 8 5 8 7

x y z w

x y z w

x y z w

x y z w

試求(1) ( )x y z w (2) x y z w

一 首先將上題解讀為解四元一次聯立方程式

設

2

3

2

2

3 5 7105 2079 429 143 1

3 5 7 11 21 1485 1001 195 1

9 385 819 495 13 7 11 135 189 231 429 1

3 5 11 13

x aa b c d

y b a b c d

a b c dz ca b c d

w d

211512 1320 2288 5

4b c d

52376 1144 208 1

4b c d

5 956 504 1584 1

4b c d

2432 640 1792 0 19 5 14 0

5 1792 3840 5632 0 7 15 22 0

b c d b c d

b c d b c d

由5 14 14 19 19 5

320 320 320 11115 22 22 7 7 15

b c d

由1

56 504 1584 1 1024 11024

b b b b b c d

代入1 1 1 175 35

5 189 231 429 1 51024 1024 1024 1024 1024

a a a

李維昌國立宜蘭高中

22 數亦優

2 2 2 3 2 23 5 7 3 5 7 11 3 7 11 13 3 5 11 13( )

1024 1024 1024 1024x y z w

即為(1)的所求

2 3 2 2

2 3

2 2

3 5 7 3 5 7 11 3 7 11 13 3 5 11 13

35 13 5 7 3 5 7 11

1024 10241 1

3 7 11 13 3 5 11 131024 1024

x y z w a b c d

11025 10395 9009 6435 36864

361024 1024

即為(2)的所求

二 嘗試利用四次多項函數且領導係數為 1 的恆等原理來解答此題

1 構造以 t為變數的四次多項函數且領導係數為 1命此函數為 ( )f t

2 2 2 2 2 2 2( ) 1 3 5 7 3 5 7f t t t t t x t t t

2 2 2 2 2 2 2 2 21 5 7 1 3 7 1 3 5y t t t z t t t w t t t

其中 x y z w四數為常數

2 2 2 2 2 2 2 2 21

2 1 2 3 2 5 2 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 1 2 3 2 5 2 7 2 3 2 5 2 7

2 1 2 5 2 7 2 1 2 3 2 7

2 1 2 3 2 5 0

x

y z

w

2(2 ) 0f

3 2 2 2 2 2 2 2 21

4 1 4 3 4 5 4 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

4 1 4 3 4 5 4 7 4 3 4 5 4 7

4 1 4 5 4 7 4 1 4 3 4 7

4 1 4 3 4 5 0

x

y z

w

2(4 ) 0f

4 2 2 2 2 2 2 2 21

6 1 6 3 6 5 6 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

6 1 6 3 6 5 6 7 6 3 6 5 6 7

6 1 6 5 6 7 6 1 6 3 6 7

6 1 6 3 6 5 0

x

y z

w

2(6 ) 0f

數亦優 23

5 2 2 2 2 2 2 2 21

8 1 8 3 8 5 8 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

8 1 8 3 8 5 8 7 8 3 8 5 8 7

8 1 8 5 8 7 8 1 8 3 8 7

8 1 8 3 8 5 0

x

y z

w

2(8 ) 0f

6 由 12345的討論可得知 ( )f t 等價 2 2 2 22 4 6 8t t t t

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 4 6 8

1 3 5 7 3 5 7 1 5 7

1 3 7 1 3 5

t t t t

t t t t x t t t y t t t

z t t t w t t t

為 t的四次多項方程式

第式等號的左式 3t 的係數＝第式等號的右式 3t 的係數

2 2 2 2 2 2 2 22 4 6 8 1 3 5 7 x y z w

2 2 2 2 2 2 2 22 4 6 8 1 3 5 7 120 84 36x y z w

即為(2)的所求

7 x的求法

將 21t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

1 2 1 4 1 6 1 8 1 3 1 5 1 7

2 1 4 1 6 1 8 1 1 3 3 5 5 7 7 9 3 5 7

2 4 4 6 6 8 10243 1 5 1 7 1

x

x

8 y的求法

將 23t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 3

2 2 2 2 2 2

3 2 3 4 3 6 3 8 3 1 3 5 3 7

3 2 4 3 6 3 8 3 1 5 1 7 3 9 5 11 3 5 7 11

2 4 2 8 4 10 10243 1 5 3 7 3

y

y

9 z的求法

將 25t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

5 2 5 4 5 6 5 8 5 1 5 3 5 7

5 2 5 4 6 5 8 5 3 7 1 9 1 11 3 13 3 7 11 13

4 6 2 8 2 12 10245 1 5 3 7 5

z

z

24 數亦優

10 w的求法

將 27t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

7 2 7 4 7 6 7 8 7 1 7 3 7 5

7 2 7 4 7 6 8 7 5 9 3 11 1 13 1 15 3 5 11 13

6 8 4 10 2 12 10247 1 7 3 7 5

w

w

11 由 78910的討論可得

2 2 2 3 2 23 5 7 3 5 7 11 3 7 11 13 3 5 11 13

( ) 1024 1024 1024 1024

x y z w

即為(1)的所求

三 結論

1 解題的巧妙與否存乎一心「學則需疑於不疑處有疑方是進矣」本題為解四元

一次聯立方程式基本解題策略為克拉瑪公式加減消去法或代入消去法三種由

於這三種計算相當繁瑣進而苦思其他對策經過一番思索驀然回首伊人卻在

燈火闌珊處竟然將此題與四次多項方程式連結在一起有了令人會心一笑的妙解

真是一次驚奇的解題之旅

2 孔子曾言「學而不思則罔思而不學則殆」我期待每次解題時皆能直搗黃龍

一眼看穿題目的堂奧之妙事後「大膽假設小心求證」檢驗過程和結果是否達

到最佳化藉由在夙昔的典範亦步亦趨臻於真善美的解題境界

數亦優 25

國立臺灣師範大學數學系

筆試一計算證明題（考試時間2 小時）

1 (1) 直角三角形的兩股長為 a b斜邊長為 c試證 3 3 3c a b （8 分）

(2) 如下圖圓 O內二直徑 AC BD互相垂直在劣弧DC上任取一點 E

試證以 AE 為一邊的正方形面積等於四邊形 ABED面積的二倍 （12 分）

2 設函數 2( ) 6 5f x x x 求坐標平面上滿足聯立不等式

( ) ( ) 0

( ) ( ) 0

f x f y

f x f y

的所有點 ( )x y 所形成的區域面積 （20 分）

3 設 a b c d 為實數且 a b c d ( ) ( )f x g x 為滿足 ( ) ( )f a f b 及 ( ) ( )g c g d 的實係數二次多

項式已知 ( ) ( )f x g x 為常數多項式證明

(1) a b c d （8 分）

(2) 2( )

2

( )2

a bf a f

a bc d c d

g c g

（12 分）

4 如下圖所示ABC和DBC為空間中的兩個等腰三角形M為線段 BC 的中點令

AB AC a DB DC b BM CM c 和DA x

(1) 已知向量內積 0AM BD

求證 2 2 22x a b c （8 分）

(2) 已知 2 2 22x a b c 求證向量內積 0AM BD

（12 分）

26 數亦優

5 師大數學系舉辦系徽設計比賽入圍決選的有四件作品由 10 名學生代表進行不記名投票

每人投兩票且兩票須投不同作品在沒有廢票的情況下試問

(1) 四件作品的得票情形共有幾種 （8 分）

(2) 得票數 高的作品恰有一件的票數分布有幾種 （12 分）

筆試二填充題（考試時間15 小時）

1 設 a為實數若對於所有實數 x2

2

32

2

x ax

x x

恆成立則 a的範圍為

2 若等比數列的第三項是1 i 第五項是1 1

16 16i 其中 1i 則此等比數列的公比為

（有兩解）

3 從1234567 等數字中選取三個排成三位數數字不重複則排出來的是 3 的倍數但不是 5 的倍數

的整數有 個

4 桌上有十個骰子當中有一個骰子出現 5 點的機率是1

2而出現其他點數的機率均等其他

九個都是均勻的骰子用隨機的方式選取一個骰子來投擲在出現 5 點的情況下被選取的

骰子是不均勻骰子的條件機率為 （答案若為分數請化為 簡分數）

5 在電腦裡有一公定的對照表（ASCII）將英文字母ABhellipZ及空格等字元分別對應至一整數

其對應數字如下表所示

字母 空格 A B C D E F G H

ASCII 碼 32 65 66 67 68 69 70 71 72

字母 I J K L M N O P Q

ASCII 碼 73 74 75 76 77 78 79 80 81

字母 R S T U V W X Y Z

ASCII 碼 82 83 84 85 86 87 88 89 90

數亦優 27

我們可利用此對照表在 facebookTM 傳送保密訊息給朋友我們與朋友約定所有的英文字母及

空格皆以對照表中的整數替代例如「HE IS DAVID」的訊息用「7269327383326865867368」

取代然後將此數字字串的奇數項排在矩陣的第一列偶數項排在第二列形成以下矩陣

7 6 3 7 8 3 6 6 8 7 6

2 9 2 3 3 2 8 5 6 3 8B

再與二階方陣

1 2

2 3A

相乘得到

11 24 7 13 14 7 22 16 20 13 22

20 39 12 23 25 12 36 27 34 23 36AB

後依上述規則反求得字串「11202439071213231425071222361627203413232236」傳送給朋

友如此他人便不能立即得知傳送之內容現在在此規則下你接收到數字字串

「233825411222213516271932」可以轉成矩陣

23 25 12 21 16 19

38 41 22 35 27 32

其所代表之訊息為

6 坐標平面上圓 C通過點 (02) 且 C與兩直線 3 2 0 1 0x y y 皆相切則圓 C的方程

式為

7 坐標空間中ABC的三頂點分別為 (1 11) ( 321) (5 43)A B C P為ABC內部一點且

令P到 AB BC CA的距離分別為 x y z則 2 2 2x y z 的 小值為 （答案若為分數

請化為 簡分數）

8 函數 4 4( ) cos 3sinf x x x 的 小值為

9 設 為實數若

cos 0 sin

0 1 0

sin 0 cos

A

則 5A

10 袋中有編號分別為 1 到 6 的六個球從袋中隨機選取兩球令隨機變數 X表示在被選取的

兩球中球號比袋中剩下的球號都大的球的個數（例如如果選到 2 號和 3 號球那袋中剩

下的就是 1456 號球因為選出的球中並沒有比 1456 都大的球號故這種情況下 0X ）

隨機變數 X的期望值為 （答案若為分數請化為 簡分數）

28 數亦優

筆試一計算證明題

1 (1) 利用 2 2 2c a b 及 c a c b 得

3 2 2 2 2 3 3c c a b ca cb a b

(2) 過 E作 EF AC 則

四邊形 ABED的面積

1 1

2 21

21

2

ABD BDE

BD AO BD OF

BD AO OF

AC AF

又在直角三角形 ACE中因為2

AE AC AF 所以2

AE 四邊形 ABED面積的兩倍

2 因為

2 22 2( ) ( ) 6 6 10 3 3 8f x f y x y x y x y

2 2( ) ( ) 6 6 6f x f y x y x y x y x y

所以

2 23 3 8( ) ( ) 0

( ) ( ) 0 6 0

x yf x f y

f x f y x y x y

因此滿足上述條件的所有點 ( )x y 為

22 23 3 8

0 6 0

x y

x y x y

或 22 2

3 3 8

0 6 0

x y

x y x y

其所圍成的區域如下圖所示面積為 218 4

2

數亦優 29

3 (1) 依題意可設 ( ) ( )f x r x a x b s g x r x c x d s

因為 ( ) ( )f x g x 是常數多項式所以比較一二次項係數知

r r r a b r c d

得 a b c d

(2) 由 2 2

( )2 4 4

a b a ba bf r s r f a

得

2

4 ( )2a b

f a f

ra b

故得證

註1o 也可利用對稱性知 ( )y f x 的頂點之 x軸坐標為2

a b ( )y g x 的頂點之 x軸坐標

為2

c d而得證

2o 亦可用插值多項式證明

4 (1) 由向量分解DA DM MA DB BM MA

得

2 22 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2

2

2 2

DA DA DM MA DM MA DM MA

b c a c DB BM MA

b a c DB MA BM MA

因為 0AM BD

且 BM MA 所以

2 2 2 22DA b a c

因此

2 2 22DA a b c

(2) 由(1)及 BM MA 可得

2 2 2 22 2DA b a c DB MA

依題意知 2 2 22DA x b a c 即

22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2b a c b a c b a c DB MA

故

0DB MA

30 數亦優

5 (1) 由題意可以知道

1 四件作品所得的總票數為 20 票

2 每件作品 多可以得到 10 票

令四件作品的得票數分別為 x y z u由1 2 可得

200 10x y z u x y z u

因為 0 10x y z u 所以 420H 須扣掉11 20x y z u 的情況由 20x y z u 且

0x y z u 可知 多只有一個票數會大於等於 11假設 11x 令 11x x 可得

90 9x y z u x y z u

此情況有 4 129 9 220H C 種

因此票數分布為 4 420 94 1771 4 220 891H H 種

(2) 假設得票數 高為 x由題意可得

200 10x y z u y z u x

因為 y z u x 也就是 1y z u x 所以

1 1 1 4 3x y z u x x x x x

由 20x y z u 得

20 4 3x

即

23

4x

因此當 6x 時才會滿足只有一件作品得票數 高且票數為 x

當 6x 時

140 5y z u y z u

滿足此情況的 y z u有 (554)(545)(455) 3 種

當 7x 時

130 6y z u y z u

因為 13y z u 且 0y z u 所以 y z u 多只有一個會大於等於 7

由(1)可知滿足此情況有 3 3 15 813 6 13 63 3 105 84 21H H C C 種

同理

當 8910x 時 y z u 多只有一個會大於等於 8910故

當 8x 時有 3 3 14 612 4 12 43 3 91 45 46H H C C 種

當 9x 時有 3 3 13 411 2 11 23 3 78 18 60H H C C 種

數亦優 31

當 10x 時有 3 3 12 210 0 10 03 3 66 3 63H H C C 種

因此滿足只有一件作品得票數 高的情形有

4 3 21 46 60 63 772 種

筆試二填充題

1 2 3 4 5

0 4a 2 2

8 8i

66 1

4 NORMAL

6 7 8 9 10

2 2

3 1 4x y

2 2

3 3 5 36x y

（或是 2 2 2 3 2 0x y x y ）

50

79

3

4

cos5 0 sin 5

0 1 0

sin 5 0 cos5

2

5

32 數亦優

《接續PartI 請見數亦優第 21 期》

四 正多邊形

(一) 除了正方形及三角形以外我們還考慮將其他形狀組合討論其撕裂次數是否與正方

形三角形相同

(二) 並非所有正多邊形皆可組合若內角非360

kk

便不能組合例如

1 正五邊形的內角和180 3 540 則一個內角為108但108 360 k k

無法將五邊形完整組合必有空隙

2 正六邊形的內角和180 4 720 則一個內角為120因為120 3 360

則任三個相同的正六邊形皆可相互組合

(三) 完整排列正六邊形為例以 m張排列

例 1 一頁 5 個正六邊形排列

撕開 2 次使下排的兩個正六邊形與上排分開再逐一將上排撕開共需 4 次

由例 1撕的次數結果皆為 1m 次

（Part II） 陳敏晧國立蘭陽女中

數亦優 33

(四) 內部有洞正六邊形為例m張 n個洞排列

例 2 一頁 11 張且 2 洞排列

先撕開 2 次使其成為無洞排列再撕開 1 次使其變成兩頁完整排列再逐一撕開

共需 12 次

由例 1與例 2得知撕的次數結果皆為 1n m 次

五 「切割」的定義

(一) 我們從平面延伸到立體討論柏拉圖的五個正多面體先將正多面體每面切開分開

的次數是否也有彼此相似之處

(二) 因為立體無法如平面一樣用撕的故用切的而計算次數的定義與方法也與平面有很

大的差異

(三) 「切一次」的定義與限制沿著稜邊切下一個面才算作「一次」第一次切下後

便將封閉的正多面體打開此後每切一次都必須從開放的稜邊切下不可再一次從

封閉的面切下

以正六面體為例

此為一個完整封閉的正六面體

第一次沿著粗線切開可切下一個面

34 數亦優

六 柏拉圖多面體

1 正四面體

第一次將底面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 3 個面切下共需切

1 3 1 3 次

2 正六面體

第一次將頂面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 5 個面切下共需切

1 5 1 5 次

斜線部分為第一次被切下的面

封閉正六面體被打開後第二次只能從

開放的 4 條稜邊（粗線）切下

第二刀不可再從封閉面（粗線）開始切

數亦優 35

3 正八面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 7 個面切下共

需切 1 7 1 7 次

4 正十二面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 11 個面切下共

需切 1 11 1 11 次

5 正二十面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 19 個面切下共

需切 1 19 1 19 次

36 數亦優

由上述例子可得知切割次數皆剛好為正多面體的(總面數 1 )次

研究發現

內部有洞洞數 a b 其中 a洞的個數b每個洞的張數

矩 形

完整排列

邊長 邊長 總張數 撕的次數

2 2 4 3

4 5 20 19

不規則排列

總張數 撕的次數

10 9

13 12

內部有洞

邊長 邊長 洞數 總張數（邊長 邊長 洞的張數） 撕的次數

3 3 1 1 8 3 3 1 8

3 5 2 1 13 3 5 2 14

三 角 形

完整排列

邊長 總張數 撕的次數

2 4 3

3 9 8

不規則排列

總張數 撕的次數

10 9

13 12

內部有洞

邊長 洞數 總張數（邊長平方 洞的張數） 撕的次數

規

則

4 1 1 15 4 4 1 15

5 1 1 24 5 5 1 24

5 1 2 23 5 5 2 23

5 1 3 22 5 5 3 22

6 1 1 35 6 6 1 35

6 1 2 34 6 6 2 34

6 2 1 34 6 6 2 1 35

6 3 1 33 6 6 3 1 35

6 1 2 1 1 33 6 6 2 1 34

7 2 2 45 7 7 2 2 46

不

規

則

1 1 22 22

1 1 23 23

1 2 32 32

數亦優 37

六 邊 形

完整排列

總張數 撕的次數

3 2

5 4

內部有洞

洞數 總張數 撕的次數

1 1 6 6

2 1 11 12

正 多 面 體

面數 撕的次數

正四面體 4 3

正六面體 6 5

正八面體 8 7

正十二面體 12 11

正二十面體 20 19

目前的研究我們發現了以下獨特的結論平面幾何圖形中矩形正三角形和正六邊形的

規則形狀與不規則形狀紙張之最佳撕法都是(總張數 1 )次矩形正三角形及正六邊形排列成

內部有 n個洞且 m張的紙張之最佳撕法都是 1n m 次而柏拉圖立體的最少切割次數皆為

正多面體的(總面數 1 )次最重要我們發現其實撕裂或切割次數與撕裂或切割方法（或順序）

無關

參考資料

1 陳美如（200003）撕郵票問題數學傳播第 24 卷第 1 期P82~86

2 許志農與奇人相遇httpmathntnuedutw~macomeethtm

3 林義強多面體簡介第一屆全國高中數學教學研討會論文集P177~192

參數學專題研究反思 》

上述作品得到今年北一區數學科展優等過程中我與學生教學相長高二學生因為所學的

數學很有限所以數學解題層次會有侷限但是相對地數學思維與想像力卻是受過數學訓練

的我們所不及的在這次數學專題研究中我扮演的角色是諮詢者協助者鼓勵者完成任

務是那三位鍥而不捨的同學鄭羽呈李依庭林佩柔 勘誤 第 21 刊〈高中數學專題研究教案（PartI）〉 P34 倒數第 6 行「設m k 」應改為「設m k 」 P36 第 3 行「設m k 」應改為「設m k 」 P38 內部有洞的 1(1)~(4)分類應改為「1(1)一頁 24 張內部有一個洞一張為 1 洞」

「1(2)一頁 23 張內部有一個洞兩張為 1 洞」 「1(3)一頁 23 張內部有一個洞兩張為 1 洞」 「1(4)一頁 22 張內部有一個洞三張為 1 洞」

38 數亦優

動手玩數學 許志農臺灣師大數學系

在 下 圖 中已 知 ABC為 直 角

三 角 形 1AB 求

(1) 線段 AD的長度（化為最簡形式）

(2) 餘切 cot24

的值

〔玩鎖玩索〕

這道問題改編自「求 cot24

的值」這道

教師甄選試題關於這道餘切求值問題

有兩位老師的作法是用標準特別角出發

再求出欲求的餘切值

底下是另一位老師的作法

已知 ABC 為 直 角 三 角 形 4AC 求

AB BC及 cot24

的值

請 加 上 線 段 使 下 圖 分 成 五

份 形 狀 完 全 相 等 的 部 分（翻面

相等也算）

或 許 下 圖 對 你 會 有 些 幫 助 它 們 是 四 份

形 狀 完 全 相 等 的 部 分

〔玩鎖玩索〕

這是 1998 年夏天香港中文大學教育學

院第二次舉辦暑期資優課程中在數學有關的

工作坊裡的一道測智遊戲

遊戲 85

遊戲 86

數亦優 39

在 坐 標 平 面 上 畫 一 直 線 1L在

線 上 任 取 一 點O 以O為 旋 轉

中 心依 逆 時 針 方 向 將 直 線 1L

旋 轉 120得 到 直 線 2L 如 下

圖 所 示

已 知 直 線 1L 的 斜 率 為m求 證 直 線 2L 的 斜

率 為

3

3 1

m

m

〔玩鎖玩索〕

直線是平面幾何上的重要元素而斜率又

是直線在代數上的代言人掌握斜率就如同控

制直線一樣從逆轉120的 直 線 斜 率 公 式

不 難 知 道 坐 標 平 面 上 的 正 三 角 形 之 三

條 邊 斜 率

1 2 3 m m m

是可以互相推導的即由 1m 可 以 得 到 2m 與

3m 的 公 式 而 且 還 知 道 以 下 兩 個 恆 等 式

1 2 2 3 3 1 3m m m m m m

1 2 31 2 3

1 1 19m m m

m m m

宇 富 怕 手 機 被 盜 打 每 日 更

換 開 機 密 碼為 了 便 於 記 憶

他 想 到 一 則 更 換 密 碼 的 算 術

通 則 「 昨 天 密 碼 為p 今

日 的 密 碼 就 更 新 為1

1

p

p

」

宇 富 跟 所 有 的 人 說「 我 已 經

使 用 這 密 碼 通 則 500天 了 而

且 第 一 天 的 密 碼 就 設 為 2 1

相 信 各 位 算 到 手 痠也 無 法 算

出 今 天 的 開 機 密 碼 」

徵求可以破解開機密碼的人士

〔玩鎖玩索〕

如果第一天的密碼為 那麼破解密碼

的難度有增加嗎

遊戲 87

遊戲 88

40 數亦優

動動手手玩玩數數學學~~破破解解秘秘笈笈

遊戲 81

如圖所示

(1) 考慮 ABC 因為 8sin15AB BC 且

150ABC 所以 ABC 為等腰三角

形且 15BAC 因此

2 cos15 2 8sin15 cos15AC AB

1

8sin30 8 42

(2) 仿照(1)的方法 ACE 也是等腰三角

形且 30CAE 因此

32 cos30 2 4 4 3

2AE AC

遊戲 82

秦九韶這個依括弧次序求函數值 f a 的演

算法就是高中數學多項式那章所介紹的綜

合除法

2 5 4 8

2

2

a

a

仔細計算上述綜合除法的空白位置可以發

現小中大括弧位置所代表的值與秦九韶

小中大括弧內的值完全一樣

遊戲 83

(1)

2cos 2cos24 24cot

24 sin 2sin cos24 24 24

1 cos1 cos

3 412

sin sin12 3 4

(2) 因為

cos cos cos sin sin3 4 3 4 3 4

1 2 3 2

2 2 2 2

2 6

4 4

及

sin sin cos sin cos3 4 3 4 4 3

3 2 2 1

2 2 2 2

6 2

4 4

所以

2 61 4 6 24 4cot

24 6 2 6 24 4

2

4 6 2 6 2

6 2

2 2 3 6

遊戲 84

令

2 3A a b c b c i

2 3B c a b a b i

2 3C b a c c a i

且

1 3

2

i

因為 2A C B

所以 3 3 3 6 3A C B

又因為 3 6 1 所以 3 3 3A B C

得證

ltlt ASCII85EncodePages false AllowTransparency false AutoPositionEPSFiles true AutoRotatePages All Binding Left CalGrayProfile (Dot Gain 20) CalRGBProfile (sRGB IEC61966-21) CalCMYKProfile (US Web Coated 050SWOP051 v2) sRGBProfile (sRGB IEC61966-21) CannotEmbedFontPolicy Error CompatibilityLevel 13 CompressObjects Tags CompressPages true ConvertImagesToIndexed true PassThroughJPEGImages true CreateJobTicket false DefaultRenderingIntent Default DetectBlends true DetectCurves 00000 ColorConversionStrategy LeaveColorUnchanged DoThumbnails false EmbedAllFonts true EmbedOpenType false ParseICCProfilesInComments true EmbedJobOptions true DSCReportingLevel 0 EmitDSCWarnings false EndPage -1 ImageMemory 1048576 LockDistillerParams false MaxSubsetPct 100 Optimize true OPM 1 ParseDSCComments true ParseDSCCommentsForDocInfo true PreserveCopyPage true PreserveDICMYKValues true PreserveEPSInfo true PreserveFlatness true PreserveHalftoneInfo false PreserveOPIComments true PreserveOverprintSettings true StartPage 1 SubsetFonts true TransferFunctionInfo Apply UCRandBGInfo Preserve UsePrologue false ColorSettingsFile () AlwaysEmbed [ true ] NeverEmbed [ true ] AntiAliasColorImages false CropColorImages true ColorImageMinResolution 300 ColorImageMinResolutionPolicy OK DownsampleColorImages true ColorImageDownsampleType Bicubic ColorImageResolution 300 ColorImageDepth -1 ColorImageMinDownsampleDepth 1 ColorImageDownsampleThreshold 150000 EncodeColorImages true ColorImageFilter DCTEncode AutoFilterColorImages true ColorImageAutoFilterStrategy JPEG ColorACSImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt ColorImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt JPEG2000ColorACSImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 30 gtgt JPEG2000ColorImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 30 gtgt AntiAliasGrayImages false CropGrayImages true GrayImageMinResolution 300 GrayImageMinResolutionPolicy OK DownsampleGrayImages true GrayImageDownsampleType Bicubic GrayImageResolution 300 GrayImageDepth -1 GrayImageMinDownsampleDepth 2 GrayImageDownsampleThreshold 150000 EncodeGrayImages true GrayImageFilter DCTEncode AutoFilterGrayImages true GrayImageAutoFilterStrategy JPEG GrayACSImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt GrayImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt JPEG2000GrayACSImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 30 gtgt JPEG2000GrayImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 30 gtgt AntiAliasMonoImages false CropMonoImages true MonoImageMinResolution 1200 MonoImageMinResolutionPolicy OK DownsampleMonoImages true MonoImageDownsampleType Bicubic MonoImageResolution 1200 MonoImageDepth -1 MonoImageDownsampleThreshold 150000 EncodeMonoImages true MonoImageFilter CCITTFaxEncode MonoImageDict ltlt K -1 gtgt AllowPSXObjects false CheckCompliance [ None ] PDFX1aCheck false PDFX3Check false PDFXCompliantPDFOnly false PDFXNoTrimBoxError true PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 000000 000000 000000 000000 ] PDFXSetBleedBoxToMediaBox true PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 000000 000000 000000 000000 ] PDFXOutputIntentProfile () PDFXOutputConditionIdentifier () PDFXOutputCondition () PDFXRegistryName () PDFXTrapped False CreateJDFFile false Description ltlt ARA ltFEFF06270633062A062E062F0645002006470630064700200627064406250639062F0627062F0627062A002006440625064606340627062100200648062B062706260642002000410064006F00620065002000500044004600200645062A064806270641064206290020064406440637062806270639062900200641064A00200627064406450637062706280639002006300627062A0020062F0631062C0627062A002006270644062C0648062F0629002006270644063906270644064A0629061B0020064A06450643064600200641062A062D00200648062B0627062606420020005000440046002006270644064506460634062306290020062806270633062A062E062F062706450020004100630072006F0062006100740020064800410064006F006200650020005200650061006400650072002006250635062F0627063100200035002E0030002006480627064406250635062F062706310627062A0020062706440623062D062F062B002E0635062F0627063100200035002E0030002006480627064406250635062F062706310627062A0020062706440623062D062F062B002Egt BGR 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 CHS 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 ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 50 and later) CHT ltFEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002gt gtgt Namespace [ (Adobe) (Common) (10) ] OtherNamespaces [ ltlt AsReaderSpreads false CropImagesToFrames true ErrorControl WarnAndContinue FlattenerIgnoreSpreadOverrides false IncludeGuidesGrids false IncludeNonPrinting false IncludeSlug false Namespace [ (Adobe) (InDesign) (40) ] OmitPlacedBitmaps false OmitPlacedEPS false OmitPlacedPDF false SimulateOverprint Legacy gtgt ltlt AddBleedMarks false AddColorBars false AddCropMarks false AddPageInfo false AddRegMarks false ConvertColors ConvertToCMYK DestinationProfileName () DestinationProfileSelector DocumentCMYK 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8 數亦優

運籌於帷幄之中以空間換取時間決勝於千里之外

玩電腦上的遊戲到底利多還是弊多我教過一位女大學生高中時因愛玩電玩遊戲「楓

之谷」高一高二多是資優班倒數高三才發憤圖強順利考上公費生讀博士班時我的

室友每天都玩電腦上的遊戲沉溺到連指導教授都經常來關切最近樓下的鄰居說「他兒

子最近被電玩遊戲迷住了連補習都不想去上」諸如此類的情形在中學或大學應該是很

普遍的現象我孩子就讀的小學有一間超過百坪大的教室裡面擺滿兩三百種益智小遊戲

坊間看得到的都在裡面而且每位小朋友每學期都要上六次「數學探索」的課程其實就是

在探索那些益智遊戲我當了一學年的數探志工覺得這課程還不錯究竟沉溺於電玩遊戲

跟玩益智小遊戲要如何區別呢我們可以慎選出具有啟發或啟蒙意義又不會讓小孩沉溺於

其中的遊戲嗎

最近心理學家發現休閒放鬆類的簡單小遊戲才能提高快樂感達到減壓效果據美

國媒體報導美國俄亥俄州立大學傳播和心理學教授布拉德布希曼等人招募了一些志願者

玩不同種類的遊戲研究人員清楚地發現那些玩休閒小遊戲的人自我感覺更舒服更快樂

能體驗到較多的正面情緒而玩暴力遊戲的人則攻擊性和侵略性增強此外玩了一會兒休

閒小遊戲比如和小動物互動之後人們會變得更親切更願意主動幫助他人希望本章所

要介紹的遊戲也是心理學家們發明的「圍貓遊戲」可以達到這個效果甚至超過這個功能

達到啟蒙的意義

圍貓遊戲是心理學家所設計出來的一道數學遊戲遊戲背景是平面上放置許多排列整齊

的圓圈一隻貓位於正中央的圓圈上而有少許的圓圈是黑色這是一場圍貓者與貓的鬥智

遊戲圍貓者每次可以點選一個圓圈讓它變成黑色而貓每次必須移動到鄰近還尚未變成黑

色的圓圈上當貓被黑色圓圈圍住時貓就被捉擒了但若貓跑出所有的圓圈外則圍貓失

敗

這遊戲是心理學家發明的心理學家把貓視為需要接受輔導的對象（如叛逆的學生）而

圍貓的人是輔導人員（如學校的導師）而黑色圓圈是貓的朋友輔導人員或學校導師必須透

過這些朋友的幫忙將貓咪圍起來才算輔導成功

許志農臺灣師大數學系

數亦優 9

日本 Game Design 團體將圍貓遊戲數位化寫成 Flash 的版本讓圍貓遊戲成為線上遊戲

的一種各位可以在網路上用「圍貓遊戲」四個字搜尋就能在線上玩圍貓遊戲了這遊戲

除了好玩之外還可以測試玩者的決策能力在布滿圓形的長方形棋盤上每個圓形都與六

個圓形相連一隻貓立於棋盤中央的圓形內玩者每次點選一個圓形塗黑來圍堵貓但貓可

以往尚未被塗色的隔壁圓形移動究竟鹿死誰手就要看 Game Design 的設計功力與圍貓者

的技巧誰強了下圖是貓被圍住的一種情形

用堵貓的方法進行圍貓遊戲經常沒辦法成功主要是因為貓有六個方向可以逃竄圍

堵方法很難奏效那麼圍貓遊戲是一種純靠運氣的遊戲嗎應該也不是我們可以往數學層

面來思考在進入更深入的討論之前回想一下國中時「任一三角形 ABC的內角和剛好等於

180」是如何證明的讓小朋友站在 A點朝向 B點往 B點走去當走到 B點時原地旋

轉轉到臉朝 C點的方向接著往 C點走去又當走到 A點時並原地旋轉轉到臉朝 B點

的方向停了下來此時小朋友回到出發前的 A點且臉部朝向的方向相同（都朝向 B點）

這告訴我們「小朋友一共轉了完整的一圈即 360的意思」另外我們在三角形 AB及 C三

個頂點上分別畫出旋轉的角度會發現他們都是外角

因為 AB及 C每點都是由一對內角及一對外角構成所以三角形的內角和就是

3 360 2 360180

2

證明三角形內角和等於180的概念真的對圍貓遊戲有所幫忙或者啟發嗎且讓我們深入

一點來探討圍貓遊戲吧圍貓棋盤上貓有六個方向可以逃竄用堵貓的方式圍貓肯定很難

奏效貓移動速度過快無法圍住所以利用空間爭取時間是個不錯的圍法但究竟要離貓

多遠的地方開始圍起呢這可能要根據貓有多少朋友這些黑色圓圈如何分布來決定了又

以何種形狀來圍住貓呢是圓形三角形長方形或者還有其他各種不同的形狀呢因為貓

10 數亦優

有六個方位可以逃所以用六邊形來圍貓是個不錯的想法舉例來說在下圖中貓僅有三

位朋友照理說圍住貓很難但是可以先想辦法幫貓製造比較多的朋友

在下圖中幫貓找到了三位朋友讓六位朋友位於凸六邊形的六個頂點上但我們也要付出

讓貓移動三步的代價還好此時貓還沒跑出六邊形外代表還有機會圍貓成功

從上圖可以洞悉貓想要往北邊逃竄當務之急當然是把北邊守住然後牽引貓順著六邊形

的邊移動在碰到頂點時帶著貓轉彎如下圖所示

繼續牽引貓順著六邊形的邊移動在碰到頂點時帶著貓轉彎在經歷六個轉彎之後貓就

會發現「牠已被困在六邊形內了」

數亦優 11

總結我們的作法是「利用空間換取時間先選妥適當大小的凸六邊形最好這凸六邊形的六

個頂點中有愈多是黑色圓圈愈好（代表儘量用貓的朋友當頂點）然後點選剩下的非黑色圓

圈構築完成圍貓的六邊形當貓衝撞這六邊形的一邊時牽引貓順著邊移動遇到頂點時

帶著貓轉彎在經歷六個轉彎之後貓就被困在凸六邊形內大功告成」手癢的讀者可以

在線上試玩看看圍貓遊戲是一道老少咸宜不分男女都很喜歡玩的遊戲也是心理學家

闡述「何謂輔導」的遊戲

把圍貓遊戲視為一道數學問題我們從混沌的實際操作過程裡得到圍貓的精髓這整個

過程就是數學孕育與思考的過程數學家亨利龐加萊在《數學的創造》中將自己對數學

的思考分為三個階段準備孕育與驗證首先所謂的準備階段就是對問題下很大功夫

又深陷混亂的階段在這個階段人們都會採取觀察實作分析學習與內化等有意識的

策略其次孕育階段就是停止有意識的思考讓潛意識發酵當腦袋裡的小燈泡忽然被點

亮那個「恍然大悟」的時刻就會到來最後驗證階段也是收割階段這一階段只是寫下

所有的事情檢查細節進行組織並發表龐加萊特別強調孕育階段的潛意識角色這是最

難懂也是至為關鍵的階段

談到潛意識就讓我們聯想到作夢而談到作夢又讓我們想到佛洛伊德在 1900 年出版的《夢

的解析》這本書在佛洛伊德出版《夢的解析》之前人類常把所作的夢當成神諭或預告未

來即將發生的事件看待上個世紀初期當印度數學家拉馬奴姜在英國留學時他的老師哈

代就常常好奇的問說「你每天早上一起床就寫下這麼多的恆等式到底是如何發生的」

拉馬奴姜總是說「那些是昨晚神明託夢給我的」例如

3 5 5 5 5 532 27 1 3 9

5 5 25 25 25

3

33 3 33 9 2

cos40 cos80 cos202

3 3 3 33sec40 sec80 sec20 6 9 1

拉馬奴姜顯然是個等式達人也是將龐加萊孕育階段中的潛意識發揮到淋漓盡致的人

12 數亦優

最後把圍貓遊戲當成小孩子數學思考的學習單觀察不同孩子經歷準備孕育與驗證

階段的發展過程是個不錯的主題當然小孩迷失方向時老師應該適時介入給予該有的幫

忙但切忌將答案傳遞給他

附錄

101 學年度全國高中數學科能力競賽決賽在彰師大數學系舉行其中的筆試試題(一)第二題就

是證明拉馬奴姜的恆等式

3

33 3 33 9 2

cos40 cos80 cos202

在五十位考生中只有一位作對而且是位高二的女生以下是羅啟心這位女學生的作法

設

3 3 3 3 3 3cos40 cos80 cos20 cos40 cos80 cos160S

則

3

3 3 3 3 3 3

3 3 3

cos40 cos80 cos160

3 cos40 cos80 cos80 cos160 cos40 cos160

3 cos40 cos80 cos160

S

S

利用三倍角公式可知 cos40 cos80 cos160 為

3 14 3

2x x

的三個根再由根與係數的關係知道

cos 40 cos80 cos160 0

3cos40 cos80 cos80 cos160 cos40 cos160

4

1

cos40 cos80 cos1608

由第一及第二式知

3 3 3 3 3 3 3 33 cos40 cos80 cos80 cos160 cos40 cos160

2S S

現在令

3 3 3 3 3 3cos40 cos80 cos80 cos160 cos40 cos160T

則

3 33

2S TS

又

數亦優 13

3

3 3 32 2 23 3 3 3 3 3

3 3 32 2 2

2

cos40 cos80 cos80 cos160 cos40 cos160

3 cos 40 cos80 cos160 cos40 cos 80 cos160 cos40 cos80 cos 160

3 cos 40 cos 80 cos 160

3 1 13 3

4 2 2

3 3

2 2

T

T

T S

TS

綜合兩式得

3 31 3

2 4T S

將此式代入 3 33

2S TS 得

3

33 3 33 3 13 27

2 4 2S ST S S

展開整理得

9 6 3 279 27 0

8S S S

再配方得

33 27 93 27 27

8 8S

解得

33 3 9

32

S 33 9

2 或

323 9

2

即

33 3 9

32

S 33 9

32

或3

23 93

2

因為 S為實數所以 3S 也是實數因此

33 3 9

32

S

解得

33

3 93

2S

即

3 3 3 333

cos 40 cos80 cos 20 9 22

得證

14 數亦優

一前言 》

高中數學課程近幾年不斷的加入統計的課程目的是想要讓學生感覺數學更貼近我們的生

活內容包含迴歸直線抽樣統計信賴區間hellip等而信賴區間這個單元建立在一個重要的

理論之上即為中央極限定理查閱大學教材內容大多在做定理及輔助定理的推導大多數人

未能完全了解其意義在這篇文章中我們將以高中生的觀點來欣賞中央極限定理

二中央極限定理（Central Limit Theorem簡寫 CLT）是什麼 》

每四年一次的總統大選選前新聞社都會透過電話隨機抽樣的方式來估計各組候選人的

支持度若每次電話抽樣訪問新聞社都隨機挑選 100 人這樣他們便可以獲得一組平均數標

準差這樣的行為重複多次則可以得到多組抽樣並討論其平均數標準差如果多組的平

均數用柱狀圖來呈現我們可以發現圖形隨著抽樣的次數增加會接近常態分配並且當選舉

後會發現真實的支持率與所有研究者當初所做的結果平均數相同且其標準差接近原來的

1

n倍即我們討論對象已由原來調查樣本變為這些研究者為我們討論對象這便是中央極

限定理討論的內容

現在讓我們重新敘述中央極限定理（有限母體）的內容

中央極限定理（Central Limit Theorem簡寫 C L T） 設研究目標為變量 T 1 2 Nt t t 平均數 標準差 則

2

2 21 1

1

1

N N

i i Ni i

ii

t tt

N N N

每次抽樣皆取 n個並取後放回其共有 NnC m 種抽樣方法數若每次抽樣平均分別為

1 2 mx x x 其結果會成常態分配則

1 1 2 mx x x 平均數為 1 2 Nt t t

N

2 1 2 mx x x 標準差為1

1

N n

n N

另外當 N n 時標準差近似於n

接下來我們可以進一步以高中的觀點探討為何抽樣平均的平均數會與當初未知的平均數相

同抽樣平均的標準差為何是1

1

N n

n N

廖世經臺中市立東山高中

數亦優 15

三抽樣平均的平均數及標準差 》

沿用上述的定理符號可以得到

1 2 mx x x

meanm

1 2 1 3 1 1 2n n N n N n Nt t t t t t t t t

n n n

m

1

1 1 2Nn NC t t t

nm

（

1

1

1

1 N Nn n

N n N nC C

n N n N n N n N

同理

22

1

1N Nn n

n nC C

N N

）

1 2

Nn N

nC t t t

Nnm

（∵ N

nC m ）

1 2 Nt t t

N

從上式證明結果我們可以發現學者抽樣平均所做的平均數與當初我們想要研究的目標

平均數是相同的這個觀念有助於我們將來思考信賴區間的概念

抽樣平均的變異數1

1

N n

n N

推導則為

2 2 2

1 1 1 1

2m m m m

i i i

i i i i

x x xvariance

m m

(A)

首先我們先考慮(A)中的1

m

i

i

x

從平均數的推導我們得到

1

m

i

i

x

m

則

1

m

i

i

x m

(B)

再考慮(A)中的2

1

m

i

i

x

2 2 22 1 2 1 3 1 1 2

1

mn n N n N n N

i

i

t t t t t t t t tx

n n n

2 2 21 2

1 1 2 2 1 2 1 3 1

2

2N Nn N n N NC t t t C t t t t t t

n

2 2 21 2 1 2 1 3 1

2

12

1N Nn N n N N

n nnC t t t C t t t t t t

N N N

n

2 2 21 2 1 2 1 3 1

112

1N N N

nm t t t m t t t t t t

N N N

n

(C)

16 數亦優

接著先計算(C)中的 1 2 1 3 12 N Nt t t t t t

2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 3 12N N N Nt t t t t t t t t t t t

2 2 2 21 2 1 2 1 3 12N N NN t t t t t t t t t

2 2 22 21 2 1 3 1 1 22 N N Nt t t t t t N t t t

將得到的式子代回(C)得到

2 2 2 2 2 22 2

1 2 1 22

1

111N Nm

i

i

nm t t t m N t t t

N N Nx

n

2

2 2 21 2

1

1 1N

m N n m n Nt t t

N N N

n

(D)

將(B)以及(D)的結果代回(A)得到

2 2

1 1 1

2m m m

i i

i i i

x xvariance

m

22 2 2

1 22

1

1 12

N

m N n m n Nt t t

N N Nm m

nm

2

2 2 21 2

2 2

1

1 12

N

N n n Nt t t

N N N

n

22 2 2 2

1 2

11

1 1N

N n n Nt t t

n N N n N

2

2 2 21 2

1

1 1N

N n N nt t t

n N N n N

2 2 221 21

1N

N n t t t

n N N

21

1

N n

n N

數亦優 17

在大學書中中央極限定理的敘述大多直接使用標準差n

是因為當 N n 時則

11

1 1

N n n

N N

rarr1故標準差會近似於

n

四結論 》

中央極限定理的存在幫助了我們做抽樣討論時從原本我們想要研究的目標轉換到探

討研究人員所做的數據上上面所討論的方式只透過平均數變異數的定義加上組合的想

法可以讓高中生更加了解中央極限定理藉此了解數學的真善美這是研究會時分享給其他

老師的內容謝謝我的實習老師黃怡慈老師的幫忙整理

18 數亦優

一楔子 》

古希臘人尤勒士（Euathlus）向普羅塔哥拉斯（Protagoras）學習辯論術先付一半學費

另一半學費訂定契約言明等學成後在第一場辯護勝訴時再付如果敗訴則學費不必再交

但尤勒士畢業後根本不擔任辯護的工作自然也不交另一半的學費因此普羅塔哥拉斯便告

他普羅塔哥拉斯說「如果我勝訴法官當然要判他還我學費如果我敗訴那就是尤勒士勝

訴依契約他還是要還我學費」尤勒士說「如果我勝訴當然是要求法官判我不必還學費

如果我敗訴依契約我也不必還學費」請問法官該怎麼判

二歸謬證法 》

亞里斯多德認為愈重的物體落下得愈快1589 年伽利略如此舉反證把兩物 AB

綁在一起成為 A B 假設 A比 B重則由高處落下時因為 B落下的速度比 A慢把 A拖

住所以 A B 落下的速度比 A 慢又 A B 比 A 重所以 A B 落下的速度又比 A 快矛盾

所以「任何物體同時從相同的高處落下皆同時著地」伽利略如是說

99 課程綱要把歸謬證法拿掉了我猜想最少有兩位先生會很鬱卒一位是歐幾里得先生

他在《幾何原本》中用歸謬證法證明了「質數有無窮多個」另一位是蔡聰明先生他用了 28

種方法證明 2 是無理數

三直觀與證明 》

最近看到一篇文章關於 2 是無理數的證明

假設 2p

q 是有理數其中 p q是正整數且 1p q 則

2

22

p

q

直觀上「如果p

q不是整數則

2

2

p

q更不可能是整數」矛盾

所以假設錯誤即 2 是無理數得證

（這是因為如果 p q沒有相同的成分 2p 和 2q 自然也不會有相同的成分如果p

q都無法化簡

成整數2

2

p

q更沒有機會了因此這個式子是個明顯可笑的矛盾等號左邊是整數右邊不是

整數兩者怎麼可能相等）

我想提一段陳年往事多年前一次國中數學週考中某老師出了一道題目證明三角形

兩邊和大於第三邊直觀上這何需證明因為兩點之間直線最短嘛於是我買了歐幾里得

的《幾何原本》根據歐幾里得的體系證明「三角形兩邊和大於第三邊」確實需要很長的篇幅

我相信這不會是出題老師的本意我的判斷是出題老師只想要學生說明「兩點之間直線最短」

江慶昱衛道中學退休教師

數亦優 19

那麼考題應該改成請說明「三角形兩邊和大於第三邊」中學階段不必強調數學的嚴密性

這是共識（60 年代的新數學過度強調嚴密性是失敗的原因之一）但是直觀的說明與嚴格的證

明應該予以區隔這純屬我個人的看法所以我以為上述關於 2 的證明實偏向於說明（註

最早項武義先生認為他解決了克卜勒的裝填問題陳省身先生也為之背書但還是不被接受

目前公認是 Thomas Hales 解決了httpenwikipediaorgwikiKepler_conjecture數學界的所謂

「證明」自有其行規）

如何在高中引入簡易邏輯是一件困難但是值得深思的事

四等價 》

高中課程中另一個重要的邏輯概念是「等價」有一年大學聯考考這麼一題證明「海龍

公式邊長 a b c的三角形面積 ( )( )( )s s a s b s c 」那時候大學錄取率大約 30不到

補習班之間競爭非常激烈大家趕著把解答登報有一間補習班第一天是這樣證明的

因為( ) ( )( )

sin cos2 2

A s s a A s b s c

bc bc

所以1 1

sin 2sin cos ( )( )( )2 2 2 2

A Abc A bc s s a s b s c

第二天趕快發報更正因為在邏輯上第一天拿一個等價的命題當作證明等於沒有證明

換句話說患了邏輯上的錯誤了

五等價的一些例子 》

我們在國中時有這樣的性質 p三角形任兩邊和大於第三邊又在書中的同一個角落看到

q三角形任兩邊差小於第三邊很容易證明「 p q 」這種情形我們叫 p與 q等價意思是 p

與 q是同一回事以下舉一些等價的例子

1 p平行公設過直線外一點恰有一直線與之平行q三角形內角和為180

2 G是ABC的重心則 p q r三個向量式等價

1 1

3 3

p AG AB AC

1 1 1

3 3 3

q OG OA OB OC

0r AG BG CG

3 2 2 2

p u v u v

（柯西不等式） q u v u v

（三角不等式）

4 p周長固定的平面圖形中以圓形面積最大q面積固定的平面圖形中以圓形周長最小

5 (1)正弦定理(2)餘弦定理(3)投影定理 等價

6 實數的完備性有多種等價的敘述（我有一位同事到師大數學系修碩士班學分就是上了一本

這樣的書）

7 p算幾不等式q柯西不等式

20 數亦優

六算幾不等式與柯西不等式的等價 》

算幾不等式與柯西不等式在形式上相差很多兩者會等價甚感意外我第一次是在臺中一

中的網頁內看到證明過程當時沒有仔細研究後來回去找就找不到那份資料了最近上網搜

尋找到建中徐健策老師的一篇專題算是一償宿願這是我寫這篇文章的另一個因緣

七後記 》

1900 年量子力學開始萌芽到 1965 年朝永振一郎（S Tomonaga）薛文格（Julian Schwinger）

與費因曼得到諾貝爾物理獎是一段精采的故事重點是薛文格與費因曼對量子電動力學的看法

與算法南轅北轍薛文格用的是歐洲優雅的數學費因曼的路徑積分用的是圖像式的數學把

兩者結合為一或者說看出兩者的「等價性」的是戴森（Freeman J Dyson）我覺得這比證

明兩命題的等價有更深刻的意義

非歐幾何的發展也有類似的地方義大利幾何學家 Eugenio Beltrami（1835~1899）證明了

Lobachevsky（1793~1856）與 Ferdinand Minding（1806~1885）的非歐幾何模型是「等價」的

（註代數中複數平面與平面向量同構以上兩種情況說同構或等價哪一個說法比較恰當

當就教於各位）

99 課程綱要把歸謬證法放在附錄我觀察最近兩年的各校段考試題大約只有三四個學

校段考中有考歸謬證法早年國中考高中每年要考一題證明題一題尺規作圖當時我們會

努力教證明題當然包括用「窮舉法」證明「圓內接四邊形的充要條件為對角互補」基測不

考證明題後絕大部分的老師不會花時間去證明這個定理向來就是「考試引導教學」自古皆

然隋唐時期科舉要考《算經》所以宋朝有四位偉大的數學家秦九韶李治楊輝朱世傑

到明清科舉只考八股文可以印證中國數學沒落的一段史實證明與數學的關係就如同實驗與

物理的關係基測與學測不考證明題相信有不少人憂心忡忡如今又把歸謬證法拿掉（放在

附錄與拿掉等價）應該有人輾轉難眠吧

早上（2012829）看到新聞十二年國教將於後年上路臺大名譽教授劉廣定批評103

年到 107 年的高中學生要繼續接受舊課綱的教育他堅決反對沒有新課綱的十二年國教後

年就要推十二年國教課綱最快 106 年才能完成到 108 年才有新課綱教科書可用意味之前

的高中生都要繼續接受舊課綱教育芬蘭從 1980 年代開始教改先找學校試辦2000 年才全

面實施然而臺灣十二年國教從宣布到實施只有三年準備期讓人憂心

參考資料

1 蔡聰明 2 是無理數的 28 種證明數學傳播季刊第 23 卷（第 1 期）

2 王九逵邏輯與數學思維

3 南山柯西不等式與排序不等式上海教育出版社P230

4 William Dunham（1995）天才之旅牛頓出版股份有限公司P61

5 戴森（1993）宇宙波瀾天下文化

6 奧瑟曼（1997）宇宙的詩篇天下文化P84

7 Stefan Kulczycki（1992）非歐幾里得幾何學水牛出版社P32

8 蔡辰理中國數學史上的黃金時代及其四個偉大的數學家20130701 取自

httpepistemathntuedutwarticlesmmmm_03_2_07page2htmltop

9 徐健策老師專題柯西琴生與冪平均不等式20131002 取自 httpmath1cktpedutw徐健策mathhtm

數亦優 21

一研究目的 》

將一道解四元一次聯立方程式的題目利用四次多項函數且領導係數為 1 的恆等原理來解

答

二研究過程 》

已知

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

12 1 2 3 2 5 2 7

14 1 4 3 4 5 4 7

16 1 6 3 6 5 6 7

18 1 8 3 8 5 8 7

x y z w

x y z w

x y z w

x y z w

試求(1) ( )x y z w (2) x y z w

一 首先將上題解讀為解四元一次聯立方程式

設

2

3

2

2

3 5 7105 2079 429 143 1

3 5 7 11 21 1485 1001 195 1

9 385 819 495 13 7 11 135 189 231 429 1

3 5 11 13

x aa b c d

y b a b c d

a b c dz ca b c d

w d

211512 1320 2288 5

4b c d

52376 1144 208 1

4b c d

5 956 504 1584 1

4b c d

2432 640 1792 0 19 5 14 0

5 1792 3840 5632 0 7 15 22 0

b c d b c d

b c d b c d

由5 14 14 19 19 5

320 320 320 11115 22 22 7 7 15

b c d

由1

56 504 1584 1 1024 11024

b b b b b c d

代入1 1 1 175 35

5 189 231 429 1 51024 1024 1024 1024 1024

a a a

李維昌國立宜蘭高中

22 數亦優

2 2 2 3 2 23 5 7 3 5 7 11 3 7 11 13 3 5 11 13( )

1024 1024 1024 1024x y z w

即為(1)的所求

2 3 2 2

2 3

2 2

3 5 7 3 5 7 11 3 7 11 13 3 5 11 13

35 13 5 7 3 5 7 11

1024 10241 1

3 7 11 13 3 5 11 131024 1024

x y z w a b c d

11025 10395 9009 6435 36864

361024 1024

即為(2)的所求

二 嘗試利用四次多項函數且領導係數為 1 的恆等原理來解答此題

1 構造以 t為變數的四次多項函數且領導係數為 1命此函數為 ( )f t

2 2 2 2 2 2 2( ) 1 3 5 7 3 5 7f t t t t t x t t t

2 2 2 2 2 2 2 2 21 5 7 1 3 7 1 3 5y t t t z t t t w t t t

其中 x y z w四數為常數

2 2 2 2 2 2 2 2 21

2 1 2 3 2 5 2 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 1 2 3 2 5 2 7 2 3 2 5 2 7

2 1 2 5 2 7 2 1 2 3 2 7

2 1 2 3 2 5 0

x

y z

w

2(2 ) 0f

3 2 2 2 2 2 2 2 21

4 1 4 3 4 5 4 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

4 1 4 3 4 5 4 7 4 3 4 5 4 7

4 1 4 5 4 7 4 1 4 3 4 7

4 1 4 3 4 5 0

x

y z

w

2(4 ) 0f

4 2 2 2 2 2 2 2 21

6 1 6 3 6 5 6 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

6 1 6 3 6 5 6 7 6 3 6 5 6 7

6 1 6 5 6 7 6 1 6 3 6 7

6 1 6 3 6 5 0

x

y z

w

2(6 ) 0f

數亦優 23

5 2 2 2 2 2 2 2 21

8 1 8 3 8 5 8 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

8 1 8 3 8 5 8 7 8 3 8 5 8 7

8 1 8 5 8 7 8 1 8 3 8 7

8 1 8 3 8 5 0

x

y z

w

2(8 ) 0f

6 由 12345的討論可得知 ( )f t 等價 2 2 2 22 4 6 8t t t t

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 4 6 8

1 3 5 7 3 5 7 1 5 7

1 3 7 1 3 5

t t t t

t t t t x t t t y t t t

z t t t w t t t

為 t的四次多項方程式

第式等號的左式 3t 的係數＝第式等號的右式 3t 的係數

2 2 2 2 2 2 2 22 4 6 8 1 3 5 7 x y z w

2 2 2 2 2 2 2 22 4 6 8 1 3 5 7 120 84 36x y z w

即為(2)的所求

7 x的求法

將 21t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

1 2 1 4 1 6 1 8 1 3 1 5 1 7

2 1 4 1 6 1 8 1 1 3 3 5 5 7 7 9 3 5 7

2 4 4 6 6 8 10243 1 5 1 7 1

x

x

8 y的求法

將 23t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 3

2 2 2 2 2 2

3 2 3 4 3 6 3 8 3 1 3 5 3 7

3 2 4 3 6 3 8 3 1 5 1 7 3 9 5 11 3 5 7 11

2 4 2 8 4 10 10243 1 5 3 7 3

y

y

9 z的求法

將 25t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

5 2 5 4 5 6 5 8 5 1 5 3 5 7

5 2 5 4 6 5 8 5 3 7 1 9 1 11 3 13 3 7 11 13

4 6 2 8 2 12 10245 1 5 3 7 5

z

z

24 數亦優

10 w的求法

將 27t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

7 2 7 4 7 6 7 8 7 1 7 3 7 5

7 2 7 4 7 6 8 7 5 9 3 11 1 13 1 15 3 5 11 13

6 8 4 10 2 12 10247 1 7 3 7 5

w

w

11 由 78910的討論可得

2 2 2 3 2 23 5 7 3 5 7 11 3 7 11 13 3 5 11 13

( ) 1024 1024 1024 1024

x y z w

即為(1)的所求

三 結論

1 解題的巧妙與否存乎一心「學則需疑於不疑處有疑方是進矣」本題為解四元

一次聯立方程式基本解題策略為克拉瑪公式加減消去法或代入消去法三種由

於這三種計算相當繁瑣進而苦思其他對策經過一番思索驀然回首伊人卻在

燈火闌珊處竟然將此題與四次多項方程式連結在一起有了令人會心一笑的妙解

真是一次驚奇的解題之旅

2 孔子曾言「學而不思則罔思而不學則殆」我期待每次解題時皆能直搗黃龍

一眼看穿題目的堂奧之妙事後「大膽假設小心求證」檢驗過程和結果是否達

到最佳化藉由在夙昔的典範亦步亦趨臻於真善美的解題境界

數亦優 25

國立臺灣師範大學數學系

筆試一計算證明題（考試時間2 小時）

1 (1) 直角三角形的兩股長為 a b斜邊長為 c試證 3 3 3c a b （8 分）

(2) 如下圖圓 O內二直徑 AC BD互相垂直在劣弧DC上任取一點 E

試證以 AE 為一邊的正方形面積等於四邊形 ABED面積的二倍 （12 分）

2 設函數 2( ) 6 5f x x x 求坐標平面上滿足聯立不等式

( ) ( ) 0

( ) ( ) 0

f x f y

f x f y

的所有點 ( )x y 所形成的區域面積 （20 分）

3 設 a b c d 為實數且 a b c d ( ) ( )f x g x 為滿足 ( ) ( )f a f b 及 ( ) ( )g c g d 的實係數二次多

項式已知 ( ) ( )f x g x 為常數多項式證明

(1) a b c d （8 分）

(2) 2( )

2

( )2

a bf a f

a bc d c d

g c g

（12 分）

4 如下圖所示ABC和DBC為空間中的兩個等腰三角形M為線段 BC 的中點令

AB AC a DB DC b BM CM c 和DA x

(1) 已知向量內積 0AM BD

求證 2 2 22x a b c （8 分）

(2) 已知 2 2 22x a b c 求證向量內積 0AM BD

（12 分）

26 數亦優

5 師大數學系舉辦系徽設計比賽入圍決選的有四件作品由 10 名學生代表進行不記名投票

每人投兩票且兩票須投不同作品在沒有廢票的情況下試問

(1) 四件作品的得票情形共有幾種 （8 分）

(2) 得票數 高的作品恰有一件的票數分布有幾種 （12 分）

筆試二填充題（考試時間15 小時）

1 設 a為實數若對於所有實數 x2

2

32

2

x ax

x x

恆成立則 a的範圍為

2 若等比數列的第三項是1 i 第五項是1 1

16 16i 其中 1i 則此等比數列的公比為

（有兩解）

3 從1234567 等數字中選取三個排成三位數數字不重複則排出來的是 3 的倍數但不是 5 的倍數

的整數有 個

4 桌上有十個骰子當中有一個骰子出現 5 點的機率是1

2而出現其他點數的機率均等其他

九個都是均勻的骰子用隨機的方式選取一個骰子來投擲在出現 5 點的情況下被選取的

骰子是不均勻骰子的條件機率為 （答案若為分數請化為 簡分數）

5 在電腦裡有一公定的對照表（ASCII）將英文字母ABhellipZ及空格等字元分別對應至一整數

其對應數字如下表所示

字母 空格 A B C D E F G H

ASCII 碼 32 65 66 67 68 69 70 71 72

字母 I J K L M N O P Q

ASCII 碼 73 74 75 76 77 78 79 80 81

字母 R S T U V W X Y Z

ASCII 碼 82 83 84 85 86 87 88 89 90

數亦優 27

我們可利用此對照表在 facebookTM 傳送保密訊息給朋友我們與朋友約定所有的英文字母及

空格皆以對照表中的整數替代例如「HE IS DAVID」的訊息用「7269327383326865867368」

取代然後將此數字字串的奇數項排在矩陣的第一列偶數項排在第二列形成以下矩陣

7 6 3 7 8 3 6 6 8 7 6

2 9 2 3 3 2 8 5 6 3 8B

再與二階方陣

1 2

2 3A

相乘得到

11 24 7 13 14 7 22 16 20 13 22

20 39 12 23 25 12 36 27 34 23 36AB

後依上述規則反求得字串「11202439071213231425071222361627203413232236」傳送給朋

友如此他人便不能立即得知傳送之內容現在在此規則下你接收到數字字串

「233825411222213516271932」可以轉成矩陣

23 25 12 21 16 19

38 41 22 35 27 32

其所代表之訊息為

6 坐標平面上圓 C通過點 (02) 且 C與兩直線 3 2 0 1 0x y y 皆相切則圓 C的方程

式為

7 坐標空間中ABC的三頂點分別為 (1 11) ( 321) (5 43)A B C P為ABC內部一點且

令P到 AB BC CA的距離分別為 x y z則 2 2 2x y z 的 小值為 （答案若為分數

請化為 簡分數）

8 函數 4 4( ) cos 3sinf x x x 的 小值為

9 設 為實數若

cos 0 sin

0 1 0

sin 0 cos

A

則 5A

10 袋中有編號分別為 1 到 6 的六個球從袋中隨機選取兩球令隨機變數 X表示在被選取的

兩球中球號比袋中剩下的球號都大的球的個數（例如如果選到 2 號和 3 號球那袋中剩

下的就是 1456 號球因為選出的球中並沒有比 1456 都大的球號故這種情況下 0X ）

隨機變數 X的期望值為 （答案若為分數請化為 簡分數）

28 數亦優

筆試一計算證明題

1 (1) 利用 2 2 2c a b 及 c a c b 得

3 2 2 2 2 3 3c c a b ca cb a b

(2) 過 E作 EF AC 則

四邊形 ABED的面積

1 1

2 21

21

2

ABD BDE

BD AO BD OF

BD AO OF

AC AF

又在直角三角形 ACE中因為2

AE AC AF 所以2

AE 四邊形 ABED面積的兩倍

2 因為

2 22 2( ) ( ) 6 6 10 3 3 8f x f y x y x y x y

2 2( ) ( ) 6 6 6f x f y x y x y x y x y

所以

2 23 3 8( ) ( ) 0

( ) ( ) 0 6 0

x yf x f y

f x f y x y x y

因此滿足上述條件的所有點 ( )x y 為

22 23 3 8

0 6 0

x y

x y x y

或 22 2

3 3 8

0 6 0

x y

x y x y

其所圍成的區域如下圖所示面積為 218 4

2

數亦優 29

3 (1) 依題意可設 ( ) ( )f x r x a x b s g x r x c x d s

因為 ( ) ( )f x g x 是常數多項式所以比較一二次項係數知

r r r a b r c d

得 a b c d

(2) 由 2 2

( )2 4 4

a b a ba bf r s r f a

得

2

4 ( )2a b

f a f

ra b

故得證

註1o 也可利用對稱性知 ( )y f x 的頂點之 x軸坐標為2

a b ( )y g x 的頂點之 x軸坐標

為2

c d而得證

2o 亦可用插值多項式證明

4 (1) 由向量分解DA DM MA DB BM MA

得

2 22 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2

2

2 2

DA DA DM MA DM MA DM MA

b c a c DB BM MA

b a c DB MA BM MA

因為 0AM BD

且 BM MA 所以

2 2 2 22DA b a c

因此

2 2 22DA a b c

(2) 由(1)及 BM MA 可得

2 2 2 22 2DA b a c DB MA

依題意知 2 2 22DA x b a c 即

22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2b a c b a c b a c DB MA

故

0DB MA

30 數亦優

5 (1) 由題意可以知道

1 四件作品所得的總票數為 20 票

2 每件作品 多可以得到 10 票

令四件作品的得票數分別為 x y z u由1 2 可得

200 10x y z u x y z u

因為 0 10x y z u 所以 420H 須扣掉11 20x y z u 的情況由 20x y z u 且

0x y z u 可知 多只有一個票數會大於等於 11假設 11x 令 11x x 可得

90 9x y z u x y z u

此情況有 4 129 9 220H C 種

因此票數分布為 4 420 94 1771 4 220 891H H 種

(2) 假設得票數 高為 x由題意可得

200 10x y z u y z u x

因為 y z u x 也就是 1y z u x 所以

1 1 1 4 3x y z u x x x x x

由 20x y z u 得

20 4 3x

即

23

4x

因此當 6x 時才會滿足只有一件作品得票數 高且票數為 x

當 6x 時

140 5y z u y z u

滿足此情況的 y z u有 (554)(545)(455) 3 種

當 7x 時

130 6y z u y z u

因為 13y z u 且 0y z u 所以 y z u 多只有一個會大於等於 7

由(1)可知滿足此情況有 3 3 15 813 6 13 63 3 105 84 21H H C C 種

同理

當 8910x 時 y z u 多只有一個會大於等於 8910故

當 8x 時有 3 3 14 612 4 12 43 3 91 45 46H H C C 種

當 9x 時有 3 3 13 411 2 11 23 3 78 18 60H H C C 種

數亦優 31

當 10x 時有 3 3 12 210 0 10 03 3 66 3 63H H C C 種

因此滿足只有一件作品得票數 高的情形有

4 3 21 46 60 63 772 種

筆試二填充題

1 2 3 4 5

0 4a 2 2

8 8i

66 1

4 NORMAL

6 7 8 9 10

2 2

3 1 4x y

2 2

3 3 5 36x y

（或是 2 2 2 3 2 0x y x y ）

50

79

3

4

cos5 0 sin 5

0 1 0

sin 5 0 cos5

2

5

32 數亦優

《接續PartI 請見數亦優第 21 期》

四 正多邊形

(一) 除了正方形及三角形以外我們還考慮將其他形狀組合討論其撕裂次數是否與正方

形三角形相同

(二) 並非所有正多邊形皆可組合若內角非360

kk

便不能組合例如

1 正五邊形的內角和180 3 540 則一個內角為108但108 360 k k

無法將五邊形完整組合必有空隙

2 正六邊形的內角和180 4 720 則一個內角為120因為120 3 360

則任三個相同的正六邊形皆可相互組合

(三) 完整排列正六邊形為例以 m張排列

例 1 一頁 5 個正六邊形排列

撕開 2 次使下排的兩個正六邊形與上排分開再逐一將上排撕開共需 4 次

由例 1撕的次數結果皆為 1m 次

（Part II） 陳敏晧國立蘭陽女中

數亦優 33

(四) 內部有洞正六邊形為例m張 n個洞排列

例 2 一頁 11 張且 2 洞排列

先撕開 2 次使其成為無洞排列再撕開 1 次使其變成兩頁完整排列再逐一撕開

共需 12 次

由例 1與例 2得知撕的次數結果皆為 1n m 次

五 「切割」的定義

(一) 我們從平面延伸到立體討論柏拉圖的五個正多面體先將正多面體每面切開分開

的次數是否也有彼此相似之處

(二) 因為立體無法如平面一樣用撕的故用切的而計算次數的定義與方法也與平面有很

大的差異

(三) 「切一次」的定義與限制沿著稜邊切下一個面才算作「一次」第一次切下後

便將封閉的正多面體打開此後每切一次都必須從開放的稜邊切下不可再一次從

封閉的面切下

以正六面體為例

此為一個完整封閉的正六面體

第一次沿著粗線切開可切下一個面

34 數亦優

六 柏拉圖多面體

1 正四面體

第一次將底面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 3 個面切下共需切

1 3 1 3 次

2 正六面體

第一次將頂面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 5 個面切下共需切

1 5 1 5 次

斜線部分為第一次被切下的面

封閉正六面體被打開後第二次只能從

開放的 4 條稜邊（粗線）切下

第二刀不可再從封閉面（粗線）開始切

數亦優 35

3 正八面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 7 個面切下共

需切 1 7 1 7 次

4 正十二面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 11 個面切下共

需切 1 11 1 11 次

5 正二十面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 19 個面切下共

需切 1 19 1 19 次

36 數亦優

由上述例子可得知切割次數皆剛好為正多面體的(總面數 1 )次

研究發現

內部有洞洞數 a b 其中 a洞的個數b每個洞的張數

矩 形

完整排列

邊長 邊長 總張數 撕的次數

2 2 4 3

4 5 20 19

不規則排列

總張數 撕的次數

10 9

13 12

內部有洞

邊長 邊長 洞數 總張數（邊長 邊長 洞的張數） 撕的次數

3 3 1 1 8 3 3 1 8

3 5 2 1 13 3 5 2 14

三 角 形

完整排列

邊長 總張數 撕的次數

2 4 3

3 9 8

不規則排列

總張數 撕的次數

10 9

13 12

內部有洞

邊長 洞數 總張數（邊長平方 洞的張數） 撕的次數

規

則

4 1 1 15 4 4 1 15

5 1 1 24 5 5 1 24

5 1 2 23 5 5 2 23

5 1 3 22 5 5 3 22

6 1 1 35 6 6 1 35

6 1 2 34 6 6 2 34

6 2 1 34 6 6 2 1 35

6 3 1 33 6 6 3 1 35

6 1 2 1 1 33 6 6 2 1 34

7 2 2 45 7 7 2 2 46

不

規

則

1 1 22 22

1 1 23 23

1 2 32 32

數亦優 37

六 邊 形

完整排列

總張數 撕的次數

3 2

5 4

內部有洞

洞數 總張數 撕的次數

1 1 6 6

2 1 11 12

正 多 面 體

面數 撕的次數

正四面體 4 3

正六面體 6 5

正八面體 8 7

正十二面體 12 11

正二十面體 20 19

目前的研究我們發現了以下獨特的結論平面幾何圖形中矩形正三角形和正六邊形的

規則形狀與不規則形狀紙張之最佳撕法都是(總張數 1 )次矩形正三角形及正六邊形排列成

內部有 n個洞且 m張的紙張之最佳撕法都是 1n m 次而柏拉圖立體的最少切割次數皆為

正多面體的(總面數 1 )次最重要我們發現其實撕裂或切割次數與撕裂或切割方法（或順序）

無關

參考資料

1 陳美如（200003）撕郵票問題數學傳播第 24 卷第 1 期P82~86

2 許志農與奇人相遇httpmathntnuedutw~macomeethtm

3 林義強多面體簡介第一屆全國高中數學教學研討會論文集P177~192

參數學專題研究反思 》

上述作品得到今年北一區數學科展優等過程中我與學生教學相長高二學生因為所學的

數學很有限所以數學解題層次會有侷限但是相對地數學思維與想像力卻是受過數學訓練

的我們所不及的在這次數學專題研究中我扮演的角色是諮詢者協助者鼓勵者完成任

務是那三位鍥而不捨的同學鄭羽呈李依庭林佩柔 勘誤 第 21 刊〈高中數學專題研究教案（PartI）〉 P34 倒數第 6 行「設m k 」應改為「設m k 」 P36 第 3 行「設m k 」應改為「設m k 」 P38 內部有洞的 1(1)~(4)分類應改為「1(1)一頁 24 張內部有一個洞一張為 1 洞」

「1(2)一頁 23 張內部有一個洞兩張為 1 洞」 「1(3)一頁 23 張內部有一個洞兩張為 1 洞」 「1(4)一頁 22 張內部有一個洞三張為 1 洞」

38 數亦優

動手玩數學 許志農臺灣師大數學系

在 下 圖 中已 知 ABC為 直 角

三 角 形 1AB 求

(1) 線段 AD的長度（化為最簡形式）

(2) 餘切 cot24

的值

〔玩鎖玩索〕

這道問題改編自「求 cot24

的值」這道

教師甄選試題關於這道餘切求值問題

有兩位老師的作法是用標準特別角出發

再求出欲求的餘切值

底下是另一位老師的作法

已知 ABC 為 直 角 三 角 形 4AC 求

AB BC及 cot24

的值

請 加 上 線 段 使 下 圖 分 成 五

份 形 狀 完 全 相 等 的 部 分（翻面

相等也算）

或 許 下 圖 對 你 會 有 些 幫 助 它 們 是 四 份

形 狀 完 全 相 等 的 部 分

〔玩鎖玩索〕

這是 1998 年夏天香港中文大學教育學

院第二次舉辦暑期資優課程中在數學有關的

工作坊裡的一道測智遊戲

遊戲 85

遊戲 86

數亦優 39

在 坐 標 平 面 上 畫 一 直 線 1L在

線 上 任 取 一 點O 以O為 旋 轉

中 心依 逆 時 針 方 向 將 直 線 1L

旋 轉 120得 到 直 線 2L 如 下

圖 所 示

已 知 直 線 1L 的 斜 率 為m求 證 直 線 2L 的 斜

率 為

3

3 1

m

m

〔玩鎖玩索〕

直線是平面幾何上的重要元素而斜率又

是直線在代數上的代言人掌握斜率就如同控

制直線一樣從逆轉120的 直 線 斜 率 公 式

不 難 知 道 坐 標 平 面 上 的 正 三 角 形 之 三

條 邊 斜 率

1 2 3 m m m

是可以互相推導的即由 1m 可 以 得 到 2m 與

3m 的 公 式 而 且 還 知 道 以 下 兩 個 恆 等 式

1 2 2 3 3 1 3m m m m m m

1 2 31 2 3

1 1 19m m m

m m m

宇 富 怕 手 機 被 盜 打 每 日 更

換 開 機 密 碼為 了 便 於 記 憶

他 想 到 一 則 更 換 密 碼 的 算 術

通 則 「 昨 天 密 碼 為p 今

日 的 密 碼 就 更 新 為1

1

p

p

」

宇 富 跟 所 有 的 人 說「 我 已 經

使 用 這 密 碼 通 則 500天 了 而

且 第 一 天 的 密 碼 就 設 為 2 1

相 信 各 位 算 到 手 痠也 無 法 算

出 今 天 的 開 機 密 碼 」

徵求可以破解開機密碼的人士

〔玩鎖玩索〕

如果第一天的密碼為 那麼破解密碼

的難度有增加嗎

遊戲 87

遊戲 88

40 數亦優

動動手手玩玩數數學學~~破破解解秘秘笈笈

遊戲 81

如圖所示

(1) 考慮 ABC 因為 8sin15AB BC 且

150ABC 所以 ABC 為等腰三角

形且 15BAC 因此

2 cos15 2 8sin15 cos15AC AB

1

8sin30 8 42

(2) 仿照(1)的方法 ACE 也是等腰三角

形且 30CAE 因此

32 cos30 2 4 4 3

2AE AC

遊戲 82

秦九韶這個依括弧次序求函數值 f a 的演

算法就是高中數學多項式那章所介紹的綜

合除法

2 5 4 8

2

2

a

a

仔細計算上述綜合除法的空白位置可以發

現小中大括弧位置所代表的值與秦九韶

小中大括弧內的值完全一樣

遊戲 83

(1)

2cos 2cos24 24cot

24 sin 2sin cos24 24 24

1 cos1 cos

3 412

sin sin12 3 4

(2) 因為

cos cos cos sin sin3 4 3 4 3 4

1 2 3 2

2 2 2 2

2 6

4 4

及

sin sin cos sin cos3 4 3 4 4 3

3 2 2 1

2 2 2 2

6 2

4 4

所以

2 61 4 6 24 4cot

24 6 2 6 24 4

2

4 6 2 6 2

6 2

2 2 3 6

遊戲 84

令

2 3A a b c b c i

2 3B c a b a b i

2 3C b a c c a i

且

1 3

2

i

因為 2A C B

所以 3 3 3 6 3A C B

又因為 3 6 1 所以 3 3 3A B C

得證

ltlt ASCII85EncodePages false AllowTransparency false AutoPositionEPSFiles true AutoRotatePages All Binding Left CalGrayProfile (Dot Gain 20) CalRGBProfile (sRGB IEC61966-21) CalCMYKProfile (US Web Coated 050SWOP051 v2) sRGBProfile (sRGB IEC61966-21) CannotEmbedFontPolicy Error CompatibilityLevel 13 CompressObjects Tags CompressPages true ConvertImagesToIndexed true PassThroughJPEGImages true CreateJobTicket false DefaultRenderingIntent Default DetectBlends true DetectCurves 00000 ColorConversionStrategy LeaveColorUnchanged DoThumbnails false EmbedAllFonts true EmbedOpenType false ParseICCProfilesInComments true EmbedJobOptions true DSCReportingLevel 0 EmitDSCWarnings false EndPage -1 ImageMemory 1048576 LockDistillerParams false MaxSubsetPct 100 Optimize true OPM 1 ParseDSCComments true ParseDSCCommentsForDocInfo true PreserveCopyPage true PreserveDICMYKValues true PreserveEPSInfo true PreserveFlatness true PreserveHalftoneInfo false PreserveOPIComments true PreserveOverprintSettings true StartPage 1 SubsetFonts true TransferFunctionInfo Apply UCRandBGInfo Preserve UsePrologue false ColorSettingsFile () AlwaysEmbed [ true ] NeverEmbed [ true ] AntiAliasColorImages false CropColorImages true ColorImageMinResolution 300 ColorImageMinResolutionPolicy OK DownsampleColorImages true ColorImageDownsampleType Bicubic ColorImageResolution 300 ColorImageDepth -1 ColorImageMinDownsampleDepth 1 ColorImageDownsampleThreshold 150000 EncodeColorImages true ColorImageFilter DCTEncode AutoFilterColorImages true ColorImageAutoFilterStrategy JPEG ColorACSImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt ColorImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt JPEG2000ColorACSImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 30 gtgt JPEG2000ColorImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 30 gtgt AntiAliasGrayImages false CropGrayImages true GrayImageMinResolution 300 GrayImageMinResolutionPolicy OK DownsampleGrayImages true GrayImageDownsampleType Bicubic GrayImageResolution 300 GrayImageDepth -1 GrayImageMinDownsampleDepth 2 GrayImageDownsampleThreshold 150000 EncodeGrayImages true GrayImageFilter DCTEncode AutoFilterGrayImages true GrayImageAutoFilterStrategy JPEG GrayACSImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt GrayImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt JPEG2000GrayACSImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 30 gtgt JPEG2000GrayImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 30 gtgt AntiAliasMonoImages false CropMonoImages true MonoImageMinResolution 1200 MonoImageMinResolutionPolicy OK DownsampleMonoImages true MonoImageDownsampleType Bicubic MonoImageResolution 1200 MonoImageDepth -1 MonoImageDownsampleThreshold 150000 EncodeMonoImages true MonoImageFilter CCITTFaxEncode MonoImageDict ltlt K -1 gtgt AllowPSXObjects false CheckCompliance [ None ] PDFX1aCheck false PDFX3Check false PDFXCompliantPDFOnly false PDFXNoTrimBoxError true PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 000000 000000 000000 000000 ] PDFXSetBleedBoxToMediaBox true PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 000000 000000 000000 000000 ] PDFXOutputIntentProfile () PDFXOutputConditionIdentifier () PDFXOutputCondition () PDFXRegistryName () PDFXTrapped False CreateJDFFile false Description ltlt ARA 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can be opened with Acrobat and Adobe Reader 50 and later) CHT ltFEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002gt gtgt Namespace [ (Adobe) (Common) (10) ] OtherNamespaces [ ltlt AsReaderSpreads false CropImagesToFrames true ErrorControl WarnAndContinue FlattenerIgnoreSpreadOverrides false IncludeGuidesGrids false IncludeNonPrinting false IncludeSlug false Namespace [ (Adobe) (InDesign) (40) ] OmitPlacedBitmaps false OmitPlacedEPS false OmitPlacedPDF false SimulateOverprint Legacy gtgt ltlt AddBleedMarks false AddColorBars false AddCropMarks false AddPageInfo false AddRegMarks false ConvertColors ConvertToCMYK DestinationProfileName () DestinationProfileSelector DocumentCMYK 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數亦優 9

日本 Game Design 團體將圍貓遊戲數位化寫成 Flash 的版本讓圍貓遊戲成為線上遊戲

的一種各位可以在網路上用「圍貓遊戲」四個字搜尋就能在線上玩圍貓遊戲了這遊戲

除了好玩之外還可以測試玩者的決策能力在布滿圓形的長方形棋盤上每個圓形都與六

個圓形相連一隻貓立於棋盤中央的圓形內玩者每次點選一個圓形塗黑來圍堵貓但貓可

以往尚未被塗色的隔壁圓形移動究竟鹿死誰手就要看 Game Design 的設計功力與圍貓者

的技巧誰強了下圖是貓被圍住的一種情形

用堵貓的方法進行圍貓遊戲經常沒辦法成功主要是因為貓有六個方向可以逃竄圍

堵方法很難奏效那麼圍貓遊戲是一種純靠運氣的遊戲嗎應該也不是我們可以往數學層

面來思考在進入更深入的討論之前回想一下國中時「任一三角形 ABC的內角和剛好等於

180」是如何證明的讓小朋友站在 A點朝向 B點往 B點走去當走到 B點時原地旋

轉轉到臉朝 C點的方向接著往 C點走去又當走到 A點時並原地旋轉轉到臉朝 B點

的方向停了下來此時小朋友回到出發前的 A點且臉部朝向的方向相同（都朝向 B點）

這告訴我們「小朋友一共轉了完整的一圈即 360的意思」另外我們在三角形 AB及 C三

個頂點上分別畫出旋轉的角度會發現他們都是外角

因為 AB及 C每點都是由一對內角及一對外角構成所以三角形的內角和就是

3 360 2 360180

2

證明三角形內角和等於180的概念真的對圍貓遊戲有所幫忙或者啟發嗎且讓我們深入

一點來探討圍貓遊戲吧圍貓棋盤上貓有六個方向可以逃竄用堵貓的方式圍貓肯定很難

奏效貓移動速度過快無法圍住所以利用空間爭取時間是個不錯的圍法但究竟要離貓

多遠的地方開始圍起呢這可能要根據貓有多少朋友這些黑色圓圈如何分布來決定了又

以何種形狀來圍住貓呢是圓形三角形長方形或者還有其他各種不同的形狀呢因為貓

10 數亦優

有六個方位可以逃所以用六邊形來圍貓是個不錯的想法舉例來說在下圖中貓僅有三

位朋友照理說圍住貓很難但是可以先想辦法幫貓製造比較多的朋友

在下圖中幫貓找到了三位朋友讓六位朋友位於凸六邊形的六個頂點上但我們也要付出

讓貓移動三步的代價還好此時貓還沒跑出六邊形外代表還有機會圍貓成功

從上圖可以洞悉貓想要往北邊逃竄當務之急當然是把北邊守住然後牽引貓順著六邊形

的邊移動在碰到頂點時帶著貓轉彎如下圖所示

繼續牽引貓順著六邊形的邊移動在碰到頂點時帶著貓轉彎在經歷六個轉彎之後貓就

會發現「牠已被困在六邊形內了」

數亦優 11

總結我們的作法是「利用空間換取時間先選妥適當大小的凸六邊形最好這凸六邊形的六

個頂點中有愈多是黑色圓圈愈好（代表儘量用貓的朋友當頂點）然後點選剩下的非黑色圓

圈構築完成圍貓的六邊形當貓衝撞這六邊形的一邊時牽引貓順著邊移動遇到頂點時

帶著貓轉彎在經歷六個轉彎之後貓就被困在凸六邊形內大功告成」手癢的讀者可以

在線上試玩看看圍貓遊戲是一道老少咸宜不分男女都很喜歡玩的遊戲也是心理學家

闡述「何謂輔導」的遊戲

把圍貓遊戲視為一道數學問題我們從混沌的實際操作過程裡得到圍貓的精髓這整個

過程就是數學孕育與思考的過程數學家亨利龐加萊在《數學的創造》中將自己對數學

的思考分為三個階段準備孕育與驗證首先所謂的準備階段就是對問題下很大功夫

又深陷混亂的階段在這個階段人們都會採取觀察實作分析學習與內化等有意識的

策略其次孕育階段就是停止有意識的思考讓潛意識發酵當腦袋裡的小燈泡忽然被點

亮那個「恍然大悟」的時刻就會到來最後驗證階段也是收割階段這一階段只是寫下

所有的事情檢查細節進行組織並發表龐加萊特別強調孕育階段的潛意識角色這是最

難懂也是至為關鍵的階段

談到潛意識就讓我們聯想到作夢而談到作夢又讓我們想到佛洛伊德在 1900 年出版的《夢

的解析》這本書在佛洛伊德出版《夢的解析》之前人類常把所作的夢當成神諭或預告未

來即將發生的事件看待上個世紀初期當印度數學家拉馬奴姜在英國留學時他的老師哈

代就常常好奇的問說「你每天早上一起床就寫下這麼多的恆等式到底是如何發生的」

拉馬奴姜總是說「那些是昨晚神明託夢給我的」例如

3 5 5 5 5 532 27 1 3 9

5 5 25 25 25

3

33 3 33 9 2

cos40 cos80 cos202

3 3 3 33sec40 sec80 sec20 6 9 1

拉馬奴姜顯然是個等式達人也是將龐加萊孕育階段中的潛意識發揮到淋漓盡致的人

12 數亦優

最後把圍貓遊戲當成小孩子數學思考的學習單觀察不同孩子經歷準備孕育與驗證

階段的發展過程是個不錯的主題當然小孩迷失方向時老師應該適時介入給予該有的幫

忙但切忌將答案傳遞給他

附錄

101 學年度全國高中數學科能力競賽決賽在彰師大數學系舉行其中的筆試試題(一)第二題就

是證明拉馬奴姜的恆等式

3

33 3 33 9 2

cos40 cos80 cos202

在五十位考生中只有一位作對而且是位高二的女生以下是羅啟心這位女學生的作法

設

3 3 3 3 3 3cos40 cos80 cos20 cos40 cos80 cos160S

則

3

3 3 3 3 3 3

3 3 3

cos40 cos80 cos160

3 cos40 cos80 cos80 cos160 cos40 cos160

3 cos40 cos80 cos160

S

S

利用三倍角公式可知 cos40 cos80 cos160 為

3 14 3

2x x

的三個根再由根與係數的關係知道

cos 40 cos80 cos160 0

3cos40 cos80 cos80 cos160 cos40 cos160

4

1

cos40 cos80 cos1608

由第一及第二式知

3 3 3 3 3 3 3 33 cos40 cos80 cos80 cos160 cos40 cos160

2S S

現在令

3 3 3 3 3 3cos40 cos80 cos80 cos160 cos40 cos160T

則

3 33

2S TS

又

數亦優 13

3

3 3 32 2 23 3 3 3 3 3

3 3 32 2 2

2

cos40 cos80 cos80 cos160 cos40 cos160

3 cos 40 cos80 cos160 cos40 cos 80 cos160 cos40 cos80 cos 160

3 cos 40 cos 80 cos 160

3 1 13 3

4 2 2

3 3

2 2

T

T

T S

TS

綜合兩式得

3 31 3

2 4T S

將此式代入 3 33

2S TS 得

3

33 3 33 3 13 27

2 4 2S ST S S

展開整理得

9 6 3 279 27 0

8S S S

再配方得

33 27 93 27 27

8 8S

解得

33 3 9

32

S 33 9

2 或

323 9

2

即

33 3 9

32

S 33 9

32

或3

23 93

2

因為 S為實數所以 3S 也是實數因此

33 3 9

32

S

解得

33

3 93

2S

即

3 3 3 333

cos 40 cos80 cos 20 9 22

得證

14 數亦優

一前言 》

高中數學課程近幾年不斷的加入統計的課程目的是想要讓學生感覺數學更貼近我們的生

活內容包含迴歸直線抽樣統計信賴區間hellip等而信賴區間這個單元建立在一個重要的

理論之上即為中央極限定理查閱大學教材內容大多在做定理及輔助定理的推導大多數人

未能完全了解其意義在這篇文章中我們將以高中生的觀點來欣賞中央極限定理

二中央極限定理（Central Limit Theorem簡寫 CLT）是什麼 》

每四年一次的總統大選選前新聞社都會透過電話隨機抽樣的方式來估計各組候選人的

支持度若每次電話抽樣訪問新聞社都隨機挑選 100 人這樣他們便可以獲得一組平均數標

準差這樣的行為重複多次則可以得到多組抽樣並討論其平均數標準差如果多組的平

均數用柱狀圖來呈現我們可以發現圖形隨著抽樣的次數增加會接近常態分配並且當選舉

後會發現真實的支持率與所有研究者當初所做的結果平均數相同且其標準差接近原來的

1

n倍即我們討論對象已由原來調查樣本變為這些研究者為我們討論對象這便是中央極

限定理討論的內容

現在讓我們重新敘述中央極限定理（有限母體）的內容

中央極限定理（Central Limit Theorem簡寫 C L T） 設研究目標為變量 T 1 2 Nt t t 平均數 標準差 則

2

2 21 1

1

1

N N

i i Ni i

ii

t tt

N N N

每次抽樣皆取 n個並取後放回其共有 NnC m 種抽樣方法數若每次抽樣平均分別為

1 2 mx x x 其結果會成常態分配則

1 1 2 mx x x 平均數為 1 2 Nt t t

N

2 1 2 mx x x 標準差為1

1

N n

n N

另外當 N n 時標準差近似於n

接下來我們可以進一步以高中的觀點探討為何抽樣平均的平均數會與當初未知的平均數相

同抽樣平均的標準差為何是1

1

N n

n N

廖世經臺中市立東山高中

數亦優 15

三抽樣平均的平均數及標準差 》

沿用上述的定理符號可以得到

1 2 mx x x

meanm

1 2 1 3 1 1 2n n N n N n Nt t t t t t t t t

n n n

m

1

1 1 2Nn NC t t t

nm

（

1

1

1

1 N Nn n

N n N nC C

n N n N n N n N

同理

22

1

1N Nn n

n nC C

N N

）

1 2

Nn N

nC t t t

Nnm

（∵ N

nC m ）

1 2 Nt t t

N

從上式證明結果我們可以發現學者抽樣平均所做的平均數與當初我們想要研究的目標

平均數是相同的這個觀念有助於我們將來思考信賴區間的概念

抽樣平均的變異數1

1

N n

n N

推導則為

2 2 2

1 1 1 1

2m m m m

i i i

i i i i

x x xvariance

m m

(A)

首先我們先考慮(A)中的1

m

i

i

x

從平均數的推導我們得到

1

m

i

i

x

m

則

1

m

i

i

x m

(B)

再考慮(A)中的2

1

m

i

i

x

2 2 22 1 2 1 3 1 1 2

1

mn n N n N n N

i

i

t t t t t t t t tx

n n n

2 2 21 2

1 1 2 2 1 2 1 3 1

2

2N Nn N n N NC t t t C t t t t t t

n

2 2 21 2 1 2 1 3 1

2

12

1N Nn N n N N

n nnC t t t C t t t t t t

N N N

n

2 2 21 2 1 2 1 3 1

112

1N N N

nm t t t m t t t t t t

N N N

n

(C)

16 數亦優

接著先計算(C)中的 1 2 1 3 12 N Nt t t t t t

2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 3 12N N N Nt t t t t t t t t t t t

2 2 2 21 2 1 2 1 3 12N N NN t t t t t t t t t

2 2 22 21 2 1 3 1 1 22 N N Nt t t t t t N t t t

將得到的式子代回(C)得到

2 2 2 2 2 22 2

1 2 1 22

1

111N Nm

i

i

nm t t t m N t t t

N N Nx

n

2

2 2 21 2

1

1 1N

m N n m n Nt t t

N N N

n

(D)

將(B)以及(D)的結果代回(A)得到

2 2

1 1 1

2m m m

i i

i i i

x xvariance

m

22 2 2

1 22

1

1 12

N

m N n m n Nt t t

N N Nm m

nm

2

2 2 21 2

2 2

1

1 12

N

N n n Nt t t

N N N

n

22 2 2 2

1 2

11

1 1N

N n n Nt t t

n N N n N

2

2 2 21 2

1

1 1N

N n N nt t t

n N N n N

2 2 221 21

1N

N n t t t

n N N

21

1

N n

n N

數亦優 17

在大學書中中央極限定理的敘述大多直接使用標準差n

是因為當 N n 時則

11

1 1

N n n

N N

rarr1故標準差會近似於

n

四結論 》

中央極限定理的存在幫助了我們做抽樣討論時從原本我們想要研究的目標轉換到探

討研究人員所做的數據上上面所討論的方式只透過平均數變異數的定義加上組合的想

法可以讓高中生更加了解中央極限定理藉此了解數學的真善美這是研究會時分享給其他

老師的內容謝謝我的實習老師黃怡慈老師的幫忙整理

18 數亦優

一楔子 》

古希臘人尤勒士（Euathlus）向普羅塔哥拉斯（Protagoras）學習辯論術先付一半學費

另一半學費訂定契約言明等學成後在第一場辯護勝訴時再付如果敗訴則學費不必再交

但尤勒士畢業後根本不擔任辯護的工作自然也不交另一半的學費因此普羅塔哥拉斯便告

他普羅塔哥拉斯說「如果我勝訴法官當然要判他還我學費如果我敗訴那就是尤勒士勝

訴依契約他還是要還我學費」尤勒士說「如果我勝訴當然是要求法官判我不必還學費

如果我敗訴依契約我也不必還學費」請問法官該怎麼判

二歸謬證法 》

亞里斯多德認為愈重的物體落下得愈快1589 年伽利略如此舉反證把兩物 AB

綁在一起成為 A B 假設 A比 B重則由高處落下時因為 B落下的速度比 A慢把 A拖

住所以 A B 落下的速度比 A 慢又 A B 比 A 重所以 A B 落下的速度又比 A 快矛盾

所以「任何物體同時從相同的高處落下皆同時著地」伽利略如是說

99 課程綱要把歸謬證法拿掉了我猜想最少有兩位先生會很鬱卒一位是歐幾里得先生

他在《幾何原本》中用歸謬證法證明了「質數有無窮多個」另一位是蔡聰明先生他用了 28

種方法證明 2 是無理數

三直觀與證明 》

最近看到一篇文章關於 2 是無理數的證明

假設 2p

q 是有理數其中 p q是正整數且 1p q 則

2

22

p

q

直觀上「如果p

q不是整數則

2

2

p

q更不可能是整數」矛盾

所以假設錯誤即 2 是無理數得證

（這是因為如果 p q沒有相同的成分 2p 和 2q 自然也不會有相同的成分如果p

q都無法化簡

成整數2

2

p

q更沒有機會了因此這個式子是個明顯可笑的矛盾等號左邊是整數右邊不是

整數兩者怎麼可能相等）

我想提一段陳年往事多年前一次國中數學週考中某老師出了一道題目證明三角形

兩邊和大於第三邊直觀上這何需證明因為兩點之間直線最短嘛於是我買了歐幾里得

的《幾何原本》根據歐幾里得的體系證明「三角形兩邊和大於第三邊」確實需要很長的篇幅

我相信這不會是出題老師的本意我的判斷是出題老師只想要學生說明「兩點之間直線最短」

江慶昱衛道中學退休教師

數亦優 19

那麼考題應該改成請說明「三角形兩邊和大於第三邊」中學階段不必強調數學的嚴密性

這是共識（60 年代的新數學過度強調嚴密性是失敗的原因之一）但是直觀的說明與嚴格的證

明應該予以區隔這純屬我個人的看法所以我以為上述關於 2 的證明實偏向於說明（註

最早項武義先生認為他解決了克卜勒的裝填問題陳省身先生也為之背書但還是不被接受

目前公認是 Thomas Hales 解決了httpenwikipediaorgwikiKepler_conjecture數學界的所謂

「證明」自有其行規）

如何在高中引入簡易邏輯是一件困難但是值得深思的事

四等價 》

高中課程中另一個重要的邏輯概念是「等價」有一年大學聯考考這麼一題證明「海龍

公式邊長 a b c的三角形面積 ( )( )( )s s a s b s c 」那時候大學錄取率大約 30不到

補習班之間競爭非常激烈大家趕著把解答登報有一間補習班第一天是這樣證明的

因為( ) ( )( )

sin cos2 2

A s s a A s b s c

bc bc

所以1 1

sin 2sin cos ( )( )( )2 2 2 2

A Abc A bc s s a s b s c

第二天趕快發報更正因為在邏輯上第一天拿一個等價的命題當作證明等於沒有證明

換句話說患了邏輯上的錯誤了

五等價的一些例子 》

我們在國中時有這樣的性質 p三角形任兩邊和大於第三邊又在書中的同一個角落看到

q三角形任兩邊差小於第三邊很容易證明「 p q 」這種情形我們叫 p與 q等價意思是 p

與 q是同一回事以下舉一些等價的例子

1 p平行公設過直線外一點恰有一直線與之平行q三角形內角和為180

2 G是ABC的重心則 p q r三個向量式等價

1 1

3 3

p AG AB AC

1 1 1

3 3 3

q OG OA OB OC

0r AG BG CG

3 2 2 2

p u v u v

（柯西不等式） q u v u v

（三角不等式）

4 p周長固定的平面圖形中以圓形面積最大q面積固定的平面圖形中以圓形周長最小

5 (1)正弦定理(2)餘弦定理(3)投影定理 等價

6 實數的完備性有多種等價的敘述（我有一位同事到師大數學系修碩士班學分就是上了一本

這樣的書）

7 p算幾不等式q柯西不等式

20 數亦優

六算幾不等式與柯西不等式的等價 》

算幾不等式與柯西不等式在形式上相差很多兩者會等價甚感意外我第一次是在臺中一

中的網頁內看到證明過程當時沒有仔細研究後來回去找就找不到那份資料了最近上網搜

尋找到建中徐健策老師的一篇專題算是一償宿願這是我寫這篇文章的另一個因緣

七後記 》

1900 年量子力學開始萌芽到 1965 年朝永振一郎（S Tomonaga）薛文格（Julian Schwinger）

與費因曼得到諾貝爾物理獎是一段精采的故事重點是薛文格與費因曼對量子電動力學的看法

與算法南轅北轍薛文格用的是歐洲優雅的數學費因曼的路徑積分用的是圖像式的數學把

兩者結合為一或者說看出兩者的「等價性」的是戴森（Freeman J Dyson）我覺得這比證

明兩命題的等價有更深刻的意義

非歐幾何的發展也有類似的地方義大利幾何學家 Eugenio Beltrami（1835~1899）證明了

Lobachevsky（1793~1856）與 Ferdinand Minding（1806~1885）的非歐幾何模型是「等價」的

（註代數中複數平面與平面向量同構以上兩種情況說同構或等價哪一個說法比較恰當

當就教於各位）

99 課程綱要把歸謬證法放在附錄我觀察最近兩年的各校段考試題大約只有三四個學

校段考中有考歸謬證法早年國中考高中每年要考一題證明題一題尺規作圖當時我們會

努力教證明題當然包括用「窮舉法」證明「圓內接四邊形的充要條件為對角互補」基測不

考證明題後絕大部分的老師不會花時間去證明這個定理向來就是「考試引導教學」自古皆

然隋唐時期科舉要考《算經》所以宋朝有四位偉大的數學家秦九韶李治楊輝朱世傑

到明清科舉只考八股文可以印證中國數學沒落的一段史實證明與數學的關係就如同實驗與

物理的關係基測與學測不考證明題相信有不少人憂心忡忡如今又把歸謬證法拿掉（放在

附錄與拿掉等價）應該有人輾轉難眠吧

早上（2012829）看到新聞十二年國教將於後年上路臺大名譽教授劉廣定批評103

年到 107 年的高中學生要繼續接受舊課綱的教育他堅決反對沒有新課綱的十二年國教後

年就要推十二年國教課綱最快 106 年才能完成到 108 年才有新課綱教科書可用意味之前

的高中生都要繼續接受舊課綱教育芬蘭從 1980 年代開始教改先找學校試辦2000 年才全

面實施然而臺灣十二年國教從宣布到實施只有三年準備期讓人憂心

參考資料

1 蔡聰明 2 是無理數的 28 種證明數學傳播季刊第 23 卷（第 1 期）

2 王九逵邏輯與數學思維

3 南山柯西不等式與排序不等式上海教育出版社P230

4 William Dunham（1995）天才之旅牛頓出版股份有限公司P61

5 戴森（1993）宇宙波瀾天下文化

6 奧瑟曼（1997）宇宙的詩篇天下文化P84

7 Stefan Kulczycki（1992）非歐幾里得幾何學水牛出版社P32

8 蔡辰理中國數學史上的黃金時代及其四個偉大的數學家20130701 取自

httpepistemathntuedutwarticlesmmmm_03_2_07page2htmltop

9 徐健策老師專題柯西琴生與冪平均不等式20131002 取自 httpmath1cktpedutw徐健策mathhtm

數亦優 21

一研究目的 》

將一道解四元一次聯立方程式的題目利用四次多項函數且領導係數為 1 的恆等原理來解

答

二研究過程 》

已知

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

12 1 2 3 2 5 2 7

14 1 4 3 4 5 4 7

16 1 6 3 6 5 6 7

18 1 8 3 8 5 8 7

x y z w

x y z w

x y z w

x y z w

試求(1) ( )x y z w (2) x y z w

一 首先將上題解讀為解四元一次聯立方程式

設

2

3

2

2

3 5 7105 2079 429 143 1

3 5 7 11 21 1485 1001 195 1

9 385 819 495 13 7 11 135 189 231 429 1

3 5 11 13

x aa b c d

y b a b c d

a b c dz ca b c d

w d

211512 1320 2288 5

4b c d

52376 1144 208 1

4b c d

5 956 504 1584 1

4b c d

2432 640 1792 0 19 5 14 0

5 1792 3840 5632 0 7 15 22 0

b c d b c d

b c d b c d

由5 14 14 19 19 5

320 320 320 11115 22 22 7 7 15

b c d

由1

56 504 1584 1 1024 11024

b b b b b c d

代入1 1 1 175 35

5 189 231 429 1 51024 1024 1024 1024 1024

a a a

李維昌國立宜蘭高中

22 數亦優

2 2 2 3 2 23 5 7 3 5 7 11 3 7 11 13 3 5 11 13( )

1024 1024 1024 1024x y z w

即為(1)的所求

2 3 2 2

2 3

2 2

3 5 7 3 5 7 11 3 7 11 13 3 5 11 13

35 13 5 7 3 5 7 11

1024 10241 1

3 7 11 13 3 5 11 131024 1024

x y z w a b c d

11025 10395 9009 6435 36864

361024 1024

即為(2)的所求

二 嘗試利用四次多項函數且領導係數為 1 的恆等原理來解答此題

1 構造以 t為變數的四次多項函數且領導係數為 1命此函數為 ( )f t

2 2 2 2 2 2 2( ) 1 3 5 7 3 5 7f t t t t t x t t t

2 2 2 2 2 2 2 2 21 5 7 1 3 7 1 3 5y t t t z t t t w t t t

其中 x y z w四數為常數

2 2 2 2 2 2 2 2 21

2 1 2 3 2 5 2 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 1 2 3 2 5 2 7 2 3 2 5 2 7

2 1 2 5 2 7 2 1 2 3 2 7

2 1 2 3 2 5 0

x

y z

w

2(2 ) 0f

3 2 2 2 2 2 2 2 21

4 1 4 3 4 5 4 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

4 1 4 3 4 5 4 7 4 3 4 5 4 7

4 1 4 5 4 7 4 1 4 3 4 7

4 1 4 3 4 5 0

x

y z

w

2(4 ) 0f

4 2 2 2 2 2 2 2 21

6 1 6 3 6 5 6 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

6 1 6 3 6 5 6 7 6 3 6 5 6 7

6 1 6 5 6 7 6 1 6 3 6 7

6 1 6 3 6 5 0

x

y z

w

2(6 ) 0f

數亦優 23

5 2 2 2 2 2 2 2 21

8 1 8 3 8 5 8 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

8 1 8 3 8 5 8 7 8 3 8 5 8 7

8 1 8 5 8 7 8 1 8 3 8 7

8 1 8 3 8 5 0

x

y z

w

2(8 ) 0f

6 由 12345的討論可得知 ( )f t 等價 2 2 2 22 4 6 8t t t t

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 4 6 8

1 3 5 7 3 5 7 1 5 7

1 3 7 1 3 5

t t t t

t t t t x t t t y t t t

z t t t w t t t

為 t的四次多項方程式

第式等號的左式 3t 的係數＝第式等號的右式 3t 的係數

2 2 2 2 2 2 2 22 4 6 8 1 3 5 7 x y z w

2 2 2 2 2 2 2 22 4 6 8 1 3 5 7 120 84 36x y z w

即為(2)的所求

7 x的求法

將 21t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

1 2 1 4 1 6 1 8 1 3 1 5 1 7

2 1 4 1 6 1 8 1 1 3 3 5 5 7 7 9 3 5 7

2 4 4 6 6 8 10243 1 5 1 7 1

x

x

8 y的求法

將 23t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 3

2 2 2 2 2 2

3 2 3 4 3 6 3 8 3 1 3 5 3 7

3 2 4 3 6 3 8 3 1 5 1 7 3 9 5 11 3 5 7 11

2 4 2 8 4 10 10243 1 5 3 7 3

y

y

9 z的求法

將 25t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

5 2 5 4 5 6 5 8 5 1 5 3 5 7

5 2 5 4 6 5 8 5 3 7 1 9 1 11 3 13 3 7 11 13

4 6 2 8 2 12 10245 1 5 3 7 5

z

z

24 數亦優

10 w的求法

將 27t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

7 2 7 4 7 6 7 8 7 1 7 3 7 5

7 2 7 4 7 6 8 7 5 9 3 11 1 13 1 15 3 5 11 13

6 8 4 10 2 12 10247 1 7 3 7 5

w

w

11 由 78910的討論可得

2 2 2 3 2 23 5 7 3 5 7 11 3 7 11 13 3 5 11 13

( ) 1024 1024 1024 1024

x y z w

即為(1)的所求

三 結論

1 解題的巧妙與否存乎一心「學則需疑於不疑處有疑方是進矣」本題為解四元

一次聯立方程式基本解題策略為克拉瑪公式加減消去法或代入消去法三種由

於這三種計算相當繁瑣進而苦思其他對策經過一番思索驀然回首伊人卻在

燈火闌珊處竟然將此題與四次多項方程式連結在一起有了令人會心一笑的妙解

真是一次驚奇的解題之旅

2 孔子曾言「學而不思則罔思而不學則殆」我期待每次解題時皆能直搗黃龍

一眼看穿題目的堂奧之妙事後「大膽假設小心求證」檢驗過程和結果是否達

到最佳化藉由在夙昔的典範亦步亦趨臻於真善美的解題境界

數亦優 25

國立臺灣師範大學數學系

筆試一計算證明題（考試時間2 小時）

1 (1) 直角三角形的兩股長為 a b斜邊長為 c試證 3 3 3c a b （8 分）

(2) 如下圖圓 O內二直徑 AC BD互相垂直在劣弧DC上任取一點 E

試證以 AE 為一邊的正方形面積等於四邊形 ABED面積的二倍 （12 分）

2 設函數 2( ) 6 5f x x x 求坐標平面上滿足聯立不等式

( ) ( ) 0

( ) ( ) 0

f x f y

f x f y

的所有點 ( )x y 所形成的區域面積 （20 分）

3 設 a b c d 為實數且 a b c d ( ) ( )f x g x 為滿足 ( ) ( )f a f b 及 ( ) ( )g c g d 的實係數二次多

項式已知 ( ) ( )f x g x 為常數多項式證明

(1) a b c d （8 分）

(2) 2( )

2

( )2

a bf a f

a bc d c d

g c g

（12 分）

4 如下圖所示ABC和DBC為空間中的兩個等腰三角形M為線段 BC 的中點令

AB AC a DB DC b BM CM c 和DA x

(1) 已知向量內積 0AM BD

求證 2 2 22x a b c （8 分）

(2) 已知 2 2 22x a b c 求證向量內積 0AM BD

（12 分）

26 數亦優

5 師大數學系舉辦系徽設計比賽入圍決選的有四件作品由 10 名學生代表進行不記名投票

每人投兩票且兩票須投不同作品在沒有廢票的情況下試問

(1) 四件作品的得票情形共有幾種 （8 分）

(2) 得票數 高的作品恰有一件的票數分布有幾種 （12 分）

筆試二填充題（考試時間15 小時）

1 設 a為實數若對於所有實數 x2

2

32

2

x ax

x x

恆成立則 a的範圍為

2 若等比數列的第三項是1 i 第五項是1 1

16 16i 其中 1i 則此等比數列的公比為

（有兩解）

3 從1234567 等數字中選取三個排成三位數數字不重複則排出來的是 3 的倍數但不是 5 的倍數

的整數有 個

4 桌上有十個骰子當中有一個骰子出現 5 點的機率是1

2而出現其他點數的機率均等其他

九個都是均勻的骰子用隨機的方式選取一個骰子來投擲在出現 5 點的情況下被選取的

骰子是不均勻骰子的條件機率為 （答案若為分數請化為 簡分數）

5 在電腦裡有一公定的對照表（ASCII）將英文字母ABhellipZ及空格等字元分別對應至一整數

其對應數字如下表所示

字母 空格 A B C D E F G H

ASCII 碼 32 65 66 67 68 69 70 71 72

字母 I J K L M N O P Q

ASCII 碼 73 74 75 76 77 78 79 80 81

字母 R S T U V W X Y Z

ASCII 碼 82 83 84 85 86 87 88 89 90

數亦優 27

我們可利用此對照表在 facebookTM 傳送保密訊息給朋友我們與朋友約定所有的英文字母及

空格皆以對照表中的整數替代例如「HE IS DAVID」的訊息用「7269327383326865867368」

取代然後將此數字字串的奇數項排在矩陣的第一列偶數項排在第二列形成以下矩陣

7 6 3 7 8 3 6 6 8 7 6

2 9 2 3 3 2 8 5 6 3 8B

再與二階方陣

1 2

2 3A

相乘得到

11 24 7 13 14 7 22 16 20 13 22

20 39 12 23 25 12 36 27 34 23 36AB

後依上述規則反求得字串「11202439071213231425071222361627203413232236」傳送給朋

友如此他人便不能立即得知傳送之內容現在在此規則下你接收到數字字串

「233825411222213516271932」可以轉成矩陣

23 25 12 21 16 19

38 41 22 35 27 32

其所代表之訊息為

6 坐標平面上圓 C通過點 (02) 且 C與兩直線 3 2 0 1 0x y y 皆相切則圓 C的方程

式為

7 坐標空間中ABC的三頂點分別為 (1 11) ( 321) (5 43)A B C P為ABC內部一點且

令P到 AB BC CA的距離分別為 x y z則 2 2 2x y z 的 小值為 （答案若為分數

請化為 簡分數）

8 函數 4 4( ) cos 3sinf x x x 的 小值為

9 設 為實數若

cos 0 sin

0 1 0

sin 0 cos

A

則 5A

10 袋中有編號分別為 1 到 6 的六個球從袋中隨機選取兩球令隨機變數 X表示在被選取的

兩球中球號比袋中剩下的球號都大的球的個數（例如如果選到 2 號和 3 號球那袋中剩

下的就是 1456 號球因為選出的球中並沒有比 1456 都大的球號故這種情況下 0X ）

隨機變數 X的期望值為 （答案若為分數請化為 簡分數）

28 數亦優

筆試一計算證明題

1 (1) 利用 2 2 2c a b 及 c a c b 得

3 2 2 2 2 3 3c c a b ca cb a b

(2) 過 E作 EF AC 則

四邊形 ABED的面積

1 1

2 21

21

2

ABD BDE

BD AO BD OF

BD AO OF

AC AF

又在直角三角形 ACE中因為2

AE AC AF 所以2

AE 四邊形 ABED面積的兩倍

2 因為

2 22 2( ) ( ) 6 6 10 3 3 8f x f y x y x y x y

2 2( ) ( ) 6 6 6f x f y x y x y x y x y

所以

2 23 3 8( ) ( ) 0

( ) ( ) 0 6 0

x yf x f y

f x f y x y x y

因此滿足上述條件的所有點 ( )x y 為

22 23 3 8

0 6 0

x y

x y x y

或 22 2

3 3 8

0 6 0

x y

x y x y

其所圍成的區域如下圖所示面積為 218 4

2

數亦優 29

3 (1) 依題意可設 ( ) ( )f x r x a x b s g x r x c x d s

因為 ( ) ( )f x g x 是常數多項式所以比較一二次項係數知

r r r a b r c d

得 a b c d

(2) 由 2 2

( )2 4 4

a b a ba bf r s r f a

得

2

4 ( )2a b

f a f

ra b

故得證

註1o 也可利用對稱性知 ( )y f x 的頂點之 x軸坐標為2

a b ( )y g x 的頂點之 x軸坐標

為2

c d而得證

2o 亦可用插值多項式證明

4 (1) 由向量分解DA DM MA DB BM MA

得

2 22 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2

2

2 2

DA DA DM MA DM MA DM MA

b c a c DB BM MA

b a c DB MA BM MA

因為 0AM BD

且 BM MA 所以

2 2 2 22DA b a c

因此

2 2 22DA a b c

(2) 由(1)及 BM MA 可得

2 2 2 22 2DA b a c DB MA

依題意知 2 2 22DA x b a c 即

22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2b a c b a c b a c DB MA

故

0DB MA

30 數亦優

5 (1) 由題意可以知道

1 四件作品所得的總票數為 20 票

2 每件作品 多可以得到 10 票

令四件作品的得票數分別為 x y z u由1 2 可得

200 10x y z u x y z u

因為 0 10x y z u 所以 420H 須扣掉11 20x y z u 的情況由 20x y z u 且

0x y z u 可知 多只有一個票數會大於等於 11假設 11x 令 11x x 可得

90 9x y z u x y z u

此情況有 4 129 9 220H C 種

因此票數分布為 4 420 94 1771 4 220 891H H 種

(2) 假設得票數 高為 x由題意可得

200 10x y z u y z u x

因為 y z u x 也就是 1y z u x 所以

1 1 1 4 3x y z u x x x x x

由 20x y z u 得

20 4 3x

即

23

4x

因此當 6x 時才會滿足只有一件作品得票數 高且票數為 x

當 6x 時

140 5y z u y z u

滿足此情況的 y z u有 (554)(545)(455) 3 種

當 7x 時

130 6y z u y z u

因為 13y z u 且 0y z u 所以 y z u 多只有一個會大於等於 7

由(1)可知滿足此情況有 3 3 15 813 6 13 63 3 105 84 21H H C C 種

同理

當 8910x 時 y z u 多只有一個會大於等於 8910故

當 8x 時有 3 3 14 612 4 12 43 3 91 45 46H H C C 種

當 9x 時有 3 3 13 411 2 11 23 3 78 18 60H H C C 種

數亦優 31

當 10x 時有 3 3 12 210 0 10 03 3 66 3 63H H C C 種

因此滿足只有一件作品得票數 高的情形有

4 3 21 46 60 63 772 種

筆試二填充題

1 2 3 4 5

0 4a 2 2

8 8i

66 1

4 NORMAL

6 7 8 9 10

2 2

3 1 4x y

2 2

3 3 5 36x y

（或是 2 2 2 3 2 0x y x y ）

50

79

3

4

cos5 0 sin 5

0 1 0

sin 5 0 cos5

2

5

32 數亦優

《接續PartI 請見數亦優第 21 期》

四 正多邊形

(一) 除了正方形及三角形以外我們還考慮將其他形狀組合討論其撕裂次數是否與正方

形三角形相同

(二) 並非所有正多邊形皆可組合若內角非360

kk

便不能組合例如

1 正五邊形的內角和180 3 540 則一個內角為108但108 360 k k

無法將五邊形完整組合必有空隙

2 正六邊形的內角和180 4 720 則一個內角為120因為120 3 360

則任三個相同的正六邊形皆可相互組合

(三) 完整排列正六邊形為例以 m張排列

例 1 一頁 5 個正六邊形排列

撕開 2 次使下排的兩個正六邊形與上排分開再逐一將上排撕開共需 4 次

由例 1撕的次數結果皆為 1m 次

（Part II） 陳敏晧國立蘭陽女中

數亦優 33

(四) 內部有洞正六邊形為例m張 n個洞排列

例 2 一頁 11 張且 2 洞排列

先撕開 2 次使其成為無洞排列再撕開 1 次使其變成兩頁完整排列再逐一撕開

共需 12 次

由例 1與例 2得知撕的次數結果皆為 1n m 次

五 「切割」的定義

(一) 我們從平面延伸到立體討論柏拉圖的五個正多面體先將正多面體每面切開分開

的次數是否也有彼此相似之處

(二) 因為立體無法如平面一樣用撕的故用切的而計算次數的定義與方法也與平面有很

大的差異

(三) 「切一次」的定義與限制沿著稜邊切下一個面才算作「一次」第一次切下後

便將封閉的正多面體打開此後每切一次都必須從開放的稜邊切下不可再一次從

封閉的面切下

以正六面體為例

此為一個完整封閉的正六面體

第一次沿著粗線切開可切下一個面

34 數亦優

六 柏拉圖多面體

1 正四面體

第一次將底面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 3 個面切下共需切

1 3 1 3 次

2 正六面體

第一次將頂面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 5 個面切下共需切

1 5 1 5 次

斜線部分為第一次被切下的面

封閉正六面體被打開後第二次只能從

開放的 4 條稜邊（粗線）切下

第二刀不可再從封閉面（粗線）開始切

數亦優 35

3 正八面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 7 個面切下共

需切 1 7 1 7 次

4 正十二面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 11 個面切下共

需切 1 11 1 11 次

5 正二十面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 19 個面切下共

需切 1 19 1 19 次

36 數亦優

由上述例子可得知切割次數皆剛好為正多面體的(總面數 1 )次

研究發現

內部有洞洞數 a b 其中 a洞的個數b每個洞的張數

矩 形

完整排列

邊長 邊長 總張數 撕的次數

2 2 4 3

4 5 20 19

不規則排列

總張數 撕的次數

10 9

13 12

內部有洞

邊長 邊長 洞數 總張數（邊長 邊長 洞的張數） 撕的次數

3 3 1 1 8 3 3 1 8

3 5 2 1 13 3 5 2 14

三 角 形

完整排列

邊長 總張數 撕的次數

2 4 3

3 9 8

不規則排列

總張數 撕的次數

10 9

13 12

內部有洞

邊長 洞數 總張數（邊長平方 洞的張數） 撕的次數

規

則

4 1 1 15 4 4 1 15

5 1 1 24 5 5 1 24

5 1 2 23 5 5 2 23

5 1 3 22 5 5 3 22

6 1 1 35 6 6 1 35

6 1 2 34 6 6 2 34

6 2 1 34 6 6 2 1 35

6 3 1 33 6 6 3 1 35

6 1 2 1 1 33 6 6 2 1 34

7 2 2 45 7 7 2 2 46

不

規

則

1 1 22 22

1 1 23 23

1 2 32 32

數亦優 37

六 邊 形

完整排列

總張數 撕的次數

3 2

5 4

內部有洞

洞數 總張數 撕的次數

1 1 6 6

2 1 11 12

正 多 面 體

面數 撕的次數

正四面體 4 3

正六面體 6 5

正八面體 8 7

正十二面體 12 11

正二十面體 20 19

目前的研究我們發現了以下獨特的結論平面幾何圖形中矩形正三角形和正六邊形的

規則形狀與不規則形狀紙張之最佳撕法都是(總張數 1 )次矩形正三角形及正六邊形排列成

內部有 n個洞且 m張的紙張之最佳撕法都是 1n m 次而柏拉圖立體的最少切割次數皆為

正多面體的(總面數 1 )次最重要我們發現其實撕裂或切割次數與撕裂或切割方法（或順序）

無關

參考資料

1 陳美如（200003）撕郵票問題數學傳播第 24 卷第 1 期P82~86

2 許志農與奇人相遇httpmathntnuedutw~macomeethtm

3 林義強多面體簡介第一屆全國高中數學教學研討會論文集P177~192

參數學專題研究反思 》

上述作品得到今年北一區數學科展優等過程中我與學生教學相長高二學生因為所學的

數學很有限所以數學解題層次會有侷限但是相對地數學思維與想像力卻是受過數學訓練

的我們所不及的在這次數學專題研究中我扮演的角色是諮詢者協助者鼓勵者完成任

務是那三位鍥而不捨的同學鄭羽呈李依庭林佩柔 勘誤 第 21 刊〈高中數學專題研究教案（PartI）〉 P34 倒數第 6 行「設m k 」應改為「設m k 」 P36 第 3 行「設m k 」應改為「設m k 」 P38 內部有洞的 1(1)~(4)分類應改為「1(1)一頁 24 張內部有一個洞一張為 1 洞」

「1(2)一頁 23 張內部有一個洞兩張為 1 洞」 「1(3)一頁 23 張內部有一個洞兩張為 1 洞」 「1(4)一頁 22 張內部有一個洞三張為 1 洞」

38 數亦優

動手玩數學 許志農臺灣師大數學系

在 下 圖 中已 知 ABC為 直 角

三 角 形 1AB 求

(1) 線段 AD的長度（化為最簡形式）

(2) 餘切 cot24

的值

〔玩鎖玩索〕

這道問題改編自「求 cot24

的值」這道

教師甄選試題關於這道餘切求值問題

有兩位老師的作法是用標準特別角出發

再求出欲求的餘切值

底下是另一位老師的作法

已知 ABC 為 直 角 三 角 形 4AC 求

AB BC及 cot24

的值

請 加 上 線 段 使 下 圖 分 成 五

份 形 狀 完 全 相 等 的 部 分（翻面

相等也算）

或 許 下 圖 對 你 會 有 些 幫 助 它 們 是 四 份

形 狀 完 全 相 等 的 部 分

〔玩鎖玩索〕

這是 1998 年夏天香港中文大學教育學

院第二次舉辦暑期資優課程中在數學有關的

工作坊裡的一道測智遊戲

遊戲 85

遊戲 86

數亦優 39

在 坐 標 平 面 上 畫 一 直 線 1L在

線 上 任 取 一 點O 以O為 旋 轉

中 心依 逆 時 針 方 向 將 直 線 1L

旋 轉 120得 到 直 線 2L 如 下

圖 所 示

已 知 直 線 1L 的 斜 率 為m求 證 直 線 2L 的 斜

率 為

3

3 1

m

m

〔玩鎖玩索〕

直線是平面幾何上的重要元素而斜率又

是直線在代數上的代言人掌握斜率就如同控

制直線一樣從逆轉120的 直 線 斜 率 公 式

不 難 知 道 坐 標 平 面 上 的 正 三 角 形 之 三

條 邊 斜 率

1 2 3 m m m

是可以互相推導的即由 1m 可 以 得 到 2m 與

3m 的 公 式 而 且 還 知 道 以 下 兩 個 恆 等 式

1 2 2 3 3 1 3m m m m m m

1 2 31 2 3

1 1 19m m m

m m m

宇 富 怕 手 機 被 盜 打 每 日 更

換 開 機 密 碼為 了 便 於 記 憶

他 想 到 一 則 更 換 密 碼 的 算 術

通 則 「 昨 天 密 碼 為p 今

日 的 密 碼 就 更 新 為1

1

p

p

」

宇 富 跟 所 有 的 人 說「 我 已 經

使 用 這 密 碼 通 則 500天 了 而

且 第 一 天 的 密 碼 就 設 為 2 1

相 信 各 位 算 到 手 痠也 無 法 算

出 今 天 的 開 機 密 碼 」

徵求可以破解開機密碼的人士

〔玩鎖玩索〕

如果第一天的密碼為 那麼破解密碼

的難度有增加嗎

遊戲 87

遊戲 88

40 數亦優

動動手手玩玩數數學學~~破破解解秘秘笈笈

遊戲 81

如圖所示

(1) 考慮 ABC 因為 8sin15AB BC 且

150ABC 所以 ABC 為等腰三角

形且 15BAC 因此

2 cos15 2 8sin15 cos15AC AB

1

8sin30 8 42

(2) 仿照(1)的方法 ACE 也是等腰三角

形且 30CAE 因此

32 cos30 2 4 4 3

2AE AC

遊戲 82

秦九韶這個依括弧次序求函數值 f a 的演

算法就是高中數學多項式那章所介紹的綜

合除法

2 5 4 8

2

2

a

a

仔細計算上述綜合除法的空白位置可以發

現小中大括弧位置所代表的值與秦九韶

小中大括弧內的值完全一樣

遊戲 83

(1)

2cos 2cos24 24cot

24 sin 2sin cos24 24 24

1 cos1 cos

3 412

sin sin12 3 4

(2) 因為

cos cos cos sin sin3 4 3 4 3 4

1 2 3 2

2 2 2 2

2 6

4 4

及

sin sin cos sin cos3 4 3 4 4 3

3 2 2 1

2 2 2 2

6 2

4 4

所以

2 61 4 6 24 4cot

24 6 2 6 24 4

2

4 6 2 6 2

6 2

2 2 3 6

遊戲 84

令

2 3A a b c b c i

2 3B c a b a b i

2 3C b a c c a i

且

1 3

2

i

因為 2A C B

所以 3 3 3 6 3A C B

又因為 3 6 1 所以 3 3 3A B C

得證

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10 數亦優

有六個方位可以逃所以用六邊形來圍貓是個不錯的想法舉例來說在下圖中貓僅有三

位朋友照理說圍住貓很難但是可以先想辦法幫貓製造比較多的朋友

在下圖中幫貓找到了三位朋友讓六位朋友位於凸六邊形的六個頂點上但我們也要付出

讓貓移動三步的代價還好此時貓還沒跑出六邊形外代表還有機會圍貓成功

從上圖可以洞悉貓想要往北邊逃竄當務之急當然是把北邊守住然後牽引貓順著六邊形

的邊移動在碰到頂點時帶著貓轉彎如下圖所示

繼續牽引貓順著六邊形的邊移動在碰到頂點時帶著貓轉彎在經歷六個轉彎之後貓就

會發現「牠已被困在六邊形內了」

數亦優 11

總結我們的作法是「利用空間換取時間先選妥適當大小的凸六邊形最好這凸六邊形的六

個頂點中有愈多是黑色圓圈愈好（代表儘量用貓的朋友當頂點）然後點選剩下的非黑色圓

圈構築完成圍貓的六邊形當貓衝撞這六邊形的一邊時牽引貓順著邊移動遇到頂點時

帶著貓轉彎在經歷六個轉彎之後貓就被困在凸六邊形內大功告成」手癢的讀者可以

在線上試玩看看圍貓遊戲是一道老少咸宜不分男女都很喜歡玩的遊戲也是心理學家

闡述「何謂輔導」的遊戲

把圍貓遊戲視為一道數學問題我們從混沌的實際操作過程裡得到圍貓的精髓這整個

過程就是數學孕育與思考的過程數學家亨利龐加萊在《數學的創造》中將自己對數學

的思考分為三個階段準備孕育與驗證首先所謂的準備階段就是對問題下很大功夫

又深陷混亂的階段在這個階段人們都會採取觀察實作分析學習與內化等有意識的

策略其次孕育階段就是停止有意識的思考讓潛意識發酵當腦袋裡的小燈泡忽然被點

亮那個「恍然大悟」的時刻就會到來最後驗證階段也是收割階段這一階段只是寫下

所有的事情檢查細節進行組織並發表龐加萊特別強調孕育階段的潛意識角色這是最

難懂也是至為關鍵的階段

談到潛意識就讓我們聯想到作夢而談到作夢又讓我們想到佛洛伊德在 1900 年出版的《夢

的解析》這本書在佛洛伊德出版《夢的解析》之前人類常把所作的夢當成神諭或預告未

來即將發生的事件看待上個世紀初期當印度數學家拉馬奴姜在英國留學時他的老師哈

代就常常好奇的問說「你每天早上一起床就寫下這麼多的恆等式到底是如何發生的」

拉馬奴姜總是說「那些是昨晚神明託夢給我的」例如

3 5 5 5 5 532 27 1 3 9

5 5 25 25 25

3

33 3 33 9 2

cos40 cos80 cos202

3 3 3 33sec40 sec80 sec20 6 9 1

拉馬奴姜顯然是個等式達人也是將龐加萊孕育階段中的潛意識發揮到淋漓盡致的人

12 數亦優

最後把圍貓遊戲當成小孩子數學思考的學習單觀察不同孩子經歷準備孕育與驗證

階段的發展過程是個不錯的主題當然小孩迷失方向時老師應該適時介入給予該有的幫

忙但切忌將答案傳遞給他

附錄

101 學年度全國高中數學科能力競賽決賽在彰師大數學系舉行其中的筆試試題(一)第二題就

是證明拉馬奴姜的恆等式

3

33 3 33 9 2

cos40 cos80 cos202

在五十位考生中只有一位作對而且是位高二的女生以下是羅啟心這位女學生的作法

設

3 3 3 3 3 3cos40 cos80 cos20 cos40 cos80 cos160S

則

3

3 3 3 3 3 3

3 3 3

cos40 cos80 cos160

3 cos40 cos80 cos80 cos160 cos40 cos160

3 cos40 cos80 cos160

S

S

利用三倍角公式可知 cos40 cos80 cos160 為

3 14 3

2x x

的三個根再由根與係數的關係知道

cos 40 cos80 cos160 0

3cos40 cos80 cos80 cos160 cos40 cos160

4

1

cos40 cos80 cos1608

由第一及第二式知

3 3 3 3 3 3 3 33 cos40 cos80 cos80 cos160 cos40 cos160

2S S

現在令

3 3 3 3 3 3cos40 cos80 cos80 cos160 cos40 cos160T

則

3 33

2S TS

又

數亦優 13

3

3 3 32 2 23 3 3 3 3 3

3 3 32 2 2

2

cos40 cos80 cos80 cos160 cos40 cos160

3 cos 40 cos80 cos160 cos40 cos 80 cos160 cos40 cos80 cos 160

3 cos 40 cos 80 cos 160

3 1 13 3

4 2 2

3 3

2 2

T

T

T S

TS

綜合兩式得

3 31 3

2 4T S

將此式代入 3 33

2S TS 得

3

33 3 33 3 13 27

2 4 2S ST S S

展開整理得

9 6 3 279 27 0

8S S S

再配方得

33 27 93 27 27

8 8S

解得

33 3 9

32

S 33 9

2 或

323 9

2

即

33 3 9

32

S 33 9

32

或3

23 93

2

因為 S為實數所以 3S 也是實數因此

33 3 9

32

S

解得

33

3 93

2S

即

3 3 3 333

cos 40 cos80 cos 20 9 22

得證

14 數亦優

一前言 》

高中數學課程近幾年不斷的加入統計的課程目的是想要讓學生感覺數學更貼近我們的生

活內容包含迴歸直線抽樣統計信賴區間hellip等而信賴區間這個單元建立在一個重要的

理論之上即為中央極限定理查閱大學教材內容大多在做定理及輔助定理的推導大多數人

未能完全了解其意義在這篇文章中我們將以高中生的觀點來欣賞中央極限定理

二中央極限定理（Central Limit Theorem簡寫 CLT）是什麼 》

每四年一次的總統大選選前新聞社都會透過電話隨機抽樣的方式來估計各組候選人的

支持度若每次電話抽樣訪問新聞社都隨機挑選 100 人這樣他們便可以獲得一組平均數標

準差這樣的行為重複多次則可以得到多組抽樣並討論其平均數標準差如果多組的平

均數用柱狀圖來呈現我們可以發現圖形隨著抽樣的次數增加會接近常態分配並且當選舉

後會發現真實的支持率與所有研究者當初所做的結果平均數相同且其標準差接近原來的

1

n倍即我們討論對象已由原來調查樣本變為這些研究者為我們討論對象這便是中央極

限定理討論的內容

現在讓我們重新敘述中央極限定理（有限母體）的內容

中央極限定理（Central Limit Theorem簡寫 C L T） 設研究目標為變量 T 1 2 Nt t t 平均數 標準差 則

2

2 21 1

1

1

N N

i i Ni i

ii

t tt

N N N

每次抽樣皆取 n個並取後放回其共有 NnC m 種抽樣方法數若每次抽樣平均分別為

1 2 mx x x 其結果會成常態分配則

1 1 2 mx x x 平均數為 1 2 Nt t t

N

2 1 2 mx x x 標準差為1

1

N n

n N

另外當 N n 時標準差近似於n

接下來我們可以進一步以高中的觀點探討為何抽樣平均的平均數會與當初未知的平均數相

同抽樣平均的標準差為何是1

1

N n

n N

廖世經臺中市立東山高中

數亦優 15

三抽樣平均的平均數及標準差 》

沿用上述的定理符號可以得到

1 2 mx x x

meanm

1 2 1 3 1 1 2n n N n N n Nt t t t t t t t t

n n n

m

1

1 1 2Nn NC t t t

nm

（

1

1

1

1 N Nn n

N n N nC C

n N n N n N n N

同理

22

1

1N Nn n

n nC C

N N

）

1 2

Nn N

nC t t t

Nnm

（∵ N

nC m ）

1 2 Nt t t

N

從上式證明結果我們可以發現學者抽樣平均所做的平均數與當初我們想要研究的目標

平均數是相同的這個觀念有助於我們將來思考信賴區間的概念

抽樣平均的變異數1

1

N n

n N

推導則為

2 2 2

1 1 1 1

2m m m m

i i i

i i i i

x x xvariance

m m

(A)

首先我們先考慮(A)中的1

m

i

i

x

從平均數的推導我們得到

1

m

i

i

x

m

則

1

m

i

i

x m

(B)

再考慮(A)中的2

1

m

i

i

x

2 2 22 1 2 1 3 1 1 2

1

mn n N n N n N

i

i

t t t t t t t t tx

n n n

2 2 21 2

1 1 2 2 1 2 1 3 1

2

2N Nn N n N NC t t t C t t t t t t

n

2 2 21 2 1 2 1 3 1

2

12

1N Nn N n N N

n nnC t t t C t t t t t t

N N N

n

2 2 21 2 1 2 1 3 1

112

1N N N

nm t t t m t t t t t t

N N N

n

(C)

16 數亦優

接著先計算(C)中的 1 2 1 3 12 N Nt t t t t t

2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 3 12N N N Nt t t t t t t t t t t t

2 2 2 21 2 1 2 1 3 12N N NN t t t t t t t t t

2 2 22 21 2 1 3 1 1 22 N N Nt t t t t t N t t t

將得到的式子代回(C)得到

2 2 2 2 2 22 2

1 2 1 22

1

111N Nm

i

i

nm t t t m N t t t

N N Nx

n

2

2 2 21 2

1

1 1N

m N n m n Nt t t

N N N

n

(D)

將(B)以及(D)的結果代回(A)得到

2 2

1 1 1

2m m m

i i

i i i

x xvariance

m

22 2 2

1 22

1

1 12

N

m N n m n Nt t t

N N Nm m

nm

2

2 2 21 2

2 2

1

1 12

N

N n n Nt t t

N N N

n

22 2 2 2

1 2

11

1 1N

N n n Nt t t

n N N n N

2

2 2 21 2

1

1 1N

N n N nt t t

n N N n N

2 2 221 21

1N

N n t t t

n N N

21

1

N n

n N

數亦優 17

在大學書中中央極限定理的敘述大多直接使用標準差n

是因為當 N n 時則

11

1 1

N n n

N N

rarr1故標準差會近似於

n

四結論 》

中央極限定理的存在幫助了我們做抽樣討論時從原本我們想要研究的目標轉換到探

討研究人員所做的數據上上面所討論的方式只透過平均數變異數的定義加上組合的想

法可以讓高中生更加了解中央極限定理藉此了解數學的真善美這是研究會時分享給其他

老師的內容謝謝我的實習老師黃怡慈老師的幫忙整理

18 數亦優

一楔子 》

古希臘人尤勒士（Euathlus）向普羅塔哥拉斯（Protagoras）學習辯論術先付一半學費

另一半學費訂定契約言明等學成後在第一場辯護勝訴時再付如果敗訴則學費不必再交

但尤勒士畢業後根本不擔任辯護的工作自然也不交另一半的學費因此普羅塔哥拉斯便告

他普羅塔哥拉斯說「如果我勝訴法官當然要判他還我學費如果我敗訴那就是尤勒士勝

訴依契約他還是要還我學費」尤勒士說「如果我勝訴當然是要求法官判我不必還學費

如果我敗訴依契約我也不必還學費」請問法官該怎麼判

二歸謬證法 》

亞里斯多德認為愈重的物體落下得愈快1589 年伽利略如此舉反證把兩物 AB

綁在一起成為 A B 假設 A比 B重則由高處落下時因為 B落下的速度比 A慢把 A拖

住所以 A B 落下的速度比 A 慢又 A B 比 A 重所以 A B 落下的速度又比 A 快矛盾

所以「任何物體同時從相同的高處落下皆同時著地」伽利略如是說

99 課程綱要把歸謬證法拿掉了我猜想最少有兩位先生會很鬱卒一位是歐幾里得先生

他在《幾何原本》中用歸謬證法證明了「質數有無窮多個」另一位是蔡聰明先生他用了 28

種方法證明 2 是無理數

三直觀與證明 》

最近看到一篇文章關於 2 是無理數的證明

假設 2p

q 是有理數其中 p q是正整數且 1p q 則

2

22

p

q

直觀上「如果p

q不是整數則

2

2

p

q更不可能是整數」矛盾

所以假設錯誤即 2 是無理數得證

（這是因為如果 p q沒有相同的成分 2p 和 2q 自然也不會有相同的成分如果p

q都無法化簡

成整數2

2

p

q更沒有機會了因此這個式子是個明顯可笑的矛盾等號左邊是整數右邊不是

整數兩者怎麼可能相等）

我想提一段陳年往事多年前一次國中數學週考中某老師出了一道題目證明三角形

兩邊和大於第三邊直觀上這何需證明因為兩點之間直線最短嘛於是我買了歐幾里得

的《幾何原本》根據歐幾里得的體系證明「三角形兩邊和大於第三邊」確實需要很長的篇幅

我相信這不會是出題老師的本意我的判斷是出題老師只想要學生說明「兩點之間直線最短」

江慶昱衛道中學退休教師

數亦優 19

那麼考題應該改成請說明「三角形兩邊和大於第三邊」中學階段不必強調數學的嚴密性

這是共識（60 年代的新數學過度強調嚴密性是失敗的原因之一）但是直觀的說明與嚴格的證

明應該予以區隔這純屬我個人的看法所以我以為上述關於 2 的證明實偏向於說明（註

最早項武義先生認為他解決了克卜勒的裝填問題陳省身先生也為之背書但還是不被接受

目前公認是 Thomas Hales 解決了httpenwikipediaorgwikiKepler_conjecture數學界的所謂

「證明」自有其行規）

如何在高中引入簡易邏輯是一件困難但是值得深思的事

四等價 》

高中課程中另一個重要的邏輯概念是「等價」有一年大學聯考考這麼一題證明「海龍

公式邊長 a b c的三角形面積 ( )( )( )s s a s b s c 」那時候大學錄取率大約 30不到

補習班之間競爭非常激烈大家趕著把解答登報有一間補習班第一天是這樣證明的

因為( ) ( )( )

sin cos2 2

A s s a A s b s c

bc bc

所以1 1

sin 2sin cos ( )( )( )2 2 2 2

A Abc A bc s s a s b s c

第二天趕快發報更正因為在邏輯上第一天拿一個等價的命題當作證明等於沒有證明

換句話說患了邏輯上的錯誤了

五等價的一些例子 》

我們在國中時有這樣的性質 p三角形任兩邊和大於第三邊又在書中的同一個角落看到

q三角形任兩邊差小於第三邊很容易證明「 p q 」這種情形我們叫 p與 q等價意思是 p

與 q是同一回事以下舉一些等價的例子

1 p平行公設過直線外一點恰有一直線與之平行q三角形內角和為180

2 G是ABC的重心則 p q r三個向量式等價

1 1

3 3

p AG AB AC

1 1 1

3 3 3

q OG OA OB OC

0r AG BG CG

3 2 2 2

p u v u v

（柯西不等式） q u v u v

（三角不等式）

4 p周長固定的平面圖形中以圓形面積最大q面積固定的平面圖形中以圓形周長最小

5 (1)正弦定理(2)餘弦定理(3)投影定理 等價

6 實數的完備性有多種等價的敘述（我有一位同事到師大數學系修碩士班學分就是上了一本

這樣的書）

7 p算幾不等式q柯西不等式

20 數亦優

六算幾不等式與柯西不等式的等價 》

算幾不等式與柯西不等式在形式上相差很多兩者會等價甚感意外我第一次是在臺中一

中的網頁內看到證明過程當時沒有仔細研究後來回去找就找不到那份資料了最近上網搜

尋找到建中徐健策老師的一篇專題算是一償宿願這是我寫這篇文章的另一個因緣

七後記 》

1900 年量子力學開始萌芽到 1965 年朝永振一郎（S Tomonaga）薛文格（Julian Schwinger）

與費因曼得到諾貝爾物理獎是一段精采的故事重點是薛文格與費因曼對量子電動力學的看法

與算法南轅北轍薛文格用的是歐洲優雅的數學費因曼的路徑積分用的是圖像式的數學把

兩者結合為一或者說看出兩者的「等價性」的是戴森（Freeman J Dyson）我覺得這比證

明兩命題的等價有更深刻的意義

非歐幾何的發展也有類似的地方義大利幾何學家 Eugenio Beltrami（1835~1899）證明了

Lobachevsky（1793~1856）與 Ferdinand Minding（1806~1885）的非歐幾何模型是「等價」的

（註代數中複數平面與平面向量同構以上兩種情況說同構或等價哪一個說法比較恰當

當就教於各位）

99 課程綱要把歸謬證法放在附錄我觀察最近兩年的各校段考試題大約只有三四個學

校段考中有考歸謬證法早年國中考高中每年要考一題證明題一題尺規作圖當時我們會

努力教證明題當然包括用「窮舉法」證明「圓內接四邊形的充要條件為對角互補」基測不

考證明題後絕大部分的老師不會花時間去證明這個定理向來就是「考試引導教學」自古皆

然隋唐時期科舉要考《算經》所以宋朝有四位偉大的數學家秦九韶李治楊輝朱世傑

到明清科舉只考八股文可以印證中國數學沒落的一段史實證明與數學的關係就如同實驗與

物理的關係基測與學測不考證明題相信有不少人憂心忡忡如今又把歸謬證法拿掉（放在

附錄與拿掉等價）應該有人輾轉難眠吧

早上（2012829）看到新聞十二年國教將於後年上路臺大名譽教授劉廣定批評103

年到 107 年的高中學生要繼續接受舊課綱的教育他堅決反對沒有新課綱的十二年國教後

年就要推十二年國教課綱最快 106 年才能完成到 108 年才有新課綱教科書可用意味之前

的高中生都要繼續接受舊課綱教育芬蘭從 1980 年代開始教改先找學校試辦2000 年才全

面實施然而臺灣十二年國教從宣布到實施只有三年準備期讓人憂心

參考資料

1 蔡聰明 2 是無理數的 28 種證明數學傳播季刊第 23 卷（第 1 期）

2 王九逵邏輯與數學思維

3 南山柯西不等式與排序不等式上海教育出版社P230

4 William Dunham（1995）天才之旅牛頓出版股份有限公司P61

5 戴森（1993）宇宙波瀾天下文化

6 奧瑟曼（1997）宇宙的詩篇天下文化P84

7 Stefan Kulczycki（1992）非歐幾里得幾何學水牛出版社P32

8 蔡辰理中國數學史上的黃金時代及其四個偉大的數學家20130701 取自

httpepistemathntuedutwarticlesmmmm_03_2_07page2htmltop

9 徐健策老師專題柯西琴生與冪平均不等式20131002 取自 httpmath1cktpedutw徐健策mathhtm

數亦優 21

一研究目的 》

將一道解四元一次聯立方程式的題目利用四次多項函數且領導係數為 1 的恆等原理來解

答

二研究過程 》

已知

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

12 1 2 3 2 5 2 7

14 1 4 3 4 5 4 7

16 1 6 3 6 5 6 7

18 1 8 3 8 5 8 7

x y z w

x y z w

x y z w

x y z w

試求(1) ( )x y z w (2) x y z w

一 首先將上題解讀為解四元一次聯立方程式

設

2

3

2

2

3 5 7105 2079 429 143 1

3 5 7 11 21 1485 1001 195 1

9 385 819 495 13 7 11 135 189 231 429 1

3 5 11 13

x aa b c d

y b a b c d

a b c dz ca b c d

w d

211512 1320 2288 5

4b c d

52376 1144 208 1

4b c d

5 956 504 1584 1

4b c d

2432 640 1792 0 19 5 14 0

5 1792 3840 5632 0 7 15 22 0

b c d b c d

b c d b c d

由5 14 14 19 19 5

320 320 320 11115 22 22 7 7 15

b c d

由1

56 504 1584 1 1024 11024

b b b b b c d

代入1 1 1 175 35

5 189 231 429 1 51024 1024 1024 1024 1024

a a a

李維昌國立宜蘭高中

22 數亦優

2 2 2 3 2 23 5 7 3 5 7 11 3 7 11 13 3 5 11 13( )

1024 1024 1024 1024x y z w

即為(1)的所求

2 3 2 2

2 3

2 2

3 5 7 3 5 7 11 3 7 11 13 3 5 11 13

35 13 5 7 3 5 7 11

1024 10241 1

3 7 11 13 3 5 11 131024 1024

x y z w a b c d

11025 10395 9009 6435 36864

361024 1024

即為(2)的所求

二 嘗試利用四次多項函數且領導係數為 1 的恆等原理來解答此題

1 構造以 t為變數的四次多項函數且領導係數為 1命此函數為 ( )f t

2 2 2 2 2 2 2( ) 1 3 5 7 3 5 7f t t t t t x t t t

2 2 2 2 2 2 2 2 21 5 7 1 3 7 1 3 5y t t t z t t t w t t t

其中 x y z w四數為常數

2 2 2 2 2 2 2 2 21

2 1 2 3 2 5 2 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 1 2 3 2 5 2 7 2 3 2 5 2 7

2 1 2 5 2 7 2 1 2 3 2 7

2 1 2 3 2 5 0

x

y z

w

2(2 ) 0f

3 2 2 2 2 2 2 2 21

4 1 4 3 4 5 4 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

4 1 4 3 4 5 4 7 4 3 4 5 4 7

4 1 4 5 4 7 4 1 4 3 4 7

4 1 4 3 4 5 0

x

y z

w

2(4 ) 0f

4 2 2 2 2 2 2 2 21

6 1 6 3 6 5 6 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

6 1 6 3 6 5 6 7 6 3 6 5 6 7

6 1 6 5 6 7 6 1 6 3 6 7

6 1 6 3 6 5 0

x

y z

w

2(6 ) 0f

數亦優 23

5 2 2 2 2 2 2 2 21

8 1 8 3 8 5 8 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

8 1 8 3 8 5 8 7 8 3 8 5 8 7

8 1 8 5 8 7 8 1 8 3 8 7

8 1 8 3 8 5 0

x

y z

w

2(8 ) 0f

6 由 12345的討論可得知 ( )f t 等價 2 2 2 22 4 6 8t t t t

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 4 6 8

1 3 5 7 3 5 7 1 5 7

1 3 7 1 3 5

t t t t

t t t t x t t t y t t t

z t t t w t t t

為 t的四次多項方程式

第式等號的左式 3t 的係數＝第式等號的右式 3t 的係數

2 2 2 2 2 2 2 22 4 6 8 1 3 5 7 x y z w

2 2 2 2 2 2 2 22 4 6 8 1 3 5 7 120 84 36x y z w

即為(2)的所求

7 x的求法

將 21t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

1 2 1 4 1 6 1 8 1 3 1 5 1 7

2 1 4 1 6 1 8 1 1 3 3 5 5 7 7 9 3 5 7

2 4 4 6 6 8 10243 1 5 1 7 1

x

x

8 y的求法

將 23t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 3

2 2 2 2 2 2

3 2 3 4 3 6 3 8 3 1 3 5 3 7

3 2 4 3 6 3 8 3 1 5 1 7 3 9 5 11 3 5 7 11

2 4 2 8 4 10 10243 1 5 3 7 3

y

y

9 z的求法

將 25t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

5 2 5 4 5 6 5 8 5 1 5 3 5 7

5 2 5 4 6 5 8 5 3 7 1 9 1 11 3 13 3 7 11 13

4 6 2 8 2 12 10245 1 5 3 7 5

z

z

24 數亦優

10 w的求法

將 27t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

7 2 7 4 7 6 7 8 7 1 7 3 7 5

7 2 7 4 7 6 8 7 5 9 3 11 1 13 1 15 3 5 11 13

6 8 4 10 2 12 10247 1 7 3 7 5

w

w

11 由 78910的討論可得

2 2 2 3 2 23 5 7 3 5 7 11 3 7 11 13 3 5 11 13

( ) 1024 1024 1024 1024

x y z w

即為(1)的所求

三 結論

1 解題的巧妙與否存乎一心「學則需疑於不疑處有疑方是進矣」本題為解四元

一次聯立方程式基本解題策略為克拉瑪公式加減消去法或代入消去法三種由

於這三種計算相當繁瑣進而苦思其他對策經過一番思索驀然回首伊人卻在

燈火闌珊處竟然將此題與四次多項方程式連結在一起有了令人會心一笑的妙解

真是一次驚奇的解題之旅

2 孔子曾言「學而不思則罔思而不學則殆」我期待每次解題時皆能直搗黃龍

一眼看穿題目的堂奧之妙事後「大膽假設小心求證」檢驗過程和結果是否達

到最佳化藉由在夙昔的典範亦步亦趨臻於真善美的解題境界

數亦優 25

國立臺灣師範大學數學系

筆試一計算證明題（考試時間2 小時）

1 (1) 直角三角形的兩股長為 a b斜邊長為 c試證 3 3 3c a b （8 分）

(2) 如下圖圓 O內二直徑 AC BD互相垂直在劣弧DC上任取一點 E

試證以 AE 為一邊的正方形面積等於四邊形 ABED面積的二倍 （12 分）

2 設函數 2( ) 6 5f x x x 求坐標平面上滿足聯立不等式

( ) ( ) 0

( ) ( ) 0

f x f y

f x f y

的所有點 ( )x y 所形成的區域面積 （20 分）

3 設 a b c d 為實數且 a b c d ( ) ( )f x g x 為滿足 ( ) ( )f a f b 及 ( ) ( )g c g d 的實係數二次多

項式已知 ( ) ( )f x g x 為常數多項式證明

(1) a b c d （8 分）

(2) 2( )

2

( )2

a bf a f

a bc d c d

g c g

（12 分）

4 如下圖所示ABC和DBC為空間中的兩個等腰三角形M為線段 BC 的中點令

AB AC a DB DC b BM CM c 和DA x

(1) 已知向量內積 0AM BD

求證 2 2 22x a b c （8 分）

(2) 已知 2 2 22x a b c 求證向量內積 0AM BD

（12 分）

26 數亦優

5 師大數學系舉辦系徽設計比賽入圍決選的有四件作品由 10 名學生代表進行不記名投票

每人投兩票且兩票須投不同作品在沒有廢票的情況下試問

(1) 四件作品的得票情形共有幾種 （8 分）

(2) 得票數 高的作品恰有一件的票數分布有幾種 （12 分）

筆試二填充題（考試時間15 小時）

1 設 a為實數若對於所有實數 x2

2

32

2

x ax

x x

恆成立則 a的範圍為

2 若等比數列的第三項是1 i 第五項是1 1

16 16i 其中 1i 則此等比數列的公比為

（有兩解）

3 從1234567 等數字中選取三個排成三位數數字不重複則排出來的是 3 的倍數但不是 5 的倍數

的整數有 個

4 桌上有十個骰子當中有一個骰子出現 5 點的機率是1

2而出現其他點數的機率均等其他

九個都是均勻的骰子用隨機的方式選取一個骰子來投擲在出現 5 點的情況下被選取的

骰子是不均勻骰子的條件機率為 （答案若為分數請化為 簡分數）

5 在電腦裡有一公定的對照表（ASCII）將英文字母ABhellipZ及空格等字元分別對應至一整數

其對應數字如下表所示

字母 空格 A B C D E F G H

ASCII 碼 32 65 66 67 68 69 70 71 72

字母 I J K L M N O P Q

ASCII 碼 73 74 75 76 77 78 79 80 81

字母 R S T U V W X Y Z

ASCII 碼 82 83 84 85 86 87 88 89 90

數亦優 27

我們可利用此對照表在 facebookTM 傳送保密訊息給朋友我們與朋友約定所有的英文字母及

空格皆以對照表中的整數替代例如「HE IS DAVID」的訊息用「7269327383326865867368」

取代然後將此數字字串的奇數項排在矩陣的第一列偶數項排在第二列形成以下矩陣

7 6 3 7 8 3 6 6 8 7 6

2 9 2 3 3 2 8 5 6 3 8B

再與二階方陣

1 2

2 3A

相乘得到

11 24 7 13 14 7 22 16 20 13 22

20 39 12 23 25 12 36 27 34 23 36AB

後依上述規則反求得字串「11202439071213231425071222361627203413232236」傳送給朋

友如此他人便不能立即得知傳送之內容現在在此規則下你接收到數字字串

「233825411222213516271932」可以轉成矩陣

23 25 12 21 16 19

38 41 22 35 27 32

其所代表之訊息為

6 坐標平面上圓 C通過點 (02) 且 C與兩直線 3 2 0 1 0x y y 皆相切則圓 C的方程

式為

7 坐標空間中ABC的三頂點分別為 (1 11) ( 321) (5 43)A B C P為ABC內部一點且

令P到 AB BC CA的距離分別為 x y z則 2 2 2x y z 的 小值為 （答案若為分數

請化為 簡分數）

8 函數 4 4( ) cos 3sinf x x x 的 小值為

9 設 為實數若

cos 0 sin

0 1 0

sin 0 cos

A

則 5A

10 袋中有編號分別為 1 到 6 的六個球從袋中隨機選取兩球令隨機變數 X表示在被選取的

兩球中球號比袋中剩下的球號都大的球的個數（例如如果選到 2 號和 3 號球那袋中剩

下的就是 1456 號球因為選出的球中並沒有比 1456 都大的球號故這種情況下 0X ）

隨機變數 X的期望值為 （答案若為分數請化為 簡分數）

28 數亦優

筆試一計算證明題

1 (1) 利用 2 2 2c a b 及 c a c b 得

3 2 2 2 2 3 3c c a b ca cb a b

(2) 過 E作 EF AC 則

四邊形 ABED的面積

1 1

2 21

21

2

ABD BDE

BD AO BD OF

BD AO OF

AC AF

又在直角三角形 ACE中因為2

AE AC AF 所以2

AE 四邊形 ABED面積的兩倍

2 因為

2 22 2( ) ( ) 6 6 10 3 3 8f x f y x y x y x y

2 2( ) ( ) 6 6 6f x f y x y x y x y x y

所以

2 23 3 8( ) ( ) 0

( ) ( ) 0 6 0

x yf x f y

f x f y x y x y

因此滿足上述條件的所有點 ( )x y 為

22 23 3 8

0 6 0

x y

x y x y

或 22 2

3 3 8

0 6 0

x y

x y x y

其所圍成的區域如下圖所示面積為 218 4

2

數亦優 29

3 (1) 依題意可設 ( ) ( )f x r x a x b s g x r x c x d s

因為 ( ) ( )f x g x 是常數多項式所以比較一二次項係數知

r r r a b r c d

得 a b c d

(2) 由 2 2

( )2 4 4

a b a ba bf r s r f a

得

2

4 ( )2a b

f a f

ra b

故得證

註1o 也可利用對稱性知 ( )y f x 的頂點之 x軸坐標為2

a b ( )y g x 的頂點之 x軸坐標

為2

c d而得證

2o 亦可用插值多項式證明

4 (1) 由向量分解DA DM MA DB BM MA

得

2 22 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2

2

2 2

DA DA DM MA DM MA DM MA

b c a c DB BM MA

b a c DB MA BM MA

因為 0AM BD

且 BM MA 所以

2 2 2 22DA b a c

因此

2 2 22DA a b c

(2) 由(1)及 BM MA 可得

2 2 2 22 2DA b a c DB MA

依題意知 2 2 22DA x b a c 即

22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2b a c b a c b a c DB MA

故

0DB MA

30 數亦優

5 (1) 由題意可以知道

1 四件作品所得的總票數為 20 票

2 每件作品 多可以得到 10 票

令四件作品的得票數分別為 x y z u由1 2 可得

200 10x y z u x y z u

因為 0 10x y z u 所以 420H 須扣掉11 20x y z u 的情況由 20x y z u 且

0x y z u 可知 多只有一個票數會大於等於 11假設 11x 令 11x x 可得

90 9x y z u x y z u

此情況有 4 129 9 220H C 種

因此票數分布為 4 420 94 1771 4 220 891H H 種

(2) 假設得票數 高為 x由題意可得

200 10x y z u y z u x

因為 y z u x 也就是 1y z u x 所以

1 1 1 4 3x y z u x x x x x

由 20x y z u 得

20 4 3x

即

23

4x

因此當 6x 時才會滿足只有一件作品得票數 高且票數為 x

當 6x 時

140 5y z u y z u

滿足此情況的 y z u有 (554)(545)(455) 3 種

當 7x 時

130 6y z u y z u

因為 13y z u 且 0y z u 所以 y z u 多只有一個會大於等於 7

由(1)可知滿足此情況有 3 3 15 813 6 13 63 3 105 84 21H H C C 種

同理

當 8910x 時 y z u 多只有一個會大於等於 8910故

當 8x 時有 3 3 14 612 4 12 43 3 91 45 46H H C C 種

當 9x 時有 3 3 13 411 2 11 23 3 78 18 60H H C C 種

數亦優 31

當 10x 時有 3 3 12 210 0 10 03 3 66 3 63H H C C 種

因此滿足只有一件作品得票數 高的情形有

4 3 21 46 60 63 772 種

筆試二填充題

1 2 3 4 5

0 4a 2 2

8 8i

66 1

4 NORMAL

6 7 8 9 10

2 2

3 1 4x y

2 2

3 3 5 36x y

（或是 2 2 2 3 2 0x y x y ）

50

79

3

4

cos5 0 sin 5

0 1 0

sin 5 0 cos5

2

5

32 數亦優

《接續PartI 請見數亦優第 21 期》

四 正多邊形

(一) 除了正方形及三角形以外我們還考慮將其他形狀組合討論其撕裂次數是否與正方

形三角形相同

(二) 並非所有正多邊形皆可組合若內角非360

kk

便不能組合例如

1 正五邊形的內角和180 3 540 則一個內角為108但108 360 k k

無法將五邊形完整組合必有空隙

2 正六邊形的內角和180 4 720 則一個內角為120因為120 3 360

則任三個相同的正六邊形皆可相互組合

(三) 完整排列正六邊形為例以 m張排列

例 1 一頁 5 個正六邊形排列

撕開 2 次使下排的兩個正六邊形與上排分開再逐一將上排撕開共需 4 次

由例 1撕的次數結果皆為 1m 次

（Part II） 陳敏晧國立蘭陽女中

數亦優 33

(四) 內部有洞正六邊形為例m張 n個洞排列

例 2 一頁 11 張且 2 洞排列

先撕開 2 次使其成為無洞排列再撕開 1 次使其變成兩頁完整排列再逐一撕開

共需 12 次

由例 1與例 2得知撕的次數結果皆為 1n m 次

五 「切割」的定義

(一) 我們從平面延伸到立體討論柏拉圖的五個正多面體先將正多面體每面切開分開

的次數是否也有彼此相似之處

(二) 因為立體無法如平面一樣用撕的故用切的而計算次數的定義與方法也與平面有很

大的差異

(三) 「切一次」的定義與限制沿著稜邊切下一個面才算作「一次」第一次切下後

便將封閉的正多面體打開此後每切一次都必須從開放的稜邊切下不可再一次從

封閉的面切下

以正六面體為例

此為一個完整封閉的正六面體

第一次沿著粗線切開可切下一個面

34 數亦優

六 柏拉圖多面體

1 正四面體

第一次將底面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 3 個面切下共需切

1 3 1 3 次

2 正六面體

第一次將頂面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 5 個面切下共需切

1 5 1 5 次

斜線部分為第一次被切下的面

封閉正六面體被打開後第二次只能從

開放的 4 條稜邊（粗線）切下

第二刀不可再從封閉面（粗線）開始切

數亦優 35

3 正八面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 7 個面切下共

需切 1 7 1 7 次

4 正十二面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 11 個面切下共

需切 1 11 1 11 次

5 正二十面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 19 個面切下共

需切 1 19 1 19 次

36 數亦優

由上述例子可得知切割次數皆剛好為正多面體的(總面數 1 )次

研究發現

內部有洞洞數 a b 其中 a洞的個數b每個洞的張數

矩 形

完整排列

邊長 邊長 總張數 撕的次數

2 2 4 3

4 5 20 19

不規則排列

總張數 撕的次數

10 9

13 12

內部有洞

邊長 邊長 洞數 總張數（邊長 邊長 洞的張數） 撕的次數

3 3 1 1 8 3 3 1 8

3 5 2 1 13 3 5 2 14

三 角 形

完整排列

邊長 總張數 撕的次數

2 4 3

3 9 8

不規則排列

總張數 撕的次數

10 9

13 12

內部有洞

邊長 洞數 總張數（邊長平方 洞的張數） 撕的次數

規

則

4 1 1 15 4 4 1 15

5 1 1 24 5 5 1 24

5 1 2 23 5 5 2 23

5 1 3 22 5 5 3 22

6 1 1 35 6 6 1 35

6 1 2 34 6 6 2 34

6 2 1 34 6 6 2 1 35

6 3 1 33 6 6 3 1 35

6 1 2 1 1 33 6 6 2 1 34

7 2 2 45 7 7 2 2 46

不

規

則

1 1 22 22

1 1 23 23

1 2 32 32

數亦優 37

六 邊 形

完整排列

總張數 撕的次數

3 2

5 4

內部有洞

洞數 總張數 撕的次數

1 1 6 6

2 1 11 12

正 多 面 體

面數 撕的次數

正四面體 4 3

正六面體 6 5

正八面體 8 7

正十二面體 12 11

正二十面體 20 19

目前的研究我們發現了以下獨特的結論平面幾何圖形中矩形正三角形和正六邊形的

規則形狀與不規則形狀紙張之最佳撕法都是(總張數 1 )次矩形正三角形及正六邊形排列成

內部有 n個洞且 m張的紙張之最佳撕法都是 1n m 次而柏拉圖立體的最少切割次數皆為

正多面體的(總面數 1 )次最重要我們發現其實撕裂或切割次數與撕裂或切割方法（或順序）

無關

參考資料

1 陳美如（200003）撕郵票問題數學傳播第 24 卷第 1 期P82~86

2 許志農與奇人相遇httpmathntnuedutw~macomeethtm

3 林義強多面體簡介第一屆全國高中數學教學研討會論文集P177~192

參數學專題研究反思 》

上述作品得到今年北一區數學科展優等過程中我與學生教學相長高二學生因為所學的

數學很有限所以數學解題層次會有侷限但是相對地數學思維與想像力卻是受過數學訓練

的我們所不及的在這次數學專題研究中我扮演的角色是諮詢者協助者鼓勵者完成任

務是那三位鍥而不捨的同學鄭羽呈李依庭林佩柔 勘誤 第 21 刊〈高中數學專題研究教案（PartI）〉 P34 倒數第 6 行「設m k 」應改為「設m k 」 P36 第 3 行「設m k 」應改為「設m k 」 P38 內部有洞的 1(1)~(4)分類應改為「1(1)一頁 24 張內部有一個洞一張為 1 洞」

「1(2)一頁 23 張內部有一個洞兩張為 1 洞」 「1(3)一頁 23 張內部有一個洞兩張為 1 洞」 「1(4)一頁 22 張內部有一個洞三張為 1 洞」

38 數亦優

動手玩數學 許志農臺灣師大數學系

在 下 圖 中已 知 ABC為 直 角

三 角 形 1AB 求

(1) 線段 AD的長度（化為最簡形式）

(2) 餘切 cot24

的值

〔玩鎖玩索〕

這道問題改編自「求 cot24

的值」這道

教師甄選試題關於這道餘切求值問題

有兩位老師的作法是用標準特別角出發

再求出欲求的餘切值

底下是另一位老師的作法

已知 ABC 為 直 角 三 角 形 4AC 求

AB BC及 cot24

的值

請 加 上 線 段 使 下 圖 分 成 五

份 形 狀 完 全 相 等 的 部 分（翻面

相等也算）

或 許 下 圖 對 你 會 有 些 幫 助 它 們 是 四 份

形 狀 完 全 相 等 的 部 分

〔玩鎖玩索〕

這是 1998 年夏天香港中文大學教育學

院第二次舉辦暑期資優課程中在數學有關的

工作坊裡的一道測智遊戲

遊戲 85

遊戲 86

數亦優 39

在 坐 標 平 面 上 畫 一 直 線 1L在

線 上 任 取 一 點O 以O為 旋 轉

中 心依 逆 時 針 方 向 將 直 線 1L

旋 轉 120得 到 直 線 2L 如 下

圖 所 示

已 知 直 線 1L 的 斜 率 為m求 證 直 線 2L 的 斜

率 為

3

3 1

m

m

〔玩鎖玩索〕

直線是平面幾何上的重要元素而斜率又

是直線在代數上的代言人掌握斜率就如同控

制直線一樣從逆轉120的 直 線 斜 率 公 式

不 難 知 道 坐 標 平 面 上 的 正 三 角 形 之 三

條 邊 斜 率

1 2 3 m m m

是可以互相推導的即由 1m 可 以 得 到 2m 與

3m 的 公 式 而 且 還 知 道 以 下 兩 個 恆 等 式

1 2 2 3 3 1 3m m m m m m

1 2 31 2 3

1 1 19m m m

m m m

宇 富 怕 手 機 被 盜 打 每 日 更

換 開 機 密 碼為 了 便 於 記 憶

他 想 到 一 則 更 換 密 碼 的 算 術

通 則 「 昨 天 密 碼 為p 今

日 的 密 碼 就 更 新 為1

1

p

p

」

宇 富 跟 所 有 的 人 說「 我 已 經

使 用 這 密 碼 通 則 500天 了 而

且 第 一 天 的 密 碼 就 設 為 2 1

相 信 各 位 算 到 手 痠也 無 法 算

出 今 天 的 開 機 密 碼 」

徵求可以破解開機密碼的人士

〔玩鎖玩索〕

如果第一天的密碼為 那麼破解密碼

的難度有增加嗎

遊戲 87

遊戲 88

40 數亦優

動動手手玩玩數數學學~~破破解解秘秘笈笈

遊戲 81

如圖所示

(1) 考慮 ABC 因為 8sin15AB BC 且

150ABC 所以 ABC 為等腰三角

形且 15BAC 因此

2 cos15 2 8sin15 cos15AC AB

1

8sin30 8 42

(2) 仿照(1)的方法 ACE 也是等腰三角

形且 30CAE 因此

32 cos30 2 4 4 3

2AE AC

遊戲 82

秦九韶這個依括弧次序求函數值 f a 的演

算法就是高中數學多項式那章所介紹的綜

合除法

2 5 4 8

2

2

a

a

仔細計算上述綜合除法的空白位置可以發

現小中大括弧位置所代表的值與秦九韶

小中大括弧內的值完全一樣

遊戲 83

(1)

2cos 2cos24 24cot

24 sin 2sin cos24 24 24

1 cos1 cos

3 412

sin sin12 3 4

(2) 因為

cos cos cos sin sin3 4 3 4 3 4

1 2 3 2

2 2 2 2

2 6

4 4

及

sin sin cos sin cos3 4 3 4 4 3

3 2 2 1

2 2 2 2

6 2

4 4

所以

2 61 4 6 24 4cot

24 6 2 6 24 4

2

4 6 2 6 2

6 2

2 2 3 6

遊戲 84

令

2 3A a b c b c i

2 3B c a b a b i

2 3C b a c c a i

且

1 3

2

i

因為 2A C B

所以 3 3 3 6 3A C B

又因為 3 6 1 所以 3 3 3A B C

得證

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 UKR 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 ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing Created PDF documents 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數亦優 11

總結我們的作法是「利用空間換取時間先選妥適當大小的凸六邊形最好這凸六邊形的六

個頂點中有愈多是黑色圓圈愈好（代表儘量用貓的朋友當頂點）然後點選剩下的非黑色圓

圈構築完成圍貓的六邊形當貓衝撞這六邊形的一邊時牽引貓順著邊移動遇到頂點時

帶著貓轉彎在經歷六個轉彎之後貓就被困在凸六邊形內大功告成」手癢的讀者可以

在線上試玩看看圍貓遊戲是一道老少咸宜不分男女都很喜歡玩的遊戲也是心理學家

闡述「何謂輔導」的遊戲

把圍貓遊戲視為一道數學問題我們從混沌的實際操作過程裡得到圍貓的精髓這整個

過程就是數學孕育與思考的過程數學家亨利龐加萊在《數學的創造》中將自己對數學

的思考分為三個階段準備孕育與驗證首先所謂的準備階段就是對問題下很大功夫

又深陷混亂的階段在這個階段人們都會採取觀察實作分析學習與內化等有意識的

策略其次孕育階段就是停止有意識的思考讓潛意識發酵當腦袋裡的小燈泡忽然被點

亮那個「恍然大悟」的時刻就會到來最後驗證階段也是收割階段這一階段只是寫下

所有的事情檢查細節進行組織並發表龐加萊特別強調孕育階段的潛意識角色這是最

難懂也是至為關鍵的階段

談到潛意識就讓我們聯想到作夢而談到作夢又讓我們想到佛洛伊德在 1900 年出版的《夢

的解析》這本書在佛洛伊德出版《夢的解析》之前人類常把所作的夢當成神諭或預告未

來即將發生的事件看待上個世紀初期當印度數學家拉馬奴姜在英國留學時他的老師哈

代就常常好奇的問說「你每天早上一起床就寫下這麼多的恆等式到底是如何發生的」

拉馬奴姜總是說「那些是昨晚神明託夢給我的」例如

3 5 5 5 5 532 27 1 3 9

5 5 25 25 25

3

33 3 33 9 2

cos40 cos80 cos202

3 3 3 33sec40 sec80 sec20 6 9 1

拉馬奴姜顯然是個等式達人也是將龐加萊孕育階段中的潛意識發揮到淋漓盡致的人

12 數亦優

最後把圍貓遊戲當成小孩子數學思考的學習單觀察不同孩子經歷準備孕育與驗證

階段的發展過程是個不錯的主題當然小孩迷失方向時老師應該適時介入給予該有的幫

忙但切忌將答案傳遞給他

附錄

101 學年度全國高中數學科能力競賽決賽在彰師大數學系舉行其中的筆試試題(一)第二題就

是證明拉馬奴姜的恆等式

3

33 3 33 9 2

cos40 cos80 cos202

在五十位考生中只有一位作對而且是位高二的女生以下是羅啟心這位女學生的作法

設

3 3 3 3 3 3cos40 cos80 cos20 cos40 cos80 cos160S

則

3

3 3 3 3 3 3

3 3 3

cos40 cos80 cos160

3 cos40 cos80 cos80 cos160 cos40 cos160

3 cos40 cos80 cos160

S

S

利用三倍角公式可知 cos40 cos80 cos160 為

3 14 3

2x x

的三個根再由根與係數的關係知道

cos 40 cos80 cos160 0

3cos40 cos80 cos80 cos160 cos40 cos160

4

1

cos40 cos80 cos1608

由第一及第二式知

3 3 3 3 3 3 3 33 cos40 cos80 cos80 cos160 cos40 cos160

2S S

現在令

3 3 3 3 3 3cos40 cos80 cos80 cos160 cos40 cos160T

則

3 33

2S TS

又

數亦優 13

3

3 3 32 2 23 3 3 3 3 3

3 3 32 2 2

2

cos40 cos80 cos80 cos160 cos40 cos160

3 cos 40 cos80 cos160 cos40 cos 80 cos160 cos40 cos80 cos 160

3 cos 40 cos 80 cos 160

3 1 13 3

4 2 2

3 3

2 2

T

T

T S

TS

綜合兩式得

3 31 3

2 4T S

將此式代入 3 33

2S TS 得

3

33 3 33 3 13 27

2 4 2S ST S S

展開整理得

9 6 3 279 27 0

8S S S

再配方得

33 27 93 27 27

8 8S

解得

33 3 9

32

S 33 9

2 或

323 9

2

即

33 3 9

32

S 33 9

32

或3

23 93

2

因為 S為實數所以 3S 也是實數因此

33 3 9

32

S

解得

33

3 93

2S

即

3 3 3 333

cos 40 cos80 cos 20 9 22

得證

14 數亦優

一前言 》

高中數學課程近幾年不斷的加入統計的課程目的是想要讓學生感覺數學更貼近我們的生

活內容包含迴歸直線抽樣統計信賴區間hellip等而信賴區間這個單元建立在一個重要的

理論之上即為中央極限定理查閱大學教材內容大多在做定理及輔助定理的推導大多數人

未能完全了解其意義在這篇文章中我們將以高中生的觀點來欣賞中央極限定理

二中央極限定理（Central Limit Theorem簡寫 CLT）是什麼 》

每四年一次的總統大選選前新聞社都會透過電話隨機抽樣的方式來估計各組候選人的

支持度若每次電話抽樣訪問新聞社都隨機挑選 100 人這樣他們便可以獲得一組平均數標

準差這樣的行為重複多次則可以得到多組抽樣並討論其平均數標準差如果多組的平

均數用柱狀圖來呈現我們可以發現圖形隨著抽樣的次數增加會接近常態分配並且當選舉

後會發現真實的支持率與所有研究者當初所做的結果平均數相同且其標準差接近原來的

1

n倍即我們討論對象已由原來調查樣本變為這些研究者為我們討論對象這便是中央極

限定理討論的內容

現在讓我們重新敘述中央極限定理（有限母體）的內容

中央極限定理（Central Limit Theorem簡寫 C L T） 設研究目標為變量 T 1 2 Nt t t 平均數 標準差 則

2

2 21 1

1

1

N N

i i Ni i

ii

t tt

N N N

每次抽樣皆取 n個並取後放回其共有 NnC m 種抽樣方法數若每次抽樣平均分別為

1 2 mx x x 其結果會成常態分配則

1 1 2 mx x x 平均數為 1 2 Nt t t

N

2 1 2 mx x x 標準差為1

1

N n

n N

另外當 N n 時標準差近似於n

接下來我們可以進一步以高中的觀點探討為何抽樣平均的平均數會與當初未知的平均數相

同抽樣平均的標準差為何是1

1

N n

n N

廖世經臺中市立東山高中

數亦優 15

三抽樣平均的平均數及標準差 》

沿用上述的定理符號可以得到

1 2 mx x x

meanm

1 2 1 3 1 1 2n n N n N n Nt t t t t t t t t

n n n

m

1

1 1 2Nn NC t t t

nm

（

1

1

1

1 N Nn n

N n N nC C

n N n N n N n N

同理

22

1

1N Nn n

n nC C

N N

）

1 2

Nn N

nC t t t

Nnm

（∵ N

nC m ）

1 2 Nt t t

N

從上式證明結果我們可以發現學者抽樣平均所做的平均數與當初我們想要研究的目標

平均數是相同的這個觀念有助於我們將來思考信賴區間的概念

抽樣平均的變異數1

1

N n

n N

推導則為

2 2 2

1 1 1 1

2m m m m

i i i

i i i i

x x xvariance

m m

(A)

首先我們先考慮(A)中的1

m

i

i

x

從平均數的推導我們得到

1

m

i

i

x

m

則

1

m

i

i

x m

(B)

再考慮(A)中的2

1

m

i

i

x

2 2 22 1 2 1 3 1 1 2

1

mn n N n N n N

i

i

t t t t t t t t tx

n n n

2 2 21 2

1 1 2 2 1 2 1 3 1

2

2N Nn N n N NC t t t C t t t t t t

n

2 2 21 2 1 2 1 3 1

2

12

1N Nn N n N N

n nnC t t t C t t t t t t

N N N

n

2 2 21 2 1 2 1 3 1

112

1N N N

nm t t t m t t t t t t

N N N

n

(C)

16 數亦優

接著先計算(C)中的 1 2 1 3 12 N Nt t t t t t

2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 3 12N N N Nt t t t t t t t t t t t

2 2 2 21 2 1 2 1 3 12N N NN t t t t t t t t t

2 2 22 21 2 1 3 1 1 22 N N Nt t t t t t N t t t

將得到的式子代回(C)得到

2 2 2 2 2 22 2

1 2 1 22

1

111N Nm

i

i

nm t t t m N t t t

N N Nx

n

2

2 2 21 2

1

1 1N

m N n m n Nt t t

N N N

n

(D)

將(B)以及(D)的結果代回(A)得到

2 2

1 1 1

2m m m

i i

i i i

x xvariance

m

22 2 2

1 22

1

1 12

N

m N n m n Nt t t

N N Nm m

nm

2

2 2 21 2

2 2

1

1 12

N

N n n Nt t t

N N N

n

22 2 2 2

1 2

11

1 1N

N n n Nt t t

n N N n N

2

2 2 21 2

1

1 1N

N n N nt t t

n N N n N

2 2 221 21

1N

N n t t t

n N N

21

1

N n

n N

數亦優 17

在大學書中中央極限定理的敘述大多直接使用標準差n

是因為當 N n 時則

11

1 1

N n n

N N

rarr1故標準差會近似於

n

四結論 》

中央極限定理的存在幫助了我們做抽樣討論時從原本我們想要研究的目標轉換到探

討研究人員所做的數據上上面所討論的方式只透過平均數變異數的定義加上組合的想

法可以讓高中生更加了解中央極限定理藉此了解數學的真善美這是研究會時分享給其他

老師的內容謝謝我的實習老師黃怡慈老師的幫忙整理

18 數亦優

一楔子 》

古希臘人尤勒士（Euathlus）向普羅塔哥拉斯（Protagoras）學習辯論術先付一半學費

另一半學費訂定契約言明等學成後在第一場辯護勝訴時再付如果敗訴則學費不必再交

但尤勒士畢業後根本不擔任辯護的工作自然也不交另一半的學費因此普羅塔哥拉斯便告

他普羅塔哥拉斯說「如果我勝訴法官當然要判他還我學費如果我敗訴那就是尤勒士勝

訴依契約他還是要還我學費」尤勒士說「如果我勝訴當然是要求法官判我不必還學費

如果我敗訴依契約我也不必還學費」請問法官該怎麼判

二歸謬證法 》

亞里斯多德認為愈重的物體落下得愈快1589 年伽利略如此舉反證把兩物 AB

綁在一起成為 A B 假設 A比 B重則由高處落下時因為 B落下的速度比 A慢把 A拖

住所以 A B 落下的速度比 A 慢又 A B 比 A 重所以 A B 落下的速度又比 A 快矛盾

所以「任何物體同時從相同的高處落下皆同時著地」伽利略如是說

99 課程綱要把歸謬證法拿掉了我猜想最少有兩位先生會很鬱卒一位是歐幾里得先生

他在《幾何原本》中用歸謬證法證明了「質數有無窮多個」另一位是蔡聰明先生他用了 28

種方法證明 2 是無理數

三直觀與證明 》

最近看到一篇文章關於 2 是無理數的證明

假設 2p

q 是有理數其中 p q是正整數且 1p q 則

2

22

p

q

直觀上「如果p

q不是整數則

2

2

p

q更不可能是整數」矛盾

所以假設錯誤即 2 是無理數得證

（這是因為如果 p q沒有相同的成分 2p 和 2q 自然也不會有相同的成分如果p

q都無法化簡

成整數2

2

p

q更沒有機會了因此這個式子是個明顯可笑的矛盾等號左邊是整數右邊不是

整數兩者怎麼可能相等）

我想提一段陳年往事多年前一次國中數學週考中某老師出了一道題目證明三角形

兩邊和大於第三邊直觀上這何需證明因為兩點之間直線最短嘛於是我買了歐幾里得

的《幾何原本》根據歐幾里得的體系證明「三角形兩邊和大於第三邊」確實需要很長的篇幅

我相信這不會是出題老師的本意我的判斷是出題老師只想要學生說明「兩點之間直線最短」

江慶昱衛道中學退休教師

數亦優 19

那麼考題應該改成請說明「三角形兩邊和大於第三邊」中學階段不必強調數學的嚴密性

這是共識（60 年代的新數學過度強調嚴密性是失敗的原因之一）但是直觀的說明與嚴格的證

明應該予以區隔這純屬我個人的看法所以我以為上述關於 2 的證明實偏向於說明（註

最早項武義先生認為他解決了克卜勒的裝填問題陳省身先生也為之背書但還是不被接受

目前公認是 Thomas Hales 解決了httpenwikipediaorgwikiKepler_conjecture數學界的所謂

「證明」自有其行規）

如何在高中引入簡易邏輯是一件困難但是值得深思的事

四等價 》

高中課程中另一個重要的邏輯概念是「等價」有一年大學聯考考這麼一題證明「海龍

公式邊長 a b c的三角形面積 ( )( )( )s s a s b s c 」那時候大學錄取率大約 30不到

補習班之間競爭非常激烈大家趕著把解答登報有一間補習班第一天是這樣證明的

因為( ) ( )( )

sin cos2 2

A s s a A s b s c

bc bc

所以1 1

sin 2sin cos ( )( )( )2 2 2 2

A Abc A bc s s a s b s c

第二天趕快發報更正因為在邏輯上第一天拿一個等價的命題當作證明等於沒有證明

換句話說患了邏輯上的錯誤了

五等價的一些例子 》

我們在國中時有這樣的性質 p三角形任兩邊和大於第三邊又在書中的同一個角落看到

q三角形任兩邊差小於第三邊很容易證明「 p q 」這種情形我們叫 p與 q等價意思是 p

與 q是同一回事以下舉一些等價的例子

1 p平行公設過直線外一點恰有一直線與之平行q三角形內角和為180

2 G是ABC的重心則 p q r三個向量式等價

1 1

3 3

p AG AB AC

1 1 1

3 3 3

q OG OA OB OC

0r AG BG CG

3 2 2 2

p u v u v

（柯西不等式） q u v u v

（三角不等式）

4 p周長固定的平面圖形中以圓形面積最大q面積固定的平面圖形中以圓形周長最小

5 (1)正弦定理(2)餘弦定理(3)投影定理 等價

6 實數的完備性有多種等價的敘述（我有一位同事到師大數學系修碩士班學分就是上了一本

這樣的書）

7 p算幾不等式q柯西不等式

20 數亦優

六算幾不等式與柯西不等式的等價 》

算幾不等式與柯西不等式在形式上相差很多兩者會等價甚感意外我第一次是在臺中一

中的網頁內看到證明過程當時沒有仔細研究後來回去找就找不到那份資料了最近上網搜

尋找到建中徐健策老師的一篇專題算是一償宿願這是我寫這篇文章的另一個因緣

七後記 》

1900 年量子力學開始萌芽到 1965 年朝永振一郎（S Tomonaga）薛文格（Julian Schwinger）

與費因曼得到諾貝爾物理獎是一段精采的故事重點是薛文格與費因曼對量子電動力學的看法

與算法南轅北轍薛文格用的是歐洲優雅的數學費因曼的路徑積分用的是圖像式的數學把

兩者結合為一或者說看出兩者的「等價性」的是戴森（Freeman J Dyson）我覺得這比證

明兩命題的等價有更深刻的意義

非歐幾何的發展也有類似的地方義大利幾何學家 Eugenio Beltrami（1835~1899）證明了

Lobachevsky（1793~1856）與 Ferdinand Minding（1806~1885）的非歐幾何模型是「等價」的

（註代數中複數平面與平面向量同構以上兩種情況說同構或等價哪一個說法比較恰當

當就教於各位）

99 課程綱要把歸謬證法放在附錄我觀察最近兩年的各校段考試題大約只有三四個學

校段考中有考歸謬證法早年國中考高中每年要考一題證明題一題尺規作圖當時我們會

努力教證明題當然包括用「窮舉法」證明「圓內接四邊形的充要條件為對角互補」基測不

考證明題後絕大部分的老師不會花時間去證明這個定理向來就是「考試引導教學」自古皆

然隋唐時期科舉要考《算經》所以宋朝有四位偉大的數學家秦九韶李治楊輝朱世傑

到明清科舉只考八股文可以印證中國數學沒落的一段史實證明與數學的關係就如同實驗與

物理的關係基測與學測不考證明題相信有不少人憂心忡忡如今又把歸謬證法拿掉（放在

附錄與拿掉等價）應該有人輾轉難眠吧

早上（2012829）看到新聞十二年國教將於後年上路臺大名譽教授劉廣定批評103

年到 107 年的高中學生要繼續接受舊課綱的教育他堅決反對沒有新課綱的十二年國教後

年就要推十二年國教課綱最快 106 年才能完成到 108 年才有新課綱教科書可用意味之前

的高中生都要繼續接受舊課綱教育芬蘭從 1980 年代開始教改先找學校試辦2000 年才全

面實施然而臺灣十二年國教從宣布到實施只有三年準備期讓人憂心

參考資料

1 蔡聰明 2 是無理數的 28 種證明數學傳播季刊第 23 卷（第 1 期）

2 王九逵邏輯與數學思維

3 南山柯西不等式與排序不等式上海教育出版社P230

4 William Dunham（1995）天才之旅牛頓出版股份有限公司P61

5 戴森（1993）宇宙波瀾天下文化

6 奧瑟曼（1997）宇宙的詩篇天下文化P84

7 Stefan Kulczycki（1992）非歐幾里得幾何學水牛出版社P32

8 蔡辰理中國數學史上的黃金時代及其四個偉大的數學家20130701 取自

httpepistemathntuedutwarticlesmmmm_03_2_07page2htmltop

9 徐健策老師專題柯西琴生與冪平均不等式20131002 取自 httpmath1cktpedutw徐健策mathhtm

數亦優 21

一研究目的 》

將一道解四元一次聯立方程式的題目利用四次多項函數且領導係數為 1 的恆等原理來解

答

二研究過程 》

已知

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

12 1 2 3 2 5 2 7

14 1 4 3 4 5 4 7

16 1 6 3 6 5 6 7

18 1 8 3 8 5 8 7

x y z w

x y z w

x y z w

x y z w

試求(1) ( )x y z w (2) x y z w

一 首先將上題解讀為解四元一次聯立方程式

設

2

3

2

2

3 5 7105 2079 429 143 1

3 5 7 11 21 1485 1001 195 1

9 385 819 495 13 7 11 135 189 231 429 1

3 5 11 13

x aa b c d

y b a b c d

a b c dz ca b c d

w d

211512 1320 2288 5

4b c d

52376 1144 208 1

4b c d

5 956 504 1584 1

4b c d

2432 640 1792 0 19 5 14 0

5 1792 3840 5632 0 7 15 22 0

b c d b c d

b c d b c d

由5 14 14 19 19 5

320 320 320 11115 22 22 7 7 15

b c d

由1

56 504 1584 1 1024 11024

b b b b b c d

代入1 1 1 175 35

5 189 231 429 1 51024 1024 1024 1024 1024

a a a

李維昌國立宜蘭高中

22 數亦優

2 2 2 3 2 23 5 7 3 5 7 11 3 7 11 13 3 5 11 13( )

1024 1024 1024 1024x y z w

即為(1)的所求

2 3 2 2

2 3

2 2

3 5 7 3 5 7 11 3 7 11 13 3 5 11 13

35 13 5 7 3 5 7 11

1024 10241 1

3 7 11 13 3 5 11 131024 1024

x y z w a b c d

11025 10395 9009 6435 36864

361024 1024

即為(2)的所求

二 嘗試利用四次多項函數且領導係數為 1 的恆等原理來解答此題

1 構造以 t為變數的四次多項函數且領導係數為 1命此函數為 ( )f t

2 2 2 2 2 2 2( ) 1 3 5 7 3 5 7f t t t t t x t t t

2 2 2 2 2 2 2 2 21 5 7 1 3 7 1 3 5y t t t z t t t w t t t

其中 x y z w四數為常數

2 2 2 2 2 2 2 2 21

2 1 2 3 2 5 2 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 1 2 3 2 5 2 7 2 3 2 5 2 7

2 1 2 5 2 7 2 1 2 3 2 7

2 1 2 3 2 5 0

x

y z

w

2(2 ) 0f

3 2 2 2 2 2 2 2 21

4 1 4 3 4 5 4 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

4 1 4 3 4 5 4 7 4 3 4 5 4 7

4 1 4 5 4 7 4 1 4 3 4 7

4 1 4 3 4 5 0

x

y z

w

2(4 ) 0f

4 2 2 2 2 2 2 2 21

6 1 6 3 6 5 6 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

6 1 6 3 6 5 6 7 6 3 6 5 6 7

6 1 6 5 6 7 6 1 6 3 6 7

6 1 6 3 6 5 0

x

y z

w

2(6 ) 0f

數亦優 23

5 2 2 2 2 2 2 2 21

8 1 8 3 8 5 8 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

8 1 8 3 8 5 8 7 8 3 8 5 8 7

8 1 8 5 8 7 8 1 8 3 8 7

8 1 8 3 8 5 0

x

y z

w

2(8 ) 0f

6 由 12345的討論可得知 ( )f t 等價 2 2 2 22 4 6 8t t t t

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 4 6 8

1 3 5 7 3 5 7 1 5 7

1 3 7 1 3 5

t t t t

t t t t x t t t y t t t

z t t t w t t t

為 t的四次多項方程式

第式等號的左式 3t 的係數＝第式等號的右式 3t 的係數

2 2 2 2 2 2 2 22 4 6 8 1 3 5 7 x y z w

2 2 2 2 2 2 2 22 4 6 8 1 3 5 7 120 84 36x y z w

即為(2)的所求

7 x的求法

將 21t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

1 2 1 4 1 6 1 8 1 3 1 5 1 7

2 1 4 1 6 1 8 1 1 3 3 5 5 7 7 9 3 5 7

2 4 4 6 6 8 10243 1 5 1 7 1

x

x

8 y的求法

將 23t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 3

2 2 2 2 2 2

3 2 3 4 3 6 3 8 3 1 3 5 3 7

3 2 4 3 6 3 8 3 1 5 1 7 3 9 5 11 3 5 7 11

2 4 2 8 4 10 10243 1 5 3 7 3

y

y

9 z的求法

將 25t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

5 2 5 4 5 6 5 8 5 1 5 3 5 7

5 2 5 4 6 5 8 5 3 7 1 9 1 11 3 13 3 7 11 13

4 6 2 8 2 12 10245 1 5 3 7 5

z

z

24 數亦優

10 w的求法

將 27t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

7 2 7 4 7 6 7 8 7 1 7 3 7 5

7 2 7 4 7 6 8 7 5 9 3 11 1 13 1 15 3 5 11 13

6 8 4 10 2 12 10247 1 7 3 7 5

w

w

11 由 78910的討論可得

2 2 2 3 2 23 5 7 3 5 7 11 3 7 11 13 3 5 11 13

( ) 1024 1024 1024 1024

x y z w

即為(1)的所求

三 結論

1 解題的巧妙與否存乎一心「學則需疑於不疑處有疑方是進矣」本題為解四元

一次聯立方程式基本解題策略為克拉瑪公式加減消去法或代入消去法三種由

於這三種計算相當繁瑣進而苦思其他對策經過一番思索驀然回首伊人卻在

燈火闌珊處竟然將此題與四次多項方程式連結在一起有了令人會心一笑的妙解

真是一次驚奇的解題之旅

2 孔子曾言「學而不思則罔思而不學則殆」我期待每次解題時皆能直搗黃龍

一眼看穿題目的堂奧之妙事後「大膽假設小心求證」檢驗過程和結果是否達

到最佳化藉由在夙昔的典範亦步亦趨臻於真善美的解題境界

數亦優 25

國立臺灣師範大學數學系

筆試一計算證明題（考試時間2 小時）

1 (1) 直角三角形的兩股長為 a b斜邊長為 c試證 3 3 3c a b （8 分）

(2) 如下圖圓 O內二直徑 AC BD互相垂直在劣弧DC上任取一點 E

試證以 AE 為一邊的正方形面積等於四邊形 ABED面積的二倍 （12 分）

2 設函數 2( ) 6 5f x x x 求坐標平面上滿足聯立不等式

( ) ( ) 0

( ) ( ) 0

f x f y

f x f y

的所有點 ( )x y 所形成的區域面積 （20 分）

3 設 a b c d 為實數且 a b c d ( ) ( )f x g x 為滿足 ( ) ( )f a f b 及 ( ) ( )g c g d 的實係數二次多

項式已知 ( ) ( )f x g x 為常數多項式證明

(1) a b c d （8 分）

(2) 2( )

2

( )2

a bf a f

a bc d c d

g c g

（12 分）

4 如下圖所示ABC和DBC為空間中的兩個等腰三角形M為線段 BC 的中點令

AB AC a DB DC b BM CM c 和DA x

(1) 已知向量內積 0AM BD

求證 2 2 22x a b c （8 分）

(2) 已知 2 2 22x a b c 求證向量內積 0AM BD

（12 分）

26 數亦優

5 師大數學系舉辦系徽設計比賽入圍決選的有四件作品由 10 名學生代表進行不記名投票

每人投兩票且兩票須投不同作品在沒有廢票的情況下試問

(1) 四件作品的得票情形共有幾種 （8 分）

(2) 得票數 高的作品恰有一件的票數分布有幾種 （12 分）

筆試二填充題（考試時間15 小時）

1 設 a為實數若對於所有實數 x2

2

32

2

x ax

x x

恆成立則 a的範圍為

2 若等比數列的第三項是1 i 第五項是1 1

16 16i 其中 1i 則此等比數列的公比為

（有兩解）

3 從1234567 等數字中選取三個排成三位數數字不重複則排出來的是 3 的倍數但不是 5 的倍數

的整數有 個

4 桌上有十個骰子當中有一個骰子出現 5 點的機率是1

2而出現其他點數的機率均等其他

九個都是均勻的骰子用隨機的方式選取一個骰子來投擲在出現 5 點的情況下被選取的

骰子是不均勻骰子的條件機率為 （答案若為分數請化為 簡分數）

5 在電腦裡有一公定的對照表（ASCII）將英文字母ABhellipZ及空格等字元分別對應至一整數

其對應數字如下表所示

字母 空格 A B C D E F G H

ASCII 碼 32 65 66 67 68 69 70 71 72

字母 I J K L M N O P Q

ASCII 碼 73 74 75 76 77 78 79 80 81

字母 R S T U V W X Y Z

ASCII 碼 82 83 84 85 86 87 88 89 90

數亦優 27

我們可利用此對照表在 facebookTM 傳送保密訊息給朋友我們與朋友約定所有的英文字母及

空格皆以對照表中的整數替代例如「HE IS DAVID」的訊息用「7269327383326865867368」

取代然後將此數字字串的奇數項排在矩陣的第一列偶數項排在第二列形成以下矩陣

7 6 3 7 8 3 6 6 8 7 6

2 9 2 3 3 2 8 5 6 3 8B

再與二階方陣

1 2

2 3A

相乘得到

11 24 7 13 14 7 22 16 20 13 22

20 39 12 23 25 12 36 27 34 23 36AB

後依上述規則反求得字串「11202439071213231425071222361627203413232236」傳送給朋

友如此他人便不能立即得知傳送之內容現在在此規則下你接收到數字字串

「233825411222213516271932」可以轉成矩陣

23 25 12 21 16 19

38 41 22 35 27 32

其所代表之訊息為

6 坐標平面上圓 C通過點 (02) 且 C與兩直線 3 2 0 1 0x y y 皆相切則圓 C的方程

式為

7 坐標空間中ABC的三頂點分別為 (1 11) ( 321) (5 43)A B C P為ABC內部一點且

令P到 AB BC CA的距離分別為 x y z則 2 2 2x y z 的 小值為 （答案若為分數

請化為 簡分數）

8 函數 4 4( ) cos 3sinf x x x 的 小值為

9 設 為實數若

cos 0 sin

0 1 0

sin 0 cos

A

則 5A

10 袋中有編號分別為 1 到 6 的六個球從袋中隨機選取兩球令隨機變數 X表示在被選取的

兩球中球號比袋中剩下的球號都大的球的個數（例如如果選到 2 號和 3 號球那袋中剩

下的就是 1456 號球因為選出的球中並沒有比 1456 都大的球號故這種情況下 0X ）

隨機變數 X的期望值為 （答案若為分數請化為 簡分數）

28 數亦優

筆試一計算證明題

1 (1) 利用 2 2 2c a b 及 c a c b 得

3 2 2 2 2 3 3c c a b ca cb a b

(2) 過 E作 EF AC 則

四邊形 ABED的面積

1 1

2 21

21

2

ABD BDE

BD AO BD OF

BD AO OF

AC AF

又在直角三角形 ACE中因為2

AE AC AF 所以2

AE 四邊形 ABED面積的兩倍

2 因為

2 22 2( ) ( ) 6 6 10 3 3 8f x f y x y x y x y

2 2( ) ( ) 6 6 6f x f y x y x y x y x y

所以

2 23 3 8( ) ( ) 0

( ) ( ) 0 6 0

x yf x f y

f x f y x y x y

因此滿足上述條件的所有點 ( )x y 為

22 23 3 8

0 6 0

x y

x y x y

或 22 2

3 3 8

0 6 0

x y

x y x y

其所圍成的區域如下圖所示面積為 218 4

2

數亦優 29

3 (1) 依題意可設 ( ) ( )f x r x a x b s g x r x c x d s

因為 ( ) ( )f x g x 是常數多項式所以比較一二次項係數知

r r r a b r c d

得 a b c d

(2) 由 2 2

( )2 4 4

a b a ba bf r s r f a

得

2

4 ( )2a b

f a f

ra b

故得證

註1o 也可利用對稱性知 ( )y f x 的頂點之 x軸坐標為2

a b ( )y g x 的頂點之 x軸坐標

為2

c d而得證

2o 亦可用插值多項式證明

4 (1) 由向量分解DA DM MA DB BM MA

得

2 22 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2

2

2 2

DA DA DM MA DM MA DM MA

b c a c DB BM MA

b a c DB MA BM MA

因為 0AM BD

且 BM MA 所以

2 2 2 22DA b a c

因此

2 2 22DA a b c

(2) 由(1)及 BM MA 可得

2 2 2 22 2DA b a c DB MA

依題意知 2 2 22DA x b a c 即

22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2b a c b a c b a c DB MA

故

0DB MA

30 數亦優

5 (1) 由題意可以知道

1 四件作品所得的總票數為 20 票

2 每件作品 多可以得到 10 票

令四件作品的得票數分別為 x y z u由1 2 可得

200 10x y z u x y z u

因為 0 10x y z u 所以 420H 須扣掉11 20x y z u 的情況由 20x y z u 且

0x y z u 可知 多只有一個票數會大於等於 11假設 11x 令 11x x 可得

90 9x y z u x y z u

此情況有 4 129 9 220H C 種

因此票數分布為 4 420 94 1771 4 220 891H H 種

(2) 假設得票數 高為 x由題意可得

200 10x y z u y z u x

因為 y z u x 也就是 1y z u x 所以

1 1 1 4 3x y z u x x x x x

由 20x y z u 得

20 4 3x

即

23

4x

因此當 6x 時才會滿足只有一件作品得票數 高且票數為 x

當 6x 時

140 5y z u y z u

滿足此情況的 y z u有 (554)(545)(455) 3 種

當 7x 時

130 6y z u y z u

因為 13y z u 且 0y z u 所以 y z u 多只有一個會大於等於 7

由(1)可知滿足此情況有 3 3 15 813 6 13 63 3 105 84 21H H C C 種

同理

當 8910x 時 y z u 多只有一個會大於等於 8910故

當 8x 時有 3 3 14 612 4 12 43 3 91 45 46H H C C 種

當 9x 時有 3 3 13 411 2 11 23 3 78 18 60H H C C 種

數亦優 31

當 10x 時有 3 3 12 210 0 10 03 3 66 3 63H H C C 種

因此滿足只有一件作品得票數 高的情形有

4 3 21 46 60 63 772 種

筆試二填充題

1 2 3 4 5

0 4a 2 2

8 8i

66 1

4 NORMAL

6 7 8 9 10

2 2

3 1 4x y

2 2

3 3 5 36x y

（或是 2 2 2 3 2 0x y x y ）

50

79

3

4

cos5 0 sin 5

0 1 0

sin 5 0 cos5

2

5

32 數亦優

《接續PartI 請見數亦優第 21 期》

四 正多邊形

(一) 除了正方形及三角形以外我們還考慮將其他形狀組合討論其撕裂次數是否與正方

形三角形相同

(二) 並非所有正多邊形皆可組合若內角非360

kk

便不能組合例如

1 正五邊形的內角和180 3 540 則一個內角為108但108 360 k k

無法將五邊形完整組合必有空隙

2 正六邊形的內角和180 4 720 則一個內角為120因為120 3 360

則任三個相同的正六邊形皆可相互組合

(三) 完整排列正六邊形為例以 m張排列

例 1 一頁 5 個正六邊形排列

撕開 2 次使下排的兩個正六邊形與上排分開再逐一將上排撕開共需 4 次

由例 1撕的次數結果皆為 1m 次

（Part II） 陳敏晧國立蘭陽女中

數亦優 33

(四) 內部有洞正六邊形為例m張 n個洞排列

例 2 一頁 11 張且 2 洞排列

先撕開 2 次使其成為無洞排列再撕開 1 次使其變成兩頁完整排列再逐一撕開

共需 12 次

由例 1與例 2得知撕的次數結果皆為 1n m 次

五 「切割」的定義

(一) 我們從平面延伸到立體討論柏拉圖的五個正多面體先將正多面體每面切開分開

的次數是否也有彼此相似之處

(二) 因為立體無法如平面一樣用撕的故用切的而計算次數的定義與方法也與平面有很

大的差異

(三) 「切一次」的定義與限制沿著稜邊切下一個面才算作「一次」第一次切下後

便將封閉的正多面體打開此後每切一次都必須從開放的稜邊切下不可再一次從

封閉的面切下

以正六面體為例

此為一個完整封閉的正六面體

第一次沿著粗線切開可切下一個面

34 數亦優

六 柏拉圖多面體

1 正四面體

第一次將底面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 3 個面切下共需切

1 3 1 3 次

2 正六面體

第一次將頂面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 5 個面切下共需切

1 5 1 5 次

斜線部分為第一次被切下的面

封閉正六面體被打開後第二次只能從

開放的 4 條稜邊（粗線）切下

第二刀不可再從封閉面（粗線）開始切

數亦優 35

3 正八面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 7 個面切下共

需切 1 7 1 7 次

4 正十二面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 11 個面切下共

需切 1 11 1 11 次

5 正二十面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 19 個面切下共

需切 1 19 1 19 次

36 數亦優

由上述例子可得知切割次數皆剛好為正多面體的(總面數 1 )次

研究發現

內部有洞洞數 a b 其中 a洞的個數b每個洞的張數

矩 形

完整排列

邊長 邊長 總張數 撕的次數

2 2 4 3

4 5 20 19

不規則排列

總張數 撕的次數

10 9

13 12

內部有洞

邊長 邊長 洞數 總張數（邊長 邊長 洞的張數） 撕的次數

3 3 1 1 8 3 3 1 8

3 5 2 1 13 3 5 2 14

三 角 形

完整排列

邊長 總張數 撕的次數

2 4 3

3 9 8

不規則排列

總張數 撕的次數

10 9

13 12

內部有洞

邊長 洞數 總張數（邊長平方 洞的張數） 撕的次數

規

則

4 1 1 15 4 4 1 15

5 1 1 24 5 5 1 24

5 1 2 23 5 5 2 23

5 1 3 22 5 5 3 22

6 1 1 35 6 6 1 35

6 1 2 34 6 6 2 34

6 2 1 34 6 6 2 1 35

6 3 1 33 6 6 3 1 35

6 1 2 1 1 33 6 6 2 1 34

7 2 2 45 7 7 2 2 46

不

規

則

1 1 22 22

1 1 23 23

1 2 32 32

數亦優 37

六 邊 形

完整排列

總張數 撕的次數

3 2

5 4

內部有洞

洞數 總張數 撕的次數

1 1 6 6

2 1 11 12

正 多 面 體

面數 撕的次數

正四面體 4 3

正六面體 6 5

正八面體 8 7

正十二面體 12 11

正二十面體 20 19

目前的研究我們發現了以下獨特的結論平面幾何圖形中矩形正三角形和正六邊形的

規則形狀與不規則形狀紙張之最佳撕法都是(總張數 1 )次矩形正三角形及正六邊形排列成

內部有 n個洞且 m張的紙張之最佳撕法都是 1n m 次而柏拉圖立體的最少切割次數皆為

正多面體的(總面數 1 )次最重要我們發現其實撕裂或切割次數與撕裂或切割方法（或順序）

無關

參考資料

1 陳美如（200003）撕郵票問題數學傳播第 24 卷第 1 期P82~86

2 許志農與奇人相遇httpmathntnuedutw~macomeethtm

3 林義強多面體簡介第一屆全國高中數學教學研討會論文集P177~192

參數學專題研究反思 》

上述作品得到今年北一區數學科展優等過程中我與學生教學相長高二學生因為所學的

數學很有限所以數學解題層次會有侷限但是相對地數學思維與想像力卻是受過數學訓練

的我們所不及的在這次數學專題研究中我扮演的角色是諮詢者協助者鼓勵者完成任

務是那三位鍥而不捨的同學鄭羽呈李依庭林佩柔 勘誤 第 21 刊〈高中數學專題研究教案（PartI）〉 P34 倒數第 6 行「設m k 」應改為「設m k 」 P36 第 3 行「設m k 」應改為「設m k 」 P38 內部有洞的 1(1)~(4)分類應改為「1(1)一頁 24 張內部有一個洞一張為 1 洞」

「1(2)一頁 23 張內部有一個洞兩張為 1 洞」 「1(3)一頁 23 張內部有一個洞兩張為 1 洞」 「1(4)一頁 22 張內部有一個洞三張為 1 洞」

38 數亦優

動手玩數學 許志農臺灣師大數學系

在 下 圖 中已 知 ABC為 直 角

三 角 形 1AB 求

(1) 線段 AD的長度（化為最簡形式）

(2) 餘切 cot24

的值

〔玩鎖玩索〕

這道問題改編自「求 cot24

的值」這道

教師甄選試題關於這道餘切求值問題

有兩位老師的作法是用標準特別角出發

再求出欲求的餘切值

底下是另一位老師的作法

已知 ABC 為 直 角 三 角 形 4AC 求

AB BC及 cot24

的值

請 加 上 線 段 使 下 圖 分 成 五

份 形 狀 完 全 相 等 的 部 分（翻面

相等也算）

或 許 下 圖 對 你 會 有 些 幫 助 它 們 是 四 份

形 狀 完 全 相 等 的 部 分

〔玩鎖玩索〕

這是 1998 年夏天香港中文大學教育學

院第二次舉辦暑期資優課程中在數學有關的

工作坊裡的一道測智遊戲

遊戲 85

遊戲 86

數亦優 39

在 坐 標 平 面 上 畫 一 直 線 1L在

線 上 任 取 一 點O 以O為 旋 轉

中 心依 逆 時 針 方 向 將 直 線 1L

旋 轉 120得 到 直 線 2L 如 下

圖 所 示

已 知 直 線 1L 的 斜 率 為m求 證 直 線 2L 的 斜

率 為

3

3 1

m

m

〔玩鎖玩索〕

直線是平面幾何上的重要元素而斜率又

是直線在代數上的代言人掌握斜率就如同控

制直線一樣從逆轉120的 直 線 斜 率 公 式

不 難 知 道 坐 標 平 面 上 的 正 三 角 形 之 三

條 邊 斜 率

1 2 3 m m m

是可以互相推導的即由 1m 可 以 得 到 2m 與

3m 的 公 式 而 且 還 知 道 以 下 兩 個 恆 等 式

1 2 2 3 3 1 3m m m m m m

1 2 31 2 3

1 1 19m m m

m m m

宇 富 怕 手 機 被 盜 打 每 日 更

換 開 機 密 碼為 了 便 於 記 憶

他 想 到 一 則 更 換 密 碼 的 算 術

通 則 「 昨 天 密 碼 為p 今

日 的 密 碼 就 更 新 為1

1

p

p

」

宇 富 跟 所 有 的 人 說「 我 已 經

使 用 這 密 碼 通 則 500天 了 而

且 第 一 天 的 密 碼 就 設 為 2 1

相 信 各 位 算 到 手 痠也 無 法 算

出 今 天 的 開 機 密 碼 」

徵求可以破解開機密碼的人士

〔玩鎖玩索〕

如果第一天的密碼為 那麼破解密碼

的難度有增加嗎

遊戲 87

遊戲 88

40 數亦優

動動手手玩玩數數學學~~破破解解秘秘笈笈

遊戲 81

如圖所示

(1) 考慮 ABC 因為 8sin15AB BC 且

150ABC 所以 ABC 為等腰三角

形且 15BAC 因此

2 cos15 2 8sin15 cos15AC AB

1

8sin30 8 42

(2) 仿照(1)的方法 ACE 也是等腰三角

形且 30CAE 因此

32 cos30 2 4 4 3

2AE AC

遊戲 82

秦九韶這個依括弧次序求函數值 f a 的演

算法就是高中數學多項式那章所介紹的綜

合除法

2 5 4 8

2

2

a

a

仔細計算上述綜合除法的空白位置可以發

現小中大括弧位置所代表的值與秦九韶

小中大括弧內的值完全一樣

遊戲 83

(1)

2cos 2cos24 24cot

24 sin 2sin cos24 24 24

1 cos1 cos

3 412

sin sin12 3 4

(2) 因為

cos cos cos sin sin3 4 3 4 3 4

1 2 3 2

2 2 2 2

2 6

4 4

及

sin sin cos sin cos3 4 3 4 4 3

3 2 2 1

2 2 2 2

6 2

4 4

所以

2 61 4 6 24 4cot

24 6 2 6 24 4

2

4 6 2 6 2

6 2

2 2 3 6

遊戲 84

令

2 3A a b c b c i

2 3B c a b a b i

2 3C b a c c a i

且

1 3

2

i

因為 2A C B

所以 3 3 3 6 3A C B

又因為 3 6 1 所以 3 3 3A B C

得證

ltlt ASCII85EncodePages false AllowTransparency false AutoPositionEPSFiles true AutoRotatePages All Binding Left CalGrayProfile (Dot Gain 20) CalRGBProfile (sRGB IEC61966-21) CalCMYKProfile (US Web Coated 050SWOP051 v2) sRGBProfile (sRGB IEC61966-21) CannotEmbedFontPolicy Error CompatibilityLevel 13 CompressObjects Tags CompressPages true ConvertImagesToIndexed true PassThroughJPEGImages true CreateJobTicket false DefaultRenderingIntent Default DetectBlends true DetectCurves 00000 ColorConversionStrategy LeaveColorUnchanged DoThumbnails false EmbedAllFonts true EmbedOpenType false ParseICCProfilesInComments true EmbedJobOptions true DSCReportingLevel 0 EmitDSCWarnings false EndPage -1 ImageMemory 1048576 LockDistillerParams false MaxSubsetPct 100 Optimize true OPM 1 ParseDSCComments true ParseDSCCommentsForDocInfo true PreserveCopyPage true PreserveDICMYKValues true PreserveEPSInfo true PreserveFlatness true PreserveHalftoneInfo false PreserveOPIComments true PreserveOverprintSettings 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 SVE 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 UKR 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 ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing Created PDF documents 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12 數亦優

最後把圍貓遊戲當成小孩子數學思考的學習單觀察不同孩子經歷準備孕育與驗證

階段的發展過程是個不錯的主題當然小孩迷失方向時老師應該適時介入給予該有的幫

忙但切忌將答案傳遞給他

附錄

101 學年度全國高中數學科能力競賽決賽在彰師大數學系舉行其中的筆試試題(一)第二題就

是證明拉馬奴姜的恆等式

3

33 3 33 9 2

cos40 cos80 cos202

在五十位考生中只有一位作對而且是位高二的女生以下是羅啟心這位女學生的作法

設

3 3 3 3 3 3cos40 cos80 cos20 cos40 cos80 cos160S

則

3

3 3 3 3 3 3

3 3 3

cos40 cos80 cos160

3 cos40 cos80 cos80 cos160 cos40 cos160

3 cos40 cos80 cos160

S

S

利用三倍角公式可知 cos40 cos80 cos160 為

3 14 3

2x x

的三個根再由根與係數的關係知道

cos 40 cos80 cos160 0

3cos40 cos80 cos80 cos160 cos40 cos160

4

1

cos40 cos80 cos1608

由第一及第二式知

3 3 3 3 3 3 3 33 cos40 cos80 cos80 cos160 cos40 cos160

2S S

現在令

3 3 3 3 3 3cos40 cos80 cos80 cos160 cos40 cos160T

則

3 33

2S TS

又

數亦優 13

3

3 3 32 2 23 3 3 3 3 3

3 3 32 2 2

2

cos40 cos80 cos80 cos160 cos40 cos160

3 cos 40 cos80 cos160 cos40 cos 80 cos160 cos40 cos80 cos 160

3 cos 40 cos 80 cos 160

3 1 13 3

4 2 2

3 3

2 2

T

T

T S

TS

綜合兩式得

3 31 3

2 4T S

將此式代入 3 33

2S TS 得

3

33 3 33 3 13 27

2 4 2S ST S S

展開整理得

9 6 3 279 27 0

8S S S

再配方得

33 27 93 27 27

8 8S

解得

33 3 9

32

S 33 9

2 或

323 9

2

即

33 3 9

32

S 33 9

32

或3

23 93

2

因為 S為實數所以 3S 也是實數因此

33 3 9

32

S

解得

33

3 93

2S

即

3 3 3 333

cos 40 cos80 cos 20 9 22

得證

14 數亦優

一前言 》

高中數學課程近幾年不斷的加入統計的課程目的是想要讓學生感覺數學更貼近我們的生

活內容包含迴歸直線抽樣統計信賴區間hellip等而信賴區間這個單元建立在一個重要的

理論之上即為中央極限定理查閱大學教材內容大多在做定理及輔助定理的推導大多數人

未能完全了解其意義在這篇文章中我們將以高中生的觀點來欣賞中央極限定理

二中央極限定理（Central Limit Theorem簡寫 CLT）是什麼 》

每四年一次的總統大選選前新聞社都會透過電話隨機抽樣的方式來估計各組候選人的

支持度若每次電話抽樣訪問新聞社都隨機挑選 100 人這樣他們便可以獲得一組平均數標

準差這樣的行為重複多次則可以得到多組抽樣並討論其平均數標準差如果多組的平

均數用柱狀圖來呈現我們可以發現圖形隨著抽樣的次數增加會接近常態分配並且當選舉

後會發現真實的支持率與所有研究者當初所做的結果平均數相同且其標準差接近原來的

1

n倍即我們討論對象已由原來調查樣本變為這些研究者為我們討論對象這便是中央極

限定理討論的內容

現在讓我們重新敘述中央極限定理（有限母體）的內容

中央極限定理（Central Limit Theorem簡寫 C L T） 設研究目標為變量 T 1 2 Nt t t 平均數 標準差 則

2

2 21 1

1

1

N N

i i Ni i

ii

t tt

N N N

每次抽樣皆取 n個並取後放回其共有 NnC m 種抽樣方法數若每次抽樣平均分別為

1 2 mx x x 其結果會成常態分配則

1 1 2 mx x x 平均數為 1 2 Nt t t

N

2 1 2 mx x x 標準差為1

1

N n

n N

另外當 N n 時標準差近似於n

接下來我們可以進一步以高中的觀點探討為何抽樣平均的平均數會與當初未知的平均數相

同抽樣平均的標準差為何是1

1

N n

n N

廖世經臺中市立東山高中

數亦優 15

三抽樣平均的平均數及標準差 》

沿用上述的定理符號可以得到

1 2 mx x x

meanm

1 2 1 3 1 1 2n n N n N n Nt t t t t t t t t

n n n

m

1

1 1 2Nn NC t t t

nm

（

1

1

1

1 N Nn n

N n N nC C

n N n N n N n N

同理

22

1

1N Nn n

n nC C

N N

）

1 2

Nn N

nC t t t

Nnm

（∵ N

nC m ）

1 2 Nt t t

N

從上式證明結果我們可以發現學者抽樣平均所做的平均數與當初我們想要研究的目標

平均數是相同的這個觀念有助於我們將來思考信賴區間的概念

抽樣平均的變異數1

1

N n

n N

推導則為

2 2 2

1 1 1 1

2m m m m

i i i

i i i i

x x xvariance

m m

(A)

首先我們先考慮(A)中的1

m

i

i

x

從平均數的推導我們得到

1

m

i

i

x

m

則

1

m

i

i

x m

(B)

再考慮(A)中的2

1

m

i

i

x

2 2 22 1 2 1 3 1 1 2

1

mn n N n N n N

i

i

t t t t t t t t tx

n n n

2 2 21 2

1 1 2 2 1 2 1 3 1

2

2N Nn N n N NC t t t C t t t t t t

n

2 2 21 2 1 2 1 3 1

2

12

1N Nn N n N N

n nnC t t t C t t t t t t

N N N

n

2 2 21 2 1 2 1 3 1

112

1N N N

nm t t t m t t t t t t

N N N

n

(C)

16 數亦優

接著先計算(C)中的 1 2 1 3 12 N Nt t t t t t

2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 3 12N N N Nt t t t t t t t t t t t

2 2 2 21 2 1 2 1 3 12N N NN t t t t t t t t t

2 2 22 21 2 1 3 1 1 22 N N Nt t t t t t N t t t

將得到的式子代回(C)得到

2 2 2 2 2 22 2

1 2 1 22

1

111N Nm

i

i

nm t t t m N t t t

N N Nx

n

2

2 2 21 2

1

1 1N

m N n m n Nt t t

N N N

n

(D)

將(B)以及(D)的結果代回(A)得到

2 2

1 1 1

2m m m

i i

i i i

x xvariance

m

22 2 2

1 22

1

1 12

N

m N n m n Nt t t

N N Nm m

nm

2

2 2 21 2

2 2

1

1 12

N

N n n Nt t t

N N N

n

22 2 2 2

1 2

11

1 1N

N n n Nt t t

n N N n N

2

2 2 21 2

1

1 1N

N n N nt t t

n N N n N

2 2 221 21

1N

N n t t t

n N N

21

1

N n

n N

數亦優 17

在大學書中中央極限定理的敘述大多直接使用標準差n

是因為當 N n 時則

11

1 1

N n n

N N

rarr1故標準差會近似於

n

四結論 》

中央極限定理的存在幫助了我們做抽樣討論時從原本我們想要研究的目標轉換到探

討研究人員所做的數據上上面所討論的方式只透過平均數變異數的定義加上組合的想

法可以讓高中生更加了解中央極限定理藉此了解數學的真善美這是研究會時分享給其他

老師的內容謝謝我的實習老師黃怡慈老師的幫忙整理

18 數亦優

一楔子 》

古希臘人尤勒士（Euathlus）向普羅塔哥拉斯（Protagoras）學習辯論術先付一半學費

另一半學費訂定契約言明等學成後在第一場辯護勝訴時再付如果敗訴則學費不必再交

但尤勒士畢業後根本不擔任辯護的工作自然也不交另一半的學費因此普羅塔哥拉斯便告

他普羅塔哥拉斯說「如果我勝訴法官當然要判他還我學費如果我敗訴那就是尤勒士勝

訴依契約他還是要還我學費」尤勒士說「如果我勝訴當然是要求法官判我不必還學費

如果我敗訴依契約我也不必還學費」請問法官該怎麼判

二歸謬證法 》

亞里斯多德認為愈重的物體落下得愈快1589 年伽利略如此舉反證把兩物 AB

綁在一起成為 A B 假設 A比 B重則由高處落下時因為 B落下的速度比 A慢把 A拖

住所以 A B 落下的速度比 A 慢又 A B 比 A 重所以 A B 落下的速度又比 A 快矛盾

所以「任何物體同時從相同的高處落下皆同時著地」伽利略如是說

99 課程綱要把歸謬證法拿掉了我猜想最少有兩位先生會很鬱卒一位是歐幾里得先生

他在《幾何原本》中用歸謬證法證明了「質數有無窮多個」另一位是蔡聰明先生他用了 28

種方法證明 2 是無理數

三直觀與證明 》

最近看到一篇文章關於 2 是無理數的證明

假設 2p

q 是有理數其中 p q是正整數且 1p q 則

2

22

p

q

直觀上「如果p

q不是整數則

2

2

p

q更不可能是整數」矛盾

所以假設錯誤即 2 是無理數得證

（這是因為如果 p q沒有相同的成分 2p 和 2q 自然也不會有相同的成分如果p

q都無法化簡

成整數2

2

p

q更沒有機會了因此這個式子是個明顯可笑的矛盾等號左邊是整數右邊不是

整數兩者怎麼可能相等）

我想提一段陳年往事多年前一次國中數學週考中某老師出了一道題目證明三角形

兩邊和大於第三邊直觀上這何需證明因為兩點之間直線最短嘛於是我買了歐幾里得

的《幾何原本》根據歐幾里得的體系證明「三角形兩邊和大於第三邊」確實需要很長的篇幅

我相信這不會是出題老師的本意我的判斷是出題老師只想要學生說明「兩點之間直線最短」

江慶昱衛道中學退休教師

數亦優 19

那麼考題應該改成請說明「三角形兩邊和大於第三邊」中學階段不必強調數學的嚴密性

這是共識（60 年代的新數學過度強調嚴密性是失敗的原因之一）但是直觀的說明與嚴格的證

明應該予以區隔這純屬我個人的看法所以我以為上述關於 2 的證明實偏向於說明（註

最早項武義先生認為他解決了克卜勒的裝填問題陳省身先生也為之背書但還是不被接受

目前公認是 Thomas Hales 解決了httpenwikipediaorgwikiKepler_conjecture數學界的所謂

「證明」自有其行規）

如何在高中引入簡易邏輯是一件困難但是值得深思的事

四等價 》

高中課程中另一個重要的邏輯概念是「等價」有一年大學聯考考這麼一題證明「海龍

公式邊長 a b c的三角形面積 ( )( )( )s s a s b s c 」那時候大學錄取率大約 30不到

補習班之間競爭非常激烈大家趕著把解答登報有一間補習班第一天是這樣證明的

因為( ) ( )( )

sin cos2 2

A s s a A s b s c

bc bc

所以1 1

sin 2sin cos ( )( )( )2 2 2 2

A Abc A bc s s a s b s c

第二天趕快發報更正因為在邏輯上第一天拿一個等價的命題當作證明等於沒有證明

換句話說患了邏輯上的錯誤了

五等價的一些例子 》

我們在國中時有這樣的性質 p三角形任兩邊和大於第三邊又在書中的同一個角落看到

q三角形任兩邊差小於第三邊很容易證明「 p q 」這種情形我們叫 p與 q等價意思是 p

與 q是同一回事以下舉一些等價的例子

1 p平行公設過直線外一點恰有一直線與之平行q三角形內角和為180

2 G是ABC的重心則 p q r三個向量式等價

1 1

3 3

p AG AB AC

1 1 1

3 3 3

q OG OA OB OC

0r AG BG CG

3 2 2 2

p u v u v

（柯西不等式） q u v u v

（三角不等式）

4 p周長固定的平面圖形中以圓形面積最大q面積固定的平面圖形中以圓形周長最小

5 (1)正弦定理(2)餘弦定理(3)投影定理 等價

6 實數的完備性有多種等價的敘述（我有一位同事到師大數學系修碩士班學分就是上了一本

這樣的書）

7 p算幾不等式q柯西不等式

20 數亦優

六算幾不等式與柯西不等式的等價 》

算幾不等式與柯西不等式在形式上相差很多兩者會等價甚感意外我第一次是在臺中一

中的網頁內看到證明過程當時沒有仔細研究後來回去找就找不到那份資料了最近上網搜

尋找到建中徐健策老師的一篇專題算是一償宿願這是我寫這篇文章的另一個因緣

七後記 》

1900 年量子力學開始萌芽到 1965 年朝永振一郎（S Tomonaga）薛文格（Julian Schwinger）

與費因曼得到諾貝爾物理獎是一段精采的故事重點是薛文格與費因曼對量子電動力學的看法

與算法南轅北轍薛文格用的是歐洲優雅的數學費因曼的路徑積分用的是圖像式的數學把

兩者結合為一或者說看出兩者的「等價性」的是戴森（Freeman J Dyson）我覺得這比證

明兩命題的等價有更深刻的意義

非歐幾何的發展也有類似的地方義大利幾何學家 Eugenio Beltrami（1835~1899）證明了

Lobachevsky（1793~1856）與 Ferdinand Minding（1806~1885）的非歐幾何模型是「等價」的

（註代數中複數平面與平面向量同構以上兩種情況說同構或等價哪一個說法比較恰當

當就教於各位）

99 課程綱要把歸謬證法放在附錄我觀察最近兩年的各校段考試題大約只有三四個學

校段考中有考歸謬證法早年國中考高中每年要考一題證明題一題尺規作圖當時我們會

努力教證明題當然包括用「窮舉法」證明「圓內接四邊形的充要條件為對角互補」基測不

考證明題後絕大部分的老師不會花時間去證明這個定理向來就是「考試引導教學」自古皆

然隋唐時期科舉要考《算經》所以宋朝有四位偉大的數學家秦九韶李治楊輝朱世傑

到明清科舉只考八股文可以印證中國數學沒落的一段史實證明與數學的關係就如同實驗與

物理的關係基測與學測不考證明題相信有不少人憂心忡忡如今又把歸謬證法拿掉（放在

附錄與拿掉等價）應該有人輾轉難眠吧

早上（2012829）看到新聞十二年國教將於後年上路臺大名譽教授劉廣定批評103

年到 107 年的高中學生要繼續接受舊課綱的教育他堅決反對沒有新課綱的十二年國教後

年就要推十二年國教課綱最快 106 年才能完成到 108 年才有新課綱教科書可用意味之前

的高中生都要繼續接受舊課綱教育芬蘭從 1980 年代開始教改先找學校試辦2000 年才全

面實施然而臺灣十二年國教從宣布到實施只有三年準備期讓人憂心

參考資料

1 蔡聰明 2 是無理數的 28 種證明數學傳播季刊第 23 卷（第 1 期）

2 王九逵邏輯與數學思維

3 南山柯西不等式與排序不等式上海教育出版社P230

4 William Dunham（1995）天才之旅牛頓出版股份有限公司P61

5 戴森（1993）宇宙波瀾天下文化

6 奧瑟曼（1997）宇宙的詩篇天下文化P84

7 Stefan Kulczycki（1992）非歐幾里得幾何學水牛出版社P32

8 蔡辰理中國數學史上的黃金時代及其四個偉大的數學家20130701 取自

httpepistemathntuedutwarticlesmmmm_03_2_07page2htmltop

9 徐健策老師專題柯西琴生與冪平均不等式20131002 取自 httpmath1cktpedutw徐健策mathhtm

數亦優 21

一研究目的 》

將一道解四元一次聯立方程式的題目利用四次多項函數且領導係數為 1 的恆等原理來解

答

二研究過程 》

已知

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

12 1 2 3 2 5 2 7

14 1 4 3 4 5 4 7

16 1 6 3 6 5 6 7

18 1 8 3 8 5 8 7

x y z w

x y z w

x y z w

x y z w

試求(1) ( )x y z w (2) x y z w

一 首先將上題解讀為解四元一次聯立方程式

設

2

3

2

2

3 5 7105 2079 429 143 1

3 5 7 11 21 1485 1001 195 1

9 385 819 495 13 7 11 135 189 231 429 1

3 5 11 13

x aa b c d

y b a b c d

a b c dz ca b c d

w d

211512 1320 2288 5

4b c d

52376 1144 208 1

4b c d

5 956 504 1584 1

4b c d

2432 640 1792 0 19 5 14 0

5 1792 3840 5632 0 7 15 22 0

b c d b c d

b c d b c d

由5 14 14 19 19 5

320 320 320 11115 22 22 7 7 15

b c d

由1

56 504 1584 1 1024 11024

b b b b b c d

代入1 1 1 175 35

5 189 231 429 1 51024 1024 1024 1024 1024

a a a

李維昌國立宜蘭高中

22 數亦優

2 2 2 3 2 23 5 7 3 5 7 11 3 7 11 13 3 5 11 13( )

1024 1024 1024 1024x y z w

即為(1)的所求

2 3 2 2

2 3

2 2

3 5 7 3 5 7 11 3 7 11 13 3 5 11 13

35 13 5 7 3 5 7 11

1024 10241 1

3 7 11 13 3 5 11 131024 1024

x y z w a b c d

11025 10395 9009 6435 36864

361024 1024

即為(2)的所求

二 嘗試利用四次多項函數且領導係數為 1 的恆等原理來解答此題

1 構造以 t為變數的四次多項函數且領導係數為 1命此函數為 ( )f t

2 2 2 2 2 2 2( ) 1 3 5 7 3 5 7f t t t t t x t t t

2 2 2 2 2 2 2 2 21 5 7 1 3 7 1 3 5y t t t z t t t w t t t

其中 x y z w四數為常數

2 2 2 2 2 2 2 2 21

2 1 2 3 2 5 2 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 1 2 3 2 5 2 7 2 3 2 5 2 7

2 1 2 5 2 7 2 1 2 3 2 7

2 1 2 3 2 5 0

x

y z

w

2(2 ) 0f

3 2 2 2 2 2 2 2 21

4 1 4 3 4 5 4 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

4 1 4 3 4 5 4 7 4 3 4 5 4 7

4 1 4 5 4 7 4 1 4 3 4 7

4 1 4 3 4 5 0

x

y z

w

2(4 ) 0f

4 2 2 2 2 2 2 2 21

6 1 6 3 6 5 6 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

6 1 6 3 6 5 6 7 6 3 6 5 6 7

6 1 6 5 6 7 6 1 6 3 6 7

6 1 6 3 6 5 0

x

y z

w

2(6 ) 0f

數亦優 23

5 2 2 2 2 2 2 2 21

8 1 8 3 8 5 8 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

8 1 8 3 8 5 8 7 8 3 8 5 8 7

8 1 8 5 8 7 8 1 8 3 8 7

8 1 8 3 8 5 0

x

y z

w

2(8 ) 0f

6 由 12345的討論可得知 ( )f t 等價 2 2 2 22 4 6 8t t t t

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 4 6 8

1 3 5 7 3 5 7 1 5 7

1 3 7 1 3 5

t t t t

t t t t x t t t y t t t

z t t t w t t t

為 t的四次多項方程式

第式等號的左式 3t 的係數＝第式等號的右式 3t 的係數

2 2 2 2 2 2 2 22 4 6 8 1 3 5 7 x y z w

2 2 2 2 2 2 2 22 4 6 8 1 3 5 7 120 84 36x y z w

即為(2)的所求

7 x的求法

將 21t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

1 2 1 4 1 6 1 8 1 3 1 5 1 7

2 1 4 1 6 1 8 1 1 3 3 5 5 7 7 9 3 5 7

2 4 4 6 6 8 10243 1 5 1 7 1

x

x

8 y的求法

將 23t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 3

2 2 2 2 2 2

3 2 3 4 3 6 3 8 3 1 3 5 3 7

3 2 4 3 6 3 8 3 1 5 1 7 3 9 5 11 3 5 7 11

2 4 2 8 4 10 10243 1 5 3 7 3

y

y

9 z的求法

將 25t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

5 2 5 4 5 6 5 8 5 1 5 3 5 7

5 2 5 4 6 5 8 5 3 7 1 9 1 11 3 13 3 7 11 13

4 6 2 8 2 12 10245 1 5 3 7 5

z

z

24 數亦優

10 w的求法

將 27t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

7 2 7 4 7 6 7 8 7 1 7 3 7 5

7 2 7 4 7 6 8 7 5 9 3 11 1 13 1 15 3 5 11 13

6 8 4 10 2 12 10247 1 7 3 7 5

w

w

11 由 78910的討論可得

2 2 2 3 2 23 5 7 3 5 7 11 3 7 11 13 3 5 11 13

( ) 1024 1024 1024 1024

x y z w

即為(1)的所求

三 結論

1 解題的巧妙與否存乎一心「學則需疑於不疑處有疑方是進矣」本題為解四元

一次聯立方程式基本解題策略為克拉瑪公式加減消去法或代入消去法三種由

於這三種計算相當繁瑣進而苦思其他對策經過一番思索驀然回首伊人卻在

燈火闌珊處竟然將此題與四次多項方程式連結在一起有了令人會心一笑的妙解

真是一次驚奇的解題之旅

2 孔子曾言「學而不思則罔思而不學則殆」我期待每次解題時皆能直搗黃龍

一眼看穿題目的堂奧之妙事後「大膽假設小心求證」檢驗過程和結果是否達

到最佳化藉由在夙昔的典範亦步亦趨臻於真善美的解題境界

數亦優 25

國立臺灣師範大學數學系

筆試一計算證明題（考試時間2 小時）

1 (1) 直角三角形的兩股長為 a b斜邊長為 c試證 3 3 3c a b （8 分）

(2) 如下圖圓 O內二直徑 AC BD互相垂直在劣弧DC上任取一點 E

試證以 AE 為一邊的正方形面積等於四邊形 ABED面積的二倍 （12 分）

2 設函數 2( ) 6 5f x x x 求坐標平面上滿足聯立不等式

( ) ( ) 0

( ) ( ) 0

f x f y

f x f y

的所有點 ( )x y 所形成的區域面積 （20 分）

3 設 a b c d 為實數且 a b c d ( ) ( )f x g x 為滿足 ( ) ( )f a f b 及 ( ) ( )g c g d 的實係數二次多

項式已知 ( ) ( )f x g x 為常數多項式證明

(1) a b c d （8 分）

(2) 2( )

2

( )2

a bf a f

a bc d c d

g c g

（12 分）

4 如下圖所示ABC和DBC為空間中的兩個等腰三角形M為線段 BC 的中點令

AB AC a DB DC b BM CM c 和DA x

(1) 已知向量內積 0AM BD

求證 2 2 22x a b c （8 分）

(2) 已知 2 2 22x a b c 求證向量內積 0AM BD

（12 分）

26 數亦優

5 師大數學系舉辦系徽設計比賽入圍決選的有四件作品由 10 名學生代表進行不記名投票

每人投兩票且兩票須投不同作品在沒有廢票的情況下試問

(1) 四件作品的得票情形共有幾種 （8 分）

(2) 得票數 高的作品恰有一件的票數分布有幾種 （12 分）

筆試二填充題（考試時間15 小時）

1 設 a為實數若對於所有實數 x2

2

32

2

x ax

x x

恆成立則 a的範圍為

2 若等比數列的第三項是1 i 第五項是1 1

16 16i 其中 1i 則此等比數列的公比為

（有兩解）

3 從1234567 等數字中選取三個排成三位數數字不重複則排出來的是 3 的倍數但不是 5 的倍數

的整數有 個

4 桌上有十個骰子當中有一個骰子出現 5 點的機率是1

2而出現其他點數的機率均等其他

九個都是均勻的骰子用隨機的方式選取一個骰子來投擲在出現 5 點的情況下被選取的

骰子是不均勻骰子的條件機率為 （答案若為分數請化為 簡分數）

5 在電腦裡有一公定的對照表（ASCII）將英文字母ABhellipZ及空格等字元分別對應至一整數

其對應數字如下表所示

字母 空格 A B C D E F G H

ASCII 碼 32 65 66 67 68 69 70 71 72

字母 I J K L M N O P Q

ASCII 碼 73 74 75 76 77 78 79 80 81

字母 R S T U V W X Y Z

ASCII 碼 82 83 84 85 86 87 88 89 90

數亦優 27

我們可利用此對照表在 facebookTM 傳送保密訊息給朋友我們與朋友約定所有的英文字母及

空格皆以對照表中的整數替代例如「HE IS DAVID」的訊息用「7269327383326865867368」

取代然後將此數字字串的奇數項排在矩陣的第一列偶數項排在第二列形成以下矩陣

7 6 3 7 8 3 6 6 8 7 6

2 9 2 3 3 2 8 5 6 3 8B

再與二階方陣

1 2

2 3A

相乘得到

11 24 7 13 14 7 22 16 20 13 22

20 39 12 23 25 12 36 27 34 23 36AB

後依上述規則反求得字串「11202439071213231425071222361627203413232236」傳送給朋

友如此他人便不能立即得知傳送之內容現在在此規則下你接收到數字字串

「233825411222213516271932」可以轉成矩陣

23 25 12 21 16 19

38 41 22 35 27 32

其所代表之訊息為

6 坐標平面上圓 C通過點 (02) 且 C與兩直線 3 2 0 1 0x y y 皆相切則圓 C的方程

式為

7 坐標空間中ABC的三頂點分別為 (1 11) ( 321) (5 43)A B C P為ABC內部一點且

令P到 AB BC CA的距離分別為 x y z則 2 2 2x y z 的 小值為 （答案若為分數

請化為 簡分數）

8 函數 4 4( ) cos 3sinf x x x 的 小值為

9 設 為實數若

cos 0 sin

0 1 0

sin 0 cos

A

則 5A

10 袋中有編號分別為 1 到 6 的六個球從袋中隨機選取兩球令隨機變數 X表示在被選取的

兩球中球號比袋中剩下的球號都大的球的個數（例如如果選到 2 號和 3 號球那袋中剩

下的就是 1456 號球因為選出的球中並沒有比 1456 都大的球號故這種情況下 0X ）

隨機變數 X的期望值為 （答案若為分數請化為 簡分數）

28 數亦優

筆試一計算證明題

1 (1) 利用 2 2 2c a b 及 c a c b 得

3 2 2 2 2 3 3c c a b ca cb a b

(2) 過 E作 EF AC 則

四邊形 ABED的面積

1 1

2 21

21

2

ABD BDE

BD AO BD OF

BD AO OF

AC AF

又在直角三角形 ACE中因為2

AE AC AF 所以2

AE 四邊形 ABED面積的兩倍

2 因為

2 22 2( ) ( ) 6 6 10 3 3 8f x f y x y x y x y

2 2( ) ( ) 6 6 6f x f y x y x y x y x y

所以

2 23 3 8( ) ( ) 0

( ) ( ) 0 6 0

x yf x f y

f x f y x y x y

因此滿足上述條件的所有點 ( )x y 為

22 23 3 8

0 6 0

x y

x y x y

或 22 2

3 3 8

0 6 0

x y

x y x y

其所圍成的區域如下圖所示面積為 218 4

2

數亦優 29

3 (1) 依題意可設 ( ) ( )f x r x a x b s g x r x c x d s

因為 ( ) ( )f x g x 是常數多項式所以比較一二次項係數知

r r r a b r c d

得 a b c d

(2) 由 2 2

( )2 4 4

a b a ba bf r s r f a

得

2

4 ( )2a b

f a f

ra b

故得證

註1o 也可利用對稱性知 ( )y f x 的頂點之 x軸坐標為2

a b ( )y g x 的頂點之 x軸坐標

為2

c d而得證

2o 亦可用插值多項式證明

4 (1) 由向量分解DA DM MA DB BM MA

得

2 22 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2

2

2 2

DA DA DM MA DM MA DM MA

b c a c DB BM MA

b a c DB MA BM MA

因為 0AM BD

且 BM MA 所以

2 2 2 22DA b a c

因此

2 2 22DA a b c

(2) 由(1)及 BM MA 可得

2 2 2 22 2DA b a c DB MA

依題意知 2 2 22DA x b a c 即

22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2b a c b a c b a c DB MA

故

0DB MA

30 數亦優

5 (1) 由題意可以知道

1 四件作品所得的總票數為 20 票

2 每件作品 多可以得到 10 票

令四件作品的得票數分別為 x y z u由1 2 可得

200 10x y z u x y z u

因為 0 10x y z u 所以 420H 須扣掉11 20x y z u 的情況由 20x y z u 且

0x y z u 可知 多只有一個票數會大於等於 11假設 11x 令 11x x 可得

90 9x y z u x y z u

此情況有 4 129 9 220H C 種

因此票數分布為 4 420 94 1771 4 220 891H H 種

(2) 假設得票數 高為 x由題意可得

200 10x y z u y z u x

因為 y z u x 也就是 1y z u x 所以

1 1 1 4 3x y z u x x x x x

由 20x y z u 得

20 4 3x

即

23

4x

因此當 6x 時才會滿足只有一件作品得票數 高且票數為 x

當 6x 時

140 5y z u y z u

滿足此情況的 y z u有 (554)(545)(455) 3 種

當 7x 時

130 6y z u y z u

因為 13y z u 且 0y z u 所以 y z u 多只有一個會大於等於 7

由(1)可知滿足此情況有 3 3 15 813 6 13 63 3 105 84 21H H C C 種

同理

當 8910x 時 y z u 多只有一個會大於等於 8910故

當 8x 時有 3 3 14 612 4 12 43 3 91 45 46H H C C 種

當 9x 時有 3 3 13 411 2 11 23 3 78 18 60H H C C 種

數亦優 31

當 10x 時有 3 3 12 210 0 10 03 3 66 3 63H H C C 種

因此滿足只有一件作品得票數 高的情形有

4 3 21 46 60 63 772 種

筆試二填充題

1 2 3 4 5

0 4a 2 2

8 8i

66 1

4 NORMAL

6 7 8 9 10

2 2

3 1 4x y

2 2

3 3 5 36x y

（或是 2 2 2 3 2 0x y x y ）

50

79

3

4

cos5 0 sin 5

0 1 0

sin 5 0 cos5

2

5

32 數亦優

《接續PartI 請見數亦優第 21 期》

四 正多邊形

(一) 除了正方形及三角形以外我們還考慮將其他形狀組合討論其撕裂次數是否與正方

形三角形相同

(二) 並非所有正多邊形皆可組合若內角非360

kk

便不能組合例如

1 正五邊形的內角和180 3 540 則一個內角為108但108 360 k k

無法將五邊形完整組合必有空隙

2 正六邊形的內角和180 4 720 則一個內角為120因為120 3 360

則任三個相同的正六邊形皆可相互組合

(三) 完整排列正六邊形為例以 m張排列

例 1 一頁 5 個正六邊形排列

撕開 2 次使下排的兩個正六邊形與上排分開再逐一將上排撕開共需 4 次

由例 1撕的次數結果皆為 1m 次

（Part II） 陳敏晧國立蘭陽女中

數亦優 33

(四) 內部有洞正六邊形為例m張 n個洞排列

例 2 一頁 11 張且 2 洞排列

先撕開 2 次使其成為無洞排列再撕開 1 次使其變成兩頁完整排列再逐一撕開

共需 12 次

由例 1與例 2得知撕的次數結果皆為 1n m 次

五 「切割」的定義

(一) 我們從平面延伸到立體討論柏拉圖的五個正多面體先將正多面體每面切開分開

的次數是否也有彼此相似之處

(二) 因為立體無法如平面一樣用撕的故用切的而計算次數的定義與方法也與平面有很

大的差異

(三) 「切一次」的定義與限制沿著稜邊切下一個面才算作「一次」第一次切下後

便將封閉的正多面體打開此後每切一次都必須從開放的稜邊切下不可再一次從

封閉的面切下

以正六面體為例

此為一個完整封閉的正六面體

第一次沿著粗線切開可切下一個面

34 數亦優

六 柏拉圖多面體

1 正四面體

第一次將底面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 3 個面切下共需切

1 3 1 3 次

2 正六面體

第一次將頂面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 5 個面切下共需切

1 5 1 5 次

斜線部分為第一次被切下的面

封閉正六面體被打開後第二次只能從

開放的 4 條稜邊（粗線）切下

第二刀不可再從封閉面（粗線）開始切

數亦優 35

3 正八面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 7 個面切下共

需切 1 7 1 7 次

4 正十二面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 11 個面切下共

需切 1 11 1 11 次

5 正二十面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 19 個面切下共

需切 1 19 1 19 次

36 數亦優

由上述例子可得知切割次數皆剛好為正多面體的(總面數 1 )次

研究發現

內部有洞洞數 a b 其中 a洞的個數b每個洞的張數

矩 形

完整排列

邊長 邊長 總張數 撕的次數

2 2 4 3

4 5 20 19

不規則排列

總張數 撕的次數

10 9

13 12

內部有洞

邊長 邊長 洞數 總張數（邊長 邊長 洞的張數） 撕的次數

3 3 1 1 8 3 3 1 8

3 5 2 1 13 3 5 2 14

三 角 形

完整排列

邊長 總張數 撕的次數

2 4 3

3 9 8

不規則排列

總張數 撕的次數

10 9

13 12

內部有洞

邊長 洞數 總張數（邊長平方 洞的張數） 撕的次數

規

則

4 1 1 15 4 4 1 15

5 1 1 24 5 5 1 24

5 1 2 23 5 5 2 23

5 1 3 22 5 5 3 22

6 1 1 35 6 6 1 35

6 1 2 34 6 6 2 34

6 2 1 34 6 6 2 1 35

6 3 1 33 6 6 3 1 35

6 1 2 1 1 33 6 6 2 1 34

7 2 2 45 7 7 2 2 46

不

規

則

1 1 22 22

1 1 23 23

1 2 32 32

數亦優 37

六 邊 形

完整排列

總張數 撕的次數

3 2

5 4

內部有洞

洞數 總張數 撕的次數

1 1 6 6

2 1 11 12

正 多 面 體

面數 撕的次數

正四面體 4 3

正六面體 6 5

正八面體 8 7

正十二面體 12 11

正二十面體 20 19

目前的研究我們發現了以下獨特的結論平面幾何圖形中矩形正三角形和正六邊形的

規則形狀與不規則形狀紙張之最佳撕法都是(總張數 1 )次矩形正三角形及正六邊形排列成

內部有 n個洞且 m張的紙張之最佳撕法都是 1n m 次而柏拉圖立體的最少切割次數皆為

正多面體的(總面數 1 )次最重要我們發現其實撕裂或切割次數與撕裂或切割方法（或順序）

無關

參考資料

1 陳美如（200003）撕郵票問題數學傳播第 24 卷第 1 期P82~86

2 許志農與奇人相遇httpmathntnuedutw~macomeethtm

3 林義強多面體簡介第一屆全國高中數學教學研討會論文集P177~192

參數學專題研究反思 》

上述作品得到今年北一區數學科展優等過程中我與學生教學相長高二學生因為所學的

數學很有限所以數學解題層次會有侷限但是相對地數學思維與想像力卻是受過數學訓練

的我們所不及的在這次數學專題研究中我扮演的角色是諮詢者協助者鼓勵者完成任

務是那三位鍥而不捨的同學鄭羽呈李依庭林佩柔 勘誤 第 21 刊〈高中數學專題研究教案（PartI）〉 P34 倒數第 6 行「設m k 」應改為「設m k 」 P36 第 3 行「設m k 」應改為「設m k 」 P38 內部有洞的 1(1)~(4)分類應改為「1(1)一頁 24 張內部有一個洞一張為 1 洞」

「1(2)一頁 23 張內部有一個洞兩張為 1 洞」 「1(3)一頁 23 張內部有一個洞兩張為 1 洞」 「1(4)一頁 22 張內部有一個洞三張為 1 洞」

38 數亦優

動手玩數學 許志農臺灣師大數學系

在 下 圖 中已 知 ABC為 直 角

三 角 形 1AB 求

(1) 線段 AD的長度（化為最簡形式）

(2) 餘切 cot24

的值

〔玩鎖玩索〕

這道問題改編自「求 cot24

的值」這道

教師甄選試題關於這道餘切求值問題

有兩位老師的作法是用標準特別角出發

再求出欲求的餘切值

底下是另一位老師的作法

已知 ABC 為 直 角 三 角 形 4AC 求

AB BC及 cot24

的值

請 加 上 線 段 使 下 圖 分 成 五

份 形 狀 完 全 相 等 的 部 分（翻面

相等也算）

或 許 下 圖 對 你 會 有 些 幫 助 它 們 是 四 份

形 狀 完 全 相 等 的 部 分

〔玩鎖玩索〕

這是 1998 年夏天香港中文大學教育學

院第二次舉辦暑期資優課程中在數學有關的

工作坊裡的一道測智遊戲

遊戲 85

遊戲 86

數亦優 39

在 坐 標 平 面 上 畫 一 直 線 1L在

線 上 任 取 一 點O 以O為 旋 轉

中 心依 逆 時 針 方 向 將 直 線 1L

旋 轉 120得 到 直 線 2L 如 下

圖 所 示

已 知 直 線 1L 的 斜 率 為m求 證 直 線 2L 的 斜

率 為

3

3 1

m

m

〔玩鎖玩索〕

直線是平面幾何上的重要元素而斜率又

是直線在代數上的代言人掌握斜率就如同控

制直線一樣從逆轉120的 直 線 斜 率 公 式

不 難 知 道 坐 標 平 面 上 的 正 三 角 形 之 三

條 邊 斜 率

1 2 3 m m m

是可以互相推導的即由 1m 可 以 得 到 2m 與

3m 的 公 式 而 且 還 知 道 以 下 兩 個 恆 等 式

1 2 2 3 3 1 3m m m m m m

1 2 31 2 3

1 1 19m m m

m m m

宇 富 怕 手 機 被 盜 打 每 日 更

換 開 機 密 碼為 了 便 於 記 憶

他 想 到 一 則 更 換 密 碼 的 算 術

通 則 「 昨 天 密 碼 為p 今

日 的 密 碼 就 更 新 為1

1

p

p

」

宇 富 跟 所 有 的 人 說「 我 已 經

使 用 這 密 碼 通 則 500天 了 而

且 第 一 天 的 密 碼 就 設 為 2 1

相 信 各 位 算 到 手 痠也 無 法 算

出 今 天 的 開 機 密 碼 」

徵求可以破解開機密碼的人士

〔玩鎖玩索〕

如果第一天的密碼為 那麼破解密碼

的難度有增加嗎

遊戲 87

遊戲 88

40 數亦優

動動手手玩玩數數學學~~破破解解秘秘笈笈

遊戲 81

如圖所示

(1) 考慮 ABC 因為 8sin15AB BC 且

150ABC 所以 ABC 為等腰三角

形且 15BAC 因此

2 cos15 2 8sin15 cos15AC AB

1

8sin30 8 42

(2) 仿照(1)的方法 ACE 也是等腰三角

形且 30CAE 因此

32 cos30 2 4 4 3

2AE AC

遊戲 82

秦九韶這個依括弧次序求函數值 f a 的演

算法就是高中數學多項式那章所介紹的綜

合除法

2 5 4 8

2

2

a

a

仔細計算上述綜合除法的空白位置可以發

現小中大括弧位置所代表的值與秦九韶

小中大括弧內的值完全一樣

遊戲 83

(1)

2cos 2cos24 24cot

24 sin 2sin cos24 24 24

1 cos1 cos

3 412

sin sin12 3 4

(2) 因為

cos cos cos sin sin3 4 3 4 3 4

1 2 3 2

2 2 2 2

2 6

4 4

及

sin sin cos sin cos3 4 3 4 4 3

3 2 2 1

2 2 2 2

6 2

4 4

所以

2 61 4 6 24 4cot

24 6 2 6 24 4

2

4 6 2 6 2

6 2

2 2 3 6

遊戲 84

令

2 3A a b c b c i

2 3B c a b a b i

2 3C b a c c a i

且

1 3

2

i

因為 2A C B

所以 3 3 3 6 3A C B

又因為 3 6 1 所以 3 3 3A B C

得證

ltlt ASCII85EncodePages false AllowTransparency false AutoPositionEPSFiles true AutoRotatePages All Binding Left CalGrayProfile (Dot Gain 20) CalRGBProfile (sRGB IEC61966-21) CalCMYKProfile (US Web Coated 050SWOP051 v2) sRGBProfile (sRGB IEC61966-21) CannotEmbedFontPolicy Error CompatibilityLevel 13 CompressObjects Tags CompressPages true ConvertImagesToIndexed true PassThroughJPEGImages true CreateJobTicket false DefaultRenderingIntent Default DetectBlends true DetectCurves 00000 ColorConversionStrategy LeaveColorUnchanged DoThumbnails false EmbedAllFonts true EmbedOpenType false ParseICCProfilesInComments true EmbedJobOptions true DSCReportingLevel 0 EmitDSCWarnings false EndPage -1 ImageMemory 1048576 LockDistillerParams false MaxSubsetPct 100 Optimize true OPM 1 ParseDSCComments true ParseDSCCommentsForDocInfo true PreserveCopyPage true PreserveDICMYKValues true PreserveEPSInfo true PreserveFlatness true PreserveHalftoneInfo false PreserveOPIComments true PreserveOverprintSettings true StartPage 1 SubsetFonts true TransferFunctionInfo Apply UCRandBGInfo Preserve UsePrologue false ColorSettingsFile () AlwaysEmbed [ true ] NeverEmbed [ true ] AntiAliasColorImages false CropColorImages true ColorImageMinResolution 300 ColorImageMinResolutionPolicy OK DownsampleColorImages true ColorImageDownsampleType Bicubic ColorImageResolution 300 ColorImageDepth -1 ColorImageMinDownsampleDepth 1 ColorImageDownsampleThreshold 150000 EncodeColorImages true ColorImageFilter DCTEncode AutoFilterColorImages true ColorImageAutoFilterStrategy JPEG ColorACSImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt ColorImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt JPEG2000ColorACSImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 30 gtgt JPEG2000ColorImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 30 gtgt AntiAliasGrayImages false CropGrayImages true GrayImageMinResolution 300 GrayImageMinResolutionPolicy OK DownsampleGrayImages true 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 SVE 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 TUR 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 UKR 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 ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 50 and later) CHT ltFEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002gt gtgt Namespace [ (Adobe) (Common) (10) ] OtherNamespaces [ ltlt AsReaderSpreads false CropImagesToFrames true ErrorControl WarnAndContinue FlattenerIgnoreSpreadOverrides false IncludeGuidesGrids false IncludeNonPrinting false IncludeSlug false Namespace [ (Adobe) (InDesign) (40) ] OmitPlacedBitmaps false OmitPlacedEPS false OmitPlacedPDF false SimulateOverprint Legacy gtgt ltlt AddBleedMarks false AddColorBars false AddCropMarks false AddPageInfo false AddRegMarks false ConvertColors ConvertToCMYK DestinationProfileName () DestinationProfileSelector DocumentCMYK 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數亦優 13

3

3 3 32 2 23 3 3 3 3 3

3 3 32 2 2

2

cos40 cos80 cos80 cos160 cos40 cos160

3 cos 40 cos80 cos160 cos40 cos 80 cos160 cos40 cos80 cos 160

3 cos 40 cos 80 cos 160

3 1 13 3

4 2 2

3 3

2 2

T

T

T S

TS

綜合兩式得

3 31 3

2 4T S

將此式代入 3 33

2S TS 得

3

33 3 33 3 13 27

2 4 2S ST S S

展開整理得

9 6 3 279 27 0

8S S S

再配方得

33 27 93 27 27

8 8S

解得

33 3 9

32

S 33 9

2 或

323 9

2

即

33 3 9

32

S 33 9

32

或3

23 93

2

因為 S為實數所以 3S 也是實數因此

33 3 9

32

S

解得

33

3 93

2S

即

3 3 3 333

cos 40 cos80 cos 20 9 22

得證

14 數亦優

一前言 》

高中數學課程近幾年不斷的加入統計的課程目的是想要讓學生感覺數學更貼近我們的生

活內容包含迴歸直線抽樣統計信賴區間hellip等而信賴區間這個單元建立在一個重要的

理論之上即為中央極限定理查閱大學教材內容大多在做定理及輔助定理的推導大多數人

未能完全了解其意義在這篇文章中我們將以高中生的觀點來欣賞中央極限定理

二中央極限定理（Central Limit Theorem簡寫 CLT）是什麼 》

每四年一次的總統大選選前新聞社都會透過電話隨機抽樣的方式來估計各組候選人的

支持度若每次電話抽樣訪問新聞社都隨機挑選 100 人這樣他們便可以獲得一組平均數標

準差這樣的行為重複多次則可以得到多組抽樣並討論其平均數標準差如果多組的平

均數用柱狀圖來呈現我們可以發現圖形隨著抽樣的次數增加會接近常態分配並且當選舉

後會發現真實的支持率與所有研究者當初所做的結果平均數相同且其標準差接近原來的

1

n倍即我們討論對象已由原來調查樣本變為這些研究者為我們討論對象這便是中央極

限定理討論的內容

現在讓我們重新敘述中央極限定理（有限母體）的內容

中央極限定理（Central Limit Theorem簡寫 C L T） 設研究目標為變量 T 1 2 Nt t t 平均數 標準差 則

2

2 21 1

1

1

N N

i i Ni i

ii

t tt

N N N

每次抽樣皆取 n個並取後放回其共有 NnC m 種抽樣方法數若每次抽樣平均分別為

1 2 mx x x 其結果會成常態分配則

1 1 2 mx x x 平均數為 1 2 Nt t t

N

2 1 2 mx x x 標準差為1

1

N n

n N

另外當 N n 時標準差近似於n

接下來我們可以進一步以高中的觀點探討為何抽樣平均的平均數會與當初未知的平均數相

同抽樣平均的標準差為何是1

1

N n

n N

廖世經臺中市立東山高中

數亦優 15

三抽樣平均的平均數及標準差 》

沿用上述的定理符號可以得到

1 2 mx x x

meanm

1 2 1 3 1 1 2n n N n N n Nt t t t t t t t t

n n n

m

1

1 1 2Nn NC t t t

nm

（

1

1

1

1 N Nn n

N n N nC C

n N n N n N n N

同理

22

1

1N Nn n

n nC C

N N

）

1 2

Nn N

nC t t t

Nnm

（∵ N

nC m ）

1 2 Nt t t

N

從上式證明結果我們可以發現學者抽樣平均所做的平均數與當初我們想要研究的目標

平均數是相同的這個觀念有助於我們將來思考信賴區間的概念

抽樣平均的變異數1

1

N n

n N

推導則為

2 2 2

1 1 1 1

2m m m m

i i i

i i i i

x x xvariance

m m

(A)

首先我們先考慮(A)中的1

m

i

i

x

從平均數的推導我們得到

1

m

i

i

x

m

則

1

m

i

i

x m

(B)

再考慮(A)中的2

1

m

i

i

x

2 2 22 1 2 1 3 1 1 2

1

mn n N n N n N

i

i

t t t t t t t t tx

n n n

2 2 21 2

1 1 2 2 1 2 1 3 1

2

2N Nn N n N NC t t t C t t t t t t

n

2 2 21 2 1 2 1 3 1

2

12

1N Nn N n N N

n nnC t t t C t t t t t t

N N N

n

2 2 21 2 1 2 1 3 1

112

1N N N

nm t t t m t t t t t t

N N N

n

(C)

16 數亦優

接著先計算(C)中的 1 2 1 3 12 N Nt t t t t t

2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 3 12N N N Nt t t t t t t t t t t t

2 2 2 21 2 1 2 1 3 12N N NN t t t t t t t t t

2 2 22 21 2 1 3 1 1 22 N N Nt t t t t t N t t t

將得到的式子代回(C)得到

2 2 2 2 2 22 2

1 2 1 22

1

111N Nm

i

i

nm t t t m N t t t

N N Nx

n

2

2 2 21 2

1

1 1N

m N n m n Nt t t

N N N

n

(D)

將(B)以及(D)的結果代回(A)得到

2 2

1 1 1

2m m m

i i

i i i

x xvariance

m

22 2 2

1 22

1

1 12

N

m N n m n Nt t t

N N Nm m

nm

2

2 2 21 2

2 2

1

1 12

N

N n n Nt t t

N N N

n

22 2 2 2

1 2

11

1 1N

N n n Nt t t

n N N n N

2

2 2 21 2

1

1 1N

N n N nt t t

n N N n N

2 2 221 21

1N

N n t t t

n N N

21

1

N n

n N

數亦優 17

在大學書中中央極限定理的敘述大多直接使用標準差n

是因為當 N n 時則

11

1 1

N n n

N N

rarr1故標準差會近似於

n

四結論 》

中央極限定理的存在幫助了我們做抽樣討論時從原本我們想要研究的目標轉換到探

討研究人員所做的數據上上面所討論的方式只透過平均數變異數的定義加上組合的想

法可以讓高中生更加了解中央極限定理藉此了解數學的真善美這是研究會時分享給其他

老師的內容謝謝我的實習老師黃怡慈老師的幫忙整理

18 數亦優

一楔子 》

古希臘人尤勒士（Euathlus）向普羅塔哥拉斯（Protagoras）學習辯論術先付一半學費

另一半學費訂定契約言明等學成後在第一場辯護勝訴時再付如果敗訴則學費不必再交

但尤勒士畢業後根本不擔任辯護的工作自然也不交另一半的學費因此普羅塔哥拉斯便告

他普羅塔哥拉斯說「如果我勝訴法官當然要判他還我學費如果我敗訴那就是尤勒士勝

訴依契約他還是要還我學費」尤勒士說「如果我勝訴當然是要求法官判我不必還學費

如果我敗訴依契約我也不必還學費」請問法官該怎麼判

二歸謬證法 》

亞里斯多德認為愈重的物體落下得愈快1589 年伽利略如此舉反證把兩物 AB

綁在一起成為 A B 假設 A比 B重則由高處落下時因為 B落下的速度比 A慢把 A拖

住所以 A B 落下的速度比 A 慢又 A B 比 A 重所以 A B 落下的速度又比 A 快矛盾

所以「任何物體同時從相同的高處落下皆同時著地」伽利略如是說

99 課程綱要把歸謬證法拿掉了我猜想最少有兩位先生會很鬱卒一位是歐幾里得先生

他在《幾何原本》中用歸謬證法證明了「質數有無窮多個」另一位是蔡聰明先生他用了 28

種方法證明 2 是無理數

三直觀與證明 》

最近看到一篇文章關於 2 是無理數的證明

假設 2p

q 是有理數其中 p q是正整數且 1p q 則

2

22

p

q

直觀上「如果p

q不是整數則

2

2

p

q更不可能是整數」矛盾

所以假設錯誤即 2 是無理數得證

（這是因為如果 p q沒有相同的成分 2p 和 2q 自然也不會有相同的成分如果p

q都無法化簡

成整數2

2

p

q更沒有機會了因此這個式子是個明顯可笑的矛盾等號左邊是整數右邊不是

整數兩者怎麼可能相等）

我想提一段陳年往事多年前一次國中數學週考中某老師出了一道題目證明三角形

兩邊和大於第三邊直觀上這何需證明因為兩點之間直線最短嘛於是我買了歐幾里得

的《幾何原本》根據歐幾里得的體系證明「三角形兩邊和大於第三邊」確實需要很長的篇幅

我相信這不會是出題老師的本意我的判斷是出題老師只想要學生說明「兩點之間直線最短」

江慶昱衛道中學退休教師

數亦優 19

那麼考題應該改成請說明「三角形兩邊和大於第三邊」中學階段不必強調數學的嚴密性

這是共識（60 年代的新數學過度強調嚴密性是失敗的原因之一）但是直觀的說明與嚴格的證

明應該予以區隔這純屬我個人的看法所以我以為上述關於 2 的證明實偏向於說明（註

最早項武義先生認為他解決了克卜勒的裝填問題陳省身先生也為之背書但還是不被接受

目前公認是 Thomas Hales 解決了httpenwikipediaorgwikiKepler_conjecture數學界的所謂

「證明」自有其行規）

如何在高中引入簡易邏輯是一件困難但是值得深思的事

四等價 》

高中課程中另一個重要的邏輯概念是「等價」有一年大學聯考考這麼一題證明「海龍

公式邊長 a b c的三角形面積 ( )( )( )s s a s b s c 」那時候大學錄取率大約 30不到

補習班之間競爭非常激烈大家趕著把解答登報有一間補習班第一天是這樣證明的

因為( ) ( )( )

sin cos2 2

A s s a A s b s c

bc bc

所以1 1

sin 2sin cos ( )( )( )2 2 2 2

A Abc A bc s s a s b s c

第二天趕快發報更正因為在邏輯上第一天拿一個等價的命題當作證明等於沒有證明

換句話說患了邏輯上的錯誤了

五等價的一些例子 》

我們在國中時有這樣的性質 p三角形任兩邊和大於第三邊又在書中的同一個角落看到

q三角形任兩邊差小於第三邊很容易證明「 p q 」這種情形我們叫 p與 q等價意思是 p

與 q是同一回事以下舉一些等價的例子

1 p平行公設過直線外一點恰有一直線與之平行q三角形內角和為180

2 G是ABC的重心則 p q r三個向量式等價

1 1

3 3

p AG AB AC

1 1 1

3 3 3

q OG OA OB OC

0r AG BG CG

3 2 2 2

p u v u v

（柯西不等式） q u v u v

（三角不等式）

4 p周長固定的平面圖形中以圓形面積最大q面積固定的平面圖形中以圓形周長最小

5 (1)正弦定理(2)餘弦定理(3)投影定理 等價

6 實數的完備性有多種等價的敘述（我有一位同事到師大數學系修碩士班學分就是上了一本

這樣的書）

7 p算幾不等式q柯西不等式

20 數亦優

六算幾不等式與柯西不等式的等價 》

算幾不等式與柯西不等式在形式上相差很多兩者會等價甚感意外我第一次是在臺中一

中的網頁內看到證明過程當時沒有仔細研究後來回去找就找不到那份資料了最近上網搜

尋找到建中徐健策老師的一篇專題算是一償宿願這是我寫這篇文章的另一個因緣

七後記 》

1900 年量子力學開始萌芽到 1965 年朝永振一郎（S Tomonaga）薛文格（Julian Schwinger）

與費因曼得到諾貝爾物理獎是一段精采的故事重點是薛文格與費因曼對量子電動力學的看法

與算法南轅北轍薛文格用的是歐洲優雅的數學費因曼的路徑積分用的是圖像式的數學把

兩者結合為一或者說看出兩者的「等價性」的是戴森（Freeman J Dyson）我覺得這比證

明兩命題的等價有更深刻的意義

非歐幾何的發展也有類似的地方義大利幾何學家 Eugenio Beltrami（1835~1899）證明了

Lobachevsky（1793~1856）與 Ferdinand Minding（1806~1885）的非歐幾何模型是「等價」的

（註代數中複數平面與平面向量同構以上兩種情況說同構或等價哪一個說法比較恰當

當就教於各位）

99 課程綱要把歸謬證法放在附錄我觀察最近兩年的各校段考試題大約只有三四個學

校段考中有考歸謬證法早年國中考高中每年要考一題證明題一題尺規作圖當時我們會

努力教證明題當然包括用「窮舉法」證明「圓內接四邊形的充要條件為對角互補」基測不

考證明題後絕大部分的老師不會花時間去證明這個定理向來就是「考試引導教學」自古皆

然隋唐時期科舉要考《算經》所以宋朝有四位偉大的數學家秦九韶李治楊輝朱世傑

到明清科舉只考八股文可以印證中國數學沒落的一段史實證明與數學的關係就如同實驗與

物理的關係基測與學測不考證明題相信有不少人憂心忡忡如今又把歸謬證法拿掉（放在

附錄與拿掉等價）應該有人輾轉難眠吧

早上（2012829）看到新聞十二年國教將於後年上路臺大名譽教授劉廣定批評103

年到 107 年的高中學生要繼續接受舊課綱的教育他堅決反對沒有新課綱的十二年國教後

年就要推十二年國教課綱最快 106 年才能完成到 108 年才有新課綱教科書可用意味之前

的高中生都要繼續接受舊課綱教育芬蘭從 1980 年代開始教改先找學校試辦2000 年才全

面實施然而臺灣十二年國教從宣布到實施只有三年準備期讓人憂心

參考資料

1 蔡聰明 2 是無理數的 28 種證明數學傳播季刊第 23 卷（第 1 期）

2 王九逵邏輯與數學思維

3 南山柯西不等式與排序不等式上海教育出版社P230

4 William Dunham（1995）天才之旅牛頓出版股份有限公司P61

5 戴森（1993）宇宙波瀾天下文化

6 奧瑟曼（1997）宇宙的詩篇天下文化P84

7 Stefan Kulczycki（1992）非歐幾里得幾何學水牛出版社P32

8 蔡辰理中國數學史上的黃金時代及其四個偉大的數學家20130701 取自

httpepistemathntuedutwarticlesmmmm_03_2_07page2htmltop

9 徐健策老師專題柯西琴生與冪平均不等式20131002 取自 httpmath1cktpedutw徐健策mathhtm

數亦優 21

一研究目的 》

將一道解四元一次聯立方程式的題目利用四次多項函數且領導係數為 1 的恆等原理來解

答

二研究過程 》

已知

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

12 1 2 3 2 5 2 7

14 1 4 3 4 5 4 7

16 1 6 3 6 5 6 7

18 1 8 3 8 5 8 7

x y z w

x y z w

x y z w

x y z w

試求(1) ( )x y z w (2) x y z w

一 首先將上題解讀為解四元一次聯立方程式

設

2

3

2

2

3 5 7105 2079 429 143 1

3 5 7 11 21 1485 1001 195 1

9 385 819 495 13 7 11 135 189 231 429 1

3 5 11 13

x aa b c d

y b a b c d

a b c dz ca b c d

w d

211512 1320 2288 5

4b c d

52376 1144 208 1

4b c d

5 956 504 1584 1

4b c d

2432 640 1792 0 19 5 14 0

5 1792 3840 5632 0 7 15 22 0

b c d b c d

b c d b c d

由5 14 14 19 19 5

320 320 320 11115 22 22 7 7 15

b c d

由1

56 504 1584 1 1024 11024

b b b b b c d

代入1 1 1 175 35

5 189 231 429 1 51024 1024 1024 1024 1024

a a a

李維昌國立宜蘭高中

22 數亦優

2 2 2 3 2 23 5 7 3 5 7 11 3 7 11 13 3 5 11 13( )

1024 1024 1024 1024x y z w

即為(1)的所求

2 3 2 2

2 3

2 2

3 5 7 3 5 7 11 3 7 11 13 3 5 11 13

35 13 5 7 3 5 7 11

1024 10241 1

3 7 11 13 3 5 11 131024 1024

x y z w a b c d

11025 10395 9009 6435 36864

361024 1024

即為(2)的所求

二 嘗試利用四次多項函數且領導係數為 1 的恆等原理來解答此題

1 構造以 t為變數的四次多項函數且領導係數為 1命此函數為 ( )f t

2 2 2 2 2 2 2( ) 1 3 5 7 3 5 7f t t t t t x t t t

2 2 2 2 2 2 2 2 21 5 7 1 3 7 1 3 5y t t t z t t t w t t t

其中 x y z w四數為常數

2 2 2 2 2 2 2 2 21

2 1 2 3 2 5 2 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 1 2 3 2 5 2 7 2 3 2 5 2 7

2 1 2 5 2 7 2 1 2 3 2 7

2 1 2 3 2 5 0

x

y z

w

2(2 ) 0f

3 2 2 2 2 2 2 2 21

4 1 4 3 4 5 4 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

4 1 4 3 4 5 4 7 4 3 4 5 4 7

4 1 4 5 4 7 4 1 4 3 4 7

4 1 4 3 4 5 0

x

y z

w

2(4 ) 0f

4 2 2 2 2 2 2 2 21

6 1 6 3 6 5 6 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

6 1 6 3 6 5 6 7 6 3 6 5 6 7

6 1 6 5 6 7 6 1 6 3 6 7

6 1 6 3 6 5 0

x

y z

w

2(6 ) 0f

數亦優 23

5 2 2 2 2 2 2 2 21

8 1 8 3 8 5 8 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

8 1 8 3 8 5 8 7 8 3 8 5 8 7

8 1 8 5 8 7 8 1 8 3 8 7

8 1 8 3 8 5 0

x

y z

w

2(8 ) 0f

6 由 12345的討論可得知 ( )f t 等價 2 2 2 22 4 6 8t t t t

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 4 6 8

1 3 5 7 3 5 7 1 5 7

1 3 7 1 3 5

t t t t

t t t t x t t t y t t t

z t t t w t t t

為 t的四次多項方程式

第式等號的左式 3t 的係數＝第式等號的右式 3t 的係數

2 2 2 2 2 2 2 22 4 6 8 1 3 5 7 x y z w

2 2 2 2 2 2 2 22 4 6 8 1 3 5 7 120 84 36x y z w

即為(2)的所求

7 x的求法

將 21t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

1 2 1 4 1 6 1 8 1 3 1 5 1 7

2 1 4 1 6 1 8 1 1 3 3 5 5 7 7 9 3 5 7

2 4 4 6 6 8 10243 1 5 1 7 1

x

x

8 y的求法

將 23t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 3

2 2 2 2 2 2

3 2 3 4 3 6 3 8 3 1 3 5 3 7

3 2 4 3 6 3 8 3 1 5 1 7 3 9 5 11 3 5 7 11

2 4 2 8 4 10 10243 1 5 3 7 3

y

y

9 z的求法

將 25t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

5 2 5 4 5 6 5 8 5 1 5 3 5 7

5 2 5 4 6 5 8 5 3 7 1 9 1 11 3 13 3 7 11 13

4 6 2 8 2 12 10245 1 5 3 7 5

z

z

24 數亦優

10 w的求法

將 27t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

7 2 7 4 7 6 7 8 7 1 7 3 7 5

7 2 7 4 7 6 8 7 5 9 3 11 1 13 1 15 3 5 11 13

6 8 4 10 2 12 10247 1 7 3 7 5

w

w

11 由 78910的討論可得

2 2 2 3 2 23 5 7 3 5 7 11 3 7 11 13 3 5 11 13

( ) 1024 1024 1024 1024

x y z w

即為(1)的所求

三 結論

1 解題的巧妙與否存乎一心「學則需疑於不疑處有疑方是進矣」本題為解四元

一次聯立方程式基本解題策略為克拉瑪公式加減消去法或代入消去法三種由

於這三種計算相當繁瑣進而苦思其他對策經過一番思索驀然回首伊人卻在

燈火闌珊處竟然將此題與四次多項方程式連結在一起有了令人會心一笑的妙解

真是一次驚奇的解題之旅

2 孔子曾言「學而不思則罔思而不學則殆」我期待每次解題時皆能直搗黃龍

一眼看穿題目的堂奧之妙事後「大膽假設小心求證」檢驗過程和結果是否達

到最佳化藉由在夙昔的典範亦步亦趨臻於真善美的解題境界

數亦優 25

國立臺灣師範大學數學系

筆試一計算證明題（考試時間2 小時）

1 (1) 直角三角形的兩股長為 a b斜邊長為 c試證 3 3 3c a b （8 分）

(2) 如下圖圓 O內二直徑 AC BD互相垂直在劣弧DC上任取一點 E

試證以 AE 為一邊的正方形面積等於四邊形 ABED面積的二倍 （12 分）

2 設函數 2( ) 6 5f x x x 求坐標平面上滿足聯立不等式

( ) ( ) 0

( ) ( ) 0

f x f y

f x f y

的所有點 ( )x y 所形成的區域面積 （20 分）

3 設 a b c d 為實數且 a b c d ( ) ( )f x g x 為滿足 ( ) ( )f a f b 及 ( ) ( )g c g d 的實係數二次多

項式已知 ( ) ( )f x g x 為常數多項式證明

(1) a b c d （8 分）

(2) 2( )

2

( )2

a bf a f

a bc d c d

g c g

（12 分）

4 如下圖所示ABC和DBC為空間中的兩個等腰三角形M為線段 BC 的中點令

AB AC a DB DC b BM CM c 和DA x

(1) 已知向量內積 0AM BD

求證 2 2 22x a b c （8 分）

(2) 已知 2 2 22x a b c 求證向量內積 0AM BD

（12 分）

26 數亦優

5 師大數學系舉辦系徽設計比賽入圍決選的有四件作品由 10 名學生代表進行不記名投票

每人投兩票且兩票須投不同作品在沒有廢票的情況下試問

(1) 四件作品的得票情形共有幾種 （8 分）

(2) 得票數 高的作品恰有一件的票數分布有幾種 （12 分）

筆試二填充題（考試時間15 小時）

1 設 a為實數若對於所有實數 x2

2

32

2

x ax

x x

恆成立則 a的範圍為

2 若等比數列的第三項是1 i 第五項是1 1

16 16i 其中 1i 則此等比數列的公比為

（有兩解）

3 從1234567 等數字中選取三個排成三位數數字不重複則排出來的是 3 的倍數但不是 5 的倍數

的整數有 個

4 桌上有十個骰子當中有一個骰子出現 5 點的機率是1

2而出現其他點數的機率均等其他

九個都是均勻的骰子用隨機的方式選取一個骰子來投擲在出現 5 點的情況下被選取的

骰子是不均勻骰子的條件機率為 （答案若為分數請化為 簡分數）

5 在電腦裡有一公定的對照表（ASCII）將英文字母ABhellipZ及空格等字元分別對應至一整數

其對應數字如下表所示

字母 空格 A B C D E F G H

ASCII 碼 32 65 66 67 68 69 70 71 72

字母 I J K L M N O P Q

ASCII 碼 73 74 75 76 77 78 79 80 81

字母 R S T U V W X Y Z

ASCII 碼 82 83 84 85 86 87 88 89 90

數亦優 27

我們可利用此對照表在 facebookTM 傳送保密訊息給朋友我們與朋友約定所有的英文字母及

空格皆以對照表中的整數替代例如「HE IS DAVID」的訊息用「7269327383326865867368」

取代然後將此數字字串的奇數項排在矩陣的第一列偶數項排在第二列形成以下矩陣

7 6 3 7 8 3 6 6 8 7 6

2 9 2 3 3 2 8 5 6 3 8B

再與二階方陣

1 2

2 3A

相乘得到

11 24 7 13 14 7 22 16 20 13 22

20 39 12 23 25 12 36 27 34 23 36AB

後依上述規則反求得字串「11202439071213231425071222361627203413232236」傳送給朋

友如此他人便不能立即得知傳送之內容現在在此規則下你接收到數字字串

「233825411222213516271932」可以轉成矩陣

23 25 12 21 16 19

38 41 22 35 27 32

其所代表之訊息為

6 坐標平面上圓 C通過點 (02) 且 C與兩直線 3 2 0 1 0x y y 皆相切則圓 C的方程

式為

7 坐標空間中ABC的三頂點分別為 (1 11) ( 321) (5 43)A B C P為ABC內部一點且

令P到 AB BC CA的距離分別為 x y z則 2 2 2x y z 的 小值為 （答案若為分數

請化為 簡分數）

8 函數 4 4( ) cos 3sinf x x x 的 小值為

9 設 為實數若

cos 0 sin

0 1 0

sin 0 cos

A

則 5A

10 袋中有編號分別為 1 到 6 的六個球從袋中隨機選取兩球令隨機變數 X表示在被選取的

兩球中球號比袋中剩下的球號都大的球的個數（例如如果選到 2 號和 3 號球那袋中剩

下的就是 1456 號球因為選出的球中並沒有比 1456 都大的球號故這種情況下 0X ）

隨機變數 X的期望值為 （答案若為分數請化為 簡分數）

28 數亦優

筆試一計算證明題

1 (1) 利用 2 2 2c a b 及 c a c b 得

3 2 2 2 2 3 3c c a b ca cb a b

(2) 過 E作 EF AC 則

四邊形 ABED的面積

1 1

2 21

21

2

ABD BDE

BD AO BD OF

BD AO OF

AC AF

又在直角三角形 ACE中因為2

AE AC AF 所以2

AE 四邊形 ABED面積的兩倍

2 因為

2 22 2( ) ( ) 6 6 10 3 3 8f x f y x y x y x y

2 2( ) ( ) 6 6 6f x f y x y x y x y x y

所以

2 23 3 8( ) ( ) 0

( ) ( ) 0 6 0

x yf x f y

f x f y x y x y

因此滿足上述條件的所有點 ( )x y 為

22 23 3 8

0 6 0

x y

x y x y

或 22 2

3 3 8

0 6 0

x y

x y x y

其所圍成的區域如下圖所示面積為 218 4

2

數亦優 29

3 (1) 依題意可設 ( ) ( )f x r x a x b s g x r x c x d s

因為 ( ) ( )f x g x 是常數多項式所以比較一二次項係數知

r r r a b r c d

得 a b c d

(2) 由 2 2

( )2 4 4

a b a ba bf r s r f a

得

2

4 ( )2a b

f a f

ra b

故得證

註1o 也可利用對稱性知 ( )y f x 的頂點之 x軸坐標為2

a b ( )y g x 的頂點之 x軸坐標

為2

c d而得證

2o 亦可用插值多項式證明

4 (1) 由向量分解DA DM MA DB BM MA

得

2 22 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2

2

2 2

DA DA DM MA DM MA DM MA

b c a c DB BM MA

b a c DB MA BM MA

因為 0AM BD

且 BM MA 所以

2 2 2 22DA b a c

因此

2 2 22DA a b c

(2) 由(1)及 BM MA 可得

2 2 2 22 2DA b a c DB MA

依題意知 2 2 22DA x b a c 即

22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2b a c b a c b a c DB MA

故

0DB MA

30 數亦優

5 (1) 由題意可以知道

1 四件作品所得的總票數為 20 票

2 每件作品 多可以得到 10 票

令四件作品的得票數分別為 x y z u由1 2 可得

200 10x y z u x y z u

因為 0 10x y z u 所以 420H 須扣掉11 20x y z u 的情況由 20x y z u 且

0x y z u 可知 多只有一個票數會大於等於 11假設 11x 令 11x x 可得

90 9x y z u x y z u

此情況有 4 129 9 220H C 種

因此票數分布為 4 420 94 1771 4 220 891H H 種

(2) 假設得票數 高為 x由題意可得

200 10x y z u y z u x

因為 y z u x 也就是 1y z u x 所以

1 1 1 4 3x y z u x x x x x

由 20x y z u 得

20 4 3x

即

23

4x

因此當 6x 時才會滿足只有一件作品得票數 高且票數為 x

當 6x 時

140 5y z u y z u

滿足此情況的 y z u有 (554)(545)(455) 3 種

當 7x 時

130 6y z u y z u

因為 13y z u 且 0y z u 所以 y z u 多只有一個會大於等於 7

由(1)可知滿足此情況有 3 3 15 813 6 13 63 3 105 84 21H H C C 種

同理

當 8910x 時 y z u 多只有一個會大於等於 8910故

當 8x 時有 3 3 14 612 4 12 43 3 91 45 46H H C C 種

當 9x 時有 3 3 13 411 2 11 23 3 78 18 60H H C C 種

數亦優 31

當 10x 時有 3 3 12 210 0 10 03 3 66 3 63H H C C 種

因此滿足只有一件作品得票數 高的情形有

4 3 21 46 60 63 772 種

筆試二填充題

1 2 3 4 5

0 4a 2 2

8 8i

66 1

4 NORMAL

6 7 8 9 10

2 2

3 1 4x y

2 2

3 3 5 36x y

（或是 2 2 2 3 2 0x y x y ）

50

79

3

4

cos5 0 sin 5

0 1 0

sin 5 0 cos5

2

5

32 數亦優

《接續PartI 請見數亦優第 21 期》

四 正多邊形

(一) 除了正方形及三角形以外我們還考慮將其他形狀組合討論其撕裂次數是否與正方

形三角形相同

(二) 並非所有正多邊形皆可組合若內角非360

kk

便不能組合例如

1 正五邊形的內角和180 3 540 則一個內角為108但108 360 k k

無法將五邊形完整組合必有空隙

2 正六邊形的內角和180 4 720 則一個內角為120因為120 3 360

則任三個相同的正六邊形皆可相互組合

(三) 完整排列正六邊形為例以 m張排列

例 1 一頁 5 個正六邊形排列

撕開 2 次使下排的兩個正六邊形與上排分開再逐一將上排撕開共需 4 次

由例 1撕的次數結果皆為 1m 次

（Part II） 陳敏晧國立蘭陽女中

數亦優 33

(四) 內部有洞正六邊形為例m張 n個洞排列

例 2 一頁 11 張且 2 洞排列

先撕開 2 次使其成為無洞排列再撕開 1 次使其變成兩頁完整排列再逐一撕開

共需 12 次

由例 1與例 2得知撕的次數結果皆為 1n m 次

五 「切割」的定義

(一) 我們從平面延伸到立體討論柏拉圖的五個正多面體先將正多面體每面切開分開

的次數是否也有彼此相似之處

(二) 因為立體無法如平面一樣用撕的故用切的而計算次數的定義與方法也與平面有很

大的差異

(三) 「切一次」的定義與限制沿著稜邊切下一個面才算作「一次」第一次切下後

便將封閉的正多面體打開此後每切一次都必須從開放的稜邊切下不可再一次從

封閉的面切下

以正六面體為例

此為一個完整封閉的正六面體

第一次沿著粗線切開可切下一個面

34 數亦優

六 柏拉圖多面體

1 正四面體

第一次將底面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 3 個面切下共需切

1 3 1 3 次

2 正六面體

第一次將頂面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 5 個面切下共需切

1 5 1 5 次

斜線部分為第一次被切下的面

封閉正六面體被打開後第二次只能從

開放的 4 條稜邊（粗線）切下

第二刀不可再從封閉面（粗線）開始切

數亦優 35

3 正八面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 7 個面切下共

需切 1 7 1 7 次

4 正十二面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 11 個面切下共

需切 1 11 1 11 次

5 正二十面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 19 個面切下共

需切 1 19 1 19 次

36 數亦優

由上述例子可得知切割次數皆剛好為正多面體的(總面數 1 )次

研究發現

內部有洞洞數 a b 其中 a洞的個數b每個洞的張數

矩 形

完整排列

邊長 邊長 總張數 撕的次數

2 2 4 3

4 5 20 19

不規則排列

總張數 撕的次數

10 9

13 12

內部有洞

邊長 邊長 洞數 總張數（邊長 邊長 洞的張數） 撕的次數

3 3 1 1 8 3 3 1 8

3 5 2 1 13 3 5 2 14

三 角 形

完整排列

邊長 總張數 撕的次數

2 4 3

3 9 8

不規則排列

總張數 撕的次數

10 9

13 12

內部有洞

邊長 洞數 總張數（邊長平方 洞的張數） 撕的次數

規

則

4 1 1 15 4 4 1 15

5 1 1 24 5 5 1 24

5 1 2 23 5 5 2 23

5 1 3 22 5 5 3 22

6 1 1 35 6 6 1 35

6 1 2 34 6 6 2 34

6 2 1 34 6 6 2 1 35

6 3 1 33 6 6 3 1 35

6 1 2 1 1 33 6 6 2 1 34

7 2 2 45 7 7 2 2 46

不

規

則

1 1 22 22

1 1 23 23

1 2 32 32

數亦優 37

六 邊 形

完整排列

總張數 撕的次數

3 2

5 4

內部有洞

洞數 總張數 撕的次數

1 1 6 6

2 1 11 12

正 多 面 體

面數 撕的次數

正四面體 4 3

正六面體 6 5

正八面體 8 7

正十二面體 12 11

正二十面體 20 19

目前的研究我們發現了以下獨特的結論平面幾何圖形中矩形正三角形和正六邊形的

規則形狀與不規則形狀紙張之最佳撕法都是(總張數 1 )次矩形正三角形及正六邊形排列成

內部有 n個洞且 m張的紙張之最佳撕法都是 1n m 次而柏拉圖立體的最少切割次數皆為

正多面體的(總面數 1 )次最重要我們發現其實撕裂或切割次數與撕裂或切割方法（或順序）

無關

參考資料

1 陳美如（200003）撕郵票問題數學傳播第 24 卷第 1 期P82~86

2 許志農與奇人相遇httpmathntnuedutw~macomeethtm

3 林義強多面體簡介第一屆全國高中數學教學研討會論文集P177~192

參數學專題研究反思 》

上述作品得到今年北一區數學科展優等過程中我與學生教學相長高二學生因為所學的

數學很有限所以數學解題層次會有侷限但是相對地數學思維與想像力卻是受過數學訓練

的我們所不及的在這次數學專題研究中我扮演的角色是諮詢者協助者鼓勵者完成任

務是那三位鍥而不捨的同學鄭羽呈李依庭林佩柔 勘誤 第 21 刊〈高中數學專題研究教案（PartI）〉 P34 倒數第 6 行「設m k 」應改為「設m k 」 P36 第 3 行「設m k 」應改為「設m k 」 P38 內部有洞的 1(1)~(4)分類應改為「1(1)一頁 24 張內部有一個洞一張為 1 洞」

「1(2)一頁 23 張內部有一個洞兩張為 1 洞」 「1(3)一頁 23 張內部有一個洞兩張為 1 洞」 「1(4)一頁 22 張內部有一個洞三張為 1 洞」

38 數亦優

動手玩數學 許志農臺灣師大數學系

在 下 圖 中已 知 ABC為 直 角

三 角 形 1AB 求

(1) 線段 AD的長度（化為最簡形式）

(2) 餘切 cot24

的值

〔玩鎖玩索〕

這道問題改編自「求 cot24

的值」這道

教師甄選試題關於這道餘切求值問題

有兩位老師的作法是用標準特別角出發

再求出欲求的餘切值

底下是另一位老師的作法

已知 ABC 為 直 角 三 角 形 4AC 求

AB BC及 cot24

的值

請 加 上 線 段 使 下 圖 分 成 五

份 形 狀 完 全 相 等 的 部 分（翻面

相等也算）

或 許 下 圖 對 你 會 有 些 幫 助 它 們 是 四 份

形 狀 完 全 相 等 的 部 分

〔玩鎖玩索〕

這是 1998 年夏天香港中文大學教育學

院第二次舉辦暑期資優課程中在數學有關的

工作坊裡的一道測智遊戲

遊戲 85

遊戲 86

數亦優 39

在 坐 標 平 面 上 畫 一 直 線 1L在

線 上 任 取 一 點O 以O為 旋 轉

中 心依 逆 時 針 方 向 將 直 線 1L

旋 轉 120得 到 直 線 2L 如 下

圖 所 示

已 知 直 線 1L 的 斜 率 為m求 證 直 線 2L 的 斜

率 為

3

3 1

m

m

〔玩鎖玩索〕

直線是平面幾何上的重要元素而斜率又

是直線在代數上的代言人掌握斜率就如同控

制直線一樣從逆轉120的 直 線 斜 率 公 式

不 難 知 道 坐 標 平 面 上 的 正 三 角 形 之 三

條 邊 斜 率

1 2 3 m m m

是可以互相推導的即由 1m 可 以 得 到 2m 與

3m 的 公 式 而 且 還 知 道 以 下 兩 個 恆 等 式

1 2 2 3 3 1 3m m m m m m

1 2 31 2 3

1 1 19m m m

m m m

宇 富 怕 手 機 被 盜 打 每 日 更

換 開 機 密 碼為 了 便 於 記 憶

他 想 到 一 則 更 換 密 碼 的 算 術

通 則 「 昨 天 密 碼 為p 今

日 的 密 碼 就 更 新 為1

1

p

p

」

宇 富 跟 所 有 的 人 說「 我 已 經

使 用 這 密 碼 通 則 500天 了 而

且 第 一 天 的 密 碼 就 設 為 2 1

相 信 各 位 算 到 手 痠也 無 法 算

出 今 天 的 開 機 密 碼 」

徵求可以破解開機密碼的人士

〔玩鎖玩索〕

如果第一天的密碼為 那麼破解密碼

的難度有增加嗎

遊戲 87

遊戲 88

40 數亦優

動動手手玩玩數數學學~~破破解解秘秘笈笈

遊戲 81

如圖所示

(1) 考慮 ABC 因為 8sin15AB BC 且

150ABC 所以 ABC 為等腰三角

形且 15BAC 因此

2 cos15 2 8sin15 cos15AC AB

1

8sin30 8 42

(2) 仿照(1)的方法 ACE 也是等腰三角

形且 30CAE 因此

32 cos30 2 4 4 3

2AE AC

遊戲 82

秦九韶這個依括弧次序求函數值 f a 的演

算法就是高中數學多項式那章所介紹的綜

合除法

2 5 4 8

2

2

a

a

仔細計算上述綜合除法的空白位置可以發

現小中大括弧位置所代表的值與秦九韶

小中大括弧內的值完全一樣

遊戲 83

(1)

2cos 2cos24 24cot

24 sin 2sin cos24 24 24

1 cos1 cos

3 412

sin sin12 3 4

(2) 因為

cos cos cos sin sin3 4 3 4 3 4

1 2 3 2

2 2 2 2

2 6

4 4

及

sin sin cos sin cos3 4 3 4 4 3

3 2 2 1

2 2 2 2

6 2

4 4

所以

2 61 4 6 24 4cot

24 6 2 6 24 4

2

4 6 2 6 2

6 2

2 2 3 6

遊戲 84

令

2 3A a b c b c i

2 3B c a b a b i

2 3C b a c c a i

且

1 3

2

i

因為 2A C B

所以 3 3 3 6 3A C B

又因為 3 6 1 所以 3 3 3A B C

得證

ltlt ASCII85EncodePages false AllowTransparency false AutoPositionEPSFiles true AutoRotatePages All Binding Left CalGrayProfile (Dot Gain 20) CalRGBProfile (sRGB IEC61966-21) CalCMYKProfile (US Web Coated 050SWOP051 v2) sRGBProfile (sRGB IEC61966-21) CannotEmbedFontPolicy Error CompatibilityLevel 13 CompressObjects Tags CompressPages true ConvertImagesToIndexed true PassThroughJPEGImages true CreateJobTicket false DefaultRenderingIntent Default DetectBlends true DetectCurves 00000 ColorConversionStrategy LeaveColorUnchanged DoThumbnails false EmbedAllFonts true EmbedOpenType false ParseICCProfilesInComments true EmbedJobOptions true DSCReportingLevel 0 EmitDSCWarnings false EndPage -1 ImageMemory 1048576 LockDistillerParams false MaxSubsetPct 100 Optimize true OPM 1 ParseDSCComments true ParseDSCCommentsForDocInfo true PreserveCopyPage true PreserveDICMYKValues true PreserveEPSInfo true PreserveFlatness true PreserveHalftoneInfo false PreserveOPIComments true PreserveOverprintSettings true StartPage 1 SubsetFonts true TransferFunctionInfo Apply UCRandBGInfo Preserve UsePrologue false ColorSettingsFile () AlwaysEmbed [ true ] NeverEmbed [ true ] AntiAliasColorImages false CropColorImages true ColorImageMinResolution 300 ColorImageMinResolutionPolicy OK DownsampleColorImages true ColorImageDownsampleType Bicubic ColorImageResolution 300 ColorImageDepth -1 ColorImageMinDownsampleDepth 1 ColorImageDownsampleThreshold 150000 EncodeColorImages true ColorImageFilter DCTEncode AutoFilterColorImages true ColorImageAutoFilterStrategy JPEG ColorACSImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt ColorImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt JPEG2000ColorACSImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 30 gtgt JPEG2000ColorImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 30 gtgt AntiAliasGrayImages false CropGrayImages true GrayImageMinResolution 300 GrayImageMinResolutionPolicy OK DownsampleGrayImages true GrayImageDownsampleType Bicubic GrayImageResolution 300 GrayImageDepth -1 GrayImageMinDownsampleDepth 2 GrayImageDownsampleThreshold 150000 EncodeGrayImages true GrayImageFilter DCTEncode AutoFilterGrayImages true GrayImageAutoFilterStrategy JPEG GrayACSImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt GrayImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt JPEG2000GrayACSImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 30 gtgt JPEG2000GrayImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 30 gtgt AntiAliasMonoImages false CropMonoImages true MonoImageMinResolution 1200 MonoImageMinResolutionPolicy OK DownsampleMonoImages true MonoImageDownsampleType Bicubic MonoImageResolution 1200 MonoImageDepth -1 MonoImageDownsampleThreshold 150000 EncodeMonoImages true MonoImageFilter CCITTFaxEncode MonoImageDict ltlt K -1 gtgt AllowPSXObjects false CheckCompliance [ None ] PDFX1aCheck false PDFX3Check false PDFXCompliantPDFOnly false PDFXNoTrimBoxError 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 TUR 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 UKR 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 ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 50 and later) CHT ltFEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002gt gtgt Namespace [ (Adobe) (Common) (10) ] OtherNamespaces [ ltlt AsReaderSpreads false CropImagesToFrames true ErrorControl WarnAndContinue FlattenerIgnoreSpreadOverrides false IncludeGuidesGrids false IncludeNonPrinting false IncludeSlug false Namespace [ (Adobe) (InDesign) (40) ] OmitPlacedBitmaps false OmitPlacedEPS false OmitPlacedPDF false SimulateOverprint Legacy gtgt ltlt AddBleedMarks false AddColorBars false AddCropMarks false AddPageInfo false AddRegMarks false ConvertColors ConvertToCMYK DestinationProfileName () DestinationProfileSelector DocumentCMYK 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14 數亦優

一前言 》

高中數學課程近幾年不斷的加入統計的課程目的是想要讓學生感覺數學更貼近我們的生

活內容包含迴歸直線抽樣統計信賴區間hellip等而信賴區間這個單元建立在一個重要的

理論之上即為中央極限定理查閱大學教材內容大多在做定理及輔助定理的推導大多數人

未能完全了解其意義在這篇文章中我們將以高中生的觀點來欣賞中央極限定理

二中央極限定理（Central Limit Theorem簡寫 CLT）是什麼 》

每四年一次的總統大選選前新聞社都會透過電話隨機抽樣的方式來估計各組候選人的

支持度若每次電話抽樣訪問新聞社都隨機挑選 100 人這樣他們便可以獲得一組平均數標

準差這樣的行為重複多次則可以得到多組抽樣並討論其平均數標準差如果多組的平

均數用柱狀圖來呈現我們可以發現圖形隨著抽樣的次數增加會接近常態分配並且當選舉

後會發現真實的支持率與所有研究者當初所做的結果平均數相同且其標準差接近原來的

1

n倍即我們討論對象已由原來調查樣本變為這些研究者為我們討論對象這便是中央極

限定理討論的內容

現在讓我們重新敘述中央極限定理（有限母體）的內容

中央極限定理（Central Limit Theorem簡寫 C L T） 設研究目標為變量 T 1 2 Nt t t 平均數 標準差 則

2

2 21 1

1

1

N N

i i Ni i

ii

t tt

N N N

每次抽樣皆取 n個並取後放回其共有 NnC m 種抽樣方法數若每次抽樣平均分別為

1 2 mx x x 其結果會成常態分配則

1 1 2 mx x x 平均數為 1 2 Nt t t

N

2 1 2 mx x x 標準差為1

1

N n

n N

另外當 N n 時標準差近似於n

接下來我們可以進一步以高中的觀點探討為何抽樣平均的平均數會與當初未知的平均數相

同抽樣平均的標準差為何是1

1

N n

n N

廖世經臺中市立東山高中

數亦優 15

三抽樣平均的平均數及標準差 》

沿用上述的定理符號可以得到

1 2 mx x x

meanm

1 2 1 3 1 1 2n n N n N n Nt t t t t t t t t

n n n

m

1

1 1 2Nn NC t t t

nm

（

1

1

1

1 N Nn n

N n N nC C

n N n N n N n N

同理

22

1

1N Nn n

n nC C

N N

）

1 2

Nn N

nC t t t

Nnm

（∵ N

nC m ）

1 2 Nt t t

N

從上式證明結果我們可以發現學者抽樣平均所做的平均數與當初我們想要研究的目標

平均數是相同的這個觀念有助於我們將來思考信賴區間的概念

抽樣平均的變異數1

1

N n

n N

推導則為

2 2 2

1 1 1 1

2m m m m

i i i

i i i i

x x xvariance

m m

(A)

首先我們先考慮(A)中的1

m

i

i

x

從平均數的推導我們得到

1

m

i

i

x

m

則

1

m

i

i

x m

(B)

再考慮(A)中的2

1

m

i

i

x

2 2 22 1 2 1 3 1 1 2

1

mn n N n N n N

i

i

t t t t t t t t tx

n n n

2 2 21 2

1 1 2 2 1 2 1 3 1

2

2N Nn N n N NC t t t C t t t t t t

n

2 2 21 2 1 2 1 3 1

2

12

1N Nn N n N N

n nnC t t t C t t t t t t

N N N

n

2 2 21 2 1 2 1 3 1

112

1N N N

nm t t t m t t t t t t

N N N

n

(C)

16 數亦優

接著先計算(C)中的 1 2 1 3 12 N Nt t t t t t

2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 3 12N N N Nt t t t t t t t t t t t

2 2 2 21 2 1 2 1 3 12N N NN t t t t t t t t t

2 2 22 21 2 1 3 1 1 22 N N Nt t t t t t N t t t

將得到的式子代回(C)得到

2 2 2 2 2 22 2

1 2 1 22

1

111N Nm

i

i

nm t t t m N t t t

N N Nx

n

2

2 2 21 2

1

1 1N

m N n m n Nt t t

N N N

n

(D)

將(B)以及(D)的結果代回(A)得到

2 2

1 1 1

2m m m

i i

i i i

x xvariance

m

22 2 2

1 22

1

1 12

N

m N n m n Nt t t

N N Nm m

nm

2

2 2 21 2

2 2

1

1 12

N

N n n Nt t t

N N N

n

22 2 2 2

1 2

11

1 1N

N n n Nt t t

n N N n N

2

2 2 21 2

1

1 1N

N n N nt t t

n N N n N

2 2 221 21

1N

N n t t t

n N N

21

1

N n

n N

數亦優 17

在大學書中中央極限定理的敘述大多直接使用標準差n

是因為當 N n 時則

11

1 1

N n n

N N

rarr1故標準差會近似於

n

四結論 》

中央極限定理的存在幫助了我們做抽樣討論時從原本我們想要研究的目標轉換到探

討研究人員所做的數據上上面所討論的方式只透過平均數變異數的定義加上組合的想

法可以讓高中生更加了解中央極限定理藉此了解數學的真善美這是研究會時分享給其他

老師的內容謝謝我的實習老師黃怡慈老師的幫忙整理

18 數亦優

一楔子 》

古希臘人尤勒士（Euathlus）向普羅塔哥拉斯（Protagoras）學習辯論術先付一半學費

另一半學費訂定契約言明等學成後在第一場辯護勝訴時再付如果敗訴則學費不必再交

但尤勒士畢業後根本不擔任辯護的工作自然也不交另一半的學費因此普羅塔哥拉斯便告

他普羅塔哥拉斯說「如果我勝訴法官當然要判他還我學費如果我敗訴那就是尤勒士勝

訴依契約他還是要還我學費」尤勒士說「如果我勝訴當然是要求法官判我不必還學費

如果我敗訴依契約我也不必還學費」請問法官該怎麼判

二歸謬證法 》

亞里斯多德認為愈重的物體落下得愈快1589 年伽利略如此舉反證把兩物 AB

綁在一起成為 A B 假設 A比 B重則由高處落下時因為 B落下的速度比 A慢把 A拖

住所以 A B 落下的速度比 A 慢又 A B 比 A 重所以 A B 落下的速度又比 A 快矛盾

所以「任何物體同時從相同的高處落下皆同時著地」伽利略如是說

99 課程綱要把歸謬證法拿掉了我猜想最少有兩位先生會很鬱卒一位是歐幾里得先生

他在《幾何原本》中用歸謬證法證明了「質數有無窮多個」另一位是蔡聰明先生他用了 28

種方法證明 2 是無理數

三直觀與證明 》

最近看到一篇文章關於 2 是無理數的證明

假設 2p

q 是有理數其中 p q是正整數且 1p q 則

2

22

p

q

直觀上「如果p

q不是整數則

2

2

p

q更不可能是整數」矛盾

所以假設錯誤即 2 是無理數得證

（這是因為如果 p q沒有相同的成分 2p 和 2q 自然也不會有相同的成分如果p

q都無法化簡

成整數2

2

p

q更沒有機會了因此這個式子是個明顯可笑的矛盾等號左邊是整數右邊不是

整數兩者怎麼可能相等）

我想提一段陳年往事多年前一次國中數學週考中某老師出了一道題目證明三角形

兩邊和大於第三邊直觀上這何需證明因為兩點之間直線最短嘛於是我買了歐幾里得

的《幾何原本》根據歐幾里得的體系證明「三角形兩邊和大於第三邊」確實需要很長的篇幅

我相信這不會是出題老師的本意我的判斷是出題老師只想要學生說明「兩點之間直線最短」

江慶昱衛道中學退休教師

數亦優 19

那麼考題應該改成請說明「三角形兩邊和大於第三邊」中學階段不必強調數學的嚴密性

這是共識（60 年代的新數學過度強調嚴密性是失敗的原因之一）但是直觀的說明與嚴格的證

明應該予以區隔這純屬我個人的看法所以我以為上述關於 2 的證明實偏向於說明（註

最早項武義先生認為他解決了克卜勒的裝填問題陳省身先生也為之背書但還是不被接受

目前公認是 Thomas Hales 解決了httpenwikipediaorgwikiKepler_conjecture數學界的所謂

「證明」自有其行規）

如何在高中引入簡易邏輯是一件困難但是值得深思的事

四等價 》

高中課程中另一個重要的邏輯概念是「等價」有一年大學聯考考這麼一題證明「海龍

公式邊長 a b c的三角形面積 ( )( )( )s s a s b s c 」那時候大學錄取率大約 30不到

補習班之間競爭非常激烈大家趕著把解答登報有一間補習班第一天是這樣證明的

因為( ) ( )( )

sin cos2 2

A s s a A s b s c

bc bc

所以1 1

sin 2sin cos ( )( )( )2 2 2 2

A Abc A bc s s a s b s c

第二天趕快發報更正因為在邏輯上第一天拿一個等價的命題當作證明等於沒有證明

換句話說患了邏輯上的錯誤了

五等價的一些例子 》

我們在國中時有這樣的性質 p三角形任兩邊和大於第三邊又在書中的同一個角落看到

q三角形任兩邊差小於第三邊很容易證明「 p q 」這種情形我們叫 p與 q等價意思是 p

與 q是同一回事以下舉一些等價的例子

1 p平行公設過直線外一點恰有一直線與之平行q三角形內角和為180

2 G是ABC的重心則 p q r三個向量式等價

1 1

3 3

p AG AB AC

1 1 1

3 3 3

q OG OA OB OC

0r AG BG CG

3 2 2 2

p u v u v

（柯西不等式） q u v u v

（三角不等式）

4 p周長固定的平面圖形中以圓形面積最大q面積固定的平面圖形中以圓形周長最小

5 (1)正弦定理(2)餘弦定理(3)投影定理 等價

6 實數的完備性有多種等價的敘述（我有一位同事到師大數學系修碩士班學分就是上了一本

這樣的書）

7 p算幾不等式q柯西不等式

20 數亦優

六算幾不等式與柯西不等式的等價 》

算幾不等式與柯西不等式在形式上相差很多兩者會等價甚感意外我第一次是在臺中一

中的網頁內看到證明過程當時沒有仔細研究後來回去找就找不到那份資料了最近上網搜

尋找到建中徐健策老師的一篇專題算是一償宿願這是我寫這篇文章的另一個因緣

七後記 》

1900 年量子力學開始萌芽到 1965 年朝永振一郎（S Tomonaga）薛文格（Julian Schwinger）

與費因曼得到諾貝爾物理獎是一段精采的故事重點是薛文格與費因曼對量子電動力學的看法

與算法南轅北轍薛文格用的是歐洲優雅的數學費因曼的路徑積分用的是圖像式的數學把

兩者結合為一或者說看出兩者的「等價性」的是戴森（Freeman J Dyson）我覺得這比證

明兩命題的等價有更深刻的意義

非歐幾何的發展也有類似的地方義大利幾何學家 Eugenio Beltrami（1835~1899）證明了

Lobachevsky（1793~1856）與 Ferdinand Minding（1806~1885）的非歐幾何模型是「等價」的

（註代數中複數平面與平面向量同構以上兩種情況說同構或等價哪一個說法比較恰當

當就教於各位）

99 課程綱要把歸謬證法放在附錄我觀察最近兩年的各校段考試題大約只有三四個學

校段考中有考歸謬證法早年國中考高中每年要考一題證明題一題尺規作圖當時我們會

努力教證明題當然包括用「窮舉法」證明「圓內接四邊形的充要條件為對角互補」基測不

考證明題後絕大部分的老師不會花時間去證明這個定理向來就是「考試引導教學」自古皆

然隋唐時期科舉要考《算經》所以宋朝有四位偉大的數學家秦九韶李治楊輝朱世傑

到明清科舉只考八股文可以印證中國數學沒落的一段史實證明與數學的關係就如同實驗與

物理的關係基測與學測不考證明題相信有不少人憂心忡忡如今又把歸謬證法拿掉（放在

附錄與拿掉等價）應該有人輾轉難眠吧

早上（2012829）看到新聞十二年國教將於後年上路臺大名譽教授劉廣定批評103

年到 107 年的高中學生要繼續接受舊課綱的教育他堅決反對沒有新課綱的十二年國教後

年就要推十二年國教課綱最快 106 年才能完成到 108 年才有新課綱教科書可用意味之前

的高中生都要繼續接受舊課綱教育芬蘭從 1980 年代開始教改先找學校試辦2000 年才全

面實施然而臺灣十二年國教從宣布到實施只有三年準備期讓人憂心

參考資料

1 蔡聰明 2 是無理數的 28 種證明數學傳播季刊第 23 卷（第 1 期）

2 王九逵邏輯與數學思維

3 南山柯西不等式與排序不等式上海教育出版社P230

4 William Dunham（1995）天才之旅牛頓出版股份有限公司P61

5 戴森（1993）宇宙波瀾天下文化

6 奧瑟曼（1997）宇宙的詩篇天下文化P84

7 Stefan Kulczycki（1992）非歐幾里得幾何學水牛出版社P32

8 蔡辰理中國數學史上的黃金時代及其四個偉大的數學家20130701 取自

httpepistemathntuedutwarticlesmmmm_03_2_07page2htmltop

9 徐健策老師專題柯西琴生與冪平均不等式20131002 取自 httpmath1cktpedutw徐健策mathhtm

數亦優 21

一研究目的 》

將一道解四元一次聯立方程式的題目利用四次多項函數且領導係數為 1 的恆等原理來解

答

二研究過程 》

已知

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

12 1 2 3 2 5 2 7

14 1 4 3 4 5 4 7

16 1 6 3 6 5 6 7

18 1 8 3 8 5 8 7

x y z w

x y z w

x y z w

x y z w

試求(1) ( )x y z w (2) x y z w

一 首先將上題解讀為解四元一次聯立方程式

設

2

3

2

2

3 5 7105 2079 429 143 1

3 5 7 11 21 1485 1001 195 1

9 385 819 495 13 7 11 135 189 231 429 1

3 5 11 13

x aa b c d

y b a b c d

a b c dz ca b c d

w d

211512 1320 2288 5

4b c d

52376 1144 208 1

4b c d

5 956 504 1584 1

4b c d

2432 640 1792 0 19 5 14 0

5 1792 3840 5632 0 7 15 22 0

b c d b c d

b c d b c d

由5 14 14 19 19 5

320 320 320 11115 22 22 7 7 15

b c d

由1

56 504 1584 1 1024 11024

b b b b b c d

代入1 1 1 175 35

5 189 231 429 1 51024 1024 1024 1024 1024

a a a

李維昌國立宜蘭高中

22 數亦優

2 2 2 3 2 23 5 7 3 5 7 11 3 7 11 13 3 5 11 13( )

1024 1024 1024 1024x y z w

即為(1)的所求

2 3 2 2

2 3

2 2

3 5 7 3 5 7 11 3 7 11 13 3 5 11 13

35 13 5 7 3 5 7 11

1024 10241 1

3 7 11 13 3 5 11 131024 1024

x y z w a b c d

11025 10395 9009 6435 36864

361024 1024

即為(2)的所求

二 嘗試利用四次多項函數且領導係數為 1 的恆等原理來解答此題

1 構造以 t為變數的四次多項函數且領導係數為 1命此函數為 ( )f t

2 2 2 2 2 2 2( ) 1 3 5 7 3 5 7f t t t t t x t t t

2 2 2 2 2 2 2 2 21 5 7 1 3 7 1 3 5y t t t z t t t w t t t

其中 x y z w四數為常數

2 2 2 2 2 2 2 2 21

2 1 2 3 2 5 2 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 1 2 3 2 5 2 7 2 3 2 5 2 7

2 1 2 5 2 7 2 1 2 3 2 7

2 1 2 3 2 5 0

x

y z

w

2(2 ) 0f

3 2 2 2 2 2 2 2 21

4 1 4 3 4 5 4 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

4 1 4 3 4 5 4 7 4 3 4 5 4 7

4 1 4 5 4 7 4 1 4 3 4 7

4 1 4 3 4 5 0

x

y z

w

2(4 ) 0f

4 2 2 2 2 2 2 2 21

6 1 6 3 6 5 6 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

6 1 6 3 6 5 6 7 6 3 6 5 6 7

6 1 6 5 6 7 6 1 6 3 6 7

6 1 6 3 6 5 0

x

y z

w

2(6 ) 0f

數亦優 23

5 2 2 2 2 2 2 2 21

8 1 8 3 8 5 8 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

8 1 8 3 8 5 8 7 8 3 8 5 8 7

8 1 8 5 8 7 8 1 8 3 8 7

8 1 8 3 8 5 0

x

y z

w

2(8 ) 0f

6 由 12345的討論可得知 ( )f t 等價 2 2 2 22 4 6 8t t t t

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 4 6 8

1 3 5 7 3 5 7 1 5 7

1 3 7 1 3 5

t t t t

t t t t x t t t y t t t

z t t t w t t t

為 t的四次多項方程式

第式等號的左式 3t 的係數＝第式等號的右式 3t 的係數

2 2 2 2 2 2 2 22 4 6 8 1 3 5 7 x y z w

2 2 2 2 2 2 2 22 4 6 8 1 3 5 7 120 84 36x y z w

即為(2)的所求

7 x的求法

將 21t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

1 2 1 4 1 6 1 8 1 3 1 5 1 7

2 1 4 1 6 1 8 1 1 3 3 5 5 7 7 9 3 5 7

2 4 4 6 6 8 10243 1 5 1 7 1

x

x

8 y的求法

將 23t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 3

2 2 2 2 2 2

3 2 3 4 3 6 3 8 3 1 3 5 3 7

3 2 4 3 6 3 8 3 1 5 1 7 3 9 5 11 3 5 7 11

2 4 2 8 4 10 10243 1 5 3 7 3

y

y

9 z的求法

將 25t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

5 2 5 4 5 6 5 8 5 1 5 3 5 7

5 2 5 4 6 5 8 5 3 7 1 9 1 11 3 13 3 7 11 13

4 6 2 8 2 12 10245 1 5 3 7 5

z

z

24 數亦優

10 w的求法

將 27t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

7 2 7 4 7 6 7 8 7 1 7 3 7 5

7 2 7 4 7 6 8 7 5 9 3 11 1 13 1 15 3 5 11 13

6 8 4 10 2 12 10247 1 7 3 7 5

w

w

11 由 78910的討論可得

2 2 2 3 2 23 5 7 3 5 7 11 3 7 11 13 3 5 11 13

( ) 1024 1024 1024 1024

x y z w

即為(1)的所求

三 結論

1 解題的巧妙與否存乎一心「學則需疑於不疑處有疑方是進矣」本題為解四元

一次聯立方程式基本解題策略為克拉瑪公式加減消去法或代入消去法三種由

於這三種計算相當繁瑣進而苦思其他對策經過一番思索驀然回首伊人卻在

燈火闌珊處竟然將此題與四次多項方程式連結在一起有了令人會心一笑的妙解

真是一次驚奇的解題之旅

2 孔子曾言「學而不思則罔思而不學則殆」我期待每次解題時皆能直搗黃龍

一眼看穿題目的堂奧之妙事後「大膽假設小心求證」檢驗過程和結果是否達

到最佳化藉由在夙昔的典範亦步亦趨臻於真善美的解題境界

數亦優 25

國立臺灣師範大學數學系

筆試一計算證明題（考試時間2 小時）

1 (1) 直角三角形的兩股長為 a b斜邊長為 c試證 3 3 3c a b （8 分）

(2) 如下圖圓 O內二直徑 AC BD互相垂直在劣弧DC上任取一點 E

試證以 AE 為一邊的正方形面積等於四邊形 ABED面積的二倍 （12 分）

2 設函數 2( ) 6 5f x x x 求坐標平面上滿足聯立不等式

( ) ( ) 0

( ) ( ) 0

f x f y

f x f y

的所有點 ( )x y 所形成的區域面積 （20 分）

3 設 a b c d 為實數且 a b c d ( ) ( )f x g x 為滿足 ( ) ( )f a f b 及 ( ) ( )g c g d 的實係數二次多

項式已知 ( ) ( )f x g x 為常數多項式證明

(1) a b c d （8 分）

(2) 2( )

2

( )2

a bf a f

a bc d c d

g c g

（12 分）

4 如下圖所示ABC和DBC為空間中的兩個等腰三角形M為線段 BC 的中點令

AB AC a DB DC b BM CM c 和DA x

(1) 已知向量內積 0AM BD

求證 2 2 22x a b c （8 分）

(2) 已知 2 2 22x a b c 求證向量內積 0AM BD

（12 分）

26 數亦優

5 師大數學系舉辦系徽設計比賽入圍決選的有四件作品由 10 名學生代表進行不記名投票

每人投兩票且兩票須投不同作品在沒有廢票的情況下試問

(1) 四件作品的得票情形共有幾種 （8 分）

(2) 得票數 高的作品恰有一件的票數分布有幾種 （12 分）

筆試二填充題（考試時間15 小時）

1 設 a為實數若對於所有實數 x2

2

32

2

x ax

x x

恆成立則 a的範圍為

2 若等比數列的第三項是1 i 第五項是1 1

16 16i 其中 1i 則此等比數列的公比為

（有兩解）

3 從1234567 等數字中選取三個排成三位數數字不重複則排出來的是 3 的倍數但不是 5 的倍數

的整數有 個

4 桌上有十個骰子當中有一個骰子出現 5 點的機率是1

2而出現其他點數的機率均等其他

九個都是均勻的骰子用隨機的方式選取一個骰子來投擲在出現 5 點的情況下被選取的

骰子是不均勻骰子的條件機率為 （答案若為分數請化為 簡分數）

5 在電腦裡有一公定的對照表（ASCII）將英文字母ABhellipZ及空格等字元分別對應至一整數

其對應數字如下表所示

字母 空格 A B C D E F G H

ASCII 碼 32 65 66 67 68 69 70 71 72

字母 I J K L M N O P Q

ASCII 碼 73 74 75 76 77 78 79 80 81

字母 R S T U V W X Y Z

ASCII 碼 82 83 84 85 86 87 88 89 90

數亦優 27

我們可利用此對照表在 facebookTM 傳送保密訊息給朋友我們與朋友約定所有的英文字母及

空格皆以對照表中的整數替代例如「HE IS DAVID」的訊息用「7269327383326865867368」

取代然後將此數字字串的奇數項排在矩陣的第一列偶數項排在第二列形成以下矩陣

7 6 3 7 8 3 6 6 8 7 6

2 9 2 3 3 2 8 5 6 3 8B

再與二階方陣

1 2

2 3A

相乘得到

11 24 7 13 14 7 22 16 20 13 22

20 39 12 23 25 12 36 27 34 23 36AB

後依上述規則反求得字串「11202439071213231425071222361627203413232236」傳送給朋

友如此他人便不能立即得知傳送之內容現在在此規則下你接收到數字字串

「233825411222213516271932」可以轉成矩陣

23 25 12 21 16 19

38 41 22 35 27 32

其所代表之訊息為

6 坐標平面上圓 C通過點 (02) 且 C與兩直線 3 2 0 1 0x y y 皆相切則圓 C的方程

式為

7 坐標空間中ABC的三頂點分別為 (1 11) ( 321) (5 43)A B C P為ABC內部一點且

令P到 AB BC CA的距離分別為 x y z則 2 2 2x y z 的 小值為 （答案若為分數

請化為 簡分數）

8 函數 4 4( ) cos 3sinf x x x 的 小值為

9 設 為實數若

cos 0 sin

0 1 0

sin 0 cos

A

則 5A

10 袋中有編號分別為 1 到 6 的六個球從袋中隨機選取兩球令隨機變數 X表示在被選取的

兩球中球號比袋中剩下的球號都大的球的個數（例如如果選到 2 號和 3 號球那袋中剩

下的就是 1456 號球因為選出的球中並沒有比 1456 都大的球號故這種情況下 0X ）

隨機變數 X的期望值為 （答案若為分數請化為 簡分數）

28 數亦優

筆試一計算證明題

1 (1) 利用 2 2 2c a b 及 c a c b 得

3 2 2 2 2 3 3c c a b ca cb a b

(2) 過 E作 EF AC 則

四邊形 ABED的面積

1 1

2 21

21

2

ABD BDE

BD AO BD OF

BD AO OF

AC AF

又在直角三角形 ACE中因為2

AE AC AF 所以2

AE 四邊形 ABED面積的兩倍

2 因為

2 22 2( ) ( ) 6 6 10 3 3 8f x f y x y x y x y

2 2( ) ( ) 6 6 6f x f y x y x y x y x y

所以

2 23 3 8( ) ( ) 0

( ) ( ) 0 6 0

x yf x f y

f x f y x y x y

因此滿足上述條件的所有點 ( )x y 為

22 23 3 8

0 6 0

x y

x y x y

或 22 2

3 3 8

0 6 0

x y

x y x y

其所圍成的區域如下圖所示面積為 218 4

2

數亦優 29

3 (1) 依題意可設 ( ) ( )f x r x a x b s g x r x c x d s

因為 ( ) ( )f x g x 是常數多項式所以比較一二次項係數知

r r r a b r c d

得 a b c d

(2) 由 2 2

( )2 4 4

a b a ba bf r s r f a

得

2

4 ( )2a b

f a f

ra b

故得證

註1o 也可利用對稱性知 ( )y f x 的頂點之 x軸坐標為2

a b ( )y g x 的頂點之 x軸坐標

為2

c d而得證

2o 亦可用插值多項式證明

4 (1) 由向量分解DA DM MA DB BM MA

得

2 22 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2

2

2 2

DA DA DM MA DM MA DM MA

b c a c DB BM MA

b a c DB MA BM MA

因為 0AM BD

且 BM MA 所以

2 2 2 22DA b a c

因此

2 2 22DA a b c

(2) 由(1)及 BM MA 可得

2 2 2 22 2DA b a c DB MA

依題意知 2 2 22DA x b a c 即

22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2b a c b a c b a c DB MA

故

0DB MA

30 數亦優

5 (1) 由題意可以知道

1 四件作品所得的總票數為 20 票

2 每件作品 多可以得到 10 票

令四件作品的得票數分別為 x y z u由1 2 可得

200 10x y z u x y z u

因為 0 10x y z u 所以 420H 須扣掉11 20x y z u 的情況由 20x y z u 且

0x y z u 可知 多只有一個票數會大於等於 11假設 11x 令 11x x 可得

90 9x y z u x y z u

此情況有 4 129 9 220H C 種

因此票數分布為 4 420 94 1771 4 220 891H H 種

(2) 假設得票數 高為 x由題意可得

200 10x y z u y z u x

因為 y z u x 也就是 1y z u x 所以

1 1 1 4 3x y z u x x x x x

由 20x y z u 得

20 4 3x

即

23

4x

因此當 6x 時才會滿足只有一件作品得票數 高且票數為 x

當 6x 時

140 5y z u y z u

滿足此情況的 y z u有 (554)(545)(455) 3 種

當 7x 時

130 6y z u y z u

因為 13y z u 且 0y z u 所以 y z u 多只有一個會大於等於 7

由(1)可知滿足此情況有 3 3 15 813 6 13 63 3 105 84 21H H C C 種

同理

當 8910x 時 y z u 多只有一個會大於等於 8910故

當 8x 時有 3 3 14 612 4 12 43 3 91 45 46H H C C 種

當 9x 時有 3 3 13 411 2 11 23 3 78 18 60H H C C 種

數亦優 31

當 10x 時有 3 3 12 210 0 10 03 3 66 3 63H H C C 種

因此滿足只有一件作品得票數 高的情形有

4 3 21 46 60 63 772 種

筆試二填充題

1 2 3 4 5

0 4a 2 2

8 8i

66 1

4 NORMAL

6 7 8 9 10

2 2

3 1 4x y

2 2

3 3 5 36x y

（或是 2 2 2 3 2 0x y x y ）

50

79

3

4

cos5 0 sin 5

0 1 0

sin 5 0 cos5

2

5

32 數亦優

《接續PartI 請見數亦優第 21 期》

四 正多邊形

(一) 除了正方形及三角形以外我們還考慮將其他形狀組合討論其撕裂次數是否與正方

形三角形相同

(二) 並非所有正多邊形皆可組合若內角非360

kk

便不能組合例如

1 正五邊形的內角和180 3 540 則一個內角為108但108 360 k k

無法將五邊形完整組合必有空隙

2 正六邊形的內角和180 4 720 則一個內角為120因為120 3 360

則任三個相同的正六邊形皆可相互組合

(三) 完整排列正六邊形為例以 m張排列

例 1 一頁 5 個正六邊形排列

撕開 2 次使下排的兩個正六邊形與上排分開再逐一將上排撕開共需 4 次

由例 1撕的次數結果皆為 1m 次

（Part II） 陳敏晧國立蘭陽女中

數亦優 33

(四) 內部有洞正六邊形為例m張 n個洞排列

例 2 一頁 11 張且 2 洞排列

先撕開 2 次使其成為無洞排列再撕開 1 次使其變成兩頁完整排列再逐一撕開

共需 12 次

由例 1與例 2得知撕的次數結果皆為 1n m 次

五 「切割」的定義

(一) 我們從平面延伸到立體討論柏拉圖的五個正多面體先將正多面體每面切開分開

的次數是否也有彼此相似之處

(二) 因為立體無法如平面一樣用撕的故用切的而計算次數的定義與方法也與平面有很

大的差異

(三) 「切一次」的定義與限制沿著稜邊切下一個面才算作「一次」第一次切下後

便將封閉的正多面體打開此後每切一次都必須從開放的稜邊切下不可再一次從

封閉的面切下

以正六面體為例

此為一個完整封閉的正六面體

第一次沿著粗線切開可切下一個面

34 數亦優

六 柏拉圖多面體

1 正四面體

第一次將底面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 3 個面切下共需切

1 3 1 3 次

2 正六面體

第一次將頂面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 5 個面切下共需切

1 5 1 5 次

斜線部分為第一次被切下的面

封閉正六面體被打開後第二次只能從

開放的 4 條稜邊（粗線）切下

第二刀不可再從封閉面（粗線）開始切

數亦優 35

3 正八面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 7 個面切下共

需切 1 7 1 7 次

4 正十二面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 11 個面切下共

需切 1 11 1 11 次

5 正二十面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 19 個面切下共

需切 1 19 1 19 次

36 數亦優

由上述例子可得知切割次數皆剛好為正多面體的(總面數 1 )次

研究發現

內部有洞洞數 a b 其中 a洞的個數b每個洞的張數

矩 形

完整排列

邊長 邊長 總張數 撕的次數

2 2 4 3

4 5 20 19

不規則排列

總張數 撕的次數

10 9

13 12

內部有洞

邊長 邊長 洞數 總張數（邊長 邊長 洞的張數） 撕的次數

3 3 1 1 8 3 3 1 8

3 5 2 1 13 3 5 2 14

三 角 形

完整排列

邊長 總張數 撕的次數

2 4 3

3 9 8

不規則排列

總張數 撕的次數

10 9

13 12

內部有洞

邊長 洞數 總張數（邊長平方 洞的張數） 撕的次數

規

則

4 1 1 15 4 4 1 15

5 1 1 24 5 5 1 24

5 1 2 23 5 5 2 23

5 1 3 22 5 5 3 22

6 1 1 35 6 6 1 35

6 1 2 34 6 6 2 34

6 2 1 34 6 6 2 1 35

6 3 1 33 6 6 3 1 35

6 1 2 1 1 33 6 6 2 1 34

7 2 2 45 7 7 2 2 46

不

規

則

1 1 22 22

1 1 23 23

1 2 32 32

數亦優 37

六 邊 形

完整排列

總張數 撕的次數

3 2

5 4

內部有洞

洞數 總張數 撕的次數

1 1 6 6

2 1 11 12

正 多 面 體

面數 撕的次數

正四面體 4 3

正六面體 6 5

正八面體 8 7

正十二面體 12 11

正二十面體 20 19

目前的研究我們發現了以下獨特的結論平面幾何圖形中矩形正三角形和正六邊形的

規則形狀與不規則形狀紙張之最佳撕法都是(總張數 1 )次矩形正三角形及正六邊形排列成

內部有 n個洞且 m張的紙張之最佳撕法都是 1n m 次而柏拉圖立體的最少切割次數皆為

正多面體的(總面數 1 )次最重要我們發現其實撕裂或切割次數與撕裂或切割方法（或順序）

無關

參考資料

1 陳美如（200003）撕郵票問題數學傳播第 24 卷第 1 期P82~86

2 許志農與奇人相遇httpmathntnuedutw~macomeethtm

3 林義強多面體簡介第一屆全國高中數學教學研討會論文集P177~192

參數學專題研究反思 》

上述作品得到今年北一區數學科展優等過程中我與學生教學相長高二學生因為所學的

數學很有限所以數學解題層次會有侷限但是相對地數學思維與想像力卻是受過數學訓練

的我們所不及的在這次數學專題研究中我扮演的角色是諮詢者協助者鼓勵者完成任

務是那三位鍥而不捨的同學鄭羽呈李依庭林佩柔 勘誤 第 21 刊〈高中數學專題研究教案（PartI）〉 P34 倒數第 6 行「設m k 」應改為「設m k 」 P36 第 3 行「設m k 」應改為「設m k 」 P38 內部有洞的 1(1)~(4)分類應改為「1(1)一頁 24 張內部有一個洞一張為 1 洞」

「1(2)一頁 23 張內部有一個洞兩張為 1 洞」 「1(3)一頁 23 張內部有一個洞兩張為 1 洞」 「1(4)一頁 22 張內部有一個洞三張為 1 洞」

38 數亦優

動手玩數學 許志農臺灣師大數學系

在 下 圖 中已 知 ABC為 直 角

三 角 形 1AB 求

(1) 線段 AD的長度（化為最簡形式）

(2) 餘切 cot24

的值

〔玩鎖玩索〕

這道問題改編自「求 cot24

的值」這道

教師甄選試題關於這道餘切求值問題

有兩位老師的作法是用標準特別角出發

再求出欲求的餘切值

底下是另一位老師的作法

已知 ABC 為 直 角 三 角 形 4AC 求

AB BC及 cot24

的值

請 加 上 線 段 使 下 圖 分 成 五

份 形 狀 完 全 相 等 的 部 分（翻面

相等也算）

或 許 下 圖 對 你 會 有 些 幫 助 它 們 是 四 份

形 狀 完 全 相 等 的 部 分

〔玩鎖玩索〕

這是 1998 年夏天香港中文大學教育學

院第二次舉辦暑期資優課程中在數學有關的

工作坊裡的一道測智遊戲

遊戲 85

遊戲 86

數亦優 39

在 坐 標 平 面 上 畫 一 直 線 1L在

線 上 任 取 一 點O 以O為 旋 轉

中 心依 逆 時 針 方 向 將 直 線 1L

旋 轉 120得 到 直 線 2L 如 下

圖 所 示

已 知 直 線 1L 的 斜 率 為m求 證 直 線 2L 的 斜

率 為

3

3 1

m

m

〔玩鎖玩索〕

直線是平面幾何上的重要元素而斜率又

是直線在代數上的代言人掌握斜率就如同控

制直線一樣從逆轉120的 直 線 斜 率 公 式

不 難 知 道 坐 標 平 面 上 的 正 三 角 形 之 三

條 邊 斜 率

1 2 3 m m m

是可以互相推導的即由 1m 可 以 得 到 2m 與

3m 的 公 式 而 且 還 知 道 以 下 兩 個 恆 等 式

1 2 2 3 3 1 3m m m m m m

1 2 31 2 3

1 1 19m m m

m m m

宇 富 怕 手 機 被 盜 打 每 日 更

換 開 機 密 碼為 了 便 於 記 憶

他 想 到 一 則 更 換 密 碼 的 算 術

通 則 「 昨 天 密 碼 為p 今

日 的 密 碼 就 更 新 為1

1

p

p

」

宇 富 跟 所 有 的 人 說「 我 已 經

使 用 這 密 碼 通 則 500天 了 而

且 第 一 天 的 密 碼 就 設 為 2 1

相 信 各 位 算 到 手 痠也 無 法 算

出 今 天 的 開 機 密 碼 」

徵求可以破解開機密碼的人士

〔玩鎖玩索〕

如果第一天的密碼為 那麼破解密碼

的難度有增加嗎

遊戲 87

遊戲 88

40 數亦優

動動手手玩玩數數學學~~破破解解秘秘笈笈

遊戲 81

如圖所示

(1) 考慮 ABC 因為 8sin15AB BC 且

150ABC 所以 ABC 為等腰三角

形且 15BAC 因此

2 cos15 2 8sin15 cos15AC AB

1

8sin30 8 42

(2) 仿照(1)的方法 ACE 也是等腰三角

形且 30CAE 因此

32 cos30 2 4 4 3

2AE AC

遊戲 82

秦九韶這個依括弧次序求函數值 f a 的演

算法就是高中數學多項式那章所介紹的綜

合除法

2 5 4 8

2

2

a

a

仔細計算上述綜合除法的空白位置可以發

現小中大括弧位置所代表的值與秦九韶

小中大括弧內的值完全一樣

遊戲 83

(1)

2cos 2cos24 24cot

24 sin 2sin cos24 24 24

1 cos1 cos

3 412

sin sin12 3 4

(2) 因為

cos cos cos sin sin3 4 3 4 3 4

1 2 3 2

2 2 2 2

2 6

4 4

及

sin sin cos sin cos3 4 3 4 4 3

3 2 2 1

2 2 2 2

6 2

4 4

所以

2 61 4 6 24 4cot

24 6 2 6 24 4

2

4 6 2 6 2

6 2

2 2 3 6

遊戲 84

令

2 3A a b c b c i

2 3B c a b a b i

2 3C b a c c a i

且

1 3

2

i

因為 2A C B

所以 3 3 3 6 3A C B

又因為 3 6 1 所以 3 3 3A B C

得證

ltlt ASCII85EncodePages false AllowTransparency false AutoPositionEPSFiles true AutoRotatePages All Binding Left CalGrayProfile (Dot Gain 20) CalRGBProfile (sRGB IEC61966-21) CalCMYKProfile (US Web Coated 050SWOP051 v2) sRGBProfile (sRGB IEC61966-21) CannotEmbedFontPolicy Error CompatibilityLevel 13 CompressObjects Tags CompressPages true ConvertImagesToIndexed true PassThroughJPEGImages true CreateJobTicket false DefaultRenderingIntent Default DetectBlends true DetectCurves 00000 ColorConversionStrategy LeaveColorUnchanged DoThumbnails false EmbedAllFonts true EmbedOpenType false ParseICCProfilesInComments true EmbedJobOptions true DSCReportingLevel 0 EmitDSCWarnings false EndPage -1 ImageMemory 1048576 LockDistillerParams false MaxSubsetPct 100 Optimize true OPM 1 ParseDSCComments true ParseDSCCommentsForDocInfo true PreserveCopyPage true PreserveDICMYKValues true PreserveEPSInfo true PreserveFlatness true PreserveHalftoneInfo false PreserveOPIComments true PreserveOverprintSettings true StartPage 1 SubsetFonts true TransferFunctionInfo Apply UCRandBGInfo Preserve UsePrologue false ColorSettingsFile () AlwaysEmbed [ true ] NeverEmbed [ true ] AntiAliasColorImages false CropColorImages true ColorImageMinResolution 300 ColorImageMinResolutionPolicy OK DownsampleColorImages true ColorImageDownsampleType Bicubic ColorImageResolution 300 ColorImageDepth -1 ColorImageMinDownsampleDepth 1 ColorImageDownsampleThreshold 150000 EncodeColorImages true ColorImageFilter DCTEncode AutoFilterColorImages true ColorImageAutoFilterStrategy JPEG ColorACSImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt ColorImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt JPEG2000ColorACSImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 30 gtgt JPEG2000ColorImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 30 gtgt AntiAliasGrayImages false CropGrayImages true GrayImageMinResolution 300 GrayImageMinResolutionPolicy OK DownsampleGrayImages true GrayImageDownsampleType Bicubic GrayImageResolution 300 GrayImageDepth -1 GrayImageMinDownsampleDepth 2 GrayImageDownsampleThreshold 150000 EncodeGrayImages true GrayImageFilter DCTEncode AutoFilterGrayImages true GrayImageAutoFilterStrategy JPEG GrayACSImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt GrayImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt JPEG2000GrayACSImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 30 gtgt JPEG2000GrayImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 30 gtgt AntiAliasMonoImages false CropMonoImages true MonoImageMinResolution 1200 MonoImageMinResolutionPolicy OK DownsampleMonoImages true MonoImageDownsampleType Bicubic MonoImageResolution 1200 MonoImageDepth -1 MonoImageDownsampleThreshold 150000 EncodeMonoImages true MonoImageFilter CCITTFaxEncode MonoImageDict ltlt K -1 gtgt AllowPSXObjects false CheckCompliance [ None ] PDFX1aCheck false PDFX3Check false PDFXCompliantPDFOnly false PDFXNoTrimBoxError 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 SVE 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 TUR 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 UKR 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 ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing Created PDF documents 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數亦優 15

三抽樣平均的平均數及標準差 》

沿用上述的定理符號可以得到

1 2 mx x x

meanm

1 2 1 3 1 1 2n n N n N n Nt t t t t t t t t

n n n

m

1

1 1 2Nn NC t t t

nm

（

1

1

1

1 N Nn n

N n N nC C

n N n N n N n N

同理

22

1

1N Nn n

n nC C

N N

）

1 2

Nn N

nC t t t

Nnm

（∵ N

nC m ）

1 2 Nt t t

N

從上式證明結果我們可以發現學者抽樣平均所做的平均數與當初我們想要研究的目標

平均數是相同的這個觀念有助於我們將來思考信賴區間的概念

抽樣平均的變異數1

1

N n

n N

推導則為

2 2 2

1 1 1 1

2m m m m

i i i

i i i i

x x xvariance

m m

(A)

首先我們先考慮(A)中的1

m

i

i

x

從平均數的推導我們得到

1

m

i

i

x

m

則

1

m

i

i

x m

(B)

再考慮(A)中的2

1

m

i

i

x

2 2 22 1 2 1 3 1 1 2

1

mn n N n N n N

i

i

t t t t t t t t tx

n n n

2 2 21 2

1 1 2 2 1 2 1 3 1

2

2N Nn N n N NC t t t C t t t t t t

n

2 2 21 2 1 2 1 3 1

2

12

1N Nn N n N N

n nnC t t t C t t t t t t

N N N

n

2 2 21 2 1 2 1 3 1

112

1N N N

nm t t t m t t t t t t

N N N

n

(C)

16 數亦優

接著先計算(C)中的 1 2 1 3 12 N Nt t t t t t

2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 3 12N N N Nt t t t t t t t t t t t

2 2 2 21 2 1 2 1 3 12N N NN t t t t t t t t t

2 2 22 21 2 1 3 1 1 22 N N Nt t t t t t N t t t

將得到的式子代回(C)得到

2 2 2 2 2 22 2

1 2 1 22

1

111N Nm

i

i

nm t t t m N t t t

N N Nx

n

2

2 2 21 2

1

1 1N

m N n m n Nt t t

N N N

n

(D)

將(B)以及(D)的結果代回(A)得到

2 2

1 1 1

2m m m

i i

i i i

x xvariance

m

22 2 2

1 22

1

1 12

N

m N n m n Nt t t

N N Nm m

nm

2

2 2 21 2

2 2

1

1 12

N

N n n Nt t t

N N N

n

22 2 2 2

1 2

11

1 1N

N n n Nt t t

n N N n N

2

2 2 21 2

1

1 1N

N n N nt t t

n N N n N

2 2 221 21

1N

N n t t t

n N N

21

1

N n

n N

數亦優 17

在大學書中中央極限定理的敘述大多直接使用標準差n

是因為當 N n 時則

11

1 1

N n n

N N

rarr1故標準差會近似於

n

四結論 》

中央極限定理的存在幫助了我們做抽樣討論時從原本我們想要研究的目標轉換到探

討研究人員所做的數據上上面所討論的方式只透過平均數變異數的定義加上組合的想

法可以讓高中生更加了解中央極限定理藉此了解數學的真善美這是研究會時分享給其他

老師的內容謝謝我的實習老師黃怡慈老師的幫忙整理

18 數亦優

一楔子 》

古希臘人尤勒士（Euathlus）向普羅塔哥拉斯（Protagoras）學習辯論術先付一半學費

另一半學費訂定契約言明等學成後在第一場辯護勝訴時再付如果敗訴則學費不必再交

但尤勒士畢業後根本不擔任辯護的工作自然也不交另一半的學費因此普羅塔哥拉斯便告

他普羅塔哥拉斯說「如果我勝訴法官當然要判他還我學費如果我敗訴那就是尤勒士勝

訴依契約他還是要還我學費」尤勒士說「如果我勝訴當然是要求法官判我不必還學費

如果我敗訴依契約我也不必還學費」請問法官該怎麼判

二歸謬證法 》

亞里斯多德認為愈重的物體落下得愈快1589 年伽利略如此舉反證把兩物 AB

綁在一起成為 A B 假設 A比 B重則由高處落下時因為 B落下的速度比 A慢把 A拖

住所以 A B 落下的速度比 A 慢又 A B 比 A 重所以 A B 落下的速度又比 A 快矛盾

所以「任何物體同時從相同的高處落下皆同時著地」伽利略如是說

99 課程綱要把歸謬證法拿掉了我猜想最少有兩位先生會很鬱卒一位是歐幾里得先生

他在《幾何原本》中用歸謬證法證明了「質數有無窮多個」另一位是蔡聰明先生他用了 28

種方法證明 2 是無理數

三直觀與證明 》

最近看到一篇文章關於 2 是無理數的證明

假設 2p

q 是有理數其中 p q是正整數且 1p q 則

2

22

p

q

直觀上「如果p

q不是整數則

2

2

p

q更不可能是整數」矛盾

所以假設錯誤即 2 是無理數得證

（這是因為如果 p q沒有相同的成分 2p 和 2q 自然也不會有相同的成分如果p

q都無法化簡

成整數2

2

p

q更沒有機會了因此這個式子是個明顯可笑的矛盾等號左邊是整數右邊不是

整數兩者怎麼可能相等）

我想提一段陳年往事多年前一次國中數學週考中某老師出了一道題目證明三角形

兩邊和大於第三邊直觀上這何需證明因為兩點之間直線最短嘛於是我買了歐幾里得

的《幾何原本》根據歐幾里得的體系證明「三角形兩邊和大於第三邊」確實需要很長的篇幅

我相信這不會是出題老師的本意我的判斷是出題老師只想要學生說明「兩點之間直線最短」

江慶昱衛道中學退休教師

數亦優 19

那麼考題應該改成請說明「三角形兩邊和大於第三邊」中學階段不必強調數學的嚴密性

這是共識（60 年代的新數學過度強調嚴密性是失敗的原因之一）但是直觀的說明與嚴格的證

明應該予以區隔這純屬我個人的看法所以我以為上述關於 2 的證明實偏向於說明（註

最早項武義先生認為他解決了克卜勒的裝填問題陳省身先生也為之背書但還是不被接受

目前公認是 Thomas Hales 解決了httpenwikipediaorgwikiKepler_conjecture數學界的所謂

「證明」自有其行規）

如何在高中引入簡易邏輯是一件困難但是值得深思的事

四等價 》

高中課程中另一個重要的邏輯概念是「等價」有一年大學聯考考這麼一題證明「海龍

公式邊長 a b c的三角形面積 ( )( )( )s s a s b s c 」那時候大學錄取率大約 30不到

補習班之間競爭非常激烈大家趕著把解答登報有一間補習班第一天是這樣證明的

因為( ) ( )( )

sin cos2 2

A s s a A s b s c

bc bc

所以1 1

sin 2sin cos ( )( )( )2 2 2 2

A Abc A bc s s a s b s c

第二天趕快發報更正因為在邏輯上第一天拿一個等價的命題當作證明等於沒有證明

換句話說患了邏輯上的錯誤了

五等價的一些例子 》

我們在國中時有這樣的性質 p三角形任兩邊和大於第三邊又在書中的同一個角落看到

q三角形任兩邊差小於第三邊很容易證明「 p q 」這種情形我們叫 p與 q等價意思是 p

與 q是同一回事以下舉一些等價的例子

1 p平行公設過直線外一點恰有一直線與之平行q三角形內角和為180

2 G是ABC的重心則 p q r三個向量式等價

1 1

3 3

p AG AB AC

1 1 1

3 3 3

q OG OA OB OC

0r AG BG CG

3 2 2 2

p u v u v

（柯西不等式） q u v u v

（三角不等式）

4 p周長固定的平面圖形中以圓形面積最大q面積固定的平面圖形中以圓形周長最小

5 (1)正弦定理(2)餘弦定理(3)投影定理 等價

6 實數的完備性有多種等價的敘述（我有一位同事到師大數學系修碩士班學分就是上了一本

這樣的書）

7 p算幾不等式q柯西不等式

20 數亦優

六算幾不等式與柯西不等式的等價 》

算幾不等式與柯西不等式在形式上相差很多兩者會等價甚感意外我第一次是在臺中一

中的網頁內看到證明過程當時沒有仔細研究後來回去找就找不到那份資料了最近上網搜

尋找到建中徐健策老師的一篇專題算是一償宿願這是我寫這篇文章的另一個因緣

七後記 》

1900 年量子力學開始萌芽到 1965 年朝永振一郎（S Tomonaga）薛文格（Julian Schwinger）

與費因曼得到諾貝爾物理獎是一段精采的故事重點是薛文格與費因曼對量子電動力學的看法

與算法南轅北轍薛文格用的是歐洲優雅的數學費因曼的路徑積分用的是圖像式的數學把

兩者結合為一或者說看出兩者的「等價性」的是戴森（Freeman J Dyson）我覺得這比證

明兩命題的等價有更深刻的意義

非歐幾何的發展也有類似的地方義大利幾何學家 Eugenio Beltrami（1835~1899）證明了

Lobachevsky（1793~1856）與 Ferdinand Minding（1806~1885）的非歐幾何模型是「等價」的

（註代數中複數平面與平面向量同構以上兩種情況說同構或等價哪一個說法比較恰當

當就教於各位）

99 課程綱要把歸謬證法放在附錄我觀察最近兩年的各校段考試題大約只有三四個學

校段考中有考歸謬證法早年國中考高中每年要考一題證明題一題尺規作圖當時我們會

努力教證明題當然包括用「窮舉法」證明「圓內接四邊形的充要條件為對角互補」基測不

考證明題後絕大部分的老師不會花時間去證明這個定理向來就是「考試引導教學」自古皆

然隋唐時期科舉要考《算經》所以宋朝有四位偉大的數學家秦九韶李治楊輝朱世傑

到明清科舉只考八股文可以印證中國數學沒落的一段史實證明與數學的關係就如同實驗與

物理的關係基測與學測不考證明題相信有不少人憂心忡忡如今又把歸謬證法拿掉（放在

附錄與拿掉等價）應該有人輾轉難眠吧

早上（2012829）看到新聞十二年國教將於後年上路臺大名譽教授劉廣定批評103

年到 107 年的高中學生要繼續接受舊課綱的教育他堅決反對沒有新課綱的十二年國教後

年就要推十二年國教課綱最快 106 年才能完成到 108 年才有新課綱教科書可用意味之前

的高中生都要繼續接受舊課綱教育芬蘭從 1980 年代開始教改先找學校試辦2000 年才全

面實施然而臺灣十二年國教從宣布到實施只有三年準備期讓人憂心

參考資料

1 蔡聰明 2 是無理數的 28 種證明數學傳播季刊第 23 卷（第 1 期）

2 王九逵邏輯與數學思維

3 南山柯西不等式與排序不等式上海教育出版社P230

4 William Dunham（1995）天才之旅牛頓出版股份有限公司P61

5 戴森（1993）宇宙波瀾天下文化

6 奧瑟曼（1997）宇宙的詩篇天下文化P84

7 Stefan Kulczycki（1992）非歐幾里得幾何學水牛出版社P32

8 蔡辰理中國數學史上的黃金時代及其四個偉大的數學家20130701 取自

httpepistemathntuedutwarticlesmmmm_03_2_07page2htmltop

9 徐健策老師專題柯西琴生與冪平均不等式20131002 取自 httpmath1cktpedutw徐健策mathhtm

數亦優 21

一研究目的 》

將一道解四元一次聯立方程式的題目利用四次多項函數且領導係數為 1 的恆等原理來解

答

二研究過程 》

已知

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

12 1 2 3 2 5 2 7

14 1 4 3 4 5 4 7

16 1 6 3 6 5 6 7

18 1 8 3 8 5 8 7

x y z w

x y z w

x y z w

x y z w

試求(1) ( )x y z w (2) x y z w

一 首先將上題解讀為解四元一次聯立方程式

設

2

3

2

2

3 5 7105 2079 429 143 1

3 5 7 11 21 1485 1001 195 1

9 385 819 495 13 7 11 135 189 231 429 1

3 5 11 13

x aa b c d

y b a b c d

a b c dz ca b c d

w d

211512 1320 2288 5

4b c d

52376 1144 208 1

4b c d

5 956 504 1584 1

4b c d

2432 640 1792 0 19 5 14 0

5 1792 3840 5632 0 7 15 22 0

b c d b c d

b c d b c d

由5 14 14 19 19 5

320 320 320 11115 22 22 7 7 15

b c d

由1

56 504 1584 1 1024 11024

b b b b b c d

代入1 1 1 175 35

5 189 231 429 1 51024 1024 1024 1024 1024

a a a

李維昌國立宜蘭高中

22 數亦優

2 2 2 3 2 23 5 7 3 5 7 11 3 7 11 13 3 5 11 13( )

1024 1024 1024 1024x y z w

即為(1)的所求

2 3 2 2

2 3

2 2

3 5 7 3 5 7 11 3 7 11 13 3 5 11 13

35 13 5 7 3 5 7 11

1024 10241 1

3 7 11 13 3 5 11 131024 1024

x y z w a b c d

11025 10395 9009 6435 36864

361024 1024

即為(2)的所求

二 嘗試利用四次多項函數且領導係數為 1 的恆等原理來解答此題

1 構造以 t為變數的四次多項函數且領導係數為 1命此函數為 ( )f t

2 2 2 2 2 2 2( ) 1 3 5 7 3 5 7f t t t t t x t t t

2 2 2 2 2 2 2 2 21 5 7 1 3 7 1 3 5y t t t z t t t w t t t

其中 x y z w四數為常數

2 2 2 2 2 2 2 2 21

2 1 2 3 2 5 2 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 1 2 3 2 5 2 7 2 3 2 5 2 7

2 1 2 5 2 7 2 1 2 3 2 7

2 1 2 3 2 5 0

x

y z

w

2(2 ) 0f

3 2 2 2 2 2 2 2 21

4 1 4 3 4 5 4 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

4 1 4 3 4 5 4 7 4 3 4 5 4 7

4 1 4 5 4 7 4 1 4 3 4 7

4 1 4 3 4 5 0

x

y z

w

2(4 ) 0f

4 2 2 2 2 2 2 2 21

6 1 6 3 6 5 6 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

6 1 6 3 6 5 6 7 6 3 6 5 6 7

6 1 6 5 6 7 6 1 6 3 6 7

6 1 6 3 6 5 0

x

y z

w

2(6 ) 0f

數亦優 23

5 2 2 2 2 2 2 2 21

8 1 8 3 8 5 8 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

8 1 8 3 8 5 8 7 8 3 8 5 8 7

8 1 8 5 8 7 8 1 8 3 8 7

8 1 8 3 8 5 0

x

y z

w

2(8 ) 0f

6 由 12345的討論可得知 ( )f t 等價 2 2 2 22 4 6 8t t t t

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 4 6 8

1 3 5 7 3 5 7 1 5 7

1 3 7 1 3 5

t t t t

t t t t x t t t y t t t

z t t t w t t t

為 t的四次多項方程式

第式等號的左式 3t 的係數＝第式等號的右式 3t 的係數

2 2 2 2 2 2 2 22 4 6 8 1 3 5 7 x y z w

2 2 2 2 2 2 2 22 4 6 8 1 3 5 7 120 84 36x y z w

即為(2)的所求

7 x的求法

將 21t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

1 2 1 4 1 6 1 8 1 3 1 5 1 7

2 1 4 1 6 1 8 1 1 3 3 5 5 7 7 9 3 5 7

2 4 4 6 6 8 10243 1 5 1 7 1

x

x

8 y的求法

將 23t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 3

2 2 2 2 2 2

3 2 3 4 3 6 3 8 3 1 3 5 3 7

3 2 4 3 6 3 8 3 1 5 1 7 3 9 5 11 3 5 7 11

2 4 2 8 4 10 10243 1 5 3 7 3

y

y

9 z的求法

將 25t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

5 2 5 4 5 6 5 8 5 1 5 3 5 7

5 2 5 4 6 5 8 5 3 7 1 9 1 11 3 13 3 7 11 13

4 6 2 8 2 12 10245 1 5 3 7 5

z

z

24 數亦優

10 w的求法

將 27t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

7 2 7 4 7 6 7 8 7 1 7 3 7 5

7 2 7 4 7 6 8 7 5 9 3 11 1 13 1 15 3 5 11 13

6 8 4 10 2 12 10247 1 7 3 7 5

w

w

11 由 78910的討論可得

2 2 2 3 2 23 5 7 3 5 7 11 3 7 11 13 3 5 11 13

( ) 1024 1024 1024 1024

x y z w

即為(1)的所求

三 結論

1 解題的巧妙與否存乎一心「學則需疑於不疑處有疑方是進矣」本題為解四元

一次聯立方程式基本解題策略為克拉瑪公式加減消去法或代入消去法三種由

於這三種計算相當繁瑣進而苦思其他對策經過一番思索驀然回首伊人卻在

燈火闌珊處竟然將此題與四次多項方程式連結在一起有了令人會心一笑的妙解

真是一次驚奇的解題之旅

2 孔子曾言「學而不思則罔思而不學則殆」我期待每次解題時皆能直搗黃龍

一眼看穿題目的堂奧之妙事後「大膽假設小心求證」檢驗過程和結果是否達

到最佳化藉由在夙昔的典範亦步亦趨臻於真善美的解題境界

數亦優 25

國立臺灣師範大學數學系

筆試一計算證明題（考試時間2 小時）

1 (1) 直角三角形的兩股長為 a b斜邊長為 c試證 3 3 3c a b （8 分）

(2) 如下圖圓 O內二直徑 AC BD互相垂直在劣弧DC上任取一點 E

試證以 AE 為一邊的正方形面積等於四邊形 ABED面積的二倍 （12 分）

2 設函數 2( ) 6 5f x x x 求坐標平面上滿足聯立不等式

( ) ( ) 0

( ) ( ) 0

f x f y

f x f y

的所有點 ( )x y 所形成的區域面積 （20 分）

3 設 a b c d 為實數且 a b c d ( ) ( )f x g x 為滿足 ( ) ( )f a f b 及 ( ) ( )g c g d 的實係數二次多

項式已知 ( ) ( )f x g x 為常數多項式證明

(1) a b c d （8 分）

(2) 2( )

2

( )2

a bf a f

a bc d c d

g c g

（12 分）

4 如下圖所示ABC和DBC為空間中的兩個等腰三角形M為線段 BC 的中點令

AB AC a DB DC b BM CM c 和DA x

(1) 已知向量內積 0AM BD

求證 2 2 22x a b c （8 分）

(2) 已知 2 2 22x a b c 求證向量內積 0AM BD

（12 分）

26 數亦優

5 師大數學系舉辦系徽設計比賽入圍決選的有四件作品由 10 名學生代表進行不記名投票

每人投兩票且兩票須投不同作品在沒有廢票的情況下試問

(1) 四件作品的得票情形共有幾種 （8 分）

(2) 得票數 高的作品恰有一件的票數分布有幾種 （12 分）

筆試二填充題（考試時間15 小時）

1 設 a為實數若對於所有實數 x2

2

32

2

x ax

x x

恆成立則 a的範圍為

2 若等比數列的第三項是1 i 第五項是1 1

16 16i 其中 1i 則此等比數列的公比為

（有兩解）

3 從1234567 等數字中選取三個排成三位數數字不重複則排出來的是 3 的倍數但不是 5 的倍數

的整數有 個

4 桌上有十個骰子當中有一個骰子出現 5 點的機率是1

2而出現其他點數的機率均等其他

九個都是均勻的骰子用隨機的方式選取一個骰子來投擲在出現 5 點的情況下被選取的

骰子是不均勻骰子的條件機率為 （答案若為分數請化為 簡分數）

5 在電腦裡有一公定的對照表（ASCII）將英文字母ABhellipZ及空格等字元分別對應至一整數

其對應數字如下表所示

字母 空格 A B C D E F G H

ASCII 碼 32 65 66 67 68 69 70 71 72

字母 I J K L M N O P Q

ASCII 碼 73 74 75 76 77 78 79 80 81

字母 R S T U V W X Y Z

ASCII 碼 82 83 84 85 86 87 88 89 90

數亦優 27

我們可利用此對照表在 facebookTM 傳送保密訊息給朋友我們與朋友約定所有的英文字母及

空格皆以對照表中的整數替代例如「HE IS DAVID」的訊息用「7269327383326865867368」

取代然後將此數字字串的奇數項排在矩陣的第一列偶數項排在第二列形成以下矩陣

7 6 3 7 8 3 6 6 8 7 6

2 9 2 3 3 2 8 5 6 3 8B

再與二階方陣

1 2

2 3A

相乘得到

11 24 7 13 14 7 22 16 20 13 22

20 39 12 23 25 12 36 27 34 23 36AB

後依上述規則反求得字串「11202439071213231425071222361627203413232236」傳送給朋

友如此他人便不能立即得知傳送之內容現在在此規則下你接收到數字字串

「233825411222213516271932」可以轉成矩陣

23 25 12 21 16 19

38 41 22 35 27 32

其所代表之訊息為

6 坐標平面上圓 C通過點 (02) 且 C與兩直線 3 2 0 1 0x y y 皆相切則圓 C的方程

式為

7 坐標空間中ABC的三頂點分別為 (1 11) ( 321) (5 43)A B C P為ABC內部一點且

令P到 AB BC CA的距離分別為 x y z則 2 2 2x y z 的 小值為 （答案若為分數

請化為 簡分數）

8 函數 4 4( ) cos 3sinf x x x 的 小值為

9 設 為實數若

cos 0 sin

0 1 0

sin 0 cos

A

則 5A

10 袋中有編號分別為 1 到 6 的六個球從袋中隨機選取兩球令隨機變數 X表示在被選取的

兩球中球號比袋中剩下的球號都大的球的個數（例如如果選到 2 號和 3 號球那袋中剩

下的就是 1456 號球因為選出的球中並沒有比 1456 都大的球號故這種情況下 0X ）

隨機變數 X的期望值為 （答案若為分數請化為 簡分數）

28 數亦優

筆試一計算證明題

1 (1) 利用 2 2 2c a b 及 c a c b 得

3 2 2 2 2 3 3c c a b ca cb a b

(2) 過 E作 EF AC 則

四邊形 ABED的面積

1 1

2 21

21

2

ABD BDE

BD AO BD OF

BD AO OF

AC AF

又在直角三角形 ACE中因為2

AE AC AF 所以2

AE 四邊形 ABED面積的兩倍

2 因為

2 22 2( ) ( ) 6 6 10 3 3 8f x f y x y x y x y

2 2( ) ( ) 6 6 6f x f y x y x y x y x y

所以

2 23 3 8( ) ( ) 0

( ) ( ) 0 6 0

x yf x f y

f x f y x y x y

因此滿足上述條件的所有點 ( )x y 為

22 23 3 8

0 6 0

x y

x y x y

或 22 2

3 3 8

0 6 0

x y

x y x y

其所圍成的區域如下圖所示面積為 218 4

2

數亦優 29

3 (1) 依題意可設 ( ) ( )f x r x a x b s g x r x c x d s

因為 ( ) ( )f x g x 是常數多項式所以比較一二次項係數知

r r r a b r c d

得 a b c d

(2) 由 2 2

( )2 4 4

a b a ba bf r s r f a

得

2

4 ( )2a b

f a f

ra b

故得證

註1o 也可利用對稱性知 ( )y f x 的頂點之 x軸坐標為2

a b ( )y g x 的頂點之 x軸坐標

為2

c d而得證

2o 亦可用插值多項式證明

4 (1) 由向量分解DA DM MA DB BM MA

得

2 22 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2

2

2 2

DA DA DM MA DM MA DM MA

b c a c DB BM MA

b a c DB MA BM MA

因為 0AM BD

且 BM MA 所以

2 2 2 22DA b a c

因此

2 2 22DA a b c

(2) 由(1)及 BM MA 可得

2 2 2 22 2DA b a c DB MA

依題意知 2 2 22DA x b a c 即

22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2b a c b a c b a c DB MA

故

0DB MA

30 數亦優

5 (1) 由題意可以知道

1 四件作品所得的總票數為 20 票

2 每件作品 多可以得到 10 票

令四件作品的得票數分別為 x y z u由1 2 可得

200 10x y z u x y z u

因為 0 10x y z u 所以 420H 須扣掉11 20x y z u 的情況由 20x y z u 且

0x y z u 可知 多只有一個票數會大於等於 11假設 11x 令 11x x 可得

90 9x y z u x y z u

此情況有 4 129 9 220H C 種

因此票數分布為 4 420 94 1771 4 220 891H H 種

(2) 假設得票數 高為 x由題意可得

200 10x y z u y z u x

因為 y z u x 也就是 1y z u x 所以

1 1 1 4 3x y z u x x x x x

由 20x y z u 得

20 4 3x

即

23

4x

因此當 6x 時才會滿足只有一件作品得票數 高且票數為 x

當 6x 時

140 5y z u y z u

滿足此情況的 y z u有 (554)(545)(455) 3 種

當 7x 時

130 6y z u y z u

因為 13y z u 且 0y z u 所以 y z u 多只有一個會大於等於 7

由(1)可知滿足此情況有 3 3 15 813 6 13 63 3 105 84 21H H C C 種

同理

當 8910x 時 y z u 多只有一個會大於等於 8910故

當 8x 時有 3 3 14 612 4 12 43 3 91 45 46H H C C 種

當 9x 時有 3 3 13 411 2 11 23 3 78 18 60H H C C 種

數亦優 31

當 10x 時有 3 3 12 210 0 10 03 3 66 3 63H H C C 種

因此滿足只有一件作品得票數 高的情形有

4 3 21 46 60 63 772 種

筆試二填充題

1 2 3 4 5

0 4a 2 2

8 8i

66 1

4 NORMAL

6 7 8 9 10

2 2

3 1 4x y

2 2

3 3 5 36x y

（或是 2 2 2 3 2 0x y x y ）

50

79

3

4

cos5 0 sin 5

0 1 0

sin 5 0 cos5

2

5

32 數亦優

《接續PartI 請見數亦優第 21 期》

四 正多邊形

(一) 除了正方形及三角形以外我們還考慮將其他形狀組合討論其撕裂次數是否與正方

形三角形相同

(二) 並非所有正多邊形皆可組合若內角非360

kk

便不能組合例如

1 正五邊形的內角和180 3 540 則一個內角為108但108 360 k k

無法將五邊形完整組合必有空隙

2 正六邊形的內角和180 4 720 則一個內角為120因為120 3 360

則任三個相同的正六邊形皆可相互組合

(三) 完整排列正六邊形為例以 m張排列

例 1 一頁 5 個正六邊形排列

撕開 2 次使下排的兩個正六邊形與上排分開再逐一將上排撕開共需 4 次

由例 1撕的次數結果皆為 1m 次

（Part II） 陳敏晧國立蘭陽女中

數亦優 33

(四) 內部有洞正六邊形為例m張 n個洞排列

例 2 一頁 11 張且 2 洞排列

先撕開 2 次使其成為無洞排列再撕開 1 次使其變成兩頁完整排列再逐一撕開

共需 12 次

由例 1與例 2得知撕的次數結果皆為 1n m 次

五 「切割」的定義

(一) 我們從平面延伸到立體討論柏拉圖的五個正多面體先將正多面體每面切開分開

的次數是否也有彼此相似之處

(二) 因為立體無法如平面一樣用撕的故用切的而計算次數的定義與方法也與平面有很

大的差異

(三) 「切一次」的定義與限制沿著稜邊切下一個面才算作「一次」第一次切下後

便將封閉的正多面體打開此後每切一次都必須從開放的稜邊切下不可再一次從

封閉的面切下

以正六面體為例

此為一個完整封閉的正六面體

第一次沿著粗線切開可切下一個面

34 數亦優

六 柏拉圖多面體

1 正四面體

第一次將底面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 3 個面切下共需切

1 3 1 3 次

2 正六面體

第一次將頂面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 5 個面切下共需切

1 5 1 5 次

斜線部分為第一次被切下的面

封閉正六面體被打開後第二次只能從

開放的 4 條稜邊（粗線）切下

第二刀不可再從封閉面（粗線）開始切

數亦優 35

3 正八面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 7 個面切下共

需切 1 7 1 7 次

4 正十二面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 11 個面切下共

需切 1 11 1 11 次

5 正二十面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 19 個面切下共

需切 1 19 1 19 次

36 數亦優

由上述例子可得知切割次數皆剛好為正多面體的(總面數 1 )次

研究發現

內部有洞洞數 a b 其中 a洞的個數b每個洞的張數

矩 形

完整排列

邊長 邊長 總張數 撕的次數

2 2 4 3

4 5 20 19

不規則排列

總張數 撕的次數

10 9

13 12

內部有洞

邊長 邊長 洞數 總張數（邊長 邊長 洞的張數） 撕的次數

3 3 1 1 8 3 3 1 8

3 5 2 1 13 3 5 2 14

三 角 形

完整排列

邊長 總張數 撕的次數

2 4 3

3 9 8

不規則排列

總張數 撕的次數

10 9

13 12

內部有洞

邊長 洞數 總張數（邊長平方 洞的張數） 撕的次數

規

則

4 1 1 15 4 4 1 15

5 1 1 24 5 5 1 24

5 1 2 23 5 5 2 23

5 1 3 22 5 5 3 22

6 1 1 35 6 6 1 35

6 1 2 34 6 6 2 34

6 2 1 34 6 6 2 1 35

6 3 1 33 6 6 3 1 35

6 1 2 1 1 33 6 6 2 1 34

7 2 2 45 7 7 2 2 46

不

規

則

1 1 22 22

1 1 23 23

1 2 32 32

數亦優 37

六 邊 形

完整排列

總張數 撕的次數

3 2

5 4

內部有洞

洞數 總張數 撕的次數

1 1 6 6

2 1 11 12

正 多 面 體

面數 撕的次數

正四面體 4 3

正六面體 6 5

正八面體 8 7

正十二面體 12 11

正二十面體 20 19

目前的研究我們發現了以下獨特的結論平面幾何圖形中矩形正三角形和正六邊形的

規則形狀與不規則形狀紙張之最佳撕法都是(總張數 1 )次矩形正三角形及正六邊形排列成

內部有 n個洞且 m張的紙張之最佳撕法都是 1n m 次而柏拉圖立體的最少切割次數皆為

正多面體的(總面數 1 )次最重要我們發現其實撕裂或切割次數與撕裂或切割方法（或順序）

無關

參考資料

1 陳美如（200003）撕郵票問題數學傳播第 24 卷第 1 期P82~86

2 許志農與奇人相遇httpmathntnuedutw~macomeethtm

3 林義強多面體簡介第一屆全國高中數學教學研討會論文集P177~192

參數學專題研究反思 》

上述作品得到今年北一區數學科展優等過程中我與學生教學相長高二學生因為所學的

數學很有限所以數學解題層次會有侷限但是相對地數學思維與想像力卻是受過數學訓練

的我們所不及的在這次數學專題研究中我扮演的角色是諮詢者協助者鼓勵者完成任

務是那三位鍥而不捨的同學鄭羽呈李依庭林佩柔 勘誤 第 21 刊〈高中數學專題研究教案（PartI）〉 P34 倒數第 6 行「設m k 」應改為「設m k 」 P36 第 3 行「設m k 」應改為「設m k 」 P38 內部有洞的 1(1)~(4)分類應改為「1(1)一頁 24 張內部有一個洞一張為 1 洞」

「1(2)一頁 23 張內部有一個洞兩張為 1 洞」 「1(3)一頁 23 張內部有一個洞兩張為 1 洞」 「1(4)一頁 22 張內部有一個洞三張為 1 洞」

38 數亦優

動手玩數學 許志農臺灣師大數學系

在 下 圖 中已 知 ABC為 直 角

三 角 形 1AB 求

(1) 線段 AD的長度（化為最簡形式）

(2) 餘切 cot24

的值

〔玩鎖玩索〕

這道問題改編自「求 cot24

的值」這道

教師甄選試題關於這道餘切求值問題

有兩位老師的作法是用標準特別角出發

再求出欲求的餘切值

底下是另一位老師的作法

已知 ABC 為 直 角 三 角 形 4AC 求

AB BC及 cot24

的值

請 加 上 線 段 使 下 圖 分 成 五

份 形 狀 完 全 相 等 的 部 分（翻面

相等也算）

或 許 下 圖 對 你 會 有 些 幫 助 它 們 是 四 份

形 狀 完 全 相 等 的 部 分

〔玩鎖玩索〕

這是 1998 年夏天香港中文大學教育學

院第二次舉辦暑期資優課程中在數學有關的

工作坊裡的一道測智遊戲

遊戲 85

遊戲 86

數亦優 39

在 坐 標 平 面 上 畫 一 直 線 1L在

線 上 任 取 一 點O 以O為 旋 轉

中 心依 逆 時 針 方 向 將 直 線 1L

旋 轉 120得 到 直 線 2L 如 下

圖 所 示

已 知 直 線 1L 的 斜 率 為m求 證 直 線 2L 的 斜

率 為

3

3 1

m

m

〔玩鎖玩索〕

直線是平面幾何上的重要元素而斜率又

是直線在代數上的代言人掌握斜率就如同控

制直線一樣從逆轉120的 直 線 斜 率 公 式

不 難 知 道 坐 標 平 面 上 的 正 三 角 形 之 三

條 邊 斜 率

1 2 3 m m m

是可以互相推導的即由 1m 可 以 得 到 2m 與

3m 的 公 式 而 且 還 知 道 以 下 兩 個 恆 等 式

1 2 2 3 3 1 3m m m m m m

1 2 31 2 3

1 1 19m m m

m m m

宇 富 怕 手 機 被 盜 打 每 日 更

換 開 機 密 碼為 了 便 於 記 憶

他 想 到 一 則 更 換 密 碼 的 算 術

通 則 「 昨 天 密 碼 為p 今

日 的 密 碼 就 更 新 為1

1

p

p

」

宇 富 跟 所 有 的 人 說「 我 已 經

使 用 這 密 碼 通 則 500天 了 而

且 第 一 天 的 密 碼 就 設 為 2 1

相 信 各 位 算 到 手 痠也 無 法 算

出 今 天 的 開 機 密 碼 」

徵求可以破解開機密碼的人士

〔玩鎖玩索〕

如果第一天的密碼為 那麼破解密碼

的難度有增加嗎

遊戲 87

遊戲 88

40 數亦優

動動手手玩玩數數學學~~破破解解秘秘笈笈

遊戲 81

如圖所示

(1) 考慮 ABC 因為 8sin15AB BC 且

150ABC 所以 ABC 為等腰三角

形且 15BAC 因此

2 cos15 2 8sin15 cos15AC AB

1

8sin30 8 42

(2) 仿照(1)的方法 ACE 也是等腰三角

形且 30CAE 因此

32 cos30 2 4 4 3

2AE AC

遊戲 82

秦九韶這個依括弧次序求函數值 f a 的演

算法就是高中數學多項式那章所介紹的綜

合除法

2 5 4 8

2

2

a

a

仔細計算上述綜合除法的空白位置可以發

現小中大括弧位置所代表的值與秦九韶

小中大括弧內的值完全一樣

遊戲 83

(1)

2cos 2cos24 24cot

24 sin 2sin cos24 24 24

1 cos1 cos

3 412

sin sin12 3 4

(2) 因為

cos cos cos sin sin3 4 3 4 3 4

1 2 3 2

2 2 2 2

2 6

4 4

及

sin sin cos sin cos3 4 3 4 4 3

3 2 2 1

2 2 2 2

6 2

4 4

所以

2 61 4 6 24 4cot

24 6 2 6 24 4

2

4 6 2 6 2

6 2

2 2 3 6

遊戲 84

令

2 3A a b c b c i

2 3B c a b a b i

2 3C b a c c a i

且

1 3

2

i

因為 2A C B

所以 3 3 3 6 3A C B

又因為 3 6 1 所以 3 3 3A B C

得證

ltlt ASCII85EncodePages false AllowTransparency false AutoPositionEPSFiles true AutoRotatePages All Binding Left CalGrayProfile (Dot Gain 20) CalRGBProfile (sRGB IEC61966-21) CalCMYKProfile (US Web Coated 050SWOP051 v2) sRGBProfile (sRGB IEC61966-21) CannotEmbedFontPolicy Error CompatibilityLevel 13 CompressObjects Tags CompressPages true ConvertImagesToIndexed true PassThroughJPEGImages true CreateJobTicket false DefaultRenderingIntent Default DetectBlends true DetectCurves 00000 ColorConversionStrategy LeaveColorUnchanged DoThumbnails false EmbedAllFonts true EmbedOpenType false ParseICCProfilesInComments true EmbedJobOptions true DSCReportingLevel 0 EmitDSCWarnings false EndPage -1 ImageMemory 1048576 LockDistillerParams false MaxSubsetPct 100 Optimize true OPM 1 ParseDSCComments true ParseDSCCommentsForDocInfo true PreserveCopyPage true PreserveDICMYKValues true PreserveEPSInfo true PreserveFlatness true PreserveHalftoneInfo false PreserveOPIComments true PreserveOverprintSettings true StartPage 1 SubsetFonts true TransferFunctionInfo Apply UCRandBGInfo Preserve UsePrologue false ColorSettingsFile () AlwaysEmbed [ true ] NeverEmbed [ true ] AntiAliasColorImages false CropColorImages true ColorImageMinResolution 300 ColorImageMinResolutionPolicy OK DownsampleColorImages true ColorImageDownsampleType Bicubic ColorImageResolution 300 ColorImageDepth -1 ColorImageMinDownsampleDepth 1 ColorImageDownsampleThreshold 150000 EncodeColorImages true ColorImageFilter DCTEncode AutoFilterColorImages true ColorImageAutoFilterStrategy JPEG ColorACSImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt ColorImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt JPEG2000ColorACSImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 30 gtgt JPEG2000ColorImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 30 gtgt AntiAliasGrayImages false CropGrayImages true GrayImageMinResolution 300 GrayImageMinResolutionPolicy OK DownsampleGrayImages true GrayImageDownsampleType Bicubic GrayImageResolution 300 GrayImageDepth -1 GrayImageMinDownsampleDepth 2 GrayImageDownsampleThreshold 150000 EncodeGrayImages true GrayImageFilter DCTEncode AutoFilterGrayImages true GrayImageAutoFilterStrategy JPEG GrayACSImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt GrayImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt JPEG2000GrayACSImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 30 gtgt JPEG2000GrayImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 30 gtgt AntiAliasMonoImages false CropMonoImages true MonoImageMinResolution 1200 MonoImageMinResolutionPolicy OK DownsampleMonoImages true MonoImageDownsampleType Bicubic MonoImageResolution 1200 MonoImageDepth -1 MonoImageDownsampleThreshold 150000 EncodeMonoImages true MonoImageFilter CCITTFaxEncode MonoImageDict ltlt K -1 gtgt AllowPSXObjects false CheckCompliance [ None ] PDFX1aCheck false PDFX3Check false PDFXCompliantPDFOnly false PDFXNoTrimBoxError true PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 000000 000000 000000 000000 ] PDFXSetBleedBoxToMediaBox true PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 000000 000000 000000 000000 ] PDFXOutputIntentProfile () PDFXOutputConditionIdentifier () PDFXOutputCondition () PDFXRegistryName () PDFXTrapped False CreateJDFFile false Description ltlt ARA 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 BGR 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ltFEFF0041006e007600e4006e00640020006400650020006800e4007200200069006e0073007400e4006c006c006e0069006e006700610072006e00610020006f006d002000640075002000760069006c006c00200073006b006100700061002000410064006f006200650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e007400200073006f006d002000e400720020006c00e4006d0070006c0069006700610020006600f60072002000700072006500700072006500730073002d007500740073006b00720069006600740020006d006500640020006800f600670020006b00760061006c0069007400650074002e002000200053006b006100700061006400650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740020006b0061006e002000f600700070006e00610073002000690020004100630072006f0062006100740020006f00630068002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020006f00630068002000730065006e006100720065002egt TUR 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 UKR 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 ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 50 and later) CHT ltFEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002gt gtgt Namespace [ (Adobe) (Common) (10) ] OtherNamespaces [ ltlt AsReaderSpreads false CropImagesToFrames true ErrorControl WarnAndContinue FlattenerIgnoreSpreadOverrides false IncludeGuidesGrids false IncludeNonPrinting false IncludeSlug false Namespace [ (Adobe) (InDesign) (40) ] OmitPlacedBitmaps false OmitPlacedEPS false OmitPlacedPDF false SimulateOverprint Legacy gtgt ltlt AddBleedMarks false AddColorBars false AddCropMarks false AddPageInfo false AddRegMarks false ConvertColors ConvertToCMYK DestinationProfileName () DestinationProfileSelector DocumentCMYK 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16 數亦優

接著先計算(C)中的 1 2 1 3 12 N Nt t t t t t

2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 3 12N N N Nt t t t t t t t t t t t

2 2 2 21 2 1 2 1 3 12N N NN t t t t t t t t t

2 2 22 21 2 1 3 1 1 22 N N Nt t t t t t N t t t

將得到的式子代回(C)得到

2 2 2 2 2 22 2

1 2 1 22

1

111N Nm

i

i

nm t t t m N t t t

N N Nx

n

2

2 2 21 2

1

1 1N

m N n m n Nt t t

N N N

n

(D)

將(B)以及(D)的結果代回(A)得到

2 2

1 1 1

2m m m

i i

i i i

x xvariance

m

22 2 2

1 22

1

1 12

N

m N n m n Nt t t

N N Nm m

nm

2

2 2 21 2

2 2

1

1 12

N

N n n Nt t t

N N N

n

22 2 2 2

1 2

11

1 1N

N n n Nt t t

n N N n N

2

2 2 21 2

1

1 1N

N n N nt t t

n N N n N

2 2 221 21

1N

N n t t t

n N N

21

1

N n

n N

數亦優 17

在大學書中中央極限定理的敘述大多直接使用標準差n

是因為當 N n 時則

11

1 1

N n n

N N

rarr1故標準差會近似於

n

四結論 》

中央極限定理的存在幫助了我們做抽樣討論時從原本我們想要研究的目標轉換到探

討研究人員所做的數據上上面所討論的方式只透過平均數變異數的定義加上組合的想

法可以讓高中生更加了解中央極限定理藉此了解數學的真善美這是研究會時分享給其他

老師的內容謝謝我的實習老師黃怡慈老師的幫忙整理

18 數亦優

一楔子 》

古希臘人尤勒士（Euathlus）向普羅塔哥拉斯（Protagoras）學習辯論術先付一半學費

另一半學費訂定契約言明等學成後在第一場辯護勝訴時再付如果敗訴則學費不必再交

但尤勒士畢業後根本不擔任辯護的工作自然也不交另一半的學費因此普羅塔哥拉斯便告

他普羅塔哥拉斯說「如果我勝訴法官當然要判他還我學費如果我敗訴那就是尤勒士勝

訴依契約他還是要還我學費」尤勒士說「如果我勝訴當然是要求法官判我不必還學費

如果我敗訴依契約我也不必還學費」請問法官該怎麼判

二歸謬證法 》

亞里斯多德認為愈重的物體落下得愈快1589 年伽利略如此舉反證把兩物 AB

綁在一起成為 A B 假設 A比 B重則由高處落下時因為 B落下的速度比 A慢把 A拖

住所以 A B 落下的速度比 A 慢又 A B 比 A 重所以 A B 落下的速度又比 A 快矛盾

所以「任何物體同時從相同的高處落下皆同時著地」伽利略如是說

99 課程綱要把歸謬證法拿掉了我猜想最少有兩位先生會很鬱卒一位是歐幾里得先生

他在《幾何原本》中用歸謬證法證明了「質數有無窮多個」另一位是蔡聰明先生他用了 28

種方法證明 2 是無理數

三直觀與證明 》

最近看到一篇文章關於 2 是無理數的證明

假設 2p

q 是有理數其中 p q是正整數且 1p q 則

2

22

p

q

直觀上「如果p

q不是整數則

2

2

p

q更不可能是整數」矛盾

所以假設錯誤即 2 是無理數得證

（這是因為如果 p q沒有相同的成分 2p 和 2q 自然也不會有相同的成分如果p

q都無法化簡

成整數2

2

p

q更沒有機會了因此這個式子是個明顯可笑的矛盾等號左邊是整數右邊不是

整數兩者怎麼可能相等）

我想提一段陳年往事多年前一次國中數學週考中某老師出了一道題目證明三角形

兩邊和大於第三邊直觀上這何需證明因為兩點之間直線最短嘛於是我買了歐幾里得

的《幾何原本》根據歐幾里得的體系證明「三角形兩邊和大於第三邊」確實需要很長的篇幅

我相信這不會是出題老師的本意我的判斷是出題老師只想要學生說明「兩點之間直線最短」

江慶昱衛道中學退休教師

數亦優 19

那麼考題應該改成請說明「三角形兩邊和大於第三邊」中學階段不必強調數學的嚴密性

這是共識（60 年代的新數學過度強調嚴密性是失敗的原因之一）但是直觀的說明與嚴格的證

明應該予以區隔這純屬我個人的看法所以我以為上述關於 2 的證明實偏向於說明（註

最早項武義先生認為他解決了克卜勒的裝填問題陳省身先生也為之背書但還是不被接受

目前公認是 Thomas Hales 解決了httpenwikipediaorgwikiKepler_conjecture數學界的所謂

「證明」自有其行規）

如何在高中引入簡易邏輯是一件困難但是值得深思的事

四等價 》

高中課程中另一個重要的邏輯概念是「等價」有一年大學聯考考這麼一題證明「海龍

公式邊長 a b c的三角形面積 ( )( )( )s s a s b s c 」那時候大學錄取率大約 30不到

補習班之間競爭非常激烈大家趕著把解答登報有一間補習班第一天是這樣證明的

因為( ) ( )( )

sin cos2 2

A s s a A s b s c

bc bc

所以1 1

sin 2sin cos ( )( )( )2 2 2 2

A Abc A bc s s a s b s c

第二天趕快發報更正因為在邏輯上第一天拿一個等價的命題當作證明等於沒有證明

換句話說患了邏輯上的錯誤了

五等價的一些例子 》

我們在國中時有這樣的性質 p三角形任兩邊和大於第三邊又在書中的同一個角落看到

q三角形任兩邊差小於第三邊很容易證明「 p q 」這種情形我們叫 p與 q等價意思是 p

與 q是同一回事以下舉一些等價的例子

1 p平行公設過直線外一點恰有一直線與之平行q三角形內角和為180

2 G是ABC的重心則 p q r三個向量式等價

1 1

3 3

p AG AB AC

1 1 1

3 3 3

q OG OA OB OC

0r AG BG CG

3 2 2 2

p u v u v

（柯西不等式） q u v u v

（三角不等式）

4 p周長固定的平面圖形中以圓形面積最大q面積固定的平面圖形中以圓形周長最小

5 (1)正弦定理(2)餘弦定理(3)投影定理 等價

6 實數的完備性有多種等價的敘述（我有一位同事到師大數學系修碩士班學分就是上了一本

這樣的書）

7 p算幾不等式q柯西不等式

20 數亦優

六算幾不等式與柯西不等式的等價 》

算幾不等式與柯西不等式在形式上相差很多兩者會等價甚感意外我第一次是在臺中一

中的網頁內看到證明過程當時沒有仔細研究後來回去找就找不到那份資料了最近上網搜

尋找到建中徐健策老師的一篇專題算是一償宿願這是我寫這篇文章的另一個因緣

七後記 》

1900 年量子力學開始萌芽到 1965 年朝永振一郎（S Tomonaga）薛文格（Julian Schwinger）

與費因曼得到諾貝爾物理獎是一段精采的故事重點是薛文格與費因曼對量子電動力學的看法

與算法南轅北轍薛文格用的是歐洲優雅的數學費因曼的路徑積分用的是圖像式的數學把

兩者結合為一或者說看出兩者的「等價性」的是戴森（Freeman J Dyson）我覺得這比證

明兩命題的等價有更深刻的意義

非歐幾何的發展也有類似的地方義大利幾何學家 Eugenio Beltrami（1835~1899）證明了

Lobachevsky（1793~1856）與 Ferdinand Minding（1806~1885）的非歐幾何模型是「等價」的

（註代數中複數平面與平面向量同構以上兩種情況說同構或等價哪一個說法比較恰當

當就教於各位）

99 課程綱要把歸謬證法放在附錄我觀察最近兩年的各校段考試題大約只有三四個學

校段考中有考歸謬證法早年國中考高中每年要考一題證明題一題尺規作圖當時我們會

努力教證明題當然包括用「窮舉法」證明「圓內接四邊形的充要條件為對角互補」基測不

考證明題後絕大部分的老師不會花時間去證明這個定理向來就是「考試引導教學」自古皆

然隋唐時期科舉要考《算經》所以宋朝有四位偉大的數學家秦九韶李治楊輝朱世傑

到明清科舉只考八股文可以印證中國數學沒落的一段史實證明與數學的關係就如同實驗與

物理的關係基測與學測不考證明題相信有不少人憂心忡忡如今又把歸謬證法拿掉（放在

附錄與拿掉等價）應該有人輾轉難眠吧

早上（2012829）看到新聞十二年國教將於後年上路臺大名譽教授劉廣定批評103

年到 107 年的高中學生要繼續接受舊課綱的教育他堅決反對沒有新課綱的十二年國教後

年就要推十二年國教課綱最快 106 年才能完成到 108 年才有新課綱教科書可用意味之前

的高中生都要繼續接受舊課綱教育芬蘭從 1980 年代開始教改先找學校試辦2000 年才全

面實施然而臺灣十二年國教從宣布到實施只有三年準備期讓人憂心

參考資料

1 蔡聰明 2 是無理數的 28 種證明數學傳播季刊第 23 卷（第 1 期）

2 王九逵邏輯與數學思維

3 南山柯西不等式與排序不等式上海教育出版社P230

4 William Dunham（1995）天才之旅牛頓出版股份有限公司P61

5 戴森（1993）宇宙波瀾天下文化

6 奧瑟曼（1997）宇宙的詩篇天下文化P84

7 Stefan Kulczycki（1992）非歐幾里得幾何學水牛出版社P32

8 蔡辰理中國數學史上的黃金時代及其四個偉大的數學家20130701 取自

httpepistemathntuedutwarticlesmmmm_03_2_07page2htmltop

9 徐健策老師專題柯西琴生與冪平均不等式20131002 取自 httpmath1cktpedutw徐健策mathhtm

數亦優 21

一研究目的 》

將一道解四元一次聯立方程式的題目利用四次多項函數且領導係數為 1 的恆等原理來解

答

二研究過程 》

已知

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

12 1 2 3 2 5 2 7

14 1 4 3 4 5 4 7

16 1 6 3 6 5 6 7

18 1 8 3 8 5 8 7

x y z w

x y z w

x y z w

x y z w

試求(1) ( )x y z w (2) x y z w

一 首先將上題解讀為解四元一次聯立方程式

設

2

3

2

2

3 5 7105 2079 429 143 1

3 5 7 11 21 1485 1001 195 1

9 385 819 495 13 7 11 135 189 231 429 1

3 5 11 13

x aa b c d

y b a b c d

a b c dz ca b c d

w d

211512 1320 2288 5

4b c d

52376 1144 208 1

4b c d

5 956 504 1584 1

4b c d

2432 640 1792 0 19 5 14 0

5 1792 3840 5632 0 7 15 22 0

b c d b c d

b c d b c d

由5 14 14 19 19 5

320 320 320 11115 22 22 7 7 15

b c d

由1

56 504 1584 1 1024 11024

b b b b b c d

代入1 1 1 175 35

5 189 231 429 1 51024 1024 1024 1024 1024

a a a

李維昌國立宜蘭高中

22 數亦優

2 2 2 3 2 23 5 7 3 5 7 11 3 7 11 13 3 5 11 13( )

1024 1024 1024 1024x y z w

即為(1)的所求

2 3 2 2

2 3

2 2

3 5 7 3 5 7 11 3 7 11 13 3 5 11 13

35 13 5 7 3 5 7 11

1024 10241 1

3 7 11 13 3 5 11 131024 1024

x y z w a b c d

11025 10395 9009 6435 36864

361024 1024

即為(2)的所求

二 嘗試利用四次多項函數且領導係數為 1 的恆等原理來解答此題

1 構造以 t為變數的四次多項函數且領導係數為 1命此函數為 ( )f t

2 2 2 2 2 2 2( ) 1 3 5 7 3 5 7f t t t t t x t t t

2 2 2 2 2 2 2 2 21 5 7 1 3 7 1 3 5y t t t z t t t w t t t

其中 x y z w四數為常數

2 2 2 2 2 2 2 2 21

2 1 2 3 2 5 2 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 1 2 3 2 5 2 7 2 3 2 5 2 7

2 1 2 5 2 7 2 1 2 3 2 7

2 1 2 3 2 5 0

x

y z

w

2(2 ) 0f

3 2 2 2 2 2 2 2 21

4 1 4 3 4 5 4 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

4 1 4 3 4 5 4 7 4 3 4 5 4 7

4 1 4 5 4 7 4 1 4 3 4 7

4 1 4 3 4 5 0

x

y z

w

2(4 ) 0f

4 2 2 2 2 2 2 2 21

6 1 6 3 6 5 6 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

6 1 6 3 6 5 6 7 6 3 6 5 6 7

6 1 6 5 6 7 6 1 6 3 6 7

6 1 6 3 6 5 0

x

y z

w

2(6 ) 0f

數亦優 23

5 2 2 2 2 2 2 2 21

8 1 8 3 8 5 8 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

8 1 8 3 8 5 8 7 8 3 8 5 8 7

8 1 8 5 8 7 8 1 8 3 8 7

8 1 8 3 8 5 0

x

y z

w

2(8 ) 0f

6 由 12345的討論可得知 ( )f t 等價 2 2 2 22 4 6 8t t t t

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 4 6 8

1 3 5 7 3 5 7 1 5 7

1 3 7 1 3 5

t t t t

t t t t x t t t y t t t

z t t t w t t t

為 t的四次多項方程式

第式等號的左式 3t 的係數＝第式等號的右式 3t 的係數

2 2 2 2 2 2 2 22 4 6 8 1 3 5 7 x y z w

2 2 2 2 2 2 2 22 4 6 8 1 3 5 7 120 84 36x y z w

即為(2)的所求

7 x的求法

將 21t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

1 2 1 4 1 6 1 8 1 3 1 5 1 7

2 1 4 1 6 1 8 1 1 3 3 5 5 7 7 9 3 5 7

2 4 4 6 6 8 10243 1 5 1 7 1

x

x

8 y的求法

將 23t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 3

2 2 2 2 2 2

3 2 3 4 3 6 3 8 3 1 3 5 3 7

3 2 4 3 6 3 8 3 1 5 1 7 3 9 5 11 3 5 7 11

2 4 2 8 4 10 10243 1 5 3 7 3

y

y

9 z的求法

將 25t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

5 2 5 4 5 6 5 8 5 1 5 3 5 7

5 2 5 4 6 5 8 5 3 7 1 9 1 11 3 13 3 7 11 13

4 6 2 8 2 12 10245 1 5 3 7 5

z

z

24 數亦優

10 w的求法

將 27t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

7 2 7 4 7 6 7 8 7 1 7 3 7 5

7 2 7 4 7 6 8 7 5 9 3 11 1 13 1 15 3 5 11 13

6 8 4 10 2 12 10247 1 7 3 7 5

w

w

11 由 78910的討論可得

2 2 2 3 2 23 5 7 3 5 7 11 3 7 11 13 3 5 11 13

( ) 1024 1024 1024 1024

x y z w

即為(1)的所求

三 結論

1 解題的巧妙與否存乎一心「學則需疑於不疑處有疑方是進矣」本題為解四元

一次聯立方程式基本解題策略為克拉瑪公式加減消去法或代入消去法三種由

於這三種計算相當繁瑣進而苦思其他對策經過一番思索驀然回首伊人卻在

燈火闌珊處竟然將此題與四次多項方程式連結在一起有了令人會心一笑的妙解

真是一次驚奇的解題之旅

2 孔子曾言「學而不思則罔思而不學則殆」我期待每次解題時皆能直搗黃龍

一眼看穿題目的堂奧之妙事後「大膽假設小心求證」檢驗過程和結果是否達

到最佳化藉由在夙昔的典範亦步亦趨臻於真善美的解題境界

數亦優 25

國立臺灣師範大學數學系

筆試一計算證明題（考試時間2 小時）

1 (1) 直角三角形的兩股長為 a b斜邊長為 c試證 3 3 3c a b （8 分）

(2) 如下圖圓 O內二直徑 AC BD互相垂直在劣弧DC上任取一點 E

試證以 AE 為一邊的正方形面積等於四邊形 ABED面積的二倍 （12 分）

2 設函數 2( ) 6 5f x x x 求坐標平面上滿足聯立不等式

( ) ( ) 0

( ) ( ) 0

f x f y

f x f y

的所有點 ( )x y 所形成的區域面積 （20 分）

3 設 a b c d 為實數且 a b c d ( ) ( )f x g x 為滿足 ( ) ( )f a f b 及 ( ) ( )g c g d 的實係數二次多

項式已知 ( ) ( )f x g x 為常數多項式證明

(1) a b c d （8 分）

(2) 2( )

2

( )2

a bf a f

a bc d c d

g c g

（12 分）

4 如下圖所示ABC和DBC為空間中的兩個等腰三角形M為線段 BC 的中點令

AB AC a DB DC b BM CM c 和DA x

(1) 已知向量內積 0AM BD

求證 2 2 22x a b c （8 分）

(2) 已知 2 2 22x a b c 求證向量內積 0AM BD

（12 分）

26 數亦優

5 師大數學系舉辦系徽設計比賽入圍決選的有四件作品由 10 名學生代表進行不記名投票

每人投兩票且兩票須投不同作品在沒有廢票的情況下試問

(1) 四件作品的得票情形共有幾種 （8 分）

(2) 得票數 高的作品恰有一件的票數分布有幾種 （12 分）

筆試二填充題（考試時間15 小時）

1 設 a為實數若對於所有實數 x2

2

32

2

x ax

x x

恆成立則 a的範圍為

2 若等比數列的第三項是1 i 第五項是1 1

16 16i 其中 1i 則此等比數列的公比為

（有兩解）

3 從1234567 等數字中選取三個排成三位數數字不重複則排出來的是 3 的倍數但不是 5 的倍數

的整數有 個

4 桌上有十個骰子當中有一個骰子出現 5 點的機率是1

2而出現其他點數的機率均等其他

九個都是均勻的骰子用隨機的方式選取一個骰子來投擲在出現 5 點的情況下被選取的

骰子是不均勻骰子的條件機率為 （答案若為分數請化為 簡分數）

5 在電腦裡有一公定的對照表（ASCII）將英文字母ABhellipZ及空格等字元分別對應至一整數

其對應數字如下表所示

字母 空格 A B C D E F G H

ASCII 碼 32 65 66 67 68 69 70 71 72

字母 I J K L M N O P Q

ASCII 碼 73 74 75 76 77 78 79 80 81

字母 R S T U V W X Y Z

ASCII 碼 82 83 84 85 86 87 88 89 90

數亦優 27

我們可利用此對照表在 facebookTM 傳送保密訊息給朋友我們與朋友約定所有的英文字母及

空格皆以對照表中的整數替代例如「HE IS DAVID」的訊息用「7269327383326865867368」

取代然後將此數字字串的奇數項排在矩陣的第一列偶數項排在第二列形成以下矩陣

7 6 3 7 8 3 6 6 8 7 6

2 9 2 3 3 2 8 5 6 3 8B

再與二階方陣

1 2

2 3A

相乘得到

11 24 7 13 14 7 22 16 20 13 22

20 39 12 23 25 12 36 27 34 23 36AB

後依上述規則反求得字串「11202439071213231425071222361627203413232236」傳送給朋

友如此他人便不能立即得知傳送之內容現在在此規則下你接收到數字字串

「233825411222213516271932」可以轉成矩陣

23 25 12 21 16 19

38 41 22 35 27 32

其所代表之訊息為

6 坐標平面上圓 C通過點 (02) 且 C與兩直線 3 2 0 1 0x y y 皆相切則圓 C的方程

式為

7 坐標空間中ABC的三頂點分別為 (1 11) ( 321) (5 43)A B C P為ABC內部一點且

令P到 AB BC CA的距離分別為 x y z則 2 2 2x y z 的 小值為 （答案若為分數

請化為 簡分數）

8 函數 4 4( ) cos 3sinf x x x 的 小值為

9 設 為實數若

cos 0 sin

0 1 0

sin 0 cos

A

則 5A

10 袋中有編號分別為 1 到 6 的六個球從袋中隨機選取兩球令隨機變數 X表示在被選取的

兩球中球號比袋中剩下的球號都大的球的個數（例如如果選到 2 號和 3 號球那袋中剩

下的就是 1456 號球因為選出的球中並沒有比 1456 都大的球號故這種情況下 0X ）

隨機變數 X的期望值為 （答案若為分數請化為 簡分數）

28 數亦優

筆試一計算證明題

1 (1) 利用 2 2 2c a b 及 c a c b 得

3 2 2 2 2 3 3c c a b ca cb a b

(2) 過 E作 EF AC 則

四邊形 ABED的面積

1 1

2 21

21

2

ABD BDE

BD AO BD OF

BD AO OF

AC AF

又在直角三角形 ACE中因為2

AE AC AF 所以2

AE 四邊形 ABED面積的兩倍

2 因為

2 22 2( ) ( ) 6 6 10 3 3 8f x f y x y x y x y

2 2( ) ( ) 6 6 6f x f y x y x y x y x y

所以

2 23 3 8( ) ( ) 0

( ) ( ) 0 6 0

x yf x f y

f x f y x y x y

因此滿足上述條件的所有點 ( )x y 為

22 23 3 8

0 6 0

x y

x y x y

或 22 2

3 3 8

0 6 0

x y

x y x y

其所圍成的區域如下圖所示面積為 218 4

2

數亦優 29

3 (1) 依題意可設 ( ) ( )f x r x a x b s g x r x c x d s

因為 ( ) ( )f x g x 是常數多項式所以比較一二次項係數知

r r r a b r c d

得 a b c d

(2) 由 2 2

( )2 4 4

a b a ba bf r s r f a

得

2

4 ( )2a b

f a f

ra b

故得證

註1o 也可利用對稱性知 ( )y f x 的頂點之 x軸坐標為2

a b ( )y g x 的頂點之 x軸坐標

為2

c d而得證

2o 亦可用插值多項式證明

4 (1) 由向量分解DA DM MA DB BM MA

得

2 22 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2

2

2 2

DA DA DM MA DM MA DM MA

b c a c DB BM MA

b a c DB MA BM MA

因為 0AM BD

且 BM MA 所以

2 2 2 22DA b a c

因此

2 2 22DA a b c

(2) 由(1)及 BM MA 可得

2 2 2 22 2DA b a c DB MA

依題意知 2 2 22DA x b a c 即

22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2b a c b a c b a c DB MA

故

0DB MA

30 數亦優

5 (1) 由題意可以知道

1 四件作品所得的總票數為 20 票

2 每件作品 多可以得到 10 票

令四件作品的得票數分別為 x y z u由1 2 可得

200 10x y z u x y z u

因為 0 10x y z u 所以 420H 須扣掉11 20x y z u 的情況由 20x y z u 且

0x y z u 可知 多只有一個票數會大於等於 11假設 11x 令 11x x 可得

90 9x y z u x y z u

此情況有 4 129 9 220H C 種

因此票數分布為 4 420 94 1771 4 220 891H H 種

(2) 假設得票數 高為 x由題意可得

200 10x y z u y z u x

因為 y z u x 也就是 1y z u x 所以

1 1 1 4 3x y z u x x x x x

由 20x y z u 得

20 4 3x

即

23

4x

因此當 6x 時才會滿足只有一件作品得票數 高且票數為 x

當 6x 時

140 5y z u y z u

滿足此情況的 y z u有 (554)(545)(455) 3 種

當 7x 時

130 6y z u y z u

因為 13y z u 且 0y z u 所以 y z u 多只有一個會大於等於 7

由(1)可知滿足此情況有 3 3 15 813 6 13 63 3 105 84 21H H C C 種

同理

當 8910x 時 y z u 多只有一個會大於等於 8910故

當 8x 時有 3 3 14 612 4 12 43 3 91 45 46H H C C 種

當 9x 時有 3 3 13 411 2 11 23 3 78 18 60H H C C 種

數亦優 31

當 10x 時有 3 3 12 210 0 10 03 3 66 3 63H H C C 種

因此滿足只有一件作品得票數 高的情形有

4 3 21 46 60 63 772 種

筆試二填充題

1 2 3 4 5

0 4a 2 2

8 8i

66 1

4 NORMAL

6 7 8 9 10

2 2

3 1 4x y

2 2

3 3 5 36x y

（或是 2 2 2 3 2 0x y x y ）

50

79

3

4

cos5 0 sin 5

0 1 0

sin 5 0 cos5

2

5

32 數亦優

《接續PartI 請見數亦優第 21 期》

四 正多邊形

(一) 除了正方形及三角形以外我們還考慮將其他形狀組合討論其撕裂次數是否與正方

形三角形相同

(二) 並非所有正多邊形皆可組合若內角非360

kk

便不能組合例如

1 正五邊形的內角和180 3 540 則一個內角為108但108 360 k k

無法將五邊形完整組合必有空隙

2 正六邊形的內角和180 4 720 則一個內角為120因為120 3 360

則任三個相同的正六邊形皆可相互組合

(三) 完整排列正六邊形為例以 m張排列

例 1 一頁 5 個正六邊形排列

撕開 2 次使下排的兩個正六邊形與上排分開再逐一將上排撕開共需 4 次

由例 1撕的次數結果皆為 1m 次

（Part II） 陳敏晧國立蘭陽女中

數亦優 33

(四) 內部有洞正六邊形為例m張 n個洞排列

例 2 一頁 11 張且 2 洞排列

先撕開 2 次使其成為無洞排列再撕開 1 次使其變成兩頁完整排列再逐一撕開

共需 12 次

由例 1與例 2得知撕的次數結果皆為 1n m 次

五 「切割」的定義

(一) 我們從平面延伸到立體討論柏拉圖的五個正多面體先將正多面體每面切開分開

的次數是否也有彼此相似之處

(二) 因為立體無法如平面一樣用撕的故用切的而計算次數的定義與方法也與平面有很

大的差異

(三) 「切一次」的定義與限制沿著稜邊切下一個面才算作「一次」第一次切下後

便將封閉的正多面體打開此後每切一次都必須從開放的稜邊切下不可再一次從

封閉的面切下

以正六面體為例

此為一個完整封閉的正六面體

第一次沿著粗線切開可切下一個面

34 數亦優

六 柏拉圖多面體

1 正四面體

第一次將底面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 3 個面切下共需切

1 3 1 3 次

2 正六面體

第一次將頂面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 5 個面切下共需切

1 5 1 5 次

斜線部分為第一次被切下的面

封閉正六面體被打開後第二次只能從

開放的 4 條稜邊（粗線）切下

第二刀不可再從封閉面（粗線）開始切

數亦優 35

3 正八面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 7 個面切下共

需切 1 7 1 7 次

4 正十二面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 11 個面切下共

需切 1 11 1 11 次

5 正二十面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 19 個面切下共

需切 1 19 1 19 次

36 數亦優

由上述例子可得知切割次數皆剛好為正多面體的(總面數 1 )次

研究發現

內部有洞洞數 a b 其中 a洞的個數b每個洞的張數

矩 形

完整排列

邊長 邊長 總張數 撕的次數

2 2 4 3

4 5 20 19

不規則排列

總張數 撕的次數

10 9

13 12

內部有洞

邊長 邊長 洞數 總張數（邊長 邊長 洞的張數） 撕的次數

3 3 1 1 8 3 3 1 8

3 5 2 1 13 3 5 2 14

三 角 形

完整排列

邊長 總張數 撕的次數

2 4 3

3 9 8

不規則排列

總張數 撕的次數

10 9

13 12

內部有洞

邊長 洞數 總張數（邊長平方 洞的張數） 撕的次數

規

則

4 1 1 15 4 4 1 15

5 1 1 24 5 5 1 24

5 1 2 23 5 5 2 23

5 1 3 22 5 5 3 22

6 1 1 35 6 6 1 35

6 1 2 34 6 6 2 34

6 2 1 34 6 6 2 1 35

6 3 1 33 6 6 3 1 35

6 1 2 1 1 33 6 6 2 1 34

7 2 2 45 7 7 2 2 46

不

規

則

1 1 22 22

1 1 23 23

1 2 32 32

數亦優 37

六 邊 形

完整排列

總張數 撕的次數

3 2

5 4

內部有洞

洞數 總張數 撕的次數

1 1 6 6

2 1 11 12

正 多 面 體

面數 撕的次數

正四面體 4 3

正六面體 6 5

正八面體 8 7

正十二面體 12 11

正二十面體 20 19

目前的研究我們發現了以下獨特的結論平面幾何圖形中矩形正三角形和正六邊形的

規則形狀與不規則形狀紙張之最佳撕法都是(總張數 1 )次矩形正三角形及正六邊形排列成

內部有 n個洞且 m張的紙張之最佳撕法都是 1n m 次而柏拉圖立體的最少切割次數皆為

正多面體的(總面數 1 )次最重要我們發現其實撕裂或切割次數與撕裂或切割方法（或順序）

無關

參考資料

1 陳美如（200003）撕郵票問題數學傳播第 24 卷第 1 期P82~86

2 許志農與奇人相遇httpmathntnuedutw~macomeethtm

3 林義強多面體簡介第一屆全國高中數學教學研討會論文集P177~192

參數學專題研究反思 》

上述作品得到今年北一區數學科展優等過程中我與學生教學相長高二學生因為所學的

數學很有限所以數學解題層次會有侷限但是相對地數學思維與想像力卻是受過數學訓練

的我們所不及的在這次數學專題研究中我扮演的角色是諮詢者協助者鼓勵者完成任

務是那三位鍥而不捨的同學鄭羽呈李依庭林佩柔 勘誤 第 21 刊〈高中數學專題研究教案（PartI）〉 P34 倒數第 6 行「設m k 」應改為「設m k 」 P36 第 3 行「設m k 」應改為「設m k 」 P38 內部有洞的 1(1)~(4)分類應改為「1(1)一頁 24 張內部有一個洞一張為 1 洞」

「1(2)一頁 23 張內部有一個洞兩張為 1 洞」 「1(3)一頁 23 張內部有一個洞兩張為 1 洞」 「1(4)一頁 22 張內部有一個洞三張為 1 洞」

38 數亦優

動手玩數學 許志農臺灣師大數學系

在 下 圖 中已 知 ABC為 直 角

三 角 形 1AB 求

(1) 線段 AD的長度（化為最簡形式）

(2) 餘切 cot24

的值

〔玩鎖玩索〕

這道問題改編自「求 cot24

的值」這道

教師甄選試題關於這道餘切求值問題

有兩位老師的作法是用標準特別角出發

再求出欲求的餘切值

底下是另一位老師的作法

已知 ABC 為 直 角 三 角 形 4AC 求

AB BC及 cot24

的值

請 加 上 線 段 使 下 圖 分 成 五

份 形 狀 完 全 相 等 的 部 分（翻面

相等也算）

或 許 下 圖 對 你 會 有 些 幫 助 它 們 是 四 份

形 狀 完 全 相 等 的 部 分

〔玩鎖玩索〕

這是 1998 年夏天香港中文大學教育學

院第二次舉辦暑期資優課程中在數學有關的

工作坊裡的一道測智遊戲

遊戲 85

遊戲 86

數亦優 39

在 坐 標 平 面 上 畫 一 直 線 1L在

線 上 任 取 一 點O 以O為 旋 轉

中 心依 逆 時 針 方 向 將 直 線 1L

旋 轉 120得 到 直 線 2L 如 下

圖 所 示

已 知 直 線 1L 的 斜 率 為m求 證 直 線 2L 的 斜

率 為

3

3 1

m

m

〔玩鎖玩索〕

直線是平面幾何上的重要元素而斜率又

是直線在代數上的代言人掌握斜率就如同控

制直線一樣從逆轉120的 直 線 斜 率 公 式

不 難 知 道 坐 標 平 面 上 的 正 三 角 形 之 三

條 邊 斜 率

1 2 3 m m m

是可以互相推導的即由 1m 可 以 得 到 2m 與

3m 的 公 式 而 且 還 知 道 以 下 兩 個 恆 等 式

1 2 2 3 3 1 3m m m m m m

1 2 31 2 3

1 1 19m m m

m m m

宇 富 怕 手 機 被 盜 打 每 日 更

換 開 機 密 碼為 了 便 於 記 憶

他 想 到 一 則 更 換 密 碼 的 算 術

通 則 「 昨 天 密 碼 為p 今

日 的 密 碼 就 更 新 為1

1

p

p

」

宇 富 跟 所 有 的 人 說「 我 已 經

使 用 這 密 碼 通 則 500天 了 而

且 第 一 天 的 密 碼 就 設 為 2 1

相 信 各 位 算 到 手 痠也 無 法 算

出 今 天 的 開 機 密 碼 」

徵求可以破解開機密碼的人士

〔玩鎖玩索〕

如果第一天的密碼為 那麼破解密碼

的難度有增加嗎

遊戲 87

遊戲 88

40 數亦優

動動手手玩玩數數學學~~破破解解秘秘笈笈

遊戲 81

如圖所示

(1) 考慮 ABC 因為 8sin15AB BC 且

150ABC 所以 ABC 為等腰三角

形且 15BAC 因此

2 cos15 2 8sin15 cos15AC AB

1

8sin30 8 42

(2) 仿照(1)的方法 ACE 也是等腰三角

形且 30CAE 因此

32 cos30 2 4 4 3

2AE AC

遊戲 82

秦九韶這個依括弧次序求函數值 f a 的演

算法就是高中數學多項式那章所介紹的綜

合除法

2 5 4 8

2

2

a

a

仔細計算上述綜合除法的空白位置可以發

現小中大括弧位置所代表的值與秦九韶

小中大括弧內的值完全一樣

遊戲 83

(1)

2cos 2cos24 24cot

24 sin 2sin cos24 24 24

1 cos1 cos

3 412

sin sin12 3 4

(2) 因為

cos cos cos sin sin3 4 3 4 3 4

1 2 3 2

2 2 2 2

2 6

4 4

及

sin sin cos sin cos3 4 3 4 4 3

3 2 2 1

2 2 2 2

6 2

4 4

所以

2 61 4 6 24 4cot

24 6 2 6 24 4

2

4 6 2 6 2

6 2

2 2 3 6

遊戲 84

令

2 3A a b c b c i

2 3B c a b a b i

2 3C b a c c a i

且

1 3

2

i

因為 2A C B

所以 3 3 3 6 3A C B

又因為 3 6 1 所以 3 3 3A B C

得證

ltlt ASCII85EncodePages false AllowTransparency false AutoPositionEPSFiles true AutoRotatePages All Binding Left CalGrayProfile (Dot Gain 20) CalRGBProfile (sRGB IEC61966-21) CalCMYKProfile (US Web Coated 050SWOP051 v2) sRGBProfile (sRGB IEC61966-21) CannotEmbedFontPolicy Error CompatibilityLevel 13 CompressObjects Tags CompressPages true ConvertImagesToIndexed true PassThroughJPEGImages true CreateJobTicket false DefaultRenderingIntent Default DetectBlends true DetectCurves 00000 ColorConversionStrategy LeaveColorUnchanged DoThumbnails false EmbedAllFonts true EmbedOpenType false ParseICCProfilesInComments true EmbedJobOptions true DSCReportingLevel 0 EmitDSCWarnings false EndPage -1 ImageMemory 1048576 LockDistillerParams false MaxSubsetPct 100 Optimize true OPM 1 ParseDSCComments true ParseDSCCommentsForDocInfo true PreserveCopyPage true PreserveDICMYKValues true PreserveEPSInfo true PreserveFlatness true PreserveHalftoneInfo false PreserveOPIComments true PreserveOverprintSettings 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true PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 000000 000000 000000 000000 ] PDFXSetBleedBoxToMediaBox true PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 000000 000000 000000 000000 ] PDFXOutputIntentProfile () PDFXOutputConditionIdentifier () PDFXOutputCondition () PDFXRegistryName () PDFXTrapped False CreateJDFFile false Description ltlt ARA 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 BGR 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 CHS ltFEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e9ad88d2891cf76845370524d53705237300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002gt CZE 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 DAN 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HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata najpogodnijih za visokokvalitetni ispis prije tiskanja koristite ove postavke Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 50 i kasnijim verzijama) HUN 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數亦優 17

在大學書中中央極限定理的敘述大多直接使用標準差n

是因為當 N n 時則

11

1 1

N n n

N N

rarr1故標準差會近似於

n

四結論 》

中央極限定理的存在幫助了我們做抽樣討論時從原本我們想要研究的目標轉換到探

討研究人員所做的數據上上面所討論的方式只透過平均數變異數的定義加上組合的想

法可以讓高中生更加了解中央極限定理藉此了解數學的真善美這是研究會時分享給其他

老師的內容謝謝我的實習老師黃怡慈老師的幫忙整理

18 數亦優

一楔子 》

古希臘人尤勒士（Euathlus）向普羅塔哥拉斯（Protagoras）學習辯論術先付一半學費

另一半學費訂定契約言明等學成後在第一場辯護勝訴時再付如果敗訴則學費不必再交

但尤勒士畢業後根本不擔任辯護的工作自然也不交另一半的學費因此普羅塔哥拉斯便告

他普羅塔哥拉斯說「如果我勝訴法官當然要判他還我學費如果我敗訴那就是尤勒士勝

訴依契約他還是要還我學費」尤勒士說「如果我勝訴當然是要求法官判我不必還學費

如果我敗訴依契約我也不必還學費」請問法官該怎麼判

二歸謬證法 》

亞里斯多德認為愈重的物體落下得愈快1589 年伽利略如此舉反證把兩物 AB

綁在一起成為 A B 假設 A比 B重則由高處落下時因為 B落下的速度比 A慢把 A拖

住所以 A B 落下的速度比 A 慢又 A B 比 A 重所以 A B 落下的速度又比 A 快矛盾

所以「任何物體同時從相同的高處落下皆同時著地」伽利略如是說

99 課程綱要把歸謬證法拿掉了我猜想最少有兩位先生會很鬱卒一位是歐幾里得先生

他在《幾何原本》中用歸謬證法證明了「質數有無窮多個」另一位是蔡聰明先生他用了 28

種方法證明 2 是無理數

三直觀與證明 》

最近看到一篇文章關於 2 是無理數的證明

假設 2p

q 是有理數其中 p q是正整數且 1p q 則

2

22

p

q

直觀上「如果p

q不是整數則

2

2

p

q更不可能是整數」矛盾

所以假設錯誤即 2 是無理數得證

（這是因為如果 p q沒有相同的成分 2p 和 2q 自然也不會有相同的成分如果p

q都無法化簡

成整數2

2

p

q更沒有機會了因此這個式子是個明顯可笑的矛盾等號左邊是整數右邊不是

整數兩者怎麼可能相等）

我想提一段陳年往事多年前一次國中數學週考中某老師出了一道題目證明三角形

兩邊和大於第三邊直觀上這何需證明因為兩點之間直線最短嘛於是我買了歐幾里得

的《幾何原本》根據歐幾里得的體系證明「三角形兩邊和大於第三邊」確實需要很長的篇幅

我相信這不會是出題老師的本意我的判斷是出題老師只想要學生說明「兩點之間直線最短」

江慶昱衛道中學退休教師

數亦優 19

那麼考題應該改成請說明「三角形兩邊和大於第三邊」中學階段不必強調數學的嚴密性

這是共識（60 年代的新數學過度強調嚴密性是失敗的原因之一）但是直觀的說明與嚴格的證

明應該予以區隔這純屬我個人的看法所以我以為上述關於 2 的證明實偏向於說明（註

最早項武義先生認為他解決了克卜勒的裝填問題陳省身先生也為之背書但還是不被接受

目前公認是 Thomas Hales 解決了httpenwikipediaorgwikiKepler_conjecture數學界的所謂

「證明」自有其行規）

如何在高中引入簡易邏輯是一件困難但是值得深思的事

四等價 》

高中課程中另一個重要的邏輯概念是「等價」有一年大學聯考考這麼一題證明「海龍

公式邊長 a b c的三角形面積 ( )( )( )s s a s b s c 」那時候大學錄取率大約 30不到

補習班之間競爭非常激烈大家趕著把解答登報有一間補習班第一天是這樣證明的

因為( ) ( )( )

sin cos2 2

A s s a A s b s c

bc bc

所以1 1

sin 2sin cos ( )( )( )2 2 2 2

A Abc A bc s s a s b s c

第二天趕快發報更正因為在邏輯上第一天拿一個等價的命題當作證明等於沒有證明

換句話說患了邏輯上的錯誤了

五等價的一些例子 》

我們在國中時有這樣的性質 p三角形任兩邊和大於第三邊又在書中的同一個角落看到

q三角形任兩邊差小於第三邊很容易證明「 p q 」這種情形我們叫 p與 q等價意思是 p

與 q是同一回事以下舉一些等價的例子

1 p平行公設過直線外一點恰有一直線與之平行q三角形內角和為180

2 G是ABC的重心則 p q r三個向量式等價

1 1

3 3

p AG AB AC

1 1 1

3 3 3

q OG OA OB OC

0r AG BG CG

3 2 2 2

p u v u v

（柯西不等式） q u v u v

（三角不等式）

4 p周長固定的平面圖形中以圓形面積最大q面積固定的平面圖形中以圓形周長最小

5 (1)正弦定理(2)餘弦定理(3)投影定理 等價

6 實數的完備性有多種等價的敘述（我有一位同事到師大數學系修碩士班學分就是上了一本

這樣的書）

7 p算幾不等式q柯西不等式

20 數亦優

六算幾不等式與柯西不等式的等價 》

算幾不等式與柯西不等式在形式上相差很多兩者會等價甚感意外我第一次是在臺中一

中的網頁內看到證明過程當時沒有仔細研究後來回去找就找不到那份資料了最近上網搜

尋找到建中徐健策老師的一篇專題算是一償宿願這是我寫這篇文章的另一個因緣

七後記 》

1900 年量子力學開始萌芽到 1965 年朝永振一郎（S Tomonaga）薛文格（Julian Schwinger）

與費因曼得到諾貝爾物理獎是一段精采的故事重點是薛文格與費因曼對量子電動力學的看法

與算法南轅北轍薛文格用的是歐洲優雅的數學費因曼的路徑積分用的是圖像式的數學把

兩者結合為一或者說看出兩者的「等價性」的是戴森（Freeman J Dyson）我覺得這比證

明兩命題的等價有更深刻的意義

非歐幾何的發展也有類似的地方義大利幾何學家 Eugenio Beltrami（1835~1899）證明了

Lobachevsky（1793~1856）與 Ferdinand Minding（1806~1885）的非歐幾何模型是「等價」的

（註代數中複數平面與平面向量同構以上兩種情況說同構或等價哪一個說法比較恰當

當就教於各位）

99 課程綱要把歸謬證法放在附錄我觀察最近兩年的各校段考試題大約只有三四個學

校段考中有考歸謬證法早年國中考高中每年要考一題證明題一題尺規作圖當時我們會

努力教證明題當然包括用「窮舉法」證明「圓內接四邊形的充要條件為對角互補」基測不

考證明題後絕大部分的老師不會花時間去證明這個定理向來就是「考試引導教學」自古皆

然隋唐時期科舉要考《算經》所以宋朝有四位偉大的數學家秦九韶李治楊輝朱世傑

到明清科舉只考八股文可以印證中國數學沒落的一段史實證明與數學的關係就如同實驗與

物理的關係基測與學測不考證明題相信有不少人憂心忡忡如今又把歸謬證法拿掉（放在

附錄與拿掉等價）應該有人輾轉難眠吧

早上（2012829）看到新聞十二年國教將於後年上路臺大名譽教授劉廣定批評103

年到 107 年的高中學生要繼續接受舊課綱的教育他堅決反對沒有新課綱的十二年國教後

年就要推十二年國教課綱最快 106 年才能完成到 108 年才有新課綱教科書可用意味之前

的高中生都要繼續接受舊課綱教育芬蘭從 1980 年代開始教改先找學校試辦2000 年才全

面實施然而臺灣十二年國教從宣布到實施只有三年準備期讓人憂心

參考資料

1 蔡聰明 2 是無理數的 28 種證明數學傳播季刊第 23 卷（第 1 期）

2 王九逵邏輯與數學思維

3 南山柯西不等式與排序不等式上海教育出版社P230

4 William Dunham（1995）天才之旅牛頓出版股份有限公司P61

5 戴森（1993）宇宙波瀾天下文化

6 奧瑟曼（1997）宇宙的詩篇天下文化P84

7 Stefan Kulczycki（1992）非歐幾里得幾何學水牛出版社P32

8 蔡辰理中國數學史上的黃金時代及其四個偉大的數學家20130701 取自

httpepistemathntuedutwarticlesmmmm_03_2_07page2htmltop

9 徐健策老師專題柯西琴生與冪平均不等式20131002 取自 httpmath1cktpedutw徐健策mathhtm

數亦優 21

一研究目的 》

將一道解四元一次聯立方程式的題目利用四次多項函數且領導係數為 1 的恆等原理來解

答

二研究過程 》

已知

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

12 1 2 3 2 5 2 7

14 1 4 3 4 5 4 7

16 1 6 3 6 5 6 7

18 1 8 3 8 5 8 7

x y z w

x y z w

x y z w

x y z w

試求(1) ( )x y z w (2) x y z w

一 首先將上題解讀為解四元一次聯立方程式

設

2

3

2

2

3 5 7105 2079 429 143 1

3 5 7 11 21 1485 1001 195 1

9 385 819 495 13 7 11 135 189 231 429 1

3 5 11 13

x aa b c d

y b a b c d

a b c dz ca b c d

w d

211512 1320 2288 5

4b c d

52376 1144 208 1

4b c d

5 956 504 1584 1

4b c d

2432 640 1792 0 19 5 14 0

5 1792 3840 5632 0 7 15 22 0

b c d b c d

b c d b c d

由5 14 14 19 19 5

320 320 320 11115 22 22 7 7 15

b c d

由1

56 504 1584 1 1024 11024

b b b b b c d

代入1 1 1 175 35

5 189 231 429 1 51024 1024 1024 1024 1024

a a a

李維昌國立宜蘭高中

22 數亦優

2 2 2 3 2 23 5 7 3 5 7 11 3 7 11 13 3 5 11 13( )

1024 1024 1024 1024x y z w

即為(1)的所求

2 3 2 2

2 3

2 2

3 5 7 3 5 7 11 3 7 11 13 3 5 11 13

35 13 5 7 3 5 7 11

1024 10241 1

3 7 11 13 3 5 11 131024 1024

x y z w a b c d

11025 10395 9009 6435 36864

361024 1024

即為(2)的所求

二 嘗試利用四次多項函數且領導係數為 1 的恆等原理來解答此題

1 構造以 t為變數的四次多項函數且領導係數為 1命此函數為 ( )f t

2 2 2 2 2 2 2( ) 1 3 5 7 3 5 7f t t t t t x t t t

2 2 2 2 2 2 2 2 21 5 7 1 3 7 1 3 5y t t t z t t t w t t t

其中 x y z w四數為常數

2 2 2 2 2 2 2 2 21

2 1 2 3 2 5 2 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 1 2 3 2 5 2 7 2 3 2 5 2 7

2 1 2 5 2 7 2 1 2 3 2 7

2 1 2 3 2 5 0

x

y z

w

2(2 ) 0f

3 2 2 2 2 2 2 2 21

4 1 4 3 4 5 4 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

4 1 4 3 4 5 4 7 4 3 4 5 4 7

4 1 4 5 4 7 4 1 4 3 4 7

4 1 4 3 4 5 0

x

y z

w

2(4 ) 0f

4 2 2 2 2 2 2 2 21

6 1 6 3 6 5 6 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

6 1 6 3 6 5 6 7 6 3 6 5 6 7

6 1 6 5 6 7 6 1 6 3 6 7

6 1 6 3 6 5 0

x

y z

w

2(6 ) 0f

數亦優 23

5 2 2 2 2 2 2 2 21

8 1 8 3 8 5 8 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

8 1 8 3 8 5 8 7 8 3 8 5 8 7

8 1 8 5 8 7 8 1 8 3 8 7

8 1 8 3 8 5 0

x

y z

w

2(8 ) 0f

6 由 12345的討論可得知 ( )f t 等價 2 2 2 22 4 6 8t t t t

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 4 6 8

1 3 5 7 3 5 7 1 5 7

1 3 7 1 3 5

t t t t

t t t t x t t t y t t t

z t t t w t t t

為 t的四次多項方程式

第式等號的左式 3t 的係數＝第式等號的右式 3t 的係數

2 2 2 2 2 2 2 22 4 6 8 1 3 5 7 x y z w

2 2 2 2 2 2 2 22 4 6 8 1 3 5 7 120 84 36x y z w

即為(2)的所求

7 x的求法

將 21t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

1 2 1 4 1 6 1 8 1 3 1 5 1 7

2 1 4 1 6 1 8 1 1 3 3 5 5 7 7 9 3 5 7

2 4 4 6 6 8 10243 1 5 1 7 1

x

x

8 y的求法

將 23t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 3

2 2 2 2 2 2

3 2 3 4 3 6 3 8 3 1 3 5 3 7

3 2 4 3 6 3 8 3 1 5 1 7 3 9 5 11 3 5 7 11

2 4 2 8 4 10 10243 1 5 3 7 3

y

y

9 z的求法

將 25t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

5 2 5 4 5 6 5 8 5 1 5 3 5 7

5 2 5 4 6 5 8 5 3 7 1 9 1 11 3 13 3 7 11 13

4 6 2 8 2 12 10245 1 5 3 7 5

z

z

24 數亦優

10 w的求法

將 27t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

7 2 7 4 7 6 7 8 7 1 7 3 7 5

7 2 7 4 7 6 8 7 5 9 3 11 1 13 1 15 3 5 11 13

6 8 4 10 2 12 10247 1 7 3 7 5

w

w

11 由 78910的討論可得

2 2 2 3 2 23 5 7 3 5 7 11 3 7 11 13 3 5 11 13

( ) 1024 1024 1024 1024

x y z w

即為(1)的所求

三 結論

1 解題的巧妙與否存乎一心「學則需疑於不疑處有疑方是進矣」本題為解四元

一次聯立方程式基本解題策略為克拉瑪公式加減消去法或代入消去法三種由

於這三種計算相當繁瑣進而苦思其他對策經過一番思索驀然回首伊人卻在

燈火闌珊處竟然將此題與四次多項方程式連結在一起有了令人會心一笑的妙解

真是一次驚奇的解題之旅

2 孔子曾言「學而不思則罔思而不學則殆」我期待每次解題時皆能直搗黃龍

一眼看穿題目的堂奧之妙事後「大膽假設小心求證」檢驗過程和結果是否達

到最佳化藉由在夙昔的典範亦步亦趨臻於真善美的解題境界

數亦優 25

國立臺灣師範大學數學系

筆試一計算證明題（考試時間2 小時）

1 (1) 直角三角形的兩股長為 a b斜邊長為 c試證 3 3 3c a b （8 分）

(2) 如下圖圓 O內二直徑 AC BD互相垂直在劣弧DC上任取一點 E

試證以 AE 為一邊的正方形面積等於四邊形 ABED面積的二倍 （12 分）

2 設函數 2( ) 6 5f x x x 求坐標平面上滿足聯立不等式

( ) ( ) 0

( ) ( ) 0

f x f y

f x f y

的所有點 ( )x y 所形成的區域面積 （20 分）

3 設 a b c d 為實數且 a b c d ( ) ( )f x g x 為滿足 ( ) ( )f a f b 及 ( ) ( )g c g d 的實係數二次多

項式已知 ( ) ( )f x g x 為常數多項式證明

(1) a b c d （8 分）

(2) 2( )

2

( )2

a bf a f

a bc d c d

g c g

（12 分）

4 如下圖所示ABC和DBC為空間中的兩個等腰三角形M為線段 BC 的中點令

AB AC a DB DC b BM CM c 和DA x

(1) 已知向量內積 0AM BD

求證 2 2 22x a b c （8 分）

(2) 已知 2 2 22x a b c 求證向量內積 0AM BD

（12 分）

26 數亦優

5 師大數學系舉辦系徽設計比賽入圍決選的有四件作品由 10 名學生代表進行不記名投票

每人投兩票且兩票須投不同作品在沒有廢票的情況下試問

(1) 四件作品的得票情形共有幾種 （8 分）

(2) 得票數 高的作品恰有一件的票數分布有幾種 （12 分）

筆試二填充題（考試時間15 小時）

1 設 a為實數若對於所有實數 x2

2

32

2

x ax

x x

恆成立則 a的範圍為

2 若等比數列的第三項是1 i 第五項是1 1

16 16i 其中 1i 則此等比數列的公比為

（有兩解）

3 從1234567 等數字中選取三個排成三位數數字不重複則排出來的是 3 的倍數但不是 5 的倍數

的整數有 個

4 桌上有十個骰子當中有一個骰子出現 5 點的機率是1

2而出現其他點數的機率均等其他

九個都是均勻的骰子用隨機的方式選取一個骰子來投擲在出現 5 點的情況下被選取的

骰子是不均勻骰子的條件機率為 （答案若為分數請化為 簡分數）

5 在電腦裡有一公定的對照表（ASCII）將英文字母ABhellipZ及空格等字元分別對應至一整數

其對應數字如下表所示

字母 空格 A B C D E F G H

ASCII 碼 32 65 66 67 68 69 70 71 72

字母 I J K L M N O P Q

ASCII 碼 73 74 75 76 77 78 79 80 81

字母 R S T U V W X Y Z

ASCII 碼 82 83 84 85 86 87 88 89 90

數亦優 27

我們可利用此對照表在 facebookTM 傳送保密訊息給朋友我們與朋友約定所有的英文字母及

空格皆以對照表中的整數替代例如「HE IS DAVID」的訊息用「7269327383326865867368」

取代然後將此數字字串的奇數項排在矩陣的第一列偶數項排在第二列形成以下矩陣

7 6 3 7 8 3 6 6 8 7 6

2 9 2 3 3 2 8 5 6 3 8B

再與二階方陣

1 2

2 3A

相乘得到

11 24 7 13 14 7 22 16 20 13 22

20 39 12 23 25 12 36 27 34 23 36AB

後依上述規則反求得字串「11202439071213231425071222361627203413232236」傳送給朋

友如此他人便不能立即得知傳送之內容現在在此規則下你接收到數字字串

「233825411222213516271932」可以轉成矩陣

23 25 12 21 16 19

38 41 22 35 27 32

其所代表之訊息為

6 坐標平面上圓 C通過點 (02) 且 C與兩直線 3 2 0 1 0x y y 皆相切則圓 C的方程

式為

7 坐標空間中ABC的三頂點分別為 (1 11) ( 321) (5 43)A B C P為ABC內部一點且

令P到 AB BC CA的距離分別為 x y z則 2 2 2x y z 的 小值為 （答案若為分數

請化為 簡分數）

8 函數 4 4( ) cos 3sinf x x x 的 小值為

9 設 為實數若

cos 0 sin

0 1 0

sin 0 cos

A

則 5A

10 袋中有編號分別為 1 到 6 的六個球從袋中隨機選取兩球令隨機變數 X表示在被選取的

兩球中球號比袋中剩下的球號都大的球的個數（例如如果選到 2 號和 3 號球那袋中剩

下的就是 1456 號球因為選出的球中並沒有比 1456 都大的球號故這種情況下 0X ）

隨機變數 X的期望值為 （答案若為分數請化為 簡分數）

28 數亦優

筆試一計算證明題

1 (1) 利用 2 2 2c a b 及 c a c b 得

3 2 2 2 2 3 3c c a b ca cb a b

(2) 過 E作 EF AC 則

四邊形 ABED的面積

1 1

2 21

21

2

ABD BDE

BD AO BD OF

BD AO OF

AC AF

又在直角三角形 ACE中因為2

AE AC AF 所以2

AE 四邊形 ABED面積的兩倍

2 因為

2 22 2( ) ( ) 6 6 10 3 3 8f x f y x y x y x y

2 2( ) ( ) 6 6 6f x f y x y x y x y x y

所以

2 23 3 8( ) ( ) 0

( ) ( ) 0 6 0

x yf x f y

f x f y x y x y

因此滿足上述條件的所有點 ( )x y 為

22 23 3 8

0 6 0

x y

x y x y

或 22 2

3 3 8

0 6 0

x y

x y x y

其所圍成的區域如下圖所示面積為 218 4

2

數亦優 29

3 (1) 依題意可設 ( ) ( )f x r x a x b s g x r x c x d s

因為 ( ) ( )f x g x 是常數多項式所以比較一二次項係數知

r r r a b r c d

得 a b c d

(2) 由 2 2

( )2 4 4

a b a ba bf r s r f a

得

2

4 ( )2a b

f a f

ra b

故得證

註1o 也可利用對稱性知 ( )y f x 的頂點之 x軸坐標為2

a b ( )y g x 的頂點之 x軸坐標

為2

c d而得證

2o 亦可用插值多項式證明

4 (1) 由向量分解DA DM MA DB BM MA

得

2 22 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2

2

2 2

DA DA DM MA DM MA DM MA

b c a c DB BM MA

b a c DB MA BM MA

因為 0AM BD

且 BM MA 所以

2 2 2 22DA b a c

因此

2 2 22DA a b c

(2) 由(1)及 BM MA 可得

2 2 2 22 2DA b a c DB MA

依題意知 2 2 22DA x b a c 即

22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2b a c b a c b a c DB MA

故

0DB MA

30 數亦優

5 (1) 由題意可以知道

1 四件作品所得的總票數為 20 票

2 每件作品 多可以得到 10 票

令四件作品的得票數分別為 x y z u由1 2 可得

200 10x y z u x y z u

因為 0 10x y z u 所以 420H 須扣掉11 20x y z u 的情況由 20x y z u 且

0x y z u 可知 多只有一個票數會大於等於 11假設 11x 令 11x x 可得

90 9x y z u x y z u

此情況有 4 129 9 220H C 種

因此票數分布為 4 420 94 1771 4 220 891H H 種

(2) 假設得票數 高為 x由題意可得

200 10x y z u y z u x

因為 y z u x 也就是 1y z u x 所以

1 1 1 4 3x y z u x x x x x

由 20x y z u 得

20 4 3x

即

23

4x

因此當 6x 時才會滿足只有一件作品得票數 高且票數為 x

當 6x 時

140 5y z u y z u

滿足此情況的 y z u有 (554)(545)(455) 3 種

當 7x 時

130 6y z u y z u

因為 13y z u 且 0y z u 所以 y z u 多只有一個會大於等於 7

由(1)可知滿足此情況有 3 3 15 813 6 13 63 3 105 84 21H H C C 種

同理

當 8910x 時 y z u 多只有一個會大於等於 8910故

當 8x 時有 3 3 14 612 4 12 43 3 91 45 46H H C C 種

當 9x 時有 3 3 13 411 2 11 23 3 78 18 60H H C C 種

數亦優 31

當 10x 時有 3 3 12 210 0 10 03 3 66 3 63H H C C 種

因此滿足只有一件作品得票數 高的情形有

4 3 21 46 60 63 772 種

筆試二填充題

1 2 3 4 5

0 4a 2 2

8 8i

66 1

4 NORMAL

6 7 8 9 10

2 2

3 1 4x y

2 2

3 3 5 36x y

（或是 2 2 2 3 2 0x y x y ）

50

79

3

4

cos5 0 sin 5

0 1 0

sin 5 0 cos5

2

5

32 數亦優

《接續PartI 請見數亦優第 21 期》

四 正多邊形

(一) 除了正方形及三角形以外我們還考慮將其他形狀組合討論其撕裂次數是否與正方

形三角形相同

(二) 並非所有正多邊形皆可組合若內角非360

kk

便不能組合例如

1 正五邊形的內角和180 3 540 則一個內角為108但108 360 k k

無法將五邊形完整組合必有空隙

2 正六邊形的內角和180 4 720 則一個內角為120因為120 3 360

則任三個相同的正六邊形皆可相互組合

(三) 完整排列正六邊形為例以 m張排列

例 1 一頁 5 個正六邊形排列

撕開 2 次使下排的兩個正六邊形與上排分開再逐一將上排撕開共需 4 次

由例 1撕的次數結果皆為 1m 次

（Part II） 陳敏晧國立蘭陽女中

數亦優 33

(四) 內部有洞正六邊形為例m張 n個洞排列

例 2 一頁 11 張且 2 洞排列

先撕開 2 次使其成為無洞排列再撕開 1 次使其變成兩頁完整排列再逐一撕開

共需 12 次

由例 1與例 2得知撕的次數結果皆為 1n m 次

五 「切割」的定義

(一) 我們從平面延伸到立體討論柏拉圖的五個正多面體先將正多面體每面切開分開

的次數是否也有彼此相似之處

(二) 因為立體無法如平面一樣用撕的故用切的而計算次數的定義與方法也與平面有很

大的差異

(三) 「切一次」的定義與限制沿著稜邊切下一個面才算作「一次」第一次切下後

便將封閉的正多面體打開此後每切一次都必須從開放的稜邊切下不可再一次從

封閉的面切下

以正六面體為例

此為一個完整封閉的正六面體

第一次沿著粗線切開可切下一個面

34 數亦優

六 柏拉圖多面體

1 正四面體

第一次將底面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 3 個面切下共需切

1 3 1 3 次

2 正六面體

第一次將頂面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 5 個面切下共需切

1 5 1 5 次

斜線部分為第一次被切下的面

封閉正六面體被打開後第二次只能從

開放的 4 條稜邊（粗線）切下

第二刀不可再從封閉面（粗線）開始切

數亦優 35

3 正八面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 7 個面切下共

需切 1 7 1 7 次

4 正十二面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 11 個面切下共

需切 1 11 1 11 次

5 正二十面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 19 個面切下共

需切 1 19 1 19 次

36 數亦優

由上述例子可得知切割次數皆剛好為正多面體的(總面數 1 )次

研究發現

內部有洞洞數 a b 其中 a洞的個數b每個洞的張數

矩 形

完整排列

邊長 邊長 總張數 撕的次數

2 2 4 3

4 5 20 19

不規則排列

總張數 撕的次數

10 9

13 12

內部有洞

邊長 邊長 洞數 總張數（邊長 邊長 洞的張數） 撕的次數

3 3 1 1 8 3 3 1 8

3 5 2 1 13 3 5 2 14

三 角 形

完整排列

邊長 總張數 撕的次數

2 4 3

3 9 8

不規則排列

總張數 撕的次數

10 9

13 12

內部有洞

邊長 洞數 總張數（邊長平方 洞的張數） 撕的次數

規

則

4 1 1 15 4 4 1 15

5 1 1 24 5 5 1 24

5 1 2 23 5 5 2 23

5 1 3 22 5 5 3 22

6 1 1 35 6 6 1 35

6 1 2 34 6 6 2 34

6 2 1 34 6 6 2 1 35

6 3 1 33 6 6 3 1 35

6 1 2 1 1 33 6 6 2 1 34

7 2 2 45 7 7 2 2 46

不

規

則

1 1 22 22

1 1 23 23

1 2 32 32

數亦優 37

六 邊 形

完整排列

總張數 撕的次數

3 2

5 4

內部有洞

洞數 總張數 撕的次數

1 1 6 6

2 1 11 12

正 多 面 體

面數 撕的次數

正四面體 4 3

正六面體 6 5

正八面體 8 7

正十二面體 12 11

正二十面體 20 19

目前的研究我們發現了以下獨特的結論平面幾何圖形中矩形正三角形和正六邊形的

規則形狀與不規則形狀紙張之最佳撕法都是(總張數 1 )次矩形正三角形及正六邊形排列成

內部有 n個洞且 m張的紙張之最佳撕法都是 1n m 次而柏拉圖立體的最少切割次數皆為

正多面體的(總面數 1 )次最重要我們發現其實撕裂或切割次數與撕裂或切割方法（或順序）

無關

參考資料

1 陳美如（200003）撕郵票問題數學傳播第 24 卷第 1 期P82~86

2 許志農與奇人相遇httpmathntnuedutw~macomeethtm

3 林義強多面體簡介第一屆全國高中數學教學研討會論文集P177~192

參數學專題研究反思 》

上述作品得到今年北一區數學科展優等過程中我與學生教學相長高二學生因為所學的

數學很有限所以數學解題層次會有侷限但是相對地數學思維與想像力卻是受過數學訓練

的我們所不及的在這次數學專題研究中我扮演的角色是諮詢者協助者鼓勵者完成任

務是那三位鍥而不捨的同學鄭羽呈李依庭林佩柔 勘誤 第 21 刊〈高中數學專題研究教案（PartI）〉 P34 倒數第 6 行「設m k 」應改為「設m k 」 P36 第 3 行「設m k 」應改為「設m k 」 P38 內部有洞的 1(1)~(4)分類應改為「1(1)一頁 24 張內部有一個洞一張為 1 洞」

「1(2)一頁 23 張內部有一個洞兩張為 1 洞」 「1(3)一頁 23 張內部有一個洞兩張為 1 洞」 「1(4)一頁 22 張內部有一個洞三張為 1 洞」

38 數亦優

動手玩數學 許志農臺灣師大數學系

在 下 圖 中已 知 ABC為 直 角

三 角 形 1AB 求

(1) 線段 AD的長度（化為最簡形式）

(2) 餘切 cot24

的值

〔玩鎖玩索〕

這道問題改編自「求 cot24

的值」這道

教師甄選試題關於這道餘切求值問題

有兩位老師的作法是用標準特別角出發

再求出欲求的餘切值

底下是另一位老師的作法

已知 ABC 為 直 角 三 角 形 4AC 求

AB BC及 cot24

的值

請 加 上 線 段 使 下 圖 分 成 五

份 形 狀 完 全 相 等 的 部 分（翻面

相等也算）

或 許 下 圖 對 你 會 有 些 幫 助 它 們 是 四 份

形 狀 完 全 相 等 的 部 分

〔玩鎖玩索〕

這是 1998 年夏天香港中文大學教育學

院第二次舉辦暑期資優課程中在數學有關的

工作坊裡的一道測智遊戲

遊戲 85

遊戲 86

數亦優 39

在 坐 標 平 面 上 畫 一 直 線 1L在

線 上 任 取 一 點O 以O為 旋 轉

中 心依 逆 時 針 方 向 將 直 線 1L

旋 轉 120得 到 直 線 2L 如 下

圖 所 示

已 知 直 線 1L 的 斜 率 為m求 證 直 線 2L 的 斜

率 為

3

3 1

m

m

〔玩鎖玩索〕

直線是平面幾何上的重要元素而斜率又

是直線在代數上的代言人掌握斜率就如同控

制直線一樣從逆轉120的 直 線 斜 率 公 式

不 難 知 道 坐 標 平 面 上 的 正 三 角 形 之 三

條 邊 斜 率

1 2 3 m m m

是可以互相推導的即由 1m 可 以 得 到 2m 與

3m 的 公 式 而 且 還 知 道 以 下 兩 個 恆 等 式

1 2 2 3 3 1 3m m m m m m

1 2 31 2 3

1 1 19m m m

m m m

宇 富 怕 手 機 被 盜 打 每 日 更

換 開 機 密 碼為 了 便 於 記 憶

他 想 到 一 則 更 換 密 碼 的 算 術

通 則 「 昨 天 密 碼 為p 今

日 的 密 碼 就 更 新 為1

1

p

p

」

宇 富 跟 所 有 的 人 說「 我 已 經

使 用 這 密 碼 通 則 500天 了 而

且 第 一 天 的 密 碼 就 設 為 2 1

相 信 各 位 算 到 手 痠也 無 法 算

出 今 天 的 開 機 密 碼 」

徵求可以破解開機密碼的人士

〔玩鎖玩索〕

如果第一天的密碼為 那麼破解密碼

的難度有增加嗎

遊戲 87

遊戲 88

40 數亦優

動動手手玩玩數數學學~~破破解解秘秘笈笈

遊戲 81

如圖所示

(1) 考慮 ABC 因為 8sin15AB BC 且

150ABC 所以 ABC 為等腰三角

形且 15BAC 因此

2 cos15 2 8sin15 cos15AC AB

1

8sin30 8 42

(2) 仿照(1)的方法 ACE 也是等腰三角

形且 30CAE 因此

32 cos30 2 4 4 3

2AE AC

遊戲 82

秦九韶這個依括弧次序求函數值 f a 的演

算法就是高中數學多項式那章所介紹的綜

合除法

2 5 4 8

2

2

a

a

仔細計算上述綜合除法的空白位置可以發

現小中大括弧位置所代表的值與秦九韶

小中大括弧內的值完全一樣

遊戲 83

(1)

2cos 2cos24 24cot

24 sin 2sin cos24 24 24

1 cos1 cos

3 412

sin sin12 3 4

(2) 因為

cos cos cos sin sin3 4 3 4 3 4

1 2 3 2

2 2 2 2

2 6

4 4

及

sin sin cos sin cos3 4 3 4 4 3

3 2 2 1

2 2 2 2

6 2

4 4

所以

2 61 4 6 24 4cot

24 6 2 6 24 4

2

4 6 2 6 2

6 2

2 2 3 6

遊戲 84

令

2 3A a b c b c i

2 3B c a b a b i

2 3C b a c c a i

且

1 3

2

i

因為 2A C B

所以 3 3 3 6 3A C B

又因為 3 6 1 所以 3 3 3A B C

得證

ltlt ASCII85EncodePages false AllowTransparency false AutoPositionEPSFiles true AutoRotatePages All Binding Left CalGrayProfile (Dot Gain 20) CalRGBProfile (sRGB IEC61966-21) CalCMYKProfile (US Web Coated 050SWOP051 v2) sRGBProfile (sRGB IEC61966-21) CannotEmbedFontPolicy Error CompatibilityLevel 13 CompressObjects Tags CompressPages true ConvertImagesToIndexed true PassThroughJPEGImages true CreateJobTicket false DefaultRenderingIntent Default DetectBlends true DetectCurves 00000 ColorConversionStrategy LeaveColorUnchanged DoThumbnails false EmbedAllFonts true EmbedOpenType false ParseICCProfilesInComments true EmbedJobOptions true DSCReportingLevel 0 EmitDSCWarnings false EndPage -1 ImageMemory 1048576 LockDistillerParams false MaxSubsetPct 100 Optimize true OPM 1 ParseDSCComments true ParseDSCCommentsForDocInfo true PreserveCopyPage true PreserveDICMYKValues true PreserveEPSInfo true PreserveFlatness true PreserveHalftoneInfo false PreserveOPIComments true PreserveOverprintSettings true StartPage 1 SubsetFonts true TransferFunctionInfo Apply UCRandBGInfo Preserve UsePrologue false ColorSettingsFile () AlwaysEmbed [ true ] NeverEmbed [ true ] AntiAliasColorImages false CropColorImages true ColorImageMinResolution 300 ColorImageMinResolutionPolicy OK DownsampleColorImages true ColorImageDownsampleType Bicubic ColorImageResolution 300 ColorImageDepth -1 ColorImageMinDownsampleDepth 1 ColorImageDownsampleThreshold 150000 EncodeColorImages true ColorImageFilter DCTEncode AutoFilterColorImages true ColorImageAutoFilterStrategy JPEG ColorACSImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt ColorImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt JPEG2000ColorACSImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 30 gtgt JPEG2000ColorImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 30 gtgt AntiAliasGrayImages false CropGrayImages true GrayImageMinResolution 300 GrayImageMinResolutionPolicy OK DownsampleGrayImages true 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18 數亦優

一楔子 》

古希臘人尤勒士（Euathlus）向普羅塔哥拉斯（Protagoras）學習辯論術先付一半學費

另一半學費訂定契約言明等學成後在第一場辯護勝訴時再付如果敗訴則學費不必再交

但尤勒士畢業後根本不擔任辯護的工作自然也不交另一半的學費因此普羅塔哥拉斯便告

他普羅塔哥拉斯說「如果我勝訴法官當然要判他還我學費如果我敗訴那就是尤勒士勝

訴依契約他還是要還我學費」尤勒士說「如果我勝訴當然是要求法官判我不必還學費

如果我敗訴依契約我也不必還學費」請問法官該怎麼判

二歸謬證法 》

亞里斯多德認為愈重的物體落下得愈快1589 年伽利略如此舉反證把兩物 AB

綁在一起成為 A B 假設 A比 B重則由高處落下時因為 B落下的速度比 A慢把 A拖

住所以 A B 落下的速度比 A 慢又 A B 比 A 重所以 A B 落下的速度又比 A 快矛盾

所以「任何物體同時從相同的高處落下皆同時著地」伽利略如是說

99 課程綱要把歸謬證法拿掉了我猜想最少有兩位先生會很鬱卒一位是歐幾里得先生

他在《幾何原本》中用歸謬證法證明了「質數有無窮多個」另一位是蔡聰明先生他用了 28

種方法證明 2 是無理數

三直觀與證明 》

最近看到一篇文章關於 2 是無理數的證明

假設 2p

q 是有理數其中 p q是正整數且 1p q 則

2

22

p

q

直觀上「如果p

q不是整數則

2

2

p

q更不可能是整數」矛盾

所以假設錯誤即 2 是無理數得證

（這是因為如果 p q沒有相同的成分 2p 和 2q 自然也不會有相同的成分如果p

q都無法化簡

成整數2

2

p

q更沒有機會了因此這個式子是個明顯可笑的矛盾等號左邊是整數右邊不是

整數兩者怎麼可能相等）

我想提一段陳年往事多年前一次國中數學週考中某老師出了一道題目證明三角形

兩邊和大於第三邊直觀上這何需證明因為兩點之間直線最短嘛於是我買了歐幾里得

的《幾何原本》根據歐幾里得的體系證明「三角形兩邊和大於第三邊」確實需要很長的篇幅

我相信這不會是出題老師的本意我的判斷是出題老師只想要學生說明「兩點之間直線最短」

江慶昱衛道中學退休教師

數亦優 19

那麼考題應該改成請說明「三角形兩邊和大於第三邊」中學階段不必強調數學的嚴密性

這是共識（60 年代的新數學過度強調嚴密性是失敗的原因之一）但是直觀的說明與嚴格的證

明應該予以區隔這純屬我個人的看法所以我以為上述關於 2 的證明實偏向於說明（註

最早項武義先生認為他解決了克卜勒的裝填問題陳省身先生也為之背書但還是不被接受

目前公認是 Thomas Hales 解決了httpenwikipediaorgwikiKepler_conjecture數學界的所謂

「證明」自有其行規）

如何在高中引入簡易邏輯是一件困難但是值得深思的事

四等價 》

高中課程中另一個重要的邏輯概念是「等價」有一年大學聯考考這麼一題證明「海龍

公式邊長 a b c的三角形面積 ( )( )( )s s a s b s c 」那時候大學錄取率大約 30不到

補習班之間競爭非常激烈大家趕著把解答登報有一間補習班第一天是這樣證明的

因為( ) ( )( )

sin cos2 2

A s s a A s b s c

bc bc

所以1 1

sin 2sin cos ( )( )( )2 2 2 2

A Abc A bc s s a s b s c

第二天趕快發報更正因為在邏輯上第一天拿一個等價的命題當作證明等於沒有證明

換句話說患了邏輯上的錯誤了

五等價的一些例子 》

我們在國中時有這樣的性質 p三角形任兩邊和大於第三邊又在書中的同一個角落看到

q三角形任兩邊差小於第三邊很容易證明「 p q 」這種情形我們叫 p與 q等價意思是 p

與 q是同一回事以下舉一些等價的例子

1 p平行公設過直線外一點恰有一直線與之平行q三角形內角和為180

2 G是ABC的重心則 p q r三個向量式等價

1 1

3 3

p AG AB AC

1 1 1

3 3 3

q OG OA OB OC

0r AG BG CG

3 2 2 2

p u v u v

（柯西不等式） q u v u v

（三角不等式）

4 p周長固定的平面圖形中以圓形面積最大q面積固定的平面圖形中以圓形周長最小

5 (1)正弦定理(2)餘弦定理(3)投影定理 等價

6 實數的完備性有多種等價的敘述（我有一位同事到師大數學系修碩士班學分就是上了一本

這樣的書）

7 p算幾不等式q柯西不等式

20 數亦優

六算幾不等式與柯西不等式的等價 》

算幾不等式與柯西不等式在形式上相差很多兩者會等價甚感意外我第一次是在臺中一

中的網頁內看到證明過程當時沒有仔細研究後來回去找就找不到那份資料了最近上網搜

尋找到建中徐健策老師的一篇專題算是一償宿願這是我寫這篇文章的另一個因緣

七後記 》

1900 年量子力學開始萌芽到 1965 年朝永振一郎（S Tomonaga）薛文格（Julian Schwinger）

與費因曼得到諾貝爾物理獎是一段精采的故事重點是薛文格與費因曼對量子電動力學的看法

與算法南轅北轍薛文格用的是歐洲優雅的數學費因曼的路徑積分用的是圖像式的數學把

兩者結合為一或者說看出兩者的「等價性」的是戴森（Freeman J Dyson）我覺得這比證

明兩命題的等價有更深刻的意義

非歐幾何的發展也有類似的地方義大利幾何學家 Eugenio Beltrami（1835~1899）證明了

Lobachevsky（1793~1856）與 Ferdinand Minding（1806~1885）的非歐幾何模型是「等價」的

（註代數中複數平面與平面向量同構以上兩種情況說同構或等價哪一個說法比較恰當

當就教於各位）

99 課程綱要把歸謬證法放在附錄我觀察最近兩年的各校段考試題大約只有三四個學

校段考中有考歸謬證法早年國中考高中每年要考一題證明題一題尺規作圖當時我們會

努力教證明題當然包括用「窮舉法」證明「圓內接四邊形的充要條件為對角互補」基測不

考證明題後絕大部分的老師不會花時間去證明這個定理向來就是「考試引導教學」自古皆

然隋唐時期科舉要考《算經》所以宋朝有四位偉大的數學家秦九韶李治楊輝朱世傑

到明清科舉只考八股文可以印證中國數學沒落的一段史實證明與數學的關係就如同實驗與

物理的關係基測與學測不考證明題相信有不少人憂心忡忡如今又把歸謬證法拿掉（放在

附錄與拿掉等價）應該有人輾轉難眠吧

早上（2012829）看到新聞十二年國教將於後年上路臺大名譽教授劉廣定批評103

年到 107 年的高中學生要繼續接受舊課綱的教育他堅決反對沒有新課綱的十二年國教後

年就要推十二年國教課綱最快 106 年才能完成到 108 年才有新課綱教科書可用意味之前

的高中生都要繼續接受舊課綱教育芬蘭從 1980 年代開始教改先找學校試辦2000 年才全

面實施然而臺灣十二年國教從宣布到實施只有三年準備期讓人憂心

參考資料

1 蔡聰明 2 是無理數的 28 種證明數學傳播季刊第 23 卷（第 1 期）

2 王九逵邏輯與數學思維

3 南山柯西不等式與排序不等式上海教育出版社P230

4 William Dunham（1995）天才之旅牛頓出版股份有限公司P61

5 戴森（1993）宇宙波瀾天下文化

6 奧瑟曼（1997）宇宙的詩篇天下文化P84

7 Stefan Kulczycki（1992）非歐幾里得幾何學水牛出版社P32

8 蔡辰理中國數學史上的黃金時代及其四個偉大的數學家20130701 取自

httpepistemathntuedutwarticlesmmmm_03_2_07page2htmltop

9 徐健策老師專題柯西琴生與冪平均不等式20131002 取自 httpmath1cktpedutw徐健策mathhtm

數亦優 21

一研究目的 》

將一道解四元一次聯立方程式的題目利用四次多項函數且領導係數為 1 的恆等原理來解

答

二研究過程 》

已知

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

12 1 2 3 2 5 2 7

14 1 4 3 4 5 4 7

16 1 6 3 6 5 6 7

18 1 8 3 8 5 8 7

x y z w

x y z w

x y z w

x y z w

試求(1) ( )x y z w (2) x y z w

一 首先將上題解讀為解四元一次聯立方程式

設

2

3

2

2

3 5 7105 2079 429 143 1

3 5 7 11 21 1485 1001 195 1

9 385 819 495 13 7 11 135 189 231 429 1

3 5 11 13

x aa b c d

y b a b c d

a b c dz ca b c d

w d

211512 1320 2288 5

4b c d

52376 1144 208 1

4b c d

5 956 504 1584 1

4b c d

2432 640 1792 0 19 5 14 0

5 1792 3840 5632 0 7 15 22 0

b c d b c d

b c d b c d

由5 14 14 19 19 5

320 320 320 11115 22 22 7 7 15

b c d

由1

56 504 1584 1 1024 11024

b b b b b c d

代入1 1 1 175 35

5 189 231 429 1 51024 1024 1024 1024 1024

a a a

李維昌國立宜蘭高中

22 數亦優

2 2 2 3 2 23 5 7 3 5 7 11 3 7 11 13 3 5 11 13( )

1024 1024 1024 1024x y z w

即為(1)的所求

2 3 2 2

2 3

2 2

3 5 7 3 5 7 11 3 7 11 13 3 5 11 13

35 13 5 7 3 5 7 11

1024 10241 1

3 7 11 13 3 5 11 131024 1024

x y z w a b c d

11025 10395 9009 6435 36864

361024 1024

即為(2)的所求

二 嘗試利用四次多項函數且領導係數為 1 的恆等原理來解答此題

1 構造以 t為變數的四次多項函數且領導係數為 1命此函數為 ( )f t

2 2 2 2 2 2 2( ) 1 3 5 7 3 5 7f t t t t t x t t t

2 2 2 2 2 2 2 2 21 5 7 1 3 7 1 3 5y t t t z t t t w t t t

其中 x y z w四數為常數

2 2 2 2 2 2 2 2 21

2 1 2 3 2 5 2 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 1 2 3 2 5 2 7 2 3 2 5 2 7

2 1 2 5 2 7 2 1 2 3 2 7

2 1 2 3 2 5 0

x

y z

w

2(2 ) 0f

3 2 2 2 2 2 2 2 21

4 1 4 3 4 5 4 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

4 1 4 3 4 5 4 7 4 3 4 5 4 7

4 1 4 5 4 7 4 1 4 3 4 7

4 1 4 3 4 5 0

x

y z

w

2(4 ) 0f

4 2 2 2 2 2 2 2 21

6 1 6 3 6 5 6 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

6 1 6 3 6 5 6 7 6 3 6 5 6 7

6 1 6 5 6 7 6 1 6 3 6 7

6 1 6 3 6 5 0

x

y z

w

2(6 ) 0f

數亦優 23

5 2 2 2 2 2 2 2 21

8 1 8 3 8 5 8 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

8 1 8 3 8 5 8 7 8 3 8 5 8 7

8 1 8 5 8 7 8 1 8 3 8 7

8 1 8 3 8 5 0

x

y z

w

2(8 ) 0f

6 由 12345的討論可得知 ( )f t 等價 2 2 2 22 4 6 8t t t t

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 4 6 8

1 3 5 7 3 5 7 1 5 7

1 3 7 1 3 5

t t t t

t t t t x t t t y t t t

z t t t w t t t

為 t的四次多項方程式

第式等號的左式 3t 的係數＝第式等號的右式 3t 的係數

2 2 2 2 2 2 2 22 4 6 8 1 3 5 7 x y z w

2 2 2 2 2 2 2 22 4 6 8 1 3 5 7 120 84 36x y z w

即為(2)的所求

7 x的求法

將 21t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

1 2 1 4 1 6 1 8 1 3 1 5 1 7

2 1 4 1 6 1 8 1 1 3 3 5 5 7 7 9 3 5 7

2 4 4 6 6 8 10243 1 5 1 7 1

x

x

8 y的求法

將 23t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 3

2 2 2 2 2 2

3 2 3 4 3 6 3 8 3 1 3 5 3 7

3 2 4 3 6 3 8 3 1 5 1 7 3 9 5 11 3 5 7 11

2 4 2 8 4 10 10243 1 5 3 7 3

y

y

9 z的求法

將 25t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

5 2 5 4 5 6 5 8 5 1 5 3 5 7

5 2 5 4 6 5 8 5 3 7 1 9 1 11 3 13 3 7 11 13

4 6 2 8 2 12 10245 1 5 3 7 5

z

z

24 數亦優

10 w的求法

將 27t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

7 2 7 4 7 6 7 8 7 1 7 3 7 5

7 2 7 4 7 6 8 7 5 9 3 11 1 13 1 15 3 5 11 13

6 8 4 10 2 12 10247 1 7 3 7 5

w

w

11 由 78910的討論可得

2 2 2 3 2 23 5 7 3 5 7 11 3 7 11 13 3 5 11 13

( ) 1024 1024 1024 1024

x y z w

即為(1)的所求

三 結論

1 解題的巧妙與否存乎一心「學則需疑於不疑處有疑方是進矣」本題為解四元

一次聯立方程式基本解題策略為克拉瑪公式加減消去法或代入消去法三種由

於這三種計算相當繁瑣進而苦思其他對策經過一番思索驀然回首伊人卻在

燈火闌珊處竟然將此題與四次多項方程式連結在一起有了令人會心一笑的妙解

真是一次驚奇的解題之旅

2 孔子曾言「學而不思則罔思而不學則殆」我期待每次解題時皆能直搗黃龍

一眼看穿題目的堂奧之妙事後「大膽假設小心求證」檢驗過程和結果是否達

到最佳化藉由在夙昔的典範亦步亦趨臻於真善美的解題境界

數亦優 25

國立臺灣師範大學數學系

筆試一計算證明題（考試時間2 小時）

1 (1) 直角三角形的兩股長為 a b斜邊長為 c試證 3 3 3c a b （8 分）

(2) 如下圖圓 O內二直徑 AC BD互相垂直在劣弧DC上任取一點 E

試證以 AE 為一邊的正方形面積等於四邊形 ABED面積的二倍 （12 分）

2 設函數 2( ) 6 5f x x x 求坐標平面上滿足聯立不等式

( ) ( ) 0

( ) ( ) 0

f x f y

f x f y

的所有點 ( )x y 所形成的區域面積 （20 分）

3 設 a b c d 為實數且 a b c d ( ) ( )f x g x 為滿足 ( ) ( )f a f b 及 ( ) ( )g c g d 的實係數二次多

項式已知 ( ) ( )f x g x 為常數多項式證明

(1) a b c d （8 分）

(2) 2( )

2

( )2

a bf a f

a bc d c d

g c g

（12 分）

4 如下圖所示ABC和DBC為空間中的兩個等腰三角形M為線段 BC 的中點令

AB AC a DB DC b BM CM c 和DA x

(1) 已知向量內積 0AM BD

求證 2 2 22x a b c （8 分）

(2) 已知 2 2 22x a b c 求證向量內積 0AM BD

（12 分）

26 數亦優

5 師大數學系舉辦系徽設計比賽入圍決選的有四件作品由 10 名學生代表進行不記名投票

每人投兩票且兩票須投不同作品在沒有廢票的情況下試問

(1) 四件作品的得票情形共有幾種 （8 分）

(2) 得票數 高的作品恰有一件的票數分布有幾種 （12 分）

筆試二填充題（考試時間15 小時）

1 設 a為實數若對於所有實數 x2

2

32

2

x ax

x x

恆成立則 a的範圍為

2 若等比數列的第三項是1 i 第五項是1 1

16 16i 其中 1i 則此等比數列的公比為

（有兩解）

3 從1234567 等數字中選取三個排成三位數數字不重複則排出來的是 3 的倍數但不是 5 的倍數

的整數有 個

4 桌上有十個骰子當中有一個骰子出現 5 點的機率是1

2而出現其他點數的機率均等其他

九個都是均勻的骰子用隨機的方式選取一個骰子來投擲在出現 5 點的情況下被選取的

骰子是不均勻骰子的條件機率為 （答案若為分數請化為 簡分數）

5 在電腦裡有一公定的對照表（ASCII）將英文字母ABhellipZ及空格等字元分別對應至一整數

其對應數字如下表所示

字母 空格 A B C D E F G H

ASCII 碼 32 65 66 67 68 69 70 71 72

字母 I J K L M N O P Q

ASCII 碼 73 74 75 76 77 78 79 80 81

字母 R S T U V W X Y Z

ASCII 碼 82 83 84 85 86 87 88 89 90

數亦優 27

我們可利用此對照表在 facebookTM 傳送保密訊息給朋友我們與朋友約定所有的英文字母及

空格皆以對照表中的整數替代例如「HE IS DAVID」的訊息用「7269327383326865867368」

取代然後將此數字字串的奇數項排在矩陣的第一列偶數項排在第二列形成以下矩陣

7 6 3 7 8 3 6 6 8 7 6

2 9 2 3 3 2 8 5 6 3 8B

再與二階方陣

1 2

2 3A

相乘得到

11 24 7 13 14 7 22 16 20 13 22

20 39 12 23 25 12 36 27 34 23 36AB

後依上述規則反求得字串「11202439071213231425071222361627203413232236」傳送給朋

友如此他人便不能立即得知傳送之內容現在在此規則下你接收到數字字串

「233825411222213516271932」可以轉成矩陣

23 25 12 21 16 19

38 41 22 35 27 32

其所代表之訊息為

6 坐標平面上圓 C通過點 (02) 且 C與兩直線 3 2 0 1 0x y y 皆相切則圓 C的方程

式為

7 坐標空間中ABC的三頂點分別為 (1 11) ( 321) (5 43)A B C P為ABC內部一點且

令P到 AB BC CA的距離分別為 x y z則 2 2 2x y z 的 小值為 （答案若為分數

請化為 簡分數）

8 函數 4 4( ) cos 3sinf x x x 的 小值為

9 設 為實數若

cos 0 sin

0 1 0

sin 0 cos

A

則 5A

10 袋中有編號分別為 1 到 6 的六個球從袋中隨機選取兩球令隨機變數 X表示在被選取的

兩球中球號比袋中剩下的球號都大的球的個數（例如如果選到 2 號和 3 號球那袋中剩

下的就是 1456 號球因為選出的球中並沒有比 1456 都大的球號故這種情況下 0X ）

隨機變數 X的期望值為 （答案若為分數請化為 簡分數）

28 數亦優

筆試一計算證明題

1 (1) 利用 2 2 2c a b 及 c a c b 得

3 2 2 2 2 3 3c c a b ca cb a b

(2) 過 E作 EF AC 則

四邊形 ABED的面積

1 1

2 21

21

2

ABD BDE

BD AO BD OF

BD AO OF

AC AF

又在直角三角形 ACE中因為2

AE AC AF 所以2

AE 四邊形 ABED面積的兩倍

2 因為

2 22 2( ) ( ) 6 6 10 3 3 8f x f y x y x y x y

2 2( ) ( ) 6 6 6f x f y x y x y x y x y

所以

2 23 3 8( ) ( ) 0

( ) ( ) 0 6 0

x yf x f y

f x f y x y x y

因此滿足上述條件的所有點 ( )x y 為

22 23 3 8

0 6 0

x y

x y x y

或 22 2

3 3 8

0 6 0

x y

x y x y

其所圍成的區域如下圖所示面積為 218 4

2

數亦優 29

3 (1) 依題意可設 ( ) ( )f x r x a x b s g x r x c x d s

因為 ( ) ( )f x g x 是常數多項式所以比較一二次項係數知

r r r a b r c d

得 a b c d

(2) 由 2 2

( )2 4 4

a b a ba bf r s r f a

得

2

4 ( )2a b

f a f

ra b

故得證

註1o 也可利用對稱性知 ( )y f x 的頂點之 x軸坐標為2

a b ( )y g x 的頂點之 x軸坐標

為2

c d而得證

2o 亦可用插值多項式證明

4 (1) 由向量分解DA DM MA DB BM MA

得

2 22 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2

2

2 2

DA DA DM MA DM MA DM MA

b c a c DB BM MA

b a c DB MA BM MA

因為 0AM BD

且 BM MA 所以

2 2 2 22DA b a c

因此

2 2 22DA a b c

(2) 由(1)及 BM MA 可得

2 2 2 22 2DA b a c DB MA

依題意知 2 2 22DA x b a c 即

22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2b a c b a c b a c DB MA

故

0DB MA

30 數亦優

5 (1) 由題意可以知道

1 四件作品所得的總票數為 20 票

2 每件作品 多可以得到 10 票

令四件作品的得票數分別為 x y z u由1 2 可得

200 10x y z u x y z u

因為 0 10x y z u 所以 420H 須扣掉11 20x y z u 的情況由 20x y z u 且

0x y z u 可知 多只有一個票數會大於等於 11假設 11x 令 11x x 可得

90 9x y z u x y z u

此情況有 4 129 9 220H C 種

因此票數分布為 4 420 94 1771 4 220 891H H 種

(2) 假設得票數 高為 x由題意可得

200 10x y z u y z u x

因為 y z u x 也就是 1y z u x 所以

1 1 1 4 3x y z u x x x x x

由 20x y z u 得

20 4 3x

即

23

4x

因此當 6x 時才會滿足只有一件作品得票數 高且票數為 x

當 6x 時

140 5y z u y z u

滿足此情況的 y z u有 (554)(545)(455) 3 種

當 7x 時

130 6y z u y z u

因為 13y z u 且 0y z u 所以 y z u 多只有一個會大於等於 7

由(1)可知滿足此情況有 3 3 15 813 6 13 63 3 105 84 21H H C C 種

同理

當 8910x 時 y z u 多只有一個會大於等於 8910故

當 8x 時有 3 3 14 612 4 12 43 3 91 45 46H H C C 種

當 9x 時有 3 3 13 411 2 11 23 3 78 18 60H H C C 種

數亦優 31

當 10x 時有 3 3 12 210 0 10 03 3 66 3 63H H C C 種

因此滿足只有一件作品得票數 高的情形有

4 3 21 46 60 63 772 種

筆試二填充題

1 2 3 4 5

0 4a 2 2

8 8i

66 1

4 NORMAL

6 7 8 9 10

2 2

3 1 4x y

2 2

3 3 5 36x y

（或是 2 2 2 3 2 0x y x y ）

50

79

3

4

cos5 0 sin 5

0 1 0

sin 5 0 cos5

2

5

32 數亦優

《接續PartI 請見數亦優第 21 期》

四 正多邊形

(一) 除了正方形及三角形以外我們還考慮將其他形狀組合討論其撕裂次數是否與正方

形三角形相同

(二) 並非所有正多邊形皆可組合若內角非360

kk

便不能組合例如

1 正五邊形的內角和180 3 540 則一個內角為108但108 360 k k

無法將五邊形完整組合必有空隙

2 正六邊形的內角和180 4 720 則一個內角為120因為120 3 360

則任三個相同的正六邊形皆可相互組合

(三) 完整排列正六邊形為例以 m張排列

例 1 一頁 5 個正六邊形排列

撕開 2 次使下排的兩個正六邊形與上排分開再逐一將上排撕開共需 4 次

由例 1撕的次數結果皆為 1m 次

（Part II） 陳敏晧國立蘭陽女中

數亦優 33

(四) 內部有洞正六邊形為例m張 n個洞排列

例 2 一頁 11 張且 2 洞排列

先撕開 2 次使其成為無洞排列再撕開 1 次使其變成兩頁完整排列再逐一撕開

共需 12 次

由例 1與例 2得知撕的次數結果皆為 1n m 次

五 「切割」的定義

(一) 我們從平面延伸到立體討論柏拉圖的五個正多面體先將正多面體每面切開分開

的次數是否也有彼此相似之處

(二) 因為立體無法如平面一樣用撕的故用切的而計算次數的定義與方法也與平面有很

大的差異

(三) 「切一次」的定義與限制沿著稜邊切下一個面才算作「一次」第一次切下後

便將封閉的正多面體打開此後每切一次都必須從開放的稜邊切下不可再一次從

封閉的面切下

以正六面體為例

此為一個完整封閉的正六面體

第一次沿著粗線切開可切下一個面

34 數亦優

六 柏拉圖多面體

1 正四面體

第一次將底面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 3 個面切下共需切

1 3 1 3 次

2 正六面體

第一次將頂面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 5 個面切下共需切

1 5 1 5 次

斜線部分為第一次被切下的面

封閉正六面體被打開後第二次只能從

開放的 4 條稜邊（粗線）切下

第二刀不可再從封閉面（粗線）開始切

數亦優 35

3 正八面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 7 個面切下共

需切 1 7 1 7 次

4 正十二面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 11 個面切下共

需切 1 11 1 11 次

5 正二十面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 19 個面切下共

需切 1 19 1 19 次

36 數亦優

由上述例子可得知切割次數皆剛好為正多面體的(總面數 1 )次

研究發現

內部有洞洞數 a b 其中 a洞的個數b每個洞的張數

矩 形

完整排列

邊長 邊長 總張數 撕的次數

2 2 4 3

4 5 20 19

不規則排列

總張數 撕的次數

10 9

13 12

內部有洞

邊長 邊長 洞數 總張數（邊長 邊長 洞的張數） 撕的次數

3 3 1 1 8 3 3 1 8

3 5 2 1 13 3 5 2 14

三 角 形

完整排列

邊長 總張數 撕的次數

2 4 3

3 9 8

不規則排列

總張數 撕的次數

10 9

13 12

內部有洞

邊長 洞數 總張數（邊長平方 洞的張數） 撕的次數

規

則

4 1 1 15 4 4 1 15

5 1 1 24 5 5 1 24

5 1 2 23 5 5 2 23

5 1 3 22 5 5 3 22

6 1 1 35 6 6 1 35

6 1 2 34 6 6 2 34

6 2 1 34 6 6 2 1 35

6 3 1 33 6 6 3 1 35

6 1 2 1 1 33 6 6 2 1 34

7 2 2 45 7 7 2 2 46

不

規

則

1 1 22 22

1 1 23 23

1 2 32 32

數亦優 37

六 邊 形

完整排列

總張數 撕的次數

3 2

5 4

內部有洞

洞數 總張數 撕的次數

1 1 6 6

2 1 11 12

正 多 面 體

面數 撕的次數

正四面體 4 3

正六面體 6 5

正八面體 8 7

正十二面體 12 11

正二十面體 20 19

目前的研究我們發現了以下獨特的結論平面幾何圖形中矩形正三角形和正六邊形的

規則形狀與不規則形狀紙張之最佳撕法都是(總張數 1 )次矩形正三角形及正六邊形排列成

內部有 n個洞且 m張的紙張之最佳撕法都是 1n m 次而柏拉圖立體的最少切割次數皆為

正多面體的(總面數 1 )次最重要我們發現其實撕裂或切割次數與撕裂或切割方法（或順序）

無關

參考資料

1 陳美如（200003）撕郵票問題數學傳播第 24 卷第 1 期P82~86

2 許志農與奇人相遇httpmathntnuedutw~macomeethtm

3 林義強多面體簡介第一屆全國高中數學教學研討會論文集P177~192

參數學專題研究反思 》

上述作品得到今年北一區數學科展優等過程中我與學生教學相長高二學生因為所學的

數學很有限所以數學解題層次會有侷限但是相對地數學思維與想像力卻是受過數學訓練

的我們所不及的在這次數學專題研究中我扮演的角色是諮詢者協助者鼓勵者完成任

務是那三位鍥而不捨的同學鄭羽呈李依庭林佩柔 勘誤 第 21 刊〈高中數學專題研究教案（PartI）〉 P34 倒數第 6 行「設m k 」應改為「設m k 」 P36 第 3 行「設m k 」應改為「設m k 」 P38 內部有洞的 1(1)~(4)分類應改為「1(1)一頁 24 張內部有一個洞一張為 1 洞」

「1(2)一頁 23 張內部有一個洞兩張為 1 洞」 「1(3)一頁 23 張內部有一個洞兩張為 1 洞」 「1(4)一頁 22 張內部有一個洞三張為 1 洞」

38 數亦優

動手玩數學 許志農臺灣師大數學系

在 下 圖 中已 知 ABC為 直 角

三 角 形 1AB 求

(1) 線段 AD的長度（化為最簡形式）

(2) 餘切 cot24

的值

〔玩鎖玩索〕

這道問題改編自「求 cot24

的值」這道

教師甄選試題關於這道餘切求值問題

有兩位老師的作法是用標準特別角出發

再求出欲求的餘切值

底下是另一位老師的作法

已知 ABC 為 直 角 三 角 形 4AC 求

AB BC及 cot24

的值

請 加 上 線 段 使 下 圖 分 成 五

份 形 狀 完 全 相 等 的 部 分（翻面

相等也算）

或 許 下 圖 對 你 會 有 些 幫 助 它 們 是 四 份

形 狀 完 全 相 等 的 部 分

〔玩鎖玩索〕

這是 1998 年夏天香港中文大學教育學

院第二次舉辦暑期資優課程中在數學有關的

工作坊裡的一道測智遊戲

遊戲 85

遊戲 86

數亦優 39

在 坐 標 平 面 上 畫 一 直 線 1L在

線 上 任 取 一 點O 以O為 旋 轉

中 心依 逆 時 針 方 向 將 直 線 1L

旋 轉 120得 到 直 線 2L 如 下

圖 所 示

已 知 直 線 1L 的 斜 率 為m求 證 直 線 2L 的 斜

率 為

3

3 1

m

m

〔玩鎖玩索〕

直線是平面幾何上的重要元素而斜率又

是直線在代數上的代言人掌握斜率就如同控

制直線一樣從逆轉120的 直 線 斜 率 公 式

不 難 知 道 坐 標 平 面 上 的 正 三 角 形 之 三

條 邊 斜 率

1 2 3 m m m

是可以互相推導的即由 1m 可 以 得 到 2m 與

3m 的 公 式 而 且 還 知 道 以 下 兩 個 恆 等 式

1 2 2 3 3 1 3m m m m m m

1 2 31 2 3

1 1 19m m m

m m m

宇 富 怕 手 機 被 盜 打 每 日 更

換 開 機 密 碼為 了 便 於 記 憶

他 想 到 一 則 更 換 密 碼 的 算 術

通 則 「 昨 天 密 碼 為p 今

日 的 密 碼 就 更 新 為1

1

p

p

」

宇 富 跟 所 有 的 人 說「 我 已 經

使 用 這 密 碼 通 則 500天 了 而

且 第 一 天 的 密 碼 就 設 為 2 1

相 信 各 位 算 到 手 痠也 無 法 算

出 今 天 的 開 機 密 碼 」

徵求可以破解開機密碼的人士

〔玩鎖玩索〕

如果第一天的密碼為 那麼破解密碼

的難度有增加嗎

遊戲 87

遊戲 88

40 數亦優

動動手手玩玩數數學學~~破破解解秘秘笈笈

遊戲 81

如圖所示

(1) 考慮 ABC 因為 8sin15AB BC 且

150ABC 所以 ABC 為等腰三角

形且 15BAC 因此

2 cos15 2 8sin15 cos15AC AB

1

8sin30 8 42

(2) 仿照(1)的方法 ACE 也是等腰三角

形且 30CAE 因此

32 cos30 2 4 4 3

2AE AC

遊戲 82

秦九韶這個依括弧次序求函數值 f a 的演

算法就是高中數學多項式那章所介紹的綜

合除法

2 5 4 8

2

2

a

a

仔細計算上述綜合除法的空白位置可以發

現小中大括弧位置所代表的值與秦九韶

小中大括弧內的值完全一樣

遊戲 83

(1)

2cos 2cos24 24cot

24 sin 2sin cos24 24 24

1 cos1 cos

3 412

sin sin12 3 4

(2) 因為

cos cos cos sin sin3 4 3 4 3 4

1 2 3 2

2 2 2 2

2 6

4 4

及

sin sin cos sin cos3 4 3 4 4 3

3 2 2 1

2 2 2 2

6 2

4 4

所以

2 61 4 6 24 4cot

24 6 2 6 24 4

2

4 6 2 6 2

6 2

2 2 3 6

遊戲 84

令

2 3A a b c b c i

2 3B c a b a b i

2 3C b a c c a i

且

1 3

2

i

因為 2A C B

所以 3 3 3 6 3A C B

又因為 3 6 1 所以 3 3 3A B C

得證

ltlt ASCII85EncodePages false AllowTransparency false AutoPositionEPSFiles true AutoRotatePages All Binding Left CalGrayProfile (Dot Gain 20) CalRGBProfile (sRGB IEC61966-21) CalCMYKProfile (US Web Coated 050SWOP051 v2) sRGBProfile (sRGB IEC61966-21) CannotEmbedFontPolicy Error CompatibilityLevel 13 CompressObjects Tags CompressPages true ConvertImagesToIndexed true PassThroughJPEGImages true CreateJobTicket false DefaultRenderingIntent Default DetectBlends true DetectCurves 00000 ColorConversionStrategy LeaveColorUnchanged DoThumbnails false EmbedAllFonts true EmbedOpenType false ParseICCProfilesInComments true EmbedJobOptions true DSCReportingLevel 0 EmitDSCWarnings false EndPage -1 ImageMemory 1048576 LockDistillerParams false MaxSubsetPct 100 Optimize true OPM 1 ParseDSCComments true ParseDSCCommentsForDocInfo true PreserveCopyPage true PreserveDICMYKValues true PreserveEPSInfo true PreserveFlatness true PreserveHalftoneInfo false PreserveOPIComments true PreserveOverprintSettings true StartPage 1 SubsetFonts true TransferFunctionInfo Apply UCRandBGInfo Preserve UsePrologue false ColorSettingsFile () AlwaysEmbed [ true ] NeverEmbed [ true ] AntiAliasColorImages false CropColorImages true ColorImageMinResolution 300 ColorImageMinResolutionPolicy OK DownsampleColorImages true ColorImageDownsampleType Bicubic ColorImageResolution 300 ColorImageDepth -1 ColorImageMinDownsampleDepth 1 ColorImageDownsampleThreshold 150000 EncodeColorImages true ColorImageFilter DCTEncode AutoFilterColorImages true ColorImageAutoFilterStrategy JPEG ColorACSImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt ColorImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt JPEG2000ColorACSImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 30 gtgt JPEG2000ColorImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 30 gtgt AntiAliasGrayImages false CropGrayImages true GrayImageMinResolution 300 GrayImageMinResolutionPolicy OK DownsampleGrayImages true 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ltFEFF06270633062A062E062F0645002006470630064700200627064406250639062F0627062F0627062A002006440625064606340627062100200648062B062706260642002000410064006F00620065002000500044004600200645062A064806270641064206290020064406440637062806270639062900200641064A00200627064406450637062706280639002006300627062A0020062F0631062C0627062A002006270644062C0648062F0629002006270644063906270644064A0629061B0020064A06450643064600200641062A062D00200648062B0627062606420020005000440046002006270644064506460634062306290020062806270633062A062E062F062706450020004100630072006F0062006100740020064800410064006F006200650020005200650061006400650072002006250635062F0627063100200035002E0030002006480627064406250635062F062706310627062A0020062706440623062D062F062B002E0635062F0627063100200035002E0030002006480627064406250635062F062706310627062A0020062706440623062D062F062B002Egt BGR 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 CHS 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 ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 50 and later) CHT ltFEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002gt gtgt Namespace [ (Adobe) (Common) (10) ] OtherNamespaces [ ltlt AsReaderSpreads false CropImagesToFrames true ErrorControl WarnAndContinue FlattenerIgnoreSpreadOverrides false IncludeGuidesGrids false IncludeNonPrinting false IncludeSlug false Namespace [ (Adobe) (InDesign) (40) ] OmitPlacedBitmaps false OmitPlacedEPS false OmitPlacedPDF false SimulateOverprint Legacy gtgt ltlt AddBleedMarks false AddColorBars false AddCropMarks false AddPageInfo false AddRegMarks false ConvertColors ConvertToCMYK DestinationProfileName () DestinationProfileSelector DocumentCMYK 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數亦優 19

那麼考題應該改成請說明「三角形兩邊和大於第三邊」中學階段不必強調數學的嚴密性

這是共識（60 年代的新數學過度強調嚴密性是失敗的原因之一）但是直觀的說明與嚴格的證

明應該予以區隔這純屬我個人的看法所以我以為上述關於 2 的證明實偏向於說明（註

最早項武義先生認為他解決了克卜勒的裝填問題陳省身先生也為之背書但還是不被接受

目前公認是 Thomas Hales 解決了httpenwikipediaorgwikiKepler_conjecture數學界的所謂

「證明」自有其行規）

如何在高中引入簡易邏輯是一件困難但是值得深思的事

四等價 》

高中課程中另一個重要的邏輯概念是「等價」有一年大學聯考考這麼一題證明「海龍

公式邊長 a b c的三角形面積 ( )( )( )s s a s b s c 」那時候大學錄取率大約 30不到

補習班之間競爭非常激烈大家趕著把解答登報有一間補習班第一天是這樣證明的

因為( ) ( )( )

sin cos2 2

A s s a A s b s c

bc bc

所以1 1

sin 2sin cos ( )( )( )2 2 2 2

A Abc A bc s s a s b s c

第二天趕快發報更正因為在邏輯上第一天拿一個等價的命題當作證明等於沒有證明

換句話說患了邏輯上的錯誤了

五等價的一些例子 》

我們在國中時有這樣的性質 p三角形任兩邊和大於第三邊又在書中的同一個角落看到

q三角形任兩邊差小於第三邊很容易證明「 p q 」這種情形我們叫 p與 q等價意思是 p

與 q是同一回事以下舉一些等價的例子

1 p平行公設過直線外一點恰有一直線與之平行q三角形內角和為180

2 G是ABC的重心則 p q r三個向量式等價

1 1

3 3

p AG AB AC

1 1 1

3 3 3

q OG OA OB OC

0r AG BG CG

3 2 2 2

p u v u v

（柯西不等式） q u v u v

（三角不等式）

4 p周長固定的平面圖形中以圓形面積最大q面積固定的平面圖形中以圓形周長最小

5 (1)正弦定理(2)餘弦定理(3)投影定理 等價

6 實數的完備性有多種等價的敘述（我有一位同事到師大數學系修碩士班學分就是上了一本

這樣的書）

7 p算幾不等式q柯西不等式

20 數亦優

六算幾不等式與柯西不等式的等價 》

算幾不等式與柯西不等式在形式上相差很多兩者會等價甚感意外我第一次是在臺中一

中的網頁內看到證明過程當時沒有仔細研究後來回去找就找不到那份資料了最近上網搜

尋找到建中徐健策老師的一篇專題算是一償宿願這是我寫這篇文章的另一個因緣

七後記 》

1900 年量子力學開始萌芽到 1965 年朝永振一郎（S Tomonaga）薛文格（Julian Schwinger）

與費因曼得到諾貝爾物理獎是一段精采的故事重點是薛文格與費因曼對量子電動力學的看法

與算法南轅北轍薛文格用的是歐洲優雅的數學費因曼的路徑積分用的是圖像式的數學把

兩者結合為一或者說看出兩者的「等價性」的是戴森（Freeman J Dyson）我覺得這比證

明兩命題的等價有更深刻的意義

非歐幾何的發展也有類似的地方義大利幾何學家 Eugenio Beltrami（1835~1899）證明了

Lobachevsky（1793~1856）與 Ferdinand Minding（1806~1885）的非歐幾何模型是「等價」的

（註代數中複數平面與平面向量同構以上兩種情況說同構或等價哪一個說法比較恰當

當就教於各位）

99 課程綱要把歸謬證法放在附錄我觀察最近兩年的各校段考試題大約只有三四個學

校段考中有考歸謬證法早年國中考高中每年要考一題證明題一題尺規作圖當時我們會

努力教證明題當然包括用「窮舉法」證明「圓內接四邊形的充要條件為對角互補」基測不

考證明題後絕大部分的老師不會花時間去證明這個定理向來就是「考試引導教學」自古皆

然隋唐時期科舉要考《算經》所以宋朝有四位偉大的數學家秦九韶李治楊輝朱世傑

到明清科舉只考八股文可以印證中國數學沒落的一段史實證明與數學的關係就如同實驗與

物理的關係基測與學測不考證明題相信有不少人憂心忡忡如今又把歸謬證法拿掉（放在

附錄與拿掉等價）應該有人輾轉難眠吧

早上（2012829）看到新聞十二年國教將於後年上路臺大名譽教授劉廣定批評103

年到 107 年的高中學生要繼續接受舊課綱的教育他堅決反對沒有新課綱的十二年國教後

年就要推十二年國教課綱最快 106 年才能完成到 108 年才有新課綱教科書可用意味之前

的高中生都要繼續接受舊課綱教育芬蘭從 1980 年代開始教改先找學校試辦2000 年才全

面實施然而臺灣十二年國教從宣布到實施只有三年準備期讓人憂心

參考資料

1 蔡聰明 2 是無理數的 28 種證明數學傳播季刊第 23 卷（第 1 期）

2 王九逵邏輯與數學思維

3 南山柯西不等式與排序不等式上海教育出版社P230

4 William Dunham（1995）天才之旅牛頓出版股份有限公司P61

5 戴森（1993）宇宙波瀾天下文化

6 奧瑟曼（1997）宇宙的詩篇天下文化P84

7 Stefan Kulczycki（1992）非歐幾里得幾何學水牛出版社P32

8 蔡辰理中國數學史上的黃金時代及其四個偉大的數學家20130701 取自

httpepistemathntuedutwarticlesmmmm_03_2_07page2htmltop

9 徐健策老師專題柯西琴生與冪平均不等式20131002 取自 httpmath1cktpedutw徐健策mathhtm

數亦優 21

一研究目的 》

將一道解四元一次聯立方程式的題目利用四次多項函數且領導係數為 1 的恆等原理來解

答

二研究過程 》

已知

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

12 1 2 3 2 5 2 7

14 1 4 3 4 5 4 7

16 1 6 3 6 5 6 7

18 1 8 3 8 5 8 7

x y z w

x y z w

x y z w

x y z w

試求(1) ( )x y z w (2) x y z w

一 首先將上題解讀為解四元一次聯立方程式

設

2

3

2

2

3 5 7105 2079 429 143 1

3 5 7 11 21 1485 1001 195 1

9 385 819 495 13 7 11 135 189 231 429 1

3 5 11 13

x aa b c d

y b a b c d

a b c dz ca b c d

w d

211512 1320 2288 5

4b c d

52376 1144 208 1

4b c d

5 956 504 1584 1

4b c d

2432 640 1792 0 19 5 14 0

5 1792 3840 5632 0 7 15 22 0

b c d b c d

b c d b c d

由5 14 14 19 19 5

320 320 320 11115 22 22 7 7 15

b c d

由1

56 504 1584 1 1024 11024

b b b b b c d

代入1 1 1 175 35

5 189 231 429 1 51024 1024 1024 1024 1024

a a a

李維昌國立宜蘭高中

22 數亦優

2 2 2 3 2 23 5 7 3 5 7 11 3 7 11 13 3 5 11 13( )

1024 1024 1024 1024x y z w

即為(1)的所求

2 3 2 2

2 3

2 2

3 5 7 3 5 7 11 3 7 11 13 3 5 11 13

35 13 5 7 3 5 7 11

1024 10241 1

3 7 11 13 3 5 11 131024 1024

x y z w a b c d

11025 10395 9009 6435 36864

361024 1024

即為(2)的所求

二 嘗試利用四次多項函數且領導係數為 1 的恆等原理來解答此題

1 構造以 t為變數的四次多項函數且領導係數為 1命此函數為 ( )f t

2 2 2 2 2 2 2( ) 1 3 5 7 3 5 7f t t t t t x t t t

2 2 2 2 2 2 2 2 21 5 7 1 3 7 1 3 5y t t t z t t t w t t t

其中 x y z w四數為常數

2 2 2 2 2 2 2 2 21

2 1 2 3 2 5 2 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 1 2 3 2 5 2 7 2 3 2 5 2 7

2 1 2 5 2 7 2 1 2 3 2 7

2 1 2 3 2 5 0

x

y z

w

2(2 ) 0f

3 2 2 2 2 2 2 2 21

4 1 4 3 4 5 4 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

4 1 4 3 4 5 4 7 4 3 4 5 4 7

4 1 4 5 4 7 4 1 4 3 4 7

4 1 4 3 4 5 0

x

y z

w

2(4 ) 0f

4 2 2 2 2 2 2 2 21

6 1 6 3 6 5 6 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

6 1 6 3 6 5 6 7 6 3 6 5 6 7

6 1 6 5 6 7 6 1 6 3 6 7

6 1 6 3 6 5 0

x

y z

w

2(6 ) 0f

數亦優 23

5 2 2 2 2 2 2 2 21

8 1 8 3 8 5 8 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

8 1 8 3 8 5 8 7 8 3 8 5 8 7

8 1 8 5 8 7 8 1 8 3 8 7

8 1 8 3 8 5 0

x

y z

w

2(8 ) 0f

6 由 12345的討論可得知 ( )f t 等價 2 2 2 22 4 6 8t t t t

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 4 6 8

1 3 5 7 3 5 7 1 5 7

1 3 7 1 3 5

t t t t

t t t t x t t t y t t t

z t t t w t t t

為 t的四次多項方程式

第式等號的左式 3t 的係數＝第式等號的右式 3t 的係數

2 2 2 2 2 2 2 22 4 6 8 1 3 5 7 x y z w

2 2 2 2 2 2 2 22 4 6 8 1 3 5 7 120 84 36x y z w

即為(2)的所求

7 x的求法

將 21t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

1 2 1 4 1 6 1 8 1 3 1 5 1 7

2 1 4 1 6 1 8 1 1 3 3 5 5 7 7 9 3 5 7

2 4 4 6 6 8 10243 1 5 1 7 1

x

x

8 y的求法

將 23t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 3

2 2 2 2 2 2

3 2 3 4 3 6 3 8 3 1 3 5 3 7

3 2 4 3 6 3 8 3 1 5 1 7 3 9 5 11 3 5 7 11

2 4 2 8 4 10 10243 1 5 3 7 3

y

y

9 z的求法

將 25t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

5 2 5 4 5 6 5 8 5 1 5 3 5 7

5 2 5 4 6 5 8 5 3 7 1 9 1 11 3 13 3 7 11 13

4 6 2 8 2 12 10245 1 5 3 7 5

z

z

24 數亦優

10 w的求法

將 27t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

7 2 7 4 7 6 7 8 7 1 7 3 7 5

7 2 7 4 7 6 8 7 5 9 3 11 1 13 1 15 3 5 11 13

6 8 4 10 2 12 10247 1 7 3 7 5

w

w

11 由 78910的討論可得

2 2 2 3 2 23 5 7 3 5 7 11 3 7 11 13 3 5 11 13

( ) 1024 1024 1024 1024

x y z w

即為(1)的所求

三 結論

1 解題的巧妙與否存乎一心「學則需疑於不疑處有疑方是進矣」本題為解四元

一次聯立方程式基本解題策略為克拉瑪公式加減消去法或代入消去法三種由

於這三種計算相當繁瑣進而苦思其他對策經過一番思索驀然回首伊人卻在

燈火闌珊處竟然將此題與四次多項方程式連結在一起有了令人會心一笑的妙解

真是一次驚奇的解題之旅

2 孔子曾言「學而不思則罔思而不學則殆」我期待每次解題時皆能直搗黃龍

一眼看穿題目的堂奧之妙事後「大膽假設小心求證」檢驗過程和結果是否達

到最佳化藉由在夙昔的典範亦步亦趨臻於真善美的解題境界

數亦優 25

國立臺灣師範大學數學系

筆試一計算證明題（考試時間2 小時）

1 (1) 直角三角形的兩股長為 a b斜邊長為 c試證 3 3 3c a b （8 分）

(2) 如下圖圓 O內二直徑 AC BD互相垂直在劣弧DC上任取一點 E

試證以 AE 為一邊的正方形面積等於四邊形 ABED面積的二倍 （12 分）

2 設函數 2( ) 6 5f x x x 求坐標平面上滿足聯立不等式

( ) ( ) 0

( ) ( ) 0

f x f y

f x f y

的所有點 ( )x y 所形成的區域面積 （20 分）

3 設 a b c d 為實數且 a b c d ( ) ( )f x g x 為滿足 ( ) ( )f a f b 及 ( ) ( )g c g d 的實係數二次多

項式已知 ( ) ( )f x g x 為常數多項式證明

(1) a b c d （8 分）

(2) 2( )

2

( )2

a bf a f

a bc d c d

g c g

（12 分）

4 如下圖所示ABC和DBC為空間中的兩個等腰三角形M為線段 BC 的中點令

AB AC a DB DC b BM CM c 和DA x

(1) 已知向量內積 0AM BD

求證 2 2 22x a b c （8 分）

(2) 已知 2 2 22x a b c 求證向量內積 0AM BD

（12 分）

26 數亦優

5 師大數學系舉辦系徽設計比賽入圍決選的有四件作品由 10 名學生代表進行不記名投票

每人投兩票且兩票須投不同作品在沒有廢票的情況下試問

(1) 四件作品的得票情形共有幾種 （8 分）

(2) 得票數 高的作品恰有一件的票數分布有幾種 （12 分）

筆試二填充題（考試時間15 小時）

1 設 a為實數若對於所有實數 x2

2

32

2

x ax

x x

恆成立則 a的範圍為

2 若等比數列的第三項是1 i 第五項是1 1

16 16i 其中 1i 則此等比數列的公比為

（有兩解）

3 從1234567 等數字中選取三個排成三位數數字不重複則排出來的是 3 的倍數但不是 5 的倍數

的整數有 個

4 桌上有十個骰子當中有一個骰子出現 5 點的機率是1

2而出現其他點數的機率均等其他

九個都是均勻的骰子用隨機的方式選取一個骰子來投擲在出現 5 點的情況下被選取的

骰子是不均勻骰子的條件機率為 （答案若為分數請化為 簡分數）

5 在電腦裡有一公定的對照表（ASCII）將英文字母ABhellipZ及空格等字元分別對應至一整數

其對應數字如下表所示

字母 空格 A B C D E F G H

ASCII 碼 32 65 66 67 68 69 70 71 72

字母 I J K L M N O P Q

ASCII 碼 73 74 75 76 77 78 79 80 81

字母 R S T U V W X Y Z

ASCII 碼 82 83 84 85 86 87 88 89 90

數亦優 27

我們可利用此對照表在 facebookTM 傳送保密訊息給朋友我們與朋友約定所有的英文字母及

空格皆以對照表中的整數替代例如「HE IS DAVID」的訊息用「7269327383326865867368」

取代然後將此數字字串的奇數項排在矩陣的第一列偶數項排在第二列形成以下矩陣

7 6 3 7 8 3 6 6 8 7 6

2 9 2 3 3 2 8 5 6 3 8B

再與二階方陣

1 2

2 3A

相乘得到

11 24 7 13 14 7 22 16 20 13 22

20 39 12 23 25 12 36 27 34 23 36AB

後依上述規則反求得字串「11202439071213231425071222361627203413232236」傳送給朋

友如此他人便不能立即得知傳送之內容現在在此規則下你接收到數字字串

「233825411222213516271932」可以轉成矩陣

23 25 12 21 16 19

38 41 22 35 27 32

其所代表之訊息為

6 坐標平面上圓 C通過點 (02) 且 C與兩直線 3 2 0 1 0x y y 皆相切則圓 C的方程

式為

7 坐標空間中ABC的三頂點分別為 (1 11) ( 321) (5 43)A B C P為ABC內部一點且

令P到 AB BC CA的距離分別為 x y z則 2 2 2x y z 的 小值為 （答案若為分數

請化為 簡分數）

8 函數 4 4( ) cos 3sinf x x x 的 小值為

9 設 為實數若

cos 0 sin

0 1 0

sin 0 cos

A

則 5A

10 袋中有編號分別為 1 到 6 的六個球從袋中隨機選取兩球令隨機變數 X表示在被選取的

兩球中球號比袋中剩下的球號都大的球的個數（例如如果選到 2 號和 3 號球那袋中剩

下的就是 1456 號球因為選出的球中並沒有比 1456 都大的球號故這種情況下 0X ）

隨機變數 X的期望值為 （答案若為分數請化為 簡分數）

28 數亦優

筆試一計算證明題

1 (1) 利用 2 2 2c a b 及 c a c b 得

3 2 2 2 2 3 3c c a b ca cb a b

(2) 過 E作 EF AC 則

四邊形 ABED的面積

1 1

2 21

21

2

ABD BDE

BD AO BD OF

BD AO OF

AC AF

又在直角三角形 ACE中因為2

AE AC AF 所以2

AE 四邊形 ABED面積的兩倍

2 因為

2 22 2( ) ( ) 6 6 10 3 3 8f x f y x y x y x y

2 2( ) ( ) 6 6 6f x f y x y x y x y x y

所以

2 23 3 8( ) ( ) 0

( ) ( ) 0 6 0

x yf x f y

f x f y x y x y

因此滿足上述條件的所有點 ( )x y 為

22 23 3 8

0 6 0

x y

x y x y

或 22 2

3 3 8

0 6 0

x y

x y x y

其所圍成的區域如下圖所示面積為 218 4

2

數亦優 29

3 (1) 依題意可設 ( ) ( )f x r x a x b s g x r x c x d s

因為 ( ) ( )f x g x 是常數多項式所以比較一二次項係數知

r r r a b r c d

得 a b c d

(2) 由 2 2

( )2 4 4

a b a ba bf r s r f a

得

2

4 ( )2a b

f a f

ra b

故得證

註1o 也可利用對稱性知 ( )y f x 的頂點之 x軸坐標為2

a b ( )y g x 的頂點之 x軸坐標

為2

c d而得證

2o 亦可用插值多項式證明

4 (1) 由向量分解DA DM MA DB BM MA

得

2 22 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2

2

2 2

DA DA DM MA DM MA DM MA

b c a c DB BM MA

b a c DB MA BM MA

因為 0AM BD

且 BM MA 所以

2 2 2 22DA b a c

因此

2 2 22DA a b c

(2) 由(1)及 BM MA 可得

2 2 2 22 2DA b a c DB MA

依題意知 2 2 22DA x b a c 即

22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2b a c b a c b a c DB MA

故

0DB MA

30 數亦優

5 (1) 由題意可以知道

1 四件作品所得的總票數為 20 票

2 每件作品 多可以得到 10 票

令四件作品的得票數分別為 x y z u由1 2 可得

200 10x y z u x y z u

因為 0 10x y z u 所以 420H 須扣掉11 20x y z u 的情況由 20x y z u 且

0x y z u 可知 多只有一個票數會大於等於 11假設 11x 令 11x x 可得

90 9x y z u x y z u

此情況有 4 129 9 220H C 種

因此票數分布為 4 420 94 1771 4 220 891H H 種

(2) 假設得票數 高為 x由題意可得

200 10x y z u y z u x

因為 y z u x 也就是 1y z u x 所以

1 1 1 4 3x y z u x x x x x

由 20x y z u 得

20 4 3x

即

23

4x

因此當 6x 時才會滿足只有一件作品得票數 高且票數為 x

當 6x 時

140 5y z u y z u

滿足此情況的 y z u有 (554)(545)(455) 3 種

當 7x 時

130 6y z u y z u

因為 13y z u 且 0y z u 所以 y z u 多只有一個會大於等於 7

由(1)可知滿足此情況有 3 3 15 813 6 13 63 3 105 84 21H H C C 種

同理

當 8910x 時 y z u 多只有一個會大於等於 8910故

當 8x 時有 3 3 14 612 4 12 43 3 91 45 46H H C C 種

當 9x 時有 3 3 13 411 2 11 23 3 78 18 60H H C C 種

數亦優 31

當 10x 時有 3 3 12 210 0 10 03 3 66 3 63H H C C 種

因此滿足只有一件作品得票數 高的情形有

4 3 21 46 60 63 772 種

筆試二填充題

1 2 3 4 5

0 4a 2 2

8 8i

66 1

4 NORMAL

6 7 8 9 10

2 2

3 1 4x y

2 2

3 3 5 36x y

（或是 2 2 2 3 2 0x y x y ）

50

79

3

4

cos5 0 sin 5

0 1 0

sin 5 0 cos5

2

5

32 數亦優

《接續PartI 請見數亦優第 21 期》

四 正多邊形

(一) 除了正方形及三角形以外我們還考慮將其他形狀組合討論其撕裂次數是否與正方

形三角形相同

(二) 並非所有正多邊形皆可組合若內角非360

kk

便不能組合例如

1 正五邊形的內角和180 3 540 則一個內角為108但108 360 k k

無法將五邊形完整組合必有空隙

2 正六邊形的內角和180 4 720 則一個內角為120因為120 3 360

則任三個相同的正六邊形皆可相互組合

(三) 完整排列正六邊形為例以 m張排列

例 1 一頁 5 個正六邊形排列

撕開 2 次使下排的兩個正六邊形與上排分開再逐一將上排撕開共需 4 次

由例 1撕的次數結果皆為 1m 次

（Part II） 陳敏晧國立蘭陽女中

數亦優 33

(四) 內部有洞正六邊形為例m張 n個洞排列

例 2 一頁 11 張且 2 洞排列

先撕開 2 次使其成為無洞排列再撕開 1 次使其變成兩頁完整排列再逐一撕開

共需 12 次

由例 1與例 2得知撕的次數結果皆為 1n m 次

五 「切割」的定義

(一) 我們從平面延伸到立體討論柏拉圖的五個正多面體先將正多面體每面切開分開

的次數是否也有彼此相似之處

(二) 因為立體無法如平面一樣用撕的故用切的而計算次數的定義與方法也與平面有很

大的差異

(三) 「切一次」的定義與限制沿著稜邊切下一個面才算作「一次」第一次切下後

便將封閉的正多面體打開此後每切一次都必須從開放的稜邊切下不可再一次從

封閉的面切下

以正六面體為例

此為一個完整封閉的正六面體

第一次沿著粗線切開可切下一個面

34 數亦優

六 柏拉圖多面體

1 正四面體

第一次將底面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 3 個面切下共需切

1 3 1 3 次

2 正六面體

第一次將頂面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 5 個面切下共需切

1 5 1 5 次

斜線部分為第一次被切下的面

封閉正六面體被打開後第二次只能從

開放的 4 條稜邊（粗線）切下

第二刀不可再從封閉面（粗線）開始切

數亦優 35

3 正八面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 7 個面切下共

需切 1 7 1 7 次

4 正十二面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 11 個面切下共

需切 1 11 1 11 次

5 正二十面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 19 個面切下共

需切 1 19 1 19 次

36 數亦優

由上述例子可得知切割次數皆剛好為正多面體的(總面數 1 )次

研究發現

內部有洞洞數 a b 其中 a洞的個數b每個洞的張數

矩 形

完整排列

邊長 邊長 總張數 撕的次數

2 2 4 3

4 5 20 19

不規則排列

總張數 撕的次數

10 9

13 12

內部有洞

邊長 邊長 洞數 總張數（邊長 邊長 洞的張數） 撕的次數

3 3 1 1 8 3 3 1 8

3 5 2 1 13 3 5 2 14

三 角 形

完整排列

邊長 總張數 撕的次數

2 4 3

3 9 8

不規則排列

總張數 撕的次數

10 9

13 12

內部有洞

邊長 洞數 總張數（邊長平方 洞的張數） 撕的次數

規

則

4 1 1 15 4 4 1 15

5 1 1 24 5 5 1 24

5 1 2 23 5 5 2 23

5 1 3 22 5 5 3 22

6 1 1 35 6 6 1 35

6 1 2 34 6 6 2 34

6 2 1 34 6 6 2 1 35

6 3 1 33 6 6 3 1 35

6 1 2 1 1 33 6 6 2 1 34

7 2 2 45 7 7 2 2 46

不

規

則

1 1 22 22

1 1 23 23

1 2 32 32

數亦優 37

六 邊 形

完整排列

總張數 撕的次數

3 2

5 4

內部有洞

洞數 總張數 撕的次數

1 1 6 6

2 1 11 12

正 多 面 體

面數 撕的次數

正四面體 4 3

正六面體 6 5

正八面體 8 7

正十二面體 12 11

正二十面體 20 19

目前的研究我們發現了以下獨特的結論平面幾何圖形中矩形正三角形和正六邊形的

規則形狀與不規則形狀紙張之最佳撕法都是(總張數 1 )次矩形正三角形及正六邊形排列成

內部有 n個洞且 m張的紙張之最佳撕法都是 1n m 次而柏拉圖立體的最少切割次數皆為

正多面體的(總面數 1 )次最重要我們發現其實撕裂或切割次數與撕裂或切割方法（或順序）

無關

參考資料

1 陳美如（200003）撕郵票問題數學傳播第 24 卷第 1 期P82~86

2 許志農與奇人相遇httpmathntnuedutw~macomeethtm

3 林義強多面體簡介第一屆全國高中數學教學研討會論文集P177~192

參數學專題研究反思 》

上述作品得到今年北一區數學科展優等過程中我與學生教學相長高二學生因為所學的

數學很有限所以數學解題層次會有侷限但是相對地數學思維與想像力卻是受過數學訓練

的我們所不及的在這次數學專題研究中我扮演的角色是諮詢者協助者鼓勵者完成任

務是那三位鍥而不捨的同學鄭羽呈李依庭林佩柔 勘誤 第 21 刊〈高中數學專題研究教案（PartI）〉 P34 倒數第 6 行「設m k 」應改為「設m k 」 P36 第 3 行「設m k 」應改為「設m k 」 P38 內部有洞的 1(1)~(4)分類應改為「1(1)一頁 24 張內部有一個洞一張為 1 洞」

「1(2)一頁 23 張內部有一個洞兩張為 1 洞」 「1(3)一頁 23 張內部有一個洞兩張為 1 洞」 「1(4)一頁 22 張內部有一個洞三張為 1 洞」

38 數亦優

動手玩數學 許志農臺灣師大數學系

在 下 圖 中已 知 ABC為 直 角

三 角 形 1AB 求

(1) 線段 AD的長度（化為最簡形式）

(2) 餘切 cot24

的值

〔玩鎖玩索〕

這道問題改編自「求 cot24

的值」這道

教師甄選試題關於這道餘切求值問題

有兩位老師的作法是用標準特別角出發

再求出欲求的餘切值

底下是另一位老師的作法

已知 ABC 為 直 角 三 角 形 4AC 求

AB BC及 cot24

的值

請 加 上 線 段 使 下 圖 分 成 五

份 形 狀 完 全 相 等 的 部 分（翻面

相等也算）

或 許 下 圖 對 你 會 有 些 幫 助 它 們 是 四 份

形 狀 完 全 相 等 的 部 分

〔玩鎖玩索〕

這是 1998 年夏天香港中文大學教育學

院第二次舉辦暑期資優課程中在數學有關的

工作坊裡的一道測智遊戲

遊戲 85

遊戲 86

數亦優 39

在 坐 標 平 面 上 畫 一 直 線 1L在

線 上 任 取 一 點O 以O為 旋 轉

中 心依 逆 時 針 方 向 將 直 線 1L

旋 轉 120得 到 直 線 2L 如 下

圖 所 示

已 知 直 線 1L 的 斜 率 為m求 證 直 線 2L 的 斜

率 為

3

3 1

m

m

〔玩鎖玩索〕

直線是平面幾何上的重要元素而斜率又

是直線在代數上的代言人掌握斜率就如同控

制直線一樣從逆轉120的 直 線 斜 率 公 式

不 難 知 道 坐 標 平 面 上 的 正 三 角 形 之 三

條 邊 斜 率

1 2 3 m m m

是可以互相推導的即由 1m 可 以 得 到 2m 與

3m 的 公 式 而 且 還 知 道 以 下 兩 個 恆 等 式

1 2 2 3 3 1 3m m m m m m

1 2 31 2 3

1 1 19m m m

m m m

宇 富 怕 手 機 被 盜 打 每 日 更

換 開 機 密 碼為 了 便 於 記 憶

他 想 到 一 則 更 換 密 碼 的 算 術

通 則 「 昨 天 密 碼 為p 今

日 的 密 碼 就 更 新 為1

1

p

p

」

宇 富 跟 所 有 的 人 說「 我 已 經

使 用 這 密 碼 通 則 500天 了 而

且 第 一 天 的 密 碼 就 設 為 2 1

相 信 各 位 算 到 手 痠也 無 法 算

出 今 天 的 開 機 密 碼 」

徵求可以破解開機密碼的人士

〔玩鎖玩索〕

如果第一天的密碼為 那麼破解密碼

的難度有增加嗎

遊戲 87

遊戲 88

40 數亦優

動動手手玩玩數數學學~~破破解解秘秘笈笈

遊戲 81

如圖所示

(1) 考慮 ABC 因為 8sin15AB BC 且

150ABC 所以 ABC 為等腰三角

形且 15BAC 因此

2 cos15 2 8sin15 cos15AC AB

1

8sin30 8 42

(2) 仿照(1)的方法 ACE 也是等腰三角

形且 30CAE 因此

32 cos30 2 4 4 3

2AE AC

遊戲 82

秦九韶這個依括弧次序求函數值 f a 的演

算法就是高中數學多項式那章所介紹的綜

合除法

2 5 4 8

2

2

a

a

仔細計算上述綜合除法的空白位置可以發

現小中大括弧位置所代表的值與秦九韶

小中大括弧內的值完全一樣

遊戲 83

(1)

2cos 2cos24 24cot

24 sin 2sin cos24 24 24

1 cos1 cos

3 412

sin sin12 3 4

(2) 因為

cos cos cos sin sin3 4 3 4 3 4

1 2 3 2

2 2 2 2

2 6

4 4

及

sin sin cos sin cos3 4 3 4 4 3

3 2 2 1

2 2 2 2

6 2

4 4

所以

2 61 4 6 24 4cot

24 6 2 6 24 4

2

4 6 2 6 2

6 2

2 2 3 6

遊戲 84

令

2 3A a b c b c i

2 3B c a b a b i

2 3C b a c c a i

且

1 3

2

i

因為 2A C B

所以 3 3 3 6 3A C B

又因為 3 6 1 所以 3 3 3A B C

得證

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ltFEFF005900fc006b00730065006b0020006b0061006c006900740065006c0069002000f6006e002000790061007a006401310072006d00610020006200610073006b013100730131006e006100200065006e0020006900790069002000750079006100620069006c006500630065006b002000410064006f006200650020005000440046002000620065006c00670065006c0065007200690020006f006c0075015f007400750072006d0061006b0020006900e70069006e00200062007500200061007900610072006c0061007201310020006b0075006c006c0061006e0131006e002e00200020004f006c0075015f0074007500720075006c0061006e0020005000440046002000620065006c00670065006c0065007200690020004100630072006f006200610074002000760065002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000200076006500200073006f006e0072006100730131006e00640061006b00690020007300fc007200fc006d006c00650072006c00650020006100e70131006c006100620069006c00690072002egt UKR 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can be opened with Acrobat and Adobe Reader 50 and later) CHT ltFEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002gt gtgt Namespace [ (Adobe) (Common) (10) ] OtherNamespaces [ ltlt AsReaderSpreads false CropImagesToFrames true ErrorControl WarnAndContinue FlattenerIgnoreSpreadOverrides false IncludeGuidesGrids false IncludeNonPrinting false IncludeSlug false Namespace [ (Adobe) (InDesign) (40) ] OmitPlacedBitmaps false OmitPlacedEPS false OmitPlacedPDF false SimulateOverprint Legacy gtgt ltlt AddBleedMarks false AddColorBars false AddCropMarks false AddPageInfo false AddRegMarks false ConvertColors ConvertToCMYK DestinationProfileName () DestinationProfileSelector DocumentCMYK 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20 數亦優

六算幾不等式與柯西不等式的等價 》

算幾不等式與柯西不等式在形式上相差很多兩者會等價甚感意外我第一次是在臺中一

中的網頁內看到證明過程當時沒有仔細研究後來回去找就找不到那份資料了最近上網搜

尋找到建中徐健策老師的一篇專題算是一償宿願這是我寫這篇文章的另一個因緣

七後記 》

1900 年量子力學開始萌芽到 1965 年朝永振一郎（S Tomonaga）薛文格（Julian Schwinger）

與費因曼得到諾貝爾物理獎是一段精采的故事重點是薛文格與費因曼對量子電動力學的看法

與算法南轅北轍薛文格用的是歐洲優雅的數學費因曼的路徑積分用的是圖像式的數學把

兩者結合為一或者說看出兩者的「等價性」的是戴森（Freeman J Dyson）我覺得這比證

明兩命題的等價有更深刻的意義

非歐幾何的發展也有類似的地方義大利幾何學家 Eugenio Beltrami（1835~1899）證明了

Lobachevsky（1793~1856）與 Ferdinand Minding（1806~1885）的非歐幾何模型是「等價」的

（註代數中複數平面與平面向量同構以上兩種情況說同構或等價哪一個說法比較恰當

當就教於各位）

99 課程綱要把歸謬證法放在附錄我觀察最近兩年的各校段考試題大約只有三四個學

校段考中有考歸謬證法早年國中考高中每年要考一題證明題一題尺規作圖當時我們會

努力教證明題當然包括用「窮舉法」證明「圓內接四邊形的充要條件為對角互補」基測不

考證明題後絕大部分的老師不會花時間去證明這個定理向來就是「考試引導教學」自古皆

然隋唐時期科舉要考《算經》所以宋朝有四位偉大的數學家秦九韶李治楊輝朱世傑

到明清科舉只考八股文可以印證中國數學沒落的一段史實證明與數學的關係就如同實驗與

物理的關係基測與學測不考證明題相信有不少人憂心忡忡如今又把歸謬證法拿掉（放在

附錄與拿掉等價）應該有人輾轉難眠吧

早上（2012829）看到新聞十二年國教將於後年上路臺大名譽教授劉廣定批評103

年到 107 年的高中學生要繼續接受舊課綱的教育他堅決反對沒有新課綱的十二年國教後

年就要推十二年國教課綱最快 106 年才能完成到 108 年才有新課綱教科書可用意味之前

的高中生都要繼續接受舊課綱教育芬蘭從 1980 年代開始教改先找學校試辦2000 年才全

面實施然而臺灣十二年國教從宣布到實施只有三年準備期讓人憂心

參考資料

1 蔡聰明 2 是無理數的 28 種證明數學傳播季刊第 23 卷（第 1 期）

2 王九逵邏輯與數學思維

3 南山柯西不等式與排序不等式上海教育出版社P230

4 William Dunham（1995）天才之旅牛頓出版股份有限公司P61

5 戴森（1993）宇宙波瀾天下文化

6 奧瑟曼（1997）宇宙的詩篇天下文化P84

7 Stefan Kulczycki（1992）非歐幾里得幾何學水牛出版社P32

8 蔡辰理中國數學史上的黃金時代及其四個偉大的數學家20130701 取自

httpepistemathntuedutwarticlesmmmm_03_2_07page2htmltop

9 徐健策老師專題柯西琴生與冪平均不等式20131002 取自 httpmath1cktpedutw徐健策mathhtm

數亦優 21

一研究目的 》

將一道解四元一次聯立方程式的題目利用四次多項函數且領導係數為 1 的恆等原理來解

答

二研究過程 》

已知

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

12 1 2 3 2 5 2 7

14 1 4 3 4 5 4 7

16 1 6 3 6 5 6 7

18 1 8 3 8 5 8 7

x y z w

x y z w

x y z w

x y z w

試求(1) ( )x y z w (2) x y z w

一 首先將上題解讀為解四元一次聯立方程式

設

2

3

2

2

3 5 7105 2079 429 143 1

3 5 7 11 21 1485 1001 195 1

9 385 819 495 13 7 11 135 189 231 429 1

3 5 11 13

x aa b c d

y b a b c d

a b c dz ca b c d

w d

211512 1320 2288 5

4b c d

52376 1144 208 1

4b c d

5 956 504 1584 1

4b c d

2432 640 1792 0 19 5 14 0

5 1792 3840 5632 0 7 15 22 0

b c d b c d

b c d b c d

由5 14 14 19 19 5

320 320 320 11115 22 22 7 7 15

b c d

由1

56 504 1584 1 1024 11024

b b b b b c d

代入1 1 1 175 35

5 189 231 429 1 51024 1024 1024 1024 1024

a a a

李維昌國立宜蘭高中

22 數亦優

2 2 2 3 2 23 5 7 3 5 7 11 3 7 11 13 3 5 11 13( )

1024 1024 1024 1024x y z w

即為(1)的所求

2 3 2 2

2 3

2 2

3 5 7 3 5 7 11 3 7 11 13 3 5 11 13

35 13 5 7 3 5 7 11

1024 10241 1

3 7 11 13 3 5 11 131024 1024

x y z w a b c d

11025 10395 9009 6435 36864

361024 1024

即為(2)的所求

二 嘗試利用四次多項函數且領導係數為 1 的恆等原理來解答此題

1 構造以 t為變數的四次多項函數且領導係數為 1命此函數為 ( )f t

2 2 2 2 2 2 2( ) 1 3 5 7 3 5 7f t t t t t x t t t

2 2 2 2 2 2 2 2 21 5 7 1 3 7 1 3 5y t t t z t t t w t t t

其中 x y z w四數為常數

2 2 2 2 2 2 2 2 21

2 1 2 3 2 5 2 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 1 2 3 2 5 2 7 2 3 2 5 2 7

2 1 2 5 2 7 2 1 2 3 2 7

2 1 2 3 2 5 0

x

y z

w

2(2 ) 0f

3 2 2 2 2 2 2 2 21

4 1 4 3 4 5 4 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

4 1 4 3 4 5 4 7 4 3 4 5 4 7

4 1 4 5 4 7 4 1 4 3 4 7

4 1 4 3 4 5 0

x

y z

w

2(4 ) 0f

4 2 2 2 2 2 2 2 21

6 1 6 3 6 5 6 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

6 1 6 3 6 5 6 7 6 3 6 5 6 7

6 1 6 5 6 7 6 1 6 3 6 7

6 1 6 3 6 5 0

x

y z

w

2(6 ) 0f

數亦優 23

5 2 2 2 2 2 2 2 21

8 1 8 3 8 5 8 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

8 1 8 3 8 5 8 7 8 3 8 5 8 7

8 1 8 5 8 7 8 1 8 3 8 7

8 1 8 3 8 5 0

x

y z

w

2(8 ) 0f

6 由 12345的討論可得知 ( )f t 等價 2 2 2 22 4 6 8t t t t

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 4 6 8

1 3 5 7 3 5 7 1 5 7

1 3 7 1 3 5

t t t t

t t t t x t t t y t t t

z t t t w t t t

為 t的四次多項方程式

第式等號的左式 3t 的係數＝第式等號的右式 3t 的係數

2 2 2 2 2 2 2 22 4 6 8 1 3 5 7 x y z w

2 2 2 2 2 2 2 22 4 6 8 1 3 5 7 120 84 36x y z w

即為(2)的所求

7 x的求法

將 21t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

1 2 1 4 1 6 1 8 1 3 1 5 1 7

2 1 4 1 6 1 8 1 1 3 3 5 5 7 7 9 3 5 7

2 4 4 6 6 8 10243 1 5 1 7 1

x

x

8 y的求法

將 23t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 3

2 2 2 2 2 2

3 2 3 4 3 6 3 8 3 1 3 5 3 7

3 2 4 3 6 3 8 3 1 5 1 7 3 9 5 11 3 5 7 11

2 4 2 8 4 10 10243 1 5 3 7 3

y

y

9 z的求法

將 25t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

5 2 5 4 5 6 5 8 5 1 5 3 5 7

5 2 5 4 6 5 8 5 3 7 1 9 1 11 3 13 3 7 11 13

4 6 2 8 2 12 10245 1 5 3 7 5

z

z

24 數亦優

10 w的求法

將 27t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

7 2 7 4 7 6 7 8 7 1 7 3 7 5

7 2 7 4 7 6 8 7 5 9 3 11 1 13 1 15 3 5 11 13

6 8 4 10 2 12 10247 1 7 3 7 5

w

w

11 由 78910的討論可得

2 2 2 3 2 23 5 7 3 5 7 11 3 7 11 13 3 5 11 13

( ) 1024 1024 1024 1024

x y z w

即為(1)的所求

三 結論

1 解題的巧妙與否存乎一心「學則需疑於不疑處有疑方是進矣」本題為解四元

一次聯立方程式基本解題策略為克拉瑪公式加減消去法或代入消去法三種由

於這三種計算相當繁瑣進而苦思其他對策經過一番思索驀然回首伊人卻在

燈火闌珊處竟然將此題與四次多項方程式連結在一起有了令人會心一笑的妙解

真是一次驚奇的解題之旅

2 孔子曾言「學而不思則罔思而不學則殆」我期待每次解題時皆能直搗黃龍

一眼看穿題目的堂奧之妙事後「大膽假設小心求證」檢驗過程和結果是否達

到最佳化藉由在夙昔的典範亦步亦趨臻於真善美的解題境界

數亦優 25

國立臺灣師範大學數學系

筆試一計算證明題（考試時間2 小時）

1 (1) 直角三角形的兩股長為 a b斜邊長為 c試證 3 3 3c a b （8 分）

(2) 如下圖圓 O內二直徑 AC BD互相垂直在劣弧DC上任取一點 E

試證以 AE 為一邊的正方形面積等於四邊形 ABED面積的二倍 （12 分）

2 設函數 2( ) 6 5f x x x 求坐標平面上滿足聯立不等式

( ) ( ) 0

( ) ( ) 0

f x f y

f x f y

的所有點 ( )x y 所形成的區域面積 （20 分）

3 設 a b c d 為實數且 a b c d ( ) ( )f x g x 為滿足 ( ) ( )f a f b 及 ( ) ( )g c g d 的實係數二次多

項式已知 ( ) ( )f x g x 為常數多項式證明

(1) a b c d （8 分）

(2) 2( )

2

( )2

a bf a f

a bc d c d

g c g

（12 分）

4 如下圖所示ABC和DBC為空間中的兩個等腰三角形M為線段 BC 的中點令

AB AC a DB DC b BM CM c 和DA x

(1) 已知向量內積 0AM BD

求證 2 2 22x a b c （8 分）

(2) 已知 2 2 22x a b c 求證向量內積 0AM BD

（12 分）

26 數亦優

5 師大數學系舉辦系徽設計比賽入圍決選的有四件作品由 10 名學生代表進行不記名投票

每人投兩票且兩票須投不同作品在沒有廢票的情況下試問

(1) 四件作品的得票情形共有幾種 （8 分）

(2) 得票數 高的作品恰有一件的票數分布有幾種 （12 分）

筆試二填充題（考試時間15 小時）

1 設 a為實數若對於所有實數 x2

2

32

2

x ax

x x

恆成立則 a的範圍為

2 若等比數列的第三項是1 i 第五項是1 1

16 16i 其中 1i 則此等比數列的公比為

（有兩解）

3 從1234567 等數字中選取三個排成三位數數字不重複則排出來的是 3 的倍數但不是 5 的倍數

的整數有 個

4 桌上有十個骰子當中有一個骰子出現 5 點的機率是1

2而出現其他點數的機率均等其他

九個都是均勻的骰子用隨機的方式選取一個骰子來投擲在出現 5 點的情況下被選取的

骰子是不均勻骰子的條件機率為 （答案若為分數請化為 簡分數）

5 在電腦裡有一公定的對照表（ASCII）將英文字母ABhellipZ及空格等字元分別對應至一整數

其對應數字如下表所示

字母 空格 A B C D E F G H

ASCII 碼 32 65 66 67 68 69 70 71 72

字母 I J K L M N O P Q

ASCII 碼 73 74 75 76 77 78 79 80 81

字母 R S T U V W X Y Z

ASCII 碼 82 83 84 85 86 87 88 89 90

數亦優 27

我們可利用此對照表在 facebookTM 傳送保密訊息給朋友我們與朋友約定所有的英文字母及

空格皆以對照表中的整數替代例如「HE IS DAVID」的訊息用「7269327383326865867368」

取代然後將此數字字串的奇數項排在矩陣的第一列偶數項排在第二列形成以下矩陣

7 6 3 7 8 3 6 6 8 7 6

2 9 2 3 3 2 8 5 6 3 8B

再與二階方陣

1 2

2 3A

相乘得到

11 24 7 13 14 7 22 16 20 13 22

20 39 12 23 25 12 36 27 34 23 36AB

後依上述規則反求得字串「11202439071213231425071222361627203413232236」傳送給朋

友如此他人便不能立即得知傳送之內容現在在此規則下你接收到數字字串

「233825411222213516271932」可以轉成矩陣

23 25 12 21 16 19

38 41 22 35 27 32

其所代表之訊息為

6 坐標平面上圓 C通過點 (02) 且 C與兩直線 3 2 0 1 0x y y 皆相切則圓 C的方程

式為

7 坐標空間中ABC的三頂點分別為 (1 11) ( 321) (5 43)A B C P為ABC內部一點且

令P到 AB BC CA的距離分別為 x y z則 2 2 2x y z 的 小值為 （答案若為分數

請化為 簡分數）

8 函數 4 4( ) cos 3sinf x x x 的 小值為

9 設 為實數若

cos 0 sin

0 1 0

sin 0 cos

A

則 5A

10 袋中有編號分別為 1 到 6 的六個球從袋中隨機選取兩球令隨機變數 X表示在被選取的

兩球中球號比袋中剩下的球號都大的球的個數（例如如果選到 2 號和 3 號球那袋中剩

下的就是 1456 號球因為選出的球中並沒有比 1456 都大的球號故這種情況下 0X ）

隨機變數 X的期望值為 （答案若為分數請化為 簡分數）

28 數亦優

筆試一計算證明題

1 (1) 利用 2 2 2c a b 及 c a c b 得

3 2 2 2 2 3 3c c a b ca cb a b

(2) 過 E作 EF AC 則

四邊形 ABED的面積

1 1

2 21

21

2

ABD BDE

BD AO BD OF

BD AO OF

AC AF

又在直角三角形 ACE中因為2

AE AC AF 所以2

AE 四邊形 ABED面積的兩倍

2 因為

2 22 2( ) ( ) 6 6 10 3 3 8f x f y x y x y x y

2 2( ) ( ) 6 6 6f x f y x y x y x y x y

所以

2 23 3 8( ) ( ) 0

( ) ( ) 0 6 0

x yf x f y

f x f y x y x y

因此滿足上述條件的所有點 ( )x y 為

22 23 3 8

0 6 0

x y

x y x y

或 22 2

3 3 8

0 6 0

x y

x y x y

其所圍成的區域如下圖所示面積為 218 4

2

數亦優 29

3 (1) 依題意可設 ( ) ( )f x r x a x b s g x r x c x d s

因為 ( ) ( )f x g x 是常數多項式所以比較一二次項係數知

r r r a b r c d

得 a b c d

(2) 由 2 2

( )2 4 4

a b a ba bf r s r f a

得

2

4 ( )2a b

f a f

ra b

故得證

註1o 也可利用對稱性知 ( )y f x 的頂點之 x軸坐標為2

a b ( )y g x 的頂點之 x軸坐標

為2

c d而得證

2o 亦可用插值多項式證明

4 (1) 由向量分解DA DM MA DB BM MA

得

2 22 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2

2

2 2

DA DA DM MA DM MA DM MA

b c a c DB BM MA

b a c DB MA BM MA

因為 0AM BD

且 BM MA 所以

2 2 2 22DA b a c

因此

2 2 22DA a b c

(2) 由(1)及 BM MA 可得

2 2 2 22 2DA b a c DB MA

依題意知 2 2 22DA x b a c 即

22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2b a c b a c b a c DB MA

故

0DB MA

30 數亦優

5 (1) 由題意可以知道

1 四件作品所得的總票數為 20 票

2 每件作品 多可以得到 10 票

令四件作品的得票數分別為 x y z u由1 2 可得

200 10x y z u x y z u

因為 0 10x y z u 所以 420H 須扣掉11 20x y z u 的情況由 20x y z u 且

0x y z u 可知 多只有一個票數會大於等於 11假設 11x 令 11x x 可得

90 9x y z u x y z u

此情況有 4 129 9 220H C 種

因此票數分布為 4 420 94 1771 4 220 891H H 種

(2) 假設得票數 高為 x由題意可得

200 10x y z u y z u x

因為 y z u x 也就是 1y z u x 所以

1 1 1 4 3x y z u x x x x x

由 20x y z u 得

20 4 3x

即

23

4x

因此當 6x 時才會滿足只有一件作品得票數 高且票數為 x

當 6x 時

140 5y z u y z u

滿足此情況的 y z u有 (554)(545)(455) 3 種

當 7x 時

130 6y z u y z u

因為 13y z u 且 0y z u 所以 y z u 多只有一個會大於等於 7

由(1)可知滿足此情況有 3 3 15 813 6 13 63 3 105 84 21H H C C 種

同理

當 8910x 時 y z u 多只有一個會大於等於 8910故

當 8x 時有 3 3 14 612 4 12 43 3 91 45 46H H C C 種

當 9x 時有 3 3 13 411 2 11 23 3 78 18 60H H C C 種

數亦優 31

當 10x 時有 3 3 12 210 0 10 03 3 66 3 63H H C C 種

因此滿足只有一件作品得票數 高的情形有

4 3 21 46 60 63 772 種

筆試二填充題

1 2 3 4 5

0 4a 2 2

8 8i

66 1

4 NORMAL

6 7 8 9 10

2 2

3 1 4x y

2 2

3 3 5 36x y

（或是 2 2 2 3 2 0x y x y ）

50

79

3

4

cos5 0 sin 5

0 1 0

sin 5 0 cos5

2

5

32 數亦優

《接續PartI 請見數亦優第 21 期》

四 正多邊形

(一) 除了正方形及三角形以外我們還考慮將其他形狀組合討論其撕裂次數是否與正方

形三角形相同

(二) 並非所有正多邊形皆可組合若內角非360

kk

便不能組合例如

1 正五邊形的內角和180 3 540 則一個內角為108但108 360 k k

無法將五邊形完整組合必有空隙

2 正六邊形的內角和180 4 720 則一個內角為120因為120 3 360

則任三個相同的正六邊形皆可相互組合

(三) 完整排列正六邊形為例以 m張排列

例 1 一頁 5 個正六邊形排列

撕開 2 次使下排的兩個正六邊形與上排分開再逐一將上排撕開共需 4 次

由例 1撕的次數結果皆為 1m 次

（Part II） 陳敏晧國立蘭陽女中

數亦優 33

(四) 內部有洞正六邊形為例m張 n個洞排列

例 2 一頁 11 張且 2 洞排列

先撕開 2 次使其成為無洞排列再撕開 1 次使其變成兩頁完整排列再逐一撕開

共需 12 次

由例 1與例 2得知撕的次數結果皆為 1n m 次

五 「切割」的定義

(一) 我們從平面延伸到立體討論柏拉圖的五個正多面體先將正多面體每面切開分開

的次數是否也有彼此相似之處

(二) 因為立體無法如平面一樣用撕的故用切的而計算次數的定義與方法也與平面有很

大的差異

(三) 「切一次」的定義與限制沿著稜邊切下一個面才算作「一次」第一次切下後

便將封閉的正多面體打開此後每切一次都必須從開放的稜邊切下不可再一次從

封閉的面切下

以正六面體為例

此為一個完整封閉的正六面體

第一次沿著粗線切開可切下一個面

34 數亦優

六 柏拉圖多面體

1 正四面體

第一次將底面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 3 個面切下共需切

1 3 1 3 次

2 正六面體

第一次將頂面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 5 個面切下共需切

1 5 1 5 次

斜線部分為第一次被切下的面

封閉正六面體被打開後第二次只能從

開放的 4 條稜邊（粗線）切下

第二刀不可再從封閉面（粗線）開始切

數亦優 35

3 正八面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 7 個面切下共

需切 1 7 1 7 次

4 正十二面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 11 個面切下共

需切 1 11 1 11 次

5 正二十面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 19 個面切下共

需切 1 19 1 19 次

36 數亦優

由上述例子可得知切割次數皆剛好為正多面體的(總面數 1 )次

研究發現

內部有洞洞數 a b 其中 a洞的個數b每個洞的張數

矩 形

完整排列

邊長 邊長 總張數 撕的次數

2 2 4 3

4 5 20 19

不規則排列

總張數 撕的次數

10 9

13 12

內部有洞

邊長 邊長 洞數 總張數（邊長 邊長 洞的張數） 撕的次數

3 3 1 1 8 3 3 1 8

3 5 2 1 13 3 5 2 14

三 角 形

完整排列

邊長 總張數 撕的次數

2 4 3

3 9 8

不規則排列

總張數 撕的次數

10 9

13 12

內部有洞

邊長 洞數 總張數（邊長平方 洞的張數） 撕的次數

規

則

4 1 1 15 4 4 1 15

5 1 1 24 5 5 1 24

5 1 2 23 5 5 2 23

5 1 3 22 5 5 3 22

6 1 1 35 6 6 1 35

6 1 2 34 6 6 2 34

6 2 1 34 6 6 2 1 35

6 3 1 33 6 6 3 1 35

6 1 2 1 1 33 6 6 2 1 34

7 2 2 45 7 7 2 2 46

不

規

則

1 1 22 22

1 1 23 23

1 2 32 32

數亦優 37

六 邊 形

完整排列

總張數 撕的次數

3 2

5 4

內部有洞

洞數 總張數 撕的次數

1 1 6 6

2 1 11 12

正 多 面 體

面數 撕的次數

正四面體 4 3

正六面體 6 5

正八面體 8 7

正十二面體 12 11

正二十面體 20 19

目前的研究我們發現了以下獨特的結論平面幾何圖形中矩形正三角形和正六邊形的

規則形狀與不規則形狀紙張之最佳撕法都是(總張數 1 )次矩形正三角形及正六邊形排列成

內部有 n個洞且 m張的紙張之最佳撕法都是 1n m 次而柏拉圖立體的最少切割次數皆為

正多面體的(總面數 1 )次最重要我們發現其實撕裂或切割次數與撕裂或切割方法（或順序）

無關

參考資料

1 陳美如（200003）撕郵票問題數學傳播第 24 卷第 1 期P82~86

2 許志農與奇人相遇httpmathntnuedutw~macomeethtm

3 林義強多面體簡介第一屆全國高中數學教學研討會論文集P177~192

參數學專題研究反思 》

上述作品得到今年北一區數學科展優等過程中我與學生教學相長高二學生因為所學的

數學很有限所以數學解題層次會有侷限但是相對地數學思維與想像力卻是受過數學訓練

的我們所不及的在這次數學專題研究中我扮演的角色是諮詢者協助者鼓勵者完成任

務是那三位鍥而不捨的同學鄭羽呈李依庭林佩柔 勘誤 第 21 刊〈高中數學專題研究教案（PartI）〉 P34 倒數第 6 行「設m k 」應改為「設m k 」 P36 第 3 行「設m k 」應改為「設m k 」 P38 內部有洞的 1(1)~(4)分類應改為「1(1)一頁 24 張內部有一個洞一張為 1 洞」

「1(2)一頁 23 張內部有一個洞兩張為 1 洞」 「1(3)一頁 23 張內部有一個洞兩張為 1 洞」 「1(4)一頁 22 張內部有一個洞三張為 1 洞」

38 數亦優

動手玩數學 許志農臺灣師大數學系

在 下 圖 中已 知 ABC為 直 角

三 角 形 1AB 求

(1) 線段 AD的長度（化為最簡形式）

(2) 餘切 cot24

的值

〔玩鎖玩索〕

這道問題改編自「求 cot24

的值」這道

教師甄選試題關於這道餘切求值問題

有兩位老師的作法是用標準特別角出發

再求出欲求的餘切值

底下是另一位老師的作法

已知 ABC 為 直 角 三 角 形 4AC 求

AB BC及 cot24

的值

請 加 上 線 段 使 下 圖 分 成 五

份 形 狀 完 全 相 等 的 部 分（翻面

相等也算）

或 許 下 圖 對 你 會 有 些 幫 助 它 們 是 四 份

形 狀 完 全 相 等 的 部 分

〔玩鎖玩索〕

這是 1998 年夏天香港中文大學教育學

院第二次舉辦暑期資優課程中在數學有關的

工作坊裡的一道測智遊戲

遊戲 85

遊戲 86

數亦優 39

在 坐 標 平 面 上 畫 一 直 線 1L在

線 上 任 取 一 點O 以O為 旋 轉

中 心依 逆 時 針 方 向 將 直 線 1L

旋 轉 120得 到 直 線 2L 如 下

圖 所 示

已 知 直 線 1L 的 斜 率 為m求 證 直 線 2L 的 斜

率 為

3

3 1

m

m

〔玩鎖玩索〕

直線是平面幾何上的重要元素而斜率又

是直線在代數上的代言人掌握斜率就如同控

制直線一樣從逆轉120的 直 線 斜 率 公 式

不 難 知 道 坐 標 平 面 上 的 正 三 角 形 之 三

條 邊 斜 率

1 2 3 m m m

是可以互相推導的即由 1m 可 以 得 到 2m 與

3m 的 公 式 而 且 還 知 道 以 下 兩 個 恆 等 式

1 2 2 3 3 1 3m m m m m m

1 2 31 2 3

1 1 19m m m

m m m

宇 富 怕 手 機 被 盜 打 每 日 更

換 開 機 密 碼為 了 便 於 記 憶

他 想 到 一 則 更 換 密 碼 的 算 術

通 則 「 昨 天 密 碼 為p 今

日 的 密 碼 就 更 新 為1

1

p

p

」

宇 富 跟 所 有 的 人 說「 我 已 經

使 用 這 密 碼 通 則 500天 了 而

且 第 一 天 的 密 碼 就 設 為 2 1

相 信 各 位 算 到 手 痠也 無 法 算

出 今 天 的 開 機 密 碼 」

徵求可以破解開機密碼的人士

〔玩鎖玩索〕

如果第一天的密碼為 那麼破解密碼

的難度有增加嗎

遊戲 87

遊戲 88

40 數亦優

動動手手玩玩數數學學~~破破解解秘秘笈笈

遊戲 81

如圖所示

(1) 考慮 ABC 因為 8sin15AB BC 且

150ABC 所以 ABC 為等腰三角

形且 15BAC 因此

2 cos15 2 8sin15 cos15AC AB

1

8sin30 8 42

(2) 仿照(1)的方法 ACE 也是等腰三角

形且 30CAE 因此

32 cos30 2 4 4 3

2AE AC

遊戲 82

秦九韶這個依括弧次序求函數值 f a 的演

算法就是高中數學多項式那章所介紹的綜

合除法

2 5 4 8

2

2

a

a

仔細計算上述綜合除法的空白位置可以發

現小中大括弧位置所代表的值與秦九韶

小中大括弧內的值完全一樣

遊戲 83

(1)

2cos 2cos24 24cot

24 sin 2sin cos24 24 24

1 cos1 cos

3 412

sin sin12 3 4

(2) 因為

cos cos cos sin sin3 4 3 4 3 4

1 2 3 2

2 2 2 2

2 6

4 4

及

sin sin cos sin cos3 4 3 4 4 3

3 2 2 1

2 2 2 2

6 2

4 4

所以

2 61 4 6 24 4cot

24 6 2 6 24 4

2

4 6 2 6 2

6 2

2 2 3 6

遊戲 84

令

2 3A a b c b c i

2 3B c a b a b i

2 3C b a c c a i

且

1 3

2

i

因為 2A C B

所以 3 3 3 6 3A C B

又因為 3 6 1 所以 3 3 3A B C

得證

ltlt ASCII85EncodePages false AllowTransparency false AutoPositionEPSFiles true AutoRotatePages All Binding Left CalGrayProfile (Dot Gain 20) CalRGBProfile (sRGB IEC61966-21) CalCMYKProfile (US Web Coated 050SWOP051 v2) sRGBProfile (sRGB IEC61966-21) CannotEmbedFontPolicy Error CompatibilityLevel 13 CompressObjects Tags CompressPages true ConvertImagesToIndexed true PassThroughJPEGImages true CreateJobTicket false DefaultRenderingIntent Default DetectBlends true DetectCurves 00000 ColorConversionStrategy LeaveColorUnchanged DoThumbnails false EmbedAllFonts true EmbedOpenType false ParseICCProfilesInComments true EmbedJobOptions true DSCReportingLevel 0 EmitDSCWarnings false EndPage -1 ImageMemory 1048576 LockDistillerParams false MaxSubsetPct 100 Optimize true OPM 1 ParseDSCComments true ParseDSCCommentsForDocInfo true PreserveCopyPage true PreserveDICMYKValues true PreserveEPSInfo true PreserveFlatness true PreserveHalftoneInfo false PreserveOPIComments true PreserveOverprintSettings 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true PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 000000 000000 000000 000000 ] PDFXSetBleedBoxToMediaBox true PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 000000 000000 000000 000000 ] PDFXOutputIntentProfile () PDFXOutputConditionIdentifier () PDFXOutputCondition () PDFXRegistryName () PDFXTrapped False CreateJDFFile false Description ltlt ARA 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 BGR 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 CHS ltFEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e9ad88d2891cf76845370524d53705237300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002gt CZE ltFEFF005400610074006f0020006e006100730074006100760065006e00ed00200070006f0075017e0069006a007400650020006b0020007600790074007600e101590065006e00ed00200064006f006b0075006d0065006e0074016f002000410064006f006200650020005000440046002c0020006b00740065007200e90020007300650020006e0065006a006c00e90070006500200068006f006400ed002000700072006f0020006b00760061006c00690074006e00ed0020007400690073006b00200061002000700072006500700072006500730073002e002000200056007900740076006f01590065006e00e900200064006f006b0075006d0065006e007400790020005000440046002000620075006400650020006d006f017e006e00e90020006f007400650076015900ed007400200076002000700072006f006700720061006d0065006300680020004100630072006f00620061007400200061002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002000610020006e006f0076011b006a016100ed00630068002egt DAN 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HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata najpogodnijih za visokokvalitetni ispis prije tiskanja koristite ove postavke Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 50 i kasnijim verzijama) HUN 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數亦優 21

一研究目的 》

將一道解四元一次聯立方程式的題目利用四次多項函數且領導係數為 1 的恆等原理來解

答

二研究過程 》

已知

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

12 1 2 3 2 5 2 7

14 1 4 3 4 5 4 7

16 1 6 3 6 5 6 7

18 1 8 3 8 5 8 7

x y z w

x y z w

x y z w

x y z w

試求(1) ( )x y z w (2) x y z w

一 首先將上題解讀為解四元一次聯立方程式

設

2

3

2

2

3 5 7105 2079 429 143 1

3 5 7 11 21 1485 1001 195 1

9 385 819 495 13 7 11 135 189 231 429 1

3 5 11 13

x aa b c d

y b a b c d

a b c dz ca b c d

w d

211512 1320 2288 5

4b c d

52376 1144 208 1

4b c d

5 956 504 1584 1

4b c d

2432 640 1792 0 19 5 14 0

5 1792 3840 5632 0 7 15 22 0

b c d b c d

b c d b c d

由5 14 14 19 19 5

320 320 320 11115 22 22 7 7 15

b c d

由1

56 504 1584 1 1024 11024

b b b b b c d

代入1 1 1 175 35

5 189 231 429 1 51024 1024 1024 1024 1024

a a a

李維昌國立宜蘭高中

22 數亦優

2 2 2 3 2 23 5 7 3 5 7 11 3 7 11 13 3 5 11 13( )

1024 1024 1024 1024x y z w

即為(1)的所求

2 3 2 2

2 3

2 2

3 5 7 3 5 7 11 3 7 11 13 3 5 11 13

35 13 5 7 3 5 7 11

1024 10241 1

3 7 11 13 3 5 11 131024 1024

x y z w a b c d

11025 10395 9009 6435 36864

361024 1024

即為(2)的所求

二 嘗試利用四次多項函數且領導係數為 1 的恆等原理來解答此題

1 構造以 t為變數的四次多項函數且領導係數為 1命此函數為 ( )f t

2 2 2 2 2 2 2( ) 1 3 5 7 3 5 7f t t t t t x t t t

2 2 2 2 2 2 2 2 21 5 7 1 3 7 1 3 5y t t t z t t t w t t t

其中 x y z w四數為常數

2 2 2 2 2 2 2 2 21

2 1 2 3 2 5 2 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 1 2 3 2 5 2 7 2 3 2 5 2 7

2 1 2 5 2 7 2 1 2 3 2 7

2 1 2 3 2 5 0

x

y z

w

2(2 ) 0f

3 2 2 2 2 2 2 2 21

4 1 4 3 4 5 4 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

4 1 4 3 4 5 4 7 4 3 4 5 4 7

4 1 4 5 4 7 4 1 4 3 4 7

4 1 4 3 4 5 0

x

y z

w

2(4 ) 0f

4 2 2 2 2 2 2 2 21

6 1 6 3 6 5 6 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

6 1 6 3 6 5 6 7 6 3 6 5 6 7

6 1 6 5 6 7 6 1 6 3 6 7

6 1 6 3 6 5 0

x

y z

w

2(6 ) 0f

數亦優 23

5 2 2 2 2 2 2 2 21

8 1 8 3 8 5 8 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

8 1 8 3 8 5 8 7 8 3 8 5 8 7

8 1 8 5 8 7 8 1 8 3 8 7

8 1 8 3 8 5 0

x

y z

w

2(8 ) 0f

6 由 12345的討論可得知 ( )f t 等價 2 2 2 22 4 6 8t t t t

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 4 6 8

1 3 5 7 3 5 7 1 5 7

1 3 7 1 3 5

t t t t

t t t t x t t t y t t t

z t t t w t t t

為 t的四次多項方程式

第式等號的左式 3t 的係數＝第式等號的右式 3t 的係數

2 2 2 2 2 2 2 22 4 6 8 1 3 5 7 x y z w

2 2 2 2 2 2 2 22 4 6 8 1 3 5 7 120 84 36x y z w

即為(2)的所求

7 x的求法

將 21t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

1 2 1 4 1 6 1 8 1 3 1 5 1 7

2 1 4 1 6 1 8 1 1 3 3 5 5 7 7 9 3 5 7

2 4 4 6 6 8 10243 1 5 1 7 1

x

x

8 y的求法

將 23t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 3

2 2 2 2 2 2

3 2 3 4 3 6 3 8 3 1 3 5 3 7

3 2 4 3 6 3 8 3 1 5 1 7 3 9 5 11 3 5 7 11

2 4 2 8 4 10 10243 1 5 3 7 3

y

y

9 z的求法

將 25t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

5 2 5 4 5 6 5 8 5 1 5 3 5 7

5 2 5 4 6 5 8 5 3 7 1 9 1 11 3 13 3 7 11 13

4 6 2 8 2 12 10245 1 5 3 7 5

z

z

24 數亦優

10 w的求法

將 27t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

7 2 7 4 7 6 7 8 7 1 7 3 7 5

7 2 7 4 7 6 8 7 5 9 3 11 1 13 1 15 3 5 11 13

6 8 4 10 2 12 10247 1 7 3 7 5

w

w

11 由 78910的討論可得

2 2 2 3 2 23 5 7 3 5 7 11 3 7 11 13 3 5 11 13

( ) 1024 1024 1024 1024

x y z w

即為(1)的所求

三 結論

1 解題的巧妙與否存乎一心「學則需疑於不疑處有疑方是進矣」本題為解四元

一次聯立方程式基本解題策略為克拉瑪公式加減消去法或代入消去法三種由

於這三種計算相當繁瑣進而苦思其他對策經過一番思索驀然回首伊人卻在

燈火闌珊處竟然將此題與四次多項方程式連結在一起有了令人會心一笑的妙解

真是一次驚奇的解題之旅

2 孔子曾言「學而不思則罔思而不學則殆」我期待每次解題時皆能直搗黃龍

一眼看穿題目的堂奧之妙事後「大膽假設小心求證」檢驗過程和結果是否達

到最佳化藉由在夙昔的典範亦步亦趨臻於真善美的解題境界

數亦優 25

國立臺灣師範大學數學系

筆試一計算證明題（考試時間2 小時）

1 (1) 直角三角形的兩股長為 a b斜邊長為 c試證 3 3 3c a b （8 分）

(2) 如下圖圓 O內二直徑 AC BD互相垂直在劣弧DC上任取一點 E

試證以 AE 為一邊的正方形面積等於四邊形 ABED面積的二倍 （12 分）

2 設函數 2( ) 6 5f x x x 求坐標平面上滿足聯立不等式

( ) ( ) 0

( ) ( ) 0

f x f y

f x f y

的所有點 ( )x y 所形成的區域面積 （20 分）

3 設 a b c d 為實數且 a b c d ( ) ( )f x g x 為滿足 ( ) ( )f a f b 及 ( ) ( )g c g d 的實係數二次多

項式已知 ( ) ( )f x g x 為常數多項式證明

(1) a b c d （8 分）

(2) 2( )

2

( )2

a bf a f

a bc d c d

g c g

（12 分）

4 如下圖所示ABC和DBC為空間中的兩個等腰三角形M為線段 BC 的中點令

AB AC a DB DC b BM CM c 和DA x

(1) 已知向量內積 0AM BD

求證 2 2 22x a b c （8 分）

(2) 已知 2 2 22x a b c 求證向量內積 0AM BD

（12 分）

26 數亦優

5 師大數學系舉辦系徽設計比賽入圍決選的有四件作品由 10 名學生代表進行不記名投票

每人投兩票且兩票須投不同作品在沒有廢票的情況下試問

(1) 四件作品的得票情形共有幾種 （8 分）

(2) 得票數 高的作品恰有一件的票數分布有幾種 （12 分）

筆試二填充題（考試時間15 小時）

1 設 a為實數若對於所有實數 x2

2

32

2

x ax

x x

恆成立則 a的範圍為

2 若等比數列的第三項是1 i 第五項是1 1

16 16i 其中 1i 則此等比數列的公比為

（有兩解）

3 從1234567 等數字中選取三個排成三位數數字不重複則排出來的是 3 的倍數但不是 5 的倍數

的整數有 個

4 桌上有十個骰子當中有一個骰子出現 5 點的機率是1

2而出現其他點數的機率均等其他

九個都是均勻的骰子用隨機的方式選取一個骰子來投擲在出現 5 點的情況下被選取的

骰子是不均勻骰子的條件機率為 （答案若為分數請化為 簡分數）

5 在電腦裡有一公定的對照表（ASCII）將英文字母ABhellipZ及空格等字元分別對應至一整數

其對應數字如下表所示

字母 空格 A B C D E F G H

ASCII 碼 32 65 66 67 68 69 70 71 72

字母 I J K L M N O P Q

ASCII 碼 73 74 75 76 77 78 79 80 81

字母 R S T U V W X Y Z

ASCII 碼 82 83 84 85 86 87 88 89 90

數亦優 27

我們可利用此對照表在 facebookTM 傳送保密訊息給朋友我們與朋友約定所有的英文字母及

空格皆以對照表中的整數替代例如「HE IS DAVID」的訊息用「7269327383326865867368」

取代然後將此數字字串的奇數項排在矩陣的第一列偶數項排在第二列形成以下矩陣

7 6 3 7 8 3 6 6 8 7 6

2 9 2 3 3 2 8 5 6 3 8B

再與二階方陣

1 2

2 3A

相乘得到

11 24 7 13 14 7 22 16 20 13 22

20 39 12 23 25 12 36 27 34 23 36AB

後依上述規則反求得字串「11202439071213231425071222361627203413232236」傳送給朋

友如此他人便不能立即得知傳送之內容現在在此規則下你接收到數字字串

「233825411222213516271932」可以轉成矩陣

23 25 12 21 16 19

38 41 22 35 27 32

其所代表之訊息為

6 坐標平面上圓 C通過點 (02) 且 C與兩直線 3 2 0 1 0x y y 皆相切則圓 C的方程

式為

7 坐標空間中ABC的三頂點分別為 (1 11) ( 321) (5 43)A B C P為ABC內部一點且

令P到 AB BC CA的距離分別為 x y z則 2 2 2x y z 的 小值為 （答案若為分數

請化為 簡分數）

8 函數 4 4( ) cos 3sinf x x x 的 小值為

9 設 為實數若

cos 0 sin

0 1 0

sin 0 cos

A

則 5A

10 袋中有編號分別為 1 到 6 的六個球從袋中隨機選取兩球令隨機變數 X表示在被選取的

兩球中球號比袋中剩下的球號都大的球的個數（例如如果選到 2 號和 3 號球那袋中剩

下的就是 1456 號球因為選出的球中並沒有比 1456 都大的球號故這種情況下 0X ）

隨機變數 X的期望值為 （答案若為分數請化為 簡分數）

28 數亦優

筆試一計算證明題

1 (1) 利用 2 2 2c a b 及 c a c b 得

3 2 2 2 2 3 3c c a b ca cb a b

(2) 過 E作 EF AC 則

四邊形 ABED的面積

1 1

2 21

21

2

ABD BDE

BD AO BD OF

BD AO OF

AC AF

又在直角三角形 ACE中因為2

AE AC AF 所以2

AE 四邊形 ABED面積的兩倍

2 因為

2 22 2( ) ( ) 6 6 10 3 3 8f x f y x y x y x y

2 2( ) ( ) 6 6 6f x f y x y x y x y x y

所以

2 23 3 8( ) ( ) 0

( ) ( ) 0 6 0

x yf x f y

f x f y x y x y

因此滿足上述條件的所有點 ( )x y 為

22 23 3 8

0 6 0

x y

x y x y

或 22 2

3 3 8

0 6 0

x y

x y x y

其所圍成的區域如下圖所示面積為 218 4

2

數亦優 29

3 (1) 依題意可設 ( ) ( )f x r x a x b s g x r x c x d s

因為 ( ) ( )f x g x 是常數多項式所以比較一二次項係數知

r r r a b r c d

得 a b c d

(2) 由 2 2

( )2 4 4

a b a ba bf r s r f a

得

2

4 ( )2a b

f a f

ra b

故得證

註1o 也可利用對稱性知 ( )y f x 的頂點之 x軸坐標為2

a b ( )y g x 的頂點之 x軸坐標

為2

c d而得證

2o 亦可用插值多項式證明

4 (1) 由向量分解DA DM MA DB BM MA

得

2 22 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2

2

2 2

DA DA DM MA DM MA DM MA

b c a c DB BM MA

b a c DB MA BM MA

因為 0AM BD

且 BM MA 所以

2 2 2 22DA b a c

因此

2 2 22DA a b c

(2) 由(1)及 BM MA 可得

2 2 2 22 2DA b a c DB MA

依題意知 2 2 22DA x b a c 即

22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2b a c b a c b a c DB MA

故

0DB MA

30 數亦優

5 (1) 由題意可以知道

1 四件作品所得的總票數為 20 票

2 每件作品 多可以得到 10 票

令四件作品的得票數分別為 x y z u由1 2 可得

200 10x y z u x y z u

因為 0 10x y z u 所以 420H 須扣掉11 20x y z u 的情況由 20x y z u 且

0x y z u 可知 多只有一個票數會大於等於 11假設 11x 令 11x x 可得

90 9x y z u x y z u

此情況有 4 129 9 220H C 種

因此票數分布為 4 420 94 1771 4 220 891H H 種

(2) 假設得票數 高為 x由題意可得

200 10x y z u y z u x

因為 y z u x 也就是 1y z u x 所以

1 1 1 4 3x y z u x x x x x

由 20x y z u 得

20 4 3x

即

23

4x

因此當 6x 時才會滿足只有一件作品得票數 高且票數為 x

當 6x 時

140 5y z u y z u

滿足此情況的 y z u有 (554)(545)(455) 3 種

當 7x 時

130 6y z u y z u

因為 13y z u 且 0y z u 所以 y z u 多只有一個會大於等於 7

由(1)可知滿足此情況有 3 3 15 813 6 13 63 3 105 84 21H H C C 種

同理

當 8910x 時 y z u 多只有一個會大於等於 8910故

當 8x 時有 3 3 14 612 4 12 43 3 91 45 46H H C C 種

當 9x 時有 3 3 13 411 2 11 23 3 78 18 60H H C C 種

數亦優 31

當 10x 時有 3 3 12 210 0 10 03 3 66 3 63H H C C 種

因此滿足只有一件作品得票數 高的情形有

4 3 21 46 60 63 772 種

筆試二填充題

1 2 3 4 5

0 4a 2 2

8 8i

66 1

4 NORMAL

6 7 8 9 10

2 2

3 1 4x y

2 2

3 3 5 36x y

（或是 2 2 2 3 2 0x y x y ）

50

79

3

4

cos5 0 sin 5

0 1 0

sin 5 0 cos5

2

5

32 數亦優

《接續PartI 請見數亦優第 21 期》

四 正多邊形

(一) 除了正方形及三角形以外我們還考慮將其他形狀組合討論其撕裂次數是否與正方

形三角形相同

(二) 並非所有正多邊形皆可組合若內角非360

kk

便不能組合例如

1 正五邊形的內角和180 3 540 則一個內角為108但108 360 k k

無法將五邊形完整組合必有空隙

2 正六邊形的內角和180 4 720 則一個內角為120因為120 3 360

則任三個相同的正六邊形皆可相互組合

(三) 完整排列正六邊形為例以 m張排列

例 1 一頁 5 個正六邊形排列

撕開 2 次使下排的兩個正六邊形與上排分開再逐一將上排撕開共需 4 次

由例 1撕的次數結果皆為 1m 次

（Part II） 陳敏晧國立蘭陽女中

數亦優 33

(四) 內部有洞正六邊形為例m張 n個洞排列

例 2 一頁 11 張且 2 洞排列

先撕開 2 次使其成為無洞排列再撕開 1 次使其變成兩頁完整排列再逐一撕開

共需 12 次

由例 1與例 2得知撕的次數結果皆為 1n m 次

五 「切割」的定義

(一) 我們從平面延伸到立體討論柏拉圖的五個正多面體先將正多面體每面切開分開

的次數是否也有彼此相似之處

(二) 因為立體無法如平面一樣用撕的故用切的而計算次數的定義與方法也與平面有很

大的差異

(三) 「切一次」的定義與限制沿著稜邊切下一個面才算作「一次」第一次切下後

便將封閉的正多面體打開此後每切一次都必須從開放的稜邊切下不可再一次從

封閉的面切下

以正六面體為例

此為一個完整封閉的正六面體

第一次沿著粗線切開可切下一個面

34 數亦優

六 柏拉圖多面體

1 正四面體

第一次將底面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 3 個面切下共需切

1 3 1 3 次

2 正六面體

第一次將頂面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 5 個面切下共需切

1 5 1 5 次

斜線部分為第一次被切下的面

封閉正六面體被打開後第二次只能從

開放的 4 條稜邊（粗線）切下

第二刀不可再從封閉面（粗線）開始切

數亦優 35

3 正八面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 7 個面切下共

需切 1 7 1 7 次

4 正十二面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 11 個面切下共

需切 1 11 1 11 次

5 正二十面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 19 個面切下共

需切 1 19 1 19 次

36 數亦優

由上述例子可得知切割次數皆剛好為正多面體的(總面數 1 )次

研究發現

內部有洞洞數 a b 其中 a洞的個數b每個洞的張數

矩 形

完整排列

邊長 邊長 總張數 撕的次數

2 2 4 3

4 5 20 19

不規則排列

總張數 撕的次數

10 9

13 12

內部有洞

邊長 邊長 洞數 總張數（邊長 邊長 洞的張數） 撕的次數

3 3 1 1 8 3 3 1 8

3 5 2 1 13 3 5 2 14

三 角 形

完整排列

邊長 總張數 撕的次數

2 4 3

3 9 8

不規則排列

總張數 撕的次數

10 9

13 12

內部有洞

邊長 洞數 總張數（邊長平方 洞的張數） 撕的次數

規

則

4 1 1 15 4 4 1 15

5 1 1 24 5 5 1 24

5 1 2 23 5 5 2 23

5 1 3 22 5 5 3 22

6 1 1 35 6 6 1 35

6 1 2 34 6 6 2 34

6 2 1 34 6 6 2 1 35

6 3 1 33 6 6 3 1 35

6 1 2 1 1 33 6 6 2 1 34

7 2 2 45 7 7 2 2 46

不

規

則

1 1 22 22

1 1 23 23

1 2 32 32

數亦優 37

六 邊 形

完整排列

總張數 撕的次數

3 2

5 4

內部有洞

洞數 總張數 撕的次數

1 1 6 6

2 1 11 12

正 多 面 體

面數 撕的次數

正四面體 4 3

正六面體 6 5

正八面體 8 7

正十二面體 12 11

正二十面體 20 19

目前的研究我們發現了以下獨特的結論平面幾何圖形中矩形正三角形和正六邊形的

規則形狀與不規則形狀紙張之最佳撕法都是(總張數 1 )次矩形正三角形及正六邊形排列成

內部有 n個洞且 m張的紙張之最佳撕法都是 1n m 次而柏拉圖立體的最少切割次數皆為

正多面體的(總面數 1 )次最重要我們發現其實撕裂或切割次數與撕裂或切割方法（或順序）

無關

參考資料

1 陳美如（200003）撕郵票問題數學傳播第 24 卷第 1 期P82~86

2 許志農與奇人相遇httpmathntnuedutw~macomeethtm

3 林義強多面體簡介第一屆全國高中數學教學研討會論文集P177~192

參數學專題研究反思 》

上述作品得到今年北一區數學科展優等過程中我與學生教學相長高二學生因為所學的

數學很有限所以數學解題層次會有侷限但是相對地數學思維與想像力卻是受過數學訓練

的我們所不及的在這次數學專題研究中我扮演的角色是諮詢者協助者鼓勵者完成任

務是那三位鍥而不捨的同學鄭羽呈李依庭林佩柔 勘誤 第 21 刊〈高中數學專題研究教案（PartI）〉 P34 倒數第 6 行「設m k 」應改為「設m k 」 P36 第 3 行「設m k 」應改為「設m k 」 P38 內部有洞的 1(1)~(4)分類應改為「1(1)一頁 24 張內部有一個洞一張為 1 洞」

「1(2)一頁 23 張內部有一個洞兩張為 1 洞」 「1(3)一頁 23 張內部有一個洞兩張為 1 洞」 「1(4)一頁 22 張內部有一個洞三張為 1 洞」

38 數亦優

動手玩數學 許志農臺灣師大數學系

在 下 圖 中已 知 ABC為 直 角

三 角 形 1AB 求

(1) 線段 AD的長度（化為最簡形式）

(2) 餘切 cot24

的值

〔玩鎖玩索〕

這道問題改編自「求 cot24

的值」這道

教師甄選試題關於這道餘切求值問題

有兩位老師的作法是用標準特別角出發

再求出欲求的餘切值

底下是另一位老師的作法

已知 ABC 為 直 角 三 角 形 4AC 求

AB BC及 cot24

的值

請 加 上 線 段 使 下 圖 分 成 五

份 形 狀 完 全 相 等 的 部 分（翻面

相等也算）

或 許 下 圖 對 你 會 有 些 幫 助 它 們 是 四 份

形 狀 完 全 相 等 的 部 分

〔玩鎖玩索〕

這是 1998 年夏天香港中文大學教育學

院第二次舉辦暑期資優課程中在數學有關的

工作坊裡的一道測智遊戲

遊戲 85

遊戲 86

數亦優 39

在 坐 標 平 面 上 畫 一 直 線 1L在

線 上 任 取 一 點O 以O為 旋 轉

中 心依 逆 時 針 方 向 將 直 線 1L

旋 轉 120得 到 直 線 2L 如 下

圖 所 示

已 知 直 線 1L 的 斜 率 為m求 證 直 線 2L 的 斜

率 為

3

3 1

m

m

〔玩鎖玩索〕

直線是平面幾何上的重要元素而斜率又

是直線在代數上的代言人掌握斜率就如同控

制直線一樣從逆轉120的 直 線 斜 率 公 式

不 難 知 道 坐 標 平 面 上 的 正 三 角 形 之 三

條 邊 斜 率

1 2 3 m m m

是可以互相推導的即由 1m 可 以 得 到 2m 與

3m 的 公 式 而 且 還 知 道 以 下 兩 個 恆 等 式

1 2 2 3 3 1 3m m m m m m

1 2 31 2 3

1 1 19m m m

m m m

宇 富 怕 手 機 被 盜 打 每 日 更

換 開 機 密 碼為 了 便 於 記 憶

他 想 到 一 則 更 換 密 碼 的 算 術

通 則 「 昨 天 密 碼 為p 今

日 的 密 碼 就 更 新 為1

1

p

p

」

宇 富 跟 所 有 的 人 說「 我 已 經

使 用 這 密 碼 通 則 500天 了 而

且 第 一 天 的 密 碼 就 設 為 2 1

相 信 各 位 算 到 手 痠也 無 法 算

出 今 天 的 開 機 密 碼 」

徵求可以破解開機密碼的人士

〔玩鎖玩索〕

如果第一天的密碼為 那麼破解密碼

的難度有增加嗎

遊戲 87

遊戲 88

40 數亦優

動動手手玩玩數數學學~~破破解解秘秘笈笈

遊戲 81

如圖所示

(1) 考慮 ABC 因為 8sin15AB BC 且

150ABC 所以 ABC 為等腰三角

形且 15BAC 因此

2 cos15 2 8sin15 cos15AC AB

1

8sin30 8 42

(2) 仿照(1)的方法 ACE 也是等腰三角

形且 30CAE 因此

32 cos30 2 4 4 3

2AE AC

遊戲 82

秦九韶這個依括弧次序求函數值 f a 的演

算法就是高中數學多項式那章所介紹的綜

合除法

2 5 4 8

2

2

a

a

仔細計算上述綜合除法的空白位置可以發

現小中大括弧位置所代表的值與秦九韶

小中大括弧內的值完全一樣

遊戲 83

(1)

2cos 2cos24 24cot

24 sin 2sin cos24 24 24

1 cos1 cos

3 412

sin sin12 3 4

(2) 因為

cos cos cos sin sin3 4 3 4 3 4

1 2 3 2

2 2 2 2

2 6

4 4

及

sin sin cos sin cos3 4 3 4 4 3

3 2 2 1

2 2 2 2

6 2

4 4

所以

2 61 4 6 24 4cot

24 6 2 6 24 4

2

4 6 2 6 2

6 2

2 2 3 6

遊戲 84

令

2 3A a b c b c i

2 3B c a b a b i

2 3C b a c c a i

且

1 3

2

i

因為 2A C B

所以 3 3 3 6 3A C B

又因為 3 6 1 所以 3 3 3A B C

得證

ltlt ASCII85EncodePages false AllowTransparency false AutoPositionEPSFiles true AutoRotatePages All Binding Left CalGrayProfile (Dot Gain 20) CalRGBProfile (sRGB IEC61966-21) CalCMYKProfile (US Web Coated 050SWOP051 v2) sRGBProfile (sRGB IEC61966-21) CannotEmbedFontPolicy Error CompatibilityLevel 13 CompressObjects Tags CompressPages true ConvertImagesToIndexed true PassThroughJPEGImages true CreateJobTicket false DefaultRenderingIntent Default DetectBlends true DetectCurves 00000 ColorConversionStrategy LeaveColorUnchanged DoThumbnails false EmbedAllFonts true EmbedOpenType false ParseICCProfilesInComments true EmbedJobOptions true DSCReportingLevel 0 EmitDSCWarnings false EndPage -1 ImageMemory 1048576 LockDistillerParams false MaxSubsetPct 100 Optimize true OPM 1 ParseDSCComments true ParseDSCCommentsForDocInfo true PreserveCopyPage true PreserveDICMYKValues true PreserveEPSInfo true PreserveFlatness true PreserveHalftoneInfo false PreserveOPIComments true PreserveOverprintSettings true StartPage 1 SubsetFonts true TransferFunctionInfo Apply UCRandBGInfo Preserve UsePrologue false ColorSettingsFile () AlwaysEmbed [ true ] NeverEmbed [ true ] AntiAliasColorImages false CropColorImages true ColorImageMinResolution 300 ColorImageMinResolutionPolicy OK DownsampleColorImages true ColorImageDownsampleType Bicubic ColorImageResolution 300 ColorImageDepth -1 ColorImageMinDownsampleDepth 1 ColorImageDownsampleThreshold 150000 EncodeColorImages true ColorImageFilter DCTEncode AutoFilterColorImages true ColorImageAutoFilterStrategy JPEG ColorACSImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt ColorImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt JPEG2000ColorACSImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 30 gtgt JPEG2000ColorImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 30 gtgt AntiAliasGrayImages false CropGrayImages true GrayImageMinResolution 300 GrayImageMinResolutionPolicy OK DownsampleGrayImages true GrayImageDownsampleType Bicubic GrayImageResolution 300 GrayImageDepth -1 GrayImageMinDownsampleDepth 2 GrayImageDownsampleThreshold 150000 EncodeGrayImages true GrayImageFilter DCTEncode AutoFilterGrayImages true GrayImageAutoFilterStrategy JPEG GrayACSImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt GrayImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt JPEG2000GrayACSImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 30 gtgt JPEG2000GrayImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 30 gtgt AntiAliasMonoImages false CropMonoImages true MonoImageMinResolution 1200 MonoImageMinResolutionPolicy OK DownsampleMonoImages true MonoImageDownsampleType Bicubic MonoImageResolution 1200 MonoImageDepth -1 MonoImageDownsampleThreshold 150000 EncodeMonoImages true MonoImageFilter CCITTFaxEncode MonoImageDict ltlt K -1 gtgt AllowPSXObjects false CheckCompliance [ None ] PDFX1aCheck false PDFX3Check false PDFXCompliantPDFOnly false PDFXNoTrimBoxError true PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 000000 000000 000000 000000 ] PDFXSetBleedBoxToMediaBox true PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 000000 000000 000000 000000 ] PDFXOutputIntentProfile () PDFXOutputConditionIdentifier () PDFXOutputCondition () PDFXRegistryName () PDFXTrapped False CreateJDFFile false Description ltlt ARA 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 BGR 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 CHS 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 ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 50 and later) CHT ltFEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002gt gtgt Namespace [ (Adobe) (Common) (10) ] OtherNamespaces [ ltlt AsReaderSpreads false CropImagesToFrames true ErrorControl WarnAndContinue FlattenerIgnoreSpreadOverrides false IncludeGuidesGrids false IncludeNonPrinting false IncludeSlug false Namespace [ (Adobe) (InDesign) (40) ] OmitPlacedBitmaps false OmitPlacedEPS false OmitPlacedPDF false SimulateOverprint Legacy gtgt ltlt AddBleedMarks false AddColorBars false AddCropMarks false AddPageInfo false AddRegMarks false ConvertColors ConvertToCMYK DestinationProfileName () DestinationProfileSelector DocumentCMYK 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22 數亦優

2 2 2 3 2 23 5 7 3 5 7 11 3 7 11 13 3 5 11 13( )

1024 1024 1024 1024x y z w

即為(1)的所求

2 3 2 2

2 3

2 2

3 5 7 3 5 7 11 3 7 11 13 3 5 11 13

35 13 5 7 3 5 7 11

1024 10241 1

3 7 11 13 3 5 11 131024 1024

x y z w a b c d

11025 10395 9009 6435 36864

361024 1024

即為(2)的所求

二 嘗試利用四次多項函數且領導係數為 1 的恆等原理來解答此題

1 構造以 t為變數的四次多項函數且領導係數為 1命此函數為 ( )f t

2 2 2 2 2 2 2( ) 1 3 5 7 3 5 7f t t t t t x t t t

2 2 2 2 2 2 2 2 21 5 7 1 3 7 1 3 5y t t t z t t t w t t t

其中 x y z w四數為常數

2 2 2 2 2 2 2 2 21

2 1 2 3 2 5 2 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 1 2 3 2 5 2 7 2 3 2 5 2 7

2 1 2 5 2 7 2 1 2 3 2 7

2 1 2 3 2 5 0

x

y z

w

2(2 ) 0f

3 2 2 2 2 2 2 2 21

4 1 4 3 4 5 4 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

4 1 4 3 4 5 4 7 4 3 4 5 4 7

4 1 4 5 4 7 4 1 4 3 4 7

4 1 4 3 4 5 0

x

y z

w

2(4 ) 0f

4 2 2 2 2 2 2 2 21

6 1 6 3 6 5 6 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

6 1 6 3 6 5 6 7 6 3 6 5 6 7

6 1 6 5 6 7 6 1 6 3 6 7

6 1 6 3 6 5 0

x

y z

w

2(6 ) 0f

數亦優 23

5 2 2 2 2 2 2 2 21

8 1 8 3 8 5 8 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

8 1 8 3 8 5 8 7 8 3 8 5 8 7

8 1 8 5 8 7 8 1 8 3 8 7

8 1 8 3 8 5 0

x

y z

w

2(8 ) 0f

6 由 12345的討論可得知 ( )f t 等價 2 2 2 22 4 6 8t t t t

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 4 6 8

1 3 5 7 3 5 7 1 5 7

1 3 7 1 3 5

t t t t

t t t t x t t t y t t t

z t t t w t t t

為 t的四次多項方程式

第式等號的左式 3t 的係數＝第式等號的右式 3t 的係數

2 2 2 2 2 2 2 22 4 6 8 1 3 5 7 x y z w

2 2 2 2 2 2 2 22 4 6 8 1 3 5 7 120 84 36x y z w

即為(2)的所求

7 x的求法

將 21t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

1 2 1 4 1 6 1 8 1 3 1 5 1 7

2 1 4 1 6 1 8 1 1 3 3 5 5 7 7 9 3 5 7

2 4 4 6 6 8 10243 1 5 1 7 1

x

x

8 y的求法

將 23t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 3

2 2 2 2 2 2

3 2 3 4 3 6 3 8 3 1 3 5 3 7

3 2 4 3 6 3 8 3 1 5 1 7 3 9 5 11 3 5 7 11

2 4 2 8 4 10 10243 1 5 3 7 3

y

y

9 z的求法

將 25t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

5 2 5 4 5 6 5 8 5 1 5 3 5 7

5 2 5 4 6 5 8 5 3 7 1 9 1 11 3 13 3 7 11 13

4 6 2 8 2 12 10245 1 5 3 7 5

z

z

24 數亦優

10 w的求法

將 27t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

7 2 7 4 7 6 7 8 7 1 7 3 7 5

7 2 7 4 7 6 8 7 5 9 3 11 1 13 1 15 3 5 11 13

6 8 4 10 2 12 10247 1 7 3 7 5

w

w

11 由 78910的討論可得

2 2 2 3 2 23 5 7 3 5 7 11 3 7 11 13 3 5 11 13

( ) 1024 1024 1024 1024

x y z w

即為(1)的所求

三 結論

1 解題的巧妙與否存乎一心「學則需疑於不疑處有疑方是進矣」本題為解四元

一次聯立方程式基本解題策略為克拉瑪公式加減消去法或代入消去法三種由

於這三種計算相當繁瑣進而苦思其他對策經過一番思索驀然回首伊人卻在

燈火闌珊處竟然將此題與四次多項方程式連結在一起有了令人會心一笑的妙解

真是一次驚奇的解題之旅

2 孔子曾言「學而不思則罔思而不學則殆」我期待每次解題時皆能直搗黃龍

一眼看穿題目的堂奧之妙事後「大膽假設小心求證」檢驗過程和結果是否達

到最佳化藉由在夙昔的典範亦步亦趨臻於真善美的解題境界

數亦優 25

國立臺灣師範大學數學系

筆試一計算證明題（考試時間2 小時）

1 (1) 直角三角形的兩股長為 a b斜邊長為 c試證 3 3 3c a b （8 分）

(2) 如下圖圓 O內二直徑 AC BD互相垂直在劣弧DC上任取一點 E

試證以 AE 為一邊的正方形面積等於四邊形 ABED面積的二倍 （12 分）

2 設函數 2( ) 6 5f x x x 求坐標平面上滿足聯立不等式

( ) ( ) 0

( ) ( ) 0

f x f y

f x f y

的所有點 ( )x y 所形成的區域面積 （20 分）

3 設 a b c d 為實數且 a b c d ( ) ( )f x g x 為滿足 ( ) ( )f a f b 及 ( ) ( )g c g d 的實係數二次多

項式已知 ( ) ( )f x g x 為常數多項式證明

(1) a b c d （8 分）

(2) 2( )

2

( )2

a bf a f

a bc d c d

g c g

（12 分）

4 如下圖所示ABC和DBC為空間中的兩個等腰三角形M為線段 BC 的中點令

AB AC a DB DC b BM CM c 和DA x

(1) 已知向量內積 0AM BD

求證 2 2 22x a b c （8 分）

(2) 已知 2 2 22x a b c 求證向量內積 0AM BD

（12 分）

26 數亦優

5 師大數學系舉辦系徽設計比賽入圍決選的有四件作品由 10 名學生代表進行不記名投票

每人投兩票且兩票須投不同作品在沒有廢票的情況下試問

(1) 四件作品的得票情形共有幾種 （8 分）

(2) 得票數 高的作品恰有一件的票數分布有幾種 （12 分）

筆試二填充題（考試時間15 小時）

1 設 a為實數若對於所有實數 x2

2

32

2

x ax

x x

恆成立則 a的範圍為

2 若等比數列的第三項是1 i 第五項是1 1

16 16i 其中 1i 則此等比數列的公比為

（有兩解）

3 從1234567 等數字中選取三個排成三位數數字不重複則排出來的是 3 的倍數但不是 5 的倍數

的整數有 個

4 桌上有十個骰子當中有一個骰子出現 5 點的機率是1

2而出現其他點數的機率均等其他

九個都是均勻的骰子用隨機的方式選取一個骰子來投擲在出現 5 點的情況下被選取的

骰子是不均勻骰子的條件機率為 （答案若為分數請化為 簡分數）

5 在電腦裡有一公定的對照表（ASCII）將英文字母ABhellipZ及空格等字元分別對應至一整數

其對應數字如下表所示

字母 空格 A B C D E F G H

ASCII 碼 32 65 66 67 68 69 70 71 72

字母 I J K L M N O P Q

ASCII 碼 73 74 75 76 77 78 79 80 81

字母 R S T U V W X Y Z

ASCII 碼 82 83 84 85 86 87 88 89 90

數亦優 27

我們可利用此對照表在 facebookTM 傳送保密訊息給朋友我們與朋友約定所有的英文字母及

空格皆以對照表中的整數替代例如「HE IS DAVID」的訊息用「7269327383326865867368」

取代然後將此數字字串的奇數項排在矩陣的第一列偶數項排在第二列形成以下矩陣

7 6 3 7 8 3 6 6 8 7 6

2 9 2 3 3 2 8 5 6 3 8B

再與二階方陣

1 2

2 3A

相乘得到

11 24 7 13 14 7 22 16 20 13 22

20 39 12 23 25 12 36 27 34 23 36AB

後依上述規則反求得字串「11202439071213231425071222361627203413232236」傳送給朋

友如此他人便不能立即得知傳送之內容現在在此規則下你接收到數字字串

「233825411222213516271932」可以轉成矩陣

23 25 12 21 16 19

38 41 22 35 27 32

其所代表之訊息為

6 坐標平面上圓 C通過點 (02) 且 C與兩直線 3 2 0 1 0x y y 皆相切則圓 C的方程

式為

7 坐標空間中ABC的三頂點分別為 (1 11) ( 321) (5 43)A B C P為ABC內部一點且

令P到 AB BC CA的距離分別為 x y z則 2 2 2x y z 的 小值為 （答案若為分數

請化為 簡分數）

8 函數 4 4( ) cos 3sinf x x x 的 小值為

9 設 為實數若

cos 0 sin

0 1 0

sin 0 cos

A

則 5A

10 袋中有編號分別為 1 到 6 的六個球從袋中隨機選取兩球令隨機變數 X表示在被選取的

兩球中球號比袋中剩下的球號都大的球的個數（例如如果選到 2 號和 3 號球那袋中剩

下的就是 1456 號球因為選出的球中並沒有比 1456 都大的球號故這種情況下 0X ）

隨機變數 X的期望值為 （答案若為分數請化為 簡分數）

28 數亦優

筆試一計算證明題

1 (1) 利用 2 2 2c a b 及 c a c b 得

3 2 2 2 2 3 3c c a b ca cb a b

(2) 過 E作 EF AC 則

四邊形 ABED的面積

1 1

2 21

21

2

ABD BDE

BD AO BD OF

BD AO OF

AC AF

又在直角三角形 ACE中因為2

AE AC AF 所以2

AE 四邊形 ABED面積的兩倍

2 因為

2 22 2( ) ( ) 6 6 10 3 3 8f x f y x y x y x y

2 2( ) ( ) 6 6 6f x f y x y x y x y x y

所以

2 23 3 8( ) ( ) 0

( ) ( ) 0 6 0

x yf x f y

f x f y x y x y

因此滿足上述條件的所有點 ( )x y 為

22 23 3 8

0 6 0

x y

x y x y

或 22 2

3 3 8

0 6 0

x y

x y x y

其所圍成的區域如下圖所示面積為 218 4

2

數亦優 29

3 (1) 依題意可設 ( ) ( )f x r x a x b s g x r x c x d s

因為 ( ) ( )f x g x 是常數多項式所以比較一二次項係數知

r r r a b r c d

得 a b c d

(2) 由 2 2

( )2 4 4

a b a ba bf r s r f a

得

2

4 ( )2a b

f a f

ra b

故得證

註1o 也可利用對稱性知 ( )y f x 的頂點之 x軸坐標為2

a b ( )y g x 的頂點之 x軸坐標

為2

c d而得證

2o 亦可用插值多項式證明

4 (1) 由向量分解DA DM MA DB BM MA

得

2 22 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2

2

2 2

DA DA DM MA DM MA DM MA

b c a c DB BM MA

b a c DB MA BM MA

因為 0AM BD

且 BM MA 所以

2 2 2 22DA b a c

因此

2 2 22DA a b c

(2) 由(1)及 BM MA 可得

2 2 2 22 2DA b a c DB MA

依題意知 2 2 22DA x b a c 即

22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2b a c b a c b a c DB MA

故

0DB MA

30 數亦優

5 (1) 由題意可以知道

1 四件作品所得的總票數為 20 票

2 每件作品 多可以得到 10 票

令四件作品的得票數分別為 x y z u由1 2 可得

200 10x y z u x y z u

因為 0 10x y z u 所以 420H 須扣掉11 20x y z u 的情況由 20x y z u 且

0x y z u 可知 多只有一個票數會大於等於 11假設 11x 令 11x x 可得

90 9x y z u x y z u

此情況有 4 129 9 220H C 種

因此票數分布為 4 420 94 1771 4 220 891H H 種

(2) 假設得票數 高為 x由題意可得

200 10x y z u y z u x

因為 y z u x 也就是 1y z u x 所以

1 1 1 4 3x y z u x x x x x

由 20x y z u 得

20 4 3x

即

23

4x

因此當 6x 時才會滿足只有一件作品得票數 高且票數為 x

當 6x 時

140 5y z u y z u

滿足此情況的 y z u有 (554)(545)(455) 3 種

當 7x 時

130 6y z u y z u

因為 13y z u 且 0y z u 所以 y z u 多只有一個會大於等於 7

由(1)可知滿足此情況有 3 3 15 813 6 13 63 3 105 84 21H H C C 種

同理

當 8910x 時 y z u 多只有一個會大於等於 8910故

當 8x 時有 3 3 14 612 4 12 43 3 91 45 46H H C C 種

當 9x 時有 3 3 13 411 2 11 23 3 78 18 60H H C C 種

數亦優 31

當 10x 時有 3 3 12 210 0 10 03 3 66 3 63H H C C 種

因此滿足只有一件作品得票數 高的情形有

4 3 21 46 60 63 772 種

筆試二填充題

1 2 3 4 5

0 4a 2 2

8 8i

66 1

4 NORMAL

6 7 8 9 10

2 2

3 1 4x y

2 2

3 3 5 36x y

（或是 2 2 2 3 2 0x y x y ）

50

79

3

4

cos5 0 sin 5

0 1 0

sin 5 0 cos5

2

5

32 數亦優

《接續PartI 請見數亦優第 21 期》

四 正多邊形

(一) 除了正方形及三角形以外我們還考慮將其他形狀組合討論其撕裂次數是否與正方

形三角形相同

(二) 並非所有正多邊形皆可組合若內角非360

kk

便不能組合例如

1 正五邊形的內角和180 3 540 則一個內角為108但108 360 k k

無法將五邊形完整組合必有空隙

2 正六邊形的內角和180 4 720 則一個內角為120因為120 3 360

則任三個相同的正六邊形皆可相互組合

(三) 完整排列正六邊形為例以 m張排列

例 1 一頁 5 個正六邊形排列

撕開 2 次使下排的兩個正六邊形與上排分開再逐一將上排撕開共需 4 次

由例 1撕的次數結果皆為 1m 次

（Part II） 陳敏晧國立蘭陽女中

數亦優 33

(四) 內部有洞正六邊形為例m張 n個洞排列

例 2 一頁 11 張且 2 洞排列

先撕開 2 次使其成為無洞排列再撕開 1 次使其變成兩頁完整排列再逐一撕開

共需 12 次

由例 1與例 2得知撕的次數結果皆為 1n m 次

五 「切割」的定義

(一) 我們從平面延伸到立體討論柏拉圖的五個正多面體先將正多面體每面切開分開

的次數是否也有彼此相似之處

(二) 因為立體無法如平面一樣用撕的故用切的而計算次數的定義與方法也與平面有很

大的差異

(三) 「切一次」的定義與限制沿著稜邊切下一個面才算作「一次」第一次切下後

便將封閉的正多面體打開此後每切一次都必須從開放的稜邊切下不可再一次從

封閉的面切下

以正六面體為例

此為一個完整封閉的正六面體

第一次沿著粗線切開可切下一個面

34 數亦優

六 柏拉圖多面體

1 正四面體

第一次將底面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 3 個面切下共需切

1 3 1 3 次

2 正六面體

第一次將頂面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 5 個面切下共需切

1 5 1 5 次

斜線部分為第一次被切下的面

封閉正六面體被打開後第二次只能從

開放的 4 條稜邊（粗線）切下

第二刀不可再從封閉面（粗線）開始切

數亦優 35

3 正八面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 7 個面切下共

需切 1 7 1 7 次

4 正十二面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 11 個面切下共

需切 1 11 1 11 次

5 正二十面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 19 個面切下共

需切 1 19 1 19 次

36 數亦優

由上述例子可得知切割次數皆剛好為正多面體的(總面數 1 )次

研究發現

內部有洞洞數 a b 其中 a洞的個數b每個洞的張數

矩 形

完整排列

邊長 邊長 總張數 撕的次數

2 2 4 3

4 5 20 19

不規則排列

總張數 撕的次數

10 9

13 12

內部有洞

邊長 邊長 洞數 總張數（邊長 邊長 洞的張數） 撕的次數

3 3 1 1 8 3 3 1 8

3 5 2 1 13 3 5 2 14

三 角 形

完整排列

邊長 總張數 撕的次數

2 4 3

3 9 8

不規則排列

總張數 撕的次數

10 9

13 12

內部有洞

邊長 洞數 總張數（邊長平方 洞的張數） 撕的次數

規

則

4 1 1 15 4 4 1 15

5 1 1 24 5 5 1 24

5 1 2 23 5 5 2 23

5 1 3 22 5 5 3 22

6 1 1 35 6 6 1 35

6 1 2 34 6 6 2 34

6 2 1 34 6 6 2 1 35

6 3 1 33 6 6 3 1 35

6 1 2 1 1 33 6 6 2 1 34

7 2 2 45 7 7 2 2 46

不

規

則

1 1 22 22

1 1 23 23

1 2 32 32

數亦優 37

六 邊 形

完整排列

總張數 撕的次數

3 2

5 4

內部有洞

洞數 總張數 撕的次數

1 1 6 6

2 1 11 12

正 多 面 體

面數 撕的次數

正四面體 4 3

正六面體 6 5

正八面體 8 7

正十二面體 12 11

正二十面體 20 19

目前的研究我們發現了以下獨特的結論平面幾何圖形中矩形正三角形和正六邊形的

規則形狀與不規則形狀紙張之最佳撕法都是(總張數 1 )次矩形正三角形及正六邊形排列成

內部有 n個洞且 m張的紙張之最佳撕法都是 1n m 次而柏拉圖立體的最少切割次數皆為

正多面體的(總面數 1 )次最重要我們發現其實撕裂或切割次數與撕裂或切割方法（或順序）

無關

參考資料

1 陳美如（200003）撕郵票問題數學傳播第 24 卷第 1 期P82~86

2 許志農與奇人相遇httpmathntnuedutw~macomeethtm

3 林義強多面體簡介第一屆全國高中數學教學研討會論文集P177~192

參數學專題研究反思 》

上述作品得到今年北一區數學科展優等過程中我與學生教學相長高二學生因為所學的

數學很有限所以數學解題層次會有侷限但是相對地數學思維與想像力卻是受過數學訓練

的我們所不及的在這次數學專題研究中我扮演的角色是諮詢者協助者鼓勵者完成任

務是那三位鍥而不捨的同學鄭羽呈李依庭林佩柔 勘誤 第 21 刊〈高中數學專題研究教案（PartI）〉 P34 倒數第 6 行「設m k 」應改為「設m k 」 P36 第 3 行「設m k 」應改為「設m k 」 P38 內部有洞的 1(1)~(4)分類應改為「1(1)一頁 24 張內部有一個洞一張為 1 洞」

「1(2)一頁 23 張內部有一個洞兩張為 1 洞」 「1(3)一頁 23 張內部有一個洞兩張為 1 洞」 「1(4)一頁 22 張內部有一個洞三張為 1 洞」

38 數亦優

動手玩數學 許志農臺灣師大數學系

在 下 圖 中已 知 ABC為 直 角

三 角 形 1AB 求

(1) 線段 AD的長度（化為最簡形式）

(2) 餘切 cot24

的值

〔玩鎖玩索〕

這道問題改編自「求 cot24

的值」這道

教師甄選試題關於這道餘切求值問題

有兩位老師的作法是用標準特別角出發

再求出欲求的餘切值

底下是另一位老師的作法

已知 ABC 為 直 角 三 角 形 4AC 求

AB BC及 cot24

的值

請 加 上 線 段 使 下 圖 分 成 五

份 形 狀 完 全 相 等 的 部 分（翻面

相等也算）

或 許 下 圖 對 你 會 有 些 幫 助 它 們 是 四 份

形 狀 完 全 相 等 的 部 分

〔玩鎖玩索〕

這是 1998 年夏天香港中文大學教育學

院第二次舉辦暑期資優課程中在數學有關的

工作坊裡的一道測智遊戲

遊戲 85

遊戲 86

數亦優 39

在 坐 標 平 面 上 畫 一 直 線 1L在

線 上 任 取 一 點O 以O為 旋 轉

中 心依 逆 時 針 方 向 將 直 線 1L

旋 轉 120得 到 直 線 2L 如 下

圖 所 示

已 知 直 線 1L 的 斜 率 為m求 證 直 線 2L 的 斜

率 為

3

3 1

m

m

〔玩鎖玩索〕

直線是平面幾何上的重要元素而斜率又

是直線在代數上的代言人掌握斜率就如同控

制直線一樣從逆轉120的 直 線 斜 率 公 式

不 難 知 道 坐 標 平 面 上 的 正 三 角 形 之 三

條 邊 斜 率

1 2 3 m m m

是可以互相推導的即由 1m 可 以 得 到 2m 與

3m 的 公 式 而 且 還 知 道 以 下 兩 個 恆 等 式

1 2 2 3 3 1 3m m m m m m

1 2 31 2 3

1 1 19m m m

m m m

宇 富 怕 手 機 被 盜 打 每 日 更

換 開 機 密 碼為 了 便 於 記 憶

他 想 到 一 則 更 換 密 碼 的 算 術

通 則 「 昨 天 密 碼 為p 今

日 的 密 碼 就 更 新 為1

1

p

p

」

宇 富 跟 所 有 的 人 說「 我 已 經

使 用 這 密 碼 通 則 500天 了 而

且 第 一 天 的 密 碼 就 設 為 2 1

相 信 各 位 算 到 手 痠也 無 法 算

出 今 天 的 開 機 密 碼 」

徵求可以破解開機密碼的人士

〔玩鎖玩索〕

如果第一天的密碼為 那麼破解密碼

的難度有增加嗎

遊戲 87

遊戲 88

40 數亦優

動動手手玩玩數數學學~~破破解解秘秘笈笈

遊戲 81

如圖所示

(1) 考慮 ABC 因為 8sin15AB BC 且

150ABC 所以 ABC 為等腰三角

形且 15BAC 因此

2 cos15 2 8sin15 cos15AC AB

1

8sin30 8 42

(2) 仿照(1)的方法 ACE 也是等腰三角

形且 30CAE 因此

32 cos30 2 4 4 3

2AE AC

遊戲 82

秦九韶這個依括弧次序求函數值 f a 的演

算法就是高中數學多項式那章所介紹的綜

合除法

2 5 4 8

2

2

a

a

仔細計算上述綜合除法的空白位置可以發

現小中大括弧位置所代表的值與秦九韶

小中大括弧內的值完全一樣

遊戲 83

(1)

2cos 2cos24 24cot

24 sin 2sin cos24 24 24

1 cos1 cos

3 412

sin sin12 3 4

(2) 因為

cos cos cos sin sin3 4 3 4 3 4

1 2 3 2

2 2 2 2

2 6

4 4

及

sin sin cos sin cos3 4 3 4 4 3

3 2 2 1

2 2 2 2

6 2

4 4

所以

2 61 4 6 24 4cot

24 6 2 6 24 4

2

4 6 2 6 2

6 2

2 2 3 6

遊戲 84

令

2 3A a b c b c i

2 3B c a b a b i

2 3C b a c c a i

且

1 3

2

i

因為 2A C B

所以 3 3 3 6 3A C B

又因為 3 6 1 所以 3 3 3A B C

得證

ltlt ASCII85EncodePages false AllowTransparency false AutoPositionEPSFiles true AutoRotatePages All Binding Left CalGrayProfile (Dot Gain 20) CalRGBProfile (sRGB IEC61966-21) CalCMYKProfile (US Web Coated 050SWOP051 v2) sRGBProfile (sRGB IEC61966-21) CannotEmbedFontPolicy Error CompatibilityLevel 13 CompressObjects Tags CompressPages true ConvertImagesToIndexed true PassThroughJPEGImages true CreateJobTicket false DefaultRenderingIntent Default DetectBlends true DetectCurves 00000 ColorConversionStrategy LeaveColorUnchanged DoThumbnails false EmbedAllFonts true EmbedOpenType false ParseICCProfilesInComments true EmbedJobOptions true DSCReportingLevel 0 EmitDSCWarnings false EndPage -1 ImageMemory 1048576 LockDistillerParams false MaxSubsetPct 100 Optimize true OPM 1 ParseDSCComments true ParseDSCCommentsForDocInfo true PreserveCopyPage true PreserveDICMYKValues true PreserveEPSInfo true PreserveFlatness true PreserveHalftoneInfo false PreserveOPIComments true PreserveOverprintSettings true StartPage 1 SubsetFonts true TransferFunctionInfo Apply UCRandBGInfo Preserve UsePrologue false ColorSettingsFile () AlwaysEmbed [ true ] NeverEmbed [ true ] AntiAliasColorImages false CropColorImages true ColorImageMinResolution 300 ColorImageMinResolutionPolicy OK DownsampleColorImages true ColorImageDownsampleType Bicubic ColorImageResolution 300 ColorImageDepth -1 ColorImageMinDownsampleDepth 1 ColorImageDownsampleThreshold 150000 EncodeColorImages true ColorImageFilter DCTEncode AutoFilterColorImages true ColorImageAutoFilterStrategy JPEG ColorACSImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt ColorImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt JPEG2000ColorACSImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 30 gtgt JPEG2000ColorImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 30 gtgt AntiAliasGrayImages false CropGrayImages true GrayImageMinResolution 300 GrayImageMinResolutionPolicy OK DownsampleGrayImages true GrayImageDownsampleType Bicubic GrayImageResolution 300 GrayImageDepth -1 GrayImageMinDownsampleDepth 2 GrayImageDownsampleThreshold 150000 EncodeGrayImages true GrayImageFilter DCTEncode AutoFilterGrayImages true GrayImageAutoFilterStrategy JPEG GrayACSImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt GrayImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt JPEG2000GrayACSImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 30 gtgt JPEG2000GrayImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 30 gtgt AntiAliasMonoImages false CropMonoImages true MonoImageMinResolution 1200 MonoImageMinResolutionPolicy OK DownsampleMonoImages true MonoImageDownsampleType Bicubic MonoImageResolution 1200 MonoImageDepth -1 MonoImageDownsampleThreshold 150000 EncodeMonoImages true MonoImageFilter CCITTFaxEncode MonoImageDict ltlt K -1 gtgt AllowPSXObjects false CheckCompliance [ None ] PDFX1aCheck false PDFX3Check false PDFXCompliantPDFOnly false PDFXNoTrimBoxError true PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 000000 000000 000000 000000 ] PDFXSetBleedBoxToMediaBox true PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 000000 000000 000000 000000 ] PDFXOutputIntentProfile () PDFXOutputConditionIdentifier () PDFXOutputCondition () PDFXRegistryName () PDFXTrapped False CreateJDFFile false Description ltlt ARA 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 BGR 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ltFEFF0041006e007600e4006e00640020006400650020006800e4007200200069006e0073007400e4006c006c006e0069006e006700610072006e00610020006f006d002000640075002000760069006c006c00200073006b006100700061002000410064006f006200650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e007400200073006f006d002000e400720020006c00e4006d0070006c0069006700610020006600f60072002000700072006500700072006500730073002d007500740073006b00720069006600740020006d006500640020006800f600670020006b00760061006c0069007400650074002e002000200053006b006100700061006400650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740020006b0061006e002000f600700070006e00610073002000690020004100630072006f0062006100740020006f00630068002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020006f00630068002000730065006e006100720065002egt TUR 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 UKR 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 ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 50 and later) CHT ltFEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002gt gtgt Namespace [ (Adobe) (Common) (10) ] OtherNamespaces [ ltlt AsReaderSpreads false CropImagesToFrames true ErrorControl WarnAndContinue FlattenerIgnoreSpreadOverrides false IncludeGuidesGrids false IncludeNonPrinting false IncludeSlug false Namespace [ (Adobe) (InDesign) (40) ] OmitPlacedBitmaps false OmitPlacedEPS false OmitPlacedPDF false SimulateOverprint Legacy gtgt ltlt AddBleedMarks false AddColorBars false AddCropMarks false AddPageInfo false AddRegMarks false ConvertColors ConvertToCMYK DestinationProfileName () DestinationProfileSelector DocumentCMYK 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數亦優 23

5 2 2 2 2 2 2 2 21

8 1 8 3 8 5 8 7

x y z w

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

8 1 8 3 8 5 8 7 8 3 8 5 8 7

8 1 8 5 8 7 8 1 8 3 8 7

8 1 8 3 8 5 0

x

y z

w

2(8 ) 0f

6 由 12345的討論可得知 ( )f t 等價 2 2 2 22 4 6 8t t t t

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 4 6 8

1 3 5 7 3 5 7 1 5 7

1 3 7 1 3 5

t t t t

t t t t x t t t y t t t

z t t t w t t t

為 t的四次多項方程式

第式等號的左式 3t 的係數＝第式等號的右式 3t 的係數

2 2 2 2 2 2 2 22 4 6 8 1 3 5 7 x y z w

2 2 2 2 2 2 2 22 4 6 8 1 3 5 7 120 84 36x y z w

即為(2)的所求

7 x的求法

將 21t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

1 2 1 4 1 6 1 8 1 3 1 5 1 7

2 1 4 1 6 1 8 1 1 3 3 5 5 7 7 9 3 5 7

2 4 4 6 6 8 10243 1 5 1 7 1

x

x

8 y的求法

將 23t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 3

2 2 2 2 2 2

3 2 3 4 3 6 3 8 3 1 3 5 3 7

3 2 4 3 6 3 8 3 1 5 1 7 3 9 5 11 3 5 7 11

2 4 2 8 4 10 10243 1 5 3 7 3

y

y

9 z的求法

將 25t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

5 2 5 4 5 6 5 8 5 1 5 3 5 7

5 2 5 4 6 5 8 5 3 7 1 9 1 11 3 13 3 7 11 13

4 6 2 8 2 12 10245 1 5 3 7 5

z

z

24 數亦優

10 w的求法

將 27t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

7 2 7 4 7 6 7 8 7 1 7 3 7 5

7 2 7 4 7 6 8 7 5 9 3 11 1 13 1 15 3 5 11 13

6 8 4 10 2 12 10247 1 7 3 7 5

w

w

11 由 78910的討論可得

2 2 2 3 2 23 5 7 3 5 7 11 3 7 11 13 3 5 11 13

( ) 1024 1024 1024 1024

x y z w

即為(1)的所求

三 結論

1 解題的巧妙與否存乎一心「學則需疑於不疑處有疑方是進矣」本題為解四元

一次聯立方程式基本解題策略為克拉瑪公式加減消去法或代入消去法三種由

於這三種計算相當繁瑣進而苦思其他對策經過一番思索驀然回首伊人卻在

燈火闌珊處竟然將此題與四次多項方程式連結在一起有了令人會心一笑的妙解

真是一次驚奇的解題之旅

2 孔子曾言「學而不思則罔思而不學則殆」我期待每次解題時皆能直搗黃龍

一眼看穿題目的堂奧之妙事後「大膽假設小心求證」檢驗過程和結果是否達

到最佳化藉由在夙昔的典範亦步亦趨臻於真善美的解題境界

數亦優 25

國立臺灣師範大學數學系

筆試一計算證明題（考試時間2 小時）

1 (1) 直角三角形的兩股長為 a b斜邊長為 c試證 3 3 3c a b （8 分）

(2) 如下圖圓 O內二直徑 AC BD互相垂直在劣弧DC上任取一點 E

試證以 AE 為一邊的正方形面積等於四邊形 ABED面積的二倍 （12 分）

2 設函數 2( ) 6 5f x x x 求坐標平面上滿足聯立不等式

( ) ( ) 0

( ) ( ) 0

f x f y

f x f y

的所有點 ( )x y 所形成的區域面積 （20 分）

3 設 a b c d 為實數且 a b c d ( ) ( )f x g x 為滿足 ( ) ( )f a f b 及 ( ) ( )g c g d 的實係數二次多

項式已知 ( ) ( )f x g x 為常數多項式證明

(1) a b c d （8 分）

(2) 2( )

2

( )2

a bf a f

a bc d c d

g c g

（12 分）

4 如下圖所示ABC和DBC為空間中的兩個等腰三角形M為線段 BC 的中點令

AB AC a DB DC b BM CM c 和DA x

(1) 已知向量內積 0AM BD

求證 2 2 22x a b c （8 分）

(2) 已知 2 2 22x a b c 求證向量內積 0AM BD

（12 分）

26 數亦優

5 師大數學系舉辦系徽設計比賽入圍決選的有四件作品由 10 名學生代表進行不記名投票

每人投兩票且兩票須投不同作品在沒有廢票的情況下試問

(1) 四件作品的得票情形共有幾種 （8 分）

(2) 得票數 高的作品恰有一件的票數分布有幾種 （12 分）

筆試二填充題（考試時間15 小時）

1 設 a為實數若對於所有實數 x2

2

32

2

x ax

x x

恆成立則 a的範圍為

2 若等比數列的第三項是1 i 第五項是1 1

16 16i 其中 1i 則此等比數列的公比為

（有兩解）

3 從1234567 等數字中選取三個排成三位數數字不重複則排出來的是 3 的倍數但不是 5 的倍數

的整數有 個

4 桌上有十個骰子當中有一個骰子出現 5 點的機率是1

2而出現其他點數的機率均等其他

九個都是均勻的骰子用隨機的方式選取一個骰子來投擲在出現 5 點的情況下被選取的

骰子是不均勻骰子的條件機率為 （答案若為分數請化為 簡分數）

5 在電腦裡有一公定的對照表（ASCII）將英文字母ABhellipZ及空格等字元分別對應至一整數

其對應數字如下表所示

字母 空格 A B C D E F G H

ASCII 碼 32 65 66 67 68 69 70 71 72

字母 I J K L M N O P Q

ASCII 碼 73 74 75 76 77 78 79 80 81

字母 R S T U V W X Y Z

ASCII 碼 82 83 84 85 86 87 88 89 90

數亦優 27

我們可利用此對照表在 facebookTM 傳送保密訊息給朋友我們與朋友約定所有的英文字母及

空格皆以對照表中的整數替代例如「HE IS DAVID」的訊息用「7269327383326865867368」

取代然後將此數字字串的奇數項排在矩陣的第一列偶數項排在第二列形成以下矩陣

7 6 3 7 8 3 6 6 8 7 6

2 9 2 3 3 2 8 5 6 3 8B

再與二階方陣

1 2

2 3A

相乘得到

11 24 7 13 14 7 22 16 20 13 22

20 39 12 23 25 12 36 27 34 23 36AB

後依上述規則反求得字串「11202439071213231425071222361627203413232236」傳送給朋

友如此他人便不能立即得知傳送之內容現在在此規則下你接收到數字字串

「233825411222213516271932」可以轉成矩陣

23 25 12 21 16 19

38 41 22 35 27 32

其所代表之訊息為

6 坐標平面上圓 C通過點 (02) 且 C與兩直線 3 2 0 1 0x y y 皆相切則圓 C的方程

式為

7 坐標空間中ABC的三頂點分別為 (1 11) ( 321) (5 43)A B C P為ABC內部一點且

令P到 AB BC CA的距離分別為 x y z則 2 2 2x y z 的 小值為 （答案若為分數

請化為 簡分數）

8 函數 4 4( ) cos 3sinf x x x 的 小值為

9 設 為實數若

cos 0 sin

0 1 0

sin 0 cos

A

則 5A

10 袋中有編號分別為 1 到 6 的六個球從袋中隨機選取兩球令隨機變數 X表示在被選取的

兩球中球號比袋中剩下的球號都大的球的個數（例如如果選到 2 號和 3 號球那袋中剩

下的就是 1456 號球因為選出的球中並沒有比 1456 都大的球號故這種情況下 0X ）

隨機變數 X的期望值為 （答案若為分數請化為 簡分數）

28 數亦優

筆試一計算證明題

1 (1) 利用 2 2 2c a b 及 c a c b 得

3 2 2 2 2 3 3c c a b ca cb a b

(2) 過 E作 EF AC 則

四邊形 ABED的面積

1 1

2 21

21

2

ABD BDE

BD AO BD OF

BD AO OF

AC AF

又在直角三角形 ACE中因為2

AE AC AF 所以2

AE 四邊形 ABED面積的兩倍

2 因為

2 22 2( ) ( ) 6 6 10 3 3 8f x f y x y x y x y

2 2( ) ( ) 6 6 6f x f y x y x y x y x y

所以

2 23 3 8( ) ( ) 0

( ) ( ) 0 6 0

x yf x f y

f x f y x y x y

因此滿足上述條件的所有點 ( )x y 為

22 23 3 8

0 6 0

x y

x y x y

或 22 2

3 3 8

0 6 0

x y

x y x y

其所圍成的區域如下圖所示面積為 218 4

2

數亦優 29

3 (1) 依題意可設 ( ) ( )f x r x a x b s g x r x c x d s

因為 ( ) ( )f x g x 是常數多項式所以比較一二次項係數知

r r r a b r c d

得 a b c d

(2) 由 2 2

( )2 4 4

a b a ba bf r s r f a

得

2

4 ( )2a b

f a f

ra b

故得證

註1o 也可利用對稱性知 ( )y f x 的頂點之 x軸坐標為2

a b ( )y g x 的頂點之 x軸坐標

為2

c d而得證

2o 亦可用插值多項式證明

4 (1) 由向量分解DA DM MA DB BM MA

得

2 22 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2

2

2 2

DA DA DM MA DM MA DM MA

b c a c DB BM MA

b a c DB MA BM MA

因為 0AM BD

且 BM MA 所以

2 2 2 22DA b a c

因此

2 2 22DA a b c

(2) 由(1)及 BM MA 可得

2 2 2 22 2DA b a c DB MA

依題意知 2 2 22DA x b a c 即

22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2b a c b a c b a c DB MA

故

0DB MA

30 數亦優

5 (1) 由題意可以知道

1 四件作品所得的總票數為 20 票

2 每件作品 多可以得到 10 票

令四件作品的得票數分別為 x y z u由1 2 可得

200 10x y z u x y z u

因為 0 10x y z u 所以 420H 須扣掉11 20x y z u 的情況由 20x y z u 且

0x y z u 可知 多只有一個票數會大於等於 11假設 11x 令 11x x 可得

90 9x y z u x y z u

此情況有 4 129 9 220H C 種

因此票數分布為 4 420 94 1771 4 220 891H H 種

(2) 假設得票數 高為 x由題意可得

200 10x y z u y z u x

因為 y z u x 也就是 1y z u x 所以

1 1 1 4 3x y z u x x x x x

由 20x y z u 得

20 4 3x

即

23

4x

因此當 6x 時才會滿足只有一件作品得票數 高且票數為 x

當 6x 時

140 5y z u y z u

滿足此情況的 y z u有 (554)(545)(455) 3 種

當 7x 時

130 6y z u y z u

因為 13y z u 且 0y z u 所以 y z u 多只有一個會大於等於 7

由(1)可知滿足此情況有 3 3 15 813 6 13 63 3 105 84 21H H C C 種

同理

當 8910x 時 y z u 多只有一個會大於等於 8910故

當 8x 時有 3 3 14 612 4 12 43 3 91 45 46H H C C 種

當 9x 時有 3 3 13 411 2 11 23 3 78 18 60H H C C 種

數亦優 31

當 10x 時有 3 3 12 210 0 10 03 3 66 3 63H H C C 種

因此滿足只有一件作品得票數 高的情形有

4 3 21 46 60 63 772 種

筆試二填充題

1 2 3 4 5

0 4a 2 2

8 8i

66 1

4 NORMAL

6 7 8 9 10

2 2

3 1 4x y

2 2

3 3 5 36x y

（或是 2 2 2 3 2 0x y x y ）

50

79

3

4

cos5 0 sin 5

0 1 0

sin 5 0 cos5

2

5

32 數亦優

《接續PartI 請見數亦優第 21 期》

四 正多邊形

(一) 除了正方形及三角形以外我們還考慮將其他形狀組合討論其撕裂次數是否與正方

形三角形相同

(二) 並非所有正多邊形皆可組合若內角非360

kk

便不能組合例如

1 正五邊形的內角和180 3 540 則一個內角為108但108 360 k k

無法將五邊形完整組合必有空隙

2 正六邊形的內角和180 4 720 則一個內角為120因為120 3 360

則任三個相同的正六邊形皆可相互組合

(三) 完整排列正六邊形為例以 m張排列

例 1 一頁 5 個正六邊形排列

撕開 2 次使下排的兩個正六邊形與上排分開再逐一將上排撕開共需 4 次

由例 1撕的次數結果皆為 1m 次

（Part II） 陳敏晧國立蘭陽女中

數亦優 33

(四) 內部有洞正六邊形為例m張 n個洞排列

例 2 一頁 11 張且 2 洞排列

先撕開 2 次使其成為無洞排列再撕開 1 次使其變成兩頁完整排列再逐一撕開

共需 12 次

由例 1與例 2得知撕的次數結果皆為 1n m 次

五 「切割」的定義

(一) 我們從平面延伸到立體討論柏拉圖的五個正多面體先將正多面體每面切開分開

的次數是否也有彼此相似之處

(二) 因為立體無法如平面一樣用撕的故用切的而計算次數的定義與方法也與平面有很

大的差異

(三) 「切一次」的定義與限制沿著稜邊切下一個面才算作「一次」第一次切下後

便將封閉的正多面體打開此後每切一次都必須從開放的稜邊切下不可再一次從

封閉的面切下

以正六面體為例

此為一個完整封閉的正六面體

第一次沿著粗線切開可切下一個面

34 數亦優

六 柏拉圖多面體

1 正四面體

第一次將底面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 3 個面切下共需切

1 3 1 3 次

2 正六面體

第一次將頂面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 5 個面切下共需切

1 5 1 5 次

斜線部分為第一次被切下的面

封閉正六面體被打開後第二次只能從

開放的 4 條稜邊（粗線）切下

第二刀不可再從封閉面（粗線）開始切

數亦優 35

3 正八面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 7 個面切下共

需切 1 7 1 7 次

4 正十二面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 11 個面切下共

需切 1 11 1 11 次

5 正二十面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 19 個面切下共

需切 1 19 1 19 次

36 數亦優

由上述例子可得知切割次數皆剛好為正多面體的(總面數 1 )次

研究發現

內部有洞洞數 a b 其中 a洞的個數b每個洞的張數

矩 形

完整排列

邊長 邊長 總張數 撕的次數

2 2 4 3

4 5 20 19

不規則排列

總張數 撕的次數

10 9

13 12

內部有洞

邊長 邊長 洞數 總張數（邊長 邊長 洞的張數） 撕的次數

3 3 1 1 8 3 3 1 8

3 5 2 1 13 3 5 2 14

三 角 形

完整排列

邊長 總張數 撕的次數

2 4 3

3 9 8

不規則排列

總張數 撕的次數

10 9

13 12

內部有洞

邊長 洞數 總張數（邊長平方 洞的張數） 撕的次數

規

則

4 1 1 15 4 4 1 15

5 1 1 24 5 5 1 24

5 1 2 23 5 5 2 23

5 1 3 22 5 5 3 22

6 1 1 35 6 6 1 35

6 1 2 34 6 6 2 34

6 2 1 34 6 6 2 1 35

6 3 1 33 6 6 3 1 35

6 1 2 1 1 33 6 6 2 1 34

7 2 2 45 7 7 2 2 46

不

規

則

1 1 22 22

1 1 23 23

1 2 32 32

數亦優 37

六 邊 形

完整排列

總張數 撕的次數

3 2

5 4

內部有洞

洞數 總張數 撕的次數

1 1 6 6

2 1 11 12

正 多 面 體

面數 撕的次數

正四面體 4 3

正六面體 6 5

正八面體 8 7

正十二面體 12 11

正二十面體 20 19

目前的研究我們發現了以下獨特的結論平面幾何圖形中矩形正三角形和正六邊形的

規則形狀與不規則形狀紙張之最佳撕法都是(總張數 1 )次矩形正三角形及正六邊形排列成

內部有 n個洞且 m張的紙張之最佳撕法都是 1n m 次而柏拉圖立體的最少切割次數皆為

正多面體的(總面數 1 )次最重要我們發現其實撕裂或切割次數與撕裂或切割方法（或順序）

無關

參考資料

1 陳美如（200003）撕郵票問題數學傳播第 24 卷第 1 期P82~86

2 許志農與奇人相遇httpmathntnuedutw~macomeethtm

3 林義強多面體簡介第一屆全國高中數學教學研討會論文集P177~192

參數學專題研究反思 》

上述作品得到今年北一區數學科展優等過程中我與學生教學相長高二學生因為所學的

數學很有限所以數學解題層次會有侷限但是相對地數學思維與想像力卻是受過數學訓練

的我們所不及的在這次數學專題研究中我扮演的角色是諮詢者協助者鼓勵者完成任

務是那三位鍥而不捨的同學鄭羽呈李依庭林佩柔 勘誤 第 21 刊〈高中數學專題研究教案（PartI）〉 P34 倒數第 6 行「設m k 」應改為「設m k 」 P36 第 3 行「設m k 」應改為「設m k 」 P38 內部有洞的 1(1)~(4)分類應改為「1(1)一頁 24 張內部有一個洞一張為 1 洞」

「1(2)一頁 23 張內部有一個洞兩張為 1 洞」 「1(3)一頁 23 張內部有一個洞兩張為 1 洞」 「1(4)一頁 22 張內部有一個洞三張為 1 洞」

38 數亦優

動手玩數學 許志農臺灣師大數學系

在 下 圖 中已 知 ABC為 直 角

三 角 形 1AB 求

(1) 線段 AD的長度（化為最簡形式）

(2) 餘切 cot24

的值

〔玩鎖玩索〕

這道問題改編自「求 cot24

的值」這道

教師甄選試題關於這道餘切求值問題

有兩位老師的作法是用標準特別角出發

再求出欲求的餘切值

底下是另一位老師的作法

已知 ABC 為 直 角 三 角 形 4AC 求

AB BC及 cot24

的值

請 加 上 線 段 使 下 圖 分 成 五

份 形 狀 完 全 相 等 的 部 分（翻面

相等也算）

或 許 下 圖 對 你 會 有 些 幫 助 它 們 是 四 份

形 狀 完 全 相 等 的 部 分

〔玩鎖玩索〕

這是 1998 年夏天香港中文大學教育學

院第二次舉辦暑期資優課程中在數學有關的

工作坊裡的一道測智遊戲

遊戲 85

遊戲 86

數亦優 39

在 坐 標 平 面 上 畫 一 直 線 1L在

線 上 任 取 一 點O 以O為 旋 轉

中 心依 逆 時 針 方 向 將 直 線 1L

旋 轉 120得 到 直 線 2L 如 下

圖 所 示

已 知 直 線 1L 的 斜 率 為m求 證 直 線 2L 的 斜

率 為

3

3 1

m

m

〔玩鎖玩索〕

直線是平面幾何上的重要元素而斜率又

是直線在代數上的代言人掌握斜率就如同控

制直線一樣從逆轉120的 直 線 斜 率 公 式

不 難 知 道 坐 標 平 面 上 的 正 三 角 形 之 三

條 邊 斜 率

1 2 3 m m m

是可以互相推導的即由 1m 可 以 得 到 2m 與

3m 的 公 式 而 且 還 知 道 以 下 兩 個 恆 等 式

1 2 2 3 3 1 3m m m m m m

1 2 31 2 3

1 1 19m m m

m m m

宇 富 怕 手 機 被 盜 打 每 日 更

換 開 機 密 碼為 了 便 於 記 憶

他 想 到 一 則 更 換 密 碼 的 算 術

通 則 「 昨 天 密 碼 為p 今

日 的 密 碼 就 更 新 為1

1

p

p

」

宇 富 跟 所 有 的 人 說「 我 已 經

使 用 這 密 碼 通 則 500天 了 而

且 第 一 天 的 密 碼 就 設 為 2 1

相 信 各 位 算 到 手 痠也 無 法 算

出 今 天 的 開 機 密 碼 」

徵求可以破解開機密碼的人士

〔玩鎖玩索〕

如果第一天的密碼為 那麼破解密碼

的難度有增加嗎

遊戲 87

遊戲 88

40 數亦優

動動手手玩玩數數學學~~破破解解秘秘笈笈

遊戲 81

如圖所示

(1) 考慮 ABC 因為 8sin15AB BC 且

150ABC 所以 ABC 為等腰三角

形且 15BAC 因此

2 cos15 2 8sin15 cos15AC AB

1

8sin30 8 42

(2) 仿照(1)的方法 ACE 也是等腰三角

形且 30CAE 因此

32 cos30 2 4 4 3

2AE AC

遊戲 82

秦九韶這個依括弧次序求函數值 f a 的演

算法就是高中數學多項式那章所介紹的綜

合除法

2 5 4 8

2

2

a

a

仔細計算上述綜合除法的空白位置可以發

現小中大括弧位置所代表的值與秦九韶

小中大括弧內的值完全一樣

遊戲 83

(1)

2cos 2cos24 24cot

24 sin 2sin cos24 24 24

1 cos1 cos

3 412

sin sin12 3 4

(2) 因為

cos cos cos sin sin3 4 3 4 3 4

1 2 3 2

2 2 2 2

2 6

4 4

及

sin sin cos sin cos3 4 3 4 4 3

3 2 2 1

2 2 2 2

6 2

4 4

所以

2 61 4 6 24 4cot

24 6 2 6 24 4

2

4 6 2 6 2

6 2

2 2 3 6

遊戲 84

令

2 3A a b c b c i

2 3B c a b a b i

2 3C b a c c a i

且

1 3

2

i

因為 2A C B

所以 3 3 3 6 3A C B

又因為 3 6 1 所以 3 3 3A B C

得證

ltlt ASCII85EncodePages false AllowTransparency false AutoPositionEPSFiles true AutoRotatePages All Binding Left CalGrayProfile (Dot Gain 20) CalRGBProfile (sRGB IEC61966-21) CalCMYKProfile (US Web Coated 050SWOP051 v2) sRGBProfile (sRGB IEC61966-21) CannotEmbedFontPolicy Error CompatibilityLevel 13 CompressObjects Tags CompressPages true ConvertImagesToIndexed true PassThroughJPEGImages true CreateJobTicket false DefaultRenderingIntent Default DetectBlends true DetectCurves 00000 ColorConversionStrategy LeaveColorUnchanged DoThumbnails false EmbedAllFonts true EmbedOpenType false ParseICCProfilesInComments true EmbedJobOptions true DSCReportingLevel 0 EmitDSCWarnings false EndPage -1 ImageMemory 1048576 LockDistillerParams false MaxSubsetPct 100 Optimize true OPM 1 ParseDSCComments true ParseDSCCommentsForDocInfo true PreserveCopyPage true PreserveDICMYKValues true PreserveEPSInfo true PreserveFlatness true PreserveHalftoneInfo false PreserveOPIComments true PreserveOverprintSettings true StartPage 1 SubsetFonts true TransferFunctionInfo Apply UCRandBGInfo Preserve UsePrologue false ColorSettingsFile () AlwaysEmbed [ true ] NeverEmbed [ true ] AntiAliasColorImages false CropColorImages true ColorImageMinResolution 300 ColorImageMinResolutionPolicy OK DownsampleColorImages true ColorImageDownsampleType Bicubic ColorImageResolution 300 ColorImageDepth -1 ColorImageMinDownsampleDepth 1 ColorImageDownsampleThreshold 150000 EncodeColorImages true ColorImageFilter DCTEncode AutoFilterColorImages true ColorImageAutoFilterStrategy JPEG ColorACSImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt ColorImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt JPEG2000ColorACSImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 30 gtgt JPEG2000ColorImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 30 gtgt AntiAliasGrayImages false CropGrayImages true GrayImageMinResolution 300 GrayImageMinResolutionPolicy OK DownsampleGrayImages true GrayImageDownsampleType Bicubic GrayImageResolution 300 GrayImageDepth -1 GrayImageMinDownsampleDepth 2 GrayImageDownsampleThreshold 150000 EncodeGrayImages true GrayImageFilter DCTEncode AutoFilterGrayImages true GrayImageAutoFilterStrategy JPEG GrayACSImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt GrayImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt JPEG2000GrayACSImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 30 gtgt JPEG2000GrayImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 30 gtgt AntiAliasMonoImages false CropMonoImages true MonoImageMinResolution 1200 MonoImageMinResolutionPolicy OK DownsampleMonoImages true MonoImageDownsampleType Bicubic MonoImageResolution 1200 MonoImageDepth -1 MonoImageDownsampleThreshold 150000 EncodeMonoImages true MonoImageFilter CCITTFaxEncode MonoImageDict ltlt K -1 gtgt AllowPSXObjects false CheckCompliance [ None ] PDFX1aCheck false PDFX3Check false PDFXCompliantPDFOnly false PDFXNoTrimBoxError true PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 000000 000000 000000 000000 ] PDFXSetBleedBoxToMediaBox true PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 000000 000000 000000 000000 ] PDFXOutputIntentProfile () PDFXOutputConditionIdentifier () PDFXOutputCondition () PDFXRegistryName () PDFXTrapped False CreateJDFFile false Description ltlt ARA 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 SVE 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 TUR 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 UKR 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 ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 50 and later) CHT ltFEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002gt gtgt Namespace [ (Adobe) (Common) (10) ] OtherNamespaces [ ltlt AsReaderSpreads false CropImagesToFrames true ErrorControl WarnAndContinue FlattenerIgnoreSpreadOverrides false IncludeGuidesGrids false IncludeNonPrinting false IncludeSlug false Namespace [ (Adobe) (InDesign) (40) ] OmitPlacedBitmaps false OmitPlacedEPS false OmitPlacedPDF false SimulateOverprint Legacy gtgt ltlt AddBleedMarks false AddColorBars false AddCropMarks false AddPageInfo false AddRegMarks false ConvertColors ConvertToCMYK DestinationProfileName () DestinationProfileSelector DocumentCMYK 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24 數亦優

10 w的求法

將 27t 代入

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

7 2 7 4 7 6 7 8 7 1 7 3 7 5

7 2 7 4 7 6 8 7 5 9 3 11 1 13 1 15 3 5 11 13

6 8 4 10 2 12 10247 1 7 3 7 5

w

w

11 由 78910的討論可得

2 2 2 3 2 23 5 7 3 5 7 11 3 7 11 13 3 5 11 13

( ) 1024 1024 1024 1024

x y z w

即為(1)的所求

三 結論

1 解題的巧妙與否存乎一心「學則需疑於不疑處有疑方是進矣」本題為解四元

一次聯立方程式基本解題策略為克拉瑪公式加減消去法或代入消去法三種由

於這三種計算相當繁瑣進而苦思其他對策經過一番思索驀然回首伊人卻在

燈火闌珊處竟然將此題與四次多項方程式連結在一起有了令人會心一笑的妙解

真是一次驚奇的解題之旅

2 孔子曾言「學而不思則罔思而不學則殆」我期待每次解題時皆能直搗黃龍

一眼看穿題目的堂奧之妙事後「大膽假設小心求證」檢驗過程和結果是否達

到最佳化藉由在夙昔的典範亦步亦趨臻於真善美的解題境界

數亦優 25

國立臺灣師範大學數學系

筆試一計算證明題（考試時間2 小時）

1 (1) 直角三角形的兩股長為 a b斜邊長為 c試證 3 3 3c a b （8 分）

(2) 如下圖圓 O內二直徑 AC BD互相垂直在劣弧DC上任取一點 E

試證以 AE 為一邊的正方形面積等於四邊形 ABED面積的二倍 （12 分）

2 設函數 2( ) 6 5f x x x 求坐標平面上滿足聯立不等式

( ) ( ) 0

( ) ( ) 0

f x f y

f x f y

的所有點 ( )x y 所形成的區域面積 （20 分）

3 設 a b c d 為實數且 a b c d ( ) ( )f x g x 為滿足 ( ) ( )f a f b 及 ( ) ( )g c g d 的實係數二次多

項式已知 ( ) ( )f x g x 為常數多項式證明

(1) a b c d （8 分）

(2) 2( )

2

( )2

a bf a f

a bc d c d

g c g

（12 分）

4 如下圖所示ABC和DBC為空間中的兩個等腰三角形M為線段 BC 的中點令

AB AC a DB DC b BM CM c 和DA x

(1) 已知向量內積 0AM BD

求證 2 2 22x a b c （8 分）

(2) 已知 2 2 22x a b c 求證向量內積 0AM BD

（12 分）

26 數亦優

5 師大數學系舉辦系徽設計比賽入圍決選的有四件作品由 10 名學生代表進行不記名投票

每人投兩票且兩票須投不同作品在沒有廢票的情況下試問

(1) 四件作品的得票情形共有幾種 （8 分）

(2) 得票數 高的作品恰有一件的票數分布有幾種 （12 分）

筆試二填充題（考試時間15 小時）

1 設 a為實數若對於所有實數 x2

2

32

2

x ax

x x

恆成立則 a的範圍為

2 若等比數列的第三項是1 i 第五項是1 1

16 16i 其中 1i 則此等比數列的公比為

（有兩解）

3 從1234567 等數字中選取三個排成三位數數字不重複則排出來的是 3 的倍數但不是 5 的倍數

的整數有 個

4 桌上有十個骰子當中有一個骰子出現 5 點的機率是1

2而出現其他點數的機率均等其他

九個都是均勻的骰子用隨機的方式選取一個骰子來投擲在出現 5 點的情況下被選取的

骰子是不均勻骰子的條件機率為 （答案若為分數請化為 簡分數）

5 在電腦裡有一公定的對照表（ASCII）將英文字母ABhellipZ及空格等字元分別對應至一整數

其對應數字如下表所示

字母 空格 A B C D E F G H

ASCII 碼 32 65 66 67 68 69 70 71 72

字母 I J K L M N O P Q

ASCII 碼 73 74 75 76 77 78 79 80 81

字母 R S T U V W X Y Z

ASCII 碼 82 83 84 85 86 87 88 89 90

數亦優 27

我們可利用此對照表在 facebookTM 傳送保密訊息給朋友我們與朋友約定所有的英文字母及

空格皆以對照表中的整數替代例如「HE IS DAVID」的訊息用「7269327383326865867368」

取代然後將此數字字串的奇數項排在矩陣的第一列偶數項排在第二列形成以下矩陣

7 6 3 7 8 3 6 6 8 7 6

2 9 2 3 3 2 8 5 6 3 8B

再與二階方陣

1 2

2 3A

相乘得到

11 24 7 13 14 7 22 16 20 13 22

20 39 12 23 25 12 36 27 34 23 36AB

後依上述規則反求得字串「11202439071213231425071222361627203413232236」傳送給朋

友如此他人便不能立即得知傳送之內容現在在此規則下你接收到數字字串

「233825411222213516271932」可以轉成矩陣

23 25 12 21 16 19

38 41 22 35 27 32

其所代表之訊息為

6 坐標平面上圓 C通過點 (02) 且 C與兩直線 3 2 0 1 0x y y 皆相切則圓 C的方程

式為

7 坐標空間中ABC的三頂點分別為 (1 11) ( 321) (5 43)A B C P為ABC內部一點且

令P到 AB BC CA的距離分別為 x y z則 2 2 2x y z 的 小值為 （答案若為分數

請化為 簡分數）

8 函數 4 4( ) cos 3sinf x x x 的 小值為

9 設 為實數若

cos 0 sin

0 1 0

sin 0 cos

A

則 5A

10 袋中有編號分別為 1 到 6 的六個球從袋中隨機選取兩球令隨機變數 X表示在被選取的

兩球中球號比袋中剩下的球號都大的球的個數（例如如果選到 2 號和 3 號球那袋中剩

下的就是 1456 號球因為選出的球中並沒有比 1456 都大的球號故這種情況下 0X ）

隨機變數 X的期望值為 （答案若為分數請化為 簡分數）

28 數亦優

筆試一計算證明題

1 (1) 利用 2 2 2c a b 及 c a c b 得

3 2 2 2 2 3 3c c a b ca cb a b

(2) 過 E作 EF AC 則

四邊形 ABED的面積

1 1

2 21

21

2

ABD BDE

BD AO BD OF

BD AO OF

AC AF

又在直角三角形 ACE中因為2

AE AC AF 所以2

AE 四邊形 ABED面積的兩倍

2 因為

2 22 2( ) ( ) 6 6 10 3 3 8f x f y x y x y x y

2 2( ) ( ) 6 6 6f x f y x y x y x y x y

所以

2 23 3 8( ) ( ) 0

( ) ( ) 0 6 0

x yf x f y

f x f y x y x y

因此滿足上述條件的所有點 ( )x y 為

22 23 3 8

0 6 0

x y

x y x y

或 22 2

3 3 8

0 6 0

x y

x y x y

其所圍成的區域如下圖所示面積為 218 4

2

數亦優 29

3 (1) 依題意可設 ( ) ( )f x r x a x b s g x r x c x d s

因為 ( ) ( )f x g x 是常數多項式所以比較一二次項係數知

r r r a b r c d

得 a b c d

(2) 由 2 2

( )2 4 4

a b a ba bf r s r f a

得

2

4 ( )2a b

f a f

ra b

故得證

註1o 也可利用對稱性知 ( )y f x 的頂點之 x軸坐標為2

a b ( )y g x 的頂點之 x軸坐標

為2

c d而得證

2o 亦可用插值多項式證明

4 (1) 由向量分解DA DM MA DB BM MA

得

2 22 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2

2

2 2

DA DA DM MA DM MA DM MA

b c a c DB BM MA

b a c DB MA BM MA

因為 0AM BD

且 BM MA 所以

2 2 2 22DA b a c

因此

2 2 22DA a b c

(2) 由(1)及 BM MA 可得

2 2 2 22 2DA b a c DB MA

依題意知 2 2 22DA x b a c 即

22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2b a c b a c b a c DB MA

故

0DB MA

30 數亦優

5 (1) 由題意可以知道

1 四件作品所得的總票數為 20 票

2 每件作品 多可以得到 10 票

令四件作品的得票數分別為 x y z u由1 2 可得

200 10x y z u x y z u

因為 0 10x y z u 所以 420H 須扣掉11 20x y z u 的情況由 20x y z u 且

0x y z u 可知 多只有一個票數會大於等於 11假設 11x 令 11x x 可得

90 9x y z u x y z u

此情況有 4 129 9 220H C 種

因此票數分布為 4 420 94 1771 4 220 891H H 種

(2) 假設得票數 高為 x由題意可得

200 10x y z u y z u x

因為 y z u x 也就是 1y z u x 所以

1 1 1 4 3x y z u x x x x x

由 20x y z u 得

20 4 3x

即

23

4x

因此當 6x 時才會滿足只有一件作品得票數 高且票數為 x

當 6x 時

140 5y z u y z u

滿足此情況的 y z u有 (554)(545)(455) 3 種

當 7x 時

130 6y z u y z u

因為 13y z u 且 0y z u 所以 y z u 多只有一個會大於等於 7

由(1)可知滿足此情況有 3 3 15 813 6 13 63 3 105 84 21H H C C 種

同理

當 8910x 時 y z u 多只有一個會大於等於 8910故

當 8x 時有 3 3 14 612 4 12 43 3 91 45 46H H C C 種

當 9x 時有 3 3 13 411 2 11 23 3 78 18 60H H C C 種

數亦優 31

當 10x 時有 3 3 12 210 0 10 03 3 66 3 63H H C C 種

因此滿足只有一件作品得票數 高的情形有

4 3 21 46 60 63 772 種

筆試二填充題

1 2 3 4 5

0 4a 2 2

8 8i

66 1

4 NORMAL

6 7 8 9 10

2 2

3 1 4x y

2 2

3 3 5 36x y

（或是 2 2 2 3 2 0x y x y ）

50

79

3

4

cos5 0 sin 5

0 1 0

sin 5 0 cos5

2

5

32 數亦優

《接續PartI 請見數亦優第 21 期》

四 正多邊形

(一) 除了正方形及三角形以外我們還考慮將其他形狀組合討論其撕裂次數是否與正方

形三角形相同

(二) 並非所有正多邊形皆可組合若內角非360

kk

便不能組合例如

1 正五邊形的內角和180 3 540 則一個內角為108但108 360 k k

無法將五邊形完整組合必有空隙

2 正六邊形的內角和180 4 720 則一個內角為120因為120 3 360

則任三個相同的正六邊形皆可相互組合

(三) 完整排列正六邊形為例以 m張排列

例 1 一頁 5 個正六邊形排列

撕開 2 次使下排的兩個正六邊形與上排分開再逐一將上排撕開共需 4 次

由例 1撕的次數結果皆為 1m 次

（Part II） 陳敏晧國立蘭陽女中

數亦優 33

(四) 內部有洞正六邊形為例m張 n個洞排列

例 2 一頁 11 張且 2 洞排列

先撕開 2 次使其成為無洞排列再撕開 1 次使其變成兩頁完整排列再逐一撕開

共需 12 次

由例 1與例 2得知撕的次數結果皆為 1n m 次

五 「切割」的定義

(一) 我們從平面延伸到立體討論柏拉圖的五個正多面體先將正多面體每面切開分開

的次數是否也有彼此相似之處

(二) 因為立體無法如平面一樣用撕的故用切的而計算次數的定義與方法也與平面有很

大的差異

(三) 「切一次」的定義與限制沿著稜邊切下一個面才算作「一次」第一次切下後

便將封閉的正多面體打開此後每切一次都必須從開放的稜邊切下不可再一次從

封閉的面切下

以正六面體為例

此為一個完整封閉的正六面體

第一次沿著粗線切開可切下一個面

34 數亦優

六 柏拉圖多面體

1 正四面體

第一次將底面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 3 個面切下共需切

1 3 1 3 次

2 正六面體

第一次將頂面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 5 個面切下共需切

1 5 1 5 次

斜線部分為第一次被切下的面

封閉正六面體被打開後第二次只能從

開放的 4 條稜邊（粗線）切下

第二刀不可再從封閉面（粗線）開始切

數亦優 35

3 正八面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 7 個面切下共

需切 1 7 1 7 次

4 正十二面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 11 個面切下共

需切 1 11 1 11 次

5 正二十面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 19 個面切下共

需切 1 19 1 19 次

36 數亦優

由上述例子可得知切割次數皆剛好為正多面體的(總面數 1 )次

研究發現

內部有洞洞數 a b 其中 a洞的個數b每個洞的張數

矩 形

完整排列

邊長 邊長 總張數 撕的次數

2 2 4 3

4 5 20 19

不規則排列

總張數 撕的次數

10 9

13 12

內部有洞

邊長 邊長 洞數 總張數（邊長 邊長 洞的張數） 撕的次數

3 3 1 1 8 3 3 1 8

3 5 2 1 13 3 5 2 14

三 角 形

完整排列

邊長 總張數 撕的次數

2 4 3

3 9 8

不規則排列

總張數 撕的次數

10 9

13 12

內部有洞

邊長 洞數 總張數（邊長平方 洞的張數） 撕的次數

規

則

4 1 1 15 4 4 1 15

5 1 1 24 5 5 1 24

5 1 2 23 5 5 2 23

5 1 3 22 5 5 3 22

6 1 1 35 6 6 1 35

6 1 2 34 6 6 2 34

6 2 1 34 6 6 2 1 35

6 3 1 33 6 6 3 1 35

6 1 2 1 1 33 6 6 2 1 34

7 2 2 45 7 7 2 2 46

不

規

則

1 1 22 22

1 1 23 23

1 2 32 32

數亦優 37

六 邊 形

完整排列

總張數 撕的次數

3 2

5 4

內部有洞

洞數 總張數 撕的次數

1 1 6 6

2 1 11 12

正 多 面 體

面數 撕的次數

正四面體 4 3

正六面體 6 5

正八面體 8 7

正十二面體 12 11

正二十面體 20 19

目前的研究我們發現了以下獨特的結論平面幾何圖形中矩形正三角形和正六邊形的

規則形狀與不規則形狀紙張之最佳撕法都是(總張數 1 )次矩形正三角形及正六邊形排列成

內部有 n個洞且 m張的紙張之最佳撕法都是 1n m 次而柏拉圖立體的最少切割次數皆為

正多面體的(總面數 1 )次最重要我們發現其實撕裂或切割次數與撕裂或切割方法（或順序）

無關

參考資料

1 陳美如（200003）撕郵票問題數學傳播第 24 卷第 1 期P82~86

2 許志農與奇人相遇httpmathntnuedutw~macomeethtm

3 林義強多面體簡介第一屆全國高中數學教學研討會論文集P177~192

參數學專題研究反思 》

上述作品得到今年北一區數學科展優等過程中我與學生教學相長高二學生因為所學的

數學很有限所以數學解題層次會有侷限但是相對地數學思維與想像力卻是受過數學訓練

的我們所不及的在這次數學專題研究中我扮演的角色是諮詢者協助者鼓勵者完成任

務是那三位鍥而不捨的同學鄭羽呈李依庭林佩柔 勘誤 第 21 刊〈高中數學專題研究教案（PartI）〉 P34 倒數第 6 行「設m k 」應改為「設m k 」 P36 第 3 行「設m k 」應改為「設m k 」 P38 內部有洞的 1(1)~(4)分類應改為「1(1)一頁 24 張內部有一個洞一張為 1 洞」

「1(2)一頁 23 張內部有一個洞兩張為 1 洞」 「1(3)一頁 23 張內部有一個洞兩張為 1 洞」 「1(4)一頁 22 張內部有一個洞三張為 1 洞」

38 數亦優

動手玩數學 許志農臺灣師大數學系

在 下 圖 中已 知 ABC為 直 角

三 角 形 1AB 求

(1) 線段 AD的長度（化為最簡形式）

(2) 餘切 cot24

的值

〔玩鎖玩索〕

這道問題改編自「求 cot24

的值」這道

教師甄選試題關於這道餘切求值問題

有兩位老師的作法是用標準特別角出發

再求出欲求的餘切值

底下是另一位老師的作法

已知 ABC 為 直 角 三 角 形 4AC 求

AB BC及 cot24

的值

請 加 上 線 段 使 下 圖 分 成 五

份 形 狀 完 全 相 等 的 部 分（翻面

相等也算）

或 許 下 圖 對 你 會 有 些 幫 助 它 們 是 四 份

形 狀 完 全 相 等 的 部 分

〔玩鎖玩索〕

這是 1998 年夏天香港中文大學教育學

院第二次舉辦暑期資優課程中在數學有關的

工作坊裡的一道測智遊戲

遊戲 85

遊戲 86

數亦優 39

在 坐 標 平 面 上 畫 一 直 線 1L在

線 上 任 取 一 點O 以O為 旋 轉

中 心依 逆 時 針 方 向 將 直 線 1L

旋 轉 120得 到 直 線 2L 如 下

圖 所 示

已 知 直 線 1L 的 斜 率 為m求 證 直 線 2L 的 斜

率 為

3

3 1

m

m

〔玩鎖玩索〕

直線是平面幾何上的重要元素而斜率又

是直線在代數上的代言人掌握斜率就如同控

制直線一樣從逆轉120的 直 線 斜 率 公 式

不 難 知 道 坐 標 平 面 上 的 正 三 角 形 之 三

條 邊 斜 率

1 2 3 m m m

是可以互相推導的即由 1m 可 以 得 到 2m 與

3m 的 公 式 而 且 還 知 道 以 下 兩 個 恆 等 式

1 2 2 3 3 1 3m m m m m m

1 2 31 2 3

1 1 19m m m

m m m

宇 富 怕 手 機 被 盜 打 每 日 更

換 開 機 密 碼為 了 便 於 記 憶

他 想 到 一 則 更 換 密 碼 的 算 術

通 則 「 昨 天 密 碼 為p 今

日 的 密 碼 就 更 新 為1

1

p

p

」

宇 富 跟 所 有 的 人 說「 我 已 經

使 用 這 密 碼 通 則 500天 了 而

且 第 一 天 的 密 碼 就 設 為 2 1

相 信 各 位 算 到 手 痠也 無 法 算

出 今 天 的 開 機 密 碼 」

徵求可以破解開機密碼的人士

〔玩鎖玩索〕

如果第一天的密碼為 那麼破解密碼

的難度有增加嗎

遊戲 87

遊戲 88

40 數亦優

動動手手玩玩數數學學~~破破解解秘秘笈笈

遊戲 81

如圖所示

(1) 考慮 ABC 因為 8sin15AB BC 且

150ABC 所以 ABC 為等腰三角

形且 15BAC 因此

2 cos15 2 8sin15 cos15AC AB

1

8sin30 8 42

(2) 仿照(1)的方法 ACE 也是等腰三角

形且 30CAE 因此

32 cos30 2 4 4 3

2AE AC

遊戲 82

秦九韶這個依括弧次序求函數值 f a 的演

算法就是高中數學多項式那章所介紹的綜

合除法

2 5 4 8

2

2

a

a

仔細計算上述綜合除法的空白位置可以發

現小中大括弧位置所代表的值與秦九韶

小中大括弧內的值完全一樣

遊戲 83

(1)

2cos 2cos24 24cot

24 sin 2sin cos24 24 24

1 cos1 cos

3 412

sin sin12 3 4

(2) 因為

cos cos cos sin sin3 4 3 4 3 4

1 2 3 2

2 2 2 2

2 6

4 4

及

sin sin cos sin cos3 4 3 4 4 3

3 2 2 1

2 2 2 2

6 2

4 4

所以

2 61 4 6 24 4cot

24 6 2 6 24 4

2

4 6 2 6 2

6 2

2 2 3 6

遊戲 84

令

2 3A a b c b c i

2 3B c a b a b i

2 3C b a c c a i

且

1 3

2

i

因為 2A C B

所以 3 3 3 6 3A C B

又因為 3 6 1 所以 3 3 3A B C

得證

ltlt ASCII85EncodePages false AllowTransparency false AutoPositionEPSFiles true AutoRotatePages All Binding Left CalGrayProfile (Dot Gain 20) CalRGBProfile (sRGB IEC61966-21) CalCMYKProfile (US Web Coated 050SWOP051 v2) sRGBProfile (sRGB IEC61966-21) CannotEmbedFontPolicy Error CompatibilityLevel 13 CompressObjects Tags CompressPages true ConvertImagesToIndexed true PassThroughJPEGImages true CreateJobTicket false DefaultRenderingIntent Default DetectBlends true DetectCurves 00000 ColorConversionStrategy LeaveColorUnchanged DoThumbnails false EmbedAllFonts true EmbedOpenType false ParseICCProfilesInComments true EmbedJobOptions true DSCReportingLevel 0 EmitDSCWarnings false EndPage -1 ImageMemory 1048576 LockDistillerParams false MaxSubsetPct 100 Optimize true OPM 1 ParseDSCComments true ParseDSCCommentsForDocInfo true PreserveCopyPage true PreserveDICMYKValues true PreserveEPSInfo true PreserveFlatness true PreserveHalftoneInfo false PreserveOPIComments true PreserveOverprintSettings true StartPage 1 SubsetFonts true TransferFunctionInfo Apply UCRandBGInfo Preserve UsePrologue false ColorSettingsFile () AlwaysEmbed [ true ] NeverEmbed [ true ] AntiAliasColorImages false CropColorImages true ColorImageMinResolution 300 ColorImageMinResolutionPolicy OK DownsampleColorImages true ColorImageDownsampleType Bicubic ColorImageResolution 300 ColorImageDepth -1 ColorImageMinDownsampleDepth 1 ColorImageDownsampleThreshold 150000 EncodeColorImages true ColorImageFilter DCTEncode AutoFilterColorImages true ColorImageAutoFilterStrategy JPEG ColorACSImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt ColorImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt JPEG2000ColorACSImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 30 gtgt JPEG2000ColorImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 30 gtgt AntiAliasGrayImages false CropGrayImages true GrayImageMinResolution 300 GrayImageMinResolutionPolicy OK DownsampleGrayImages true GrayImageDownsampleType Bicubic GrayImageResolution 300 GrayImageDepth -1 GrayImageMinDownsampleDepth 2 GrayImageDownsampleThreshold 150000 EncodeGrayImages true GrayImageFilter DCTEncode AutoFilterGrayImages true GrayImageAutoFilterStrategy JPEG GrayACSImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt GrayImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt JPEG2000GrayACSImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 30 gtgt JPEG2000GrayImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 30 gtgt AntiAliasMonoImages false CropMonoImages true MonoImageMinResolution 1200 MonoImageMinResolutionPolicy OK DownsampleMonoImages true MonoImageDownsampleType Bicubic MonoImageResolution 1200 MonoImageDepth -1 MonoImageDownsampleThreshold 150000 EncodeMonoImages true MonoImageFilter CCITTFaxEncode MonoImageDict ltlt K -1 gtgt AllowPSXObjects false CheckCompliance [ None ] PDFX1aCheck false PDFX3Check false PDFXCompliantPDFOnly false PDFXNoTrimBoxError 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 TUR 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 UKR ltFEFF04120438043a043e0440043804410442043e043204430439044204350020044604560020043f043004400430043c043504420440043800200434043b044f0020044104420432043e04400435043d043d044f00200434043e043a0443043c0435043d044204560432002000410064006f006200650020005000440046002c0020044f043a04560020043d04300439043a04400430044904350020043f045604340445043e0434044f0442044c00200434043b044f0020043204380441043e043a043e044f043a04560441043d043e0433043e0020043f0435044004350434043404400443043a043e0432043e0433043e0020043404400443043a0443002e00200020042104420432043e04400435043d045600200434043e043a0443043c0435043d0442043800200050004400460020043c043e0436043d04300020043204560434043a0440043804420438002004430020004100630072006f006200610074002004420430002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002004300431043e0020043f04560437043d04560448043e04570020043204350440044104560457002egt ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 50 and later) CHT ltFEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002gt gtgt Namespace [ (Adobe) (Common) (10) ] OtherNamespaces [ ltlt AsReaderSpreads false CropImagesToFrames true ErrorControl WarnAndContinue FlattenerIgnoreSpreadOverrides false IncludeGuidesGrids false IncludeNonPrinting false IncludeSlug false Namespace [ (Adobe) (InDesign) (40) ] OmitPlacedBitmaps false OmitPlacedEPS false OmitPlacedPDF false SimulateOverprint Legacy gtgt ltlt AddBleedMarks false AddColorBars false AddCropMarks false AddPageInfo false AddRegMarks false ConvertColors ConvertToCMYK DestinationProfileName () DestinationProfileSelector DocumentCMYK 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數亦優 25

國立臺灣師範大學數學系

筆試一計算證明題（考試時間2 小時）

1 (1) 直角三角形的兩股長為 a b斜邊長為 c試證 3 3 3c a b （8 分）

(2) 如下圖圓 O內二直徑 AC BD互相垂直在劣弧DC上任取一點 E

試證以 AE 為一邊的正方形面積等於四邊形 ABED面積的二倍 （12 分）

2 設函數 2( ) 6 5f x x x 求坐標平面上滿足聯立不等式

( ) ( ) 0

( ) ( ) 0

f x f y

f x f y

的所有點 ( )x y 所形成的區域面積 （20 分）

3 設 a b c d 為實數且 a b c d ( ) ( )f x g x 為滿足 ( ) ( )f a f b 及 ( ) ( )g c g d 的實係數二次多

項式已知 ( ) ( )f x g x 為常數多項式證明

(1) a b c d （8 分）

(2) 2( )

2

( )2

a bf a f

a bc d c d

g c g

（12 分）

4 如下圖所示ABC和DBC為空間中的兩個等腰三角形M為線段 BC 的中點令

AB AC a DB DC b BM CM c 和DA x

(1) 已知向量內積 0AM BD

求證 2 2 22x a b c （8 分）

(2) 已知 2 2 22x a b c 求證向量內積 0AM BD

（12 分）

26 數亦優

5 師大數學系舉辦系徽設計比賽入圍決選的有四件作品由 10 名學生代表進行不記名投票

每人投兩票且兩票須投不同作品在沒有廢票的情況下試問

(1) 四件作品的得票情形共有幾種 （8 分）

(2) 得票數 高的作品恰有一件的票數分布有幾種 （12 分）

筆試二填充題（考試時間15 小時）

1 設 a為實數若對於所有實數 x2

2

32

2

x ax

x x

恆成立則 a的範圍為

2 若等比數列的第三項是1 i 第五項是1 1

16 16i 其中 1i 則此等比數列的公比為

（有兩解）

3 從1234567 等數字中選取三個排成三位數數字不重複則排出來的是 3 的倍數但不是 5 的倍數

的整數有 個

4 桌上有十個骰子當中有一個骰子出現 5 點的機率是1

2而出現其他點數的機率均等其他

九個都是均勻的骰子用隨機的方式選取一個骰子來投擲在出現 5 點的情況下被選取的

骰子是不均勻骰子的條件機率為 （答案若為分數請化為 簡分數）

5 在電腦裡有一公定的對照表（ASCII）將英文字母ABhellipZ及空格等字元分別對應至一整數

其對應數字如下表所示

字母 空格 A B C D E F G H

ASCII 碼 32 65 66 67 68 69 70 71 72

字母 I J K L M N O P Q

ASCII 碼 73 74 75 76 77 78 79 80 81

字母 R S T U V W X Y Z

ASCII 碼 82 83 84 85 86 87 88 89 90

數亦優 27

我們可利用此對照表在 facebookTM 傳送保密訊息給朋友我們與朋友約定所有的英文字母及

空格皆以對照表中的整數替代例如「HE IS DAVID」的訊息用「7269327383326865867368」

取代然後將此數字字串的奇數項排在矩陣的第一列偶數項排在第二列形成以下矩陣

7 6 3 7 8 3 6 6 8 7 6

2 9 2 3 3 2 8 5 6 3 8B

再與二階方陣

1 2

2 3A

相乘得到

11 24 7 13 14 7 22 16 20 13 22

20 39 12 23 25 12 36 27 34 23 36AB

後依上述規則反求得字串「11202439071213231425071222361627203413232236」傳送給朋

友如此他人便不能立即得知傳送之內容現在在此規則下你接收到數字字串

「233825411222213516271932」可以轉成矩陣

23 25 12 21 16 19

38 41 22 35 27 32

其所代表之訊息為

6 坐標平面上圓 C通過點 (02) 且 C與兩直線 3 2 0 1 0x y y 皆相切則圓 C的方程

式為

7 坐標空間中ABC的三頂點分別為 (1 11) ( 321) (5 43)A B C P為ABC內部一點且

令P到 AB BC CA的距離分別為 x y z則 2 2 2x y z 的 小值為 （答案若為分數

請化為 簡分數）

8 函數 4 4( ) cos 3sinf x x x 的 小值為

9 設 為實數若

cos 0 sin

0 1 0

sin 0 cos

A

則 5A

10 袋中有編號分別為 1 到 6 的六個球從袋中隨機選取兩球令隨機變數 X表示在被選取的

兩球中球號比袋中剩下的球號都大的球的個數（例如如果選到 2 號和 3 號球那袋中剩

下的就是 1456 號球因為選出的球中並沒有比 1456 都大的球號故這種情況下 0X ）

隨機變數 X的期望值為 （答案若為分數請化為 簡分數）

28 數亦優

筆試一計算證明題

1 (1) 利用 2 2 2c a b 及 c a c b 得

3 2 2 2 2 3 3c c a b ca cb a b

(2) 過 E作 EF AC 則

四邊形 ABED的面積

1 1

2 21

21

2

ABD BDE

BD AO BD OF

BD AO OF

AC AF

又在直角三角形 ACE中因為2

AE AC AF 所以2

AE 四邊形 ABED面積的兩倍

2 因為

2 22 2( ) ( ) 6 6 10 3 3 8f x f y x y x y x y

2 2( ) ( ) 6 6 6f x f y x y x y x y x y

所以

2 23 3 8( ) ( ) 0

( ) ( ) 0 6 0

x yf x f y

f x f y x y x y

因此滿足上述條件的所有點 ( )x y 為

22 23 3 8

0 6 0

x y

x y x y

或 22 2

3 3 8

0 6 0

x y

x y x y

其所圍成的區域如下圖所示面積為 218 4

2

數亦優 29

3 (1) 依題意可設 ( ) ( )f x r x a x b s g x r x c x d s

因為 ( ) ( )f x g x 是常數多項式所以比較一二次項係數知

r r r a b r c d

得 a b c d

(2) 由 2 2

( )2 4 4

a b a ba bf r s r f a

得

2

4 ( )2a b

f a f

ra b

故得證

註1o 也可利用對稱性知 ( )y f x 的頂點之 x軸坐標為2

a b ( )y g x 的頂點之 x軸坐標

為2

c d而得證

2o 亦可用插值多項式證明

4 (1) 由向量分解DA DM MA DB BM MA

得

2 22 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2

2

2 2

DA DA DM MA DM MA DM MA

b c a c DB BM MA

b a c DB MA BM MA

因為 0AM BD

且 BM MA 所以

2 2 2 22DA b a c

因此

2 2 22DA a b c

(2) 由(1)及 BM MA 可得

2 2 2 22 2DA b a c DB MA

依題意知 2 2 22DA x b a c 即

22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2b a c b a c b a c DB MA

故

0DB MA

30 數亦優

5 (1) 由題意可以知道

1 四件作品所得的總票數為 20 票

2 每件作品 多可以得到 10 票

令四件作品的得票數分別為 x y z u由1 2 可得

200 10x y z u x y z u

因為 0 10x y z u 所以 420H 須扣掉11 20x y z u 的情況由 20x y z u 且

0x y z u 可知 多只有一個票數會大於等於 11假設 11x 令 11x x 可得

90 9x y z u x y z u

此情況有 4 129 9 220H C 種

因此票數分布為 4 420 94 1771 4 220 891H H 種

(2) 假設得票數 高為 x由題意可得

200 10x y z u y z u x

因為 y z u x 也就是 1y z u x 所以

1 1 1 4 3x y z u x x x x x

由 20x y z u 得

20 4 3x

即

23

4x

因此當 6x 時才會滿足只有一件作品得票數 高且票數為 x

當 6x 時

140 5y z u y z u

滿足此情況的 y z u有 (554)(545)(455) 3 種

當 7x 時

130 6y z u y z u

因為 13y z u 且 0y z u 所以 y z u 多只有一個會大於等於 7

由(1)可知滿足此情況有 3 3 15 813 6 13 63 3 105 84 21H H C C 種

同理

當 8910x 時 y z u 多只有一個會大於等於 8910故

當 8x 時有 3 3 14 612 4 12 43 3 91 45 46H H C C 種

當 9x 時有 3 3 13 411 2 11 23 3 78 18 60H H C C 種

數亦優 31

當 10x 時有 3 3 12 210 0 10 03 3 66 3 63H H C C 種

因此滿足只有一件作品得票數 高的情形有

4 3 21 46 60 63 772 種

筆試二填充題

1 2 3 4 5

0 4a 2 2

8 8i

66 1

4 NORMAL

6 7 8 9 10

2 2

3 1 4x y

2 2

3 3 5 36x y

（或是 2 2 2 3 2 0x y x y ）

50

79

3

4

cos5 0 sin 5

0 1 0

sin 5 0 cos5

2

5

32 數亦優

《接續PartI 請見數亦優第 21 期》

四 正多邊形

(一) 除了正方形及三角形以外我們還考慮將其他形狀組合討論其撕裂次數是否與正方

形三角形相同

(二) 並非所有正多邊形皆可組合若內角非360

kk

便不能組合例如

1 正五邊形的內角和180 3 540 則一個內角為108但108 360 k k

無法將五邊形完整組合必有空隙

2 正六邊形的內角和180 4 720 則一個內角為120因為120 3 360

則任三個相同的正六邊形皆可相互組合

(三) 完整排列正六邊形為例以 m張排列

例 1 一頁 5 個正六邊形排列

撕開 2 次使下排的兩個正六邊形與上排分開再逐一將上排撕開共需 4 次

由例 1撕的次數結果皆為 1m 次

（Part II） 陳敏晧國立蘭陽女中

數亦優 33

(四) 內部有洞正六邊形為例m張 n個洞排列

例 2 一頁 11 張且 2 洞排列

先撕開 2 次使其成為無洞排列再撕開 1 次使其變成兩頁完整排列再逐一撕開

共需 12 次

由例 1與例 2得知撕的次數結果皆為 1n m 次

五 「切割」的定義

(一) 我們從平面延伸到立體討論柏拉圖的五個正多面體先將正多面體每面切開分開

的次數是否也有彼此相似之處

(二) 因為立體無法如平面一樣用撕的故用切的而計算次數的定義與方法也與平面有很

大的差異

(三) 「切一次」的定義與限制沿著稜邊切下一個面才算作「一次」第一次切下後

便將封閉的正多面體打開此後每切一次都必須從開放的稜邊切下不可再一次從

封閉的面切下

以正六面體為例

此為一個完整封閉的正六面體

第一次沿著粗線切開可切下一個面

34 數亦優

六 柏拉圖多面體

1 正四面體

第一次將底面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 3 個面切下共需切

1 3 1 3 次

2 正六面體

第一次將頂面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 5 個面切下共需切

1 5 1 5 次

斜線部分為第一次被切下的面

封閉正六面體被打開後第二次只能從

開放的 4 條稜邊（粗線）切下

第二刀不可再從封閉面（粗線）開始切

數亦優 35

3 正八面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 7 個面切下共

需切 1 7 1 7 次

4 正十二面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 11 個面切下共

需切 1 11 1 11 次

5 正二十面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 19 個面切下共

需切 1 19 1 19 次

36 數亦優

由上述例子可得知切割次數皆剛好為正多面體的(總面數 1 )次

研究發現

內部有洞洞數 a b 其中 a洞的個數b每個洞的張數

矩 形

完整排列

邊長 邊長 總張數 撕的次數

2 2 4 3

4 5 20 19

不規則排列

總張數 撕的次數

10 9

13 12

內部有洞

邊長 邊長 洞數 總張數（邊長 邊長 洞的張數） 撕的次數

3 3 1 1 8 3 3 1 8

3 5 2 1 13 3 5 2 14

三 角 形

完整排列

邊長 總張數 撕的次數

2 4 3

3 9 8

不規則排列

總張數 撕的次數

10 9

13 12

內部有洞

邊長 洞數 總張數（邊長平方 洞的張數） 撕的次數

規

則

4 1 1 15 4 4 1 15

5 1 1 24 5 5 1 24

5 1 2 23 5 5 2 23

5 1 3 22 5 5 3 22

6 1 1 35 6 6 1 35

6 1 2 34 6 6 2 34

6 2 1 34 6 6 2 1 35

6 3 1 33 6 6 3 1 35

6 1 2 1 1 33 6 6 2 1 34

7 2 2 45 7 7 2 2 46

不

規

則

1 1 22 22

1 1 23 23

1 2 32 32

數亦優 37

六 邊 形

完整排列

總張數 撕的次數

3 2

5 4

內部有洞

洞數 總張數 撕的次數

1 1 6 6

2 1 11 12

正 多 面 體

面數 撕的次數

正四面體 4 3

正六面體 6 5

正八面體 8 7

正十二面體 12 11

正二十面體 20 19

目前的研究我們發現了以下獨特的結論平面幾何圖形中矩形正三角形和正六邊形的

規則形狀與不規則形狀紙張之最佳撕法都是(總張數 1 )次矩形正三角形及正六邊形排列成

內部有 n個洞且 m張的紙張之最佳撕法都是 1n m 次而柏拉圖立體的最少切割次數皆為

正多面體的(總面數 1 )次最重要我們發現其實撕裂或切割次數與撕裂或切割方法（或順序）

無關

參考資料

1 陳美如（200003）撕郵票問題數學傳播第 24 卷第 1 期P82~86

2 許志農與奇人相遇httpmathntnuedutw~macomeethtm

3 林義強多面體簡介第一屆全國高中數學教學研討會論文集P177~192

參數學專題研究反思 》

上述作品得到今年北一區數學科展優等過程中我與學生教學相長高二學生因為所學的

數學很有限所以數學解題層次會有侷限但是相對地數學思維與想像力卻是受過數學訓練

的我們所不及的在這次數學專題研究中我扮演的角色是諮詢者協助者鼓勵者完成任

務是那三位鍥而不捨的同學鄭羽呈李依庭林佩柔 勘誤 第 21 刊〈高中數學專題研究教案（PartI）〉 P34 倒數第 6 行「設m k 」應改為「設m k 」 P36 第 3 行「設m k 」應改為「設m k 」 P38 內部有洞的 1(1)~(4)分類應改為「1(1)一頁 24 張內部有一個洞一張為 1 洞」

「1(2)一頁 23 張內部有一個洞兩張為 1 洞」 「1(3)一頁 23 張內部有一個洞兩張為 1 洞」 「1(4)一頁 22 張內部有一個洞三張為 1 洞」

38 數亦優

動手玩數學 許志農臺灣師大數學系

在 下 圖 中已 知 ABC為 直 角

三 角 形 1AB 求

(1) 線段 AD的長度（化為最簡形式）

(2) 餘切 cot24

的值

〔玩鎖玩索〕

這道問題改編自「求 cot24

的值」這道

教師甄選試題關於這道餘切求值問題

有兩位老師的作法是用標準特別角出發

再求出欲求的餘切值

底下是另一位老師的作法

已知 ABC 為 直 角 三 角 形 4AC 求

AB BC及 cot24

的值

請 加 上 線 段 使 下 圖 分 成 五

份 形 狀 完 全 相 等 的 部 分（翻面

相等也算）

或 許 下 圖 對 你 會 有 些 幫 助 它 們 是 四 份

形 狀 完 全 相 等 的 部 分

〔玩鎖玩索〕

這是 1998 年夏天香港中文大學教育學

院第二次舉辦暑期資優課程中在數學有關的

工作坊裡的一道測智遊戲

遊戲 85

遊戲 86

數亦優 39

在 坐 標 平 面 上 畫 一 直 線 1L在

線 上 任 取 一 點O 以O為 旋 轉

中 心依 逆 時 針 方 向 將 直 線 1L

旋 轉 120得 到 直 線 2L 如 下

圖 所 示

已 知 直 線 1L 的 斜 率 為m求 證 直 線 2L 的 斜

率 為

3

3 1

m

m

〔玩鎖玩索〕

直線是平面幾何上的重要元素而斜率又

是直線在代數上的代言人掌握斜率就如同控

制直線一樣從逆轉120的 直 線 斜 率 公 式

不 難 知 道 坐 標 平 面 上 的 正 三 角 形 之 三

條 邊 斜 率

1 2 3 m m m

是可以互相推導的即由 1m 可 以 得 到 2m 與

3m 的 公 式 而 且 還 知 道 以 下 兩 個 恆 等 式

1 2 2 3 3 1 3m m m m m m

1 2 31 2 3

1 1 19m m m

m m m

宇 富 怕 手 機 被 盜 打 每 日 更

換 開 機 密 碼為 了 便 於 記 憶

他 想 到 一 則 更 換 密 碼 的 算 術

通 則 「 昨 天 密 碼 為p 今

日 的 密 碼 就 更 新 為1

1

p

p

」

宇 富 跟 所 有 的 人 說「 我 已 經

使 用 這 密 碼 通 則 500天 了 而

且 第 一 天 的 密 碼 就 設 為 2 1

相 信 各 位 算 到 手 痠也 無 法 算

出 今 天 的 開 機 密 碼 」

徵求可以破解開機密碼的人士

〔玩鎖玩索〕

如果第一天的密碼為 那麼破解密碼

的難度有增加嗎

遊戲 87

遊戲 88

40 數亦優

動動手手玩玩數數學學~~破破解解秘秘笈笈

遊戲 81

如圖所示

(1) 考慮 ABC 因為 8sin15AB BC 且

150ABC 所以 ABC 為等腰三角

形且 15BAC 因此

2 cos15 2 8sin15 cos15AC AB

1

8sin30 8 42

(2) 仿照(1)的方法 ACE 也是等腰三角

形且 30CAE 因此

32 cos30 2 4 4 3

2AE AC

遊戲 82

秦九韶這個依括弧次序求函數值 f a 的演

算法就是高中數學多項式那章所介紹的綜

合除法

2 5 4 8

2

2

a

a

仔細計算上述綜合除法的空白位置可以發

現小中大括弧位置所代表的值與秦九韶

小中大括弧內的值完全一樣

遊戲 83

(1)

2cos 2cos24 24cot

24 sin 2sin cos24 24 24

1 cos1 cos

3 412

sin sin12 3 4

(2) 因為

cos cos cos sin sin3 4 3 4 3 4

1 2 3 2

2 2 2 2

2 6

4 4

及

sin sin cos sin cos3 4 3 4 4 3

3 2 2 1

2 2 2 2

6 2

4 4

所以

2 61 4 6 24 4cot

24 6 2 6 24 4

2

4 6 2 6 2

6 2

2 2 3 6

遊戲 84

令

2 3A a b c b c i

2 3B c a b a b i

2 3C b a c c a i

且

1 3

2

i

因為 2A C B

所以 3 3 3 6 3A C B

又因為 3 6 1 所以 3 3 3A B C

得證

ltlt ASCII85EncodePages false AllowTransparency false AutoPositionEPSFiles true AutoRotatePages All Binding Left CalGrayProfile (Dot Gain 20) CalRGBProfile (sRGB IEC61966-21) CalCMYKProfile (US Web Coated 050SWOP051 v2) sRGBProfile (sRGB IEC61966-21) CannotEmbedFontPolicy Error CompatibilityLevel 13 CompressObjects Tags CompressPages true ConvertImagesToIndexed true PassThroughJPEGImages true CreateJobTicket false DefaultRenderingIntent Default DetectBlends true DetectCurves 00000 ColorConversionStrategy LeaveColorUnchanged DoThumbnails false EmbedAllFonts true EmbedOpenType false ParseICCProfilesInComments true EmbedJobOptions true DSCReportingLevel 0 EmitDSCWarnings false EndPage -1 ImageMemory 1048576 LockDistillerParams false MaxSubsetPct 100 Optimize true OPM 1 ParseDSCComments true ParseDSCCommentsForDocInfo true PreserveCopyPage true PreserveDICMYKValues true PreserveEPSInfo true PreserveFlatness true PreserveHalftoneInfo false PreserveOPIComments true PreserveOverprintSettings true StartPage 1 SubsetFonts true TransferFunctionInfo Apply UCRandBGInfo Preserve UsePrologue false ColorSettingsFile () AlwaysEmbed [ true ] NeverEmbed [ true ] AntiAliasColorImages false CropColorImages true ColorImageMinResolution 300 ColorImageMinResolutionPolicy OK DownsampleColorImages true ColorImageDownsampleType Bicubic ColorImageResolution 300 ColorImageDepth -1 ColorImageMinDownsampleDepth 1 ColorImageDownsampleThreshold 150000 EncodeColorImages true ColorImageFilter DCTEncode AutoFilterColorImages true ColorImageAutoFilterStrategy JPEG ColorACSImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt ColorImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt JPEG2000ColorACSImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 30 gtgt JPEG2000ColorImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 30 gtgt AntiAliasGrayImages false CropGrayImages true GrayImageMinResolution 300 GrayImageMinResolutionPolicy OK DownsampleGrayImages true GrayImageDownsampleType Bicubic GrayImageResolution 300 GrayImageDepth -1 GrayImageMinDownsampleDepth 2 GrayImageDownsampleThreshold 150000 EncodeGrayImages true GrayImageFilter DCTEncode AutoFilterGrayImages true GrayImageAutoFilterStrategy JPEG GrayACSImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt GrayImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt JPEG2000GrayACSImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 30 gtgt JPEG2000GrayImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 30 gtgt AntiAliasMonoImages false CropMonoImages true MonoImageMinResolution 1200 MonoImageMinResolutionPolicy OK DownsampleMonoImages true MonoImageDownsampleType Bicubic MonoImageResolution 1200 MonoImageDepth -1 MonoImageDownsampleThreshold 150000 EncodeMonoImages true MonoImageFilter CCITTFaxEncode MonoImageDict ltlt K -1 gtgt AllowPSXObjects false CheckCompliance [ None ] PDFX1aCheck false PDFX3Check false PDFXCompliantPDFOnly false PDFXNoTrimBoxError 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 SUO 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 SVE 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 TUR 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 UKR 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 ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 50 and later) CHT ltFEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002gt gtgt Namespace [ (Adobe) (Common) (10) ] OtherNamespaces [ ltlt AsReaderSpreads false CropImagesToFrames true ErrorControl WarnAndContinue FlattenerIgnoreSpreadOverrides false IncludeGuidesGrids false IncludeNonPrinting false IncludeSlug false Namespace [ (Adobe) (InDesign) (40) ] OmitPlacedBitmaps false OmitPlacedEPS false OmitPlacedPDF false SimulateOverprint Legacy gtgt ltlt AddBleedMarks false AddColorBars false AddCropMarks false AddPageInfo false AddRegMarks false ConvertColors ConvertToCMYK DestinationProfileName () DestinationProfileSelector DocumentCMYK 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26 數亦優

5 師大數學系舉辦系徽設計比賽入圍決選的有四件作品由 10 名學生代表進行不記名投票

每人投兩票且兩票須投不同作品在沒有廢票的情況下試問

(1) 四件作品的得票情形共有幾種 （8 分）

(2) 得票數 高的作品恰有一件的票數分布有幾種 （12 分）

筆試二填充題（考試時間15 小時）

1 設 a為實數若對於所有實數 x2

2

32

2

x ax

x x

恆成立則 a的範圍為

2 若等比數列的第三項是1 i 第五項是1 1

16 16i 其中 1i 則此等比數列的公比為

（有兩解）

3 從1234567 等數字中選取三個排成三位數數字不重複則排出來的是 3 的倍數但不是 5 的倍數

的整數有 個

4 桌上有十個骰子當中有一個骰子出現 5 點的機率是1

2而出現其他點數的機率均等其他

九個都是均勻的骰子用隨機的方式選取一個骰子來投擲在出現 5 點的情況下被選取的

骰子是不均勻骰子的條件機率為 （答案若為分數請化為 簡分數）

5 在電腦裡有一公定的對照表（ASCII）將英文字母ABhellipZ及空格等字元分別對應至一整數

其對應數字如下表所示

字母 空格 A B C D E F G H

ASCII 碼 32 65 66 67 68 69 70 71 72

字母 I J K L M N O P Q

ASCII 碼 73 74 75 76 77 78 79 80 81

字母 R S T U V W X Y Z

ASCII 碼 82 83 84 85 86 87 88 89 90

數亦優 27

我們可利用此對照表在 facebookTM 傳送保密訊息給朋友我們與朋友約定所有的英文字母及

空格皆以對照表中的整數替代例如「HE IS DAVID」的訊息用「7269327383326865867368」

取代然後將此數字字串的奇數項排在矩陣的第一列偶數項排在第二列形成以下矩陣

7 6 3 7 8 3 6 6 8 7 6

2 9 2 3 3 2 8 5 6 3 8B

再與二階方陣

1 2

2 3A

相乘得到

11 24 7 13 14 7 22 16 20 13 22

20 39 12 23 25 12 36 27 34 23 36AB

後依上述規則反求得字串「11202439071213231425071222361627203413232236」傳送給朋

友如此他人便不能立即得知傳送之內容現在在此規則下你接收到數字字串

「233825411222213516271932」可以轉成矩陣

23 25 12 21 16 19

38 41 22 35 27 32

其所代表之訊息為

6 坐標平面上圓 C通過點 (02) 且 C與兩直線 3 2 0 1 0x y y 皆相切則圓 C的方程

式為

7 坐標空間中ABC的三頂點分別為 (1 11) ( 321) (5 43)A B C P為ABC內部一點且

令P到 AB BC CA的距離分別為 x y z則 2 2 2x y z 的 小值為 （答案若為分數

請化為 簡分數）

8 函數 4 4( ) cos 3sinf x x x 的 小值為

9 設 為實數若

cos 0 sin

0 1 0

sin 0 cos

A

則 5A

10 袋中有編號分別為 1 到 6 的六個球從袋中隨機選取兩球令隨機變數 X表示在被選取的

兩球中球號比袋中剩下的球號都大的球的個數（例如如果選到 2 號和 3 號球那袋中剩

下的就是 1456 號球因為選出的球中並沒有比 1456 都大的球號故這種情況下 0X ）

隨機變數 X的期望值為 （答案若為分數請化為 簡分數）

28 數亦優

筆試一計算證明題

1 (1) 利用 2 2 2c a b 及 c a c b 得

3 2 2 2 2 3 3c c a b ca cb a b

(2) 過 E作 EF AC 則

四邊形 ABED的面積

1 1

2 21

21

2

ABD BDE

BD AO BD OF

BD AO OF

AC AF

又在直角三角形 ACE中因為2

AE AC AF 所以2

AE 四邊形 ABED面積的兩倍

2 因為

2 22 2( ) ( ) 6 6 10 3 3 8f x f y x y x y x y

2 2( ) ( ) 6 6 6f x f y x y x y x y x y

所以

2 23 3 8( ) ( ) 0

( ) ( ) 0 6 0

x yf x f y

f x f y x y x y

因此滿足上述條件的所有點 ( )x y 為

22 23 3 8

0 6 0

x y

x y x y

或 22 2

3 3 8

0 6 0

x y

x y x y

其所圍成的區域如下圖所示面積為 218 4

2

數亦優 29

3 (1) 依題意可設 ( ) ( )f x r x a x b s g x r x c x d s

因為 ( ) ( )f x g x 是常數多項式所以比較一二次項係數知

r r r a b r c d

得 a b c d

(2) 由 2 2

( )2 4 4

a b a ba bf r s r f a

得

2

4 ( )2a b

f a f

ra b

故得證

註1o 也可利用對稱性知 ( )y f x 的頂點之 x軸坐標為2

a b ( )y g x 的頂點之 x軸坐標

為2

c d而得證

2o 亦可用插值多項式證明

4 (1) 由向量分解DA DM MA DB BM MA

得

2 22 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2

2

2 2

DA DA DM MA DM MA DM MA

b c a c DB BM MA

b a c DB MA BM MA

因為 0AM BD

且 BM MA 所以

2 2 2 22DA b a c

因此

2 2 22DA a b c

(2) 由(1)及 BM MA 可得

2 2 2 22 2DA b a c DB MA

依題意知 2 2 22DA x b a c 即

22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2b a c b a c b a c DB MA

故

0DB MA

30 數亦優

5 (1) 由題意可以知道

1 四件作品所得的總票數為 20 票

2 每件作品 多可以得到 10 票

令四件作品的得票數分別為 x y z u由1 2 可得

200 10x y z u x y z u

因為 0 10x y z u 所以 420H 須扣掉11 20x y z u 的情況由 20x y z u 且

0x y z u 可知 多只有一個票數會大於等於 11假設 11x 令 11x x 可得

90 9x y z u x y z u

此情況有 4 129 9 220H C 種

因此票數分布為 4 420 94 1771 4 220 891H H 種

(2) 假設得票數 高為 x由題意可得

200 10x y z u y z u x

因為 y z u x 也就是 1y z u x 所以

1 1 1 4 3x y z u x x x x x

由 20x y z u 得

20 4 3x

即

23

4x

因此當 6x 時才會滿足只有一件作品得票數 高且票數為 x

當 6x 時

140 5y z u y z u

滿足此情況的 y z u有 (554)(545)(455) 3 種

當 7x 時

130 6y z u y z u

因為 13y z u 且 0y z u 所以 y z u 多只有一個會大於等於 7

由(1)可知滿足此情況有 3 3 15 813 6 13 63 3 105 84 21H H C C 種

同理

當 8910x 時 y z u 多只有一個會大於等於 8910故

當 8x 時有 3 3 14 612 4 12 43 3 91 45 46H H C C 種

當 9x 時有 3 3 13 411 2 11 23 3 78 18 60H H C C 種

數亦優 31

當 10x 時有 3 3 12 210 0 10 03 3 66 3 63H H C C 種

因此滿足只有一件作品得票數 高的情形有

4 3 21 46 60 63 772 種

筆試二填充題

1 2 3 4 5

0 4a 2 2

8 8i

66 1

4 NORMAL

6 7 8 9 10

2 2

3 1 4x y

2 2

3 3 5 36x y

（或是 2 2 2 3 2 0x y x y ）

50

79

3

4

cos5 0 sin 5

0 1 0

sin 5 0 cos5

2

5

32 數亦優

《接續PartI 請見數亦優第 21 期》

四 正多邊形

(一) 除了正方形及三角形以外我們還考慮將其他形狀組合討論其撕裂次數是否與正方

形三角形相同

(二) 並非所有正多邊形皆可組合若內角非360

kk

便不能組合例如

1 正五邊形的內角和180 3 540 則一個內角為108但108 360 k k

無法將五邊形完整組合必有空隙

2 正六邊形的內角和180 4 720 則一個內角為120因為120 3 360

則任三個相同的正六邊形皆可相互組合

(三) 完整排列正六邊形為例以 m張排列

例 1 一頁 5 個正六邊形排列

撕開 2 次使下排的兩個正六邊形與上排分開再逐一將上排撕開共需 4 次

由例 1撕的次數結果皆為 1m 次

（Part II） 陳敏晧國立蘭陽女中

數亦優 33

(四) 內部有洞正六邊形為例m張 n個洞排列

例 2 一頁 11 張且 2 洞排列

先撕開 2 次使其成為無洞排列再撕開 1 次使其變成兩頁完整排列再逐一撕開

共需 12 次

由例 1與例 2得知撕的次數結果皆為 1n m 次

五 「切割」的定義

(一) 我們從平面延伸到立體討論柏拉圖的五個正多面體先將正多面體每面切開分開

的次數是否也有彼此相似之處

(二) 因為立體無法如平面一樣用撕的故用切的而計算次數的定義與方法也與平面有很

大的差異

(三) 「切一次」的定義與限制沿著稜邊切下一個面才算作「一次」第一次切下後

便將封閉的正多面體打開此後每切一次都必須從開放的稜邊切下不可再一次從

封閉的面切下

以正六面體為例

此為一個完整封閉的正六面體

第一次沿著粗線切開可切下一個面

34 數亦優

六 柏拉圖多面體

1 正四面體

第一次將底面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 3 個面切下共需切

1 3 1 3 次

2 正六面體

第一次將頂面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 5 個面切下共需切

1 5 1 5 次

斜線部分為第一次被切下的面

封閉正六面體被打開後第二次只能從

開放的 4 條稜邊（粗線）切下

第二刀不可再從封閉面（粗線）開始切

數亦優 35

3 正八面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 7 個面切下共

需切 1 7 1 7 次

4 正十二面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 11 個面切下共

需切 1 11 1 11 次

5 正二十面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 19 個面切下共

需切 1 19 1 19 次

36 數亦優

由上述例子可得知切割次數皆剛好為正多面體的(總面數 1 )次

研究發現

內部有洞洞數 a b 其中 a洞的個數b每個洞的張數

矩 形

完整排列

邊長 邊長 總張數 撕的次數

2 2 4 3

4 5 20 19

不規則排列

總張數 撕的次數

10 9

13 12

內部有洞

邊長 邊長 洞數 總張數（邊長 邊長 洞的張數） 撕的次數

3 3 1 1 8 3 3 1 8

3 5 2 1 13 3 5 2 14

三 角 形

完整排列

邊長 總張數 撕的次數

2 4 3

3 9 8

不規則排列

總張數 撕的次數

10 9

13 12

內部有洞

邊長 洞數 總張數（邊長平方 洞的張數） 撕的次數

規

則

4 1 1 15 4 4 1 15

5 1 1 24 5 5 1 24

5 1 2 23 5 5 2 23

5 1 3 22 5 5 3 22

6 1 1 35 6 6 1 35

6 1 2 34 6 6 2 34

6 2 1 34 6 6 2 1 35

6 3 1 33 6 6 3 1 35

6 1 2 1 1 33 6 6 2 1 34

7 2 2 45 7 7 2 2 46

不

規

則

1 1 22 22

1 1 23 23

1 2 32 32

數亦優 37

六 邊 形

完整排列

總張數 撕的次數

3 2

5 4

內部有洞

洞數 總張數 撕的次數

1 1 6 6

2 1 11 12

正 多 面 體

面數 撕的次數

正四面體 4 3

正六面體 6 5

正八面體 8 7

正十二面體 12 11

正二十面體 20 19

目前的研究我們發現了以下獨特的結論平面幾何圖形中矩形正三角形和正六邊形的

規則形狀與不規則形狀紙張之最佳撕法都是(總張數 1 )次矩形正三角形及正六邊形排列成

內部有 n個洞且 m張的紙張之最佳撕法都是 1n m 次而柏拉圖立體的最少切割次數皆為

正多面體的(總面數 1 )次最重要我們發現其實撕裂或切割次數與撕裂或切割方法（或順序）

無關

參考資料

1 陳美如（200003）撕郵票問題數學傳播第 24 卷第 1 期P82~86

2 許志農與奇人相遇httpmathntnuedutw~macomeethtm

3 林義強多面體簡介第一屆全國高中數學教學研討會論文集P177~192

參數學專題研究反思 》

上述作品得到今年北一區數學科展優等過程中我與學生教學相長高二學生因為所學的

數學很有限所以數學解題層次會有侷限但是相對地數學思維與想像力卻是受過數學訓練

的我們所不及的在這次數學專題研究中我扮演的角色是諮詢者協助者鼓勵者完成任

務是那三位鍥而不捨的同學鄭羽呈李依庭林佩柔 勘誤 第 21 刊〈高中數學專題研究教案（PartI）〉 P34 倒數第 6 行「設m k 」應改為「設m k 」 P36 第 3 行「設m k 」應改為「設m k 」 P38 內部有洞的 1(1)~(4)分類應改為「1(1)一頁 24 張內部有一個洞一張為 1 洞」

「1(2)一頁 23 張內部有一個洞兩張為 1 洞」 「1(3)一頁 23 張內部有一個洞兩張為 1 洞」 「1(4)一頁 22 張內部有一個洞三張為 1 洞」

38 數亦優

動手玩數學 許志農臺灣師大數學系

在 下 圖 中已 知 ABC為 直 角

三 角 形 1AB 求

(1) 線段 AD的長度（化為最簡形式）

(2) 餘切 cot24

的值

〔玩鎖玩索〕

這道問題改編自「求 cot24

的值」這道

教師甄選試題關於這道餘切求值問題

有兩位老師的作法是用標準特別角出發

再求出欲求的餘切值

底下是另一位老師的作法

已知 ABC 為 直 角 三 角 形 4AC 求

AB BC及 cot24

的值

請 加 上 線 段 使 下 圖 分 成 五

份 形 狀 完 全 相 等 的 部 分（翻面

相等也算）

或 許 下 圖 對 你 會 有 些 幫 助 它 們 是 四 份

形 狀 完 全 相 等 的 部 分

〔玩鎖玩索〕

這是 1998 年夏天香港中文大學教育學

院第二次舉辦暑期資優課程中在數學有關的

工作坊裡的一道測智遊戲

遊戲 85

遊戲 86

數亦優 39

在 坐 標 平 面 上 畫 一 直 線 1L在

線 上 任 取 一 點O 以O為 旋 轉

中 心依 逆 時 針 方 向 將 直 線 1L

旋 轉 120得 到 直 線 2L 如 下

圖 所 示

已 知 直 線 1L 的 斜 率 為m求 證 直 線 2L 的 斜

率 為

3

3 1

m

m

〔玩鎖玩索〕

直線是平面幾何上的重要元素而斜率又

是直線在代數上的代言人掌握斜率就如同控

制直線一樣從逆轉120的 直 線 斜 率 公 式

不 難 知 道 坐 標 平 面 上 的 正 三 角 形 之 三

條 邊 斜 率

1 2 3 m m m

是可以互相推導的即由 1m 可 以 得 到 2m 與

3m 的 公 式 而 且 還 知 道 以 下 兩 個 恆 等 式

1 2 2 3 3 1 3m m m m m m

1 2 31 2 3

1 1 19m m m

m m m

宇 富 怕 手 機 被 盜 打 每 日 更

換 開 機 密 碼為 了 便 於 記 憶

他 想 到 一 則 更 換 密 碼 的 算 術

通 則 「 昨 天 密 碼 為p 今

日 的 密 碼 就 更 新 為1

1

p

p

」

宇 富 跟 所 有 的 人 說「 我 已 經

使 用 這 密 碼 通 則 500天 了 而

且 第 一 天 的 密 碼 就 設 為 2 1

相 信 各 位 算 到 手 痠也 無 法 算

出 今 天 的 開 機 密 碼 」

徵求可以破解開機密碼的人士

〔玩鎖玩索〕

如果第一天的密碼為 那麼破解密碼

的難度有增加嗎

遊戲 87

遊戲 88

40 數亦優

動動手手玩玩數數學學~~破破解解秘秘笈笈

遊戲 81

如圖所示

(1) 考慮 ABC 因為 8sin15AB BC 且

150ABC 所以 ABC 為等腰三角

形且 15BAC 因此

2 cos15 2 8sin15 cos15AC AB

1

8sin30 8 42

(2) 仿照(1)的方法 ACE 也是等腰三角

形且 30CAE 因此

32 cos30 2 4 4 3

2AE AC

遊戲 82

秦九韶這個依括弧次序求函數值 f a 的演

算法就是高中數學多項式那章所介紹的綜

合除法

2 5 4 8

2

2

a

a

仔細計算上述綜合除法的空白位置可以發

現小中大括弧位置所代表的值與秦九韶

小中大括弧內的值完全一樣

遊戲 83

(1)

2cos 2cos24 24cot

24 sin 2sin cos24 24 24

1 cos1 cos

3 412

sin sin12 3 4

(2) 因為

cos cos cos sin sin3 4 3 4 3 4

1 2 3 2

2 2 2 2

2 6

4 4

及

sin sin cos sin cos3 4 3 4 4 3

3 2 2 1

2 2 2 2

6 2

4 4

所以

2 61 4 6 24 4cot

24 6 2 6 24 4

2

4 6 2 6 2

6 2

2 2 3 6

遊戲 84

令

2 3A a b c b c i

2 3B c a b a b i

2 3C b a c c a i

且

1 3

2

i

因為 2A C B

所以 3 3 3 6 3A C B

又因為 3 6 1 所以 3 3 3A B C

得證

ltlt ASCII85EncodePages false AllowTransparency false AutoPositionEPSFiles true AutoRotatePages All Binding Left CalGrayProfile (Dot Gain 20) CalRGBProfile (sRGB IEC61966-21) CalCMYKProfile (US Web Coated 050SWOP051 v2) sRGBProfile (sRGB IEC61966-21) CannotEmbedFontPolicy Error CompatibilityLevel 13 CompressObjects Tags CompressPages true ConvertImagesToIndexed true PassThroughJPEGImages true CreateJobTicket false DefaultRenderingIntent Default DetectBlends true DetectCurves 00000 ColorConversionStrategy LeaveColorUnchanged DoThumbnails false EmbedAllFonts true EmbedOpenType false ParseICCProfilesInComments true EmbedJobOptions true DSCReportingLevel 0 EmitDSCWarnings false EndPage -1 ImageMemory 1048576 LockDistillerParams false MaxSubsetPct 100 Optimize true OPM 1 ParseDSCComments true ParseDSCCommentsForDocInfo true PreserveCopyPage true PreserveDICMYKValues true PreserveEPSInfo true PreserveFlatness true PreserveHalftoneInfo false PreserveOPIComments true PreserveOverprintSettings true StartPage 1 SubsetFonts true TransferFunctionInfo Apply UCRandBGInfo Preserve UsePrologue false ColorSettingsFile () AlwaysEmbed [ true ] NeverEmbed [ true ] AntiAliasColorImages false CropColorImages true ColorImageMinResolution 300 ColorImageMinResolutionPolicy OK DownsampleColorImages true ColorImageDownsampleType Bicubic ColorImageResolution 300 ColorImageDepth -1 ColorImageMinDownsampleDepth 1 ColorImageDownsampleThreshold 150000 EncodeColorImages true ColorImageFilter DCTEncode AutoFilterColorImages true ColorImageAutoFilterStrategy JPEG ColorACSImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt ColorImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt JPEG2000ColorACSImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 30 gtgt JPEG2000ColorImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 30 gtgt AntiAliasGrayImages false CropGrayImages true GrayImageMinResolution 300 GrayImageMinResolutionPolicy OK DownsampleGrayImages true GrayImageDownsampleType Bicubic GrayImageResolution 300 GrayImageDepth -1 GrayImageMinDownsampleDepth 2 GrayImageDownsampleThreshold 150000 EncodeGrayImages true GrayImageFilter DCTEncode AutoFilterGrayImages true GrayImageAutoFilterStrategy JPEG GrayACSImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt GrayImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt JPEG2000GrayACSImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 30 gtgt JPEG2000GrayImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 30 gtgt AntiAliasMonoImages false CropMonoImages true MonoImageMinResolution 1200 MonoImageMinResolutionPolicy OK DownsampleMonoImages true MonoImageDownsampleType Bicubic MonoImageResolution 1200 MonoImageDepth -1 MonoImageDownsampleThreshold 150000 EncodeMonoImages true MonoImageFilter CCITTFaxEncode MonoImageDict ltlt K -1 gtgt AllowPSXObjects false CheckCompliance [ None ] PDFX1aCheck false PDFX3Check false PDFXCompliantPDFOnly false PDFXNoTrimBoxError true PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 000000 000000 000000 000000 ] PDFXSetBleedBoxToMediaBox true PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 000000 000000 000000 000000 ] PDFXOutputIntentProfile () PDFXOutputConditionIdentifier () PDFXOutputCondition () PDFXRegistryName () PDFXTrapped False CreateJDFFile false Description ltlt ARA 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 SUO ltFEFF004b00e40079007400e40020006e00e40069007400e4002000610073006500740075006b007300690061002c0020006b0075006e0020006c0075006f00740020006c00e400680069006e006e00e4002000760061006100740069007600610061006e0020007000610069006e006100740075006b00730065006e002000760061006c006d0069007300740065006c00750074007900f6006800f6006e00200073006f00700069007600690061002000410064006f0062006500200050004400460020002d0064006f006b0075006d0065006e007400740065006a0061002e0020004c0075006f0064007500740020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740069007400200076006f0069006400610061006e0020006100760061007400610020004100630072006f0062006100740069006c006c00610020006a0061002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030003a006c006c00610020006a006100200075007500640065006d006d0069006c006c0061002egt SVE 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 TUR ltFEFF005900fc006b00730065006b0020006b0061006c006900740065006c0069002000f6006e002000790061007a006401310072006d00610020006200610073006b013100730131006e006100200065006e0020006900790069002000750079006100620069006c006500630065006b002000410064006f006200650020005000440046002000620065006c00670065006c0065007200690020006f006c0075015f007400750072006d0061006b0020006900e70069006e00200062007500200061007900610072006c0061007201310020006b0075006c006c0061006e0131006e002e00200020004f006c0075015f0074007500720075006c0061006e0020005000440046002000620065006c00670065006c0065007200690020004100630072006f006200610074002000760065002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000200076006500200073006f006e0072006100730131006e00640061006b00690020007300fc007200fc006d006c00650072006c00650020006100e70131006c006100620069006c00690072002egt UKR 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 ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 50 and later) CHT ltFEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002gt gtgt Namespace [ (Adobe) (Common) (10) ] OtherNamespaces [ ltlt AsReaderSpreads false CropImagesToFrames true ErrorControl WarnAndContinue FlattenerIgnoreSpreadOverrides false IncludeGuidesGrids false IncludeNonPrinting false IncludeSlug false Namespace [ (Adobe) (InDesign) (40) ] OmitPlacedBitmaps false OmitPlacedEPS false OmitPlacedPDF false SimulateOverprint Legacy gtgt ltlt AddBleedMarks false AddColorBars false AddCropMarks false AddPageInfo false AddRegMarks false ConvertColors ConvertToCMYK DestinationProfileName () DestinationProfileSelector DocumentCMYK 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數亦優 27

我們可利用此對照表在 facebookTM 傳送保密訊息給朋友我們與朋友約定所有的英文字母及

空格皆以對照表中的整數替代例如「HE IS DAVID」的訊息用「7269327383326865867368」

取代然後將此數字字串的奇數項排在矩陣的第一列偶數項排在第二列形成以下矩陣

7 6 3 7 8 3 6 6 8 7 6

2 9 2 3 3 2 8 5 6 3 8B

再與二階方陣

1 2

2 3A

相乘得到

11 24 7 13 14 7 22 16 20 13 22

20 39 12 23 25 12 36 27 34 23 36AB

後依上述規則反求得字串「11202439071213231425071222361627203413232236」傳送給朋

友如此他人便不能立即得知傳送之內容現在在此規則下你接收到數字字串

「233825411222213516271932」可以轉成矩陣

23 25 12 21 16 19

38 41 22 35 27 32

其所代表之訊息為

6 坐標平面上圓 C通過點 (02) 且 C與兩直線 3 2 0 1 0x y y 皆相切則圓 C的方程

式為

7 坐標空間中ABC的三頂點分別為 (1 11) ( 321) (5 43)A B C P為ABC內部一點且

令P到 AB BC CA的距離分別為 x y z則 2 2 2x y z 的 小值為 （答案若為分數

請化為 簡分數）

8 函數 4 4( ) cos 3sinf x x x 的 小值為

9 設 為實數若

cos 0 sin

0 1 0

sin 0 cos

A

則 5A

10 袋中有編號分別為 1 到 6 的六個球從袋中隨機選取兩球令隨機變數 X表示在被選取的

兩球中球號比袋中剩下的球號都大的球的個數（例如如果選到 2 號和 3 號球那袋中剩

下的就是 1456 號球因為選出的球中並沒有比 1456 都大的球號故這種情況下 0X ）

隨機變數 X的期望值為 （答案若為分數請化為 簡分數）

28 數亦優

筆試一計算證明題

1 (1) 利用 2 2 2c a b 及 c a c b 得

3 2 2 2 2 3 3c c a b ca cb a b

(2) 過 E作 EF AC 則

四邊形 ABED的面積

1 1

2 21

21

2

ABD BDE

BD AO BD OF

BD AO OF

AC AF

又在直角三角形 ACE中因為2

AE AC AF 所以2

AE 四邊形 ABED面積的兩倍

2 因為

2 22 2( ) ( ) 6 6 10 3 3 8f x f y x y x y x y

2 2( ) ( ) 6 6 6f x f y x y x y x y x y

所以

2 23 3 8( ) ( ) 0

( ) ( ) 0 6 0

x yf x f y

f x f y x y x y

因此滿足上述條件的所有點 ( )x y 為

22 23 3 8

0 6 0

x y

x y x y

或 22 2

3 3 8

0 6 0

x y

x y x y

其所圍成的區域如下圖所示面積為 218 4

2

數亦優 29

3 (1) 依題意可設 ( ) ( )f x r x a x b s g x r x c x d s

因為 ( ) ( )f x g x 是常數多項式所以比較一二次項係數知

r r r a b r c d

得 a b c d

(2) 由 2 2

( )2 4 4

a b a ba bf r s r f a

得

2

4 ( )2a b

f a f

ra b

故得證

註1o 也可利用對稱性知 ( )y f x 的頂點之 x軸坐標為2

a b ( )y g x 的頂點之 x軸坐標

為2

c d而得證

2o 亦可用插值多項式證明

4 (1) 由向量分解DA DM MA DB BM MA

得

2 22 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2

2

2 2

DA DA DM MA DM MA DM MA

b c a c DB BM MA

b a c DB MA BM MA

因為 0AM BD

且 BM MA 所以

2 2 2 22DA b a c

因此

2 2 22DA a b c

(2) 由(1)及 BM MA 可得

2 2 2 22 2DA b a c DB MA

依題意知 2 2 22DA x b a c 即

22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2b a c b a c b a c DB MA

故

0DB MA

30 數亦優

5 (1) 由題意可以知道

1 四件作品所得的總票數為 20 票

2 每件作品 多可以得到 10 票

令四件作品的得票數分別為 x y z u由1 2 可得

200 10x y z u x y z u

因為 0 10x y z u 所以 420H 須扣掉11 20x y z u 的情況由 20x y z u 且

0x y z u 可知 多只有一個票數會大於等於 11假設 11x 令 11x x 可得

90 9x y z u x y z u

此情況有 4 129 9 220H C 種

因此票數分布為 4 420 94 1771 4 220 891H H 種

(2) 假設得票數 高為 x由題意可得

200 10x y z u y z u x

因為 y z u x 也就是 1y z u x 所以

1 1 1 4 3x y z u x x x x x

由 20x y z u 得

20 4 3x

即

23

4x

因此當 6x 時才會滿足只有一件作品得票數 高且票數為 x

當 6x 時

140 5y z u y z u

滿足此情況的 y z u有 (554)(545)(455) 3 種

當 7x 時

130 6y z u y z u

因為 13y z u 且 0y z u 所以 y z u 多只有一個會大於等於 7

由(1)可知滿足此情況有 3 3 15 813 6 13 63 3 105 84 21H H C C 種

同理

當 8910x 時 y z u 多只有一個會大於等於 8910故

當 8x 時有 3 3 14 612 4 12 43 3 91 45 46H H C C 種

當 9x 時有 3 3 13 411 2 11 23 3 78 18 60H H C C 種

數亦優 31

當 10x 時有 3 3 12 210 0 10 03 3 66 3 63H H C C 種

因此滿足只有一件作品得票數 高的情形有

4 3 21 46 60 63 772 種

筆試二填充題

1 2 3 4 5

0 4a 2 2

8 8i

66 1

4 NORMAL

6 7 8 9 10

2 2

3 1 4x y

2 2

3 3 5 36x y

（或是 2 2 2 3 2 0x y x y ）

50

79

3

4

cos5 0 sin 5

0 1 0

sin 5 0 cos5

2

5

32 數亦優

《接續PartI 請見數亦優第 21 期》

四 正多邊形

(一) 除了正方形及三角形以外我們還考慮將其他形狀組合討論其撕裂次數是否與正方

形三角形相同

(二) 並非所有正多邊形皆可組合若內角非360

kk

便不能組合例如

1 正五邊形的內角和180 3 540 則一個內角為108但108 360 k k

無法將五邊形完整組合必有空隙

2 正六邊形的內角和180 4 720 則一個內角為120因為120 3 360

則任三個相同的正六邊形皆可相互組合

(三) 完整排列正六邊形為例以 m張排列

例 1 一頁 5 個正六邊形排列

撕開 2 次使下排的兩個正六邊形與上排分開再逐一將上排撕開共需 4 次

由例 1撕的次數結果皆為 1m 次

（Part II） 陳敏晧國立蘭陽女中

數亦優 33

(四) 內部有洞正六邊形為例m張 n個洞排列

例 2 一頁 11 張且 2 洞排列

先撕開 2 次使其成為無洞排列再撕開 1 次使其變成兩頁完整排列再逐一撕開

共需 12 次

由例 1與例 2得知撕的次數結果皆為 1n m 次

五 「切割」的定義

(一) 我們從平面延伸到立體討論柏拉圖的五個正多面體先將正多面體每面切開分開

的次數是否也有彼此相似之處

(二) 因為立體無法如平面一樣用撕的故用切的而計算次數的定義與方法也與平面有很

大的差異

(三) 「切一次」的定義與限制沿著稜邊切下一個面才算作「一次」第一次切下後

便將封閉的正多面體打開此後每切一次都必須從開放的稜邊切下不可再一次從

封閉的面切下

以正六面體為例

此為一個完整封閉的正六面體

第一次沿著粗線切開可切下一個面

34 數亦優

六 柏拉圖多面體

1 正四面體

第一次將底面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 3 個面切下共需切

1 3 1 3 次

2 正六面體

第一次將頂面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 5 個面切下共需切

1 5 1 5 次

斜線部分為第一次被切下的面

封閉正六面體被打開後第二次只能從

開放的 4 條稜邊（粗線）切下

第二刀不可再從封閉面（粗線）開始切

數亦優 35

3 正八面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 7 個面切下共

需切 1 7 1 7 次

4 正十二面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 11 個面切下共

需切 1 11 1 11 次

5 正二十面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 19 個面切下共

需切 1 19 1 19 次

36 數亦優

由上述例子可得知切割次數皆剛好為正多面體的(總面數 1 )次

研究發現

內部有洞洞數 a b 其中 a洞的個數b每個洞的張數

矩 形

完整排列

邊長 邊長 總張數 撕的次數

2 2 4 3

4 5 20 19

不規則排列

總張數 撕的次數

10 9

13 12

內部有洞

邊長 邊長 洞數 總張數（邊長 邊長 洞的張數） 撕的次數

3 3 1 1 8 3 3 1 8

3 5 2 1 13 3 5 2 14

三 角 形

完整排列

邊長 總張數 撕的次數

2 4 3

3 9 8

不規則排列

總張數 撕的次數

10 9

13 12

內部有洞

邊長 洞數 總張數（邊長平方 洞的張數） 撕的次數

規

則

4 1 1 15 4 4 1 15

5 1 1 24 5 5 1 24

5 1 2 23 5 5 2 23

5 1 3 22 5 5 3 22

6 1 1 35 6 6 1 35

6 1 2 34 6 6 2 34

6 2 1 34 6 6 2 1 35

6 3 1 33 6 6 3 1 35

6 1 2 1 1 33 6 6 2 1 34

7 2 2 45 7 7 2 2 46

不

規

則

1 1 22 22

1 1 23 23

1 2 32 32

數亦優 37

六 邊 形

完整排列

總張數 撕的次數

3 2

5 4

內部有洞

洞數 總張數 撕的次數

1 1 6 6

2 1 11 12

正 多 面 體

面數 撕的次數

正四面體 4 3

正六面體 6 5

正八面體 8 7

正十二面體 12 11

正二十面體 20 19

目前的研究我們發現了以下獨特的結論平面幾何圖形中矩形正三角形和正六邊形的

規則形狀與不規則形狀紙張之最佳撕法都是(總張數 1 )次矩形正三角形及正六邊形排列成

內部有 n個洞且 m張的紙張之最佳撕法都是 1n m 次而柏拉圖立體的最少切割次數皆為

正多面體的(總面數 1 )次最重要我們發現其實撕裂或切割次數與撕裂或切割方法（或順序）

無關

參考資料

1 陳美如（200003）撕郵票問題數學傳播第 24 卷第 1 期P82~86

2 許志農與奇人相遇httpmathntnuedutw~macomeethtm

3 林義強多面體簡介第一屆全國高中數學教學研討會論文集P177~192

參數學專題研究反思 》

上述作品得到今年北一區數學科展優等過程中我與學生教學相長高二學生因為所學的

數學很有限所以數學解題層次會有侷限但是相對地數學思維與想像力卻是受過數學訓練

的我們所不及的在這次數學專題研究中我扮演的角色是諮詢者協助者鼓勵者完成任

務是那三位鍥而不捨的同學鄭羽呈李依庭林佩柔 勘誤 第 21 刊〈高中數學專題研究教案（PartI）〉 P34 倒數第 6 行「設m k 」應改為「設m k 」 P36 第 3 行「設m k 」應改為「設m k 」 P38 內部有洞的 1(1)~(4)分類應改為「1(1)一頁 24 張內部有一個洞一張為 1 洞」

「1(2)一頁 23 張內部有一個洞兩張為 1 洞」 「1(3)一頁 23 張內部有一個洞兩張為 1 洞」 「1(4)一頁 22 張內部有一個洞三張為 1 洞」

38 數亦優

動手玩數學 許志農臺灣師大數學系

在 下 圖 中已 知 ABC為 直 角

三 角 形 1AB 求

(1) 線段 AD的長度（化為最簡形式）

(2) 餘切 cot24

的值

〔玩鎖玩索〕

這道問題改編自「求 cot24

的值」這道

教師甄選試題關於這道餘切求值問題

有兩位老師的作法是用標準特別角出發

再求出欲求的餘切值

底下是另一位老師的作法

已知 ABC 為 直 角 三 角 形 4AC 求

AB BC及 cot24

的值

請 加 上 線 段 使 下 圖 分 成 五

份 形 狀 完 全 相 等 的 部 分（翻面

相等也算）

或 許 下 圖 對 你 會 有 些 幫 助 它 們 是 四 份

形 狀 完 全 相 等 的 部 分

〔玩鎖玩索〕

這是 1998 年夏天香港中文大學教育學

院第二次舉辦暑期資優課程中在數學有關的

工作坊裡的一道測智遊戲

遊戲 85

遊戲 86

數亦優 39

在 坐 標 平 面 上 畫 一 直 線 1L在

線 上 任 取 一 點O 以O為 旋 轉

中 心依 逆 時 針 方 向 將 直 線 1L

旋 轉 120得 到 直 線 2L 如 下

圖 所 示

已 知 直 線 1L 的 斜 率 為m求 證 直 線 2L 的 斜

率 為

3

3 1

m

m

〔玩鎖玩索〕

直線是平面幾何上的重要元素而斜率又

是直線在代數上的代言人掌握斜率就如同控

制直線一樣從逆轉120的 直 線 斜 率 公 式

不 難 知 道 坐 標 平 面 上 的 正 三 角 形 之 三

條 邊 斜 率

1 2 3 m m m

是可以互相推導的即由 1m 可 以 得 到 2m 與

3m 的 公 式 而 且 還 知 道 以 下 兩 個 恆 等 式

1 2 2 3 3 1 3m m m m m m

1 2 31 2 3

1 1 19m m m

m m m

宇 富 怕 手 機 被 盜 打 每 日 更

換 開 機 密 碼為 了 便 於 記 憶

他 想 到 一 則 更 換 密 碼 的 算 術

通 則 「 昨 天 密 碼 為p 今

日 的 密 碼 就 更 新 為1

1

p

p

」

宇 富 跟 所 有 的 人 說「 我 已 經

使 用 這 密 碼 通 則 500天 了 而

且 第 一 天 的 密 碼 就 設 為 2 1

相 信 各 位 算 到 手 痠也 無 法 算

出 今 天 的 開 機 密 碼 」

徵求可以破解開機密碼的人士

〔玩鎖玩索〕

如果第一天的密碼為 那麼破解密碼

的難度有增加嗎

遊戲 87

遊戲 88

40 數亦優

動動手手玩玩數數學學~~破破解解秘秘笈笈

遊戲 81

如圖所示

(1) 考慮 ABC 因為 8sin15AB BC 且

150ABC 所以 ABC 為等腰三角

形且 15BAC 因此

2 cos15 2 8sin15 cos15AC AB

1

8sin30 8 42

(2) 仿照(1)的方法 ACE 也是等腰三角

形且 30CAE 因此

32 cos30 2 4 4 3

2AE AC

遊戲 82

秦九韶這個依括弧次序求函數值 f a 的演

算法就是高中數學多項式那章所介紹的綜

合除法

2 5 4 8

2

2

a

a

仔細計算上述綜合除法的空白位置可以發

現小中大括弧位置所代表的值與秦九韶

小中大括弧內的值完全一樣

遊戲 83

(1)

2cos 2cos24 24cot

24 sin 2sin cos24 24 24

1 cos1 cos

3 412

sin sin12 3 4

(2) 因為

cos cos cos sin sin3 4 3 4 3 4

1 2 3 2

2 2 2 2

2 6

4 4

及

sin sin cos sin cos3 4 3 4 4 3

3 2 2 1

2 2 2 2

6 2

4 4

所以

2 61 4 6 24 4cot

24 6 2 6 24 4

2

4 6 2 6 2

6 2

2 2 3 6

遊戲 84

令

2 3A a b c b c i

2 3B c a b a b i

2 3C b a c c a i

且

1 3

2

i

因為 2A C B

所以 3 3 3 6 3A C B

又因為 3 6 1 所以 3 3 3A B C

得證

ltlt ASCII85EncodePages false AllowTransparency false AutoPositionEPSFiles true AutoRotatePages All Binding Left CalGrayProfile (Dot Gain 20) CalRGBProfile (sRGB IEC61966-21) CalCMYKProfile (US Web Coated 050SWOP051 v2) sRGBProfile (sRGB IEC61966-21) CannotEmbedFontPolicy Error CompatibilityLevel 13 CompressObjects Tags CompressPages true ConvertImagesToIndexed true PassThroughJPEGImages true CreateJobTicket false DefaultRenderingIntent Default DetectBlends true DetectCurves 00000 ColorConversionStrategy LeaveColorUnchanged DoThumbnails false EmbedAllFonts true EmbedOpenType false ParseICCProfilesInComments true EmbedJobOptions true DSCReportingLevel 0 EmitDSCWarnings false EndPage -1 ImageMemory 1048576 LockDistillerParams false MaxSubsetPct 100 Optimize true OPM 1 ParseDSCComments true ParseDSCCommentsForDocInfo true PreserveCopyPage true PreserveDICMYKValues true PreserveEPSInfo true PreserveFlatness true PreserveHalftoneInfo false PreserveOPIComments true PreserveOverprintSettings true StartPage 1 SubsetFonts true TransferFunctionInfo Apply UCRandBGInfo Preserve UsePrologue false ColorSettingsFile () AlwaysEmbed [ true ] NeverEmbed [ true ] AntiAliasColorImages false CropColorImages true ColorImageMinResolution 300 ColorImageMinResolutionPolicy OK DownsampleColorImages true ColorImageDownsampleType Bicubic ColorImageResolution 300 ColorImageDepth -1 ColorImageMinDownsampleDepth 1 ColorImageDownsampleThreshold 150000 EncodeColorImages true ColorImageFilter DCTEncode AutoFilterColorImages true ColorImageAutoFilterStrategy JPEG ColorACSImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt ColorImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt JPEG2000ColorACSImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 30 gtgt JPEG2000ColorImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 30 gtgt AntiAliasGrayImages false CropGrayImages true GrayImageMinResolution 300 GrayImageMinResolutionPolicy OK DownsampleGrayImages true GrayImageDownsampleType Bicubic GrayImageResolution 300 GrayImageDepth -1 GrayImageMinDownsampleDepth 2 GrayImageDownsampleThreshold 150000 EncodeGrayImages true GrayImageFilter DCTEncode AutoFilterGrayImages true GrayImageAutoFilterStrategy JPEG GrayACSImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt GrayImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt JPEG2000GrayACSImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 30 gtgt JPEG2000GrayImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 30 gtgt AntiAliasMonoImages false CropMonoImages true MonoImageMinResolution 1200 MonoImageMinResolutionPolicy OK DownsampleMonoImages true MonoImageDownsampleType Bicubic MonoImageResolution 1200 MonoImageDepth -1 MonoImageDownsampleThreshold 150000 EncodeMonoImages true MonoImageFilter CCITTFaxEncode MonoImageDict ltlt K -1 gtgt AllowPSXObjects false CheckCompliance [ None ] PDFX1aCheck false PDFX3Check false PDFXCompliantPDFOnly false PDFXNoTrimBoxError true PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 000000 000000 000000 000000 ] PDFXSetBleedBoxToMediaBox true PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 000000 000000 000000 000000 ] PDFXOutputIntentProfile () PDFXOutputConditionIdentifier () PDFXOutputCondition () PDFXRegistryName () PDFXTrapped False CreateJDFFile false Description ltlt ARA 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 BGR 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 TUR 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 UKR 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 ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 50 and later) CHT ltFEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002gt gtgt Namespace [ (Adobe) (Common) (10) ] OtherNamespaces [ ltlt AsReaderSpreads false CropImagesToFrames true ErrorControl WarnAndContinue FlattenerIgnoreSpreadOverrides false IncludeGuidesGrids false IncludeNonPrinting false IncludeSlug false Namespace [ (Adobe) (InDesign) (40) ] OmitPlacedBitmaps false OmitPlacedEPS false OmitPlacedPDF false SimulateOverprint Legacy gtgt ltlt AddBleedMarks false AddColorBars false AddCropMarks false AddPageInfo false AddRegMarks false ConvertColors ConvertToCMYK DestinationProfileName () DestinationProfileSelector DocumentCMYK 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28 數亦優

筆試一計算證明題

1 (1) 利用 2 2 2c a b 及 c a c b 得

3 2 2 2 2 3 3c c a b ca cb a b

(2) 過 E作 EF AC 則

四邊形 ABED的面積

1 1

2 21

21

2

ABD BDE

BD AO BD OF

BD AO OF

AC AF

又在直角三角形 ACE中因為2

AE AC AF 所以2

AE 四邊形 ABED面積的兩倍

2 因為

2 22 2( ) ( ) 6 6 10 3 3 8f x f y x y x y x y

2 2( ) ( ) 6 6 6f x f y x y x y x y x y

所以

2 23 3 8( ) ( ) 0

( ) ( ) 0 6 0

x yf x f y

f x f y x y x y

因此滿足上述條件的所有點 ( )x y 為

22 23 3 8

0 6 0

x y

x y x y

或 22 2

3 3 8

0 6 0

x y

x y x y

其所圍成的區域如下圖所示面積為 218 4

2

數亦優 29

3 (1) 依題意可設 ( ) ( )f x r x a x b s g x r x c x d s

因為 ( ) ( )f x g x 是常數多項式所以比較一二次項係數知

r r r a b r c d

得 a b c d

(2) 由 2 2

( )2 4 4

a b a ba bf r s r f a

得

2

4 ( )2a b

f a f

ra b

故得證

註1o 也可利用對稱性知 ( )y f x 的頂點之 x軸坐標為2

a b ( )y g x 的頂點之 x軸坐標

為2

c d而得證

2o 亦可用插值多項式證明

4 (1) 由向量分解DA DM MA DB BM MA

得

2 22 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2

2

2 2

DA DA DM MA DM MA DM MA

b c a c DB BM MA

b a c DB MA BM MA

因為 0AM BD

且 BM MA 所以

2 2 2 22DA b a c

因此

2 2 22DA a b c

(2) 由(1)及 BM MA 可得

2 2 2 22 2DA b a c DB MA

依題意知 2 2 22DA x b a c 即

22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2b a c b a c b a c DB MA

故

0DB MA

30 數亦優

5 (1) 由題意可以知道

1 四件作品所得的總票數為 20 票

2 每件作品 多可以得到 10 票

令四件作品的得票數分別為 x y z u由1 2 可得

200 10x y z u x y z u

因為 0 10x y z u 所以 420H 須扣掉11 20x y z u 的情況由 20x y z u 且

0x y z u 可知 多只有一個票數會大於等於 11假設 11x 令 11x x 可得

90 9x y z u x y z u

此情況有 4 129 9 220H C 種

因此票數分布為 4 420 94 1771 4 220 891H H 種

(2) 假設得票數 高為 x由題意可得

200 10x y z u y z u x

因為 y z u x 也就是 1y z u x 所以

1 1 1 4 3x y z u x x x x x

由 20x y z u 得

20 4 3x

即

23

4x

因此當 6x 時才會滿足只有一件作品得票數 高且票數為 x

當 6x 時

140 5y z u y z u

滿足此情況的 y z u有 (554)(545)(455) 3 種

當 7x 時

130 6y z u y z u

因為 13y z u 且 0y z u 所以 y z u 多只有一個會大於等於 7

由(1)可知滿足此情況有 3 3 15 813 6 13 63 3 105 84 21H H C C 種

同理

當 8910x 時 y z u 多只有一個會大於等於 8910故

當 8x 時有 3 3 14 612 4 12 43 3 91 45 46H H C C 種

當 9x 時有 3 3 13 411 2 11 23 3 78 18 60H H C C 種

數亦優 31

當 10x 時有 3 3 12 210 0 10 03 3 66 3 63H H C C 種

因此滿足只有一件作品得票數 高的情形有

4 3 21 46 60 63 772 種

筆試二填充題

1 2 3 4 5

0 4a 2 2

8 8i

66 1

4 NORMAL

6 7 8 9 10

2 2

3 1 4x y

2 2

3 3 5 36x y

（或是 2 2 2 3 2 0x y x y ）

50

79

3

4

cos5 0 sin 5

0 1 0

sin 5 0 cos5

2

5

32 數亦優

《接續PartI 請見數亦優第 21 期》

四 正多邊形

(一) 除了正方形及三角形以外我們還考慮將其他形狀組合討論其撕裂次數是否與正方

形三角形相同

(二) 並非所有正多邊形皆可組合若內角非360

kk

便不能組合例如

1 正五邊形的內角和180 3 540 則一個內角為108但108 360 k k

無法將五邊形完整組合必有空隙

2 正六邊形的內角和180 4 720 則一個內角為120因為120 3 360

則任三個相同的正六邊形皆可相互組合

(三) 完整排列正六邊形為例以 m張排列

例 1 一頁 5 個正六邊形排列

撕開 2 次使下排的兩個正六邊形與上排分開再逐一將上排撕開共需 4 次

由例 1撕的次數結果皆為 1m 次

（Part II） 陳敏晧國立蘭陽女中

數亦優 33

(四) 內部有洞正六邊形為例m張 n個洞排列

例 2 一頁 11 張且 2 洞排列

先撕開 2 次使其成為無洞排列再撕開 1 次使其變成兩頁完整排列再逐一撕開

共需 12 次

由例 1與例 2得知撕的次數結果皆為 1n m 次

五 「切割」的定義

(一) 我們從平面延伸到立體討論柏拉圖的五個正多面體先將正多面體每面切開分開

的次數是否也有彼此相似之處

(二) 因為立體無法如平面一樣用撕的故用切的而計算次數的定義與方法也與平面有很

大的差異

(三) 「切一次」的定義與限制沿著稜邊切下一個面才算作「一次」第一次切下後

便將封閉的正多面體打開此後每切一次都必須從開放的稜邊切下不可再一次從

封閉的面切下

以正六面體為例

此為一個完整封閉的正六面體

第一次沿著粗線切開可切下一個面

34 數亦優

六 柏拉圖多面體

1 正四面體

第一次將底面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 3 個面切下共需切

1 3 1 3 次

2 正六面體

第一次將頂面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 5 個面切下共需切

1 5 1 5 次

斜線部分為第一次被切下的面

封閉正六面體被打開後第二次只能從

開放的 4 條稜邊（粗線）切下

第二刀不可再從封閉面（粗線）開始切

數亦優 35

3 正八面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 7 個面切下共

需切 1 7 1 7 次

4 正十二面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 11 個面切下共

需切 1 11 1 11 次

5 正二十面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 19 個面切下共

需切 1 19 1 19 次

36 數亦優

由上述例子可得知切割次數皆剛好為正多面體的(總面數 1 )次

研究發現

內部有洞洞數 a b 其中 a洞的個數b每個洞的張數

矩 形

完整排列

邊長 邊長 總張數 撕的次數

2 2 4 3

4 5 20 19

不規則排列

總張數 撕的次數

10 9

13 12

內部有洞

邊長 邊長 洞數 總張數（邊長 邊長 洞的張數） 撕的次數

3 3 1 1 8 3 3 1 8

3 5 2 1 13 3 5 2 14

三 角 形

完整排列

邊長 總張數 撕的次數

2 4 3

3 9 8

不規則排列

總張數 撕的次數

10 9

13 12

內部有洞

邊長 洞數 總張數（邊長平方 洞的張數） 撕的次數

規

則

4 1 1 15 4 4 1 15

5 1 1 24 5 5 1 24

5 1 2 23 5 5 2 23

5 1 3 22 5 5 3 22

6 1 1 35 6 6 1 35

6 1 2 34 6 6 2 34

6 2 1 34 6 6 2 1 35

6 3 1 33 6 6 3 1 35

6 1 2 1 1 33 6 6 2 1 34

7 2 2 45 7 7 2 2 46

不

規

則

1 1 22 22

1 1 23 23

1 2 32 32

數亦優 37

六 邊 形

完整排列

總張數 撕的次數

3 2

5 4

內部有洞

洞數 總張數 撕的次數

1 1 6 6

2 1 11 12

正 多 面 體

面數 撕的次數

正四面體 4 3

正六面體 6 5

正八面體 8 7

正十二面體 12 11

正二十面體 20 19

目前的研究我們發現了以下獨特的結論平面幾何圖形中矩形正三角形和正六邊形的

規則形狀與不規則形狀紙張之最佳撕法都是(總張數 1 )次矩形正三角形及正六邊形排列成

內部有 n個洞且 m張的紙張之最佳撕法都是 1n m 次而柏拉圖立體的最少切割次數皆為

正多面體的(總面數 1 )次最重要我們發現其實撕裂或切割次數與撕裂或切割方法（或順序）

無關

參考資料

1 陳美如（200003）撕郵票問題數學傳播第 24 卷第 1 期P82~86

2 許志農與奇人相遇httpmathntnuedutw~macomeethtm

3 林義強多面體簡介第一屆全國高中數學教學研討會論文集P177~192

參數學專題研究反思 》

上述作品得到今年北一區數學科展優等過程中我與學生教學相長高二學生因為所學的

數學很有限所以數學解題層次會有侷限但是相對地數學思維與想像力卻是受過數學訓練

的我們所不及的在這次數學專題研究中我扮演的角色是諮詢者協助者鼓勵者完成任

務是那三位鍥而不捨的同學鄭羽呈李依庭林佩柔 勘誤 第 21 刊〈高中數學專題研究教案（PartI）〉 P34 倒數第 6 行「設m k 」應改為「設m k 」 P36 第 3 行「設m k 」應改為「設m k 」 P38 內部有洞的 1(1)~(4)分類應改為「1(1)一頁 24 張內部有一個洞一張為 1 洞」

「1(2)一頁 23 張內部有一個洞兩張為 1 洞」 「1(3)一頁 23 張內部有一個洞兩張為 1 洞」 「1(4)一頁 22 張內部有一個洞三張為 1 洞」

38 數亦優

動手玩數學 許志農臺灣師大數學系

在 下 圖 中已 知 ABC為 直 角

三 角 形 1AB 求

(1) 線段 AD的長度（化為最簡形式）

(2) 餘切 cot24

的值

〔玩鎖玩索〕

這道問題改編自「求 cot24

的值」這道

教師甄選試題關於這道餘切求值問題

有兩位老師的作法是用標準特別角出發

再求出欲求的餘切值

底下是另一位老師的作法

已知 ABC 為 直 角 三 角 形 4AC 求

AB BC及 cot24

的值

請 加 上 線 段 使 下 圖 分 成 五

份 形 狀 完 全 相 等 的 部 分（翻面

相等也算）

或 許 下 圖 對 你 會 有 些 幫 助 它 們 是 四 份

形 狀 完 全 相 等 的 部 分

〔玩鎖玩索〕

這是 1998 年夏天香港中文大學教育學

院第二次舉辦暑期資優課程中在數學有關的

工作坊裡的一道測智遊戲

遊戲 85

遊戲 86

數亦優 39

在 坐 標 平 面 上 畫 一 直 線 1L在

線 上 任 取 一 點O 以O為 旋 轉

中 心依 逆 時 針 方 向 將 直 線 1L

旋 轉 120得 到 直 線 2L 如 下

圖 所 示

已 知 直 線 1L 的 斜 率 為m求 證 直 線 2L 的 斜

率 為

3

3 1

m

m

〔玩鎖玩索〕

直線是平面幾何上的重要元素而斜率又

是直線在代數上的代言人掌握斜率就如同控

制直線一樣從逆轉120的 直 線 斜 率 公 式

不 難 知 道 坐 標 平 面 上 的 正 三 角 形 之 三

條 邊 斜 率

1 2 3 m m m

是可以互相推導的即由 1m 可 以 得 到 2m 與

3m 的 公 式 而 且 還 知 道 以 下 兩 個 恆 等 式

1 2 2 3 3 1 3m m m m m m

1 2 31 2 3

1 1 19m m m

m m m

宇 富 怕 手 機 被 盜 打 每 日 更

換 開 機 密 碼為 了 便 於 記 憶

他 想 到 一 則 更 換 密 碼 的 算 術

通 則 「 昨 天 密 碼 為p 今

日 的 密 碼 就 更 新 為1

1

p

p

」

宇 富 跟 所 有 的 人 說「 我 已 經

使 用 這 密 碼 通 則 500天 了 而

且 第 一 天 的 密 碼 就 設 為 2 1

相 信 各 位 算 到 手 痠也 無 法 算

出 今 天 的 開 機 密 碼 」

徵求可以破解開機密碼的人士

〔玩鎖玩索〕

如果第一天的密碼為 那麼破解密碼

的難度有增加嗎

遊戲 87

遊戲 88

40 數亦優

動動手手玩玩數數學學~~破破解解秘秘笈笈

遊戲 81

如圖所示

(1) 考慮 ABC 因為 8sin15AB BC 且

150ABC 所以 ABC 為等腰三角

形且 15BAC 因此

2 cos15 2 8sin15 cos15AC AB

1

8sin30 8 42

(2) 仿照(1)的方法 ACE 也是等腰三角

形且 30CAE 因此

32 cos30 2 4 4 3

2AE AC

遊戲 82

秦九韶這個依括弧次序求函數值 f a 的演

算法就是高中數學多項式那章所介紹的綜

合除法

2 5 4 8

2

2

a

a

仔細計算上述綜合除法的空白位置可以發

現小中大括弧位置所代表的值與秦九韶

小中大括弧內的值完全一樣

遊戲 83

(1)

2cos 2cos24 24cot

24 sin 2sin cos24 24 24

1 cos1 cos

3 412

sin sin12 3 4

(2) 因為

cos cos cos sin sin3 4 3 4 3 4

1 2 3 2

2 2 2 2

2 6

4 4

及

sin sin cos sin cos3 4 3 4 4 3

3 2 2 1

2 2 2 2

6 2

4 4

所以

2 61 4 6 24 4cot

24 6 2 6 24 4

2

4 6 2 6 2

6 2

2 2 3 6

遊戲 84

令

2 3A a b c b c i

2 3B c a b a b i

2 3C b a c c a i

且

1 3

2

i

因為 2A C B

所以 3 3 3 6 3A C B

又因為 3 6 1 所以 3 3 3A B C

得證

ltlt ASCII85EncodePages false AllowTransparency false AutoPositionEPSFiles true AutoRotatePages All Binding Left CalGrayProfile (Dot Gain 20) CalRGBProfile (sRGB IEC61966-21) CalCMYKProfile (US Web Coated 050SWOP051 v2) sRGBProfile (sRGB IEC61966-21) CannotEmbedFontPolicy Error CompatibilityLevel 13 CompressObjects Tags CompressPages true ConvertImagesToIndexed true PassThroughJPEGImages true CreateJobTicket false DefaultRenderingIntent Default DetectBlends true DetectCurves 00000 ColorConversionStrategy LeaveColorUnchanged DoThumbnails false EmbedAllFonts true EmbedOpenType false ParseICCProfilesInComments true EmbedJobOptions true DSCReportingLevel 0 EmitDSCWarnings false EndPage -1 ImageMemory 1048576 LockDistillerParams false MaxSubsetPct 100 Optimize true OPM 1 ParseDSCComments true ParseDSCCommentsForDocInfo true PreserveCopyPage true PreserveDICMYKValues true PreserveEPSInfo true PreserveFlatness true PreserveHalftoneInfo false PreserveOPIComments true PreserveOverprintSettings 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true PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 000000 000000 000000 000000 ] PDFXSetBleedBoxToMediaBox true PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 000000 000000 000000 000000 ] PDFXOutputIntentProfile () PDFXOutputConditionIdentifier () PDFXOutputCondition () PDFXRegistryName () PDFXTrapped False CreateJDFFile false Description ltlt ARA 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 BGR ltFEFF04180437043f043e043b043704320430043904420435002004420435043704380020043d0430044104420440043e0439043a0438002c00200437043000200434043000200441044a0437043404300432043004420435002000410064006f00620065002000500044004600200434043e043a0443043c0435043d04420438002c0020043c0430043a04410438043c0430043b043d043e0020043f044004380433043e04340435043d04380020043704300020043204380441043e043a043e043a0430044704350441044204320435043d0020043f04350447043004420020043704300020043f044004350434043f0435044704300442043d04300020043f043e04340433043e0442043e0432043a0430002e002000200421044a04370434043004340435043d043804420435002000500044004600200434043e043a0443043c0435043d044204380020043c043e0433043004420020043404300020044104350020043e0442043204300440044f0442002004410020004100630072006f00620061007400200438002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020043800200441043b0435043404320430044904380020043204350440044104380438002egt CHS ltFEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e9ad88d2891cf76845370524d53705237300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002gt CZE 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 DAN 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HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata najpogodnijih za visokokvalitetni ispis prije tiskanja koristite ove postavke Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 50 i kasnijim verzijama) HUN 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數亦優 29

3 (1) 依題意可設 ( ) ( )f x r x a x b s g x r x c x d s

因為 ( ) ( )f x g x 是常數多項式所以比較一二次項係數知

r r r a b r c d

得 a b c d

(2) 由 2 2

( )2 4 4

a b a ba bf r s r f a

得

2

4 ( )2a b

f a f

ra b

故得證

註1o 也可利用對稱性知 ( )y f x 的頂點之 x軸坐標為2

a b ( )y g x 的頂點之 x軸坐標

為2

c d而得證

2o 亦可用插值多項式證明

4 (1) 由向量分解DA DM MA DB BM MA

得

2 22 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2

2

2 2

DA DA DM MA DM MA DM MA

b c a c DB BM MA

b a c DB MA BM MA

因為 0AM BD

且 BM MA 所以

2 2 2 22DA b a c

因此

2 2 22DA a b c

(2) 由(1)及 BM MA 可得

2 2 2 22 2DA b a c DB MA

依題意知 2 2 22DA x b a c 即

22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2b a c b a c b a c DB MA

故

0DB MA

30 數亦優

5 (1) 由題意可以知道

1 四件作品所得的總票數為 20 票

2 每件作品 多可以得到 10 票

令四件作品的得票數分別為 x y z u由1 2 可得

200 10x y z u x y z u

因為 0 10x y z u 所以 420H 須扣掉11 20x y z u 的情況由 20x y z u 且

0x y z u 可知 多只有一個票數會大於等於 11假設 11x 令 11x x 可得

90 9x y z u x y z u

此情況有 4 129 9 220H C 種

因此票數分布為 4 420 94 1771 4 220 891H H 種

(2) 假設得票數 高為 x由題意可得

200 10x y z u y z u x

因為 y z u x 也就是 1y z u x 所以

1 1 1 4 3x y z u x x x x x

由 20x y z u 得

20 4 3x

即

23

4x

因此當 6x 時才會滿足只有一件作品得票數 高且票數為 x

當 6x 時

140 5y z u y z u

滿足此情況的 y z u有 (554)(545)(455) 3 種

當 7x 時

130 6y z u y z u

因為 13y z u 且 0y z u 所以 y z u 多只有一個會大於等於 7

由(1)可知滿足此情況有 3 3 15 813 6 13 63 3 105 84 21H H C C 種

同理

當 8910x 時 y z u 多只有一個會大於等於 8910故

當 8x 時有 3 3 14 612 4 12 43 3 91 45 46H H C C 種

當 9x 時有 3 3 13 411 2 11 23 3 78 18 60H H C C 種

數亦優 31

當 10x 時有 3 3 12 210 0 10 03 3 66 3 63H H C C 種

因此滿足只有一件作品得票數 高的情形有

4 3 21 46 60 63 772 種

筆試二填充題

1 2 3 4 5

0 4a 2 2

8 8i

66 1

4 NORMAL

6 7 8 9 10

2 2

3 1 4x y

2 2

3 3 5 36x y

（或是 2 2 2 3 2 0x y x y ）

50

79

3

4

cos5 0 sin 5

0 1 0

sin 5 0 cos5

2

5

32 數亦優

《接續PartI 請見數亦優第 21 期》

四 正多邊形

(一) 除了正方形及三角形以外我們還考慮將其他形狀組合討論其撕裂次數是否與正方

形三角形相同

(二) 並非所有正多邊形皆可組合若內角非360

kk

便不能組合例如

1 正五邊形的內角和180 3 540 則一個內角為108但108 360 k k

無法將五邊形完整組合必有空隙

2 正六邊形的內角和180 4 720 則一個內角為120因為120 3 360

則任三個相同的正六邊形皆可相互組合

(三) 完整排列正六邊形為例以 m張排列

例 1 一頁 5 個正六邊形排列

撕開 2 次使下排的兩個正六邊形與上排分開再逐一將上排撕開共需 4 次

由例 1撕的次數結果皆為 1m 次

（Part II） 陳敏晧國立蘭陽女中

數亦優 33

(四) 內部有洞正六邊形為例m張 n個洞排列

例 2 一頁 11 張且 2 洞排列

先撕開 2 次使其成為無洞排列再撕開 1 次使其變成兩頁完整排列再逐一撕開

共需 12 次

由例 1與例 2得知撕的次數結果皆為 1n m 次

五 「切割」的定義

(一) 我們從平面延伸到立體討論柏拉圖的五個正多面體先將正多面體每面切開分開

的次數是否也有彼此相似之處

(二) 因為立體無法如平面一樣用撕的故用切的而計算次數的定義與方法也與平面有很

大的差異

(三) 「切一次」的定義與限制沿著稜邊切下一個面才算作「一次」第一次切下後

便將封閉的正多面體打開此後每切一次都必須從開放的稜邊切下不可再一次從

封閉的面切下

以正六面體為例

此為一個完整封閉的正六面體

第一次沿著粗線切開可切下一個面

34 數亦優

六 柏拉圖多面體

1 正四面體

第一次將底面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 3 個面切下共需切

1 3 1 3 次

2 正六面體

第一次將頂面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 5 個面切下共需切

1 5 1 5 次

斜線部分為第一次被切下的面

封閉正六面體被打開後第二次只能從

開放的 4 條稜邊（粗線）切下

第二刀不可再從封閉面（粗線）開始切

數亦優 35

3 正八面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 7 個面切下共

需切 1 7 1 7 次

4 正十二面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 11 個面切下共

需切 1 11 1 11 次

5 正二十面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 19 個面切下共

需切 1 19 1 19 次

36 數亦優

由上述例子可得知切割次數皆剛好為正多面體的(總面數 1 )次

研究發現

內部有洞洞數 a b 其中 a洞的個數b每個洞的張數

矩 形

完整排列

邊長 邊長 總張數 撕的次數

2 2 4 3

4 5 20 19

不規則排列

總張數 撕的次數

10 9

13 12

內部有洞

邊長 邊長 洞數 總張數（邊長 邊長 洞的張數） 撕的次數

3 3 1 1 8 3 3 1 8

3 5 2 1 13 3 5 2 14

三 角 形

完整排列

邊長 總張數 撕的次數

2 4 3

3 9 8

不規則排列

總張數 撕的次數

10 9

13 12

內部有洞

邊長 洞數 總張數（邊長平方 洞的張數） 撕的次數

規

則

4 1 1 15 4 4 1 15

5 1 1 24 5 5 1 24

5 1 2 23 5 5 2 23

5 1 3 22 5 5 3 22

6 1 1 35 6 6 1 35

6 1 2 34 6 6 2 34

6 2 1 34 6 6 2 1 35

6 3 1 33 6 6 3 1 35

6 1 2 1 1 33 6 6 2 1 34

7 2 2 45 7 7 2 2 46

不

規

則

1 1 22 22

1 1 23 23

1 2 32 32

數亦優 37

六 邊 形

完整排列

總張數 撕的次數

3 2

5 4

內部有洞

洞數 總張數 撕的次數

1 1 6 6

2 1 11 12

正 多 面 體

面數 撕的次數

正四面體 4 3

正六面體 6 5

正八面體 8 7

正十二面體 12 11

正二十面體 20 19

目前的研究我們發現了以下獨特的結論平面幾何圖形中矩形正三角形和正六邊形的

規則形狀與不規則形狀紙張之最佳撕法都是(總張數 1 )次矩形正三角形及正六邊形排列成

內部有 n個洞且 m張的紙張之最佳撕法都是 1n m 次而柏拉圖立體的最少切割次數皆為

正多面體的(總面數 1 )次最重要我們發現其實撕裂或切割次數與撕裂或切割方法（或順序）

無關

參考資料

1 陳美如（200003）撕郵票問題數學傳播第 24 卷第 1 期P82~86

2 許志農與奇人相遇httpmathntnuedutw~macomeethtm

3 林義強多面體簡介第一屆全國高中數學教學研討會論文集P177~192

參數學專題研究反思 》

上述作品得到今年北一區數學科展優等過程中我與學生教學相長高二學生因為所學的

數學很有限所以數學解題層次會有侷限但是相對地數學思維與想像力卻是受過數學訓練

的我們所不及的在這次數學專題研究中我扮演的角色是諮詢者協助者鼓勵者完成任

務是那三位鍥而不捨的同學鄭羽呈李依庭林佩柔 勘誤 第 21 刊〈高中數學專題研究教案（PartI）〉 P34 倒數第 6 行「設m k 」應改為「設m k 」 P36 第 3 行「設m k 」應改為「設m k 」 P38 內部有洞的 1(1)~(4)分類應改為「1(1)一頁 24 張內部有一個洞一張為 1 洞」

「1(2)一頁 23 張內部有一個洞兩張為 1 洞」 「1(3)一頁 23 張內部有一個洞兩張為 1 洞」 「1(4)一頁 22 張內部有一個洞三張為 1 洞」

38 數亦優

動手玩數學 許志農臺灣師大數學系

在 下 圖 中已 知 ABC為 直 角

三 角 形 1AB 求

(1) 線段 AD的長度（化為最簡形式）

(2) 餘切 cot24

的值

〔玩鎖玩索〕

這道問題改編自「求 cot24

的值」這道

教師甄選試題關於這道餘切求值問題

有兩位老師的作法是用標準特別角出發

再求出欲求的餘切值

底下是另一位老師的作法

已知 ABC 為 直 角 三 角 形 4AC 求

AB BC及 cot24

的值

請 加 上 線 段 使 下 圖 分 成 五

份 形 狀 完 全 相 等 的 部 分（翻面

相等也算）

或 許 下 圖 對 你 會 有 些 幫 助 它 們 是 四 份

形 狀 完 全 相 等 的 部 分

〔玩鎖玩索〕

這是 1998 年夏天香港中文大學教育學

院第二次舉辦暑期資優課程中在數學有關的

工作坊裡的一道測智遊戲

遊戲 85

遊戲 86

數亦優 39

在 坐 標 平 面 上 畫 一 直 線 1L在

線 上 任 取 一 點O 以O為 旋 轉

中 心依 逆 時 針 方 向 將 直 線 1L

旋 轉 120得 到 直 線 2L 如 下

圖 所 示

已 知 直 線 1L 的 斜 率 為m求 證 直 線 2L 的 斜

率 為

3

3 1

m

m

〔玩鎖玩索〕

直線是平面幾何上的重要元素而斜率又

是直線在代數上的代言人掌握斜率就如同控

制直線一樣從逆轉120的 直 線 斜 率 公 式

不 難 知 道 坐 標 平 面 上 的 正 三 角 形 之 三

條 邊 斜 率

1 2 3 m m m

是可以互相推導的即由 1m 可 以 得 到 2m 與

3m 的 公 式 而 且 還 知 道 以 下 兩 個 恆 等 式

1 2 2 3 3 1 3m m m m m m

1 2 31 2 3

1 1 19m m m

m m m

宇 富 怕 手 機 被 盜 打 每 日 更

換 開 機 密 碼為 了 便 於 記 憶

他 想 到 一 則 更 換 密 碼 的 算 術

通 則 「 昨 天 密 碼 為p 今

日 的 密 碼 就 更 新 為1

1

p

p

」

宇 富 跟 所 有 的 人 說「 我 已 經

使 用 這 密 碼 通 則 500天 了 而

且 第 一 天 的 密 碼 就 設 為 2 1

相 信 各 位 算 到 手 痠也 無 法 算

出 今 天 的 開 機 密 碼 」

徵求可以破解開機密碼的人士

〔玩鎖玩索〕

如果第一天的密碼為 那麼破解密碼

的難度有增加嗎

遊戲 87

遊戲 88

40 數亦優

動動手手玩玩數數學學~~破破解解秘秘笈笈

遊戲 81

如圖所示

(1) 考慮 ABC 因為 8sin15AB BC 且

150ABC 所以 ABC 為等腰三角

形且 15BAC 因此

2 cos15 2 8sin15 cos15AC AB

1

8sin30 8 42

(2) 仿照(1)的方法 ACE 也是等腰三角

形且 30CAE 因此

32 cos30 2 4 4 3

2AE AC

遊戲 82

秦九韶這個依括弧次序求函數值 f a 的演

算法就是高中數學多項式那章所介紹的綜

合除法

2 5 4 8

2

2

a

a

仔細計算上述綜合除法的空白位置可以發

現小中大括弧位置所代表的值與秦九韶

小中大括弧內的值完全一樣

遊戲 83

(1)

2cos 2cos24 24cot

24 sin 2sin cos24 24 24

1 cos1 cos

3 412

sin sin12 3 4

(2) 因為

cos cos cos sin sin3 4 3 4 3 4

1 2 3 2

2 2 2 2

2 6

4 4

及

sin sin cos sin cos3 4 3 4 4 3

3 2 2 1

2 2 2 2

6 2

4 4

所以

2 61 4 6 24 4cot

24 6 2 6 24 4

2

4 6 2 6 2

6 2

2 2 3 6

遊戲 84

令

2 3A a b c b c i

2 3B c a b a b i

2 3C b a c c a i

且

1 3

2

i

因為 2A C B

所以 3 3 3 6 3A C B

又因為 3 6 1 所以 3 3 3A B C

得證

ltlt ASCII85EncodePages false AllowTransparency false AutoPositionEPSFiles true AutoRotatePages All Binding Left CalGrayProfile (Dot Gain 20) CalRGBProfile (sRGB IEC61966-21) CalCMYKProfile (US Web Coated 050SWOP051 v2) sRGBProfile (sRGB IEC61966-21) CannotEmbedFontPolicy Error CompatibilityLevel 13 CompressObjects Tags CompressPages true ConvertImagesToIndexed true PassThroughJPEGImages true CreateJobTicket false DefaultRenderingIntent Default DetectBlends true DetectCurves 00000 ColorConversionStrategy LeaveColorUnchanged DoThumbnails false EmbedAllFonts true EmbedOpenType false ParseICCProfilesInComments true EmbedJobOptions true DSCReportingLevel 0 EmitDSCWarnings false EndPage -1 ImageMemory 1048576 LockDistillerParams false MaxSubsetPct 100 Optimize true OPM 1 ParseDSCComments true ParseDSCCommentsForDocInfo true PreserveCopyPage true PreserveDICMYKValues true PreserveEPSInfo true PreserveFlatness true PreserveHalftoneInfo false PreserveOPIComments true PreserveOverprintSettings 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ltFEFF005900fc006b00730065006b0020006b0061006c006900740065006c0069002000f6006e002000790061007a006401310072006d00610020006200610073006b013100730131006e006100200065006e0020006900790069002000750079006100620069006c006500630065006b002000410064006f006200650020005000440046002000620065006c00670065006c0065007200690020006f006c0075015f007400750072006d0061006b0020006900e70069006e00200062007500200061007900610072006c0061007201310020006b0075006c006c0061006e0131006e002e00200020004f006c0075015f0074007500720075006c0061006e0020005000440046002000620065006c00670065006c0065007200690020004100630072006f006200610074002000760065002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000200076006500200073006f006e0072006100730131006e00640061006b00690020007300fc007200fc006d006c00650072006c00650020006100e70131006c006100620069006c00690072002egt UKR 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 ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 50 and later) CHT ltFEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002gt gtgt Namespace [ (Adobe) (Common) (10) ] OtherNamespaces [ ltlt AsReaderSpreads false CropImagesToFrames true ErrorControl WarnAndContinue FlattenerIgnoreSpreadOverrides false IncludeGuidesGrids false IncludeNonPrinting false IncludeSlug false Namespace [ (Adobe) (InDesign) (40) ] OmitPlacedBitmaps false OmitPlacedEPS false OmitPlacedPDF false SimulateOverprint Legacy gtgt ltlt AddBleedMarks false AddColorBars false AddCropMarks false AddPageInfo false AddRegMarks false ConvertColors ConvertToCMYK DestinationProfileName () DestinationProfileSelector DocumentCMYK 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30 數亦優

5 (1) 由題意可以知道

1 四件作品所得的總票數為 20 票

2 每件作品 多可以得到 10 票

令四件作品的得票數分別為 x y z u由1 2 可得

200 10x y z u x y z u

因為 0 10x y z u 所以 420H 須扣掉11 20x y z u 的情況由 20x y z u 且

0x y z u 可知 多只有一個票數會大於等於 11假設 11x 令 11x x 可得

90 9x y z u x y z u

此情況有 4 129 9 220H C 種

因此票數分布為 4 420 94 1771 4 220 891H H 種

(2) 假設得票數 高為 x由題意可得

200 10x y z u y z u x

因為 y z u x 也就是 1y z u x 所以

1 1 1 4 3x y z u x x x x x

由 20x y z u 得

20 4 3x

即

23

4x

因此當 6x 時才會滿足只有一件作品得票數 高且票數為 x

當 6x 時

140 5y z u y z u

滿足此情況的 y z u有 (554)(545)(455) 3 種

當 7x 時

130 6y z u y z u

因為 13y z u 且 0y z u 所以 y z u 多只有一個會大於等於 7

由(1)可知滿足此情況有 3 3 15 813 6 13 63 3 105 84 21H H C C 種

同理

當 8910x 時 y z u 多只有一個會大於等於 8910故

當 8x 時有 3 3 14 612 4 12 43 3 91 45 46H H C C 種

當 9x 時有 3 3 13 411 2 11 23 3 78 18 60H H C C 種

數亦優 31

當 10x 時有 3 3 12 210 0 10 03 3 66 3 63H H C C 種

因此滿足只有一件作品得票數 高的情形有

4 3 21 46 60 63 772 種

筆試二填充題

1 2 3 4 5

0 4a 2 2

8 8i

66 1

4 NORMAL

6 7 8 9 10

2 2

3 1 4x y

2 2

3 3 5 36x y

（或是 2 2 2 3 2 0x y x y ）

50

79

3

4

cos5 0 sin 5

0 1 0

sin 5 0 cos5

2

5

32 數亦優

《接續PartI 請見數亦優第 21 期》

四 正多邊形

(一) 除了正方形及三角形以外我們還考慮將其他形狀組合討論其撕裂次數是否與正方

形三角形相同

(二) 並非所有正多邊形皆可組合若內角非360

kk

便不能組合例如

1 正五邊形的內角和180 3 540 則一個內角為108但108 360 k k

無法將五邊形完整組合必有空隙

2 正六邊形的內角和180 4 720 則一個內角為120因為120 3 360

則任三個相同的正六邊形皆可相互組合

(三) 完整排列正六邊形為例以 m張排列

例 1 一頁 5 個正六邊形排列

撕開 2 次使下排的兩個正六邊形與上排分開再逐一將上排撕開共需 4 次

由例 1撕的次數結果皆為 1m 次

（Part II） 陳敏晧國立蘭陽女中

數亦優 33

(四) 內部有洞正六邊形為例m張 n個洞排列

例 2 一頁 11 張且 2 洞排列

先撕開 2 次使其成為無洞排列再撕開 1 次使其變成兩頁完整排列再逐一撕開

共需 12 次

由例 1與例 2得知撕的次數結果皆為 1n m 次

五 「切割」的定義

(一) 我們從平面延伸到立體討論柏拉圖的五個正多面體先將正多面體每面切開分開

的次數是否也有彼此相似之處

(二) 因為立體無法如平面一樣用撕的故用切的而計算次數的定義與方法也與平面有很

大的差異

(三) 「切一次」的定義與限制沿著稜邊切下一個面才算作「一次」第一次切下後

便將封閉的正多面體打開此後每切一次都必須從開放的稜邊切下不可再一次從

封閉的面切下

以正六面體為例

此為一個完整封閉的正六面體

第一次沿著粗線切開可切下一個面

34 數亦優

六 柏拉圖多面體

1 正四面體

第一次將底面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 3 個面切下共需切

1 3 1 3 次

2 正六面體

第一次將頂面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 5 個面切下共需切

1 5 1 5 次

斜線部分為第一次被切下的面

封閉正六面體被打開後第二次只能從

開放的 4 條稜邊（粗線）切下

第二刀不可再從封閉面（粗線）開始切

數亦優 35

3 正八面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 7 個面切下共

需切 1 7 1 7 次

4 正十二面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 11 個面切下共

需切 1 11 1 11 次

5 正二十面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 19 個面切下共

需切 1 19 1 19 次

36 數亦優

由上述例子可得知切割次數皆剛好為正多面體的(總面數 1 )次

研究發現

內部有洞洞數 a b 其中 a洞的個數b每個洞的張數

矩 形

完整排列

邊長 邊長 總張數 撕的次數

2 2 4 3

4 5 20 19

不規則排列

總張數 撕的次數

10 9

13 12

內部有洞

邊長 邊長 洞數 總張數（邊長 邊長 洞的張數） 撕的次數

3 3 1 1 8 3 3 1 8

3 5 2 1 13 3 5 2 14

三 角 形

完整排列

邊長 總張數 撕的次數

2 4 3

3 9 8

不規則排列

總張數 撕的次數

10 9

13 12

內部有洞

邊長 洞數 總張數（邊長平方 洞的張數） 撕的次數

規

則

4 1 1 15 4 4 1 15

5 1 1 24 5 5 1 24

5 1 2 23 5 5 2 23

5 1 3 22 5 5 3 22

6 1 1 35 6 6 1 35

6 1 2 34 6 6 2 34

6 2 1 34 6 6 2 1 35

6 3 1 33 6 6 3 1 35

6 1 2 1 1 33 6 6 2 1 34

7 2 2 45 7 7 2 2 46

不

規

則

1 1 22 22

1 1 23 23

1 2 32 32

數亦優 37

六 邊 形

完整排列

總張數 撕的次數

3 2

5 4

內部有洞

洞數 總張數 撕的次數

1 1 6 6

2 1 11 12

正 多 面 體

面數 撕的次數

正四面體 4 3

正六面體 6 5

正八面體 8 7

正十二面體 12 11

正二十面體 20 19

目前的研究我們發現了以下獨特的結論平面幾何圖形中矩形正三角形和正六邊形的

規則形狀與不規則形狀紙張之最佳撕法都是(總張數 1 )次矩形正三角形及正六邊形排列成

內部有 n個洞且 m張的紙張之最佳撕法都是 1n m 次而柏拉圖立體的最少切割次數皆為

正多面體的(總面數 1 )次最重要我們發現其實撕裂或切割次數與撕裂或切割方法（或順序）

無關

參考資料

1 陳美如（200003）撕郵票問題數學傳播第 24 卷第 1 期P82~86

2 許志農與奇人相遇httpmathntnuedutw~macomeethtm

3 林義強多面體簡介第一屆全國高中數學教學研討會論文集P177~192

參數學專題研究反思 》

上述作品得到今年北一區數學科展優等過程中我與學生教學相長高二學生因為所學的

數學很有限所以數學解題層次會有侷限但是相對地數學思維與想像力卻是受過數學訓練

的我們所不及的在這次數學專題研究中我扮演的角色是諮詢者協助者鼓勵者完成任

務是那三位鍥而不捨的同學鄭羽呈李依庭林佩柔 勘誤 第 21 刊〈高中數學專題研究教案（PartI）〉 P34 倒數第 6 行「設m k 」應改為「設m k 」 P36 第 3 行「設m k 」應改為「設m k 」 P38 內部有洞的 1(1)~(4)分類應改為「1(1)一頁 24 張內部有一個洞一張為 1 洞」

「1(2)一頁 23 張內部有一個洞兩張為 1 洞」 「1(3)一頁 23 張內部有一個洞兩張為 1 洞」 「1(4)一頁 22 張內部有一個洞三張為 1 洞」

38 數亦優

動手玩數學 許志農臺灣師大數學系

在 下 圖 中已 知 ABC為 直 角

三 角 形 1AB 求

(1) 線段 AD的長度（化為最簡形式）

(2) 餘切 cot24

的值

〔玩鎖玩索〕

這道問題改編自「求 cot24

的值」這道

教師甄選試題關於這道餘切求值問題

有兩位老師的作法是用標準特別角出發

再求出欲求的餘切值

底下是另一位老師的作法

已知 ABC 為 直 角 三 角 形 4AC 求

AB BC及 cot24

的值

請 加 上 線 段 使 下 圖 分 成 五

份 形 狀 完 全 相 等 的 部 分（翻面

相等也算）

或 許 下 圖 對 你 會 有 些 幫 助 它 們 是 四 份

形 狀 完 全 相 等 的 部 分

〔玩鎖玩索〕

這是 1998 年夏天香港中文大學教育學

院第二次舉辦暑期資優課程中在數學有關的

工作坊裡的一道測智遊戲

遊戲 85

遊戲 86

數亦優 39

在 坐 標 平 面 上 畫 一 直 線 1L在

線 上 任 取 一 點O 以O為 旋 轉

中 心依 逆 時 針 方 向 將 直 線 1L

旋 轉 120得 到 直 線 2L 如 下

圖 所 示

已 知 直 線 1L 的 斜 率 為m求 證 直 線 2L 的 斜

率 為

3

3 1

m

m

〔玩鎖玩索〕

直線是平面幾何上的重要元素而斜率又

是直線在代數上的代言人掌握斜率就如同控

制直線一樣從逆轉120的 直 線 斜 率 公 式

不 難 知 道 坐 標 平 面 上 的 正 三 角 形 之 三

條 邊 斜 率

1 2 3 m m m

是可以互相推導的即由 1m 可 以 得 到 2m 與

3m 的 公 式 而 且 還 知 道 以 下 兩 個 恆 等 式

1 2 2 3 3 1 3m m m m m m

1 2 31 2 3

1 1 19m m m

m m m

宇 富 怕 手 機 被 盜 打 每 日 更

換 開 機 密 碼為 了 便 於 記 憶

他 想 到 一 則 更 換 密 碼 的 算 術

通 則 「 昨 天 密 碼 為p 今

日 的 密 碼 就 更 新 為1

1

p

p

」

宇 富 跟 所 有 的 人 說「 我 已 經

使 用 這 密 碼 通 則 500天 了 而

且 第 一 天 的 密 碼 就 設 為 2 1

相 信 各 位 算 到 手 痠也 無 法 算

出 今 天 的 開 機 密 碼 」

徵求可以破解開機密碼的人士

〔玩鎖玩索〕

如果第一天的密碼為 那麼破解密碼

的難度有增加嗎

遊戲 87

遊戲 88

40 數亦優

動動手手玩玩數數學學~~破破解解秘秘笈笈

遊戲 81

如圖所示

(1) 考慮 ABC 因為 8sin15AB BC 且

150ABC 所以 ABC 為等腰三角

形且 15BAC 因此

2 cos15 2 8sin15 cos15AC AB

1

8sin30 8 42

(2) 仿照(1)的方法 ACE 也是等腰三角

形且 30CAE 因此

32 cos30 2 4 4 3

2AE AC

遊戲 82

秦九韶這個依括弧次序求函數值 f a 的演

算法就是高中數學多項式那章所介紹的綜

合除法

2 5 4 8

2

2

a

a

仔細計算上述綜合除法的空白位置可以發

現小中大括弧位置所代表的值與秦九韶

小中大括弧內的值完全一樣

遊戲 83

(1)

2cos 2cos24 24cot

24 sin 2sin cos24 24 24

1 cos1 cos

3 412

sin sin12 3 4

(2) 因為

cos cos cos sin sin3 4 3 4 3 4

1 2 3 2

2 2 2 2

2 6

4 4

及

sin sin cos sin cos3 4 3 4 4 3

3 2 2 1

2 2 2 2

6 2

4 4

所以

2 61 4 6 24 4cot

24 6 2 6 24 4

2

4 6 2 6 2

6 2

2 2 3 6

遊戲 84

令

2 3A a b c b c i

2 3B c a b a b i

2 3C b a c c a i

且

1 3

2

i

因為 2A C B

所以 3 3 3 6 3A C B

又因為 3 6 1 所以 3 3 3A B C

得證

ltlt ASCII85EncodePages false AllowTransparency false AutoPositionEPSFiles true AutoRotatePages All Binding Left CalGrayProfile (Dot Gain 20) CalRGBProfile (sRGB IEC61966-21) CalCMYKProfile (US Web Coated 050SWOP051 v2) sRGBProfile (sRGB IEC61966-21) CannotEmbedFontPolicy Error CompatibilityLevel 13 CompressObjects Tags CompressPages true ConvertImagesToIndexed true PassThroughJPEGImages true CreateJobTicket false DefaultRenderingIntent Default DetectBlends true DetectCurves 00000 ColorConversionStrategy LeaveColorUnchanged DoThumbnails false EmbedAllFonts true EmbedOpenType false ParseICCProfilesInComments true EmbedJobOptions true DSCReportingLevel 0 EmitDSCWarnings false EndPage -1 ImageMemory 1048576 LockDistillerParams false MaxSubsetPct 100 Optimize true OPM 1 ParseDSCComments true ParseDSCCommentsForDocInfo true PreserveCopyPage true PreserveDICMYKValues true PreserveEPSInfo true PreserveFlatness true PreserveHalftoneInfo false PreserveOPIComments true PreserveOverprintSettings 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GrayImageDownsampleType Bicubic GrayImageResolution 300 GrayImageDepth -1 GrayImageMinDownsampleDepth 2 GrayImageDownsampleThreshold 150000 EncodeGrayImages true GrayImageFilter DCTEncode AutoFilterGrayImages true GrayImageAutoFilterStrategy JPEG GrayACSImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt GrayImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt JPEG2000GrayACSImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 30 gtgt JPEG2000GrayImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 30 gtgt AntiAliasMonoImages false CropMonoImages true MonoImageMinResolution 1200 MonoImageMinResolutionPolicy OK DownsampleMonoImages true MonoImageDownsampleType Bicubic MonoImageResolution 1200 MonoImageDepth -1 MonoImageDownsampleThreshold 150000 EncodeMonoImages true MonoImageFilter CCITTFaxEncode MonoImageDict ltlt K -1 gtgt AllowPSXObjects false CheckCompliance [ None ] PDFX1aCheck false PDFX3Check false PDFXCompliantPDFOnly false PDFXNoTrimBoxError 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 BGR 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 CHS ltFEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e9ad88d2891cf76845370524d53705237300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002gt CZE 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ltFEFF04120438043a043e0440043804410442043e043204430439044204350020044604560020043f043004400430043c043504420440043800200434043b044f0020044104420432043e04400435043d043d044f00200434043e043a0443043c0435043d044204560432002000410064006f006200650020005000440046002c0020044f043a04560020043d04300439043a04400430044904350020043f045604340445043e0434044f0442044c00200434043b044f0020043204380441043e043a043e044f043a04560441043d043e0433043e0020043f0435044004350434043404400443043a043e0432043e0433043e0020043404400443043a0443002e00200020042104420432043e04400435043d045600200434043e043a0443043c0435043d0442043800200050004400460020043c043e0436043d04300020043204560434043a0440043804420438002004430020004100630072006f006200610074002004420430002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002004300431043e0020043f04560437043d04560448043e04570020043204350440044104560457002egt ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 50 and later) CHT ltFEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002gt gtgt Namespace [ (Adobe) (Common) (10) ] OtherNamespaces [ ltlt AsReaderSpreads false CropImagesToFrames true ErrorControl WarnAndContinue FlattenerIgnoreSpreadOverrides false IncludeGuidesGrids false IncludeNonPrinting false IncludeSlug false Namespace [ (Adobe) (InDesign) (40) ] OmitPlacedBitmaps false OmitPlacedEPS false OmitPlacedPDF false SimulateOverprint Legacy gtgt ltlt AddBleedMarks false AddColorBars false AddCropMarks false AddPageInfo false AddRegMarks false ConvertColors ConvertToCMYK DestinationProfileName () DestinationProfileSelector DocumentCMYK 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數亦優 31

當 10x 時有 3 3 12 210 0 10 03 3 66 3 63H H C C 種

因此滿足只有一件作品得票數 高的情形有

4 3 21 46 60 63 772 種

筆試二填充題

1 2 3 4 5

0 4a 2 2

8 8i

66 1

4 NORMAL

6 7 8 9 10

2 2

3 1 4x y

2 2

3 3 5 36x y

（或是 2 2 2 3 2 0x y x y ）

50

79

3

4

cos5 0 sin 5

0 1 0

sin 5 0 cos5

2

5

32 數亦優

《接續PartI 請見數亦優第 21 期》

四 正多邊形

(一) 除了正方形及三角形以外我們還考慮將其他形狀組合討論其撕裂次數是否與正方

形三角形相同

(二) 並非所有正多邊形皆可組合若內角非360

kk

便不能組合例如

1 正五邊形的內角和180 3 540 則一個內角為108但108 360 k k

無法將五邊形完整組合必有空隙

2 正六邊形的內角和180 4 720 則一個內角為120因為120 3 360

則任三個相同的正六邊形皆可相互組合

(三) 完整排列正六邊形為例以 m張排列

例 1 一頁 5 個正六邊形排列

撕開 2 次使下排的兩個正六邊形與上排分開再逐一將上排撕開共需 4 次

由例 1撕的次數結果皆為 1m 次

（Part II） 陳敏晧國立蘭陽女中

數亦優 33

(四) 內部有洞正六邊形為例m張 n個洞排列

例 2 一頁 11 張且 2 洞排列

先撕開 2 次使其成為無洞排列再撕開 1 次使其變成兩頁完整排列再逐一撕開

共需 12 次

由例 1與例 2得知撕的次數結果皆為 1n m 次

五 「切割」的定義

(一) 我們從平面延伸到立體討論柏拉圖的五個正多面體先將正多面體每面切開分開

的次數是否也有彼此相似之處

(二) 因為立體無法如平面一樣用撕的故用切的而計算次數的定義與方法也與平面有很

大的差異

(三) 「切一次」的定義與限制沿著稜邊切下一個面才算作「一次」第一次切下後

便將封閉的正多面體打開此後每切一次都必須從開放的稜邊切下不可再一次從

封閉的面切下

以正六面體為例

此為一個完整封閉的正六面體

第一次沿著粗線切開可切下一個面

34 數亦優

六 柏拉圖多面體

1 正四面體

第一次將底面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 3 個面切下共需切

1 3 1 3 次

2 正六面體

第一次將頂面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 5 個面切下共需切

1 5 1 5 次

斜線部分為第一次被切下的面

封閉正六面體被打開後第二次只能從

開放的 4 條稜邊（粗線）切下

第二刀不可再從封閉面（粗線）開始切

數亦優 35

3 正八面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 7 個面切下共

需切 1 7 1 7 次

4 正十二面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 11 個面切下共

需切 1 11 1 11 次

5 正二十面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 19 個面切下共

需切 1 19 1 19 次

36 數亦優

由上述例子可得知切割次數皆剛好為正多面體的(總面數 1 )次

研究發現

內部有洞洞數 a b 其中 a洞的個數b每個洞的張數

矩 形

完整排列

邊長 邊長 總張數 撕的次數

2 2 4 3

4 5 20 19

不規則排列

總張數 撕的次數

10 9

13 12

內部有洞

邊長 邊長 洞數 總張數（邊長 邊長 洞的張數） 撕的次數

3 3 1 1 8 3 3 1 8

3 5 2 1 13 3 5 2 14

三 角 形

完整排列

邊長 總張數 撕的次數

2 4 3

3 9 8

不規則排列

總張數 撕的次數

10 9

13 12

內部有洞

邊長 洞數 總張數（邊長平方 洞的張數） 撕的次數

規

則

4 1 1 15 4 4 1 15

5 1 1 24 5 5 1 24

5 1 2 23 5 5 2 23

5 1 3 22 5 5 3 22

6 1 1 35 6 6 1 35

6 1 2 34 6 6 2 34

6 2 1 34 6 6 2 1 35

6 3 1 33 6 6 3 1 35

6 1 2 1 1 33 6 6 2 1 34

7 2 2 45 7 7 2 2 46

不

規

則

1 1 22 22

1 1 23 23

1 2 32 32

數亦優 37

六 邊 形

完整排列

總張數 撕的次數

3 2

5 4

內部有洞

洞數 總張數 撕的次數

1 1 6 6

2 1 11 12

正 多 面 體

面數 撕的次數

正四面體 4 3

正六面體 6 5

正八面體 8 7

正十二面體 12 11

正二十面體 20 19

目前的研究我們發現了以下獨特的結論平面幾何圖形中矩形正三角形和正六邊形的

規則形狀與不規則形狀紙張之最佳撕法都是(總張數 1 )次矩形正三角形及正六邊形排列成

內部有 n個洞且 m張的紙張之最佳撕法都是 1n m 次而柏拉圖立體的最少切割次數皆為

正多面體的(總面數 1 )次最重要我們發現其實撕裂或切割次數與撕裂或切割方法（或順序）

無關

參考資料

1 陳美如（200003）撕郵票問題數學傳播第 24 卷第 1 期P82~86

2 許志農與奇人相遇httpmathntnuedutw~macomeethtm

3 林義強多面體簡介第一屆全國高中數學教學研討會論文集P177~192

參數學專題研究反思 》

上述作品得到今年北一區數學科展優等過程中我與學生教學相長高二學生因為所學的

數學很有限所以數學解題層次會有侷限但是相對地數學思維與想像力卻是受過數學訓練

的我們所不及的在這次數學專題研究中我扮演的角色是諮詢者協助者鼓勵者完成任

務是那三位鍥而不捨的同學鄭羽呈李依庭林佩柔 勘誤 第 21 刊〈高中數學專題研究教案（PartI）〉 P34 倒數第 6 行「設m k 」應改為「設m k 」 P36 第 3 行「設m k 」應改為「設m k 」 P38 內部有洞的 1(1)~(4)分類應改為「1(1)一頁 24 張內部有一個洞一張為 1 洞」

「1(2)一頁 23 張內部有一個洞兩張為 1 洞」 「1(3)一頁 23 張內部有一個洞兩張為 1 洞」 「1(4)一頁 22 張內部有一個洞三張為 1 洞」

38 數亦優

動手玩數學 許志農臺灣師大數學系

在 下 圖 中已 知 ABC為 直 角

三 角 形 1AB 求

(1) 線段 AD的長度（化為最簡形式）

(2) 餘切 cot24

的值

〔玩鎖玩索〕

這道問題改編自「求 cot24

的值」這道

教師甄選試題關於這道餘切求值問題

有兩位老師的作法是用標準特別角出發

再求出欲求的餘切值

底下是另一位老師的作法

已知 ABC 為 直 角 三 角 形 4AC 求

AB BC及 cot24

的值

請 加 上 線 段 使 下 圖 分 成 五

份 形 狀 完 全 相 等 的 部 分（翻面

相等也算）

或 許 下 圖 對 你 會 有 些 幫 助 它 們 是 四 份

形 狀 完 全 相 等 的 部 分

〔玩鎖玩索〕

這是 1998 年夏天香港中文大學教育學

院第二次舉辦暑期資優課程中在數學有關的

工作坊裡的一道測智遊戲

遊戲 85

遊戲 86

數亦優 39

在 坐 標 平 面 上 畫 一 直 線 1L在

線 上 任 取 一 點O 以O為 旋 轉

中 心依 逆 時 針 方 向 將 直 線 1L

旋 轉 120得 到 直 線 2L 如 下

圖 所 示

已 知 直 線 1L 的 斜 率 為m求 證 直 線 2L 的 斜

率 為

3

3 1

m

m

〔玩鎖玩索〕

直線是平面幾何上的重要元素而斜率又

是直線在代數上的代言人掌握斜率就如同控

制直線一樣從逆轉120的 直 線 斜 率 公 式

不 難 知 道 坐 標 平 面 上 的 正 三 角 形 之 三

條 邊 斜 率

1 2 3 m m m

是可以互相推導的即由 1m 可 以 得 到 2m 與

3m 的 公 式 而 且 還 知 道 以 下 兩 個 恆 等 式

1 2 2 3 3 1 3m m m m m m

1 2 31 2 3

1 1 19m m m

m m m

宇 富 怕 手 機 被 盜 打 每 日 更

換 開 機 密 碼為 了 便 於 記 憶

他 想 到 一 則 更 換 密 碼 的 算 術

通 則 「 昨 天 密 碼 為p 今

日 的 密 碼 就 更 新 為1

1

p

p

」

宇 富 跟 所 有 的 人 說「 我 已 經

使 用 這 密 碼 通 則 500天 了 而

且 第 一 天 的 密 碼 就 設 為 2 1

相 信 各 位 算 到 手 痠也 無 法 算

出 今 天 的 開 機 密 碼 」

徵求可以破解開機密碼的人士

〔玩鎖玩索〕

如果第一天的密碼為 那麼破解密碼

的難度有增加嗎

遊戲 87

遊戲 88

40 數亦優

動動手手玩玩數數學學~~破破解解秘秘笈笈

遊戲 81

如圖所示

(1) 考慮 ABC 因為 8sin15AB BC 且

150ABC 所以 ABC 為等腰三角

形且 15BAC 因此

2 cos15 2 8sin15 cos15AC AB

1

8sin30 8 42

(2) 仿照(1)的方法 ACE 也是等腰三角

形且 30CAE 因此

32 cos30 2 4 4 3

2AE AC

遊戲 82

秦九韶這個依括弧次序求函數值 f a 的演

算法就是高中數學多項式那章所介紹的綜

合除法

2 5 4 8

2

2

a

a

仔細計算上述綜合除法的空白位置可以發

現小中大括弧位置所代表的值與秦九韶

小中大括弧內的值完全一樣

遊戲 83

(1)

2cos 2cos24 24cot

24 sin 2sin cos24 24 24

1 cos1 cos

3 412

sin sin12 3 4

(2) 因為

cos cos cos sin sin3 4 3 4 3 4

1 2 3 2

2 2 2 2

2 6

4 4

及

sin sin cos sin cos3 4 3 4 4 3

3 2 2 1

2 2 2 2

6 2

4 4

所以

2 61 4 6 24 4cot

24 6 2 6 24 4

2

4 6 2 6 2

6 2

2 2 3 6

遊戲 84

令

2 3A a b c b c i

2 3B c a b a b i

2 3C b a c c a i

且

1 3

2

i

因為 2A C B

所以 3 3 3 6 3A C B

又因為 3 6 1 所以 3 3 3A B C

得證

ltlt ASCII85EncodePages false AllowTransparency false AutoPositionEPSFiles true AutoRotatePages All Binding Left CalGrayProfile (Dot Gain 20) CalRGBProfile (sRGB IEC61966-21) CalCMYKProfile (US Web Coated 050SWOP051 v2) sRGBProfile (sRGB IEC61966-21) CannotEmbedFontPolicy Error CompatibilityLevel 13 CompressObjects Tags CompressPages true ConvertImagesToIndexed true PassThroughJPEGImages true CreateJobTicket false DefaultRenderingIntent Default DetectBlends true DetectCurves 00000 ColorConversionStrategy LeaveColorUnchanged DoThumbnails false EmbedAllFonts true EmbedOpenType false ParseICCProfilesInComments true EmbedJobOptions true DSCReportingLevel 0 EmitDSCWarnings false EndPage -1 ImageMemory 1048576 LockDistillerParams false MaxSubsetPct 100 Optimize true OPM 1 ParseDSCComments true ParseDSCCommentsForDocInfo true PreserveCopyPage true PreserveDICMYKValues true PreserveEPSInfo true PreserveFlatness true PreserveHalftoneInfo false PreserveOPIComments true PreserveOverprintSettings 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 UKR 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can be opened with Acrobat and Adobe Reader 50 and later) CHT ltFEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002gt gtgt Namespace [ (Adobe) (Common) (10) ] OtherNamespaces [ ltlt AsReaderSpreads false CropImagesToFrames true ErrorControl WarnAndContinue FlattenerIgnoreSpreadOverrides false IncludeGuidesGrids false IncludeNonPrinting false IncludeSlug false Namespace [ (Adobe) (InDesign) (40) ] OmitPlacedBitmaps false OmitPlacedEPS false OmitPlacedPDF false SimulateOverprint Legacy gtgt ltlt AddBleedMarks false AddColorBars false AddCropMarks false AddPageInfo false AddRegMarks false ConvertColors ConvertToCMYK DestinationProfileName () DestinationProfileSelector DocumentCMYK 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32 數亦優

《接續PartI 請見數亦優第 21 期》

四 正多邊形

(一) 除了正方形及三角形以外我們還考慮將其他形狀組合討論其撕裂次數是否與正方

形三角形相同

(二) 並非所有正多邊形皆可組合若內角非360

kk

便不能組合例如

1 正五邊形的內角和180 3 540 則一個內角為108但108 360 k k

無法將五邊形完整組合必有空隙

2 正六邊形的內角和180 4 720 則一個內角為120因為120 3 360

則任三個相同的正六邊形皆可相互組合

(三) 完整排列正六邊形為例以 m張排列

例 1 一頁 5 個正六邊形排列

撕開 2 次使下排的兩個正六邊形與上排分開再逐一將上排撕開共需 4 次

由例 1撕的次數結果皆為 1m 次

（Part II） 陳敏晧國立蘭陽女中

數亦優 33

(四) 內部有洞正六邊形為例m張 n個洞排列

例 2 一頁 11 張且 2 洞排列

先撕開 2 次使其成為無洞排列再撕開 1 次使其變成兩頁完整排列再逐一撕開

共需 12 次

由例 1與例 2得知撕的次數結果皆為 1n m 次

五 「切割」的定義

(一) 我們從平面延伸到立體討論柏拉圖的五個正多面體先將正多面體每面切開分開

的次數是否也有彼此相似之處

(二) 因為立體無法如平面一樣用撕的故用切的而計算次數的定義與方法也與平面有很

大的差異

(三) 「切一次」的定義與限制沿著稜邊切下一個面才算作「一次」第一次切下後

便將封閉的正多面體打開此後每切一次都必須從開放的稜邊切下不可再一次從

封閉的面切下

以正六面體為例

此為一個完整封閉的正六面體

第一次沿著粗線切開可切下一個面

34 數亦優

六 柏拉圖多面體

1 正四面體

第一次將底面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 3 個面切下共需切

1 3 1 3 次

2 正六面體

第一次將頂面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 5 個面切下共需切

1 5 1 5 次

斜線部分為第一次被切下的面

封閉正六面體被打開後第二次只能從

開放的 4 條稜邊（粗線）切下

第二刀不可再從封閉面（粗線）開始切

數亦優 35

3 正八面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 7 個面切下共

需切 1 7 1 7 次

4 正十二面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 11 個面切下共

需切 1 11 1 11 次

5 正二十面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 19 個面切下共

需切 1 19 1 19 次

36 數亦優

由上述例子可得知切割次數皆剛好為正多面體的(總面數 1 )次

研究發現

內部有洞洞數 a b 其中 a洞的個數b每個洞的張數

矩 形

完整排列

邊長 邊長 總張數 撕的次數

2 2 4 3

4 5 20 19

不規則排列

總張數 撕的次數

10 9

13 12

內部有洞

邊長 邊長 洞數 總張數（邊長 邊長 洞的張數） 撕的次數

3 3 1 1 8 3 3 1 8

3 5 2 1 13 3 5 2 14

三 角 形

完整排列

邊長 總張數 撕的次數

2 4 3

3 9 8

不規則排列

總張數 撕的次數

10 9

13 12

內部有洞

邊長 洞數 總張數（邊長平方 洞的張數） 撕的次數

規

則

4 1 1 15 4 4 1 15

5 1 1 24 5 5 1 24

5 1 2 23 5 5 2 23

5 1 3 22 5 5 3 22

6 1 1 35 6 6 1 35

6 1 2 34 6 6 2 34

6 2 1 34 6 6 2 1 35

6 3 1 33 6 6 3 1 35

6 1 2 1 1 33 6 6 2 1 34

7 2 2 45 7 7 2 2 46

不

規

則

1 1 22 22

1 1 23 23

1 2 32 32

數亦優 37

六 邊 形

完整排列

總張數 撕的次數

3 2

5 4

內部有洞

洞數 總張數 撕的次數

1 1 6 6

2 1 11 12

正 多 面 體

面數 撕的次數

正四面體 4 3

正六面體 6 5

正八面體 8 7

正十二面體 12 11

正二十面體 20 19

目前的研究我們發現了以下獨特的結論平面幾何圖形中矩形正三角形和正六邊形的

規則形狀與不規則形狀紙張之最佳撕法都是(總張數 1 )次矩形正三角形及正六邊形排列成

內部有 n個洞且 m張的紙張之最佳撕法都是 1n m 次而柏拉圖立體的最少切割次數皆為

正多面體的(總面數 1 )次最重要我們發現其實撕裂或切割次數與撕裂或切割方法（或順序）

無關

參考資料

1 陳美如（200003）撕郵票問題數學傳播第 24 卷第 1 期P82~86

2 許志農與奇人相遇httpmathntnuedutw~macomeethtm

3 林義強多面體簡介第一屆全國高中數學教學研討會論文集P177~192

參數學專題研究反思 》

上述作品得到今年北一區數學科展優等過程中我與學生教學相長高二學生因為所學的

數學很有限所以數學解題層次會有侷限但是相對地數學思維與想像力卻是受過數學訓練

的我們所不及的在這次數學專題研究中我扮演的角色是諮詢者協助者鼓勵者完成任

務是那三位鍥而不捨的同學鄭羽呈李依庭林佩柔 勘誤 第 21 刊〈高中數學專題研究教案（PartI）〉 P34 倒數第 6 行「設m k 」應改為「設m k 」 P36 第 3 行「設m k 」應改為「設m k 」 P38 內部有洞的 1(1)~(4)分類應改為「1(1)一頁 24 張內部有一個洞一張為 1 洞」

「1(2)一頁 23 張內部有一個洞兩張為 1 洞」 「1(3)一頁 23 張內部有一個洞兩張為 1 洞」 「1(4)一頁 22 張內部有一個洞三張為 1 洞」

38 數亦優

動手玩數學 許志農臺灣師大數學系

在 下 圖 中已 知 ABC為 直 角

三 角 形 1AB 求

(1) 線段 AD的長度（化為最簡形式）

(2) 餘切 cot24

的值

〔玩鎖玩索〕

這道問題改編自「求 cot24

的值」這道

教師甄選試題關於這道餘切求值問題

有兩位老師的作法是用標準特別角出發

再求出欲求的餘切值

底下是另一位老師的作法

已知 ABC 為 直 角 三 角 形 4AC 求

AB BC及 cot24

的值

請 加 上 線 段 使 下 圖 分 成 五

份 形 狀 完 全 相 等 的 部 分（翻面

相等也算）

或 許 下 圖 對 你 會 有 些 幫 助 它 們 是 四 份

形 狀 完 全 相 等 的 部 分

〔玩鎖玩索〕

這是 1998 年夏天香港中文大學教育學

院第二次舉辦暑期資優課程中在數學有關的

工作坊裡的一道測智遊戲

遊戲 85

遊戲 86

數亦優 39

在 坐 標 平 面 上 畫 一 直 線 1L在

線 上 任 取 一 點O 以O為 旋 轉

中 心依 逆 時 針 方 向 將 直 線 1L

旋 轉 120得 到 直 線 2L 如 下

圖 所 示

已 知 直 線 1L 的 斜 率 為m求 證 直 線 2L 的 斜

率 為

3

3 1

m

m

〔玩鎖玩索〕

直線是平面幾何上的重要元素而斜率又

是直線在代數上的代言人掌握斜率就如同控

制直線一樣從逆轉120的 直 線 斜 率 公 式

不 難 知 道 坐 標 平 面 上 的 正 三 角 形 之 三

條 邊 斜 率

1 2 3 m m m

是可以互相推導的即由 1m 可 以 得 到 2m 與

3m 的 公 式 而 且 還 知 道 以 下 兩 個 恆 等 式

1 2 2 3 3 1 3m m m m m m

1 2 31 2 3

1 1 19m m m

m m m

宇 富 怕 手 機 被 盜 打 每 日 更

換 開 機 密 碼為 了 便 於 記 憶

他 想 到 一 則 更 換 密 碼 的 算 術

通 則 「 昨 天 密 碼 為p 今

日 的 密 碼 就 更 新 為1

1

p

p

」

宇 富 跟 所 有 的 人 說「 我 已 經

使 用 這 密 碼 通 則 500天 了 而

且 第 一 天 的 密 碼 就 設 為 2 1

相 信 各 位 算 到 手 痠也 無 法 算

出 今 天 的 開 機 密 碼 」

徵求可以破解開機密碼的人士

〔玩鎖玩索〕

如果第一天的密碼為 那麼破解密碼

的難度有增加嗎

遊戲 87

遊戲 88

40 數亦優

動動手手玩玩數數學學~~破破解解秘秘笈笈

遊戲 81

如圖所示

(1) 考慮 ABC 因為 8sin15AB BC 且

150ABC 所以 ABC 為等腰三角

形且 15BAC 因此

2 cos15 2 8sin15 cos15AC AB

1

8sin30 8 42

(2) 仿照(1)的方法 ACE 也是等腰三角

形且 30CAE 因此

32 cos30 2 4 4 3

2AE AC

遊戲 82

秦九韶這個依括弧次序求函數值 f a 的演

算法就是高中數學多項式那章所介紹的綜

合除法

2 5 4 8

2

2

a

a

仔細計算上述綜合除法的空白位置可以發

現小中大括弧位置所代表的值與秦九韶

小中大括弧內的值完全一樣

遊戲 83

(1)

2cos 2cos24 24cot

24 sin 2sin cos24 24 24

1 cos1 cos

3 412

sin sin12 3 4

(2) 因為

cos cos cos sin sin3 4 3 4 3 4

1 2 3 2

2 2 2 2

2 6

4 4

及

sin sin cos sin cos3 4 3 4 4 3

3 2 2 1

2 2 2 2

6 2

4 4

所以

2 61 4 6 24 4cot

24 6 2 6 24 4

2

4 6 2 6 2

6 2

2 2 3 6

遊戲 84

令

2 3A a b c b c i

2 3B c a b a b i

2 3C b a c c a i

且

1 3

2

i

因為 2A C B

所以 3 3 3 6 3A C B

又因為 3 6 1 所以 3 3 3A B C

得證

ltlt ASCII85EncodePages false AllowTransparency false AutoPositionEPSFiles true AutoRotatePages All Binding Left CalGrayProfile (Dot Gain 20) CalRGBProfile (sRGB IEC61966-21) CalCMYKProfile (US Web Coated 050SWOP051 v2) sRGBProfile (sRGB IEC61966-21) CannotEmbedFontPolicy Error CompatibilityLevel 13 CompressObjects Tags CompressPages true ConvertImagesToIndexed true PassThroughJPEGImages true CreateJobTicket false DefaultRenderingIntent Default DetectBlends true DetectCurves 00000 ColorConversionStrategy LeaveColorUnchanged DoThumbnails false EmbedAllFonts true EmbedOpenType false ParseICCProfilesInComments true EmbedJobOptions true DSCReportingLevel 0 EmitDSCWarnings false EndPage -1 ImageMemory 1048576 LockDistillerParams false MaxSubsetPct 100 Optimize true OPM 1 ParseDSCComments true ParseDSCCommentsForDocInfo true PreserveCopyPage true PreserveDICMYKValues true PreserveEPSInfo true PreserveFlatness true PreserveHalftoneInfo false PreserveOPIComments true PreserveOverprintSettings 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true PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 000000 000000 000000 000000 ] PDFXSetBleedBoxToMediaBox true PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 000000 000000 000000 000000 ] PDFXOutputIntentProfile () PDFXOutputConditionIdentifier () PDFXOutputCondition () PDFXRegistryName () PDFXTrapped False CreateJDFFile false Description ltlt ARA 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 BGR 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 CHS ltFEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e9ad88d2891cf76845370524d53705237300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002gt CZE 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 DAN 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HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata najpogodnijih za visokokvalitetni ispis prije tiskanja koristite ove postavke Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 50 i kasnijim verzijama) HUN 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數亦優 33

(四) 內部有洞正六邊形為例m張 n個洞排列

例 2 一頁 11 張且 2 洞排列

先撕開 2 次使其成為無洞排列再撕開 1 次使其變成兩頁完整排列再逐一撕開

共需 12 次

由例 1與例 2得知撕的次數結果皆為 1n m 次

五 「切割」的定義

(一) 我們從平面延伸到立體討論柏拉圖的五個正多面體先將正多面體每面切開分開

的次數是否也有彼此相似之處

(二) 因為立體無法如平面一樣用撕的故用切的而計算次數的定義與方法也與平面有很

大的差異

(三) 「切一次」的定義與限制沿著稜邊切下一個面才算作「一次」第一次切下後

便將封閉的正多面體打開此後每切一次都必須從開放的稜邊切下不可再一次從

封閉的面切下

以正六面體為例

此為一個完整封閉的正六面體

第一次沿著粗線切開可切下一個面

34 數亦優

六 柏拉圖多面體

1 正四面體

第一次將底面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 3 個面切下共需切

1 3 1 3 次

2 正六面體

第一次將頂面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 5 個面切下共需切

1 5 1 5 次

斜線部分為第一次被切下的面

封閉正六面體被打開後第二次只能從

開放的 4 條稜邊（粗線）切下

第二刀不可再從封閉面（粗線）開始切

數亦優 35

3 正八面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 7 個面切下共

需切 1 7 1 7 次

4 正十二面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 11 個面切下共

需切 1 11 1 11 次

5 正二十面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 19 個面切下共

需切 1 19 1 19 次

36 數亦優

由上述例子可得知切割次數皆剛好為正多面體的(總面數 1 )次

研究發現

內部有洞洞數 a b 其中 a洞的個數b每個洞的張數

矩 形

完整排列

邊長 邊長 總張數 撕的次數

2 2 4 3

4 5 20 19

不規則排列

總張數 撕的次數

10 9

13 12

內部有洞

邊長 邊長 洞數 總張數（邊長 邊長 洞的張數） 撕的次數

3 3 1 1 8 3 3 1 8

3 5 2 1 13 3 5 2 14

三 角 形

完整排列

邊長 總張數 撕的次數

2 4 3

3 9 8

不規則排列

總張數 撕的次數

10 9

13 12

內部有洞

邊長 洞數 總張數（邊長平方 洞的張數） 撕的次數

規

則

4 1 1 15 4 4 1 15

5 1 1 24 5 5 1 24

5 1 2 23 5 5 2 23

5 1 3 22 5 5 3 22

6 1 1 35 6 6 1 35

6 1 2 34 6 6 2 34

6 2 1 34 6 6 2 1 35

6 3 1 33 6 6 3 1 35

6 1 2 1 1 33 6 6 2 1 34

7 2 2 45 7 7 2 2 46

不

規

則

1 1 22 22

1 1 23 23

1 2 32 32

數亦優 37

六 邊 形

完整排列

總張數 撕的次數

3 2

5 4

內部有洞

洞數 總張數 撕的次數

1 1 6 6

2 1 11 12

正 多 面 體

面數 撕的次數

正四面體 4 3

正六面體 6 5

正八面體 8 7

正十二面體 12 11

正二十面體 20 19

目前的研究我們發現了以下獨特的結論平面幾何圖形中矩形正三角形和正六邊形的

規則形狀與不規則形狀紙張之最佳撕法都是(總張數 1 )次矩形正三角形及正六邊形排列成

內部有 n個洞且 m張的紙張之最佳撕法都是 1n m 次而柏拉圖立體的最少切割次數皆為

正多面體的(總面數 1 )次最重要我們發現其實撕裂或切割次數與撕裂或切割方法（或順序）

無關

參考資料

1 陳美如（200003）撕郵票問題數學傳播第 24 卷第 1 期P82~86

2 許志農與奇人相遇httpmathntnuedutw~macomeethtm

3 林義強多面體簡介第一屆全國高中數學教學研討會論文集P177~192

參數學專題研究反思 》

上述作品得到今年北一區數學科展優等過程中我與學生教學相長高二學生因為所學的

數學很有限所以數學解題層次會有侷限但是相對地數學思維與想像力卻是受過數學訓練

的我們所不及的在這次數學專題研究中我扮演的角色是諮詢者協助者鼓勵者完成任

務是那三位鍥而不捨的同學鄭羽呈李依庭林佩柔 勘誤 第 21 刊〈高中數學專題研究教案（PartI）〉 P34 倒數第 6 行「設m k 」應改為「設m k 」 P36 第 3 行「設m k 」應改為「設m k 」 P38 內部有洞的 1(1)~(4)分類應改為「1(1)一頁 24 張內部有一個洞一張為 1 洞」

「1(2)一頁 23 張內部有一個洞兩張為 1 洞」 「1(3)一頁 23 張內部有一個洞兩張為 1 洞」 「1(4)一頁 22 張內部有一個洞三張為 1 洞」

38 數亦優

動手玩數學 許志農臺灣師大數學系

在 下 圖 中已 知 ABC為 直 角

三 角 形 1AB 求

(1) 線段 AD的長度（化為最簡形式）

(2) 餘切 cot24

的值

〔玩鎖玩索〕

這道問題改編自「求 cot24

的值」這道

教師甄選試題關於這道餘切求值問題

有兩位老師的作法是用標準特別角出發

再求出欲求的餘切值

底下是另一位老師的作法

已知 ABC 為 直 角 三 角 形 4AC 求

AB BC及 cot24

的值

請 加 上 線 段 使 下 圖 分 成 五

份 形 狀 完 全 相 等 的 部 分（翻面

相等也算）

或 許 下 圖 對 你 會 有 些 幫 助 它 們 是 四 份

形 狀 完 全 相 等 的 部 分

〔玩鎖玩索〕

這是 1998 年夏天香港中文大學教育學

院第二次舉辦暑期資優課程中在數學有關的

工作坊裡的一道測智遊戲

遊戲 85

遊戲 86

數亦優 39

在 坐 標 平 面 上 畫 一 直 線 1L在

線 上 任 取 一 點O 以O為 旋 轉

中 心依 逆 時 針 方 向 將 直 線 1L

旋 轉 120得 到 直 線 2L 如 下

圖 所 示

已 知 直 線 1L 的 斜 率 為m求 證 直 線 2L 的 斜

率 為

3

3 1

m

m

〔玩鎖玩索〕

直線是平面幾何上的重要元素而斜率又

是直線在代數上的代言人掌握斜率就如同控

制直線一樣從逆轉120的 直 線 斜 率 公 式

不 難 知 道 坐 標 平 面 上 的 正 三 角 形 之 三

條 邊 斜 率

1 2 3 m m m

是可以互相推導的即由 1m 可 以 得 到 2m 與

3m 的 公 式 而 且 還 知 道 以 下 兩 個 恆 等 式

1 2 2 3 3 1 3m m m m m m

1 2 31 2 3

1 1 19m m m

m m m

宇 富 怕 手 機 被 盜 打 每 日 更

換 開 機 密 碼為 了 便 於 記 憶

他 想 到 一 則 更 換 密 碼 的 算 術

通 則 「 昨 天 密 碼 為p 今

日 的 密 碼 就 更 新 為1

1

p

p

」

宇 富 跟 所 有 的 人 說「 我 已 經

使 用 這 密 碼 通 則 500天 了 而

且 第 一 天 的 密 碼 就 設 為 2 1

相 信 各 位 算 到 手 痠也 無 法 算

出 今 天 的 開 機 密 碼 」

徵求可以破解開機密碼的人士

〔玩鎖玩索〕

如果第一天的密碼為 那麼破解密碼

的難度有增加嗎

遊戲 87

遊戲 88

40 數亦優

動動手手玩玩數數學學~~破破解解秘秘笈笈

遊戲 81

如圖所示

(1) 考慮 ABC 因為 8sin15AB BC 且

150ABC 所以 ABC 為等腰三角

形且 15BAC 因此

2 cos15 2 8sin15 cos15AC AB

1

8sin30 8 42

(2) 仿照(1)的方法 ACE 也是等腰三角

形且 30CAE 因此

32 cos30 2 4 4 3

2AE AC

遊戲 82

秦九韶這個依括弧次序求函數值 f a 的演

算法就是高中數學多項式那章所介紹的綜

合除法

2 5 4 8

2

2

a

a

仔細計算上述綜合除法的空白位置可以發

現小中大括弧位置所代表的值與秦九韶

小中大括弧內的值完全一樣

遊戲 83

(1)

2cos 2cos24 24cot

24 sin 2sin cos24 24 24

1 cos1 cos

3 412

sin sin12 3 4

(2) 因為

cos cos cos sin sin3 4 3 4 3 4

1 2 3 2

2 2 2 2

2 6

4 4

及

sin sin cos sin cos3 4 3 4 4 3

3 2 2 1

2 2 2 2

6 2

4 4

所以

2 61 4 6 24 4cot

24 6 2 6 24 4

2

4 6 2 6 2

6 2

2 2 3 6

遊戲 84

令

2 3A a b c b c i

2 3B c a b a b i

2 3C b a c c a i

且

1 3

2

i

因為 2A C B

所以 3 3 3 6 3A C B

又因為 3 6 1 所以 3 3 3A B C

得證

ltlt ASCII85EncodePages false AllowTransparency false AutoPositionEPSFiles true AutoRotatePages All Binding Left CalGrayProfile (Dot Gain 20) CalRGBProfile (sRGB IEC61966-21) CalCMYKProfile (US Web Coated 050SWOP051 v2) sRGBProfile (sRGB IEC61966-21) CannotEmbedFontPolicy Error CompatibilityLevel 13 CompressObjects Tags CompressPages true ConvertImagesToIndexed true PassThroughJPEGImages true CreateJobTicket false DefaultRenderingIntent Default DetectBlends true DetectCurves 00000 ColorConversionStrategy LeaveColorUnchanged DoThumbnails false EmbedAllFonts true EmbedOpenType false ParseICCProfilesInComments true EmbedJobOptions true DSCReportingLevel 0 EmitDSCWarnings false EndPage -1 ImageMemory 1048576 LockDistillerParams false MaxSubsetPct 100 Optimize true OPM 1 ParseDSCComments true ParseDSCCommentsForDocInfo true PreserveCopyPage true PreserveDICMYKValues true PreserveEPSInfo true PreserveFlatness true PreserveHalftoneInfo false PreserveOPIComments true PreserveOverprintSettings 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 TUR 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 UKR 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 ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 50 and later) CHT ltFEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002gt gtgt Namespace [ (Adobe) (Common) (10) ] OtherNamespaces [ ltlt AsReaderSpreads false CropImagesToFrames true ErrorControl WarnAndContinue FlattenerIgnoreSpreadOverrides false IncludeGuidesGrids false IncludeNonPrinting false IncludeSlug false Namespace [ (Adobe) (InDesign) (40) ] OmitPlacedBitmaps false OmitPlacedEPS false OmitPlacedPDF false SimulateOverprint Legacy gtgt ltlt AddBleedMarks false AddColorBars false AddCropMarks false AddPageInfo false AddRegMarks false ConvertColors ConvertToCMYK DestinationProfileName () DestinationProfileSelector DocumentCMYK 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34 數亦優

六 柏拉圖多面體

1 正四面體

第一次將底面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 3 個面切下共需切

1 3 1 3 次

2 正六面體

第一次將頂面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 5 個面切下共需切

1 5 1 5 次

斜線部分為第一次被切下的面

封閉正六面體被打開後第二次只能從

開放的 4 條稜邊（粗線）切下

第二刀不可再從封閉面（粗線）開始切

數亦優 35

3 正八面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 7 個面切下共

需切 1 7 1 7 次

4 正十二面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 11 個面切下共

需切 1 11 1 11 次

5 正二十面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 19 個面切下共

需切 1 19 1 19 次

36 數亦優

由上述例子可得知切割次數皆剛好為正多面體的(總面數 1 )次

研究發現

內部有洞洞數 a b 其中 a洞的個數b每個洞的張數

矩 形

完整排列

邊長 邊長 總張數 撕的次數

2 2 4 3

4 5 20 19

不規則排列

總張數 撕的次數

10 9

13 12

內部有洞

邊長 邊長 洞數 總張數（邊長 邊長 洞的張數） 撕的次數

3 3 1 1 8 3 3 1 8

3 5 2 1 13 3 5 2 14

三 角 形

完整排列

邊長 總張數 撕的次數

2 4 3

3 9 8

不規則排列

總張數 撕的次數

10 9

13 12

內部有洞

邊長 洞數 總張數（邊長平方 洞的張數） 撕的次數

規

則

4 1 1 15 4 4 1 15

5 1 1 24 5 5 1 24

5 1 2 23 5 5 2 23

5 1 3 22 5 5 3 22

6 1 1 35 6 6 1 35

6 1 2 34 6 6 2 34

6 2 1 34 6 6 2 1 35

6 3 1 33 6 6 3 1 35

6 1 2 1 1 33 6 6 2 1 34

7 2 2 45 7 7 2 2 46

不

規

則

1 1 22 22

1 1 23 23

1 2 32 32

數亦優 37

六 邊 形

完整排列

總張數 撕的次數

3 2

5 4

內部有洞

洞數 總張數 撕的次數

1 1 6 6

2 1 11 12

正 多 面 體

面數 撕的次數

正四面體 4 3

正六面體 6 5

正八面體 8 7

正十二面體 12 11

正二十面體 20 19

目前的研究我們發現了以下獨特的結論平面幾何圖形中矩形正三角形和正六邊形的

規則形狀與不規則形狀紙張之最佳撕法都是(總張數 1 )次矩形正三角形及正六邊形排列成

內部有 n個洞且 m張的紙張之最佳撕法都是 1n m 次而柏拉圖立體的最少切割次數皆為

正多面體的(總面數 1 )次最重要我們發現其實撕裂或切割次數與撕裂或切割方法（或順序）

無關

參考資料

1 陳美如（200003）撕郵票問題數學傳播第 24 卷第 1 期P82~86

2 許志農與奇人相遇httpmathntnuedutw~macomeethtm

3 林義強多面體簡介第一屆全國高中數學教學研討會論文集P177~192

參數學專題研究反思 》

上述作品得到今年北一區數學科展優等過程中我與學生教學相長高二學生因為所學的

數學很有限所以數學解題層次會有侷限但是相對地數學思維與想像力卻是受過數學訓練

的我們所不及的在這次數學專題研究中我扮演的角色是諮詢者協助者鼓勵者完成任

務是那三位鍥而不捨的同學鄭羽呈李依庭林佩柔 勘誤 第 21 刊〈高中數學專題研究教案（PartI）〉 P34 倒數第 6 行「設m k 」應改為「設m k 」 P36 第 3 行「設m k 」應改為「設m k 」 P38 內部有洞的 1(1)~(4)分類應改為「1(1)一頁 24 張內部有一個洞一張為 1 洞」

「1(2)一頁 23 張內部有一個洞兩張為 1 洞」 「1(3)一頁 23 張內部有一個洞兩張為 1 洞」 「1(4)一頁 22 張內部有一個洞三張為 1 洞」

38 數亦優

動手玩數學 許志農臺灣師大數學系

在 下 圖 中已 知 ABC為 直 角

三 角 形 1AB 求

(1) 線段 AD的長度（化為最簡形式）

(2) 餘切 cot24

的值

〔玩鎖玩索〕

這道問題改編自「求 cot24

的值」這道

教師甄選試題關於這道餘切求值問題

有兩位老師的作法是用標準特別角出發

再求出欲求的餘切值

底下是另一位老師的作法

已知 ABC 為 直 角 三 角 形 4AC 求

AB BC及 cot24

的值

請 加 上 線 段 使 下 圖 分 成 五

份 形 狀 完 全 相 等 的 部 分（翻面

相等也算）

或 許 下 圖 對 你 會 有 些 幫 助 它 們 是 四 份

形 狀 完 全 相 等 的 部 分

〔玩鎖玩索〕

這是 1998 年夏天香港中文大學教育學

院第二次舉辦暑期資優課程中在數學有關的

工作坊裡的一道測智遊戲

遊戲 85

遊戲 86

數亦優 39

在 坐 標 平 面 上 畫 一 直 線 1L在

線 上 任 取 一 點O 以O為 旋 轉

中 心依 逆 時 針 方 向 將 直 線 1L

旋 轉 120得 到 直 線 2L 如 下

圖 所 示

已 知 直 線 1L 的 斜 率 為m求 證 直 線 2L 的 斜

率 為

3

3 1

m

m

〔玩鎖玩索〕

直線是平面幾何上的重要元素而斜率又

是直線在代數上的代言人掌握斜率就如同控

制直線一樣從逆轉120的 直 線 斜 率 公 式

不 難 知 道 坐 標 平 面 上 的 正 三 角 形 之 三

條 邊 斜 率

1 2 3 m m m

是可以互相推導的即由 1m 可 以 得 到 2m 與

3m 的 公 式 而 且 還 知 道 以 下 兩 個 恆 等 式

1 2 2 3 3 1 3m m m m m m

1 2 31 2 3

1 1 19m m m

m m m

宇 富 怕 手 機 被 盜 打 每 日 更

換 開 機 密 碼為 了 便 於 記 憶

他 想 到 一 則 更 換 密 碼 的 算 術

通 則 「 昨 天 密 碼 為p 今

日 的 密 碼 就 更 新 為1

1

p

p

」

宇 富 跟 所 有 的 人 說「 我 已 經

使 用 這 密 碼 通 則 500天 了 而

且 第 一 天 的 密 碼 就 設 為 2 1

相 信 各 位 算 到 手 痠也 無 法 算

出 今 天 的 開 機 密 碼 」

徵求可以破解開機密碼的人士

〔玩鎖玩索〕

如果第一天的密碼為 那麼破解密碼

的難度有增加嗎

遊戲 87

遊戲 88

40 數亦優

動動手手玩玩數數學學~~破破解解秘秘笈笈

遊戲 81

如圖所示

(1) 考慮 ABC 因為 8sin15AB BC 且

150ABC 所以 ABC 為等腰三角

形且 15BAC 因此

2 cos15 2 8sin15 cos15AC AB

1

8sin30 8 42

(2) 仿照(1)的方法 ACE 也是等腰三角

形且 30CAE 因此

32 cos30 2 4 4 3

2AE AC

遊戲 82

秦九韶這個依括弧次序求函數值 f a 的演

算法就是高中數學多項式那章所介紹的綜

合除法

2 5 4 8

2

2

a

a

仔細計算上述綜合除法的空白位置可以發

現小中大括弧位置所代表的值與秦九韶

小中大括弧內的值完全一樣

遊戲 83

(1)

2cos 2cos24 24cot

24 sin 2sin cos24 24 24

1 cos1 cos

3 412

sin sin12 3 4

(2) 因為

cos cos cos sin sin3 4 3 4 3 4

1 2 3 2

2 2 2 2

2 6

4 4

及

sin sin cos sin cos3 4 3 4 4 3

3 2 2 1

2 2 2 2

6 2

4 4

所以

2 61 4 6 24 4cot

24 6 2 6 24 4

2

4 6 2 6 2

6 2

2 2 3 6

遊戲 84

令

2 3A a b c b c i

2 3B c a b a b i

2 3C b a c c a i

且

1 3

2

i

因為 2A C B

所以 3 3 3 6 3A C B

又因為 3 6 1 所以 3 3 3A B C

得證

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 SVE 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 TUR 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 UKR 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 ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 50 and later) CHT ltFEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002gt gtgt Namespace [ (Adobe) (Common) (10) ] OtherNamespaces [ ltlt AsReaderSpreads false CropImagesToFrames true ErrorControl WarnAndContinue FlattenerIgnoreSpreadOverrides false IncludeGuidesGrids false IncludeNonPrinting false IncludeSlug false Namespace [ (Adobe) (InDesign) (40) ] OmitPlacedBitmaps false OmitPlacedEPS false OmitPlacedPDF false SimulateOverprint Legacy gtgt ltlt AddBleedMarks false AddColorBars false AddCropMarks false AddPageInfo false AddRegMarks false ConvertColors ConvertToCMYK DestinationProfileName () DestinationProfileSelector DocumentCMYK 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數亦優 35

3 正八面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 7 個面切下共

需切 1 7 1 7 次

4 正十二面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 11 個面切下共

需切 1 11 1 11 次

5 正二十面體

第一次將其中一個面切開以後再從開放的稜邊開始切逐一將剩下的 19 個面切下共

需切 1 19 1 19 次

36 數亦優

由上述例子可得知切割次數皆剛好為正多面體的(總面數 1 )次

研究發現

內部有洞洞數 a b 其中 a洞的個數b每個洞的張數

矩 形

完整排列

邊長 邊長 總張數 撕的次數

2 2 4 3

4 5 20 19

不規則排列

總張數 撕的次數

10 9

13 12

內部有洞

邊長 邊長 洞數 總張數（邊長 邊長 洞的張數） 撕的次數

3 3 1 1 8 3 3 1 8

3 5 2 1 13 3 5 2 14

三 角 形

完整排列

邊長 總張數 撕的次數

2 4 3

3 9 8

不規則排列

總張數 撕的次數

10 9

13 12

內部有洞

邊長 洞數 總張數（邊長平方 洞的張數） 撕的次數

規

則

4 1 1 15 4 4 1 15

5 1 1 24 5 5 1 24

5 1 2 23 5 5 2 23

5 1 3 22 5 5 3 22

6 1 1 35 6 6 1 35

6 1 2 34 6 6 2 34

6 2 1 34 6 6 2 1 35

6 3 1 33 6 6 3 1 35

6 1 2 1 1 33 6 6 2 1 34

7 2 2 45 7 7 2 2 46

不

規

則

1 1 22 22

1 1 23 23

1 2 32 32

數亦優 37

六 邊 形

完整排列

總張數 撕的次數

3 2

5 4

內部有洞

洞數 總張數 撕的次數

1 1 6 6

2 1 11 12

正 多 面 體

面數 撕的次數

正四面體 4 3

正六面體 6 5

正八面體 8 7

正十二面體 12 11

正二十面體 20 19

目前的研究我們發現了以下獨特的結論平面幾何圖形中矩形正三角形和正六邊形的

規則形狀與不規則形狀紙張之最佳撕法都是(總張數 1 )次矩形正三角形及正六邊形排列成

內部有 n個洞且 m張的紙張之最佳撕法都是 1n m 次而柏拉圖立體的最少切割次數皆為

正多面體的(總面數 1 )次最重要我們發現其實撕裂或切割次數與撕裂或切割方法（或順序）

無關

參考資料

1 陳美如（200003）撕郵票問題數學傳播第 24 卷第 1 期P82~86

2 許志農與奇人相遇httpmathntnuedutw~macomeethtm

3 林義強多面體簡介第一屆全國高中數學教學研討會論文集P177~192

參數學專題研究反思 》

上述作品得到今年北一區數學科展優等過程中我與學生教學相長高二學生因為所學的

數學很有限所以數學解題層次會有侷限但是相對地數學思維與想像力卻是受過數學訓練

的我們所不及的在這次數學專題研究中我扮演的角色是諮詢者協助者鼓勵者完成任

務是那三位鍥而不捨的同學鄭羽呈李依庭林佩柔 勘誤 第 21 刊〈高中數學專題研究教案（PartI）〉 P34 倒數第 6 行「設m k 」應改為「設m k 」 P36 第 3 行「設m k 」應改為「設m k 」 P38 內部有洞的 1(1)~(4)分類應改為「1(1)一頁 24 張內部有一個洞一張為 1 洞」

「1(2)一頁 23 張內部有一個洞兩張為 1 洞」 「1(3)一頁 23 張內部有一個洞兩張為 1 洞」 「1(4)一頁 22 張內部有一個洞三張為 1 洞」

38 數亦優

動手玩數學 許志農臺灣師大數學系

在 下 圖 中已 知 ABC為 直 角

三 角 形 1AB 求

(1) 線段 AD的長度（化為最簡形式）

(2) 餘切 cot24

的值

〔玩鎖玩索〕

這道問題改編自「求 cot24

的值」這道

教師甄選試題關於這道餘切求值問題

有兩位老師的作法是用標準特別角出發

再求出欲求的餘切值

底下是另一位老師的作法

已知 ABC 為 直 角 三 角 形 4AC 求

AB BC及 cot24

的值

請 加 上 線 段 使 下 圖 分 成 五

份 形 狀 完 全 相 等 的 部 分（翻面

相等也算）

或 許 下 圖 對 你 會 有 些 幫 助 它 們 是 四 份

形 狀 完 全 相 等 的 部 分

〔玩鎖玩索〕

這是 1998 年夏天香港中文大學教育學

院第二次舉辦暑期資優課程中在數學有關的

工作坊裡的一道測智遊戲

遊戲 85

遊戲 86

數亦優 39

在 坐 標 平 面 上 畫 一 直 線 1L在

線 上 任 取 一 點O 以O為 旋 轉

中 心依 逆 時 針 方 向 將 直 線 1L

旋 轉 120得 到 直 線 2L 如 下

圖 所 示

已 知 直 線 1L 的 斜 率 為m求 證 直 線 2L 的 斜

率 為

3

3 1

m

m

〔玩鎖玩索〕

直線是平面幾何上的重要元素而斜率又

是直線在代數上的代言人掌握斜率就如同控

制直線一樣從逆轉120的 直 線 斜 率 公 式

不 難 知 道 坐 標 平 面 上 的 正 三 角 形 之 三

條 邊 斜 率

1 2 3 m m m

是可以互相推導的即由 1m 可 以 得 到 2m 與

3m 的 公 式 而 且 還 知 道 以 下 兩 個 恆 等 式

1 2 2 3 3 1 3m m m m m m

1 2 31 2 3

1 1 19m m m

m m m

宇 富 怕 手 機 被 盜 打 每 日 更

換 開 機 密 碼為 了 便 於 記 憶

他 想 到 一 則 更 換 密 碼 的 算 術

通 則 「 昨 天 密 碼 為p 今

日 的 密 碼 就 更 新 為1

1

p

p

」

宇 富 跟 所 有 的 人 說「 我 已 經

使 用 這 密 碼 通 則 500天 了 而

且 第 一 天 的 密 碼 就 設 為 2 1

相 信 各 位 算 到 手 痠也 無 法 算

出 今 天 的 開 機 密 碼 」

徵求可以破解開機密碼的人士

〔玩鎖玩索〕

如果第一天的密碼為 那麼破解密碼

的難度有增加嗎

遊戲 87

遊戲 88

40 數亦優

動動手手玩玩數數學學~~破破解解秘秘笈笈

遊戲 81

如圖所示

(1) 考慮 ABC 因為 8sin15AB BC 且

150ABC 所以 ABC 為等腰三角

形且 15BAC 因此

2 cos15 2 8sin15 cos15AC AB

1

8sin30 8 42

(2) 仿照(1)的方法 ACE 也是等腰三角

形且 30CAE 因此

32 cos30 2 4 4 3

2AE AC

遊戲 82

秦九韶這個依括弧次序求函數值 f a 的演

算法就是高中數學多項式那章所介紹的綜

合除法

2 5 4 8

2

2

a

a

仔細計算上述綜合除法的空白位置可以發

現小中大括弧位置所代表的值與秦九韶

小中大括弧內的值完全一樣

遊戲 83

(1)

2cos 2cos24 24cot

24 sin 2sin cos24 24 24

1 cos1 cos

3 412

sin sin12 3 4

(2) 因為

cos cos cos sin sin3 4 3 4 3 4

1 2 3 2

2 2 2 2

2 6

4 4

及

sin sin cos sin cos3 4 3 4 4 3

3 2 2 1

2 2 2 2

6 2

4 4

所以

2 61 4 6 24 4cot

24 6 2 6 24 4

2

4 6 2 6 2

6 2

2 2 3 6

遊戲 84

令

2 3A a b c b c i

2 3B c a b a b i

2 3C b a c c a i

且

1 3

2

i

因為 2A C B

所以 3 3 3 6 3A C B

又因為 3 6 1 所以 3 3 3A B C

得證

ltlt ASCII85EncodePages false AllowTransparency false AutoPositionEPSFiles true AutoRotatePages All Binding Left CalGrayProfile (Dot Gain 20) CalRGBProfile (sRGB IEC61966-21) CalCMYKProfile (US Web Coated 050SWOP051 v2) sRGBProfile (sRGB IEC61966-21) CannotEmbedFontPolicy Error CompatibilityLevel 13 CompressObjects Tags CompressPages true ConvertImagesToIndexed true PassThroughJPEGImages true CreateJobTicket false DefaultRenderingIntent Default DetectBlends true DetectCurves 00000 ColorConversionStrategy LeaveColorUnchanged DoThumbnails false EmbedAllFonts true EmbedOpenType false ParseICCProfilesInComments true EmbedJobOptions true DSCReportingLevel 0 EmitDSCWarnings false EndPage -1 ImageMemory 1048576 LockDistillerParams false MaxSubsetPct 100 Optimize true OPM 1 ParseDSCComments true ParseDSCCommentsForDocInfo true PreserveCopyPage true PreserveDICMYKValues true PreserveEPSInfo true PreserveFlatness true PreserveHalftoneInfo false PreserveOPIComments true PreserveOverprintSettings 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 CHS ltFEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e9ad88d2891cf76845370524d53705237300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002gt CZE ltFEFF005400610074006f0020006e006100730074006100760065006e00ed00200070006f0075017e0069006a007400650020006b0020007600790074007600e101590065006e00ed00200064006f006b0075006d0065006e0074016f002000410064006f006200650020005000440046002c0020006b00740065007200e90020007300650020006e0065006a006c00e90070006500200068006f006400ed002000700072006f0020006b00760061006c00690074006e00ed0020007400690073006b00200061002000700072006500700072006500730073002e002000200056007900740076006f01590065006e00e900200064006f006b0075006d0065006e007400790020005000440046002000620075006400650020006d006f017e006e00e90020006f007400650076015900ed007400200076002000700072006f006700720061006d0065006300680020004100630072006f00620061007400200061002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002000610020006e006f0076011b006a016100ed00630068002egt DAN ltFEFF004200720075006700200069006e0064007300740069006c006c0069006e006700650072006e0065002000740069006c0020006100740020006f007000720065007400740065002000410064006f006200650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e007400650072002c0020006400650072002000620065006400730074002000650067006e006500720020007300690067002000740069006c002000700072006500700072006500730073002d007500640073006b007200690076006e0069006e00670020006100660020006800f8006a0020006b00760061006c0069007400650074002e0020004400650020006f007000720065007400740065006400650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e0074006500720020006b0061006e002000e50062006e00650073002000690020004100630072006f00620061007400200065006c006c006500720020004100630072006f006200610074002000520065006100640065007200200035002e00300020006f00670020006e0079006500720065002egt DEU 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HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata najpogodnijih za visokokvalitetni ispis prije tiskanja koristite ove postavke Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 50 i kasnijim verzijama) HUN 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36 數亦優

由上述例子可得知切割次數皆剛好為正多面體的(總面數 1 )次

研究發現

內部有洞洞數 a b 其中 a洞的個數b每個洞的張數

矩 形

完整排列

邊長 邊長 總張數 撕的次數

2 2 4 3

4 5 20 19

不規則排列

總張數 撕的次數

10 9

13 12

內部有洞

邊長 邊長 洞數 總張數（邊長 邊長 洞的張數） 撕的次數

3 3 1 1 8 3 3 1 8

3 5 2 1 13 3 5 2 14

三 角 形

完整排列

邊長 總張數 撕的次數

2 4 3

3 9 8

不規則排列

總張數 撕的次數

10 9

13 12

內部有洞

邊長 洞數 總張數（邊長平方 洞的張數） 撕的次數

規

則

4 1 1 15 4 4 1 15

5 1 1 24 5 5 1 24

5 1 2 23 5 5 2 23

5 1 3 22 5 5 3 22

6 1 1 35 6 6 1 35

6 1 2 34 6 6 2 34

6 2 1 34 6 6 2 1 35

6 3 1 33 6 6 3 1 35

6 1 2 1 1 33 6 6 2 1 34

7 2 2 45 7 7 2 2 46

不

規

則

1 1 22 22

1 1 23 23

1 2 32 32

數亦優 37

六 邊 形

完整排列

總張數 撕的次數

3 2

5 4

內部有洞

洞數 總張數 撕的次數

1 1 6 6

2 1 11 12

正 多 面 體

面數 撕的次數

正四面體 4 3

正六面體 6 5

正八面體 8 7

正十二面體 12 11

正二十面體 20 19

目前的研究我們發現了以下獨特的結論平面幾何圖形中矩形正三角形和正六邊形的

規則形狀與不規則形狀紙張之最佳撕法都是(總張數 1 )次矩形正三角形及正六邊形排列成

內部有 n個洞且 m張的紙張之最佳撕法都是 1n m 次而柏拉圖立體的最少切割次數皆為

正多面體的(總面數 1 )次最重要我們發現其實撕裂或切割次數與撕裂或切割方法（或順序）

無關

參考資料

1 陳美如（200003）撕郵票問題數學傳播第 24 卷第 1 期P82~86

2 許志農與奇人相遇httpmathntnuedutw~macomeethtm

3 林義強多面體簡介第一屆全國高中數學教學研討會論文集P177~192

參數學專題研究反思 》

上述作品得到今年北一區數學科展優等過程中我與學生教學相長高二學生因為所學的

數學很有限所以數學解題層次會有侷限但是相對地數學思維與想像力卻是受過數學訓練

的我們所不及的在這次數學專題研究中我扮演的角色是諮詢者協助者鼓勵者完成任

務是那三位鍥而不捨的同學鄭羽呈李依庭林佩柔 勘誤 第 21 刊〈高中數學專題研究教案（PartI）〉 P34 倒數第 6 行「設m k 」應改為「設m k 」 P36 第 3 行「設m k 」應改為「設m k 」 P38 內部有洞的 1(1)~(4)分類應改為「1(1)一頁 24 張內部有一個洞一張為 1 洞」

「1(2)一頁 23 張內部有一個洞兩張為 1 洞」 「1(3)一頁 23 張內部有一個洞兩張為 1 洞」 「1(4)一頁 22 張內部有一個洞三張為 1 洞」

38 數亦優

動手玩數學 許志農臺灣師大數學系

在 下 圖 中已 知 ABC為 直 角

三 角 形 1AB 求

(1) 線段 AD的長度（化為最簡形式）

(2) 餘切 cot24

的值

〔玩鎖玩索〕

這道問題改編自「求 cot24

的值」這道

教師甄選試題關於這道餘切求值問題

有兩位老師的作法是用標準特別角出發

再求出欲求的餘切值

底下是另一位老師的作法

已知 ABC 為 直 角 三 角 形 4AC 求

AB BC及 cot24

的值

請 加 上 線 段 使 下 圖 分 成 五

份 形 狀 完 全 相 等 的 部 分（翻面

相等也算）

或 許 下 圖 對 你 會 有 些 幫 助 它 們 是 四 份

形 狀 完 全 相 等 的 部 分

〔玩鎖玩索〕

這是 1998 年夏天香港中文大學教育學

院第二次舉辦暑期資優課程中在數學有關的

工作坊裡的一道測智遊戲

遊戲 85

遊戲 86

數亦優 39

在 坐 標 平 面 上 畫 一 直 線 1L在

線 上 任 取 一 點O 以O為 旋 轉

中 心依 逆 時 針 方 向 將 直 線 1L

旋 轉 120得 到 直 線 2L 如 下

圖 所 示

已 知 直 線 1L 的 斜 率 為m求 證 直 線 2L 的 斜

率 為

3

3 1

m

m

〔玩鎖玩索〕

直線是平面幾何上的重要元素而斜率又

是直線在代數上的代言人掌握斜率就如同控

制直線一樣從逆轉120的 直 線 斜 率 公 式

不 難 知 道 坐 標 平 面 上 的 正 三 角 形 之 三

條 邊 斜 率

1 2 3 m m m

是可以互相推導的即由 1m 可 以 得 到 2m 與

3m 的 公 式 而 且 還 知 道 以 下 兩 個 恆 等 式

1 2 2 3 3 1 3m m m m m m

1 2 31 2 3

1 1 19m m m

m m m

宇 富 怕 手 機 被 盜 打 每 日 更

換 開 機 密 碼為 了 便 於 記 憶

他 想 到 一 則 更 換 密 碼 的 算 術

通 則 「 昨 天 密 碼 為p 今

日 的 密 碼 就 更 新 為1

1

p

p

」

宇 富 跟 所 有 的 人 說「 我 已 經

使 用 這 密 碼 通 則 500天 了 而

且 第 一 天 的 密 碼 就 設 為 2 1

相 信 各 位 算 到 手 痠也 無 法 算

出 今 天 的 開 機 密 碼 」

徵求可以破解開機密碼的人士

〔玩鎖玩索〕

如果第一天的密碼為 那麼破解密碼

的難度有增加嗎

遊戲 87

遊戲 88

40 數亦優

動動手手玩玩數數學學~~破破解解秘秘笈笈

遊戲 81

如圖所示

(1) 考慮 ABC 因為 8sin15AB BC 且

150ABC 所以 ABC 為等腰三角

形且 15BAC 因此

2 cos15 2 8sin15 cos15AC AB

1

8sin30 8 42

(2) 仿照(1)的方法 ACE 也是等腰三角

形且 30CAE 因此

32 cos30 2 4 4 3

2AE AC

遊戲 82

秦九韶這個依括弧次序求函數值 f a 的演

算法就是高中數學多項式那章所介紹的綜

合除法

2 5 4 8

2

2

a

a

仔細計算上述綜合除法的空白位置可以發

現小中大括弧位置所代表的值與秦九韶

小中大括弧內的值完全一樣

遊戲 83

(1)

2cos 2cos24 24cot

24 sin 2sin cos24 24 24

1 cos1 cos

3 412

sin sin12 3 4

(2) 因為

cos cos cos sin sin3 4 3 4 3 4

1 2 3 2

2 2 2 2

2 6

4 4

及

sin sin cos sin cos3 4 3 4 4 3

3 2 2 1

2 2 2 2

6 2

4 4

所以

2 61 4 6 24 4cot

24 6 2 6 24 4

2

4 6 2 6 2

6 2

2 2 3 6

遊戲 84

令

2 3A a b c b c i

2 3B c a b a b i

2 3C b a c c a i

且

1 3

2

i

因為 2A C B

所以 3 3 3 6 3A C B

又因為 3 6 1 所以 3 3 3A B C

得證

ltlt ASCII85EncodePages false AllowTransparency false AutoPositionEPSFiles true AutoRotatePages All Binding Left CalGrayProfile (Dot Gain 20) CalRGBProfile (sRGB IEC61966-21) CalCMYKProfile (US Web Coated 050SWOP051 v2) sRGBProfile (sRGB IEC61966-21) CannotEmbedFontPolicy Error CompatibilityLevel 13 CompressObjects Tags CompressPages true ConvertImagesToIndexed true PassThroughJPEGImages true CreateJobTicket false DefaultRenderingIntent Default DetectBlends true DetectCurves 00000 ColorConversionStrategy LeaveColorUnchanged DoThumbnails false EmbedAllFonts true EmbedOpenType false ParseICCProfilesInComments true EmbedJobOptions true DSCReportingLevel 0 EmitDSCWarnings false EndPage -1 ImageMemory 1048576 LockDistillerParams false MaxSubsetPct 100 Optimize true OPM 1 ParseDSCComments true ParseDSCCommentsForDocInfo true PreserveCopyPage true PreserveDICMYKValues true PreserveEPSInfo true PreserveFlatness true PreserveHalftoneInfo false PreserveOPIComments true PreserveOverprintSettings 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 CHS 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 ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 50 and later) CHT ltFEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002gt gtgt Namespace [ (Adobe) (Common) (10) ] OtherNamespaces [ ltlt AsReaderSpreads false CropImagesToFrames true ErrorControl WarnAndContinue FlattenerIgnoreSpreadOverrides false IncludeGuidesGrids false IncludeNonPrinting false IncludeSlug false Namespace [ (Adobe) (InDesign) (40) ] OmitPlacedBitmaps false OmitPlacedEPS false OmitPlacedPDF false SimulateOverprint Legacy gtgt ltlt AddBleedMarks false AddColorBars false AddCropMarks false AddPageInfo false AddRegMarks false ConvertColors ConvertToCMYK DestinationProfileName () DestinationProfileSelector DocumentCMYK 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數亦優 37

六 邊 形

完整排列

總張數 撕的次數

3 2

5 4

內部有洞

洞數 總張數 撕的次數

1 1 6 6

2 1 11 12

正 多 面 體

面數 撕的次數

正四面體 4 3

正六面體 6 5

正八面體 8 7

正十二面體 12 11

正二十面體 20 19

目前的研究我們發現了以下獨特的結論平面幾何圖形中矩形正三角形和正六邊形的

規則形狀與不規則形狀紙張之最佳撕法都是(總張數 1 )次矩形正三角形及正六邊形排列成

內部有 n個洞且 m張的紙張之最佳撕法都是 1n m 次而柏拉圖立體的最少切割次數皆為

正多面體的(總面數 1 )次最重要我們發現其實撕裂或切割次數與撕裂或切割方法（或順序）

無關

參考資料

1 陳美如（200003）撕郵票問題數學傳播第 24 卷第 1 期P82~86

2 許志農與奇人相遇httpmathntnuedutw~macomeethtm

3 林義強多面體簡介第一屆全國高中數學教學研討會論文集P177~192

參數學專題研究反思 》

上述作品得到今年北一區數學科展優等過程中我與學生教學相長高二學生因為所學的

數學很有限所以數學解題層次會有侷限但是相對地數學思維與想像力卻是受過數學訓練

的我們所不及的在這次數學專題研究中我扮演的角色是諮詢者協助者鼓勵者完成任

務是那三位鍥而不捨的同學鄭羽呈李依庭林佩柔 勘誤 第 21 刊〈高中數學專題研究教案（PartI）〉 P34 倒數第 6 行「設m k 」應改為「設m k 」 P36 第 3 行「設m k 」應改為「設m k 」 P38 內部有洞的 1(1)~(4)分類應改為「1(1)一頁 24 張內部有一個洞一張為 1 洞」

「1(2)一頁 23 張內部有一個洞兩張為 1 洞」 「1(3)一頁 23 張內部有一個洞兩張為 1 洞」 「1(4)一頁 22 張內部有一個洞三張為 1 洞」

38 數亦優

動手玩數學 許志農臺灣師大數學系

在 下 圖 中已 知 ABC為 直 角

三 角 形 1AB 求

(1) 線段 AD的長度（化為最簡形式）

(2) 餘切 cot24

的值

〔玩鎖玩索〕

這道問題改編自「求 cot24

的值」這道

教師甄選試題關於這道餘切求值問題

有兩位老師的作法是用標準特別角出發

再求出欲求的餘切值

底下是另一位老師的作法

已知 ABC 為 直 角 三 角 形 4AC 求

AB BC及 cot24

的值

請 加 上 線 段 使 下 圖 分 成 五

份 形 狀 完 全 相 等 的 部 分（翻面

相等也算）

或 許 下 圖 對 你 會 有 些 幫 助 它 們 是 四 份

形 狀 完 全 相 等 的 部 分

〔玩鎖玩索〕

這是 1998 年夏天香港中文大學教育學

院第二次舉辦暑期資優課程中在數學有關的

工作坊裡的一道測智遊戲

遊戲 85

遊戲 86

數亦優 39

在 坐 標 平 面 上 畫 一 直 線 1L在

線 上 任 取 一 點O 以O為 旋 轉

中 心依 逆 時 針 方 向 將 直 線 1L

旋 轉 120得 到 直 線 2L 如 下

圖 所 示

已 知 直 線 1L 的 斜 率 為m求 證 直 線 2L 的 斜

率 為

3

3 1

m

m

〔玩鎖玩索〕

直線是平面幾何上的重要元素而斜率又

是直線在代數上的代言人掌握斜率就如同控

制直線一樣從逆轉120的 直 線 斜 率 公 式

不 難 知 道 坐 標 平 面 上 的 正 三 角 形 之 三

條 邊 斜 率

1 2 3 m m m

是可以互相推導的即由 1m 可 以 得 到 2m 與

3m 的 公 式 而 且 還 知 道 以 下 兩 個 恆 等 式

1 2 2 3 3 1 3m m m m m m

1 2 31 2 3

1 1 19m m m

m m m

宇 富 怕 手 機 被 盜 打 每 日 更

換 開 機 密 碼為 了 便 於 記 憶

他 想 到 一 則 更 換 密 碼 的 算 術

通 則 「 昨 天 密 碼 為p 今

日 的 密 碼 就 更 新 為1

1

p

p

」

宇 富 跟 所 有 的 人 說「 我 已 經

使 用 這 密 碼 通 則 500天 了 而

且 第 一 天 的 密 碼 就 設 為 2 1

相 信 各 位 算 到 手 痠也 無 法 算

出 今 天 的 開 機 密 碼 」

徵求可以破解開機密碼的人士

〔玩鎖玩索〕

如果第一天的密碼為 那麼破解密碼

的難度有增加嗎

遊戲 87

遊戲 88

40 數亦優

動動手手玩玩數數學學~~破破解解秘秘笈笈

遊戲 81

如圖所示

(1) 考慮 ABC 因為 8sin15AB BC 且

150ABC 所以 ABC 為等腰三角

形且 15BAC 因此

2 cos15 2 8sin15 cos15AC AB

1

8sin30 8 42

(2) 仿照(1)的方法 ACE 也是等腰三角

形且 30CAE 因此

32 cos30 2 4 4 3

2AE AC

遊戲 82

秦九韶這個依括弧次序求函數值 f a 的演

算法就是高中數學多項式那章所介紹的綜

合除法

2 5 4 8

2

2

a

a

仔細計算上述綜合除法的空白位置可以發

現小中大括弧位置所代表的值與秦九韶

小中大括弧內的值完全一樣

遊戲 83

(1)

2cos 2cos24 24cot

24 sin 2sin cos24 24 24

1 cos1 cos

3 412

sin sin12 3 4

(2) 因為

cos cos cos sin sin3 4 3 4 3 4

1 2 3 2

2 2 2 2

2 6

4 4

及

sin sin cos sin cos3 4 3 4 4 3

3 2 2 1

2 2 2 2

6 2

4 4

所以

2 61 4 6 24 4cot

24 6 2 6 24 4

2

4 6 2 6 2

6 2

2 2 3 6

遊戲 84

令

2 3A a b c b c i

2 3B c a b a b i

2 3C b a c c a i

且

1 3

2

i

因為 2A C B

所以 3 3 3 6 3A C B

又因為 3 6 1 所以 3 3 3A B C

得證

ltlt ASCII85EncodePages false AllowTransparency false AutoPositionEPSFiles true AutoRotatePages All Binding Left CalGrayProfile (Dot Gain 20) CalRGBProfile (sRGB IEC61966-21) CalCMYKProfile (US Web Coated 050SWOP051 v2) sRGBProfile (sRGB IEC61966-21) CannotEmbedFontPolicy Error CompatibilityLevel 13 CompressObjects Tags CompressPages true ConvertImagesToIndexed true PassThroughJPEGImages true CreateJobTicket false DefaultRenderingIntent Default DetectBlends true DetectCurves 00000 ColorConversionStrategy LeaveColorUnchanged DoThumbnails false EmbedAllFonts true EmbedOpenType false ParseICCProfilesInComments true EmbedJobOptions true DSCReportingLevel 0 EmitDSCWarnings false EndPage -1 ImageMemory 1048576 LockDistillerParams false MaxSubsetPct 100 Optimize true OPM 1 ParseDSCComments true ParseDSCCommentsForDocInfo true PreserveCopyPage true PreserveDICMYKValues true PreserveEPSInfo true PreserveFlatness true PreserveHalftoneInfo false PreserveOPIComments true PreserveOverprintSettings 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 TUR ltFEFF005900fc006b00730065006b0020006b0061006c006900740065006c0069002000f6006e002000790061007a006401310072006d00610020006200610073006b013100730131006e006100200065006e0020006900790069002000750079006100620069006c006500630065006b002000410064006f006200650020005000440046002000620065006c00670065006c0065007200690020006f006c0075015f007400750072006d0061006b0020006900e70069006e00200062007500200061007900610072006c0061007201310020006b0075006c006c0061006e0131006e002e00200020004f006c0075015f0074007500720075006c0061006e0020005000440046002000620065006c00670065006c0065007200690020004100630072006f006200610074002000760065002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000200076006500200073006f006e0072006100730131006e00640061006b00690020007300fc007200fc006d006c00650072006c00650020006100e70131006c006100620069006c00690072002egt UKR ltFEFF04120438043a043e0440043804410442043e043204430439044204350020044604560020043f043004400430043c043504420440043800200434043b044f0020044104420432043e04400435043d043d044f00200434043e043a0443043c0435043d044204560432002000410064006f006200650020005000440046002c0020044f043a04560020043d04300439043a04400430044904350020043f045604340445043e0434044f0442044c00200434043b044f0020043204380441043e043a043e044f043a04560441043d043e0433043e0020043f0435044004350434043404400443043a043e0432043e0433043e0020043404400443043a0443002e00200020042104420432043e04400435043d045600200434043e043a0443043c0435043d0442043800200050004400460020043c043e0436043d04300020043204560434043a0440043804420438002004430020004100630072006f006200610074002004420430002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002004300431043e0020043f04560437043d04560448043e04570020043204350440044104560457002egt ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 50 and later) CHT ltFEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002gt gtgt Namespace [ (Adobe) (Common) (10) ] OtherNamespaces [ ltlt AsReaderSpreads false CropImagesToFrames true ErrorControl WarnAndContinue FlattenerIgnoreSpreadOverrides false IncludeGuidesGrids false IncludeNonPrinting false IncludeSlug false Namespace [ (Adobe) (InDesign) (40) ] OmitPlacedBitmaps false OmitPlacedEPS false OmitPlacedPDF false SimulateOverprint Legacy gtgt ltlt AddBleedMarks false AddColorBars false AddCropMarks false AddPageInfo false AddRegMarks false ConvertColors ConvertToCMYK DestinationProfileName () DestinationProfileSelector DocumentCMYK 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38 數亦優

動手玩數學 許志農臺灣師大數學系

在 下 圖 中已 知 ABC為 直 角

三 角 形 1AB 求

(1) 線段 AD的長度（化為最簡形式）

(2) 餘切 cot24

的值

〔玩鎖玩索〕

這道問題改編自「求 cot24

的值」這道

教師甄選試題關於這道餘切求值問題

有兩位老師的作法是用標準特別角出發

再求出欲求的餘切值

底下是另一位老師的作法

已知 ABC 為 直 角 三 角 形 4AC 求

AB BC及 cot24

的值

請 加 上 線 段 使 下 圖 分 成 五

份 形 狀 完 全 相 等 的 部 分（翻面

相等也算）

或 許 下 圖 對 你 會 有 些 幫 助 它 們 是 四 份

形 狀 完 全 相 等 的 部 分

〔玩鎖玩索〕

這是 1998 年夏天香港中文大學教育學

院第二次舉辦暑期資優課程中在數學有關的

工作坊裡的一道測智遊戲

遊戲 85

遊戲 86

數亦優 39

在 坐 標 平 面 上 畫 一 直 線 1L在

線 上 任 取 一 點O 以O為 旋 轉

中 心依 逆 時 針 方 向 將 直 線 1L

旋 轉 120得 到 直 線 2L 如 下

圖 所 示

已 知 直 線 1L 的 斜 率 為m求 證 直 線 2L 的 斜

率 為

3

3 1

m

m

〔玩鎖玩索〕

直線是平面幾何上的重要元素而斜率又

是直線在代數上的代言人掌握斜率就如同控

制直線一樣從逆轉120的 直 線 斜 率 公 式

不 難 知 道 坐 標 平 面 上 的 正 三 角 形 之 三

條 邊 斜 率

1 2 3 m m m

是可以互相推導的即由 1m 可 以 得 到 2m 與

3m 的 公 式 而 且 還 知 道 以 下 兩 個 恆 等 式

1 2 2 3 3 1 3m m m m m m

1 2 31 2 3

1 1 19m m m

m m m

宇 富 怕 手 機 被 盜 打 每 日 更

換 開 機 密 碼為 了 便 於 記 憶

他 想 到 一 則 更 換 密 碼 的 算 術

通 則 「 昨 天 密 碼 為p 今

日 的 密 碼 就 更 新 為1

1

p

p

」

宇 富 跟 所 有 的 人 說「 我 已 經

使 用 這 密 碼 通 則 500天 了 而

且 第 一 天 的 密 碼 就 設 為 2 1

相 信 各 位 算 到 手 痠也 無 法 算

出 今 天 的 開 機 密 碼 」

徵求可以破解開機密碼的人士

〔玩鎖玩索〕

如果第一天的密碼為 那麼破解密碼

的難度有增加嗎

遊戲 87

遊戲 88

40 數亦優

動動手手玩玩數數學學~~破破解解秘秘笈笈

遊戲 81

如圖所示

(1) 考慮 ABC 因為 8sin15AB BC 且

150ABC 所以 ABC 為等腰三角

形且 15BAC 因此

2 cos15 2 8sin15 cos15AC AB

1

8sin30 8 42

(2) 仿照(1)的方法 ACE 也是等腰三角

形且 30CAE 因此

32 cos30 2 4 4 3

2AE AC

遊戲 82

秦九韶這個依括弧次序求函數值 f a 的演

算法就是高中數學多項式那章所介紹的綜

合除法

2 5 4 8

2

2

a

a

仔細計算上述綜合除法的空白位置可以發

現小中大括弧位置所代表的值與秦九韶

小中大括弧內的值完全一樣

遊戲 83

(1)

2cos 2cos24 24cot

24 sin 2sin cos24 24 24

1 cos1 cos

3 412

sin sin12 3 4

(2) 因為

cos cos cos sin sin3 4 3 4 3 4

1 2 3 2

2 2 2 2

2 6

4 4

及

sin sin cos sin cos3 4 3 4 4 3

3 2 2 1

2 2 2 2

6 2

4 4

所以

2 61 4 6 24 4cot

24 6 2 6 24 4

2

4 6 2 6 2

6 2

2 2 3 6

遊戲 84

令

2 3A a b c b c i

2 3B c a b a b i

2 3C b a c c a i

且

1 3

2

i

因為 2A C B

所以 3 3 3 6 3A C B

又因為 3 6 1 所以 3 3 3A B C

得證

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 UKR 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 ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 50 and later) CHT ltFEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002gt gtgt Namespace [ (Adobe) (Common) (10) ] OtherNamespaces [ ltlt AsReaderSpreads false CropImagesToFrames true ErrorControl WarnAndContinue FlattenerIgnoreSpreadOverrides false IncludeGuidesGrids false IncludeNonPrinting false IncludeSlug false Namespace [ (Adobe) (InDesign) (40) ] OmitPlacedBitmaps false OmitPlacedEPS false OmitPlacedPDF false SimulateOverprint Legacy gtgt ltlt AddBleedMarks false AddColorBars false AddCropMarks false AddPageInfo false AddRegMarks false ConvertColors ConvertToCMYK DestinationProfileName () DestinationProfileSelector DocumentCMYK 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數亦優 39

在 坐 標 平 面 上 畫 一 直 線 1L在

線 上 任 取 一 點O 以O為 旋 轉

中 心依 逆 時 針 方 向 將 直 線 1L

旋 轉 120得 到 直 線 2L 如 下

圖 所 示

已 知 直 線 1L 的 斜 率 為m求 證 直 線 2L 的 斜

率 為

3

3 1

m

m

〔玩鎖玩索〕

直線是平面幾何上的重要元素而斜率又

是直線在代數上的代言人掌握斜率就如同控

制直線一樣從逆轉120的 直 線 斜 率 公 式

不 難 知 道 坐 標 平 面 上 的 正 三 角 形 之 三

條 邊 斜 率

1 2 3 m m m

是可以互相推導的即由 1m 可 以 得 到 2m 與

3m 的 公 式 而 且 還 知 道 以 下 兩 個 恆 等 式

1 2 2 3 3 1 3m m m m m m

1 2 31 2 3

1 1 19m m m

m m m

宇 富 怕 手 機 被 盜 打 每 日 更

換 開 機 密 碼為 了 便 於 記 憶

他 想 到 一 則 更 換 密 碼 的 算 術

通 則 「 昨 天 密 碼 為p 今

日 的 密 碼 就 更 新 為1

1

p

p

」

宇 富 跟 所 有 的 人 說「 我 已 經

使 用 這 密 碼 通 則 500天 了 而

且 第 一 天 的 密 碼 就 設 為 2 1

相 信 各 位 算 到 手 痠也 無 法 算

出 今 天 的 開 機 密 碼 」

徵求可以破解開機密碼的人士

〔玩鎖玩索〕

如果第一天的密碼為 那麼破解密碼

的難度有增加嗎

遊戲 87

遊戲 88

40 數亦優

動動手手玩玩數數學學~~破破解解秘秘笈笈

遊戲 81

如圖所示

(1) 考慮 ABC 因為 8sin15AB BC 且

150ABC 所以 ABC 為等腰三角

形且 15BAC 因此

2 cos15 2 8sin15 cos15AC AB

1

8sin30 8 42

(2) 仿照(1)的方法 ACE 也是等腰三角

形且 30CAE 因此

32 cos30 2 4 4 3

2AE AC

遊戲 82

秦九韶這個依括弧次序求函數值 f a 的演

算法就是高中數學多項式那章所介紹的綜

合除法

2 5 4 8

2

2

a

a

仔細計算上述綜合除法的空白位置可以發

現小中大括弧位置所代表的值與秦九韶

小中大括弧內的值完全一樣

遊戲 83

(1)

2cos 2cos24 24cot

24 sin 2sin cos24 24 24

1 cos1 cos

3 412

sin sin12 3 4

(2) 因為

cos cos cos sin sin3 4 3 4 3 4

1 2 3 2

2 2 2 2

2 6

4 4

及

sin sin cos sin cos3 4 3 4 4 3

3 2 2 1

2 2 2 2

6 2

4 4

所以

2 61 4 6 24 4cot

24 6 2 6 24 4

2

4 6 2 6 2

6 2

2 2 3 6

遊戲 84

令

2 3A a b c b c i

2 3B c a b a b i

2 3C b a c c a i

且

1 3

2

i

因為 2A C B

所以 3 3 3 6 3A C B

又因為 3 6 1 所以 3 3 3A B C

得證

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 UKR 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40 數亦優

動動手手玩玩數數學學~~破破解解秘秘笈笈

遊戲 81

如圖所示

(1) 考慮 ABC 因為 8sin15AB BC 且

150ABC 所以 ABC 為等腰三角

形且 15BAC 因此

2 cos15 2 8sin15 cos15AC AB

1

8sin30 8 42

(2) 仿照(1)的方法 ACE 也是等腰三角

形且 30CAE 因此

32 cos30 2 4 4 3

2AE AC

遊戲 82

秦九韶這個依括弧次序求函數值 f a 的演

算法就是高中數學多項式那章所介紹的綜

合除法

2 5 4 8

2

2

a

a

仔細計算上述綜合除法的空白位置可以發

現小中大括弧位置所代表的值與秦九韶

小中大括弧內的值完全一樣

遊戲 83

(1)

2cos 2cos24 24cot

24 sin 2sin cos24 24 24

1 cos1 cos

3 412

sin sin12 3 4

(2) 因為

cos cos cos sin sin3 4 3 4 3 4

1 2 3 2

2 2 2 2

2 6

4 4

及

sin sin cos sin cos3 4 3 4 4 3

3 2 2 1

2 2 2 2

6 2

4 4

所以

2 61 4 6 24 4cot

24 6 2 6 24 4

2

4 6 2 6 2

6 2

2 2 3 6

遊戲 84

令

2 3A a b c b c i

2 3B c a b a b i

2 3C b a c c a i

且

1 3

2

i

因為 2A C B

所以 3 3 3 6 3A C B

又因為 3 6 1 所以 3 3 3A B C

得證

ltlt ASCII85EncodePages false AllowTransparency false AutoPositionEPSFiles true AutoRotatePages All Binding Left CalGrayProfile (Dot Gain 20) CalRGBProfile (sRGB IEC61966-21) CalCMYKProfile (US Web Coated 050SWOP051 v2) sRGBProfile (sRGB IEC61966-21) CannotEmbedFontPolicy Error CompatibilityLevel 13 CompressObjects Tags CompressPages true ConvertImagesToIndexed true PassThroughJPEGImages true CreateJobTicket false DefaultRenderingIntent Default DetectBlends true DetectCurves 00000 ColorConversionStrategy LeaveColorUnchanged DoThumbnails false EmbedAllFonts true EmbedOpenType false ParseICCProfilesInComments true EmbedJobOptions true DSCReportingLevel 0 EmitDSCWarnings false EndPage -1 ImageMemory 1048576 LockDistillerParams false MaxSubsetPct 100 Optimize true OPM 1 ParseDSCComments true ParseDSCCommentsForDocInfo true PreserveCopyPage true PreserveDICMYKValues true PreserveEPSInfo true PreserveFlatness true PreserveHalftoneInfo false PreserveOPIComments true PreserveOverprintSettings 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