從「數學思考」到「思考數學 」

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國立勤益科技大學 基礎通識教育中心 劉柏宏 101 年 10 月 4 日於北市教育大學數學系. 從「數學思考」到「思考數學 」. 數學解題. George Polya 的數學觀. 大發現解決大問題,但並不是只有大發現才有存在的價值。每一個問題都必須要有某種 發現 才行。 數學有兩面, ...... 以歐幾里德的方式呈現的數學,看起來像是一門有系統的演繹科學;但 發展中的數學,又像是一門實驗的歸納科學 。 --《 如何解題 》. 數學解題角色的演變 (NCTM). NCTM (1980) :數學解題應當成為學校數學教學的中心焦點 - PowerPoint PPT Presentation

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國立勤益科技大學 基礎通識教育中心 劉柏宏101年 10月 4 日於北市教育大學數學系

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大發現解決大問題,但並不是只有大發現才有存在的價值。每一個問題都必須要有某種發現才行。數學有兩面, ......以歐幾里德的方式呈現的數學,看起來像是一門有系統的演繹科學;但發展中的數學,又像是一門實驗的歸納科學。--《如何解題》

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NCTM (1980) :數學解題應當成為學校數學教學的中心焦點 NCTM (1989) :數學解題應為學校教學的主要目標,並整合所有的數學活動 NCTM (2000) :數學解題應為學校數學的基石

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ICME-4 (1980): 數學解題被分派在課程的獨特面向項目之下 ICME-5 (1984): 數學解題為 7 個 TSG 之一 ...... ICME-9 (2000): 數學解題為 23 個 TSG 之一 ICME-10 (2004): 數學解題為 29 個 TSG 之一 ICME-11 (2008): 數學解題為 38 個 TSG 之一 ICME-12(2012): 數學解題為 37 個 TSG 之一

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Guess and TestUse a variableDraw a pictureLook for a patternSolve a simpler problemSolve an equivalent problemWork backward......

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信念beliefs

後設認知metacognition

情緒emotion

知識knowledge

解題problem solving

問題情境context

認知cognition

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knowing about knowing/thinking about thinking 和個人的認知管理 (cognitive management) 與自我修正 (self-regulative) 行為有關 在解題過程中如何有效地讀取並配當相關的知識,決定在適當時機應用適當的解題策略 監控整個解題思考過程

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Schoenfeld :信念系統包含自我概念、情境、主題、和數學知識本身 含括理性與非理性的心理層面一個相當模糊的概念,缺乏明確的定義後設認知和數學信念有著緊密的連結 Schoenfeld :構成解題者的數學世界觀,進而影響解題者所採取的策略

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Alan Schoenfeld 獲獎

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Alan Schoenfeld 演講

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Descriptive

Evaluative

Prescriptive

Beliefs, Attitudes, and Values. Rokeach, 1967

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Subject-matter beliefs

Domain-specific beliefs

Global beliefs

Mathematical Beliefs: A search for common ground, Torner, 2002

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探究特定信念比較可行也比較有收穫(Pajares, 1992)

數學認識信念 (epistemological beliefs): 對於數學知識和數學認識本質的信

念 (beliefs about the nature of mathematical knowledge and knowing)

宏觀 (macro-) 和微觀信念 (micro-belief)

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宏觀數學

微觀數學

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數學是純邏輯演繹 (logically deductive) 的科學?

歷史說明數學知識的發展先是直覺歸納 (intuitively inductive) ,隨後才繼之以邏輯演繹。

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以微積分概念的發展歷程為主架構以微積分歷史上的關鍵問題為導向比較歷史上東西數學家的解題策略瞭解數學概念發展過程的非邏輯性認知數學社群間的自我修正與建構觀察學前學後學生數學信念的演變

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半圓周半徑

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《論圓的測量》:圓面積等於一個以此圓半徑為高、圓周長為底之直角三角形的面積

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阿基米德求圓面積

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半徑圓周

阿基米德洋蔥術

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(11) + (11) + (11) +...= 01(11)(11)(11) ...= 1令 S = 11+11+11... S = 1 (11+11+11...) = 1S 所以 S =1/2

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牛頓的鬼魂量自由落體之距離與時間的關係式為 s(t) = at2

令 Δs = s(t1) s(t0) = at12 at0

2 = a [(t0+Δt)2 t0

2] = a (2t0Δt +Δt2)因此 Δs /Δt = a (2t0Δt +Δt2) /Δt = 2at0+Δt…… (*)牛頓:當 Δt 為無窮小量時,將 (*) 式等號右邊之 Δt忽略即可得 t0時之瞬間速度為 2at0

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機械式思考 拼圖式思考《 Mathematical Thinking & Learning 》 (Liu & Niess, 2006)

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堅實的鐵塔 堆疊的堡壘

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數學真理 數學真理

《科學教育學刊》 ( 劉柏宏 ,2007)

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直覺經驗主義推論經驗主義

推論相對主義

《 International Journal of Science & Mathematics Education 》 (Liu, 2009)

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需要厚實數學知識背景的題目,抱持著精熟信念 (sophisticated beliefs) 的學生通常表現較佳僅需低度數學知識的非制式問題,抱持著素樸信念 (naïve beliefs) 的學生有時反而表現得較好

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《 Journal of Mathematical Behavior 》 (Liu, 2010)

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對數學解題的內涵已瞭解得相當透徹?它遠比我們原先所想像的更為複雜?

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思考

解題

信念

信念

認知 解題可能是後者!

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個體能夠辨認和瞭解數學在世上所扮演的角色,能夠進行有根據的判斷,並且根據個體在生活上的需求來運用數學或者投入數學活動,以成為一個積極的、關懷的、和反思的國民。 (資料來源:台灣參加 PISA2006 成果報告 )

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台灣學生數學成就與素養TIMSS1999 TIMSS2003 TIMSS2007 PISA2003 PISA2006 PISA2009

Singapore Singapore Chinese Taipei

Hong Kong Chinese Taipei

Shanghai

Korea Korea Korea Finland Finland

Singapore

Chinese Taipei

Hong Kong Singapore Korea Korea Korea

Hong Kong Chinese Taipei

Hong Kong Netherlands Hong Kong Hong Kong

Japan Japan Japan Liechtenstein Netherlands Chinese Taipei

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數學基礎邏輯歸納

生活應用

歷史哲學數學通識

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上帝利用 6天的時間創造了世界月亮繞行地球需 28天畢達哥拉斯學派稱 6 及 28 為完美數 因為 6 = 1 + 2 + 3 ; 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 均為其所有真因數之和

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古希臘人只知前四個完美數為 6, 28, 496, 8128

猜測一 :完美數之個位數以 6, 8, 6, 8…...交錯出現

猜測二 :第五個完美數為五位數,依此類推……37

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第五個完美數為 33550336

第六個完美數為 8589869056

第七個完美數為 137438691328

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所有的完美數都是偶數 ?

已檢驗至小於 101500

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1742年哥德巴赫告知歐拉他的一個猜測:每一個大於 6 的奇數皆可表示為三個質數之和歐拉將此猜測改為:所有大於 2 的偶數皆可表為兩質數之和

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4 = 2 + 2; 6 = 3 + 3; 8 = 3 + 5; 10 = 3 + 714 = 3 + 11 = 7 + 7; 16 = 3 + 13 = 5 +1118 = 5 + 13 = 7 + 1120 = 3 +17; 22 =3 +19; 24 = 5 +19…

所有大於 2 的偶數皆可表為兩質數之和 ?

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遇見哥德巴赫猜想

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x2+ y2 = z2有無限多組整數解x3+ y3 = z3有沒有整數解?x4+ y4 = z4有沒有整數解?......對 n>2 , xn+ yn = zn 呢?

費馬最後定理

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Andrew Wiles

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是否可能從某地出發經過七座橋後 ( 每一座橋只能經過一次 ) 又回到原地 ?

若起點與終點不須一樣是否可能一次走過七座橋且每一座橋只能經過一次 ?

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若一圖形只有兩個點連接奇數個邊,則存在一路徑使得恰好可以經過每一個邊一次若一圖形中每個點都與偶數個邊相連,則存在一路徑使得恰好可以經過每一個邊一次且起點與終點相同

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拓樸學家是分不清咖啡杯和甜甜圈的人

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芝諾悖論

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1 24 51 10

42 2535

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1; 24, 51, 10 = 1+24/60+51/3600+10/216000 = 1.414212963 2 = 1.41421356230×1.414212963 = 42.42638889 = 42+25/60+35/3600 = 42; 25, 35

5555 55

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劉徽:「勾自乘為朱方,股自乘為青方,令出入相補,各從其類,因就其餘不動也,合成弦方之羃。」

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披薩問題 小博和小鴻兩人一起去買披薩。披薩共有大、中、小三種尺寸,且大披薩的價格等於中披薩和小披薩價格的總和。 小博覺得買大披薩比較划算,於是買了大披薩;小鴻卻覺得買中披薩和小披薩比較划算,因此帶回中披薩和小披薩。 回家後為了比較誰的看法是對的,所以將三個披薩都切半,並排列如下圖。你覺得哪一種買法比較划算?

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影印機上的數學 2 張 A4 的紙張可以合併印成一張 A3 ,代表 A3 是 A4 的 2倍,但是為何在功能表按鍵上寫著 A4 A3 141% ? A3尺寸: 297 × 420 mm (1:1.414) A4尺寸: 210 × 297 mm (1:1.414)

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y

x xxy

xy

yx 22

236

2

24422

22

22

22

xx

xx

yx

yx

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影印紙的數學概念影印機中的「放大、縮小」百分比意指邊長比,而非面積比。影印紙的設計牽涉到相似形和等比級數,這樣的設計在裁切上最為經濟。 A1紙張可以裁切成幾

張 A5 ? (Ans:16 張 )

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生活中的數字密碼 個人密碼:身分證字號商品密碼:條形碼書籍密碼: ISBN號碼利用相同寬度的黑白條紋,按照一定的編碼規則排列,表達一組資訊的圖形識別元 每個數字共有 7 個黑白條紋,以白 - 黑 - 白 - 黑或者

黑 - 白 - 黑 - 白方式呈現

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ISBN 3-16-148410-0

將國際標準書號 (ISBN) 上所有數字由左至右依序寫出 ( 不含最後一位檢查碼 ) 由左至右,第一位乘以 10,第二位乘以 9,第三位乘以 8,第四位乘以 7 以此類推 將上式各項相加,所得之和除以 11 , 求得餘數,再以 11 減去餘數,即為檢查碼 310+19+68+17+46+85+44+13+02

=177 17711=16…1 111=10 ( 以 0表示 )

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洋芋片中的數學

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2

2

2

2

zby

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雙曲拋物面

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路思義教堂內部

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山窮水盡疑無路

柳暗花明又一村

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不見廬山真面目

只覺身在此山中

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再談數學素養真正的數學素養不僅僅在於知識的深度,而更在於知識應用的廣度。數學素養就是一種數學眼光,一種從數學瞭解世界的眼光。然而要培養瞭解世界的數學眼光,不能只強調數學知識的工具面,還必須關心其文化面。

謝謝大家!