Cálculo de Autovalores de Matrices

COMITÉ EDITORIAL

COMITÉ DE EDITORIAL Raúl Sánchez Padilla Dr. Ingeniería Civil y Arquitectura Gerente General Desarrollos en Ingeniería Aplicada Presidente Comité Editorial Judith Ceja Hernández Ing. Industrial. Gerente de Gestión 3R's de México Vicepresidenta Comité Editorial Juan Manuel Negrete Naranjo Dr. en Filosofía Universidad de Freiburg i Br. Francisco J. Hidalgo Trujillo Dr. en Ingeniería Industrial Universitat Politécnica de Catalunya – FUNIBER Director Sede México Fundación Universitaria Iberoamericana David Vivas Agrafojo Mtro. en Educación Ambiental Universitat de Valencia ‐ Responsable IMEDES Andalucía Antonio Olguín Reza Mtro. Desarrollo de Negocios Jabil Circuit Oscar Alberto Galindo Ríos Mtro. en Ingeniería Mecánica Eléctrica Secretario de la Asociación Mexicana de Energía Eólica Amalia Vahí Serrano Dra. en Geografía e Historia Universidad Internacional de Andalucía Universidad "Pablo Olavide" Ricardo Bérriz Valle Dr. en Sociología Coordinador de Proyecto Regional de Ciudadanía Ambiental Global

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Manuel Vargas Vargas Doctor en Economía Especialista en Economía Cuantitativa. Universidad de Castilla‐La Mancha, España Red RIDES Red INERTE

COMITÉ DE ARBITRAJE INTERNACIONAL David Vivas Agrafojo Mtro. en Educación Ambiental Universitat de Valencia ‐ Responsable IMEDES Andalucía Juan Manuel Negrete Naranjo Dr. en Filosofía Universidad de Freiburg i Br., Alemania Delia Martínez Vázquez Maestra Psicologa en Desarrollo Humano y Acompañamiento de Grupos. Universidad de Valencia Erika Uscanga Noguerola Mtra. en Educación Coordinadora de Gestión Ambiental. Centro Universitario Hispano Mexicano Bill Hanson Dr. Ingeniería en Ciencias National Center for Enviromental Innovation. US Enviromental Protection Agency Ph.D. María M. Larrondo‐Petrie Directora Ejecutiva del Latin American And Caribbean Consortium Of Engineering Institutions "Laccei" María Leticia Meseguer Santamaría Doctora Europea en Gestión Socio‐Sanitaria Especialista en Análisis socio‐económico de la situación de las personas con discapacidad. Universidad de Castilla‐La Mancha, España. Red RIDES Red INERTE Manuel Vargas Vargas Doctor en Economía Especialista en Economía Cuantitativa. Universidad de Castilla‐La Mancha, España Red RIDES Red INERTE

Auge21: Revista Científica Multidisciplinaria ISSN: 1870-8773 Año 7 / No. I / Enero - Junio / 2012

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CÁLCULO DE AUTOVALORES DE MATRICES QUE PROVIENEN DE LA

DISCRETIZACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ELÍPTICAS 1Olmos Gómez Miguel Angel (e-mail: [email protected])

1Arriaga Gutiérrez Ma. Merced (e-mail: [email protected]) 1Gutiérrez Robles José Alberto (e-mail: [email protected])

2Galván Sánchez Verónica Adriana (e-mail: [email protected]) 1Universidad de Guadalajara, Departamento de Matemáticas, México

2Cinvestav-Unidad Guadalajara, México

I. Resumen

En este artículo presentamos fórmulas cerradas para la obtención de autovalores que provienen de discretizar ecuaciones diferenciales elípticas mediante diferencias finitas sobre regiones rectangulares. Además obtendremos sus números de condición, mostrando así que mientras mayor sea el número de nodos a considerar en la discretización, el número de condición de las matrices resultantes se incrementa.

Palabras Clave: Autovalores, Ecuaciones Diferenciales, Diferencias Finitas

II. Introducción

La solución algebraica de problemas en los que se trabaja con autovalores de matrices ha sido siempre un tema de gran interés entre los matemáticos, porque ilustra de manera clara la diferencia entre las matemáticas clásicas y el análisis numérico práctico. Los problemas de autovalores han sido, de manera engañosa, formulaciones simples y aunque la teoría ha sido conocida a fondo por muchos años, todavía la determinación de soluciones exactas presenta un reto para una gran variedad de problemas.

Existe una extensa bibliografía sobre el tema [1], [2], y [6], donde se presenta la descripción de muchas técnicas conocida para resolver el problema, junto con la evaluación crítica de sus méritos, sustentados en lo posible en el análisis de los errores.

Un tratamiento práctico de problemas de autovalores resulta potencialmente de interés para una gran variedad de personas, incluyendo en otros, ingenieros en diseño, físicos teóricos, matemáticos clásicos y analistas numéricos que desea hacer investigación en el campo de las matrices.

En este artículo mostraremos formulas cerradas para la obtención de autovalores de matrices que provienen de discretizar una ecuación diferencial parcial elíptica por medio de diferencias finitas sobre una región rectangular. Las matrices así obtenidas serán simétricas y definidas positivas. Los resultados mostrados se aplican a matrices en banda, pero pueden ser generalizados a otros tipos de matrices más generales.

mailto:[email protected]





154

Como consecuencia de los resultados mostrados obtendremos el número de condición de algunas matrices importantes en el análisis numérico, ya que estas aparecen con frecuencia en la solución de ecuaciones diferenciales. Dicho número de condición es importante ya que mientras más alto sea éste, menos confiables serán los resultados numéricos obtenidos.

III. Matrices en Banda

En esta sección presentaremos algunos resultados sobre cierto tipo de matrices que aparecen con frecuencia en la solución numérica de ecuaciones diferenciales. Estas matrices tienen una estructura en banda, la cual permite, entre otras cosas, determinar de una forma fácil sus autovalores. Para esto, iniciaremos con algunos resultados sobre la determinación de los autovalores, los cuales pueden ser aplicados a cualquier tipo de matrices.

Sean

=

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

A

21

22221

11211

y

=

pqpp

q

q

bbb

bbbbbb

B

21

22221

11211

dos matrices con dimensiones nm× y qp×

respectivamente, el producto tensorial de A y B está definido como la matriz

=⊗

BaBaBa

BaBaBaBaBaBa

BA

mnmm

n

n

21

22221

11211

con dimensiones nqmp× Nótese que ))(()()( 2121 BAkkBkAk ⊗=⊗

para cualesquier real 1k y 2k . De esta definición se sigue inmediatamente que [3]:

Lema 1. Sean X, Y, W, Z, matrices con dimensiones nm× , rq× , pn× y sr × respectivamente,

entonces el producto ( )( )ZWYX ⊗⊗ está bien definido y además tenemos que

( )( ) ( ) ( )YZXWZWYX ⊗=⊗⊗ .

Los autovalores del producto tensorial de dos matrices están relacionados a los autovalores de las matrices originales de acuerdo al siguiente:

Teorema 1. Sean X y Y matrices de dimensiones mm× y nn× respectivamente. Sea λ un autovalor de X asociado al autovector u y µ un autovalor de Y asociado al autovector v. Entonces

i) λµ es un autovalor de YX ⊗ asociado al autovector vu ⊗ .

ii) µλ + es un autovalor de YIIX mn ⊗+⊗ asociado con el autovector vu ⊗ , donde kI es la

matriz identidad de dimensión kk × .

Demostración:

i) Dado que λ es un autovalor de X asociado a u y µ es un autovalor de Y asociado a v se tiene que uXu λ= y vYv µ= . Ahora


155

( )( ) YvXuvuYX ⊗=⊗⊗ ,

( ) ( )vu µλ ⊗= ,

( )( )vu ⊗= λµ .

De lo que se sigue que λµ es un autovalor de YX ⊗ asociado con el autovector vu ⊗ .

ii)

( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( )( )

n m n m

n m

X I I Y u v X I u v I Y u v

Xu I v I u Yv

u v u v

u v u v

u v

λ µ

λ µ

λ µ

⊗ + ⊗ ⊗ = ⊗ ⊗ + ⊗ ⊗

= ⊗ + ⊗

= ⊗ + ⊗

= ⊗ + ⊗

= + ⊗

Por lo que µλ + es un autovalor de YIIX mn ⊗+⊗ asociado con el autovector vu ⊗

IV. Casos Particulares

En esta sección consideraremos algunas matrices que aparecen frecuentemente en la solución numérica de ecuaciones diferenciales. Para esto, consideremos la matriz

( ) ( )

1

1 1

11

11 n n

aa a

Sa a

a− × −

=

Sus autovalores y autovectores están dados por el siguiente teorema:

Teorema 2. Sea 1S la matriz definida anteriormente, se tiene que los autovalores de 1S son

1,,1,cos21 −=

+= nk

nkak πλ ,

Con autovectores correspondientes

( ) ( ) 1,1,,sen,,2sen,sen)( −=

−

−

= nkn

kn

knnknv

Tk

πππ.

Demostración: Ver [4]


156

Unos resultados inmediatos son:

Corolario 1. Consideremos la matriz

( ) ( )

2

1 1

, 0

n n

b cc b c

S bc b c

c b− × −

= >

.

Los autovalores de 2S son

2 cos , 1, , 1kkb c k nnπµ = + = −

Nota: La condición b>0 en el corolario anterior puede ser reemplazada por la condición b≠0.

Corolario 2. Consideremos la matriz

( ) ( )

3

1 1

0 11 0 1

1 0 11 0 n n

S

− × −

=

.

Los autovalores de 3S son

2cos , 1, , 1kk k nnπµ = = −

Pasemos ahora a determinar los autovalores de las matrices obtenidas al discretizar algunas ecuaciones

diferenciales. De la ecuación de onda en una dimensión ( ) ( )2

22 ,0 1, 0 1 0d u u f x u u

dxα+ = < < = = se tiene

que la matriz correspondiente está dada en [5] por

( )( )

( )( )

2 11 2

11 2

A

δδ

δδ

− + − + = − +

− +

donde 2 2 1,2h h

nαδ = = , por lo que al aplicar el Corolario 1, los autovalores de la matriz A son:


157

( )

( )

2 2 1 cos , 1,2, , 1

2 1 1 cos , 1,2, , 1.

kk k nnk k nn

πµ δ

πδ

= − + = −

= − + = −

Para que los autovalores de esta matriz sean todos positivos se requiere que

( )1 1 cos 0, 1,2, , 1k k nnπδ − + > = −

, esto es

1 1 , 1,2, , 1cos

k nkn

δπ

− > = −

. Esto último establece

una condición sobre n . Además tenemos que el número de condición para esta matriz está dado por la expresión

( ) 1

1

nA µκµ−= . (1)

Consideremos ahora el esquema de cinco puntos para la ecuación de Poisson en dos dimensiones. La matriz correspondiente [5] es 1 2A A A= + , con

( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2

1

1 1

2

1 1

2

2

n n

n n

SS

A

S

I II

AI

I I

− × −

− × −

=

− − = − −

donde cada bloque es una matriz ( ) ( )1 1n n− × − y

( ) ( )1 1

2 11

11 2 n n

S

− × −

− − = − −

.

La matriz A se puede escribir como ( ) ( )A I S S I= ⊗ + ⊗ . Del Teorema 1 y del Corolario 1, vemos que los

autovalores de ( )I S⊗ están dados por

( )( )1 1

2

2 2cos , , 1, , 1

4sen , , 1, , 12

j n ij i j nn

j i j nn

πδ

π

+ − − = − = −

= = −


158

mientras que los autovalores de ( )S I⊗ están dados por

( )( )1 1

2

2 2cos , , 1, , 1

4sen , , 1, , 12

j n ii i j nn

i i j nn

πη

π

+ − − = − = −

= = −

.

Así que finalmente podemos establecer que los autovalores de ( ) ( )A I S S I= ⊗ + ⊗ están dados por

( )( )

2 21 1

2 2

4sen 4sen , , 1, , 12 2

4 sen sen , , 1, , 12 2

j n ij i i j nn n

j i i j nn n

π πµ

π π

+ − − = + = −

= + = −

y su número de condición puede ser determinado por medio de la fórmula

( ) ( )21

1

nAµ

κµ−= . (2)

Para el esquema de nueve puntos de la ecuación de Poisson [3] en dos dimensiones, la matriz está dada

por

( ) ( )2 21 1n n

P QQ P

AQ

Q P− × −

=

con P y Q definidas como

( ) ( )

( ) ( )

1 1

1 1

5 11 5 1

23

1 5 11 5

4 11 4 1

16

1 4 11 4

n n

n n

P

Q

− × −

− × −

− − − = − − −

= −

Se tiene que la matriz A se puede escribir como ( ) ( )3A I P S Q= ⊗ + ⊗ .


159

Usando los mismos argumentos que en los casos anteriores, tenemos que los autovalores de A están dados por

( )( )1 110 4 2cos cos 2 cos3 3 3j n i

j i jn n nπ π πµ + − −

= − − +


( ) ( )21

1

nAµ

κµ−= (3)

Para la ecuación de Poisson en tres dimensiones [5] se tiene que la matriz correspondiente es

A I I S I S I S I I= ⊗ ⊗ + ⊗ ⊗ + ⊗ ⊗ .

Aplicando las mismas herramientas podemos concluir que los autovalores son

( )( ) ( ) ( )22 2 2

1 1 1 14 sen sen sen ,

2 2 2, , 1, , 1

i n j n k

i j kn n n

i j k n

π π πµ+ − − + − −

= + + = −


( ) ( )31

1

nAµ

κµ−= (4)

V. Conclusiones

Los resultados anteriores obtenidos de los casos particulares (1), (2), (3) y (4), al ser aplicados a sistemas de ecuaciones en los cuales se fue incrementando el número de nodos, permitió observar que mientras mayor sea el número de nodos, el número de condición de la matriz resultante es más alto. Como ejemplo se puede citar el caso de las matrices obtenidas de la ecuación de onda en una dimensión para distintos tamaños de la malla. La siguiente tabla muestra algunos de los resultados obtenidos.

Tabla 1- Número de Condición de la Matriz Resultante de la Ecuación de Onda en Una Dimensión. Numero de

Nodos ( )Aκ

9 39.941 19 162.934 29 369.370 39 665.667 49 1080.081


160

Es posible observar que usando 9 puntos para la discretización de la ecuación de Poisson en dos dimensiones se obtiene un número de condición menor que al usar el esquema de 5 puntos, por lo que los resultados obtenidos del esquema de nueve puntos al resolver los sistemas correspondientes tendrán un menor error numérico. La siguiente tabla muestra los números de condición obtenidos bajo los dos diferentes esquemas.

Tabla 2- Número de Condición de la Matriz Resultante de la Ecuación de Poisson en Dos Dimensiones. Numero de

Nodos Cinco Puntos

(2) Nueve Puntos

(3) 9 32.16 21.98 19 97.64 145.64 29 340.17 227.34 39 615.77 411.07 49 972.40 648.84

VI. Biografías

Miguel Angel Olmos Gómez. Recibió el título de Licenciado en Matemáticas en 1986 por la Universidad de Guadalajara, México y el Doctorado en Filosofía por Washington State University, Pullman, WA, en 1996. Actualmente es profesor en el Departamento de Matemáticas de la Universidad de Guadalajara, México. Sus áreas de interés son el Análisis Numérico en Ecuaciones Diferenciales no Lineales y la Modelación con Ecuaciones Diferenciales.

Ma. Merced Arriaga Gutiérrez. Recibió el título de Licenciada en Matemáticas en 1986 por la Universidad de Guadalajara, México y el de Maestra en Ciencias (Educación Matemática) por el Cinvestav, México en 1991. Sus áreas de interés son la Solución Exacta de Ecuaciones Diferenciales y la Modelación con Ecuaciones Diferenciales.

José Alberto Gutiérrez Robles. (Miembro de IEEE, 2004). Se recibió de Ingeniero Mecánico Eléctrico y Maestro en Ciencias en la Universidad de Guadalajara, México en 1993 y 1998, respectivamente. Obtuvo el grado de Doctor en Filosofía por el Cinvestav-Guadalajara, México en 2002. Actualmente trabaja como profesor en el Departamento de Matemáticas de la Universidad de Guadalajara, México. Sus áreas de interés son Matemáticas Aplicadas y el análisis de estabilidad transitoria de los sistemas eléctricos de potencia.

Verónica Adriana Galván Sánchez. Recibió los grados de Licenciatura y Maestría en la Universidad de Guadalajara, México en 2008 y 2011 respectivamente. Actualmente es estudiante de Doctorado en Cinvestav-Guadalajara. Su área de investigación son las matemáticas aplicadas y el análisis de estabilidad transitoria de los sistemas eléctricos de potencia.


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VII. Referencias

[1] Burden R. I., Faires J. D. (1998). Análisis Numérico, Sexta Edición, International Thompson Editores, México.

[2] Kinkaid D. R., Hayes L. J. (1990). Iterative Methods fot Large Linear Systems, Academic Press Inc. Hancourt Brace Jovanovich.

[3] Michel Robles J. R. Tesis Maestría. (1999). Precondicionadores Para el Método del Gradiente Conjugado Aplicado a la Solución Numérica de Ecuaciones Diferenciales Parciales por Diferencias Finitas. Universidad de Guadalajara, México.

[4] Smith G. D. (1977). Numerical Solution of Partial Differential Equations, Finite Difference Methods, Second Edition, Clarendon Press, Oxford.

[5] Strikwerda J. (1989). Finite Difference Schemes and Partial Differential Equations, First Edition, Wadsworth & Brooks/Cole Advanced Books and Software, Pacific Grove, California.

[6] Wilkinson J. H. (1965). The Algebraic Eigenvalue Problem, Clarendon Press, Oxford.

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