第30章　原子物理

§30-1

1. 氫原子由高能 nf 至低能階 ni 所放出光線為可見光的範圍時，則 ni 之值應為：

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (E)5。 ：★

解答：(B)

解析：僅巴耳麥系（ni＝2）的光譜位於可見光的範圍。

2. 已知要將氫原子基態的電子游離時，可用的最長波長的光為 913 埃的紫外光。那麼從各受激態

至基態的來曼系光譜，其波長可用下列何式表示？ ：★

(A) 埃　(B) 埃　(C) 埃　(D) 埃

(E) 埃。

解答：(D)

解析：由

3. 氫原子與氦離子 He＋ 所發射的光譜都有巴耳麥系光譜，兩者最長波長分別為λ1 及λ2，則λ1 /

λ2 之值為　　　　　。 ：★

解答：4

解析：

4. 氫原子光譜中來曼α，來曼β及巴耳麥α三者之波長分別為λ1、λ2、λ3，則三者間之關係為　　

　　　　　。 ：★

解答：

解析：

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30-1

第30章　3校清

§30-2

5. 電子質量 m 以 v 繞核作半徑 r 的圓周運動，則 r 之值為： ：★★

解答：(C)

解析：

6. 單電子之氫原子，氦離子 He＋，鋰離子 Li＋2，其核外之單電子繞核之最小軌道半徑之比為？

。

解答：(B)

解析：

7. 一氫原子自基態被游離所需之最小能量為 13.6eV，今設某些氫原子自基態被激發至第三激發

態，若當其躍遷回至基態時，則放出的光譜線中，波長最短為若干 Å (A) 1025 (B) 2460 (C)

1216 (D) 913 (E) 973。 ：★

解答：(E)

解析：

8. 氫原子處於第二受激態時，其發出光子數的種類有幾種？　(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E)

6。 ：★

解答：(C)

解析：

種

9. 氫原子內電子繞核的最小軌道半徑為次小軌道半徑的幾倍？　(A) 1 (B) (C) (D)

(E) 。 ：★

解答：(C)

解析：

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30-2

第30章　3校清

：★難易度

10.氫原子由高能 nf 至低能階 ni 所放出光線為可見光的範圍時，則 ni 之值應為：

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5。 ：★

解答：(B)

解析：僅巴耳麥系（ni＝2）的光譜位於可見光的範圍。

11.一基態氫原子（其能階值為 電子伏特）吸收一個 12.1 電子伏特之光子，成

為受激態。此時其電子軌道半徑為原先的幾倍？　(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 9。

解答：(E)

解析：

∴軌道半徑為原先的 32＝9 倍

12.以某固頻率之電磁波照射氫原子恰可使處於基態之氫原子的電子游離，今以相同頻率之電磁波

照射激發態之鋰離子（Li2＋），發現亦可將其電子游離，但較低頻率之電磁波卻無法將之游離，

則該鋰離子所處狀態的量子數 n 為多少？　(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 6 (E) 9。 ：★

解答：(B)

解析：電子在軌道上的能階

13.H 原子與 He＋ 所發射之光譜均有 Balmer series，若二者之最長波長分別為λ1 及λ2，則λ1＝

(A) (B) (C) (D) (E) 。 ：★

解答：(A)

解析：

14.已知右圖為氫原子的部分原子能階，若在能階躍遷時所放出電磁輻射的波長分別為λ1、λ2、

λ3，則三者之間的關係為：　(A) (B) (C)

(D) (E) 。 ：★

解答：(D)

解析：

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30-3

第30章　3校清

：★難易度

15.假設氫原子來曼α光譜線的光子能量為 E，則氫原子的游離能應為　　　　　E？

解答：

解析：

16.氫原子內的電子，從 n＝5 降至 n＝1 的過程中，最多可發出　　　　　種光。 ：★

解析：

17.已知要將處於基態的氫原子之電子游離，可用之最長波長的光為 913Å 的紫外光，那麼從各受

激態（量子數 n）躍遷至第一受激態的巴耳麥系光譜，其波長λ可表為 913x（Å），其中 x＝　

　　　　　。（以 n 表示答案） ：★

解析：

18.氫原子從 n＝3 的狀態直接躍遷回 n＝1 的狀態，證明原子核反跳的速率為 v＝ ，式中 h 為

蒲朗克常數，R 為雷得堡常數，M 為原子核的質量。 ：★

解答：由氫原子光譜線公式：

由題意：nf＝1，ni＝3，設發出光子的波長λ，

則

光子動量

此動量與原子核動量大小相等，方向相反

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30-4

第30章　3校清

：★難易度

§30-3

19.在一個弱磁場下，有何種量子數去描述原子中的電子狀態較為適當？在強磁場時又如何？

解答：

20.為何需要三個量子數來描述原子電子是很自然的（而不需要電子自旋）？ ：★★

解析：一個原子的電子可以在三維空間中自由運動；因此，如同在三維盒中的粒子，必須要有

三個量子數才能描繪它的運動。

21.軌道量子數為 ＝4 的原子電子之磁量子數 ml 的可能值為何？ ：★★

解答：0，±1，±2，±3，±4。

22.如果可能的話，在什麼情況下 Lz 會等於 L 呢？

解答：只有當 L＝0 的時候，因為 Lz 永遠比 L 小，否則不可能。 ：★★

23.比較氫原子波耳模型中基態電子的角動量和量子理論的角動量。 ：★★

解答：波耳模型： 。量子理論：L＝0。

§30-4

24.從 Heisenberg 的測不準原理來分析，電子不可能存在於核內，而這裡是從磁偶矩的角度來否定

電子不會存在於核內。 ：★★

解析：如果核是偶數質子、奇數中子，叫偶奇核（even-odd nucleus），則最後無法配對的中子

負責核自旋和磁矩。氦的同位素 2He31，質子已配成對得 Ip＝0，但中子沒配對，基態時

故 ，因此基態 的核自旋 ，而

， ，即 ，所以電子不可能存

在於核內。

25.一個在 F 層之電子其總角動量為何？ ：★★

解答：

26.求出對 p，d 和 f 能階的電子而言，L 和 Lz 的最大值之間差異的百分比為何？ ：★★

解答：百分之 29，百分之 18，百分之 13。

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30-5

第30章　3校清

：★★難易度

27.求出氫原子中 3d 電子最可能的半徑 r。 ：★★

解答：9a0。

28.氫原子中的基態電子距離原子核為 a0 的機率比距離為 2a0 之機率多多少？ ：★★

解答：1.85

29.以原子核為中心且半徑為 r0 之球殼外，找到半徑波函數 R(r) 的原子電子機率為

(A) 計算距離氫原子核 a0 處找到 1s 電子的機率，　(B) 當氫原子的 1s 電子距離原子核 2a0 時，

所有能量皆為位能，根據古典物理，電子決不會超過原子核 2a0，求出對氫原子中的 1s 電子而

言，r＞ 2a0 的機率。 ：★★

解答：(A) 百分之68。(B) 百分之24。

30.一道電子束進入一個均勻的 1.20T 磁場；　(A) 求出平行和反平行於磁場的自旋電子間的能量

差；　(B) 求出可使得平行於磁場的電子自旋翻轉為反平行自旋的輻射能量波長。

解答：(A) 1.39×10－4eV (B) 8.39mm。 ：★★

31.求出在 z 軸和自旋角動量向量 S 之間可能的角度？ ：★★

解答：54.7˚ 125.3˚。

32.質子和中子及電子一樣都為 自旋粒子，普通氦的原子核擁有兩個質子和兩個中子 ，而

別種氦 則包含了兩個質子和一個中子，液態 和液態 的特性不同，因為其中一種

氦原子遵守不相容原理而另一個不遵守，它們分別是哪一個呢？為什麼？ ：★★

解析： 原子含有偶數個自旋 粒子，這些成對的粒子使原子的自旋總和為零。這樣的原

子不符合不相容原理。 原子含有奇數個自旋 粒子，因此淨自旋為 ， 或是

，所以符合不相容原理。

33. f 子軌域能擁有幾個電子？ ：★★

解答：14。

34.如果原子包含主量子數到 n＝6 的電子時，將會有多少元素呢？ ：★★

解答：182。

35.Li，Na，K，Rb 和 Cs 的游離能分別為 5.4，5.1，4.3，4.2，和 3.9eV，它們都位於週期表的第

一族中，解釋為何游離能會隨著原子序增加而減少。 ：★★

解析：這些越外層的電子，與個別的原子核越遠，因此束縛得越鬆。

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32

難易度

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30-6

第30章　3校清

36.(A)粗略估計作用在鈣原子（Z＝20）外圍的每個等效核電荷，你認為電子相當容易或是很難從

原子游離嗎？　(B)對於硫原子（Z＝16）而言結果一樣嗎？ ：★★

解答：(A)＋2e，相對容易。(B)＋6e，相對難。

37.為何 C1 原子的化性比 C1－ 離子活躍呢？為何 Na 原子的化性比 Na＋ 離子活躍呢？

解析：C1－ 離子有封閉的殼，而 C1 原子缺乏一個原子形成封閉的殼，相對上對原子核電荷的

屏蔽較差，會吸引其他原子的電子來填補。Na＋ 離子有封閉的殼，而 Na 原子有一個外

層電子，相對較容易分離而與其他原子產生化學作用。

38.為何正常塞曼效應僅在偶數電子的原子中才能被觀測到？ ：★★

解析：只有當所有電子自旋與其反向自旋配成對後才可以使淨自旋為零而不產生不規則的塞曼

效應（Zeeman effect）。

39.如果 ，l 值可能為何？ ：★★

解答：2，3。

40.鋰原子在其填滿的內軌域外擁有一個 2s 電子，它的基態為 2S1/2，　(A)如果有其他允許能階

時，其項符號為何？　(B)為何你認為 2S1/2 是基態呢？ ：★★

解答：(A)沒有其他允許的狀態。(B)這個狀態有最低的 L 和 J 值，是唯一可能的基態。

§30-5

41.晶體內各層原子之間隔為 3.00×10－10m，由普通商業用 X–射線管放出之 X–射線經此晶體

（用作光柵）所產生的繞射角度甚大，可為 10˚（此為布拉格繞射），試約略估計此 X–射線的

光子最低能量為何？（sin10˚ ＝ 0.1736，cos10˚ ＝ 0.0849˚，tan10˚ ＝ 0.1736，cot10˚ ＝ 5.6713）

(A) 1.38×103 eV (B) 3.57×104 eV (C) 2.76×104 eV (D) 1.19×104 eV (E) 5.95×103 eV。

解答：(D)

當 n＝1 時，X 射線有最低能量 E n＝1

42.(A) 某立方體結構晶格，原子間距為 d，右圖中虛線方向的布拉

格面之間的距離為　　　　　d。　(B) 若 d＝1 Å，用 X-ray 垂直

於 AB 面入射，而在虛線的布拉格面產生第一級繞射，則 X-ray

的波長λ＝　　　　　Å。 ：★難易度

難易度

難易度

難易度

難易度

30-7

第30章　3校清

：★★難易度

：★難易度

解答：(A)

(B)

43.以高速運動之電子撞擊金屬靶以產生 X-ray，若 X-ray 之極限（最小）波長為 1Å，則電子之加

速電位差加倍時，X-ray 極限波長變為若干？

解析：電子經加速電位差加速後得到動能

電子動量

電位差加倍，電子動量變為 倍

物質波波長 變為 倍

44.解釋為何鄰近原子序的元素之 x 射線頻譜性質相當接近，雖然這些元素的光譜可能相差很多。

解答：因為內層封閉殼中的電子躍遷產生 x 光頻譜，所以對所有元素都相同。而光學頻譜與最

外層的電子的可能狀態還有可允許的躍遷有關，所以在不同原子與不同原子數時會不

同。

45.若 He-Ne 雷射其輸出光束直徑為 1.5mm，同時其發散全角為 1mrad，試問在 100m 處光束直徑

為何？ ：★

解答：

46.若 He-Ne 雷射光束在 2m 處的直徑 3.5mm，而在 4m 處的直徑為 5.9mm，試問其光束的發散全

角為何？ ：★

解答：由式 得知

47.若 He-Ne 雷射的有效輸出孔徑的直徑為 1.2mm，其波長為 632.8mm，試問光束的發散角為

何？ ：★★★難易度

難易度

難易度

30-8

第30章　3校清

：★難易度

：★難易度

解答：由式 得知

48.如下圖所示，已知：　(A) 薄透鏡的 RA＝10cm，RB＝－50cm，n＝1.5。　(B) 入射雷射光的 d1

（waist location）＝30cm。　(C) 入射雷射光束腰 W01＝0.1mm。　(D) 波長λ＝6×10－5cm。

求：(A) 輸出束腰之位置（d2）。　(B) 輸出束腰之大小（W02）。　(C) 在透鏡右邊 20cm 處光束

大小（Wz）。　(D) 在透鏡右邊 20cm 處波前曲率半徑（Rz）。 ：★★★

解析：(A) 由造鏡者公式（lens maker’s formulas）

本題若利用幾何光學算出的 d2 為

難易度

30-9

第30章　3校清

（與 d2＝34.716cm 比較有很大的差異）

(B)

(C) 及 (D) 的解，參考下圖，依據題意可計算出光束位置是在 W02 處左邊 14.72cm 處

（即z＝－14.72cm）。

(D)

49.若有一階梯型式的光纖，其蕊心層介質的折射率為 1.53，包覆層的折射率為 1.50，試問　(A)

光波由大氣中入射到光纖內部要產生內全反射的臨界角θi＝θc 為何？　(B)光纖的數值孔徑

NA 是多少？　(C)最大接受角為何？參考下圖。 ：★★★難易度

30-10

第30章　3校清

虛線代表光波在包覆層內的損耗

解答：(A)

(B)

(C) 大氣的折射率 n0 ＝1 則

50.如下圖所示，為等凸透鏡置於空間中，曲率半徑為 5.20cm；透鏡的介質折射率為 1.68；透鏡厚

度（即兩頂點 Vertex 間之距離）＝3.5cm；入射 HeNe 雷射光的束腰（W01）＝0.1mm；入射束

腰的位置距透鏡頂點 10.0cm；頂點到一次主平面（primary principal plane）及二次主平面的距

離均為12.05mm。試求　(A)輸出光束腰的位置　(B)輸出光束腰的大小　(C)輸出光束的發散

角。 ：★★★

解答：由式 得到

f1 為第一鏡面之前焦距；f2 為後焦距，同理可得到

f2' 是第二鏡面之前焦距；f2" 為後焦距，因為是等凸透鏡的關係，所以 f2'＝f2"��������������

����������� ������������������������������������

����������������

利用高斯透鏡公式可導出原透鏡的焦點公式為

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30-11

第30章　3校清

(A)光束腰的位置距頂點的位置為 63.08－12.5＝51.02mm。

(B)

(C)

30-12

第30章　3校清