BRACHISTOCRONA
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BRACHISTOCRONA BRACHISTOCRONA COS’È? COS’È? 1. 1. La curva, una semiellisse perfetta che La curva, una semiellisse perfetta che si forma sul collo delle rane quando si forma sul collo delle rane quando gracidano gracidano 2. 2. La traiettoria ottimale per una pista La traiettoria ottimale per una pista da sci, in modo che lo sciatore la da sci, in modo che lo sciatore la possa percorrere nel tempo minimo possa percorrere nel tempo minimo 3. 3. La curvatura da dare allo scafo di una La curvatura da dare allo scafo di una barca a vela, in rapporto all’albero, barca a vela, in rapporto all’albero, in modo da evitarne il rovesciamento, in modo da evitarne il rovesciamento, studiata dal matematico del 1800 studiata dal matematico del 1800 Georgiu Brachistocronos Georgiu Brachistocronos
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BRACHISTOCRONA. COS’È? La curva, una semiellisse perfetta che si forma sul collo delle rane quando gracidano La traiettoria ottimale per una pista da sci, in modo che lo sciatore la possa percorrere nel tempo minimo - PowerPoint PPT Presentation
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BRACHISTOCRONABRACHISTOCRONA
COS’È?COS’È?
1.1. La curva, una semiellisse perfetta che si La curva, una semiellisse perfetta che si forma sul collo delle rane quando gracidanoforma sul collo delle rane quando gracidano
2.2. La traiettoria ottimale per una pista da sci, in La traiettoria ottimale per una pista da sci, in modo che lo sciatore la possa percorrere nel modo che lo sciatore la possa percorrere nel tempo minimotempo minimo
3.3. La curvatura da dare allo scafo di una barca a La curvatura da dare allo scafo di una barca a vela, in rapporto all’albero, in modo da vela, in rapporto all’albero, in modo da evitarne il rovesciamento, studiata dal evitarne il rovesciamento, studiata dal matematico del 1800 Georgiu matematico del 1800 Georgiu BrachistocronosBrachistocronos
1696 JOHANN BERNOULLI:1696 JOHANN BERNOULLI:
Determinare lineam curvam data duo Determinare lineam curvam data duo puncta in diversis ab horizonte distantiis puncta in diversis ab horizonte distantiis
& non in eadem recta verticali posita & non in eadem recta verticali posita connectentem, super qua mobile propria connectentem, super qua mobile propria gravitate decurrens & a superiori puncto gravitate decurrens & a superiori puncto moveri incipiens citissime descendat ad moveri incipiens citissime descendat ad
punctum inferius.punctum inferius.
BRACHISTOCRONABRACHISTOCRONA
Il nostro scopo è stabilire quale sia la curva che Il nostro scopo è stabilire quale sia la curva che unisce 2 punti posti ad altezze differenti nel più unisce 2 punti posti ad altezze differenti nel più
breve tempo possibile.breve tempo possibile.
BRACHISTOCRONABRACHISTOCRONA
rettaretta
Secondo il principio di Erone, qualora la velocità sia costante, il percorso più breve per unire A e B toccando la retta r è la spezzata APB tale che gli angoli i e r siano uguali.
RIFLESSIONE
Infatti la luce, quando si riflette su uno specchio, segue proprio questo cammino.
i = r
P
Cosa succede in questo caso?Cosa succede in questo caso?
BAGNINOBAGNINO
Analizziamo il caso in cui la velocità Analizziamo il caso in cui la velocità non è costantenon è costante
Un bagnino, che si trova sulla spiaggia vede un bagnante in difficoltà nel mare.
Qual è il percorso che permette al bagnino di raggiungerlo nel più breve tempo possibile?
V1
V2
V1 > V2
RIFRAZIONE
La luce, nel caso in cui la velocità non sia costante, non segue più il principio di Erone, ma quello di Fermat, verificato dalla legge di Snell-Descartes.
LEGGE DI SNELL:
PRINCIPIO DI FERMAT:
La luce percorre cammini di tempo minimo, e quindi spazi maggiori nella parte di piano in cui la velocità è maggiore.
V1 > V2
i ≠ r
sen i sen rV1 V2
=
Il problema è trovare la curva che minimizzi il Il problema è trovare la curva che minimizzi il tempo di percorrenza da A a Btempo di percorrenza da A a B
La velocità è proporzionale alla radice della quota
Il problema è trovare la curva che minimizzi il Il problema è trovare la curva che minimizzi il tempo di percorrenza da A a Btempo di percorrenza da A a B
∆t
Per la legge del bagnino, quando la velocità è minima, si devono
percorrere spazi il più breve possibili, quindi, se la velocità è nulla, devo partire in verticale.
Soluzione con segmento
Soluzione con circonferenza
Il segmento non è quindi la soluzione al problema, si dovrà usare una curva.
T (s) = 2 / √g
T (c) 2,6 / √2g 1,84 / √g
γ (θ) = r ( θ – senθ ; 1 – cos θ )
γ ’ (θ) = r ( 1 – cosθ ; sen θ )
0 ≤ θ ≤ 2π
Equazione parametrica della cicloide:
La cicloide è la curva descritta da un punto fissato su di una circonferenza in rotazione
Condizioni indispensabili alla curva Brachistocrona
sen α
√yc
= cost
Partenza verticale
Rapporto costante
Proviamo con la circonferenza
yc = r sen α
sen α
√yc
=r
√yc
Essendo r costante, il rapporto non può esserlo, perché y varia sulla circonferenza
sen α = w ● t
t = 1/√2 (√1 - cos θ ; sen θ / √1 - cos θ)
sen α = √1 - cos θ /√2
ossia la componente orizzontale del versore t
Proviamo con la curva più astrusa che ci viene in mente, la cicloide
La y è la componente verticale dell’equazione della cicloide: y = r ( 1 – cos θ)
sen α
√yc
= √1 - cos θ/√2
√r √1 – cos θ
1
√2 √r=
Il rapporto è quindi costante per tutti i punti della curva
La cicloide è la soluzione al
problema della brachistocrona
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Progetto e realizzazione a cura di:
Abram Marco
De Martin Polo Daniele
Gambarotto Andrea
Gozzi Martin
Pellin Marco
Walzl Alice
Si ringrazia per la collaborazione:
Prof. Tamanini Italo
Prof. Gottardi Diego
