1Lecture 7

BÀI GIẢNG

Biến Đổi Năng Lượng Điện Cơ

TS. Hồ Phạm Huy Ánh

TS. Nguyễn Quang Nam

March 2010

http://www4.hcmut.edu.vn/~hphanh/teach.html

2Lecture 7

Mô hình động của các hệ thống điện cơ thường được mô tả bằng hệ phương trình vi

phân. Trong vận hành ta cần quan tâm đặc biệt đến tính ổn định của hệ thống điện cơ

phi tuyến. Một số công cụ dùng phân tích ổn định sẽ được giới thiệu.

Lời giải trong miền thời gian cho hệ thống động có được bằng phương pháp tích

phân số thể hiện qua các điểm cân bằng được minh họa bằng đồ thị. Với hệ phi tuyến

bậc cao, ta thường áp dụng các phương pháp số để xác định các điểm cân bằng.

Muốn hệ thống ổn định cần biết rõ tại các điểm cân bằng tĩnh hệ có ổn định hay

không. Khi trạng thái x hay biến đầu vào u của hệ có nhiễu loạn lớn, ta cần tiến hành

mô phỏng để đánh giá trong miền thời gian. Trường hợp chỉ là nhiễu loạn nhỏ quanh

điểm cân bằng, phương pháp đánh giá tuyến tính hóa là đủ để xác định hệ ổn định khi

vận hành tại điểm cân bằng hay không. Đôi khi ta cần xây dựng hàm năng lượng để

khảo sát ổn định của hệ thống trong điều kiện nhiễu loạn lớn, mà không phải thử mô

phỏng trong miền thời gian.

Khảo sát ổn định của hệ thống điện cơ

3Lecture 7

Điểm cân bằng thể hiện trạng thái vận hành xác lập của hệ thống, xét ví dụ tiêu

biểu như khảo sát ổn định cho hệ thống năng lượng. Hệ thống thực được khảo

sát luôn phải gánh chịu các nhiễu loạn nhỏ (ví dụ như tải tiêu thụ luôn biến động),

có thể dẫn đến sự cố nhẹ như gây dao động lưới hay sự cố nặng như làm ngắt

tải dây chuyền. Ngoài ra hệ thống đôi khi phải chịu các nhiễu loạn lớn (chẳng hạn

lưới điện bị sét đánh trực tiếp).

Xét trường hợp vô hướng, mô hình hệ thống có thể đưa về dạng

Phương pháp khảo sát tuyến tính hóa

( )uxfx ,=&

Khai triễn f(x, u) dạng chuổi Taylor quanh điểm cân bằng xe với tín hiệu vào

không đổi, và chỉ giữ lại các thành phần tuyến tính. Ta có kết quả:

u

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) uufx

xfuxfuu

ufxx

xfuxfuxf eee Δ

∂∂

+Δ∂∂

+=−∂∂

+−∂∂

+=0000

ˆ,ˆˆ,,

Hay( ) ( ) u

ufx

xfuxfuxfx e Δ

∂∂

+Δ∂∂

=−=Δ00

ˆ,,&

4Lecture 7

Đặt , , và . Tuyến tính hóa hệ

thống quanh điểm cân bằng sẽ cho ta

Phương pháp tuyến tính hóa hệ thống bậc hai

( )uxxfx ,, 2111 =&

( )uxxfx ,, 2122 =&

exxx 111 −=Δ exxx 222 −=Δ uuu ˆ−=Δ

u

ufuf

xx

xf

xf

xf

xf

xx

Δ

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

0

2

0

1

2

1

02

2

01

2

02

1

01

1

2

1

&

&

A

Giá trị ma trận A tìm được bằng cách cho định thức det(A – λI) = 0. Hệ thống

ổn định nếu các nghiệm tìm được đều nằm bên trái mặt phẳng S (i.e., các giá trị

phần thực đều < 0).

5Lecture 7

Khảo sát ổn định hệ thống bậc hai

( ) xxxxf

Mx

dtd

MB

dtxd

Δ−=Δ∂

∂=Δ+

Δ 20

02

2 1 ω

Khảo sát hàm truyền của mô hình hệ điện cơ bậc hai:

( )uxfdtdxB

dtxdM ,2

2

=+

Hệ này được tuyến tính hóa về dạng

Đặt và , ta đưa được về mô hình không gian trạng thái1xx Δ=Δ 2xx Δ=Δ&

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

2

1202

1 10xx

MBxx

ω&

&

Từ đó ta có phương trình đặc tính của hệ thống điện cơ

01

20

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−

−λω

λMB

020

2 =++ ωλλMB

6Lecture 7

Trường hợp I (B > 0, M > 0, )020 >ω

202

2

4ω>

MB 2

02

2

4ω=

MB 2

02

2

4ω<

MB

Trong 3 trường hợp này, hệ thống đều ổ định (stable).

Trường hợp II (B > 0, M > 0, )

Đặc biệt nếu (B = 0, M > 0): hệ sẽ bất ổn nếu , hay chỉ ổn định biên nếu

.

BT 5.1 sẽ được giải để minh họa các kết quả trên.

020 <ω

Ta có nghiệm tổng quát của phương trình đặc tính

202

2

21 42, ωλλ −±−=

MB

MB

020 >ω

020 <ω

Khảo sát ổn định hệ thống bậc hai (tt)

7Lecture 7

Phương pháp hàm năng lượng khảo sát ổn định hệ phi tuyến

Khi hệ thống chịu nhiễu loạn lớn, phân tích ổn định phải dùng đến các kĩ thuật số

thiên về khối lượng tính toán. Tuy vậy trong nhiều trường hợp ta tìm trực tiếp thông

tin cần có mà không cần dùng các kĩ thuật số kinh điển. Kỹ thuật này dựa trên hàm

năng lượng, có tên là phương pháp ổn định Lyapunov. Các hệ điện cơ được bảo

toàn nhờ phương pháp ổn định Lyapunov có thể cho kết quả nghiệm mỹ mãn.

Với hệ điện cơ được bảo toàn, tổng năng lượng không đổi, và điều này được

dùng khi phân tích ổn định hệ thống. Xét bài toán con lắc ở Hình 5.2, gồm vật nặng

M được nối qua thanh rắn đến trục quay không bị ma sát.

Cho V(θ) = 0 lúc θ = 0, ta có tại mọi giá trị của góc quay θ, thế năng hệ thống

được xác định bởi( ) ( )( )θθ cos1−= MglV

8Lecture 7

Khảo sát ổn định các hệ thống bảo toàn

Với trọng trường là lực tác động duy nhất, và do hệ được bảo toàn (conservative),

ta được( )( )θθ sin2

2

lMgdtdJ −=

Vế phải biểu thức có thể đưa về dạng đạo hàm âm của một hàm thế năng vô

hướng. Trong trường hợp này,

( ) ( )( )[ ] ( )θθθ

θθ

∂∂

−=−∂∂

−=−VMglMgl cos1sin

( )θθθ

∂∂

−=V

dtdJ 2

2Kết quả là:

Điểm cân bằng là nghiệm của:( ) ( ) 0sin =−=

∂∂

− θθθ MglV

Ta được trong khoảng –π đến +π, 0 ,πθ ±=e

9Lecture 7

Khảo sát các thành phần năng lượng

Ta khảo sát ( ) 02

2

=∂

∂+

θθθ V

dtdJ

Nhân với dθ/dt sẽ được:

( ){ EVdtdJ =+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

energy Potentialenergy Kinetic

2

21 θθ

43421

( ) 02

2

=∂

∂+

dtdV

dtd

dtdJ θ

θθθθ

Lấy tích phân theo t sẽ cho kết quả là:

Việc phân tích ổn định có thể tiến hành cho 3 trường hợp khác nhau (xem thêm

trong Giáo Trình), khai thác quan điểm thế năng chuẩn (potential energy well).

10Lecture 7

Áp dụng hàm năng lượng cho hệ thống điện cơ

Khảo sát hệ thống điện cơ trên Hình, giả thiết hệ thống không chứa phần tử

tiêu tán.

Mech.system

Electro-mechanical

coupling

Te or fe

θ or x

+

_

+

_

+

_

I2

I1λ1

λ2

Nếu hoặc λ hay i ở mỗi cổng được

giữ không đổi, lúc này ta có thể khảo

sát chuyển động không đổi của hệ

thống. Lưu ý không có dòng năng

lượng hay đồng-năng lượng nào đi

qua cổng điện. Tương tự không có

phần tử tiêu tán bên cổng cơ.

Thế năng hệ thống có dạng:

( ) ( ) ( )θθθ ,, 21' IIWUV m−=

( ) ( ) ( )θθθ ,, 21 ΛΛ+= mWUV

(hằng số i1 và i2)

(hằng số λ1 và λ2)

( )θθ

∂∂

−=UT m (tác động lực cơ)

11Lecture 7

Xây dựng quan hệ giữa tính ổn định và thế năng

Ta có phương trình mô men( ) 02

2

=∂

∂+

θθθ V

dtdJ

Điểm cân bằng tìm được nhờ giải phương trình( ) 0=

∂∂

θθV

Thực hiện tuyến tính hóa quanh điểm cân bằng θe sẽ cho

( ) 02

2

2

2

=Δ∂

∂+

Δ

=

θθθθ

θθ e

Vdt

dJ

θe ổn định nếu , θe không ổn định nếu( ) 02

2

>∂

∂

= e

V

θθθθ ( ) 02

2

<∂

∂

= e

V

θθθθ

BT 5.3 và 5.4 sẽ được giải để minh họa các khái niệm trên.