แคลคูลัส -...

แคลคลส 1 MA01101 CALCULUS I

วลลภ เหมวงษ

ปร.ด. (คณตศาสตร)

คณะวทยาศาสตร

มหาวทยาลยราชภฏอดรธาน

2557

ค ำน ำ

แคลคลส 1 (Calculus I) เลมนจดท ำขนเพอใชประกอบกำรเรยนกำรสอนในรหสวชำ MA 01101 แคลคลส 1 หลกสตรระดบปรญญำตร แบงเนอหำเปน 5 บท ดงน บทท 1 เปนควำมรเบองตนเกยวกบเซต จ ำนวนจรง สมกำร อสมกำรและกำรหำผลเฉลย ฟงกชนและกรำฟของฟงกชน รวมถงพชคณตของฟงกชน ในบทท 2 กลำวถงเรองลมตของฟงกชน ทฤษฎบทของลมตและกำรน ำไปใช ลมตทคำอนนต ลมตคำอนนต และควำมตอเนองของฟงกชน บทท 3 เปนอนพนธของฟงกชน ทฤษฎบทเกยวกบกำรหำอนพนธ อนพนธโดยปรยำย กำรหำอนพนธของฟงกชนทซบซอนโดยใชลอกำรทมเขำชวย รวมทงอนพนธอนดบสง สวนบทท 4 กลำวถงเรองกำรประยกตของอนพนธ กำรใชกฎโลปตำลเพอหำลมตของฟงกชน ควำมชนของเสนโคงและเสนสมผส กำรหำคำมำกทสด คำนอยทสด อตรำกำรเปลยนแปลง และอตรำสมพทธ และบทสดทำยเปนเรองกำรหำปรพนธไมจ ำกดเขตและปรพนธจ ำกดเขต รวมทงกำรประยกต หวงวำเอกสำรฉบบนจะเปนประโยชนตอกำรเรยนกำรสอน อำจำรย และผสนใจทวไป

วลลภ เหมวงษ สำขำวชำคณตศำสตร คณะวทยำศำสตร

มหำวทยำลยรำชภฏอดรธำน 2555

สารบญ

หนา

ค าน า ก

สารบญ ค

แผนบรหารการสอนประจ าวชา 1

แผนบรหารการสอนประจ าบทท 1 5

บทท 1 ความรเบองตน 7

1.1 เซต 7

1.2 จ ำนวนจรง 13

1.3 สมกำรและอสมกำร 16

1.4 ฟงกชนและกรำฟ 26

1.5 พชคณตของฟงกชน 40


บทท 2 ลมตและความตอเนองของฟงกชน 49

2.1 ลมตของฟงกชน 49

2.2 ทฤษฎบทของลมต 54

2.3 ลมตทคำอนนต 64

2.4 ลมตคำอนนต 70

2.5 ควำมตอเนองของฟงกชน 76


บทท 3 อนพนธของฟงกชน 87

3.1 อนพนธของฟงกชน 87

3.2 ทฤษฎบทเกยวกบอนพนธของฟงกชน 91

3.3 กำรหำอนพนธโดยปรยำย 114

3.4 กำรหำอนพนธโดยลอกำรทม 116

3.5 อนพนธอนดบสง 118

ง แคลคลส I


สารบญ (ตอ)

หนา


บทท 4 การประยกตของอนพนธ 125

4.1 กฎโลปตำล 125

4.2 ควำมชนของเสนโคงและเสนสมผส 128

4.3 คำสดขดสมพทธและกำรประยกต 131

4.4 อตรำกำรเปลยนแปลง 142

4.5 อตรำสมพทธ 146


บทท 5 ปรพนธของฟงกชนและการประยกต 151

5.1 ปรพนธไมจ ำกดเขต 151

5.2 กำรประยกตของปรพนธไมจ ำกดเขต 166

5.3 ปรพนธจ ำกดเขต 170

5.4 กำรหำพนทใตโคง 178

5.5 กำรหำพนทระหวำงเสนโคง 183

บรรณานกรม 193

ภาคผนวก

ผลเฉลยแบบฝกหด 195

ดชน 201

แผนบรหารการสอนประจ าวชา

รหสวชา MA01101

รายวชา แคลคลส 1

Calculus I

ค าอธบายรายวชา

ศกษาเซต จ านวนจรง ความสมพนธและฟงกชน ลมตและความตอเนองของฟงกชน อนพนธของฟงกชนและการประยกต ปรพนธของฟงกชนและการประยกต

จดประสงคทวไป

1. เพอใหผศกษามความรเบองตนเรองเซต จ านวนจรง สมการและอสมการ ฟงกชนและกราฟ

และพชคณตของฟงกชน

1.1 สามารถวเคราะหและแกปญหาเกยวกบเซต สมการ และอสมการได 1.2 สามารถใชบทนยามและคณสมบตของจ านวนจรงและฟงกชน แกปญหาจ านวนจรง สราง

กราฟ และหาพชคณตของฟงกชนได 2. เพอใหผศกษาเกดความรความเขาใจในหลกการและทฤษฎของลมตและความตอเนองของฟงกชน

2.1 สามารถวเคราะหและใชบทนยามลมตในการพสจนลมตของฟงกชนได 2.2 สามารถใชทฤษฎบทลมตเพอหาลมตของฟงกชนได 2.3 สามารถใชความรลมตและความตอเนองเปนพนฐานในการหาอนพนธและปรพนธไดของฟงกชนได 3. เพอใหผศกษาเกดความรความเขาใจในหลกการและทฤษฎของอนพนธของฟงกชน

3.1 สามารถใชบทนยามอนพนธ หาอนพนธของฟงกชนได 3.2 สามารถใชทฤษฎบทอนพนธเพอหาอนพนธของฟงกชนได 3.3 สามารถหาอนพนธอนดบสงและอนพนธของฟงกชนโดยปรยายได 4. เพอใหผศกษาประยกตอนพนธในหวขอตอไปนได

4.1 กฎโลปตาล 4.2 ความชนของเสนโคงและเสนสมผส 4.3 คาสดขดสมพทธ การวเคราะหกราฟ และการแกปญหาคาสงสดต าสด

2 แคลคลส I


4.4 อตราการเปลยนแปลงและอตราสมพทธ 5. เพอใหผศกษาเกดความรความเขาใจในหลกการและทฤษฎของปรพนธของฟงกชน

5.1 สามารถหาและประยกตปรพนธไมจ ากดเขตได 5.2 สามารถหาปรพนธจ ากดเขต พนทใตโคง และพนทระหวางเสนโคงได 6. เพอใหผศกษามพนฐานในการศกษาวชาแคลคลสในระดบสง

เนอหา

บทท 1 ความรเบองตน (6 คาบ)

เซต

จ านวนจรง

สมการและอสมการ

ฟงกชนและกราฟ พชคณตของฟงกชน

บทท 2 ลมตและความตอเนองของฟงกชน (9 คาบ)

ลมตของฟงกชน

ทฤษฎบทของลมต ลมตทคาอนนต ลมตคาอนนต

ความตอเนองของฟงกชน

บทท 3 อนพนธของฟงกชน (9 คาบ)

อนพนธของฟงกชน

ทฤษฎบทเกยวกบอนพนธของฟงกชน

การหาอนพนธโดยปรยาย

การหาอนพนธโดยลอการทม อนพนธอนดบสง

บทท 4 การประยกตของอนพนธ (9 คาบ)

กฎโลปตาล ความชนของเสนโคงและเสนสมผส คาสดขดสมพทธและการประยกต อตราการเปลยนแปลง

แผนบรหารการสอนประจาวชา 3


อตราสมพทธ

บทท 5 ปรพนธของฟงกชนและการประยกต (9 คาบ)

ปรพนธไมจ ากดเขต การประยกตของปรพนธไมจ ากดเขต

ปรพนธจ ากดเขต

การหาพนทใตโคง

การหาพนทระหวางเสนโคง

วธการสอนและกจกรรม

1. บรรยายประกอบผานเครองฉายทบแสง Word และ Power Point

2. ศกษาคนควาดวยตนเองจากเอกสารค าสอน และต าราทเกยวของ

3. แบงกลมศกษารวมอภปรายเนอหา

4. ท างานกลมและแบบฝกหด

สอการเรยนการสอน

1. สรปค าบรรยายผานเครองฉายทบแสง

2. เอกสารค าสอน

3. โปรแกรม Word และ Power Point

การวดและประเมนผล

การวดผล

1. คะแนนระหวางภาค 60 %

การมสวนรวมในกจกรรมการเรยนการสอน 10 %

งานกลม 10 %

แบบฝกหด 10 %

ทดสอบยอย 30 %

2. คะแนนปลายภาค 40 %

การประเมนผล

ระดบคะแนน เกรด

80 – 100 A

75 – 79 B+



70 – 74 B

65 – 69 C+

60 – 64 C

55 – 59 D+

50 – 54 D

ต ากวา 50 E

แผนบรหารการสอนประจ าบทท 1

หวขอเนอหาประจ าบท

1. เซต

2. จ ำนวนจรง

3. สมกำรและอสมกำร

4. ฟงกชนและกรำฟ 5. พชคณตของฟงกชน

จดประสงคเชงพฤตกรรม

เมอศกษำจบบทท 1 แลวผศกษำสำมำรถ

1. เขยนเซตเปน บอกชนดของเซตได 2. หำกำรกระท ำของเซตและแกปญหำเซตได 3. บอกชนดของจ ำนวนจรงทก ำหนดใหได 4. ใชสมบตของจ ำนวนจรงแกสมกำรและอสมกำรได 5. เขยนกรำฟของฟงกชนและบอกชนดของฟงกชนได 6. หำพชคณตของฟงกชนได

วธการสอนและกจกรรมการสอนประจ าบท

1. ใหนกศกษำ ศกษำคนจำกเอกสำรค ำสอน และต ำรำทเกยวของ

2. แบงกลมศกษำเนอหำเซต จ ำนวนจรง สมกำร อสมกำร กรำฟ และพชคณตของฟงกชน แลวรวมกนอภปรำย

3. บรรยำยสรปผำนเครองฉำยทบแสง Word หรอ Power Point

4. ท ำแบบฝกหด หรอทดสอบ


1. เอกสำรค ำสอน

2. Word หรอ Power Point สรปค ำบรรยำย


1. กำรสงเกตหรอกำรถำมจำกกำรอภปรำย

2. กำรท ำแบบฝกหด



3. กำรทดสอบยอย หรอทดสอบประจ ำบท

บทท 1

ความรเบองตน

บทนเปนความรเบองตนเกยวกบเซต จ านวนจรง สมการและอสมการ ฟงกชนและกราฟ ฟงกชนประกอบและพชคณตของฟงกชน ซงเปนพนฐานการศกษาในบทตอไป

1.1 เซต

เซต (set) เปนค ำอนยำม (undefined term) เปนค ำทใชแทน หม พวก หรอกลมของสงตำง ๆ เชน เซตของนกศกษำชำยทไวผมรองทรง หมำยถง กลมของนกศกษำชำยทไวผมรองทรง และสงทอยในเซต จะเรยกวำ สมาชก (element) ของเซต ซงอำจมหรอไมมกได สวนเซตทเรำกลำวถงบอยมำกคอ เซตของจ ำนวนจรง เพอควำมสะดวกเรำมกจะแทนเซตดวย A, B, C, … สวนสมำชกจะแทนดวย a, b, c, x, y, … ในกำรเขยนเซต ม 2 แบบคอ กำรเขยนแบบแจกแจงและกำรเขยนเซตแบบบอกเงอนไขของสมำชก ใชสญลกษณ แทน เปนสมำชกของ และ แทน ไมเปนสมำชกของ เชน ถำ a เปนสมำชของเซต A จะเขยนแทนดวย aA อำนวำ a เปนสมำชกของเซต A

หรอ a อยใน A

ตวอยาง 1.1.1

1) A = { 1 , 2 } เขยนเซตแบบบอกเงอนไข ไดดงน A = ( x | x เปนจ ำนวนนบและ x 2 } หรอ A = { x | x เปนจ ำนวนจรงซง x2

- 3x + 2 = 0 }

2) B = { 2 , 4 , 6 , … , 20 } เขยนเซตแบบบอกเงอนไข ไดดงน B = { x | x เปนจ ำนวนนบคทนอยกวำ 21 }

3) C = { 1 , 3 , 5 , 7 , … } เขยนเซตแบบบอกเงอนไข ไดดงน C = { x | x เปนจ ำนวนนบค }

4) D = { x | x เปนจ ำนวนนบและ x 6

E = { x | x2 = 25 และ x เปนจ ำนวนจรง

F = { x | x เปนจ ำนวนเตมลบ }

เขยนแบบแจกแจงสมำชก ไดดงน D = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 },

E = { -5 , 5 } F = {-1 , -2 , -3 , …}


คณะวทยำศำสตร

ตวอยาง 1.1.2 ให A = { -3 , 5 , 2 , {1} , {3 , 4} } จะเหนวำ เซต A มสมำชก 5 ตว และ

1) -3 A 6) 7 A

2) 5 A 7) –5 A

3) 2 A 8) 1 A

4) {1} A 9) 3 A

5) { 3 , 4 } A 10) {4 } A

บทนยาม 1.1.1 เซตจ ากด (finite set) คอ เซตทบอกจ ำนวนสมำชกได และเซตอนนต (infinite

set) คอ เซตทไมเปนเซตจ ำกด

ตวอยาง 1.1.3 A เปนเซตของจ านวนเตมทมากกวา 2 และนอยกวา 10

ดงนน A = { 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } เปนเซตจ ากด B เปนเซตของจ านวนนบ

ดงนน B = {1 , 2 , 3 , 4 , …} เปนเซตอนนต

หมายเหต 1.1.1 1) จ านวนสมาชกของเซต A เขยนแทนดวย n(A)

2) ให N, I, I+, Iˉ, Q, Q' และ R แทน เซตของจ านวนนบ จ านวนเตม จ านวนเตมบวก

จ านวนเตมลบ จ านวนตรรกยะ จ านวนอตรรกยะ และจ านวนจรง ตามล าดบ

3) เซตของเอกภพสมพทธ (universal set) เขยนแทนดวย U คอ เซตทก าหนดขน เพอตกลงวา สมาชกของเซตตางๆ ทจะกลาวตอไปจะตองมาจากเซต U เทานน เชน

ให U = { x | x เปนจ านวนนบ } และ

ถา A เปนเซตจ านวนทนอยกวา 3 ดงนน A = {1, 2} และ n(A) = 2

ถา B เปนเซตจ านวนทมากกวา - 5 ดงนน B = { 1 , 2 , 3 , 4 , … } และบอก n(A) ไมได 4) เซตวาง (empty set or null set) เขยนแทนดวย หรอ { } หมายถง เซตทมจ านวน

สมาชกเทากบศนย เชน ถา A = { xN| x 0 } แลว A = และ n(A) = 0

บทนยาม 1.1.2 เซต A เปนเซตยอย (subset) ของเซต B ใชสญลกษณ A B กตอเมอ ทก ๆ สมาชกของ A เปนสมาชกของ B และ ถา A ไมเปนเซตยอยของเซต B จะเขยนแทนดวย A B

ตวอยาง 1.1.4 ให C = { x | x เปนจ านวนเตม} และ D = {-2 , 0 , 1 , 1000 }

จะเหนวา D C แต C D

บทท 1 ควำมรเบองตน 9

มหำวทยำลยรำชภฏอดรธำน

สมบตทส าคญของเซตยอย ถา A , B และ C เปนเซตใดๆ

1) A

2) A A

3) A U

4) ถา A B และ B C แลว A C

5) ถา n(A) = k แลว เซตทเปนเซตยอยทงหมดของเซต A มจ านวน 2k เซต

บทนยาม 1.1.3 เพาเวอรเซต (power set) ของเซต A เขยนแทนดวย P(A) คอ เซตทมสมาชก

เปนเซตยอยทงหมดของเซต A

ตวอยาง 1.1.5 ให A = { 1, 2 } จะไดวา เซตยอยทงหมดของ A คอ ,{1},{2},{1 , 2}

ดงนน P(A) = { ,{1},{2},{ 1,2 }} และ n(P(A)) = 22 = 4

บทนยาม 1.1.4 เซต A เทากบ (equal) เซต B ใชสญลกษณ A = B กตอเมอ A B และ B A

จะเหนวา A = B กตอเมอ A และ B มสมาชกเดยวกนแบบตวตอตว

ตวอยาง 1.6 1) ให A = {3 , 5 , 7 , 9 } และ B = { 5 , 7 , 9 , 9 } จะไดวา A = B

2) ให C = {x | x เปนจ านวนนบ } และ D = { x | x I }

จะไดวา C = { 1 , 2 , 3 , … } และ D = { 1 , 2 , 3 , … } ดงนน C = D

ตอไปจะกลาวถงการปฏบตการของเซต (operation of sets ) ซงเปนการสรางเซตใหม ดงน

บทนยาม 1.1.5 ให A และ B เปนเซต

A ยเนยน (union) B เขยนแทนดวย A B หมายถง เซตทประกอบดวยสมาชกของ A

หรอ B

A B = { x | x A หรอ x B }

A อนเตอรเซก (intersect ) B เขยนแทนดวย A B หมายถง เซตทประกอบดวยสมาชกทเปนสมาชกของทงสองเซต

A B = { x | x A และ x B }

ผลตาง (difference) ของ A และB เขยนแทนดวย A – B หมายถง เซตทประกอบดวยสมาชกของ A ทไมเปนสมาชกของ B

A – B = {x | x A และ x B }



คอมพลเมนต (complement) ของ A เขยนแทนดวย A' หมายถง เซตทประกอบดวยสมาชกของเอกภพสมพทธ U ทไมเปนสมาชกของ A

A' = {x | x U และ x A}

ตวอยาง 1.1.7 ให U = {a, b, c, d, e} , A = {a, b, d} และ B = {b, e}

จงหำ 1) )A( 2) )BA( 3) AB

4) )BA( 5) AB 6) A – B

7) A B

วธท า 1) เนองจำก A = {c, e} ดงนน )A( = {a, b, d} = A

2) เนองจำก A B = {b} ดงนน (A B) = {a, c, d, e}

3) เนองจำก A= {c, e} และ B = {a, c, d} ดงนน A B = {a, c, d, e}

4) เนองจำก A B = {a, b, d, e} ดงนน )BA( = {c}

5) A B= {c}

6) A - B = {a, d}

7) A B= {a, d}

สมบตของกำรปฏบตกำรของเซต

1) A A = A, A A = A : สมบตไอเดมโพเทนต 2) A B = B A, A B = B A : สมบตกำรสลบท 3) A (B C) = (A B) C, : สมบตกำรเปลยนกลม

A (B C) = (A B) C 4) A = A, A = 5) A U = U, A U = A

6) A B กตอเมอ A B = A

7) (A B) A และ (A B) B

8) A (B C) = (A B) (A C) : สมบตกำรแจกแจง A (B C) = (A B) (A C)

9) )A( = A

10) = U, U = 11) A A = U, A A =

12) )BA( = A B , )BA( = A B 13) A – B = A B



ตวอยาง 1.1.8 บรษทแหงหนงมพนกงำน 40 คน มกำรส ำรวจพบวำ ชอบดมกำแฟ 25 คน และชอบดมนม 20 คน มจ ำนวน 8 คนไมชอบทงสองอยำง อยำกทรำบวำคนทชอบดมกำแฟ หรอนมอยำงเดยวมกคน

วธท า ให U แทนเซตของพนกงำนทงหมด

A แทนเซตของคนดมกำแฟ

B แทนเซตของคนดมนม

x แทนจ ำนวนคนทชอบดมทงสองอยำง

เขยนแผนภำพแสดงเซตตำง ๆ ไดดงน

จะไดวำ (25 - x) + x + (20 - x) = 40-8

-x + 45 = 32 x = 13

ดงนน คนทดมกำแฟอยำงเดยว ม 25 -13 = 12 คน

และคนทดมนมอยำงเดยว ม 20 -13 = 7 คน

นนคอ มคนทชอบดมกำแฟ หรอนมอยำงเดยว เทำกบ 19 คน

แบบฝกหด 1.1

1. จงเขยนเซตตอไปนแบบแจกแจงสมาชก

1.1 เซตของจ านวนเตมบวกทหารดวยหาลงตว 1.2 เซตของจ านวนทสอดคลองกบสมาชก 2x

2 + 3x - 2 = 0

1.3 {x I | x มากกวา 2 และนอยกวา 10}

2. จงเขยนเซตตอไปนแบบบอกเงอนไขของสมาชกในเซต

2.1 {2, 4, 6 } 2.2 {-1, -2, -3, -4, …} 2.3 {1, 4, 9, 16, 25, 36}

3. เซตตอไปน เซตใดเปนเซตจ ากด เซตใดเปนเซตอนนต 3.1 เซตของจ านวนเฉพาะ

3.2 เซตของชอเดอนทมจ านวนวนมากกวา 30 วน

3.3 เซตของวงกลมทมจดศนยกลางรวมกน

A B U

25-x 20-x x

8



3.4 {x | x เปนจ านวนค}

3.5 {x I | 8 < x < 9}

4. พจารณาเซตในแตละขอตอไปนวามขอใดบางเปนเซตทเทากน

4.1 A = {x | x I และ 0 < x < 30} 4.2 C = {xR | x2 – x = 0}

B = {1, 2, 3, …, 29} D = {xI | x2 – x = 0}

4.3 E = {x | x เปนจ านวนเตม และ x2 = 36} 4.4 G = {x | x เปนพยญชนะในค าวา “ชวน”}

F = {6} H = {x | x เปนพยญชนะในค าวา “เชาวน”}

5. จงหาเซตยอยทงหมดของเซตตอไปน 5.1 {a} 5.2 {1, 2} 5.3 {1, 2, {3}} 5.4 {{1, {2, 3}}}

6. ให A = { , { }, 1, {1}, 2, {2}, {1, 2}, {1, 2, 3} }

จงพจารณาขอความตอไปน ถกหรอผด

6.1 A 6.2 A 6.3 {} A 6.4 {} A

6.5 1 A 6.6 {1} A 6.7 {1, 2} A 6.8 {1, 2} A

6.9 {1, {2}} A 6.10 {{1}, 2, {1, 2}} A

7. จงหาเพาเวอรเซตของเซตตอไปน 7.1 A = 7.2 B = {a, b} 7.3 C = {1, {1}} 7.4 D = {, 1, 2}

9. ก าหนด U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

A = {2, 3, 5, 7} B = {0, 2, 4, 6} C = {1, 3, 5, 7}

จงเขยนเซตตอไปนแบบแจกแจงสมาชก

9.1) A B 9.2) (A B) 9.3) A

B

9.4) A - B

9.5) A C 9.6) A (B C ) 9.7) (A B) (A C )

9.8) A (B C) 9.9) (A B ) (AC) 9.10) B - (A C )

10. การสอบถามความเหนจากประชาชน 400 คน ผลปรากฏวา มผชอบดมกาแฟ 250 คน ชอบดมน าอดลม 200 คน ชอบดมทงกาแฟ และน าอดลม 130 คน จงหา

(1) จ านวนคนทชอบดมกาแฟเพยงอยางเดยว

(2) จ านวนคนทชอบดมน าอดลมเพยงอยางเดยว

(3) จ านวนคนทไมชอบดมเครองดมทง 2 ชนด

11. การส ารวจทศนคตของหญงจ านวนหนงปรากฏวาผลดงน 29 คน ชอบชายสงอาย 25 คน ชอบชายรปหลอ

39 คน ชอบชายมงคง 9 คน ชอบชายรปหลอและสงอาย 17 คน ชอบชายสงอาย และชายมงคง 20 คน ชอบชายรปหลอ และชายมงคง



6 คน ชอบทงสามประเภท 4 คน ไมชอบทงสามประเภท

อยากทราบวามหญงสาวกคนใหค าตอบในการส ารวจครงน

1.2 จ านวนจรง

เนองจากแคลคลสเปนวชาทเกยวของกบเซตของจ านวนจรง ดงนนหวขอนเราจะกลาวถงจ านวนจรง (real number) และสมบตทส าคญของจ านวนจรง รวมถงการน าไปใช จะขอเรมดวย

จ านวนเตมบวก หรอ จ านวนนบ หรอ จ านวนธรรมชาต (positive integer, counting หรอ natural

number) ไดแก 1, 2, 3, 4, 5, ... สวนจ านวนเตมลบ (negative integer) คอ –1, –2, –3, –4, ... และ จ านวนเตม (integer) ประกอบดวย ... , –5 , –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... จ านวนตรรกยะ

(rational number) คอจ านวนทเขยนไดในรปเศษสวน b

a เมอ a, b I , b 0 ดงนนจ านวนตรรก

ยะไดแก เศษสวน ทศนยม และจ านวนเตม เชน 5

3= 0.6, –

3

1= –0.333…,

111

61= 0.549540540…

ซงเปนทศนยมไมรจบแบบซ า สวนจ านวนอตรรกยะ (irrational number) คอ จ านวนทไมใชจ านวนตรรกยะ เชน = 3.1459… , 2 = 1.141… , e = 2.71826… ซงเปนทศนยมไมรจบแบบไมซ า สวนจ านวนจรง คอจ านวนทเปนจ านวนตรรกยะหรอจ านวนอตรรกยะ เขยนแผนผงแสดงความสมพนธของจ านวนจรงได ดงน

เซตของจ านวนจรง R กบ การบวกและการคณ มสมบตดงน ให a,b,cR

1. a + bR : สมบตปด (closure)

2. (a + b) + c = a + (b + c) : สมบตเปลยนหม (associative)

3. ม 0R ซง 0 + a = a = 0 + a : สมบตมเอกลกษณ (identity)

4. ม – aR ซง – a + a = 0 = a + (–a) : สมบตมอนเวอรส (inverse)

จ ำนวนเตมบวกหรอ

จ ำนวนธรรมชำต ศนย จ ำนวนเตมลบ

จ ำนวนเตม

จ ำนวนตรรกยะทไมใชจ ำนวนเตม

จ ำนวนตรรกยะ จ ำนวนอตรรกยะ

จ ำนวนจรง



5. a + b = b + a : สมบตสลบท (permutative)

6. ab R : สมบตปด

7. (ab)c = a(bc) : สมบตเปลยนหม 8. ม 1R ซง 1 0 และ 1a = a = a1 : สมบตมเอกลกษณ 9. ส าหรบ a≠ 0 ม a-1R ซง a-1

a = 1 = aa-1

: สมบตมอนเวอรส

10. ab = ba : สมบตสลบท 11. a(b+c) = ab + ac : สมบตแจกแจงทางซาย (left distributive)

ระบบทประกอบดวยเซต กบการด าเนนการทวภาค 2 ตวทสอดคลองกบสมบต 11 ขอขางตน เรยกวา ฟลด (field) ดงนน ระบบจ านวนจรง เปนฟลด

ขอสงเกต 1.2.1 1) ขอ 1.-5. เปนสมบตการบวก และขอ 6.-10. เปนสมบตการคณ สวนขอ 11. เปนการผสมกนของสมบตการบวกและการคณ

2) การลบและการหาร เรานยามจากการบวกและการคณ ดงน a–b = a + (–b) และ a b =

b

a = ab

-1

สมบตของ R อก 4 ขอตอไปนเรยกวา สจพจนของการจดอนดบ (ordered axiom) ท าให เราจดอนดบของสมาชกใน R ได 12. ม aR ซง a เปนจ านวนบวก (positive number) (a R

+ )

13. ถา aR แลว a = 0, a < 0 หรอ a > 0 เปนจรงเพยงกรณใดกรณหนง

14. ถา a, bR+ แลว a + b R

+ 15. ถา a, bR

+ แลว ab R+

ฟลดใด ๆ ทสอดคลองกบสมบตขอ 12.- 15. ขางตน จะเรยกวา ออรเดอรฟลด (ordered

field) ดงนน ระบบจ านวนจรง R เปนออรเดอรฟลด

บทนยาม 1.2.1 ให aR จะกลาววา a เปนจ านวนลบ (negative number) ถา – a R+

บทนยาม 1.2.2 ให a, bR จะกลาววา a นอยกวา b เขยนแทนดวย a < b ถา b – a R+

ตวอยาง 1.2.1 1) เนองจาก 8 – 2 = 6 R+ ดงนน 2 < 8

2) เนองจาก (– 3) – (– 5) = 2 R+ ดงนน –5 < –3

หมายเหต 1.2.1 a < b มความหมายเดยวกนกบ b > a



ทฤษฎบท 1.2.1 ให a, b, cR ถา a < b และ b < c แลว a < c พสจน เนองจาก a < b และ b < c ดงนน b – a และ c – b R

+

จากสมบตของ R ขอ 14. จะไดวา (c – b) + (b – a) = c – a R

+

นนคอ a < c

นอกจากน ระบบจ านวนจรง มสมบตเกยวกบการเทากน 5 ขอ ดงน ให a,b,cR

1. a = a : การสะทอน (reflexive)

2. ถา a = b แลว b = a : การสมมาตร (symmetric)

3. ถา a = b และ b = c แลว a = c : การถายทอด (transitive)

4. ถา a = b แลว c+ a = c+ b : การบวกดวยจ านวนเดยวกน

5. ถา a = b แลว ca = cb : การคณดวยจ านวนเดยวกน

แบบฝกหดท 1.2

ส าหรบ a, b , cR จงพจารณาแตละขอความตอไปนวา จรงหรอเทจ เพราะเหตใด 1. ถา ab = a แลว b = 1 2. ถา ab = ac แลว b = c

3. ถา ab = 1 แลว a = b-1

4. ถา ab = 0 แลว a = 0 และ b = 0

5. ถา a 0 หรอ b 0 แลว ab 0 6. ถา ba แลว cbca

7. ถา cbca แลว ba 8. ถา ba แลว b

1

a

1

9. ถา ba แลว a

1

b

1 10. ถา ba และ dc แลว dbca

11. ถา ba และ dc แลว bdac

12. ถา 0d0c,dc,ba แลว d

b

c

a

13. ถา 0d0c,dc,ba แลว c

b

d

a

14. ถา ba แลว 22 ba

15. ถา 22 ba แลว ba 16. ถา bayx แลว ax และ by

17. ถา 0a แลว aa2 18. ถา a เปนจ านวนคแลว 2a เปนจ านวนคดวย

19. ให a, b, cR จงพสจนวา ถา a < b แลว a + c < b + c 20. ให a, b, cR จงพสจนวา ถา a < b และ c R

+ แลว ac < bc



0 1 2 3 -1 -2 -3 -4 4

1.3 สมการและอสมการ

หวขอนเปนการหาผลเฉลยของสมการและอสมการ กอนอนจะกลาวถงชวงและกราฟของชวง ดงตอไปน จ านวนจรงแตละจ านวนสามารถเขยนแทนไดดวยจดบนเสนตรง ซงเราเรยกวา เสนจ านวนจรง (real line) จะเหนวา จ านวนจรงแตละจ านวนจะแทนไดดวยจดเพยงจดเดยวเทานน และกลบกน จด ๆ หนงจะแทนจ านวนจรงไดเพยงจ านวนเดยวเทานน ซงเรากลาววา จ านวนจรงจบคกบจดบนเสนตรงแบบหนงตอหนง (1-1 correspondence)

ให a,bR ซง a < b จะใชสญลกษณตอไปน แทนเซตยอยของ R

a, b = x Ra < x < b

a, b = x Ra x b

a, b = x Ra x < b

a, b = x Ra < x b

a, = x Ra < x

a, = x Ra x

-, a = x Rx < a

-, a = x Rx a

อาจแสดงชวงตาง ๆ บนเสนจ านวนจรงและเรยกวา กราฟของชวงนน ๆ เชน กราฟของชวง 1, 4 คอ

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

4 3 -1 2 1 0 -2 -3 -4

กราฟของชวง -2, 2 คอ

กราฟของชวง 1, คอ

-1 -2 0 1 2 3 4 -3 -4



ตวอยาง 1.3.1 จงหาเซตผลเฉลยของอสมการ 2x + 5 < –3x + 1

วธท า 2x + 5 < –3x + 1

(2x + 5) + (3x – 5) < (–3x + 1) + (3x – 5)

5x < –4

x < –5

4

ดงนนเซตผลเฉลยของอสมการคอ (-5

4, ) ซงมกราฟดงน

การแกอสมการก าลงสองหรอสงกวา พจารณาอสมการ 0)ax()ax(...)ax()ax( n1n21

0)ax()ax(...)ax()ax( n1n21

0)ax()ax(...)ax()ax( n1n21

0)ax()ax(...)ax()ax( n1n21

โดยท n21 a...aa

ขนท 1 หาผลเฉลยของสมการ 0)ax()ax(...)ax()ax( n1n21

ผลเฉลยของสมการคอ x = n21 a,...,a,a ขนท 2 เขยนผลเฉลยลงบนเสนจ านวนทงหมด

ท าใหได n+1 ชวง คอ 1 1 2( ,a ), (a ,a ),..., n 1 n n(a ,a ), (a , )

ขนท 3 ถา x ( na ,) จะไดวา 121nn ax,ax,...,ax,ax

ดงนน 0)ax()ax(...)ax()ax( n1n21

ถา )a,a(x n1n จะไดวา 121nn ax,ax,...,ax,ax

–5

4

1 -5 3 4 2 0 -2 -4 -3 -1

an a2 an-1 a1

+

…

a2 an an-1

a1

…



ดงนน 0)ax()ax(...)ax()ax( n1n21

ถา )a,a(x 1n2n จะไดวา 122n1nn ax,ax,...,ax,ax,ax

ดงนน 0)ax()ax()ax(...)ax()ax( n1n2n21

เชนนเรอยไปถง )a ,(x 1

ขนท 4 สรปผลเฉลยของอสมการตามชวง จากอสมการทก าหนด

ตวอยาง 1.3.2 จงหาเซตผลเฉลยของอสมการ

x(x – 2) (x – 1) (x + 3) > 0

วธท า x(x – 2) (x – 1) (x + 3) = (x – 0) (x – 1) (x – 2) x – (–3)

สมการ (x – 0) (x – 1) (x – 2) x –(–3) = 0 ท าใหไดวา x = 2 หรอ x = 0 หรอ x = 1 หรอ x = –3

เซตผลเฉลยของอสมการ x(x – 2) (x – 1) (x + 3) > 0 คอ

(–, –3)( 0, 1)( 2, )

ท านองเดยวกน จะไดวา เซตผลเฉลยของอสมการ x(x – 2) (x – 1) (x + 3) 0 คอ (–, 3 0, 1 2, )

เซตผลเฉลยของอสมการ x(x – 2) (x – 1) (x + 3) < 0 คอ (–3, 0)(1, 2)

เซตผลเฉลยของอสมการ x(x – 2) (x – 1) (x + 3) 0 คอ –3, 0 1, 2

+ +

2 1 0

–

–3

– +

a2 an

a n-1 a1

- +

…

+

a 2 an

a n-1 a n-2

-

a 1 …

+



ตวอยาง 1.3.3 จงหาเซตผลเฉลยของอสมการ 0)2x()1x3(

วธท า 0)2x()1x3(

0)2x()1x3(

0)2x()1x3(

สมการ 0)2x()1x3( ท าใหไดวา x = 3

1 หรอ x = 2

เซตผลเฉลยของ 0)2x()1x3( คอ ),2()3

1,(

ดงนนเซตผลเฉลยของ (–3x + 1) (x – 2) < 0 คอ ),2()3

1,(

ตวอยาง 1.3.4 จงหาเซตผลเฉลยของอสมการ 0)3x()2x()1x( 4

วธท า ถา x 2 แลว 0)2x( 4

ดงนน ยกเวนท x = 2 แลว ผลเฉลยของ 0)3x()2x()1x( 4

จะเหมอนกบผลเฉลยของ (x – 1)( x –3 ) < 0

สมการ (x – 1)( x –3 ) = 0 ท าใหไดวา x = 1 หรอ x = 3

ดงนน เซตผลเฉลยของ 0)3x()1x( คอ (1,3) เนองจาก เมอ x = 2 แลว 0)3x()2x()1x( 4

ดงนน เซตผลเฉลยของ 0)3x()2x()1x( 4 คอ )3,2()2,1(

ตวอยาง 1.3.5 จงหาเซตผลเฉลยของอสมการ 0)3x()2x)(1x( 5

วธท า ถา x 2 แลว 0)2x( 4 ดงนน เซตผลเฉลยของ 0)3x()2x)(1x( 5

เหมอนกบเซตผลเฉลยของ 0)3x)(2x)(1x(

สมการ 0)3x)(2x)(1x( ท าใหได x = –1 หรอ x = 2 หรอ x = 3

1 3

+ – +

3

1

2

+ – +

2

+

3

–

–1

– +



เมอ x 0

เมอ x < 0

ดงนน เซตผลเฉลยของ 0)3x()2x()1x( คอ )3,2()1,(

นนคอ เซตผลเฉลยของ 0)3x()2x()1x( 5 คอ )3,2()1,(

ตวอยาง 1.3.6 จงหาเซตผลเฉลยของอสมการ 0)2x(

)4x()1x(3

วธท า ถา x = 2 แลว 3)2x(

)4x()1x(

ไมมความหมาย

ถา 2x แลว 0)2x( 4 ดงนน ยกเวนท x = 2 แลว ผลเฉลยของ 0

)2x(

)4x()1x(3

เหมอนกบผลเฉลยของ 0)4x()2x()1x( 3

ซงเหมอนกบผลเฉลยของ 0)4x()2x()1x(

สมการ 0)4x()2x()1x( ท าใหได x = –1 หรอ x = 2 หรอ x = 4

ดงนน ผลเฉลยของ 0)4x()2x()1x( คอ ]4,2[]1,(

เนองจาก 2x ดงนนเซตผลเฉลยของ 0)2x(

)4x()1x(3

คอ ]4,2(]1,(

ตอไปจะกลาวถงคาสมบรณ สมการและอสมการคาสมบรณ บทนยาม 1.3.1 ให xR คาสมบรณ (absolute value) ของ x จะเขยนแทนดวย x ซง

ก าหนดโดย

x

x

x

ขอสงเกต 1.3.1 จากบทนยาม 1.3.1 จะเหนวา 0 x เสมอ

ตวอยาง 1.3.1 44

00

3)3(3

4 –1

+

2

– – +



เมอ x 0

เมอ x < 0

ตวอยาง 1.3.2 จงหาเซตผลเฉลยของสมการ 3 x

วธท า เนองจาก

x

xx

ดงนน ถา 0x แลว x = 3

ถา x < 0 แลว –x = 3 นนคอ x = –3

ดงนน เซตผลเฉลยของ 3x คอ 3, –3

ทฤษฎบท 1.3.1 ให x และ y เปนจ านวนจรง yx กตอเมอ x = y หรอ x = –y

ตวอยาง 1.3.3 จงหาเซตผลเฉลยของสมการ 48x

วธท า 48x 48x

48x หรอ 48x

12x หรอ 4x

ดงนน เซตผลเฉลยของ 48x คอ 12, 4


วธท า เนองจาก 02x ดงนนไมมจ านวนจรง x ซง 32x

สรปไดวา เซตผลเฉลยของ 32x คอ

ทฤษฎบท 1.3.2 ให x และ y เปนจ านวนจรง

1) xx

2) 222 xxx

3) 22 yx กตอเมอ xx


วธท า 32x 22

32x

9)2x( 2

94x4x2

05x4x2

0)1x)(5x(

5x หรอ 1x

เซตผลเฉลยของ 32x คอ –5, 1



ตวอยาง 1.3.6 จงหาเซตผลเฉลยของสมการ x1x

วธท า x1x 22x1x

22 x)1x(

22 x1x2x

2

1x

ตรวจสอบ x2

1

2

11

2

11x

ดงนน เซตผลเฉลยของสมการคอ

ตวอยาง 1.3.7 จงหาเซตผลเฉลยของสมการ x1x

วธท า x1x 22 x1x

22 x)1x(

22 x1x2x

2

1x

ดงนนเซตผลเฉลยของ x1x คอ 2

1


1) yxxy

2) ถา 0y แลว y

x

y

x

ตวอยาง 1.3.8 จงหาเซตผลเฉลยของสมการ 03x2x2

วธท า 03x2x2 03x2x 2

0)1x()3x(

3x หรอ 1x

3x ( 1x ใชไมได ) 3x หรอ 3x

ดงนน เซตผลเฉลยของ 03x2x2 คอ 3, –3

ทฤษฎบท 1.3.4 ให x R และ a เปนจ านวนจรงบวก

(1) ax กตอเมอ axa

(2) ax กตอเมอ ax หรอ ax



ตวอยาง 1.3.9 จงหาเซตผลเฉลยของอสมการ 53x

วธท า 53x 53x5

8x2

ดงนนเซตผลเฉลยของ 53x คอ )8,2(

ตวอยาง 1.3.10 จงหาเซตผลเฉลยของอสมการ 53x วธท า 53x 53x หรอ 53x

8x หรอ 2x

ดงนนเซตผลเฉลยของ 53x คอ ),8()2,(


22 yx กตอเมอ yx

ตวอยาง 1.3.11 จงหาเซตผลเฉลยของอสมการ 1x35x2

วธท 1x35x2 22 )1x3()5x2(

0)5x2()1x3( 22

0)5x2()1x3()5x2()1x3(

0)4x5()6x(

จะไดวา เซตผลเฉลยของ 0)4x5()6x( คอ ),5

46,

ดงนน เซตผลเฉลยของ 1x35x2 คอ ),

5

46,(

ตวอยาง 1.3.12 จงหาเซตผลเฉลยของอสมการ x43x2

วธท า กรณท 1 ถา 0x4 แลว ไมมจ านวนจรง x ซง x43x2

กรณท 2 ถา 0x4 แลว x > 0 และจาก x43x2

จะไดวา x43x2

22 )x4()3x2(

22 )3x2()x4(0

0)3x2(x4)3x2(x4

+

5

4

–

-6

+



0)3x6()3x2(

ดงนน เซตผลเฉลยของ 0)3x6()3x2( คอ ),2

1()

2

3,(

เนองจาก 0x ดงนน เซตผลเฉลยของ x43x2 คอ ),2

1(

ตวอยาง 1.3.13 จงหาเซตผลเฉลยของอสมการ 36x

5x2

วธท า 36x

5x2

กตอเมอ 36x

5x23

กรณท 1 06x

จะไดวา )6x(35x2)6x(3

อสมการขางซาย จะไดวา 5x218x3 นนคอ x5

23

จากอสมการขางขวา จะไดวา 18x35x2 นนคอ 13 < x

สรป ในกรณน 6x และ 5

23x และ 13x

ดงนน เซตผลเฉลยในกรณน คอ ),13(

กรณท 2 06x

จะไดวา )6x(35x2)6x(3

อสมการขางซาย จะไดวา 5x218x3 นนคอ x5

23

อสมการขางขวา จะไดวา 18x35x2 นนคอ x13

สรป ในกรณน 6x และ 5

23x และ 13x

ดงนน เซตผลเฉลยในกรณท 2 คอ )5

23,(

สรปไดวา เซตผลเฉลยของ 36x

5x2

คอ )5

23,( ),13(

ตวอยาง 1.3.14 จงหาเซตผลเฉลยของอสมการ 15x0

วธท า 1) อสมการขางขวา 15x 15x1

6x4

2) อสมการขางซาย

+

2

1

–

2

3

+



05x 5x

ดงนน เซตผลเฉลยคอ )6,4(x และ 5x

นนคอ เซตผลเฉลยของ 15x0 คอ )6,5()5,4(

ตวอยาง 1.3.15 ให x 4,4 จงหาจ านวนจรง M ซง M3x3

วธท า 3x3x 33

3x 3

343

67

ดงนนจ านวนจรงบวก M ตวหนงคอ 67


1. จงหาเซตผลเฉลยของอสมการ

1.1 0)4x()3x( 1.2 0)7x()1x(

1.3 0)1x3()2x3( 1.4 0)5x()3x2(

1.5 0)4x()1x2( 1.6 0)8x()1x2()1x3(

1.7 0)8x2()1x()1x4( 1.8 0)5x()3x()2x( 6

1.9 08x)5x()3x( 4 1.10 07x5x)4x()1x( 3

2. จงหาเซตผลเฉลยของสมการและอสมการคาสมบรณตอไปน 2.1 37x 2.2 41x2

2.3) 3x1x2 2.4 12x2

2x

2.5) 1x321x 2.6) 3x212x

2.7) 24x 2.8) 24x

2.9) 1x21x2 2.10) 3x23x2



1.4 ฟงกชนและกราฟ

กอตตฟรด วลเฮลม ฟอน ไลบนซ (Gottfried Wilhelm von

Leibniz, พ.ศ. 2189,ไลปซก, เยอรมน) ไดใหความหมายของฟงกชนเพออธบายปรมาณทเกยวของกบเสนโคง เชน ความชนของเสนโคง หรอจดบนเสนโคง ฟงกชนไมไดจ ากดอยแคการค านวณดวยตวเลข แตฟงกชนเชอมโยงเซตของสงน าเขากบเซตของผลลพธทเปนไปได ฟงกชนจงเปนพนฐานของทกสาขาในคณตศาสตร

1.4.1 ความสมพนธและฟงกชน

บทนยาม 1.4.1 ให A และ B เปนเซตทไมใชเซตวาง ผลคณคารทเซยน (cartesian product) ระหวาง A และ B เขยนแทนดวย A B ก าหนดโดย A B {(a,b) | a A,b B}

เรยก (a ,b) วา คอนดบ (order pairs) โดยม a และ b เปนพกด (coordinates) และ (a,b) (c,d) กตอเมอ a c และ b = d

ตวอยาง 1.4.1 ให A = { 2, 4 } , B = { 3, 4, 6 }

จะไดวา A B = { (2, 3), (2, 4), (2, 6), (4, 3), (4, 4), (4, 6) }

B A = { (3, 2), (3, 4), (4, 2), (4, 4), (6, 2), (6, 4) }

A A = { (2, 2), (2, 4), (4, 2), (4, 4) }

ตวอยาง 1.4.2 ระนาบคารทเซยน คอ ระนาบผลคณคารทเซยนของ R R โดยท R R = R

2 = {(x ,y) x , y R}

บทนยาม 1.4.2 r เปนความสมพนธ (relations) จาก A ไป B กตอเมอ r AB และ r

หมายเหต 1.4.1 1) (x ,y) r หมายถง x มความสมพนธ r กบ y

2) ความสมพนธจาก A ไป A จะเรยกวา ความสมพนธใน A

ตวอยาง 1.4.3 ในตวอยาง 1.4.1 พจารณาความสมพนธ ตอไปน 1) ให r1 = { (2,3) , (2,6) , (4,4) } และ r2 = { (4,4) }

จะไดวา r1, r2 เปนความสมพนธจาก A ไป B และ r2 เปนความสมพนธใน A



2) ให r4 เปนความสมพนธ “นอยกวา” จาก A ไป B

ดงนน r4 = { ( 2,3) , (2,4) , (2,6) , (4,6) }

3) ให r5 เปนความสมพนธ “เปนรากทสอง” จาก A ไป B

ดงนน 5r {(2,4)}

บทนยาม 1.4.3 ฟงกชน (functions or mappings) f คอความสมพนธ ซง

ถา (x, y1) f และ (x, y2)f แลว y1 = y2

นนคอ ความสมพนธ f เปนฟงกชน ถาสองคอนดบใด ๆ มสมาชกตวแรกเทากน แลวสมาชกตวหลงตองไมตางกน

ตวอยาง 1.4.4 ให f = {(2,4), (–2,4), (0,0), (1,1)} และ g = {(1,2), (4,2), (1,3)} จะไดวา f เปนฟงกชน และเนองจาก (1,2) g และ (1,3) g แต 2 3 ดงนน g ไมเปนฟงกชน

บทนยาม 1.4.4 ให f เปนฟงกชน จะไดวา โดเมน (domain) ของ f เขยนแทนดวย Df = { x (x, y) f ส าหรบบาง y } และ

เรนจ (range) ของ f เขยนแทนดวย Rf = { y (x, y) f ส าหรบบาง x }

ตวอยาง 1.4.5 1) ให f = { (1, 1), (2, 4), (3, 9), (4, 16) }

ดงนน Df = { 1, 2, 3, 4 } และ Rf = { 1, 4, 9,16 }

2) ให g = { (x, y) R x R y = 1x

2} ดงนน Dg = R และ Rg = R

3) ให h = { (x, y) R x R y = x2 } ดงนน Dh = R และ Rh = R

+ { 0 }

ตวอยาง 1.4.6 ให f = { (x, y) R x R y = 1

x 5 }

พจารณา Df เนองจาก y = 1

x 5 จะหาคาได เมอ x + 5 0 นนคอ x –5

ดงนน Df = { xR x – 5 } = R – {–5 }

พจารณา Rf เนองจาก 1

x 5y

จะหาคาได เมอ y 0

ดงนน Rf = { yR y 0 } = R – {0}



บทนยาม 1.4.5 f เปนฟงกชนจากเซต A ไปเซต B เขยนแทนดวย f : A B

กตอเมอ f เปนฟงกชน และ Df = A , Rf B

นนคอ f : A B กตอเมอ Df = A และ ถา (x, y1)f (x, y2) f แลว y1 = y2

จากบทนยามท าใหเราสามารถการตรวจสอบความสมพนธทจะเปนฟงกชนได ดงน 1) ความสมพนธทสมาชกตวหนาของแตละคอนดบไมเหมอนกนเลย เปนฟงกชน

2 ) ความสมพนธซงเขยนแบบบอกเงอนไข อาจใชวธการพจารณาจากบทนยาม หรอวธการเขยนกราฟ

ตวอยาง 1.4.7 จงแสดงวาความสมพนธ f = {(x, y) | x ,y R y = 2x + 3 } เปนฟงกชน

จาก R ไป R วธท า วธท 1 จะแสดงโดยใชบทนยาม 1.4.5

1) ให x R จะไดวา 2x R

และ 3 R จะไดวา 2x + 3 R หรอ

y = 2x + 3 ส าหรบบางคา yR

ดงนน Df = R

2) ให (x, y1 ) f (x, y2) f จะไดวา y1 = 2x + 3 y2 = 2x + 3

ดงนน y1 = y2

จาก 1) และ 2) สรปไดวา f เปนฟงกชนจาก R ไป R หรอ f : R R

วธท 2 จะแสดงโดยเขยนกราฟความสมพนธ f ดงน

จะเหนวา Df = R และพจารณาพกด (x, y) ทอยบนกราฟของ f จะไดวา x จบคกบ y เพยงคาเดยวเทานน (ลากเสนตรงขนานแกน Y ตดกราฟไดไมเกนหนงจด) ดงนน f เปนฟงกชน

2 0 X

Y y

= 2x +3

2

-2

-2



หมายเหต 1.4.2 1) ถา y = f(x) เปนฟงกชนจาก A ไป B เราจะเรยก f(x) วา ภาพ (image) ของ x ภายใต f

2) ถา y = f(x) เปนฟงกชนจาก R ไป R แลวเราจะเรยก x วา ตวแปรอสระ (independent

variable) และเรยก y วา ตวแปรตาม (dependent variable)

ตวอยาง 1.4.8 ความสมพนธ g = {(x, y) | x, y R, y2 = x } เปนฟงกชนจาก R ไป R หรอไม

วธท า วธท 1 จะแสดงโดยใชบทนยาม 1.4.5

ให (x, y1 ) g (x, y2) g จะไดวา y1

2 = x y2

2 = x

ดงนน y1

2 = y2

2

แต y1 y2 ( เชน (1)2 = (–1)

2 แต 1 -1 )

จะไดวา g ไมเปนฟงกชน

ดงนน g ไมเปนฟงกชนจาก R ไป R

วธท 2 จะแสดงโดยเขยนกราฟความสมพนธ g ดงน จะเหนวา 1) Dg = R

+ { 0 } R

2) เนองจาก (1,1) g (1, –1) g แต 1 –1 ( ลากเสนตรงขนานแกน Y ตดกราฟไดเกนหนงจด ) จาก 1) และ 2) สรปไดวา g ไมเปนฟงกชนจาก R

ไป R

ตวอยาง 1.4.9 ให A = { a, b, c, d } , B = { x, y, w } และ h = {(a, y), (b, y), (d, x)}

จะเหนวา Dh A ดงนน h ไมเปนฟงกชนจาก A ไป B

แบบฝกหด 1.4 ก

1. ให A = { 1 , 2 , 3 } และ B = { a , b } จงหา A B และ B A

2. ส าหรบแตละขอตอไปน จงหาคา x และ y

2.1 ( x + 2 , 3 ) = ( 5 , y – 1 ) 2.2 ( x + y , 1) = ( 3 , x – y )

2 4 0 X

Y

y2 = x

2

–2



2.3 ( x , 2 ) ( x , y ) 3. ให A และ B ไมเปนเซตวาง แลว จงใหเงอนไขท A B = B A

4. ให A = { 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } จงเขยนความสมพนธใน A ตอไปน 4.1 r1 เปนความสมพนธสองเทาใน A 4.2 r2 เปนความสมพนธหารลงตวใน A

4.3 r3 เปนความสมพนธ a – b หารดวย 2 ลงตวใน A

5. ความสมพนธตอไปนเปนฟงกชน หรอไม พรอมบอกเหตผล

5.1 { (1 , a) , (2 , b) ,(3 , b) , (5 , c) } 5.2 { (1 , a) , (2 , b) ,(3 , c) , (4 , d) ,(4 , c) }

5.3 { (1 , a) , (2 , a) ,(3 , a) , (4 , a) } 5.4 { (x , y)A×A y x } ; A = { 1 , 2 , 3 }

5.5 { (x , y)B×B y = x – 2 } ; B = { –2 , –1 , 0 , 1 , 2 } 5.6 { (x , y)x = 3 }

5.7 { (x , y) y = –2 } 5.8 { (x , y) y = x }

6. ให A = {1, 2, 3, 4, 5} และ B = { a, b, c, d, e } แลวขอใดตอไปน เปนฟงกชนจาก A ไป B

6.1 f = { (a,1), (2,b), (3,b), (5,e) } 6.2 g = { (2,a), (3,a), (1,a), (5,a), (4,a) }

6.3 h = { (1,e), (5,d), (3,a), (2,b), (1,d), (4,a) } 6.4 j = { (1,a), (2,b), (3,c), (4,a), (4,e) }

6.5 k = { (5,a), (1,e), (4,b), (3,e), (2,d) }

7. ให U = {0 ,1 ,2, 3, 4 , 5} และใหฟงกชนทก าหนดใหตอไปนเปนเซตยอยของ U U

จงเขยนกราฟพรอมทงหาโดเมนและเรนจของฟงกชน

7.1 f(x) = 2x – 3 7.3 y = 2x2

7.2 f(x) = 2x 7.4 f = { (x ,y) | x2 + y

2 = 25 }

8. ถา h(x) = x2 – 6 และโดเมนของ h คอ { x | – 4 < x < 3} จงหาเรนจของ h

9. ความสมพนธตอไปนเปนฟงกชนจาก R ไป R หรอไม พรอมทงหาเรนจ 9.1 { (x,y) RR y = 3x } 9.2 { (x,y) RR y = x}

9.3 { (x,y) RR y = x5

3

} 9.4 { (x,y) RR y = x

2+1 }

9.5 { (x,y) RR x2+ y

2 = 4 } 9.6 { (x,y) RR y = 3x+2 }

9.7 { (x,y) RR y = x } 9.8 { (x,y) RR y = x

1 }



1.4.2 ชนดของฟงกชน

จากตวอยางของฟงกชนในหวขอ 1.4.1 ขางตน ถา f เปนฟงกชนจาก A ไป B แลว f จะมลกษณะแตกตางกนหลายลกษณะ เชน Rf = B หรอ Rf ≠ B กได หรออาจมสมาชก x1 , x2 A

โดยท x1 x2 แต f(x1) = f(x2) ดงนน จงจ าแนกฟงกชนตามลกษณะทแตกตางกน ดงน

บทนยาม 1.4.6 f : A B เปนฟงกชนหนงตอหนง (injective function) เขยนแทนดวย

f : A 1 1 B กตอเมอ ถา (x1, y) f (x2, y) f แลว x1 = x2

รป 1.1 แสดง f : A 1 1B

จากรป 1.1 จะเหนวา เรนจใน Rf เกดจากคาของสมาชกในเซต A เพยงคาเดยว และ Rf B

รป 1.2 แสดง g : AB แตไมเปนฟงกชน 1–1

จากรป 1.2 จะเหนวา มเรนจใน Rf เพยงคาเดยว เกดจากคาของสมาชกในเซต A หลายคา ดงนน g จงไมเปนฟงกชน 1–1

ตวอยาง 1.4.10 ให A = { 1, 3, 5 } , B = { 2, 4, 6 } และ f = { (1, 4), (3, 2), (5, 6) }, g = { (1, 2), (3, 4), (5, 4) }

จะไดวา f เปนฟงกชน 1–1 จาก A ไป B

พจารณา g เนองจาก (3, 4), (5, 4) g แต 3 5

ดงนน g ไมเปนฟงกชน 1–1

A

B

f

A B

g



ตวอยาง 1.4.11 จงแสดงวา f = {(x, y)R x R y = x – 3 }เปนฟงกชน 1 – 1 จาก Rไป R

วธท า 1) จะแสดงวา Df = R

ให xR เนองจาก –3R จะไดวา x – 3R

ดงนน y = x – 3 ส าหรบบางคา y R

นนคอ Df = R

2) จะแสดงวา f เปนฟงกชน

ให (x, y1 ) f (x, y2) f จะไดวา y1 = x - 3 y2 = x – 3

หรอ y1 = x y2 = x


3) จะแสดงวา f เปนฟงกชน 1–1

คอจะแสดงวา ถา (x1, y)f (x2, y)f แลว x1 = x2

ให (x1, y)f (x2, y)f

ดงนน y = x1 – 3 y = x2 – 3

จะไดวา x1 – 3 = x2 – 3

ดงนน x1 = x2

จาก 1) - 3) สรปไดวา f : R 1 1 R

จากตวอยาง 1.4.11 การแสดงวาความสมพนธ f ไมเปนฟงกชน 1–1 จาก R ไป R เพยงแสดงวาไมสอดคลองขอใดขอหนงใน 1) - 3)

ตวอยาง 1.4.12 ให g = { (x, y)R x R y = x 2 –3}แลว g เปนฟงกชนหนงตอหนงหรอไม

หมายเหต 1.4.2 การตรวจสอบวา f เปนฟงกชน 1–1 นน อาจเขยนกราฟของฟงกชน f แลว

ลากเสนตรงใด ๆ ขนานแกน X ถาตดกราฟไดไมเกนหนงจด แสดงวา f เปนฟงกชน 1–1

Y

2 0 X

y = x2–3

2

–2

พจารณา ให (x1, y)g (x2, y)g

จะไดวำ y = (x1)2–3 y = (x2)2 –3 ดงนน (x1)2–3 = (x2)2 –3

หรอ (x1)2 = (x2)2

แต x1

x2

นนคอ g ไมเปน g : R 1 1 R



บทนยาม 1.4.7 ให f : A B แลว f เปนฟงกชนทวถง (surjective function) เขยนแทนดวย

f : A ทวถง B กตอเมอ Rf = B

นนคอ ส าหรบทกคา yB จะมบางคา xA โดยท (x, y) f หรอ y = f(x)

รป 1.3 แสดง g : A ทวถง B

จากรป 1.3 จะเหนวา g : A ทวถง B จะไดวา Rg = B หรอ ทกสมาชกของ B เปนคาของ

ฟงกชน g ของบางสมาชกใน A เสมอ หรอ yB, xA , (x, y) g หรอ y = g(x)

ตวอยาง 1.4.13 ในตวอยาง 1.4.10 เนองจาก Rg B ดงนน g ไมเปนฟงกชนทวถงจาก A ไป B

ตวอยาง 1.4.14 จงแสดงวา f = {(x, y)R x R y = x – 3 } เปนฟงกชนทวถง

วธท า ในตวอยาง 1.4.11 ขอ 1) - 2) จะไดวา f เปนฟงกชนจาก R ไป R ตอไปจะแสดงวา f เปนฟงกชนทวถง คอ จะแสดงวา Rf = R หรอ y R, x R ,(x, y)f

ให y R เนองจาก –3 R จะไดวา y + 3R

ให x = y + 3 หรอ y = x – 3 ส าหรบบางคา xR

ดงนน Rf = R

นนคอ f : R ทวถง R

g

A

B



บทนยาม 1.4.8 ให f : A B ถา f เปนฟงกชนหนงตอหนงและฟงกชนทวถงแลว จะเรยกวา f

เปน ฟงกชนหนงตอหนงทวถง (bijective function) เขยนแทนดวย f : A 11

ทวถง

B

รป 1.4 h : A B ฟงกชน 1-1 และฟงกชนทวถง

ในรป 1.4 จะเหนวา h : A11

ทวถง

B หรอ h เปนฟงกชนหนงตอหนงทวถง จาก A ไป B

ตวอยาง 1.4.15 ให A = { a, b, c, d } , B = { 1, 3, 5, 7 } , C = { 1, 3, 5 } และ

f = { (a, 3), (b, 5), (c, 1), (d, 5) } , g = { (a, 1), (b, 5), (c, 3), (d, 7) }

จะเหนวา f เปนฟงกชนจาก A ไป B หรอ f : A B

f เปนฟงกชนทวถงจาก A ไป C หรอ f : A ทวถง C

และ g เปนฟงกชนหนงตอหนงทวถงจาก A ไป B หรอ g : A 11

ทวถง

B

ตวอยาง 1.4.16 ให f = {(x, y) | x ,y R y = 2x + 3 } แลว f เปนฟงกชนชนดใด

วธท า 1) ให x R จะไดวา 2x R และ 3 R จะไดวา 2x + 3 R หรอ y = 2x + 3 ส าหรบบางคา y R

ดงนน Df = R

2) ให (x, y1 ) f (x, y2) f จะไดวา y1 = 2x + 3 y2 = 2x + 3


จาก 1) และ 2) สรปไดวา f : R R

3) จะแสดงวา f เปนฟงกชน 1–1 จะตองแสดงวา ถา (x1, y)f (x2, y)f แลว x1 = x2

ให (x1, y)f (x2, y)f

จะไดวา y = 2x1 + 3 y = 2x2 + 3

A B

h



2x1 + 3 = 2x2 + 3

ดงนน x1 = x2

นนคอ f : R 11

R

4) จะแสดงวา f เปนฟงกชนทวถง จะตองแสดงวา Rf = R หรอ ส าหรบทกคา yR จะมบางคา xR โดยท (x, y)f หรอ y = f(x)

ให yR

เนองจาก –3 R จะไดวา y + (–3)R และ

เนองจาก 2

1 R จะไดวา 2

1 ( y + (–3) ) R

หรอ 2

3-y R หรอ x = 2

3-y ส าหรบบางคา xR

จะไดวา y = 2x + 3

ดงนน Rf = R

นนคอ f : R ทวถง R

จาก 1) - 4) สรปไดวา f : R 11

ทวถง

R

ตวอยาง 1.4.17 ให g = { (x, y) | x ,y R y = sin x } แลว g เปนฟงกชนชนดใด

วธท า 1) ให x R จะไดวา sin x R หรอ y = sin x ส าหรบบางคา yR

ดงนน Dg = R

2) ให (x, y1)g (x, y2)g

จะไดวา y1 = sin x y2 = sin x


จาก 1) และ 2) จะไดวา g : R R

3) ให (x1, y)g (x2, y)g

จะไดวา y = sin x1 y = sin x2

ดงนน sin x1 = sin x2

แต x1 x2

ดงนน g ไมเปนฟงกชน 1–1

4) เนองจาก ส าหรบทกคา xR จะไดวา –1 sin x 1 , y = sin x

ดงนน Rg = { y y R –1 y 1 } = [–1, 1] R



หรอ Rg R

นนคอ g ไมเปนฟงกชนทวถง

จาก 1) - 4) สรปไดวา g : R R

แบบฝกหด 1.4 ข

1. จงตรวจสอบวาฟงกชนในขอใดเปนฟงกชน 1 – 1

1.1 { (x,y) RR y = 2x + 5 } 1.2 { (x,y) RR y = x2 + x }

1.3 { (x,y) RR y = x } 1.4 { (x,y) RR y = ex }

1.5 { (x,y) RR y = sin x , 0 x } 1.6 { (x,y) RR y = x

1 }

1.7 { (x,y) RR y = 3

x

1 }

2. ให A = {a , b , c } , B = {b , c , d} และ

f1 = { (a, c) , (b, d) , (c, c)} f5 = {(a, b) , (b, c), (c, d)}

f2 = { (a, d) , (b, b) , (c, c)} f6 = {(a, c) , (b, c) , (c, c)}

f3 = { (b, a) , (c, c) , (d, a)} f7 = {(b, b) , (c, c) , (d, a)}

f4 = {(a, b) , (c, c) , (b, c)}

จงพจารณาฟงกชนทก าหนดใหวามฟงกชนใดบางทเปน

2.1 ฟงกชนจาก A ไป B 2.5 ฟงกชนจาก A ไป A

2.2 ฟงกชนจาก A ไปทวถง B 2.6 ฟงกชน 1–1

2.3 ฟงกชนจาก B ไป A 2.7 ฟงกชนจาก B ไปทวถง A

2.4 ฟงกชนจาก B ไปทวถง B 2.8 ฟงกชน 1–1 ทวถง

3. ให A = { 2,4 } จงยกตวอยางฟงกชนหนงตอหนงจาก A ทวถง A

4. จงแสดงวาฟงกชน f = { (x, y) R x R y = x2 } ไมเปน f : R

11

ทวถง

R



1.4.3 ฟงกชนผกผน บทนยาม 1.4.9 ความสมพนธผกผนของฟงกชน f เขยนแทนดวย f -1

และจะเรยก f -1 วา ฟงกชนผกผน (inverse function) ของ f ถา f -1 เปนฟงกชน

จากบทนยามนจะไดวา (y, x) f -1 (x, y) f

ตวอยาง 1.4.18 ใหฟงกชน g = { (2, 3), (4, 5), (6, 7), (8, 3) }

ดงนน g -1 = { (3, 2), (5, 4), (7, 6), (3, 8) } เปนความสมพนธผกผนของ g

ตวอยาง 1.4.19 ให f = { (x, y) RR y = 2x – 6 }

ดงนน f -1 = { (y, x) RR y = 2x – 6 }

หรอ f -1 = { (x, y) RR x = 2y – 6 }

หรอ f -1 = { (x, y) RR y =

2

6x }

เขยนกราฟแสดงความสมพนธระหวาง f และ f -1 ไดดงน

หมายเหต 2.3.1 กราฟของความสมพนธ f และ f -1 จะมรปกราฟสมมาตรกน

โดยมเสน y = x เปนแกนสมมาตร

ทฤษฎบท 1.4.1 ให f เปนความสมพนธ จะไดวา 1fD = Rf , 1f

R = Dr และ (f -1

)-1 = r

f

f-1

X

Y

y = x



เนองจาก f : A B เปนความสมพนธ ดงนน f -1 เปนความสมพนธผกผนของ f

และจะไดวา Rf B แตเนองจาก 1fD = Rf ดงนน f -1 จงไมเปนฟงกชน

และตอไปนเราจะพจารณาสมบตของ f ทท าให f -1 เปนฟงกชน

พจารณาแผนภาพ

จะไดวา f เปนฟงกชน แต f -1 ไมเปนฟงกชน

จะไดวา g เปนฟงกชน และ g-1 เปนฟงกชนผกผน

ตวอยาง 1.4.20 ให f เปนฟงกชน โดยท f(x) = 1x3 จงหา f -1

และพจารณาวา f -1 เปนฟงกชนผกผนหรอไม

พจารณา f -1 เนองจาก 1x)x(fy 3 จะไดวา 3 1yx

นนคอ f -1 = {(y, x) 3 1yx }

หรอ f -1 = {(x, y) 3 1xy } เปนฟงกชนผกผน

โดยทวไป จะเขยนเปน f -1(x) = 3 x 1

และเขยนกราฟไดดงน

1

3

5

a

b

a

b

1

3

5

f f -1

1

3

5

a

b

c

a

b

c

1

3

5

g g-1



ทฤษฎบท 1.4.2 ถา f เปนฟงกชน 1 – 1 จะไดวา f -1 เปนฟงกชน

พสจน ให (x, y1) f -1 (x, y2) f

-1 จะไดวา (y1, x)f (y2, x)f (บทนยาม 2.3.1)

ดงนน y1 = y2 ( f เปนฟงกชน 1–1)

นนคอ f –1 เปนฟงกชน

ทฤษฎบท 1.4.3 ถา f : A 11

B แลว f -1 : Rf 11

ทวถง

A

ทฤษฎบท 1.4.4 ถา f : A 11

ทวถง

B แลว f

-1 : B 11

ทวถง

A

ถา f ไมเปนฟงกชน 1–1 แลว f-1 เปนความสมพนธจาก B ไป A แตไมเปนฟงกชน

แบบฝกหด 1.4 ค

1. จงหาความสมพนธผกผนของฟงกชนเหลาน พรอมตรวจสอบวาเปนฟงกชนผกผนหรอไม 1.1 { (1,1),(1,2),(3,2),(2,4) } 1.2 { (x,y) RR y = x+1 }

1.3 { (x,y) RR y = sin x } 1.4 { (x,y) RR y = 2x – 1 }

1.5 { (x,y) RR y = 2x

1

} 1.6 { (x,y) RR y = x

2 }

2. จงเขยนกราฟของความสมพนธผกผนของฟงกชนในขอ 1. 3. จงพสจนทฤษฎบท 1.4.1

Y

0

1

-1 1

2

2 -2 -1

y = x

1f

f

X



4. จงพสจนทฤษฎบท 1.4.3

5. จงพสจนทฤษฎบท 1.4.4

1.5 พชคณตของฟงกชน

พชคณตของฟงกชนเปนการสรางฟงกชนใหมโดยการบวก ลบ คณ และหาร ของสองฟงกชน ซงก าหนดดงน

บทนยาม 1.5.1 ให f และ g เปนฟงกชนจากเซตยอยของ R ไป R

(1) ผลบวกของ f และ g เขยนแทนดวย f + g

คอฟงกชน (f + g)(x) = f(x) + g(x) โดยท Df+g = Df Dg

(2) ผลตางของ f และ g เขยนแทนดวย f – g

คอฟงกชน (f – g)(x) = f(x) – g(x) โดยท Df-g = Df Dg

(3) ผลคณของ f และ g เขยนแทนดวย gf

คอฟงกชน (fg)(x) = )x(g)x(f โดยท Dfg = Df Dg

(4) ผลหารของ f และ g เขยนแทนดวย g

f

คอฟงกชนซง g

f(x) =

)x(g

)x(f โดยท D

g

f = Df Dg – { x g(x) = 0}

ตวอยาง 1.5.1 ให f และ g เปนฟงกชนจากเซตยอยของ R ไป R โดยท f = { (2, 4), (1, 1), (3, 4) } และ g = { (1 ,5), (2, 4), (3, 5) } จงหา f+g , f–g, fg และ

g

f

วธท า เนองจาก Df Dg = { 1, 2, 3 } และ g(x) 0 , x = 1, 2, 3 ดงนน f+g = {(1 ,6), (2, 8), (3, 9) }

f-g = {(1 , – 4), (2, 0), (3, –1) }

fg = {(1 ,5), (2, 16), (3, 20) }

g

f = {(1 ,

5

1), (2, 1), (3,

5

4) }

ตวอยาง 1.5.2 ให f(x) = x – 1 โดยท x 1

และ g(x) = 5x2 โดยท x 5

จะไดวา (f + g)(x) = 5x2+ x – 1 โดยท x 5



(f – g)(x) = –5x2+ x – 1 โดยท x 5

(fg)(x) = 5x2(x– 1) โดยท x 5

)x(g

f =

2x5

1x โดยท x 5 และ x 0

ตอไปเปนบทนยามเกยวกบฟงกชนประกอบ (composite functions) ดงน

บทนยาม 1.5.2 ให f : A B และ g : B C จะไดวา ฟงกชนประกอบ ของ f และ g คอ

g๐f = { (x, z) yB, (x, y)f (y, z)g }

หรอ g๐f (x) = g(f(x)) โดยท Dg๐f = { x xDf และ f(x) = Dg}

หมายเหต 1.5.1 1) g๐f (อานวา จโอเอฟ) เปนฟงกชนจาก Df ไป Rg

2) ส าหรบ (x, y)f และ (y, z)g อาจเขยน y = f(x) และ z = g(y) = g(f(x))

พจารณาแผนภาพ

3) จะเหนวา g๐f(x) หาคาได กตอเมอ f gR D

ตวอยาง 1.5.3 ให A = { 1, 2, 3 } , B = { a, b, c, d } และ C = { 1, 2, 4, 5 }

f = { (2, a), (1, c), (3, d) } และ g = { (a ,5), (b, 4), (c, 2), (d, 1) }

จงหา g๐f และ f๐g

วธท า Df = { 1, 2, 3 } = A , Dg = { a, b, c, d } = B

Rf = { a, c, d } , Rg = { 1, 2, 4, 5 }

(1) หา g๐f

จะเหนวา f : A B และ g : B C และ Rf Dg

ซง g๐f(2) = g(f(2)) = g(a) = 5 หรอ (2, 5) g๐f

g๐f(1) = g(f(1)) = g(c) = 2 หรอ (1, 2) g๐f

x y = f(x) z = g(y) = g(f(x))

g๐f

f g A B C



และ g๐f(3) = g(f(3)) = g(d) = 1 หรอ (3, 1) g๐f

ดงนน g๐f = { (2, 5), (1, 2), (3, 1) }

(2) หา f๐g

เนองจาก Rg Df ดงนน ไมม f๐g

ตวอยาง 1.5.4 ให f, g และ h เปนฟงกชนจาก R ไป R ดงน f(x) = x – 1 , g(x) = x

2 และ h(x) = x

จงหา g๐f(x) , h๐f(x), f๐g(x), g๐h(x) และ f๐h(x)

วธท า เนองจาก Df = R , Dg = R , Dh = R+ {0}

Rf = R , Rg = R+ {0} , Rh = R

+ {0}

(1) พจารณา g๐f(x)

เนองจาก Rf Dg จะไดวา g๐f (x) = g(f(x)) = g(x–1) = (x–1)2

(2) พจารณา h๐f(x)

เนองจาก Rf Dh ดงนน ไมม h๐f(x)

ตอไปจะกลาวถงฟงกชนทเทากน ซงจะใหความหมายการเทากนในบทนยามดงน

บทนยาม 1.5.3 ให f และ g เปนฟงกชน จะไดวา f = g กตอเมอ Df = Dg และ f(x) = g(x) ส าหรบทก ๆ x Df

ตวอยาง 1.5.5 พจารณาวาฟงกชน f และ g ตอไปนเทากนหรอไม 1) ให

2x

4xxg , 2xxf

2

จะไดวา 2x , 2x

2x

2x2xxg

และ 2DD fg ดงนน g fD D

นนคอ gf

2) ให 3xxf และ

2

1x,

2

5

2

1x,

1x2

3x7x2

xg

2

จะเหนวา Df = Dg = R และ xgxf ทกคา x R

ดงนน gf



นอกจากนยงมบางฟงกชนทเราควรรจก เชน ฟงกชนเพม ฟงกชนลด ฟงกชนค ฟงกชนค ดงน

บทนยาม 1.5.4 ให f เปนฟงกชน และ a, b R f เปนฟงกชนเพม ( increasing function) ในชวง A = [a, b] กตอเมอ

ถา (x1 , y1), (x2 , y2)f และ x1 x2 แลว y1 y2 และ

f เปนฟงกชนลด ( decreasing function ) ในชวง A = [a, b] กตอเมอ ถา (x1 , y1), (x2 , y2)f และ x1 x2 แลว y1 y2

บทนยาม 1.5.5 ให f เปนฟงกชน

(1) ถา f(–x) = – f(x) แลวจะเรยก f วาเปนฟงกชนค (odd function) และ

(2) ถา f(–x) = f(x) แลวจะเรยก f วาเปนฟงกชนค (even function )

ตวอยาง 1.5.6 ฟงกชนตอไปนเปนฟงกชนคหรอฟงกชนค 1) f(x) = x

3

พจารณา f(–x) = (–x)3 = (–x)( –x)( –x) = – x

3

– f(x) = – (x3) = – [(x)(x)(x)] = – x

3

ดงนน f(–x) = – f(x)

นนคอ f เปนฟงกชนค ซงมกราฟดงรป

X

Y f

x1

y1

y2

x1 x2

y1 y2 x

Y

f

x1 x2

x1 x2

y2

y1 y1 y2 x2

f เปนฟงกชนเพม f เปนฟงกชนลด

X

O X

Y

(1,1)

(–1, –1)



2) f(x) = 3x2– 1

เนองจาก f(–x) = 3(–x)2 – 1 = 3x

2 – 1 = f(x)

ดงนน f เปนฟงกชนค ซงมกราฟดงรป

สงเกตวา กราฟของฟงกชนคจะสมมาตรกบจดก าเนดและกราฟของฟงกชนคจะ

สมมาตรกบแกน Y


1. ให 1x2xf และ 2xxg จงหา g๐f(x) และ f๐g(x) และ g๐f

-1(x)

2. จงหา f๐ f -1(x) , g๐ g

-1(x), f๐ g

-1(x) และ g๐ f

-1(x) ในตวอยาง 1.5.3

3. จงหา f๐g(x) , g๐h(x), f๐h(x) และ g๐f -1

(x) ในตวอยาง 1.5.4

4. ให f {(2,2),(1,3),(3,5)} และ g {(2,1),(1, 4),(4,5)} จงหา f(f g), (f g), (fg), ( )

g

5. ให f x x 1 และ 4g x

x จงหา f

(f g)(x), (f g)(x), (f .g)(x), ( )(x)g

6. ถา f = { ( x, y) R R | y = x3 + 4x –3 } แลว

6.1 f(3 + 2) = f(3) + f(2) หรอไม 6.2 f(32) = f(3) f(2) หรอไม

7. จงแสดงวา 2xxf และ

2x เมอ 2x

4x

2 x เมอ 4

g(x) 2

เปนฟงกชนทเทากน

8. ฟงกชนตอไปนไมเทากนทจดใดบาง

8.1 3x

1x)x(f

2

, 3xxg 8.2 2x

3xxxf

2

, 1xxg

8.3 2x)x(f , xxg

9. ถา f(x) = x2 + 3x – 5 จงหาคาของ f(0) , f(–1) , f(3) , f(a) , f(a + b) , f(x + b)

และ f (x h) f (x)

h

เมอ h 0

10. จงแสดงวาฟงกชนเอกลกษณ iA : AA นยามโดย iA(x) = x , xA เปนฟงกชนหนงตอหนงทวถง

X O

(1,2) (–1,2)

(0, –1)

Y



11. จงตรวจสอบวาฟงกชนตอไปนเปนฟงกชนเพมหรอลดในเซตทก าหนด

11.1 f(x) = 2x2 + 1 , A = [–2, 2] 11.2 f(x) = 4 – x , A = R

11.3 f(x) = 2 – x2 , A = R 11.4 f(x) = –3x + 7 , R

+

11.5 f(x) = –x2 + 5 , (– , 0 ) 11.6 f(x) = | x | , [–2 , 2 ]

11.7 f(x) = x2 + 1 , R

2

12. ฟงกชนตอไปนเปนฟงกชนคหรอฟงกชนค 12.1 f(x) = – x

2 12.2 g(x) =

2x

1 12.3 h(x) = – x + 3

เอกสารอางอง

สเทพ จนทรสมศกด. (2521). ฟงกชน. กรงเทพฯ: อกษรพทยำ. -----------. (2523). ทฤษฎเซตเบองตน. กรงเทพฯ: อกษรเจรญทศน. -----------. (2516). ระบบจ านวน. กรงเทพฯ: ศกษำสมพนธ. อำภรณรตน สำรทศนำนนท. (2543). หลกการคณตศาสตร. ภำควชำคณตศำสตร

สถำบนรำชภฏเลย.

Mendelson, E. (1979). Introduction to Mathematical Logic. New York. D. Vannostrand

Company.

Roethel, L. F. & Weinstein, A. (1976). Logic, Sets & Numbers. California: Wadsworth

Publishing Company.

Stoll, R. R. (1976). Set Theory and Logic. New Delhi: Publishing House PVT.



1. ลมตของฟงกชน

2. ทฤษฎบทของลมต 3. ลมตทคาอนนต 4. ลมตคาอนนต

5. ความตอเนองของฟงกชน


เมอศกษาจบบทท 2 แลวผศกษาสามารถ

1. บอกบทนยามลมต ลมตทางเดยว ลมตทคาอนนต ลมตคาอนนต ความตอเนองได 2. หา โดยใชบทนยามลมตได เมอก าหนด และลมตของฟงกชนให 3. พสจนลมตโดยใชบทนยามลมตของฟงกชนได 4. หาลมตและความตอเนองของฟงกชนทก าหนดใหได 5. น าทฤษฎบทลมตไปหาลมตของฟงกชนทก าหนดใหได


1. ใหนกศกษา ศกษาคนจากเอกสารค าสอน และต าราทเกยวของ

2. แบงกลมศกษาเนอหาลมตและความตอเนองของฟงกชน แลวเสนอรายงานและ

รวมกนอภปราย

3. บรรยายสรปผานเครองฉายทบแสง Word หรอ Power Point

4. ท าแบบฝกหด หรอทดสอบ



2. Word หรอ Power Point สรปค าบรรยาย


1. การสงเกตหรอการถามจากการอภปราย

2. การท าแบบฝกหด

3. การทดสอบยอย หรอทดสอบประจ าบท


x 2.1 2.01 2.001 2.0001 2.00001

f (x) 5.2 5.02 5.002 5.0002 5.00002

x 1.9 1.99 1.999 1.9999 1.99999

f (x) 4.8 4.98 4.998 4.9998 4.99998

บทท 2

ลมตและความตอเนองของฟงกชน

แคลคลสเชงอนพนธ จะใชการนยามอนพนธของฟงกชนในรปลมตของอตราการเปลยน แปลงของฟงกชนเทยบกบตวแปร ฉะนนในการศกษาแคลคลสจ าเปนตองเขาใจเรองลมตและความตอเนองของฟงกชน บทนจะเปนการหาลมตของฟงกชน f ซงมโดเมนเปนเซตของจ านวนจรง x โดยพจารณาคาของฟงกชนเมอ x มคาใกลจ านวนจรงจ านวนหนง

2.1 ลมตของฟงกชน ลมตของฟงกชน (limits of functions) เปนการศกษาวา เมอตวแปรของฟงกชนเขาใกลคาจรงคาหนงแลวจะท าใหคาของฟงกชนมคาเขาใกลคาจรงคาใดคาหนงหรอไม ตวอยางดงน พจารณาฟงกชน

2x

)1x2)(2x()x(f

เราสามารถหาคา )x(f ไดทกคาของ x ยกเวน x = 2 แตถา x ≠ 2 จะไดวา 1x2)x(f

คาของ f (x) เมอ x มคาเขาใกล 2 (x ≠ 2) แยกเปน 2 กรณ คอ

เมอ x 2

ตาราง 2.1

เมอ x 2

ตาราง 2.2

f(x)

รป 2.1

○

2

2 X

4

2

-2

Y Y



พจารณาคาของ f(x) จากตารางท 2.1 ตาราง 2.2 และกราฟในรป 2.1 จะเหนวา

5 f(x) = 0.2 เมอ 2 x = 0.1 และ

5 f(x) 0.2 เมอไรกตามท 0 2 x 0.1

5 f(x) = 0.0002 เมอ 2 x = 0.0001 และ

5 f(x) 0.0002 เมอไรกตามท 0 2 x 0.0001

5 f(x) = 0.00002 เมอ 2 x = 0.00001 และ

5 f(x) 0.00002 เมอไรกตามท 0 2 x 0.00001

นนคอ เราสามารถท า 5 f(x) มคานอยทสดได โดยท า 2 x ใหมคานอยเพยงพอและ 2 x > 0 ดงนน เราอาจอธบายลมตของฟงกชน f(x) ไดดงน

ลมตของ f(x) = 5 เมอ x เขาใกล 2 ทางซาย เขยนแทนดวย f(x)lim2x

= 5 ลมตของ f(x) = 5 เมอ x เขาใกล 2 ทางขวา เขยนแทนดวย f(x)lim

2x = 5

และลมตของ f(x) = 5 เมอ x เขาใกล 2 เขยนแทนดวย f(x)lim2x

= 5

โดยทวไป ถา x เขาใกล a ซงท าใหคาของฟงกชน f(x) เขาใกล L แลว เรากลาววา ลมตของ f(x) เทากบ L เมอ x เขาใกล a เขยนแทนดวย f(x)lim

aX = L

บทนยาม 2.1.1 ให f(x) เปนฟงกชนทนยามบนชวงเปด I โดย f(a) อาจไมนยามกได เมอ a I

f(x)limax

= L กตอเมอ ส าหรบจ านวนจรง 0 จะมจ านวนจรง 0 ซงถา 0 a x

แลว L f(x)

จากบทนยาม 2.1.1 มความหมายวา เราสามารถหาคา ซง x อยในชวง (a – , a + ) ทท าให f(x) อยในชวง (L – , L + ) ดงกราฟในรป 2.2

Y f(x)

รป 2.2

L+

L

L–

a– a a+ X

51

บทท 2 ลมตและความตอเนองของฟงกชน


ในการหาลมตของฟงกชน f เมอ x เขาใกล a เราจะพจารณาจากคาของ f(x) เมอ x มคาใกล ๆ a เทานน เราไมจ าเปนตองพจารณาคาของฟงกชนท x a

รป 2.3

จากรป 2.3 จะเหนวา 1f (a) ไมมคา แต (x)flim 1X a

= L

)a(f2 มคา และ (x)flim 2X a

= M

ตวอยาง 2.1.1 จงพสจนวา 2x

lim

(2x – 3) = 1

พสจน ส าหรบ 0 เราเลอก =2 จะไดวา

0 2 x 2 x 2

2x 2

4 2x

13)(2x

นนคอ ส าหรบ 0 จะม 0 ซงถา 0 2 x แลว 13)(2x

จากบทนยาม 2.1.1 จะไดวา 2x

lim

(2x – 3) = 1

บทนยาม 2.1.2 f(x)limax

= L กตอเมอ ส าหรบจ านวนจรง 0 จะมจ านวนจรง 0 ซง

ถา a x a + แลว L f(x)

f(x)limax

= L กตอเมอ ส าหรบจ านวนจรง 0 จะมจ านวนจรง 0 ซง

ถา a – x a แลว L f(x)

เรยก f(x)limax

= L วา ลมตทางขวา (right – hand limit) และ

เรยก f(x)limax

= L วา ลมตทางซาย (left – hand limit)

ทฤษฎบทตอไปนบอกวา ฟงกชนจะมลมต ถาหาคาลมตทางขวาและลมตทางซายของฟงกชนนนไดและไดคาเทากน ดงน

O X

Y

2f

fM

a O

X

Y

1f

L

a



x 0.5 0.9 0.99 0.999 1 1.001 1.01 1.5

f (x) 1.5 1.9 1.99 1.999 2 2.001 2.01 2.5

ทฤษฎบท 2.1.1 f(x)limax

= L กตอเมอ f(x)limax

= f(x)limax

= L

พสจน ( ) ให f(x)limax

= L จะไดวา ส าหรบ 0 จะม 0 ซง

ถา 0 a x แลว L f(x)

จะไดวา a x a + แลว L f(x) และ a – x a แลว L f(x)

จากบทนยาม 2.1.2 จะไดวา f(x)limax

= L = f(x)limax

( ) ให f(x)limax

= f(x)limax

= L จากบทนยาม 2.1.2 จะไดวา

ส าหรบ 0 จะม 1 0 และ 2 0 ซง

ถา a x a + 1 แลว L f(x) และถา a – 2 x a แลว L f(x) …(*)

ให = min(1 , 2 ) จะไดวา a – 2 a – และ a + a + 1

แต 0 a x กตอเมอ a – x a และ a x a +

ดงนน 0 a x กตอเมอ a – 2 x a และ a x a + 1

จาก (*) สรปไดวา ถา 0 a x แลว L f(x)

จากบทนยาม 2.1.1 จะไดวา f(x)limax

= L

หมายเหต 2.1.1 จากทฤษฎบท 2.1.1 จะสรปไดวา ถา f(x)lim

ax f(x)lim

ax แลว f(x)lim

ax ไมม

จะเหนวา ถาลมตทางซายหรอลมตทางขวาของ f หาคาไมได หรอหาคาไดแตไมเทากน เมอ x มคาเขาใกล a จะกลาวไดวา f ไมมลมต เมอ x มคาเขาใกล a

ตวอยาง 2.1.2 ใหฟงกชน f (x) x 1 จงหา x 1limf (x)

วธท า พจารณาคาของ f(x) เมอ fx D และ x มคาเขาใกล 1 (ทง x 1 และ x 1 )

ตารางท 2.3

จากตารางท 2.3 จะเหนวา 1xlim1x

= 2 = 1xlim

1x

ดงนน x 1 x 1limf (x) lim x 1 2

53



x 0.5 0.9 0.99 0.999 1 1.001 1.01 1.5

f (x) 1.5 1.9 1.99 1.999 หาคาไมได 2.001 2.01 2.5

ตวอยางนคาลมตของ f(x) ทจด x 1 มคาเทากบ คาของ f ท x 1 นนคอ

x 1lim f (x) f (1) 2

ตวอยาง 2.1.3 ใหฟงกชน 2x 1

f (x)x 1

จงหา

x 1lim f (x)

วธท า พจารณาคาของ f(x) เมอ fx D และ x มคาเขาใกล 1 ในทน fD R {1}

ซงท าให 2x 1 (x 1)(x 1)

f (x) x 1x 1 (x 1)

ทก fx D , x 1

ตารางท 2.4

จะไดวา ตารางคาของ f(x) คลายกบตวอยาง 2.1.2 คอ

f(x)lim1x

= 2 = f(x)lim1x

ตางกนท f(1) หาคาไมได ดงนน f(x) มคาเขาใกล 2 เมอ x เขาใกล 1

นนคอ 2

x 1 x 1

x 1lim f (x) lim 2

x 1

ตวอยางน จะเหนวา f(1) หาคาไมได แต x 1lim f (x) 2

( หาคาได )

ตวอยาง 2.1.4 ให xf (x)

x เมอ x 0 จงหาคา

x 0x 0 x 0lim f (x), lim f (x), limf (x)

วธท า เนองจาก x , x 0x

x , x 0

ดงนน xf (x) 1

x

เมอ x 0

และ xf (x) 1

x เมอ x 0

จะไดวา x 0 x 0

xlim f (x) lim 1

x

และ x 0 x 0

xlim f (x) lim 1

x

เนองจาก x 0 x 0

x xlim lim

x x

ดงนน x 0limf (x)

ไมม




1. จงหา x alim f (x)

โดยการสรางตารางหาคาของ f(x)

1.1 f (x) x 1 , a 1

1.2 2f (x) x 1 , a 1

1.3 4 3x ; x 1

f (x) ; a 14 ; x 1

2. จงพสจน แตละขอตอไปนโดยใชบทนยามของลมต

2.1 0x

lim

– 2 = – 2

2.2 1x

lim

(2x – 1) = 1

2.3 x1lim

3x =

31

3. จงหาคาของลมตในขอตอไปน โดยเขยนตารางประกอบ

3.1 3

x 1lim (x x 1)

3.2 2

x 2

(x 4)lim

(x 2)

3.3 2

2x 3

x 9lim

(x 9)

3.4) 3 2

x 1

x x x 1lim

x 1

2.2 ทฤษฎบทของลมต ทฤษฎบทของลมต (Theorems on limits) ของฟงกชน จะชวยใหสามารถหาคาลมตของฟงกชนไดสะดวกขน สวนการพสจนแตละทฤษฎบทอาศยบทนยามขางบนเปนพนฐาน ดงน

ให a, c, L และ M เปนจ านวนจรง

ทฤษฎบท 2.2.1 ถาฟงกชน y f (x) มลมตทจด x a แลว ลมตของ f(x) มเพยงคาเดยว ( นนคอ ถา

x alim f (x) L

และ x alim f (x) M

แลว L M )

55



พสจน ให f(x)limax

= L และ f(x)limax

= M จะไดวา ส าหรบ 0 จะม 1 0 และ 2 0

ทซง ถา 0 a x 1 แลว L f(x) 2 และ ถา 0 a x 2 แลว M f(x)

2

ให = min(1 , 2) จะไดวา ถา 0 a x แลว L f(x) 2

และ M f(x) 2

เนองจาก ML = Mf(x) f(x)L f(x)L + Mf(x)

= L f(x) + M f(x) 2

+ 2

ดงนน ML

เนองจาก ML 0 และ 0 ดงนน ML = 0 หรอ L = M

ตวอยาง 2.2.1 ให 1 ; x 0f (x)

1 ; x 0

จงหาคา x 0lim f (x)

วธท า จาก 1 ; x 0f (x)

1 ; x 0

จะเหนวา เมอ x เขาใกล 0 และ x 0 แลว x 0lim f (x)

= 1 แตเมอ x เขาใกล 0 และ x 0 แลว

x 0lim f (x)

= -1 จงสรปวา

x 0lim f (x)

ไมม

ทฤษฎบท 2.2.2 ให a และ c เปนคาคงตว 1.

axlim

c = c 2.

axlim

x = a

3. cf(x)limax

f(x)limcax

พสจน 1. เนองจาก c f(x) = c c = 0 ดงนน ส าหรบ 0 จะม 0 ซง

ถา 0 a x แลว c f(x)

จากบทนยาม 2.1.1 จะไดวา ax

lim

c = c

2. ส าหรบ 0 จะม 0 โดยเราให = 0 ซง

ถา 0 a x แลว a x หรอ af(x)

เนองจาก f(x) = x และจากบทนยาม 2.1.1 ดงนน ax

lim

x = a

3. ให ax

lim

x = L เมอ L เปนคาคงตว

กรณ c = 0

เนองจาก ax

lim

cf(x) = ax

lim

0 = 0 และ cax

lim

f(x) = 0(L) = 0



ดงนน ax

lim

c[f(x)] = cax

lim

f(x)

กรณ c 0

ส าหรบ 0 จะม 0 ซงถา 0 a x แลว L f(x)

ส าหรบ | c |ε 0 จะม 0 ซงถา 0 a x แลว L f(x)

| c |ε

หรอ | c | L f(x)

เนองจาก cL f(x) c = | c | L f(x)

ดงนน ax

lim

c[f(x)] = cL = cax

lim

f(x)

ตวอยาง 2.2.2 ให f(x) = – 3x จงหา 2 x

lim

f(x)

วธท า 2 x

lim

f(x) = 2 x

lim

– 3x

= – 32 x

lim

x

= – 3(– 2) = 6

ทฤษฎบท 2.2.3 ตอไปนจะสะดวกในการใชหาลมต กอนอนขอพสจนบทตงเพอน าไปใชพสจนทฤษฎบท ดงกลาว

บทตง 2.2.1 ถา ax

lim

f(x) = 0 และ ax

lim

g(x) = 0 แลว ax

lim

[ f(x) g(x)] = 0

พสจน ส าหรบ 0 ดงนน 0

จะม 0 ซงถา 0 a x แลว 0f(x) และ 0 g(x)

เนองจาก 0g(x) f(x) = 0f(x) 0 g(x) =

ดงนน ส าหรบ 0 จะม 0 ซงถา 0 a x แลว 0g(x) f(x)


lim

[ f(x) g(x)] = 0

บทตง 2.2.2 ถา ax

lim

f(x) = L โดยท L 0 แลว f(x)

1lim

ax = L

1

พสจน ให ax

lim

f(x) = L

จะไดวา ส าหรบ 0 จะม 1 0 ซงถา 0 a x 1 แลว Lf(x)

เลอก = 2

L 0 จะม 1 0 ซงถา 0 a x 1 แลว Lf(x)

2 L

ดงนน f(x) 2

L หรอ

f(x) 1

L 2

และ f(x) L

1 2 L

2 .....…(*)

57



ท านองเดยวกน ส าหรบ 0 จะม 2 0

ซงถา 0 a x 2 แลว Lf(x) 2

L 2

...........…(**)

ส าหรบ f(x) 0 [ ถา f(x) = 0 ตามทฤษฎบท 2.2 แลว L = 0 ]

เนองจาก L1

f(x)1 =

f(x) L L f(x)

จาก (*) และ (**) ดงนน L1

f(x)1 [

2 L 2

] [ 2 L

2] =

ถาให = min(1 , 2) จะไดวา

ส าหรบ 0 จะม 0 ซงถา 0 ax แลว L1

f(x)1

จากบทนยาม 2.1.1 จะไดวา f(x)1lim

ax = L

1

ทฤษฎบท 2.2.3 1. x alim f (x) g(x)

x a x alimf (x) limg(x)

2. x alim f (x).g(x)

x a x alimf (x).limg(x)

3. x a

f (x)lim

g(x)

x a

x a

lim f (x)

lim g(x)

พสจน 1. จะพสจนกรณ ax

lim

g(x)] [f(x) = ax

lim

f(x) + ax

lim

g(x)

ให ax

lim

f(x) = L และ ax

lim

g(x) = M จะไดวา

ส าหรบ 0 จะม 0 ซงถา 0 a x แลว L f(x) และ M g(x)

และเนองจาก 2ε

0 ดงนน จะม 0 ซงถา 0 a x แลว L f(x)

2ε

และ M g(x) 2ε

และ M)(L ] g(x) [f(x) = M] [g(x) L] [f(x)

L f(x) + M g(x)

ดงนน M)(L ] g(x) [f(x) 2ε

+ 2ε

=

ส าหรบ 0 จะม 0 ซงถา 0 a x แลว M)(L ] g(x) [f(x)


lim

g(x)] [f(x) = L + M

ดงนน ax

lim

g(x)] [f(x) = L + M = ax

lim

f(x) + ax

lim

g(x)

ตอไปจะพสจนกรณ ax

lim

g(x)] [f(x) = ax

lim

f(x) – ax

lim

g(x)


lim

g(x)] [f(x) = 1)g(x)] [f(x)lim ( ax



= ax

lim

f(x) + ax

lim

[(–1)g(x)]

= ax

lim

f(x) + (–1) ax

lim

g(x)

= ax

lim

f(x) – ax

lim

g(x)

2. จะพสจนวา ax

lim

g(x)] [f(x) = ax

lim

f(x) ax

lim

g(x)

ให ax

lim


lim

g(x) = M

จากทฤษฎบท 2.2.3 ขอ 1. กรณหลง จะไดวา ax

lim

[f(x) – L] = ax

lim

f(x) – ax

lim

L

= ax

lim

f(x) – L


lim

f(x) = L ดงนน ax

lim

[f(x) – L] = 0 ท านองเดยวกน ax

lim

[f(x) – M] = 0

เนองจาก [f(x) – L][g(x) – M] = f(x) g(x) – Lg(x) – M f(x) + LM

หรอ f(x) g(x) = [f(x) – L][g(x) – M] + L g(x) + M f(x) – LM

ดงนน ax

lim

[ f(x) g(x)] =ax

lim

( [f(x) – L][g(x) – M] + L g(x) + M f(x) – LM )

จากทฤษฎบท 2.2.3 ขอ 1. จะไดวา

axlim

[ f(x) g(x)] = ax

lim

( [f(x) – L][g(x) – M] ) + Lax

lim

g(x) + Max

lim

f(x) –ax

lim

(LM)

จากก าหนดให และบทตง 2.2.1

ดงนน ax

lim

[ f(x) g(x)] = 0 + LM + LM – LM = LM = ax

lim

f(x) ax

lim

g(x)

นนคอ ax

lim

[ f(x) g(x)] = ax

lim

f(x) ax

lim

g(x)

3. ให ax

lim


lim

g(x) = M เมอ M 0

เนองจาก g(x)f(x)

lim ax

= ax

lim

[g(x)

1f(x) ]

= ax

lim

f(x) ax

lim g(x)

1 (จากทฤษฎบท 2.2.3 ขอ 2.)

= L M1

= ML

(จากบทตง 2.2.2)

ดงนน g(x)f(x)

lim ax

= ML

= g(x)lim

f(x)lim

ax

ax

ตวอยาง 2.2.3 จงหา 1 x

lim

(x2 – 5x + 3)

วธท า 1 x

lim

(x2 – 5x + 3) =

1 xlim

x

2 – 5

1 xlim

x +

1 xlim

3

= (–1)2 – 5(–1) + 3

= 9

59



ตวอยาง 2.2.4 จงหา 0x

lim 32xx

33x

2

วธท า 0x

lim 32xx

33x

2

=3)2x (xlim

3)(3xlim

2

0x

0x

=32(0)0

33(0)

2

=3

3- = –1

ทฤษฎบท 2.2.4 ถา ax

lim

g(x) = M และ Mu

lim

f(u) = L แลว

axlim

f(g(x)) = L เมอ a เปนจ านวนจรง

พสจน Mu

lim

f(u) = L จะไดวา ส าหรบ 0 จะม 1 0 ซง

ถา 0 a x 1 แลว L f(x) ..............… (*) และ

axlim

g(x) = M จะไดวา ส าหรบ 1 0 จะม 2 0 ซง

ถา 0 a x 2 แลว M g(x) 1 ................... (**)

ให = min(1 , 2) และ u = g(x)

จาก (*) และ (**) จะไดวา ส าหรบ 0 จะม 0 ซง

ถา 0 M g(x) แลว Lf(g(x))

นนคอ ax

lim

f(g(x)) = L

ตวอยาง 2.2.5 จงหาคา x

lim sin 4x

วธท า ให g(x) = 4x และ f(u) = sin u

จะไดวา x

lim g(x) =x

lim 4x = 4

และ 4u

lim sin u = sin 4 = 0

จากทฤษฎบท 2.2.4 จะไดวา x

lim sin 4x = sin 4 = 0

บทตง 2.2.3 ถา (p , q) เปนชวงเปดซง L (p , q) แลวมชวงเปด (r , s) ซง a (r , s)

ทท าให เมอ x (r , s) และ x a แลว f(x) (p , q) จะไดวา ax

lim

f(x) = L

พสจน ให 0 , p = L – และ q = L + ดงนน L (L – , L + )



จาก a (r , s) หรอ r a s จะไดวา 0 a – r และ 0 s – a

ให = min (a – r , s – a) จะไดวา r a – และ a + s

และเมอ x (r , s) และ x a แลว f(x) (p , q)

หรอ r a – x a + s แลว L – f(x) L +

หรอ จะม 0 ซงถา 0 a x แลว L f(x)


lim

f(x) = L

ทฤษฎบท 2.2.5 n

x alim f (x)

nx alimf (x)

เมอ n เปนจ านวนเตมบวก พสจน ให

axlim

f(x) = L จะพสจนวา n

axf(x) lim

n

x alimf (x)

= n L เมอ n L มคาจรง เราจะพจารณาวา n

axx lim

= n a เมอ n a มคาจรง

เนองจาก ถา n a มคาจรง จะไดวา p n a q กตอเมอ pn a q

n

ดงนน ส าหรบทก ๆ x (pn, q

n ) และ x a จะไดวา p n x q กตอเมอ pn

x qn

จากบทตง 2.2.3 จะไดวา n

axx lim

= n a เมอ n a มคาจรง

โดยทฤษฎบท 2.2.4 จะไดวา n

axf(x) lim

= n L เมอ n L มคาจรง

ตวอยาง 2.2.6 จงหา 2

x 3lim x x 13

วธท า 2

x 3lim x x 13

2

x 3lim(x x 13)

25

= 5

ตวอยาง 2.2.7 จงหา 3

3

1x 2)(x

53x lim

วธท า 3

3

1x 2)(x

53x lim

=

3

1x

3

1x

2)(x lim

53x lim

= 3

1x

31x

2)(xlim

5) (3x lim

61



= 3

3

2)1(

51)3(

= – 2

ทฤษฎบท 2.2.6 ถามจ านวนจรง q 0 ซงท าให f(x) = g(x) ส าหรบทก ๆ x ท 0 a x q

แลว ax

lim

f(x) =ax

lim

g(x)

พสจน ให ax

lim

g(x) = L จะไดวา ส าหรบ 0 จะม 1 0 ซง

ถา 0 a x 1 แลว L g(x)

ให = min( 1 , q ) จะไดวา 0 a x แลว 0 a x 1 และ 0 a x q

จาก f(x) = g(x) ดงนน ส าหรบ 0 จะม 0 ซง

ถา 0 a x แลว L f(x) จากบทนยาม 2.1.1 จะไดวา

axlim

f(x) = ax

lim

g(x) = L

การหาลมตของฟงกชนตรรกยะ g(x)f(x) เมอ

g(a)f(a)

= 00

ซงเรยกวา รปแบบทไมก าหนด (indeterminate form) บางฟงกชนอาจใชทฤษฎบท 2.2.6 โดยการจดฟงกชนใหมดวยการแยกตวประกอบหรอการคณดวยสงยค (conjugate) ทงเศษและสวนแลวลดทอน

ตวอยาง 2.2.8 จงหาคา 3x

lim 32xx

3)2(x

2

วธท า ให g(x)f(x)

=32xx

3)2(x

2

เนองจาก g(3)f(3)

=32(3)3

3)2(32

=

00

ดงนน 3x

lim 32xx

3)2(x

2

=

3xlim 1)3)(x(x

3)2(x

=

3xlim 1x

2

= 13

2

= 2

1


lim 2

xx6

2x

วธท า ให f(x) = x – 2 และ g(x) = 6 – x – x2


= 2

226

22

=

00



ดงนน 2x

lim 2

xx6

2x

=

2xlim x)x)(3(2

x)(2

=

2xlim x3

1

=23

1

= –5

1

ตวอยาง 2.2.10 จงหา 2x 5

x 5lim

x 25

วธท า เนองจาก x 5 , x 5x 5

(x 5) , x 5

ดงนน ตองพจารณา x 5lim f (x)

และ

x 5lim f (x)

เนองจาก x 5lim f (x)

x 5

(x 5)lim

(x 5)(x 5)

x 5

1lim

(x 5)

1

10

และ x 5lim f (x)

x 5

(x 5)lim

(x 5)(x 5)

x 5

1lim

(x 5)

1

10

ดงนน x 5lim f (x)

x 5lim f (x)

นนคอ x 5limf (x)

ไมม


lim 3)2(x

2 1x

วธท า ให g(x)f(x)

= 3)2(x

2 1x


= 3)2(3

2 13

= 00

ดงนน 3x

lim 3)2(x

2 1x

=

3xlim 3)2(x

2 1x

∙2)1x(

2)1x(

= 3x

lim 2)1x3)(2(x

3x

= 3x

lim 21x2

1

= 2132

1

=

8

1

63



ตวอยาง 2.2.12 จงหา x 2

3 x 1lim

x 2

วธท า x 2

3 x 1lim

x 2

x 2

3 x 1 3 x 1lim .

x 2 3 x 1

x 2

(3 x) 1lim

(x 2)( 3 x 1)

= 2x

lim 1x-32)(x

2)-(x

x 2

1

lim 3 x 1

1

2

ตวอยาง 2.2.13 ให 2

1 x , x 0

f (x) 2 , x 0

x 1 , x 0

จงหา x 0limf (x)

วธท า เนองจาก x 0 x 0lim f (x) lim(1 x) 1

และ

0x lim f(x) =

0x lim (x

2 –1) = –1

ดงนน x 0 x 0lim f (x) lim f (x)

นนคอ x 0limf (x)

ไมม


1. จงหาลมตของฟงกชนตอไปน 1.1 2

x 1lim(x 5x 2)

1.2 2

x 2lim x 3x 1

1.3 2

2

x 3

xlim(1 )(1 x )

2 1.4 2 4 3

x 1lim(x 3) (x 2)

1.5 25x

5 xlim

25x

1.6

x 4

x 2lim

x 4

1.7 x 2

x 2lim

x 2

1.8 x 3

x 3lim

x 3

1.9 4x

lim 1)2x(x 2

3

2

1

1.10 8x

lim

2

1

3

1

3

2

)44x(x

2. ถา 2

4 , x 2

f (x) 1 , x 2

x , x 2

จงหา x 2 x 2lim f (x), lim f (x)

และ

x 2limf (x)



3. ถา f (x) 2 3x 2 จงหา 2

x3

limf (x)

4. ถา 2x , x 1

f (x)2x 1 , x 1

จงพจารณาวา f มลมตทจด a หรอไม เมอ a 1, 2

2.3 ลมตทคาอนนต

ลมตทคาอนนต (limit at infinity) ของฟงกชน f เปนการหาวา เมอ x มคาเพมขนหรอลดลงโดยไมมขอบเขตแลว คาของ f(x) มคาเขาใกลคาใด

ส าหรบฟงกชน f ใด ๆ เมอ x มคาเพมขนอยางไมมขอบเขต (x )หรอลดลงอยางไมมขอบเขต (x – ) แลวไดคาลมตของฟงกชนเทากบ L เขยนแทนดวย

xlim f (x) L

หรอ

xlim f (x) L

ตามล าดบ

บทนยาม 2.3.1 ลมตทคาอนนต

ถา f(x) เปนฟงกชนทนยามบนชวง (a , )

1. f(x)limx

= L กตอเมอ ส าหรบ 0 จะมจ านวน N 0 ซงท าให ส าหรบทก ๆ x N แลว L f(x)

2. f(x)limx

= กตอเมอ ส าหรบจ านวนจรง M ใด ๆ จะมจ านวนจรง N บางตว ซงถา x N แลว f(x) M

3. f(x)limx

= – กตอเมอ ส าหรบจ านวนจรง M ใด ๆ จะมจ านวนจรง N บางตว ซงถา x N แลว f(x) – M

ถา f(x) เปนฟงกชนทนยามบนชวง (– , a) จะใหนยามไดในท านองเดยวกน

หมายเหต 2.3.1 ทฤษฎบท 2.2.2 – 2.2.3 เปนจรง ส าหรบลมตทคาอนนต เมอลมตทคาอนนตมคาจรง

ทฤษฎบท 2.3.1 1. x

limx1 = 0

2. x

limx1

= 0

พสจน 1. ส าหรบ 0 ให N = 1 0

65



ดงนน ส าหรบทกๆ x 1 จะไดวา

x1

หรอ 0 x1

นนคอส าหรบ 0 จะม N 0 ซงท าใหส าหรบทก ๆ x N แลว 0 x1

จากบทนยาม 2.3.1 ขอ 1. จะไดวา x

limx1 = 0

2. พสจนท านองเดยวกน จะไดวา x

limx1 = 0

ทฤษฎบท 2.3.2 ให c เปนคาคงตว และ r เปนจ านวนจรงบวก จะไดวา

1. x

lim rx

c = 0

2. x

lim rx

c = 0

พสจน 1. เนองจาก x

lim rx

c = cx

lim rx

1

= c x

lim (x1 )

r

= c [x

limx1 ]

r

= c(0)r = 0

2. พสจนท านองเดยวกน จะไดวา x

lim rx

c = 0

ตวอยาง 2.3.1 จงหา x

lim )x

2(5

วธท า x

lim )x

2(5 =

xlim 5 – 2

xlim x

1

= 5 – 2( 0)

= 5


lim (5 – 3x – x2 )

วธท า เนองจาก x

lim x2 = และ –1 0

ดงนน x

lim (–x2 ) = –

จะไดวา x

lim (5 – 3x – x2 ) = –



การหาลมตทอนนตของฟงกชนตรรกยะ g(x)f(x) ถาลมตของ f(x) และลมตของ g(x) อย

ในรป หรอ – แลว ลมตของ g(x)f(x) จะเปนรปแบบหนงของรปแบบทไมก าหนด ดงนน

การหาลมตของ g(x)f(x) จะหาโดยหารทงเศษและสวนดวย xn

เมอ n เปนระดบขน (degree) ของ g(x)


3x 1lim

5x 2


3x 1lim

5x 2

= 2

3

5xlim

1xlim

x

x

=

ดงนน x

3x 1lim

5x 2

x

13

xlim2

5x

=

x

2lim 5lim

x

1lim3lim

xx

xx

= 05

03

3

5

ตวอยาง 2.3.4 ถา f(x) =3

23

3x2x

32x4x

จงหา

xlim f(x) และ

xlim f(x)


lim f(x) = x

lim3

23

3x2x

32x4x

= 3

x

23

x

3x2xlim

32x4xlim

=

เปนรปแบบทไมก าหนด

ดงนน x

lim f(x) = x

lim3

23

3x2x

32x4x

= x

lim3

x

2x

3

x

24

2

3

67



= 3lim

x

2lim

x

3lim

x

2lim4lim

x2

x

3xxx

= 30

004

= –

3

4

ในท านองเดยวกน จะไดวา x

lim f(x) = x

lim3

23

3x2x

32x4x

= –

3

4

ตวอยาง 2.3.5 ถา f(x) = 42x 3x

15x 2

จงหา

xlim f(x)

วธท า x

lim42x 3x

15x 2

=

xlim

2

2

x

4

x

23

x

1

x

5

=

2xxx

2xx

x

1lim4

x

1lim23lim

x

1lim

x

1lim5

= 4(0)2(0)3

05(0)

=

3

0

= 0

ตวอยาง 2.3.6 ถา f(x) = 52x

13x4x 2

จงหา x

lim f(x) และ x

lim f(x)

วธท า x

lim52x

13x4x 2

= x

lim

x

52

x

134x

=

x

1lim5 2lim

x

1lim3)(4xlim

xx

xx

= 5(0)2

0

=

2

= –

และ x

lim52x

13x4x 2

=x

lim

x

52

x

134x



=

x

1lim5 2lim

x

1lim 3)(4xlim

xx

x

x

= 5(0)2

0

= 2

=

ตวอยาง 2.3.7 ถา f(x) = 5x3

1x4x 23

จงหา

xlim f(x) และ

xlim f(x)

วธท า x

lim5x3

1x4x 23

=

xlim

5x

3x

1x 4x

2

=

5lim x

3lim

x

1lim x)(4xlim

xx

x

2

x

= 50

0 x)(4xlim 2

x

= 5

4xlim2

x

=

2

x

xlim 5

4

= 5

4 () = –

ดงนน x

lim f(x) = –

ในท านองเดยวกน จะไดวา x

lim f(x) = –

ตวอยาง 2.3.8 จงหาคา 2

x

x 1lim

x 1

วธท า 2

x

x 1lim

x 1

2

2

x

1x (1 )

xlim1

x(1 )x

2

x

1x 1

xlim1

x(1 )x

69



2

x

1x 1

xlim1

x(1 )x

2

x

11

xlim1

1x

1

การหาลมตทคาอนนตของฟงกชนทอยในรป – นน ตองจดรปกอน

ตวอยาง 2.3.9 ถา f(x) = x 5x2 จงหา x

lim f(x)


lim ( x 5x2 ) = –

ดงนน ตองจดรปใหม

xlim ( x 5x2 ) =

xlim

x 5x

x) 5xx)( 5x(

2

22

= x

limx 5x

5

2

= x

lim

x )x

5(1x

22

5

= x

lim

x x

51x

2

5

= x

lim

x x

51x

2

5

= x

lim

)1 x

51(x

2

5

= x

lim

1 x

51

x

5

2

= 0




จงหาลมตของฟงกชนทก าหนดใหตอไปน

1. x

lim 5 2. x

lim (2x + 3)

3. x

lim7x

1

และ

xlim

7x

1

4.

xlim 3

)x3

62x(

และ

xlim 3

)x3

62x(

5. x

lim32x

43x x 2

6.

xlim

4x

1x 3x2

2

7. x

lim4x

1x 3x2

2

8.

xlim

1x

4x1

9. x

lim x2x

43x5x2

2

10.

xlim )

x

5 (4

2

11. x

lim )x

5 (4

2 12.

xlim x 2xx

2

13. x

lim1x

1 x

14. x

lim1x

3x

2

15. x

lim x) 8x( 2

16. x

lim4x

52x

2

17. x

lim32x

12x 3x

3

2

18.

xlim

34)(x

1

19. x

x 2lim

5x 2

20. 2

x

x 2lim

x 4

21. ถา f(x) =52x

3x 2

จงหา

xlim f(x) และ

xlim f(x)

2.4 ลมตคาอนนต ถาฟงกชน f(x) มคาเพมขนโดยไมมขอบเขต หรอ มคาลดลงโดยไมมขอบเขต เมอ x เขาใกล a แลว ลมต f(x) อาจมเปนสองแบบ คอ f(x) ไมมลมต หรอ f(x) มลมตเปนคาอนนต (infinity

limits) และใชสญลกษณ

axlim

f(x) = แทน ลมต f(x) เปนคาบวกอนนต เมอ x เขาใกล a

axlim

f(x) = – แทน ลมต f(x) เปนคาลบอนนต เมอ x เขาใกล a

71



ลกษณะของลมตคาอนนต 1.

ax

lim f(x) = – และ ax

lim f(x) = ดงรป 2.4 เรยกวา ax

lim

f(x) ไมม

2. ax

lim f(x) = และ ax

lim f(x) = – ดงรป 2.5 เรยกวา ax

lim

f(x) ไมม

3. ax

lim f(x) = – และ ax

lim f(x) = – ดงรป 2.6 เรยกวา ax

lim

f(x) = –

4. ax

lim f(x) = และ ax

lim f(x) = ดงรป 2.7 เรยกวา ax

lim

f(x) =

Y Y

Y Y

รป 2.4

บทนยาม 2.4.1 (ลมตคาอนนต)

ให f(x) เปนฟงกชนทนยามบนชวงเปด I และ f(a) อาจไมนยามส าหรบ a I จะไดวา

axlim

f(x) = กตอเมอ ส าหรบ M 0 จะม 0 ซงถา 0 ax แลว f(x) M และ

axlim

f(x) = – กตอเมอ ส าหรบ M 0 จะม 0 ซงถา 0 ax แลว f(x) – M

ทฤษฎบท 2.4.1 ให f(x) เปนฟงกชนทนยามบนชวง I และ f(a) อาจไมนยามส าหรบ a I แลว

ถา ax

lim f(x)

1 = 0 และม 0 ซงถา a – x a + และ f(x) 0 แลว ax

lim

f(x) =

และ ถา ax

lim f(x)

1 = 0 และม 0 ซงถา a – x a + และ f(x) 0 แลว ax

lim

f(x) = –

x = a

X

x = a x = a

x = a

X

X X



พสจน จะพสจนวา ถา ax

lim f(x)

1 = 0 และม 0 ซงถา a – x a + และ f(x) 0

แลว ax

lim

f(x) =


lim f(x)

1 = 0 จะไดวา ส าหรบ 0 จะม 0 ซง

ถา 0 0 x แลว 0 f(x)1

จากก าหนดให จะม 0 ซงถา a – x a + และ f(x) 0

ให M = 1 จะไดวา M 0 และ

)x(f1

M1 หรอ f(x) M

ดงนน ส าหรบ M 0 จะม 0 ซงถา 0 ax แลว f(x) M


lim

f(x) =

กรณทเหลอของทฤษฎบท สามารถพสจนไดท านองเดยวกน

เราใชทฤษฎบท 2.4.1 ตรวจสอบฟงกชนทมคาเพมขนหรอลดลงอยางไมมขอบเขต ดงน จาก f(x) ทก าหนดให ใหเราตรวจสอบ

axlim

)x(f

1

ถา x a

1lim 0

f (x) แลวใหพจารณา คา f(x) เมอ x เขาใกล a

1. ถา f (x) 0 เมอ x เขาใกล a แลว x alim f (x)

2. ถา f (x) 0 เมอ x เขาใกล a แลว x alim f (x)


lim

x5

1

วธท า ให f(x) = x5

1

พจารณา 1

f (x) = x5

และ 5x

lim

1

f (x) =

5xlim

( x5 ) = 5 – 5 = 0

เนองจาก f(x) = x5

1

< 0 เมอ x เขาใกล 5 ทางขวา

ดงนน 5x

lim f(x) =

และเนองจาก f(x) = x5

1

> 0 เมอ x เขาใกล 5 ทางซาย

ดงนน 5x

lim f(x) =

สรปไดวา 5x

lim

x5

1

ไมม

73



ตวอยาง 2.4.2 จงหา 2x 3

1lim

(x 3)

วธท า ให f(x) = 2)3x(

1

พจารณา 1

f (x) 2(x 3)

และ 2

x 3 x 3

1lim lim(x 3) 0

f (x)

เนองจาก 2

1f (x)

(x 3)0

เมอ x เขาใกล 3

ดงนน x 3lim f (x)

เนองจาก และ เปนเพยงสญลกษณซงไมใชจ านวนจรง ดงนนทฤษฎบทเกยวกบลมตไมสามารถน ามาใชได แตเราจะใชทฤษฎบทตอไปน

ทฤษฎบท 2.4.2 ถา x alim f (x)

(หรอ ) และ x alim g(x) c

เมอ c เปนคาคงตวแลว 1.

x alim[f (x) g(x)]

(หรอ )

2. ax

lim

[f(x)g(x)] =

0 c ,

0 c ,

0 c ,

0c , หรอ

พสจน 1. กรณท 1 ถา ax

lim

f(x) = และ ax

lim

g(x) = c โดยท c 0 จะไดวา ถาให M 0 ดงนน M + 1 0 และ

ส าหรบ M + 1 0 จะม 1 0 ซงถา 0 ax 1 แลว f(x) M + 1

ส าหรบ 1 0 จะม 2 0 ซงถา 0 ax 2 แลว c)x(g 1

หรอ g(x) c – 1

ให = min (1 , 2) จะไดวา ส าหรบ M 0 จะม 0 ซงถา 0 ax แลว f(x) M + 1 และ g(x) c – 1

ดงนน [f(x) + g(x)] M + 1 + c – 1 = M + c หรอ [f(x) + g(x)] M

จะไดวา ax

lim

[f(x) + g(x)] =

กรณอน ๆ สามารถพสจนไดท านองเดยวกน

หมายเหต 2.4.1 1. ทฤษฎบทนยงคงเปนจรงส าหรบลมตดานเดยว และเมอ c เปน หรอ ดวย

2. จาก ทฤษฎบท 2.14 จะพบวา ถา ax

lim

f(x) 0 และ ax

lim

g(x) = 0



แลว g(x)f(x)

lim ax

มลมตคาอนนต

ตวอยาง 2.4.3 ให f(x) =3x

5x

จงหา

3x

lim f(x) , 3x

lim f(x) และ 3x

lim

f(x)

วธท า 3x

lim f(x) =3x

lim3x

5x

=3x

lim [(x + 5)(3x

1

)]

เนองจาก 3x

lim (x + 5) = 8 และ 3x

lim3x

1

=

ดงนน 3x

lim f(x) = 8 () =

และ 3x

lim f(x) =3x

lim3x

5x

= 3x

lim [(x + 5)( 3x

1

)]


lim (x + 5) = 8 และ 3x

lim3x

1

= –

ดงนน 3x

lim f(x) = 8 (– ) = –

นนคอ 3x

lim

f(x) ไมม

ตวอยาง 2.4.4 ให f(x) = 3

2

2)(x

5x3x

จงหา

2x

lim f(x) , 2x

lim f(x) และ 2x

lim

f(x)

วธท า 2x

lim f(x) =2x

lim (3

2

2)(x

5x3x

)

=2x

lim [( 3

2

2)(x

15)(x3x)

]


lim 3x = 6 และ2x

lim (x2– 5) = – 1 และ

2x

lim32)(x

1

=

ดงนน2x

lim [3

2

2)(x

15)(x

] = –

จะไดวา 2x

lim [( 3

2

2)(x

15)(x3x)

] =

2x

lim f(x) =

2x

lim f(x) = 2x

lim3

2

2)(x

5x3x

=2x

lim [( 3

2

2)(x

15)(x3x)

]

75




lim 3x = 6 และ 2x

lim (x2 – 5) = – 1 และ

2x

lim3

2)(x

1

= –

ดงนน 2x

lim [3

2

2)(x

15)(x

] =

จะไดวา 2x

lim [( 3

2

2)(x

15)(x3x)

] =

2x

lim f(x) = –

ดงนน 2x

lim

f(x) ไมม

ตวอยาง 2.4.5 ให f(x) = 2

3x

5 จงหา

0x

lim

f(x)

วธท า 0x

lim f(x) =0x

lim2

3x

5 =0x

lim (2

0)(x

1

3

5

)


lim3

5 = 3

5 และ 0x

lim20)(x

1

=

ดงนน 0x

lim (2

0)(x

1

3

5

) = 0x

lim f(x) = –

ในท านองเดยวกน จะไดวา 0x

lim f(x) = –

ดงนน 0x

lim

f(x) = –


1. จงหา ax

lim f(x) , ax

lim f(x) และ ax

lim

f(x) เมอให f(x) และคาคงตว a ตอไปน

1.1 f(x) = x2

1

; a = 2 1.2 f(x) =

21)(x

1

; a = –1

1.3 f(x) = 1-x

1 ; a = 1 1.4 f(x) = 4

3)(x

4x

; a = 3

1.5 f(x) = 5

3)(x

4x

; a = 3 1.6 f(x) =

1x

1x

2

; a = 1

1.7 f(x) = 32xx

1x

2

; a = –1 1.8 f(x) =

1x

x34

2

; a = –1

2. จงหาคาลมตตอไปน 2.1 2

x 1

x 1lim

x 1

2.2 2x 1

1lim

(x 1)

2.3 3

x ( )2

1lim

2x 3

2.4 2

x 3

x 9lim

x 3



3. จงหาลมตของฟงกชนทก าหนดใหตอไปน 3.1

x

2lim

0x

3.2 2

2x x4

3lim

3.3 2

2x x4

3lim

3.4 2

3x x9

xlim

3.5 20x xx

3lim

3.6

x2

1lim

2 x

2.5 ความตอเนองของฟงกชน หวขอทผานมา จะเหนวามฟงกชนบางประเภททมคาลมตของฟงกชน เทากบคาของฟงกชนทจด x a เชน ฟงกชนพหนาม เปนตน ฟงกชนดงกลาวจะมกราฟทไมขาดตอนทจดx a ซงเราจะกลาววา ฟงกชนมความตอเนอง (continuity of function) ทจด x a

บทนยาม 2.5.1 ถา f(x) เปนฟงกชนทนยามบนชวง I และ a I จะเรยกวา

f(x) มความตอเนองทจด x = a กตอเมอ 1. f (a) หาคาได (exists)

2. x alimf (x)

หาคาได 3.

x alimf (x) f (a)

ถาขาดเงอนไขขอใดขอหนงแลว จะกลาววา f ไมตอเนอง (discontinuity) ทจด x a ดงรป

ตวอยาง 2.5.1 ฟงกชน f(x) = x2– x –1 ตอเนองทจด x = 1 หรอไม

วธท า เนองจาก f(1) = 12– 1 – 1 = – 1

a

X

Y

a

ฟงกชนตอเนองทจด x = a

รป 2.5

ฟงกชนไมตอเนองทจด x = a ฟงกชนไมตอเนองทจด x = a

Y Y

X X

77



และ f(x)lim1x

= 12– 1 – 1 = – 1

จะไดวา f(1) = – 1 = f(x)lim1x

นนคอ f(x) ตอเนองทจด x = 1

Y

รป 2.6

ตวอยาง 2.5.2 ฟงกชน f(x) =

3 x , 2 x

3x , 2 x ตอเนองทจด x = 3 หรอไม

วธท า เนองจาก 2x

lim f(x) = 3 + 2 = 5 และ2x

lim f(x) = 3 – 2 = 1

ดงนน 2x

lim

f(x) ไมม

นนคอ f(x) ไมมความตอเนองทจด x = 3

Y

X

รป 2.7

ตวอยาง 2.5.3 ให 2x , x 2

f (x)2 , x 2

แลว f มความตอเนองท x 2 และท x 3 หรอไม

วธท า พจารณาท x 2

เนองจาก f (2) 2

และ 2

x 2 x 2limf (x) lim x 4

ดงนน x 2limf (x) f (2)

นนคอ f ไมมความตอเนองท x 2

1 X

3



พจารณาท x 3

เนองจาก 2f (3) 3 9

และ 2

x 3 x 3limf (x) lim x 9

ดงนน x 3limf (x) f (3) 9

นนคอ f มความตอเนองท x 3

บทนยาม 2.5.2 ฟงกชน f ตอเนองทางซาย (left- hand continuity) ทจด x = a กตอเมอ

1. f (a) หาคาได 2.

x alim f (x)

หาคาได

3. x alim f (x) f (a)

และฟงกชน f ตอเนองทางขวา (left- hand continuity) ทจด x = a จะนยามไดในท านองเดยวกน

จะเหนวา f ตอเนองทจด x = a กตอเมอ f ตอเนองทงทางซายและตอเนองทางขวา ทจด x = a ทงนเนองจาก

x alimf (x) f (a)

กตอเมอ x a x alim f (x) f (a) lim f (x)

ตวอยาง 2.5.4 ให 2x , x 2

f (x)x 2 , x 2

f มความตอเนองทางซายและทางขวาท x 2 หรอไม วธท า เนองจาก f (2) 2 2 4 และ 2

x 2 x 2lim f (x) lim x 4

ดงนน x 2lim f (x) f (2) 4

นนคอ f มความตอเนองทางซายท x 2

เนองจาก f (2) 2 2 4 และ x 2 x 2lim f (x) lim x 2 4

ดงนน x 2lim f (x) f (2) 4

ดงนน f มความตอเนองทางขวาท x 2

ตวอยาง 2.5.5 จงแสดงวาฟงกชน f(x) = x ตอเนองทางขวาท x = 0

วธท า เนองจาก 0x

lim x = 0 และ f(0) = 0

จะเหนวา 0x

lim f(x) = f(0)

ดงนน f(x) = x ตอเนองทางขวาท x = 0

79



รป 2.8

พจารณา f(x) = x จะเหนวา f(x) ไมนยาม เมอ x 0

ดงนน 0x

lim f(x) ไมม

แสดงวา f ไมตอเนองทางซายท x = 0

ตวอยาง 2.5.6 จงแสดงวา ฟงกชน f(x) =

2 x , 1

2 x , 1 2x ตอเนองทางซายท x = 2

วธท า จากฟงกชน จะไดวา

f(2) = 2(2) – 1 = 3

2x

lim f(x) = 2(2) – 1 = 3

และ 2x

lim f(x) = –1

จะเหนวา 2x

lim f(x) = f(2) แต 2x

lim f(x) f(2)

ดงนน f ตอเนองทางซายทจด x = 2

แต f ไมตอเนองทางขวา ท x = 2

Y

รป 2.9

Y

X

X



ทฤษฎบท 2.5.1 ถา f(x) และ g(x) เปนฟงกชนทตอเนองท x = a แลว ฟงกชน (f + g)(x),

(f – g)(x), (f g)(x), (gf )(x) เมอ g(x) 0 และ k f(x) เมอ k เปนคาคงตว ตอเนองท x = a

พสจน จะพสจนกรณ (f + g)(x) ตอเนองท x = a


lim

f(x) = f(a) และ ax

lim

g(x) = g(a)

ดงนน ax

lim

(f + g)(x) = ax

lim

[f(x) + g(x)] = f(a) + g(a) = (f + g)(a)

และจากบทนยาม 2.5.1 อกครง จะไดวา (f + g)(x) ตอเนองท x = a

กรณอนๆ สามารถพสจนไดท านองเดยวกน

ทฤษฎบท 2.5.2 ถา g(x) ตอเนอง ท x = a และ f(x) ตอเนอง ท x = g(a) แลว ฟงกชน (f๐g)(x)

ตอเนองท x = a

พสจน จากบทนยาม 2.5.1 จะไดวา ax

lim

g(x) = g(a) และ a)x (g

lim

f(g(x)) = f(g(a))

โดยทฤษฎบท 2.2.4 จะไดวา ax

lim

(f๐g)(x) = (f๐g)(a)

จากบทนยาม 2.5.1 จะไดวา (f๐g)(x) จะตอเนองท x = a

บทนยาม 2.5.3 ความตอเนองบนชวง (continuity on an interval)

(1) ฟงกชน f ตอเนองบนชวง (a,b) ถา f ตอเนองททกจด x a,b

(2) ฟงกชน f ตอเนองบนชวง [a,b] ถา f ตอเนองททกจด x a,b และ f ตอเนองทางขวาท x = a และ f ตอเนองทางซายทจด x = b

หมายเหต 2.5.1 จากบทนยาม 2.5.3 f ไมตอเนองบนชวง (b, c) กตอเมอ มจด a อยางนอยหนงจดในชวง (b, c) ท f ไมมความตอเนองท a

ตวอยาง 2.5.7 ให 2f (x) 9 x แลว f มความตอเนองบนชวง [ 3,3] หรอไม วธท า พจารณาความตอเนองบนชวง ( 3,3)

ให c ( 3,3) จะไดวา 2f (c) 9 c และ 2 2

x c x clim f (x) lim 9 c 9 c

จะไดวา 2

x clim f (x) f (c) 9 c

ดงนน f มความตอเนองท x c

นนคอ f ตอเนองบนชวง ( 3,3) พจารณาความตอเนองทางขวาของ f ทจด x 3

เนองจาก f ( 3) 9 9 0 และ 2

x 3 x 3lim f (x) lim 9 x 0

จะไดวา x 3lim f (x) f ( 3) 0

81



ดงนน f มความตอเนองทางขวาท x 3

พจารณาความตอเนองทางซายของ f ทจด x 3

เนองจาก f (3) 9 9 0 และ 2

x 3 x 3lim f (x) lim 9 x 0

จะไดวา x 3lim f (x) f (3) 0

ดงนน f มความตอเนองทางซายท x 3

สรปไดวา f มความตอเนองบนชวง [ 3,3]

ตวอยาง 2.5.8 จงแสดงวา f(x) = 2x 4 เปนฟงกชนตอเนองบนโดเมนของ f วธท า เนองจาก Df = [–2 , 2] ดงนน เราจะแสดงวา ฟงกชน f ตอเนองบนชวง [–2 , 2]

Y

รป 2.10

ให c (–2 , 2) จะไดวา f(c) = 2c 4 และ ax

lim

f(x) = 2c 4 ดงนน f ตอเนองททกบนชวง (–2, 2)

เนองจาก f(–2) = 22)( 4 = 0 และ 5x

lim f(x) = 22)( 4 = 0

ดงนน f มความตอเนองทางซายทจด x = 2

และเนองจาก f(2) = 22 4 = 0 และ 5x

lim f(x) = 22 4 = 0

ดงนน f มความตอเนองทางขวาทจด x = –2

สรปไดวา f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง [–2 , 2]

ตวอยาง 2.5.9 จงหาชวงทท าให f(x) =32xx

3x

2

เปนฟงกชนตอเนอง

วธท า เนองจาก จดท f ไมตอเนองคอ จดท x 2+ 2x – 3 = 0

ดงนน (x – 1)(x + 3) = 0

จะไดวา จดท f ไมตอเนอง คอ x = 1 หรอ x = –3

ดงนน ชวงทฟงกชนตอเนองคอ (– ,–3) (–3 , 1) (1 , )

X



ฟงกชน f เขยนเปนกราฟไดดงน Y

รป 2.11

แบบฝกหด 2.5 1. ฟงกชนตอไปน ตอเนองทจดทก าหนดใหหรอไม

1.1 f(x) = 2x – 3 ทจด x = –2 1.2 f(x) = 2

x 25 ทจด x = 4

1.3 f(x) = 4x

2x

2

ทจด x = 2 1.4 f(x) =

1x

32x x 2

ทจด x = –1

1.5 f(x) = x x ทจด x = –1 1.6 f(x) = 3x 2 ทจด x = –3

1.7 f(x) =

2 x , 4

2 x , 2x

4x 2

ทจด x = –2

1.8 f(x) =

1x , 2x -

1 x , 3x ทจด x = 1

2. จงหาจด (ถาม) ซงฟงกชนในขอตอไปน ไมตอเนอง

2.1 f(x) = 2x– 4 2.2 f(x) = 1

x 2

2.3 f(x) = 2

1

(x 2) 2.4 f(x) = x

x 1

2.5 f(x) = 2

x 1

x 4x 3

2.6 f(x) = x 1

2.7 f(x) = x

x 2.8 f(x) = cos x

x

2.9 y = x

1 เมอ x คอจ านวนเตม n ทมคามากทสดซง n x

3. ฟงกชน f(x) = 2x 1

x 1

, x 1 และ f(1) = 2 มความตอเนองทจด x = 1 หรอไม

X

83



4. ฟงกชน 2x ; x 1

f (x) 3 ; x 1

x 1 ; x 1

ตอเนองบนชวง [0,3] หรอไม

5. ฟงกชน 2

2

x 3 ; x 1

f (x) x 5 ; 1 x 1

x ; x 1

ตอเนองบนชวง [ 1,1) หรอไม

6. จงหาคา f(3) เพอท าให f(x) 2x 9

x 3

ตอเนองท x = 3

7. จงหาคา g(2) เพอท าให g(x) 2x 3x 10

x 2

ตอเนองท x = 2

8. จงหาคา k ทท าใหฟงกชนทก าหนดใหตอไปน ตอเนองทจดทก าหนดให

8.1 f(x) =

5x ,k 2x

5 x , 1x ทจด x = 5

8.2 f(x) =

3x , 1kx

3 x , 1x 2

ทจด x = 3

8.3 f(x) =

1x , 16x

1 x , k

1 x ,4 x 2

ทจด x = 1


ธรวฒน ประกอบผล. (2545). แคลคลส (Calculus). เพยรสน เอดดเคชนอนโดไชนา. กรงเทพฯ. ประสทธ รางศร. (2547). แคลคลสและเรขาคณตวเคราะห 1. คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลย

ราชภฏอดรธาน. ภาควชาคณตศาสตร คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยเกษตรศาสตร (2540). แคลคลส 1. กรงเทพฯ:

ประสานมตร.

สรวทย ตนแตงผล และ อนสรณ ชนวระยทธ. (2545). แคลคลส 1 (Calculus 1). กรงเทพฯ:

จฬาลงกรณมหาวทยาลย.

Bradley L. Gerald & Smith J. Karl. (1995). Calculus. New Jersey: Prentice – Hall, Inc.

Howard Anton, Davis Stephen & Irl Bivens. (2002). Calculus. American: Anton Texbooks ,Inc.

Robert T. Smith & Roland B. Minton. (2002). Calculus. New York: McGraw – Hill Companies.

Stewart James. (1999). Calculus, Fourth edition. New York. Brooks/Cole Publishing Company.



1. อนพนธของฟงกชน

2. ทฤษฎบทเกยวกบอนพนธของฟงกชน

3. การหาอนพนธโดยปรยาย

4. การหาอนพนธโดยลอการทม 5. อนพนธอนดบสง



1. บอกบทนยามอนพนธของฟงกชน f ท x ได 2. หาอนพนธของฟงกชนโดยใชบทนยามอนพนธได 3. ใชทฤษฎบทการหาอนพนธของฟงกชนพชคณตได 4. ใชทฤษฎบทการหาอนพนธของฟงกชนตรโกณมต ยกก าลง และลอการทมได 5. ใชทฤษฎบทการหาอนพนธของฟงกชนโดยปรยายและอนพนอนดบสงได



2. แบงกลมศกษาเนอหาอนพนธ แลวเสนอรายงานและรวมกนอภปราย










บทท 3

อนพนธของฟงกชน

อนพนธของฟงกชน (derivative of functions) ไดน ำไปประยกตกบศำสตรหลำยสำขำ เชน วทยำศำสตร วศวกรรมศำสตร บรหำรธรกจ และเศรษฐศำสตร เปนตน ซงสวนมำกน ำไปใชเพอแกปญหำทเกดจำกปรมำณของสงตำง ๆ ทมควำมสมพนธกนและกำรเปลยนแปลงไป

3.1 อนพนธของฟงกชน

พจำรณำฟงกชน y f (x) จะพบวำ เมอคำ x เปลยนไป คำ y อำจเปลยนแปลงตำม ซงเรยก x วำ ตวแปรอสระหรอตวแปรตน และเรยก y วำ ตวแปรตำม ถำคำ x เปลยนจำก x เปน x+h แลว คำ y จะเปลยนจำก y = f(x) เปน y = f(x+h) และเรยก ผลตำงของ (x+h) –x วำ สวนเปลยนแปลงของ x ใชสญลกษณเปน x ดงนน

x = (x+h) –x = h

และเรยก ผลตำงของ f(x+h) – f(x) วำ สวนเปลยนแปลงของ y ใชสญลกษณ เปน y ดงนน y = f(x+h) –f(x) = f(x+x) –f(x)

และไดอตรำสวน

y

x

= x

f(x) )xf(x

ซงเรยกวำ อตราการเปลยนแปลงเฉลย (average rate of change) ของ y เทยบกบ x

ในชวง (x, x+x)

บทนยาม 3.1.1 ฟงกชน y f (x) หาอนพนธไดท x a (differentiable at a) ถำ

0xlim x

f(a) )xf(a หำคำได และเรยกลมตนวำ อนพนธของ f ท a (derivative of f

at a) ซงเขยนแทนดวย f (a) นนคอ

f (a) =0x

lim x

f(a) )xf(a

อนพนธของ y = f(x) อำจเขยนแทนดวย y, f (x), )]x(f[dx

d หรอ dx

dy

ทฤษฎบท 3.1.1 f(x) เปนฟงกชนทมอนพนธท x กตอเมอ ax

lim ax

)a(f )x(f

หำคำได

และ f (x) =ax

lim ax

)a(f )x(f



พสจน ให xDf ซง x a และ x– a = x

จะไดวำ a + x = x และ f(a + x) = f(x)

เมอ 0x จะไดวำ ax

โดยกำรแทนคำ x และ x ในบทนยำม 3.1.1 จะไดทฤษฎบท 3.1.1

ทฤษฎบท 3.1.2 ถำ y = f(x) เปนฟงกชนทมอนพนธทจด a แลว f(x) มควำมตอเนองทจด a

พสจน เนองจำก ax

lim

[f(x) – f(a)] = )ax(ax

f(a))x(flim

ax

= )ax(lim ax

f(a))x(flim

axax

จำกทฤษฎบท 3.1.1 จะไดวำ ax

lim a x

)a(f )x(f

หำคำได

และเนองจำก ax

lim

(x – a) = 0

ดงนน ax

lim

[f(x) – f(a)] = 0

จำกทฤษฎบท 2.2.2 ขอ 2. จะไดวำ )x(flimax

= f(a)

จำกบทนยำมควำมตอเนอง จะไดวำ f(x) จะมควำมตอเนองทจด x = a

หมายเหต 3.1.1 ทฤษฎบทนท ำใหเรำไดวำ ถำ f(x) ไมตอเนองท x = a แลว

f(x) ไมมอนพนธท x = a

ตวอยาง 3.1.1 จงหำอนพนธของ f(x) = x2– 3x + 2 ทจด x ใด ๆ และทจด x = – 2

วธท า 1 จำกบทนยำม 3.1.1 จะไดวำ f (x) =0x

lim x

f(x) )xf(x

แทนคำ f (x) = x

2] 3x [x 2] x)3(x x)[(xlim

22

0x

= x

2 3x x 2 x 33x x)(x2xxlim

222

0x

= x

x 3x)(x2xlim

2

0x

= 3)x(2x lim0x

= 2x – 3

ดงนน อนพนธของ f(x) = x2– 3x + 2 ทจด x ใดๆ คอ f (x) = 2x – 3

และอนพนธของ f(x) = x2– 3x + 2 ทจด x = –2 คอ f (–2) = 2(–2) – 3 = –7



ตวอยาง 3.1.2 ถำ y = 1x

x

จงหำ f (x) ทจด x = 3

วธท า จำกบทนยำม 3.1.1 )a(f =0x

lim x

f(a) )xf(a

ดงนน )3(f =0x

lim x

f(3) )xf(3

=x

13

3

1x)(3

x3

lim0x

= x

x)2(2

x][23x)2(3

lim0x

= x24

x36x26

x

1 lim

0x

= x24

1lim

0x

= –

4

1

ดงนน )x(f ทจด x = 3 คอ )3(f = –4

1

จะเหนวำ กำรหำอนพนธของฟงกชนโดยใชบทนยำม 3.1.1 นนท ำไดไมงำยนก ซงในหวขอ 3.2 เรำกลำวถงทฤษฏบทและใชหำอนพนธ ซงจะท ำไดงำยขน

บทนยาม 3.1.2 ฟงกชน f(x) จะเรยกวำ หำอนพนธไดบนชวง (differentiable on an interval) จ ำนวนจรง I กตอเมอ f(x) หำอนพนธได ส ำหรบทกๆ x I

การหาอนพนธของฟงกชน f ทก าหนดให อาจมบางจดในโดเมนของ f เปนต าแหนงทฟงกชนเปลยนลกษณะ เมอเราตองการหาอนพนธของ f ทจดนนจงจ าเปนตองแยกพจารณาอนพนธทำงซำย (left – hand derivative) และอนพนธทำงขวำ (right – hand

derivative)

บทนยาม 3.1.3 อนพนธทำงซำยของฟงกชน f ทจด x ใด ๆ คอ )(x f = x

)x(f)xx(flim

0x

หำคำได

อนพนธทำงขวำของ f ทจด x ใด ๆ คอ ) (x f =

x

)x(f)xx(flim

0x

หำคำได

หมายเหต 3.1.2 จำกบทนยำมลมต บทนยำม 3.1.3 และทฤษฎบท 3.1.2 สรปไดวำ

f มอนพนธทจด x = a กตอเมอ f ตอเนองท x = a และ )(x f = )(x f



ตวอยาง 3.1.3 ให f(x) =

1 x , 1x

1 x ,x x 2

จงหำ )1(f

วธท า เนองจำก f(x)lim1x

= x+1 = 2 และ f(x)lim1x

= x2– x = 1

2– 1 = 0

ดงนน f(x) ไมตอเนองท x = 1

จำกทฤษฎบท 3.1.2 ขอควำมแยงสลบท จะไดวำ f(x) ไมมอนพนธท x = 1 หรอไมม f (1)

ตวอยาง 3.1.4 ให f(x) = x จงหำ f (0)

วธท า จำก f(x) = x =

0 x ,x

0 x ,x และ f(x) ตอเนองท x = 0

พจำรณำ )(0 f = 0x

limx

x)( x)(x

= 0x

limxx

= – 1

และ )(0 f = 0x

limx

xx)(x

= 0x

limxx

= 1

เนองจำก )(0 f )(0 f

ดงนน f(x) ไมมอนพนธท x = 0 หรอ f (0) หำคำไมได

เรำจะเหนวำ f(x) = x เปนฟงกชนตอเนองทจด x = 0 แตไมมอนพนธทจด x = 0

ดงนน บทกลบของทฤษฎบท 3.1.2 ไมเปนจรง แตทจด x = 0 ฟงกชน f กลบมอนพนธทำงซำยเทำกบ –1 และ f มอนพนธทำงขวำเทำกบ 1

ตวอยาง 3.1.5 ให f(x) =

0x , 1x

0x , 13x3

2

จงหำ f (0)

วธท า เนองจำก f(0) = 3(02) + 1 = 1 = 0

3+ 1 = f(x)lim

0x ดงนน f(x) ตอเนองท x = 0

พจำรณำ )(0 f = 0x

limx

f(0)x)f(0

= 0x

limx

1][3(0) 1]x)[3(022

= 0

และ )(0 f = 0x

limx

f(0)x)f(0

= 0x

limx

1][01]x)[(033

= 0

ดงนน f (0)= 0



ตวอยาง 3.1.6 ให 2

2x 1 ; x 1f (x)

x ; x 1

จงหำ f (1)

วธท า เนองจำก f (1_ ) =

x 1 x 1

f (x) f (1) (2x 1) 1lim lim

x 1 x 1

x 1lim 2 2

และ f (1+ ) =

2

x 1 x 1

f (x) f (1) x 1lim lim

x 1 x 1

x 1

(x 1)(x 1)lim

x 1

=

1xlim (x + 1) = 2

ดงนน f (1 ) f (1 ) 2

นนคอ f (1) = 2


1. จงหำอนพนธของฟงกชนทก ำหนดให โดยใชบทนยำมของอนพนธของฟงกชน

1.1 y = 4x – 1 1.2 y = x2 + 7

1.3 y = 5 x 1.4 y = x

1

2. ฟงกชนตอไปนมอนพนธท x a หรอไม 2.1 f(x) = x – 2 ; a = 2 2.2 f(x) = 3x + 1 ; a =

3

1

2.3 f(x) = 1 – x + x 2 ; a = –1 2.4 f(x) = )2 X( 2

1

; a = 2

2.5 f(x) = x

1 ; a = 0 2.6 f(x) =

2x 1 ; x 2; a 2

x 4 ; x 2

2.7 f(x) =

1 x, 3x

5

1 x, 1x

x

; a = 1 2.8 f(x) =

5 x, x)(5

5 x, x52

; a = 5

3.2 ทฤษฎบทเกยวกบอนพนธของฟงกชน

กำรหำอนพนธของฟงกชนโดยใชบทนยำมคอนขำงเสยเวลำ จงนยมใชทฤษฎบทเกยวกบอนพนธหรอเรยกวำสตรหำอนพนธของฟงกชน ซงสะดวกและรวดเรวขน

ทฤษฎบท 3.2.1 ให u และ v เปนฟงกชนของ x ซง u และ v มอนพนธทจด x และ c เปนคำคงตว จะไดวำ



1. dxd c = 0

2. dxd x = 1

3. dxd cu = c

dxd u

4. dxd (u v) =

dxd u

dxd v

พสจน 1. จำกบทนยำม 3.1.1 dxdy

=x

f(x) )xf(xlim

0x

จะไดวำ dxdy

= 0x

lim

xcc

= 0x

lim

0 = 0

2. จำกบทนยำม 3.1.1 dxdy

=x

f(x) )xf(xlim

0x

จะไดวำ dxdy

= x

x )x(xlim

0x

= xx

lim0x

= 0x

lim

1 = 1

3. จะพสจนวำ dxd cu = c

dxd u

ให u = g(x) และ y = f(x) = cu ดงนน f(x) = cg(x)

จำกบทนยำม 3.1.1 dxdy

=x

f(x) )xf(xlim

0x

แทนคำ dxd

cu =x

cg(x) )xcg(xlim

0x

= ] x

)x(g)xx(g [ clim

0x

= cx

g(x) )xg(xlim

0x

= c g(x)dxd

ดงนน cu dxd

= udxdc

4. จะพสจนวำ dxd (u v) =

dxd u

dxd v

ให y = f(x) = (u v) , u = g(x) และ v = h(x)

ดงนน f(x) = g(x) h(x)




=x

f(x) )xf(xlim

0x

แทนคำ dxd (u v) =

x h(x)] g(x) [] x)h(x x)g(x [

lim 0x

= x

] h(x) x) h(x[

x] g(x) v)(u x)g(x [

lim0x

= x

h(x) x) h(x lim

xg(x) x)g(x

lim0x0x

= h(x)dxd g(x)

dxd

= dxd u

dxd v

ทฤษฎบท 3.2.2 ให u และ v เปนฟงกชนของ x ซง u และ v มอนพนธทจด x และ n เปนจ ำนวนตรรกยะ จะไดวำ

1. dxd (uv) = u

dxd v + v

dxd u

2. ) vu (

dxd = 2

v

vdxd uu

dxdv

3. ถำ y = f(u) และ u = g(x) แลว dxdy

=dudy

dxdu (กฎลกโซ)

4. dxd

un = n u

n–1

dxdu

พสจน 1. จะพสจนวำ dxd (uv) = u

dxd v + v

dxd u

ให y = f(x) = uv , u = g(x) และ v = h(x)

จะไดวำ f(x) = g(x)h(x)


=x

f(x) )xf(xlim

0x

แทนคำ dxd (uv) =

x] h(x)g(x) [ ] x)h(x)xg(x [

lim0x

=x

h(x)][g(x) h(x)]x)[g(x h(x)]x)[g(x x)]h(x)x[g(xlim

0x

=x

] g(x)x)g(x (x)[h ] h(x) x) h(x)[xg(xlim

0x

= ) x

] g(x)x)g(x (x)[h

x

] h(x) x) h(xx)[g(x (lim

0x

=x

] g(x)x)g(x (x)[hlim

x

] h(x) x) h(xx)[g(xlim

0x0x

= ] x

g(x)x)g(x h(x)[ lim ]

x

h(x) x) h(xx)g(x [ lim

0x0x



= ] x

g(x)x)g(x [ lim[h(x)] lim ]

x

h(x) x) h(x [ lim] x)g(x [ lim

0x0x0x0x

= ] x

g(x)x)g(x [ lim h(x)lim ]

x

h(x) x) h(x [ limg(x) lim

0x0x0x0x

ดงนน (uv) dxd = g(x)

dxd h(x)h(x)

dxd g(x)

หรอ dxd (uv) = u

dxd v + v

dxd u

2. จะพสจนวา ) vu (

dxd =

2v

vdxd uu

dxdv

ให u = g(x) , v = h(x) และ y = f(x) =vu

ดงนน f(x) = h(x)g(x)


=x

f(x) )xf(xlim

0x

แทนคำ ) vu (

dxd =

xh(x)g(x)

x)h(xx)g(x

lim0x

=x

h(x)x) h(x ] x) h(x g(x)[x)]g(x h(x)[

lim0x

= ] xh(x)x)h(x

x) h(x g(x)[g(x)h(x)g(x)h(x)x)]g(x h(x)[ [ lim

0x

= ] xh(x)x)h(x

h(x)]x) h(x g(x)[g(x)]x)g(x h(x)[ [ lim

0x

= ) ] x

h(x)]x) h(x g(x)[x

g(x)]x)g(x h(x)[ [ ]

h(x)x)h(x1[ ( lim

0x

= ) x

h(x)]x) h(x g(x)[lim

xg(x)]x)g(x h(x)[

lim )( h(x)x)h(x

1 (lim0x0x0x

= ] x

h(x)x) h(x limg(x)lim

xg(x)x)g(x

lim(x)hlim [ h(x)h(x)

10x0x0x0x

= h(x)]dxdg(x) g(x)

dxd h(x)[

[h(x)]

12

=2

[h(x)]

h(x)dxdg(x) g(x)

dxdh(x)

ดงนน ) vu (

dxd =

2v

vdxd uu

dxdv

3. จำกบทนยำม 3.1.1 dxdy

=x

f(x) )xf(xlim

0x

จะไดวำ dxd f(g(x)) =

xf(g(x)) )xf(g(x)

lim0x



=x

f(g(x)) )xf(g(x)[lim

0x

]

g(x)x)g(xg(x)x)g(x

= gxx)x(g

f(g(x)) )xf(g(x)[lim

0x

]

xg(x)x)g(x

= gxx)x(g

f(g(x)) )xf(g(x)lim

0x

xg(x)x)g(x

lim0x

จำก g(x) มอนพนธท x จะไดวำ g(x) เปนฟงกชนตอเนอง จะไดวำ ถำ x 0 แลว g(x + x) g(x)

ดงนน ))x(g(fdx

d=

g(x)x)x(gf(g(x)) )xf(g(x)

limg(x)x)(xg

xg(x)x)g(x

lim0x

= g(x)dxd(g(x))f

d(gx)d (ทฤษฎบท 3.1.1)

นนคอ dxdy

= dudy

dxdu

4. จะพสจนวำ dxd

un = n u

n–1

dxdu

, n เปนจ ำนวนตรรกยะ

ให f(u) = un

จำก 3. จะไดวำ dx

df =

du

df dxdu

(กฎลกโซ)

แทนคำ nu

dx

d = (

nu

du

d)

dxdu

= r u r–1

dxdu

3.2.1 การหาอนพนธฟงกชนพชคณต

เรำสำมำรถหำอนพนธฟงกชนพชคณตไดโดยใชสตรอนพนธของฟงชนในทฤษฎบท 3.2.1 และ 3.2.2 ไดดงน ตวอยาง 3.2.1 ให y = 3x

2+ 5x – 4 จงหำ

dxdy

วธท า dxdy

=dxd (3x

2+ 5x – 4)

=dxd 3x

2+

dxd 5x –

dxd (4) (

dxd (u v) =

dxd u

dxd v)

= 3dxd x

2+ 5

dxd x – 0 (

dxd cu = c

dxd u และ

dxd c = 0)

= 3(2x2–1

) + 5(1) (dxd

un = n u

n–1

dxdu และ

dxd x = 1)

= 6x + 5



ตวอยาง 3.2.2 จงหำ y ของฟงกชน y = 3 2

x + 2x3 – 1 ทจด x = 8

วธท า y =3 2

x + 2x3 – 1 = 3

2

x + 2x3 – 1

y =1

32

x32

+ 6x2 = 3

1

x32

+ 6x2

ทจด x ใด ๆ จะไดวำ y = 3 x32 + 6x

2

ทจด x = 1 จะไดวำ y = (8)683

23

= 3

145

ตวอยาง 3.2.3 ให f(x) = (x2+ 3x – 2)

3 จงหำ )x(f

วธท า f(x) = (x2+ 3x – 2)

3

)x(f = dxd

(x2+ 3x – 2)

3

= 3(x2+ 3x – 2)

2

dxd

(x2+ 3x – 2) (

dxd

un = n u

n–1

dxdu

)

= 3(x2+ 3x – 2)

2(2x + 3)

= (6x + 9)(x2+ 3x – 2)

2

ตวอยาง 3.2.4 ให f(x) = (3x – 1) 1x จงหำ )1(f

วธท า f(x) = (3x – 1) 1x = (3x –1)(x + 1) 21

)x(f =dxd [(3x – 1)(x + 1) 2

1

]

= (3x – 1) dxd

(x + 1) 21

+ (x + 1) 21

dxd

(3x – 1) (dxd (uv) = u

dxd v + v

dxd u)

= (3x – 1)2

1(x + 1)

121

dxd

(x + 1) + (x + 1) 21

(3)

= 2

1(3x – 1)(x + 1) 2

1(1) + 3(x + 1) 2

1

= 1x2

13x

+ 2 1x

และ )1( f = 112112

13(1)

= 2222

4

= 23



ตวอยาง 3.2.5 จงหำ dxdy

ของฟงกชน y = 5x

3 2x 2

วธท า y = 5x

3 2x 2

dxdy

=dxd

( 5x

3 2x 2

)

=22

22

5) (x

5)(xdx

d3)(2x 3)(2x

dx

d5)(x

( )

vu (

dxd =

2v

vdx

du u

dx

dv

)

=22

2

5)(x

3)(2x)2x( 5)(2) (x

=22

22

5) (x

6x4x 102x

=22

2

5)(x

5)3x2(x

ตวอยาง 3.2.6 ให y = x3 – 4 และ x = t

2+ 3t – 1 จงหำ

dtdy

วธท า เนองจำก dxdy

= 3x2 และ

dtdx = 2t

2+3

ดงนน dt

dy=

dx

dy dt

dx = (3x

2)(2t

2+3)

= 3(t2+ 3t – 1)

2(2t

2+3)

= (6t2+ 9) (t

2+ 3t –1)

2

ตวอยาง 3.2.7 ให y = (4x2– 1)

21 จงหำ

dx

dy

วธท า ให u = g(x) = 4x2 – 1 และ y = f(u) = u

21

จะไดวำ dx

du = 8 x และ du

dy = 21u20

dx

dy =

du

dy dx

du (กฎลกโซ)

= (21u20

)(8 x)

= 168x (4x

2– 1)20

ในบำงครง กำรหำ dx

dy จะสะดวกและรวดเรว ถำเรำหำ

dy

dx กอน ดงตวอยำงตอไปน



ตวอยาง 3.2.8 ให x = 5y – y

2 จงหำ dx

dy ทจด (0,1)

วธท า เนองจำก dy

dx = )

y

2y5(

dy

d

= 5 + 2y

2

= 2

2

y

25y

แต dx

dy =

dy

dx

1

ดงนน dx

dy =

25y

y2

2

และทจด (0,1) จะไดวำ dx

dy =

25

1

= 7

1

แบบฝกหดท 3.2 ก

1. จงใชสตรกำรหำอนพนธของฟงกชน เพอหำอนพนธของฟงกชนพชคณตตอไปน 1.1 y = 7x

2– 3x + 4 1.2 y = 4x – 2x

5+ 8

1.3 f(x) = 8 xx3x3 452 1.4 f(x) = (3x – 5)

4

1.5 f(x) = 12xx 24 1.6 f(x) = (3x – 2)(x2+ 4)

1.7 f(x) = (x + 5)2

32x 1.8 f(x) =12x

5 x

1.9 f(x) =14x x

4 2x 2

1.10 f(x) =

1x

1x

3. ถำ y = (2x – 3) 13x จงหำอนพนธของฟงกชนทจด x = 1

4. ถำ y = (x2– 4x +5)

3 จงหำอนพนธของฟงกชนทจด x = 3

5. ถำ f(x) = 18x จงหำ )1(f

6. ถำ f(x) = 3x

x4

จงหำ )2(f

7. ถำ y = u3- 2u

2 + 5 และ u = x

2 - 1 จงหำ )2('y



3.2.2 การหาอนพนธฟงกชนตรโกณมตและฟงกชนตรโกณมตผกผน

สตรพนฐำนทส ำคญเกยวกบฟงกชนตรโกณมต ซงอำจน ำไปใชในกำรหำอนพนธ 1. sin

2 + cos

2 = 1

2. sec2 – tan

2 = 1 , cos 0

3. csc2 – cot

2 = 1 , sin 0

4. sin(A B) = sin A cos B cos A sin B

5. cos(A B) = cos A cos B sin A sin B

6. tan(A B) = B tanA tan1 B tan A tan

7. sin A + sin B = 2 sin2

BA cos2

BA

8. cos A + cos B = 2 cos2

BA cos2

BA

9. sin A – sin B = 2 cos2

BA sin2

BA

10. cos A – cos B = –2 sin2

BA sin2

BA

ทฤษฎบท 3.2.3 ถำ u = g(x) เปนฟงกชนทมอนพนธท x แลว

1. dxd

sin u = cos u dxd

u

2. dxd

cos u = – sin u dxd

u

3. dxd

tan u = sec2u dx

du

4. dxd

csc u = – csc u cot udxd

u

5. dxd

sec u = sec u tan u dxd

u

6. dxd

cot u = – csc2u dx

du

พสจน 1. จะพสจนวำ dxd

sin u = cos u dxd

u

ให y = sin u เนองจำก u = g(x) เปนฟงกชนทมอนพนธท x

ดงนน u เปนฟงกชนตอเนองท x และจำกบทนยำม 3.1.1 จะไดวำ

dudy

= dud

sin u =0u

lim u

usin u)(u sin

=0u

lim u

)2

uuusin( )

2uuu

( 2cos

=0u

lim

2u

)2u

sin( )2u

(u cos



=

2u

lim )2u

ucos(lim)

2

usin(

0u0u

= (cos u)(1) จำกกฎลกโซ

dxdy

= dudy

dxdu

จะไดวำ dxd

sin u = cos u dxd

u

2. dxd cos u =

dxd sin ( u

2 )

= cos ( u2 )

dxd ( u

2 )

= [cos ( u2 )](–

dxd u)

= – cos ( u2 )

dxd u

dxd cos u = – sin u

dxd u

3. dxd tan u =

dxd (

ucossin u )

=ucos

u)(cosxdsin u (sin u)

dxd ucos

2

=ucos

u)dxdsin u (sin u)( u)

dxd u u)(cos(cos

2

=ucos

udxdusin u

dxducos

2

22

=ucos

udxdu)sin u (cos

2

22

= udxd

ucos

12

= sec2u u

dxd

4. – 6. สำมำรถพสจนไดท ำนองเดยวกน

ตวอยาง 3.2.9 จงหำอนพนธของฟงกชน y = 3 sin x2

วธท า dxdy

= dxd

3sin x2 = 3cos x

2 dx

d x

2 ( dx

dsin u = cos u dx

du)

= (3cos x2)(2x)



= 6x cos x2

ตวอยาง 3.2.10 ถำ y = cos32x จงหำ

dxdy

วธท า เนองจำก y = cos32x = (cos 2x)

3

ดงนน dxdy

= dxd

(cos 2x)3

= 3(cos 2x)2

dxd

(cos 2x) (dxd

un = n u

n–1

dxdu

)

= 3(cos 2x)2(–sin 2x)

dxd

(2x) (dxd

cos u = – sin u dxd

u)

= (–3sin 2x cos22x )(2)

= – 6 sin 2x cos22x

ตวอยาง 3.2.11 ถำ f(x) = 2x2 tan 4x จงหำ )

4(f

วธท า f(x) = 2x2 tan 4x = (2x

2)(tan 4x)

)x(f = dxd

(2x2 tan 4x)

= 2x2 dx

dtan 4x + tan 4x dx

d2x

2 ( (uv)

dxd

= u dxd

v + v dxd

u)

= (2x2)(sec

24x)

dxd

(4x) + (tan 4x)(4 x)

= (2x2)(sec

24x)(4) + (tan 4x)(4 x)

ดงนน )x(f = 8x2 sec

24x + 4x tan 4x

)3

(f = 8 2)4

( sec

24 )

4( + )

4(4

tan 4 )4

(

= 2

2sec

2 + tan

= 2

2 (–1)

2 + (0)

= 2

2

ตวอยาง 3.2.12 ให f(x) = xsin 1

x cos2

จงหำ f (x)

วธท า 2

22

x)sin (1

)x sin1(dx

dxcos)x(cos

dx

d)xsin1(

)x(f

( )

vu (

dxd

= 2v

vdx

du u

dx

dv

)



2

2

x) sin(1

)x (cosxcos)x cos xsin2)(xsin1(

2

3

x)sin (1

xcos)x2 )(sinxsin1(

ตวอยาง 3.2.13 ให f(x) = xtan4 2 จงหำ f (x) วธท า f (x) =

dxd

( xtan24 ) =

dxd 2

1

)x tan4(2

= )x tan4(dx

d)x tan4(

2

1 22 21

= )x secx tan2()x tan4(2

1 22 21

=

x 2

tan4

x 2

secx tan

ตวอยาง 3.2.14 ถำ y = 1 3x

1) (2x cot

จงหำ y

วธท า y= dxdy

= dxd

)1 3x

1)(2x cot (

= 21)(3x

1)(3xdx

d1)(2xcot 1)(2xcot

dx

d1)(3x

= 2

2

1)(3x

1)(3)(2xcot 1)(2x dx

d1))(2xcsc1)((3x

= 2

2

1)(3x

1)(3)(2xcot 1))(2)(2xcsc1)((3x

= 2

2

1)(3x

1)(2xcot 3 1)(2xcsc 2)(6x

ตวอยาง 3.2.15 ถำ y = 7 sec 2x + 5 csc x จงหำ dxdy

ทจด x =4

วธท า dxdy

= dxd

( 7 sec 2x + 5 csc x) = dxd

(7 sec 2x) + dxd

(5 csc x)

= 7 dxd

sec 2x + 5 dxd

csc x

= 7 sec 2x tan 2x dxd

2x + (–5 csc x cot x) dxd

x

= (7 sec 2x tan 2x)(2) – 5 csc x cot x

= 14 sec 2x tan 2x – 5 csc x cot x



) 4

( f = 14 sec 2(

4

) tan 2(

4

) – 5 csc

4

cot

4

= 14(0) +5 2 (1)

= 5 2

เรำตองกำรควำมสมพนธทเกดจำกกำรผกผนของฟงกชนตรโกณมตทเปนฟงกชน

ดงนนจงมกำรก ำหนดโดเมนของกำรผกผน และสตรพนฐำนทส ำคญเกยวกบฟงกชนตรโกณมตผกผน เชน 1. sin(sin

–1x) = x เมอ –1 x 1

2. cos(cos–1

x) = x เมอ –1 x 1

3. tan(tan–1

x) = x เมอ x R

4. tan–1

x tan–1

y = tan–1

xy 1 y x

ทฤษฎบทตอไปนเรำใชหำอนพนธฟงกชนตรโกณมตผกผน ดงน

ทฤษฎบท 3.2.4 ถำ u = g(x) เปนฟงกชนทมอนพนธท x แลว

1. dxd

sin–1

u = udxd

u1

12

เมอ –1 u 1

2. dxd

cos–1

u = udxd

u1

12

เมอ –1 u 1

3. dxd

tan–1

u = udxd

u1

12

4. dxd

cot–1

u = udxd

u1

12

5. dxd

sec–1

u = udxd

1u u

12

เมอ u –1 หรอ 1 u

6. dxd

csc–1

u = udxd

1u u

12

เมอ u –1 หรอ 1 u

พสจน จะพสจนวำ dxd

sin–1

u = udxd

u1

12

เมอ –1 u 1

ให y = sin–1

u ดงนน u = sin y

dxdu

= dxd

sin y = cos ydxdy

dxdy

= ycos

1dxdu ………………... ( * )

เนองจำก cos y = ysin12

และ y [– 2

, 2

]

ดงนน cos y = ysin12



จำก ( * ) จะไดวำ

dxdy

= ysin1

12

dxdu

= 2

u1

1

dxdu

2. – 6. สำมำรถพสจนไดท ำนองเดยวกน

ตวอยาง 3.2.16 จงหำอนพนธของฟงกชน y = (1 + sin–1

2x) 3

วธท า dxdy

= dxd (1 + sin

–12x)

3

= 3(1 + sin–1

2x) 2

dxd

(1 + sin–1

2x)

= 3(1 + sin–1

2x) 2 (0 +

22x)1

1

(dxd

(2x)

= 3(1 + sin–1

2x) 2

24x1

2

= 2

21

4x1

2x)sin6(1

เมอ –1 2x 1

ตวอยาง 3.2.17 ถำ f(x) = 5 csc–1

4x + tan–1

x2 จงหำ f (1)

วธท า f (x) = dxdy

= dxd (5 csc

–14x + tan

–1x

2)

= 5dxd csc

–14x +

dxd tan

–1x

2

= 5 4xdx

d

1(4x)4x

12

+ 2

22 xdxd

)(x1

1

= 116x x

52

+ 4x1

2x

และ f (1) = 116(1) 1

5-2

+ 4)1(1

2(1)

= 3) 15(3

1




1. จงหำอนพนธของฟงกชนทก ำหนดใหตอไปน 1.1 y = cos 5x 1.2 y = sin (x

3-4)

1.3 y = sec 2x – cos 4x 1.4 y = tan 6x

1.5 y = tan3x 1.6 y = cot x 2x csc

1.7 y = 6 csc 2x + 4 cot x2 1.8 y = sin

25x + 3 cos

4 x

1.9 y = x3 tan 2x 1.10 y = sec x csc

2x

1.11 f(x) = 4x cot34x 1.12 f(x) =

12x

2xsin

1.13 f(x) =2x cos

sin x 1.14 f(x) = sin (cos 4x)

1.15 y = cos–1

5x 1.16 y = 2sin–1

(x –1)

1.17 y = 5x – sec–1

2x 1.18 y = tan–1

3x + 4 csc–1

4x

1.19 y = (cot–1

(2x) + 3x)3 1.20 y = x

2 sin

–12x

1.21 y = cos 2x tan–1

x 1.22 y = 4x (sin–1

x)2

1.23 y = 5x x cos 1 1.24 y = sin–1

x – 2

x1

1.25 y = x 3xtan1

1.26 y = cos 3x – cos–1

2x

1.27 y =xsin

2x1 1.28 y =

3x

xtan 1

1.29 y =3xxcos

2x1

1.30 y =

5x

5 x sin 1

2. ถำ y = x cos 3x จงหำอนพนธของฟงกชนทจด x = 3

3. ถำ f(x) = 3x – tan 4x จงหำ )4

(f

4. ถำ y = (sin–1

x) 2 จงหำอนพนธของฟงกชนท x =

2

1

5. ถำ f(x) = 3x tan–1

2x จงหำ )2

1(f



3.2.3 การหาอนพนธฟงกชนเลขชก าลงและฟงกชนลอการทม

เรำเรยก f(x) = ax โดยท a 0 และ a 1 วำ ฟงกชนเลขชก ำลง

และเรยก y = loga x โดยท a 0 และ a 1 วำ ฟงกชนลอกำรทมฐำน a

เรำมสมบตเลขยกก ำลงทควรทรำบ ดงน ให m, n เปนจ ำนวนเตมบวก

1. am

an = a

m+n 2. (a

m)

n= a

mn 3. (ab)

n= a

nb

n

4. n

m

a

a= a

m–n 5. a n

m

=n m

a 6. a–n

=

na

1

และสมบตของฟงกชนลอการทมพนฐานทควรทราบ ดงน ให a , c เปนจ านวนจรงทมากกวา 0 และไมเทากบ 1 และ b , M และ N เปนจ านวนจรงทมากกวา 0

1. loga 1 = 0 และ loga a = 1 2. loga (MN) = loga M + loga N

3. loga b = a log

blog

c

c 4. loga ( NM ) = loga M – loga N

ขอสงเกต 3.2.1

1. y = loga x กตอเมอ x = ay

2. ฟงกชนเลขชก าลง เปนฟงกชน 1-1 จาก R ทวถง R+ และ ฟงกชนลอการทมฐาน a เปนฟงกชน 1-1 จาก R+ ทวถง R

3. ตอไปจะใช log x แทน log10 x และ ln x แทน loge x

ทฤษฎบท 3.2.5 ถำ u และ v เปนฟงกชนทมอนพนธท x แลว

1. dxd

loga u = udxde log

u1

a เมอ a 0 และ a 1

2. dxd

ln u = udxd

u1

3. dxd

au = a

u ln a u

dxd

เมอ a 0 และ a 1

4. dxd

eu = e

u udxd

พสจน 1. จะพสจนวำ dxd loga u = u

dxde log

u1

a เมอ a 0 และ a 1

ให y = loga u

dudy

=dxd loga u

dudy

=0u

lim u

ulogu)(ulog aa



=0u

lim u

uuuloga

=0u

lim u

uulog

u

1

u

ua

=0u

lim u

1 0u

lim u

uulog

u

ua

= u1

0ulim

uu

a ) uu (1log

= u1

0ulim

uu 1

a ) uu (1log

= u1 loga [ 0u

lim

uu 1

) uu (1

]

dudy

= u1 logae (นยำมคำ e)

โดยกฎลกโซ dxdy

= dudy

dxdu

แทนคำ dxd loga u =

u1 logae

dxdu

2. ให y = ln u = loge u (ขอสงเกต 3.2.1 ขอ 3.)

dxdy

= dxd ln u =

u1 logee

dxdu (จำก 1.)

dxd ln u = u

dxd

u1 ( logaa = 1)

3. ให y = au

จะไดวำ u = logay (ขอสงเกต 3.2.1 ขอ 1.)

dxdu =

y1 logae

dxdy

(จาก 1.)

dxdu =

alog

elog

y1

e

e dxdy

(สมบตฟงกชนลอกำรทม ขอ 3.)

dxdy

= y loge a dxdu

ดงนน dxd a

u = a

u ln a

dxdu

4. dxd e

u = e

u ln e

dxdu (จำก 3. และให a = e)

= eu

dxdu ( ln e = logee = 1)

ดงนน dxd

eu = e

u udxd



ตวอยาง 3.2.18 ให f(x) = 2xsine จงหำ )x(f

วธท า )x(f = dxd

2xsine =

2xsinedxd sin x

2 (

dxd

eu = e

uu

dxd

)

= 2xsine (cos x

2)

dxd (x

2)

= 2x cos x2

2xsine

ตวอยาง 3.2.19 ให y = ln (cos 4x) จงหำ y

วธท า y = dxdy

= dxd

ln (cos 4x)

= 4x cosdx

d

4x cos

1 (dxd

ln u = udxd

u1

)

= – 4xdx

d

4x cos

4xsin

= – 4 tan 4x

ตวอยาง 3.2.20 ให y = 53x

จงหำ dxdy

วธท า dxdy

= dxd

53x

= 53x

ln 5 dxd 3x (

dxd

au = a

u ln a u

dxd

)

= 53x

(3 ln 5)

ตวอยาง 3.2.21 ให y = log2(x3– 3x

2 + 1) จงหำ

dxdy

วธท า dxdy

= dxd

log2(x3– 3x

2 + 1)

= 1)3x (xdx

de log

1 3xx

1 23223

(dxd

loga u = udxde log

u1

a )

= e log13xx

6x3x223

2


1. จงหำอนพนธของฟงกชนทก ำหนดใหตอไปน 1.1 y = log (3x + 5) 1.2 y = log3(x

2+ 4)

1.3 y = ln (4x3– 1) 1.4 y =

4x

5xln

1.5 y = (ln 7x) 2

1.6 y = 4ln x 3



1.7 y = 32x – 5

1.8 y = 6sin 3x

1.9 y = x2 e

sin x 1.10 y = x

2e

-2x

2. ถำ y = ln (tan x) จงหำอนพนธของ y ทจด x = 3

3. ถำ f(x) = x esin x

จงหำ )

2

(f

4. ถำ f(x) = e4x

cos 2x จงหำ )0(f

3.2.4 การหาอนพนธฟงกชนไฮเพอรโบลกและฟงกชนไฮเพอรโบลกผกผน

ฟงกชนไฮเพอรโบลกไซน และฟงกชนไฮเพอรโบลกโคไซน ก ำหนดโดย sinh x = )e(e

21 xx

และ cosh x = )e(e21 x

x ตำมล ำดบ

ท ำนองเดยวกนกบฟงกชนตรโกณมต จะก ำหนดฟงกชนไฮเพอรโบลกอน ๆ ดงน

tanh x = x

x

xx

ee

ee

, coth x = xx

x

x

ee

ee

, sech x = x

xee

2

และ csch x = xx

ee

2

และมความสมพนธของฟงกชนไฮเพอรโบลกทส าคญ ดงน 1. cosh

2x – sinh

2x = 1

2. sinh 2x = 2sinh x cosh x

3. cosh 2x = cosh2x + sinh

2x

4. sinh(x1 x2) = sinh x1 cosh x2 cosh x1 sinh x2

5. cosh(x1 x2) = cosh x1 cosh x2 sinh x1 sinh x2

6. tanh(x1 x2) = 21

21

x tanh x tanh 1

x tanh xtanh

การหาอนพนธฟงกชนไฮเพอรโบลก (hyperbolic function) และฟงกชนไฮเพอร

โบลกผกผน มทฤษฎบทดงตอไปน

ทฤษฎบท 3.2.6 ถำ u เปนฟงกชนทมอนพนธท x แลว

1. dxd

sinh u = cosh u dxdu

4. dxd

coth u = – csch2u

dxdu

2. dxd

cosh u = sinh u dxdu

5. dxd

sech u = – sech u tan u dxdu

3. dxd

tanh u = sec2u

dxdu

6. dxd

csch u = – csch u cot u dxdu



พสจน 1. เนองจำก dxd

sinh x = dxd

[ 21

(e x– e

– x )]

= 21

(e x

+ e– x

)

ดงนน dxd

sinh x = cosh x ................................ (*)

ให y = sinh u

จะไดวำ dudy

= dud

sinh u = cosh u

จำก (*) และกฎลกโซ dxdy

= dudy

dxdu

ดงนน dxd

sinh u = cosh u dxdu

2. พสจนไดท ำนองเดยวกนกบ 1.

3. จะพสจนวำ dxd

tanh u = sec2u

dxdu

dxd

tanh u =dxd

( cosh usinh u

)

=ucosh

cosh udxdsinh u sinh u

dxdcosh u

2

=ucosh

dxdu u)sinh u(sin

dxdu(cosh u)cosh u

2

=ucosh

dxdu u)sinh u (cosh

2

22

=ucosh

dxdu (1)

2

= sec2u dx

du

ขอ 4. , 5. และ 6. พสจนไดท านองเดยวกนกบขอ 3.

ตวอยาง 3.2.22 ให y = 2cosh x

3x จงหำ

dxdy

วธท า dxdy

=

2cosh x

3x

dx

d

= 22

22

)(cosh x

)(cosh xdx

d2x 2x

dx

dcosh x

= 22

222

)x(cosh

)(xdx

dxsinh 2x x2cosh



= 22

22

xcosh

)(2x)sinh x(2x 2cosh x

= 22

222

xcosh

sinh x 4x 2cosh x

ตวอยาง 3.2.23 ให f(x) = x3tanh 3

x จงหา )x(f

วธท า )x(f = dxdy

=dxd

(x3

tanh 3x

)

= x3

dxd

tanh 3x

+ tanh 3x

dxd

(x3)

= x3( sech

2

3x

)dxd

( 3x

) + 3x2 tanh 3

x

= x3(sech

2

3x

)( 31

) + 3x2 tanh 3

x

= 3x

3

sech 3x

+ 3x2 tanh 3

x

= x2 (

3

x sech2

3

x + 3 tanh 3

x)

กำรน ำฟงกชนไฮเพอรโบลกผกผนไปใชมกอยในรปของฟงกชนลอกำรทม ดงน y = sinh

–1x จะเรยกวำ ฟงกชนผกผนของ y = sinh x กตอเมอ x = sinh y

ดงนน x = )e(e21 yy

จะไดวำ 2xey

= e2y – 1

หรอ e2y

– 2xey – 1 = 0

ดงนน ey =

244x 2x)( 2 ( ey

0 )

= x + 1x2

y = ln(x + 1x2 ) (ขอสงเกต 3.2.1 ขอ 1.)

เนองจำก y = sinh–1

x

ดงนน sinh–1

x = ln(x + 1x2 )

ในท ำนองเดยวกน จะไดฟงกชนไฮเพอรโบลกผกผน ในรปของฟงกชนลอกำรทมดงน 1. y = sinh

–1 x = ln( x + 1x

2 )

2. y = cosh–1

x = ln( x + 1x2 )



3. y = tanh–1

x = )x1x1(ln

21

4. y = coth–1

x = )1x1x(ln

21

5. y = sech–1

x =

xx11ln

2

6. y = csch–1

x =

x x1

x1ln

2

ทฤษฎบท 3.2.6 ถำ u เปนฟงกชนทมอนพนธท x แลว

1. dx

d sinh–1

u = 1u

12 dx

du

2. dx

d cosh–1

u = 1u

1

2 dx

du เมอ u 1

3. dxd

tanh–1

u = 2u1

1

dxdu

เมอ u 1

4. dxd

coth–1

u = 2u1

1

dxdu

เมอ u 1

5. dxd

sech–1

u = 2

u1u

1

dxdu

เมอ 0 u 1

6. dxd

csch–1

u = 2

u1 u

1

dx

du เมอ u 0

พสจน 1. เนองจำก sinh–1

u = ln(u + 1u2 )

ดงนน dxd

sinh–1

u = dxd

( ln(u + 1u2 ))

= 1uu

12 dx

d( u + 1u

2 )

= 1uu

12

( dxdu

+ dxd

1u2 )

= 1uu

12

( dxdu

+ 1u2

2u2 dx

du)

= 1uu

12

( 1 + 1u

u2

) dxdu

= 1uu

12

(1u

u 1u2

2

) dx

du

= 1u

12 dx

du

ขอ 2. – 6. พสจนไดท ำนองเดยวกนกบขอ 1.



ตวอยาง 3.2.24 ให f(x) = cosh–1

(tan x) จงหา )3

(f


( cosh–1

(tan x))

= 1 x tan

12 dx

d(tan x)

=

13

tan

xsec

2

2

เมอ tan x > 1

และ )3

(f =

13

tan

3sec

2

2

= 2

4 = 22

ตวอยาง 3.2.25 จงหาอนพนธของฟงกชน y = )x ln(sech)x (sinh 121

วธท า dxdy

= ] x)ln(sech x)(sinh [ dx

d 121

= x)ln(sechdx

d x)(sinh

dx

d 121

= x)(sechdx

d

xsech

1 x)(sinh

dx

dx)2(sinh 1

1

11

= )x1x

1

xsech

1 )

1x

1x)2(sinh

212

1

=212

1

x1x

1

xsech

1

1x

1x)2(sinh

=x sech ) x1(

1 )x(sinh

1x

212

1

แบบฝกหด 3.2 ง

1. จงหำอนพนธของฟงกชนทก ำหนดใหตอไปน 1.1 y = tanh x

2 1.2 y = cosh

2x

1.3 y = sinh (ex– e

– x ) 1.4 y = sech 2x tan 2x

1.5 y = x csch x 1.6 y = xcoth xsinh



1.7 y = x1

3xsinh

3 osc 1.8 y =

4xsinh

4xcosh

1.9 y = x3 tanh

–1 3x 1.10 y = sinh

–1 (2x – 4)

1.11 y = csch–1

1x 2 1.12 y = (sinh

–1x + cosh

–1x)

4

1.13 f(x) =x1

3x sinh

3

1

1.14 f(x) = tanh

–1

1x1x

1.15 f(x) = ln (sinh 2x) 1.16 f(x) = cosh (ln x)

1.17 f(x) = cos (sinh–1

x) 1.18 f(x) = sinh–1

(cos x)

1.19 f(x) = etanh x

1.20 f(x) = coth–1

(e2x

)

2. ถำ y = cosh 2x จงหำอนพนธของ y ทจด x = 2

1

3. ถำ f(x) = coth–1

x จงหำ )2(f

3.3 การหาอนพนธโดยปรยาย

หวขอทผำนมำเปนกำรหำอนพนธของฟงกชนในรป y = f(x) ซงเรยกวำ

ฟงกชนชดแจง (explicit function) แตมฟงกชนอกมำกทอยในรป f(x,y) = 0 ซงเรยกวำ ฟงกชนปรยาย (implicit function ) เชน x2

+ 2xy – y3 + 5 = 0 ส ำหรบกำรหำอนพนธฟงกชน

ปรยำยนนสำมำรถท าไดโดยหาอนพนธของทงสองขางของสมการเดม เทยบกบ x โดยถอวา y เปนฟงกชนของ x ซงการหาอนพนธโดยวธน เรยกวา การหาอนพนธโดยปรยาย (implicit

differentiation)

ตวอยาง 3.3.1 จงหำอนพนธของฟงกชน x3+ 6xy – 3y

2 + 7 = 0

วธท า หำอนพนธทงสองขำง dxd

(x3+ 6xy – 3y

2 + 7) = dx

d(0)

0dx

dyy ]

dx

dxy

dx

dy6[x3x 6

2 = 0

dx

dy6y 6y

dx

dy6x3x2 = 0

dx

dy6y

dx

dy3x

2 = –3x

2 – 6y

dxdy

= 2y) 3(x

y)23(x2

2

= y2

2x

y22

x



ตวอยาง 3.3.2 จงหำอนพนธของฟงกชน sin 2y = 2y + x2

วธท า หาอนพนธทงสองขาง dxd

sin 2y =2

xdxdy

dxd2

dx

dy2y cos2 = 2

dxdy

+ 2x

dx

dy2

dx

dy2y cos2 = 2x

dx

dy1) 2y (cos2 = 2x

dxdy

=1) 2y (2cos

2x

ตวอยาง 3.3.3 จงหำอนพนธของฟงกชน (5– y3)4

= 4x3– y

4

วธท า หำอนพนธทงสองขำง dxd

(5 – y3)4

= 43 ydx

dx

dx

d4

)y5(dx

d)y54( 33 = 12x

2 – 4y

3

dxdy

)dx

dy3y)(y5(4

23 = 12x2 – 4y

3

dxdy

dx

dy3y

dx

dyy15

52 = 3x2 – y

3

dxdy

(–15y2+ 3y

5 + y

3)

dxdy

= 3 x2

dxdy

=)15yy3(y

3x32

2


1. จงหาอนพนธโดยปรยายของฟงกชนทก าหนดใหตอไปน 1.1 x

2– y2= 4 1.2 x sin y – y sin x = 1

1.3 x2+ xy – y

2= 6 1.4 y = cos (x

2+ 2y)

1.5 x2+ y

2+ 8x = 0 1.6 y = ln (x

4– xy)

1.7 4x2– y

4– 4xy = 0 1.8 xy + cos y = x



1.9 (x – y)2= (y + 3)

4 1.10 y + cos xy = 3

1.11 y2 =

yx

yx

1.12 ln

y

x +

y

xln = 5

2. จงหา dxdy ณ จดทก าหนดใหตอไปน

2.1 4x2+ 4y – y3

= 0 , (2, -2) 2.2 x + xy – y2 = 1 , (1, 1)

2.3 2x – xy+ y = 6 , (1, 1) 2.4 2x – xy2+ y = 6 , (3, 1)

3. ให x2 – 4y

2 = 9 จงหา y ทจด (5,2)

4. ให x2 – 4xy + y

2 + 3 = 0 จงหา y ทจด (2, –1)

5. ให 4x2 + 9y

2 = 35 จงหา y ทจด 3 3

12

,

3.4 การหาอนพนธโดยลอการทม (logarithmic differentiation)

ในกำรหำอนพนธของฟงกชนทมควำมซบซอนหรอมหลำยฟงกชน กำรใชสตรหำอนพนธของผลคณหรอผลหำรหรอยกก ำลงโดยตรงอำจไมสะดวก กำรใสลอกำรทมฐำน e

ทงสองขำงของฟงกชนแลวใชสมบตฟงกชนลอกำรทมเพอหำอนพนธซงจะท ำใหงำยขน

ตวอยาง 3.4.1 ให y = 4x

2x6)tan (3x

จงหำ dxdy

วธท า ใส ln ทงสองขำง

ln y = ln 4x

2x6)tan (3x

= 46 xln 2x)ln(tan )ln(3x

= 2

1

)(xln 2x)ln(tan )ln(3x 46

หำอนพนธทงสองขำง

dxd

ln y = )(xln dx

d

2

1 2x)ln(tan

dx

d)ln(3x

dx

d46

dxdy

y1 = )(x

dx

d

)2(x

1 2x)(tan

dx

d

2xtan

1 )(3x

dx

d

3x

14

46

6

dxdy

y1 =

)2(x

1

2xtan

2x 2sec

3x

3

46

2

ดงนน dxdy

= ] 4)2(x

1

x2tan

x22sec

x

1 [y

2

2



ตวอยาง 3.4.2 ให y = 2

2

x21

)1x2(x

จงหำ

dxdy

วธท า จำก y =

2

2

x21

)1x2(x

= 2

1

2

2

2x1

1)(2x x

จะไดวา ln y = ln 2

1

2

2

2x1

1)(2x x

= 2

1 ln 2x1

1)(2xx2

2

= 2

1 [ ln x2+ ln (2x – 1) – ln (1 + 2x

2)]

dxd

ln y = 2

1 [ dxd

ln x2+

dxd

ln (2x – 1) – dxd

ln (1 + 2x2)]

dxdy

y1 =

2

1 ( 2x

2x+

12x

2

–

22x1

4x

)

dxdy

= y [x

1 +12x

1

–

22x1

2x

]

ดงนน dxdy

= 2

2

x21

)1x2(x

[x

1 +1x2

1

–

22x1

2x

]


จงหำอนพนธของฟงกชนทก ำหนดใหตอไปนโดยใชลอกำรทม

1. y = 4)3)(x2)(x(x 32

2. y = 4

x2

x2

e x

3. y = x

x

4. y = 4x

xcosx sin x) (1 x2

233 2

5. y = 5

23

x4

)2x(x



3.5 อนพนธอนดบสง

ให y = f(x) เปนฟงกชนทมอนพนธท x

เรำจะเรยก y , )x(f หรอ dxdy

วำ อนพนธอนดบหนง (the first derivative) ของ f(x)

และถำ )x(f เปนฟงกชนทมอนพนธท x แลว จะเรยก y , )x(f หรอ 2

2

dx

yd=

dxd

(dxdy

)

วำ อนพนธอนดบสอง (the second derivative) ของ f(x)

และถำ )x(f เปนฟงกชนทมอนพนธท x แลว จะเรยก y(3), f

(3)(x) หรอ 3

3

dx

yd=

dxd

( 2

2

dx

yd)

วำ อนพนธอนดบสำม (the third derivative) ของ f(x)

และถำ f(n–1)(x) เปนฟงกชนทมอนพนธท x แลว จะเรยก y(n)

, f(n)

(x) หรอ n

n

dx

yd=

dxd

( 1n

1n

dx

yd

)

วำ อนพนธอนดบ n (the nth

derivative) ของ f(x)

เรำจะกลำววำ y(n), f

(n)(x) หรอ n

n

dx

yd เมอ n > 1 เปนอนพนธอนดบสง (higher

derivative) ของ y = f(x)

ตวอยาง 3.5.1 ให y = 2x3– 2x

2 + 4 จงหำ ''y

วธท า 'y = dxd

(2x3 – 2x

2 + 4)

= 6x2 – 4x

''y = dxd

(dxdy

)

=dxd

(6x2– 4x)

= 12x – 4

ตวอยาง 3.5.2 ให f(x) = (x2 + 1)

2 จงหำ f (x)

วธท า f (x) = dxd

(x2+ 1)

2

= 2(x2+ 1)

dxd

(x2+ 1)

= 4x(x2+ 1)

f (x) = dxd

(4(x3+ x))

= 4(3x2+ 1) = 12x

2+ 4



ตวอยาง 3.5.3 ให f(x) = 12x

1

จงหำ f

(3)(x)

วธท า เนองจำก f(x) = 12x

1

= (2x + 1)-1

ดงนน f (x) = dxd

(2x + 1)-1

= (–1)(2x+1)-2

dxd

(2x + 1)

= –2(2x+1)-2

= 21)(2x

2

หำท ำนองเดยวกน จะไดวำ

f(x) = 31)(2x

8

และ f (3)(x) =

41)(2x

48

ตวอยาง 3.5.4 ให f(x) = (x + 1)3 จงหำ f

(n)(x)

วธท า เนองจำก f (x) = 3(x + 1)2

f (x) = 6(x + 1)

f (3)

(x) = 6

f (4)

(x) = 0

ดงนน f (n)(x) = 0 เมอ n ≥ 4

ตวอยาง 3.5.5 ให f(x) = sin 3x + e–3x

จงหำ f (3)

(x)

วธท า จำก f(x) = sin 3x + e–3x

)x(f = dxd

(sin 3x) + dxd

e–3x

= 3cos 3x – 3e–3x

)x(f = dxd

( f (x))

= dxd

( 3cos 3x) –dxd

(3e–3x

)

= – 9sin 3x + 9e–3x

f (3)

(x) = dxd

( )x(f )

= dxd

( – 9sin 3x) + dxd

(9e–3x

)



= – 27cos 3x – 27e–3x

= 27(e–3x

–cos 3x)

ตวอยาง 3.5.6 ให f(x) = ln(4 – x) จงหำ f

(n)(x)


ln(4– x)

= x4

1

)x(f = dxd

( )x(f )

= dxd

(x4

1

)

= 2x)(4

1

f (3)

(x) = dxd

(2x)(4

1

)

= 3x)(4

1(2)

f(4)

(x) = dxd

[3x)(4

1(2)

]

= 4x)(4

1(2)(3)

f(n)

(x) = nx)(4

1)..(n(1)(2)(3).

= nx)(4

1)!(n

ตวอยาง 3.5.7 ให 3xy –x = 2 จงหำ y และ y ทจด (1,1)

วธท า dxd

(3xy –x) = dxd

(2)

3xy + 3y – 1 = 0 ………………. (*) ทจด (1,1) จะไดวำ 3 y + 3 – 1 = 0

ดงนน y = 3

2

หำอนพนธ (*) เทยบกบ x อกครง จะไดวำ

dxd

(3xy + 3y – 1) = dxd

(0)

3(y + xy) + 3y = 0

3xy + 6y = 0



ทจด (1,1) และ y = 3

2 จะไดวำ

3y + 6(3

2 ) = 0

ดงนน y = 3

4


ก ำหนดฟงกชน y และ n ดงตอไปน จงหำ n

n

dx

yd

1. y = 3x – 1 , n = 2 2. y = 2x3–x

2+ 2x – 1 , n = 3

3. y = 4

x4

+ 3

x3

+ x2 + 1 , n = 3 4. y = (2x – 1)

6 , n = 4

5. y = (1+ x)4 , n = 4 6. y = 1x , n = 2

7. y = (4x2 + x)

-1 , n = 3 8. y =

x

23x , n = 2

9. y = cos 3x , n = 4 10. y = sin 3x + cos 2x , n = 3

11. y = sin3 2x , n = 2 12. y = tan

–1 x , n = 3

13. y = sinh (3x – 1) , n = 3 14. y = cosh–1

x2 , n = 2

15. y = x2cos 2x , n = 3 16. y = e

2x sin 2x , n = 4

17. y = ln (sin x) , n = 3 18. y = x ln 2x , n เปนจ ำนวนเตมบวก

19. y = xe3x

, n เปนจ ำนวนเตมบวก 20. y =x1

4

, n เปนจ ำนวนเตมบวก

21. ให x2 – 4y

2 = 9 จงหา y ทจด (5,2)

22. ให x2 – 4xy + y

2 + 3 = 0 จงหา y ทจด (2, –1)


ธรวฒน ประกอบผล. (2545). แคลคลส (Calculus). เพยรสน เอดดเคชนอนโดไชนำ. กรงเทพฯ. ประสทธ รำงศร. (2547). แคลคลสและเรขาคณตวเคราะห 1. คณะวทยำศำสตร มหำวทยำลย

รำชภฏอดรธำน.



ภำควชำคณตศำสตร คณะวทยำศำสตร มหำวทยำลยเกษตรศำสตร (2540). แคลคลส 1.

กรงเทพฯ: ประสำนมตร.

มนส ประสงค. (2541). แคลคลสและเรขาคณตวเคราะห 1. กรงเทพฯ : ศนยสงเสรมวชำกำร.

วลลภ เฉลมสววฒนำกำร. (2543). แคลคลสเบองตน ทฤษฎและตวอยางโจทย. Schaum’s Outline Series, Copyright 1991.


จฬำลงกรณมหำวทยำลย.


Ewen Dale, Joan S. Gary & E. Trefzger. (2002). Technical Calculus. New Jersey : Pearson

Education, Inc.

Howard Anton, Davis Stephen & Irl Bivens. (2002). Calculus. American: Anton Texbooks,

Inc.

Robert T. Smith & Roland B. Minton. (2002). Calculus. New York: McGraw – Hill

Companies.



1. กฎโลปตาล 2. ความชนของเสนโคงและเสนสมผส 3. คาสดขดสมพทธและการประยกต

4. อตราการเปลยนแปลง

5. อตราสมพทธ



1. ใชกฎโลปตาล หาลมตของฟงกชนได 2. หาสมการเสนสมผสเสนโคงของฟงกชนทก าหนดใหได 3. หาคาสดขดสมพทธของฟงกชนทก าหนดใหได 4. ใชอนพนธอนดบหนงหรออนดบสองตรวจสอบคาสดขดสมพทธได 5. แกโจทยปญหาคาสดขดสมพทธได 6. แกโจทยปญหาเกยวกบความเรวและความเรงได 7. แกโจทยปญหาอตราสมพทธได



2. แบงกลมศกษาเนอหาการประยกตของอนพนธ แลวเสนอรายงานและ

รวมกนอภปราย








บทท 4

การประยกตของอนพนธ

อนพนธของฟงกชนสามารถน าไปใชประโยชนหลายดาน ในบทนจะกลาวถง การใชกฎโลปตาลเพอหาลมตการหาความชนของเสนโคงและเสนสมผส คาสดขดสมพทธและการประยกต อตราการเปลยนแปลง และอตราสมพทธ

4.1 กฎโลปตาล

หวขอ 2.2 และ 2.3 เราไดหาลมตของฟงกชนตรรกยะทมรปแบบทไมก าหนด แตยงมฟงกชนอนทมรปแบบทไมก าหนด ซงการหาลมตของฟงกชนเหลานจะใชวธในหวขอดงกลาวหาไมได เชน

1xlim 1x

x ln

จ าเปนตองใชกฎโลปตาล (L’Hospital’s rule) ซงชอนตงเปนเกยรตแก มาควสเดอโลปตาล (Marquis de

L’Hospital,1661-1704) ผไดรบรางวลโนเบลชาวฝรงเศส แตผคนพบกฏนคอ จอหน แบรนลล (John

Bernoulli, 1667-1748) นกคณตศาสตรชาวสวส

ทฤษฎบท 4.1.1 (กฎโลปตาล) ให f และ g เปนฟงกชนทหาอนพนธไดใกลจด a และ g(x) ≠ 0

ถา (ax

lim

f(x) = 0 และ ax

lim

g(x) = 0 ) หรอ (

axlim

f(x) = และ ax

lim

g(x) = )

แลว ax

lim )x(g

f(x) =

axlim )x(' g

(x)' f

หมายเหต 4.1.1 1) เงอนไข ถา มความหมายวา ax

lim )x(g

f(x) อยในรปแบบทไมก าหนด 0

0 หรอ

2) กฎโลปตาลยงใชไดกบลมตดานเดยว ลมตทคาอนนต และลมตคาอนนต 3) ส าหรบการพสจนจะขอเวนไว ผสนใจอาจศกษาไดจากแคลคลสขนสง

ตวอยาง 4.1.1 จงหา 1) 1x

lim 1x

x ln

2)

xlim

2

x

x

e

วธท า 1) เนองจาก 1x

lim

ln x = ln x = 0 และ 1x

lim

(x–1) = 0

ดงนน จากกฎโลปตาล

1x

lim 1x

x ln

=

1xlim

)1x(dx

d

x) (lndx

d



= 1x

lim 1

x

1

= 1x

lim x

1

= 1

2) เนองจาก x

lim ex = และ

xlim x

2 =


x

lim2

x

x

e=

xlim

)x(dx

d

)(edx

d

2

x

= x

lim2x

ex

เนองจาก x

lim ex = และ

xlim 2x = และใชกฎโลปตาลอกครง

ดงนน x

lim2

x

x

e=

xlim

2x

ex

=

xlim

2

ex

=

ตวอยาง 4.1.2 จงหา 1) x

lim3 x

x ln

2) 0x

lim 3x

xx tan

วธท า 1) เนองจาก x

lim3 x

x ln อยในรป


x

lim3 x

x ln=

xlim

3

2

x3

1

x

1

และเนองจาก x

lim3

2

x3

1

x

1

=

0

0

ดงนน ใชกฎโลปตาลอกครง

x

lim3 x

x ln=

xlim

3

2

x3

1

x

1



= x

lim3 x

3

= 0

2) เนองจากลมตอยในรป 0

0 ดงนนเราใชกฎโลปตาล4ครง

0x

lim 3x

xx tan =

0xlim 2

2

x3

1x sec

= 0x

lim x6

x x tan 2sec2

=3

1

0xlim x

x tan

=3

1

0xlim 1

x sec2

= 3

1


limx cos1

x sin

วธท า ถาเราใชกฎโลปตาล จะไดวา

xlim

x cos1

x sin

=

xlim

x sin

x cos

= – ซงเปนผลเฉลยทไมถกตอง

แตเราสามารถหาลมตไดโดยงายดงน เนองจากฟงกชนตอเนองท และสวนไมเปนศนย ดงนน

xlim

x cos1

x sin

=

cos1

sin

= )1(1

0

= 2

0

= 0


จงหาลมตโดยใชกฎโลปตาล ถาขอใดไมจ าเปนตองใชหรอใชไมได จงใหเหตผล

1. 1x

lim xx

1x2

2

2.

2x

lim

x sin1

x cos

3. 0x

lim x5 tan

4x sin 4.

1xlim x sin

x ln



B

D

C

5. 0x

lim x

x ln 6.

0xlim 3

x

x

1e

7. 0x

limx

x ln 8.

)

2(x

limx sin1

x cos

9. x

limx

x) (ln 2

10. x

lim3

10

x

x

e

4.2 ความชนของเสนโคงและเสนสมผส

จากบทนยามของอนพนธถาเสนโคง y = f(x) เปนฟงกชนทมอนพนธในชวง [a, b]

ดงรป 4.1

Y

f(x+x)

y

A

x x+x

รป 4.1

จะไดวา ความชน (slope) ของ AB = x

f(x)x)f(x

= x

y

เรยก AE วา เสนสมผส (tangent ) ของ y = f(x) ทจด A

และความชนของเสนตรง AE คอ0x

lim x

f(x)x)f(x

= xd

yd

บทนยาม 4.2.1 ถา y = f(x) เปนฟงกชนทมอนพนธท x แลวความชนของเสนโคง y = f(x)

ทจด x ใด ๆ จะเทากบความชนเสนสมผสเสนโคง y = f(x) ทจดนน

จากบทนยาม 4.2.1 จะไดวา ความชนของเสนโคง y = f(x) ทจด x เทากบ xd

yd

บทนยาม 4.2.2 จะเรยกเสนตรง N วาเสนปรกต (normal) ของ f(x) ทจด x กตอเมอ N ตงฉากกบเสนสมผสกราฟของ f(x) ทจด x

f(x)

x

X

y = f(x)

E



Y

T y = f(x) N

X

รป 4.2

จากรป 4.2 เสนตรง T เปนเสนสมผสและเสนตรง N คอเสนปรกตและ ความชนของ N ของกราฟ y = f(x) ทจด x คอ –

dx

dy1 โดยท

dx

dy 0

ตวอยาง 4.2.1 ก าหนดให เสนโคง y = x2– 3x + 4 จงหาความชนเสนสมผสและความชนเสนปรกต

ทจด x ใดๆ พรอมทงหาความชนของเสนโคง y ทจด x ใดๆ

วธท า เนองจาก y = x2– 3x + 4 จะไดวา

dx

dy = 2x– 3

ความชนเสนสมผสกราฟของเสนโคง y ทจด x ใด ๆ คอ dx

dy = 2x– 3

ความชนของเสนโคง y ทจด x ใดๆ คอ dx

dy = 2x– 3

ความชนเสนปรกตกราฟของ y ทจด x ใดๆคอ –dx

dy1

= –32x

1

เมอ 2x–3 0

ตวอยาง 4.2.2 ก าหนดใหเสนโคง y = sin 3x จงหาสมการเสนสมผสและสมการเสนปรกต ทจด x =

วธท า เนอง x = จะไดวา y = sin = 0 และ dx

dy= 3 cos 3x

ดงนน ความชนเสนสมผสเสนโคงทจด x ใด ๆ คอ 3 cos 3x

ความชนเสนสมผสเสนโคงทจด x = คอ 3 cos3 = 3(–1) = –3

ความชนเสนปรกตของเสนโคงทจด x = คอ –3

1

=

3

1

สมการเสนตรงทมความชน m และผานจด (x1 , y1) คอ

y – y1 = m(x – x1)

x



ดงนนสมการเสนสมผสทจด x = คอ y – 0 = –3(x – )

y – 0 = –3x + 3

3x + y –3 = 0

สมการเสนปรกตทจด x = คอ y – 0 = 3

1 (x – )

x– 3y – = 0

ตวอยาง 4.2.3 จงหาความชนเสนโคงและสมการเสนสมผสเสนโคง x2+ xy– y

2= 9 ทจด (–1 , 1)

วธท า เนองจาก dx

d( x

2+ xy– y

2) =

dx

d(9)

2x + (xdx

dy+ y

dx

dx) –2y

dx

dy= 0

2x + xdx

dy+ y –2y

dx

dy= 0

dx

dy =

2yx

y 2x

ดงนน ความชนเสนโคงและความชนเสนสมผสทจด x เทากบ 2yx

y 2x

จะไดวา ความชนเสนโคงและความชนเสนสมผสทจด (–1 , 1) คอ m =

2(1)1)(

11)2(

= 1

เนองจาก เสนตรงทมความชน m และผานจด (x1 , y1) คอ

y – y1 = m(x - x1)

ดงนนสมการเสนสมผสเสนโคงทจด (–1 , 1) คอ y – 1 = 1(x – (–1))

y–1 = x + 1

x –y + 2 = 0


1. จงหาความชนเสนโคงและความชนเสนสมผสเสนโคงตอไปน ณ จดทก าหนดให 1.1 y = 3x

2 ทจด x = 2 1.2 y = 2 x ทจด x = 1

1.3 y = 3x2+ 4x + 2 ทจด (2 , 0) 1.4 f(x) = 2 sin x ทจด (

4

, 1)

1.5 x2+ y

4 = y

2 ทจด x = 4

3 1.6 y = x cos 2x ทจด x =

4



1.7 x2 + 2y

2 = 8 ทจด x ใด ๆ 1.8 y = e

-2x ทจด x ใด ๆ

1.9 y = 2x9 ทจด (–3 , 2) 1.10 y = 2 cot 3x ทจด x = 4

2. จงหาสมการเสนสมผสและสมการปกตของเสนโคงตอไปน ณ จดทก าหนดให 2.1 y = x

2+ 4 ทจด x = 1 2.2 y = 1 + sin x ทจด x =

2.3 y = cos 3x ทจด x = 2

2.4 y = 2 csc x + cot x ทจด x =

4

2.5 x2 + xy– y

2 = 1 ทจด (1 , 1) 2.6 y = x

2– 4x + 3 ทจด x = 2

4.3 คาสดขดสมพทธและการประยกต คาสดขดสมพทธ (relative extreme value) ของฟงกชนเปนคาสงสดสมพทธหรอคาต าสด

สมพทธของฟงกชนซงอาจมไดหลายคา ในหวขอนเราจะทดสอบคาเหลานดวยอนพนธ กอนอนเราจะศกษาทฤษฎบทคากลางเพอน าไปใชดงน

ทฤษฎบท 4.3.1 (Rolle’s Theorem)

ถา y = f(x) เปนฟงกชนตอเนองบนชวง [a, b] และมอนพนธบนชวง (a , b)

โดยท f(a) = f(b) แลว จะมc (a , b) ทท าให (c)f = 0

พสจน จาก f(x) เปนฟงกชนตอเนองบนชวง [a , b] จะไดวาบนชวง [a , b]

จะมคาสงสด M และมคาต าสด m ดงนน m M

กรณ m = M จะไดวา f(x) เปนฟงกชนคงทบนชวง [a , b]

ดงนนถา c (a , b) จะไดวา (c)f = 0

กรณท m Mจะไดวา คาสงสดและต าสดของ f(x) ไมอยทคา x = a หรอ x = b

และเนองจาก f(a) = f(b) ดงนนจะมคา x = c ทท าให f(x) มคาสงสดหรอต าสด

นนคอ จะม c (a , b) ซงท าให (c)f = 0

ทฤษฎบท 4.3.2 (mean value theorem)

ถา f(x) เปนฟงกชนตอเนองบนชวง [a , b] และมอนพนธบนชวง (a , b) แลว จะมจ านวน c (a , b) ทท าให (c)f =

abf(a)f(b)

พสจน ให y = g(x) เปนสมการเสนตรงทผานจด (a, f(a)) และจด (b, f(b)) จะไดวา g(x) = f(a) + a) (x

abf(a) f(b)

ให h(x) = f(x) – g(x)



ดงนน h(x) = f(x) – f(a) – a) (x abf(a) f(b)

แลว h(a) = f(a) – f(a) – a) (aabf(a) f(b)

= 0

และ h(b) = f(b) – f(a) – a) (babf(a) f(b)

= 0

ดงนน h(a) = h(b) จากทฤษฎบท 4.3.1 จะไดวา ม c อยระหวาง a และ b ซง (c)h = 0

แต h(x) = f(x) – f(a) – a) (x abf(a) f(b)

ดงนน (x)h = (x)f – abf(a) f(b)

และ (c)h = (c)f – abf(a) f(b)

เนองจาก (c)h = 0 ดงนน (c)f =abf(a)f(b)

ทฤษฎบท 4.3.3ให y = f(x) เปนฟงกชนตอเนองบนชวง [a, b] และมอนพนธบนชวง (a, b)

1. ถา f(x) 0 ส าหรบแตละ x(a, b) แลว f(x) เปนฟงกชนเพมบนชวง [a, b]

2. ถา f(x) 0 ส าหรบแตละ x(a, b) แลว f(x) เปนฟงกชนลดบนชวง [a, b]

3. ถา f(x) = 0 ส าหรบแตละ x(a, b) แลว f(x) เปนฟงกชนคงตวบนชวง [a, b]

พสจน ให x1และ x2เปนสมาชกในชวง (a, b) และ x2 x1 ดงนน x2 – x1 0

เนองจาก f(x) ตอเนองบนชวง [a, b] และมอนพนธบนชวง (a, b)

ดงนน f(x) ตอเนองบนชวง [x1, x2] และมอนพนธบนชวง (x1, x2) ดวย

จากทฤษฎบท 4.3.2 จะไดวา ม c (x1 , x2) ซง

(c)f = 12

12xx

)x(f)x(f

หรอ (c)f (x2– x1) = f(x2) – f(x1)

1. ถา (c)f 0 และจาก x2– x1 0

จะไดวา (c)f (x2– x1) 0

และ f(x2) – f(x1) 0

ดงนน f(x2) f(x1)

จากบทนยาม 1.5.4 จะไดวา f(x) เปนฟงกชนเพมบนชวง [a, b]

ส าหรบ 2. และ 3. สามารถพสจนไดท านองเดยวกนกบ 1.



จากทฤษฎบท 4.3.3 หาชวงทฟงกชน y = f(x) เปนฟงกชนเพมหรอฟงกชนลดไดดงน 1. หา f(x)

2. หาชวงทฟงกชนเปนฟงกชนเพมโดยหาผลเฉลยของ f(x) 0

3. หาชวงทฟงกชนเปนฟงกชนลดโดยหาผลเฉลยของ f(x) 0

ตวอยาง 4.3.1 จงหาชวงทท าใหฟงกชน f(x) = x2– 6x + 1 เปนฟงกชนเพมหรอเปนฟงกชนลด

วธท า เนองจาก f(x) = 2x – 6 = 2(x – 3)

ดงนน ชวงท f(x) เปนฟงกชนเพมคอชวงท f(x) 0

หรอ 2(x – 3) 0

หรอ x 3

และชวงท f(x) เปนฟงกชนลดคอชวงท f(x) 0

หรอ 2(x – 3) 0

หรอ x 3

ดงนน f(x) เปนฟงกชนเพมบนชวง (3 , ) และเปนฟงกชนลดบนชวง (– , 3)

บทนยาม 4.3.1 ให y = f(x) เปนฟงกชนและ a, b, c เปนจ านวนจรง

1. f(c) เปนคาสงสดสมพทธถาf(c) f(x) ส าหรบแตละ x (a , b)

และเรยก (c , f(c)) วาจดสงสดสมพทธ (relative maximal point) ของ f(x)

2. f(c) เปนคาต าสดสมพทธ ถาf(c) f(x) ส าหรบแตละ x (a , b)

และเรยก (c , f(c)) วาจดต าสดสมพทธ (relative minimal point) ของ f(x)

3. คาสงสดสมพทธหรอคาต าสดสมพทธเรยกวาคาสดขดสมพทธ(relative extreme value)

บทนยาม 4.3.2 จะเรยก c วา คาวกฤต(critical value) ของฟงกชน f กตอเมอ f(c) = 0 หรอ f(c) หาคาไมได และจะเรยก (c , f(c)) วา จดวกฤต(critical point) ของฟงกชน f

3

Y

X

รป 4.3



Y

รป 4.4

จากรป 4.4 จะเหนวา c1, c2, c3, c4และ c5 คอคาวกฤต

f(c1), f(c2), f(c3) และ f(c4) คอคาสดขดสมพทธ แตท x = c5 ไมมคาสดขดสมพทธ

หมายเหต4.3.1 จากบทนยาม 4.3.2 และรป 4.4 จะไดวา

ถา y = f(x) มคาสดขดสมพทธท x = c แลว (c , f(c)) เปนจดวกฤต

แตบทกลบนไมเปนจรง

คาสดขดสมพทธและจดวกฤตจะบอกลกษณะของกราฟและน าไปแกปญหาในเรองของคาสงสดและคาต าสดของฟงกชน

ทฤษฎบท 4.3.4 (first derivative test)

ถา (c, f(c)) เปนจดวกฤตของฟงกชน y = f(x) ซงเปนฟงกชนตอเนองท x = c และม >0 ซง

1. ถา f (x) > 0 ส าหรบแตละ x(c–, c) และ f (x) < 0 ส าหรบแตละ x(c,c+)

แลว (c,f(c)) จะเปนจดสงสดสมพทธ 2. ถา f (x) < 0 ส าหรบแตละ x(c–, c) และ f (x) > 0 ส าหรบแตละ x(c,c+)

แลว (c, f(c)) จะเปนจดต าสดสมพทธ 3. ถา f (x) < 0 ส าหรบแตละ x(c–, c)(c,c+)

หรอ f (x) > 0 ส าหรบแตละ x(c –, c)(c,c+) แลว (c, f(c)) ไมเปนจดสดขดสมพทธ

พสจน 1. เนองจาก 0 และ (x)f 0 ส าหรบแตละ x (c – , c)

จากทฤษฎบท 4.3.3 จะไดวา f(x) เปนฟงกชนเพมบนชวง (c – , c)

จากบทนยาม 1.5.4 จะไดวา f(x) f(c) ส าหรบแตละ x (c – , c)

ในท านองเดยวกนจะไดวา f(x) f(c) ส าหรบแตละ x(c, c + )

c1 c2 c3 c4 c5

คาสงสดสมพทธ

คาสงสดสมพทธ

จดต าสดสมพทธ จดต าสดสมพทธ

ไมมคาสงสดสมพทธ

X



เนองจาก f(x) ตอเนองท x = c

ดงนน f(c) f(x) ส าหรบแตละ x(c – , c) (c, c + )

จากบทนยาม 4.3.3 จะไดวา f(c) เปนคาสงสดสมพทธ หรอ (c, f(c)) เปนจดสงสดสมพทธ

ส าหรบ 2. และ 3. สามารถพสจนไดท านองเดยวกนกบ 1.

ทฤษฎบท 4.3.3 (second derivative test)

ให y = f(x) เปนฟงกชนซง f (c) = 0 และมอนพนธอนดบทสองทจด x = c

1. ถา f (x) 0 แลว f(x) มคาต าสดสมพทธท x = c

2. ถา f (x) 0 แลว f(x) มคาสงสดสมพทธท x = c

พสจน 1. จาก (x)f 0 จะไดวา (x)f =cx

lim cx

)c(f)x(f 0

จากทฤษฎบทของลมต จะไดวา จะมชวง (c – , c) (c, c + ) เมอ 0

ซงท าให cx

)c(f)x(f 0

จาก (c)f = 0 ดงนน cx)x(f

0

ในชวง (c – , c) แลว x c จะไดวา (x)f 0

ในชวง (c, c + ) แลว x c จะไดวา (x)f 0

จากทฤษฎบท 4.3.4 จะไดวา f(x) มคาต าสดสมพทธท x = c

ส าหรบ 2. สามารถพสจนไดท านองเดยวกนกบ 1.

สรปขนตอนการหาคาสดขดสมพทธไดดงน 1. หาคาวกฤต x = c ทท าให f (c) = 0 หรอ ทท าให f (c) หาคาไมได 2. ทดสอบวามคาสดขดสมพทธ ท x = c หรอไมโดย

2.1 ทดสอบดวยอนพนธอนดบทสอง ถา f (c) < 0 แลว f มคาสงสดสมพทธ หรอ

ถา f (c) > 0 แลว f มคาต าสดสมพทธ ถา f (c) = 0 หรอไมมคาจรงแลว ตองทดสอบดวยทฤษฎบท 4.3.4

2.2 ทดสอบดวยอนพนธอนดบทหนง (ทฤษฎบท 4.3.4) ถาคาวกฤต x = c1, c2, ... , cn ซง c1< c2< ... <cn แลว ใหพจารณาวาชวง

(–, c1) , (c1 , c2), ... , (cn-1 , cn) , (cn ,)

แลวสรปดงน



2.2.1 ถาชวง (ck-1 , ck) และ (ck , ck+1) ท าให f (x) เปนบวกและลบตามล าดบ

แลวฟงกชน f มคาสงสดสมพทธท x = k

2.2.2 ถาชวง (ck-1 , ck) และ (ck , ck+1) ท าให f (x) เปนลบและบวกตามล าดบ

แลวฟงกชน f มคาต าสดสมพทธท x = k

2.2.3 ถาชวง (ck-1 , ck) และ (ck , ck+1) ท าให f (x) เปนบวกหรอลบเหมอนกน

แลวฟงกชน f ไมมคาสดขดสมพทธท x = k

3. ถา x = c เปนคาทท าใหไดคาวกฤตแลว

คาสงสดสมพทธหรอคาต าสดสมพทธของฟงกชนคอ f(c)

ตวอยาง 4.3.2 จงหาคาสดขดสมพทธของฟงกชน y = x3– 3x– 2

วธท า เนองจาก f(x) = 3x2–3 = 3(x– 1)(x + 1)

และ f (x) = 6x

เมอ 0 = f(x) = 3(x– 1)(x + 1)

จะไดคาวกฤตคอ x = 1 หรอ x = –1

ทดสอบดวยอนพนธอนดบทสองจะไดวา

f(1) = 6(1) = 6 > 0

ดงนนท x = 1 ฟงกชนมคาต าสดสมพทธคอ f(–1) = (1)3– 3(1) – 2 = –4

f(– 1) = 6(– 1) = – 6 0

ดงนนท x = – 1 ฟงกชนมคาสงสดสมพทธคอ f(– 1) = 0

Y

X

รป 4.5

–1 1 2

–2

1

–1



ตวอยาง 4.3.3 ใหฟงกชน f(x) = 3x4+ 4x

3– 12x2– 5 จงวเคราะหเกยวกบจดสดขดสมพทธ

และชวงจ านวนทท าให f(x) เปนฟงกชนเพมหรอเปนฟงกชนลด

วธท า จาก f(x) = 3x4+ 4x

3– 12x2– 5

จะไดวา (x)f = 12x3+ 12x

2– 24x = 12x(x + 2)(x – 1) (*)

และ (x)f = 36x2+ 24x – 24

จาก (*) จะไดคาวกฤตคอ x = –2 , 0 , 1

พจารณากราฟของฟงกชน เพอหาคาสดขดสมพทธโดยใชอนพนธ

ชวง (x)f (x)f

กราฟ f

– x –2

x = –2

–2 x 0

x = 0

0 x 1

x = 1

1 x

– 0

+

0

– 0

+

+

–

+

ลดลง

คาวกฤต ใหคาตาสดสมพทธ

เพมขน

คาวกฤต ใหคาสงสดสมพทธ ลดลง

คาวกฤต ใหคาตาสดสมพทธ

เพมขน

คาสดขดสมพทธไดน าไปแกปญหาทตองการผลเฉลยวาท าอยางไรจงจะไดผลลพธทมคามากทสดหรอนอยทสด ซงสามารถหาไดโดยการแกปญหาคาสงสดหรอคาต าสด โดยมวธการดงตอไปน

1) ก าหนดตวแปรแทนปรมาณในโจทยปญหา

2) เขยนรปประกอบของความสมพนธในโจทยปญหา

3) สรางความสมพนธของตวแปรทก าหนดตามเงอนไขของโจทย ควรมตวแปรตนตวเดยว

ถามหลายตวควรท าใหเหลอตวแปรเดยว

4) ใชการวเคราะหฟงกชนโดยอนพนธ หาคาสงสดหรอคาต าสดของฟงกชนเพอหาผลเฉลย



x x

ตวอยาง 4.3.4 แผนกระดาษรปสเหลยมมพนท 1,350 ตารางนว ตองการตดท ากลองทรงสเหลยมไมมฝา ทมความกวางและความสงเทากน จงหาวาจะตองท ากลองสงกนว จงจะมปรมาตรมากทสดและมากสดกลกบาศกนว

วธท า ใหกลองมความกวางและสง x นว และยาว y นว ดงรป

y

รป 4.6

ดงนนจะตองใชพนทแผนกระดาษ 3xy + 2x2 = 1,350

หรอ y =3x

2x1,350 2

ให V แทนปรมาตรของกลอง จะไดวา

V = x2y

ดงนน V(x) = (3x

2x1,350 2 ) x2

= 3

1(1,350x – 2x

3)

จะได (x)V = 31 (1,350 – 6x

2)

และ (x)V = – 4x

เมอ (x)V = 0

จะไดวา 31 (1,350 – 6x

2) = 0

x = 15 หรอ –15

ดงนน คาวกฤตคอ x = 15

เนองจาก x = 15 ท าให (x)V = (15)V = – 4(15) = – 60 0

ดงนน V มคาสงสดสมพทธ นนคอ ตองท ากลองสง 15 นว จงจะมปรมาตรสงสด

และปรมาตรสงสด = V(15) = 3

2(15)

3

1,350(15) 3

= 4,500 ลกบาศกนว



ตวอยาง 4.3.5 จงหาปรมาตรสงสดของทรงกระบอกตรงทบรรจในทรงกลมรศมยาว 5 นว

วธท า ให V = ปรมาตรทรงกระบอกตรง

r = รศมของทรงกระบอก และ R = รศมของทรงกลม

h = ความสงของทรงกระบอก

รป 4.7

ปรมาตรทรงกระบอกตรง V = hr 2

เนองจาก R2 = r

2 + (

2

h)2

ดงนน 52 = r

2 + (

2

h)2

หรอ r2 = 25 –

4

h2

เนองจาก V(h) = (25–4h

2

)h = 25 h –4

h3

ดงนน (h)V = 25 –4

h3 2

และ (h)V = –2

h3

หาคาวกฤต ให (h)V = 0

ดงนน 25 –4

h3 2= 0

จะไดคาวกฤต h = 3

10

และเนองจาก )3

10(V = –

3

15 0 ดงนน h = 3

10 จะใหคา V สงสด

นนคอ ทรงกระบอกตรงมปรมาตรสงสดคอ V(3

10) = 25 (

3

10) –

4

)3

10(

3

= 33

250

3

250

= 33

500 ลกบาศกนว

r 2h R



ตวอยาง 4.3.6 ถงรปทรงกระบอกตรงไมมฝาปดมปรมาตร 216 ลกบาศกนว จะตองใหรศมฐานยาวเทาใดจงจะใชแผนโลหะทมพนทนอยทสดและตองใชแผนโลหะนอยสดกตารางนว วธท า ให r แทน รศมของฐานทรงกระบอก

h แทน ความสงของทรงกระบอก

และ A แทน พนทผวของทรงกระบอก

h

รป 4.8

จะไดวา ปรมาตรทรงกระบอกคอ hr2 = 216

ดงนนh = 2r

216

และ A = 2r + rh2

A(r) = 2r + )r

216r(2

2

A(r) = 2r + r

432

(r)A = r2 –2r

432 = 2

3

r

216)(r2

(r)A = 2 + 3r

864

จดวกฤตคอจดท r = 6

ทจด r = 0 ไมใหคาสดขดสมพทธ (เพราะถา – < r < 0 แลว (r)A < 0 และถา 0 < r < 6 แลว (r)A < 0)

ทจด r = 6 ฟงกชนมคาต าสดสมพทธ (เพราะ (6)A = 6> 0)

และคาต าสดคอ A(6) = (6)2 +

6

432

= 108

ดงนน ถงจะใชแผนโลหะนอยทสด 108 ตารางเมตร เมอรศมฐานเทากบ 6 นว

r



รป 4.9


1. จงหาชวงจานวนททาใหฟงกชนf(x) = x2–2x – 3เปนฟงกชนเพมหรอเปนฟงกชนลด

2. จงหาชวงจานวนททาใหฟงกชน f(x) = 3+4x – x2เปนฟงกชนเพมหรอเปนฟงกชนลด

3. จงหาคาสดขดสมพทธของฟงกชน y = 3x4+ 4x

3– 12x2–16

4. จงหาจ านวนบวกสองจ านวนทมผลตางเทากบ 10 ซงมผลคณของจ านวนทงสองนอยทสด

5. จงหาผลคณทมากทสดของจ านวนบวกสองจ านวนซงมผลบวกของจ านวนทงสองเปน 20

6. จงหาปรมาตรสงสดของทรงกระบอกทสามารถบรรจในกรวยกลมทมรศมฐาน 10 เซนตเมตร

และสง 12 เซนตเมตร 7. จงหารศมของทรงกระบอกทมปรมาตรสงสดทสามารถบรรจในทรงกลมรศมยาว a หนวย

8. จงหาขนาดของกลองไมมฝา ฐานสเหลยมจตรส ทมพนทผวนอยทสดโดยมปรมาตร 320

ลกบาศกเมตร

9. จงหาพนททมากทสดของสามเหลยมมมฉากทมดานตรงขามมมฉากยาว 15 หนวย

10. รวสง 5 ฟต ซงหางจากผนงตก 3 ฟต ถาวางบนใดจากจดๆหนงทอยนอกรวไปยงผนงตก

โดยพาดกบรว จงหาวาจะใชบนใดสนทสดกฟต

11. แผนกระดาษสเหลยมผนผากวาง 8 นว และยาว 12 นว น ามาพบเปนกลองฝาเปดโดยตดมมทงส ออกเปนรปสเหลยมจตรสทเทากนทงสมมแลวพบดานขางขน รปสเหลยมทตดออกจะตองม ขนาดเทาใดจงจะไดกลองทมปรมาตรมากทสดและกลองมปรมาตรมากทสดเทาใด

12. ถาตองการลอมรวทดนรปสเหลยมมมฉากสองรปทมขนาดเทากน (ดงรป4.9) เพอใหไดพนท ทงหมด 1,800 ตารางเมตร จะตองใชรวสนทสดกเมตร



t

s(t) s(t+t)

4.4 อตราการเปลยนแปลง

ในชวตประจ าวน เราจะพบปญหาเกยวกบอตราการเปลยนแปลง (rate of change) ของคาตวแปรตวหนงเปลยนไปตามคาตวแปรอกตวทมความสมพนธกน เชน ความเรวขณะเวลาหนงซงเปนการหาความเรวเฉลยในชวงเวลาสนๆ การเคลอนทของวตถจะคดในแนวราบหรอแนวดง ซงถอวาทศทางขวาและทศทางขนเปนบวกดงน ให s เปนระยะทางของการเคลอนทของวตถไปตามแนวเสนตรง L เรมตนจากจด O

ดงรป 4.10 ถอเอาทศทางขวาเปนบวกทศทางซายเปนลบ และ s(t) เปนฟงกชนของเวลาt

L

O

รป 4.10

เนองจาก ความเรวเฉลยของวตถในชวงเวลา tถง t +tคอ vav =t

s(t))ts(t

ดงนน ความเรวขณะเวลา tคอv =0t

lim

vav= 0t

lim t

s(t))ts(t

= s(t) = ))t(s(dt

d

ส าหรบความเรงของการเคลอนทของวตถเปนการวดคาเปลยนแปลงไปของความเรว โดย

ความเรงเฉลยของวตถในชวงเวลา t ถง t +t คอ aav =t

v(t))tv(t

และความเรงขณะเวลา t คอ a = 0t

lim

aav= 0t

lim t

v(t))tv(t

= v(t) = ))t(v(dt

d = ))t(s(

dt

d2

2

ดงนน ถาระยะทาง s = f(t) แลว ความเรว v =dt

ds = f (t) และความเรง a = dt

dv =f (t)

ตวอยาง 4.4.1 การเคลอนทของวตถหนงเปนไปตามสมการ s = 4t3+ 3t

2– 1 โดยท s แทนระยะทางมหนวยเปนเมตร และ t แทนเวลามหนวยเปนวนาท จงหา

1. ความเรวเฉลยของวตถจากวนาทท 2 ถงวนาทท 4

2. หาความเรวของวตถขณะเวลา t ใด ๆและความเรวของวตถขณะเวลาวนาทท 4

3. หาความเรงของวตถขณะเวลาวนาทท 4

วธท า 1. อตราเรวเฉลยในชวงเวลา t ถง t +t คอ vav =t

s(t))ts(t

ในทน t = 2 และ t = 4–2 = 2

ดงนน อตราเรวเฉลยวนาทท 2 ถงวนาทท 4 คอ vav =

24

s(2) s(4)

= 24

1]3(2)[4(2)1]3(4)[4(4) 2323

= 260 เมตรตอวนาท



2. ความเรวขณะเวลา t คอ v = dt

ds= 12t

2+ 6t

และความเรวขณะเวลา t = 4 คอ v = 12(4) 2 + 6(4)

= 216 เมตรตอวนาท

3. ความเรงของวตถขณะเวลา t คอ a = dt

dv = 24t + 6

ดงนน ความเรงของวตถขณะเวลา t = 4 คอ a = 24(4) + 6 = 102 เมตรตอ(วนาท)2

ตวอยาง 4.4.2 จงหาอตราการเปลยนแปลงปรมาตรของทรงกลมเทยบกบรศมขณะทรศมยาว 3 เมตร

วธท า ให V แทนปรมาตรของทรงกลม และ r แทนรศมของทรงกลม เนองจากV = f(r) = r

3

4 3 และอตราการเปลยนแปลง V เทยบกบ r คอdr

dV = 2r4

ดงนน ขณะท r =3 จะไดวา dr

dV =

2(3)4 = 36 ลกบาศกเมตรตอเมตร

ตวอยาง 4.4.3 ปรมาณของสาร A (มหนวยเปนกรม) เปลยนแปลงไปตามเวลา t (มหนวยเปน

วนาท) เปนไปตามสมการ A = 43t

802

จงหาอตราการเปลยนแปลงของสารเทยบกบเวลาใน

ขณะทเวลาเทากบ 5 วนาท วธท า เนองจาก อตราการเปลยนแปลงของปรมาณสารเทยบกบเวลาในขณะเวลา t คอ

dt

dA = )

4 3t

80(

dt

d

2

= 1-2

4)(3tdt

d 80

= 80(–1) (3t2– 4)

-2 (6t)

= 22 4)(3t

480t

ดงนน อตราการเปลยนแปลงของปรมาณสารเทยบกบเวลาในขณะเวลา t = 5 คอ

22

4)(3(25)

480t

=

6,241

2,400 กรม/วนาท

ตวอยาง 4.4.4 โยนลกบอลลกหนงขนในแนวดงดวยความเรวตน 96 ฟตตอวนาท และมระยะทางการเคลอนทตามสมการ y = 96t – 16t

2 โดยท y มหนวยเปนฟตและt เปนเวลาทนบจากเรมตนโยนลกบอล มหนวยเปนวนาทจงหา

1. ความเรวและทศทางของลกบอลเมอเวลาผานไปจากเวลาเรมตน 2 วนาท 2. ลกบอลยงคงมทศทางเคลอนทตามขอ 1. อกนานเทาใด



3. ลกบอลจะขนไปไดสงสดเทาใด

วธท า ใหลกบอลเคลอนทเปนแนวดง y = f(t) = 96t – 16t2

จะไดวา ความเรวขณะเวลา t คอ v = f (t) = 96 – 32t ดงนน

1. ขณะท t = 2 จะไดวา v = 96 – 32(2)

= 32ฟต/วนาท ทศทางขน (v เปนบวก)

2. ลกบอลขนไปไดสงสดเมอ v = 0

ดงนน 96 – 32t = 0

จะไดวา t = 3

นนคอลกบอลยงคงมทศทางเคลอนทตามขอ 1.ไดนานอก 1 วนาท 3. ลกบอลขนไปไดสงสด เทากบ f(3) = 96(3) – 16(3

2)

= 144ฟต

และเมอ t > 3 ความเรวเปนลบและลกบอลมทศทางลง

ตวอยาง 4.4.5 อนภาคหนงเคลอนทในแนวราบ มสมการของระยะทางการเคลอนทเปน s = t

3 – 3t

2 – 9t + 5

จงหาชวงเวลาทอนภาคเคลอนทไปทางขวาและทางซาย

วธท า ใหการเคลอนทไปทางขวาเปนบวกและเคลอนทไปทางซายเปนลบ จะไดวาความเรวขณะเวลา t คอ

v(t) = s(t) = 3t2 – 6t – 9

= 3(t+1)(t– 3)

ดงนน เมอ t = –1 หรอ 3 อนภาคจะมความเรวเปนศนย (หยดนง)

สรปไดวา เมอ t < – 1 , v เปนบวก อนภาคเคลอนทไปทางขวา

เมอ –1 < t < 3 , v เปนลบ อนภาคเคลอนทไปทางซาย

และเมอ t > 3 , v เปนบวก อนภาคเคลอนทไปทางขวา


1. ลกบอลลกหนงถกขวางขนจากพนดนดวยความเรวตน 144 ฟตตอวนาท ก าหนดโดยสมการ s = 144t – 16t

2

1.1 จงหาความเรวของลกบอลเมอ t = 1



1.2 จงหาวาลกบอลจะตกกระทบพนเมอใด

1.3 จงหาความเรวของลกบอลขณะตกกระทบพน

1.4 จงหาวาความเรวของลกบอลเปนศนยเมอใด

1.5 จงหาวาลกบอลขนไปสงสดเทาใด

2. ในการยงลกบอลจากพนขนไปในแนวดงไดระยะทาง s(t) = 19.6t – 4.9t2เมตร

เมอ t แทนเวลามหนวยเปน วนาท จงหา

2.1 อตราเรวเฉลยจากเวลาวนาทท 1 ถงวนาทท 2

2.2 ความเรวและความเรงขณะเวลา t = 2

2.3 เวลา และระยะทางทลกบอลขนไปสงสด

2.4 ความเรวและความเรงขณะลกบอลกระทบพน

3. การแบงตวของแบคทเรยในหองทดลองแหงหนงไดความสมพนธของจ านวนแบคทเรยB(t)

กบเวลา t วนาท เปน B(t) = t

30

2

e จงหา 3.1 อตราเรวเฉลยในการแบงตวของแบคทเรยจากเวลาวนาทท 10 ถงวนาทท 15

3.2 อตราเรวในการแบงตวของแบคทเรยขณะเวลา t = 10

4. อนภาคหนงก าลงเคลอนทไปตามแนวราบ จงพจารณาวาขณะเวลาทก าหนดใหอนภาคก าลงเคลอนท ไปในทศทางขวาหรอซาย และมความเรวเทาใด

4.1 s = t2– 3t +5 เมอ t = 2

4.2 s = t3– 3t

2 – 7t – 2 เมอ t = 1

4.3 s = t3– t2

– t + 1 เมอ t = 1

5. อนภาคหนงก าลงเคลอนทไปตามแนวราบ จงหาวาอนภาคจะเคลอนทไปในทศทางขวาหรอทางซาย

เมอใด

5.1 s = 8 – 4t + t2

5.2 s = 2t3– 3t

2 – 12t + 8

5.3 s = 2t1

t

4.5 อตราสมพทธ อตราสมพทธ (related rates) คอ ความสมพนธของปรมาณ 2 ปรมาณหรอมากกวาซงปรมาณ

เหลานเปนอนพนธของฟงกชนเทยบกบเวลา ถาเราทราบปรมาณตวหนงกจะสามารถหาปรมาณอกตวหนงไดโดยใชกฏลกโซ

dxdy

=dudy

dxdu เมอ y = f(u) และ u = g(x) เชน



ให V = ปรมาตรของทรงกลมและ r = รศมของทรงกลม จะไดวา

dt

dV= อตราการเปลยนแปลงปรมาตรทรงกลมขณะเวลา t และ

dt

dr= อตราการเปลยนแปลงรศมทรงกลมขณะเวลา t

เนองจาก V = 3r3

4

และ dt

dV =

dt

dr

dr

dV =

dt

dr)r

3

4(

dt

d 3

ดงนน dt

dV =

dt

drr4 2

ซงเมอทราบคาอนพนธหนงกสามารถหาคาอนพนธอกคาหนงได

ตวอยาง4.5.1 เตมแกสเขาบอลลนทรงกลมในอตราคงท 300 ลกบาศกเซนตเมตรตอวนาท จงหาอตราการขยายตวของพนทผวบอลลนในขณะทรศมบอลลนเทากบ 150 เซนตเมตร

วธท า ให V แทนปรมาตรทรงกลม r แทนรศมทรงกลม A แทนพนทผวทรงกลม t แทนเวลา

และจากกฎลกโซ dt

dA =

dt

dV

dV

dr

dr

dA

เนองจาก ความสมพนธของ A กบ r คอ A = 4 r2 ดงนน

dr

dA = 8 r

และเนองจาก ความสมพนธของ r กบ V คอ V = 3r3

4 ดงนน

dr

dV = 4r

2

จะไดวา dV

dr =

2r4

1

จากกฎลกโซ จะไดวา dt

dA = dt

dV)

r4

1r(8

2 =

dt

dV

r

2 ………………….. (*)

เนองจาก อตราการเตมลมคอ dt

dV = 300 ในขณะรศม r = 150

แทนคาใน (*) จะไดวา dt

dA = (300)

150

2

= 4

ดงนน อตราการขยายตวของพนทผวบอลลนเทากบ 4 ตารางเซนตเมตรตอวนาท

ตวอยาง 4.5.2 บนไดยาว 30 ฟต วางเอยงพงก าแพง ถาปลายลางของบนไดเคลอนทออกจากก าแพง

ดวยอตราเรว 5 ฟต/วนาท จงหาวาปลายบนของบนไดจะเคลอนลงตามก าแพงดวยอตราเรว

เทาใด ในขณะทปลายลางบนไดอยหางก าแพง 20 ฟต



วธท า ให x แทนความสงจากพนถงปลายบนของบนได

yแทนระยะทางจากก าแพงถงปลายลางของบนได

จาก อตราเรวปลายลางของบนไดเคลอนทออกจากก าแพงคอ dt

dy= 5 ฟตตอวนาท

ตองการหา อตราเรวปลายบนของบนใดเคลอนทลงตามก าแพงคอ dt

dx

บนได

x 30 ฟต

รป 4.11

จากรป 4.11โดยทฤษฎบทของพทาโกรสจะไดวา x2= (30)

2– y2 หรอ x2

= 900 –y2

ดงนน 2xdy

d= )y (900

dy

d 2 และไดวา dy

dx = x

y

จากกฏลกโซdt

dx = dt

dy

dy

dx

แทนคาdt

dx = (5)x

y ………………………………… (*)

เมอ y = 20 จะไดวา x2 = 900 – (20)

2= 500 นนคอ x = 10 5

ดงนน dt

dx = (5)510

20 = 2 5

นนคอในขณะทปลายลางบนไดอยหางก าแพง 20 ฟต ปลายบนของบนใด

จะเคลอนลงตามก าแพงดวยอตราเรว 2 5 ฟตตอวนาท


1. จงหาอตราการเปลยนแปลงเฉลยของพนทวงกลมเทยบกบรศมเมอรศมวงกลมเปลยนจาก 3 หนวยเปน 5 หนวย

2. จงหาอตราการเปลยนแปลงของพนทสเหลยมจตรสเทยบกบความยาวของดานในขณะทดานของ

สเหลยมมคาใด ๆ และขณะทดานยาว 6 หนวย 3. ปลอยน าเขาสระไดปรมาณน าตามสมการ V = (180 – 16t) เมอ Vแทนปรมาณน ามหนวยเปน

ลกบาศกเมตร และ t แทนเวลามหนวยเปน นาท

y



3.1 จงหาอตราการเปลยนแปลงปรมาณน าโดยเฉลยเมอเวลาเรมจากนาทท 8 ถงนาทท 10

3.2 จงหาอตราการเปลยนแปลงปรมาณน า ขณะเวลา t ใด ๆ

4. จงหาอตราเรวของการเพมของพนทสเหลยมจตรสถาดานของสเหลยมจตรสเพมดวยอตราเรว

10 เซนตเมตร/วนาท ขณะทความยาวของดานสเหลยมจตรสยาว 160 เซนตเมตร

5. ปลอยน าลงถงรปกรวยกลมสง 6 เมตร รศมฐานยาว 4 เมตรโดยทจดยอดกรวยอยดานลาง ถาอตราการไหลของน าเทากบ 3 ลกบาศกเมตร/นาท จงหาอตราความสงของระดบน าขณะท ระดบน าสง 5 เมตร 6. ชายคนหนงสง 6 ฟตเดนออกจากเสาไฟฟาทมหลอดไฟบนเสาอยสงจากพน 18 ฟต ดวยอตราเรว

5 ฟต/วนาท จงหาวาเงาของเขาจะยาวขนดวยอตราเรวเทาใด ขณะทเขาอยหางจากเสาไฟ 13 ฟต


ประสทธรางศร. (2547).แคลคลสและเรขาคณตวเคราะห1. คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยราชภฏ

อดรธาน. ภาควชาคณตศาสตร คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยเกษตรศาสตร (2540). แคลคลส 1. กรงเทพฯ:


เลศ สทธโกศล. (2541). เรขาคณตวเคราะหและแคลคลส I (Analytic Geometry and Calculus I).

กรงเทพฯ: สกายบกส. วลลภ เฉลมสววฒนาการ. (2543). แคลคลสเบองตนทฤษฎและตวอยางโจทย. Schaum’s Outline Series, Copyright 1991.

วศษฎเดชพนธ. (2544). แคลคลส I ส าหรบวศวกรรมศาสตร และวทยาศาสตร.กรงเทพฯ: บคเนท.

ศรบตร แววเจรญ และ ชนศกด บายเทยง. (2540). อนพนธและการประยกต.กรงเทพฯ: วงตะวน.

Bradley L. Gerald & Smith J. Karl.(1995). Calculus.New Jersey: Prentice – Hall, Inc.

Ewen Dale, Joan S. Gary & E.Trefzger.(2002). Technical Calculus. New Jersey : Pearson

Education, Inc.

Howard Anton, Davis Stephen &IrlBivens. (2002). Calculus. American: Anton Texbooks ,Inc.

Robert T. Smith & Roland B. Minton.(2002). Calculus. New York: McGraw – Hill Companies.



1. ปรพนธไมจ ำกดเขต 2. กำรประยกตของปรพนธไมจ ำกดเขต

3. ปรพนธจ ำกดเขต

4. กำรหำพนทใตโคง

5. กำรหำพนทระหวำงเสนโคง


เมอศกษำจบบทท 5 แลวผศกษำสำมำรถ

1. หำผลบวกบน ผลบวกลำง และผลบวกรมนนของฟงกชนได เมอก ำหนดผลแบงกนให 2. ใชสมบตและทฤษฎบทเพอหำปรพนธของฟงกชนบนชวงทก ำหนดใหได 3. หำปรพนธโดยกำรแทนคำได

4. ใชทฤษฎบทหลกมลของแคลคลส หำปรพนธจ ำกดเขตได 5. หำปรพนธไมจ ำกดเขตได 6. ประยกตปรพนธเพอหำพนทใตโคงและพนทระหวำงเสนโคงได


1. ใหนกศกษำ ศกษำคนจำกเอกสำรค ำสอน และต ำรำทเกยวของ

2. แบงกลมศกษำเนอหำปรพนธและกำรประยกต แลวเสนอรำยงำนและรวมกนอภปรำย

3. บรรยำยสรปผำนเครองฉำยทบแสง Word หรอ Power Point

4. ท ำแบบฝกหด หรอทดสอบ


1. เอกสำรค ำสอน

2. Word หรอ Power Point สรปค ำบรรยำย


1. กำรสงเกตหรอกำรถำมจำกกำรอภปรำย

2. กำรท ำแบบฝกหด

3. กำรทดสอบยอย หรอทดสอบประจ ำบท


บทท 5

ปรพนธของฟงกชนและการประยกต

แคลคลสเชงปรพนธ (integral calculus) เปนการหาคาของฟงกชนจากอนพนธทก าหนดให หรอการหาผลรวมของคาใดคาหนงเชน การศกษาอตราการเปลยนแปลงของy เทยบกบเวลา x ซงอาจมความสมพนธเปน

dx

dy= F(x) เรยกวาสมการอนพนธ(differential equation) แลวหาความสมพนธของ

y กบ x นนคอตองหา y = f(x) โดยใชกระบวนการตรงขามกบการหาอนพนธ เรยกวา การหาปรพนธหรอ การอนทเกรต (integration) ในบทนจะกลาวถงปรพนธไมจ ากดเขต (indefinite integral) การประยกตของปรพนธไมจ ากดเขต และปรพนธจ ากดเขต (definite integral)

5.1 ปรพนธไมจ ากดเขต ในหวขอน เราตองการหาฟงกชน y = f(x) ทสอดคลองกบสมการอนพนธ

dxdy

= F(x) ทก าหนดให

บทนยาม 5.1.1ฟงกชน F(x) จะเรยกวา ปฏยานพนธ (antiderivative) ของฟงกชน f(x) บนชวง [a,b]

กตอเมอ )x(F = f(x) ส าหรบทกๆ x (a , b)

ตวอยาง 5.1.1 จงหาปฏยานพนธของฟงกชนทก าหนดให 1. f(x) = 5x – 8

2. f(x) = cos 2x

3. f(x) = e3x – 4

วธท า 1. ปฏยานพนธของฟงกชน f(x) = 5x – 8 คอ

8xx2

5(x)F

21 เพราะวา 85x(x)F1

3 8xx2

5(x)F


5 8xx2

5(x)F


ดงนน ปฏยานพนธของฟงกชน f(x) = 5x – 8คอ C 8xx2

5F(x)

2 เมอ C เปนคาคงตว

เชนเดยวกบขอ 1. จะไดวา 2. ปฏยานพนธของฟงกชน f(x) = cos 2x คอ C2xsin

2

1F(x)

3. ปฏยานพนธของฟงกชน f(x) = 32xe คอ C e3

1F(x)

43x



จากตวอยาง 5.1.1เมอ C เปนคาคงตว จะเหนวา 1) ถา f(x) เปนฟงกชนตอเนองแลว จะมจ านวนฟงกชนทเปนปฏยานพนธของ f(x) ไมจ ากด

2) ถา F1(x) และ F2(x) เปนปฏยานพนธของ f(x) แลว F1(x) – F2(x) = C

3) ถา F(x) เปนปฏยานพนธของ f(x) แลว F(x) + C เปนปฏยานพนธของ f(x)

บทนยาม 5.1.2 f(x)dx จะเรยกวาปรพนธไมจ ากดเขตของf(x) เทยบกบ x

กตอเมอ f(x)dx เปนปฏยานพนธของ f(x)

ถา F(x) เปนปฏยานพนธของ f(x) แลว

f(x) dx = F(x) + C เมอ C เปนคาคงตว

เรยก f(x) วาปรพทธ (integrand) ของการหาปรพนธ เรยก x วาตวแปร (variable) ของการหาปรพนธ เรยก F(x) วา ปรพนธเฉพาะ (particular integral)

เรยก F(x) + C วาปรพนธทวไป (general integral)

และเรยกกระบวนการหา F(x) + C วาการหาปรพนธ

ตวอยาง5.1.2 จงหาปรพนธของฟงกชนทก าหนดให 1. 8 dx

2. (6x – 5)dx

3. sin x dx

4. e5x – 2 dx

วธท า

1. เนองจาก dxd

(8x + C) = 8 ดงนน 8dx = 8x + C


(3x2– 5x + C) = 6x – 5 ดงนน (6x – 5)dx = 3x

2– 5x + C


( cos x + C) = – sin x ดงนน sin x dx = – cos x + C


(5

1 e5x – 2

+ C ) = e5x – 2

ดงนน e5x – 2 dx =

5

1 e5x – 2

+ C

เนองจากการหาปรพนธของปรพทธโดยใชบทนยามนนไมสะดวก ดงนนเพอใหการจ าและน าไปใชงายขนเราจงใชทฤษฎบทหรอสตรเพอหาปรพนธของฟงกชน ดงน



ทฤษฎบท 5.1.1ถา f(x) เปนฟงกชนทมอนพนธ และ C เปนตวคงตวแลว 1. )x(f dx = f(x) + C

2. dxd

( f(x) dx) = f(x)

พสจน 1. จากบทนยาม 5.1.1จะไดวา f(x) เปนปฏยานพนธของ )x(f

และจากบทนยาม 5.1.2 จะไดวา )x(f dx = f(x) + C

2. ให F(x) เปนปฏยานพนธของ f(x)

จะไดวาdxd

F(x) = f(x)

และ f(x) dx = F(x) + C

dxd

[f(x) dx] =dxd

F(x)

ดงนน dxd

( f(x) dx) = f(x)

ทฤษฎบท 5.1.2 ถา F(u) , f(u) และ u(x) เปนฟงกชนโดยท dxd

[F(u) + C] = f(u) dxdu แลว

f(u) du = F(u) + C เมอ C เปนตวคงคา พสจน จาก

dxd

[F(u) + C] = f(u) dxdu

จากบทนยาม 5.1.1จะไดวา F(u) + C เปนปฏยานพนธของ f(u) dxdu

จากบทนยาม 5.1.2 จะไดวา f(u) dxdu

dx = F(u) + C

จากบทนยามผลตางเชงอนพนธ du =dxdu

dx

ดงนน f(u) du = F(u) + C

ทฤษฎบท 5.1.3ถา u และ v เปนฟงกชนของ x ทมปฏยานพนธ และ C เปนตวคงตว แลว 1. du = u + C

2. ku dx = k u dx เมอ k 0 เปนคาคงตว

3. (u + v) dx = u dx + v dx

4. undu =

1nu

1n

+ C เมอ n –1 เปนคาคงตว

5. u

du= ln u + C

พสจน 1. จากบทนยามผลตางเชงอนพนธ du = udx

จะไดวา du = udx

จากทฤษฎบท 5.1.1ดงนน du = u + C



2. จะพสจนวา ku dx = k u dx

เนองจาก dxd

[k u dx ] = k dxd

[ u dx ]

จากทฤษฎบท 5.1.1dxd

[k u dx ] = k u

ดงนน k u dx เปนปฏยานพนธของ ku

จากบทนยาม 5.1.2 จะไดวา ku dx = k u dx

3. จะพสจนวา (u + v) dx = u dx + v dx

เนองจาก dxd

[ u dx + v dx] =dxd

[ u dx] + dxd

[ v dx]

= u + v

ดงนน u dx + v dx เปนปฏยานพนธของ u + v

จากบทนยาม 5.1.2 จะไดวา (u + v) dx = u dx + v dx


(1n

u1n

+ C) =

n)u

1n1n(

dxdu

= un

dxdu

จากทฤษฎบท 5.1.2ดงนนundu =

1nu

1n

+ Cเมอ n –1 เปนคาคงตว


(ln u + C) = u1

dxdu

ดงนน udu

= ln u + C

ทฤษฎบท 5.1.4 ถา u เปนฟงกชนทมอนพนธท x และ a เปนคาคงตว C เปนตวคงคา แลว 1.

22

ua

du = sin-1

au

+ C หรอ– cos-1

au

+ C เมอ a2 u

2

2.

22ua

du = Ca

u tan

a

1 1- หรอ – Ca

u cot

a

1 1- เมอ a 0

3.

22auu

du = a u ,

a

u sec

a u , a

u sec

1-

1-

หรอ

a

u sec

a

1 1- เมอ a u

พสจน 1. เนองจาก dxd

( sin-1

au

+ C) =

2

2

a

u1

dxdu

a1



= 22

ua

1

dx

du

ดงนน sin-1

au

+ C เปนปฏยานพนธของ 22

ua

1

dxdu

จากทฤษฎบท 5.1.2จะไดวา

22ua

du = sin-1

au

+ C

ในท านองเดยวกนจะไดวา

22ua

du = – cos-1

au

+ C เมอ a2 u

2

2. เนองจาก C)a

u tan

a

1(

dx

d 1- = dx

)au(d

)au(1

1a1

2

= dxdu

a1

a

ua

1a1

2

22

= dxdu

ua

122

จากทฤษฎบท 5.1.2จะไดวา

22ua

du = Ca

u tan

a

1 1-

ท านองเดยวกนจะไดวา

22ua

du = – Ca

u cot

a

1 1- เมอ a 0

ส าหรบ 3. สามารถพสจนไดในท านองเดยวกน

ทฤษฎบท 5.1.5 ถา u เปนฟงกชนทมอนพนธท x และ a, C เปนคาคงตว แลว 1.

22

au

du = C auau ln

2a1

เมอ u2 a

2

2.

22ua

du = C uaua ln

2a1

เมอ a2

u2

3.

22au

du = C au uln 22 เมอ u2

a2

4.

22au

du = C au uln 22

พสจน 1. เนองจาก C) auau ln

2a1(

dxd

= a))] (u ln a)(uln (dxd [

2a1

= dxdu ]

au1

au1 [

2a1

= dxdu

au

122



จากทฤษฎบท 5.1.2 จะไดวา

22au

du = C auau ln

2a1

ส าหรบการพสจน 2.– 4. สามารถพสจนไดท านองเดยวกนกบ 1.

5.1.1 การหาปรพนธของฟงกชนพชคณต

จากสตรหาปรพนธของฟงกชนขางตนสามารถใชหาปรพนธของฟงกชนพชคณตไดดงน

ตวอยาง 5.1.3 จงหาปรพนธของ y = 5

วธท า y dx = 5 dx

= 5dx (ku dx = k u dx )

= 5(x + C1) ( du = u + C )

= 5x + 5C1

= 5x + C (C = 5C1)

ตวอยาง 5.1.4 จงหาปรพนธของฟงกชน f(x) = 4x3 + 2x – 5

วธท า f(x) dx = (4x3 + 2x – 5 ) dx

= 4x3 dx + 2x dx – 5 dx ( (u + v) dx = u dx + v dx )

= 4 x3 dx + 2 x dx – 5 dx (ku dx = k u dx )

= 4(13

x13

+C1) + 2( 11

11x

+C2) – 5(x+C3) (undu =

1nu

1n

+ C )

= 5x 2

2x

4

4x

24

+ (4C1+2C2–5C3)

= x4 + x

2 – 5x + C (C = 4C1+2C2–5C3)

เพอความสะดวก ตอไปเราจะบวกคาคงตว C เสมอ

ตวอยาง 5.1.5 จงหาปรพนธ x

5 dx

วธท า x

5 dx = 5 x1

dx

= 5ln x + C



ตวอยาง 5.1.6 จงหาปรพนธ ( 3

2

2

1

x54x ) dx

วธท า ( 3

2

2

1

x54x ) dx = C1

3

2

5x

12

1

4x1

3

21

2

1

= C

3

5

5x

2

3

4x 3

5

2

3

= Cx33

x83

52

3

ตวอยาง 5.1.7 จงหาปรพนธ (4x3– 3 2

2x

x

3 + 8)dx

วธท า (4x3–

3 2

2x

x

3 + 8) dx= 4x

3dx – dxx dx

x

3 3 2

2 +8dx

= 4x3dx – 3x

–2dx + dxx 3

2

+ 8dx

= 4 x3dx – 3 x–2

dx + dxx 32

+ 8 dx

= 8x

3

5x

1-

3x

4

4x 3

514

= x4 + 8x

5

3x

x

3 3

5

= x4 + C 8x

5

x3x

x

33 2

ตวอยาง 5.1.8 จงหาปรพนธ 9x

dx2

วธท า 9x

dx2

= 223x

dx

= C 3x

3x ln

2(3)

1

(

22au

du = C auau ln

2a1

)

= C 3x

3x ln

6

1

เมอ x 3หรอ x – 3


dx2



วธท า 4x

dx2

= 22

2x

dx

= C 4xx ln 2 (

22

au

du = C au uln 22 )

ตวอยาง 5.1.10 จงหาปรพนธ 2

x 5

dx

วธท า 2

x 5

dx =

22x )5(

dx

= 5

1tan

–1

5

x+ C (

22

ua

du = a

1tan

–1

au

+ C เมอ a 0 )

แบบฝกหด 5.1 ก

1. จงหาปฏยานพนธของฟงกชนทก าหนดใหตอไปน 1.1 y = 10 1.2 y = x

3– 5

1.3 f(x) = tan 5x sec 5x 1.4 y = x12

1.5 f(x) = 3x2 + 5x + 3 1.6 f(x) =

x

1

2. จงหาปรพนธของฟงกชนทก าหนดใหตอไปน 2.1 5 dx 2.2 dx6x

2.3 dx x5 2.4 (3 + 5x – 4x3 + x

4) dx

2.5 (2x – x

3 ) dx 2.6 (

32 x

1

x

3

x

2 ) dx

2.7 2 x dx 2.8 (3 2

x

1

x

3 ) dx

2.9 2

x1

dx 2.10

4x

dx2

2.11 2x9

dx 2.12 2x25

dx

2.13 5x

dx2 2.14

2x9

dx



5.1.2 การหาปรพนธโดยการแทนคา

ปรพนธของปรพทธบางฟงกชนไมสามารถหาโดยใชสตรโดยตรงได ตองมการจดรปแบบฟงกชนใหม หรอแทนคาฟงกชนดวยตวแปรใหมดงตวอยางตอไปน

ตวอยาง 5.1.11 จงหาปรพนธของฟงกชนทก าหนดใหตอไปน 1. (2x + 5)

4dx

2. 4x

3x3

2

dx

3. 4x2

5x3 dx

วธท า 1. ให u = 2x + 5 จะไดวา du = 2dx

ดงนน dx = du2

1

(2x + 5)4dx = u4

du2

1 =

2

1 u4du

= C )5

u(

2

15

( undu =

1nu

1n

+ C )

= C 10

5)(2x5

2. ให u = x3– 4 จะไดวา du = 3x

2dx

ดงนน du3x

1 dx

2

4x

3x3

2

dx = du

3x

1

u

3x2

2

= udu

= ln u + C ( du u1 = ln u + C )

= ln 4 x 3 + C

3. ให u = x3+ 5 จะไดวา du = 3x

2 dx

ดงนน dx = du3x

1 2

4x2

5x3 dx = 4x

2 u (23x

1 ) du

= du u3

4

= du u3

42

1



= C )

2

3

u(

3

4 2

3

( undu =

1nu

1n

+ C )

= 3u9

8 + C

= 9

u8u + C

= 5x5)(x9

8 33 + C

ตวอยาง 5.1.12 จงหาปรพนธ

2x7

dx

วธท า ให u = x และ a = 7 จะไดวา du = dx

2x7

dx =

22

x)7(

dx

= sin–1

7

x + C เมอ 7 x

2 (

22 ua

du = sin

–1

au

+ C เมอ a2 u2)


dx2

วธท า 164x

dx2

= 22 4(2x)

dx

ให u = 2x และ a = 4

จะไดวา du = 2dx

ดงนน dx =2

du

224(2x)

dx =

2du

au

122

=

22au

du21

= 21 (

42x

42x ln

2(4)

1

) + C ( 22 au

du = C

auau ln

2a1

เมอ u2 a2)

= C 42x

42x ln

16

1

เมอ 2x 4 หรอ 2x –4




จงหาปรพนธของฟงกชนทก าหนดใหตอไปน

1. dx)3(2x 11 11. 2e

dx3ex

x

2. dx 13x 12. 1sinx

dx x cos

3. dx)82x(x 52 13. 2

4x3

dx

4. dx 38xx 4)(x 3 2 14.

4x9

dxx

5. dx5)(xx4

32 15. 164x

dx2

6. dx 4x2x2 16.

2

9x5

dx

7. dx 82xx 1)(x 3 2 17. dx2x sin

x 3cos

8. 53x

dx 18.

2

4x8

dx

9. 7x

dx5x 2

19. 7x

xdx2

10. 14sin

dxx cos 20. x (1– x

2)

20 dx

5.1.3 การหาปรพนธของฟงกชนอดศย

จากบทนยามของปฏยานพนธและบทนยามของปรพนธไมจ ากดเขตจะไดทฤษฎบทการหาปรพนธของฟงกชนอดศยดงน ทฤษฎบท 5.1.6 ถา u เปนฟงกชนทมอนพนธท x และ C เปนตวคงตวแลว

1. au du = C

aln a

u

เมอ a 0 และ a 1

2. eu du = e

u + C


( Caln

au

) = )(adxd

aln 1 u

= dxdu

aln aln a

u

= dxdua

u

จากทฤษฎบท 5.1.2 จะไดวา au du = C

aln a

u



ส าหรบ 2. สามารถพสจนไดในท านองเดยวกนกบ 1.

ทฤษฎบท 5.1.7 ถา u เปนฟงกชนทมอนพนธท x และ C เปนคาคงตวแลว

1. dusin u = – cos u + C

2. du u cos = sin u + C

3. dutan u = ln u sec + C หรอ – ln u cos + C

4. du u cot = ln sin u + C หรอ – ln u csc + C

5. du u sec = C tan u u sec ln หรอ 2u ln tan

4

+ C

6. du u csc = C u cot u csc ln หรอ 2u tan ln + C

7. sec2u du = tan u + C

8. csc2u du = – cot u + C

9. sec u tan u du = sec u + C

10. csc u cot u du = – csc u + C


(– cos u + C) = sin u dxdu

จากทฤษฎบท 5.1.1 จะไดวา dusin u = – cos u + C

ส าหรบ 2. , 7. – 10. สามารถพสจนไดท านองเดยวกนกบ 1.


(ln | sec u | + C )= u)(secdxd

usec1

= dxdu

usec u tan usec

= tan u dxdu

หรอ dxd

(–ln | cos u | + C ) = dxd

(ln ( cos u )–1

+ C )

= dxd

(ln( sec u ) + C )

= tan u dxdu

จากทฤษฎบท 5.1.1 จะไดวา dutan u = ln u sec + C หรอ – ln u cos + C

ส าหรบ 4. – 6. สามารพสจนไดท านองเดยวกนกบ 3.



ทฤษฎบท 5.1.8 ถา u เปนฟงกชนทมอนพนธท x และ C เปนคาคงตวแลว

1. sinh u du = cosh u + C

2. cosh u du = sinh u + C

3. tanh u du = ln | cosh u | + C

4. coth u du = ln | sinh u | + C

5. sech2 u du = tanh u + C

6. csch2 u du = – coth u + C

7. sech u tanh u du = – sech u + C

8. csch u coth u du = – csch u + C


(cosh u + C ) = sinh u dxdu

จากทฤษฎบท 5.1.1 จะไดวา sinh u du = cosh u + C

ส าหรบ 2. , 5. – 8. สามารถพสจนไดท านองเดยวกนกบ 1.


(ln | cosh u | + C ) = (cosh u)dxd

cosh u1

= dxdu

cosh usinh u

= tanh u dxdu

จากทฤษฎบท 5.1.1จะไดวา tanh u du = ln | cosh u | + C

ส าหรบ 4. สามารถพสจนไดท านองเดยวกนกบ 3.

ตวอยาง 5.1.14 จงหาปรพนธ (3sin x – e- x

)dx

วธท า (3sin x – e- x

) dx = 3sin x dx– e-xdx

= –3cos x +e-x+ C

ตวอยาง 5.1.15 จงหาปรพนธ 2cos4xdx

วธท า ให u = 4x จะไดวา du = 4dx ดงนน dx = du4

1

2cos4xdx = 2cos u du4

1 =

4

2 cos u du

= C in u s2

1 ( duu cos = sin u + C )

= C x4sin2

1



ตวอยาง 5.1.16 จงหาปรพนธ e3x - 4 dx

วธท า ให u = 3x – 4 จะไดวา du = 3dx

ดงนน dx = du3

1

e3x - 4 dx = eu

du3

1 = 3

1 eudu

= C e3

1 u ( eu du = e

u+ C )

= C e3

1 43x

ตวอยาง 5.1.17 จงหาปรพนธ 7x tan x2 dx

วธท า ให u = x2 จะไดวา du = 2x dx

ดงนน dx = du2x1

7x tan x2 dx = 7x tan u ( du

2x1

) = duu tan 2

7

= 2

7 ln |sec u | + C ( dutan u = ln u sec + C )

= 2

7 ln |sec x2 | + C

ตวอยาง 5.1.18 จงหาปรพนธ dx x

3xln

วธท า ให u = ln 3x จะไดวา du =3x

1 d(3x) = dxx

1dx)3(

x3

1

ดงนน dx = x du

dx x

3xln = du)(x xu

= du u

= c2u

2

( undu =

1nu

1n

+ C )

= 21

(ln 3x)2+ C

ตวอยาง 5.1.19 จงหาปรพนธ 32 4xtanh x dx

วธท า ให u = 4x3 จะไดวา du = 12x

2 dx ดงนน dx =

212x

du

32 4xtanh x dx = 2

2

12x

duu tanh x = duu tanh 12

1

= 12

1 u hsecln + C ( tanh u du = usecln + C )



= 12

1 34x hsecln + C

ตวอยาง 5.1.20 จงหาปรพนธ dx esinh e 3x3x

วธท า ให u = e3x

จะไดวา du = 3e3x

dx

ดงนน dx =3x3e

du

dx esinh e 3x3x = 3x

3x

3e

duu sinh e

= duu sinh 3

1

= 3

1 (–cosh u) + C ( sinh u du = –cosh u + C )

= –3

1 cosh e3x

+ C


จงหาปรพนธของฟงกชนทก าหนดให 1. dx3e2x 2. dxe3x

3x2

3. dx2 x 4. dx2 5x

5. tan 2x dx 6. dx3x sin

7. dx 2) (3x cos 8. 2cos 2x esin 2x

dx

9. 2x cos x2 dx 10. dxx cosx sin

11. dx xsin

x cos 12. dx

2x tan

xsec

2

13. dx )(xsec4x 423 14. dx )x

1( sec

x

1

2

15. dx3x sin3x cos 4 16. dx 1xcos

x3sin

17. dxx x tan 2sec 2 18. dx

x cot

xcsc 4

2

19. 3x sech 3x tanh 20. dx x coshsinh x 2



5.2 การประยกตของปรพนธไมจ ากดเขต

ในบางปญหาเมอเขยนความสมพนธของเงอนไขแลวไดสมการทมอนพนธของตวแปร การหาคาตวแปรตองก าจดอนพนธโดยอาศยการหาปรพนธซงอยในรป y = f(x) + C โดยท C เปนคาคงตว

ถา y = f(x) เปนฟงกชนทหาอนพนธไดท x

แลว )x(f จะเปนความชนของเสนโคง f ทจด (x,y)

ในทางกลบกน ถาก าหนดความชนของเสนโคง f ทจด (x,y) มาใหเปน )x(f แลวปฏยานพนธทวไป หรออนทกรลไมจ ากดเขตของ f คอ ฟงกชน f

ตวอยาง 5.2.1 จงหาสมการเสนโคงทผานจด (2, 1) และมความชนของเสนโคงทจด (x , y) ใด ๆ เปน (x – 5)

2

วธท า ให y = f(x) เปนสมการเสนโคง เนองจาก )x(f = (x – 5)

2

ดงนน dx (x)f = dx5)(x 2

จะไดวา y = f(x) = )5x(d)5x( 2

= C)5x(3

1 3 ……… (*)

จะหาคาคงตว C เนองจากเสนโคงผานจด (2 , 1) ดงนน x = 2 , y = f(x) = 1

จาก (*) จะไดวา 1 = 3

)52( 3 + C

จะไดวา C = – 8

ดงนน สมการเสนโคง คอ y = 3

1(x – 5)

3 – 8

ตวอยาง 5.2.2 ถาอตราการเปลยนแปลงของความชนของเสนโคงทจด (x,y) ใด ๆ เทากบ 23x 1 และเสนโคงนสมผสกบเสนตรง 2x+ y = 1 ทจด (1,1) จงหาสมการเสนโคงน วธท า ให y = f(x) เปนเสนโคง และอตราการเปลยนแปลงชวขณะของ dy

dx ทจด (x,y) ใด ๆ เทากบ

22

2

d y3x 1

dx

หรอ 2d dy3x 1

dx dx

ดงนน 2dy3x 1 dx

dx 3

1x x C ……………….. (*)



จะหา C1 เนองจากเสนตรง 2x + y =1 ซงมความชนเปน –2 สมผสเสนโคงนทจด (1,1) ดงนน 3

1

1

2 1 1 C

C 2

จาก (*) จะไดวา 3dyx x 2

dx

ดงนน dx

dy = 3y x x 2 dx

y 4 2

2

x x2x C

4 2

จะหา C2 เนองจากเสนโคงนผานจด (1,1)

ดงนน 4 2

2

2

1 11 2x C

4 2

13C

4

สมการของเสนโคงนคอ 4 2x x 13y 2x

4 2 4

กรณวตถเคลอนทในแนวเสนตรงและต าแหนงของวตถทเวลา t มสมการ s f (t) แลว

ความเรว v dsf t

dt ,

ความเรง a dvf t

dt

ในทางกลบกน ถาก าหนดความเรงหรอความเรวของวตถทเวลา t มาให เราสามารถหาความเรวและระยะทางของวตถทเวลา t ได คอ v = a dt = f (t) dt เมอก าหนด v ทเวลาใดเวลาหนง

และ s = v dt = f (t) dt เมอก าหนด s ทเวลาใดเวลาหนง

กรณทวตถเคลอนทในแนวดง (ขนบนหรอลงลาง) และ a เปนความเรงของวตถทเวลา t จะไดวา | a | = g = 10 เมตร/(วนาท) 2 หรอ g = –32 ฟต/(วนาท)2

เมอ g เปนความเรงเนองจากแรงโนมถวงของโลก

ตวอยาง 5.2.3 ลกบอลกลงไปบนสนามหญาดวยความเรวตน 10 เมตร/วนาท ถาความเรวของลกบอลลดลงดวยอตราเรง 1.5 เมตร/(วนาท) 2 จงหาวาลกบอลนกลงไปไดไกลกเมตรจงหยดนง

วธท า ให a แทน ความเรงของลกบอลเมอเวลา t วนาท v แทน ความเรวของลกบอลเมอเวลา t วนาท s แทน ระยะทางทลกบอลหางจากจดเรมตนเมอเวลา t วนาท



เนองจาก v = a dt = (–1.5) dt

= –1.5t + C1

เมอ t = 0 จะไดวา v = 10 ท าใหได C 1 = 10

ดงนน v 1.5t 10

และเนองจาก

2

2

s v dt

1.5t 10 dt

1.5t10t C

2

เมอ t = 0 จะไดวา s = 0 ท าใหได C 2 = 0 ดงนน

21.5ts 10t

2

……………….. (*)

เนองจาก ลกบอลหยดนงเมอ v = 0

ดงนน 1.5t + 10 = 0 จะไดวา t = 20

3 วนาท

จาก (*) ลกบอลกลงไปไดระยะทางไกล s = 2

1.5 20 20 110 33

2 3 3 3

เมตร

ตวอยาง 5.2.4 วตถถกปลอยขนไปในอากาศในแนวดงดวยความเรวตน 120 ฟต/วนาท ถาวตถมความเรงตามแรงดงดดของโลกคอ g = –10 เมตร/(วนาท)2

จงหา

1. ความเรวของวตถขณะเวลาใดๆ

2. วตถขนไปสงสดกเมตร

3. ความเรวขณะวตถตกถงพน

วธท า ให s แทน ระยะทวตถอยสงจากพน

t แทน เวลา v แทน ความเรวขณะเวลา t ใด ๆ

และ g แทน ความเรง

จะไดวา v = dtds

และ g =dtdv

และจากเงอนไขเรมตนคอ s = 0 , t = 0 และ v = 120

เนองจาก g = dtdv

ดงนน dtdv

= –10

1. จาก v = dt dtdv

= dt 10)(

จะไดวา v = –10t + C



จากเงอนไขเรมตน ดงนน C = 120 + 10(0) = 120

นนคอ ความเรวขณะเวลา t ใดๆ คอ v = –10t + 120 เมตร / วนาท 2. วตถขนสงสดเมอ v = 0

ดงนน จาก 1. –10t +120 = 0 จะไดวา t = 12 ...................(*)

และจาก v = dtds

ดงนน dtds

= –10t + 120

จากระยะทาง s = dt dtds

= dt 120) 10t(

s = –5t2+ 120t + C ...................(**)

C = s + 5t2 – 120t

จากเงอนไขเรมตน ท าใหได C = 0 + 0 – 0 = 0

ดงนน จาก (**) จะไดวา s = –5t2+ 120t

และจาก (*) ดงนน วตถขนสงสดคอ s = –5(12)

2 + 120(12) = 720 เมตร

3. วตถตกถงพนเมอ s = 0 ดงนน –5t2+ 120t = 0

t(–5t + 120) = 0

t = 24 , 0

เนองจาก v = –10t + 120

ดงนนวตถตกถงพนขณะทความเรว v = –10(24) + 120

= –120 เมตร / วนาท

ตวอยาง 5.2.5 จากการวเคราะหอตราการเพมรายไดจากการขายของบรษทแหงหนงไดสมการเปน dx

dP = 84)(5x

32

เมอ P(x) เปนรายไดจากการขายสนคา x ชน (หนวยเปนบาท) ถา P(0) = 0 แลว

จงหารายไดจากการขายสนคา 10,000 ชน

วธท า เนองจากอตราการเปลยนแปลงของรายได คอ dx

dP = 84)(5x

32

ดงนน dx dx

dP = dx 8)2)4x5(

3(

นนคอ P(x) = Cx8)4x5(5

3

จะหา C

จาก P(0) = 0 = – C8(0)4)5((5)0

3

จะไดวา C = 20

3



ดงนน P(x) = 20

38x

4)-5(5x

3

ถาขายสนคา x = 10,000 ชน

บรษทจะมรายไดเทากบ P(10,000) =

2

38(10,000)

4000),5(5(10

3

= 80,001.05 บาท


1. จงหาสมการเสนโคงทผานจด(1 , 0) และมความชนทจด (x,y) ใดๆเทากบ 2x

2. จงหาสมการเสนโคงทมความชนของเสนสมผสทจด (x , y) ใดๆเทากบ 4x1 และผานจด (1 , 1)

3. จงหาสมการของเสนโคงทผานจด (3,-3) และมความขนทจด (x,y)ใด ๆ บนเสนโคงเทากบ 3x

2 x

4. จงหาสมการเสนโคง y = f(x) ซงม y = 6x – 4 และผานจด (–2 , 5) กบ (1 , 2)

5. วตถเคลอนทในแนวเสนตรง โดยมสมการ a = 2t + 3 เมอ a, v, s แทนความเรง ความเรว และระยะทาง จากจดคงทของวตถเมอเวลา t ให 0s = 0 เปนระยะทางของวตถจากจดคงท ณ t = 0

จงหา s และ v

6. วตถหนงถกปลอยขนในแนวดงจากพนดวยความเรว 80 เมตร / วนาท โดยมความเรงตามแรงโนมถวงคอ g = –10 เมตร / (วนาท) 2

จงหา 6.1 ความเรวขณะเวลาใดๆ 6.2 สมการการเคลอนทของวตถ 6.3 ความเรวขณะเวลาผานไป 2 วนาท 6.4 เวลาทวตถอยสงจากพน 300 เมตร

7. วตถหนงหลนจากทสงซงสงจากพน 80 เมตร ถาก าหนดคา g ตามขอ 6. จงหาวา

7.1 เวลาทวตถหลนถงพน 7.2 ความเรวของวตถขณะกระทบพน

8. บรษทหนงมรายไดเปน Q(x) จากการขายสนคาชนดหนงจ านวน x ชน โดยอตราการเปลยนแปลงรายไดเมอขายสนคาชนท x คอ

2x

803)x(Q ถารายไดจากการขาย 80 ชนแรกเทากบ 5,241

บาท จงหารายไดทงหมดจากการขายสนคา x ชน และรายไดจากการขาย 1,000 ชนถดไป



5.3 ปรพนธจ ากดเขต

ปรพนธจ ากดเขตเปนจ านวนซงอยในรปลมตของฟงกชน แตปรพนธไมจ ากดเขตเปนเซตของ

ปฏยานพนธของฟงกชน และใหเขาใจในสญลกษณในบทนยามท 5.3.3 จงขอเรมดวย

บทนยาม 5.3.1 ให [a, b] เปนชวงปดและ P = { x0 , x1 , x2 , ... , xn} โดยท x0= a x1 x2 ... xn= b

จะเรยก P วา ผลแบงกน (partition) ของ [a, b] และ kx = xk – xk–1 ส าหรบ k = 1 , 2 , … , n

และให P = max( kx = xk – xk–1 ) แลว จะเรยก P วา คาประจ า (norm) ของผลแบงกน P

ตวอยาง 5.3.1 ให P ={3, 3.6, 3.8, 4, 5.3, 6.2} จงหาคาประจ าของ P

วธท า P = max(3.6-3, 3.8-3.6, 4-3.8, 5.3-4, 6.2-5.3)

= max(0.6, 0.2, 0.2, 1.3, 0.9)

= 1.3

บทนยาม 5.3.2 ถา f(x) เปนฟงกชนทตอเนองบนชวง [a, b] ม P = {x0 , x1 , x2 , ... , xn } เปน

ผลแบงกนของ [a , b] และให xk = xk– xk–1 และ ck [xk–1 , xk] เมอ k = 1 , 2 , ... , n แลว

จะเรยก kk

n

1kx)(cf

วา ผลบวกรมนน (Riemann sum) ของ f(x) บนชวง [a , b]

ถา Mk เปนขอบเขตบนคานอยสดและ mk เปนขอบเขตลางคามากสดของ f(x) บนชวง [xk–1, xk] แลว


n

1kx)(M

วา ผลบวกบน (upper sum)ของ f(x) บนชวง [a, b]


n

1kx)(m

วา ผลบวกลาง (lower sum) ของ f(x) บนชวง [a, b]

Y

x0= a x1 x2 ... xk–1 xk ...xn–1 xn= b

y = f(x)

Mk mk

X

รป 5.1



หมายเหต 5.3.1 1) การศกษาปรพนธจ ากดเขตมกจะเรมจากการหาพนทใตโคง

2) จากบทนยาม 5.3.2 จะเหนวา ผลบวกบน และ ผลบวกลาง เปนกรณเฉพาะ

ของผลบวกรมนน เมอเลอก ck ทท าให f(ck) มคาสงสดหรอต าสดในชวง [ xk–1, xk ]

ตวอยาง 5.3.2 จงหาผลบวกรมนน ผลบวกบน และผลบวกลางของฟงกชน f(x) = x2 บนชวง [1, 5]

ซงเกดจากผลแบงกน P = {1 , 3 , 4 , 5} โดยทผลบวกรมนนเลอก ck คอจดกงกลางของชวงยอยท k

วธท า ให P = {1 , 3 , 4 , 5} เปนผลแบงกนของชวง [0 , 5] และให x0= 1 , x1= 3 , x2= 4 และ x3= 5 และชวงยอยโดยผลแบงกนคอ [1 , 3] , [3 , 4] , [4 , 5]

จะไดวา x1 = 3 – 1 = 2

x2 = 3 – 2 = 1

และ x3 = 5 – 4 = 1

ให ck คอจดกงกลางของชวงยอย จะไดวา c1 = 2, c2 = 3.5, c3 = 4.5

ดงนน ผลบวกรมนน คอ kk

3

1kx)f(c

= f(c1) x1 + f(c2) x2+ f(c3) x3

= ((2)2 )1 + (3.5

2)2 + ((4.5)

2)1

= 48.75

ให Mk เปนคาขอบเขตบนทมคานอยทสด ของ f(x) บนชวง [xk–1 , xk]

และ mk เปนคาขอบเขตลางทมคามากทสด ของ f(x) บนชวง [xk–1 , xk]

จะไดวา M1 = 32 , M2 = 4

2 , M3 = 5

2 และ m1 = 1

2 , m2 = 3

2 , m3 = 4

2

ผลบวกบนคอ kk

3

1kx)(M

= (M1) x1 + (M2) x2+ (M3) x3

= (3)1 + (16)2 + (25)1

= 66

ผลบวกลางคอ kk

3

1kx)(m

= (m1) x1 + (m2) x2+ (m3) x3

= (1)1 + (9)2 + (16)1

= 35



บทนยาม 5.3.3 ถา y = f(x) เปนฟงกชนทมขอบเขตบนชวง [a, b] ม P ={ x0, x1, x2,..., xn} เปนผลแบงกนโดยท a = x0 x1 x2 ... xn–1 xn= b

แบง [a, b] เปน n ชวงยอย ส าหรบ k = 1 , 2 , … , n ให xk = xk – xk–1 และ ck [ xk–1 , xk ] แลว

k

n

1kk0 P

x)f(clim

= b

a

dx f(x)

จะเรยกวา ปรพนธจ ากดเขต จาก a ถง b หรอ ปรพนธรมนน จาก a ถง b

และ ถา k

n

1kk0 P

x)f(clim

หาคาได แลวจะกลาววา f มปรพนธบนชวง [a, b]

ในทางปฏบตนน การหาปรพนธจ ากดเขตโดยใชบทนยามมความยงยาก จงนยมหาโดยแบงชวง [a, b] เปน n ชวงยอยทมขนาดเทากน ส าหรบ k = 1 , 2 , ... , n ดงนน xk =

n ab

มทฤษฎบทเกยวกบสมบตเบองตนของปรพนธจ ากดเขตทตองทราบ เพอชวยในการหาปรพนธซงไมขอพสจนในทน คอ

ทฤษฎบท 5.3.1 ให u = f(x), v = g(x) เปนฟงกชนทมปรพนธบนชวง [a, b] และ k เปนคาคงตว

จะไดวา

1. b

adxk = k(b – a)

2. b

adxku = k

b

adxu

3. b

adx v][u =

b

a

b

adxv dxu

4. ถา c [a , b] แลว c

adx f(x) +

b

cdx f(x) =

b

adx f(x)

5. ถา u(x) 0 ส าหรบแตละ x ท x [a, b] แลว b

adxu 0

6. ถา u(x) v(x) ส าหรบแตละ x ท x [a, b] แลว b

adxu

b

adxv

7. b

adx u

b

adx u



ตอไปนเปนทฤษฎบทหลกมลของแคลคลส (fundamental theorem of calculus) ซงแสดงใหเหนความสมพนธระหวางแคลคลสเชงอนพนธทเกดจากการศกษาเสนสมผสเสนโคงกบแคลคลสเชงปรพนธทเกดจากการศกษาการหาพนท และเราจะใชทฤษฎบทดงกลาวน เพอหาปรพนธไมจ ากดเขตซงจะงายกวาการหาปรพนธจ ากดเขตโดยเฉพาะกบฟงกชนทมความสลบซบซอน

ทฤษฎบท 5.3.2 (1st fundamental theorem of integral calculus)

ให f(x) เปนฟงกชนตอเนองบนชวง [a, b] คาคงตว c [a, b] และ G(x) = x

cdt f(t) เมอ x [a, b]

จะไดวา 1. G เปนฟงกชนตอเนองบนชวง [a, b]

2. G มอนพนธบนชวง (a, b) และ G(x) = f(x) ส าหรบแตละ x ท x(a, b)

พสจน เนองจาก x [a , b] ดงนน ให h เปนจ านวนจรงบวกซง x x + h b

เนองจาก G(x) = x

cdt f(t) ดงนน G(x+h) =

hx

cdt f(t)

จะไดวา G(x + h) – G(x) = hx

cdt f(t) –

x

cdt f(t)

= c

xdt f(t) +

hx

cdt f(t)

นนคอ G(x + h) – G(x) = hx

xdt f(t)

ให M และ m เปนคาสงสดและคาต าสดของ f บนชวง [x, x + h] ตามล าดบ

จะไดวา Mh และ mh เปนผลบวกบนและผลบวกลางของ f บนชวง [x, x + h] ตามล าดบ

และ Mh hx

xdt f(t) mh

Mh G(x + h) – G(x) mh

M h

G(x)h)G(x m

0h

lim

M 0h

lim h

G(x)h)G(x

0hlim

m

f(x) 0h

lim h

G(x)h)G(x f(x)

ดงนน 0h

lim h

G(x)h)G(x = f(x)

หรอ G(x) = f(x)

จะไดวา G(x) มอนพนธ บนชวง (a , b)



ดงนน 0h

limh

G(a)h)G(a =

0h

limh

G(a)h)G(a =

0hlim h

G(a)h)G(a = f(x)

ดงนน 0h

limh

G(a)h)G(a = f(a)

นนคอ f(x) มความตอเนองทางขวาทจด x = a

ในท านองเดยวกนจะพสจนไดวา f(x) มความตอเนองทางซาย ทจด x = b

ดงนน G เปนฟงกชนตอเนองบนชวง [a , b]

และ G มอนพนธบนชวง (a , b) และ G(x) = f(x) ส าหรบแตละ x ท x(a, b)

ทฤษฎบท 5.3.3 (2th fundamental theorem of integral calculus) ให f(x) เปนฟงกชนตอเนอง

บนชวง [a, b] และ F(x) เปนปฏยานพนธของ f(x) บนชวง [a, b] จะไดวา

b

a

dx f(x) = F(b) – F(a)

พสจน ให f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง [a, b] และจากทฤษฎบท 5.3.2 จะไดวา

ถา G(x) = x

adt f(t) เมอ x [a, b] แลว G(x) = f(x) ส าหรบแตละ x ท x(a, b)

หรอ G(x) เปนปฏยานพนธของ f(x)

และเนองจาก F(x) เปนปฏยานพนธของ f(x) ดงนน G(x) = F(x) + C เมอ C เปนตวคงตว

ดงนน G(x) = x

adt f(t) = F(x) + C และ G(a) =

a

adt f(t) = F(a) + C

0 = F(a) + C

C = –F(a)

และ G(b) = b

adt f(t) = F(b) + C

แทนคา C จะไดวา b

adt f(t) = F(b) – F(a)

หรอ b

adx f(x) = F(b) – F(a)

หมายเหต 5.3.2 1) ใชสญลกษณ ba F(x) แทน F(b) – F (a)

2) เนองจากปฏยานพนธของ f(x) คอ F(x) = f(x) dx

ดงนน b

adx f(x) =

b

a dx f(x) = F(b) – F(a)



ตวอยาง 5.3.1 จงหาปรพนธ 5

1

4)dx(2x

วธท า 5

1

4)dx(2x = [ (2x – 4)dx]51

= [ Cx 4x2 ]

51

= [ C (5)4(5)2 ] – [ C 1)(4(1)

3 ]

= 5 + C + 3 – C

= 8

เนองจาก b

adx f(x) = F(b) – F(a) ดงนน การหา

b

adx f(x) ไมจ าเปนตองมคาคงตว C

ตวอยาง 5.3.2 จงหา

dx2x sin

วธท า

dx2x sin = [ dx2x sin ]

= 2

1 cos 2x

]

= [– 2

1 cos2] – [–2

1 cos )( ]

= [– 2

1 (1)] – [–2

1(–1)]

= –1

ตวอยาง 5.3.3 จงหาปรพนธ

3

2

23)dx23x(4x

วธท า

3

2

23)dx23x(4x = [ 2)dx3x(4x

23 32 ]

= [x4– x

3 + 2x

3

2 ]

= [ (3)4– (3)

3 + 2(3) ] – [ (–2)

4– (–2)3 + 2(–2) ]

= 81 – 27 + 6 – 16 – 8 + 4

= 40



ตวอยาง 5.3.4 จงหาคา dx 1x2x 2

1

2

วธท า ให u = x2– 1 จะไดวา du = 2x dx ดงนน dx =

2x

du

เนองจาก dx 1x2x 2 = 2x

du u2x = 2

1

u du = 2

3

u 3

2

= 3

1)(x2 32

ดงนน dx 1x2x 2

1

2 = [3

1)(x2 32 21 ]

= [3

1)[((2)2 32 ] – [

3

1)((1)2 32 ]

= 3

2 – 0

= 3

2

ตวอยาง 5.3.5 จงหา

0

dx )6e 2x (4cos2x

วธท า เนองจาก )dx6e 2x cos(4 2x

= ) 2

e 6( )

2

2xsin 4(

2x

= 2 sin 2x – 3e2x

ดงนน

0

dx )6e 2x (4cos2x

= [2 sin 2x – 3e2x

]0

= [2 sin 2– 3e2

] – [2 sin 2(0) – 3e2(0)

]

= [

2

3e 2(0) ] – [0 – 3

]

= 3 – 2

3e

= 3(1 – 2

e )


จงหาปรพนธของฟงกชนทก าหนดใหตอไปน

1. 3

0

23dx 2x4x 2. dx )1x(9x

2

1

32

3. 2

13

2dx )

x

1(3x 4.

3

02

dx 3x

3x



X

รป 5.1

5.

2

0

2dx x 3xcos 6.

1

0

3xdx e12x

2

7.

2

0

2dx xsin 2x 8. dx

)1x(

)1xln(42

1

9.

2

1x

x

dx e1

e 10. dxcosx x sin

2

0

2

11. dxe 2

1

3x 12.

dxsin2x

5.4 การหาพนทใตโคง

ปรพนธจ ากดเขตไดน าไปประยกตเพอแกปญหาวทยาศาสตร ทางเศรษฐศาสตร เปนตน ส าหรบทจะกลาวตอไปนเปนการประยกตทางเรขาคณต คอการหาพนทใตโคงและการหาพนทระหวางเสนโคง ดงน

การหาพนทใตโคง (area under a curve) ในทน แบงเปน

1. การหาพนทใตโคงตามแนวแกน X

2. การหาพนทใตโคงตามแนวแกน Y

การหาพนทใตโคงตามแนวแกน X จะพจารณาดงน ถา y = f(x) เปนฟงกชนตอเนองและ f(x) 0 ในชวง [a, b] แลว A เปนพนทใตโคง y = f(x) ตามแนวแกน X จาก a ถง b หมายถง พนททปดรอบดวยเสนโคง y = f(x) เสนตรง x = a เสนตรง x = b และแกน X

Y

f(ck)

xk-1 xk

kx



รป 5.2

การหาพนท A นน เราจะแบงชวง [a, b] เปน n ชวงยอยดวยจด a = x0 x1 x2 … xk …xn= b ส าหรบ k = 1 , 2 , … , n

ให xk = xk - xk-1 และ ck[xk-1 , xk] แลวสรางสเหลยมผนผา Ak ทมฐานยาว xk และสง f(ck)

จะได สเหลยมผนผา Ak จ านวน n รป ซงแตละรปมพนทเปน Ak = f(ck) xk

ดงนน A

n

1 k k A

ถา P = max (xk) และ เมอ P เขาใกล 0 แลว n จะเขาใกล จะไดวา พนทใตโคงคอ

A = k

n

1kk

0 Px)f(clim

=

b

a

dx f(x)

ตามบทนยาม 5.3.3 ซงเปนบทนยามของปรพนธจ ากดเขต

ขอพงระวงคอ ถามจดทกราฟตดแกน X ในชวง (a, b) การหาพนทใตโคงจะตองแบงการหาปรพนธเปนชวง ๆ โดยจดตด

ดงนน พนทใตโคงคอ A = A1 + A2 + A3 + A4 = | c

a

dx f(x) |+| d

c

dx f(x) |+| e

d

dx f(x) |+ | b

e

dx f(x) |

ในท านองเดยวกน พนทใตโคงตามแนวแกน Y กสามารถหาไดเชนเดยวกน

ตวอยาง 5.4.1 จงหาพนทใตโคง y = x2 ตามแนวแกน X จาก 1 ถง 4

วธท า ให A เปนพนทใตโคง y = x2 ตามแนวแกน X จาก 1 ถง 4

จากบทนยามของปรพนธจ ากดเขต จะไดวา

A = k

n

1kk

0 Px)f(clim

=

b

a

dx f(x)

ดงนน A = | 4

1

2dx x |

= | 41

3

]3

x[ |



Y

รป 5.3

รป 5.4

Y

X

= |(3

81 ) – (3

1 )|

= 21 ตารางหนวย

ตวอยาง 5.4.2 จงหาพนทซงปดลอมดวย y = x3– 1 , x = –2 , x = 0 และแกน X

วธท า หาจดทกราฟ y = x3– 1 ตดแกน X คอ จดท

x3– 1 = 0 หรอ x = 1 ซงไมอยในชวง [–2 ,0]

และ A = | 0

2-

3 dx 1)(x |

= | 0 2-

4

x]4

x[ |

= | 2)(40 |


X



รป 5.5

ตวอยาง 5.4.3 จงหาพนทใตโคง y = x3– 6x

2+ 8x จาก x = –1 ถง x = 5

วธท า หาจดทเสนโคงตดแกน X โดยให y = 0 จะไดวา x

3– 6x2+ 8x = 0

x(x2– 6x + 8) = 0

x(x – 4)(x – 2) = 0 กราฟตดแกน X ทจด x = 0, 2 และ 4 ซงอยในชวง [–1, 5]

แบงการหาพนทเปนชวง ๆ

ให A เปนพนทใตโคง y = x3– 6x

2+ 8x จาก –1 ถง 5 จะไดวา

A = | x)dx8 x6 (x|| x)dx8 x6 (x||x)dx8 x6 (x || x)dx8 x6 (x|5

4

234

2

232

0

230

1-

23

= |]4x2x4

x[ | 0

1-23

4

+ |]4x2x4

x[ | 2

0 23

4

+ |]4x2x4

x[ | 4

2 23

4

+ |]4x2x4

x[ | 5

4 23

4

= |(17))4

335( ||(4)(17)||0(4)||)

4

25((0)|

= 4

267134

4

25


ตวอยาง 5.4.4 จงหาพนทใตโคง y2– 2y – x = 0 ตามแนวแกน Y จาก y = –1 ถง y = 2

วธท า จดสมการเสนโคงในรป x = f(y)

จะไดวา x = y2– 2y

หาจดทเสนโคงตดแกน Y โดยให x = 0

X

Y



รป 5.6

จะไดวา y2– 2y = 0 y(y – 2) = 0

กราฟตดแกน Y ทจด y = 0, 2 ซงอยในชวง –1 y 2

แบงการหาพนทเปนชวง ๆ

ให A เปนพนทใตโคง y2– 2y – x = 0 ตามแนวแกน Y จาก y = –1 ถง y = 2 จะไดวา

A = |2y)dy (y ||2y)dy (y|2

0

20

1-

2

= |]y3

y[ ||]y

3

y[| 2

0 2

30 1-

23

= |4)3

8((0)||(0)1)

3

1(|



1. จงหาพนทใตโคง y = 2x –1 จาก 1 ถง 5

2. จงหาพนทใตโคง y = x2+ x –2 จาก x = –2 ถง x = 2

3. จงหาพนทใตโคง y = x3– 3x

2+ 2x จาก x = 0 ถง x = 3

4. จงหาพนทใตโคง y2 = x ตามแนวแกน Y จาก y = 0 ถง y = 2

5. จงหาพนทใตโคง 4y – y2 = x ตามแนวแกน Y จาก y = –1 ถง y = 5

6. จงหาพนทระหวางเสนโคง y = x2+ 3 และ y = 9 ตามแนวแกน X จาก x = –1 ถง x = 2

Y

X



x = a xk-1 xk x = b

รป 5.7

7. จงหาพนทซงถกปดลอมดวยแกน X และ y = 2x – x2

8. จงหาพนทซงถกปดลอมดวยแกน X , y = 3x – x2 และ x = –1

5.5 การหาพนทระหวางเสนโคง การหาพนทระหวางเสนโคง (area between curves) แบงเปนการหาพนทใตโคงโดยการหา

ปรพนธตามแกน X และ การหาพนทใตโคงโดยการหาปรพนธตามแกน Y ส าหรบการหาในกรณแรก ท าไดดงน ถา y = f(x) และ y = g(x) เปนฟงกชนตอเนองและ f(x) g(x) แตละ x ท x[a, b]

ให A เปนพนทระหวางเสนโคง f(x) กบ g(x) จาก x = a ถง x = b ซงหมายถง พนททปดลอมดวยเสนโคง y = f(x) , y = g(x) เสนตรง x = a และ x = b ดงรป 5.7 มวธการหาพนทคอ

แบงชวง [a, b] ออกเปนชวงยอยๆ n ชวง โดย a = nk210 x...x ... xxx = b ส าหรบ k = 1 , 2 , … , n

ให ck[ xk – 1 , xk] และ kx = xk - xk-1 แลวสรางรปสเหลยมผนผาทปดลอมดวยเสน

y = f(ck) , y = g(ck ) , x = xk - 1 และ x = xk

จะไดพนทสเหลยมผนผารปท k คอ kA = [f(ck) – g(ck )] kx และจะไดวา

A

n

1 k kA k

n

1k kk x)]g(c )[f(c

เมอ P = max( 0)xk จะไดวา n และจะไดวา

xk Ak

Y

X



A = k

n

1k kk

0Px)]g(c)[f(c lim

จากบทนยาม 5.3.3 บทนยามปรพนธจ ากดเขต จะไดวา A =

b

a

g(x)]dx [f(x)

ถาเสนโคงมการตดกนในชวง [a, b] ตองแบงการหาพนทเปนชวงๆ เชนถากราฟตดกน

ท x = c , d ซง x [a, b] จะไดวา

A = |g(x)]dx [f(x)||g(x)]dx [f(x)||g(x)]dx [f(x)|

b

d

d

c

c

a

ตวอยาง 5.5.1 จงหาพนทระหวางเสนโคง y = 4x – x2 และ y = x

2– 2x จาก x = –1 ถง x = 3

วธท า หาจดตดระหวางเสนโคง y = 4x – x2 และ y = x

2– 2x

จะไดวา 4x – x2 = x

2– 2x

2x2– 6x = 0

x(x – 3) = 0

x = 0 , 3 ซงจดตดอยในชวง [–1 , 3]

ดงนน พนท A = |2x)]dx (x)x[(4x ||2x)]dx (x)x[(4x|3

0

220

1-

22

= 6x)dx x( 6x)dx x( 3

0

20

1-

2

รป 5.8

X

Y



= ]3x3

x[ ]3x

3

x[ 3

0 2

30 1-

23

= 93

10

= 3

112 ตารางหนวย

ตวอยาง 5.5.2 จงหาพนทซงปดลอมโดยเสนโคง y = x2– 3 และเสนตรง y = 2x

วธท า หาจดตดของกราฟ y = x2– 3 และ y = 2x

จะไดวา x2– 3 = 2x

x2– 2x – 3 = 0

(x – 3)(x + 1) = 0

x = 3 , –1

ดงนน พนท A = |dx (2x)]3)[(x|3

1-

2

= | 3

1-

2 3)dx2x(x |

= | 3 1-

23

3x]x3

x[ |

= | (–9) – (3

5)|

= 3


รป 5.9

Y

X



ส าหรบการหาพนทระหวางเสนโคงโดยการหาปรพนธตามแกน Y ท าไดโดย

ถา x = f(y) และ x = g(y) เปนฟงกชนตอเนองบนชวง 21 yyy และ g(y)f(y)

Y

ให A เปนพนทระหวางเสนโคง f(y) และ g(y) จาก y = y1 ถง y = y2 แลว โดยวธการ

ท านองเดยวกนกบการหาพนทระหวางเสนโคงโดยหาปรพนธตามแกน X จะไดวา

A = | 2

1

y

y

g(y)]dy [f(y) |

ตวอยาง 5.5.3 จงหาพนทซงปดลอมดวยเสนโคง y = 4x – x2 และเสนตรง y = 2x

วธท า จะหาปรพนธตามแกน Y ตามรป 5.12 จดสมการในรป x = f(y) และ x = g(y)

เนองจาก y = 4x – x2 และ y = 2x

ดงนน x = 2 y4 และ x = 2

y

หาจดตดของกราฟ จะไดวา 2 y4 =

2

y

y4 = 2

y – 2

4 – y = 42y4

y2

,

–4y = y2– 8y

y2– 4y = 0

y = 0 , 4

X

y

รป 5.10



X

ลากเสนตรงขนานแกน X ผานจด y = 0 และ y = 4 จะไมตดกราฟทงสองทจดอนอก

ดงนน พนท A = |dy )]2

y(2) y4[(|

4

0 = |

4

0

2

1

2)dy2

yy)(4[ |

= | 4 0

22

3

2y]4

yy)(4

3

2[ | = | (–4 +8) – 2

3

(4)3

2| = |4 –

3

16|

= 3


ตวอยาง 5.5.4 จงหาพนทซงปดลอมดวยเสนโคง y2 = x + 2 และเสนตรง y = x

วธท า จะเปรยบเทยบวธการหาทง 2 กรณ กรณ 1 หาปรพนธตามแกน X จดสมการในรป y = f(x) และ y = g(x)

จะไดวา y = 2x และ y = x

หาจดตด 2x = x

x + 2 = x2

(x – 2)(x + 1) = 0

x = 2 , –1

รป 5.11

รป 5.12

Y

X

Y



ลากเสนตรงขนานแกน Y ผาน x = –1 จะตดเสนโคง y2 = x + 2 ซงเปนสวนทเปนขอบเขต

ของพนท ๆจะหา ดงนนจะแบงการหาพนทเปน 2 สวน คอ หาปรพนธตามแกน X จากจดยอด x = –2 ถง x = –1 และจากจดตด x = –1 ถง x = 2 ดงนน พนท A = |

-1

2-

)]dx2x()2x[( | + | dx(x)])2x[(2

1- |

= | -1

2-

2

1

dx2)2(x | + | 2

1-

2

1

x]dx2)[(x | = | 1-2-

2

3

]3

2)4(x[

| + | 2

1-

22

3

]2

x

3

2)2(x[

|

= |(3

4)– 0| + |(

3

10) – (

6

1)|


กรณ 2 หาปรพนธตามแกน Y จดสมการในรป x = f(y) และ x = g(y)

จากสมการ y2 = x + 2 และเสนตรง y = x จะไดวา x = y

2– 2 และ x = y

หาจดตด y2– 2 = y

y2– y – 2 = 0

(y - 2)(y + 1) = 0

y = –1 , 2

ลากเสนตรงขนานแกน X ผานจดตดทงสอง เสนตรงจะไมตดกราฟของเสนทงสองทเปนขอบเขตของพนททจดอนอก ดงนน พนท A = |

2

1-

2 (y)]dy2)[(y |

รป 5.13

Y

X



= | 21-

23

]2

y2y

3

y[ |

= |(–3

10 ) – (–61 )|


ตวอยาง 5.5.5 จงหาพนทซงปดลอมดวยเสนโคง y2= x และ y2

+ 2y = 4 – x

วธท า หาจดตดของเสนโคงทงสอง

เนองจาก y2= x และ y2

+ 2y = 4 – x

ดงนน y2+ 2y - 4 = – y

2

2y2+ 2y – 4 = 0

(y + 2)(y –1) = 0

y = 1 , –2

จะไดวา จดทเสนโคงตดกนคอ (1, 1) และ (4, –2)

จากกราฟ จะเหนวา ถาลากเสนตรงขนานแกน Y ผานจดตด (1, 1) และ (4, –2) จะตดเสนโคงทเปนขอบเขตของพนททจดอนอก ดงนน ถาหาพนทโดยใชปรพนธตามแกน X จะตองแบงการหาพนทเปน 3 สวน แตถาลากเสนตรงขนานแกน Y ผานจดตดทงสองจะไมตดเสนโคงทเปนขอบเขตของพนททจดอนอก ดงนนถาหาพนทโดยหาปรพนธตามแกน Y จะเปนการหาปรพนธในชวงเดยว จงเลอกใชการหาปรพนธตามแกน Y ดงน

จดสมการทงสองในรป x = f(y) และ x = g(y)

จะไดวา x = y2 และ x = 4 – 2 – y

2

รป 5.14

X

Y



ดงนน พนท A = | )]dyy2y(4)[(y1

2-

22 |

= | 4)dy2y(2y1

2-

2 |

= | 4y]y3

2y[ 1

2-2

3

|

= |(–3

7 ) – (3

20 )|



จงหาพนทซงถกปดลอมดวย

1. y = x และ y = x3

2. y = x +1 และ y2– 3 = x

3. y = x2 , x

2 = 3y และ x = 3

4. x + 2y = 2 , y = x + 1 และ 2x + y = 7

5. y = 8 – x2 , y = x

2 และ x = 3

6. y = ex , y = e

-x และ x = 1

7. y = ln x และ y = ln2x

8. y = cos-1 x และ y = sin

-1 x


ประสทธ รางศร. (2547). แคลคลสและเรขาคณตวเคราะห 1. คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลย




กรงเทพฯ: สกายบกส. วศษฎ เดชพนธ. (2544). แคลคลส I ส าหรบวศวกรรมศาสตร และวทยาศาสตร. กรงเทพฯ: บคเนท.

บรรณานกรม

ธรวฒน ประกอบผล. (2545). แคลคลส (Calculus). เพยรสน เอดดเคชนอนโดไชนา. กรงเทพฯ. ประสทธ รางศร. (2547). แคลคลสและเรขาคณตวเคราะห 1. คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลย



มนส ประสงค. (2541). แคลคลสและเรขาคณตวเคราะห 1. กรงเทพฯ : ศนยสงเสรมวชาการ.


กรงเทพฯ: สกายบกส. วลลภ เฉลมสววฒนาการ. (2543). แคลคลสเบองตน. ทฤษฎและตวอยางโจทย. Schaum’s Outline Series, Copyright 1991.

วศษฎ เดชพนธ. (2544). แคลคลส I ส าหรบวศวกรรมศาสตร และวทยาศาสตร. กรงเทพฯ: บคเนท.

ศรบตร แววเจรญ และ ชนศกด บายเทยง. (2540). อนพนธและการประยกต. กรงเทพฯ: วงตะวน.




Ewen Dale, Joan S. Gary & E. Trefzger. (2002). Technical Calculus. New Jersey : Pearson

Education, Inc.



Stewart James. (1999). Calculus, Fourth edition. New York. Brooks/Cole Publishing Company.

ภาคผนวก

ผลเฉลยแบบฝกหด

ผลเฉลยแบบฝกหดบทท 1

ผลเฉลยแบบฝกหด 1.1

1.1 {5, 10, 15, . . .}

1.2 {21 , 2}

1.3 {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

3.1 เซตอนนต

3.2 เซตจ ำกด

3.3 เซตอนนต

3.4 { . . ., -4, -2, 0, 2, 4, . . .}

3.5

4.1 ไมเทำกน

4.2 เทำกน

4.3 ไมเทำกน

4.4 เทำกน

5.1 , {a}

5.2 , {1}, {2}, {1, 2}

5.3 , {1}, {2}, {{3}}, {1, 2}, {1, {3}},

{2, {3}}, {1, 2, {3}}

5.4 , {{1, {2}}}

6.1 ถก

6.2 ถก

6.3 ถก

6.4 ถก

6.5 ถก

6.6 ถก

6.7 ถก

6.8 ถก

6.9 ผด

6.10 ถก

7.1 {}

7.2 {, {a}, {b}, {a, b}}

7.3 {, {1}, {{1}}, {1,{1}}

7.4 {, {}, {1}, {2}, {, 1}, {, 2}, {1, 2},

{, 1, 2}}

9.1 {0, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

9.2 {1}

9.3 {0, 1, 3, 4, 5, 6, 7}

9.4 {3, 5, 7}

9.5 AB

9.6 A

9.7 AB

9.8 A

9.9 A

9.10 B

10.1 120

10.2 70

10.3 80

11. 57




1. จรง

2. เทจ

3. จรง

4. เทจ

5. เทจ

6. เทจ

7. เทจ

8. เทจ

9. จรง

10. เทจ

11. เทจ

12. เทจ

13. เทจ

14. เทจ

15. เทจ

16. เทจ

17. เทจ

18. จรง

19. จรง

20. จรง


1.1 (-, 3)(4, ) 1.2 (-1, 7) 1.3 (-,

3

2 )(3

1, )

1.4 (-,2

3 ][5, )

1.5 (-,2

1 ][4, )

1.6 (-,3

1 ][2

1 , 8]

1.7 (-,-4)(4

1 , 1)

1.8 [-2, 5]

1.9 (3, 5)(5, 8)

1.10 (-, -1][4, 5][7, )

2.1 {4, 10}

2.2 {2

3 , 2

5 }

2.3 {-4, 3

2 }

2.4 {0, 4}

2.7 {x | 2 < x < 6}

2.8 {x | x < 2 หรอ x > 6}

ผลเฉลยแบบฝกหด 1.4 ก

1. AxB = {(1,a), (1,b), (2,a), (2,b), (3,a), (3,b)}

BxA = {(a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3)}

2.1 x = 3, y = 4

2.2 x = 2, y = 1

2.3 y ≠ 2

4.1 r1= {(4, 2), (6, 3)}

5.3 เปน

5.4 ไมเปน

5.5 เปน

5.6 ไมเปน

5.7 เปน

5.8 เปน



4.2 r2= {(2, 4), (2, 6), (3, 6)}

4.3 r3= {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 5), (4, 2),

(4, 4), (4, 6), (5, 3), (5, 5), (6, 2), (6, 4), (6,6)}

5.1 เปน

5.2 ไมเปน

6.1 ไมเปน

6.2 เปน

6.3 ไมเปน

6.4 ไมเปน

6.5 เปน

ผลเฉลยแบบฝกหด 1.4 ข

1.1 เปน

1.2 ไมเปน

1.3 ไมเปน

1.4 เปน

1.5 ไมเปน

1.6 เปน

1.7 เปน

2.1 f1 , f2 , f4 , f5 , f6

2.2 f2 , f5

2.3 f3 , f7

2.4 ไมม 2.5 f4 , f6

2.6 f2 , f5 , f7

2.7 f7

2.8 f2 , f5 , f7

ผลเฉลยแบบฝกหด 1.4 ค

1.1 {(1, 1), (2, 1), (2, 3), (4, 2)} ไมเปน

1.2 {(x,y)RxR | y = x - 1} เปน

1.3 {(x,y)RxR | y = sin-1

x} ไมเปน

1.4 {(x,y)RxR | y = 2

1x } เปน

1.5 {(x,y)RxR | y = 2x

1 } เปน

1.6 {(x,y)RxR | y = x } ไมเปน

2.1 f1 , f2 , f4 , f5 , f6

2.2 f2 , f5

2.3 f3 , f7

2.4 ไมม 2.5 f4 , f6

2.6 f2 , f5 , f7

2.7 f7

2.8 f2 , f5 , f7




1. gof(x) = 4(x-1)

fog(x) = 1-x22

gof-1(x) = (

4

x2

+1)2

4. (f+g)(x) = {(2,3), (1,-1)}

(f-g)(x) = {(2,1), (1,7)}

(fg)(x) = {(2,2), (1,-12)}

(g

f)(x) = {(2,2), (1,

4

3- )}

5. (f+g)(x) = x+x

4+1

(f-g)(x) = x-x

4+1

(fg)(x) = 4+x

1

(g

f)(x) =

4

)1x(x

6.1 ไมเทำ 6.2 ไมเทำ 8.1 x = 3

8.2 x = -2

8.3 x<0



1.1 8

1.2 3

1.3 55

1.4 -6912

1.5 10

1

1.6 4

1

1.7 -1

1.8 1

1.9 9

1.10 0

2. 4, 4 และ 4 ตำมล ำดบ

3. 2

4. f มลมตทจด a = -1 แตไมมลมตทจด a = 2


1. -

2. 5

3. 0 และ 0

4. -8 และ -8

5.

6. 3

7. 3

12. 2

1

13. 0

14. -1

15. 0

16. -2

3

17. 0



8. -4

9. -5

10. 4

11. 4

18. 0

19. 5

1

20. -1

21. -3

1 และ 3

1


1.1 - , และ ไมมลมต

1.2 , และ


1.4. - , - และ -

1.5 , - และ ไมมลมต



1.8 , - และ ไมมลมต

2.1

2.2

2.3

2.4

3.1

3.2

3.3

3.4 -

3.5

3.6 -


1.1 ตอเนอง


1.3 ไมตอเนอง

1.4. ไมตอเนอง


1.6 ไมตอเนอง



2.1 ตอเนองทกจด

2.2 x = 2

2.3 x = - 2

2.4 x = - 1

2.5 x = 1, 3

2.6 ตอเนองทกจด

2.7 x = 0

2.8 x = 0

2.9 x = n

3. ตอเนองทจด x = 1

4. ตอเนองทจด x = 0

5. ไมตอเนอง

6. 6

7. 7

8.1 - 6

8.2 3

8.3 5





1.1 4

1.2 2x

1.3 x - 5

1.4 2

x

1-

2.1 1

2.2 3

2.3 -3

2.4 ไมม 2.5 ไมม 2.6 1

2.7 4

5-

2.8 0


1.1 14x - 3

1.2 4+3

x

10

1.3 3x

2

15x2 3 x

3

4-

1.4 12(3x - 5)3

1.5 1x2 -x2

x4-x424

3

1.6 9x2 - 4x +12

1.7 3-x2

)5x(2

+ 3-x2 (2x+10)

1.8 2

)1x2(

11

1.9 22

23

)1x4 -x(

)8-x9x6 -x(2-

1.10 1-x)1 -x(

1 -

2

3. 4

13

4. 24

5. 3

4

6. -1

7. 60


1.1 5sin5x

1.2 3x2 cos(x

3- 4)

1.3 2sec2xtan2x + 4sin4x

1.4 6 -x2

6 -xsec2

1.5 3 tan2x sec

2x

1.6 )xcot -x2(csc 2

xcscx2cot x2csc2-

2

1.19 -3(cot-1(2x)+3x)

2

3x41

22

1.20 2xsin-12x +

2

2

x4-1

x2

1.21 xtanx2sin2-x1

x2cos 1-

2

1.22 2

1-

x-1

)x(sin4-x2 +4-x2

)x(sin21-



1.7 - 12(csc2x cot2x) -8x csc2x

3

1.8 10sin5x cos5x - 12cos3x sin x

1.9 2x3sec

22x+3x

2tan2x

1.10 - 2secx csc2x cot x + csc

2x sec x tan x

1.11 24 x cot24x +

x2

x4cot23

1.12 1x4-x4

x2sin2 -x2cos)2 -x4(2

1.13 x2cos xsin2

]xsinx2sin2xcosx2[cosx2cos2

1.14 - 4sin4x cos(cos4x)

1.15 2

x25-1

5-

1.16 2

x -x2

2

1.17 5 -1-x4x2

22

1.18 1-x4xx8

16 -

x91

32

1.23

5

x-1

1

x5xcos2

121-

1.24 2

x-1

x1

1.25 x3tanx3tan)x91(2

x3 1-

1-2

1.26 -3sin3x+2

x4-1

2

1.27 21-2

1-2

)x(sinx-1

x2-xsinx-12

1.28 22

1-2

x)x1(3

xtan)x-1(-x

1.29 21-2

21-2

3x)-x(cosx-1

)x-13-2)(1-(x3x)-x(cosx-1

1.30 22

21-

)5-x(x-1

x-1)5-x(sin-)5-x(

2. - 1

3. 7

4. 9

32

5. )2

1(2

3


1.1 5-x3

elog3

1.2 4x

x22

ln3e

1.3 1-x4

x123

2

1.4 2

x16

)x5ln-1(4

1.5 x

2 ln7x

1.6 4-xlnx2

33

1.7 2(32x-5

)ln3

1.8 3cos3x 6cos3x

ln 6 1.9 (xcos x +2)xe

sin x

1.10 x2

e

)x-1(x2

2. 3

34

3. e

4. 4



ผลเฉลยแบบฝกหด 3.2 ง

1.1 2xsech2 x

2

1.2 2sinh x cosh x

1.3 (ex+e

-x)cosh(e

x-e

-x)

1.4 2sech 2x(tanh22x + sech

2 2x)

1.5 csch x (1- xcoth x)

1.6 xcoth xsinh 2

xcschxcosh 2

1.7 2

2

3x)cosh (1

3x3sinh3x)cosh 3x(13cosh

1.8 4csch24x

1.9 ( 29x-1

x+ tanh

-13x)(3x

2)

1.10 1 -)4-(2x

222

1.11 2x)1x(

x22

1.12 4(sinh-1x+cosh

-1x)

3

1 -x

1

1x

122

1.13 22

1-2

3x) -(1 19x

3xsinh 1 9x33x) -3(1

1.14 2x

1

1.15 2coth 2x

1.16 x

1sinh(lnx)

1.17 -1 x

12

sin(sinh-1x)

1.18 -1 xcos

xsin 2

1.19 etanh x

sech2 x

1.20 4x

2x

e -1

2e

2. e – e-1

3. -3

1


1.1 y

x

1.2 xsin - y xcos

sin y-x ycos

1.3 2y -x

y-2x-

1.4 1 2y)2sin(x

2y)2xsin(x-

2

2

1.5 - y

4x

1.6 1) y-x(x

y-4x3

3

1.7 3

yx

y-2x

1.10 xyxsin -1

xyysin

1.11 2

y)y(xx

x

1.12 x)ln x(y

1)y(y

2.1 2

2.2 2

2.3 ไมม 2.4

5

1

3. 8

5

4. 5

4



1.8 sin y-x

y-1

1.9 6yx

y-x

5. 3

32-


1. y

)4-x(2

x3

3x

x

)2-x(2

13

2

2

2. y )1)2(x

1 - 1

x

2(

3. y )xlnx2

1

x

1(

4. y(x -1

1 -

x3

2+3cot x – 2tan x -

4-x

x22

)

5. y(x

3 +

2x

2x

2 +

x) -5(4

1 )



1. 1

2. 0 3. 1

4. 1

-

5. 2

6. 6

1


1.1 12

1.2 1 1.3 16

1.4 1

1.5 4, -4, 5

34 ,

5

34-

1.6 -2

1.7 y

x2 -

1.8 -2e-2x

1.9 ไมมควำมชน

1.10 12

2.1 2x- y+3 = 0 และ x+2y+11 = 0

2.2 x+y - (1+) = 0 และ x-y + (1-) = 0

2.3 3x+y +1+2

3 = 0 และ x-3y -3-

2

= 0

2.4 4x-y+3 - = 0 และ x+4y+12 -4

= 0

2.5 3x-y - 2 = 0 และ x+3y -2 = 0

2.6 y = -1 และ x = 2




1.1 112 ฟตตอวนำท 1.2 เมอเวลำผำนไป 9 วนำท 1.3 144 ฟตตอวนำท 1.4 เมอเวลำผำนไป

2

9 และ 9 วนำท

1.5 324 ฟต

2.1 4.9 เมตรตอวนำท 2.2 ลกบอลหยดนงภำยใตควำมเรง -9.8 เมตร

ตอวนำท2 2.3 สนสดวนำทท 2 และสงสด 19.6 เมตร

2.4 19.6 เมตรตอวนำทและ 9.8 เมตรตอวนำท2

3.1 5

1 (

30 3

230

e -e )

3.2 30

2

t30

2

e

4.1 ไปทำงขวำ ควำมเรว 1

4.2 ไปทำงซำย ควำมเรว 10

4.3 อนภำคหยดกำรเคลอนท 5.1 t < 2 ไปทำงซำย และ t > 2 ไปทำงขวำ 5.2 t > 2 ไปทำงขวำ -1< t < 2 ไปทำงซำย และ

t < -1 ไปทำงขวำ 5.3 t > 1 ไปทำงซำย -1< t < 1 ไปทำงขวำ และ

t < -1 ไปทำงซำย



1.1 10x+C

1.2 4

x

4

- 5x + C

1.3 x5sec5

1+ C

1.4 13

x

13

+ C

1.5 x3+x

2-3x+ C

1.6 2

x2

1 -

2.1 5x+ C

2.2 3x2+ C

2.3 6

x

6

+ C

2.5 x2-

2x2

3 + C

2.6 2ln|x| - x

6 +

2x2

1 + C

2.7 2

3

x3

4 +C

2.8 6 x - 2 3 x + C

2.9 sin-1x + C

2.10 ln | x+ 4-x2

| + C

2.11 3

1tan

-1

3

x + C

2.12 10

1ln

5 -x

5x + C



2.4 3x+2

x5

2

-x4+

5

x

5

+ C 2.13 52

1 ln 5x

5 -x

+ C

2.14 sin-1

3

x + C


1. 24

1 (2x - 3)

12 + C

2. 3

1 (3x -1) 1-x3 + C

3. 6

1 (x

2 + 8)

6 + C

4. 8

3 (x

2 - 8x+3) 3

4

+ C

5. 15

1 (x

3 + 5)

5 + C

6. 3

2 (x

2 + 4) 2

3

+ C

7. 8

3 (x

2 + 2x+8) 3

4

+ C

8. 3

1 ln | 3x + 5 | + C

9. 2

5 ln | x

2 + 5 | + C

10. 4

1ln | 4sin x + 1| + C

11. 3ln | ex - 2| + C

12. 2 1 -x sin + C

13. 3

1 tan

-1

3

x2 + C

14. 6

1ln 2

2

x -3

x 3 + C

15. 8

1ln

4x2

4 -x2

+ C

16. sin-1

5

x3+ C

17. 3ln |sin x - 2| + C

18. sin-1

22

x2+ C

19. 7 -x2

+ C

20. 42

1- (1- x

2 )

21 + C




1. 2

3 e

2x + C

2. e3

x+ C

3. 2ln

2-

-x

+ C

4. 2ln3

2

5x

+ C

5. 2

1 ln | sec 2x | + C

6. 3

1 sin 3x + C

7. 5

1 sin(3x + 2) + C

8. esin 2x

+ C

9. sin x2+ C

10. 2

1 sin

2 x + C

11. ln | sin x | + C

12. ln | tan x-2 | + C

13. tan x4 + C

14. ln | secx

1 + tan

x

1 | + C

15. 15

1 sin

5 3x + C

16. -3ln | cos x - 1| + C

17. sec2 x + C

18. ln | 4 - cot x | + C

19. 6

1 sech

2 3x + C

20. 3

1 cosh

3 x + C


1. y = x2 - 1

2. y = 2x2 - x

3. y = x+5ln | 3x

6 | + 6

4. y = x3+2x

2 - 6x+9

5. s = 3

t

3

+ 2t

2

3 และ v = t

2 +3t

6.1 - 10t + 80

6.2 5t2 - 80t

6.3 60

6.4 6, 10

7.1 4

7.2 40

8. Q(x) = 3x +x

80 + 5,000 และ 8,240.07


1. 90

2. 2

21

3. 8

11

7. 5

2

8. 18

5-

9. - ln(1+ e)



4. 2

3 ln2

5. sin4

2

6. 2(e3 -1)

10. 3

1

11. 3

1 e

3(e

3 - 1)

12. 0


1. 20

2. 3

19

3. 4

11

4. 3

8

5. 46

6. 15

7. 3

2

8. 3

19


1. 2

1

2. 2

9

3. 2

27

4. 6

5. 3

14

6. 2(e-1)

7. 3

4 - e-1

8. 24

ดชน

กฎโลปตาล, 125

การแกปญหาคาสงสดหรอคาต าสด, 137

การปฏบตการของเซต, 9

การประยกตของปรพนธไมจากดเขต, 166

การหาปรพนธ, 152

การหาปรพนธโดยการแทนคา, 158

ขนตอนการหาคาสดขดสมพทธ, 135

ความชน, 128

ความตอเน องบนชวง, 80

ความเรง, 142, 167

ความเรว, 142, 167

ความสมพนธ, 26

คอมพลเมนต, 10

คาประจา, 171

คาสมบรณ, 20

คาสดขดสมพทธ , 131

คอนดบ, 26

แคลคลสเชงปรพนธ, 151

จานวนจรง, 13

จานวนเตม, 13

จานวนเตมบวก, 13

จานวนเตมลบ, 13

จานวนลบ, 14

จานวนอตรรกยะ, 13

จดต าสดสมพทธ , 133

จดวกฤต, 133

จดสงสดสมพทธ, 133

เซต, 7

เซตจากด, 8

เซตยอย , 8

เซตวาง, 8

เซตอนนต, 8

โดเมน, 27

ตอเน องทางขวา, 78

ตอเน องทางซาย, 78

ทฤษฎบทเก ยวกบอนพนธ, 91

ทฤษฎบทของลมต, 54

ทฤษฎบทคากลาง, 131

ทฤษฎบทหลกมลของแคลคลส, 173

ปฏยานพนธ , 151

ปรพทธ, 152

ปรพนธของฟงกชนพชคณต, 156

ปรพนธของฟงกชนอดศย, 161

ปรพนธจากดเขต จาก a ถง b, 173

ปรพนธจากดเขต, 170

ปรพนธเฉพาะ, 152

ปรพนธท วไป, 152

ปรพนธไมจากดเขต, 151

ผลคณคารทเซยน, 26

ผลตาง, 9

ผลบวกบน, 171

ผลบวกลาง, 171

ผลแบงกน, 171

พกด, 26

พชคณตของฟงกชน, 40

พนท ใตโคง, 178

พนท ใตโคงตามแนวแกน X, 178

พนท ใตโคงตามแนวแกน Y, 179



พนท ระหวางเสนโคง, 183

พนท ระหวางเสนโคงตามแกน X, 186

พนท ระหวางเสนโคงตามแกน Y, 186

เพาเวอรเซต, 9

ฟงกชน, 26

ฟงกชนค , 43

ฟงกชนค, 43

ฟงกชนท วถง, 33

ฟงกชนท เทากน, 42

ฟงกชนประกอบ, 41

ฟงกชนผกผน, 37

ฟงกชนเพ ม, 43, 133

ฟงกชนมความตอเน อง, 76

ฟงกชนลด, 43, 133

ฟงกชนหน งตอหน ง, 31

ฟงกชนหน งตอหน งท วถง, 34

ฟลด, 14

ภาพ, 29

ยเนยน, 9

ระยะทาง, 142

รปแบบท ไมกาหนด, 61

เรนจ, 27

ลมตทางขวา, 51

ลมตของฟงกชน, 49

ลมตคาอนนต, 70

ลมตทางซาย, 51

ลมตท คาอนนต, 64

สมการอนพนธ, 151

สมาชก, 7

สจพจนของการจดอนดบ, 14

สตรของการหาปรพนธ, 152

เสนจานวนจรง, 16

เสนปรกต, 128

เสนสมผส, 128

อนพนธของฟงกชน, 87

อนพนธโดยปรยาย, 114

อนพนธทางขวา, 89

อนพนธทางซาย, 89

อนพนธฟงกชนตรโกณมต, 99

อนพนธฟงกชนตรโกณมตผกผน, 99

อนพนธฟงกชนพชคณต, 95

อนพนธฟงกชนเลขชกาลง, 106

อนพนธฟงกชนไฮเพอรโบลก, 109

อนพนธอนดบท หน ง, 135

อนพนธอนดบท สอง, 135

อนพนธอนดบสง, 118

ออรเดอรฟลด, 14

อตราการเปล ยนแปลง, 142

อตราการเปล ยนแปลงเฉล ย, 87

อตราสมพทธ, 146 เอกภพสมพทธ, 8

แคลคูลัส -...

Documents

Transcript of แคลคูลัส -...