วชาคณตศาสตร 3 ชนมธยมศกษาปท 2 เรอง พหนาม

1

นพจน (expression) คอ ขอความทเขยนใหอยในรปสญลกษณตาง ๆ แตในทางพชคณตจะมการใชตวอกษร เชน a, b,

c, A, B, C แทนจ านวนตาง ๆ ทเราตองการ โดยมตวอยาง เชน .......................................................................................................

โดยเรยกตวอกษรวา....................................................และตวเลขเรยกวา....................................................

ขอตกลงในการเขยนผลคณระหวางคาคงตวและตวแปร

1) กรณทมคาคงตวมากกวา 1 ตว ใหหาผลคณของคาคงตวกอน แลวเขยนผลลพธไวหนาตวแปร

เชน 2 3 4 x เขยนไดเปน....................................................

2) กรณทมตวแปรมากกวา 1 ตว ใหเขยนเรยงล าดบตวอกษรและเขยนเรยงชดตดกนไปและใชรปเลขยกก าลงถามตว

แปรซ ากน เชน 7

5m m n เขยนไดเปน....................................................

3 4a b a b c เขยนไดเปน....................................................

3) กรณทคาคงตวเปน 1 ไมตองเขยนคาคงตว ถาคาคงตวเปน -1 ใหเขยนเฉพาะเครองหมายลบหนาตวแปรท งหมด

เชน 1 x y เขยนไดเปน....................................................

1 y z x เขยนไดเปน....................................................

พหนาม

เรอง เอกสารประกอบการเรยน

ชอ-นามสกล.............................................................................................................เลขท................ชน.....................

เอกนาม

นพจนทสามารถเขยนใหอยในรปการคณของคาคงตวกบตวแปรตงแตหนงตวขนไป และเลขชก าลงของตว

แปรแตละตวเปนศนยหรอจ านวนเตมบวก เรยกวา................................................................

วชาคณตศาสตร 3 ชนมธยมศกษาปท 2 เรอง พหนาม

2

เชน 2xy เปนเอกนามทมสมประสทธเปน............................. มดกรเปน.............................

2xy เปนเอกนามทมสมประสทธเปน............................. มดกรเปน.............................

2 3 42 a b เปนเอกนามทมสมประสทธเปน............................. มดกรเปน.............................

8 เปนเอกนามทมสมประสทธเปน............................. มดกรเปน.............................

x เปนเอกนามทมสมประสทธเปน............................. มดกรเปน.............................

2

1

a เปนเอกนามทมสมประสทธเปน............................. มดกรเปน.............................

2

3xyz เปนเอกนามทมสมประสทธเปน............................. มดกรเปน.............................

สวนทเปนคาคงตว เรยกวา .................................................

สวนทเปนตวแปรหรออยในรปการคณของตวแปร โดย

ผลบวกของเลขชก าลงของตวแปรทงหมดในเอกนาม

เรยกวา...............................................................................

เอกนาม

ตวอยางนพจนทเปนเอกนาม ตวอยางนพจนทไมเปนเอกนาม

วชาคณตศาสตร 3 ชนมธยมศกษาปท 2 เรอง พหนาม

3

เอกนาม 2 เอกนามใด ๆ จะเปนเอกนามคลายกนกตอเมอ

1. เอกนามทงสองมตวแปรชดเดยวกน

2. เลขชก าลงของตวแปรแตละตวในเอกนามทงสองเทากน

การบวกและการลบเอกนามใด ๆ มหลกการดงน

1. เอกนามทจะน ามาบวกหรอลบกนจะตองเปนเอกนามทคลายกน

2. ผลลพธทไดมาจากการน าสมประสทธของเอกนามมาบวกหรอลบกน สวนตวแปรยงเปนชดเดม

ตวอยางท 1 จงหาผลบวกของเอกนามตอไปน

1) 3 4x x 2) 2 27 2xy xy 3) 3 3 3 35s t s t

4) 4ab ab 5) 3 3 32 3 3y y y

ตวอยางเอกนามทคลายกน ตวอยางเอกนามทไมคลายกน

……………………….คลายกนกบ……………………….

……………………….คลายกนกบ……………………….

……………………….คลายกนกบ……………………….

……………………….ไมคลายกนกบ……………………….

……………………….ไมคลายกนกบ……………………….

……………………….ไมคลายกนกบ……………………….

ผลบวกของเอกนามทคลายกน =…………………………………………………………………………………………………………………..........

การบวกและการลบเอกนาม

เอกนามคลาย

การบวกเอกนาม

วชาคณตศาสตร 3 ชนมธยมศกษาปท 2 เรอง พหนาม

4

วธท า 1) 3 4x x

2) 2 27 2xy xy

3) 3 3 3 35s t s t

4) 4ab ab

5) 3 3 32 3 3y y y

*** ส าหรบเอกนามไมคลายกน เชน xy กบ 32y น น ไมสามารถเขยนผลบวกในรปเอกนามได แตเขยนผลบวกใน

รปการบวกไดเปน .......................................................

การลบเอกนาม อาศยหลกการเชนเดยวกบการลบจ านวนสองจ านวนทกลาวา “การลบ คอ การบวกดวย

จ านวนตรงขามของตวลบ ” ตามขอตกลงดงน

การลบเอกนาม

ตวตง – ตวลบ = ตวตง + จ านวนตรงขามของตวลบ

วชาคณตศาสตร 3 ชนมธยมศกษาปท 2 เรอง พหนาม

5

การลบเอกนามสองเอกนามทคลายกน ..................................................................................................................

เชน 2 24 3a a ………………………………………… แลวจงใชหลกการบวกเอกนามทคลายกน

ตวอยางท 2 จงหาผลลบของเอกนามตอไปน

1) 5 2xy xy 2) 2 26 3a b a b 3) 2 22 4x x

4) 3 ( 3 )mn mn 5) 9 4 8x x x

วธท า 1) 5 2xy xy

2) 2 26 3a b a b

3) 2 42 4x x

4) 3 ( 3 )mn mn

5) 9 4 8x x x

ผลลบของเอกนามทคลายกน =………………………………………………………………………………………………………..........................

วชาคณตศาสตร 3 ชนมธยมศกษาปท 2 เรอง พหนาม

6

*** ส าหรบเอกนามไมคลายกน เชน 4x ลบดวย 5xy น น ไมสามารถเขยนผลลบในรปเอกนามได แตเขยนผล

ลบในรปการลบไดเปน .......................................................

ตวอยางท 3 จงหาผลลพธตอไปน

1) 12 6 4mn mn mn 2) 2 2 25 9 4x y xy x y

3) 2 2 2 21 22

2 3ab ab a b ab

วธท า 1) 12 6 4mn mn mn

2) 2 2 25 9 4x y xy x y

3) 2 2 2 21 22

2 3ab ab a b ab

วชาคณตศาสตร 3 ชนมธยมศกษาปท 2 เรอง พหนาม

7

พหนาม (Polynomial) คอ จ านวนทเขยนในรปเอกนาม หรอผลบวกของเอกต งแต 2 เอกนามข นไป

เชน ............................................................................................................................. ..................

ดกรของพหนาม คอ ดกรทสงทสดของเอกนามซงอยในพหนามชดน น

เชน 2 2 2 35 3 7x y xy x y เปนพหนามดกร ...............................

2 2

4 2

1

2 43

3

a ba b abc

c เปนพหนามดกร ..............................

พหนามในรปผลส าเรจ คอ พหนามทไมมเอกนามคลายกนประกอบอย

เชน

2 23 14 7 2x x = 2 23 7 14 2x x

= 24 16x

เอกนามแตละเอกนามทอยในพหนาม เรยกวา ……………………………………………..

พหนามทมเอกนามทคลายกน เรยกวา ……………………………………………..

ตวอยางท 4 จงท าใหเปนผลส าเรจและบอกดกรของพหนาม

1) 2 27 9 5 2 6x x x x 2) 4 8 10xy y x y

วธท า 1) 2 27 9 5 2 6x x x x

ดกรของพหนาม เทากบ

พหนาม

วชาคณตศาสตร 3 ชนมธยมศกษาปท 2 เรอง พหนาม

8

2) 4 8 10xy y x y

ดกรของพหนาม เทากบ

หลกการของบวกและการลบพหนามเหมอนกบการบวกและการลบเอกนาม คอ น าสมประสทธของเอกนามทคลายกน

มาบวกหรอลบกน

ตวอยางท 5 จงหาผลบวกของพหนามตอไปน

1) 2 216 5 9 7 2 3x x x x

2) 2 22 1 2x x x

3) 2 3 3 2 3 2 2 313 9 2 8 2 2 5x xy y x x y y x y xy y

วธท า 1) การบวกตามแนวนอน เขยนพหนามใหอยในรปการบวกดงน

2 216 5 9 7 2 3x x x x

การบวกและการลบของพหนาม

การบวกพหนาม

1. การบวกตามแนวนอน เขยนพหนามทงสองในรปการบวกและรวมพจนทคลายกนเขาดวยกน

2. การบวกตามแนวตง เขยนพจนทคลายกนอยในแนวตงทตรงกน แลวท าการบวกพจนทคลายกน

หลกการบวกพหนามม 2 วธ

วชาคณตศาสตร 3 ชนมธยมศกษาปท 2 เรอง พหนาม

9

การบวกตามแนวตง ตงพจนทคลายกนใหตรงกนแลวท าการบวกดงน

216 5 9x x

27 2 3x x

ดงน น 2 216 5 9 7 2 3x x x x

2) การบวกตามแนวนอน เขยนพหนามใหอยในรปการบวกดงน

2 22 1 2x x x

การบวกตามแนวตง ตงพจนทคลายกนใหตรงกนแลวท าการบวกดงน

ดงน น

+

วชาคณตศาสตร 3 ชนมธยมศกษาปท 2 เรอง พหนาม

10

3) การบวกตามแนวนอน เขยนพหนามใหอยในรปการบวกดงน

2 3 3 2 3 2 2 313 9 2 8 2 2 5x xy y x x y y x y xy y

การบวกตามแนวตง ตงพจนทคลายกนใหตรงกนแลวท าการบวกดงน

ดงน น

วชาคณตศาสตร 3 ชนมธยมศกษาปท 2 เรอง พหนาม

11

ตวอยางท 5 จงหาผลลพธของ 2 2(3 4 1) (2 1)x x x x

วธท า พหนามตรงขามของ 22 1x x คอ

การลบตามแนวนอน

2 2(3 4 1) (2 1)x x x x

การลบตามแนวตง

23 4 1x x

22 1x x

ดงน น 2 2(3 4 1) (2 1)x x x x

การลบพหนาม

+

1. การลบตามแนวนอน เปลยนการลบใหอยในรปการบวกของพหนามทเปนตวตงกบพหนามตรง

ขามของพหนามตวลบ แลวท าการบวกพจนทคลายกน

“พหนามตวตง – พหนามตวลบ = พหนามตวตง + พหนามตรงขามกบตวลบ”

2. การลบตามแนวตง ตงพจนทคลายกนใหอยตรงกน ใชหลกการลบพหนามจะบวกพหนามท

เปนตวตงดวยพหนามนามตรงขามของพหนามตวลบ

หลกการลบพหนามม 2 วธ

วชาคณตศาสตร 3 ชนมธยมศกษาปท 2 เรอง พหนาม

12

ตวอยางท 6 จงท าใหเปนผลส าเรจ 2 2 32 3 1 2 4 1x x x x x x

วธท า พหนามตรงขามของ 2 2x x คอ

พหนามตรงขามของ 34 1x x คอ

การลบตามแนวนอน

การลบตามแนวต ง

ดงน น

วชาคณตศาสตร 3 ชนมธยมศกษาปท 2 เรอง พหนาม

13

ตวอยางท 7 จงหาผลคณของจ านวนตอไปน

1. 4 3x x 2. 2 54 6m m 3. 4 5 7 23 4x y x y

วธท า 1. 4 3x x

2. 2 54 6m m

3. 4 5 7 23 4x y x y

การคณพหนาม

การคณระหวางเอกนามกบเอกนาม

การคณระหวางเอกนามกบเอกนาม น าคาคงตวในแตละเอกนามมาคณกน

และน าตวแปรในแตละเอกนามมาคณกน โดยใชสมบตของเลขยกก าลง

วชาคณตศาสตร 3 ชนมธยมศกษาปท 2 เรอง พหนาม

14

ตวอยางท 8 จงหาผลคณของจ านวนตอไปน

1. 27 4 6x x x 2. 2 26 7 9 3x x x

วธท า

1. 27 4 6x x x = 27 4 7 6x x x x

=

2. 2 26 7 9 3x x x =

=

=

การคณระหวางเอกนามกบพหนาม ใชสมบตแจกแจงในการหาผลคณระหวางเอกนาม

กบทก ๆ พจนของพหนาม แลวน าผลคณทไดมาเขยนอยในรปการบวกหรอการลบ

การคณระหวางเอกนามกบพหนาม

การคณระหวางพหนามกบพหนาม น าแตละพจนของพหนามหนงคณกบทก ๆ พจน

ของอกพหนามหนง แลวน าผลคณทไดมาบวกหรอลบกน ใหเปนพหนามในรปผลส าเรจ

การคณระหวางพหนามกบพหนาม

การคณในแนวนอน ใชสมบตการแจกแจงในการหาผลคณ

การคณในแนวตง การตงคณ โดยเรยงดกรของพหนาม

จากมากไปหานอย หรอดกรนอยไปหามาก

วชาคณตศาสตร 3 ชนมธยมศกษาปท 2 เรอง พหนาม

15

ตวอยางท 9 จงหาผลคณของจ านวนตอไปน

1. 8 3x x 2. 22 3 2x x x

วธท า 1. การคณในแนวนอน 8 3x x

การคณในแนวต ง

8x

3x

ดงน น 8 3x x =

2. การคณในแนวนอน 22 3 2x x x

วชาคณตศาสตร 3 ชนมธยมศกษาปท 2 เรอง พหนาม

16

การคณในแนวต ง

2x 3x 2 x 2

ดงน น 22 3 2x x x =

ตวอยางท 10 จงหาผลหารตอไปน

1. 3 2x y xy 2. 215 3x y xy 3. 6 4 5 34x y z x y

วธท า 1. 3 2x y xy

การหารพหนาม

การหารเอกนามดวยเอกนาม

การหารเอกนามดวยเอกนาม น าคาคงตวในแตละเอกนามมาหารกน และน าตวแปรใน

แตละเอกนามมาหารกน โดยใชสมบตของเลขยกก าลง

วชาคณตศาสตร 3 ชนมธยมศกษาปท 2 เรอง พหนาม

17

2. 215 3x y xy

3. 6 4 5 34x y z x y

ตวอยางท 11 จงหาผลหารตอไปน

1. 2 25 10

5

x y xy

xy

2. 4 316 28

4

x x

x

3.

3 25 9 18

3

x x x

x

วธท า 1. 2 25 10

5

x y xy

xy

= 2 25 10

5 5

x y xy

xy xy

การหารพหนามดวยเอกนาม

การหารพหนามดวยเอกนาม น าเอกนามทเปนตวหารไป

หารทกพจนของพหนามทเปนตวตง แลวน าผลหารทไดมาบวกกน

ตรวจค าตอบ

ตรวจค าตอบ

ผลหาร × ตวหาร = ตวตง

วชาคณตศาสตร 3 ชนมธยมศกษาปท 2 เรอง พหนาม

18

2. 4 316 28

4

x x

x

3. 3 25 9 18

3

x x x

x

ตรวจค าตอบ

ตรวจค าตอบ

วชาคณตศาสตร 3 ชนมธยมศกษาปท 2 เรอง พหนาม

19