8-NGUYEN THI HAU-UNG DUNG CUA DAO HAM DE TIM CUC TRI CUA HAM · PDF file ·...

ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ

Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu 2

Lêi c¶m ¬n

Trong suèt thêi gian thùc hiÖn kho¸ luËn tèt nghiÖp ngoµi sù nç lùc cña b¶n

th©n, t«i cßn nhËn ®−îc sù gióp ®ì, chØ b¶o tËn t×nh cña çc thÇy gi¸o, c« gi¸o trong

Khoa To¸n - C«ng NghÖ, Tr−êng §¹i häc Hïng V−¬ng.

§Æc biÖt t«i xin bµy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c tíi thÇy gi¸o TrÇn C«ng TÊnTrÇn C«ng TÊnTrÇn C«ng TÊnTrÇn C«ng TÊn-

Gi¶ng viªn Khoa To¸n - C«ng NghÖ, Tr−êng §¹i häc Hïng V−¬ng. ThÇy ®·

dµnh nhiÒu thêi gian quý b¸u tËn t×nh h−íng dÉn t«i trong suèt qu¸ tr×nh thùc hiÖn

kho¸ luËn tèt nghiÖp, ®ång thêi gióp t«i lÜnh héi ®−îc nh÷ng kiÕn thøc chuyªn m«n

vµ rÌn luyÖn cho t«i t¸c phong nghiªn cøu khoa häc.

Qua ®©y, t«i xin göi lêi c¶m ¬n ch©n thµnh vµ s©u s¾c çc thÇy gi¸o, c« gi¸o

trong Khoa To¸n – C«ng nghÖ, tíi gia ®×nh, b¹n bÌ lµ nh÷ng ng−êi lu«n s¸t çnh

bªn t«i, ®· nhiÖt t×nh gióp ®ì, chia sÎ, ®éng viªn t«i trong suèt qu¸ tr×nh häc tËp

còng nh− khi t«i thùc hiÖn vµ hoµn chØnh kho¸ luËn nµy.

MÆc dï ®Ò tµi ®· ®−îc chuÈn bÞ vµ nghiªn cøu mét çch kÜ l−ìng, vÒ thêi gian

còng nh− néi dung nh−ng kh«ng khái cã nh÷ng thiÕu sãt. V× vËy t«i rÊt mong nhËn

®−îc sù gãp ý cña çc b¹n sinh viªn, vµ ®Æc biÖt lµ cña çc thÇy gi¸o, c« gi¸o ®ang

gi¶ng d¹y bé m«n To¸n ®Ó kho¸ luËn ®−îc hoµn thiÖn h¬n.

T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n!

Phó Thä, th¸ng 05 n¨m 2010

Sinh viªn

NguyÔn ThÞ HËu



MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn ñề tài

Đạo hàm là một trong những kiến thức khá quen thuộc ñối với học sinh

Trung học phổ thông cũng như sinh viên các trường Cao Đẳng và Đại học. Nội

dung này của giải tích ñược ñề cập rất sớm trong chương trình: Đại số và giải

tích bậc Trung học phổ thông và xuyên suốt trong các năm học Cao ñẳng và Đại

học tiếp theo.

Mặc dù vậy ñể nắm vững khái niệm, tính chất của ñạo hàm ñồng thời ứng

dụng ñược ñạo hàm vào giải các bài toán trong giải tích, vật lý, các bài toán về

kinh tế cũng như các bài toán thực tế lại là một vấn ñề hoàn toàn không ñơn

giản.

Trong những năm học Trung học phổ thông, học sinh ñã làm quen với

khái niệm ñạo hàm, bước ñầu ñã biết vận dụng tìm cực trị của hàm số một biến

trong giải tích và ứng dụng trong vật lý tìm vận tốc, gia tốc của một chuyển

ñộng. Đó mới chỉ là những bài toán ñơn giản, chưa phải là bài toán khó và phức

tạp. Song nhiều học sinh vẫn còn mắc sai lầm trong việc giải các bài toán dùng

ứng dụng của ñạo hàm mà nguyên nhân chính là việc học sinh chưa nắm vững

khái niệm ñạo hàm, chưa biết khảo sát hàm số, chưa biết cách làm một bài toán

ứng dụng ñạo hàm…

Đạo hàm và ứng dụng của nó ngày càng ñược mở rộng, ñặc biệt là trong

các trường Cao ñẳng, Đại học. Không chỉ giới hạn trong việc tìm cực trị của

hàm số một biến như Trung học phổ thông mà ñạo hàm ñược ứng dụng mở rộng

trong các bài toán tìm cực trị của hàm số nhiều biến, các bài toán cực trị có ñiều

kiện của hàm số nhiều biến, hàm ẩn. Lúc này, ñể giải quyết các vấn ñề ñó lại là

một bài toán khó. Yêu cầu người học không chỉ vững vàng về kiến thức cơ bản

của ñạo hàm như ñịnh nghĩa tính chất, ứng dụng, mà còn ñòi hỏi người học phải

có tư duy toán học phát triển, ñồng thời ứng dụng ñạo hàm ở mức ñộ cao hơn,

phải biết sử dụng và kết hợp một cách khéo léo các công cụ trong ñại số tuyến

tính và hình học giải tích ñể hỗ trợ và phát triển ứng dụng ñó. Chính vì vậy



không ít sinh viên ngành Toán nói chung và sinh viên Sư phạm Toán nói riêng

còn gặp nhiều khó khăn, còn lúng túng khi gặp các bài toán ứng dụng ñạo hàm

ñể tìm cực trị hàm số.

Với mong muốn: Làm sao ñể các sinh viên nói chung, ñặc biệt là các sinh

viên Sư phạm Toán nói riêng ñược trang bị ñầy ñủ các kiến thức trong việc học

tập nghiên cứu ứng dụng của ñạo hàm, từ ñó mở rộng các ứng dụng ñó trong

thực tiễn giảng dạy, ñưa các ứng dụng của khoa học vào ñời sống. Đặc biệt với

mục ñích ñưa ra một hệ thống tập chung, phân loại kiến thức và nêu bài tập ứng

dụng nhằm ñem lại thuận lợi cho học sinh, sinh viên trong quá trình học tập và

nghiên cứu về ñạo hàm của hàm số. Vì vậy tôi mạnh dạn chọn ñề tài nghiên cứu:

“Ứng dụng của ñạo hàm ñể tìm cực trị hàm số” cho khóa luận tốt nghiệp của

mình.

2. Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu những tài liệu, giáo trình liên quan ñến ñạo hàm và cực trị của hàm

số ñể rút ra phương pháp giải cho một số dạng toán về ứng dụng của ñạo hàm

vào tìm cực trị hàm số.

- Nghiên cứu mối liên hệ giữa cực trị hàm số và giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

của hàm số.

3. Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Đọc các giáo trình, tài liệu liên quan tới ứng

dụng của ñạo hàm vào tìm cực trị hàm số ñể phân loại và hệ thống hoá các kiến

thức.

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Từ việc nghiên cứu tài liệu, giáo trình rút

ra ñược kinh nghiệm ñể tìm cực trị bằng phương pháp ñạo hàm.

- Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến giảng viên trực tiếp hướng dẫn

và các giảng viên khác ñể hoàn thiện về mặt nội dung cũng như hình thức của

khóa luận.

4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Khóa luận có thể tài liệu tham khảo cho những sinh viên chuyên ngành

Toán của trường Đại học Hùng Vương có mong muốn nghiên cứu và tìm hiểu



ứng dụng của ñạo hàm. Với bản thân tôi, nghiên cứu về ứng dụng của ñạo hàm

trong việc giải các bài toán cực trị giúp tôi hiểu rõ hơn khái niệm và tính chất

của ñạo hàm cũng như của cực trị hàm số, cho thấy một trong những ứng dụng

quan trọng của ñạo hàm và mối liên hệ rộng rãi của nó với các phần khác nhau

trong Toán học.

5. Bố cục của khóa luận:

Ngoài phần mở ñầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chính của

khóa luận gồm 3 chương

Chương 1. Các kiến thức bổ trợ

Trong chương 1 trình bày cơ sở lý thuyết về ñặc ñiểm của ñạo hàm thông

qua những ñặc ñiểm chung của môn Toán, làm rõ tính trừu tượng cao ñộ và tính

thực tiễn phổ dụng, tính lôgíc và tính thực nghiệm. Đồng thời, hệ thống hóa các

kiến thức cơ bản về ñạo hàm bao gồm:

- Định nghĩa ñạo hàm của hàm số một biến và ñạo hàm hàm số hai biến.

- Các quy tắc tính ñạo hàm.

- Các ñịnh lý cơ bản về hàm khả vi.

Ngoài ra, trong chương này còn bổ sung thêm ý nghĩa của ñạo hàm ñể tìm

cực trị của hàm số nhằm ñưa ra cơ sở lý luận vững chắc cho khóa luận.

Chương 2. Ứng dụng của ñạo hàm ñể tìm cực trị hàm số một biến

Trong chương này, việc nhắc lại các kiến thức cơ bản về cực trị, các quy

tắc dùng ñạo hàm ñể tìm cực trị của hàm số một biến nhằm củng cố kiến thức,

tạo nền tảng vững chắc ñể ứng dụng ñạo hàm vào tìm cực trị của hàm số một

biến. Đồng thời chương này cũng ñưa ra hệ thống, phân loại các dạng bài tập

theo các lớp hàm, giúp cho việc giải quyết các bài tập một cách thuận lợi hơn và

là cơ sở ñể giúp cho việc nghiên cứu hàm nhiều biến ở chương sau.

Chương 3. Ứng dụng của ñạo hàm ñể tìm cực trị hàm số nhiều biến

Chương 3 trình bày phương pháp ứng dụng của ñạo hàm ñể giải quyết

các bài toàn tìm:

- Cực trị của hàm số hai biến số.



- Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số hai biến số trong một miền ñóng

bị chặn.

- Cực trị có ñiều kiện.

- Cực trị hàm số phụ thuộc tham số.

Hơn nữa, ứng dụng ñạo hàm ñể nghiên cứu các tính chất của hàm số ẩn,

ñây là phần kiến thức tương ñối khó, tuy nhiên nó hỗ trợ rất ñắc lực cho việc tìm

cực trị của hàm số nhiều biến và ñặc biệt trong việc tìm cực trị của hàm ẩn.

Ở trong chương này chúng ta cũng có hệ thống các dạng bài tập tương

ứng, bám sát các kiến thức, các quy tắc ñã ñược trình bày, giúp người ñọc hiểu

sâu sắc hơn các kiến thức ñã học và ghi nhớ các quy tắc sử dụng ñạo hàm ñể giải

quyết các bài toán trên.



CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC BỔ TRỢ

1.1. Đặc ñiểm của ñạo hàm

1.1.1. Tính trừu tượng cao ñộ và tính thực tiễn phổ dụng

a) Tính trừu tượng hoá: Tính trừu tượng hoá của Toán học và của môn

Toán do chính ñối tượng của môn Toán quy ñịnh. Theo Ăng ghen: “ Đối tượng

của Toán học thuần tuý là hình dạng không gian và những quan hệ số lượng của

thế giới khách quan” (Trích theo Hoàng Chúng, tr.20).

Mặc dầu Toán học hiện nay phát triển mạnh mẽ, phát biểu nổi tiếng trên

vẫn còn hiệu lực nếu những khái niệm hình học không gian và quan hệ số lượng

ñược hiểu theo những nghĩa rất khái quát. “Hình dạng không gian” có thể biểu

diễn không chỉ trong không gian thực tế ba chiều mà cả trong những không gian

trừu tượng khác nhau nữa như không gian có số chiều là n hoặc vô hạn, không

gian mà phần tử là những hàm liên tục,... “Quan hệ số lượng” không chỉ bó hẹp

trong phạm vi các tập hợp mà ñược biểu hiện như phép toán và những tính chất

của chúng trên những tập hợp có những phần tử là những ñối tượng loại tuỳ ý

như ma trận, tập hợp, mệnh ñề, phép biến hình,…

Đương nhiên tính chất trừu tượng không phải chỉ có trong Toán học mà là

ñặc ñiểm của mọi khoa học. Nhưng trong Toán học, cái trừu tượng tách ra khỏi

mọi chất liệu của ñối tượng, “chỉ giữ lại những quan hệ số lượng và hình dạng

không gian, tức là những quan hệ về cấu trúc mà thôi’’ (Phạm Văn

Hoàn,…1981, tr.21). Ở trình ñộ lý thuyết, nhận thức khoa học nói chung, Toán

học nói riêng luôn phải sử dụng sự trừu tượng hoá. Toán học là khoa học sử

dụng nhiều sự trừu tượng nhất và mức ñộ trừu tượng cũng ñạt trình ñộ cao nhất,

trong lĩnh vực khoa học này: “sự trừu tượng có sức mạnh lớn nhất’’. Tuy nhiên,

cho dù sự trừu tượng có ñược thực hiện “nghiêm túc’’, “ñúng ñắn” ñến ñâu thì

các tri thức nhận ñược vẫn có khả năng xa rời hiện thực. Vì vậy, ñể ñảm bảo

tính chân lý, tức lập luận cho tính hợp lý của các tri thức nhận ñược, chúng ta

cần phải xác lập cơ sở của chúng. Nhưng ñây mới chỉ là lý do thứ yếu và tính



cấp bách của vấn ñề nằm ở chỗ khác. Sau phát hiện về ñại lượng biến thiên của

Decarter, người ta ñã sử dụng phép tính tích phân và vi phân ñể nghiên cứu về

vận ñộng. Ta có thể mô tả việc nghiên cứu này như sau:

Người ta sử dụng hàm số: ( )s f t= ñể biểu thị vận ñộng; vận tốc tức thời

tại một thời ñiểm cụ thể t1 nào ñó là ñạo hàm bậc nhất của hàm số tại thời ñiểm

ñó: ( ) ( )1 1'v t f t= . Gia tốc tức thời của vận ñộng là ñạo hàm bậc hai:

( ) ( )1 1''a t f t= .

Như vậy, lần ñầu tiên người ta ñã sử dụng các công cụ toán học, các

phương pháp chặt chẽ, chính xác ñể nghiên cứu về vận ñộng nói riêng, về cái

biện chứng khách quan nói chung. Đặc biệt là với phương thức nghiên cứu như

vậy, người ta ñã thu nhận ñược một khối lượng ñồ sộ các thành tựu toán học.

Đạo hàm (vi phân) là lý thuyết về tốc ñộ của sự thay ñổi; liên hệ ñến các

hàm số, vận tốc, gia tốc, hệ số góc của một ñường cong tại một ñiểm cho trước,

cực ñại và cực tiểu của các hàm. Khi nghiên cứu ñạo hàm (vi phân), các nhà

nghiên cứu ñã ñối mặt và giải quyết các vấn ñề về mối quan hệ giữa liên tục và

rời rạc; giữa hữu hạn và vô hạn; giữa chuyển ñộng và ñứng yên.

Như vậy có thể thấy ñạo hàm một bộ phận của Toán học có tính chất trừu

tượng cao ñộ. Tính trừu tượng cao ñộ chỉ che lấp chứ không hề mất tính thực

tiễn của Toán học.

b) Tính thực tiễn phổ dụng: Toán học có nguồn gốc thực tiễn. Số học ra

ñời trước hết là do nhu cầu ñếm. Hình học phát sinh do sự cần thiết phải ño lại

ruộng ñất bên bờ sông Nin (Ai Cập) sau những trận lũ hàng năm. Khi nói ñến

nguồn gốc thực tiễn của Toán học cũng cần nhấn mạnh cả nguồn gốc thực tiễn

của lôgíc hình thức ñược sử dụng trong Toán học, Lê Nin viết: “Những hình

thức và quy luật lôgíc không phải là cái vỏ trống rỗng mà là sự phản ánh thế giới

khách quan ... thực tiễn của con người ñược lặp ñi lặp lại hàng nghìn triệu lần, sẽ

ñược củng cố vào ý thức người ta dưới những hình thức của lôgíc học” (Lê Nin

toàn tập, tr. 127 - 129, trích theo Phạm Văn Hoàn, ...1981, tr.23).

Thành tựu nổi bật nhất của thế kỉ XVII là sự phát minh ra các phép tính



vi - tích phân vào cuối thế kỉ này của Isaac Newton và Gottfried Wilhelm

leibniz. Sự ra ñời của phép tính vi - tích phân ñã ñưa Toán học sang một giai

ñoạn Toán cao cấp, gần như kết thúc giai ñoạn của Toán học sơ cấp. Từ ñối

tượng nghiên cứu là các số và hình dạng tĩnh tại, Toán học bước sang nghiên

cứu ñối tượng trong quá trình vận ñộng và biến ñổi.

Phép tính vi phân và tích phân ñược sáng tạo ra là nhằm giải quyết bốn

vấn ñề khoa học của thế kỉ thứ XVII như sau:

Vấn ñề thứ nhất, cho vật chuyển ñộng theo một công thức là một hàm số

theo thời gian, hãy tìm vận tốc và gia tốc của nó ở một thời ñiểm bất kì; ngược

lại, cho biết gia tốc của một vật thể chuyển ñộng là một hàm số theo thời gian,

hãy tìm vận tốc và quãng ñường ñi ñược. Vấn ñề này xuất phát từ việc nghiên

cứu chuyển ñộng. Trong chuyển ñộng thì vận tốc và gia tốc thay ñổi từ thời

ñiểm này ñến thời ñiểm khác. Trong vật lý, người ta cần biết chính xác vận tốc

hay gia tốc của một vật thể chuyển ñộng tại từng thời ñiểm. Nếu lấy vận tốc

bằng quãng ñường ñi ñược chia cho thời gian là vận tốc trung bình chứ chưa

phải vận tốc chính xác tại mỗi thời ñiểm thì thời gian chuyển ñộng và vận tốc

ñều bằng không, mà 0/0 là vô nghĩa. Đối với bài toán ngược lại, thì gặp một khó

khăn là nếu biết vận tốc là một hàm thời gian ta cũng không thể tìm ñược quãng

ñường ñi ñược của vật thể chuyển ñộng vì vận tốc thay ñổi từ thời ñiểm này ñến

thời ñiểm khác.

Vấn ñề thứ hai là vấn ñề tìm tiếp tuyến của một ñường cong. Bài toán này

thuộc về hình học, nhưng nó có những ứng dụng quan trọng trong khoa học.

Quang học là ngành mà nhiều nhà khoa học của thế kỉ XVII quan tâm nghiên

cứu. Thiết kế các thấu kính là mối quan tâm ñặc biệt của NewTon, Fermat,

Descartes và Huygens. Để nghiên cứu ñường ñi của ánh sáng qua thấu kính

người ta phải biết góc mà ở ñó tia sáng ñập vào thấu kính ñể áp dụng ñịnh luật

khúc xạ. Góc cần chú ý là góc giữa tia sáng và pháp tuyến của ñường cong, pháp

tuyến thì vuông góc với tiếp tuyến. Để xác ñịnh pháp tuyến, người ta phải xác

ñịnh tiếp tuyến. Một vấn ñề có tính chất khoa học khác nữa liên quan ñến tiếp

tuyến của một ñường cong là nghiên cứu chuyển ñộng. Hướng chuyển ñộng của



vật thể chuyển ñộng ở bất kì thời ñiểm nào của quỹ ñạo chính là hướng của tiếp

tuyến của quỹ ñạo.

Vấn ñề thứ ba là vấn ñề tìm giá trị cực ñại và cực tiểu của một hàm số.

Khi ñạn bắn từ súng thần công, khoảng cách ñi ñược sẽ phụ thuộc vào góc của

súng tạo với mặt ñất. Vấn ñề ñặt ra là tìm góc sao cho viên ñạn ñi xa nhất.

Nghiên cứu sự chuyển ñộng của Hành Tinh liên quan ñến các bài toán cực trị, ví

dụ tìm khoảng cách ngắn nhất và dài nhất của một Hành Tinh và Mặt Trời.

Vấn ñề thứ tư là tìm chiều dài ñường cong, chẳng hạn như khoảng cách ñi

ñược của một Hành Tinh trong một thời gian nào ñó; diện tích của hình giới hạn

bởi các ñường cong; thể tích của những khối giới hạn bởi những mặt,… Các nhà

Toán học cổ Hy Lạp ñã dùng phương pháp vét kiệt một cách rất khéo léo. Các

nhà Toán học ở thế kỉ XVII ñã cải tiến dần và họ ñã nhanh chóng phát minh ra

phép tính vi - tích phân.

Toán học có ứng dụng rộng rãi trong thực tiễn. Tính trừu tượng cao ñộ

làm cho Toán học có tính phổ dụng, có thể ứng dụng ñược trong rất nhiều lĩnh

vực rất khác nhau của ñời sống thực tế. Chẳng hạn, những tri thức về tương

quan tỷ lệ thuận biểu thị bởi công thức y kx= có thể ñược ứng dụng vào hình

học, ñiện học, hoá học…Vì mối tương quan này phản ánh những mối liên hệ

trên các lĩnh vực ñó, chẳng hạn như:

- Diện tích S của một tam giác với một cạnh a cho trước tỉ lệ thuận với

ñường cao h ứng với cạnh ñó: 1

2S ah= .

- Quãng ñường S ñi ñược trong một chuyển ñộng ñều với vận tốc cho

trước v tỷ lệ thuận với thời gian ñi t: S vt= .

- Phương trình xác ñịnh li ñộ trong chuyển ñộng của con lắc là:

( ). os tx a c w ϕ= + . Từ phương trình này ta thấy nếu lấy ñạo hàm lần thứ nhất ta

có: ( )' awsin tx w ϕ= − + ñây chính là vận tốc của con lắc ở thời ñiểm t. Nếu lấy

ñạo hàm lần thứ hai ta có ( )2'' aw cos tx w ϕ= − + ñây chính là gia tốc của con lắc

ở thời ñiểm t cần tìm.



Tương tự như vậy, những kết quả nghiên cứu về nhóm có thể ñem ứng

dụng cho những ñối tượng có bản chất rất khác nhau: số, véctơ, ma trận, phép

dời hình,…

Đạo hàm một bộ phận của Toán học có ứng dụng rất nhiều trong cuộc

sống, cụ thể: Trong các bài toán ñộng tử, vận tốc là ñạo hàm của quãng ñường

ñi; gia tốc là ñạo hàm của vận tốc. Trong bài toán ñiện, sức ñiện ñộng cảm ứng

là một ñạo hàm của từ thông biến thiên; trong tụ ñiện thì dòng ñiện là ñạo hàm

của ñiện áp; trong cuộn cảm thì ñiện áp là ñạo hàm của dòng ñiện. Trong ngành

cơ học lưu chất thì lưu lượng là ñạo hàm của khối lượng (hoặc thể tích) lưu

chất… Khi ta nói vào microphone, ñiện áp ra của mic sẽ bằng ñạo hàm của sóng

âm thanh; khi ampli khuyếch ñại lên ñưa ra loa, rung ñộng của loa sẽ bằng ñạo

hàm của ñiện áp ñặt vào; như vậy từ mic ñến loa bạn ñã lấy ñạo hàm 2 lần…

Ứng dụng của ñạo hàm (vi phân) và tích phân vào thực tế thì hầu như

ngành nào cũng có. Từ khoa học tự nhiên, kĩ thuật, công nghệ, ñến các bài toán

trong các quá trình khoa học xã hội...Tất cả các quá trình ñó ñều có thể mô

phỏng bằng các khối Tỷ lệ - tích phân - vi phân. Trước khi máy vi tính ra ñời,

người ta sử dụng các mạch ñiện tử ñể làm các khối này. Các mạch ñiện tử ñó gọi

là các bộ khuyếch ñại thuật toán. Hệ thống sử dụng các mạch mô phỏng ấy ñược

gọi là máy tính tương tự. Hiện nay người ta dùng các phần mềm mô phỏng, hoặc

các phần mềm tuyến tính thời gian thực ñể thay thế. Các mạch khuyếch ñại thuật

toán vẫn ñược sản xuất ñể thực hiện rất nhiều chức năng khác. Sử dụng các phần

mềm mô phỏng này người ta có thể biết ñược tác ñộng của các biến số phức tạp

trong hệ thống.

1.1.2. Tính lôgíc và tính thực nghiệm

Khi nghiên cứu các quy luật của các hiện tượng tự nhiên và xã hội người

ta thường dùng suy diễn logic tìm ra mối liên hệ giữa các ñại lượng ñang xét

cùng với các ñạo hàm (vi phân) của chúng. Theo phương pháp ñó, xuất phát từ

các khái niệm nguyên thuỷ (tức là các ñối tượng nguyên thuỷ và quan hệ nguyên

thuỷ) và các tiên ñề rồi dùng quy tắc lôgíc ñể ñịnh nghĩa các khái niệm khác và

chứng minh các mệnh ñề khác.



Khi trình bày môn Toán nói chung và các bài toán liên quan ñến ñạo hàm

nói riêng trong các trường Đại học và Cao ñẳng, do ñặc thù và yêu cầu của cấp

học là tự học, tự nghiên cứu mà ñòi hỏi người học khi giải một bài toán hoặc áp

dụng một mệnh ñề cần phải ñược chứng minh và trình bày một cách chặt chẽ về

mặt logic.

Chúng ta cần chú ý rằng, nếu trình bày những kết quả ñã ñạt ñược khi tính

ñạo hàm thì ñó là sự suy diễn và tính logic nổi bật lên. Nhưng nếu nhìn ñạo hàm

trong quá trình hình thành và phát triển, trong quá trình tìm tòi phát minh, thì

trong phương pháp của nó vẫn có tìm tòi, dự ñoán, vẫn có “thực nghiệm” và quy

nạp. Như vậy sự thống nhất giữa suy ñoán và suy diễn ñược coi là một ñặc ñiểm

của tư duy toán học. Cần chú ý cả hai phương diện ñó mới có thể hướng dẫn học

sinh học tốt ñạo hàm cũng như học toán, mới khai thác ñầy ñủ tiềm năng môn

học ñể thực hiện mục ñích giáo dục toàn diện.

Ta xét một số bài toán dẫn ñến khái niệm ñạo hàm sau ñể thấy rõ hơn

những ñặc ñiểm trên của ñạo hàm:

Bài toán 1. Bài toán tính vận tốc tức thời của một chuyển ñộng thẳng

không ñều

Giả sử ta có một chất ñiểm chuyển ñộng thẳng theo một quy luật ñược

biểu thị bởi biểu thức: ( )s f t= (1); trong ñó s là quãng ñường ñi ñược của chất

ñiểm (kể từ ñiểm gốc chọn cho trước) và t là thời gian ñể ñi ñược ñoạn s.

Trong trường hợp chuyển ñộng của chất ñiểm là ñều thì vận tốc của

chuyển ñộng ñược tính rất dễ dàng: ( ) ( )2 1

2 1

f t f tv

t t

−=

− (2)

Tuy nhiên, trong trường hợp chuyển ñộng không ñều, công thức (2)

không cho ta biết gì về sự nhanh chậm của chuyển ñộng tại mỗi thời ñiểm. Khi

ñó công thức (2) chỉ cho ta biết vận tốc trung bình của chuyển ñộng trong ñoạn

ñường từ ( )1f t ñến ( )2f t thôi. Vì vậy ñể giải quyết bài toán xác ñịnh sự nhanh

chậm của chuyển ñộng tại một thời ñiểm t nào ñó ta phải:

1. Định nghĩa vận tốc tức thời (biểu thị ñộ nhanh, chậm) của chuyển ñộng

thẳng không ñều.



2. Ta nhận thấy rằng nếu khoảng thời gian 0t t− càng bé thì vận tốc trung

bình: ( ) ( )0

0tb

f t f tv

t t

−=

− cho ta hiểu biết càng chính xác về sự nhanh chậm của

chuyển ñộng tại thời ñiểm ñiểm ñó. Do nhận xét ñó tự nhiên ta ñi ñến ñịnh nghĩa

sau ñây về vận tốc tức thời của một chuyển ñộng thẳng (không ñều).

Ta coi giới hạn: ( ) ( )

0

0

0

limt t

f t f t

t t→

−−

(3) là vận tốc tức thời của chuyển ñộng

thẳng ( )s f t= tại thời ñiểm 0t . Nếu kí hiệu: 0t t t− = ∆ , ( ) ( )0f t f t f s− = ∆ = ∆

thì giới hạn (3) sẽ ñược viết là: 0

limt

s

t∆ →

∆∆

. (4)

Bµi to¸n 2. Bµi to¸n tính tỉ khèi ñịa phương của một thanh không

ñång chất

Giả sử ta có một thanh thẳng AB, tiết diện ngang nhỏ và ñồng nhất trên cả

chiều dài của thanh. Ta biết rằng một thanh ñược gọi là ñồng nhất nếu hai phần

bất kì của thanh có cùng một chiều dài thì có khối lượng bằng nhau. Trong

trường hợp này tỉ số d giữa khối lượng của thanh và chiều dài của nó (tức là

khối lượng của một ñơn vị dài của thanh) là một số không ñổi. Tỉ số d ñược gọi

là tỉ khối của thanh ñồng chất.

Trong trường hợp thanh không ñồng chất thì hai phần cùng ñộ dài nói

chung có khối lượng khác nhau. Ở ñây tỉ khối tính theo cách trên ñây (mà ta sẽ

gọi là tỉ khối trung bình của thanh) không cho ta biết gì về sự phân bố vật chất

trên thanh. Để giải quyết vấn ñề này, ta phải ñưa ra một khái niệm tương tự tỉ

khối ñối với một thanh ñồng chất và sẽ gọi là tỉ khối ñịa phương. Cụ thể là:

1. Định nghĩa tỉ khối ñịa phương của một thanh không ñồng chất tại mỗi

ñiểm của nó.

2. Tìm cách tính tỉ khối ñịa phương ñó.

Ta sẽ chọn một trong các ñầu mút của thanh (chẳng hạn A) làm gốc quy

chiếu O và lấy chiều từ ñầu mút này ñến ñầu mút kia (từ A ñến B) làm chiều

dương thì mỗi ñiểm trên thanh sẽ hoàn toàn xác ñịnh bởi hoành ñộ của ñiểm ñó;

lúc ñó khối lượng của m của ñoạn OM của thanh là một hàm của x:



( )m f x= , ( )OM x= .

Giả sử muốn xét sự phân bố vật chất tại ñiểm 0x . Ta nhận thấy rằng nếu

chiều dài 0x x− càng bé thì tỉ khối trung bình ( ) ( )0

0

f x f x

x x

−−

(5) cho ta hiểu

biết càng chính xác về sự phân bố vật chất của thanh ở lân cận ñiểm 0x . Vì vậy

tự nhiên ta ñưa ra ñịnh nghĩa:

Ta sẽ coi giới hạn: ( ) ( )

0

0

00

limx x

f x f x

x x− →

−−

(6) là tỉ khối ñịa phương của thanh

thẳng AB tại ñiểm 0x . Tỉ số (6) có thể viết: 0

limx

f

x∆ →

∆∆

(7) nếu kí hiệu

( ) ( )0 0;f f x f x x x x∆ = − ∆ = − .

Từ (4) và (7) ta thấy việc tính vận tốc tức thời của một chuyển ñộng thẳng

không ñều, tính tỉ khối ñịa phương của một thanh thẳng không ñồng chất ñưa

ñến cùng một bài toán là tính giới hạn của tỉ số giữa số gia của hàm số và số gia

của ñối số.

Do vậy ñể giải quyết ñồng thời hai bài toán trên (và tất cả những bài toán

tương tự) người ta ñưa ra khái niệm ñạo hàm.

1.2. Các kiến thức cơ bản về ñạo hàm

1.2.1. Các khái niệm cơ bản

Đối với hàm số một biến:

��) Định nghĩa ñạo hàm: Giả sử ( )y f x= là một hàm số xác ñịnh trong

khoảng (a;b) và 0x là một ñiểm tùy ý trong khoảng ñó. Ta thành lập tỉ số:

( ) ( ) ( )( )baxxx

xfxxf;0

00 ∈∆+∆

−∆+ (1)

Nếu tỉ số ñó có giới hạn (hữa hạn) khi 0→∆x thì ta nói rằng hàm số ( )f x có

ñạo hàm tại 0x x− và viết: ( ) ( ) ( )0 00

0 0' lim lim

x x

f x x f x yf x

x x∆ → ∆ →

+ ∆ − ∆= =∆ ∆

(2) ;

trong ñó: ( ) ( )0 0y f x x f x∆ = + ∆ − .

Rõ ràng giá trị của giới hạn (2) phụ thuộc vào x0 cho nên 'f là một hàm



số. Miền xác ñịnh của hàm số 'f là tập hợp mọi ñiểm x mà ở ñó tồn tại giới hạn

(2). Hàm số 'f ñược gọi là ñạo hàm của hàm số f tại ñiểm 0x x= , nó còn ñược

kí hiệu như sau: ( ) ( )00' 'x xf x f x ==

Đối với hàm số hai biến: Xét hàm số ( ),u f x y= xác ñịnh trong miền mở D và

ñiểm ( ),P x y D∈ . Khi cho x số gia x∆ ( x∆ ñủ nhỏ sao cho: ( )' ,P x x y D+ ∆ ∈ )

hàm số u nhận số gia: ( ) ( ), ,xu f x x y f x y∆ = + ∆ − .

Tương tự, khi cho số gia y∆ ( y∆ ñủ nhỏ sao cho ( )' ,P x y y D+ ∆ ∈ ), hàm

số u nhận số gia: ( ) ( ), ,yu f x y y f x y∆ = + ∆ − .

��) Định nghĩa ñạo hàm riêng:

Nếu tồn tại giới hạn ( ) ( )

0 0

, ,lim limx

x x

f x x y f x yu

x x∆ → ∆ →

+ ∆ −∆ =∆ ∆

thì giới hạn ñó

sẽ ñược gọi là ñạo hàm riêng của hàm số u ñối với biến số x tại ñiểm ( ),x y và

kí hiệu là: ( ) ( )

0

,' , lim xx

x

f x yu uf x y

x x x∆ →

∂∂ ∆= = =∂ ∂ ∆

.

Tương tự, nếu tồn tại giới hạn ( ) ( )

0 0

, ,lim limy

y y

u f x y y f x y

y y∆ → ∆ →

∆ + ∆ −=

∆ ∆ thì

giới hạn ñó sẽ ñược gọi là ñạo hàm riêng của hàm số u ñối với biến số y tại ñiểm

( ),x y và kí hiệu là: ( ) ( )

0

,' , lim yy y

uf x yuf x y

y y y∆ →

∆∂∂ = = =∂ ∂ ∆

.

Chú ý: +) Qua ñịnh nghĩa trên, ta thấy rằng việc tính ñạo hàm riêng thực

chất là tính ñạo hàm của hàm số một biến số (khi ta coi biến số kia là không

ñổi). Do ñó, việc tính ñạo hàm riêng không ñòi hỏi những quy tắc mới.

+) Hoàn toàn tương tự ta cũng có ñịnh nghĩa của ñạo hàm riêng

của hàm ba (hoặc nhiều hơn ba biến số): u = f (x,y,z).

Chẳng hạn: ( ) ( )

0

, , , ,lim

x

f x x y z f x y zu

x x∆ →

+ ∆ −∂ =∂ ∆

.

1.2.2. Các quy tắc cơ bản ñể tính ñạo hàm

��) Định lý: Cho các hàm số f và g xác ñịnh trong khoảng (a;b) và có ñạo



hàm tại ñiểm ( )bax ;0 ∈ . Khi ñó f ± g, kf (k là số thực bất kì), f, g và fg cũng có

ñạo hàm tại ñiểm 0x và ta có:

a) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0' ' ' .f g x f x g x± = ±

b) ( ) ( ) ( )0 0' ' .kf x kf x=

c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0' ' . . ' .fg x f x g x f x g x= +

d) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

0 0 00 2

0

' . . '' of x g x f x g xf

xg g x

− =

.

��) Đạo hàm của hàm số hợp: Nếu hàm ( )y f x= có ñạo hàm tại 0x x=

còn ( )z g y= xác ñịnh trong khoảng chứa ñiểm ( )0 0y f x= có ñạo hàm tại

0y y= thì hàm hợp ( )z g f x= có ñạo hàm tại 0x x= và ta có: ( ) ( ) ( )0' ' . 'o oz x g y f x= .

��) Đạo hàm của hàm số ngược: Giả sử cho hàm số ( )y f x= liên tục và

tăng nghiêm ngặt trong khoảng ( ),a b và giả thiết rằng ( )x yϕ= là hàm ngược

xác ñịnh trong lân cận của ñiểm ( )0 0y y f x= = , ( )0( , )x a b∈ . Khi ñó nếu hàm số

( )y f x= có ñạo hàm tại 0x x= và ( )0' 0f x ≠ thì hàm số ( )x yϕ= có ñạo hàm

tại 0y y= và ta có: ( ) ( )0 '0

1' y

f xϕ = .

1.2.3. Các ñịnh lý cơ bản về hàm khả vi:

��) Mối quan hệ giữa ñạo hàm (tính khả vi) và tính liên tục: Nếu hàm

số ( )y f x= có ñạo hàm tại 0x thì nó liên tục tại ñiểm ñó. Điều ngược lại không

ñúng.

��) Định lý Fermat: Cho hàm số ( )f x xác ñịnh liên tục trong khoảng

ñóng [ ],a b , khi ñó nếu ( )f x ñạt cực trị tại ( ),c a b∈ và nếu ( )f x khả vi tại c thì

( )' 0f c = .

��) Định lý Rolle: Cho hàm số ( )f x xác ñịnh liên tục trong khoảng ñóng

[ ],a b và khả vi trong khoảng mở ( ),a b ; khi ñó, nếu ( ) ( )f a f b= thì tồn tại

( ),c a b∈ sao cho ( )' 0f c = .



��) Định lý Lagrange: Cho hàm số ( )f x xác ñịnh liên tục trong khoảng

ñóng [ ],a b , khả vi trong khoảng mở ( ),a b ; khi ñó, tồn tại ( ),c a b∈ sao cho

( ) ( ) ( )'f b f a

f cb a

−=

− hay là ( ) ( ) ( )( )'f b f a f c b a− = − .

��) Định lý Cauchy: Cho ( )f x và ( )g x là hai hàm số thỏa mãn giả thiết

của ñịnh lý Lagrange, ngoài ra, giả sử ( ) ( )' 0, , ,g x x a b≠ ∀ ∈ khi ñó tồn tại c

giữa a và b sao cho ( ) ( )( ) ( )

( )( )'

'

f b f a f c

g b g a g c

−=

−.

��) Công thức Taylor (mở rộng ñịnh lý Lagrange): Nếu hàm số ( )f x xác

ñịnh liên tục trong khoảng ñóng [ ],a b , khả vi ñến ( )1n + lần trong khoảng mở

( ),a b thì với bất kỳ ( ),c a b∈ , có:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )1

2 1' ''...

1! 2! ! 1 !

nnn nf cf c f c f c

f x f c x c x c x c x cn n

++= + − + − + + − + + −

+

với c ở giữa x và c.

Từ những kiến thức ñạo hàm nêu trên không những ñã giúp cho việc giải

các bài toán về tìm vận tốc tức thời, gia tốc của một chuyển ñộng thẳng không

ñều trong vật lí ñược giải quyết một cách ñơn giản mà nó còn ñược ứng dụng

một cách có hiệu quả vào việc khảo sát các hàm số, ñặc biệt là việc tìm các ñiểm

cực trị của hàm số trên một miền xác ñịnh. Từ ñó có thể tìm ñược các giá trị lớn

nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên miền xác ñịnh ñó.

Việc tìm cực trị hàm số nhờ ứng dụng của ñạo hàm không chỉ ñơn thuần

về mặt giải các bài toán có liên quan tới Toán học mà nó còn làm tăng thêm tính

ứng dụng của Toán học vào thực tiễn và giúp cho ứng dụng của Toán học vào

thực tiễn ña dạng hơn và rộng lớn hơn.

1.3. Ý nghĩa của ñạo hàm ñể tìm cực trị hàm số

øng dụng của ñạo hàm trong Toán học cũng như trong thực tiễn là vô

cùng rộng lớn, ñạo hàm ñược ứng dụng vào giải các bài toán về phương trình vi

phân, các bài toán tìm phương án tối ưu trong các bài toán kinh tế, các bài toán



về tìm gia tốc, vận tốc tại các thời ñiểm tức thời trong vật lý ... vv. Tuy nhiên ở

ñây chúng ta chỉ ñề cập tới phạm vi ứng dụng của ñạo hàm ở một góc ñộ hẹp

hơn nữa là ứng dụng của ñạo hàm ñể tìm cực trị hàm số.

Việc tìm các ñiểm cực trị của hàm số là một khâu không thể thiếu ñược

trong quá trình khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số, nó giúp cho việc dựng ñồ thị hàm

số ñược dễ ràng và chính xác.

Ta có thể tìm cực trị hàm số dựa vào ñịnh nghĩa. (Chẳng hạn: Với hàm số

một biến, ta có ñịnh nghĩa cực trị hàm số một biến như sau: Cho hàm số

( )y f x= xác ñịnh trên tập X có miền giá trị là tập Y. Nếu tập Y có số lớn nhất

(max Y) thì ta sẽ gọi số lớn nhất ñó là cực ñại tuyệt ñối hay giá trị lớn nhất của

hàm số ( )y f x= trên tập X (hay ta cũng bảo hàm số này ñạt cực ñại tuyệt ñối

trên tập X)).

Tương tự, nếu tập Y có số bé nhất (min Y) thì ta sẽ gọi số bé nhất ñó là

cực tiểu tuyệt ñối hay giá trị bé nhất của hàm số ( )y f x= trên tập X (và ta cũng

nói rằng hàm số này ñạt cực tiểu tuyệt ñối trên tập X).

Cực ñại tuyệt ñối và cực tiểu tuyệt ñối có tên chung là cực trị tuyệt ñối.

Ví dụ: Xét hàm số : ( ) 2 2 5y f x x x= = − + .

Ta có: TXĐ của hàm số là D = R. Mặt khác ta lại có:

( ) ( ) ( )22 2 5 1 4 1y f x x x x f= = − + = − + = . Vậy theo ñịnh nghĩa về cực trị hàm

số ta suy ra ñiểm 1x = là một ñiểm cực tiểu của hàm số và hàm số không có

ñiểm cực ñại.

Tuy rằng ta có thể tìm ñược các ñiểm cực trị hàm số nhờ ñịnh nghĩa cực

trị hàm số ñối với các hàm số tương ñối ñơn giản, nhưng với các hàm số mà tại

các ñiểm trên tập xác ñịnh của nó không tồn tại các giá trị lớn nhất, cũng như

giá trị nhỏ nhất mà các giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất chỉ tồn tại trong một lân cận

nào ñó của tập xác ñịnh thì việc chỉ ra các ñiểm cực trị là tương ñối phức tạp

hoặc có thể dẫn tới bế tắc. Ví dụ: Xét hàm số cũng tương ñối ñơn giản:

( ) 3 23 43

3 3y f x x x x= = − − + . Dễ thấy hàm số cũng có TXĐ: D = R, nhưng trên



tập xác ñịnh của nó hàm số không tồn tại giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất mà

giá trị ñó chỉ tồn tại trong một lân cận nào ñó của TXĐ. Vì vậy mà không thể

dựa vào ñịnh nghĩa cực trị ñể tìm các ñiểm cực trị của hàm số trên. Nhưng nếu

ứng dụng ñạo hàm vào tìm cực trị thì với bài toán trên việc tìm các ñiểm cực trị

lại ñược giải quyết một cách ngắn gọn và ñơn giản.

Thật vậy ta có : ( ) 2' 2 3f x x x= − − . Cho ( )' 0f x = ta ñược 1 1x = − và

2 3x = , ñồng thời ( )'f x ñổi dấu khi x dần qua 1x và 2x nên 1x và 2x chính là

hai ñiểm cực trị cần tìm.

Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số có mối liên hệ mật thiết với cực

trị hàm số, trên một miền xác ñịnh D nào ñó nếu hàm số có giá trị lớn nhất hoặc

nhỏ nhất thì chưa chắc hàm số ñã có ñiểm cực trị trên D. Ngược lại nếu hàm số

tồn tại các ñiểm cực trị trên D thì chắc chắn trên một lân cận nào ñó của D hàm

số sẽ ñạt ñược giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên lân cận ñó.

Với vai trò ứng dụng rộng rãi của ñạo hàm, và ñặc biệt là ứng dụng của

nó trong việc khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số là một khâu quan trọng và không thể

thiếu, vấn ñề này sẽ ñược trình bày thông qua nội dung của các bài toán trong

chương 2 và chương 3.

*******************************

KẾT LUẬN CHƯƠNG 1

Trong chương 1 trình bày cơ sở lý thuyết về ñặc ñiểm của ñạo hàm thông

qua những ñặc ñiểm chung của môn Toán, làm rõ tính trừu tượng cao ñộ và tính

thực tiễn phổ dụng, tính lôgíc và tính thực nghiệm. Đồng thời, hệ thống hóa các

kiến thức cơ bản về ñạo hàm bao gồm:

- Định nghĩa ñạo hàm của hàm số một biến và ñạo hàm hàm số hai biến.

- Các quy tắc tính ñạo hàm.

- Các ñịnh lý cơ bản về hàm khả vi.

Ngoài ra, trong chương này còn bổ sung thêm ý nghĩa của ñạo hàm ñể tìm

cực trị của hàm số nhằm ñưa ra cơ sở lý luận vững chắc cho khóa luận.



CHƯƠNG 2. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM

CỰC TRỊ HÀM SỐ MỘT BIẾN

2.1. Các kiến thức cơ bản

2.1.1. Định nghĩa

��) Định nghĩa cực trị của hàm số một biến: Cho hàm số ( )y f x= xác

ñịnh trên tập X có miền giá trị là tập Y. Nếu tập Y có số lớn nhất (max Y) thì ta

sẽ gọi số lớn nhất ñó là cực ñại tuyệt ñối hay giá trị lớn nhất của hàm số

( )y f x= trên tập X (hay ta cũng bảo hàm số này ñạt cực ñại tuyệt ñối trên X).

Tương tự, nếu tập Y có số bé nhất (min Y) thì ta sẽ gọi số bé nhất ñó là

cực tiểu tuyệt ñối hay giá trị bé nhất của hàm số ( )y f x= trên tập X (và ta cũng

nói rằng hàm số này ñạt cực tiểu tuyệt ñối trên tập X).

Cực ñại tuyệt ñối và cực tiểu tuyệt ñối có tên chung là cực trị tuyệt ñối.

Chú ý: có nhiều hàm số (nhiều khi rất ñơn giản) không có cực trị. Chẳng

hạn hàm số: y = x không có cực tiểu và không có cực ñại trong khoảng (0;1).

��) Nếu hàm ( )f x khả vi tại ñiểm c và tại ñó có cực trị thì ( )' 0f c = . Các

nghiệm của phương trình ( )' 0f x = ñược gọi là các ñiểm dừng. Các ñiểm nghi

ngờ có cực trị phải kể cả các ñiểm mà tại ñó ñạo hàm không tồn tại. Cả hai loại

ñiểm trên ñược gọi là các ñiểm tới hạn.

2.1.2. Quy tắc tìm cực trị hàm số

+) Quy tắc dùng ñạo hàm ñể tìm cực trị hàm số một biến:

��) Quy tắc 1: Giả sử hàm số ( )y f x= liên tục có ñạo hàm trên miền D

thì ñiểm 0x là ñiểm cực trị của hàm số nếu: ( )' 0f x = và ( )'f x ñổi dấu khi x

dần qua 0x .

+ x0 gọi là ñiểm cực ñại nếu x dần qua x0 thì f’(x) ñổi dấu từ dương sang

âm (tức là f’(x) > 0 nếu x < x0 và f’(x) < 0 nếu x > x0 (với x ñủ gần x0)).

+ x0 gọi là ñiểm cực tiểu nếu x dần qua x0 thì f’(x) ñổi dấu từ âm sang

dương (tức là f’(x) < 0 nếu x < x0 và f’(x) > 0 nếu x > x0 (với x ñủ gần x0)).



Tóm tắt quy tắc 1 bằng bảng sau: (D = (a ; b))

x -∞ a x0 b +∞

y‘ - 0 +

y

CT

Trong trường hợp phương trình ' 0y = có nghiệm nhưng không xét dấu

ñược 'y ta sử dụng quy tắc 2:

��) Quy tắc 2: Giả sử hàm số ( )y f x= có ñạo hàm liên tục ñến cấp hai tại

x0, f’(x 0) = 0 và f’’(x0) ≠ 0 thì x0 là ñiểm cực trị của hàm số và:

+ Nếu f’’(x 0) > 0 thì x0 là ñiểm cực tiểu.

+ Nếu f’’(x 0) < 0 th× x0 là ñiểm cực ñại.

��) Quy tắc 3: Giả sử n là số tự nhiên nào ñó và giả sử hàm ( )y f x= ,

trong lân cận nào ñó của ñiểm x0 có ñạo hàm cấp (n - 1), còn chính tại ñiểm có

ñạo hàm bậc n. Giả sử tại ñiểm x c= thoả mãn hệ thức sau ñây:

f’(c) = f’’(c) = …= f (n-1) (c) = 0; f(n) (x) ≠ 0.

Khi ñó: Nếu n chẵn thì hàm số ( )y f x= có cực ñại ñịa phương tại ñiểm

c, cụ thể là: cực ñại nếu f(n) (c) < 0 và cực tiểu nếu f(n) (x) > 0.

Nếu n lẻ thì ( )f x không ñạt cực trị tại .x c=

+) Các bước khảo sát hàm số:

Để tiến hành khảo sát hàm số, người ta thường theo các bước sau:

�) Bước 1: Tìm miền xác ñịnh của hàm số.

�) Bước 2: Xét chiều biến thiên của hàm số:

+) Tính, xét dấu của ñạo hàm cấp 1, từ ñó suy ra sự tăng, giảm của hàm số.

+) Tìm cực trị.

+) Xét tính lồi lõm và tìm ñiểm uốn của ñường cong.

�) Bước 3: Tìm các ñường tiệm cận.

�) Bước 4: Lập bảng biến thiên ( ghi các kết quả khảo sát ở trên).

�) Bước 5: Dựng ñồ thị.

x -∞ a x0 b +∞

y‘ + 0 -

y CĐ



2.1.3. Các dạng toán thường gặp trong các bài toán ứng dụng của ñạo hàm

tìm cực trị hàm số một biến bao gồm

Dạng 1: Sự tồn tại cực trị, tính chất ñiểm cực trị .

Dạng 2: Tính các giá trị cực trị.

Dạng 3: Tìm ñường thẳng ñi qua các ñiểm cực trị.

2.2. Cực trị của hàm số ña thức và hữu tỉ

2.2.1. Cực trị của hàm số ña thức: ( )y f x=

Để biết tính chất của ñiểm cực trị và sự tồn tại cực trị của hàm ña thức ta

chú ý các ñặc ñiểm sau:

+ Hàm ña thức ( )y f x= tại x0 là nghiệm ñơn của phương trình f’(x) =0,

hàm số ñạt cực trị.

+ Giả sử hàm ( )y f x= ñạt cực trị tại x0 và :

P(x) = P’(x).Q(x) + R(x) thì y0 = P(x0) = R(x0).

Bài toán 1. Tìm m ñể hàm số: ( ) ( )3 2 2 23 1 3 7 1 1y x m x m m x m= − + + − + − + −

ñạt cực tiểu tại ñiểm có hoành ñộ nhỏ hơn -1.

Giải: Ta có: ( ) ( )2 2' 3 6 1 3 7 1y x m x m m= − + + − + − . Để hàm số có cực tiểu

thì phương trình: ' 0y = phải có hai nghiệm phân biệt 1 2x x< .

Xét dấu 'y :

Từ ñó suy ra x1 là hoành ñộ ñiểm cực tiểu. Suy ra xảy ra hai khả năng:

1 21x x< < 1 2 1x x< ≤

+ Với 1 21x x< < ⇔ 4

3− < m < 1.

+ Với 1 2 1x x< ≤ ⇔ m ≤ 4

3− .

Kết hợp hai khả năng trên, ta có : 1m< là giá trị cần tìm.

Bài toán 2. Tìm cực trị của hàm số: ( )1nmy x x= − .

x 1x 2x

'y - 0 + 0 -



Giải: Ta tìm ñạo hàm và so sánh nó với không:

( ) ( ) ( ) 11' 1 0nm my x m n x x x

m n−− = + − − = +

.

Các nghiệm của phương trình ñó: ( ) ( )1 2 30 1 , 1 1 ,m x nmx x

m n= > = > =

+ sẽ là các

ñiểm dừng. Giả sử 0m

m nε< <

+ . Khi m chẵn ( )''( ) 0, 0,y yε ε− < > do ñó tại

ñiểm 1 0x = hàm số có cực tiểu bằng 0. Nếu m lẻ thì ( )''( ) 0, 0,y yε ε− > < và hàm

số không có cực trị.

Tương tự ñối với ñiểm 2 1x = : Khi n chẵn ( )''(1 ) 0, 1 0,y yε ε− > + < bởi vậy hàm

y tại ñiểm ñó có cực tiểu bằng 0. khi n lẻ: ( )''(1 ) 0, 1 0,y yε ε− > + > tức là không

có cực trị .

Cuối cùng ñối với 3

mxm n

=+

ta có: ' 0, ' 0m my ym n m n

ε

− > <+ +

.

Như vậy tại ñiểm ñó hàm số có cực ñại bằng: ( )

m n

m nm m ny

m n m n +

=+ +

.

Trường hợp ( )1 1m n= = ta cũng nhận ñược kết quả như thế.

Bài toán 3. Tìm cực trị của hàm số: 3 44

5

x xy

−= .

Giải: TXĐ: x∈ℝ . Hàm số không chẵn, không lẻ, không tuần hoàn.

Đạo hàm của hàm số này là: ( )24

' 3 ; ' 0 0; 3.5

y x x y x x= − = ⇔ = =

( )12

'' 2 ; '' 0 0; 25

y x x y x x= − − = ⇔ = = .

Từ ñó ta thấy hàm số ( )y f x= có hai ñiểm dừng: x = 0 và x = 3 (tại các ñiểm

ñó ñạo hàm bị triệt tiêu). Đồ thị hàm số giao với 0x tại x = 0 và x = 4.

Ta có bảng biến thiên: (Dấu của ñạo hàm f’(x) và f’’(x) ở lân cận các ñiểm

x = 0; x = 3 và x = 2 ñược xác ñịnh trong bảng)



x - ∞ 0 2 3 4 + ∞

y’ + 0 + + 0 - -

y’’ - 0 + 0 - - -

y 0

16

5

27

5 0

-∞ -∞ Đồ thị hàm số: (hình 1):

(H.1)

Vậy hàm số có cực ñại tại x = 3. Giá trị cực tiểu là: 27

5y = .

2.2.2. Cực trị của hàm số hữu tỉ

Khi giải các bài toán cực trị ñối với hàm số hữu tỉ ta cần chú ý các ñặc ñiểm

sau: - Hàm số: 2

''

( 0)ax bx c

y aaa x b

+ += ≠+

có cực ñại, cực tiểu ⇔ phương trình:

y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt.

- Nếu hàm hữu tỉ: ( )

( )

P xy

Q x= ñạt cực trị tại x0 thì giá trị cực trị:

''0

0 0'0

( )( ( ) 0)

( )

P xy Q x

Q x= ≠

Bài toán 1. Cho hàm số: 2 ( 2)

( )1 m

x m x my C

x

+ + −=+

a) Tìm m ñể hàm số có cực ñại, cực tiểu.

b) Tìm m ñể cực ñại và cực tiểu của (Cm ) ñối xứng với nhau qua d:

2 3 0x y+ + =

Giải: TXĐ: { }\ 1D =ℝ .



a) Ta có: 2

'2

2 2 2

( 1)

x x my

x

+ + +=+

.

Hàm số có cực ñại, cực tiểu ⇔ Phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt

⇔2

1

2 2 2 0

x

x x m

≠ −

+ + + = (*) có hai nghiệm phân biệt ⇔

1

2m< − .

b) Với 1

2m< − Giả sử phương trình (*) có hai nghiệm 1 2,x x . Khi ñó:

( )1 2

2 2

2

. 2 1

x x

x x m

+ = − = − +

. Và A(x1, y1); B(x2; y2) là các ñiểm cực trị của (Cm).

Khi ñó giá trị cực trị là: ( )( )

2 2 '2 2

1 '

x m x my x m

x

+ + − = = + ++

.

Nên: 1 12 2y x m= + + và 2 22 2y x m= + + .

Do ñó: ( ) ( )1 1 2 2, : 2 2; , : 2 2A x y y x m B x y y x m∈∆ = + + ∈∆ = + + .

⇒ (∆ ) ñi qua 2 ñiểm cực ñại và cực tiểu của (Cm).

Mặt khác: Dễ thấy ∆ ⊥ d và I(-1; m) là trung ñiểm của AB.

Do ñó A và B ñối xứng với nhau qua d ⇔ I ∈ d ⇔ m = -1.

Vậy m = -1 thoả mãn yêu cầu bài toán.

Bài toán 2. Cho hàm số:2

2

2

2 2

x x ay

x x

+ +=− +

với a là tham số.Chứng minh rằng hàm

số luôn có cực ñại, cực tiểu khi a thay ñổi. Tìm quỹ tích các ñiểm cực trị ñó.

Giải: Ta có: 2

'2 2

4 2(2 ) 2(2 )

( 2 2)

x a x ay

x x

− + − + +=− +

Xét phương trình: y’ = 0 ⇔ 24 2(2 ) 2(2 ) 0x a x a− + − + + = (*)

Ta có: ' 2 4 20 0,a a a∆ = + + > ∀ ⇒ Phương trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt.

Vậy hàm số luôn có cực ñại và cực tiểu.Gọi x1, x2 là nghiệm của (*).

Ta lại có: ' 1

1

xy

x

+=−

; ' 11

1

1( )

1

xy x

x

+=−

; ' 22

2

1( )

1

xy x

x

+=−

.

⇒Toạ ñộ các ñiểm cực trị thoả mãn phương trình: 1

( )1

xy x

x

+=−

(Hypebol (H))



Vậy quỹ tích các ñiểm cực trị là Hypebol (H) và (H) có ñồ thị: (hình 2)

(H.2)

Bài toán 3. Tìm cực trị của hàm số: 3

2 1

xy

x=

−.

Giải : Ta có: 3

2 1

xy

x=

−. TXĐ: { }\ 1D = ±ℝ . Đạo hàm của hàm số:

( )( )

( )( )

2 2 4 2 2

2 22 2

3 1 2 3' ;

1 1

x x x x xy

x x

− − −= =

− −

0' 0 ;

3

xy

x

== ⇔

= ±

y’ không xác ñịnh tại x =± 1.

Từ ñó ta thấy hàm số ( )y f x= có 5 ñiểm tới hạn là: x = 0; 3x = ± (tại ñó ñạo

hàm bị triệt tiêu), và x = ± 1 (tại ñó không tồn tại ñạo hàm).

( )( ) ( )

( )( )

( )3 2 4 2 2

3 32 2

4 6 1 4 3 2 3'' ; '' 0 0.

1 1

x x x x x x x xy y x

x x

− − − − += = = ⇔ =

− −

Ta có bảng biến thiên: (dấu của ñạo hàm f’(x) và f’’(x) ở lân cận các ñiểm x = 0;

3x = ± và x = ± 1 ñược xác ñịnh trong bảng).

x - ∞ 3− -1 0 1 3 + ∞

y’ + 0 - - 0 - - 0 +

y’’ - - + 0 - + +

y 3 3

2− + ∞ + ∞ (CT) +∞

-∞ (CĐ) -∞ -∞ 3 3

2



Ta có ñồ thi hàm số: (hình 3)

Từ bảng biến thiên và ñồ thị hàm số

ta có:

Hàm số ñạt cực ñại tại 3x = − , giá

trị cực ñại là: 3 3

2y = − .

Hàm số ñạt cực tiểu tại 3x = , giá trị

cực tiểu là: 3 3

2y = . (H.3)

2.3. Cực trị của hàm số vô tỉ

Nhận xét: Khi giải các bài toán về tìm cực trị của hàm số vô tỉ việc vận dụng

quy tắc 1 ñể tìm các ñiểm cực trị của hàm số ñặc biệt là các hàm số vô tỉ có

chứa tham số là tương ñối phức tạp và có thể dần tới bế tắc. Do ñó ta thường sử

dụng quy tắc 2.

Bài toán 1. Tìm cực trị của hàm số: 2

3 1

2y x

x=

+.

Giải: Miền xác ñịnh: 2x∀ ≠ − .

Ta có:

( )1

23

4'

3. . 2

xy

x x

−=+

; y’ = 0 ⇔ x = 4; y’ không xác ñịnh tại x = 0 và x = -2.

Từ ñó ta thấy rằng hàm số có ba ñiểm tới hạn là: x1 = -2, x2 = 0 (tại ñó không tồn

tại ñạo hàm ñạo); và x3 = 4 (tại ñó ñạo hàm bị triệt tiêu).

( )2

343

4 8 2'' . ; '' 0 4 18

9 2

x xy y x

x x

− −= = ⇔ = ±+

; y’’ không xác ñịnh tại x = 0; x = 2.

Bảng biến thiên:

x - ∞ -2 4 18− 0 4 4 18+ + ∞

y’ + - - + 0 - -

y’’ - + 0 - - - 0 +

y 0 +∞ u’ (CT)

3 2

3 u’

-∞ 0 (CĐ) 0



+) Đồ thị hàm số: (hình 4)

Vậy: Hàm số có cực ñại tại x = 4;

giá trị cực ñại là: y = 3 2

3.

Hàm số có cực tiểu tại x = 0;

giá trị cực tiểu là: y = 0.

(H.4)

Bài toán 2. Tìm cực trị của hàm số: ( )1 23 3. 1y x x= − .

Giải: ( )1 23 3. 1y x x= − .TXĐ: x∈ℝ .

Đạo hàm của hàm số này là: ( )23

11 13' . ; ' 09 31

xy y x

x x

−= = ⇔ =

−.

Ta tìm ñược ñiểm dừng 1

1

3x = . Tại các ñiểm x2 = 0 và x3 = 1 ñạo hàm không tồn

tại. Giả sử 1

03

ε< < . Khi ñó: 1

' 0,3

y ε − >

1

' 0,3

y ε + <

( )' 0,y ε− >

( )' 0,y ε > ( )' 1 0,y ε− < ( )' 1 0.y ε+ >

Do ñó: Khi 1

1

3x = hàm số có cực ñại

bằng 3 4

3. Khi x3 = 1 hàm số có cực

tiểu bằng 0.

Đồ thị hàm số: (hình 5)

(H.5)

Bài toán 3. Tìm cực trị của hàm số: ( ) ( )2 23 31 1y x x= + − − .

Giải: ( ) ( )2 23 31 1y x x= + − − . TXĐ: x∈ℝ .

Ta có: 3 3

23

2 1 1' ; '

3 1

x xy y

x

− − +=−

không triệt tiêu tại ñiểm nào cả, và không xác

ñịnh tại x = ±1.



Từ ñó ta thấy hàm số y = f(x) có hai ñiểm dừng là: x = ±1 (tại ñó không tồn tại

ñạo hàm).

( ) ( )

( ) ( )

4 43 3

4 43

1 12'' . ; '' 0 0,

9 1 . 1

x xy y x

x x

+ − −= = ⇔ =

+ − và không xác ñịnh tại x = ± 1.

Bảng biến thiên: (Dấu của f’(x) và f’’(x) ở lân cận các ñiểm x = ±1, x = 0 ñược

xác ñịnh trong bảng).

x - ∞ -1 0 1 + ∞

y’ - + -

y’’ - - 0 + +

y 0 0 3 4

3 4− 0

Đồ thị hàm số: (hình 6).

(H.6)

Vậy: Hàm số có cực tiểu tại x = -1, giá trị cực tiểu là: y = 3 4− .

Hàm số có cực ñại tại x = 1, giá trị cực ñại là: y = 3 4 .

Bài toán 4. Xác ñịnh a ñể hàm số: 22 2 4 5y x a x x= − + + − + có cực ñại.

Giải: TXĐ: x∈ℝ .

Đạo hàm của hàm số là: ( )

2

2' 2

4 5

a xy

x x

−= − +

− +;

2 2''

( 4 5)

ay

x x=

− +.

Để hàm số có cực ñại tại x0 thì: 0

0

'( ) 0

''( ) 0

y x

y x

= <

2

0 0 0

0

( 2) 2 4 5

a

a x x x

<⇔ − = − +

0

2 2 20 0 0

0

2

( 2) 4( 4 5)

a

x

a x x x

<⇔ < − = − +

0

22

0 0

0

2

44 4

4 5

a

x

ax x

<⇔ < = + >

− +

0 2

2

x

a

<⇔ < −

.

Vậy nếu a 2−≤ thì hàm số có cực ñại.



2.4. Cực trị của hàm siêu việt và lượng giác

2.4.1. Cực trị của các hàm siêu việt

Bài toán 1. Tìm cực trị của hàm số: 2 2x xy e e= − .

Giải: 2 2x xy e e= − . TXĐ: x∈ℝ .

Đạo hàm của hàm số này là: ( )2' 2 2 2 1 ; ' 0 0.x x x xy e e e e y x= − = − = ⇔ =

⇒ ' 0y ≥ ⇔ 1 0xe − ≥ ⇔ 1 0xe x≥ ⇔ ≥ .


x −∞ 0 +∞

y’ - 0 +

y 0 ( CT) +∞

-1

Vậy hàm số cực ñại tại

0; 1CTx y= = − .

Đồ thị hàm số:(hình 7) (H.7)

Bài toán 2. khảo sát cực trị của hàm số: ( )2 3

1 ...2! 3! !

nxx x x

y x e n Nn

− = + + + + ∈

.

Giải: Ta sẽ dùng ñạo hàm ñể khảo sát cực trị của hàm số. Đạo hàm hàm số ta

có: ( )' .!

nxx

y x en

−= − . Cho ñạo hàm bằng 0 ta nhận ñược ñiểm tới hạn x = 0.

Lại có: 0ε∀ > và n chẵn: ( ) ( ) ( ) ( )1 1' 0; ' 0.

! !n n

y e y en n

ε εε ε ε ε −− = − − < = − <

Do ñó khi n chẵn hàm số không có cực trị.

Giả sử 0ε > bất kì và n lẻ: ( ) ( ) ( ) ( )1 1' 0; ' 0.

! !n n

y e y en n

ε εε ε ε ε −− = − − > = − <

Bởi vậy tại ñiểm ñó hàm số có cực ñại bằng 1.

Bài toán 3. Chứng minh rằng hàm: ( ) 2

1

xf x e−

= nếu 0x ≠ và ( )0 0f = ñạt cực

tiểu tại 0x = , còn hàm ( ) 2

1

xg x xe−

= nếu 0x ≠ và ( )0 0g = tại ñiểm ñó không

có cực trị, tuy rằng ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0; 0 0 1,2,....n nf g n= = = .



Giải. Ta tính số gia của hàm số ( )f x và ( )g x tại ñiểm 0x = .Ta có:

( ) ( ) ( ) ( )2 2

1 1

0 ; 0 .x xf e g x e− −

∆ ∆∆ = ∆ = ∆

Số gia của hàm số ( )f x trong mọi lân cận của ñiểm 0x = dương, bởi vậy

( )f x ñạt cực tiểu bằng 0 tại ñiểm ñó. Số gia của hàm số g(x) tại ñiểm 0x =

không có dấu xác ñịnh trong bất cứ lân cận nào của ñiểm ñó ( )0 0g∆ < khi

0x∆ < và ( ) 0g x∆ > khi 0x∆ > ), do ñó g(x) không có cực trị khi 0x = .


(H.8)

Bài toán 4. Tìm cực trị của hàm số: ln x

yx

=

Giải. ln x

yx

= . TXĐ: 0x > .

Đạo hàm của hàm số là: 2

1 ln'

xy

x

−= ' 0y⇒ ≥ 1 ln 0x⇔ − ≥ .

1 lnx⇔ ≥ x e⇔ ≤ .


x 0 e +∞

y’ + 0 -

y CĐ

-∞ 0

Đồ thị hàm số: (hình 9) (H.9)



Vậy hàm số ñạt cực ñại tại 0x = ; giá trị cực ñại là: yCĐ = 1

e.

Nhận xét: Để tìm các ñiểm cực tiểu của hàm số siêu việt sau khi tính y’

nên giải bất ñẳng thức 0'≥y ( 0'≤y ) ⇔ giải bất phương trình mũ hoặc logarit

từ nghiệm của bất phương trình ñó ⇒ ñiểm cực tiểu của hàm số siêu việt.

2.4.2. Cực trị của hàm số lượng giác

Bài toán 1. Tìm cực trị của các hàm số sau: 1

cos cos2 12

y x x= + +

Giải: TXĐ: x∈ℝ . Đạo hàm của hàm số là:

' sin sin 2 sin (1 2cos )y x x x x= − − = − + ; 1

2

' 0 22

3

x ky

x k

= Π= ⇔ Π = ± + Π

.

2'' cos 2cos2 2 cos 4cosy x x x x= − − = − − ; 1''( ) 2 cos 0y x k= − − Π < .

1x⇒ là ñiểm cực ñại và giá trị cực ñại: y(x1) =

3

21

2

−

k chẵn và k lẻ.

2

3"( ) 0

2y x = > ⇒ 2x là ñiểm cực tiểu và giá trị cực tiểu: ( )2

3

4y x = − .


(H.11)

Bµi to¸n 2. Khảo sát cực trị của hàm số sau:

a) ( )1

1. 2 sin .xf x e

x

− = +

Khi x ≠ 0 và f(0) = 0;

b) ( )1

1. 2 s .xf x e co

x

− = +

Khi x ≠ 0 và f(0) = 0;



Giải: a) Khảo sát dấu của số gia hàm số f(x) tại ñiểm x = 0, ta có:

( )1

10 . 2 sin .xf e

x

−∆ ∆ = + ∆

0x∀∆ ≠

Do ñó tại ñiểm x = 0 hàm số ñạt cực tiểu bằng f(0) = 0. Khi x ≠ 0 hàm số khả vi,

bởi vậy, ñể tìm các ñiểm dừng ta xét phương trình f’(x) = 0. Hiển nhiên là:

1

2 1 1' . 2 sin sgn cos , 0xy x e x x

x x

−− = + − ≠

.

Vì 1 1

sin s 2cox x

+ ≤ nên ñạo hàm y’(x) của hàm số không ñổi dấu khi di

chuyển qua các không ñiểm của nó, bởi vậy hàm số không còn ñiểm cực trị nào

khác, ngoài fmin = f (0) = 0.

Trong trường hợp b, sự khảo sát dẫn ñến kết quả tương tự: Hàm số nhận giá trị

cực tiểu duy nhất bằng 0, khi x = 0.

Đồ thị các hàm ñược biểu thị trên hình vẽ: (hình 12):

(H.12)

Bµi to¸n 3. Tìm cực trị của hàm số sau: ( )1y=ar ln 1

2ctgx x− + .

Giải: Miền xác ñịnh của hàm số này là: 1x ≥ − .

Đạo hàm của hàm số là:

( )( )2

2

2

2 1'' ; '' 0 2 1 0 1 2

2 1 1

x xy y x x x

x x

− −= − = ⇔ − − = ⇔ = ±+ +

.

Từ ñó ta có hàm số có ñiểm hai ñiểm tới hạn là: 1 2x = ± (tại ñó ñạo hàm bị

triệt tiêu).




x - ∞ -1 1 2− 1 2+ +∞

y’ - 0 + 0 -

y 1 CĐ

CT 0

Vậy hàm số có cực tiểu tại 1 2x = − ; ( ) ( )1ar 1 2 ln 2 2

2CTy ctg= − − − .

Hàm số ñạt cực ñại tại 1 2x = + ; ( ) ( )1ar 1 2 ln 2 2

2CTy ctg= + − + .


(H.13)

2.5. Các bài toán cực trị trong hình học

Bài toán: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của một ñại lượng hình

học biến thiên f (ñộ dài ñoạn thẳng, diện tích ña giác, thể tích khối ña diện …)

yêu cầu phải tìm ñược các giá trị 1 2,f f cố ñịnh luôn luôn thỏa mãn bất ñẳng

thức: 1 2f f f≤ ≤ , ñồng thời chỉ rõ các vị trí hình học của ñại lượng biến thiên

ñang xét, ñể tại ñó f ñạt giá trị nhỏ nhất 1f hoặc lớn nhất 2f . Đôi khi bài toán

chỉ yêu cầu tìm một trong hai giá trị này.

Phương pháp giải toán: Tính ñại lượng f ñang xét theo chỉ một ñại

lượng thay ñổi x, tìm miền xác ñịnh của x và khảo sát cực trị của hàm f nhận

ñược trong miền ñó.

Bài toán 1. Hình chóp SABCD có ñáy là hình vuông cạnh a. Đoạn 3SA a=

vuông góc với ñáy. Một ñiểm B’ chuyển ñộng trong ñoạn SB. Mặt phẳng

(ADB’) cắt SC tại C’. Đặt y là tổng bình phương của các cạnh của tứ giác



ADC’B’. Hãy tính y theo '.x SB= Từ ñó hãy xác ñịnh

các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của y.

Giải: Mặt phẳng (ADB’) chứa AD // BC nên giao

tuyến B’C’ của nó với mặt phẳng (SBC) sẽ song song

với BC.Do ñó trong SBC∆ ta có:

2 2

' ' '' ' . .

2 2 2

B C SB x x x xB C BC

BC SB a aSA AB= = = ⇒ = =

+

Dùng ñịnh lý cosin cho 'SAB∆ ta có: (H.14)

�2 2 2 2 2 2 2' 2 . '. os ' 2 . '. 3 3 .SA

AB SA SB SA SB c ASB SA SB SA SB a x axSB

= + − = + − = + −

Do D (SAD) CDSCD AD

CCD SA

⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ∆⊥

vuông tại D, nên trong 'SDC∆ có:

�2 2 2 2 2' ' 2 . '.cos ' 2 . '.SD

DC SD SC SD SC DSC SD SC SD SCSC

= + − = + −

Ta cần tính SD, SC, SC’:

2 2 2 2 ' 52 , 5, ' .

2

SB xSD SA AD a SC SA AC a SC SC

SB= + = = + = = =

22 2 5' 4 4

4

xDC a ax⇒ = + − . Vậy:

22 2 2 2 25

' ' ' ' 7 8 .2

xy DA AB B C DC ax a= + + + = − +

Do B’chuyển ñộng trong ñoạn SB có ñộ dài 2a, nên0 ' 2x SB SB a≤ = ≤ = .

Vậy giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của y là các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm

số ( )2

257 8

2

xy x ax a= − + trong ñoạn [ ]0;2a .

Ta có: 7

' 5 7 ; ' 05

ay x a y x= − = ⇔ =

Ta có bảng biến thiên:

x 0

7

5

a 2a

y’ - 0 +

y 28a 24a

23,1a

C'

x

S

B'

AD

CB



Từ bảng biến thiên ta có: 2min 3,1y a= , ñạt ñược khi

7'

5

ax SB= = ;

2ax 8my a= , ñạt ñược khi ( )0 ' 'x B C S= ≡ ≡ .

Bài toán 2. Với các giả thiết của bài toán 1, hãy xác ñịnh các giá trị lớn nhất và

nhỏ nhất của diện tích tứ giác DAB’C’.

Giải: Dễ chứng minh DAB’C’ là hình thang vuông tại A và B’, do ñó:

( ) ( )' '

1' ' . '

2DAB CS S AD B C AB= = + ( ) 2 212 3 3

4x a x ax a= + − +

Vậy việc giải bài toán ñưa về tìm giá trị lớn nhất,

giá trị nhỏ nhất của hàm số:

( ) ( ) 2 212 3 3

4f x x a x ax a= + − + trong ñoạn

[ ]0;2a . Ta có:

( ) ( )2

2 2

04 5

' ; ' 0 58 3 3

4

xx ax

f x f x axx ax a

=− = = ⇔ =− +

Bảng biến thiên của hàm số: (H.15) x

0 7

5

a 2a

y’ - 0 +

y

2 3

2

a 2a

213 13

64

a

Do ñó: 2

min

13 13

64

aS = ñạt ñược khi

5' ;

4

ax SB= =

2maxS a= ñạt ñược khi ( )2 'x a B B= ≡ .

Bài toán 3. Cho trước mặt phẳng (P), một ñiểm A cố ñịnh trên P và một ñiểm B

cố ñịnh không thuộc mặt phẳng này. Hãy tìm trên (P) một ñiển M ñể tỉ số

AB AM

BM

+ ñạt giá trị lớn nhất.

C'

x

S

B'

AD

CB



Giải: Kí hiệu �,x AM BAMα= = . Cần tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

( )2 2

,2 . .

x ABf x

x AB x AB cosα

α+=

+ −.

Với mỗi giá trị cố ñịnh, ( ),f x α ñạt giá trị lớn nhất khi ( ),f x α ñạt giá trị lớn

nhất. Khi ñó: α sẽ là góc giữa BA và mặt phẳng (P). Với giá trị α ñó f ñạt giá

trị lớn nhất ñồng thời với 2f . Coi ñây là hàm của x, lấy ñạo hàm ta ñược

( ) ( ) ( ) ( ) ( )'2 2 2

2 22 2 2 2

2 1 cos . .' ; ' 0 .

2 . . 2 . .

AB x ABx ABf f x AB

x AB x AB cos x AB x AB cos

αα α

+ −+= = = ⇔ =

+ − + −

Vậy suy ra cách dựng ñiểm M.

Hình chiếu của tia AB trên (P) cắt ñường tròn tâm A bán kính AB tại ñiểm M

cần tìm. Khi này: 1

;sin

2

maxf α= trong ñó: ( ), .g AB Pα =

Bài toán 4. Một hộp không nắp ñược làm từ một mảnh cactông. Hộp có ñáy là

hình vuông cạnh ( )x cm , ñường cao là ( )h cm và thể tích là ( )3500 cm . Gọi

( )S x là diện tích của mảnh cactông. Tìm ( )x cm sao cho ( )S x nhỏ nhất.

Giải: Thể tích hình hộp là: ( )2 32

500500 , 0V x h cm h x

x= = ⇒ = > .

Diện tích của mảnh cactông dùng làm hộp: ( ) 2 2 20004 , 0S x x xh x x

x= + = + > .

Bài toán trở thành tìm 0x > sao cho tại ñó ( )S x ñạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có: ( ) ( ) ( )3

2 2

2 10002000' 2 , 0; ' 0 10

xS x x x S x x

x x

−= − = > = ⇔ = .

Bảng biến thiên của ( )S x trong khoảng ( )0;+∞ :

x 0 10 +∞

y’ + 0 -

y +∞ (CT) +∞

300



Vậy ( )10x cm= thì ( ) ( )2minS 300x cm=

2.6. Các bài toán cực trị không mẫu mực

Bài toán 1. Gọi a, b là hai số thực thoả mãn ( )*,0 .b aa b a b= < <

Đặt ( ) ( ), 2 3 .a bf x x a x b x x= − + − + − + − Chứng minh rằng có duy nhất 0x

ñể ( ) ( ) ( ) ( )0, ,min , ,a b a bf x f x a b= ∀ thoả mãn ( )* .

Giải: ln ln

.b a a ba b

a b= ⇔ = Gọi giá trị chung này là m. Điều này tương ñương

với ñường thẳng y = m cắt ñồ thị (C) của hàm số ( ) ln xg x

x= tại phân biệt với

hoành ñộ a và b.

Ta có: ( ) ( )2

1 ln' ; ' 0 .

xg x g x x e

x

−= = ⇔ = Ta thu ñược bảng biến thiên:

x 0 e +∞

g’(x) + 0 -

g(x)

1

e

-∞ 0

Từ ñó a và b là hoành ñộ giao ñiểm của ñường thẳng 1

; 0;y m me

= ∈

với ñồ thị

hàm số (C). Rõ ràng ( ); , ,e a b a b∈ ∀ thoả mãn ( )* và e là ñiểm duy nhất như

vậy. Mặt khác, hiển nhiên ( )2;3e∈ .

Tacó: ( ) ( ), 2 3a bf x x a x b x x= − + − + − + − ≥

( ) ( ) ( ) ( )2 3x a b x x x≥ − + − + − + − 1.b a= + −

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi [ ] ( ); 2;3 .x a b∈ ∪

Vậy ( ) ( ) ( ) ( )0, ,min , ,a b a bf x f x a b= ∀ thoả mãn (*).

Bài toán 2. Cho ( )f x là hàm khả vi trên [ ]0;1 và thoả mãn ( ) ( )' 0 . ' 1 0.f f <

Chứng minh rằng tồn tại ( )0;1c∈ ñể hàm ( )' 0f c = .



Giải: Không mất tính tổng quát giả sử ( ) ( )' 0 0; ' 1 0.f f> < Vì ( )f x khả vi trên

[ ]0;1 nên liên tục trên ñó, vậy có ( )0;1c∈ ñể ( )[ ]

( )0;1

.x

f c max f x∈

=

Ta chứng minh: ( )0;1c∈ .

• Khai triển Taylor ( )f x tại 0,x = ta ñược: ( ) ( ) ( ) ( )0 ' 0f x f f x o x= + + .

Do ( )' 0 0f > nên ( ) ( )' 0f x f> với x ñủ gần 0. Từ ñó 0x = không thể là ñiểm

cực ñại.

• Tương tự, khai triển Taylor ( )f x tại 1x = , ta ñược:

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )1 ' 1 1 1 1f x f f x o x f= + − − + − > với xñủ gần 1.

Vậy 1x = cũng không thể là ñiểm cực ñại. Như vậy ñiểm cực ñại c là ñiểm

trong của ( ) ( )0;1 , f x khả vi nên ( )' 0f c = .

Bài toán 3. Cho hàm ( )f x xác ñịnh và liên tục trên [ )0;+∞ , có ñạo hàm liên

tục trên ( )0;+∞ và thoả mãn ( ) ( )0 1; , 0.xf f x e x−= ≤ ∀ ≥

Chứng minh rằng tồn tại 0 0x > ñể ( ) 00' .xf x e−= −

Giải. ( ) ( ) ( )( )0 00 0

0

' ' 0 ' 0.x x xf x e f x e f x ex x

− − −= − ⇔ + = ⇔ − ==

Xét hàm ( ) ( ) .xx f x eϕ = − Ta có ( )xϕ liên tục trên [ )0;+∞ , khả vi trên

( )0; ;+∞ ( ) ( ) ( ) ( )0; 0 0; lim 0.x

x xϕ ϕ ϕ ϕ→+∞

≤ = +∞ = =

Vậy tồn tại L > 0 ñủ lớn ñể trên [ ) ( )0; ,L xϕ có cực tiểu. Suy ra tồn tại

( ) ( )0 00; , ' 0x L xϕ∈ = hay ( ) 00' .xf x e−= −

Bài toán 4. Tìm ña thức bậc nhất nhận giá trị cực ñại là 6 tại 1x = và giá trị cực

tiểu là 2 tại 3x = .

Giải: Giả sử ( )y P x= là ña thức phải tìm. Từ giả thiết suy ra ( ) ( )' 1 ' 3 0P P= = ,

vậy ( )'P x là ña thức có ít nhất là hai nghiệm. Từ ñó bậc của ( )' 2P x ≥ hay bậc

của ( ) 3P x ≥ . Chúng ñã thử với ña thức ( )P x bậc ba với

( ) ( )( ) ( )2' 1 3 4 3P x A x x A x x= − − = − + (A là hằng số).



Vì ( ) ( )'' 0; '' 01 3

P x P xx x

< >= =

nên A > 0. ( )3

22 3 .3

xP x A x x B

= − + +

( )

( )( ) 3 2

41 6 3

3 6 9 2.2

3 2

P A B AP x x x x

BP B

= + = =⇒ ⇒ = − + + = = =

Thử lại thấy ñúng.

Bài toán 5. Cho ( )f x liên tục trên [ ];a b . Đặt ( )1.

b

a

c f x dxb a

=− ∫ Chứng minh

rằng: ( ) ( )2 2, .

b b

a a

f x c dx f x d dx d R− ≤ − ∀ ∈∫ ∫

Giải: Xét hàm:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 , .b b b

a a a

g x f x d dx f x dx d f x dx d b a d R= − = − + − ∀ ∈ ∫ ∫ ∫

( )g d là tam thức bậc hai của d, ñạt cực tiểu tại ( )

0 .

b

a

f x dx

d cb a

= =−

∫

Suy ra: ( ) ( )2 2, .

b b

a a

f x c dx f x d dx d R− ≤ − ∀ ∈∫ ∫



MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ GIẢI

Bài 1. Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) 3 22 3y x x= − c) 2 2y x x= −

b) 2

1

1

xy

x x

+=+ +

d) 3

; 0x

y ax a

= >−


a) sin 2 ; ;2

y x x xπ π = − ∈ −

b) ( )ln 1y x x= − +

Bài 3. Cho ,x y thỏa mãn 0, 0, 1.x y x y≥ ≥ + = Tìm cực trị của hàm số:

1 1

x yf

y x= +

+ +.

Bài 4. Tìm cực trị của hàm số: ( ) 1 2cos 1 2sinf x x x= + + + trên miền

{ }:1 2cos 0;1 2sin 0D x x x= + ≥ + ≥

Bài 5. Cho parabol (P): 2y x= và ñiểm ( )3;0A − . Xác ñịnh ñiểm ( )M P∈ sao

cho khoảng cách AM là ngắn nhất; tìm khoảng cách ngắn nhất ñó.

Bài 6. Người ta ñịnh làm một cái hộp kim loại hình trụ có thể tích V cho trước.

Tìm bán kính r và ñường cao h của hình trụ sao cho ít tốn kim loại nhất.

Bài 7. Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một học sinh thấy rằng: nếu trên mỗi

ñơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau vụ cân

nặng ( ) ( )480 20P n n gam= − . Hỏi phải thả bao nhiêu con cá trên một ñơn vị

diện tích của mặt hồ ñể sau một vụ thu hoạch ñược nhiều nhất?

************************************

KÕt luËn ch−¬ng 2

Trong chương này, việc nhắc lại các kiến thức cơ bản về cực trị, các quy

tắc dùng ñạo hàm ñể tìm cực trị của hàm số một biến nhằm củng cố kiến thức,

tạo nền tảng vững chắc ñể ứng dụng ñạo hàm vào tìm cực trị của hàm số một

biến. Đồng thời chương này cũng ñưa ra hệ thống, phân loại các dạng bài tập

theo các lớp hàm, giúp cho việc giải quyết các bài tập một cách thuận lợi hơn và

là cơ sở ñể giúp cho việc nghiên cứu hàm nhiều biến ở chương sau.



CHƯƠNG 3. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM

CỰC TRỊ HÀM SỐ NHIỀU BIẾN

3.1. Cực trị của hàm số hai biến số


��) Định nghĩa cực trị ñịa phương: Cho hàm số: ( ),u f x y= xác ñịnh

trong miền mở D và ñiểm ( )0 0 0,P x y D∈ . Ta nói rằng: ( )0 0 0,P x y là một ñiểm cực

ñại (cực tiểu) ñịa phương của hàm số u nếu tồn tại một lân cận ( )0,S P R ⊂ D sao

cho: ( ) ( ) ( ) ( )( )0 0 0 0, , , , ,f x y f x y f x y f x y< > , ( ) ( )0, ,P x y S P R∀ ∈ , 0P P≠ .

Điểm cực ñại ñịa phương và cực tiểu ñịa phương ñược gọi chung là ñiểm

cực trị ñịa phương.

��) Định nghĩa ñiểm dừng: Ta sẽ gọi ñiểm ( ),P x y D∈ là ñiểm dừng của

hàm số ( ),u f x y= nếu tại ñiểm ñó các ñạo hàm riêng ,f f

x y

∂ ∂∂ ∂

bằng không.

��) Định nghĩa ñiểm tới hạn: Ta sẽ gọi ñiểm ( ),P x y D∈ là ñiểm tới hạn

của hàm số ( ),u f x y= nếu tại ñó cả ,f f

x y

∂ ∂∂ ∂

ñều triệt tiêu hoặc những ñiểm ở

ñó f

x

∂∂

hoặc f

y

∂∂

không tồn tại.

3.1.2. Định lý

Nếu hàm ( ),f x y xác ñịnh trên D có cực trị ñịa phương tại ñiểm M0 cả hai ñạo

hàm riêng của hàm f (nếu tồn tại) ñều bằng 0 hoặc ít nhất một trong hai ñạo hàm

riêng không tồn tại. (ñó là những ñiểm tới hạn hoặc ñiểm dừng của hàm ( ),f x y )

�) chú ý: + không phải mọi ñiểm dừng ñều là ñiểm tới hạn.

+ Việc tìm cực trị của hàm ba biến hoặc nhiều hơn ba biến ñược tiến

hành tương tự như hàm hai biến.

3.1.3. Quy tắc dùng ñạo hàm ñể tìm cực trị hàm số hai biến



��) Quy tắc 1: Giả sử hàm số ( ),u f x y= có các ñạo hàm riêng ñến cấp

hai liên tục trong một lân cận nào ñó của ( )0 0 0,M x y . Giả sử tại 0M ta có:

0 0

0, 0.x x y y

f f

x y= =

∂ ∂= =∂ ∂

Khi ñó tại M0, ñặt ( ) ( ) ( )2 2 2

20 0 02 2

; ; ; .f f f

M A M B M C B ACx x y y

∂ ∂ ∂= = = ∆ = −∂ ∂ ∂ ∂

+) Nếu 0∆ < thì hàm số ( ),f x y ñạt cực trị tại 0M . Đó là ñiểm cực ñại

nếu A < 0, là ñiểm cực tiểu nếu A > 0).

+) Nếu 0∆ > thì hàm số ( ),f x y không ñạt cực trị tại 0M .

+) Nếu 0∆ = thì hàm số ( ),f x y có thể ñạt cực trị tại 0M , cũng có thể

không ñạt cực trị tại 0M .

2 0B AC∆ = − < A > 0 ⇒u có cực tiểu.

A < 0 ⇒u có cực ñại.

2 0B AC∆ = − > u không có cực trị.

2 0B AC∆ = − = Không có kết luận.

��) Quy tắc 5: Bài toán: Tìm cực trị của hàm số: z = f [ ( , )x yϕ ] trong ñó

các hàm số f, ϕ là những hàm khả vi liên tục.

Bước 1: Tìm các ñiểm tới hạn: (hay ñiểm dừng)

- Coi ( , )t x yϕ= .

- Giải hệ: ( ) ( ){ ' ' ' ' ' '. ... 0; . ... 0x x y yt tz f t z f t= = = = = =

{ ( ){' ' '0 0 0...x y tt t f⇔ = ∧ = ∨ = ⇔ Các ñiểm tới hạn …

Bước 2: Kiểm tra:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )'' '' ' 2 ' '' '' '' ' ' ' '' '' '' ' 2 ' ''.( ) . ; . . . ; .( ) . ;xx x xx xy x y xy yy y yyt t t t t t

z f t f t z f t t f t z f t f t= + = + = +

Ứng với từng ñiểm tới hạn, tính A, B, C. Kiểm tra 2B AC− ⇒ Kết luận.

3.1.4. Bài tập

Bµi to¸n 1. Tìm cực trị của hàm số:



2 2 3 26 24 6 24 4 15 36 1.f x y xy x x y y y= − − + + − + +

Giải: Miền xác ñịnh của hàm số là toàn mÆt phẳng 2ℝ .

Tìm các ñiểm dừng qua việc giải hệ phương trình:

2 2

012 24 12 24 0

6 24 12 30 36 00

fxy y xx

f x x y yy

∂ = − − + =∂ ⇔ ∂ − + − + = =∂

2

1

22

1

1

3

x

y

y

y

x

x

= = =⇔ = = =

.

Vậy hàm số có 4 ñiểm dừng: M1(2;2), M2(2;1/2), M3(1;1), M4(3;1).

Các ñạo hàm riêng cấp hai: 2 2 2

2 212 12; 12 24; 24 30

f f fA y B x C y

x x y y

∂ ∂ ∂= = − = = − = = −∂ ∂ ∂ ∂

Xét tại M1 (2; 2) ta có: A = 12, B = 0, C = 18 và ∆ = B2 – AC < 0, mặt khác:

A = 12 > 0 do ñó M1 (2; 2) là ñiểm cực tiểu của hàm số và fmin = 21.

Xét tại M2 (2;1/2) ta có: A = -6, B = 0, C = -18 và ∆ = B2 – AC =-108 < 0, mặt

khác A = -6 < 0, do ñó M2 (2;1/2) là ñiểm cực ñại của hàm số và fmax = 111

4.

Xét tại M3 (1;1) ta có: A = 0, B = -12, C = -6 và ∆ = B2 – AC =144 > 0, do ñó

M3 (1;1) không là cực trị của hàm số.

Xét tại M4 (3;1) ta có: A = 0, B = 12, C=-18 và ∆ = B2 – AC =144 > 0, do ñó M4

(3;1) không là cực trị của hàm số. Ta có ñồ thị hàm số: (hình 16)

(H.16)



Bµi to¸n 2. Tìm cực trị của hàm số: f = xy.ln(x2+ y2).

Giải: Miền xác ñịnh của hàm số là: 2( ; ) \ (0;0)x y∀ ∈ℝ .


( )

( )

( )

( )

( )

( )

22 2

2 2

22 2

2 2

22 22

2 22 22 2

22 2

2 2

22 2

2 2

0

2n 0 0

12n 0 00

2n 020 n 0

2n 0

2n 0

y

yl x y y

x yxxf y l x y x

x yxxf l x yy

x yx l x yy x yx

l x yx y

yl x y

x y

= + + = = + = ± ∂ + + = == +∂ ⇔ ⇔ ⇔ ∂ + + = = ++ + = ∂ + + + = + + + = +

0

1

1

21

2

x

y

xe

ye

= = ± = ± = ±

Vậy ta ñược các ñiểm tới hạn sau: ( ) ( )1 2 3(1;0), 1;0 , 0;1 ,M M M− ( )4 0; 1 ,M −

5

1 1; ,

2 2M

e e

=

6 7 8

1 1 1 1 1 1; , ; , ; .

2 2 2 2 2 2M M M

e e e e e e

− − − −

Các ñạo hàm riêng cấp hai:

( ) ( ) ( )

( )

2 3 2 2 22 2

2 22 2 2 2 2 2 2

2 3

22 2 2 2 2

6 4 4; ln x 2 ;

x x x

6 4

x x

f xy x y f x yA B y

x y x yy y

f xy xyC

y y y

∂ ∂= = − = = + + −∂ + ∂ ∂+ +

∂= = −∂ + +

Xét tại M1 (1;0), M2 (-1;0), M3 (0;1), M4 (0;-1), tại các ñiểm này ñều có: A = 0,

B = 2, C = 0 và ∆ = B2 – AC = 4 > 0, do ñó M1 (1;0), M2 (-1;0), M3 (0;1),

M4 (0;-1) ñều không là cực trị của hàm số.

Xét tại 5 8

1 1 1 1; , ;

2 2 2 2M M

e e e e

− −

, tại các ñiểm này ñều có A = C = 2,

B = 0 v à ∆ = B2 – AC = -4 < 0, mặt khác A = 2 > 0, do ñó: 5

1 1; ,

2 2M

e e

8

1 1;

2 2M

e e

− −

ñều là ñiểm cực tiểu của hàm số và:

fmin = f (M5) = f (M8) = 1

2e− .



Xét tại 6 7

1 1 1 1; , ;

2 2 2 2M M

e e e e

− −

, tại hai ñiểm này ñều có: A = C =

-2, B = 0 v à ∆ = B2 – AC = -4 < 0, mặt khác A = -2 < 0, do ñó:

6

1 1; ,

2 2M

e e

−

7

1 1;

2 2M

e e

−

ñều là ñiểm cực tiểu của hàm số và:

fmin = f (M5) = f (M8) = 1

2e. Đồ thị hàm số: (hình 17)

(H.17)

Bµi to¸n 3. Tìm cực trị của hàm số: ( ) ( )2 2 33 3 62 2 33 3 2 .x y x

z x y x e− + −= + −

Giải: Ở bµi to¸n này ta sẽ sử dụng quy tắc 5:

Miền xác ñịnh của hàm số này là toàn mặt phẳng 2ℝ .

Bước 1: Tìm các ñiểm tới hạn: Coi t = 2 2 33 3 2x y x+ − ; f(t) = t.e-t.Giải hệ:

{ { ( ){' ' ' ' ' ' ' '. 0; . 0 0; 0 . 1 0( ) ( ) ( )

tz f t z f t t t f e tx x y y x yt t t−= = = = ⇔ = = ∨ = − =

{{ {{{2 2 2 36 6 0;6 0 1 0; 0 1; 0 3 3 2 1x x y t x y x y x y x⇔ − = = ∨ = ⇔ = = ∨ = = ∨ + − =Các ñiểm tới hạn là: (0;0) và các ñiểm M0(x0;y0) thoả mãn phương trình:

2 2 33 3 2x y x+ − = 1.

Bước 2: kiểm tra:

( )( ) ( )( )

( )( )

( )( ) ( )

22

2

2

'' '' ' 2 ' ''.( ) . 2 6 6 1 6 12 ;( ) ( )

'' '' ' ' ' ''. . . 2 6 6 6 ;( ) ( )

'' '' ' 2 ' ''.( ) . 2 6 1 6;( ) ( )

t t

t

t t

z f t f t e t x x e t xxx x xxt t

z f t t f t e t x x yxy x y xyt t

z f t f t e t y e tyy y yyt t

− −

−

− −

= + = − + − + − −

= + = − + −

= + = − + + −

Tại (0;0), do x =0, y =0, t =0 suy ra A = 6, B = 0, C = 6 và B2–AC =-36 <0, mặt

khác A > 0, do ñó hàm z ñạt cực tiểu tại P(0;0), ñồng thời zmin = 0.



Tại các ñiểm M0(x0;y0) thoả mãn phương trình 2 2 33 3 2x y x+ − = 1.

Xét ( ) ( )' 0 1 0 0tf t e t t−= ⇔ − = ⇔ = .

( ) ( ) ( ) 1'' 2 '' 1 0tf t e t f e− −= − + ⇒ = − < .

Suy ra hàm f(t) ñạt cực ñại tại t = 1.Do ñó hàm z = f (3x2 + 3y2 – 2x3) ñạt cực ñại

tại các ñiểm M0(x0,y0) thoả mãn phương trình: 2 2 33 3 2x y x+ − = 1.


(H.18)

Ở cuối ví dụ này chúng ta ñã sử dụng một mệnh ñề sau:

Mệnh ñề: Nếu hàm số f(t) ñạt cực ñại (cực tiểu) tại ñiểm t = t0 thì hàm

hai biến ( )( ),f x yϕ ñạt cực ñại (cực tiểu) tại các ñiểm M0 thuộc ñường:

( ) 0: ,L x y tϕ = .

Chứng minh: Giả sử cụ thể f(t) ñạt cực ñại tại t= t0. Khi ñó f(t0) ≥ f(t) khi xét

tại các ñiểm t gần t0.(1) Lấy ñiểm M0 thuộc ñường ( ) 0: ,L x y tϕ = . Mọi M gần

M0 ta có: ( ) ( ),M x y tϕ ϕ= = nào ñó ở gần t0.

Do (1) Ta có: ( )( ) ( ) ( ) ( )( )0 0f M f t f t f Mϕ ϕ= ≥ =

Tóm lại: ( )( ) ( )( )0 ,f M f M Mϕ ϕ≥ ∀ gần M0. Suy ra: ( )( ),f x yϕ ñạt cực ñại

tại ñiểm M0.

Tương tự với trường hợp ñạt cực tiểu.

Bài toán 4. Tìm cực trị của hàm số sau: ( ) ( ) ( )2 2

2 2, 2 3x y

f x y e x y− += + .

Giải: Miền xác ñịnh của hàm số là toàn mặt phẳng 2ℝ .

Hàm số ( ) ( ) ( )2 22 2, 2 3 .

x y uf x y e x y e v− + −= + = , với 2 2u x y= + , 2 22 3v x y= + .



Ta có: ( ) ( )2 .4 2 2u u ufe x v e x xe v

x− − −∂ = − + = −

∂;

( ) ( )2 .6 2 3u u ufe y v e y ye v

y− − −∂ = − + = −

∂.


( )( )

2 2

2 2

2 2 3 20 2 2 0 0 0

002 3 003 2 3 3

u

u

v x yfxe v x xx

f yyye vy v x y

−

−

= + =∂ = − = = =∂ ⇔ ⇔ ⇔ ∂ ==− = = ∂ = + =

.

Giải hệ trên ta dược 4 ñiểm dừng: M1 (0;0), M2 (0;1), M3 (0;-1), M5 (-1;0).

Các ñạo hàm riêng cấp hai: ( )2

22

2 2 4 2 ;ufA e x v v

x−∂ = = − − + − ∂

( ) ( )2 2

22

4 5 ; 2 2 6 3u uf fB xye v C e y v v

x y y− −∂ ∂

= = − = = − − + − ∂ ∂ ∂.

Xét tại ñiểm M1 (0;0) ta có: A = 4, B = 0, C = 6 và ∆ = B2 – AC = -24 < 0, mặt

khác A = 4 > 0. Do ñó M1(0;0) là ñiểm cực tiểu của hàm số, ñồng thời f(M 1) = 1.

Xét tại ñiểm M2 (0; 1), M3 (0; -1), tại hai ñiểm này ñều có: A = -2 e-1, B = 0,

C = -6 e-1 và ∆ = B2 – AC = -12 e-1 < 0, mặt khác A < 0, do ñó M2 (0;1), M3 (0;1)

ñều là ñiểm cực ñại của hàm số, ñồng thời fmax = f (M2) = f (M3) = 3 e-1.

Xét tại ñiểm M4 (1;0), M5 (-1;0), tại hai ñiểm này ñều có: A = -8e-1, B = 0,

C = 2e-1 vµ ∆ = B2 – AC = 16e-1 > 0, do ñó M4 (1;0), M5 (-1;0) ®Òu không là cực

trị của hàm số.


(H.19)



Bài toán 5. Tìm cực trị của hàm số sau: ( )2 2

2 2 1,

1

x yf x y

x y

+ +=+ +



( )

( )

( )( )

2 2

32 2 2

2 2

32 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

1 22. 0

0 1

1 20 2. 01

1 2 0 2 2 0

1 2 0 1 2 0

2 2 1 02 2 1 0

1 2 0

x y xy xf

x yxf x y xy yy

x y

x y xy x x y x y

x y xy y x y xy y

x yx y x y

x yx y xy y

− + + − − =∂ = + +∂ ⇔ ∂ − + − − = =∂ + +

− + + − − = − + − = ⇔ ⇔ − + − − = − + − − =

= − + + = + + =⇔ ⇔

− + − − = ( )*2 2 1 2 0x y xy y

− + − − =

Với x = y thì phương trình (*) trở thành:

2x2 + x -1 = 0 1

12

x y

x y

= = −⇒

= =

1

12

x

x

= −⇔

=

Với 2x + 2y + 1 = 01

2x y⇔ = − − ,thay vào (*) ta ñược: 28 2 5 0y y+ + = vô

nghiệm. Vậy ta ñược hai ñiểm dừng: M0(-1;-1), M2(1/2;1/2).

Các ñạo hàm riêng cấp hai:

( )( ) ( )( )

2 2 2 22

522 2 2

1 2 2 1 3 1 22. ;

1

x y x y x x y xy xfA

x x y

+ + + + + − + + − −∂= = −∂ + +

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

2 22

52 2 2

2 2 2 22

522 2 2

2 2 1 3 1 22. ;

1

1 2 2 1 3 1 22. .

1

x y x y y x y xy xfB

x y x y

x y x y y x y xy yfC

y x y

− + + + − + + − −∂= = −∂ ∂ + +

+ + + + + − + − −∂= = −∂ + +

Xét tại ñiểm M0 (-1;-1) ta có: 2 2

, 0, ,3 3

A B C= = = và 2 40

3B AC∆ = − = − < ,



mặt khác2

03

A= > .Do ñó: M0 (-1;-1) là ñiểm cực tiểu của hàm số và fmin=- 3 .

Xét tại ñiểm 1

1 1;

2 2M

, ta có: 32 32

, 0,3 3

A B C= − = = − và

2 320

3B AC∆ = − = − < , mặt khác

320

3A= − < , do ñó 1

1 1;

2 2M

là ñiểm cực

ñại của hàm số, ñồng thời x 6maf = . Đồ thị hàm số: (hình 20)

(H.20)

Bài toán 6. Tìm cực trị của hàm số:

a) ( ) 2 2, 1f x y x y= − + b) ( ) ( ) ( )2 2, 1 1f x y x y= − + −

Giải: a) ( ) 2 2, 1f x y x y= − + . Miền xác ñịnh của hàm số là toàn mặt phẳng 2ℝ .

Dễ dàng chứng tỏ rằng hàm số ñã cho không có ñiểm dừng. Nhưng tại ñiểm

M(0;0) các ñạo hàm riêng cấp một không tồn tại vì các tỉ số:

( ) ( ) ( ) ( ),0 0,0 0, 0,0;

x yf x f f y f

x x y y

∆ ∆∆ − ∆ −= =

∆ ∆ ∆ ∆ không có giới hạn. Vì vậy

ñiểm M(0;0) có thể là ñiểm cực trị.

Bởi vì số gia ( ) ( ) 2 2, 0;0 0f x y f x y− = − + < nên tại ñiểm này hàm số có cực

ñại và fmax = 1. Ta có ñồ thị hàm số: (hình 21)

(H.21)



b) ( ) ( ) ( )2 2, 1 1f x y x y= − + − . Miền xác ñịnh của hàm số là toàn mặt phẳng 2

ℝ .

Ta có: ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

1 1;

1 1 1 1

f x f y

x yx y x y

∂ − ∂ −= =∂ ∂− + − − + −

Các ñạo hàm riêng không tồn tại ở ñiểm M1 (1;1), do ñó M1 (1;1) là ñiểm tới hạn.

Để xác ñịnh xem hàm có cực trị tại ñiểm M1(1;1) hay không ta khảo sát dấu của

f∆ tại lân cận nào ñó của ñiểm M1 (1;1). Ta có:

( ) ( ) 2 21 ,1 1,1f f x y f x y∆ = + ∆ + ∆ − = ∆ + ∆

Hiển nhiên f∆ > 0 tại lân cận bất kì của ñiểm M1 (1;1). Do ñó hàm có cực tiểu

ñịa phương tại ñiểm M1 (1;1) và fmin = 0.


(H.22)

Chú ý: �) Nếu tại ñiểm M0 ta có: 2 2 2

2 2

f f f f f

x y x x y y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = = =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

thì ta phải khai

triển hàm số f (x) theo công thức Taylor ñến các số hạng cấp ba.Ta không xét

trường hợp ñó trong ñề tài này.

�) Trong trường hợp hàm số n biến số, ta phải xét dấu các số hạng cấp

hai trong khai triển Taylor, tức là phần xét dấu một dạng toàn phương n biến

số. Đề tài này cũng không xét trường hợp ñó.

3.2. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số hai biến số trong một miền

ñóng bị chặn


�) ( )0 0 0,M x y là ñiểm cực tiểu toàn cục (giá trị nhỏ nhất) của f trên D nếu



( )0 0 0,M x y là ñiểm thấp nhất của f trên D, nghĩa là :

( ) ( ) ( )0 0, , , ,f x y f x y M x y D≥ ∀ ∈ .

�) ( )0 0 0,M x y là ñiểm cực ñại toàn cục (giá trị lớn nhất) của f trên D nếu

( )0 0 0,M x y là ñiểm cao nhất của f trên D, nghĩa là :

( ) ( ) ( )0 0, , , ,f x y f x y M x y D≤ ∀ ∈ .

Để giải bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất ta tìm tất cả các ñiểm dừng

của chúng trong miền D, tính giá trị của hàm f tại những ñiểm này và so sánh

giá trị của chúng với giá trị của hàm trên biên của D.

3.2.2. Bài tập

Bài toán 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:

( ) ( )22 2 2 2, 8 3 1 2 1f x y x y x y= + + − + +

trong miền tròn ñóng D xác ñịnh bởi x2 + y2 ≤ 1.

Giải. Ta có hàm số liên tục với mọi x, y nên nó ñạt giá trị lớn nhất M và giá trị

nhỏ nhất m trên miền D. Ta có:

( )( )

( )( )

2 2 2 2

2 2 2 2

0 16 2 2 1 4 0 8 1 2 0

6 2 2 1 4 0 2 1 4 2 00

fx x y x x x yx

f y x y y y x yy

∂ = − + + = − − =∂ ⇔ ⇔ ∂ − + + = − − = = ∂



2

2

2 2

2 2

0, 000,1 2 0

10,1 2 0 0,

21 2 0

1(*) , 01 4 2 0 2

x yx yx y

y x x y

x yx yx y

= = = == − = = − =⇔ ⇔ = = ± − − = = ± =− − =

Vậy ta có năm ñiểm tới hạn là: ( )0 1

10;0 , 0; ,

2M M

2

10; ,

2M

−

3

1;0 ,

2M

4

1;0

2M

−

cả năm ñiểm này ñều nằm trong miền D. Tính giá trị của f(x,y) tại

các ñiểm ấy, ñược: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )10, , 1

0 1 2 3 44f M f M f M f M f M= = = = = .

Bây giờ ta xét giá trị của f(x,y) trên miền D. Trên biên ấy x2 + y2 = 1, vậy

y2 = 1- x2, do ñó: ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 2 2 2, 8 3 1 1 2 1 1 1f x y x x x x x x= + − + − + − + = −

Ta phải tìm giá trị của hàm số ấy với -1 ≤ x ≤ 1.

Rõ ràng hàm số ấy bằng 0 khi x = ± 1 và ñạt giá trị lớn nhất khi :

2 2 2 11 2 1 ;

2x x x x= − ⇒ = ⇒ = ± giá trị lớn nhất ấy bằng

1

4.

So sánh tất cả các giá trị ñã tính, ta thấy rằng hàm số f(x,y) ñã cho ñạt giá trị nhỏ

nhất m = 0 tai M0 (0;0) và ñạt giá trị lớn nhất M = 1 tại các ñiểm M3, M4.


(H.23)

Bài toán 2. Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số:

a) ( ) 2 2,f x y x y xy x y= + − + + trong miền ( ){ }, : 0; 0; 3D x y x y x y= ≤ ≤ + ≥ − .

b) ( )sin .sin .sin xz x y y= + trong hình vuông 0 ;0 .x yπ π≤ ≤ ≤ ≤



Giải: a) Miền D ñã cho là tam giác OAB với O(0;0), A(-3,0), B(0,-3).

Tìm ñiểm dừng qua việc giải hệ phương trình:

02 1 0 1

2 1 0 10

fx y xx

f y x yy

∂ = − + = = − ∂ ⇔ ⇔ ∂ − + = = − =∂

Vậy ta có ñiểm dừng M(-1;-1). Tại ñiểm M(-1;-1) ta có: f(M) = 1, A = 2,

B = -1, C = 2 và 2 3 0B AC∆ = − = − < . Do ñó tại ñiểm M(-1;-1) hàm có cực

tiểu ñịa phương và fmin = -1.

Khảo sát hàm trên biên của miền D.

Khi x = 0 ta có 2f y y= + . Đối với hàm một biến 2f y y= + , 3 ≤ y ≤ 0 ta có:

fmax = 6 tại ñiểm (0;-3), fmin = 1

4− tại ñiểm

10;

2 −

.

Khi y = 0 ta có 2f x x= + . Đối với hàm một biến 2f x x= + , 3 ≤ x ≤ 0 ta có:

fmax = 6 tại ñiểm (-3;0), fmin = 1

4− tại ñiểm

1;0

2 −

.

Khi 3x y− = − 3y x⇒ = − − ta c ó: 23 9 6f x x= + + và tương tự ta có : x 6maf =

tại ñiểm (-3;0) v à (0;-3), min

3

4f = − tại ñiểm

3 3;

2 2 − −

.

So sánh các giá trị ta thu ñược ñối với f ta có kết luận:

x 6maf = tại ñiểm (-3;0) và (0;-3), min 1f = − tại ñiểm M(-1;-1).


(H.24)

b) ( )sin .sin .sin xz x y y= + .




( ) ( )( )( ) ( )( )

( )( )

0 sin . sx.sin x sinx. s x 0 sin .sin 2 0

sin x.sin 2 0sin x. sy.sin x sin . s x 00

fy co y co y y x yx

f y xco y y co yy

∂ = + + + = + =∂ ⇔ ⇔ ∂ + =+ + + = = ∂

Từ hệ phương trình trên kết hợp với ñiều kiện trong hình vuông

0 ;0x yπ π≤ ≤ ≤ ≤ ta có các ñiểm dừng 1 2

2 2; , ;

3 3 3 3M M

π π π π

.

Giá trị của hàm số trên biên của hình vuông ñều bằng 0. Còn ( )1

3 3,

8z M =

( )2

3 3.

8z M = − Vậy trong hình vuông nói trên hàmcó giá trị lớn nhất là

3 3

8ñạt

ñược tại 1 ;3 3

Mπ π

, có giá trị nhỏ nhất là 3 3

8− ñạt ñược tại 2

2 2;

3 3M

π π

.


(H.25)

Bài toán 3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: ( ) ( )2 22 22 3

x yz e x y

− += +

trong miền D xác ñịnh bởi 2 2 1x y+ ≤ .

Giải: Hàm ( ) ( )2 22 22 3

x yz e x y

− += + liên tục ( ) 2,x y∀ ∈ℝ .


0

0

f

xf

y

∂ =∂∂ =

∂

( ) ( )( ) ( )

2 2

2 2

2 2

2 2

.2 2 2 3 0

.2 2 2 3 0

x y

x y

e x x y

e y x y

− +

− +

− − =⇔ − − =

.



Giải hệ phương trình trên ta ñược các nghiệm ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0;0 , 0;1 , 0; 1 , 1;0 , 1;0− − .

Các ñiểm ( ) ( ) ( ) ( )0;1 , 0; 1 , 1;0 , 1;0− − nằm trên biên của miền D. Do ñó chỉ cần so

sánh giá trị của z ở trên biên của miền D. Ta có: z (0;0) = 0 và biên của miền D

có phương trình 2 2 1x y+ = . Trên biên ấy

( ) ( ) ( )2 22 2 1 22 3 2 , 1 1.

x yz e x y e y y

− + −= + = + − ≤ ≤

Với ( )1 21 1, 2y z e y−− ≤ ≤ = + ñạt giá trị nhỏ nhất bằng 12e− tại y = 0, ñạt giá trị

lớn nhất bằng 13e− tại y = 1, y = -1. Vậy trong miền D hàm số z ñạt giá trị bé

nhất bằng 0 tại ñiểm (0;0), ñạt giá trị lớn nhất bằng 13e− tại các ñiểm

( ) ( )0;1 , 0; 1− . Ta có ñồ thị hàm số: (hình 26)

(H.26)

3.3.Cực trị có ñiều kiện

Trong trường hợp ñơn giản nhất, cực trị có ñiều kiện của hàm f(x,y) là

cực ñại hoặc cực tiểu của hàm ñó ñạt ñược với ñiều kiện các biến x và y thoả

mãn phương trình ( ), 0x yϕ = (phương trình ràng buộc).

Để tìm cực trị có ñiều kiện với ñiều kiện ràng buộc ( ), 0x yϕ = ta lập hàm

Lagrange: ( ) ( ) ( ), , , ,F x y f x y x yλϕ= + trong ñó λ là hằng số nhân chưa ñược

xác ñịnh và ñi tìm cực trị thông thường của hàm bổ trợ này. Đây là phương pháp

thừa số bất ñịnh Lagrange.Tìm ñiều kiện cần ñể tồn tại cực trị có ñiều kiện

chung quy là giải hệ phương trình :



( ) ( )

( ) ( )

( )

, , 0

, , 0

, 0

F f fx y x y

x x xF f f

x y x yy y y

x y

λ

λ

ϕ

∂ ∂ ∂ = + = ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ = + = ∂ ∂ ∂ =

(1)

Từ hệ này ta có thể xác ñịnh x, y, λ .

Vấn ñề tồn tại và ñặc tính của cực trị ñịa phương ñược minh ñịnh trên cơ sở xét

dấu của vi phân cấp hai của hàm bổ trợ: 2 2 2

2 2 2

2 22

F F Fd F dx dxdy dy

x x y y

∂ ∂ ∂= + +∂ ∂ ∂ ∂

(ñược tính ñối với các giá trị x, y, λ thu ñược khi giải hệ (1) với ñiều kiện là:

( )2 20 0dx dy dx dyx y

ϕ ϕ∂ ∂+ = + ≠∂ ∂

).

Cụ thể là: Nếu d2F < 0 thì hàm ( ),f x y có cực ñại có ñiều kiện .

Nếu d2F > 0 thì hàm ( ),f x y có cực tiểu có ñiều kiện.

Nếu d2F = 0 thì hàm ( ),f x y cần phải khảo sát thêm.

Nhận xét: Tương tự như hàm hai biến, ta có thể tìm cực trị có ñiều kiện của hàm

ba biến hoặc nhiều hơn với một hoặc nhiều phương trình ràng buộc (số phương

trình ràng buộc phải ít hơn số biến). Khi ñó cần lập hàm bổ trợ với thừa số chưa

xác ñịnh bằng số phương trình ràng buộc.

Ngoài phương pháp thừa số bất ñịnh Lagrange người ta còn dùng

phương pháp khử biến số ñể tìm cực trị có ñiều kiện (Ta không sử dụng phương

pháp ñó trong ñề tài này).

Bài toán 1. Tìm cực trị của hàm số: 2 21z x y= − − với ñiều kiện 1 0x y+ − = .

Giải: Từ ñiều kiện trên rút ra 1y x= − . Thế vào biểu thức của z ta nhận ñược:

( )22 21 1 2. .z x x x x= − − − = − Đó là một hàm một biến xác ñịnh khi

2 0x x− ≥ tức là khi 0 ≤ x ≤ 1.

Ta có: 2

2 1 2 1. ; 0 .

2 2

dz x dzx

dx dxx x

−= = ⇔ =−



Bảng biến thiên: (hình 27)

(H.27)

Vậy z ñạt cực ñại có ñiều kiện tại 1

1 1;

2 2M

và x

2.

2maz =

(H.27)

Bài toán 2. Tìm cực trị của hàm số: ( ), 6 4 3f x y x y= − − với ñiều kiện x và y

liên hệ với nhau bởi phương trình 2 2 1x y+ = .

Giải: Theo phương pháp nhân tử Lagarange, ñể tìm cực trị của hàm số

( ), 6 4 3f x y x y= − − với ñiều kiện 2 2 1x y+ = ta chỉ việc tìm cực trị của hàm số:

( ) ( )2 2, , 6 4 3 1F x y x y x yλ λ= − − + + − (Hàm Lagarnge).

Giải hệ phương trình: 2 2

4 2 0

3 2 0

1

x

y

x y

λλ

− + =− + = + =

.

Ta ñược : 1 1 1 2 2 2

5 4 3 5 4 3, , ; , ,

2 5 5 2 5 5x y x yλ λ= = = = − = − = − .

x 0

1

2 1

dz

dx

+ 0 -

z

2

2

0 0

z

x O

y



Vì 2 2 2

2 22 , 0, 2

F F F

x x y yλ λ∂ ∂ ∂= = =

∂ ∂ ∂ ∂ nên ( )2 2 22 .F dx dyλ∂ = +

Với 1 1 1

5 4 3, ,

2 5 5x yλ = = = thì d2F > 0 nên tại ñiểm

4 3;

5 5

hàm có cực tiểu có

ñiều kiện.

Với 2 2 2

5 4 3, ,

2 5 5x yλ = − = − = − thì d2F < 0 nên tại ñiểm

4 3;

5 5 − −

hàm có cực

ñại có ñiều kiện. Như vậy x min

16 9 16 96 11, 6 1

5 5 5 5maf f= + + = = − − = .


(H.28)

Bài toán 3. Tìm cực trị của hàm số: 1 1

zx y

= + với ñiều kiện 2 2 2

1 1 1

x y a+ = .

Giải: Theo phương pháp nhân tử Lagarnge, ñể tìm cực trị của hàm số:

( ) 1 1,z x y

x y= + với ñiều kiện : ( ) 2 2 2

1 1 1, 0g x y

x y a= + − = , ta chỉ việc tìm cực

trị của hàm số: ( ) ( ) ( ) 2 2 2

1 1 1 1 1, , , ,F x y z x y g x y

x y x y aλ λ λ

= + = + + + −

.

Trong ñó λ là nhân tử Lagarnge. Ta có:

( ) ( )2 3 2 3

1 2 1 2, , ; , , .

F Fx y x y

x x x y y y

λ λλ λ∂ ∂= − − = − −∂ ∂

Cho F F

;x y

∂ ∂∂ ∂

ñồng thời triệt tiêu, ta ñược 2x y λ= = − . Thế các giá trị ấy vào



ñiều kiện g(x,y) = 0, ta ñược: 2 2

1 1

2 2

a

aλ

λ= ⇔ = ± .

Vậy ta ñược hai ñiểm tới hạn: ( ) ( )1 22 ; 2 , 2 ; 2M a a M a a− − .

Để xét xem M1 có là ñiểm cực trị không,ta xét dấu của số gia của F tại M1. Ta

có: ( ) ( )2 ; 2 ; 2 ; 2 ;F a h a k F a aλ λ∆ = − + − + − − − .

Tại ñiểm 1, 0.F F

Mx y

∂ ∂= =∂ ∂

Do ñó theo công thức Taylor, khi các số gia h, k rất

bé, dấu của ∆ ñược xác ñịnh bởi dấu của:

( ) ( ) ( )2 2 2

2 2

1 1 12 2, 2 , ,

F F FM h M hk M k

x x y yλ λ λ∂ ∂ ∂+ +

∂ ∂ ∂ ∂.

Nhưng: ( ) ( ) ( )2 2 2

2 3 4 2 3 4

2 6 2 6, , , , , 0, , ,

F F Fx y x y x y

x x x x y y y y

λ λλ λ λ∂ ∂ ∂= + = = +∂ ∂ ∂ ∂

.

Tại M1, ta có: ,2 2

x yλ = − = − do ñó :

( ) ( ) ( )2 2 2

1 1 12 3 2 3

1 1, , , 0, ,

F F FM M M

x a x y y aλ λ λ∂ ∂ ∂= − = = −

∂ ∂ ∂ ∂.

Vậy số gia ∆ cùng dấu với biểu thức ( )2 2

3

1,h k

a− + tức là ∆ < 0 với h, k khá bé.

Do ñó M1 là ñiểm cực ñại, ( )x 1

2.maz z M

a= =

Tương tự như vậy , ta có: M2 là ñiểm cực tiểu, ( )min 2

2.z z M

a

−= =

3.4. Cực trị hàm số phụ thuộc tham số

Khi gặp các bài toán cực trị hàm số trong ñó hàm số có chứa tham số thì

ta sử dụng quy tắc 1, kết hợp với việc biện luận các trường hợp xảy ra của tham

số ñể tìm lời giải cho bài toán. Trong trường hợp 0∆ = (tức là quy tắc 1 chưa

cho ta kết luận gì về sự tồn tại cực trị tại các ñiểm tới hạn) thì ta phải sử dụng

ñịnh nghĩa ñể tìm cực trị của hàm số ñó. Cụ thể, ta ñi xét các bài toán sau:

Bài toán 1. Tìm cực trị của hàm số: ( ) 2 2, , 0.f x y x yλ λ= + ≠





02 0 0

2 0 00

fx xx

f y yy

λ

∂ = = = ∂ ⇔ ⇔ ∂ = = =∂

.

Vậy M(0,0) là ñiểm dừng duy nhất của hàm số f.

Các ñạo hàm cấp hai: 2 2 2

2 22; 0; 2

f f fA B C

x x y yλ∂ ∂ ∂= = = = = =

∂ ∂ ∂ ∂.

Xét tại ñiểm M(0,0) ta có: 2 4B AC λ∆ = − = − và có A = 2 > 0, do ñó:

+) Nếu 0λ > thì 4 0λ∆ = − < , khi ñó hàm số f ñạt cực tiểu tại ñiểm M(0,0),

ñồng thời min 0f = .

+) Nếu 0λ < thì 4 0λ∆ = − > , khi ñó hàm số f không có cực trị tại ñiểm M(0,0).

Bài toán 2. Tìm cực trị của hàm số: ( ) 2 2, , 0.f x y x yλ λ= ≠



2

2

02 0 0

02 00

fxy xx

f yx yy

λλ

∂ = = =∂ ⇔ ⇔ ∂ == =∂

.

Vậy các ñiểm ( )0,y và ( ),0x , ,x y∈ℝ là các ñiểm dừng của hàm số f.

Các ñạo hàm cấp hai: 2 2 2

2 22 2

2 ; 4 ; 2f f f

A y B xy C xx x y y

λ λ λ∂ ∂ ∂= = = = = =∂ ∂ ∂ ∂

.

Xét tại ñiểm ( )0,y và ( ),0x , ,x y∈ℝ ta ñều có: 2 0B AC∆ = − = nên chưa thể

nói gì về sự tồn tại cực trị của hàm số tại ñiểm ( )0,y và ( ),0x . Tuy nhiên vì

( ) 2 2, , 0f x y x yλ λ= ≠ nên:

+) Nếu 0λ > thì ( ) ( ) ( ) 20, 0 ,0 , ,f x y f x x y≥ = ∀ ∈ℝ và ( ) ( )0, 0, ,f x y f y≥

( ) 2,x y∀ ∈ℝ là những số thực cho trước bất kì. Vậy hàm số f ñạt cực tiểu tại các

ñiểm ( )0,0x và ( )0 0 00, , ,y x y R∀ ∈ , ñồng thời min 0f = .



+) Nếu 0λ < thì ( ) ( ) ( ) 20, 0 ,0 , ,f x y f x x y≤ = ∀ ∈ℝ và ( ) ( )0, 0, ,f x y f y≤

( ) 20 0, ; ,x y x y∀ ∈ℝ là những số thực cho trước bất kì. Vậy hàm số f ñạt cực ñại

tại các ñiểm ( )0,0x và ( )0 0 00, , ,y x y∀ ∈ℝ , ñồng thời max 0f = .

Bài toán 3. Cho 1 1

1, 1, 1.p qp q

> > + = Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số :

( ) 1 1, p qf x y x y

p q= + , trên tập hợp: ( ){ }2, : 1, 0, 0D x y xy x y= ∈ = > >ℝ .

Giải: Với ( ) 1, , , 0x y D y x

x∀ ∈ = > .

Do ñó: ( ) 1lim 0; lim , lim , .x x x

y f x y f xx→+∞ →+∞ →+∞

= = = +∞

Vì vậy hàm số f không ñạt giá trị lớn nhất trên D. Dễ dàng chứng minh ñược

rằng f ñạt giá trị nhỏ nhất trên D. ta tìm cực trị của hàm số f với ràng buộc:

( ) (1), 1 0, 0, 0g x y xy x y= − = > >

Vì ( ) ( ), , 0,0 , 0, 0g g

y x x yx y

∂ ∂ = ≠ ∀ > > ∂ ∂ nên ñể cực tiểu có ñiều kiện của hàm

số f với ràng buộc (1) thỏa mãn hệ phương trình:

( )

1

1

1, 0 0, 00, 0

p

q

f gx yx x

f g y xy y xy

g x y x yx y

λλλλ

−

−

∂ ∂ = =∂ ∂ ∂ ∂ == ⇔ ∂ ∂ =

= > > > >

.

Từ hai phương trình ñầu của hệ suy ra: p qx y= . Kết hợp với phương trình cuối

của hệ, ta ñược 1, 1.x y= = Vậy: ( )

( ) ( ),

1 1, 1,1 1

x y DMin f x y f

p q∈= = + = .

Bài toán 4. Tìm cực trị của hàm số: ( )2 2

,1

ax by cf x y

x y

+ +=+ +

, ( )2 2 2 0a b c+ + ≠ .





( ) ( )( )

( ) ( )( )

2 2

32 2 2

2 2

32 2 2

1 ax0

0 1

1 ax0 01

a x y x by cf

x yxf b x y y by cy

x y

+ + − + +=∂ = + +∂ ⇔ ∂ + + − + + = =∂

+ +

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

2 2 2 2

2 2 2 2

1 ax 0 1 ax 0

1 ax 0 1 a ax 0

a x y x by c ab x y bx by c

b x y y by c ab x y y by c

+ + − + + = − + + + + + = ⇔ ⇔ + + − + + = + + − + + =

( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2*2 2

00

1 ax 01 ax 0

bx aybx ay ax by c

ax by ca x y x by c

a x y x by c

=− + + = + + =⇔ ⇔

+ + − + + = + + − + + =

Với x xb

a by ya

= ⇔ = thay vào (1) ñược: , , 0a b

x y cc c

= = ≠ (nếu c = 0 thì

2 2 2 0a b c+ + ≠ hàm không có ñiểm dừng).

Với x+ 0a by c+ = ( )0ax c

y bb

+⇔ = − ≠ thay vào (*) ta ñược:

( ) ( )2 2 2 2 2

2 2 2 2 22

02 0 0

2 0

aaa b x acx b c a

a b x acx b cb

= + + + + = ⇔ ⇔ = + + + + =

(Vì phương trình:( )2 2 2 2 22 0a b x acx b c+ + + + = vô nghiệm).

Với a = 0 thì khi 2 2 2 0a b c+ + ≠ hàm số không có ñiểm dừng.

Với b = 0 thì khi 2 2 2 0a b c+ + ≠ hàm số không có ñiểm dừng.

Vậy hàm số có ñiểm dừng duy nhất là: 0 ;a b

Mc c

.

Các ñạo hàm cấp hai:

( )( ) ( )

( )

2 22

3 522 2 2 22 2

3 1;

1 1

x a x y x ax by cf by cA

x x y x y

+ + − + +∂ + = = − −∂ + + + +

( )( )

( )2

3 52 2 2 22 2

3;

1 1

xy ax by cf ay bxB

x y x y x y

+ +∂ += = − −∂ ∂ + + + +



( )( ) ( )

( )

2 22

3 522 2 2 22 2

3 1ax;

1 1

y b x y y ax by cf cC

y x y x y

+ + − + +∂ + = = − −∂ + + + +

Xét tại ñiểm 0 ;a b

Mc c

t a có:

2 2 2 2

3 3 32 2 2 2 2 22 2 2

2 2 2 2 2 2

; ;

1 1 1

b c ab a cA B C

a b a b a bc c c

c c c c c c

+ += − = − = −

+ + + + + +

( )( )( )

2 2 2 2 2 2 62

3 22 2 2 2 22

2 2

0

1

a b b c a c cB AC

a b a b cc

c c

− + +⇒ ∆ = − = = − <

+ ++ +

.

Mặt khác: A < 0, do ñó 0 ;a b

Mc c

là ñiểm cực ñại của hàm số, ñồng thời:

2 2 2xmaf a b c= + + .

3.5. Hàm số ẩn

Mở ñầu:

Ví dụ 1. Ta biết phương trình tổng quát của ñường thẳng là: 0Ax By C+ + = ( )1 ,

( )2 2 0A B+ ≠ . Nếu 0,B ≠ giải (1) theo y ta ñược:A C

y x ax bB B

= − − = + ( )2 .

Rõ ràng thay (2) vào (1) ta thấy (1) ñược thoả mãn ( tức là trở thành ñồng nhất

thức). Ta nói hàm số y xác ñịnh bởi phương trình (1) là một hàm số ẩn.

Ví dụ 2. Vòng tròn tâm O có bán kính r có phương trình: 2 2 2.x y r+ = ( )3

Giải theo y ta ñược: 2 2y r x= − hoặc 2 2y r x= − − ( )4 (ñồ thị hàm số thứ

nhất là nửa trên của vòng tròn, ñồ thị hàm số thứ hai là nửa dưới của vòng tròn).

Thay phương trình (4) vào (3), dĩ nhiên (3) ñược thoả mãn. Các hàm số ñược

xác ñịnh bởi (3) ñều gọi là hàm số ẩn.

Như vậy ta có khái niệm về hàm số ẩn và nhận thấy:

• Một phương trình ( ), 0F x y = có thể cho một hoặc nhiều hàm ẩn, thậm

chí chỉ biểu diễn một ñiểm, ví dụ: 2 2 0.x y+ =



• Không phải hàm ẩn nào cũng có thể biểu diễn ñược dưới dạng hiện

( )y y x= . Ví dụ, có những phương trình rất khó giải ra y như:

( )2 2sin 0.y xx y x y+ + + =

Bài toán của lý thuyết hàm ẩn ñặt ra là: Khi nào phương trình

( ), 0F x y = xác ñịnh một và chỉ một hàm ẩn và nghiên cứu tính chất của các

hàm ẩn ñó (không cần phải giải ra dạng hiện).

Dưới ñây ta sẽ phát biểu ñịnh nghĩa, ñịnh lý của hàm số ẩn và minh họa chúng

mà không chứng minh.


Cho phương trình ( ), 0F x y = ( )1 . Ở ñây hàm ( ),F x y xác ñịnh trên tập

X Y× (kí hiệu X Y× là tập hợp các cặp sắp thứ tự ( ),x y , với ,x X y Y∈ ∈ ). Kí

hiệu E là tập hợp những giá trị x X∈ , mà mỗi x E∈ cố ñịnh phương trình (1)

có ít nhất một nghiệm thực y Y∈ .

Khi ñó trên tập E có thể xác ñịnh một hàm ( )y f x= ñơn trị hay ña trị, ñặt

tương ứng với mỗi x X∈ cố ñịnh giá trị y là nghiệm của phương trình (1) với x

cố ñịnh. Hàm ñược xác ñịnh như trên ñược gọi là hàm ẩn. Do ñịnh nghĩa của

hàm ( )y f x= , ñẳng thức ( )( ), 0F x f x = thỏa mãn với tất cả giá trị x E∈ .

Tương tự nhờ hệ phương trình ( ) ( )1 2 1 2, ,..., , , ,..., 0 1,2,...,i m nF x x x y y y i n= =

ta xác ñịnh hệ các hàm ẩn ( )( )1 2, ,..., 1,2,...,i i my f x x x i n= = ñể:

( ) ( ) ( )( ) ( )1 2 1 2 2 1 2 1 21, ,..., , , ,..., , , ,..., ,..., , ,..., 0 1,2,...,i m m m n mF x x x f x x x f x x x f x x x i n= = .

3.5.2. Định lý

��) Định lý 1 (ñịnh lý tồn tại): Giả sử hàm ( ),F x y liên tục theo các biến

x và y trong hình chữ nhật 0 0: ,R x x a y y b− ≤ − ≤ và ( )0 0, 0.F x y = Sau nữa,

giả sử hàm ( ),F x y có ñạo hàm riêng ( )' ,yF x y trong R, liên tục tại ñiểm

( )0 0,x y , ñồng thời ( )' , 0yF x y ≠ . Khi ñó tồn tại các số 0, 0α β> > ñể trong hình

chữ nhật 0 0 0: ,R x x y yα β− ≤ − ≤ phương trình (1) xác ñịnh duy nhất hàm liên



tục ( )y f x= , nhận giá trị 0y , khi 0x x= .

��) Định lý 2 (ñạo hàm hàm ẩn): Giả sử các ñiều kiện của ñịnh lý 1 ñược

thoả mãn, ngoài ra tại ñiểm ( )0 0,x y tồn tại ñạo hàm ( )'0 0,xF x y . Khi ñó hàm

( )y f x= xác ñịnh bởi phương trình (1) có ñạo hàm tại ñiểm 0x x= ñồng thời:

( ) ( )( )

'0 0 0

'0 0

,

,x

y

dy x F x y

dx F x y= − .

Tương tự, ta có ñịnh lý mở rộng sau ñây:

��) Định lý 3. Giả sử :

1) Hàm số ( )1 2, ,..., ,nF x x x y liên tục và có ñạo hàm riêng liên tục trên

miền ñóng:

( )1

0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 2 2 2 2, ,..., ,n n n n nR x a x x a x a x x a x a x x a y b x y b− ≤ ≤ + − ≤ ≤ + − ≤ ≤ + − ≤ ≤ +

2) ( )0 0 0 01 2, ,..., , 0;nF x x x y =

3) ( )' 0 0 0 01 2, ,..., , 0;y nF x x x y ≠

Thế thì:

a) Tồn tại một hàm số duy nhất ( )1 2, ,..., ny f x x x= thoả mãn phương trình

( )1 2, ,..., , 0nF x x x y = trên một miền nào ñó 1

0 01 1 1 1( ,x a x x a∆ − ≤ ≤ + 0

2 2x a x− ≤ ≤

0 0 02 2,..., )n n n n nx a x a x x a≤ + − ≤ ≤ + và ( )0 0 0 0

1 2, ,..., ;nf x x x y=

b) Hàm số ( )1 2, ,..., nf x x x liên tục trên miền ∆ ;

c) Hàm số ( )1 2, ,..., nf x x x có các ñạo hàm riêng liên tục trên miền ∆ và ta

có: ( ) ( )1 2, ,...,

, 1,2,..., .n i

i

Ff x x x x

i nFxy

∂∂ ∂= − =∂∂

∂

Ví dụ 3. (Bài toán tổng quát): Cho hệ phương trình: ( )( )

1

2

, , 0.

, , 0

F x y z

F x y z

=

= (5)

Nếu với x thuộc miền xác ñịnh nào ñó mà tồn tại một cặp hàm số ( )1y f x= ;



( )2z f x= duy nhất sao cho: ( ) ( )( )( ) ( )( )

1 1 2

2 1 2

, , 0

, , 0

F x f x f x

F x f x f x

=

=

thì cặp hàm số ( )1y f x= ;

( )2z f x= ñược gọi là các hàm số ẩn xác ñịnh bởi hệ phương trình (5).

Bài toán ñặt ra là: Các hàm số ( )1 , ,F x y z , ( )2 , ,F x y z phải thoả mãn

những ñiều kiện nào ñể hệ phương trình (5) xác ñịnh một cặp hàm số ẩn liên tục,

khả vi?

��) Định lý 4. Giả sử :

1) Các hàm số ( )1 , ,F x y z , ( )2 , ,F x y z liên tục và có các ñạo hàm riêng liên

tục trong một lân cận nào ñó của ñiểm ( )0 0 0, ,M x y z ,

2) ( ) ( )1 0 0 0 2 0 0 0, , , , 0,F x y z F x y z= =

3) ( )( )

1 1

1 2

2 2

,0

,

F F

y zD F FJ

F FD y z

y z

∂ ∂∂ ∂

= = ≠∂ ∂∂ ∂

, tại ñiểm ( )0 0 0, ,M x y z

Thế thì: a) Tồn tại một cặp hàm số duy nhất ( )1y f x= , ( )2z f x= thỏa

mãn (5) trong một lân cận ∆ nào ñó của ñiểm 0x và ( )1 0 0f x y= , ( )2 0 0f x z= ;

b) Các hàm số ( )1f x , ( )2f x liên tục trong ∆ ;

c) Các hàm số ( )1f x , ( )2f x có ñạo hàm liên tục trong ∆ và ta có:

( )( )

( )( )

1 2 1 21 2, ,1 1

. ; ., ,

D F F D F Fdf df

dx J D x z dx J D y x= − = − .

Tương tự, ta có ñịnh lý mở rộng sau:

��) Định lý 5. Giả sử:

1) Các hàm số ( ) ( )1 2 1 2, ,..., , , ,..., 0 1,2,...,i n mF x x x y y y i m= = liên tục và có

các ñạo hàm riêng liên tục trong một lân cận nào ñó của ñiểm

( )0 0 0 0 0 0

1 2 1 2, ,..., , , ,..., ;n mM x x x y y y

2) ( ) ( )0 0 0 0 0 0

1 2 1 2, ,..., , , ,..., 0 1,2,...,i n mF x x x y y y i m= = ;



3) Tại ñiểm M ta có: ( )( )

1 1 1

1 2

2 2 21 2

1 2

1 2

1 2

...

..., ,...,0

, ,...,...........................

...

m

mm

m

m m m

m

F F F

y y y

F F FD F F F

y y yJD y y y

F F F

y y y

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂= = ≠

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

Thế thì: a) Tồn tại một bộ duy nhất m hàm số ( )1 2, ,...,i i ny f x x x= ( )1,2,...,i m=

thỏa mãn hệ phương trình:

( )( )

( )

1 1 2 1 2

2 1 2 1 2

1 2 1 2

, ,..., , , ,..., 0

, ,..., , , ,..., 0

..................................................

, ,..., , , ,..., 0

n m

n m

m n m

F x x x y y y

F x x x y y y

F x x x y y y

=

= =

trong một lân cận nào ñó ∆ của ñiểm ( )0 0 0

1 2, ,..., nx x x và ( )0 0 0 0

1 2, ,...,i n if x x x y=

( )1,2,..., ;i m=

b) Các hàm số ( )1 2, ,...,i nf x x x liên tục trong ∆ ;

c) Các hàm số ( )1 2, ,...,i nf x x x có các ñạo hàm riêng liên tục trong ∆ và ta

có:

( )( )( )( )

( )( )( )( )

1 2 1 2

1 2 1 2 11

1 2 1 21 1

1 2 1 2

, ,..., , ,...,

, ,..., , ,...,,..............,

, ,..., , ,...,

, ,..., , ,...,

m m

m m

m m

m m

D F F F D F F F

D x y y D y y xy yD F F F D F F Fx xD y y y D y y y

∂ ∂= − = −∂ ∂

.

Tương tự cho ñạo hàm riêng của các hàm số 1 2, ,..., my y y ñối với các biến

số của chúng.

3.5.3. Cực trị của hàm ẩn

Nếu hàm ẩn ( ) ( )1 2 1 2, ,..., , , ,...,n n nu u x x x x x x E E= ∈ ⊂ ñược xác ñịnh bởi phương

trình : ( )1 2, ,..., , 0nF x x x u = thì ( )( ) ( )1 2 1 2 1 2, ,..., , , ,..., 0, , ,...,n n nF x x x u x x x x x x E= ∈ .

Giả sử hàm u khả vi liên tục hai lần trong E. Khi ñó tại ñiểm dừng

( )0 0 00 1 2, ,... nM x x x thỏa mãn các ñẳng thức:



( )1 2

(1)' ' '0 1 2

1... 0

' nx x x nu

du M F dx F dx F dxF

= − + + + = và ( )0 0 0 01 2, ,... , 0nF x x x u =

Ở ñây ( )0 0 0 01 2, ,... nu u x x x= .

Do mệnh ñề ngược cũng thỏa mãn, nên các ñiểm dừng có thể tìm ñược từ

hệ: ( )' 0 1,2,..., , 0ixF i n F= = = .

Ta vi phân một lần nữa ñẳng thức ñầu tiên của (1) và chú ý rằng 0ud = , ta

nhận ñược : 2

21 2'

, 1 1 2

1 n

i ju

Fd u dx dx

F x x=

∂= −∂ ∂∑

Nếu 2 0d u > tại ñiểm 0M thì hàm u có cực tiểu, nếu như tại ñiểm này

2 0d u < thì hàm u có cực ñại.

3.5.4. Bài tập

Bài toán 1. Tìm cực trị của hàm ẩn ( ),z z x y= , ñược xác ñịnh bởi phương trình:

2 2 2 2 2 4 10 0x y z x y z+ + − + − − = .


Đặt 2 2 2 2 2 4 10 0F x y z x y z= + + − + − − = .


'

'

2 2 2

2 2 01, 1, 2

2 2 01, 1, 6

2 2 4 10 0

x

y

F xx y z

F yx y z

F x y z x y z

= − = = = − = −

= + = ⇔ = = − = = + + − + − − =

Để thử lại ñiều kiện ñủ, ta tìm các ñạo hàm 2 2' '' '' ''2 4; 2, 2, 0z xyx y

F z F F F= − = = = và

tính vi phân cấp hai tại các ñiểm dừng. Do: ( ) ( )2 2 211, 1, 2 0

4d F dx dy− − = + >

( ) ( )2 2 211, 1,6 0

4d F dx dy− = − + < .

Nên min ax2, 6mz z= − = khi 1, 1x y= = − .




(H.29)


2 2 2 2 2 2 2 0x y z xz yz x y z+ + − − + + + − =


Đặt: 2 2 2 2 2 2 2 0F x y z xz yz x y z= + + − − + + + − = .


'

'

2 2 2

2 2 03 6, 3 6, 4 2 6

2 2 03 6, 3 6, 4 2 6

2 2 2 2 0

x

y

F x zx y z

F y zx y z

F x y z xz yz x y z

= − + = = − + = − + = − +

= − + = ⇔ = − − = − − = − − = + + − − + + + − =

.

Vậy có các ñiểm dừng: ( ) ( )1 23 6, 3 6, 4 2 6 , 3 6, 3 6, 4 2 6M M− + − + − + − − − − − − .

Ta tìm các ñạo hàm 2 2' '' '' ''2 2, 2, 2, 0z xyx y

F z x y F F F= − − + = = = và tính vi phân

cấp hai 2d z tại các ñiểm dừng ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 21 2

1 1;

6 6d z M dx dy d z M dx dy= − + = + .

Vì vậy: ax 4 2 6mz = − + khi 3 6, 3 6x y= − + = − +

min 4 2 6z = − − khi 3 6, 3 6x y= − − = − − . Ta có ñồ thị hàm số: (hình 30)

(H.30)




2 22 2 8 8 0x y yz z+ + − + = .


Đặt 2 22 2 8 8 0F x y yz z= + + − + = .


'

'

2 2

04 0

1 2574 8 0

82 2 8 8 0 1 257

16

x

y

xF

F y z y

F x y yz zz

=

= = ±= + = ⇔ = = + + − + = −=

∓

.

Để thử lại ñiều kiện ñủ, ta tìm các ñạo hàm 2 2' '' '' ''8 1; 4, 4, 0z xyx y

F y F F F= − = = = và

tính vi phân cấp hai tại các ñiểm dừng.

Do: ( )2 2 21 257 1 257 40, , 0

8 16 257d F dx dy

− − + = + >

và

( )2 2 21 257 1 257 40, , 0

8 16 257d F dx dy

+ − − −= + <

.

Nên min

1 257

16z

− += khi 1 2570,

8x y

−= = ; ax

1 257

16mz− −= khi 1 257

0,8

x y+= = .


(H.31)




( )4 4 4 2 2 22 0( 0)x y z a x y z a+ + − + + = > .


Đặt: ( )4 4 4 2 2 22 0( 0)F x y z a x y z a= + + − + + = > .


( )

' 3 2

' 3 2

4 4 4 2 2 2

4 4 0

4 4 0

2 0

x

y

F x a x

F y a y

F x y z a x y z

= − = = − =

= + + − + + =

.

Từ ñó ta có ñiểm bất thường 0x y z= = = và 6 ñiểm dừng khác :

1 2 3,4

5,6

: , , 2; : 0, 0, 2, : , , 1 3,

: , , 1 3

M x o y o z a M x y z a M x a y a z a

M x a y a z a

= = = = = = − = ± = ± = +

= ± = ± = − +

Tiếp theo ta tìm các ñạo hàm:

2 2

' 3 2 '' 2 2 '' 2 2 ''4 4 , 12 4 , 12 4 , 0z xyx yF z a z F x a F y a F= − = − = − = .

Và tại các ñiểm ( )0,1,...,6iM i = tính vi phân cấp hai 2d z :

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 22 2

1 2

2 2 2 2

2 23,4 5,6

;2 2

2 2;

3 3 3 3 3 3

dx dy dx dyd z M d z M

a a

dx dy dx dyd z M d z M

a a

+ += = −

− + += =

+ +

Vậy tại ñiểm 1M hàm ñạt cực tiểu ñịa phương min 2z a= . Tại 2M ñạt cực ñại

max 2z a= − . Tại các ñiểm 3,4M ñạt cực ñại max 1 3z a= + . Tại các ñiểm 5,6M ñạt

cực tiểu min 1 3z a= − + . Ta có ñồ thị hàm số: (hình 32)

(H.32)



MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ GIẢI

Bài 1. Xác ñịnh các ñiểm dừng của hàm số và áp dụng ñịnh nghĩa cực trị, tìm

cực trị của hàm số (nếu có):

a) ( ) 2 2, 3 1f x y x xy y x= + + + + c) ( ) 4 2 2, 2 3 7f x y x xy x= − + −

b) ( )( )

2 2

2

2,

x yf x y

x y

+=+

d)( ) ( )2 2 11, ln 1

2f x y xy x= + + +


a) ( ) 2 2, 2 7 10f x y x y xy x= + − − + c) ( ) 2, 1xyf x y e= −

b) ( ) 1 1,f x y xy

x y= − − d) ( ), . os2 5yf x y e c x= − .

Bài 3. Trong tất cả các hình hộp chữ nhật có các cạnh song song với các trục tọa

ñộ và nội tiếp trong mặt elipxôit 2 2 2

2 2 21

x y z

a b c+ + = . Tìm các kích thước của hình

hộp có thể tích lớn nhất.

Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f trên một tập hợp D cho

trước.

a) ( ) ( ){ }2 2 2, 3, , : 1 1, 1 1f x y x y xy D x y x y= + + + = − ≤ ≤ − ≤ ≤ .

b) ( ), 4 3 7f x y x y= − + , D là hình tam giác có ba ñỉnh ( ) ( ) ( )0,0 , 0,4 , 5,4.

Bài 5. Áp dụng phương pháp nhân tử Lagrăng, xác ñịnh hình chiếu vuông góc

của ñiểm gốc O trên mặt phẳng ( )2 2 2, 0ax by cz d a b c+ + = + + > và tìm

khoảng cách từ ñiểm O ñến mặt phẳng.

Bài 6. Chứng minh rằng trong tất cả các tam giác có chu vi 2p cho trước, tam

giác ñều có diện tích lớn nhất.

Bài 7. Tìm cực trị của hàm số: ( ), 2f x y x y= + với ñiều kiện x và y liên hệ với

nhau bởi phương trình 2 2 5x y+ = .

Bài 8. Tìm cực trị của hàm số: ( ) 2 2, 4f x y x y xy x y= + − + + − với ñiều kiện x

và y liên hệ với nhau bởi phương trình 3 0x y+ + = .



Bài 9. Tìm cực trị của hàm số: ( ) 2,f x y xy= với ñiều kiện x và y liên hệ với

nhau bởi phương trình 2 1x y+ = .

Bài 10. Tìm cực trị của hàm ẩn ( ),z z x y= , ñược xác ñịnh bởi phương trình:

2 2 2 4 2 4 7 0x y z x y z+ + + − − − = .

*******************************

KẾT LUẬN CHƯƠNG 3

Chương 3 trình bày phương pháp ứng dụng của ñạo hàm ñể giải quyết

các bài toán tìm:

- Cực trị của hàm số hai biến số.

- Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số hai biến số trong một miền ñóng

bị chặn.

- Cực trị có ñiều kiện.

- Cực trị hàm số phụ thuộc tham số.

Hơn nữa, ứng dụng ñạo hàm ñể nghiên cứu các tính chất của hàm số ẩn,

ñây là phần kiến thức tương ñối khó, tuy nhiên nó hỗ trợ rất ñắc lực cho việc tìm

cực trị của hàm số nhiều biến và ñặc biệt trong việc tìm cực trị của hàm ẩn.

Ở trong chương này chúng ta cũng có hệ thống các dạng bài tập tương

ứng, bám sát các kiến thức, các quy tắc ñã ñược trình bày, giúp người ñọc hiểu

sâu sắc hơn các kiến thức ñã học và ghi nhớ các quy tắc sử dụng ñạo hàm ñể giải

quyết các bài toán trên.



KẾT LUẬN CHUNG

Qua các nội dung nghiên cứu ở trên, khóa luận “Ứng dụng ñạo hàm ñể tìm

cực trị của hàm số” ñã giải quyết về cơ bản những mục ñích ñã ñặt ra.

Theo hướng nghiên cứu chi tiết về ứng dụng ñạo hàm ñể tìm cực trị của hàm

số ta thu ñược một số kết quả sau:

1) Hệ thống các kiến thức cơ bản về ñạo hàm và trình bày ý nghĩa của ứng

dụng ñạo hàm ñể tìm cực trị hàm số.

2) Hệ thống các kiến thức về cực trị của hàm số một biến, hai biến và các

quy tắc tìm cực trị của hàm số.

3) Hệ thống các dạng toán thường gặp trong các bài toán ứng dụng ñạo hàm

tìm cực trị của hàm số một biến, cụ thể cho các lớp hàm:

+ Hàm ña thức và hàm hữu tỉ

+ Hàm số vô tỉ

+ Hàm lượng giác và siêu việt

Hơn nữa, còn có các dạng bài toán cực trị trong hình học và các bài toán cực

trị không mẫu mực ñược trình bày rõ ràng, cụ thể làm tăng thêm phần phong

phú và ña dạng cho khóa luận.

4) Tr×nh bµy hệ thống bài tập ứng dụng ñạo hàm ñể tìm cực trị của hàm số

hai biến: + Cực trị của hàm số hai biến

+ Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số hai biến số trong một miền

ñóng bị chặn

+ Cực trị có ñiều kiện

+ Cực trị hàm số phụ thuộc tham số

5) Nghiên cứu các tính chất của hàm số ẩn nhằm hỗ trợ cho việc tìm cực trị

của hàm số nhiều biến, ñặc biệt trong việc tìm cực trị của hàm ẩn.

Hy vọng rằng, với các nội dung ñã ñược trình bày trong khóa luận, khóa

luận sẽ là một tài liệu tham khảo hữu ích cho học sinh, sinh viên và các giáo

viên mới ra trường, góp phần giúp cho việc học, nghiên cứu các bài toán về tìm

cực trị của hàm số một biến cũng như nhiều biến sẽ ñược thuận lợi .



TÀI LI ỆU THAM KH ẢO

[1]. PTS. Nguyễn Cam, Giải toán ñạo hàm và khảo sát hàm số, NXBĐH Quốc

Gia Hà Nội, 1999.

[2]. Phan Đức Chính, Một số phương pháp giải toán sơ cấp, tập2,

NXBGD,1997.

[3]. Lê Hồng Đức, Phương pháp giải toán hàm số, NXB Hà Nội,2000.

[4]. Tr ần Đức Huyên, Lê Mậu Thống, Lê Mậu Thảo, Phân Loại và phương

pháp giải toán giải tích, Nhà xuất bản trẻ, 2002.

[5]. Tr ần Văn Kí , Toán chọn lọc giải tích 12, NXBĐH Quốc Gia TPHCM,

2002.

[6]. Nguyễn Bá Kim (chủ biên) - Vũ Dương thuỵ, Phương pháp dạy học môn

toán, NXBGD, 2006.

[7]. Nguyễn Mạnh Quý - Nguyễn Xuân Liêm, Phép tính vi phân và tích phân

của hàm nhiều biến số, NXBĐHSP, 2005.

[8]. Nguyễn Mạnh Quý - Nguyễn Xuân Liêm, Bài tập phép tính vi phân và

tích phân của hàm nhiều biến số, NXBĐHSP, 2005.

[9]. Vũ Dương Thuỵ, Các bài giảng luyện thi môn toán tập 3, NXBGD, 1999.

[10]. Nguyễn Đình Trí (chủ biên), Tạ Văn Đĩnh - Nguyễn Hồ Quỳnh, Bài tập

toán học cao cấp, tập 2, NXBGD, 2005.

[11]. Nguyễn Đình Trí (chủ biên), Tạ Văn Đĩnh - Nguyễn Hồ Quỳnh, Toán

học cao cấp, tập 3, NXBGD, 2006.

[12]. Nguyễn Đình Trí (chủ biên), Tạ Văn Đĩnh - Nguyễn Hồ Quỳnh, Bài tập

toán học cao cấp, tập 3, NXBGD, 2000.

[13]. Vũ Tuấn - Phan Đức Thành - Ngô Xuân Sơn, Giải tích toán học, tập 1,

NXBGD, 1981.

[14]. Vũ Tuấn - Phan Đức Thành - Ngô Xuân Sơn, Giải tích toán học, tập 3,

NXBGD, 1977.

[15]. Y.Y.LIASKÔ, A.C.BOOIATRUC, IA.G.GAI, G.P.GÔLÔVAC , Giải tích

toán học các ví dụ và các bài toán, Phần I (tập II), NXB Đại học và Trung học

chuyên nghiệp, 1979.

8-NGUYEN THI HAU-UNG DUNG CUA DAO HAM DE TIM CUC TRI CUA HAM · PDF file ·...

Documents

Transcript of 8-NGUYEN THI HAU-UNG DUNG CUA DAO HAM DE TIM CUC TRI CUA HAM · PDF file ·...